Fizika mérnököknek I-II [PDF]
169 99 30MB
Hungarian Pages 1301 Year 1999
Giber J. Sólyom A Kocsányi L.: Fizika Mérnököknek I.-II.......Page 1
Köszönetnyilvánítás......Page 5
ELŐSZÓ AZ ELSŐ KIADÁSHOZ......Page 6
ELŐSZÓ A MÁSODIK KIADÁSHOZ......Page 9
ÚTMUTATÓ A KÖNYVET TANKÖNYVKÉNT HASZNÁLÓK SZÁMÁRA......Page 11
IDÉZETT ÉS AJÁNLOTT IRODALOM......Page 13
TARTALOMJEGYZÉK......Page 15
1.1. A FIZIKAI MEGISMERÉS ÚTJA......Page 22
1.1.1. A fizikai fogalmak (mennyiségek)......Page 23
1.1.2. A fizikai rendszer, környezet és ezek kölcsönhatásai......Page 29
1.1.3. A fontosabb fizikai modellek......Page 31
1.1.4. A fizikai törvények, axiómák. A fizikai törvények érvényességi köre; az (ún. Bohr–féle) korreszpondencia elv......Page 32
1.2.1. Kis szabadsági fokú (mechanikai) tömegpont rendszerek......Page 34
1.2.2. Sokrészecske rendszerek. (Statisztikus fizikai illetve termodinamikai módszerekkel leírható tömegpontrendszerek.)......Page 36
1.2.3. Kvantummechanikai rendszerek, mikrorészecskék......Page 42
1.2.4. Lineáris rendszerek. Szuperpozició.......Page 47
1.3. MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEK ÉS SZIMMETRIÁK......Page 49
1.3.1. Impulzusmegmaradás......Page 50
1.3.3. Az energiamegmaradás törvénye......Page 54
1.3.4. A mérlegegyenletek......Page 56
1.4. A fizika és a kémia néhány elvérõl.......Page 58
2. A TÖMEGPONT ÉS A PONTRENDSZER MECHANIKÁJA......Page 61
2.1. A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA......Page 62
2.1.1. A sebesség......Page 63
2.1.2. A gyorsulás......Page 66
2.1.3. A szögsebesség és a szöggyorsulás......Page 67
2.1.4.1 Az általános kifejezések......Page 71
2.1.4.2. Speciális eset: az egyenletes körmozgás......Page 73
2.1.4.3. Az általános kör- ill. térgörbe menti mozgás esete......Page 77
2.1.4.4. Speciális eset: csillapítatlan lineáris harmonikus rezg mozgás......Page 78
2.1.5. Néhány kinematikai feladat......Page 79
2.2.2. Inerciarendszerek......Page 86
2.2.3. A Galilei–féle relativitási elv......Page 87
2.2.4. Az Einstein–féle relativitási elv......Page 93
2.2.4.1. Az egyidej ség relativitása......Page 94
2.2.4.2. A Lorentz–transzformáció......Page 96
2.2.4.3. Az Einstein–féle sebességösszeadási törvény......Page 97
2.2.4.4. # Négyesvektorok. Az intervallum. Az intervallum invarianciája. Sajátid és sajáttávolság......Page 99
2.2.4.5. Id dilatáció......Page 102
2.2.4.6. Az ikerparadoxon......Page 104
2.2.4.7. A mozgásirányba eső méretek hosszkontrakciója (rövidülése)......Page 106
2.3. DINAMIKA......Page 110
2.3.1.1. A (nem relativisztikus) impulzus és az impulzusmegmaradás törvénye......Page 111
2.3.1.2. A relativisztikus impulzus és megmaradása......Page 113
2.3.1.3. Az erő, mint a mechanikai kölcsönhatás mértéke. Newton II. axiómája......Page 115
2.3.1.4. Newton III. axiómája. A hatás–ellenhatás ("akció-reakció") törvénye......Page 119
2.3.1.5. Newton IV. axiómája. Az egyidejűleg fellép erők összegzési törvénye......Page 120
2.3.2. A Newton–féle általános gravitációs törvény......Page 123
2.3.3. A tömegpont dinamikája gyorsuló vonatkoztatási rend-szerekben. Tehetetlenségi er k. Súly és súlytalanság. Gravitáló és tehetetlen tömeg.......Page 127
2.3.3.1. Súly és súlytalanság. A szabadon eső vonatkoztatási rendszer inerciarendszer......Page 136
2.3.3.2. A Föld forgásának hatása a nehézségi gyorsulásra (g6). A gravitáló (“súlyos”) és a tehetetlen tömeg egyenlősége.......Page 138
2.3.4. Erőtörvények.......Page 142
2.3.5. Az erőterekről általában. Térerősség......Page 147
2.3.6. Munka és teljesítmény......Page 152
2.3.7. Pontrendszerek dinamikája......Page 161
2.3.7.1 Az impulzustétel tömegpontrendszerre. A tömegközéppont tétele......Page 162
2.3.7.3. Az impulzusmomentum, az erőmomentum, az impulzusmomentum tétel és az impulzusmomentum–megmaradás tétele tömegpontra......Page 165
2.3.7.4. Az erő-, a forgatónyomaték- az impulzus- és az impulzusmomentum vektorok összegzése pontrendszerekre......Page 169
2.4.1. A merev testek kinematikai leírása......Page 172
2.4.2. A merev testek mozgásának dinamikai leírása......Page 174
2.4.3. Merev testek egyensúlya......Page 177
2.4.4. A tehetetlenségi nyomaték. Merev testek tehetetlenségi nyomatéka. Molekulák egyszer modellje és .........Page 178
2.5. AZ ENERGIA......Page 191
2.5.1. A kinetikus (mozgási) energia és a munkatétel. Forgó testek kinetikus energiája......Page 192
2.5.2.1. A konzervatív er tér fogalma. A potenciális energia. Konzervatív erőterek jellemzői......Page 196
2.5.2.2. A potenciál......Page 206
2.5.3. A mechanikai energia megmaradásának tétele. "Potenciáldiagramok"......Page 209
2.5.4. Nem konzervatív erőterek......Page 217
2.5.5. A belsõenergia. Kötési energia, kötött állapot......Page 218
2.6.1. A munka relativisztikus kifejezése......Page 221
2.6.2. A kinetikus és teljes energia relativisztikus kifejezése......Page 223
2.7.1. Alapfogalmak. Az ütközések osztályozása......Page 229
2.7.2.1. Egyenes ütközések.......Page 231
2.7.2.2. Ferde ütközések.......Page 234
2.7.4. Nem relativisztikus, nem tökéletesen rugalmatlan (valódi) ütközések......Page 238
2.7.5. A relativisztikus impulzus és megmaradása......Page 240
2.7.6. Rugalmas relativisztikus ütközések......Page 246
2.7.7. Tökéletesen rugalmatlan relativisztikus ütközések......Page 249
2.8. NÉHÁNY FONTOS MECHANIKAI TÖRVÉNY ÖSSZEFOGLALÁSA......Page 252
3. KINETIKUS GÁZELMÉLET......Page 255
3.1. ÁTLAGÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA......Page 257
3.2. ALAPFOGALMAK......Page 258
3.3. A kinetikus gázelmélet alapfeltevései. A nyomás és az abszolút hőmérséklet mikrofizikai értelmezése.......Page 264
3.3.1. A P nyomás és mikrofizikai értelmezése......Page 265
3.3.2. A T abszolút hőmérséklet mikrofizikai értelmezése......Page 266
3.4 Barometrikus formula, — Boltzmann faktor.......Page 270
3.5. Molekuláris ütközések klasszikus közelítésben......Page 273
3.6. Transzportfolyamatok nem egyensúlyi rendszerekben......Page 277
3.6.1. A fajlagos vezetés mikrofizikai kifejezése......Page 278
3.6.2. A diffúzió......Page 282
3.6.3. Az Einstein-féle bolyongási probléma és az abból leszármaztatott Fick II. egyenlet......Page 286
3.6.4. Hővezetés gázokban......Page 291
3.6.5. Belső súrlódás. Gázok viszkozitása.......Page 294
4. A STATISZTIKUS FIZIKA ALAPJAI......Page 298
4.1. N darab megkülönböztethet részecske legvalószínűbb térbeli eloszlása......Page 300
4.2. Megkülönböztethető részecskék energia eloszlása egyensúlyi állapotban.........Page 310
4.2.1. Az energia szerinti eloszlás általános jellemzése. Az egyensúlyi állapotot jellemző Maxwell-Boltzmann eloszlás......Page 311
4.2.2. Egy elszigetelt rendszerben az állapotok a legvalószínűbb állapot felé rendeződnek át......Page 322
4.3. A TERMODINAMIKAI VALÓSZÍNŰSÉG ÉS AZ ENTRÓPIA KAPCSOLATA.......Page 326
4.4. A TERMODINAMIKA III. FŐTÉTELE......Page 328
4.5.1. Gázok energianívórendszere......Page 331
4.5.3. Az energianívók gerjesztettsége gázok esetén......Page 333
4.6.1. A sebesség irányát is figyelembevevő Maxwell– Boltzmann sebességeloszlás, ideális gázokban......Page 335
4.6.2. Egyes, a sebesség irányától is függő fizikai mennyiségek átlagértéke......Page 340
4.6.3. Átlagképzés a sebesség abszolút értékétől függő Maxwell-Boltzmann sebesség eloszlás esetében......Page 345
4.6.4. Az ekvipartíció tétele.......Page 347
4.6.5. Gázok és szilárd testek fajlagos és moláris hőkapacitásának számítása belsőenergiájukból, ill. entalpiájukból......Page 350
4.7.1. A szilárdtestek konfigurációs entrópiája......Page 355
4.7.2.. Ideális elegykristályok elegyedési entrópiája......Page 357
4.7.2.2. Ideális egyatomos gázok elegyedési entrópiája......Page 359
4.8. KVANTUMSTATISZTIKÁK ÉS ELOSZLÁSI FÜGGVÉNYEK......Page 361
4.8.1. A Bose—Einstein eloszlás......Page 364
4.8.2. A Bose—Einstein statisztika alkalmazása ideális gázra......Page 368
4.8.3. A Fermi–Dirac eloszlás ideális Fermi elektrongázban......Page 373
4.8.4. Az eloszlási függvények összehasonlítása......Page 374
5. A MŰSZAKI ÉS KÉMIAI TERMODINAMIKA ALAPJAI......Page 377
5.1. A TERMODINAMIKAI RENDSZEREK ÁLLAPOTÁNAK, ÁLLAPOTVÁLTOZÁSÁNAK JELLEMZÉSE......Page 382
5.1.1. Extenzív állapotjelzők. Egyszer termodinamikai rendszer. Fajlagos mennyiségek. Homogén, illetve heterogén rendszerek......Page 384
5.1.2. Intenzív állapotjelz k. A termodinamika 0. főtétele......Page 386
5.1.3. Az ideális, illetve reális gáz állapotegyenletei......Page 390
5.1.4. Állapotváltozások, mint folyamatok. Állapotfüggvények megváltozásának számítása kváziegyensúlyi folyamatokkal......Page 393
5.1.5. Az állapotfüggvények ill. útfüggvények általános tulajdonságai, matematikai jellemzése......Page 399
5.2.1. A termodinamika I. főtételének különböző alakjai. Az egyensúlyi Gibbs–egyenlet......Page 406
5.2.2. Az intenzív és extenzív állapotjelzők kapcsolata.......Page 412
5.2.3. A Gibbs-Duhem reláció......Page 417
5.2.4.1. Ideális gáz kváziegyensúlyi izoterm állapotváltozása. Az izotermák egyenlete......Page 418
5.2.5. Az egyensúlyi termodinamikai rendszerek szabadsági fokának meghatározása. A Gibbs-féle fázistörvény......Page 422
5.3.1. Ideális gáz izoterm térfogati munkája és hőcseréje. Reális és kváziegyensúlyi folyamatok összehasonlítása......Page 427
5.3.2. Az elszigetelt rendszerben lefolyó spontán folyamatok egyirányúsága. A II. főtétel kvantitatív alakja......Page 432
5.4. A TERMODINAMIKA II. FŐTÉTELE (B) (A HŐCSERÉVEL JÁRÓ MUNKATERMEL KÖRFOLYAMATOK HATÁSFOKA.)......Page 440
5.4.1. A kváziegyensúlyi direkt Carnot–körfolyamat......Page 441
5.4.2. A redukált hőmennyiségek és az entrópia függvény.......Page 445
5.4.3. A hűtőgépet modellező fordított Carnot-körfolyamat és hatásfoka. Hőszivattyú.......Page 447
5.4.4. A Carnot—Clausius–tétel......Page 450
5.4.5. A Carnot–ciklus hatásfokfüggvénye alkalmas egy abszolút termodinamikai hőmérsékletskála definiálására......Page 456
5.4.6. A termodinamika II. f őtételének különböz , tapasztalatokon nyugvó megfogalmazásai......Page 457
5.5.1. Az egyensúly feltétele, illetve a spontán folyamatok iránya nyilt rendszerekre......Page 459
5.5.2. Az egykomponensű rendszer két fázisának egyen-súlyát megfogalmazó Clausius-Clapeyron egyenlet......Page 469
5.5.3. Kémiai reakciók egyensúlya. Fémek oxidációjának egyensúlya.......Page 472
6.1. ELEKTROSZTATIKA......Page 480
6.1.1. Az elektromos töltés......Page 481
6.1.2. A Coulomb–törvény......Page 490
6.1.3.1. Az E elektromos térerősség. Szuperpozíció......Page 493
6.1.3.2. A töltés elhelyezkedése, a térerősség vezetőkön. Vezet k elektromos térben.......Page 499
6.1.3.3. Az elektromos térerősség fluxusa. A Gauss-tétel......Page 503
6.1.4. Az elektromos erőtér munkája az elektrosztatikában. Az elektromos feszültség és potenciál......Page 511
6.1.5. Az elektromos dipólus......Page 528
6.1.6.1. Alapfogalmak (kondenzátor kapacitás, relatív permittivitás)......Page 535
6.1.6.2. A dielektrikum fogalma. A polarizáció– és a elektromos eltolás vektora. A Gauss–tétel......Page 542
6.1.6.3. Az elektromos polarizáció mikrofizikai megközelítése. A Clausius— Mosotti—Debye egyenlet......Page 550
6.1.7. A kondenzátorban tárolt energia. Az elektrosztatikus tér energiája......Page 558
6.1.8. Az elektromos térjellemzőkre vonatkozó határfeltételek és ezek néhány jellegzetes alkalmazása......Page 561
6.2.1. Stacionárius (egyen-) áramok áramkörökben......Page 566
6.2.2. Mágneses alapjelenségek és alapkísérletek, az áram mágneses tere......Page 583
6.2.3.1. A Lorentz féle erőtörvény.......Page 590
6.2.3.2. Mágneses tér erőhatása árammal átjárt vezetőre.......Page 593
6.2.3.3. Áramkeretre ható forgatónyomaték B mágneses térben. Az elektromágneses momentum definiciója.......Page 595
6.2.4. Áramok mágneses tere. A gerjesztési törvény. A Biot-Savart törvény.......Page 599
6.2.5.1. Mágneses dipólusok; alapfogalmak.......Page 614
6.2.5.2. A mágneses tér leírása mágneses (tulajdonságú) közegben.......Page 617
6.2.5.3. A mágneses anyagok csoportosítása. Mikrofizikai alapok.......Page 623
6.2.6. Inhomogén mágneses közeg. Határfeltételek.......Page 636
6.2.6.1. A mágneses térjellemzőkre vonatkozó határfeltételek és törési törvényük a mágneses anyagok határfelületein.......Page 638
6.2.6.2. A gerjesztési törvény inhomogén permeabilitású közeg esetén.......Page 641
6.2.7. A Hall–effektus......Page 645
6.3.1. A Faraday–féle indukciós törvény (Maxwell II.)......Page 649
6.3.2. Kölcsönös– és önindukció. Induktivitás.......Page 662
6.3.3. Az RL áramkörök. Az induktivitás, mint áramköri elem. Energia tárolás mágneses térben.......Page 670
6.3.4. LC, LCR áramkörök. Néhány átvezetõ gondolat a rezgéstanba: elektromos-mechanikai analógiák.......Page 676
6.3.5. Az elektromágneses indukció és az elektromágnesség néhány alkalmazásának fizikai alapjai.......Page 679
6.4. AZ ELTOLÁSI ÁRAMMAL KIEGÉSZÍTETT GERJESZTÉSI TÖRVÉNY (MAXWELL I. TÖRVÉNYE).......Page 688
6.5. HARMONIKUSAN VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK. (ALAPFOGALMAK.)......Page 695
6.6. A MAXWELL–EGYENLETEK TELJES RENDSZERE......Page 703
7. ÁLTALÁNOS REZGÉS– ÉS HULLÁMTAN......Page 707
7.1. REZGÉSEK......Page 708
7.1.1.1. Az egyszerű harmonikus rezgőmozgás kinematikája és kapcsolata az egyenletes körmozgással......Page 709
7.1.1.2. Az egyszerű harmonikus rezgőmozgás dinamikája......Page 713
7.1.1.3. A harmonikus rezgő mozgást leíró differenciálegyenlet és megoldásai......Page 714
7.1.1.4. Az egyszerű, csillapítatlan harmonikus rezgőmozgásban tárolt összenergia.......Page 720
7.1.1.5. Az egyszerű, csillapítatlan, harmonikus rezgőmozgással analóg mozgások, fizikai folyamatok......Page 722
7.1.2. Összetett rezgések......Page 727
7.1.2.1. Azonos irányú, egyforma frekvenciával rendelkező rezgések összetevése. Komplex számítási módszer forgó komplex vekto......Page 728
7.1.2.2. A spektrum fogalma. Lebegés, amplitúdómoduláció......Page 733
7.1.2.3. Periodikus jelalakok, mint összetett harmonikus rezgések......Page 740
7.1.2.4. Egymásra merőleges harmonikus komponensekből összetett rezgések......Page 744
7.1.3. Csillapított harmonikus rezgőmozgás......Page 748
7.1.4. Kényszerrezgések. Rezonancia.......Page 752
7.2. A HULLÁMMOZGÁS LEÍRÁSÁNAK ALAPFOGALMAI......Page 758
7.2.1. A deformációmentes haladás......Page 759
7.2.2. A harmonikus síkhullám leírása......Page 761
7.2.3. A harmonikus gömbhullám. A síkhullám, mint közelítés......Page 766
7.2.4. Harmonikus hullámok komplex írásmódja......Page 767
7.3. A HULLÁMEGYENLET......Page 768
7.3.1. A hullámegyenlet általános levezetése......Page 769
7.3.2.1. Végén rögzített, feszített húron terjedő hullám......Page 771
7.3.2.2. Nyomáshullámok (hanghullámok) gázoszlopban......Page 774
7.3.3.1. A távíróegyenlet......Page 781
7.3.3.2. Elektromágneses hullámterjedés szigetelőkben (dielektrikumokban). Maxwell-reláció......Page 783
7.3.3.3. Transzverzalitás......Page 787
7.3.4. A fény polarizációja......Page 788
7.3.5. A komplex anyagjellemzők (komplex törésmutató, komplex permittivitás és komplex hullámszám). "homogén hullámegyenlet"......Page 794
7.3.6. A dielektromos veszteség......Page 798
7.4.1. Általános megfontolások. Az intenzitás fogalma......Page 802
7.4.2. Elektromágneses energia terjedése tökéletes szigetelőkben......Page 803
7.4.3. Fényabszorpció. Lambert—Beer–törvény......Page 805
7.5. HULLÁMOK SZUPERPOZICIÓJA. HULLÁMCSOPORT ÉS CSOPORTSEBESSÉG......Page 806
7.5.1. Két azonos irányba terjedő különböz frekvenciájú síkhullám összetevése......Page 807
7.5.2. Hullámcsoport létrehozása harmonikus síkhullámok szuperpozíciójával......Page 809
7.5.3. A hullámcsoport tulajdonságai. A csoportsebesség......Page 810
7.5.4. A hullámcsoport alakja és az abból levonható következtetések......Page 819
7.5.5. A csoport– és fázissebesség kapcsolata diszperziós közegben. A Rayleigh–összefüggés......Page 821
7.5.6. Hullámcsomag és mikrorészecske formális összerendelése......Page 823
7.6. INTERFERENCIA, ÁLLÓHULLÁMOK......Page 827
7.6.1. Hullámok interferenciája......Page 828
7.6.2.1. A koherencia fogalma és mérőszáma......Page 830
7.6.2.2. Vonalkiszélesedés......Page 832
7.6.3.1. Koherens hullámok létrehozása......Page 834
7.6.3.2. Két koherens hullám interferenciája......Page 835
7.6.3.3. Hogyan működik a Michelson interferométer?......Page 837
7.6.4. Állóhullámok......Page 839
7.7. A HULLÁMOK ELHAJLÁSA, A FÉNYDIFFRAKCIÓ ALAPESETEI......Page 843
7.7.1. Huygens-Fresnel-elv......Page 845
7.7.2. Fényelhajlás egyetlen résen......Page 846
7.7.2. Optikai rácson való fényelhajlás......Page 850
7.7.4. A Young—féle kétréses kísérlet......Page 855
7.7.5. Röntgensugarak és elektronok elhajlása kristályrácsok felületi– és tömbi atomjain......Page 857
7.8. DOPPLER-EFFEKTUS......Page 859
8. A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI......Page 863
8.1. A FIZIKAI MENNYISÉGEK KVANTÁLT JELLEGE......Page 864
8.1.1. A hőmérsékleti sugárzás......Page 865
8.1.2. Külső fényelektromos effektus. Einstein értelmezése (fotonok)......Page 877
8.1.3. Szilárdtestek kvantált rezgései. Szilárdtestek moláris hőkapacitása......Page 882
8.1.4. Az atomi nívók és az elektron impulzusmomentumának kvantáltsága (a hidrogén atom vonalas színképe)......Page 885
8.2.1. A Compton–effektus és leírása a fény korpuszkuláris modelljével......Page 892
8.2.2.1. A fény kvantumjai, a fotonok......Page 897
8.2.2.2. A részecskékből álló anyag hullámsajátságai......Page 899
8.2.2.3. Az elektronokra (mikrorészecskékre) felírható diszperziós reláció......Page 904
8.2.3. A hullámfüggvény (állapotfüggvény) a mikrorészecske teljes leírását adja......Page 905
8.3.1. Az időfüggő Schrödinger–egyenlet (A kvantummechanikai állapotegyenlet)......Page 910
8.3.2. Az időfüggetlen (stacionárius) Schrödinger–egyenlet......Page 913
8.3.3. A kvantummechanikai kontinuitási egyenlet. Az állapotfüggvény valószín ségi értelmezése. Az állapotfüggvény normálása......Page 916
8.3.4. A Schrödinger–egyenlet megoldásainak tulajdonságai. A kötött állapot sajátértékegyenletének megoldása. Reguláris függv......Page 922
8.3.5. Az Ehrenfest–tétel (kvalitatív magyarázat)......Page 928
8.4. A KVANTÁLT FIZIKAI MENNYISÉGEK LEIRÁSA OPERÁTOROKKAL......Page 930
8.4.1. A fizikai mennyiségek leírására használható operátorok tulajdonságai......Page 935
8.4.2. Az impulzus, a hely, az impulzusmomen-tum és az energia operátora......Page 937
8.4.3. A fizikai mennyiségek mérése......Page 939
8.4.4. A Heisenberg-féle felcserélési és határozatlansági relációk......Page 944
8.4.5 Az impulzusmomentum és az elektronspin......Page 948
8.5.1 Szabad részecske......Page 951
8.5.2. A fémek Sommerfeld–modellje: potenciálkádba zárt szabad elektronok diszkrét energia értékei......Page 953
8.5.3. A lineáris harmonikus oszcillátor energiája (közelítőmegoldás)......Page 963
8.5.4. A hidrogénatom Schrödinger– egyenletének megoldása. Az atombeli elektron teljes impulzusmomentuma......Page 966
8.5.5. Többelektronos rendszerek. A Pauli–elv.......Page 973
8.5.6. Az alagúteffektus......Page 976
8.6. A Schrödinger–egyenlet összefoglaló ismertetése......Page 982
F. F Ü G G E L É K......Page 984
F.1. A GRADIENS VEKTOR......Page 985
F.2. EGY A(R) VEKTOR–VEKTOR FÜGGVÉNY (VEKTORTÉR) FLUXUSA ÉS DIVERGENCIÁJA......Page 987
F.3. A ROTÁCIÓ VEKTORA......Page 990
F.4 A KOMPLEX SZÁMOKKAL KAPCSOLATOS ALAPVET ÖSSZEFÜGGÉSEK ÖSSZEFOGLALÁSA......Page 994
F.5. A LORENTZ–TRANSZFORMÁCIÓ LEVEZETÉSE......Page 1000
F. 6. TÁBLÁZAT AZ ÁLLAPOTJELZŐK ÉS ÁLLAPOTFÜGGVÉNYEK KAPCSOLATA......Page 1005
F.7. NÉHÁNY (PERIODIKUS, ILL. APERIODIKUS) FÜGGVÉNY ÉS AMPLITÚDÓSPEKTRUMA......Page 1007
F. 8. AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK SPEKTRUMA......Page 1014
F.9. NYOMÁS ÁTSZÁMÍTÁSI TÁBLÁZAT......Page 1015
F.10. ENERGIA ÁTSZÁMÍTÁSI TÁBLÁZAT......Page 1016
F.11 . AZ ATOMOK ELEKTRONSZERKEZETE......Page 1017
ALAPVETŐ FIZIKAI ÁLLANDÓK......Page 1020
TÁRGYMUTATÓ (nem interaktív)......Page 1022
Vargáné dr. Josepovits Katalin: PÉLDATÁR......Page 1052
TARTALOMJEGYZÉK......Page 1133
P.1. PÉLDÁK A MECHANIKA TÁRGYKÖRÉBŐL......Page 1053
P.2. PÉLDÁK A KINETIKUS GÁZELMÉLET TÁRGYKÖRÉBŐL......Page 1063
P.3. PÉLDÁK A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYKÖRÉBŐL......Page 1065
P.4. PÉLDÁK A MŰSZAKI ÉS KÉMIAI TERMODINAMIKA TÁRGYKÖRÉBŐL......Page 1067
P.5. PÉLDÁK AZ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN TÁRGYKÖRÉBŐL......Page 1070
P.6. PÉLDÁK AZ ÁLTALÁNOS REZGÉS-ÉS HULLÁMTAN TÁRGYKÖRÉBŐL......Page 1078
P.7. PÉLDÁK A KVANTUMMECHANIKA TÁRGYKÖRÉBŐL.......Page 1081
PÉLDÁK MEGOLDÁSA......Page 1083
MECHANIKA......Page 1084
KINETIKUS GÁZELMÉLET......Page 1101
STATISZTIKUS FIZIKA......Page 1104
MŰSZAKI ÉS KÉMIAI TERMODINAMIKA......Page 1106
ELEKTROMÁGNESSÉGTAN......Page 1111
ÁLTALÁNOS REZGÉS-ÉS HULLÁMTAN......Page 1125
KVANTUMMECHANIKA......Page 1129
Jelmagyarázat németül nem tudó olvasoink részére......Page 1134
I. Relatív atomtömeg, izotópok adatai......Page 1135
II. Atomi adatok, elektronkonfiguráció......Page 1136
dr. Szász Gábor: Példatár Fizika tantárgyból......Page 1138
Helyzet, elmozdulás, sebesség......Page 1188
Gyorsulás......Page 1193
Az egyenesvonalú, egyenletesen gyorsuló mozgás......Page 1195
További feladatok......Page 1202
Elmozdulás, sebesség, és gyorsulás két és három dimenzióban Hajítások két és három dimenzióban......Page 1210
További feladatok......Page 1225
A körmozgást végző test sebessége és gyorsulása Általános görbevonalú mozgás......Page 1228
További feladatok......Page 1238
Tömeg és súly......Page 1241
Newton második törvényének alkalmazásai......Page 1245
Húzó és nyomóerők......Page 1257
A súrlódás......Page 1264
Newton harmadik törvénye......Page 1276
A munka......Page 1282
Változó erő munkája......Page 1284
A mozgási energia és a munkatétel......Page 1285
A helyzeti energia......Page 1286
A termikus energia és a súrlódás......Page 1288
A munkatétel átfogalmazott változata......Page 1291
A teljesítmény......Page 1294
A hatásfok......Page 1297
További feladatok......Page 1300
Papiere empfehlen
![Fizika mérnököknek I-II [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/fizika-mernkknek-i-ii.jpg)
- Author / Uploaded
- Dr. Giber János
- Dr. Sólyom András
- Dr. Kocsányi László
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
!"#$%&'()&*)+%",'+-.& $.$%$'%% '&,/&$.$%$' 0$)#1*'&$.$%$' +!,1*-$23&,
"# !$
!
%& ' ( "
%&)*&
+,+-+*.-/"0/,%
*1&!"
!"#$%&'()&*)+%",'+-.& $.$%$'%% '&,/&$.$%$' 0$)#1*'&$.$%$' +!,1*-$23&,
+,+-+*.-/"0/,%
+&! 2 !' &'!
3*+-' 4 ! ' 5
! "# !$
. 3/ 678967 3*+--"' 5
*&5 & :; ;% !"!"! # 1015 részecske/cm3 részecskesűrűség szükséges.
** Az
időbeli egyensúly általában térbeli egyensúlyt is jelent, hiszen a térbeli különbségek kiegyenlítődése időbeli változást is okozna. Ez alól kivételt jelent, ha a térbeli kiegyenlítődést külső erőtér akadályozza (pl. a gravitációs erőtér hatása a légkör magasság függvényében való sűrűségeloszlásra, ld. 3.4. pontot).
A belső energia része az u.n. zéruspontenergia (azaz a sokrészecskerendszer energiája T=0K-en) is; ezt alapállapoti energiának is nevezik. Ide soroljuk először is a magenergiát (a magbeli kötési energiát, valamint a magbeli kinetikus és potenciális energiát); a magenergia sok nagyságrenddel nagyobb, mint a többi energiajárulék, ezért szintén állandónak tekinthető, és így a "U különbség képzésekor szintén kiesik. Ide tartozik másodszor a kémiai kötési energia és harmadszor a kvantummechanikai okokra visszavezethető rezgési zéruspontenergia. Ezen utóbbiak jelentik a különbséget két különböző kémiai anyagfajta zérusnívója (alapállapota) között. Ezek csak kémiai átalakulásokban változnak.
17 Ha a mért nyomásérték a rendszer minden pontján időben állandó , azt mondjuk, hogy az adott rendszer adott esetben mechanikai egyensúlyban van. Hasonlóképpen hasonló feltételekkel beszélhetünk termikus egyensúlyról a T hőmérséklet esetében, ill. a koncentráció egyensúlyról.
Nem–egyensúlyi makroszkópikus rendszerekben is mérhető nyomás, hőmérséklet stb., tehát ezekben is megmérhető a makroparaméterek értéke, — de az az időben változik; a makroparaméter ilyenkor nem állapotjelző. Az egyensúlyi rendszerek állapotjelzőinek makroszkópikus időbeli állandósága mögött azonban a rendszert alkotó részecskék egyedi mikrofizikai jellemzőinek (mikrofizikai paramétereinek; pl. impulzusának, sebességének, helyzetének, energiájának) állandó időbeli változása, a részecskék folyamatos kölcsönhatása (pl. ütközések sorozata) rejlik. E mikrofizikai jellemzők pillanatnyi értékei azonban az időben (statisztikus törvényeket követve) kiátlagolódnak; akkor beszélünk egyensúlyi állapotról, ha ez az átlag időben állandó. Egy adott makroparaméter pillanatnyi értékét a rendszer részecskéire adott pillanatban jellemző mikrofizikai paraméterek halmaza határozza meg. Bizonyos körülmények között a makroparaméter pillanatnyi értéke közvetlenül is megfigyelhető a rendszerek ún. egyensúlyi fluktuációiban. Ha ugyanis a rendszer részecskesűrűsége olyan kicsiny, hogy a rendszerre a statisztikus törvények nem, vagy csak nagy hibával érvényesek, — akkor a makroparaméterek (pl. a rendszer P nyomása) időben ingadozó értéket mutatnak: a makroparaméter értéke egy adott érték körül időben ingadozik (ld. 1.3b. ábrát); a jelenségben a mikrofizikai paraméterek értékének fent jelzett állandó változása tükröződik. Egyensúlyi rendszerekben a makroparamétert az őt meghatározó mikrofizikai paraméterek időben állandó átlagértéke határozza meg. A mikrofizikai paraméterek az egyensúlyra jellemző kiátlagolódásának tényét éppen az igazolja, hogy léteznek egyensúlyi rendszerek és az őket jellemző (időfüggetlen) állapotjelzők. Fentiek ismeretében egy rendszer egyensúlyi állapota más szavakkal is leírható: egyensúlyi rendszerben bármely makroparaméter pillanatnyi értéke időfüggetlen. Ezek alapján az állapotjelző fogalmát pontosabban is definiálhatjuk: Az egyensúlyi sokrészecske rendszer közvetlenül mérhető makroparaméterei a rendszer állapotára jellemző időfüggetlen átlagértékek és így azokat állapotjelzőknek tekinthetjük és nevezzük. Ugyancsak fentiek ismeretében megadható két igen fontos fizikai fogalom definíciója is:
A rendszer P nyomása, T hőmérséklete, V térfogata és anyagmennyisége (koncentrációja) a rendszer makroszkópikusan közvetlenül mérhető paramétere. Az ilyen paramétereket makroparamétereknek nevezzük. Az egyensúlyi rendszerek (közvetlenül mérhető) makroparamétereit állapotjelzőknek nevezik, mert azok együttese egyértelműen meghatározza a rendszer egyensúlyi állapotát.
18 Egy adott rendszer, a rendszert egyértelműen jellemző makroparaméterek összességével* meghatározott állapotát makroállapotnak nevezzük.
A rendszer mikroállapotai pillanatról pillanatra változnak, egymásba (a makroállapotot esetleg változatlanul hagyva) átalakulnak. A rendszert alkotó részecskék egyedi jellemzőinek számos eltérő halmaza (mikroállapota) valósíthat meg azonos átlagértéket, — azaz vezethet a makroparaméterek ugyanazon értékéhez. Tehát: Egy adott makroállapotot számos eltérő mikroállapot is megvalósíthat. Egy adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma jellemző az adott makroállapotra: mivel egy általánosan elfogadott feltevés szerint minden az adott feltételekkel összeférő mikroállapot egyformán valószínű, egy makroállapot valószínűsége annál nagyobb, minél több mikroállapot valósítja azt meg. A sokrészecske rendszerek ilyen alapokon történő leírásával két önálló tudományág ("diszciplina") foglalkozik: a termodinamika és a statisztikus fizika.
$
A termodinamika a sokrészecskerendszerek fenomenológikus (nem mikrofizikai) leírásával foglalkozik; a klasszikus termodinamika csak egyensúlyi rendszerekkel, az egyensúlyi állapot leírásával, meghatározásával és egyensúlyi állapotok sorozatán átmenő folyamatokkal (az u.n. kváziegyensúlyi folyamatokkal) foglalkozik. A termodinamika az egyensúlyi rendszereket állapotjelzőkkel és az ezekkel egyértelműen meghatározott termodinamikai függvényekkel (állapotfüggvényekkel) jellemzi. A termodinamikai összefüggések az anyag szerkezetétől függetlenek; az egyes anyagcsoportokat állapotegyenletekkel jellemzi. A termodinamika tárgyalása négy axiomatikus, tapasztalatból absztrahált főtételből indul ki. Ezekből, az állapotegyenletekből és néhány kísérleti adat (pl. a hőkapacitások hőmérsékletfüggésének) felhasználásával minden összefüggése levezethető. Ezek közül kiemelendők az egyensúly kritériumok, melyekkel az egyensúlyi állapotok, az egyensúlyi állapotok paraméterei külön egyensúlyi kísérletek nélkül is meghatározhatóak. A termodinamika a kváziegyensúlyi folyamatok absztrakciója segítségével a valódi folyamatok (állapotváltozások, kémiai reakciók) bizonyos jellemzőit is képes megadni, — de ezek mechanizmusáról, sebességéről nem tájékoztat. A legfontosabb, hogy képes meghatározni a spontán, önmaguktól lefolyó folyamatok irányát.
* Pontosabban az ún. betöltési számok adott sorozatával (ld. 4. fejezet).
Egy adott rendszer adott és más állapotoktól elvileg megkülönböztethető pillanatnyi állapotát, melyet a jellemző mikrofizikai paraméterek adott értékeinek összességével jellemezhetünk, a rendszer mikroállapotának nevezzük.
19
Ha a rendszer állapotát egy, az állapotjelzők által kifeszített (általában sokdimenziós) koordinátarendszerben ábrázoljuk, akkor az állapotjelzők által kifeszített koordinátarendszert állapottérnek nevezzük. Az állapottérben a rendszer egy adott egyensúlyi állapotát az állapottér egy pontja adja meg. Például ha egy rendszerre jellemző állapotjelzők a T hőmérséklet, P nyomás, V térfogat és az N részecskeszám (egykomponensű rendszer), akkor az állapottér 4 dimenziós, ha a rendszer K komponensű, akkor 3+K dimenziós, mivel a független változók: T, P, V, N1...NK. A termodinamikai rendszerekben általában többfajta (kémiailag különböző) részecske található: különböző elemek atomjai, molekulák, ionok, elektronok stb. Ezek a rendszer komponensei. A többkomponensű rendszer összetétele a részecskék számával (Nössz = N1 + N2 + ... + NK, ahol K a komponensek száma) ill. koncentrációjával (ennek több lehetséges megadási módjával a 3.2. pont foglalkozik) jellemezhető. A termodinamikai rendszer lehet homogén ill. heterogén. Homogén rendszerben csak egyetlen, heterogén rendszerben több ún. fázis létezik. Háromfázisú például a víz–jég–vízgőz rendszer. (A fázis pontos definíciójával az 5.1.1. pontban foglalkozunk.) Egy adott egyensúlyi rendszer állapotának jellemzéséhez szükséges és elégséges, független állapotjelzők számát (az ún. termodinamikai szabadsági fokot, jele fTD) az ún. Gibbs–féle fázisszabály (ld. 5.2.5. pont) adja meg: fTD = K – F + 2
(1.6)
ahol K a rendszer komponenseinek, F pedig fázisainak száma, ehhez jön pl. P és T (összesen 2.) Például (ld. 5.2.5. pontot) egy víz–gőz rendszer esetében K=1, F=2, tehát fTD = 1–2+2 = 1; következőleg egy kétfázisú, egy komponensű rendszerben a rendszer egyértelmű jellemzéséhez egyetlen állapotjelző szükséges és elégséges: vagy a T vagy a P; ezek egyikének megadása a másikat egyértelműen meghatározza! Ha a rendszert az állapottér egy adott (1) pontjából egy másik (2) pontjába visszük, akkor megváltoztatjuk a rendszer állapotát: állapotváltozásról beszélünk. Az állapotváltozás folyamat. Erre a folyamatra jellemző a folyamat során a rendszer által az állapottérben leírt pálya; az állapottérbeli megtett pályát a továbbiakban a folyamat útjának nevezzük. Az állapotjelzőkkel egyértelműen meghatározott többváltozós termodinamikai mennyiségeket állapotfüggvényeknek nevezzük.
Az állapotjelző fogalmát fentebb definiáltuk. A termodinamika az állapotjelzőket extenzív és intenzív állapotjelzőkre osztja. Az extenzív állapotjelzők az alrendszerekre additívek; pl. egy rendszer U belső energiája az alrendszerek belső energiájának összege: UR = UI + UII + ..., ahol R a teljes rendszerre, az I, II stb. az alrendszerekre utaló indexek. Az intenzív állapotjelzők nem additívek; pl. egy rendszer nyomása, hőmérséklete nem egyenlő az alrendszerek nyomásának, hőmérsékletének összegével.
20
A termodinamika megadja a (kényszerekkel nem akadályozott) nem egyensúlyi rendszerekben (külső beavatkozás nélkül) mindig meginduló spontán folyamatok irányát is. Nem–egyensúlyi rendszerekben az intenzív paraméterek értékei a rendszerben helyről helyre eltérőek. Tapasztalati tény, hogy ha pl. két alrendszer között hőmérséklet különbség áll fenn, és az alrendszerek nem hőszigeteltek, akkor a rendszerben olyan folyamatok indulnak meg, amelyek a hőmérséklet kiegyenlítésére törekednek. Hasonló a helyzet nyomáskülönbség esetén is: amennyiben a nyomáskiegyenlítődést semmi sem akadályozza, akkor az alrendszerek nyomása egyenlítődik ki. Az önkéntes folyamatok akkor állnak le, ha a hőmérsékletek, nyomások kiegyenlítődnek, azaz, ha beáll az egyensúlyi állapot. Egyensúlyi rendszerekben a P, T értékek a rendszer minden elemi alrendszerében egyenlőek. A nem egyensúlyi rendszerekben spontán folyamatok indulnak meg, amelyek a nyomás, hőmérséklet, általában az intenzív állapotjelzők kiegyenlítésére törekednek. Ha egy vezető anyagból álló rendszerben elektromos töltések vannak és elektromos potenciál–különbség áll fent, akkor a rendszerben töltésáramlás indul meg, miközben (ha a potenciál–különbséget mesterségesen, kívülről fent nem tartjuk) az elektromos potenciál kiegyenlítődik. Hasonló a helyzet, ha a rendszerben adott komponensre koncentrációkülönbség áll fent. Például egy tömény vizes cukoroldatot és tiszta vizet érintkezésbe hozva, a cukor koncentráció kiegyenlítődik. Látni fogjuk, hogy egzakt tárgyalásban a megfelelő kiegyenlítődő intenzív paraméter — az elektromos potenciál analógiájára — az ún. kémiai potenciál. A rendszerben fennálló kémiai potenciál– különbség részecske (anyagmennyiség) áramot indít meg. Ha tehát a rendszer alrendszereiben az intenzív állapotjelzők értéke eltér, akkor a rendszerben spontán folyamatok indulnak meg. Ezen folyamatok térben az intenzív állapotjelzők csökkenő értékeinek irányába makroszkópikus kiegyenlítő áramot indítanak meg, mely az egyensúly elérésekor (az intenzív paraméterek értékei kiegyenlítődésekor) megszűnik.
$ A statisztikus fizika (4. fejezet) a makroállapotok és az őket megvalósító mikroállapotok, valamint a mikrofizikai paraméterek és az állapotjelzők ill. állapotfüggvények kapcsolatával foglalkozik. A statisztikus fizikában a rendszerek egyértelmű jellemzéséhez szükséges és elégséges független paraméterek számát — az ún. statisztikus vagy molekuláris szabadsági fokot (jele fSF) — a teljes energia energiajárulékainak, pontosabban a teljes energia kifejezésben négyzeten szereplő független koordináták száma adja meg.
Mivel az állapotfüggvények kizárólag a rendszer állapotára jellemzőek, és függetlenek attól, hogyan jutott a rendszer az adott állapotba, ezek megváltozása útfüggetlen; megváltozásuk a vég (2) és a kezdeti (1) állapotbeli értékük különbsége. Körfolyamatban (tehát olyan folyamatban, amelynek kezdő és végállapota azonos, ilyen pl. a szimbólikusan (1) % (2) % (1)-el leírt folyamat), bármely úton történő megváltozásuk nulla. Például "U (körfolyamatban) = 0.
21 Például egyatomos gázra, amelyben csak transzlációs mozgás van, csak transzlációs kinetikus energia lép fel; a transzlációs kinetikus energia egy részecskére jutó átlagértéke 1 2 2 2 = m (1.7)* 2
A statisztikus fizika az egyensúlybeállító folyamatokat és azok irányát is értelmezni tudja: miután igazolja, hogy az egyensúlyi ill. az ahhoz igen közel álló makroállapotok a legvalószínűbbek, az önkéntes folyamatok irányát a legvalószínűbb makroállapot kialakulása irányában jelöli meg.
1.2.3. Kvantummechanikai rendszerek, mikrorészecskék
$
Maxwell már 1859-ben felhívta a figyelmet arra, hogy a két- vagy többatomos gázok kísérleti és elméletileg számított moláris hőkapacitása közötti jelentős eltérés** a klasszikus fizika talaján nem értelmezhető; 1871-ben ismételten rámutatott ennek elvi jelentőségére és felhívott a probléma újszerű tanulmányozására. A klasszikus fizika a molekulák mozgási, forgási és belső rezgési energiáját folytonosnak tekintette, a molekulák pl. a hőmozgás energiájából tetszés szerinti kis energiaadagokat felvehettek. A fent jelzett különbség (mint a kvantumelmélet kialakulása után világossá vált) abból ered, hogy a molekulák energianívói nem folytonosak, hanem diszkrétek, egymástól véges "E energiaközökkel elválasztottak; ezek az energiaközök a rezgési nívóknál olyan nagyok, hogy normál hőmérsékleten a rezgések nem tudnak energiát felvenni: a rezgési energiákból eredő fajhő tehát kísérletileg nem jelentkezik. A newtoni, maxwelli ún. klasszikus fizikában a fizikai mennyiségek értékkészlete folytonos: a sebesség, az impulzus, az energia bármely értéket felvehet, az értékek megváltozása tetszésszerinti kicsiny lehet.
Planck (1900) kimutatta, hogy a testek ún. hőmérsékleti sugárzása során kisugárzott energia frekvenciafüggése csak azon feltevéssel értelmezhető, hogy elvetjük a testek által kisugárzott, illetve elnyelt elektromágneses hullámokban terjedő energia a * Az energia más formái is négyzetes járulékokból állnak. Például a forgási kinetikus energia kifejezése 1 &'2 stb. (Ld. a 2.5.1. pontot.) A transzlációs kinetikus energiára felírt kifejezés a 2 2
2
2
(1.8) v 2 = vx + v y + v z összefüggésen alapszik. Mivel gyakran elő fog fordulni, a kezdő olvasó figyelmét felhívjuk, hogy ez a v2 = (ivx + jvy + kvz)2 kifejezéssel azonos, ahol i, j, k a derékszögű koordinátarendszer egységvektorai. A négyzetre emelés során az egységvektorok vegyes skaláris szorzatait tartalmazó tagok nullát adnak, mert pl. i ( j-re stb.
** Például egy kétatomos ideális gáz kísérletileg mért moláris hőkapacitása állandó térfogatot feltételezve Cm,V # 20,47 Jmol–1 K–1, a klasszikus fizika alapján számított elméleti érték viszont 29,10 Jmol–1 K–1.
úgyhogy a fentiek szerint a molekuláris szabadsági fok fSF = 3.
22
A fent jelzett problémákon a fizikát Planck (majd Planck eredményeinek általánosításával Einstein) segítette át. Bebizonyították, hogy a nehézségek legyőzése érdekében el kell vetni az energia folytonos értékkészletére vonatkozó klasszikus feltételt és tudomásul kell venni, hogy az energia értékkészlete ebben az esetben diszkrét, kvantált. Az elektromágneses sugárzás energiája tehát nem változhat folytonosan, hanem csak meghatározott energiaadagokban, vagyis kvantált. A fény energiakvantumai a fotonok és a fényben az energia ) = h*
(1.9)
energiaadagokban (kvantumokban) terjed; a képletben a h # 6,63·10–34 Js, az ún. Planck–állandó és * a fény frekvenciája. Az atomi elektronok, a fémek vezető elektronjai és általában adott térfogatba bezárt atomi részecskék energiái (energianívói) szintén kvantáltak: az energiák csak bizonyos E = Eo, E1, E2, ..., Ei
(1.10)
diszkrét energiaértékeket vehetnek fel. A fenti eredményt később a kvantumfizika általánosította: a tények birtokában kimondta, hogy nemcsak az energia, hanem más fizikai mennyiségek értékkészletének egy része, vagy egésze kvantált. Kivételt képez a helykoordináta, és az idő; az erőmentes térben mozgó ún. szabadelektronok impulzusa, kinetikus energiája is folytonos.
$
Már a középiskolai anyagból ismeretes, hogy az atomok vonalas szinképének értelmezéséhez az atomi energianívók kvantáltságának feltételezése nem volt elegendő. Az ismert En – Em = h*nm
(1.11)
Bohr–féle frekvenciafeltétel mellett külön feltevésként ki kellett mondani, hogy az atomi elektron csak meghatározott energiájú pályákon tartózkodhat, és az atomi elektron pályái stabilak, másszóval stacionáriusak (tehát az elektron a meghatározott energiájú pályákon tartózkodva nem sugároz) .
klasszikus fizikában természetesnek tekintett folytonosságát. Hasonló eredményre jutott Einstein a fotoelektromos effektus értelmezése (1905) során: ha az elegendően nagy frekvenciájú fény hatására a fémekből kilépő elektronok a fényből folytonosan vehetnének fel energiát, akkor a kilépő elektronok kinetikus energiája arányos lenne a besugárzó fény intenzitásával; a kísérletek viszont azt mutatták, hogy bizonyos küszöbfrekvencia alatt a fémből nem lépnek ki elektronok, a felett viszont a kilépő elektronok kinetikus energiája a fénynek nem az intenzitásával, hanem frekvenciájával arányos. Folytonos energiakészlettel nem értelmezhető az atomok ill. molekulák vonalas szinképe és további jelenségek egész sora.
23
$
A kvantumfizika érvényességi köre szélesebb, mint a klasszikus (newtoni ill. maxwelli) fizikáé; előbbi az utóbbit, mintegy határesetként magában foglalja. A korreszpondencia elvnek megfelelően bizonyos feltételek esetén* a kvantummechanika törvényei helyett a klasszikus newtoni fizika törvényei használhatóak. A kvantumfizika törvényeit "követő" részecskéket mikrorészecskéknek nevezzük. A kvantumfizika tehát a mikrorészecskék jellemzésére, mozgásának leírására kidolgozott általános elmélet.
$
A hullámmechanika a mikrorészecskéket ill. pontosabban azok állapotát egy +(r,t) állapotfüggvénnyel, azok állapotváltozását, mozgását az ún. Schrödinger egyenlettel írja le. Az elmélet onnan kapta nevét, hogy a hullámmechanikában az állapotfüggvények egyszerűbb esetekben síkhullám alakúak, más esetekben síkhullámok lineáris szuperpozíciói (+ = c1+1 + c2+2...cn+n). Schrödinger a mikrorészecskék állapotfüggvényeinek hullámfüggvény alakban történő kifejezését de Broglie egy elvont elméleti munkájára alapozta, melyben de Broglie részecskék mozgását optikai analógiákkal írta le; ennek során alapvető munkájában (1923) axiómaként kimondta, hogy egy p = mv impulzusú (mikro-) részecskéhez egy h h ,Br = p = mv
(1.12)**
hullámhossz rendelhető, ahol h a fentiekben megismert Planck–állandó; a ,Br-rel jelölt hullámhosszat a mikrorészecskéhez rendelhető de Broglie hullámhossznak nevezzük. Davisson és Germer 1927-ben kísérletileg is igazolta, hogy a mikrorészecskék hullámsajátsá-gokkal rendelkeznek: nikkel egykristályt elektronokkal bombázva meglepődve tapasztalták, hogy a kristályrácsról visszaverődő elektronok a fotolemezen a fényelhajlás jelenségéhez hasonló elhajlási interferenciaképet adtak. Hasonló kísérleti eredményekre jutottak más kutatók, amikor az elektronok
* Például ha a vizsgált test, illetve rendszer tömege elég nagy, részletesebben ld. a 8.2.3. pontot. ** Az Einstein–féle speciális relativitáselméletben egy m nyugalmi tömegű és p impulzusú részecske energiájára az
E2 = m2c4 + p2c2 összefüggés érvényes (ld. 2.6.2. pontot), ahol c -2,997·108 m/s a fény vákuumbeli sebessége. A fotonokra mf=0, azaz fenti egyenletből E=pfc. Felhasználva a foton (1.9) E=h* energia kifejezését h* = pfc, amiből h* h pf = = (1.13) c , v.ö. (1.12)-vel!
A fent ismertetett problémák megoldása (mint azt először egyrészt Planck (1900) és Einstein (1905), másrészt Heisenberg (1925, 1926) illetve Schrödinger (1925) megmutatták) nem lehetséges a klasszikus (newtoni, maxwelli) fizika keretein belül, — ezért e jelenségek leírására új elméletet kellett kidolgozni; ez az új elmélet a kvantumfizika, illetve annak részeként a kvantummechanika.
24 helyett protonokkal, neutronokkal, atomokkal (pl. He), illetve kistömegű molekulákkal (pl. H2) ismételték meg a kísérletet. Hogy e tudománytörténeti jelentőségű kísérletet és annak értelmezésében felmerülő problémákat megérthessük, gondoljuk végig a következő gondolatkísérletet.*
A klasszikus fizika állítása szerint a lemezen a két nyílásnak megfelelő helyen két elmosódott szélű fekete foltot kellene találnunk. Azok az elektronok — érvel a klasszikus mechanika — amelyek az egyik résen mentek át, a rés mögötti ernyődarabra csapódnak be, vagyis egy fekete folt lesz a réssel szemben. (Mivel egyes elektronok a rés széléről elpattanhatnak, a folt széle nem lesz éles.) A másik résnél ugyanez történik, tehát két foltot kapunk a fotolemezen. Csakhogy a várakozásokkal szemben a fotolemezen diffrakciós interferenciakép alakul ki (ld. 7.7.3. pontot). Az elektronok a kísérlet során tehát nem úgy viselkednek, mint a pontszerű részecskék, hanem úgy, mint a hullámok! Hogy az elektronok bizonyos kísérleti feltételek mellett hullámsajátságokat mutatnak, azt egyéb kísérletek is bizonyítják. A fenti kísérleten túl talán elég utalnunk pl. a ma már elterjedt elektronmikroszkópokra (Knoll és Ruska, 1931), vagy pl. a modern integrált áramkör gyártásban alkalmazott ún. elektronlitográfiára. Az elhajlási képek itt pl. az elektronmikroszkóp optikai felbontása, optikai képletek alapján számíthatóak, ha azokba a hullámhossz helyére ,Br értékét írjuk.
Intenzitás
elektronágyú
Intenzitás
elektronágyú rések (a)
detektor
rések
detektor
(b)
1.4. ábra. A kétréses interferenciakísérlet elektronokkal a) klasszikus kép: a detektorernyőn két elmosódott foltnak megfelelő intenzitáseloszlás alakul ki; b) a kísérleti tény: az ernyőn diffrakciós interferenciakép alakul ki
* A kísérletet a valóságban úgy hajtják végre, hogy az elektronokat kristályos szilárd testre irányítják. A kristályos test kristályrácsa megfelelő energiájú elektronok esetében ugyanúgy viselkedik, mint egy pl. résekből álló optikai rács a fényelhajlási kísérletek során.
$ Lőjjünk egy elektronágyúból elektronokat két résen át egy detektorernyőre (ld. 1.4. ábrát). A detektorernyő lehet például egy fényképezőlemez, amely az elektronok becsapódása következtében megfeketedik. A feketedés mértéke a becsapódó elektronok számával arányos, azért a feketedés mérésével (amely az előhívott fényképezőlemezen átbocsátott fény intenzitáscsökkenéséből számolható) a becsapódó elektronok száma meghatározható.
25 $ Egy TV-képcsőben (vagy egy egyszerű katódsugárcsőben) az elektronoknak az eltérítő lemezek közötti mozgását leírva más tapasztalatokhoz jutunk; ilyenkor az elektronokat adott erőtérben mozgó klasszikus (negatív töltésű) tömegpontoknak tekinthetjük és rájuk a newtoni mozgásegyenleteket alkalmazhatjuk.
Egyetlen (,Br) hullámhosszhoz azonban csak egy térben, pl. az x–irányban végtelen kiterjedésű síkhullám rendelhető. Egydimenziós esetben egy adott "x térrészre korlátozott elektron olyan hullámcsoporttal (hullámcsomaggal, ld. pl. 7.18. ábrát) írható le, amely több, pl. ",Br hullámhossz intervallumba eső síkhullámok szuperpozíciójából állítható elő. Ez a hullámcsoport az elektron helyét csak "x helyhatározatlansággal és impulzusát csak egy "px impulzushatározatlansággal adja meg: a mikrorészecske klasszikus paraméterekkel nem jellemezhető egyértelműen.
A hullámmechanikában éppen ezért a mikrorészecskéket nem klasszikus fizikai mennyiségekkel, hanem a mikrorészecskéket egyértelműen jellemző és leíró +(r,t) állapotfüggvénnyel jellemezzük. A Schrödinger–egyenlet adott esetre való időfüggetlen (stacionárius) megoldásával a + és stacionárius Eo, E1, ..., En energianívók egyaránt meghatározhatóak. A stacionárius energianívókra pontos értékeket kapunk. Abból, hogy az elektront leíró + függvény hullámfüggvény azonban nem következik, hogy az elektron a klasszikus fizikai értelemben vett hullám:* pusztán annyi következik, hogy az elektron tulajdonságai ill. mozgása a + állapotfüggvénnyel és a Schrödinger egyenlettel leírhatóak. Az elektron tehát egy klasszikus jellemzőkkel (mint pl. pontos helyvektor, impulzusvektor) nem jellemezhető mikrorészecske, és mozgása a klasszikus mechanikával nem írható le.
$
A kvantummechanika alapjaival a 8. fejezetben foglalkozunk, — de az energia kvantáltságát és a mikrorészecskék állapotának jellemzésére a +(r,t) állapotfüggvényt már a statisztikus fizikában (4.9. pont) és az optikában (7. fejezet) is felhasználjuk. A jelen összefoglaló ismertetés oka éppen az, hogy (ahogy az Előszóban jeleztük) a legfontosabb eredményekhez e fejezetekben a legegyszerűbb úton jussunk el. Ennek érdekében többször használjuk az ún. kváziklasszikus eljárást: a részecskéket klasszikus részecskékként kezeljük, de mintegy heurisztikusan felruházzuk őket a mikrorészecskék bizonyos tulajdonságaival; pl. feltételezzük, hogy energiájuk kvantált, azaz a megengedett energiák diszkrét értéksorozatot alkotnak. Ugyancsak ismertként kezeljük a továbbiakban az e fejezetben megindokolt képleteket is.
* Például a hullám osztható, az elektron oszthatatlan.
$ Az elektron a tapasztalatok szerint tehát a kísérleti feltételektől függően hol hullámsajátságokat, hol pedig klasszikus részecskesajátságokat mutat és ennek megfelelően jellemzése ill. mozgásának leírása eltérő leírásmódot követel meg.
26
1.2.4. Lineáris rendszerek. Szuperpozició.
1. Példa. Ha egy kifeszítetlen rugóra egy tömeget akasztunk, — a rugó megnyúlik Itt az F gravitációs erő a gerjesztés (G) és a rugó megnyúlása a válasz (V). 2. Példa. Egy ellenállásra feszültséget kapcsolunk, rajta áram halad át. Ilyenkor G a rákapcsolt feszültség, és V az átfolyó áram.
G
V R
1.5. ábra. Az R rendszer egy G gerjesztésre V válasszal reagál.
Általános esetben a G-re adott V függhet a rendszer előéletétől, vagyis korábbi G gerjesztésektől, vagy más, párhuzamosan fellépő kölcsönhatástól is. Egyes esetekben a V és G között függvénykapcsolat van V = f(G)
(1.14)
Vizsgáljunk egy olyan fizikai rendszert, amelyre két — azonos fajtájú — különböző G1 és G2 gerjesztés hat. Ha a gerjesztések külön hatnak a
válaszokat adja a rendszer.
V1 = f(G1)
(1.15a)
V2 = f(G2)
(1.15b)
A rendszer (test vagy közeg) lineáris ha együttesen ható G1, G2 gerjesztések esetén bármely c1, c2 számra a G = c1G1 + c2G2 gerjesztésre adott V1+2 válasz V1+2 = f(G) = c1V1 + c2V2
(1.15c)
Ha az R fizikai rendszer környezetével kölcsönhatásba lép, azt mondhatjuk, hogy egy G "gerjesztéssel" hatunk rá (ld. 1.5. ábra). A rendszer a G gerjesztésre egy V "válasszal" reagál.
27 (azaz, ha a két hatást függetlenül összegezhetjük). Azt, hogy két vagy több hatást függetlenül összegezhetünk szuperpozíciónak nevezzük. A középiskolában megismert szuperpozíció, vagyis a hatások függetlenségének elve tehát a lineáris rendszerek tulajdonságai.
egyenlete egy ún lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy az x1(t) = A cos ('t + .0), illetve az x2(t) = A sin ('t + .0) valamint az x = x1(t) + x2(t) függvény egyaránt megoldás. Ez az oka annak, hogy igen bonyolult rezgések is előállíthatóak egyszerű rezgések lineárkombinációjaként.
I
I
I
Im
Um
U
(a)
(b)
A lineáris rendszereket lineáris egyenletek, differenciálegyenletek írják le. Lineáris egy egyenlet, ha mind az ismeretlen függvény, mind pedig minden, az egyenletben szereplő minden rendű differenciálhányadosa első hatványon szerepel. A lineáris egyenletek tulajdonsága, hogy megoldásaik lineárkombinációja is megoldás: ha x1 és x2 megoldások, akkor c1x1, c2x2 és c1x1 + c2x2 is az. Pl. a csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás d2x(t) 2 dt2 = – ' x(t)
U
U
(c)
1.6. ábra. Néhány elektronikus eszköz I-U karakterisztikája. a) ideális ellenállás, b) egy alagútdióda és c) egy félvezető egyenirányitó dióda I-U karakterisztikái. Igen fontos tapasztalat, hogy a fizika legfontosabb törvényei (így a Newtonegyenletek, a Maxwell-egyeletek, vagy akár a kvantummechanika Schrödinger egyenlete) mind lineáris törvények, — így azok általában sokkal könnyebben megoldhatóak, mint a nem lineáris egyenletek.
28 Lineáris pl. az U = RI Ohm-törvény is, amely akkor érvényes, ha a benne szereplő R ellenállás nagysága független a rajta áthaladó I áramerősségtől (ld. 1.6a ábrát). Ezt szokás úgy is kifejezni, hogy az ellenállás lineáris áramköri elem (eszköz).
A nemlineáris rendszereket leíró egyenletek sem lineárisak és rendszerint csak numerikusan oldhatóak meg. A modern technikában a nemlinearitást sokszor előnyünkre használjuk fel. Így pl. a polarizáció előbb említett nemlinearitását új optikai eszközök (frekvenciasokszorozók) készítésére használják fel. Ugyanakkor érdemes megjegyezni, hogy a nemlineáris rendszerek kis gerjesztésekre sokszor lineárisaknak tekinthetőek. Az e könyvben tárgyaltak során — ha csak külön nem jelezzük — a vizsgált rendszereket lineárisnak tekintjük.
1.3. MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEK ÉS SZIMMETRIÁK
A megmaradási tételek azt fejezik ki, hogy bizonyos körülmények között a fizikai rendszerre jellemző egyes fizikai mennyiségek értéke idöben állandó; azt a rendszeren belül lezajló fizikai folyamatok nem képesek megváltoztatni. A megmaradási törvények közül egyeseket más alapvető fizikai törvényszerűségekből kiindulva bebizonyíthatunk. Ez a helyzet például a mechanikai energia megmaradását kifejező megmaradási törvénnyel, amely a Newton II. axiómából levezethető. Az energiamegmaradás általános törvénye azonban nem ilyen, az a kísérleti tapasztalatok ezreiből elvonatkoztatott és az általunk jelenleg ismert összes jelenségre és az általunk még nem ismert jelenségekre egyaránt érvényesnek tekintett törvényszerűség; bármilyen sérülése fizikai világképünk alapjait rengetné meg.
A valódi (nem idealizált) fizikai rendszerek azonban általában nem linearisak. A kis G gerjesztésekre lineárisnak tekinthető eszközök, jelenségek nagy G gerjesztésekre általában nem adnak lineáris választ. Pl. egy izzólámpa ohmos ellenállása függ a rajta átfolyó áramtól, I-V karakterisztikája nem lineáris. Nem lineáris egy alagútdióda, vagy egy egyenirányító félvezető dióda I-U karakterisztikája sem (1.6b és c ábra). De pl. a dielektrikumok polarizációja is nagy térerősségeknél már nem lineárisan függ a térerősségtől (ld. 6.1.6.2. pontot).
29 Amikor pl. a /-bomlás* vizsgálata során az energia egy ellenőrizhető része "eltűnt", Pauli az energiamegmaradási elv megőrzése érdekében felvetette, hogy a hiányzó energiát talán egy ismeretlen és addig kimutathatatlan részecske viszi el. Ez 1927-ben történt, de az ismeretlen részecskét, a neutrinót csak 1956-ban mutatta ki Reines és Cowan.
Az impulzusmomentum–megmaradás tétele alapvetően kísérleti tapasztalat. A tömegpont rendszerekre érvényes impulzusmomentum megmaradás csak külön feltétellel (a részecskék közötti erők centrális jellegének feltételezésével) vezethető le a Newton axiomákból. Megjegyezzük, hogy az impulzusmegmaradási tétel és a mechanikai energiamegmaradás tétele a nem relativisztikus mechanikában egymástól függetlenek, míg a relativisztikus mechanikában ez a két megmaradási tétel összefügg. Az alábbiakban ismertetett megmaradási tételeken kívül más, a műszaki fizikában is fontos, általánosan érvényes megmaradási tételek ismeretesek, mint pl. az elektromos töltés megmaradása és a barionok megmaradásának** törvénye. Az alkalmazásban ritkábban előforduló megmaradási tételek még többek között a leptonok megmaradása, az izotóp spin–megmaradás, a ritkaság megmaradása, az antirészecske szimmetria, a paritás megmaradása stb.
1.3.1. Impulzusmegmaradás
A testek impulzusa*** a klasszikus mechanikai definíció szerint tömegük és sebességük szorzata: p = m·v (1.16) Mivel a sebesség vektormennyiség, az impulzus is vektor. Egy tömegpontrendszer eredő impulzusa a pontrendszert alkotó részecskék impulzusainak vektori összege:
* A /-bomlás az atommag egy olyan bomlása, amelyben egy elektron (vagy pozitron) kibocsátásával jut alacsonyabb energiájú állapotba. A /0bomlás során a mag tömegszáma nem változik, rendszáma eggyel növekszik (pozitron kibocsátás esetén csökken).
** Barionok többek között a protonok, neutronok (barionszámuk +1) és antirészecskéik (barionszámuk –1).
*** Az impulzus magyar szabvány szerinti megnevezése: mozgásmennyiség. A középiskolában az impulzust lendületnek, illetve mozgásmennyiségnek nevezik. A magyar nyelvű fizikai szakirodalomban azonban meghonosodott az "impulzus" elnevezés, ezért mi a továbbiakban ezt használjuk.
E gondolatmenetnek megfelelően pl. az impulzusmegmaradást mi az igen nagyszámú ütközési kísérletek tapasztalataiból származtatjuk, bár az egyetlen tömegpontra vonatkozó impulzusmegmaradást a Newton I. axióma tartalmazza; a tömegpontrendszerekre vonatkozó impulzusmegmaradási tétel a Newton–axiómákból szintén levezethető.
30 p = ! pi = ! mivi ,i = 1,2,...,N i
(1.17)
i
ahol N a pontrendszert alkotó tömegpontok száma.
Ha az egy testre ható erők eredője nulla, akkor a test impulzusa állandó. Egy több (pl. N tömegpontból) testből álló, külső kölcsönhatásoktól mentes tömegpontrendszerre az impulzusmegmaradás törvénye (ld. még 2.3.7.1. pontot) a következőképpen fogalmazható meg: Ha egy fizikai rendszerre ható külső erők eredője nulla, akkor az illető fizikai rendszer eredő impulzusa állandó:
azaz
! mivi = konst.
i = 1...N dp =0 dt
(1.17a) (1.17b)
Például két különböző tömegű tömegpont bármilyen (rugalmas, rugalmatlan, ezeken belül centrális vagy ferde) nem relativisztikus* ütközése esetében az impulzusmegmaradás tétele a (1.18a) p + p = p~ + p~ 1
2
1
2
m1v1 + m2v2 = m1v~1 + m2v~2
(1.18b)
egyenlettel fejezhető ki, ahol a hullámvonal az ütközés utáni sebességeket jelzi. Láthatóan az ütközések során nem a sebesség, hanem az impulzus marad meg. Az impulzusmegmaradás törvényének első kísérleti igazolását Huygens végezte el golyók ütközésének tanulmányozásával (1.7a. ábra). Óriási mennyiségű kísérleti anyag gyűlt össze az elemi részecskék köd– illetve héliumkamrában történő ütközési kísérletei révén is (ld. 1.7c. ábrát); ezek, többek között az impulzusmegmaradás törvényének alkalmazásával számos új elemi részecske felfedezéséhez vezettek. A kísérletekből levonható általános következtetések a következőek: 1.) A kölcsönhatás folyamatában az impulzus megmarad, de (jól látható, ha m11m2) a sebesség nem (sebességre nincs megmaradási tétel).
* Relativisztikus esetben (1.17b) továbbra is fennáll, de a p 1 mv, hanem az ún. relativisztikus impulzus (ld. 2.3.1.2. pontot).
A mechanika alapjául szolgáló Newton-axiómák közül az első éppen azt posztulálja, hogy egy kölcsönhatásmentes test impulzusa időben állandó. Az impulzusmegmaradást kimondó törvényt tehát egy test esetén a következőképpen fogalmazhatjuk meg:
31 2.) Vannak olyan elemi részecske ütközések, ahol a korpuszkuláris tömeg sugárzássá alakul, — de az impulzus akkor is megmarad. Példa erre az e+ + e– % 22
3.) Az impulzusra érvényes megmaradási törvény miatt az ütközési folyamatot célszerűbb a sebességek helyett az impulzusokkal jellemezni. Ezt "teszi" a természet is, amikor a mikrorészecskéket jellemző + hullámfüggvény a "x térbeli lokalizáció mellett éppen a "px impulzus határozatlanságot kódolja (ld. 8.2.3. pontot). 4.) Az impulzusmegmaradási törvény lehetővé teszi számunkra, hogy a kölcsönhatás részleteinek (F erőre vonatkozó erőtörvény, annak dt időtartama) nélkül, a kölcsönhatás előtti állapot ismeretében, közvetlenül meghatározhassuk a kölcsönhatás utáni állapotot. 5.) Látni fogjuk, hogy maga a kölcsönhatást jellemző mennyiség, az erő is dp F = dt az impulzus időbeli változási sebességével van kapcsolatban. 6.) Impulzus olyan mikrorészecskékre (pl. fotonra) is értelmezhető, melynek nyugalmi tömege zérus (ld. 1.2.3. pontot, az (1.12) lábjegyzetét). Az impulzusmegmaradás törvénye — mint az alábbiakban tárgyalt alapvető megmaradási tételek általában — teljesen alapvető és minden kölcsönhatásra igaz: a természetben lezajló jelenségek és a laboratóriumokban végzett kísérletek során soha nem tapasztalták annak megsértését.
egyenlettel leírt ún pozitron. annihiláció. (A 2 a gamma foton, az e+ a pozitron és e– az elektron jele.) Ekkor p + + p – = p2 e e ahol (ld. az (1.12) lábjegyzetét) E p2 = c2
32 A vA
A”
vAt
B’ vB’ (a)
(b)
pA
pB
(c)
pA
(d)
1.7. ábra. a) Két egyenlő tömegű billiárdgolyó centrális ferde ütközése. Az egyszeres, kétszeres vesszők a golyók különböző időpontokbeli állapotát jelölik. b) A B golyó átveszi az A-tól az ütközési normális irányú vAn sebességet, míg az A sebessége ütközés után vAt lesz. (Az n ill. t alsó index a normális ill. tangenciális irányú komponenseket jelzi.) Tökéletesen súrlódásmentes és rugalmas ütközés esetén az ütközés utáni impulzusok (sebességek) nem relativisztikus esetben mindig 90°-os szöget zárnak be egymással. A valóságban a súrlódás miatt ez a szög ennél kisebb (ld. a) ábra). Az A proton ütközése a cseppfolyós hidrogénben eredetileg nyugalomban levő B protonnal. d) A két proton ütközésének sematikus rajza. (Az A proton második ütközése előtti pályáját kissé eltúlozva ábrázoltuk.) Az ütközés utáni impulzusok láthatóan merőlegesek egymásra.
A megmaradási törvények mélyen gyökereznek a tér és idő tulajdonságaiban. Így az impulzusmegmaradás törvénye a tér homogenitásával függ össze, annak következménye. A tér homogenitása azt jelenti, hogy egy térben levő zárt rendszernek, mint egésznek térbeli eltolása a rendszer mechanikai tulajdonságait nem változtatja meg, vagyis a mechanikai jelenségek a homogén tér minden pontján azonosan folynak le. Ez egzaktul igazolható a mechanika ún. Lagrange-féle mozgásegyenleteivel.
vAn
A’ vAt B vA
33
1.3.2. Impulzusmomentum megmaradás
Az impulzusmomentum időbeli megváltozását a rendszerre ható külső erők forgatónyomatékának vektoriális eredője (MF) okozza (ld. 2.3.7.3. pontot): dL (K) M M dt = F =
(1.20)
ennek megfelelően: Ha egy fizikai rendszerre ható erők forgatónyomatékainak eredője nulla, akkor a rendszer impulzusmomentuma időben állandó. Ez az impulzusmomentum megmaradás törvénye. Az impulzusmomentum megmaradása az elméleti mechanika ún. Lagrange-egyenletei alapján a tér izotrópiájának a következménye. A tér izotrópiája azt jelenti, hogy zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha a rendszert, mint egészet tetszőleges módon elforgatjuk az izotróp térben.
1.3.3. Az energiamegmaradás törvénye
A középiskolában tanult meghatározás szerint az energia a testek (mi úgy mondanánk: fizikai rendszerek) munkavégző képessége. Ez a definíció annyiban fejezi ki a lényeget, hogy zárt rendszerek munkát kizárólag energiájuk csökkenésével végezhetnek. Ugyanakkor a rendszer teljes energiájának munkává alakítása általában nem lehetséges (ld. 5. fejezet). Ezt figyelembevéve a középiskolai definíciót lényegében mi is elfogadhatjuk. Az energiamegmaradás elvét először a mechanikai energia esetére ismerték fel. A Newton-egyenletek segítségével bebizonyítható, hogy súrlódás ill. közegellenállás hiányában egy tetszőleges számú, ugyancsak súrlódás ill. közegellenállás nélküli részrendszerből (pl. tömegpontokból) álló zárt mechanikai rendszer teljes mechanikai energiája (ami a nem relativisztikus mechanikában egyszerűen a kinetikus és potenciális energia összege) megmarad. Ha ezek a feltételek nem állnak fenn, akkor a
* A magyar szabvány szerinti neve: perdület. A magyar nyelvű fizikai szakirodalomban azonban meghonosodott az "impulzusmomentum" kifejezés, ezért mi a továbbiakban ezt használjuk.
Az impulzusmomentum* (jele: L) a helyvektor és az impulzusvektor vektoriális szorzata: L = r 34p (1.19)
34 mechanikai energia egy része (a Newton–egyenletekkel nem tárgyalható módon) elvész: termikus energiává alakul át. A klasszikus mechanika energiamegmaradási törvénye (2.5.3. pont) az Eössz = Ekin + Epot 54állandó 1 p2 Ekin = 2 mv2 = 2m
(1.22)
a mozgási (kinetikus) energia és az Epot a rendszerben fellépő kölcsönhatásoktól függő potenciális (helyzeti) energia. A mechanikai mozgások számára a súrlódás, közegellenállás, belső súrlódás következtében elvesző energia a vizsgált rendszer U belső energiáját növeli. Erről az energiáról a termodinamika ad számot. A belső energia növekedést is figyelembe véve az energiamegmaradás tétele a tapasztalat szerint a súrlódó mozgásokra is érvényes. Egyéb energiafajtákat is felfedeztek. Például az elektromágneses térben tárolt energia az előbbiektől független más energiafajta. Az energiamegmaradás elve azonban az elektromágneses jelenségekre is érvényes. Bebizonyítható, hogy a mechanikai energiamegmaradás az idő homogenitásának következménye. (Ez azt jelenti, hogy egy tetszőleges fizikai folyamat lezajlása független attól, hogy a folyamat mikor zajlik le.) Az energiamegmaradás tehát mélyen, az idő tulajdonságaiban gyökerező alaptörvény.
A relativisztikus mechanika (ld. 2.6.2. pont) szerint egy test teljes energiája és tömege között az mc2 (1.23) E= v2 1 – c2 kapcsolat áll fenn, ahol E a test energiája, m a test ("nyugalmi") tömege, c a fény vákuumbeli sebessége és v a test sebessége adott koordinátarendszerben. Ha a test nyugvó helyzetben van (v=0), akkor az E = mc2
(1.24)
híres (Einsteinről elnevezett tömeg–energia ekvivalencia) képlethez jutunk: a nyugvó test tömege meghatározza a test energiáját és fordítva. Ez azt is jelenti, hogy: a.) pl. ha a test egy tömegpontrendszer, és pl. melegítéssel növeljük belső energiáját, akkor a rendszer energiája nő és ezáltal megnövekszik a rendszer tömege is: "m = "E/c2; b.) másrészt egy tetszőleges zárt fizikai rendszerben a súrlódás következtében "elveszett" energia a relativitáselmélet szerint a rendszer tömegét növeli; c.) ha egy testet a Föld gravitációs erőterében felemelünk, akkor a Föld–test rendszer együttes tömege a potenciális energia megváltozás egyenértékével megnő; ugyanakkor külön–külön nem nő meg sem a Föld, sem a test (nyugalmi) tömege (ld. 2.6.2. pontot). Alapvető jelentőségű az energiamegmaradás termodinamikai kifejezése (a termodinamika I. főtétele), amely a sokrészecske rendszerek (ld. 1.2.2. pont) U belső
alakba írható, ahol
(1.21)
35 energiájának, mint a rendszer állapotjelzőjének megváltozására felírt alapvető tapasztalati törvény; matematikai alakja a belső energia differenciális megváltozása esetére (1.25)
i
Szavakban: egy nagy szabadsági fokú rendszer belső energiája csak kétféle módon változhat: hőközléssel (DQ) ill. a munkavégzés különböző típusai (DWtérf, azaz térfogati munka és más típusú, pl. elektromos munka, felület nagyságot változtató munka, mágneses stb. munkavégzés, ! DWi ) útján. i
Az U belső energia állapotfüggvény, a hőközlés ill. munkavégzés viszont útfüggő, — ezt jelzi a megváltozás eltérő jelölése: a dU megváltozás teljes differenciál, 7 o dU = 0, ld. 5.2.2. pontot. A DQ ill. DW jelölés az elemi munkát ill. hőcserét jelöli. 6 A dU jelölés igen kis különbséget (két állapot közötti különbséget) jelöl, a DW ill. DQ sohasem állapotok közötti különbség jele, hiszen W és Q nem állapotfüggvények, mert az állapotváltozás módjától is függenek. A dU járulékainak DW és DQ tagra való szétválasztása alapvető okokra vezethető vissza: bár a hőközléssel ill. munkával átadott energia kvantitatíve egyenértékű (mindkettőt Joule–ban fejezzük ki), és a rendszeren belül járulékaik megkülönböztethetetlenek, DW és DQ minőségileg különbözőek. Például egy hőerőgépben a rendszerrel közölt hő nem alakítható át teljes egészében munkává, a munka viszont mindig tetszés szerint alakítható át termikus energiává ill. a rendszer hőcseréjévé. A munka irányított mozgás eredménye, a hőcsere "rendezetlen" energia átadása.
1.3.4. A mérlegegyenletek
Képzeljünk el egy modern autógyárat, ahol egyrészt autókat termelnek, másrészt a kész autókat raktározzák, kiszállítják, és ahol a modern "újrahasznosítási" rendszer szerint roncsautók beszállítása és bontása is folyik. Vizsgáljuk most a telep autóforgalmát! Ennek kifejezésére könnyen érthető mérlegegyenletet írunk fel dx dt = Q + I
(1.26)*
azaz az új és a roncs gépkocsik összes x számának időegység alatti megváltozása az időegységre eső termelésből (az ún. "forrásból") származó és az elbontással (ez az ún. “nyelő”) időegység alatti eltűnő autók Q számának és a határfelületeken ki–be áramló
* A hasonlat kissé sántit, mert az autók száma nem változhat folytonosan, csak egységenként.
dU = DQ + DWtérf + ! DWi
36 I autóáram algebrai összege. Az egyenletben a kiáramló és a nyelőben eltűnő mennyiségeket negatívnak, a beáramló és forrásból keletkező mennyiségeket pozitívnak vesszük.
Fontos alesete a (1.26) típusú egyenleteknek, amikor a mérlegegyenletben az x helyére írt, vizsgált fizikai mennyiség megmaradó mennyiség: tehát az adott mennyiségre (a vizsgált térrészben) sem forrás, sem nyelő nem működik, vagyis Q=0. Ekkor (az I-t előjeles mennyiségnek tekintve) dx dt = I
(1.27)
Pl. a töltésmegmaradás egyenletében x egy adott térfogatban található töltés és I az illető térfogatba befolyó, ill. onnan kifolyó áramok algebrai összege. Ha a mérlegegyenletet infinitezimális (dV) térfogatra írjuk fel, akkor az x mennyiség kifejezhető e mennyiség 8 sűrűségével is: x=7 6 8dV
dx = 8dV;
(1.28)
v Az integrálást a rendszer határfelülete által bezárt térfogatra kell elvégezni. Hasonlóan az integrális mérlegegyenletben levő egyéb mennyiségek is kifejezhetőek lokális jellemzővel, így az I is felírható I=–
7 o JdA 6
(1.29)
A
alakban, ahol J az ún. áramsűrűségvektor és az integrálás az A határfelületre történik. Ekkor a mérlegegyenlet a d o J dA 6 6 8 dV = – 7 dt 7 A
v
illetve d
7 o J dA + dt 6 7 8 dV = 0 6 A
(1.27a)
v
alakba írható. Az ilyen egyenleteket differenciális mérlegegyenleteknek, idegen szóval kontinuitási egyenleteknek nevezzük. Az elektromos töltésre (q) vonatkozó integrális és differenciális mérlegegyenletek (ahol i-vel az elektromos áramot, J-vel az áramsűrűség vektort jelöltük): d o JdA = 0 7 8dV + 6 7 dt 6 V
i(t) +
dq(t) =0 dt
illetve div J +
98 =0 9t
(1.30)
Az ilyen típusú egyenletek a fizikában is gyakoriak: felírhatóak pl. folyadékok, elektromos töltések áramlására is. Az ilyen egyenleteket integrális mérlegegyenleteknek nevezzük.
37 Az (1.30) egyenlet az elektromos töltés megmaradását fejezi ki.
1.4. A fizika és a kémia néhány elvérõl.
Alábbiakban néhány, a műszaki-fizikai gonolkodást segítő elvről közlünk néhány gondolatot. Az “elvek” sokszor az axiómák használhatóbb megfogalmazásai, melyek részletesebb számítások nélkül iránymutatást adnak a jelenségek lefolyásáról, vagy a változások irányáról. Több esetben az “elvek” matematikailag igen egzakt módon megfogalmazott megállapítások, melyek az axiómákból kiinduló levezetéseknél általános esetekben egyszerűbb, problémamegoldást tesznek lehetővé. Számos elv több diszciplinára is kiterjedő érvényű.
$ A Le Chatelier- (Le Chatelier-Braun)- elv (Le Chatelier, 1884). Ha egy (sokrészecske) rendszer stabil egyensúlyban van, akkor az egyensúly megbontását előidéző külső hatásokra a rendszerben olyan változások indulnak meg, amelyek e külső hatások következményeit csökkenteni igyekeznek, ezek hatására az egyensúly úgy tolódik el (olyan új egyensúly áll be), hogy a külső befolyás hatása legyengül*: “a rendszer ellenáll egyensúlya megváltoztatásának” A Le Chatelier elv a természetben ( a fizika, a kémia, a biológia, stb rendszereire) érvényes általános tapasztalati elv, mely a termodinamika II. főtételéből levezethető; annak következménye, hogy a valódi egyensúlyt adott rendszerben meghatározó függvénynek valódi egyensúlyban szélső értéke van. A Le Chatelier-elv számos speciális elv általánosítása. Ilyenek pl. a Gausstól (1829-ből) származó legkisebb kényszer elve (ez egy u.n. differenciál elv, mely a kényszererőknek alávetett tömegpontrendszer mozgását határozza meg), az elektromágneses indukcióra érvényes Lenz törvény (az indukált áram a vezetőben mindig olyan irányú, hogy az általa keltett mágneses tér csökkenti az indukált áramot létrehozó mágneses fluxusváltozást). Ide sorolhatjuk az állapotjelzők (nem spontán)
* Az egyensúlyt meghatározó paraméterek megváltozása külső hatással ugyan kikényszeríthető, rákényszeríthető a rendszerre, de az így beálló új egyensúly a külső hatást mindenképpen gyengíti.
Kontinuitási egyenlettel tanulmányainkban mi az elektromos töltésmegmaradás tárgyalása során (6.2.1. pont), illetve a kvantummechanikában (ahol az állapotfüggvényre írható fel kontinuitási egyenlet, ld. 8.3.3. pontot) fogunk találkozni. Az ilyen jellegű egyenletek alapvető jelentőségűek a technikában és az elméleti fizikában is: az egyes diszciplinák tárgyalását rendszerint a megfelelő mérlegegyenlet felírásával kezdik.
38 megváltoztatásának a kémiai, termodinamikai egyensúlyok eltolódására kifejtett hatását is.
$ Utóbbira néhány példát ismertetünk.
NO + O2 : % 2 NO2
"H = – 57 kJ/mol
kémiai reakció esetében a Le Chatelier elv szerint a hőmérséklet külső hatással történő emelése a : irányának (az endoterm iránynak, az egyensúly NO felé való eltolódásának) kedvez: a hőelnyelés a külső hőmérséklet növelés (hőkezelés) hatását csökkenteni igyekszik. Az “igyekszik” azt jelenti, hogy pl. a hőmérséklet növelése külső hatásra ugyan rákényszeríthető a rendszerre, de az ennek hatására (endoterm irányba) bekövetkező egyensúly eltolódás olyan irányú, hogy az új egyensúlyban (a mikroszkópikusan két irányban egyidejüleg folyó folyamatban) kevesebb hő termelődik, több hő nyelődik el. Ha a Le-Chatelier elv nem érvényesülne a bruttó folyamat öngerjesztő lenne és megfutna. $ A nyomás növelése minden egyensúlyt a téfogatcsökkenéssel járó irányba tol el. A szilárd testek olvadáspontja általában emelkedik a nyomás növelésével, mert az olvadás általában térfogatnövekedéssel jár; de pl. a jég olvadáspontja csökken a nyomás növelésével, mert a jég olvadása térfogatcsökkenéssel jár. (Ezért tudunk korcsolyázni: a korcsolya nyomására a jég olvadáspontja csökken, tehát a korcsolya nyomása hatására (ha nincs nagyon hideg) megolvad és csúszik. $ A Le Chatelier elv megadja egy *AA + *BB : % *CC + *DD reakció egyensúlyának eltolódásának irányát abban az esetben is, ha valamelyik résztvevő anyag koncentrációját tudatosan (a stöchiometriai viszonyokhoz képest) megnöveljük vagy csökkentjük. Ha pl. a C anyagból felesleget alkalmazunk, az a reakció egyensúlyát balra tolja el. $ A Le Chatelier elv — hangsúlyozzuk — az egyensúlyi rendszer “védekező” egyensúlyeltolódásának csak az irányát (a változás előjelét) adja meg (méghozzá részletes számítások nélkül), — de az új egyensúly paramétereit nem; azokat az egyensúlyt megszabó törvények határozzák meg.
$ Az általános elvek közé tartoznak a termodinamikai rendszerekre érvényes egyensúlyi elvek, melyek mind azon, a statisztikus fizikából származtatható, de lényegében tapasztalati elven alapulnak, hogy a valódi egyensúlyban a rendszer entrópiája maximális. Ezen elvből következik más és más mellékfeltételek mellett az energia minimum elve, az izobár potenciál (szabadentalpia) minimum elve stb.
$ A hőmérséklet emelése a kémiai reakciók, állapotváltozások egyensúlyát az endoterm (hő elnyelésével járó) folyamat irányába tolja el, — ugyanakkor a hőmérséklet csökkentése az exoterm folyamat-iránynak kedvez. Pl. az
39 Ezekkel ekvivalens elv a legkisebb (potenciális) energia elve. E szerint minden test az adott feltételek között mimimális potenciális energiájú állapotát igyekszik felvenni. Ezen elvet ismerhetjük fel pl. a gravitációs térben eső test, vagy a gerjesztetlen atomban alapállapotban levő elektronrendszer esetében. a mechanika legáltalánosabb egyensúlyi elve, mely a Newton-féle axiómákból nem következik és így új posztulátumnak tekinthető. “Egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszer bármely virtuális elmozdulásánál a szabaderők összes munkája zérus (vagy negatív).” (Bernoulli, 1717.) A rendszer ;r virtuális elmozdulásai olyanok, amelyeket a kényszerfeltételek (alátámasztás, felfüggesztés, stb.) megengednek; a kényszerfeltételeket d’Alembert nyomán kényszererőkkel (Fk) írhatjuk le: a virtuális elmozdulások mindig merőlegesek a kényszererőkre, így utóbbiak munkája Fk;r = 0. A virtuális elmozdulások munkája ezért a jól ismert szabaderőkre korlátozódik; ez adja a virtuális munka elve jelentőségét: alkalmazásánál az általában nem ismert vagy csak nehézkesen meghatározható kényszererőket nem kell figyelembevenni. A virtuális munka elvét elemi, egyszerű formájában a kétkarú emelő egyensúlyi feltételének megfogalmazásában először már Archimedes is alkalmazta : rögzített tengely körül forgatható merev test … akkor van egyensúlyban, ha a rá ható szabad erők forgatónyomatékainak vektori összege zérus. (“Emelő-törvény”, Archimedes, i.e 287-212). Egy másik ismert alkalmazás az egyensúly stabilitásának meghatározása: ha a merev testet egyensúlyi helyzetéből kissé kimozdítjuk, az új helyzetben a merev testre ható eredő erő és eredő forgatónyomaték már nem zérus; ha utóbbiak hatására a test spontán visszatér eredeti egyensúlyi helyzetébe, — stabilis egyensúlyról beszélünk. A virtuális munka elve tömegpontrendszerekre, tehát 1.2.1. pont értelmében minden mechanikai rendszerre érvényes. A kényszererők bevezetésével ugyanis minden tömegpontrendszer olyan szabad pontrendszernek tekinthető, amelyben a kényszererők szabaderőként hatnak.
$ Végül megemlítjük, hogy fentiekhez hasonló “elvek” alapvetően leegyszerűsítik igen bonyolult problémák általános alakú megoldását. Ilyenek az elméleti mechanikát megalapozó mechanikai elvek. Ezzel kapcsolatban pl. Budó: Mechanika, id.műre utalunk. Igen érdekes olvasmány Feynman tanulmánya a “legkisebb hatás elvéről”, — ezzel kapcsolatban Feynman Mai Fizika 6. kötetére hívjuk fel az olvasó figyelmét. Itt az “elveknek” egy másik aspektusát ismerhetjük meg: az “elvek” sokszor igen széleskörű analógiákat fogalmaznak meg. (Láttuk ezt a Le Chatelier elvnél is.) Így pl. a legkisebb hatás elve kapcsolatot létesít a klasszikus mechanika és a geometriai optika (Fermatelv) között; az ezen alapuló gondolatmenet vezetett a de Broglie féle hipotézishez (1924), mely mint az 1.2.3. pontban említettük, végül is a kvantummechanikához vezető egyik útnak bizonyult.
$ A virtuális munka elve,
40
2. A TÖMEGPONT ÉS A PONTRENDSZER MECHANIKÁJA
A mechanika, az egyik legrégebben művelt fizikai tudományág, igen sokféle módon osztható fel részterületekre. A vizsgálati módszer alapján pl. megkülönböztetjük a kinematikát és a dinamikát. A kinematika feladata a mechanikai mozgások leírása, míg a dinamika a mechanikai mozgásállapot* megváltozásának okát és törvényszerűségeit kutatja. A dinamika a test mozgásállapot-megváltozásának okát a test és környezete kölcsönhatásának, erőhatásának tulajdonítja. A mechanikai leírás szempontjából közömbös a kölcsönhatás természete: a kölcsönhatások tetszőleges természetűek (mechanikai, elektromos, mágneses stb.) lehetnek; az egyes kölcsönhatásokat az ezekre érvényes erőtörvények írják le. A kinematikát és a dinamikát tovább is osztályozhatjuk: a makroszkópikus testek, részecskék esetére a fény vákuumbeli sebességénél sokkal kisebb sebességek esetén a klasszikus mechanikát, a fénysebességhez közeli sebességek esetén a (klasszikus) relativisztikus mechanikát, míg a mikrorészecskék mozgásának leírására a (klasszikus, ill. relativisztikus) kvantummechanikát használjuk. Az 1.1.3. pontban megismerkedtünk a fizikai rendszerek néhány lehetséges modelljével. A mechanikát a vizsgált fizikai rendszerre használt modellek alapján is osztályozhatjuk, ennek megfelelően van tömegpont mechanika, amely a tömegpont, ill. tömegpont rendszer mechanikai mozgásával foglalkozik, van merev testek mechanikája, és van kontinuum mechanika, amelyet a rugalmas közegek, folyadékok stb. leírására használunk stb. A mechanikát a szokásoknak megfelelően mi is a tömegpont mechanikájával alapozzuk meg, — könyvünk célkitűzésének megfelelően ezen belül kiemelten foglalkozunk a tömegpont rendszerek mechanikájával. Makroszkópikusan a mérnöki gyakorlatban nem nagyon találkozunk ilyen rendszerekkel, de a mikrofizikai
* A mozgásállapot a szakkönyvekben általában nem definiált mechanikai fogalom. Tömegpont mozgásállapota alatt a tömegpont adott sebességgel jellemzett állapotát értjük, melynek megváltozásához (a mozgásállapot megváltozásához) kölcsönhatás, erő szükséges.
A mechanika feladata a természetben létező legegyszerűbb mozgásfajta, a testek elmozdulásában, forgásában, alakváltozásaiban megnyilvánuló ún. mechanikai mozgás, valamint a makroszkópikus testek egyensúlyi állapotára vonatkozó törvényszerűségek vizsgálata.
41
A mechanika tanulmányozását a tömegpont kinematikájának tanulmányozásával kezdjük (2.1. pont). Ezután (a 2.2. pontban) a vonatkoztatási rendszerekkel foglalkozunk, — különös tekintettel az Einstein–féle relativitási elv következményeire. A 2.3. pontban a tömegpont, a tömegpont rendszerek, a 2.4. pontban a merev testek dinamikáját tárgyaljuk. A 2.5. pont az energiáról, a konzervatív erőtér, a potenciál fogalmáról és leírási módjáról szól. Itt foglalkozunk a későbbiek szempontjából is fontos ún. potenciáldiagramokkal is. A pontot a belső energia tárgyalásával zárjuk. A 2.6. pontban a relativisztikus energia problémakörét vizsgáljuk és eljutunk a tömeg-energia ekvivalencia E=mc3 híres képletéhez. A 2.7. pontban az ütközések témakörét vizsgáljuk speciális és általános esetekben, — egészen a relativisztikus ütközések témaköréig. Az ütközésekkel kapcsolatban vezetjük be a relativisztikus impulzust.
2.1. A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA A tömegpont kinematikájának feladata a tömegpont mechanikai mozgásának leírása. Mechanikai mozgást akkor végez egy test, ha helyzetét környezetéhez képest megváltoztatja. A klasszikus fizika szerint* a tömegpont mechanikai mozgása valamilyen pályát (egy ún. trajektóriát) jelöl ki a térben. Ezt a pályát matematikailag az r = r(t)
* A mikrorészecskékre érvényes kvantummechanika szerint a pálya klasszikus fogalma nem alkalmazható az atomi méretekben változó potenciálú térben mozgó részecskékre (a potenciál definícióját ld. 2.5.2.2). Ha azonban egy mikrorészecske csak makroszkópikus tartományokban változó potenciálú térben mozog (ez a helyzet pl. a televízió képcsövében mozgó elektronok esetén), akkor a klasszikus pálya fogalom használható marad. Részletesebben ld. a 8.3.4. pontot.
rendszerek klasszikus közelítésben sok esetben modellezhetők tömegpont rendszerekkel. Ugyanígy, bár a mikrorészecskék mechanikai mozgásának egzakt leírását csak a kvantummechanika adja meg, sok esetben kielégítően pontos gyakorlati számításokat végezhetünk ún. félklasszikus modellek alapján is, amelyben a mikrorészecskéket klasszikus tömegpont-rendszernek tekintjük, de azokat bizonyos kvantummechanikai tulajdonságokkal is felruházzuk. Végül a merev testeket is felfoghatjuk kötött tömegpont rendszereknek.
42 vektor–skalár függvény írja le, amely általános esetben tetszés szerinti térgörbe. A pálya jellemző adata a görbe íve mentén mért ívhossz. Egyirányú mozgás esetén az ívhossz azonos a megtett úttal*
A tömegpont mozgásának gyorsaságát, – vagyis azt, hogy mennyi idő alatt jut el a pálya egyik pontjából a pálya másik pontjába – a fizikában a sebesség fogalmával írjuk le. A pálya mentén !t idő alatt megtett távolságot, utat !s-sel jelölve, a tömegpont átlagsebességét a !s v= (2.1) !t hányadossal definiálhatjuk. Nevét annak köszönheti, hogy csak a mozgás átlagos (integrális) leírását adja meg: a tömegpont ugyanazt az utat ugyanannyi idő alatt is különböző módokon teheti meg; pályája egyes szakaszain gyorsabban, vagy lassabban mozoghat, sőt egy-egy időre meg is állhat, csak az a lényeg, hogy az adott !s utat összességében !t idő alatt tegye meg. A mozgás pontosabb leírását kapjuk, ha a megteendő !s utat !s1, !s2, ..., !s4, ... részekre bontjuk föl, és a pont mozgását az egyes !si távolságokra számolt vi=(!si/!ti) átlagsebességekkel írjuk le. Az így kiválasztott !si szakaszon is haladhat azonban változó sebességgel a tömegpont, ezért a leírás további pontosítása érdekében a !si utat is részekre kell felbontanunk, vagyis az eredeti !s utat a !s -knél kisebb !s' szakaszokra kell osztanunk. Mivel akármilyen i
j
kis !si szakaszokat is választunk, a mozgás leírása mindig valamekkora (egyre csökkenő mértékű) pontatlanságot tartalmaz, a fenti eljárást vég nélkül folytathatjuk. Határesetben, ha a megtett szakaszok hossza (és ezzel együtt a megtételükhöz szükséges idő is) a nullához tart, a !s/!t hányados véges marad. Mivel a mozgó test két egymásutáni helyzetének a mozgáspályája mentén mért távolsága a két megfigyelési pillanat függvénye (s = s(t)), célszerű a !si távolságok helyett a !ti intervallumokat csökkenteni. A !si/!ti ún. differenciahányados
* Az út egzakt definiciója a következő vonalintegrál !s ! = s=
r2 # " dr r1 (g)
(Lásd. 2.3.6. pontot.)
2.1.1. A sebesség
43 !si ' s(t+!t) – s(t)* &+ lim ) !t !t ( !ti$0 i % !t$0
vi = lim
(2.2)
ds vi = dt
(2.2a)
vi = s·
(2.2b)
illetve
ds alakban írjuk fel. A (2.2) kifejezésekben dt , ill. s· az út idő szerinti első differenciálhányadosa, és megadja a sebesség pillanatnyi nagyságát. A (2.2a) szerinti differenciálhányados azonban nem tükrözi a sebesség vektorjellegét, vagyis azt a tényt, hogy a sebesség akkor is változik, ha nagysága állandó, de iránya változik; másszóval ugyanakkora nagyságú sebesség esetén különböző pályákon haladva különböző térbeli helyekre juthatunk el. A (2.1) szerinti átlagsebesség ennek leírására nem is használható, (2.2a) azonban könnyen általánosítható a mozgásirány figyelembevételével.
2.1. ábra. Síkgörbén mozgó tömegpont
A 2.1. ábrán egy síkbeli pályán (síkgörbén) mozgó tömegpont két egymás utáni helyzetét tüntettük fel. A tömegpont !t' idő alatt az r=r(t) pontból az r'=r(t+!t') pontba jut el. Az ezalatt megtett !s, (ív) hossza az út, ami skalármennyiség, míg a !r'=r'-r =r'+(-r) a test elmozdulásvektora. Az elmozdulásvektor iránya a pályagörbe r' és r közötti szelőjének egyenesébe esik. Az elmozdulás és az út láthatóan nem esik egybe, nagyságuk különböző. Az ábrán feltüntettünk néhány, különböző nagyságú !t időkülönbséghez tartozó helyzetet (s', s", s'''), helyvektort (r', r'', r''') és elmozdulást
határértéke tehát megadja a pillanatnyi sebesség (vagy egyszerűen csak sebesség) ds nagyságát. A továbbiakban az i-indexet elhagyjuk és a (2.2) képletbeli határértékét dt -vel, illetve s· -al jelöljük. Így a sebességet a
44
határértéket a mozgás (pillanatnyi) sebességének nevezzük. A v pillanatnyi sebesség a sebesség irányára és nagyságára jellemző vektormennyiség. A sebesség vektormennyiség, tehát megváltozhat úgy is, ha csak iránya változik ds meg, nagysága pedig nem. A (pillanatnyi) sebesség nagysága definiciószerűen a dt (2.2a) kifejezés, iránya pedig (ld. Bronstejn, id.mű) — mint fentebb már jeleztük — a pálya r(t) pontjához húzott érintő irányával egyezik meg. Ez könnyen belátható: az r(t) helyvektor az s úton keresztül az időnek közvetett függvénye, azaz r = r(s(t)) E közvetett függvényt az idő szerint differenciálva dr dr ds v = dt = ds dt = é(t)v
(2.4)
dr ahol az é(t) + ds a pálya r(t) pontjához húzott érintő egységvektor; egységvektor — |dr| hiszen a !t $ 0 határérték esetén |dr| = ds és így ds = 1. A sebesség nagysága, ds számértéke pedig a dt -vel, azaz láthatóan (ld. 2.2. ábrát) az út–idő függvény érintőjének iránytangensével egyezik meg.** (A differenciahányados viszont a szelő tg - ' iránytangense.)
* Az érintő definiciója: (ld. 2.1. ábrát): ha bármely szelősorozatnak (!r', !r'', !r'''),— miközben az r', r'', r''' … pontok minden határon túl megközelítik a P pontot — ugyanaz a P ponton átmenő egyenes a határhelyzete, akkor ezt az egyenest az r(t) görbe P pontbeli érintőjének nevezzük. ** tg - = lim f(x+h) – f(x) = f ' (x) é h$0 h Pl. y=x2 esetén az x=3 ponthoz húzott érintő f ' (x = 3) = lim h$0
32 + 6h + h2 –32 6h + h2 (3+h)2 – 32 lim = lim = lim (6 + h) = 6 h h h$0 h$0 h h$0
(!r', !r'', !r'''). A !t időkülönbség csökkentésével azonban !r és !s hossza egyre jobban közeledik egymáshoz, míg !r egyre inkább érintő* irányúvá válik. Belátható, hogy !t minden határon túli csökkentésével a !r/!t hányados nagysága a (2.2a)-val definiált v sebesség nagyságához, iránya pedig a görbe érintőjének irányához tart. Az így értelmezett dr !r v = dt = lim (2.3) !t$0 !t
45
m A (2.2) és (2.3) definíciók alapján a sebesség SI egysége: s . A gyakorlati életben használatos még a km/h (kilométer per óra) is. dr A matematikában a dt szimbólum az idő szerinti differenciálási művelet szimbóluma. A fizikában a differenciálási művelet szimbóluma két igen kicsiny változás (pl. az r ill. t mennyiség esetében a dr ill. dt változás) hányadosát is jelentheti. Ebben az értelemben a dr ill. dt mennyiségeket az r ill. t mennyiség differenciáljainak nevezzük. (A differenciál fogalmát a matematika egzaktan értelmezi; ennek részleteibe nem mehetünk bele.) Ez a felfogás lehetővé teszi, hogy bizonyos pontosan meghatározott matematikai feltételek mellett (melyek az itt tárgyalt elemi fizikai jelenségekre általában teljesülnek) a differenciálokkal, mint önálló mennyiségekkel bizonyos formális matematikai műveleteket végezzünk, pl. átszorozzunk, osszunk stb.
2.1.2. A gyorsulás
A sebesség maga is időfüggő mennyiség; értelmes tehát a sebesség megváltozásának gyorsaságáról beszélni. A 2.1.1-ben alkalmazott gondolatmenetet követve bevezethetjük az átlagos- ill. pillanatnyi gyorsulást, a sebesség megváltozásának átlagos– illetve pillanatnyi sebességét: !v ; !t
(2.5)
v(t+!t) – v(t) dv = dt !t !t$0
(2.6)
a= a = lim
2.2. ábra A sebesség az út – idő függvény érintőjének iránytangense*
46 m A gyorsulás SI egysége: s2 . Tekintettel arra, hogy a sebesség maga is egy differenciálhányados, (2.6) így is írható: dv d2r ! a = dt = dt2 = r¨
(2.6a)
Tehát a gyorsulás a sebesség idő szerinti első- és a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa. A gyorsulás iránya és nagysága határozza meg a sebesség megváltozásának irányát és nagyságát. Síkmozgások esetén a gyorsulásvektor iránya mindíg a pálya síkjában van és abba az irányba mutat amerre a pálya elhajlik (ld. 2.3 ábra).
2. 3. ábra A sebesség és a gyorsulás iránya a) általános síkbeli mozgás, b) a matematikai inga esetén
Általános térbeli mozgás esetén a pálya elegendően kicsiny szakasza jó közelítéssel egy síkon, az ún. simulósíkon fekszik és ezen a síkon az ún. simulókör kerületének kis szakaszával helyettesíthető (ld. 2.1.3. pontot). A tömegpont gyorsulásvektora szintén ebben a síkban van és a pálya elhajlásának irányába mutat. (Ld. részletesebben 2.1.4.3. pontot).
2.1.3. A szögsebesség és a szöggyorsulás A görbevonalú mozgást végző tömegpont mozgását a sebességen és gyorsuláson kívül más fizikai mennyiségekkel, a szögsebességgel és a szöggyorsulással is leírhatjuk. A középiskolában már megismerkedtünk a szögsebesség fogalmával és kiszámításának módjával. Megtanultuk, hogy a szögsebesség és szöggyorsulás a körmoz-
ahol a felül két pont az idő szerinti második differenciálhányados szokásos rövidített írásmódja.
47 gással kapcsolatos feladatokban a mozgás leírására sokkal kényelmesebben használható, mint a sebesség és a gyorsulás. A szögsebesség a szögelfordulás sebessége, ezért (2.3)-mal analóg módon definiálhatjuk. A középiskolában azt tanultuk, hogy a szögsebesség skalár, így (2.7)
Hasonlóképpen a szöggyorsulás a szögsebesség változási sebessége, tehát d. 0 = dt
(2.8)
A szögsebességet ill. szöggyorsulást azonban nemcsak a körmozgás és nemcsak síkbeli, hanem általános térbeli mozgás leírására is használhatjuk, mert a térbeli pálya elegendően kicsiny szakasza jó közelítéssel egy síkon az ún. simulósíkon fekszik és ezen a síkon egy kör, az ún. simulókör kerületének egy kis szakaszával közelíthető: tehát egy általános térbeli mozgás úgy is felfogható, mint egy pillanatonként változó síkú és különböző sugarú körpályákon való mozgás egymásutánja.* A simulókör sugarát, az ún. görbületi sugarat úgy kapjuk meg, hogy a simulósíkban a görbe két egymáshoz közeli pontja által határolt ív hosszát elosztjuk a két pontba húzható érintők közötti szöggel (ld. 2.4.a ábra), és képezzük a differenciahányados határértékét: R=
!s ds = lim d- !t$0 !-
Az ábráról (2.4b. ábra) az is látható, hogy körpálya esetén a görbületi sugár a kör sugarával egyezik meg.
2.4 ábra a) a görbületi sugár definíciója, b) kör esetén a görbületi sugár megegyezik a kör sugarával
1
A szögsebesség fogalmával kapcsolatban a középiskolai tananyag egy fontos kérdést nyitva hagy: a szögsebességhez nemcsak a (2.7) szerinti nagysága, hanem egy
* A simulósík és simulókör fogalmát a differenciálgeometria definiálja. Ld. pl. Pachné–Frey: Vektor és tenzoranalízis. Műszaki Könyvkiadó, 1970, 127. és 154. old.
d/ . = dt
48 irány — az elfordulás iránya — is hozzátartozik; ez a tény azt sugallja, hogy a szögsebesség vektorként (. .) is értelmezhető.
Ennek szemléltetésére végezzünk el egy kísérletet! Képzeljünk el egy, a 2.5a. ábra szerint az xy síkon fekvő gyufásdobozt. A 2.5b. ábrán először az y, majd az x tengely körül 902-kal elforgatott doboz rajza, míg a 2.5c. ábrán az először az x és utána az y tengely körül 902-kal elforgatott doboz rajza látható. A két egymás utáni 902-os forgatás eredője függ a forgatások sorrendjétől. Ha a véges szögelfordulás vektormennyiség lenne, akkor ez nem fordulhatna elő.
2.5. ábra. A nem infinitezimális szögelfordulás nem vektor! Az alábbiakban megmutatjuk, hogy az infinitezimálisan kicsiny d/ / szögelfordulás megfelelő definicióval viszont vektor! r Forgassuk az r helyvektor irányába eső er + r egységvektort a 2.6. ábrán látható módon !/ nagyságú szöggel! Látható az ábrából, hogy a !/,radiánban közel egyenlő a |!er| -el és így elég kis szögek esetén d/,= |der| Mivel der iránya az er irányától függ, d/ / egyértelmű definiciójához megállapodásszerűen úgy jutunk, hogy a !/, /, (ill., d/ / ) szögelfordulásvektort a következőképpen definiáljuk (ld. 2.6. ábrát):
Mint tudjuk, egy fizikai mennyiség vektor voltához három alapvető dolog szükséges: nagysága és iránya legyen, és a vektorösszeadás szabályai szerint összegződjön. A szögsebesség az első két feltételnek eleget tesz. A harmadik feltétel teljesülésének bizonyítására használjuk fel azt a matematikai tételt, hogy ha egy mennyiség egy vektormennyiségből számmal való osztással, szorzással illetve határértékképzéssel vezethető le, akkor az a mennyiség vektormennyiség. Ha tehát az infinitezimális !/ d/ / szögelfordulás vektor, akkor (2.7)-ből kiindulva definiálható az . = dt szögsebesség vektor. Látszólag ez nem sokat segít rajtunk, a / szög ugyanis nem vektormennyiség, sőt a véges (nem infinitezimális) !/ szögelfordulás sem vektor!
49
!/ / = er 3 !er
(2.9)
vagyis az infinitezimális szögelfordulás vektora merőleges az elforgatás síkjára. E definíció alapján a szögsebesség vektor definíciója: d/ / e 3 !er !/ / !e . . = dt + lim = lim r = lim er 3 r = er 3 er !t !t !t !t$0 !t$0 !t$0
(2.10a)
Tehát d/ / . = dt = er 3 e·r (2.10b) rad A szögsebesség SI egysége: s . A szögsebesség vektor iránya (2.10a) szerint az ( e 3 e· ) síkra merőleges. r
r
A szögsebesség vektor megváltozásának sebessége a szöggyorsulás vektor: d. . d2 / 0 = dt = 2 dt
(2.11a)
(2.10b)-t felhasználva . . .. .. 0 = er 3 er + er 3, er = er 3, er
(2.11b)
rad A szöggyorsulás SI egysége: s2 . A 0 szöggyorsulás iránya d. . irányával egyezik meg, tehát síkmozgás (körmozgás) esetén, ahol e és e· egy síkban lévén . iránya állandó, 0 is . irányába mutat. r
r
2.6. ábra. Az elemi szögelfordulásvektor
50
2.7. ábra. Az egyenesvonalú mozgást végző tömegpontnak lehet nem nulla szögsebessége A tömegpont v sebessége és a gyorsulása minden esetben kifejezhető az így értelmezett szögsebességgel ill. szöggyorsulással. E kifejezéseket a 2.1.4. pontban vezetjük be.
2.1.4. Sebesség és gyorsulás általános kifejezése inerciarendszerben. Néhány speciális eset 2.1.4.1. Az általános kifejezések
1
Az r(t) vektort az r(t) = r(t)er = r5er
(2.12a)
alakban felvéve a sebességre és gyorsulásra az alábbi képleteket kapjuk: d . . v(t) = dt (rer) = rer + rer dv(t) d . . . . a(t) = dt = (rer + rer) = ¨rer + 2 r er + rër dt
* Tömegpont esetén ugyanis nem beszélhetünk forgómozgásról.
(2.12b) (2.12c)
A tömegpontnak azonban nem kell okvetlenül keringő (pl. kör– stb.) mozgást végeznie ahhoz, hogy valamely rajta kívül eső pontra* vonatkoztatott szögsebessége, szöggyorsulása legyen: minden általános görbevonalú pályán mozgó test mozgása leírható a pálya mentén esetleg folyamatosan változó .-val ill. 0-val, hiszen — mint mondottuk — a pálya minden végtelenül kicsi görbült szakaszához rendelhető egy simulókör. Pl. az egyenesvonalú mozgást végző tömegpont . szögsebessége nem feltétlen nulla! Ha az origót az egyenesvonalú pályán kívül választjuk, akkor .40, mivel er iránya változik (ld. 2.7. ábra).
51
1
Ezeket a képleteket az . szögsebesség (2.10b) és a 0 szöggyorsulás (2.11b) kifejezéseinek felhasználásával is felírhatjuk. (2.10b) szerint . = e 3 e· r
r
.,3 er = (er 3 e·r) 3 er = – er 3,6er 3 e·r7,= e·r(erer) – er(e·rer) Mivel er és e·r egymásra merőlegesek, azaz ere·r = 0, valamint mivel erer = 1, ,,,. ,,,. 3 er = e·r
Ebből ër =
(2.13)
d . 3 er) = .· 3 er + . 3 e·r dt(.
= 0 3 er + .,3 (., .,3 er)
(2.14)
A (2.13) ill. (2.14) egyenleteket a (2.112) egyenletekbe behelyettesítve (figyelembevéve, hogy az r szorzótényező a vektoriális szorzatokba bevihető és er-hez kapcsolható) r = rer
(2.15a)
v = r· er + . 3 rer = r· er + . 3 r
(2.15b)
a = ¨rer + 2r· (. . 3 er) + 0 3 r + . 3,(. . 3 r) = . 3 r· er) + 0 3 r + . 3 (. . 3 r) = ¨rer + 2(.
(2.15c)
A (2.15b) kifejezésből r· er -t kifejezve az r· e = v – (. . 3 r) r
kifejezést kapjuk. Ezt (2.15c)-be behelyettesítve a = ¨rer + 2(. . 3 v) + . 3 (. . 3 r) + 0 3 r
1
(2.15d)
A (2.15) képletek tetszőleges térbeli mozgást végző tömegpont viselkedését leírják, és speciális esetként minden típusú mozgás leírását is lehetővé teszik.
* a 3 (b 3 c) = b(a · c) – c(a · b) Ill. a 3,(b 3 c) = – (b 3 c) 3 a
Jobbról vektoriálisan szorozva er-rel és a háromtényezős vektorszorzatban a kifejtési tételt* felhasználva:
52 A (2.15) képletek tetszőleges térbeli mozgást végző tömegpont viselkedését leírják. A mozgásokat célszerűen az alábbi hierarchia szerint osztályozhatjuk:
a = r¨ = f(t)
— Egyenletesen gyorsuló
a = r¨ = a0 = áll.
— Egyenletes
a = 0, v = r· = v0 = áll.
Körmozgások (síkmozgás)
— Általános
0 = 0 (t)
(r = ál.) r x v = áll. (. . iránya áll.)
— Egyenletesen gyorsuló
0 = .· = 00 = áll.
— Egyenletes
0 = 0, . = .0 = áll.
— Általános
ld. 7. fejezet
— Harmonikus
r(t) = A sin (.t + /0)
Rezgőmozgás
r(t) = A ej(.t + /0)
2.1.4.2. Speciális eset: az egyenletes körmozgás
A körmozgás definíciószerűen síkmozgás. Válasszuk a koordinátarendszer origóját a kör középpontjába! A mozgás pályája egy kör, és . szögsebesség merőleges a kör síkjára. (Ugyanis e és e· egyaránt a kör síkjában fekszik, a 2.8. ábra szerint viszont r
r
. = er 3 e·r merőleges erre a síkra.) Mivel a pont szöggyorsulása a d. .-val párhuzamos, körmozgás esetén 0 iránya is állandó.
2.8. ábra. A körmozgás síkmozgás (Az e·r a vektorszorzat képzéskor szabadon eltolható a O origóba.)
— Általános
Egyenesvonalú
53
1
Alkalmazzuk a (2.15) általános összefüggéseket körmozgásra. Körmozgás ese-
tén r· = 0, hiszen r = áll, ahol r + |r| a körpálya sugara. Ekkor (2.15b)-ből (2.16a)
A v nagysága a vektoriális szorzat abszolút értékével egyezik meg. A Lagrange-féle azonosságot* alkalmazva és figyelembevéve, hogy r 8 .-ra: (. .,3 r) (. .,3 r) = .2r2 = .2r2 Így |v| = v2 = v2 alapján v = .,· r
(2.16b)
Egyenletes körmozgásra (. .=áll., 0=0, r=áll., r·=0 és így r¨=0) a (2.15c) a következő alakra egyszerűsödik a = .,3 (. .,3 r)
(2.17a)
amelyre a kettős vektorszorzat kifejtési tételét** alkalmazva a gyorsulás a = .,3 (. .,3 r) = .(r · .) – r(., .,· ., .)
(2.17b)
alakú lesz. Mivel r 8 .-ra, ezek skalárszorzata nulla és így acp + a = –r. .2
(2.17c)
ahol az acp jelöléssel azt jeleztük, hogy az egyenletes körmozgás gyorsulása a kör középpontja felé mutat, "centripetális". v2 A (2.16b) szerint .2 = r2 , ezt felhasználva az egyenletes körmozgás gyorsulása v2 v2 r .2 = –r r2 = – r (2.18a) acp = –r. |r| nagysága pedig (Huygens, 1690):
v2 acp = r = .2r
*
(2.18b)
(a 3 b)(c 3 d) = (a·c)(b·d) – (b·c)(a·d) .)2 , és mivel r 8 .-ra, .,3 r)(. .,3 r) = (. .·. .)(r·r) – (r·. .)(. .·r) = .2r2 – (r. Esetünkre alkalmazva (. .= 0 r·. ** a 3 (b3c) = b(a·c) – c(a·b); a kettős vektorszorzat b-vel és c-vel koplanáris vektor.
v = .,3 r
54 A szögsebesség ebben a koordinátarendszerben akár skalárnak is tekinthető. Ha . -t skalárnak tekintjük és a tömegpont szögsebessége állandó (egyenletes körmozgás), a ponthoz húzott helyvektor / szögelfordulása az idővel arányos, azaz / = .t + /o
a fordulatszám (melyet frekvenciának is nevezünk). A szögsebesség abszolút értéke ezekkel a mennyiségekkel az 29 (2.19b) . = T = 29: = 29n alakban fejezhető ki, (ahol az n a fordulatszám jele). Figyeljünk fel arra, hogy bár az egyenletes körmozgásnál .=áll. és így |v|=áll., — de v iránya állandóan változó. Az elmondottakat a 2.9. ábrán szemléltetjük:
2.9. ábra. Az egyenletes körmozgás gyorsulásának geometriai interpretálása
A teljes 29 szögelforduláshoz szükséges időt keringési időnek nevezzük és T-vel jelöljük. A keringési idő reciproka 1 :=T (2.19a)
55 Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor koordinátarendszerünk origóját a kör középpontján átmenő, a kör síkjára merőleges egyenesen, de a kör síkján kívül választjuk meg (ld. 2.10. ábrát).
Ilyenkor is fennáll (ld. (2.16a)-t), hogy v = .,3 r' de itt r' az új origóválasztásnak megfelelő helyvektor. A vektorszorzat nagysága v = .r' sin / ahol a / az (. .,r') szög. Mivel r = r' sin / v = .r ahol r a kör sugara. A |v| tehát természetesen azonos azzal a v értékkel (ld. (2.16b)), amelyet akkor kapunk, ha az origót a körpálya középpontjában választjuk. Utóbbi eredményre jutunk akkor is, ha pl. a gyorsulás a (2.17a) egyenletét az új origó-választással írjuk fel. Fejtsük ki az .3(. .3r) kettős vektorszorzatot: a = .,3,(. .3r') = .(r'·. .) – r'(. .·. .) ahol azonban ne felejtsük el, hogy r' ebben az esetben a 2.10. ábrán látható helyvektor. Az ábrából láthatóan P = r' cos /, ami miatt .·r' = .r' cos / = .·P is fennáll. Alakítsuk át a gyorsulás fenti kifejezését ennek figyelembevételével a = . · .P – r'.2
2.10. ábra. Körpályán mozgó tömegpont, ha az origó nem a körpálya síkjában és középpontjában van
56 Ha most figyelembe vesszük, hogy (ld. 2.10. ábrát), hogy . és P kolineáris vektorok (egy egyenesen egyirányba mutatnak), így .·.P = .2P (az egységvektort áthelyeztük), továbbá, hogy r' = P+r acp = .2·P – .2r' = –.2(r'–P) = –.2r
2.1.4.3. Az általános kör- ill. térgörbe menti mozgás esete Könnyen belátható, hogy ha a körmozgás nem egyenletes, hanem egyenletesen gyorsuló vagy általános körmozgás, akkor az a gyorsulás nem mutat a kör középpontjába. Ehhez elegendő egy pillantást vetnünk a 2.9. ábrára: ilyenkor v2 4 v1-el. Az ilyen a gyorsulás mindig felbontható egy normális és egy tangenciális komponensre. A normális irányú an = –. .2r = –
v2 r r |r|
(2.20)
komponenst a sebesség nagysága és a pálya görbülete határozza meg és azonos a már megismert (2.18a) centripetális gyorsulással. A tangenciális komponens dv v at = dt |v|
(2.21)
alakú. 1
Az eredő gyorsulás nagysága a=
2
2
at + an
(2.22)
iránya pedig a t érintő egységvektor irányával olyan (a,t) szöget zár be, amelyre nézve a cos(a,t) = t (Huygens). a Általános térgörbe mentén való mozgás esetén a 2.1.2. pont végén és a 2.1.3. pontban leírt eljárást alkalmazhatjuk: a térgörbe kis szakaszaihoz simulósíkot húzunk és e síkban a térgörbe kis szakaszaihoz simulókört illesztünk. A fenti képletek ilyenkor is érvényesek, csak a kör r sugara helyére az R görbületi sugár irandó.
Igazoltuk tehát, hogy a 2.9. ábrán látható origóválasztással az acp értéke azonos a (2.18) alatti eredménnyel.
57 2.1.4.4. Speciális eset: csillapítatlan lineáris harmonikus rezgőmozgás*
Ha a mozgás egyenesét választjuk X tengelynek, akkor a lineáris harmonikus rezgőmozgás kitérése pl. az x(t) = A cos (.t + /o) (2.23) egyenlettel írható le. A mozgás vx sebessége
vx = x· = –A. sin(.t + /o)
(2.24)
A mozgás ax gyorsulása
ax = v· x = x¨ = –A.2 cos(.t + /o) = –.2x
(2.25)
A (.t + /o) kifejezést fázisnak, a /o-t a t=0 időponthoz tartozó kezdőfázisnak nevezzük. Már régen felismerték, hogy az egyenletes körmozgást végző test vetülete harmonikus rezgőmozgást végez. A 2.11. ábrán A sugarú, . szögsebességű, /o = 0 kezdőhelyzetű egyenletes körmozgást és annak y tengelyre vett vetületét ábrázoltuk az idő függvényében:
2.11. ábra. Az egyenletes körmozgás vetülete harmonikus rezgőmozgást végez.
* A rezgőmozgás általános eseteivel és komplex függvényekkel való leírásukkal a 7.1. pontban foglalkozunk.
Az olyan egyenesvonalú mozgást, ahol a test egy adott ponttól való távolsága (kitérése) az idő színuszos (koszinuszos) függvényével arányos lineáris harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük. (Ez a definiciója!) Az ilyen mozgásokra jellemző, hogy a mozgás gyorsulásának nagysága mindig arányos, iránya pedig ellentett a kitéréssel.
58 A harmonikus rezgőmozgás általános eseteinek leírásával a 7.1. pontban foglalkozunk.
1,mozgásegyenletével a 2.3.4. pontban (2.100b). 1, energiájával és a rá vonatkozó mechanikai energiamegmaradási tétellel a 2.5.3. pontban (2.205).
2.1.4.5. Az egyenesvonalú- és a körmozgásra összefüggéseket a 2.1. táblázatban foglaltuk össze.
vonatkozó
kinematikai 2.1. Táblázat
A tömegpont egyenesvonalú mozgása
körmozgása
út (s)
szög (/)
elmozdulás (dr) dr* ' sebesség &v = dt ) % (
szögelfordulás (d/ /) d/ /* ' szögsebesség &. = dt ) % (
dv d2r* ' gyorsulás &a = dt = 2 ) dt ( %
d. . d2/* ' szöggyorsulás &0 = dt = dt2 ) % (
2.1.5. Néhány kinematikai feladat
A kinematika, mint láttuk, három vektorfüggvény, azaz r = r (t) ,
r· = v(t) ,
··r = a(t)
illetve az ezeknek megfelelő 9 skalárfüggvény között egyértelmű kapcsolatot állapít meg. Bármelyikat ismerjük, a másik kettő matematikai úton meghatározható. A konkrét számításokat többnyire a skalárfüggvényekkel (a vektor-komponensekkel) végezzük el.
A (lineáris) csillapítatlan harmonikus rezgőmozgást végző testet (lineáris) harmonikus oszcillátornak nevezzük. Az ilyen oszcillátor egyéb aspektusaival a következő pontokban fogunk foglalkozni:
59
1,Egyenesvonalú mozgások 1 Ha ismerjük a tömegpont r(t) pályáját és a pont sebességét, illetve gyorsulását keressük. Az ilyen típusú feladat differenciálással oldható meg:
dv d2r a(r,t) = dt = dt2 1. Példa. Legyenek egy térben mozgó pont helyvektorának komponensei a következők. x(t) = 3·t2 [m], y(t) = 0, z(t) = 2 – 8 t2 [m]. Ekkor a pont sebességvektora vx(t) = 6t ms–1
vy(t) = 0
vz(t) = – 16t ms–1
ay(t) = 0
az(t) = – 16 ms–2
A gyorsulásvektora: ax(t) = 6 ms–2
A helyvektor időfüggésének ismeretében meghatározhatjuk a pont pályáját. A z(t) függvényből t2-et x-el kifejezve: 8x z=2– 3 Vagyis a pont pályája egy az x–z síkban fekvő egyenes. 1 Ha a tömegpont v(r,t) sebesség-idő függvénye adott és a pont gyorsulását, illetve pályáját keressük. A pálya meghatározása bonyolultabb az előző feladatnál és — általános esetben — egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldását követeli meg. A megoldandó egyenlet: dr dt = v(r,t)
(itt v(r,t) ismert)
(I)
amely egy közönséges elsőrendű differenciálegyenlet. Egy differenciálegyenlet megoldásán azoknak a függvényeknek a megadását értjük, amely függvények a differenciálegyenletet kielégítik. Ilyen függvény általában végtelen sok van. Az (I) egyenletet pl. minden olyan r(t) függvény kielégíti, amelyre r(t) = r’(t) + c, ahol r’(t) kielégíti az (I) egyenletet és c egy tetszőleges állandó vektor. A valóságban végbemenő mozgást a c állandó konkrét értéke határozza meg. Ha az időmérés kezdőpontját oly módon választjuk, hogy r'(0)=0 legyen, akkor c a tömegpont kiindulási helyzetének helyvektora: r0+r(t=0)=c. Az (I) egyenlet tehát csak az
dr v(r,t) = dt
60 r(0) = r0 u.n. kezdeti feltétel megadásával oldható meg egyértelműen. Ha a v(r,t) függvény csak az idő függvénye, akkor az (I) egyenlet egyszerűen integrálással oldható meg: # r(t) = ; v(t’)dt’ + r0 " 0
A gyorsulás meghatározásához a v(r,t) függvényt kell differenciálni: dv a = dt 2. Példa. A mellékelt ábrán az x tengely mentén mozgó test sebessége látható az idő függvényében. Határozzuk meg a gyorsulást az A és D időpontban! Mikor lesz zérus a gyorsulás? Határozzuk meg a B és D időpontok között megtett utat!
Segédábra a 2. példához.
A gyorsulást meghatározhatjuk a sebesség idő szerinti deriváltjával, azaz grafikusan a sebesség-idő függvény meredekségével. Az A időpillanatban a 5,5 ms–1 görbéhez húzott egyenes meredeksége: – 1,2 s . Tehát t=0,4s időpillanatban a test gyorsulása – 4,6 ms–2 . A negatív előjel jelzi, hogy a test lassul. m Hasonlóan a D pontban 4,4 s időpillanatban a gyorsulás 1,6 s2 (a test gyorsul). A gyorsulás zérus, ha a görbéhez húzott érintő párhuzamos az idő tengellyel, azaz a sebesség-idő grafikonnak minimuma (vagy maximuma) van. Ez a 3,4 s időpillanatban következik be.
t
61 A megtett utat a sebesség idő függvény idő szerinti integrálja, grafikusan az adott időpontok közé eső sebesség-idő függvény alatti terület adja meg. Esetünkben a 2s és 4,4s között eltelt idő alatt megtett út jó közelítéssel:
A kinematikai feladatok harmadik, egyben legfontosabb csoportjában a tömegpont gyorsulása az adott az idő függvényében. Ennek a feladatcsoportnak kiemelkedő fontosságát az erő és a gyorsulás között fennálló kapcsolat adja (ld. 2.3.1.3.pont). A mozgást leíró differenciálegyenlet egy u.n. közönséges másodrendű differenciálegyenlet: d2r = a(r,v,t) dt2
(II)
amely ekvivalens a következő két elsőrendű differenciálegyenlettel: dv dt = a(r,v,t) dr dt = v(r,t) Mivel utóbbi differenciálegyenletek mindegyikének megoldásában fellép egy tetszőlegesen megválasztható állandó, ezért a (II) egyenlet megoldásában két tetszőleges állandó (két kezdeti érték) szerepel: r(0) = r0 v(0) = v0 m 3. Példa. Egy test álló helyzetből indulva állandó 4 s2 gyorsulással 5 másodpercen keresztül mozog. Határozzuk meg az útját és a végsebességét! A test egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást végez. Vegyük fel a koordinátarendszerünket úgy, hogy a mozgás az x tengely mentén történjen! Ekkor az a, v és r vektoroknak is csak x komponense lesz. A gyorsulás ismeretében a sebesség integrálással határozható meg: t
# v(t) = ; a(t’) dt’ + v0 = at + v0 " 0
m m m m m 1,5 s · 0,4 s + 1,2 0,4s + 1 0,4s + 1 0,4s+ 1,2 0,4 s + s s s s m + 1,5 s 0,4s = 2,9 m
62 A kezdeti feltételek szerint v0 = 0. A t = 5 s időpontban a sebesség: 20 m/s. További integrálással kapjuk a t idő alatt megtett utat: t
t
0
0
A kezdeti feltételek szerint v0=0 és x0=0. Az 5 másodperc alatt megtett út: a x(t) = 2 t2 = 50 m
4. Példa. Egy szabadon eső test esetén a=g Ekkor a megoldandó differenciálegyenlet: d2r dt2 = g = áll. Ez az alábbi két egyenlettel ekvivalens: dv =g dt
és
dr dt = v(r,t)
Az elsőt integrálva: t
# v(t) = ; g t dt = g t + v0 " 0
A második egyenletbe behelyettesítve és integrálva:
r(t) =
' #t & ;" %0
* g ( g t + v0 ) dt) + r0 = 2 t2 + v0 t + r0 (
(III)
5. Példa. A ferde hajítás esetén a (III)-ban szereplő állandókat ismerjük. Ha pl. a koordinátarendszerünk x és y tengelye vízszintes, z tengelye pedig függőlegesen felfelé mutat, és az origójából indítjuk a testet az x-z síkban az x tengellyel /,szöget bezáró irányban, azaz
a # # x(t) = ; v(t’)dt’ + x0 = ; (at’ + v0 ) dt’ + x0 = t2 + v0t + x0 2 " "
63 v0 = (v0 cos/, 0, v0 sin/),
r0 = 0
akkor (III)-ból x(t) = v0 cos/ . t
g z(t) = – 2 t2 + v0 sin/,· t
6. Példa. Egy autó 10 percen keresztűl 7 ms–1 sebességgel halad, majd 5 percen át 17 ms–1 sebességgel. Határozzuk meg a teljes útra számított átlagsebességet! Az átlagsebesség a teljes megtett út és az út megtételére fordított idő hányadosa, azaz s s1 + s2 v1 t1 + v2 t2 = 10,3 ms–1 =t= t +t = t +t 1
2
1
2
1 A körmozgás Azok a mozgások a körmozgások, amelyek során a pont helyvektorának a nagysága nem, iránya pedig úgy változik, hogy a szögsebesség vektor iránya nem változik. A körmozgás síkmozgás. A pont szögsebessége ill szöggyorsulása a (2.10b) ill. (2.11b) képletek alapján a körpálya síkjára merőleges vektor. A körmozgásnál r· = 0, tehát ··r = 0 (is) (ld. 2.8. ábrát).
7. Példa. A (2.15)-be behelyettesítve az r· = 0, ··r = 0 kifejezéseket r(t) = r · er(t) v(t) = . 3 r a(t) = . 3 (. . 3 r) + 0 3 r
y(t) = 0
64 A gyorsulás első tagja merőleges a sebességre (. . 3 r) és az .-ra. Iránya a kör középpontja felé mutat. Második tagja 0-ra és r-re merőleges, tehát ± v irányú 0 irányától (tehát d. . irányától) függően. A mozgást síkbeli Descartesféle koordinátarendszerben leírva: y(t) = r sin .t
vx(t) = – r . sin .t
vy(t) = r . cos .t
ax(t) = – r .2 cos .t
ay(t) = – r .2 sin .t
|v| =
2
2
vx + vy = r.
x(t) = r cos .t
65
2.2. VONATKOZTATÁSI RENDSZEREK
A fizikai testek és jelenségek térbeli helyzetét mindig más fizikai testekhez képest határozzuk meg. A helymeghatározásunk tehát objektív de relatív. Azt a fizikai rendszert, amelyhez képest a vizsgált rendszerünk helyzetét megadjuk, vonatkoztatási rendszernek nevezzük (pl. az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszer, a laboratóriumhoz rögzített vonatkoztatási rendszer, a forgó Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer stb.). A vonatkoztatási rendszer megválasztását gyakorlati szempontok motiválják. Leggyakrabban a laboratóriumunkhoz, illetve a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszert használjuk. A térbeli helyzet mellett az időbeli helyzet meghatározására is szükség van a fizikai jelenségek leírásához. Vonatkoztatási rendszerünket tehát (legalábbis képzeletben) órákkal is el kell látnunk. Általában úgy járunk el, hogy vonatkoztatási rendszerünkhöz egy koordinátarendszert illesztünk és vizsgált rendszerünk viselkedését ezen koordinátarendszerhez képest adjuk meg. El is szoktunk tekinteni vonatkoztatási rendszerünk fizikai tulajdonságaitól és a hozzárendelt koordinátarendszert és órákat tekintjük vonatkoztatási rendszernek. Ez pongyola szóhasználat (hiszen egy vonatkoztatási rendszerhez különböző koordinátarendszereket is rendelhetünk), a szakirodalomban mégis rendkívül elterjedt. A későbbiekben mi is használni fogjuk a "vonatkoztatási rendszer" kifejezés helyett a "koordinátarendszer" kifejezést. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy ezt mintegy gyorsírásnak kell tekintenünk és mindig egy vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordinátarendszerre és órák rendszerére kell gondolnunk.
2.2.2. Inerciarendszerek A jelenségek leírása szempontjából alapkérdés volt léteznek-e kitüntetett (abszolút) vonatkoztatási rendszerek. Kezdetben a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszert ilyennek gondolták. Galilei mondta ki elsőnek, hogy az álló (Földhöz rögzített) és az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszerek a természet leírása szempontjából ekvivalensek. Newton érdeme, hogy kimondta: 1) létezik olyan vonatkoztatási rendszer, ez az ún inerciarendszer, amelyben egy, a környezettől származó kölcsönhatásoktól szigetelt magára hagyott pontszerű test sebessége (általánosabban fogalmazva: impulzusa - ld. 2.3. pontban) állandó. 2) Newton utasítást ad arra nézve, hogy miként lehet eldönteni egy vonatkoztatási rendszerről, hogy inerciarendszer–e: ezen utasítás szerint meg kell vizsgálni, hogy teljesíti–e a ma Newton első axiómájának nevezett axiómát :
2.2.1. Vonatkoztatási és koordinátarendszerek
66 Kölcsönhatásoktól mentes (elszigetelt) rendszer (test, tömegpont stb.) impulzusa inerciarendszerben állandó (Newton I. axiómája).* Egyetlen tömegpontra ez azt jelenti, hogy p = mv = állandó.
Az inerciarendszerekre egy (Galilei — ld. 2.2.3. pont — majd Einstein — ld. 2.2.4. pont — munkássága nyomán megfogalmazott) fontos tétel vonatkozik: ha egy K vonatkoztatási rendszer inerciarendszer, akkor minden hozzá képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer szintén inerciarendszer. Ez a tétel az inerciarendszer fenti definíciójából következik. Azok a vonatkoztatási rendszerek, amelyek egy inerciarendszerhez képest gyorsulnak, általában nem inerciarendszerek. Egy kivétel van csak: a homogén gravitációs térben szabadon eső vonatkoztatási rendszerek szintén inerciarendszerek (Einstein, 1916; ld. a 2.2.2. pontot).
2.2.3. A Galilei–féle relativitási elv Az inerciarendszerek egyenértékűségét (két egymáshoz képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszerben lefolyó mechanikai folyamatokra) először Galilei posztulálta. Tekintsünk két egymáshoz képest állandó vo állandó sebességgel mozgó derékszögű koordinátarendszert, K és K'-t! (ld. 2.12. ábra!) Írjuk le mindkét inerciarendszerben egy P tömegpont mozgását. A P pont helyzetét K-ban, illetve K'-ben megadó r, illetve r' vektorok között az alábbi kapcsolat van: r = ro + r'
(2.26)
ahol ro = vot + ro(0) a K' koordinátarendszer O' origójának K-beli koordinátája. Ha a P pont v' sebességgel mozog K'-ben, ahol
* Ezen rövid meghatározásból már következik az axióma közismertebb alakja: inerciarendszerben a test megtartja relatív nyugalmi vagy egyenesvonalú egyenletes mozgási állapotát.
Tapasztalat szerint inerciarendszer pl. az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszer. Bizonyos esetekben (ha a vizsgált jelenség szempontjából a Föld forgásától eltekinthetünk) jó közelítéssel a Földhöz viszonyított vonatkoztatási rendszer is tekinthető inerciarendszernek. Egy megfelelő inerciarendszer kiválasztása mindig alapos megfontolást igényel.
67
(E pontban feltesszük, hogy mind K, mind K' derékszögű koordinátarendszer. Általános esetben a koordinátatengelyek nem párhuzamosak, de K' iránya nem változhat K-hoz képest: a K' nem forog K –hoz képest, azaz,!=0. Továbbá felteszük, hogy r· = v = konstans.) o
dr' v' = dt'
o
(2.27)
ahol dt' a dr' elmozduláshoz tartozó, K'-ben mért idő, akkor a P pont K –beli v sebességét a dr dr dr' v = dt = dto + dt
(2.28)*
képlet adja meg. Itt dt a K-ban a dr távolság megtételéhez tartozó idő. Természetesnek tűnik (és ezt Galilei posztulátumként el is fogadta), hogy dt = dt' (2.29a) Amennyiben a két rendszer óráit összehangoljuk, ebből t = t'
(2.29b)
is következik; azaz az egyik inerciarendszerről a másikra áttérve az időt nem kell transzformálni. A (2.26) és (2.29) képletek az ún. Galilei–transzformáció képletei.*
* A Galilei–transzformáció speciális esete (! !=0, r·o=konst) a 2.3.3. pontban ismertetett általános koordinátatranszformációnak.
2.12. ábra. A Galilei–transzformáció
68
Ilyen jellegű megfontolásokból következik az ún. Galilei-féle relativitási elv: A mechanikai törvények alakja és a mechanikai jelenségek lefolyása minden inerciarendszerben azonos. Vagyis: mivel minden inerciarendszerben minden mechanikai jelenség azonosan, azonos törvények szerint zajlik, nincs mód rá, hogy inerciarendszerünkből való kitekintés nélkül inerciarendszerünket más inerciarendszertől megkülönböztessük. Abból a Galilei-féle posztulátumból, hogy K és K' között az időt nem kell transzformálni adódik a Galilei-féle sebességtranszformáció, amit sokszor egyszerűen "Galilei-féle sebességösszeadási törvényként" is emlegetnek. Ha ugyanis (2.29a) dr' dr' dt=dt', akkor a (2.27)-ben v' = dt és így (2.28)-ban dt helyére v' írható: dr dr' v = dto + dt = vo + v'
(2.30)
amely a Galilei-féle sebességösszeadási* törvény matematikailag megfogalmazott alakja. Szavakban Ha egy test K'-höz képest v' sebességgel mozog, akkor K-hoz képest v=v'+vo sebességgel kell mozognia, ahol vo K' sebessége K-hoz képest. Az alábbiakban először két példán (1., 2. példa) bemutatjuk a Galilei sebességösszeadási transzformáció alkalmazását. Ezt követően a 3. példában megmutatjuk a Galilei-transzformáció korlátait. Kísérletet teszünk ugyanis arra, hogy a Galilei-transzformációt (illetve annak következményét a Galilei-féle sebességösszeadási törvényt) a fény különböző vonatkoztatási rendszerbeli terjedési sebességének kiszámítására alkalmazzuk. A kísérleti tények azonban ez esetben ellentmondanak a Galilei-féle sebességösszeadás törvényének. 1. Példa Vizsgáljuk meg egy hajó mozgását állóvízben (pl. egy tavon), illetve egy folyón! Legyen a hajó sebessége állóvízben vh = 6 km/h, és legyen a folyó sebessége vf = 3 km/h. Vizsgáljuk a hajó mozgását tavon és folyón (utóbbin hosszában és keresztben) két, egymástól "s = 30 km-re fekvő város (A és B) között (ld. a 2.13. ábrát)!
* A fenti levezetésből látható, hogy ez nem "összeadás", hanem transzformáció: azt adja meg, miként lehet az egyik vonatkoztatási rendszerbeli leírásról a másikra áttérni.
A Galilei–transzformációt a mechanika törvényeire alkalmazva kitűnik, hogy bár ugyanazon test sebessége a két (K ill. K') koordinátarendszerben különböző, de a sebesség megváltozása mindkét rendszerben ugyanakkora. Ennek következtében a két rendszerben pl. ütközéskor fellépő impulzusváltozások is egyenlőek, és azonos alakúak a dinamika newtoni axiómái és az ezekből levezetett tételek is. A mozgásegyenletben szereplő mennyiségek és a közöttük lévő összefüggések mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanazok.
69 # A tavon a hajó a két város közötti "s utat oda–vissza "ttó =
2"s vh = 10 óra
$%&31)
2.13. ábra A Galilei-féle sebességösszeadási törvény szemléltetése. a) hajó mozgása állóvízben, b) hajó mozgása folyón hosszában, c) hajó mozgása folyón keresztben
# Ha a két város a folyó egyazon partján helyezkedik el, akkor a folyó hosszában kell a hajónak mozognia (2.13b. ábra), a (2.30) képlet szerint lefelé a hajó és a folyó sebessége összeadódik, felfelé a hajó sebességéből kivonódik a folyó sebessége. Így az oda–vissza úthoz tartozó összes idő: "tfolyó
hosszában =
"s "s "tle + "tfel = v + v + v – v = 13,3 óra h f h f
'("tfolyó hosszában fenti képletét átalakítva (alábbiakban a 3. egyenlőségjel után a 2 nevezőben vh-t kiemelve és felhasználva a (2.31) egyenletet) "s "s "s(vh – vf) + "s(vh + vf) "tfolyó hosszában = v + v + v – v = = (vh + vf)(vh – vf) h f h f =
2 "svh 2 "s 2 2 = v h (vh – vf )
eredményt kapjuk.
1 1–
2 vf 2 vh
=
"ttó 2 = 13,3 óra vf 1– 2 vh
(2.32)
idő alatt teszi meg (ld. 2.13a. ábra)
70
vh sin )(*(vf ami e példa számértékeivel ) = 30°-ot ad; a hajó folyóra merőleges vR eredő sebessége pedig vR = vh cos) = 5.2 km/h Ha "s most a folyó szélessége, akkor az oda–vissza úthoz tartozó idő: "tfolyó keresztben = 2 "t = 2
"s vR = 11,5 óra
A vR sebesség a Pitagorasz-tétel alapján is kifejezhető: 2
vR =
2 vh
–
2 vf
= vh
1–
vf
2
vh
ezért a (2.33) második egyenlőségében vR-t vh-val, majd utóbbit a (2.31) egyenlettel kifejezve: 2"s "tfolyó keresztben = v = R
2"s vh ·
1–
2 vf 2 vh
=
"ttó 2
1–
vf
= 11,5 óra
(2.33)
2
vh
Láthatóan ha nem tudnánk, hogy a hajó álló vagy mozgó közegben haladte, a megmért eltérő "t utazási időkből erre következtetni tudnánk. 2. Példa. Vizsgáljuk meg a hang terjedését a hangforráshoz képest álló ill. mozgó levegőben! A kísérletet úgy hajtjuk végre, hogy a hangforrást, egy hangvisszaverő felületet és a forrás mellé helyezett detektort egy nyitott járműre rögzítjük, és ez a jármű áll, illetve mozog a levegőhöz képest. Mivel csak a relatív sebességek számítanak, a levegő sebességének nagysága a hangforráséhoz képest megegyezik a jármű talajhoz képesti sebességével. Jelöljük a levegő relatív sebességnek nagyságát v -lel! Legyen a hangsebesség álló közegben (levegőben) vh = 330 m/s és a hangforrás és a visszaverő felület távolsága "s = 20 m. (Ez analóg az 1. Példa A–B távolságával.) Számítani és mérni a 2"s = 40 m oda–vissza (forrás– tükör–detektor) távolság megtételéhez szükséges időt fogjuk, és ezt "t futási időnek nevezzük. A számításokat
# Ha pedig a két város a folyó két, éppen szemben levő partján helyezkedik el, akkor a hajónak a folyón keresztben kell mozognia (2.13c. ábra). Ekkor a hajónak ahhoz, hogy az eredő sebesség a folyó partjára merőleges legyen, a víz folyásához képest felfelé kell mozognia. A hajó sebességének a folyó partjával párhuzamos komponense eszerint a folyó sebességével egyenlő nagyságú kell hogy legyen, vagyis (ld. 2.13c. ábra).
71 Analógia az 1. példával : hang + hajó
levegő + víz
A számítási és a számítást igazoló kísérleti eredmények a következők: "tálló levegő = 0,121212 s "tmozgó levegőben
= 0,121324 s
,( a levegő mozgásával párhuzamosan
"tmozgó levegőben ,
= 0,121268 s
a levegő mozgására merőlegesen
A 2. példából az 1. példa végén mondottakkal azonos következtetésre juthatunk, vagyis járművünk levegőhöz képesti sebességét a futási időkből kiszámíthatjuk. 3. Példa. Az alábbi kísérletet a tényleges kivitelhez képest egyszerűsítve ismertetjük. Rögzítsünk egy lézert, egy tükröt és egy detektort a Nap körül vF = 28800 m/s átlagos sebességgel haladó mozgást végző Földhöz. Bocsássunk ki fényt egy a Föld haladási irányába ill. arra merőlegesen elhelyezett tükörre és mérjük meg a fénykibocsátás és a visszavert fénysugár beérkezése közötti időt! Tételezzük fel, hogy a fény (a hanghoz hasonlóan) valamely közegben terjedő hullám! Analógia a 2. példával: hang + fény
levegő + feltételezett terjedési közeg
ahol a feltételezett közeg feltételezett mozgását (relatív sebességét) most a Föld (a 2. példához viszonyított analógiával: jármű) mozgása (sebessége) határozná meg.
A valóságban ezt a kísérletet Michelson (1881) ill. később módosított formában Michelson és Morley (1887) egy, a Földhöz rögzített interferométeren (ld. 7.6.3. pont) végezték. Az 1. ill. 2. példához hasonló kísérletek alapján az interferométerben a Föld mozgásirányába és arra merőlegesen mozgó fénysugarakra jól mérhető futási idő ill. fénysebesség változást vártak. A meglepő eredmény: a kísérlet számos variációja
alapján az 1. példa képleteivel végezzük. Legyen a levegő sebessége v , amely álló levegő (+ tó) esetén v = 0, mozgó levegő (+ folyó) esetén pedig v = 10 m/s.
72 negatív eredményt adott! A fény megmért futási ideje, ill. az ebből számolt fénysebesség függetlennek adódott a feltételezett terjedési közeghez viszonyított mozgástól.
A fent ismertetett kísérletek ill. számos modern variációjuk, pl. az egymás körül keringő ún. kettős csillagokból érkező fény sebességének mérési eredményei alapján mondta ki Einstein a speciális relativitáselmélet alapvető axiómáját (1905): A fény vákuumbeli sebessége minden inerciarendszerben és a vonatkoztatási rendszerbeni terjedési iránytól függetlenül ugyanakkora, azaz invariáns. Teljesen világos, hogy ez ellentmond a Galilei–féle sebességösszeadási törvénynek és ennek következtében kimondhatjuk, hogy a fénysebességre nem érvényesek a Galilei–féle transzformációs képletek! Lorentz munkássága (H.A. Lorentz, 1904) nyomán ekkor már ismert volt az a tény, hogy a Maxwell-egyenletek (az elektromágnességtan alaptörvényei) koordinátatranszformációja nem a Galilei-transzformáció, hanem a Lorent-transzformáció. A fénysebesség az elektromágnességtan alapegyenleteiben megjelenő (ld. 7.3.2. pont) természeti állandó. Einstein felismerte, hogy a természet egységes és ugyanakkor a kísérleti tényeknek megfelelő leírásához új, a vákuumbeli fénysebesség invarianciáját is magában foglaló, relativitási elvet kell megfogalmazni és az inerciarendszerek közötti koordináta-transzformációra a fizika minden diszciplinájában a Lorentz–transzformációt kell alkalmazni.
2.2.4. Az Einstein–féle relativitási elv Einstein az előző pontban ismertetett gondolatmenet alapján általánosítással új relativitási elvet fogalmazott meg, melyet ma egyszerűen relativitási elvnek (esetleg Einstein-féle relativitási elvnek nevezünk). Ennek egy lehetséges megfogalmazása:
Tudománytörténeti érdekesség, hogy a Michelson kísérletek és azok kortársi értelmezései tulajdonképpen a fény feltételezett terjedési közegének, az abszolút nyugalomban levő éter (melyet egy abszolút vonatkoztatási rendszernek szántak) létének igazolására irányultak. Mivel ilyen közeg léte (hiszen a fény sebességét nem befolyásolta) nem nyert igazolást, Einstein az éter létezését (és vele egy abszolút vonatkoztatási rendszer létének fikcióját) elvetette; Einstein a XX. század tudósainak módszerét alkalmazta: amit elvileg nem lehet kimérni, az a fizika számára nincs. Éter tehát nincs, a fény vákuumban korpuszkuláris közeg nélkül, (az önfenntartó elektromágneses erőtér révén (ld. 7.3.2. pont)), terjed.
73 A fizikai törvények alakja, a fizikai jelenségek lefolyása és a természeti állandók* értéke minden inerciarendszerben azonos. Egyetlen inerciarendszer sem különböztethető meg (a rendszerből való kitekintés nélkül) más inerciarendszerektől.
(i) Minden fizikai törvény alakja minden inerciarendszerben azonos. (ii) A természeti állandók értéke nem változik, ha az egyik inerciarendszerbeli leírásról egy másik inerciarendszerbeli leírásra térünk át. Ez az áttérés egy speciális koordinátatranszformációval, az ún. Lorentz-transzformációval történik (ld. alább). Ez a transzformáció tehát a természeti állandók értékét nem változtatja meg, azok értéke invariáns. A speciális relativitáselmélet ezen két posztulátum következményein alapszik. Fűzzünk némi kiegészítést a fent (ii)-ként jelzett posztulátumhoz, melyet sok könyv csak a fénysebesség invarianciájaként aposztrofál! A relativitás elvével kerülnénk ellentmondásba, ha az invariancia nem terjedne ki minden természeti állandóra. Ha ugyanis például a gravitációs állandó vagy az elektrontöltés értéke két inerciarendszerben különbözhetne, akkor a két inerciarendszert belülről, a gravitációs állandó, illetve az elektrontöltés megmérésével meg tudnánk különböztetni. Ez ellentmondana kísérleti tapasztalatainknak, tehát ezt nem engedhetjük meg. Nyilván ugyanez a helyzet a többi természeti állandóval is. Ezek számértéke tehát minden inerciarendszerben azonos. 2.2.4.1. Az egyidejűség relativitása Képzeljük el a következő gondolatkísérletet (Einstein, 1916) (2.14. ábra). Egy hosszú vasúti töltés mellett a talajhoz rögzített K vonatkoztatási rendszerben áll egy M-mel jelölt megfigyelő. A sínen egy gyorsvonat robog el vo = konst. sebességgel, benne pontosan a vonat közepén egy másik, M'-vel jelölt megfigyelő. Az ő vonatkoztatási rendszerét, a robogó vonatot jelöljük K'-vel. A vonat végein becsap két villám, mégpedig úgy, hogy a két becsapódás felvillanása az M megfigyelőt egyidejűleg és éppen akkor éri el, amikor ő az M' megfigyelővel egy vonalba kerül. Tehát a fényfelvillanások az M' megfigyelőt is egyidejűleg érik el. Kérdezzük meg mindkét megfigyelőt arról, vajon a két villám egyidejűleg csapott-e le a vonat két végén?
* A fizikai összefüggésekben megjelenő kimérhető konstansokat természeti állandóknak nevezzük. (Így a c vákuumbeli fénysebességen kívül természeti állandó pl. a - gravitációs állandó, a h Planck– állandó, az elektron töltése, a kB Boltzmann–állandó, ugyanakkor láthatóan (ld. 2.2.3. pont) nem természeti állandó a hang terjedési sebessége.).
Fenti megfogalmazás tulajdonképpen két posztulátumot tartalmaz:
74
Az M' megfigyelő a következőt mondja: — A két villám felvillanását egyidejűleg észleltem. Mivel a fény terjedési sebessége iránytól függetlenül ugyanakkora (c) és a felvillanásokat a vonat középpontjában egyidejűleg észleltem, a két felvillanás fénye ugyanakkora utat tett meg, vagyis a két villám egyidejűleg csapott le. Az M megfigyelő viszont így érvel: — A két villám felvillanását egyidejűleg észleltem. A fény terjedési sebessége iránytól függetlenül ugyanakkora (c). A felvillanásoknak előbb kellett megtörténnie mielőtt a fényük elért volna engem, azaz akkor, amikor a vonat (A) eleje még közelebb volt hozzám, mint a vonat (B) vége, ezért a vonat elejéről érkező fénynek kisebb utat kellett megtennie, mint a vonat végéről érkező fénynek. Vagyis (mivel a felvillanásokat egyidejűleg észleltem) a vonat végén a villámnak előbb kellett becsapnia, mint a vonat elején. A két villámcsapás tehát nem volt egyidejű. Objektíve vajon melyik megfigyelőnek van igaza? Képzeljük magunkat különkülön mindkét megfigyelő helyébe és kövessük a logikáját. Be kell látnunk, hogy ha következetesen elfogadjuk a relativitás elvét:* mindkettőnek igaza van: a K' rendszerben a két villám egyidejűleg, a K rendszerben pedig nem egyidejűleg csapott be! Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az események egyidejűségének relativitása nem szubjektív, a megfigyelőtől függő valami, hanem objektív, a vonatkoztatási rendszerektől függő valóság, amit a kísérletek ezrei támasztanak alá. Az "egyidejűség" tehát nem egy magától értetődő fogalom, ha a két esemény nem ugyanazon a helyen történik. Az egyidejűség definíciója:
* Ha a fénysebesség nem lenne invariáns, akkor a vonat végéről induló fény M–hez viszonyított sebessége nagyobb, a vonat elejéről indulóé kisebb lenne és a két esemény (a becsapódás) mindkét rendszerben egyidejű lenne.
2.14. ábra: Az Einstein–féle vonatkísérlet
75 Egyazon K inerciarendszerben lévő két különböző térbeli pontban lezajló esemény akkor egyidejű, ha a két helyen lévő két, a K–ban összehangolt óra a két esemény bekövetkezésekor ugyanazt az időpontot mutatja.
2.2.4.2. A Lorentz–transzformáció Az Einstein-féle speciális relativitáselméletben a K és K' inerciarendszerben, a mozgó tárgyak leírására szolgáló helyvektorokat ill. az időket nem a (2.26), ill. (2.29) Galilei–féle transzformációs szabály, hanem egy sokkal bonyolultabb, az ún. Lorentz– transzformáció köti össze. (A Lorentz transzformáció egyenleteinek levezetését az F.5. Függelékben ismertetjük.) A Lorentz–transzformáció egyenletei egyszerüsített feltételek* mellett az x, t és x', t' koordinátákra a következőek: x=
t=
x' + vot' 2
(2.34a)
,
(2.34b)
vo 1 – c2 vo c2 x' + t' 2
vo 1 – c2
ahol x és t a K rendszerben, x' és t' a K' rendszerben mért hely- és időkoordináták, vo pedig a K' vonatkoztatási rendszer K-hoz képesti x irányú sebessége. A (2.34) egyenletek legfőbb eltérése a Galilei-transzformáció (2.26) és (2.29) egyenleteitől az, hogy a K'-ről K-ra való áttérés során az időt is transzformálnunk kell, vagyis a K és K' rendszerekbeli órák járása nem szinkronizálható össze (ld. még alább)! # A kifejezések szimmetrikusak, tehát (felhasználva, hogy a K'-höz képest a K (–vo) sebességgel mozog) az is fennáll, hogy v – 2o x + t c x–vot x' = t' = (2.35a,b) 2 2 vo vo 1 – c2 1 – c2
* E szerint feltesszük, hogy a K és K' derékszögű koordinátarendszerek tengelyei párhuzamosak és v0 x irányú.
Ha pl. egy K' koordinátarendszerben két esemény egyidejű ("t' =0) akkor K-ban nem egyidejű (ld. (2.37)).
76 Miután a Lorentz-transzformáció x' és t'-re (ill. x és t-re) lineáris, a (2.34) egyenleteket alkalmazhatjuk az x' és t' koordináták Dx' = x' –x' ill. Dt' = t' –t' különbségeire 2
1
2
1
is:
#
"x' + vo "t' 2
vo 1 – c2
"t =
2
vo 1 – c2
(2.36a,b)
Analóg módon (2.35)-ből levezethető "x' ill. "t' értéke is.
# Ha vo mg A r 2 dt dt2 = 2>g
8. Példa. Az r sugarú, m tömegű henger vízszintes, érdes hasábon fekszik. A > súrlódási tényező 0,1. A hasábot a henger tengelyére merőleges irányban vízszintes a gyorsulással mozgatjuk. Határozzuk meg a nagyságát úgy, hogy a henger a hasábon még éppen ne csússzék meg.
167 A kiszámított fenti értékeket ( x )-ba behelyettesítve: a=
d2 x d2@ m 2 +r 2 = >g + 2'>g = 3'>g = 0,3 g = 3,943 2 dt dt s
Segédábra a 6. példához. Megoldás: A ható erők (ld. a b) ábrát): F1 = a rúdra a talaj által kifejtett erő; F2 = a fal által a rúdra kifejtett erő; F3 = Ff = a fonál által a rúdra kifejtett erő; F4 = G = a rúdra ható nehézségi erő. Az egyensúly feltételei 4
$ Fix = 0;
i=1
Ezek közül:
Ezekkel:
4
$ FiY = 0;
i=1
4
$ Mi = 0;
i=1
F1x = 0;
F2x = 0;
F3x = –Ff;
F4x = 0;
F1y = F1;
F2y = 0;
F3y = 0;
F4y = –G;
$ F1x = F2 – Ff = 0
$ F1y = F1 – G = 0
A rúd talajjal érintkező pontjára a forgatónyomatékok: d $ M = M2 + M4 = F2d cos 0 – G sin 0 = 0 2
9. Példa. Merőleges falszögletbe támasztott rúd elcsúszását a rúd alsó végéhez és a falhoz kötött, a talajon fekvő vízszintes fonál akadályozza meg. A rúd a függőleges fallal 31o-os szöget zár be. A fal és a talaj tökéletesen síma (ld. az a) ábrát). A rúd súlya 200 N. Mekkora erő feszíti a fonalat, és mekkora erővel nyomja a rúd a talajt, illetve a falat? (g=10 m/s2/
168
Az egyensúly feltételeit tartalmazó három egyenletből: és
G F2 = Ff = 2 tg 0
Így F1 = Ftalaj = 200 N,
Ffonal = Ffal = 60 N
10. Példa. Két R sugarú m tömegű gömb helyezkedik el egy súlytalannak tekinthető merev rúd két végén. A gömbök középpontjai 2r távolságra vannak egymástól. Határozzuk meg a két gömb tehetetlenségi nyomatékát a rúd felezőpontjain átmenő, arra merőleges forgástengelyre vonatkozóan. Megoldás: Bármelyik gömb tehetetlenségi nyomatéka a súlypontján átmenő forgástengelyre nézve: 2 ?s = 5 mR2 A Steiner tételt felhasználva a súlyponton átmenő tengelytől r távolságra lévő forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték bármelyik gömbre 2 ?' = 5 mR2 + mr2 A két gömb együttes tehetetlenségi nyomatéka tehát :4 = ? = 2?' = 95 R2 + 2r2 < m 8 ;
F1 = G
169
2.4.5. A merev test haladó ill. forgó mozgására vonatkozó megfelelő mennyiségek összefoglalása 2.3. Táblázat Merev test Forgó mozgás rögzített tengely körül
koordináta (r)
szög (@)
elmozdulás (dr)
szögelfordulás (d@ @)
dr= : sebesség 9v = dt < 8 ;
d@ @= : szögsebesség 9! = dt < 8 ;
dv d2r= : gyorsulás 9a = dt = dt2 < 8 ;
d! != : szöggyorsulás 9% = dt < 8 ;
erő (F)
forgatónyomaték* (MF)
tömeg (m)
tehetetlenségi nyomaték* (&) mozgásegyenlet:*
mozgásegyenlet:
$
(K) Fi
= mr¨ c
kinetikus energia: 1 Ek = 2 mv2
$ Mi = &%% kinetikus energia* (ld. 2.5.1. pont): 1 Ek = 2 &! !2
impulzus (p)
impulzusmomentum (L)*
impulzustétel
impulzusmomentum–tétel*
impulzusmegmaradási tétel
impulzusmomentum-megmaradás tétel*
Megjegyzés: A *-gal jelölt mennyiségek és tételek egy tömegpontra is értelmezhetők; Pl. az MF mennyiség ilyenkor a tömegpontra ható erő vonatkoztatási pontra megadott nyomatéka, amit ez esetben célszerűbb erőmomentumnak nevezni. (Természetesen egy tömegpont forgómozgást nem végezhet, ezért a vonatkoztatási pont nem lehet azonos magával a tömegponttal.)
Haladó (transzlációs) mozgás
170
2.5. AZ ENERGIA
#
E két határeset közötti általános esetben a testnek a munkavégzés hatására mind erőtérbeli helyzete, mind sebességének nagysága megváltozik; gondoljunk egy szabadon eső vagy egy rezgő mozgást végző testre. Kimutatható (ld. 2.5.1. pontot), hogy ha egy erő munkája kizárólag a test sebességét (nevezzük: sebességállapotát) változtatja meg, akkor — függetlenül a két sebességállapot közötti mozgás gyorsulásától (pl. attól, hogy a két sebességállapot közötti átmenet állandó vagy változó gyorsulással, állandó vagy változó erő hatására megy végbe) és a megtett úttól — a befektetett munka egy, a sebességállapotra jellemző fizikai mennyiség (a kinetikus energia) megváltoztatására fordítódik. Tapasztalati tény, hogy vannak olyan erőterek, amelyekben az erő által végzett — az erőtérbeli helyzet megváltoztatására fordított — munka független a munkavégzés során befutott pályától, úttól és kizárólag a kezdeti és véghelyzet függvénye. Az ilyen erőtereket konzervatív erőtérnek* nevezzük. Az erőtér ellenében az erőtérbeli helyzet megváltoztatására végzett munka a konzervatív erőterekben az erőtérbeli helyzetre jellemző fizikai mennyiség (a potenciális energia) megváltozására fordítódik (ld. 2.5.2. pontot). Utóbbi esetben igaz tehát, hogy az adott munkavégzés nagysága megegyezik egyegy, a test vég- és kezdeti helyzetére (állapotára) (a sebesség- ill. erőtérbeli helyzetre (állapotra)) jellemző mennyiség különbségével. Ezen jellemzők csak a test sebességállapotától ill. pillanatnyi helyzetétől függenek, tehát útfüggetlen állapotjelzők. Beláthatjuk (ld. alább), hogy mindkét utóbbi mennyiség az energia egy-egy válfaja.
#
Az energia középiskolában megismert definíciója igen közel áll e mennyiség köznapi fogalmához: Az energia a rendszerek (testek) munkavégzőképessége.**
* A nem konzervatív erőterekről ill. erőkről ld. a 2.5.4. pontot! ** A definíció bizonyos mértékig pontatlan: 1.) az energiaváltozás adja meg a munkavégzést; 2.) a fizikai rendszerek belső energiája (ld. 1.2.2. pontot és a 2.5.5. pontot) (mint azt a termodinamika II.főtétele kimondja) nem alakítható át teljes egészében munkává (ld. 5. fejezetet, az ott tárgyalt pontosításokkal).
Ha egy tömegponton vagy merev testen egy erő munkát végez, két határeset lehetséges: a) a munkavégzés kizárólag a test sebességének megváltoztatására fordítódik; b) a munkavégzés kizárólag a test erőtérbeli helyzetének megváltoztatására fordítódik.
171 A kinetikus (mozgási) ill. a csak konzervatív erőtérben értelmezhető a potenciális (helyzeti) energia egyaránt a rendszer (test) valamilyen állapotára (a sebesség- ill. helyzetbeli állapotra) jellemző állapotjelzőnek tekinthető.
Az energia más típusaival, pl. a belső energiával (2.5.5. pont), az elektromágneses energiával (ld. 6.1.7. ill. 6.3.3. pontokat) külön pontokban foglalkozunk. Az energiával relativisztikus tárgyalásban a 2.6. pontban foglalkozunk. Nem konzervatív erőterekre a potenciális energia nem értelmezhető, a mechanikai energia megmaradása nem érvényes (ld. 2.5.4. pont).
2.5.1. A kinetikus (mozgási) energia és a munkatétel. Forgó testek kinetikus energiája
#
Induljunk ki a második Newton-egyenlet tömegpontra felírt (2.68) alakjából: .. m·r = F . Skalárisan beszorozva r-al: .. . . mrr = F·r (2.170a) :1 . = Vegyük észre, hogy a (2.170a) baloldala az 92 mr2< mennyiség idő szerinti 8 ; differenciálhányadosával egyenlő (összetett függvény differenciálhányadosa!): d :1 . 2= 1 d .2 1 . .. dt982 mr 0 K hőmérsékleten lépnek fel. Ha csak külön nem jelezzük, belső energián a termikus energiát értjük.*
199
"
Fentebb említettük, hogy a belső energia magában foglalja a kötési energiákat is. Korlátozzuk magunkat most a kémiai kötési energiára. Vizsgáljuk a problémát egy egyszerű eseten a H + H # H2 reakción, melynek során (ún. alapállapotban lévő) atomos hidrogénből molekuláris hidrogén keletkezik. A szabad atomok stb. összenergiája mindig nagyobb, mint az egyesülésük után létrejövő rendszeré (pl. molekuláé). Az energiakülönbség a kötés létrejöttekor kötési energiaként felszabadul. Példánk esetében a 2 darab szabad H atom alapállapotú energiája 436 KJ/mól-al nagyobb mint az alapállapotú H2 molekuláé. A felszabadult kötési energia az Einstein–féle E = mc2 tömeg–energia ekvivalencia szerint (ld. 2.6. pontot) tömegdefektusként is megjelenik: a kötött rendszer tömege mindig kisebb, mint a szabad részecskék tömegének összege. Erre a következő pontban konkrét példa kapcsán is visszatérünk. Mint a 2.5.3. pontban említettük, az energia nullpontját a legalacsonyabb szabad állapot energiájánál célszerű felvenni. Ez azt jelenti, hogy az összes kötött állapot energiáját negatívnak tekintjük. Példánkra visszatérve a szabad H-atomok alapállapoti energiáját vesszük nullának, — így az alapállapotú H2 molekula energiája - 436 KJ/mol. Azt az energiát, amely ahhoz szükséges, hogy 1 mol molekulában a molekulákat szabad atomokra szakítsa fel kötési energiának nevezzük. A kötési energia (!E) tehát megállapodás szerint pozitív érték.
* A DQ ill. DW elemi hőközlést ill. munkavégzést jelent.
meg lehet változtatni; a DQ hőközlés és a DW munka* ennek során előjeles mennyiségek: az előjel pozitív, ha a rendszerrel hõt közlünk vagy a rendszeren munkát végzünk és negatív, ha a rendszer hőt ad le ill. munkát végez (ld. az 1.3.3. pontot és az 5. fejezetet). A DQ elemi hőközlés és a DW elemi munkavégzés tehát a rendszer állapotváltozásához vezető folyamatokhoz kapcsolódnak és értékük az állapotváltozás (állapottérbeli) útjától függenek: nem állapot-, hanem útfüggvények. Ezért a DQ ill. DW értékét sohasem lehet az állapotváltozás vég- és kezdeti állapota különbségéből kiszámítani; a számítást a konkrét (állapottérbeli) útra kell elvégezni! Ezt jelezzük azzal, hogy dQ és dW helyett DQ –t és DW –t írunk, míg pl. az állapottérbeli úttól független infinitezimális belsőenergia változást dU –val jelöljük.
200
2.6.1.
A munka relativisztikus kifejezése
Az F erő által végzett munkát relativisztikusan is (2.103b) alapján számolhatjuk ki: r2
W= % $ F dr r1 ahol F az erő vonatkoztatási rendszertől függő (2.70) alatti kifejezése.
(2.208a)
Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy egydimenziós mozgást! Mozogjon egy pontszerű test az x tengely mentén és legyen a testre ható erő is x irányú! Ebben az esetben x2
W= % $ F dx
(2.208b)
x1
ahol a dx differenciált (ld. 2.1.1. pont) a differenciálhányados definíciója alapján a v sebesség segítségével is felírhatjuk: dx dx = dt dt = v dt
(2.209)
Ezt a (2.208b)-be helyettesítve: t2
W= % $ F v dt
(2.210)
t1
Az F erő helyébe behelyettesíthetjük az impulzusváltozás sebességét: t
2 dp W= % $ dt v dt
(2.211)
t1
A p relativisztikus impulzus
mv kifejezését (ld. (2.58)) felhasználva 1–v2/c2 t
2 d ( mv + W= % $ v · dt ' 1–v2/c2* dt & ) t 1
(2.212)
2.6. A MUNKA, A KINETIKUS ENERGIA ÉS AZ ENERGIA-MEGMARADÁS A RELATIVITÁSELMÉLETBEN. TÖMEG–ENERGIA EKVIVALENCIA, TÖMEGDEFEKTUS
201 ahol t az ahhoz a rendszerhez tartozó idő, amelyben a test mozgását vizsgáljuk. Beláthatjuk, hogy a (2.212)-ben az integráljel alatt szereplő v kifejezés tulajdonképpen az
d ( mv + dt '& 1–v2/c2*) (2.212a)
v2 1 – c2 differenciálhányadosa.
Ehhez először differenciáljuk a (2.212a)-t és az eredményt vessük össze a (2.212) integranduszával! Végezzük el először a (2.212a) differenciálását d( dt ' ' &
mc2
1 mc2 d ( v2+ + = – '– 2 * = * 2 v2 2+3/2 dt& c ) v ( * 1 – c2 '1 – c2 * ) & ) ( 2v·v+ mv·v '– 2 * = 3/2 & c ) 3/2 ( v2 + ( v2 + '1 – c2 * '1 – c2 * & ) & ) mc2
1 =–2
(2.212b)
majd végezzük el a (2.212) integranduszában kijelölt műveleteket: d v dt
( = v' v2 ' 1 – c2 &
mv
( =v·' ' &
d(mv) dt d + mv dt v2 1 – c2
+ *= v2* 1 – c2 ) 1
++ ** = 3/2 ( v2+ ** '1 – c2 * & ) ))
( mv· '– 1 + mv v2 ' 2 1 – c2 &
(–2v·v+ ' 2 * v· & c )
2
( v + ( mc2'1 – c2 * + mv2+ · · 2 mv mv v ) + = v·v· ' & *= = v( + 3/2 3/2 2 v 2 2 ' 1– 2 2( v + * ' c2 ('1 – v +* * c '1 – c2 * c c2 ) & & ) & ) ) & . = v·v
mc2 3/2
( v2+ c2 '1 – c2 * & )
=
. mvv 3/2
( v2+ '1 – c2 * & )
(2.212c)
Összevetve a (2.212b) és a (2.212c) egyenleteket láthatjuk, hogy a (2.212a)-val kapcsolatos állításunk igaz és így a (2.212) ekvivalens
mc2
202 t
2 d ( W=% $ dt ' ' t1 &
mc2
+ dt v2* 1 – c2 * )
(2.213)
a (2.213) egyenlettel.
A kinetikus és teljes energia relativisztikus kifejezése
"
A klasszikus mechanika szerint egy testre ható erő a testen munkát végezve egyik lehetőségként (ld. 2.5. bevezetőjét) a test kinetikus energiáját változtatja meg. A korrespondencia elve (ld. az 1.1.4. pontot) szerint ennek így kell lennie a relativitáselméletben is. Tehát (2.213)-nak egyenlőnek kell lennie a relativisztikus kinetikus energia megváltozásával (munkatétel, ld. (2.173)). Legyen t1=0 és t2=t! Az integrálás elvégzése után: 1 1 ( + !Ekin = W = mc2 ' – * 2 2 2 2 1–v (0)/c ) & 1–v (t)/c
(2.214)
Ha a vizsgált test a t=0 időpillanatban nyugalomban volt (tehát v(0)=0), akkor 1 ( + Ekin = mc2 ' – 1* 2 2 & 1–v (t)/c )
(2.215)
A (2.215) a kinetikus energia relativisztikus kifejezése. Kis sebességekre ez valóban visszaadja a klasszikus fizikai képletet. Ha v = 2 kBT : =
(ld. (3.30))
A forgási-kinetikus energiajárulék (2.179a) a két atomot összekötő tengelyre merőleges mindkét tengelyre 1 2 2 ! #rot " = 2 @ (< A1 > + < A2 >)
fSF = 2
(3.31)*
míg a két atomot összekötő tengely irányába eső rezgések (potenciális és kinetikus energiája harmonikus rezgés esetén (ld. 2.205):
* A két atomos molekula egy kis “súlyzóhoz” hasonlít; a két atomot összekötő tengely körüli @-ja, — ezért az ahhoz tartozó forgási kinetikus energia is elhanyagolható.
három transzlációs energiajárulékra, melyek az (3.21a) egyenlet szerint egymással egyenlőek; következőleg (3.30) alapján kimondható, hogy az 1 ! #kin,tr " minden járulékára 2 kBT energia esik.
248 1 1 ! #vibr " = D ! l2 " + m ! v2 " 2 2
fSF = 2
(3.32)
A kBT szorzat szobahőmérsékleti értékét érdemes megjegyeznünk, mivel ez az érték a mikroelektronikai technológiák és sok más gyakorlati alkalmazás szempontjából fontos. T = 300 K hőmérsékleten kBT % 4,1342·10–21 J % 0,0258 eV
(3.33)
(Másképpen is célszerű megjegyezni: a kBT = 1 eV energiának kb. 10000 K hőmérséklet felel meg.) 1. Példa. Határozzuk meg egy szobahőmérsékletű, N2 molekulákból álló gázrendszerben a molekulák átlagos sebességét. Vegyük a szobahőmérsékletet 300 K-nek. 1 3 m = = 2 kBT 2 Ebből 3 kBT = vT = m Az N2 molekula tömege (mivel a N2 moláris tömege (ld. (3.6)) 28·10–3 kg/mol m=
28·10–3 –26 NA % 4,6·10 kg
A keresett átlagos (termikus) sebesség vT % 520 m/s 2. Példa. Mekkora nagyságrendileg egy atomreaktorból származó ún. "termikus (energiájú) neutronnyaláb" energiája? A termikus neutronnyalábban a neutronok energiája a szobahőmérsékletű termikus energia nagyságrendjébe esik; az egy részecskére jutó termikus energia nagyságrendje kBT, tehát % 2,5·10–2 eV/részecske.
A molekulák fentebb felsorolt mozgásainak (hőfokfüggő) energiajárulékai mind a gáz U(T) belső energiájának (ld. 2.5.5.) járulékai (ld. 4.6.4., ill. 4.6.5. pontokat). Az U belső energia hőfokfüggő részét (mely T=0 K-en zérus) termikus energiának nevezik (ld. 2.5.5. pont).
249
3.4 Barometrikus formula, — Boltzmann faktor.
Szemeljünk ki h magasságban egy infinitezimálisan vékony dh vastagságú, A felületű réteget. Jelöljük a h magasságban a gáznyomást P-vel (ill. P(h)–val), a h+dh magassághoz tartozót P+dP-vel (ill. P(h+dh)–val) és a h=0-hoz tartozót Po-val! A vékony gázréteg anyagsűrűségét jelöljük 4(h)-val (ill. 4-val); a gáz sűrűsége természetesen a magasság függvénye, h=0-nál 4 értékét jelöljük 4o-val. Mivel a kiszemelt vékony gázréteg nyugalomban van, a rá ható erők megfelelő komponenseinek összege egyenlő nullával. Vizsgáljuk a nehézségi erővel párhuzamos komponenseket (mivel a P nyomás csak a h magasságtól függ, vízszintes irányban nincs nyomáskülönbség) és tekintsük a nehézségi gyorsulás irányát negatívnak. A vékony gázrétegre ható erők (ld. 3.3. ábrát) összege tehát zérus: P(h+dh)·A dh
h
mg P(h)·A A
h=0 3.3. ábra. Erőábra a barometrikus formula levezetéséhez. Az ábra a sraffozott rétegre ható erőket ábrázolja T = T(h) = konstans esetre. A szövegbeli levezetésnél az erők pozitív irányát felfelé választottuk.
P(h)·A – 4(h)·A·g·dh – P(h+dh)·A = 0
(3.34)
A differenciálhányados definíciója alapján, ha dh infinitezimálisan kicsiny érték
dP P(h) – P(h+dh) = – dh dh
(3.35)
Vizsgáljuk meg, hogy egy homogén nehézségi erőtérben nyugvó, azonos részecskékből álló gázban hogyan változik a gáz nyomása illetve sűrűsége valamilyen alapnívótól (pl. a Föld felszínétől) számított h magassággal, ha a gáz hőmérsékletét és a g nehézségi gyorsulást állandónak vesszük (ld. 3.3. ábra). A keresett összefüggés az ún. barometrikus formula.
250 Ezt a (3.34) egyenletbe visszahelyettesítve és átrendezve dh·A :dh =
(3.36)
dP dP g·4(h) = – dh B9 dh = – g·4(h)
(3.37a,b)
A (3.20) Boyle—Mariotte törvényből* 4o P(h) Po = B9 4(h) = P P(h) 4(h) 4o o
(3.38a,b)
és így a (3.37b) ill. a (3.38b) egyenleteket összevetve 4o dP = – g · 4 (h) = – g P P dh o
(3.39)
alakot kapjuk. Figyelembevéve, hogy dP d ln P = P !
(3.40)
4 g , d ln P = – o , dh * Po *
(3.41)
az átrendezett (3.39)-et integrálva
4og ln P = – P h + konst. o
(3.42)
* A Boyle-Mariotte törvény alapján dh·A térfogatú, adott kémiai összetételű gázra esetünkben (mivel a T-t a magasság függvényében állandónak vettük):
PoVo P(h)V(h) = m(h=o)·konst.·T m(h)·konst.·T azaz:
P(h) Po = 4(h) 4o
amiből
251 4og – P h o P(h) = ekonst e
(3.43)
Ha h = 0, ekonst = Po
(3.44)
(3.39)-t alkalmazva 4og
– h 4(h) = 4o e Po
(3.45)
adódik. A (3.44) és (3.45) képletet barometrikus formulának nevezik. Térjünk át a mikrofizikai jellemzőkre! 4(h) = n(h)·mr ill. 4o = nomr
(3.46a,b)
ahol n ill. no a részecskesűrűség(!) h ill. h=0 magasságban, mr pedig egy részecske (pl. atom, molekula) tömege. Figyelembevéve, hogy PVm = RT = NA kBT, írhatjuk, hogy NA 4ChD P(h) = V (h) kBT = n(h)·kBT = m kBT m r
(3.47)
illetve 4o Po = no kBT = m kBT , r
4o mr Po = kBT
(3.48a,b)
Az (3.44) egyenletbe P(h) és Po (3.47) (3.48a)-beli n(h)·kBT ill. no·kBT kifejezést, 4o/Po helyébe (3.48b) kifejezést írva –m ·g·h/kBT n(h) = noe r
(3.49)
egyenletet kapjuk. Az egyenlet megadja a részecsekesűrűség változását a magassággal. Ez a baromatrikus formula mikrofizikai kifejezése. Az exponenciális függvény kitevőjének számlálójában az mr tömegű molekula #pot gravitációs potenciális energiája áll: –# /k T n(h) = noe pot B
(3.50)
4og
– h P(h) = Poe Po
252 A (3.49 és a 3.50) kifejezés megadja, hogyan változik egy gázoszlopban a részecskesűrűség a magassággal. Látható, hogy mivel a részecskék potenciális energiája a magassággal nő, azaz az exponenciális kifejezés értéke csökken, — a részecskesűrűség a magassággal exponenciálisan csökken.
n(h) N(h) –#pot/kBT no = No = e
(3.51)
A képlet jobb oldalán szereplő tényező az ún. Boltzmann-faktor. A (3.51) kifejezés speciális esete a statisztikus fizikában (ld. 4.2.1. pont) levezethető: Ni – )#ij/kBT = e , )#ij = #i – #j > 0 (3.52) Nj összefüggésnek, ahol az általánosítás abban áll, hogy a (3.52) exponensébe az #i ill. #j részecskék teljes energiájának különbsége irandó.*
3.5. Molekuláris ütközések klasszikus közelítésben
A gázok atomjai ill. molekulái állandóan és véletlenszerűen ütköznek egymással. Az egy molekula által két ütközés között átlagosan megtett utat átlagos szabad úthossznak nevezzük és l ¯ -lel jelöljük. Két egymást követő ütközés között eltelt E átlagos ütközési idő alatt a átlagos sebességű** molekula éppen az átlagos szabad úthossznyi távolságot tesz meg:
* A 4.2.1. pontban látni fogjuk, hogy a (3.52) kifejezés két (pl. i-re illetve j-re felírt) Ni =
Nössz –#i/kBT e F
(3.53)
kifejezés hányadosa, ahol F a rendszerre jellemző (állandó) kifejezés, az ún. állapotösszeg.
** !Gv " a sebesség abszolút értékének átlaga. Pontos értelmezését ld. a 4.6.3. pontban. Szemben a sebesség !Gv "Gátlagával ennek értéke nem nulla.
A h magasságbeli és a Földfelszínen mérhető részecske sűrűségek, illetve a megfelelő (azonos térfogatban mért) részecskeszámok hányadosai:
253 l ¯ = E !Gv "
(3.54)*
Ütközési számnak nevezzük és Z-vel jelöljük az időegység alatt történt ütközések (átlagos) számát ["(ütközés)/idő"]: 1 E
(3.55)
Az l ¯ átlagos szabad úthossz mikrofizikai kifejezését egy egyszerűsített gondolatkísérlet alapján határozhatjuk meg. Tételezzük fel, hogy kiválasztunk egy molekulát, atomot, vagy pl. fémek esetében egy vezetési elektront és nyomon követjük a mozgását, a többi részecskét pedig állónak tekintjük; tételezzük fel azt is, hogy a kiszemelt mozgó részecske egy adott l ¯ távolságon éppen ! v " átlagos sebességgel mozog. Szilárdtestekben (pl. fémekben) ez elfogadható, gázokban rossz közelítés; eredményeink ennek ellenére egy 1/ 2 szorzótényezőtől eltekintve gázokban is helyesek lesznek. Feltételezzük továbbá, hogy kiszemelt részecskénk számára a többi részecske mindegyike egy H nagyságú felületet jelent, amelybe az beleütközhet (azaz feltételezzük, hogy az álló részecskék egy adott irányban nem takarják egymást). A H felület általános elnevezése: ütközési hatáskeresztmetszet. A gázok kinetikus gázelméletből számított ütközési keresztmetszetét gázkinetikai hatáskeresztmetszetnek nevezik. SI egysége a m2. (Ilyen számított értékekre nézve ld. e pont 1. Példáját és 3.6.pont 6.példáját.) Ha az ütköző gázrészecskéket r sugarú gömböknek tekintjük,** akkor két részecske akkor ütközik, ha középpontjaik távolsága I 2r, azaz ha a kiszemelt részecskénk középpontja a részecske mozgásirányából nézve a 3.4a. ábrán látható bevonalkázott kör területen belülre esik. Innen H = J(2r)2 = 4r2J
GGGGGGGG(3.56)
Vegyünk fel a gázban egy, a kiszemelt molekulánk ütközések közötti aktuális sebességével párhuzamos tengelyű hengert a 3.4b. ábra szerint, melynek alaplapja A felületű! Ha kiszemelt részecskénk a 3.4b. ábrán bejelölt A alapú hengerben, az ábrán látható módon < v > átlagos sebességgel mozog, számára az adott hengerben levő részecskék mindegyike H nagyságú felületet fed le. Tegyük fel, hogy a részecske l ¯ távolságon (tehát egy A·¯ l térfogaton belül) fog biztosan ütközni; ez modellünk esetében akkor igaz, ha az A alapú és l ¯ hosszúságú hasábban található többi részecske H nagyságú felületei az A felületet teljesen lefedik, azaz (a részecskesűrűséget n-nel jelölve), ha: A = (a hengerbeli molekulák száma)·H = A·¯ l·nH
(3.57)
* A képletben szereplő mennyiségek csak a gázkinetikai alapfeltevéseket teljesítő rendszerekre (ld.3.3.pont) értelmezhetőek; folyadékok, szilárd testek atomjaira, ionjaira, stb. nem! ** Ezt a modellt szokás merev–golyó ("hard–sphere") modellnek nevezni. Természetesen a nem gömbalakú részecskék hatáskeresztmetszete ettől eltérő, és a részecske alakjától függő érték lesz. A H csak a legegyszerűbb esetekben számítható ki geometriai módszerekkel.
Z=
254 2
2
H=(2r) J=4r J r
r r
n A
(a)
(b)
3.4. ábra. a) A H az ütközési keresztmetszet klasszikus definíciója; a rajzon H az "1" részecskére vonatkozó H-t jelenti. b) Az l ¯ átlagos szabadúthossz meghatározása klasszikus közelítésben.
A-val elosztva mindkét oldalt, átrendezés után: l ¯=
1 nH
(3.58)
A pontosabb számításban figyelembe vesszük, hogy egyrészt a többi molekula is mozog, másrészt, hogy a molekulák hatáskeresztmetszetei át is lapolódhatnak, — de a részecskék kölcsönös vonzásával még mindig nem számolunk. E pontosabb számítás eredményeként az l ¯ átlagos szabad úthossz kifejezése (3.58) helyett: l ¯=
1 2·n·H
(3.59)
A (3.59)-et felhasználva E-t ill. Z-t kifejezhetjük H-val. A E átlagos ütközési idő kifejezése: l ¯ E==
1 2 n< v >H
(3.60)
a Z ütközési szám kifejezése pedig: 1 Z= = = 2 n< v >H E l ¯
(3.61)
lesz.
1. Példa. Számítsuk ki 20 °C-os hélium gáz esetén egy He atom ütközési (H) hatáskeresztmetszetét, ha a gáz nyomása.
$¯=)t·
“1”
255 a.) P1 = 105 Pa, melynél az átlagos szabad úthossz a P·Ż l = 13,6·10–3 (cm torr) empirikus formula alapján 1,81·10–7 m.
Megoldás: Keressük a megoldást a (3.59) képlet alapján! a.) A részecskesűrűség: N P1 105 1 n1 = V = k T = 1,38 ·10–23·293 = 2,473·1025 mł B
Így
H=
1 1 = = 1,58·10–19 m2 2·n2 Ż l1 2·2,473·1025·1,81·10–7
b.) A részecskesűrűség: N P2 1,33·10–7 1 n2 = V = k T = 1,38·10–23·293 = 3,29·1013 m3 B
Így
H=
1 1 = = 1,58·10–19 m2 13 5 2·n2 Ż l2 2·3,28·10 ·1,36·10
Vessük össze eredményünket a fentiekben (ld. 3.4. ábrát) az egyszerű golyómodellből klasszikusan adódó H = (2r)2 J = 4r2 J értékkel, amely (figyelembe véve, hogy a He kovalens atomsugara táblázatok alapján 0,93·10–10 m) 1,1·10–19 m2 -nek adódik. A valóságban azonban sem a molekulák, sem az atomok nem merev golyócskák, és az ütközések sem kontakt folyamatok, hanem a részecskék erőterei ütköznek. Ilyenkor szórás-ról beszélünk. Ilyenkor a hatáskeresztmetszetet is másképpen kell értelmeznünk. A hatáskeresztmetszet valamely szóró atomnak, illetve molekulának a rajta szóródó részecskékre kifejtett hatását leíró fizikai mennyiség. Ha a szóró részecskére (szórócentrumra) folyamatosan esnek be részecskék, amelyek rajta szóródnak, akkor az időegységenként bekövetkező szóródások Z száma arányos lesz a beeső részecskék L fluxusával (vagyis a mozgásirányra merőleges, egységnyi nagyságú felületen az időegység alatt áthaladó részecskék számával): Z = HML
(3.62)
Az arányossági tényező az ütközési vagy szórási hatáskeresztmetszet. (A hatáskeresztmetszet magfizikai egysége a barn; 1 barn = 10–28 m2.)
b.) P2 = 1,33·10–7 Pa, melynél az átlagos szabad úthossz a fenti empirikus formula alapján: 1,36·105 m. (A Pa K9 torr átszámításra használjuk fel az F10 Függeléket!)
256 A szóródás után adott irányba eső dF térszögbe az időegység alatt szórt részecskék dZ(F,dF) száma: (3.63)
A dH/dF arányossági tényező a differenciális hatáskeresztmetszet. Hasonló módon értelmezhető az energia szerinti differenciális hatáskeresztmetszet is: ez arra jellemző, hogy hány szórt részecske energiája esik egy E+dE energiaintervallumba: ·L·dE : =
(3.64)
Az integrális hatáskeresztmetszet az összes lehetséges irányba és dF térszögbe történő szórás differenciális hatáskeresztmetszeteinek összege: < dH ? H=, * ;:dF>=dF F
(3.65)
Ha több különböző szóródási mechanizmus is létezik, használatos még a teljes hatáskeresztmetszet is; ez az összes létező kölcsönhatás integrális hatáskeresztmetszetének összege.
3.6. Transzportfolyamatok nem egyensúlyi rendszerekben
Mint az 1.2.2. pontban megbeszéltük, ha egy rendszer minden (statisztikailag még kezelhető, elvben ennek megfelelően tetszés szerinti kicsiny) alrendszerében az intenzív állapotjelzők értéke azonos, — a rendszer egyensúlyban van: például ha a rendszer minden alrendszerének hőmérséklete megegyezik, a rendszer termikus egyensúlyban van.
< dH ? dZ(F,dF) = ; >·L·dF :dF=
257 Ha a rendszerben egy adott pillanatban hőmérséklet eltérések vannak, akkor nincs egyensúly (és ha ennek a szigetelés nem szab gátat), belső energia-áramlás indul meg, mely addig tart, míg a hőmérsékletek ki nem egyenlítődnek, illetve amíg az egyensúly be nem áll.
Általánosítva: az egyensúly helyreállítására mindig megindul valamely fizikai mennyiség áramlása, transzportja. Másszóval: az egyensúly helyreállítására transzportfolyamatok indulnak meg.
3.6.1. A ! fajlagos vezetés mikrofizikai kifejezése
Képzeljünk el egy sokrészecske rendszert, amelyben első közelítésben szabadon mozgó q töltésű részecskék (pl. gázban ionizált atomok vagy molekulák, fémek esetében elektronok) mozognak. A töltést előjeles mennyiségként kezeljük, pl. elektronokra q " 0 . Ha a részecskékre nem hat külső elektromos tér, akkor azok a köztük lezajló ütközések során rendezetlen mozgást végeznek. Ennek következtében a részecskék elmozdulásának (megfelelően hosszú időre vett) átlaga nulla. Ha a rendszerre egy E külső elektromos erőtér hat, akkor a külső tér hatása miatt az E-vel párhuzamos irányú elmozdulások valószínübbek lesznek, — ezért az elmozdulások átlaga már nem lesz nulla: a rendezetlen hőmozgásra (melynek elegendően hosszú időre vett átlaga most is nulla) egy E-vel párhuzamos rendezett mozgás szuperponálódik (melynek irányát qE iránya határozza meg) és elegendően hosszú idő alatt** egy " #s $ = vdrift · t átlagos irányított elmozduláshoz vezet. A kifejezésben fellépő v driftsebesség *** definiciószerűen a q töltésű részecskék drift
rendezett mozgásának átlagsebessége.
* Pontosabban: "a komponensek kémiai potenciálja változik helyről helyre", ld. 5.1.2. pontot. ** t + T . * -r
(folyamat)
(4.31a)
(4.31b)
Az entrópia extenzív (additív) állapotjelző (ld. az 1.2.2. és az 5.1.1. pontot); SI mértékegysége: J/K; jele S. Az entrópiának a termodinamikában (ld. 5. fejezet) központi szerepe van: az 5.3.2. pontban többek között megmutatjuk, hogy egy elszigetelt (és állandó anyagtartalmú) rendszer entrópiája a rendszer egyensúlyi állapotában maximális: dS = 0
(4.31c)
nem egyensúlyi állapotában (reális folyamatban) viszont nő dS > 0
(4.31d)
és ezzel (4.31b ill. d) megszabja a rendszerben spontánul lezajló folyamatok irányát. Boltzmann volt az első, aki (1887-ben) felfigyelt arra, hogy a termodinamikába akkor már bevezetett S entrópia állapotfüggvény és w tulajdonságai milyen rendkívüli módon hasonlóak: S
w
5.) A diffúziós folyamatokban a komponensek kémiai potenciáljai kiegyenlítődnek.
306 Egyensúlyban, elszigetelt (adiabatikus és állandó anyagtartalmú) rendszerre
(4.31c) értékét növelik dS > 0 (4.31d) S = S 1 + S2
maximális w=W &w=0 (4.29) értékét növelik &w > 0 (4.30) W=W W * 1
2
Ugyanakkor belátható, hogy S és W nagyon hasonló sajátságaik ellenére közvetlenül nem feleltethető meg egymásnak, mert S additív, W pedig nem az. Ez a probléma azonban egyszerűen feloldható, ha S-et W (pl. természetes alapú) logaritmusával hozzuk kapcsolatba, hiszen ln W = ln W1 + ln W2 Minthogy azonban ln W-nek nincs mértékegysége (puszta szám), S-nek pedig van, az S és W közötti kapcsolatot egy mértékegységgel rendelkező arányossági tényező bevezetésével adhatjuk csak meg. Így az S entrópia és a W termodinamikai valószínűség kapcsolatát az (4.32)**
S 0 kB ln W
alakba írhatjuk; az összefüggést Boltzmann-egyenletnek nevezzük. (Ez az egyenlet díszíti Boltzmann sírkövét.) Történetileg itt jelent meg először a kB = 1,38065812110
–23
J K
(4.33)
az ún. Boltzmann–állandó. A (4.32)-höz kapcsolódó fontos tétel a termodinamika III. főtétele, mely lehetővé teszi az entrópia abszolút értékének bizonyos esetekben való meghatározását (ld. 4.4. pontot). A (4.32) differenciális alakja: dS 2 kB d ln W
(4.32a)
* Az alrendszerek termodinamikai valószínűségei, mint független valószínűségek összeszorzódnak. ** Az entrópia az egyetlen állapotfüggvény, amelynek abszolút értéke is meghatározható (ld. 4.4. pontot). A (4.32) egyenlet alapján az S entrópia kifejezése visszavezethető a ln W megfelelő (4.25) ill. (4.26a) kifejezéseire.
Nemegyensúlyi állapotban (elszigetelt, magára hagyott rendszerben) olyan (spontán) folyamatok zajlanak le, amelyek Kapcsolat egy két alrendszerből álló egyensúlyi rendszer alrendszerei és a teljes rendszerre vonatkozó értékek között
maximális dS=0
307 ahol a dlnW a rendszer két egyensúlyi állapota között az egyensúlyi termodinamikai valószínűség logaritmusának megváltozása.
A termodinamika III. főtételét kondenzált anyagokra statisztikus-fizikai és kvantumelméleti meggondolások, illetve a szilárdtestek hőkapacitására vonatkozó kvantumelméleti eredmények (Einstein, 1907) ismerete alapján Planck fogalmazta meg 1912-ben, Nernstnek kondenzált rendszerekben, alacsony-hőmérsékleten bekövetkező kémiai reakciókon nyert kísérleti tapasztalataiból levont következtetéseiből (a ma Nernst–tétele néven ismert törvényszerűségből) kiindulva. Nernst eredményeit (1906) mai nyelven így fogalmazhatjuk meg: Kondenzált (folyadék és szilárd test) rendszerek kémiai reakcióinak entrópiaváltozására fennáll, hogy 3S = 0 T40
Planck 1912-ben a III. főtételt egykomponensű kondenzált anyagokra fogalmazta meg: lim S = 0 vagy So = 0
(4.34)
T40
azaz egykomponensű kondenzált anyagok entrópiája T = 0 K-en zérus (Planck-féle posztulátum.) A (4.34) Planck posztulátum mai szemmel nem tekinthető önálló főtételnek, mert levezethető az entrópia statisztikus fizikai értelmezéséből és a kvantumelméletből. Tiszta, egykomponensű szilárdtestek valamennyi atomja, molekulája T=0 K-en a legalacsonyabb kvantumállapotban van és azt jelenti, hogy a termodinamikai valószínűség ilyen anyagra w=1, (azaz ez a makroállapot csak egyetlen mikroállapottal valósítható meg). A (4.32) egyenletből (melyet ebben a formájában először Planck írt fel) következőleg tehát ilyen anyagokra S0=0, — tehát a statisztikus fizika pusztán elméleti meggondolásokkal (4.34) posztulátummal azonos eredményre jut. Ha ezt a statisztikus meggondolást következetesen véghez visszük, akkor nyilvánvalóvá válik, hogy a posztulátum nem érvényes gázokra, folyadékokra (ezek nincsenek a legalacsonyabb kvantumállapotban, tehát rájuk w51), elegyekre), sőt
4.4. A TERMODINAMIKA III. FŐTÉTELE
308 szigorúan véve izotópok elegyére sem (elegyeknél egy pozitív keveredési entrópia lép fel, ld. 4.7.2. pontot). Nem érvényes kristályhibákat, orientációs hibákat tartalmazó kristályokra sem (ezeknél egy pozitív konfigurációs entrópia lép fel, ld. 4.7.1. pontot). Következőleg:
Természetesen ezek a korlátozások csak szigorúan elméletleg korlátozzák a Planck-féle posztulátum érvényét. A mérések és számítások egyaránt azt mutatják, hogy a valóságos rendszerekre jellemző So 5 0 értékek gyakorlati esetekben pl. szobahőmérsékleten az entrópia tényleges értékéhez képest elhanyagolhatóan kicsik. Bár ma sokan a III. főtétel alatt a Planck-féle posztulátumot értik, — az általánosabb érvényű Nernst-féle főtétel* eredeti megállapításai az előbbinél csöppet sem kisebb jelentőségűek. Nernst azóta megerősített kísérleti tapsztalatai szerint ugyanis a T=0 közelében (sokszor még 50-100 K-en is!) a kondenzált fázisok sok tulajdonságának (így az U, H, G, A állapotfüggvények (ld. 5. fejezet), a hőkapacitások, a hőtágulási együttható és az elektromos vezetőképesség) hőmérséklet függése megszűnik, sőt a hőkapacitások értékére érvényesek a lim CP = 0 , T4 0
lim CV = 0
(4.35)
T4 0
* A Nernst–tétel szilárd testekre a posztulátumból levezethető. A tétel, mint az eredeti Planck posztulátum is, azonban általánosabban, kondenzált rendszerekre (tehát folyadékra is) érvényes.
A Planck posztulátum (a III. főtétel) csak egykomponensű, tiszta, hibátlan és azonosan orientált részecskéket tartalmazó (tehát egykristályos) kristályokra érvényes; ezek entrópiája T=0 K-en zérus.
309
határfeltételek is*.
Nem létezik olyan folyamat, amely véges hőmérsékletről az abszolút nulla fok hőmérsékletre vezetne. Az abszolút nulla fok elérhetetlen. DQ Mivel C = dT = 0, ha T 4 0 (tehát nemcsak T=0-nál) hőelvétellel a T=0 közelében nem lehet a hőmérsékletet csökkenteni. (Ez nem jelenti azt, hogy az abszolút nulla hőmérsékletet ne lehetne tetszőlegesen megközelíteni!) E gondolatmenetből következik, hogy T = 0 K közelében az izoterma és az adiabata egybeesik, hiszen T40 esetén Q=0, ami az adiabata definiciója. Az abszolút nulla fok elérhetetlensége a Carnot ciklusból (ld. 5.4.1.pontot) is következik: a 0 K eléréséhez egy T 6 0 K hőmérsékletű hőtartályra lenne szükség. A III. főtétel kitüntetett szerepet biztosít az entrópiának: lehetővé teszi az entrópiák abszolút értékének megadását, mivel az S0=0 értékből kiindulva a fajhők hőmérsékletfüggésének ismeretében az entrópia függvény abszolút értéke tetszés szerinti hőmérsékletre megadható (5.3.2. pont); ezek számos anyagra, megtalálhatóak 0
a termodinamikai táblázatokban pl. 298 oC-ra u.n. standard entrópia adatok (S298) formájában (ld. pl. Deák, Giber, Kocsányi: Műszaki Fizika III. id.mű és Kubasevszkíj - Alcock, id.mű). Az I. és II. főtételben csak 3S, az entrópia megváltozása szerepel és ugyanez vonatkozik minden más állapotfüggvényre: így a termodinamikában az entrópián kívül minden állapotfüggvénynek csak a megváltozása adott; abszolút értékük nem határozható meg!
* Kísérleti tapasztalat pl., hogy ,7G/ = lim ,7H/ = 0 7T 7T T4 0 * -P T4 0 * -P lim
(4.36)
azaz, hogy T 4 0 közelítésben a G(T) illetve H(T) függvények iránytangense zérus: a függvények közös, vizszintes érintővel futnak be a T=0 pontba. Ez a posztulatumból levezethető. Mivel G0H–TS, T=0-nál H=G és mivel
,7G/ = – S és ez T 4 0 közelítésben zérus — következik fenti állításunk. * 7T -P
,7Hm/ + 7T . = CP,m (ld. 4.78b egyenletet), következőleg adódik pl. a (4.35) egyenlet. * -P
Ezen egyenletből fontos tétel, a harmadfajú perpetuum mobile lehetetlensége adódik:
310
4.5. A SOKRÉSZECSKERENDSZEREK TIPIKUS ENERGIANÍVÓI ÉS EZEK GERJESZTETTSÉGE
A címben jelzett témakör egzakt tárgyalása elmélyült (a 8. fejezeten messze túlmenő) kvantummechanikai és spektroszkópiai ismereteket igényelne; így e témakörben csak néhány tény és adat közlésére korlátozódunk. Megtehetjük ezt azért is, mert a mérnök feladatkörétől e témakör elméleti megközelítése távol esik: ha adatokra van szüksége, azokat az itt ismertetett tájékoztató jellegű tárgyalás alapján megfelelő kézikönyvekben megtalálhatja ill. elméleti szakemberek számára problémáját megfogalmazhatja.
4.5.1. Gázok energianívórendszere
A gázok belső energiája (ld. 2.5.5. pont) transzlációs, rotációs (forgási), rezgési (vibrációs) és elektrongerjesztési járulékokból áll. Az elektronok gerjesztési energiájának (az elektronenergia–nívók közeinek) nagyságrendje 10–18 J # 6 eV, — a gerjesztés tehát csak magas hőmérsékleten következik be; e járulékkal itt nem foglalkozunk. A gázok transzlációs energianívósorozata olyan finoman kvantált, hogy energiája folytonosnak tekinthető. Spektroszkópiailag mérhetőek a (tiszta) rotációs energianívó– közök (ezek a távoli infravörös tartományba esnek), ennél nagyobbak a rezgési nívó– közök (a közeli infravörös tartományban mérhetőek). Ebből következik, hogy ha a rezgési nívók gerjesztve vannak, akkor a rotációs nívók is gerjesztve vannak: spektroszkópiailag tehát közvetlenül csak vagy a tiszta rotációs nívó–közök, vagy az egyidejűleg gerjesztett vibrációs–rotációs nívók közei észlelhetőek. Alábbiakban mi csak az elméletileg viszonylag könnyen kezelhető transzlációs, tiszta rotációs és tiszta vibrációs nívók energiájával foglalkozunk.
K(T )
2 * A III. főtétel nélkül csak a K egyensúlyi állandók ln aránya lenne meghatározható, — és így K(T1) pl. K(T2) meghatározásához K(T1)-t kísérleti mérésekből ismernünk kell (ld. 5.5.3. pontot).
A III. főtétel alapvető jelentőségű a kémiai reakciók abszolút egyensúlyi állandóinak kiszámítása szempontjából. Az entrópiák abszolút értékeinek ismerete lehetővé teszi az egyensúlyi állandók és azok hőfokfüggésének tisztán elméleti kiszámítását, — kizárólag a reakcióhők és fajhők hőmérsékletfüggésének kisérleti adataira támaszkodva*.
311
8
Egy adott a,b és c oldalhosszúságú hasáb alakú térfogatba bezárt gázrészecskék esetében a transzlációs energia kifejezése (4.37)*
ahol h a Planck–állandó, n, k és l = 0, 1, 2... egész, egymással kombinálandó ún. kvantumszámok, m egy gázrészecske tömege és a·b·c = V a gázrészecskék részére rendelkezésre álló térfogat. Ekkor az (n = 1, k = l= 0) kvantumszámokkal jellemzett h2 1 nívó energiája !tr,1 = 8m a2 . Ha a = 10–3 m, akkor a legalacsonyabb transzlációs energianívó pl. hélium gázra (mHe # 0,67·10–26 kg) !tr,1 # 8·10–36 J # 5·10–17 eV, ami 300 K hőmérsékleten #1015 nagyságrenddel kisebb a kBT termikus energiánál. Ugyanez az érték O2 molekulára (m # 5,3·10–26 kg) 1·10–36 J # 0,6·10–17 eV. O2
A transzlációs energianívók nem egyenlőközűek, az energia növekedésével az energiaközök nőnek.
8
A rotációs energia spektroszkópiai kifejezése lineáris alakú molekulára h2 !rot = 2 J (J+1) 89 :;
(4.38)
ahol ; a molekula tehetetlenségi nyomatéka (ld. 2.4.4. pont ill. az abban az O2 molekulára ismertetett 3. számú példa) és J a megfelelő rotációs kvantumszám, mely J = 0,1,2,... értékeket vehet fel. Az energiaközök itt sem egyenlők, hanem a magasabb energiák felé közel négyzetesen nőnek. Az energianívók értékei pl. O2 molekulára (ahol ; = 1,94·10–46 kg·m˛) pl. a J = 10 értékénél # 3,15·10–21 J # 2·10–2 eV, J = 11 értéknél # 3,75·10–21 J. A két energianívó távolsága # 6 · 1 0 – 2 2 J . Ugyanezen értékek J=100 esetében 2,86·10–19 J # 1,7 eV és az energiaköz J = 100 és J = 101 között # 5,8·10–21 J. A rezgési energianívókra, ha a rezgés harmonikus,** a megfelelő energia kifejezés (ld. 8.5.3. pont): 1/ , !vibr = h< +n + 2. , n = 0,1,2,... * -
(4.39)
* Ezen kifejezést az egydimenziós potenciálkádra elektronokra korlátozva a 8.5.2. pontban levezetjük. Ugyanott értelmezzük a kvantumszámokat.
** A spektroszkópiában a harmonikus közelítés nem kielégítő, de a (4.39)-el az energiaközök nagyságrendjét közelítőleg meg tudjuk becsülni. Ha a harmonikus közelítés nem teljesül (azaz a potenciális energia nem kvadratikus), a rezgési energiák sem egyenlőközűek.
h2 ,n2 k2 l2 / = = !tr !kin 8m +a2 + b2 + c2. * -
312 ahol < a megfelelő rezgési (normál) frekvencia és n a rezgési kvantumszám. Láthatóan a rezgési nívók egyenlőközűek, az energia növekedésével nem változnak. A rezgési energiák nívóközeinek nagyságrendje 10–20 J, tehát tized elektronvolt nagyságrendű.
Egy ezüstkristályban az alapállapot és az első rezgési nívó között az energia–nívók különbsége 2,97·10–21 J # 1,85·10–2 eV, azaz a kBT termikus energiával azonos nagyságrendű.
4.5.3. Az energianívók gerjesztettsége gázok esetén
A számunkra fontos adat: mekkora az egyes energianívó típusokban az összes gerjesztett részecske aránya az alapállapotban levőkhöz. Ezt az adatot a 4.6.5. pontban felhasználjuk a kísérleti moláris hőkapacitások értelmezésénél.
8
Viszonylag egyszerű számítással általános képlethez (a (4.40) kifejezéshez) juthatunk a következő gondolatmenettel: Egyetlen gerjesztett nívón Ni (gerj) =
N –!i/kBT e =
darab részecske helyezkedik el; a képletben szereplő = a termikus állapotösszeg. Az összes gerjesztett nívón >
Ni =
gerjesztett nívók
–!o/kBT/ N –!i/kBT N, –e + > e . = (= – 1) = *összes nívó - =
részecske van; itt az utolsó egyenlőségnél figyelembevettük, hogy az alapállapotban a termikus energia: !o = 0. Az (egyetlen) alapállapotban levő részecskék száma (mivel !o = 0) No (alapáll.) =
N –!o/kBT N e = = =
4.5.2. Szilárdtestek rezgési energianívói
313 Következőleg: 1 ? No > Ni (gerjesztett) = = – 1
(4.40)
i=1
8
A gázrendszerekben a transzlációs nívók energiaközei (ld. fentebb) a rendelkezésre álló térfogat és a részecskék tömegének függvényeként 10–40 J @ 10–34 J nagyságrendűek, sok nagyságrenddel kisebbek, mint a termikus energia 300 K-en. Számítások nélkül is belátható, hogy a transzlációs energianívók benépesítésének nincs akadálya. A betölthető nívók száma V = 10–6 m3 esetén 1030 nagyságrendű. Mivel e térfogatban normál nyomáson mintegy 2,7·1019 gázmolekula van, átlagban csak minden 1011edik nívón található egyetlen molekula.
8
A rotációs nívók esetében az állapotösszeg (lineáris alakú molekulákra) 89A:;kBT =rot = sh2
(4.41)
alakú, ahol az s a gázmolekulák ún. szimmetria száma, ; pedig azok tehetetlenségi nyomatéka. Az 's' értékét úgy határozhatjuk meg, hogy megszámoljuk, hogy hány különféle elfordítással hozható a molekula önmagával fedésbe. (Például HCl, HCN, N2O: s=1; CO2, H2O, SO2, O2 : s=2; NH3, AsH3: s=3; BF3 : s=6; CH4, C6H6 : s=12) A fentiek alapján a spektroszkópiailag meghatározott ;–k figyelembevételével a rotáció gerjesztettsége 300 K–en:
s= Q= Nrot (gerj) Nalap =
HCl
O2
CO2
1 2.59·10–47
2 1,94·10–46
2 7,01·10–46
18,3
71,1
260
azaz pl. 300 K–en O2 esetében 71,1–szer több molekula van gerjesztve, mint alapállapotban stb., — tehát szobahőmérsékleten — a molekula anyagi minőségétől függően — a molekulák túlnyomó többsége gerjesztett állapotban van (esetünkben 1 csak 1,4 % nincs gerjesztve, hiszen 71 · 100 # 1,4 ).
A kitűzött feladat megoldásához tehát ismernünk kell = értékét az egyes nívó– típusokra. A feladatot az alábbiakban részleteiben csak a rotációs nívókra oldjuk meg, a transzlációs nívók esetében becslésre szorítkozunk, a rezgési nívókra pedig csak táblázatot közlünk.
314 A benépesített rotációs nívók száma (szemben a 1030 transzlációs nívóval) mintegy Ha tehát köbcentiméterenként 1019 nagyságrendű molekulával számolunk és a fentiek szerint ezeket mind gerjesztettnek vesszük, akkor — ellentétben a transzlációs nívókkal — minden nívón igen sok gerjesztett részecske helyezkedik el. 104.
A gázok rezgési nívóinak gerjesztettségére csak a végeredményt közöljük: HCl
Nvibr(gerj) = Nvibr(alap)
3·10–9
O2
1,2·10–5
CO2
CO2
CO2
(deformációs rezgés)
(szimm. nyújtási rezgés)
(antiszimm. nyújtási rezgés)
0,078
1,4·10–3
9,6·10–6
Láthatóan az O2 molekulák esetében minden 80.000 molekulából egy van gerjesztve. Mivel a gerjesztési nívók távolsága relatíve nagy, — a normál körülmények között betöltésre számbajövő energianívók száma csekély. Ennek következtében a kis gerjesztettség ellenére nagy az egyes rezgési energianívók benépesülése.
8 (A szilárdtestekben egy molekularácsban a rácsrezgési energianívók közei egy nagyságrenddel kisebbek az egyes molekulák rezgési nívókülönbségéhez képest, — így már igen alacsony hőmérsékleten minden kristálybeli atom rezgése gerjesztve van. A kristálybeli atomok száma sokkal nagyobb, mint az elérhető rezgési nívók száma, így minden nívót igen sok gerjesztett atom népesít be. Többek között ezért lehet ezen rendszerre a Maxwell—Boltzmann eloszlást alkalmazni.) 4.6. A MAXWELL–BOLTZMANN SEBESSÉGELOSZLÁS, A SEBESSÉGELOSZLÁSTÓL FÜGGŐ ÁTLAGÉRTÉKEK
4.6.1 A sebesség irányát is figyelembevevő Maxwell– Boltzmann sebességeloszlás, f(v), ideális gázokban
Definiáljunk egy, a sebességvektor vx , vy , vz , sebességkomponenseivel kifeszí3 tett sebességteret. Osszuk fel ezt a sebességteret egyenlő d3v = dvx dvy dvz "térfogatú" sebesség–cellákra. Legyen ez a sebesség-cella térfogat olyan (elvben minden határon túl csökkenthetően, tehát infinitezimálisan) kicsiny, amelyben a v sebesség jó közelítéssel állandónak vehető (4.5. ábra).
8
315
vz
3
d v!dxdydz
vy vx 4.5. ábra. Sebességtér, sebességcellák
A sebességeloszlás megadásához meghatározandó a dN(v, d3v) N
(4.42)
kifejezés az N összrészecskeszám azon dN(v, d3v) hányada, amelyhez tartozó részecskék v(vx, vy, vz) sebességvektora a v végpontja körüli d3v sebességcellába esik.
" A problémát először diszkrét transzlációs kinetikus energiákra felírt MaxwellBoltzmann eloszlás felírásával közelítjük, mely csak pontosan adott, diszkrét sebességű részecskékre igaz:
–
2 mvj
2kBT N Nj = e #
(4.43)
amelyből Nj/N azon részecskék összrészecskeszámhoz viszonyított hányada, amelyek pontosan vj sebességgel mozognak. E diszkrét esetre –
#=$ e i
"
1 2 mvi /kBT 2
,
2
2
2
v2 = vx + vy + vz
(4.44)
Mivel a gázrészecskék sebessége folytonos, a feladat pontosabban a dN(v, d3v)/N részecske hányad, azaz a
v
316 1
N – 2 mv2 /kBT 3 dN (v,d v) = e dv # 3
(4.45)
+( +( +(
' #! & %
' & %
–
' & %
e
1 2 2 2 m (vx + vy + vz ) / kBT 2
dvx dvy dvz =
–( –( –(
+( –
' = & e %
1 2 m vx /kBT 2
–(
+( –
' dvx · & e %
1 2 m vy /kBT 2
–(
+(
1
2
' – m v /kBT dvy · & e 2 z dvz % –(
(4.46) A három integrál tényező azonos értékű, így 3 .2
3
+ #= * )
2/kBT . +2/kBT - = * m , ) m ,
(4.47)*
Tehát a (4.45) szerint: 3 2
–
+ m . dN(v,d3v) = N* - 0e )2/kBT,
mv2 2kBT 3 d v
(4.49)
A benne szereplő
* A fenti integrál tipus határozott integrálja ismert (ld. Bronstejn id.mû)! A következõképpen integrálunk páros függvényekre: (
+(
' (…) dx = 2 · ' (…) dx % %
–(
(4.48a)
0
és (
2 2
/ –a x dx = 2 2' e , ha a 1 0 2a %
(4.48b)
0 Esetünkben a =
m és így 2 kBT +(
1
2
' e– 2 m vx /kBT dvx = %
–(
2 /2kBT m
(4.48c)
kifejezés meghatározása. A kifejezés tükrözi, hogy a dN arányos a Boltzmannfaktorral és a d3v cellatérfogattal. A folytonos esetre
317 3/2
+ m . f(v) 3 * )2/kBT,
–
0e
mv2 2kBT
(4.50)
" Az f(v)·d3v szorzat annak a valószínűségét adja meg, hogy egy adott részecske
sebessége a v körüli d3v nagyságú "sebességtérfogatba" esik. Ezért a (4.50) kifejezésbeli f(v) ennek a valószínűségnek a sűrűsége, egy ún. valószínűségi sűrűség függvény*. Végül: a dN(v, d3v) = N f(v)·d3v kifejezés azt adja meg, hogy N részecskéből hány részecske sebessége esik a d3v "sebességtérfogatba". A (4.49)nek megfelelő dN(v, d3v) = N·f(v)d3v
(4.51)
kifejezés tehát a keresett Maxwell—Boltzmann sebességeloszlási törvény amely megadja, hogy N részecskéből hány részecske sebessége esik a d3v "sebesség térfogatba". A sebesség x komponenséhez tartozó eloszlási függvény x komponense m
2
+ m .1/2 – 2kBT vx f(vx) = * - e )2/kBT,
(4.52)
alakú. Értelemszerűen hasonló az y és z komponens-eloszlási függvények alakja is. Az f(vx) függvényt két hőmérsékleten, állandó vy és vz mellett a 4.6. ábra mutatja. A (4.52) függvény a valószínűségszámításból (ld. Bronstejn id. mű) jól ismert Gauss– görbe (az ún. normális hibaeloszlási görbe) hibagörbe, melynek vx=0-nál maximuma van (ld. a 4.6. ábrát).
* Analógiaként gondoljunk arra, hogy az n részecskesűrűség (n = N , ahol N az egységnyi térfogatba V eső részecskék száma) és a V térfogat szorzata n·V = N, a részecskék számát adja meg.
kifejezést a sebesség irányától (is) függő Maxwell—Boltzmann sebességeloszlás valószínűségi sűrűség—függvényének (röviden: irányfüggő Maxwell—Boltzmann sebességeloszlási függvénynek) nevezzük, mely függvény valószínűségi változója az iránytól függő sebesség.
318
f(vx) 510-3[s/m] 298K
1,4 1,2 1,0 0,8
500K
0,6 0,4 0,2 0,0 41500 41000 4500
0
1000
500
1500
vx[m/s]
4.6. ábra. A sebesség irányától (is) függő Maxwell—Boltzmann sebességeloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye* állandó vy és vz komponensek mellett oxigén molekulára
1/2
1 + m . Az f(vx) görbe maximumának értéke * -vel - , vagyis a maximum értéke )2/kBT, T kBT . Mivel arányos. Az f(vx) görbe szórása (ld. Bronstejn, id.mű) esetünkben 6 = m 6 a görbe félérték-szélességére jellemző, a görbe félérték-szélessége tehát a T -vel egyenesen, az m -el pedig fordítva arányos. Ez azt jelenti, hogy azonos tömegű gázok esetében a 4.6. ábrán ábrázolt görbe magasabb hőmérsékletnél egyre laposabb, alacsony hőmérsékleteknél pedig élesebb maximumot mutat. Ugyanakkor azonos hőmérséklet esetén a görbe a nagyobb tömegű részecskék esetén mutat élesebb maximumot. Minél magasabb a hőmérséklet, annál több viszonylag nagysebességű részecskét tartalmaz a rendszer. Látható, hogy ha csak a vx sebességirányt nézzük, leggyakoribb a zérus sebesség és 2
a nagyobb sebességek valószínűsége (ld. (4.50)) a vx-tel exponenciálisan csökken.
* A görbe területe az ' f(v ) dv integrál, tehát a v sebesség valószínűségi változóra vonatkoztatott x % x x valószínűség; a teljes sebességintervallumot figyelembe véve ennek 1-et kell adnia. Valóban: a görbe alatti terület értéke 1; ezért az ilyen görbék normáltságáról szokás beszélni.
Valószínűségi sűrűség
1,6
319
4.6.2. Egyes, a sebesség irányától is függő fizikai mennyiségek átlagértéke
' XdN 'XdN Xi 8Ni % % 9 = 7X1=$ $8Ni 'dN i N %
(4.53)
Egy X(v) függvény átlagértékének kiszámításához helyettesítsük (a 4.53) kifejezésbeli dN értékének helyére a dN (v, d3v) = N f(v) d3v
(ld. (4.51))
kifejezést! Ezzel: 'X(v) dN (v, d3v) N'X(v) f(v)d3v % % 7 X (v) 1 = = = N N
(4.54)
Az N állandó-t emeljük ki az integrálból és egyszerüsítsünk vele! :( :( :(
:( :( :(
' ' v ' ' ' (4.55) = ' % % % X(v)f(v)d = % % % X(v) f(v) dvxdvydvz 3
4( 4( 4(
4( 4( 4(
ahol 0e
m 2 v 2kBT
2
1
3/2
+ m . f(v) 3 * )2/kBT,
–
(ld. (4.50))
1.Példa: Igazoljuk, hogy 2
2
2
7 vx 1 = 7 vy 1 = 7 vz 1 = 3 7 v 1 Megoldás: :( :( :(
–
' ' v2 e < v2 > = C ' % % % 4( 4( 4(
m v2 2kBT
dvxdvydvz
(4.56)
Ismétlésként, folytonos értékkészletű fizikai mennyiségek átlagértéke, a (3.2), ill. (3.3) általánosításaként:
320 3/2
+ m . C=* )2/kBT,
ahol
2
2
2
2
v = vx + vy = vz
Mivel
–
2 2. ' ' + 2 < v > = C' % % % )vx + vy + vz , e 2
m 2kBT
+v2 + v2 + v2. ) x y z,
dvx dvy dvz =
4( 4( 4(
2 m vx
:( :( :(
2 m vy
2 m vz
– – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT 2 2 2. ' ' ' + ·e ·e ·dvx dvy dvz = < v > = C % % % )vx + vy + vz , e 2
4( 4( 4(
:( :( :(
2 m vx
2 m vy
2 m vz
2 m vx
2 m vy
2 m vz
– – – ' ' v2 e 2 kBT·e 2 kBT· e 2 kBT·dv dv dv + = C' x y z % % % x 4( 4( 4(
:( :( :(
– – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT 2 ' ' ' + C % % % vy e ·e ·e ·dvx dvy dvz + 4( 4( 4(
2 m vx
:( :( :(
2 m vy
2 m vz
– – – ' ' v2 e 2 kBT·e 2 kBT· e 2 kBT·dv dv dv + C' x y z % % % z 4( 4( 4(
Szabály : ' ' f(x) g(y) dx dy = ' f(x) dx ' g(y) dy % % %% Foglalkozzunk a fenti első, ( vx )-es :(
2 m vx
:(
2 m vy
:(
2 m vz
– – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT 2 ' ' ' C % vx e dvx · % e dvy · % e dvz 4(
4(
4(
:( :( :(
321 taggal, ahol: :(
2 m vy
– ' e 2 kBT dv = y %
2/ kBT és m
– ' e 2 kBT dv = z %
2/ kBT m
4(
és ennek szorzata kiemelhető. Mivel C·
2
=
m 2/ kBT
2/kBT m = 2 m vx
= 2 –2k T < '% vx e dvx ;4( :(
B
2
m 2/kBT 2 m vy
:(
2 m vz
:(
– – 2 kBT 2 ' v2 e 2 kBTdv v dv + ' e + y % z z % y 4(
2
4(
2
2
< v > = < vx > + < vy > + < vz > Mivel azonban a fenti integrálok azonosak, így: 2 < vx
2 > = < vy
2 > = < vz
3/2
/ +2kBT. >= 2 * m ) ,
Az utóbbi két összefüggésből következően tehát: 2
2 < vx
>=
3
2
,
2 < vy
>=
3
2
,
=
3
azaz állításunkat igazoltuk.
2. Példa: Igazoljuk, hogy külső erőtér jelenléte nélkül < vx > = < vy > = < vz > = 0
(4.57)
Ez az eredmény várható, mert nincs kitüntetett irány.
Egzakt igazolás v = vx i + vy j + vz k
2
2
2
2
v = vx + vy + vz
4(
2 m vz
:(
@ ? >
322 2 m vx
:( :( :(
2 m vz
2 m vy
–2k T – – 2 kBT 2 kBT B ' ' ' + . =C % % % )vx i + vy j + vz k, e ·e ·e ·dvx dvy dvz = 4( 4( 4(
2 m vy
2 m vz
2 m vx
2 m vy
2 m vz
2 m vx
2 m vy
2 m vz
– – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT ' ' ' i = C % % % vx e ·e ·e dvx dvy dvz + 4( 4( 4(
:( :( :(
– – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT ' ' ' ·e ·e dvx dvy dvz + + j C % % % vy e 4( 4( 4(
:( :( :(
– – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT ' ' ' k + C % % % vz e ·e ·e dvx dvy dvz + 4( 4( 4(
" Mivel az integrálok értéke azonos, elég a < vx > -ről kimutatnunk, hogy értéke nulla. A < vy > és a < vz > ugyanilyen, csak vx helyére vy illetve vz kerül. 2 m vx
:( :( :(
2 m vy
2 m vz
– – – ' ' v e 2 kBT ·e 2 kBT· e 2 kBT dv dv dv < vx > = C ' x y z % % % x 4( 4( 4(
A vx szerinti integrálásnál az összes többi változót tartalmazó tényező kiemelhető, mivel konstans szorzónak minősül. Szabály: ' ' f(x) g(y) dx dy = ' f(x) dx ' g(y) dy %% % % :(
2 m vx
2 m vz
2 m vy
:( :( – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT ' ' < v x > = C % vx e dvx · % e dvy · ' e dvz % 4(
Ahol
4(
4(
:( :( :(
2 m vx
323
:(
2 m vy
– ' e 2 kBT dv = y %
2/ kBT és m
4(
:(
2 m vz
– ' e 2 kBT dv = z %
4(
2/ kBT m
2 m vx
:(
7 vx 1 = C
– 2 kBT 2/ kBT ' v dvx · e x % m 4(
+ m . Mivel C = * )2/kBT,
3/2
,
így 2 m vx
:(
– 2 kBT m ' v e dvx x 2/kBT %
7 vx 1 =
4(
Jelöljük az integrandust f(vx)-el. Az integrandus láthatóan páratlan függvény, azaz f(–vx)= –f(vx). A függvény grafikonja az origóra szimmetrikus: :
f(vx)
4
vx
4.7. ábra. Ábra a 2. példához. Így az integrál (–(, () tartományban szimmetria okokból nulla lesz, ami a bizonyítandó állítás volt. 3. Példa. A Gauss-függvény szimmetriájából következik, hogy a v sebességvektor átlagértéke zérus:* +( :( :(
= ' % ' % v f(v)dvxdvydvz = 0 % ' –( 4( 4(
és így
Az integrál értéke zérus, mert (–v) A v-vel (azaz páratlan függvény) és így v (0-tól (-ig) vett ill. (–(-től 0-ig) vett integráljainak abszolút értéke egyenlőek, de ellentétes előjelűek.
* 7v2 1=< iv x
jvy + kvz >; mivel az összegek átlaga egyenlő az átlagok összegével a
=
3kBT m
(4.61)
Levezetés: ( 2 = ' % v f(v) dv 2
(4.62a)
0
(4.59) felhasználásával: (
+ m .3/2 ' 4 – mv²/2kBT dv = 4/ * v e )2/kBT, % B
Az integrál kiszámítására használjuk fel az (
2 ' xn e–ax dx = 1·3·5…(n–1) / , n+2 n+1 % 2 0 2 a2
ha n páros
+ m . integrált (ld. Bronstejn id. mű)! Ezzel, mivel a = *2k T) B , (
2
' v4 e–mv /2kBT dv = % o
1·3 / + m .5/2 23 *2k T) B ,
(4.62b)
(
326 így 3/2
+ m . 7v 1=4/* )2/kBT, 2
1·3· / 3·2 kBT 3kBT = 2 m = m m + .5/2 23 * )kBT,
(4.62c)
A legvalószínűbb sebesség vmax =
2kBT m
(4.63)
Levezetés: Ez definíciószerűen az a sebesség, amellyel a legtöbb részecske rendelkezik. Értéke f(v) maximumából számítható, azaz: df (v) dv = 0, ha v = vmax.
(4.64a)
(pontosabban a maximális valószínűségű sebesség). Ez (4.59) felhasználásával: 2
2
2
–mv /2kBT –mv /2kBT d + 2 –mv /kBT. ve = 2ve + v2 ·2v(–2m/kBT)·e =0 ) , dv
(4.64b)
–mv2/2kBT
Mivel 2e A 0 semmilyen v-re, azzal az egyenletetet egyszerűsíthetjük. Így a (v=vmax) esetére következik, hogy 3
vmax – (m/2kBT) vmax = 0 ahonnan vmax -t kifejezve (4.63) adódik
4.6.4. Az ekvipartíció tétele.
"
Alkalmazzuk az átlagszámítás leírt módozatát az egyatomos ideális gáz egy részecskéjére jutó átlagos transzlációs kinetikus energia kiszámítására. Mivel e mennyiség csak a sebesség abszolút értékétől függ, a számításnál az f(v) (4.59) és az átlagképzés (4.58) alatti kifejezését használjuk! (
(
2
3/2 1 '2 v2·4/ +* m .- · v2e–mv /2kBT dv = ' (v)f(v)dv = m · D % kin % 2 )2/kBT,
B
B
(4.65)
"
·
327 Ismerjük fel, hogy az integrál éppen egyenlő 7 v2 1 (4.62c) kifejezésével, tehát 1 1 3kBT 3 = 2 m 7v21= 2 m · m = 2 kBT
(4.66)
1 1 3 2 2 2 = 2 m = 2 m = 2 k T B
(4.67)
alakba is felírható és felhasználva, hogy 4.6.2. pontbeli 1. példában közölt levezetés alapján fennáll, hogy 1 2 2 2 = = = 3
(ld. (4.56))
a (4.67)-t tehát úgy is értelmezhetjük, hogy a transzlációs kinetikus energia kifejezés minden (esetünkben 3) tagjára (járulékára) 1/2 kBT nagyságú átlagos energia jut. " Mivel az egyatomos ideális gáz belső energiájának csak transzlációs kinetikus energiája van, a (4.67) ennek teljes energiáját is megadja.
"
Kétatomos ideális gáz esetén a (4.67)-el azonos 1 2 2 2 = 2 m;
fSF=3
(4.68a)
3 = kBT 2
(4.68b)
transzlációs kinetikus energiajárulékon kívül figyelembe kell* venni a két atomot összekötő tengelyre és az erre és az egymásra is merőleges tengelyek körüli forgás kinetikus energiája járulékait (lásd a 2.5.1. pont-ban a (2.179a) képletet; a két atomot összekötő tengely körüli forgás kinetikus energiája elhanyagolható ("súlyzó-modell")) 1 2 2 = 2 E +) ., ;
3 kBT
fSF=2
(4.69a) (4.69b)
* A 4.6.5. pontban majd felhívjuk a figyelmet arra, hogy az itt tárgyalt gondolatmenet a klasszikus fizikán alapul, ahol az energia folytonos (nem kvantált) értékkészletű. Az energia nívók azonban kvantáltak (ld. 4.5. pontot) és így számolni kell ezek aktuális gerjesztettségével (4.5.3. pont) is: szobahőmérsékleten a rezgési nívók gerjesztettsége elhanyagolható.
Mivel az egy részecskére jutó átlagos transzlációs kinetikus energia :
328 valamint a két atomot összekötő tengely irányában* fellépő (közelítőleg) rugalmas erőnek megfelelő(2.205) rezgési energiajárulékokat is; ha a rezgés harmonikus 1 = 2 D
+ 2 m;
fSF=2
(4.70b)
ahol a jobboldal első tagja a rezgés potenciális-, második tagja a kinetikus energia– járulékának kifejezése; az a két atom közötti távolság eltérése az egyensúlyi értéktől. Ha a két atom az egyensúlyi távolságra van egymástól ( =0), akkor a rezgés potenciális energiája (ld. 2.5.3. pontot) nulla. Statisztikus (másnéven molekuláris) szabadsági fokon a sokrészecske-rendszer teljes energia kifejezésében négyzeten szereplő független koordináták számát értjük és fSF-el jelöljük. Boltzmann a ((4.66)-(4.67)) egyenletek levezetésének gondolatmenetét követve azt is kimutatta, hogy egyensúlyban minden statisztikus szabadsági fokra 1/2 kBT, tehát a kinetikus energia szabadsági fokára esővel egyenlő, T-vel arányos energiajárulék jut. A ((4.68)-(4.70)) egyenletekben feltüntettük a kétatomos molekulák esetén az egyes energiatípusok fSF szabadsági fokát is. Mindezt figyelembe véve és általánosítva kimondhatjuk (a 3.3.2. pontban már megismert) ekvipartíció tételt: A sokrészecske rendszer minden molekuláris szabadsági fokára 1 2 kBT termikus energia jut. Ez az ekvipartíció tétel egy lehetséges megfogalmazása.
* Kétatomos molekulánál az ún. deformációs rezgésekkel nem kell számolnunk.
= kBT
(4.70a)
329
4.6.5. Gázok és szilárd testek fajlagos és moláris hőkapacitásának számítása belsőenergiájukból, ill. entalpiájukból
(fajhőt) középiskolai tanulmányainkból ismerjük. Ezeket a Q = cV · m · 8T,
V=állandó
(4.71)
Q = cP · m · 8T,
P=állandó
(4.72)
illetve a
összefüggésekkel definiáltuk; fenti egyenleteket differenciális alakra átrendezve: 1 +GQ. cV = m* ) GT , V=áll.
ill.
1 +GQ. cP = m* ) GT , P=áll.
(4.73a,b)*
A fajhő mértékegysége: –1 –1 =1 J @ =
; >
(4.73c)
A fajlagos hőkapacitás (fajhők) helyett sokszor célszerűbb a moláris hőkapacitással (mólhővel), vagyis az 1 mol anyag fajlagos hőkapacitásával számolni (jele: Cm): M +GQ. Cm,V = M cV = m * ) GT , V=áll.
ill.
Cm,P = M cP
(4.74a,b)
ahol M az ún. moláris tömeg [kg/mol]. A moláris hőkapacitás mértékegysége: –1 –1@ = kg 1 J @ =
; > ;
(4.74c)
Az állandó térfogaton mért fajlagos ill. moláris hőkapacitás (fajhő ill. mólhő) a belső energiával is kifejezhető a termodinamika I. főtételéből (ld. 1.3.3. ill. 5.2. pont):
8 +GQ. * A +GQ. = (és értelemszerűen a következő hasonló) kifejezések ún. parciális deriváltak. ) GT ,V=áll ) GT ,V Azt fejezik ki, hogy a többváltozós, pl. Q=Q(T,V) függvény megváltozását pl. V=állandó feltétel mellett vizsgáljuk. Lásd. 5.1.5. pontot.
" Az állandó nyomáson, illetve állandó térfogaton mért fajlagos hőkapacitást
330 dU = DQ + DWtérf.
ahol
DWtérf. = –PdV
(dU)V=áll. = (DQ) V mivel (DWtérf.)V = (–PdV)V = 0
(4.75) (4.76)*
1 +GU. cV = m* ) GT ,
+GUm. Cm,V = * ) GT , V
ill. V
(4.77a.b)
U ahol M a moláris tömeg és Um a belső energia moláris értéke: n , ahol n az anyagmennyiség mólokban. Az állandó nyomáson vett fajlagos, ill. moláris hőkapacitásokat 1 +GH. cP = m * ) GT ,
+GHm . Cm,P = * ) GT , P
ill. P
(4.78a,b)
definiálja, ahol H az ún. entalpia függvény. (A H és a (4.78) értelmezésével kapcsolatban az 5.2.1. pont (5.23) képletére utalunk.)
"
Az ideális gáz belső energiája. Az egyatomos gáz atomjainak szabadsági foka f=3, tehát az atomok átlagos termikus energiája 3/2 kBT, vagyis az egyatomos, N atomot tartalmazó ideális gáz belső energiája 3 U = 2 NkBT
(egyatomos)
(4.79)
A kétatomos ideális gáz szabadsági foka a rezgési járulék figyelembevétele nélkül f=5, vagyis a belső energia ebben az esetben: 5 U = 2 NkBT
(kétatomos)
(4.80)
Ha ehhez a rezgési szabadsági foknak megfelelő energiajárulékokat is figyelembe vesszük, akkor f=7 és 7 U = 2 NkBT
(kétatomos gáz rezgési járulékkal) (4.81)
(A kétatomos ideális gáz esetében azért választottuk ketté a rezgési járulékot nem tartalmazó, illetve azt is tartalmazó esetet, mert az alábbiakban a kisérletekkel összevetve (ld. 4.6. táblázat) vizsgálat tárgyává tesszük az ekvipartíció tételének érvényességi körét.)
* Az egyenletek felírásakor feltételeztük, hogy csak térfogati munka (Wtérf. )van. Az viszont V = állandó esetén nulla.
Ezért
331
" Az ideális gáz moláris hőkapacitása: +GUm. Cm,V = * ) GT ,
(ld.(4.77b)
alapján számítható: A (4.77b) egyenletet a (4.79–4.81) egyenlőségekkel összevetve megkapjuk az egyilletve kétatomos ideális gázok moláris hőkapacitásának az ekvipartíció tételéből számított értékét: 3 3 Cm,V (1 atom) = 2 NAkB = 2 R
(4.82)
5 5 Cm,V (2 atom, merev rúd) = 2 NAkB = 2 R
(4.83)
7 7 Cm,V (2 atom, rezgés) = NAkB = R 2 2
(4.84)
Vessük össze ezen elméleti értékeket a kisérletiekkel: 4.6. táblázat Az állandó térfogaton mért moláris hőkapacitás elméleti és kísérleti értékei egy-, két- és háromatomos gázmolekulák esetén szobahőmérsékleten Cm,V [J·mol-1·K-1] Kísérleti Elméleti 1. Elméleti 2.
1 atomos
2 atomos
3 atomos
Megjegyzés
12,39 12,47
20,47 20,79
24,95 24,94
12,47
29,10
49,88
Ar, H2, H2O a rezgési szabadsági fokok nélkül a rezgési szabadsági fokokkal együtt
A 4.6. táblázat első és második sorának jó egyezése szembeötlő. Ugyanakkor a rezgési szabadsági fok figyelembevételével számított elméleti érték már erősen eltér a kisérleti eredményektől. A 4.5.3. pontban láttuk ennek az eltérésnek az okát: az ún. klasszikus fizika szerint a 3. sorbeli eredmények helyesek; de a klasszikus fizika a mikrorészecskék világában – mint ezt már többször hangsúlyoztuk – csak nagy elővigyázattal alkalmazható. A 4.6. táblázat harmadik sorának a kísérleti eredményektől való eltérése annak jele, hogy a klasszikus fizika ekvipartíció tétele korlátozások nélkül nem érvényes: nem használható például gázokban a rezgési
V = áll
332 szabadsági fokokra eső termikus energia meghatározására, ezen csak az energiák kvantáltságának és gerjesztettségének figyelembevétele segít. *
"
+GUm. - = 3NA·kB = 3R = 24,942 [J/(mol·K)] Cm,V = * ) GT ,
(4.85)
érték adódik, mégpedig minden szilárdtestre azonos, hőmérséklettől független érték (ld. a 4.9. ábra szaggatott görbéjét). A szilárd testekre vonatkozó elméleti számítások általában Cm,V értékekre vezetnek, a mért értékek pedig Cm,P-re, de szilárdtesteknél szobahőmérséklet körül Cm,V H Cm,P. 4.7. táblázat Szilárdtestek fajlagos- és moláris hőkapacitása kísérleti és elméleti értékeinek összevetése 298,15 K-en
Elem Al Au Ag Fe K Li Ni Pt Si Zn
Fajlagos hőkapacitás [J/(kg·K)] 900,205 129,797 234,474 464,757 741,099 3307,73 439,635 133,984 678,294 383,111
Moláris hőkapacitás (Cm,P ) [J/(mol·K)] 24,289 25,566 25,292 25,955 28,978 22,952 25,811 26,139 19,051 25,044
%-os eltérés az ekvipartícióból adódó értéktől -2,62 +2,5 +1,40 +4,06 +16,18 -7,98 +3,48 +4,80 -23,61 +0,41
* A 4.5.3. pontban meghatároztuk a gázok rezgési és forgási energiáinak gerjesztettségét; megállapítottuk, hogy a rezgési energiák gerjesztettsége szobahőmérsékleten igen kicsiny. Következőleg ezek járulékai a kísérleti értékekben nem jelennek meg!
A szilárdtestek moláris hőkapacitását szintén kiszámíthatjuk az ekvipartíció tételével. Modellezzük a szilárdtestet a rácspontokon ülő azonos tömegű és rugalmas állandójú klasszikus harmonikus oszcillátorok (ld. 2.1.1.4. és 7.1. pont) rendszerével. Minden egyes atom három irányban végezhet rezgéseket, így molekuláris szabadsági foka száma: 3·2 = 6 (minden rezgési irányra kettő esik, ld. a (4.70) képleteket). Egy 1 atomra így 6 · 2 kBT = 3 kBT átlagos termikus energia jut. Egy mólnyi anyagra tehát Um = 3 NA kBT, vagyis a modellből a szilárdtestek moláris hőkapacitására
333
A kvantumeffektusok figyelembevételével szilárdtestek moláris hőkapacitásának egy jobb közelítését Einstein adta meg. Minden egyes atomi rezgő rendszer (atomi oszcillátor) I frekvenciáját azonosnak feltételezve, az alábbi eredményt kapta (részletesebben ld. 8.1.3. pontban): T0 = 2 +T0. –T0/T < – T ·
–2
hI , ahol T0 = k
B
(4.86)
(A szilárdtestfizikában további közelítésekkel is megismerkedünk majd.) Cm,P [J/mol·K] 25 20 10 100
200
300
T (K)
4.9. ábra. Szilícium moláris hőkapacitásának hőmérsékletfüggése
A szilárdtestek moláris ill. fajlagos hőkapacitása tehát — szemben az ekvipartíció tételének állításával – nem független a hőmérséklettől, hanem az abszolút hőmérséklet nullához tartásával szintén nullához tart. "Magas" hőmérsékleten viszont megközelíti (sőt a reális anyagoknál fellépő anharmonicitás* miatt túl is lépi (ld. 4.9. ábrát)) a klasszikus fizikából adódó hőmérsékletfüggetlen, (4.85)-szerinti értéket.
* Ekkor a potenciális energia nem kvadratikus.
A 4.7. táblázatban különböző szilárdtestek hőkapacitásaira vonatkozó mérési eredményeket mutatunk be. Ezek alapján ellenőrizhetjük elméletünk helyességét. Láthatjuk, hogy fentebbi egyszerű becslés sok esetben jó közelítéssel teljesül. Ugyanakkor nem elhanyagolható eltéréseket is találunk (pl. K, Si), ami arra utal, hogy bizonyos tényezőket nem vettünk figyelembe. Az az állításunk például, hogy a szilárdtestek moláris hőkapacitása nem függ hőmérséklettől, a valóságban nem igaz. Ennek illusztrálására a 4.9. ábrán feltüntettük a szilícium moláris hőkapacitásának hőmérsékletfüggését.
334
4.7. A KONFIGURÁCIÓS ÉS AZ ELEGYEDÉSI ENTRÓPIA
4.7.1. A szilárdtestek konfigurációs entrópiája
A kristályok olyan szilárd testek, amelyekben az atomok, atomcsoportok, molekulák a térben periodikusan, meghatározott rend szerint helyezkednek el. Az ideális kristályban az atomok periódikus rendjét semmi sem zavarja meg. Ezzel szemben a reális kristályokban (még egyensúlyi viszonyok között is) egyes helyeken hiányoznak az atomok: azok a felületre, esetleg rácspontok közti helyekre vándorolnak. Az üres atomhelyeket vakanciáknak nevezzük. A vakanciák megjelenése többletenergiával jár, a vakanciák (bizonyos koncentrációkig) mégis spontán folyamatban keletkeznek. E jelenség látszólag ellene szól annak a jól ismert elvnek, hogy a (zárt) rendszerek egyensúlyban az energiaminimumra (pontosabban szabadenergia minimumra, ld. 5.5. pontot) törekednek. Az ellentmondás azonban csak látszólagos: az alábbiakban megmutatjuk, hogy a szilárdtestek entrópiája, tehát w termodinamikai valószínűsége nagyobb, ha a vakanciák jelen vannak. Az 5.5. pontban megmutatjuk, hogy a rendszerek egyensúlyát állandó nyomáson és hőmérsékleten a G = H – TS szabadentalpia függvény dGP,T = 0 minimuma ill. állandó térfogaton és hőmérsékleten az A = U – TS szabadenergia függvény dAV,T = 0 minimuma határozza meg. Ha a vakanciák megjelenése pozitív entrópia többletet okoz, akkor az láthatóan mind G, mind A értékét csökkenti, tehát a vakanciák megjelenése nincs ellentétben a termodinamikai egyensúlyi kritériumokkal, – csak az adott feltételek között az egyensúlynak nem az energia minimum, hanem a szabadentalpia vagy a szabadenergia minimuma a korrekt feltétele. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a vakanciák megjelenése mindig entrópia többletet (ún. konfigurációs entrópiát) okoz. A "konfigurációs" jelzőt "kf" indexszel jelöljük. Az alábbiakban egy egyszerű, azonos atomokat tartalmazó kristályos szilárdtest modell konfigurációs entrópiáját határozzuk meg. Ennek során a Maxwell–Bolzmann statisztikát alkalmazhatjuk, mert e problémára teljesülnek a 4.2. bevezetőjében leírt feltételek.
A 4.5.1. pontban megmutattuk, hogyan értelmezzük az egyensúlyi hőcserével kapcsolatos entrópiaváltozásokat. Entrópia (ill. entrópiaváltozás) rendelhető azonban olyan állapotokhoz (ill. állapotváltozásokhoz) is, amelyeknek megváltozása nem jár szükségszerűen hőátadással: ilyen entrópiajárulék pl. az ún. konfigurációs entrópia, de ilyen, az ideális elegyképződéssel járó entrópiaváltozás, az ún. elegyedési entrópia is.
335 A kristály adott térfogatában legyen N darab azonos részecske és m darab üres rácspont (vakancia). Ezek a rendelkezésükre álló (N+m) helyet (N+m)! wkf = N!m!
(4.87)
A (4.87) képlet tetszőleges N és m-re igaz, vagyis nem egyensúlyi esetben is. Ha (4.87)-be az egyensúlyi vakancia koncentrációnak megfelelő egyensúlyi m értéket helyettesítünk be, akkor wkf is egyensúlyi érték lesz, tehát megkapjuk Wkf értékét. Az ehhez tartozó Skf konfigurációs entrópiajárulék: Skf = kB ln Wkf = kB [ln(N+m)! – ln N! – ln m!]
(4.88a)*
A Stirling–formulát alkalmazva: Skf = kB[(N+m) ln (N+m) – N ln N – m ln m] = N m & # = –kB"N ln N+m + m ln N+m% ! $
(4.88b)
Mivel az a logaritmusok után álló hányadosok valódi törtek, a logaritmusok negatívak, az Skf pedig mindig pozitív. A vakanciák növekvő száma tehát mindig növeli a szilárdtest konfigurációs entrópiáját. Az egyensúlyi vakancia koncentrációt a következőképpen számíthatjuk. (Itt egy egyszerű képből (ld. a Szilárdtestfizikában) indulunk ki. A vakanciák egyensúlyi m számának arányát az összes rácspont (N+m) számához viszonyítva az –Ev / kBT m = e (4.89) N+m
* Az S tulajdonképpen a vakanciák nélküli állapothoz való többlet, tehát tulajdonképpen dS . Az S kf kf kf
jelölés mégis korrekt: a vakancia nélküli esetben w=1, ln w=0 és így a vakancia nélküli állapotban Skf=0. Félreértések elkerülése végett: csak a konfigurációs entrópia járulék nulla. Ezzel még nem állíthatjuk, hogy a vakanciamentes kristály teljes entrópiája nulla. Ez csak T=0 K-en, és akkor is csak meghatározott feltételek mellett teljesülne (ld. III.főtétel, 4.4. pont).
féleképpen foglalhatják el, mert a részecskék (pontosabban a rácspontok) egymás közötti és a vakanciák (pontosabban az üres rácspontok) egymás közötti felcserélése nem jelent új elrendeződést (ezek egymás között megkülönböztethetetlenek).
336 Boltzmann faktor (ld. (4.24) adja meg, ahol Ev az atom felületre vitelének, azaz a vakancia létrehozásának az energiája. Amennyiben m We relációkkal vesszük (ld. 5.3.1. pontot). Nem elszigetelt, azaz nyílt állapotváltozásoknál ez nem lehetséges, ilyenkor ugyanis a vizsgált rendszert (alrendszert) nem kezeljük a környezetével (a másik alrendszerrel) együtt elszigetelt rendszerként és így nem is lehet szigetelt (adiabatikus stb.). Ilyenkor az I. főtétel megfelelő alakját ki kell egészítenünk a fentieket együttesen figyelembevevő TdSb taggal (ld. 5.5. pontot).
5.2.2. Az intenzív és extenzív állapotjelzők kapcsolata. A T, P és µi (i=1,2,...,K) termodinamikai definíciója. Integrális függvénykapcsolatok
Nézzük meg, hogy milyen matematikai kapcsolat van a tapasztalati úton felállított (5.20) képlet és azon 5.1.1. pontbeli állításunk között, hogy egy egyszerű termodinamikai rendszer viselkedését az U=U(S,V,n) függvény teljesen meghatározza! Tekintsünk egy n mol anyagmennyiséget tartalmazó egykomponensű ideális gázt! Ha a gázban egy olyan kváziegyensúlyi folyamat megy végbe, amelynek során állapotjelzői megváltoznak, akkor a belső energia megváltozását ezen állapotjelzők megváltozásával fejezhetjük ki!
+
Az egyszerűség kedvéért először csak a rendszer térfogatát és entrópiáját változtassuk meg (ld. 5.5. ábra), és az n anyagmennyiséget vegyük állandónak!
Vannak olyan kváziegyensúlyi folyamatok is, melyek még ideálisan viselkedő komponensek esetén is (a rendszeren belül fellépő) entrópiaváltozással járnak. Ilyen pl. az ideális elegyek képződése, amely (ld. 4.7.2. pontot) dSmixt a rendszeren belüli entrópia termeléssel illetve TdSmixt egyenértékű belső energiaváltozással járnak. Ezt és hasonló belső folyamatokat sem számítjuk be a DQ, illetve a DW értékébe, hanem általánosan szintén TdSb-vel jelöljük.
392
Az "A" pontból vigyük rendszerünket a "B" pontba a "I"-essel jelölt úton. Mivel a belső energia állapotfüggvény, megváltozását csak a kezdő és végállapot határozza meg; az, hogy az állapottérben milyen úton jutottunk el a kezdő állapotból a végállapotba, nem játszik semmilyen szerepet. Tehát U változása az "I"-es úton megegyezik U megváltozásával a "II" ill. a "III" úton. A "III"-as út első szakaszán a rendszernek csak a térfogata, a második szakaszán csak az entrópiája változik meg; az anyagmennyiséget (n) vegyük (mint megállapodtunk) egyelőre állandónak. (U = (UC–UA) + (UB–UC) = = [U(S1 ,V2,n)–U(S1,V1 ,n)] + [U(S2,V2,n)–U(S1,V2,n)] Infinitezimálisan kis állapotváltozásra UB = UA + dU S2 = S1 + dS V2 = V1 + dV dU = [U(S1,V1+dV,n)–U(S1,V1,n)] + [U(S1+dS,V1+dV,n)–U(S1,V1+dV,n)] ami a parciális differenciálhányados definíciója értelmében (ld. 5.1.5. pontot) a $,U' $,U' dU = # & dV + # & dS ,V " %S,n " ,S %V,n
(5.27a)
5.5. ábra. Állapotváltozások az S–V diagramon
393 alakba írható. Az U infinitezimális megváltozása matematikailag teljes differenciál.* Az (5.29a) egyenlet kváziegyensúlyi folyamatra (egyensúly esetén) érvényes.
+ Ha az egyszerű termodinamikai rendszer összes extenzív állapotjelzőjének meg-
K $,U' $,U' $,U' dU = # & dV + # & dS + : # & " ,S %V,n ",V%S,n i=1 ",ni %S,V,n
egyenlet írja le.
dni
(5.27b)
j2i
A belső energia A és B pont közötti megváltozását a B
UB – UA = * ) dU A
integrális alakban is felírhatjuk. A felírásban az integráljel szimbolikusan jelzi a három független változó szerint végzett vonal menti integrálást, míg "A" és "B"-vel az integrálási határokat jeleztük. Az integrálás útja mentén az (5.29) jobboldalán minden tagnál csak egy-egy változó változik. Egy körfolyamatban a belső energia, megváltozása, mint (5.19) kapcsán jeleztük, nulla (ld. 5.5. ábrát is, mivel a rendszert ilyenkor pl. A pontból újra A-ba visszük (pl. I, majd II úton). Ezt szimbolikusan a o dU = 0 * (5.28) ) körintegrállal írhatjuk le.
+
Összevetve a kísérleti tapasztalatokat axiómaként összegző (5.20) egyensúlyi Gibbs egyenletet a matematikai úton nyert (5.27b)-vel, a matematikai leírás csak akkor felel meg a kísérleti tapasztalatoknak, ha a benne szereplő parciális differenciálhányadosokat a megfelelő intenzív mennyiségekkel azonosítjuk. Az (5.27b) egyenlet első két tagja egyensúly esetén a T hőmérsékletnek, illetve a P nyomás mínusz egyszeresének felel meg: $,U' Te ! # & " ,S %V,n
(5.29)**
* Az (5.27) egyenletek gyakorlati számításokban nagyon fontosak. Lehetővé teszi, hogy ha egy állapotfüggvény egy rendszer "A" és "B" állapotai közötti átmenethez tartozó megváltozását akarjuk kiszámítani, akkor a valódi állapotváltozási görbe helyett az 5.5. ábrán feltüntetett "III" úthoz hasonlóan egyidejűleg csak egy-egy paramétert változtatva "egyenes szakaszokon" haladva juthassunk el "A"-ból "B"-be.
** Az 5.4.5. pontban igazoljuk, hogy az így bevezetett T azonos az SI-beli termodinamikai abszolút hőmérséklettel (ld. 3.2. pontot).
változását megengedjük (tehát esetünkben (5.29a)–hoz képest az n anyagmennyiség megváltozását is), akkor (5.27a) helyett a belső energia kváziegyensúlyi folyamatra történő teljes megváltozását matematikailag a
394 $,U' –P ! # & ",V%S,n
(5.30)
K
$,U'
dni : #",n &% i S,V,n i=1 j2i alakú tagnak is energiaközlést kell megadnia, mégpedig a rendszer részecskeszám változásához tartozó belső energia megváltozását. Az (5.29) és (5.30) analógiájára az utolsó tagban összegzett parciális differenciálhányadosok tehát szintén intenzív mennyiségeket határoznak meg, jelöljük ezt ;i-vel: $,U' ;i ! # & ",ni%S,V,n
i = 1, 2, ... K
(5.31)*
j2i
A ;i mennyiségeket az i-dik komponens kémiai potenciáljának nevezzük. Az (5.29)–(5.31) kifejezések rendre a hőmérséklet, a nyomás, illetve a kémiai potenciál termodinamikai definíciói. Az (5.31) kifejezés egy másik, (használatosabb) alakját az (5.102) adja meg!
+ Sokszor használjuk a termodinamikai állapotfüggvényének integrális alakját. Ilyen pl. a belső energia K
U= TS – PV +
: ;i ni
(5.32)
i=1
alakja. Az ilyen képletek kiemelkedő jelentősége miatt az (5.32) egyenlet példáján megmutatjuk ezek származtatását. Az 5.1.1. pontból (ill. tapasztalatból) tudjuk, hogy az U belső energia a S, V, ni egyértelmű függvénye, tehát U= U (S, V, ni ) Mivel, ha egy rendszer V térfogatát, N részecskeszámát egyszerre két-, háromszorosra, stb. emeljük, akkor belső energiája is két-, háromszorosra, stb. nő; U matematikailag egy ún. (többváltozós) elsőfokú homogén függvény. A homogén
* A kémiai potenciál ezen definícióját az (5.2b) egyenletben már ismertettük. Az (5.31) definíció helyett használatosabb az (5.102) definíció.
Miután az (5.27b) kifejezés minden egyes tagja valamilyen energiaközlésnek felel meg (az első tag a hőközlésnek, a második a mechanikai munkavégzésnek), az utolsó
395 függvényekre érvényes Euler tétele (ld. alább két vékony vonal között, — 3 változóra felírva); az Euler tételt a fenti háromváltozós függvényre alkalmazva a következőket kapjuk: $ ,U ' # & ", ni%S,V,n
ni
(5.33)
j2i
Ha most figyelembe vesszük az (5.29), (5.30) ill. (5.31) egyenleteket, – ezeket (5.33)-ba behelyettesítve eredményül az (5.32) egyenletet kapjuk.
Definició: ha egy háromváltozós f(x1, x2, x3) függvény olyan különleges tulajdonságú, hogy ha minden változóját egy tetszőleges ? valós számmal megszorozzuk, akkor a függvény értéke ?n-szeresre nő, azaz ha f(?x1, ?x2, ?x3) = ?n f(x1, x2, x3)
(x)
akkor ez az f(x1, x2, x3) függvény u.n. n-ed fokú homogén függvény. Euler tétele n-ed fokú 3 változós függvényekre (a tételt Euler tetszőlegesen sok változós esetre vezette le): ,f nf (x1, x2, x3) = : $ ' ·xi ",xi% i Differenciáljuk (x) mindkét oldalát ? szerint! Akkor a baloldal (a közvetett függvények differenciálási szabályát alkalmazva és a változók indexét általánosan j-vel jelölve) 3 , f (?x , ?x , ?x ) , (?xj) , f (?x1, ?x2, ?x3) 1 2 3 = : · ,? , ?xj ,? j=1 =
3 , f (?x , ?x , ?x ) 1 2 3 xj , ?xj j=1
:
A (x) egyenlet jobboldalának ?-szerinti differenciálhányadosa n ?n–1 f (x1, x2, x3 ) Miután a két oldal egyenlő n ?n–1 · f (x1, x2, x3 ) =
3 , f (?x , ?x , ?x ) 1 2 3 xj , ?xj j=1
:
Mivel ? tetszőleges (az (x) egyenlet minden valós ? számra igaz), — válasszuk ?-t 1-nek, n f (x1, x2, x3 ) =
3 , f (x , x , x ) 1 2 3
:
j=1
, xj
xj =
3 ,f
: ,x xj j
j=1
Ezzel Euler tételét erre az esetre igazoltuk. Mivel az U belső energia egy elsőfokú homogén függvény (tehát esetében n=1), a végeredmény valóban azonos (5.32) egyenlettel.
K $,U' $,U' U (S, V, ni ) = # & S + # & V + : " ,S %V,n ",V%S,n i=1
396 Az (5.32) egyenletet egyszerűen (ahol kell a szorzat differenciáljának számítási szabályát* alkalmazva) felírhatjuk differenciális alakban K
i=1
i=1
(5.34)
Értelemszerűen származtathatjuk pl. a H (ld. (5.21)) ill. G (ld. (5.92)) stb. integrális kifejezését is és azokat azonos szabályok szerint írhatjuk differenciális alakba.
5.2.3. A Gibbs-Duhem reláció
Határozzuk meg az U belső energia (5.27) integrális kifejezéséből kiindulva a belső energia teljes megváltozását (teljes differenciálját)! K
K
i=1
i=1
dU = TdS + SdT – PdV – VdP + : ;i dni + : ni d;i
(ld. (5.34))
Vessük össze az (5.20) és (5.34) egyenleteket. A kísérleti Gibbs–egyenlet (5.20) és a matematikailag kapott (5.34) baloldalán egyaránt a belső energia megváltozása áll, ezért a jobboldalaknak is meg kell egyezniük. (5.34) jobboldalán viszont kétszer annyi tag áll, mint (5.20)-ban és az ott szereplő összes tag is megjelenik. Mivel a kísérleti (5.20) képlet írja le a fizikai valóságot, a két összefüggés jobboldala csak akkor lehet egyenlő, ha az (5.34)-ben megjelenő, de az (5.20)-ban nem szereplő extra tagok összege nulla: K
SdT – VdP + : ni d;i = 0
(5.35)
i=1
Ez az ún. Gibbs-Duhem reláció, amelynek jelentősége, hogy kifejezi: a K+2 darab intenzív állapotjelző (P,T,;1,...,;K) megváltozása közül csak K+1 darab független. Ezt felhasználjuk az 5.2.5. pontban. Egy egykomponensű egyszerű termodinamikai rendszerre a kémiai potenciál megváltozása kifejezhető a hőmérséklet és a nyomás megváltozásával: SdT – VdP + nd; = 0
(5.36)
(ez az egy komponensű rendszerekre felírt Gibbs–Duhem egyenlet), illetve
* ((AB) = (AB)vég.ó áll. – (AB)kezdeti áll = (A+(A)(B+(B)–(AB) = B((A)+A((B)+(A(B. A differenciál
az elsőrendben kicsiny megváltozásokat tartalmazza. Ezért a (A(B másodrendűen kicsiny tagot elhanyagolhatjuk. Határátmenetben a ( helyett d-t kell írnunk.
K
dU = TdS + SdT – PdV – VdP + : ;i dni + : ni d;i
397 –SdT + VdP = ndµ
(5.37)
(A ;i ill. ; definíciója szerint moláris mennyiség; az (5.35), (5.37) egyenletekben minden tag energiadimenziójú; ni az (egykomponensű rendszernél n) a rendszer anyagmennyisége.)
+
Határozzuk meg az alábbiakban az ideális gázra a rendszeren végzett (előjeles) munkát, illetve a rendszerrel közölt (előjeles) hőt néhány gyakran előforduló állapotváltozás esetében! Az m moláris indexeket az egyszerűség kedvéért nem írjuk ki! A képletekben a P,T értéke az egyensúlyi (kváziegyensúlyi) rendszer nyomása ill. hőmérséklete (ld. 5.1.4. pontot, ahol ezeket TR-rel ill. PR-rel jelöltük). 5.2.4.1. Ideális gáz kváziegyensúlyi izoterm állapotváltozása. Az izotermák egyenlete Az izoterm kváziegyensúlyi térfogati munka n mol ideális gázra: V2
V2
V1
V1
Wtérf = – * ) PdV = – * )
V2 V2 nRT dV * · dV = –nRT = –nRT * ) V ) d ln V = V V1
P V = –nRT ln V2 = nRT ln P2 1
1
V1
(5.38)*
V P (A levezetésben felhasználtuk, hogy állandó hőmérsékleten V2 = P1 és azt, hogy 1 2 nRT egyensúlyban a térfogati munka Pext külső nyomása egyenlő a gáz P = V nyomásával)
*
d ln V 1 , dV = tehát d ln V = dV V V
5.2.4. Ideális gáz kváziegyensúlyi állapotváltozásai. A kváziegyensúlyi állapotváltozások térfogati munkája és hőcseréje
398
Ez a kifejezés általános érvényű, ha V2-n a végállapot és V1-en a kezdeti állapot térfogatát értjük. Ha V2 > V1, akkor Wtérf < 0, azaz a rendszer végez munkát (tágulás, expanzió), V2 < V1 esetén Wtérf > 0, azaz a rendszeren végzünk munkát (összenyomódás, kompresszió). Mivel (ld. 5.1.3. pontot) az ideális gázra (UT = 0, az ideális gáz kváziegyensúlyi izoterm állapotváltozására fennáll, hogy Wtérf = (–Q)
(5.39)
Így az (5.38) egyenlet egyúttal (–Q)e értékét is megadja. Vvég Vkezdet = – Q
(5.40)
(T=áll. mellett)
(5.41)
Wtérf = –nRT ln Az izoterma egyenlete (ld. 5.6. ábrát) PV = állandó
5.2.4.2. Az adiabaták egyenlete. Az ideális gáz adiabatikus DQ=0 munkája
+
A DQ=0 feltétel mellett (ha a térfogati munkán kívül nincs egyéb munka) az I. főtétel szerint 1 mól ideális gázra
5.6. ábra. Izotermikus (a), izochor (b), izobár (c) és adiabatikus (d) állapotváltozások (vastag vonalak). Az ezek során végzett munkát srafozott területekkel tüntettük fel P–V állapotfelületen.
399 dUm = – PdV = Wtérf
(5.42)
RT Cm,V dT = – V dV
(5.43)
dT dV Cm,V T = – R V Cm,Vd ln T = – Rd ln V
(5.44)
Integrálva Tkezd és Tvég ill. Vkezd és Vvég között (mivel Cm,V nem függ V-től* ) ln
Tvég R Vkezd = ln Tkezd Cm,V Vvég
(5.45)
Vegyük figyelembe, hogy ideális gázra (5.46)**
Cm,P – Cm,V = R
* A (4.77) szerint C
m,V =
$,Um' és mivel az ideális gáz energiája csak a hőmérséklettől függ, (5.5c) " ,T %V
,U szerint $ ' ! 0, — a vegyes parciális deriváltak egyenlősége miatt (5.1.5. pont) ",V%T ,2Um ,Cm,V ,2Um !0 = = ,T,V ,V ,V,T a Cm,V nem függ a térfogattól!
** Az I. főtétel dU = DQ – PdV alakját átrendezve: DQ = dU + PdV. Mivel az U teljes változásában megjelenik mind a hőmérsékletváltozás, mind pedig a térfogatváltozás miatti tag, dU helyére T és V szerinti teljes differenciálját írva ,U ,U (5.47) DQ = $ ' dT + $ ' dV + PdV. " ,T %V ",V%T P=áll. feltétel mellett dT-vel osztva, (felhasználva a moláris hőkapacitások 4.6.5. pontbeli definícióegyenleteit és az U moláris m jelzést egyszerűség kedvéért elhagyva)
6 ,U 9 $DQ' = C = Cm,V +5$ ' + P8 m,P " dT %P 4",V%T 7
$,V' # & " ,T %P
egyenletet kapjuk. Figyelembevéve az (5.5c) és a PVm=RT ideális gázra vonatkozó egyenleteket
$,U' # & =0 " ,V %T
és
$,V' R # & =P " ,T %P
(5.48)-ból ideális gázra valóban az (5.46) egyenletet kapjuk.
(5.48)
RT Mivel kváziegyensúlyi folyamatban 1 mól ideális gázra P = V és (4.77) szerint m dUm = Cm,VdT (a V m indexét csak a levezetés végén írjuk újra ki!), a (4.77) és az (5.42) összevetéséből
400 Vezessük be a C @ ! C m,P
(5.47)
m,V
Az (5.46) ill. (5.47) egyenleteket figyelembevéve R @–1=C m,V
(5.49)
és így (5.45)-ből következik hogy
@–1 Tvég $Vkezd' Tkezd = #" Vvég &%
T V ln T vég = (@–1) ln Vkezd , kezd vég
(5.50a)
azaz az adiabata mentén (ha DQ = 0) R/Cm,V
TV(@–1) = TV
= állandó
(5.50b)
Helyettesítsük be az (5.50a) második egyenletébe (m1=m2 feltétellel) T2/T1 helyére az egyesített gáztörvényt,** eredményül a $Vkezd'@ Pvég #V & = P " vég % kezd
* A @ az f
(5.51)
SF (alábbiakban egyszerűen f) molekuláris szabadsági fokkal is felírható
f +2 @ = SF fSF
5 . Az ideális gáz moláris belső energiája ugyanis (ld. 4.6.5. pontot) 3 f f ,U Um = RT, amiből (ld. (4.77) egyenletet) Cm,V = $ m' = R. De (5.46) szerint Cm,P = R + Cm,V 2 " ,T % 2 pl. egyatomos ideális gázra @ =
V
f Cm,P f+2 és így Cm,P = R + R , így =@A . Cm,V 2 f
**
@ @–1 V T2 P2V2 $V1' V = $ 1'- · 2 = = T1 P1V1 "V2% "V2%- V1
Egyszerűsítsünk a 2. és 4. egyenlőségben V2 /V1-el, átjelöléssel P2 ( Pvég = = P1 Pkezd az (5.51)-t kapjuk.
@
$Vkezd' " Vvég %
egyenlettel a @ hőkapacitásviszonyt*.
401 illetve a
PV@ = konst = K
(5.51a)
egyenleteket nyerjük. Az (5.50b) illetve (5.51a) egyenleteket az adiabaták egyenleteinek nevezzük.
ideális gázra vezetjük le. Induljunk ki e célból az (5.42) illetve (5.43) egyenletekből: Vvég
Vvég
* * Wtérf (DQ=0) = – 3 PdV = 3 Cm,V dT ) ) Vkezd
(5.52)
Vkezd
Ha Cm,V-t első közelítésben hőfokfüggetlennek vesszük vagy az átlagértékkel számolunk, akkor az integrálást elvégezve Wtérf = Cm,V (Tvég – Tkezd)
(5.53)
Az (5.53) egyenletet az 5.6/d. ábrával összevetve, megállapíthatjuk, hogy az adiabatikus expanzió (Tvég B Tkezd) során a gázhőmérséklet csökkenése arányos a rendszer által végzett térfogati munkával: a gáz lehül; adiabatikus kompressziókor pedig a gáz hőmérséklete a befektetett munkával arányosan nő, a gáz felmelegszik. Az expanziós és kompressziós munka azonos hőmérséklethatárok esetén ellentétes előjelű és az abszolút értékük egyenlő*. (Megjegyezzük, hogy bár a fenti adiabatikus állapotváltozás során a térfogat változik, — a Cm,V ennek során (mint fentebb egy lábjegyzetben igazoltuk) nem változik!) + Hasonló módon megkaphatjuk az izochor ill. izobár állapotváltozások (ld. 5.6. ábra) megfelelő kifejezéseit is. Ezekre nézve a középiskolai anyagra utalunk (ld. Holics: Fizika, id. mű megfelelő fejezetét).
5.2.5. Az egyensúlyi termodinamikai rendszerek szabadsági fokának meghatározása. A Gibbsféle fázistörvény
Az 1. fejezet 1.2. pontjában többféle szabadsági fok definícióval ismerkedtünk meg. Közöttük az fTD termodinamikai szabadsági fok fogalmát is definiáltuk, de ott nem foglalkozhattunk vele részletesen. Az fM illetve fSF szabadsági fok analógiájára az fTD definíciója a következő:
* Ez az egyenlőség azonos kompressziós, illetve expanziós arányok esetén már nem áll fent. Ennek igazolását az (5.52) és (5.51) alapján az olvasóra bízzuk.
+ Az adiabatikus (előjeles) kváziegyensúlyi térfogati munka kifejezését 1 mól
402 Egy egyensúlyi termodinamikai rendszerben a független intenzív állapotjelzők számát a rendszer termodinamikai szabadsági fokának nevezzük.
Jelöljük a többkomponensű rendszerünkben lévő komponensek számát 1,2,...,i,... K-val (alsó indexben), a fázisok számát pedig 1,2,...j,... F-fel (utóbbit felső indexben). +
A rendszert leíró intenzív állapotjelzők a következőek: T(1),T(2),...,T(F); (1)
(1)
(1)
(2)
P(1),P(2),...,P(F); (2)
(2)
(F)
(F)
(F)
;1 , ;2 , .... ;K ; ;1 , ;2 , ..., ;K ; ....; ;1 , ;2 , ...., ;K
(5.54)
Tehát minden fázisban — a P,T paraméterek mellett — meg kell adni minden kom(j) ponenshez egy ;i kémiai potenciált. Ez összesen F(K+2)
(5.55)
intenzív paramétert jelent.
+ Most nézzük meg a különböző feltételi egyenleteket! + Az (5.35) Gibbs-Duhem relációnak megfelelően, állandó térfogaton és hőmérsékleten egy adott j fázisban: $ K (j) (j) ' # : n d; & =0 i i & # "i=1 %T,P=áll.
(5.56)
(j)
vagyis a K darab ;i közül csak K–1 független lehet, hiszen a K-adik (5.35) ill. (5.56)-ból adódik. Az (5.56) egyenlet tehát az összes fázisra vonatkozóan F -fel csökkenti a független intenzív paraméterek számát, azaz a szabadsági fokot.
* A független változók értéke adott rendszerben szabadon megválasztható.
(5.57)
Egy adott 1,2,...i,…,K komponensű, 1,2,..., j,…F fázisú egyensúlyi rendszer független intenzív állapotjelzőinek* számát (tehát az fTD értéket) úgy kapjuk meg, hogy a többfázisú, többkomponensű rendszert leíró összes intenzív állapotjelző számából levonjuk a független intenzív paraméterek számát csökkentő feltételi egyenletek számát.
403 ! Másfelől egyensúly esetén az összes fázis hőmérséklete és nyomása egyenlő kell hogy legyen. Ez 2(F – 1)
(5.58)
5.7. ábra. Egy F fázisból álló rendszerben F-1 fázishatár van ! A fentieken kívül egyensúlyban minden egyes (összesen K fajta) komponens (j) kémiai potenciáljának minden fázisban egyenlőnek kell lennie. Ez a "i –kre K (F – 1) (5.59) darab egyenletet jelent (mivel F fázis között F – 1 fázishatár van). A rendszer termodinamikai szabadsági fokát, vagyis a független intenzív állapotjelzők (paraméterek) számát, az intenzív állapotjelzők teljes számának és a feltételi egyenletek számának különbsége adja meg: fTD = F (K + 2) – F – 2(F – 1) – K (F – 1) = = FK + 2F – F – 2F + 2 – FK + K azaz fTD = K – F + 2
(5.60)
Szavakkal: Egy F fázist és K komponenst tartalmazó heterogén egyszerű termodinamikai rendszer (ETR) termodinamikai szabadsági foka fTD = K–F+2. Ez a Gibbs–féle fázisszabály.
! A Gibbs-féle fázisszabály (fázistörvény) — mint a fenti levezetésből látható — egyensúlyi esetre érvényes: fizikai (termodinamikai) rendszer csak akkor lehet egyensúlyban, ha fTD # 0, azaz ha K # F–2. A rendszert jellemző összes intenzív állapotjelző száma több, vagy legalábbis egyenlő kell, hogy legyen a feltételi egyenletek számával. Ha a paraméterek száma pl. eggyel több, akkor azt szabadon megválaszthatjuk és ezzel a többi adott. Ha a paraméterek száma kettővel több, akkor mind a kettő szabadon választható (illetve mindkettőt meg kell választanunk, a többi pedig adott) stb. Ha a paraméterek száma egyenlő a feltételi egyenletek számával, akkor nincs szabadon választható paraméter: mind meghatározott.
feltételt jelent, mivel az F fázis között F – 1 fázishatár van (ld. 5.7. ábra).
404 Ha az egyenletek száma nagyobb mint a rendszert jellemző paraméterek száma, akkor az egyenletrendszer túlhatározott és az egyenletrendszer általában nem oldható meg (ld. Bronstejn id. mű, lineáris egyenletrendszerek). Ilyen rendszerre ld. az 5. példát.
2. Példa. Tekintsünk egy állandó hőmérsékletű és nyomású kétkomponensű rendszert, amely egy szilárd és egy folyékony fázist tartalmaz. A rendszer szabadsági foka ebben az esetben fTD = 2–2+2 = 2. 3. Példa. Lehetséges–e három fázis egy tetszőleges hőmérsékletű és nyomású kétkomponensű rendszerben? Amennyiben három fázis és két komponens létezik, a kémiai potenciálok egyenlősége K(F–1), azaz négy független egyenletet jelent (a három fázist az I, II, III felső indexekkel jelöltük): (I)
(I)
(II)
(II)
(II)
(II)
(III)
(III)
(I)
(I)
(II)
(II)
(II)
(II)
(III)
(III)
"1 (T,P,x1 ) = "1 (T,P,x1 ) "1 (T,P,x1 ) = "1 (T,P,x1 ) "2 (T,P,x1 ) = "2 (T,P,x1 ) "2 (T,P,x1 ) = "2 (T,P,x1 ) ahol az x1 az (1)-es komponens móltörtekben kifejezett koncentrációját jelenti: felhasználtuk, hogy kétkomponensű rendszer minden fázisára x1+x2 = 1, tehát a koncentrációk fázisonként egy független változóval jellemezhetők. Független változónk viszont öt van: (I)
(II)
(III)
x1 , x1 , x1 , P, T ahol egyensúly lévén, a P és a T minden fázisra azonos érték. A fenti négy egyenlet tehát nem oldható meg bármely T és P esetén. Így a fenti rendszerben két fázis tetszőleges T és P mellett létezhet, de három fázis csak akkor, ha T vagy P értékét adottnak tekintjük: például a hőmérséklet megadása esetén a nyomás már adott, vagyis a szabadsági fok 1-re csökkent; az eredmény természetesen megfelel a fázistörvénynek: fTD = 2–3+2 = 1. 4. Példa. Lehetséges-e négy fázis a fenti kétkomponensű rendszerben? Négy fázis esetén a kémiai potenciálok egyenlőségéből K(F–1), azaz hat (I) (II) (III) (IV) egyenletet kapunk, így T, P, x1 , x1 , x1 és x1 közül mindegyik értéke meghatározott. Négy fázis esetén rendszerünkben nincs szabadon választható paraméter! A fázistörvény szerint ekkor fTD = 2–4+2 = 0, azaz kétkomponensű
1. Példa. Egy egykomponensű ideális gázra K=1, F=1; a szabadsági fok tehát fTD = 1–1+2 = 2, vagyis az ideális gáz két független paraméterrel (pl. P– V, P–T, V–S stb.) leírható rendszer.
405 rendszerben lehetséges négy fázis, — de csak mind a hat paraméter pontosan meghatározott értékénél!
6. Példa. Alkalmazzuk a Gibbs-féle fázistörvényt a vízre. A különböző fázisok viselkedését a víz fázisdiagramján szemléltetjük (ld. 5.8a. ábra). A víz egy egykomponensű rendszer, amelynek több fázisa lehetséges. A görbék között egy fázis lehetséges: itt P és T értékét függetlenül választhatjuk meg. Az ábrán látható görbék azokat az összetartozó P és T értékeket mutatják, amelyek mellett két fázis lehetséges; itt ha pl. T-t megválasztottuk, P értéke egyértelműen adott. A görbék metszéspontjában 3 fázis létezik egyidejűleg; itt nincs választási lehetőségünk: a 3 fázis jelenléte mind a T-t, mind a P-t egyértelműen meghatározza, fTD = 0.
5.8. ábra. A víz (a) és a CO2 (b) fázisdiagramjai. Az ábrákon a ! -val , a szilárd fázist s-sel, a folyadékfázist l-lel, a gáz hármaspontot ! (gőz) fázist g-vel jelöltük. A vízre közölt fázisdiagram láthatóan kis nyomásra vonatkozik. 2 kbar felett a negatív iránytangensű olvadási görbe egy másik hármasponttól kezdve pozitív iránytangensűvé válik.
Három fázis együtt (víz-jég-vízgőz) csak mindhárom intenzív paraméter pontosan meghatározott értékénél van, ezt a pontot a víz hármaspontjának nevezzük. A víz hármaspontja 273,16 K (611,73 Pa nyomás mellett). Nincs (nem lehet!) olyan pont, amelyben négy fázis találkozna!
5. Példa. Öt egyensúlyi fázis kétkomponensű rendszerben egyáltalán nem létezhet, mert az öt fázisra felírható K(F–1), azaz 8 meghatározó egyenletben maximum 6 ismeretlen szerepel: a fázistörvény szerint fTD = 2–5+2 = –1.
406
5.3. A TERMODINAMIKA II. FŐTÉTELE (A).
5.3.1. Ideális gáz izoterm térfogati munkája és hőcseréje. Reális és kváziegyensúlyi folyamatok összehasonlítása A lényeg megértése céljából vizsgáljunk meg egy egyszerű reális folyamatot és vessük azt össze az 5.1.4. pontban megismert megfelelő kváziegyensúlyi folyamattal. Legyen ez a folyamat az ideális gáz izoterm térfogatváltozása ill. az ezzel együttjáró munka és hőcsere. Legyen a vizsgált rendszer egy dugattyúval lezárt hengerben lévő gáz a henger és a dugattyú együttese, — a környezet pedig az állandó hőmérséklet fenntartásához a rendszerrel Q hőcserét biztosító hőtartály. (ld. 5.1.4. pont, 1. példa előtt) Az izoterm feltétel betartásához (a lehülés megakadályozásához) ugyanis táguláskor a rendszerrel hőt kell közölni (ez megállapodás szerint pozitív, Q > 0), összenyomáskor viszont a rendszerből hőt kell elvonni (Q < 0). Alábbiakban a munka és a hőközlés előjelére vigyáznunk kell (ld. az 5.1.4. pontot); konvenció szerint a rendszeren (pl. kompresszió során) végzett munka, illetve a rendszerrel közölt hő pozitív, a rendszer által (pl. expanzió során) végzett munka, illetve a rendszer által leadott hő negatív. a.) Vizsgáljuk először az adott esetre a térfogati munkavégzést! Expandáltassuk az ideális gázt reális folyamatban: ekkor elkerülhetetlen a dugattyú súrlódása (súrlódási munkája) és a dugattyú végállapotban való lefékezésénél annak kinetikus energiája is a rendszer termikus energiájává alakul át (ld. 2.5.5. pontot). A reális folyamatban tehát (a munkavégzés szempontjából nézve a folyamatot) veszteségek lépnek fel és ezek miatt a rendszer által végzett munka (expanzió) reális folyamatban* mindig kisebb (ld. az (5.61)-et és a hozzá fűzött lábjegyzetet), mint az 5.1.4. pontban megismert fiktív kváziegyensúlyi folyamatban, melynél ezen veszteségek elvileg nem léphetnek fel. Mivel a fiktív kváziegyensúlyi folyamatban nincsenek veszteségek, a (kvázi–)egyensúlyi folyamatban a rendszer által végzett munka maximális, azaz minden lehetséges reális folyamatnál nagyobb.
* A továbbiakban a jelölések egyszerűsége kedvéért az előbbieket r (reális), utóbbiakat e (kváziegyensúlyi) alsó indexszel jelöljük.
(A REÁLIS FOLYAMATOK EGYIRÁNYÚSÁGA. A ZÁRT RENDSZEREK ENTRÓPIAVÁLTOZÁSÁNAK SZÁMÍTÁSA.)
407 Kompressziónál az eset fordított: a veszteségek pótlása miatt ugyanakkora térfogatváltozáshoz a rendszeren reális folyamatban nagyobb (ld. az (5.61)-et és a hozzá fűzött lábjegyzetet) munkát kell végezni, mint a kváziegyensúlyi folyamatban.
Jól érzékelhető ez az 5.9. ábrán. Abból a célból, hogy a reálisan mindig veszteséges expanziót ill. kompressziót reális folyamatban végrehajtsuk, a Pext külső nyomás és a rendszer P nyomása között $P véges különbségnek kell lennie. Reális expanziónál Pext < P, kompressziókor viszont Pext > P -nek kell fennállnia. Kváziegyensúlyi folyamatokban természetesen (ld. 5.1.4. pont) Pext = PR(rendszer) = Pe. A munkát a megfelelő görbe alatti terület adja. A munkavégzés, a Wtérf mennyiséget előjeles mennyiségnek tekintve (Wtérf) > (Wtérf) r
e
(5.61)*
* Mivel W előjeles skaláris mennyiség, pl. expanziónál, ahol W < 0, negatív számértékű, az térf térf (5.61) azt jelenti, hogy (Wtérf) kisebb abszolút értékű negatív szám, mint (Wtérf) , azaz r e |(Wtérf) | < |(Wtérf) | r e
(expanzió)
(5.61a)
A kompressziónál, ahol Wtérf > 0, azaz pozitív számértékű, ugyanígy gondolkodva |(Wtérf) | > |(Wtérf) | r e
(kompresszió)
(5.61b)
5.9. ábra Reális izoterm expanzió (lépcsős a–görbe), kompresszió (lépcsős b–görbe); ugyanez fiktív kváziegyensúlyi folyamatban (c–görbék). Az (a) ill. (b) görbén a lépcsők a reális folyamathoz szükséges véges nyomásváltozásokhoz tartoznak, — természetesen tetszés szerinti finomításuk a (c) görbét közelíti. (Reális folyamatot szabatosan nem lehet grafikusan ábrázolni, hiszen pl. az állapottérben nem lehet Pext értékeit bejelölni. Az ábra kizárólag didaktikai célokat szolgál.)
408 Ugyanez érvényes DWtérf-ra is! (Az (5.61)-ben nem abszolút értékek szerepelnek!) b.) Vizsgáljuk most a rendszer hőcseréjét!
A rendszer hőcseréjét vizsgálva azt mondhatjuk, hogy a reális folyamatokban a hőcsere mindig kisebb, mint a fiktív kváziegyensúlyi folyamatokban, hiszen a reális folyamatokban a súrlódásból stb. képződő termikus energia a rendszeren belül marad és így az állandó hőmérséklet fenntartásához a környezettel (hőtartállyal, ld. 5.1.4. pontot) szükséges hőcsere mindig kisebb (ld. pl. expanzióra az 5.10. ábrát). A hőcserét reális és kváziegyensúlyi folyamatra megvizsgálva: Qr < Qe
(5.62)*
* Expanziónál, ahol Q > 0, azaz pozitív szám, az (5.62) azt jelenti, hogy a Q kisebb pozitív szám, mint r Qe, azaz |Qr| < |Qe| (expanzió) (5.62a)
5.10. ábra. Izoterm expanzió hőcseréje. Az izoterm feltétel fenntartására: a) esetben kisebb a fölvett hő, mert súrlódásból és a dugattyú fékeződéséből is fejlődik termikus energia; b) esetben a dugattyú kevésbé súrlódik: több hőre van szükség; c) a kváziegyensúlyi esetben már a dugattyú fékeződésekor sem fejlődik termikus energia: az energiát csak a hőtartállyal történő hőcserével lehet pótolni . (Az ábra baloldala a dugattyú súrlódási–, jobboldala a dugattyú fékezési folyamatait ábrázolja.) (Forrás: az ábrát Liszi—Ruff—Schiller— Varsányi: Bevezetés a fizikai kémiába, Műszaki Könyvkiadó, 1983. alapján a MK engedélyével közöljük.)
409 reláció adódik: (5.62)-ben figyelembe vettük, hogy a Q előjeles mennyiség és az (5.62)-ben nem abszolút értékek szerepelnek. Reális hőcsere csak hőmérsékletkülönbség hatására lehetséges, tehát
Text,r > Te
(5.63a)
– kompressziónál a rendszer hőt ad le (Q Pe volt szükséges). c.) A redukált hőmennyiségek** Az adott hőmérsékleten végzett hőcserére a T hőmérséklet jellemző. Kérdés: mit 'Q* 'Q* kell T helyére írni és hogy hat ki T értéke a & T ) és a & ) ún. redukált hő% (r % T (e mennyiségekre?
T
helyébe
kváziegyensúlyi
folyamatnál
a
rendszer
(TR)
e
hőmérsékletét kell beírni. (A kváziegyensúlyi folyamatoknál (TR) = Text–tel, azaz a e hőtartály hőmérsékletével.) A reális folyamatok esetén a T helyére a hőtartály (Text) r
hőmérsékletét kell írni. A reális és kváziegyensúlyi folyamatok redukált hőmennyiségeinek összevetéséhez, mind a hőmennyiségek, mind pedig a hőmérsékletek viszonyát figyelembe kell venni. Eredményül a ' Q * 'Q* ' DQ * 'DQ* &T ) < &T ) ill. &T ) < & T ) % ext(r % R(e % ext(r % R (e
(5.64)
egyenlőtlenségeket kapjuk. (Az (5.64)-ben nem abszolút értékek szerepelnek!) Azaz: kompressziókor, amikor Q < 0, azaz mindig negatív és a rendszer ad le hőt, tehát (Text) < (TR) , (5.61b) és (5.62b) figyelembevételével: r
e
Kompressziónál, ahol Q < 0, azaz negatív szám, az (5.62) azt jelenti, hogy Qr nagyobb abszolút értékű negatív szám, mint Qe, azaz |Qr| > |Qe| (kompresszió) (5.62b)
** Az itt elmondottakat felhasználjuk az (5.64a) egyenlettel kapcsolatban az 5.3.7. pontban a II. főtétel értelmezéséhez.
– expanziónál, ahol a rendszer hőt vesz fel (Q > 0) a hőtartály hőmérsékletének nagyobbnak kell lennie, mint a rendszer T egyensúlyi hőmérséklete
410 +' Q * + +' Q * + +' DQ * + +'DQ* + +&%Text)( + , +&%TR)( + ill. +&%Text)( + > +&% TR )( + + + r+ + e+ r+ + e+
(5.65)
r
e
+' Q * + +' Q * + +' DQ * + +'DQ* + +&%Text)( + < +&%TR.)( + ill. +&%Text)( + < +&% TR. )( + + + r+ + e+ r+ + e+
(5.66)
egyenlőtlenségeket nyerjük, ugyanis: – Kompressziókor -Qr-. ,. -Qe-, és mivel Qr-t a Text,rTe-vel, Qe-t pedig Te-vel osztjuk, a Q-kra érvényes reláció itt is erősödik. d.) Foglaljuk össze a fentieket egy táblázatban (5.2. táblázat): 5.2. táblázat. Reális és kváziegyensúlyi (kvázisztatikus) folyamatok összehasonlítása $
(A W = Wtérf , de az egyéb munkavégzésre is igaz.)
Reális folyamat
Munkavégzés
Hőközlés
Előjeles mennyiségekkel Összenyomás (kompresszió) Q0
W r > We DWr > DWe | Wr | > | We | |DWr | > |DWe |
Qr < Qe DQr < DQe |Qr| > |Qe| |DQr| > |DQe|
|Wr| < |We| |DWr| < |DWe |
|Qr| < |Qe | |DQr| < |DQe|
Hőmérséklet Nyomás
(Text) < (TR) , r
e
(Pext) > (PR) r
e
(Text) > (TR) r
e
(Pext) < (PR) r
e
Fel kívánjuk végül hívni a figyelmet arra, hogy fenti egyenlőtlenségek reális folyamatokra is teljesítik (az energiamegmaradás miatt teljesíteniük kell!) az I. főtételt. A dU = DWtérf + DQ egyenletben az előjeles(!) munkára érvényes Wr ,We relációt pontosan kompenzálja az előjeles(!) Qr < Qe reláció. A térfogati munkára fent mondottak minden hőcserével együttjáró munkavégzésre (munkavégzésekre) általánosíthatók. Ezért hagytuk el az 5.2. táblázatban a most felírt relációknál a W mellett a térfogati munkára utaló indexet. Ezen állítást könnyen beláthatjuk, ha arra gondolunk, hogy a töltéstranszport (elektromos áram), a (részecsketranszporttal járó) kémiai munka különböző típusai és általában minden reális folyamat termikus energiává alakuló veszteségekkel jár. Reális anyagoknál
és expanziókor, amikor Q > 0, azaz mindig pozitív és a rendszer vesz fel hőt, tehát (Text) > (TR) , (5.61a) és (5.62a) figyelembevételével:
411 a mechanikában már megismert (nevezzük most "külső") súrlódási munka kiegészül a rendszer (az anyag) belső súrlódásával is. Reális oldatok diffúziójánál a belső súrlódás mellett fellép a különböző koncentrációk esetén az atomok stb. környező molekulákkal való kölcsönhatása.
A természetben lefolyó valamennyi folyamat alá van vetve a termodinamika első főtételének, de a valóságban (valódi, spontán folyamatban) nem minden olyan folyamat valósul meg, amelyik az I. főtételnek nem mond ellent. Ezen kívül: az I. főtételből csak az következik, hogy egy elszigetelt rendszer összes belső energiája állandó, de nem határozza meg az elszigetelt (magára hagyott) rendszerben lefolyó valódi (spontán) folyamatok irányát. Az első főtétel alapján pl. nem lehet eldönteni, hogy magára hagyott rendszerben (tehát külső munkavégzés nélkül) a hőátmenet a melegebb testről a hidegebbre megy-e végbe vagy ellenkezőleg, — esetleg mindkét folyamat lehetséges. A II. főtétel (akárcsak az első) a termodinamikában tapasztalati törvény: a törvényt sok-sok kísérleti tapasztalat és utólagos folyamatos szembesítés, az új és új kísérletekkel való összevetés általánosítása alapján mondjuk ki. Első formáját ilyen alapon Clausius posztulálta (Clausius axióma, 1850): "A hő önként (spontán folyamatban) nem megy át hidegebb testről melegebbre", — azaz nem lehetséges olyan folyamat, amelynek során külső munkavégzés (munkakompenzáció) nélkül hő megy át hidegebb testről melegebbre.* Másszóval a valódi (reális) hőcsere egyirányú, nem megfordítható: a nemzetközi irodalom szóhasználata szerint irreverzibilis. Hasonló tapasztalatok sorát sorolhatjuk fel: a) ha áram halad át elektromos vezetőn, az elektromos energia termikus (belső) energiává alakul (Joule–hő) és az a folyamat sem megfordítható; b) ha önként végbemenő kémiai reakcióval van dolgunk, akkor exoterm reakcióban a résztvevő anyagok zéruspontenergiájának egy része átalakul termikus energiává (endoterm reakcióban fordítva) és ez az átalakulás sem fordítható meg önkéntes folyamatban: a spontánul lefolyó kémiai reakciók (amíg csak az egyensúlyt el nem érik) adott körülmények (pl. adott P, T, koncentrációk) között makroszkópikusan egyirányúak. (Egyensúlyban, azaz egyensúly elérése után a valódi folyamatok mikrofizikailag mindkét irányba végbemennek: éppen a két irányú reakciók dinamikus egyensúlya alakítja ki az egyensúlyt.) c) Gázokban, oldatokban a koncentráció gradiensek kiegyenlítődnek, de a kiegyenlítő diffúziós folyamatok makroszkópikusan szintén egyirányúak, irreverzibilisek.
* Ezen állítás teljesen általánosan csak körfolyamatokra igaz; ld. az 5.4.6. pont végén ismertetett példát és az ahhoz fűzött megjegyzést.
5.3.2. Az elszigetelt (magára hagyott) rendszerben lefolyó (reális, valódi spontán) folyamatok egyirányúsága. A II. főtétel kvantitatív alakja
412 A fenti tapasztalatok, a II. főtétel kvantitatív megfogalmazására olyan függvényt kell keresnünk, amely amíg a rendszerben valódi folyamatok játszódnak le, egyirányban változik (tehát megváltozása vagy pozitív vagy negatív) és az egyensúly elérésekor változása zérus (tehát egyensúlyban a függvénynek vagy maximuma vagy minimuma van.)
Induljunk ki a reális folyamatokra érvényes (5.64) egyenletből: ' DQ * 'DQ* &T ) < & T ) % ext( % R ( r
(ld. (5.64))
e
és definiáljuk Clausius nyomán az entrópia függvény megváltozását 'DQ* dS 0 & T ) % (
(5.67)
e
Az így definiált entrópia függvényről bizonyítható, hogy S állapotfüggvény (ld. (5.85) képletet): megváltozása tehát kváziegyensúlyi folyamatra és valódi (irreverzibilis) folyamatra azonos kezdeti és végállapot között azonos és egyaránt az (5.67) szerint számítandó. (A konkrét számításra példákat közlünk e pont végén.) Az (5.67) és (5.64) egyenleteket a következő relációban egyesíthetjük: DQ
3 = '&% T *)(e (kváziegyensúlyi folyamatra ill, egyensúlyra) dS 2 'DQ* >& T ) (reális, spontán folyamatra) 1 % (r
(5.68a) (5.68b)
Véges változásokra ill. körfolyamatokra az egyenleteket integrálni kell, de mindkét egyenletet azonos kezdő- és végállapot között. Hangsúlyozni kell, hogy az (5.68) egyenletekben mindig az abszolút hőmérséklet szerepel! Elszigetelt* (adiabatikus és állandó anyagtartalmú) rendszerre DQ = 0, ekkor az (5.68) egyenletek dS # 0 (5.69) alakba írhatók, ahol az egyenlőség az egyensúlyra, az egyenlőtlenség a valódi, reális spontán folyamatra érvényes.
* Ha csak az entrópia megváltozását vizsgáljuk, megengedhetjük az adiabatikus térfogati munkát is: az adiabatikus kváziegyensúlyi térfogati munka nem változtatja meg az entrópia értékét. Az állandó anyagtartalmat ki kell kötni, mert az anyagmennyiség megváltozása a kváziegyensúlyi folyamatban is megváltoztatja az entrópiát (ld. 4.7.2. pont, elegyedési entrópia).
Clausius 1865-ben az S entrópia függvényt javasolta erre a célra. Kövessük gondolatmenetét.
413 Látható, hogy a Clausius által javasolt választás kielégíti fentebb leírt követelményeinket: valódi folyamatokra S változása egyirányú (nő), és egyensúlyban értéke (az adott feltételek mellett) maximális. Szóban megfogalmazva:
Ha a spontán folyamat eléri az (adott feltételek melletti) egyensúlyt, akkor elszigetelt rendszerben az entrópia (az adott feltételek mellett) maximális: ez az entrópiamaximum elve. Fenti tételek és az ezeket kifejező dS # 0 reláció a termodinamika II. főtételének kvantitatív megfogalmazása (Clausius, 1865). A II. főtételt kvalitatíve már korábban megfogalmazták: Clausius posztulátumát fentebb ismertettük. Kelvin megfogalmazását (1852) és a későbbről származó Planck féle megfogalmazást az 5.4.3. pontban ismertetjük. Vannak olyan reális folyamatok, amelyek nem járnak hőcserével. Ilyen pl. ideális (kölcsönhatás nélküli részecskékből álló) elegyek keveredése állandó nyomáson [ld. 4.7.2. pont], vagy az ideális gázok kiterjedése vákuumban (ld. 5.4.6. pontot). E folyamatok ugyanakkor — mint pl. a 4.7.2. pontban megmutattuk — mégis járnak entrópia változással. Az entrópia fogalom ilyen általánosításával** a II. főtétel ezekre is érvényes! A tévedések elkerülése végett hívjuk csak fel a figyelmet arra, hogy nem elszigetelt rendszer esetén a $S az adott folyamatnak megfelelően nőhet és csökkenhet is. (Lásd alábbi 1. és 2. Példát.) Fentieket olvasva, az olvasónak talán úgy tűnhet, hogy konkrét számításokra a II. főtétel ilyen megfogalmazása nem produktív, hiszen az (irreverzibilis) folyamatokra pl. az (5.68b) egy egyenlőtlenség, amely számításokra nem ad egyértelmű értéket (belőle $S nem számítható ki). Az S entrópia állapotfüggvény jellege azonban feloldja ezt a látszólagos ellentmondást: mivel azonos kezdeti és végállapot esetén a $S változás valódi és kváziegyensúlyi folyamatra ugyanaz, — elegendő a $S kiszámítását olyan (pl. elképzelt) kváziegyensúlyi folyamatra (vagy ilyen folyamatok sorozatára) elvégezni, amelyek a rendszert a reális folyamattal azonos kezdeti állapotból azonos végállapotba viszik; ezekre nézve viszont egyenlőség áll fent, tehát a $S kiszámítás elvégezhető (ld. a pont végén lévő példákat).
** Ilyenkor az entrópiát a Boltzmann-egyenlet (4.32) révén a W termodinamikai valószínűséggel értelmezzük.
Elszigetelt rendszerben végbemenő spontán, reális folyamatokban a rendszer entrópiája csak nőhet, vagyis a reális spontán folyamatok egyirányúak, irreverzibilisek.
414
A dS # 0 reláció (5.69) elszigetelt rendszerhez való kötöttsége miatt a kémiai termodinamikában, ahol általában az állandó nyomáson és hőmérsékleten lezajló nyílt folyamatokkal foglalkozunk, az S entrópia helyett inkább a nyílt (nem elszigetelt) rendszerekre is alkalmazható más termodinamikai függvényeket használunk az egyensúly és a spontán folyamatok irányának meghatározására (ld. 5.5. pont).
!
Az alábbiakban néhány példán keresztül megmutatjuk, hogy hogyan történik és azt is, hogy számszerűen milyen eredményekre vezet elszigetelt rendszerek entrópiaváltozásának számítása. Kvalitatíve az eredményt az (5.69) egyenlet alapján már tudjuk: $S # 0. Mivel az entrópia állapotfüggvény, megváltozását konkrétan úgy kell kiszámítani, hogy a rendszert gondolatban, olyan kváziegyensúlyi folyamaton (folyamatokon) vezetjük át, amelyek a rendszert adott kezdeti állapotból a feladatban megadott végállapotba vezetik; a megváltozás kiszámításához a végállapotbeli entrópia értékéből le kell vonni a kezdeti állapotbeli entrópia értékét.
1. Példa. Számítsuk ki állandó nyomáson 1 kg tömegű, T=300 K hőmérsékletű víz entrópiaváltozását, ha hőmérsékletét kváziegyensúlyi hőközléssel 320 K-re emeljük! A hőközlésre (melegítésre) hőtartályok sorozatát használhatjuk. A rendszer (víz) minden pillanatban egyensúlyban van valamelyik hőtartállyal Tudjuk hogy (DQ)e = TdSe tehát a fenti folyamat $S entrópiaváltozásához ki kell számítanunk, hogy kváziegyensúlyi folyamatban mennyi hőt kell közölnünk a rendszerrel. A víz állandó nyomáson* veszi fel a hőt, azaz azaz
DQ = cP (víz) mvíz dT = TdSe =$ TdS dT 'DQ* dS = cP (víz) mvíz T = & T ) % (
e
* Ha a vizet merev, zárt kaloriméterbombába zárjuk, akkor c ill. C -vel kell számolnunk! v m,V
A fenti gondolatmenetben a II. főtételt Clausius nyomán tapasztalati alapon állítottuk fel (nem levezettük!) A II. főtétel a termodinamikában tehát axióma. A II. főtétel azonban elméleti alapon a statisztikus fizika módszereivel értelmezhető (ld. a 4.3. pontot). A 4. fejezetben megmutattuk, hogy fenti állítások a termodinamikai valószínűségre bizonyíthatóak és Boltzmann (analógia alapján felismert) (4.32) egyenlete alapján ez az igazolás átvihető az entrópia függvényre.
415 A kváziegyensúlyi hőközlés a teljes melegítési folyamatra, a fajlagos hőkapacitást hőmérséklet függetlennek tekintve** $S = cP (víz)mvíz
320 320 dT 5 4 d ln T = cP (víz)mvíz ln 300 4 T = cP (víz)mvíz 5
320
300
320 $S (T=300K 6 T=320K) = 4186,8 ln 300 = 270,2 J/K ahol a cP = 4,1868 J/(K·g) közismert hőmérsékletfüggetlen átlagértékével számoltunk. A rendszer (mivel a hőtartályt nem vettük figyelembe) nem zárt (nyilt), a rendszer entrópiája nőtt. 2. Példa. Végezzük el az 1. példát a víz hűtésének esetére. Az eredmény $S (T=320K 6 T=300K) = –270,2 J/K Ez is nyilt (nem szigetelt) rendszer és itt a rendszer entrópiája csökkent. 3. Példa. Vizsgáljunk meg most egy, a tapasztalat szerint spontán, egyirányú, irreverzibilis reális folyamatot egy elszigetelt rendszerre. Helyezzünk mvíz = 1 kg, T1 = 300 K hőmérsékletű cP = 4,1868 JK–1g–1 fajlagos hőkapacitású (melyet itt hőfokfüggetlennek tekintünk) vízbe mfém = 2 kg, cP(fém) = 0,39 [J/(K·g)] fajlagos hőkapacitású, T2 = 400 K hőmérsékletű fémet. Tapasztalat alapján tudjuk, hogy a fém lehűl, a víz felmelegszik egy közös T3 hőmérsékletre, melyet a cP (víz)mvíz (T3–T1) = cP (fém)mfém (T2–T3)
(5.70)
kalorimetrikus egyenlet határoz meg. T3 értéke innen 316 K-nek adódik, tehát T1 < T3 < T2 ! A $S # 0 (5.69) egyenlet csak adiabatikus (vagyis hőközlés nélküli) rendszerre vonatkozik. Azonban minden rendszer adiabatikussá tehető, ha mint alrendszert kiegészítjük a környezetével; az alrendszert és környezetét (tegyük) tekintsük egy elszigetelt rendszernek(ré). Példánkban a vízből és fémből álló rendszert tekintjük elszigeteltnek. Tehát (kváziegyensúlyi úton vezetve a hőközlést, ld. 3.példát és az 5.1.4. pontot):
** Ha ezt nem tételezzük fel, a fajlagos hőkapacitás táblázatokból a cP = A + BT + CT2 kifejezést kell (tagonként) integrálnunk. A cv ill Cm,V értékeket a Cm,P értékekből kell kiszámítani, pl. ideális gázra az (5.48) egyenlet alapján. Szilárd testek esetén a Cm,V és a Cm,P közötti különbség elhanyagolható! Első közelítésben igaz ez a folyadékokra is.
300
416 T3
T3
T1
T2
$S = $Svíz + $Sfém = cP(víz)mvíz 5 4 d ln T + cP(fém)mfém 5 4 d ln T
(5.72)
Tehát $S,0 . Az adott reális, spontán egyirányú folyamatra elszigetelt rendszer entrópiája nő.* 4. Példa. Lehet-e az egyenlőségjelet írni az “adiabatikus folyamat” és “izoentrópiás folyamat” kifejezések közé? Megoldás: Nem, mert bár mindkét kifejezés hasonló folyamatnak felel meg, csak az utóbbi lefolyása kváziegyensúlyi. 5. Példa. Van két azonos anyagú fémdarabunk. Bizonyítsuk be, hogy azok hőmérsékleteinek kiegyenlítődési folyamata irreverzibilis. Megoldás: Képezzünk az egymással érintkezésbe hozott A és B fémdarabokból zárt rendszert. Elvégett foglaljuk őket adiabatikus burokba. Miután a hőmérséklet mindvégig változik, osszuk fel a folyamatot elemi folyamatok sorára. Ha ezek mindegyike kváziegyensúlyi lenne, akkor az összes dS =
DQA DQB TA + TB
(5.73)
elemi lépés összege nullával lenne egyenlő (mivel reverzibilisen minden elemi folyamatban TA=TB-nek kellene lennie és DQA = – DQB). De reálisan pl. TA,TB, valamint DQA < 0, így dS,0; tehát összegezve az egész folyamatra $S,0. Tehát a folyamat irreverzibilis.
6. Példa. Vizsgáljuk meg a 3. példában kiszámított $S entrópiaváltozásból, mi a hőmérsékletek kiegyenlítődésének valószínűsége? Vizsgáljuk meg a fordított folyamat valószínűségét, tehát annak a valószínűségét, hogy a víz spontán lehül és a fém spontán felmelegszik? Jelöljük a teljes rendszer egyensúlyi hőmérsékletű állapotának termodinamikai valószínűségét W3-mal , az eltérő hőmérsékletű teljes rendszerét pedig W-vel.*
* Ha a kiinduló hőmérsékletek egyenlőek lettek volna ( T 7T 7T ), akkor az (5.72)-ben ln(71)=0, a 1 2 3 $S=0 lenne: a rendszer eleve egyensúlyban lett volna. (ld. (5.69)). * Az egyesítés előtt a két rendszer külön–külön egyensúlyban volt, W = W ·W . 1 2
316 316 $S = 4186,8 ln 300 + 780 ln 400 = 33,6 J·K–1
(5.71)
417 Mivel S/k W=e B
W3 '$S* & ) = exp W % kB (
(5.74)
Helyettesítsük be $S helyére (5.73)-at: ln
W3 33,6 [J·K–1] 24 = W 1,38·10–23 [J·K–1] 7 2,43·10
azaz a spontán folyamatra** W3 2,43·1024 1,06·1024 = e = 10 W és így a fordított folyamat termodinamikai valószínűsége W = W3·10–1,06·10
24
(5.75)
Tehát annak valószínűsége, hogy az egyensúlyi hőmérsékletű rendszer spontán (tehát külső munkavégzés nélküli folyamatokban) ismét eredeti (W1 és W2) állapotába kerüljön, elhanyagolhatóan kicsiny. 7. Példa. Irreverzibilis (reális) adiabatikus folyamatban bár a hőcsere definíciószerűen DQ = 0, a rendszer entrópiája nő. Irreverzibilis folyamatban ugyanis pl. a súrlódási folyamatok növelik a rendszer termikus energiáját, $
melyet a belső energia mérlegben TdSb = TdSirrev entrópianövekedéssel veszünk figyelembe (ld. az 5.2.1. pontban az I. főtételhez fűzött megjegyzést ill. az 5.5. pontot). A rendszer hőcsere nélküli entrópia növekedése statisztikus fizikailag is értelmezhető: a súrlódásból keletkező termikus energiatöbblet a részecskék egy részét magasabb energianívóra viszi és ezzel nő az entrópia. Adott irreverzibilis (reális) adiabatikus folyamat végállapota nem egyezik meg az azonos adott kezdeti állapotú kváziegyensúlyi folyamat végállapotával. Például adiabatikus kiterjedéskor végzett térfogati munkára ugyanis (5.61a) |(Wtérf) | < |(Wtérf) | , azaz ilyenkor a belső energia reális folyamatban kevésbé r
e
csökken (mint a kváziegyensúlyi folyamatban), és így a reális folyamat lefolyása után a rendszer végső hőmérséklete is magasabb lesz, mint kváziegyensúlyi esetben. Ennek megfelelően a reális folyamat végén pl. azonos térfogatnövekedés esetén a rendszer nyomása is nagyobb lesz, mint kváziegyensúlyi folyamat esetén.
** ex = 10x/ln 10
(ld. (4.32)), inenn következik, hogy
418 8. Példa. Számítsuk ki a víz moláris abszolút entrópiáját a III. főtétel felhasználásával standard körülmények (298,15 K és 105 Pa) között!
273,15
S , 298,15 K = Skf, 0K +
L0lv 5 8 C m,V dlnT + 273,15 + 4 0
298,15
5 8 C m,V dlnT 4 273,15
Az első tag a zéruspont entrópia kristályszerkezetből adódó konfigurációs korrekciója (tökéletes kristálynál S0K = 0, ld. III. főtétel, 4.4. pont), a második tag szilárd víz (jég) entrópiaváltozása, a harmadik az olvadáshoz tartozó entrópiaváltozás, míg a negyedik tag a folyékony víz entrópiaváltozása az olvadáspont és 298,15 K között. Számszerűen 6006 S , 298,15 K = 3,43 + 37,97 + 273,15 + 6,62 = 70 JK–1mol–1 A nehézséget a második tag kiszámítása jelenti, mivel a szilárd testek hőkapacitása 0 K és kb. 15 K között igen meredeken változik (ld. 4.9. ábrát). Ezért a 0K és a 15K közötti szakaszt a Debey törvény alapján: Cm,V = DT3(ld. Szilárdtestfizika) kell számítani. A képletben Cm,V hőmérséklet függését táblázatból vesszük és pl. grafikusan integrálunk; mind a jégre, mind a nem túl magas hőmérsékletű vízre Cm,V 7 Cm,P.
0 S298
Az általunk kiszámított adat igen jól egyezik a táblázatokban található = 69,88 JK–1 mol–1 adattal (ld. MF III. Függelékét).
Összefoglalva számításaink eredményét: !
Nem elszigetelt rendszerek entrópiája a folyamatnak megfelelően — egyaránt nőhet ill. csökkenhet.
!
Elszigetelt rendszer spontán, reális folyamatára $S > 0.
!
A hőmérsékletek spontán kiegyenlítődésének termodinamikai valószínűsége igen nagy, az ellenkező folyamaté viszont elhanyagolhatóan kicsiny.
A folyékony (jele ) víz moláris (az erre utaló m indexet elhagyjuk) entrópiája 0 K és 298,15 K között négy részből tevődik össze:
419
Körfolyamatról akkor beszélünk, ha a folyamat végén a rendszer ugyanabba az állapotba kerül vissza, amelyikben a körfolyamat megkezdése előtt volt. Egy ilyen körfolyamatot egy ciklusnak nevezünk. Természetesen amikor a körfolyamatokat pl. folyamatos munkavégzésre használjuk fel, nem csak egy ilyen ciklust végeztetünk el a rendszerrel: a rendszert (munkaközeget) rendszeresen vissza kell vinnünk kezdő állapotába, hogy vele újabb ciklust kezdhessünk.* Egy rendszer egy körfolyamatban akkor végez munkát, ha a körfolyamatot alkotó részfolyamatok munkájának algebrai összege negatív. (A műszaki termodinamikában, ahol a rendszer által végzett (műszakilag hasznos) munka áll a vizsgálatok középpontjában, a rendszer által végzett munkát pozitívnak veszik! Mi – tárgyalásunk egységességének fenntartására – megmaradunk a fenti, fizikai előjelkonvenció mellett.) A rendszer a körfolyamat végpontján, amelynek során W munkát végzünk, csak azért kerülhet vissza kezdeti állapotába, a belső energia változása csak azért lehet nulla (ld. (5.19), mert a körfolyamat során a környezettel hőcsere is történik. A hőcsere kváziegyensúlyi leírásához izoterm folyamatban egy ún. hőtartályt kell feltételeznünk (ld. 5.1.4. pontot). Ha kváziegyensúlyi hőcsere során a rendszer hőmérséklete változik, akkor az ilyen hőcserét annyi különböző hőmérsékletű hőtartállyal kell leírnunk, hogy a hőcsere közben folyamatosan biztosítsuk a környezet (a hőtartály) és a rendszer közötti hőmérséklet (közel) azonosságát: Hőtartálynak (definíciószerűen) azokat a rendszereket nevezzük, amelyek hőmérséklete (a kváziegyensúlyi hőcserét biztosítandó) mindig megegyezik a rendszer aktuális hőmérsékletével és a hőmérsékletük (pl. nagy hőkapacitásuk miatt) nem változik meg mérhetően a vizsgált rendszerünkkel való hőcsere során. Hasonló értelemben beszélhetünk nyomás– és részecsketartályokról is. Hőerőgépek (és az azt modellező direkt Carnot–ciklus, ld. alább) esetén (a mechanikai hatásfok fogalmával egyezően) a körfolyamat (termikus) hatásfokát a rendszer által végzett munka és a rendszer által felvett hő hányadosával definiáljuk.
* Gondoljuk meg: ha egy dugattyúval elzárt rendszert expandáltatunk és azt nem visszük vissza eredeti állapotába, akkor egy újabb ciklusban (új anyag injektálásával) a dugattyú tovább expandálna, — végtelen hosszú dugattyúrendszerre lenne szükség. Ez persze elvben lehetséges, és így elvben (nem körfolyamatokra) nincs kizárva az egy hőtartállyal kapcsolt rendszer munkavégzése sem.
5.4. A TERMODINAMIKA II. FŐTÉTELE (B) (A HŐCSERÉVEL JÁRÓ MUNKATERMELŐ KÖRFOLYAMATOK HATÁSFOKA. A II. FŐTÉTEL MŰSZAKI MEGFOGALMAZÁSA.)
420 A következőkben egy konkrét körfolyamaton, a két hőtartállyal kapcsolt rendszeren végzett izoterm és adiabatikus munkákból álló ún. Carnot–körfolyamaton vizsgáljuk a konkrét viszonyokat.
Vizsgáljuk meg az egy mól ideális gázzal végzett kváziegyensúlyi, ún. direkt Carnot–körfolyamat (Carnot 1824) egyetlen ciklusának munkavégzését (ld. 5.11. ábrát)!
5.11. ábra. A Carnot-ciklusnak nevezett kváziegyensúlyi munkatermelő körfolyamat. a) P-V ill. b) T-S diagramban (Kváziegyensúlyi adiabatára DQ=0, azaz dS=0)
A (direkt) Carnot–ciklusban a rendszer (a munkaközeg, esetünkben 1 mol ideális gáz) a P–V állapotfelületen (ld. 5.11a. ábrát) az (1) állapotból kiindulva kváziegyensúlyi folyamatokban !
elõször T2, (T2 > T1) hőmérsékleten izoterm módon kitágul. Ennek során a rendszer egy T2 hőmérsékletű hőtartályból (kváziegyensúlyi folyamatban) Q2 hőt vesz fel és térfogati munkát végez (1 6 2);
!
második lépésben kváziegyensúlyi adiabatikus folyamatban (Q = 0) tovább expandál és ennek során a rendszer ismét munkát végez (2 6 3);
* Az egész 5.4. fejezetben W és Q előjeles mennyiségeket jelentenek! Az előjelkonvencióra nézve ld. 5.1.4. pont elején mondottakat.
5.4.1. A kváziegyensúlyi direkt Carnot–körfolyamat*
421 harmadik lépésként a rendszert T1, (T1 < T2) hőmérsékleten izoterm kváziegyensúlyi folyamatban komprimáljuk. Ennek során a rendszeren térfogati munkát végzünk és a rendszer egy T1 < T2 hőmérsékletű hőtartályból Q1 hőt vesz fel, |Q1| < |Q2| ; (3 " 4);
!
negyedik lépésben a rendszert adiabatikusan komprimálva visszavisszük a kiindulási állapotba (4 " 1). Ennek során a rendszeren ismét munkát végzünk. A körfolyamat adiabatikus szakaszainak munkája
Mivel az ideális gáz belső energiája csak a hőmérséklet függvénye (ld. (5.5c), egy mól ideális gáz belső energiájának megváltozása (a Cm,V -t hőfokfüggetlennek, vagy átlagos értéknek tekintve) #Um = Cm,V #T
(ld. (4.77))
alakban írható fel. Adiabatikus állapotváltozáskor a belső energia megváltozása a térfogati munkával egyenlő, tehát egy mól gáz térfogati munkája* W = Cm,V#T
(ld. (5.53))
Vagyis az előjel konvenciónak megfelelően (W-t előjeles mennyiségnek tekintve): W2"3 = Cm,V(T1–T2) < 0 Azaz
(5.76)
W4"1 = Cm,V(T2–T1) > 0
$W (adiabata) = W2"3 + W4"1 = 0
(5.77)
Az izoterm körfolyamatszakaszok térfogati munkája és hőcseréje Egy mól ideális gáz kváziegyensúlyi izoterm munkáját az 5.2.4.1. pontban levezettük (ld. (5.38) egyenletet). Mivel, ld. (5.5c) egyenletet, izoterm állapotváltozáskor ideális gázra #UT = 0, az első főtétel szerint W = –Q, tehát V W = –RT ln V vég = – Q
(ld. (5.40))
kezdet
ahol Q a rendszer és hőtartály közötti hőcsere.
* Az indexek halmozódásának elkerülésére az 5.4. pontban nem tesszük ki a W
térf "térfogati"
indexet.
!
!
422 A Carnot–körfolyamat során, (5.50a) alapján V1 V4 V2 = V3 .
(5.78)*
#
közlünk hőt, ezért W = W1"2 < 0, V2 > V1 és Q = Q2 > 0, tehát V W1"2 = –RT2 ln V2 = –Q2 , 1
Q2 % 0
(5.79)
míg a 3 "&4 szakaszon a rendszeren végzünk munkát és a rendszer ad le hőt, vagyis W = W3"4 > 0, V3 > V4 és Q = Q1 < 0 V V2 W3"4 = –RT1 ln V4 = RT1 ln V – Q1 , 3
1
Q1 ' 0
(5.80)
ahol Q1 a rendszer által leadott hő, ahol a 2. egyenlőségjel után figyelembevettük (5.78)-at. Mivel T2 % T1. |Q2 | % |Q1| A direkt Carnot–körfolyamat teljes hasznos (térfogati) munkája:
Az adiabatikus szakaszok eredő munkája zérus, így a (a rendszer által végzett) hasznos térfogati munka: Whasznos = W1"2 + W3"4 = – RT2 ln
V2 V2 + RT ln 1 V1 V1 = –(Q2 + Q1 )
* Az (az adiabatákra érvényes) (5.50a) alapján, figyelembevéve, hogy (ld. 5.11. ábrát) a (2)"(3) adiabata kezdőpontjai T2, V2, – végpontjai T1, V3 és ugyanezek a (4)"(1) adiabatára T1, V4, ill. V1 ,–1 T2 )V2+ ill. = T1 (V3*
,–1 T1 )V4+ azaz = T2 (V1*
T2 ,
,–1 T2 )V1+ = T1 (V4*
azaz
)V2+ = )V1+ (V3* (V4* illetve
)V4+ = )V1+ (V3* (V2*
(ld. (5.78))
Az (1) " (2) izotermikus szakaszon a rendszer végez munkát és a rendszerrel
423 Whasznos = R (T1–T2) ln
V2 V1 < 0
(5.81)
!
-=
|Whasznos| |Q2| =
V –R (T1–T2) ln V2 1
V RT2 ln V2 1
=
V R(T2–T1) ln V2 V RT2 ln V2 1
T T –T -&.& 2T 1 = 1 – T1 < 1 és > 0 2
2
1
(5.82)
(5.83a)
hiszen (ld. 5.11. ábrát) T1 < T2-nél. Fejezzük ki a hatásfokot a folyamat során felvett, illetve leadott hőmennyiségekkel is; fentihez hasonló gondolatmenettel, mivel |Whasznos| = (Q2+Q1), hiszen* Whasznos = –(Q2+Q1) és Whasznos < 0. -=
Q2+Q1 Q1 Q2 = 1 + Q2 < 1 és > 0
(5.83b)
A fentiekben vázolt kváziegyensúlyi direkt Carnot–körfolyamat a hőből munkát nyerő ún. hőerőgépek modell-körfolyamata ideális esete: mivel W < 0 és ilyenkor |Wr| 0) hőmennyiség (5.79) abszolút értékének hányadosa.
424
5.4.2. A redukált hőmennyiségek és az entrópia függvény. Bármely kváziegyensúlyi körfolyamat végtelen számú infinitezimális Carnot-körfolyamatra bontható
A 5.4.1. pontban leírt kváziegyensúlyi Carnot-körfolyamattal könnyen bebizonyítható, hogy egy teljes kváziegyensúlyi körfolyamatra a Q/T redukált hőmennyiségek összege nulla. Képlettel:
$ körfolyamatra
Qi Ti = 0
(5.84a)
Egy Carnot-körfolyamatra az (5.84a) alakja a következő: Q1 Q2 T1 + T2 = 0
(5.84b)
Bizonyítás: az (5.83b)-ből és az (5.83a)-ból (ne felejtsük el, hogy a Q-k előjeles mennyiségek!) Q + Q T –T - = 2Q 1 = 2T 1 2 2 Q T 1 + Q1 = 1 – T1 így
2
2
ill.
Q1 T1 = – Q2 T2
Q1 Q2 = – T1 T2
(5.84c)
ahonnan átrendezve valóban megkapjuk (5.84b)-t: Q1 Q2 T1 + T2 = 0
!
Az állítást ezzel egyelőre csak egyetlen Carnot–ciklusra igazoltuk, de az alábbi gondolatmenettel minden kváziegyensúlyi körfolyamatra általánosítható. Érvényes ugyanis a következő állítás: Bármely kváziegyensúlyi körfolyamat infinitezimális Carnot-körfolyamatokra bontható. Az elvben végtelen számú Carnot-ciklus “eredőjével” tetszés szerinti pontossággal megközelíthető bármely kváziegyensúlyi körfolyamat. Utóbbi állítás egyenértékű azzal az állítással, hogy bármely kváziegyensúlyi körfolyamatot tetszés szerinti kváziegyensúlyi részfolyamatokból állíthatunk össze, a hatásfok független a ciklus választott részfolyamataitól.
!
425
Bizonyítás: Ezen állítás helyességét az 5.12. ábra alapján azonnal beláthatjuk. Az 5.12. ábra egy tetszésszerinti makroszkópikus kváziegyensúlyi körfolyamatot ábrázol, melyet elvben végtelen számú infinitezimális Carnot–ciklussal helyettesítettünk. Szemléletesen látható, hogy a végtelen sok infinitezimális Carnot–ciklus eredője tetszésszerinti pontossággal megközelíti az önkényesen választott kváziegyensúlyi körfolyamatot. Minthogy bármely két szomszédos (az ábrán két egymás alatti, közös izotermával )DQ+ rendelkező) elemi Carnot–ciklus közös izoterma szakaszán a / T 0 mennyiségek ( *e ellenkező előjellel egyenlőek, az egész makroszkópikus körfolyamatra összegezve tehát csak a szélső hőmérsékleteknek megfelelő értékek nem esnek ki. Ezekre viszont általánosíthatjuk az (5.84b) egyenletet: k(=1)
$ i=1
)DQ2i+ )DQ1i+ / T 0 +/ T 0 =0 ( 2i *e ( 1i *e
(5.85a)
Az összegzésről integrálásra áttérve bármely adott kváziegyensúlyi körfolyamatra
5.12. ábra. Az ábrán látható egy “tetszés szerinti alakú” körfolyamatot elvben végtelen számú infinitezimális Carnot-ciklusra bontottuk, melynek az ábrán k számú T2i ill. T1i szélső hőmérsékleten dolgozó Carnot–körfolyamat felel meg. (Ebből pl. az i=3-nak megfelelőt bevonalkáztuk.)
426 o 3 2
)DQ+ / T 0 =0 ( *e
(5.85b)
ahol a jelzett körintegrál a körfolyamatot követő görbe menti körintegrál.
redukált hőmennyiség egy állapotfüggvény. Clausius ezt a függvényt (mint azt a 4.3. pontban és az (5.67) képlettel kapcsolatban előrebocsájtottuk) nevezte entrópiának; következőleg (5.85b) o dS = 0 3 (5.85c) 2 egyenletnek felel meg (ld. még (5.17) egyenletet). A fent ismertetett gondolatmenet tehát az S entrópia termodinamikai bevezetése. (Clausius: "az entrópia általános állapotfüggvény".)
5.4.3. A hűtőgépet modellező fordított Carnot-körfolyamat és hatásfoka. Hőszivattyú.
Folytassuk le a Carnot-körfolyamatot fordított irányban (tehát az 5.11a. ábrán a 4 " 3 " 2 " 1 "&4&pontokon át). Az ilyen körfolyamatot (ld. 5.13. ábrát) fordított, indirekt Carnot-körfolyamatnak nevezzük, mely a hűtőgépek ideális esetre érvényes modellkörfolyamata. A fordított Carnot-körfolyamatban munkát fektetünk be hőmérséklet különbség létesítésére, azaz pl. Wbef. befektetett munkát fektetünk be abból a célból, hogy a T1 < T2 hőmérsékletű hőtartályból Q1 hőt vonjunk el (a rendszer Q1 > 0 hőt vesz fel) és a T2 hőtartálynak Q2 hőmennyiséget adjunk le. A hűtőgép kváziegyensúlyi folyamatban elérhető teljesítményét a 5 hűtési tényezővel (teljesítményszámával) jellemezzük. Számítsuk ki 5&értékét (1. Példa).
Az 5.1.5. pont gondolatmenete, illetve az (5.17) képlet alapján (Clausius )DQ+ gondolatmenetét követve) (5.85b)-ből arra a következtetésre juthatunk, hogy a / T 0 ( *e
427
1. Példa. Számítsuk ki az 5.13. ábrán ábrázolt fordított ciklus hűtési tényezőjét! V3 W4"3 = –RT1 ln V4 = –Q1 !"#"$ !#$ (–) (–)
" Q1 % 0
V1 W2"1 = –RT2 ln V2 = –Q2 !"#"$ !#$ (+) (+)
" Q2 ' 0
V3 V1 Wbef. = – RT1 ln V – RT2 ln V =
V3 V2 V4 = V1
4
2
V1 V1 = +RT1 ln V –RT2 ln V = R (T1 – T2 ) ln V1 2 2 V 2
Wbef. % 0
!"#"$ !"#"$ – Q1 – Q2 Jellemző a hűtési tényező (5): mekkora az egységnyi Wbefektetettel elvont Q1 % 0 hő. 6Q16 5= = 6Wbefektetett6
V1 –RT1 lnV
T1 = V1 T2–T1 R(T1–T2) lnV 2 2
(5.86)
5. 13. ábra. A fordított Carnot ciklus.
428
2. Példa. Legyen egy ammóniás hűtőgépben a hűtött tér hőmérséklete T1 = 253 K, a környezet hőmérséklete T2 = 293 K. A kváziegyensúlyi fordított Carnot ciklus 5 hűtési tényezője T'1
253 = 40 = 6,325 T'2 – T'1
Ez azt jelenti, hogy 1 J befektetett munkával 6,325 J hőmennyiséget lehet elvonni a hűtőtérből és átadni a környezetnek. (Egy valóságos hűtőgépre 5&7 7.)
3. Példa. A hűtőgép körfolyamata arra is alkalmas, hogy pl. lakóhelyiségeket az épületet környező hidegebb levegőből (földből) munkabefektetéssel elvont hőmennyiséggel fűtsünk, ez az ún. hőszivattyú. Pl. a Genfi-tó partján több szállodát is hőszivattyúval fűtenek. A hőszivattyú igen jó hasznosítású fütés: ! A hőszivattyúzáshoz szükséges (Wbef) munkát előállító direkt Carnot– ciklus Q nagyságú hő befektetésével -elm = 0,66 hatásfokkal W = 0,66 Q munkát termel. ! Ezzel pl a fenti hőszivattyúnkban 0,66.6,3.Q = 4.16.Q hőt lehet a fűtendő helyiségbe szivattyúzni. Mivel a szükséges nagyméretű gépek és berendezések miatt a hőszivattyú drága beruházás, nem sok helyen alkalmazzák.
Láthatóan, minél mélyebbre kell hűtenünk, annál kisebb T1 és annál nagyobb T2 - T1, vagyis a 5 hűtési tényező rohamosan romlik.
! A Carnot–körfolyamat (így a fordított Carnot–körfolyamat is) nemcsak térfogati-, hanem elvben bármilyen más munkavégzéssel is megvalósítható; így pl. a paramágneses anyagok adiabatikus demágnesezésével végrehajtott hűtő ciklussal a
5=
429 cseppfolyós He 4 K-es hőmérsékletéről indulva sikerült az abszolút zéruspontot 0,003 K-re megközelíteni. (Erre a 6.2.5.3. pontban visszatérünk!)
A Carnot-Clausius tétel kimondja, hogy a kváziegyensúlyi körfolyamatok - hatásfoka független a munkavégző közeg anyagi minőségétől és a ciklus részfolyamataitól. A hatásfokot csak azoknak a hőtartályoknak a hőmérsékletei, (két hőtartály esetén a Carnot-ciklus T2 , T1 határhőmérsékletei) határozzák meg, amelyekkel a rendszer kapcsolatban áll. Nem létezik olyan hőerőgép, amelynek munkája ugyanazon szélső hőmérsékletek esetén nagyobb hatásfokú lenne, mint a Carnot–gépé (Carnot tétele)*
!
Igazoljuk először a tétel azon állítását, hogy az - hatásfok független a munkavégző közeg anyagi minőségétől. A bizonyítást indirekt módon végezzük. Belátjuk, hogy az ezzel ellentétes állítás következményei ellentmondásba kerülnek a II. főtétellel, mely szerint külső munka befektetése nélkül nem vihető fel hő egy alacsonyabb T1 hőmérsékletű hőtartályból a T2 (magasabb hőmérsékletű) hőtartályba.
5. 14. ábra. Elvi elrendezés a Carnot-Clausius tétel indirekt igazolására: hőerőgéppel táplált fordított (f) ciklusú körfolyamat (hűtőgépmodell). A munkatermelő ciklus hasznos munkáját Wh, a hűtőciklusba befektetett munkát Wbef
* A tétel fordított Carnot–ciklusra így fogalmazható: a fordított Carnot–ciklus 5 teljesítményszáma adja meg az abszolút minimumát annak a munkának, amelyet adott hőmérsékleti határok között működő hűtőgépbe be kell fektetnünk. Minden más hűtőfolyamatnak csak nagyobb lehet a teljesítménytényezője (hűtési tényezője).
5.4.4. A Carnot—Clausius–tétel
430 jelöli. A két “gépnek” két közös hőtartálya van: egy-egy a T2 és T1 hőmérsékletre. Az indirekt bizonyítás feltételezése: a hőerőgépet A, a hűtőgépet B munkaközeggel 6W6 működtetve eltérő - = Q hatásfokokat kapunk. 2
Mivel V2 Wh = –RT2 ln V 1
!"#"$ – Q2 ' 0
V2 V2 V2 RT2 ln –RT1 ln V ill. W = –W = bef h V 1 1 V1 !"#"$ !"#"$ !"#"$ f f – Q1 % 0 – Q2 % 0 – Q1 ' 0
+RT1 ln
azaz
azaz
azaz
Q2 % 0
Q1 ' 0
Q2 ' 0
azaz
f
f
Q2 + Q2 = RT2 ln
f
Q1 % 0
V2 V2 V1 – RT2 ln V1 = 0
V2 V2 f Q1 + Q1 = –RT1 ln V + RT1 ln V = 0 1
1
Wh + W bef = 0 Ezért -=
6Wh6 6Wbef6 f =- = f 6Q26 6Q26
! (indirekt) Feltételezés: Alkalmazzuk A anyagot a hőerőgépben, B-t pedig a fordított ciklusban és tegyük fel, hogy f
-A % -B , miközben 6Wh6 = 6Wbef6 Mint tudjuk Wh = –(Q2 + Q1) ' 0
és
f
f
Wbef = – (Q2 + Q1 ) % 0
ill. Wh = 6Q16 – 6Q26 ' 0
f
f
Wbef = 6Q2 6 – 6Q1 6 % 0
Felírva -Aés -B kifejezését: 6Wh6 6Q26 – 6Q16 -A = = 6Q26 6Q26
f
f -B
f
6Wbef6 6Q2 6 – 6Q16 = = f f 6Q26 6Q26
! A fenti állítást matematikailag így fogalmazhatjuk meg:
431 Figyelembevéve, hogy 6Wh6 = 6Wbef6, a jobboldal számlálója helyére is 6Wh6-t írva f
-A 6Wh6 · 6 Q2 6 %1 f = 6Q26 · 6Wh6 -B
f
6Q26%6Q26
(5.87a)
f
Q2 + Q2 8 0 '0 %0 '0 f
Mivel 6Wh6= 6Wbef6 , a T2 hőmérsékletű hőtartályból felvett 6Q26 hőmennyíségből nyert munkával több hőt juttatott vissza ugyanoda, mint amennyit felvett. Ez a hőmennyíség a T1 hőmérsékletű hőtartályból származik: Ugyanis, mivel Wh = – Wbef
6Wh 6= 6 Wbef 6
ill.
innen az adódik, hogy f
f
– (Q2 + Q1) = ( Q2 + Q1 )
f
ill.
f
(Q2 + Q1) = – ( Q2 + Q1 )
melyek bármelyikéből (átrendezéssel): f
f
(Q2 + Q2 ) = – (Q1 + Q1) f
f
Az (5.87a) szerint (Q2 + Q2 ) ' 0 , tehát – (Q1 + Q1 ) is ' 0 Következőleg f
(Q1 + Q1 ) % 0 f
Mivel Q1 % 0 és Q1 ' 0, az is következik, hogy f
6Q16 % 6Q16
Tehát a fordított Carnot-körfolyamat több hőt vett föl az alacsonyabb hőmérsékletű hótartályból, mint amennyit a direkt körfolyamat leadott oda.
(5.87b)
Következőleg, ha -A % -B feltétel teljesül, akkor a fordított folyamat több hőt ad le a melegebb hőtartálynak, mint amennyit a direkt folyamat felvesz onnan:
432 ! Tehát külső munkavégzés nélkül, vagyis anélkül, hogy a környezetben bármilyen egyéb változás ment volna végbe f
Q = 6Q2 + Q26
Nézzünk egy példát! 4. Példa. (Önkényes egységekben) * Direkt ciklus (A-val)
-A = 0,20
Q2 = 100
Fordított ciklus (B-vel)
-B = 0,18
Q2 = –110
Q1 = + 90
W = +20
– 10
+ 10
0
Kombinált ciklus együtt:
f
Q1= – 80 f
W = –20
! Az (5.87a) és (5.87b) következmények ellentmondanak a II. főtételnek. Ha ezek igazak lennének, akkor, mivel az összekötött két gépre $W=0, – végül is f munkavégzés nélkül ( Q2 + Q2 ) ' 0 hőt vittünk fel a (ld. (5.87a)) a T1 ' T2 hőmérsékletű tartályból a T2 hőmérsékletű hőtartályba, ez pedig a II. főtételben összegzett kisérleti tapasztalatok szerint lehetetlen. Vagyis kiinduló feltételezésünk téves volt, a két folyamat hatásfoka nem különbözhet!
! Ha pedig feltennénk, hogy
-A ' -B, akkor egyszerűen a két körfolyamatot fordított irányban járatva a fenti gondolatmenetet megismételve ismét beláthatnánk, hogy ez is lehetetlen. 5. Példa. (önkényes egységekben! Direkt ciklus (B-vel)
-B = 0,20
Q2 = 100
Q1= – 80
W = –20
Fordított ciklus (A-val)
-A = 0,18
Q2 = –110
Q1 = + 90
W = +20
– 10
+ 10
0
Kombinált ciklus együtt:
* A kisebb hatásfok a fordított ciklus szempontjából azt jelenti, hogy a fordított ciklusban ugyanakkora f
6Wbef6= – 6Wh 6 mellett több hőt tudunk T1-ről a T2 hőmérsékletű hőtartályból felvinni, mint amennyit a direkt ciklusban a T2 hőtartályból elvontunk.
nagyságú hő ment át magától a hidegebb hőtartályból a melegebbe!
433
!
Tehát:
! Fentiekben axiomatikusan érveltünk: megvizsgáltuk az -9&8&-: feltételezések következményeit (tehát azt, hogy ilyen esetben külső munkakompenzáció nélkül, spontán folyamatban tudnánk hőmennyiséget átvinni az alacsonyabb hőmérsékletű helyről a magasabb hőmérsékletű helyre) és mivel ez a Clausius–axióma (ld. 5.3.2. pontot) alapján kizárható, elvetettük az -9&8&-: feltételezést! A Clausius-axiómát mi azonban statisztikus fizikai módszerekkel is beláttuk (ld. 5.3.2. pont 6. példát). ! A Carnot-Clausius–tételnek van egy másik megfogalmazása is: még ideális, kváziegyensúlyi folyamatokkal sem működhet egy csupán egyetlen hőtartállyal kapcsolatban álló hőerőgép. Az ilyen hőerőgép a hőtartály (környezet) termikus energiáját teljes egészében munkává alakítaná, anélkül, hogy más testeknek (hőtartályoknak) hőt adna le. Ha létezhetne egy ilyen gép akkor pl. egy hajó meghajtásához szükséges munkát pusztán a tengervíz termikus energiájából nyerhetné. Egy ilyen képzeletbeli (a II. főtételnek ellentmondó, ezért lehetetlen) munkagépet nevezünk másodfajú (második fajtájú)* örökmozgónak, perpetuum mobilének. A második fajú örökmozgó nem sértené az I. főtételt, hiszen a munkát nem a semmiből, hanem a környezet (példánkban a tengervíz) termikus energiájának rovására nyerné.
! A pont elején ismertetett Carnot-Clusius tétel végül tartalmazza a következő állítást is: Nem létezik olyan hőerőgép, amelynek munkája ugyanazon szélső hőmérsékletek esetén nagyobb hatásfokú lenne, mint a Carnot–gépé (Carnot tétele)** A tétel könnyen belátható, ha kiindulunk a Carnot–Clausius–tétel 5.4.1. pontban adódó azon következményéből, hogy egy körfolyamat ideális hatásfoka annál nagyobb, minél nagyobb szélső hőmérsékleteinek T2–T1 különbsége. Bontsunk fel egy
* Az ún. elsőfajú (első fajtájú) örökmozgó (perpetuum mobile) olyan hőerőgép lenne, mely munkát energiafelhasználás nélkül, a semmiből nyerne (ld. az 5.2.1. pontot). Ez ellentmondana az I. főtételnek.
**
A tétel fordított Carnot–ciklusra így fogalmazható: a fordított Carnot–ciklus 5 teljesítményszáma adja meg a minimumát annak a munkának, amelyet adott hőmérsékleti határok között működő hűtőgépbe be kell fektetnünk. Minden más hűtőfolyamatnak csak nagyobb lehet a teljesítménytényezője (hűtési tényezője).
A termodinamika II. főtételével csak az -A = -B feltételezés van összhangban.
434 tetszésszerinti körfolyamatot elemi 1,2...i...k elemi Carnot–ciklusokra; melyek egyenként T2i ill. T1i (i=1,2...k) szélső hőmérsékletek között dolgoznak (ld. 5.15. ábrát).
Az ábrából látható, hogy ezen hőmérsékletekre rendre fennáll, hogy T2i ; T2 illetve T1i < T1, — következőleg az elemi Carnot–ciklusok összessége, tehát a teljes tetszésszerinti körfolyamat hatásfoka kisebb, mint a T2 ill. T1 hőmérsékleten dolgozó ABCD Carnot–körfolyamaté. Annak igazolását, hogy a hatásfok nem csak a kváziegyensúlyi körfolyamatot végző közeg anyagi minőségétől, hanem a folyamat konkrét megvalósításától (a ciklus folyamataitól) is független, az 5.4.2. pontban már elvégeztük!
!
Mivel az 5.4.2. és 5.4.4. pontban igazoltuk a Carnot—Calusius–tétel összes állítását, kimondhatjuk, hogy az ideális gáz modellel levezetett Carnot–hatásfok minden tetszésszerinti kváziegyensúlyi körfolyamatra érvényes, tehát univerzális.
5.15. ábra. A Carnot–tétel bizonyításához. Az ábra belsejében látható tetszésszerinti körfolyamatot elemi infinitezimális Carnot–ciklusokra bontottuk; ezek felső hőmérsékleteit T2i-vel, alsó hőmérsékleteit T1i-vel jelöltük. Az ABCD Carnot körfolyamat előbbi körfolyamat szélső hőmérsékletein dolgozik; utóbbiakat T2-vel ill. T1-el jelöltük.
435
5.4.5. A Carnot–ciklus - hatásfokfüggvénye alkalmas egy abszolút termodinamikai hőmérsékletskála definiálására
- = f(T1,T2)
(5.88)
Ezt az f(T) függvényt, mivel mindenfajta anyagi tulajdonságtól független, az abszolút termodinamikai hőmérséklet skála definiálására használhatjuk fel. A függvény alakja tetszés szerint választható meg, pusztán arra kell ügyelnünk, hogy a függvény szigorúan monoton legyen. Azonban a PVm = RT ideális gáztörvénnyel korábban definiált "abszolút" gázskálával (Kelvin, 1852; ld. 3.2. és 3.3.2. pontot) akkor maradunk egyezésben, ha abban állapodunk meg*, hogy a Carnot–ciklusban kicserélt (kváziegyensúlyi) hőmennyiségek a Kelvin-féle gázskála T abszolút hőmérsékletével legyenek arányosak és kikötjük, hogy az így definiált T termodinamikai hőmérséklet csak pozitív lehessen. Hogy ezt a feltételt a Carnot ciklus levezetésébe sikerült bevinnünk, mutatja az eredményül kapott T1 Q1 = – T2 Q2
azaz
Q=T
(ld. (4.84c))**
egyenlet. Ezt azáltal értük el, hogy bevezetésünket ideális gázzal hajtottuk végre és a felhasznált állapotegyenletben eleve az abszolút gázskála abszolút hőmérsékletét használtuk. Mivel független elemként azt is igazoltuk, hogy (4.84c) a munkaanyagtól (tehát az általunk használt “ideális gáz-anyagtól” is) független, azt is igazoltuk, hogy az így definiált T termodinamikai hőmérséklet anyagtól független, tehát abszolút.
* Választhattunk volna olyan termodinamikai hőmérséklet konvenciót is, ahol Q nem T-vel arányos. Ilyen választás lehetett volna pl. a Q = e> (5.89a) ahol > egy másfajta választásnak megfelelő hőmérséklet. > ilyen választása esetén >-t a T-vel a ln T = > (5.89b) összefüggés kötné össze. Láthatóan ekkor T=0-nak >=–1 felelne meg és így nem vetődhetne fel az a laikusok által feltett kérdés: miért pont –273,15°C felel meg T=0-nak és miért nem léteznek ennél alacsonyabb (ún. negatív abszolút) hőmérsékletek. Ilyen választás esetén az ideális (abszolút, tehát anyagi minőségtől független) gázskála nem egyezne meg a termodinamikai abszolút hőmérsékletskálával és számos kifejezést is másképpen kellene felírnunk.
** Itt Q1 (' 0), Q2 (% 0) előjeles mennyiségek, így a hőmérsékletek aránya ill. a hőmérsékletek maguk a követelmény szerint pozitívak!
Az, hogy a Carnot–ciklus hatásfoka független a munkarendszer és munkaanyag természetétől, azt jelenti, hogy - kizárólag csak annak a két hőmérsékletnek a függvénye lehet, amelyek között a ciklust végrehajtjuk, azaz:
436
5.4.6. A termodinamika II. főtételének különböző, tapasztalatokon nyugvó megfogalmazásai*
A reális (természetes, spontán) folyamatok tekintetében a II. főtétel lényege annak kimondása, hogy a spontán folyamatok irreverzibilisek (egyirányúak, megfordíthatatlanok). Legközvetlenebbül ezt Kelvin “az energia szétszóródásának (részbeni rendezetlen termikus energiává való átalakulásának) elvében” mondta ki (Kelvin tétele, 1852). E szerint minden önként végbemenő, irreverzibilis folyamatnál, — a kváziegyensúlyi munka egy bizonyos része (amelyet rendezett munka formájában lehetett volna kinyerni, ha a folyamatot kváziegyensúlyi módon vittük volna véghez) rendezetlen termikus energiává alakul át. Ugyanezt fejezik ki az 5.3.1. és 5.3.2. pontokban részletesen tárgyalt egyenlőtlenségek. Nem a munka, hanem tisztán a termikus energia oldaláról tekinti a folyamatok irreverzibilitását Clausius tétele (1850), mely szerint termikus energia hő alakjában hidegebb testről melegebbre nem mehet át önként, vagyis lehetetlen olyan folyamat, melynek egyetlen eredménye az volna, hogy hő ment át hidegebb testről melegebbre anélkül, hogy ezt külső munkával ne kompenzálnánk. Míg Kelvin tétele inkább a munka, Clausius tétele pedig inkább a hő oldaláról vizsgálja a természetes folyamatok irreverzibilitását, addig Planck fogalmazása mintegy mindkét szempontot szem előtt tartja, mikor kimondja, hogy még kváziegyensúlyi határesetben sem létezhet olyan körfolyamat, melynek egyetlen eredménye az, hogy hőt von el egy termosztátból ("hőtartályból") miközben egyenértékű mechanikus munkát végez, pl. egy hajót mozgat. Az ilyen körfolyamatot végző gépet, amely tehát korlátlan mennyiségű munkát tudna termelni kizárólag a környezet termikus energiájának a rovására, Ostwald második fajtájú perpetuum mobile-nek nevezte el és kimondta annak megvalósíthatatlanságát. (A gép gyakorlatilag ugyanolyan hasznos volna, mint az I. főtétel szerint lehetetlen (első fajtájú) perpetuum mobile, mert felhasználásával pl. az óceánok emberi méretekben kimeríthetetlen termikus energiaforrások lehetnének.) Így a II. főtételt sokszor mint a
* E pontban Schay Géza interpretációját vettük át. (Erdey–Grúz Tibor és Schay Géza: Elméleti Fizikai Kémia I. kötet, Tankönyvkiadó, 1962.)
A T abszolút termodinamikai hőmérséklet mérése elvileg a következőképpen történhet. Állítsuk be az egyik hőtartály T1 hőmérsékletét a normál nyomáson olvadó jéggel; ez az SI hőmérséklet standard (a víz hármaspontja hőmérsékletének “önkényes” megválasztásával, ld. 3.2. pontot) 273,15 K. Ezután ezen hőtartály és a másik (kalibrálandó, T2 hőmérsékletű) hőtartály között tetszőleges anyaggal Carnotkörfolyamatot végzünk és megmérjük a hőtartályok leadott, ill. felvett hőmennyiségét, Q1 azaz meghatározzuk a Q hányadost. Az ismeretlen T2 hőmérséklet a (4.84c) 2 egyenletből kiszámítható.
437 második fajtájú perpetuum mobile megvalósíthatatlanságának a tételét idézik; utóbbi nyilvánvalóan nincs ellentétben az I. főtétellel.
Gondoljunk pl. egy felhevített rézhuzalra, amely energiáját közvetlenül adja át egy, a környezet hőmérsékletén levő termosztátnak. A huzal és termosztát kapcsolatának megszüntetése után vonjuk ki egy második fajtájú perpetuum mobile segítségével az átadott hőt a termosztátból, alakítsuk munkává, ezt a munkát használjuk fel egy áramfejlesztő járatására, és a fejlesztett árammal hevítsük fel a rézhuzalt kiindulási hőmérsékletére. Ha ezt a hipotétikus eljárást (kvázi-)egyensúlyi folyamatban hajtjuk végre, akkor nincsenek veszteségek, tehát a termosztát és a huzal is kiindulási állapotukba jutnak vissza; a környezetben nem szóródik szét energia, a második fajtájú perpetuum mobile pedig, minthogy körfolyamatot végez, ugyancsak eredeti állapotába kerül. Igy tehát a közvetlen hőátadás, tapasztalat szerint irreverzibilis folyamatát nyomtalanul visszafordítottuk volna, vagyis Clausius tétele nem volna igaz. Másik példaként tekintsük egy tökéletes gáz irreverzibilis (megfordíthatatlan) kiterjedését vákuumba. Vonjunk ki megfelelő mennyiségű hőt egy hőtartályból a második fajtájú perpetuum mobile segítségével, alakítsuk munkává, amellyel a gázt visszasűrítjük eredeti térfogatára, de úgy, hogy a munka egyenértékét közben visszaadjuk a hőtartálynak (tehát izoterm kompressziót hajtunk végre). Azonnal látható, hogy ha ez lehetséges volna, akkor az irreverzibilis kiterjedést csináltuk volna nyomtalanul vissza, vagyis Kelvin tétele nem volna igaz. Igy tehát akár Clausius, akár Kelvin tételéből következik, hogy nem lehetséges olyan körfolyamat, melynek egyetlen eredménye hőelvonás egy hőtárolóból és ezzel egyenértékű munkavégzés, ez pedig éppen Planck tétele. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy ennek lehetetlensége csak körfolyamatra mondható ki általánosan, nyitott folyamatra nem feltétlenül érvényes: pl. ideális gáz izoterm kváziegyensúlyi(!) kiterjedésekor a környezetből felvett hő teljes egyenértéke mint térfogati munka jelentkezik (ld. 5.2.4.1. pontot).
Az elmondottak szerint tehát bármilyen munka korlátlanul alakítható át termikus energiává, ezzel szemben a termikus energia munkán keresztül más energiafajtává való átalakítása csak megszorításokkal lehetséges. Amint azt az 5.3.1. pontban részletesen megtárgyaltuk, egy rendszer adott körülmények között akkor végzi a lehetséges legnagyobb (maximális) munkát, ha a munkavégzés kváziegyensúlyi úton történik. A következő pontban olyan termodinamikai függvényeket ismerünk meg, amelyek változása közvetlenül megadja a rendszer által adott körülmények között végezhető maximális, hasznos munkájának értékét; ilyenek pl. állandó nyomás és T hőmérséklet mellett a G szabadentalpia, ill. állandó térfogat és T hőmérséklet mellett az A szabadenergia. Nernst úgy fogalmazott, hogy a valóságos folyamatok olyan irányba folynak le, hogy hasznos munkát végezzenek. Ha a lehetséges hasznos munka adott esetben zérus, — a rendszer egyensúlyban van.
A második fajtájú perpetuum mobile segítségével az irreverzibilis folyamatok kiindulási állapota is nyomtalanul visszaállítható volna, és így Clausius és Kelvin tételei — a tapasztalattal ellentétben — nem volnának igazak.
438
5.5. NYÍLT TERMODINAMIKAI RENDSZEREK LEÍRÁSA
Nyílt rendszeren olyan rendszert (alrendszert) értünk, amelyre megengedjük a környezetével (másik alrendszerrel) való mechanikai-, termikus- és (komponensenként) a kémiai kölcsönhatást ill. anyagcserét is.* Az 5.3.2. pontban beláttuk, hogy a #S < 0 feltétel csak elszigetelt rendszerekre érvényes. Ennek alkalmazásakor, #S konkrét kiszámításához (mint azt az 5.3.2. pontban bemutattuk) mindig figyelembe kell venni egy hőtartályt, vagy egy másik alrendszert, mellyel a rendszer elszigeteltté egészítendő ki. Sok fizikai és kémiai folyamat** állandó nyomás és hőmérséklet mellett megy végbe és így az ilyen rendszerekben az egyensúly beállása után a rendszer minden alrendszerében ill. fázisában mind P, mind T egyenlők. Az ilyen rendszerek esetén (ezek egyensúlyának és az ilyenkor lehetséges spontán folyamatok irányának leírására) célszerűbb a P és T független változókat használni a V és S helyett. (Bár elvben ilyen rendszerek is leírhatók elszigetelt rendszerként, az ilyenkor figyelembe veendő környezet paraméterei a gyakorlatban sokszor nem számíthatók ki és így számszerűen nem vehetők figyelembe.) Az ilyen folyamatokat célszerűbb nyílt rendszerben leírni! Az alábbiakban (és a továbbiakban is) nyilt rendszereknek nevezett rendszerekre bemutatjuk, hogy alkalmasan választott állapotfüggvényekkel (ún. termodinamikai potenciálfüggvényekkel) az elszigeteltség megkövetelése nélkül is megadhatóak olyan feltételek, amelyek alkalmasak az egyensúlyok ill. a spontán lefolyó reális folyamatok irányának kijelölésére. A nyílt rendszerek leírásakor figyelembe kell vennünk minden olyan, a rendszer belsejében lejátszódó folyamatot is, amit az I. főtételben a környezettel való (előjeles) hőcserében ill. a környezet és a rendszer között végzett (előjeles)
* Azaz amelyekre megengedjük a térfogati munkavégzést, a hőcserét és (komponensenként) az anyagmennyiség megváltozását.
** Így pl. ilyen a párolgás, a forrás, a szublimáció és ilyen a legtöbb nem szilárdfázisú kémiai reakció is. Szilárdfázisú állapotváltozásoknál (pl. átkristályosodás, szupravezető- vagy ferroelektromos fázisok megjelenése stb.) célszerűbb a V,T változókkal való leírás; ezt is érintjük pl. az (5.112)–(5.114) egyenletekkel kapcsolatban.
5.5.1. Az egyensúly feltétele, illetve a spontán folyamatok iránya nyilt rendszerekre
439
A reális folyamatokban a rendszeren belül fellépő (és végülis a rendszer belső energiájává alakuló) veszteségek, a nem ideális anyagokban a folyamatok során fellépő belső súrlódás és a részecskék közötti kölcsönhatások legyőzésére fordított rendszeren belüli munkavégzés, az ideális elegyek képződésénél is fellépő elegyedési entrópia mindig** növelik a rendszer entrópiáját. Egyensúlyi állapotban (ahol ezeket kizárhatjuk) az ezekkel járó entrópiaváltozás nulla: (5.90) TdSb < 0 ahol a > jel folyamatokra, az egyenlőségjel pedig az egyensúlyi állapotra vonatkozik. Az (5.90)-nek nem feltétele a rendszer elszigeteltsége (hiszen azok a folyamatok, amelyeknek belső entrópiatermelését a dSb szimbólumban foglaltuk össze a rendszeren belül (és nem a rendszer és környezete között) folynak le.
!
Korlátozzuk magunkat először olyan egyszerű esetre, ahol az egyéb, pl. kémiai munkavégzést, anyagcserét kizárjuk, de figyelembe vesszük a reális hőcsere és a térfogati munkával folyamatokkal járó TdSb entrópia változást***: dU + PdV – TdSe – TdSb ; 0 (5.91) Az (5.91) egyenlőtlenség könnyen megérthető: az első három tag összege nulla (ld. 5.20b)) és TdSb > 0 (ld. (5.90)); következőleg 0 – TdSb < 0. Egyensúly esetén (kváziegyensúlyi folyamatban) a TdSb tag értéke nulla, — ilyenkor az (5.91) kifejezés értéke nulla. Másszóval (5.91) kifejezés értéke egyensúly esetén egyenlő nullával, irreverzibilis folyamatok esetén pedig kisebb, mint nulla.
* Az I. főtételben (ld. az 5.2.1. pont végét) a DQ és DW mennyiségek kizárólag a rendszer (előjeles) hőcseréjét ill. (szintén előjeles) külső munkavégzését tartalmazzák!
** Tehát nyílt rendszerekben is, bármely reális folyamatra. *** Ilyen esetre az (5.20b) (egyensúlyi) Gibbs–egyenlet azaz
dU = TdSe – PdV
dU + PdV – TdSe = 0 Ha a dU belső energia mérlegben a TdSe mellett figyelembe vesszük a TdSb-t is, akkor fenti egyenletek az alábbi alakot öltik dU = TdSe + TdSb – PdV dU + PdV – TdSe – TdSb ; 0
munkavégzésben per definíciónem nem vettünk figyelembe.* Ilyen, a reális folyamathoz kapcsolódó (belső, ill. külső) súrlódási munka, ilyen az ideális elegyedés esetén is fellépő dSmixt elegyedési entrópia (ld. 4.7.2. pontot) TdSmixt energiaegyenértéke stb. Hogy ne kerüljünk ellentétbe az I. főtétel felírási módjával, valamennyi ilyen belső energia változást okozó belső (b) és irreverzibilis hatást egy energia dimenziójú TdSb kifejezésbe foglalunk össze és így írjuk be a belső energia mérlegbe; TdSb a fentiek közül mindig az összes, másképpen figyelembe nem vett energia járulékok összege, amelyeket adott rendszer adott folyamatai esetén figyelembe kell venni.
440
!
Definiáljunk most Gibbs nyomán (1875) egy új állapotfüggvényt integrális alakban G ? U + PV – TS (5.92)
ahol dS = dSe + dSb és (ld. fentebb) TdSb < 0. !
Állandó P és T mellett az (5.93a) a
relációba megy át.
dGP,T = dU + PdV – TdS
(5.93b)
Jelöljük a TdSe+TdSb összeget TdS-sel és vessük össze az (5.91) és a (5.93b) egyenleteket! Láthatóan dG-re is fennáll, hogy (dG)P,T = dU + PdV – TdS ; 0
(5.94)
amelyet ilyen rendszerre röviden (dG)P,T ; 0
(5.95)
alakba írhatunk, ahol az egyenlőség egyensúlyi rendszerre, az < egyenlőtlenség pedig a rendszerben lezajló reális spontán folyamatokra vonatkozik P,T=konst. mellett. A valódi folyamatok iránya tehát olyan, hogy azok a G szabadentalpiát állandó nyomáson és hőmérsékleten minimalizálják (dGP,T ; 0) A fenti levezetésnél: 1.) nem használtuk fel a DQ=0 adiabatikus feltételt és nem tételeztük fel, hogy a rendszer elszigetelt. Viszont felhasználtuk, hogy P ill. T állandó. Ezek a feltételek csak akkor állhatnak fenn, ha a rendszerünk a környezetével mechanikai és termikus egyensúlyban van. Tehát a levezetés nyílt rendszerre érvényes. 2.) Az S entrópia helyett bevezettünk egy olyan, ún. termodinamikai potenciálfüggvényt (a G-t), melynek megváltozása dGP,T = 0 (egyensúlyra) dGP,T < 0 (reális folyamatra)
* Angolszász irodalomban szokták Gibbs–féle szabadenergiának is nevezni. Az (5.91) egyenlőtlenségben azért korlátoztuk magunkat kizárólag a hőcserére és a térfogati munkavégzésre, mert a G (5.92) definícióegyenletében nem szerepelnek a @i ill. ni mennyiségek!
ahol S = Se+Sb. A G állapotfüggvény neve: szabadentalpia.* Képezzük a G teljes differenciálját: dG = dU + PdV + VdP – TdS – SdT (5.93a)
441 3.) Ennek során kizárólag az (5.91) dU + PdV – TdS ; 0 egyenlőtlenséget használtuk fel.
G = U + PV – TS = H – TS
(5.96)
alakba írható és dG = dU + PdV + VdP – TdS – SdT = dH – TdS – SdT
(5.97)
P,T=konst. mellett beállt egyensúly esetén (dG)P,T = 0, tehát (5.97)-ből (dH)P,T = T(dSe)P,T = (DQ)PT
(5.98a)
amiből (L) )#H+ P,T (#S)P,T = / T 0 = T ( *P,T
(5.98b)
ahol (L)P,T az állandó nyomáson és hőmérsékleten lefolyó elsőfajú fázisátalakulások (pl. párolgás, olvadás, szublimáció) látens hője (ld. 5.1.1. pont végét, az 5.2.1.pontot és az 5.5.2. pontot).
!
Az (5.92) G függvényt ill. annak (5.93a) dG teljes differenciálját tetszés szerinti rendszerre csak úgy általánosíthatjuk, ha U ill. dU helyére az aktuális kifejezést írjuk! Írjuk most fel G majd dG értékét egyszerű termodinamikai rendszerre (ETR-re), tehát helyettesítsük be U ill. dU (5.32) ill. (5.20) alatti kifejezését. ! A G-t egyszerű termodinamikai rendszerre (ETR-re) úgy írhatjuk fel, hogy a G = U + PV – TS definíció egyenletbe az U ilyen rendszerre érvényes (5.32) integrális alakját írjuk: K K ) + G = (U) + PV – TS = /TS – PV + $ @ini0 + PV – TS = $ @ini ( * i=1 i=1
(5.99) ! A dG ETR-re általánosított alakjának felírásához helyettesítsük be dG (5.93a) szerinti teljes differenciáljába a dU kísérleti, dU = –PdV + TdS + $ @idni szerinti i
(ld.(5.20)) alakját. Így a K
dG = TdS – PdV + $ @idni + PdV + VdP – TdS – SdT = i=1
! Bevezethetjük a G függvényt ill. dG teljes megváltozását a H = U + PV (5.21a) entalpiafüggvénnyel is. Ekkor (ha csak térfogati munka van) (5.92)
442 K
(5.100)*
= VdP – SdT + $ @idni i=1
egyenlethez jutunk, ami P,T=áll. esetén a K
(5.101)
i=1
egyenlethez vezet. Az (5.101) egyenletből )AG+ / 0 (Ani*P,T,n
= @i
(5.102)
j8i
ami a kémiai potenciál adott feltételek melletti (egyik leggyakrabban használt) definíciós egyenlete.** A kémiai potenciál tehát moláris sajátság (ld. az (5.2b) ill. (5.31) egyenleteket). SI egysége: J/mol. Az (5.102) egyenlet a kémiai potenciál adott feltételek melletti definíciója és annak kiszámítására is szolgál.
!
Egykomponensű rendszernél a moláris szabadentalpia, Gm G Gm = n
(5.103)
ahol n a komponens anyagmennyisége az adott rendszerben. Az (5.99) egyenletből ilyen rendszerre
* Az (5.100) egyenlethez eljuthatunk az (5.99) K
dG = TdS + SdT – PdV – VdP +
$ @idni +
i=1
K
$ nid@i + PdV + VdP – TdS – SdT
i=1
teljes differenciálján át is, ha figyelembevesszük K
SdT – VdP +
$ nid@i
= 0.
(ld. (5.35))
** Az 5.2.2. pontban (5.31) már közöltük a @ = )AU+ i (Ani*S,V,n
definíciót. Az (5.21) egyenletből
i=1
Gibbs-Duhem egyenletet.
AH kiindulva hasonló gondolatmenettel a @i = ) + (Ani*P,S,n
j8i
definícióhoz jutnánk. Az (5.102) definíció j8i
azonban az egyetlen, amelyben a parciális differenciáláskor csupa intenzív állapotjelzőt kell állandó értéken tartani.
(dG)P,T = $ @idni
443 G = @n
(5.104)
Gm = @
&&&&&&&(5.105)
azaz
!
Az (5.101)-ből látható, hogy P,T=állandósága mellett egy adott ETR rendszerre K
(dG)P,T = $ @idni
(5.106)
i=1
Egyensúlyi ETR rendszerben a kémiai munkának is nullának kell lennie: K
(dG)P,T = $ @idni = 0
(5.107)
i=1
! Tekintsünk két (a P,T=konst. feltétel biztosítására hővezető dugattyúval) elválasztott és kívülről együttesen elszigetelt* alrendszert. Legyen a dugattyú pl. csak az i-edik komponensre átjárható. Jelöljük a két alrendszert (1) ill. (2) felső indexszel. Menjen át P,T=konst. feltétel mellett az i-dik komponens dni mólja az (1) alrendszerből a (2)-be. E folyamatra az egyensúly P,T=konst. feltétel mellett történő beállása után, (5.107) szerint: ) AG + ) AG + (1) (2) dGP,T(1+2) = / (1)0 dni + / (2)0 dni = 0 (Ani *P,T (Ani *P,T azaz (5.102) figyelembevételével (1)
(1)
(2)
(2)
(5.84a)
(5.108b)**
@i · dni + @i · dni = 0 és mivel a teljes rendszer anyagtartalma állandó, fennáll a (1)
(2)
–dni = dni
(5.109)
feltétel is. Az (5.108b) és az (5.109) felhasználásával tehát
* E feltétel esetén a két alrendszer egymás között még nyílt marad! ** Általánosan m számú alrendszer i-edik komponensére ekkor (5.108b) általánosításával $ @m,i dnm,i = 0
m = 1,2,...
(5.108c)
m
illetve az összes komponensre való átjárhatóság esetére írható m = 1,2,..., $ $ @m,i dnm,i = 0 m
i
i = 1,2,..., K
(5.108d)
Szavakkal: egykomponensű rendszer esetében a komponens kémiai potenciálja megegyezik annak moláris szabadentalpiájával.
444 (1)
(2)
(1)
(@i – @i ) dni = 0
(5.110)
(1)
Az (5.111)-ben az (5.3c) természetes egyensúlyi feltételre ismerünk!
!
Megemlítjük, hogy az F = U – TS
(5.112)
ún. szabadenergia függvény, amelyet az F helyett sokszor A-val is jelölnek (Helmholtz, 1882) állandó térfogat és hőmérséklet mellett hasonló célt szolgál, mint a G állandó P és T mellett: (dF)V,T ; 0
(5.113)
Ha az (5.112) F függvénnyel végigkövetjük a G függvényre elvégzett és (5.102)-re vezető átalakításokat, akkor a ) AF + @i = / 0 dni (Ani*V,T,n
(5.114)
i8j
kifejezéshez jutunk. Mint látjuk F a V,T=konst. feltételek mellett szintén használható termodinamikai potenciálként.
!
Alábbiakban bebizonyítjuk, hogy
a G ill. F függvények csökkenése kváziegyensúlyi folyamatban (adott paraméterek változatlan értékei mellett) egyenlő a rendszer által végzett kváziegyensúlyi maximális “egyéb munkával”. A DW'e kváziegyensúlyi egyéb munka definiciószerűen a teljes rendszer által végzett munka, levonva belőle a külső nyomás ellen végzett térfogati munkát: DW'e = DWe – (–PdV) = DWe + PdV
(5.115)
Az "egyéb" munkára (W') a vesszős felső index, a kváziegyensúlyi folyamatra az 'e' alsó index utal.
!
A maximális egyéb munka kifejezése a G szabadentalpia függvénnyel: G = U + PV – TS dG = dU + PdV + VdP – TdS – SdT
(ld. (5.92)) (ld. (5.93a))
Mivel dni feltételünk szerint nem nulla, (5.110) akkor állhat fent, ha egyensúlyban P,T=konst. mellékfeltétel esetén (1) (2) @i = @i (5.111)
445 Jelöljük át a dU (5.20b) Gibbs-egyenletből származó kifejezését (5.115) szerint, és helyettesítsük be (5.93a)-ba: dG = TdS – PdV + DW'e + PdV + VdP – TdS – SdT
(dG)P,T = DW'e
(5.117) (5.118)
Például, ha ez az egyéb munka kémiai (ill. anyagátviteli) munka, akkor a rendszer által végezhető maximális egyéb munka K
(dG)P,T = $ @idni
(5.119)
i=1
Ha a rendszeren végzett egyéb munka (esetünkben a kémiai munka) egyenlő nullával, akkor: (dG)P,T = 0
(5.120a)
Ha az egyéb munka nem egyenlő nullával (pl. a kémiai reakció anyagátviteli folyamata zajlik), akkor a folyamat lefolyása közben a (G)P,T csökken* (dG < 0) és ha az ilyen folyamat is leáll (tehát beáll a kémiai reakció, anyagátvitel egyensúlya), akkor (G)P,T eléri minimumát (dG=0). Azaz összefoglalva (dG)P,T ; 0
(5.120b)
minden esetre fennáll. !
A maximális egyéb munka kifejezése a szabadenergia függvénnyel: F = U – TS dF = dU – TdS – SdT dF = TdS + DWe – TdS – SdT dF = –PdV + DW'e – SdT (dF)T,V = DW'e
(5.121a)
Fentiekkel analóg gondolatmenettel V,T=áll. feltétel esetén minden esetre fennáll, hogy (dF)T,V ; 0 (5.121b) !
Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy
* Ha a rendszer egyéb munkát végez (ld. (5.118)), akkor a munka negatív, tehát dG < 0.
dG = DW'e + VdP – SdT
(5.116)
446 (dU)V,S = DW'e
(5.122a)
(dU)V,S ; 0
(5.122b)
(dH)P,S = DW'e
(5.123a)
(dH)P,S ; 0
(5.123b)
illetve
illetve Megjegyzés: Az (5.118), (5.121a), (5.122a) és (5.123a) egyenletek esetében egyszerű termodinamikai rendszer (ETR) esetében az egyéb munka mindig a kémiai (anyagátviteli) munka. Ha a rendszert ennél szélesebb értelemben definiáljuk, a W' a e
rendszerben lehetséges összes egyéb munkát jelenti.
! Ha a rendszer elektromosan töltött részecskékből áll és a rendszer B elektromos
potenciál hatása alatt áll, akkor a zi előjeles töltésű részecske elektromos térbeli ziB potenciális energiája hozzáadódik kémiai potenciáljához; mivel egy mól töltött részecske elektromos potenciálja az F Faraday-állandóval kifejezve ziFB, — egy mól egykompontensű, töltött részecskékből álló rendszerre a @i kémiai potenciál (5.102) = vagy @*-al jelzett elektrokémiai potenciál a jellemző: helyett a @ i i = = @ + z FB @ i i i
(5.124)
!
A fentiek alapján a galvánelemek forrásfeszültségét (ld. 6.2.1. ponban az "Áramforrások" részt) egyik tényezőként meghatározó elektródpotenciálok a fentiek alapján értelmezhetőek. Ha egy fém (pl. Cu) saját ionjait (pl. Cu++) tartalmazó pl. vizes oldatba (ún. elektrolitba) merül, — a fém elektród és a vizes oldat között is beáll a termodinamikai egyensúly; egyensúly akkor jön létre, ha a kváziegyensúlyi kémiai és elektromos "egyéb munka" összege nulla, azaz DW = DW'kémiai + DW'elektromos = 0
(5.125)
ugyanis az elektromos töltésű ionoknak a fém és az oldat közötti átmenet közben az (5.119) kémiai munkán kívül az elektród és az oldat között fellépő B elektród potenciálkülönbség legyőzéséhez elektromos munkát is kell végezniük. Az (5.125) egyenletben szereplő kémiai (egyéb) munka (állandó P és T mellett) felírható, mint a fém " ion reakció szabadentalpia változása, tehát #G = Gion–Gfém , a kváziegyensúlyi elektromos munka pedig egyenlő zi FB-vel; utóbbiban zi az ionok töltésszáma (pl. Cu++ esetén zi=2), F pedig az ún. Faraday–állandó (ld. Függelék. Ne keverjük össze a szabadenergiával!). Írjuk fel ezekkel az (5.125) egyenletet: W = #G – zi FB = 0
(5.125a)
másrészt, hogy
447 Az elektromos munka fenti, negatív előjele megállapodás: az elektródpotenciál előjele e szerint a fémnek az oldathoz viszonyított töltéselőjelével azonos. A fenti (5.125a) egyenletből az elektródpotenciál Gion–Gfém zi F
(5.126)
amely egyenlő a fém elektród és az elektrolit között fellépő potenciálkülönbséggel.
!
Sok rendszernél (a szilárdtestfizikában pl. a félvezető eszközök és anyagok tárgyalásakor) a különböző fázisok egyensúlyi feltételeként az I, II... fázisok CF Fermi– energiáinak (ld. (4.120b)-hez fűzött lábjegyzetet) egyenlőségét írják fel: I
II
III
CF = CF = CF ... = CF
(5.127)
Komponensre utaló alsó indexet nem írnak, mert rendszerint egyetlen komponens, az elektronok egyensúlyát vizsgálják. Fontos tudnunk, hogy fenti egyensúlyi kritérium szempontjából az CF Fermi– energia azonos az egy részecskére(!) vonatkoztatott kémiai potenciállal, — állandó hőmérsékleten és térfogaton, amit @'-vel jelölünk; azaz i
) AA + CF = @'i = / 0 (ANi*V,T,N 8N i
(5.128) j
A fenti összefüggést már felhasználtuk a 4.8.3. pontban, ahol @' helyére a Fermi– eloszlás esetében CF-t írtunk.
!
Vezessük be végül a T#Smixt elegyedési entrópia (ld. 4.102) kifejezéséből kiindulva a (#Gmixt)P,T elegyedési szabadentalpiát először ideális elegyképződés esetére. Alkalmazzuk az elegyedés esetére az (5.97) #G = #H – T#S – S#T egyenletet állandó P és T mellett: D#Gmixt)P,T = (#Hmixt)P,T – T#Smixt
(5.129a)
Ideális elegyeknél (ahol a részecskék között a kölcsönhatás nulla) (ld. (5.23b)) a (#Hmixt)P,T = Qmixt elegyedési hő nulla, azaz K
#Gmixt = –T#Smixt = RT $ ni ln xi i=1
ahol az utolsó egyenlőségben felhasználtuk a #Smixt (4.102) kifejezését.
(5.129b)
B=
448 Az (5.129b) egyenletből )A(#Gmixt)+ / 0 ( Ani *P,T,n
= #@i,mixt = RT ln xi
(5.130)
j8i
@i = @i + RT ln xi
(5.131a)
alakba szoktuk írni, ahol @i az i-edik komponens tiszta állapotban definiált kémiai potenciálja és a második tag veszi figyelembe, hogy az i-edik komponens valamilyen ideális (kölcsönhatásmentes) elegybe került. Nem ideális elegyek esetén a kölcsönhatást úgy vesszük figyelembe, hogy xi helyére az ún. ai aktivitást írjuk: o
@i = @i + RT ln ai
(5.131b)
o ahol @i a @i értéke, ha az i-k komponens aktivitása 1 (standard állapot*). Az aktivitás dimenzió nélküli szám: ai = fixi, ahol fi egy egységtől eltérő számfaktor. Ha az ai-t nem xi-vel, hanem a koncentrációval fejezzük ki, fi helyett Ei-t használunk: o , ld. (5.151b) utáni lábjegyzetet). a = E c /c— i
i i
i
5.5.2. Az egykomponensű rendszer két fázisának egyensúlyát megfogalmazó Clausius-Clapeyron egyenlet
Az 5.2.5. pontban láttuk, hogy egy egykomponensű rendszerben két fázis csak akkor lehet egyensúlyban, ha a nyomás és a hőmérséklet között egyértelmű kapcsolat van; másszóval ilyenkor fTD = 1, tehát csak vagy P vagy T választható szabadon és a választott állapotjelző egyértelműen megszabja a másikat: a rendszer csak a fázishatárokat jelző vonal mentén mozoghat. Például a hőmérsékletet választva független változónak P = P(T) a nyomás egyértelműen megszabott. Szemeljük ki egy fázishatárvonal két, egymáshoz közel eső pontját, "A"-t és "B"-t (ld. 5.16. ábra). Az 5.16. ábrán kiemelt részlet pl. az 5.8. ábra párolgási, szublimációs görbéje. Ilyen (de más iránytangenssel) a víz olvadási görbéje is.
* Az aktivitások és standard állapotuk definícióját különböző rendszerekben célszerűségi okok alapján határozzák meg. Erre szilárd–gáz heterogén rendszerek speciális esetében az 5.5.3. pontban egy konkrét példa kapcsán visszatérünk.
A #@i,mixt értékét a
449 Mindkét pontban felírhatjuk a határos I ill. II fázisokra a kémiai potenciálok egyenlőségét (a µ alsó indexe most az illető pontra utal; egyetlen komponensünk van!): I
II
(5.132a)
és
5.16. ábra. A Clausius–Clapeyron egyenlet levezetéséhez
I
II
@B(PB,TB) = @B(PB,TB)
(5.132b)
ahonnan (a két egyenletet egymásból kivonva) I
I
II
II
@B – @A = @B – @A
(5.133a)
d@I = d@II
(5.133b)
Az infinitezimális alakra áttérve Az (5.37) kifejezést* az I és II fázisra felírva, nI ill. nII–vel átosztva (nI ill. nII P–től és i i T–től függetlenek!) és bevezetve az Sm = Si/ni, Vm = Vi/ni moláris mennyiségeket (ahol i = I,II), az (5.133b)-t figyelembevéve I
I
II
II
–SmdT + VmdP = –SmdT + VmdP
(5.134)
adódik; ennek átrendezése után II
I
dP Sm–Sm dT = VIIm–VIm vagy
* –SdT + VdP = nd@
(5.135)
@A(PA,TA) = @A(PA,TA)
450 dP !Sm dT = !Vm
(5.136)
Tudjuk, hogy a halmazállapotváltozás (olvadás, párolgás, szublimáció stb.) állandó hőmérsékleten megy végbe, miközben a rendszer belső energiája mégis megváltozik: a rendszer hőt vesz fel, vagy hőt ad le. Ezt a hőt látens (rejtett) hőnek nevezik. (Ahogyan azt már az 5.1.1. pontban említettük, azokat a fázisátalakulásokat, amelyeknek látens hőjük van, elsőfajú fázisátalakulásnak nevezzük. Ilyenek nemcsak a halmazállapot változások, de ilyen a legtöbb szilárdtestekben végbemenő kristályszerkezet változással járó fázisátalakulás is.) Az átalakulás reverzibilis folyamat, látens hőjét (ld. (5.23c)) a fázisátalakulás alatt bekövetkező entrópiaváltozással az (5.98b) egyenlet köti össze: L ! !S = SII – SI = T
(5.137)
és L az I-es fázisból a II-es fázisba való átmenet látens hője. Ennek moláris alakját (5.136)-ba helyettesítve a dP Lm = (5.138) dT !VmT úgynevezett Clausius-Clapeyron egyenletet* kapjuk. Az egyenletben szereplő !Vm moláris térfogatváltozás a halmazállapotváltozásra vagy fázisátalakulásra jellemző. Ha pl. II-vel a folyadékfázist és I-gyel a szilárdtestfázist jelöljük, és a szilárd állapotbeli II I moláris entrópia kisebb,** mint a folyékony halmazállapotbeli (S > S ), akkor a m
m
látens hő pozitív, és ha az is fennáll, hogy !Vm > 0, akkor a fázishatár dP/dT meredeksége szintén pozitív lesz: a nyomás növelése a fázisátalakulás hőmérsékletének növekedésével jár együtt, illetve ha a hőmérsékletet állandónak tartjuk, úgy a nyomás megnövekedése a rendszert a szilárd fázis felé kényszeríti.
* Szokás ezt az egyenletet Clapeyron–egyenletnek nevezni. E megkülönböztetés esetén Clausius— Clapeyron
egyenletnek az "ideális gőzre" felírt RT !Vm " Vm,gőz = . Ekkor pl. a párolgási folyamatra Pgőz d ln Pgõz Lm,pár = dT RT²
(5.139)
egyenletet
nevezik,
amikor
(5.139)
Hasonló egyenlet írható fel pl. a szublimációra is.
** Ez általában fennáll: a szilárdtest entrópiája általában kisebb, mint a folyadéké; a szilárdtest "rendezettebb". A Vm(folyadék) > Vm(szilárdtest) reláció általában szintén fennáll. A kivételek között különös jelentőségű a víz "anomális" viselkedése; Vm(víz) < Vm(jég).
ahol !Sm és !Vm a moláris entrópia-, illetve moláris térfogat megváltozása dP fázisváltozáskor és dT a fázishatár iránytangense (ld. 5.16. ábrát).
451
5.5.3. Kémiai reakciók egyensúlya. Fémek oxidációjának egyensúlya.
A kémiai átalakulások (kémiai reakciók) leírására az ún. reakcióegyenleteket használjuk. Ezek baloldalán a kiindulási, jobboldalán a végtermékek kémiai képletei állnak; a képletek egyúttal — megállapodás szerint — az anyagok mólnyi mennyiségét is jelentik. A reakcióegyenleteket stöchiometriai egyenletek alakjában írjuk fel: az egyenletben a képletek elé odaírjuk a reakcióban az adott anyagból reagáló mólok számát; pontosabban az egymással reagáló anyagok mólarányait kifejező ún. stöchiometriai számok (együtthatók) legkisebb egész számot adó közös többszörösét. Jelük: $i. Például: (5.140)*
4Cu + O2 = 2Cu2O
Ha a reakció adott nyomáson és hőmérsékleten mindkét irányban lefolyhat, akkor a reakciót így írjuk (5.141a) 4Cu + O2 % & 2Cu2O Általánosan (5.141b) ' ($A Ai = ' $B Bj( i
j
A kémiai reakciók lefolyása során a kezdeti termékek koncentrációja csökken, a végtermékeké nő; egyensúlyban ez a koncentrációváltozás makroszkópikusan megszűnik. A kémiai reakciókban bekövetkező koncentrációváltozás sebességét reakciósebességnek nevezzük. Ha a rendszer termodinamikai egyensúlyban van, akkor az (5.141a,b) egyenletek szerint a reakció mindkét irányba egyenlő sebességgel folyik:** beáll a reagáló anyagok egyensúlyi koncentrációja. Ha a reakcióelegy nincs
* Az új definiciórendszer szerint az ilyen egyenletekben az anyag képlete egyúttal annak 1 molját is jelenti; ekkor a $i-k dimenzió nélküli számok és így számos egyenletben egy megfelelő dimenzióval 1 dn rendelkező egységnyi értékű tényezőt kellene alkalmaznunk. (Pl. az (5.145a) egyenlet d) = i o $i n— alakban kellene felírni.) Mi ettől e pontban eltekintünk. ** Hangsúlyozzuk: termodinamikai szempontból. A valóságban ez akkor lehetséges, ha a reakció(-k) kinetikailag is lefolyik(nak). Ez azt jelenti, hogy a kinetikai lefolyáshoz a hőmérsékletnek elegendőnek kell lennie az ún. aktiválási energiagát leküzdésére. Ez elég magas hőmérsékleten általában mindig teljesül.
Érdemes megjegyezni, hogy a víz esetében a víz—jég fázishatár (5.8. ábra) meredeksége mintegy 2 kbar-ig negatív. Ez azt fejezi ki, hogy a víz szilárd fázisbeli fajlagos térfogata anomális módon nagyobb, mint a folyadékfázisbeli fajlagos térfogata (tehát !Vm # 0). Ennek köszönhető, hogy a jég nyomás hatására megolvad (vagyis hogy korcsolyázni lehet rajta) és tulajdonképpen az élet fennmaradása is a Földön: a jég ugyanis nagyobb fajlagos térfogata, tehát kisebb sűrűsége miatt úszik a vizen, így az óceánok, folyók nem fagyhattak be fenékig.
452 egyensúlyban, akkor a reakció spontán módon (tehát külső energiaközlés nélkül) csak egy irányban, az egyensúly kialakulása irányában folyik (folyhat) le. A reakciósebesség a jelenlévő anyagok pillanatnyi ci koncentrációjának függvénye; például a kiinduló anyagokra: (5.142)
dc wi = dtB,j
(5.143)
illetve a végtermékekre
ahol a ci szokásosan dm3·mol–1 egységekben van kifejezve. Könnyen belátható, hogy a különböző anyagokra nem kapunk ugyanakkora wi értéket, hanem olyanokat, amelyek a reakcióegyenlet sztöchiometriai számainak arányában állnak egymással. Ezen úgy lehet segíteni, hogy a sebességet egy ún. ) reakciókoordinátával definiáljuk: d) w = dt
(5.144)
A reakciókoordináta dimenzió nélküli szám: d)=
dni $i
(5.145a)
dni bármelyik összetevő anyag anyagmennyiségének megváltozása, $i pedig ennek sztöchiometriai száma. Az i index i = A1, A2, … Ai az eltűnő kiinduló anyagokra, i = B1, B2, … Bi a (jobboldali) termék-anyagokra (ld.(5.141b)). Az eltűnő kiinduló anyagok $i sztöchiometriai számait a (5.145a) egyenletben negatívnak, a termékanyagokét pedig pozitívnak vesszük. A reakció megindulásakor )=0 (mivel dnA=0), az átalakulás teljes végbemenetele után )=1 (mivel dnA=$A). Átalakulás közben a ) 0-tól 1-ig nő: ilyen értelemben a reakciókoordináta megadja, hogy a reakcióelegy hányadrésze alakul át, ha a reakcióegyenletben megadott stöchiometriai arányban álló kiinduló anyagokból indulunk ki.* A )( adott átalakulás során 0 és 1 között változik. A ) értéke az összes résztvevő anyagra azonos és a reakció előrehaladásával, annak arányában változik. Például az
* Ha a résztvevő anyagok koncentrációi, ill. anyagmennyiségei nincsenek stöchiometriai arányban (pl.az egyik, vagy a másik feleslegben van) akkor a reakciókoordinátát az ún. minor-komponenssel definiáljuk. A minorkomponens az a kiindulási anyag,, amelyik a sztöchiometriai arányhoz viszonyítva legkisebb mennyiségben van jelen a kiindulási elegyben: pl. 4 mol réz és 2 mol oxigén esetén a réz, hiszen 2 mol oxigénhez 8 mol réz lenne stöchiometrikus! Ekkor dn d) = m $m ahol dnm a minorkomponens anyagmennyiségének megváltozása és $m a minorkomponens stöchiometriai száma. Bármely anyagra $ dni = i dnm $m
dc wi = – dtA,i
453 (5.141a) reakció esetében, ha a kiinduláskor a sztöchimetriai egyenletnek megfelelő mennyiségű anyagok voltak jelen (mondjuk 4 mol réz és 1 mol oxigén gáz), akkor kezdetben (amikor még nem keletkezett Cu2O) ) = 0, ha pedig a 4 mol réz és 1 mol oxigén már teljesen átalakult 2 mol rézoxiddá, akkor )(= 4/4 = 1/1 = 1 lesz. (A 4 mol a réz kezdeti komponensmennyisége.) Vizsgáljuk meg most egy kémiai reakció egyensúlyi állapotát kvantitatíve. Egy kémiai reakcióban a szabadentalpia változását (!G) a végtermékek és a kiinduló anyagok szabadentalpiájának különbsége adja meg, pl. az (5.141a) reakcióra !Gm = 2G
Cu2O
– 4G
Cu
–G
O2
(5.146)
Az (5.108b)-t K komponensre általánosítva a dni helyére (5.145b) egyenletből a $id) kifejezést behelyettesítve, — egy kémiai reakció egyensúlyára teljesen általánosan: -K dGP,T = ,' 1i $i – +i=s
s–1
'
i=1
0 1i $i/ d) = 0 .
(5.147a)
ahol az első összeg a sztöchiometriai egyenlet jobboldalán szereplő (tehát a végállapotbeli) tagok, a második a baloldalon szereplő (tehát a kezdőállapotbeli) tagok szabadentalpiajárulékát tartalmazza. Az K s–1 0 ! A = – ,' 1i $i – ' 1i $i/ +i=s . i=1
(5.147b)
mennyiséget kémiai affinitásnak nevezzük. A kémiai affinitás nem egy anyagra, hanem mindig két vagy több anyag kölcsönhatására jellemző, definit pozitív mennyiség. Mivel d) nulla és 1 mol között tetszésszerint változhat (ld. (5.147a) egyenletet) a kémiai egyensúly feltétele, hogy a kémiai potenciálok sztöchiometriai együtthatókkal súlyozott összege nulla legyen. Ha a kémiai affinitás különbözik nullától, akkor nincs kémiai egyensúly a rendszerben, hanem a kémiai reakció makroszkópikusan is folyik; a kémiai affinitás egyensúlyban nulla. * Ha a kémiai reakció nincs egyensúlyban, akkor dGP,T 2 0; a reakció egy adott irányban makroszkópikusan is folyik. A kémiai reakció irányát a kiszámított !G előjele szabja meg: a spontán lefolyási irányban dGP,T < 0 és nullához tart; az affinitás viszont mindig pozitív és egyensúlyban értéke nulla.
*
454
Példa.
4 Cu + O2 % & 2 Cu2O
(5.148)
oxidációs reakció beálló egyensúlya a rendszer hőmérsékletétől és a rendszerben uralkodó oxigén P parciális nyomástól. Pontosabban: O2
a.) hogy függ az oxidáció a P
O2
parciális nyomástól?
b.) van-e olyan oxigén nyomás, amelyen az oxidáció nem megy végbe? c.) hogyan függ az oxidáció a hőmérséklettől? d.) milyen hőmérsékleten szűnik meg az oxidáció?
A kémiai folyamatok adott irányba csak akkor mehetnek végbe, ha az adott irányú reakcióra felírt !G szabadentalpia változás negatív, tehát, ha !G < 0; az egyensúly beállása !G = 0-nál következik be. (Az alábbiakban dGP,T alsó indexeit az indexek halmozódása miatt elhagyjuk.) Az oxidációs reakció szabadentalpia változása (végtermékek minusz a kiinduló anyagok szabadentalpiája) !Gm = 2G
Cu2O
– 4GCu – G
O2
(5.149)
A konkrét számításokhoz a G-t egy standard érték és egy paraméterektől függő érték összegeként célszerű felírni; egy i anyag Gm,i moláris szabadentalpiája o
Gm,i = Gm,i + RT ln ai
(5.150)*
o
alakba írható fel, ahol Gm,i az i tiszta anyag moláris szabadentalpiája 298,15 K-en és 1 bar nyomáson.*
* Az egyenletet 1 -re felírva ld. (5.131b). A régebbi táblázatokban G értékét cal-ban találjuk, a i i nyomásokat atm (atmoszféra)-ban.
Vizsgáljuk meg, hogyan függ pl. a
455
o
ai (tiszta anyag) = 1
(5.151a)
A gázok aktivitása kis nyomáson (közelítően, ideális gázokra pontosan) Pi ai (id. gáz) = — Po
(5.151b)**
o = 1 bar. Más esetekben az a értékét csak a Pi-t bar-ban kell megadni és P— i bonyolultabb számításokkal lehet meghatározni, esetleg táblázatokból kell kikeresni. Írjuk fel (5.149) egyenletet (5.150) figyelembevételével: 2
!Gm = o
o
o !Gm
o
+ RT ln
aCu
2O ! = 4 aCua O2
o
!Gm + RT ln Ka
(5.152)
o
ahol !Gm = 2GCu O – 4GCu – GO ; az ln Ka tag pedig a 2 ln aCu O–4 ln aCu–ln aO 2 2 2 2 kifejezés jelölése: Ka az (5.148) reakció aktivitásokkal felírt egyensúlyi állandója. Az aktivitások értékeire tett fenti aCu O = 1, aCu = 1, aO = PO /bar és így 2
2
2
o
!Gm = !Gm + RT ln
megjegyzések o P— PO
figyelembevételével (5.153)
2
* A általunk használt racionális aktivitás a = f x , ahol f a racionális aktivitási koefficiens, x pedig a i i i i i móltört. Az ai aktivitás dimenzió nélküli szám. Ha koncentrációval fejezzük ki, mivel a koncentráció — o o = 1 mol/dm3 , ha dimenziós mennyiség és ln mögött csak szám állhat, ilyenkor ai = 3i·ci/ci , ahol c— a koncentrációt szokásosan mol/dm3-ben adjuk meg és ahol 3i a dimenzió nélküli aktivitási koefficiens. Gázelegyekre az aktivitás az illető komponens parciális nyomásának és egy nyomás dimenziójú normáló tényezőnek a hányadosa. Reális gázokra ez kis nyomáson jó közelítéssel szintén igaz. Ez a normálótényező többnyire 1 bar, ezért a P nyomást általában bar–ban kell behelyettesítenünk. Régebbi o = 1 atmoszféra. táblázatokban a nyomást atm-ban adják meg, akkor a normáló tényező P—
A Gm,i értékét standard moláris szabadentalpiának nevezzük, értékei termodinamikai táblázatokból kereshetők ki. Az R az egyetemes gázállandó, T az abszolút hőmérséklet, ai pedig az i-dik anyag ún. aktivitása*. Az ai értéke ideális elegynél (a dimenziótól eltekintve ) egyenlő a koncentrációval, reális elegynél a koncentrációnak egy egységtől eltérő faktorral (a 3i-val jelölt ún. aktivitási koefficienssel) való szorzata. Tiszta szilárd anyagok (elemek, vegyületek) ún. racionális aktivitása egységnyi:
456 Egyensúly esetén !Gm=0 (ekkor a reakció mikrofizikailag mindkét irányban azonos sebességgel folyik le), azaz o P— o 0 = !Gm + RT ln P (5.154) O 2
(5.155) (5.156)
o
* !Gm konkrét értékét pl. 800 °C-nál az 5.17. ábráról leolvasva és (5.155)-be behelyettesítve, az egyensúlyi nyomás*: ln PO / [atm] 4 2
–48.000 [cal/mol] · 4,1868 [J/cal] = –22,52 8,315 [J/mol·K] · 1073 [K]
PO = 1,65·10–10 atm = 1,67·10–10 bar = 1,67·10–5 Pa 2
Ezen egyensúlyi nyomás alatt (800 °C-nál) a Cu nem oxidálódik, sőt a keletkezett oxid elbomlik (fémes rézre és oxigénre). Ez a válasz a feltett a.) és b.) kérdésre. * Az 5.17. ábrából nomogramszerűen az egyensúlyi nyomás (atm-ban) * -val jelölt közvetlenül is leolvasható: a reakció–görbe adott hőmérsékletű pontját a ! ponttal összekötve, az ábra PO skáláján (az ábra alsó, illetve jobboldali skálája) 2 leolvasható az egyensúlyi nyomás. * A nomogramból leolvashatjuk, hogy a hőmérséklet növelésével az egyensúlyi nyomás esetünkben egyre nő. Ez a válasz a c.) kérdésre. * Az 5.17. ábrán néhány tipikus, a mikroelektronikában fontos reakciótípus ún. Ellingham nomogramjait közöljük egyszerűsített formában. A vizsgált reakció göro
béjét kikeresve bármely hőmérséklethez leolvasható !Gm értéke. A réz oxidációjának o
görbéjét megfigyelve látható, hogy a !Gm abszolút értéke a hőmérséklet növekedésével egyre kisebb lesz, tehát előjelesen egyre kisebb negatív szám. Mivel a reakció hajtóereje annál nagyobb, minél nagyobb negatív szám a !G°, — a hőmérséklet növekedésével a reakció egyre nehezebben zajlik le, a szükséges egyensúlyi oxigénnyomás erősen nő; ha az egyensúlyi oxigénnyomást nem növeljük, akkor az oxidáció megszűnik. (Ez a válasz a d.) kérdésre.) ***
* Az ábrán °C értékek vannak, a számításhoz ezt kelvinbe kell átszámítani! Az irodalomból vett ábra a nyomás értékét atmoszférában adja meg. A számítást tehát atmoszférában végezzük el és utólag számítjuk át a törvényes SI egységbe!
o
PO !Gm 2 ln — = RT Po PO o 2 !Gm = RT ln — Po
457
5.17. ábra. Az oxidációs reakciók Ellingham diagramja. Leolvashatók az adott hőo
fokhoz tartozó !Gm értékek. Ha az adott reakció adott hőfokú pontját az ábra bal * ponttal összekötjük, a PO skálán [atm]-ban leolvashatjuk az felső végén lévő ! 2 adott reakcióhoz, adott hőfokon tartozó egyensúlyi nyomást. Az ábrákon a jelölések magyarázata a pontosságra: A=±1 kcal, B=±3 kcal, C=±10 kcal, D=±>10 kcal; továbbá M=olvadáspont, B=forráspont, S=szublimációs pont és T=fázisátmenet pontja az elemekre illetve (ha a betű négyzetben van) az oxidokra.
Az !G° értékek közvetlenül nem mérhetőek, azokat a !G°= !H° – T( !S° kifejezés alapján kell kiszámítani. A ! értékek a reakcióegyenletnek megfelelő változásokra vonatkoznak. A !H° a standard reakcióhő, — kísérleti érték, ill. kísérleti értékből 298,15 K-re (5.25) egyenlettel átszámított érték. Mivel az entrópia értékek közvetlenül nem mérhetőek, igen lényeges, hogy az S és így a !S° értékek a fajhők hőmérsékletfügésének ismeretében (ld. 5.3.2. pontot) a III. főtétel (4.4. pont) S0(T=0K) " 0 értékéből — kísérleti adatok nélkül kiszámíthatóak. A !G° értékek és így a K egyensúlyi állandók — azaz a a reakciók egyensúlyi adatai — akár egyetlen kísérleti egyensúly mérés nélkül kiszámíthatóak.
458 A III. főtétel adta lehetőség nélkül pusztán a
ln
K2 !H T2 – T1 K1 = R T1 T2
u.n. van’t Hoff egyenlet állna rendelkezésünkre, — ahonnan a !H reakció ismeretében csupán a K2/K1 arány lenne kiszámítható és így K értékéhez legalább egy hőfokon a K-t kísérleti egyensúlyi mérésekből kell meghatározni.
459
6. ELEKTROMÁGNESSÉGTAN
Az elektromágneses jelenségeket a Maxwell–egyenletek (az ún. anyagegyenletekkel kiegészítve) maradéktalanul leírják; e törvények integrális alakjai döntően kísérletek alapján absztrahált törvények. (Döntően, mert a Maxwell I. egyenlet eltolási árammal történő kiegészítése, mely Maxwell személyes érdeme és egyúttal az egyenletek teljes rendszerének, az egységes elektromágneses elmélet megteremtésének szükséges és lényeges kiegészítése, — alapvetően elméleti fizikai hozzájárulás.) Tárgyalásunk az egyenletek megalkotásának egyedülálló örömét szeretné közvetíteni és ezért a kísérleti eredményekből történő absztrakció induktív útját járja. A fejezet anyaga ugyanakkor túllép az ilyen induktív tárgyalás szükségletein; tesszük ezt azért, hogy ez az alaptárgyi anyag a további tanulmányokhoz törésmentesen illeszkedjen. A fejezetben súlyt helyeztünk rá, hogy az anyag hagyományos fenomenológiai tárgyalásán túl több jelenséget (így pl. a dielektromos polarizációt és a mágnesezettséget) — legalább elemi szinten, de mikrofizikailag is értelmezzük. A fejezetben (kellően részletes tárgyalással) igyekszünk átsegíteni az Olvasót a matematikai nehézségeken. Ugyanakkor feltételezzük a középiskolai fizika és az 1., 2., 3. fejezet tökéletes ismeretét.
6.1. ELEKTROSZTATIKA Elektrosztatikának az elektromágnességtan nyugvó töltésekkel foglalkozó fejezetét nevezzük. Ez azt jelenti, hogy az elektrosztatikában olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyekben elektromos áram nem folyik és minden jellemző mennyiség időfüggetlen. Ezért mindig nyugvó töltéselrendezést (töltéseloszlást) vizsgálunk. Azokban az esetekben, amikor az eredeti töltéseloszlás megváltozik, az elektrosztatikai vizsgálatot az eredetileg nyugvó, ill. az új, de szintén nyugvó töltéselrendezésen végezzük el.
Az elektromágnességtan elnevezés arra utal, hogy az elektromos és mágneses jelenségek nem független jelenségek, hanem ugyanazon kölcsönhatás, az ún. elektromágneses kölcsönhatás különböző megnyilvánulási formái.
460
6.1.1. Az elektromos töltés*
Ismerjük azonban a "nem kontakt" anyag-anyag kölcsönhatások olyan típusát is, amelyekben résztvevő testek között mind makroszkópikus, mind pedig atomi távolságokon vonzás, illetve taszítás egyaránt felléphet; ilyen kölcsönhatás az elektromos kölcsönhatás, amely igen erős: pl. a két elektron között fellépő elektromos kölcsönhatásból származó erő összevethető távolságokon mintegy 1042-szer erősebb a közöttük fellépő gravitációs erőnél (ld. 2.3.2. pont 1. Példa).
! Kísérletezzünk! Ha egy üvegrudat foncsorozott bőrrel, vagy ebonitrudat szőr-
mével megdörzsölünk**, akkor az a közelében elhelyezett papírszeleteket, vagy a selyemszálra felfüggesztett bodzabél golyót magához vonzza, majd érintkezés után (azonos előjelű töltést kapva) eltaszítja. A rúd a dörzsölés következtében olyan állapotba kerül, amelyben erőhatást fejt ki. Ezt az állapotot elektromos állapotnak nevezzük. További kísérletezéssel az alábbi kísérleti tapasztalatokat gyűjthetjük össze: ! a foncsorozott bőrrel dörzsölt üvegrudak taszítják egymást (ld. 6.1a. ábra); ! a szőrmével dörzsölt ebonitrudak szintén taszítják egymást; ! a foncsorozott bőrrel dörzsölt üvegrúd vonzza a szőrmével dörzsölt ebonitrudat (6.1b. ábra); ! a gyapjúval dörzsölt borostyánkő (görögül: elektron) ugyanúgy viselkedik, mint a foncsorozott bőrrel dörzsölt üveg. DuFay (1733) számos anyagot megvizsgálva megállapította, hogy az elektromos állapotú testek vagy úgy viselkednek, mint a foncsorozott bőrrel dörzsölt üveg, vagy úgy, mint a szőrmével dörzsölt ebonitrúd;
* Mivel a továbbiakban csak elektromos töltésekkel foglalkozunk, az "elektromos" jelzőt az alábbiakban általában elhagyjuk. ** A “dörzsölés” csak a résztvevő anyagok intenzív érintkezését biztosítja.
A fizikai testek között ható "nem kontakt" kölcsönhatások között megismertük a nagy távolságokra ható gravitációs erőt (ld. 2.3.2. pont); ennek jellegzetessége, hogy a gravitációs kölcsönhatásban levő testek között mindig csak vonzás lép fel. A testek gravitációs tulajdonságát kvantitatíve a testek tömegével, mint fizikai mennyiséggel jellemeztük.
461
(b)
6.1. ábra. Kísérletek a kétféle töltés létezésének és tulajdonságainak demonstrálására (Az ábra magyarázatát ld. a szövegben.)
A gravitáció tanulmányozásánál elsajátított módszerrel (ahol az anyagot tömegével, Newton szóhasználatában "gravitációs töltésével" jellemezzük) az elektromos állapot és kölcsönhatások kvantitatív leírására az anyagot az (elektromos) töltésnek elnevezett előjeles fizikai mennyiséggel jellemezzük. A tapasztalatok úgy értelmezhetők, hogy csak kétféle elektromos töltés létezik, azonos töltésű testek taszítják, a különböző töltésű testek pedig vonzzák egymást.* A kétféle töltés szétválasztható. Azt az elektromos állapotot, amelyben az anyag más, ugyanilyen állapotú anyaggal nem lép elektromos kölcsönhatásba (elektromosan) semleges állapotnak nevezzük és úgy jellemezzük, hogy a semleges anyag töltése zérus. Mint az alábbiakban látni fogjuk azok a testek a semleges testek, amelyekben a különböző előjelű töltések azonos mennyiségben vannak jelen. A kísérleteinkben a töltések detektálására ún. elektroszkópot használunk, amelynek egy lehetséges kiviteli alakja a 6.2a. ábrán látható. Az ábrán látható u.n. Braun-féle elektroszkópban egy elfordulásra képes fémlemez helyezkedik el egy rögzített vékony fémrúd fém tengelyén; a vékony rúd tetejére fémlapot (vagy golyót) erősítünk. Működése az eddigiek alapján könnyen megérthető. Ha az elektroszkóp tetején levő fémlaphoz töltött testet érintünk, a fémlapot tartó rúd feltöltődik, s mivel az azonos előjelű töltések taszítják egymást, a rúdhoz erősített, s a közepe körül a fém tengelyen elfordulni képes fémlemez kitér. Mivel a kísérletek szerint a kitérés mértéke függ a
* Az elektromos állapot jellemzésére a töltést Franklin vezette be. Lichtenberg (1777-ben), teljesen önkényesen a fentiek szerint kezelt üveg töltését nevezte el pozitívnak, az ebonitét pedig negatívnak.
(a)
462
töltés nagyságától, az elforduló fémlemez mögé kalibrált skálát készítve, ún. elektrométert kapunk, amely kvantitatív mérést is lehetővé tesz.*
!
Kísérletek
Vigyünk fel egy–egy elektrométerre két különböző előjelű, de ! azonos mennyiségű töltést (6.2b. ábra), majd kössük össze a két elektroszkópot egy elektromos vezetővel: a vezetővel való összekötés után a két elektroszkóp mindegyike zérus töltést, semleges állapotot mutat (6.2c. ábra). Az is megmutatható, hogy egy testre egyenlő mennyiségű, de különböző előjelű töltést felvíve, a test semleges lesz. Elektromosan töltött testek töltése (érintkezés vagy vezetővel való összeköttetés révén) átvihető más testekre.
* A jobb kivitelű elektrométereket elszigetelt fémházban helyezik el (ld. később: “Faraday-kalitka”). Korszerűbb és érzékenyebb az u.n. kétfonalas elektrométer, amelyben két igen vékony, gyengén kifeszített platinaszál (vagy egy stabil fémelektród és egy aranyozott kvarcszál) a töltések hatására egymástól távolodik; a távolságnövekedést mikroszkóppal olvassák le (ld. 6.11b ábrát). Építettek segédteres és u.n. kvadráns elektrométert (W.Thomson 1860 körül, ld. Budó II. id.mű) is. Meg kell azonban jegyezni, hogy a mai korszerű elektrométerek tisztán félvezető elemekből felépült műszerek, amelyek egy nagy pontossággal ismert kondenzátor feszültségéből (feltöltődésének mértékéből) határozzák meg a töltést, s általában a 10–5–10–13 C tartományban 10 % pontossággal teszik lehetővé a töltésmeghatározást. A feszültségre történő elsődleges kalibrálás célszerű, mert a töltésre való hitelesítés csak akkor marad érvényes, ha a kondenzátor kapacitása állandó értéken tartható; ez gyakorlatilag igen nehézkes.
Kísérletekkel megállapíthatjuk, hogy az ebonit, illetve üvegrúd ! felületének csak az a része lesz töltött, amelyet megdörzsölünk, ezzel szemben a fémtárgyaknak (amelyek csak akkor tölthetőek fel, ha azokat nem közvetlenül fogjuk kézbe, — tehát testünkön át nem földeljük (ld. 6.1.4. pontot) —, hanem pl. fa-, műanyag-, üveg- stb. tárgyak közvetítésével) az egész felülete töltötté válik. Ezt a különbséget megmagyarázhatjuk, ha feltesszük, hogy a fémtárgyakban az elektronok szabadon elmozdulhatnak, míg az üveg-, ebonit-, polietilén-, ionkristály stb (ld. 6.1.6. pontot) testekben a töltések elmozdulása erősen korlátozott. Emiatt a különbség miatt a fémeket vezetőknek, a többi említett anyagot pedig szigetelőknek, dielektrikumoknak nevezzük.
463
(b) vezető
(c)
6.2. ábra. Töltések detektálása elektroszkóppal. a) elektroszkóp; b) egyenlő mennyiségű, de különböző előjelű töltéssel feltöltött elektroszkópok; c) mint b), de vezetővel való összekötés után.
! Kísérletek Az üvegrúd dörzsölésénél használt foncsorozott bőrdarab a ! felfüggesztett üvegrudat vonzza, vagyis a dörzsöléskor a két test mindegyike töltött lesz, mégpedig a két testen egyenlő mennyiségű, de ellenkező előjelű töltések halmozódnak fel. Hasonló tapasztalatra teszünk szert a szörmével dörzsölt ebonitrúd esetén. A dörzsölés eredménye tehát nem töltések létrehozása, hanem azok szétválasztása. Összefoglalva: A töltés átvihető egyik anyagról más anyagra. Azonos mennyiségű, de különböző előjelű töltések egymás hatását kiolthatják. A töltés tehát előjeles fizikai mennyiség, amely algebrailag összegezhető. A töltés jele q. A töltés SI egysége a coulomb, jele C. A töltés az SI-ben leszármaztatott mennyiség (ld. még a 6.1.2. pontot): bár a töltés közvetlenül is mérhető, — az SI–ben egy jelenleg kényelmesebben mérhető mennyiséget, az elektromos áramerősséget tekintjük alapmennyiségnek: 1 C = 1 As. (Lásd. 6.2.1. pontot.)
(a)
464
A töltésekre a fenti tapasztalataink alapján érvényes a töltésmegmaradás törvénye: Töltéseket nem lehet létrehozni, vagy megsemmisíteni, hanem csak a különböző előjelű töltések szétválasztása lehetséges*. Zárt rendszerben a töltések algebrai összege nem változhat meg.
!
Annak, hogy a töltések a fémtárgyakban szabadon elmozdulhatnak, érdekes (és nagy gyakorlati jelentőségű) következményei vannak. Mivel az azonos előjelű töltések taszítják egymást, nyilvánvaló, hogy fém testekben igyekeznek egymástól minél távolabb kerülni: a töltések emiatt (mivel a fémből nehezen léphetnek ki),** egymástól a fémtárgy alakja által meghatározott módon a lehető legtávolabb helyezkednek el. Ezért az elektrosztatikában a fémtárgyak belsejében nincs töltés. Ez kimutatható például úgy, hogy ha egy üreges fémtárgy belsejére töltést viszünk fel, a töltés a fémtárgy külső felületére távozik. Így csak a fémtárgy külsejéhez kapcsolt elektroszkóp fog töltést jelezni. (ld. 6.1.3.2. pontot, ill.a 6.9. és 6.11. ábrát)
! Ha egy pozitív (ill. negatív) töltésű testet egy vezető (ld. 6.3a. ábrát) közelébe viszünk, akkor az addig semleges állapotú vezető két végén, annak külső felületén egyenlő mennyiségű, de különböző előjelű töltések jelennek meg, mégpedig úgy, hogy a vezetőnek a töltött testhez közelebbi felén a töltések a töltött test töltésével ellentétesek. A vezető két felének szétválasztása esetén azok töltött állapota megmarad (6.3b. ábra). A vezető két felét újra egyesítve, a vezető elektromosan semleges állapotot vesz fel (6.3c. ábra).
* A töltések szétválasztása szilárd testek esetén dörzsöléssel, vagy mint alább ismertetjük influencia esetén lehetséges. A “dörzselektromosság” speciális szilárd (kis mértékű szabadelektron vezetési járulékot mutató) szigetelő vagy félvezető anyagoknál fellépő jelenség, amely abban nyilvánul meg, hogy két különböző anyagfajtát intenzív érintkezésbe hozva (ehhez kell a dörzsölés) majd szétválasztva az egyik pozitív, a másik negatív töltésű marad. A jelenséget csak szigetelőkön, vagy félvezető polimereken (így például szörmék, elefántcsont, plexi, üveg, pamut, selyem, PVC, lakkok) figyelhetjük meg, mivel vezetőkben a felületi töltések szétválasztáskor pillanatszerűen eloszlanak. A mechanizmus általában a következő: az anyagfélékben az elektronok Fermi-nívója a vákuumszinthez képest különböző; érintkezéskor a két anyag Fermi nívója oly módon egyenlítődik ki, hogy az egyikből elektronok áramlanak a másikba: az előbbi pozitív, a másik negatív töltésű lesz. A jelenség egyes esetekben influenciamechanizmussal folyik le; ilyenkor a nagyobb permiltivitású anyag lesz pozitív. A jelenséget a felületi kettősrétegek, a felületi potenciál és így végül a Galvani potenciál különbségek is befolyásolják.
** Ez az állítás csak nem túl magas hőmérsékleten, nem túl nagy töltésmennyiséggel rendelkező és hegyes csúcsokat nem tartalmazó fémtárgyakra igaz.
A részecskefizikában ismert jelenség az "annihiláció", melynek folyamán töltött részecske–antirészecske (pl. elektron–pozitron) pár találkozáskor a részecskék sugárzássá alakulnak át. De a töltések algebrai összege ekkor sem változik.
465
A jelenséget elektromos megosztásnak, vagy influenciának nevezzük.
(a)
(b)
(c)
6.3. ábra: Elektromos megosztás (influencia) vezetőn. (Az a, b, c kísérletek értelmezését lásd a szövegben)
! Elektromosan töltött test vonzza a töltetlen fémgolyót, mert a megosztás révén dipólussá (ld. 6.1.5. pontot) vált golyóra az elektromosan töltött test inhomogén erőtere (6.1.1. pont) a növekvő térerősség felé, azaz a test felé irányuló erőt fejt ki. ! Az elektromosan töltött testek általában (ha azok polarizálhatóak, ld. 6.1.6. pontot) vonzzák a szigetelőket (pl. bodzabél-, vagy paraffingolyót), ha ezek levegőben vannak. A jelenség azzal függ össze, hogy az elektromosan töltött test tere dipólussá (ld. 6.1.5. pontot) polarizálja az erre képes szigetelőt és vonzza a hozzá közelebb eső előjelű töltéseket (ld. még alább is). (Ha e jelenséget nem levegőben, hanem a
E jelenség a következőképpen értelmezhető: a vezető természetes (semleges) állapotában a vezetőben a pozitív és negatív töltések száma egyenlő és eloszlásuk egyenletes; ha a vezető közelébe töltött testet viszünk, akkor az a különböző előjelű töltésekre gyakorolt vonzó, ill. taszító hatása miatt a töltéseket megosztja. A megosztó test eltávolítása után a töltések eloszlása ismét egyenletes lesz, azaz a test ismét semlegessé válik.
466
szigetelőnél nagyobb "r-ű közegben (pl. ricinusolajban) vizsgáljuk, akkor a vonzás helyett taszítás lép fel: ekkor ugyanis a közeg jobban polarizálódik, mint a szigetelő.)*
!
! A semleges anyagban a protonok és elektronok száma egyenlő. Ez az egyenlőség a semleges anyag már néhány atomot tartalmazó mennyiségében is fennáll. Az elektrosztatikus erőtörvény (6.1.2. pont) ismeretében egyszerűen igazolható, hogy a különnemű töltések egyenlőségétől való legkisebb eltérés is hatalmas erők megjelenését jelentené; semleges makroszkópikus testek között pedig elektromos erőhatás igen érzékeny mérési módszerekkel sem mutatható ki. Az atomokat magukat éppen a pozitív és negatív töltések között, a 6.1.2. erőtörvény alapján számítható elektrosztatikus vonzás tartja össze. Döntően Coulomberőkre vezethetőek vissza az ionkristályokat összetartó elektromos erők. Ilyen erők működnek akkor is, amikor különböző atomok molekulákat hoznak létre: ha az elektronok időbeli átlagban többet tartózkodnak az egyik atom protonjai közelében, mint a másik atomnál, a pozitív és negatív töltések súlypontja nem esik egybe; az így ébredő elektrosztatikus vonzás szolgáltatja a molekulákban az atomok közötti kötés ionos járulékát. A molekulákban levő atomok és az ionos-kovalens kristályok kötéseinek kovalens járuléka nem magyarázható meg egyszerű módon a kvantummechanika elveinek és formalizmusának segítsége nélkül, de végső soron ebben az esetben is (a Pauli-elvvel összeférő töltéseloszlásnak megfelelő ) elektromos erőhatásról van szó. Az elektronfelhő negatív töltéseloszlásának súlypontja még egy atomban is fluktuálhat a pozitív töltésközéppontot képviselő atommaghoz képest; így az atomok között dipoljellegű (van der Waals) kölcsönhatások is kialakulhatnak.
!
Egy makroszkópikus test töltése pl. dörzsöléssel látszólag folyamatosan változtatható. Mikroszkópikus testek vizsgálatával viszont kideríthető, hogy létezik egy ún. elemi töltés, amelynél kisebb töltéssel semmilyen test nem rendelkezhet. Ezt először Millikan mutatta ki 1910-ben. A Millikan–kísérletben két, vízszintes síkban elhelyezett fémlemez közé apró, 10–7–10–8 m sugarú olajcseppeket porlasztottak. Az olajcseppek egy része már a porlasztás közben (pozitív vagy negatív előjellel) feltöltődött, de töltésüket kívülről röntgensugárzással megváltoztathatták. Az olajcseppek mozgását mikroszkóppal figyelték.
* Ha (egy feltételezett modellben) a pozitív és negatív töltések töltésközéppontjai egymáshoz képest nem mozdulhatnak el, akkor sem vonzás, sem taszítás nem lépne fel!
Az elektromos töltés mindig csak korpuszkuláris anyaghoz kapcsolódik, azaz töltése csak nyugalmi tömeggel (ld. 2.6. pont) rendelkező anyagnak van. Megállapították azt is, hogy mindkét töltésnek tipikus külön anyagi hordozója van és így az egyik töltésállapot nem magyarázható kizárólag egy töltéshordozó valamilyen mértékű hiányával. Ma már jól ismert, hogy a pozitív elektromos töltés tipikus anyagi hordozói a protonok, a negatív töltés tipikus elemi anyagi hordozói pedig az elektronok.
467
! Az olajcseppek töltetlen lemezek között a Fg gravitációs erő és az Ff felhajtóerő eredőjeként egy kis ideig gyorsulva, majd a (közegellenállási erő miatt) egyenletes vo sebességgel mozogva lefelé esnek. Jelöljük az olajcseppek töltését qval! (A különböző olajcseppek töltése általában nem egyenlő.)
Fe + Ff
Ff
Ff
Ff Fe
Fg= mg
Fg= mg
(a)
Fg= mg
(b)
6.4. ábra. A Millikan–kísérlet a.) elektromos tér nélkül, pl. egy q > 0 pozitív töltésű olajcseppet vizsgálva; b.) a lemezekre elektromos teret kapcsolva. (Az ábrán Fs-sel a súrlódási–, Fe-vel az elektrosztatikus– és Ff -fel a felhajtóerőt jelöljük.) Az egyenletesen mozgó olajcseppekre ható erők eredője nulla(6.4a. ábra): Fg + Ff + Fs = 0
(6.1a)
Az Fs súrlódó erő nagyságát az ún. Stokes–törvény (ld. 2.3.4. pont) adja meg Fs = –6#$rv
(6.1b)
ahol r az olajcsepp sugara és $ a közeg viszkozitása. Az egyenletes v = vo sebességgel való esés feltétele (elegendő a függőleges irányú komponensekkel foglalkoznunk): 4r3# 3 ( %–% ) g = 6 #$rv0
(6.2)
ahol a baloldalon a gravitációs erő és a felhajtó erő különbsége jelenik meg és % az olajcsepp, % pedig a levegő sűrűsége. A (6.2) képletből a cseppek átlagos sugara meghatározható: r=
9 $ v0 2 (%–% )g
(6.3)
Fs + Ff
468
A (6.4a) képletből az éppen álló cseppekre azok q töltése kiszámítható 1 4r3# 1 4r3# ( )g&E q=E 3 %–% 3 %g
(6.4)
Itt r helyére a (6.3)-ból meghatározott értéket kell beírni. Millikan mérései során a cseppek q töltésére pl. a q = [–3,20; –8,00; +4,80; –1,60]·10–19 C adatokat nyerte*; tehát a mért értékek abszolút értékei egyrészt sohasem voltak kisebbek, mint 1,6·10–19 C, másrészt a mért értékek 1,6·10–19 C egészszámú többszörösei voltak. (A negatív előjelű töltéseket a térerősség irányának megfordításával mérte.) A nagy pontossággal, különböző anyagú, nagyságú és töltésű cseppeken elvégzett mérésekből az a következtetés vonható le, hogy az olajcseppek töltése mindig csak a ± e = 1,60217733·10–19 C
(6.5)
elemi töltés egészszámú többszöröse lehet. Ennek következménye az is, hogy egy (mikroszkópikus vagy makroszkópikus) test töltése valójában csak ennek az elemi töltésnek egészszámú többszörösével változtatható. Az elektromos töltés kvantált. Az elemi töltés megegyezik az elektron töltésének nagyságával. Ahhoz, hogy az elektromos töltés az elektromos kölcsönhatás erősségének mértékéül szolgálhasson, fel kell írnunk a megfelelő erőtörvényt.
* Millikan eredeti méréseiben a töltést nem az SI–beli coulombban, hanem elektrosztatikus egységekben mérte, itt természtesen átszámolt adatokat írtunk fel.
! Kapcsoljunk most a síkkondenzátor fegyverzeteire meghatározott irányú E térerősséget létrehozó feszültséget (ld. 6.4b. ábrát)! Az E térerősséget finoman és folyamatosan növelve elérhetjük, hogy egyes olyan olajcseppek, melyekre Fe = qE ellentétes irányú a Fg gravitációs erővel, megállnak (v0 = 0). Ekkor a rájuk ható eredő erő nulla és mivel v0 = 0, a Fs surlódó erő is nulla. Így az Fg + Ff + Fe = 0 feltételből 4r3# (6.4a) 3 ( %–% ) g + qE = 0
469
6.1.2. A Coulomb–törvény
A két ponttöltés között fellépő erőhatást Coulomb 1785-ben, a saját maga által feltalált eszközzel, a torziós ingával (ld. 6.5a. ábrát) mérte meg.** A torziós szálra egy, a két végén azonos tömegű fémgolyóval ellátott szigetelő rudat erősített és a két fémgolyó közül az egyiket feltöltötte. A töltött gömböcske közelében, tőle r távolságra egy másik, vele azonos előjelű töltéssel ellátott, de rögzített fémgolyót helyezett el. A két golyó között fellépő taszító erő a torziós szálat elfordította (ld. 6.5b. ábra).
r
(a)
(b)
6.5. ábra. A Coulomb által használt torziós inga a) eredeti rajz; b) sematikus ábrázolás A torziós szálat befogó fejet megfelelő mértékben elcsavarva az eredeti r távolság visszaállítható. A visszaforgatás ' szögének mérésével a torziós szál elcsavarásához
* A tömegponttal, mint fizikai modellel az 1.1.3. fejezetben részletesen foglalkoztunk. A ponttöltés fizikai fogalom, a tömegponthoz hasonlóan csak a valóság egy modellje, amely csak akkor alkalmazható, ha a töltött testek mérete és alakja elhanyagolható a vizsgált rendszerben.
** A Ch. Coulomb-ról elnevezett törvényhez egymástól függetlenül Coulomb, Priestley és Cavendish is eljutott. Emlékeztetőül: Cavendish hasonló torziós ingával 1789-ben mérte ki gravitációs törvényt.
A már a középiskolából is jól ismert Coulomb–törvénnyel az erőtörvények tárgyalásánál már találkoztunk (2.3.4. pont). Most azonban részletesebben foglalkozunk vele. Ez a törvény adja meg a két adott helyzetű, nyugvó, töltött tömegpont, az ún. ponttöltés* között fellépő erőhatást.
470
szükséges F = D' erő mérhető. Méréseiből Coulomb megállapította, hogy a két töltés (q1 és q2) között fellépő erő a töltések nagyságának szorzatával egyenesen, a közöttük levő távolság négyzetével pedig fordítottan arányos, továbbá a két ponttöltés között ható erő centrális, azaz hatásvonala a ponttöltéseket összekötő egyenessel esik egybe.
q2>0
q20
r
r
q1>0 F12
F12 (a)
(b)
6.6. ábra. Az elektrosztatikus Coulomb–erő, — az 1-es töltést választva origónak. a) azonos ill. b) különböző előjelű töltések esetén
!
A Coulomb–törvény vektoriális alakja (ld. még (2.95b): F21 = k
q1q2 r r2 |r|
(6.6)
Az F21 erő indexe arra utal, hogy (6.6) egyenletben az 1-es töltésnek a 2-esre való erőhatását írtuk fel; az r vektor nagysága a két ponttöltés távolsága, iránya pedig az 1-es ponttöltésből a 2-esbe mutat (ld. 6.6. ábrát). A (6.6) egyenletben szereplő F21 erő és az r vektor ilyen értelmezése megfelel a centrális erők esetében általában követett konvenciónak, a (2.99b) felírásmódnak, amikor is az origót az 1-es töltés helyén vesszük fel. A (6.6) vektoriális alak az F21 erőnek a kölcsönható töltések előjelétől is függő irányát is megadja; ha q1q2 > 0 (azonos előjelű töltések esete), akkor r és F21 azonos irányúak (ld. a 6.6a. ábrát) és az F21 taszító erő; ha q1q2 < 0, akkor r és F21 ellenkező irányú (6.6b. ábra), az F21 erő ekkor vonzóerő: a "2"-esből az "1"-es felé irányul. ! Amennyiben több ponttöltést tartalmazó rendszert vizsgálunk, akkor a rendszer kiszemelt elemére a többi töltésből ható erők függetlenül, vektoriálisan összegződnek, szuperponálódnak.
A két nyugvó ponttöltés között ható elektrosztatikus erőt Coulomberőnek, a megfelelő erőtörvényt (ld. 2.3.4. pontot) pedig Coulomb– törvénynek nevezik.
471
! A (6.6) egyenletben szereplő k arányossági tényező értéke és mértékegysége a töltés egységétől függ, hiszen az erő egységét már definiáltuk. Mint a 6.1.1. pontban már említettük, a töltés az SI-ben leszármaztatott mennyiség; a töltés SI egysége a coulomb, jele: C. A coulomb az áramerősségből leszármaztatott mennyiség 1 C = 1 As (lásd 6.2.4. pontot).
A mértékegység az elektromos egységek figyelembevételével** más egységekkel is kifejezhető Nm2 Jm VAsm Vm 1 C2 = C2 = A2s2 = As
(6.7b)
Az elektromosságtanban a k állandót egy másik állandóval fejezik ki, melyet a vákuum permittivitásának neveznek és "(-al jelölnek. Az "( más elnevezései: "a vákuum dielektromos tényezője" ill. "influencia konstans". Az "( definíciószerűen (ld. 7.3.3. pontot) "( )*
+ –12 As 2 &*8,854·10 Vm ,(c
(6.7d)***
ahol ,( a vákuum permeabilitása*** és c a vákuumbeli fénysebesség. A k állandó "(-al kifejezett értéke k=
1 4#"(
(6.7e)
* A Gauss–féle CGS egységrendszerben a k dimenzió nélküli szám és vákuumban értéke k = 1. A 6.1.6.2. pont végén látni fogjuk, hogy ha töltések között "r relatív permittivitású közeg van, akkor a (6.6)-ban k helyett k (6.7c) k' = "r irandó. Figyeljünk fel a k igen nagy értékére: 1 C az a töltés, amely egy pontszerű próbatesten felhalmozva egy vele azonos ponttöltést 1 m távolságból kb. 9·109 N erővel taszít. 1 C töltést egy pontszerű testre nem is lehet felhalmozni. A látszólag ésszerűtlen töltésegység más megvilágításba kerül az áramoknál (ld.6.2.pontot). ** Az elektrosztatikus munka és az erő elektromos egységekkel kifejezett értékét a 6.1.4. pontban értelmezzük.
*** Az "( mértékegységét másképpen is ki szokták fejezni: 1
As F =1 Vm m
Az F (neve: farad) a kapacitás egysége, ld. 6.1.6.1. pontot. A ,( bevezetését és pontos értékének megállapítását ld. a 6.2.4. pontban.
A k nagysága eredetileg mérésekből adódott, mértékegységét pedig a fentiek szabják meg. Vákuumban Nm2 k & 9·109 C2 (6.7a)*
472
1 A Coulomb–törvény jellegzetessége csodálatos egyszerűsége és igen pontos r2 függése.
6.1.3. Az elektrosztatikus erőtér 6.1.3.1. Az E elektromos térerősség. Szuperpozíció A két ponttöltés közötti erőhatást a (6.6) Coulomb–törvény az atomi méretektől a végtelen távolságokig jól írja le. Ez az erőhatás korszerű fizikai felfogásban (Faraday) úgy is leírható, hogy egy tetszés szerint kiszemelt ponttöltés környezetére való elektrosztatikus hatását egy általa létrehozott elektrosztatikus erőtérrel jellemezzük. Választhatunk olyan koordinátarendszert, amelyben a kiszemelt ponttöltés az origóban található, ekkor az r és az F indexét nem szoktuk feltüntetni: F ebben az esetben az origóban levő ponttöltés által egy tetszőleges másik q töltésre kifejtett erőt jelenti.
!
Az elektromos erőtérben a tér minden r pontjához egy F(r) E(r) = q ,
V [E] = m
(6.8)
vektor rendelhető, ahol F(r) a q nagyságú nyugvó ponttöltésre ható erő. Az itt szereplő E mennyiség nem tartalmazza a q próbatöltés hatását. Az E(r) vektormennyiséget elektromos térerősségnek nevezzük. Ha a (6.8) egyenletben q = + 1C, akkor E(r) számértéke egyenlő F(r) számértékével. Az elektromos térerősség nagysága tehát az adott r pontba helyezett egységnyi pozitív próbatöltésre ható erő nagyságával egyenlő. !
A (6.8) definíció az E(r,t) =
F(r,t) q
(6.9)
általánosítással minden (pl. a mágneses indukcióváltozással létrehozott) elektromos erőtérre is igaz, csak F(r,t) helyére a megfelelő erőtörvényt kell beírni.
A Coulomb-törvény érvényességére, ill. arra, hogy az erő a távolságnak egzaktul a második hatványával fordítva arányos (F ~ 1/r2), a közvetlen erőméréseknél sokkal pontosabb bizonyíték is van: kísérleti tény (Priestley, ill. Cavendish), hogy töltéssel ellátott üres fémgömb belsejében — hacsak az üregbe külön töltést nem viszünk — elektromos erőhatás nem lép fel (ld.6.1.3.2.pontot). Cavendish és Priestley matematikailag levezették, hogy e kisérleti eredmény csak akkor állhat fent, ha az erőhatás egzaktul a távolság négyzetével fordítva arányos (ld. 6.1.3.2. pont végén). Ezt modern készülékekkel végzett rendkívül pontos mérések is igazolták; e mérések szerint az 1/r2-ben a kitevő legfeljebb kb. 10–16-al térhet el a 2-től (Williams, Faller és Hill, 1971).
473
A próbatestnek és q töltésének is elegendően kicsinynek kell lennie, — különben a próbatest a vizsgálandó teret észrevehetően módosítja (ld. 6.1.3.2. pontot). ! Egy origóban elhelyezett ponttöltés elektrosztatikus erõterének elektromos térerõsségét vákuumban a (6.6) Coulomb–törvénybõl számolva az 1 q r 2 4#"o r r
(6.10)
kifejezés adja meg. A képlet "r relatív permittivitású közegre (6.53b) egyenlettel írható át! ! Az elektromos térerősségre érvényes a szuperpozíció elve: elektrosztatikus erőtér térerősségét egy adott pontban az egyes ponttöltésektől származó térerősségek vektori eredője (szuperpozíciója) határozza meg. ! Az erőtér nem pusztán matematikai fogalom, mert az elektromos erőtér testektől függetlenül is létezik (pl. egy antennáról leszakadva elektromágneses hullámként tovaterjedhet, ld. 7.3.3. pontot).
1. Példa. Két, 2·10–8 , ill. –3·10–8 C nagyságú pontszerű töltés távolsága 10 cm. Mekkora erő hat a 6·10–8 nagyságú töltésre, ha ezt pontosan az előbbi két töltés közötti távolság felezőpontjában helyezzük el? A középső töltésre két erő hat. Számítsuk ki először ezek értékét Coulomb törvénye alapján: F1 =
2·10–8·6·10–8 9·109 = 4,32·10–3 N 0,052
F2 =
3·10–8·6·10–8 9·109 = 6,48·10–3 N 0,052
-8
-8
q = 2-10
q = 6-10
-8
q = .3-10
F2 F1
5 cm
5 cm
6.7a. ábra. Elektromos erővel kapcsolatos feladat.
Az F1 erő iránya a 2·10–8 C töltéstől távolódó, mert egyező előjelű töltések taszítják egymást. F2 a –3·10–8 C töltés felé mutat, mert különböző előjelű töltések
E=
474
vonzzák egymást. A 6.7a. ábra szerint mindkét erő jobbra mutat, a középső töltésre ható teljes erő tehát: F = 10,8·10–3 N
A harmadik töltésre ható teljes erő a töltések páronkénti hatásából adódóan a következő két részből áll: F1 =
2·10–8·6·10–8 ·9·109 = 4,32·10–3 N 0,052
F2 =
3·10–8·6·10–8 9 –3 0,052 + 0,102 ·9·10 = 1,30·10 N 10 cm
-8
q = 2-10
(2) -8
(1)
q = .3-10
5 cm
(3) -8
q = 6-10
F1
F2 72°
F
6.7b. ábra. Elektromos erővel kapcsolatos feladat.
Ha ezeket az erőket összetevőikre bontjuk, majd összeadjuk, a harmadik töltésre ható eredő erő: F = 3,92·10–3 N; jobbra lefelé mutató iránya a vízszintessel 72o -os szöget alkot.
2. Példa. Az előző példában említett töltések elrendezését oly módon változtatjuk meg, hogy a harmadik töltést a 2·10–8 C töltéstől 5 cm-re, de az első két töltést összekötő irányra merőlegesen helyezzük el. Mekkora ebben az esetben a harmadik töltésre ható erő?
475
3. Példa. Egy 10 cm oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban 5·10 C nagyságú, pontszerű pozitív töltéseket helyezünk el (6.7c. ábra). Mekkora az elektromos térerősség a háromszög oldalainak felezőpontjában? –7
5·10–7 E1 = 9·109 0,052 = 1,8·106 N/C jobbra mutat. A (2) töltésé: 5·10–7 E2 = 9·109 75·10–4 = 6·105 N/C lefelé mutat. A (3) töltésé: 5·10–7 E3 = 9·109 0,052 = 1,8·106 N/C balra mutat. E három összetevő vektoriális összege E = 6 · 105 N/C; lefelé mutat. q = 5-10
-7
(2)
(1) q = 5-10
E3
E1
-7
(3) q = 5-10
-7
E E2
6.7c. ábra. Elektromos erővel kapcsolatos feladat.
Vizsgáljuk az eredményt az alső, vizszintes oldal közepén! Az (1) töltés térerőssége:
476
!
Az elektromos erőteret térerősség-vonalakkal, (Faraday elnevezésével) erővonalakkal szemléltethetjük.
1 q 4# "0 r2 erővonal kell, hogy áthaladjon, azaz a q ponttöltésből az r sugarú teljes gömbfelületen 1 q q 2 számú erővonal. 2 · 4r # = r 4# "0 "0 Így pl. egy q ponttöltés köré írt r sugarú gömbfelület felületegységén E =
A gyakorlatban a ténylegesen berajzolt erővonalak száma bármilyen megállapodást (skálafaktort) követhet, de az adott helyen áthaladó meghúzott erővonalsürűség mindig adottan arányos kell, hogy legyen az adott helyen fennálló térerősséggel. A töltés nagyságával való arányosság kell, hogy érvényesüljön a ponttöltésekből kiinduló, ill. az azokba befutó erővonalak számának, ill. sürűségének tekintetében is. Az erővonalakat úgy ábrázoljuk, hogy egy próbatöltést képzeletben (elvben végtelen lassan) mindig az adott helyen ható erő irányában mozgatjuk el infinitezimális lépésekben és a mozgás pályáját lerajzoljuk; az erővonalak tehát a tér minden pontjában az ott uralkodó térerősség irányába mutatnak. Minthogy az erő iránya minden pontban egyértelmű kell, hogy legyen, így két erővonal nem metszheti egymást. Az erővonalaknak irányítást is adunk: irányított nyíllal jelöljük rajtuk az E térerősség irányát. Az erővonalkép térbeli ábrázolást igényel. Általában azonban csak síkbeli metszetet ábrázolunk. A töltések erővonalainak szemléltetésére pl. ricinusolajban úszó búzadarabszemcséket használhatunk. A búzaszemcsék az elektromos tér megosztó hatása folytán két végükön töltötté (dipólusokká) válnak, miközben össztöltésük természetesen nulla marad és az elektromos erővonalak mentén elrendeződnek. Ily módon jeleníthetők meg pl. a 6.8. ábrán látható erővonalképek.
Az erővonalak definíciószerűen olyan (irányított) görbék, melyek iránya a tér minden pontjában az ott uralkodó E térerősség vektor irányába mutat és ezek sűrűsége (a tér minden pontján az erővonalakra merőleges felületegységen áthaladó erővonalak száma) megállapodás szerint egyenlő a térerősséggel.
Az erővonalak az ábrán láthatóan (+) töltésből indulnak, , illetve (–) töltésben, vagy a végtelenben végződnek, folytonosak, nem keresztezik egymást (egyértékűek). Az erővonalak irányítottsága a térerősség definiciójából adódó konvenció. Az elektrosztatikus tér erővonalai sohasem záródnak önmagukba.
477
(b)
(c)
(d)
(e)
6.8. ábra: Töltések, töltéselrendezések térerőssége a) különálló pozitív ill. b) negatív töltés esetére; c) töltéspárok (dipólus) erőtere; d) síkkondenzátor erőtere (ld. 6.1.3.3. és a 6.1.6.1. pontot); e) egy feltöltött fémcsúcs erőtere.
(a)
478
6.1.3.2. A töltés elhelyezkedése, a térerősség vezetőkön. Vezetők elektromos térben.
! Fémes vezetőknél a töltésre, térerősségre vonatkozólag — az elektrosztatikában ! Az elektromos töltés (pontosabban: többlettöltés) egyensúly esetén a vezető külső felületén helyezkedik el. Az erre vonatkozó számos kisérlet közül néhány: ha egy szigetelten felállított, kis nyílással ellátott F fémedényt feltöltünk (6.9a ábra) és a kis G próbagolyót az F külső felületéhez, majd egy elektroszkóp gömbjéhez érintjük, a próbagolyón töltés mutatkozik, a belső fallal való érintkezés után azonban nem.
H
G
(a)
(b)
(c)
6.9. ábra. Töltés elhelyezkedése vezetőkön. (Magyarázat a szövegben)
Ahhoz, hogy a G próbabolyó töltését teljesen átvihessük egy elektroszkópra, u.n. pohárelektroszkópot (6.9b ábra) kell használnunk, és G-t a “pohár” belső falához kell érintenünk. A fenti eredmény könnyen belátható. Ha a fémes vezetőnek bármely helyen pl. negatív töltést adunk, az eme többlettöltést jelentő töltéshordozók — elektronok, mivel a fémben szabadon mozoghatnak — egymást a lehető legtávolabbra taszítják, tehát az egyensúly beálltával a vezető (külső) felületén foglalnak helyet. Ha a fém bármely helyén pozitív többlettöltést, azaz elektronhiányt idézünk elő, a pozitív többlettöltésnek a szabad elektronokra gyakorolt vonzó hatása miatt az egyensúlyi töltéseloszlás olyan lesz, hogy az elektronhiány, azaz a pozitív többlettöltés szintén a fém külső felületén jelentkezik.
tárgyalt egyensúlyi állapotban, amikor a töltések fenomenológiai értelemben nyugalomban vannak — egyszerű kísérletek és meggondolások alapján több fontos tétel állapítható meg.
479
Egy szigetelten felállított, sűrű szövésű fémhálóból készült H henger belsejében elektroszkópot helyezünk el, amelynek gömbjét és H-t egy vezetővel összekötjük (6.9c ábra). Bármekkora töltést adunk is H-nak (ezt a töltést a H-val fémesen érintkező elektroszkóp jelzi), a belül (elszigetelten) elhelyezett E elektroszkóp nem mutat töltést.
! Egyensúly esetén az E elektromos térerősség a vezető belsejében mindenütt zérus, a vezető külső felületén pedig a felületre merőleges. Ha ugyanis E a vezető belsejében nem lenne zérus, ill. ha a vezető felületén lenne érintőleges komponense, a töltéshordozók (a szabad elektronok) a fém belsejében, ill. a felület mentén elmozdulnának, nem lehetnének nyugalomban. (Az, hogy a felületre merőleges nem túl erős (ld. 8.5.6. pontot) erőtér a töltést a vezetőről nem veszi le, arra vezethető vissza, hogy az elektronok fémből való kilépéséhez meghatározott munkát (az u.n. kilépési munkát, ld. 8.1.2. pont) kell befektetnünk). ! A töltés eloszlása csúcsokkal rendelkező vezető felületén általában nem egyenletes, azaz egy ilyen feltöltött vezetőn a %A felületegységre eső töltés (felületi töltéssűrűség) a felület különböző görbületi sugarú helyein általában más és más. A vezető felületének különböző helyein az %A felületi töltéssűrűség annál nagyobb, minél nagyobb a görbület, tehát viszonylag legnagyobb a csúcsoknál és éleknél; ezeken a helyeken az E térerősség is a legnagyobb (ld. 6.14b. ábrát). Az E és az %A közt egyszerű kapcsolatot állapíthatunk meg: a vezető felületének bármely helyén a térerősség nagysága arányos a felületi töltéssűrűséggel: E=
%A "0
(ld.(6.22))
! Csúcshatás. Ha a csúccsal rendelkező A vezetőt eléggé erősen feltöltjük (néhány ezer volt feszültségre pl. azáltal, hogy influenciagép egyik elektródjával kötjük össze), a csúcs közelében a csúcstól elirányuló légáram, u.n. elektromos szél mutatható ki, amely a gyertya lángját elhajlítja vagy elfújja. Közelebbről a jelenséget úgy képzelhetjük el, hogy a pl. pozitív töltésű csúcs közelében a levegő molekulái megosztás folytán dipólusokká válnak, és ezért a csúcs ezeket minden oldalról magához vonzza, majd az érintkezés után pozitív töltésűvé váló részecskéket egyenes irányban eltaszítja. ! Az elektromos térben elhelyezett vezető módosítja az eredeti elektromos teret. Így pl. a +q és –q töltéső párhuzamos fémlemezek közti homogén tér a töltetlen F fémhasáb behelyezése után a 6.10a ábra szerint változik meg. Ez a változás az
Mivel egy vezető belsejében a térerősség is és a többlettöltés is zérus, az egyensúly nem változik meg, ha egy tömör vezető belsejébe üreget vájunk. Mondhatjuk tehát: A vezetőkben levő üregben a térerősség zérus, feltéve, hogy az üregben nincsenek (izolált) elektromos töltésű testek. Azt a tényt, hogy zárt fémburkolattal vagy megfelelő sűrű szövésű dróthálóval (“Faraday-kalitka”) körülvett térrészbe az elektromos erőtér nem hatolhat be, gyakran felhasználják érzékeny műszereknek külső zavaró elektromos hatásoktól, vagy pl. lőporraktáraknak a villámcsapástól való megvédésére; ez az eljárás az elektrosztatikai árnyékolás. A fémburkolatot ilyenkor földelik.
480
+q
-q
+q
-q
F
F
(a)
(b)
6.10. ábra. Az elektromos térben elhelyezett vezető módosítja az elektromos teret
!
Fentiekben láttuk, hogy egy fémtárgy belsejében (pl. egy fémdobozban) a fémtárgy töltéséből, illetve külső elektrosztatikus erőterekből származó térerősség mindig nulla. Az elektrosztatikus tér üreges fémtárgy belsejében való mérése módot nyújt a Coulomb-törvény igen nagy pontosságú kísérleti ellenőrzésére. Bár az állítás általános alakú üreges testre is bebizonyítható (Cavendish), mi megelégszünk azzal, hogy egy speciális esetre, a homogén felületi töltéssűrűségű dq (%A = dA = konst.) töltött gömbhéj esetére bebizonyítsuk. Azt már tudjuk, hogy a töltött fémtárgyak teljes töltése a külső felületükön jelenik meg. Lássuk be, hogy a felületi töltésektől származó térerősség a gömb belsejének egy tetszőleges P pontjában nulla! Ennek belátására számítsuk ki, hogy mekkora térerősséget hoz létre a P pontban a gömbfelület két átellenes, a P pontból d/ térszög alatt látszó darabja (ld. 6.11a. ábra)! Ha ez az erőhatás tetszőleges P pontban nullának adódik, akkor (mivel a gömbfelület felbontható ilyen, a P pontból d/ térszögekben látszó infinitezimális méretű felületdarabkák összegére) az eredő tér a gömbhéj belsejében minden pontban nulla lesz.
elektromos megosztás (influencia) miatt jön létre a következőképpen. A F-nek a térbe való behelyezését követő igen rövid idő alatt F megfelelő határfelületein influenciatöltések alakulnak ki (b ábra), éspedig úgy, hogy az egyensúlyi állapotban az influenciatöltésektől származó térerősségnek és a megosztást létesítő elsődleges térerősségnek az eredője F belsejében mindenütt (a vezetőkre ismert törvényszerűség szerint) zérus legyen. Az F-en kívüli térrészben az influenciatöltések tere (a b ábrán szaggatva rajzolt erővonalak) a véglapoknál erősíti, az oldallapok közelében pedig gyengíti az eredeti homogén teret, úgyhogy végeredményben az a ábra szerinti térerősség jön létre. Ezért az elektromos térerősség mérésénél alkalmazott próbagolyónak elegendő kis méretűnek és kis töltésűnek kell lennie, hogy a mérendő teret módosító hatás elhanyagolható legyen.
481
A
d/
B E
P r1 Szigetelő láb
(a)
(b)
6.11. ábra. a) Egy homogén felületi töltéssűrűségű töltött fémgömb belsejének tetszés szerinti P pontjában mérhető E térerősség kiszámítása. (A töltött, zárt fémfelület belsejében E = 0 kísérleti tény számítással való igazolása.); b) a tétel kisérleti igazolása kétfonalas elektrométerrel (E)
Mivel a tetszés szerint felvett kúp-párok d/ térszögei páronként egyenlőek és a kimetszett dA1 ill. dA2 felületelemek infinitezimálisan kicsi d/ esetén jó közelítéssel egyenlőek két P-beli középpontú r1, ill. r2 sugarú gömb d/ térszögbe eső felületelemeivel, a térszög definíciója alapján (ld. 1.1.1. pont) a felületelemek nagyságának aránya: dA1 dA2
2
=
d/-r1 2
d/-r2
2
r1
= 2 r2
(6.11a)
Mivel itt homogén felületi töltéssűrűség alakul ki, ekkor az elemi felületek dq1 ill. dq2 töltésére fennáll, hogy dq2 dq1 = = 0 % % dA1 A1 A2 dA2 tehát dq1 dA1 = dq2 dA2
(6.11b)
r2
/
482
A térszöget, és ezzel a felületelemek dA1 ill. dA2 nagyságát minden határon túl csökkentve a rajtuk levő q1 ill. q2 töltéseket ponttöltésnek vehetjük. Az ezek által keltett E1 ill. E2 térerősségek nagyságának aránya a P pontban 2
2
2
2
2
(6.12)
ahol a harmadik egyenlőségjel után (6.11b) egyenletet, a negyedik után pedig a (6.11a) egyenletet használtuk fel. Az elemi felületpárok által P pontban keltett térerősségek nagysága és hatásvonala tehát egyenlő, irányuk ellentétes: tehát a P pontban a tőlük származó eredő térerősség zérus. Mint fent említettük a teljes gömbfelület lefedhető olyan gömbcikk–párokkal, amelyek mindegyikére érvényes a (6.12) egyenlőség. Mivel egy adott pontban a térerősségek lineárisan összegződnek, — igazoltuk, hogy zárt fémfelület belsejének tetszés szerinti P pontban az eredő térerősség is zérus. Ez az állítás szigorúan következik a Coulomb–erők r–2-es távolságfüggéséből és annak nagypontosságú igazolását is lehetővé teszi (Priestley, ill. Cavendish).
6.1.3.3. Az elektromos térerősség fluxusa. A Gauss-tétel *
!
Valamely homogén (adott nagyságú és irányú) elektromos erőtérnek, egy A nagyságú sík felületre vett fluxusa (1E): 1E = E·A = En·A
(6.13)
azaz 1E kiszámításához a felületet megszorozzuk az E felületre merőleges (normális irányú) komponensével. Az A irányított felület alatt az A = An vektormennyiséget értjük, ahol n a felület normális irányú egységvektora. (Ezen állítás nem egzakt: vektort csak egy infinitezimálisan kis felülethez rendelhetünk: Egy térbeli A felület infinitezimálisan kicsiny felületeleméhez egy olyan dA vektort rendelhetünk, melynek nagysága dA, iránya pedig a felületelemre merőleges. Ha a felület nyitott, dA irányát tetszőlegesen választhatjuk meg. Zárt felületek (pl. egy henger vagy gömb felület) esetén szokásosan a felület által bezárt térből kifelé mutató irányt vesszük pozitívnak.)
* Az elektromos erőtér (E(r)) egy vektormennyiség vektorfüggvénye (vektortér). A vektorokat jellemző fluxussal és annak lokális (differenciális) megfelelőjével, a divergenciával, (általánosan jelölve div a-val) egzakt leírásban az F2 Függelékben foglalkozunk. A jelen pont vákuumra vonatkozik. Az itt megadott kifejezések, tetszés szerinti homogén és izotróp szigetelő (dielektrikum) közegre általánosíthatóak (lásd 6.1.6.2. pontot)! Ha a közeg homogén és izotróp, "( helyére "(*"r irandó.
E2 dq2/r2 dq2r1 %dA2r1 r2d/r1 E1 = dq /r2 = dq r2 = %dA r2 = r2d/r2 = 1 1 1 1 2 1 1 1 2
483
6.12. ábra. Segédábra a 4.példához. Az n az A felület normálisának egységvektora. Megoldás: Az E fluxusa (1E): N Nm2 1E = A·E = 3·10–4 m2 · 4000 C cos 60o = 0,6 C = 0,6 Vm
! Ha E a felület mentén inhomogén illetve a felület nem sík, akkor az elektromos térerősségvektor nagysága, ill. a felületelem normálisához viszonyított iránya a felület mentén változik. A teljes 1E fluxust úgy számolhatjuk ki, hogy a felületet kis felületelemekre bontjuk, és az ezektől a felületelemektől származó infinitezimális fluxusokat összeadjuk. A felbontásban szereplő felületelemek méretét minden határon túl csökkentve a fluxust ún. felületi integrálként írhatjuk fel: 1E =
lim 5 3Ai 4*0 i
Ei3Ai = 7 6 E dA
(6.14)*
A
! Ha egy zárt, tetszés szerinti, adott alakú (pl. gömb, henger stb.) felületről van szó, akkor az összegzést is az adott zárt felületre kell elvégezni; utóbbi (szokásos matematikai jelölésével) az elektromos térerősségnek egy zárt felületre vett fluxusa:
* Itt kihasználtuk, hogy a felületelem vektor és E dA = E dA n
4. Példa. Számítsuk ki a 6.12. ábrán látható homogén elektromos erőtér 1E fluxusát. Legyen az A felület nagysága 3 cm2, a térerősség nagysága N E = 400 C és térerősség iránya a felületre merőleges iránnyal zárjon be 2 = 60o-os szöget.
484 o E dA !E " $ #
(6.15)
A
%
A zárt felület normális vektora által kijelölt térrészbe mutató irányú erővonalakat pozitív, az ellentétes irányúakat negatív előjellel kell számításba venni. E szerint zárt felület esetén a felületből kifelé haladó erővonalak pozitívak, a befelé haladók negatívak. Egy adott felületet metsző erővonalak száma (előjeles összege) azonos (a gyakorlatban egy választott skálafaktor szerint arányos) az adott felületre vett fluxussal.
%
Mekkora egy pontszerű q pozitív töltés elektrosztatikai elektromos erőterének zárt felületre vett fluxusa vákuumban? Szimmetria okokból a tér gömbszimmetrikus. A kérdést egy olyan gömbfelületre egyszerű megválaszolni, ahol a töltés éppen a gömb középpontjába esik; ekkor ugyanis dA és E mindig párhuzamosak, tehát E dA = E dA, továbbá dA = r2d,-*. E. a Coulomb–törvényből számolható, így a ponttöltés gömbfelületre vett fluxusa: q 2 q q $ o E dA = 1 !E = $ 4/ = 2 r d, = 1 # r 4/0o 4/0 0 # o o A a teljes térszögre
(6.16)*
% Gauss (1840-ben) igazolta, hogy a (6.16) egyenlet tetszés szerinti (alakú) zárt felületre és tetszés szerinti töltéseloszlás esetén is érvényes marad: o E dA = q !E = $ # 0o A
(6.17)
ahol q most a zárt A felületen belül levő töltések (források és nyelők) előjeles összege.
* Gömbfelületen d, = dA (ld. 1.1.1. pontot). Ennek felhasználásával E dA = Er2d,. A teljes gömbr2 felülethez tartozó , térszög értéke szteradiánban (ld. 1.1.1. pontot)
4r2/ = 4/ . r2
Az elektromos térerősségvektor fluxusa előjeles skaláris mennyiség, SI (V + egysége ' 2 m = Vm*. A (6.14) ill. (6.15)-ban szereplő dA a felület normálisával &m ) azonos irányítottságú, nagysága dA. Egy adott felületet metsző erővonalak száma (előjeles összege) arányos az adott felületre vett fluxussal. Nyílt felület esetén a dA (ill. az n) ± irányát (és így az EdA skalár-szorzat előjelét) szabadon (de következetesen) választhatjuk meg. Zárt felület esetén mindig a zárt felületből kifelé mutató normális irányát tekintjük pozitívnak, a (6.14)-ben szereplő EidAi skalárszorzatok tehát kétféle előjelűek) lehetnek, — ezért az integrálok, azaz a fluxus értéke pozitív, negatív, illetve nulla is lehet.
485 Szavakban: Az elektromos térerősség tetszés szerinti zárt felületre vett fluxusa arányos a felületen belüli töltések algebrai összegével.
A (6.17) egyenlet az ún. Gauss–tétel vákuumban felírt alakja. Szokták még az elektrosztatika I. törvényének (pontosabban annak vákuumra felírt alakjának) is nevezni. A tétel homogén, izotróp dielektrikum közegre való általánosításával a 6.1.6.2. pontban foglalkozunk [ld. (6.70)]. Az F2 Függelékben megmutatjuk, hogy a (6.17) egyenlet differenciális alakja: div E =
2 0o
(6.18)
A teljesség kedvéért az érdeklődő Olvasó számára közöljük a (6.18) egyenletnek a (6.17) integrális alakból történő levezetését vákuumra: A (6.18) egyenlet jobboldalán írjuk fel a q töltést térfogati integrálként: q=$ # 2 dV V
ahol 2 a töltéssűrűség. Ezután egy matematikai tétel, az ún. Gauss– Osztrogadszkij tétel (ld. Bronstejn id. mű) segítségével alakítsuk át a (6.17) baloldalán álló zártfelületi integrált térfogati integrállá:
∫E
dA =
∫
div E dV
V
Ezen átalakításokkal a (6.17)-et felírva, és az így felírt egyenletet zérusra redukálva 28 5 $ # 43div E – 0 76 dV = 0 o V
Mivel a fenti integrál minden tértartományban csak akkor lehet 0, ha az integrandusz nullával egyenlő, adódik, hogy div E =
2 0o
(ld. 6.18)
% Ez a differenciális egyenlet (ld. F.2. Függeléket) lokálisan, a tér egy pontjára fizikailag ugyanazt fejezi ki, mint az integrális Gauss-tétel: a pontra zsugorított elemi
Az E térerősség zárt felületre vett !E fluxusa független a bezáró felület alakjától.
486 térfogatba beáramló és kiáramló E fluxusok algebrai összege nem zérus; hidrodinamikai hasonlattal élve pedig: ha egy térfogatba be- és kiáramló folyadék mennyisége nem egyenlő, akkor az adott térfogatban forrás vagy nyelő van. Az elektromos tér tehát “forrásos” erőtér; az erőtér forrásai, ill. nyelői a pozitív, ill. negatív elektromos töltések.
5. Példa. Számítsuk ki egy elvben végtelen nagy kiterjedésű, egyenletesen feltöltött fémlap elektromos térerősségét a Gauss-tétel felhasználásával vákuumban! Tekintsünk egy igen nagy kiterjedésű kör alakú, nem túl vastag, a szélétől távol egyenletesen (homogénen) feltöltött fémlapot! Ha a lap mérete és széleitől való távolság sokkal nagyobb, mint az a lapra merőleges távolság, amelyben a térerősségre kíváncsiak vagyunk, akkor a sík lap méretét végtelennek tekinthetjük. Egy végtelen síklap elektrosztatikus terének térerőssége a már sokszor említett szimmetria okok alapján csak a lapra merőleges és homogén (vagyis helyfüggetlen) lehet. Ha a lap pozitívan töltött, akkor az erővonalak mindkét oldalán kifelé mutatnak (ld. 6.13a. ábra), ha negatívan töltött, az erővonalak a lap felé mutatnak.
6.13. ábra: a) Egy feltöltött sík és b) egy síkkondenzátor tere
% A Gauss tétel a térerősség meghatározásának, számításának szempontjából elvben egyenértékű a Coulomb-törvény és a szuperpozió alkalmazásával, — de magas szimmetriájú terek esetén a számítások a Gauss-tétel segítségével egyszerűbben végezhetőek el, ha a Gauss felületet a tér szimmetriájának megfelelően választjuk meg. Ezt az alábbiakban példákon is bemutatjuk. (A Gauss tétel egyébként — ellentétben a Coulomb törvénnyel — arra is felhasználható, hogy a térerősség eloszlás ismeretében megadjuk a töltést az erőtér adott tartományában.)
487
o E dA = 2 A'E !E = $ # A
Ugyanakkor a (6.17) Gauss-tétel szerint ez a fluxus a henger által határolt térfogatba eső össztöltéssel arányos, amit a feltöltött sík 2A felületi (C+ töltéssűrűségével 'm2* is kiszámíthatunk: & ) q=$ # 2dV = 29.A' V ahol felhasználtuk, hogy mivel csak a felületen van töltés, ezért 2dV =.2A dA; így a Gauss tétel 2A'E =
29.A' 0o
alakban írható fel, — azaz a homogén töltött lap térerősségének nagysága vákuumban E=
29 20o
6.19)
A térerősségvektor iránya pozitív töltésű fémlap esetén a laptól el, negatív töltésű lap esetén a lap felé irányul. 6. Példa. Számítsuk ki most egy síkkondenzátor térerősségét! A síkkondenzátor két párhuzamos, azonos nagyságú fémlapból áll (6.13b. ábra) és mindkét lap töltése azonos nagyságú, de ellentétes előjelű. Ha a fémlapok mérete elegendően nagy, illetve széleiktől elegendően messze levő pontban vizsgáljuk az E térerősséget, akkor mindkét lapra (a lapszélek közvetlen szomszédságát kivéve) érvényes a (6.19) kifejezés: a pozitív töltésű lap térerőssége tehát a fémlapra merőleges és mindkét oldalán kifelé mutat; a negatív töltésű lap esetében a térerősség viszont a lap felé irányul. Ha a két fémfelület töltése egyenlő nagyságú, a tőlük származó térerősségek is egyenlő nagyságúak. A szuperpozíció elve alapján a síkkondenzátor eredő térerőssége a két laptól származó térerősség összege lesz. A két lap között a térerősségek iránya megegyező, azokon kívül viszont ellentétes. A fémlapokon kívül tehát a tér nulla, közöttük viszont (6.19) kétszerese:
A (6.17) Gauss–tétel alkalmazására vegyünk fel gondolatban egy, a fémlapra merőleges alkotójú, azt átmetsző, tetszőleges hosszúságú és A' alaplapú zárt hengerfelületet! Az E-nek az erre a zárt felületre vett teljes fluxusa az elrendezés hengerszimmetriája miatt egyenlő a henger alap- és fedőlapjára vett fluxusok (előjeles) összegével, hiszen az E erővonalak a henger palástját nem metszik. Mivel E homogén, és a henger alap- és fedőlapján egyaránt a hengerből kifelé mutat:
488 A síkkondenzátor E térerősségének nagysága tehát vákuumban E=
29. 0o
(6.20)
7. Példa. Egy q töltésű, , elvben végtelen hosszúságú huzal esetében a térerősség (eltekintve a végtelenhez közeli végeken) szimmetria okokból mindenütt merőleges egy henger alakú Gauss-felület palástjára (6.14a ábra) és mindenütt ugyanolyan nagyságú (E). Ha egy r « sugarú és h hosszúságú q hengert veszünk fel, akkor, mivel a hengeren belüli töltés h , a Gauss tételből a huzaltól számított r távolságban a térerősség nagysága EA = E · 2 r/h = E=
1q h 00
1 : 1 q/ = 00 2/r 00 2/r
(6.21) E
és iránya a pozitív töltésű lemeztől (a kondenzátor ún. fegyverzetétől) a negatív töltésű felé irányul.
2 (1) A
l
E r
2 (2) A
h
(a)
(b)
6.14. ábra. Segédábra a 7. ill. 8. példához 8. Példa. A 6.1.3.2. pontban megállapítottuk, hogy egy csúcsokkal rendelkező töltött vezető felületén a 2A felületi töltéssűrűség a nagyobb görbületi sugarú helyeken nagyobb (6.14b ábra). Gauss felületként igen lapos hengereket alkalmazva adódik, hogy az ilyen vezető felületének adott helyén a térerősség arányos az adott hely 2A (1) felületi töltéssűrűségével: E=
2A(1) 00
(6.22)
489 (és természetesen merőleges a felületre). Ugyanis: egyrészt a vezető belsejében az E térerősség zérus, másrészt a felületen arra merőleges, — így csak a b-vel jelzett dA felületen átmenő En · dA fluxust és a felületen levő q(1)/dA=2A(1) ill. 2A(2) töltéssűrűséget kell figyelembevennünk.
z
dEz
z dz
y
;
r
dE ;
y dEy
dq
x 6.15. ábra. Végtelen vezető szál körüli térerősség számítása szuperpozicióval.
A 6.15. ábrán a végtelen vezető egy darabja látható. Ennek dz elemi darabja a vezetőhöz közeli P pontban dE térerősséget ad; ennek nagysága: dE (dz) =
1 dq 2 4/00 r
E térerősséget komponensenként az egész huzalhosszra összegeznünk kell. Képzeljük el az y tengelyt a vezető hosszának közepén (ez nem nehéz, hiszen egy végtelen hosszú vezető esetén mindig “középen vagyunk”), akkor összegzéskor az Ez=0, mert a “felül levő” elemek z irányú járulékát az “alul levő” elemek járulékai kompenzálják. Hasonlóképpen gondolkodva, a felső elemek P ponti dEy járulékai azonosak a szimmetrikus alsó elemek ilyetén járulékaival, így z=
W=0). Ugyanez egy dipólus erőterére is könnyen belátható: a dipólus erőtere ugyanis két ponttöltés erőterének (lineáris) szuperpoziciója (ld. 6.8c ábrát).
% Ezt felhasználva azt is beláthatjuk, hogy egy rögzített kiindulási és végállapot között végzett munka nagysága konzervatív erőtérben független attól az úttól, amelyen egyik állapotból a másikba jutunk. Ha ugyanis a kiindulási és végállapot között két különböző utat veszünk fel, az egyik irányának megfordításával egy zárt görbét kapunk, melyen a végzett munka nulla. A munkavégzés nagysága viszont független az út irányítottságától. Vagyis az első úton odafelé ugyanakkora munkát végeztünk tér ellenében, mint amennyit a tér végez a második úton visszafelé haladva. (6.17. ábra)
494
%
A (6.28) integrális egyenlet differenciális (adott P(r) pontra érvényes) alakját az F.3 Függelékben vezetjük le: rot E(r) = 0
(6.29)
Szóban kifejezve: rotáció E egyenlő nulla, azaz a konzervatív erőtér örvénymentes vektortér. A (6.29) egyenlet fizikailag ugyanazt mondja ki, mint az integrális (6.28) egyenlet: egy erőtér akkor és csakis akkor konzervatív, ha az erővonalak nem záródnak önmagukban. Az elektrosztatikus erőtér ilyen: mint láttuk, az erővonalak (+) töltésből indulnak és (–) töltésben vagy a végtelenben végződnek. (Képszerűen: egy (pl. víz-) örvényt úgy képzelhetünk el, mint egy önmagába záródó vonalat. Az elektrosztatikus tér erővonalai azonban nem záródnak önmagukba, — a tér örvénymentes. Ha egy egy erőtér erővonalai önmagukban záródnak (ilyen erőtér pl. a 2.36a ábrán látható), akkor arra rot a ? 0, azaz az ilyen erőtér örvényes vektortér.) Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az erőtér forrásos: forrásai, ill. nyelői a töltések. Figyeljünk fel arra, hogy az erőtér forrásos volta a (6.28)-tól független Gauss tételből, (ld. vákuumra (6.17), ill. dielektrikumra (6.70) egyenlet) már következett: a (6.17) 2 differenciális alakja kimondja, hogy div E= , tehát E divergenciája nem nulla, sőt a 00 Gauss tétel bizonyos értelemben többet mond, mint (6.29), hiszen a Gauss tétel pontos kapcsolatot ad a bezárt töltés és a térerősség értéke között.
%
Mivel az elektrosztatikus erőtér konzervatív, így ilyen erőtérben értelmezhetjük egy q töltéssel rendelkező test erőtérbeli Epot potenciális energiáját, amely (ld. 2.5.2.1. pont) definíciószerűen egyenlő az erőtér által a q töltésre kifejtett F erő ellenében végzett munkával: r r –$ Epot (r) = F dr = –q · $ (6.30) # # E dr r (vonatk. pont)
r (vonatk. pont)
azaz (v.ö (6.25)-el) r2
$ Edr = W12,(–F) @ Epot = Epot,2 – Epot,1 = – q # r1
(6.30a)
A (6.28) teljesülése elégséges és szükséges feltétele az erőtér konzervatív voltának, más szóval — mint alább megmutatjuk — annak, hogy az erőtérre potenciális energiát, ill. potenciált definiálhassunk. Más szóval (6.28) szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy erőtérnek van potenciálja, szokásos szakzsargonban: annak, hogy az erőtér “potenciálos”.
495 % Az elektrosztatikus tér által a q töltésen végzett munka útfüggetlen, és kifejezhető az erőtérbeli potenciális energiával: r2 r1
r2
$ # F dr + r1
$ # F dr r (vonatk. pont)
ami a (6.30) definíció alapján (és annak figyelembevételével, hogy a határozott integrálban az integrálási határok felcserélése esetén a határozott integrál értéke az eredeti integrál (–1)-szerese) W12 = Epot(r1) – Epot(r2) = – @Epot
(6.31)
ahol figyelembe vettük, hogy a @ jel a megállapodás szerint mindig a "végállapot minusz kezdeti állapotot" jelenti. Az elektrosztatikus erőtérben a munka kizárólag a kezdő és véghelyzet függvénye és az erőtér által végzett munka egyenlő a vég- és kezdeti helyzet potenciális energia különbségének (–1)-szeresével, –@Epot-al. % Az erőtérbeli Epot(r) potenciális energia segítségével egy végtelenül kicsi dr = [dx,dy,dz] vektorral megadott töltéselmozdulás során a tér által végzett elemi munka: AEpot AEpot 8 5AEpot dx + dy + dz7 dW = – 4 Ay Az 6 3 Ax
(6.32)
alakban adható meg. %
Mivel az elemi munka kifejezése az erő komponenseivel is megadható dW = F dr = Fxdx + Fydy + Fzdz
(6.33)
a (6.33) és (6.32) összevetéséből pl. az erőtér által a töltésre kifejtett F erő xkomponense kifejezhető a potenciális energia x szerinti parciális deriváltjának (–1)-szeresével: AEpot (6.34a) Fx = – Ax Hasonló kifejezések írhatók fel az Fy és Fz komponensekre is, ílymódon: AEpot AEpot + ( AEpot F (r) = i Fx + j Fy + k Fz = – 'i +j +k * Ay Az ) & Ax
(6.34b)
A [ ] zárójelben levő kifejezés rövid jelöléssel grad Epot, így F(r) = –grad Epot
(6.34c)
A (6.33) összefüggés alapján a potenciális energiából az erőtérben ható erő kiszámítható.
W12 = $ # F dr =
r (vonatk. pont)
496
%
A 2.5.2.2. pontban megszerzett általános ismereteink alapján bevezetjük a B elektromos potenciált r
E dr
(6.35)
r (vonatk. pont)
azaz az elektromos potenciál számértéke egyenlő a pozitív egységnyi próbatöltésen az erőtér ellenében végzett munka számértékével. %
A (6.35) és a (6.30) összevetéséből látható, hogy: E (r) =– B(r) = potq
r
$ # E dr
(6.36)
r(vonatk. pont)
% A B elektromos potenciál SI egysége a (6.35), ill. (6.36) alapján a volt; az egység jele: V. (E + J Ws VAs [B] = ' qpot* = C = C = As = V & ) % Mindig csak potenciál különbség mérhető! A vonatkoztatási pontot röviden r(v)-vel jelölve: r2
r1
r2
r (v)
$ $ $ B2 – B1 = – $ #E dr + #E dr = – #E dr – #E dr r (v)
r (v)
r (v)
r1
( r$(v) = – ' # E dr &r 1
r2
+ $ # E dr r (v)
+ *= )
r2
@Epot @Epot,2 – @Epot,1 = –$ # E dr = q = q
(6.37)
r1
Az utolsó egyenlőségnél figyelembevettük a q@Epot (6.30a) szerinti kifejezést. % A B potenciál egyértelmű megadásához mindig meg kell adnunk a vonatkoztatási pontot, ahol a potenciál definicószerűen nulla, B. [r (v) ] " 0. Ponttöltések potenciáljának megadásához a vonatkoztatási pontot (ahol tehát B. = 0) a ( ? – kBT d= ' e
(6.88)
Az integrálás elvégzésével itt nem foglalkozhatunk, ezért csak a végeredményt közöljük, amelyben visszatérünk az Elok jelölésre. Egyetlen állandó dipólusfajtára, feltételezve, hogy a hőmozgás kBT energiája sokkal kisebb, mint pe Elok, a E 2 = pe,áll 3 klokT (6.89) B egyszerű végeredményhez jutunk. A jobboldal dimenziója valóban a dipolusmomentum dimenziójával egyezik meg, hiszen pe,áll·Elok és kBT egyaránt energia dimenziójú. Formálisan az állandó dipólusmomentumra is bevezethetjük az
B0 /T HH 1 esetekre 2
pm B0 H pm > = 3k T B
ill.
H pm > pm ·B0 pm = 3kBT
A Am ilyenkor 2
N pm Am = #0 V 3k T , B
2 2 3 Vs 1 (Am ) 6 2Am m3 VAs 5 1 4
Számítsuk ki az O2 Am = 1,9.10–6 (291K) értékébõl pm-t. Az eredmény pm=2,756.10–23 Am2. Számítsuk ki ezekután H pm > / pm értékét 291 K-en 6,5.10–4 T, ill. 1 T A (79,55.104 m = 104 oersted (CGS!) térben. Az eredményképpen kapott arány 1,48.10–8, ill. 2,34 .10–3. Tájékoztatásul: 291 K-en a telítési mágnesezettséghez 430 (!) T, 4 K-en 6 T értékű B0 érték kellene. Utóbbi egy nagy szupravezető mágnes tere!
Az igen alacsony hőmérsékleteken igen nagy B0 terek esetén paramágneses anyagoknál bekövetkező telítési mágnesezettség beálltakor a mágneses dipólusok Epot energiája (6.146) minimumra áll be, tehát csökken; felszabaduló energiájukat (izoterm körülményeket kikényszerítve) le kell, hogy adják a környező hőtartálynak. E mágneses tér hirtelen megszüntetésekor (“paramágneses adiabatikus lemágneseződés”) a rendezetlenné válás energiáját a környező közegből kell felvenniük, miközben azt hűtik. Íly módon 0,001 K hőmérséklet is elérhető. (A mag mágneses momentumaival hasonló eljárással 10–6 K-ig sikerült lejutni. Ezzel kapcsolatban utalunk a 4.4. pontban tárgyalt III. főtételre: mivel a hűtendő közeg fajhője ilyen hőmérsékleteken T ? 0 határérték esetén nullához tart, a T=0 K elvileg nem érhető el!)
* Ezen alapszik az O2 koncentráció legpontosabb műszaki méréstechnikája.
2. Példa. A mára kvantummechanikailag is megalapozott, 1905-ből származó Langevin-elmélet szerint
605
& A mágnesség mikrofizikai elméletének alapjai & Egyetlen atomi elektron állandó mágneses momentuma
I=e
I J'
(6.163)
áram és A = r2' felhasználásával a pm abszolút értékét (pm = IA, ld.(6.132)): pm (klasszikus) =
eI 2 eI e e e -r ' = 2 r2 = 2 vr = 2m mevr = 2m Lkl. J' e e
(6.164)
kifejezés adja meg, ahol felhasználtuk, hogy r · mev az elektron L impulzusmomentumának nagysága; az Lkl. jelölés arra utal, hogy impulzusmomentum klasszikus (azaz nem a Bohr-féle és nem a kvantummechanikai) kifejezése és ennek megfelelően folytonos értékkészletű.
&
A mágneses pályamomentum Bohr-féle képlete. A Bohr-féle atommodell (ld. 8.1.4. pontot) szerint az elektron nem keringhet akármilyen pályán ill. nem akármilyen sebességgel: a lehetséges pályákat a Bohr-féle kvantumfeltétel (ld. (8.40) képletet) adja meg; ez kimondja, hogy az elektron impulzusmomentumának abszolút értéke csak az LBohr = mevr = n! ,
n = 1,2,3,...
(6.165)
értékeket veheti fel. Helyettesítsük be LBohr (6.165) kifejezését a (6.164) egyenletben az Lkl. helyére, ekkor e e pm,Bohr = (6.166) 2me LBohr = 2me !n ahol n=1,2,3... A (6.166) az elektron pályamomentumához tartozó mágneses momentum (abszolút értékének) Bohr-modell szerinti kifejezése. e! & Az 2m tényezőt Bohr–magnetonnak nevezik és #B-vel jelölik. SI egysége e! (6.167) #B = 2m C 9,274078·10–24 Am2 & Fentiekből látható, hogy az impulzusmomentumhoz töltött részecskék esetén mindig mágneses momentum is tartozik. A kvantummechanikában (8. fejezet) látni fogjuk, hogy az atomi elektronok esetében nem beszélhetünk adott, klasszikus értelemben vett pályán való keringésről —
& A mágneses pályamomentum klasszikus képlete. A klasszikus fizikában egy atomi pályán keringő elektron pályamozgása egy köráramnak felel meg; a pályamozgáshoz (6.132)-nek megfelelő mágneses pályamomentum tartozik. Az r sugarú körpályán I szögsebességgel mozgó elektronnak megfelelő
606 de a kvantummechanikai mozgáshoz is tartozik impulzusmomentum (ld. 8.4. pontot). Fentieket (itt külön igazolás nélkül) általánosítva kimondjuk, hogy az elektron (elektronok) minden fajta atombeli mozgásához rendelhetünk impulzusmomentumot és mivel az elektron töltött részecske, mágneses momentumot is. A mágneses pályamomentum kvantummechanikai kifejezése. Az elektron(ok) atommag körüli mozgásához rendelt mágneses momentum kvantummechanikai kifejezése, — a (6.166) első egyenletébe az LBohr kifejezés helyére a kvantummechanikai impulzusmomentum (6.169) kifejezését helyettesítve e pm, = 2m L (6.168) e ahol az impulzusmomentum kvantummechanikai kifejezése (ld. (8.166)). |L| = L = !
( +1),
= 0,K1,K2,...
(6.169)
ahol az atomi elektron mellékkvantumszáma.* Láthatóan az impulzusmomentum a kvantummechanikában nem folytonos értékkészletű, hanem kvantált. Következőleg az elektron atommag körüli mozgásának pályamomentumához (impulzusmomentumához) tartozó mágneses momentum kvantummechanikai kifejezése e pm, = 2m ! e
( +1) = #B
( +1)
(6.170)
& Az elektronnak azonban pályamomentumán kívül (a klasszikus fizikában nem értelmezhető) saját (állandó) impulzusmomentuma (spinje, spinmomentuma) is van (ld. (8.4.5. pontot), melynek abszolút értéke 3 (6.171) L = ! s(s+1) = 2 ! 1 ahol s = 2 az ún. spin kvantumszám. Uhlenbeck és Goudsmit 1925-ben kísérletekkel kimutatták, hogy az elektron spinjéhez tartozó mágneses momentum értéke pm,s = 2#B s(s+1) = 3 #B
(6.172)
& Az atomi elektron teljes mágneses momentuma a pálya–(impulzus-) momentumhoz és a spinmomentumhoz tartozó mágneses momentumok vektori összege. & A kvantummechanikában (8.4.4. pont) megmutatjuk, hogy a határozatlansági reláció miatt az impulzusmomentum vektornak (tehát úgy a pályamomentum, mint a spinmomentum vektornak) egyidejűleg csak az abszolút értéke és egyik, mondjuk a z komponense lehet meghatározott. Szerencsére a mágneses tulajdonságok leírása szempontjából ez számunkra elegendő. (A z-re merőleges komponensek ugyanis a hőmozgás miatt véletlenszerű eloszlásúak, eredőjük tehát nulla!)
* Az atomi elektron kvantumszámait a középiskolából már ismerjük. Ezeket ismertetjük a 8.5.4. pontban is.
&
607 Az elektron teljes mágneses momentumának z-komponense (ld. (8.237)) pm,z =
gL#B gL#B L = z ! ! !mj = gL#Bmj
(6.173)
& Az atomok, molekulák általában (a H atomot kivéve) többelektronos rendszerek. Egy többelektronos rendszer teljes impulzusmomentuma az egyes elektronok pálya– és spinmomentumának vektoriális eredője. Az eredő spin meghatározása aránylag 1 egyszerű, mivel a spinek az s = ± 2 feltétel miatt csak két lehetséges irányba állhatnak be; az eredő pálya– illetve teljes momentum meghatározása már jóval bonyolultabb, itt nem részletezhető.
&
Többelektronos atomokra, molekulák mágneses tulajdonságaira Hund néhány gyakorlati szabályt fogalmazott meg; a fontosabb Hund-féle szabályok a következők: & A betöltött elektronhéjak mágneses momentuma nulla. & A betöltetlen pályákon olyan eredő mágneses momentum alakul ki, hogy a párosítatlan elektronspinek (ld. alábbi 6.4. táblázatot) eredője maximális legyen (Hund I. szabálya). Ez többek között azt jelenti, hogy a betöltetlen elektronpályákon levő párosítatlan elektronok spinjei eredő mágneses momentumot adnak. Néhány atom elektronszerkezetét az alábbi 6.4. táblázat mutatja. 6.4. Táblázat 1s 2s
2p
B C N 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
Cr Mn Fe Co Ni Néhány atom elektronszerkezete. Kis nyilakkal jelöltük az elektronok spinjeit, a nyilak iránya a spinek irányítottságát mutatja. Párosítatlanok azok a spinek, amelyek mellett nincs ellentétes irányítottságú spin.
ahol Lz a teljes impulzusmomentum z-komponense, mj ezen komponens kvantálását jellemző kvantumszám (ld. 8.5.4. pontot) és gL az ún. Landé–faktor (ld. (8.238) képletet), melynek értéke tiszta pályamomentumnál 1, tiszta spin-mágnesség esetén 2.
608
& A ferromágnesség
A ferromágnesség megértése néhány kísérleti tény ismeretén át vezet: 1.) egy “szűz”, makroszkópikus ferromágneses anyag kifelé nem mutat mágneses tulajdonságokat; 2.) ugyanakkor a lokális mágnesezettséget vizsgálva megállapítható, hogy az ilyen ferromágneses anyag olyan néhány #m-es tartományokból (doménekből) áll, melyek TH TC esetén spontán (!) módon (tehát külső mágneses tér nélkül) telítésig mágnesezettek (Msp = Mmax), de külső mágneses tér nélkül az egyes domének mágnesezettsége különböző irányú és így az egész mágneses test eredő mágneses momentuma nulla is lehet. A domének spontán mágnesezettsége arra utal, hogy a ferromágneses anyagok külső erőhatás nélkül, önmaguktól (egy rövidtávú kölcsönhatási energia hatására) nagy mértékű rendezettséget mutatnak. Azt a kölcsönhatási energiát, ami ilyen rendezettséghez szükséges, nagyságrendileg megbecsülhetjük a Curie hőmérsékletükből: az ennek megfelelő kBTC termikus energia képes ezt a kölcsönhatást megszüntetni, hiszen ekkor a ferromágneses anyagok egyszerűen paramágnesesek lesznek. A becslés tehát E (kölcsönhatás) = kBTC
(6.174)
pl. Fe-nál 1,38·10–23 ·1043=1,44·10–20 J = 9·10–2 eVC10–1 eV. Vessük ezt össze a mágneses dipólusok Epot értékének 10–4 eV nagyságrendjével, — ez ezerszer nagyobb(!) kölcsönhatás, tehát biztosan nem mágneses kölcsönhatás! A ferromágneses anyagok mágneses momentumának eredetét kutatva Einstein és de Haas kísérletileg igazolta, hogy a ferromágneses anyagok mágneses mometumáért nem az atomi elektronok pálya impulzusmomentumához tartozó mágneses momentum, hanem az elektron saját mágneses momentuma felelős. Az Einstein—de Haas kísérletben egy torziós szálra felfüggesztettek egy (M) ferromágneses anyagból készített hengert, amelyet tekerccsel vettek körül. Ha a tekercsbe áramot engedünk, akkor a henger erős mágneses térbe kerül. A külső tér a hengerben található mágneses momentumokat egyirányba állítja be. Ez azonban azt jelenti, hogy az ezeket a momentumokat létrehozó, illetve velük kapcsolatban álló impulzusmomentumoknak is be kell állniuk a tér irányába. Fordítsuk meg a tekercsbeli áramirányt! Ekkor a henger átmágneseződik, vagyis a mágneses momentumok, és a megfelelő impulzusmomentumok az előző áramirány hatására létrejött elrendeződésükhöz képest ellentétes irányba állnak be. Az impulzusmomentum megmaradásának tétele miatt ez csak úgy lehetséges, ha valami ezt az impulzusmomentum változást kompenzálja és így az eredő impulzusmomentum változás nulla lehet. Ez a henger egészének elfordulását eredményezi. A tekercsbe ismert frekvenciájú áramot vezetve a henger torziós rezgésbe jön, amely egy fénymutató segítségével (tehát a torziós szálra erősített tükörről visszavert fénysugárral) kijelezhető (ld. 6.58. ábra).
Ferromágneses anyagi közegben B/B0 = 103–104, ami formailag(!) igen nagy #r értékeknek felel meg. A ferromágneses anyagokban a dipólusok járulékos terét szintén állandó mágneses dipólusok okozzák. A ferromágneses anyagok egy rájuk jellemző hőmérséklet, az u.n. Curie-hőmérséklet (jele TC K) felett paramágnesesessé válnak.
609
A torziós rezgés adataiból a mágneses momentum z-komponensének és a teljes pályamomentumnak a hányadosa, tehát a giromágneses arány (M) kiszámítható. 2#B pm,z = Lz ! adódott. Ha ezt összevetjük a (6.173)-al és hozzáfűzött megjegyzésekkel, akkor valóban a fentebb közölt megállapításra jutunk. A kísérlet eredményeképpen a M =
Frenkel, majd Slater elméleti vizsgálatai arra az eredményre vezettek, hogy a ferromágneses anyagoknál meglevő nagy kölcsönhatás a szomszédos spinek közötti rövidtávú kvantummechanikai okokra visszavezethető kölcsönhatás. Mindezek és a ferromágnesek mágneses szerkezetének nagy felbontású (pl. neutrondiffrakciós) vizsgálatai alapján a ferromágneses anyag mágnesezettségéről elemi szinten a következőket mondhatjuk. A ferromágneses anyagokban (a kvantummechanikai kölcsönhatás következtében) először kis, #m-es nagyságú tartományok (domének) alakulnak ki teljes rendezettséggel: a domének mágnesezettsége egyirányú, ezekben valamennyi spin minimális energiájú állapotban van, tehát párhuzamos. Ugyanakkor a szomszédos domének irányítottsága (az egész test energiaminimumára törekedve) ellentétes, vagy erősen eltérő irányú. Ha ezután a ferromágneses anyagot mágneses B0 térbe helyezzük, a tér növelésével a térirányú domének kiterjednek és egy bizonyos B0 esetén elérjük az Mmax, vagy ezek anyagcsoportra szokásosabb megnevezéssel Msat telítési mágnesezettséget. A B0 további növelésével a mágnesezettség nem növelhető. A térirányú mágneses domének növekedése, a doménfalak eltolódása pl. a kristályhibák potenciálgödrei miatt energia befektetést igénylő megfordíthatatlan folyamat: az e közben végzett mágnesezési munka Joule-hőként disszipálódik.
6.58. ábra. Az Einstein—de Haas kísérlet
610 A még nem mágnesezett (“szűz”) ferromágneses a 6.59a ábra 1 ? 2 ? 3 pontjai mentén (az u.n. szűz-görbén) mágneseződik és eléri a Msat (3) értéket.
M
3
4
II.
1
7 6
5
I.
2
III.
8
B Br
M sat H
-Hc
Hc
-Bsat
-Msat
Bsat H
-Br
(a)
(b) B
B B, Wb/m
2
1,5 1,0 0,5 0
H
-0,5
H
-1,0 -1,5 -15 -10
-5
0
5 10 -1
15
H, A·m (c)
(d)
6.59. ábra. a) A lágyvas M-H ill. b) a vas B-H mágnesezési (hiszterézis) görbéje egyetlen ciklusra. A c) görbe egy lágymágneses supermaloy övözet, és egy kemény mágneses Alnico ötvözetek B-H görbéit mutatja. Az d) ábra egy lemágnesezési folyamatot ábrázol.
A ferrormágneses anyagoknak ez a mágneses hiszterézis fontos jellemzője. A hiszterézisgörbe fontos jellemző : A 6.59.b ábrát (az u.n. “technikai mágnesezési görbét”) követve látható, hogy a Bsat elérése után a B0 teret B0 =0-ra csökkentve a B tér e változást csak késéssel követi és B = 0 esetén az anyagokban egy u.n. remanens mágnesség Br marad. A Br megszüntetéséhez egy ellentétes irányú külső tér szükséges (HC), melyet koercitív erőnek neveztek el.
Mivel tehát a mágnesezési folyamat megfordíthatatlan, az Msat pont elérése után a külső B0 teret csökkentve a mágnesezettség csökkenése egy hiszterézishurok felső ága mentén folyik (ld. 6.59a. ábrát).
611 o A hiszterézis hurok által bezárt terület, " ! B dH , az egy ciklus alatt hővé (g)
disszipálódott veszteség (hiszterézisveszteség).
A ferromágneseket pl. úgy lehet lemágnesezni (ld. 6.59.d ábrát), hogy az anyagot egyre csökkenő amplitudójú periódikus térbe helyezzük és így haladunk egy zérus Br értékű origó felé. Mindezen ismeretek alapján megérthetjük, hogy a ferromágneses anyagok jellemzésére még fenomenológikus szinten sem elegendő egy #r(H) vagy #r(B0N#0) függvény. A különböző célú felhasználások-esetén más és más jellemzők szükségesek. A 6.5. táblázatban példaként néhány ferromágneses, ill. ferrimágneses ferrit jellemző adatait összesítettük. 6.5. Táblázat Ferromágneses anyagok
T C, K
Mmax = Msat (OK) A/m
Fe (99,98 s%
1043
1,39–5,99 ·105
Co
1400
1,17·104
Ni
631
4·105
Gd
292
1,6·105
Dy
85
1,53·105
* Megjegyzés: A 300 K-es adatok kb. 10%-kal kisebbek. Sok táblázatban az M (a Vs 6.3. Táblázat 2. oszlopában szereplő definició rendszerbeli 3m26 egységekben 1 4 Vs A találhatóak; 1 m2 = #0 91 < 7 m: Néhány jellegzetes mágneses anyag legfontosabb jellemzői Lágymagos anyagok
Vas, Fe Fe, 4 % Si Irányított szemcseszerkezetű vas Permalloy 78 22 % Fe, 78 % Ni Supermalloy Ferrit (MnZn(Fe2O3))
Telítési fluxussűrűség Bsat Wb·m–2
Fajlagos ellenállás, F O·m
2,15 1,97
Maximális relatív permeabilitás (#r)max 5000 7000
1,0 · 10–7 6,0 · 10–7
Hiszterézisveszteség ciklusonként J·kg–1·Hz–1 0,03 0,02
2,00
30 000
5,5 · 10–7
0,005
1,08 0,79
100 000 1 000 000
1,6 · 10–7 6,0 · 10–7
0,0005 0,0001
–
2500
0,2
0,001
Ha a mágnesezési ciklus pl. egy váltakozó árammal (ld. 6.5. pont) működtetett szolenoid belsejébe helyezett ferromágneses anyagban folyik le, akkor minden periódusban végigszaladunk a hiszterézis határgörbe 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8(=3) határgörbéjén.
612 Hc A · m–1 4,0 · 103
Br Wb · m–2 0,9
(BH)max A · Wb· m–2 8 · 102
4,6 · 104
1,25
2 · 104
1,6 · 105 8,2 · 104 1,3 · 105
0,35 0,9 1,05
1,2 · 104 4 · 104 105
6,8 · 105
–
8,4 · 104
Villamos berendezésekben, forgó gépezetekben kis kb. 2% Si tartalmú vasat használnak. A Si növeli a fajlagos ellenállást és így csökkenti az örvényáramokból származó veszteségeket. Transzformátor lemezekben még nagyobb Si tartalmú vasat használnak: itt nem okoz gondot az ebből származó mechanikai ridegség. A transzformátor brummogó hangja ékes bizonyítéka annak, hogy a faleltolódás a technikai mágnesezési görbe meredek szakaszain ugrásokkal történik (Barkhausen effektus). Permanens mágnesként nagy Br és nagy Hc értékű anyagokat használnak. A nagy koercitiv erőt sokszor beépített hibákkal, precipitált szennyező tartományokkal érik el és hőkezelés utáni gyors lehütéssel mechanikai feszültségeket építenek be. Nagy koercitiv erejűek a kisszemcséjű (20 nm) mágneses anyagok: itt domén fal eltolódás nem lehetséges. Az ilyen tipusú anyagok közül a Alnico sorozat a legismertebb. A kis szemcséjű anyagok speciális esetei az u.n. pormágnesek; egyik fajtájuk a báriumferriteken alapuló “Ferroxdur”. Olcsó permanens mágnesek készíthetőek nagy karbontartalmú acélokból; a nagy karbontartalom gátolja a doménfalak eltolódását.
3. Példa. Becsüljük meg a Fe Msat értékét. Megoldás: N Msat = V pm A vas sűrűségéből (F=7,86·103 kg/m3 ) és Ar = 55,847 értékéből az N = 8,5·1028 atom/m3 . A pm érték a #B Bohr magneton értékének V nagyságrendjében van. Az illesztett kvantummechanikai elmélet szerint a vas spineredetű mágneses momentuma 2,2·#B . Ezekből
Kemény mágneses anyagok Szénacél (0,9% C, 1%Mn) Alnico 5 (8%Al, 3%Cu, 24%Co, 14%Ni) Ferroxdur: BaO(Fe2O3)6 ESD Fe-Co Alnico 9 SmCo5 (66% Co+34% Sm)
613 Msat C 8,45·1028 ·2,2 9,273·10–24 = 1,72·106 A/m Összevetve ezt a becsült értéket a 6.5. Táblázattal (ahol Msat értéke mondjuk 5·105 A/m) látható, hogy a mért és számított érték csak nagyságrendileg egyezik.
Megoldás: B 1,4 #r (névleges) = B = 6,5·10–4 = 2300 0
a) Mivel (ld. (6.151))
B – B0 1,4 – 6,5·10–4 M= = = 1,11·106 A/m #0 4'·10–7 Az adódó átlagos mágneses momentum (6.161): M 1,11·106 pm = N/V = 8,45·1028 = 1,31·10–23 J/T = 1,4 #B Láthatóan e térerőnél még nem értük el a telítési (2,2 ·#B, ld.3.példát) értéket! 5. Példa. A 6.5. táblázatban a vas telítési indukció vektorára Bsat = 2,15-öt találunk. Számítsuk ki ebből Msat értékét és vessük össze fenti adatainkkal! B 2,15 Msat C msat = = 1,71·106 A/m 4'·10–7 0 ami jó egyezésben van a 3. példánk eredményével.
4. Példa. Egy tipikus légmagos szolenoidban a mágneses B0 tér 6,5·10–4 T. Vasmaggal ellátva a tér B=1,4 T-ra nő. Mekkora a relatív permeabilitás névleges értéke ezen esetben? Számoljuk ki ezen adatokból Fe atom < pm > mágneses momentumát!
614
6.2.6. Inhomogén mágneses közeg. Határfeltételek.
A homogenitás és izotrópitás feltétele az elektromágneses alapjelenségek tárgyalásánál egyszerűsiti a problémákat, nem fedi el a fizikát, de a különböző elektromos szerkezetek műszaki problémáinak megoldásában messze nem elegendő. Felfogásunk szerint itt a határvonal az Elméleti Villamosságtan (ld. pl. Simonyi: Villamosságtan, id.mű) és a Fizika között. Ha permanens mágnesekkel, ipari elektromágnesekkel, mágneses körökkel, transzformátorokkal, elektromotorokkal, generátorokkal, tranziens jelenségekkel, nem lineáris áramkörökkel kezdünk foglalkozni, akkor az eddig megismert összefüggések — bár a megadott feltételek mellett igazak maradnak, —messze nem elegendőek, nem elég hatékonyak. E pontban az inhomogén mágneses közeg néhány problémáját vizsgáljuk meg, — először a határfelületekkel bíró inhomogén rendszerek kérdését, majd az Ampère-féle gerjesztési törvény kiterjesztését ilyen rendszerekre; e két alpont kölcsönösen feltételezi egymást. Mint a 6.2.5.2. pontban már megtárgyaltuk a gerjesztési törvény vákuumra felírt alakja (ahol B tulajdonképpen a 6.2.5.2. pont szerinti B0 )* — homogén izotróp mágneses közegben (ha a teret ugyanazon mágneses közeg teljesen kitölti) a B = !r B0
(ld. (6.154))
összefüggés miatt
*
o $ $ # B0 dr = !0 # JdA g
A
(ld. (6.137c))
A 6.2. fejezetben eddig abból a feltételből indultunk ki, hogy az R rendszerben a mágneses közeg homogén és izotróp; az egész teret kitölti; ilyen esetben a rendszer és a jelenségek a mágneses B térrel jellemezhetők, leírhatók, a képletekbe !r relatív permeabilitású közegben a !0 helyére !0" !r írható, — és érvényes a B= !0" !r H (6.155) összefüggés. Tudomásul vettük, hogy ez utóbbi a 6.2.5.2. pontban leírt fenttartásokkal, formálisan homogén ferro-, illetve ferrimágneses közegre is érvényes; gondosan vigyáztunk arra, hogy a homogenitás ne sérüljön, — így pl. elvben végtelen hosszú, szorosan tekercselt szolenoiddal, zárt toroidtekerccsel dolgoztunk, ahol a tekercsen kívüli tér, a széleken, határfelületeken fellépő hatások elhagyagolhatóak voltak. E feltételezés jogos lesz a 6.3. és 6.4. pontban is, és érvényes a 7. fejezetben is, ahol az elektromágneses térrel, az elektromágneses hullámok szabad (pl antennáktól, akadályoktól távoli) térben való terjedésével foglalkozunk.
615 o B dr = ! "! $ JdA $ # 0 r# g A
(ld. (6.156))
B = !0
NI
kifejezés egy homogén mágneses közegű szolenoidra (ill.2r% = toroidra) B = !0 !r
NI
(ld.(6.143)) középvonalú
(ld.(6.157))
alakba írható fel. Láthatóan homogén mágneses közegre felírt kifejezések egy !r tényezővel térnek el a vákuumra felírt, csak !0 tényezőt tartalmazó kifejezésektől. A kizárólag homogén izotróp közegre érvényes H=
B !0!r
(ld. (6.155))
összefüggés alapján bevezetett H mágneses térerősséggel felírt gerjesztési, ill. BiotSavart törvény viszont vákuumra és homogén mágneses közegre azonos alakúak; pl. a gerjesztési törvény H -val felírt alakja (ld.(6.138a)): o H dr = $ J dA $ # # g A
(6.175)
ill. rot H = J vákuumra és homogén mágneses közegre azonos alakú*: a H mágneses térerősség közvetlen kapcsolatban van a valódi (vezetési, makroszkópikus, külső gerjesztő) áramokkal; a homogén, izotróp közegre H értéke kizárólag a gerjesztő áramokból meghatározható. Pl. H értéke egy toroidban vagy egy végtelen hosszú szolenoidban vákuumban ill. homogén mágneses anyag esetén egyaránt: H=
* Ld. még 6.2.6.2. pontot.
NI
(ld. (6.155a))
alakú lesz. A (6.139) vákuumra felírt Biot-Savart törvény ilyen esetre (!0" helyére !0"!r-t" írva) hasonlóképpen írható át. Következményként egy légmagos szolenoidra érvényes
616 Látni fogjuk (ld. 6.2.6.2.pontot), hogy mindebből nem következik, hogy inhomogén közegben pl. Hvasmag = Hlevegő; sőt éppen ez változik a határfelületen, miközben Bvasmag = Blevegő.
Vizsgáljuk meg két különböző ! = !0!r homogén mágneses közeg határfelületén a térjellemzők viselkedését. Mivel azt vizsgáljuk hogyan hatol át B és H a határfelületen, az inhomogén közegre is érényes törvényekből kell kiindulni. A 6.2.4. pontban megismerkedtünk a $ o # B dA = 0
(ld.(6.136a))
g
“mágneses Gauss-tétellel” (ez mindig, tehát inhomogén közegre is érvényes), a 6.2.6. pont bevezetőjében pedig az inhomogén közegre is érvényes $ $ o # H ds = #J d A
(ld.(6.175))
g
gerjesztési törvénnyel, mely most arra az esetre, ha a határfelületen nincsenek valódi (makroszkópikus) áramok, $ o # H ds =0
(6.175a)
g
alakot ölt.
&
A határfeltételek felírása az inhomogén diektrikumoknál a 6.1.8. pontban követett eljárást követi; az analóg egyenletek az inhomogén dielekrikumokra is érvényes (6.70) Gauss-törvény q=0 esetre érvényes. $ o # D dA =0 A
alakja és az elektrosztatikus tér konzervatív voltát kifejező
6.2.6.1. A mágneses térjellemzőkre vonatkozó határfeltételek és törési törvényük a mágneses anyagok határfelületein.
617 $ o # E ds =0
(ld. (6.28))
g
egyenlet.
esetében a 6.1.8. pontban D -re követett eljárást (6.33. ábra segítségével), ill. H esetében az E-re követett eljárást (6.33b ábra segítségével). & Ennek megfelelően a (6. 136a) egyenletből )B (alap és fedőlap) = B1nA – B2nA = 0
(6.176a)
azaz a B normális komponense a rá merőleges felületre folytonosan megy át: B1n = B2n
(6.176b)
Ez pl. a 6.62. ábrabeli légréses toroidra azt jelenti, hogy légrésbe (a középvonalra merőleges felületen) a vasmagból a B vonalak folytonosan mennek át, azaz * Bvasmag * = Bv = Blégrés = Blr Ugyanakkor (ld. (6.176c)) a H vonalak ugrást (törést) szenvednek: felhasználva a határfelület két oldalán levő homogén közegre érvényes B/!" = H definiciót a (6.176b-ből) !1H1n = !2H2n
(6.176c)
& A (6.175a) egyenletből (a 6.33. ábra segítségével) viszont H1t · – H2t = 0
(6.177a)
H1t = H2t
(6.177b)
adódik, azaz
illetve a B/! = H összefüggést felhasználva B1t B2t = "!1 "!2
ill.
B1t !1 B2t = "!2
(6.177c)
adódik; a (6.177c) ill. (6.176b) egyenletekből látható, hogy a tangenciális komponensekre a H megy át folytonosan, a B vonalak tangenciális komponensei viszont törést szevednek. A (6.176c) ill. (6.177c) egyenletekből következnek a mágneses térjellemzők törési törvényei. A 6.60. ábrából pl. egyszerűen felírható a B vonalak törési törvénye:
& Legyen a két mágneses közeg ! '"!0"!r permeabilitása !1"ill("!2 . Kövessük B
618
B
B
+
2
t2
B
+
n1
1
n2
B B
t1
1
(2) (1)
(a) + ! !
l
,
l
+
v
v
(b)
6. 60. ábra. A B térjellemző törése egy !1, illetve !2 permeabilitású határfelületen (a); ugyanez egy vas (!v) — levegő (!l) határfelelete
tg +1 B1t/B1n B1t !1 = = = tg +2 B2t /B2n B2t !2
(6.178)
A 2. egyenlőség után figyelembe vettük, hogy B1n = B2n. A B indukcióvonalak a levegő és pl. vashenger határfelületén n (! (vas) >> ! (levegő miatt) a , szög (ld. 6.61. ábrát) sokkal nagyobb az + becslési szögnél, — úgyhogy a B indukcióvonalak túlnyomó része nem jut be a henger által védett belső térbe. Ez az u.n. mágneses árnyékolás elve.
B
2
619
+l ,
6.61. ábra. Mágneses árnéykolás egy vashenger belsejében.
&
A határfeltételek lehetővé teszik B , ill. H mérését az anyag belsejében: pl. mivel a B vonalak egy határfelületre merőlegesen folytonosan mennek át, a rájuk merőleges anyagbeli üregben ugyanakkora a B, mint az üreg szomszédságában levő anyag belsejében.
6.2.6.2. A gerjesztési törvény inhomogén permeabilitású közeg esetén.
A továbbiakban belátjuk, hogy a fenti $ o H ds = $J d A # # g
(ld. (6.175))
A
alakú gerjesztési törvény inhomogén permeabilitású közegben (tehát amikor a !r a térben pontról pontra, — esetleg határfelületek jelenléte miatt ugrásszerűen változik) is alkalmazható, míg a B-re felírt gerjesztési törvény nem! E célból vizsgáljunk meg egy mágneses anyaggal (maggal), homogénen kitöltött toroidot, melyből a toroid ( – – –) középvonalára merőlegesen egy kis s szélességű darabot kivágunk és ezzel egy légrést hozunk létre (ld. (6.62a) ábrát).
B
620
(a) (b) (c) * 6.62. ábra . a.) !r relatív permeabilitású homogén mágneses anyagú (pl. vasmagos) toroid légréssel; b.) A B vonalak elvi menete; c.) a légrés miatt hiányzó molekuláris (dipól-) járulénak megfelelő, a zárttal azonos B érték eléréséhez szükséges külső többletgerjesztéssel pótoljuk. (A gerjesztési törvény inhomogén permeabilitású közegre történő felirásához.)
Mérésekkel igazolhatjuk, hogy a légrés nélküli toroidban mérhető B értéke a légrés kialakítása után lecsökken. Ennek az az oka, (feltételezve, hogy a külső gerjesztő áram jó közelítéssel azonos maradt), hogy a rés kivágásával a B, dipólusokból eredő BM járulékából (ld. (6.151) ill (6.155a)) egy részt elvettünk. A légrés nélküli homogén toroidra ugyanis (ld. (6.157)): B = !0"!r
NI
NI
= !0"
+ -m !0
NI
= !0"!r H
(6.179)
ahol NI
B0 = !0"
és BM = -m !0
NI
és H =
NI
(6.179a)
A légrés kialakításával a 2 r% = teljes középvonalú köréből egy kis s körívnyi darabot kivágtunk, és mivel ezzel a mágneses dipólusok egy részét (A BM-nek s/l hányadát) “kivágtuk”, — a B kisérletileg észlelhető csökkenése értelmezhető: Írjuk fel ehhez (6.179)-et — a zárt toroid indukcióját (NI)zárt !0 Bzárt * = [(NI)zárt + (!r –1) (NI) zárt ] = B = !0"!r
* A 6.62. ábra b.) és c.) része Simonyi: Villamosságtan, id.műből van (engedéllyel) átvéve.
(6.179b)
s
621 alakban. A [ ] zárójeles kifejezést gerjesztésnek (a zárt toroid teljes gerjesztésének) nevezzük, melynek első tagja a külső tekercs valódi áramainak, a második pedig a (NI)zárt külső áramok által létrehozott (BM)zárt dipóljárulék gerjesztési járuléka. Az s ívhosszúságú légrés létrehozásával (kivágásával) utóbbiból (!r – 1) (NI)zárt
(6.179c)
dipóljárulékot kivágtunk. (Tételezzük fel, hogy ez az (NI)zárt valódi áramokból származó gerjesztést első közelítésben nem érintette; ez megoldható olymódon, hogy a légrés helyett a toroid ívén máshol sűrűbben tekercselünk.) Ezáltal Blégrés =
!0
[(NI)zárt + (!r –1) (NI)zárt –
s
(!r –1) (NI)zárt ]
értékű lesz, azaz Blégrés < Bzárt. Végezzük el most a következő gondolatkísérletet: a (6.179c) kivágott gerjesztést pótoljuk a légréses toroidban egy kis póttekerccsel (ld. 6.62c ábrát), azaz növeljük meg az eredeti (6.157) Bzárt = !0 !r
(NI)zárt
(NI)zárt gerjesztését (6.179c)-vel s NI = (NI)zárt + (!r – 1) (NI)zárt
(6.180a)
azzal a céllal, hogy az így megnövelt (NI) gerjesztéssel a légréses toroid esetében is a zárttal azonos B = Bzárt értéket kapjunk. (Azt, hogy a (6.157)-beli (NI)zárt-t növeltük meg, azzal realizáljuk, hogy (NI)zárt-at alább (6.157)-el fejezzük ki). Fejezzük ki az (NI)zárt értékét a zárt toroid (6.157) B=Bzárt értékével, azaz B = !0"!r
(NI)zárt
.
(NI)zárt =
B !0"!r
kifejezéssel; ekkor (B * = Bzárt jelöléssel élve) adódik, hogy a zárttal azonos B érték eléréséhez az NI =
s B B + (!r – 1) "!0"!r !0"!r
megnövelt gerjesztés szükséges. A (6.180b) egyenlet második tagjában -lel egyszerűsítve, majd az egyenletet rendezve: NI =
B B B + s !r –s = !0"!r "!0"!r "!0"!r
= ( – s)
B B +s "!0"!r "!0
(6.180b)
s
622 Mivel ( – s ) a B indukcióvektor hossza (íve) a vasmagban, ( – s ) * =
vas és s ugyanez a levegőben
s = lev , — így (6.180c)
kifejezést kapjuk, ahol 6.2.6.1. pont (6.176b) egyenletéből következően, mivel B a határfelületre a toroidban merőleges Bvas = Blev = B. Felhasználva a H=
B "!0"!r
(ld. (6.155))
kifejezéssel bevezetett mágneses térerősséget, a (6.180c) vas Hvas + lev Hlev = NI
(6.180)
egyenletté alakul.
A (6.181a)-ban a (6.175), H-val felírt $ o H ds = $ H ds + $ H ds = NI vas lev # # # vas
(6.181)
lev
gerjesztési törvényre ismerünk. Az apróbetűs “levezetés”-ből néhány fontos tanulságot vonhatunk le; — mivel (6.181b) levezetése során a BM járulékot is tartalmazó (6.179b) egyenletből indultunk ki, világos, hogy a H nem határozható meg pusztán a makroszkópikus, valódi áramokból. (Erre a 6.2.6. pont bevezetőjében már utaltunk!) — láthatóan és a 6.2.6.1. pontból is következően Hvas / Hlev — a fenti levezetésben fel tudtuk használni a B1n = B2n (6.176b) egyenlőséget, amelyből következően Bvas = Blev = B — láthatóan a H-val felírt gerjesztési törvény inhomogén, határfelületet tartalmazó közegre is érvényes (hiszen az (NI)-k különböző közegekre valóban összeadhatóak!)
Példa. Számítsuk ki egy NI gerjesztésű légréses toroid B értéket! Induljunk ki a (6.181b) egyenletből és a Bvas = Blev = B felhasználása céljából helyettesítsük be a homogén részekre érvényes Hvas =
B B ill. Hlev = "!0"!r "!0
B B NI = vas + "!0"!r lev "!0
623 egyenletet; így (6.181b)-ből $ Bvas ds + $ Blev ds = NI 0 ! "! 0 ! # 0 # 0 r lev
mely a vonalmenti integrálást elvégezve (a vonal mentén Bvas = Blev = B konstans és ds-el párhuzamos) B + Bs = !0 NI !r vas ahonnan a légréses toroidra: ! NI ! ! NI Blégréses = 0 = 0 r vas vas + !rs +s !r A zárt toroid képlete azonos NI mellett Bzárt = !0!r
NI
tehát azonos NI mellett Bzárt 1 Blégréses. (Fentiekben láthattuk, hogy azonos B eléréséhez (NI)légréses 1 NIzárt alkalmazandó!)
6.2.7. A Hall–effektus
Az eddigiekben "megszoktuk", hogy az áramot vezető anyagokban a töltéshordozók a negatív töltésű elektronok. Kísérletileg igazolhatjuk (ld. alább), hogy igen sok olyan anyag van, amelyben a töltéshordozók pozitív töltésű részecskék (vagy ún. kvázirészecskék, ld. a szilárdtestfizikában). Ilyen pozitív töltésű részecskék pl. a pozitív töltésű gázionok, vagy az elektrolitoldatokban lévő pozitív ionok (pl. egy NaCl oldatban a Na+ ionok). A félvezetőkben mind negatív, — mind pozitív töltéshordozók, az ún. lyukak* is jelen vannak. (A lyuk neve angolul hole, ezért a lyukakra vonatkozó mennyiségeket h alsó indexszel szokták jelölni.)
* Ezekről a pozitívan töltött (q = +e) "részecskékről" kimutatható, hogy ezek ún. lyukak (angolul: hole). A lyuk valójában az ún. valenciasávban megjelenő elektronhiány, amely pontosan úgy mozog, mintha egy pozitív töltésű részecske lenne.
vas
624
UH
UH
d EH
v
EH
a
v I
F
I
F
B
B
(a)
(b)
6.63. ábra. A Hall-effektus, ha a) a töltéshordozó lyukak; b) ha a töltéshordozó elektronok
Vizsgáljuk azt az esetet, ha csak egyféle töltésű töltéshordozónk van. Az I áramban haladó q töltésű részecskékre az áram bekapcsolásakor először csak az FL = q(v 2 B) Lorentz–erő hat. Ennek hatására a töltéshordozókat a Lorentz-erő a minta (az FL irányával meghatározott) oldalára téríti. (Lásd: q > 0 esetén a 6.63a. ábrát, a q < 0 esetére a 6.63b. ábrát. Az ábrán azt is figyelembe vettük, hogy ugyanazt az I áramot csak ellentétes sebességgel mozgó pozitív, ill. negatív töltések hozhatják létre.) Az oldalfelületeken fokozatosan, — de igen gyorsan — (a két oldalon ellentétes töltéssel) kiépülő töltésrétegek EH elektrosztatikus tere ellentétes előjelű az FL Lorentz-erővel. Az egyensúly beállása után q(v 2 B) = –qE Miután v 2 B és E ellentétes irányú, egy egyenesbe eső vektorok, áttérhetünk skaláris alakra, akkor (q-val egyszerűsítve) a Hall-térerősség nagysága:
* A valóságban az ilyen minták alakja bonyolultabb, kettős keresztre hasonlító alakzat. ** A feszültségmérő pozitív kapcsát forrasszuk a minta egyik (az ábrán a felénk eső) oldalára, a másik kapcsot pedig a másikra. A feszültségmérő ezen kapcsolása a 6.63. ábrán mind az a), mind a b) esetre azonos marad.
Helyezzünk egy téglatest alakú,* nem szigetelő mintát egy áramkörbe és helyezzük a mintát egy, a mintára merőleges B térbe! (ld. 6.63. ábra)! Kapcsoljunk a mintára az ábra szerint egy elektrosztatikus feszültségmérőt,** és vezessünk a mintán keresztül I áramot! Azt fogjuk tapasztalni, hogy a minta oldalára kapcsolt feszültségmérő feszültséget jelez. A kialakuló feszültség az ún. Hall–feszültség, a jelenség pedig a Hall–effektus.
625 EH = vB
(6.184a)
UH = EH·d
(6.184b)
UH = vBd
(6.184c)
a Hall–feszültség pedig
A Hall–feszültség nagysága a J áramsűrűséggel, illetve az I áramerősséggel is kifejezhető (J = vnq, ld. 3.6.1. pontot, ahol n a töltéshordozó sűrűség és q egy töltéshordozó töltése): UH = vBd =
J 1 I IB nq Bd = nq ad Bd = nqa
(6.184d)
ahol (a·d) a minta keresztmetszete. Definiáljuk az UH RH 3 JBd
(6.185a)
mennyiséget, melyet Hall-együtthatónak neveznek. A (6.184d) és (6.185) alapján RH egy másik lehetséges felírása: EH 1 RH = JB = qn
(6.185b)
Foglalkozzunk most az UH (és mint a (6.185a) egyenletből láthatjuk, az ezzel megegyező előjelű RH) előjelével! Kísérletünkben egy feszültségmérő egyértelműen mutatja a Hall-feszültség előjelét: ez a q > 0 töltésű lyukvezetés esetén pozitív, tehát UH (lyukvezetésre) > 0, illetve
UH (elektronvezetésre) < 0. A Hall-effektussal tehát egyszerűen és közvet-
lenül eldönthetjük a töltéshordozók előjelét.
&
Ha a Hall-mérést vezetőképességméréssel is összekötjük, akkor az 1 RH = qn
(ld. (6.185b))
illeve a 4 = qn!
(ld. (3.76))
egyenletekből a két ismeretlen, az n részecskesűrűség és a ! mozgékonyság meghatározható. (Mind az elektronokra, mind a lyukakra |q| = e -vel).
A két utóbbi egyenletet összevetve
626
&
Igen érdekes (ld. a 6.6. Táblázatot), hogy egyes fémek (félfémek), így pl. a
berillium (Be), a cink (Zn) és a kadmium (Cd) szintén többségi lyukvezetők: Hallegyütthatójuk pozitív. 6.6. táblázat. Hall-együtthatók mért értékei Elem (10–10 Li Na Cu Be Mg Zn Cd
RH m3 A–1 s–1) –1,7 –2,1 –4,2 +2,44 –0,84 +0,33 +0,66
(107
4 5–1 m–1) 678 2,3 6,4 3,3 4,0 5,4 7,4
Megjegyzés: Ha ismert (n, q és !) adatú és geometriájú Hall-mintát B indukciójú mágneses térbe helyezünk, akkor az UH Hall-feszültség és az I áramerősség ismeretében a B indukció meghatározható. Az ilyen ún. Hall–szondák ma a B mérésére igen elterjedtek.
&
A Hall mérés és a fajlagos vezetés együttes méréséből a töltéshordozó koncentrációk ill. mozgékonyságok akkor is kiszámíthatóak, ha az anyagban vegyes vezetés (egyszerre elektron és lyukvezetés) van. Az erre vonatkozó összefüggések és módszerek levezetése azonban meghaladja könyvünk kereteit.
& Utóbbi eljárás csak akkor egyszerű, ha az I áram egyetlen töltéshordozó áramából adódik. Ez a gyakorlatilag fontos esetekben mindig így van: a fémeknél legtöbbször (ld. 6.6. Táblázatot) az áram az elektronok áramlása; a gyakorlatban használt félvezető anyagok mindig elég erősen adalékoltak (egy-egy megfelelő szennyező atommal tudatosan szennyezettek); így pl. a bórral (B) ill. galliummal (Ga) adalékolt szilícium lyukvezető (p-típusú), a foszforral adalékolt szilícium pedig elektronvezető (n-típusú). Pontosabban: a fent említettek a vezetést is meghatározó ún. többségi töltéshordozók.
627
6.3. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ.
6.3.1.
A Faraday–féle indukciós törvény (Maxwell II.)
1831-ben két tudós, az amerikai J. Henry és az angol M. Faraday egymástól függetlenül kísérletek alapján megállapította, hogy nemcsak az áram képes mágneses teret létrehozni, hanem a mágneses tér változása is képes elektromos teret indukálni, azaz ún. indukált elektromos teret ill. indukált feszültséget tud létrehozni.
&
Kísérletek. A legegyszerűbb erre utaló kísérletben egy vezető hurokra (szolenoidra) galvanométert kapcsolunk, (másszóval: egy vezető két végét galvanométerrel kötjük össze), majd a hurokhoz (szolenoidhoz) egy permanens mágnest közelítünk, illetve távolítunk. Eközben a galvanométer áramot jelez, mégpedig a mágnes közelítésekor ellentétes irányút, mint a mágnes távolításakor (ld. 6.64a. ábra). Hasonló jelenség figyelhető meg, amikor a mágnes áll, és a hurkot közelítjük, ill. távolítjuk. A mágnest egy árammal átjárt (vasmagos) szolenoidot-tekerccsel is helyettesíthetjük (ld. 6.64b. ábra), sőt azt is megtehetjük, hogy a tekercset és a vezető hurkot nem mozgatjuk egymáshoz képest, hanem csak az árammal átjárt tekercs áramát vagy a hurok által körbefogott területet változtatjuk. Homogén mágneses térben levő merev vezetőhurokban (ld. 6.64c ábrát) is áram keletkezik, ha a vezető hurkot a “ t ” tengely körül elforgatjuk. Ha egy homogén B térben elhelyezett vezető drótkeret (ld. 6.64d ábrát) egyik (ábránkon AC-vel jelölt) oldalát az ábrán jelölt módon és irányban elmozdítjuk (azaz megnöveljük a mágneses térben levő keret által bezárt felületet) akkor a keretben áram indul meg; a jelölt irányú mozgás és a papír síkjába befelé irányuló (9) B tér esetén az indukált áramirányt az ábrán feltüntettük.
IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK
628
D
B
É
I
B
I
I
G
G R (a)
(b) E
B C
D A
Ii B
C
R
I A G
(d)
(c) 1
B
2
2 1
G
I
R
G
R
(e) (f) 6.64. ábra. Indukciós alapkisérletek (ld. a szöveget). Az ábrán B az indukcióvektor, Ii az indukált áram. A változás és hozzá tartozó indukált áram azonos (folytonos, ill. szaggatott) vonallal vannak jelölve.
I
I
629
! Különösen érdekes a 6.64f ábrán látható kísérlet. Ha az (1) zárt toroidban (körtekercsben) folyó áram erősségét változtatjuk (ki-, illetve bekapcsolással, vagy tolóellenállással), akkor (1)-t áthurkoló (2) tekercsben indukált áram keletkezik, holott a (2) menetei nincsenek is mágneses térben (ld. 6.2.4. pont, 4. példa, toroid mágneses tere). Ez a megállapítás még általánosabban is igaz; ld. alább “indukció vákuumban”. ! Megjegyezzük, hogy ha a 6.64c ábra szerinti elrendezésben a merev vezető hurkot a pontozással jelzett helyzetben a B tér irányába, azzal párhuzamosan egyszerűen eltoljuk, akkor a keretben nem keletkezik áram. ! A kísérleteink során az áramhurokba kapcsolt galvanométerrel észlelt áram az ún.. indukált áram. Az indukált áram másodlagos jelenség: az indukált áram keletkezésének elsődleges oka az u.n. indukált feszültség fellépte. Vegyük észre, hogy az indukált áram, illetve az azt létrehozó indukált feszültség akkor lépett fel, ha kísérleteinkben a mágneses B tér "B = B ·A## ill. & "B = % B dA fluxusa* időben megváltozott. $ A Hangsúlyozzuk: megváltozott! Gondoljunk fenti megjegyzésünkre: ha a merev vezető keretet úgy toltuk el, hogy a vezető keret (vagy annak egyes részei) metszik ugyan a B erővonalakat, de ennek során a "B mágneses fluxus nem változott az idő függvényében, — indukált feszültség, illetve áram nem keletkezik. Másszóval a vezetőkeretben (hurokban, tekercsben) csak akkor indukálódik feszültség, ha az áramhurok által közrefogott mágneses indukcióvonalak száma (fluxusa) időben megváltozik. Az indukált feszültség és előjele közvetlenül is mérhető, ha a hurok két pontja között pl. elektrométerrel feszültséget mérünk (ld. pl. a 6.64a. ábrán bejelölt A és C pontokhoz kötött műszert).
! Faraday a fentihez hasonló kísérletek alapján kvantitatív kísérleti összefüggést állapított meg a "B fluxus egységnyi idő alatti megváltozása (változási sebessége) és az Ui indukált feszültség nagysága között:
* Ha egy homogén B térben (pl. egy adott A menetkeresztmetszetű toroid vagy egy ideális tekercs esetében) nem egyetlen menet, hanem pl. N azonos A felületű menet van, akkor a "B = B(NA) és így a (6.186) ill. (6.187) szerint Ui értéke is nő. Lásd pl. a (6.206)-ra vezető számítást.
! Ha egy vezető hurok helyett többmenetű tekercset, szolenoidot alkalmazunk (ld.6.64e), annál erősebb áramot észlelünk, minél több menetű a tekercs. Az elektromágneses indukció jelensége a gyakorlatban a tekercs (induktivitás, önindukciós tekercs, legegyszerűbb esetben az u.n. ideális szolenoid) nevű áramköri elem formájában jelenik meg (ld. később).
630 az indukált feszültség nagysága a hurokbeli mágneses indukciófluxus változásának sebességével arányos: d#"B 'Ui' = dt
(6.186)*
! Az, hogy az indukált feszültség, illetve áram keletkezése kifejezetten a "B indukciófluxus (tehát a B indukcióvektor fluxusa) időbeli változásával (és pl. nem a H mágneses térerősség fluxusváltozásával) kapcsolatos, könnyen belátható ha az 6.64f ábrabeli kísérletet, az ábrabeli vákuum (levegő) közeg helyett vasmaggal ellátott körtekerccsel végezzük: ebben az esetben lényegesen megnő az indukált áram erőssége; ugyanakkor tudjuk, hogy a vasmag bevitele a H mágneses térerősség értékét (melyet kizárólag a toroidon átfolyó I áramerősség határoz meg) nem változtatja meg, — kizárólag B értéke nő meg (r-szeresre a vákuum közegű toroidhoz képest. ! Állapítsuk most meg az indukált feszültség előjelét. Ha a tekercs, amelyben a d#"B dt hatására indukált feszültséget mérjük egy zárt áramkörben van, akkor a benne indukált feszültség hatására ebben a körben indukált áram fog folyni; ez a tekercsen átfolyó Ii indukált áram is kelt azonban mágneses teret. Ha az indukált feszültség által létrehozott indukált Ii áram által keltett mágneses indukció az elsődleges, külső, változó fluxusú B indukcióval egyirányú lenne, akkor ez hozzáadódna a pillanatnyi Bhez, ily módon megnövelné "B változási sebességét. Ez viszont további magasabb indukált feszültséget eredményezne, amelynek hatására nagyobb áram folyna, ami viszont újabb "B sebességnövekedésre vezetne. Végső soron az indukált feszültség végtelen nagyra nőne. Ez az energia-megmaradás miatt lehetetlen, tehát egy zárt vezető hurokban (körtekercsben) az indukált feszültség olyan előjelőjelű**, azaz az indukált áram olyan irányú, hogy az indukált áram mágneses tere csökkentse az indukáló B tér indukáló hatását (fluxusváltozását). Ez Lenz törvénye.***
* Tudománytörténetileg innen ered a B indukcióvektor elnevezés: az indukált feszültség a B fluxusváltozásával arányos. A ma Faraday féle indukciós törvénynek nevezett törvényt maga Faraday több különböző összefüggésben fogalmazta meg. A jelenlegi (6.186), illetve (6.187) illetve a (6.188) képletek később alakultak ki; így pl. a (6.187) egyenlet Heinrich Lenz érdeme (1834). Faraday — mai szemmel nézve — különleges érdeme a nyugvó vezetőben történő indukció felismerése: ez nem vezethető vissza más alaptörvényre; a mozgó vezetőben levő indukció ugyanis (mint alábbiakban is megmutatjuk) visszavezethető a Lorentz törvényre
** U pozitiv, ha a feszültségesés az áram irányába mutat. Ha az A és C mérőpontokon (ld. pl. a 6.64a ábrán) az áram A ) C irányban halad át, akkor, ha egy feszültségmérő (+) “high” pontját A pontra kötjük, akkor a feszültségmrő UCA értékét (C feszültsége A-hoz képest) pozitív számként jelzi.
*** A Lenz-törvényt zárt vezető hurok esetére (tehát az indukált áramra) fogalmazták meg, de U
i (ld. alább) vákuumban is indukálódik: ilyenkor úgy alkalmazzuk, hogy gondolatban elképzeljük a vezető hurkot!
Ez a Faraday-féle indukciós törvény eredeti alakja!
631 Ezért (6.186) helyett az d#"B Ui = – dt
(6.187)
! Vizsgáljuk meg a (6.187) egyenlet előjelének értelmezését két példán. Először tekintsük a 6.64a ábrán látható kisérletet. Közelítsük a vezetőhurokhoz a mágnesrúd északi pólusát; az ábrán bejelöltük az ekkor indukált áram irányát. Alkalmazzuk a jobbkézszabályt az indukált áram B mágneses tere irányának meghatározására: láthatóan B iránya a mágnesrúd felé eső oldalon ellentétes az eredeti B tér irányával: annak hatását csökkenti.
n A
n
ds
ds
I
É D
(a)
n U0
ds
É
É
D
D
(b)
(c)
6.65. ábra. A (6.187) Faraday-Lenz törvény előjelének értelmezése.
Vizsgáljuk most meg az előjel kérdését a 6.65. ábrán ábrázolt esetben. A B fluxusának előjelét (nyilt felületről lévén szó) megállapodással rögzithetjük. Válasszunk a vezetőn egy ds körüljárási irányt és tekintsük a "B-t pozitívnak, ha B iránya egybeesik a felület ds-el jobbcsavart alkotó normális egységvektorával. Állapodjunk meg abban is, hogy az Ui feszültség akkor választjuk pozitívnak, ha az indukált áramirány a ds irányával megegyezik. Közelítsünk a zárt vezetőhöz egy mágnesrúd északi pólusával, mint az előbb ismertetett 6.64a esetében; ennek során a 6.65a ábrán bejelölt "B = 3 egységű fluxus
képletet kell használnunk.
632
Ha (ld. 6.65c ábrát) a vezetőhurokban áramforrás is van, akkor az eredő feszültség és az ez által meghatározott eredő áramirány meghatározása szempontjából általában nem lényeges Ui előjele; ekkor ugyanis általában az áramforrás határozza meg az áram irányt (ill. a feszültség előjelét ds irányát), — de az I nagyságát az Ui előjelével befolyásolja: Kirchoff II. törvénye értelmében ugyanis I=(Ut+Uind)/R, ahol Ut a telep forrás feszültsége és ahová Uind-t előjelhelyesen kell helyettesítenünk.
! A (6.186) utáni megjegyzésünk is arra utal, hogy a (6.187) kifejezés lehetőséget ad a B indukcióvektor elsődleges kisérleti meghatározására. A mérendő mágneses B térbe helyezzünk a B tér irányára merőlegesen egy kis méretű, ismert (NA) tekercsfelületű próbatekercset; a próbatekercshez kapcsoljunk egy ballisztikus galvanométert*. A próbatekercsen átmenő "B fluxus t=0 időpontban "B = NAB Rántsuk ki most a B térből a próbatekercset, akkor ez a fluxus *RL idő múlva (ld.6.3.3.pontot) zérusra csökken. A (6.187)-ből Uidt-t kifejezve és integrálva *
*
&Uidt = – ("B (*) – "B (t=0)) = R &Idt = "B (t=0) =NAB $ $ 0
0
kifejezést kapjuk. (R a próbatekercs + a galvanométer ellenállása.) A baloldalt a ballisztikus galvanométerrel mérve, — (NA) ismeretében tehát B meghatározható.
!
Az indukált feszültséget az indukált elektromos térerősségnek a vezető alakja által meghatározott** görbére történő integrálásával is felírhatjuk, a mágneses indukció fluxusa pedig B felületi integrálja segítségével számítható ki, vagyis o Edr = – + & & B dA $ +t $ g
(6.188)
A
* A ballisztikus galvanométer egy nagy, T=20-60s lengésidejű tükrös galvanométer, amely alkalmas *
a T-hez képest igen rövid * idő alatt átfolyó
& $ I(t)dt = , I - t = Q áramlökés mérésére: ugyanis az
0 áramlökés kis csillapodású galvanométer esetén arányos a galvanométer első maximális kitérésével (ld.Budó II., id.mű 148-149.oldalt)
** Pontosabban: azon vezető alakja, amelyben a feszültség indukálódik. Pl. egy kör alakú dróthurok esetén az A felület éppen úgy jelentheti a körhurok által bezárt sík körlapot, mint pl. a körre illeszthető gömbsüvegnek a felületét. Mivel a B indukcióvonalak mindig zárt görbék, a körlapon és a gömbsüvegen ugyanaz a fluxus megy át.
a 6.65b ábrán 5 egységnyi értékre változik, tehát a változás +2 egység. Látható, hogy esetünkben a pozitív fluxusváltozás mellett az indukált áramirány olyan, hogy a feszültség előjele negatív: ezt hozza összhangba a (6.187) egyenlet negatív előjele. (Ha ds-t és ezzel a fluxus előjelét ellenkező irányúra választanánk, akkor a feszültség előjele pozitív, a fluxusváltozás pedig negatív (–5 – (–3) = –2) lenne: a mínusz előjelet ekkor is alkalmazni kell.)
633 Ez Faraday indukciós törvénye, ami a II. Maxwell–egyenlet integrális alakja. Az itt szereplő A felület egy tetszőleges*, a g görbével határolt, arra illeszkedő nyílt o E dr sem nulla, vagyis az felület. Ha a fluxusváltozás sebessége nem nulla, akkor & $ (g)
szóval indukált elektromos terek o E dr . 0, akkor rot E . 0 és így & $ (g)
az indukált elektromos tér önmagukba záródó erővonalakkal jellemezhető(ld. F3 Függeléket). A második Maxwell–egyenlet differenciális alakja: rot E = –
+B +t
(6.189)
Egy matematikai tétel (a Stokes–tétel, ld. Bronstejn id. mű) szerint o & $ E dr = & $ (rot E)dA (g)
A
azaz a (6.189) baloldala egyenlő a tér rotációjának a g görbe által határolt felületen átmenő fluxusával. Helyettesítsük be eredményünket a (6.189) baloldalába +
& $ rot E dA = – +t & $ B dA A
A
Egyoldalra rendezve (kihasználva, hogy a rotációképzés és az időderiválás felcserélhető műveletek): +B2 0 & $ /rot E + +t 1 dA = 0 A
Ennek az egyenletnek tetszés szerinti A felületre érvényesnek kell lennie, ami csak akkor teljesül, ha az integrandusz nulla, — vagyis rot E = –
+B +t
(6.190)
!
“Indukció vákuumban” A 6.64f ábrabeli kisérletet általánosítva azt mondhatjuk, hogy egy zárt vezetőben áram indukálódik, ha a vezető által határolt. ‘A’ felületen átmenő indukciófluxus időben változik, — ehhez azonban a vezetőnek nem kell mágneses térben lennie; elegendő, ha a B vonalak A-nak csak egy részét (pl. a vezető hurok belsejében levő A’,#3#felületet) metszik. Az indukció Faraday–törvényében nem szerepel annak a vezetőnek semmilyen elektromos paramétere, amelyben a feszültség indukálódik. Ez vezette Faradayt arra a zseniális gondolatra, hogy az indukcióhoz tulajdonképpen nincs is szükség vezetőre, hanem
indukált elektromos tér nem konzervatív; más esetében elektromos potenciál nem definiálható. Ha
634 akárhol (pl. vákuumban) változik a B indukció, ott elektromos tér indukálódik és az indukált E tér viszont maga is mágneses teret kelt. (Ugy is mondhatjuk, hogy a zárt vezető csak az indukált tér, feszültség, áram indikálására, kísérleti kimutatására szükséges.)
A Faraday-törvény általánosan érvényes alaptörvény; a fejezet elején ismertetett alapkísérletek során számos konkrét kísérletet ismertettünk: indukált feszültséget (és indukált áramot) észleltünk nyugvó és mozgó zárt vezetőhurkokban, sőt felhívtuk a figyelmet arra is, hogy indukált elektromos térerősség (indukált áram nélkül) fellép nyitott vezetőben vagy vákuumban is. Ugyanakkor egy lényeges momentumra fel kell hívnunk az olvasó figyelmét: míg a nyugvó vezetőkben, a vákuum esetében fellépő indukált feszültség, tér csak Faraday törvény alapján értelmezhető, — a mozgó vezetőkben fellépő indukált feszültség más, a Faraday törvénytől független törvényre is visszavezethető. A mozgó vezetőkben indukált feszültség, illetve áram a Lorentz-erővel önmagában is értelmezhető.
! Indukció mágneses térben mozgó vezetőben. Ha egy egyenes (a 6.66a ábrán A és C pontok közötti) vezetőt egy homogén B mágneses térben v sebességgel mozgatunk, a benne levő vezetési elektronokra — melyek a vezetővel együtt rendszertelen mozgásuktól eltekintve ugyancsak v sebességgel mozognak — az FL= –ev 4 B = B 4 ev Lorentz erő hat.
* Az elektromágneses hullámok viselkedését leíró hullámegyenlet a négy Maxwell-egyenletből vezethető le. Az elektromágneses hullámokkal a 7.3.3. pontban foglalkozunk.
Ez az oka annak, hogy az elektromágneses tér képes a vákuumban tovaterjedni, vagyis, hogy vannak elektromágneses hullámok.*
635 C
B Ii
B
ds C
v
!
! v
A
F56ev4B
v
B
A (b)
(a)
I
R
(c)
6.66. ábra. Mozgó vezetőben indukálódó feszültség
A bejelölt B irány esetében ezen erő hatására a vezető elektronok a mozgatás pillanatában a vezető A pontja felé kezdenek áramlani, ugyanakkor a töltések ) szétválása a vezetőben egy AC irányú Ei indukált teret épít fel, — mindaddig, amíg a két ellentétes irányú erő –e Ei = –ev 4 B
(6.191)
egyensúlyba nem kerül; ez szinte pillanatszerűen zajlik le: a vezető darabban a mozgás “első pillanatától” eltekintve nem folyik áram. Figyeljünk fel arra, hogy az Ei (irányát tekintve ellentér!) úgy viselkedik, mint egy nyitott kapcsú áramforrás tere, melynek pozitív pólusa az C pontban van. Ezért a kapcsain kialakult forrásfeszültség
R
636 (régi nevén elektromotoros erő, jele eme) nagyságát nem a szokás (6.26) egyenlettel*, hanem az ellentér jelleget (előjel!) figyelembevevő (6.192)
képlet szerint számítjuk ki. A (6.191) figyelembevételével Ui = E
vB
(6.193)
Kapcsoljuk most az AC vezetőt egy, a B mágneses térre merőleges négyszögű sík zárt vezető hurokba (6.66b ábra), melynek három oldala rögzített, a negyedik (az AC darab) pedig egy, az eredeti helyzetével párhuzamosan elmozdítható rúd. Ha az AC rudat külső F erővel v irányú mozgásba hozzuk, akkor utóbbi egy Ui = Uforrás forrásfeszültségű áramforrásként működik (6.66c ábra), melynek hatására a kapcsait záró hurokban a bejelölt irányú B tér esetén egy bejelölt (az óramutató járásával ellentétes) irányú Ii erősségű indukált áram folyik; amíg a rúd állandó v sebességű mozgásban van, addig az indukált áram erőssége állandó. Ha az áramkör ellenállása R, akkor az áram erőssége Ii = Ui / R
(6.194)
Vizsgáljuk meg erre az elrendezésre az energiamegmaradás teljesülését! Az AC rúd egyenletes egyirányú v sebességgel mozog, mert a ráható erők eredője zérus: a rudat v irányba mozgató F külső erő éppen egyenlő az aktuális B mágneses tér által az — AC = vezető darabra ható F = I l 4#B
(ld.(6.129b))
) mágneses erővel. (Az áramforrásként tekinthető AC rúdban az áram iránya AC, így a l irányítottsága is ez.) A vezető hurkon átfolyó áram munkája Joule hővé alakul. Mivel elrendezésünkben az AC vezetődarab mozgatásával a bezárt ‘A’ felület is változik, — elrendezésünkben változik a "B fluxus is. Így a (6.193) szerinti eredmény a Faraday féle indukciós törvényből közvetlenül is levezethető; pl. a feszültség abszolút értéke homogén erőtérben, sík áramkeretre
r2
* U21 = – &Edr $ r1
& Ui = % E dr $
637 Uind = B
dA dt
dA = ds (6.195)
értékünek adódik (Neumann-féle törvény).
!
Ha egy homogén és állandó B indukciójú térben egy vezető anyagból készült korong forog úgy, hogy síkja merőleges B-re, akkor a korong tengelye és kerülete között feszültség indukálódik. Ennek az indukciónak a mikrofizikai oka a Lorentz– erő. Mint az a 6.67. ábrán látható, a Lorentz-erő a korongban szabadon mozgó vezetési elektronokat a korong forgásirányától függően a korong kerülete, illetve tengelye (ld. ábrát) felé téríti el. Ez pedig a tengely és a korong kerülete között mérhető Ui indukált feszültség megjelenésére vezet. A jelenséget a kísérlet eredeti kiviteli formája alapján (a korongot csak a B erőteret létrehozó mágnes egyik pólusa közelében forgatták) unipoláris indukciónak nevezik. A jelenség a 6.67. ábra alapján kvantitatíve (pl. az alábbiakban közölt egyszerűsített számítással) értelmezhető. G
Ei P
Ei C
B
B
r
I
v
v
A
6.67. ábra. Az unipoláris indukció (Az ábrán egy homogén B térben vezető korong forog bejelölt irányban. A vezető korong vezetési elektronjaira Lorentz erő hat.)
ds Uind = B dt = B v
638 A homogén B térben levő korong tengelyétől |r| távolságban levő vezetési elektronokra Lorentz-erő hat; egyetlen elektronra felírva FL= –ev 4 B = B 4 ev
A Lorentz erő hatására a vezetési elektronok a P(r) pontból a tengely felé áramlanak, a szétváló negatív és pozitív töltések egy, az FL Lorentz erővel ellentétes irányú Ei indukált teret építenek fel, mely (az ábrán jelölt forgási irány esetén) sugár irányban a korong kerülete felé irányul: – e Ei = – FL
(6.196)
Ei = v B = r7B
(6.197)
azaz
A korong kerülete és tengelye között rB
R
1 Ui = & Ei(r) dr = & (v x B) dr = & r7 B dr = 7 BR2 2 $ $ $ rA
g
(6.198)
0
indukált feszültség alakul ki, ahol R a korong sugara. (A (6.198) első egyenletben az előjelben figyelembevettük, hogy az indukált tér “ellentér”.) Ha a tengely és a kerület között zárt áramkört alakítunk ki, akkor az áramkörbe épített galvanométer Iind áramot jelez. Az unipoláris indukció tanulságos példa arra, hogy az indukciós törvény d "B Ui = – dt alakja közvetlenül nem mindig alkalmazható, hiszen a fluxusváltozás szempontjából semmiféle felület nincs kitüntetve. A (6.198) eredmény ismeretében azonban ez már visszavezethető az eredeti indukciós törvényre: | Ui | =
d "B dA = B dt dt
1 ahol a dA a sugár dt alatt súrolt terület, dA = 2 7 dt R2 (hiszen a vektorszorzat alapján 2 dA = R 7 dt R sin 90o). Ezen elv alapján működnek a forgókorongos árammérők.
ahol v a korong r pontjának (egyúttal az ott levő vezetési elektronoknak) a kerületi sebessége (v=r7), melynek iránya a r sugárra merőleges.
639 1. Példa. Ha B = 0,5 T, R = 0,1 m, 7 = 100 s–1, akkor Uind = 0,25 V.
Örvényáramoknak vagy Foucault-áramoknak nevezzük azokat az áramokat, amelyek két vagy három irányban kiterjedt vezetőkben, fémlemezekben, fémtömbökben indukálódnak. Ha kiterjedt vezető inhomogén mágneses térben mozog, vagy ha időben változó mágneses térben van, akkor az első esetben a Lorentz-erő, a másodikban a mágneses tér változását kisérő elektromos örvénytér a fémes vezetőben a szabad elektronokat zárt görbék mentén mozgásba hozza (örvényáramok). Az indukált áramok a fémtömb belsejében, annak teljes térfogatában cirkulálnak. Az így létrejövő igen sok “elemi áram” együttesen nagyon nagy áramerősségnek felelhet meg, tehát egyrészt — Lenz szabálya értelmében — az indukciót létesítő változást erősen akadályozhatja, másrészt erős hőhatással járhat együtt. Az örvényáramok jelenlétét a következőképpen mutatjuk meg: Nem mágneses anyagból (pl. rézből vagy aluminiumból) készült lapot függesszünk fel vízszintes tengelyre, úgy, hogy a mágneses erőtérben szabadon lenghessen. A vezető anyagú lap mozgása közben a mágneses erőtér a szabad töltéshordozókra erőt gyakorol, örvényáramokat hoz létre. A Lenz törvény értelmében a fémlapban kialakuló örvényáramok mágneses tere olyan irányú, hogy a fémlapra ható F= I l 4# B mágneses erő az örvényáramokat létrehozó mozgást fékezze. (A fémlapra csak ott hat erő, ahol van mágneses indukció. Az örvényáramok eredményeként a fémlap mozgása lefékeződik. Ezt a hatást a gyakorlatban az elektromágneses fékek egy típusában, az ún. örvényáramú fékekben is alkalmazzák. Az örvényáramok hőhatása az elektromos generátorok, motorok és transzformátorok változó mágneses térben levő vas alkatrészeiben energiaveszteséget jelent. Eme örvényáramú veszteségek lehető csökkentése céljából a megfelelő részeket nem tömör vasból készítik, hanem vékony, egymástól papírral vagy lakkréteggel elszigetelt szegmensekből állítják össze, nagy frekvenciáknál pedig szigetelőanyagba ágyazott vasszemcsékből álló porvasmagot vagy ferritmagot alkalmaznak. Másrészről az örvényáramok hőhatása hasznosítható az indukciós kemencékben: a kiizzítandó, vagy megolvasztandó fémet — igen erős és gyorsan váltakozó árammal táplált tekercs belsejébe helyezik, célszerűen vákuumban. Az örvényáramok mozgásfékező hatását felhasználják pl. elektromos műszerek mutatóinál a lengések csillapítására (oly módon, hogy a mutató tengelyére szerelt alumínium lemez kis permanens mágnes pólusai közt mozog), fordulatszámlálók és fékező berendezések szerkesztésére is, stb.
! Örvény- (Foucault-) áramok.
640
6.3.2.
Kölcsönös– és önindukció. Induktivitás.
!
Ha egy (1)-el jelölt tekercsben (ld.6.68.ábra) változó áramerősség (melyet az ábrán az R ellenállás változtatásával változtatunk) hatására egy másik (2)-vel jelölt tekercsben feszültség indukálódik, akkor kölcsönös indukcióról beszélünk. (1)
B
R (1)
R
(2)
G B
(2)
G
6.68. ábra. A kölcsönös indukció
A kölcsönös indukció során indukált feszültség a (6.187) Faraday–féle indukciós törvényből számítható. Nagysága és iránya (a megfelelő "B fluxuson keresztül) a két tekercs geometriai adataitól és egymáshoz képesti helyzetétől, továbbá az indukciót létrehozó áram változási sebességétől és a környező homogén közeg (r permeabilitásától függ. A továbbiakban feltesszük, hogy a két tekercs alakja és kölcsönös helyzete változatlan és a (r permeabilitása állandó (a közeg nem ferro-, illetve ferrimágneses). Ekkor a (2) tekercsben indukált feszültség a (6.187) alapján írható fel:
!
Vizsgáljunk két szolenoidot, melyek elég közel vannak egymáshoz és az egyik tekercs mágneses B tere a másik tekercs helyén is számottevő.
641 Ui(2) = –
d#"B(2) dt
(6.199)
"B(2) = M21I1
(6.200)
Így az (1) tekercs (2)-ben indukált Ui(2) feszültsége Ui(2) = –
dI1 d#"B(2) = –M21 dt dt
(6.201a)
Ha az (1) ill. (2) tekercsek szerepét felcseréljük, az dI2 Ui(1) = –M12 dt
(6.201b)
egyenletet kapjuk és itt nem közölt módon igazolható, hogy M12 = M21
(6.202)
Az M együtthatót kölcsönös indukciós együtthatónak, röviden kölcsönös induktivitásnak nevezzük. SI egysége: 1 henry** , az egység jele: H. A (6.201)-ből a kölcsönös induktivitás mértékegysége: Vs [M12] = A = 8s = H
(6.203)
A Ha az (1)-es tekercsben bekövetkező 1 s áramerősségváltozáskor a (2)-es tekercsben 1 V feszültség indukálódik, akkor az M21 induktivitás 1 H, — és fordítva. A kölcsönös induktivitás mértékegysége azonos az önindukciós tekerecsek induktivitásával; erre ott még visszatérünk. A kölcsönös indukció lehetővé teszi, hogy a stacionárius áramok szempontjából független áramkörök között kapcsolatot hozzunk létre, közöttük induktív csatolást hozzunk létre. Minél nagyobb M annál “szorosabb” a csatolás.
* Ld. a (6.144) egyenletet a (r=1 és a (6.157) egyenletet (r=konst esetére. A 6.68.ábra szerinti
elrendezés esetében e képletek paraméterei konstans értéken tarthatóak, de nem, vagy nehezen meghatározhatóak: ezért most pontos képlet helyett a (6.200)-ban csak arányosságot tételezünk fel. A 6.69. ábrán látható elrendezésekben jó közelítésként a "B-re alkalmazhatóak a (6.144) ill.(6.157) egyenletek.
** Joseph Henry, Faraday kortársa tiszteletére, aki az indukció jelenségét, a kölcsönös és önindukciót Faradaytől függetlenül fedezte fel, de később publikálta.
Vegyük azonban figyelembe, hogy "B(2) az (1) tekercs által keltett B tértől függ, amely viszont az (1) tekercsben folyó áramerősséggel arányos:*
642 Némelykor éppen az ellenkezője, a laza csatolás (igen kis M) a kívánatos. Ezáltal csökkenthető a szomszédos nagyfrekvenciás, hírközlési kábelek “áthallása” vagy a hangfrekvenciás erősítőkben fellépő “brumm”: a hálózat érzékeny váltakozó áramú áramkörökben váltakozó feszültséget indukálhat. Az effektus mágneses árnyékolással (ld. 6.2.6.1. pontot) csökkenthető. A kölcsönös induktivitás (M) kiszámítása általános esetre, bonyolult. A közös nem mágneses magra ((r = 1 és (r . f(H)) tekercselt N1, ill. N2 menetszámú, szorosan egymásba csévélt tekercsek kölcsönös induktivitásának kiszámítása viszont; – pl. amikor a két tekercs hossza és ‘A’ keresztmetszete ugyanaz (ld. 6.69a. ábra) és a geometria révén pontosan adott – egyszerű: I1 2
2
! A !
1
1
V U2 (a)
(b)
6.69. ábra. A kölcsönös indukció. a) Közös, pl. porcelán magra, illetve b) közös vasmagra tekercselt szolenoidok esetében.
! Az egyszerűség kedvéért vegyük a tekercseket alkotó huzal vastagságát a tekercs átmérőjéhez képest elhanyagolhatónak! Jelöljük a tekercseket az "1" ill. "2" indexszel! Az "1" tekercsben folyó áram I1(t), akkor az általa létrehozott mágneses indukció értéke ilyen esetre ismert (ld(6.144)): B1 = (o
N1 I1
(6.204)
A "2" tekercsben indukált feszültség kiszámításához a B indukció "2"-es tekercsre vett fluxusát kell meghatározni. A "2" tekercs egy menetére ez a fluxus:
!
643 #######"B,2 (egy menet) = B1 A ahol A az egy menet által közrefogott és indukcióvonalak által metszett terület. A "2" tekercs összes menetére vett fluxus ezek szerint (6.204) figyelembevételével N1 N2 A
I1
(6.205)
A "2" tekercsben indukált feszültség tehát (6.187), (6.205) felhasználásával: Ui2 = –
N1N2 A dI1 d"B,2 = –( · dt o dt
(6.206)
A "2" tekercsnek az "1" tekercsre vonatkoztatott kölcsönös indukciós együtthatója tehát: M21 = (o N1 N2
A
(6.207a)
alakba írható. ! A fenti számolás az "1" és "2" indexek felcserélésével az "1" tekercsbe indukált feszültség, tehát az M12 együttható kiszámítására is alkalmas, ha figyelembe vesszük, hogy bármelyik tekercs is hozza létre a mágneses indukciót, a tekercs által közrefogott és az indukcióvonalakkal metszett felület elrendezésünkben(!) ugyanakkora. M12 = (oN2N1
A
(6.207b)
vagyis M12 = M21 = M
(6.207c)
Az indukált feszültség és M12 előjele a két tekercs relatív tekercselési irányától függ: az A felület egy dA felületelemének és B-nek relatív irányát ugyanis ez határozza meg.
! Hasonló a számítás a közös vasmagra tekercselt szolenoidok (ld.6.69b ábra) M
értékének számítása esetében: ilyenkor ugyanis abban a térben, ahol a B0 . 0, a közeg (vasmag) homogénnek tekinthető, — tehát a (r relatív permeabilitású közeg formálisan figyelembe vehető: mivel homogén (r permeabilitású anyagra B = (r B0
(ld.(6.154))
— a (6.204) képletben (amelyet vákuumra írtunk fel és így a benne szereplő B9 = B0) a (r a permeabilitású közeg esetén (0 helyett (0(r irandó; mint a 6.2.4. pontban jeleztük ez formálisan akkor is megtehető, ha ferro- vagy ferrimágneses a
"B,2 = N2·B1 ·A = (o
644
1. Példa. Számítsuk ki két egymástól elszigetelt, egymásra tekercselt szolenoid kölcsönös M12 induktivitását, ha a mag nem ferromágneses (egyszerűség kedvéért legyen (r : 1 és (r . f(H) ). Ilyen elrendezést mutat a 6.69a. ábra. Alkalmazzuk a (6.207a) képletet! Legyen N1 = 500, N2 = 20 és legyen 30 cm ill. A = 6 cm2.
=
Megoldás: M12 =
(oN1N2A
=
4;·10–7·500·20·6·10–4 = 2,5 10–6 H. 30·10–2
!
Amikor egy tekercsben az áramerősséget változtatjuk, akkor B tekercsre vett fluxusa magában a tekercsben is változik. Ennek következtében magában a tekercsben is megjelenik egy indukált feszültség. A jelenséget önindukciónak nevezzük; ezért ezt a tekercs áramköri elemet szokták önindukciós tekercsnek is nevezni. Az Ui indukált feszültség az őt létrehozó váltakozó áram U(t) feszültségével ellentétes irányú: úgy hat, mintha a tekercs egy áramforrás lenne olyan polaritással, mely a tekercsben a létdI rehozó I(t) árammal ellentétes irányú áramot indukál, ha dt . 0. Általánosan fogalmazva, az indukált feszültség olyan polaritású, hogy fékezi az indukált feszültséget létrehozó (növekvő vagy csökkenő) áram változását. A tekercsen kialakuló indukált feszültség: dI Ui = L = – L dt
(6.209)
arányos az áramerősség változásának sebességével. A negatív előjel biztosítja, hogy az indukált feszültség polaritása az éppen aktuális áramerősség változást fékezze. A szokásos L jelölés arra utal, hogy ez egy, a tekercsen létrejött, L feszültséget szolgáltató áramforrás forrásfeszültségével analóg. L csak a tekercs méreteitől függő arányossági tényező, melyet a tekercs önindukciós együtthatójának vagy induktivitásának nevezünk. Egysége a kölcsönös indukció együtthatóéval megegyezően az 1 henry (1 H).
közeg (és így (r = f(H)); ekkor (r alatt (r (grafikonokból beírt) aktuális “effektív” értékét kell érteni, ami nagyságrendileg 103-106 n egységrendű pozitív érték. Ezzel a homogén, (r permeabilitású rendszerre az M kölcsönös induktivitási együtthatója a (6.207a) helyett A M = (0(r N1N2 (6.208)
645
Ha egy tekercset áramköri elemként alkalmazunk (RL vagy RCL váltakozó áramú áramkörökben, ld. pl. 6.3.3. pontot), akkor a tekercs ohmos ellenállását vagy az áramkör (vagy áramköri ág) többi ohmos ellenállásához adjuk hozzá, vagy külön jelöljük így mindig egy “ideális induktivitással” számolunk és gyakran magát a tekercset is induktivitásnak (angolul: inductance, vagy inductor) nevezzük.
!
Szorosan tekercselt, átmérőjéhez képest hosszú* légmagos szolenoid L önindukciós együtthatójának kiszámítása: Minden egyes meneten L= – d"B /dt feszültség indukálódik. Ideális esetben az N menet mindegyikén a "B fluxus ugyanakkora, így d"B = – N L dt Ezt a (6.208) képlettel összehasonlítva azt kapjuk, hogy d"B dI L dt = N dt Mindkét oldalt az idő szerint integrálva és felhasználva, hogy "B = 0, ha I = 0, azt kapjuk, hogy LI = N "B Innen az L önindukciós együttható (induktivitás): N"B L# I (6.210) Mivel egy ideális légmagos szolenoidban (elhanyagolva a tekercs végeinek hatását) NI a mágneses B tér homogén és B = $0 A, a tekercsben a fluxus (ha a tekercs keresztmetszete A), "B = BA = $0
NI
A
6.211
amivel a légmagos idealizált szolenoid induktivitása L=
$0N2A
(6.212)**
* E feltétel biztosítja, hogy a tekercs véges méretének következményeit elhanyagolhassuk. ** Az N2 tényező megjelenése érthető: ha pl. megduplázzuk a menetek számát, akkor az N tényező mind (6.210)-ben, mind pedig az egy menetre jutó "B -ben (6.211) is megjelenik; N·N=N2..
Egy adott tekercset jellemző L induktivitás meghatározása (a tekercsvégek és a menetek között kiszűrődő mágneses tér hatásának figyelembevételi nehézségei miatt) általában méréssel, etalonokkal való összevetéssel történik. Szorosan tekercselt szolenoid, vagy toroid L önindukciós együtthatóját azonban jó közelítéssel ki is számíthatjuk (ld.alább).
646 J T·m ' Vs * [ L ] = &Am m = 2 = A A = H )( %
(6.212a)
Mint már mondtuk, L mértékegysége a henry, jele H, egysége az 1 H. Itt hívjuk fel a figyelmet arra, hogy
Vs ' T·m H * $0 = 4 + · 10–7 Am & = A = m ) % (
(6.213)
! A toroid induktivitása (ld. 6.51. ábrát). Egy r sugarú toroidban (körtekercsben) a B mágneses tér értéke B = $0
IN 2r+
(ld. (6.143))
ahol N a toroid meneteinek száma. Ha bevezetjük a 2r+, -, jelölést, akkor a toroid induktivitását formailag ugyancsak a (6.212) képlettel írhatjuk le.
!
A mágneses közeg figyelembevétele az induktivitás számításában. A 6.2.5.2. pontban megmutattuk, hogy a mágneses anyag jelenlétében a tekercs (toroid. stb) belsejében a vákuumra érvényes B0=$0H tér helyett B = B0 + BM tér keletkezik: a B0 térhez hozzáadódik a mágneses anyag mágneses dipólusainak járulékos tere is; megmutattuk azt is, hogy B/ B0 aránya B = $r B0
(ld. (6.154))
A (6.211) vákuumra, ill. $r=1 esetre érvényes képletben szereplő B tulajdonképpen B0, így a “vasmagos” tekercsek, toroidok esetében a képletekbe valóban B = $r B0 irandó, így pl. L=
$0 N2 A
(6.212)
helyett
érvényes (ahol $r a relatív permeabilitás “effektív” értéke).
L=
$0 $r N2 A
(6.214)
táblázatokból, grafikonokból beírt
* Itt definiálták tudománytörténetileg először a $ -át, majd a SI áramerősség alapegység 0 meghatározásakor (ld. (6.134) a 6.2.4. pontban) véglegesítették számértékét. Egységét azonban sokszor ma is H/m-ben adják meg.
a $0 nemcsak az eddig definiált egységekben, hanem H/m-ben is megadható*
647 2. Példa. Vizsgáljunk egy = 12 cm hosszú szolenoidot, melynek átmérője d=1,6 cm és amely 75 menetből áll.
= 1,17 · 10–5 H . 12 $H !, Tegyünk a szolenoidba “vasmagot”, melyre (táblázatokból) $r (effektív) = 2300. Ekkor L=
$0,$r N2A
= $r,L0 . 2,7 · 10–2 H -,27 mH
!, Egy 12 cm hosszú, A=2·10–4 keresztmetszetű, 75 menetes vasmagos szolenoidra legyen B=1T és I=3,8A. Mekkora ennek a tekercsnek az induktivitása? Először $r-t számoljuk ki a rendelkezésre álló adatokból. A B0 értékét (6.143) egyenletből véve: B $r(effektiv) = B = 0
B 1·0,12 = = 335 $0 I N 4 + · 10–7 · 3,8·75
, L0 értéket fentebb kiszámítottuk (L0 = 1,17·10–5 H) és (6.214) A és (6.212) hányadosa éppen $r, következik, hogy ezen vasmagos szolenoidra ,L = $r L0 = 335 · 1,17 · 10–5 = 3,92 mH !, Ha az I=3,8A-t 15s alatt 3,2 A-re csökkentjük, az indukált feszültség a) a légmagos tekercsben dI Ui = L = – L0dt = ( – 1,17 · 10–5 ) H (–0,04 A/s) / 0,5 · 10–6 V b) vasmagos tekercsben Ui = L = ( – 2,7 · 10–2 ) (–0,04) / 1,08 · 10–3 V
!
Fentiekből megérthető, hogy készíthetünk önindukció-mentes tekercseket egyszerű u.n. bifiláris tekerecseléssel. A tekercselendő előre lemért hosszúságú drótot középen fogva kettéhajtják, majd az így előálló kettős vezetékkel tekercselnek: a szomszédos vezetőmenetekben az áram ekkor ellentétes irányba folyik, az áramok mágneses terei gyakorlatilag megsemmisítik egymást, — a fluxus a bifiláris tekercsben csekély lesz.
!, A légmagos tekercs induktivitása: $0 N2A 4 + · 10–7 · 5625 · 2 · 10–4 L0 = = 0,12
648
6.3.3. Az RL áramkörök. Az induktivitás, mint áramköri elem. Energia tárolás mágneses térben.
E pontban a mágneses analóg jelenségeket vizsgáljuk: ezekben a q töltésnek az elektromos áram, a C (ideális) kapacitásnak az L (ideális)* induktivitás felel meg.
! Vizsgáljuk meg a 6.70a. ábrán látható soros RL áramkört! 1
G
K
R
L
2 Ef
EL(1)
EL(2)
(a) I
I I* -
E R
E R
E 1 14 31 0 6 R 2 e5
7 ~ 0,63
8L
E R
E 1 14 3 6 R 2 e5 t
(b)
7 ~ 0,37
8L
E R
t (c)
6.70. ábra. a) Egy RL áramkör egy f 9 = t forrás-(telep-) feszültségű teleppel. b) A (b) ábra a bekapcsolás (K kapcsoló az “1” helyzetbe) utáni I(t) függvényt; c) a c) ábán a telep kikapcsolás (K a “2” helyzetbe) utáni I(t) görbéjét mutatja a bekapcsolás utáni állandósult (I*-al jelölt) állapot elérése után. A G egy kis beállási idejű galvanométer. Az a) ábrán az L induktivitáson, a Lentz törvény értelmében kialakuló Ui = L feszültség előjelét is jeleztük: (1)-el a be- és (2)-vel a kikapcsolás időszakában.
* Az ideális induktivitás foglamát az előző 6.3.2. pontban definiáltuk: mivel a tekercsek véges ellenállású huzalból készülnek, a tekercsek ellenállását hozzáadjuk az áramkör egyéb ellenállásához; ezzel a “reális induktivitást” egy vele soros R és egy “tiszta”, ideális induktivitásra bontottuk!
A 6.1.7. pontban megvizsgáltuk a kapacitás, mint áramköri elem (ideális kondenzátor) hatását egy RC áramkörben, illetve a kondenzátorok (általánosságban pedig az elektromos tér) energiatároló képességét.
649
dI Ui = L = – L dt
(6.215)
indukált feszültség melynek polaritása a Lentz-törvény értelmében dI/dt > 0 esetén a telep t forrásfeszültségével ellentétes. Amikor I (a 6.70b) ábrán *-al jelölt) állandó értékét eléri, kapcsoljuk a K kapcsolót a (2) állásba (válasszuk le a telepet úgy, hogy a RL körben az áramot továbbra is mérhessük) és vegyük most fel az I(t) “lassan” csökkenő kikapcsolási görbét (6.70c) ábra). A magyarázat értelemszerűen hasonló. Az egész jelenség kisérletesen csak elég nagy induktivitású áramkörben (pl. vasmagos tekercs alkalmazásakor) észlelhető jól. Összefoglalva: Nagy induktivitású áramkörben az áramerősség a telep bekapcsolása után nem változhat ugrásszerűen; állandó értékét adott” időállandóval” éri el, — kikapcsoláskor (ha az RL zárva marad) csak azonos “időállandóval” csökken zérusra. A kvantitatív összefüggések felírhatóak, ha mind a be-, mind a kikapcsolás időszakára felírjuk a Kirchhoff II. (hurok-) törvényt (ld. 6.118). Minden pillanatra érvényes, hogy : = 0, azaz (az I(t) helyett egyszerűen I-t írva): t – IR – L
illetve
dI dt = 0
(6.216)
(bekapcsolás után) dI
IR + L dt = 0 (kikapcsolás után)
(6.217)
Zárjuk az áramkört (állítsuk a kapcsolót (1) állásba) és vegyük fel a G galvanométert figyelve az áramkör I(t) bekapcsolási görbéjét (6.70b.ábra). Azt tapasztaljuk, hogy az I áramerősség a bekapcsolás után nő, de csak bizonyos idő után éri el az Ohm-törvény alapján várható t /R értéket (ahol R az egész zárt áramkör ellenállása, beleértve a telep belső ellenállását és a reális tekercs ohmos ellenállását is), majd ezen állandó értéken marad. Ha az áramkör nem tartalmazná az L induktivitást, az áram pillanatszerűen állna be. A jelenség oka L induktivitás kapcsán fellépő
650 A (6.217)-(6.218) differenciálegyenleteket szeparálással megoldva* I(t)-re az
t
illetve
I=R e
R
–L·t
(6.216a) – (6.217a)
egyenleteket kapjuk. ( A t/R az ohmos ellenállásokon eső— L nélküli — áramerősség érték.) A 6.70b,c ábrát és a (6.216a), illetve (6.217a) képleteket tanulmányozva láthatjuk, hogy az időbeli változás egy 8RL = L / R időállandóval, jellemezhető mely az adott áramkörbeli L és R értékeit tartalmazza. t 1 Láthatóan, ha t = 8RL, akkor pl. kikapcsoláskor I = R e , azaz az áram éppen e-ed részére csökken. 1. Példa. Legyen egy vasmagos tekercs induktivitása L=100H, az áramkörben levő összes R értéke pedig R=20;, akkor 8RL = 5 s. Az áramerősség 23 s alatt éri el állandó vagy közel nulla értékét. 2. Példa. Ha R=2000;, L=4H és t = 10 V. Az adatokból 8RL = 2 ms és az állandó áramerősség értéket 8 ms alatt érjük el. 3. Példa. Legyen L=53 mH, az R= 0,37 ;, azaz legyen 8RL.0,14s. 1 t Bekapcsolás után mikor éri el az áram az 2 R értéket? Jelöljük ezt az időt t1/2-el! 1 t Megoldás: Az I = 2 R értéket a (6.216a) képletbe helyettesítve: –t /8RL 4 1 t t1 3 1 – e 1/2 6 = 2R R2 5 ahonnan –t1/2 /8RL 1 =2 e és így t1/2 = 0,1 s
* Pl. a (6.216) differenciálegyenletre, — szeparálva és integrálva. I
= < 0
t
dI 1 = = dt t – IR L < 0
Az integráltáblázatot használva (Bronstejn, id.mű) azt kapjuk, hogy –
t 1 · ln ( t – IR) = + A L R
Az A konstanst a t=0, I=0 kezdeti feltételekből meghatározva (6.216a) eredményhez jutunk.
R 1 4 – L·t 6 3 I= R21–e 5 t
651
! Energiatárolás mágneses térben. Ha egy követ külső munkával felemelünk a Föld felszine fölé, azaz a két kölcsönhatásban levő testet egymástól “szeparáljuk”, — a kő-Föld zárt rendszer potenciális energiája nő; a követ visszaejtve munkát végeztethetünk. Hasonlóan ha ellentétes töltéseket pl. egy kondenzátor feltöltése során szeparálunk, akkor a feltöltött kondenzátor elektromos terében az elektromos (potenciális) energia: 1 q2 1 Epot = 2 C = 2 CU2 9 = Eel
(ld.(6.59))
Hasonlóan ezen példáinkhoz, ha két egymással párhuzamos merev vezetőben azonos irányba áramot vezetünk, azok vonzzák egymást. Ha most e két egymást vonzó vezetőt egymástól külső munkával eltávolítjuk, akkor a környező mágneses tér energiáját növeljük, mely (a két vezető vonzásának szabad utat engedve) munkavégésre fordítható. A mágneses energia tárolására (a kondenzátor analógiájaként) a tipikus elem az L induktivitással (önindukciós együtthatóval) rendelkező tekercs. ! A tekercsben tárolódó mágneses energia kiszámítása céljából számítsuk ki a 6.70.a ábrán ábrázolt áramkörben a telep (áramforrás) által a bekapcsolás utáni t időpontban dt idő alatt végzett W = Utelep I(t) dt munkát. (Az t helyett írtunk Utelep 9 = Ut-t, ahol a t index a “telep” szó rövidítése.) A telep munkájának kiszámításakor előjelhelyesen figyelembe kell venni a telep feszültségéhez időfüggvényként hozzáadódó indukált feszültséget is: a telep munkáját tehát úgy kapjuk meg, ha a céljainknak megfelelően átrendezett (6.216) egyenletet végigszorozzuk I(t) dt-vel; íly módon az Ut I(t) dt = I2 R dt + LI(t)
dI(t) dt dt
(6.218)
Végül két fontos gyakorlati megjegyzést: 1. a fent ismertetett kísérletben kísérleti hibát vétettünk: kikapcsoláskor a telepet egyszerűen rövidre zártuk; ez az eljárás a legtöbb áramforrást tönkreteszi; 2. helyesen jártunk el, amikor a telep kiiktatásakor gondoskodtunk a RL kör zárva maradásáról; ha az áramkört egyszerűen megszakítottuk volna, az áramerősség igen gyorsan csökkent volna és ennek hatására igen nagy indukált feszültség léphet fel, ami a kapcsolónál (áramszaggatónál, pl. csengő esetén) szikrázáshoz, ívkisüléshez vezethet. A megszakításkor keletkező ív ellen (különösen nagy L értékek esetén) pl. a kapcsoló olajba merítésével védekezni kell.
652
I0
2
LI0 Wm = = LI(t) dt = < 2 = Em
(6.219)*
0
egyenlő a tekercs Em mágneses (potenciális) energiájával. A (6.219) kifejezés analóg a CU2 feltöltött kondenzátor Eel = 2 energiájával, ill. a haladó, ill. forgómozgást végző mv2 test 2 kissé, ill. >?2/2 kinetikai energiájával; felismerhető az L induktivitás analógiája a tömeggel, ill. a tehetetlenségi nyomatékkal; az analógiát továbbvíve az L szerepe hasonló a >-hoz: egy nagy >-jú lendkerék lassan éri teljes forgási sebességét és a forgatónyomaték megszünte után egy ideig még forgásban marad. 1 ! A 6.1.7. pontban a kondenzátor Eel = 2 CU2 képletéből kiindulva vezettük le az elektromos erőtér wel energiasűrűségét. Kövessünk a mágneses erőtér wm energiasűrűségének kiszámításánál hasonló utat, — a légmagos toroid körtekercs B=
$0NI
ill.
L=
$0N2 A
(ld. (6.143), ill. (6.212)
képleteiből kiindulva. A (6.143) egyenletből I értékét kifejezve és L (6.212) képletét felhasználva, — helyettesítsük ezen értékeket Wm = Em (6.219) egyenletébe: 2 1 2 1 $0N A 1 B 42 1 B2 1 B2 ·3 = A · = Wm = Em = 2 LI = 2 6 2 $0 2 $0 V 2,$0N5
(6.220)
Egységnyi (V=1) térfogatra számítva a mágneses tér wm-el jelzett energiasűrűsége $r=1 relativ permeabilitású közegben 1 B2 1 wm = 2 = B·H, $0 2
*
J 2 A = J; A2
'J* &m3) % (
(6.221)
(ld. (6.212a))
A (6.218) kifejezést értelmezve láthatjuk, hogy az áramforrás által végzett UtI(t)dt munkának csak egy része ( I2R dt) alakul át Joule-hővé; a fentmaradó LI(t)dI(t) a tekercsben tárolt (mágneses) energiává alakul át. Ha az áram beállt a Ut/R = I0-al (az ábrán I*-gal jelölt) jelölt állandó értékre, akkor az áram teljes növekedési szakaszában a teljes mágneses energiává alakult munka (jelöljük Wm-vel):
653 Foglaljuk össze az elektromos, a mágneses és az elektromágneses tér energiasűrűségére vonatkozó képleteket: (6.222)
1 wm = 2 B H
(6.223)
1 1 welm = 2 ( E D + B H ) = 2 (@0 @r E2 + $0 $r H2)
(6.224a,b)
ahol az elektromágneses esetre vonatkozó egyenlet második (6.224b) egyenlősége csak homogén, izotróp és $r .1 közegre érvényes. Megjegyzés: Noha a képleteket itt és a 6.1.7. pontban konkrétan csak áramköri elemekre vezettük le, az eredmények a tapasztalat szerint, fent jelzett megszorításokkal általánosan bármely (akár gyorsan váltakozó) elektromos, mágneses, illetve elektromágneses térre érvényesek. Az elektromágneses tér fenti (6.224) képletét felhasználjuk az elektromágneses térben (pl. fényben) fénysebességgel terjedő energia kiszámításánál (ld. 7.3.3. pontot).
4. Példa. Hasonlítsuk össze a homogén elektromos, illetve mágneses térben tárolható energiát száraz levegőben! Ilyen körülmények között V az elérhető maximális elektromos térerősség E = 106 m (ez a száraz levegő átütési szilárdsága); egy vasmagos elektromágnes pólusai közötti keskeny légrésben B / 0,8 T reális érték. A megfelelő energiasűrűségek 1 wel = 2 @0 @r E2 ,
1 wm = 2
1 $0 $r
B2
$r =1 esetén tehát wel = 4,43 Jm–3 illetve wB = 2,54·105·J·m–3. Az adatok többé-kevésbé tipikusak: a mágneses tér kb. 105-ször több energiát képes tárolni, mint az elektromos.
1 wel = D E 2
654
6.3.4. LC, LCR áramkörök. Néhány átvezetõ gondolat a rezgéstanba: elektromos-mechanikai analógiák.
elektromos és mágneses energiakifejezéseket és írjuk fel egy LC áramkörre az energiamegmaradás kifejezését: 1 1 q2 Etot = Em+ Eel.= LI2 + 2 2C
(6.225)
Ez utóbbi kifejezi, hogy egy ideális L induktivitást és C kapacitást tartalmazó (idealizált) áramkörben a tárolt Etot összenergia részben az induktivitásban tárolt Em mágneses energia, részben a kondenzátorban tárolt Eel elektromos energia között oszlik meg. Mivel az áramkörben nincs R ohmos ellenállás, az energia nem disszipálódhat (nem alakulhat át Joule hővé), — így az Etot az időben állandó, miközben a I(t), ill. q(t) időben változik. Az energia megmaradást az fejezi ki, hogy a dEtot/dt=0. Ez a feltétel a (6.225) egyenletet idő szerint deriválva) dEtot d 11 2 1 q2 4 dI q dq = LI + = LI 3 6 dt dt 22 2C5 dt + C dt = 0
(6.226)
egyenlethez vezet. Felhasználva az dq(t) I = dt
és
dI(t) d2 q(t) dt = dt2
(6.226a,b)
kifejezéseket, a (6.226) egyenletet a d2 q(t) 1 dt2 + LC q(t) = 0
(6.227)
alakba írhatjuk. Az egyenlet a harmonikus csillapítatlan rezgés d2 x(t) D d2 x(t) +mx=0= + ?2 x dt2 dt2
(6.228)
ismert egyenletével (ld. 7.1. pontot) analóg. Összehasonlítva (6.227) és (6.228) egyenleteket, az analóg elektromos és mechanikai mennyiségek között q A x,
L A m,
D ?2 = m A C–1
1 11 Epot (oszcillátor) = 2 kx2 A Eel (kond) = 2 C q2
! LC áramkörök. Alkalmazzuk az előzőekben és a 6.3.3. pont végén összefoglalt
655 Ekin =
1 1 2 2 mv A E = m 2 2 LI
megfeleltetés adódik. A (6.228) egyenlet megoldása ismert, pl. (6.228a)
q = qm cos (?t + B0)
(6.227a)
a (6.227) egyenlet megoldása pedig
alakba írható. Számítsuk ki a (6.227a) egyenletből a q· és ··q deriváltakat és helyettesítsük be őket az (6.227) egyenletbe, amikor is 1 – ?2 qmcos (?t +B0) + LC qm cos (?t + B0) = 0 eredményt kapjuk. Átrendezve az ?=
1 LC
(6.229)*
egyenlőséget kapjuk: ez a harmonikus csillapítatlan rezgés (az LC rezgőkör) körfrekvenciája.
! Mivel egy LC áramkörnek reális esetben elkerülhetetlenül R ohmos ellenállása is van, az energia R-en történő disszipációja miatt a (6.226) egyenletben dEtot dt C 0,
hanem
dEtot 2 dt = – I R
ahol az elektromos teljesítmény negatív előjele arra utal, hogy az összenergia belső energiává disszipálva csökken. Így a (6.226) egyenletet ill. annak (6.227) alakját a (6.226a,b) jelölésekkel d2q R dq q + + q=0 dt2 L dt LC
* A mechanikai megfelelő (ld. 7.1. pontot) ?=
D m
** A (6.226) helyett tehát L
dq d2q q dq dq dq + + ·R=0 C dt dt dt dt dt2
irandó; egyszerűsítve és átrendezve (6.230) adódik.
(6.230)**
x = xm cos (?t + B0)
656 alakban kell felírnunk. Ennek egyenlete analóg a csillapított harmonikus rezgőmozgás m ··x + 2 Dx· + ?2 x = 0
(6.231)
R 2D#L A (6.230) ill. (6.231) egyenletek általános megoldása x(t) = Ae–Dt cos (?’t + B0)
(6.230a)
ill. q(t) = qm e–Rt/2L cos (?’t + B0)
(6.231a)
ahol (ha,fennáll, hogy D E ? fennáll) 2 2 ?’ 9 = ? –D
(6.232)
a harmonikus csillapított rezgés (rezgőkör) körfrekvenciája. Ha D EE ?F, akkor ?’/,?-val.,Az ? a csillapítatlan rezgés (6.229) körfrekvenciája. 5. Példa. Egy LCR áramkörben L=12 mH, C=1,6 $F és R=1,5 ;. Mekkora a rezgőkör ?' körfrekvenciája és mekkora a rezgés lecsengéséig a periódusok száma? Megoldás: Helyettesítsük be az értékeket a (6.232) egyenletbe (vegyük figyelembe, hogy ?-át a (6.229)-ből kell helyettesítenünk): ?' = 51,84 · 106 – 3,9· 103 . 7217 rad/s azaz az ?' . ? közelítéssel számolhatunk. A rezgés periódusideje T=
2+ = 8,70 · 10–4 s ?
Ha a csillapított rezgés t' lecsengési idejét a (6.231) egyenlet szerint úgy definiáljuk, hogy ezalatt a kezdeti qm amplitudó 1,5-szeresre csökken, akkor t'-t az 1 e–Rt/2L = 2 egyenlőségből kell kiszámolnunk: 2L t = R · 0,693 = 0,011 s
ugyancsak ismert (ld. 7.1. pontot) egyenletével, ahol a D, a harmonikus csillapított rezgőmozgás csillapítási együtthatója; látható, hogy
657 A t’ lecsengési idő alatti periódusok száma t = 12,6 T
Az áram mágneses hatásának és az indukció jelenségének felfedezése az 1830-as években megnyitotta az utat az elektrotechnikai forradalom előtt. Ehhez hasonló technikai forradalmat csak a félvezető eszközök e század közepére eső felfedezése jelentett, mely megnyitotta az utat az elektronikai forradalom előtt. Nem feladatunk az elektrotechnikai alkalmazások igen széles spektrumát bemutatni. Az elektromotorok, generátorok, transzformátorok, a telefonia, a rádió, a hang és képrögzítők első generációja mind az elektrotechnika terméke. Az alábbiakban a transzformátor, az egyen-, illetve váltóáramú motor, és a generátor egy-egy tipusának fizikai alapelvét ismertetjük. Fel kell hívnunk az olvasó figyelmét arra, hogy ahhoz, hogy az ilyen elektromos készülékek egyáltalában működjenek (méginkább optimálisan működjenek), fizikai elveken túl a műszaki megoldások sorozatát kell alkalmazni, a szerkezeti anyagok optimális megválasztásáról nem is beszélve. Ezek vonatkozásában a megfelelő szaktárgyakra utalunk.
! A kölcsönös indukció alkalmazásának egyik példája a transzformátor.* A transzformátor általában közös lágyvasmagra tekercselt két tekercsből áll, az ún. primér (1) és az ún. szekundér tekercsből (2). A lágyvasmagot speciális transzformátor vasötvözetből** készült lemezekből állítják össze úgy, hogy a létrehozott ún. zárt
* A zártmagú, gyakorlati célokra is alkalmazható transzformátor (ld. 6.71. ábrát) magyar találmány (1882). A három feltaláló: Bláthy Ottó Titusz, Déry Miksa és Zipernovszky Károly. Az 1885-ös budapesti világkiállításon már 16 ilyen működő transzformátor látta el árammal a díszvilágítást.
** Ez egy speciális Si-tartalmú lágyvasötvözet. Ezzel és a fent ismertetett elrendezéssel a vas elkerülhetetlen hiszteréziséből (ld. 6.59. ábrát) és az ún. örvényáramokból eredő veszteségeket minimalizálják és a két tekercs közötti induktív csatolást is javítják.
6.3.5. Az elektromágneses indukció és az elektromágnesség néhány alkalmazásának fizikai alapjai.
658 vasmag zárt mágneses kört alkosson; A tekercseket szorosan egymás fölé tekercselik, így mind a primer, mind a szekunder tekercs hossza ‘ ’. (ld. 6.71. ábrát).
Az így elkészített transzformátor (1) primér tekercsébe váltóáramot bocsátva, a (2) szekundértekercsben indukált feszültség keletkezik, melynek értéke — mint az alábbi gondolatmenettel belátható — ideális (veszteségmentes) esetben csak az U1 primér feszültségtől és a két tekercs menetszámainak arányától függ. Mindkét tekercsen ugyanaz a fluxusváltozás halad át, tehát a primer és a szekunder tekercs egy menetére a d"B d(B·A) dt = dt ún. menetfluxus azonos, azaz (egy-egy menetre) 1d"B4 1d"B4 3 6 3 6 = 2 dt 5primér 2 dt 5szekunder Következőleg az egy-egy menetben indukált feszültségre, az u.n. menetfeszültségre d"B4 1 3Ui = – 6 dt 5 is fennáll az azonosság. 2 Ezen menetfeszültségek egy tekercsben sorba vannak kapcsolva, így a tekercsben indukált feszültség a menetfeszültség menetszám-szorosa lesz. Legyen a
6. 71. ábra. A transzformátor egy lehetséges kiviteli módja. A B erővonalakat (az adott elrendezésben) szaggatott vonallal berajzoltuk.
659 primér tekercs menetszáma N1, a szekunderé N2, — akkor a primér tekercs U1 ill. a szekunder terkercs U2 tekercsfeszültségeire: (6.233a)
d"G U2 = dt N2
(6233b)
összefüggések érvényesek. A két egyenletet egymással elosztva a transzformátor áttétele adódik: U1 N1 U2 = N2
(6.234)
A feszültségek tehát az áttétellel egyenes arányban transzformálódnak. Egy terhelésre dolgozó transzformátor esetén (mivel az energiamegmaradás törvénye miatt a bevitt teljesítmény ideális (veszteségmentes) esetben azonos kell, hogy legyen a kimenő teljesítménnyel) U1I1 = U1I2 Az áttétel (2.234) kifejezésének felhasználásával) az áramok viszonyára az: I1 N2 I2 = N1
(6.235)
kifejezés adódik. Vagyis az áramok az áttétel reciprokával transzformálódnak. A fentiek alapján a transzformátor elve egyszerűen megfogalmazható: a menetszámok célszerű megválasztásával a nagy (ill. kis-) primér feszültség kis- (ill. nagy-) szekundér feszültséggé transzformálhatóak. A (6.235)-ből látható, hogy a transzformátorral áramerősségek is transzformálhatóak. A feszültség transzformálásának igen nagy jelentősége van: a nagyobb feszültségű és kisebb áramerősségű áram ugyanakkora ohmos ellenállású vezetéken való szállításakor sokkal kisebb az energiaveszteség. Mivel az áramvezetékben hővé alakult teljesítmény I2R-rel arányos, — a nagyfeszültségű szállítás sokkal gazdaságosabb. A fogyasztó előtt a nagyfeszültségű váltakozó áram újra letranszformálható. Ehhez a (6.234) áttételi egyenlet alapján nagy menetszámú primér és kis menetszámú szekundér tekercset alkalmazunk. A menetszámok megfelelő megválasztásával a fordított folyamat (kisfeszültség nagyfeszültséggé alakítása) is elvégezhető: ez történik a generátorok és a nagyfeszültségű távvezetékek között.
d"G U1 = dt N1
660 A (6.234) egyenlet a terheletlen transzformátor esetére a kölcsönös indukció képleteiből is levezethető. A transzformátor akkor terheletlen, ha a szekundér tekercsben nem folyik áram: I2 = 0. (Ugyanakkor a primér tekercsben ilyenkor is folyik I1 üresjárási (vagy meddő) áram: I1=U1/Z1, ahol a Z1 a primér tekercs impedanciája, ld. 6.5. pontot.) dI1 dI1 és (ld.(6.209)) HUi1H = L , így dt dt U2 M21 = . L U1 A (6.208) alapján M21 = $o$r N2N1 hányadosából (6.234) adódik. .
2 A A , míg (6.214) alapján L = $o$r N1 ; a két kifejezés
! Váltakozó áramú generátorok. A 20. század eleje óta az elektromos áramot — speciális esetekből eltekintve — váltakozó áramként ilyen generátorokkal állítják elő, rendszerint háromfázisú generátorokban. Ha egy áramkeretet, általános esetben egy N menetű tekercset egy mágneses B mező indukcióvonalait metszve adott (állandó) n fordulatszámmal forgatunk, akkor a Faraday-féle indukciós törvénynek megfelelően a forgó tekercsben feszültség indukálódik. (Az alapjelenséggel az elektromágneses indukció elemi formái között (ld.6.64c. ábra) már megismerkedtünk.) Tekintsük a 6.72a. ábrán látható elvi elrendezést, mely egy egyszerű egyfázisú váltóáramú generátor működési elvét mutatja. A "B = = < BdA fluxus A keresztmetA
szetű N menetű kereten (tekercsen): "B = NBA cos I(t) = NBA cos ?t (ha t=0 nál ?t =,I=0)
(6.236a)
ahol I(t) a keret A felületének normálisa és a B indukcióvektor által bezárt időfüggő I(t) =,?t szög. Így az N menetű keretben (tekercsben) indukált feszültség Ui 9 =U=–
d"B dt = – (– NBA ?,sin ?t)
u(t) = NAB ? sin ?t = um sin ?t
(6.236b)
u(t)4 1 Ha a keret és a fogyasztó ellenállása R, akkor mivel 3i(t) = R 6 2 5 i(t) =
NAB? R sin?t = im sin ?t
(6.236c)
Mivel (ld.(6.201a)) ekkor HUi2H = M21
661
I felületi normális B
(a)
kefék
R
(b)
B 0° 0
90° +/2
180° +
B 360° forgásszög 2+
270° 3+/2
Uind I-?t t T-
2 1 ? f
b D
É
a
(c) ~
c É D
d
6.72. ábra. a) Egyfázisú váltakozó áramú generátor elvi elrendezése; b) az a) elrendezés tengellyel és vezetőkerettel (-tekerccsel) együttforgó csúszógyűrűiről levett váltakozó áram egy periódusa és a tekercs B térhez viszonyított helyzete; c) egyfázisú generátor egyszerüsített vázlata, melyben 3 mágneses mezőt gerjesztő elektromágnes forog — és a tekercsrendszer, amelyben az áram indukálódik (az armatura) a külső álló rész (sztátor).
hajtótengely
662
Az 6.72a. ábrán látható elrendezés ún. “külső pólusú” elrendezés, azaz a mágneses mezőt a külső állórész (sztátor) gerjeszti, — kis teljesítményű esetben gyakran állandó mágneses pólusokkal.
!
A nagyteljesítményű generátorokban a “belső pólusú” elrendezést alkalmazzák; egy ilyen elrendezés vázlatát mutatja a 6.72c. ábra. Itt a mágneses mezőt a forgórész (rotor) állítja elő. Az ezt körülvevő, lemezelt vastestre csévélt tekercsek (armatúra) az állórészen (sztátoron) vannak elhelyezve. Az ábra esetében két póluspárt tartalmazó mezőmágnes tekercsei a gerjesztő egyenáramot külső áramforrásból, vagy a rotor tengelyéhez kapcsolt dinamóból kapják a két csúszógyűrűvel érintkező keféken át. A sorba kapcsolt a, b, c, d armatúratekercsek közül két szomszédosnak a csévélési iránya ellentétes lévén, egy adott pillanatban mindegyik tekercsben azonos fázisú feszültség indukálódik (mert amikor a előtt egy északi, akkor b előtt egy déli pólus halad el), és így a generátort a fogyasztóval összekötő A, B végek közti feszültség az egyes feszültségek összege. A váltakozó feszültségnek vagy áramnak egy teljes periódusa 2 póluspár esetén nyilván 1/2, p póluspár esetén pedig l/p fordulat alatt jön létre. Mivel a váltakozó áramú generátorban nincsen “kefeszikrázás”, ilyen elrendezéssel akár több tízezer volt feszültségű és több száz megawatt teljesítményű gépek is készíthetők. Előírt f frekvenciájú váltóáram előállítására a rotort szigorúan rögzített “szinkron fordulatszámmal” (n=f/p) kell járatni. Ilyen szinkrongenerátorok pl. a hálózatra dolgozó erőművi generátorok. A nálunk is használatos f=50 Hz-es áramot előállító generátorok forgórészén — a póluskeréken — a póluspárok száma (p) a meghajtó erőgép fordulatszáma (n) szerint különböző. Lassú forgású gépek — dugattyús gép, vízturbina — esetében a nagy átmérőjű (4-8 m) keréken sok póluspár van (pl.p=36, amikor is n=f/p=50/36 s–1 = 83,3 min–1 ), a nagy fordulatszámú (n=3000 min–1) gőz- vagy gázturbinával meghajtott turbógenerátor kis átmérőjű (/1 m) póluskerekén viszont csak 1 póluspárt alakítanak ki a hengeres vasmag hornyaiban elhelyezett tekercsek segítségével.
Példa. Adva van egy turbógenerátor a forgórészen két elektromágnessel. Az álló rész hornyaiban négy tekercs van (melyek közül a szomszédosak tekercselési iránya ellentétes), amelyek egymással 90o-os szöget zárnak be és sorba vannak kapcsolva. Ebben az elrendezésben a forgórész (rotor) egyetlen körülfordulása alatt a váltakozó áram két periódust fut be; pl. 1500 s–1 fordulatszám mellett a turbógenerátor f=50 Hz frekvenciájú váltakozó áramot hoz létre.
A tekercsben tehát szinuszosan váltakozó feszültség és áram keletkezik, amelyeknek iránya a 6.72a ábrán látható egyszerű elrendezésen (“egy mágneses póluspár”) minden körülfordulás alatt kétszer változik meg (az I=0 és az I=+ helyzetben (ld. 6.72b) ábrát). Az európai elektromos hálózatok frekvenciája 50 Hz, az USA-ban 60 Hz: láthatóan ezt az igen pontosan betartandó forgatási fordulatszám határozza meg (ld. még alább).
663
!
A mezőmágnes nagyobb teljesítményű generátorokban mindig elektromágnes, amelynek tekercseit kezdetben külön áramforrásból táplálták. Ilyen külső gerjesztésű generátorokat ma már csak ritkán alkalmaznak (ott, ahol nagymértékű feszültségváltoztatás lehetőségét kell biztosítani). Az öngerjesztésű generátorok vagy dinamógépek a mágnesező áramot saját maguk állítják elő a következő elv alapján (öngerjesztés elve vagy dinamóelv, Jedlik Ányos, 1861; Werner von Siemens, 1867). Az elektromágnes vasmagjának mindig van csekély remanens mágneses indukciója (Br), amelynek folytán a forgásba hozott armatúra tekercsében kis feszültség, ill. (zárt áramkör esetén) áram indukálódik. Ha ezt a gyenge áramot a megfelelő irányban átvezetjük a mezőmágnes tekercsein is, a mezőmágnesnek így megnövekedett indukciója már erősebb áramot kelt, amely tovább növeli az indukciót, stb.: a mezőmágnes B indukciója és a keletkezett I áram kölcsönösen bizonyos határig erősítik egymást. Ez a határ — még a vasmag mágneses telítettsége előtt — azért alakul ki, mert I növekedésével B egyre lassabban nő. A mágneses mezőt gerjesztő nagyellenállású tekercset az armatúra tekerccsel sorosan, párhuzamosan, illetve (a gerejesztőtekercset kétfelé osztva) vegyes kapcsolásban kötik be: mindegyik más “terhelési karakterisztikát” ad. A részletekkel kapcsolatban a szaktárgyi anyagra utalunk.
!
Történetileg először egyenáramú generátorokat építettek, melyek a fent ismertetett külső pólusú váltakozó áramú generátor u.n. kommutátorral (irányváltó) kiegészített változatai. A bonyolult részleteket mellőzve lényegében arról van szó, hogy a keretet (tekercseket) a tengelyre szerelt, attól és egymástól elszigetelt két (vagy értelemszerűen páros számú) hengerszegmensre vezetik ki, melyről az áramot két érintkező kefével veszik le oly módon, hogy a kefe az áram irányváltásakor éppen a következő szegmensre ugrik; ezzel lüktető egyenáramot kapunk. A lüktető egyenáram a tekercsek ill. kommutátor szegmensek növelésével, majd elektronikus módszerekkel simítható.
! Az egyenáramú generátor fordított működéssel (az armatúrába áramot engedve) egyenáramú motorként működik. Az első ilyen elektromotort Jacobi építette 1834ben. Az egyenáramú generátor nyugalomban levő armatúrája forgásba jön, ha a gép sarkaira — a fogyasztó helyett — megfelelő feszültségű áramforrást kapcsolunk:
! Helyezzünk el egy belső pólusú váltakozó áramú generátor armatúrájában (állórészén) három (egymáshoz képest 120, ill. 240 fokkal elfordított, páronként egymással szemben levő, sorbakapcsolt) tekercspárt, — és forogjon ennek belsejében nagy fordulatszámmal (ld. feljebb) egy 1 póluspárt tartalmazó rotor. A rotor forgásakor a tekercspárokban egyenlő csúcsértékű, — de egymástól 120 o-kal különböző fázisú váltakozó feszültség, ill. áram indukálódik hat kivezetéssel. Ha ezekből a megfelelő hármat egyesítik (ez az általában földelt nullvezeték), akkor a fogyasztóhoz az áramot 4 vezeték továbbítja, melyen a fogyasztó számára kétféle feszültség áll rendelkezésre: szokásosan a nullvezeték és egy “fázisvezeték” között U=230V, két fázisvezeték között pedig 398 V ( 3·230=398) effektív feszültség.
664 ekkor a gép elektromos energiát alakít át mechanikai munkává, tehát mint elektromotor működik.
kommutátor
az állórész tekercsei
É állórész B
É
D
vezető félhenger
szigetelés
forgórész
(a)
D
a forgórész tekercsei
(b)
6.73. ábra. a) az egyenáramú motor működési elve; b) kéttekercses forgórészű egyenáramú motor keresztmetszete.
Az armatura forgásba kerülését eddigi ismereteink alapján (egy egyszerű esetben) könnyen megérthetjük (ld. 6.73a ábrát). A mágneses mezőbe helyezett árammal átjárt vezető hurokra a Lorentz erő, mint erőpár MFL forgatónyomatékot gyakorol (ld. a (6.131) képletet), melynek abszolút értékét M = pm · B · sin I
(ld.(6.131a))
kifejezés, irányát pedig a keretbe vezetett áram iránya adja meg (ld.6.45c. ábra, pm az I áramiránnyal jobbcsavart alkot) és pm = IA ill. N menetes keret (lapos tekercs) esetén pm = NIA, ld.(6.132b) képletet. Ezek alapján (6.131a) kifejezést M = NIAB sin I,
,,,,,,,(6.237)
alakba is írhatjuk. Az I az A menet-felület n normálisa és a B tér iránya által bezárt szög. A 6.73a. ábrán a bejelölt B térben az adott időpillanatban érvényes (ábrán bejelölt) áramirány és áramkeret-helyzet esetén pm a keretre merőlegesen, az ábrán felfelé irányul; mivel a forgatónyomaték pm -et B irányába kívánja beállítani a keret (a tengelyen jelölt irányba) elfordul. Amikor a pm a B irányba kerül (I=0) a forgatónyomaték M=0, de a tehetetlenség a keretet ezen a holtponton átlendíti. Továbbfordulva M ismét nőne, de hatása most az eddigivel ellentétes irányú forgást keltene; e pillanatban (tehát I=0-nál, amikor pm éppen B irányú) azonban a kommutátor automatikusan
állórész
forgórész
665 áramirányt vált, — így M nő és ismét az eredeti irányba mutat: a forgás az eredeti, bejelölt irányban folytatódik.
A B-térben forgó keretben természetesen folyamatosan áram indukálódik, mely gyengíti az eredeti áram változását (Lenz törvénye). Ezért — ha az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy a mezőmágnes permanens mágnes és az armatúra R ellenállása mellett az áramkör többi részének ellenállása elhanyagolható — az armatúrán átmenő áram intenzitása: I=
U – Ui R
(6.238)
Mivel Ui értéke a fordulatszámmal nő, nagyobb fordulatszám, azaz kisebb terhelés mellett I kisebb lesz, vagyis a motor áramfelvétele automatikusan alkalmazkodik a külső terheléshez: a fordulatszámnak terheléssel — fékezéssel — való csökkentésekor a motorral sorba kapcsolt ampermérő nagyobb áramot jelez. A (6.238)-ból láthatóan I akkor a legnagyobb, ha az armatúra áll (Ui=0). Ezért a bekapcsoláskor fellépő nagy áramerősség kialakulásának megakadályozására a motorhoz általában előtétellenállást, u.n. inditó ellenállást kell kapcsolni, amely azután fokozatosan kiiktatható. A (6.238) egyenletnek U=Ui + RI alakjából következik, hogy (a feltételezett esetben) a motor által felvett feljesítmény: P = UI = UiI + I2 R
(6.239)
Az I2 R tag nyilván a Joule-hővé alakult résznek, UiI pedig a motor által végzett mechanikai munkának felel meg. Ezért a motor hatásfoka: Ui 1 Ui4 UiI J = P = U + IR 3 = U 6 2 5 i annál nagyobb, minél kisebb a motor R ohmos ellenállása.
! A váltakozó áramú motorok témaköre meghaladja könyvünk és a fizika kereteit. Az itt alkalmazott u.n. forgó mágneses tér létrehozása és a legkülönbözőbb motortipusok (az aszinkron vagy indukciós, és a háromfázisú aszinkron motorok, az egyfázisú indukciós motorok, a szinkron motorok, és a kommutátoros motorok) vonatkoásában e címszavak alapján a szakirodalomra utalunk.
Az M forgatónyomaték lüktetése kisimul, ha a forgórészen több, egymáshoz képest elfordított tekercset alkalmazunk, melyekre ható forgatónyomatékok vektoriálisan összeadódnak (ld. 6.73b. ábrát).
666
6.4. AZ ELTOLÁSI ÁRAMMAL KIEGÉSZÍTETT GERJESZTÉSI TÖRVÉNY (MAXWELL I. TÖRVÉNYE).
(Időben váltakozó elektromágneses terek II.)
Tekintsük át a 6.7. táblázatban a 6. fejezet eddigi pontjai alapján azokat az alapvető kísérleti eredményekre támaszkodó egyenleteket, melyekből [az anyagegyenletekkel (ld.6.6. pontbeli összefoglalást) és a Lorentz erőtörvénnyel kiegészítve] minden eddigi elektromágnességgel kapcsolatos eredményünk levezethető. A 6.7. táblázatban a képlethivatkozások a 6. fejezet megfelelő egyenleteire hivatkoznak. 6.7. Táblázat Sorszám *
A törvény megnevezése
1.
Gerjesztési- (Ampère-) törvény (Maxwell I. speciális esete)
II.
Faraday indukciós törvénye (Maxwell II.)
" " o ! H dr = ! JdA
(g)
IV.
A mágneses tér fluxusa (Gauss-törv.)(Maxwell III.) Az elektromos tér fluxusa (Gauss-törv.) (Maxwell IV.)
(6.138a) (6.175)
A
" o E dr = – # $" BdA 6.188) ! #t !
(g)
III.
Alapvető (megalapozó) kísérleti eredmény.
Az integrális alak
A
" o ! B dA = 0
Mágneses tér fluxusváltozása indukciós feszültséget kelt.
(6.136a) Nincsenek mágneses töltések.
A
" " o ! D dA = ! %dV A
A vezetőben folyó áram mágnes tere.
V
(6.70)
a) Coulombtörvény;
b) elszigetelt vezető belsejében az E=0.
* E sorszámok a magyar oktatási tradició alapján használt sorszámok. Az angolszász irodalom sorszámait ld. 6.6. pontban.
A Maxwell egyenletek rendszere.
667
Ha a mágneses tér változása (ld. a II. egyenlet jobboldalát) elektromos teret kelt, akkor a szimmetria megköveteli (ismerte fel Maxwell), hogy az elektromos tér változása mágneses teret keltsen; tehát a szimmetria megköveteli az I. egyenlet jobboldalának kiegészítését; az I. egyenletet kiegészítő kifejezésnek szimmetria okokból (Maxwell, 1873) " " #D dA o Hdr = . . . . . . . + ! ! #t A
(6.240)
A
alakúnak kell lennie: ezzel az I. Maxwell egyenlet " " #D o Hdr = " ! ! J dA + ! #t dA A
A
(6.241)
A
alakban a II-es egyenlettel (a fizikai törvények által megengedett** határok között) szimmetrikussá vált. Az eredeti " H dr = " J dA ! ! (g)
(ld.(6.175))
A
gerjesztési törvény egyértelműen zárt vezetőkben folyó ún. vezetési áramokra vonatkozott és nem érvényes nyitott áramkörökre. Utóbbit azonnal beláthatjuk, ha a gerjesztési törvény (6.138b) differenciális alakjában mindkét oldal divergenciáját képezzük div rot H & 0 = div J
(6.242)
(mivel egy vektor rotációjának divergenciája a vektoranalizis szerint azonosan egyenlő nullával.) Azaz a Biot-Savart törvényből ill. a gerjesztési törvényből csak akkor számíthatjuk ki a mágneses térerősséget, ha div J = 0, — azaz, ha az áramkör zárt!
* A szimmetria az E ' B fizikailag analóg mennyiségek között jobban látszana, ha az egyenleteket pl. vákuumra írtuk volna fel. Ennek átgondolását az olvasóra bízzuk.
A táblázatot tanulmányozva alapvető szimmetriákra és asszimetriákra figyelhetünk fel. A szimmetria a fizikai elméletekben alapvető szerepet játszik (ld. pl. 1.3. pontot)! Az egyenletek baloldala teljes szimmetriát mutat* (v.ö. az 1-II., ill. III-IV. egyenleteket). A III-IV. egyenlet jobboldalainak asszimetriájának oka ismert: nincsenek mágneses töltések. Az I-II. jobboldalai közötti asszimetria Maxwell számára azonban indokolatlannak és elfogadhatatlannak tünt.
668 Vegyük észre, hogy a gerjesztési törvény Maxwell-féle " #D dA , ! #t
* As 1 2 ) m2 s m = A, ( +
A
Maxwell abból indult ki, hogy a gerjesztési törvény (6.240b) általánosított alakjának ilyen feltételek között is érvényesnek kell lennie, azaz feltételezte, hogy az “áramkör” ilyen feltételek között is zárt. Ezt a zártságot felfogása szerint nem vezető közegben az ún. eltolási áram biztosítja. Maxwell kiegészítésének 1873-ban semmi kísérleti igazolása nem volt; az igazolást az elektromágneses hullámegyenlet levezetése (ld. 7.3.3. pont) és az elektromágneses tér vákuumban való terjedésének kísérleti igazolása (Hertz, 1887) pótolta. A kiegészítő tagot Maxwell tehát axiomatikusan, a szimmetria teljessé tétele okából írta fel és ezen axiomát a kísérletek később igazolták.
. Elemi módon közelíthetjük, illetve érthetjük meg a Maxwell féle gondolatot, (egyúttal feloldhatjuk a fent említett zártsággal kapcsolatos “ellentmondást”), ha megvizsgáljuk egy egyszerű nyitott áramkör (egy RC áramkör, ld. 6.74a,b ábra) esetét.
** A II. Maxwell-egyenletben az I Maxwell törvény J-t tartalmazó tagjának megfelelő tag a “mágneses vezetési áram” lenne; ilyen azonban nem létezik, mert mágneses töltések nincsenek
kiegészítése áramerősség dimenziójú, de ez az áram láthatóan nem egy vezetőben (nem zárt vezető áramkörben) folyó vezetési áramhoz kötődik, hiszen azt az eredeti gerjesztési törvény már tartalmazza. A Maxwell féle kiegészítés bármely dielektrikum, levegő vagy vákuum közegbeli elektromos tér megváltozása esetére érvényes.
669 I (g2)
(g1)
(g3)
2 K
R
A
1
I
I ~
(a)
(b) (g2)
(g1)
(g3)
%A I
J
D #t (c)
J %A
D #t (d)
6.74. ábra. Segédábra az eltolási áram bevezetéséhez (ld. szöveg) . Kapcsoljunk egy kondenzátort egy soros ellenálláson (mely most az áramkör teljes ellenállását reprezentálja) át egy egyenáramú áramforrás kapcsaira (ld. 6.74a. ábra). Legyen a kondenzátor feszültsége t = 0 pillanatban nulla! Kapcsoljuk most a K kapcsolót az 1-es helyzetbe: azt tapasztaljuk, hogy a kondenzátor rövid, de véges idő * alatt forrásfeszültségre töltődik fel, töltése pedig a q = CUforrásfesz egyenletnek megfelelő lesz. (Utóbbi, mint megegyeztünk, azt jelenti, hogy az egyik fegyverzet töltése +q, a másiké pedig –q). A feltöltés időtartama alatt az áramkörben I(t) áram folyik. Kapcsoljuk most át a K kapcsolót 2-es állásba, akkor a kondenzátor rövid, de véges idő alatt kisül (q = CU e–/CR/t), melynek során a felső vezető áramhurokban (ld. o
6.74a. ábrát) rövid ideig ismét áram folyik. A kapcsoló "gyors" újbóli át- és visszakapcsolásával elérhetjük, hogy az áramkörben "állandóan" áram folyik, annak ellenére, hogy az "áramkör" a kondenzátor fegyverzetei között vákuum vagy dielektrikum lévén (fémes vezetés híján) az eredeti (a Maxwell kiegészítés előtti) értelemben nem zárt. Ha most (az állandó átkapcsolások helyett) az áramkört váltóáramú áramforrásra kapcsoljuk, akkor a kondenzátor váltakozó polaritással folyamatosan feltöltődik, kisül, újratöltődik, miközben az áramkörben folyamatosan váltakozó áram folyik annak ellenére, hogy egy (ideális) kondenzátor dielektrikumán át vezetési áram nem folyik. Maxwell elpndolását ezen egyszerű esetre alkalmazva: a kondenzátort tartalmazó áramkör dielektrikumában ún. eltolási áram folyik.
* Lásd 6.2.1. pont végét.
C
670
Az eltolási áram megértéséhez tekintsük most a 6.74c ábrát, mely az áramkör síkkondenzátor körüli részének kinagyítása. A síkkondenzátorra (6.70c) alapján q = DA
(6.243)
azaz a fegyverzetek valódi q töltésének töltéssűrűsége (ld(6.70d)) %A,v = D
(6.244)
A kondenzátor feltöltése során időben nő a fegyverzet töltése, — ezzel együtt tehát dD nő a D nagysága: dt 0 0 . Deriváljuk most a (2.243) egyenletet az idő szerint dq d(DA) d1D = I = dt vez dt = dt & Ielt
(6.245)
ahol az Ielt az eltolásiáram, melyet általánosan #D dA Ielt = " ! #t
(6.246)
A
alakba írhatunk. Arra az eredményre jutottunk, hogy a kondenzátor lemezeiig eljutó Ivez vezetési dD áram a feltöltés, illetve kisülés során a lemezek között a dt -nek megfelelő, nagyságban és irányban vele azonos ún. eltolási áramban* (I ) folytatódik. A elt
viszonyokat egy a (didaktikai szempontból**) köralakúnak képzelt fegyverzetekkel dD azonos vastagságú vezető esetére a J áramvonalak a lemezek között azonos számu #t erővonalakban folytatódnak, azaz
* Az elnevezés tudománytörténeti eredetű: eleinte úgy képzelték, hogy a kondenzátorok közötti eltolási áram a dielektrikumban töltések eltolódásával jár. Később (főleg az “éter elmélet” (ld. 2.2.3. pontot ) feladása és a vákuumban is terjedő elektromágneses tér ismeretében) ez a modell elavult. Angol elnevezése: displacement current, németül: Verschiebungsstrom.
** Ezen elképzelésre matematikailag nincs szükség: a fluxus a vonalmenti körintegrál “g” zárt vonalára illeszkedő bármely felületre (tehát pl. egy vékony a vezető körüli g1 hurokra, a kondenzátor lemezek közé kiterjeszkedő gömbsöveg felületre (ld.6.74b ábra A felülete) is azonos!
. Vizsgáljuk most ezt a váltakozó, tehát nem stacionárius áramú áramkörbe kapcsolt kondenzátort. Vegyük körül a vezetéket valamelyik kondenzátorlemez közelében gondolatban egy zárt g2 görbével, és fektessünk erre a zárt görbére egy illeszkedő határvonalú (az ábrán A2-vel jelölt) felületet (6.74b. ábra)! Az A1 felületen átfolyik a vezetékben folyó I vezetési áram, tehát a (6.127) gerjesztési törvény érvényes. Az A2 jelű felületet ugyanakkor nem metszi a vezető, tehát eddigi tudásunk szerint azt mondanánk, hogy nem is folyik rajta áram keresztül.
671 dD7 4 div 3 J + dt 6 = 0 2 5
(6.247)
Az egyszerű modellen elért eredményünk azonban — bár ennek általános igazolása meghaladja könyvünk célját, általánosan érvényes: A gerjesztési törvény az eltolási áramokra is érvényes; nemcsak vezetési áram, hanem az elektromos térerősség időbeli változása is gerjeszt mágneses teret. Az eltolási áram nem töltésmozgással kapcsolatos, mágneses teret viszont létrehoz. Ha a gerjesztési törvényt az egész 6.74b. ábra szerinti áramkörre kívánjuk általánosítani — Maxwell nyomán — a gerjesztési törvény jobboldalát az eltolási árammal kell kiegészítenünk: " " #D " o H dr = 8 J dA + 8 dA 8 ! ! #t ! (g)
A
(ld.(6.241) *
A
Ez az I. Maxwell egyenlet, melyet most már 6.8. Táblázatunk élére írhatunk. Hasonlóan a (6.138a) ill. (6.175) képlethez a (6.240) jobboldalán szereplő integrálokat egy zárt g görbére (ld. 6.74b. ábrát) illeszkedő tetszőleges alakú nyílt A felületre kell kiszámolni. Az eltolási áram által indukált mágneses tér technikai okokból közvetlenül nem mutatható ki. (Ha a kondenzátor fegyverzetei közel vannak, akkor az eltolási áram mágneses terét nehéz elválasztani a vezetési áram mágneses terétől, — ha viszont a kondenzátorlemezeket egymástól távol visszük, akkor technikai okok miatt nem lehet elég erős eltolási áramot előidézni.) Közvetett, de igen meggyőző bizonyíték viszont az éppen az eltolási áram létezésén alapuló elektromágneses hullám létezése. J. Maxwell I, II, III, IV. egyenleteit a Treatise on Electricity and Magnetism c. munkájában 1873-ban, hat évvel halála előtt közölte, — igaz, nem mai formájukban. Az egyenleteket mai formájukban Oliver Heaviside (1850-1925) angol fizikus írta le. Az elektromágneses elmélet egyenletrendszerét, mely a Maxwell I-IV. egyenletekre épül a 6.6. pontban foglaljuk össze.
* Mivel D a t-n kívül általában az x,y,z koordinátáktól is függ, ezért az idő szerinti deriválás helyett egzaktabb áttérni az idő szerinti parciális deriválásra.
ami tehát teljesíti a gerjesztési törvény érvényességéhez szükséges (6.242) “zártsági feltételt”, és így a kondenzátort tartalmazó nyitott áramkör a Maxwell I. törvény kiegészítésével zárt áramkörnek tekinthető: nincs tehát ellentmondás, ha a gerjesztési törvényt “nyilt” áramkörre is alkalmazzuk. Maxwell intuitiv gondolatát, miszerint a gerjesztési törvény nyitott áramkörökre is érvényes így (ha csak egy egyszerűsített modellen is) mi is igazoltuk.
672 6. Példa. Számítsuk ki egy a köralakú (R=5 cm sugarú) fegyverzetekből dE álló síkkondenzátor 9r=3-al jellemzett dielektrikumában, dt = 1012 Vm–1s–1 térváltozás hatására gerjesztett B mágneses teret r : R ill. r ; R sugaraknál.
d1E " o Bds = r) = ) = dt 1 dE B = 2 R 50s–1. Ha E0 = 105 V/m értéket veszünk, akkor Jelt = 3·10–4 Am–2. (A technikában szokás vezetési áramsűrűség 1 Amm–2 = 106 Am–2.)
Megoldás: A
673 b) f=109 Hz esetén ?=2>·@09 s–1. A fenti E0 értékkel számolva Jelt = 5590 Am–2.
6.5. HARMONIKUSAN VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK. (ALAPFOGALMAK.)*
A váltakozó áram (sokszor váltóáramnak is nevezik) olyan áram, amelynek iránya és i áramerőssége a t idővel periódikusan változik. Ha ez az időfüggés koszinuszos (színuszos), akkor harmonikusan váltakozó áramról beszélünk. Az alábbiakban tárgyalásunkat harmonikusan váltakozó áramokra korlátozzuk. Ha egy áramkörben az i áramerősség harmonikusan váltakozik, akkor az áramkörbe kapcsolt elemekre eső u feszültség is harmonikusan váltakozik.
A harmonikus feszültséget ill. áramerősséget u = um (cos ?t + A)
(6.248a)
i = im cos ?t
(6.248b)
illetve az függvények írják le, ahol A a feszültség (áramerősséghez viszonyított) relatív fázisa. Komplex írásmódban a feszültséget és az áramerősséget komplex mennyiségnek illetve Bi -vel jelöljük. A (6.248) egyenleteket e komplex tekintjük és u-val B mennyiségek reális részeinek tekintjük. Az uB ill. Bi kifejezései komplex írásmódban a következőek: uB = um ej(?t + A)
(6.249a)
* Jelen pontban — mely tematikailag a 6. fejezethez tartozik — felhasználjuk a komplex írásmódot. (A komplex írásmóddal különben az egyetemi hallgatók már az első szemeszterben, a matematikai tanulmányok során megismerkednek. Rövid összefoglalást ld. az F.4. Függelékben.)
Tehát a frekvencia nagysága az eltolási áramot döntően befolyásoló tényező.
674 i = im ej?t
B
(6.249b)
A komplex mennyiségek (ld. 7.1. pontot) egy komplex számsíkban komplex "vektorokként" értelmezhetőek. Egy Bz = Aej?t komplex vektor a komplex számsíkban
forgóvektor közötti szög állandó és a vektorok ? szögsebességgel forognak.
Foglalkozzunk most a A (relatív) fázisszög kiszámításával ohmos ellenállást és ideális* (ohmos vezetés nélküli, veszteségmentes) áramköri elemeket (kondenzátort és tekercset) tartalmazó áramkörök esetén.
.
Egy veszteségmentes (ideális) kondenzátoron az i áram hatására megjelenő feszültséget az áram által a kondenzátoron létrehozott q töltésből számolhatjuk ki. Kis dt idő alatt dq = i dt ezért t
q=" ! i(t') dt'
(6.250)
o
1 illetve (mivel U = C q) t
1 uB = C " ! Bi (t') dt'
(6.251)
o
Az integrálás eredménye Bi = im ej?t áramerősségfüggvény esetén 1 C i =Z i B BC B j?C
(6.252a)
uB 1 Z = BC iB = j?C
(6.252b)
uB = ahol a
kifejezést a kondenzátor (komplex) impedanciájának nevezik.
* A valódi kondenzátorok és tekercsek járulékos ohmos vezetése következtében a rájuk kapcsolt feszültség hatására Joule hő keletkezik. A veszteséges kondenzátort számításainkban egy ideális, veszteségmentes kondenzátorral és egy vele párhuzamosan kapcsolt ohmos ellenállással helyettesíthetjük. A veszteséges kondenzátor esetével az ún. dielektromos veszteséggel kapcsolatban a 7.3.6. pontban foglalkozunk.
az óramutató járásával ellenkező (pozitív) irányban ? szögsebességgel forog; ilyen értelemben az időtől függő komplex mennyiségek esetén forgóvektorokról beszélhetünk. Mivel a (6.249a) egyenletben a A nem függ az időtől, — az uB és az Bi
675 A (6.252a)-ba uB és Bi kifejezéseit behelyettesítve umej(?t+A) =
im j?t e j?C
e–jA Mivel um, im, ? és C valósak és pozitívak, j -nek 1-et kell adnia. Innen > e–jA = j D A = – 2 vagyis u (t) = um B
> j(?t – ) 2 e
i
=
B
j?C
(6.253)
Ez azt jelenti, hogy egy olyan elektromos kapcsolásban, amely pusztán egy ideális kondenzátort tartalmaz, az áramerősség fázisa 90°-kal "siet" a feszültséghez képest, > (ld. a 6.75 ábrát). Másszóval: u maximuma 2 fázissal később jelenik meg, mint i maximuma.
6.75. ábra. A A relatív fázisszög meghatározása veszteségmentes kondenzátor esetén: a.) a megfelelő vektorábra; b.) az Bi áramerősség ill. a uB feszültség reális részének ábrázolása az idő függvényében.
.
Számítsuk most ki a A fázisszög értékét ha az áramkörben pusztán egy ideális, veszteségmentes tekercs (induktivitás) van. Az induktivitáson eső feszültség értéke dI ekkor az indukált Ui = –L dt [(6.209)] feszültség (–1)-szerese d uB = L dt Bi (6.254) A differenciálást elvégezve
A közös ej?t szorzótényezővel egyszerűsítve im –jA e um = j?C
676 C uB = j?L Bi = Z i BL B
(6.255a)
ahol a Z = j?L BL
(6.255b)
Most tehát umej(?t+A) = j?L im ej?t ahonnan az ej?t-vel való egyszerűsítés után um, im, ? és L valós voltát felhasználva (ld.F.4. Függelék F.1. táblázatát) je–jA = 1 > egyenletre jutunk. Vagyis A = + 2 és i(t) = im
> j(?t – ) 2 e
=
1 u(t) j?L
(6.256)
Ez azt jelenti, hogy egy olyan elektromos kapcsolásban, amely pusztán egy ideális > tekercset tartalmaz, az áram fázisa A = 2 -el késik a feszültséghez képest (ld. a 6.76. ábrát).
6.76. ábra. A A relatív fázisszög meghatározása veszteségmentes induktivitás esetében: a.) a megfelelő vektorábra; b.) az vi áramerősség és az uv feszültség reális részének ábrázolása az idő függvényében.
Másszóval: ha pl. t=0-nál és attól kezdve figyeljük az u és i fellépő első maximumát, > akkor a feszültség t=0-nál lévő maximumához képest az i áram maximuma + 2 eltolással jelenik meg.
kifejezést az induktivitás (tekercs) komplex impedanciájának nevezik.
677
.
Írjuk fel most a feszültség és az áram közötti összefüggést tisztán ohmos ellenállás esetére: C uB = R Bi = ZR Bi
(6.257a)
ZR = R
(6.257b)
kifejezést az ellenállás (láthatóan valós) impedanciájának nevezzük. Mivel ZR valós szám: ohmos ellenálláson a feszültség és az áram között nincs fáziskülönbség.
.
Számítsuk ki a feszültségesést egy ohmos ellenállást, egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort tartalmazó soros áramkör, az ún. RLC kör esetében, azaz képezzük komplex számsíkon a uB vektorok (6.252a), (6.255a) és (6.257a) eredőjét. Ez utóbbi kifejezések rendre uB és Bi kapcsolatát adják meg; az arányossági tényezők mind impedanciák. A teljes feszültségesés: uB (eredő) = (R + Z +Z ) i BL BC B
(6.258)
kifejezése a váltakozó áramok esetére általánosított Ohm-törvény alkalmazásának fogható fel.
.
A Z impedancia reciprokát admittanciának nevezik.
.
A harmonikusan váltakozó áram pillanatnyi teljesítményét a P(t) = u(t) i(t)
(6.259)
képlet adja meg. Ha u(t) és i(t), (6.248) szerinti, akkor P(t) = umim cos(?t+A) cos ?t
.
A (6.259) pillanatnyi teljesítmény egy T periódusidőre vett átlagértéke az ún. hatásos* teljesítmény. Foglalkozzunk most ennek kiszámításával! A váltakozó áram munkája a T periódusidő alatt
* “Hatásos” olyan értelemben, hogy ez a fogyasztó által átlagosan felvett teljesítmény, mely a fogyasztónál pl. hővé vagy motorokban részben mechanikai munkává alakul.
A
678 T
" W(T) = 8 umim cos(?t+A) cos ?t dt = ! o T
T
o
o
7 4"T 2 7 4"T = umim 38 cos ?t dt6 cos A – umim 38 cos ?t sin ?t dt6 sin A = ! ! 5 5 2o 2o 4"T 1 + cos 2?t 7 4"T 1 7 = umim 38 dt cos A – u i (sin 2?t) dt 6 6 sin A = m m 38 2 ! !2 2o 5 2o 5 1 *T 1 sin 2?T, cos A – umim [1 – cos 2?T] sin A = umim ) 2 + 4? 4? ( + Mivel T az ? körfrekvenciához tartozó periódusidő, akkor ?T = 2>, és így 4T 7 W(T) = umim 3 cos A6 22 5 Vagyis az egy periódusra eső (átlagos) hatásos teljesítmény Phatásos = .
W(T) 1 T = 2 umim cos A
(6.260)
Ideális (kapacitás és induktivitás mentes) ellenállásra A=0, ezért 2
2
umim um im Pátl,R.(hatásos) = 2 = 2R = 2 R
(6.261a)
A váltakozó áram átlagos hatásos teljesítménye egy ideális ohmos ellenálláson megeim gyezik egy olyan egyenáram teljesítményével, amelynek áramerőssége Ieff = , 2 1 u . Az itt szereplő illetve az ellenállás sarkain mérhető feszültsége Ueff = 2 m mennyiségek neve: effektív áramerősség, illetve effektív feszültség. Ezekkel a jelölésekkel a (6.261a) Pátl,R (hatásos) = Ueff · Ieff (6.261b) .
> > Ideális kondenzátorra A = – 2 , míg ideális tekercsre A = 2 . Mindkét
esetben 1 4 >7 Pátl,C.(hatásos) = 2 umim cos 3– 26 = 0 2 5
(6.262)
" " =umim8 cos ?t cos(?t+A)dt = umim 8 [cos ?t cos ?t · cos A – cos ?t sin ?t sin A]dt = ! !
679 1 4>7 Pátl,L.(hatásos) = umim cos 3 6 = 0 2 22 5
(6.263)
6.77. ábra. A váltakozó áram hatásos teljesítménye. a.) ohmos ellenálláson az áram és a feszültség azonos fázisban van,ezért a teljesítmény sosem negatív. Az ábrán az effektív teljesítményt is feltüntettük. Az I. ill. II –vel jelzett területek egyenlőek.b.) ideális kondenzátoron ill. tekercsen a feszültség és az áramerősség közötti >/2 nagyságú fáziskülönbség miatt a teljesítmény negatív és pozitív egyaránt lehet: a +, ill. – –al jelzett területek egyenlőek, az eredő teljesítmény időátlaga ezekben az esetekben nulla.
. Ha az áramkörben veszteségmentes elemek és ohmos ellenállások (illetve veszteséges kondenzátorok és tekercsek) vannak, a (6.260)-ban szereplő A fázisszög értéke az áramkör eredő impedanciájától függ. A
4 >7 mivel (ld.(6.260)) cos A = cos 3± 26 = 0 ; azt, hogy az ideális kondenzátoron, illetve 2 5 tekercsen az átlagos hatásos teljesítmény nulla, másképpen fogalmazva úgy is > magyarázhatjuk, hogy az ezeken az elemeken az áram és a feszültség közötti 2 nagyságú fáziskülönbség miatt a pillanatnyi teljesítmény P(t)=u(t)i(t) szorzat előjele váltakozva pozitív ill. negatív érték; amikor u(t)i(t) pozitív, a generátor munkát végez a körbe kapcsolt kondenzátoron vagy tekercsen, — amikor pedig u(t)i(t) negatív, ezek végeznek munkát az áramforráson (ld. 6.77b. ábra).
680 P = UeffIeff
(6.264)
mennyiség neve látszólagos teljesítmény. Értéke az adott áramkörből maximálisan kivehető átlagos teljesítmény, amely gyakorlatban akkor realizálódik, ha tisztán ohmos terheléssel zárjuk le a generátort. Egysége a V·A. (Nem szokás wattnak írni!)
1 jA jA P = B 2 umim e = Ueff Ieff e
(6.265b)
ahonnan Phatásos = Re(P) =EPE · cos A B B
(6.266)
A hatásos teljesítmény egysége a watt. . A komplex teljesítmény a képzetes (imaginárius) része (jele: Im) adja meg a meddő teljesítményt: Pmeddő = Im(P) = EPE sin A = Ueff Ieff· sin A B B
(6.267)
A meddő teljesítmény csak vezetékben mozgatja (ide-, oda) a töltéshordozókat, de ez a teljesítmény nem jelentkezik a fogyasztónál; ugyanakkor a vezetéket erre is méretezni kell, tehát törekedni kell minimalizálására. A meddő teljesítmény egysége a VAr (VA–reaktív). . A hatásos és meddő teljesítmény hányadosának abszolút értékét veszteségi tényezőnek nevezzük és tg F-val jelöljük (a tg F definíciószerűen pozitív érték): Re(Z) GRe(P) B G G B G tg F = GIm(P)G = GIm(Z)G G BG G BG
(6.268)
Például, ha egy veszteséges kondenzátort vizsgálunk, amely egy párhuzamosan kapcsolt ideális kondenzátorból és egy ellenállásból alkotott áramkörrel modellezhető, akkor 1 1 = R + j?C Z B tehát Z = B
R R(1 – j?RC) = 1 + j?CR 1 + ?2R2C2
ahonnan (6.268) figyelembevételével tg F =
1 ?RC
(6.269)
. A hatásos teljesítmény mindig az áramkör ohmos ellenállására eső teljesítmény. Az ohmos ellenállás viszont az áramkör eredő impedanciájának valós része, ezért a hatásos teljesítmény a komplex (átlagos) hatásos teljesítmény valós részének (jele Re) tekinthető. Legyen tehát
681
6.6. A MAXWELL–EGYENLETEK TELJES RENDSZERE
" o Hdr = " %$J + )D(' dA ! ! # )t & A (g)
(I.)
" o Edr = %$ " o E ds(' = – ) " BdA s ! )t ! $! ' # & s A (g)
(II.)
" o BdA = %$ " o B dA(' = 0 n ! $! ' #A & A
(III.)
" o DdA = %$ ! $ # A
(IV.)
*
" o D dA = * q(' = " + dV ! n ' ! & V A
o " ! Hdr = " ! JdA (g)
A
o " ! Bdr = ,- ,r." ! JdA (g)
**
o " ! Edr = 0 (g)
[6.138a]
[6.156]
A
[6.28]
(6.270)
[6.240]*
(6.271)
[6.188]**
(6.272)
[6.136a]
(6.273)
[6.70]
Az elektromágnességtan összefoglalásaként gyűjtsük egybe a Maxwell-egyenleteket! (A [ ] zárójelben levő hivatkozások a 6. fejezetben található képletszám– hivatkozások. Integrális alakban:
682
Az ezeknek megfelelő differenciális alakban: ]*
(6.274)
[
(6.275)
[6.190]**
(III.) div B = 0
(6.276)
[6.136b]
(IV.) div D = +
(6.277)
[6.71]***
(II.) rot E = – )B )t
A B és H, illetve E és D kapcsolatát az ún. anyagegyenletek fejezik ki: (V.) D = /oE + P
(6.278)
[6.69]
(6.279)
[ ]****
(6.280)
[6.112]
(Va.) D = /r/oE
(6.281)
[6.74]
(VIa.) B = ,r,oH
(6.282)
[6.155]
(VI.) B = ,o(H + M) (VII.) J = 0E Homogén, izotróp közegben:
A fenti sorrend nem az egyetlen lehetséges felosztás. Az általunk követett sorrend a német illetve magyar (ld. pl. Simonyi: Elméleti Villamosságtan, Tankönyvkiadó) iskola sorrendje. Angolszász tankönyvekben pl. a sorrend (a mi jelölésünkkel kifejezve) a következő: (IV), (III), (II), (I). *
rot H = J
[6.138b]
**
rot E = 0
[ 6.29]
***
div E =
+ /0
[ 6.18 ]
**** B = B0 + ,0 M B0 = ,0 H
[ 6.151] [ 6.155a]
(I.) rot H = J + )D )t
683
A Lorentz–féle erőtörvény FL = q(E + v 1 B)
[6.124]
(6.284)
[6.224a]
(6.285)
[6.224b]
Az elektromágneses tér energiasűrűsége: 1 w = 2 (ED + HB) amely izotróp, homogén közegben a 1 w = 2 (/o/rE2 + ,o,rH2) alakot ölti.
(6.283)
684
685
7.
ÁLTALÁNOS REZGÉS– ÉS HULLÁMTAN
A fizikában a hullámmozgáson a hullám forrásának egyensúlyi állapotából való kimozdításával keletkezett zavar (speciális esetben rezgés) térben, közegben való tovaterjedését értjük. Hullám a vízfelületen gyűrűző vízhullám, a húron, gumikötélen futó zavar, a fény és általában az elektromágneses hullám végül rugalmas közegben a hang és az ultrahang. A kvantummechanika első közelítésként síkhullámokat alkalmaz a rendszerek leírására. A rezgések és a hullámok sokféleségük ellenére — sok közös tartalmi és formai vonással rendelkeznek. Ezeket ismerteti jelen fejezetünk. A rezgésekkel foglalkozó pontban (7.1.) a legegyszerűbb mechanikai rezgésekből kiindulva olyan összefüggéseket vezetünk le, amelyek (a bennük szereplő mennyiségek megfelelő átírásával) tetszőleges rezgés esetén használhatóak. A hullámmozgásra vonatkozó alapfogalmak rövid összefoglalása (7.2.) után felállítjuk az általános hullámegyenletet, majd néhány példát adunk rugalmas mechanikai hullámokra, végül a Maxwell–egyenletek 6. fejezetben kialakított rendszeréből izotróp, homogén térre levezetjük az elektromágneses hullámegyenletet (7.3.). A komplex írásmód kihasználásával bevezetjük az # komplex permittivitást, az n "
"
komplex törésmutatót és a k komplex hullámszámot. A 7.4. pont tárgya a hullámbeli "
energiaterjedés, elsősorban elektromágneses hullámok kapcsán. A 7.5. pont a szuperpozíció, a hullámcsoport és a csoportsebesség témaköröké. A 7.6. pontban a síkhullámok interferenciáját, a koherencia feltételeit vizsgáljuk, ismertetjük az állóhullámot. A 7.7. pont a fény elhajlásával, diffrakciójával foglalkozik, végül a 7.8. pontban bemutatjuk a Doppler-effektust.
A rezgések olyan fizikai folyamatok, melyek során valamilyen időfüggő !(t) rendszertulajdonság (kitérés, inga szögelfordulása, alakváltozás, elektromos, mágneses térjellemző, elektromos áram ill. feszültség stb.) nagysága a mozgás során egy egyensúlyi állapotnak megfelelő érték körül ingadozik.
686
7.1. REZGÉSEK
Központi szerepet játszanak a rezgések között azok, melyeknél az említett rendszerjellemző fizikai mennyiség nagysága az idő szinuszos vagy más néven harmonikus függvénye. Egyrészt, azért mert harmonikus választ ad minden olyan lineáris fizikai rendszer, melyet stabilis egyensúlyi helyzetéből “kis mértékben” kitérítettünk és így a visszatérítő hatás a kitérítés lineáris függvénye. Kérdés, hogy ez a kis mérték mekkora lehet. Ezt a kitérítés során fellépő potenciális energianövekedés függvénye adja meg. Stabilis egyensúlyi helyzetéből kitérített kötött részecske esetében például a válasz az, hogy addig, amíg a potenciális energia az egyensúlyi helyzet (potenciálminimum) környezetében a kitérés (x) függvényében parabolával közelíthető, azaz E p % E p 0 $ ax 2
(7.1.)
— ahol Ep0 a stabilis egyensúlyi helyzethez tartozó potenciális energia, „a” pedig egy állandó —, és így a részecskére ható erő F%&
dE p dx
% &2ax
(7.2.)
alakú. Ekkor a (7.2) erő nem más, mint a rugalmas erő (ld. 2.3.4. fejezet) és ilyen erő hatása alatt a mozgás harmonikus (ld. 7.1.1.2. fejezet). Másrészt a komplikált rezgésformákat is harmonikus rezgések szuperpoziciójaként állítjuk elő (harmonikusvagy más néven Fourier-analízis). Ennek megfelelően a rezgések tanulmányozását (7.1. fejezet) a csillapítatlan, harmonikus rezgésekkel kezdjük (7.1.1. fejezet). Ezen belül először a lineáris harmonikus rezgőmozgás kinematikai, dinamikai és energetikai jellemzőit foglaljuk össze, majd rámutatunk azokra a legfontosabb analógiákra, melyek a harmonikus rezgőmozgás és egyéb mechanikai mozgások (pl. ingalengés), illetve elektromágneses eredetű harmonikus rezgések (pl. váltóáram) között felismerhetők, és amelyek egy általánosított matematikai tárgyalást lehetővé tesznek. Ezután a 7.1.2. fejezetben néhány tipikus összetett rezgés (lebegés, amplitúdó moduláció) kapcsán megmutatjuk a komplex számítási módszer és a harmonikus analízis szükségességét és jelentőségét a rezgés- és hullámtanban. A 7.1.3. fejezetben megvizsgáljuk hogyan vehető kinematikailag és dinamikailag figyelembe a “reális” rezgő rendszerekben fellépő csillapítás, végül a 7.1.4. fejezetben megvizsgáljuk a kényszerrezgéseket, a rezonancia jellemzőit és következményeit.
Rezgések alatt olyan fizikai folyamatokat értünk, melyekben valamilyen fizikai mennyiség (pl. kitérés, inga szögelfordulása, elektromos, mágneses térjellemző, elektromos áram ill. feszültség) nagysága egy egyensúlyi állapotnak megfelelő érték körül ingadozik.
687
7.1.1. Csillapítatlan, egyszerű harmonikus rezgések
Egyszerű harmonikus rezgőmozgásról beszélünk, ha egy tömegpont egy egyenes mentén úgy mozog egyensúlyi helyzete körül, hogy attól vett távolsága az idő szinuszos függvénye. Amennyiben a mozgás az x tengely mentén az origó körül zajlik, a tömegpont (x) kitérését: x' t ( % A + cos'*t $ )0 (
(7.3.)
alakban írhatjuk fel. A maximális kitérést (A) amplitúdónak, az (*t+)0) argumentumot teljes fázisnak, az *-t körfrekvenciának, a )0-t pedig kezdőfázisnak nevezzük. Mivel: cos(*t+)0)=sin(*t+)0+,/2) a (7.3) helyett a kitérést szinusz függvénnyel is felírhatjuk. A (7.3)-al azonos x(t) függvényt ír le ) '0 % ) 0 $ , 2
'
(
helyettesítéssel az x 't ( % A + sin *t $ ) '0 kifejezés. A koszinusz függvénnyel történő felírásnak az az előnye, hogy a )0=0 kezdőfázisnak a legegyszerűbb fizikai eset felel meg, amikor is a rezgést végző testet (pl. egy rugóra függesztett súlyt) A kitérítéssel és kezdősebesség nélkül indítjuk útjára. A körfrekvencia kifejezhető a frekvenciával (f) és a rezgés periódusidejével (T) is: * % 2,f %
2, T
(7.4.)
Tekintsünk egy A sugarú körön egyenletesen, * szögsebességgel forgatott kis testet, melyet mozgásának síkjában párhuzamos fénysugarakkal megvilágítunk. A test árnyképe a mozgás síkjára merőlegesen elhelyezett ernyőn a (7.3) egyenletnek megfelelő harmonikus rezgőmozgást végzi (ld. 7.1. ábra). A harmonikus rezgőmozgás tehát tekinthető egy egyenletes körmozgás egyenesre vett vetületének. Ez a tény a koszinusz függvény (cos -) általánosított definíciójával (origóból húzott egységvektor x tengelyre vett vetülete) is természetesen szinkronban van, azzal a kiegészítéssel, hogy az - szögű egységvektor helyébe az *t+)0 szögű, A hosszúságú vektor lépett.
7.1.1.1. Az egyszerű harmonikus rezgőmozgás kinematikája és kapcsolata az egyenletes körmozgással
688
párhuzamos vetítő fénysugarak
t vk(t)
r(t)
*t+)
a(t)
t=0 )
x a%&akcos(*t+)) x%.cos(*t+))
v%&vksin(*t+))
ernyő )/* x(t)
t
t
7.1. ábra. A harmonikus rezgőmozgás, mint az egyenletes körmozgás vetülete az x tengelyen (a kezdőfázist )-vel jelöljük). A harmonikus rezgőmozgáshoz tehát hozzárendelhető: - fizikailag egy egyenletes körmozgás, melynek szögsebessége akkora, mint a rezgés körfrekvenciája, sugara akkora, mint a rezgés amplitúdója és indulási pozíciója akkora szög alatt van, mint a rezgés kezdőfázisa; - geometriailag egy forgó vektor, melynek hossza az amplitúdóval, forgásának szögsebessége a körfrekvenciával egyenlő, és mozgásának kezdő pozíciója a rezgés kezdőfázisának megfelelő szög alatt állt az x tengelyhez képest. A rezgés kitérése minden pillanatban a vektor x irányú komponenseként (illetve a körmozgás vízszintes vetületeként) kapható meg.
y
689 A fenti két analóg (fizikai és matematikai) megfeleltetés alapján a (7.3) harmonikus rezgőmozgás kinematikáját (sebesség, gyorsulás) akár a körmozgás vetületeként is tárgyalhatjuk. A harmonikus rezgőmozgás sebessége a (7.3) deriválásával: dx % &A + *+ sin '*t $ ) 0 ( dt
(7.5.)
a gyorsulása pedig: a%
dv d 2 x % 2 % &A + * 2 + cos'*t $ ) 0 ( dt dt
(7.6.)
alakban írható fel. A (7.3) összefüggés figyelembe vételével utóbbi az a % &* 2 x
(7.7.)
összefüggésre vezet. Amennyiben a sebességet és a gyorsulást a körmozgás vetületeként számítjuk, akkor a 7.1. ábrán feltüntetett vetületeket és az egyenletes körmozgásnál megismert vK % A + *
(7.8.)
állandó nagyságú kerületi sebességet illetve az a cp %
v 2K A
(7.9.)
állandó nagyságú centripetális gyorsulást figyelembe véve a sebesség x tengelyre leképezett vetületére: v % & v K + sin '*t $ ) 0 ( % & A + *+ sin '*t $ ) 0 ( adódik (figyelembe kell venni, hogy a vK iránya mindig merőleges az r-re), ami azonos (7.5) végeredményével. Ugyanígy a 7.1. ábráról leolvasható, hogy acp iránya mindig ellentétes az r-el, tehát a vetület a % &a cp + cos'*t $ ) 0 ( % &
v%
v 2K A 2 *2 + cos'*t $ ) 0 ( % & + cos'*t $ ) 0 ( % & A + * 2 + cos'*t $ ) 0 ( A A
ami pedig azonos (7.6)-al. A harmonikus rezgőmozgást és a körmozgást — összekapcsoló analóg fizikai mennyiségeket a 7.1. táblázatban foglaltuk össze.
690
7.1. táblázat
Harmonikus rezgés
Egyenletes körmozgás
Ekvivalens fizikai mennyiségek körfrekvencia
szögsebesség
teljes fázis
(*) *2 5 3f % 0 2, 1 4 2, 2 5 0 3T % *1 4 '*t $ ) 0 (
kezdő fázis
()0)
kezdeti szögállás
amplitúdó
'A (
mozgás sugara
maximális sebesség abszolút értéke maximális gyorsulás abszolút értéke
'v M
% A + *(
'a
% *2 A
frekvencia periódusidő
M
fordulatszám keringési idő pillanatnyi szögállás
(
kerületi sebesség nagysága (abszolút értéke) állandó nagyságú gyorsulás abszolút értéke
(*) *2 5 0 3n % 2, 1 4 2, 2 5 0 3T % *1 4 '- % *t $ ) 0 ( ()0) 5 6 2 3 R %A0 4 1
'v
'a
K
% R + *(
cp
% *2 R
(
Vetített fizikai mennyiségek Kitérés x % A + cos'*t $ ) 0 ( Sebesség
v % & A + *+ sin '*t $ ) 0 ( Gyorsulás a % & A + * 2 + cos'*t $ ) 0 (
7 7 7
Helyvektor r % A + 8i + cos'*t $ ) 0 ( $ j + sin '*t $ ) 0 (9 Sebességvektor
v % v K 8& i + sin '*t $ ) 0 ( $ j + cos'*t $ ) 0 (9 Gyorsulásvektor a % &a cp 8i + cos'*t $ ) 0 ( $ j + sin '*t $ ) 0 (9
Az egyenletes körmozgást és vetületeit, a harmonikus rezgőmozgást leíró és összefüggéseik fizikai mennyisége
691 7.1.1.2. Az egyszerű harmonikus rezgőmozgás dinamikája
d2x ma % m 2 % & m*2 x dt
(7.10.)
Ebben az egyenletben Newton-II. axiómája alapján a harmonikus rezgést végző tömegpont mozgásegyenletét ismerhetjük fel, mely szerint a jobb oldalon a tömegpontra ható erő szerepel, ami m és * állandó volta miatt lineárisan változik a kitéréssel. Ezzel a rövid átalakítással azt mutattuk meg, hogy a tömegpont harmonikus rezgőmozgást végez, ha rá eredőként egy lineáris visszatérítő erő hat. Az ilyen erőhatást rugalmasnak nevezzük (ld. 2.3.4.). Ilyen pl. a D direkciós erejű rugóban ébredő visszatérítő erő, mely F % &Dx
(7.11.)
?N< alakú, ahol D másik elnevezése rugóállandó, melynek dimenziója: = : >m; A D direkciós erejű rugóra kötött harmonikus rezgőmozgást végző m tömegű test mozgásegyenlete a lineáris visszatérítő erővel, mint egyetlen ható erővel Newton II. axiómája alapján felírva tehát: m
d2x % &Dx dt 2
(7.12.)
alakú. A (7.7) és (7.12) összevetésével *2 %
D m
(7.13.)
Ez az egyenlet adja meg a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont alapvető kinematikai jellemzője (körfrekvencia) és dinamikai állandói közötti összefüggést. A körfrekvenciára történő rendezés után egyszerűen felírható a rezgés periódusideje és frekvenciája: T%
2, m % 2, * D
ill.
f%
1 1 D % T 2, m
(7.14.)
Minél nagyobb D, annál gyorsabb, ugyanakkor minél nagyobb a mozgatandó tömeg, annál lassúbb a rezgés.
Ebben a fejezetben megkeressük azt a mozgásegyenletet, illetve azt a külső erőt, melynek hatása alatt egy tömegpont harmonikus rezgést végez. Szorozzuk meg a (7.3) alakú harmonikus rezgést végző tömegpont (7.7) egyenlettel jellemzett gyorsulását a tömegpont tömegével (m):
692 7.1.1.3. A harmonikus rezgőmozgást leíró differenciálegyenlet és megoldásai A (7.12) összefüggést m-el elosztva az alábbi képletet kapjuk: (7.15.)
Ez egy másodrendű homogén differenciálegyenlet, melynek normálalakja: d 2 x 't ( D $ x 't ( % 0 m dt 2
(7.15.a)
és amelynek megoldása előző megfontolásaink alapján a (7.3) függvény, azaz 5 D 2 x 't ( % A cos'*t $ ) 0 ( % A cos33 t $ ) 0 00 4 m 1
(7.16.)
Erről kétszeres differenciálással győződhetünk meg: 5 D 2 dx 't ( D sin 33 t $ ) 0 00 % &A dt m 4 m 1
(7.17.)
5 D 2 d 2 x 't ( D D t $ ) 0 00 % & x 't ( % &A cos33 2 m m dt 4 m 1
(7.18.)
Felmerülhet a kérdés, hogy a (7.3) egyenletben szereplő további kinematikai rezgés jellemzőknek (A,)0) miért nincs közük a dinamikai jellemzőkhöz. Nos a (7.15) mozgásegyenlet másodrendű differenciálegyenlet, így megoldása két szabadon választható kezdeti feltételt kell tartalmazzon. Ezeket épp a két hiányzó kinematikai jellemző, az amplitúdó (A) és a kezdőfázis ()0) biztosítja. Nézzük ezt az alábbi példán részletesen!
7.1. Példa Egy m tömegű testet egy súrlódásmentes asztalon két rugóra kötöttünk a 7.2. ábrának megfelelő módon. Mindkét rugó egyforma hosszú, húzó-nyomó típusú, D* rugóállandóval rendelkezik, és a nyugalmi helyzetben feszítetlen állapotban van. A test ekkor az origóban tartózkodik. Ezután x0 távolságba kitérítjük, és v0 kezdősebességgel útjára indítjuk a testet. Határozzuk meg a kitérés időfüggését!
d 2 x 't ( D % & x 't ( 2 dt m
693
m
D*
D*
x
Megoldás: Mivel húzó-nyomó rugóról van szó, bármelyik irányba térítjük ki az m tömegű testet, a két rugóban azonos irányú, a testet nyugalmi helyzetébe visszakényszerítő erő ébred, melyek nagysága a kitérés D*-szorosa. A testre ható erő tehát F % &2 D * x ahonnan bevezetve az effektív direkciós erőt D eff % 2D * adódik. Az m tömegű testre tehát rugalmas erő hat, melynek következményeként a test harmonikus rezgőmozgást fog végezni. A rezgés körfrekvenciája *%
D eff 2D * % m m
A kitérés időfüggvényét a következő alakban keressük: x % A + cos'*t $ ) 0 ( és a megadott kezdeti értékek x 't % 0( % x 0 és
v 't % 0 ( % v 0
alapján meghatározzuk A-t és )0-t. Ehhez behelyettesítjük a kezdeti értékeket t=0-ra mind a kitérés, mind első deriváltja, a sebesség képletébe: x 0 % A + cos ) 0
(i)
v 0 % & A + * + sin ) 0
(ii)
Utóbbi egyenletet elosszuk *-val, majd mindkét egyenletet négyzetre emeljük és összeadjuk. x 02 $
v 02 % A 2 sin 2 ) 0 $ cos 2 ) 0 % A 2 $!! !#!!! " *2 %1
'
(
7.2. ábra
694 ahonnan v 02 A% x $ 2 * 2 0
(7.19.)
v0 sin ) 0 % &* % &* tg ) 0 x0 cos ) 0
(7.20.)
ahonnan tg ) 0 % &
v0 x 0*
(7.21.)
A megoldás tehát: x % x 02 $
5 D ? v m = x 0 D eff ;: 1 4
(7.22.)
ahol Deff = 2D*.
Példánk általánosítható tapasztalata, hogy egy * körfrekvenciával harmonikusan rezgő, v 0 % v't % 0(
és
x 0 % x 't % 0 (
kezdeti kinematikai jellemzőkkel rendelkező test amplitúdóját, és kezdő fázisát a (7.19) és (7.21) egyenletekkel számíthatjuk ki a fenti kezdeti feltételekből.
Összegezve: a (7.15) differenciálegyenlet megoldása mindig (7.16) alakú, ahol *-t a rendszer dinamikai jellemzői D és m a (7.13) egyenletnek, míg A-t és )0-t a kezdeti feltételek (v0 és x0) a (7.19) és (7.21) egyenleteknek megfelelően határozzák meg. Vizsgáljuk meg végül azt az esetet, amikor a rugalmas erőn kívül egy állandó erő is hat egy tömegpontra, azaz a (7.12) mozgásegyenlet az alábbiak szerint módosul: m
d 2 x't ( % & Dx ( t ) $ Fkonst . dt 2
(7.23.)
Ez az egyenlet felel meg például a nehézségi erőtérben, rugóra (D) felfüggesztett, rezgő, m tömegű súly esetének, ahol Fkonst=mg.
A fázis számításához (ii)-t elosszuk (i)-vel és rendezzük:
695 A (7.23) egyenlet egy ú.n. másodrendű, állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet, melynek normál alakját m-el való osztás és rendezés után kapjuk: F d2x D $ x % konst . 2 m m dt
(7.24.)
d2x D $ x%0 dt 2 m
(7.25.)
alakú, ami nem más mint a harmonikus rezgés differenciálegyenlete (7.15.), így a homogén egyenlet általános megoldása a harmonikus rezgés. Meg kell határoznunk (7.24) egy partikuláris megoldását. Ehhez vegyük észre, hogy, ha egy x= konstans (időfüggetlen) megoldást tételezünk fel, akkor a kétszeres derivált — 0 volta miatt — kiesik és mindkét oldal időfüggetlen alakot ölt. Így nincs más dolgunk, mint az, hogy ezt az állandót az egyenlet együtthatóiból meghatározzuk. Azaz az x 't ( % x e — ahol xe időfüggetlen — alakú megoldásból kiindulva a (7.24)-re F D x e % konst . m m
(7.26.)
Fkonst . D
(7.27.)
és innen xe %
adódik az egyenlet partikuláris megoldásaként. A fenti, differenciálegyenletekre vonatkozó tétel alapján az általános megoldás x 't ( % A cos'*t $ ) 0 ( $
Fkonst . D
(7.28.)
ahol *2=D/m, A-t és )0-t pedig a kezdeti értékek határozzák meg. A (7.28) egyenlet fizikailag azt jelenti, hogy egy állandó nagyságú, a rezgés irányába ható erő hatása alatt a harmonikus rezgés fennmarad, pusztán egyensúlyi helyzete tolódik el xe-vel, a ható erő irányába. Pl. a nehézségi erőtérben rugóra felfüggesztett súly esetében ez azt jelenti, hogy a rendszer nyugalmi, kiegyensúlyozott állapotában a rugó megnyúlása épp akkora, hogy a benne ébredő visszatérítő erő a tömegpontra ható nehézségi erőt kiegyenlíti: Dx e % mg
(7.29.)
Ismeretes (ld. Obádovics-Szarka: Felsőbb matematikai összefoglaló műszakiaknak id.mű), hogy az ilyen típusú differenciálegyenletek általános megoldását úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a (7.24)-hez rendelhető homogén egyenlet általános megoldását, majd magának az inhomogén egyenletnek egy partikuláris megoldását, és a két megoldást összeadjuk. A (7.24)-hez rendelhető homogén differenciálegyenlet:
696 xe %
mg D
(7.30.)
amit persze (7.27) alapján is megkaphatunk.
7.2. Példa A 2 kg tömegű súly egy rugóra erősítve lóg. Ha a rugót 0,1 m– rel megnyújtjuk, a benne ébredő erő 0,8 N. A rugó hossza súly nélkül l=5m. Adjuk meg a súly mozgástörvényét, ha a rugó felfüggesztési pontja az origó, és a súlyt az x0=4 m koordinátájú pontból v0=–0,5 [m/s]-os kezdősebességgel indítottuk útjára! A nehézségi gyorsulást vegyük 10 [m/s2]-nek!
x=0 xo
%
vo m x
x 7.3. ábra
Megoldás: A súly a rugalmas erő és az állandó gravitációs erő hatása alatt áll a mozgás során, melyek iránya egybeesik a mozgás irányával, tehát (7.28) típusú megoldásról van szó. A megoldást az alábbi lépésekben végezzük. Meghatározzuk az egyensúlyi helyzetet (xe), majd felírjuk a kezdeti feltételeknek megfelelő rezgést, végül a megoldást illesztjük a koordináta rendszerhez. Az egyensúlyi helyzetre igaz: D + '6x ( % mg mg 6x % D Felhasználva, hogy D=0,8/0,1 [N/m]=8[N/m], a keresett 6x-re, 6x=2,5 m adódik ahonnan az egyensúlyi helyzet: x e % l $ 6x % 7,5 m
Összefoglalva: a harmonikus rezgésre annak rezgési irányában ható erő a harmonikus rezgőmozgás kinematikai és dinamikai jellemzőit nem változtatja meg, csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el.
697 A tömegpontnak tekintett súly e körül az érték körül fog harmonikus rezgést végezni, 8 ?1 < %2 = : 2 >s ;
körfrekvenciával. Keressük az xe=7,5 m körüli rezgést leíró függvényt x*=Acos(*t+)0)
(i)
alakban, és ekkor a teljes megoldás x=xe+x*=7,5+Acos(*t+)0) [m] A kezdeti feltételeket át kell számítanunk x* koordinátára: Mivel x0=4m így x 0 * % x 0 & x e % 4 & 7,5 % & 3,5 m x 0 * % &3,5 % A + cos ) 0
8m9
(ii)
?m< A kezdeti sebesség v 0 % v 0 * % &0,5 = : >s; Deriválva x*-ot (ld. (i)): v* %
dx * % & A* + sin '*t $ ) 0 ( dt
és így v 0 * % &0,5 % & A + 2 + sin ) 0 0,25 % A + sin ) 0 (iii)-t osszuk el (ii)-vel: 0,25 A + sin ) 0 % & 3,5 A + cos ) 0 ahonnan tg ) 0 % &0.0714 és így ) 0,1 % 175,9@
és
) 0, 2 % 355,9@
(iii)
D % m
*%
698
'& 3,5(2 % A 2 cos 2 ) 0 2
5 0,5 2 2 2 3 0 % A sin ) 0 2 4 1 2
'
(
'& 3,5( $ 53 0,5 20 % A 2 cos 2 ) 0 $ sin 2 ) 0 % A 2 4 2 1 2
ahonnan
'3,5(2 $ 53 0,5 20
A%
4 2 1
2
% 12,25 $ 0,0625 % 3,51 m
Innen a mozgás időfüggése: x % 7,5 $ 3,51 + cos'2 t $ 175,9@( Megjegyezzük, hogy a feladat kezdeti feltételeinek megfelelő A-t és )0-t az előző példában szereplő képletek alapján (7.19, 7.21) is számíthattuk volna.
7.1.1.4.
Az egyszerű, összenergia.
csillapítatlan
harmonikus
rezgőmozgásban
tárolt
A csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás potenciális- és kinetikus energiadiagramját (ld. 2.40. ábra) részletesen diszkutáltuk a 2.5.3. fejezetben. Annak 8. példájában megmutattuk, hogy a mozgás során a potenciális és a kinetikus energia összege állandó (ld. 2.205b.). Hogy a rezgés során az összenergia állandó közvetlen a rezgőmozgás alapegyenletéből is meghatározható. Ha ugyanis megszorozzuk a (7.15) dx -vel, akkor az differenciálegyenlet mindkét oldalát v % dt m
d 2 x dx dx % &Dx 2 dt dt dt
(7.31.)
egyenletre jutunk, ami a deriválás láncszabályát figyelembe véve nem más, mint
Látható, hogy )0,1-hez pozitív A tartozik, míg )0,2–höz, mely éppen 180 fokkal nagyobb mint )0,1 ellenfázisú rezgés (negatív A) tartozik. A két megoldás tehát ugyanazt a rezgést takarja. Elegendő tehát csak a )0,1-hez tartozó pozitív megoldást megkeresni. Ehhez emeljük (i)-t és (ii)-t négyzetre, majd adjuk össze őket:
699 d 53 1 5 dx 2 m3 0 dt 34 2 4 dt 1
2
2 0 % & d 53 1 Dx 2 20 0 dt 4 2 1 1
átrendezés után
ami akkor és csak akkor igaz, ha a differenciálandó mennyiség állandó: 1 1 mv 2 $ Dx 2 % E % állandó 2 2
(7.32.)
Ez a tény logikai úton is kikövetkeztethető, hisz a csillapítatlan harmonikus rezgést végtelen, periodikus függvényekkel írjuk le, ami azt jelenti, hogy az egyensúlyi helyzetben a tömegpontnak mindig ugyanakkora kinetikus energiája van, ugyanakkor a szélső helyzetben, az irányváltáskor a tömegpont sebessége, és ez által kinetikus energiája 0-ra csökkent. Ekkor a teljes energia potenciális energia formájában kell jelen legyen a rezgésben, különben a következő egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor a tömegpont nem tudná előző periódusbeli sebességét elérni. Ezért mondjuk, hogy a harmonikus rezgőmozgásban és általában a harmonikus rezgésekben 1 energiát tárolunk, azaz a harmonikus rezgőmozgás során a E kin % mv 2 kinetikus 2 1 energia és az E pot % Dx 2 alapján bevezetett potenciális energia összege az ún. teljes 2 energia független az időtől, állandó, és a mozgás során az egyes energiatípusok hányada folytonosan változik. Szélső helyzetben tisztán potenciális, egyensúlyi helyzetben tisztán kinetikus energia van jelen, azaz 1 1 m* 2 A 2 sin 2 '*t $ ) 0 ( $ DA 2 cos 2 '*t $ ) 0 ( % 2 2 (7.33.) 1 1 1 2 2 2 2 % m* A % mv max % DA 2 2 2
E % E kin $ E pot %
A gyakorlatban az energiacsere nem megy végbe veszteségmentesen. A csillapítást 7.1.3. fejezetben tárgyaljuk. Ahhoz, hogy egy csillapított harmonikus rezgőmozgást hosszabb időn át fenntartsunk energia-befektetésre van szükség. Mindezt rendkívül jó hatásfokkal végezhetjük, ha megfelelő időpontokban juttatunk energiát a rezgő rendszerbe, azaz periodikusan gerjesztünk. Gondoljunk hintázó gyermekekre, akiket minden lengés során minimális energia-befektetéssel, szinte csak “egy újjal” a megfelelő pillanatban meglökve hosszú percekig szórakoztathatunk. A harmonikus rezgést a tapasztalat szerint egy olyan erővel tarthatjuk fenn jó hatásfokkal, melyben az erő nagysága a rezgéssel azonos periodicitással, ideális esetben vele azonos frekvenciával harmonikusan változik.
1 d 51 2 22 3 mv $ Dx 0 % 0 dt 4 2 2 1
700 7.1.1.5. Az egyszerű, csillapítatlan, harmonikus rezgőmozgással analóg mozgások, fizikai folyamatok
A harmonikus rezgőmozgás kapcsán megfigyeltük, hogy a gyorsulás és a kitérés között a (7.7) teremt közvetlen kapcsolatot. Amennyiben a gyorsulás helyett definíció szerint a helyvektor (jelen esetben a kitérés) második deriváltját írjuk, akkor a (7.3) alakban felírt harmonikus függvények alapvető tulajdonságát kapjuk: d 2 x 't ( % & * 2 x 't ( dt 2
(7.34.)
Minden (7.34) alakú differenciálegyenlettel leírható folyamatot (legyen az mechanikai, elektromos, vagy bármilyen más jellegű fizikai rendszerben értelmezve) összefoglalóan egydimenziós, csillapítatlan, lineáris harmonikus oszcillátornak vagy rezgésnek nevezünk. Nézzünk két alapvető példát a harmonikus rezgőmozgással analóg folyamatokra. Az alábbi analóg rezgéseket oly módon vezetjük be, hogy megmutatjuk, hogy a keresett fizikai mennyiség az adott fizikai körülmények között a (7.34) egyenlettel irható le.
A
Matematikai inga vagy más néven fonalinga.
Az ingamozgás legegyszerűbb modellje, mikoris egy l hosszúságú fonalra függesztett m tömegű súlyt, mint tömegpontot vizsgálunk a nehézségi erőtérben kicsi, függőleges síkbeli kitérések esetén (ld. 74. ábra). Legyen az l hosszúságú fonal és a függőleges által bezárt szög )=)(t). Az m tömegpontra ható nehézségi erő tangenciális és radiális komponensekre bontható, melyek Newton törvénye értelmében biztosítják a tangenciális és radiális gyorsulásokat. Amennyiben a K kötélerőt és az s(t)=l) (t) kitérést bevezetjük, akkor a mozgásegyenletek az alábbiak:
A harmonikus rezgőmozgás (7.3) definíciója kínálja a lehetőséget, hogy más fizikai folyamatokat, melyekben valamilyen fizikai mennyiség a (7.3)-al azonos időfüggést mutat a rezgőmozgás analógiájára tárgyaljunk. Mivel a fizikában a kérdés általában fordítva merül fel, azaz a kérdés úgy szól, hogy “bizonyos fizikai körülmények között milyen időfüggést mutat egy adott fizikai mennyiség”, az alábbiakban ezzel a céllal általánosítjuk a rezgőmozgást és megkeressük a legfontosabb, az analógiát biztosító jellemzőket.
701
)
mg sin ) )
mg cos )
mg
7.4. ábra A matematikai, vagy másnéven fonálingára ható erők
m
d 2 s 't ( % & mg sin8)'t (9 dt 2
v 2 't ( m % K & mg cos8)'t (9 l
(7.35.)
(7.36.)
Mivel s(t)=l+) (t)-ből kiindulva, azt egyszer majd még egyszer deriválva ds' t ( d)' t ( %l dt dt
és
d 2 s' t ( d 2 )' t ( %l dt 2 dt 2
adódik a (7.35) átírható d 2 )'t ( g % & sin )'t ( 2 l dt
(7.35.a)
alakúra. Azt mondtuk, hogy a problémát kis kitérésekre vizsgáljuk, így )=0 környékén az alábbi McLaurin soros közelítéssel élhetünk: sin8)9 % sin ) )%0 $
d sin ) ) $ .... B ) d) )%0
(7.37.)
amit (7.35.a)-ban figyelembe véve: d 2 )'t ( g % & )'t ( 2 l dt
(7.35b)
K
702 g bevezetésével (7.34)-el l analóg egyenletet kaptunk, amelyben a harmonikus rezgést végző fizikai mennyiség a szögkitérés. )(t) tehát, harmonikus függvény, * % g l körfrekvenciával. A maximális kitérést és a kezdőfázist a kezdeti feltételek határozzák meg. Fontos leszögeznünk, hogy minden addig igaz míg a (7.37) közelítés fenntartható, azaz kicsi ) kitérések esetére. A probléma teljes megoldásához tartozik a (7.36) egyenlet megadása, ami a kötélerő pillanatnyi értékét adja meg: adódik. A (7.35b) egyenletben g és l pozitív, így *2 %
A
v 2 't ( $ mg cos8)' t (9 l
(7.36a)
Párhuzamos LC-kör
Tekintsük a 7.5. ábra állandó, koncentrált paraméterekkel (L és C) jellemzett párhuzamos rezgőkörét, melyet a K1 és K2 kapcsolók egyszerre történő átkapcsolásával (t=0) hozunk létre, és amelyben t=0 időpont előtt a C kondenzátor U0 feszültségre lett feltöltve.
K1
K2
+
U0+ Uo
L C
I
7.5. ábra Veszteségmentes LC rezgőkör, melynek kondenzátorát előzetesen U0 feszültségre feltöltöttük. A K1 és K2 egyszerre történő átkapcsolásával a kondenzátort lekapcsoljuk a feszültségforrásról, és egyben párhuzamosan rákapcsoljuk a tekercsre.
Tekintsünk el a veszteségi ellenállásoktól, ekkor Kirchhoff I. és II. törvénye értelmében mindkét elemen ugyanaz az áram folyik és a feszültségek összege a felvett körüljárás mellett: i 't ( % i L 't ( % i C 't (
(7.38.a)
u L 't ( $ u C 't ( % 0
(7.38.b)
K't ( % m
703
A kezdeti értékek
i't % 0( % 0
Vizsgáljuk először az áramot! Tudjuk, hogy a tekercs feszültsége és árama között az indukciós törvény teremt kapcsolatot: u L 't ( % &
d) M di 't ( % &L L dt dt
(7.39.)
míg a kondenzátor esetében a pillanatnyi töltés és a töltőáram között van kapcsolat, ahol a fegyverzet pillanatnyi töltését a kapacitás és a pillanatnyi feszültség szorzataként írhatjuk. A A felvett irányok mellett, ha i nő, akkor nc csökken, tehát: i 't ( % i C 't ( % &
du 't ( dq't ( % &C + C dt dt
(7.40.)
(7.39)-t deriválva du L 't ( du 't ( d 2 i 't ( % % &L + dt dt dt 2
(7.39.a)
amit (7.40)-be behelyettesítve és kihasználva (7.38b)-t, mely szerint n(t)=+uL(t)=-uc(t) d 2 i't ( 1 %& + i't ( 2 dt LC
(7.41.)
egyenletet kapjuk, ami a (7.34) analógja, azaz a megoldás harmonikus rezgés. Ha először a (7.40) egyenletet deriváljuk, és kihasználjuk u(t)=-uc(t)-t: di't ( d 2 u 't ( %C dt dt 2 és (7.39)-be behelyettesítjük: u 't ( % & L
di't ( d 2 u 't ( % & LC dt dt 2
rendezve d 2 u 't ( 1 %& + u 't ( 2 dt LC azaz a feszültség is harmonikus rezgés ugyanazzal az
(7.42.)
u 0 't % 0 ( % U 0
704 *%
1 LC
(7.43.)
a körfrekvenciával.
u 't ( % U max cos'*t $ ) 0 ( i 't ( % C +
du 't ( % &C + U max * sin '*t $ ) 0 ( dt % &I max + sin '*t $ ) 0 (
(7.44.a)
(7.44.b)
egyenletpárra jutunk, melyekből példánk u '0( % U max cos ) 0 % & U 0
(7.45.a)
i'0( % &C + U max * + sin ) 0 % 0
(7.45.b)
kezdeti feltételei alapján )0=, és Umax=U0 adódik, ami Uc(t)=-U(t) miatt a kondenzátoron egyszerű koszinuszos jelet jelent. Mindkét analóg példánk kapcsán megfigyelhetjük a harmonikus rezgésekre jellemző energiatárolást. Az ingamozgásnál a potenciális energia (mgh) és a kinetikus energia (1/2 mv2) összege adja a rezgés összenergiáját és a mozgás során állandó. A magára hagyott LC körnél a tekercsben lévő mágneses illetve a kondenzátorban lévő elektromos energia összege képzi a rezgőkör összenergiáját. Írjuk fel mindkét energiát! A tekercsben tárolt mágneses energia pillanatnyi értéke: E m 't ( %
1 2 L i 't ( 2
(7.46.)
— ami(7.44b) egyenlet harmonikus i(t) értékével: E m 't ( %
1 L C 2 U 2max * 2 sin 2 '*t $ ) 0 ( 2
(7.46a)
ugyanígy a kondenzátorban tárolt elektromos energia nagysága: 1 E e 't ( % CU 2 't ( 2
(7.47.)
ami a (7.44a) egyenlettel: E e 't ( %
1 CU 2max cos 2 '*t $ ) 0 ( 2
(7.47.a)
Az u(t)-t a rezgés általános alakja (7.3) alapján keresve, majd az áramot (7.40) alapján számítva az
705
A két energia összege:
$
1 CU 2max cos 2 '*t $ ) 0 ( $ 2
1 1 LC 2 + *2 U 2max sin 2 '*t $ ) 0 ( % CU 2max cos 2 '*t $ )0 ( $ 2 2 1 1 1 2 $ LC 2 + U max sin 2 '*t $ ) 0 ( % CU 2max 2 LC 2
(7.48.a)
A rezgőkörben tárolt összenergia tehát időfüggetlenül állandó, ami (7.48.a)-ból és (7.44.b) alapján E't ( %
1 1 CU 2max % LI 2max 2 2
(7.48)
alakban írható fel.
Összefoglalva: I.
Harmonikus rezgést a (7.34) alakú differenciálegyenlettel felírható időfüggő fizikai mennyiségek végeznek.
II.
A harmonikus rezgésben energiát tárolunk, melynek megjelenési formája általában kétféle (pl. mechanikai rezgések esetén kinetikus- és helyzeti-, elektromos rezgések esetén elektromos- és mágneses energia), és a kétféle energia összege a rezgés során állandó. A két energiafajta nagysága az egyensúly és a szélsőhelyzet között alternál.
7.1.2. Összetett rezgések Ritkán és speciális esetekben végeznek részecskék “egy” egyszerű harmonikus rezgőmozgást, a gyakorlatban bonyolult rezgésformák lépnek fel, melyek több, amplitúdóban, kezdőfázisban vagy akár frekvenciában, esetleg irányban különböző harmonikus rezgés eredőjeként kezelhetők. E problémák mindegyike új ismeretek és megoldási eljárások elsajátítására kényszerít bennünket.
E' t ( % E e ' t ( $ E m ' t ( %
706 7.1.2.1. Azonos irányú, egyforma frekvenciával rendelkező rezgések összetevése. Komplex számítási módszer forgó komplex vektorokkal
A
A komplex forgó vektor (fazor)
A komplex algebrából ismeretes, hogy egy komplex szám alakja: z % x $ jy
(7.49.)
"
amiről a Gauss-féle síkon ábrázolva (7.6. ábra) látható, hogy z % z8cos ) $ jsin )9
(7.50.)
"
alakban is felírható, ahol )-vel a komplex vektor x tengelyhez képesti szögét jelöljük, z pedig a komplex szám abszolút értéke. A (7.49) és (7.50) összevetésével kapjuk a komplex szám valós (Re) és képzetes vagy imaginárius (Im) részét: x % Re
8 z 9 % z cos )
y % Im
"
8 z 9 % z sin ) "
(7.51.)
A valós rész a valós egység (1), míg az imaginárius rész a j % & 1 képzetes egység együtthatója (utóbbi nem tartalmazza j-t).
Imz y
j
z )
-1
1
x
Rez
-j
7.6. ábra Komplex szám ábrázolása a Gauss-féle számsíkon. ) % *t helyettesítéssel a vektor forog
Az alapkérdésre, hogy milyen időfüggésű két olyan harmonikus rezgőmozgás eredője, melyek frekvenciája és rezgési pályája azonos, de amplitúdójuk és kezdőfázisuk különböző, a szögfüggvények nevezetes azonosságait felhasználva válaszolhatunk, de ez a megoldás már két rezgés estében is viszonylag bonyolult és további problémája, hogy nem szemléletes. A szemléletesebb és egyszerűbb eljárást akkor találjuk meg, ha figyelembe vesszük, hogy minden analóg harmonikus rezgéshez geometriailag hozzárendelhető egy forgó vektor, melynek komponensei a harmonikus rezgéssel azonos időfüggést mutatnak (ld. 7.1.1.1 fejezet). E szemléletes vektorképnél még tovább jutunk, ha mindezt a Gauss-féle komplex számsík vektoraira vezetjük vissza, mert ekkor számításaink egyszerűbbek lesznek.
707
A komplex számokra vonatkozó legfontosabb fogalmakat és összefüggéseket az F.4. Függelékben foglaltuk össze.
cos ) $ j sin ) % e j)
(7.52.)
összefüggés, ami alapján definiálható a komplex szám exponenciális alakja: z % z + e j) "
(7.53.)
A (7.52) relációt legegyszerűbben a relációban szereplő függvények )-ben illetve j)ben felírt hatványsoraival támaszthatjuk alá: 1 1 cos ) %1& ) 2 $ ) 4 &... 2 24
(7.54.)
1 1 5 sin ) % ) & ) 3 $ ) &... 6 120
(7.55.)
A (7.55)-öt j-vel megszorozva és (7.54)-hez hozzáadva az alábbi sorra jutunk: 1 1 1 1 5 1$ j ) & ) 2 & j ) 3 $ ) 4 $ j ) &... 2 6 24 120
(7.56.)
Fejtsük sorba e j) -t: e j) %1$' j )( $
1 1 1 1 ' j )( 2 $ ' j )( 3 $ ' j )( 4 $ ' j )( 5 $... 2 6 24 120
(7.57.)
ami a jobb oldalon a j j % &1 felhasználásával épp a (7.56) sort adja. Amennyiben ) % *t $ ) és z % A helyettesítéssel élünk (ahol * a körfrekvencia, ) a komplex vektor kezdőpozíciójának a valós tengelyhez mért szöge, akkor egy, a Gauss-síkon forgó komplex vektorhoz (fazor) jutunk, melynek valós értéke épp a harmonikus rezgést leíró valós (7.3.) függvény. A továbbiakban összefoglaljuk a rezgések komplex írásmódjával kapcsolatos alapvető tudnivalókat. A
A harmonikus rezgéshez történő komplex forgó vektor hozzárendelés felírása és fizikai jelentése
Az A amplitúdójú, * körfrekvenciájú és )0 kezdőfázisú harmonikus rezgéshez hozzárendeljük a Gauss-féle komplex számsíkon forgó komplex vektort:
Az egyszerű és szemléletes matematikai számítást a komplex számokra felírható Euler-reláció teszi lehetővé. Az Euler-reláció szerint egy komplex egységvektorra igaz a
708 !'t ( % A cos'*t $ ) 0 (7C !'t ( % A + e j'*t $ )0 ( "
(7.58.)
A komplex forgó vektor valós része írja le a fizikai mennyiség időfüggését:
"
(7.59.)
Az exponenciális írásmód még egy, tovább egyszerűsített felírásmódot tesz lehetővé: !' t ( % A + e j' *t $)0 ( % A + e j)0 + e j' *t ( % A+ e j' *t ( "
"
(7.60.)
ahol A a komplex amplitúdó: "
A % A + e j)0 "
(7.61.)
mely nem más, mint a kezdő pozícióban lévő (t=0) forgó vektor exponenciális alakja. Valós része a harmonikus rezgés t=0-ban felvett kezdeti értéke:
8 9
!'t % 0( % Re A % A cos ) 0 "
(7.62.)
A komplex számok alkalmazásának lényege abban rejlik, hogy a rezgésekkel kapcsolatos műveletek végrehajtását szemléletessé és számítástechnikailag egyszerűvé teszi. A műveleteket akár a komplex számsíkon geometriai úton, akár algebrai számításokkal is elvégezhetjük, attól függően melyik egyszerűbb. A végeredmény valós részének képzésével megkapjuk a keresett rezgést.
A
Azonos frekvenciájú rezgések összetevése a komplex számok alkalmazásával
Vegyük fel a két összeadandó rezgéshez rendelhető forgó komplex vektort kezdőpozícióban (hosszuk azonos az egyes rezgések amplitúdójával, irányukat a vízszinteshez képest a kezdőfázisok jelölik ki, ld. 7.7. ábra). Mivel szögsebességük egyforma (hisz azok azonosak a körfrekvenciákkal, melyek feltételezésünk szerint egyenlők), egymáshoz képesti pozíciójuk és bezárt szögük a forgás során nem változik. Nem változik eredőjük hozzájuk képesti helyzete és nagysága sem, azaz az eredő komplex vektor szintén D* szögsebességgel forog. A feladat tehát két komplex vektor összeadására és az eredő vektor forgatására vezethető vissza. Kövessük mindezt számítással! Kiindulásként a két összeadandó rezgés : ! 1 ' t ( % A 1 + e j ' *t (
(7.63.a)
! 2 't ( % A 2 + e j'*t (
(7.63.b)
"
"
"
"
!'t ( % A + e j'*t $ )0 ( % A cos'*t $ ) 0 ( $ j + A sin '*t $ ) 0 (
709 komplex alakban írható fel, ahol A 1 és A 2 a kezdőfázisokat tartalmazó komplex "
"
amplitúdókat jelölik (ld. 7.61). Összegüket:
% 'A1 e j)1 $ A 2 e j)2 ( e j' *t ( % % A R e j ) R e j *t % A R e j *t
(7.64.)
"
alakban írhatjuk, melynek valós része ! R 't ( % Re ?=! R " ;
(7.65.)
rendelkezik fizikai tartalommal.
AR
,&')D&)D(
Im
1
A1
2
)1 )R )2
A2
A 2cos)2
A 1cos)1
Re
A R cos)R
7.7. ábra Két azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összetevése a komplex számsíkon. A R -t a 7.7. ábra alapján síkgeometriai számítással kapjuk meg. A koszinusztétel "
alapján az AR direkt felírható: A 2R % A12 $ A 22 & 2A 1A 2 cos8, & ')1 & ) 2 (9 % A 12 $ A 22 $ 2A 1 A 2 cos')1 & ) 2 (
(7.66.)
Az eredő fázisszögét úgy kaphatjuk meg, ha a koordináták szerinti összeadás után az eredő x koordinátáját elosztjuk az y-al: ctg ) R %
A 1 cos )1 $ A 2 cos ) 2 A 1 sin )1 $ A 2 sin ) 2
(7.67.)
! R % !1 $ ! 2 % 53 A1 $ A 2 20 e j' *t ( % 4 " " " " " 1
710
A
Egyéb műveletek a komplex idő függvénnyel
!1 't ( % A1 e j*1t
(7.68.)
! 2 't ( % A 2 e j*2 t
(7.69.)
"
"
"
"
melyek valós részének volt fizikai jelentése. Képezzük a valós részek szorzatát: Re53 !1 20 + Re53 ! 2 20 % A 1 A 2 cos'*1 t $ )1 ( cos'* 2 t $ ) 2 ( % 4"1 4 " 1 ? cos8'*1 $ * 2 (t $ )1 $ ) 2 9 cos8'*1 & * 2 (t $ )1 & ) 2 9< % A1 + A 2 = $ : 2 2 > ; Képezzük másrészt a Moivré-képlet alapján a komplex szorzat valós részét:
8
9
Re ?=!1 't ( ! 2 't (4 2 1
9
(7.75.a)
-t.
E tényező kiemelése után az alábbi alakra jutunk:
!1 $ ! 2 % A + e "
) $) < ? * $* j= 1 2 t $ 1 2 : 2 ; > 2
"
) &) < ? * &* ? j?= *1 & *2 t $ )1 & )2 2 $e > 2 : => :;
(7.75.b)
Ez a kifejezés az Euler-képletből adódó cos - %
e j- $ e & j2
összefüggés felhasználásával:
!1 $ ! 2 % 2 A + e "
"
) $) < ? * $* j= 1 2 t $ 1 2 : 2 ; > 2
) & )2 < ? * & *2 + cos = 1 t$ 1 2 :; > 2
(7.75.c)
Ha két különböző hangszeren, pl. gitáron ugyanazt a hangot keltjük, de a két hangszer nem volt pontosan összehangolva, vagy az egyiken nem találtuk el pontosan a magasságot az eredmény egy kellemetlenül lüktető hang lesz. A jelenség neve: lebegés. Dobhártyánkon ekkor két, egymástól kicsit különböző frekvenciájú rezgés eredője keletkezik. Vizsgáljuk meg a jelenséget a komplex írásmód segítségével!
715 alakra jutunk, ami 6 * %* 1 &* 2 és 6) % )1 & ) 2 bevezetésével ? *1 $ *2 t $ )1 $ ) 2 < 2 2 :;
6* 6) 2 j=> !1 $ ! 2 % 2A + cos53 t$ 0+e 2 1 4 2 " "
(7.75.d)
) $ )2 2 6* 6) 2 5 *1 $ * 2 Re ?!1 ' t ( $ ! 2 ' t (< % 2A cos53 t$ cos3 t$ 1 0 0 => " :; 2 1 4 2 2 1 4 2 " Mivel
6*II
*1 $ *2 2
a (7.76) összefüggés felfogható egy lassan,
(7.76.) 6*
2
frekvenciával változó amplitúdójú, *1 $ *2
H *1 H *2 frekvenciájú rezgésnek (ld. 2 7.9. ábra). A lassan változó amplitúdó a lebegés, azaz a hangszerkísérletnél a lüktető hangerősség.
7.9. ábra A lebegés (sötétkék) két közeleső frekvenciával rendelkező rezgés (sárga és lila) szuperpoziciója.
A
Amplitúdómoduláció
A rádió- és méréstechnikában gyakran alkalmazott jelátviteli módszer az amplitúdómoduláció, amit jelek összeszorzásával állítanak elő. Mint a 7.10. ábrán látható, az amplitúdómoduláció során egy *h nagy frekvenciájú harmonikus jel (hordozó vagy más néven vivőjel) amplitúdóját a nálánál jóval kisebb frekvenciával
zárt alakú szorzatra vezet. A valós részre való áttérés után:
716 rendelkező átvivendő jel menetének megfelelően változtatják. amplitudómodulált jelet az alábbi komplex alakban írjhatjuk fel:
Az
!'t ( % A81 $ m + cos'* m t (9 + e j*h t
(*m) (7.77.)
"
* m II * h
(7.78.)
reláció. Mindkét jelet kezdőfázis nélkülinek tekintjük, mondanivalónk szempontjából ezek közömbösek. A ! 't ( egy olyan forgó vektor, melynek amplitúdója az időben a "
moduláló harmonikus függvény szerint változik. Határozzuk meg az amplitúdómodulált jel spektrumát, azaz nézzük meg, milyen egyszerű harmonikus függvények összegeként irható fel az amplitúdómodulált jel! Ehhez először alakítsuk 1 át a 7.77 kifejezésben a harmonikus tagot az első tényezőben a cos - % e j- $ e & j2 összefüggésnek megfelelően, - % * m t figyelembevételével:
'
'
? m !'t ( % A =1 $ + e j*m t $ e & j*m t " 2 >
(sin *t $ 3 sin 3*t $ 5 sin 5*t $ ...:;
A 7.12. ábra négyszögjelének spektruma a 7.13. ábrán látható.
U 4U o ,
2, T
4, T
6, T
8, T
10, T
12, T
14, T
*
7.13. ábra A feladatban szereplő négyszögjel spektruma csak páratlan k-kra tartalmaz szinuszos komponenseket.
2 4 4 cos k*t < 2 b k % U 0 F sin ' k*t (dt % U 0 ?=& :; 0 % T T k * > 0
722 Periodikus időfüggésű fizikai folyamatokat tehát előállíthatunk végtelen sok harmonikus rezgés összegeként. A spektrum csak az alap- és felharmonikusok diszkrét értékeinél van értelmezve. Az ilyen spektrumok elnevezése, diszkrét vagy vonalas spektrum.
7.1.2.4. Egymásra merőleges harmonikus komponensekből összetett rezgések A gyakorlatban sűrűn előfordul, hogy két egymásra merőleges irányú harmonikus rezgés eredőjeként létrejövő fizikai folyamattal állunk szemben. A jelenséget legjobban a különböző jelalakok vizsgálatára kifejlesztett, ú.n. katódsugárcső (oszcilloszkópkijelző) segítségével vizsgáljuk, melyben egy jól fókuszált elektronsugarat lumineszcens ernyőre irányítanak (7.14. ábra), melyen az elektronbecsapódás helyén az ernyő jól láthatóan sugárzik. A csőben két egymásra merőleges irányban, elektromos tér segítségével el tudjuk téríteni a sugarat, melynek ílymódon megváltozik a becsapódási helye. Különböző eltérítő jelekkel különböző jelalakokat rajzolhatunk az ernyőre.
elektronsugár függőleges eltérítés vízszintes eltérítés
7.14. ábra Katódsugárcső vázlata
Teljesen aperiodikus folyamatok is felírhatók harmonikus rezgések összegeként. Ezekben az esetekben a spektrum folytonos és a (7.81) sor átalakul egy integrálkifejezéssé. A matematikai eljárás, ami ezt végrehajtja a Fourier-transzformáció. Ebben a fejezetben nem foglalkozunk vele, de felhívjuk Olvasóink figyelmét arra, hogy a 7.5. fejezetben, a hullámcsomag előállítása kapcsán bemutatunk egy folytonos spektrumból a spektrumkomponensek összegzésével előállított aperiodikus függvényt, és az előző fejezet 7.8. ábráján bemutatott 4 speciális rezgés (c,d,e,f) is ily módon állítható ellő a mellette ott feltüntetett folytonos spektrumból.
723 Amennyiben a vízszintes és függőleges eltérítő lemezekre harmonikus feszültségeket kapcsolunk, az eltérítés eredményeként a fénypont az ernyőn két egymásra merőleges harmonikus rezgőmozgás eredőjeként fog mozogni, miközben a rezgések frekvenciája azonos az eltérítőre kapcsolt feszültség frekvenciájával. Vizsgáljuk meg részletesen a lehetséges eseteket: Azonos frekvenciájú, merőleges rezgések
A mozgás pályája az amplitúdók nagyságától és a kezdőfázisok különbségétől függ. A jelenség leírásához a valós írásmódot használjuk: x% A+cos * t
(7.87.a)
y % B + cos'*t $ 6)(
(7.87.b)
Az általánosság csorbítása nélkül külön-külön )1 és )2 kezdőfázisok felvétele helyett azok különbségét vettük figyelembe egy 6) formájában az y irányú rezgés argumentumában. A pályagörbe meghatározásához ki kell küszöbölnünk a t idő paramétert az egyenletrendszerből és az így kapott f(x, y) függvény a pályagörbe egyenletét adja. Fejezzük ki az első egyenletből cos (*t)-t cos'*t ( %
x A
majd, használjuk fel a (7.87.b) egyenletben miután azt a szögfüggvények nevezetes addiciós tétele alapján felbontottuk: y % cos'*t ( cos 6) & sin '*t ( sin 6) % B % cos'*t ( cos 6) & 1 & cos 2 '*t ( + sin 6) % %
x x2 cos 6) & 1 & 2 + sin 6) A A
Rendezés után:
x y x2 cos 6) & % 1 & 2 + sin 6) A B A
emeljük négyzetre:
2 2 5 x cos 6) & y 2 % 53 1 & x 20 + sin 2 6) 3 0 B 1 34 A 2 01 4A
2
és végezzük el a négyzetre emelést és a szorzásokat, majd rendezzük az egyenletet:
A
724
(7.88.)
Ez egy általános helyzetű, origóközpontú ellipszis, melynek nagytengelye 2A, kistengelye 2B hosszúságú. (ld. 7.15. ábra)
y
T A
0
B
x
7.15. ábra Egymásra merőleges, azonos frekvenciájú rezgések erdője egy általános helyzetű, origóközpontú ellipszis
A fáziskülönbség nagyságának függvényében speciális alakzatok jönnek létre, így 6)=0 és 6)=, esetében a rezgések eredője is lineáris harmonikus rezgés, melynek , 3, és a 6) % esetében a körfrekvenciája *, amplitúdója A R % A 2 $ B 2 . A 6) % 2 2 rezgések eredője olyan ellipszis, hogy tengelyei párhuzamosak az x és y tengelyekkel. Ha ezen felül A=B, akkor az utóbbi két szögállásban az eredő pályagörbe A sugarú kör.
x2 y 2 2 xy x2 2 2 cos 6) $ 2 & cos 6) % sin 6) & 2 sin 2 6) 2 A B AB A 2 2 x 'cos 2 6) $ sin 2 6)( $ y 2 & 2xy cos 6) % sin 2 6) 2 A B AB 2 2 x y 2 xy $ 2 & cos 6) % sin 2 6) 2 A B AB
725
y B 0
-A
x
A
x
6U%0 , A=B
-B (a) y B -A
0
6U%,/2 , A=B
-B (b) V%
y
3, 2
B -A
0
A x
6U%,/2 , AEB
-B (c)
7.16. ábra Két azonos frekvenciájú, merőleges rezgés erdőjeként keletkező speciális görbék és keletkezésük feltétele. a.) rezgés; b.) kör; c.) tengelyállású ellipszis
A
Különböző frekvenciájú, merőleges rezgések összegzésekor létrejövő pályák.
A két rezgés egyenlete ebben az esetben az alábbi x% A cos * 1 t
(7.89.a)
y % B cos'* 2 t $ 6)(
(7.89.b)
Az eredő pályagörbék az ú.n. Lissajous-görbék (ld. 7.17. ábra)
A
726
(b)
(c)
(d)
7.17. ábra Különböző frekvencia arányoknak és fáziskülönbségeknek megfelelő Lissajous-görbék
7.1.3. Csillapított harmonikus rezgőmozgás A gyakorlatban a rezgő rendszerekben általában disszipatív erők is hatnak. Amennyiben azokon kívűl a rezgő rendszerre külső gerjesztő erő nem hat, a rendszer energiája időben csökken. Ekkor csillapított harmonikus rezgőmozgásról, illetve csillapított lineáris harmonikus oszcillátorról beszélünk. Ez a csillapított rezgés látható a 7.18.b, c. ábrán. A legegyszerűbben tárgyalható esetben a rezgő testre egy lineáris rugalmas erő és egy, a tömegpont sebességével arányos és azzal ellentétes irányú fékezőerő hat. Ilyen feltételek mellett a (7.10) mozgásegyenlet kiegészítve a csillapítóerővel: d2x dx m 2 %& Dx' t ( & k dt dt alakú. Az m-mel való osztás után, bevezetve az * 20 % az egyenlet átírható az
(7.90. a) D m
é s W%
k jelöléseket, ez 2m
(a)
727 AA
A
x =-ω 02 x-2β x
(7.90.b)
alakba. Az *o a csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás saját körfrekvenciája. Az itt szereplő W mennyiség neve: csillapítási együttható. Átrendezés után A
x +2β x $ ω 02 x= 0
(7.91.)
Egy ilyen másodrendű lineáris homogén közönséges differenciálegyenlet megoldását általában x(t) = eXt alakban érdemes keresni: A
AA
x't (=e λt , x't (=Xe λt , x 't (=λ 2 e λt
(7.92. a,b,c)
A (7.92) egyenleteket (7.91)-be helyettesítve, a
'X $2 W X $* (e 2 0
2
Xt
=0
X2 $ 2 W X $* 20 = 0
(7.93.)
karakterisztikus egyenlethez jutunk. E másodfokú egyenlet megoldása: X 1,2 %&W J W 2 &* 20
(7.94.)
alakban adódik. A (7.90) mozgásegyenletnek két független megoldása adódott, amelyekben nincsenek határozatlan (független) állandók. Ezeket a differenciálegyenlet partikuláris megoldásainak nevezzük. Egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldásában viszont két független állandónak kell szerepelnie. Az általános megoldás tehát a kapott két partikuláris megoldás lineárkombinációjával állítható elő: 35 -W +
x(t) = c1e 4
W 2 & * 20 021 t
35 -W -
+ c2e4
W 2 & * 20 021 t
(7.95.)
ahol c1 és c2 független és tetszőleges, általában komplex állandók. Az exponensben szereplő kitevők a diszkrimináns előjelétől, azaz a csillapítás nagyságától függően lehetnek valósak, illetve komplexek, ennek megfelelően különböző típusú megoldásokat kapunk. A
Csillapított harmonikus rezgőmozgás
Ha a fékező erő elég kicsi, azaz W < *o, akkor a négyzetgyök alatt negatív szám áll, 6
vagyis a kitevők komplexek. Vezessük be az * '= * 20 &W 2 , így x 't ( % c1 e 8&W $ j*'9t $ c 2 e 8&W $ j*'9t
(7.96.)
AA
728 jelölést. A *' a csillapított harmonikus rezgőmozgás saját körfrekvenciája, röviden a csillapított saját körfrekvencia. (Ha W m 3 s m :; % => s :; % 8W 9, fluxusát szokták hullám– (fény–) teljesítménynek is nevezni. Egy dott r pontban az elektromágneses hullám intenzitása (7.259) alapján a 2, Poynting–vektor abszolút értékének egy T % periódusidőre vonatkoztatott időbeli * átlaga: T
1 I % c' R w 'r, t ( Z%R S'r, t ( Z% F S'r, t (dt T0
(7.268.)
ahol ill. időbeli átlagot jelölnek. A fényintenzitás SI egysége az S?W< ével azonosan = 2 : . E-t harmonikus síkhullámnak tekintve és a komplex síkhullám >m ; valós részével ' Re8E9 % E 0 cos'*t & kr (( számolva (7.268) az alábbiak szerint írható: T
T
1 1 I % c F # 0 # r E 02 cos 2 '*t & kr (dt % c# 0 # r E 02 F cos 2 '*t & kr (dt T0 T0
(7.269.)
Az egyenletben szereplő átlagintegrál számításához vegyük figyelembe, hogy - % *t & kr helyettesítéssel: cos 2 - %
1 1 1 1 cos 2- 1 cos 2 - & sin 2 - $ cos 2 - $ sin 2 - % $ 2 2 2 2 2 2
adódik, aminek felhasználásával az integrál kiszámítható: 1 1 ? 1 cos 2'*t & kr ( < 1 ? sin82'*t & kr (9< 1 cos 2 '*t & kr (dt % F = $ dt % $ = % F : : T0 T 0 >2 2 2 > 4* ; ;0 2 T
T
T
Az integrál értékének felhasználásával (7.269)-re: 1 I % c' # 0 # r E 02 2
(7.270.)
Az S egy 'A' felületre vett
783 -et kapunk. Síkhullámok esetén az intenzitás tehát az amplitúdó négyzetével arányos mennyiség (I ~ Ε 02 (i A detektorok általában az intenzitást mérik. Megjegyzések: A gömbhullám esetére is érvényes, hogy az I intenzitás arányos az amplitúdó négyzetével: a gömbhullám egyenletéből fényre A2 r2
(7.271.)
A
Ha a terjedési közeg energiaelnyelése, abszorpciója nem elhanyagolható, akkor E0 helyére az E0e-k”x mennyiséget, azaz a térben csökkenő, csillapodó amplitúdó kifejezését kell beírni. Így abszorbeáló közegben az intenzitás I%
'
1 c ' # 0 E 0 e & k "x 2
(
2
%
1 c' # 0 E 02 e & 2 k"x 2
(7.272.)
7.4.3. Fényabszorpció. Lambert—Beer–törvény A fényintenzitás abszorpció hatására történő csökkenését fogalmazza meg a sokszor használt Lambert—Beer–törvény. Egy infinitezimális dx szélességű anyagon áthaladó fény intenzitáscsökkenését (7.33. ábra) a I' x ( & I' x $ 6x ( dI' x ( %& 6x C0 6x dx lim
(7.273.)
kifejezés definiája. Az intenzitáscsökkenés a dx abszorbeáló réteg megtétele után egyenesen arányos a beeső fényintenzitással I(x)-el (az arányossági tényezőt W-val jelöljük): dI'x ( % &W I'x ( dx
(7.274.)
A (7.274) integrálásával megkapjuk az x vastagságú anyagon való áthaladás utáni intenzitást: I( x ) % I 0 e & W x (7.275.) ahol I0 a kezdeti intenzitás. Ez az összefüggés a Lambert—Beer–törvény és W az anyagra jellemző abszorpciós koefficiens (1/W az a mélység, ahol I az e-1-szeresére csökken). A (7.275) és (7.272) összevetéséből látható, hogy W = 2k" ami a (7.247.b) összefüggést felhasználva a
(7.276.)
I~
784 W % 2k" %
c n ' c# 0
(7.277.)
egyenlőséget adja. dx I(x+dx)
dI=-WI(x)dx
7.33. ábra. A Lambert—Beer–törvény
7.5. HULLÁMOK SZUPERPOZICIÓJA. HULLÁMCSOPORT ÉS CSOPORTSEBESSÉG A fizikában és a technikában különös jelentőségűek azok az anharmonikus és általában aperiodikus hullámok, amelyeknél a ^ hullámfüggvény értéke egy adott időpillanatban a tér egy véges intervallumában különbözik csak lényegesen nullától másszóval a hullám egy adott véges térrészre lokalizált. A hullámtanban ezeket hullámcsoportnak, a kvantummechanikában (ld. 8. fejezet) hullámcsomagnak nevezzük. A 7.34. ábra egy ilyen hullámcsoportot mutat egy adott t időpontban.
7.34. ábra. Különböző frekvenciájú hullámok szuperpozíciójaként (kék vonal) létrehozott hullámcsoport és burkológörbéje (piros vonal) adott időpontban a térben. Hullámcsoportot végtelen sok olyan monokromatikus síkhullám szuperpozíciójaként lehet előállítani, melyek frekvenciája folytonosan kitölti a frekvenciatengely egy szakaszát. Azt mondhatjuk, hogy a hullámcsoportot létrehozó
I(x)
785
7.5.1. Két azonos irányba terjedő különböző frekvenciájú síkhullám összetevése Legyen a két hullám komplex alakja: ^ 1 'x , t ( % A + e j'*1t & k1x (
(7.278.)
^ 2 'x , t ( % A + e j'*2 t & k 2 x (
(7.279.)
azaz a két amplitúdó azonos. Legyen továbbá *1 H *2. Rögzítsük x-et a tér egy pontjában. Mivel rögzített x mellett k 1 x % )1 és k 2 x % ) 2 , így az egyenletek a 7.1.2.2. pont lebegését írják le. Vizsgáljuk meg, milyen egy adott t pillanatban a térbeli hullámforma! Képezzük ehhez a komplex alakok eredőjét: ^1 $ ^ 2 % A8e j' *1t & k1x ( $ e j' *2 t & k 2 x ( 9 Emeljünk ki (7.280)-ból e
k $k 2 5 * $* j3 1 2 t $ 1 2 x 0 2 4 2 1
^1 $ ^ 2 % A + e
(7.280.)
-et:
k $k 2 5 * $* j3 1 2 t $ 1 2 x 0 2 4 2 1
k &k 2 5 * &* ? j53 *1 &*2 t $ k1 & k 2 x 20 & j3 1 2 t $ 1 2 x 0 < 2 2 4 2 1 4 2 1 $e =e : => :;
(7.281.)
e j- $ e & jmajd használjuk fel a cos - % azonosságot: 2 5 *1 $ *2 k1 $ k 2 2 t$ x0 2 2 1
k & k 2 2 j34 5 * & *2 ^ 1 $ ^ 2 % 2A cos3 1 t$ 1 x0 +e 2 2 4 1
(7.282.)
Vezessük be 6* % *1 & * 2 -t és 6k % k 1 & k 2 -t, ekkor:
' *! ( ^ 1 $ ^ 2 % 2$ A! cos t &! 6! kx !!6# " +e a 't ,x (
k $k 2 5 * $* j3 1 2 t $ 1 2 x 0 2 4 2 1
(7.283.)
forrás spektruma (ld. 7.1.2.2. fejezet) folytonos. A hullámcsoport komponenseit komplex alakban írjuk fel, összeadásukra mindaz igaz, amit a rezgések összetevésekor elmondtunk, hozzátéve azt is, hogy fizikai jelentést csak a komplex eredő egyik összetevőjének (vagy a valósnak vagy a képzetesnek) tulajdonítunk. Mi a továbbiakban a valós részt tekintjük fizikai jelentéssel bírónak. Mielőtt a hullámcsoportot folytonos spektrum segítségével előállítanánk (7.5.2. fejezet) és tulajdonságait (7.5.3.-7.5.5. fejezetek) ismertetnénk először megvizsgáljuk két egyirányba haladó monokromatikus síkhullám szuperpozícióját és az eredő sajátosságait.
786 egyszerűsített alakot kapjuk. Látható, hogy a ^1 + ^2 olyan komplex hullámot ír le, * $ *2 k $ k2 melynek frekvenciája 1 , illetve hullámszáma 1 és amplitúdója térben és 2 2 időben síkhullámot ír le. Az amplitúdó: (7.284.)
6* 6k
(7.285.)
melynek terjedési sebessége: va %
7.35. ábra Két kicsit eltérő frekvenciájú (*1~*2) frekvenciájú hullám eredőjének terjedése diszperziós közegben. A t1 pozícióban az amplitúdó maximummal fázisban lévő *1+*2/2~*1~*2 frekvenciájú hullám 6t idő elteltével siet az amplitúdó maximumhoz képest. Jól látható ez azon, hogy 6f idő elteltével a piros színnel jelölt fázisállapot az amplitúdó maximumtól távolabb sietett. Amennyiben a közeg nem diszperziós, azaz a síkhullámok sebessége nem függ a frekvenciától, akkor va %
*1 & *2 k 1u & k 2 u % %u k1 & k 2 k1 & k 2
ahol u az *-tól független fázissebesség. Ebben az esetben a hullám hely- és időfüggő „amplitúdóhulláma” az egyforma fázissebességekkel egyenlő sebességgel halad. Ha viszont a közeg diszperziós, azaz v(*1)Ev(*2), akkor az amplitúdóhullám terjedési sebessége nem egyezik a fázissebességgel. Ha az *1 és az *2 közel egyformák, és a közeg „gyengén” diszperziós, akkor az ampitúdóhullám terjedése csak enyhén tér el, de eltér az u fázissebességtől és mértéke (7.285)-el egyenlő. A (7.283) hullámterjedés esetében tehát a lebegés „térbeli lebegést” is jelent (ld. 7.35. ábra).
a 't , x ( % 2A cos'6*t & 6kx (
787
7.5.2. Hullámcsoport létrehozása harmonikus síkhullámok szuperpozíciójával
L
^' x , t ( % F A' k ( + e j8' *' k ( t &kx (9dk
(7.286.a)
&L
Tekintsünk most egy olyan egydimenziós hullámcsoportot, amely a ko körüli 26k intervallumba eső, azonos amplitúdójú harmonikus hullámok szuperpozíciójaként állítható elő!_ Q1, (ha k0-6k
k %k 0
< k $ 6k :t 0 :;
F
e
? d* jk = => dk
k %k 0
< t &x : :;
dk
(7.289.)
k 0 & 6k 6 ? d* < adódik. Az integrandusz exponensében a z % = t & x : helyettesítést alkalmazva >= dk k % k 0 ;: és az integrálást elvégezve:
2 d* 1 2d * *'k ( % *'k 0 ( $ 'k & k 0 ( $ 'k & k 0 ( $ ... dk k % k 0 2 dk 2 k % k
789
k 0 $ 6k
Fe
k 0 & 6k
j'*0 t & kx (
dk %
sin '6kx ( j'*0 t & k 0 x ( e x Ilyen közelítésben a hullámcsoport burkolója áll, a harmonikus hullámok szuperpozíciója * v f % 0 fázissebességgel k0 "áthalad" a burkoló alatt. (Az egy adott fázisszögnek megfelelő x koordinátát a vastagítás kezdete jelzi). Az ábrán ko=1.0, 6k 0,2 és *(k0)=10. Az egymás alatti ábrák a t=0, 10, és 20 időosztásoknál készültek. Az ábrát számítógépes szimulációval Barócsi Attila készítette. %2
7.37a. ábra. A (7.286) szuperpozíció *(k)=*(k0)=*0 közelítésben:
790
*'k ( % *0 $ 'k & k 0 ( % *0 $ 'k & k 0 (v cs Ekkor: k 0 $ 6k
Fe
k 0 & 6k
jm8*0 $ ' k & k 0 ( v cs 9t & kx n
d* % dk k % k 0
dk %
sin86k ' v cs t & x (9 j' *0 t & k 0 x ( e v cs t & x Ilyen közelítésben a burkoló hullám +x irányban halad, miközben alakja változatlan. A hullámcsoport maximuma ott van, ahol a harmonikus összetevők közel azonos fázisban vannak. A harmonikus hullám és burkolója egyforma sebességgel haladnak. (Az egy adott fázisszögnek megfelelő x koordinátát a vastagítás kezdete jelzi.) Az ábrán k0=1.0, 6k=0,2 és *(k)=10 k. Az egymás alatti ábrák a t=0, 10, és 20 időosztásoknál készültek Az ábra Barócsi Attila munkája. %2
7.37b. ábra. A (7.286) szuperpozíció
791
A hullámcsoport ilyen esetben halad és "szétfolyik". A burkoló görbéje alatti terület jó közelítéssel állandó, lokalizációja romlik: 6x nő. Bizonyos egyszerűsítéssel azt mondhatjuk, hogy ez annak a következménye, hogy az eredeti harmonikus hullámok eltérő fázis-sebességűek. Az ábrázolt esetben *(k)=10 k. Az ábrán jól látható, hogy a hullámcsoport bal oldalán a hullámhossz kisebb, 5 2, 2 tehát az *'k ( % *3 0 4 X 1 nagyobb. A nagyfrekvenciás vivőhullám siet a burkolóhoz képest. (Az egy adott fázisszögnek megfelelő x koordinátát a vastagítás kezdete jelzi.) Az ábrán ko=1.0, 6k=0,25 és *(k)=10 k. Az egymás alatti ábrák a t=0, 20, és 50 időosztásoknál készültek
7.37c. ábra. A (7.286) szuperpozíció az *(k) másodrendű közelítése esetén.
792
A legalsó ábrán jól látható, hogy ilyenkor a hullámcsoport jobboldalán lesz a hullámhossz kisebb, tehát az *(k) nagyobb. A vivőhullám késik a burkolóhoz képest. (Az egy adott fázisszögnek megfelelő x koordinátát a vastagítás kezdete jelzi.) Az ábrán k0=1.0, 6k=0,25 és *(k)=5 k2. Az egymás alatti ábrák a t=0, 10, és 20 időosztásoknál készültek
7.37d. ábra. Az ábra hasonló a 7.37c. ábra esetéhez, de *(k)=5 k2 .
793 k 0 $ 6k
k 0 $ 6k
? e jkz < e jk 0 z j6kz e dk % = % e & e & j6kz % : F jz > jz ; k 0 & 6k k 0 & 6k jkz
% e jk 0 z
'
(
(7.290.)
ahol figyelembe vettük, hogy e j6kz % cos'6kz ( $ j sin '6kz ( , illetve & j6kz e % cos'6kz ( & j sin '6kz ( és az utolsó egyenlőségjel után 6k-val bővítettünk. Ezt az eredményt a (7.289)-be beírva és a z jelölést feloldva
^' x, t ( % e
? d* j = * ' k 0 (& k 0 dk >=
< :t : k%k0 ;
+e
? d* jk 0 = >= dk
< t &x : k %k 0 ;:
Q 5 d* 2l + t & x 00k sin P6k 33 dk k %k 0 1j + 26k + O 4 5 d* 2 6k 33 + t & x 00 4 dk k %k 0 1
(7.291.)
illetve az egyszerűsítéseket elvégezve: QN 5 2lN d* sin P6k3 x & + t 0k dk k % k 0 01Nj 8 NO 34 ^'x, t ( % 26k + + e j *' k 0 (t & k 0 x 9 5 2 d* 6k3 x & + t0 3 dk k % k 0 01 4
(7.292.)
Eredményül egy amplitúdómodulált síkhullámot, tehát egy moduláló-hullám (esetünkben a burkológörbe) és egy végtelen síkhullám (az ún. vivőhullám) szorzatából álló hullámot kapunk. Az amliptudómodulált rezgéseket 7.1.2.2. fejezetünkben már bemutattuk. Amliptudómodulált hullámot amliptudómodulált forrás sugároz ki, melynek spektruma vivőfrekvenciás komponensből és szimmetrikus oldalsávokból áll. Ugyanezt a tulajdonságot mutatja a 7.36.a ábrán definiált spektrum, így az a tény, hogy (7.286.a,b)-re amliptudómodulált jelet kapunk előre várható volt. Az *(k0) vivőfrekvencia és a J 6* oldalsávok folytonos kitöltöttsége térben és időben lokalizált hullámot eredményez. Az amplitúdó-moduláció a híradástechnikában a jelek kisugárzásának, átvitelének (az ún. frekvencia ill. fázismoduláció mellett) egyik lehetséges módja. Lényege, hogy az antennákról egy nagyfrekvenciás elektromágneses vivő-hullámot sugároznak ki. Mivel egy antennáról gyakorlatilag csak olyan frekvenciájú jelek sugározhatók ki, amelyeknek X= cf–1 hullámhossza az antenna geometriai méreteivel nagyságrendileg azonosak és mivel a továbbítandó jelek (elektromos jellé alakított beszéd, kép stb.) hullámhossza általában sokkal nagyobb annál, mintsem közvetlenül kisugározhatók lennének, — e jelekkel a náluk jóval nagyobb frekvenciával (és ezáltal jóval rövidebb hullámhosszal) rendelkező, sugározható (pl. középhullám: 500 kHz-1MHz) vivőhullám amplitúdóját modulálják, azokat a vivőhullám "hátán" továbbítják.
2 sin 6kz sin 6k + z % 26k + e jk 0z z 6k + z
794 A A fázissebesség A vivőhullám esetünkben *'k 0 ( k0
(7.293.)
fázissebességgel +x irányban haladó olyan síkhullám, amelynek *(ko) frekvenciája ill. k0 hullámszáma éppen a szuperponálódó hullámok közepes frekvenciája ill. hullámszáma.
A A csoportsebesség A (7.292) első három tényezőjének szorzata a moduláló hullám térben és időben változó amplitúdója. Látható, hogy ezen amplitúdó maga is egy hullám, amelynek mozgását a 5 2 3 x & d* +t0 3 dk k % k 0 01 4
(7.294.)
eltolási argumentum írja le. Jelöljük a (7.294) eltolási argumentumot !-vel, ekkor a sin ! alakú kifejezés határozza (7.292) hullámcsoportot adott t1 időpontban egy f '! ( % ! meg.
2 1 0 -6,28
-3,14
0
3,14
6,28
9,42
12,56
15,7
18,84
-1 -2
7.38. ábra. Az f '! ( %
sin ! függvény. A ! esetünkben a (7.294) eltolási argumentum. !
sin ! függvény (ld. 7.38. ábrát) határértéke a !=0 helyen 1, és első nullahelyét a ! 1 sin ! |!| = , helyen veszi fel, mellékmaximumai szerint csökkennek. A függvény ! ! A
vf %
795 főmaximumát határoló két 0 átmenet közötti szakaszt a hullám lokalizációs tartományának nevezzük. & , R ! 'x ( R $ ,
(7.295.)
Vizsgáljuk meg, mekkora a burkolójával jellemzett hullámcsoport haladási sebessége, d* ha *'k ( %D*0 $ 'k & k 0 ( D . Ehhez meg kell vizsgálnunk a hullámcsoport azonos dk k % k 0 fázisállapotú pontjainak (pl. a burkológörbe maximumának) haladási sebességét. Legyen a hullámcsoport maximuma adott t=t1 időpontban a !=0 pontban, ekkor (ld. 7.38. ábrát) e maximum értékére fennáll, hogy d* + t 1 & x1 % 0 dk k %k 0
(7.296.)
amiből x1 %
d* + t1 dk k %k 0
(7.297.)
A maximum t1+6t idő múlva — felhasználva az előző egyenletünket — az x 1 $ 6x %
d* d* + 't 1 $ 6t ( % x 1 + 6t dk k % k 0 dk k %k 0
(7.298.)
helyen lesz. A maximum haladási sebessége ez utóbbi két egyenletből 6x d* % 6t C0 6t dk k %k 0
v cs % lim
(7.299.)
Mivel a (7.299) kifejezés a hullámcsoport haladási sebességét adja meg, azt csoportsebességnek nevezzük, tehát: v cs %
d* dk
(7.300.)
A szuperponált hullámok által alkotott hullámcsoportot burkoló függvényével, röviden: burkolójával tudjuk jellemezni.
796 Összefoglalva (ld. a 7.37a,b,c,d. ábrák számítógépes futtatásait is):
A A szuperpozició eredője a hullámcsoport, mely egy amplitúdómodulált hullám. Térbeli kiterjedése minden pillanatban korlátos, lokalizált. A lokalizációt és ezáltal a hullámcsoportot legjobban a burkológörbe jellemzi, mely maga is hullámként terjed. A
A hullámcsoport az *(k) diszperziós reláció lineáris közelítése esetén a d* v cs % csoportsebességgel terjed ami nem más, mint burkolójának sebessége. A dk * szuperponált harmonikus hullám saját burkológörbéje alatt, egy közepes v f % 0 k0 fázissebességgel halad. A Mivel (ld. a 7.4. pontot) a hullám intenzitása a hullám amplitúdójának négyzetével arányos, — egy amplitúdómodulált hullámban, így a hullámcsoportban is az energia a burkoló görbe sebességével, azaz a csoportsebességgel terjed. A A diszperziómentes, (7.292)-vel leírt hullámcsoport — alakját megtartva — a +x irányban halad a fázis- és a csoportsebesség megegyezik (ld. 7.37b. ábrát). Ha a terjedésre diszperzió jellemző, azaz a (7.287)-ben el kell mennünk a k-ban másodrendű közelítésig, akkor a csoport- és fázissebesség különbözik, a hullámcsomag mozgása során egyre jobban ellaposodik, "szétfolyik" (ld. 7.37.c. és d. ábrát). Az egzakt igazolással adósak maradunk, de könnyen belátható, hogy minél jobban lokalizált a hullámcsoport (minél kisebb a lokalizációs tartománya), — annál gyorsabb a hullámcsoport "szétfolyása" is, — hiszen a jobb lokalizáció akkor következik be, ha a szuperponálódó hullámok nagyobb 6k (ill. 6X) intervallumból lettek kiválasztva (ld. 7.5.4. pontot), ekkor pedig a harmonikus komponensek fázissebessége is jobban eltér egymástól. A Minél nagyobb egy hullámcsomag kiterjedése (ld. még 7.5.4. pontot), azaz minél monokromatikusabb (6k kicsi, a spektrum keskeny) — annál jobban közelíthető a hullámcsomag egy harmonikus síkhullámmal, és annál jobban közelít a csoportsebesség a fázissebességhez.
A Végtelen sok különböző frekvenciájú pl. +x irányban haladó harmonikus síkhullám szuperpozíciójából egy anharmonikus és általában aperiodikus eredő hullám jön létre, melyet (ha *(k)-t lineárisan közelítjük) a (7.292) egyenlet ír le.
797
7.5.4. A hullámcsoport alakja és az abból levonható következtetések
^'x ( % 26k
sin '6kx ( & jk 0 x +e 6kx
alakot ölti. Mint a 7.5.3. pontban láttuk, a
(7.301.)
sin '6kx ( függvény (ld. a 7.38. ábrát, 6kx
6
! %'6k + x ( esetre) elfogadható közelítéssel egy x6k % J ,, x % J
, 6k
(7.302.)
intervallumban, azaz egy 6x %
2, 6k
(7.303.)
nagyságú tartományban tér el nullától. Innen 6x6k = 2,
(7.304.)
A (7.304) kifejezés azt mondja, hogy 6x hullámcsoport hosszúsághoz 6k hullámszám tartományból kell az összetevőket összegezni. Minél szélesebb 6k, annál keskenyebb lehet 6x (lásd a 7.39d. és e. ábrát), és viszont.
Figyelembevéve, hogy a 6x intervallumot, — a 6x-en kívüli tartomány elhanyagolása miatt — alulról korlátoztuk, a (7.304) kifejezés pontosabb alakja 6x · 6k o 2,
(7.305.)
és azt fejezi ki, hogy a hullámcsoport nem lokalizálódik jobban mint azt (7.305)-ben megadtuk.
Vizsgáljuk meg a (7.292) hullámcsoport alakját adott (pl. t=0) időpontban, mely akkor a
798
cos(k x),
k=10
cos(k x),
b.)
cos(10 x) + cos(10.5 x) + cos(11 x), 6k=1, Vk=0.5
cos(10 x) + cos(10.1 x) + ... + cos(11 x), 6k=1, Vk=0.1
c.)
d.)
cos(10 x) + cos(10.1 x) + ... + cos(12 x), 6k=2, Vk=0.1
e.)
7.39. ábra. Különböző számú és 6k intervallumú hullám t=0 időpontban történő összegzése. Az ábrából látható, hogy kevésszámú hullám szuperpozíciója nem ad hullámcsoportot (c. ábra). Ugyancsak látható, hogy minél nagyobb 6k értéke, annál keskenyebb lesz a hullámcsoport. Az ábra Barócsi Attila kollégánk munkája.
a.)
k=11
799
7.5.5. A csoport– és fázissebesség kapcsolata diszperziós közegben. A Rayleigh–összefüggés
Ilyen diszperziós közeg pl. a közönséges üveg is, melyből, ha prizmát készítünk és azt fehér fénnyel megvilágítjuk a látható színképtartomány egyes színei szétválasztódnak. A fenti definíciót az elektromágneses hullámok esetén úgy is megfogalmazhattuk volna, hogy diszperziós az a közeg, amelynek permittivitása, illetve törésmutatója frekvencia- ill. hullámhosszfüggő. Egy diszperziós közegben mozgó hullámcsoport alakja az idő függvényében változik, hiszen a harmonikus komponensek eltérő fázissebességgel mozognak. Vannak azonban olyan hullámok is, amelyeknek a fázissebessége nem diszperziós közegben is frekvenciafüggő; ilyenek a mikrorészecskék kvantummechanikai leírására szolgáló hullámok (ld. a 7.5.6. pont végén). Határozzuk meg egy diszperziós közegben mozgó hullám (vagy diszperziós hullám) fázis- és csoportsebessége közötti összefüggést! Ha a közeg nem diszperziós, akkor a fázissebességet meghatározó */k hányados állandó: vf %
* % const. k
és így *=vfk
azaz * és k között lineáris kapcsolat van. Tételezzük fel, hogy a fázissebesség frekvenciafüggő! Ez ekvivalens azzal, hogy a lineáris kapcsolat nem marad fenn, ekkor a hullám fázissebessége függ a hullámszámvektor nagyságától. *'k ( % k + v f 'k (,
v f % v f 'k ( %
*'k ( k
(7.306.)
A csoportsebesség (7.300) és a fenti fázissebesség kapcsolata a következő: v cs %
d*'k ( d 8kv f 'k (9 % v f $ k dv f 'k ( % dk dk dk
(7.307.)
ahol alkalmaztuk a szorzatra vonatkozó differenciálási szabályt. A vf a k-n keresztül függ X-tól is, azaz vf = vf [k(X)], így a (7.307) összefüggést felírhatjuk k helyett X-val is. A vf -re a differenciálás láncszabályát alkalmazva: dv f dv f dk % + dX dk dX
(7.308.)
Egy közeget diszperziós közegnek nevezünk, ha benne a különböző frekvenciájú (hullámhosszúDill. hullámszámú) hullámok fázissebessége különböző.
800 A belső függvény alakja a vf -ben: k%
dk 1 % &2 , 2 dX X
amiből:
(7.309.)
dv f -t kifejezve és a (7.309) összefüggést behelyettesítve: dk dv f dv f dv f % dX % & dX dk 2, dk dX X2
adódik. A (7.307) kifejezésre, ha ezt a kapott összefüggést, valamint k (7.309)-beli értéket behelyettesítjük, akkor a v cs % v f & X
dv f 'X ( dX
(7.310.)
alakú Rayleigh–féle összefüggést kapjuk. Kétféle diszperziót (az adott közegbeli vf nem egyenlő vcs-vel) különböztetünk meg dv f attól függően, hogy milyen előjelű . Ha dX dv f Z 0 , akkor vcsvf dX
és normális diszperzióról, ha pedig és anomális diszperzióról beszélünk. 6
Alkalmazzuka Rayleigh–féle összefüggést fényre! A fény anyagban c' % v f fázissebességét a közeg vákuumra vonatkoztatott törésmutatója szabja meg: n%
c c'
(7.311.)
c dc' c ill. % & 2 és így (7.310)-et n dn n felírva az n törésmutatójú anyagban a fény ccs-vel jelölt csoportsebessége ahol a láncszabályt használtuk: ahol c a fény vákuumbeli sebessége. Innen: c' %
c cs % c'&X
dc' dn c dn + % c'$X 2 + dn dX n dX
(7.312.)
A (7.308)-ból
2, , X
801 Itt kell megjegyeznünk, hogy a fénysebesség mérésének optikai módszerei mindig* a fény csoportsebességét adják meg, mivel a mérések csak véges hosszúságú hullámcsomagokkal végezhetők el. (A fénysebesség méréséhez a fényt szaggatnunk kell!)
A diszperzió jelenségét alapvetően az *(k) függvény határozza meg. Az adott hullámra fennálló *(k) függvénykapcsolatot diszperziós összefüggésnek (relációnak) nevezzük. Ha
d* % 0 , akkor diszperzió jelensége nem lép fel. dk
7.5.6. Hullámcsomag és mikrorészecske formális összerendelése Tételezzük fel, hogy egy térben lokalizált szabad** mikrorészecske leírására egy hullámcsoport szolgál, továbbá tételezzük fel, hogy a hullámcsoport energiáját és frekvenciáját az E = hν = ħ* Planck–féle összefüggés adja meg (ld. 1.2.3. és 8.1.2. pontot). Szabad részecske teljes energiáját a kinetikus energiája adja, melyet klasszikusan (vagy másik fogalmazással: "részecske leírásban") az E%
p2 2m
(7.313.)
képlet adja meg. A de Broglie-féle összefüggésből (ld. 1.2.3. pontot). p%
h h 2, % % 'k X Br 2,X Br
(7.314.)
figyelembevételével a (7.313) részecske leírási módnak az ún. hullám leírásban az
*
Van egy olyan optikai módszer, amelyik a fény fázissebességét méri, ez pedig az állócsillagok látszólagos irányának megváltozásán, a fényaberráció jelenségén alapul (ld. Budó III. id. mű). E módszernél a fázissebesség méréséhez szögváltozást mérünk, miközben a fényt közelítőleg végtelen síkhullámnak tekinthetjük. ** Szabad a részecske, ha nem hat rá erő, erőtér, ilyenkor a részecske potenciális energiájára fennáll, hogy Epot = állandó, mely nullának választható.
A (7.312) képletből látható, hogy vákuumban a ccs = c'-vel, hiszen ekkor a dn hullámhossztól függetlenül n = 1, azaz % 0 . A c' fázissebességre tehát fennáll, dX hogy c' = c. A (7.312) szerint annak kritériuma, hogy ccs = c teljesüljön az, hogy a dn H 0 legyen, ez teljesül pl. vízre. dX
802 ' 2k 2 2m
E%
(7.315.)
'2k 2 % '* 2m
E%
(7.316.)
innen a mikrorészecske csoportsebessége: v cs %
d*'k ( d 5 'k 2 2 'k p 0% % 33 % % v részecske dk dk 4 2m 01 m m
(7.317.)
A mikrorészecske sebességét hullám leírásmódban a hozzá rendelt hullám csoportsebessége adja meg! A vcs p vrészecske ill. a hullámcsoport (kvantummechanikában szokásosabb elnevezése: hullámcsomag) p részecske összerendelés heurisztikus feltevés; fő előnye, hogy ennek réven egyszerű úton jó összefüggésekhez juthatunk. E heurisztikus megfeleltetés korlátai a következők alapján beláthatóak: a.) Nem szabad elfelejteni, hogy a hullámcsoport különböző hullámhosszú, frekvenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciója, és így a hullámcsoport alakját időben változtatja, úgy mondjuk: a hullámcsoport szétfolyik (ld. 7.5.3.); b.) egy részecske (pl. elektron) nem osztható, ugyanakkor egy hullám (így egy hullámcsoport is) pl. egy chopperrel elvben akárhány részre osztható! Fenti fenntartásainkkal vigyük végig a fenti heurisztikus feltevést; ennek során érdekes analógiákhoz jutunk, melyek segítenek megérteni a 8.4.4. pontban ismertetett Heisenberg–féle határozatlansági összefüggéseket.
A
Alkalmazzuk egy mikrorészecskéhez rendelt hullámcsoportra a 6x 6k o 2,
egyenlőtlenséget. Ebben az esetben 6x a mikrorészecske (pl. egy elektron) lokalizáltságát jelenti. Egy (szabad) lokalizált elektron hullámfüggvénye általános esetben valóban egy hullámcsoport alakú függvény lesz.
A Az 1.2.3. pontban megismertük, hogy a mikrorészecskékhez de Broglie nyomán egy monokromatikus síkhullámot rendelhetünk, melynek hullámhosszát az (1.12) de Broglie képlet
energiakifejezés felel meg. Az E = '* behelyettesítést alkalmazva látható, hogy szabad részecske energia kifejezése, nem más mint a szabad részecske diszperziós relációja:
803 X Br %
h p
p% 6
ahol ' %
h 2, h % + % k' X Br X Br 2,
h . Innen a k és a p növekménye közötti kapcsolat 2, 6k %
Mivel k %
dk 1 6p % 6p dp '
(7.318.)
2, következik, hogy: X Br 5 2, 2 0 d33 X Br 01 dk 2, 4 % %& 2 dX Br dX Br X Br
azaz dk % &
2, dX Br X2Br
Ha bennünket csak a kicsi véges 6k ill. 6X követelmények közti kapcsolat érdekel 6k %
2, 6X X2Br
(7.319.)
Az abszolút értéket a továbbiakban nem írjuk ki. Látható, hogy a (7.304)-hez fűzött megjegyzésünk úgyis megfogalmazható, hogy minél szélesebb a 6X intervallum, annál kisebb (ld. (7.304)) a 6x intervallum szélessége. A (7.305) összefüggésbe 6k (7.318) értékét behelyettesítve és a 6p helyére a 6px értéket írva a 6x egyenlőtlenségre jutunk.
6p x o 2, '
adja meg. Egy ilyen síkhullám jó közelítéssel leírja pl. egy elektronnyaláb viselkedését egy elektronmikroszkóp elektronoptikai tervezésénél, — de alkalmatlan egy lokalizált h de Broglie képlet a részecske impulzusa és mikrorészecske leírására. A X Br % p hozzárendelt hullámának hullámszáma között teremt kapcsolatot.
804 átalakítással a 6x6p x o ' 2, %
h %h 2,
6x6p x o h
(7.320.)
reláció adódik. Ez ismét formai analógiában van egy (8.4.4.) kvantummechanikai határozatlansági relációval. A A 6px = m 6vx helyettesítéssel egy másik határozatlansági összefüggéshez jutunk 6v x 6x o
h m
(7.321.)
A A csoportsebesség definíciója és (7.299) értelmében az x és t növekményének hányadosa azonos * és k növekményének hányadosával: v cs %
6x 6* H 6t 6k
amit átrendezve 6x6k H 6*6t
A baloldal azonban a (7.305) határozatlansági összefüggésből már ismerős (6x 6k o 2,), így 6* 6t o 2 ,
(7.322.)
Felhasználva most a E = '* ill.
6* %
6E '
Planck–féle összefüggést (ld. 1.2.3. és 8.1.2. pontokat), az elektromágneses hullámokra (7.322)-ből a 6E6t o 2 , + ' % h
(7.323.)
egyenletet kapjuk. Ez formailag szintén egy határozatlansági összefüggéssel azonos, amelyet jól alkalmazhatunk egy fizikai rendszer gerjesztett állapotai élettartamának becslésére. Ha a gerjesztett állapot energiájának határozatlansága 6E, akkor az állapot 6t élettartamát (7.323) adja meg.
azaz a
805
A
Összefoglalás: a mikrorészecskék hullámleírásához rendelt ' 2k 2 2m
energiakifejezéséből a mikrorészecskék diszperziós relációja *'k ( %
'k 2 2m
alakú. A megfelelő vf fázissebesség vf \
*'k ( 'k % k 2m
ill. a megfelelő vcs csoportsebesség v cs \
d*'k ( 'k % dk m
Látható, hogy a mikrorészecskékhez rendelt hullámfüggvényekre vf=vf(k) és vfEvcs, — és így az ilyen hullámfüggvények sajátságaiknál fogva diszperziósak, — mégpedig diszperziójuk anomális (vcs>vf).
7.6. INTERFERENCIA, ÁLLÓHULLÁMOK
A hullámegyenlet lineáris differenciál egyenlet, a megoldások összege is megoldás, ezért a hullámok találkozásukkor összeadódnak, szuperponálódnak, minek következtében kialakul egy hely- és időfüggő intenzitás-eloszlás. Ha az intenzitáseloszlás időben nagyon lassan változik vagy állandó, akkor a kialakuló intenzitáseloszlás olyan, hogy a találkozó hullámok a tér egyes helyein erősítik, másutt gyengítik egymást. E jelenségkör neve interferencia, kialakulása feltételekhez kötődik. A Duna felszínén a szivárvány színeiben játszó ojalfolt határfelületeiről visszaverődő fényhullámok interferenciája következtében a különböző színű (hullámhosszú) fényösszetevők egymástól folytonosan eltolva alakítják ki csíkrendszerüket a rájuk vonatkozó interferencia feltételnek megfelelően. A fejezet első felében az interferenciajelenségek feltételrendszerét és jellemzőit ismertetjük (7.6.1.-7.6.4.). A fejezet befejező részében azt vizsgáljuk meg, hogy hogyan alakul ki egymással szemben futó hullámok találkozásakor olyan rezgésállapota a hullámtérnek,
E % '* %
806 hogy a haladó mozgás megszűnik, viszont a fizikai mennyiség a tér minden pontjában helytől függő amplitúdójú rezgéseket végez (7.6.5.). Ilyen állóhullámok alakulnak ki a megpendített gitárhúron, a különböző üregrezonátorokban, lézercsövekben.
7.6.1. Hullámok interferenciája
Hullámok lineáris közegben történő térbeli találkozáskor szuperponálódnak, azaz összegeződnek. Harmonikus síkhullámok esetében (pl. két, !1 és !2 hullám esetében) homogén, izotróp közegben, a tér vizsgált P pontjában az eredő hullám: ! R % ! 1$ ! 2 % A1e j)1 $ A 2 e j)2 és )i % *i & k i ri $ )0i "
"
(7.324.)
"
alakban írható fel, ahol )1 ill. )2 a két hullám teljes fázisa, A1 ill. A2 pedig valós amplitúdóik. Az eredő intenzitással arányos amplitúdó négyzete ( A 2R ) a következő:
'
('
(
I H ! R ! *R = A 2R = A1e j)1 + A 2 e j)2 A1e & j)1 + A 2 e & j)2 = "
"
8 + A A 8e '
9 ( 9
= A12 $ A 22 + A1A 2 e j')2 &)1 ( $ e j')1 &)2 ( = % A12 $ A 22
1
2
j ) 2 &)1 (
$ e & j')2 &)1
(7.325.)
Az Euler-tételt alkalmazva: cos - %
1 j- & je $e 2
'
(
majd - % ) 2 & ) 1 -et helyettesítve és (7.325.) összefüggésben felhasználva az amplitúdó A 2R = A12 $ A 22 + A1A 2 2 cos') 2 & )1 (
(7.326.)
alakúra hozható. Ez az egyenlet a hullám I intenzitására (ld. 7.4.1. pontot) az I R = I1 + I 2 + 2
I 1I 2 cos( ) 2 & ) 1 )
(7.327.)
kifejezést adja, ahol IR az eredő I1 ill. I2 pedig a szuperponálódó hullámok intenzitása. Ebből is látható, hogy a hullámok szuperpozíciója során az intenzitások nem egyszerűen összegződnek: a szuperponált hullám intenzitása nem csak az összetevők amplitúdójától, hanem a fázisok különbségétől is függ, ami a (7.327) kifejezés
Mindkét jelenségkört síkhullámokon elemezzük, ahol ez nem lehetséges ott megfelelő mélységig gömbhullámokkal vagy hullámcsomaggal fogunk dolgozni.
807 harmadik tagjában nyilvánul meg. A hullámok valamely Pi találkozási pontjában az eredő intenzitás akkor maximális, ha cos' ) 2 & ) 1 (% cosV %1
V = 2n,,
n = 0, ±1, ±2,...
(7.328.)
tehát V % 0, J 2 ,, J 4 , , stb. Az intenzitás nagysága ezeken a helyeken: IR %
'
I1 $ I 2
(
2
(7.329.)
Az eredő intenzitás akkor minimális, ha cos') 2 & )1 ( % cos V % &1
(7.330.)
azaz ha a fáziskülönbségre nézve fennáll, hogy V = (2n+1),, n = 0, ±1, ±2,...
(7.331.)
tehát V % J ,, J 3 , , J 5 , , stb. Ekkor IR %
'
I1 & I 2
(
2
(7.332.)
Ha az amplitúdók egyenlők, akkor láthatóan a minimum helyén az IR=0, míg a maximum helyén IR=4I. Adott Pi pontban a teljes fáziskülönbség a két harmonikus síkhullámra: V % '*1 t & k 1r1 $ ) 01 ( & '*2 t & k 2 r2 $ ) 02 ( % % '*1 & *2 (t & 'k 1r1 & k 2 r2 ( $ ') 01 & ) 02 (
(7.333.)
ahol *1 és *2 a két hullám körfrekvenciája, k1 és k2 a két hullám hullámszámvektora, r1 és r2 a forrásoktól a vizsgált találkozási ponthoz húzott helyvektorok és )01-)02 a kezdőfázisok különbsége. Hullámtípustól függetlenül ahhoz, hogy az interferencia jelenségét meg tudjuk figyelni szükség van arra, hogy a (7.333) kifejezés ne, vagy csak lassan függjön az időtől. Ha két vagy több hullám találkozásakor a szuperponálódó hullámokra speciális feltételként teljesül, hogy azok teljes fázisának különbsége nem függ az időtől (vagy időben a megfigyelési időhöz képest csak lassan változik), akkor a szuperpozíció e speciális esetét intereferenciának, az ezek létrejöttéhez szükséges feltételeket pedig az interferencia feltételeinek, a (7.327) kifejezés harmadik tagját pedig interferencia– tagnak nevezzük. Ha a teljes fáziskülönbség a rezgési időhöz képest időben lassan változik, akkor az eredő intenzitás egy maximális és egy minimális érték között periodikusan változik. Ha a teljes fáziskülönbség időbeli változása gyors, akkor (a szemünk vagy a detektor korlátozott időbeli felbontóképessége miatt) minden Pi pontban azonos átlagintenzitás észlelhető.
azaz ha a V fáziskülönbség
808
7.6.2. A fény interferenciaképességét (koherenciáját) korlátozó okok
7.6.2.1. A koherencia fogalma és mérőszáma A fényforrások fénye atomjaik, molekuláik gerjesztett állapotból alacsonyabb állapotba történő átmenete során sugárzódik ki. Ez a jelenség az emisszió. Egy ilyen fénykibocsátási aktus tipikusan q=10-8–10-14 s ideig tart, ahol q a gerjesztett állapot élettartama. Például: — napfényre: qH10-14 s; stabilizált lézerre: qH10–3 s; kisnyomású gázkisülésre: qH10–6–10–8 s; nagynyomású gázkisülésre: qH10–8–10–14 s; szilárd test emissziójára: qH10-10 – 10–14 s — a tipikus érték. Az emisszió kétféleképpen folyhat le: spontán ill. indukált emisszióval. Termikus ill. gázkisüléses fényforrásoknál az emisszió döntően spontán, lézerek esetében pedig döntően indukált. (A lézereknél kis mértékben szintén fellépő spontán emisszió zajként jelentkezik.) Spontán emisszió esetében az egyes atomok fénykibocsátási aktusai véletlenszerűek, a fényforrás többi atomjától függetlenek. Egy fénykibocsátási aktus során az atom egy elemi hullámvonulatot, hullámcsoportot emittál, melynek térbeli hossza (a hullámvonulat kiterjedése) az
L \ cq
(7.334.)
az ún. koherencia–hosszal azonos. A spontán emisszió esetében a pontszerű fényforrás különböző atomjaiból emittált, egymást rendszertelenül és gyorsan követő, hullámcsoportok fáziskülönbsége (még *1=*2=...* ill. k1=k2=...k feltételek esetén is) a tér adott pontjában az időben rendszertelenül változik, hiszen az egymást követő hullámcsoportok kezdő fázisa, így a 6)0 a kezdőfázisok különbsége is, rendszertelenül változik. Így egy tipikus megfigyelési idő alatt (pl. 0,1 s) időben állandó fáziskülönbségről nem lehet szó, hiszen q, mint említettük tipikusan 10-8&10-14s. Következésképpen az ilyen fényforrások ill. a belőlük kibocsátott hullámok időben nem tekinthetők koherensnek. Speciális esetekben azonban a termikus fényforrások
A (7.333) kifejezés időbeli állandóságát vizsgálva az interferencia alapfeltételeként adódik, hogy a két interferálódó hullámnak azonos frekvenciájúnak kell lennie: *1=*2. További feltétel, hogy az adott megfigyelési pontban a 'k 1r1 & k 2 r2 ( $ ') 01 & ) 02 ( fázistényező szintén időfüggetlen legyen. Ebből látható, hogy a hullámok forrásainak azonos és időben nem változó kezdőfázissal ') 01 & ) 02 % állandó( azonos frekvenciájú hullámokat kell kisugározniuk, különben a (7.333) kifejezés időben változik. Az interferencia feltételeinek eleget tevő pontforrásokat ill. hullámokat koherenseknek nevezzük. Ez a feltétel fény esetében azt jelenti, hogy a források által kisugárzott fényhullámoknak egymással szoros korrelációban kell lenniük. Ezt a feltételt vizsgáljuk következő fejezetünkben
809
7.40. ábra Newton-gyűrűk és keletkezésük
A Newton-gyűrűs kísérletben az biztosítja a kezdőfázisok különbségét, hogy lényegében ugyanazt az elemi hullámvonulatot, melyet egy-egy atom kisugárzott amplitúdóban felbontunk, majd újra egyesítünk. A fény egy része a domború felületről (A) közvetlen visszaverődik, egy másik része pedig azon áthaladva a sík (B) felületről
(pl. egy izzólámpa, tehát fehér fény) fénysugaraival is létrehozható interferencia. Például vékonyrétegek — a bevezetésbeli olajfolt a vízen vagy a szemüvegbevonat — esetén a réteg határoló felületeiről visszavert fény önmagával interferálva szép színes csíkokat ad, a jelenséget fel is használják a vékonyrétegek vastagságának becslésére. A termikus fényforrások monokromatikus fénysugaraira az L koherenciahossz tehát igen kicsiny, mikrométer nagyságrendű. Másik példaként említhetjük egy sík üveglap és egy nagy görbületi sugarú plankonvex lencse közötti változó vastagságú levegőréteg hatására létrejövő ún. Newton gyűrűket (ld. 7.40 ábra).
810
Lézerek esetében az emisszió indukált, ami azt jelenti, hogy az atomi állapotok gerjesztettségének megszüntetése, a rájuk beeső fényhullám hatására, utóbbival kötött fázisban történik, — és így a fénykibocsátás is korrelált. A lézeranyagok atomjai ill. molekulái azonos fázisban sugároznak, íly módon a kisugárzott, azonos kezdőfázisú monokromatikus hullámvonulatok hossza megnő. Lézerdiódák esetében L több cm, He-Ne lézerek esetében 1-2 méter nagyságrendű. Newton-gyűrűs kísérletünket, tehát ilyen mértékben eltávolított felületeken is sikeresen végrehajtjuk.
Időben koherens a fényforrás, ha a megfigyelési idő alatt az emittált hullámvonulatok kezdő fázisa időben állandó. Ha a fényforrás felülete (a sugár irányára merőlegesen) térben kiterjedt, akkor a koherencia további feltételének, a térbeli koherenciának is teljesülnie kell. Ez azt jelenti, hogy az interferáló pontforrások kezdő fázisa különbségének, ()02&)01)-nek állandónak kell lennie. Termikus fényforrások esetében ez, a felületek csak olyan kis részére teljesül, amely adott esetben pontforrásnak tekinthető; — hiszen egy kiterjedt termikus forrás két pontján levő (különböző) atomok rendszertelen és különböző kezdőfázissal sugároznak.
7.6.2.2. Vonalkiszélesedés Mind termikus fényforrásokból kiszűrt (pl. optikai szűrővel) fényre, mind a lézerfényforrásból származó fényre fennáll, hogy nem tökéletesen monokromatikus. Ennek tulajdonképpen elvi, fizikai okai vannak.
Bármely f frekvenciájú (ill. X hullámhosszú) fény frekvenciájának (hullámhosszának) van egy 6f frekvenciakiszélesedése (6X hullámhossz kiszélesedése), mely az L koherenciahosszal fordítva arányos és így a koherenciahosszat (a 6f H 0 esethez képest) csökkenti. A 6f frekvenciakiszélesedést az I fényintenzitás f frekvencia szerinti eloszlásával, az Imax/2-höz tartozó 6f félértékszélességgel jellemezzük (ld. 7.41. ábra)
verődik vissza és újra elérve az A felületet ott összegződik az A-ról visszavert hullámvonulatrésszel. Az interferencia csak azokon a felületrészeken figyelhető meg, ahol még 2d< L, két szomszédos, azonos színű, fényes vonal között a 2, szintkülönbségre (d) teljesül: 2d % 2, , ahonnan d=X/2. Amplitúdó osztással más X interferometrikus elrendezéseket is építhetünk feltéve, ha L optikai elemeink méreteinek nagyságrendjébe esik, ehhez már valóban koherens fényforrásra van szükség.
811
A frekvencia- ill. hullámhossz kiszélesedés több okra is visszavezethető. Spontán emissziónál a 6f kiszélesedés döntően a (7.323) határozatlansági összefüggésből (ld. még 8.4.4. pont) következik: a gerjesztett élettartam 6t és a kisugárzott energia 6E határozatlansága között a 6E 6t ~ h
(ld. 7.323)
határozatlansági reláció áll fenn. A megfelelő átalakításokkal '6*6t % h6f6t H h
(7.335.)
azaz (mivel 6t a q–val azonosítható) 6f + q H 1
(7.336.)
Ebből q = 1/6f, (7.334)-ből L = cq felhasználásával
L%
c Δf
(7.337.)
illetve 6f H c / L Figyelembevéve, hogy f = cX-1, illetve mivel be behelyettesítve fennáll, hogy
(7.338.)
df c c % & 2 ill. 6f % 2 6X ezt a (7.337)dX X X
7.41 . ábra. Az f0 közepes frekvenciájú fény intenzitása a hullámhossz függvényében (6f a félértékszélesség)
812 X20 L% 6X
(7.339.)
ahol X0 a sugárzás hullámhossza, 6X annak vonalszélessége.
Az interferencia feltétele, hogy a koherens pontforrásoktól mért 6s úthosszak különbségére fennálljon a 6s < L feltétel. c c' 1 Az 53 n % 20 törésmutatójú közegben ugyanez az összefüggés 6s R c' q cq % L , c' 1 c n 4 ahonnan adódik, hogy n+6s< L Az n+6s mennyiség az optikai úthossz a 6s térbeli szakaszon. Amennyiben ez az egyenlőtlenség nem teljesül az interferencia nem jön létre.
7.6.3. Koherens fényhullámok interferenciája
7.6.3.1. Koherens hullámok létrehozása A gyakorlatban koherens fényhullámokat (lézerek alkalmazása esetén is) csak úgy tudunk előállítani, hogy egyazon fényhullámot két vagy több részre felbontunk, majd a részhullámokat egyesítjük — ezáltal biztosítjuk a frekvenciák és a kezdőfázisok azonosságát, azaz koherenciáját. A szétválasztott, de közös forrásból származó hullámcsoportok ezután megtett optikai útjuknak megfelelő fáziskésést szenvednek, így újbóli egyesítésükkor a fázisok különbözőségének megfelelő interferencia képet szolgáltatnak. A koherens részhullámok keltését a 7.42. ábrának megfelelően végezhetjük a hullámfront (pl. Fresnel-féle kettős-tükör, Lloyd-féle tükör, Young-féle interferométer) vagy az amplitúdó (pl. Newton-gyűrű, Michelson- interferométer) megosztásával. A Fresnel-féle kettős-tükör elrendezés (ld. 7.42.a. ábra) az F forrás fényét úgy veri vissza, mintha az F helyett az F1 és F2 virtuális források sugároznának. A Lloyd-féle tükörnél (ld. 7.42.b. ábra) az interferencia szintén hullámfront osztással keletkezik, mégpedig az F által direkt sugárzott és a tükör által visszavert (F’ virtuális forrás által
Megjegyezzük, hogy további frekvencia- (hullámhossz-) kiszélesedést okoznak a lézer-tükrök rezgései, az atomok, molekulák mozgása miatt fellépő Doppler–effektus és több más (itt nem ismertethető) jelenség is, bővebben (ld. Richter Péter: Bevezetés a modern optikába id. mű).
813 sugárzott) hullámfrontok között. A Young-féle interferométernél (ld. 7.42.c. ábra) a fény útjába helyezett keskeny rések a hullámfrontokból kis darabokat vágnak ki, melyek, mint szekunder, koherens források (ld. Huygens-elv, 7.7.1. pont) hozzák létre az interferencia feltételét (működését ld. 7.7.4. fejezet).
a)
b)
c)
7.42. ábra Fresnel-féle kettőstükör, Lloyd-féle tükör és Young-féle kétréses interferométer
7.6.3.2. Két koherens hullám interferenciája Tételezzük fel, hogy valamilyen, az előző fejezetbeli eljárással (pl. Lloyd-féle tükör) két koherens hullámot hoztunk létre, melyek a 7.43. ábrának megfelelően interferálódnak. A Lloyd-tükörnél maradva a 7.43-on az F1 az eredeti pontszerű fényforrás, míg F2 a tükörképe. A két síkhullám szuperpozíciója következtében fellépő eredő intenzitás 1 2 1 I R % # 0 c E R % # 0 cE R E *R 2 2
(7.340.)
A (7.326) alapján ez a kifejezés a részhullámok jellemzőivel:
8
1 I R % c# 0 E 201 $ E 202 $ E 01E 02 +2 cos' ) 2 & ) 1 ( 2
9
(7.341.)
alakot ölt, amit az intenzitásokkal: I R % I 1 $ I 2 $ 2E 01E 02 +2 cos' ) 2 & ) 1 (
(7.342.)
alakban írhatunk. Látható, hogy fényhullámok esetében a (7.333) kifejezés alapján adódó interferencia feltételek kiegészülnek azzal, hogy E 01E 02 E 0 , azaz a két
P
814
7.43. ábra. Két koherens pontszerű fényforrás (F1, F2) interferenciája távoli P pontban
Levegőben (vagy vákuumban), ahol ez nem lép fel tehát: I R % I 1 $ I 2 $ 2 I 1I 2 cos' ) 2 & ) 1 (
(7.343.)
Az interferencia tag, — mivel koherens hullámok esetében * 1 %* 2 és ) 01 % ) 02 — az alábbi helyfüggő fáziskülönbséget jelenti ) 2 & ) 1 = ' k 1 r1 & k 2 r2 (
(7.344.)
*1 * , k 2 % 2 ami a koherencia miatt a hullámvektorok abszolút c c értékének egyenlőségét jelenti: ahol
k1 %
k 1 % k 2 %k%
2, X
(7.345.)
A végtelen távoli P pontból nézve a k1 és k2, sőt az r1 és r2 is tekinthető párhuzamosnak, és így a k 1 % k 2 feltétel jó közelítéssel teljesül. A k 1r1 & k 2 r2 % k 'r1 & r2 ( amiből a fáziskülönbségre a 7.43. ábra alapján
találkozó hullám nem lehet egymásra merőleges polarizációjú. Figyelembe véve, hogy az interferenciát mindig ugyanazon hullámcsoport osztásaként létrehozott részhullámok között figyeljük meg, a koherens előállítás biztosítja a részhullámok azonos polarizációs állapotát is. Ha az osztás után polarizátort vagy a polarizációs síkot forgató optikai elemet alkalmazunk az egyik ágban, vagy az egyik részsugarat anizotróp közegben vezetjük át, akkor annak polarizációs állapota megváltozik és az interferenciatag skalárszorzata befolyásolja az interferencia helyfüggését.
815 6) % ) 2 & )1 % k 'r1 & r2 ( % k + 6s % k + d + sin T %
2, d + sin T X
(7.346.)
adódik. Ha feltesszük az egyszerűség kedvéért, hogy I1=I2=I, akkor:
9
(7.347.)
Mivel az addiciós tételek alapján 1 $ cos - % 1 $ cos 2
% 2 cos 2 2 2
a fenti kifejezés: 5, 2 I R % 4 I cos 2 3 d+sin T0 4X 1
(7.348.)
alakra hozható. Mivel ilyenkor a fáziskülönbség kizárólag a hullámok útkülönbségéből adódik, a jelenséget útkülönbséges interferenciának nevezik. Az interferencia kép minden Pi(y) pontban egy cos2y alakú függvénynek felel meg (ld. 7.43. ábra); a képben a maximumok olyan T-knál jelentkeznek, amelyekre fennáll a 6s=d sin T = nX, n = 0,J1,J2,... feltétel, azaz ahol 6s = 0, ±X, ±2X stb., míg a X minimumok ott, ahol teljesül a 6s = '2n + 1( , n = 0,±1,±2 útkülönbség feltétel azaz 2 X 3X 5X ahol 6s = , , ... . 2 2 2
7.6.3.3. Hogyan működik a Michelson interferométer? A fizikatörténeti szempontból rendkívül lényeges szerepet játszó Michelson-féle interferométer az amplitúdóosztás elvén alapuló interferométerek képviselője (ld. 7.44. ábra). Szemben a 7.42. ábra megoldásaival, ahol közös hullámforrásból kiinduló, de különböző irányba terjedő hullámvonulatok között jön létre az interferencia, itt egyazon hullámvonulatot bontjuk egy féligáteresztő tükörrel két kisebb amplitúdójú részhullámra, melyek különböző utak megtétele után ismét egyesülnek. Az S koherens pontszerű fényforrást létrehozhatjuk egy kvázi párhuzamos fénysugarakat kisugárzó lézer (pl. He;Ne) fókuszálásával (végtelenből jövő sugarak képe a lencse fókuszában van). Az interferométerben az optikai tengelyhez képest 45@-ban elhelyezett osztótükör (ideális esetben 50 %-os osztást valósít meg) a fényt egyrészt átengedi, másrészt 90@-ban visszaveri. Mindkét fényútba az optikai tengelyre merőlegesen síktükröt helyezünk, melyek a részhullámokat visszaverik. A visszavert hullámok az osztón újra egyesülnek és szuperpoziciójuk jut az ernyőre. A tükrözési
8
I R % 2 I $ 2 I cos' kd sinT ( % 2 I 1$ cos' kd sin T (
816
')
1
& ) 2 %' 2 n $1( , ( folyamatosan váltják egymást. Az optikai tengelyre az elrendezés
körszimmetrikus, így a képet koncentrikus gyűrűk alkotják. Ha a tükrök tökéletes síkok és az S forrás tökéletes gömbhullám, akkor a gyűrűk körök. Ha valamelyik tükör nem sík a gyűrűk torzultak. Ezt látjuk a 7.44. interferenciaképen. A gyűrűk távolságából az ernyő pozíciójának ismeretében, következtethetünk a tükrök osztótól vett távolságkülönbségére (6s).
7.44. ábra. A Michelson-interferométer felépítése és interferenciaképe
elv alapján az elrendezés a síktükrök mögött keletkező virtuális koherens pontforrások fényének egyesítésére vezethető vissza. Szintén a tükrözési elvet, de most a 45@-os tükörre alkalmazva a két virtuális fényforrás egy ágba tehető (S1 és S2). Ha a tükrök távolsága az osztótól (- pl. az optikai tengelyen mérve - ) különbözik, akkor az S1 és az S2 nem esik egybe, így az osztón való egyesüléskor az interferenciatér tetszőleges pontjában a két gömbhullám a különböző megtett s távolság miatt különböző r sugarakkal rendelkezik, aminek következtében a fázisok különbsége a hely függvényében változik. Amennyiben az optikai tengelytől kifelé haladunk az S1S2 szakasz P-ből látható látószögének függvényében az útkülönbség folytonosan változik, így a maximumhelyek ' ) 1 & ) 2 % 2n , ( és a minimumhelyek
817
7.6.4. Állóhullámok
Állóhullámot egymással szembe haladó hullámok szuperpozíciója utján állíthatunk elő. Legegyszerűbb, ha egy haladó hullámot valamilyen módon visszaveretünk és így kettejük eredője állóhullámot hoz létre. A visszavert és az eredeti hullám fáziskülönbségét a visszaverődés körülményei határozzák meg. Amennyiben a visszaverődés helyén a hullámnak mindig nulla az amplitúdója (a fenti példánál maradva: ha a gumikötél végét mereven rögzítjük), akkor a visszaverődés ellentétes fázissal (, fázisugrással) történik, és a létrejött állóhullámnak az adott visszaverődési felületen csomópontja lesz. Ha a visszaverődés rugalmas felületről történik (pl. a gumikötelet egy hosszabb vékony fonállal rögzítjük a falhoz), akkor a visszaverődés fázisugrás nélkül történik. Vizsgáljuk meg két egyenlő amplitúdójú (A1=A2=A) és egyenlő frekvenciájú (*1=*2=*), egymással szemben a +x és a –x irányba haladó harmonikus síkhullám szuperpozícióját. A két hullámot komplex alakban felírva az eredőre: ! R % Ae j' * t & kx ( $ Ae ' * j
t $ kx $ ) 0 (
(7.349.)
"
adódik. (Síkhullámokról lévén szó, melyek –L-től +L-ig értelmezettek, a hullámok az egész vizsgált tartományban összegződnek.) A továbbiakban az állóhullámok azon speciális esetével foglalkozunk, melyekre az állandó, azonos amplitúdójú és frekvenciájú harmonikus síkhullám visszaverődése során , fázisugrást szenved. Az ellentétes fázissal történő visszaverődés akkor valósul meg, ha a visszaverődés helyén a hullám amplitúdója mindig nulla. Ez a helyzet a rögzített húrvégen visszaverődő mechanikai hullám, a fémfalról (tükörről) visszaverődő elektromágneses hullám és a potenciál dobozba zárt "elektronhullám" esetében is. Ha tehát a visszaverődés ellentétes fázissal, azaz , fázisugrással történik, akkor ! R = Ae j( *t - kx ) + Ae j( *t + kx + , ) = Ae j( *t - kx ) + e jπ Ae j' *t $ kx ( "
ahol ej, = –1 helyettesítésével: ! R % Ae j' *t &kx ( & Ae j' *t $ kx (
(7.350.)
'
(7.351.)
"
A közös tényezőket kiemelve: ! R % Ae j* t e & jkx & e jkx "
(
Egy kifeszített gumikötél egyik végét mereven rögzítve, a másik végét periodikusan mozgatva – alkalmasan választott frekvenciáknál – állóhullámok keletkeznek. A kötél mentén egyenlő távolságokban állandóan nyugalomban lévő "csomópontok" és maximális amplitúdóval rezgő "duzzadóhelyek" alakulnak ki, melyek helyzete az időben nem változik (ld. 7.45. ábrát).
818 A zárójelbeli kifejezés az Euler–tétel segítségével a szokott módon (ld. pl. (7.290)nél) átírható, így: ! R %& 2 jA sin' kx(e j* t
(7.352.)
"
! R % &2 jA sin 'kx (8cos'*t ( $ jsin '*t (9 % "
% &2A sin 'kx (8 j cos'*t ( & sin '*t (9 % % 2A sin 'kx (8sin '*t ( & j cos'*t (9
(7.353.)
A valós rész, mint fizikai jelentéssel bíró mennyiség ekkor ! R ' x, t ( % Re53 ! R 20 % 2A sin ' kx ( sin '*t ( 4" 1 "
(7.354.)
Olyan hullámot kaptunk, melyben a hely- és az időfüggést leíró tényező szeparálódott, a hullám egy szinuszos hely- és egy szinuszos időfüggvény szorzataként írható le. A ! fizikai mennyiség a tér minden pontjában csupán harmonikus rezgést végez, különböző amplitúdóval. Az amplitúdó változása a térben szinuszos. A (7.354) függvény tehát speciális esetünkre felírt állóhullámot ír le. Mivel a két végén befogott húrral számos, a fizikában található állóhullám analóg, ezért alapvető eset. Legyen a húr két befogási helye x=0 és x=L. Az állóhullámban a rezgések amplitúdója A' x(%2A sin' kx(
(7.355.)
függvény szerint változik. A zérus amplitúdójú helyek koordinátáit a sin' kx( %0
(7.356.)
egyenlet adja meg, ahonnan kx % n,,
n % 0,1,2,3...
(7.357.a)
és innen x % n,
X X %n , 2, 2
n % 0,1,2,3...
(7.357.b)
X 2 távolságra lépnek fel, ahol n = 1,2,3... . Ezeket a pontokat nevezzük az állóhullám csomópontjainak (három dimenzióban csomósíkjainak). A "két végén befogott húr" esetében az amplitúdó mindkét határoló síkon (egydimenziós esetben határoló ponton) zérus. A két végén befogott L hosszúságú húrra tehát teljesülnie kell a
adódik. A zérus amplitúdójú helyek tehát az x=0 pontban (itt n=0), és e helytől n
Az egyenlet ej*t tényezője Euler tétele segítségével szintén átírható:
819 ! R ' x % 0(% 0
(7.358.)
! R ' x % L(% 0
(7.359.)
"
illetve
határfeltételeknek. A (7.354) egyenletre x=L esetében ez azt jelenti, hogy sin' kL(%0
(7.360.)
azaz kL %
2, L % n,, X
n %1,2,3...
(7. 361.)
ahonnan X%
2L n
(7.362.)
ahol n=1,2, … . Bevezetve a n=1-re X0 alapmódus fogalmát X0=
2L = 2L 1
ahonnan a további rezgési módusokat X n &1 =
2L X 0 = alapján írhatjuk fel n n
Áttérve a frekvenciára, ahol v a hullám terjedési sebessége. f n &1 =
v X n &1
=n
v 2L
(7.363.)
adódik. A (7.362 és 7.363) egyenletbe n=1,2,3,... értékeket helyettesítve megkapjuk az L hosszúságú "húr" esetében kialakuló állóhullámok, módusok lehetséges hullámhosszait illetve frekvenciáit. Minden egyes n érték tehát egy-egy módust jellemez és azt fejezi ki, hogy az L húrhosszra hány félhullámhossz fér rá (ld. 7.2. táblázatot). A 7.2. táblázat egyes módusait mutatja be a 7.45. ábra. A v fázissebességet a terjedési közeg anyagi jellemzői (húr esetében a húr rugalmas állandói) határozzák meg (ld. 7.3.2.).
"
820 7.2. táblázat n=1
n=2
X 0 %2 L
X 1 %L L%X 1 f1 =
v L
n=4 2 1 X 3 % L% L... 4 2
......
n
......
X n &1 %
L%2X 3
......
2v L
......
f3 =
X0 n
n X n &1 2 nv f n &1 % X0
L%
A lehetséges frekvenciák aránya (7.363)-ból f 0 : f1: f 2 : f 3 %
v v v v :2 :3 :4 %12 : :3:4 2 L 2 L 2L 2 L
(7.364.)
A fent tárgyalt eset a hangtanban a hegedűhúr esetének felel meg. Ekkor a f1-et, f2-őt, f3-at az f0 alapharmonikus első, második stb. felharmonikusának nevezik. Egyes f f frekvenciaarányokat a hangtanban névvel is ellátnak, pl. a 1 -át oktávnak, 2 -et f0 f1 f f kvintnek, 3 -őt kvartnak, 4 -at tercnek (pontosabban nagy tercnek) nevezik. f2 f3 Látni fogjuk (ld. 8.5.2. pont), hogy teljesen hasonló képletekhez jutunk, ha a 6
fentiekben leírtakat a ! % ^ megfeleltetéssel az L hosszúságú egydimenziós potenciáldobozba zárt (szabad) elektronhoz tartozó ^ hullámfüggvényre alkalmazzuk. A határfeltételek ez esetben ^(0) = ^(L) = 0 alakúak. Mivel ez teljesen azonos a !R (x=0) = !R (x=L) = 0 határfeltétellel, a bezárt elektront első közelítésként leíró síkhullám k hullámszámára is a (7.360)-al azonos k=n
π , n = 1,2,3... L
feltételhez jutunk. Az elektron kinetikus energiájának a (7.315) egyenletettel felírt alakjában k helyére a fenti feltételt beírva az E%
'2k 2 '2π2 2 % n , 2m 2mL2
n % 1,2,3,...
(7.365.)
összefüggéshez jutunk. Egzakt módszerekkel a 8.5.2. pontban (ld. a (8.188) képletet) ezzel azonos eredményt fogunk kapni. Láthatóan a potenciáldobozba zárt elektron energiáját "a hozzátartózó állóhullám" módusa határozza meg.
X0 2 v f0 = 2L L=
n=3 2 X2 % L 3 2 L% X 2 3 3v f2 = 2L
821
7.7. A HULLÁMOK ELHAJLÁSA, A FÉNYDIFFRAKCIÓ ALAPESETEI
Mindeddig homogén közegben szabad hullámok kialakulását vizsgáltuk, ebben a fejezetben azzal a problémával foglalkozunk, mi történik a hullámmal, ha terjedése során akadályba ütközik. Senki nem csodálkozik azon, hogy a nyitott ajtó mellett állva, a túlsó szobában szóló hangszóróból jövő zenét hallja, míg az ott bekapcsolt villany fényénél nem tud olvasni. A hullámok alaptulajdonsága az, hogy az útjukba kerülő akadályok által leárnyékolt térrészbe is eljutnak. A jelenségkör neve: elhajlás. Az elhajlás (mögékerülés) mértéke a hullámhossz és a rés szélességének viszonyától függ. Minnél nagyobb a hullámhossz a rés szélességéhez képest, annál nagyobb az elhajlás (ld. 7.46. ábra). A normál „a”-hang rezgésszáma 440 Hz, terjedési sebessége a levegőben
7.45. ábra. A lehetséges állóhullámok hullámhosszai ill. csomópontjai L távolságban levő visszaverő felületek, pl. L hosszúságú, két végén befogott húr esetén.
822 ~340 m/s, ahonnan a hullámhossz 77 cm, ami összemérhető az ajtó méretével. Ugyanakkor a piros fény hullámhossza 600-700 nm között van, ami nagyságrendekkel kisebb, mint az ajtó mérete. A hang az ajtón erősen elhajlik (ld. 7.46.b ábra), míg a fényelhajlás mértéke elhanyagolható (7.46.a.ábra).
A 7.46. ábrát tanulmányozva még egy fontos dolog megfigyelhető. Az elhajlás jelensége szoros kapcsolatban van a hullám felületének megbontásával, annak mértékével, jellegével. Az elhajlás a hullámfelületek szétbomlásának „diffrakciójának” (latin eredetű) következménye. A diffrakció jelensége elsősorban fény esetében jelentős, mert a jelenségkör többet takar, mint egyszerű „elhajlást”. A különböző alakú akadályok (rés, rács, él. stb.) hatására szétbontott, diffraktált fényhullám az akadály mögött az akadályra jellemző intenzitás képet hoz létre, ami a Huygens-Fresnel-elv (ld. következő 7.7.1. fejezet) alapján is meghatározható. A fénydiffrakció során tapasztalt jelenségek elvileg minden más hullámra átvihetők ám gyakorlati jelentőségük lényegesen kisebb, hisz pl. a jóval hosszabb hullámhosszú rádióhullámok vagy hang trerjedése során a földi akadályok annál sokkal sűrűbben vannak mintsem hogy egy tárgy diffrakciós képe jelentős legyen a hullámtér kialakításában.
7.46. ábra. A gömbhullám rés utáni elhajlásának elvi sémája. a.) ha a d résszélesség d>>X, akkor az elhajlás elhanyagolható; b.) d HX kismértékű elhajlás; c.) d < X erős elhajlás. (A szaggatott egyenesek azt a térrészt jelölik, ahová a hullám egyébként is eljutna, ha nem lépne fel az elhajlás jelensége.)
823
7.7.1. Huygens-Fresnel-elv
Huygens-elvét Fresnel két momentummal egészítette ki, ezzel lehetővé téve fény esetében a diffrakciós jelenségek leírását:
A A diffrakció utáni hullámtér egy P pontjában az intenzitást a hullámfront másodlagos hullámforrásaiból származó hullámok interferenciája határozza meg. AA A hullámfelület valamely eleméről kiinduló másodlagos fényhullámok intenzitása függ attól, hogy a hullámfelület normálisa mekkora szöget zár be a megfigyelés P pontjából a felületelemhez húzott egyenessel (maximális, ha ez a szög 0 és 0, ha ez a szög ,/2).
Fresnel diffrakciós elméletének (1816) nagy sikere volt, hogy segítségével több diffrakciós alapjelenséget helyesen le lehetett írni. Az elmélet alapján pl. Poisson azt a következtetést vonta le, hogy amennyiben a fény útjába kis kör alakú ernyőt helyezünk, akkor mögötte, épp az árnyék középpontjában világos foltot találunk. A megjósolt Poisson-féle foltot (ld. 7.52.b. ábra) Arago kísérletileg igazolta. Meg kell jegyeznünk, hogy Huygens és Fresnel vonzó elmélete nem írta le maradéktalanul a diffrakció jelenségét. A fénydiffrakció korszerű elmélete az elektromágneses fényelmélet keretében volt csak kidolgozható (Kirchhoff, Sommerfeld) ám ezek bonyolultsága túllép könyvünk keretein (ld. pl. Richter Péter és mts: Bevezetés a modern optikába id.mű).
Mit is mond Huygens-elve (1678) a hullámterjedés lefolyásáról? A hullámok úgy terjednek, hogy ha hullámfrontjuk elért valahova, akkor a hullámfront minden pontjából elemi gömbhullámok indulnak ki, melyek amplitúdója és fázisállapota az eredeti hullám adott pontban felvett értékével azonosak. A következő pillanatbeli hullámfront ezen elemi gömbhullámok szuperpozíciójaként határozható meg. Szabadtérben való hullámterjedés esetében az eredő ismét egy, az előzővel párhuzamos hullámfront, melynek amplitúdó és fázisállapota épp úgy változik, mint ahogy arra az eredeti hullám haladásából következtethetünk. Míg szabadtéri hullámok vizsgálatában Huygens-elve nem jelent többletinformációt, addig a diffrakciós jelenségek leírásánál alapvető jelentőségű, hisz a hullámfront útjába helyezett bárminemű akadály azt eredményezi, hogy az akadály helyén nincsenek másodlagos gömbhullámforrások, így azok hiánya azokon a helyeken is érezhető, ahol a hullám látszólag akadálytalnul halad tovább. Jól érzékelteti ezt a nagyon kicsi rés esete, (7.46.c.ábra) ahol a hullámfront továbbhaladásának szinte teljes blokkolása azt eredményezi, hogy csak egy pontból indulnak ki szekunder hullámok az eredmény egy pontszerű forrás, mely gömbhullámokat kelt.
824
7.7.2. Fényelhajlás egyetlen résen
Attól függően, hogy a rés mögött a réshez közeli vagy attól végtelen távoli intenzitáseloszlást vizsgálunk beszélünk Fresnel- illetve Frauenhofer-féle elhajlási képről. Mi a továbbiakban a Fraunhofer-féle elhajlási képet határozzuk meg, azaz előállítjuk az I(T) intenzitást egy végtelen távoli PT pontban (7.47.a. ábra), ahol T a rés középpontját PT-val összekötő egyenes és a primer fényhulám terjedési iránya közötti szöget jelöli. Az ilyen végtelen távoli pontból a rés minden pontja gyakorlatilag T szög alatt látszik (ld. 7.47.b. ábra). Ez az eset kísérletileg is megvalósítható a 7.47.c. ábrán látható elrendezéssel. Alkalmazzuk a résre a Huygens—Fresnel elvet és határozuzk meg a rés síkjában kialakuló szekunder, koherens pontforrások által kisugárzott hullámok interferenciáját P-ben! Osszuk fel ehhez az 'a' szélességű rés belsejét tetszés szerinti, n számú pontforrásra (7.47.d. ábra), melyek egymástól való távolságát jelöjük b-vel (b=a/n). A 7.47.a,d. ábrákból látható, hogy a probléma lényegében az útkülönbséges interferenciára vezethető vissza (ld. 7.6.2. pontot). Az n pontforrásból kiinduló, interferáló hullámok fáziskülönbségei kizárólag az útkülönbségből adódnak és időfüggetlenek. A rés két szélétől induló hullámok közötti (ld. 7.47d. ábra) 6s % a sin T
(7.366.)
útkülönbséghez tartozó fáziskülönbség ) % k6s % ka sin T %
2, a sin T X
(7.367.)
Az egyes szomszédos, egymástól b=a/n távolságra levő n darab pontforrásból kiinduló fénysugarak közötti útkülönbség (ld. 7.47.d. ábra) 6si = b sin T,
i = 1,2,...n
illetve a megfelelő fáziskülönbség a 6)i % kb sin T, egyenletekkel írható le. '6)1 % 6) 2 % ...6)i % ...6) n ( és így
Láthatóan
i = 1,2,...n valamennyi
(7.368.a) 6)i
egyenlő
Essen egy résre (a résre merőlegesen) egy x irányba terjedő homogén, monokromatikus E i % E 0i e j' *t & kx $ )0 ( alakú sík fényhullám (ld. 7.47.a. ábra). Legyen a rés szélessége a, a rés síkja pedig legyen merőleges a terjedési irányra. A rés után, a rés minden pontjából kiinduló szekunder hullámok tehát azonos amplitúdóval és egyforma kezdőfázissal indulnak. Az egyszerűség kedvéért a fázisokat 0-nak vesszük.
825 6) % kb sin T %
2, b sin T X
i = 1,2,...n
(7.368.b)
7.47. ábra. Egy rés által okozott távoli (Frauenhofer) diffrakció létrejötte (a-d), és képe (e).
A távoli PT pontban az AR–el jelölt eredő amplitúdó függeni fog az elemi hullámok PT pontbeli amplitúdójától és az elemi hullámok időfüggetlen, egymáshoz viszonyított fázisától: A R 'P ( % M A i 'P (e j6)i ' P ( "
(7.369.)
i
Tehát A R az "
6
A i % A i 'P (e j6)i ' P ( "
komplex elemi amplitúdók összege. Mivel feltételeztük, hogy a résre homogén fénynyaláb esik, és a P pontból minden felületelem azonos szögben látszik és mindegyiktől az amplitúdó (A/r) szempontjából egyenlő távol van, fennáll, hogy az
e)
826
A 7.48. ábrán az AR húrhoz tartozó középponti szög ()) az A húrhoz tartozó középponti szög (6)) n-szerese: ) % n6)
(7.370.)
és az OCC '6-ből AR 2
% r sin
) 2
(7.371.)
ahonnan A R % 2r sin
) 2
(7.372.)
Az n növekedésével az A húr és a hozzátartozó ívszakasz hossza egyre jobban megközelítik egymást és így az n|A| mennyiség az AR–hez tartozó körívhez tart, azaz n A % r +)
7.48. ábra. A fényamplitúdók fázishelyes összeadása a réstől végtelen távoli P pontban komplex síkvektorokkal.
amplitúdók értéke a P pontban valamennyi fénysugárhoz tartozó harmonikus síkhullámra egyenlők: A1=A2=...Ai...=An=A. A fenti összegzés legegyszerűbben a komplex számsíkon (ld. 7.48.ábra) végezhető el, ahol a komplex amplitúdókat síkvektorokként kezeljük. A 7.48. ábráról látható, hogy az Ai komplex amplitúdók által alkotott sokszög elegendően nagy (elvben végtelen nagy) n esetén tetszés szerint megközelíti a köréje írt C középpontú és r sugarú kört. Ekkor az ábrán jelölt C pontból bármely, az Ai-k középpontjába húzott merőleges szakasz hossza r-nek vehető.
827
6
ahonnan bevezete A 0 % n A -t a sugárra: nA )
%
A0 )
(7.373.)
adódik. (Vegyük figyelembe, hogy n CL esetén |A|C0-hoz miközben n|A| véges marad.) Helyettesítsük be a kapott kifejezést (7.372)-be: sin 53 ) 20 2 A0 ) AR % 2 sin % A 0 4 1 ) 2 53 ) 20 4 21
(7.374.)
ami ) (7.367)-beli alakjával az eredő amplitúdóra az:
AR % A0
'
sin , a sin T X , a sin T X
'
(
(
(7.375.)
összefüggést eredményezi. A megfelelő eredő intenzitás: 1 I R % c# A R 2
2
(7.376.)
figyelembevételével
'
(
'
sin 2 , a sin T sin 2 , a sin T 51 22 X X I R 'T( % 3 c# 0 A 0 0 % I0 2 2 , a sin T 42 1 , a sin T X X
'
(
'
(
(
(7.377.)
ahol I0 a PT pontban levő intenzitás T=0 esetében. A (7.377) függvény tehát az sin 2 x függvény menetét intenzitáseloszlást adja meg T függvényében. A (7.377) egy x2 követi (ld. 7.49b. ábrát), de a maximuma nem 1, hanem I0. A rés után megjelenő intenzitáseloszlás azt jelzi, hogy nullától eltérő fényintenzitás nem csupán a fény egyenesvonalú terjedése határain belül észlelhető, hanem kisebb intenzitással ezen határon kívüli is, — a rés 'a' méretétől függő periódus szerint (ld. 7.47.e. ábra). A fényintenzitás az egységnyi felületre 1s alatt eső fényenergia időbeli átlaga. Érkezzen a résre egy homogén nyaláb I intenzitással, akkor a rés teljes felületére eső teljesítmény időbeli átlaga ~IF, ahol F a rés teljes felülete. Az energia megmaradás miatt a rés utáni térben terjedő teljesítmény időbeli átlagának nem abszorbeáló közegben egyenlőnek kell lennie a –90° < T < +90°-ra integrált összes fényintenzitással.
r%
828
sin x sin 2 x , 5 2 ill. függvények menete. 3 x % a sin T 0 2 x x X 4 1
7.7.2. Optikai rácson való fényelhajlás Optikai rácson itt olyan transzmissziós rácsot értünk, amely rések sorozatából áll. A rések közötti szakaszok a fényre teljesen átlátszatlanok (pl. üvegen fémcsíkok vagy karcolások). A probléma N számú résből származó |AR1|=|AR2|=...|ARj|=...|ARN|=|AR| amplitúdók ill. a megfelelő intenzitások (ld. 7.50. ábra) összegzése egy P pontban, ahol a rés utáni (j = 1,2,...,N) sugarakra ismét feltételezzük, hogy P elég távoli, azaz hogy T1 % T2 % ...Ti % ...T N % T azonos, és így azonos a rés utáni sugarak közötti útkülönbség és fáziskülönbség
7.49. ábra. A
829 6s % d sin T
6) % kd sin T %
illetve
2, d sin T X
(7.378.)
7.50. ábra. Diffrakció optikai rácson
Az összegzés analóg a 7.48. ábrán ábrázolttal. Használjuk ezt fel, de módosítsuk annak jelöléseit jelenlegi feladatunkhoz, és vegyük figyelembe hogy N véges. Írjunk r ~
helyett R-et, n helyett N-et, A helyett AR-et és végül AR helyett A R -et. A (7.372) egyenlet megfelelője a rácsra ~
A R % 2R sin
) N6) % 2R sin 2 2
(7.379.)
Az R-et a 7.48. ábra OCB háromszögéből tudjuk kifejezni: A R % 2R sin
6) 2
(7.380.)
Osszuk el egymással a (7.379) és a (7.380) egyenletet: ~
AR AR
N6) 2 % 6) sin 2 sin
(7.381.)
is, ahol d-vel az egyes rések megfelelő pontjainak, pl. a résközepeknek távolságát jelöltük (ld. 7.50. ábrát). Meg kell jegyeznünk, hogy itt N (ellentétben az előző ponti n-nel) véges szám.
830 azaz
~
AR % AR
N6) 2 6) sin 2
sin
(7.382.)
5 , 2 sin 3 N d sin T 0 ~ 4 X 1 AR % AR , 5 2 sin 3 d sin T 0 4X 1
(7.383.)
egyenlethez jutunk. ~
Az A R -nek megfelelő
~
IR
~ 1 % c# 0 A R 2
2
(7.384.)
intenzitást felírva és a (7.383)-ban |AR| helyére az egy rácsra kapott intenzitáseloszlás kifejezését, (7.377)-et helyettesítve , , sin 2 53 a sin T 20 sin 2 53 N d sin T 20 1 4X 1+ 4 X I R ' T( % I 0 2 , 5 , a sin T 2 sin 2 53 d sin T 20 3 0 4X 1 4X 1
~
(7.385.)
~
megkaptuk a P(T) pontban az optikai rács I R 'T( intenzitáseloszlását, azaz az optikai rács diffrakciós képét, melyben d a rácsállandó ' a ' pedig az egyes rések szélessége. A 7.51. ábrán látható diffrakciós képet a következőképpen értelmezhetjük. A rés mögött különböző T irányokban létrejövő fényintenzitást (ld. 7.51c. ábra) két tényező szorzata határozza meg: A A (7.385) egyenlet első tényezője a rések szélességét tartalmazza és sin T-val csak lassan változik (ld. 7.51b. ábrát). A A (7.385) egyenlet második tényezője (ld. 7.51a. ábrát) ugyanakkor csak a rések ismétlődési távolságát (d-t) tartalmazza és sin T-val gyorsan változik. E tényező határozza meg az eredő függvény maximumának értékét is. A maximumok ott lépnek fel, ahol a 6s útkülönbségre fennáll, hogy 6s % d sin T % nX , ahol n=0,1,2... ill. ahol , nX d sin T % n, A 7.51. ábra abszcisszáján a sin T % értékek vannak ábrázolva. X d
Helyettesítsük be a (7.368) képletből 6)/2 kifejezését, — ezzel az
831
A diffrakciós intenzitás főmaximumai az ún. l'Hospital szabály (ld. Bronstejn, id. mű) szerint határozhatók meg. Mivel , sin 53 N d sin T 20 4 X 1 % JN , , sin 53 d sin T 20 4X 1
ha
, d sin T % 0, ,,2, X
7.51. ábra. Az optikai rács diffrakciós képe (d), melynek menete (c) az a) és b) ábrán látható függvények szorzataként jön létre.
832 értékük épp N2. Az n = 0,1,2... értékhez tartozó főmaximumokat a diffrakció rendjének nevezik. A főmaximumok között ún. mellékmaximumok találhatóak.
7.52. ábra. Diffrakció köralakú lyuk (a) és ernyő (b) esetén. A (b) esetnél jól megfigyelhető a kép közepén a Poisson-féle világos folt (ld. 7.7.1. pont).
A kör alakú nyílás esetén a minimumok is más helyen jelennek meg. Alapvető jelentőségű, hogy egy kör alakú lyukon történő diffrakció első minimuma (az első sötét gyűrű), ha a megvilágított lyuk után n törésmutatójú közeg van n sin T % 1,22X / D
(7.386.)
A Végül megjegyezzük, hogy eddig mindig "vonal" alakú résekről beszéltünk. A kör alakú lyukak problémája bonyolultabb, a vonal alakú maximumok helyett koncentrikus (világos) körök jelennek meg (7.52.a. ábra).
833 szög alatt lép fel, ahol D a kör átmérője. Ezért egy pont alakú nyílás (apertúra) leképzésekor elvileg nem kaphatunk pont alakú képet, helyette (első közelítésben) az első minimumig terjedő kis köralakú világos folt jelenik meg: azt mondjuk, hogy a leképzés diffrakció limitált.
Essen két egyforma, egymástól d távolságra lévő, ' a ' szélességű résre, a rések síkjára merőlegesen monokromatikus síkhullám (7.53a. ábra). Vizsgáljuk a két résen áthaladó és diffraktálódó !1 és !2 hullámok interferenciáját egy elég távoli P pontban, a beeső iránytól T szögben (tehát fennáll, hogy k1 = k2 = k). Mivel a két résből induló hullám közötti útkülönbség 6s=d sinT, a megfelelő fáziskülönbség 6) % kd sin T . Vegyük mindkét elhajló hullám azonos kezdőfázisát zérusnak. A PT vizsgált pontban a hullámok eredője ! R % Ae j) $ Ae j')$ 6) ( "
(7.387.)
ahol az A a résekből indult szekunderhullámok amplitúdója a P pontban, míg, ) % *t & kr . A kifejezésből e j')$ 6) / 2 ( -t kiemelve kapjuk: ! R % Ae
5 6) 2 j3 ) $ 0 2 1 4
"
6) j 5 & j 6) 2 + 33 e 2 $ e 2 00 4 1
(7.388.)
amely, ha a második zárójelben lévő tényezőre az Euler–tételt alkalmazzuk, akkor a
! R % Ae "
5 6) 2 j3 ) $ 0 2 1 4
+ 2 cos
6) 2
(7.389.)
6) 2
(7.390.)
kifejezésre jutunk. Így a megfelelő intenzitás 2
! R % I R 'T( % 4A 2 cos 2 "
Mivel mindkét figyelembevett hullám egy–egy résből indul ki, az A amplitúdó helyére az egyrés–amplitúdó (7.375) értékét, míg 6) helyére az útkülönbségből eredő 2, 6) % d sin T értéket kell behelyettesíteni. X
7.7.4. A Young—féle kétréses kísérlet
834
Ekkor a következő végeredményt kapjuk:
(7.391.)
e) 7.53. ábra. A Young–féle kétréses kísérlet. a) A kísérleti elrendezés; sin 2 x b) a (7.391) cos² x tényezőjének; a c) a 4I 0 tényezőjének ábrázolása; d) a x2 függvény ábrázolása és e) pedig maga a mért diffrakciós kép.
5, 2 sin 2 3 a sin T 0 4X 1 cos 2 5 , d sin T 2 I y 'T( % 4I 0 3 0 2 4X 1 5, 2 3 a sin T 0 4X 1
835
A 7.53. ábrán vázolt kísérlet a kvantummechanika szempontjából is alapvető jelentőségű: a megoldott probléma azonos a részecskék hullámtermészetét (ld. 8.2.2.2. pont) igazoló kétréses, elektrondiffrakciós gondolat–kísérlettel. A fénnyel végrehajtott, most ismertetett Young–kísérletet Johnson meg is valósította elektronnyalábbal (1961) — de kivitelezése igen nehéz volt. Gondolatkísérletként azonban Max Born (Young kísérletére támaszkodva) már 1926-ban felhasználta az elektrondiffrakció valószínűségi értelmezéséhez.
7.7.5. Röntgensugarak és elektronok elhajlása kristályrácsok felületi– és tömbi atomjain
A röntgensugarak (X–sugarak) hullámhossza 10–2–10–1 nm és hasonló nagyságú a felgyorsított elektronokhoz tartozó XBr de Broglie hullámhossz is (ld. 8.2.2.2. pontot). A 7.7. pont bevezetőjében mondottak szerint a hullámok elhajláskor fellépő interferenciája akkor számottevő, ha az optikai rács résszélességére fennáll a d HX feltétel. A fent említett hullámhosszakra optikai rácsot mesterségesen készíteni nem lehet, viszont rendelkezésre állnak a természetes egykristályok, amelyekben az atomok távolsága, a rácstávolság néhányszor 10–1 nm.
A (7.391) kifejezést a 7.53.d. ábrán ábrázoltuk. A 7.53.b,c. ábra mutatja, hogy ezt a sin 2 x végeredményt hogy lehet egyszerűen cos2 x és egy görbe, valamint 4I0 x2 szorzataként kiszerkeszteni. Történetileg Young kísérlete, alapvető jelentőségű volt, mert létrehozta az első diffrakción alapuló interferenciakísérletet — és ezzel végleg bizonyította a fény hullámtermészetét. Young egyébként Huygenshez és Fresnel-hez hasonlóan kereste a választ a fényterjedés mikéntjére, s mint az utóbb kiderült elképzelései közelebb álltak Fresnel-elképzelésénél a valósághoz, a korszerű diffrakciós elméletekhez. Young úttörő elméleti munkáját a Huygens-Fresnel elmélet sikerei háttérbe szorították, a diffrakció és a fényterjedés kutatói 200 éven keresztül más úton haladtak, mint azt Young javasolta.
836 Vizsgáljuk meg egy egykristály felületi atomjain szóródó elektronsugár elhajlását! (Ld. 7.54. ábrát.)
A felületi atomok alkotta rácson elhajló hullámok közötti útkülönbség (ld. 7.54. ábrát) 6s = d sin `. Az elhajló hullámok akkor erősítik egymást, ha fennáll a d sin ` % nX ,
n=1,2,3…
(7.392.)
X , d
n=1,2,3…
(7.393.)
illetve átrendezve a sin ` % n
feltétel. A kapott intenzitáseloszlás megfelel az optikai rácson történő elhajlás 7.7.3. pontban leírt és a 7.51. ábrán ábrázolt esetnek.
A röntgensugarak (és pl. egy vékony fémfólián áthatoló elektronnyaláb) mintegy 1am mélységben behatolnak a kristálytömbbe, – így az elhajlás jellegzetesen a mélységben egymást követő rácssíkokon történik (7.55. ábra). Az elektromágneses sugárzás ilyen, a hullám haladási irányába elhelyezkedő több rácssíkon történő diffrakcióját Bragg-diffrakciónak nevezik. Az egymás alatti rácssíkon visszaverődő hullámok útkülönbsége (ld. 7.55. ábra) 6s % 6s1 $ 6s 2 % 2d sin ` , azaz az erősítés feltétele az ún. Bragg feltétel: 2d sin ` % nX
(7.394.)
7.54. ábra. Elektronsugarak elhajlása egy fém egykristály felületi atomjain. (Az atomok A –tal jelölve.)
837 A kísérleti eredmények a fenti elméleti megfontolásokat igazolják. Ez újabb alátámasztása annak, hogy az elektromágneses hullámok elmélete még igen kis (pl. 0,1nm) hullámhosszak ill. nagy frekvenciák (pl. 1019 Hz) esetén is érvényesek.
7.8. DOPPLER-EFFEKTUS
Tételezzük fel, hogy a hullám forrása v sebességgel halad abban a közegben, melyben a hullám terjed és amelyben a megfigyelő áll. Ekkor a forrás haladási irányába, az előre kisugárzott hullám azonos állapotú hullámfelületei összesűrűsödnek, míg a hátrafelé kisugárzott hullámban ritkulnak (ld. 7.56.a. és 7.57.b. ábra). Ha a hullám periódusideje T, akkor két azonos fázisú állapot kisugárzása között eltelt idő is T. Ez idő alatt azonban a forrás vT utat tett meg, tehát a hullám előtt két egymást követő azonos fázisállapotú hullámfelület távolsága (u-v)T lesz, ahol u a hullám terjedési sebessége a közegben. A hullámforrás előtt haladó hullám hullámhossza tehát lecsökken a közegben: X'%' u & v(T
(7.395.)
mértékűre. Mivel a hullám a közegben folyamatosan u sebességgel terjed, megfigyelő a közeghez képest áll, számára a hullám frekvenciája:
a
7.55. ábra. Röntgensugarak elhajlása egy tömbi kristályrácson. (A vízszintes vonalak egy-egy atomi síkot, A pontok az egyes atomokat ábrázolják.)
838
K '%
u u 1 K % % X ' 'u & v (T 1 & v u
(7.396.)
1 K'% K v 1& u
(a)
(b)
(7.397.)
(c)
7.56. ábra Hullámkádkísérletek a víz felszíne felett jobbra v sebességgel mozgatott a vízfelület ütemesen levegőt fújtató cső, mint hullámforrás segítségével. a) vu, kialakul a Mach-kúp A jelenség neve Doppler-effektus. A gyakorlatban szinte lépten-nyomon találkozunk vele autóutak, autóversenypályák, vasútvonalak és repülőterek mentén, ahol az egyenletes sebességgel — és így állandó fordulatszámmal forgó, egyben változatlan hangon zúgó motorral — érkező gépjárművek általunk érzékelt hangjának frekvenciája az előttünk való elhaladás pillanatában lecsökken. Mivel a jelenség a forrás és a hang közegbeli terjedési sebességének arányától függ, a jelenség annál drasztikusabb, minél nagyobb a forrás sebessége. Jobb fülhallású megfigyelők a frekvenciaesésből a sebességre is következtetni tudnak. Más egy kicsit a helyzet, ha a forrás a terjedési közeghez képest nyugszik, viszont a megfigyelő (detektor) mozog ahhoz képest. Az azonos fázisú hullámfelületek távolsága a terjedési közegben azonos X-val, azaz a K frekvenciával adó nyugalomban lévő forrástól a közegben u terjedési sebességgel haladó hullám hullámhosszával. Tegyük fel, hogy a megfigyelő a forráshoz közeledik éppen v sebességgel. Ekkor a közeledő megfigyelő számára az egyes azonos fázisú hullámfrontok érzékelése a 1 X T% % periódusidő helyett K u
értékűre növekszik. A hullámforrás mögött viszont a frekvencia a megnövekedett hullámhossz miatt lecsökken, értéke:
839 T'%
X u$ v
(7.398.)
időszakonként történik meg, ahonnan 1 u$v K v % % ' u $ v ( % K 531 $ 20 T' X u 4 u1
(7.399.)
ugyanígy, ha a megfigyelő v sebességgel távolodik, akkor: v K ' % K 531 & 20 4 u1
(7.400.)
Eddigi megfontolásaink olyan hullámterjedésre vonatkoztak, ahol a terjedési közeghez viszonyítottuk a forrás illetve a megfigyelő mozgását. Tipikusan ilyen hullám a hang. Tételezzük fel, hogy a forrás sebessége a terjedési közeghez képest elérte a közegbeli hullámterjedés sebességét (u=v). Hangpéldánknál maradva ez azt jelenti, hogy a hang forrása olyan sebességgel halad a levegőhöz képest, mint amekkora a hangterjedés sebessége a levegőben. A forrás — pl. hangsebességgel közlekedő repülő — ekkor az azonos fázisú hullámfelületeket maga előtt feltorlasztja (ld. 7.57.c. ábra). Azt is mondhatjuk, hogy azok a hullámfronton összegyűlnek és „hangfalat” képeznek. Amikor a gép feltorlasztja maga előtt, majd átüti a hangfalat, keletkezik a hangrobbanás. Miután a repülőgép átlépi a „hangfalat” — sebessége (v) nagyobb mint a közegbeli hangsebesség (u dZn
(8.10)
A (8.10) egyenletbe dZ( (8.9)-beli értékét behelyettesítve: dE(n,T) = helyére egy lineáris harmonikus oszcillátor két szabadsági fokának megfelelő klasszikus fizikai, az ekvipartíció tétele alapján kiszámított (( –től független) kBT átlagos energiáját írjuk, akkor 8.L3(" dE(( ,T) = (kBT) c3 d(
(8.11a)
képlethez jutunk. Ez azonban éppen az az energia, amelyet az abszolút fekete test a T hőmérsékleten a ( frekvencia d( nagyságú környezetében egységnyi idő alatt ()T = 1s) képes kisugározni, vagyis az abszolút fekete test emisszióképessége a klasszikus fizika szerint (8.1) alapján: 8.L3(" &'( ,T) = (kBT) c3
(8.11b)**
A (8.11a) képlet a 8.1. pont bevezetőjében már említett Rayleigh—Jeans -féle sugárzási törvény. A Rayleigh-Jeans féle sugárzási törvény azonban nyilvánvalóan hibás! (8.11a) ugyanis a frekvencia növelésével a végtelenhez tart, szemben a mérésekkel meghatározott görbével (ld. 8.1. ábra!) Továbbá a Rayleigh-Jeans féle sugárzási törvény az üregbe zárt teljes elektromágneses tér által adott T hőmérsékleten kisugározható energiájára (véges üregméret esetén is) végtelen értéket, tehát fizikailag értelmetlen eredményt ad:
* Ha V = L3 elég nagy, akkor a lehetséges módusok frekvenciái elég közel esnek egymáshoz. Ekkor összegzés helyett integrálásra térhetünk át.
** Az &'(,T) mértékegysége J; a (8.12b) képletben az 1 / )t = 1 s-1 szorzót nem írtuk ki, de a jobboldalhoz hozzágondoljuk. Nélküle a jobboldal mértékegysége Js lenne.
Az üregbe zárt sugárzás összenergiája a módusok (a lineáris harmonikus összetevők) átlagos energiájának összege.* Ez az az energia, amelyet az egyes összetevők időegység alatt egyáltalán kisugározhatnak. Rendeljünk minden egyes módushoz egy harmonikus oszcillátort és jelöljük az oszcillátorok átlagos energiát ; = < energia kiszámítása Rendeljünk minden módushoz egy lineáris harmonikus oszcillátort. Tételezzük fel, hogy ezek energiája csak &o((,T) nagyságú kvantumokban változhat, tehát a lehetséges energiaértékek (energiaszintek) n = 0,1,2,3,.... (8.14)* & ((,T) = n& ((,T) n
o
alakúak. A klasszikus fizikai folytonos energia értékkészlethez az &o ?$0 határesetben jutunk. Tegyük fel, hogy az n–edik energiaállapotban Nn darab ( frekvenciájú oszcillátor található, ekkor a végtelen sok lehetséges frekvenciájú oszcillátorra Ą
: Nn&n
Eössz n=0 = Ą =
n=0 Ą
(8.17)
–&n/kBT
:
e
n=0
–eo/kBT
(8.17) nevezője (8.14) szerint egy e Ą
–&n/kBT
: e n=0
=
hányadosú fogyó mértani sor összege: 1
(8.18)
–&o/kBT
1–e
2 1 5 Vegyük észre továbbá, hogy (8.17) számlálója a nevező 1– k T4 szerinti differen0 B 3 * ciálhányadosa. A differenciálást a nevezővel egyenértékű (8.18) összegen a törtre érvényes differenciálás szabályai szerint elvégezve –& /k T
1 eoe o B 2 5 = –&o/kBT4 –& /k T 2 2 1 51 3 (1–e o B ) d1– k 4 01 – e 0 BT3 d
(8.19)**
A (8.18)-at ill. (8.19)-et a (8.17) egyenlet nevezője ill. számlálója helyére helyettesítve, egyszerűsítés után: –&o/kBT
&oe =
–&n/kBT 2
(1–e
)
1 –&o/kBT
(1–e
–&o/kBT
=
&oe
–&o/kBT
1–e
)
* A x = – 1 -vel történő helyettesítéssel: e–en/kBT % eenx, és d ( eenx) = e eenx = e e–en/kBT , n n dx k T B
ahol az utolsó egyenlőségjel után D értékét visszahelyettesítettük. Tehát
:eenx = : eneenx
d dx
** Az előző lábjegyzet szerinti behelyettesítéssel ez a differenciálás is egyszerű.
Ezt úgy szokás mondani, hogy az “&n energianívón Nn oszcillátor van”. A nevező a rendszerre jellemző C állapotösszeg (ld.(4.21)), minden Nn-re azonos számérték.
853 –& /kBT
Ezután a számlálóból és a nevezőből az e o megkapjuk az átlagos oszcillátorenergia képletét
–t kiemelve, majd egyszerűsítve
& =
&o 2 eo
2 5 11 + &o + 4–1 + ... 2 " 1 4 k T B 2k T B 0 3
=
kBT 1 + &o/2kBT
amely az &o = 0 behelyettesítéssel átmegy a klasszikus fizika ekvipartíció tételéből a lineáris oszcillátorra adódó átlagenergia ismert: = kBT
(8.21)
kifejezésébe. Láthatjuk, hogy a klasszikus fizikának valóban az &E$? 0 határeset felel meg. A klasszikus fizikai számítás viszont a már megismert helytelen Rayleigh— Jeans–féle törvényszerűségre vezet. A helyes megoldás érdekében Planck merészen feltételezte, hogy a klasszikus fizikai &E$ ? 0 átmenet nem végezhető el, hanem az oszcillátor által felvehető energiának van egy adott véges &o alsó korlátja, melyet energiakvantumnak nevezünk. Az energiakvantum nagysága a ($ frekvenciával arányos: amivel = h(/k T e B –1
(8.22)
(8.23)
alakú lett. Ezt (8.11b)-be behelyettesítve az abszolút fekete test az &'(+$ FG emisszióképességére (8.1) alapján 8.L3 h(3 e((, T) = c3 h(/kBT e -1
(8.24)
alakú kifejezést nyerjük* . Ez az ún. Planck–féle sugárzási törvény. (8.11)–őt ezzel felírva:
* A mértékegységek egyezéséhez itt is figyelembe kell vegyük a s–1 –es szorzót!
A klasszikus fizika szerint egy lineáris harmonikus oszcillátor által felvehető energiának nincs alsó korlátja. Az &E$ ? 0 határesetben (8.20) ismerősebb alakra x" x alakítható. Kis x = &o/kT-re ugyanis e ; 1 + x + 2! + ... így
854 8.L3 h(3 dE(n, T) = c3 d( h(/kBT e -1
(8.24a)
Az abszolút fekete test által adott hőmérsékleten kisugárzott teljes energia (8.24)–ből 8.L3 h(3 3 c 2 h(/kBT 5d( 0 -13 0e
(8.25)
A (8.25) integrálban végezzük el az x = h(/kBT helyettesítést! 3
kBT3 3 h( kBT 3 Ha x = k T , akkor d( = h dx, ( = h3 x , míg a ( = 0 –nak az x = 0, és az B ( = B –nek az x = B felel meg. A kiszámítandó integrál tehát 4 8.L3kBT4 Ą x3 Eössz = c3h3 < = ex–1 dx 0
Ez az integrál, szemben a Rayleigh-Jeans féle képletből kaphatóval már véges. Értéke: .4/15.* Tehát 4 8.5L3kB Eössz = 15c3h3 T4 (8.26a) Ha a képletben szereplő, térfogattól független konstans szorzótényezők egy részét összefoglalva H$–val jelöljük, visszakapjuk a termodinamikai gondolatmenettel már a XIX. század végén igazolt ismert Stefan—Boltzmann törvényt (1878): 4H Eössz = L3 c T4 (8.26b) Szavakkal: egy test által T hőmérsékleten kisugárzott energia T4 -nel arányos. (A XIX. század végén a Stefan—Boltzmann törvényben szereplő H konstans értékét: H = (5,6697+0,0029)·10–8 W·m–2·K–4–nek mérték. A (8.26)–ból két tizedesre számított érték: H = 5,67·10–8 W·m–2·K–4) A maximális sugárzási intenzitáshoz tartozó hullámhossz és a sugárzó abszolút fekete test hőmérséklete között érdekes összefüggést találhatunk. Ha a (8.24a) kifejezésben áttérünk (-ről >-ra, akkor a spektrális eloszlás maximumára a >max · T = állandó = 2,898·10–3 [m·K]
(8.27)
egyenletet, az ún. Wien–féle eltolódási törvényt kapjuk**.
* ld. Bronstejn id. mű 106–173. old. ** Mivel (8.1)–el analóg módon dE(>,T) = e(>,T) d> és c = >(, továbbá d>$ = dn , az eredmény dl differenciálással és a differenciálhányados nulla voltából kapott megoldandó transzcendens egyenlet:
Ą
Eössz = =
max értékét meghatározva a csillagok hőmérsékletét (8.27)-ből meghatározzuk.
856 A külső fotoeffektus értelmezése csak annak feltételezésével vált lehetővé, hogy az elektromágneses hullám energiája kvantált. A külső fotoeffektus (a továbbiakban a "külső" jelzőt elhagyjuk) törvényszerűségeit a 8.4. ábrán látható kísérleti elrendezéssel vizsgálhatjuk meg.
A
R
K
i UR 8.4. ábra. A külső fotoeffektus vizsgálatára szolgáló kísérleti elrendezés elvi vázlata (( a megvilágító fény frekvenciája, A az anód, R a rács, K a katód, UR pedig a rácsra kapcsolt feszültség)
Helyezzünk el egy vákuumcsőbe a (8.4) ábrán látható módon három elektródát: egy A anódot és egy K katódot, továbbá egy R rácsot (fémhálót)! Az A és K elektródákra kapcsoljunk kb 150 V feszültséget (a katód legyen a negatívabb elektróda)! Kezdetben tartsuk az R rácsot a K katódhoz képest nulla potenciálon! Ebben az esetben a rács semmilyen hatást nem fejt ki. Ha a katód és az anód közé valamilyen módon elektronokat juttatunk, azok a csőre kapcsolt feszültség hatására az anód irányában gyorsulnak. Ugyan lesznek közöttük olyanok, amelyek a ráccsal találkozva belépnek a rács anyagába, többségük azonban az anódra jut. Ha külső forrásból nem juttatunk töltéseket a vákuumcsőbe, az áramkörbe helyezett árammérő nem mutat áramot, mert az A anód és a K katód közé kapcsolt feszültség nem elegendő ahhoz, hogy a negatív feszültségre kapcsolt katód belsejéből ki tudja szakítani az elektronokat. Ha azonban a katódot egy megfelelő frekvenciájú (alkáli fém katód esetén a látható tartományba eső) fénynyel megvilágítjuk, akkor az árammérő áramot jelez, — vagyis a fény hatására a katódból elektronok lépnek ki és a fentiek szerint eljutnak az A pozitív feszültségre kapcsolt anódig. Ezt az áramot fotoáramnak nevezzük. A vákuumcsőbe helyezett rács lehetőséget ad a katódból kilépő elektronok kinetikus energiájának megmérésére: e célból a rácsra a katódhoz képest negatív (–UR) rácsfeszültséget kell kapcsolnunk; a rács és a katód között kialakuló ellentér a katódból kilépő elektronokat lelassítja, sőt megfelelően nagy negatív UR rácsfeszültséget kapcsolva a rácsra elérhetjük, hogy az anódot egy elektron se érje el, vagyis az áram teljesen megszűnjön. A K katódból kilépő elektronok kinetikus energiáját a rács és a katód között az áram megszűnésekor mért UR rácsfeszültség nagyságának és az elektron töltésének a szorzata adja. A megvilágítás paramétereit (fényintenzitás, frekvencia) változtatva kimérhetjük hatásukat az áramkörben folyó i áramerősségre. A vizsgálatok a 8.5. ábrán látható eredményekre vezettek: I
Az áram a megvilágítást követően azonnal (kevesebb mint 1 Js alatt) megindul (8.5a. ábra).
(
857 Az áram arányos a megvilágító fény intenzitásával, de független a fény frekvenciájától (8.5b. ábra), ha a megvilágító fény frekvenciája bizonyos küszöbértéket elér.
I
Egy bizonyos küszöbfekvencia alatt nem lépnek ki elektronok a fémből, felette pedig a kilépő elektronok kinetikus energiája arányos a fény frekvenciájával (8.5c. ábra).
I
A kilépő elektronok kinetikus energiája csak a katód anyagától és a fény frekvenciájától függ, de független a fényintenzitástól (8.5c. és d. ábra). i
i (áramerősség) ha (K(küszöb
0, a C 0
("(%") > 0, ha " !/ 0
C("(%"A) = (C*"(%"A) = ("(%C"A) C tetsz. komplex szám ("(%B) = 0
Még néhány definíció:
* Szokásos még a jelölés is. A ("(",%skalárszorzat (a függvény önmagával való skalárszorzata) feltétlenül pozitív; e szám négyzetgyökét a függvény normájának nevezik és ||"|| –val jelölik.
A konkrét kötött állapotokra felírt és egzaktul megoldott Schrödinger-egyenletből kapott állapotfüggvények jellegüket tekintve nagyon hasonlítanak az itt egyszerű módon megszerkesztett függvényekre. A 8.19. ábra a H atom 1s, 2s, 3s-sel jelölt gömbszimmetrikus (0 impulzusú) elektron–állapotfüggvényei radiális részének r -szeresét mutatja. Az 1,2,3 számok az ún. főkvantumszámok az energia kvantumszámai.
905 Ha két reguláris függvény skalárszorzata nulla, akkor a vektorok skaláris szorzásával való analógia miatt a két függvényt egymásra ortogonálisnak ("merőlegesnek") nevezzük. Pl. egy páros és egy páratlan függvény mindig ortogonálisak.
A függvényhalmazt lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyik eleme sem állítható elő a többi lineárkombinációjaként. A függvényhalmaz teljes rendszert alkot, ha a velük azonos értelmezési tartományon értelmezett bármely függvény a halmaz elemeinek lineárkombinációjával előállítható.
Tegyük fel, hogy "A% és % "' a Schrödinger–egyenlet két egymásra ortogonális, normált megoldása! Állítsunk elő lineárkombináció segítségével belőlük egy másik (tőlük természetesen nem független) normált megoldást! Legyen ez a megoldás "%*%C1"1 + C2"' Ekkor a +"(%%") %*%A%normálási feltétel: +"(%%") %*%+C1"1 + C2"', C1"1 + C2"') = 1 A skaláris szorzás szabályait alkalmazva +"(") %*%+C1"1, C1"A) + (C2"2, C2"') + (C1"1, C2"') + (C2"2, C1"A) = = C* C %+"1, "A) + C* C ("2, "') + C* C ("1, "') + C* C ("2, "A) 1
1
2
2
1
2
2
1
Mivel "1 és "' ortogonálisak, továbbá C*C = DC D2 1
1
1
+"(%%") %*%DC1D2%%+"1, "A) + %DC D2%%+"2, "') = 1 2
Felhasználva továbbá, hogy "1 és "' normáltak, az ismeretlen együtthatók között összefüggést találtunk: DC1D2% + DC2D2% = 1 A fenti gondolatmenet általánosítható egy teljes ortonormált rendszerre is, vagyis ha " = 3Ci "i
(8.122)
egy normált függvény, akkor a Ci együtthatókra fennáll a 2
3DCiD összefüggés.
=1
(8.123)
Egy ugyanazon (közös) értelmezési tartományon értelmezett függvényekből álló függvényhalmazt ortonormált függvényrendszernek nevezünk, ha bármely, a halmazhoz tartozó két függvény ortogonális egymásra és mindegyik függvény normált.
906
8.3.5.# Az Ehrenfest–tétel (kvalitatív magyarázat)
A klasszikus fizikával való kapcsolatot legkényelmesebben úgy tárgyalhatjuk, ha egy pillanatra elfeledkezünk a " fizikai jelentéséről és a "*" mennyiséget az elektron sűrűségének tekintjük. Az egyszerűség kedvéért vizsgáljunk egy egydimenziós rendszert! Ha a "*" szorzat az elektron tömegeloszlását adja meg, akkor van értelme az elektron tömegközéppontjáról beszélnünk. A tömegközéppont x koordinátáját a 2. fejezetben megismert (2.132) 3 mi x i xc = (8.124) 3 mi képlet folytonos tömegeloszlásra érvényes
xc =
8 7 6(r)xdV 8 7 6(r)dV
8 ""*xdV =7
(8.125)
alakja adja meg, ahol a kijelölt integrál egy, az elektron által elfoglalt (illetve végtelen) térrészre vett térfogati integrál. Az elektron tömegközéppontjának mozgását a kontinuitási–egyenlet segítségével követhetjük nyomon. Itt nem részletezhető, bonyolult vektordifferenciálásokon alapuló matematikai műveletek után a tömegközéppontra ható erő x–komponensére az m
d' x c G &VJ "*F– I " dV ' =8 7 dt E &x H
(8.126)
képletet kapjuk. A klasszikus mechanikából tudjuk, hogy a potenciális energia gradiensének (itt x–szerinti deriváltjának) a mínusz egyszerese a rendszerre ható külső erők eredőjével egyenlő. Ennek alapján, egy kis ráérzéssel, kimondhatjuk az Ehrenfest tételt: Az elektron (vagy más mikrorészecske) tömegközéppontja külső erők eredőjének hatására úgy mozog, mint egy olyan tömegpont, amelynek
Az 1. fejezetben megtanultuk, hogy egy új elmélet kidolgozásánál milyen fontos a korrespondencia elve. Az elektron mikrofizikáját leíró egyenlettől is megköveteljük, hogy megfelelő feltételek esetén a klasszikus leírást adja vissza. Ez azt jelenti, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén a Schrödinger-egyenletnek a klasszikus fizika Newton-egyenleteivel azonos eredményt kell adnia; ez az eset áll fent pl. a TV képcsőben mozgó elektronok pályáinak számításánál! Feladatunk tehát azon feltételek megkeresése, amelyek teljesülése esetén mellőzhetjük a Schrödinger-egyenlet alkalmazását pl. egy elektron mozgásának vizsgálatánál, és helyette a klasszikus fizikát alkalmazhatjuk.
907 tömege az elektron (mikrorészecske) tömegével egyezik meg és rá a külső erők ""* sűrűségeloszlásra vett átlaga* hat.
Az a) ábrán látható esetben a potenciális energia az elektron által elfoglalt térrészben (a 8.20. ábrán a sraffozott intervallumban) alig változik, deriváltja tehát ebben az intervallumban állandónak tekinthető. Ilyen a potenciál változás pl. egy katódsugárcsőben. Ilyenkor, a potenciális energia deriváltja jó közelítéssel állandónak, pl. az x=xc-beli értékének tekinthető, és az integráljel alól kiemelhető. A megmaradt integrál pedig a állapotfüggvény normáltsága miatt 1-et ad, ezért lassan változó potenciál esetén: m
d'xc 0&V2 5 ' = –4 dt / &x 1x=x
(8.127)
c
Azt, hogy a mozgás jó közelítéssel megegyezik-e a klasszikus eredménnyel, a potenciálfüggvény menete dönti el. Figyeljük meg a 8.20a. ábrát! Ebben az esetben a részecske tömegközéppontja úgy mozog, mintha rá a külső erők eredője hatna.
8.20. ábra. Az Ehrenfest–tétel értelmezéséhez (V a potenciális energia, a%"K" görbéje alatti terület srafozva)
A 8.20b. ábrán viszont egy, a mikrorészecske által elfoglalt térrészben meredeken változó potenciált látunk. Ilyen potenciál található pl. az atomokban. Ebben az esetben a (8.127) közelítés nem alkalmazható és a kvantummechanikát kell használni. Az Ehrenfest–tétel értelmében tehát a kvantummechanika a teljes klasszikus mechanikát magában foglalja.
* Az átlagképzés itt a (8.126) egyenlet felírásmódjában van elrejtve, ld. 8.4.3. pont.
A (8.126) integrál értékét a lokalizált elektron állapotfüggvényének lecsengése miatt elsősorban az ebbe az intervallumba eső potenciálgradiens befolyásolja. A 8.20. ábrán látható két esetet különböztethetjük meg:
908
Ebben a fejezetben a fizikai mennyiségek mérésével, pontosabban a fizikai mennyiségek mérhető értékeinek kiszámításával foglalkozunk. A felhasznált matematikai apparátus most sem lesz bonyolult, legfeljebb szokatlan. Többször hangsúlyoztuk, hogy a mikrovilág törvényszerűségei jelentősen eltérnek a makrovilág törvényszerűségeitől. Ezért a mikrovilág leírására a kvantummechanikában használt matematikai apparátus is eltér a makroszkopikus jelenségeket leíró klasszikus mechanika matematikai apparátusától. A klasszikus fizikában a fizikai mennyiségek többségét függvények írják le (kivétel pl. a tömegpont tömege, stb) és egy fizikai mennyiség mérhető értékét közönséges–, illetve differenciálegyenletek megoldásával kaphatjuk meg. A kvantummechanikában a fizikai mennyiségeket a függvényeknél “bonyolultabb” matematikai mennyiségek, nevezetesen függvényeken értelmezett függvények, az ún. operátorok írják le és a mérhető mennyiségek lehetséges értékeit ezen operátorokat tartalmazó sajátértékegyenletekből kaphatjuk meg. Egy ilyen sajátértékegyenlettel, a stacionárius Schrödinger–egyenlettel már találkoztunk (bár az operátorokról ott még nem beszéltünk). Az alábbiakban először megismerkedünk a fizikai mennyiségeket matematikailag reprezentáló operátorokkal, majd alkalmazásukkal néhány kvantummechanikai feladatot meg is oldunk. A matematikában megszokott függvények az értelmezési tartományukba eső valós vagy komplex számokhoz (ezek a számok lehettek egy vektor komponensei is) más számokat rendelnek hozzá. Az operátorok ezen függvényfogalom általánosításai: olyan matematikai mennyiségek, amelyek bizonyos függvényekhez más függvényeket rendelnek hozzá. A függvényekkel való foglalkozásaink során már sokszor használtunk operátorokat, anélkül, hogy erről tudtunk volna. Pl. egy egyváltozós függvény számmal való szorzása, négyzetreemelése, grafikonjának eltolása, vagy tükrözése, differenciálása, illetve integrálása mind, mind egy másik függvényt ad. ^ operátor Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy azt mondjuk: az eredeti függvényre egy O hat és ennek következtében egy másik függvény jön létre. Pl. ^ · f(x) g(x) = O (Az operátorokat az alábbiakban a föléjük rakott kis kalappal jelezzük.)
8.4. A KVANTÁLT FIZIKAI MENNYISÉGEK LEIRÁSA OPERÁTOROKKAL
909 A 8.33. táblázatban összefoglalunk néhány gyakran használt operátort. A táblázat alapján valóban láthatjuk, hogy operátorokat már eddig is használtunk, anélkül, hogy operátor mívoltukat megemlítettük volna.
^ f(x) [ = f2(x)] , ill. O ^ 3x = 9 x2 g(x) = O alakban írhatjuk fel. 2. Példa. Differenciáljuk az f(x) = sin(x) függvényt! Az eredményül kapott g(x) függvény d sinx g(x) = dx = cos x ^ a differenciálás operátora, akkor a fenti egyenlőségeket a Ha most D ^ f(x) = d sinx = cos x g(x) =D dx ^ helyett a képlettel is felírhatjuk. Ebben az esetben a differenciálás operátorát D differenciálás kijelölésével szokás helyettesíteni: ^! d D dx
8.3. táblázat Legyen az operátor
. d ^= O dx (differenciálás) ' . d ^= O dx' . ^= O L (gyökvonás)
. ^= O | | (abszolút érték) . d ^= O dx ' . d ^ O= ' dx ' . d ^= O dx'
Legyen a függvény, amelyre a választott operátor hat (#, #,
Akkor az operátor alkalmazásával kapott függvény
x4
4x3
x4
12x'
x4
x'
–x4
x4
sin 2x
2 cos 2x
sin 2x
–4 sin 2x
ejkx
–k'ejkx
1. Példa. Emeljük az f(x) = 3x függvényt négyzetre! Az eredményül kapott g(x) függvény g(x) = f2(x) = 9 x2 ^ a négyzetreemelés operátora! Ekkor a fenti egyenlőséget a Legyen O
910
Azokat a függvényeket, amelyeket egy adott operátor az állandószorosukba visz át, az adott operátor sajátfüggvényeinek, az állandót pedig az adott operátor sajátértékének nevezzük. Több különböző független sajátfüggvényhez is tartozhat ugyanaz a sajátérték. Az operátor #n sajátfüggvényei és az adott sajátfüggvényekhez tartozó kn sajátértékei az ^ # %*%k # (8.128) O n n n sajátértékegyenletből határozhatóak meg. (A kn konstans, általában komplex, speciális esetben valós szám) d' ^ Egyes operátoroknak végtelen sok sajátfüggvénye lehet. Példánkban az O = ' (a dx kétszeres x szerinti deriválás) operátorának sajátfüggvényei (lásd a táblázatot) a sin x, sin 2x ... sin Nx függvények mellett többek között a cos x, cos 2x, ..., cos Nx függvények is, sőt k értékétől függetlenül bármely sin kx, cos kx, ill. ekx függvény. ^ operátorhoz tartozó sajátfüggvények összességét az operátor sajátAz adott O függvény rendszerének nevezzük. A különböző #1, #2, ..., #n sajátfüggvényekhez ^ operátor sajátérték készletét. Az operátor tartozó k , k , ..., k értékek képezik az O 1
2
n
sajátfüggvény rendszerének minden függvényét konstansszorosába viszi át. Általában a különböző operátoroknak különböző sajátfüggvény rendszere van. Előfordulhat azonban az is, hogy két operátor sajátfüggvény rendszere azonos (ld. 8.4.4. ^ és 8.5.1. pontokat), sajátértékkészletük viszont különböző. Azt, hogy egy adott O operátornak mely függvények alkotják a sajátfüggvény rendszerét, és milyen sajátértékkészlet mellett, azt egy (8.128) alakú sajátértékegyenlet megoldásával lehet meghatározni. Ilyen sajátértékegyenlet a (8.93) stacionárius Schrödinger–egyenlet is, amely egy differenciálegyenlet. Ugyanakkor nem minden sajátértékegyenlet differenciálegyenlet. Az operátorok között műveleteket is definiálunk. Az operátorokkal való műveletek értelmezése egyszerű. Két operátor összegén azt az ^ ^ !O ^ + O O 1
2
operátort értjük, amelyre ^ #%*%(O ^ +O ^ )# = O ^ #+O ^ # O 1 2 1 2 Két operátor szorzata pedig az az
(8.129)
(Ezekből a példákból láthatjuk, hogy egy operátor alkalmazását egy függvényre formailag úgy írjuk le mintha az operátort és a függvényt összeszoroznánk.) A táblázat legutolsó két példájában egy speciális eset jelent meg: láthatjuk, hogy létezhetnek olyan függvények, amelyeket egy adott operátor az állandószorosukba (valós–, vagy komplex–számszorosukba) visz át, másszóval az operátor alkalmazásával kapott függvény annak a függvénynek, amelyre az operátor hatott, állandószorosa.
911 ^ ^ !O ^ · O O 1 2
1
2
1
2
1
^ #) függvénnyel. Ennek megfelelően egy operátor műveletet értjük, ahol < ! (O 2 négyzete az operátor saját magával vett szorzatát, azaz kétszer egymás utáni alkalmazását jelenti. A magasabb hatványok hasonlóan értelmezhetőek.* A valós, illetve komplex számok maguk is operátoroknak tekinthetőek. Ezek “alkalmazása” egy tetszőleges függvényre a függvény számszorosát adja. Ezért egy operátor számmal való szorzása két operátor szorzataként is értelmezhető. Két operátor szorzása általában (!) nem kommutatív (azaz az operátorok a szorzatban nem cserélhetők fel): ^^ C%BA ^^ AB
(8.131)
^ < = –< és B ^ px [ impulzushatározatlanságot határozatlanság
jelent,
! 2>x
amiből
(8.246) a
megfelelő
kinetikus
energia
2
>px !6 >Ekin = 2m = 8m>x6
(8.247)
ahol >x a fal vastagsága. Becsüljük meg, milyen vastag potenciálfalon haladhat át egy ilyen kinetikus energia határozatlanságú részecske! Tegyük fel, hogy ha a részecske kinetikus energiája plusz a (8.247) >Ekin kinetikus energia határozatlanság nagyobb, mint a fal Vo magassága, akkor a részecske a >x lokalizáltsága nagyságának megfelelő valószínűséggel áthatolhat a falon: azaz a be– ill. áthatolás feltétele Ekin +
!6 [ Vo 8m>x6
(8.248)
Az AI együtthatójú tag a potenciálfalhoz balról érkező síkhullámot, a BI tag egy, a falról visszaverődő síkhullámot ad. Az AIII tag egy, a potenciálfal jobboldalán távozó hullámot ad, a BIII tag viszont egy oda jobbról érkező hullámot adna. Miután az elektron feltevésünk szerint balról érkezik a falhoz a BIII együttható nulla.
957 ill. az ebből kifejezhető >x ;
! 2 2m(Vo–E)
(8.249)
feltétel, ahol mint jeleztük >x a fal vastagsága.
Az alagúteffektus felfedezése sok fizikai jelenség magyarázatában is igen fontos volt. A radiaktív G-bomlás, a fémek hidegemissziója, vagy a spontán ionizáció mind magyarázhatóak az alagúteffektus alapján. Az alagúteffektusnak gyakorlati felhasználása is van: az ún. alagútdióda (Esaki dióda, tunneldióda), amiért Esaki 1973-ban Nobel–díjat kapott. Az alagúteffektussal értelmezhető pl. az erős elektrosztatikus tér hatására fémek esetében bekövetkező ún. hidegemisszió** ill. az atomok ún. spontán ionizációja. Helyezzük az anyagot mintegy |E| = 108 V/m térerősségű elektrosztatikus térbe (ld. 8.31a. ábra). A fémek esetében a tér természetesen nem hatol be az anyagba, de a vezetőn kívül a potenciálkád (ld. 8.24. ábra) potenciálsémáját ez a külső tér erősen eltorzítja: a kád potenciáljára a vezetőn kívül egy V(x) = e|E|x potenciál szuperponálódik (ld. 8.31a. ábrát). A szuperponálódott külső térerősség következtében a potenciálkád fala helyett egy keskeny gát alakul ki, — azaz a "fal" elvékonyodik (ld. 8.31a. ábrát): szabad az út az elektronok alagúteffektus útján történő emissziójához. Hasonló a helyzet (ld. 8.31b. ábrát) a spontán emissziónál is!
* Az időfüggő Schrödinger-egyenlet számítógépes megoldása és a 8.30. ábra elkészítése Márk Géza kollégánk érdeme, akinek segítségét ezúton is szeretnénk megköszönni.
** Jobban közismert az elektronok termoemissziója, amikor (pl. az elektroncsövek, TV–képcsövek izzókatódjából) az elektronok izzítás hatására lépnek ki. Mint a 8.1.2. pontban ismertettük, a fémbeli elektronok a fotoeffektus lévén is kiléphetnek.
A fenti kvalitatív gondolatmenetből nem állapíthatjuk meg, hogyan viselkedik a potenciálgát felé haladó elektron állapotfüggvénye a potenciálgáton való áthaladás során. Ezt az időfüggő Schrödinger-egyenlet megoldásával határozhatnánk meg. Mi ezzel a bonyolult feladattal itt nem foglalkozhatunk, de a 8.30. ábrán bemutatjuk egy, a Tanszékünkön elvégzett számítás eredményét.*
958
A 8.32. ábra az G–bomlás értelmezését kívánja elősegíteni. Egy radioaktív anyag (pl. 238U) bomlása során az anyagból G–részecskék (He–atommagok) lépnek ki. Az energiaviszonyok olyanok, hogy az G–részecskék kilépése energetikai szempontból klasszikus modell alapján nem folyhat le. Az alagúteffektussal való kilépés viszont (mint az ábrán jeleztük) a klasszikusnál jóval kisebb energiával is lehetséges. Mint fentebb már jeleztük, az alagúteffektust Esaki tudatosan felhasználta az ún. alagútdióda megszerkesztéséhez. Az alagútdióda egy nagy (1019 cm–3) adalékkoncentrációjú igen keskeny (< 1 Zm) pn átmenetű félvezető eszköz, amely működési tartományának egy részén negatív differenciális ellenállással rendelkezik: a keskeny pn átmenet ún. átmeneti rétege a töltéshordozók számára potenciálgátként jelenik meg. Ha ez a réteg elég vékony, ezen a töltéshordozók alagúteffektussal is átjuthatnak. Kis nyitófeszültségekre a potenciálfal vastagsága nő. Ennek következménye, hogy kis
8.30. ábra: Egy elektron áthaladása potenciálgáton. Az ábrákon a potenciálmenetet, a állapotfüggvény valós részét és az abszolútértékének négyzetét (a0RR*-t) tüntettük fel. a) az elektron közeledik a potenciálgáthoz; b) az elektron behatolt a potenciálgátba; c) a állapotfüggvény egy része áthaladt, másik része visszaverődött
959 nyitófeszültségeknél a nyitófeszültség növekedésével a pn átmeneten áthaladó áramsűrűség csökken, majd a diffúziós
8.32. ábra. A rádióaktív G–bomlás értelmezéséhez 238U esetében. (Az rm az 238U mag sugara)
áram megindulása után újra nő: a kis nyitófeszültségeknél tehát egy negatív dU
differenciális ellenállású átmenet alakul ki (azaz dI < 0). Mivel az alagútdiódában a töltéshordozók nem diffúzióval, hanem kvantummechanikai mozgással jutnak át, az ilyen eszközök igen nagy frekvenciákon is használhatóak.
8.31. ábra. a) A hidegemissziós jelenség fémek esetében; b) az atomok spontán ionizációjának értelmezése
960
8.6. A Schrödinger–egyenlet összefoglaló ismertetése Az állapotegyenlet (időtől függő Schrödinger–egyenlet) (8.250)
ahol > a Laplace–operátor, R az állapotfüggvény, V(r) a potenciális energia függvény. Megoldása R(r,t) = ((r)\(t) (8.251) alakú. Szabad részecskére (tehát ha V(r) = 0) –j
R(r,t) = Aejkr e
E
! t = Aej(kr–Ut)
(8.252)
Az állapotfüggvény erőmentes térben (V=0) meghatározott sebességgel haladó részecskét ír le, amelynek energiája tisztán mozgási energia. Az állapotfüggvény egy síkhullám sajátságait viseli. Az állapotegyenlet egy dimenzióban: –
!6 !6R(x,t) ! !R(x,t) + V(x)R(x,t) = – 6 2m !x j !t
(8.253)
Az időtől független Schrödinger–egyenlet (stacionárius alak): !6 – 2m >( + V(r)( = E( ,
(8.254)
ahol E a részecske összenergiája. Átrendezés után: >( +
2m (E–V)( = 0 !6
(8.255)
A stacionárius Schrödinger–egyenlet operátor–alakja: ^ ( = E( H
(8.256)
^ a Hamilton–operátor a kinetikus és a potenciális energia operátorainak ahol H összege: ^6 p ^ ^ H= (8.257) 2m + V(r) . Az impulzus–operátor komponenseihez a térkoordináták szerinti parciális differenciálás operátorának !/j-szeresét rendeljük:
!6 ! !R – 2m >R + V(r)R = – j !t
961 ^ 9! ! ; p x j !x
^ 9! !; p y j !y
^ 9! ! . p z j !z
(8.258)
Az impulzusnégyzet–operátor: (8.259)
A potenciális energia operátora egyszerűen a V(r) függvénnyel való szorzás. Így a Hamilton–operátor: ^6 6 ^6 = ! k + V ^ (r) . H 2m
(8.260)
Alkalmazva ezt (-re [(8.256) egyenlet], átrendezés után ∆φ +
2m (EV)φ = 0 !2
adódik, amely megegyezik a (8.255) egyenlettel.
(8.261)
^6 = p ^2 + p ^2 + p ^2 . p x y z
F. F Ü G G E L É K
963
F.1. A GRADIENS VEKTOR
&*! *! *!) E = "–"% , , (, $ *x *y *z '
(F.1)
amit szimbolikusan az E"# – grad ! "
""""
+ld. (6.35b",)
egyenlettel írhatunk le, amelyben bevezettük a !(r) skaláris potenciáltér "térbeli változási sebességét" megadó mennyiséget: !(r) gradiensét, a grad !(r) vektort. Az érdeklődő Olvasó számára alábbiakban részletesebben foglalkozunk a térbeli derivált vektora, a gradiens vektor matematikai értelmezésével. df(x) Kiindulásként elevenítsük fel, hogy egy egyváltozós f(x) függvény dx –el jelölt differenciálhányadosát a -f(x) = f(x + -x) – f(x) és a -x differenciálok hányadosának határértékeként szokás definiálni: df(x) . dx
f+x + -x) – f(x) -x -x / 0 lim
(F.2)
A differenciálhányados ezen definíciója sajnos nem általánosítható skalár-vektor függvényekre, (ilyen pl. a ! (r) potenciál is), mivel ebben az esetben a -r differenciál vektor és vektorral nem lehet osztani. Ezért szorozzuk át (F.2) –őt -x-szel és vegyük figyelembe, hogy (F.2) csak a -x / 0 határesetben áll fenn! df(x) lim -x lim (f+x + -x) – f(x)) = dx ·
-x / 0
-x / 0
(F.3a)
illetve ha -x elég kicsi, akkor df(x) f+x + -x) – f(x) 0 dx -x
(F.3b)
Tekintsünk most egy u(r) . u (x,y,z) skalár–vektor függvényt (skalár teret)! Ezen függvény hely szerinti deriváltja, vagyis a gradiens vektor (F.3) alapján már definiálható: u(r + -r) – u(r) 0 grad u1 -r
(F.4)
A 6.1.4. pontban felírtuk hogyan lehet a !(r)"#"!(x,y,z) potenciál ismeretében az E(r) térerősséget meghatározni. A térerősség Descartes-féle koordinátarendszerbeli komponensei a ! potenciál koordináták szerinti deriváltjai (az alábbiakban a jelölés egyszerűsítésére az r –től való függést csak akkor írjuk ki, ha az feltétlenül szükséges. Így pl. !(r) helyett ! –t, E(r) helyett E –t írunk):
964 Mivel (F.4) bal oldalán skalármennyiség van, ezért jobboldalának is skalárnak kell lennie. A “grad u” ezek szerint egy vektor jellegű, az r vektortól függő grad u(r) függvényt jelöl.
-u(r)= 2grad u2 · -r · cos(grad u, -r)
(F.5)
A gradiens vektor irányának megállapítására ábrázoljuk az u(r) skalártér u(r) = áll. és az u(r) + -u(r) .u(r + -r) = áll. feltételekkel definiált ún. nívófelületeit (ld. F.1. ábrát)! (Ezeket a nívófelületeket a !(r) potenciál esetén a 6. fejezetben ekvipotenciális felületeknek neveztük.) P” -” r -’r s é P nº
u(r)
P’
grad u
u(r)+-u(r)
F.1. ábra. A gradiens vektor (grad u) értelmezéséhez. Az u=áll ill. u+-u=áll. felületek (amelyeknek az ábrán a síkmetszeteit ábrázoltuk) az u(r) skaláris mennyiség nívófelületeit jelölik, Az é az u=áll nívófelület P pontjába húzott érintősíkjának egységvektora, az s a P pontból kiinduló tetszés szerinti irányú -‘r höz tartozó egységvektor és n° a nívófelületre merőleges (ún. normális) egységvektor olyan irányítással, hogy iránya az u növekedése irányába mutasson.
A (F.5) egyenletből és az F.1 ábrából látható, hogy amennyiben az u= áll. nívófelület mentén, azaz a nívófelület egy tetszőleges é érintő egységvektorának irányába infinitezimálisan mozdulunk el, (ekkor -''r 22 é–vel), akkor -u(r) = 0, vagyis grad u(r)·-r = 0. Innen látható, hogy a gradiens vektor merőleges az u(r) = áll. nívófelület tetszőlegesen választott é érintő egységvektorára, azaz magára az u(r) = áll. nívófelületre is. -u(r) abszolút értéke tehát akkor maximális, ha a -r is merőleges a felületre. -u(r) akkor pozitív, ha -r iránya egybeesik gradu irányával, vagyis grad u iránya az u(r) függvény növekedésének irányába mutat.
A (F.4) képletből láthatóan u megváltozásának nagysága -r nagyságától és irányától egyaránt függ, infinitezimális esetben:
965 Összefoglalva: Az u(r) skalár–vektor függvény gradiense a (F.6)
vektor, amelynek iránya az u(r) = áll. nívófelületre merőleges és u(r) növekedésének irányába mutat. A grad u vektor egy vektor–vektor függvény. & *" *" *" ) A gradiens vektor formálisan az 3 . % , , (" +ún. nabla," operátor (ld. 8.4. $*x *y *z' pont) segítségével is felírható: & *" *" *" ) grad u . % , , ( u , $*x *y *z'
ill.
grad u . 3u
Az 3 operátort nabla operátornak nevezik. A gradiens vektor jelülésére szokásos továbbá az egyváltozós függvények differenciálhányadosának felírásához hasonló du . grad u dr jelölés is.
F.2. EGY A(R) VEKTOR–VEKTOR FÜGGVÉNY (VEKTORTÉR) FLUXUSA ÉS DIVERGENCIÁJA Egy térbeli A felület infinitezimálisan kicsiny dA felületeleméhez* egy olyan dA vektort rendelhetünk, amelynek nagysága dA és iránya a felületelemre merőleges. Ha a felület nyitott, dA irányát tetszőlegesen választhatjuk meg. Zárt felületek (pl. egy henger vagy gömb felület) esetén szokásosan a felület által bezárt térből kifelé mutató irányt vesszük pozitívnak. Legyen a egy tetszőleges vektor! Mivel a dA felületelem-vektor iránya a dA felületre merőleges, az (a·dA) skalárszorzat az a vektor felületre merőleges (normális irányú) komponensének, an-nek és dA-nak a szorzata, tehát a dA = andA
(F.7)
Ha a merőleges a dA felületelemre (tehát a párhuzamos dA-val), akkor a skalárszorzat tulajdonságai alapján felírhatjuk, hogy
* Fontos: csak egy infinitezimálisan kicsi felületelemhez rendelhetünk vektort, véges méretű felületekhez nem.
&*u *u *u) grad u . % , , ( , $*x *y *z '
966 a dA = 4 a dA
(F.7a)
ahol a pozitív előjel a dA –val egyirányú, a negatív előjel vele ellentétes irányú a vektorra érvényes.
5a =
6 a -Ai
(F.8a)
5a = 8 7 a dA .
(F.8b)
lim
-Ai/0 i
A
Egy a(r) vektortér zárt A felületre vett fluxusa pedig o 5a = 8 7 a dA
(F.8c)
A
A fluxus definíciójából láthatóan integrális mennyiség. Sok esetben szükségünk van azonban egy olyan matematikai mennyiségre, amely az a(r) vektorteret lokálisan (vagyis valamely P pontban) jellemzi. Ezt a mennyiséget “div a” –val jelöljük és a zárt felület fluxusának képletét felhasználva definiálhatjuk: o 8 7 a dA div a . Szavakban:
lim -VP / 0
A
-VP
(F.9)
valamely a(r) vektortér divergenciája egy P pontban egyenlő az a(r) vektortér P pont körüli kicsiny -VP térfogatot körülvevő zárt felületre vett fluxusának és a -VP térfogat hányadosának határértékével, miközben a P pontot tartalmazó -VP térfogatot minden határon túl csökkentjük. Ez a divergencia koordinátarendszertől független definíciója. A divergencia nem lehetett pusztán az infinitezimális -VP térfogatot körülvevő zárt felületre vett fluxus, mivel a -VP térfogat nullához tartásával mind a térfogatot határoló zárt felület, mind pedig a fluxus maga is nullához tart. Látható, hogy valamely a(r)
A d5a = a dA mennyiség az a vektor dA felületelemre vett fluxusa. Az a egy véges A felületre vett fluxusának közelítő értékét úgy kapjuk meg, hogy a felületet kis felületelemekre osztjuk és ezek fluxusát összegezzük (F.8a). Ha a felületelemek nagyságával minden határon túl nullához tartunk, akkor a fluxust felületi integrálként írhatjuk fel (F.8b):
967 vektortér divergenciája a P pont, vagyis az r vektor függvénye, tehát egy skalár– vektor függvény. Írjuk fel a (F.9) definíció alapján az a(r) vektortér divergenciáját derékszőgű Descartes–féle koordinátarendszerben!
dz = b
y
ax 9
ax
*a x dx *x
dy=b (1)
(2) dx = b
x
x
x+dx
z
F.2. ábra. Egy a(r) vektortér zárt felületre számított fluxusának számításához. A fluxus definíciója szerint az a(r) vektortér az ábrán az x helyen elhelyezkedő (1)-gyel jelzett dAxy = dy·dz = b2 felületű lapra vett fluxusa negatív, nagysága pedig a dAxy felület infinitizimálisan kicsiny volta miatt egyenlő ax(x,y,z)·dAxy al*, míg az x+dx helyen helyen elhelyezkedő (2)-vel jelzett ugyanekkora felületű lapra vett fluxusa pozitív és nagysága ax(x + dx, y, z) · dAxy, ahol (a zárójelben) jeleztük az ax vektorkomponens helyfüggését is. Mivel ax (x + dx, y, z) = ax (x , y, z) +
*ax dx *x
az (1) és (2) lapokra vett fluzusok előjeles összege tehát *a *a *a & ) –axb2 + %ax + x dx(b2 = x dx·b2 = x b³ *x ' *x *x $ Hasonlóan felírva ezt a másik két lappárra, az a(r) vektortér ábrán látható infinitezimálisan kicsiny zárt felületre vett teljes fluxusa Descartes–koordinátákban &*a *a *a ) 5a = % x + y + z( b³ $ *x *y *z '
(F.10)
* Miután a dAxy felület infinitezimálisan kicsiny a(r) a felület mentén állandónak tekinthetõ.
Vegyünk fel koordinátarendszerünkben az r pont körül egy infinitezimálisan kicsiny" b oldalélű, -V = b3 térfogatú kockát úgy, hogy oldalélei párhuzamosak legyenek a koordinátatengelyekkel (ld. F.2 ábra)!
968 Az (F.9) definíció alapján: div a = lim
b3 / 0
1 b b3 : *x *y *z =
: *x *y *z =
(F.11)
A divergencia is felírható formálisan a 3 operátor segítségével: & *" *" *" ) div a . % , , (1a, $*x *y *z'
ill.
div a . 3"a
Ha egy fizikai térmennyiségvektor (pl. E, D, B, H) "forrásos" (erővonalakkal való szemléltetése esetén erővonalai fizikailag létező forrásból, pl. töltésből erednek ill. ott nyelődnek el), akkor divergenciája a teret létrehozó “töltések” helyén különbözik csak nullától. Pl. a D eltolási vektor forrásai a szabad töltések, és érvényes rá a Gauss–tétel differenciális alakja (ld. (6.71) ): div D = @ Ha a vektortér forrásmentes (ilyen pl. a H mágneses térerősség, mivel nem léteznek mágneses töltések), akkor divergenciája mindenütt azonosan nulla; így tehát pl. a H mágneses térerősségre: div H = 0 Ugyanilyen tulajdonságú a stacionárius áramsűrűség vektortere is (6.2.1. pont).
F.3. A ROTÁCIÓ VEKTORA Mint azt a 2., ill. a 6. fejezetben elmondjuk, egy E(r) erőtér akkor és csak akkor konzervatív, ha benne bármely zárt g görbe mentén végzett munka nulla: o 8 7 E ds = 0
(F.12)
(g)
Ez az erőtér konzervativitásának integrális feltétele. Vizsgáljuk meg, hogy ebből az integrális feltételből kiindulva, hogyan tudunk egy konzervatív erőteret lokálisan is jellemezni! A Szemeljünk ki a térben egy P = (x, y, z) pontot és vegyünk fel e pontban az F.3 ábrán látható módon először egy x–y síkkal párhuzamos síkban fekvő infinitezimálisan kis dx, ill. dy oldalú téglalap alakú g görbét!
Miután a jobb oldal szemmel láthatóan nem függ b –től
969 +y
y E(x, y + dy, z)
dy
dy IV
P(x,y,z)
II E(x,y,z)
dx dz
I
P(x,y,z) dx
E(x + dx, y, z) +x
(a)
x (b)
z
F.3 ábra Segédábra egy konzervatív E(r) erőtér rotációjának számításához. Pl. a dx és dy oldalú téglalap alakú g görbére rajzolt nyilak a körüljárás irányát jelölik. A E vektorok a berajzolt erővonalak érintői.
Számítsuk ki a (F.12) egyenletbeli integrált erre a zárt görbére! o E 8 8 E ds + 8 E ds + 8 E ds + 8 E ds 7 ds = 7 7 7 7 (g)
(I)
(II)
(III)
(IV)
Az egyes szakaszokra vonatkozó integrálokat a görbeszakaszok infinitezimális nagysága miatt egyszerűen úgy számíthatjuk ki, hogy az illető szakaszon az E térerősséget állandónak vesszük és E megfelelő (x, ill. y) komponensét az illető szakasz hosszával szorozzuk. Az integrálok előjelét E és a körüljárás iránya határozzák meg. Ha a körüljárás irányát az ábrán a (g) görbén feltüntetettnek vesszük, akkor 8 E ds = Ex(x, y, z) dx 7 (I)
*Ey 8 E ds = Ey(x + dx, y, z) dy = Ey(x, y, z) dy + dx dy 7 *x
(II)
8 E ds = – Ex(x, y + dy, z) dx = – Ex(x, y, z) dx – *Ex dy dx 7 *y
(III)
8 E ds = – Ey(x, y, z) dy 7 (IV)
III
970 A I + II + III + IV szakaszokat összeadva, — a teljes (g) görbére o E ds = &%*Ey – *Ex )( dx dy = 0 8 7 *y ' $ *x
(F.13)
(g)
*Ey *Ex – =0 *x *y
(F.14a)
A Hasonló módon az y – z síkban, illetve az x – z síkban levő téglalap alakú zárt görbékre is fennáll, hogy: *Ez *Ey – =0 (F.14b) *y *z *Ex *Ez – =0 *z *x
(F.14c)
A
Ezen F.14 egyenletek bal oldalai formálisan (ld.Bronstejn,id.mű) a & *" *" *" ) szimbolikus 3 . % , , (" vektor és az E térerősségvektor vektoriális $*x *y *z' szorzatának komponensei. Ezt úgy láthatjuk be, hogy felírjuk egy a vektor és az E vektor vektoriális szorzatának komponenseit, majd az a vektor komponenseit a nabla operátor komponenseivel helyettesítjük: *E *E (a B E)x = ay Ez – az Ey / (3 B"E)x = z – y *y *z *E *E (a B E)y = az Ex – ax Ez / (3 B E)y = x – z *z *x *E *E (a B E)z = ax Ey – ay Ex / (3 B E)z = y – x *x *y Azt a vektort, amelynek komponensei a (F.14) egyenletek bal oldalán szerepelnek az E térerősségvektor rotációjának nevezzük: *E *Ex *Ez *Ey *Ex?
*z *z *x *x *y = : *y
(F.15)
(A rotáció angolszász irodalom szerinti elnevezése curl, vagyis rot E . curl E.) A (F.14) egyenleteknek a tér tetszőleges (x,y,z) koordinátájú pontjában fenn kell állniuk. Az, hogy ezek az egyenletek a tér tetszőleges pontjában fenn kell álljanak éppúgy az erőtér konzervatív voltát fejezi ki, mint az integrális (F.12) képlet, vagyis a (F.14) egyenletek és a (F.12) egyenlet ekvivalensek.
Miután a (F.13) az erőtér konzervativitása miatt bármely dx és dy szakaszra fenn kell álljon, a zárójelen belüli kifejezésnek magának kell nullának lennie:
971 Végeredményben tehát megállapíthatjuk, hogy
rot E . 0
(F.16)
Az ilyen teret örvénymentes erőtérnek nevezik. A Ha egy erőtér nem konzervatív, akkor nincs potenciálja és akkor rotációja sem nulla; az ilyen teret örvényes erőtérnek nevezik. A H mágneses erőtér például örvényes és ennek megfelelően van olyan pont a térben, amelyben rot H C 0.
A egy erőtér akkor és csak akkor konzervatív (tehát akkor és csak akkor létezik potenciálja), ha reá a tér összes pontjában (F.14)-gyel analóg egyenletek érvényesek, vagyis egy erőtér akkor és csak akkor konzervatív, ha rotációja minden pontban nulla, azaz:
972
F.4 A KOMPLEX SZÁMOKKAL KAPCSOLATOS ALAPVETŐ ÖSSZEFÜGGÉSEK ÖSSZEFOGLALÁSA
" Képzetes egység. Vezessünk be a
–1 jelölésére egy új mennyíséget. Jelöljük
ezt j–vel!* A j speciális tulajdonsága, hogy négyzete definiciószerűen j2 = j j = –1
(F.17)
A j neve imaginárius (képzetes) egység. Mivel j nem valós szám, így j esetében a valós számokra vonatkozó műveletek nem mindíg használhatóak. Tilos pl. a –1-et tartalmazó kifejezéseket úgy tekinteni, mintha a -1 négyzetgyöke valós szám lenne. Így pl. –1 · –1 # (–1) (–1) = +1! A j pozitív egész kitevős hatványai az (F.17) definició alapján számíthatóak ki: j0 = 1, j1 = j, j2 = –1, j3 = –j, j4 = 1, j5 = +j, j6 = –1, j7 = –j, j8 = +1 stb. mert pl. j5 = j2 j2 j = (–1) (–1) j = + j A j reciproka az a szám, amelyet j–vel szorozva 1–et kapunk, tehát 1 j =–j
* A képzetes egység j–vel történő jelölése a villamosmérnöki gyakorlatban elterjedt. A matematikában erre az i betűt használják!
A természetes számok (a pozitív egész számok) körében a kivonás nem mindig végezhető el, ezért a számfogalmat a negatív egész számok és a 0 bevezetésével ki kellett bővíteni. Az egész számok körében viszont az osztás nem végezhető el mindig, még akkor sem, ha a nullával való osztást eleve kizárjuk. Bevezették tehát a két egész szám hányadosaként értelmezett racionális számokat. Kiderült azonban, hogy vannak (sőt sokkal többen vannak) két egész szám hányadosával ki nem fejezhető számok is, ilyen pl. a 2 , a !, vagy az e. A számfogalmat tehát kibővítették ezekkel az ún. irracionális számokkal. Így kaptuk a valós számokat. Sajnos azonban a valós számok sem elegendőek, hiszen pl. a négyzetgyökvonás a negatív számokra a valós számok körében nem értelmezhető! Ezt a nehézséget az ún. komplex számok bevezetésével lehet legyőzni.
973 mivel (–j) · j = –j2 = –(–1) * . Egy tetszőleges (–X) negatív szám négyzetgyöke a j bevezetésével a –X = j X, X > 0
$
"
A komplex szám általános alakja: (F.18a)**
z % x + jy
$
ahol x ill. y valós szám. Az x szám a z komplex szám valós része, az y pedig a z $
$
komplex szám képzetes része. Egy tetszőleges z komplex szám valós (“reális”) ré$
szét szokásos még a Re(z ), képzetes (“imaginárius”) részét az Im(z ) formában $
$
jelölni. Így pl. a (F.18a) komplex szám esetén x = Re(z ), y = Im(z ), azaz $
$
z = Rez + jImz
$
$
(F. 18b)
$
" Két komplex szám akkor egyenlő, ha azoknak mind valós, mind képzetes része egyenlő. Nem egyenlő komplex számoknál a “nagyobb”, “kisebb” fogalmának nincs értelme. " A z komplex szám z * konjugáltja az a komplex szám, amelynek $
$
valós része a komplex szám valós részével egyenlő, képzetes része pedig ellentett előjelű. Például, ha a z = x + jy, akkor z * = x – jy. $
$
Általában komplex számok tetszőleges függvényének komplex konjugáltját úgy képezzük, hogy a j-t tartalmazó kifejezések előjelét megváltoztatjuk. Pl. ((x+jy)2)* = (x2+2 jxy–y2)* = x2 –2 jxy–y2 = ((x–jy)2)
* Ha a -1 négyzetgyöke valós szám lenne, akkor az alábbi hibás eredményre jutnánk: 1 1 = = j -1
1 = -1 A -1
** Könyvünkben, ahol erre külön fel akarjuk hívni a figyelmet, a komplex számot mi z "alul $ kalappal" külön megjelöljük. Általában ezt a külön jelölést elhagyják; a jelölés elhagyását mi külön jelezzük!
képlettel értelmezhető. A képzetes egység segítségével egy valós (x,y) számpárból egy z komplex szám képezhető.
974 " A z komplex szám abszolút értéke $
|z | = $
z z* = $$
(x + jy) (x – jy) = x2 + y2
Re(z )2 + Im(z )2 $
$
$
függőleges a képzetes tengely (Imz ). A két egymásra merőleges $
számegyenes által meghatározott derékszögű koordinátarendszerben tehát a komplex számot egy pont, vagy az illető ponthoz húzott helyvektor jelképezi (F.4a ábra). A komplex szám tehát felfogható, mint egy komplex vektor* (a komplex számsík egy vektora), ahol j a képzetes tengely egységvektora.
F.4. ábra. A komplex szám különböző alakjai: a) általános alak; b) trigonometriai alak
"
Ha komplex számot ábrázoló pont derékszogű koordinátáiról áttérünk a polárkoordinátákra, akkor a z komplex szám trigonometrikus alakban is $
felírható, ill. ábrázolható (F.4b ábra): z = A(cos & + j sin &)
(F. 19a)
z * = A(cos & – $
(F. 19b)
$
j sin &)
* A "komplex" jelző itt igen fontos: a komplex számokkal úgy dolgozhatunk, mint a vektorokkal, de a komplex vektorra az osztás művelete is értelmezve van. (ld. alább). A nullával való osztás nincs értelmezve, e művelet tilos!
A komplex számok az ún, komplex számsíkon ábrázolhatóak. A komplex számsík két egymásra merőleges számegyenes segítségével állítható elő (ld. F.4.ábra). A vízszintes tengely a valós tengely (Rez ) , a
975 ahol A a z komplex szám nagysága (a z komplex szám hossza, abszolút értéke, $
$
másnéven modulusa), míg & a z komplex vektor valós tengellyel bezárt szöge $
(F4.b ábra), melyet abszolút szögmértékben kifejezve a komplex szám argumentumának (arg z ) nevezünk: z z* = $$
A=
tg &'=
Re(z )2 + Im(z )2 $ $
(F.19c)
A sin& y = A cos& x
(F.19d)
y & = ar ctg x A nulla szám (0 + 0j) modulusza 0, argumentuma határozatlan mennyiség. A koszinusz, illetve színuszfüggvény a & szög hatványait tartalmazó végtelen hatványsorral is felírható (ld. Bronstejn id. mű.): 1
1
1
1
1
1
cos &' = 1 – 2! &2 + 4! &4 – 6! &6...
(F.20a)
sin &' = &' – 3! &3 + 5! &5 – 7! &7...
(F.20b)
Az (F.20a)-t, ill. (F.20b)-t az (F.19a) ill. (F.19b) képletbe behelyettesítve, majd a behelyettesítés után felhasználva j pozitív egészkitevős hatványait (pl. (–1) helyére j2-t, (–j) helyére j3-t stb. írva): 1
1
1
1
1
1
cos &' + j sin &' = 1 + j &'– 2! &2 – j 3! &3 + 4! &4 + j 5! &5 – 6! &6 – j 7! &7... = 1
1
1
1
1
1
= 1 + j&'+ 2! (j&)2 + 3! (j&)3 + 4! (j&)4 + j 5! (j&)5 + 6! (j&)6 + 7! (j&)7...
1
1
1
1
1
1
cos & – j sin & = 1 – j& – 2! &2 + j 3! &3 + 4! &4 – j 5! &5 – 6! &6 + j 7! &7 ... = 1
1
1
1
1
1
= 1 – j& + 2! (j&)2 – 3! (j&)3 + 4! (j&)4 – 5! (j&)5 + 6! (j&)6 – 7! (j&)7 ... Írjuk most fel az ej& ill. e–j& függvény hatványsorát* (és ismét használjuk fel j pozitív hatványait!):
2 3 n * ex = 1 + x + x + x + ... + x , 1! 2! 3! n!
e–x = 1 –
x x2 x3 x4 x5 x6 x7 + – + – + – + ... 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
$
976 1 1 1 2 3 1 4 1 5 1 6 1 (j&) + (j&) + (j&) + (j&) + (j&) + (j&) + 7! (j&)7... 2! 3! 4! 5! 6! 1! 1 1 1 1 1 1 1 e–j& = 1 – 1! (j&) + 2! (j&)2 – 3! (j&)3 + 4! (j&)4 – 5! (j&)5 + 6! (j&)6 – 7! (j&)7... ej& = 1 +
ahonnan a színusz- és koszinuszfüggvények ej& és e–j& segítségével is kifejezhetőek: ej& – e– j& sin &' = (F.22a) 2j cos &' =
"
ej& + e– j& 2
(F.22b)
A komplex szám exponenciális alakja
"
A z = x + jy illetve z = A(cos & + j sin &) alakban felírt komplex szám az $ $ Euler-tétel segítségével '''''''(F.23a)
z = Aej&
$
alakba is írható* . A F.1. táblázatban tájékozódásul néhány & értéknél feltüntettük az ej& függvény értékét. F.1 táblázat. Az ·ej& függvény értéke néhány &–re & 0°
ej& e(j0°
(270°
e(j90° e(j180° e(j270°
= cos (()90° + j sin (()90° = cos (()180° + j sin (()180° = cos (()270° + j sin (()270°
=1 = (j = –1 –j =+
(360°
e(j360°
= cos (()360° + j sin (()360°
=1
(90° (180°
= j0 = (j1 = j2 – j3 =+ = j4
" Az exponenciális alakban megadott komplex szám komplex konjugáltja (F.22b) szerint e–j& = cos & – j sin & .
j& –j& j& –j& * z = A e ')'e ' + Aj e '–'e ' = A ej& $
*
*j
A megfelelő összefüggések összevetéséből azonnal felírhatjuk az Euler–féle összefüggést (Euler–tétele): ej& = cos & + j sin & (F.21a) e–j& = cos & – j sin & (F.21b)
977
" A komplex számokkal végezhető műveletek.
" Szorzás. Algebrai alakban a szorzásra a többtagű algebrai kifejezések szorzásának szabályát alkalmazzuk, de figyelembe vesszük a j hatványaira a j definiciójából adódó kifejezéseket (pl. j2 = – 1 stb). Trigonometriai alakban + A1 (cos&1 + j sin&1), +A2 (cos&2 + j sin&2), = A1 A2 +cos(&1 + &2) + j sin(&1 + &2), (F.24) Geometriai interpretációban a z komplex vektor j-vel való szorzatán olyan vektort $
értünk, mely a z vektorral egyenlõ hosszúságú és z -re merõlegesen áll a pozitív $
$
(óramutató járásával ellenkezõ) irányban elforgatva. A z 1 és z 2 komplex számok $
$
szorzatát ábrázoló vektort úgy kapjuk meg, hogy a z1-t ábrázoló skvektort argz 2-vel $
pozitív irányban elforgatjuk és -z --szeresen megnyújtjuk.
$
$
A komplex számok szorzása eleget tesz a kommutatív és az asszociatív szabályoknak. " Osztás. Algebrai alakban a z1
x1 + jy1 z 2 = x2 + jy2 ,
$
(z2 # 0)
(F.25a)
$
hányadost a nevező konjugáltjával való bővítéssel szoktuk előállítani; a nevező ezáltal valós lesz: z1
(x1 + jy1) (x2 – jy2) (x1 x2 + y1 y2 ) + j (x2 y1 – x1 y2) 2 2 z 2 = (x2 + jy2) (x2 – jy2) = (x2 + y2)
$
(F.25b)
$
A trigonometriai alakok osztásakor z1
$
z2
$
=
A1 (& – ) + j (&1 – &2) , A2+cos 1 &2
(F.26)
alakra jutunk. " Komplex értékű függvények differenciálhányadosa ill. integrálja a valós és képzetes rész differenciálhánzadosainak ill. integráljainak összege. Az exponenciális függvények esetében az Euler.formula felhasználásával könnyen bebizonyíthatjuk, hogy:
" Összeadás, ill. kivonás. A komplex számok körében e műveletek formailag a többtagú algebrai kifejezésekre érvényes szabályok szerint történnek; a műveletek elvégzése után a valós és képzetes részeket szétválasztjuk. Geometriai interpretációban a vektorokra érvényes szabályok érvényesek.
978 " a komplex exponenciális függvény deriváltja: d j& e = j ej& d&
(F.27)
ejkx ejkx jkx dk = 0 e + C = – j / jk k +C
(F.28)
amit az eredmény differenciálásával igazolhatunk.
F.5. A LORENTZ–TRANSZFORMÁCIÓ LEVEZETÉSE
A K és K' rendszerben, a mozgó tárgyak leírására szolgáló helyvektorokat ill. az időket nem a Galilei-féle transzformációs szabály, hanem a sokkal bonyolultabb, Lorentz-transzformáció köti össze. Egy K és egy ehhez képest vo állandó sebességgel mozgó K' koordinátarendszer esetében a Lorentz-transzformáció egyenleteit a következőképpen vezethetjük le: a) Feladatunk egydimenziós, mert a vo-ra merőleges irányokban a koordináták mind K-ban, mind pedig K'-ben megegyeznek: y' = y z' = z b) Mivel az (2.26) Galilei–transzformáció lineáris összefüggés volt (vagyis a következő alakú: r=Ar'+B), a korrespondencia–elv érvényesítése* érdekében (ld. az 1. fejezetet) a Lorentz–transzformáció összefüggéseit is lineáris összefüggésnek tételezzük fel. Mint az előző vonatpélda mutatta, az egyidejűség fogalma relatív, tehát t nem azonos t'-vel. Ezért az új összefüggésben t # t'. Keressük az összefüggést az alábbi alakban: x = 1x' + 2t'
(F.29a)
t = 3x' + 4t'
(F.29b)
* Ez most annyit jelent, hogy kis v P mellett, ahonnan (DG)P = – S, ill. T értékét ugyancsak állandó P érték mellett, ahonnan (DT)P = 1 Elosztva a kettőt egymással a –S =DG@ < ? = 1 =–S ; DT > P kifejezéshez jutunk.
" Az F.6. Függelék táblázatban szereplő egyes jelölések jegyzéke: " Az állapotjelzők (P:nyomás, T: termodinamikai (abszolút) hőmérséklet, V: térfogat) és az állapotfüggvények (S: entrópia, U: belső energia, H: entalpia, A: szabadenergia, G: szabadentalpia) az 5. fejezetből jól ismertek. " A táblázat ezen kívül a kísérleti, adattáblázatokból vehető termikus jellemzőket ill. együtthatókat is használja. Ezek: CP: állandó nyomás mellett mért (moláris) hőkapacitás. CV : állandó térfogat mellett mért (moláris) hőkapacitás. 1 =DV@ 1 = V < ? ; térfogati hőkiterjedési együttható. 0 ; DT > P 1 =DP @ 2 = P < ? ; feszülési együttható. 0 ;DT> V 1 =DV@ A = – V < ? ; kompresszibilitási (rugalmassági) együttható. 0 ; DP > T
A táblázat alapján, ha meg akarjuk kapni pl. az állapotjelzők és állapotfüggvények egyikének a másiktól való függését megadó differenciálegyenletet (valamely állapotfüggvény vagy állapotjelző állandó értéke mellett), akkor a függő és független változónak megfelelő állapotfüggvény, ill. állapotjelző differenciális kis megváltozását egymással elosztjuk és ezt egyenlővé tesszük az ezekhez rendelt és az adott, állandóan tartott mennyiségnek megfelelő oszlopba tartozó két kifejezés hányadosával. Ezt egy példával illusztrálhatjuk.
985
" Páros függvény
" Páratlan függvény
f (–x ) f(x)
f (–x) = –f(x)
(Ezek az y tengelyre szimmetrikusak
y tengelyre tükrözés!
Pl. y = cos x
Pl. y = sin x , y = tg x, y = ex, y = x3 –x
y = x4 + 3x2 +1
F.7. NÉHÁNY (PERIODIKUS, ILL. APERIODIKUS) FÜGGVÉNY ÉS AMPLITÚDÓSPEKTRUMA
Periódikus fv-ek
Aperiódikus fv-ek
(Értelmezve –E F +E között)
(csak Gx-en belül értelmezve)
986
sinx
*!
.!
!
*!
x
!
*!
x
-1 Asinx
+A
.!
-A sin kx
"k-szoros zsugorítás"
I
1
x ! . k
-1
! k
*! = *!I = I k *! k
*!
I
*! ) k
sin kx=sin k(x
} I
"H -szoros zsugorítás" J
sin Ht 1 ! H
! .H
-1
}
sin Ht=sin H(t *! H) T
Ht *! = *! = T H *! f
1
987
1. Periodikus függvények
színuszos függvény:
f(t) = sin ! t
színuszos függvény:
f(t) = sin 4 ! t
Az alábbi táblázatban a teljesség igénye nélkül szemléltetésképpen bemutatunk néhány egyszerű függvényt és amplitudóspektrumukat. Az amplitúdóspektrum (ld. 7. fejezet) periodikus függvények esetén a függvény Fourier–sorának együtthatóiból áll, aperiodikus függvény esetén a függvény Fourier– transzformáltja. (Az ábrákat Barócsi Attila kollégánk készítette az általa írt, gyors Fourier–transzformációra épülő programmal. A tengelyek "rel" felirata arra utal, hogy az időkoordináta ! s-el van osztva, a frekvencia pedig ! s-el van szorozva.) Figyeljük meg, hogy míg a periodikus függvények amplitudóspektruma diszkrét vonalakból áll, addig az aperiodikus függvényeké folytonos spektrumú.
988
1
f(t) = sin 4 ! t + 2 sin 8 ! t
Háromszög alakú függvény: (tn = 0 ± n , ahol n = 0, 1, 2, ...)
f(t) = - 2 (t - tn) - 0,5 -', ahol tn < t < tn +1
két színuszos függvény összege
989
f(t) = 2 (t – tn) , ahol tn < t < tn +1
Négyszögfüggvény:
f(t) = 1, ha [t + 0.5] = [t], és f(t) = 0, ha [t + 0.5] = [t] + 1
Fűrész alakú függvény (tn = 0 ±n , ahol n = 0, 1, 2, ...)
990
2. Aperiodikus függvények
f(t) =
K sin 10k ! t k=200
300
f(t) =
K sin 10k ! t k=200
250
991
x 2 f(t) = exp=;– =;0,2@> @>
x 2 f(t) = exp=;– =;0,4@> @>
992
F.8. AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK SPEKTRUMA
Egység
Állandó szorzó faktor
Röntgen
Szinkrotron
l á t h a t ó
u v
Infravörös
Mikrohullám
I[m]
1
10–11
10–10
10–9
10–8
10–7
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
L [Hz] = c/I
3
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
L* [cm–1] = 1/I
1
109
108
107
106
105
104
103
102
10
1
k [m–1] = 2!/I
6,28
1011
1010
109
108
107
106
105
104
103
102
E [J] = hL
1,99
10–14
10–15
10–16
10–17
10–18
10–19
10–20
10–21
10–22
10–23
E[eV] = hL/1,6·10–19
1,25
105
104
103
102
10
1
10–1
10–2
10–3
10–4
Pl.: l = 10–8 m M L = 3·1016 Hz M L* = 106 cm–1 M k = 6,28·108 m–1 M E = 1,99·10–18 J = 1,25·102 eV
993
N/m2 (Pa)
dyn/cm2
bar
torr (mmHg)
atm
F.9. NYOMÁS ÁTSZÁMÍTÁSI TÁBLÁZAT
lb/inch
2
1 Pa = 1 N/m2
1
10
10–5
7,5·10–3
9,87·10–6
1,45·10–4
1 dyn/cm2
10–1
1
10–6
7,5·10–4
9,87·10–7
1,45·10–5
1 bar
105
106
1
7,5·102
9,87·10–1
1,45·10
1 torr'N 1 mmHg
1,333·102
1,33·103
1,33·10–3
1
1,32·10–3
1,93·10–2
1 atm (fizikai atmoszféra*)
1,01325· 105
1,01·106
1,01
757,5
1
14,65
1 lb/inch2 (**)
6894,7
6,9·104
6,9·10–2
1,7
6,81·10–2
1
* "Standard atmoszféra" (pontos érték). Régebbi (jelenleg már nem törvényes) egysége a technikai (műszaki) atmoszféra, jele: at, ata, ill. att. 1 at = 1 kp / cm2 ** lb:libra; szokásos még lb/inch2 helyett p.s.i. (pound per square inch) jelölés is. Megjegyzés: Az ún. nagyvákuum tipikus értéke (pl. mérőberendezésekben vákuumpárologtatóknál) 10–3 – 10–5 Pa.
felületfizikai
F.10. ENERGIA ÁTSZÁMÍTÁSI TÁBLÁZAT Megnevezés
Energia
Energia
Kötési energia
Hőmérséklet
E
NA E
E/k
Mértékegység
1 eV
J/mol
K
Atomi tömegállandó E/c2 u
Frekvencia E/h Hz
994
Hullámszám* 2p / l 2p[E/(hc)] m–1
hc/E
eV
J
1
1,6022·10–19
9,6485·104
1,1604·104
1,0722·10–9
2,4180·1014
5,0646·106
1,2398·103
6,0221·1023
7,2429·1022
6,6922·109
1,5093·1033
3,1611·1025
1,98770–16
1,2027·10–1
1,1113·10–14
2,5061·109
5,2491·10
1,1963·108
9,2396·10–14
2,0837·1010
4,3643·102
1,4387·107
2,2552·1023
4,7235·1015
1,3311·10–6
2,0959·10–8
2,9979·1017
1J
6,2415·1018
1
Kötési energia*
1 J/mol
1,0364·10–5
1,6605·10–24
Hőmérséklet Atomi tömegállandó
1K
8,6174·10–5
1,3807·10–23
8,3145
1u
9,3266·108
1,4943·10–10
8,9988·1013
1,0823·1013
Frekvencia
1 Hz
4,1357·10–15
6,6262·10–34
3,9904·10–10
4,7992·10–11
4,4398·10–24
Hullámszám**
1 m–1
1,9745·10–7
3,1649·10–26
1,9049·10–2
2,2911·10–3
2,1194·10–16
4,7737·107
Hullámhossz
1 nm
1,2399·103
1,9865·10–16
1,1963·108
1,4388·107
1,3310·10–6
2,9979·1017
6,2832·109
Rydberg-állandó
1 m–1
13,606
2,1799·10–18
1,3128·106
1,5789·105
1,4606·10–8
3,2898·1015
6,8952·107
Megjegyzés:
Hullámhossz
1
1
1
* 1 cal/mol = 4,1868 J/mol és 1 eV/elemi részecske = 96,48456 kJ mol–1 (23.082 kcal mol –1)· **A spektroszkópiai hullámszám: L* % 1/I kBT (300K) O 4,142 10–21 J O 0,02585 eV
1
1
nm
6,2832 1 9,1126·10
995
F.11. AZ ATOMOK ELEKTRONSZERKEZETE
H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd
1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
2 1
0
3 1
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
2
0
1
1 2 3 5 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
4 2
1 2 4 5 6 7 8 10 10 10
3
0
1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2
1
5 2
3
4
0
6 1
7 0
n l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
2
996
n l In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es
0
1
0
3 1
2
0
1
4 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
3
0
1
2 3 4 5 6 7 7 9 10 11 12 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
5 2
3
1
1
1 2 3 4 5 6 7 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
2 3 4 6 7 7 9 10 11
4
0
6 1
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
2
7 0
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
1 0
1 2 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
997
Fm Md No Lr
1 0 2 2 2 2
0 2 2 2 2
1 6 6 6 6
0 2 2 2 2
3 1 6 6 6 6
2 10 10 10 10
0 2 2 2 2
1 6 6 6 6
4 2 10 10 10 10
3 14 14 14 14
0 2 2 2 2
1 6 6 6 6
5 2 10 10 10 10
3 12 13 14 14
4
0 2 2 2 2
6 1 6 6 6 6
2
7 0 2 2 2 2
n l 100 101 102 103
1
998
F.12. ALAPVETŐ FIZIKAI ÁLLANDÓK Megnevezés
Érték
Egység
Fénysebesség Vákuum permeabilitása Vákuum permittivitása
c Po
2,99 792 458·108 4!·10–7 N1,2566·10–6
ms–1 Hm–1 = VsA–1m–1
Relatív hibahatár** ·106 pontos pontos
QR
1/Poc2N8,8542
Fm–1 = AsV–1m–1
pontos
Gravitációs állandó Planck–állandó
35'G h
6,67259·10–11 6,6260755·10–34 4,13566502·10–15 1,05457266·10–34 6,58211526·10–16 6,0221367·1023 9,6485309·104 8,3144708
m3kg–1s–2 Js eV s Js eV s mol–1 C mol–1 J mol–1K–1
128 0,6
1,3806513·10–23 8,6173351·10–5 0,022711
J K–1 eV K–1 m3 mol–1 C kg MeV kg MeV kg MeV kg MeV m2 JT–1 = J Vs = A m2 m2 JT–1= J Vs = A m2
h/2! Avogadro–állandó Faraday–állandó*** Egyetemes (moláris) gázállandó Boltzmann–állandó
" NA F R kB
Móltérfogat (ideális gáz, 105 Pa, 0°C) Elemi töltés Atomi tömegállandó
Vm
Elektron tömege
me
Proton tömege
mp
Neutron tömege
mn
Bohr–magneton
PB
1,60217733·10–19 1,6605402·10–27 931,4933839 9,1093897·10–31 0,5109985435 1,6726231·10–27 938,2713839 1,6749286·10–27 939,5646726 9,2740154·10–24
Mag–magneton
PS
5,0507865·10–27
Finomszerkezeti állandó Rydberg–állandó Bohr–sugár
1
7,2973530833·10–3
RE ao
1,0973731571·107 0,529177249·10–10
e u
Jelöl és
0,6
0,59 0,30 260 1,8
pontos 0,3 0,59 0,59 0,59 0,59
0,34 0,34
0,045 m–1 m
0,00036 0,045
999
Megjegyzések:
A táblázatban közölt értékek a jelenleg érvényes legújabbak, melyeket a CODATA (Committee on Data for Sciences and Technology of the International Council of Scientific Unions) 1986–os adatai alapján E. Richard Cohen és Barry N. Taylor: The fundamental physical constants, Physics Today, Aug. 1989 publikációja szerint közlünk.
**)
A “pontos” megállapodás alapján való értéket jelent. Példa a relatív hiba figyelembevételére: az elektron tömege az "érték" oszlop alapján, aláírva a relatív hiba. m e= (
9 , 1
0 9
3
8
9 7
0 , 0
0 0
0
0
0 5
kg 9
Tehát a hiba a tizes-hatvány előtti számra vonatkozik! ***)
Egységnyi (z=1) töltésű részecskék esetén; z töltésű részecskéknél z·F C·mol–1
*)
TÁRGYMUTATÓ
abszolút fekete test 845, 846, 847, 848, 849, 850, 853 — közelítő kísérleti megvalósítás (fémben kiképzett üreggel) 845 — egy lehetséges kísérleti megvalósítása 845 — fémes üregbe zárt sugárzás 845 — mint modell 845 — üregbe zárt sugárzás 847, 848 — — módusa 847 — — módusok száma 848 — — módussűrűség meghatározása 847 — —módusok összenergiája 849 — emisszióképessége 848, 849 — sugárzási tér 846 — sugárzási tér energiájának kiszámítása 847 — sugárzási törvények — — Rayleigh Jeans féle 849 — — Wien törvény 850 — — Plank féle 853 — sugárzás spektrális eloszlása 845 — sugárzási tér 846 abszolut hőmérséklet mikrofizikai értelmezése 234, 246 adiabaták 370 — egyenletei 398 alagúteffektus 954, 955 — behatolási mélység 956 — definiciója 955 akció-reakció törvénye 98 alapállapoti energia 941, 942 — lineáris harmonikus oszillátoré 941, 942 alapfogalmak 237 amplitúdó moduláció 711, 715, 716, 793, 794 — moduláció mélysége 716 — oldalsáv 793
— síkhullám alakja 793 — vivőhullám 793, 794 anyag 876, 877 — hullámsajátságai 876, 877 anyagmennyíség 6 állapotösszeg 296, 297 — Bose–Einstein statisztika 347 állapotegyenlet 362 — ideális gázé 370 — reális gázé 369 állapotfüggvény 372, 377, 378, 380, — matematikai definíciója 380 — megváltozása 372, 378 — — körfolyamatra 377 — teljes differenciálja 380 állapotfüggvények 19, 378 — matematikai jellemzése 378 állapotfüggvény 360, 883, 884, 885, 894, 897, 937 — alakja 884 — — mikrorészecske tulajdonságai 883 — jellemző fizikai mennyiség értéke 885 — mikrorészecske teljes leírása 883 — normálása 894 — normált állapotfüggvény 897 — normálási példa 937 — síkhullám leírása 885 — változások 360 állapotfelületek 369 állapotjelző(k) 17, 19, 277, 363, 365, 391 — extenzív 19, 363 — intenzív 19, 365 — extenziv és intenziv állapot jelzők kapcsolata 391 állapotleírás 883 — kvantummechanikai 883 állapottér 19, 361 állapotváltozás 19, 356, 372, 373 — ideális gázra 372 — — adiabatikus 372
A,Á
1001 kvantáltsága 863 — Frank-Hertz kísérlet 865, 866 atomi elektronok 863, 868 — imulzusmomentuma 863 — — kvantáltsága 863 — — Zeeman féle vonal felhasadás 868 atomi energianívók 864 — kvantáltsága 864 atomi polarizálhatóság 531 — egysége 531 atomi tömegállandó 238 atomi tömegegység 238 Avogadro-állandó 6,237 axióma 12 B b-bomlás 29 B indukcióvektor 630 — elnevezése 630 Barkhausen-effektus 612 barometrikus formula 249, 251 belső energia 197, 198 — járulékai 198 belső surlódás 273, 275 — mikrofizikai meghatározása 275 — surlódási együttható 273 betöltési szám 279 — átlagos 279 Biot-Savart törvény 578, 586 Bohr-féle frekvencia feltétel 863 Bohr-féle kvantumfeltétel 863 — értelmezése hullám képben 864 Bohr-modell 605, 863 Bohr-sugár 864, 897 — fizikai értelmezése 897 — kvantumemchanikai értelmezése 864 Boltzmann 234 — kinetikus gázelmélet 234 Boltzmann–állandó 235, 306 Boltzmann–egyenlet 306 Boltzmann–faktor 249, 252, 297 Boltzmann-féle exponenciális eloszlás 349 bolyongás 266 Bose—Einstein–eloszlás 343 Bose—Einstein eloszlási
— — kváziegyensúlyi 356 — reális 373 állapotváltozások 362, 377, 392 — csoportosítása 377 — az S–V diagramon 392 — útja 362 állásszilárdság 157 állóhullám 805 állóhullámok 817, 818, 819, 821 — előállításai 817 — lehetséges csomópontjai 818 — lehetséges frekvenciái 818 — lehetséges hullámhosszai 821 — módusai 819 — leírása 817, 818 általános körmozgás 56 általános rezgés és hullámtan 685 áramkeret 574 — mágneses momentuma 574 áramforrások 551 áramkörök 654 — LC 654 — LCR 654 — RL 648 áramok mágneses tere, gerjesztési törvény általános alakja 578 áramvonalak 549 — stacionárius áram vonalak 549 átlagérték 234 — kiszámítása 236 átlagos négyzetes sebesség 325 átlagos ütközési idő 252 – 254 átlagos szabad úthossz 252 – 254 aktivitás 448, 455 — gázoké 455 — komponens aktivitása — — koncentrációval 448 — — moltörttel 448 — koefficiens 455 — — racionális 455 anyag 876 — hullámsajátságai 877 anyagmennyiség 237 anyagmennyiség-koncentráció 238 atomi dipólusok 529 — dipólmomentuma 529 atomi elektron 22 atomi elektronnívók és az elektron impulzusmomentumának
1002
C, CS Carnot–ciklus 420 — szakaszainak térfogati munkája és hőcseréje 321 — termikus hatásfoka 32 Carnot körfolyamat 419, 420, 421, 422, 423, 429 — adiabatikus szakaszainak munkája 421 — hatásfokának függetlensége a munkavégző közegtől 429 — hatásfoka 419 — kváziegyensúlyi direkt 420 Carnot körfolyamat fordított 426 Carnot tétele 433 Carnot—Clausius tétel 429 igazolása 430 centrális erők 121 ciklotron 571 — működési elve 572 Clapeyron–egyenlet 448, 450 Clausius axióma 411 Clausius-Mosotti-Debye egyenlet 529, 532, 534 Clausius tétele 429 CO2 fázisdiagramja 405 Compton-effektus 870, 872, 873, 874, — értelmezése 870 — elektromágneses sugárzás korpuszkuláris sajátságai 870 — fotonok szórása szabadelektronon 872 — frekvenciaeltolódás 874 — impulzus vektorábrája 872 — leírása nem relativisztikusan 873 — leírása relativisztikusan 874 Compton-elektronok 870 Compton hullámhossz 874 Coulomb-erők 121, 470
— szuperpozíciója 470 Coulomb-törvény 469, 470, 471, 472, 527 1 — r2 függés 472 1 — az -r2 függés kísérleti ellenőrzése 472 — dielektrikum közegbe 527 — er relatív permittivitású közegben 471 — a k arányossági tényező 471 — — kifejezése eo-lal 471 — vektorális alakja 470 — — vákuumban 471 csatolás mechanizmus 737 — terjedési közeg 737 csillagok hőmérséklete 855 — meghatározása 855 csillapítatlan, lineáris harmonikus rezgőmozgás 687 —amplitúdója 687 — kezdőfázisa 687 — periódusideje 687 — teljes fázisa 687 csillapítatlan gömbhullám 744 — hullámfüggvénye 744 csillapított harmonikus rezgőmozgás 726, 728 — jósági tényezője 728 — logaritmikus dekrementuma 728 csillapított rezgés lecsengési ideje 656 csomópont törvény (Kirchhoff I) 550 D Davisson—Germer kísérlet 23, 878 de Broglie hullámhossz 23, 877 — elektroné 877 degenerált (elfajult) állapotok 341 dielektrikum fogalma 521 — apoláros 529 — poláros 529 dielektrikum permittivitása 762 — kapcsolata mo-lal és c-vel 591, 762 dielektromos veszteség 776, 777, 778
függvény 345, 346 — kvázifolytonos energiaskálára 346 Bose—Einstein statisztika 347 — alkalmazása ideális gázra 347 bozonok (Bose–mikroré– szecskék) 342
1003
E, É egydimenziós potenciálkád 931 — potenciálsémája 932 egyensúly — kémiai reakcióé 451
— oxidációs reakcióra 451 egyensúly feltételei 440 — szabadentalpia függvénnyel 440 egyensúlyi — állapot 20 — fluktuációk 16 — Gibbs–egyenlet 387 egyesített gáztörvény 241 egyidejűség relativitása 73 Ehrenfest-tétel 906 — értelmezése 906 — mikrorészecske tömegközéppontjának mozgása 907 Einstein 261 — összefüggés 261 — — D és m között 261 — — D és között 261 — tömeg-energia ekvivalenciája 203 Einstein-de Haas kisérlet 608, 609 Einstein–féle — bolyongási probléma 265 — egyidejűség relativitása 73 — relativitási elv 72, 73 — sebességösszeadási törvény 76 ekvipartíció tétele 247, 326, 328 ekvipotenciális felület 506 elegyedési entrópia 334, 336, 338 — egykristályoké 336 — ideális (egyatomos) gázoké 338 elegykristályok 336 — elegyedési entrópiája 337 elektródpotenciál 446, 447, 550 elektrokémiai potenciál 446 elektromágnességtan 459 elektromágneses energia terjedése tökéletes szigetelőkben 781, 782 — fényintenzitás egysége 782 — hullám teljesítmény 782 — térenergia sűrűség 781 — Poynting-vektor 781 elektromágneses hullám 761, 762, 764 — diszperziója 764 — Maxwell reláció 762 — terjedése 761 — terjedési sebessége 762 — energiaterjedés iránya 761 elektromágneses hullámegyenlet
— admittancia 778 — mérése 778 — veszteségi szög 777 — veszteségi tényező 777, diffúzió 261, 262, 263, 264, — fogalma 261 — gázok diffúziója 262 — gázoké 262 — — mikrofizikai értelmezése 263 — részecskeáramsűrűség 264 diffúziós áram 263 diffúziós koefficiens 264 — gázkinetikai értelmzése 262 dinamika 89 — alapegyenlete 100 dipólus 507, 510, 512, 513 — dipólusra ható forgatónyomaték 513 — dipólusra ható transzlációs erő inhomogén erőtérben 513 — erővonalai 510 — ekvipotenciális felületei 510 — potenciális energiája egy másik dipólus térben 512 dipólusmomentum 507, 530, 533,.534 — átlagos dipólusmomentum 533 — átlagos eredő dipólusmomentum 530 — rendszer eredő dipólusmomentuma 533 — dipólusmomentum átlagértéke 534 direkciós állandó 123 driftsebesség 257 diszperzió 799, 800, 801 — anomális diszperzió 800 — diszperziós hullám 799 — diszperziós hullámfüggvények 801 — diszperziós közeg 799 — normális diszperzió 800
1004 — egyenáram 545 — — teljesítménye 555 — iránya 545 — stacionárius 545 elektromos áramerősség 546, 547 — definíciója 546 — egysége 547 elektromos áramsűrűség 548, 549 — elektromos áramerősség kapcsolata 548 — mértékegysége 548 — stacionárius áramsűrűség-vektor forrásmentessége 549 elektromos dipólus 507, 508, 509, 511, 512, 533 — dipólus-dipólus kölcsönhatási energiája 512 — elektromos dipólusmomentum 507, 508, 509, 511, 533 — — átlagos 533 — — definíciója 507 — — egysége 507 — — típusai anyagi rendszerekre 508 — potenciálja 509 — térerőssége 511 elektromos ellenállás 552 — egysége 552 elektromos eltolás vektor 521, 525, 526 — definíciója 525 — elektromos térerősség kapcsolata 526 — egysége 525 — zárt felületre vett fluxusa 526 elektromos erők 466 — anyag atomi tartományaiban 466 elektromos erőtér 490, 491 — ellenében végzett munka 491 — munkája 490 elektromos feszültség 490, 491, 497 — egysége 491 — előjele 491 — felírása potenciál különbségekkel 497 elektromos jellemzők 540 — vonatkozó határfeltételei 540 elektromos kapacitás 515, 516,.518 519
759 elektromágneses hullámok 766, 767, 768, 769, 770, 771, 772 — polarizációja 766 — — azimutszög,769, 770 — — Brewster-szög 772 — — cirkulárisan poláros fény 768 — — elliptikusan poláros fény 769 — — lineárisan poláros 767 — — lineárisan poláros fény hullámvektora 767 — — lineárisan polarizált fény előállítása 771 — — rezgési sík 767 — — rezgési irány 767 — — Thomson prizma 772 — — Wollaston-prizma 772 — — cirkulárisan polarizált fény 768, 770 — — elliptikusan poláros fény 769 — — lineárisan polarizált fény 767 — — rezgési irány természetes fényben 767 — — hullámvektor forgási iránya 767 — távíró- (telegráf-) egyenlet 759, 760 elektromágneses indukció 627, 629, 633, 634, 637 — alapkisérletek 627 — indukált áram 629 — indukált feszültség 629 — indukció mágneses térben mozgó vezetőben 634 — indukció unipoláris 637 — indukció vákuumban 633 elektromágneses indukció néhány alkalmazása 657, 658, 659, 660, 663, 665 — generátor 660, 663 — motor 663, 665 — transzformátor 657, 658, 659 elektromágneses sugárzás korpuszkuláris sajátságai 870 — Compton-effektus 870 elektromágnességtan 459 elektromágneses tér 627 elektromos állapot 460 elektromos áram 460, 545, 546, 555,
1005 — — inhomogén erőtérben 483 — fluxusának egysége 484 — homogén dielektrikumban 526 — potenciál kapcsolata 506 — próbatöltés 472 — szuperpozíció 473 — — zárt felületre vett fluxusa 483 elektromos térjellemzők 540, 543 — fém-dielektrikum határfelületen 543 — vonatkozó határfeltétele 540 elektromos töltés 37, 460, 461, 462,.463, 464, 465, 466, 468,.570, — alapkísérletek 460, 462 — anyagi hordozói 466 — előjele 461 — elektromos megosztás (influencia) 465 — fémtest belsejében 464 — kvantáltsága 468 — pályája, homogén mágneses térben 570 — protonoké 466 — töltés megmaradási törvény 464 — egysége 463 — elektronoké 466 — megmaradása 37 — semleges állapot 466 elektromos vezetés 227, 258, 259, 260, 261, 552, 557 — egysége 552 — fajlagos 257, 258 — — ezüsté 261 — fajlagos elektromos vezetés 557 — — mikrofizikai kifejezése 258, 259, 260 elektron 25, 605, 877, 879, 898, 899 — alapállpoti hullámfüggvényének radiális része 898 — de Broglie hullámhossza 879 — hozzárendelhető hullámhossz 877 — mágneses momentuma 605 — megtalálási valószínűsége 899 — tartózkodási valószínűsége 898 elektronelhajlás 879 — valószínűségi értelmezése 881 elektronmikroszkóp 878
— definíciója 516 — egysége 518 — Föld kapacitása 519 — Faraday-kísérlet 515 — általános esetben 519 elektromos megosztás 465 elektromos munka 554 elektromos polarizáció 514,.515, 522, 524, 529 — egysége 515 — mechanizmusa 514 — mikrofizikai megközelítése 529 — polarizációs töltés 522, 524 elektromos polarizáció vektor 527, 530, 531, 532, 553 — anizotróp anyagra 527 — indukált polarizációra 530, 531, 532 — nagy térerősségekre 527 — orientációs polarizációra 553 elektromos potenciál 185, 186, 496, 498, 506 — definíciója 185 — egysége 185,496 — ekvipotenciális felületek 506 — előjele 496, 498 — gradiense 186 — hidrogénatomban 186 — ponttöltése 496, 498 — térerősség kapcsolata 506 elektromos szuszceptibilitás 526 — relatív permittivitás kapcsolata 526 elektromos tér 514, 531, 545, 546, — áramkörökben 546 — — nyitott áramkörben 546 — — zárt áramkörben 546 — vezetékben 545 — lokális elektromos tér 531 — szigetelőanyagokban 514 elektromos tér szigetelőanyagokban 514 elektromos térerősség 126, 472, 473, 482, 483, 484, 506, 526 — definícióegyenlete vákuumban 473 — egysége 126, — fluxusa 482 — — homogén erőtérben 482
1006 Ellingham diagramja 458 elmozdulásvektor 43 eloszlási függvény 340 eloszlási függvények összehasonlí– tása 340, 341, 353 eltolási áram 668 — kondenzátoron 668 elvileg megkülönböztethető részecskék 340 elvileg megkülönbözhetetlen részecskék 340 emisszió- és abszorpcióképesség aránya 843, 844 — két testre 843 — — frekvencia függése 844 — — Kirchoff törvény 844 energia 16, 35, 170, 171, 172, 173, 181, 188, 197, 198, 202, 203, 247, 278, 312, 313, 314, 330, 370, — belső 16 — belső energia 16, 35, 197, 198, 330, 370, — — ideális gázé 330, 370, — — járulékai 16 — — termikus energia 198 — — változás izoterm állapotváltozáskor 370 — energiamegmaradás 188 — — mechanikai 188 — nyugalmi energia 203 — energianívó szorzat 278 — fogalma 170 — kinetikus energia — — forgó testeké 171 — — tömegpontrendszeré 170, 172, 173 — — tömegpontté 172 — kvantált értékkészlet 278 — mechanikai energia 197 — munkatétel, tömegpontra 172 — — tömegpontrendszerre 173 — nyugalmi energia 203 — potenciális és kinetikus rezgési energiajárulékok 247 — potenciális energia 170 — — definíciója 170 — — vonatkoztatási pontja 181 — rezgési energianívók 312, 314
— felbontóképessége 879 elektronnyaláb elhajlás 879 — Au-fólián 879 elektronok 25 — részecske, ill. hullámsajátságai 25 elektronpolarizálhatóság 530 — néhány ionra 530 elektronszerkezet 607 — néhány atomé 607 elektronspin 926, 928, 929 — feles spinű részecske 929 — Stern-Gerlach kisérlet 928 elektronvezetők 626 — többségi elektronvezetők 626 elektroszkóp 461 elektrosztatika és elektromágnesség tér és anyag jellemzőinek definició és analógia rendszere 600 elektrosztatika 459 — tárgya 459 elektrosztatika II. törvénye 490 elektrosztatikus árnyékolás 479 elektrosztatikus erőtér 472, 480, 482, 492 — Cavendish-levezetés 480 — fém belsejében 482 — konzervatív jellege 492 elektrosztatikus tér 476, 494, 537, 538, 539 — erővonalai 476 — forrásai 494 — energiája 537 — energiasűrűsége 538, 539 elhajlás 833, 836, 837, — elektronsugarak elhajlása 836 — fém egykristály felületen 836 — kristályrácson 837 — röntgensugarak elhajlása 836 — — Bragg-diffrakció 836 — — Bragg-feltétel 836 — Young-féle kétréses kísérlet 833 elemi töltés 466 elemi transzpozíciók 302, 303, 304 — energianívók közötti elemi átrendeződési folyamatokban 303, 304 elfajult állapotok 341
1007 megkülönböztethetősége 279 — termodinamikai valószínűség maximális értéke 298 — termodinamikai valószínű– sége 291 energiajárulék 327 energiakvantum 851 — képlete 851 energiasáv 348 energiasűrűség 538 — elektrosztatikus téré 538 energia szerinti egyensúlyi eloszlás 289 — megkülönböztethető részecs– kékre 289 energia szerinti egyensúlyi eloszlás kiinduló feltételei 289 energiamegmaradás törvénye 33, 189 — tömegpontrendszerre 189 energiamegmaradási törvények 33 energia minimum elve 38 energianívórendszer 310 — gázok 310 energia sajátérték 901 energia tárolás 648 — mágnestérben 651 entalpia 386 — hőfokfüggése 387 entrópia 38, 305, 334, 336, 337, 338, 412, 413 — Clausius–féle definíciója 412 — elegyedési entrópia 336, 337, 338, — — ideális kristályoké 336 — — ideális gázoké 338 — konfigurációs entrópia 334 — definíciója 413 — és a termodinamikai valószínűség kapcsolata 305, 334 entrópiatermelés 439 — belső 439 entrópiaváltozás 377, 411 — nem elszigetelt rendszerre 411 — reális (spontán) folyamatokra 411 — reális adiabatikus folyamatra 418 — kváziegyensúlyi folyamatra 377 erő 94, 95, 97, 183, 109, 580, 581,
— — gázrendszerekben 312, 314 — rotációs energianívók 313 — — gázrendszerekben 313 — teljes energia 197 — — relativisztikus kifejezése 202 — transzlációs energia nívók 313 — — gázrendszerekben 313 — transzlációs energiajárulék 247 energia 537, 858, 861, 882, 892, 901, 929, 930, 931, 941, — alapállapoti 941 — összenergia 892 — — mikrorészecskéé 892 — elektrosztatikus téré 537 — fotonoké 858 — kvantáltsága 901 — — kötött állapotban 901 — — mikrorészecskéé 901 — mikrorészecskéé, hullámleírásban 882 — potenciáldobozba zárt elektroné 931 — rácsrezgések teljes energiája 861 — szabad részecskéé 929 — — folytonos értékkészlettel 930 — rácsrezgések teljes energiája 861 — — Einstein-féle képlet 861 energiaállapot 940 — degenerált 940 — elfajult 940 energiaeloszlás 279, 289, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 298, — összes mikroállapotok száma 291 — Lagrange-multiplikátor értékének meghatározása 296 — Lagrange-multiplikátoros módszer 295 — makroállapot definíciója 291 — maximális termodinamikai valószínűségű eloszlás 294 — mellékfeltételei 291 — mikroállapot definíciója 291 — néhány energiaeloszlás termodinamikai valószínű– sége 292 — nem egyensúlyi energiaeloszlás spontán átrendeződése 289 — részecskék
1008 — térerősséggel jellemezve 127, 128 — vektorterek 128 erőtér fogalma 127 erőtér hatása 128 erőtörvény 102 — Newton-féle általános gravitációs törvény 102 erőtörvények 102, 104, 121, 123, 125, 574, — Ampere-féle erőtörvény 574 — centrális erő esetén szokásos origó választással 121 — Coulomb-törvény 121 — csúszási súrlódási erő 125 — gravitációs erőtörvény 121 — gravitációs törvény — — skalár alakja 102 — — vektoriális alakja 104 — Hook-törvény (lineáris erőtörvény) 123 — közegellenállási erőé 125 — — levegőben, folyadékokban 125 — Stokes-törvény 125 — súrlódási erő — — csúszási 125 — — tapadási 125 erőterek 126, 127 — kvalitativ jellemzése erővonalak kal126 erővonalak 128, 130 — adott pontbeli iránya 130 — sűrűsége 130 — száma 130 — tulajdonságai 128 éter, hipotetikus létezése 72 Euler-reláció 707 Euler tétel 395 expanzió 375 — reális izoterm expanzió 375 F fajlagos ellenállás 258, 552 — egysége 552 — hőmérsékleti koefficiens 553 fajlagos hőkapacitás 329, 842 — ideális gázé 329 — kvantumeffektus 842
— definíciója 95 — egysége 97 — fogalma 94 — két egyenárammal átfolyt vezető között fellépő erő 580 — — iránya 581 — — nagysága 580 — kiszámítása a potenciális energia gradienséből 183 — lineáris (rugalmas) erő 555 — mint a kölcsönhatás kvantitatív mértéke 94 — centrifugális erő 109 — Coriolis-erő 109 — D'Alembert erő 109 — Euler-erő 109 — mozgásegyenlet 109 — tehetetlenségi erők 109 erők 121, 122, 123, 130,197 — centrális erők 121 — — szokásos origóválasztás 122 — nem konzervatív erők 197 — rugalmas erő 123 — konzervatív erők 130 erőmomentum 144 — (erőnyomaték, forgatónyoma– ték) 145 erőmomentum, forgatónyomaték 145 — eredő erőmomentum 145 erőnyomaték, forgatónyomaték 145 erőpár 150 — forgatónyomatéka 150 erőtér 126, 127, 128, 130, 170, 175, 178, 179, 196, 476, 492, — által a forgatónyomatékra kifejtett erő 495 — elektrosztatikus erőtér 126, 130, 472 — gravitációs 130 — homogén 128 — inhomogén 128 — konzervatív erőtér 170, 175, 178, 179, 492 — különböző töltéselrendezések erővonalai 476 — nehézségi 127 — nem konzervatív erőtér 170, 196 — térerőssége 186
1009 — Huygens-Fresnel-elv 823, 824 — optikai rács diffrakciós képének értelmezése 830 — optikai rácson 828 — optikai rácson való elhajlás diffrakciós képe 831 — optikai rácson való fényelhajlás intenzitás eloszlás levezetése 830 — optikai rácson, diffrakciós főmaximum 831 — optikai rácson köralakú lyukak problémája 832 — Poisson-féle folt 823 fényintenzitás 781, 782, 783, 784 — abszorbeáló közegben 781, 783 — — abszorpciós koefficiens 783 — — Lambert-Beer-törvény 783, 784 — intenzitás kapcsolata az amplitúdó négyzetével 782 Fermi—Dirac eloszlás 352 Fermi–energia 447 — kapcsolata a kémiai potenciál– lal 447 fermionok (Fermi-részecskék) 343 Fick I. egyenlet 264 Fick II. egyenlet 265 Fizika és kémia néhány elve 37 fizikai diszciplinák 2 fizikai megismerés 1, 2 — kísérletek 1 — megfigyelés 1 — útja 2 fizikai mennyiség 3, 4, 5. 6, 7, 8, 22, 23, 45, 236, 319, 842, 918 919, 920, 921, — átlagértéke 234, 749, 921 — differenciálja 45 — dimenziója 4 — diszkrét értékkészlete 236 — folytonos értékkészlete 236 — kvantált értékkészlet 22 — kvantált fizikai mennyiségek 842 — mérése 920, — — átlagtól való négyzetes eltérése 921 — — mérési axióma 921 — méréskor kapott értéke 919
fajlagos mennyiségek 363 fajlagos vezetés 258, 260, 552 — egysége 258, 552 — félvezetőké 260 — fémeké 260 — mikrofizikai kifejezése 258 Faraday-féle indukciós törvény 627 Faraday-kalitka 479 Faraday-Lenz törvény 631 félértékszélesség 810, 811 — frekvenciáé 810, 811 félvezetők 260 — fajlagos elektromos vezetés 260 fémek 931 — potenciálkád-modellje 931 — Sommerfeld-modellje 931 — — potenciálkád-modell 931 fémes üregbe zárt sugárzás 846 — abszolút fekete test 845 — sugárzási tér 846 fémgömb térerőssége 502 fény 876 — hullám sajátságok 876 — részecske sajátságok 876 — részecskékből álló anyag hullámsajátságai 877 fényelektromos effektus (külső) 856, 857, 858, 859 — kísérleti elrendezés 856 — kísérleti eredmények 857 — értelmezése (Einstein) 858 — kilépési munka 859 fényelhajlás 821, 822, 823, 824, 825, 826, 827, 828, 830, 831, 832, 833, — a diffraktált gömbhullám rés utáni terjedése 822 — az alkalmazott feltételek 822 — diffrakció limitált leképezés 833 — egyetlen résen 824, 825 — egyetlen résen való elhajlás intenzitáseloszlása 827 — egyrésen való elhajlás intenzitáseloszlás levezetése 827 — fényamplitúdók fázishelyes összeadása 826 — fogalma 821 — Fraunhofer-féle elhajlás 824 — Fresnel-féle elhajlás 824
1010 — homogén rendszer 19 — kölcsönhatásai 9 — — elektromágneses kölcsönhatás 9 — — anyagmennyiség cserével járó kölcsönhatások 9 — — felület nagyságát, alakját megváltoztató kölcsönhatások 9 — — mechanikai 9 — — térfogati munka 9 — — termikus kölcsönhatások 9 — környezete 8 fizikai rendszerek 10, 11, 13, 14, 15, 21, 239, 277, 278, — csoportosítása 10, 11 — — adiabatikus rendszer 10 — — adiabatikus és állandó anyagtartalmú rendszerek 10 — — elszigetelt rendszer 10 — — elszigetelt alrendszer 10 — — mechanikailag zárt rendszer 11 — — nyílt rendszerek10 — egyensúlyi rendszer 17, 278 — kölcsönhatása 239 — — termikus kölcsönhatás 239 — kis szabadsági fokú mechanikai rendszerek jellemzése 13 — kvantummechanikai rendszerek jellemzése 21 — mechanikai rendszer jellemzése 14 — nagy szabadsági fokú tömegpont rendszerek jellemzése 15 — nem egyensúlyi makroszkópikus rendszerek 277 — sokrészecske rendszerek leírása statisztikus módszerekkel 15 fizikai törvények 2, 12, 29, 30, 32, 33, 34, — érvényességi köre 2, 12 — korreszpondencia elv 12 — megmaradási törvények 30, 33, 35 — — energiamegmaradás törvénye 35 — — impulzus megmaradás törvénye 33 — — impulzusmomentum megma–
— — a reprezentáló operátor sajátértéke 918 — mértékegysége 4 — átlagértéke 319 — alapmennyiségek 3, 4, 6, 7 — — anyagmennyiség 6 — — anyagmennyiség, egysége 6 — — elektromos áramerősség 6 — — elektromos áramerősség, egysége 6 — — fényerősség 6 — — hőmérséklet, definíciója 6 — — hosszúság 5 — — hosszúság, egysége 5 — — idő 4 — — idő, egysége 5 — — síkszög 7 — — síkszög, egysége 7 — — térszög 7 — — térszög, egysége 7 — — tömeg, egysége 5 — — termodinamikai (abszolút) hőmérséklet 6 — — — egysége 6 — vektormennyiségek, definíció 3 fizikai mennyiségek 8, 842, 913, 914, 916 — leszármaztatott mennyiségek 8 — kvantált értékkészletű 842 — kvantált jellege 842 — leírása 913 — — lineáris, hermitikus operátorokkal (axióma) 913, 914 — megfeleltetése adott operátoroknak 916 fizikai modell 2 fizikai modellek 11, 845, 469, — abszolút fekete test 845 — anyagi pont, tömegpont 11 — harmonikus oszcillátor 11 — ideális gáz 11 — merev test 11 — modellalkotás 11 — ponttöltés 469 — tökéletesen rugalmas test 11 — tökéletesen rugalmatlan test 11 fizikai rendszer jellemzése 13 fizikai rendszer 2, 8, 9, 19, — heterogén rendszer 19
1011 — atomi elektronnívók kvantáltsága 867 frekvencia 54 Foucalt áramok 639 függvények alakja 828 sin x — x 828 sin x˛ — x˛ 828 G Gauss-tétel 482, 485, 486, 521,524526 — általános alakja, dielektrikum közegben 521, 524-26 — differenciális alakja 485 — néhány alkalmazása 486 — vákuumban 485 Galilei-féle relativitási elv 66, 68 Galilei-féle sebességösszeadási törvény 69 Galilei-féle sebességtranszformáció 67, 68 Galilei-transzformáció 67 galvánelemek 550 — forrásfeszültsége 551 — kapocsfeszültsége 551 gázállandó, egyetemes 240 gázok 310 — energianívórendszere 310 gázrendszerek 312 — rezgési energia nívói 312 gerjesztési törvény 578, 585, 619 — anyagi közegben 578 — differenciális alakja 585 — inhomogén permeabilitású közegben 619 Gibbs egyenlet 385 — egyensúlyi 385 Gibbs—Duhem reláció 396 Gibbs-féle fázistörvény 401, 403 gömbkondenzátor 520 — kapacitása 520 görbületi sugár 47 gördülés 152 gravitációs állandó 104 — egysége 104
radás törvénye 30 — szimmetriák 32, 33, 34, — — idő homogenítása — — — energiamegmaradás 34 — — — impulzusmegmaradás 32 — — — impulzusmomentum megmaradás 33 fizikailag értelmes megoldások 901 — Schrödinger-egyenlet 901 folyamat 356, 357, 358, 373, 376, 377, 398, 406, 411, 440, — adiabatikus 377 — hőközlési folyamat (termodinamikai) 376 — irreverzibilis 358 — izobár 377 — izoterm 377 — körfolyamat 377 — kváziegyensúlyi 357, 373 — (termodinamikai) nyitott folyamatok 377 — reális és kváziegyensúlyi folyamatok összehasonlítása 406, 410 — reális, spontán folyamatok 356, 406, 411 — — folyamatok egyirányúsága 406, 411 — reverzibilis 358 — valódi folyamatok iránya szabadentalpia függvénnyel 440 — adiabatikus kváziegyensúlyi 398 — — ideális gázra 398 fordulatszám 54 forgási energia 21 forgó mozgás 152 — pillanatnyi forgástengely 152 forgatónyomaték 33, 145, 146, 574 — erő forgatónyomatéka 33 — áramkeretre ható, B mágneses térben 574 fotoelektromos effektus 22 foton 22, 25, 683, 697 — impulzusa 24, 697 — energiája 22, 683 földelés 515 Frank-Hertz kísérlet 865, 866 — értelmezés Bohr-féle frekvenciafeltétellel 866
1012
H Hall-effektus 623 — töltéshordozók előjele és minősége 624 Hall-együttható 625, 626 — előjele 625 — mért értékei 626 Hall-feszültség 624, 625 — előjele 625 Hall-szonda 626 Hall-térerősség 624 harmadfajú perpetum mobile lehetetlensége 309 harmonikus gömbhullám 744 — csillapítatlan gömbhullám 744 — síkhullám, mint közelítés 744 harmonikus oszcillátor 726, 727, 728, — csillapított, lineáris 726, 727 — — csillapítási együttható 727 — — csillapítóerő 726 — — csillapított saját körfrekvencia 728 — — logaritmikus dekrementum 728
harmonikus rezgés 707, 740, 742, 745 — hullámhossza 742 — hullámszám 740 — hullámszámvektor 742, 745 — komplex forgó vektor hozzárendelés 707 harmonikus rezgőmozgás 687, 691, 698 — csillapítatlan 687 — — dinamikája 691 — — tárolt energia 698 harmonikus síkhullám 739, 741, 742, 743, 744 — azonos fázisú pontok 742 — fázisa 739 — fázissebessége 743 — függvénye 739 — mint közelítés 744 — teljes fázisa 742 — terjedési irány 741 — terjedési iránya 741 harmonikus síkhullámok 745, 746 — komplex alakjának — — integrálása 745 — — differenciálása 745 — — Laplace-operátor 746 harmonikus rezgőmozgás 57, 191, 726, 728, 730, 731, — csillapítatlan 57 — csillapított 726 — — mozgásegyenlet csillapítóerővel 726 — — csillapított saját körfrekvencia 728 — — jósági tényező 728 — gerjesztett 730 — kényszerrezgések 730 — —saját frekvenciája 731 — harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont 191 — potenciáldiagramja 191 harmonikusan váltakozó áramok 673 háromdimenziós potenciáldoboz 938 — megoldása 938 határozatlansági reláció 922, 923 — kommutátorok 922
gravitációs gyorsulás 108 — mint a szélességi fok függvénye 104 gravitációs potenciál 185, 186 — definíciója 185 — egysége 185 — Föld gravitációs terében 186 gravitációs térerősség 127 — egysége 127 — törvény 104 gyorsulás 45 — átlagos gyorsulás 45 — pillanatnyi gyorsulás 45 gyorsulás általános kifejezése 46 gyorsuló vonatkoztatási rendszerek 109 — centrifugális erő 109 — Coriolis-erő 109 — D'Alembert erő 109 — Euler-erő 109 — mozgásegyenlet 109 — tehetetlenségi erők 109
1013 — Celsius-skála 239 — és az egy részecskére eső átlagos transzlációs kinetikus energia kapcsolata 247 — egység 240 — Fahrenheit-skála 239 — fogalma 239 — mérési utasítása 239 — Réaumur-skála 239 — termodinamikai (abszolút) hőmérséklet 240 hőmérsékleti sugárzás 844, 845, 846, 851, 853 — energiakvantumok 851, 853 — spektrális eloszlás 844, 845 — — Planck értelmezése 846 hőmérsékleti sugárzás energiája 851, 853 — kifejezése 853 — Planck-féle sugárzási törvény 853 hőmérséklet-kiegyenlítődés 843 — sugárzás útján 843 hőmennyiség 409, 410 — redukált 409, 410 hősugárzás 271 hőtartály 373, 419 hőtartályok 10 hővezetés 270 — gázokban 270 — hővezetési együttható 270 — hővezetési törvény 270 — — Fourier 270 hullámcsomag 801, 802, 883 — lokalizált elektron 883 — mikrorészecske formális összerendelése 801, 802 — — hullám leírásban 802 — — részecske leírásban 801 hullámcsoport 773, 785, 787, 792, 793, 795, 796, 797, 800, 801, 878 — alakja 797 — w(k) sorbafejtése 785 — amplitúdómodulált síkhullám 793 — burkoló görbe 793, 795 — csoportsebesség 792, 795 — csoport és ffázissebesség kapcsolata 773
határozatlansági és felcserélési reláció közötti kapcsolat 925 hatásfok 419, 423 — ideális hőerőgépekre 423 — körfolyamat termikus hatásfoka 419 hatáskeresztmetszet 252 – 257 — differenciális 256 — —, energia szerinti 256 — gázkinetikai 253 — integrális 256 hatásos teljesítmény 677, 678, 680, — egysége 680 — harmonikusan változó áramé 677 — ideális ellenálláson 678 — ideális kondenzátoron 678 — ideális tekercsen 678 Heisenberg-féle határozatlansági reláció 925 Heisenberg-féle felcserélési reláció 923 hidrogén atom 863, 864, 865 — energiaszintjei 865 — vonalas színképe 865 — — Bohr-feltételek 864 — vonalas színképe 863 hosszkontrakció 85 hőátadás 272 hőátadási tényező 272 hőcsere 314, 372, 390, 406, 411 — értelmezése az I. főtételben 390 — előjel megállapodás 372 — — reális és kváziegyensúlyi folyamatoknál 406 — reális hőcsere irreverzibilitása 411 — statisztikus fizikai kifejezése 314 hőerőgépek 423 — ideális hatásfok 423 hőközlés 35, 198, 385, — termodinamikai rendszer esetén 385 hőközlési folyamat 372 — termodinamikai folyamatban 373 hőmérő 240 — ideális gázhőmérő 240 hőmérséklet 239, 240, 246, 247 — abszolút hőmérséklet 239 — — mikrofizikai értelmezése 246
1014 — testek rugalmas ütközése 91 hűtőgépek 426 — hűtési tényezője 426, 427 — jósági tényezője 427 — teljesítmény–tényezője 427 I időaxióma 4 időállandó 562 időbeli átlag 17 — időben állandó átlagértéke 17 idődilatáció 81, 82 időközök 81 időskála 82 — nem abszolút volta 82 időszerű intervallum 78, 79 ideális (egyatomos) gázok 338 — elegyedési entrópiája 338 ideális gáz 241, 347, 369, 370, 371, 383, 397, 398, 406 — állapotegyenlete 241, 369, 371 — állapotváltozás 370 —adiabatikus kváziegyensúlyi 398 —adiabatikus munkája 398 — belső energiája 370 — Bose—Einstein statisztika 347 — ideális gáztörvény 241 — irreverzibilis kiterjedése vákuumba 383 — kváziegyensúlyi állapotváltozásai 397 — kváziegyensúlyi izoterm állapotváltozása 397 — izoterm hőcseréje 406 — térfogati munkája 406 ikerparadoxon 83 impulzus 30, 90, 92, — relativisztikus 92 impulzusmegmaradás 30, 90, 92, 218 — relativisztikus impulzusra 92, 218 impulzusmegmaradás törvénye 90, 143 — tömegpontrendszeré 143 — tömegpontrendszerre 91 impedancia 676 — ohmos ellenállás 676 impulzusmomentum 141, 863, 864,
— — diszperziós összefüggés 801 — — Raileigh-féle összefüggés 800 — létrehozása harmonikus síkhullámok szuperpozíciójával 878 — lokalizációs tartomány 795 — matematikai leírás a w(k) sorfejtés lineáris tagjaival 792 — szétfolyása 796 — tulajdonságai 792 — vivőhullám 793 hullámegyenlet 746, 747, 748, 753, 772, 773, 774, 775 — általános levezetése 747 — háromdimenziós alakja 746 — homogén hullámegyenlet 772, 774 — — csillapodó sikhullám egyenlet 775 — — komplex dielektromos permittivitás 773 — — komplex hullámszámvektor 774 — — komplex törésmutató 774 — egydimenziós 746, 748 hullámfelület 742 hullámfüggvény 884, 890, 898, — elektroné 898 — — alapállapoti, radiális rész 898 — meghatározása Schrödingeregyenletből 890 — sematikus hullámfüggvény alakok 884 hullámmechanika 24 hullámok elhajlása, a fénydiffrakció alapegyenletei 821 hullámmozgás leírásának alapfogalmai 736 — deformációmentes haladás 737 — eltolási argumentum 738 hullámok szuperpoziciója, hullámcsoport és csoport sebesség 784 — hullámcsomag 784 — hullámcsoport 784 Hund-szabály 607 — szilárdtestek mágneses tulajdonságai 607 Huygens 31, 91 — ütközési kísérletek 31
1015 815 — feltétele 805, 807 — interferencia-tag 807 — két koherens fényhullám interferenciája 813 — két rés kísérlet (ld. még elhajlás) 813 — koherencia — — fogalma 808 — — Newton gyűrűk 809 — koherens hullámok 808 — koherens pontforrások 808 — koherens hullámok létrehozása 813, 815, 816 — — Fresner-féle kettős tükör 813 — — Lloyd-féle tükör 813 — — Yung-féle kétrészes interferométer 813 — — Michelson inter ferométerrel 815, 816 intervallum négyzet invarianciája 80 izobár 370 izosztéra 370 izoterma 370 izoterma egyenlete 397, 398 J jósági tényező 728 — rezgő rendszer tényezője 728 Joule-hő 555 Joule-törvény 554 — integrális alakja 555 K Kelvin hőmérséklet 436 Kelvin tétele 436 Kepler 148 — második törvénye 148 keringési idő 54 kémiai affinitás 453 kémiai potenciál 20, 366, 394, 442 — definíciója 366, 394, 442 — gradiens 366 kémiai reakció 451, 453, 455 — egyensúlyra 451 — egyensúlyi feltételei 453 — egyensúlyi állandója 455
926, 928 — atomi elektronoké 863, 864 — — kvantáltsága 863, 864 — tömegpontrendszeré 141 — sajátértékei 926 — sajátértékkészlete 928 impulzusmomentum komponens 926, 927 — operátora 926 — sajátértékegyenlete 927 — z komponens sajátfüggvénye 927 impulzusmomentum kvantáltsága 867 — Zeeman-féle vonalfelhasadás 867 impulzusmomentum 144, 145 impulzusmomentum megmaradás 33 impulzusmomentum tétel 141, 143, 144, 146 — tömegponté 144, 146 — tömegpontrendszeré 141, 143, 146 impulzusmomentum–megmaradási tétel 143, 144, 147 — tömegpontrendszeré 143, 147 — tömegponté 144, 147 impulzustétel 96, 141, 142 — tömegponté 96 — tömegpontrendszerre 141, 142 impulzusváltozás sebessége 95 — erő 95 — kölcsönhatás 95 impulzusvektorok 148 — összegzése 148 indukció 635 — mozgó vezető 635 induktiv csatolás 641 induktivitás 640, 645 inerciarendszer 65, 66, 115 — definíciója 65 — homogén gravitációs térben szabadon eső vonatkoztatási rendszer 115 — tulajdonságai 66 intenzív állapotjelzők 20, 365 interferencia 805, 807, 808, 809, 812, 813, 815, 816 — útkülönbségi interferencia
1016 — reális izoterm kompresszió 376 konfigurációs entrópia 334 — szilárdtesteké 334 konzervatív erők 171 konzervatív erőtér 116, 170, 175, 178, 179 — definíciója 170, 175 — fogalma 175 — tulajdonságai 178, 179 — kozmikus sebess;g 116 kölcsönhatás 94 — kontakt 94 kölcsönhatási valódi erő 100 kölcsönös indukció 640 — együtthatója 641 körfolyamat 419, 424 — kváziegyensúlyi körfolyamatok felbontása infinitezimális Carnot-ciklusokra 424 — termikus hatásfoka 419 körmozgás 52, 63 — általános 52 — egyenletes 52, 63 — egyenletesen gyorsuló 52 körszivattyú 426 kötési energia 197, 198, 199 — kémiai 198 kötött állapot 197 közegellenállási törvény 125 közelhatás 128 kvantált értékkészlet 22 kvantált fizikai mennyiségek 908, 910 — leírása operátorokkal 908 —operátorokkal való műveletek értrelmezése 910 kvantumfizika 23 kvantummechanika 23 kvantummechanika alapjai 841 kvantummechanikai állapot leírás 888 kvantummechanikai állapotegyenlet 888, 889, 891, 892, 914 — mint axióma 888 — időfüggő Schrödinger egyenlet 888, 889 — időfüggetlen Schrödinger egyenlet 891, 892 — — egydimenziós 892
kényszerek 151 — belső geometriai kényszerfel tétel151 kényszererők 14 — geometriai kényszerek 241 kétréses elhajlási kísérlet 880 — sémaelektronnal 880 kinematikai feladatok 58 kinetikus energia 170, 171, 172, 200, 202 — egysége 172 — relativisztikus kifejezése 202 kinetikus gázelmélet 234, 235, 236 243 — alapfeltevései 235, 243 — átlag értékek 234 — — kiszámitása 236 — statisztikus leirása 234 Kirchoff-törvény 844 — emisszió és abszorpcióképesség két testre 844 klasszikus (newtoni– ill. maxwelli–) fizika 23 koercitiv erő 610 kollektív mágneses jelenségek 608 — értük felelős kölcsönhatás 608 komplex anyagjellemzők 773 komplex impedancia 674, 675, 679 — veszteséges kondenzátoron 679 — veszteségmentes kondenzátoré 674 — veszteségmentes tekercsé 675 komplex szám 706 — definíciója 707 — hatványai 707 Kirchhoff törvények — I. törvény 556 — II. törvény (hurok törvény) 556 kondenzátor 537, 538, 542, 560 — energiája 538 — jellemzőinek kiszámítása 542 — kisütése 560 — töltése 560 kondenzátor kapacitása 514, 516 — dielektrikummal töltött 516 — vákuumban 516 komponens 363 — rendszeré 363 kompresszió 376
1017
L látens hő 389, 450 Lagrange multiplikátor 295 — meghatározása 295 Laplace-operátor 746 lebegés 714 Le Chatelier elv 37 Lenz törvény 37, 630 lineáris harmonikus oszillátor 941, 942, 943 — energiája 941 — — kvantummechanikai tárgyalás 942 — energiaszintjei 942 — alapállapoti energiája 942 — energiájának kvantummechanikai kifejezése 943 lineáris rendszer 26 — szuperpozíció 27 lineáris rendszerek 26 — gerjesztés 26 — válasz 26 lokalizált elektron 883 — hullámcsomag 883 Lorenz-féle erőtörvény, a mágnestér
erőhatása árammal átjárt vezetőkre 569 Lorentz-kontrakció 85 Lorentz-törvény 570 — töltésre ható erő 572, 573 Lorentz-transzformáció 75 M mágneses alapjelenségek és alapkisérletek, az áram mágneses tere 563 — levonható következtetések 563 mágneses anyagok csoportosítása 601, 603 — diamágneses anyagok 601 — paramágneses anyagok 601, 603 mágneses anyagok mikrofizikai jellemzése 601, 602 — diamágnesség 602 — paramágnesség 602 mágneses árnyékolás 618 mágneses dipólus 564, 593, 597 — potenciális energiája 593 — dipol-dipol kölcsönhatás 597 mágneses dipólusmomentum 577 mágneses erőtér 564, 567 — erővonalképe 564 — mágnesek és áramok mágneses erőterének megfeleltetése 567 mágneses hiszterézis 610 mágneses indukció 569 — fluxusa 583 mágneses indukcióvektor 569, 586 — egysége 569 — zárt görbére vett integrálja 584, 585 mágneses induktivítás számítása 646 mágneses közeg (inhomogén) 614 mágneses megosztás 563 mágneses momentum 574, 576, 577, 606, 607, 927, 928 — áramkereté 574 — definíciója 576 — elektroné 927, 928 — elektronspinjéhez tartozó 606 — komponense 607 — kvantummechanikai kifejezése
— — háromdimenziós 892 kvantummechanikai kontinuitási egyenlet 894, 896 — Born, Jordan-féle értelmezése 896 kvantummechanikai rendszerek 21 kvantumstatisztikák 340 kvantumszámok 606, 868, 869, 949 950, — mágneses momentum kvantumszáma 868 — elektron mellékkvantumszáma 606 — hidrogén atomé 869, 950 — — Bohr-féle 869 — spin kvantumszáma 606 — összefoglalás 949, 950 kváziegyensúlyi állapotváltozás 397 — ideális gázra 397 kváziegyensúlyi folyamatok 373 kváziegyensúlyi hőcsere 375 kváziegyensúlyi térfogati munka 374
1018 — egyensúlyi 277 — nem egyensúlyi 277 másodperc — definíciója 5 matamatikai inga ( fonalinga) 700 Maxwell 234 — kinetikus gázelmélet 234 Maxwell—Boltzmann-eloszlás 289, 290, 294, 297, 300, 301, 343 — degenerált esetre 343 — mint az egyensúlyi állapot jellemzője 290, 300, 301 — Maxwell-Boltzmann eloszlástól eltérő eloszlások valószínűsége 301 — rendszer egyensúlyi állapotában 301 — reprezentatív volta 301 Maxwell—Boltzmann határeset 290 Maxwell—Boltzmann sebességeloszlás 314, 317, 324, — sebesség abszolút értékétől függő 324 — sebesség irányától (is) függő — — ideális gázban 314 — — valószínűségi sűrűség– függvény 317 — sebesség abszolút értékétő függő 324 — — valószínűségi sűrűség– függvény 324 Maxwell-egyenletek teljes rendszere 666, 681 — speciális esetben 666 Maxwell-egyenletek 485, 492, 526, 583, 585, 586, 627, 633, 667, 671 — I. egyenlet integrális alakja 667, 671 — — stacionárius áramokra érvé nyes differenciális alakja 586 — — stacionárius áramokra érvényes integrális alakja 585 — II. egyenlet 492, 627, 633 — — differenciális alakja 633 — — integrális alakja 633 — — elektrosztatikára, és vákuumra érvényes alakja 492 — III. egyenlet — — differenciális alakja 583
606 — mértékegysége 577 — vektor iránya 576 — teljes 606 mágneses pályamomentum 605 — Bohr-féle képlete 605 — Bohr magneton 605 — klasszikus képlete 605 mágneses permeabilitás 597 mágneses szuszceptibilitás 596 mágneses tér 567, 568, 572, 579, 582, 589, 595 — hosszú egyenes vezetőé 597 — köráramé 567, 568 — árammal átjárt egyenes vezetőé 568 — erőhatása árammal átjárt vezetőre 572 — leirása mágneses tulajdonságú közegben 595 — örvényes erőterek 568 mágneses térerősség 582, 598 — egysége 582 — kapcsolata a mágneses indukcióval 582 mágneses térjellemzők 616, 617, 618 — anyagi közegben 616 — határfeltételi egyenletei 617, 618 — törési törvényei 517 mágnesezési görbe 610 — ferromágneses anyagokra 610 mágnesezettség 596 — arányossági tényező (szuszceptibilitás) 596 — egysége 596 mágnesség mikrofizikai elméletének alapjai 605 makroállapot 18, 279, 280, 281, 283 — egyensúlyi makroállapotok 18 — fogalma 18, 279 — makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma 18, 280, 281 — nem egyensúlyi makroállapotok 18 — termodinamikai valószínűsége 281, 283 makroparaméterek 277
1019 mikrofizikai jellemzők 278 mikrofizikai paraméterek 17 mikrorészecske 25, 40, 707, 712, 713, 718, 727, 882, 886, 900 — állapotfüggvénye 25 — félklasszikus modellje 41 — klasszikus paraméterek 25 — észlelhetősége 886 — összenergiája 882 — — hullámleírásban 882 — hullámsajátságai 886 — kötött állapotú 900 — szabad állapotú 900 — fogalma 887 mikrorészecske állapot 883, 885 — hozzá rendelt hullámfüggvény 883 — — legegyszerűbb alakja 885 mikrorészecske sebessége 795 — a hozzá rendelt hullám csoportsebessége 795 mikrorészecskék 21, 23, 340, 876, 882 — diszperziós relációja 882 — hullámsajátsága 876 — megkülönböztethetetlensége 340 Millikan-kísérlet 467 — állapotfüggvénye 25 — elemi töltés meghatározása 467 — félklasszikus modellje 41 — klasszikus paraméterek 25 módussűrűség 847 — meghatározása 847 moláris elegyedési entrópia 337, 340 moláris hőkapacitás 330, 331, 332, 333 — elméleti és kísérleti értékek egy,két- és háromatomos gázmolekulákra 330 — gázoké, ekvipartíció tételből számolva 331 — kvantumeffektusok figyelembe– vétele 332 — szilárdtesteké 332 — — Einstein féle közelítés 333 moláris mennyiségek 364 moláris térfogat 238 moláris tömeg 237
— — integrális alakja 583 — IV. egyenlet — — differenciális alakja 526 — — integrális alakja 526 — Maxwell-egyenlet elektro sztatikára és vákuum közegre felírt alakja 485 mechanika 40 — feladata 41 mechanikai energia megmaradása 699 — harmonikus oszcillátoré 699 mechanikai energiamegmaradás törvénye 188 mechanikai szabadsági fok 14 meddő teljesítmény 680 — egysége 680 megmaradási törvények 29 megtalálási valószínűség 896 — elektroné 896 merev testek kinematikai és dinamikai leírása 151, 152, 153, 156, 157, 161, 162, — egyensúlya 156 — — közömbös egyensúlyi helyzet 157 — — instabil egyensúlyi helyzet 157 — — stabil egyensúlyi helyzet 157 — forgása 152 — — szabad tengely 161 — kinematikai leírása 151 — mozgásának dinamikai leírása 153 — mozgásegyenlete 153 — — tehetetlenségi nyomatékkal 153 — tehetetlenségi nyomatéka 153, 157 — — fő tehetetlenségi nyomatékok 162 — — fő tehetetlenségi tengelyek 162 merev-golyó modell 253 mérlegegyenlet 35 — differenciális 36 — integrális 36 mikroállapot 18, 229, 280, 282 — fogalma 18, 280 — száma 282
1020 — egyéb munka 387 — egysége 136 — elektromos áram munkája 554 — előjele 132 — erő ellenében végzett 131, 136 — — Coulomb erő esetén 137 — — csúszási, surlódási erő esetén 139 — — gravitációs erő esetén 137 — — rugalmas erő esetén 137 — erő munkája 135 — fogalma 135 — kémiai 387 — relativisztikus kifejezése 200 — szabadenergiával 445 — szabadentalpiával 445 — térfogati 138, 398, 401 — — adiabatikus 398 — — kváziegyensúlyi 401 — térfogati munka 138 — — izoterm 398 munkatétel 172, 173 munkavégzés 35, 372, 385 — előjelmegállapodás 372 — termodinamikai rendszer esetén 385 munkavégző képesség 33 — testeké 33 műszaki fizika alapjai 1 N négyesvektor 78, 79 nem konzervatív erőtér 196 — definíciója 196 nemegyensúlyi folyamatok 301 — egyirányúsága 304 — irreverzibilitása 304 Nernst-féle hőtétel 308 Neuman törvény 637 Newton axiómák 90, 94, 96, 97, 98, 99, 100, — I. axióma 66, 90 — II. axióma 94, 96, 97, 99, 100 — — relativisztikus alakja 97 — — több erő együttes és egyidejű hatása esetére 99, 100 — II., IV. egyesített axióma 100 — III. axióma. 98
molekuláris ütközések 252, 253, 254, 255, 256, — átlagos ütközési idő 252, 254 — átlagos szabad úthossz 252, 254 — szórása 255 — ütközési hatáskeresztmetszet 253, 255 — — differenciális 256 — — integrális 256 — — teljes 256 — ütközési szám 253 mól 6 mólpolarizáció 535, 536 — elektronjáruléka 536 — ionos járuléka 536 — járulékai vízre 536 — mértékegysége 536 — orientációs járuléka 536 mólszám 237 móltérfogat 238 móltört 238 momentumok, nyomatékok 145 — vonatkoztatási pont 145 — — megválasztása 145 mozgásállapot 89 mozgásegyenlet 97, 98, 691, 692, 732 — csillapítatlan harmonikus rezgőmozgásé 691 — — megoldásai 691, 692 — és az erőtörvények 98 — kényszerrezgésé 732 — — általános megoldása 732 — Newtoni 97 — relativisztikus 97 — — általános esetben 691 mozgásegyenletek 157, 158 — merev testeké 158 — — tehetetlenségi nyomatékkal 158 mozgásmennyiség 30, 90 mozgékonyság 259 munka és teljesítmény 131 munka 131, 132, 135, 136, 137, 138, 200, 387, 398, 401, 445, 554, — anyagátviteli 387 — belső energiával 445 — definíciója 131
1021
O, Ö Ohm-törvény 258, 552, 556, 677 — általánosított, differenciális 556 — differenciális 252, 258, — váltakozó áramok esetére általánosított alakja 677 operátor 910, 917 — impulzusmomentum operátora 917 — operátorokkal való műveletek 910 — sajátértéke 910 — sajátértékegyenletből 910 — sajátfüggvény rendszere 910 — sajátfüggvényei 910 operátorok 908, 911, 912, 913, 914, 915, 916, 917, 922, — differenciáloperátorok 915, 916 — diszkrét (kvantált) sajátértékkel 912 — elemi definíciója 908 — energia operátor (Hamiltonoperátor) 916 — — sajátérték készlete 916 — energia operátora 916 — folytonos értékkészlettel 914 — hermitikus operátorok 914
— impulzusmomentum operátora 917 — kommutátora 922 — Laplace-operátor 746 — lineáris operátorok 913 — megfeleltetése adott fizikai mennyiségekkel 917 — nabla 911 — vektoroperátorok 911 ortogonalitás 905 — függvényeké 905 oxidációs reakció 458 — egyensúlya 451 önindukció 640 önindukció mentes tekercs 647 önindukciós együttható 641, 644, 645 — egysége 641 önindukciós tekercs 644 összefoglalás 925, 949, 950 — felcserélési relációk 925 — határozatlansági relációk 925 — hidrogénatom kvantumszámai 949, 950 — kvantumszámok 949 összefoglaló 960 — Schrödinger egyenlet különböző formái 960 összefoglaló táblázatok 58, 169, 231 — egyenesvonalú- és a körmoz gásra vonatkozó kinematikai összefüggésekre 58 — fontos mechanikai törvények 231 — merev test haladó- forgó mozgására vonatkozó mennyiségek megfeleltetése 169 örökmozgó 386, 436 — első fajtájú 386 — második fajtájú 436 P pálya 41 parciális differenciálhányados 397 perdület 141 perdület megmaradási tétel 144 perdülettétel 144 permeabilitás relativ 646
— IV. axióma 99 Newton -féle lehűlési törvény 272 Newton -féle surlódási törvény 273 nyílt rendszerek 483 nyilt termodinamikai rendszerek leírása 438 — egyensúlyi feltétele 438 — spontán folyamatok 438 nyomás 138, 243, 244, 245, 443, — egyensúlyi nyomás termo– dinamikai kifejezése 443 — időfüggetlen átlagos értéke 245 — mikrofizikai kifejezése 243, 244 nyomástartályok 419 nyomatékvektorok 149 — összegzése 149 nyugalmi energia 203 — rendszeré 204 — — járulékai 204 nyugalmi tömeg 203
1022 — gradiense 183, 495 — gradiensének kapcsolata az erőtér által végzett munkával 495 — gravitációs erőtérben 185 — mágneses dipólusra 593 — teljes tömegpontrendszeré 176 — vonatkoztatási ponté 181 potenciális energia diagramok (ld.: potenciál-diagramok) 188, 190, 193, 195 potenciáldoboz 935, 938 — egydimenziós 935 — háromdimenziós 938 potenciálkád-modell 931, 932 — egydimenziós 931 — fémeké 932 pozitron annihiláció 31 R racionális aktivitási koefficiens 455 rácsrezgések 861 — teljes energiája 861 — hozzárendelt oszcillátorok 861 reális folyamatok 439 — rendszeren belül fellépő veszteségek 439 reális gázok 371, 372 — állapotegyenlete 371 — — van der Waals állandók 371, 372 reakció egyensúlyi állandója 455 reakcióegyenletek 451 reakciókoordináta 452 reakciósebesség 451, 452 redukált hőmennyiség 409, 424, 425 — összege kváziegyensúlyi körfolyamatra 424, 425 reguláris függvények 900, 901, 902 — matematikai sajátságai 901 — Schrödinger-egyenlet fizikailag értelmes megoldásai 902 relatív atomtömeg 238 relatív permittivitás 516, 517, 526 — elektromos szuszceptibilitás 526 — néhány anyagra 517 relativisztikus tömeg 94 relaxációs idő 259
— effektiv értéke 646 periodikus jelalakok 718, 719, 720, 722 — összetett harmonikus rezgéseké 718 — — alapharmonikus 718, 720 — — felharmonikus 718 — — felírása Fourier-sorral 718, 719 — — Fourier-transzformáció 722 — — vonalas spektrum 722 periodusos rendszer 953 — felépítése 953 permeabilitás (relativ) 646 — effektiv értéke 646 pillanatnyi teljesítmény 677 — harmonikusan váltakozó áramé 677 Planck-állandó 22 Planck-féle posztulátum 307 Planck tétele 437 Poisson-féle szám 124 polarizációs alapmechanizmusok 530 — elektronpolarizáció 530 — indukált polarizáció 530 — ionpolarizáció 530 — orientációs polarizáció 530 potenciál 185, 187 — definíciója 185 potenciáldiagram 188, 191, 196 — harmonikus rezgőmozgást végző tömegponté 191 — kötött elektronállapoté 196 — — hidrogénatomban 196 potenciáldoboz 936 — elektron energiaszintjei 936 potenciálgát 954 — elektron áthaladása potenciálgáton 954 — alagúteffektus 954 potenciális energia 38, 176, 176, 177, 181, 183, 185, 494, 495, 593, — egysége 176 — előjele 177 — elve 38 — elektrosztatikus erőtérben 185, 494
1023 részecskeáram 262 — eredő 262 részecskesűrűség 244 részecsketartályok 419 rotációs (forgó) mozgások 151 rugómerevség 123 rugalmas feszültség 124 rugalmas hullám kialakulása 749, 752, 753, 756, 757 — végén rögzitett feszített huron terjedő hullám 749 — nyomáshullámok gázoszlopban 752 — — kompresszió modulus 752 — hanghullám keltése 753 — — hulámegyenlet 756 — — hangsebesség 757 rugalmassági állandók 124 — Young modulus 124 RL áramkörök 648 S, SZ sajátérték egyenlet 893, 928 — energiáé 893 — — impulzusmomentum komponense 928 sajátfüggvények 914, 915 — ortogonális 914 — ortonormáltsági feltétel 915 sajátfüggvény rendszer 910 sajátidő 81 sajáttávolság 81 Schrödinger-egyenlet 25, 891, 892, 893, 900, 901 — egydimenziós független 892 — fizikailag értelmes megoldásai 25, 891, 893, 900, 901 — időfüggő 893 — — megoldásai 893 — időfüggetlen (stacionárius) 891 — reguláris függvények 900, 901 — stacionárius megoldása 25 Schrödinger sajátértékegyenlet 901, 929, 930, 935, 944 — megoldása 929, 935, 944 — — szabad részecskére 929 — — egydimenziós potenciál dobozra 935
rendszer előélete 26 rezgés 686, 675, 691, 726, 729, 730, — csillapítatlan egyszerű harmonikus 675 — csillapított 726 — erősen csillapított 730 — — aperiodikus 729 — frekvenciája 691 — periodúsideje 691 — rugóállandója 691 rezgések 705, 706, 707, 708, 722, 723, 725 — azonos frekvenciájú, merőleges rezgések 723 — különböző frekvenciájú merőleges rezgések összegzése 725 — — Lissajous-görbék 725 — összetett rezgések 705 — — rezgések összetevése komplex számok alkalmazásával 708 — — rezgések összetevése egymásra merőleges harmonikus 722 — — rezgések összetevése azonos irányú, egyforma frekvenciájú 706 — — — komplex vektor (fazor) 707 rezgési energianívók 314 — szilárdtestekre 314 rezgőkör 702 — párhuzamos LC kör 702 rezgőmozgás 687, 688, 689, 691, 711 — harmonikus 687, 691 — kezdeti feltétele 687 — rezgőmozgást végző tömegpont gyorsulása 688, 689 — rezgőmozgást végző tömegpont sebessége 688, 689 — spektruma 711 — — fogalma 711 — — típusok 711 rezonancia 730, 735, 736 — rezonancia görbe 735 — rezonancia-körfrekvencia 735 — rezonancia katasztrófa 735
1024 302, 304 — entrópia változása 304 — entrópiaváltozásának statisztikus–fizikai értelmezése 303 stacionárius áramok mágneses tere, mágnesestér erőhatása vezetőkre 545 — áramkörökben 545 statisztikus fizika 22, 277, 278 — alapjai 277 — egyensúlyi állapot 277 — klasszikus 278 — kvantumstatisztika 278 — tárgya 22, 278 statisztikus módszerek 234 Steiner-tétel 162, 163 Stern-Gerlach kisérlet 928 Stirling-formula 284 sugárzási tér 846, 851 — egy módusra eső átlagos energia kiszámítása 851 — energiakvantumok 6851 sugárzási törvény 849, 853 — Planck-féle 853 — Rayleigh—Jeans-féle 849 súly 106, 115 súlyerő 115 súlytalanság 106, 115 súrlódás 34 surlódási erő 125 — csűszási 125 — tapadási 125 szabad részecske energiája 801 — részecske leírásban 801 szabad részecskére a teljes energia 930, 805 — hullámleírásban 805 szabad részecske impulzusa 930 szabad tengely 164 — kétatomos molekuláé 164 szabad tengely (ld. merev testek) 161 szabadenergia 444 — Helmholtz-féle 444 szabadentalpia 440, 441, 443, 447 — definíciója 440 — elegyedési 447 — moláris 443
— — hidrogénatomra 944 sebesség 42, 43, 44, 50, 90, 106, 248 — átlag 42 — átlagos sebesség 248 — — molekulák átlagos sebessége 248 — pillanatnyi 43, 44 — tömegközépponté 90 sebesség általános kifejezése (intercia-rendszerben) 50 sebességek transzformációja 106 sebesség cella 314 sebességtér 314 síkhullám 775 — csillapodó síkhullám egyenlete 775 — harmonikus síkhullám 739, 742 — — sík vektoregyenlete 742 — — terjedési sebessége 742 síkkondenzátor 487, 514, 515, 516, 518, 543 — inhomogén 543 — kapacitása vákuumban 515, 516 — kapacitása dielektrikumban 516, 518 — térerőssége 487, 516 síkmozgás 152 simulókör 46 simulósík 46 SI–Systeme International d'Unités 1,3 — alapmennyíségei 4 skaláris szorzat 904 — reguláris függvényeké 904 speciális relativitáselmélet 72 — fénysebesség invarianciája 72 spektrumvonalak 867, 868 — mágneses térben 868 speciális relativitáselmélet 72, 73, 78, 79 — intervallum 79 — intervallum négyzet invarianciája 79 — négyesvektor 79 — posztulátumai 79 — sajátidő 78 — sajáttávolság 78 spontán folyamatok 302, 303, 304 — egyirányúsága, irreverzibilitása
1025
T tg d 777 — mérése (ld. veszteségi tényező) 777 távolhatás 128 tehetetlenségi erők 106 tehetetlenségi nyomaték 153, 157,
158, 162 — átszámítása tömegközépponton átmenő tengelyekre 162 — kétatomos molekuláé 157 tehetetlenségi erő 100 teljes energia relativisztikus kifejezése 202 teljes impulzusmomentum 944 — atombeli elektroné 950 teljesítmény 131, 135 — átlagos 135 — pillanatnyi 135 területi sebesség 148 — impulzusmegmaradási tétel 148 természeti állandó 72 termikus energia 198, 248 — járulékai 198 termikus sebesség 248 termodinamika 18, 307, 356, 358, 360, 361, 359, 365, 368, 369, 385, 386, 388, 406, 411, 413, 419, 436, — állapottér 361 — egyensúlyi feltételek 368 — — természetes egyensúlyi feltételek 368 — feladata 359 — I. főtétel 385, 386, 388, — I. főtétel integrális alakja 385 — I. főtétel leírása az entalpiával 388 — — nyitott folyamatok speciális esetére 386 — — körfolyamatra 386 — II. főtétele 406 — — kvantitativ alakja 411, 413 — — műszaki megfogalmzása 419 — — tapasztalatokon nyugvó megfogalmazása 436 — III. főtétele 307 — irreverzibilis termodinamika 358 — klasszikus termodinamika tárgya 356 — módszerei 360 — műszaki 356, 359 — nulladik főtétel 365, 369 — reális (valódi) folyamatok 356 — rendszer állapota 361 — — egyensúlyi állapot 361
— változás 441 — — egyszerű termodinamikai rendszerre 441 szabadsági fok 14, 20, 151, 328, 401, 402 — mechanikai 14 — merev testeké 151 — molekuláris szabadsági fok 328 — statisztikus (molekuláris) 20, 328 — termodinamikai 401, 402 szigetelés 367 — alrendszerek közötti szigetelés 367 szilárdtestek 232, 312, 329, 330, 333, 334, 860, 861 — Dulong-Petit szabály 860 — fajlagos- és moláris hőkapacitásának kísérleti és elmélet értékei 232, 329, 330 — konfigurációs entrópia 334 — — kapcsolata a vakancia koncentrációval 334 — moláris hőkapacitása 860 — moláris hőkapacitása, Einsteinféle közelítés 333, 860 — rácsrezgések 861 — rezgési energianívói 312 szolenoid 590, 592 — mágneses erőterének iránya 592 — mágneses tere 590 szórás, szóródás 208 szögelfordulás vektor 48 szöggyorsulás 47, 153 — forgási 153 szöggyorsulásvektor 49 szögsebesség 45, 47 szögsebességvektor 49 szuperponált állapot 742, 747 — előállítása 747 — szuperpozició 472
1026 345 — — Bose-Einstein-féle eloszlási függvény 346 — — Bose-Einstein statisztika 347 — — Maxwell-Boltzmann statisztika 298 — entrópia kapcsolata 305 — rendszer egyensúlyi állapotában 301 — változása spontán folyamatoknál 303 testek belső szerkezete 15 térbeli eloszlás 279, 280., 281, 287, 288, — összes mikroállapotok száma 281 — adott makroállapothoz tartozó mikroállapotok száma 280, 281 — betöltési számai 279 — közel egyenletes eloszlások mikroállapotainak száma 287, 288 — makroállapot definíciója 279 — makroeloszlása 279 — megkülönböztethető részecskék térbeli eloszlása 279 — mellékfeltételei 279 — mikroállapot definíciója 280 térerősség 126 térfogati munka 35, 374 — hasznos 422 — kváziegyensúlyi 374 térjellemzők 56, 540, 543, — fém-dielektrikum határfelületen 543 — térgörbe 56 térszerű intervallum 81 toroid 589 — mágneses indukciója 589 többelektronos rendszerek 951 —Pauli-elv 951, 953 — — elektronokra érvényes megfogalmazása 953 — — általános 953 töltésmegmaradás 546, 549, 550 — stacionárius eset 549 — töltésmegmaradást kifejező kontinuitási egyenlet differenciális alakja 549
— tárgya 18, 356 — termosztatika 316 termodinamikai 19, 20, 357, 361, 362, 363, 365, 378, — állapotegyenlet 362 — állapotfüggvények integrális alakja 394 — állapotjelzők 361 — — extenzív 363 — — intenzív 362 — állapotváltozás 321 — egyszerű termodinamikai rendszer (ETR) 363, 364 — erő 357 — f'ázis 19 — fázisátalakulások 365 — függvényeknek 19, 378 — — differenciálja 378 — heterogén rendszer 365 — homogén rendszerek 363 — folyamat 19, 20, — — egyensúly beállító folyamatok 20 — — útja, állapottérbeli 20 — — állapotváltozás 19 — folyamatok iránya 20 — spontán folyamatok 20 — szabadsági fok 19 termodinamikai hőmérséklet 6, 393, 435, 438 — abszolút 435 termodinamikai hőmérsékletskála 435 — abszolút 435 — — definiálása Carnot-ciklus hatásfokával 435 termodinamikai hőmérséklet 435 — negatív abszolút 435, termodinamikai rendszerek állapotának, állapotváltozásának jellemzése 361. 438 — leírása 361 — — nyílt rendszerek leírása 361, 438 termodinamikai szabadsági fok 401, 402 termodinamikai valószínűség 281 291, 298, 301, 303, 305, 345, 347, — betöltésiszám sorozathoz tartozó
1027 — menetfluxus 658 — primér 658 — szekundér tekercsből 658 transzlációs (haladó) mozgás 245 — átlagos kinetikai energiája 245 transzlációs mozgás 151, 153 transzportfolyamatok 256, 257 — egyensúly helyreállítására 257 — nem egyensúlyi rendszer 256 U, Ü útfüggvények 135, 372, 384 — matematikai jellemzése 372 üregbe zárt sugárzás 847 — módusszáma 847 ütközések 30, 32, 208, 210, 213, 216, 217, 226, 228, 244, 252, — alapfogalmak 208 — impulzusdiagramja 244 — molekuláris ütközések 252 — osztályozása 208 — proton ütközése cseppfolyós hidrogénben 32 — részecskeütközések 30 — rugalmas, relativisztikus 226 — tökéletesen rugalmas, nem relativisztikus 210 — — egyenes 210 — — ferde 213 — tökéletesen rugalmatlan, relativisztikus 228 — tökéletesen rugalmatlan nem relativisztikus 216 — valódi ütközések 217 ütközési hatáskeresztmetszet 253, 256 — differenciális 256 — integrális 256 — teljes hatáskeresztmetszet 256 ütközési normális 209 V van der Waals állandók 372 vasmagos toroid 620 — mágneses tere 620 vektortér 128 veszteségi tényező 777 — tg d 777
— törvénye 550 tömeg 34, 106, 117, 119, 120, 203, 205 — gravitáló 117, 119, 120 — nyugalmi 34, 203 — tehetelen 117, 119, 120 — rendszer tömege 203 — — invarianciája 205 tömeg-energia ekvivalencia 34, 200, 203, 205 tömegdefektus 199, 200, 206 tömegközéppont 90, 142 — tömegpont modell 142 tömegpont és tömegpontrendszer mechanikája 40 tömegpont 147 — impulzusmomentum tétel 147 tömegpont dinamikája 96, 106 tömegpont impulzusmomentuma 145 tömegpont kinematikája 40 tömegpontrendszer 40, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 147, 176, 189, — energia megmaradás törvénye 189 — impulzus tétel 141, 142 — impulzusmegmaradás törvénye 143, 147 — impulzusmomentum tétele 146 — impulzusmomentum-megma radási tétele 144 — impulzusmomentuma 146 — impulzustétele 143 — potenciális energiája 176 — tömegközéppont 142 — tömegközéppont tétele 141, 142 — teljes impulzusa 143 tömegpontrendszerek 140, 141 — kötött pontrendszerek 141 — szabad pontrendszerek 141 tömegpontrendszerek dinamikája 140 — belső erők 140 — külső erők 140 — tömegpontrendszerre ható teljes erő 140 transzformátor 657, 658 — menetfeszültsége 658
1028
Z Zeeman-féle vonalfelhasadás 867 — impulzusmomentum kvantáltsága 867 zéruspontenergia 198
vezetési mechanizmus 553, 554 — félvezetőké 554 — fémeké 554 — szigetelőké 554 vezetők elektromos térben 478 — töltés elhelyezkedése vezetőkön 478 virtuális munka 39 viszkozítás 237, 274 — gázoké 273 — mértékegysége 274 víz 360, 401 — fázisdiagramja 360, 401 vonalintegrál 133 vonatkoztatási rendszerek 65, 125, 151 —koordinátarendszerek 65 — négyzetes ellenállási (közegellenállási) törvény 125 — belső geometriai kényszerfeltétel 151
Vargáné Josepovits Katalin:
Példatár Fizika Mérnököknek I.-II.
Vargáné dr. Josepovits Katalin 1999. ősz
PÉLDATÁR Giber J. Sólyom A. és Kocsányi L. Fizika mérnököknek I-II. c. egyetemi tankönyvéhez
2
P.1. PÉLDÁK A MECHANIKA TÁRGYKÖRÉBŐL
2.) Egy tömegpont az x - y síkban mozog. Sebessége összetevőinek időfüggése a következő: vx=3t [m/s] és vy="2t[m/s]. Határozzuk meg a tömegpont gyorsulás vektorát, továbbá a mozgását leíró helyvektor x és y összetevőinek időfüggvényét, ha a tömegpont a t=0 időpillanatban az xo=4m és yo=5m adatokkal jellemzett pontban tartózkodik! Határozzuk meg a tömegpont helyzetét a t=1s időpillanatban! 3.) Legyenek egy térben mozgó pont helyvektorának komponensei a következők (szögletes zárójelben a mértékegységek): y(t)=0; z(t)=2-8t2 [m] x(t)=3t2 [m]; Határozzuk meg a sebességet és a gyorsulást, valamint a pont pályájának alakját! 4.) Egy pontszerű test mozog az x tengelyen, úgy, hogy a helyét a következő függvény adja meg: x=30+20t-15t2, ahol x méterben, t sec-ban adott. a.) Adjuk meg a sebességét az idő függvényében! b.) Adjuk meg a gyorsulását az idő függvényében! c.) Adjuk meg a test kezdeti pozicióját és a kezdősebességét! d.) Mekkora út megtétele után lesz a sebessége zérus? 5.) Valamely test a=8m/s2 gyorsulással egyenes vonalban mozog. Határozzuk meg a test által megtett utat és a test sebességét, mint az idő függvényét, ha a t=0 időpillanatban a test helyét az xo=3m és sebességét a vo=4m/s adatok jellemzik! Hol tartózkodik a test és mennyi a sebessége t=2s múlva? 6.) Egy 50cm magasságú, 5cm sugarú henger szimmetriatengelye körül percenként 90 fordulattal forgó mozgást végez. Határozzuk meg a palást egy pontja kerületi sebességének nagyságát és irányát! (Vizsgáljuk meg a megoldást mindkét forgásirány esetén!) 7.) Egy halász a csónakjával a folyón lefelé evez. Egy híd alatt áthaladva vízbe esik a csáklyája, ezt azonban csak fél óra múlva veszi észre. Ekkor visszafordul, és a hídtól 8km-rel lejjebb éri utól a csáklyát. Mekkora a folyó sebessége, ha a halász a folyón felfelé és lefelé haladva egyformán evez? 8.) A neutrínó nevű elemi részecske fénysebességgel halad. Egy megfigyelő 200000km/s sebességgel mozog a részecskével szemben ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben. Mekkora a neutrínó sebessége a mozgó megfigyelőhöz képest? 9.) Mekkora a Föld átmérőjének hosszúság kontrakciója abban az irányban, amerre a Föld a Nap körüli pályán halad? (A Föld távolsága a Naptól 150 millió km, keringési ideje 1 év és átmérője 12 756km.)
1.) Egy anyagi pont helyzetét a síkban az r=3m és !=30o polárkoordinátákkal jellemezhetjük. Adja meg a pont helyzetét a Descartes-féle derékszögű koordináta rendszerben.
3
11.) Egy a méterrúd hosszával párhuzamosan mozgó megfigyelő a méterrúd hosszát 95 cm-nek méri. (A méterrúd nyugalmi hossza pontosan 1 m.) Hány százalékkal kell megváltoznia a megfigyelő sebességének, hogy a méterrúdat hosszát 90cm-nek mérje? 12.) Két sugárhajtásos repülőgép sebessége a talajhoz képest u=600m/s és v=300m/s. Egy egyenes mentén a.) egy irányban b.) egymással szemben haladnak. Mekkorának méri az első gép sebességét a második gép pilótája? 13.) A Föld felső légkörében a kozmikus sugárzás következtében számos nagyenergiájú elemi részecske keletkezik, melyek közel fénysebességgel száguldanak a Föld felé és jelentős számban el is érik azt. Mivel az ilyen elemi részecskék igen rövid (saját időtartamban mért) élettartamúak (azaz köznapi nyelven: minden külső hatás nélkül igen rövid idő alatt elbomlanak), nem relativisztikus számítások szerint annak ellenére sem érhetnék al a Föld felszínét, hogy közel fény sebességgel haladnak. Legyen a vizsgált mikrorészecske egy $-mezon, más néven müon. A müon átlagos nyugalmi élettartama t=2.6.10-6s és közel fénysebességgel (v=0.99944.c) mozog. Keletkezzen a müon pl. 23000m magasságban. Elérhetik-e a müonok a Föld felszínét? a.) A 23km magasan keletkezett müonok hányad részét detektáljuk a Föld felszínén? b.) Hányad részüket detektálnánk, ha a relativitáselmélet nem lenne érvényes? t n – %& (Használjuk fel az n = e bomlási törvényt!) 0 14.) Az F1 vektor északkeletre, az F2 vektor nyugatra mutat. Az F1 vektor nagysága 9N, az F2 vektor nagysága 5N. Határozza meg az F2-F1 különbség vektor nagyságát és irányát! 15.) Egy testre ható állandó F=400N erő és a test egyenesvonalú mozgásának iránya o 60 -os szöget zár be egymással. Számítsuk ki az F erő munkáját 100m hosszú út alatt! 16.) Egy csónak állóvízben nyugalomban van. Tételezzük fel, hogy a csónak és a víz között a súrlódás elhanyagolható, valamint a légellenállás is figyelmen kívül hagyható. A csónakban lévő fiú átugrik a csónak egyik végéből a másikba, majd lassan visszasétál az eredeti helyére. Mi történik a csónakkal? 17.) Egy 80 kg tömegű ember jégen állva eldob vizszintes irányban egy 0,2 kg tömegű golyót. A golyó az embertől 20 m/s sebességgel távolodik. Mekkora lesz az
10.) Egy részecske a K inerciarendszerhez képest v1=0.8#c abszolútértékű sebességgel mozog a pozitív x tengely irányában. Ugyanebben az irányban halad a részecske mögött a K inerciarendszerhez képest v2=0.7#c abszolútértékű sebességgel egy rakéta, amelyet a benne ülő megfigyelő 100 m hosszúságúnak mér a.) Mekkora hosszúságúnak méri a rakétát a K rendszerbeli megfigyelő? b.) Mekkora sebességgel mozog a részecske a rakétában ülő megfigyelő szerint?
4
ember sebessége a jéghez viszonyítva a dobás után? (A csúszó surlódási tényezőt elhanyagoljuk.)
19.) Egy vo=400m/s kezdősebességű és !=30o alatt fellőtt lövedék pályájának tetőpontjában egy m és egy 2m tömegű részre robban szét. Mindkét rész egyszerre éri a talajt, és az m tömegű rész a kilövés helyén csapódik be. Hol csapódik be a 2m tömegű rész? 20.) Egy 200m/s sebességű rakéta a levegőben két részre robban. Az egyik rész tömege m/4 a másiké 3m/4. Az m/4 tömegű rész sebessége 400m/s és iránya 60o-os szöget zár be a rakéta eredeti sebességének irányával. a.) Mekkora és milyen irányú a nagyobb tömegű rész sebessége a robbanás után? b.) A rakéta mozgási energiájának hányszorosa szabadult fel a robbanáskor? 21.) Egy 70kg tömegű ember kezében 10kg tömegű teherrel a vízszintessel 45o-os szöget bezáró irányban vo=7m/s kezdősebességgel felugrik. A pálya tetőpontján a terhet vízszintes 8m/s relatív (hozzá képesti) sebességgel hátrafelé hajítja. Mennyivel nagyobb távolságra ugrik ilyen módon? 22.) Vízszintes terepen útkereszteződésnél derékszög alatt összeütközött két gépkocsi. Az ütközés után befékezve együtt csúsztak úgy, hogy közös tömegközéppontjuk 8,95m utat tett meg a két kocsi haladási irányához képest 45o alatt. A kocsik tömege 2000kg ill. 1000kg. A súrlódási tényező a kocsi és az aszfalt között 0,5. a.) Mekkora volt a kocsik sebessége közvetlenül az ütközés előtt? b.) Mekkora volt a deformációs munka? 23.) Az m1 és m2 tömegpontokra a közöttük ható gravitációs erőn kívül nem hat más erő. A kezdő időpillanatban a két tömegpont távolsága r, az m1 sebessége v1 és a két tömegpontot összekötő egyenesre merőleges, az m2 tömegpont sebessége v2 és m1 irányába mutat. Határozzuk meg a tömegek tömegközéppontjának pályáját és sebességét! 24.) Egy egyenes mentén mozgó 10kg tömegű anyagi pontra F=(120t+40)N időfüggő erő hat, ahol t az idő secundumokban. A t=0-ban az anyagi pont az xo=5m helyen van és az erővel azonos irányú vo=6m/s a sebessége. Adjuk meg a sebességét és a helyét az idő függvényében! 25.) Egy 300V-ra feltöltött, 6cm lemeztávolságú síkkondenzátor terében, a lemezekkel párhuzamosan 104km/s sebességű elektron érkezik. Mekkora az elektron eredeti mozgásának irányára merőleges eltérülése, ha az eredeti irányban 5cm-t mozdul el?
18.) Egy testre állandó nagyságú erő hat úgy, hogy a pályára az erő mindig merőleges. Egy adott időpillanatban a test impulzusa 0.2kgm/s és 0.05s alatt az impulzusvektor megváltozását 0.2kgm/s nagyságúnak találjuk. Mekkora az eredő erő nagysága?
5
26.) Egy faltól 50cm-re lévő, a talajon fekvő egyenesen át különböző hajlásszögű síkokat támasztunk a falnak. Súrlódás nélküli esetben mekkora szög mellett a legrövidebb a lecsúszási ideje a lejtőre helyezett testnek?
28.) m=2kg tömegű anyagi pont görbevonalú pályát ír le (ld. ábra). Adott időpontban a P pontban van és sebessége v=3m/s. Ekkor a pontra ható erő F=50N nagyságú és a sebesség irányával !=120o-os szöget zár be. Határozzuk meg a pálya P pontbeli görbületi sugarát és pályamenti gyorsulását!
Segédábra a 28. példához. 29.) Számítsuk ki a Föld forgása következtében mekkora távolsággal tér el a Föld felületén a test kezdeti helyzetén áthaladó földsugártól az a test, amely 100m magasságból szabadon esik az egyenlítőre! 30.) A Föld napi forgása eltéríti a tüzérségi lövedékeket eredeti kilövési irányuktól. Számítsuk ki a lövedék x haránt eltérésének nagyságát és irányát a lövedék repülésének első másodperce alatt, ha a lövedéket az északi féltekén 45o szélességi fokon lőtték ki 1000m/s vízszintes kezdősebességgel déli irányba. (A kilövés irányába eső sebességösszetevőt állandónak tekinthetjük az 1 másodperces repülési idő alatt.) 31.) Kis kocsira erősített álványon m tömegű fonálinga lóg. Milyen irányú a fonál, amikor a kocsi 30o-os lejtőn csúszik lefelé 0,2 súrlódási együttható mellett? 32.) Egy teherautó 200 m sugarú kanyarban halad. Az útat úgy képezték ki, hogy a pályát a kör középpontja fele 10o-os szögben megdöntötték (ld: ábra). a.) Mekkora a teherautó sebessége, ha a teherautóban felfüggesztett inga az útra merőleges egyenessel 5o-os szöget zár be? b.) Mekkora a tapadási surlódási együttható a teherautón elhelyezett láda és a teherautó raklapja között, ha a láda 110 km/h sebességnél kezd el csúszni a sugár irányban kifele (a lejtőn felfele)?
Segédábra a 32. példához.
27.) A Földtől milyen távol és milyen sebességgel kering az Egyenlítő síkjában az a mesterséges hold, mely állandóan a Föld ugyanazon pontja felett marad?
6
34.) A teherautó a vízszintes úton r=100m sugarú kanyarban fordul. A teherautón egy m=50kg tömegű láda van. a.) Mekkora lehet a teherautó sebessége, hogy a rajta lévő láda radiálisan ne csússzék meg? A láda és a teherautó padlója között a súrlódási együttható $o=0.5 (a kocsi a fordulóban nem csúszik meg). b.) Mekkora a láda impulzusának megváltozása 4s alatt, ha a teherautó sebessége a kanyarban 15m/s? 35.) Egy ! félnyílásszögű, függőleges tengelyű tölcsér belső oldalán kisméretű golyócska pattog oly módon, hogy mindig ugyanolyan magasságban, a tengelytől R távolságban ütközik a tölcsérrel. Két pattanás között To idő telik el. Mennyi idő alatt "járja körül" a golyócska a tölcsért?
Segédábra a 35. példához. 36.) Egy vízszintes asztallapon egy m1=5kg tömegű deszka van. A deszkán egy m2=2kg tömegű másik test. Az m2 tömegű testre egy a vízszintessel felefele 30'-os szöget bezáró F=10N erő hat. A súrlódási tényező az m1 és m2 között 0.1, míg az m1 deszka és az asztallap között 0.05. Mekkora az m2 gyorsulása? 37.) Egy 1,2 km/s sebességű neon atom egy nyugalomban lévő másik neon atommal tökéletesen rugalmasan ütközik, az ütközési normálishoz képest 60'-os szög alatt. Határozzuk meg az ütközés utáni sebességeket! 38.) Egy 5 m magasságú és 13 m hosszú lejtőt egy fém és egy falécből állítunk össze. A pálya felső részéről rövid fémhasábot eresztünk el. A fém és a fa rész hosszának milyen arányánál érjük el, hogy a hasáb a pálya végén megálljon? A súrlódási együttható a fémhasáb és a fém között 0.2, míg a fémhasáb és a fa között 0.6. 39.) Felfüggesztett, 100 kg tömegű homokzsák (ballisztikus inga) egy 200 g tömegű lövedék becsapódása után 10'-al kilendül. Mennyi volt a lövedék sebessége, ha az inga hossza 2 m?
33.) Egy 70kg tömegű pilóta repülőgépével R=1km sugarú függőleges síkú pályán 1080km/h egyenletes sebességgel köröz. A repülőnek állandóan a teteje néz a körpálya középpontja felé. Mekkora erő nyomja a pilótát az üléshez a pálya legfelső és legalsó pontján?
7
40.) A Föld körül ellipszis pályán keringő űrhajó legkisebb távolsága a Föld középpontjától 6.870 km. Sebessége ekkor 10 km/s. Mekkora az űrhajó legnagyobb távolsága a Föld középpontjától és mekkora az űrhajó legkisebb sebessége?
42.) Egy R sugarú, m tömegű felfüggesztett tömör korong vízszintes tengely körül súrlódás nélkül foroghat függőleges síkban. A korong kerületén átvetett nyújthatatlan és elhanyagolható tömegű kötél egyik végére m1, a másik végére m2 tömegű testet függesztünk (m1 ( m2). Mekkora lesz a tömegek gyorsulása? 43.) Az m tömegű, r sugarú, homogén tömegeloszlású henger csúszásmentesen gördül a vízszintes talajon. A tömegközéppont sebességének abszolút értéke v. Mekkora munkát kell végezni a henger megállítása közben? 44.) Sík talajon m tömegű R sugarú korongot görgetünk úgy, hogy legfelső pontjában érintő irányú állandó F erőt fejtünk ki. A korong a talajon csúszás nélkül gördül, a nyugalmi súrlódási együttható $o. Mekkora lehet az F erő, hogy a korong még csúszás nélkül gördüljön? 45.) ) tehetetlenségi nyomatékú függőleges geometriai tengelye körül forgó homogén körkúp alkotója mentén kivájt keskeny csatornába felülről kezdősebesség nélkül egy m tömegű gömb alakú részecske gurul le. Induláskor a kúp szögsebessége *o, alapkörének sugara R. Mekkora a kúp szögsebessége, amikor a részecske elhagyja? 46.) Egy r sugarú gömb tetőpontjából egy kisméretű részecske súrlódás nélkül csúszik le a gravitációs erő hatására. Hol hagyja el a gömbfelületet? 47.) Egy kétatomos gázmolekulában az atomok távolsága 0,2 nm, tömegeik különkülön 2,3.10-26 kg. Mennyi a tehetetlenségi nyomatéka a két atomot összekötő szakasz felező merőlegese körüli rotációs mozgás során az előbbi forgástengelyre vonatkoztatva, ha a molekulát a súlyzómodellel közelítjük? 48.) Mekkora a szökési sebesség a Föld felszínén és a felszíntől h magasságban? 49.) Egy lejtő függőleges síkban fekvő R sugarú körpályában végződik. Milyen magasról kell kezdősebesség nélkül indítani a lejtőn egy kisméretű golyót, hogy a körpályát végigfussa (a súrlódástól eltekintünk)? 50.) Egy m=1.5.10-8 kg tömegű tömegpont az origóban elhelyezkedő erőcentrum hatása alatt az x tengely mentén mozoghat. A tömegpont potenciális energiája, mint az x függvénye az ábrán látható. a) x mely értékeinél fejt ki az erőcentrum vonzó erőt a testre, és mely értékeinél hat taszító erő?
41.) Egy tömegpont az x tengely mentén mozog egy Fx=(8x-16)N erő hatására (x a tömegpont helyzete m-ben mérve). Mekkora munkát végez az Fx erő miközben a tömegpont az x=0m helyről az x=3m-rel jellemzett pontig mozog?
8
Segédábra az 50. példához. 51.) Egy pontszerű testre olyan erő hat, amelynek nagysága és iránya függ a test helyétől az xy síkban. Ennek az erőnek az x komponensét az Fx=3xy , az y komponensét az Fy=4xy kifejezés adja meg. Ha az x és y értékeket m-ben helyettesítjük be, az erő mértékegysége N. Számítsuk ki a fenti erő munkáját az ábrán bejelölt a.) OAC úton, amely két egyenes szakaszból áll b.) OBC úton, amely két egyenes szakaszból áll c.) és az egyenes OC úton! d.) Konzervatív erő e a fenti erő?
Segédábra az 51. példához. 52.) Határozzuk meg a potenciális energiát, ha a következő centrális erők hatnak: F=kr, illetve ha F=k/r2! Mindkét esetben k ( 0 taszítást, k + 0 vonzást jelent. Hogyan érdemes megválasztani a vonatkoztatási pontot?
b) Mely pontban vagy pontokban nulla az erőcentrum által az m tömegű testre kifejtett erő? c) Milyen közel kerül az m tömegű test az origóhoz, ha a testet az x=6.10-6 m pontban v=20 m/s sebességgel az origó irányába elindítjuk.
9
54.) Vékonyfalú, r=10cm sugarú, m1=2kg tömegű hengert !=30o hajlásszögű lejtőn húzunk felfelé egy, a henger alaplapjával párhuzamos és a paláston körbefutó horonyban átvetett kötéllel (ld. ábra). A kötél egyik végét a lejtő tetejéhez rögzítjük, a másikat a lejtővel párhuzamosan F=10N erővel húzzuk. A kötél a horonyban súrlódásmentesen csúszik, tömege elhanyagolható. A henger belsejében m2=1g tömegű tömegpont van, amely súrlódásmentesen mozoghat a hengerben (m2 = 7,9·10–8 m. b) A Z ütközési számból a t idő alatti ütközések száma:
Zt ⋅ N kifejezéssel 2
8RT < v > kifejezésben < v > = . N az ideális gáz < l > πm állapotegyenletéből számolható. Az adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy 3 másodperc alatt 8,8·1032 ütközés történik. adódik. A Z =
δ = d 2 π = 9,2 10 −19 [ m 2 ]
52 5 5 c) A belső energia: U = N · 2kBT = PV = 2,5 · 102 [J] 2
ahol < v > =
1 2n&
8kBT N P , és n = V = k T az ideális gáz állapotegyenletéből). 'm B
Így)( = 2·10–9 [s]. 2 1 1 ,m / b) A diffúziós tényező D = < v > < > = < v >2)( = 1,26·10–4 + . 3 3 *s-
c) Az átdiffundáló oxigén tömege m = J · A · t dn ahol a J = – D dx a diffúziós áramsűrűség, A a felület és t az idő. Adatokkal : m = 1,59 · 10–5 [kg].
73.) a) Az átlagos ütközési idő ( =
53
P.3. PÉLDÁK MEGOLDÁSA A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYKÖRÉBŐL
N! W = N ! N ! N ! N ! N ! N ! = 12600 1 2 3 4 5 6 b) Az entrópia: S = k ln W = 1,3 · 10–22 [J/K] 75.) p =
1 2N
76.) v0 =
2kBT ,m/ = 223 +s. m * -
77.) vT =
3kBT ,m/ m = 12000 +* s .-
78.) M H 2 = 2
g , mol
NA = 6.1023 , ebből a tömeg: m = 3,3.10-27 kg. A
legvalószínűbb sebesség: v o =
2k BT m = 1,5810 . 3 . m s
79.) A vo-0,1vo és vo+0,1vo közötti sebességgel rendelkező molekulák aránya: v o + 0 ,1v o N ∆v η= = f ( v)dv . Ebben a szűk sebesség intervallumban f(v) jó közelítéssel N össz vo −∫0,1vo
állandónak vehető, f(v) ≈ f(vo), így η = f (v o ) 0,2 v o , ahol 3/ 2
− mv 2
o 4 m 4 2 2 k BT f (v o ) = v e = ⋅ v o−1 ⋅ e −1 . Igy o 2 k T π B π 4 −1 η = 0, 2 e ≈ 0 , 168 = 16 , 8 % . π
80.) A barometrikus magasságformulából levezethető Boltzmann eloszlást leíró N( H ) E /k T képletet felhasználva = e pot B , ahol Epot=mgH=4,83.10-23 .H [J]. Tudjuk, No hogy N(H)/N=1/2 . Ezekből H kiszámítható H=5402.82 [m]. 81.) A legvalószínűbb sebesség a Boltzmann-féle sebességeloszlás alapján:
74.) a) A makroállapot termodinamikai valószínûsége:
54 2k BT m = 1576.07 (m=3.33.10-27 kg) m s Ugyanezt a képletet felhasználva és a vo(T')=vo(T) egyenletből T' = 4 T = 1200 K. vo =
2⋅10 −21
E
−20
4 .110 ⋅ − vibr − N vibr k BT 4 .110 ⋅ − 21 =e =e = 4.5 ⋅ 10 −5 N össz
83.) A rendszerben a teljes entrópiaváltozás: 0S=0S1+0S2, ahol ∆S1 =
− dQ és T1
dQ . A rendszer entrópiája hőátadás előtt: Skezd.=kB.lnWkezd, és a folyamat T2 végén: Svég=kB.lnWvég. Ezek különbsége az entrópia megváltozása: Wvég ∆S = k B ⋅ ln Wkezd Igy a végállapot relatív valószínűsége a következő lesz: Wvég ∆S = exp = exp(− 1011 ) Wkezd kB ∆S2 =
84.) N molekulából N1 számút Z=N!/{N1!(N-N1)!}=N!/(N1!N2!) féle képpen lehet kiválasztani. Annak a valószínűsége, hogy egy meghatározott molekula a V1 térfogatba kerüljön p1=V1/(V1+V2), ezért egy rögzített eloszlás kialakulásának valószínűsége p1N 1 ⋅ p2 N 2 , ahol p2=1-p1. A keresett valószínűség tehát: N! p= ⋅ p1N 1 p2 N 2 N1! N 2 !
E
− rot − N rot ⋅ − 21 = e k BT = e 4 ,110 = 0.61 82.) N össz
85.) Legyen a szilárd test egységnyi térfogatában n darab atom és m=1010 darab ( n + m) ! vakancia! A rendelkezésre álló (n+m) helyet w(n, m) = féle képpen n !⋅ m! foglalhatják el. A konfigurációs entrópia a Stirling formula felhasználásável: Skonf=kB1lnw=kB[ln(n+m)!2lnn!2lnm!]=kB[(n+m)1ln(n+m)2n1lnn2m1lnm]= ( n + m) n ( n + m) m ( n + m) n + m n m = k B ⋅ ln n = k B ⋅ ln ⋅ + m ⋅ ln = = − k B n ⋅ ln m n m n+m n + m n ⋅m m n m = − k B ⋅ n ⋅ ln 1 + m ⋅ ln , n ahol felhasználtuk, hogy m