Fizika I [PDF]

Zitiervorschau

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET GRAĐEVINSKIH ZNANOSTI - SPLIT

S.

KILIĆ

FIZIKA I SVUET OKO NAS l

FIZIČKE OSNOVE MEHANIKE MOLEKUI.ARNO-KINETIČKA TEORIJA I TERMODINAMIKA

!

J.:

••

SPLIT 1986.

Recenzenti:

dr Vesra Gotovac, docent Tehnološkog fakUlteta Sveučilišta

u Splitu, akademik dr Kruncslav Ljolje, redovni profesor Prirodno-mate­ matičkog fakulteta Univerziteta u Sarajevu Lektor:

Zlodre Marija, profesor

Odobreno odlukom Cdbora za izdavačku djelatnost SveuČiliŠta

u Splitu

Izdavač:

Zgrada Fakulteta građevinskih znanosti u Splitu

Fakultet građevinskih znanosti SveučiliŠta u Splitu

FAKULTET GRAĐEVINSKIH ZNANOSTI- SPLIT SA DJELA TNOSTIMA:

- Znanstveno-istraživački radovi iz svih područja građevinarstva - Visokoškolska nastava - Stručni poslovi u području građevinarstva

Tisak:

Vojna štamparija, Split

�'

'. l

- 4 -

S A D R

Ž

- 5 -

A

J

9

PREOOOVOR f

'

(

'

SVIJET OKO NAS

I

l. Svemirski objekti

2. Materija, njene opće odlike i zadatak fi.zike

II

'

'

'

Primjeri riješenih zadataka

75

ll

ENERGIJA I RAD

78

8. Pojam energije, rada i snage

78 79

FIZICKE OSNOVE MEHANIKE

8.2. Kinetička energija

82

18

8.3. Potencijalna energija

83

18

3.1. Osnovne operacije sa vektorima

21

Pitan� za ponavljanje

32

Primjeri riješenih zadataka

33

KINEMATIKA

33

4. Brzina, ubrzanje, kutna brzina i ubrzanje

38

4.1. Brzina

38

Ubrzanje

41

8.4. Zakon sačuvanja energije

86

8.5. Energetski. uvjet ravnoteže mehaničkog sistema

87

9. Elementarna teorija sudara

89

9.1. Elastični sudar

89

9. 2 • Apsolutno neelastičan sudar i dis.ipacija mehaniČke energije

93

Primjeri riješenih zadataka

93

DINAMIKA ROTACIONOG GIBANJA

99 99

�.3. Pojam kutne brzine i kutnog ubrzanja

42

10. Dinamika rotacionog gibanja

44

10.1. Moment inercije obzirom na os

4.5. Pojam tvrdog {krutog) tijela i oblici njegova gibanja

47

10.2 . Moment sile i moment impulsa

50

10.2.1. JednadŽbe gibanja sistema materijalnih

za

ponavljanje

50

92

Pitanja za ponavljanje

�.4. Brzina i ubrzanje kod krivolinijskog gibanja

točaka (tvrdog tijela)

99 100 101

10.3. Zakon sačuvanja momenta impulsa

106

10.4. Rad i snaga pri rotaciji tijela

107 108

OSNOVE DINAMIKE

56

5. Newtonovi zakoni

56

10.5. Zvrk

61

Pitanja za ponavljanje

110

63

Primjeri riješenih zadataka

110

63

GRAVITACIJA

113

11. Gravitaciono međudjelovanje

113

11.1. Gravitaciona i inertna masa, težina

115

11.2. Keplerovi zakoni

117

5.1. Sile kod krivolinijskog gibanja

�6. Mjerne jedinice i dimenzije fizikalnih.veličina f-6.1. Međunarodni sustav jedinica 6.2. CGS i MKpS sustav jedinica

t

74

ll

8.1. Rad i snaga

Primjeri rijeŠenih zadataka

t

71

17

Pitanja

,.·,

7 .4. Reaktivne gibanje Pitanja za ponvaljanje

Pitanja za ponavljanje

+ 4.2.

i'

67 69

14

3. Vektor pomaka. Skalari i vektori

J

7.2. Centar inercije 7 .3. Zakon sačuvanja impulsa

65

7. Impuls sile, centar inercije, zakon sačuvanja impulsa

67

7.1. Impuls sile

67

11.3. Rad gravitacione sile, kozmičke brzine

l

Pitanja za ponavljanje

124

Primjeri riješenih zadataka

12ll

19

- 7-

- 6 -

127

INERCIJALNE SILE

�2.

Neinercijalni sistemi referencije

tvari - mol

194

127

17. Zakoni idealnih plinova 17.1. Stupnjevi slobode, raspodjela energije i

200

12.1. Centrifugalna inercijalna sila

128

12.2. Coriolisova inercijalna sila

129

12.3. Bestežinsko stanje

131

12.4. Princip ekvivalentnosti

132

Pitanja za ponavljanje

133

Primjeri l"iješenih zadataka

133

Pitanja za ponavljanje

MEHANICKO TITRANJE

136

Primjeri riješenih zadataka

213

13. Titranje

136

TERMODINAMICKI ZAKONI

219

13.1. Harmonijske titranje

13.2. Sastavljanje titranja na istom pravcu 13.3- Prigušena titranje

13.5. Slaganje međusobno okom itih titranja

Pitanja za ponavljanje Primjeri riješenih zadataka ELEMENTI i'IEHANIKE TEORIJE RELATIVNOSTI

14. Specijalna teorija relativnosti

14.1. Kinematika specijalne teorije rel ativn o sti 14.2. Dinamika

spe

c ijalne

lll 3. Masa i energija

13 7

141 14lJ 146

13.4. Prisilno titranje

teorije relativnosti

.

15. Osnovne ideje opĆe teorije relativnosti Pitanja za ponavljanje Primjeri riješenih zadataka III

16.3. Tlak, temperatura i količina

l ll9 152 153

157 159

172 181 18lJ

IDEALNI PLINOVI

191

16.1. Pojam unu tarnje energije sistema

16.2. Rad i toplina - oblici prenosa energije

trenje (viskoznost)

1f l 9.

192 193

206

208

219

19.1. Rad sistema pri promjeni njegova volumena

219

19.2. Formulacija prvog zakona termodinamike,

f-i9. 3.

toplinski kapacitet i primjena na idealne plinove Adijabatski procesi

222 225

19.4. Ireverzibilnost toplinskih procesa, ograničenje prvog zakona termodinamike

�O.

227 229

Drugi zakon termodinamike

20.1. Princip rada toplinskih strojeva Koeficijent kor1snog djelovanja

·20.2.

20.3. Apsolutna temperaturna skala, definicija kelvina

20.4. Drugi zakon termodinamike, ireverzibilnosti i entropija

229 230

Carnotov kružni proces

233

priroda

234

Pitanja za ponavljanje

242

Primjeri riješenih zadataka

242

POVRŠINSKE POJA VE

248

21. Površinske pojave

191

204

212

Prvi zakon termodinamike

185 191

teorije i termodinamike

18. Prenosne pojave u plinovima · 18.1. Di fuzija, toplinska vodljivost i unutarnje

161 170

MOLEKULARNO-KINETičKA TEORIJA I TERMODINAMIKA

16. Osn ovn i pojmovi molekularno-kinetičke

un utarnja energija idealnog plina

�1.1.

Površinska napetost

21.2. Adsorpcija i apsorpcija

248 249 250

•

_.J

- 8 -

l

'

- 9 -

21.3. Pojave kvašenja

252

21.4. Kapilarnost

255

Pitanja

za

�onavljanje

257

Primjeri rijeŠenih zadataka

257

FAZNI PRIJELAZI

259

22. Fazni prijelazi I reda

259 260

22.2. Talenje i skrućivanje

261

Trajna i kritična točka

262 263

Pitanja za ponavljanje

266

Primjeri rijeŠenih zadataka

266

ELASTICNI VALOVI

269

23. OpĆenito o valnim procesima

269

23.1. Valna funkcija ravnog i kuglastog vala

272

23.2. Valna jednadžba

278

23.5. Interferencija i difrakcija valova Odbijanje i lom valova

u prirodi. Vjerujemo da udžbenik može poslužiti naprednijim dacima srednjih Škola i studentima drugih fakulteta. ZamiŠljeno je da udžbenik ne bude po volumenu obiman, da daje brzu info r­ maciju,

te kao takav bude praktičan

za

učenje i usvajanje gradiva iz fizike.

zakona u svrhu lakšeg savJ.adivanja programa iz stručnih predmeta. Preostali dio gradiva, iako je unesen zbQg cjelovitosti izlaganja, nije manje važan. -Svijet oko nas predstavlja jedinstvo i važno je upoznati njegove opće fizi­ kalne osobine kako b i s m o što pravilnije �gli djelovati u svojoj struci.

pristup u fiz,ici započet knjigama Landaua (1) ,Kitaigorodskog (2), Feynmana

(3) i nastavljen od drugih (4,5,6), a koji se sastoji u direktnom iznošenju

suštine problema, bez dug ih opisa poku-sa, bez iz.nošenja sitnih detalja itd. Pokusi kao moćno impresivno oruŽje učenja igraju takoder važnu ulogu. Oni trebaju biti zastupljeni na predavanjima i z.ajedno sa udžbenikom tvo­

279 280

riti jednu cjelinu. Današnji program iz, fizike na fakultetima građevinskih znanosti u SR Hrvatskoj sadržava slijedeća područja:

281

23.6. Stojni val

287

24. Zvuk

289

24.1. Dopplerov efekt

291

24.2. Opće karakteristike ultrazvuka i njegova primjena

294

25. Grupna brzina valova i brzina prenosa energije

295

Pitanja za ponavljanje

298

Primjeri rijeŠenih zadataka

298

LITERATURA

studente Fakulteta građevinskih znanosti

Način prezentiranja gradiva, po miŠljenju autora, slijedi odredeni

23.3. Energija vala, tok energije,

23.4. Prigušenje valova u realnim medijima

za

Izbor gradiva u udžbeniku pretežno je rezultat potrebe poznavanja fizikalnih

22.4. Vodena para u zraku

intenzitet vala

Ovaj udžbenik je napisan

u Splitu. Njegov je cilj da upozna studente s osnovnim fizikalnim pojavama

22.1. Isparavanje, kondenzacija i vrenje 22. 3. Dijagram ravnotežnog stanja

PREDGOVOR

303

NEKE VAZNIJE FIZIKALNE KONSTANTE I GRCKI ALFABET

301!

KAZALO

305

1. Svijet oko nas 2. Fizičke osnove mehanike 3. Molekularno-kinetičku teoriju i termodinamiku

4. Osnove elektromagnetizma i

5. Osnove fizike atoma i molekula

6. Osnove nuklearne fizike i

fizike elementarnih čestica

4. Fiziku materijala

optike

U ovom udžbeniku nalazi se onaj dio gradiva koji se odnosi na prve tri točke, tj.

na

opću sliku Svemira (Svijet oko nas), fizičke osnove mehanike

i molekularno-kinetičku teoriju i termodinamiku.

- 11 -

Kako se

mnogi

dijelovi I

to su u udžbenikU mnogi proble

(kao

npr.

mehanika

SVI JET

OKO

NAS

fluida) •

Nakon sva,kog zasebnog dijela gradiVa. slijede pitanja

i primjeri riješenih zadataka što ima

za.

za.

1 • SVEMIRSKI OBJEKTI

ponavljanje

cilj da pgne StUdentu provjeriti

U našem saznanju o svijetu u

teorijsko znanje i još bolje rasvijetliti određene pojmove. Autor ne pretendira ni obrađeni su slično u

na

kakav oblik originalnosti. Svi problemi, naime,

literaturi koja je

koriŠtena

i čiji je popis priložen na

kraju. Poseban odraz na ovaj udŽbenik imala je literatura označena znakom

a većina zadataka preuzeta je iz literature koja je l)značena s Dragocjene primjedbe prilikan prve recenzije poniknuo ovaj udžbenik, dao je akademik K. Ljolje •

za.

(

JE !E

)•

(

•

skripta. iz kojih je

.

Autor je svjestan da će nedostaci ovog udžbenika postati Vidljivi njego­

vom upotrebom i bit će zahvalan kolegam studentima i svakom drusPm mjedbama i savjetima nužnim

za.

na

pri­

njegovo poboljšanje. U tom smislu zahvalan sam

studentu Nikoli DeŠkoviću koji je pročitao raniji tekst skripti te dao niz važnih primjedbi.

USplitu, listopada 1986. godine

),

tri grupe objekata:

kojem

živimo i čiji

smo

dio ističu se

1. svijet "osnovnih" čestica i atoma - mikrosvijet;

2. svijet svemirskih objekata (planeta i njihovih ·:satelita ,

(

zvijezda i td.) - makrosvijet;

3. svijet Živih bića.

OVakva podjela ističe u biti tri grupe fenomena

kojima je

znanost orijentirana. Nije moguće povući oštru granicu izmedu

danaŠnja

ove

tri $I"UPe

objekata kada znamo da svugdje osnovnu ulogu igraju osnovne čestice, atomi i njihovi medusobni procesi. 1 • Najjednostavniji atom je atom vodika. Jedan proton Čije su linearne 15 m, okruŽen je jednim elektranom tako da je dija­ 10 metar atoma vodika reda veličine 10- m. Danas je poznato 107 različitih atoma;

dimenzije reda veličine 1o -

njihove veliiHne možemo smatrati približno jednakim veličini atoma vodika. Utvrd.eno je nadalje da postoji mnogo "osnovnih" čestica kao što su

elektron

proton. Spomenimo da se danas nastoji dokazati kako ni ove čestice nisu SV zračenje Tvar (supstanciju) definiramo u fizici kao onaj oblik materije čija je masa različita od nule. S druge strane objekte Čija je masa jednaka nUli nazivamo zračenjem. Ali, kako postoje procesi u kojima se odvija i međusobno pretvaranje tvari u zračenje i obrnuto, i koje jasno uključujemo u gornju jednakost, stav­

ljen je u relaciju znak e a ne oznaka

+ za

uobičajeno zbrajanje.

Znanje o Metagalaksiji nas uči nadalje da se sve Što postoji ( : materija) nalazi u stanju neprekidnog gibanja u najopĆenitijem smislu. Termin "gibanje" obuhvaća ovdJe svaki mehaniČki, kemijski, biološki, misaoni itd. proces. Kažemo da je gibanje osnovno svojstvo materije. S pojmom gibanja povezan je pojam prostora i vremena. Objekti Metagalaksije formiraju našu predodŽbu prostora i vr �ena. � je pojam koji se često odvaja od materijalnih objekata i na taj način postaje apstraktan i nerazumljiv. Tako npr. promatrajUČi jedno tijelo koje je udaljeno od drugih objekata možemo pitati gdje se.nalazi to tijelo. Zamišljamo li pri tome da postoji neki prazni "prostor" u koji su uronjena sva tijela, može­ mo odgovoriti da se tijelo nalazi u nekom dijelu tog prostora. Ali, možemo dalje pitati Što je taj prostor i koje su njegove fizičke karakteristike. Nije moguće odgovoriti na ova pitanja jer ni jednu fizičku karakteristiku ne možemo pridije­ lit:!. takvom pojmu prostora (on riij e fiziČki objekt). Naime, u našoj spoznaji svi­ jeta operiramo samo sa fizičkim veličinama koje predstavljaju manifestaciju svoj­ stva materijalnih objekata. Stoga pojam praznog "prostora", u koji bi bila uronje­ na sva tijela, nema smisla. S druge strane pojam prostora postaje jednostavniji i razumljiviji kada se analizira kao jedno opće svojstvo materijalnih objekata. Primjećujemo da sva tijela imaju: Gibanje, prostor i vrijeme

2. MATERIJA, NJENE OPĆE ODLIKE I ZADATAK FIZIKE

l. Izraz "materija" danas je u velikoj upotr·ebi. Ovo _Je ponajprije poslje­ dica

toga U

Što se taj

termin

upotrebljava

za različite pojmove.

kn jigama iz fizike može se naći definicija ovog pojmax:

"Materija je objektivna realnost koja postoji nezavisno od čovjekova saznanja ... " Dakle, u ·najopćenitijoj definiciji ovog pojma kaže se da je ma­ terija sve što postoji. Medutim, pored ovakve upotrebe termina "materija" neri­ jetko se u istoj literaturi pod "količinom materije" podrazumijeva i količina tvari, tj. količina supstancije. Ovakva upotreba termina "materija" r.azličita je od prethodne. Ipak u svim slučajevima·iz prirode problema je jasno na koji se pojam misli.

U dr ug im knjigamaxx

nu tvar i

riječ "matter" (= materija) se koristi nego da označi pojam svega što postoji.

više

za

količi­

u

na.šem jeziku imamo pojam tvari ili supstancije s kojima možemo povezati poj am "količina materije", a za� ono što postoji koristi ti termin materija. Ovakova terminologija n e samo da sadržava jednoznačnost pojmova, nego i jasnije

ističe pojam materije kao osnovne fizičko-filozofske kategorije.

što znamo o svijetu, dakle �etagalaksiji, možemo uvjetno svesti na jedan od najopćenitijih fizikalnih objekata: tvar, zračenje i procese njiho­ vog međusobnog odnosa. Možemo stoga napisati jednakost: Sve ono

x xx

Pretežno iz Sovjetskog Saveza Pretežno u z apad n im

zeml jarr.a

l. protegnutost (nijedan materijalni objekt nije matematička točka), 2. da zauzimaju odredeno mjesto u odnosu na druga tiJela i 3. da su sva tijela međusobno raspoređena na neki naein. Ova opća svojstva materiJalnih objekata reflektlraJU se u našoJ spoznaji u poJam prostora. t�temat1Čka formu1ac1ja ovih svojstava odredena je nizom geo­ matenjskih pojmova. 'J'aJ-0 b. t dt

( 4 .3}

Kada se 6. t smanjuje, vektor b.r pOstaje sve bliži tangenti u točki na limesu'· pao u tangentu. Kako je b..r

X

L::.r

Y

=

x

= y

(t ) 2

(t2)

- X

(tl)

=LJx

- y

(tl)

y

6rz:: z (t2) -z (tl) ..., L:J z to iz (4.3) slijedi vx ::lim At-o v :lim y

At-o

v z = lim

�t-il

tb'dul vektora ";' je

Crt. 4.1. Uz definiciju brzine

'

/vj=

v

b.x 6.t

--=

� dt

./:ll_ :: _.EL 6t dt 6z .6t

--=

dz dt

A da

'

bi

1

- 40 -

lliblčajene oznake za vrememlcu deriVBCiju ,t·.

:.;

- 41 -

(Newton)

točlce

su

iznad deriVirane

veliČine . Npr .

l ..

Zbrajanje

brzina

Neka se tijelo brzinQlll u giba po palubi broda pod kutom

na smjer gibanja. Brzina broda spram Ze!lllje neka je u

Crt . 4 . 3 . Izračunavanje puta Dakle put za ' vrijeme od t

>--- u-·

1

do t 2 jeste S =

f

t,

t,

v ( t ) dt .

(1! . 5 )

4.2. Ubrzanje Crt . 4. 2 . Zbrajanje brzina

Brzina materijalne točke neprekidno se mijenja kako po smjeru tako i po iznosu kada se promatra najopćenitije gibanje . Kod jednolikog ubrzanog gibanja

Ukupni po!liak tijela zbog oba gibanja jeđ!W< je 6 S = gdje je .6. s pomak zbog gibanja t i jela spram broda , a broda . očigledno je nakon diobe sa

L:.-; +

--

brzina se mijenja jednoliko, pa je njezina promjena u jedinici vremena konstan­

6-; + l::.St .

Ll t

.6. s'

pomak zbog gibanja

u jedinici vremena . Ako postoji neravnomjerna promjena brzine , onda pod srednjim ubrzanjem as za dani vremenski interval podrazumijevamo omjer promjene brzine r i pripadne promjena vremena . Ako je u času t materijalna točka imala brzinu 1 v (t ) , ·a u kasnijem času t2 brzinu v ( t2 ) ' onda je po definiciji njeno srednje l ubrzanje :

L:.-;.

---

L':. t

tna veličina. Za takvo gibanje može se definirati ubrzanje kao promjena brzine

L':. t

odnosno u limesu:

V ::: li + U' ..

a sr

(4.4)

=

(4.6)

t2 - t l ------

To je zakon zbrajanja brzina koji vrijedi u klasičnoj fizici .

Izračunavanje s

=

.

,,

ubrzanja za beskonačno mali vremenski interval : Podijelimo cijelu predenu stazu na male di jelove

predenog puta

� osi.

relacija daje

Ubrzanje je fiziČka veličina koja je jednaka graničnoj vrijednos ti srednjeg

s ..6. 1 ,

s .6. 2 , . . .

Općenito je .6 s = v i i

S = lim At,-0

n

[ v.

i=1

�

!:::.

t. . �

t:::.. ti '

..6 s . Ukupni put S je onda n

pa : s

...

�

v i

.6. \ ·

lim t..t -0

u limesu ova

6.v 6.. t

dv =

dt

Dakl e , ubrzanje određuje promjenu brzine čestice , a jednako j e brzine po vremenu .

(4.7)

derivaciji

- 42 -

- 43 -

Ce$to je važno odrediti bl"Zinu tijela

O:lredivanje br-zine iz poznatog ubrzanja

u nekom času, pretpostavl jajući da se tijelo giba s poznatim ubrzanjem. Iz definicije srednjeg ubrzanja slijedi da je

bnim slučajevima promatrati kao vektor . Promatraju li se, naime, mali kutevi rrože se "pomak" po luku aproksimirat i stvarnim pomakom. Tada npr. dva uzastopna pomaka .6. r i 6.. r 2 dovode do istog rezultata kao i treći pomak D. r l koji je jednak sumi prvih dvaju .::l. r3 = l::. r l:i. r2. Sa svakim pomakom o­ l vezano je gibanje po luku što odgovara neldm malim kutevima l:i. i {:j. • .Ako onda pridružimo svakom malom kutu vektor koji stoji okomito na ravninu kuta , a

+

Ukupna promjena vektora brzine jednaka je sumi svih malih

promjena

/:::;. v :

[ a< t . >

!:::.. t .

i

Ukupna promjena brzine je časa t . U limesu je očito

v( t) - v( to }

:: lim C.t;-0

v (t)

-

v ( t0 ) ,

n

) -;( t, )

f:r

�

ako se

b t, = •

ft t.

ona

mijenjala

�

�

'P,_

�

ina rrodul jednak veličini kuta i smjer napredovanja desnog vijka kad se ovaj zaVija u smjeru gibanja čestice, onda se pokazuje da vrijedi = .::l_ .6.

d"f;

t{ +

f.:

�

od časa t0 do

(4.8)

a{ t ) dt

Zakon zbrajanja ubrzanja slijedi iz zakona zbrajanja brzina: ako s� materijalna

točka giba s ubrzanjem a spram nekog drugog tijela koje se giba s ubrzanjem a 2 l spram opažača, onda je ubrzanje materi jalne točke spram opažača Crt . 4 . 5 . Uz deriniciju kuta kao vektora

(4.9}

a 4 . 3 . Pojam kutne brzine i kutnog ubrzanja

Neka se materi jalna točka giba po kružnici radijusa r 1 neka se za vrijeme

Za jednostayan slučaj gibanja po kružnici svakom kutu pridružen je vektor koji

stoji okomito na ravninu (crt . 4 . 5 ) .

�t njezin radijus-vektor promijeni za kut � f . Kako kut

l::. 'f

mjeri "pomak"

Definirajmo sada kutnu brzinu kao vektor ••

čestice po kružnici , to je korisno uve­ X

sti pojam kutne brzine kao izraz :

Cr t . 4 . 4 . Uz definiciju kutne brzine

Iako kut

'f

nije vektorska veličina , općenito govoreći , može se u pose-

w = lim �t-o

-

e:,.:P = __iL

l::.

t

dt

(4. 10)

s pravcem nosiocem duž osi rotacije i smjerom u smislu napredovanja desnog

vijka, kako je prikazano na crt . 4 . 6 .

• J

- 44 -

- 45 -

tako da slijedi l l

je r :: R sin

i

w. r , ili u vektorskoj formi , kako slijedi sa crte ža , jer

v =

v :: W x R

V' ,

(4. 12)

w

/ l l l l \

/

--- ,

Ort.

.....

_ w

o..

4 .7.

Kutna i obodna brzina

'· '

' \

- - - - -'- - - 1 l

}

y X �

-

y

/

Ubrzanje čestice kod jednolikog gibanja po kružnici možemo lako odrediti

/

/ .l' X

koristeći crtež

4.8

•

Or t . 4 . 6 . Kutna brzina i ubrzanje

sin

sin Mijenja li se u tijeku vremena kutna brzina promjene možemo uvesti kutno ubrzanje

Cl. = F

lim

At"'i1

L:. w .6. t

OC

W,

C::.. 'f 2 l:::. 2'f

=

(2=v..�... _,I.: D:::.;.. :: l � 1 J V"

_

=

k.ao mjeru brzine njene

d W

t:::. 'f = A s

(4 .ll)

dt

l """

r

) l:::.v ) /2 l v/ D.'t'/2

1 6 -vl .. I C::.'t'

lv

'

4.4.

Brzina i ubrzanje kod krivolinijskog gibanja

l . Gibanje po kružnici

Ort . 4 . 8 . Ubrzanje kod jednolike rotacije

To je u praksi veoma čest oblik gibanja. Nemoguće je zamisliti postojanje nekog uređaja koji ne bi

ukljuČivao u

ma

kojoj formi gibanje čestica po kružnicama.

Giba li se čestica jednoliko po kružnici radijusa r , modul njezine brzine je : v =

2 IT

r --T

gdje je T period, odnosno vrijeme

za

koje čestica jednom

obiđe kružnicu .

Kako je kutna brzina omjer prebri sanog kuta i vremena , to je W ::

uvrštavaJ·ući izraz za 1:::. "' \

Kako je veličine

T

vrijeme

C::..

Li fi .6 s

1

A 1...::.

-1 v

t čestica prešla put

=

6

v '1 -1

6.

s r

s , to na granici kada

!::::.

t � O,

teže takoder nuli . Ali , u tom slučaju smjer vektora

6. v

postaje okomit na vektor v. Označimo li taj smjer sa jediničnim vektororn n, onda je

.2JI._ ,

za

imamo :

!::::.v-n

l t::.. v l ,

odnosno

t::.:-v ..,

1 vl

6s

-1r

n

- 46 Nakon dijeljenja s

- 47 -

na _l _ r

U limesu dobijamo

a=

za

n

!:::::. �

6..Vi· . �V)

i

Vektora tv+

(Zapazimo da je

Ll

(4 .13)

r

=

.ć.Jvl= 6. :f.

l vl -

!::. Vt•

Vektor ubrzanja jeste

a

an .

Uočimo da je za jednu te istu brzinu v ubrzanje a veće n što je radijus staze manji , t j . što je zakrivljenost krivulje , , veća .

;

2. Gibanje po krivulji općeg oblika

Mi ćemo promatrati samo ravninsko

odabrali tako da je

6_Vn jednaka modulU VektoraV. OČigledno !::l. J v l jednak modulu vektora ��· ,

7!"•

4-l. A v o:.

6.v A.t-o .6. t .{}.vn l im �--�t--o A t

+ lim

�t-o

2 Prvi član smo već promatrali ranije ; on daje .:!__ r A A y . 1... u. v njem gornjih relacija, 'IF• w. t, i s � u

l

posljedica toga .što na graničnom prijelazu

2" '-.

.6. t

•

n.

Drugi Član daje ' kori.šte-

dV ;;::"" ;:mesu vodi na � [. �

.

Prema tome je

•

,

Ovo Je

gibanje t j . ono kod kojeg se sve točke trajektorije nalaze u istoj ravnini . Na ovaj slučaj gibanja , mogu se svesti i giba­

-

a

nja u prostoru , pa takva nećemo izučavati posebno.

.....

a

=

=

2 v r

n +

__!E_f dt

(4.14)

odnosno

.....

(4. Ilh

+ a;:

Dakle, ukupno ubrzanje jednako je zbroju normalnog ubrzanja

r 1

J

ubrzanja

· �·

at

�i

tangecijalnog

··....

4.5.

Pojam tvrdog (krutog tijela i. oblici njegova gibanja

Pre.dodžba materijalne točke korisna je u onim fizikalnim situacijama gdje

su dimenzije tijela nevažne � procese koji se promatraju. Cešći su slučajevi

kad nije moguće ti jelo promatrati kao materijalnu točku, jer u gibanju znatnu Crt .

4.9.

Ubrzanje kod opĆeg krivolinijskog gibanja

ulogu i5raju

je

:: lim

=

Ovo ubrzanje je usmjereno prema normali r.rajektoi"ije i zbog toga se zove normalno

v.

l /::,.v l =

2 v = r n .

ubrzanje i biljeŽi se

!::.. vn

dO vrha Vektora

l .t:.: 'Tl

tj .

Pisano vektorski

=

gdje smo

'

tada prirast modula vektora bržine

•

ubrzanje

lim 6. --v �t-O f::::. t

1::::. v rastavimo dulJina od ishodišta

Koristit ćemo rezultate iz prethodne toČke . U tu svrhu vektor

� t slijedi :

konačne dimenzije tijela. Mi demo ovdje promotriti

takvih tijela tzv . tvrda tijela . Pod tvrdim tijelom

u

posebnu klasu

mehanici podrazumijevamo

- 48 -

takvo tijelo kod kojeg medusobni

- 119 -

položaji njegovih dijelova ostaju nepromjenjeni

Ubrzanje je za .

......

pod utjecajem sil e . Ovako definirano tvrdo tijelo često nosi na�iv apsolutno tvrdo tijelo. Najjednostavniji oblik gibanja tvrdog tijela je translaciono

Vektori

gibanje.

,.,_ -

d w -

0.. = lim � At-o !::::. t

vri jeme gibanja. MJžemo , ekvivalentno gornjem , reći da se tvrdo tijelo ne deformira.

To je takvo gibanje tvrdog tijela pri kojem svaki njegov dio ima istu brzinu i

W

i

(J:_,

( 4 . 16)

dt

le že u osi rotacije .

Jednoliku rotaciju tvrdog tijela možemo karakterizirati periodom rotacije

ubrzanje (crt.4.10) .

T, pa je modul kutne brzine t vrdog tijela

w: .LlL T

Broj okreta u jedinici vremena naziva se frekvencijom. Ako tijelo rotira

kvencijom

V

,

onda mu je period T

=

+

,

fr e-

pa je kutna brzi na

( 4 . 17) Rotira li tvrdo tijelo kutnom brzinom W

,

onda je z a sve točke na udaljenosti

r od osi rotacije brzina v ( kako smo ranije izveli za materijalnu točku ) :

v = W. r

i l i vek tor ski

v= w

x R.

Sto je neka točka tvrdog tijela dalje od osi rotacije , to je n j ena brzina v e ć a .

Da bi se istaklo kako je v o bi čna brzina a ne kutna , često se za nju kaže da je

Crt . 11 . 10. Tl'anslacija krutog tijela

line.arna ili obodna brzina .

Normalno ubrzanje uoćenog djelića tvrdog t ijel a , kako slijedi i z r ani jeg

Isto tako važan oblik gibanja tvrdog tijela je rotaciono gibanje oko osi . To je

razmatranja, jednako je

takvo gibanje kod kojeg sve točke tvrdog tijela opisuju kružnice koje leže u

ravninama okomitim na os rotacije i koje imaju centre na toj osi. �

.t�o

onda je kutna brzina tvrdog tijela

Crt . 4 . 11 Rotacija krutog tijela

r

promatrati

kao rotaciju niza materijalnih točaka ,

brisao za vrijeme

2

( 4 . 15 )

Ma

f::::. t

r O\. .

( 4 . 19 )

koje gibanje tvrdog t i jela može s e promatrati kao rezultat translacionog i

rotacionog gibanja ; otuda i znaČaj izučavanja posebno rotacionog i translacionog gibanja.

- 51 -

- 50 -

Pitanja za ponavljanje l . Sto je srednja brzina, a što prava ( il i

momentalna)

v(t)

brzina? Zašto je brzina

=

v

0

t

J

+ a

o

vektor? Kako glasi zakon zbrajanja brzina? Ako je poznata brzina duž puta , kako određujemo pređeni put?

poznato ubrzanje? Kako se zbrajaju ubrzanja?

s

3. Kako definiramo kutnu brzinu i kutno ubrzanje? Sto je period rotacije?

Kakav je odnos kutne brzine , brzine čestica i radijus-vektora sa ishodiŠtem

= =

x(t) - x 0

[

v t + a o

=

I

4 . Sto je tvrdo tijelo? Sto je rotaciono, a što translaciono gibanje krutog

t

vt t ) d t t

LJ!= 2

na osi rotacije? Što je normalno a što tangecijalno ubrzanje?

o

v t + o

x( t )

Neka se tijelo giba pravocrtno s konstantnim ubrzanjem a. U času t :: o neka se tijelo nalazi u točki x = x ( o ) "., x0 i neka ima brzinu v(o) "" Vo ·

Rješenje

=

v + a:t 0

=

t

I[

�

v + a 0

v,

Crt . 4 . 12. Vremenska zavisnost položaja tijela

'

'

2:

: X

0

+ V t + o

at

2

--

(4.20')

2

.,

u

času t .

(4 .20' )

2. Materijalna točka se giba pravocrtno. Zavisnost predenog puta od vremena dana 2 4 je relacijom: s ( t ) = t + 2t + 5 , (vrijeme je dano u sekundama ) . Odredite :

2. Brzinu i ubrzanje nakon 2 sekunde ! 3- Cdrediti srednju brzinu i srednje ubrzanje u prve dvije sekunde !

Rješenje

x.

,;

2 at

l . Put koji tijelo prevali u 2 sekunde !

Nacrtajmo kvalitativan crtež.

l

dt

v ( t ) = v + at 0

Primjeri ri ješenih zadataka

Odredite koliki put je ti'jelo prevalilo u času t i kolika je brzina

v + a . t 0

Dakl e , našli smo da su put i brzina kod jednolikog ubrzanog gibanja

tijela? Sto je frekvencija rotacije? Zašto je period rotacije jednak reci­ pročnoj vrijednosti frekvencije rotacije?

:

o

Relacija ( 4 . 5 ) u konkretnom slučaju daje

2. Sto je ubrzanje? Kako se određuje ukupna promjena brzine duž puta ako je

@ U

dt

t a d t imamo :

J

v ( t ) :: v + 0

Koristeći relaciju ( 4 . � )

l . U času t = o put je s{o) = o U Času t = 2s put je s ( 2)

=

4 2

4

+

2 . o +

2

2

+

5 = 5

+

•

5

::

m.

16

+

U dvije sekunde tijelo prevali s(2) - s(o) = 29 - 5

2. Brzina tijela je v( t)

:

� dt

:

4 t3

+

8

+

=

5

=

24 m.

29 m.

2 . Zt .

U početnom času t = o brzina je jednaka nul i : v ( o ) = o. 3 4 • 2 + 4 . 2 Nakon 2 sekunde brzina naraste na v ( 2 )

40 � s

- 52 l. '

Promjena orzine je v (2 )

-

Ul:lrzanje je a ( t )

=

U U

času t

=

��

=

o a{o)

=

času t = 2 a(2)

=

lj 12

v(o)

12 t 2

_m_ 2 s

•

22

= +

40 lj

- 53 -

m/s. Za naš

+

lj =

lj8

+

lj

=

Srednja brzina u prve dvije sekunde je vsr =

' ' '

!:::. s

�

= s (2 ) - s ( o ) 2

Srednje ubrzanje jeste asr

=

=

po

r-ta-I

4. s = lj8 4 .

52

o

s

;:

� = 12 � . s 2 2

w = eX

w=

Budući da je ubrzanje konstantno, to je iz relacije (lj.11 )

(!J.2l )

gdje nismo vodili PaČuna o smjeru vektora �i � budući da s u oba u istoj osi. Iz definicione relacije ( 4 . 10) i (�. 21 ) slijedi = w

dt

:: O(,t

dt .

o

'fo smo

počela.

t

=

�

2·2

l

Na putu oko Sunca Zemlja

2

n

l

f- t =

J o

LU (t ) dt

iT

n/Df..

•

iT n

približno konstantnu linearnu brzinu vz 29 � . s Odredite omjer centripetalnih ubrzanja koje imaju dijametralno suprotne točke A i B na površini Zemlje zbog vrtne Zemlje oko Sunca i vrtnje točaka na povr­ Šini Zemlje zbog rotacije zemlje oko svoje osi (crte ž ) . što zakl jučujemo? ima

=

'

\ \ l \

�---+-------��----�A�

�

označili onaj kut koji odgovara položaju tijela prije nego je vrtnja lirnesu dobijarro t

Na

2·2

3 , 111 20 200

·

i=1

�

Rješenje

Ukupno prebrisani kut nalazimo općenito kao sumu malih prebrisanih kutova �t;l za intervale � t.

f-f. = [ .6 f

n , t.ako da je iz ( 4 . 22' )

Uvrstirro podatke :

Rješenje

CL : � = � -W = c:Lt , t dt

iT

Iz ove relacije i (4.21 ) dobijamo:

IJO

=

l

dt = cX.. t2 12.

O( t

definiciji

v(2) - v{o) 2

df

( 4 . 22 ' )

Nakon n okreta materijalna točka prepiše kut 2

3. Miterijalna se tOČka vrti po kružnici s kutnim ubrzanjem 01-. : 200s-2• Odre­ dite kutnu brzinu materijalne tOČke nakon n 20 punih okreta.

W= d f dt

o(. t ,

t

•

Prirast uorzanje jeste a{2) ' - a{o) : 52 - lj 3.

slučaj, gdje je W ::

(4.22)

w l

l l

Cl"t . 4 . 13. B

Rotacija Zemlje oko

Sunca

- 55

- 54 Označimo li s

vA

i v

B

br-zinu točaka A i B zbog rotacije Zeml je , onda je

A VA i V su brzina točaka i B spram Sunca. Period rotacije ZemlJe je T = 24 sata , B tako da je vrijednost brzina v = v = U) R, R je radijus - Zemlje , a W njena A B kutna brzina . Cent ripetalna ubrzanja su: a

A

=

o;:·

Uvrstimo li brojčane vri jednosti , itna:lno-:

3 2·3 ,14·63 70 10

.2l..!L =

24·60 ·60 ·29 103

=

0 ' 0159"

•.: . ; i

(

Dakle

a A

--

�

v2 _A _

O. 9384 ; područja na zemlji dalje od Sunca osjećaju veća

"""

ubrzanja .

5. Rotor elektromotora

-

tvrdo t ijelo okreće

se

Nakon iskl jučenja struje zaustavi se nakon t

frekvencijom n =

=

955 okreta/minuti .

lO s. Snatrajući da je ubrzanje

rotora jednoliko usporeno, odredite:· l . kutno ubrzanje u momentu nakon iskopča­

a njihov omjer je

C vz - vA ) a A a

r =

B

l . Kutna brzina u času iskopčanja jeste

C vz + v ) B

(v z - wR ) r

A

2 . broj okreta do zaustavljanja.

RjeŠenje

A

r B

=

nja,

2

2

j

W0 Cv z + to R ) r A + 2R

2

=

2

Ti /T

= 2

t j . W0 = 2

iT n ,

jj 955/60 � 100

l s- .

Kako je usporenje jednoliko, to je iz CX. :

Ll W /

f::,. t

gdje je W kutna brzina na kraj u t sekunda , a t0 je početno vri jeme , t j .

Kako je

t

w = o ,

=

10

to je Dakle

.:.:. ll ,.::.: . 95� 5 =-...;.: -2 10 . 60

t Budući da je W =

.2..]__ , T

to je

l

2. Broj okretaja m =

-Jr

,

�

gdje je

f

prebrisani. kut od momenta iskapča­

nja do momenta zaustavljanja . Kod jednoliko usporene rotacije je

Uvrštavanjem dobi jamo dakle broj okreta j este

m =

500

-=-

2 11

lO

lO _

•

2 � 80 okreta .

2

lO

!:

500 rad!jana ;

7

- 56 -

O S N O V E

- 57 ..

D I N A M I K E

referencije .

Sistem

referencije u kojemu je

zadovoljen prvi Newtonov zakon naziva

se inercijalnim sistemom referencij� Koliko ·ima takvih sistema? Ima ih beskonačno

mogo.To su svi oni siste.mi koji se· spram uočenog inercijalnog gibaju pravocrtno

i jednoliko. Neka se npr . sustav K' giba spram K brzinom 1i , a čestica neka ima 0

brzinu Y. spram K' .

5. NEWTONOVI .zAKONI

U

osnovi

klasične mehanike ili Newtonove mehanike leže tri Newtonova zakona.

U njima se izra�va sve osnovno i najopćenitije što sadrže eksperimentalne činje­

nice , tj. svaki proces u prirodi koji spada

u

podruČje klasične mehanike može se

opi$ati ovim zakonima . Kako ćemo kasnije vidjeti , to su gotovo svi procesi koji ne

y

Crt . 5.1. Dva inercijalna sistema

K

spadaju u atomske i one s brziDama blizu brzine· svjetlosti. Dakle , cjelokupna da­

L :1

našnja tehnička znanost , i zuzevš.i elektrodinamičke pojave , može se uz odredene na- · dopune opi$ati ovim zakonima. To onda đaje Newtonovim zakonima fundamentalno mje­ sto

u

tehniČkim znanostima.

X

l?!wi Newtonov zakon : "Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijeni 11 • Original :

"Corpus ornne perseverare in statu suo quiescendi vel rnovendi uniforrniter in directurn, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur , staturn suurn mutare11 •

!Tzina čestice u sustavu K je -; = v + v ' . Zbog toga se čestica i u sustavu K 0 giba konstantnom brzinom-v jer su-v i v' takoder konstantne brzine . Na beskonačno 0 mnogo načina može se odabrati sustav K, odnosno1i • 0 Da bismo shvatili drugi Newtonov zakon , bit će potrebno uvesti pojam sile ,

količine gibanja 1 �·

Termin 11sila11 u svakodnevnom životu često nema isto značenje kao u fi zici . To znači da brzina tijela ostaje konstantna ako druga tijela ne djeluju na

njega. Specijalni slučaj konstantne brzine je i mirovanje . U praksi nije moguće

kako brzina tako i oblik i volumen . Da bi se opisalo takvo međudjelovanje uveden

i jednoliko gibanje po pravcu samo kao rezultat takvog djelovanja drugih tijela

van ja drugih tijela na to tijelo, ili sila je nastojanje usmjereno prema nekom

izolirati jedno tijelo od utjecaja drugih tijela. Moguće je promatrati mirovanje koja se međusobno poništavaju. Svojstvo tijela da zadržava svoje stanje gibanja (mirovanja ili jednolikog L

;

gibanja po pravcu) naziva se svojstvom inercije . Utvrdili smo prije da karakter gibanja zavisi o izboru sistema referencije .

!.

Promatranjem djelovanja tijela na tijelo opaža se da se tijelu može promijeniti

Ako se npr . jedan sistem referencije ubrzava spram drugog , jasno je da če se i materijalna točka, koja miruje u jednom sustavu , gibati ubrzano spram drugog

sustava , Prema tome prvi Newtonov zakon ne vrijedi istovremeno u svim sistemima

je pojam sil e . Sila na neko tijelo je fizička veličina koja služi kao mjera djelo­

tijelu da mu se promijeni stanje mirovanja ili jednolikog gibanja po pravc u . Druga formulacija karakterizira onu stranu medudjelovanja koja ističe način reagiranja uočenog tijela na djelovanje okolnih tijela . Pokazuje se da brzina tijela kod proua avanja gibanja nema primarno značenje .

Dva tijela iste brzine različito reagiraju na jednaku sil u . Veličina koja igra

osnovnu ulogu i koja ima duboko fizika.lno značenje je impuls ili količina gibanja .

Impuls je definiran kao produkt brzine tijela i jedne konstante koja karakterizi­ ra dato tijelo

p = tn

•

v

t .· ...

- 59 -

- 58 -

Konstanta proporcionalnosti � naziva se �· 0t1a je mjera veličine inertnosti ti­ jela . Inertnost tijela karakterizira svojstvo tijela da zadrži svoje stanje giba­

nja. Ovo je jedan od dva moguća načina definiranja - tijela (kasnije ćemo upo­ znati drugi ) . Obzirom na ovakvu. definiciju ovu masu nazivam:> inertna (ili troma) IIBSa. U drugom zakon Newton povezuje silu

sa stanjem gibanja datog tijela.

na

tijelo (djelovanje

drugih

tijela)

naziv "jednadžba gibanja" . Ali, pored zadaWgF, potrebno je još zadati početne uvjete : m dt za pozna­ �ležaj i brzinu čestice u jednom času. Zaista , iz dv :::

Fi

to dt i F odreduje se prirast vektora brzine , a to znači i vektor brZin e u slije­ dećem času ( jer ja poznamo na početku) . Slično tome, znajući početnu brzinu -;- mo­ žemo naći dr v dt t j . prirast � radijus-vektora , a time i slijedeći položaj = �estice u prostoru u odnosu na početni . Kako poznamo iz poČetnih uvjeta jedan po­

ložaj , onda u principu možemo naći svaki drugi koristeći gornju proceduru.

Iskustvo nas uči da djelovanje tijela na tijelo ima karakter međusobnog

;

·"

djelovanja, t j . ako npr. tijelo T djeluje na T2 , onda ' i tijelo T2 djeluje na T • 1 1 Newtonov treći zakon izražava kvantitativno karakter međusobnog djelovanja dvaju

Drugi Newtonov zakon "Vremenska promjena količine gibanja proporcionalna je sili koja djeluje i zbiva se u smjeru djelovanja te sile" .

tijela.

Treći Newtonov zakon "Djelovanju je uvijek jednako i suprotno protudjelovanj e ; odnosno

Original :

medusobno djelovanje dvaju tijela je jednako i usmjereno u suprotne

"Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et. fieri

strane" .

secundum lineam rectam qua vis illa imprtmitur11•

Označimo li sa F silu koja djeluje na uočeno tijelo, a rezultat je djelovanja dru­

gih tijela, onda drugi Newtonov zakon glasi:

dt

l ...;

Original : "Actioni contrariram semper et equalem esse reactionem; sive corporum

duorum actiones in se mutuo semper esse equales et in partes contrarias

(5. 1 )

� =

odnosno , radi

; :1

dirigi" .

p = ITN, m

dv

--

dt

=

(5. 1 ' )

Jednadžba ( 5 . 1 ) zove se jednadžbom gibanja . Medutim, da bi uopČe jednadžba giba­

nja imala smisao potrebno je poznavati

oblik sile F koja djeluje

na

tijelo. Ako je

poznata sila-r, iz jednadžbe gibanja se može odrediti zavisnost � i položaja

tijela od vremena . A to onda znači da možemo odrediti trajektoriju. što 1 opravdava

art. 5 . 2. Uz zakon akcije i reakcije

- 61 -

- 60 -

Neka je F tijelo T

t.

.:

zakon

1

1

sila kojom tijelo T2 djeluje na tijelo T , a F2 neka je sila kojom

1

djeluje na T2• Onda je prema sv.eopćem iskustvu, kako i izroiče Newtonov

ono osjeća silu iako nikakvo drugo tijelo na njega ne

djeluj e . No, kako sila po

svojoj definipiji određuje djelovanje drugih tijela na uočeno tijel o , vidimo da Newtonov zakon n e vrijedi u neinercijalnim sistemima referencije . Naime , u neiner­ cijalnim sistemima referencija tijelo se ubrzava , iako nema medudjelovanja s dru­

gim tijelima. zapazimo da sile F

1

i

djeluju na različita tijela, te da nema smisla

kazati kako je suma sile djelovanja i sile protudjelovanja jednaka nul i , a pri je zaista + F 2 jedno tijelo, to nema, obzirom na

5. 1 . Sile kod krivolinijskog gibanja

tome misliti da one djeluju na jedno te isto tijelo. Suma F1

jednaka nul i , ali kako te sile ne djeluju

na

gibanje jednog tijela , nikakvo značenje . Nadalje , pravac nosilac sila ne mora biti jedan te isti . Ovaj se zakon u praksi obično zove "zakon akcije i reakcije " . Akcija i reakcija su nazivi za

rna

koju od sila: djelovanja ili protudjelovanja.

su ravnopravne i možemo reći cija.

za

Obe sile

bilo koj u , F;_ ili F , da je akci ja , odnosno reak­ 2

Pogledajmo kakav je oblik sila kod krivolini jskog gibanja te analizirajmo treći Newtonov zakon na važnom slučaju centripetalne i centrifugalne sile kao sile akcije i reakcije . Kod krivolinijskog gibanja uveli

i tangencijalne sile m

njihove mase. 2) Elektromagnetske - nastaju u rezultatu medudjelovanja nepomičnih i l i pomiČnih električno nab�jenih cestica i l i tijela. - koje se ostvaruju izmedu nek�h elementarn�h čest�ca; npr . taKva je s�la Kojom medudjeluju dva protona ili neutrona , i l i proton i neutron itd.

4) Slabe

- koje imaju za posljedicu raspad elementarnih čestica.

Ne treba vjerovati da gornja 4 osnovna tipa medudjelovanja iscrpljuju sve moguĆno­ sti koje postoje u prirodi . To je samo ono što danas znamo .

SVa tri Newtonova zakona predstavljaju cjelinu i kao takvi susreću se isto� vremeno u nekom prirodnom proces u . Oni vrijede s.amo u

n

F = m n

l) Gravitacione - nascaju kao rezultat međudjelovanja tijela zbog

3) Jake

dva tipa ubrzanja : norma lno i tangenci­

sile

Ako analiziramo moguće sile u prirodi , onda od onog silnog mnoštva sila,

prividno različicog Karaktera , oscanu samo 4 tipa:

smo

jalno . Jasno je da je takvo gibanje moglo nastati kao rezultat djelovanja normalne

i nercijalnim sistemima

referencije . Tako npr . ako se sistem referencije ubrzava u odnosu na tijelo, onda to tijelo u ođnosu na taj sistem irna ubrzanje , dakle promjenu količine gibanja ;

-:fn

uzrookuje promjenu brzine po smjeru , a

dv

--

dt

po iznosu. Iz ovog proizlazi važan

zaključak. Ako sila djeluje na česticu u svakom času okomito na smjer vek tora

brzine čestice , onda se brzina mijenja po smjeru , a ne po iznosu . Ostaje li tije­ 2 kom vremena i sila konstantna po iznosu , onda j e normalno ubrzanje v tr konstantno (jer je r konstantno u ovom slučaju ) , što pak znači da se čestica giba jednoliko po kružnici . Kad se tijelo giba jednoliko po kružnici , sila koja na njega djeluje usmje­ 2 rena je prema centru i zove se centripetalna sila F , a ubrz.anje v /r zove se cp centripetalne ubrzanje .

' '

- 63 -

- 62 -

6. KJE"RNE JEDINICE

. Y

I DiMENZIJE FitiKALNIH VELIC!NA ·�. ·.�

Kako smo ranije istakli fizikalni zakoni izražavaju kvantitativne odnose

izmedu fizikalnih veličina. Da bismo izražavali takve odnose, neophodno je znati mjeriti te veličine . Sve fizikalne veličine mjere se svojom jedi.nicom. Npr .

se

za masu,

mjeri jedinicom

ilnpuls jedinicom

za

brzina jedinicom

impuls itd .

Izmjeriti

za

br zinu, sila jedinicom

za

masa

"""

silu,

neku fizikalnu veličinu znači usporediti

je s veličinom koja je iste prirode i koja se uzima za jedinicu. M:lgli bismo, dakle , imati toliko jedinica koliko i fizikalnih veličina. Ipak situacija je mnogo jednostavnija zbog povezanosti različitih fizikalnih veličina. Npr. brzina je preden1

)C

crt . 5 . 3 . CentriPe talna i centrifUgalna sila Centrifugalna sila r-f kao sila reakcije imala bi hvatiŠte u tijelu koje je o -uzrokovalo oentripetalnu silu F ' recimo u centru vrtnje . op

pJt kroz proteklo vrijeme , pa ako odaberemo jedinicu

i jedinica

za

brzinu.

za

vrij eme i put , odredena je

Stoga je dovoljno uvesti mali broj jedinica i pomoću njih

naći sve druge jedinice. Jedinice pomoću kojih određujemo jedinice drugih fizikal­ nih veličina zovu se osnovne jedinice. Druge , ·dobijene iz osnoVnih , nazivaju se

i;vedene jedinice.

6.1. Me-đunarodni sustav jedinica

Odabiranje osnovnih jedinica vrši se tako da relacije za izvedene jedinice imaju što jednostavniji oblik. Postoji nekoliko načina odabiranja osnovnih jedini­ ca. Medutim, danas postoji težnja da svi narodi imaju isti sustav jedinica. Naša zemlja je prihvatila dogovor o upotrebi Internacionalnog sustava jedinica (SI ) u kojemu su

za

osnovne jedinice odabrane :

jedinica jedinica

za

duljinu masu

l metar

jedinica

za

vrijeme

za

jakost električne struje

l sekunda ( s ) l amper (A)

za

tennodinamičku temperatur·u

jedinica jedinica jedinica jedinica

za

za

za

(m)

l kilogr'am (kg)

jakost svjetlosti

l kelvin (K) l kandela (cd)

koliČinu tvari

l mol (mol )

U mehanici se

koriste samo prve tri jedinice. Navedimo njihove de finici je :

, K :7

- 64 -

i._ ;.

- 65 -

l �retar (m) je duŽina jednal- 2 ]

o

ut jec ajem dvaju okoQi tih pomaka

l! j

X

X

- 151 -

- 150 Ukupni pomak čestice iz ravnotežnog položaja s·astavljen je od pomaka duž osi x i

2. Neka je razlika početnih faza jednaka

pomaka duž osi y. Svaki od pomaka dan je svojom harmonijskom funkcijom:

x

=

y(t)

A

2

f

sin ( W t +

2

(13.22 )

l

f1

i

f2

+

if )

.

Tada jednadžbe gibanja glase

- A sin W t , 1

y : A sin W t . 2 Odakle slijedi

Promotrimo kakve su moguće staze materijalne točke . l . Uzmimo da su poČetne faze

A sin ( W t 1

jj

X

jednake nuli . Iz (13.22) dobijamo

•

To je isto pravac kroz ishodište ( Crtež 1 3 . 12. )

x =

y

A sin w t , 1

y

A sin W t . 2

A z

-

- - - -- , :

Dijeljenjem nalazimo

..:t_ X

- A, :

x,

=

što predstavlja jednadžbu pravca kroz ishodište ( Crtež 1 3 . 11 . )

·r - - c - - - 1 l

\

_

\ \

A2

X

l l l

� - -- -- f�L ---

y

- - - - ---

Crt . l3 . 12. Linearno polarizirano titranje

3 . Pretpostavimo da je sada razlika faza X

X

y l

-_-:z_

_ _ _ _

�

: =

A

1

A

2

sin (W t

+

___[_ ) 2

=

sin W t

cos W t ,

M3.teri ·alna točka izvodi dakle t i tranje duž" pravca kroz ishodište s amplitudom

2 A 1

+

2 A2

.

Tada iz

A cos W t , l

Kvadriranjem i zbrajanjem odavde nalazimo

=

2

dobijamo

Cr t . 13 . 11 . Linearno polarizirano titranje

A

_ l_

Titranje ovog tipa nosi naziv linearno polarizirano titranje .

!!

· ·-- · ·. ,"'.,

y__

"'

A.

sin W t .

l

- 152 -

Dakle ,

materijalna točka opisuje elipsu.

- 153 -

Primjeri riješenih zadataka

y

m = 4 kg . Ako se masa 1 . Na elastičnom peru duljine l = 30 cm visi tijel� mase 36,5 m . l postane pera nog elastič duljina kg, 10 m1 = 1 tijela poveća na

�

X

, . pera zbog povecanJa mase � frek­ Odredite rad A dodatnog rastezanja elastičnog o uteg m kada bi se izvukao i z venci ju harffio nijskog titranja kojom bi oscilira 1 cije . gravita utjecaj iv ravnotežnog položaja u z zanemar RjeŠenje gravitacije uravnot ežuje u oba slučaja ravnoteža je post.ignuta jer se sila s elastičnom silom:

Crt . l 3 . 13 . EliptiČk:i polarizirano titranje gdje je 1 Materijalna točka vrti se po elipsi . Ovakav oblik titranja naziva se eliptički

P?larizirano titranje . Kada je A radijusa '

A,

pa

1

=

A2

=

0

duljina neopterećene opru­

ge . Iz ove dvije relacije možemo odre­ diti konstantnu elastičnost k i ravno­ težnu duljinu 1 0 :

A, onda elipsa prelazi u kružnicu

se gibanje nazi va cirkularne (ili kružno) polarizirano titranje .

'

Ovo su najjednostavnije staze . Zavisno o razlici početnih faza , amplitudama i frekvencijama , staze mogu imati različite oblike . Staze ovakvih titranja zovu se Lissajousove \Lisažu ) figure . k

Pitanja za ponavljanje

m1 - m 11 - l

=

Rad koji se vrši pri rastezanju elastičnog pera jeste

l . Sto je općenito titranje a što harmonijske titranje? Objasnite smisao vel ičina : amplituda , frekvencija, faza , početna faza ,

l ) o

period i fazna brzina !

2. Odredite energi ju harmonijskog titranja i diskutirajte rezultat.

3. Sto je ampli tudni vektor? Zbrojite dva harmonijska titranja duž istog pravca.

4 . Sto je prigušena titranje? Kako izgleda jednadŽba priguŠenog titranja, a kako njeno rješenje?

5. Sto je prisilno titranje? Kako izgledaju i što predstavljaju rezonantne ia'ivulje?

6. Kako se zbrajaju međusobno okomita titranja? Promotrite l inearno polarizi­ rano i eliptički polarizirano titranje !

g .

odnosno nakon uvrštavanja k i 10

A

2

-

(m 1 +ID) ( l l - l ) 2

m,

- m

( 1

-

1 ) o

2

]

- 155. -

- 154 Frekvencija titranja ;lastičnog pera jednaka je

i l· !

Uvrstimo li vrijednost Nakon uvrštavanja brojčanih vrijednosti dobijaroo

A

=

+

9 , 81

•

(10+4)

( 36 , 65 - 30)

•

•

=

t 10-

2

=

4,566 J

za

if

g i R

�

imamo

lo3 6370 9,1:!1

: 42,19 IIIinuta.

•

3. Tijelo mase m vrši titranje po zakonu x = A sin w t . �te na tijelo i maksimalnu kinetičku energiju tijela.

.silu

koja djeluje

Rješenje

Kako je sila jednaka produktu mase i ubrzanja, to je specijalno slučaj = m

F

2. Gravitaciona sila , koja djeluje na česticu smještenu u homogenoj kugli , propor­ cionalna je udaljenosti od centra kugle. Ako se pretpostavi da je Zemlja takva kugla i da je kroz njezin centar od jednog do drugog pola probijen kanal, odre­ dite vrijeme koje je potrebno da tijelo pušteno u kanal dode ·na površinu s dru­ ge strane Zeml je. Zanernarite otpor zraka.

Kinetička energija jeste

Ei
o, što znači da je v tc lekule koje se nalaze

raju oko ::�ebe polje sila. ove sile

ou

�a

površini t.ekuĆeg ili tvrdog tijela stva­

elektro��atskos

karaktera

i

ima:ju · kratak

doses.

- 252 i

- 253 -

'

MOlekule sredstva , koje b ivaju zahvaćene ovim površinskim molekulama , polako se

talož� M površinu tijela. 'JA danu temperaturu uz veće tlakove broj molekula

l

'

sredstva koje dolaze na površinu je veći , tako da zaista koncentracija raste 's t l a ko m . . Ali , čim je postignuta odredena koncentracija dolazi do zasićenja povr­ šinskog sloja i nove molekule sredstva ne mogu djelovati s površinskim molekulama i tako biti zadržane na površ ini . Spomenimo ovdje i pojavu apsorpc�Je plinova premda ona nije površinske pri­ rode. Apsorpcija je proces u kojemu se plinovi upijaju i rasporeduju po cijelbm volumenu tijela ( tvrdih i tekuĆih) koja ih upijaju. Ako je npr. iznad vode kisik

Za mjeru kvašenja može se uzeti granični kut se

ruba površine jednaka nuli :

�l

koje ulaze u vodu jednak broju molekula koje iz nje fzlaze . Poveća ii se tlak

temperature niske nušavih napitaka .

1

tlak povećan .

•

"' - cos 13

'tf .

!:::. 1

•

C(

23

-b. l

•

0(.,

12

C(.

b.

= o

ec:. n � oć1 2

s porastom temjJerature količina

Ovo svojstvo se koristi za pripremanje pje­

je kut

ravnotežno stanje , onda je jednostavno naći granični kut koristeći koefici jente

kisika , pokazuje se da se broj molekula koje se apsorbiraju povećava. l inearno ,

Voda ima svojstvo da apsorbira vel,ike količine ugljičnog dioksid.a ako su

J-

kroz površinu tekućine . Zauzimanje određenog oblika površine u odnosu na stijen­

iz vode u kisikovu atmosferu. Kada se uspostavi ravnoteža , onda je broj molekula

Ali,

Granični kut

površinske napetosti. i uvjete ravnoteže . U ravnoteŽi je suma sila na element

Ši u vodu nastavl jaju gibanje po cijelom volumenu tekućine. Neke od njih izlijeću

dok se opet ne uspostavi ravnotežno stanje.

.

ku rezultat je djelovanja molekularnih sila . Al i , kada se već jednom uspostavi

u plinskom stanju , onda neke molekule kisika prodiru u vodu. Molekule kisika ušay­

apsorbirane mase plina opada.

.J

koji je odreden stijenkom i tangentom na površinu tekućine u točki. dodira, a mjeri

( 21 . 3 )

23

su koeficijenti površinske napetosti stijenka cx. , cx:. i cx. 23 13 12 stijenka - plin i tekuĆina - plin.

•

te.kuć ina,

21 . 3 . Pojave kvaŠenja .6. ! "'- 1 3

U posudi s tekuĆinom na gran�c� površine tekuĆine dolazi do dodira tri

sredstva : tvrde stijenke posude , tekućine i plina. Na tom mjestu dolazi do medu­ djel ovanja izmedu molekula sva tri sredstva. Označimo

sa

At

l stijenku posude , sa 2

tekućinu i sa 3 p l i n . Pokusi pokazuju da se površina tekućine "penje" ili "spušta"

3 p l in

uz sti jenke ( Crt . 21 . 5 ) . Ako se tekućina penje uz stijenku, kaže se da ona kvasi (moč i ) stijenku, a ako se spušta , kaŽe se da ne kvasi ( ne moči ) stijenku.

Crt . 21 . 6. Sile na element

1 3 3 je

1f

Crt . 21 . 5. Kvaše.nje stijenki

'If

l

Iz relacije (21 . 3 ) vidi se da je cosV > O ako je

> cx. (sto znači da 13 12 oštar kut ) , t j . ako je koeficijent napetosti stijenka - plin veći od koefici­

jenta napetosti sti jenka' - tekUĆina. Slično za kut

6.

c pare

(gl

zasićenih para i apsolutne vlage o tempe ­

zasićene pare pri istoj tempera­

Prema definici ji Je dakle apsolutna vlažnost jednaka gustoći vodene pare f

t la k a

raturi . Dolje niže prikazana su dva retka iz takvih tablica.

ui> )

Temperatura o

c

T l a k zas. para

g /m

nm. st . Hg

3

9 , 41

9 , 21

lO 20

Apsolutna vlaga zas . para

1 7 , 32

17,5

a relativna vlažnost B

Ppare

Zbog propor cionalnosti

tlaka

vlažnost izražava preko

tlaka

Snižavanjem temperature zraka a pri konstantnom sadržaju vodene pare relativna

1 00 .

Pzas pare

vlažnost raste jer je s opadanjem temperature relativna vlažnost bliže stanju

i gustoće pare u meteorologiji se apsolutna pare izraženog u milimetrima stupca žive

(ili milibarima )

zasićenja . Kada se temperatura spusti toliko da relativna vlažnost postane jedna­ ka 100%, onda daljnje snižavanje temperature dovodi do kondenzacije vodene pare . Ovo je situacija koja se realizira u pojavama orošavanja stakla na prozorima , trave u parkovima itd . Definiramo stoga rosište ili "toČku rose" kao temperaturu pri kojoj para za dani

tlak

postaje zasićena , ili ekvivalentno , pri kojoj

relativna vlažnost i znosi 100'/.. Poznavajući rosište i temperaturu zraka moguće

., . : . •

Ova relacija je približno točna . Naime , iz plinske jednadžbe p ) RT/M, gdje masa mola vodene pare M = 18 kg /kmol , slijedi : 133 , 3 . p

=

0, 462 .

�

.

nRT/V

T ,

a rosište l0°C, onda iz tablice slijedi da je apsolutna vlažnost jednaka 3 te da je t l a k zasićene pare na 20°C jednak 1 7 , 5 mm . st . Hg a na 10°C ° 9 , 21 . Kako je t l a k zasićene pare na 10°C jednak t l a k u pare na 20 C , to 9 , 41 g/m

je relativna vlažnost zraka

ako se t l ak p i zražava u milimetrima 'živinog st upca ( l mm . st . Hg 3 1 33 , 3 !'a) i gustoća u gtm • Odozgo slijedi : P (mm . st . Hg ) = 0,462 / ( 13 3 , 3 ) . T 1 / ( 288 . 53 ) . T

je odrediti apsolutnu 1 relativnu vlažnost . Na pri��er , ako je temperatura zraka

20°c

y

?

3 ( g /m )

3 (g/m ) .

No kako je pri sobnim temperaturama T ." 3 00 K , t o je

B

9 . 21 • 1 00 / 1 7 , 5

52 , 6 % .

Za određivanje vlažnosti zraka koriste se posebni uredaji higrometri i psihrometri . Oni rade na principu ovisnost i odredenih fizikalnih svojstava t i je ­ la o koliČini vlage u zraku.

- 267 -

- 26 6 -

Rješenje

Pitanja za ponavl janje l . Sto su fa zni prijelazi? Analizirajte procese isparavanja, kondenzacij e , vrenja , sublimacije , talenja i skruživanja !

2. Nacrtajte dijagram ravnotežnog stanja i diskutirajte gal Sto fizikalno

stupnjeva, 2 treba biti jednaka količini topline o koja je potrebna da se led mase m 1 0 zagrije od t do t uvećana za količinu topline koja je potrebna da se led

Količina topline , koja se prenese od vode mase M i koja je na t

�

otopi . Dakle:

predstavl jaju trajna i kritična točka?

3. Definirajte veličine kojima se mjeri vlažnost zraka te točku rose !

odakle slijedi : Primjeri riješenih zadataka ° l . Odredite količinu topline Q, koja je potrebna da se m : 20 g vode sa · t 1 : 14 C

dovede do točke vrenja i pretvori u paru. Toplina isparavanja vode iznosi

L

=

2260 J/kg a specifična toplina cV

=

m = Kako je t

=

c (t-t1 1

0, 5. 4187 . 20 2100.10+334000

m =

3 . a) Odredite masu vodene pare m relativnoj vlažnosti B Pz

=

)+L

° 0 C , to je nakon unošenja brojčanih vrijednosti

4187 J/kg K.

Označimo sa 0 količinu topline koju je potrebno dovesti da se voda dovede to 1 ° točke vrenja ( t = 100 C) , a sa 0 količinu topline koja je potrebna da se 2 2 voda ispari na temperaturi vrelišta . Tada vrijedi da je

M Cy (t 2-t )

=

p 60'k.

=

0,1179 kg

117 ,9 g .

3 ° u l m zraka pri temperaturi od 25 c i ° T l a k zasićene pare na 25 c iznosi

316 7 Pa .

b) Odredite volumen komore , al-':o je poznato da je ona napunjena zasićenom vo­ denom parom mase m = 3, 04 g i da je z kojemu odgovara temperatura t = 30° c.

sa

tlak

u komori p

z

= 4242 Pa

Rješenje Unošenjem brojčanih vrijednosti dobijamo :

Q

2.

0 , 02

[ 4187

7246 , 84 J .

ooo - 1 4 )

+

]

a) Iz definicije relat ivne vlažnosti slijedi :

•

226o J

B

U posudu sa vodom, koja je toplinski dobro izolirana od okoline ubacuju se ° komadići leda temperature t = - 10 C. Koliko se može ubaciti leda (m) uz uvjet 1 da se on potpuno otopi ako se u posudi nalazi M = 0, 5 kg vode na temperaturi ° 20 C . To linski 1-:apacitet posude u odnosu na toplinski kapacitet vode od � 2 :�cie se zanemar iti ; a topl ina tal enja leda iznosi L = 334000 J/kg, specifična

p

toplina leda c 1

=

2100 J / kgK i specifična toplina vOde c V

=

No kako je p

p

=

m p

� Pz

. 100

=

60

R T/ V M, to je odozgo : V M

60. 3167 .1.18 .10-

RT = - loo � 9 , 31 . 29B

4187 J/kgK.

b) Kako para

u

3

;;

danim uvjetima podlijeŽe zakonu idealnih plinova , to je :

- 268 -

- 269 -

ELAST IČNI VALOVI

v =

3 3,04.10- . 8 , 31 . 303 3 4242 • 18 • 10-

23�

OPCENITO O VALNIM P R OCESIMA

Titranje materijalne točke kako smo ranije vidjeli odvija se zbog djelova­ nja povratne sile. Cestice u plinu , tekućini i t vrdom tijelu međudjeluju silama i ako jednu ili više čestica pomaknemo, druge , suđjedne , čestice reagiraju na taj pomak formirajući povratnu silu . Pri tome se najbliže susjedne čestice t akođer

pomiČU. Ovakvi pomaci se dalje prenose i na druge susjede tako da se pomicanje širi sredstvom .

Ako na početku pomaknute čestice vrše titranje , onda se ono prenosi cijelim sredstvom. Cestice sredstva počinju i zvoditi titranje . Ovakav proces u kojemu se vrši prenošenje titranja u sredstvu nazivamo elastičnim va1nim procesom , odnosno elastičnim valom ili jednostavno valom. Obzirom na način širenja valnog procesa , što je u vezi s karakterom sila koje djeluju izmedu čestica sredstva , valove dijelimo na 1ongi tudina1ne ( uzdužne ) i transverzalne (popriječne ) .

Ako se poremećaj širi u pravcu po kojem se vrši t i t ­

ranje čestica, onda kažemo d a je v a l longitudinalan ; čestice t i traju uzduž pravca Širenja vala . Longit udinalni valovi mogu postojati u plinovitim, tekućim i t vrdim tijelima. Ako se pak poremećaj širi u pravcu koji stoji okomito na smjer t itranja čestica, kaŽemo da je val transverzalan ; čestice t i t raju popr ijeko pravca Širenja vala (crt . 23 . 1 ) . Transverzalni valovi mogu postojati u tvrdim ti jelima .

smjer titrQnja smjer širenja vala (al Crt. 23. 1 . Longitudinalno { a ) Širenje poremećaja

smjer titranja smJ.!=L š irenJa vala ( b) transver zalne { b )

- 271 -

- 270 Shvaćanje procesa nastajanja i širenja vala

mo�

"lanca" molekula. Pogledajmo najprije transverzalne lanac molekula u mirnom stanju ( Crt . 23 . 2 ,

Longitudinalno titranje istog l;!nca molekula ilustrirati

titranje.

položaj o)

gore ; ostale molekule se porazmjeste kao na položaju

i

I

se

pomiČu

i nastaje raspored molekula

nastavl ja i nakon vremena

3

kao

u položaju

modelu

Uzmimo da imamo

pomaknimo

Česticu l prema

prikazuje crtež 23. 2

se razvija slično kao kod transverzalnog titranja, do zguŠĆavanja i razri jeđivanja

širenja i

brzina

period

T

molekula

samo

II nakon

molekule

vremena

takoder

•

Proces

sada zbog titranja dolazi

duž pravca š irenja vala. Valna duljina ,

povezani su kao i prije relacijom

poŠto isteče vrijeme T/4.

Kad molekula 2 krene prema gore , molekula l kreće natrag; druge se

na

(23. 1 ) .

4 2 3 5 6 ���� ���������--��--�� 0

T/2. Proces

----

T/4

.

' \ \ \

--�-i�����o-��-