Elméleti fizika I. - Mechanika [PDF]

Zitiervorschau

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

ELMÉLETI FIZIKA I.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

L. D. Landau – E. M. Lifsic

ELMÉLETI FIZIKA I. MECHANIKA

Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

Az eredeti mő címe ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА I. – МЕХАНИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА, 1973 Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974 Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-128-9

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Tankönyvkiadó 1970-es kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

L. D. LANDAU Nobel-díjas (1908-1968)

E. M. LIFSIC Lenin-díjas (1915-)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

Előszó

a magyar kiadáshoz

Landau első tanulmányai 1925-benjelentekmeg,a.kvantummechanika megszületésének esztendejében. (Lev Davidavies ekkor tizenhét éves volt és harmadéves egyetemi hallgató.) 1927-ben (tizenkilenc évesen) megalkotta a sűrűségmátrixot, amelyet Neumann János csakhamar az atomfizika egyik legalapvetőbb és legpraktikusabb fogalmává fejlesztett. Landau neve kezdettől fogva eggyé forrott az új fizikávaL Keze nyomát, gondolkodásmódját őrzi annak minden fejezete. , A Nobel-díjat 1962-ben a másodfajú fázisátalakulások termodinamikájának kidolgozásáért kapta meg. Gondolkodásmódjának legegyénibb vonása, hogy a klaszszikus fizika bevált fogalomalkotásait (hanghullámok, lökéshullámok, örvénytételek, párolgási jelenségek, az egész leíró termodinamika) a kvantumtérelmélet elvont magasrendű matematikájával eggyé ötvözni képes. Így jut el a mai fizika atomfizikai, anyagszerkezeti, nagyenergiájú laboratóriumaiban megszületett váratlan - és mások számára érthetetlen - mérési eredmények olyan értelmezéséig, amely az anyag viselkedésének alapvetően lényeges vonásait tárja elénk. A szuprafolyékony hélium, az atommag-anyag, sőt a kozmikus sugárzás energiáin ütköző protonok "felolvadt" anyagának mozgását, kollektív gerjesztéseit egyaránt ő ismertette meg velünk. Egyszázad Kelvin-fokos hidegtől ez ezerbillió Kelvin-fokos forróságig terjed munkaterülete. Szemében a természet oszthatatlan, ezért Landau agya sem ismeri a specializáció korlátait. 1956-ban a K-mezonok szétesésénél és polárazott atommagok béta-bomlásánál furcsa aszimmetriákat figyeltek meg. Kínálkozik a matematikai formalizmus keresése. A mérési görbék és a képletek mögött Lan da u veszi észre, hogy a természet számára a bal és a pozitív rokonértelmű szavak, ugyanígy a jobb és a negatív is, csak mi- tökéletlen érzékszervekkel tapogatózó emberek-- halljuk őket k ülönbözőknek. Szemében a bal és jobb geometriai kettőssége eggyé olvad a pozitív és negatív töltés fizikai kettősségé­ vel, ezáltal a természet váratlanul szép egységét tárja elénk. A fizika elért eredményeire támaszkodó erőteljes intuíció vezeti és a friss felfedezések intellektuális vonzása. Nem adott sokat a matematikai eleganciára és az axiomatikus szigorra. Gyerekfejjel ott volt a kvantummechanika megszületésénél és a kvantumtérelmélet kibontakozásánáL Mesterének Niels Bohrt vallotta. Amikor az elmélet a matematikai bonyodalmak zsákutcájába került, Bohr 70. születésnapjára kiadott kötetben Landau vetette fel a kvantumelektrodinamika struktúrájának perturbációszámításos közelítéseken túllépő ellenőrzését. Programja és tézisei óriási vihart kavartak, írása matematikai támadások centrumába került- és elindította a kvantumtérelmélet reneszánszát. Máig fáradságos munkával sikerült megérteni, mennyi mindenben igaza volt Landaunak.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

Az "Elméleti fizika" eddig megjelent nyolc kötete a modern fizika legegyetemesebb tudású alakjának, Lev Landaunak a gondolkodásmódját tükrözi. A napjainkra egységessé érett egzakt természettudomány egzakt elméleti alapjainak átfogó bemutatása fekszik előttünk. Lapozzuk át ezt az első kötetet, amely Galilei és Newton mechanikáját tárgyalja. Mindenütt ott érezhetjük a modern fizika elvi felismerései által hozott fogalmi tisztulást. Elkerülhetjük a történelmi fejlődés buktatóit, zsákutcáit, kacskaringóit. Nemes egyszerűségében bontakozik ki előttünk minden természettudomány kiindulópontja, a klasszikus mechanika. A feladatok pedig az alkalmazások olyan aktuális sorozatát, köztük az atomfizikai problémák olyan gazdag választékát tárják elénk, hogy egy pillanatig sem álmosit a múlt századok poros hangulata. A Landau-Lifsic-köteteket olvasva, szüntelenül érezzük, hogy a fizikának nincs fontos és kevésbé fontos fejezete. Mindegyik tudományág a természet egy-egy arcát tárja elénk, és a mi hivatásunk a teljes természet megértése. Az"Elméleti fizika" köteteit Landau egyik legkiválóbb tanítványával és munkatársával, E. M. Lifsiccel együtt írta. Lifsicet ismerik és tisztelik a fiatalabb magyar fizikusok is, elsősorban a szilárdtest-fizikusok. Sokban az ő lelkiismeretes munkájának köszönhető, hogy a nyolc kötet világos stílusban, egyszerű matematikával tárja elénk az elméleti fizika nyolc fejezetét Lifsic érdeme, hogy Landau tragikus balesete ellenére teljessé egészülhetett ki az "Elméleti fizika" sorozat. Landau szovjet fizikusok sorát nevelte világhírű tudóssá. Aki vele akart dolgozni, annak belépőként le kellett vizsgáznia a "Landau-minimumból". Ebből született meg ez a nyolc kötet. A Landau-Lifsic-könyveket egyértelműen a világ legkiválóbb fizikatankönyvének tartják. Amikor angoira is lefordították ezeket, elámult a nemzetközi tudósvilág, a könyvből állandó tudományos bestseller lett. Kemmer méltatta a könyvet: "Amióta ezt olvastam, csak azóta értem meg a szovjet tudomány sikereit!" Szeretnénk, ha a Landau-Lifsic-köteteket úgy adhatnánk a magyar olvasó kezébe, hogy itthon is érezzék e könyvek utolérhetetlen egyszerűségét, mélységét, elevenségét, tisztaságát. Jobban felfogják általuk a természetet, amelyben élni és amelyet érteni emberi feladatunk és fizikusi hivatásunk. Budapest, 1973. január l.

www.interkonyv.hu

MARX GYÖRGY

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

Előszó

az orosz

nyelvű első

kiadáshoz

Ezzel a kötettel elkezdjük "Elméleti fizika" című sorozatunk kiadását. A végleges terv most a következő: l. Mechanika. 2. Klasszikus erőterek. 3. Kvantummechanika (nemrelativisztikus elmélet). 4. Relativisztikus kvantumelmélet. 5. Statisztikus fizika. 6. Hidrodinamika. 7. Rugalmasságtan. 8. Elektrodinamikaközegekben. 9. Fizikai kinetika, Az első kötet első kiadását J 940-ben jelentette meg L. Landau és L. Pjatyigorszkij. Bár a tárgyalás általános menete változatlan maradt, a könyvet lényegesen átdolgoztuk, és teljesen újra írtuk. Köszönetet mondunk l. E. Dzsjalosinszkijnek és L. P. Pitajevszkijnek azért a segítségért, melyet a könyv korrektórájának átolvasásában nyújtottak. Moszkva, 1957. július

Előszó

az orosz

L. D. LANDAU

nyelvű

E. M. LIFSIC

második kiadáshoz

Az új kiadásnál nem merült fel annak szükségessége, hogy a könyvet átdolgozzuk A sajtóhibák kijavítása mellett csak néhány pótlólagos megjegyzést és feladatot fűztünk a könyv egyes részeihez, s megváltoztattuk a 44. §-t. Ennek a könyvnek a tanulmányozásánál az "elméleti minimum" keretein belül az elméleti fizikusok számára ajánlható a 27., 29., 30. és 37.§ elhagyása. 1964. szeptember

Előszó

az orosz

nyelvű

harmadik kiadáshoz

A könyv második kiadása alig külö n bözött az elsőtől. Nem merült fellényeges átdolgozás szükségessége a harmadik kiadás előkészítésekor sem. Ezért a könyv legnagyobb része az előző kiadás utánnyomása (egyes sajtóhibák kijavításával). Csak az adiabatikus invariánsoknak szentelt utolsó paragrafusokat dolgoztuk át, egészítettük ki L. P. Pitajevszkijjel közösen. 1972. július

www.interkonyv.hu

E. M. LLFSIC

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

I. FEJEZET

A MOZGÁSEGYENLETEK

l. §. Általános koordináták A mechanika egyik alapvető fogalma a tömegpont. 1 Olyan anyagi testet hívunk így, amelynek méretei elhanyagolhaták mozgásának leírása szempontjábóL Természetesen az adott feladat konkrét feltételeitől függ, hogy ez az elhanyagolás lehetséges-e. Így a bolygókat tömegpontnak lehet tekinteni a Nap körül végzett keringésük tanulmányozásakor, viszont magától értetődően nem, ha a tengelyük körüli forgásukat vizsgáljuk. A tömegpont helyzetét a térben az r helyzetvektor adja meg, amelynek komponensei az x, y, z Descartes-koordináták. r-nek a t időszerinti deriváhja: dr dt

V=-

a sebesség, a

~;~ második

derivált pedig a pont gyorsulása.

Később,

amint ez

szokásos, az idő szerinti cleriválást pontozással jelöljük: v = r. Az N tömegpontból álló rendszer helyzetének meghatározásához N szám ú helyzetvektort kell megadnunk, azaz 3N koordinátát. Általában, ha a rendszer helyzetének egyértelmű megadásához s számú független mennyiség szükséges, azt mondjuk, hogy a rendszer szabadsági fokainak száma s; az adott esetben s = 3N. A szóban forgó mennyiségek nem szükségképpen a pontok Descartes-koordinátái, és a feladat feltételeitől függően kényelmesebb lehet valamilyen más koordináták választása. Az olyan tetszőleges q1 , q2, ..• , qs mennyiségeket (sa szabadsági fok), amelyek teljesen leírják a rendszer elhelyezkedését, általános koordinátáknak nevezzük, a q; deriváltakat pedig általános sebességeknek.\ Az általános koordinát~k ~rté~ei azonban még nem határozzák meg az adott időpillanatban a rendszer \,me"(hanikái állapotát" abban az értelemben, hogy nem írják elő a rendszer helyzetét a későbbi időpontokban. A koordináták adott értékei mellett a rendszernek tetszőleges sebességei lehetnek, s ezektől függően a rendszer 1

"Tömegpont" helyett gyakran "részecskéről'' beszélünk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

l. A MOZGÁSEGYENLETEK

12

helyzete is más és más lehet a következő időpillanatban (azaz végtelenü] kis dt idő múlva). A koordináták és sebességek egyidejű megadása, mint a tapasztalat mutatja, teljesen jellemzi a rendszer állapotát, és elvben lehetővé teszi, hogy előre megmondjuk későbbi mozgását. Matematikai szempontból ez aztjelenti, hogy az összes q koordináta és q sebesség egy adott időpillanatban egyértelműen meghatározza a ij gyorsulások 2 értékeit is ugyanebben a pillanatban. Azokat az összefüggéseket, amelyek összekapcsolják a gyorsulásokat a koordinátákkal és sebességekkel, mozgásegyen!eteknek hívjuk. A q( t) függvényekre ezek másodrendű differenciálegyenletek, amelyek megoldása elvben lehetővé teszi, hogy meghatározzuk a kérdéses függvényeket, vagyis a mechanikai rendszer mozgásának pályái t.

2. §. A legkisebb hatás elve A mechanikai rendszerek mozgástörvényeinek legáltalánosabb megfogalmazását az úgynevezett legkisebb hatás elve (más néven Hamilton-elv) adja. E szerint az elv szerint minden mechanikai rendszert egy adott

függvény jellemez, melyet röviden L(q, q, t)-nek is írunk, és a rendszer mozgása a következő feltételnek tesz eleget. Jellemezzék a rendszer helyzetét a t= t 1 és t= t 2 időpillanatban a qOl, illetve q< 2> koordináták. Ekkor e két helyzet között úgy mozog a rendszer, hogy az r,

s

=

I

L(q,

q,

t) dt

(2, l)

ri

integrál minimális értéket vesz feJ.3 Az L függvényt az adott rendszer Lagrangefüggvényének hívjuk, a (2,1) integrált pedig hatásfüggvénynek. Az a tény, hogy a Lagrange-függvény csak q-t és q-ot tartalmazza, és magasabb ij, deriváltakat nem, azt fejezi ki, hogy a mechanikai állapotot teljesen meghatározza a koordináták és sebességek megadása.

q, ...

2

3

www.interkonyv.hu

A jelölések rövidsége kedvéért q gyakran a q 1 , q 2, . . . , q, koordináták együttesét fogjajelölni (és hasonlóan q az összes sebességet). Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a legkisebb hatás elve ilyen megfogalmazásban nem mindig igaz a mozgás egész pályájára, hanem csak a pálya elég kis szakaszára; az egész pályára a (2, l) integrál csak extremális, de nem feltétlenül minimális. Ez a körülmény azonban egyáltalán n~m lényeges a mozgásegyenletek levezetésekor, amelyben csak az extrémumfeltételt ·használjuk fel.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

2.§. A LEGKISEBB HATÁS ELVE

13

Térjünk rá azoknak a differenciálegyenleteknek a levezetésére, amelyek megoldják a (2, l) integrál minimumfeladatát. A képletek egyszerűbb írása érdekében tegyük fel először is, hogy a rendszer csak egyetlen szabadsági;[okkal rendelkezik, így mindössze l egy q(t) függvényt kyll meghatározni. Legyen q = q(t) éppen az a függvény, amelyre S a minimumát felveszi. Ez azt jelenti, hogy S növekszik, ha q(t)-t tetszőleges más q( t)+ öq(t)

(2,2)

függvénnyel helyettesítjük, ahol öq(t) kis értékeket felvevő függvény a t 1 -től t 2-ig terjedő időintervallumon (ezt a függvényt q(t) variációjának nevezzük); mivel a t = t 1 és t = t 2 időpontban minden (2,2) alakú, összehasonlításra kerülő függvénynek ugyanazt a q(! l, illetve cPl értéket kell felvennie, a következőnek kell teljesülnie: (2, 3) Ha q-t (q+ öq)-val helyettesítjük, S megváltozását az

f

f t2

t"J.

L( q+ öq, q+ öq, t) dt-

,,

L( q, q, t) dt

'Y

különbség adja meg. Ennek a öq és öq hatványai szerint kifejtett alakja (az integrandusban) elsőrendű tagokkal kezdődik. S minimumának 4 szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege, amelyet az integrál első V'J-'riációjának (általában egyszerűen variációjának) nevezünk, nullát adjon. Ily módoo a legkisebb hatás elvét

r t.,

=

öS

ö

L(q,

q,

t) dt

=O

(2, 4)

t,

alakban írhatjuk, vagy a variáció végrehajtásával:

f t,

(BL

BL

)

Bq öq + Bq öq dt = O.

t,

I· igyelembe véve, hogy oq

=

:r

öq, a második tagot parciálisan integrálva:

(2, 5)

4

Általában extrémumának.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

14

l. A MOZGÁSEGYENLETEK

Az első tag ebben a kifejezésben a (2,3) feltétel miatt eltűnik. Így egy olyan integrál marad, amelynek nullának kelllennie tetszőleges öq értékek mellett. Ez csak abban az esetben lehetséges, ha az integrandus azonosan nulla. Így tehát a következő egyenletet kapjuk: !!__ BL_ BL =O.

dt Bq

Bq

Több szabadsági fok esetén a legkisebb hatás elvében s (>l) különböző q;(t) függvényt kell egymástól függetlenül variálnunk Nyilvánvaló, hogy ekkor s egyenletet kapunk: (i = l, 2, ... , s).

(2, 6)

Ezek a keresett differenciálegyenletek a mechanikai rendszer Lagrange-egyen/etei. & Ha az adott mechanikai rendszer Lagrange-függvénye ismeretes, akkor a (2,6) egyenletek adják meg a kapcsolatot a gyorsulások, sebességek és a koordináták között, azaz a Lagrange-egyenletek a rendszer mozgásegyenletei. Matematikai szempontból nézve, a (2,6) egyenletek s számú másodrendű differenciálegyenletből álló egyenletrendszert alkotnak az s számú ismeretlen q;(t) függvényre vonatkozóan. Ennek a rendszernek az általános megoldása 2s tetszőleges állandót tartalmaz. Ezek meghatározásához és ezzel együtt a mechanikai rendszer mozgásának teljes meghatározásához ismernünk kell a rendszer állapotát valamely időpillanatban jellemző kezdeti feltételeket, például az összes koordináta és sebesség kezdeti értékeit. Álljon a mechanikai rendszer két részből, melyek közül az egyiket A-val, a másikat B-vel jelöljük. Ha a két rendszer külön-külön zárt lenne, az LA, illetve LB Lagrangefüggvény írná le őket. Ha a két részt annyira eltávolítjuk egymástól, hogy a köztük levő kölcsönhatás elhanyagolható, az egész rendszer Lagrange-függvénye határesetben a lim L= LA+LB

l

alakot ölti. A Lagrange-függvényeknek ez az additivitása azt fejezi ki, hogy az egyes független részek mozgásegyenlete nem tartalmazhat a rendszer más részeire vonatkozó mennyiségeket. Nyilvánvaló, hogy a mechanikai rendszer Lagrange-függvényének egy állandóval való megszorzása nem jelentkezik a mozgásegyenletben. Ebből, úgy tűnik, lényeges határozatlanság eredhet: különböző, izolált mechanikai rendszerek Lagrange-függvényét tetszőleges különböző számmal meg lehetne szorozni. A Lagrange-függvények additivitása megszünteti ezt a határozatlanságot: minden fizikai rendszer Lagrangefüggvényét csak ugyanazzal a számmal és csak egyidejűleg lehet megszorozni; ez pedig 5

www.interkonyv.hu

A variációszámításban, amely a (2,1) alakú integrálok extrémumának meghatározásával foglalkozik, Euler-egyenleteknek nevezik őket.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

3.§. A GALILEl-FÉLE RELATIVITÁS! ELV

15

egyszerűen

azt a természetes önkényt tükrözi, hogy ennek a fizikai mennyiségnek a mértékegységét tetszés szerint választhatjuk meg; erre a kérdésre még visszatérünk a 4. §-ban. Még a következő általános észrevételt kell tennünk. Tekintsünk két Lagrangefüggvényt, L( q, q, t)-t és L (q, q, t)-t, amelyek egymástól csak egy f(q, t) függvény teljes időderiváltjában különböznek: L'(q,

q,

t)

= L(q, q, t)+ !J(q, t).

E két függvény segítségével megadott (2,1) integrálok az

I

S' =

~

I lz

!2

L'(q,

q,

t) dt

=

I -#t t2

L(q,

q,

t) dt+

~

f(q, t) dt =

~

összefüggésnek tesznek eleget, azaz olyan tagokban különböznek egymástól, amelyek = O feltétel megegyezik a oS = O feltétellel, s a mozgásegyenletek alakja változatlan marad. Ezek szerint a Lagrange-függvény csak a koordináták és az idő egy tetszőleges függvényének teljes időcleriváltja erejéig van meghatározva. eltűnnek a hatásintegrál variációjánáL Így a oS'

3. §. A Galilei-féle relativitási elv A mechanikai jelenségek tanulmányozása céljából valamilyen vonatkoztatási rendszert kell választanunk. A különböző vonatkoztatási rendszerekben általában különbözők a mozgástörvények. Ha tetszőleges vonatkoztatási rendszert választunk, előfordulhat, hogy egészen egyszerű jelenségek törvényei is igen bonyolult formát öltenek. Természetes módon merül fel az a feladat, hogy olyan vonatkoztatási rendszert keressünk, amelyben a mechanikai törvények a legegyszerűbb alakúak. A fizikai tér tetszőleges vonatkoztatási rendszerben nem homogén és nem izotrop. Ez azt jelenti, hogy más testekkel kölcsön nem ható test számára a tér különböző helyei és különböző irányai mechanikailag nem ekvivalensek. Ugyanez vonatkozik az időre is, amely általános esetben nem homogén, azaz a különböző pillanatok nem ekvivalensek. Nyilvánvalók azok a komplikációk, amelyeket a térnek és az időnek ezek a tulajdonságai a mechanikai leírásban okoznának. Így például egy szabad test (vagyis amely nincs alávetve külső hatásoknak) nem maradhatna nyugalomban: ha a test sebessége valamely időpillanatban nulla is, a következő pillanatban a test már mozogni kezdhet valamely irányban.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010 I. A MOZGÁSEGYENLETEK

16

Kiderül azonban, hogy mindig lehet olyan vonatkoztatási rendszert találni, amelyben a tér homogén és izotrop, az idő pedig homogén. Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Ha ebben a szabad test valamely időpillanatban nyugalomban van, akkor korlátlan ideig nyugalomban is marad. Néhány következtetést azonnal le tudunk vonni a szabadon mozgó tömegpont inerciarendszerbeli Lagrange-függvényének alakjára. A tér és az idő homogenitása azt jelenti, hogy ez a függvény nem tartalmazhatja expliciten sem az r helyzetvektort, sem a t időt, azaz L csak a v sebesség függvénye lehet. A tér izotropiájának következményeként a Lagrange-függvény nem függhet a v vektor irányától, csak az abszolút értékétől, vagyis csak a v2 = v 2 mennyiségtől:

L = L(v 2 ).

' nem . l a L a gran g~- f üggveny M IVe

r··ugg r-to"l, BL Br = O, !!_ BL dt

Ebből

av

=O

(3,1) ' ezert a L agrange-egyenlet: 6·

.

BL k .k . l . BL Bv = const követ ez1 . M1ve pedig Bv csak a sebesség függvénye, az

adódik, hogy v= const.

(3,2)

Ily módon arra a következtetésre jutottunk, hogy inerciarendszerben minden szabad mozgás állandó nagyságú és irányú sebességgel megy végbe. Ez a tehetetlenség törvénye. Ha egy adott inerciarendszer mellett bevezetünk egy másikat, mely hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, akkor a szabad mozgás törvényei erre az új rendszerre vonatkoztatva ugyanazok, mint az elsőre: a szabad mozgás ismét állandó sebességgel valósul meg. A tapasztalat azonban azt mutatja, hogy nemcsak a szabad mozgás törvényei azonosak ezekben a rendszerekben, hanem a két rendszer minden más mechanikai vonatkozásban is teljesen ekvivalens. Így végtelen sok inerciarendszer létezik, s ezek egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgásban vannak. Mindezekben a rendszerekben a tér és az idő tulajdonságai azonosak, és megegyezik az összes mechanikai törvény is. Ez a megállapítás a mechanika egyik legfontosabb elve: a Galilei-féle relativitási elv. A mondottak világosan mutatják az inerciarendszerek kitüntetett tulajdonságait, amelyek miatt szinte kizárólagosan ezeket a rendszereket használ juk a mechanikai 6

www.interkonyv.hu

Egy skalár mennyiségnek egy vektor szerinti deriváltja az a vektor, amelynek komponensei egyenlők az adott mennyiségnek a vektor megfelelő komponense szerinti deriváltjaivaL

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

4.§. A SZABAD TÖMEGPONT LAGRANGE-FÜGGVÉNYE

17

jelenségek tanulmányozásához. A továbbiakban mindenütt, ha az ellenkezőjét külön nem állítjuk, csak inerciarendszerekettekintünk. Az összes, végtelen sok ilyen rendszer teljes mechanikai ekvivalenciája egyúttal azt is mutatja, hogy nincs "abszolút" vonatkoztatási rendszer, amelyet előnyben részesíthetnénk a többivel szemben. Mozogjon a K' vonatkoztatási rendszer V sebességgel a K rendszerhez képest; ekkor ugyanannak a pontnak az r' és r helyzetvektora között az

(3,3)

r= r'+Vt

összefüggés áll fenn; itt feltett ük, hogy az

idő

azonos mindkét rendszerben:

(3,4)

t= t'.

Az abszolút idő feltételezése a klasszikus mechanika egyik alapvető kiindulópontja. 7 A (3,3) és (3,4) képleteket Galilei-transzformációnak nevezzük. A Galilei-féle relativitási elvet úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a mechanikai mozgásegyenletek invariánsok ezzel a transzformációval szemben.

4. §. A szabad tömegpont Lagrange-függvénye A Lagrange-függvény alakjának meghatározására rátérve, tekintsük először a legegyszerűbb esetet: a szabad tömegpont mozgását inerciarendszer ben. Mint már láttuk, ebben az esetben a Lagrange-függvény csak a sebesség négyzetétől függhet. Ennek a függésnek a konkrét formáját a Galilei-féle relativitási elv alapján határozhatjuk meg. Ha a K inerciarendszer végtelen kis e sebességgel mozog aK' inerciarendszerhez képest, akkor v' = v+ e. Mivel a mozgásegyenleteknek mindkét vonatkoztatási rendszerben azonos alakúaknak kell lenniük, az L(v 2 ) Lagrange-függvénynek olyan L' függvénybe kell átmennie, amely L(v2 )-től csak a koordináták és az idő egy függvényének teljes időderiváltjában különbözik (lásd a 2.§ végét). Így tehát:

Ezt a kifejezést e hatványai szerint kifejtve, és a magasabb golva:

7

2

rendű

tagokat elhanya-

A relativisztikus mechanikában ez a feltevés nem helytálló. Elméleti fizika l. - 42 221 /l.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

I. A MOZGÁSEGYENLETEK

18

A jobb oldalon álló második tag csak akkor lesz időszerint teljes derivált, ha lineárisan függ a v sebességtőL Ezért

;~

nem függ a

sebességtől,

azaz a Lagrange-függvény a

vizsgált esetben a sebesség négyzetével arányos: L= av2 •

Abból, hogy az ilyen alakú Lagrange-függvény- végtelen kis sebességű transzformációk esetében -eleget tesz a Galilei-féle relativitási elvnek, azonnal következik, hogy a Lagrange-függvény akkor is invariáns, ha a K vonatkoztatási rendszer véges V sebességgel mozog aK' -höz képest. Valóban: L'= av' 2

= a(v+V) 2 = av2 +2avV+aV 2 ,

vagy d L' = L+ dt (2arV + aV 2t).

A második tag teljes

időderivált,

Az a állandót szokás szerint

és így elhagyható.

I-

-vel jelölve, a szabadon mozgó pont Lagrange-

függvénye végül is az

mv

2

(4, l)

L=2

alakot ölti. Az m mennyiséget az anyagi pont tömegének hívjuk. A Lagrange-függvény additivitása következtében az egymással kölcsön nem ható tömegpontokra :8 L=

Lm;v~.

(4,2)

a

Hangsúlyozzuk, hogy csak az additivitási tulajdonság miatt nyer a tömeg ilyen értelmezése valóságos tartalmat. Mint már a 2. §-ban említettük, a Lagrange-függvény mindig megszorozható egy tetszőleges állandóval; ez nem jelenik meg a mozgásegyenletekben. A (4,2) függvény ilyen megszorzása a tömeg mértékegységének megváltoztatását jelenti csupán; a különböző részecskék tömegének aránya - és csak ennek van valódi fizikai értelme - változatlan marad. Könnyű belátni, hogy a tömeg nem lehet negatív. Valóban, a legkisebb hatás elve szerint a tömegpontnak az l pontból a 2 pontba történő valóságos mozgásakor az

8

A részecskék megkülönböztetésére indexként a latin ábécé pedig az i, k, l, ... betűkkel indexeljük.

www.interkonyv.hu

első betűit

használjuk, a koordinátákat

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

5. §. PONTRENDSZER LAGRANGE-FÜGGVÉNYE

19

integrál minimumot vesz fel. Ha a tömeg negatív volna, akkor olyan pályára, amelyen a részecske kezdetben gyorsan távolodik l-től, aztán gyorsan közeledik 2-höz, a hatásintegrál tetszőleges nagy abszolút értékű negatív értéket felvehetne, azaz nem létezne minimuma. 9 Hasznos észrevenni, hogy (4,3)

Ezért a Lagrange-függvény megalkotásához elég a dl távolságelem négyzetét megtalálni a megfelelő koordináta-rendszerben. Descartes-koordinátákban például df2 = dx 2 +dy2 +dz2 , s így (4,4) Hengerkoordinátákban: d/ 2

=

dr2 + r2 drp 2 + dz 2 , s

ebből:

(4,5)

Gömbkoordinátákban: df2

= dr 2 +r2dfJ2+r 2 sin 2 f}drp 2 ,

és így: (4,6)

5. §. Pontrendszer Lagrange-függvénye Tekintsük most olyan tömegpontok rendszerét, amelyek csak egymással állnak kölcsönhatásban, külső testtel nem; az ilyen rendszert zártnak nevezzük. A tömegpontok közötti kölcsönhatást úgy lehet leírni, hogy a nem kölcsönható testek (4,2) Lagrange-függvényéhez hozzáadjuk a koordináták egy adott függvényét (amely a kölcsönhatás jellegétől függ). 10 Ezt a függvényt - u·-vel jelöljük. Így tehát: (5,1) A 3 lábjegyzet megjegyzése nem zavarja ezt a következtetést, mivelm illetve /2 fonál zár be a Ekkor az 111 1 pontra

függőlegesseL

l' ·2 - l K ,-:zm,,rp,,

Ahhoz, hogy a második pont kinetikus energiáját megtalálj uk, fejezzük ki a pont x 2 és y 2 Descarteskoordinátáit a rp 1 és rp 2 szöggel (a koordináta-rendszer kezdőpontja legyen a felfüggesztési pont, az y tengely irányuljon függőlegesen lefelé):

Ezután

K2

=

m, _ , 2 (x~,+y"!)

=

m, [1"irr, "'+!'·"'+211 .. ] ·T ,rp; , , cos (rp,- rp, )rp,rp,

adódik. Végül:

2. Olyan 111 2 tömegű síkinga, amelynek m 1 mozoghat (2. ábra).

tömegű

felfüggesztési pontja vízszintes egyenesen

x

2. ábra

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

I. A MOZGÁSEGYENLETEK

24

Megoldás. Legyen x az m 1 pont koordinátája és rp az inga fonalának a ekkor: L

ml+m2 = 2-

függőlegessel

bezárt szöge.

)

·• m2 ., 21". x-+ y (l"'-rp-+ xrp cos rp ) +m 2g l cosrp.

3. Olyan síkinga, amelynek felfüggesztési pontja a) függőleges körpályán mozog állandó w szögsebességgel (3. ábra); b) vízszintes rezgési végez w körfrekvenciával; c) függőleges rezgést végez w körfrekvenciával.

l

l l l

l l l

l

.Y

m 3. ábra

Megoldás. a) Az m pont koordinátái: x = a cos wt+ l sin rp,

y= -asinwt+lcosrp.

A Lagrange-függvény: mf2 ., .. L= 2 rp-+mlaw 1 sm (rp-wt)+mgl cos rp.

Itt elhagytuk azokat a tagokat, amelyek csak at idő függvényei, valamint az mlaw cos (rp- wt) kifejezés teljes időderiváltját. b) Az m pont koordinátái: x = a cos wt+ l sin rp,

y = l cos rp.

A Lagrange-függvény (a teljes deriváltak elhagyása után): ml2 2 +maw l 2 coswtsmrp+mg • l cosrp. L = Trp c) Hasonló módon

., l • l L= mf2 2 rp-+maw-coswtcosrp+mg cosrp.

4. A 4. ábrán látható a rendszer: az m 2 pont a állandó CJJ szögsebességgel forog c tengely körül.

www.interkonyv.hu

függőleges

tengelyen mozog, s az egész rendszer

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

5.§. PONTRENDSZER LAGRANGE-FÜGGVÉNYE

25

Megoldás. Legyen{} az a szakasznak a függőlegessel bezárt szöge, 'P pedig a rendszer elforduJási szöge a tengely körül; ep= w. Mindkét m 1 pontra az ív menti elemi elmozdulás: dl{= a2 d{} 2 + + a 2 sin 2{} drp 2 • Az m 2 pontnak az A fel függesztési ponttól való távolsága 2a cos&, s ezért dl2 = = - 2a sin{} d{}. A Lagrange-függvény:

A

4. ábra

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

II. FEJEZET

MEGMARADÁSI TÉTELEK

6. §. Az energia A mechanikai rendszer mozgásakor a rendszer állapotát meghatározó 2s számú q; és 4; (i= l, 2, ... , s) mennyiség változik az időben. Léteznek azonban ezeknek olyan függvényei, amelyek állandó értékűek az egész mozgás folyamán, s csak a kezdeti f~ltételektől függnek. Ezeket a függvényeket mozgásállandóknak nevezzük. 'Az s szabadsági fokú zárt mechanikai rendszer független mozgásállandóinak száma 2s~ 1. Ez nyilvánvaló a következő meggondolásokból. A mozgásegyenletek általános megoldása 2s tetszőleges állandót tartalmaz (lásd a 14. oldalt). Mivel a zárt rendszer mozgásegyenlete az időt expliciten nem tartalmazza, az időszámítás kezdőpontja tetszőlegesen v*lasztható meg, s a mozgásegyenletek konstansai közül egy mindig az időhöz hozzáadott t 0 állandó alakjában vehető fel. A 2s szám ú \

\

l

V+ to)-t kiküszöbölve, a cl, c 2 , . . . , C 2s-l állandókat q és 4 függvényeként fejezhetjük ki; ezek lesznek a rendszer mozgásállandói. A mozgásállandók közül azonban nem mindegyik játszik egyformán fontos szerepet a mechanikában. Van közöttük néhány, amelynek állandó volta igen mély eredetű: az idő és a tér alapvető tulajdonságaival- a homogenitással és az izotropiával - kapcsolatos. Mindezeknek az úgynevezett megmaradó mennyiségeknek fontos általános tulajdonsága, hogy additívak; olyan rendszerre, amelynek egyes részei között a kölcsÖphiltás elhanyagolható, a mozgásállandók értéke megegyezik az egyes részekre vettlértékek összegével. Ezeknek a mennyiségeknek éppen az additivitás ad igen fontos szerepet a mechanikában. Tegyük fel például, hogy két test egymással bizonyos ideig kölcsönhat Mivel a mozgásállandók mindegyike a kölcsönhatás előtt és után is egyenlő a testeken különkülön felvett értékeinek összegével, ezeknek a mennyiségeknek a megmaradása azonnal egy sor feltételt szab a testeknek a kölcsönhatás utáni állapotára, ha állapotuk a kölcsönhatás előtt ismert.

függvényből

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

27

6.§. AZ ENERGIA

Kezdjük az idő homogenitásából eredő megmaradási tételleL Az idő homogenitása miatt a zárt rendszer Lagrange-függvénye expliciten nem függ az időtől. Ezért a Lagrange-függvény teljes időderiváltját a következő alakban írhatjuk: dL aL. aL .. -d~t =I-a q;+ I-a· i q; i q; q;. (Ha a Lagrange-függvény az

időt

expliciten tartalmazná, akkor a jobb oldalon meg-

aL tag Js. ..) A -a aL d en.va'ltat a L a grange-egyen letb"l d -a aL. -tal h ely ette. lenne a -aJe o -d. t q; t q; sítve:

vagy . aL \ -dtd ( L; q;-. -LJ= O. aq; Ebből

látható, hogy az

. aL

(6,1)

E=>' q;---: -L 1 oq;

mennyiség változatlan a zárt rendszer mozgása során, azaz mozgásállandó. Ez a mennyiség a rendszer energi4ja. Az energia additivitása közvetlen ül adódik a Lagrange-függvény additivitásából, mivel (6,1) szerint lineáris kapcsolat áll fenn a két függvény között. Az energiamegmaradás nemcsak zári rendszerekre igaz, hanem olyanokra is, amelyek állandó (vagyis időtől független) külső térben mozognak; a fenti levezetésben a Lagrange-függvényről egyedül azt tettük fel, hogy expliciten nem függ az időtől, s ez ebben az esetben is teljesül. Azokat a mechanikai rendszereket, amelyekben az energia megmarad, konzervatívnak nevezzük. Mint az 5. §-ban láttuk, zárt (vagy állandó külső térben mozgó) rendszer Lagrangefüggvénye

L= K(q, q)- U (q) alakú, ahol K a sebességek kvadratikus alakja. A homogén függvényekre vonatkozó ismert Euler-tétel alkalmazásával:

aL "''4;-a. i q;

=

aK I4;-a. = 2K. i q;

Ezt (6, l )-be helyettesítve, E= K(q, q)+ U(q)

www.interkonyv.hu

(6,2)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

28

Il. MEGMARADÁSI TÉTELEK

adódik; Descartes-koordinátákban: (6,3}

Így tehát a rendszer energiáját két lényegesen különböző tag összegeként lehet előállítani: az egyik a kinetikus energia, mely a sebességektől függ, a másik a potenciális energia, mely csak a koordináták függvénye.

7. §. Az impulzus Másik megmaradási tétel származik a tér homogenitásából. A tér homogén voltának következtében egy zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha a rendszert mint egységes egészet önmagával párhuzamosan tetszőleges módon eltoljuk. Ennek megfelelően tekintsük az € végtelen kis eltolást, és követeljük meg a Lagrange-függvénytől, hogy legyen invariáns ezzel az eltolással szemben. A párhuzamos eltolás olyan transzformációt jelent, amelynél a rendszer minden pontja egyformán mozdul el, vagyis r a__._ r a+ €. A koordináták végtelen kis megváltoztatásakor, miközben a sebességek változatlanok maradnak, az L Lagrange-függvény megváltozása a következő:

aL aL oL= I-a Ora= €I a-· a fa a ra ahol az összegzés a rendszer minden tömegpontjára vonatkozik. Mivel oL = O követelmény ekvivalens a

I aL a

ara

=O

követeiménnyeL Az (5,2) Lagrange-egyenlet értelmében

€ tetszőleges,

a

(7, l) ebből

adódik. Ily módon arra a következtetésre jutottunk, hogy zárt mechanikai rendszerben a (7,2)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

29

7. §. AZ IMPULZUS

vektormennyiség a mozgás folyamán állandó. A P mennyiséget a rendszer impulzusánaki hívjuk. Az (5, l) Lagrange-függvény differenciálásával az adódik, hogy az impulzus a tömegpontok sebességével a következőképpen fejezhető ki: (7,3)

Az impulzus additivitása nyilvánvaló. Továbbá rendszer impulzusa az egyes részecskék

az energiával ellentétben -

a

Pa·= maVa

impulzusának az összege, attól függetlenül, hogy elhanyagolható-e a részecskék közötti kölcsönhatás, vagy sem. Az impulzus mindhárom komponensére csak külső tér hiányában igaz a megmara·dási tétel. Az impulzus egy-egy komponense azonban külön megmaradó mennyiség lehet külső tér jelenlétében is, ha a potenciális energia nem függ valamelyik Descarteskoordinátától. A megfelelő koordinátatengely mentén végrehajtott eltoláskor a mechanikai rendszer tulajdonságai nyilvánvalóan nem változnak meg; ebből adódik, hogy az impulzusnak erre a tengelyre való vetülete megmarad. Így a z tengely irányába mutató homogén térben az impulzus x és y irányú kompor.ensei mozgásállandók.

egyszerű

fizikai jelentése van. A aBL aBU r., ra derivált az a-adik részecskére ható Fa erő. Így a (7,1) egyenlet azt jelenti, hogy zárt rendszerben a részecskékre ható erők összege nulla: A (7, l) kiindulási egyenletnek

(7,4)

Nevezetesen olyan rendszerre, amely mindössze két tömegpontból áll: F 1 +F 2 = O; .az első testre a második által gyakorolt erő nagyságban megegyezik, irányban ellentétes azzal az erővel, amellyel az első test a másodikra hat. Ez a hatás-ellenhatás (akcióreakció) törvénye. Ha a mozgást a q; általános koordinátákkal írjuk le, akkor a Lagrange-függvénynek az általános sebességek szerint képzett

BL

p;=-a·· q;

(7,5)

differenciálhányadosait általános impulzusoknak, az

F _BL ' - Bq; 1

(7,6)

Más elnevezése: mozgásmennyiség.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

30

ll. MEGMARADÁSI TÉTELEK

deriváltakat pedig általános egyenletek alakja:

erőknek

nevezzük. Ezekkel a jelölésekkel a Lagrange(7,7)

Descartes-koordinátákban az általános impulzusok megegyeznek a Pa vektorok komponenseiveL Általános esetben a Pi mennyiségek a qi általános sebességek homogén lineáris függvényei, és egyáltalán nem a sebességek és a tömegek szorzatai.

Feladat Az m tömegű részecske v1 sebességgel mozog a tér egyik felében, ahol U1 állandó helyzeti energiával rendelkezik, majd átlép a másik féltérbe, ahol helyzeti energiája szintén állandó, U 2 értékű. Határozzuk meg a részecske mozgásirányának megváltozását. Megoldás. A potenciális energia nem függ a két félteret elválasztó síkban felvett tengelyek koordinátáitól. Ezért a részecske impulzusának erre a síkra való vetülete megmarad. Jelölje {} 1 és &2 az elválasztó sík normálisának a v1 , illetve az átmenet utáni v2 sebességgel bezárt szögét; ekkor v1 sin & 1 = = v 2 sin {} 2 • A v 1 és v 2 sebességek kapcsolatát az energiamegmaradás adja, s végül: {}1 sin ~ = sm u· 2

VI +-., (u· 2 mvi

1- U'" 2).

8. §. A tömegközéppont Zárt mechanikai rendszer impulzusa különböző értékű a különböző (inerciális) vonatkoztatási rendszerekben. Ha aK' vonatkoztatási rendszer V sebességgel mozoga K vonatkoztatási rendszerhez képest, akkor a részecskéknek ezekhez a rendszerekhez viszonyított v~ és va sebessége között a va= v~+ V összefüggés áll fenn. Ezért a megfelelő P' és P impulzusértékek összefüggését a

P= 'LmaVa = "Lmav~+V'Lma a

a

a

képlet adja meg, vagy másként: (8, J)

Nevezetesen, mindig létezik olyan K' vonatkoztatási rendszer, amelyben a teljes impulzus nulla. Beírva (8, l)-be a P' = O értéket, azt kapjuk, hogy ennek a vonatkoztatási rendszernek a sebessége: (8,2)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

8. §. A TÖMEGKÖZÉPPONT

31

Ha a mechanikai rendszer teljes impulzusa nulla, akkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben. Ez igen termész~tes általánosítása az egyetlen tömegpont nyugalmáról kialakított fogalmunknak. Ennek megfelelően a (8,2) képlet által meghatározott sebességet úgy értelmezhetjük, mint a mechanikai rendszer "egységes egészként", nem nulla impulzussal történő mozg4sának sebcsségét. Látjuk tehát, hogy az impulzus megmaradásának törvénye segítségével természetes módon definiálható a mechanikai rendszernek mint egésznek nyugalmi állapota és sebessége. A (8,2) képlet szerint a mechanikai rendszernek mint egésznek P impulzusa és V sebessége között ugyanaz az összefüggés áll fenn, ami egyetlen M = L ma tömegű részecske impulzusa és sebessége között. Ezt a tényt úgy lehet megfogalmazni, hogy a tömeg additív. A (8,2) képlet jobb oldalát az (8,3) kifejezés teljes időderiváltjaként lehet előállitani. Szavakban ez úgy foglalható össze, hogy az egységes egésznek tekintett rendszer sebessége a (8,3) egyenlőséggel megadott helyzetvektor mozgásának sebességével egyezik meg. A helyzetvektor által meghatározott pontot a rendszer tömegközéppontjának nev:ezzük. Zárt rendszer impulzusának megmaradását úgy is meg lehet fogalmazni, hogy a rendszer tömegközéppontja egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Ebben a formájában a megmaradási tétel a tehetetlenség törvényének általánosítása, amelyet a 3. §-ban egyedül álló sz~bad tömegpontra vezettünk le. Egy tömegpont tömegközéppontja egybeesik magával a tömegponttaL Zárt rendszer mechanikai tulajdonságainak vizsgálata esetén természetes olyan vonatkoztatási rendszert használni, amelyben a tömegközéppont nyugalomban van. Ezzel kizárjuk vizsgálódásainkból a rendszernek mint egységes l!gésznek (általában érdektelen) egyenes vonalú egyenletes mozgását. Az egységes egészként nyugalomban levő mechanikai rendszer energiáját belső energiának nevezzük, és Eb-vel jelöljük. Ez a részecskéknek a rendszerben való viszonylagos mozgásából eredő kinetikus energiát és a kölcsönhatásukból származó potenciá~ lis energiát foglalja magában. Az egységes egészként V sebességgel mozgó rendszer teljes energiája: MV 2 E=2 -+Eb.

(8,4)

Habár ez a képlet meglehetősen nyilvánvaló, megadjuk a levezetését. A mechanikai rendszer E és E' energiája a Kés K' vonatkoztatási rendszerben a következőképp

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

II. MEGMARADÁSI TÉTELEK

32

függ össze:

vagyis E =E'+VP'+ ~V2 •

(8, 5)

Egyik vonatkoztatási rendszerről a másikra áttérve, ez a képlet adja meg az energia transzformációját, mint ahogy a (8,1) összefüggés az impulzusét. Ha aK' rendszerben a tömegközéppont nyugalomban van, akkor P' = O, E' = Eb, és ezzel meg is kaptuk a (8;4) képletet.

Feladat Keressük meg a hatásintegrál transzformációját az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérés esetére. Megoldás. A Lagrange-függvény, amely a kinetikus és a potenciális energia különbsége, nyilvánvalóan a (8,5) képlet szerint transzformálódik: L=

Integráljuk ezt az mációját:

egyenlőséget

az

idő

L'+VP'+~MV'.

szerint, így megkapjuk a hatásfüggvény keresett transzfer-

ahol R' a tömegközéppont helyzetvektora a K' inerciarendszerben.

9. §. Az impulzusmomentum Rátérünk a tér izotropiájából eredő megmaradási tétel levezetésére. A tér izotropiája azt jelenti, hogy zárt rendszer mechanikai tulajdonságaí nem változnak meg, ha az anyagi rendszert mint egységes egészet tetszőleges módon elforgatjuk atérben. Ezt tudva, vizsgáljuk a rendszer végtelen kis elforgatását, és követeljük meg, hogy e forgatás hatására a Lagrange-függvény ne változzék meg.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

33

9. §. AZ IMPULZUSMOMENTUM

Legyen a végtelen kis elforgatás vektora öcp, amelyneIC abszolút értéke egyenlő az elforgatás öcp szögével, iránya pedig megegyezik a forgatás tengelyével (úgy, hogy a forgatás iránya öcp irányával jobb csavart alkosson). Határozzuk meg mindenekelőtt a (forgástengelyen levő) kezdőpontból az elforgatott rendszer valamely tömegpontjához húzott helyzetvektor megváltozását egy "ilyen forgatás esetén. A helyzetvektor végének lineáris elmozdulása a forgás szögével

l őr l = r sin 1J •bcp szerint fejezhető ki (5. ábra). Az elmozdulás vektora feszített síkra. Ebből világos, hogy

merőleges.

az r és öcp által ki-

ör = öcpxr.

(9,1)

5. abra

A rendszer elforgatásakor nemcsak a helyzetvektorok, hanem a részecskék sebességének iránya is megváltozik, és minden vektor ugyanazon törvény szerint transzformálódik. Ezért a sebesség megváltozása az eredeti koordináta-rendszerhez viszonyítva: (9,2)

Öv=Öq>Xv.

Helyettesítsük ezeket a kifejezéseket a Lagrange-függvény invarianciáját

öL=

aL aL ) La ( -a öra+-a Öva la Va

kifejező

=O

egyenlet be, és használjuk fel a aL = Pa és a aaL = Pa összefüggéseket: ava la L(Pa(Öq>XraHP.a(Öq>XVa)) =O. a

3

Elméleü fizika I. - 42 221/1.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

ll. MEGMARADÁSI TÉTELEK

34

Cseréljük meg ciklikusan a hármasszarzatok bq>-t a szummajel elé:

tényezőinek

sorrendjét, és emeljük ki

Öq> I (raXPa+VaXPa) = Öq> dd IraXPa =O. t a

a

Mivel Öq>

tetszőleges, ebből

az következik, hogy

vagyis arra az eredményre jutottunk, hogy zárt rendszer mozgása során a (9,3)

vektormennyiség, amelyet a rendszer ímpulzusmomentumának nevezünk, megmarad. Az impulzusmomentum additivitása nyilvánvaló, sőt ~- mint az impulzusnál is ~- ez a tulajdonsága nem függ attól, van-e a részecskék között kölcsönhatás, vagy nincs. Ezzel ki is merítettük az additív mozgásállandók sorát. Így tehát minden zárt rendszernek hét ilyen állandója van: az. energia, valamint az impulzus és az impulzusmomentum három-három komponense. Mivel az impulzusmomentum definíciójában szerepeinek a részecskék helyzetvektorai, értéke általában függ a koordináta-rendszer kezdőpontjának megválasztásátóL Olyan koordináta-rendszerekben, amelyeknekkezdőpontja a távolságra van egymástól, ugyanazon pont ra és r: helyzetvektorai között az ra = r~+ a kapcsolat áll fenn. Ezért

J= IraXPa = Ir~XPa+aX IPa, a

a

a

vagy (9,4)

J =J'+aXP.

Ebből a képletből látszik, hogy az impulzusmomentum csak abban az esetben nem függ a koordináta-rendszer kezdőpontjának megválasztásától, ha az anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van (azaz P = O). Ez a határozatlanság természetesen nem jelentkezik az impulzusmomentum megmaradásának tételében, mert zárt rendszerben az impulzus szintén mozgásállandó. Vezessük le azt a képietet is, amely összekapcsolja az impulzusmomentum értékeit az egymáshoz képest V sebességgel mozgó Kés K' inerciarendszerben. Feltesszük, hogy aK és aK' koordináta-rendszer kezdőpontja az adott időpillanatban egybeesik. Ekkor á részecskék helyzetvektorai mindkét rendszerben azonosak, sebességük között pedig a va= v~+ V összefüggés áll fenn. Ezért

J= I mara X Va= I mara X v~+ I mara XV. a

www.interkonyv.hu

a

a

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

9. §. AZ IMPULZUSMOMENTUM

35

Ajobb oldalon levő első összeg a rendszer J' impulzusmomentuma aK' rendszerben; a második összegben vezessük be (8,3) szerint a tömegközéppont helyzetvektorát; ekkor: .(9,5) J =J'+MRXV. Ez a képlet adja meg az egyik vonatkoztatási rendszerről a másikra való áttéréskor az impulzusmomentum transzformációját, hasonlóan az impulzus és az energia transzformációját leíró (8, l) és (8,5) képletekhez. Ha K' az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az adott anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van, akkor V a tömegközéppont sebessége, és MV a rendszer teljes impulzusa (K-hoz viszonyítva). Ekkor J =J'+RXP.

(9,6)

Más szavakkal, a mechanikai rendszer impulzusmomentuma két részből tehető össze: az egyik a rendszer "saját impulzusmomentuma" abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben nyugalomban van, a másik a rendszernek mint egésznek a mozgásából adódó RXP impulzusmomentum. Bár az impulzusmomentum mindhárom (tetszőleges koordinátakezdőponthoz viszonyított) komponensének megmaradása csak zárt rendszerre igaz, korlátozott formában e megmaradási törvény külső térben levő rendszerekre is fennállhat. A fenti levezetésből nyilvánvaló, hogy ha a külső tér egy adott tengelyre forgásszimmetrikus, és így a rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg e tengely körül való elforgatásakor, akkor az impulzusmomentumnak erre a tengelyre való vetülete megmarad; ebben az esetben az impulzusmomentumot természetesen az adott tengelyen levő pontra (mint koordináta-kezdőpontra) kell megadnunk. A legfontosabb speciális eset a centrális erő, vagyis az olyan erőtér, amelyben a potenciális energia a térben csak egy adott ponttól (a centrumtól) mért távolságtól függ. Nyilvánvaló, hogy ilyen erőtérben mozogva, az impulzusmomentumnak a centruman átmenő tetszőleges tengelyre vonatkozó vetülete megmarad. Más szóval megmarad a J impulzusmomentum, de nem tetszőleges pontra, hanem csak a tér centrumára vonatkoztatva. Másik példa: a z tengely irányába mutató homogén erőtérben megmarad a J z komponens tetszőleges pontra vonatkoztatva. Megemlítjük, hogy az iimpulzusmomentum vetülete egy adott tengelyre (nevezzük ezt z tengelynek) a Lagramge-függvény differenciálásával is megkapható: J

z

=La Orpa' BL

(9,7)

ahol rp a z tengely körül végzett elfoTgatás szöge. Ez már az impulzusmomentum 3*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

ll. MEGMARADÁSI TÉTELEK

36

megmaradásának levezetéséből is világos, de közvetlen számítással is meg lehet róla győződni. Az r, rp, z hengerkoordinátákban (x a = r a cos rp a• Y a = r a sin rp a): ]z

=

La ma(XaYa- YaXa) = La mar~rpa.

(9,8)

Másrészt a Lagrange-függvény ugyanezekben a változókban:

amit (9,7)-be helyettesítve, megkapjuk a (9,8) kifejezést.

Feladatok l. Írjuk fel egy részecske impulzusmomentumának Descartes-koordinátáit és abszolút értékét az r, rp, z hengerkoordináták segítségéve!.

Válasz: J x = m sin rp(ri- zf) -mrzrp cos rp,

J"

=

m cos rp(zr- ri) -mrzrp sin rp,

J, = mr 2 rp, J 2 = m 2r 2 rp 2 (r2 + z 2 )+ m 2(ri- zf) 2 •

_ 2. Írjuk fel ugyanezt az r,{}, rp gömbkoordinátákban. Válasz: J x = -mr 2 ( J. sin rp +

rp sin{}

cos{} cos rp),

J"= mr2 ( if cos rp- rp sin{} cos{} sin rp ), J, = mr2 sin 2 {} • rp,

J2

= m2r 4 (Ö. 2 +sin 2 f}.rp').

3. A P impulzus és az J impulzusmomentum mely komponensei maradnak meg a kö-vetkező erőterekben.

a) Végtelen homogén sík erőtere. Válasz: P",P", J, (a sík az xy sík).

b) Végtelen homogén henger erőtere. Válasz: Jz, P, (a henger tengelye a z tengely). c) Végtelen homogén hasáb erőtere.

f'álasz: P, (a hasáb élei párhuzamosak a z tengellyel). d) Két pont erőtere. Válasz: J, (a pontok rajta vannak a z tengelyen). e) Végtelen homogén félsík erőtere.

Válasz: P" (a félsík az xy síknak az y tengely által határolt része) f) Homogén kúp erőtere. Válasz: J, (a kúp tengelye a z tengely).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

10. §. MECHANIKAI HASONLÓSÁG

37

g) Homogén körgyűrű erőtere. Válasz: Jz lil gyűrű tengelye a z tengely). h) Végtelen homogén hengercsavar erőtere.

Megoldás. A Lagrange-függvény nem változik a csavar tel}gelye (z tengely) körüli &p szögű elh forgatáskor, ha egyidejűleg a tengely mentén - - brp eltolást is végzünk (h a csavar menetmagassága). 2n Ezért

aL aL (. h .) oL= -a oz+-a brp = Pz 2-+J. brp =O, z rp n ahonnan

10. §. Mechanikai haso!llóság A Lagrange-függvénynek tetszőleges állandóval való megszorzása nyilvánvalóan nem változtatja meg a mozgásegyenleteket. Ez a körülmény (melyet már a 2. §-ban említettünk) sok fontos esetben lehetőséget ad arra, hogy a mozgás sajátságairóllényeges következtetéseket vonjunk le a mozgásegyenletek konkrét megoldása nélkül. Ide tartoznak azok az esetek, amikor a potenciális energia a koordináták homogén függvénye, azaz olyan függvény, amely kielégíti az U (1Xrr, 1Xr2, ... , (Xfn)

= cxkU(rt, r2,

(10,1)

••. , r n)

feltételt, ahol IX tetszőleges állandó és ka függvény homogenitásának foka. Végezzünk olyan transzformációt, amelyben az összes koordinátának IX-szoros megváltoztatása mellett az időt :s P-szorosára megváltoztatjuk:

Ekkor az összes

dra dt

Va=-

sebesség ; -szorosára változik,

a kinetikus

' . IX2 pedtg pz -szeresere. A potenciális energia cxk-nal szorzódik meg. Ha IX és IX2

-fJ2 =

IXk

, · azaz

p= IX

energia

p között az

1-~ 2

összefüggést választjuk, akkor ilyen transzformáció hatására az egész Lagrangefüggvény é-nal szorzódik meg, vagyis a mozgásegyenletek változatlanok maradnak. Azzal, hogy az összes részecske koordinátáit ugyanannyiszarosára megváltoztatjuk, az eredeti pályákhoz geometriailag hasonló új pályákra térünk át, amelyek csak

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

II. MEGMARADÁSI TÉTELEK

38

lineáris méreteikben különböznek az előzőktőL Így tehát arra a következtetésre jutunk, hogy ha az anyagi rendszer potenciális energiája a (Descartes-féle) koordináták k-adfokú homogén függvénye, akkor a mozgásegyenletek szerint geometriailag hasonló pályák jöhetnek létre, és (a pályák megfelelő pontjai között) a mozgásidők viszonya: k 1--

t' (;)

t

(10,2)

2,

ahol 1; a két pálya lineáris méreteinek aránya. Az

idővel együtt minden mechanikai

mennyiség értékeinek viszonyát is 1; meghatározott hatványai fejezik ki a pályák megfelelő pontjaiban és a megfelelő időben. Így a sebességre, az energiára és az impulzusmomentumra: k

v'

E'

v

E

J' J

(10,3)

A mondottakat néhány példával illusztráljuk. Mint később látni fogjuk, az úgynevezett kis rezgések esetében a potenciális energia a koordináták kvadratikus alakja (k = 2). (10,2)-ből az adódik, hogy az ilyen rezgések periódusa nem függ az amplitúdótóL Homogén erőtérben a potenciális energia a koordináták lineáris függvénye [lásd az (5,8) képletet], azaz k = l. Ezért (10,2) szerint:

t; =v~~. Ebből

például az következik, hogy a nehézségi erőtérben való eséskor az esési idők négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a kezdeti magasságok. Két tömeg Newton-féle vonzása vagy két töltés Coulomb-féle kölcsönhatása esetén a potenciális energia fordítva arányos a részecskék közötti távolsággal, vagyis k = -1-edfokú homogén függvény. Ekkor !!.

'[')2 .! =(T , t'

így kimondhatjuk, hogy a pályákon való keringés idejének a négyzete a pályák méretének köbével arányos (ez a harmadik Kepler-törvény). Ha az anyagi rendszer, melynek potenciális energiája a koordináták homogén függvénye, mozgása közben a tér korlátos tartományában marad, igen egyszerű

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

10. §. MECHANIKAI HASONLÓSÁG

39

összefüggés áll fenn a kinetikus és potenciális energia időbeli középértéke között; ez az összefüggés viriá/tétel néven ismeretes. Mivel a K kinetikus energia a sebességek kvadratikus alakja, a homogén függvényekre vonatkozó Euler-tétel szerint:

BK L:-a va =2K, a Va vagybevezeíve a Pa= aBK impulzusokat: Va

2K

=La Pa Va= ddt

(L a

Pala)-

La laPa·

(10,4)

Átlagoljuk időben ezt a kifejezést. Valemely f(t) függvény időátlagának (középértékének) az

•

J=

lim _!_ ft(t) dt T--+-oo

7:

o

mennyiséget nevezzük.

Könnyű belátni,

hogy ha /(!) =

függvény (azaz sehol sem vesz fel végtelen értéket), akkor

J=

d~~t),

ahol F(t) kotlátos

időátlaga

nulla. Ugyanis

•

lim

_!_I dF dt =

·-~ -,;

dt

lim F(-c)-F(O) =O.

T-~

-,;

o

Tegyük fel, hogy a rendszer a tér véges tartományában mozog, eközben a részecskék sebessége sem válik végtelenné. Ekkor a 2)aPa mennyiség korlátos, és így a (10,4) egyenlőség jobb oldalán álló első tag középértéke nulla. A második tagba helyettesít· su.. k a N ewton-egyen1et b"l o a Pa

au k"c:heJezest. · , '1 gy: 2 = --a la

(10,5)

Ha a potenciális energia az ra helyzetvektorok k-adfokú homogén függvénye, akkor Euler tétele szerint a· (l 0,5) egyenlőség a keresett (10,6)

2K =kV

összefüggésbe megy át. 2

A (l 0,5) egyenlőség jobb oldalán álló kifejezést szokás a rendszer viriátjának nevezni.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

Il. MEGMARADÁSI TÉTELEK

40

Mivel K +V =E= E, a (10,6) összefüggés más egyenértékű formákban is megadható, amelyek V-t, illetve K-t a rendszer teljes energiájával fejezik ki:

-

.2

( 10, 7)

U= k+2E, Kis rezgések esetében spedálisan (k = 2):

K=U, vagyis a kinetikus és potenciális energia átlaga megegyezik. Newton-féle kölcsönhatásnál (k = -1): 2K =-V. Ekkor E = - K, annak megfelelően, hogy ilyen kölcsönhatás esetén a mozgás csak akkor megy végbe a tér korlátos tartományában, ha a teljes energia negatív (lásd: 15.§).

Feladatok l. Hogyan viszonytanak egymáshoz a mozgásidők, ha ugyanazokon a pályákon különböző tömegű. de azonos potenciális· energiájú testek mozognak?

Válasz:

t;=~· 2. Hogyan változnak meg ugyanazokhoz a pályákhoz tartozó mozgásidők, ha a potenciális energiát egy állandó szorzóval megváltoztatjuk 7

Válasz:

. !:.._ r

www.interkonyv.hu

=

lfu

rV'·

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

III. FEJEZET

A MOZGÁSEGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

ll. §. Az egydimenziós mozgás Az egy szabadsági fokú rendszer mozgását egydimenziósnak nevezzük. Állandó külső feltételek mellett az ilyen rendszer Lagrange-függvényének legáltalánosabb alakja: (ll, l) ahol a(q) a q általános koordináta valamely függvénye. Ha q speciáJisan Descarteskoordináta (nevezzük x-nek), akkor (11,2) Az ilyen Lagrange-függvényeknek megfelelő mozgásegyenleteket általános formában integrálhatjuk. Sőt arra sincs szükség, hogy magát a mozgásegyenletet felírjuk, hanem rögtön az egyenlet első integráljából indulhatunk ki: az energia megmaradását kifejező egyenletbőL Így a (ll ,2) Lagrange-függvény esetén:

Ez elsőrendű differenciálegyenlet, amelyet a változók szétválasztásával integrálhatunk. Ekkor

dx ~ dt

=

ahonnan t =

1~ 2

v2

[E-U(x)],

I

dx

-

m

JI E- U(x)

+const.

(ll ,3)

A mozgásegyenlet megoldásában a két tetszőleges állandó szerepét itt az E teljes energia és a "const" integrációs állandó játssza.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

42

lll. A MOZGÁSEGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

Mivel a kinetikus energia mindenképpen pozitív mennyiség, a mozgás teljes energiája mindig nagyobb, mint a potenciális energia; vagyis a mozgás a térnek csak abban a tartományában mehet végbe, ahol U (x) < E. Legyen például U(x) függése olyan, mint amilyet a 6. ábra mutat. Ugyanezen az ábrán a teljes energiának megfelelő vízszintes vonalat meghúzva, azonnal látjuk a mozgás lehetséges tartományait. Így a 6. ábrán feltüntetett esetben a mozgás csak az AB vagy a C-től jobbra eső tartományban jöhet létre.

u

Xt

x2

6. ábra

Azok a pontok, amelyekben a potenciális energia megegyezik a teljes energiával, vagyis amelyekre U(x) =E,

(ll ,4)

a mozgás határait adják meg. Ezek a megál!ási pontok, mivel itt a sebesség nulla. Ha a mozgás tartományát két ilyen pont határolja, akkor a mozgás a tér korlátos tartományában megy végbe; ekkor azt mondjuk, hogy a mozgás véges. Ha ellenben a mozgási tartomány nem korlátozott, vagy csak egy oldalról korlátozott, akkor a mozgás végtelen, a részecske eltávolodik a végtelenbe. Az egydimenziós véges mozgás rezgés: a részecske periodikusan ismétlődő mozgást végez a két határ között (a 6. ábrán az x 1 és x 2 pontok között az AB potenciálgödörben). Emellett a megfordíthatóság általános tulajdonságának megfelelően (lásd a 20. oldalt) xrtől az x 2-ig tartó mozgás ideje egyenlő az x 2 -től az x1-ig tartó mozgás idejével. Ezért a rezgés T periódusa, vagyis az az idő, amely alatt a pont x r től elmegy x 2-ig és vissza, egyenlő az x 1x 2 szakasz megtételéhez szükséges idő kétszeresével, azaz (ll ,3) szerint

f

x,(E)

T(E) =

]12m

dx . VE-U(x)

(ll ,5)

x 1(E)

Az x1 és x 2 határok a (ll ,4) egyenlet gyökei adott E energiaérték mellett. Ez a képlet megadja a mozgás periódusát a részecske teljes energiájának függvényében.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

43

ll. §. AZ EGYDIMENZIÓS MOZGÁS

Feladatok l. Határozzuk meg a matematikai síkinga (m tömegű pont l hosszúságú fonál végén nehézségi rezgéseinek periódusát az amplitúdó függvényében. Megoldás. Az inga energiája:

erőtérben)

mfZrp"

E= - 2---mglcosT =-mglcoSTo• ahol T a fonálnak a függőlegessel bezárt szöge, To a maximális kitéréshez tartozó szög. A periódust úgy számítjuk ki, hogy a nullától a T0 -ig tartó mozgás idejét megnégyszerezzük: fllo

T~ v~ f 4

rr·o

foo,:~oo••· ~ 2

Vf f V

sin"

o A sin

~·/sin

io

=

sin

dT

io -sin

2

~

o

~ helyettesítéssei ez az integrál a T= 4

v~K(sin~~)

alakot ölti, ahol 2

K(k) =

f o

d~

Vl-P sin"~

az úgynevezett elsőfajú teljes elliptikus integrál. Ha sin ~- "" ~0 - « l (kis rezgések), a K(k) függvény kifejtésével:

Ennek a kifejtésnek az első tagja megfelel az elemi fizika ismert képletének. 2. Határozzuk meg az m tömegű részecske rezgésének periódusát a mozgás energiájának függvényében olyan terek esetén, melyekben a potenciális energia a)

U= A lxl".

Válasz: (E/A)"

f o

o

Az y" =u helyettesítéssei az integrál az úgynevezett Euler-féle B-integrálba megy át, amelyet a

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

44

III. A MOZGÁSEGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

F-függvények segitségével fejezhetünk ki:

T=

2 r'2mn

r(!) n

1

1

En-2

l l l) nA-;r(-+n 2

T-nek az b)

l

E-től

való függése megfelel a mechanikai hasonlóság (10,2), (10,3) törvényének.

v.

V=-~h'' , C - lXX

-U 0 -

O esetén a részecske mozgása végtelen,

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

15. §. A KEPLER-PROBLÉMA

55

Uérr

r

10. ábra

A pályát a (14,7) általános formulából kaphatjuk meg. Helyettesítsük ide U=

= -~-et; elemi integrálok kiszámítása után: r

rp = arccos

v J r

mrx

J m2.rx2

+const.

2mE+~

Válasszuk úgy a rp szög vonatkoztatási irányát, hogy const = Olegyen, és vezessük be a ]2

(15,4)

p=--, mrx

jelöléseket; ezzel a pálya egyenlete r=

p

l +e cos rp

(15,5)

alakba írható. Ez olyan kúpszelet egyenlete, amelynek fókusza az origóban van; p és e a pálya paramétere, illetve excentricitása. rp vonatkoztatási irányát az előbbiek szerint választva, elértük [amint ez ( 15,5)-bőllátszik], hogy a rp = O szöghöz az origóhoz legközelebbi pont tartozik. (Ez a "perihélium".) Az ezzel ekvivalens kéttest-probléma az, amikor a két test a (15,1) törvény szerint áll egymással kölcsönhatásban. Ekkor minden egyes részecskének a pályája egyaránt egy kúpszeletet ír le, amelynek gyújtópontja a közös súlypontban van.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

56

III. A MOZGÁSEGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

y

2b

~--...;::2:...=0_ _ ~

ll. ábra (15,4)-bőllátszik, hogy E< Oesetén e< l, vagyis a pálya ellipszis (ll. ábra), és a mozgás a szakasz elején mondottaknak megfelelően véges. Az analitikus geometria ismert képleteit felhasználva, az ellipszis nagy- és kistengelye:

p r:t. a=--=--, l-e2 21EI

b=-p-= J YI-e 2 Y2m lEl

(15,6)

A legkisebb megengedett energiaérték megegyezik (15,3)-mal; ekkor e= O, tehát az ellipszis kör. Megjegyezzük, hogy az ellipszis nagytengelye csak a részecske energiájától függ (irnpulzusmomentumától nem). A tér centrumától (az ellipszis fókuszától) mért legnagyobb és legkisebb távolság: rmin

=

p

T+-e

= a(l-e),

Ymax

p = -1 -

-e

= a(l+e).

(15,7)

Ezeket a kifejezéseket, természetesen, közvetlenül is meg lehet kapni az Uerr(r) = E egyenlet gyökeiként {a és e értékét (15,6) és (15,4) szerint megadva]. Ellipszispályán a keringés ideje, azaz a mozgás T periódusa egyszerűen az impulzusmomentum megmaradását (14,3) formában kifejező felületi tétel segítségével adható meg. Integráljuk ezt az egyenlőséget az idő szerio t nullától T-ig:

2mf = TJ, ahol fa pálya által határolt terület. Ellipszisrej = nab, így a (15,6) képletek felhasználásával:

l!~-m = Vr----,;;2 lE 1

% T = 2na

"ltr:t.

3 ·

(15,8)

Azt, hogy a periódus négyzete a pálya lineáris méreteinek köbével arányos, már a 10.§-ban megmutattuk. Megemlítjük még, hogy a periódus csak a tömegpont energiájától függ.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

15. §. A KEPLER-PROBLÉMA

57

12. ábra

Ha

E~

O, a mozgás végtelen. E> Oeseténe > l, vagyis a pálya hiperbola, mely az erőtér centrumát (a fókuszt) úgy öleli körül, ahogyan a 12. ábra mutatja. Acentrumtól való legkisebb távolság: p

rmin

= --1 = a(e-1), e+

(15,9)

ahol

a hiperbola "féltengelye". Az E= O esetben e

= l, tehát a részecske parabolán mozog, amelyre r min = ~~. Ez

az eset akkor valósul meg, ha a részecske nyugalmi állapotából kiindulva, a végtelenben kezdi mozgását. A részecske koordinátáinak időfüggését az általános (14,6) képlet segitségével kaphatjuk meg. Kényelmes paraméterezésre juthatunk a következő módon. Tekintsünk először elliptikus pályákat. Vezessük be (15,4) és (15,6) szerint a-t és e-t, sírjuk az időt meghatározó (14,6) integrált a

alakba. A

kézenfekvő

r-a =-ae cos~

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

58

III. A MOZGÁSEGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

helyettesítéssei ez az integrál t=

v-:

03

f

(I-e cos;) d; =

v:

03

(;-e sin ;)+const

alakra hozható. Válasszuk az időszámítás kezdőpontját úgy, hogy a fenti const nulla legyen; így végül r-nek t-től való függését a következő paraméteres alakban kapjuk: r= a(1-ecos;),

t=

lf maa V ·-oc-(;-esin;)

(15,10)

(a t= O pillanatban a részecske a perihéliumban van). Ugyanezzel a; paraméterrel lehet kifejezni a részecske x = r cos rp, y = r sin rp Descartes-koordinátáit (az x és y tengely az ellipszis nagy-, illetve kistengelye mentén húzódik). (15,5)-ből és (15,10)-ből ex =p-r = a(l-e2 )-a(1-e cos;) =ae(cos ;-e), továbbá y= fr2-x2. Végül tehát: x =a(cos ;-e),

y =a Yl-e 2 sin;.

(15,11)

Az ellipszisen való teljes körülfordulásnak a ; paraméter nulla és 2:n: közti változása felel meg. . Teljesen hasonló számítások hiperbolapályák esetén a következő eredményre vezetnek:

V:

03

r= a(e ch ;-1),

t=

(e sh ;-;),

x =a(e-ch;),

y= aVe2 -1 sh;;

(15, 12)

itt a ; paraméter - oo -től + oo -ig fut. Térjünk rá a taszító erőterekben lejátszódó mozgásokra; itt -

oc

U=-r

(15, 13)

(oc >O). Ebben az esetben az effektív potenciális energia, a. ]2 Uerr = - + - -2 r

2mr

monoton csökken + oo -től nulláig, miközben az r nullától végtelenig változik. A részecske energiája csak pozitív lehet, és a mozgás mindig végtelen. Minden számítás teljesen hasonlóan végezhető, mint az előző esetben. A pálya hiperbola (vagy parabola, haE= O): r=

www.interkonyv.hu

p -l+e cos rp

(15,14)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

15. §. A KEPLER-PROBLÉMA

59

y

o

x a (1+e)

13. ábra

[p-t és e-t a korábbi (15,4) képletek határozzák meg]. A pálya úgy halad el a tér centruma mellett, amint azt a 13. ábra mutatja. A perihélium távolsága: p

rmin

Az időfüggést a

következő

= -1 = a(e+ l). e-

(15,15)

paraméteres egyenletek adják meg:

V~a

r= a(e ch~+ 1),

t=

3 (e sh ~+~),

x= a( ch ~+e),

y= a Ye2- i sh ~-

(15,16)

Befejezésül megmutatjuk, hogy az U= ~térben létrejövő mozgásoknál (oc tetsző­ r

leges előjele mellett) van egy mozgásállandó, amely speciálisan erre a térre jellemző. Közvetlen számolással könnyű igazolni, hogy IJ(f

vXJ +-=const.

(15,17)

r

Valóban, ennek a mennyiségnek teljes

időcleriváltja:

vagy J = mr X v behelyettesítésével: . ... , .. av ocr(vr) mr(vv)-mv(rv)+ - - - - ;

·

www.interkonyv.hu

r

r3

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

III. A MOZGÁSEGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

60

a mozgásegyenletnek megfelelően

mv =

~~- , s ezzel a fenti kifejezés valóban nulla.

r A (15, 17) megmaradó vektor a nagytengely mentén a fókusztól a perihélium felé irányul, nagysága pedig cxe. Erről úgy lehet a legegyszerűbben meggyőződni, hogy a perihéliumban kiszámítjuk a vektor nagyságát. Hangsúlyozzuk, hogy mind a (15, 17) mozgásállandó, mind J és E a részecske állapotának (helyzetének és sebességének) egyértelmű függvénye. Az 50. §-ban látni fogjuk, hogy az ilyen további egyértelmű mozgásállandó megjelenése a mozgás úgynevezett elfajultságával kapcsolatos.

Feladatok l. Adjuk meg a részecske koordinátáinak időfüggését U

= -

··!)(_ térben E = O energia esetén r

(parabolapálya). Megoldás. Végezzük el a

fl

rdr . 2a J2

helyettesítés!; eredményül a keresett függésnek a

következő

t=

Vm r-~

integrálban az

t--Jfn;:3~ 2

p r= z-0+7}'),

7} (

x=~(l-7} 2 ), Az 7J paraméter

-=-től

paraméteres alakját kapjuk:

'I'J') 1+3'

y=p7J.

+=-ig fut.

2. Integráljuk a tömegpont mozgásegyenleteit U= - ~ , a r

>-

O centrális erőtér esetén.

Megoldás. A (14,6) és (14,7) képletek szerint, rp és t kezdőpontjának megfelelő választása mellett, a kapjuk: J2 2mE a) ha E>-0, 2m>- a, -;l = J2-Zma cos ( rp v~) 1-]2 ;

következőket

v v

ha

E>-0,

J2 2m< a,

_!_ =

c)

ha

E< O,

J2 2m< a,

_!_= v_3m1EI 2 ch ( yzn~a-l).

r

r

2m E h ( 2ma-J2 5 'P

2ma-J

Mindhárom esetben t

www.interkonyv.hu

v

b)

= El v~ 2

2ma _ 1 ) . 12 '

'P

]2

( l

J2 Er2- 2m +a.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

JS.§. A KEPLER-PROBLÉMA A b) és c) esetben a részecske "beesik" a centrumba olyan pályán, amely rp-+ origó hoz. Adott r távolságról a beesés véges idő alatt megy végte; ez az idő:

61 oo

közben közelit az

_L 1G (ll a-_!"_+Er'-1~. E r 2 Y 2m V u.-2í11) 3. Ha a U =-_O!_ potenciális energiához egy kis bU(r) tag járul, akbr a véges mozgás pályái r

már nem lesznek zártak, s a perihélium minden fordulatnál egy kis szöggel eltolódik. Határozzuk {3 ?' meg arp-t, ha a a) au= r 2-, b) au= r". Megoldás. Az ~"min-tól r max-ig, majd újra rmin -ig történő mozgás során létrejövő (14, 10) adja meg; írjuk ezt

arp =-2--a

iJJ

alakba (hogy elkerüljük a

=-.r=+ au, és r elsőrend ü

későbbiekben

arp szögeltolódást a

fmax

JV

J"'

2m(E- U)-__-_ dr r'

látszólag divergetlll integrálok megjelenését). Legyen U=

fejtsük sorba az integrandus! öV hatványai szerint; a kifejtés első tagja 2 n-t ad, az

tag pedig a keresett eltolódást: = -~- (~~1!_ f" r'oU drp )· arp=a~ J ll 2mal}_:!!!___ ( a.. .!' aJ .J f 2m E+-;:)-·flio rma,x

(l)

ahol a dr szerinti integrálásról áttértünk a "perturbálatlan" mozgás pályáján drp szerint végrehajtott integrálásra. Az a) esetben az (l) integrálás trivi:llis:

,

2::r{3m

2::r{3

urp = - - - = - · .!' ap

[p a perturbálatlan ellipszis paramétere (15,4) szerint]. A b) esetben r 2 au=

y , és r r

(15,5) szerinti

kifejezésével:

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

IV. FEJEZET

RÉSZECSKÉK ÜTKÖZÉSE

16. §. Részecskék bomlása Sok esetben már maga az energia- és az impulzusmegmaradás törvénye elegendő, hogy a különféle mechanikai folyamatok sajátosságaira vonatkozóan egy sor fontos következtetést levonhassunk. Különösen jelentős az a körülmény, hogy ezek a sajátosságok egyáltalán nem függnek a folyamatban részt vevő részecskék kölcsönhatásának konkrét fajtájától. Kezdjük egy részecske "spontán" bomlásával, vagyis azzal a folyamattal, amelyben egy részecske külső hatás nélkül két "bomlástermék" részecskére esik szét, amelyek a bomlás után egymástól függetlenül mozognak. Ezt a folyamatot abban a vonatkoztatási rendszerben legegyszerűbb leírni, amelyben a részecske (a bomlás előtt) nyugalomban volt. Az impulzusmegmaradás törvénye értelmében a bomlás eredményeképpen létrejött részecskék impulzusának összege is nulla, azaz a részecskék egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú impulzussal repülnek szét. Ennek az impulzusnak az abszolút értékét (jelöljük p 0-val) az energia megmaradásának törvényéből határozhatjuk meg: p~

p~

Eb = E1b+--+E2b+---. 2ml 2m2 Itt m1 és m2 a részecskék tömege, E1b és E 2b a belső energiájuk, Eb pedig az eredeti (bomló) részecske belső energiája. Jelölje e a "bomlás energiáját", vagyis az (16, l) különbséget (nyilvánvaló, hogy ennek a mennyiségnek pozitívnak kell lennie, hogy a bomlás bekövetkezhessék). Ekkor (16,2) s ez határozza meg p 0 -t (ma két részecske redukált tömege); a részecskék sebessége

.

pedig '!!1o

www.interkonyv.hu

po·

Po

m1

m2

= -- , v2o = -

.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

16. §. RÉSZECSKÉK BOMLÁSA

63

Térjünk át most arra a vonatkoztatási renaszerre, amelyben az eredeti részecske a bomlás előtt V sebességgel mozog. Ezt a vonatkoztatási rendszert szokás szerint laboratóriumi rendszernek (vagy L rendszernek) nevezzük, míg azt, amelyben a teljes impulzus nulla, "tömegközépponti rendszernek" (vagy C rendszernek). Tekintsük az egyik új részecskét, legyen v, illetve v0 a sebess~ge az L, illetve a C rendszerben. A nyilvánvaló v = V+ vo vagy v-V = v0 egyenlőségből: (16,3)

e

ahol a részecske kirepülési szöge a V sebesség irányához viszonyítva. Ez az egyenlet határozza meg a bomlástermékek sebességének függését az L rendszerbeli kirepülési

b) V> v0

a) V< v0

14. ábra

irányuktóL Ezt a függést grafikusan is szemléltethetjük a 14. ábrán. A v sebességet egy olyan vektor adja meg, amelyet a v 0 sugarú kör középpontjától V távolságra álló A pontból húzunk a kör kerületének valamely pontjához. 1 A V< v0 és V> v 0 esetnek a 14. ábra a), illetve b) rajza felel meg. Az első esetben a részecske tetszőleges e szöggel kirepülhet. A második esetben a részecske csak előre repülhet ki, olyan szöggel, mely nem múlja fölül a emax értéket, ahol .

a

Sin t'Ymax

Vo =·v

(16,4)

az A pontból a körhöz húzott érintő irányszöge). Az L és a C rendszerben értelmezett és 8 0 kirepülési szögek kapcsolatát- ugyanezen ábra szerint --a a Vo sin Bo tg Cl - ------;o;--=(16,5) - Vo cos Bo+ V (@max

e

1

Pontosabban: a v: 0 sugarú gömb felületének valamely pontjára a 14. ábrán látható kör ennek a gömbnek a fő metszete.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

IV. RÉSZECSKÉK ÜTKÖZÉSE

64

képlet adja meg. Ha ezt az egyenletet megoldjuk cos 0o-ra, akkor elemi átalakítások után: cos 0 o = -~ sin 2 @±cos e v0

VI-~= sin?. e. v~

(16,6)

Vesetén EJo és EJ között a kapcsolat egyértelmű, amint ez 14a ábrából Játszik. A (16,6) képletben ekkor a gyök előtt a + előjelet kell venni (hogy e = O-nál Bo = O legyen). Ha azonban Vo

eo

aránya az összes

kirepülő

részecskék számához viszonyítva

~~0 • Ebből

megkapjuk

a 8 0 szög szerinti eloszlást, ha beírjuk a dQ 0 = 2n sin 8 0 d8 0 kifejezést:

~

(16,7)

sin Bo dBo.

Az L rendszerbeli eloszlást e képlet megfelelő transzformációjával kapjuk. Határozzuk meg például a kinetikus energiák eloszlását az L rendszerben. Emeljük négyzetre a v= vo+V egyenlőséget: ahonnan d(v 2 ) d cos 8 0 = -2 V . Vo

Beírva

id~ aK=

m;

2

kinétikus energiát (ahol m akár

m akár m attól függően, 1,

2,

melyik fajtájú új részecskét vizsgáljuk). és ezután a (16,7)-be helyettesítve, megkapjuk a keresett eloszlás t: dK 2mvoV ·

www.interkonyv.hu

_

l

(16,8)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

65

16. §. RÉSZECSKÉK BOMLÁSA

A kinetikus energia a

Kmin

= ;

(vo- V) 2 legkisebb értéktől a

Kmax

=-}-(vo+ V) 2

legnagyobb értékig változhat. Ebben az intervallumban a részecskék eloszlása (16,8) szerint homogén. Ha egy részecske kettőnél több részecskére bomlik szét, az energia és impulzus megmaradása természetesen jelentősen nagyobb szabadságot hagy a bomlástermékek sebességére és irányára, mint a két részecskére történő elborulás esetén. Speciálisan, a kirepülő részecskék energiája C rendszerben egyáltalán nem ugyanaz a meghatározott érték. Létezik azonban felső határ arra a kinetikus energiára, amelyet az egyes keletkező részecskék magukkal vihetnek. Ennek a határnak a meghatározásához egy kivételével (amelynek m 1 a tömege) az összes keletkező részecskét egyetlen rendszernek tekintjük; ennek belső energiáját E~-vel jelöljük. Ekkor az m1 tömegű részecske mozgási energiája ( 16, l) és (16,2) szerint:

(M az eredeti részecske tömege). Nyilvánvaló, hogy K 10 akkor veszi fel a legnagyobb értékét, amikor E~ minimális. Ehhez az kell, hogy az m1 tömegű kivételével minden új részecske ugyanazzal a sebességgel mozogjon. Ekkor E~ az egyes részecskék belső energiájának összege, az Eb- E 1b - E~ különbség pedig a bomlás e energiája. Így tehát (16,9)

Feladatok l. Adjuk meg két részecskére való bomlás esetén az összefüggést (L rendszerben) a keletkező részecskék e, és 192 kirepü!ési szöge között. Megoldás. C rendszerben a két részecske kirepülési szöge között a El 10 = n-19 20 kapcsolat áll fenn. Jelöljük El 10-et egyszerűen El 0-val, és alkalmazzuk a (16,5) formulát mindkét részecskére:

v+v,o cos Elo = v,o sin Elo ctg e,' V-v 20 cos El 0 = v 20 sin El 0 ctg 19 2. Ebből

a két egyenletből El 0-t ki kell küszöbölnünk. Ezért először fejezzük ki belőlük cos El 0-t és sin El 0-t, majd használjuk fel a cos 2 El 0+sin 2 El 0= l egyenlőséget. Figyelembe véve azt is, hogy

~~ = _1!12 , és felhasználva ( 16,2)-t, végül a következő egyenletet kapjuk: V2o

m,

!!_~2_ sin 2 El 2+~ m1

m2

sin 2 19 1-2 sin

e, sin El 2 cos (19 1+El 2)

= (

Zs ) V' sin 2 ((':9,+ 19 2).

m 1 +m 2

-

2. Adjuk meg L rendszerben a keletkezett részecskék eloszlását a kirepülési irány szerint. 5

Elméleti fizika I. - 42 221/1.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

66

IV. RÉSZECSKÉK ÜTKÖZÉSE

Megoldás. A v 0 > V esetben írjuk be a (16,6) kifejezést, (a gyökjel előtt pozitív előjellel) (16,7)-be, így megkapjuk a keresett eloszlást:

sin e de ·--2

rv l

""

l+ V 2 cos 261

2- cos ""+ vo

J

v& r.=:::=::=.o===== 1- ~; sin2 e

V

(0~ e~

n).

Ha Vo < v, számításba kell vennünk a e és Bo között fennálló míndkétkap m2. A

Ha az ütközés után mindkét részecske ugyanazon az egyenesen mozog ("centrális ütközés"), akkor x = n, azaz a C pont az átmérőn helyezkedik el vagy az A ponttól balra (16a ábra; ekkor p~ és p; egymással ellentétes irányú), vagy az A és O pont között (16b ábra; ekkor p~ és p~ azonos irány ú). A részecskék sebessége az ütközés után ebben az esetben: (17,6)

v;

a

Ekkor értéke a lehető legnagyobb; ennek következtében maximális energia, amelyet az ütközés eredményeképpen az eredetileg nyugvó részecske szerezhet: (17,7) al}ol E 1

=T a beeso reszecske eredeti energmJa. 1n

v2

"

,

•

•, .

Ha m 1 < m 2 , az első részecske sebessége az ütközés után tetszőleges irányú lehet. Ha viszont m 1 > m 2 , a repülő részecske eltérülésének szöge nem haladhat meg egy maximális értéket, amelynek a C pont (l6b ábra) olyan helyzete felel meg, hogy az AC

e~ lmax = 0OCA , vagy

' . ' va I'o, hogy sm . egyenes enntse a k..ort. N yt·1van

(17,8) Különösen egyszerű az egyenlő tömegű részecskék ütközésének leírása (az egyik kezdetben nyugszik). Ebben az esetben nemcsak a B pont, hanem az A is a körön van (17. ábra). Ekkor

e v~ =v cos ;

www.interkonyv.hu

n-x

2=---

2

l

v2 =v

.

(17,9)

'

•

Sin

x

2.

(17,10)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

70

IV. RÉSZECSKÉK ÜTKÖZÉSE

17. ábra

Megemlítjük, hogy ilyenkor a részecskék az ütközés után egymásra merőlegesen repülnek szét. Egy centrális lökés esetén (X= n) v~= O, v~= v, 0 2 = O, azaz az első (a mozgó) részecske nyugalomban marad, mialatt a második (az eredetileg nyugvó) részecske az elsőnek a sebességével és annak irányában mozog.

Feladat Fejezzük ki az eredetileg mozgó (m 1 ) és nyugvó (m 2) részecske sebességét az ütközés után a részecskék L rendszerbeli eltérülésének szögével. Megoldás.

A 16. ábrából p~=, 20 B cos E> 2 vagy v~= 2l• l!~ cos E>2 • A p;= AC impulzusra 1112

pedig az egyenletünk van, vagy másképp:

( -v~)" -2m v

m2

v~ "' 1 +m-1 -m --cosv - -2 =O. v m 1 +m 2

Innen -v~- = - -m-1c o s v m1+m2

Ha m 1

>-

m 2 , akkor a gyökjel

előtt

mindkét

"' 1.:'.1

1

+

l ,r1n12-n1i ., ., m, + m 2

~-·-------

előjel

szerepelhet, m 2

>-

. ., "'

sin~

ö 1 •

m 1 esetén viszont csak a pozitív.

18. §. Részecskék szórása Mint már az előző paragrafusban rámutattunk, két részecske ütközésének eredményét (a x szöget) csak úgy határozhatjuk meg teljesen, ha megoldjuk a mozgásegyenleteket a részecskék konkrét kölcsönhatásának számbavételéveL

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

18. §. RÉSZECSKJÉK SZÓRÁSA

71

Az általános elv szerint először azt az ekvivalens feladatot tekintjük, hogy egy m tömegű részecske szóródik a (részecskék tömegközéppontjában) nyugvó erőcentrum U(r) terében. Mint a 14. §-ban megmutattuk, centrális erőtérben mozgó részecske pályája szimmetrikus arra az egyenesre, amelyet a centrum és a pályának a centrumhoz legközelebb eső pontja határoz meg (OA a 18. ábrán). Ezért a pálya mindkét aszimptotája ugyanl

l l

l

l

l l

l l l

l l

l l l

l

/

/

----~~)!~-------1---------

___ 2~~~------- ~------18. ábra

akkora szög alatt metszi ezt az egyenest. Jelöljük q; 0-val az utóbbi szöget; ekkor a részecske elhajlásának x szöge a centrum mellett való elhaladás után, amint a rajzból látszik, (18, l) X = l:n:-2cpolA ~e .)· :r y' e-- r-w-

(4)

rw

Ez a fot·mula határozza meg implicit alakban w(r) függését [és ezzel U(r)-ét is] minden r > r"''" értékre, vagyis olyan tartományban. amelyben az adott E energi.í.jú szóródó részecskék ténylegesen elhaladhatnak.

19. §. A Rutherford-szórás Az előzőekbe n kapott képletek egyik legfontosabb alkalmazási területe a töltött részecskék Coulomb-térben történő szóródása. oc

.

Helyettesítsük be (18,4)-beazU=- kifejezést; elemi integrálások elvégzése után: r

epo = arccos

r

l•+(m:~er

,

ahonnan

rl

www.interkonyv.hu

=

oc 2 _2_4_

.m v=

tg2 rpo,

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

IV. RÉSZECSKÉK ÜTKÖZÉSE

78

(n-x) : 2

vagy figyelembe véve, hogy (18,1) szerint epo = ..

x

rx.2

e2 = -2 - ctg2 -2 .

(19,1)

m v!.,

Differenciáljuk ezt a kifejezést Az adódik, hogy

x szerint, és helyettesítsük (18, 7)-be vagy (18,8)-ba. rx

da =

:n:(-·mv~

2

2 )

cos -

sina

x

2

'f

(19,2)

dx

2 vagy

da=

(-~2)2 __!!!___. 2mv~

.

(19,3)

x

4

SID -

2

Ez az úgynevezett Rutherford-féle hatáskeresztmetszet. Megemlítjük, hogy a hatás· keresztmetszet nem függ oc előjelétől, s így a kapott képlet egyaránt vonatkozik vonzó és taszító Coulomb-terre. A (19,3) képlet a hatáskeresztmetszetet olyan vonatkoztatási rendszerben adja meg, amelyben az ütköző részecskék tömegközéppontja nyugalomban van. A laboratóriumi rendszerre a ( 17,4) szabály szerint térünk át. A kezdetben nyugvó részecskére (19,2)ben a x= n-28 2 kifejezést írva: . · ( 19,4)

A beeső részecskére a transzformáció általában igen terjedelmes képlethez vezet. Csak két speciális esetet említünk meg. Ha a szóró részecske m 2 tömege nagy a szóródó részecske rn 1 tömegéhez viszonyítva, akkor x~ el és m ~mb így: da1

mv:, 1

ahol E1 = -2-

rx ) 2 dQ 1

,, ,

281.

.,.

= m 2, m = ~1 ) ,

akkor (17,9) szerint x =

Ezt (19,2)-be helyettesítve:

da1 =

www.interkonyv.hu

(19,5)

sm4 -.--..!. 2

a beeso reszecske energlaJa.

Ha a két részecske tömege azonos ( m 1 =

~·

= ( 4E l

cos el ( rx ) 2~ cos el 2:n: ( -E--rx ) 2 sm . ag d€J1 = E dfJ1. sm 1

~ 1

1

(19,6)

O>t

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

19. §. A RUTHERFORD-SZÓRÁS

79

Ha részecskéknek nemcsak a tömege egyenlő, hanem mindenben azonosak, akkor az ütközés után nincs értelme annak a megkülönböztetésnek, hogy melyik volt a kezdetben nyugvó, és melyik a kezdetben mozgó részecske. A részecskékre együtt úgy kapjuk meg a hatáskeresztmetszetet, hogy összeadjuk dal-et és da2-t, el és e2 helyett pedig a közös értéket írjuk:

e

(!-_·) E1

da=

2

1

1

-.) cos e dQ. e···+cos 0 1

(-;sm 4

(19,7)

4

Térjünk vissza az általános (19,2) képlethez, és határozzuk meg segítségével a szórt részecskék eloszlását az ütközésben elvesztett energiájuk szerint. A szóródó és a szóró részecskék m 1, illetve m2 tömegének tetszőleges aránya esetén a szóró részecske a C rendszerben a szórási szöggel kifejezve, a következő sebességre tesz szert:

[lásd a (17,5) képletet]. Ennek megfelelően az az energia, amelyet az m 2 részecske szerez, az m 1 részecske pedig ugyanakkor lead: '2

e = m2v2

2

Innen sin

2 2 m2

= _!!!____ v2 sin2 2X • ~

~ -t e-nal kifejezve és (19,2)-be helyettesítve: rx2 de da = 2n - - - -m2v~

(19,8)

e2

Ez a képlet adja meg a választ a feltett kérdésre: meghatározza a hatáskeresztmetszetet

, ,

mint az e energiaveszteség függvényét, miközben e a nullatol az emax =

2m 2v:;.,

~~-·

m2

értékig változik.

Feladatok 1. Adjuk meg az U=

ex

r2

(ex

>

O) térben

történő

szórás hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. Az eltérülés szöge: X=

1 ) n(l - l fl+-·~\ . --;:===;==

V

www.interkonyv.hu

me

v~

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

.so

IV. RÉSZECSKÉK ÜTKÖZESE

/

/

/

x

21. ábra

A hatáskeresztmetszet: da= 2n 2oc

n-x__

mv:,

dQ

/(2n- X) 2 sin

x

2. Adjuk meg a szórási keresztmetszetet a sugarú és U 0 "mélységű" gömbszimmetrikus "potenciálvölgyön" történő szóródásra (ez olyan tér, amelyre U= O, ha r>- a; U= -U 0 , ha r < a). Megoldás. A részecske egyenes vonalú pályája "megtörik" a gödörbe való be- és kilépésnéL A 7.§ feladataszerint a beesés oc és a törés {J szöge (21. ábra) közölt a

:::;=n. ll= vl+;~~f összefüggés áll fenn. Az eltérülés szöge

x=

sin (oc- x/2) sin Cl: Küszöböljük ki ex-t

ebből

2(oc-{J). Ezért:

x

=

. x

cos2-ctg Cl: sm 2

=

nl .

az egyenlőségből az ábra szerint nyilvánvaló a sin ex= g

összefüggés felhasználásával; g és

x között a e"=

kapcsolatot nyerjük. Végül ezt az

n 2 + l - 2 n cos L 2

egyenlőséget

da= 4 cos

www.interkonyv.hu

n2 sin 2 L 2

a"---·

f

differenciálva, megkapjuk a hatáskeresztmetszetet:

(ncosf-t) (n-cosf) · ., dD. (l + n2- 2 n cosf)-

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

20.§. KISSZÖGŰ SZÓRÁS

A

x szög nullától (q=

O esete) a

Xmax

81

(q= a esete) értékig változik; a legnagyobb értéket a COS

Xrn~x 2

= ] ll

egyenlőség

határozza meg. A teljes hatáskeresztmetszet, amelyet da-nak a x < Xmax kúp belsejére vett szög szerinti integrálja ad meg, természetesen egyenlő a ::ra 2 geometriai keresztmetszetteL

20. §.

Kisszögű

szórás

A hatáskeresztmetszet kiszámítása lényegesen leegyszerűsödik, ha csak olyan szórásokat vizsgálunk, amelyek gyenge térben, az ütközési paraméter nagy értékei mellett mennek végbe, s ennek megfelelően a szóródás szöge kicsi. A számítást rögtön laboratóriumi rendszerben végezhetjük a tömegközépponti rendszer bevezetése nélkül. Vegyük az x tengelyt a szóródó részecskék (m1 részecskék) kezdeti impulzusának irányába, az xy síkot pedig fektessük a szórás síkjába. Jelölje p~ a részecskék impulzusát a szóródás után; ekkor fennáll a nyilvánvaló

összefüggés. Kis eltérülésekre sin 8 1 helyettesíthető 0 1-gyel, a nevezőben levő p~ pedig a kezdeti p 1 = m1 v~ impulzussal: (20,1) Miveltj.v = F.v, az impulzus y tengely irányú teljes növekménye:

Itt az

erő:

oU dU or dU y F ----- - - - - - - - - --

.v -

oy .-

dr

oy -

dr r .

·Minthogy a (20,2) integrál már tartalmazza a kis U mennyiséget, ugyanabban a közelítésben.úgy számíthatjuk ki, mintha a részecske egyáltalán nem tért volna le eredeti útjáról, vagyis mintha egyenes vonalban (az y= e egyenes mentén) egyenletesen 6

Elméleti fizika l. - 42 221/l.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

IV. RÉSZECSKÉK ÜTKÖZÉSE

82 (v~

sebességgel) mozogna. Ennek F

megfelelően

= _ dU g_'

Y

dr r

helyettesítsük a (20,2)-be az dt

= dx v=

kifejezéseket:

Végül a dx szerinti integrálásról térjünk át a dr szerint végzett integrálásra. Mivel egyenes pályára r2 = x 2 + ri, miközben x a -=-től +=-ig változik, r a= -től e-ig fut, s aztán újból= -ig. Ezért a dx szerinti integrál a dr szerint e-tól= -ig vett integrál kétszeresébe megy át, és a

helyettesítést kell elvégezni. Végül a (20,1) szóródási szögre a

következő

kifejezést3 kapjuk: (20,3)

Ez határozza meg kis eltérülésekre e 1-nek a e-tól való keresett függését. A hatáskeresztmetszetet ugyanolyan képlet adja meg, mint (18,8), csak x helyett e1 szerepel, semellett sin e1 itt ergyel helyettesíthető: da=

l _!ig_ l e(el) del el

dQl·

(20,4)

Feladatok 1. Vezessük le a (20,3) képietet (18,4)-ből. Megoldás. Hogy elkerüljük a későbbiekben látszólagosan divergáló integrálok megjelenését, írjuk a (18,4) integrált

3

Ha ugyanezt a levezetés! a C rendszerben hajtjuk végre, akkor x-re ugyanilyen kifejezést kapunk, csak 1111 helyett m szerepel, annak megfelelően, hogy kis -

O) térben történő kisszögű szórás hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. (20,3) szerint:

2

A e2 = u helyettesítéssei az integrál Euler-féle B-integrálra vezethető vissza, és így F-függvényekr kel fejezhető ki:

Ebből

e-t 61 1-gyel kifejezve és (20,4)-be helyettesítve,

adódik.

6*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. FEJEZET

KIS REZGÉSEK

21. §. Egydimenziós szabad rezgések A mechanikai rendszerek mozgásának igen gyakori típusát képviselik az úgynevezett kis rezgések, amelyeket a rendszerek stabil egyensúlyi állapotuk közelében végeznek. E mozgások vizsgálatát azzal a legegyszerűbb esettel kezdjük, amikor a rendszernek egyetlen szabadsági foka van. Az anyagi rendszer stabil egyensúlyi állapota olyan, amelyben az U(q) potenciális energiának minimuma van. Az ilyen

helyzetből

való kitérés -

~~ erő

fellépésére

vezet, s ez az erő az anyagi rendszert visszatérésre készteti. Jelölje az egyensúlyi helyzetnek megfelelő általános koordinátát qo. Az egyensúlyi helyzet kis környezetében azU(q) --U(q 0 ) különbséget q-q 0 szerint hatványsorba fejtve, elég az első el nem tűnő tagot megtartani. Ez általában másodrendű:

U(q)-U(qo)

"'-='

k 2-(q-qo) 2 ,

ahol kpozitív együttnató [az U"(q) második derivált értéke a q= q 0 helyen]. A továbbiakban a potenciális energiát a minimális értékéhez viszonyítjuk [azaz U(qo) = O-t veszünk], és bevezetjük az (21 ,1) x= q-qo jelölést a koordináták egyensúlyi helyzettől való eltérésére. Így tehát (21 ,2)

Az egy szabadsági fokú rendszer kinetikus energiája általános esetben:

l

L

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

21. §. EGYDIMENZIÓS SZABAD REZGÉSEK

85

alakú. A fenti közelítésben az a( q) függvényt egyszerűen a q = q 0 helyen felvett értékével helyettesíthetjük. Vezessük be a rövidség kedvéért az a(qo)

=

jelölést; 1 így az egydimenziós kis rezgést végül a következő kifejezést kapjuk:

m végző

rendszer 2 Lagrange-függvényére

(21 ,3) Ennek

megfelelően

a mozgásegyenlet: (21 ,4)

mx+kx =O, vagy

(21 ,5) ahol bevezettük az

(21,6) jelölést. A (21 ,5) lineáris differenciálegyenlet két független megoldása cos wt és sin wt, így az általános megoldás:

x

= c 1 cos wt+ c 2 sin wt.

(21, 7)

Ezt a kifejezést

x= accs (wt+Ot)

(21,8)

alakba is átírhatjuk. Mivel cos (wt+o:) = cos w r cos o: -sin wt sin Ot, a (21, 7) képlettel való összehasonlítás azt mutatja, hogy az a és o: tetszőleges állandók a következő összefüggésben állnak a c1 és c 2 állandókkal:

a= Vci+ c~,

c2

tget. = - - . c1

(2!,9)

Így tehát a rendszer a stabil egyensúlyi állapota közelében harmonikus rezgő­ mozgást végez. A (21 ,8)-ban szerepi ő a tényezőt a rezgés amplitúdójának, a szögfüggvény argumentumát pedig a rezgésfázisának nevezzük; ex a fázis kezdeti értéke, amely nyilvánvalóan attól függ, hogyan választjuk az időszámítás kezdőpontját w a rezgés körfrekvenciája; az elméleti fizikában azonban gyakran csak egyszerűenfrekvenciának hívják; a továbbiakban mi is ezt az elnevezést használjuk. 1

2

Hangsúlyozzuk azonban, hogy nz csak akkor egyezik meg a részecske tömegével, ha x a részecske Descartes-koordinátája. Az ilyen rendszert gyakran 'egydimenziós oszcillátornak nevezzük.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

86

A frekvencia a rezgés alapvető jellemzője; nem függ a mozgás kezdeti feltételeitőL A (21 ,6) képlet szerint a frekvenciát a mechanikai rendszer sajátságai önmagukban teljes egészében meghatározzák. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a frekvenciának ez a tulajdonsága összefügg a rezgés kicsiségéről tett feltevésünkkel, magasabb közelítésre áttérve már nem lesz igaz. Matematikai szempontból a kapott eredmény azzal kapcsolatos, hogy a potenciális energia a koordináták négyzetes függvénye.:~ A kis rezgést végző rendszer energiája:

vagy a (21 ,8) képlete t felhasználva: E

. •) = 2.l fn(n~a.

(21 , l O)

Az energia a rezgés amplitúdójának négyzetével arányos. A rezgő rendszer koordinátáinak az időfüggését gyakran kifejezés valós részeként előállítani:

célszerű

egy komplex

x=Re{Aé"' 1},

(21,11)

A= aé'

(21, 12)

ahol A komplex állandó, amelyet

alakba írva, visszakapjuk a (21 ,8) kifejezést. Az A állandót komplex amplitúdónak nevezzük; ennek abszolút értéke megegyezik a szokásos amplitúdóval, fázisszöge pedig a kezdeti fázissal. Az exponenciális függvény matematikailag könnyebben kezelhető, mint a trigonometrikus függvények, mivel differenciálásnál nem változtatja meg az alakját. Emellett, ha lineáris műveleteket végzünk (összeadás, állandóval való szorzás, differenciálás, integrálás), akkor a valós részt a számítások végső eredményén képezhetjük.

Feladatok 1. Fejezzük ki a rezgés amplitúdóját és kezdeti fázisát a koordináta x 11 és a sebesség 1• 0 kezdeti értékéveL

Válasz: ~

-ll:!~ ax 0 . ·), w-

tg

L'

c;;=-~"-. ·OJXo

a Ezért nem igaz akkor, ha az U\x) függvénynek az x= O helyen magasabb van, az2z U ~ x", 11 > 2 (lásd a ll.§ 2a feladatot).

www.interkonyv.hu

rendű

minimuma

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

21.§. EGYDIMENZIÓS SZABAD REZGÉSEK

87

2. Adjuk meg két kétatomos molekula w és w' rezgési frekvenciájának viszonyát, ha a molekulák izotápok atomjaiból állnak; legyen az atomok tömege m1 és m2 , illetve m~ és m~ . Megoldás. Mivel az izotápok atomjainak kölcsönhatása azonos jellegű, k = k'. A molekulák kinetikus energiájában szereplő m tényező az atomok redukált tömege. Ezért (21,6) szerint: különböző

!!!.._

-Jf m;m;(m m 1m 2 (m~ + +m

m;)

w -

'

1

2)

•

3. Adjuk meg annak az m tömegű testnek a rezgési frekvenciáját, amely egy egyenes mentén mozoghat, és egy rugó köti össze (22. ábra) az egyenestől/ távolságra levő A ponttal. Az l hosszúságú rugót F erő feszíti. Megoldás. A rugó potenciális energiája (magasabb rendű kis mennyiségektől eltekintve) egyenlő az Ferőnek és a rugó o/ megnyúlásának szorzatával. Ha x« l, akkor --

x2

ot= Yf2+x 2 -t"" 27 , tehát U =

Fx2 -

21

.

mx

2

Mivel a kinetikus energia - - ,

2

l ll l

l l

/

. . ---t-- ' l ri l

'

l

m .x 22. ábra

23. ábra

4. Ugyanazt a feladatot oldjuk meg, mint a 3. feladat, ha az m pont az r sugarú körön mozoghat (23. ábra). Megoldás. Ebben az esetben a rugó megnyúlása (ha r:p « 1):

ot = A kinetikus energia: K

l = --

2

Yr + U+r) 2

2-

2rU+r> cos rp-t"" !:!:~~r> rp 2 •

mr 2 ~ 2 • Ebből a frekvencia:

w=

1/F(r+l) V

rlm

·

5. Adjuk meg a 2. ábrán látható inga lengéseinek frekvenciáját; az inga m 1 pontja vízszintes irányban elmozdulhat

www.interkonyv.hu

tömegű

felfüggesztési

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

88

Megoldús. Ha rp «I, akkor a 14. §3. feladatában nyert összefüggésszerint m 2gl ., U =-2-· q;-,

és

ebből

6. Egy inga a nehézségi erőtérben valamilyen görbe mentén lengéseket végez. Ismeretes, hogy a független a kitéréstőL Határozzuk meg a görbe alakját. Megoldús. A megadott feltételnek az a görbe tesz eleget, amelynek mentén a részecske potenciális

lengésidő

energiája U= K

=

·~{-

, ahol s az egyensúlyi

helyzettől

számított ívhossz; ekkor a kinetikus energia

'q

ms- (ma részecske tömege), és a rezgés frekvenciája w

2

A nehézségi erőtérben V

=

=

ff•

~, függetlenüls kezdeti értékétőL m

ks' mgy, ahol y a függőleges koordináta. Ezért a -· ··· 2

=

mgy egyenlő-

ségnek kell fennállnia, vagyis úJ'!.

•) ,

y=-s-. 2g

Másrészt ds'= dx'+dy', ahonnan

Ez t az

egyenlőséget

úgy

célszerű

integrálni, hogy elvégezzük az y=

..lL.. (l-cos 0

4w 2

helyettesítés t. Ezzel:

Ez a két egyenlet határozza meg paraméteres alakban a keresett görbe egyenletét; a görbe ciklois.

22. §. Kényszerrezgések Térjünk rá olyan rendszerek rezgéseinek vizsgálatára, amelyek valamely változó tér hatása alatt állnak; ilyen rezgéseket, az előző paragrafusban tárgyalt szabad rezgésekkel ellentétben, kényszerrezgésnek nevezzük. Minthogy a rezgéseket az elő­ zőekhez hasonlóan kicsinek tételezzük fel, ezzel természetesen azt is feltesszük, hogy a külső tér elég gyenge, mert kü!önben túlságosan nagy x kitéréseket is előidézhetne. külső

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

22.§. KÉNYSZERREZGÉSEK

Ebben az esetben a rendszer a saját

1

2

89

kx2 potenciális energiájamellett még a

külső

tér hatásából eredő Ue(x, t) potenciális energiával is rendelkezik. Fejtsük sorba ezt a potenciális energiát a kicsiny x mennyiség hatványai szerint:

X=O

Az

első

másik

tag csak az

idő

időfüggvény

Lagrange-függvényből

függvénye, így elhagyható a

teljes deriváltja). A második tagban

-au, ax

az a

(mint egy

külső "erő",

amely a rendszerre az egyensúlyi helyzetében hat; ez az erő az idő adott függvénye, jelöljük F(t)-vel. Így tehát a potenciális energiában megjelenik egy -xF(t) tag, s ezáltal a rendszer Lagrange-függvénye az

mx 2

kx 2 2

L= ----+xF(t)

2

alakot ölti. A

megfelelő

(22,1)

mozgásegyenlet:

mx +kx = F(t), vagy l x+w 2x = - F(t),

(22, 2)

m

ahol újból bevez~ttük a szabad rezgések w frekvenciáját. Mint ismeretes, az állandó együtthatás inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását két kifejezés összegeként kapjuk meg: x = x 0+ X1, ahol x 0 a homogén egyenlet általános megoldása, x 1 pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. A mi esetünkben x 0 az előző §-ban tárgyalt szabad rezgés. Nézzük azt az igen fontos esetet, amikor a gerj~sztő erő az időnek y frekvenciájú egyszerű periodikus függvénye: F(t)

=J cos (y t+ f)).

A (22, 2) egyenlet partikuláris megoldását x 1

egyeniethe való

behelyettesítésből: b =

=

(22, 3)

b cos (y t+ f)) alakban keressük. Az

m(w[-y 2 )

;

hozzáadva a homogén egyenlet

megoldását, nyerjük az általános megoldást:

x= a cos (wt+ o:)+ Az a és x

tetszőleges

www.interkonyv.hu

J

m(w 7 -y 2

)

cos (yt+f)).

(22, 4)

állandót a kezdeti feltételek határozzák meg.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

90

Látjuk, hogy periodikus gerjesztő erő hatására a rendszer olyan mozgást végez, amely két rezgés összetételéből áll elő: az egyik frekvenciája a rendszer w sajátfrekvenciája, a másiké a gerjesztő erő y frekvenciája. A (22,4) megoldás nem alkalmazható rezonancia esetén, vagyis akkor, amikor a gerjesztő erő frekvenciája megegyezik a rendszer sajátfrekvenciájával. Ahhoz, hogy megtaláljuk a mozgásegyenlet általános megoldását, ebben az esetben írjuk (22,4)-et az állandók megfelelő átjelölésével x =a cos (wt+ ex)+ ( (

mw -y 2

)

[cos (yt+tlJ-cos (wt+J3)]

alakba. Ha y --..w, akkor a második tag O/O határozatlan értéket ad. A határértéket L' Hospital szabályával kiszámítva: x =a cos (wt+cx)+ -2/ t sin (wt+J3). mw

(22,5)

Rezonancia esetében tehát a rezgés amplitúdója lineárisan nő az idővel (egészen addig, amíg a rezgés kicsi marad, s így az itt ismertetett egész elmélet alkalmazhatatlanná nem válik). Megvizsgáljuk még, milyenek a kis rezgések a rezonancia közelében, amikor y = w+ e, ahol e kis mennyiség. Állítsuk elő az általános megoldást komplex alakban: (22, 6) Mivel A+ Bei et kicsit változik az eiwt

tényező ~~ w

periódusa alatt, a mozgást a

rezonancia közelében úgy lehet tekinteni, mint változó amplitúdójú kis rezgést.4 Jelölje C ezt az amplitúdót; ekkor

c=

IA+Bé' 1 [.

Állítsuk elő A-t és B-t aéa, illetve beifJ alakban:

c2

=

a2 +b2+2ab cos (et+J3-cx).

(22, 7)

Így tehát az amplitúdó e frekvenciával periodikusan rezeg az la-b[ :2 C :2 a+b

határok között. Ezt a jelenséget lebegésnek nevezzük. A (22,2) mozgásegyenlet általános megoldását tetszőleges F(t) gerjesztő elő lehet állítani. Ezt könnyű megtenni, ha előzetesen az egyenletet ddt (.X+iwx)-iw(.X+iwx) 4

www.interkonyv.hu

erő

mellett

= ~F(t) m

Ugyancsak változik az "állandó" tag a rezgés fázisában.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

22.§. KÉNYSZERREZGÉSEK

91

alakba írjuk, vagy d; . t =l F( t ) ---lúJ dt ~ m '

(22, 8)

ahol bevezettük a

; =

(22, 9)

x-t-iwx

komplex mennyiséget. A (22,8) egyenlet már nem másodrendű, hanem elsőrendű. A jobb oldal nélkül a megoldás; = Aé">~lenne, ahol A állandó. Az általános szabályt követve, keressük az inhomogén egyenlet megoldását ; = A(t)eiwt alakban; az A(t) függvényre a következő egyenletet kapjuk: .

l m

A(t) = - F(t)e-i"''.

Ezt integrálva, a (22, 9) egyenlet megoldását

~e'''' u~ F(t)e-'''' dtH,)

'

(22, 10)

alakban kapjuk, ahol a ; 0 integráJási állandót úgy választottuk, hogy az legyen ; értéke a t= O időpillanatban. (22, 10) a keresett általános megoldás; az x(t) függvényt ennek a kifejezésnek a képzetes része adja meg (iw-val elosztva). 5 A kényszerrezgést végző rendszer energiája természetesen nem marad meg; a rendszer energiát vesz fel a külső erő forrásának terhére. Határozzuk meg azt az energiát, amelyet a külső erő hatásának teljes ideje alatt (- oo -től +=-ig) á tad a rendszernek, feltéve, hogy a kezdeti energia nulla. A (22, 10) képlet szerint [az integrálás alsó határa n ulla helyett - oo és ;c-=) = O], ha t ~ oo : '-( co ) .,-

l..

..

l

-~

-

m2

f

F(t)e-iwt dt

Másrészt a rendszer energiája az E

= ; (.X~ -t-w2x?) = ;

i; 12

(22,11)

kifejezéssel adható meg. Betéve ide l;( oo)j 2 kifejezést, megkaejuk a keresett energiaátadást:

I ~

E

5

=

_l_

2m

F(t)e-iwt dt

(22, 12)

Eközben magától értetődően F(t)-t valós alakban kell beírni.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

92

V. KIS REZGÉSEK

E meghatározáshoz tehát képezzük az F(t) erő Fourier-transzformáltját a rendszer sajátfrekvenciájával. AzF erő a Fourier-transzformált abszolút értékének négyzetével

arányos. 1

Speciálisan, ha a külső erő --hoz viszonyítva csak rövid ideig hat, w

vehető.

e--imr "'"

1

Ekkor

Ez az eredmény eleve nyilvánvaló: azt a tényt fejezi ki, hogy a rövid ideig ható erő F dt impulzust közöl a rendszerrel, és közben lényeges elmozdulást nem tud okozni.

J

Feladatok l. Határozzuk meg a rendszer kényszerrezgéseit az F(t) erő hatására, ha a rendszer a t natban az egyensúlyi helyzetében nyugszik (x = O, = 0), és

x

a)

F = const =

=

O pilla-

F~.

F ~ (l -cos wt); az állandó erő hatására elmozdul az egyensúlyi helyzet, se körül mwjönnek létre a rezgések.

Válasz: x =

b)

F =at.

Válasz: x

=

a . mw 3 (wt- sm wt).

Válasz:

x=-~ (e-~'- cos wt+ -~sin wt). m'or+cx-) w Válasz:

(A megoldáshoz célszerű az erőt F = F11e T 2. Határozzuk meg a rendszer rezgéseinek

végső

T

(24. ábra). A t= O pillanatig a rendszer a'zegyensúlyi helyzetében nyugszik. Megoldás. A O < t < T intervallumban a kezdeti feltételt kielégítő rezgések Fo (wt-smwt . ) mTw

x=-~ 3

alakúak. Ha

t > T,

akkor a megoldást

x= c 1 cos w(t- T)+c 2 sin w(f-T)+ F".,

mw-

alakban keressük. Abból a feltételből, hogy x és

c1 ;~dódik.

Fo

xfolytonos a t = T helyen,

T

.

=-~smw,

til BW

A rezgés amplitúdója .~

a= r q-t-q=

2F0

.

wT 2

~sm-

!Ih W'

.

Megemlítjük, hogy az amplitúdó annál kisebb, minél lassabban kapcsoljuk be F 0-t (azaz minél nagyobb T).

F

F

___.__ 24. ábra

~T~------

t

25. ábra

3. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot meghatározott T ideig tartó. állandó F 0 erő esetében (25. ábra). Megoldás. Hasonlóanjárhatnánk el, mint a 2. feladatban, azonban még egyszerűb", ha a (22,10) képietet haszná!juk fel. t > T esetére az x= O helyzet körüli szabad rezgést kapunk; ekkor

J T

~=

!'..!!..eiwt lll

e-iwtdt

=

.F" (l-e-iw'l')e'"'', /Wf/1

o

és~ abszolút értékének négyzete adja az amplitúdó! a l~

li= a w összefüggés szerint. Végeredményül 2

2

2F0 . wT a = mw" sm -2

adódik. Ft

4. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot olyan erő esetén, amely nullától T-ig az F = ~ összefüggésT

nek

megfelelően

www.interkonyv.hu

hat (26. ábra).

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

94

F

F

Fa ----~--~--------t

T

27. ábra

26. ábra Megoldás. Az

előbbi

módszerrel:

a=

2 P-2wTsinwT+2(1-coswT). ~,Vw Tmw·

5. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot olyan

erőre,

2:7 amely a nullától a T= - - ideig F w

=

F 0 sinwt

szerint változik (27. ábra). Megoldás. Az .

F(t) = F 0 sm wt =

. i lFoi (e""'e- '"')

kifejezést beírva (22,10)-be és nullától T -ig integrálva :

F0 n a=-.,. mw-

23. §. A sok szabadsági fokú rendszerek rezgései A több (s) szabadsági fokú rendszerek szabad rezgéseinek elméletét hasonlóan építhetjük fel, mint azt a 21. §-ban az egydimenziós rezgéseknél tettük. Legyen az U potenciális energiának mint a q; (i = l, 2, ... , s) általános koordináták függvényének minimuma a qi = q;0 helyen. Vezessük be az X;=

q;-q;o

(23, l)

kis elmozdulásokat, és fejtsük sorba U -t ezek szerint másodrendű tagokig; így a potenciális energiát pozitív definit kvadratikus alakként kapjuk meg: (23,2)

Itt a potenciális energiát ismét a minimális értéktől számítjuk. Minthogy a k;k és kk; együtthaták ugyanazon x;xk mennyiség mellett állnak szorzóként, világos, hogy mindig szimmetrikusaknak tekinthetők az indexeikben: k;k

L

www.interkonyv.hu

=

kki·

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

23.§. A SOK SZABADSÁGI FOKÚ RENDSZEREK REZGÉSEI

95

Ugyanakkor a kinetikus energia a legáltalánosabb esetben

~ i,Lk a;k(q)q;rik alakú [lásd az (5,5) képietet ], és az együtthatóban a qi = qiO helyettesítés t végzünk, majd az a;k(q 0) állandókat m;k-val jelöljük. Ezzel a kinetikus energiát pozitív definit kvadratikus alakként kapjuk meg:

l Az

mik

l '\'

. .

(23,3)

LmikXiXk·

i. k

együtthaték szintén mindig szimmetrikusaknak

vehetők:

Így tehát a szabad kis amplitúdójú rezgést végző rendszer Lagrange-függvénye: (23,4) Állítsuk most elő a mozgásegyenleteket. A szükséges deriváltak meghatározásához írjuk fel a Lagrange-függvény teljes differenciálját:

Mivel az összeg természetesen nem függ attól, hogyan jelöljük az összegező indexeket, a zárójelben levő első és harmadik tagban cseréljük fel a k és i indexeket; figyelembe véve az mik és kik együtthaték szimmetrikus voltát:

dL = Ebből

L (mikXk dxi-kikxk dx;).

i,k

látható, hogy

BL = '\' . Lm;kXk,

0 Xi

~ .

k

Ezért a Lagrange-egyenletek: (23,5) Ezek s szám ú (i = l, 2, ... , s) állandó együtthatás homogén lineáris differenciálegyenletből álló rendszert alkotnak. Az ilyen differenciálegyenletek megoldásának általános szabálya szerint keressünk s számú ismeretlen xk(t) függvényt (23,6)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

96

V. KIS REZGÉSEK

alakban, ahol az Ak együtthaták egyelőre határozatlan állandók. Beírva (23,6)-ot a (23,5) rendszerbe, é"'1-vel való egyszerűsítés után homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk az Ak együtthatókra: (23, 7) Ahhoz, hogy ennek a rendszernek legyen zérustól nánsának nullának kell lennie:

különböző

megoldása, a determi(23, 8)

A (23,8) karakteriszlikus egyenlet w2 -re vonatkozóan s-edfokú egyenlet. Ennek általában s különböző w~ valós pozitív gyöke van (ex = J, 2, ... , s). Speciális esetben bizonyos gyökök megegyezhetnek egymással. Az ily módon meghatározott wa. menynyiségeket a rendszer sajátfrekvenciáinak nevezzük. A (23,8) egyenlet gyökeinek valós és pozitív volta eleve nyilvánvaló fizikai meggondolásokból. Valóban, ha volna w-nak képzetes része, ez azt jelentené, hogy (23,6) xk koordinátáinak időfüggésében (s velük együtt az :fck sebességekében is) exponenciálisan csökkenő vagy növekvő szorzó is megjelenne. Az adott esetben azonban ez nem lehetséges, mert azt eredményezné, hogy a rendszer E = K + U teljes energiája változna. az időben, ellentétben az energiamegmaradás törvényével. Ugyanerről tisztán matematikai úton is meggyőződhetünk. Szorozzuk meg a (23, 7) egyenletet A;-gal, ezután összegezzünk az i index szerint; így:

L (-wzmid-kik)Ai Ak =O,

i, k

ahonnan

Ennek a kifejezésnek a számlálójában és nevezőjében fellépő kvadratikus alakok valósak; ez abból következik, hogy az m;k és k;k együtthaták valósak és szimmetrikusak:

A két kifejezés pozitív is, s ezért w2 szintén pozitív. 6 6

Az, hogy a kik együtthatókkal képzett kvadratikus alak valós értékű változókra pozitív definit, nyilvánvaló a (23,2) definícióbóL De ha a zAk komplex mennyiségeketexplicitenak +ibkalakba írjuk, akkor (ismét kik szimmetriája miatt):

I

i, k

k,kA;Ak =

Ii,

k,.(a,-ib,) (ak+ibk) = k

I l·,

k,kaiak+ k

I

k,kbibk,

i

vagyis két pozitív definit alak összegét kapjuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

23.§. A SOK SZABADSÁGI FOKÚ RENDSZEREK REZGÉSEI

97

Miután az w~ frekvenciákat megtaláltuk, mindegyiket beírva a (23,7) egyenletbe, megkapjuk az Ak együtthaták megfelelő értékeit. Ha a karakterisztikus egyenlet minden w~ gyöke különböző, akkor, mint ismeretes, az Ak együtthaták a (23,8) determináns olyan aldeterminánsaival arányosak, amelyekben w-t a megfelelő wa·val helyettesítettük; jelölje Ah ezeket az aldeterminánsoka t. A (23,5) differenciálegyenletrendszer partikuláris megoldása tehát alakú, ahol ca tetszőleges (komplex) állandó. Az általános megoldást az s ·partikuláris megoldás összege szolgáltatja. Áttérve a valós részre, írjuk ezt

Xk

=

Re

rl t

C(=

l

L1kocCaé'"at] = L L1kaea

(23,9)

C(

alakba, ahol bevezettük a (23,10) jelölést. Így tehát a rendszer minden koordinátájának időbeli változása a tetszőleges amplitúdójú és fázisú, de jól meghatározott frekvenciájú el, e 2, ... ' es egyszerű periodikus rezgések szuperpozíciójával írható le. Természetesen merül fel a kérdés, nem lehet-e úgy megválasztani az általános koordinátákat, hogy mindegyik csak egy egyszerű rezgést végezzen. Maga a (23,9) általános megoldás mutat rá, hogy miként oldjuk meg ezt a feladatot. Valóban, tekintsük a (23,9) s számú összefüggést mint egyenletrendszert az s szám ú ismeretlen e amennyiségre; megoldva ezt a rendszert, a e 1, e 2, . . . , es IDennyiségeket az Xl, x2, . . . ' Xs koordinátákkal fejezhetjük ki. Következésképpen a e a-kat új általános koordinátáknak tekinthetjük. Ezeket normálkoordinátáknak nevezzük, az általuk végzett egyszerű periodikus rezgések.pedig a rendszer normálrezgései. A e a normálkoordináták, a~nt ez az értelmezésükből nyilvánvaló, a

ea+w;ea =o

l

(23,11)

egyenleteknek tesznek eleget. Ez azt jelenti, hogy normálkoordinátákban a mozgásegyenletek s egymástól független egyenleire esnek szét. Minden normálkoordináta gyorsulása csak a szóban forgó koordináta értékétől függ, és a normálkoordináta időtől való függésének teljes meghatározásához csak ugyanannak a koordinátának és a megfelelő sebességnek a kezdeti értékét kell tudnunk. Más szóval a rendszer normálrezgései teljesen függetlenek egymástól. A mondottakból nyilvánvaló, hogy a normálkoordinátákkal kifejezett Lagrangefüggvény oJ~ frekvenciájú egydimenziós rezgések összegére bomlik fel, azaz (23, 12) 7

Elméleti fizika I. - 42 221/1.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

98

V. KIS REZGÉSEK

alakú, ahol az m'" tényezők pozitív állandók. Matematikai szempontból ez azt jelenti, hogy a (23,9) transzformáció mindkét kvadratikus alakot - a (23,3) kinetikus és a (23,2) potenciális energiát- egyidejűleg diagonális alakra hozza. Rendszerint úgy választjuk meg a normálkoordinátákat, hogy a Lagrange-függvényben a sebességek együtthatája

l

·i -del legyen egyenlő.

Ehhez elég, ha bevezetjük a (23,13)

új normálkoordinátákat. Ekkor

Mindez nem sokat változik abban az esetben, mikor a karakterisztikus egyenlet gyökei között többszörös gyökök is vannak. A mozgásegyenletek általános megoldásának (23,9) és (23,10) általános alakja ugyanolyan marad, azzal a különbséggel, hogy a többszörös gyököknek megfelelő Ll"'" együtthaták most már nem a determináns aldeterminánsai, mert azok, mint ismeretes, ebben az esetben nullák. 7 Minden többszörös (vagy elfajult) frekvenciának annyi különböző normálkoordináta felel meg, amennyi a multiplicitása; e normálkoordináták választása nem egyértelmű. Minthogy az azonos w'"-hoz tartozó normálkoordináták a kinetikus és a potenciális energiában azonosan transzformálódó I Q! és L Q! alakban jelennek meg, alávethetők tetszőleges olyan lineáris transzformációnak, amellyel a négyzetösszegük invariáns marad. Igen egyszerűen megtalálhatók az állandó külső térben mozgó egyetlen tömegpont háromdimenziós rezgéseinek normálkoordinátái. Helyezzük a Descartes-féle koordináta-rendszer kezdőpontját az U(x, y, z) potenciális energia minimumának pontjába; ekkor a potenciális energiát az x, y, z változók kvadratikus alakjaként kapjuk meg, és a kinetikus energia:

(ma részecske tömege) nem függ a koordinátatengelyek irányításátóL Ezért a tengelyek megfelelő elforgatása diagonális alakra hozza a potenciális energiát. Ekkor (23, 14)

7

Az, hogy az általános megoldásban nem lehetnek olyan tagok, amelyek az exponenciális mellett is tartalmaznak, ugyanolyan fizikai meggondolásokból nyilvánvaló, mint amilyenek kizárják a "komplex" frekvencia lehetőségél: az ilyen tagok jelenléte ellent mondana az energia megmaradásának.

időhatványszorzókat

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

99

23. §. A SOK SZABADSÁGI FOKÚ RENDSZEREK REZGÉSEI

és az x, y, z tengelyek menti rezgések normálrezgések, amelyeknek frekvenciái:

Abban a speciális esetben, amikor a tér gömbszimmetrikus ( k 1 = k 2 = k 3 = k, U

= k;2 ) ez a három frekvencia megegyezik (lásd a 3. feladatot).

A normálkoordináták használata lehetövé teszi, hogy a több szabadsági fokú rendszerek kényszerrezgéseinek tárgyalását visszavezessük az egydimenziós kényszerrezgések tárgyalására. A rendszer Lagrange-függvénye a változó külső erő hatását is figyelembe véve: (23,15)

ahol L 0 a szabad rezgések Lagrange-függvénye. Az koordinátákat bevezetve:

L

=

megfelelően

a

xk

koordináták helyett normál-

~ ~ (Q~-w~Q;) + ~f~(t)Q~,

(23,16)

ahol bevezettük az

jelölést. Ennek

(23, 17)

mozgásegyenletek csak egy-egy ismeretlen

Q~(t)

függvényt tartalmaznak.

Feladatok l. Határozzuk meg a két szabadsági fokú rendszer rezgéseit, ha Lagrange-függvénye

l .., .,, OJ 2 ., L= --(x-+y-)- _Q_(x-+y-)+axy l)

2

2

(két azonos, w 0 sajátfrekvenciájú egydimenziós rendszer, amelyek - axy kölcsönhatás révén csatolódnak egymáshoz). Megoldás. A mozgásegyenlet: x+w~x =

ay,

Y+w~y = lXX.

(23,6) behelyettesítése a következöket adja: (l)

7*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

100

V. KIS REZGÉSEK

A karakterisztikus egyenlet: (w~-(1)">"

=

i

=-

elJ

Ha w= oJ 1 , az l I)

(Az Ha

~ iX

egyenletből A,.·~

Ot". ebből: o J~-

w~ = w~-:-

ex.

cx.

A 11 következik, ha pedig (l)=

w~,

akkor A,= -A 11 • Ezért

együttható a normálkoordináták említett normálásának felel meg.)

o, akkor két komplex konjugált r érték adódik. Ebben az esetben a mozgásegyenlet általános megoldását

x= Re alakban állíthatjuk

elő,

ahol A

{A exp

(-.A.t+itVw5-.A. 2 )}

tetszőleges

·it

komplex állandó. Másképpen:

x =ae · cos (wt+rx),

1~-

o>= rw5-A 2 ,

(25,4)

ahol a és x valós állandók. Az ezekkel a képletekkelleírt mozgást csillapított rezgésnek hívjuk. Ez exponenciálisan csökkenő amplitúdójú harmonikus rezgésnek tekinthető. Az amplitúdó csökkenésének sebességét a A kitevő határozza meg, a rezgések w "frekvenciája" pedig kisebb, mint a súrlódás nélküli szabad rezgéseké. Ha J. « wo, akkor az eltérés c1> -~s m 0 között másodrendűen kicsi. Eleve várhattuk, hogy a frekvencia kisebb lesz, minthogy a súrlódás általában hátráltatja a mozgást. . 11

2:-r

A dimenziótlan J..T szorzatot (ahol T= -

w

a periódus) a csillapodás logaritmikus dekrementu-

n1ának hívjuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

108

2:n: Ha A« w 0 , akkor egy periódus - ideje alatt a csillapított rezgés amplitúdója (!)

alig változik meg. Ebben az esetben van értelme úgy átlagoini (egy periódusraj a koordináta és a sebesség négyzetének értékeit, hogy közben elhanyagoljuk az e-i.t szorzó változását. Ezek a négyzetátlagok nyilvánvalóan e- 1 i·'-val arányosak. Így a rendszer energiája is átlagosan az (25,5) törvény szerint csökken, ahol Eo az energia kezdeti értéke. Legyen most ). > w 0 • Ekkor r mindkét értéke valós, s mindkettő negatív. A megoldás általános alakja: ' (25,6) Látjuk, hogy elég nagy súrlódás esetén a mozgás olyan, hogy x monoton csökken, azaz aszimptotikusan (miközben t ..... =) az egyensúlyi helyzet felé közeledik. Az ilyen mozgást aperiodikus csillapodásnak nevezzük. Végül abban a speciális esetben, amikor A = wo, a karakterisztikus egyenletnek mindössze egy (kettős) gyöke van: r = - ).. Mint ismeretes, ebben az esetben a differenciálegyenlet általános megoldása (25, 7) alakú. Ez az aperiodikus csillapodás határesete; szintén nincs rezgés jellege . . A sok szabadsági fokú rendszerekre az X; koordinátának megfelelő általános súrlódási erő a sebességek lineáris kombinációja.: (25,8) Tisztán mechanikai meggondolásokból semmiféle köve-tkeztetést sem lehet levonni az együtthaták i és k indexre vonatkozó szimmetria tulajdonságairól. A statisi:tikus fizika módszereivel meg lehet mutatni,U hogy mindig

rx;k

(25, 9) Ezért a (25,8) kifejezést az

l~ IX;kXiXk .. F. = l.

(25, 10)

t,

kvadratikus alak ként írhatjuk fel:

az úgynevezett disszipációs függvény

!s,i 1"

www.interkonyv.hu

aF

=--a· . X;

differenciálhányadosa(25, ll)

Lásd V. kötet: Statisztikus fizika, 121. §.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

25. ~· CSILLAPÍTOTT REZGÉSEK

A (25, ll)

erőt

109

hozzá kell vennünk a Lagrange-egyenlet jobb oldalához:

d aL dt ax;

aL

aF

Bx;

-Bx;.

(25,12)

A disszipációs függvénynek önmagának fontos fizikai értelme van: ez határozza meg, milyen intenzív a rendszer energiájának disszipációja. Erről könnyen meggyő­ ződhetünk, ha kiszámítjuk a rendszer mechanikai energiájának időderiváltját:

dE d ( . aL ') =Ix·---. (d aL ~L =-Ix·-. . aF -=-Ix----L dt dt ; . ai; ; dt ax; ax; ; ax; l

l

l

Mivel Fa sebességek kvadratikus alakja, Eulernek a homogén függvényekre vonatkozó tétele értelmében az egyenlőség jobb oldalán álló összeg 2F-fel egyenlő. Így tehát:

dE =-2F dt '

(25,13)

vagyis a rendszer energiájának változási sebességét a disszipációs függvény kétszerese adja meg. Mivel a disszipaciós folyamatok az energia csökkenését idézik elő, szükség~ szerűen F > O, azaz a (25, 10) kvadratikus alak pozitív definit. A súrlódás jelenlétében végzett kis rezgések egyenletét úgy kapjuk meg, hogy a (25 J\) erőt hozzávesszük a (23,5) egyenletek jobb olaalához: (25,14) Ezekbe az egyenletekbe helyettesítve az

kifejezést, e"-vel való rendszert kapunk:

egyszerűsítés

I

k

után az A" állandókra lineáris algebrai egyenlet-

(m;kr~+rt.;f- l vagy l fL l < l) exponenciálisan növekszik az idővel. Ez azt jelenti, hogy a rendszer nyugalmi állapota (az x = O egyensúlyi helyzetben) nem stabil: akármilyen kis eltérés hatására az x elmozdulás időben gyorsan növekedni kezd. Ezt a jelenséget paraméteres rezonanciának nevezzük. 14

Csak akkor, ha a ~~ 1 és

www.interkonyv.hu

f.1 2

állandók nem egyenlők.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

27.§. PARAMÉTERES REZONANCIA

115

Figyelemre méltó, hogy x és x szigorúan nulla kezdeti feltételek mellett továbbra is nulla marad a szokásos rezonanciától (22. §) eltérően, ahol az elmozdulás t-vel arányos időbeli növekedése zérus kezdeti feltételek mellett is létrejön. Megvilágítjuk a paraméteres rezonancia keletkezését abban a fontos esetben, amikor w(t) csak kevéssé különbözik, egy w 0 állandó mennyiségtől, és egyszerű periodikus függvény : (27,7) w 2(t) = w5(! +h cos y t), ahol h « l állandó (h-t pozitívnak vesszük; ez mindig elérhető az idő kezdőpontjának megfelelő választásával). Mint a későbbiekben látjuk, a legerősebb paraméteres rezonancia akkor keletkezik, ha az w(t) függvény frekvenciája közel esik w 0 kétszereséhez. Ezért legyen y= 2wo+e, ahol e

x< 21+ (IJ~x1 2 1 = -

r1..a2 cos 2 (J)f + 2ovn 111a cos wt = r!..a2

=-

r!..a2

.

2 -- -2 cos 2(1)t+2oi 0 willa cos (l){

egyenletet kapjuk. Az a feltétel, hogy a jobb oldalon ne lépjen fel rezonanciatag, egyszerűen az oPI = O egyenlőséget adja. összhangban a § elején a második közelítés meghatározására kidolgozott módszerrel. Ezután az inhomogén lineáris egyenletet aszokásos módon megoldva: . r1..a2 aa2 2 (28,12) -'·12) - - 2- 2 + ~ 6 2 cos wt. Wn

(lio

Továbbá (2X.Il)-be helyettesítve az x= x0 l+x121 +xfK

,c l ,,· l l

J,'

D~ 'E F

A

c)

u

32. ábra

Ezért a D és C pont helyzetét a (29,4) és az (29,5) egyenlet együttes megoldása szabja meg; mindkét ek eselén valósul meg, sekkor az amplitúdó b > bk. Mivel a b = O álla pot mindig stabil, rezgések keltéséhez mindig szükség van egy kezdeti "lökésre". A kapott képletek csak kis e-ra érvényesek. t' kicsiségét A kicsiny volta biztosítja, hacsak az erő u .!c' amplitúdója kielégíti a - « A « xw 0 feltételt. Wo

9

Elméleti fizika l. - 42 221/l.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

130

30. §. Mozgás gyorsan oszcilláló Vizsgáljuk annak a részecskének a mozgását, amelyre állandó erő és a nagy w frekvenciájú

J= J1 cos wt+Jz sin wt

erőtérben

egyidejűleg

az U potenciál ú

(30,1)

(/1

és lz csak a koordináták függvénye). "Nagynak" olyan frekvenciát tel kin tünk, amelyre teljesül az w» T feltétel, ahol T annak a mozgásnak a periódusa, erő

hat

amelyet a részecske az U erőtér egyedüli hatására végezne. Az J mennyiségről nem tételezzük fel, hogy kicsi az U térben ható erőkhöz képest. Feltesszük azonban, hogy az ilyen erő által kiváltott rezgések során ~ elmozdulása kicsi. A számítások egyszerűsítése kedvéért először vizsgáljunk egydimenziós mozgást olyan erő térben, amely csak egy x térbeli koordinátától függ. Ekkor a részecske mozgásegyenlete22 (30 ,2) A részecskére ható erőtér jellegéből eleve világos, hogy a részecske mozgása egy sima pálya menti elmozdulásból és egyidejűleg e pálya körüli w frekvenciájú kis rezgésekből áll. Ennek megfelelően állítsuk elő az x(t) függvényt x(t)

=

X(t)+W)

(30,3)

összeg alakjában, ahol W) a mondott kis rezgés. 2n A W) függvény középértéke a --- periódusra nulla, az X(t) függvény pedig ez w

alatt az idő alatt igen kevéssé változik. Jelöljük az ilyen közepelést a betűk felülvonásával: x = X(t) írja le a részecskének a gyors oszcillációk ra átlagolt "sima" mozgását. Levezetjük azt az egyenletet, amely meghatározza ezt a függvényt.n A (30,3) összefüggést (30,2)-be helyettesítve, és ~ hatványai szerint másodrendig sorba fejtve: (30,4)

22

23

Itt x nem feltétlenül Descartes-koordináta, m pedig ennek megfelelően nem szükségképpen a részecske tömege, és nem szükségképpen állandó, amint ezt (30,2)-ben fel tettük. Ez a feltevés azonban nem tükröződik a végeredményben (lásd később). Az alábbi módszer ötlete P. L. Kapicától származik (1951).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

30. §. MOZGÁS GYORSAN OSZCILLÁLÓ ERŐTÉRBEN

131

Ebben az egyenletben különböző jellegű tagok szerepelnek: oszcilláló és "sima" tagok. Nyilvánvaló, hogy ezeknek külön-külön mindkét csoportban kölcsönösen ki kell ejteniük egymást. Az oszcilláló tagokra elég az m~ =f(X, t)

(30, 5)

egyenletet felírni, a többi tartalmazza a kis ~ szorzót, s ezért kicsi a felirtakhoz képest (ami a ~ deriváltat illeti, ez arányos a nagy w 2 mennyiséggel, s így nem kicsi). Integrálva a (30,5) egyenletet a (30,1)-ből vettj-fel (miközben X-et állandónak tekintjük), (30,6) adódik. Átlagoljuk most a (30,4) egyenletet az időszerint (az említett értelemben). Minthogy f és ~ első hatványainak átlagértéke nulla, az ..

mX

d y i: of du 1 of =---+"= --------1dX oX dX mw 2 oX

egyenletet kapjuk, amely már csak az X(t) függvényt tartalmazza. Írjuk át ezt végül ·· dUerr mX=- - - -

(30, 7)

dX

alakba, ahol az "effektív potenciális energiát" Uerr = U+-2 l zf2 =U+ - l4 2 mw

mw

Cfr+/~)

(30, 8)

definiálja. 24 Ezt a kifejezést (30,6)-tal összehasonlítva, könnyű látni, hogy a kiegészítő tag (a U erőtérhez viszonyítva) nem más, mint az oszcilláló mozgás közepes kinetikus energiája: (30, 9) Így tehát a részecskének az oszcillációkra átlagolt mozgása úgy megy végbe, mintha az U állandó erőtér mellett még egy másik járólékos állandó erőtér is hatna, amely négyzetesen függ a változó erő amplitúdójátóL 2'

Néhány hosszabb számitás elvégzése után könnyű meggyőződni arról, hogy a (30,7) és (30,8) formula akkor is érvényben marad, ha m az x-től függő mennyiség.

9*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

V. KIS REZGÉSEK

132

A kapott eredményt könnyen általánosíthatjuk tetszőlegesen sok szabadsági fokú rendszerre, melyet a q; általános koordináták írnak le. Az effektív potenciális energiára [(30,8) helyett] az Ueff

l = U +-2-2 w

"L- aik -lj"fí i k

~k

"L. --2a;k t t = U + ~~ ~i"k

(30,10)

kifejezés adódik, ahol az a;// mennyiségek (általában a koordináták függvényei) a rendszer kinetikus energiájában fellépő aik együttható-mátrix [lásd az (5,5) képletet] inverzének elemei.

Feladatok 1. Határozzuk meg annak az ingának a stabil egyensúlyi helyzetét, amelynek fel függesztési pontja

nagy y frekvenciával

(y

»

~) függőleges rezgést végez.

Megoldás. Az 5.§ 3. feladatában kapott

Lagrange-függvényből

látható, hogy az adott esetben a

változó erő:

f

= -

m!ay 2 cos y t sin rp

(itt a rp szög játssza az x szerepét). Ezért az "effektív potenciális energia": U eu

=

!(

a"y" .., ) mg -cos rp -t- 4g! sm- rp .

A sta b il egyensúlyi helyzetet ennek a függvénynek a minimuma adja meg. Az alsó (rp = 0) mindig stabil. Az a'r'

>

függőleges

helyzet

2gl

feltétel teljesülése esetén a felső függőleges helyzet (rp = n;) is stabil. 2. Ugyanezt a számítást végezzük el arra az ingára, amelynek felfliggcsztési pontja vízszintesen rezeg. Mego!dás. Az 5. § 3b feladatában kapott Lagrange-függvény alapján adódik, hogy f = mlay 2 cos yt cos rp, s ezzel: U eff = mg! ( -cos rp +

Ha a a 2 y 2




2gl, akkor a stabil egyensúlynak a

2gl a' y'

érték felel meg.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

VI. FEJEZET

A. MEREV TESTEK MOZGÁSA

31. §. A szögsebesség A mechanikában a merev test úgy definiálható, mint olyan tömegpontok rendszere, amelyek egymástól való távolsága állandó. A természetben előforduló valóságos anyagi testek nyilván csak közelítőleg tesznek eleget ennek a feltételnek. A szilárd testek többsége azonban a szokásos feltételek mellett oly kevéssé változtatja meg alakját és méreteit, hogy az ilyen testnek mint egésznek a mozgástörvényeit tanulmányozva, teljes egészében eltekinthetünk ezektől a változásoktóL A továbbiakban gyakran úgy tekintjük a merev testeket, mint diszkrét tömegpontok rendszerét, ezáltal a levezetéseink egyszerűbbé válnak. Ez azonban egyáltalán nem mond ellent annaka körülménynek, hogy merev testeket a mechanikában általában folytonosnak lehet tekinteni, tökéletesen elfeledkezve belső szerkezetükről. A diszkrét pontokra való összegezést tartalmazó képletekről úgy térünk át a folytonos testre érvényes képletekre, hogy a részecskék tömegét egyszerűen a dV térfogatban elhelyezkedő e dV tömeggel helyettesítjük (e a tömegsűrűség), majd integrálunk a test egész térfogatára. A merev test mozgásának leírására két koordináta-rendszert vezetünk be: egy "nyugalmi" koordináta-rendszert, vagyis inerciarendszert (XYZ) és x 1 = x, x 2 =y, x 3 = z "mozgó" koordináta-rendszert, amelyet a merev testhez rögzítünk, így ez utóbbi részt vesz annak minden mozgásában. A mozgó koordináta-rendszer kezdő­ pontját célszerű a test tömegközéppontjába helyezni. A merev test helyzetét a nyugalmi koordináta-rendszerhez viszonyítva teljes egészében meghatározza a mozgó koordináta-rendszer helyzete. Jelölje R a mozgó rendszer O origójának helyzetvektorát (35. ábra). E rendszer tengelyeinek irányát a nyugvó rendszerhez képest három független szög adja meg, s így R komponenseivel együtt összesen hat koordinátánk van. Ily módon minden merev test hat szabadsági fokú mechanikai rendszer. Vizsgáljuk a merev test tetszőleges végtelen kis elmozdulását. Ezt két elmozdulás összegeként lehet előállítani. Ezek közül az első elmozdulás a merev test végtelen kicsiny párhuzamos eltolása, amelynek eredményeképpen a tömegközéppont úgy

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

134

VI. A MEREV TESTEK MOZGÁSA

z Xz

y 35. ábra

megy át kezdeti helyzetéből a végső helyzetbe, hogy közben a mozgó koordinátarendszer tengelyeinek iránya nem változik. A második elmozdulás végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül, amelynek eredményeképpen a merev test elfoglalja végső helyzetét Jelöljük r-rel a merev test tetszőleges P pontjának helyzetvektorát a mozgó koordináta-rendszerben, r 0 -val ugyanennek a pontnak a nyugvó koordináta-rendszerben mért helyzetvektorát. Ekkor a P pont végtelen kis dr 0 elmozdulása a tömegközépponttal együtt végzett dR transzlációból és a t9megközéppont körüli végtelen kis dc.p szögű forgásnak [lásd a (9,1) képletet] megfelelő dc.pXr elmozdulásból tevődik össze: dro

= dR+dc.pXr.

Osszuk el ezt az egyenlőséget azzal a dt végbement, és vezessük be a

idővel,

dR dt =V,

amely alatt a vizsgált elmozdulás

dc.p ---=w dt

(31' l)

sebességeket; ezek között a (31,2) v=V+wXr összefüggést kapjuk. A V vektor a merev.test tömegközéppontjának a sebessége; szokás a haladó mozgás sebességének is nevezni. Az w vektor a merev test forgásának szögsebessége; ennek iránya (csakúgy, mint dc.p iránya) megegyezik a forgás tengelyének irányávaL Ily módon a test tetszőleges pontjának v sebességét (a nyugvó koordináta-rendszerhez viszonyítva) a test haladási sebességével és forgásának szögsebességével fejezhetjük ki. Hangsúlyozzuk: a (31 ,2) képlet levezetéséhez egyáltalán nem használtuk fel, hogy a koordináta-rendszer kezdőpontját a test tömegközéppontjába helyeztük. E választás előnye csak később derül ki, amikor a mozgó test energiáját számítjuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

31. §. A SZÖGSEBESSÉG

135

Tegyük fel most, hogy a merev testhez rögzített koordináta-rendszert úgy választottuk, hogy origója nem az O tömegközéppontban van, hanem valamely másik O' pontban, az O-tól a távolságra. Jelölje V' ennek az O' kezdőpontnak a sebességét, a rendszer forgásának szögsebessége pedig legyen w'. Vizsgáljuk megint a merev test egy tetszőleges P pontját, s jelöljük r' -vel az 0'-höz viszonyított helyzetvektorát. Ekkor r = r'+ a, és a (31 ,2)-be való helyettesítésből: v= V+wXa+wXr'. Másrészt V' és w' definíciójaalapján hatjuk tehát, hogy

szükségszerűen

V'= V+wXa,

w'= w.

v= V'+w'Xr'. Megállapít(31,3)

A második egyenlőség igen lényeges. A szögsebesség, amellyel a testhez rögzített koordináta-rendszer minden adott időpillanatban forog, egyáltalán nem függ a rendszer választásátóL Az ilyen rendszerek egy adott időpillanatban egymással párhuzamos tengelyek körül forognak egyező w szögsebességgel. Ez a körülmény jogosít fel mintket arra, hogy w-t a merev test egészét önmagában jellemző szögsebességének tekintsük. A haladó mozgás sebességének egyáltalán nincs ilyen "abszolút" jellege. (31 ,3) első képletéből látszik, hogy ha V és w (egy adott időpillanatban) valamely O koordináta-kezdőpont választása esetén egymásra merőlegesek, akkor tetszőleges más O' origóhoz viszonyított V' és w' is merőlegesek egymásra. A (31 ,2) összefüggés mutatja, hogy ebben az esetben a test összes pontjának v sebessége egy síkban van: az w-ra merőleges síkban. Emellett mindig választható olyan O' kezdőpont, 1 amelynek V' sebessége nulla, s így a merev test mozgása (az adott pillanatban) az 0'-n átmenő tengely körüli tiszta forgásként fogható fel. Ezt a tengelyt a test pillanatnyi forgástengelyének nevezzük. 2 A továbbiakban mindig feltesszük, hogy a mozgó koordináta-rendszer kezdő­ pontja a test tömegközéppontjában van, így a forgástengely is keresztülmegy ezen a középponton. A test mozgása során általában az w abszolút értéke, és a forgástengely iránya egyaránt változik.

1 2

Ez természetesen a testen kívül ís lehet. Az általános esetben, amikor V és w nem merőleges egymásra, úgy választható meg a koordinátarendszer kezdőpontja, hogy V és w párhuzamosak legyenek, vagyis a mozgás (az adott időpillanat-­ ban) valamely tengely körüli forgás és a tengely menti haladó mozgás összetevéséből áll.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

136

VI. A MEREV TESTEK MOZGÁSA

32. §. A tehetetlenségi nyomaték A merev test mozgási energiájának kiszámításához tekintsük a testet diszkrét tömegpontok rendszerének, s írjuk, hogy

ahol az összegzést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. Itt és később is elhagyjuk a tömegpontokat számláló indexeket, hogy az egyenletek írása egyszerűbbé váljék. Behelyettesítve ide a (31 ,2) összefüggést: K = I ; (V+wXr) 2 =I

-'f- V2+ ImV(wXr)+ I ; (wXr)2.

A V és w sebesség a merev test minden pontjára ugyanaz. Ezért az kiemelhető az összegezés elé. A lölünk. A második tagban a

Im összeg pedig a test tömege,

első

tagban

vz

T

melyet M-mel je-

ImV(wXr) = Imr(VXw) = (VXw)Imr átalakítást végezzük. Ha tehát a mozgó koordináta-rendszer kezdőpontját korábbi megállapodásunk szerint a tömegközéppontba helyezzük, akkor ez a tag nulla lesz, és így Imr = O. Vég ül a harmadik tagban fejtsük ki a vektorszorzat négyzetét; eredményill a következőt kapjuk: z )"') K = -M2v-+L....m (w zr z-(wr-. 2l "'

(32,1)

Így tehát amerev test mozgási energiáját két tag összegeként állíthatjuk elő. Az első tag (32, 1)-ben a haladó mozgás kinetikus energiája; ez olyan alakú, mintha a test egész tömege a tömegközéppontjába lenne koncentrálva. A második tag a tömegközéppontoD átmenő tengely körül w szögsebességű forgás kinetikus energiája. Hangsúlyozzuk, hogy a mozgási energiát akkor bonthatjuk így két részre, ha a testhez rögzített koordináta-rendszer origóját épp a test tömegközéppontjába helyezzük.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

32.§. A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK

Írjuk át a forgási energiát tenzorjelölésekkel, vagyis az r és w vektor komponensei szerint kifejtett alakban.a

137 X;,

illetve

w;

Itt felhasználtuk az w;= Ö;kwk azonosságot. (Ö;k az egységtenzor, melynek komponensei eggyel egyenlők, ha i = k, és nullával, ha i ,r. k.) Bevezeíve a eik

=

I

(32,2)

m(x[Ö;k-XiXk)

tenzort, a merev test kinetikus energiájára végül a K =

MV2

--+ 2

l 2-e·kú!"Wk l l

(32,3)

kifejezést kapjuk. A merev test Lagrange-függvénye (32,3)-ból a potenciális energia levonásával adódik: MV 2 l (32,4) L = -2- + -e·kw·wk-U 2 l l •

A potenciális energia általános esetben a merev test helyzetét meghatározó hat koor\ dináta függvénye, például függhet a tömegközéppont X, Y, Z koordinátáitól és a mozgó koordináta-rendszer tengelyeinek irányát a nyugvóhoz képest megadó három szögtől.

eik a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszerűen tehetetlenségi tenzora. Mint a (32,2) definícióból látszik, ez a tenzor szimmetrikus, azaz

(32,5)

A szem léletesség kedvéért kiírjuk a tenzor komponenseit a

következő

táblázatban:

-Imxy

I

m(x2+z2)

(32, 6)

-Imzy 3

Ebben a fejezetben i, k, l az l, 2, 3 értékeken végigfutó tenzorindexeket jelöl. Eközben mindenült alkalmazzuk azt az ismert összegezési szabályt, amelyben a szummajelet elhagyjuk, és minden kétszer előforduló indexre az J, 2, 3 értékeken végigmenő összegezést értünk; így A,B, = AB, Ai = A 1A 1 = A' stb. Az összegező indexek jelölését nyilvánvalóan tetszőleges módon megváltoztathatjuk (úgy, hogy ne egyezzenek meg az adott tenzorkifejezésben szereplő más indexekkel).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

138

VI. A MEREV TESTEK MOZGÁSA

A e XX' eYY' ezz komponenseket szokás a megfelelő tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezni. A tehetetlenségi tenzor nyilvánvalóan additív: a test tehetetlenségi nyomatéka megegyezik az alkotórészek tehetetlenségi nyomatékának összegével. Ha amerev testet folytonosnak tekinthetjük, akkor a (32,2) definícióban az összegezés helyére a test térfogatára vett integrállép: (32, 7) Mint minden másodrendű szimmetrikus tenzor, a tehetetlenségi tenzor is diagonalizálható az x 1, x 2 és x 3 tengely megfelelő irányú választásával. Ezeket az irányokat fő tehetetlenségi tengelyeknek hívjuk, a tenzor megfelelő komponenseit pedigfő tehetetlenségi nyomatékoknak; az utóbbiakat jelölje er, 02, e3. Az Xr, X2, X3 tengely ilyen választása mellett a forgási energia kifejezése különösen egyszerű: (32, 8) Megemlítjük, hogy egyik

fő

tehetetlenségi nyomaték sem lehet nagyobb a másik

kettő összegénéL Így például

(32, 9) Az olyan testet, amelynek mindhárom fő tehetetlenségi nyomatéka különböző, aszimmetrikus pörgettyűnek nevezzük. Ha két fő tehetetlenségi nyomaték megegyezik egymással: 0 1 = 0 2 ~ 0 3 , akkor a testet szimmetrikus pörgettyűnek hívjuk. Ebben az esetben a főtengelyek az XrX2 síkban tetszőlegesen választhatók. Ha mind a három fő tehetetlenségi nyomaték ugyanaz, gömbi pörgettyűről beszélünk. Ebben az esetben mindhárom fő tehetetlenségi tengely tetszőlegesen választható: bármely három egymásra merőleges tengely fő tehetetlenségi tengelynek tekinthető. A főtengelyek megtalálása igen leegyszerűsödik, ha a merev test valamilyen szimmerriával rendelkezik. Világos, hogy a tömegközéppont helyzetének és a fő tehetetlenségi tengelyek irányainak ugyanezt a szimmetriát kell mutatniuk. Így, ha a testnek van szimmetriasíkja, akkor a tömegközéppontnak ebben a síkban kell elhelyezkednie. Ugyanebben a síkban van két fő tehetetlenségi nyomaték, a harmadik merőleges rá. Nyilvánvaló példa ilyen esetre az egy síkban elhelyezkedő részecskék rendszere. Ebben az esetben egyszerű összefüggés van a három fő tehetetlenségi nyomaték között. Ha a rendszer síkjául az xrx2 síkot választjuk, akkor, mivel minden részecskére x 3 = O, tehát (32, 10)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

32.§. A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK

139

Ha a testnek van (valamilyen rendű) szimmetriatengelye, akkor a tömegközéppont ezen a tengelyen van. Megegyezik ezzel a tengellyel az egyik fő tehetetlenségi tengely is, a másik kettő pedig merőleges rá. Ha a szimmetriatengely rendje kettőnél nagyobb, akkor a test szimmetrikus pörgettyű. Valóban, ekkor minden főtengelyt (amely merőleges a szimmetriatengelyre) ellehet forgatni 180°-tól különböző szöggel, vagyis a tengelyek választása nem lesz egyértelmű, s ez csak a szimmetrikus pörgettyű' esetén lehetséges. Különleges az az eset, amikor egy egyenes mentén elhelyezkedő részecskék alkotják a rendszert. Ha ezt az egyenest választjuk az x 3 tengelynek, akkor minden részecskére x1 = x 2 = O, s így két fő tehetetlenségi nyomaték megegyezik egymással, a harmadik nulla: (32, ll) Az ilyen rendszert rotátornak nevezzük. A rotátor jellegzetessége amely megkülönböztetheti az általános esettől ·- az, hogy mindössze két (és nem három) forgási szabadsági foka van, melyek az x 1 , illetve x 3 tengely körüli forgásnak felelnek meg; egy egyenes önmaga körüli forgásáról nyilván nincs értelme beszélni. Befejezésül még egy megjegyzést teszünk a tehetetlenségi tenzor kiszámítására vonatkozóan. Bár ezt a tenzort olyan koordináta-rendszerben értelmeztük, melynek origója a tömegközéppontban van [csak ilyen definíció mellett érvényes az alapvető (32,3) képlet], kiszámításához olykor alkalmasabb lehet előzetesen egy hasonló

tenzort kiszámítani egy másik O' origóra vonatkozóan. Ha az 00' távolságot az a vektor adja meg, akkor r = r'+ a, xi = x;+ ai; figyelembe véve azt is, hogyImr = O, az O pont definíciója szerint (32,12) adódik. E képlet alapján,

e;" ismeretében, könnyű kiszámítani a B;" tenzort.

Feladatok l. Határozzuk meg a következő molekuláknak mint egymástól állandó távolságra rendszerének a fő tehetetlenségi nyomatékait. a) Az egy egyenes mentén elhelyezkedő atomokból álló molekula. Vú/asz:

levő

részecskék

ahol m" az atomok tömege, la" az a és b atom közötti távolság; az összegezés kiterjed a molekula mi n den a tompárjára. ( M indeJT a, b értékpár egyszer szerepe\ az összegben.)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

Vl. A MEREV TESTEK MOZGÁSA

140

Kétatomos molekulára az összeg csupán egy tagból áll, mely eleve nyilvánvaló eredményt ad: az atomok redukált tömegének és a köztük levő távolság négyzetének szorzatát:

b)

Egyenlőszárú

háromszög alakú háromatomos molekula (36. ábra).

Válasz: a tömegközéppcmt a háromszög magasságvonalán a háromszög alapjától X2

m 2h

= --

M

távolságra helyezkedik el. A tehetetlenségi nyomatékok:

el = 3_!11lm, M

h'

,

e 2 =~a' 2 ,

ICI l 36. ábra

37. ábra

c) Négyatomos molekula, melynek atomjai egy helyezkednek el (37. ábra).

egyenlő

oldalú háromszögönálló gúla csúcsaiban

Válasz: a tömegközéppont a gúla magasságán az alaptól X 2 =

m 2h

-·~

M

távolságra van. A tehetet-

lenségi nyomatékok:

Ha m 1

= m2,

h

=a

vr,

akkor a molekula tetraéder alakú és a tehetetlenségi nyomatékok:

2. Határozzuk meg a következő folytonos, homogén testek a) l hosszúságú vékony rúd. Válasz: 8

1

=

8

l 2

= -

12

Mf2, 8

3

=

fő

tehetetlenségi nyomatékait.

O (a rúd vastagságát elhanyagoltuk).

b) R sugarú gömb.

Válasz:

(a E> 1 +E> 2 +E> 3

www.interkonyv.hu

=

2Q

Jr

2

dV összeget kell kiszámítani).

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

32.§. A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK c) R sugarú és h magasságú körhenger. Válasz: "'' M ö""' 1 =ö.,=~

-

4

141

h") 3 •

( R-+.,

(xa a henger tengelye). d) Téglatest, amelynek élei a, b, c hosszúak. Válasz:

o"" 2

=

M ., ·• -(c·+a-) 12 ,

83

=

~ (a"+b

2)

(az x 1 , x 2, xa tengely rendre párhuzamos az a, b, c éllel). e) R sugarú és h ma:;assigú körkúp.

38. ábra

Megoldás. Először kiszámítjuk a kúp csúcsiba helyezett koordináta-kezdőpontra vonatkozó tenzor! (38. ábra). A számítás hengerkoordinátákban könnyen elvégezhető: 3 R -M(--+h') 4 , 2

EJ'l - EJ'2- 5 A tömegközéppont, mint arról

3h

a= -

4

egyszerű

számolással

EJ'= a

_2_ 10

e;k

MR 2

meggyőződhetünk,

a kúp tengelyén a csúcstól

távolságra van. A (32,12) képlet alapján:

"'' ""I c= '-' ö 2

= ö""'l -

M a-·•

=

3 M(R''-+4 h") , 20

c. ""' 3 ., ""a= ""a= -MR10

f) Ellipszoid, amelynek féltengelyei a, b, c hosszúak.

Megoldás. A tömegközéppont egybeesik az ellipszoid középpontjával, a fő tehetetlenségi irányok pedig az ellipszoid tengelyeiveL Az ellipszoid térfogatára vett integrált vissza lehet vezetni a gömb térfogatára vett integrálra, ha az x = a~, y = b'Y} és z = c''koordinátatranszformációt hajtjuk végre, mely az ellipszoid felületének

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

VI. A MEREV TESTEK MOZGÁSA

142

egyenletét az egységsugarú gömb egyenletébe viszi át. Így az x tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

ahol 13' az egységsugarú gömb tehetetlenségi nyomatéka. Figyelembe véve, hogy az ellipszoid térfo4:n:abc ga ta - - , megkapjuk végül a keresett tehetetlenségi nyomatékokat: 3 13 1

=

~

(b 2 +c 2 ),

13 2

=

~

(a 2 +c 2 ),

13 3

=

~ (a2 +b 2 ).

3. Határozzuk meg a fizikai inga (olyan merev test, amely egy nyugvó vízszintes tengely körül foroghat a nehézségi erőtérben) kis lengéseinek frekvenciáját. Megoldás. Legyen l az inga tömegközéppontjának távolsága a forgástengelytől, ot, {J, és y pedig fő tehetetlenségi tengelyeinek a forgástengellyel bezárt szögei. Változó koordinálának vezessük be a tömegközéppontból a forgástengelyre bocsátott merőleges és a függőleges közötti rp szöget. A tömegközéppont sebessége V = l~, a szögsebesség vetületei a fő tehetetlenségi irányokra ~ cos ot, rP cos {J és rj; cos y. Feltéve, hogy a rp szög kicsi, a potenciális energiát V= Mgl(l

~cos rp)

""'

~ Mglrp'

alakban kapjuk meg. Ezért a Lagrange-függvény:

Ebből

a rezgések frekvenciájára .,

Mgl

w- = Ml 2 + 13 1 cos' ot+ 13 2 cos 2 {J+ 13 3 cos' y

adódik.

D 39. ábra 4. Határozzuk meg a 39. ábrán látható rendszer kinetikus energiáját; OA és AB vékony, homogén, l hosszúságú rudak, az A pontban csuklóval rögzítve. Az OA rúd forog (a rajz síkjában) az O pont körül, az AB rúd B vége pedig az Ox tengelyen csúszik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

32.§. A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK

143

l . Megoldás. Az OA rúd tömegközéppontjának (mely a rúd közepén van) sebessége _ff_, ahol rp az 2 AOB szög. Ezért az OA rúd kinetikus energiája:

(M

egy rúd tömege).

Az AB rúd tömegközéppontjának Descartes-koordinátái: X= ennek a rúdnak a szögsebessége is

31

2

cos rp, Y=

l

2 sin rp.

Mivel

rr. kinetikus energiája:

K 2= T( M X"--~-Y-)+ . ·•

e cp-'

2

=

Mf2 ( l + 8 sm-rp)cp-+. • ., ecp'-. S 2

A rendszer teljes kinetikus energiája: l K = ·Mf2 -- (

3

M/ 2

ce= --12

.., rp )cp-., + 3 sm-

helyettesitéssei a 2a feladat szerint).

5. Adjuk meg a vízszintes síkon gördülő R sugarú henger kinetikus energiáját. A henger tömege úgy helyezkedik el a térfogatán belül, hogy az egyik fő tehetetlenségi tengely párhuzamos a henger tengelyével, és tőle a távolságra húzódik; az erre a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték e.

40. ábra

41. ábra

Megoldás. Legyen rp a tömegközéppontból a henger tengelyére bocsátott merőleges és a függőleges. irány közötti szög (40. ábra). A henger mozgását min.den időpillanatban úgy lehet tekinteni, mint a síkkal való érintkezési vonala (pillanatnyi forgástengely) körüli tiszta forgást; ennek a forgásnak a szögsebessége CÍJ (a szögsebesség minden párhuzamos tengely körül ugyanaz). A tömegközéppont

V= ,P

Va'+ R'- 2aR cos rp Va2 +

távolságra van a pillanatnyi forgástengelytől, s ezért a sebessége

R 2 - 2aR cos rp. A teljes kinetikus energia: K

=

M T

(a-+ ., R'-- 2 a R cos rp )rp·2 +T e rp-. ..,

6. Adjuk meg annak az a sugarú homogén hengernek a kinetikus energiáját, mely egy R sugarú hengerfelület belsején gördül (41. ábra).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1974

Hungarian translation © Matolcsi Tamás, Typotex, 2010

VI. AMEREV TESTEK MOZGÁSA

144

Mego!dtís. Legyen !p a két henger középvonalát összekötő merőleges egyenes és a függőleges által bezárt szög. A gördülő henger tömegközéppontja a henger tengelyén van, és sebessége V = rP( R~ a). A szögsebességet úgy számítjuk ki, hogy a mozgást a hengerek érintkezési vonala körüli tiszta pillanatnyi forgásnak fogjuk fel: R~a

V

w=a=rr-a-. Ha 6

3

a hengernek a tengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka, akkor K

= M (R~a)'rp'+~63 (R~a)' rp' = ~ M(R-a)'rp'

2 a 2c feladatból). 7. Adjuk meg a vízszintes síkon

~

2

4

(6 3

gördülő

homogén kúp kinetikus energiáját.

y

x

A 42. úbra

Mego/dús. Jelölje {} a kúp és a sík OA érintkezési vonalának a sík egy rögzített irányával bezárt

szögét (42. ábra). A kúp tömegközéppontja a tengelyén van, és sebessége V= a cos C(·&, ahol 20( a kúp nyílásszöge, a a tömegközéppont távolsága a csúcstól. A szögsebességet úgy számítjuk ki, mint az OA pillanatnyi tengely körüli tiszta forgás sebességél: w

=

v- = {}. ctg

-~.

a sm o;

rJ;.

Az egyik fő tehetetlenségi tengely (x3 ) megegyezik a kúp tengelyével, a másikat (x 2) válasszuk a kúp tengelyére és az OA egyenesre merőlegesen. Ekkor az OA-val párhuzamos w vektor vetületei a fő tehetetlenségi irányokra úJ sin rJ;, O és w cos rJ;. Eredményül megkapjuk a keresett kinetikus energiát: K =

6 Ma'cos"'rJ;z~··+ - · - T-'cos"'rJ;{F'+ - · - T63 cos•C(6"' sin' C( -

--2~

=

3

Mh'