Elméleti fizika IX. - Statisztikus fizika 2. [PDF]

Zitiervorschau

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

ELMÉLETI FIZIKA IX.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

E. M. Lifsic – L. P. Pitajevszkij

ELMÉLETI FIZIKA IX. STATISZTIKUS FIZIKA 2.rész

Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

Az eredeti mő címe ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА IX. – СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ЧАСТЬ 2 ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА, 1978 Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978 Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-132-6

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Tankönyvkiadó 1981-es kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

L. D. LANDAU Nobel-dijas (1908-1968)

E. M. LIFSIC Lenin-dijas (1915)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

ELŐSZÓ

Ha röviden kívánjuk jellemezni az Elméleti fizika sorozatnak az olvasó figyelmébe ajánlott IX. kötetét, akkor azt mondhatjuk, hogy az anyag kondenzált állapotának kvantumelméletét tartalmazza. A könyv a Bose- és Fermi-típusú kvantumfolyadékok elméletének részletes tárgyalásával kezdődik. Ezt az elméletet, mely ma az elméleti fizika önálló fejezetét alkotja, L. D. Landan alkotta meg P. L. Kapica kisérleti felfedezései nyomán. Fontosságát nem annyira azok az érdekes jelenségek adják, amelyek a He folyékony izotópjaiban észlelhetők, hanem inkább az, hogy a makroszkopikus testek kvantumos leírásának alapját a kvantumfolyadékról és spektrumáról alkotott elképzelések alkotják. A fémek tulajdonságainak elmélyült megértéséhez például az elektronokat Fermifolyadéknak kell tekinteni. Az elektronfolyadék tulajdonságait azonban a kristályrács jelenléte bonyolítja, igy a homogén és izotrop folyadék egyszerű esetének előzetes tanulmányozása az elmélet felépítésének első lépése. Ugyanezt elmondhatjuk a fémek szupravezetésével kapcsolatban is. Ezt az elektronok szuperfolyékonyságaként értelmezhetjük, és világos megértéséhez elengedhetetlen a Bose-folyadék szuperfolyékonysága egyszerűbb elméletének ismerete. A modern statisztileus fizika matematikai eszköztárának elválaszthatatlan része a Green-függvényele módszere. Ez nemcsak azokkal a számítási előnyökkel magyarázható, amiket a Green-függvényele grafikus számítási eljárása kínál. Elsődlegesen arról van szó, hogy a Green-függvényele közvetlenül adják meg a test elemi gerjesztéseinek spektrumát, és igy a legalkalmasabbak e gerjesztésele tulajdonságainak leírására. Ezért szentelünk a jelen kötetben megkülönböztetett figyelmet a módszertani kérdéseknek, nevezetesen a makroszkopikus testek Green-függvényeinek. Bár a módszer alapgondolata minden rendszerre azonos, a diagramtechnika konkrét megjelenése esetről esetre változó. Természetesnek tűnik, hogy e módszert az izotrop levantumfolyadékok példáján mutassuk be, ahollényege tisztán jelenik meg mindazon bonyodalmak nélkül, amelyeket a térbeli inhomogenitások, a különféle részecskék jelenléte stb. okoz.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

8

ELŐSZÓ

A szupravezetés mikroszkopikus elméletét hasonló okok míatt rontatjuk be az izotrop, gyengén kölcsönható Fermi-gáz modellen, eltekintve mindazoktól a hatásoktól, amelyek a kristályrács jelenléte és Coulomb-kölcsönhatás miatt lépnek fel. A kristályrácsban mozgó elektronról és a mágnességről szóló fejezetekkel kapcsolatban újfent hangsúlyozzuk, hogy a jelen könyv egy elméleti fizikai sorozat része, és semmiképp sem helyettesitheti a szilárdtestfizikai előadássorozatot. Ennek megfelelően csak azokat a kérdéseket vizsgáljuk, melyek általános jellegűek, és nem foglalkozunk sem a konkrét kisérleti adatokat igénylő kérdésekkel, sem olyan számitásí eljárásokkal, melyeknek nincs megfelelő elméleti megalapozásuk. Arra is emlékeztetünk, hogy a szilárd testek kinetikus tulajdonságai nem e könyv tárgyát alkotják, azokat a sorozat következő, befejező kötetében vizsgáljuk majd részletesen. Végül e könyvben rontatjuk be az anyagi közegekben fellépő elektromágneses fluktuációk és a hidrodinamikai fluktuációk elméletét is. Az előbbi korábban a VIII. kötet egy részét alkotta. Áthelyezését a jelen kötetbe az indokolja, hogy a Greenfüggvények felhasználásával nyílik mód az elmélet egyszerű és az alkalmazásokra legmegfelelőbb megfogalmazására. Emellett természetesebb az elektromágneses és a hidrodinamikai fluktuációkat egyetlen kötetben tárgyalni. L. D. Landan nincs e kötet szerzői között. Ám az olvasónak azonnal feltűnik milyen gyakran szerepel neve a könyv szövegében. Az eredmények nagy része az ő személyes vagy tanítványaival közösen végzett munkájának gyümölcse. A hozzá fű­ ződő sokéves kapcsolat ad számunkra reményt arra, hogy e kérdésekben hűen tükröztethetjük álláspontját, természetesen figyelembe véve mindazokat az új eredményeket, melyek az alatt a 15 év alatt születtek, ami eltelt a munkásságát félbeszakító tragikus nap óta~ Megköszönjük A. F. Andrejev, I. E. Dzsalosinszkij és I. M. Lifsic állandó közremú'ködését a könyvet alkotó kérdések állandó, folyamatos megvitatásában. Sokat okultunk A. A. Abrikoszov, L. P. Gorkov és I. E. Dzsjalosinszkij hires könyvéből, amely a statisztikus fizika új módszereinek szentelt könyvek közt az egyik legelső volt. Végül köszönettel tartozunk L. P. Gorkovnak és Jn. L. Klimontovicsnak a könyv kéziratának elolvasásáért és hasznos megjegyzéseik soráért. 1977. április E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

NÉHÁNY JELÖLÉS

A vektorindexeket latin betűkkel jelöljük: i, k, .... A spinindexeket görög betlik jelölik: (X, {J, •••. Minden kétszer ismétlődő indexre összegezés értendő. A "négyesvektorokat" (1. a II. fejezet 18. lábjegyzetét) nagybetűkkel jelöljük: X, P, .•••

A térfogatelem dV vagy iPx. Jelölés valamely mennyiség alulról vagy

felülről

való nullához tartására: -O, ill.

+O. Az operátorokat "kalapos" betuk jelölik. A Hamilton-operátor: fi, fi' = fi- p,tl. A perturbáció operátora JI'. A 'ljJ-operátorok jele a Schrödinger-reprezentációban: ip, ip+; a Heisenberg~repre­ zentációban "'P, "'P+; végül Matsubara-reprezentációban lJIM, PM. A Green-függvények: G és D. A hőmérsékleti Green-függvények jele .{}. és (j). A termodinamikai mennyiségeket az V. kötettel összhangban használjuk: így pl. a hőmérséklet T, a térfogat V, a nyomás P, és p, a kémiai potenciál. A mágneses tér erőssége és indukciójaH és B; a külső mágneses téré ~Az egyéb kötetek képleteire és szakaszaira való hivatkozásokat római számokkal láttuk el: I. - Mechanika, 1973; II. - Klasszikus erőterek, 1973; III. - Kvantummechanika, 1974; IV. - Relativisztikus kvantumelmélet, 1968; 1971; V. - Statisztikus fizika, l. rész, 1976; VI. - Hidrodinamika, 1954; VIII. - A folytonos közegek elektrodinamikája, 1959.*

* A VIII. kötetre való hivatkozások nem tekinthetők véglegesnek, mivel ennek legújabb kiadása csak ezutánjelenik meg. Az egyes kötetek megjelenési éve a szovjet kiadásokra vonatkozik. (A lektor)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

I. FEJEZET

A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

1. §. Elemi gerjesztések a kvantun1os Fermi-folyadékban Ha a hőmérséklet annyira alacsony, hogy a folyadék atomjai hőmozgásának megfelelő de Broglie-hullámhossz az atomok közötti távolsággal azonos nagyságrendűvé válik, akkor a folyadék makroszkopikus tulajdonságait kvantumos hatások határozzák meg. E kvantumfolyadékok elmélete nagy elvi jelentőségű, bár a természetben csak két olyan anyag létezik, amelyekaszó szoros értelmében folyadékoknak tekinthetők a fenti tartományban: ezek a hélium folyékony izotópjai (a 3He és a 4He) 1-2 K hőmérsékleten. Minden egyéb anyag jóval korábban megszilárdul, mintsem a kvantumhatások lényegessé válnának. Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra a tényre hogy az abszolút zérus hőmérsékleten a klasszikus mechanika szerint minden anyagnak szilárdnak kelllennie (l. V. 64.§); a hélium az atomjai közti különösen gyenge kölcsönhatásnak köszönhetően marad folyékony egészen a kvantumos jelenségek elő­ térbe kerüléséig. E hatások figyelembevételével viszont a megszilárdulás többé már nem szükségszerűen következik be a hőmérséklet további csökkentésekor. A makroszkopikus test termodinamikai jellemzőinek kiszámítása energiaszintjeinek ismeretét követeli meg. Magától értetődően az olyan erősen kölcsönható részecskék esetében, amilyen a kvantumfolyadék, a megfelelő kvantummechanikai stacionárius állapotok a folyadéknak rnint egésznek az állapotát jellemzik, és nem az egyes atomokét külön-külön. Az állapotösszeg elegendően alacsony hőmérsékleten való Iciszámításakor csak a gyengén gerjesztett nívókat kell figyelembe venni - azokat, amelyek nem túl magasan vannak az alapállapot felett. A makroszkopikus test tetszőleges gyengén gerjesztett állapotát a kvantummechanikában elemi gerjesztések összességeként lehet tekinteni. Ez az egész elmélet szempontjából alapvető jelentőségű. Ezek az elemi gerjesztések valamiféle kvázirészecskékként viselkednek, melyek az adott térfogatban meghatározott e energiával és p impulzussal mozognak. A e(p) függvénykapcsolat (vagy amint mondják, az elemi gerjesztések diszperziós összefüggése) a test energiaszintjeinek fontos jellemzője. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy az elemi gerjesztések fogalma egy segédeszköz a test atomjai kollektív mozgásának kvantummechanikai leírásához, és a kvázirészecskék semmiképpen sem azonosíthatók egyes atomokkal vagy molekulákkal.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

12

I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

A kvantumfolyadékok lehetséges energiaspektrumai különböző tipusokba sorolhatók. A tipustól függően a kvantumfolyadékok makroszkopikus tulajdonságai egészen különbözőek lehetnek. Tanulmányozásukat a Fermi-típusú spektrummal rendelkező folyadékokkal kezdjük. Ennek elméletét L. D. Landau alkotta meg (1956-1958); az 1-4. §-okban az ő eredményeit mutatjuk be. 1 Amint az ismeretes, a Fermi-tipusú kvantumfolyadékok energiaspektruma az ideális (1/2 spinil részecskékből álló) Fermi-gáz spektrumához hasonlóan épithető fel. Ez utóbbi alapállapotának a Fermi-gömbön belüli állapotok teljes betöltöttsége felel meg. Ez az impulzustérbeli gömb PF sugarú, és a gáz N/V sfuilségével (az egységnyi térfogatbeli részecskék számával) a következő kapcsolatban van:

N

v=2

4n:pf, pf, 3(mlí)3 = 3n:2!í3

(1,1)

(1. V. 57.§). A gáz gerjesztett állapotai úgy jönnek létre, hogy egyes részecskék a gömb betöltött állapotaiból valamely p >PF impulzusú állapotba mennek át. A folyadékban természetesen az egyes részecskék kvantumállapotairól nem lehet beszélni. Mégis, a Fermi-folyadékok spektruma felépítésének az a megállapitás a kiindulópontja, hogy az energianivók osztályozása az atomok közötti kölcsönhatás fokozatos "bekapcsolásakor", azaz a gázról a folyadékra való áttérés során nem változik. Ebben az osztályozásban a gáz részecskéinek szerepét az elemi gerjesztések (kvázirészecskék) veszik át, melyek száma az atomok számával egyezik meg, és amelyek Fermi-statisztikát követnek. Azonnal megjegyezzük, hogy ilyen spektruma csak feles spinil részecskékből álló rendszernek lehet - a bozonokból (egész spinil részecskékből) álló rendszer nem irható le Fermi-statisztikájú kvázirészecskékkel. Ugyanakkor azt is hangsúlyozzuk, hogy az ilyen tipusú részecskék nem feltétlenül vezetnek a fenti tipusú spektrumra. A spektrum tipusa ugyanis függ az atomi kölcsönhatások konkrét jellegétől. Ez egyszeril megfontolással érthető meg: ha a kölcsönhatás olyan jellegil, hogy hatására a részecskék párokba állnak össze, akkor határesetben olyan molekuláris folyadékot kapunk, amely egész spinil részecskékből (molekulákból) áll, amelyre a fentebb vizsgált spektrum nyilvánvalóan lehetetlen. A kvázirészecskéknek határozott p impulzusuk van (ezen állitás igazságtartalmához még visszatérünk). Legyen a kvázirészecskék impulzus szerinti eloszlása n(p), melyet az

1 Elöreszajadva, a félreértések elkerülése érdekében pontosabban is megfogalmazzuk, hogy a nem szuperfolyékony (mint mondják, a normdlis) Fermi-folyadékokról van szó. Ilyen tulajdonságú a 8He izotóp (azzal a fenntartással, amit az V. fejezet 63. lábjegyzetében fogalmazunk meg).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

1.§. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS FERMI-FOLYADÉKBAN

13

feltétel normál (e feltételt alább még pontosítjuk). Az osztályozás fent említett elve azt a feltevést foglalja magában, hogy n(p) megadása egyértelműen meghatározza a folyadék E energiáját, valamint, hogy az alapállapotot olyan eloszlásfüggvény irja le, amelyben a Fermi-gömb PF sugarán belülminden állapot be van töltve. A PF impulzus értéke a folyadék sűrűségével ugyanúgy az (1,1) összefüggés révén van kapcsolatban, mint az ideális gáz esetében. Fontos, hogy a folyadék teljes energiája egyáltalán nem egyezik meg a kvázirészecskék e energiáinak összegével. Más szavakkal, E az eloszlásfüggvénynek olyan funkcionálja, amely nem egyezik meg az Jne dr: integrállal (amint az igaz ideális gázra, ahol a kvázirészecskék egybeesnek a nem kölcsönható, valódi részecskékkel). Minthogy E az elsődleges mennyiség, felmerül a kvázirészecskék energiája meghatározásának kérdése, azok kölcsönhatásának figyelembevételével. Ennek érdekében vizsgáljuk E megváltozását az eloszlásfüggvény infinitezimális megváltozásakor. Ezt nyilvánvalóan a lm variációban lineáris bE V=

f e(p)bndr:

kifejezés adja meg. Az e mennyiség tehát az E energiának az eloszlásfüggvény szerint funkcionálderiváltja. Ez megfelel a rendszer energiája megváltozásának egy p impulzusú kvázirészecske hozzáadásakor. Ez a mennyiség értelemszerűen a kvázirészecske Hamilton-függvényének szerepét játssza a többi részecske terében, és szintén funkcionálja az eloszlásfüggvénynek, azaz e(p) az összes részecske folyadékbeli eloszlásától függ. Megjegyezzük még, hogy a spektrum vizsgált tipusában egy elemi gerjesztést jól ismert módon úgy is tárgyalhatunk, mint egy atomo t a többi atom önkonzisztens terében. Az önkonzisztenciát azonban nem szabad szokásos kvantummechanikai értelmezésében használni. Itt mélyebb jelentése van: az atom Hamilton-operátorában a környező atomok hatását nemcsak a potenciális energia tükrözi, de változik a kinetikus energia operátorának impulzusfüggése is. Mindeddig eltekintettünk a kvázirészecskék spinjétől. Minthogy a spin kvantummechanikai mennyiség, melyet klasszikusan nem lehet figyelembe venni, az eloszlásfüggvényt a spinváltozóban sűrűségmátrixnak kell tekintenünk. Az elemi gerjesztés e energiája általában nemcsak az impulzus függvénye, hanem operátor is a spinváltozók terében, amelyet a kvázirészecske spinoperátorávallehet kifejezni. Homogén és izotróp folyadék esetén (amelyre nem hat mágneses tér és ami nem ferromágneses) 2 az operátor az e skalár mennyiség kifejezésében csak a szintén skalár 2 és IDennyiségek formájában jelenhet meg. A lineáris kifejezés nem megengedett, mivel az vektor axiális volta miatt az pszeudoskalár mennyiség. Az 2 = s(s+ l) mennyiség az s = 1/2 helyettesítéssei s-től független állandóvá válik, és hasonló a

s

s

s

www.interkonyv.hu

sp

s (sp)

s

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

14

I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

helyzet az (sp)2 = p 2 /4 kifejezéssel is. Tehát esetünkben a kvázirészecske energiája egyáltalán nem függ a spintől, az összes energiaszint kétszeresen elfajult. A kvázirészecske spinjének létezését lényegében az fejezi ki, hogy a spektrum a móndott módon elfajult. Ezért azt mondhatjuk, hogy a vizsgált spektrumtipusra a kvázirészecskék spinje mindig 1/2, függetlenül a folyadék valódi részecskéinek spinértékétőL Valóban, bármely egyéb spinériékre az (sp) 2 tipusú tagok jelenléte az energia kifejezésében a (2s+ 1)-szeresen degeneráltszintek (2s+ 1)/2 kétszeresen elfajult nivóra való felhasadására vezetett volna. Más szavakkal, az s(p) függvény (2s+ 1)/2 különböző ágra bomlott volna fel, melyek mindegyike "s = 1/2 spinű kvázirészecskeként" értelmezhető. Mint már mondottuk, a spin figyelembevételével az eloszlásfüggvény n(p) mátrixszá, vagyis a spinváltozókra ható operátorrá válik. Explicit alakban ezt az operátort n"'p(P) hermitikus sűrűségmátrixnak irjuk; IX és (J spinindexek, melyek a ± 1/2 értékeket vehetik fel. A diagonális elemek az adott spinállású kvázirészecskék számát adják. Ezért a normálási feltételt most (1,2) alakban írjuk (az Sp szimbólum a mátiix spinindexei szerinti nyomképzéstjelenti). 2 A spinváltozókban az e energia is általában operátor. Definícióját a következő­ képpen pontosithatjuk: (1,3)

Ha az eloszlásfüggvény és az energia spinfüggetlen, azaz n"'fl és s"'fl egyaránt az egységmátrixszal arányosak: (1,4) akkor az (1,2)- (1,3) összefüggésekben a nyomképzés jelent: bE y= 2

egyszerűen

Iebndr:.

2-vel való szorzást (1,5)

Egyszerűen belátható, hogy statisztikus egyensúly esetén a kvázirészecskék eloszlása Fermi-eloszlást követ, amelyben az energia szerepét az (1,3) összefüggésből meg-

2

www.interkonyv.hu

Itt és a továbbiakban mindenütt, a kétszer

ismétlődő

indexekre, szokás szerint, összegezünk.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

l.§. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS FERMI-FOLYADÉKBAN

15

határozott é játssza. Ugyanis a folyadék és az ideális Fermi-gáz energiaszintjei osztályozásának egybeesése azt eredményezi, hogy a folyadék S entrópiáját ugyanaz a kombinatorikai összefüggés határozza meg, mint a gázét (1. V. 55.§):

~ =-Sp

f

{li ln li- (1- n) ln (l-li)} d-c.

(1,6)

E kifejezést variálva a részecskeszám és a teljes energia állandóságát kifejező

V(JN =

Sp

f

CJii d-c = O,

~=

Sp

f

é(Jii d-c = O

mellékfeltételekkel, megkapjuk a keresett eloszlást:

(1,7) ahol p. a folyadék kémiai potenciálja. Ha a kvázirészecskék energiája spinfüggetlen, ugyanilyen alakú összefüggés érvényes az (1,4)-ben definiált n és 8 mennyiségek között: (1,8)

T = O hőmérsékleten a kémiai potenciál megegyezik a Fermi-felületet kijelölő határenergiával: (1,9) Hangsúlyozzuk, hogy a szokásos Fermi-eloszlással mutatott formális analógia elleonére az (1,8) kifejezés nem azonos azzal: minthogy 8 maga is n funkcionálja, az (1,8) kifejezés szigorúan véve n bonyolult, implicit meghatározását nyújtja. Térjünk vissza ahhoz a feltevéshez, hogy a kvázirészecskéhez meghatározott impulzus rendelhető. E feltétel teljesülése megköveteli, hogy az impulzus határozatlansága (amely a kvázirészecske szabad úthosszának végességével kapcsolatos) ne csak az impulzus abszolút értékéhez képest, hanem az eloszlás Llp "elkentségéhez" képest is kicsi legyen abban a tartományban, ahol az lényegesen eltér az alábbi "lépcsős függvénytől" :3 l, ha ppp. 3

A továbbiak szempontjából hasznos megjegyezni, hogy (}'(p}= -d(p-pF)•

Ugyanis ezen egyenlőség mindkét oldala ugyanazt az eredményt adja (az egységet}, ha integráljuk tetszőleges, a p = pF pontot tartalmazó tartományra.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

16

I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

Könnyű belátni, hogy ez a feltétel teljesül, ha az n(p) eloszlás csak a Fermi-felülethez közeli kis tartományban tér el (1,10)-től. Ugyanis a Pauli-elv értelmében a kvázirészecskék csak az eloszlás elkentségének tartományában szóródhatnak egymáson, miközben aszórási folyamat eredményeként átmennek ugyane tartomány be nem töltött állapotaiba. Ezért az ütközés valószínűsége. arányos e tartomány szélességének négyzetével. Így arányos (Llp) 2-tel az energia határozatlausága is, majd ennek révén a kvázirészecske impulzusának határozatlansága is. Ebből világos, hogy elég kis Llp-re az impulzus határozatlansága nemcsak pp-hez, de Llp-hez képest is kicsiny. Végeredményben a bemutatásra kerülő módszer csak a folyadék olyan gerjesztett állapotaira alkalmazható, amelyekben az eloszlásfüggvény eltérése a lépcsős függvénytől csak a Fermi-felület keskeny szomszédságában számottevő. Spedálisan a termodinamikailag stabil eloszlásokra csak az elegendően alacsony hőmérsékletek megengedettek. Az egyensúlyi eloszlás elkentségi tartományának energiabeli szélessége T nagyságrendű. A kvázirészecskék energiájának kvantumos eredetű határozatlansága, amely az ütközésekből származik, nj-c nagyságrendű, ahol -c a részecskék átla.gos szabad futási ideje. Így az elmélet alkalmazhatósági feltétele:

nj-c« T. A korábban mondottak szerint a -c szélességével, azaz

idő

(1,11)

négyzetesen arányos az elkentségi tartomány

így (1,11) nyilván teljesül, ha T-+ O. Folyadékban, ahol a részecskék közötti kölcsönhatás nem gyenge, minden energiaparaméter nagyságrendileg ep-fel megegyező; ennek .alapján az (1,11) feltétel ekvivalens az l ep! »T feltétellel. 4 A (T= O hőmérsékleten) lépcsős eloszláshoz közeli eloszlások esetén első közelítésben az e funkcionált helyettesíthetjük az n(p) = 8(p) eloszlással kiszámított értékéveL Ekkor e az impulzus egyértelműen meghatározott függvényévé válik, és az (1, 7) képlet .átmegy a szokásos Fermi-eloszlásba. E közelítésben a Fermi-gömb felülete közelében, ahol az e(p) függvénynek közvetlen fizikai jelentése van, azt p- PF hatványai szerinti sorba fejthetjük. Érvényes az e-ep;:::;: vp(p-pp)

(1,12)

ae l

(1,13)

összefüggés, ahol Vp=-

Bp

P=Pp

4 Folyékony 3He-ra az elmélet számszerű alkalmazhatóságának tartománya a kisérletek :Sága szerint a T ;S 0,1 K hőmérsékletekre korlátozódik (eközben l Bp l "" 2,5 K).

www.interkonyv.hu

bizony~

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

1. §. ELEMI GERJESZTÉSEK A K,VANTUMOS FERMI-FOLYADÉKBAN

17

a kvázirészecskék "sebessége" a Fermi-felületen. Id~ális Fermi-gázban a .l = gN2f4V

2'

A szórási amplitúdó renormálása után ez a mennyiség már egyáltalán nem egyezik a (6,2)-ben U0 állandóval!

szereplő

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

40

I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

összefüggést kapjuk. A (6,12) képletben a három impulzusra való összegezést, amely a p1 + p2 = p~+ p~ megmaradási tételt figyelembe veszi, a

szerinti integrálással váltjuk fel. Így

az integrálást a p 1, p 2 , p~ ;§ PF tartományra kell elvégezni. Az integrálás után25 az alapállapot energiájára a következő végeredményt kapjuk:

E = N 3p~ 0

lOm

[t + __!Q_ PF~ lí

9n

.J_

'

4(11- 2 ln 2) 2ln2

(pli

Fa )

2]

(6,13)

ahol a zárójel előtt álló mennyiség az ideális Fermi-gáz energiája (K. Huang, C. N. Yang, 1957). A gáz abszolút nulla hőmérsékleten számított kémiai potenciálja a fk = (BE0 JBN)v összefüggés szerint a PF határimpulzus függvényeként kifejezve:

f-L

=p~ [l 2m

__±_PFa

+ 3n

1í

+

4(11-2ln2)(pFa) 2] 15n2 lí ·

(6,14)

A Landau-elmélet alapföltevéseivel összhangban az elemi gerjesztések s(p) spektrumát és a kvázirészecskék f~.:(p, p') kölcsönhatási függvényét a teljes energiának a kvázirészecskék eloszlásfüggvénye26 szerinti első és második variációja határozza meg. Ha E-t p és oc szerinti diszkrét összegként hjuk fel, akkor definíció szerint

oE=

L s~(p) Onpct+ 21V L h.~{p, p') onpct onP'"-'

PIX

(6,15)

pa, p'r.l

(az energia deriválása után ~"-t a Fermi-gömb belsejében eggyel, azon kívül nullával kell helyettesíteni). A kvázirészecskék m* effektív tömegének ily módon való kiszámítására nincs szükség, mivel egyszerűbben is megkapható (1. alább). 26 A számításokat ténylegesen egyszerűbb elvégezni fordított sorrendben, az f függvény kíszámításával kezdve (1. alább). 26 Azf~o:·(P, p') mátrix ebben a szakaszban az !cty, 116 (p, p') mátrixnak az rk{J és yb indexpárokban diagonális elemei halmazát jelöli.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

6.§. ELFAJULT FERMI-GÁZ A RÉSZECSKÉK KÖZT HATÓ TASZÍTÁSSAL

41

Az j a.a!(p, p') függvény (Fermi-felületen felvett értékeinek) ldszámitásához a (6, ll)(6,12) kifejezések összegét kétszer differenciáljuk, majd a p =p' = PF helyen vesszük a kapott kifejezést. Ezen egyszerii számitás után, az összegezésről integrálásra átténe azt kapjuk, hogy

E képletekben az integrálások elvégzése az integrálási változók kisebb száma miatt viszonylag egyszerűbb. A végeredményt a (2,4) alakban írjuk fel, amely független a spinkvantálás tengelyének megválasztásától:

la.r.f3d

=

2nalí2 m

{r

.

2ap F

l+~

nk: ( l - 2l

2

D

2a - [ l+

. )J

(

l+smcos D 2 2+ . D ln . D D 2sm1-sm-

sin

2

tn

1 +sm2 . D 1-sm2

ba.pby~-

2

)J } aa.pay~ ,

(6,16)

ahol D a PF és p~ vektorok közötti szög (A. A. Abrikoszov, I. M. Halatnyikov, 1957). 27 Ebből a (2,12) képletnek megfelelő integrálás után kapjuk a kvázirészecske effektív tömegét:

m* 8 ( app) 2 m=l+ISn2 (7ln2-1) T ,

(6,17)

27 A (6,16) függvény{)= ft-re végtelen értéket vesz fel a közelítések miatt. Pontosabb vizsgálatok azt mutatják, hogy bár a{) = :re pont a függvény szinguláris pontja, a függvényérték ott nem végtelen, hanem zérus (1. az V. fejezet 62. lábjegyzetét). A (6,16) képlet{)= :re körüli használhatatlansága a további alkalmazásokban lényegtelen, mert azokban ezen a helyen konvergens integrálokjelennek meg.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

42

I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

A (2,17) képlettel a hang gázbeli sebességét is megkapjuk: 2

u

=

p'j; 3m2

[l +~n applí + 8(11-2ln 2) ( app) 15n lí 2

2]

·

(6,18)

Az u2m/N mennyiséget dN szerint integrálva (PF helyett az N/V változói használjuk), {2,13) alapján megkapjuk a gáz kémiai potenciálját, majd dN szerinti újabb integrálás.sal megkapjuk az alapállapot (6,13)-ban megadott energiáját. A (6,13) képlet az 'Y} = ppaflí "' a(N/V)113 "gázparaméter" hatványai szerinti sor dső tagjait tartalmazza. Hasonló, de jóval nehézkesebb számításol p egyenlőtlenség azonnal következik. A (8,9) definíció értelméről még később ejtünk szót. · Az összeg ro-beli pólusainak eltolódása, melyet az ± iO tag jelenít meg, ekvivalelils a Cl-függvényt tartalmazó képzetes részek megjelenésével: 9 : .

X_l 0

8

= qJ _!_X =t=inb(x).

(8,11)

A kvantumtérelméletben a hasonló kifejtést Kallen-Lehmann előállitásnak nevezik (l. IV. 101.,

~~

.

Vö. III. (43,10). A rp jel azt jelenti, hogy azf(x)/(x± iO) tipusú kifejezés integrálásakor a főérté­ ket kell képezni: 9

J x±iO dx = /(x)

i

J

f(x) d =t= • f(O) x x m ·

A második tag az x = - iO (ill. x = iO) helyen vett pólus felülről (alulról) való dik.

www.interkonyv.hu

megkerüléséből

adó-

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

53

8.§ . AZ ENERGIASPEKTRUM MEGHATÁROZÁSA

Alkalmazva ezt a szabályt (8,7)-re, a Green-függvény valós részére azt kapjuk, hogy Re G(w, p)= 4 w I; tp

[ AmCl(p-Pm) + BmCl(p+Pm) J ,

m

w+p,-e}"+>

(8, 12)

m+p,-e}">_

a képzetes részre pedig (figyelembe véve, hogy e~;>- p >O, és e~->- p< O): ha

w>

o,

ha

W
energiájának definiciójában a rendszer Em gefjesztett ener~szintjének előjele negativ. Ez kapcsolatos azzal, hogy e kvázirészecskék impulzusára p = -P"., amit a (8, 7) kifejtés megfelelő tagjaiban fellépő ő(p +P~ mutat.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

9.§. AZ IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE

55

Ime előjelének megfelelő voltát a Green-függvény képzetes részének meghatározott biztosítja. Ez a rész ugyanis a függvény a pólusa közelében

előjele

G(w, p)~

z

( ) w+p,-ep

{8,17)

alakú, ahol a Z együttható pozitív, amint ez a (8,7) kifejtésbeli Am és Bm kifejtési együtthaték pozitivitásából következik. A Z mennyiséget (a kvantumelektrodinamikával képezve analógiát) gyakran hívják renormálási állandónak. A Green-függvény képzetes részére ImG ~

Zlme

lw+p,-el 2 adódik. Figyelembe véve, hogy ez a kifejezés w ~ e- p esetén érvényes, összehasonlíthatjuk előjeiét a (8,14) előjelszabállyal, amiből Im e< O,

ha

Im e> O,

ha

Re e> p, Ree< p

(8,18)

következik. Ez igy szükséges, mivel Ime ezen előjelesetén ad mindkét esetben [e~+> és e~-> (8,9)-ben] helyes negatív képzetes járulékat a gerjesztett állapot Em energiájához. A Green-függvényele analitikus tulajdonságaira még visszatérünk a 36. §-ban, ahol ezt a kérdést mindjárt a tetszőleges hőmérséklet általános esetére vizsgáljuk meg.

9. §. Az ideális Fermi-gáz Green-függvénye Az előző szakaszban tárgyalt általános összefüggések illusztrációjaként kiszámítjuk az ideális gáz Green-függvényét. A schrödingeri 1p-operátorokat mindig kifejthetjük

fPrx(r) = Ltlpa'I{Jprx(r,a) pa

{9,1)

alakban, ahol1pP"(r, a) a p impulzusú (p 2/2m energiájú), 11 spinvetületű szabad részecskék spinor hullámfüggvényeinek teljes rendszere (ne tévesszük össze a 11 sajátértéket az a spinorindexszel !), tehát ?ll

-

•P"-

www.interkonyv.hu

vv

Urx(11)

eiPr

(9,2)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

56

II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

[u..(a) spinoramplitúdó, melyet az u..u~ = l ~eltétel normál]. Az így választott tpp..(a) függvényeknek semmi közük a. részecskék valódi kölcsönhatásához. Kölcsönhatásmentes részecskék rendszerében a heisenbergi tp-operátor is explicit en felirható. Ez esetben a Schrödinger-operátorokról a Heisenberg-félékre való áttérés annak felel meg, hogy (9,1) minden tagját egy megfelel{) id5függ5 fázisfaktorral szorozzuk: (9,3) Erről könnyen meggyőződhetünk, ha figyelembe vesszük, hogy a Heisenberg-operátor mátrixelemeinek tetszőleges i - f átmenet es etén tartalmazniuk kell az exp [- i(E;-E;)t] szorzót, ahol E;, Bírendre a kezdeti és a végállapot energiái (esetünkben ezek a H'= fi- pJV Hamilton-operátor sajátértékei). Ha az átmenet során a pa állapot-

beli részecskék száma 1-gyel csökken, akkor

E;-

E; =

2

~ -p, így a fenti követel-

mény teljesül. A (7,10) definícióból (9,3) segítségével való kö:z;vetlen számolás helyett azonban kényelmesebb először (7,10)-et átalakítani egy vele ekvivalens differenciálegyenletté. E célból deriváljuk a Ga.fl(X1 -X2) függvényt t1 szerint. Vegyük figyelembe, hogy 11 = t2 esetén ez a függvény szakadásos. Valóban, a (7,10)~összefüggés miatt a függvény ugrása: [G..p)

= Ga.fJlt

1

=t1

+0-Ga.tJlt1 =t1 -0 =

=- i(tp..(t1, r1) tjlf(tl, r 2)+ tpf(t1, r 2) tp..(t1, r J),

azaz (7,3) figyelembevételévelll (9,4)

Az ugrás felhasználásával világos, hogy megjelenik egy [Ga.fl]c5(t1 - t2) típusú tag is. Ezért

Szabad részecskékre a heisenbergi tp-operátor kielégiti az

11

www.interkonyv.hu

Hangsúlyo:zzuk, hogy az ugrás független a részecskék kölcsönhatásáté)l.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

9.§. AZ IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE

57

egyenletet [vö. (7,8)]. Ezt behelyettesítve (9,5)-be és újra felhasználva a (7,10) definíciót, a·Oreen'-függvényre az

(i ! + 2! + f1) G(t, r) =

ö(t)

ő(r)

(9,6)

egyenletet kapjuk, ahol a G~ = fJ«fp egyenllSséget már kihasználtuk, a (O) index viszont G-ben arra utal, hogy a részecskék nincsenek kölcsönhatásban egymással. Fourier-transzformációval az egyenlet az

alakot ölti. Ebben a Green-függvény meghatározására ro-hoz kis képzetes részt kell adnunk úgy, hogy G képzetes részének [összhangban (8,14)-gyel] helyes legyen az ellSjele: (9,7) E kifejezés pólusa az ro+ 11 = e(p) = p 2f2m pontban helyezkedik el, összhangban azzal a megállapítással, hogy az ideális gázban a valódi és a kvázirészecskék között nincs különhség. Az ideális Fermi-gáz kémiai potenciálja 11 = p~f2m. Gyengén gerjesztett állapotok p impulzusa közel van pp-hez, így p 2f2m közelítlSleg a 11+ vp(p-pp) összeggel helyettesíthet() (ahol Vp = PFfm). Az ilyen állapotok Green-függvényére (9,8) írható. A Gfüggvényt tartalmazó különféle integrálok kiszámításakor ennek infinitezimális képzetes része csak a pólus közelében lényeges, ahol ro ~ Vp(p-PF). Ekkor sgn ro-t (9,7)-ben célszeriibb sgn (p-pp)-fel helyettesiteni és G-t a következ() alakban írni: (9,9) Ez a helyettesítés abból a szempontból lényeges, hogy a (9,9) alakban G egyetlen, a teljes ro síkon analitikus függvény, és az integrálok kiszámításakor az analitikus függvényekre érvényes módszerek alkalmazhatók. Így a (7,23) integrál (a részecskék impulzus szerinti eloszlásának integrálja) kiszámításakor a zérustól különbözlS, negatív t értékekre az ro sík valós tengelyen húzódó integráJási utat a fels félsikbeli végtelen nagy sugarú félkörrel zárjuk be (ezután

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

:58

II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

helyettesíthető

t = O). Az N(p = - i) 2~

f

dw w-p 2 f2m+ p,+iO·sgn (p-pp)

integrált az integrandus felső félsikbeli pólusának reziduuma határozza meg. p >PF -esetén ilyen pólus nincs, tehát N(p) = O. Ha p< pp, akkor N(p) = l, amint annak ..az ideális Fermi-gáz alapállapotára lennie is kell.

10. §. A Fermi-folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlása A Fermi-folyadék Green-függvénye általános alakban természetesen nem számitnató ki úgy, mint azt az ideális gázra tettük. Az az állitás azonban, hogy a Fermifolyadék spektruma az l. §-ban leirt tipusú, azt jelenti, hogy Green-függvényének az w= e(p)- p,~ Vp(p-pp), -pontban pólusa van. Más szavakkal, G

G(w, p) =

(

vp

= ppfm*

(10,1)

előállitható

z

.

w-vp p-pp)+zO·sgn w

+g(w, p)

(10,2)

.alakban, ahol g(w, p) a (10,1) pontban véges függvény. Mint azt (8,17)-tel kapcsolat,ban már megjegyeztük, a Z együttható (a G-függvény reziduuma a pólus ban) pozitiv. A (10,2) kifejezésből érdekes következtetésre juthatunk a folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlására vonatkozóan (nem a kvázirészecskékről van szó !). .Számítsuk ki az N(p) eloszlás értékét (amely valójában csak p abszolút értékétől függ) ..a Fermi-gömb mindkét oldalán, vagyis az

N(pp-q)-N(PF+q) l

O
-pp-re is, amint ezt az l. ábrán a folytonos görbe mutatja (a szaggatott vonal a gáznak felel meg).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

60

II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

ll. §. A termodinamikai mennyiségek kiszámítása Green-függvény segítségével A Green-függvény ismerete elegendő a rendszer termodinamikai tulajdonságainak leírásához. T= O-ra ezeket a tulajdonságokat a rendszer energiájának (ami megegyezik a rendszer alapállapotának E0 energiájával) sűrűségfüggése határozza meg. Azután, hogy [a (8,16) egyenlet megoldásával] meghatároztuk a kvázirészecskék s(p) diszperziós összefüggését, a fenti függvénykapcsolatot megtalálhatjuk az (11,1)

összefüggés felhasználásával. Minthogy pp-nek N/V-függése ismert: az (1,1) egyenletből

PF

= (3:n;2)1/3 (NjV)l/3,

(11,2)

a (11,1) összefüggés meghatározza a p,(NJV) függvényt (bár csak implicit módon, ugyanis az e(p) diszperziós függvény p-t paraméterként tartalmazza]. T= O esetén (ekkor S = O) a kémiai potenciálra a p= (fJE0 /fJN)v termodinamikai összefüggés áll fenn; ezt az egyenlőséget integrálva kapjuk meg a keresett energiát:

(11,3)

(N = O esetén természetesen E0 = O). . A T= O-beli termodinamikai tulajdonságok leírásának másik módja az Q termodinamikai potenciál kiszámítása. Az általános definíció szerint (I. V. 24. §) e potendáira Q= E-TS- p,N = -PV,differenciáljáradQ = -SdT-N dp érvényes; T= O-ra S = O, így ezek az összefüggések az Q= E-p,N,

(11,4)

dQ =-Ndp,

(11,5)

alakra egyszerüs ödnek. Arra is emlékeztetünk, hogy az Q potenciál állandó térfogaton írja le a rendszer tulajdonságait. Az Q potenciál Green-függvényes kifejezésének megoldására a legegyszeri:íbb felhasználni N/V és G (7,24) kapcsolatát. (7,24}ből N-et (11,5}be helyettesiíve és azt

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

12. §. 'P"-OPERÁTOROK KÖLCSÖNHATÁSI REPREZENTÁCIÓBAN

61

dp, szerint integrálva (V= const), azt kapjuk, hogy

f l'

Q(p)

=

2iV

dp,·

~~~of G(w, p) e-iwt d;~n~

'

(11,6)

o

minthogy Q

= O,

ha p,

= O.

12. §. 'P-operátorok kölcsönhatási reprezentációban A kölcsönható részecskék Green-függvényét általános alakban természetesen nem lehet kiszámolni. Létezik azonban egy matematikai eljárás (mely hasonló a kvantumtérelmélet diagramtechnikájához), melynek segítségével a Green-függvényt a részecskék kölcsönhatási energiájának hatványai szerinti sor alakjában kiszámíthatjuk. A sor minden tagját a szabad részecskék rendszerének Green-függvényeivel és a kölcsönhatási operátorral fejezzük ki. Vezessük be a heisenbergi kép mellett az operátorok egy másik reprezentációját is, amelyben azok időfüggését nem a rendszer

H'

= H'CO) +p- = 1'f(O) -p, N+ p-

tényleges Hamilton-operátora határozza meg (P" a kölcsönhatás operátora), hanem a szabad részecskék b'(O) operátora:

lJ!0( t, r) = exp (iH'CO) t) ip(r) exp (- iH' t).

(12,1)

Ebben a képben (az ún. kölcsönhatási reprezentációban) az operátorokat és a hullámfüggvényeket O indexszellátjuk el. A Green-függvényt a 1J10 operátorokkal kifejezve (a lJ! Heisenberg-operátorok helyett), megtesszük az első lépést a fent kitűzött cél: a G Green-függvénynek G-val és J?"-vel való kifejezésének elérésére. E szakaszban jelöljük W-vel (illetve ep-vel) a hullámfüggvényeket betöltési szám reprezentációban (annak érdekében, hogy azokat a koordinátatérbeli 'P, illetve "P hullámfüggvényektől megkülönböztessük); a másodkvantált operátorok ezekre hatnak. Legyen ep egy ilyen függvény Schrödinger-képben, ezért időfüggését az i 8ep 8t

www.interkonyv.hu

= (H'(o) +J?") ep

(12,2)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

62

II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

hullámegyenlet határozza meg. A Heisenberg-reprezentációban a teljes időfüggést átvisszük az operátorokra, a hullámfüggvény időfüggetlen: rt> = const. A kölcsönhatási képben a f/>0 hullámfüggvény időfüggő, de ezt csakis a részecskék közti kölcsönhatás okozza, vagyis az (12,3) egyenlet határozza meg, ahol

"Vo(t) = exp (iJ-J'(O)t)

r exp (- iÉf'(O) t)

(12,4)

ugyanebben a reprezentációban a kölcsönhatás operátora [a (7,6)-(7,7) tipusú operátorokban erre a reprezentációra egyszeruen a lJf-+ P 0 helyettesitéssei térünk át]. A (12,3) egyenletet könnyen megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy (12,1) szerint az operátorok transzformációja együttjár a hullámfüggvények

Wo = exp (iÉf'(o) t) rp

(12,5)

szerinti transzformációival (l. III. 12. §). Ezt az egyenletet (12,2) figyelembevételével differenciálva, (12,3)-at kapjuk.12 (12,3) értelmében ([;0 ( t) értékét két, végtelen ül közeli időpontban a következő egyenlőség köti össze:

([;o( t+ ot) = [1- i ot. "Vo( t)] ([;o( t)

=

exp {-iot. "Vo( t)} ([;o(t).

Eszerint I/J0 tetszőleges t pillanatbeli értékét kifejezhetjük valamely korábbi, t0 pillanatbeli (t0 < t) értékével:

1/Jo(t) = S(t, to) Wo( to),

kezdő­

(12,6)

ahol t

S(t, to)= 1-t

IT=to exp {-iot· "Vo(ti)}.

(12,7)

Ebben a szorzatban a tényezők ti növekedésének sorrendjében jobbról balra rendezettek; a szorzatot a to és t közötti ot hosszúságú intervallumokkal nullához tartva értel-

12 (12,3) megegyezik a IV. (73,5) egyenlettel, majd az alább IV. 73. §-beli tárgyalást.

www.interkonyv.hu

következő

megoldása megismétli a

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

6J

12. §..l[I.QPERÁTOROK KÖLCSÖNHATÁSI REPREZENTÁCIÓBAN

mezzük. Ha V0(t)

egyszerű

függvény lenne, határátmenettel az exp

\·'

{-i JV

0(t)

dt}

kifejezésre jutnánk. De ez a következtetés, amely a (12, 7) szorzatról a kitevőbeli összegezésrevaló áttérést használ, a különböző időpontokbeli tényezők felcserélhetőségén alapul. A J70 (t) operátorra ez nem érvényes, így nem jutunk a szokásos integrálra. Ehelyett (12,7)-et szimbolikus alakban irjuk:

S(t, to)

= T exp

{-i J~~(t),~t},

(12,8}

ahol T a tényezők (12,7)-tel megegyező sorrendű időrendezésének szimbóluma; jobbról balra haladva a korábbi időpontbeli tényezőkre későbbiek következnek. 1 = Az S operátor unitér és nyilvánvalóak a következő tulajdonságai:

(s-

s-

s+),

S(ta, t 2) S(t2, li) = S(ta, t1) 1(t3, fi). 1(t2, t1) 1(tg, t 2) =

s-

(12,9)

s-

A további megfontolások egyszerűsítésére azt a formális feltevést tesszük (amely a végeredményekben nem tükröződik), hogy J70 (t) adiabatikusan "kapcsolódik be" t=- =-től valamely véges időpontra, és t=+ =-hez tartva adiabatikusan ki is "kapcsolódik". t ..... - =-re a kölcsönhatás bekapcsolása előtt a 1i0 (t) hullámfüggvény megegyezik a 1i Heisenberg-függvénnyet Ha (12,6)-ba a ! 0 = - oo értéket írjuk, akkor (12,10): 1i0 (t) = S(t, - oo) 1i

adódik. Ily módon meghatároztuk a két reprezentációbeli hullámfüggvények kapcsolatát és egyidejűleg az operátorok, köztük a 1p-operátorok transzformációs szabályait is:

1JI =

s- (t, 1

oo) 1JI0S(t, - oo ).

(12,11}

S unitaritása miatt ugyane szabály szerint transzformálódnak a lfr+ operátorok is. Fejezzük most ki a Green-függvényt a kölcsönhatási reprezentációban számított 1p-operátorokkal.13 Legyen t 1 > t 2 ; ekkor G~p(X1, X2) =-i(1JI~(tl)lfrf(t2)) = =- i(S- 1(th - 00) lJio~UI) S(tl, - 00)

s-1(t2, -

co

)X

x 1Jirtp(t2) S(t2, - = )). 13

Ez a levezetés ismétlése IV. 100. §-nak.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

64

II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

(12,9) alapján tudjuk, hogy

s-

S(th - oo) S-1(t2, - oo) = S(t1, t 2) S(t2, - oo) 1(t2, - oo) = S(tt, t 2), S- 1(th - oo) = S- 1(th- oo) S-1( oo, t1) S( oo, h)=

= S-1( =,- =) S( =, t1). Ezt :az előző kifejezésbe helyettesítve:

G,.p(Xr, X2)

= =- i(S- 1( =,

-

oo) S( oo, t 1) lJI(YJ.(t1) S(t~, t 2) 1Jii]p(t2) S(t2, -

= }).

Az S operátorokat az (12,7) szorzattal értelmezve, látjuk, hogy az átlagolt kifejezés minden tényezője a másodiktól kezdve kronologikus sorrendben van t=- =-től t=+ oo-ig. Ezért írhatjuk, hogy (12,12) ahol az

S = S( =,- oo) =T exp

{-i_[ J/" (t) dt} 0

(12,13)

jelölést használjuk. t1 < t 2 esetén a számítások a most bemutatottaktól csak jelölésben térnek el, és a (12,12)-(12,13) képletekkel megadott végeredmény tetszőleges t1 és t2 időpontokra igaz. Az elvégzett átalakítás független attól, hogy az átlagolást a rendszer milyen állapotában végezzük. Ha azonban az alapállapotról van szó [mint (12,12)-ben], akkor az átalakításokat még továbbvihetjük. Ennek érdekében megjegyezzük, hogy a kölcsönhatás adiabatikus be- és kikapcsolása, akárcsak egy tetszőleges adiabatikus változás, nem eredményezhet a rendszer energiájának változásávaljáró átmenetet (1. III. 41.§). Ezért a nem elfajult állapotú rendszer (amilyen az alapállapotú is) ebben az állapotban marad. Más szavakkal, az S operátor hatása a @ = @0 ( - oo) állapotfüggvényre kifejezhető egy (az állapot jellemzése szempontjából lényegtelen) fázisszorzóval, ami S várható értéke az alapállapotban: S@ = (S)@. Ugyanígy C/>*S-1 = (S)-1@* is fennáll. Ezért végül a Green-függvényre a következő, a kölcsönhatási képbeli operátorokkal kifejezett alakot kapjuk :14 (12,14) "Megjegyezzük, hogy a (12,14)-belijelölések bizonyos fokig egyezményes jellegűek: bár a T kétszer fordul elő bennük (egyszer expliciten, egyszer pedig S definíciójában), valójában a kifejezés núnden tényezőjét egyetlen egységes kronologikus sorrendű szorzattá kell rendezni.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

13. §. DIAGRAMTECHNIKA FERMI-RENDSZEREKRE

65

Ezen előállítás lényege az, hogy {12,14)-ben az átlagolást szabad részecskék alapállapotaszerint kell elvégezni. Valóban, a "'P0 operátorok tulajdonságai megegyeznek a lJ! Heisenbergi-operátorok kölcsönhatásmentes esetben mutatott tulajdonságaival. A heisenbergi rt> hullámfüggvény pedig időfüggetlen, azaz megegyezik a t = - =-beli, kölcsönhatásmentes kezdőértékéveL Így spedálisan fennáll, hogy (12,15) a kölcsönhatásmentes részecskék rendszerének Green-függvénye.

13. §. Diagramtechnika Fermi-rendszerekre A (12,14) típusú szimbolikus kifejezések megalkotásának értelmét az adja, hogy segítségükkel a V hatványai szerinti sorfejtés egymásra következő tagjait egyszerűen felírhatjuk. Így

(S) kifejezése csak lf!0a.Pd;J hiányában különbözik a fentitől a T szimbólum mögött álló kifejezésben. Mint már arra rámutattunk, a J/"0 (t) operátor a kölcsönhatási képben (7,7)-ből az összes P operátor P 0 -ra való cserélésévelkapható meg. A (13,1) sorfejtés tagjainak kiszámítása ily módon különböző számú szabad 1p-operátor időren­ dezett szorzata alapállapotbeli várható értékének kiszámítására vezethető vissza. Ezek a számítások nagymértékben automatizálhatók a diagramtechnika szabályait használva, amelyek ugyanakkor jelentősen függenek a vizsgált fizikai rendszer sajátosságaitóL A módszer, amit ebben a szakaszban mutatunk be, a nem szuperfolyékony Fermi-rendszerekre érvényes. Feltesszük, hogy a részecskék párkölcsönhatása spinfüggetlen, de egyéb kölcsönhatást nem tételezünk fel. A megfelelő kölcsönhatási operátorra J/"o(t)

= ~I Pit(t, r1) lf!~(t, r 2) U(r1-r2) lf!oiJ(t, r2) P0y(f, r1 )áJx1 d 3x 2

(13,2)

írható, ahol U(r1 - r 2) a két részecske kölcsönhatási energiája [a (2) felső indexet J/" és rJ jelölésében elhagytuk]. 5 Statlsztikus fizika 2. rész

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

66

II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

A 1JI·Operátorok szorzatát Wick tétele segitségével számítjuk ki, amely a következő­ képpen hangzik. 15 Tetszőleges (páros) számú ..P és l]I+ operátor szorzatának várható értéke megegyezik az összes lehetséges operátorpáronkénti várható értékek (párositások) szorzatainak összegével. Az egyes párokban az operátorok ugyanabban a sorrendben követik egymást, mint az eredeti szorzatban. Az összeg tagjainak előjeiét a (- l tényező határozza meg, ahol P azoknak a permutációknak száma, amely ahhoz szükséges, hogy a párosítandó operátorok egymás·mellé kerüljenek. Csak azok a párosftások különböznek nullától, melyek egy lJI és egy lJI+ tényezőt is tartalmaznak: egy diagonális mátrixelemben az összes lJf által eltüntetett részecskét lJI+ -tel újra kell kelteni. Ezért világos, hogy több "P-operátor szorzatának várható értéke csak akkor különbözhet nullától, ha abban egyenlő számú lJf és l]I+ található. A T-szorzat várható értéke - alkalmazva rá a Wick-tételt -'- kifejezhető a párok T-szorzatainak várható értékével, azaz a (12,5) összefüggésszerint a szabad részecskék Green-függvényeiveL Ezt most a kölcsönható részecskék Green-függvényének elsőrendű korrekciójánál mutatjuk be. Előzetesen megjegyezzük, hogy a (12,14) képlet számlálójának kifejtésekor, amelyet a Wick-tétellel végzünk el, a következő tipusú tagok is megjelennek:

t

(13,3) Ezekben az S-hoz képest "külső" két "P-operátor egymással párosul; (S) kifejezése (kifejtésének minden tagjában) csak "belső" operátorok egymás közötti párasitását tartalmazza. Az (S) tényezőt (12,14) nevezője egyszeriísiti, fgy ezek a tagok mind a perturbálatlan iG'!J Green-függvényt adják. (13,1)-ben az első két tagot meghagyva, (13,2)-t behelyettesftve és új változójelöléseket alkalmazva, azt kapjuk, hogy

iGrtP(X1, X2) ~ iG3)+iG~W, ahol

iGJl; =- ~ =- ~ f (TPlP;{PtPtlJI4(p,) sűrűségfüggvényeként kell értelmezni, azaz _E (l>

. 2:n; a [.E]~lb = n(p,) a.

m

A további szánútásokhoz átmeneti jelölésként bevezetjük a ramokkal definiált F függvényt:

(21,5) következő

..

+ .

létradiag-

(21,6)

(mint mindig, P 1 +P2 = P 3 +P4). Analitikus alakban (21, 7) ahol (21,8)

iF = -iU(Pa-Pl), iF= fG< 0>(P') U(P1-P')G(P1+P2-P') U(P'-Pa) d4P'

(2:n;)4 .

40

Az igy elkövetett hiba, amint ezt

könnyű

(21,9)

látni, "' (p8 r0) 2 rolativ nagyságrendű, és igy még a

p 1 r 0-ban következő rendű tagokban nem tükröződik.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

105,

21.§. A MAJDNEM IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE

A (21, le- d) diagramokat felírva és F fh). Hasonló módon (21, 17) kifejezésének második tagja olyan folyamatokból származik, amelyben egy lyuk kelt két részecskét. Ebből származik az e-< fl> energiájú elemi gerjesztésele csillapodása. A diagramtechnika nyelvén a kvázirészecskével történő párkeltés lehetőségét az fejezi ki, ha a G-függvény diagramját kettévághatjuk három folytonos vonalat vágva át, melyek közül kettő az egyik irányba, a harmadik a másikba halad. A (2l,lc-d) diagramokon ilyen átvágásokat a két pontozott vonal között lehet végezni. Az enyhén nemideális gáz esete annyiban sajátos (a tetszőleges Fermi-folyadék általános esetéhez képest), hogy a kvázirészecskék spektrumának nemcsak a Fermi-felület közelében, hanem a teljes irupulzustartományban jelentése van: az Im s csillapítás viszonylag kicsiny az app "gázparaméter" kicsinysége miatt. Itt csak a két határesetre adjuk meg a számítások eredményét. A Fermi-felülethez közel (l p- Pp l «PF) Re e= fh+(p-pp)ppjm* adódik, ahol wt (6,14)-ből, sára

n/ -ot (6,17)-ből vehetjük. A kvázirészecskék csillapodá-

Im e=- - 1- (ppa) 2 (p- PF ) 2 sign (p- PF)

nm

www.interkonyv.hu

(21,19)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

2L §. A MAJDNEM IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE

109

adódik. E mennyiség arányossága (p- PF)2-tel tisztán értelmezhető: az egyik p- PF tényező az impulzustér azon tartományának (vékony gömbréteg) szélessége, amelyikbe a keltő kvázirészecske impulzusa esik a párkeltés után. A másik tényező annak a rétegnek a szélessége, amelybe~ a pár keletkezik. Megjegyezzük, hogy e megfontolások a Fermi-felület közelében tetszőleges Fenni-folyadékra érvényesek, minthogy ott mindig Im B rv (p-pF) 2.43 Nagy impulzusokra (p» PF• de még mindig pa« l esetén) P2

e= ( -2 m

. PFP ~ +-32p~ -pFa) -z-(pFa)". 3 nm nm

(21,20)

Az Im B/Re B hányados mindkét esetben kicsiny. Ennek az aránynak maximális értékét p rv pF esetén éri el a rendszer, de itt is (pFa) 2 « l nagyságrendű. Végül megadjuk a Green-függvény renormálási állandójának értékét majdnem ideális gáz,ra. Ezt az

___!__=l- oE(w,p) Z

összefüggésbőllehet

Beo

l w= O, p =pp

kiszámítani; az eredmény 8 ln 2

Z= 1 - - 2-(ppa)2,

n

(21,21)

43 Zérustól különböző hőmérsékleten emennyiséget a hőmérsékleti eloszlásfüggvény szerint átlagolva, a csillapodás T2-tel arányos viselkedésére jutunk, amit már az 1. §-ban említettünk.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

III. FEJEZET

A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

22. §. Elemi gerjesztések a kvantumos Bese-folyadékban Most azokat a kvantumfolyadékokat vizsgáljuk, amelyeknek Bose-típusú energiaspektrumuk van.1 A spektrumot az jellemzi, hogy az elemi gerjesztések (melyek a folyadék alapállapotában nincsenek jelen) egyesével jelenhetnek meg és tűnhetnek el. A teljes rendszer (ez esetben a folyadék) impulzusmomentuma azonban csak egész értékkel változhat. Így az egyesével megjelenő elemi gerjesztések egész spinűek, azaz a Bose-statisztikának tesznek eleget. Többek között ilyen jellegű spektruma van minden olyan kvantum-rendszernek, amely egész spinű részecskékből áll (ilyen a folyékony 4He izotóp). Összehasonlitásul emlékeztetünk arra, hogy a Fermi-folyadékban az (annak alapállapotából hiányzó) elemi gerjesztések csak párosával keletkezhetnek vagy tűnhet­ nek el (lásd az l.§ végét). Éppen ezzel kapcsolatos az a lehetőség, hogy az elemi gerjesztések spinje félegész értékű is lehet. A kvantumos Bose-folyadék kis p impulzusú elemi gerjesztései (amelyek hullámhossza nagy az atomi távolságokhoz képest) aszokásos hidrodinamikai hanghullámoknak felelnek meg, azaz a f0nonokat reprezentálják. Eszerint a kvázi-részecsk.ék energiája impulzusuk lineáris függvénye: e= up,

(22,1)

ahol u a hangsebesség a folyadékban. Ez utóbbit aszokásos u2 = aP/ae képlet adja meg, és nem szükséges annak rögzítése, vajon állandó T hőmérséklet mellett vagy állandó S entrópiára képezzük a deriváltat, ugyanis T-- O eseténS is zérushoz tart. 2 1 E kvantumfolyadékok elméletét L. D. Landau alkotta meg 1940-41-ben, Iniután P. L. Kapica felfedezte a hélium szuperfolyékonyságát. Ezek a felismerésekjelentik a kvantumfolyadékok modern elméletének kezdeteit. 2 A fonon fogalmát az V. 71-12. §-okban vezettük be a szilárd testek elemi gerjesztéseinek leírására. Hangsúlyozzuk, hogy mikroszkopikusan homogén közegben - a folyadékban - a gerjesztések impulzusa valódi impulzus, nem pedig kváziimpulzus, mint volt a szilárd test kristályszerkezetének periodikus terében.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

22.§. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS ROSE-FOLYADÉKBAN

111

A Bose-folyadék elemi gerjesztéseinek száma T -+ O esetén zérushoz tart. Alacsony mikor sfuűségük már kicsi, a kvázirészecskéket kölcsönhatásmentesnek képzelhetjük, mintha ideális Bose-gázt alkotnának. Így a Bose-folyadék elemi gerjesztéseinek egyensúlyi statisztikus eloszlásátaBose-képlet adja meg (zérus kémiai potenciállallásd az I. fejezet 7. lábjegyzetét): hőmérsékleten,

n(p)

=

[ea(p)JT

-1]-1.

(22, 2)

Ezen eloszlás segítségéve}, ismerve az s(p) energia p-függését kis p-re, a folyadék termodinamikai jellemzői kiszámíthaták olyan, az abszolút nullához közeli hőmérsék­ letekre, amelyekre a folyadékban található összes elemi gerjesztések gyakorlatilag kis energiájúak, azaz fononok.. A megfelelő képletek azonnal felírhatók, ha felhasználjuk a szilárd testek termodinamikai mennyiségeinek alacsony hőmérsékleti kifejezéseit (l. V. 64.§). Az egyetlen különbség abból fakad, hogy a hanghullámok szilárd testben lehetséges három (egy longitudinális és két transzverzális) polarizációiránya helyett a folyadékban csak a longitudinális létezik; ezért az összes termodinamikai mennyiséget hárommal osztani kell. Így a folyadék szabad energiájára F

= Fo- V

'lr}T4

90(Iíu)3

(22, 3)

adódik, ahol F0 az abszolút zérus hőmérséklethez tartozó szabad energia. A folyadék energiájának kifejezése a következő: (22, 4) a

fajhő

pedig (22, 5)

hőmérséklet

köbével arányos. A fononoknak megfelelő (22,1) diszperziós összefüggés csak addig érvényes, amíg a kvázirészecske líjp hullámhossza nagy az atomi távolságokhoz képest. Az impulzus növekedtével az s = s(p) görbe eltér a lineális viselkedéstőL Továbbimenete a folyadék molekulái közötti kölcsönhatás konkrét alakjától függ, és ezért nem határozható meg általánosan. A folyékony héliumban az elemi ge1jesztések spektruma a 2. ábrán látható menetet követi: a kezdeti lineáris növekedés után az e(p) függvénynek lokális maximuma van, a

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

:112

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

r.K

..__._~_,_...__,c_,_-L-_,__..___,___._.....__._._,__.___,

2

3

p/h 10 8 cm l

2. ábra

majd csökken egy meghatározott p 0 impulzusértéknél felvett minimumig. 3 Termikus ·egyensúlyban a folyadék elemi gerjesztéseinek többsége az 8(p) függvény minimumai körüli tartományban helyezkedik el, vagyis az 8 = O és 8(p0) körüli tartományokban. Tehát ezek a lényeges szakaszok. A p 0 pont körül az 8(p) függvény p- p 0 hatványai .szerint sorba fejthető. A lineáris tag hiányzik, tehát kvadratikus pontossággal

8=

Ll+

(p-po)2

(22, 6)

2m*

írható, ahol Ll = 8(p0) és m* állandó mennyiségek. Az ilyen típusú kvázirészecskéket ,ro tonoknak hivjuk. Hangsúlyozzuk, hogy mindkét tipusú kvázirészecske, a fononokés a rotonok, egyetlen görbe két különböző szakaszának felel meg, s köztük folytonos .az átmenet. A folyékony hélium energiaspektrumának empirikus paraméterei (amelyeket e= = 0,145 g/cm3 sűrűségen T= O hőmérsékletre extrapoláltunk) a következők: 4

= Poflí = u

Ll= 8,7 K,

2,4 · 104 cmjs, 1,9 · 108

cm~t,

m*

=

0,16 m (He4).

(22, 7)

3 Ezt az alakot elsőként L. D. Landau javasolta (1947) a folyékony hélium termodinamikai menynyiségeire vonatkozó kísérteti adatok analízise alapján; a későbbiekben a neutronszórási kísérletek megerősítették ezt a hipotézist. E spektrum kvalitatív elméleti származtatását R. P. Feynman javasolta 1954-ben (1. a IX. fejezet 4. lábjegyzetét). 4 Megadjuk a folyékony hélium kémiai potenciáljának értékét is a T= O hőmérsekletre: fl = = -7,16 K.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

22.§. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS HOSE-FOLYADÉKBAN

113

Minthogy a roton energiája mindig tartahnazza a T-hez képest nagy Ll mennyiséget (azokon a hőmérsékleteken, amelyeken "rotongázról" egyáltalán beszélhetünk), így ezt a Bose-eloszlás helyett Boltzmann-eloszlással írhatjuk le. Ennek megfelelően a folyékony hélium termodinamikai jellemzőinek rotonrészét a Boltzmann-gáz szabad energiájának képletéből kiindulva számítjuk ki: F

= -NT ln

e; I

e-s/Tdt,

(1. V. 41.§). Itt N a folyadékbeli rotonokszámát jelöli, de ezt a számot a termodinamikai egyensúly feltétele, azaz a szabad energia minimalizálása meghatározza. oFfoN-et nullával téve egyenlővé, kapjuk a rotonok számát:

Nr = V

Je-•IT dr:

(22, 8)

(ami természetesen a zérus kémiai potenciálú Boltzmann-gáz energia megfelelő értéke F, = - VT

jellemzője).

A szabad

Je-•IT dr.

E képletekben (22,6)-ot kell felhasználni. Minthogy p~» m*T, azért a dp szerinti integráláskor a p 2 szorzót kiemelhetjük, elegendő azt p~-tel helyettesíteni. Az exponenciális tényező integrálásakor az integráJási tartományt (- oo, oo )-re tágíthatjuk Ekkor Nr = adódik eredményül.

Ebből

2(m*T)112 p~V

(2:n:)3/21í3

-tJIT

e

(22, 9)

'

a rotonoknak az entrópiába és a

fajhőbe

adott járuléka a

következő:

(22,10) Látjuk, hogy a termodinamikai mennyiségek rotonrészének hőmérsékletfüggése alapjában exponenciális. Így elegendően alacsony hőmérsékleten (folyékony héliumra ez, 0,8 K-nél alacsonyabb értékeket jelent) a rotonrész kisebb a fononok járulékánál, magasabb hőmérsékleten a helyzet változik: a rotonjárulék felülmúlja a fonono két.

8 Statisztikos fizika 2. rész

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

114

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

23. §. A szuperfolyékonyság Az előbb leírt spektrumú kvantumfolyadék nevezetes tulajdonsága a szuperfolyékonyság. Az ilyen folyadék szűk kapilláris csövön vagy réseken viszkozitás (súrlódás) nélkül folyik át. A vizsgálatot az abszolút zérus hőmérsékletű folyadékkal kezdjülc, mikor az normális, gerjesztésmeates állapotában van. Vizsgáljuk a kapilláris csőben v sebességgel haladó folyadékot. A viszkozitás jelenléte úgy nyilvánulna meg, hogy a cső falán fellépő, valamint a folyadék belsejében ható súrlódás következtében a folyadék mozgási energiája disszipálódna, és az áramlás lassulna. Célszerű a folyadékkal együttmozgó rendszerbőlleírni annak mozgását. A hélium ebben a vonatkoztatási rendszerben nyugszik, a kapilláris cső falai -v sebességgel haladnak. Sú:dódás esetén az eredetileg nyugvó hélium is mozgásba jönne. Fizikailag világos, hogy a falnál fellépő súrlódás nem hozhatja az egész folyadékot egyszerre mozgásba. A mozgás kialakulása a belső mozgások fokozatos gerjesztésével, tehát az elemi gerjesztésele folyadékbeli megjelenésével jár. Feltételezzük, hogy a folyadékban megjelenik egy s(p) energiájú, p impulzusú elemi gerjesztés. Ekkor a folyadék E0 energiája (abban a koordináta-rendszerben, amelyben eredetileg nyugalomban volt) megegyezik a ge1jesztés s energiájával, a teljes P 0 impulzus pedig a gerjesztés p jellemzőjéveL Most visszatérünk abba a vonatkoztatási rendszerbe, amelyben a kapilláris nyugszik. Az energia és az impulzus ismert transzformációs törvényeiből e rendszerben az energia E és az impulzus P értékére

Mv 2 E= Eo+Pov+2-,

P= Po+Mv

(23,1)

érvényes, aholMa folyadék tömege. E0 és P 0 helyére s-t és p-t írva,

Mv2 E= s+pv+2-.

(23, 2)

Az Mv 2 f2 tag a mozgó folyadék kezdeti mozgási energiáját adja; az s+pv kifejezés viszont a gerjesztéssei megváltozó energiát mutatja. Ez a változás negatív, mivel a mozgásba jövő folyadék energiájának csökkennie kell:

s+pv-< O. p adott értékére az

egyenlőtlenség

bal oldalának legkisebb értéke a p és v vektorok antiparalel állásában jön létre; ezért s-pv -< O rnindenképpen fenn kell, hogy álljon,

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

23.§. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

115

azaz e

(23, 3)

v>-. p egyenlőtlenség

az elemi gerjesztés p impulzusának legalább néhány értékére kielégíthető. Ezért a szűk kapilláris csövön vagy résen átfolyó folyadékbeli gerjesztések megjelenésének feltételét efp minimuma adja. Az efp hányados geometriai értelmezéseszerint azon egyenes iránytangense, amelyet az origóból (a p, e síkban) az e= e(p) görbe (2. ábra) valamely pontjába húzunk. Az e/p hányados a minimumát abban a pontban veszi fel, amelyben az origóból húzott egyenes a görbe érintője. Ha ez az érték zérustól különböző, akkor a folyás nem túl nagy sebességénél nem jelenhetnek meg getjesztések a folyadékban. Ez azt jelenti, hogy a mozgás nem lassul, azaz a folyadékban fellép a szuperfolyékonyság jelensége. A szuperfolyékonyságra kapott feltétel lényegében azt jelenti, hogy az e = e(p) görbe nem érintheti az origóban az abszcisszatengelyt (eltekintve attól az igen valószínűtlen lehetőségtől, hogy további menete során érintse ezt a tengelyt). Ezért minden spektrum, amelyben az elég kicsiny gerjesztések fononok, lényegében szuperfolyékonyságra vezet. Vizsgáljuk most ugyanezt a folyadékot nemzérus hőmérsékleten (bár ahhoz közel). Ebben az esetben a rendszer elhagyja alapállapotát, gerjesztések találhatók benne. A fenti megfontolások továbbra is érvényesek, ugyanis közvetlenülnem használtunk ki olyan feltevést, mely szerint a rendszer alapállapotban volna. A folyadéknak a cső falaihoz viszonyított mozgása a fenti feltétel teljesülése esetén újfent nem vezethet elemi gerjesztések létrejöttére. Meg kell azonban világítanunk, miképpen nyilvánul meg a már meglevő ge1jesztések jelenléte. Képzeljük el, hogy a "kvázirészecskék gáza" mint egész, v sebességgel mozog a folyadékhoz képest. A nyugvó gáz n(e) részecskeeloszlásából a mozgó gázét az e részecskeenergiát (e-pv)-vel helyettesítve kapjuk, ahol p a részecske impulzusa. Szokványos gázra ez a Galilei-féle relativitási elv következménye, amelyet az egyik koordináta-rendszerről a másikra való áttérés transzformációs képletei irnak elő. Ebben az esetben ezek a megfontolások nem alkalmazhatók, mivel a kvázirészecskék nem vákuumban, hanem a "folyadékban" mozognak. Az állitás az alábbiak szerint mégis igaz. A gerjesztések gáza mozogjon v sebességgel a folyadékhoz képest. Tekintsük azt a koordináta-rendszert, amelyben a gáz mint egész nyugszik, és igy a folyadék mozog -v sebességgel (K rendszer). A (23, l) transzformációs képlet szerint a folyadék E energiája a K rendszerben és E0 energiája a nyugalmi K 0 rendszerben az Ez az

Mv 2 E= Eo-Pav+28*

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

116

Ill. FEJEZET. A SZDPERFOLVÉKONYSÁG

képlettel köthető össze. Jelenjen meg a folyadékban egy s(p) energiájú elemi gerjesztés (a K 0 rendszerben). Ekkor a folyadék energiájához aK rendszerben s-pv adódik, ami a fenti állítást bizonyítja. 5 Így a kvázirészecskék (egységnyi térfogatra vonatkozó) teljes impulznsa P=

f pn(s-pv) dr:.

Tegyük fel, hogy a v sebesség kicsi, és fejtsük ki az integrandust pv hatványai szerint. A nulladrendű tag eltűnik (a p irányára való integrálás során), és megmarad a P

=-

I

dn(s) p(pv) ---dr ds

kifejezés, arnelyben p irányára átlagolva, a (23, 4)

képietet kapjuk. Először is azt látjuk, hogy a kvázirészecskék gázának mozgása bizonyos mennyiségű tömeg transzportjával is jár: az egységnyi térfogatú gáz effektív tömegét a P impulzus (23,4) képletében v szorzója adja meg. Másrészt, mikor a folyadék a kapilláris csőben folyik, semmi nem akadályozza, hogy a kvázirészecskék a cső falával ütközve annak impulzust adjanak át. Ennek következtében a gerjesztések gáza megáll, miként az bármilyen valódi gázra is bekövetkezne a kapillárisban. Így alapvető eredményre jutunk. Nemnulla hőmérsékleten a folyadék tömegének egy része normális viszkózus folyadékként viselkedik, amely mozgása során "hozzátapad" az edény falához; másik része viszont belső súrlódás nélküli szuperfolyadékként. E szétválasztásban igen lényeges, hogy a két, "egymáson át" is mozgó rész között nincs súrlódás, azaz egyik sem ad át impulzust a másiknak. Valóban azt a megállapítást is, hogy egyáltalán létezik a tömeg egy részének a folyadék másik részéhez viszonyitott mozgása, az egyenletesen mozgó gerjesztési gáz statisztikai egyensúlyának feltevésével kaptuk. Ha bármilyen relatív mozgás termikus egyensúlyban létrejön, azt semmiféle súrlódási jelenség nem kísérheti. Hangsúlyozzuk, hogy az a mód, ahogy a folyadékot egy normális állapotú és egy szuperfolyékony rész "keverékeként" leirjuk, nem több egy alkalmas kifejezési formánál, amellyel egyszerűen írhatjuk le a kvantumfolyadékban bekövetkező jelensége5 Eose-folyadékban a (22,2) eloszlás adja a kvázirészecskék n(s) eloszlását. Figyeljünk arra, hogy a szuperfolyékonyság v-< sjp feltétele megegyezik az n(s-pv) képlet pozitivitását és végességét minden energiaértékre biztosító feltétellel.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

23.§. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

117

ket; mindez azonban egyáltalán nem jelenti, hogy a folyadék két részre osztható. Mint a kvantumos. jelenségek bármely klasszikus fogalmakat alkalmazó leirása, ez sem teljesen megfelelő. Helyesebb azt mondani, hogy a kvantumos Base-folyadékban egyidejűleg két mozgás létezhet, és mindegyiknek megvan a saját effektiv tömege (melyek összege a folyadék tényleges tömegét adja). E mozgások egyike a "normális", azaz a szokásos viszkózus folyadék mozgási tulajdonságaival azonos jellegzetességeket mutat, a másik a "szuperfolyékony" mozgás. E két mozgás között nincs impulzusátadás. Hidrodinamikai szemszögből igy a Bose-rolyadék sfuűségét e = e"+ es alakban irhatjuk fel, a normális és a szuperfolyékony síírííség összegeként és mindegyikükhöz hozzárendelhető saját hidrodinamikai sebessége, v" és v•. Aszuperfolyékony mozgás fontos tulajdonsága, hogy örvénymentes potenciáláramlás: (23,5)

rot Vs= O.

Ez a tulajdonság annak a ténynek makroszkopikus kifejezése, hogy a hosszúhullámú (azaz kis impulzusú) elemi gerjesztések hangkvantumok, fononok. Így a szuperfolyékony mozgás makroszkopikus hidrodinamikájában nem léphetnek fel a hangrezgésektől különböző rezgések. 6 Ezt a (23,5) tulajdonság biztoshja (a 26. §-ban még visszatérünk megalapozására). 7 T = O hőmérsékleten nincs normális állapotú rész: e" = O; a folyadék kizárólag szuperfolyékony mozgást végez. Nemzérus hőmérsékleten e"-et a (23,4) képlet így adja meg: (23,6) A fononok járulékát en-be úgy számítjuk ki, hogy (23,6)-ban az s = up helyettesitési alkalmazzuk:

_ (en)fonon - -

l

3U

f

dn 2 4np2 dp dp P (2nfí)S ,

o amiből

parciális integrálással (e")ronon =

4

3U

f

""

4np 2 dp np (2nlí)3

o 6 Itt feltételezzül}, hogy a folyadék végtelen kiterjedésű. Szabad felület jelenlétében ún. felületi kapilláris hullámok is létrejöhetnek (ami a felületi feszültség meghatározott hőmérsékletfüggésére vezet; l. az l. feladatot). 7 A szuperfolyékony mozgás hidrodinamikáját e sorozat másik kötetében fejtettük ki részletesen (l. VI.).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

118

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

adódik. A megmaradt integrál nem más, mint a fonongáz egységnyi térfogatának ener,giája, amit (22,4)-ből vehetünk. Ezt felhasználva, a végeredmény a következő: (23, 7) A normális sűrűséghez a rotonok járulékát azzal az észrevétellel számíthatjuk ki, hogy a rotonok Boltzmann-eloszlást követvén, érvényes a dn/ de = -n/T összefüggés, azaz (23,6)-ból

-lf2d-p2Nr () (Jn r 3T p n 't - 3T V Elegendő pontossággal p 2 = p~

·

irható, és Nr-et (22,9)-ből vehetjük. Ezekkel (23,8)

'Igen alacsony hőmérsékleten a fononok járuléka en-hez nagy a rotonjárulékhoz képest. Körülbelül összemérhető nagyságúak 0,6 K-en, ennél nagyobb hőmérsékleten azonban a rotonjárulék válik uralkodóvá. A hőmérséklet növekedésével a folyadék tömegének egyre nagyobb része válik normálissá. Abban a pontban, ahol létrejön a en = e egyenlőség eltűnik a szuperfolyékonyság. Ez a folyadék ún. 'A-pontja, amely másodfajú fázisátalakulást jelöl. 8 Ami a kvalitativ (23, 7)- (23, 8) képleteket illeti, azok természetesen nem alkalmazhatók a 'A-pont környezetében, ahol a kvázirészecskék koncentrációja nagy, ezért a valóságban a fogalom már el is veszti értelmét. Még megvizsgáljuk a folyékony héliumban oldott idegen anyagok atomjainak viselkedését. Az adalékok koncentrációját annyira kicsinynek tekintjük, hogy az atomok közti kölcsönhatást elhanyagoljuk (L. D. Landau, l. Ja. Pomerancsuk, 1948). Az idegen adalék atomok jelenléte a folyadék energiaspektruma új ágának megjelenésére vezet. Ez az atomnak a folyadékhoz képest végzett mozgásához tartozik, ami az atom és a folyadék részecskéinek erős kölcsönhatása miatt valójában kollektív effektus, amelyben a folyadék atomjai is részt vesznek. Ezt a mozgást egy eredő p irupulzussal lehet jellemezni. Így új típusú kvázirészecskék jelennek meg (melyeknek száma az idegen atomokéval egyezik), energiájuk, eaip), az impulzus jól meghatározott függvénye. Termikus egyensúlyban a részecskék energiája az eactCP) függvény leg8 E hőmérséklet alatt a folyékony héliumot He II-nek hívjuk. A .A-pontok a (p, T) fázisdiagramon folytonos vonalat alkotnak. Ez a vonal a folyadék és gőze közti egyensúlyi görbét 2,19 K-nél metszi.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

119

23.§. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

kisebb minimuma köré koncentrálódik. Gyakorlatilag a 3 He izotóp szennyező atomjairól van szó, és az empirikus adatok azt mutatják, hogy ez a minimum p = O-nál helyezkedik el. Ennek közelében a kvázirészecskék energiája

p2

Bad(P)

= 2m*ad

(23,9)

alakú, ahol az effektiv tömeg a 3He-atom tömegének 2,8-szerese. A szennyezési kvázirészecskék kölcsönhatnak a fononokkal és rotonokkal, azokon szóródnak és igy folyadéknormális részéhez tartoznak. Miután e kvázirészecskék ritkák, Boltzmann-eloszlást követnek. Járulékukat en-be (23,6) adja meg, amiből · (

ahol NadfV a

szennyező

(!n

)

ad=

atomok

Nad

V

p2 Nad * 3T = -ymad•

(23,10)

sfuűsége.

Feladatok 1. Határozzuk meg a folyékony hélium oe felületi feszültségének nulla fok közelében (K. R. Atkins, 1953).

hőmérsékletfüggését

az abszolút

Megoldds. Az ex együttható a folyadék egységnyi felületének szabad energiája [1. V. (54,6)]. Ezt a mennyiséget az V. (64,1) képlettel számithatjuk ki, amelyben az w., frekvenciák most a felületi rezgésekhez tartoznak. A kétdimenziós esetben az összegezésről az imegrálásra térünk át (amely a rezgések hullámvektorai szerint végzendő el) a cPk/(2n)2, avagy a 2nk dk/(2n)2 tényező bevezetésével. Parciális integrálással

f (

ex= ex 0 +T ln 1-e

-hwfP)

k dk lí J -zn = exo- 4n

k2dw efJWJP_ 1

adódik (ex0 a felületi feszültség értéke T= 0-n). Elég alacsony hőmérsékleten csak a kisfrekvenciájú rezgések lényegesek, tehát azok, amelyeknek hullámhossza nagy. Ilyenek a hidrodinamikai kapilláris hullámok, melyekre ro2 = ak3/(!"" a0 k 3/(! ((!a folyadék sűrűsége). Ezért

(az integrál gyors konvergenciája teszi lehetövé, hogy az integrálás Az integrált kiszámitva (l. V. 58.§)

www.interkonyv.hu

felső

határ1t oo-ig tágitsuk).

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

120

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

Ez az eredmény annyira alacsony hőmérsékleten érvényes, hogy a folyadék teljes tömegét szuperfolyékonynak tekinthetjük. 9 2. Határozzuk meg az e.iP) diszperziós törvényt mozgó szuperfolyékony folyadékban található szennyező atomokra, ha álló folyadékra e~~>(p) ismert (J. Bardeen, G. Baym, D. Pines, 1967). Megoldás. Miután az álló folyadékhoz (T = 0) m tömegű szennyező atomot adtunk, melynek impulzusa p0 , azt találjuk, hogy abban a vonatkoztatási rendszerben, melyben a folyadék eredetileg mozgott, a részecske energiája és impulzusa E 0 = B~0J(p0), P 0 = p0 • Abban a rendszerben, ahol a folyadék sebessége v, (23,1) szerint P= Po+Cm+M)v. Ebből látszik, hogy a folyadék energiájának és impulzusának értéke (mikor egy adunk hozzá) a következő: mv2

Bad= B~lf{(po)+PoV+2 -,

szennyező

atomot

P= Po+mv.

Ha p-vel fejezzük ki Bad-ot, azt kapjuk, hogy ( p-mv) +pv-mvz-· Bad(p) -- Bad 2

v kis értékeire, elsőrendű tagokig, (23,9) alakú spektrum esetén

adódik.

24. §. Fononok a folyadékban. A hanghullámok klasszikus fogalmáról a fononole kvantummechanikai fogalmára való áttéréskor a hidrodinamikai mennyiségeket (sűrűség, sebesség stb.) a ck, é1~ eltüntető és keltő operátorokkal kifejezhető operátorokkal helyettesítik. Vezessük le ezeket az összefüggéseket! Emlékeztetünk arra, hogy a hanghullám klasszikus értelmezésében a folyadék sűrű­ sége kis rezgéseket végez, melyeknek frekvenciája és hullámvektora közti összefüggés: w = uk. A folyadék v sebessége ugyanolyan nagyságrendű, mint a sűrűség változó része e' = e- eo (eo a sűrűség egyensúlyi értéke). A folyadék mozgása potenciáláramlás, tehát egy f{J skalár sebességpotenciállal írható le, amely a sebességet a v= 'Vf(J

(24,1)

9 Fermi-folyadékban (pl. folyékony 3He) a vizsgált típusú hullámok (csakúgy mint a szokásos hang térfogati hullámai) nem léteznek, minthogy T -. Oesetén a viszkozitás minden határon túl nő.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

24.§. FONONOK A FOL YADÉKBAN

121'

összefüggés szerint határozza meg. A sebességet és a sűríiséget a koniinuitási egyenlet kapcsolja össze, Br/ /Bt= -div (ev) ~-eo dív v, avagy

ae' Bt=Qo Llrp. A hanghullámban részt

vevő

(24,2}

folyadék energiáját az

E=

I(e0 2

2

v +u-e'2) -- d3 x 2

2eo

(24,3}

kifejezés adja meg. Az integrandus első tagja a mozgási, a második a foly~dék belső· energiájának sűrűsége, mindkettő négyzetesen függ a kicsiny v és e' mennyiségektőL A kvantálás további eljárását teljesen hasonló módon végezhetnénk a szilárd testekben a fononokra követett eljárással (1. V. 72. §). Most azonban más utat választunk,. amelynek van néhány tanulságos módszertani sajátsága. Elsőként vizsgáljuk a folya~ dék sűrűségének és sebességének operátorát mint a részecskék helyvektoraiból (mikroszkopikus mennyiségekből) felépített mennyiségeket. A klasszikus elméletben az alábbi összegek adják meg a e sű1 ű séget és a folyadék j' tömegáramát: e(r) = mab(ra- r), j(r) Pa b(ra-r),

La

=La

ahol az összegezés az összes részecskére vonatkozik (ra és Pa a részecskék helyvektorú és impulzusai). E függvényele integráljai valamely térfogatra megadják az abban található teljes tömeget és impulzust. A kvantumelméletre úgy térünk át, hogy e függvé-nyeket operátorokkal helyettesitjük A sűrűség operátorának alakja változatlan: §(r) =

La ma ö(ra- r),

(24,4)

az áram operátorára viszont a szimmetrizált (24, 5} kifejezés írható, ahol

Pa =

- ilí \l a a részecske impulzusának operátora .10

10 Az egyszerűség kedvéért a rendszer álljon egyetlen részecskébőL A e(r) = m/J(r1 - r) operátort a• 1J!(rx) hullámfüggvénnyel átlagolva az 1J!*(rl) e1J!(rl) d 3xl = m !1J!(r) j2 kifejezésre jutunk, amint azt vártuk. Hasonlóan átlagolva a j(r) operátort, az áram helyes kvantummechanikai sűrűségét kapjuk::

J

(1í/2i) {1J!*(r) 'Vl/J(r)-ip(r) v1J!*(r)}.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

122

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

Számitsuk ki p(r') és j(r) kommutátorát két különböző r és r' pontban. A rövidség kedvéért a (24,4)- (24,5) összegekben egy-egy tagra korlátozódunk, minthogy a különböző részecskékhez tartozó operátorok felcserélhetők. A számolás során a .b(r1 -r)'V 1 (r-r')).

(24,6)

A j operátor helyett most vezessük be a sebesség operátorát a ~

J=

l (A~ AA) 2 ev+ve

definíció szerint. A é és v operátorok feleseiBési szabályát az a követelmény rögzíti, hogy é és j kommutátorára (24,6)-ot kapjuk. Könnyen ellenőrizhető, hogy ehhez a v(r) §(r')-§(r')v(r) = -ilí('V-=

lim (m, N+ ll E+ l m, N) = E*

(26,3)

N--=

összefüggésekkel definiáljuk, ahol a határértéket állandó N/V folyadéksfufiség mellett számítjuk ki. Ha a 1p-operátorokat (26,4)

16 A részecske hozzátételét vagy elvételét kvázisztatikus folyamatként képzeljük el. Ezzel kizárjuk annak lehetöségét, hogy a változó tér gerjessze a folyadékot.

9*

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

132

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

alakban állítjuk állapotot egy rá

elő,

akkor a maradék (a kondenzátum "feletti") részük az lm, N) állapotba viszi át, azaz fennáll, hogy17

merőleges

lim (m,NIP'Im,N+l)= O, N->-~

lim (m, N+ ll

P'+ lm, N)= O. (26,5)

N-+oo

Az N _,. = esetben az l m, N) és l m, N+ l) állapotok közti különbség teljesen elés így E a lJ! operátor ezen állapotbeli várható értékévé válik. Kiemeljük, hogy a kondenzált rendszerre éppen ennek a határértéknek a végessége jellemző. A (26,3) egyenlőségekkel kimeritettük a ~és ..@'+ mennyiségek "operátori" sajátosságait, és ezekamennyiségekfelcserélhetőknek tekinthetők lJ!'-velés lJ!'+-tel. Ekkor a S' és S'+ operátorokat E-vel és E*-gal helyettesítjük (azaz az operátorok klasszikus mennyiségként viselkednek) az alapállapotra történő bánniféle átlagolás során. Újra hangsúlyozzuk, hogy ez a közeHtés (a kondenzátum makroszkopikus számú részecskéje miatt) az 1/N nagyságrendlí mennyiségek elhanyagolása esetén alkalmazható. 18 Ha a hullámfüggvényele időfüggését a H' = EI- fhN Hamilton-operátorral határozzuk meg, akkor a Emennyiség időfüggetlen. Valóban, az (m, N l E l m, N+ l) mátrixelem arányos az tűnik,

exp{-

~

[E(N+1)-E(N)-(N+1),u+Nf.k]}

mennyiséggel. Azonban (~1/N pontossággal) E(N+l)-E(N) =fh, és az exponens nullává válik. Homogén, álló folyadékban E a ko01·dinátáktól sem függő állandó, amely (e komplex mennyiség fázisának alkalmas megválasztásával) a kondenzátum részecskesűrű­ ségével kapcsolatos: (26,6) E= Vno, ahol n0 a kondenzátumhoz tartozó részecskék száma a térfogategységben. Valóban, S'+~ a kondenzátumbeli részecskék számának operátora, amelynek átlagértéke no. A Bose-folyadék részecskéinek sűrűségmátrixa a kondenzátum létezése miatt minőségileg különbözik a szokásos folyadék sűrűségmátrixától. A homogén Basefolyadék tetszőleges állapotában a sűrűségmátrixot az (26,7) 17 A félreértések elkerülésére még egyszer emlékeztetünk arra, hogy ezek az egyenlőségek csak "egyforma" állapotok közti átmenetekre állnak fem1. 18 Ezzel a pontossággal azonosnak kell veruri a o/' operátoroknak azokat a mátrixelemeit, amelyek egyenlő (kis) számban különböző részecskeszámhoz tartozó állapotok közti átmenetet lmak le.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

26.§. A KONDENZÁTUM HULLÁMFÜGGVÉNYE

133

kifejezéssel definiáljuk, amely csak az r= r 1 -r2 különbség függvénye [vö. (7,13)]. Ebbe a (26,4) alakban beírva a v;-operátorokat és kihasználva a (26,3) és (26,5) tulajdonságokat, az eredmény (26,8) A "kondenzátum feletti" e' sűrűségmátrix l r 1 - r 2 l _.. . = eseten nullához tart, a teljes e sűrűségmátrix pedig az n0 /N határértékhez közelít. Ez fejezi ld a "hosszútávú rendet" képviselő szuperfolyadékjelenlétét, amely hiányzik normális folyadékokban (ott e_.... O, ha l r 1 -r2 1 _....=).Ez az a szimmetriatulajdonság, amely megkülönbözteti a sztlperfolyékony fázist a normálistól (V. L. Ginzburg, L. D. Landau, 1950). A sűrűségmátrix Fourier-komponense megadja a folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlását a következő képlet szerint:

N(p) [vö. (7,20)]. Ebbe a (26,8) alakú

= N J e(r) e-ipr dsx

(26,9)

e függvényt behelyettesítve,

N(p) = (2:n:)3 n0 o(p)+N

f e'(r)

e-ipr

d 3x

(26,10)

adódik. A o-függvényt tartalmazó tag azt jelenti, hogy egy részecske impuiwsa véges zéms. Ha a folyadékban szuperfolyékony mozgás jön létre, vagy inhomogén és nemstacionárius körülmények közé kerül (a változások jellemző hossza azonban sokkal nagyobb az atomok közötti távolságoknál), aBose-Einstein-kondenzáció újra létrejön, de nem állítható, hogy a p = O állapotban következik be. E, amelynek nagyságát újra (26,3) határozza meg, most a koordináták és az idő függvénye, jelentéseszerint a kondenzátum állapotának hullámfüggvénye. A l E 12 = n0 feltétel normálja, és ezért valószínűséggel

E(t, r)=

Jln 0(t, r) ei.

(26,12)

Vs=-

m

Mivel ez a mozgás termodinamikai egyensúlyban is létrejöhet (ezt az állapotot a E mennyiség jellemzi), igy a mozgás során disszipáció nem lép fel, tehát (26, 12) a szuperfolyékony mozgás sebess~ge. Így újra arra a már a 23. §-ban emlitett tulajdonságra jutunk, hogy a szuperfolyékony mozgás potenciáláramlás. A ep sebességpotenciál (állandó szorzótényező erejéig) a kondenzátum hullámfüggvényének fázisával egyezik meg:

n

ep= -if>. m

(26,13)

A félreértések elkerülése végett hangsúlyozzuk, hogy bár a kondenzátum sebessége a folyadék szuperfolyékony komponensének sebességével egyezik meg (és a A.-pontban egyszerre jelenik meg a kondenzátum és a szuperfolyékonyság tulajdonsága), a kondenzátum mn0 sűrűsége mégsem egyezik meg a szuperfolyékony komponens es sűrfí­ ségével. Nem beszélve arról, hogy e két mennyiség azonosítása semmiképpen sem alapozható meg, helytelensége abból is látható, hogy abszolút zérus hőmérsékleten a folyadék teljes tömege szuperfolyékony, de egyáltalán nem az összes részecske található a kondenzátumban. 20

sűrűségének hőmérsékletfüggése

27. §. A kondenzátun1

A kondenzátumhoz tartozó részecskék számsűrűsége T = Ohőmérsékleten maximális, majd a hőmérséklet növelésével csökken. E változás határviselkedése T -+ O 20 Tényszerűen tudjuk, hogy a folyékony héliumban a kondenzátum a folyadék teljes sűrűségének.

www.interkonyv.hu

sűrűsége

csák egy kis része

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

27.§. A KONDENZÁTUM SűRŰSÉGÉNEK HŐMÉRSÉKLETFÜGGÉSE

135

esetén egy makroszkopikus mennyiség, a kondenzátum B hullámfüggvénye fluktuációinak vizsgálatával felderithetlS (R. A. Ferre/l, Menyhárd Nóra, H. Schmidt, F. Schwabl; Szépfalusy Péter, 1968). El-Qc= -R2 ln- •

m

a

(29,10)

A fenti megfontolások annak megértését is lehetövé teszik, hogy termodinamikailag miért instabilak az n >- l jellemzésű fonalak. Ugyanis az n= l esetről az n >- 1 esetre áttérve, a AE mennyiség n2-szeresére nő, az impulzusmomentum viszont csak n-szeresére, így L1Erorg megnő. A hengeres edény forgási sebességét tovább növelve [túl a (29,10) kritikus értéken],. újab b örvényfonalak jelennek meg, és ha Q »Qc, a fonalak száma igen nagy lesz. A fonalak az edény keresztmetszetében egyenletesen oszlanak el, és határesetben együttesen imitálják a szuperfolyékony komponens mint egész forgását. 30 Q adott (elég nagy) értékére az örvények számát könnyu meghatározni. Ehhez megköveteljük, hogy igen nagyszámú örvényfonalat átfogó kontúr mentén a cirkuláció akkora legyen, ami a folyadék egésze forgásának felel meg. Ha a (forgástengelyre merőleges) kontúr egységnyi felületet feszít ki, akkor

fvadl = V•2:m.: = 2:nv

~,

ahol v az örvényfonalak eloszlási sűrűsége. Másrészt ha a folyadék mint egyetlen egység forog, akkor rot V8 = 29, és ugyancsak 2.Q a cirkuláció értéke is. E két értéket egyenlővé téve: (29,11} v= mQf:nlí.

Az örvények megjelenése ismert módon lerontja a szuperfolyékonyságot. Azok az elemi gerjesztések, amelyek a folyadék normális komponensét alkotják, szóródnak az örvényfonalakon, s impulzusuk egy részét azoknak adják át (és ezzel a szuperfolyékony komponensnek). Ez más szavakkal a két komponens közötti kölcsönös súrlódás megjelenésével jár. 30 Erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy a fonalak száma .Q-val arányosan nő [l. alább (29,11)-et], tehát LlE1org = LlE-M.Q második tagja .Q2-ként növekszik. Az első tag .Q-val arányos, így .Q» .o. esetén ezt elhagyhatjuk. Ekkor LlE1org minimalizálása M maximalizálásával egyenértékű, ami a folyadék egészként való forgásával érhető el.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

144

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

Az örvényfonalak helyüket változtatják a térben, a folyadék áramlását követve. T

= 0-ra, amikor az egész folyadék szuperfolyékony, a fonál minden dl eleme ugyan-

azzal a vs sebességgel mozog. Nemzérus hőmérsékleten a vizsgált örvényfonálra gyakorolt súrlódási erő hatására a fonál nullától különböző relatív sebességgel mozog a ,szuperfolyékony komponenshez képest. A forgás során megjelenő fonalak egyenesek. A folyadék kapillárison, réseken stb. való átáramlását zárt örvényfonalak: örvénygyűrűk képződése kísérheti. Ezek megjelenése bizonyos kritikus sebesség felett aszuperfolyékonyság eltűnésére vezet. E kriti)(Us sebességek számértéke az áramlás konkrét körülményeitől függ, ez az érték jóval kisebb annál, amelyen túl a (23,3) feltétel érvényessége megszíínik. Az egyenes örvényfonalakkal szemben, melyek állhatnak a (tőlük nagy távolságban) nyugvó folyadékhoz képest, az örvénygyűrűk szükségszerűen mozognak. A fonál valamely hosszúságelemének vs sebessége éppen akkora lesz, amekkorát az összes többi elem [a (29,4) képlet alapján] abban a pontban létrehozna; görbevonalú fonalaha ez az érték általában zérustól különböző. Ennek következtében az ÖJvénygyű­ rűknek nemcsak meghatározott energiájuk, hanem impulzusuk is van. E tulajdonsá,gok révén az elemi gerjesztésele egy különleges típusát képviselik.

Feladatok 1. Adjuk meg a kör alakú

örvénygyűrű

mozgásának sebességét és impulzusát.

Megoldás. A gyűrű minden eleme az adott pontbeli v, sebességgel mozog; ez a sebesség a gyűrű szimmetriája miatt, annak minden pontjában azonos. Ezért elegendő a gyűrű egy tetszőleges M pontjában meghatározni az összes többi ivelern általlétrehozott v, sebességet. A dl íveJernek és a dl-ből a P ponthoz húzott R vektorok a gyűrű sikjában helyezkednek el, ezért a (29,4) képlettel megadott ,sebesség merőleges erre a síkra (ennek következtében a gyűrű változatlan alakkal és mérettel mozog).

p

3. ábra

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

145

29.§. KVANTÁLT ÖRVÉNYFONALAK Jellemezzük a dl ivelern P"hez viszonyított helyzetét af} szöggel (3. ábra). Ekkor dl= R 0 df},

(ahol R 0 a

gyűrű

R= 2R0

sugara). A (29,4)

képletből

sin~,

a

gyűrű

I

l dlXR l =

R sin

~

dl

sebességére

n

u v = 8R0 2

o

df} sin ( f}/2) .

adódik. Ez az integrál azonban az alsó határon Jogaritmikusan ~ivergens és ezért a f} "' a/Ro helyen ievágjuk, ami annak a helyzetnek felel meg, amikor a dl ívelern atomi távolságokra van a P ponttól. Logaritmikus pontossággal az integrált az a/R0 « f} « :re tartományba eső értékek határozzák meg, és értékére "'l

I

2df) = f)

2ln~ a

adódik, tehát

u R0 h R0 v=--ln-=--ln-.

a

2R 0

Ugyanilyen logaritmikus pontossággal az 6=

örvénygyűrű

2 2R :rt

a

2mR0

ftZ

oe. m2

(l)

energiájára

na

l Ro

(2)

irható [ez a (29,8) képlet, R _.. Ro és L _,.. 2:rtRo helyettesitéssel]. Az e energiát a 'lJ sebességgel a de/dp= =v összefüggés kapcsolja össze, ahol pa gyűrű impulzusa. Ebből de 4:rce,-R z lí d dp=--= 0 Ro v m

(logaritmikus pontossággal, ahol differenciáláskor a nagy Jogaritmust állandónak kell tekinteni), ami aztán a (3)

összefüggésre vezet. A (2) és (3) képletek, paraméteres alakban (R0 a paraméter) meghatározzák az e(p) függvény alakját örvénygyűrűkre. Megjegyezzük, hogy az integrálás logaritmikus pontosságamiattjutunk az (l) képletre. Ez a képlet (a jelöléseket bizonyos fokig megváltoztatva) érvényes marad a tetszőleges alakú fonál bármely görbevonalú elemének v transzlációs sebességére:

u

}.

v= ---b ln-. 2R0 a

(4)

Itt b a felillet normálisa, amely meröleges a fonál adott érintő síkjára (binormális vektor), R 0 a fonál görbületi sugara ugyanebben a pontban, ). az a jellemző távolság, amelyen a fonál görbülete változik.

10

Statis:rtikus fizika 2. rész

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

146

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

2. Határozzuk meg egy egyenes örvényfonál kis rezgéseinek spektrumát (W. Thomson, 1880).

Megoldds. Válasszuk az örvényfonalat z tengelynek, és legyen r = (x, y) a fonal pontjainak kitérése a rezgés során; a kitérés exp[i(kz-mt)lalakban függ t-től és z-től. A fonál pontjainak sebességét (4) adja, ahol A. esetünkben a rezgés hullámhosszát jelöli (A. "' 1/k): dr dt

.

" 2

1 b ak R 0

V=-=-lWr=-ln--.

A binormális vektor b= t X n, ahol t és n a görbe érintő· és főnormális vektora. A differenciálgeometria ismert képleteszerint d1rfdJZ = n/Ro. ah,oll a görbe mentén mért hosszúság. Kis rezgések esetén a fonál csak gyengén görbült, igy l""' z frható, és t= n. (a z tengely menti egységvektor); ekkor b · d2r · . . .' .. ·. . ·""' n X -2 = -k2(n"Xr) .. ~

R0 · · •

dz

..

'

.

Részletesen kiirva, ez két homogén lineáris egyenlet · x-re és y-ra. Ennek az egyenletrendszemek a determinansát zérussal téve egyenlővé, megkapjuk w és k kapcsolatát:

"k2

l

m=--zlnak.

30. §. örvényfonal ·majdnem ideális Bose~gázban Mint már emlitettük, az örvényfonal vastagságát a folyadékban az atomi távolságok nagyságrendjébe sorolhatjuk. ·A majdnem ideális Bose-gáz e tekintetben kivételes. Itt az örvényfonal "magja"~. ahol a közeg tulajdonságai lényegesen változnak, makroszkopikus méretű (amint alább meglátjuk). Szerkezetét makroszkopikusan irhatjuk le (V. L. Ginzburg, L. P. Pitajevszkij, 1958; L. P. Pitajevszkij 1961; E. P. Gross, 1961). .. .. Vizsgáljuk az ényhén nemideáli~ gázt zérus hőmérsékleten. Az ilyen gÚban m~jd­ nem minden részecske a kondenzátumban van. A "P-operátorok nyelvén ez azt jelenti, hogy a "kondenzátum feletti" rész ('P') kicsi a teljes operátor átlagértékéhez képest, azaz a kondenzátum B hullámfüggvényéhez viszonyítva. Ha ezt a kis részt teljesen elhanyagoljUk; rikkor·a: Efüggvény.ugyanazta (7,8) "Schrödinger-egyenletet" elégíti'ki; ami a teljes q,-operátorra fennállt. Ha csak a párkölcsönhatást vesszük figyeiembe (spintelen részekre), akkor · ilí ;t B(t, r) = - ( ; : .6.+

+ E(t, r)

www.interkonyv.hu

JI

.u) B(t, r)+

E(t, r') !2

U(t~ r') d3x'. ·

(30,1)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

147

30.§. ÖRVENYFONAL MAJDNEM IDEÁLIS BOSE-GÁZBAN

A E( t, r') függvényt atomi távolságokon lassan változónak tekintve, azt kiemelhetjük az integrálás alól [E( t, r}re változtatva]. Az integrál értékét jelölje ekkor U(r) d3x = U0 ; A· p,= nU0 .értéket behelyettesitve [l. (25,6)], n-re a gáz részecskéinek perturbálatlan siíriíségét írva azt kapjuk, hogy

J

=

•

a~

,

.

ilí_:::_ = --.6.E+Uo{EjEj 2 -nE}. Bt 2m · .

{30,2)

Stadönáfius állapotban E időfüggetlen. 31 Azegyenes örvényfonalat a következő alakú

rnególilás·hja Je:

· · · . lí . ro= ' · Jf2mUon

(30,3)

ahol r és ep az örvényfonál kÖrüli he~ge1~:kÖJrdináták. E függvény fázisa megadja a (29, 7) cirkulációt. l 31 2 értéke .a _kond~nzátum rés;zecskéinek számsiíriíségét jelenti; az itt alkalmazott közelítésben ez megegyezik a gáz teljes siíriíségével. Ez utóbbi r ..... oo es etén az adott n értékhez tart, és ennek megfelelően az f függvény határértéke 1. Bevezetve a~= r/r0 dimenziótlan változót, azjfüggvényre az· · · ,,, (30,4) egyenletet khpjuk. A 4. ábrán Iá.fuató a (30.4) egyénlet numerikus integrálásával adódó megoldás. Az/függvény~-+ O-ra ~-vel arányosan tunik el, ha pedig ; _,_ =, akkor f = 1- (1./2~2) szerint tart l-hez. :· :·'

l··.::

o~~! ll o·1·2

3

4

s

{

4. dbra

:·

Az r 0 paraméter meghatározza az örvényfonal "magjának" szélességét. U0 helyett bevezetjük a szórási hosszt az U0 = 4odí2afm összefüggés szerint (6,2), és azt kapjuk, hogy

ro "'

11 -t/3 'Y/-1/2 >> 11 -1/3,

ahol 'YJ ~ ~n113 a gázparaméter. Ez a sugár tehát valóban nagy az atomi távolságokhoz képest, ha a gázparaméter elég kicsi. 31

E~Iékezzünk, hogy a (3Ó,l) ~gyenlet már a fl' = Éi- Ntt Hamilton-operátornak felel meg!

10*

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

Iii. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG •

148

Fehidat Adjilk meg a majdnem ideális Bose-gáz elemi gerjeSztésének energiaspektrumát a kondeniá.tum hullámfüggvénye kis rezgési diszperziós törvényének vizsgálatávaL

Megoldds. Tekintsük 8 kis rezgéseit a

fn átlagérték körül:

8= Yn+A eiOir-mi>+B* e-l(kr-mO, ahol A, B* kis komplex amplitúdó. Ezt a kifejezést a (30,2) egyenletbe helyettesitve, a;z:t linearizálva és szétválasztva a különböző exponenciális függésú tagokat, két egyenletből álló rendszer kapunk: 2

liwA = Jm A+nU0 (A+B) plj

-liwB = "2ni'B+nU0(A+B) (p = lik). Ebből, a determinánst zérussá téve, azt kapjuk, hogy

ami egyezik (25,10)-zel.

31. §.·A Bose-folyadék Green-függvényei32 A Bose-folyadék Green-függvényeinek matematikai eszköztárát sok tekintetben hasonlóan épithetjük ki, mint a Fermi-rendszerek esetében. Az összes megfontolás megismétlése nélkül, most elsőként az alapdefiniciókat és -összefüggéseket soroljuk fel, kihangsúlyozva az eltérő statisztikából és kondenzátum jelenlétéből fakadó különbségeket. 33 Mint e fejezet korábbi szakaszaiban is, a részecskéket spinteleneknek tételezzük fel. A Bose-folyadék Green-függvényének definiciójakor leválasztjuk a Heisenbergképbeli 'lj'-operátorokból a kondenzátumhoz tartozó részt; a (26,4) képietet használjuk. A kondenzá.tum feletti rész operátorainak Green-függvénye a következő:

a

(31,1)

ahol ( ... ) a rendszer alapállapotára való átlagolást jelenti, T pedig az időrendezett szorzat szimbóluma. A fermionoktól eltérően, az operátorok helyes sorrendjének kiaz A 31- 33. és 35. §-okban olyan egységeket használunk, melyekben li = 1. A Green-függvények m6dszerét Sz. T. Beljajev alkalmazta Base-rendszerekre kondenzátum jelenlétében (1958). 83

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

149

31.§. ABOSE-FOLYADÉK GREEN-FÜGGVÉNYEI

alakításához szükséges felcserélések során most nem kell a szorzat rélni, azaz [(7,10)-től eltérően]:

.előjelét

megcse-

(31,2) Ha (31,1) helyett a teljes 1p-operátorokkal végeznénk el ugyanazt az átlagolást, akkor a (31,3) összefüggésre jutnánk, ahol n0 a kondenzátum részecskéi számának sűrűsége. 34 Homogén folyadékban a G-függvény természetesen csak az X= X1 - X2 különbségtől függ. A kondenzátum feletti e' sűrűségmátrixot, a Green-függvénnyel az (31,4) összefüggés fejezi ki [vegyük észre, hogy (7,18)-cal szemben előjeleltérés van]. Ennek alapján az r 1 = r 2 speciális esetben a kondenzátum feletti részecskék számának sűrű­ sége: N . . . (31,5) ---no= 1G(t =-O, r= O)

v

[vö. (7,19)]. Az impulzusreprezentációra változatlanul a (7,21)- (7,22) képletekkel térünk át. A G(w, p) függvény normáját az

N = no+ z. l'1m -V .

1-+-0

f

G( w, p) e-•wt . dw )4 (2 d3p 1(,

(31,6)

feltétel rögzíti [vö. (7,24)]. A Dose-rendszer Green-függvényére levezethetünk impulzusreprezentációban egy ahhoz hasonló előállítást, amelyet a 8. §-ban Fermi-rendszerekre kaptunk. Teljesen analóg számítások először a ) _

G(w,p -

(

2n)

3"

fit

{

Amo(p- Pm)

w+Eo(N)-Em(N+l)+.u+iO Bmo(p+Pm)

}

- w-Eo(N)+Em(N-1)+ .u-iO

(31, 7)

34 Ugyanúgy, mint Fernú-rendszerek esetén, aBose-rendszerek állapotát is adott p. kénliai potenciálra (és nem adott N részecskeszám mellett) vizsgáljuk. Ennek megfelelően a rendszer Hamiltonoperátorának szerepét a it'= Íi- p.N különbség [(7,1) képlet] játssza. Ekkor a !p-operátorok kondenzátumot lelró része időfi.iggetlen.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

150

III. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG.

képletre vezetnek, ahol

Am =

l

- O, ha e értéke elmozdul a komplex tartományba. Lehetőség van arra, hogy a kondenzátum feletti részecskék a kondenzátumba lépjenek és viszont, ami oda vezet, hogy a (31,1) függvény mellett automatikusan megjelennek (mint azt alább a 33. §-ban meglátjuk) az iP(X1, X2) = (N-21T!P'(Xl) !P'(X2)IN),

(31,13)

iF+(Xl, X 2) = (N l T!P'+(Xl) !P'+(X2) l N- 2) =

= (N+21T!P'+(Xl) !P'+(X2)1N)

(31,14)

függvények is, ahol az átmenet során a rendszer teljes részecskeszáma megváltozik A l N) szimbólum a rendszer N-részecskés alapállapotátjelöli [a (31,14}beli második egyenlőség ""1/N-edrendü korrekciók erejéig igaz; vö. a 18. lábjegyzettel]. Az igy definiált F és p+ függvényeket anomális Green-függvényeknek nevezzük. Megmutatjuk, hogy F és p+ homogén, nyugalomban levő folyadékban megegyezik. Először is homogén közegre P és p+ csak az X = X1 - X 2 különbségtől függ, ugyanúgy, mint G. 37 Mivel az X1 és X2 változók felcserélése csak megcseréli az operátorok Az P függvény azért nem függ (t1 +t0-től, mert a H' = H- ,uN Hamilton-operátorban megjele-.uN tag. Ugyanez okból a különböző részecskeszámúrendszerek energia-sajátértékeinek különbözőségéből kiesik E(N+2)-E(N)"" 2 oE/oN= 2f-1, 37

nik a

és ennek megfelelően a sem.

www.interkonyv.hu

ífr1'

ljr2' operátor mátrixelemei nem tartalmazzák az exp[- if-!(11 +t2)J tényezöt

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

152

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

szorzatbeli sorrendjét, melyet az

időrendezés

szab meg, igy fennáll az

F(X) = F(-X) párossági tulajdonság. párosság is :

Ebből

(31,15)

következik természetesen az impulzusreprezentációbeli

.

.

= F(- P).

F(P)

(31,16)

Az F és p+ közti összefüggés az álló folyadék héisenbergi 1p-Operátorának következő tulajdonsága révén jelenik meg :3 8 lJt+(t, r)=

lfrc- t, -r).

(31,17)

Legyen ·i2 · ; . t1 ; ezzel iF+(X1. X2) = (N+2llJt 1 +(X2) "!fP+(Xl)IN)

=(Nl ~ 1 +(X1)

=

qi +(X2)IN+2) = = (NI1Jt (-X1) 1Jt (-X2)1N+2) = iF(-X1, 1

1

1

avagy F+(X) = F(- X). (31,15) figyelembevételével

ebből

-X2),

kapjuk a keresett

F+(X) = F(X)

(31,18)

egyenlőséget.

Az F(X) függvényt a 1p-operátorok mátriXelemeivel kifejezve, az F(w, p) függvény (31,8)-nak megfelelő kifejtését kapjuk. Ezzel megvilágitható a pólusok természete is. atnit itt nem részletezünk Csak arra utalunk, hogy az F(w, p) függvény pólusai megegyeznek G(w, p) pólusaival. 88 Ezt a következöképpen láthatjuk be. Az t1.g és át operátorok összes nemzérus mátlixelemét valósnak definiálhatjuk [l. III. (64,7)-(64,8)]. Ebben az értelemben ezek az operátorok valósak, azaz át ~·Ezért a

=d!·=

tP O, ill. a t< Oesetreérvényesek (azintegrálási változóban ,t< O eseténak--k helyettesitésre került sor). Az integrandus (az e' értéke zérus. A leírt szabályok azokra a diagramokra is érvényesek, amelyek az anomális Greenfüggvényeket határozzák meg azzal a különbséggel, hogy ott mindkét folytonos külső vonal kifutó (az Ffüggvényre), ill. mindkettő befutó (az p+ függvényre). Ennek megfelelően nem egyenlő e diagramokra a befutó és kifutó hullámvonalak száma sem; ahhoz ugyanis, hogy a kifutó és befutó vonalak száma azonos legyen, nyilván erre van szükség. A külső folytonos vonalak egyikéhez P, egy másikához -P négyesimpulzust rendelünk [ahol P a keresett F(P) és F+(P) Green-függvények változója]. 43 E vonalak négyesimpulzusainak összege a teljes diagramra vonatkozó "négyesimpulzus megmaradásának törvénye" alapján zérus kell, hogy legyen. A diagramtechnikával kiszámított Green-függvények két paramétert tartalmaznak: a fL kémiai potenciált és a kondenzátum no sfirfiségét; ezeket a paramétereket még kapcsolatba kell hozni a folyadék n =N/V sfirfiségével. Egy kapcsolatot ad a (31,6) képlet a fenti három mennyiség között, ami közvetlenül a Green-függvény definíciójából következik. Második összefüggésként az alább levezetend5 (33,11) egyenletet vehetjük, amely p.-t expliciten, a diagramtechnika fogalmait használva fejezi ki.

u Emlékeztetünk arra, hogy"a diagramok téridő reprezentációjában az 1 és 2 pontok közti szagga;; t ott vonalhoz az iU(X1 - Xi) tényezőt rendeljük, amely a c5(t1 - t2) tényezőt tartalmazza. 43 Mivel Fpáros függvény, igy P előjelének megadása nem lényeges.~

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

158

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

33. §. Sajátenergiás függvények A Green-függvényeket meghatározó diagramok szerkezetét részletesebben tanulmányozhatjuk, ha bevezetjük a sajátenergiás függvény fogalmát ahhoz hasonlóan, ahogy a 14. §-ban ezt Fermi-rendszerekre tettük: azokat a (két külső folytonos vonallal rendelkező) diagramokat tekintjük, amelyeket nem lehet egyetlen folytonos vonal elvágásával két részre bontani. A ·14. § tárgyalásától eltérően, most több lehetőséget kell vizsgálnunk aszerint, hogyan irányulnak a, diagramok külső vonalai: az egy kifutó és egy befutó vonalat tartalmazó gráfok mellett két befutó, illetve két kifutó vonalat tartaJma;;r.ó diagramok is fellépnek. Ennek megfelelően háromféle sajátenergiás betétrészt ·definiálunk: (33,1) ··.:·;

(e:jeÍölésb'e!1, E első indexe a befutó, a második a kifutó vonalak számát adja rrieg). A folytmios külsővonalak mellett a: sajátenergiás diagramokhoz hullámos (ko~den­ zátum~) vöiialak is csatlakoznak. E külső vomtlakat beleértjük az itt körökkd jelzett sajátene~giás betétrészekbe. Alább látni fogjuk, hogy E 02(P)ésE2ó(P) valójában megegyezik ~gymással: ·· . . . . Eoz(P)

=

(33,2)

Z'zo(P).

Itt azt is megjegyezzük, hogy e függvény ek - mivel definíciójukbali P és -P siimnietrikúsan jelenik meg - párosak e változójukban (33,3)

Eo2(P) = Eo2(-P).

A Eli és E 02 diagramok összes, zérustól különböző járulékát felsoroljuk illusztrációként a perturbációszámítás legalacsonyabb rendjében:

J-r:

+...,__ l + i ! + . l--r~~ ..... "" -

(33, 4)

(33,5)

FelállÍtjuk azokat az egyenleteket, amelyek a pontos G és F függvényeket sajátenergiás részeikkel fejezik ki.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

33.§. SAJÁTENERGIÁS FÜGGVÉNYEK

159'

A perturbációszámítás fogalmaival a G(P)-G(P) különbséget a l

(\_f'~_

L_{\ ~

~

PÜ····~ l

l

típusú diagramláncok végtelen sorozatával fejezhetjük ki. E sorozat egyes tagjai különböző számú kört tartalmaznak, melyeket az összes lehetséges irányitású folytonos vonallal kötünk össze. Hasonló módon a pontos F függvényt (F< 0> = O) olyan, láncok összege adja meg, melynek két végén a nyilak ellentétes irányításúak:

".f

.

·•.''

Ha e láncohól a legszélső "szemet" levágjuk (együtt a kört a szélső nyillal), amit a függőleges szaggatott vonal jelez, akkor a megmaradt diagramok közül azok, amelyekben a két szélső nyil egy irányba mutat, újra G-vé összegeződnek, a másik csoport pedig, amelybe az ellentétes nyilazású ábrák tartoznak, F-et állítja elő. Vezessünk be e pontos függvényekre vastag egy- és kétnyilazású folytonos vonalakkal való jelölést: tF(PJ

iG(P)

p

p

-P

(33, 6} p

-P

A fenti megállapításokat grafikusan a következő vázdiagramokkal kifejezett ségek tartalmazzák:

-E-=~+~+~ ..._=

-P p

www.interkonyv.hu

egyenlő­

(33, 7}

_p-()p-p+~

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

160

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

[vö. a hasonló (14,4) egyenletekkel]. Analitikusan ezek a következő egyenleteket adják:44 G(P) = [l +L'u(P) G(P)+L'2o(P) F(P)J G(P), (33, 8) F(P) =:G( -P)[L'u( -P) F(P)+L'o2(P) G(P)].~ Ezt a rendszert 6-re és F-re oldjuk meg, majd a megoldásba behelyettesítjük a G O. . Alább (a 35. §-ban) belátjuk, hogy az a) és b) esetben az e(p) függvény egyáltalán nem folytatható a küszöbön túl, amely így a spektrum végpontja. A c) és d) esetekben a hosszúhullámú fonon kibocsátásával történő bomlás a kvázirészecske gyenge csillapodására vezet, amit a perturbációszámítás segítségével számíthatunk ki. 47· 46 A hanghullámok diszperziós egyenlete a frekvencia négyzetét (w 2) adja meg a hullámvektor függvényében. Ennek megfelelőena fonon e2(p) energianégyzetét fejthetjük regutárisan p hatványai szerinti sorba. A kifejtés "' p2 taggal kezdődik, és a folyadék izotropiája miatt valójában p2 hatványait tartalmazza. Ennek következtében e(p) sorfejtése p páratlim hatványait tartalmazza. 47 Az, hogy a felsoroltak közül melyik eset valósul meg kísérletileg, az e(p) spektrum görbéjének konkrét menetétől függ. A folyékony héliumra (4He) vonatkozó empirikus adatok arról tanúskodnak, hogy a fonon spektrumának van egy olyan kis kezdeti szakasza (15 bar-nál kisebb nyomáson), ahol d) tipusú instabilitás lép fel. A spektrum lezárulása folyékony héliumban a) tipusú pontban következik be.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

34.. ~, A KVÁZIRÉSZECSKÉK BOMLÁSA

165

Számítsuk k;i a fonon csillapodását két másik fonoma való elbomlása következtében (d) eset). E folyamat mátfixelemei a Hamilton-operátor harmadfokú tagjaiból származnak, melyeket (24,12) ad meg. A kezdeti (z) állapotból, mely egyetlen p impulzusú fonont tartalmaz, a ql és qz impulzusú fononok (J) végállapotába való átmenet mátrixeleme:

.

. . 3!(2nlíJ Vfi = ()(p- ql- q 2) 2(2V)3/2

(uepqlqz)1/2 {l + 3u2 e2

d de

eu2}

(34, 7)

(a perturbálatlan eo sűrűség Oindexét elhagytuk). Figyeljünk a (pq1q2) 1f2 tényező megjelenésére; ennek kicsinysége (miután hosszúhullámú fononra való bomlást vizsgálunk) is biztosítja a perturbációszámítás alkalmazhatóságát.4 8 Á·bomlás (ls-ra jutó) differenciális valószinűségét a

képlet adja [l. III. (43,1)]. Ebbe behelyettesítve (34,7)-et, a ö-függvény négyzete jelenik meg, arnit a (34, 8) képlettel értelmezünk.49 A megmaradó ö-függvény segitségével végezzük el a iJ3q2 szerinti integrálást; majd E 1 = up és u(q1 +q2) heirása után

.EJ=

adódik (ha d 3q1 és d 3q2 szerint függetlenül integrálunk, az eredmény felét kell venni a két fonon azonosságának figyelembevételére). Végül a ö-függvény argumentumát a (34,5) képlettel fejezzük ki, és elvégezzük a.iJ3q1 = 2nq~dq1dcos () szerinti integrálást

é:

48 A (34, 7) mátrixelem kiszámitásakor azt kell figyelembe venni,hogy a ~ és fononoperátorok mindegyike a három l!' vagy v tényező bármelyikéből vehető; ebből jön a 3! tényező. A (34, 7)-beli !5-függvény az exp[i(p-IJc'h)r/lí] tényező integrálásából származik. Végül kihasználtuk, hogy p, 'h, és Ch iránya majdnem egybeesik. 49 Ugyanis a t5(k) függvény az flkr cJBr/(2n)8 integrálból származik. Ha egy ilyen integrált k = O-ra számitunk ki [mivel egy t5(k) már jelen van], akkor a V véges térfogatra végzett integrálásból V/(2n)8 adódik, ami éppen a (34,8)-beli tényező.

f

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

166

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

(a q1

:§i

p tartományon), amivel megkapjuk a bomlás teljes valószínűségét:

3p5

w = 320:~telí4

{

ri

d

l + 3u2 de

eu2 }2 .

(34,9)

A fonon csillapodási együtthatója y =-Im e= líw/2. Speciálisan, majdnem ideális gázra (25,11) szerint az u2fe ~ 4:~tlí2afm3 mennyiség nem függ a sűrítségtőL Ekkor Y

= 640:~tlí 3 e

(34,10)

(Sz. T. Beljajev, 1958). A c) tipusú küszöb közelében a kvázirészecske hosszúhullámú fonon kibocsátásá-

nak Hamilton-operátorát úgy szerkesztjük meg, hogy megvizsgáljuk, hogyan változik meg a kvázirészecske energiája egy hanghullámban. A változás két részből áll: Öe(p)

= ;; e' +vp.

tag a folyadék sűrűségének megváltozásából származik, amitől mint paraa kvázirészecske energiája. A második tag (amelyben v a folyadék hanghullámbeli sebességét adja) a kvázirészecske energiájának a folyadék makroszkopikus mozgása következtében fellépő megváltozása. Mivel (a küszöb körül) a kibocsátott fonon hullámhossza nagy a kvázirészecskééhez képest, úgy vehető, hogy ez utóbbi homogén folyadékáramban helyezkedik el. Ekkor az energia megváltozását a 23.§ elején mondottak alapján állapíthatjuk meg. öe-ból a perturbáció operátorát úgy kapjuk meg, hogy v= 'VqJ-t és e'-t a (24,10) másodkvantált operátorokkal helyettesítjük, p helyére pedig a kvázirészecske impulzusoperátora: p = - rn \7 kerül: Az

első

métertől függ

(34,11)

(a második tag hermitikusságát szinunetrizálással biztosítottuk). A fonon kibocsátásának valószínűségét a továbbiakban már teljesen hasonló módon számíthatjuk ki, mint ahogy a fonon bomlási valószínűségét kiszámoltuk (I. a feladatot).

Feladat Számítsuk ki a p impulzusú kvázirészecske fononemissziójának valószinűségét a P. küszöbértékhez közel (ennél az értéknél éri el a kvázirészecske a hang sebességét). Megoldás. A (34,11) operátor mátrixelemét egy (q impulzusú) fonon keltésére és a kvázirészecske állapotában egyidejűleg bekövetkező p ..... p' átmenetre számítjuk ki (a kvázirészecske míndkét álla-

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

35.§. A SPEKTRUM TULAJDONSÁGAI LEZÁRULÁSI PONTJA KÖRÜL

167

potát síkhullám írja le). A küszöb közelében a fonon impulzusára q« p. érvényes, és q iránya majdnem megegyezik p irányával. 5° Etmek figyelembevételével .

.,

A

V,;= -z(2nlí)"Ö(p-ql-q2) VB/2 ahol f! 08 A =p.+-U 0(! Ebből

a fonon kibocsátásának differenciális dw

=

l

ze)I/2 '

(qu

.

p= Pe

valószínűségére

nqu d 3q - - A 2ö[s(p)-sl p-q 1)-uq]-he (2nlí) 3

vezethető

Xe (az impulzusmegmaradást biztosító ö-függvényt a d 3p' szerinti integrálás elvégzésére használtuk fel). A o-függvény argumentumát a közelitő -uq(l-cos FJ) alakba írva, a tfdq szerinti integrálás is elvégezhető, amiből végül a W=

teljes

valószínűséget

242(p-p.)3 3nelí4

kapjuk.

35. §. A spektrum tulajdonságai lezárulási pontja körül Ebben a szakaszban a Bose-folyadék spektrumát a két kvázirészecskére való bomlás küszöbe körül vizsgáljuk, a végállapod részecskék egyike sem lehet fonon (1. a 34.§ a) és b) eseteit). 51 A fononkeltéssei járó bomlással ellentétben, a perturbációszámitás ezekre az esetekre nem alkalmazható. Ezért a Green-függvények küszöbpontokban mutatott szingularitásait kell vizsgálnunk. Másrészt miután minket kizárólag ezek a szingularitások érdekelnek, a számítás lényegesen leegyszerűsithető. Speciálisan, nem kell a G és F függvények között különbséget tenni (mivel analitikus tulajdonságaik egyformák), és úgy járhatunk el, mintha csak egyetlen Green-függvény létezne. A G és F közti különbség figyelembevétele néhány egymáshoz (analitikus 50 A határozottság kedvéért azt az esetet tekintjük, amikor a kvázirészecske a fonont p-vel azonos (és nem ellentétes) irányba sugározza ki. Ehhez s(p) küszöb körüli alakja a következő:

s(p)"" e(p.)+(p-p0)u+rx(p-p.) 2

(a lineáris tag együtthatója pozitív). Az energiamegmaradás törvénye alapján könnyen meggyőződ­ hetünk arról, hogy p >p. esetén fonont csak CG >O esetén lehet kibocsátani; a kisugárzott fonon impulzusa a O :;;;; q :;;;; 2(p- p.) intervallumban változik. 51 E szakasz anyaga L. P. Pitajevszkij eredményeit rontatja be (1959).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

168

IlL FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

tulajdonságai szempontjából) nagyon hasonló tag megjelenésével járna, ami azonban egyáltalán nem tükröződne az eredményben: ·· · A diagramtechnika nyelvén a bennünket érdeklő szingularitás, ami a kétrészecskés bomlással kapcsolat os, a következő diagramból származik:

(35,1)

P-Q Ezt két .folytonos vonalelvágásával két rész;re bonthatjuk, tehát ezek a diágramok.kétrészecskés közbenső állapotot tartalmaznak. A közbenső Q= (q0 , q),négyesimpulzusra integrálunk, aminek során a .szingularitás megjelenése szempontjából a Q és P-Q impulzusoknak az a tartománya lényeges, amelyben a végső kvázirészecskék a küszöbhöz közel keletkeznek. Az alábbi elmélet szempontjából alapvető az az állitás, hogy ez a négyesimpulzus-tartomány nem szinguláris G(Q) szempontjából: itt G(Q) alakja a szokásos pólusfüggést mutatja:

G(Q) :; G(qo, q) "' [qo-e(q)+i0]- 1,

(35,2)

ahol e(q) a bomlási kvázirészecskék energiája, aminek a vizsgált tartományban nincs szingularitása. Fizikailag ez a tartomány csak azért kitüntetett, mert itt a kvázirészecske ,;összeolvadhatna" a másikkal, ami zérus hőmérsékleten a reális gerjesztések hiánya miatt nem lehetséges. A Green-függvénynek csak azokon a P értékeken van szingularitása [P a (35,1) diagram külső impulzusa], amelyek a kiinduló kvázirészecske küszöbéhez közeliek. A (35,l)diagramon a két kört összekötő két vonalhoz a G(Q)G(P-Q) kifejezés tartozik, és Q szerint integrálunk. Miután a szingularitás szempontjából csak Q kis tartománya lényeges, a diagram többi tényezőjét állandónak vehetjük, és a Q = Qc pontban felvett értékükkel helyettesithetjük. 52 Így a diagram járulékában fellép a

-I

II(P) = _ i (2n)4

d'Q [qo- e(q)+iO][w-qo- e(l p-q i)+iO]

62 Ezt az állftást pontosabban is megfogalmazzuk. Az a helyzet, hogy a G(Q) G(P-Q) tényezők függetlenek a (p, q) sik helyzetét meghatározó rp szögtől. Ezért a rp szerinti integrálás az integrandus maradék részének rp szerinti átlagolásátjelenti, ami után d 4Q-t 2nq2 dqc d q d cos O-ként értelmezhetjük. E változókban d 4Q szerint integrálva adódik kicsinynek a lényeges tartomány. Ez az észrevétel az alábbi levezetés hasonló mozzanataira is érvényes.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

35.§. A SPEKTRUM TULAJDONSÁGAI LEZÁRULÁSI PONTJA KÖRÜL

169

szorzó, ahol P= (ro, p). A q0 szerinti integrálást az integrációs útnak valamelyik komplex félsikban egy végtelen távoli körön való bezárásával végezzük el. Eredménye

II(P)

-J

1 = -(2n) 3

(35, 3)

d3q . ro-e(q)-e(lp-qi)+iO

Ennek az integrálnak a vizsgálatára alább visszatérünk, de most segitségével kifejezzük G(P)-t, összegezve az összes (35,1) alakú diagram járulékát. A G(P) függvényre felirható Dyson-egyenlet grafikus alakja a következő

a

-==-+~p p~

(35,4)

P-Q

Itt a vastag vonalak a pontos iG függvényt jelentik, a vékonyak pedig e függvény "nemszinguláris" részét, melyet "két vonallá nem lehet szétbontani". A második tag (35,4) jobb oldalán a (35,1) alakú diagramok halmazának járulékát jelzi. A vékony üres kör a pontos háromágú vertexfüggvényt képviseli [jelöljük r(Q, P- Q, P)-vel], a bevonalkázott kör pedig annak nemszinguláris részét, amelyből kizártuk azokat a járulékokat, melyeket két folytonos vonal elvágásával két részre bonthatunk.53 Mint fentebb elmagyaráztuk, a d4Q szerinti integrálás egy II(P) szorzó megjelenését okozza, a többi tényezőt pedig a Q = Qe helyen felvett értékével helyettesítjük. Ekkor a (35,4) egyenlőség analitikusan azt jelenti, hogy

G(P)

= a(P)+b(P) G(P)rc(P) II(P),

(35,5)

ahol Tc(P) = r(Qc, P-Qe, P), az a(P) és b(P) mennyiségek pedig valamilyen (a P= Pe küszöb közelében) reguláris függvények. (35,5)-ben két szinguláris függvény fordul elő: G és re, és ezekli-vel való kifejezésére még egy egyenlet szükséges. Ezt megkapjuk, ha észrevesszük, hogy a pontos függvényalakját "létrasor" adja meg:

r

53 A helyzet hasonló a k.vantumelektrodinamika Dyson-egyenletéhez (l. IV. 104. §). Ugyanúgy, mint ott, a szükséges diagramok teljes sokaságát megkapjuk a vertexfüggvények egyikére vonatkozó korrekciók bevezetéséveL

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

170

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

,amely igen hasonló a négyágú vertexfüggvény (17,3) sorához. Az összegezéssei a

p~ P-Q

P-Q

P-O

-egyenletet kapjuk [vö. (17,4)], amelyet Q ~ Q0 -re analitikusanis felírunk:

Fc( P)

= c( P)+ d(P) II(P) Fc( P),

:ahol c(P) és d(P) reguláris függvény. A kapott két egyenletbőlFc-t kiküszöbölve, megkapjuk a Green-függvény kifejezését TI-vel: _1

G

A( P) II(P)

_

(P)-

(35,6)

1+B(P) II( P) +C(P),

:ahol A, B, C újra (P= Pc-hez közel) reguláris függvények. A további számítások már eltérnek aszerint, hogy a kvázirészecskék bomlásának mely típusa következik be.

:a) A két rotonra való bomlás küszöbe Ebben az esetben a bomlási részecskék s(q) energiáját a küszöb közelében a (22,6) képlet adja, arnivel a (35,3) integrál a

(35, 7) alakot ölti. Az integráláshoz vezessük be a q;, q~ változókat, a

qx =(po sin 8+ q~) cos ep,

qy = (po sin 8+ q~) sin ep,

qz =Po COS 8+ q~

összefüggésekkel, ahol a z tengelyt p irányában vesszük fel, és a 8 szöget a 2p0cos 8= p összefüggés definiálja. A küszöb közelében q;, kicsi, és a szükséges pontossággal írható, hogy

q;

q~ Po+q~sin 8+q~cos 8,

Ip-q l~ Po+q~sin

8-q~ cos 8,

d 3q ~ Po sin 8 dq~ dq~ dep.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

35.§. A SPEKTRUM TULAJDONSÁGAI LEZÁRULÁSI PONTJA KÖRŰL

171

A (35, 7) képlet kapcsos zárójeiét

alakúra hozhatjuk, majd újabb q~ sin ()

változócsere után

1fl

q~ cos ()

= yTn* e cos 1p,

= yTn* esin 1p

szerint integrálva, a

II( w, p)=- 2 m*po () :n:cos

f

----=-e-=-d.=,.e-"-w+2L1+e2

képletre jutunk. Ez az integrál nagy e értékekre divergens, de csak a korábbi elhanyagolásole miatt, igy ez a körülmény lényegtelen. Az integrált valamely e2 » 12L1- w l értéknél levágva, csak II reguláris részébe kapunk járulékot. Aminket érdeklő szinguláris részt az integrálás alsó határához közeli tartomány járuléka eredményezi, amire

II

l

rv

ln 2L1-w .

(35,8)

Ha 2L1-w kicsi, akkor a logaritmusa nagy; (35,8)-at behelyettesitve (35,6)-ba, és azt a logaritmus inverzének hatványai szerint kifejtve, a G-1(w,p)

=

a 2L1-w

b+cin-1~--

összefüggésre jutunk, ahol a, b, c az w és p újabb reguláris függvényei. A küszöbpontban (p =Pe) az elbomló kvázirészecske energiája 2L1. Minthogy a kvázirészecskék energiáját G-1 zérushelyei adják meg, arra jutunk, hogy G- 1(2L1, Pe) = O, amihez b(2L1,pc) = Oszükséges. A reguláris b(w, p) függvény p-pe és w-2L1 egész hatványai szerint fejthető ki. Az a( w, p) és c( w, p) függvényeket a küszöbpontban felvett értékeikkel helyettesitve, a következő kifejezést kapjuk a Green-függvényre a küszöbhöz közeli tartományban: (35,9) ahol a, rx, {J állandók.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

172

III. FEJEZET. A SZDPERFOLYÉKONYSÁG

Ezt a kifejezést zérussal egyenlővé téve, megkapjuk az e(p) spektrumot a küszöb közelében. Ha a bomlás a p < p c és e < 2L1 tartományban nem lehetséges, akkor rx és a pozitív. Ekkor a fenti tartományban a G- 1 = O egyenletnek l

e= 2L1-aexp (-

rx ) Pc-P

(35,10)

nerniecsengő

megoldása van. Látjuk, hogy a spektrum görbéje végtelen rendben vízszintes érintővel halad a küszöbponthoz. Ap >Pe tartományban G-1 = 0-nak nincs sem valós, sem komplex megoldása, amire e ~ 2L1, ha p ~Pe· Ebben az értelemben a spektrum nem folytatódik a küszöbponton túl. 54 b) A két párhuzamos impulzusú részecskére való bomlás küszöbe Mivel a küszöbpontban, p = p c-re az e(q)+ e( l p- q l) kifejezésnek q függvényében minimuma van, igy a küszöbhöz közel (35,11) aholrx, fJ állandók, V,; a küszöbpontban keletkező részecskék sebessége, q0 pedig egyikük impulzusa. (35,11)-et (35,3)-ba helyettesítjük, és bevezetjük az új

p= q-qo,

PPe

= ePe cos '1jJ

integráJási változókat, amikkel

Ennek az integrálnak gyökös szingularitása van a küszöbnél: (35,12) Ezt a kifejezést behelyettesítjük (35,6)-ba, és ezzel adódik a küszöbhöz közeli tartományban érvényes Green-függvény: G- 1(w, p)= A(w, p)+B(w, p)[vc(p-pc)-(w- Bc)] 112 •

~ 4 Mint arra már a 47. lábjegyzetben rámutattunk, a folyékony hélium spektruma éppen ilyen tipusú ponttal végződik (a 2. ábra görbéje vízszintes érintővel közeledik az e = 2LI egyeneshez).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

35.§. A SPEKTRUM TULAJDONSÁGAI LEZÁRULASI PONTJA KÖRÜL

173

Minthogy G-1(sc, Pe)= O és A, B reguláris függvények, igy az utóbbiakat p-pe és ro- ee hatványai szerint sorba fejtjük, majd végeredményben azt kapjuk, hogy (35,13)

ahol a és b állandók. A spektrum alakját a G-1(s, p) = O egyenlet határozza meg. Megoldását e- Be = = vc(p- Pc)+const (p- p,;)2 alakban keressük. Ahhoz, hogy ez létezzék p< Pc-re, szükséges, hogy a+bvc >O legyen, ezért (35,14)

Ugyanilyen feltételmellett ap> Pe tartományban a G-1 = Oegyenletnek nincs megoldása az e ~ ee és p ~ p c feltételek mellett. Így a spektrum ez esetben is megszakad a küszöbpontban.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

IV. FEJEZET

G REEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN

36. §. Green-függvények véges hő1nérsékleten 1 A makroszkopikus rendszerek Green-fűggvényeinek definíciója véges hőmérsék­ leten csak abban különbözik T= O-n érvényes definíciójuktól, hogy a zárt rendszer alapállapotára való átlagolást a Gibbs-eloszlásra való átlagolás váltja fel: a (..) jelölés most a

r1; r:2, r2)

= -(T.,.Pf;!(r:1, r1)

.... Pf(r:2, r2)),

(37,2)

5 Ebben a szakaszban a Fermi- és Eose-rendszerekre egyidejüleg írjuk fel a képleteket (Eoserendszerre a l-pont felett). Ha előjeleltérés lép fel, az alsó előjel vonatkozik a Bose-rendszerre, a felső a Fermi-rendszerre. Ezenkívül Eose-rendszerekre a spinindexek természetesen elhagyandók. 6 Hangsúlyozzuk, hogy ezen eltérés miatt a pM operátorok nem egyeznek meg {jrlii +-tel.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

37.§. A HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYEK

181

ahol a T~ szimbólum ,;t-rendezést" jelöl, azaz az operátorokat növekvő 't argume:htumuk szerint kell rendezni jobbról balra (az operátorok felcserélése Fermi-rendszerekre előjelváltásokat eredményez); a ( ... ) jel Gibbs-sokaság szerinti átlagolást jelent. Ez utóbbit expliciten úgy fejezzük ki, hogy (37,2)-t a

w= exp (Q-if') T

(37,3)

alakban írjuk fel; itt Sp az összes diagonális mátrixelem összegét jelenti. Az igy definiált Green-függvényt hőmérsékleti Green-függvénynek hivjuk a "közönséges" G-től való megkülönböztetésül, melyet e környezetben szokás időbeli Green-függvénynek nevezni. Csakúgy, mint a Gaf3 függvény .(J(/.{3 is skalárra redukálódik nem ferromágneses rendszerben, külső tér hiányában: .{}(/.p= .{j_(Jocf3· Térben homogén rendszerre r 1 és r 2 függése csak a különbségen keresztül jelenhet meg: r = r 1 -r2 • Könnyű azt látni, hogy már a (37,3) definíció szerint sem függhet .0 mástól, mint 't = z1 -z 2 különbségtől. Legyen példáLli 7'1 < 7'2 , ekkor 7

a

avagy a Sp jele alatt ciklikus permutálást végezve, 't
O esetén egyszerű kapcsolatban állnak egymással. = 7'1 -7'2 > O-ra (37,4) levezetéséhez hasonlóan kapjuk, hogy

T

7

l .(ji =- (2)

eD/T

Sp {e-(1/T-~)H' ij;oc(rl) e-~H' 'IJ'd(r2)} =

= _ (~)

e!J/T

Sp {e-di' 'ÍjJd(r 2)

A zárójelbe tett (2)

A

nevező

AA

e-(1/T-.,;).Éi'

ij;cx(rl)},

't>

o,

Fermi-rendszerekre vonatkozik, Eose-rendszerek esetén egységgel

helyettesítendő.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

182

IV. FEJEZET. GREEN·FŰGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN

amit (37,4)-gyel összehasonlitva, 7: 1:2) =-Sp {w&-1( 1:1 ,O) P"~( -c1) á(-cl> O) a--l( -c2, O) Pf{J( 1:2) &('t2, O)} (ahol az r 1, r 2 változókat a rövidség kedvéért nem írtuk ki). Észrevéve, hogy a 't1 >- 7:2 >- 7:3 esetben fennállnak a

&(-ci. 'ta) = &(7:I. 't 2) &(1:2, 7: a), &(1:2, 1:1) &- 1(7:a, 1:1) = &(-c2, 7:a)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

38.§. DIAGRAMTECHNIKA A HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYEKRE

185;

összefüggések, a fenti alak átírható a

képletbe. A szögletes zárójelbeli tényezők jobbról balra (r szerint) ben helyezkednek el. Ezért írhatjuk, hogy

.{f)"'p(?:l, 1:2)

növekvő

=-sp {w&-1[T..9"~(.,;1) PM(1:2) &]},

sorrend(38, 5)

ahol

&=&(~·o). Könnyen igazolható, hogy a kifejezésnek ez az alakja .,;1 < 7:2-re is igaz. (12,12)-vel ellentétben (38,5)-ben egy többlet (Gibbs-) tényező is jelen van, emellett a kölcsönható részecskerendszer állapotaira átlagolunk. Megmutatjuk, hogy ezek az. eltérések "megeszik" egymást, melynek következtében a (12,14) eredménnyel teljes. az analógia. Ehhez felhasználjuk az (38,6} képletet, amelyet (38,1)-nek (38,4)-be való helyettesítésével kapunk, ha a kapott ki-· fejezést összehasonlítjuk 9'fM (37,1) definíciójával. Segítségével (38,5)-ben felhasznál-· ható, hogy

~ IT e-H'

(l )

u-1 T' o

= e-Ho/T, N

Az en;T tényezőt az Sp jel elé visszük, a számlálóból a nevezőbe téve és az e-n;T

~ IT= Sp e-Ho/T fJ = Sp e-H' M

(lT' ) O

előállitásban felírva. Végül a számlálót és nevezőt egyaránt megszorozzuk exp (!J0 /T)vel (ahol !J0 az ideális gáz termodinamikai potenciálja, azonos p, V, T mellett). Ekkor a

(38, 7) kifejezést nyerjük, ahol az átlagolást a nem kölcsönható részecskék rendszerén végezzük: ( ... )o= Sp {wo ... }. Ez az eredmény nyilvánvalóan analóg (12,4)-gyel.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

186

IV. FEJEZET. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN

A perturbációszámitás diagramjaira ugyanúgy térünk át, mint a 13. §-ban: kifejtjük a (38, 7} kifejezést P"0 (1:) hatványai szerint. Olyan rendszerre, amelyben csak párkölcsönhatás van, ez az operátor csak abban különbözik (13,2)-től, hogy a lJI0 , Pfi Heisenbergi-operátorokat ~ lJfM, pM Matsubara-operátorokkal helyettesítjük. A 'ljJ-operátorok szorzatának várható értékét újra a Wick-tétel alapján bontjuk fel (azaz elvégezzük az operátorok összes lehetséges párositását). B tétel érvényessége a termodinamikai limeszben azonos megfontolásokkallátható be, mint a 13. §-ban. Az így levezetett gráfszabályok hasonlók a 13. §-ban T= Ohőmérsékletre levezetettekhez. Grafikus ábrázolásuk azonos marad. A diagramok és az analitikus kifejezések közti megfeleltetés kissé megváltozik Koordinátareprezentációban minden, a 2 ponttól az l pont felé haladó folytonos vonalnak a- .Q.~~(1:1 , r 1 ; 1:2, r 2) tényezőt feleltetjük meg (negatív előjel!). Minden, az l és 2 pontot összekötő szaggatott vonalhoz a- U(r1 -r2) ő(1:"1 -1:"2) tényezőt rendeljük hozzá. A belső pontokat jellemző összes -c, r változóra integ:rálunk, d3x szerint a teljes térre, d-c szerint O és l fT között. Az impulzusreprezentációra való áttéréshez minden .Q_( X- X')

(41,10)

adódik [vö. (15,12)]. Az ebben megjelenő négy 1JI·operátor szorzatának diagonális mátrixeleme a mátrixszorzás szabályai szerint szétfrható két operátorpár mátrixelemeinek szorzatösszegévé. Az összes ilyen szorzatokból csak azokat tartjuk meg, amelyek az N ....... N+ 2 részecskeszám-változással járó átmeneteket írják le, a többit elhagyjuk:

(NITlJ!t'Jf"lJt fázisát:

E(t, r) ==

l

E! eiw.

(44,1)

Ahogy a (/> fázis gradiense a folyékony héliumra (26,12) alapján meghatározza a szuperfolyékony mozgás vs sebességét, úgy szupravezetőben is a fázis gradiense egy megfigyelhető mennyiséget határoz meg: a szupravezető áram sűrűségét. A fém anizotropiája miatt is iránya általában nem egyezik meg \l([> irányával, és e vektorok komponenseit egy kétindexes tenzor kapcsolja össze. A nem elvi jelentőségű bonyodalmak elkerülésére azonban itt csak köbös szimmetriájú fémráccsal foglalkozunk. Ekkor a kétindexes tenzor skalárrá redukálódik, a J,-et \l@- vel összekötő függvénykapcsolat pedig egyszerű arányossággá. Írjuk ezt

• Js

eh rT-. = ~2 ns \l'P

m

(44,2)

alakban, ahol definíció szerint e =-l e l az elektron töltése, m pedig (az igazi) tömege. Az így definiált n8 mennyiséget (amely hőmérsékletfüggő) a szupravezető elektronok számsűrűségének hívják. Ez a mennyiség hasonló szerepet játszik, mint a folyékony hélium szuperfolyékony komponensének sűrűsége. Aláhúzzuk, hogy ns egyáltalán nem egyezik meg a Coeper-párok kondenzátumának sűrűségével, ahhoz hasonlóan, ahogy folyékony héliumra es nem azonos a kondenzált atomok sifrűsé­ gével.16 16 (44,2) együtthatóját úgy írtuk, hogy szabad szuperfolyékony Fermi-gázban (BCS modell) mn, megegyezzék a 40. §-ban kiszámitott e. mennyiséggel. Ez utóbbit úgy definiáljuk, hogy j.-et a j, = en,v, alakban kell felírni, ahol v, a szuperfolyékony mozgás sebessége. Másrészt v,-et a fázis gradiensével a v, = (líf2m) v([J egyenlőség köti össze; (26,12)-höz képest azért szerepel itt a 2m kétszeres tömeg, mert a kondenzátum részecskepárokból áll.

14*

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

212

V. FEJEZET. A SZDPRAVEZETÉS

A (44,2) képlet [csakúgy, mint (26,12) a folyékony héliunrra] feltételezi, hogy a fázis térbeli változása elegendően lassú. Míg azonban Bese-rendszerekre (]> változási korlátai csak néhány atomközi távolságra voltak érvényesek, itt a követelmények jóval erősebbek. Szuperfolyékony Fermi-rendszerekre a karakterisztikus méretet a ~o "'lívpft10 koherenciahossz adja, és(]> fázisa ilyen nagyságrendű távolságokon kell, hogy keveset változzék (ez a méret az atomközi távolságokhoz képest nagy)P js és(]> kapcsolata bonyolultabb, ha a szupravezető külső mágneses térben helyezkedik el (itt időben állandó térre korlátozódunk). Az elmélet mértékinvarianciájából kiindulva világítjuk meg azokat a szükséges változásokat, amelyeket a (44,2) képletben kell végrehajtani. Ez a követelmény azt jelenti, hogy a megfigyelhető fizikai mennyiségek változatlanok, ha a mágneses tér vektorpotenciálján elvégezzük az (44,3)

mértéktranszformációt, ahol x(r) a koordináták tetszőleges függvénye. Eközben a 1p-operátorok a hullámfüggvényele transzformációs szabályait követik: (44,4)

ahol e a 'ljH)perátorralleírt részecske töltése [1. III. (111,9)]. 18 A G(X, X'), F(X, X') Green-függvények, lévén a P"lfr'+ és lJtP"' szorzatok mátrixelemei, a G(X, X')

-+

exp { ~: [x(r)- x(r')]} G(X, X'),

F(X, X') ...... exp { ~: [x(r)+ x(r')]} F(X, X')

(44,5)

szabály szerint alakulnak. Spedálisan E= iF(X,X)-+ exp

(~;x) E,

17 Hangsúlyozzuk, hogy itt a (hőmérséklettől független) állandó ~ 0 hosszúságparaméter szerepel; a szóban forgó kritériumot a későbbiekben szigorúan is megalapozzuk (l. az 51.§ végét). 18 A (7,7) másodkvantált Hamilton-operátorban a tp-operátorok !fr(X) és p+ (X)-ből álló párokban jelennek meg, ezért a (44,3)-(44,4) csere során a Hamilton-operátor ugyanúgy transzformálódik, mint a szok~sos fi operátor a megszakott (nem operátori) hullámfüggvények megfelelő transzformációi során. A (44,3)- (44,4) alakú transzformációt valójában már a 19. §-ban kihasználtuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

44.§. A SZDPRAVEZETŐ ÁRAM

213

azaz a kondenzátum hullámfüggvényének fázisára a (44,6)

transzformációs szabály érvényesül. A (44,2) összefüggés nem invariáns a fenti fázistranszfonnációra. Ahhoz, hogy az invariancia követelményét kielégíthessük, (44,2)-t ki kell egészitenünk egy, a vektorpotenciált tartalmazó taggal: (44, 7)

A töltés megkétszereződése (a zárójeles tényező második tagjában) a swpravezetőbeli párosodást tükrözi. Ez a kifejezés elegendő a szupravezetők alapvető makroszkopikus tulajdonságának, a mágneses tér kiszorulásának (Meissner-effektus) megmagyarázására. 19 Tekintsünk egy gyenge külső térben elhelyezkedő homogén szupravezetőt. A teret gyengének gondoljuk ahhoz a He térerősséghez képest, amely megszünteti a szupravezető állapotot. E feltevéssel elérjük, hogy a mágneses tér nem befolyásolja ns értékét. Legyen a test termodinamikailag egyensúlyi állapotban, tehát a normális áram értéke nulla, azaz is= j. 2° Képezzük a (44, 7) egyenlet mindkét oldalának rotációját, észrevéve, hogy rot A = B (a test mágneses indukciójának vektora) megkapjuk aLondon-egyenletet (F. London, H. London, 1935): 21

• e2ns rotJ = - - - B . me Ez az egyenlet sajátosan is felhasználjuk:

aszupravezetőkre

(44,8)

vonatkozik. Ha a MaxweH-egyenleteket

4u. rot B = ---J, c div B= O,

(44,9)

(44,10)

A szupravezetők fenomenologikus elektrodinamikáját e sorozat VIII. kötetében mutatjuk be. Ezt az alábbiakban a fejezet során mindenütt feltesszük, ezért i mindig a szupravezetőáram sűrűségét jelöli. 21 (44,8) most bemutatott levezetését L. D. Landau adta (1941). 19

20

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

214

V. FEJEZET. A SZDPRAVEZETÉS

és a (44,9)-ből kifejezett j-t (44,8)-ba helyettesítve, megkapjuk a mágneses térre vonatkozó egyenletet: LlB

=

szu.pravezetőbeli

o- 2 B,

(44,11)

ahol felhasználtuk, hogy (44,10) miatt rot rot B= -LlB, és bevezettük a (44, 12) jelölést. Adjuk meg ebből az egyenletből kiindulva a mágneses tér eloszlását a szupravezető­ ben, annak felülete közelében; a felületet síknak tekintjük, és yz síknak választjuk, az x tengelyt a testbe irányítjuk E konvenciókkal nyilvánvaló, hogy az eloszlás egyedül x függvénye. (44,10)-ből dBxfdx = O, így (44,11)-ből automatikusan következik, hogy B.-.= O. A (44,11) egyenlet ekkor a d2Bfdx 2 = B/o2 alakot ölti, ahonnan (44,13) a

~

vektor párhuzamos a felület síkjávaL Látjuk, hogy a mágneses tér exponenciálisan csökken a szupravezető belseje felé haladva, a behatolási mélység "' o. Ez a hossz makroszkopikus, de kicsiny a minták szokásos méretéhez képest (o "' 10- 6 -10- 5 cm), igy a tér valójában csak egy igen vékony felületi rétegbe hatol be. A b hosszt a London-féle behatolási mélységnek hívják. Hangsúlyozzuk, hogy ez közvetlenül mérhető mennyiség, melynek értelme jól definiált, n, teljesen egyezményes jelentésétől eltérően. A bemutatott levezetésnek azonban lényegi hiányossága van. A (44, 7) kiindulási képlet csak térben elegendően lassan változó mennyiségekre igaz: csak ha azok a karakterisziikus hosszak, amelyeken lényegesen megváltoznak, jóval nagyobbak a ~0 koherenciahossznál.2 2 Ez most azt a feltételt rója ki, hogy b» ~O·

(44,14)

Ez a korlátozás azonban nem vet árnyékot arra, hogy sikerült bizonyítani a mágneses tér kiszorulását a szupravezetőből: a kiszorulás hiánya logikai ellentmondásra vezetne, mivel ekkor a tér változási sebessége nyilván kicsi lenne, és a (44,11) egyenlet alkalmazható lenne. De megjegyzendő, hogy maga a (44,11) egyenlet és a tér csillapodására belőle következő (44,13) törvényszerűség alakja csak a (44,14) feltétel teljesülése esetén igaz. 22 Emlékeztetünk arra, hogy a B indukció a mikroszkopikusan mérhető igazi térerősség, amelyet fizikailag végtelen kicsiny térfogatokra átlagoltunk E térfogatok csak az elemi cellához kéj:est nagyok.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

44.§. A SZDPRAVEZETŐ ÁRAM

215

Azt a helyzetet, amikor a szupravezetőben teljesül a o» ~o egyenlőtlenség, Londonellenkező határhelyzet ben, mikor o« ~0 , Pippard-típusú szupravezetőről beszélnek (az ekkor érvényes csillapodási törvényt az 52. §-ban tárgyaljuk). Ha T --+- Tc, a szupravezető elektronok sűrűsége n8 _,._ O, azaz o _,_ oo. Ezért az átalakulási hőmérséklet közelében mindig a London-típusú esettel állunk szemben. Ha T- O, ó és ~o viszonya a fém konkrét tulajdonságaitól függ. 23 Végül vizsgáljuk meg a (44, 7) kifejezés még egy következményét, amely független és ~o viszonyátóL Mint a szupravezetők makroszkopikus elektrodinamikájából ismeretes, ha egy szupravezető gyűrűn mágneses fluxus halad át, akkor ez a fluxus változatlan marad a test tetszőleges állapotváltozása során (amely persze nem szünteti meg a szupravezető tulajdonságot). Ennek során feltesszük, hogy a gyűrű átmérője és vastagsága nagy a tér behatolási mélységéhez és a koherenciahosszhoz képest. Megmutatjuk, hogy a gyűrűbe "befagyott" mágneses fluxus nagysága csak valami "elemi fluxuskvantum" egész számú többszöröse lehet (F. London, 1954). A test vastagságában (a behatolási tartományon kívül) az áramsiírűség j = O; a vektorpotenciál viszont különbözik nullától, csak rotációja zérus (a B mágneses indukció). Vegyünk fel valamilyen C zárt görbét, amely körülfogja a gyiírű nyilását, és végig a test belsejében, annak felületétől távol halad. Ezzel biztosítottuk a (44,7) képlet teljesülésének feltételeit, a tP fázis és az A vektorpotenciál elegendően lassú változását. Az A vektor cirkulációja C mentén egybeesik a zárt göbe által kifeszitett felületen áthaladó mágneses fluxus q; értékével:

típusúnak hívjuk. Az

o

f

A dl

Másrészt (44, 7)-et nullával téve

=

Jrot A • df = f B df = ff'.

egyenlővé,

és azt is integrálva, a görbe mentén

1j A dl = ~ 1 \ltP. dl = !!!:__ő@ 2ej 2e adódik, aholi lJ@ a hullámfüggvény fázisának megváltozása, miközben körbehaladunk a görbén. E függvény egyértékűségéből következik, hogy a fázis megváltozása csak 2n többszöröse lehet. Így jutunk a ffJo

= -n !í-c = 2· 10- 7 gauss ·cm2 = 2· 10-15 Wb lel

(44,15)

eredményre, ahol n egész szám. A cp0 mennyiség a mágneses fluxus kvantuma. 23 A London-tipus ú helyzet érvényes pl. a periódusos rendszer átmeneti csoportjainak tiszta fémeiben és néhány :intermetallikus vegyületben a teljes hőmérsékleti tartományban. A Pippard-eset lép fel (T.-től távol) a nemátmeneti tiszta fémekre.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

216

V. FEJEZET. A SZUPRAVEZETÉS

A mágneses fluxus kvantáltságának más vonatkozása is van: ezzel a szupravezető alkalmazása nélkül) folyó J áram értéke is csak diszkrét értékeket vehet fel. Ugyanis J mágneses fluxust hoz létre a gyűrun át, melynek értéke LJfc, ahol L az önindukciós tényező. Ezt az ncp0 lehetséges értékekkel egyenlővé téve, azt kapjuk az áram lehetséges értékeire, hogy gyű:ríiben (külső mágneses tér

(44,16) A mágneses fluxuskvantummal ellentétben a "teljes áram kvantuma" függ a alakjától, méretétől (az L önindukció alakfüggése révén).

gyűrű

Feladat

o

Határozzuk meg az R « sugarú szupravezető gömböcske mágneses momentumát, ha az Londontipusú, és külső mágneses térben helyezkedik el. Megoldás. Ha R «

o, a gömb belsejében a mágneses tér állandónak tekinthető és egyezőnek a

külső 4} mágneses térerősségget A vektorpotenciált A= ~Xr alakban felvéve, az áramsúrűségre egyszerűen ·

j= -(n,cNmc) A

írható [azaz (44,7)-benw = O·t írunk]. Az áram normális komponense a határfelületen ekkor auto· matikusan eltűnik (nj = O). A mágneses momentumot a;l

M =

2~

J(rXj)dV

integrál adja meg, ahol a gömb térfogatára integrálunk, és ebből az következik, hogy

R&

M = - 30CJ2 4}.

45. §. A Ginzburg-Landau-egyenletek A szupravezető külső térbeli viselkedését leíró teljes elmélet igen bonyolult. A helyzet azonban jelentősen egyszerűsödik az átalakulási pont közelében. Itt viszonylag egyszeru egyenletrendszer építhető fel, amely nemcsak gyenge, hanem erős terekben is alkalmazható. 2~ H A bemutatandó elméletet V. L. Ginzburg és L ..D. Landau dolgozta ki 195D-ben. Figyelemreméltó, hogy fenomenológiai megalapozást adtak az egyenleteknek, megelőzve a szupravezetés mikroszkopikus elméletének megalkotását.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

45.§. A GINZBURG-LANDAU-EGYENLETEK

217

A másodfajú fázisátalakulások általános Landau-elméletében a "szimmetrikus"· és a "nem szimmetrikus" fázist a rendparaméter különbözteti meg egymástól, amely az átalakulási pontban nullává válik (1. V. 142.§). Aszupravezető fázisban a rendpara-méter természetes módon azonositható a kondenzátum E hullámfüggvényével. A túl-· zott (és nem elvi jellegű) bonyodalmak elkerülésére a fémkristályt köbös szimmetriájúnak tekintjük. Mint a 44. §-ban megmutattuk, ekkor a szupravezető állapotot az n5 , skalár mennyiség jellemzi, ami a szupravezető elektronok sűrűsége. Alkalmasabb választásnak tűnik ez esetben egy E-vel arányos ('ljJ-vel jelölendő') mennyiség válasz-tása, melyet a l "P 12 = n8 /2 feltétel normál. A "P mennyiség fázisa megegyezik E fázisá-· val: (45,1} A szupravezető áram (44,2) sűrűségét 'ljJ-Vel a következő alakban fejezzük ki:

• s =elí- l'ljJ 12 J

m

ie/í \ ln;.w = 2 - - ('ljJ * \l'ljJ-'IjJ \l'ljJ *). .

m

(45,2}

Az elmélet kiindulási pontja a szabad energia kifejezése a "P(r) függvény funkcio-náljaként. A Landau-elmélet általános posztulátumaival összhangban ezt a funkcionált úgy kapjuk meg, hogy a szabad energia sűrűségét az (átmeneti pont közelében} kicsiny "P rendparaméter és koordináták szerinti deriváltjainak hatványai szerint kifejtjük. Először vizsgáljuk a külső tér nélküli esetet. Minthogy E(X) az F(X, X) =- iE(X) összefüggés szerint arányos egy Greenfüggvénnyel, igy a "P rendparaméter nem egyértelmű. Ugyanismivel F(X, X) két -.p-tényező szorzatának várható értéke, ezen operátorok fázisának tetszőleges megvál-tozása (1Jr .... 1Jié•l2) F fázisát a-val változtatja meg. Ettől az önkénytől a fizikai mennyi-ségek természetesen nem függhetnek, tehát invariánsaknak kelllenniük a "P rendpara-méter "P .... 'ljJtÍa. fázistranszformációjára is. E követelmény kizárja a szabad energia sorfejtéséből "P páratlan hatványait A sorfejtés konkrét alakját ugyanazon megfontolások alapján kapjuk meg, mint a másodfajú fázisátalakulások általános elméletében (1. V. 146. §). Ezeket nem ismételjük meg, hanem közvetlenülleirjuk a teljes szabad energia következő sorfejtését a szupravezető testre: 25

F= Fn+

f{:~l

\l1pl 2 +ai"PI 2 + ~

I"PI 4

}dv.

(45,3}

25 Ismerjük fel, hogy a gradienst tartalmazó tag fenti alakja a kristály köbös szimmetriájával kapcsolatos. Alacsonyabb szimmetriájú esetben a o!p/ox1 deriváltak valamely általános kvadratikus alakja. állna helyette.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

218

V. FEJEZET. A SZUPRAVEZETÉS

Itt Fn a normális állapot ('IfJ= O) szabad energiája; b csak az anyag sűrűségétől (a hő­ nem) függő pozitív mennyiség; a a hőmérséklettől az

mérséklettől

a= (T-Tc)

(45,4)

IX

képlet szerint függ, azaz a kritikus pontban értéke zérus; IX >-O annak megfelelően, hogy T< Tc aszupravezető tartomány. (45,3)-ban l \l'lfJ 12 együtthatóját úgy választottuk meg, hogy az áramra a (45,2) képietet kapjuk (1. alább). 26 A (45,3) egyenletben azért szerepeinek csak 1p első deriváltjai, mivel1p térbeli változását elegendően lassúnak tételezzük fel. Homogén szupravezetőre, külső tér nélkül, a 1fJ paraméter helyfüggetlen. Ekkor a '(45,3) kifejezés az (45, 5) .alakra egyszerűsödik. j1p j2 egyensúlyi értékét (T< Tc) e kifejezés minimuma határozza meg: (45, 6) .a szupravezető elektronok síírűsége az átmeneti pontban lineárisan tűnik el.

A (45,6) kifejezést (45,5)-be helyettesítve, megkapjuk a .állapot szabad energiáinak különbségét:

szupravezető

és a normális

(45, 7) Ebből hőmérséklet fajhő

szerinti deriválással kapjuk meg az entrópiakülönbséget, majd a ugrását a kritikus pontban :2 7 (45, 8)

26 Ennek a választásnak (ami többek között m-et az elektron valódi tömegével azonosítja) nincs mélyebb értelme, és ugyanúgy egyezményesnek tekinthető, mint n, (44,2)-beli definíciója. 27 j 'P j2= (!sf2m-re és a fajhőugrásra vonatkozó (45, 6) és (45, 8) képleteket a BCS modellből adódó :.(40, 16) és (40, ll) képletekkel összehasonlít va, megkaphatjuk az ~ és b paraméterek értékét ebben a modellben (L. P. Gorkov, 1959):

b=

~T.!n;

itt az n = elm részecskeszám-sűrűségre és a fl kémiai potenciálra az ideális gáz esetén (T ,érvényes kifejezést használtuk:

=

O)

fl= p'j,/2m

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

45.§. A GINZBURG-LANDAU-EGYENLETEK

219

Az átalakulási pont közelében a (45, 7) különbség a szabad energia kis korrekcióját adja. A kis járulékokra vonatkozó tétel (V. 15. §) értelmében ugyanez a kifejezés (melyet a hőmérséklet és a nyomás függvényeként adunk meg a hőmérséklet- és a térfogatfüggés helyett) adja meg a termodinamikai potenciálok @s-ct>" különbségét is. Másrészt, a szupravezetők termodinamikájának általános képlete szerint [l. VIII. (43, 7)), ez a különbség megegyezik a - VH~f8n mennyiséggel, ahol He a szupravezetést letörö kritikus térerősség. Így e mennyiségre az átalakulási pont közelében a következő bőm.érsékletfüggést vezethetjük le: 28

_ ( 4na2 )112 _ ( 4n()(2 )112 He- -b- -b(Tc-T).

(45,9)

Mágneses tér jelenlétében a szabad energia (45,3) kifejezését két vonatkozásban kell módosita:nunk. Először, az integrandushoz a mágneses energia B2/8n sűrűségéthozzá kell adni (ahol B = rot A a testbeli mágneses indukció). Másodszor, úgy kell megváltoztatui a gradienst tartalmazó tagot, hogy a mértékinvariancia követelménye teljesüljön. Az előző szakaszban megmutattuk: ez a feltétel arra vezet, hogy a kondenzátum hullámfüggvénye fázisának gradiensét a 'V@- 2eAflíc kifejezéssel kell helyettesiteni Ez most azt jelenti, hogy a \l 'IfJ

= ei({;

\1

11fJ l+ hp

\1 (jj

-+

\l'ljJ-

2ie

71C Á'ljJ

helyetteshést végezzük el. Így a következő alapösszefüggésre jutunk: (45,10) (Fno a normáhs állapotú test szabad energiája külső tér nélkül). Hangsúlyozzuk a 2ieflíc együttható feltételmentes jellegét (ellentétben a lí 2f4m együttható már említett egyezményes jeHegével). Az elektron töltése a Cooper-hatás következtében duplázódik meg (L. P. Gm·kov, 1959); ezt az együtthatót természetesen nem lehet fenamenologikusan ]evezetni. 28

A BCS modellben

ha

r .... r•.

T = O esetén e modellben H.

[ezt a -

= 0,99T.(mp!!/n3 ) 112

vu;;sn értéket (40,9)-cel egyenlővé téve kaptul(].

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

220

V. FEJEZET. A SZDPRAVEZETÉS

A 'lfJ hullámfüggvényt és a mágneses tér szupravezetőbeli eloszlását meghatározó differenciálegyenleteket a szabad energiának a 'IfJ, 'IfJ*, A független függvényele funkcionáljaként való minimalizálásával határozhatjuk meg. Mivel a komplex 'lfJ mennyiséget két valós függvény jellemzi, így 1p-t és7p*-otfüggetlennek tekintjük a variálás során. Az integrált1p* szerint variálva és a ('v 7p- 2ieAf!íc) \l fJ1p"' tagot pardálisan integrálva, azt kapjuk, hogy

(45,11) ahol a második integrált a test felületére vesszük. Ha tJF = O, és megköveteljük, hogy a térfogati integrál is tetszőleges b7p*-ra nulla legyen, akkor (45,12)

(a 'lfJ szerinti variálás a komplex konjugált egyenletre vezet, azaz semmi ujat nem ad). Az integrált A szerint hasonlóan variálva, a Maxwell-egyenletet kapjuk: 4n. rot B = - J , c amelyben az

áramsűrűséget

(45,13)

a

. =ie/í- (1p * \l'lj!-'!j! \l'lfJ"') -2e2 J - l 'lfJ

2m

me

l?~ A

(45,14)

kifejezés adja meg, ami megegyezik (44,7)-tel (azért írunk j-t j 8 helyett, mert termikus egyensúlyban a normális áram zérus). Megjegyezzük, hogy (45,13)-ból következik a dív j = Okontinuitási egyenlet, ezt (45,14) közvetlen deriválásával kapjuk, figyelembe véve (45, 12)-t. A (45,12)-(45,14) egyenletek adják a teljes Ginzburg-Landau-egyenletrendszert. Az egyenletekhez tartozó határfeltételeket a (Jp variációkbeli felületi integrálok eltűnésének feltétele adja meg. Így (45,11)-ből (45,15)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

45.§. A GINZBURG-LANDAU-EGYENLETEK

221

adódik, ahol n a felület normálisa. Megjegyezzük, hogy e feltétel teljesülésekor a (45,14)szupravezető áram normális komponense is eltűnik, mint az várható: nj= 0.211 A térerősségre vonatkozó határfeltételekre a (45,13) egyenletből, figyelembe véve j végességét a teljes térben (a test felületéig bezárólag), következik a B indukcióvektor tangenciális komponensének (B1) folytonossága. A divB =O egyenletből

a Bn normális komponens folytoncssága is következik. Más szavakkal, a határfeltételek a teljes B vektor folytonosságát követelik meg. Gyenge mágneses térben annak hatása elhanyagolható 11J1 12-re, és igy 11J1 12 - melynek értékét (45,6) adja meg - az egész testben állandónak tekinthető. Ekkor (45, 14)-et (45,13)-ba helyettesítve, (majd képezve az egyenlet mindkét oldalának rotációját) a (44,11) London-egyenletet kapjuk, melyben a (45,16)

behatolási mélység szerepel. E méret mellett a Ginzburg- Landau egyenletek még egy karakterisztikus hosszt tartalmaznak: a 1p rendparaméter fluktuációinak korrelációs hosszát (térmentes esetre); jelölje ezt ~(T). A fluktuációelmélet (l. V. 14(). §) általános képletei szerint a szabad energia (45,3)-beli kifejezésének együtthatóival ez a hosszúság a

~(T) alakban

fejezhető

lí

lí

= 2(m l a 1)112 = 2(mOt)1i 2 (Tc- T) 112

(45,17)

ki.

29 A (45,15) hatái-feltétel szerint tp nem válik nullává, amint azt mint hullámfüggvényre, a test felületén esetleg elvárhatnánk. Ez azzal kapcsolatos, hogy tp csak a felülettől "'~o nagyságrendű, távolságra válik zérussá; az ilyen távolságokat a Ginzburg-Landau elmélet keretében végtelen ki· esinek tekintjük. A (45,15) feltételt itt lényegében a szupravezetö és vákuum határára vezettük le. Ez dielektrikummal való érintkezésre is érvényes marad, de különbözö fémek közti határra (melyek egyike szupravezetö, másikuk normális állapotú) nem alkalmazható, mivel nem veszi figyelembe a szupravezetö elektronok részleges behatolását a másik fémbe. Ebben az esetben (45,15)-öt egy általánosabb feltétel váltja fel, amely összefér az nj = Ofeltétellel:

(45,15a) ahol .A valós (hosszúság dimenziójú) állandó; ennek az állandónak a megbecsülése részletesebb mikroszkopikus vizsgálatot igényel.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

222

V. FEJEZET. A SZUPRAVEZETÉS

A (45,16)-(45,17) karakterisztikus bosszak meghatározzák azon távolságok nagyságrendjét, amelyeken a rendparaméter és a mágneses tér lényegesen változik. A oméret általában a mágneses téne, a ~(T) hosszúság pedig a 1JJ rendparaméterre jellemző. Mindkét hosszúságnak jóval meg kell haladnia a ~o "pánnéretet", hogy teljesiiijön az összes mennyiség lassú térbeli változásának feltétele. Minthogy a kritikus ponthoz közeledve mindkét hossz növekszik [(Tc-T)- 112 szerint], így annakközelében ez a feltétel általánosságban teljesül (1. alább). Nagy jelentőségű a bemutatott elméletben a Ginzburg-Landauparaméter, amely a fenti két hosszúság állandó (hőmérsékletfüggetlen) llányadosaként van definiál va:

:> O, és a másodfajú szupravezet6kre: ocns < O. Minthogy ocns előjeiét a Ginzburg- Landau paraméter szabályozza, így az első típusnak (Tc közelében) u< 1/Jií, a másodiknak pedig u > 1/Jií felel meg. 36 so A tiszta fémes elemek az elsőfajú szupravezetőkhöz tartoznak. A szupravezető ötvözetek másodfajúak. Azt a sejtést, hogy az ötvözetekben u> 1!y2, elsőként L. D Lantlau mondta ki.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

47.§. A SZDPRAVEZETŐK KÉT FAJTÁJA

231

Tekintsünk egy kiterjedt hengeres szupravezetőt külső longitudinális ~ mágneses térben. Ha a szupravezető elsőfajú, akkor a tér növelésekor elsőfajú fázisátalakulás következik be a He kritikus térerősségnéL A felületi feszültség szerepe ekkor csak annyi (mint általában bármely elsőfajú átalakulás során), hogy megneheziti az új fázis első magjainak létrejöttét, és ezzellehetőség nyílik az s fázis metastabil fennmaradására olyan terek esetében is, melyek valamelyest meghaladják He-t. Ha a sz1,1pravezető másodfajú, akkor még He elérése előtt termodinamikailag elő­ nyössé válhat az n fázis "beépülése". A térfogati energia megnövekedését a mag felületi feszültségének negativ járuléka kompenzálhatja. A tér értékének azt az alsó határát, amelyre ez teljesül, alsó kritikus térerősségnek nevezik és Hc1-gyel jelölik. Hasonló módon, ha normális állapotú fémből indulunk ki erős külső térben, egy másik Hc 2 >He értéket kapunk (afelső kritikus térerősséget J, amely alatt az s fázis beépülése termodinamikailag kedvező a negatív felületi energia járuléka révén. Így egy meghatározott Hc1 < ~ < Hc2 intervallumban a szupravezető az ún. kevert fázisban található. 37 Ebben az állapotban tulajdonságai folyamatosan változnak a tisztán szupravezető állapottól, Hc1-gyel kezdve, a tisztán normális állapotig, Hc2-ig. Ezzel együtt a mágneses tér folyamatosan hatol be a mintába. Az n és s fázisok térfogati energiáival definiált He értéknek ez esetben nincs jelentősége. Mindkét kritikus térerősség hőmérsékletfüggő, és értékük T = Tc esetén zérussá válik. Ez a 7. ábrán látható fázisdiagramm vezet másodfajú szupravezetők esetében (a diagramban szereplő szaggatott vonalról l. alább). b

7. ábra

A felső kritikus teret (a Ginzburg- Landau elméletben) még a vegyes fázis szerkezetének felkutatása előtt kiszámithatjuk. Elegendő azt észrevenni, hogy Hc2-nél 37 Ne tévesszük össze az elsőfajú szupravezetők közbenső állapotával, amely a minta és a mágneses tér meghatározott elrendezésében lép fel!

www.interkonyv.hu

külső

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

232

V. FEJEZET. ASZUPRAVEZETÉS

kissé kisebb terekre az s fázis magjaiban a 1p rendparaméter értéke csak kicsi lehet (nyilván 1p •--- O, ha S) -.. H 02). Ezért a magok állapotát a Ginzburg- Landau egyenletek 1p-ben linearizált alakjával határozhatju).c meg. A (45,12) egyenlet nemlineáris. tagját elhagyva, az

)2

. 2e A '1fl = lal'1fl - l ( -znv--. 4m c

{47,1)

egyenletre jutunk, ahol A a 1p = O állapotú anyagban á homogén $í teret leíró vektorpotene H 02 esetén megjelennek (D. Saint- James, P. G. De Gennes, 1963). A (47,1) egyenlet azon megoldásának, amely a felülethez közelis fázisú magot ir le (a felületet síknak tekintjük), aszóban forgó felületen a B1p/Bx = O határfeltételt kell kielégítenie, ahol x a felület normálisa irányában számított koordináta [ez a (45,15) feltétel Ax = 0-ra]. Az alkalmas kvantummechanikai analógia megtalálásához emlékeztetünk arra, hogy a fent megoldott feladat a részecskék homogén külső mágneses térbeli mozgásáról, ekvivalens az egydimenziós parabolikus gödörben való mozgás feladatával:

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

47.§. ASZUPRAVEZETŐK KÉT FAJTÁJA

233-

ahol x0 a "pálya centrumának" megfelelő állandó (1. III. 112. §). Tekintsünk most egy kettős potenciálgödröt, melyet két egyforma parabolikus gödörből teszünk össze .. E gödrök az x = O síkhoz viszonyítva szimmetrikusan helyezkednek el (8. ábra) .. Ilyen térben a részecske alapállapotát olyan '!f!(X) függvény adja meg, amelynek nincs. nullahelye, és páros x-ben. Erre a függvényre triviálisan teljesül, hogy '!f!' = O, ha x= O. Ugyanakkor a dupla gödörben az alapnívó alacsonyabban fekszik, mint egyetlen gödör esetében.3 8 Áttérve a magok feladatára, ezzel bebizonyítottuk a fenti állítást arról, hogy a felület közelében a magok keletkezése könnyebb, mint az anyagdarab, belsejében.

-Xo

Xo

8. ábra

A kettős gödörbeli energiaszinteket numerikusan kiszámítva, az (x0 függvényében) minimális energiaérték 0,59 E 0 • A (47,2) képletre a vezetőkkel azonos megfontolások alapján azt kapjuk, hogy a felületi s fázisú magok megjelenésének felső határt szabó mágneses térerősség Hc3 = Hc 2 /0,59, azaz Hc3 = 1,7Hc2 = 2,4uHc.

(47,3)

Így a Hc 2 és Hc 3 térerősségek közti tartományban fellép a felületi szupravezetés jelensége; ennek a tartománynak a határát a 7. ábrán a szaggatott vonal mutatja . A normális fázis felületénéllétrejövő szupravezető réteg vastagsága ~(T) nagyságrendjébe esik. Ezt a fent használt kvantummechanikai anaJógiával kaphatjuk meg: a potenciálgödörben (azE0 szinten) elhelyezkedő részecske hullámfüggvénye az x rv n/j/mE0 . tartományban összpontosul. A mag ennek megfelelő méretét E 0 -nak l a l-ra változtatásával kapjuk, az eredmény [(45,17) szerint] ~(T)-vel egyezik. Mindaz, amit most elmondtunk, másodfajú szupravezetőkre vonatkozik. Az így bevezetett Hc 2 és Hc 3 kritikus térerősségeknek azonban határozott fizikai jelentése lehet elsőfajú szupravezetőkre is. Ha u az 11J12 = 0,71 >u > 0,59fV2 = 0,42 tartományban van, akkor Hc2 < He, de Hc 3 > H;. Bár a kevert fázis ebben az esetben nem jön létre, a He és Hc 3 közötti tartományban mégis jelen van a felületi szupravezetés. 38 Ez azzal kapcsola tos, hogy a potenciális energia az x < O féltérben csökkent az egyetlen gödör esetéhez képest (a 8. ábra szaggatott görbéje). L. pl. III. 50.§ 3. feladat.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

:234

V. FEJEZET. A SZUPRAVEZETÉS

Végül a levezetésből következik, hogy Hc 2 (47,2)-beli értéke (tetszőleges "-ra) meg.adja azon ·térerősségek felső határát, amelyekre bármely kicsiny 1p-vel, s fázisú mag létrejöhet. Ezért elsőfajú szupravezetőben (ahol Hez< He) a~< Hez külső terelere a termodinamikailag kedvezőtlen normális fázis abszolút instabil. A Hc2 < ~ < He intervallumban a normális fázis metastabilként létezhet: ebben a tartományban az n ·fázisból az s fázisba átvezető elsőfajú fázisátalakulás csak véges 1p-jíí magok megjelenésével következhet be, ezt pedig megneheziti a pozitív felületi feszültség (V. L. esetén) kapott E 0 érték, R « d-ra valóban kicsiny a következő sajátértékhez képest, amely a gömb belsejében vál.tozó hullámfüggvényhez tartozik, és melynek nagyságrendje lí 2fmR 2•

48. §. A kevert fázis szerkezete Újra (csakúgy, mint az előző szakaszban) hengeres másodfajú szupravezető mintát ·tekintünk hosszirányú~ mágneses térben~ A kevert fázis szerkezetét vizsgáljuk, ..amikor a testre a He1 alsó kritikus térerőt alig meghaladó külső mágneses tér hat. 3 9 39

www.interkonyv.hu

E szakasz (és a hozzá tartozó feladatok) eredményeit A. A. Abrikoszov érte el (1957).

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

235

48.§. A KEVERT FÁZIS SZERKEZETE

Ebben az esetben szupravezető alapfázisba zárt normális állapotú magokkal van dolgunk. A legelőnyösebb termodinamikai helyzet elérésére a magok felületének a lehető legnagyobbnak kell lennie (negatív felületi feszültség esetén!). Természetes ezért az olyan szerkezet, amikor az n fázisú magok a tér irányával párhuzamos szálakat alkotnak. E fonalak (melyeket örvényfonalaknak hívnak) közelében koncentrálódik a testbe behatoló mágneses tér, és a fonalakat szupravezető köráramok veszik körül. Minél közelebb van a külső tér erőssége He1-hez, annál kevesebb ilyen fonál van a testben, egymástól való távolságuk annál nagyobb. Mikor ez utóbbi elegendően nagy, akkor az örvényekre alkalmazhatókká lesznek a 44.§ végén leirt megfontolások, amelyek szerint az örvényben összpontosuló teljes fluxus a q;0 = nlícfl el elemi fiuxuskvantum egész számú többszöröse kell, hogy legyen. Az alábbiakban belátjuk, hogy termodinamikailag a legkisebb erősségű, q;0 fiuxusú örvények a legstabilabbak. Éppen q;0 végessége akadályozza meg a normális fázisú magok további darabolódását. Mikor a tér kicsiny értékekről indulva eléri a He 1 értéket, a hengerben egyetlen örvényfonal alakul ki. Írjtik fel azt a termodinamikai feltételt, amely ezt az értéket meghatározza. Ehhez nem kell az örvény szerkezetét közelebbről tekinteni, elegendő azt szem előtt tartani, hogy ez az objektum véges (pozitiv l) energiájú; e pozitiv enl;'rgiának hosszegységre jutó mennyiségét e-nal jelöljük (és az alábbiakban ezt kiszámitjuk). Nyilvánvaló, hogy hengeres testben külső, hosszirányú tér esetén B szintén a henger tengelye mentén mutat. Ugyanez vonatkozik a H= B-4~M makroszkopikus térerősségre, melyet a 46. §-ban vezettünk be. A rot H = O egyenletből ekkor az következik, hogy H a keresztmetszetben állandó (így természetesen a henger teljes térfogatában is az). A határfeltétel megköveteli H tangenciális komponensének folytonosságát, iígy H = (?. Tehát a test termodinamikai egyensúlyát adott térfogaton, hő­ mérsékleten és H térerősség mellett kell meghatároznunk Az egyensúly feltételét az P termodinamikai potenciál minimuma adja, a mondott változók függvényében {1. VIII. 30. §). Legyen !!8 a teljesen szupravezető henger potenciálja (minthogy a szupravezető fázisban B= O, az /!8 potenciál az F 8 szabad energiával egyezik meg). Ekkor az egy örvényfonalas henger P potenciálját

P= Pa+Le-

f:

dV= Fs+Le-!

f

B dV

adja. Az Le tag a fonál szabad energiája (L a fonál hossza, amely a henger hosszával egyezik meg), és az utolsó tag különbözteti meg az P potenciált az F szabad energiátóL Minthogy a B indukció a testben a fonál közelében összpontosul, így B dV= Lq;0 , ahol q;0 a fonál keresztmetszetén áthaladó indukció fiuxusa. Tehát

f

P= Ps+Le- L:;Sj.

www.interkonyv.hu

(48,1)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

236

V. FEJEZET. A SZDPRAVEZETÉS

Az örvényfonál akkor válik termodinamikailag stabillá, amikor az F8 -hez adódó korrekció negativvá válik. Tegyük zérussal egyenlővé, amiből a kritikus térerősségre Hel

= 4ne/rpo.

(48,2)

Vizsgáljuk most egy különálló örvényfonal szerkezetét. A fontos X>> l

(48,3)

eset vizsgálatára korlátozódunk (tehát {j»~). A ~ hosszúság meghatározza a fonal magjának méretét, amelyben l "P 12 nulláról (normális állapot) az s fázisnak megfelelő véges értékig növekszik. A fonál tengelyétől nagy r távolságra l "P 12 értéke már változatlan. 40 A B(r) indukció jóvallassabban változik, csak r "' {j » ~ távolságokon kezd lecsengeni. Más szavakkal, a mágneses fluxus nagyrészt a magon kivül halad, ahol l "P 12 állandó (9. ábra).

B(r)

a 9. ábra

Az utóbbi körülmény lehetövé teszi, hogy a tér eloszlását a London-egyenletből határozzuk meg (ezen egyenlet érvényességét nem korlátozza a Tc-hez való közelség). A számunkra szükséges alakot úgy kapjuk meg, hogy (44,7)-et, amely aszupravezető

40

www.interkonyv.hu

Ebben a szakaszban r a hengerkoordinátát, a

tengelytől

mért távolságo t jelöli.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

237

48.§. A KEVERT FÁZIS SZERKEZETE

áramot a hullámfüggvény fázisával összekapcsolja, az A+

o

o rot B = .J!!_ 2n 2

\l -

o.

(51,8)

A továbbiakban Q(k)-t kiszámítjuk a BCS modellben, amely, mint már mondtuk, izotrop elfajult Fermi-gáz, a részecskék (elektronok) között gyenge vonzóerőveL EgyideJűleg feltesszük, hogy a részecskék e töltésük révén hatnak kölcsön a mágneses térrel. A 42. §-ban a Fermi-gáz hőmérsékleti Green-függvényeire vonatkozó (42, 5) egyenleteket killső tér nélkül már felírtuk. A mágneses teret a \7->-\7- ieAfe helyettesítéssei veze~jük be a (7,7) b Hamilton-operátorba. 53 Emiatt ugyanilyen változtatás szükséges a 1p operátorra vonatkozó (7,8) egyenletben, illetve a \7-+\7 +ieA/e helyettesítés

!fr+ egyenletében. Ugyq_nez az általánosítás módja lJ!M és pM egyenleteire. A spin tag aH), amely az elektron mágneses momentumának közvetlen kölcsönhatását írja le a külső térrel, kicsi és elhanyagolható a Hamilton-operátorban és az egyenletekben egyaránt. A \l operátorral a +1.(-r:, r; -c', r') és (if( -c, r; -c', r') függvényekre hatva, ( rv

A

lJ!M(-c, r), ill. P'M(-c, r) térmennyiségeket kell deriválni. Ezért a (42,5) egyenletekbe ugyanazzal a \7->-\7 +ieAfe helyettesitéssei vezetjük be a mágneses teret, mint fent. A külső tér jelenléte megszünteti a rendszer térbeli homogenitását, aminek következtében a Green-függvények az r és r' változóktól már nem egyszerűen r- r' alakban, a -c és -c' változóktól viszont továbbra is a -c--c' formában függenek. Az egyenleteket

52

53

Ebben és a következő szakaszokban a London-féle behatolási mélységet c5L·lel jelöljük. E szakasz további tárgyalásában [az (51,9)-(51,19) egyenletekben] lí = l.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

254

V. FEJEZET. A SZDPRAVEZETÉS

rögtön a ('t-'t'')-beli Fourier-komponensekre írjuk fel:

{iC.+

;m ["V - ~

{-iC.+ 2~ [v+~

A(r)r+

,u} .fi(C.; r, r')+ g E (J(C.; r, r') =

ö(r), (51,9)

A(r)r+.u}(J(C.;r,r')-gE*.fi(C.;r,r')=

o.

Gyenge tér esetén, amire itteni vizsgálatunk korlátozódik, ezek az egyenletek linearizálhatók a .(j= .{j(O)+.(j(l), . (51,10) (j= (j(O)+(j(ll jelöléssel, ahol az első tagok a függvények térmentes értékét adják, a másodikok pedig az A-ban elsőrendű kicsinységű korrekciókat. Azt is figyelembe kell vennünk, hogy a tér jelenléte megváltoztatja a ko:ndenzátum E hullámfüggvényét, amely igy nem tekinthető állandónak. Ez a bonyodalom azonban nem lép fel a vektorpotenciál választott mértéke, divA= O

(51,11)

esetén. Ugyanis, a skalár E(r) függvényben az elsőrendű korrekció (a s állandó értékhez) szükségszerűen divA-val arányos, tehát (51,11) révén zérus. Ezért a linearizált egyenletekben a kivánt pontossággal gE = gE = Ll írható, ahol L1 az energiaspektrumbeli rés a térmentes esetben (valós mennyiség). Végeredményben az (51,9) linearizált egyenletek

alakúak. Ezek az egyenletek lineárisak A-ban, ezért egyetlen Fouríer-komponensre, vagyis az

elegendő

megoldani azokat

A(r) = A(k)eikr, (51,13) kA(k) =O választással élhetünk. Ilyen Á(r) esetén a .(jés qCl> függvények függését (r+r')-től azonnalleválaszthatjuk a következő módon: .(i(C.; r, r')

www.interkonyv.hu

= g(C,; r-r') eik(r+r'>Jll,

(51,14)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

51.§. AZ ÁRAM ÉS A MÁGNESES TÉR KAPCSOLATA SZDPRAVEZETŐBEN

255

Így (51,12)-ben az első egyenlet átírható az

= ~A(k) eikl kiindulva. Minthogy állandó terekkel foglalkozunk, elegend() az egyenleteknek a potenciál és a hullámfüggvény id6független transzformációival szembeni invarianciáját kihasználni:

A..._ A+ v/,

7p- 7p

exp (

!: 1),

(56, 4)

aholf(r) tetsz6leges koordinátafüggvény [l. III. (111,8)-(111,9)]. Gyenge térben az A(r) potenciál a koordináták lassan változó függvénye. Nem felejtve el, hogy e lassúság mibenlétét még tisztáznunk kell, foglalkozzunk el6ször az állandó potenciál határesetével: A(r) = const = Ao (természetesen az állandó potenciál fizikailag jelentés nélküli, mivel ekkor nincs létez(} térer6sség, azaz formális transzformációról van szó). Az A = O-ról A = Ao-ra való áttérés ekvivalens (56,4)-ben az f = A0r választással, ezért a kiinduló (A = O) 7psk =

Usk eikr

{56,5)

sajátfüggvények helyett az új Hamilton-operátor sajátfüggvényei: Usk(r)exp

{i (k+ :c

Ao) r}.

EbMllátszik, hogy a kváziimpulzus korábbi értelmének meg6rzéséhez (ami a hullámfüggvény fázisának megváltozását transzláció során meghatározza) a k+eA0 /Iíc = K mennyiséget kell bevezetni; az igy definiált K mennyiséget általánosított kváziimpulzusnak hivjuk. Ekkor az új sajátfüggvényeket 7psK

=

Us,K-eAotlic

(r) eiKr

alakban irhatjuk, a megfelel() sajátenergiákat pedig ea{k) = e.(K-eA0 /Iíc) alakba. Most kijelenthetjük, hogy nem állandó, de térben lassan változó A(r) potenciálra a hullámfüggvénynek a térer6sségben "nulladrendű" alakja a következő: 7psK

www.interkonyv.hu

=

Us, K-eAo/lic eiKr

(56, 6)

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

56.§. A KÜLSÖ TÉR HATÁSA A PERIODIKUS RÁCSBAN MOZGÓ ELEKTRONRA 281

(ahol az u függvény A helyfüggése miatt már nem szigorúan periodikus). 5· Az s.(K-eAjfzc) energiát most operátornak kell tekintenünk, amely K-reprezentációban a Hamilton-operátort állítja elő. Ugyanebben a közelítésben az r operátort

r= iB/BK-ként értelmezzük, elhagyva a második tagot (Q)

az (55,14) definícióbóL Ugyanis iB/BK-val a hullámfüggvényre hatva, azt nagyságrendileg egy rH "pálya-· méret" nagyságrendű mennyiség szorozza, ez pedig a tér csökkenésével nő; Q hatásának eredménye pedig nem tartalmaz ilyen növekvő tényezőt. Az .Q operátort ebben az értelemben gyenge térben kicsinynek tekinthetjük iB/BK-hoz képest. Mivel másrészt a B/BK operátor a sávindexben diagonális, ezzel diagonális d Hamilton-operátor is. Végeredményben arra az eredményre jutunk, hogy az elektron mozgását gyenge: mágneses térben (K-reprezentációban) a

h.=

s. (K- :c A(r)),

~

r=

. a l

BK

(56, 7}

Hamilton-operátor szabályazza (R. Peierls, 1933). E közelítésben tehát teljes az analógia a szabad részecske impulzusreprezentációbeli Hamilton-operátorában bekövetkező módositással, mágneses tér alkalmazásakor. Az (56,7) kifejezés még nem teljesen meghatározott, mivel a fel nem cserélhetőoperátorok hatásának sorrendjét nem rögzítettük; a k = K-eA/fzc vektor komponensei ugyanis nem kommutálnak. Úgy kell meghatároznunk ezt, hogy a Hamiltonoperátor hermitikus legyen. Ezt elvben mindig elérhetjük, ha az s.(k) függvényt,, amely a reciprok térben periodikus, Fourier-sorba fejtjük: Bs(k)

= L Asa éka

(56, 8}

a

(a térbeli rács minden a vektorára összegezünk). A k __,_ k helyettesítés után a sor minden tagjának kitevőjében csak egyetlen operátor áll (az A vektor vetülete a-ra),. azaz nem merül fel a sorrend kérdése. Az "hermitizálás" e módszere természetesen nem egyedülálló. Lényeges azonban, hogy a különböző módszerek közötti eltérés a vizsgált közelitésben nem jelentkezik, mivel a kx, ky, kz operátorok kommutátorai 5 Ha (56,6)-ot IfJ sk függvények szerint fejtjük ki, akkor a kifejtésben általában különböző s-ű függvények vesznek részt. Azonban hangsúlyozzuk, ez egyáltalán nem jelenti a:;,t, hogy reális átmenet következik be a másik sávba; csak azt fejezi ki, hogyan változik meg a hullámfüggvény az állandó tér hatására. Ennek kapcsán emlékeztetünk arra, hogy az állandó tér reális energiaváltozással járó átmeneteket nem hozhat létre. A helyzet megvilágításához azt vegyük észre, hogy bár a tér gyenge, az általa az állapotok osztályozásában okozott változások (többek között a kváziimpulzus és az: energia közti összefüggésé is) lényegesek

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

282

VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

e közelítésben kis mennyiségek. Így homogén térre: (56, 9) ahol közvetlen számolással belátható, hogy a (56,10) mennyiségek arányosak a kis H térerősséggeL Az r = iB/BK és aK= K operátorok a koordináták és az általánosított impulzusok ."szabad" (nem rácsbeli) részekre érvényes felcserélési szabályainak tesznek eleget. Ezért természetes, hogy ezeknek az operátoroknak a Hamilton-operátorral számolt kommutátorai a BH líK-- BH i'=-(56,11) Bt ' líBK A

A

~gyenletekre vezetnek,

melyek a szokásos Hamilton-egyenletek képét runtatják Tkiszámitásukra l. III. (16,4)- (16,5)]. Megismételjük, hogy az (56, 7) Hamilton-operátor közelítő jellegű, mivel az összes olyan tagot elhagytuk, amely a H térerősségtől függ, és nincs nagy (rn nagyságrendű) .együtthatója. A következő közelítések eredményeit egy H.(K- eAflíc, H) alakú Hamilton-operátorral foglalhatjuk össze, amely a sávindexben diagonális, de már nem fejezhető ki önmagában az e.(k) függvénnyet 6 Elhanyagolva a spin-pálya kölcsönhatást, az elektron spinjének figyelembevétele a Hamilton-operátorban a szokásos - flaH tag megjelenésére vezet, ami a mágneses momentum kölcsönhatását írja le külső térrel, ahol a a Pauli-mátrix fl = l e llífmc pedig a Bohr-magneton. Ha a kristálynak inverziós centruma van, a spin-pálya kölcsönhatás egyszerűen csak megváltoztatja az elektron mágneses momentumát, tehát a spinnek a külső mágneses térrel való kölcsönhatása (56,12)

.alakúvá lesz. Ugyanis ebben az esetben a Hamilton-operátor invariáns az egyidejű tér- és időtükrözésre. Ennek során a H -+ -H, a _,_-a helyettesítést kell változatlan 6 A korrekciós tag kiszámításának egyszerű példáját mutatjuk be az 59. §-ban. A Hamilton-operátor reguláris, H hatványai szerinti kifejtésének módszerére és a sor első tagjainak általános alakjára ·vonatkozó képleteket E. I. Blount, Phys. Rev.126 (1962) 1636; Solid StatePhysics 13 (1963) 306 közli. Megjegyezzük, hogy amennyiben a kristálynak inverziós centruma van, a sor H 2 nagyságrendű taggal kezdődik (1. 59.§).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

57.§. A KVÁZIKLASSZIKUS PÁLYÁK

283

k-val végrehajtani; (56,12) az az általános kifejezés, ami a jelzett követelményt kielégíti. A ~1k(k) tenzor általános alakját azonban nyilván nem lehet kiszámítani. Végül foglalkozzunk röviden az elektron viselkedésével, ha a rácsra gyenge E elektromos tér hat. A gyengeség feltétele azt jelenti, hogy az elektronnak a térből nyert energiája "' a nagyságrendű távolságon kicsi az e0 karakterisztikus energiához képest: l e l Ea « e0 • Ugyanúgy, mint a mágneses tér esetében, azok a tagok játszanak főszerepet, melyek a rp(r) skalárpotenciál növekvő koordinátafüggvényét tartalmazzák. A Hamilton-operátor rp-függését a fent alkalmazott megfontolásokhoz hasonló módon lehet általános alakban felírni. Tehát egy fiktív állandó ep = cp0 potenciált kapcsolunk be, ami ekvivalens a Schrödinger-egyenletbeli energia ecp0 állandóval való megváltoztatásával; ezt a tagot az összes e.(k) mennyiséghez hozzá kell adni. A nem állandó, de lassan változó rp(r) tér esetében, k-reprezentációban az effektív Hamilton-operátorhoz egyező alakú operátor adódik hozzá:

Els

= es(k)+ ecp(r).

(56,13)

57. §. A kváziklasszikus pályák Alkalmazzuk az előző szakasz eredményeit arra a fontos esetre, amikor az elektron mágneses térbeli mozgása kváziklasszikus. A kvázildasszikusság feltétele, mint ismeit, a de Broglie-hullámhossz megváltozásának kicsinysége önmagával azonos nagyságrendű távolságon. Esetünkben ez a feltétel az (57,1) feltétellel ekvivalens, azaz a pálya görbülete nagy a A rv l/k hullámhosszhoz képest. 7 Kváziklasszikus esetben beszélhetünk a részecske pályájáról. Ez az (56,11)-ből kapható mozgásegyenletek megoldásaként adódik, ahol az operátorokat a megfelelő 7 Ez a feltétel általában erősebb (56,3)-nál. Ha azonbank ~ l fa (ami a fém vezetési elektronjaira teljesül), akkor a két feltétel egyezik, és gyakorlatilag mindig teljesül is:

rH~ clík/l e l H~ clí/a l e l H esetén az rH» a egyenlőtlenség a

H« clí/1 e a2 ~ 1010 -1011 Alm J

feltételre vezet.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

284

VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

klasszikus mennyiségekkel helyettesítjük: •

oH

fJH

líK=-fJr'

v= lí fJK '

(az s indexet a rövidség kedvéért hagytuk el). írjuk ezt az egyenletrendszert explicit alakba, bevezeíve a "kinetikus kváziimpulzust" a K általánosított kváziimpulzus helyett:

Érvényes a

lí dk e --+dt c

dA( r) fJH e fJA; =----V·-dt fJr - c ' fJr

egyenlet. Felhasználva, hogy dAfdt = (v \l) A, és észrevéve, hogy

(v;\l)A;-(v\l)A = (vXrotA) = vXH, a mozgásegy:enlet: lídk e - - =-(vXH) dt c '

fJe(k)

v= lí ok •

(57,2)

Ez az egyenlet a szokásos klasszikus Lorentz-egyenlettől csak e(k) eltérő impulzusfüggése miatt különbözik: egyszeríi négyzetes függés helyett, bonyolult periodikus függvénnyel van dolgunk, aminek megfelelően a v(k) függvény is bonyolult periodicitást mutat. Ez a körülmény természetesen lényegesen megváltoztatja az elektron mozgásának jellegét. Vizsgáljuk az elektron mozgását homogén mágneses térben. (57,2)-t v-vel szorozva, az ismert módon lív dkfdt = defdt = O adódik. (57,2)-t ezután H-val szorozva, d(Hk)fdt = O az eredmény. Így az elektron rácsbeli mozgása során, ugyanúgy, mint a szabad elektron mágneses térbeli mozgásakor, e= const,

kz =const

(57,3)

(a z tengely H irányába mutat). A (57,3) egyenlőségek meghatározzák az elektron pályáját ak-térben. Geometriailag ez az a görbe, amely az e(k) = const izoenergetikus felület és a H mágneses térre merőleges sík metszéséből adódik. Az izoenergetikus felületek alakja sokféle lehet. Tartalmazhatnak (minden egyes reciprok rácsbeli cellában) több, nem összefüggő levelet. Ezek a levelek lehetnek egyszeresen vagy többszörösen összefüggők, zártak vagy nyitottak. Az utolsó meg-

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

57.§. A KVÁZIKLASSZIKUS PÁLYÁK

285

különböztetés megvilágítására célszerű olyan izoenergetikus felületet tekinteni, amely a teljes reciprok rácsban periodikusan folytatódó felületet alkot. Minden cellában azonos zárt részeket találunk, a nyitottak viszont az egész reciprok rácsban folytatódnak, kifutva a végtelenbe. 8 Az izoenergetikus felületekkel való metszés görbék végtelen halmazának adódik. Ebben megtaláljuk az izoenergetikus felület egy cellán belül elhelyezkedő különböző leveleit és azokat is, melyek a különböző reciprok rácsbeli cellákban periodikusan ismétlődnek. Ha a levél zárt, akkor összes metszete zárt görbének adódik. Ha a levél nyitott, akkor metszetei egyaránt lehetnek zártak és nyitottak (azaz az egész reciprok rácsban folytonosan folytatódóak). A mozgás kváziklasszikussága feltételezi, hogy kicsiny a valószínűsége a mágneses átütésnek, vagyis az elektron kváziimpulzusa ugrásszerű megváltozásának, miközben egyik görbéről a másikra lép át (ennek feltételére a szakasz végén vissz~térünk). Elhanyagolva e valószinuséget, következik, hogy az elektron mozgása az izoenergetikus feJillet egyetlen metszésvonalán zajlik le. Vizsgáljuk részletesebben a kváziimpulzus-térben zárt görbén haladó mozgást. Ez a mozgás nyilván időben periodikus; határozzuk meg periódusidejét Az (57,2) egyenletet a térre merőleges síkba vetítve kapjuk, hogy

= Vv~+V~,

VJ. ahol dlk =

ydk;+dk~ ak-pálya iveleme. Ebből clí t= jejH

Ha a görbe zárt, akkor a

periódusidőt

f

dlk

VJ. .

a (57,4)

integrál adja, ahol a teljes zárt görbére integrálunk. Szemtéletesebb alakot adhatunk e kifejezésnek a következő módon. Vezessük be az B= const izoenergetikus felület és a kz = const sik metszésvonalának S(B, kz) felü1etét. E sikban az B= const és az B+ dB= const görbék közötti 8 A félreértések elkerülésére megjegyezzük: megtörténhet, hogy lehetetlen egyetlen reciprok rácsbeli cellában elhelyezni az összes lényegesen különböző (azaz nem periodikus ismétléssei adódó) zárt felületet anélkül, hogy az oldalak "szétvágnák" azokat.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

286 gyűrű

VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

vastagságát a görbe minden egyes pontjában ds IBsjfJkl.

l

dS= d'"'

1

ds lívl.

adja meg, e gyűrű területe tehát

"'J

dl~c TzVj_ •

hogy az (57,4) integrál nem más, mint asfos. Tehát a mozgás periódusidejére írható, hogy Ebből látszik,

cn

T=

2

lel H

BS(s, kz) Bs

(57,5)

(W. Shock/ey, 1950). Természetesnek tűnik az

m

,. = -n2- -as2rt Bs

(57,6)

rácsbeli ciklotrontömeg bevezetése. Ekkor az elektron pálya menti keringésének frekvenciájára az WH

= l e l H fm* c

(57, 7)

összefüggés írható, ami a valódi tömeg m* -gal való helyettesítésében különbözik a szabad elektronokra érvényes Larmor-frekvenciától. 9 Hangsúlyozzuk, hogy rácsbeli elektronokra a ciklotrontömeg nem állandó, hanem s és kz függvénye, azaz változik különböző elektronokra. Megjegyezzük, hogy ez a mennyiség pozitív és negatív egyaránt lehet. Az előbbi esetben az elektron negatív töltésű részecskeként mozog pályáján, az utóbbi effektív töltése pozitív, lyuki ól beszélünk. Ennek megfelelően elektron- és lyukpályákról beszélünk. Eddig az elektronk-térbeli útját vizsgáltuk. Könnyű azonban belátni, hogy a kváziimpulzusbeli és a valódi térbeli pályák között szoros a kapcsolat. Az (57,2) mozgásegyenlet a

9 Szabad elektronra az izoenergetikus felület az e = lí 2k 2/2m egyenletű gömb. Metszeteinek, amik körök S = n(2meh 2 -k~) a területe, tehát a 8Sj8e derivált értéke 2nmjlí 2 és m* = m.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

57.§. A KVÁZIKLASSZIKUS PÁLYÁK

alakra, integrálás után (ha az r koordináta és a k kváziimpulzus választjuk) a

287 kezdőpontjátmeg­

felelően

(57,8} egyenlőségre

vezet. Ebből látszik, hogy a pálya xy sikba eső vetüiete a koordinátatérben lényegében megismétli ak-pályát, attól csak irányban és léptékben különbözik ~ az előbbit az utóbbiból a kx-+-

lel H

ne

y,

ky

lel H x

-+ __:_,:.----_

ne

cserével kapjuk meg. Ezenkivül a koordinátatérben a részecske vz = Bej/í Bkz sebességgel mozog a z tengely mentén. Ha a pálya zárt a k-térben, akkor a koordinátatérben a tér iránya körül csavarodó spirálist alkot. Ha nyitott a pálya, akkor a valódi mozgás vetülete az xy sikra szintén nyitott, tehát végtelen mozgás jön létre e sikban. Néhány szóban foglalkozunk még azzal a mozgással, ami akkor jön létre, ha a rácsra gyenge homogén elektromos E teret alkalmazunk. A kváziklasszikus lík = eE egyenletből

(57,9)

adódik. Az energia megmaradásából azt kapjuk, hogy e(k)-eEr = const.

(57,10)

A mozgás e(k) energiája azonban véges Lle szélességű intervallumban helyezkedhet ei (a sáv szélessége). Ezért (57,10)-ből az következik, hogy homogén elektromos térben az elektron mozgása a tér irányában véges: az elektron ebben az irányban Ll efl e l E amplitúdójú rezgéseket végez. Ha a tér valamely b reciprok rácsvektorral párhuzamos, akkor a mozgás frekvenciája w = 2n l e l E/líb; b "' l fa esetén fennáll a lícos "' l e lEa nagyságrendi egyenlőség. Tetszőleges téiirány esetén a mozgás kvázipeiÍodikus. Végül azt a feltételt tárgyaljuk, amely lehetövé teszi a fent említett mágneses átütés elhanyagolását. A (k-térbeli) egyik pályáról a másikra való átlépés valószínűsége természetesen nagy, ha e pályák valahol anomálisan közel kerülnek egymáshoz. Ez a helyzet akkor, ha a pálya egy önátmetsző pályához van közel, vagy a trajektória két izoenergetikus levél metszése közelében halad (tehát egy elfajulási ponthoz vagyunk közel). A pályák tipikus alakját mutatja erre az esetre a 14. ábra. A pályálc közti ök ugrás kicsi a pályák egészét jellemző karakterisztikus mérethez képest, ugyanakkor a pályák legközelebbi pontjaihoz tartozó R" görbületi sugár általában

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

288

VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

nagyságrendileg egyezik bk-val. Az egyik pályáról a másikra alagúteffektussal juthat .át az elektron. E folyamat valószínűsége (exponenciálisan) kicsi, ha bk nagy ahhoz a Llkx távolsághoz képest, amelyen a trajektóriák közti klasszikusan nem elérhető iartomp_nyban az elektron hullámfüggvénye lecseng.

14. ábra

ilkx-re becslést kaphatunk, ha kihasználjuk az elektron mágneses térbeli mozgása ~+~)~ 8

8

{ahol az összegezés minden elektronszeru és lyukszeru levélre vonatkozik). A 't'c:l mennyiség az elektronszeru üreg térfogatával egyezik a lyukszeru üreg térfogtaa viszont 1- 't'~. Vezessük be az elektron és lyuk kvázirészecskék számát: 71_=

2 L; -t~>, 8

n+=22:;(1-'t'~>). s

Páros n-re (ami egyúttal páros ne-t is jelent) megtörténhet, hogy ne éppen a lyuks2;eru ·,üregek számának kétszerese. Ekkor (61,4), mint azt könnyu belátni, egyenértéku az (61,5)

21

www.interkonyv.hu

A tétel szigorú bizonyítására l. J. M. Luttinger, Phys. Rev. 119 (1960) 1153.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

61.§. A NORMÁLIS FÉMEK ELEKTRONSPEKTRUMA

305

egyenlőségget

Az olyan fémeket, melyekben a kvázirészecskék és a kvázilyukak száma kompenzáltaknak hívják. Vegyük észre, hogy a (61,5) egyenlőség pontos teljesülésekor maguk az n_ és n+ számok még tetszőlegesek, többek közt igen kicsik is lehetnek. Ilyen esetekben, mikor a Fermi-felületek üregeinek össztérfogata nagyon kicsi (a reciprok rács cellája térfogatához képest), beszélünk félfémekről. 22 A vezetési elektronok számát azonban alsó korlát szabályozza, amely alatt a fémes jellegű spektrum instabillá válik (l. alább a 66.§ vég: t). A fém tennedinamikai mennyiségei a rács- és elektronjárulékokból tevődnek össze. Az utóbbiak hőmérsékletfüggését a Fermi-felület közelében elhelyezkedő kvázirészecskék határozzák meg [diszperziós összefüggésüket (61,2) adja meg]. E függés jellege természetesen ugyanolyan, mint ideális Fermi-gázra vagy izotrop Fermifolyadékra (vö. l.§). A képletekben csak azért lép fel eltérés, mert a Fermi-felületen, amely most nem gömb alakú, a kvázirészecske-állapotok száma más. Jelöljük a ds intervallumba eső állapotok számát (melyet egységnyi térfogatú fémre vonatkoztatunk) v de-nal. Két végtelenü! közeli izoenergetikus felület között, amelyek energiái ep és ep+de, a k-tér térfogateleme: dfdejfwp, ahol df a Fermi-felület terület eleme, Vp pedig a rá merőleges vF = fJejlí fJk vektor hossza. Ezért egyenlő,

Vp

=

2

(2:n:)3

f lívF df '

(61,6)

aholáz integrálásta Fermi-felület mindazon levelére el kell végezni, melyek a reciprok rács egy cellájában helyezkednek el (nyílt Fermi-felületre a cella oldalát természetesen nem kell az integráJási tartományba érteni). A (61,6) kifejezés veszi át a termodinamikai mennyiségekben a szabad részecskék gázára (gömb alakú Fermi-felületre) vonatkozó 2

4:n:p}

mpp

(2:n:lí)3 PF fm

:n:W

alakú kifejezés szerepét. Így a fémek Q termodinamikai potenciálja elektronrészére (vö. 58.§) (61, 7) adódik, ahol f20 e a potenciál értéke T= 0-ra. (61, 7) második tagját f20 e kis korrekciójaként tekintjük, és így a kis járulékokra vonatkozó tételnek megfelelően ugyanez

22

Pl. a bizmutra n_

=

n+ ""'

10- 5 •

20 Statisztikus fizika 2. rész

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

306

VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

a képlet irha tó fel a

0

16. ábra

legyen. Ezért a lefelé görbülő szakaszoknak megfelelő állapotok (pl. be) nem valósulhatnak meg. A kialakuló helyzet teljesen hasonló ahhoz, ami fázisátalakulást okoz, mikor az anyag nyomásának térfogatfüggésében lefelé görbülő szakaszok jelennek meg [vö. V. 84.§ és 152. §]. A valóságban a H(B) egyensúlyi görbét az ad vízszintes

33 A felesleges bonyodalmak elkerülésére az alábbi kvalitativ vizsgálatban az anizotropia hatásától e!tekintünk. 34 Vö. VIII. 18. §, ahol az analóg feltételt elektromos esetre mondjuk ki.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

64.§. AZ ELEKTRON -FONON KÖLCSÖNHATÁS

319'

szakasz reprezentálja, amit úgy húzzunk be, hogy a rajzon bevonalkázott két tartomány területe megegyezzék. Az ab és cd szakaszokhoz tartozó állapotok metastabilak. Legyen a fémminta henger alakú, melynek tengelye a SJ külső tér irányával párhuzamos. Ekkor a bengeren belüli H térerősség SJ-val egyezik, ezért ez utóbbi növelésekor a test egymás utáni fázisátalakulásokon megy át, melyekben az indukció ugrásszerűen változik: egy-egy a típusú pont elérésekor minden alkalommal Ba-ról Bd-re ugrik.35 Ha a minta a mágneses térre merőlegesen elhelyezkedő sík lemez, akkor a test váltakozó rétegekre bomlik (diamágneses domének), melyekben az indukci& eltérő. Ez a jelenség teljesen hasonló aszupravezető anyag nonnál és szupravezet& rétegekre bomlásához a közbenső állapotban (J. H. Condon, 1966). Ez esetben a SJ· külső tér a mágneses indukció átlagértékével egyezik meg, melyet az összes rétegre átlagolva kapunk. Így a Ba< SJ< Bd intervallumban a lemezke Ba és Bd indukciójú rétegekre esik szét, majd SJ értékét növelve, az utóbbiak térfogata az előbbiek rovására nő.

64. §. Az elektron-fonon kölcsönhatás Eddig a vezetési elektronokat a rácsrezgésekkel, azaz a fononokkal való kölcsönhatásaiktól elvonatkoztatva vizsgáltuk a kristályban. Ez a kölcsönhatás azt fejezi ki~ hogy a rács deformációja megváltoztatja azt az erőteret, amelyben az elektron mozog;: a tér e megváltozását deformáci6s potenciálnak hívják. Az elektron- fonon kölcsönhatás meghatározó a félvezetőkben és fémekben tapasztalt kinetikus jelenségekben, de most csak az elektronspektrumra gyakorolt minőségi hatása iránt érdeklődünk. Tanulmányozásához célszerű eltekinteni azoktól a bonyodalmaktól, amelyek a rács anizotropiájával és mikroszkopikus inhomogenitásával kapcsolatosak. Más szavakkal, a közeget mikroszkopikusan homogén, izotrop folyadéknak tekintjük, ami szerint abban csak longitudinális hanghullámo~ léphetnek fel. A deformáció szerinti első közelítésben az ilyen egyszerűsített modellben a következő alakú potenciál hat: Uder(r) =

~

f

W(r-r') e'(r')d3x',

{64,1)

ahol e' a közeg sűrűségének változó része (e az állandó egyensúlyi érték). A W(r-r'} függvény az atomok közötti a nagyságrendű távolságon lecseng. A (64,1) kifejezést 35

Feltesszük, hogy a fázisokat elhatároló felületek energiája pozitiv.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

320

VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

még tovább egyszeriísítjük annak észrevételével, hogy ak« l fa hullámszámú fononokkal való kölcsönhatás szempontjából zérusnak tekinthetjük e távolságokat, azaz W = wo(r- r') írható, ahol w állandó mennyiség. Ekkor Udef = wr/(r)/ f!· A kvantum·elméletben, másodkvantált formalizmust használva, ezt a potenciált az elektron~ fonon kölcsönhatás Hamilton-operátoraként írhatjuk fel:

~ Het=

I

W QP~ ;l: (t, r) §'(t, r) >Tr -r ""(t, r) d 3x,

(64,2)

.ahol a P, p+ operátorok az elektronokat írják le, é' pedig a sűrűség Heisenbergoperátora, amely a fononteret írja le. Szabad (az elektronokkal nem kölcsönható) fononokra ezt a (24,10) képlet adja meg. Ha az elektron-fonon rendszerre alkalmazzuk a Green-függvényes technikát, .akkor az elektronok Green-függvénye mellett a fononoké is fellép, amely utóbbit a (64,3) képlet definiálja [az időrendezett szorzatot a (31,2) értelmezés bozonolaa vonatkozó eseteszerint definiáljuk J. Szabad fononole Green-függvénye impulzusreprezentációban .a következő: (64, 4)

'{1. a 31.§ feladatát; a közbenső képletekben/í = 1). Az elektron-fonon kölcsönhatást kis perturbációnak tekintve, a (64,2) operátorra egy gráftechnika építhető ki, ahhoz hasonlóan, ahogy ezt a 13. §-ban a fermionole párkölcsönhatásának esetében már elvégeztük. Anélkül, hogy az összes megfontolást megismételnénk, megadjuk a diagramok értelmezésének szabályait (impulzustérben).36 A diagramok alapelemei az elektron- (folytonos) és a fonon- (szaggatott) vonalak, melyeknek mindegyikéhez "négyesimpulzust" rendelünk hozzá. A P négyesimpulzusú elektronvonalnak az iG~~ = io"-fJG(P) Green-függvényt feleltetjük meg, ami a szabad elektronok Green-függvénye. A K négyesimpulzusú fononvonalhoz a szabad fononok w(P)G(P-K) ri

d4P (2:n)4

(64, 8)

(a 2 együttható a spintényezők egybeejtéséből származik: ö"fJöfJrt. = 2; ugyancsak figyelembe vettük a zárt fermionhurok jelenlétéből származó - 1 tényezőt is; vö. 13. §). Megmutatjuk, hogy a fémbeli elektron- fonon kölcsönhatás a Fermi-felület közelében az elektronok között "effektív vonzást" eredményez. Ezt szemtéletesen úgy írhatjuk le, hogy az egyik elektron által kibocsátott virtuális fonont a másik elnyeli (J. Bardeen, 1950; H. Fröhlich, 1950). Tekintsük a

(64, 9)

A zárt elektronvonalat tartalmazó ábra [ami hasonlít (13,13a)-hoz] azért nemjelenik meg, mert O. Itt a le ..... Ohatáresetre előbb kell áttérni, mint az ro ..... O-ra. Ez azt a körülményt tükrözi, hogy a koordinátatérben a d 8x szerinti integrálás (ami esetünkben éppen a k -+O határátmenetet jelenti) már a (64,2) Hamilton-operátor definíciójában is előfordul, és ezért az időszerinti integrálás előtt már elvégzendő, mivel ez csak a perturbációszámítást e Hamilton"operátorra alkalmazva lép fel. 37

n /ík = p~- p1 . Nagyságrendileg a Fermi-felülethez közeli elektronok impulzusaira p ~PF~ !íja. Az '"" 1 nagyságrendű szögekre való szóródásnak lík "' !íja fononimpulzus és líuk rv líufa rv líwD fononenergia felel meg, ahol WD a Debye-frekvencia (fémehe líwD « ep). Másrészt az elektron (e- ep)-nél nagyobb energiát nem adhat át. Ezért hamindkét elektronra l e- eF l «wD, akkor nyilvánvaló, hogy (64,11)

F-t szórásarnplitúdónak tekintve (16. §), azt látjuk, hogy előjele a részecskék közötti vonzásnak felel meg. Hangsúlyozzuk, hogy ez az eredmény csak az impulzustér egy viszonylag vékony ( rv líwD energiaszélességű), a Fermi-felülethez közeli rétegében elhelyezkedő elektronokra vonatkozik. Ezt a tulajdonságot a 43.§-ban a fémek szupravezetésének elméletében a levágási paraméter értékének megválasztásakor már kihasználtuk.38

65. §. Az elektron-fonon kölcsönhatás befolyása a fémek elektronspektrumára Vizsgáljuk, hogyan befolyásolja a fémek elektronjainak energiaspektn1mát az elektron- fonon kölcsönhatás. 39 38 Ami a w flllandót illeti, annak fémekre vonatkozó durva becsléséhez azt vegyük észre, hogy az elektron energiájának megváltozása (e' ~ e)-ra ~ eF nagyságrendű kell, hogy legyen. Ebből

W

I"'V

39

www.interkonyv.hu

Bp.

E szakasz eredményeit elsőként A. B. Migdal kapta meg 1958-ban.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

323

65.§. AZ ELEKTRON -FONON KÖLCSÖNHATÁS BEFOLYÁSA

A 14. §-ban megmutattuk, hogy a Fermi típusú spektrumban az s(p) diszperziós összefüggéshez adódó korrekciót (a szabad fermionok spektrumához képest) a (65,1)

bs(p) =.E(e- p, p)-.E(O, p)

különbség határozza meg, ahol E= GlO)-l_G- 1 a sajátenergiás függvény. Esetünkben a fononokkal való kölcsönhatás okozza a korrekciót, míg a "perturbálatlan" spektrum az elektronok "direkt" kölcsönhatásait veszi figyelembe. (64,6) szerint fennáll a (65,2)

összefüggés,4° de G(0)-ként most az elektronok kölcsönhatását magába foglaló Greenfüggvényt kell érteni. E függvény a pólusa közelében G-O vagy e- t-t< w< O; az első esetben értélee -2·JdZfv~), a másodikban 2niZfv~l. A n-tól saját nagyságrendjébe eső mennyiséggel különbözik. 42

u Természetes, hogy e körülmények között a perturbációszámitás első közelitésének használatát szigorúan véve inkorrektnek kell tekinteni. A soron következő közelitések azonban nem változtatják meg a kapott válasz jellegét: mikor az első kiegészítés egységnyi nagyságrendűvé válik, akkot ·az egyéb korrekciók nagyságrendje is azonos.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

65.§. AZ ELEKTRON -FONON KÖLCSÖNHATÁS BEFOLYÁSA

327

Így a fém elektronjainak Fermi-típusú spektrumát két különböző sebességérték jellemzi: Vp és vr;!), az egyik közvetlenül a Fermi-felület közelében (ls- p l« liwn), a másik ls- p l » líwn esetén. Alacsony hőmérsékleten (T« liwn) a fém termodinamikai tulajdonságaiban a (65,13)-beli vF paraméter jelenik meg. Ezzel szemben az olyan jelenségeket, mint a fém optikai tulajdonságai w» wn frekvencián, a v~) sebesség határozza meg.

Feladat Határozzuk meg a hosszúhullámú (k «PF) fononok csillapodását a fémbeli elektronokon való következményeként.

elnyelődésük

Megoldás. A fononok Green-függvényének korrekcióját (64,8) szerint az

i(JD-~(K)

=-

2w2

ri

J

G(P-K) szorzatot a (17,10) képlet szerint helyettesítjük. A dp0 dp integrálással a 5-függvényeket távolitjuk el, ami után a cos() szerinti integrálás marad vissza ((J a p és k közötti szög): 2k QD-l(w k) = _ Z l2w 2PF '

f

2:n2r;l

()d () __c_o_s~_c_o.."s___,=w-vFkcos ()+iO

-l

(legyen w >0). A cos O= wjkvF pontbeli pólus az integráJási tartományban van (mivel v ll' > u), így az integrál képzetes részére

írható. A fononokdiszperziós törvényét a D O, akkor az egyensúlyiMa köbös cella -valamelyik élének irányába mutat, ha K' < O, akkor a cella valamelyik testátlójának irányába. 5 A határozottság kedvéért egytengelyű ferromágnessel foglalkozunk. (69,5)-ben .az integrandushoz hozzáadva Uan-nak a (69,12) alakját, variálás~után a -KMzv ClM kiegészítő tagot kapjuk, ahol v a kristály szimmetriatengelye irányába mutató egységvektor. Így az effektív térerősség (69,14) Könnyű belátni, hogy az effektív tér e megváltozásával kimerítettük azokat a lehet:séges változásokat, amelyeket a relativisztikus hatások figyelembevétele eredményezhet a (69,9) mozgásegyenletben. Valóban, a disszipáció elhanyagolása a korábbiaknak ,megfelelően azt jelenti, hogy a mozgásegyenlet jobb oldala Herete merőleges, azaz M' X Heff alakú, ahol az M' vektor M-től csak relativisztikus korrekciókban tér el, melyek mindig kicsinyek M nagy értékéhez viszonyítva, ezért lényegtelenek. A relativisztikus tagok Heff-ben olyan mennyiséghez adódnak hozzá, amely M lassú testbeli változásamiatt kicsiny; e tagok csak elég nagy hullámhosszakra válhatnak lényegessé.

5 A K, K' dimenziótlan mennyiségek a különböző ferromágneses anyagokra néhány tizedtől néhányszor 10 értékig terjedő széles tartományban helyezkedhetnek el. A relativisztikus hatásoknak ;a kicserélődésiekhez képest vett hányadosát nagyságrendileg az U.n/T. mennyiséggeljellemezhetjük, .aminek értéke általában 10- 4 -lQ-5.

cr

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

70.§. MAGNONOK FERROMÁGNESEKBEN. A SPEKTRUM

347

70. §. Magnonok ferromágnesekben. A spektrun1 Alkalmazzuk az előző szakaszban levezetett mozgásegyenleteket azon hullámok terjedésének leírására, amelyekben a mágneses momentum sűrűsége kis rezgéseket végez az M 0 egyensúlyi érték körül precesszálva. Egydoménos mintát veszünk, melynek teljes télfogatában M 0 állandó, és olyan hullámhosszakra korlátozódunk, amelyek a minta méreténél jóval kisebbek. Ekkor a közeg végtelennek tekinthető. Először csak a kicserélődési kölcsönhatást vesszük :figyelembe, azaz a (69,11) egyenletból indulunk ki. Legyen M = M 0 +m, ahol m kis mennyiség, amelyben az egyenlet az m-ben magasabb fokú tagok elhagyásával linearizálható. Minthogy az abszolút értékreM = M 0 , így e közelítésben m _L M 0 . Ezzel

. m

( o2m XMo) = -lel -a;k 0 0 me

X;

(70,1)

Xk

adódik (itt és a továbbiakban is a giromágneses arány, g = 2). Ham tér- és időfüggését exp[i(kr-wt)J alakban vesszük fel, akkor kapjuk, hogy iwm

aholOt = o:(n) nensekben:

=

rx 1kn;n0

=

Mak (mXM me 2

0),

(70,2)

n ak irányú egységvektor. Ezt az egyenletet írjuk ki kompo-

· tmmx -_lel --aM'K 2my, me .

-

1Wn1y-

(a z tengelyt Mo irányában vettük fel). gése a következő :6 OJ=

lel Mk2 n1x ---rx me

Ezekből

a spinhullámok diszperziós összefüg-

leiM e~.(n)k2 • me

(70,3)

6 A spinhulJámok kvadratikus diszperziós összefüggését elsőként F. Bloch tárta fel (1930) mikroszkopikus elméleti megfontolások segítségéveL E spektrumot makroszkopikus paraméterekkel L. D. Landau és E. M. Lifsic írta fel (1945).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

348

VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

Látjuk, hogy az előző szakasz elején mondottakkal összhangban, a kicserélődési közelitésben a frekvencia k __,._ O esetén nullához tart. Az m vektor a spinh.ullámban állandó T szögsebességgel forog az xy síkban, miközben abszolút értéke állandó. A (70,3) képlet a kvantumos leírásban meghatározza a magnonok lehetséges 13 = nw energiaspektrumát: 7 s(k)

= 2{3Mrx(n) k 2 •

(70,4)

A második kvantálás formalizmusában a ferromágnest leíró makroszkopikus mennyiségek a magnonok keltő és eltüntető operátoraiból felépülő operátorokkal helyettesitendők. Megmutatjuk ennek menetét a (70,4) spektrumú magnonokra. Feleltessük meg az M klasszikus mennyiségnek az ]\i[ vektoroperátort, melynek komponensei meghatározott felcserélési relációknak tesznek eleget. Legyen S(r) oV az atomok eredő spinjének operátora a fizikailag végtelen kicsiny oV térfogatban az r pont körül. Az S(r1) oV1 és S(r2) oV2 különböző térfogatelemekhez tartozó operátorok felcserélhetők. Ugyanazon S(r) oV operátorkomponensei az impulzusmomentum felcserélési reláció it követik:

avagy SxSy- SySx = iSz/oV (és hasonlóan a többi lehetséges komponens-premutációkra). A oV__,._ O határesetben tetszőleges r 1 -re és r 2-re egységesen

Most ezt az egyenlőséget 4{32-tel megszorozva és figyelembe véve, hogy l\i! = - 2{3S, azt kapjuk, hogy (70,5) Ezt spinhullámokra alkalmazva, ahol M kis rezgéseket végez a z tengely körül, a kicsiny mx, my mennyiségek szerinti első közelítésben (70, 5) jobb oldalán kfz- t az Mz : : : : M számmal helyettesíthetjük, és akkor (70, 6) adódik. Ebből látszik, hogy az my és mx mennyiségek (állandó szorzótényező erejéig) a kanonikusan konjugált "általánosított koordináták és impulzusok" szerepét játsszák, ahhoz hasonlóan, ahogy rp és e' a hanghullámok folyadékbeli kvantálásakor 7

www.interkonyv.hu

E fejezetben {J mindenütt a {J

=

l e l hj2mc Bohr-magnetont jelöli.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

349

70.§. MAGNONOK FERROMÁGNESEKBEN. A SPEKTRUM

szerepeitek (24.§.). Hangsúlyozzuk azonban a két eset lényeges különbözőségét. A (24,7) fononoperátorok közötti felcserélési összefüggés egzakt, nem tételezi fel a rezgési amplitúdók kicsinységét (azaz nem korlátozza a fononok betöltési számait kicsinyre). A (70,6) szabály azonban közelitő jellegií, amely a kis m mennyiségekben első közelitésben igaz. A (70,6) felcserélés i szabályból és az mx, my mennyiségeknek a (70, l) lineáris egyenleteknek megfelelő összefüggéséből kündulva, ezeket az operátorokat kifejezhetjük a magnonok keltő és eltüntető operátoraival, ahhoz hasonlóan, ahogyan ezt a 24. §-ban a fononokra tettük (l. a 71.§ 4. feladatát). Térjünk vissza a magnonspektrum tanulmányozásához, és kezdjünk hozzá a spektrumra gyakorolt relativisztikus hatások vizsgálatához. Ekkor már azt a H mágneses teret is figyelembe kell venni, amelyet M rezgései hoznak létre. Ez ugyanolyan nagyságrendii kicsiny mennyiség, mint m; jelöljüle az alábbiakban h-val. A (69,10) Maxwell-egyenletekből kb =-4:;rr;km

kXh =O, következik.

Ebből

látszik, hogy a h tér a hullámvektor irányába mutat, és értéke h =-4:;rr;(nm)n.

{70, 7)

(70,7)-et a (69,5) integrandusának utolsó két tagjába helyettesitve, azt kapjuk, hogy h2 8:;rr;

-mb--= 2:;rr;(nm)2

(70, 8)

(itt az Moh tagot elhagytuk, minthogy h potenciálból származtatható, s igy ez a tag a teljes térfogatra való integráláskor felületi integrállá alakitható át, és végül zérust ad). Az anizotropia-energia (70,8)-ból eredő részét a spinhullám esetében néha magnetosztatikusnak nevezik. ' Legyen a ferromágnes egytengelyii, és tartozzék a "könnyű tengely" típusba, tehát Mo mutasson a kristály szimmetriatengelyének irányába (a z tengely mentén): Mo = vM. A későbbi alkalmazásokat tartva szem előtt, megengedhetjük ~ külső tér jelentétét is szintén a v tengely mentén; amintát a v tengely körüli hengernek gondoljuk. Ekkor a test belsejében H= ~+h a térerősség. A linearizált mozgásegyenletek (amelyeket már /í-sal szorzott formában írunk fel):

(70, 9) Egytengelyii kristályra rx = rx1 sin2 0+rx 2 cos 2 O, ahol Oak és v által bezárt szög.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

350

VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

Ide h-t (70,7)-ből behelyettesitve, komponensenként írjuk fel az egyenietet (az x tengelyt célszerű a 'J és n irányokkal kifeszitett síkban fölvenni). Az mx-re és my-ra adódó két egyenlet összeférhetőségének feltételéből kapjuk a diszperziós összefüggést: (70,10) Megjegyezzük, hogy a sin2 8 = k!fk 2 tagnak köszönhetően s(kJ-nak k hatványai szeriuti kifejtése nem egyszerűen hatvány jellegű; ez a körülmény a mágneses kölcsönhatás hosszú hatótávú viselkedésével kapcsolatos. A (70,10) alakú kifejezés, amelyet itt az egytengelyű ("könnyű tengely" típusú) ferromágnesre vezettünk le, érvényes köbös kristályokra is. Ez abból következik, hogy az anizotropia-energia megváltozása az M vektornak egyensúlyi helyzetétől való kis eltérése során mindkét esetben azonos alakú. Így köbös kristályra K' > O esetén a őUan megváltozás, haM eltér M 0 -nak a kocka éle menti irányától, csak a 1} elhajlási szög függvénye; értéke: (JUan= K'M 2D2• Ezt a hasonló (JUan= KM2#2 /2 kifejezéssel összehasonlítva, amely egytengelyű kristályra érvényes, látjuk, hogy a köbös kristályra való áttérés során (ha K' > O) elegendő elvégezni (70, 10)-ben a K _,. 2K' helyettesitést. Hasonló módon győződhetünk meg arról, hogy aK' < Otulajdonságú köbös kristályra való áttéréshez (mikor Mo a kocka testátlójának irányába mutat), a K- 41 K' l/3 helyettesítést kell elvégezni. Megjegyzendő, hogy köbös kristályban ct(n) állandó. A "könnyű sík" típusú ferromágnesre (K < O) más a helyzet: oUan megváltozása, ha M eltér Mo-tól, egyaránt függ a polárszögtől és M-nek Mo-hoz viszonyított azimutszögétől. Ezért ez az eset külön elemzést igényel; l. a feladatot. Emlékezzünk arra, hogy (70,10) csak a spektrum kezdeti részére érvényes, ahol a kváziimpulzusokra fennáll ak« lja feltétel, és a makroszkopikus szemlétet megengedett. A nagy, de e feltételt kielégitőkértékekre ((f..k2 » 4n, K) (70,10) az (70,11) kifejezés be megy át. Az első tag megegyezik a tisztán kicserélődési jellegű (70,4) képletteL A külső tér egyszerűen hozzáad a magnon energiájához 2{3~-t. E közelitésben tehát a magnon momentumának vetülete Mo-ra - 2{3. Ha a testben egy magnont keltünk, ezzel a test teljes mágneses momentumát 2{3-val csökkentjük Ellenkező esetben, mikor k .- O, a (70,10) kifejezés egy nullától különböző mennyiséghez tart, ami (~ = O esetén) (70,12)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

70.§. MAGNONOK FERROMÁGNESEKBEN. A SPEKTRUM

35]

alakú. Így a mágneses anizotropia figyelembevétele a magnonspektrumban energiarés megjelenésére vezet. 8 Ez természetes is, mivel anizotropia esetén már a test mágneses, momentumának tnint egésznek (azaz ha k = O) az elforgatása véges energiát igényeL Látjuk, hogy kis k-ra a relativisztikus hatások, kicsinységüktől függetlenül, a spektru-, mot viszonylag jelentősen korrigálják. A magnonoknak mint elemi gerjesztéseknek a fogalma a test gyengén gerjesztett állapotaival, és ily módon az alacsony hőmérséklettel kapcsolatos. Így a magnonokra vonatkozó összes képletben az anyagi állandókat (köztük az M mágnesezettséget is} T = O-n kell figyelembe venni. Térjünk vissza a disszipáció gyengeségéről a 69. §-ban tett feltevésünkhöz. A levanturnos értelmezésben a disszipáció a magnonok véges élettartamát jelenti, amelynek hosszát azok egymás közötti és más kvázirészecskékkel való kölcsönhatásai szabják meg. Ha először a magnonok egymás közötti kölcsönhatását elemezzük, akkor mindenekelőtt azt kell észrevenni, hogy a kicserélődési közelítésben a magnonok száma nem változik (minden magnon Mz-be -2fJ járulékat ad, és a kicserélődési kölcsönhatás során Mz megmarad). Ezért e közelítésben csak szórási folyamatok lehetsége-· sek. Valószínűségüle azonban a hőmérséklettel együtt csökken - pusztán a szórócentrumok számának csökkenése miatt is -, így a kicserélődési csillapítás T = 0-ra lecseng, és nullához tart. Alább (72. §) látni fogjuk, hogy kicserélődési közelítésben az egymagno nos állapot a rendszer szigorúan stacionárius állapota. 9 T = O-ra a magnonole csillapodását egyedül bomlási folyamataik szabályozzák. Ilyen folyamatok csak a relativisztikus kölcsönhatásokban valósulhatnak meg, és. valószínűségi.ik már ezért is kicsi. Ezenkívül kis ·k-ra a bomlás valószíníiségét tovább csökkenti, hogy a folyamat végállapotainak kicsi a statisztikus súlya (kis térfogatú a fázistere). A magnonok csillapítása a fononokkal való kölcsönhatásukból is kap járulékat (a perturbáció operátorát a kicserélődési kölcsönhatásnak a kristály deformációitól függő része szolgáltatja). T= O-ra lehet fonont kelteni magnonnal; ehhez azonban a magnon kváziimpulzusának elegendően nagynak kell lennie, ugyanis a magnon 8eflí 8k sebességének nagyobbnak kell lennie a hang sebességénél (l. a VI. fejezet 41. lábjegyzetét). A folyamat valószínűsége azért is kicsi, mert a végállapot fázistérfogata is az.

A megfelelő ru(O) = e(O)/Ií frekvenciát a ferromágneses rezonancia frekvenciájának nevezik. Azt is megjegyezzük, hogy két magnon egymáson való szórásának hatáskeresztmetszete a kicse-· rélési közelítésben zérushoz tart, ha az ütközés energiájáva,! nullához tartunk (l. 73. §). Ez a körülmény tovább csökkenti a magnonok ldcserélődési csillapitásáf alacsony hőmérsékleten. Elegendően alacsony hőmérsékleten a relativisztikus hatások a szórási folyamatokban is lényegesek. 8

9

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

352

VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

Végül ferromágneses fémben mindig gerjeszthető (a vezetési elektronok kicserélő­ dési kölcsönhatásai miatt) magnonnal elektron a Fermi-felület alól. Kis k-ra a folyamat valószínűsége itt is kicsiny, a végállapotok statisztikus súlyának kicsinysége miatt.

Feladat Adjuk meg a magnonspektrumot egy egytengelyű, "könnyű sík" típusú (K < O) ferromágnesre. Megoldás. Az M 0 egyensúlyi mágnesezettség a kristály szimmetriatengelyére (z tengely) merőleges ·síkban helyezkedik el. Válasszuk M 0 irányát x tengelynek. A linearizált mozgásegyenletek ez esetben a következő alakúak:

"u

ahol "~ és a koordinátatengelyek mentén felvett egységvektorok, az m vektor pedig az yz síkban fekszik, amiMo-ra merőleges. Ide h-t (70,7)-ből behelyettesitve, az egyenletet komponensekre szétbontva és az így adódó egyenletrendszer determinánsát nullával téve egyenlővé, megkapjuk a magno~nok spektrumát:

ahol fj és rp a k és M 0 irányok közti poláris és azimutszögek (az azimutot itt az xz siktól számoljuk). Ha ock2 » l, újra a (70, 4) kvadratikus spektrumra jutunk, k _,. O-ra a magnon energiája pedig az e(O)

= 4( n lK 1}1' 2 PM l sin 8 sin rp l

mennyiséghez tart, amely zérus, ha ak vektor az xz síkban fekszik. Ezt a síkot a kristály szimmetriatengelye és spontán mágnesezettsége feszíti ki. Persze ez a zérushely csak közelítő jellegű: ha az anizotropia-energiában figyelembe vesszük a magasabb rendű tagokat, akkor az xy sil(ban is fellép .,anizotropia, és ezzel véges energiarés jön létre k minden irányára.10

71. §. Magnonok ferromágnesekben. Termodinamikai mennyiségek A ferromágneses anyagban gerjesztett magnonok természetesen járulékat adnak :annak termodinamikai jellemzőihez is. Az előző szakasz eredményei alapján kiszámíthatjuk e járulékokat T« Tc értelemben alacsony hőmérsékleten. Valóban, hőmér-

10 Emlékezzünk, hogy (l. VIII. 37. §) az anizotropia-energiának M hatványai szerinti kifejtése valójában a relativisztikus v je hányados szerinti kifejtés (és nincs köze M kicsinységéhez, azaz a rend::szernek a Curie-ponthoz való közelségéhez).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

71.§. TERMODINAMIKAI MENNYISÉGEK

sékleti egyensúlyban, T van. Ez a kvadratikus

hőmérsékleten

353

a magnonok nagy részének e "' T energiája

e(k) = 2(3MIX (n) k2

(71,1)

spektrumra azt jelenti, hogy T« Tc hőmérsékletenak « (Tcff3Mrx.)112 kváziimpulzusú magnonok gerjesztődnek. A (69,7) becslést felhasználva IX-ra és a mágnesezettség abszolút értékére az M "' f3fa3 közelítést véve (egy elemi cellában néhány P-nyi lehet az eredő mágneses momentum), az ak O, a k szerinti integrál Jogaritmikusan divergens a kis k tartományban. Ezért logaritmikus pontosságra korlátozódva, a nevező első tényezőjében k = O, ~ = Ohelyettesíthető, a másodikban pedig~= O, ugyanakkor az integrált alulról k 2 rv ~/aM0 -nál, felülről pedig k 2 "'4n/IY.·nállevágjuk. Végeredményben 8M (J ln 4nM0' 8~ 32 Yn M 0 a 3 12 Sj adódik. Emlékeztetünk arra, hogy (71,10)-ben K-t elhanyagoltuk. ~«KiVl esetén a logaritmikus tényezőben ~-t KM0 -ra kell cserélni. 4. Határozzuk meg a mágnesezettség fluktuációinak térbeli korrelációs függvényét r » a-ra, kicserélődési közelítésben. Megoldás. Az és operátorok, melyek eleget tesznek a (70,6) felcserélési szabálynak, a magnonok keltő és eltüntető operátoraival kifejezve (Schrödinger-reprezentációban), a következő alakúak: mx(r) = ((JM/ V )l' 2 L (dk ékr +áte-ikr),

mx mv

k

íizv(r)

= i(fJM/V)l/2 L (dk ék' -aite-ikr). k

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

358

VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

A korrelációs függvényt ezekkel az operátorokkal fejezzük ki. Eredeti definíciója IPik(r) =

~

(íizi(r1) nzk(r2)+mir2)

m1(r1)),

r= r 1-r2

{az i és k indexek az x, y értékeket vehetik fel). Figyelembe véve, hogy csak az (a; ák) = nk és ( dk ait:) = nk+ 1 diagonális mátfixelemek különböznek nullától (ahol nk a magnonállapotok betöltési számait jelöli), azt kapjuk, hogy rpil,(r)

= o1k J2{3M (nk+ ~)eik< (;~;3

.

Az integrandus közvetlenül megadja a korrelációs függvény Fourier-transzformáltját. Az állandót elhagyhatjuk, mivel annak o-függvény felel meg rp1k(r)-ben, viszont megállapitásunk csak az r » a távolságokra vonatkozik. Így

Az e « T klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy

Köbös ferremágnesre a = const, ezért

72. §. A spinek Hamilton-operátora Ahhoz, hogy a magnonok diszperziós törvényét kváziimpulzusuk teljes változási tartományában (és nemcsak a hosszúhullámú határesetben) megkaphassuk, nyilván jóval részletesebben kell ismernünk a ferromágnes mikroszkopikus szerkezetét. Viszgáljunk zérus pályamomentumú atomokból felépülő dielektrikumot, de legyen az atomok spinjének nagysága S ré O. ·Ha nem érdeklődünk az atomi elektronhéjak ge1jesztésével kapcsolatos magas nivók iránt, akkor az alapállapotú atomi elektronok pályaváltozóira átlagolhatjuk a rendszer Hamilton-operátorát (miközben a magok a rögzített rácspontokban helyezkednek el). Ennek eredményeként a rendszer spinjeinek Hamilton-operátorát kapjuk, amely csak az atomok spinoperátorait tartalmazza.15 Ha csak a kicserélődési kölcsönhatást vesszük figyelembe, amely kizárólag az egyes spinek viszonylagos irányának függvénye, akkor az atomi spinvektorok operátorai csak skalár kombinációkban fordulhatnak elő a Hamilton-operátorban. Alapvető 15 Ez az eljárás hasonló ahhoz, ahogy a különálló atomok nivóinak finomszerkezetét leíró Hamilton-operátort felépítik (vö. III. 72.§).

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

72.§. A SPINEK HAMILTON-OPERÁTORA

módszertaní vizsgálata :

érdekességű

a

legegyszerűbb

359

ilyen Hamilton-operátorral leírt rendszer (72,1)

ahol az összegezést az összes atomra végezzük el; az egész szám komponensű m és n "vektorindexek" a rácspontokat indexelik; rn azok helyvektora. A Jnm számokat kicserélődési integráloknak hivják (1. III. 62.§ feladatai). 16 m és n szerint függetlenül összegezve, a (72,1) összeg minden atompárt kétszer tartalmaz, minthogy nyilván Jmn

= Jmn•

(72,1)-ben az összes atomot azonosnak tételezzük fel (minden elemi cellában egy helyezkedik el). A Hamilton-operátor érvényességének alapvető feltétele az atomok közti elegendően nagy távolság. A kicserélődési integrált két atom hullámfüggvényének "átfedése" határozza meg, ami (exponenciálisan) csökken távolságuk növekedtével. Ezért a kölcsönösen távoli atomokból álló rendszerben a kölcsönh~tást párjellegűnek tekinthetjük, emiatt hiányoznak (72,1)-ben a kettőnél több atom spinoperátorának szorzatát tartalmazó tagok. Ugyanilyen pontossággal mondhatjuk, hogy két atom kicserélődési kölcsönhatását mindig egyetlen pár elektron adja: atomonként egy-egy elektron. Ekkor a kölcsönhatási Hamilton-operátor bilineáris az elektronspinekben, majd az atomi állapotokra való átlagolás után, bilineáris az atomi spinekben (C. Herring, , 1966),17 A (72,1) Hamilton-operátorralleirt rendszer ferromágneses, ha Jnm >O. Határozzuk meg az ilyen rendszer alapállapotbeli energiáját. Ennek során megengedjük, hogy SJ külső mágneses tér is jelen legyen. Ezért (72,1)-hez hozzáadjuk a (72,2) operátort (a z tengely a tér irányába e~ik). A })'mz operátor, ami a teljes spin z tengelyre vett vetülete, egyaránt felcserélhető h kics -vel és :V-vel. Így a rendszer állapotait osztályozhatjuk e mennyiség sajátértékei szerint. Ferromágneses esetben az eredő spin vetülete az alapállapotban a legnagyobb: Sz = NS, ahol N a rendszer atomjainak száma (ez nyilván függetJen a külső tér jelenlététől, minthogy az csak kiválasztja a tengely irányát). Legyen Xo az alapállapot normált spin-hullámfüggvénye. 16 A kicserélődési kölcsönhatást spin Hamilton-operátorral először P. A. M. Dirac írta le (1929). A (72,1) operátort J. H. van Vleck vezette be 1931-ben; ezt általában Heisenberg-féle Hamiltonoperátornak nevezik, mivel a ferromágnesség Heisenberg által tanulmányozott modelljét írja le. 1 7 Ilyen feltételek mellett (72, l)-ben természetesen csak a szomszédos atompárokra kell összegezni. Ezzel azonban a következő képletek írásmódja egyáltalán nem egyszerűsödik, ezért ezt a lehetőséget nem kivánjuk hangsúlyozni.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

360

VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

A teljes spin maximális NS vetületértékét a rendszer csak akkor érheti el, ha minden egyes atom spinvetületének maximális S értékét veszi fel. Ezért xo egyúttal az egyes Suz operátorok sajátfüggvénye is: (72, 3) Vezessük be a továbbiakra nézve nélkülözhetetlen amelyek kielégítik az

s± = sx±iSy operátorokat, (72, 4)

felcserélési összefüggéseket [1. III. (26,12)]. Mátrixelemeik a

következők:

(72, 5) [LIII. (27,12)]; az$+ operátor növeli, az S_ csökkenti az Sz spinvetület sajátértékét. hhaDuktovábbá,hogy · . l . Sm Su Smz Suz +2 (Sm+ Sn- +Sm- Su+),

=

amivel

(72, 6) Most kíhasználtuk a Jmn = l um szimmetriát és a különböző atomokhoz tartozó operátorok felcserélhetőségét. Minthogy az Su+ operátoroknak csak áz Sz szám megnövekedésével járó folyamatok esetén vannak nemzérus mátrixelemeik, ezért a legnagyobb ilyen számokra igaz, hogy (72, 7) [ami a mátfixelemek explicit kiírásából, (72,5)-ből is látható]. Így a (72,6) Hamilton operátorral hatva a xo-t tartalmazó állapotra, azt kapjuk, hogy

A zárójelben álló mennyiség az alapállapot E 0 energiája. Az m és n szerinti összegezést m és q = n-m szerinth·e változtatva, Eo kifejezését a végleges l Eo= - 2 NS2

LOJq-2{JSNSj

(72, 8)

q ;o


ahol r = l r 1 - r 21, a teljesüljön; vákuumban

www.interkonyv.hu

8

= l és

V- 8 = -i (1. alább).

O-

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

.384

VIII. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

. Ebből (76,6) és (76,3) szerint azonnal adódik, hogy (

(l)

(2))

E; Ek w

=

J:.

fl

ct

h líw ew2 Uj/c+ ~ 2T Im {8l [7-

82

OX; OXk

]

rl

exp

(

~' v-c -er )}(77, 7)

•(Sz. M. Ritov, 1953). Az i és k indexek összeejtésével [felhasználva (77,5)-öt]

{l [

2 líw Im - eww - er ) +2no (r)]} (EC1> E)w = 21í cthexp ( --y'2T e c2 r c

(77,8)

adódik. A (76,4) képletből kiindulva hasonló módon elvégezve a számításokat, megkapjuk a mágneses térerősség korrelációs függvényét, ami (77,7)-(77,8)-tól csak abban különbözik, hogy nincs 1/e tényező a szögletes zárójel előtt; így a o-függvényt tartalmazó tag valóssá válik és (77,8)-ban a kapcsos zárójelben álló kifejezésből elbagyható. A (77,7)-(77,8) kifejezések kapcsolata e képzetes részével aláhúzza az .elektromágneses fluktuációk kapcsolatát a közeg abszorpciójávaL Ha azonban az Im e- O határesetet vizsgáljuk a (77,7)-(77,8) képletekben, véges, zérustól különböző eredményt kapunk. Ez a körülmény két határátmenet elvégzésének meghatározott sorrendjével kapcsolatos: az egyik a rendszer méretének végtelenné válása, a má.sik az Im e - Ohatárátmenet Minthogy végtelen közegben már tetszőlegesen kicsiny Im e abszorpcióra vezet, így a határátmenetek általunk használt elvégzési módja olyan fizikailag átlátszó közeget ir le, amelyben, mint minden reális esetben, valamelyes nagyságú abszorpció jelen van. Végezzük el a határátmenetet például (77,8)-ban. Ehhez vegyük észre, hogy kis . pozitív Im e esetén (w >- O)

~ ~-iVRee(l+i~~) 2Ree {megkövetelve, hogy Re y'- e

>-

O legyen). Így az Im e - O határesetben

o-

adódik, ahol n = (e a valós törésmutató. Minthogy a függvényes tag nem jelenik meg, ez a kifejezés r 1 és r 2 egybeesésekor is véges marad:

(E 2) ro

= _!_ (H2) = n2 w

2w 3 1ín cs

ct

h líw 2T .

(77,10)

Az átlátszó közegre való áttérést már a számolás korábbi szakaszában a Greenfüggvényre is elvégezhetjük. Figyelembe véve, hogy Im e (w) előjele w előjelével egye-

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

385

77.§. ELEKTROMÁGNESES INGADOZÁSOK VÉGTELEN KÖZEGBEN

zik, azt kapjuk, hogy ebben a határesetben a (75,20) képlet átmegy a (77,11) kifejezés be. Ennek a függvénynek a képzetes részét az w =±ckjn pólusok megkerülési módja határozza meg. Ezt a (8,11) összefüggés segítségéveileválasztva és (77,2)-be helyettesitve, (Ej 1>Eir>)rok

= 3~2/í

2

( ;2 CJ;k-

k~~k) {(J

(n: -k)- (n: +k)} cth ~; (J

(77,12)

adódik. A jobb oldali kifejezés a test nélküli fluktuációk tere,

9 A mágneses polarizálhatóság jelenléte nem feltétlenül jelenti azt, hogy a test mágneses anyagból épül fel. Például szó lehet a mágneses tér testből való kiszorulásáról is a skin-hatás eredményeként.

25*

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

388

VIII. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

A pedig a test által szórt sugárzásé.Nagy távolságokon A Ai~>)w+Ai~> A1~>).,

=

(AB_> A~g>)w+(Ai~>A1f>);:;

frbató. A szórt teret újfent a Il. 72.§ eredménye adja, de most dipólusmomentumként egyszerűen a fekete sugárzás által indukált momentumot kell válaSztani: d,= txj0~01(0). Újrabevezetve a test néÍ~ küli vákuum Green-függvényét: · · · · · · ·

azt kapjuk, hogy

(AH.> Aig>).,

=-

ro 2 líc 2 Dfi(ro; r J tx 1.,(A~> (0) Ak0>(rz>).,.

Az (A~l A~)w· korrelációs függvényt (76,2)-ből vesszük:. Ennek során, minthogy bennünket csak a sugárzás érdekel, e képletből elhagyjuk a zérusponti rezgéseket, vagyis az

hőmérsékleti

l

/íro

2Cth2T =

l

1

eliW/!1.'_1

+2-+

l eliW/!l'_,-1

helyettesitést végezzük el. Végeredményben a szórt fekete sugárzáS~ a korrelációs függvény be adott járulékára

adódik. Végül a hideg közegbeli fluktuáció& tér megtalálásához (3)-at levonjuk (1)-ből. alakítások után, a D1k és tx111, tenzorok szimmetriáját felhasználva, azt kapjuk, hogy

Egyszerű

át-

(4)

(ahol T a test hőmérséklete). Itt csak a hőmérsékleti részt irtuk 1d; a zérusponti rezgések járuléka (1)-hez változatlan. Figyeljük meg, hogy a (4) kifejezés, amely a test hőmérsékleti sugárzását határozza meg, csak a polarizálhatóság képzetes részétől függ. A (4) kifejezéssel kiszámitot t energiaáram már nem nulla, hanem a melegitett testnek a környező hideg közegbe átadott sugárzási intenzitását adja meg.

78. §. Áramfluktuációk lineáris. áramkörökben . A :fluktuáció- disszipáció tétel egy másik érdekes alkalmazása. a lineáris áramkör ök áram:lluktuációinak vizsgálata (H. Nyquist, 1928). Az áram :fluktuációi a vezetó'ben szabad (külső elektromos feszültség alkalmazása nélkül fellépó') elektromos rezgéseket jelentenek. Zárt lineáris vezetőben természetesen azok az ingadozások a legérdekesebbek, amelyek során a vezetőben nemzérus J teljes áram folyik. Az alábbiakban feltételezzülc a kvázistacionaritás feltételének

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

78.§. ÁRAMFLUKTUÁCIÓK LINEÁRIS ÁRAMKÖRÖKBEN

389

teljesülését, vagyis hogy az áramkör méretei kicsik a A. ~ cfw hullámhosszhoz képest. Ekkor a folyó J áram adott ,pillanatban a kör minden pontján azonos, csak az idő függvényében változik. Válasszuk a J áramot a fluktuáció_.:disszipáció tétel V. 124. §-beli általános megfogalmazásában szereplő x(t) mennyiségnek. Ahhoz, hogy tisztázzuk a megfelelő IX szuszceptibilitás természetét, tegyük fel, hogy a körre r5 külső elektromotoros erő hat. Ekkor a körbeli energiadisszipáció teljesitménye Q= Jr5. Ezt a Q= -x/ összefüggéssei összehasonlítva, amely, [V. (123,10)-ben] az j "erő" de:finíciója, látjuk, hogy /=-t, illetve a Fourier-komponenseket véve: t w = iwfw· Másrészt az áram és a feszültség közti összefüggés a lineárü; körökben t w = Z(w) J"'' ahol Z(w) a komplex impedancia. Ezért J,.= r5w/Z = iwf"'/Z, amit az (x)w = ~X(w)fw összefüggéssei összehasonlítva, amely az általánositott szuszr ceptibilitást definiálja, azt kapjuk, hogy a( w)= iw/Z(w). Ennek imaginárius része:

Im rx

=

Im

ziw = [zw [ R(co), 2

ahol R= Re Z. A fluktuáció- disszipáció tétel szer int

(x2)w amiből

= /ícth

líw 2T •lma(w)

az áramingadozások spektrális függvényére líw

(J2)w =

l Z(w) [2

líw R(w) cth 2T

(78,1)

adódik. Ezt a képietet más alakban is írhatjuk, ha az áramingadozásokat az tw = ZJw véletlenszerű elektromos feszültség hatásának gondoljuk:

=

(78,2) A klasszikus esetben (líw «T) a

következő

(r52)w

=

eredményt kapjuk:

2TR(w).

(78,3)

Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy e képletek teljesen függetlenek az olyan jelenségek természetétől, amelyek a rendszer ellenállásának diszperzióját okozzák.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

390

VIII. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

79. §. A foton

hőmérsékleti

Green-függvénye

közegben A foton közeg~eli hőmérsékleti Green-függvényét az elektromágneses tér potenciáljainak Matsubara-operátoraiból ugyanúgy építjük fel, ahogy a (75,2) időfüggő Green-függvényt a Heisenberg-operátorokból megalkottuk: ['(79,1) Itt figyelembe vettük, hogy a Schrödinger-operátorok hermitikussága miatt az

.AM és AM [(37,1)-ben definiált] Matsubara-operátorok egybeesnek. Ezek az operátorok azonban (a heisenbergiektől eltérően) nem hermitikusak; a 7: paraméter valóssága miatt

vagy

Minthogy a (79,1) függvény csak a ('t >O esetén) hhatjuk, hogy

7:= 7:c7:2 különbségtől

függ (l. 37.§), ezért

0ul-z:; r1, r2) = -(.Af!(-z:, rl)Ati(O, r2)), 0;k( --z:;r1, r 2)=- (ÁW(-z:, r 2).Á{'f(O, r1)).;

Az összehasonlitásból világos, hogy (79,2)

A0

1k

függvény a

7:

változó szerinti Fourier-sorba

fejthető:

00

0;k(-z:;rhr2)= T

L

0a,(C.;rl,r2)e-;c.~,

(79,3)

s=-oo

ahol a C. "frekvenciák" (a fotonole által kielégített Bose-statisztikának megfelelően) a líC. = 2nsT értékeket vehetik fel [vö. (37,8)]. A Fourier-együtthatókra (79,2)-ből hasonló összefüggés következik: (79,4)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

79.§. A FOTON HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN

391

Az általános (37,12) képlet szerint ezeket az együtthatókat a retardált Green-függvénnyel a következő összefüggés köti össze:

pozitiv C8 -re. A 75. §-ban megmutattuk, hogy a D{j.(w; r 1, r 2) függvény az ott elemzett értelmezés szerint a rendszer külső hatásra adott válaszainak elméletében fellépő általánosított sz-uszceptibilitásként értelmezhető. Ebből következett a függvényeknek (amennyiben a közeg nem magnetoaktív) a (75,12) képlettel kifejezett szimmetriája, amely D{j. és 0 1k kapcsolatamiatt ez utóbbiakra is érvényes; (79,5) Ezt az egyenlőséget (79,4)-gyel együtt vizsgálva, következik, hogy a 0 1k(C8 ; r 1, r 2) függvény páros a diszkrét Ca változóban, azaz minden (pozitív és negativ) értékére (79,6) Továbbá a D~ (w; r 1, r 2) függvény, mint minden általánositott szuszceptibilitás, valós a képzetes pozitív féltengelyen (1. V. 123. §), ezért (79,6)-ból következik, hogy 0 1iCs; r 1, r 2) a Cs minden értékére valós. Végül e tulajdonságokból következik, hogy a kiindulási 0 1k(r; r 1, r 2) függvény valós és páros -r-ban: (79, 7) A hőmérsékleti Green-függvény és a retardált Green-függvény (79,6) kapcsolata lehetövé teszi a 0 1k függvény által inhomogén közegben kielégített differenciálegyenlet azonnali felírását. Ehhez elegendő, ha a (75,15) vagy a (75,16) képletekben elvégezzük az w -+ i lC. l helyettesítést. Így izotrop, nem mágnesezett közegben (/-' = l) a következő egyenletre jutunk:

Homogén végtekn közegben a 0illCs; r, r') függvény az r-r' különbség szerinti Fourier-transzformáltakból épül fel. E kifejtés komponensei algebrai egyenletrendszert elégítenek ki : (79,9)

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

VJll. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK·

392

amelytJ.ek megoldása1° (79,10) · Minthogy a D1iCs, k) függvényt (a hosszúhullámú tartományban ka« l) e(ro)-val fejezzük ki, igy a kiszámítására használt diagramtechnika a közeg dielektromos állandójának kiszámítására is alkalmazható. Ez utóbbinak határozott jelentése van a diagramok nyelvén is, amit most megvilágftunk A pontos (]) függvényt vastag, a vákuumbeli (])CO> függvényt pedig vékony szaggatott vonallal jelöljük a következő hozzárendelés szerint: 11 (79,11)

-----=-1Jill

A (]) függvénytmegadó diagramok teljes halmazát egy [a G-függvényte vonatkozó (14,3) sorral teljesen analóg] sor adja meg:

---- =~--+--o--+

--o-o--+---

(79,12)

ahol a kör azon blokkok összességét jelenti, amelyek egyetlen szaggatott vonal elvágásával nem esnek szét két részre; ezt ahalmazt -1J1k/4n jelöli. A 1J1k függvényt (amely analóg a részecskék Green-függvényének s.ajátenergiás részével) polarizációs operátornak hívják. A (79,12) diagramegyenlőség a következő egyenlettel ekvivalens:

..

.............. === ....,_.;:.._ + --

-o

..,._

(79,13)

[vö. a (14,3)-ról (14,4)-re történő átmenettel]. Analitikusan /TI

-

/TI(Ol

'Vik- 'Vtk

10 Realisztikus

+'Vt[ 1Jlm 41'& 'Vmk /TI!O)

/TI

(79,14)

alkalmazásokban (1. 80. §) a 1J ik függvény mindig C!-tel szorozva fordul elő, igy

C, = O-nál mutatott szingularitása valójában nem érvényesül. A 'lJ-függvényekjelölésére használt szaggatott vonal nem vezethet félreértésre, mivel ebben és a szakaszban nem szerepel explicit módon a közeg részecskéinek párkölcsönhatási energiája (ami;: e korábban ezt a jelölést használtuk). 11

következő

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

79.§. A FOTON I!ŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN

393

alakban írható (ahol az összes tényező ugyanazon Cs és k változókfüggvénye). Szorozzuk meg ezt az egyenlőséget a 0-1 inverz tenzorral jobbról és (JJ{0)- 1-gyel balról; ekkor a /7\-1 /7\(0)-1 r7) /4 (79,15) 'Uik = 'Vik -'f./ik 1C alakban írható. Végül 0 ii/-et (79,9) alapján kifejezve és s = l esetén 0~z)- 1-et ugyanigy meghatározva, kapjuk a

(/);k(Cs, k)

=%! [s(i lCs l )-l] Ouc 2

(79,16)

összefüggést, amellyel megadtuk az s(w)-1 mennyiség diagramatikus jelentését az w komplex felső félsik képzetes tengelyének diszkrét pontjaiban. Az s (i l C. j) mennyiség analitikus kiterjesztése az egész Im z > Ofelső félsíkra elvben elvégezhető, figyelembe véve, hogy s(w)-nak itt nem lehet szingularitása, és s(w)-->- l, ha jwj-+oo.12 Inhomogén közegben a polarizációs tenzor (csakúgy, mint 0 u,) két pont koordinátáinakfüggvénye. Az egész levezetést koordinátatérben megismételve, (79,14) helyett a

egyenletrejutunk (a C. változót a rövidség kedvéért nem írtuk ki). Erre az egyenletre bahóla R

A

c;

o

UnJL11+2 Őnl

c

operátorral hatva, és figyelembe véve, hogy D(O) eleget tesz a (79,8) egyenletnek s helyettesitéssel, azt kapjuk, hogy

=

1

amiből

(79,17)

12

Anizotrop közegben

érvényes. Megjegyezzük, hogy ebben az alakjában a kifejezés igaz térbeli dis'lperzió jelenlétében is, mikor e,k nemcsak a frekvenciától, de a hullámvektortól is függ.

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

.394

VIII. FEffiZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

A kondenzált közeg szerkezetét és vele annak dielektromos tulajdonságait az atomi méretek nagyságrendjébe eső távolságú részecskék közötti erők határozzák meg. Ilyen távolságckra (a részecskék nemrelativisztikus mozgását feltételezve) elfelejtkezhetünk a kölcsönhatások retardáltságáról, amely csak a tér hosszúhullámú (ka« l) komponenseire válik lényegessé. Más szóval, a polarizációs operátor kiszámitásakor a tér hosszúhullámú részét elhagyhatjuk. Magának a (/) 1k Green-függvénynek diagramatikus kifejezésében a hosszúhullámú tér csak (79,12) jobb oldalának vékony .szaggatott vonalaiban jelenik meg. Az ebben a szakaszban tekintett háromdimenziós 1Jik tenzor a 1Jl'• polarizációs négyestenzornak térszerű része. Hangsúlyozzuk, a félreértések elkerülése végett, hogy .az időszerű (/)00 és a vegyes (/)01 komponensek egyáltalán nem zérusok. Ezen túl, csakúgy, mint a kvantumelektrodinamikában, e négyestenzor nem függ a potenciálokra választott mértéktől. A nemrelativisztikus elméletben ez a mértékinvariancia már abbó] is eleve világos, hogy a polarizációs operátort tisztán a nemretardált eró'kb61 is kiszámithatjuk, függetlenül a hosszúhullámú tér mértékétől.13 A (/)00 és (/)01 komponenseket a négyestenzor transzverzalitásának 1Jl'•k"' = O feltételéből kaphatjuk meg, ahol k"' = (iC•• k) a négyes hullámvektor:

k2

1Joo = - líc2 m

'f/Oi

=

[s(i l Csl)-1],

iC.kt

( . ,. l líc 2 [s z1"-• )-1].

(79,18)

80. §. A van der Waals-erők feszültségi tenzora Bár a kondenzált anyagok szerkezetét alapjában (mint ezt már az előző szakasz végén megjegyeztük) az atomi távolságra levő részecskék kölcsönhatásai határozzák meg, de a termodinamikai mennyiségekbe (pl. a szabad energiába) meghatározott járulékot adnak az úgynevezett van der Waals-erők, amelyek a tipikus a atomi távol.sághoz képest nagy távolságra hatnak. Emlékeztetünk, hogy szabad atomokra ez a kölcsönhatás a távolsággal ,-s szer:int csökken (1. III. 89.§), avagy, ha a retardálási hatásokat is figyelembe vesszük, akkor ez a csökkenés r- 7-nel arányos (1. IV. 83. §). Kondenzált közegben a van der Waals-er6'k természetesen nem vezethetők vissza két, 13

www.interkonyv.hu

L. IV. 100. §.

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

80.§. A VAN DER WAALS-ERŐK FESZÜLTSÉGI TENZORA

395

különálló részecske kölcsönhatására. Ugyanakkor az a tény, hogy a van der Waalserők hatósugara nagy az atomok közötti távolságokhoz képest, lehetövé teszi, hogy makroszkopikus szempontból közeledjünk a test termodinamikai tulajdonságaira gyakorolt hatásuk vizsgálatához. A makroszkopikus elméletben úgy tekintjük, hogy az anyagi közegbeli van der Waals-kölcsönhatást hosszúhullámú elektromágneses tér valósítja meg (E. M. Lifsic, 1954). Ez a fogalom nemcsak a hőmérsékleti fluktuációkat, hanem a zérusponti rezgéseket is magába foglalja. E kölcsönhatásnak a szabad energiába adott járuléka abból a szempontból sajátos, hogy nemadditív: nem egyszerűen arányos a test térfogatával, hanem annak alakját, részeinek kölcsönös helyzetét jellemző paraméterektől is függ. Éppen ez a nemadditív jelleg, amely a hosszú hatótávolsággal kapcsolatos, az a tulajdonság, amelynek révén a van der Waals-erő járuléka elkülönül a nála jóval nagyobb additív résztőL A makroszkopikus elméletben e tulajdonság eredete arra vezethető vissza, hogy a közeg elektromos tulajdonságainak egy bizonyos tartományban bekövetkező bármely változása a Maxwell-egyenletek révén azon kivül is változásokat hoz létre a fluktuáló térben. A nemadditivitás hatásai csak elegendően kicsiny karakterisztikus méretű objektumokra észlelhetők (melyek persze jóval nagyobbak az atomi méreteknél), mint pl. vékony hártyák, vékony réssei elválasztott testek stb. Az elektromágneses ingadozások szabad energiába adott járulékának kiszámításában mindig a közeg inhomogenitásainak jellemző méretével azonos nagyságrendű hullámbosszak a fontosak (a hártya vastagsága, a rés szélessége stb). Éppen ez a tulajdonság okozza a makroszkopikus elméletben a van der Waals-erők hatványviselkedését; ha valamely határozott .A0 hullámhosszú fluktuációk volnának a lényegesek, akkor ez az erő exponenciális csökkenéséhez vezetne :::::: r/.A0 kitevővel. Minthogy továbbá a karakterisztikus hosszak és velük a jellemző hullámbosszak is jóval nagyobbak az atomi méreteknél, így a fluktuációk minden tulajdonsága és a szabad energiába adott járuléka is kifejezhető a komplex dielektromos állandóval. Célunk az inhomogén közegben ható makroszkopikus erők kiszámítása lesz. 14 A levezetés előkészítéseként meghatározzuk a közeg szabad energiájának megváltozását dielektromos állandójának kis változásakor (az anyag mágneses tulajdonságait elhanyagoljuk, azaz p.= l). Úgy tekintjük, hogy e megváltozását a rendszer Hamilton-operátorának kis oh-val való megváltozása okozta. Ekkor a szabad energia megváltozására fennáll, hogy

aF= 0 a H0 Hamilton-operátorhoz tartozó Gibbs-sokasággal képzett átlago~ lást jelenti. A választott reprezentáció értelmezése szelint a Matsubara-operátorokat az .AM('t, r)

= exp('tHo)A(r) exp( -'tÉlo)

(80, 4)

összefüggés definiálja. Hasonló definíciót használunk oHM és azon 7p-operátorok számára, amelyek a részecskék jM áramának operátorában megjelennek. 16 Minthogy H 0 -ban a hosszúhullámú fotonok nem szerepelnek, így .AM a (Matsubara-értelemben) szabad fotontér operátorával egyezik meg. Ez persze a 7p-operátorokra már nem igaz, mivel a részecskék közötti kölcsönhatás már szerepel H 0 -ban. A diagramtechnika általános elvei szerint a (80,3) kifejezés exponensét t\ hatványai szerint fejljük .kiP Ennek során a szabad .AM tér szorzatait a kifejtés minden tagjában a Wick-tétel szerinti párosításokkal számítjuk ki. A kifejtés .AM-et nem tartalmazó nulladrendű tagja a szabad energiának a hosszúhullámú fluktuációk figyelembevétele nélküli oF0 változását adja meg. Az .AM-ben lineáris következő tag az átlagolás során zérust ad. A térváltozóban kvadratikus tag az (Af1Af1) párosítás

Ebben a szakaszban h = l, c= l egységeket használunk. A O indexeket, amellyel e reprezentációban az összes operátort el kellene látni, a jelölések túlbonyolításának elkerülése végett elhagyjuk. 1 7 Elegendő t'JF kifejezésében a számláló kifejtését vizsgálni. A nevezőbeli (fi)0 tényező szerepe, mint általában, most is a nem összefüggö diagramok járulékának eltávolítása. 15

16

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

80.§. A VAN DER WAALS-ERŐK FESZÜLTSÉGI TENZORA

397

révén 0~?/-val, a szabad fotonole Green-függvényével arányos. Ezt a tagot a (80,5)

diagrammal írhatjuk le (az exponens sorbafejtésekor megjelenő 1/2 tényezőt kiemeltük). A szaggatott vonal a (l)(OJ függvényt jelöli, a bevonalkázott kör pedig az egyéb tényezők átlagolásából származik. Ez utóbbi mennyiség explicit alakját nem írjuk ki; csak az a fontos,hogyaznemmás, mint {J(í);k/4n, ahol o1J;k a rendszer Hamilton-operátorának oH megváltozása során létrejövő módosulás a polarizációs operátorban. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha ugyanezzel a módszerrel vizsgáljuk a 0 függvény megváltozását. Az operátorok azonos reprezentációjában e függvényt a /7I

•u;k

(

1 .>a). A megfelelő távolságokra r "' l/k » lífmu, Igy az ideális gázhoz tartva (u- O) a (87,6) képlet alkalmazhatósági határa a végtelenig terjed ki. 8 Az ± [(xaxb)~+>]* = (xaxb)~+>+ (xbxa)0-2

(89, 7)

ahol a ± jelek a (89,4)-beli előjeleknek felelnek meg. A nyugvó folyadékbeli ingadozások ki.fizött feladatára való áttéréshez először is linearizáljuk a (88,6)-(88,8) hidrodinamikai egyenleteket, ahol a;k-t és q-ta (88,9)(88,10) képletekből vesszük (az utolsó tagok elhagyásával). e = eo+ be, v= bv, ... behelyettesítéssel, a lineáris tagokat tartva csak meg, azt kapjuk, hogy

Bbe d.tvv= o, -at+e

(89,8)

(89,9)

Bbs = _..!!_ Bt

eT 6

bT

(89,10)

(az állandó e0 , ••• mennyiségek O indexét a linearizálás után elhagytuk). A (89,8)(89,10) egyenletekben célszeifi azonnal felosztani a sebességet potenciális ("longi-

www.interkonyv.hu

Copyright © E. M. Lifsic, L. P. Pitajevszkij, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Patkós András, Typotex, 2010

446

IX. FEJEZET. A HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK

tudinális") v