141 68 15MB
Croatian Pages 307 [154] Year 1986
SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET GRAĐEVINSKIH ZNANOSTI - SPLIT
S.
KILIĆ
FIZIKA I SVUET OKO NAS l
FIZIČKE OSNOVE MEHANIKE MOLEKUI.ARNO-KINETIČKA TEORIJA I TERMODINAMIKA
!
J.:
••
SPLIT 1986.
Recenzenti:
dr Vesra Gotovac, docent Tehnološkog fakUlteta Sveučilišta
u Splitu, akademik dr Kruncslav Ljolje, redovni profesor Prirodno-mate matičkog fakulteta Univerziteta u Sarajevu Lektor:
Zlodre Marija, profesor
Odobreno odlukom Cdbora za izdavačku djelatnost SveuČiliŠta
u Splitu
Izdavač:
Zgrada Fakulteta građevinskih znanosti u Splitu
Fakultet građevinskih znanosti SveučiliŠta u Splitu
FAKULTET GRAĐEVINSKIH ZNANOSTI- SPLIT SA DJELA TNOSTIMA:
- Znanstveno-istraživački radovi iz svih područja građevinarstva - Visokoškolska nastava - Stručni poslovi u području građevinarstva
Tisak:
Vojna štamparija, Split
�'
'. l
- 4 -
S A D R
Ž
- 5 -
A
J
9
PREOOOVOR f
'
(
'
SVIJET OKO NAS
I
l. Svemirski objekti
2. Materija, njene opće odlike i zadatak fi.zike
II
'
'
'
Primjeri riješenih zadataka
75
ll
ENERGIJA I RAD
78
8. Pojam energije, rada i snage
78 79
FIZICKE OSNOVE MEHANIKE
8.2. Kinetička energija
82
18
8.3. Potencijalna energija
83
18
3.1. Osnovne operacije sa vektorima
21
Pitan� za ponavljanje
32
Primjeri riješenih zadataka
33
KINEMATIKA
33
4. Brzina, ubrzanje, kutna brzina i ubrzanje
38
4.1. Brzina
38
Ubrzanje
41
8.4. Zakon sačuvanja energije
86
8.5. Energetski. uvjet ravnoteže mehaničkog sistema
87
9. Elementarna teorija sudara
89
9.1. Elastični sudar
89
9. 2 • Apsolutno neelastičan sudar i dis.ipacija mehaniČke energije
93
Primjeri riješenih zadataka
93
DINAMIKA ROTACIONOG GIBANJA
99 99
�.3. Pojam kutne brzine i kutnog ubrzanja
42
10. Dinamika rotacionog gibanja
44
10.1. Moment inercije obzirom na os
4.5. Pojam tvrdog {krutog) tijela i oblici njegova gibanja
47
10.2 . Moment sile i moment impulsa
50
10.2.1. JednadŽbe gibanja sistema materijalnih
za
ponavljanje
50
92
Pitanja za ponavljanje
�.4. Brzina i ubrzanje kod krivolinijskog gibanja
točaka (tvrdog tijela)
99 100 101
10.3. Zakon sačuvanja momenta impulsa
106
10.4. Rad i snaga pri rotaciji tijela
107 108
OSNOVE DINAMIKE
56
5. Newtonovi zakoni
56
10.5. Zvrk
61
Pitanja za ponavljanje
110
63
Primjeri riješenih zadataka
110
63
GRAVITACIJA
113
11. Gravitaciono međudjelovanje
113
11.1. Gravitaciona i inertna masa, težina
115
11.2. Keplerovi zakoni
117
5.1. Sile kod krivolinijskog gibanja
�6. Mjerne jedinice i dimenzije fizikalnih.veličina f-6.1. Međunarodni sustav jedinica 6.2. CGS i MKpS sustav jedinica
t
74
ll
8.1. Rad i snaga
Primjeri rijeŠenih zadataka
t
71
17
Pitanja
,.·,
7 .4. Reaktivne gibanje Pitanja za ponvaljanje
Pitanja za ponavljanje
+ 4.2.
i'
67 69
14
3. Vektor pomaka. Skalari i vektori
J
7.2. Centar inercije 7 .3. Zakon sačuvanja impulsa
65
7. Impuls sile, centar inercije, zakon sačuvanja impulsa
67
7.1. Impuls sile
67
11.3. Rad gravitacione sile, kozmičke brzine
l
Pitanja za ponavljanje
124
Primjeri riješenih zadataka
12ll
19
- 7-
- 6 -
127
INERCIJALNE SILE
�2.
Neinercijalni sistemi referencije
tvari - mol
194
127
17. Zakoni idealnih plinova 17.1. Stupnjevi slobode, raspodjela energije i
200
12.1. Centrifugalna inercijalna sila
128
12.2. Coriolisova inercijalna sila
129
12.3. Bestežinsko stanje
131
12.4. Princip ekvivalentnosti
132
Pitanja za ponavljanje
133
Primjeri l"iješenih zadataka
133
Pitanja za ponavljanje
MEHANICKO TITRANJE
136
Primjeri riješenih zadataka
213
13. Titranje
136
TERMODINAMICKI ZAKONI
219
13.1. Harmonijske titranje
13.2. Sastavljanje titranja na istom pravcu 13.3- Prigušena titranje
13.5. Slaganje međusobno okom itih titranja
Pitanja za ponavljanje Primjeri riješenih zadataka ELEMENTI i'IEHANIKE TEORIJE RELATIVNOSTI
14. Specijalna teorija relativnosti
14.1. Kinematika specijalne teorije rel ativn o sti 14.2. Dinamika
spe
c ijalne
lll 3. Masa i energija
13 7
141 14lJ 146
13.4. Prisilno titranje
teorije relativnosti
.
15. Osnovne ideje opĆe teorije relativnosti Pitanja za ponavljanje Primjeri riješenih zadataka III
16.3. Tlak, temperatura i količina
l ll9 152 153
157 159
172 181 18lJ
IDEALNI PLINOVI
191
16.1. Pojam unu tarnje energije sistema
16.2. Rad i toplina - oblici prenosa energije
trenje (viskoznost)
1f l 9.
192 193
206
208
219
19.1. Rad sistema pri promjeni njegova volumena
219
19.2. Formulacija prvog zakona termodinamike,
f-i9. 3.
toplinski kapacitet i primjena na idealne plinove Adijabatski procesi
222 225
19.4. Ireverzibilnost toplinskih procesa, ograničenje prvog zakona termodinamike
�O.
227 229
Drugi zakon termodinamike
20.1. Princip rada toplinskih strojeva Koeficijent kor1snog djelovanja
·20.2.
20.3. Apsolutna temperaturna skala, definicija kelvina
20.4. Drugi zakon termodinamike, ireverzibilnosti i entropija
229 230
Carnotov kružni proces
233
priroda
234
Pitanja za ponavljanje
242
Primjeri riješenih zadataka
242
POVRŠINSKE POJA VE
248
21. Površinske pojave
191
204
212
Prvi zakon termodinamike
185 191
teorije i termodinamike
18. Prenosne pojave u plinovima · 18.1. Di fuzija, toplinska vodljivost i unutarnje
161 170
MOLEKULARNO-KINETičKA TEORIJA I TERMODINAMIKA
16. Osn ovn i pojmovi molekularno-kinetičke
un utarnja energija idealnog plina
�1.1.
Površinska napetost
21.2. Adsorpcija i apsorpcija
248 249 250
•
_.J
- 8 -
l
'
- 9 -
21.3. Pojave kvašenja
252
21.4. Kapilarnost
255
Pitanja
za
�onavljanje
257
Primjeri rijeŠenih zadataka
257
FAZNI PRIJELAZI
259
22. Fazni prijelazi I reda
259 260
22.2. Talenje i skrućivanje
261
Trajna i kritična točka
262 263
Pitanja za ponavljanje
266
Primjeri rijeŠenih zadataka
266
ELASTICNI VALOVI
269
23. OpĆenito o valnim procesima
269
23.1. Valna funkcija ravnog i kuglastog vala
272
23.2. Valna jednadžba
278
23.5. Interferencija i difrakcija valova Odbijanje i lom valova
u prirodi. Vjerujemo da udžbenik može poslužiti naprednijim dacima srednjih Škola i studentima drugih fakulteta. ZamiŠljeno je da udžbenik ne bude po volumenu obiman, da daje brzu info r maciju,
te kao takav bude praktičan
za
učenje i usvajanje gradiva iz fizike.
zakona u svrhu lakšeg savJ.adivanja programa iz stručnih predmeta. Preostali dio gradiva, iako je unesen zbQg cjelovitosti izlaganja, nije manje važan. -Svijet oko nas predstavlja jedinstvo i važno je upoznati njegove opće fizi kalne osobine kako b i s m o što pravilnije �gli djelovati u svojoj struci.
pristup u fiz,ici započet knjigama Landaua (1) ,Kitaigorodskog (2), Feynmana
(3) i nastavljen od drugih (4,5,6), a koji se sastoji u direktnom iznošenju
suštine problema, bez dug ih opisa poku-sa, bez iz.nošenja sitnih detalja itd. Pokusi kao moćno impresivno oruŽje učenja igraju takoder važnu ulogu. Oni trebaju biti zastupljeni na predavanjima i z.ajedno sa udžbenikom tvo
279 280
riti jednu cjelinu. Današnji program iz, fizike na fakultetima građevinskih znanosti u SR Hrvatskoj sadržava slijedeća područja:
281
23.6. Stojni val
287
24. Zvuk
289
24.1. Dopplerov efekt
291
24.2. Opće karakteristike ultrazvuka i njegova primjena
294
25. Grupna brzina valova i brzina prenosa energije
295
Pitanja za ponavljanje
298
Primjeri rijeŠenih zadataka
298
LITERATURA
studente Fakulteta građevinskih znanosti
Način prezentiranja gradiva, po miŠljenju autora, slijedi odredeni
23.3. Energija vala, tok energije,
23.4. Prigušenje valova u realnim medijima
za
Izbor gradiva u udžbeniku pretežno je rezultat potrebe poznavanja fizikalnih
22.4. Vodena para u zraku
intenzitet vala
Ovaj udžbenik je napisan
u Splitu. Njegov je cilj da upozna studente s osnovnim fizikalnim pojavama
22.1. Isparavanje, kondenzacija i vrenje 22. 3. Dijagram ravnotežnog stanja
PREDGOVOR
303
NEKE VAZNIJE FIZIKALNE KONSTANTE I GRCKI ALFABET
301!
KAZALO
305
1. Svijet oko nas 2. Fizičke osnove mehanike 3. Molekularno-kinetičku teoriju i termodinamiku
4. Osnove elektromagnetizma i
5. Osnove fizike atoma i molekula
6. Osnove nuklearne fizike i
fizike elementarnih čestica
4. Fiziku materijala
optike
U ovom udžbeniku nalazi se onaj dio gradiva koji se odnosi na prve tri točke, tj.
na
opću sliku Svemira (Svijet oko nas), fizičke osnove mehanike
i molekularno-kinetičku teoriju i termodinamiku.
- 11 -
Kako se
mnogi
dijelovi I
to su u udžbenikU mnogi proble
(kao
npr.
mehanika
SVI JET
OKO
NAS
fluida) •
Nakon sva,kog zasebnog dijela gradiVa. slijede pitanja
i primjeri riješenih zadataka što ima
za.
za.
1 • SVEMIRSKI OBJEKTI
ponavljanje
cilj da pgne StUdentu provjeriti
U našem saznanju o svijetu u
teorijsko znanje i još bolje rasvijetliti određene pojmove. Autor ne pretendira ni obrađeni su slično u
na
kakav oblik originalnosti. Svi problemi, naime,
literaturi koja je
koriŠtena
i čiji je popis priložen na
kraju. Poseban odraz na ovaj udŽbenik imala je literatura označena znakom
a većina zadataka preuzeta je iz literature koja je l)značena s Dragocjene primjedbe prilikan prve recenzije poniknuo ovaj udžbenik, dao je akademik K. Ljolje •
za.
(
JE !E
)•
(
•
skripta. iz kojih je
.
Autor je svjestan da će nedostaci ovog udžbenika postati Vidljivi njego
vom upotrebom i bit će zahvalan kolegam studentima i svakom drusPm mjedbama i savjetima nužnim
za.
na
pri
njegovo poboljšanje. U tom smislu zahvalan sam
studentu Nikoli DeŠkoviću koji je pročitao raniji tekst skripti te dao niz važnih primjedbi.
USplitu, listopada 1986. godine
),
tri grupe objekata:
kojem
živimo i čiji
smo
dio ističu se
1. svijet "osnovnih" čestica i atoma - mikrosvijet;
2. svijet svemirskih objekata (planeta i njihovih ·:satelita ,
(
zvijezda i td.) - makrosvijet;
3. svijet Živih bića.
OVakva podjela ističe u biti tri grupe fenomena
kojima je
znanost orijentirana. Nije moguće povući oštru granicu izmedu
danaŠnja
ove
tri $I"UPe
objekata kada znamo da svugdje osnovnu ulogu igraju osnovne čestice, atomi i njihovi medusobni procesi. 1 • Najjednostavniji atom je atom vodika. Jedan proton Čije su linearne 15 m, okruŽen je jednim elektranom tako da je dija 10 metar atoma vodika reda veličine 10- m. Danas je poznato 107 različitih atoma;
dimenzije reda veličine 1o -
njihove veliiHne možemo smatrati približno jednakim veličini atoma vodika. Utvrd.eno je nadalje da postoji mnogo "osnovnih" čestica kao što su
elektron
proton. Spomenimo da se danas nastoji dokazati kako ni ove čestice nisu SV zračenje Tvar (supstanciju) definiramo u fizici kao onaj oblik materije čija je masa različita od nule. S druge strane objekte Čija je masa jednaka nUli nazivamo zračenjem. Ali, kako postoje procesi u kojima se odvija i međusobno pretvaranje tvari u zračenje i obrnuto, i koje jasno uključujemo u gornju jednakost, stav
ljen je u relaciju znak e a ne oznaka
+ za
uobičajeno zbrajanje.
Znanje o Metagalaksiji nas uči nadalje da se sve Što postoji ( : materija) nalazi u stanju neprekidnog gibanja u najopĆenitijem smislu. Termin "gibanje" obuhvaća ovdJe svaki mehaniČki, kemijski, biološki, misaoni itd. proces. Kažemo da je gibanje osnovno svojstvo materije. S pojmom gibanja povezan je pojam prostora i vremena. Objekti Metagalaksije formiraju našu predodŽbu prostora i vr �ena. � je pojam koji se često odvaja od materijalnih objekata i na taj način postaje apstraktan i nerazumljiv. Tako npr. promatrajUČi jedno tijelo koje je udaljeno od drugih objekata možemo pitati gdje se.nalazi to tijelo. Zamišljamo li pri tome da postoji neki prazni "prostor" u koji su uronjena sva tijela, može mo odgovoriti da se tijelo nalazi u nekom dijelu tog prostora. Ali, možemo dalje pitati Što je taj prostor i koje su njegove fizičke karakteristike. Nije moguće odgovoriti na ova pitanja jer ni jednu fizičku karakteristiku ne možemo pridije lit:!. takvom pojmu prostora (on riij e fiziČki objekt). Naime, u našoj spoznaji svi jeta operiramo samo sa fizičkim veličinama koje predstavljaju manifestaciju svoj stva materijalnih objekata. Stoga pojam praznog "prostora", u koji bi bila uronje na sva tijela, nema smisla. S druge strane pojam prostora postaje jednostavniji i razumljiviji kada se analizira kao jedno opće svojstvo materijalnih objekata. Primjećujemo da sva tijela imaju: Gibanje, prostor i vrijeme
2. MATERIJA, NJENE OPĆE ODLIKE I ZADATAK FIZIKE
l. Izraz "materija" danas je u velikoj upotr·ebi. Ovo _Je ponajprije poslje dica
toga U
Što se taj
termin
upotrebljava
za različite pojmove.
kn jigama iz fizike može se naći definicija ovog pojmax:
"Materija je objektivna realnost koja postoji nezavisno od čovjekova saznanja ... " Dakle, u ·najopćenitijoj definiciji ovog pojma kaže se da je ma terija sve što postoji. Medutim, pored ovakve upotrebe termina "materija" neri jetko se u istoj literaturi pod "količinom materije" podrazumijeva i količina tvari, tj. količina supstancije. Ovakva upotreba termina "materija" r.azličita je od prethodne. Ipak u svim slučajevima·iz prirode problema je jasno na koji se pojam misli.
U dr ug im knjigamaxx
nu tvar i
riječ "matter" (= materija) se koristi nego da označi pojam svega što postoji.
više
za
količi
u
na.šem jeziku imamo pojam tvari ili supstancije s kojima možemo povezati poj am "količina materije", a za� ono što postoji koristi ti termin materija. Ovakova terminologija n e samo da sadržava jednoznačnost pojmova, nego i jasnije
ističe pojam materije kao osnovne fizičko-filozofske kategorije.
što znamo o svijetu, dakle �etagalaksiji, možemo uvjetno svesti na jedan od najopćenitijih fizikalnih objekata: tvar, zračenje i procese njiho vog međusobnog odnosa. Možemo stoga napisati jednakost: Sve ono
x xx
Pretežno iz Sovjetskog Saveza Pretežno u z apad n im
zeml jarr.a
l. protegnutost (nijedan materijalni objekt nije matematička točka), 2. da zauzimaju odredeno mjesto u odnosu na druga tiJela i 3. da su sva tijela međusobno raspoređena na neki naein. Ova opća svojstva materiJalnih objekata reflektlraJU se u našoJ spoznaji u poJam prostora. t�temat1Čka formu1ac1ja ovih svojstava odredena je nizom geo matenjskih pojmova. 'J'aJ-0 b. t dt
( 4 .3}
Kada se 6. t smanjuje, vektor b.r pOstaje sve bliži tangenti u točki na limesu'· pao u tangentu. Kako je b..r
X
L::.r
Y
=
x
= y
(t ) 2
(t2)
- X
(tl)
=LJx
- y
(tl)
y
6rz:: z (t2) -z (tl) ..., L:J z to iz (4.3) slijedi vx ::lim At-o v :lim y
At-o
v z = lim
�t-il
tb'dul vektora ";' je
Crt. 4.1. Uz definiciju brzine
'
/vj=
v
b.x 6.t
--=
� dt
./:ll_ :: _.EL 6t dt 6z .6t
--=
dz dt
A da
'
bi
1
- 40 -
lliblčajene oznake za vrememlcu deriVBCiju ,t·.
:.;
- 41 -
(Newton)
točlce
su
iznad deriVirane
veliČine . Npr .
l ..
Zbrajanje
brzina
Neka se tijelo brzinQlll u giba po palubi broda pod kutom
na smjer gibanja. Brzina broda spram Ze!lllje neka je u
Crt . 4 . 3 . Izračunavanje puta Dakle put za ' vrijeme od t
>--- u-·
1
do t 2 jeste S =
f
t,
t,
v ( t ) dt .
(1! . 5 )
4.2. Ubrzanje Crt . 4. 2 . Zbrajanje brzina
Brzina materijalne točke neprekidno se mijenja kako po smjeru tako i po iznosu kada se promatra najopćenitije gibanje . Kod jednolikog ubrzanog gibanja
Ukupni po!liak tijela zbog oba gibanja jeđ!W< je 6 S = gdje je .6. s pomak zbog gibanja t i jela spram broda , a broda . očigledno je nakon diobe sa
L:.-; +
--
brzina se mijenja jednoliko, pa je njezina promjena u jedinici vremena konstan
6-; + l::.St .
Ll t
.6. s'
pomak zbog gibanja
u jedinici vremena . Ako postoji neravnomjerna promjena brzine , onda pod srednjim ubrzanjem as za dani vremenski interval podrazumijevamo omjer promjene brzine r i pripadne promjena vremena . Ako je u času t materijalna točka imala brzinu 1 v (t ) , ·a u kasnijem času t2 brzinu v ( t2 ) ' onda je po definiciji njeno srednje l ubrzanje :
L:.-;.
---
L':. t
tna veličina. Za takvo gibanje može se definirati ubrzanje kao promjena brzine
L':. t
odnosno u limesu:
V ::: li + U' ..
a sr
(4.4)
=
(4.6)
t2 - t l ------
To je zakon zbrajanja brzina koji vrijedi u klasičnoj fizici .
Izračunavanje s
=
.
,,
ubrzanja za beskonačno mali vremenski interval : Podijelimo cijelu predenu stazu na male di jelove
predenog puta
� osi.
relacija daje
Ubrzanje je fiziČka veličina koja je jednaka graničnoj vrijednos ti srednjeg
s ..6. 1 ,
s .6. 2 , . . .
Općenito je .6 s = v i i
S = lim At,-0
n
[ v.
i=1
�
!:::.
t. . �
t:::.. ti '
..6 s . Ukupni put S je onda n
pa : s
...
�
v i
.6. \ ·
lim t..t -0
u limesu ova
6.v 6.. t
dv =
dt
Dakl e , ubrzanje određuje promjenu brzine čestice , a jednako j e brzine po vremenu .
(4.7)
derivaciji
- 42 -
- 43 -
Ce$to je važno odrediti bl"Zinu tijela
O:lredivanje br-zine iz poznatog ubrzanja
u nekom času, pretpostavl jajući da se tijelo giba s poznatim ubrzanjem. Iz definicije srednjeg ubrzanja slijedi da je
bnim slučajevima promatrati kao vektor . Promatraju li se, naime, mali kutevi rrože se "pomak" po luku aproksimirat i stvarnim pomakom. Tada npr. dva uzastopna pomaka .6. r i 6.. r 2 dovode do istog rezultata kao i treći pomak D. r l koji je jednak sumi prvih dvaju .::l. r3 = l::. r l:i. r2. Sa svakim pomakom o l vezano je gibanje po luku što odgovara neldm malim kutevima l:i. i {:j. • .Ako onda pridružimo svakom malom kutu vektor koji stoji okomito na ravninu kuta , a
+
Ukupna promjena vektora brzine jednaka je sumi svih malih
promjena
/:::;. v :
[ a< t . >
!:::.. t .
i
Ukupna promjena brzine je časa t . U limesu je očito
v( t) - v( to }
:: lim C.t;-0
v (t)
-
v ( t0 ) ,
n
) -;( t, )
f:r
�
ako se
b t, = •
ft t.
ona
mijenjala
�
�
'P,_
�
ina rrodul jednak veličini kuta i smjer napredovanja desnog vijka kad se ovaj zaVija u smjeru gibanja čestice, onda se pokazuje da vrijedi = .::l_ .6.
d"f;
t{ +
f.:
�
od časa t0 do
(4.8)
a{ t ) dt
Zakon zbrajanja ubrzanja slijedi iz zakona zbrajanja brzina: ako s� materijalna
točka giba s ubrzanjem a spram nekog drugog tijela koje se giba s ubrzanjem a 2 l spram opažača, onda je ubrzanje materi jalne točke spram opažača Crt . 4 . 5 . Uz deriniciju kuta kao vektora
(4.9}
a 4 . 3 . Pojam kutne brzine i kutnog ubrzanja
Neka se materi jalna točka giba po kružnici radijusa r 1 neka se za vrijeme
Za jednostayan slučaj gibanja po kružnici svakom kutu pridružen je vektor koji
stoji okomito na ravninu (crt . 4 . 5 ) .
�t njezin radijus-vektor promijeni za kut � f . Kako kut
l::. 'f
mjeri "pomak"
Definirajmo sada kutnu brzinu kao vektor ••
čestice po kružnici , to je korisno uve X
sti pojam kutne brzine kao izraz :
Cr t . 4 . 4 . Uz definiciju kutne brzine
Iako kut
'f
nije vektorska veličina , općenito govoreći , može se u pose-
w = lim �t-o
-
e:,.:P = __iL
l::.
t
dt
(4. 10)
s pravcem nosiocem duž osi rotacije i smjerom u smislu napredovanja desnog
vijka, kako je prikazano na crt . 4 . 6 .
• J
- 44 -
- 45 -
tako da slijedi l l
je r :: R sin
i
w. r , ili u vektorskoj formi , kako slijedi sa crte ža , jer
v =
v :: W x R
V' ,
(4. 12)
w
/ l l l l \
/
--- ,
Ort.
.....
_ w
o..
4 .7.
Kutna i obodna brzina
'· '
' \
- - - - -'- - - 1 l
}
y X �
-
y
/
Ubrzanje čestice kod jednolikog gibanja po kružnici možemo lako odrediti
/
/ .l' X
koristeći crtež
4.8
•
Or t . 4 . 6 . Kutna brzina i ubrzanje
sin
sin Mijenja li se u tijeku vremena kutna brzina promjene možemo uvesti kutno ubrzanje
Cl. = F
lim
At"'i1
L:. w .6. t
OC
W,
C::.. 'f 2 l:::. 2'f
=
(2=v..�... _,I.: D:::.;.. :: l � 1 J V"
_
=
k.ao mjeru brzine njene
d W
t:::. 'f = A s
(4 .ll)
dt
l """
r
) l:::.v ) /2 l v/ D.'t'/2
1 6 -vl .. I C::.'t'
lv
'
4.4.
Brzina i ubrzanje kod krivolinijskog gibanja
l . Gibanje po kružnici
Ort . 4 . 8 . Ubrzanje kod jednolike rotacije
To je u praksi veoma čest oblik gibanja. Nemoguće je zamisliti postojanje nekog uređaja koji ne bi
ukljuČivao u
ma
kojoj formi gibanje čestica po kružnicama.
Giba li se čestica jednoliko po kružnici radijusa r , modul njezine brzine je : v =
2 IT
r --T
gdje je T period, odnosno vrijeme
za
koje čestica jednom
obiđe kružnicu .
Kako je kutna brzina omjer prebri sanog kuta i vremena , to je W ::
uvrštavaJ·ući izraz za 1:::. "' \
Kako je veličine
T
vrijeme
C::..
Li fi .6 s
1
A 1...::.
-1 v
t čestica prešla put
=
6
v '1 -1
6.
s r
s , to na granici kada
!::::.
t � O,
teže takoder nuli . Ali , u tom slučaju smjer vektora
6. v
postaje okomit na vektor v. Označimo li taj smjer sa jediničnim vektororn n, onda je
.2JI._ ,
za
imamo :
!::::.v-n
l t::.. v l ,
odnosno
t::.:-v ..,
1 vl
6s
-1r
n
- 46 Nakon dijeljenja s
- 47 -
na _l _ r
U limesu dobijamo
a=
za
n
!:::::. �
6..Vi· . �V)
i
Vektora tv+
(Zapazimo da je
Ll
(4 .13)
r
=
.ć.Jvl= 6. :f.
l vl -
!::. Vt•
Vektor ubrzanja jeste
a
an .
Uočimo da je za jednu te istu brzinu v ubrzanje a veće n što je radijus staze manji , t j . što je zakrivljenost krivulje , , veća .
;
2. Gibanje po krivulji općeg oblika
Mi ćemo promatrati samo ravninsko
odabrali tako da je
6_Vn jednaka modulU VektoraV. OČigledno !::l. J v l jednak modulu vektora ��· ,
7!"•
4-l. A v o:.
6.v A.t-o .6. t .{}.vn l im �--�t--o A t
+ lim
�t-o
2 Prvi član smo već promatrali ranije ; on daje .:!__ r A A y . 1... u. v njem gornjih relacija, 'IF• w. t, i s � u
l
posljedica toga .što na graničnom prijelazu
2" '-.
.6. t
•
n.
Drugi Član daje ' kori.šte-
dV ;;::"" ;:mesu vodi na � [. �
.
Prema tome je
•
,
Ovo Je
gibanje t j . ono kod kojeg se sve točke trajektorije nalaze u istoj ravnini . Na ovaj slučaj gibanja , mogu se svesti i giba
-
a
nja u prostoru , pa takva nećemo izučavati posebno.
.....
a
=
=
2 v r
n +
__!E_f dt
(4.14)
odnosno
.....
(4. Ilh
+ a;:
Dakle, ukupno ubrzanje jednako je zbroju normalnog ubrzanja
r 1
J
ubrzanja
· �·
at
�i
tangecijalnog
··....
4.5.
Pojam tvrdog (krutog tijela i. oblici njegova gibanja
Pre.dodžba materijalne točke korisna je u onim fizikalnim situacijama gdje
su dimenzije tijela nevažne � procese koji se promatraju. Cešći su slučajevi
kad nije moguće ti jelo promatrati kao materijalnu točku, jer u gibanju znatnu Crt .
4.9.
Ubrzanje kod opĆeg krivolinijskog gibanja
ulogu i5raju
je
:: lim
=
Ovo ubrzanje je usmjereno prema normali r.rajektoi"ije i zbog toga se zove normalno
v.
l /::,.v l =
2 v = r n .
ubrzanje i biljeŽi se
!::.. vn
dO vrha Vektora
l .t:.: 'Tl
tj .
Pisano vektorski
=
gdje smo
'
tada prirast modula vektora bržine
•
ubrzanje
lim 6. --v �t-O f::::. t
1::::. v rastavimo dulJina od ishodišta
Koristit ćemo rezultate iz prethodne toČke . U tu svrhu vektor
� t slijedi :
konačne dimenzije tijela. Mi demo ovdje promotriti
takvih tijela tzv . tvrda tijela . Pod tvrdim tijelom
u
posebnu klasu
mehanici podrazumijevamo
- 48 -
takvo tijelo kod kojeg medusobni
- 119 -
položaji njegovih dijelova ostaju nepromjenjeni
Ubrzanje je za .
......
pod utjecajem sil e . Ovako definirano tvrdo tijelo često nosi na�iv apsolutno tvrdo tijelo. Najjednostavniji oblik gibanja tvrdog tijela je translaciono
Vektori
gibanje.
,.,_ -
d w -
0.. = lim � At-o !::::. t
vri jeme gibanja. MJžemo , ekvivalentno gornjem , reći da se tvrdo tijelo ne deformira.
To je takvo gibanje tvrdog tijela pri kojem svaki njegov dio ima istu brzinu i
W
i
(J:_,
( 4 . 16)
dt
le že u osi rotacije .
Jednoliku rotaciju tvrdog tijela možemo karakterizirati periodom rotacije
ubrzanje (crt.4.10) .
T, pa je modul kutne brzine t vrdog tijela
w: .LlL T
Broj okreta u jedinici vremena naziva se frekvencijom. Ako tijelo rotira
kvencijom
V
,
onda mu je period T
=
+
,
fr e-
pa je kutna brzi na
( 4 . 17) Rotira li tvrdo tijelo kutnom brzinom W
,
onda je z a sve točke na udaljenosti
r od osi rotacije brzina v ( kako smo ranije izveli za materijalnu točku ) :
v = W. r
i l i vek tor ski
v= w
x R.
Sto je neka točka tvrdog tijela dalje od osi rotacije , to je n j ena brzina v e ć a .
Da bi se istaklo kako je v o bi čna brzina a ne kutna , često se za nju kaže da je
Crt . 11 . 10. Tl'anslacija krutog tijela
line.arna ili obodna brzina .
Normalno ubrzanje uoćenog djelića tvrdog t ijel a , kako slijedi i z r ani jeg
Isto tako važan oblik gibanja tvrdog tijela je rotaciono gibanje oko osi . To je
razmatranja, jednako je
takvo gibanje kod kojeg sve točke tvrdog tijela opisuju kružnice koje leže u
ravninama okomitim na os rotacije i koje imaju centre na toj osi. �
.t�o
onda je kutna brzina tvrdog tijela
Crt . 4 . 11 Rotacija krutog tijela
r
promatrati
kao rotaciju niza materijalnih točaka ,
brisao za vrijeme
2
( 4 . 15 )
Ma
f::::. t
r O\. .
( 4 . 19 )
koje gibanje tvrdog t i jela može s e promatrati kao rezultat translacionog i
rotacionog gibanja ; otuda i znaČaj izučavanja posebno rotacionog i translacionog gibanja.
- 51 -
- 50 -
Pitanja za ponavljanje l . Sto je srednja brzina, a što prava ( il i
momentalna)
v(t)
brzina? Zašto je brzina
=
v
0
t
J
+ a
o
vektor? Kako glasi zakon zbrajanja brzina? Ako je poznata brzina duž puta , kako određujemo pređeni put?
poznato ubrzanje? Kako se zbrajaju ubrzanja?
s
3. Kako definiramo kutnu brzinu i kutno ubrzanje? Sto je period rotacije?
Kakav je odnos kutne brzine , brzine čestica i radijus-vektora sa ishodiŠtem
= =
x(t) - x 0
[
v t + a o
=
I
4 . Sto je tvrdo tijelo? Sto je rotaciono, a što translaciono gibanje krutog
t
vt t ) d t t
LJ!= 2
na osi rotacije? Što je normalno a što tangecijalno ubrzanje?
o
v t + o
x( t )
Neka se tijelo giba pravocrtno s konstantnim ubrzanjem a. U času t :: o neka se tijelo nalazi u točki x = x ( o ) "., x0 i neka ima brzinu v(o) "" Vo ·
Rješenje
=
v + a:t 0
=
t
I[
�
v + a 0
v,
Crt . 4 . 12. Vremenska zavisnost položaja tijela
'
'
2:
: X
0
+ V t + o
at
2
--
(4.20')
2
.,
u
času t .
(4 .20' )
2. Materijalna točka se giba pravocrtno. Zavisnost predenog puta od vremena dana 2 4 je relacijom: s ( t ) = t + 2t + 5 , (vrijeme je dano u sekundama ) . Odredite :
2. Brzinu i ubrzanje nakon 2 sekunde ! 3- Cdrediti srednju brzinu i srednje ubrzanje u prve dvije sekunde !
Rješenje
x.
,;
2 at
l . Put koji tijelo prevali u 2 sekunde !
Nacrtajmo kvalitativan crtež.
l
dt
v ( t ) = v + at 0
Primjeri ri ješenih zadataka
Odredite koliki put je ti'jelo prevalilo u času t i kolika je brzina
v + a . t 0
Dakl e , našli smo da su put i brzina kod jednolikog ubrzanog gibanja
tijela? Sto je frekvencija rotacije? Zašto je period rotacije jednak reci pročnoj vrijednosti frekvencije rotacije?
:
o
Relacija ( 4 . 5 ) u konkretnom slučaju daje
2. Sto je ubrzanje? Kako se određuje ukupna promjena brzine duž puta ako je
@ U
dt
t a d t imamo :
J
v ( t ) :: v + 0
Koristeći relaciju ( 4 . � )
l . U času t = o put je s{o) = o U Času t = 2s put je s ( 2)
=
4 2
4
+
2 . o +
2
2
+
5 = 5
+
•
5
::
m.
16
+
U dvije sekunde tijelo prevali s(2) - s(o) = 29 - 5
2. Brzina tijela je v( t)
:
� dt
:
4 t3
+
8
+
=
5
=
24 m.
29 m.
2 . Zt .
U početnom času t = o brzina je jednaka nul i : v ( o ) = o. 3 4 • 2 + 4 . 2 Nakon 2 sekunde brzina naraste na v ( 2 )
40 � s
- 52 l. '
Promjena orzine je v (2 )
-
Ul:lrzanje je a ( t )
=
U U
času t
=
��
=
o a{o)
=
času t = 2 a(2)
=
lj 12
v(o)
12 t 2
_m_ 2 s
•
22
= +
40 lj
- 53 -
m/s. Za naš
+
lj =
lj8
+
lj
=
Srednja brzina u prve dvije sekunde je vsr =
' ' '
!:::. s
�
= s (2 ) - s ( o ) 2
Srednje ubrzanje jeste asr
=
=
po
r-ta-I
4. s = lj8 4 .
52
o
s
;:
� = 12 � . s 2 2
w = eX
w=
Budući da je ubrzanje konstantno, to je iz relacije (lj.11 )
(!J.2l )
gdje nismo vodili PaČuna o smjeru vektora �i � budući da s u oba u istoj osi. Iz definicione relacije ( 4 . 10) i (�. 21 ) slijedi = w
dt
:: O(,t
dt .
o
'fo smo
počela.
t
=
�
2·2
l
Na putu oko Sunca Zemlja
2
n
l
f- t =
J o
LU (t ) dt
iT
n/Df..
•
iT n
približno konstantnu linearnu brzinu vz 29 � . s Odredite omjer centripetalnih ubrzanja koje imaju dijametralno suprotne točke A i B na površini Zemlje zbog vrtne Zemlje oko Sunca i vrtnje točaka na povr Šini Zemlje zbog rotacije zemlje oko svoje osi (crte ž ) . što zakl jučujemo? ima
=
'
\ \ l \
�---+-------��----�A�
�
označili onaj kut koji odgovara položaju tijela prije nego je vrtnja lirnesu dobijarro t
Na
2·2
3 , 111 20 200
·
i=1
�
Rješenje
Ukupno prebrisani kut nalazimo općenito kao sumu malih prebrisanih kutova �t;l za intervale � t.
f-f. = [ .6 f
n , t.ako da je iz ( 4 . 22' )
Uvrstirro podatke :
Rješenje
CL : � = � -W = c:Lt , t dt
iT
Iz ove relacije i (4.21 ) dobijamo:
IJO
=
l
dt = cX.. t2 12.
O( t
definiciji
v(2) - v{o) 2
df
( 4 . 22 ' )
Nakon n okreta materijalna točka prepiše kut 2
3. Miterijalna se tOČka vrti po kružnici s kutnim ubrzanjem 01-. : 200s-2• Odre dite kutnu brzinu materijalne tOČke nakon n 20 punih okreta.
W= d f dt
o(. t ,
t
•
Prirast uorzanje jeste a{2) ' - a{o) : 52 - lj 3.
slučaj, gdje je W ::
(4.22)
w l
l l
Cl"t . 4 . 13. B
Rotacija Zemlje oko
Sunca
- 55
- 54 Označimo li s
vA
i v
B
br-zinu točaka A i B zbog rotacije Zeml je , onda je
A VA i V su brzina točaka i B spram Sunca. Period rotacije ZemlJe je T = 24 sata , B tako da je vrijednost brzina v = v = U) R, R je radijus - Zemlje , a W njena A B kutna brzina . Cent ripetalna ubrzanja su: a
A
=
o;:·
Uvrstimo li brojčane vri jednosti , itna:lno-:
3 2·3 ,14·63 70 10
.2l..!L =
24·60 ·60 ·29 103
=
0 ' 0159"
•.: . ; i
(
Dakle
a A
--
�
v2 _A _
O. 9384 ; područja na zemlji dalje od Sunca osjećaju veća
"""
ubrzanja .
5. Rotor elektromotora
-
tvrdo t ijelo okreće
se
Nakon iskl jučenja struje zaustavi se nakon t
frekvencijom n =
=
955 okreta/minuti .
lO s. Snatrajući da je ubrzanje
rotora jednoliko usporeno, odredite:· l . kutno ubrzanje u momentu nakon iskopča
a njihov omjer je
C vz - vA ) a A a
r =
B
l . Kutna brzina u času iskopčanja jeste
C vz + v ) B
(v z - wR ) r
A
2 . broj okreta do zaustavljanja.
RjeŠenje
A
r B
=
nja,
2
2
j
W0 Cv z + to R ) r A + 2R
2
=
2
Ti /T
= 2
t j . W0 = 2
iT n ,
jj 955/60 � 100
l s- .
Kako je usporenje jednoliko, to je iz CX. :
Ll W /
f::,. t
gdje je W kutna brzina na kraj u t sekunda , a t0 je početno vri jeme , t j .
Kako je
t
w = o ,
=
10
to je Dakle
.:.:. ll ,.::.: . 95� 5 =-...;.: -2 10 . 60
t Budući da je W =
.2..]__ , T
to je
l
2. Broj okretaja m =
-Jr
,
�
gdje je
f
prebrisani. kut od momenta iskapča
nja do momenta zaustavljanja . Kod jednoliko usporene rotacije je
Uvrštavanjem dobi jamo dakle broj okreta j este
m =
500
-=-
2 11
lO
lO _
•
2 � 80 okreta .
2
lO
!:
500 rad!jana ;
7
- 56 -
O S N O V E
- 57 ..
D I N A M I K E
referencije .
Sistem
referencije u kojemu je
zadovoljen prvi Newtonov zakon naziva
se inercijalnim sistemom referencij� Koliko ·ima takvih sistema? Ima ih beskonačno
mogo.To su svi oni siste.mi koji se· spram uočenog inercijalnog gibaju pravocrtno
i jednoliko. Neka se npr . sustav K' giba spram K brzinom 1i , a čestica neka ima 0
brzinu Y. spram K' .
5. NEWTONOVI .zAKONI
U
osnovi
klasične mehanike ili Newtonove mehanike leže tri Newtonova zakona.
U njima se izra�va sve osnovno i najopćenitije što sadrže eksperimentalne činje
nice , tj. svaki proces u prirodi koji spada
u
podruČje klasične mehanike može se
opi$ati ovim zakonima . Kako ćemo kasnije vidjeti , to su gotovo svi procesi koji ne
y
Crt . 5.1. Dva inercijalna sistema
K
spadaju u atomske i one s brziDama blizu brzine· svjetlosti. Dakle , cjelokupna da
L :1
našnja tehnička znanost , i zuzevš.i elektrodinamičke pojave , može se uz odredene na- · dopune opi$ati ovim zakonima. To onda đaje Newtonovim zakonima fundamentalno mje sto
u
tehniČkim znanostima.
X
l?!wi Newtonov zakon : "Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijeni 11 • Original :
"Corpus ornne perseverare in statu suo quiescendi vel rnovendi uniforrniter in directurn, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur , staturn suurn mutare11 •
!Tzina čestice u sustavu K je -; = v + v ' . Zbog toga se čestica i u sustavu K 0 giba konstantnom brzinom-v jer su-v i v' takoder konstantne brzine . Na beskonačno 0 mnogo načina može se odabrati sustav K, odnosno1i • 0 Da bismo shvatili drugi Newtonov zakon , bit će potrebno uvesti pojam sile ,
količine gibanja 1 �·
Termin 11sila11 u svakodnevnom životu često nema isto značenje kao u fi zici . To znači da brzina tijela ostaje konstantna ako druga tijela ne djeluju na
njega. Specijalni slučaj konstantne brzine je i mirovanje . U praksi nije moguće
kako brzina tako i oblik i volumen . Da bi se opisalo takvo međudjelovanje uveden
i jednoliko gibanje po pravcu samo kao rezultat takvog djelovanja drugih tijela
van ja drugih tijela na to tijelo, ili sila je nastojanje usmjereno prema nekom
izolirati jedno tijelo od utjecaja drugih tijela. Moguće je promatrati mirovanje koja se međusobno poništavaju. Svojstvo tijela da zadržava svoje stanje gibanja (mirovanja ili jednolikog L
;
gibanja po pravcu) naziva se svojstvom inercije . Utvrdili smo prije da karakter gibanja zavisi o izboru sistema referencije .
!.
Promatranjem djelovanja tijela na tijelo opaža se da se tijelu može promijeniti
Ako se npr . jedan sistem referencije ubrzava spram drugog , jasno je da če se i materijalna točka, koja miruje u jednom sustavu , gibati ubrzano spram drugog
sustava , Prema tome prvi Newtonov zakon ne vrijedi istovremeno u svim sistemima
je pojam sil e . Sila na neko tijelo je fizička veličina koja služi kao mjera djelo
tijelu da mu se promijeni stanje mirovanja ili jednolikog gibanja po pravc u . Druga formulacija karakterizira onu stranu medudjelovanja koja ističe način reagiranja uočenog tijela na djelovanje okolnih tijela . Pokazuje se da brzina tijela kod proua avanja gibanja nema primarno značenje .
Dva tijela iste brzine različito reagiraju na jednaku sil u . Veličina koja igra
osnovnu ulogu i koja ima duboko fizika.lno značenje je impuls ili količina gibanja .
Impuls je definiran kao produkt brzine tijela i jedne konstante koja karakterizi ra dato tijelo
p = tn
•
v
t .· ...
- 59 -
- 58 -
Konstanta proporcionalnosti � naziva se �· 0t1a je mjera veličine inertnosti ti jela . Inertnost tijela karakterizira svojstvo tijela da zadrži svoje stanje giba
nja. Ovo je jedan od dva moguća načina definiranja - tijela (kasnije ćemo upo znati drugi ) . Obzirom na ovakvu. definiciju ovu masu nazivam:> inertna (ili troma) IIBSa. U drugom zakon Newton povezuje silu
sa stanjem gibanja datog tijela.
na
tijelo (djelovanje
drugih
tijela)
naziv "jednadžba gibanja" . Ali, pored zadaWgF, potrebno je još zadati početne uvjete : m dt za pozna �ležaj i brzinu čestice u jednom času. Zaista , iz dv :::
Fi
to dt i F odreduje se prirast vektora brzine , a to znači i vektor brZin e u slije dećem času ( jer ja poznamo na početku) . Slično tome, znajući početnu brzinu -;- mo žemo naći dr v dt t j . prirast � radijus-vektora , a time i slijedeći položaj = �estice u prostoru u odnosu na početni . Kako poznamo iz poČetnih uvjeta jedan po
ložaj , onda u principu možemo naći svaki drugi koristeći gornju proceduru.
Iskustvo nas uči da djelovanje tijela na tijelo ima karakter međusobnog
;
·"
djelovanja, t j . ako npr. tijelo T djeluje na T2 , onda ' i tijelo T2 djeluje na T • 1 1 Newtonov treći zakon izražava kvantitativno karakter međusobnog djelovanja dvaju
Drugi Newtonov zakon "Vremenska promjena količine gibanja proporcionalna je sili koja djeluje i zbiva se u smjeru djelovanja te sile" .
tijela.
Treći Newtonov zakon "Djelovanju je uvijek jednako i suprotno protudjelovanj e ; odnosno
Original :
medusobno djelovanje dvaju tijela je jednako i usmjereno u suprotne
"Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et. fieri
strane" .
secundum lineam rectam qua vis illa imprtmitur11•
Označimo li sa F silu koja djeluje na uočeno tijelo, a rezultat je djelovanja dru
gih tijela, onda drugi Newtonov zakon glasi:
dt
l ...;
Original : "Actioni contrariram semper et equalem esse reactionem; sive corporum
duorum actiones in se mutuo semper esse equales et in partes contrarias
(5. 1 )
� =
odnosno , radi
; :1
dirigi" .
p = ITN, m
dv
--
dt
=
(5. 1 ' )
Jednadžba ( 5 . 1 ) zove se jednadžbom gibanja . Medutim, da bi uopČe jednadžba giba
nja imala smisao potrebno je poznavati
oblik sile F koja djeluje
na
tijelo. Ako je
poznata sila-r, iz jednadžbe gibanja se može odrediti zavisnost � i položaja
tijela od vremena . A to onda znači da možemo odrediti trajektoriju. što 1 opravdava
art. 5 . 2. Uz zakon akcije i reakcije
- 61 -
- 60 -
Neka je F tijelo T
t.
.:
zakon
1
1
sila kojom tijelo T2 djeluje na tijelo T , a F2 neka je sila kojom
1
djeluje na T2• Onda je prema sv.eopćem iskustvu, kako i izroiče Newtonov
ono osjeća silu iako nikakvo drugo tijelo na njega ne
djeluj e . No, kako sila po
svojoj definipiji određuje djelovanje drugih tijela na uočeno tijel o , vidimo da Newtonov zakon n e vrijedi u neinercijalnim sistemima referencije . Naime , u neiner cijalnim sistemima referencija tijelo se ubrzava , iako nema medudjelovanja s dru
gim tijelima. zapazimo da sile F
1
i
djeluju na različita tijela, te da nema smisla
kazati kako je suma sile djelovanja i sile protudjelovanja jednaka nul i , a pri je zaista + F 2 jedno tijelo, to nema, obzirom na
5. 1 . Sile kod krivolinijskog gibanja
tome misliti da one djeluju na jedno te isto tijelo. Suma F1
jednaka nul i , ali kako te sile ne djeluju
na
gibanje jednog tijela , nikakvo značenje . Nadalje , pravac nosilac sila ne mora biti jedan te isti . Ovaj se zakon u praksi obično zove "zakon akcije i reakcije " . Akcija i reakcija su nazivi za
rna
koju od sila: djelovanja ili protudjelovanja.
su ravnopravne i možemo reći cija.
za
Obe sile
bilo koj u , F;_ ili F , da je akci ja , odnosno reak 2
Pogledajmo kakav je oblik sila kod krivolini jskog gibanja te analizirajmo treći Newtonov zakon na važnom slučaju centripetalne i centrifugalne sile kao sile akcije i reakcije . Kod krivolinijskog gibanja uveli
i tangencijalne sile m
njihove mase. 2) Elektromagnetske - nastaju u rezultatu medudjelovanja nepomičnih i l i pomiČnih električno nab�jenih cestica i l i tijela. - koje se ostvaruju izmedu nek�h elementarn�h čest�ca; npr . taKva je s�la Kojom medudjeluju dva protona ili neutrona , i l i proton i neutron itd.
4) Slabe
- koje imaju za posljedicu raspad elementarnih čestica.
Ne treba vjerovati da gornja 4 osnovna tipa medudjelovanja iscrpljuju sve moguĆno sti koje postoje u prirodi . To je samo ono što danas znamo .
SVa tri Newtonova zakona predstavljaju cjelinu i kao takvi susreću se isto� vremeno u nekom prirodnom proces u . Oni vrijede s.amo u
n
F = m n
l) Gravitacione - nascaju kao rezultat međudjelovanja tijela zbog
3) Jake
dva tipa ubrzanja : norma lno i tangenci
sile
Ako analiziramo moguće sile u prirodi , onda od onog silnog mnoštva sila,
prividno različicog Karaktera , oscanu samo 4 tipa:
smo
jalno . Jasno je da je takvo gibanje moglo nastati kao rezultat djelovanja normalne
i nercijalnim sistemima
referencije . Tako npr . ako se sistem referencije ubrzava u odnosu na tijelo, onda to tijelo u ođnosu na taj sistem irna ubrzanje , dakle promjenu količine gibanja ;
-:fn
uzrookuje promjenu brzine po smjeru , a
dv
--
dt
po iznosu. Iz ovog proizlazi važan
zaključak. Ako sila djeluje na česticu u svakom času okomito na smjer vek tora
brzine čestice , onda se brzina mijenja po smjeru , a ne po iznosu . Ostaje li tije 2 kom vremena i sila konstantna po iznosu , onda j e normalno ubrzanje v tr konstantno (jer je r konstantno u ovom slučaju ) , što pak znači da se čestica giba jednoliko po kružnici . Kad se tijelo giba jednoliko po kružnici , sila koja na njega djeluje usmje 2 rena je prema centru i zove se centripetalna sila F , a ubrz.anje v /r zove se cp centripetalne ubrzanje .
' '
- 63 -
- 62 -
6. KJE"RNE JEDINICE
. Y
I DiMENZIJE FitiKALNIH VELIC!NA ·�. ·.�
Kako smo ranije istakli fizikalni zakoni izražavaju kvantitativne odnose
izmedu fizikalnih veličina. Da bismo izražavali takve odnose, neophodno je znati mjeriti te veličine . Sve fizikalne veličine mjere se svojom jedi.nicom. Npr .
se
za masu,
mjeri jedinicom
ilnpuls jedinicom
za
brzina jedinicom
impuls itd .
Izmjeriti
za
br zinu, sila jedinicom
za
masa
"""
silu,
neku fizikalnu veličinu znači usporediti
je s veličinom koja je iste prirode i koja se uzima za jedinicu. M:lgli bismo, dakle , imati toliko jedinica koliko i fizikalnih veličina. Ipak situacija je mnogo jednostavnija zbog povezanosti različitih fizikalnih veličina. Npr. brzina je preden1
)C
crt . 5 . 3 . CentriPe talna i centrifUgalna sila Centrifugalna sila r-f kao sila reakcije imala bi hvatiŠte u tijelu koje je o -uzrokovalo oentripetalnu silu F ' recimo u centru vrtnje . op
pJt kroz proteklo vrijeme , pa ako odaberemo jedinicu
i jedinica
za
brzinu.
za
vrij eme i put , odredena je
Stoga je dovoljno uvesti mali broj jedinica i pomoću njih
naći sve druge jedinice. Jedinice pomoću kojih određujemo jedinice drugih fizikal nih veličina zovu se osnovne jedinice. Druge , ·dobijene iz osnoVnih , nazivaju se
i;vedene jedinice.
6.1. Me-đunarodni sustav jedinica
Odabiranje osnovnih jedinica vrši se tako da relacije za izvedene jedinice imaju što jednostavniji oblik. Postoji nekoliko načina odabiranja osnovnih jedini ca. Medutim, danas postoji težnja da svi narodi imaju isti sustav jedinica. Naša zemlja je prihvatila dogovor o upotrebi Internacionalnog sustava jedinica (SI ) u kojemu su
za
osnovne jedinice odabrane :
jedinica jedinica
za
duljinu masu
l metar
jedinica
za
vrijeme
za
jakost električne struje
l sekunda ( s ) l amper (A)
za
tennodinamičku temperatur·u
jedinica jedinica jedinica jedinica
za
za
za
(m)
l kilogr'am (kg)
jakost svjetlosti
l kelvin (K) l kandela (cd)
koliČinu tvari
l mol (mol )
U mehanici se
koriste samo prve tri jedinice. Navedimo njihove de finici je :
, K :7
- 64 -
i._ ;.
- 65 -
l �retar (m) je duŽina jednal- 2 ]
o
ut jec ajem dvaju okoQi tih pomaka
l! j
X
X
- 151 -
- 150 Ukupni pomak čestice iz ravnotežnog položaja s·astavljen je od pomaka duž osi x i
2. Neka je razlika početnih faza jednaka
pomaka duž osi y. Svaki od pomaka dan je svojom harmonijskom funkcijom:
x
=
y(t)
A
2
f
sin ( W t +
2
(13.22 )
l
f1
i
f2
+
if )
.
Tada jednadžbe gibanja glase
- A sin W t , 1
y : A sin W t . 2 Odakle slijedi
Promotrimo kakve su moguće staze materijalne točke . l . Uzmimo da su poČetne faze
A sin ( W t 1
jj
X
jednake nuli . Iz (13.22) dobijamo
•
To je isto pravac kroz ishodište ( Crtež 1 3 . 12. )
x =
y
A sin w t , 1
y
A sin W t . 2
A z
-
- - - -- , :
Dijeljenjem nalazimo
..:t_ X
- A, :
x,
=
što predstavlja jednadžbu pravca kroz ishodište ( Crtež 1 3 . 11 . )
·r - - c - - - 1 l
\
_
\ \
A2
X
l l l
� - -- -- f�L ---
y
- - - - ---
Crt . l3 . 12. Linearno polarizirano titranje
3 . Pretpostavimo da je sada razlika faza X
X
y l
-_-:z_
_ _ _ _
�
: =
A
1
A
2
sin (W t
+
___[_ ) 2
=
sin W t
cos W t ,
M3.teri ·alna točka izvodi dakle t i tranje duž" pravca kroz ishodište s amplitudom
2 A 1
+
2 A2
.
Tada iz
A cos W t , l
Kvadriranjem i zbrajanjem odavde nalazimo
=
2
dobijamo
Cr t . 13 . 11 . Linearno polarizirano titranje
A
_ l_
Titranje ovog tipa nosi naziv linearno polarizirano titranje .
!!
· ·-- · ·. ,"'.,
y__
"'
A.
sin W t .
l
- 152 -
Dakle ,
materijalna točka opisuje elipsu.
- 153 -
Primjeri riješenih zadataka
y
m = 4 kg . Ako se masa 1 . Na elastičnom peru duljine l = 30 cm visi tijel� mase 36,5 m . l postane pera nog elastič duljina kg, 10 m1 = 1 tijela poveća na
�
X
, . pera zbog povecanJa mase � frek Odredite rad A dodatnog rastezanja elastičnog o uteg m kada bi se izvukao i z venci ju harffio nijskog titranja kojom bi oscilira 1 cije . gravita utjecaj iv ravnotežnog položaja u z zanemar RjeŠenje gravitacije uravnot ežuje u oba slučaja ravnoteža je post.ignuta jer se sila s elastičnom silom:
Crt . l 3 . 13 . EliptiČk:i polarizirano titranje gdje je 1 Materijalna točka vrti se po elipsi . Ovakav oblik titranja naziva se eliptički
P?larizirano titranje . Kada je A radijusa '
A,
pa
1
=
A2
=
0
duljina neopterećene opru
ge . Iz ove dvije relacije možemo odre diti konstantnu elastičnost k i ravno težnu duljinu 1 0 :
A, onda elipsa prelazi u kružnicu
se gibanje nazi va cirkularne (ili kružno) polarizirano titranje .
'
Ovo su najjednostavnije staze . Zavisno o razlici početnih faza , amplitudama i frekvencijama , staze mogu imati različite oblike . Staze ovakvih titranja zovu se Lissajousove \Lisažu ) figure . k
Pitanja za ponavljanje
m1 - m 11 - l
=
Rad koji se vrši pri rastezanju elastičnog pera jeste
l . Sto je općenito titranje a što harmonijske titranje? Objasnite smisao vel ičina : amplituda , frekvencija, faza , početna faza ,
l ) o
period i fazna brzina !
2. Odredite energi ju harmonijskog titranja i diskutirajte rezultat.
3. Sto je ampli tudni vektor? Zbrojite dva harmonijska titranja duž istog pravca.
4 . Sto je prigušena titranje? Kako izgleda jednadŽba priguŠenog titranja, a kako njeno rješenje?
5. Sto je prisilno titranje? Kako izgledaju i što predstavljaju rezonantne ia'ivulje?
6. Kako se zbrajaju međusobno okomita titranja? Promotrite l inearno polarizi rano i eliptički polarizirano titranje !
g .
odnosno nakon uvrštavanja k i 10
A
2
-
(m 1 +ID) ( l l - l ) 2
m,
- m
( 1
-
1 ) o
2
]
- 155. -
- 154 Frekvencija titranja ;lastičnog pera jednaka je
i l· !
Uvrstimo li vrijednost Nakon uvrštavanja brojčanih vrijednosti dobijaroo
A
=
+
9 , 81
•
(10+4)
( 36 , 65 - 30)
•
•
=
t 10-
2
=
4,566 J
za
if
g i R
�
imamo
lo3 6370 9,1:!1
: 42,19 IIIinuta.
•
3. Tijelo mase m vrši titranje po zakonu x = A sin w t . �te na tijelo i maksimalnu kinetičku energiju tijela.
.silu
koja djeluje
Rješenje
Kako je sila jednaka produktu mase i ubrzanja, to je specijalno slučaj = m
F
2. Gravitaciona sila , koja djeluje na česticu smještenu u homogenoj kugli , propor cionalna je udaljenosti od centra kugle. Ako se pretpostavi da je Zemlja takva kugla i da je kroz njezin centar od jednog do drugog pola probijen kanal, odre dite vrijeme koje je potrebno da tijelo pušteno u kanal dode ·na površinu s dru ge strane Zeml je. Zanernarite otpor zraka.
Kinetička energija jeste
Ei
o, što znači da je v tc lekule koje se nalaze
raju oko ::�ebe polje sila. ove sile
ou
�a
površini t.ekuĆeg ili tvrdog tijela stva
elektro��atskos
karaktera
i
ima:ju · kratak
doses.
- 252 i
- 253 -
'
MOlekule sredstva , koje b ivaju zahvaćene ovim površinskim molekulama , polako se
talož� M površinu tijela. 'JA danu temperaturu uz veće tlakove broj molekula
l
'
sredstva koje dolaze na površinu je veći , tako da zaista koncentracija raste 's t l a ko m . . Ali , čim je postignuta odredena koncentracija dolazi do zasićenja povr šinskog sloja i nove molekule sredstva ne mogu djelovati s površinskim molekulama i tako biti zadržane na površ ini . Spomenimo ovdje i pojavu apsorpc�Je plinova premda ona nije površinske pri rode. Apsorpcija je proces u kojemu se plinovi upijaju i rasporeduju po cijelbm volumenu tijela ( tvrdih i tekuĆih) koja ih upijaju. Ako je npr. iznad vode kisik
Za mjeru kvašenja može se uzeti granični kut se
ruba površine jednaka nuli :
�l
koje ulaze u vodu jednak broju molekula koje iz nje fzlaze . Poveća ii se tlak
temperature niske nušavih napitaka .
1
tlak povećan .
•
"' - cos 13
'tf .
!:::. 1
•
C(
23
-b. l
•
0(.,
12
C(.
b.
= o
ec:. n � oć1 2
s porastom temjJerature količina
Ovo svojstvo se koristi za pripremanje pje
je kut
ravnotežno stanje , onda je jednostavno naći granični kut koristeći koefici jente
kisika , pokazuje se da se broj molekula koje se apsorbiraju povećava. l inearno ,
Voda ima svojstvo da apsorbira vel,ike količine ugljičnog dioksid.a ako su
J-
kroz površinu tekućine . Zauzimanje određenog oblika površine u odnosu na stijen
iz vode u kisikovu atmosferu. Kada se uspostavi ravnoteža , onda je broj molekula
Ali,
Granični kut
površinske napetosti. i uvjete ravnoteže . U ravnoteŽi je suma sila na element
Ši u vodu nastavl jaju gibanje po cijelom volumenu tekućine. Neke od njih izlijeću
dok se opet ne uspostavi ravnotežno stanje.
.
ku rezultat je djelovanja molekularnih sila . Al i , kada se već jednom uspostavi
u plinskom stanju , onda neke molekule kisika prodiru u vodu. Molekule kisika ušay
apsorbirane mase plina opada.
.J
koji je odreden stijenkom i tangentom na površinu tekućine u točki. dodira, a mjeri
( 21 . 3 )
23
su koeficijenti površinske napetosti stijenka cx. , cx:. i cx. 23 13 12 stijenka - plin i tekuĆina - plin.
•
te.kuć ina,
21 . 3 . Pojave kvaŠenja .6. ! "'- 1 3
U posudi s tekuĆinom na gran�c� površine tekuĆine dolazi do dodira tri
sredstva : tvrde stijenke posude , tekućine i plina. Na tom mjestu dolazi do medu djel ovanja izmedu molekula sva tri sredstva. Označimo
sa
At
l stijenku posude , sa 2
tekućinu i sa 3 p l i n . Pokusi pokazuju da se površina tekućine "penje" ili "spušta"
3 p l in
uz sti jenke ( Crt . 21 . 5 ) . Ako se tekućina penje uz stijenku, kaže se da ona kvasi (moč i ) stijenku, a ako se spušta , kaŽe se da ne kvasi ( ne moči ) stijenku.
Crt . 21 . 6. Sile na element
1 3 3 je
1f
Crt . 21 . 5. Kvaše.nje stijenki
'If
l
Iz relacije (21 . 3 ) vidi se da je cosV > O ako je
> cx. (sto znači da 13 12 oštar kut ) , t j . ako je koeficijent napetosti stijenka - plin veći od koefici
jenta napetosti sti jenka' - tekUĆina. Slično za kut
6.
c pare
(gl
zasićenih para i apsolutne vlage o tempe
zasićene pare pri istoj tempera
Prema definici ji Je dakle apsolutna vlažnost jednaka gustoći vodene pare f
t la k a
raturi . Dolje niže prikazana su dva retka iz takvih tablica.
ui> )
Temperatura o
c
T l a k zas. para
g /m
nm. st . Hg
3
9 , 41
9 , 21
lO 20
Apsolutna vlaga zas . para
1 7 , 32
17,5
a relativna vlažnost B
Ppare
Zbog propor cionalnosti
tlaka
vlažnost izražava preko
tlaka
Snižavanjem temperature zraka a pri konstantnom sadržaju vodene pare relativna
1 00 .
Pzas pare
vlažnost raste jer je s opadanjem temperature relativna vlažnost bliže stanju
i gustoće pare u meteorologiji se apsolutna pare izraženog u milimetrima stupca žive
(ili milibarima )
zasićenja . Kada se temperatura spusti toliko da relativna vlažnost postane jedna ka 100%, onda daljnje snižavanje temperature dovodi do kondenzacije vodene pare . Ovo je situacija koja se realizira u pojavama orošavanja stakla na prozorima , trave u parkovima itd . Definiramo stoga rosište ili "toČku rose" kao temperaturu pri kojoj para za dani
tlak
postaje zasićena , ili ekvivalentno , pri kojoj
relativna vlažnost i znosi 100'/.. Poznavajući rosište i temperaturu zraka moguće
., . : . •
Ova relacija je približno točna . Naime , iz plinske jednadžbe p ) RT/M, gdje masa mola vodene pare M = 18 kg /kmol , slijedi : 133 , 3 . p
=
0, 462 .
�
.
nRT/V
T ,
a rosište l0°C, onda iz tablice slijedi da je apsolutna vlažnost jednaka 3 te da je t l a k zasićene pare na 20°C jednak 1 7 , 5 mm . st . Hg a na 10°C ° 9 , 21 . Kako je t l a k zasićene pare na 10°C jednak t l a k u pare na 20 C , to 9 , 41 g/m
je relativna vlažnost zraka
ako se t l ak p i zražava u milimetrima 'živinog st upca ( l mm . st . Hg 3 1 33 , 3 !'a) i gustoća u gtm • Odozgo slijedi : P (mm . st . Hg ) = 0,462 / ( 13 3 , 3 ) . T 1 / ( 288 . 53 ) . T
je odrediti apsolutnu 1 relativnu vlažnost . Na pri��er , ako je temperatura zraka
20°c
y
?
3 ( g /m )
3 (g/m ) .
No kako je pri sobnim temperaturama T ." 3 00 K , t o je
B
9 . 21 • 1 00 / 1 7 , 5
52 , 6 % .
Za određivanje vlažnosti zraka koriste se posebni uredaji higrometri i psihrometri . Oni rade na principu ovisnost i odredenih fizikalnih svojstava t i je la o koliČini vlage u zraku.
- 267 -
- 26 6 -
Rješenje
Pitanja za ponavl janje l . Sto su fa zni prijelazi? Analizirajte procese isparavanja, kondenzacij e , vrenja , sublimacije , talenja i skruživanja !
2. Nacrtajte dijagram ravnotežnog stanja i diskutirajte gal Sto fizikalno
stupnjeva, 2 treba biti jednaka količini topline o koja je potrebna da se led mase m 1 0 zagrije od t do t uvećana za količinu topline koja je potrebna da se led
Količina topline , koja se prenese od vode mase M i koja je na t
�
otopi . Dakle:
predstavl jaju trajna i kritična točka?
3. Definirajte veličine kojima se mjeri vlažnost zraka te točku rose !
odakle slijedi : Primjeri riješenih zadataka ° l . Odredite količinu topline Q, koja je potrebna da se m : 20 g vode sa · t 1 : 14 C
dovede do točke vrenja i pretvori u paru. Toplina isparavanja vode iznosi
L
=
2260 J/kg a specifična toplina cV
=
m = Kako je t
=
c (t-t1 1
0, 5. 4187 . 20 2100.10+334000
m =
3 . a) Odredite masu vodene pare m relativnoj vlažnosti B Pz
=
)+L
° 0 C , to je nakon unošenja brojčanih vrijednosti
4187 J/kg K.
Označimo sa 0 količinu topline koju je potrebno dovesti da se voda dovede to 1 ° točke vrenja ( t = 100 C) , a sa 0 količinu topline koja je potrebna da se 2 2 voda ispari na temperaturi vrelišta . Tada vrijedi da je
M Cy (t 2-t )
=
p 60'k.
=
0,1179 kg
117 ,9 g .
3 ° u l m zraka pri temperaturi od 25 c i ° T l a k zasićene pare na 25 c iznosi
316 7 Pa .
b) Odredite volumen komore , al-':o je poznato da je ona napunjena zasićenom vo denom parom mase m = 3, 04 g i da je z kojemu odgovara temperatura t = 30° c.
sa
tlak
u komori p
z
= 4242 Pa
Rješenje Unošenjem brojčanih vrijednosti dobijamo :
Q
2.
0 , 02
[ 4187
7246 , 84 J .
ooo - 1 4 )
+
]
a) Iz definicije relat ivne vlažnosti slijedi :
•
226o J
B
U posudu sa vodom, koja je toplinski dobro izolirana od okoline ubacuju se ° komadići leda temperature t = - 10 C. Koliko se može ubaciti leda (m) uz uvjet 1 da se on potpuno otopi ako se u posudi nalazi M = 0, 5 kg vode na temperaturi ° 20 C . To linski 1-:apacitet posude u odnosu na toplinski kapacitet vode od � 2 :�cie se zanemar iti ; a topl ina tal enja leda iznosi L = 334000 J/kg, specifična
p
toplina leda c 1
=
2100 J / kgK i specifična toplina vOde c V
=
No kako je p
p
=
m p
� Pz
. 100
=
60
R T/ V M, to je odozgo : V M
60. 3167 .1.18 .10-
RT = - loo � 9 , 31 . 29B
4187 J/kgK.
b) Kako para
u
3
;;
danim uvjetima podlijeŽe zakonu idealnih plinova , to je :
- 268 -
- 269 -
ELAST IČNI VALOVI
v =
3 3,04.10- . 8 , 31 . 303 3 4242 • 18 • 10-
23�
OPCENITO O VALNIM P R OCESIMA
Titranje materijalne točke kako smo ranije vidjeli odvija se zbog djelova nja povratne sile. Cestice u plinu , tekućini i t vrdom tijelu međudjeluju silama i ako jednu ili više čestica pomaknemo, druge , suđjedne , čestice reagiraju na taj pomak formirajući povratnu silu . Pri tome se najbliže susjedne čestice t akođer
pomiČU. Ovakvi pomaci se dalje prenose i na druge susjede tako da se pomicanje širi sredstvom .
Ako na početku pomaknute čestice vrše titranje , onda se ono prenosi cijelim sredstvom. Cestice sredstva počinju i zvoditi titranje . Ovakav proces u kojemu se vrši prenošenje titranja u sredstvu nazivamo elastičnim va1nim procesom , odnosno elastičnim valom ili jednostavno valom. Obzirom na način širenja valnog procesa , što je u vezi s karakterom sila koje djeluju izmedu čestica sredstva , valove dijelimo na 1ongi tudina1ne ( uzdužne ) i transverzalne (popriječne ) .
Ako se poremećaj širi u pravcu po kojem se vrši t i t
ranje čestica, onda kažemo d a je v a l longitudinalan ; čestice t i traju uzduž pravca Širenja vala . Longit udinalni valovi mogu postojati u plinovitim, tekućim i t vrdim tijelima. Ako se pak poremećaj širi u pravcu koji stoji okomito na smjer t itranja čestica, kaŽemo da je val transverzalan ; čestice t i t raju popr ijeko pravca Širenja vala (crt . 23 . 1 ) . Transverzalni valovi mogu postojati u tvrdim ti jelima .
smjer titrQnja smjer širenja vala (al Crt. 23. 1 . Longitudinalno { a ) Širenje poremećaja
smjer titranja smJ.!=L š irenJa vala ( b) transver zalne { b )
- 271 -
- 270 Shvaćanje procesa nastajanja i širenja vala
mo�
"lanca" molekula. Pogledajmo najprije transverzalne lanac molekula u mirnom stanju ( Crt . 23 . 2 ,
Longitudinalno titranje istog l;!nca molekula ilustrirati
titranje.
položaj o)
gore ; ostale molekule se porazmjeste kao na položaju
i
I
se
pomiČu
i nastaje raspored molekula
nastavl ja i nakon vremena
3
kao
u položaju
modelu
Uzmimo da imamo
pomaknimo
Česticu l prema
prikazuje crtež 23. 2
se razvija slično kao kod transverzalnog titranja, do zguŠĆavanja i razri jeđivanja
širenja i
brzina
period
T
molekula
samo
II nakon
molekule
vremena
takoder
•
Proces
sada zbog titranja dolazi
duž pravca š irenja vala. Valna duljina ,
povezani su kao i prije relacijom
poŠto isteče vrijeme T/4.
Kad molekula 2 krene prema gore , molekula l kreće natrag; druge se
na
(23. 1 ) .
4 2 3 5 6 ���� ���������--��--�� 0
T/2. Proces
----
T/4
.
' \ \ \
--�-i�����o-��-