Elméleti fizika III. Kvantummechanika - Nemrelativisztikus elmélet [PDF]

Zitiervorschau

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

ELMÉLETI FIZIKA III.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

L. D. Landau – E. M. Lifsic

ELMÉLETI FIZIKA III. KVANTUMMECHANIKA Nemrelativisztikus elmélet

Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

Az eredeti mő címe ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА – КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА, 1974 Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978 Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-130-2

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Tankönyvkiadó 1978-as kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

L. D. LANDAU

Nobel-díjas ( 1908-1968)

E. M. LIFSIC

Lenin-díjas (1915-)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

ELŐSZÓ A HARMADIK KIADÁSHOZ

E kötet megelőző kiadása volt az utolsó könyv, amelyen együtt dolgozhattam mes· teremmel, L. D. LandanvaL Akkor a kötet csaknem valamennyi fejezetét átdolgoztuk és kibővítettük. Természetes, hogy ez az új kiadás lényegesen kevesebb átdolgozott részt tartalmaz. Mindazonáltal így sok új anyag került a könyvbe (gyakran feladat formájában): részben az utóbbi években elért egyes eredmények, részben pedig néhány olyan régebbi eredmény, mely az utóbbi években került az érdeklődés középpontjába. Az elméleti fizika fegyvertárának csodálatos ismerete lehetövé tette Landan számára, hogy az eredmények egész sorát, az eredeti munkáktól függetlenül, a saját eszközeivel kapja meg. Ez az oka annak, hogy a könyvből hiányoznak bizonyos igen fontos hivatkozások; itt most megkíséreltem ezek pótlását. Ugyanakkor magára L. D. Landaura is hivatkoziarn olyan helyeken, ahol tőle származó, máshol nem publikált eredmények vagy módszerek kerülnek előadásra. Mint a sorozat többi kötetének új kiadásánál, most is sok barátom nyújtott segítséget, rámutatva a korábbi kiadásokban előforduló pontatlanságokra vagy valamilyen kiegészítés szükségességére. E kötetben több helyen figyelembe vettem A. M. Brodszkij, G. F. Drukarjov, I. G. Kaplan, V. P. Krajnov, J. B. Levinszon, P. E. Nyemirovszkij, V. L. Pokrovszkij, I. I. Szobelman és I. Sz. Sapiro tanácsait; valamennyiüknek őszinte köszönetet mondok. A kötet új kiadásával kapcsolatos munkát L. P. Pitajevszkij szoros közreműkö­ désével végeztem. Személyében olyan munkatársra találtam, aki ugyancsak a Landauiskolához tartozik, és akivel ugyanazokért a tudományos ideálokért lelkesedünk A Szavjetunió Tudományos Akadémiájának Fizikai Kutató Intézete, Moszkva, 1973 novemberében

E. M.

www.interkonyv.hu

LIFSIC

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

AZ ELSŐ KIADÁS ELŐSZ,AVÁBÓL '

Az Elméleti fizika sorozat jelen kötetének tárgya a kvantummechanika. A téma hatalmas terjedelme miatt célszerűnek látszott az anyagot két részre osztani. A most megjelenő első rész a nemrelativisztikus elméletet tartalmazza, a relativisztikus elmélet a második rész tárgya lesz. A relativisztikus elmélet kifejezést a legtágabb értelemben használjuk: ide tartozik minden olyan kvantumos jelenség, mely lényegesen függ a fénysebességtőL Ennek megfelelően a tárgyalás nemcsak a Dirac-elméletet és az azzal kapcsolatos problémákat öleli fel, hanem a sugárzás teljes kvantumelméletét is. A kvantummechanika alapjainak ismerteiésén kívül a könyvben sok alkalmazást is adunk- jóval többet, mint általában az kvantummechanikai könyvekben szokásos. Kihagytuk azonban azokat a kérdéseket, amelyeknek tárgyalása során a kísérleti adatok részletes analízisére lenne szükség; ez elkerülhetetlenül túlvezetne a könyv keretein. A felvetett konkrét kérdéseket a lehető legrészletesebben tárgyaljuk Ezért feleslegesnek tartjuk az eredeti művekre való hivatkozást, megelégszünk a szerző nevének feltüntetéséveL Mint az előző kötetben, most is arra törekszünk, hogy az általános kérdések tárgyalása során a lehető legvilágosabban kidomborítsuk az elmélet fizikai lényegét, és ennek alapján dolgozzuk ki a matematikai módszereket. Ez különösen a könyv első szakaszaira vonatkozik, melyekben a kvantummechanikai operátorok általános tulajdonságait taglaljuk A lineáris operátorokra érvényes matematikai tételekből kiinduló, szokásossá vált tárgyalási móddal ellentétben a fizikai kérdésfeltevésből származtatjuk az operátorokra és sajátfüggvényekre vonatkozó matematikai követelményeket. Lehetetlen nem észrevenni, hogy sok kvantummechanika tankönyv tárgyalásmódja lényegesen bonyolultabb, mint az eredeti munkáké. Bár az ilyen tárgyalásmódot az általánosság és szigorúság hangoztatásával védik, figyelmesen vizsgálva könnyen belátható, hogy mindkét indok olyan mértékben illuzórikus, hogy a "szigorú"

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

tételek jelentős része egyszerűen hibás. Az elpadásmód ilyenféle elbonyolítását teljesen indokolatlannak tekintjük, ezért mi, ezzel ellentétben, egyszerűségre törekszünk, és sokszor visszanyúlunk az eredeti munkákhoz. Néhány pusztán matematikai részletet a könyv végén a Matematikai kiegészítésben foglalunk össze, hogy ezzel lehetőleg ne törjük meg a tárgyalás folyamatosságát. Ez a kiegészítés kézikönyvpótló célokat is szolgál. Moszkva, 1947. május.

L D.

www.interkonyv.hu

LANDAU,

E. M.

LIFSIC

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

NÉHÁNY JELÖLÉS

Az operátorok betűje fölé "kalapot" teszünk:/ Térfogatelem: a koordinátatérben dV, a konfigurációs térben dq, az impulzustérben d3p. Azfmennyiség mátrixeleme (definíciója a 44. oldalon található): fnm vagy (n Ifi m). Átmenet frekvenciája: w nm = (En- Em)/lí. Két operátor kommutátora: {/,g}= fg- gf Hamilton-operátor: 1'!. A hullámfüggvény fáziseltolódása: ö1. Az atomi és a Coulomb-egységek definícióját l. a 150. oldalon. A vektor- és tenzorindexeket az i, k, /latin betűkkel jelöljük. Antiszimmetrikus egységtenzor: eud (definícióját lásd a 110. oldalon). Nagyságrendi egyenlőség jele: Arányosság jele: co Közelítő egyenlőség jele: """

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

I. FEJEZET

A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

l. §. A határozatlansági elv A klasszikus mechanikát és elektrodinamikátatomijelenségekre alkalmazva, élesen szembekerülünk a tapasztalattal. Ez világosan látható már abból az ellentmondásból is, amely akkor adódik, ha a klasszikus elektrodinamikát a mag körül klasszikus pályán keringő elektronokkal modellezett atomra alkalmazzuk. Ilyen mozgás esetén, mint töltések gyorsuló mozgásánál általában, az elektronoknak állandóan elektromágneses sugárzást kellene kibocsátaniuk. A sugárzás következtében az elektronok energiát veszítenének, és végül is a magba esnének. Így tehát a klasszikus elektrodinamikaszerint az atom instabillenne, ami semmiképpen sem felel meg a valóságnak. Az elmélet és a tapasztalat között fennálló ilyen mély ellentmondás azt mutatja, hogy az atomi jelenségeket - a tér nagyon kis tartományában lejátszódó, nagyon kis tömegű részecskékkel kapcsolatos jelenségeket - leíró elmélet kidolgozása a klasszikus alapfogalmak és törvények mélyreható megváltoztatását teszi szükségessé. E változtatások megvilágítására egy kísérletileg megfigyelhető jelenségből, ~z ún. elektrondiffrakcióból célszerű kiindulni.l A tapasztalat szerint egy homogén elektronnyalábot kristályon átbocsátva, a továbbhaladó nyalábban intenzitásminimumok és -maximumok váltakoznak, pontosan úgy, mint az elektromágneses hullámok elhajlása során. Így tehát, bizonyos esetekben, anyagi részecskék- elektronok- hullámjelenségekre jellemző tulajdonságokat mutatnak. Hogy ez a jelenség milyen mély ellentmondásban áll a mozgásról alkotott szokásos elképzeléssel, mindennél világosabban látható a következő gondolatkísérletből, mely az elektron kristályrácson való elhajlásának leegyszerűsített modellje. Vegyünk egy, az elektronok számára átjárhatatlan ernyőt, melyen két nyílás van. Az ernyőre elektronnyalábot2 bocsátunk, és az egyik rést elzárjuk. Az ernyő mögött elhelyezett 1 Az elektronelhajlás jelenségét a valóságban a kvantummechanika megalkotása után fedezték fel. Mi azonban nem ragaszkodunk az elmélet fejlődésének történelmi sorrendjéhez, hanem úgy fogjuk azt felépíteni, hogy a lehető legvilágosabban megmutassuk, hogyan kapcsolódnak a kvantummechanika elvei a kísérletileg megfigyelhető jelenségekhez. 2 Feltételezzük: a nyaláb olyan ritka, hogy a részecskék kölcsönhatása nemjátszik szerepet.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

12

l. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

második ernyőn valamilyen intenzitáselosztá st·. figyelhetünk meg; más intenzitáseloszlás adódik, ha a második rést zárjuk el, és az elsőt nyitjuk ki. A mindkét rés kinyitásakor kialakuló elhajlási képet vizsgálva, egyszerű megfontolások alapján azt várjuk, hogy a kialakuló kép a két megelőzőnek egymásra helyezésével adódik: a saját pályáján mozgó elektron áthalad az egyik résen, és nem fejt ki semmilyen hatást a másik nyíláson áthaladó elektronra. Az elektronelhajlás jelensége abban áll, hogy a valóságban az ernyőn kialakuló kép az interferencia miatt lényegesen eltér az egyes rések által adott képek összegétől. Nyilvánvaló, hogy ez az eredmény sehogy sem egyeztethető össze az elektronok meghatározott pályán való mozgásáról alkotott elképzelésekkeL Így tehát az atomi jelenségeket leíró mechanika - az úgynevezett hullám- vagy kvantummechanika - a klasszikus mechanikai elképzelésektől jelentősen eltérő mozgásfogalomból kiindulva építendő fel. A kvantummechanikában nem létezik a részecskék pályájának fogalma. Ez a körülmény a lényegi tartalma a W. Heisenberg által 1927-ben felállított határozatlansági elvnek, mely a kvantummechanika egyik alapelve. 3 A klasszikus mechanika szokásos fogalmait elutasító határozatlansági elvnek negatív a tartalma; önmagában nem lehet elegendő arra, hogy a részecskék új mechanikájánakalapjául szolgáljon. Természetes, hogy egy ilyen elmélet csak pozitív állításokra építhető, ezeket a következőkben (2.§) fogjuk vizsgálni. Ahhoz azonban, hogy állitásainkat megfogalmazhassuk, előzetesen tisztáznunk kell a kvantummechanikai kérdésfeltevés jellegét. E célból mindenekelőtt a kvantum- és a klasszikus mechanika egymáshoz való viszonyának sajátos jellegével kell foglalkoznunk. Egy általános elmélet rendszerint logikailag zárt módon megfogalmazható, a szű­ kebb érvényű, belőle határesetként adódó elmélettől függetlenül. Így például a relativisztikus mechanika felépíthető a saját elvei alapján, a newtoni mechanikára való utalás nélkül. A kvantummechanika alaptételeinek megfogalmazása azonban elvileg lehetetlen a klasszikus mechanikára való hivatkozás nélkül. Az, hogy az elektronnak4 nincs meghatározott pályája, már magában azt jelenti, hogy más dinamikai jellemzői sem lehetnek. 5 Nyilvánvaló ezért, hogy tisztán kvantu-

3 Érdekes, hogy a kvantummechanika teljes matematikai apparátusát W. Heisenberg és E. Schrödinger az 1925-1926-os években alkotta meg, tehát a komplementaritás elvének felfedezése előtt, mely feltárta e matematikai apparátus fizikai tartalmát. 4 Ebben a paragrafusban éppúgy, mint a következőkben, a rövidség kedvéért elektronról beszélünk, tetszőleges kvantumobjektumot, tehát olyan részecskét vagy részecskerendszert értve ezen, mely a kvantummechanikának, nem pedig a klasszikus mechanikának engedelmeskedik. 5 Az elektron mozgását jellemző mennyiségekről van szó, nem pedig azokról a mennyiségekről -paraméterekről-, amelyek az eleletront mint részecskét jellemzik (töltés, tömeg).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

1.§. A HATÁROZATLANSÁGI ELV

13

mos objektumokból álló rendszeresetén nem lehetne egy logikailag zárt mechanikát felépíteni. Az elektron mozgásának számszerű leírására csak akkor van lehetőség, ha léteznek a klasszikus mechanika törvényeinek elegendő pontossággal eleget tevő tárgyak is. Ha az elektron kölcsönhatásba lép egy "klasszikus tárggyal", akkor ez utóbbi állapota általában megváltozik E változás jellege és nagysága függ az elektron állapotától, ezért annak mennyiségi jellemzésére használható. Ebben az összefüggésben a "klasszikus tárgyat" általában "mű~zernek", a tárgy és az elektron kölcsönhatásának folyamatát pedig "mérésnek" szokás nevezni. Hangsúlyozni kell azonban, hogy semmiképpen sem olyan "mérési" folyamatra gondolunk, amelyben fizikus-megfigyelő részt vesz. A kvantummechanikában minden olyan folyamat mérésnek számít, amely klasszikus és kvantumos objektum közötti kölcsönhatással jár, függetlenül attól, hogy tudomást vesz-e róla, vagy közreműkö­ dik-e benne bármiféle megfigyelő. A mérés fogalmának a kvantummechanikában játszott rendkívül fontos szerepét N. Bohr tisztázta. A műszert úgy definiáltuk, mint a klasszikus mechanika törvényeinek elegendő pontossággal engedelmeskedő fizikai objektumot. Ilyen például egy elegendően nagy tömegű test. Nem szabad azonban azt gondolnunk, hogy a műszer okvetlenül makroszkopikus. Bizonyos körülmények között a műszer szerepét mikroszkopikus objektum is betöltheti, minthogy az "elegendő pontosság" fogalma a konkrét feladattól függ. Például egy elektron Wilson-kamrában való mozgását az általa kiváltott ködnyom megfigyelésével követjük, amelynek vastagsága nagy az atomi méretekhez képest; a pályának ilyen pontossággal való meghatározása esetén az elektron klasszikus objektumnak tekinthető. A kvantummechanika tehát sajátos helyet foglal el a fizikai elméletek között- a klasszikus mechanikát határesetként tartalmazza, ugyanakkor már megalapozásánál szükség van erre a határesetre. Most már meghatározhatjuk a kvantummechanika feladatkörét. A tipikus feladat egy megismételt mérés eredményének megjóslása a korábbi mérések eredményeinek ismeretében. Ezenkívül, mint a későbbiekben látni fogjuk, a kvantummechanika, a klasszikushoz képest, általában korlátozza a különböző fizikai mennyiségek (pL energia) lehetséges értékeinek tartományát, vagyis az illető fizikai mennyiség mérésekor kapott lehetséges eredményeket. A kvantummechanika matematikai appparátusától elvárjuk, hogy lehetövé tegye e megengedett értékek m~ghatározását. A kvantummechanikában a mérési folyamat rendkívül lényeges sajátsága, hogy mindig hatással van a mérésnek kitett elektronra, és ez a hatás, előírt mérési pontosság mellett, elvileg sem tehető tetszőlegesen kicsivé. Minél pontosabb a mérés, annál erősebb az általa kifejtett hatás, és csak nagyon kis mérési pontosság megkövetelése esetén lehet gyenge a mérésnek a tárgyra való hatása. A mérés e sajátsága logikai kapcsolatban áll azzal, hogy az elektron dinamikai jellemzői csak magának a mérésnek eredményeként jelennek meg; nyilvánvaló, hogy ha a mérési folyamatnak az

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

14

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

objektumra való hatását tetszésszerint kicsivé tehetnénk, ez azt jelentené, hogymagának a mért mennyiségnek a méréstől függetlenül meghatározott értéke van. A különböző típusú mérések között lényeges szerepetjátszik az elektron koordinátáinak meghatározása. A kvantummechanika alkalmazhatóságának határain belül az elektron koordinátáinak mérését tetszőleges pontossággal elvégezhetjük. 6 Tegyük fel, hogy meghatározott Lit időnként megmérjük az elektron koordinátáit. Az eredmények általában nem fekszenek egy sima görbén. Ellenkezőleg, minél pontosabb a mérés, az eredmények annál jobban szórnak, annál rendezétlenebbek, annak megfelelően, hogy az elektronpálya fogalom nem létezik. Többé-kevésbé sima pálya csak abban az esetben adódik, ha az elektron koordinátáit kis pontossággal határozzuk meg, mint például a Wilson-kamrában kicsapódott páracseppek megfigyelése esetén. Ha állandó mérési pontosság mellett a mérések közötteltelt Lit időtartaroot csökkentjük, akkor a szomszédos mérések eredménye természetesen közel esik egymáshoz. Azonban, bár az egymást követő mérések sorozatának eredményei kis térrészbe esnek, e térrészen belül teljesen rendezetlenül helyezkednek el, semmiképpensem rajzolnak ki egy sima görbét. Speciálisan, ha Lit tart nullához, a közeli mérések eredményei egyáltalán nem tartanak egy egyeneshez. Ez utóbbi körülmény azt mutatja, hogy a kvantummechanikában nem létezik a részecske sebességének fogalma a szó klasszikus értelmében, azaz mint az a határérték, amelyhez két időpillanatban mért koordináta különbségének és az időpillana­ tok közteltelt időtartamnak a hányadosa tart. A továbbiakban látni fogjuk azonban, hogy a kvantummechanikában ésszerű módon definiálható a részecske sebessége adottidőpillanatban úgy, hogy az a klasszikus mechanikára való áttérés során átmenjen a klasszikus sebességbe. Míg azonban a klasszikus mechanikában egy részecske bármely adott időpontban meghatározott koordinátákkal és sebességgel rendelkezik, a kvantummechanikában egészen más a helyzet. Ha az elvégzett mérés eredményeként az elektron koordinátái meghatározottá válnak, akkor nem lesz meghatározott sebessége. Fordítva, ha az elektron sebessége meghatározott, nem lehet a térben meghatározott helyzete. Valóban, ha bármely időpontban az elektronnak egyszerre lenne helye és sebessége, ez meghatározott pálya létét is jelentené, amivel az elektron nem rendelkezik. A kvantummechanikában tehát az elektron koordinátája és sebessége nem mérhetők meg egyidejűleg pontosan, azaz nem lehet egyidejűleg meghatározott értékük. Azt mondhatjuk, hogy az elektron koordinátái és sebessége olyan mennyiségek, amelyek nem

6 Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy "elvégzett mérésről" beszélve, mindig az elektron és a klaszszikus "mérőeszköz" kölcsönhatására gondolunk, függetlenül bármiféle kívülálló megfigyelő jelen-

lététől.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

1. §.A HATÁROZATLANSÁGI ELV

15

léteznek egyszerre. Később levezetjük az egy időpontban elvégzett koordináta- és sebességmérés lehetséges pontossága közötti összefüggést. A fizikai rendszer teljes leírása a klasszikus mechanikában az összes koordináta és sebesség egyidejű megadásával valósítható meg; a kezdőértékek alapján a mozgásegyenletek teljesen meghatározzák a rendszer viselkedését minden későbbi időpont­ ban. A kvantummechanikában ilyen leírás elvileg lehetetlen, minthogy a koordináták és a nekik megfelelő sebességek nem léteznek egyidejűleg. Így egy kvantummechanikai rendszer állapotát kevesebb mennyiség írja le, mint a klasszikusét, a leírás kevésbé részletes, mint a klasszikus esetben. Ennek nagyon fontos kihatásai vannak a kvantummechanika következtetéseinek jellegét illetően. Míg a klasszikus leírás lehetövé teszi, hogy teljes pontossággal megjósoljuk a mechanikai rendszer további mozgását, a kvantummechanika kevésbé részletes leírása nyilvánvalóan nem lehet elegendő erre. Ez azt jelenti, hogy ha az elektron a kvantummechanikában lehetséges legteljesebb módon leírt állapotban van, a következő időpillanatokban való viselkedése elvi okokból nem egyértelmű. A kvantummechanika ezért nem tehet szigorú kijelentéseket az elektron jövőbeni viselkedésére vonatkozóan. Ha az elektron kezdeti állapota adott, a később elvégzett mérések különböző eredményre vezethetnek. A kvantummechanika feladata csupán a mérés során adódó egyik vagy másik eredmény valószínűségének meghatározása. Természetes, hogy bizonyos esetekben egy mérés valamelyik eredményének valószínűsége egységnyi is lehet, azaz bekövetkezése bizonyos lehet, ilyenkor az adott mérés eredménye egyértelmű. A kvantummechanikai mérési folyamatok két csoportra oszthatók. Az egyikbe, mely a mérések nagy részét magában foglalja, azok tartoznak, amelyek a rendszer semmilyen állapotában sem vezetnek biztosan egyértelmű eredményre. A másodikba azok a mérések tartoznak, amelyek esetében minden lehetséges eredményhez van olyan állapot, melyben biztosan az illető eredményt kapjuk. Éppen ez utóbbi mérések, amelyeknek az eredménye előrelátható, játszanak igen lényeges szerepet a kvantummechanikában. Az állapotnak ilyen mérésekkel meghatározott kvantitatív jellemzői testesítik meg azt, amit a kvantummechanikában fizikai mennyiségnek nevezünk. Ha egy bizonyos állapotban a mérés biztosan egyértelmű eredményre vezet, akkor azt mondjuk, hogy ebben az állapotban az illető fizikai mennyiségnek meghatározott értéke van. A következőkben a "fizikai mennyiség" kifejezést mindenütt a fenti értelemben használjuk. Később látni fogjuk, hogy a kvantummechanikában távolról sem teljesül az, hogy a fizikai mennyiségek bármely csoportja egyidejűleg mérhető, azaz egyidejűleg meghatározott az értéke (egy példáról-az elektron sebességéről és koordinátáiról már beszéltünk). A kvantummechanikában fontos szerepet játszanak a fizikai mennyiségek alábbi tulajdonságú rendszerei: a rendszert alkotó mennyiségek egyidejűleg mérhetők, és ha

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

16

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

egyidejűleg

meghatározott az értékük, akkor már más fizikai mennyiségnek (mely nem a fentiek függvénye) nem lehet meghatározott értéke az adott állapotban. A fizikai mennyiségek ilyen együttesét a fizikai mennyiségek teljes rendszerének nevezzük. Az elektron állapotának minden leírása valamilyen mérési folyamat eredménye. Most megfogalmazzuk, mit jelent az állapot teljes leírása a kvantummechanikában. A fizikai állapotot teljesen a fizikai mennyiségek teljes rendszerének egyidejű mérésével írjuk le. Speciálisan, egy ilyen mérés eredményei alapján megadható minden későbbi mérés lehetséges eredményeinek valószínűsége, függetlenül mindattól, ami az elektronnal az első mérés előtt történt. A későbbiekben a kvantummechanikai rendszer állapotán mindenütt (a 14. § kivételével) a fenti értelemben teljesen leírt állapotokat értjük.

2. §. A szuperpozíció elve A mozgásról alkotott elképzelésnek a klasszikusról a kvantummechanikára való áttéréssei kapcsolatos gyökeres változása megköveteli az elmélet matematikai apparátusának ugyanilyen mélyreható változtatását. Ezzel kapcsolatban először is felmerül a kvantummechanikai állapotleírás módjának kérdése. Jelöljük q-val a kvantummechanikai rendszer koordinátáinak összességét, dq-val pedig e koordináták differenciáljainak szorzatát (ezt a rendszer konfigurációs térbeli térfogatelemének nevezzük); egyetlen részecske esetén dq megegyezik a dV közönséges térfogatelemmeL A kvantummechanika matematikai apparátusának alapja az az állítás, hogy a rendszer állapota leírható a koordináták meghatározott (általában komplex) P(q) függvényével, és ennek abszolútérték-négyzete meghatározza a koordinátaértékek valószínűségének eloszlását: l Pl 2 dq ar,tnak a valószínűsége, hogy a rendszeren végrehajtott mérés a koordinátaértékeket a konfigurációs tér dq elemében találja. A P függvényt a rendszer hullámfüggvényének (vagy állapotfüggvényének) nevezzük. 7 A hullámfüggvény ismeretében elvben kiszámítható bármely mérés (nem okvetlenül koordinátamérés) eredményének valószínűsége. Valamennyi valószínűség P-ben és P*-ban bilineáris kifejezés formájában adódik. Egy ilyen kifejezés legáltalánosabb alakja: P(q) P*(q') cp(q, q') dq dq', (2,1)

ff

ahol cp(q, q') függ a mérés jellegétől és 7

www.interkonyv.hu

eredményétől,

és az integrálástazegész konfi-

A kvantummechanikában először E. Schrödinger vezette be 1926-ban.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

2.§. A SZDPERPOZÍCIÓ ELVE

17

gurációs térre ki kell terjeszteni. A különböző koordinátaértékek P*P valószínűsége maga is ilyen típusú kifejezés. 8 A rendszer állapota és vele együtt a hullámfüggvény is általában időben változik. Ebben az értelemben P az időtől is függő függvénynek tekinthető. Ha a hullámfüggvény ismert valamilyen kezdeti időpillanatban, akkor a teljes állapotleírás fogalmának értelméből következően, elvben minden későbbi időpontban is meghatározott. A hullámfüggvény tényleges időfüggését később levezetendő egyenletek határozzák meg. A koordináták valamennyi lehetséges értékének valószínűségére vett összeg definíciószerűen egységnyi. Ezért l Pl 2 -nek az egész konfigurációs térre vett integrálja eggyel egyenlő: 1(2,2) Ez az egyenlőség a hullámfüggvény normálási feltétele. Ha lPl 2 integrálja konvergál, akkor megfelelő állandó szorzó megválasztásával elérhető, hogy a P függvény, mint mondani szokás, normált legyen. Látni fogjuk azonban, hogy l Pl 2 integrálja divergálhat, ekkor a (2,2) feltétellel nem normálható. Ilyen esetekben természetesen l Pl 2 nem adja meg a koordináták valószínűségének abszolút nagyságát, a konfigurációs tér két különböző pontjában kiszámított lPl 2 értékek hányadosa azonban meghatározza a megfelelő koordináták relatív valószínűségét. A hullámfüggvény segítségével kiszámítható, közvetlen fizikai jelentéssei bíró valamennyi mennyiség (2,1) alakú, vagyis P mindig P*-gal szorozva jelenik meg; ezért nyilvánvaló, hogy a normált hullámfüggvény csak egy é" fázisszorzó erejéig határozott, ahol IZ tetszőleges valós szám. A kvantummechanika pozitív tartalmának alapjául egy sor, a hullámfüggvény tulajdonságaira vonatkozó állítás szolgál. Ezek az alábbiakban foglalhatók össze. Tegyük fel, hogy a P 1(q) hullámfüggvénnyel jellemzett állapotban elvégzett mérés biztosan meghatározott eredményre- jelöljük 1-gyel- vezet, a P 2(q) állapotban pedig a 2 eredményre. Ekkor 'P1 és P 2 valamennyi lineáris kombinációja, vagyis minden c1 P 1 +c 2P 2 alakú függvény (c 1 és c 2 állandó) olyan állapotot ír le, amelyben a mérés vagy az l, vagy a 2 eredményre vezet. Ezenkívül, ha ismerjük az állapotok időfüggését, melyet az egyik esetben a P 1 (q, t), a másikban a P2(q, t) függvény ír 1e, akkor ezek tetszőleges lineáris kombinációja szintén egy lehetséges időfüggését adja az állapotnak. Ezekben az állításokban fejeződik ki az állapotok szuperpozíciójának elve, mely a kvantummechanika alapvető pozitív elve. Ebből többek között azonnal következik. .

'

8 Akkor kapjuk meg (2,1)-ből, ha t:p(q, q') = o(q- qo) o( q'- q o), ahol oaz 5. §-ban meghatározandó ún. delta-függvény, q0-val jelöljük azt a koordinátaértéket, amelynek valószinűségét keressük.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

18

l. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

hogy a hullámfüggvényre vonatkozó valamennyi egyenlet szükségképpen lineáris P-ben. Tekintsünk egy két részből álló rendszert, és tegyük fel, hogy állapotát a két rész állapotának teljes leírásával adtuk meg. 9 Ekkor belátható, hogy az első rész q1 koordinátáinak valószínűsége független a második rész q 2 koordinátáinak valószínű­ ségétől, és ezért a rendszer egészének valószínűségeloszlása egyenlő a részek valószínű­ ségeloszlásainak szorzatával. Ez azt jelenti, hogy a rendszer P1 2(q1. q 2) hullámfüggvénye a két rész, P1(q1) és P 2(q 2) hullámfüggvényének szorzataként írható fel: (2,3) Ha a két rész nem áll kölcsönhatásban egymással, akkor a rendszer egészének és részeinek hullámfüggvénye közötti említett kapcsolat minden későbbi időpontban is fennáll: (2, 4)

3. §. Operátorok Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszer állapotátjellemző valamilyen/fizikai mennyiséget. Szigorúan véve, az alábbi megfontolások során nem egy mennyiséggel kellene foglalkoznunk, hanem egyszerre a fizikai mennyiségek teljes rendszeréveL A megfontolások azonban ettőllényegében nem változnának, úgyhogy az egyszerűség és a rövidség kedvéért csak egy fizikai mennyiségről beszélünk. Az adott fizikai mennyiség lehetséges értékeit a kvantummechanikában az illető­ fizikai mennyiség sajátértékeinek nevezzük, ezek összességét pedig a sajátértékek spektrumának. A klasszikus mechanikában amennyiségek általában folytonos eloszlású értékeken futnak végig. A kvantummechanikában is vannak olyan fizikai mennyiségek (például a koordirráták), melyek sajátértékei folytonosak; ilyen esetekben a sajátértékekfolytonos spektrumáról beszélünk. Ilyen mennyiségek mellett a kvantummechanikában vannak olyanok is, amelyeknek sajátértékei diszkrét sorozatot alkotnak; ilyen esetekben diszkrét spektrumról beszélünk. Először, az egyszerűség kedvéért, diszkrét spektrummal rendelkező f mennyiségge

9 Ezzel egyúttal az egész rendszer teljes leírását is megad tuk. Hangsúlyozni kell, hogy a fordítot t állítás korántsem igaz: a rendszernek, mint egésznek, teljes leírása általában még nem határozza meg teljességgel az egyes részek állapotát (l. 14. §).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

3.§. OPERÁTOROK

19

foglalkozunk; a folytonos spektrum esetét az 5. §-ban vizsgáljuk meg. Azfmennyiség sajátértékeit 1~-nel jelöljük, ahol n a O, l, 2, 3, ... értékeket veszi fel. Jelöljük Pn-nel a rendszer hullámfüggvényétabban az állapotban, amelyben/ értéke j~. A P n hullámfüggvényt az adott J fizikai mennyiség sajátfüggvényének nevezzük. Feltesszük, hogy az összes ilyen függvény normált, vagyis (3,1)

Ha egy rendszer tetszőleges, P hullámfüggvénnyel jellemzett állapotban van, és a rendszeren az J mennyiség meghatározása céljából mérést hajtunk végre, eredményül az fn sajátértékek egyikét kapjuk. A szuperpozíció elvének megfelelően azt mondhatjuk, hogy a P hullámfüggvény azoknak a Pn sajátfüggvényeknek lineáris. kombinációja, amelyeknek megfelelő fn sajátérték a P állapotban levő rendszeren elvégzett mérés során nullától különböző valószínűséggel adódik. Ezért a tetszőleges állapotnak megfelelő általános esetben a P függvény sor alakjában állítható elő: (3,2) ahol az összegezést minden n-re ki kell terjeszteni, az an-ek pedig valamilyen álland& együtthatók. Arra a következtetésre jutunk tehát, hogy minden hullámfüggvény, ahogy mondani1 szokás, sorbafejthető egy tetszőleges fizikai mennyiség sajátfüggvényei szerint. Azt a. függvényrendszert, amely szerint ilyen sorfejtés elvégezhető, teljes függvényrendszer-· nek nevezzük. A (3,2) sorfejtés lehetőséget nyújt arra, hogy megadjuk, milyen valószínűséggel' kapjuk (a mérés során) egy rendszer P hullámfüggvénnyel leírt állapotában az l mennyiség egyik vagy másik fn sajátértékét. Valóban, az előző szakaszban mondottak alapján, e valószínűségeket P és P* függvényekben bilineáris kifejezés határozza meg, ezért azok an és a: állandókban is bilineárisak. Ezek a kifejezések ezenkívül nyilvánvalóan pozitívak. Végül az fn érték valószínűsége 1-gyé válik, amennyiben a rendszer a P = P n állapotban van, és nulla, ha a P hullámfüggvény (3,2) sorában az adott Pn tag nem szerepel. E feltételnek eleget tevő egyetlen pozitív definit mennyiség az an együttható abszolút értékének négyzete. Eredményünk tehát, hogy a (3,2) soF egyes együtthatóinak abszolútérték-négyzete, l an !2, meghatározza az J mennyiség megfelelő fn értékének valószínűségét a P hullámfüggvénnyel jellemzett állapotban. Az összes lehetséges fn érték valószínűségének összege szükségképpen eggyel egyenlő; más szóval teljesülnie kell a (3,3) összefüggésne k. 2*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

20

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

Ha a P függvény nem lenne normált, a (3,3) összefüggés sem teljesülne. A

L l an 12 n

összeget ekkor valamilyen, a P és P* függvényekben bilineáris kifejezés határozná meg, mely P normálásakor egybe me gy át. Ilyen a J PP* dq integrál. Fennáll tehát a

Z: ana:;= JPP* dq

(3,4)

n

egyenlőség.

Másrészt megszorozva P-t komplex konjugáltjának P* = integrálva:

L a~P~

sorával, és

n

JPP* dq = Ln a:; JP:;P dq. Ezt (3,4)-gyel összevetve adódik, hogy

Ln ana! = Ln a:; JP:;P dq, amiből

a P függvény Pn sajátfüggvények szerinti sorának az együtthatóit megha-

tározó (3,5) képietet kapjuk. A (3,2) sor behelyettesítésével:

an= amiből

Z:m am J PmP:; dq,

azonnal látható, hogy a sajátfüggvények eleget tesznek az (3,6)

összefüggésnek, ahol {jnm = l, ha n = m, és {jnm =O; ha n ~ m. Azt, hogy a PmP: szarzatokintegrálja n ~ m esetén eltűnik, úgy szokás kifejezni, hogy a Pn függvények kölcsönösen ortogonálisak. A Pn sajátfüggvények összessége tehát normált, kölcsönösen ortogonális (egy szóval kifejezve ortonormált) teljes függvényrendszert alkot. Vezessük be az J mennyiség adott állapotban vett J átlagértékének fogalmát Az átlagérték szokásos definíciójának megfelelően J-t úgy kapjuk, hogy az adott mennyiség összes fn sajátértékét szorozzuk a megfelelő l cxnl 2 valószíníiséggel, és a szorzatokat összeadjuk: (3,7) Azfátlagértéket most olyan alakba írjuk, mely nem a P függvény sorfejtési együttbatóit, hanem magát a függvényt tartalmazza. Minthogy (3,7)-ben ana~ szarzatok

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

3.§. OPERÁTOROK

21

szerepelnek, nyilvánvaló, hogy a keresett kifejezés P-ben és P*-ban bilineáris. Vezessünk be egy matematikai operátort, melyet/-feljelölüpk,10 és a következőképpen értelmezünk Legyen (/'J') az a függvény, amelyet az J operátornak a P függvényre való alkalmazásával kapunk. Az J operátort úgy definiáljuk, hogy (/'I') és a P* komplex konjugált függvény szorzatának integrálja az J átlagértékkellegyen egyenlő:

J= J P*(/'I') dq.

(3,8)

Könnyen belátható, hogy az általános esetben az J operátor valamilyen lineáris11 integráloperátor. Valóban, an (3,5) alatti kifejezését felhasználva, felírhatjuk az átlagérték (3,7) definícióját az

alakban. Ezt (3,8)-cal összehasonlítva, látjuk, hogy az J operátorral a P függvényre hatva, az (3,9) eredmény adódik. Ha ide behelyettesitjük, an (3,5) alatti kifejezését azt kapjuk, hogy J a következő alakú integráloperátor:

(/P)=

JK(q, q') P'(q') dq',

(3,10)

ahol a K(q, q') függvény (melyet az-operátor magjának nevezünk), így írható:

K(q, q')

= "'f.fnP:(q') Pn(q).

(3,11)

n

Így tehát a kvantummechanikában minden fizikai mennyiséghez tartozik egy meghatározott lineáris operátor. A (3,9) képletből látható, hogy ha a P függvény a Pn sajátfüggvények egyike (úgyhogy egy kivételével valamennyi an nulla), akkor az/ operátor hatása egyszerűen a megfelelő fn sajátértékkel való szorzásban ál1:12 (3,12) Az operátorokat mindenütt "kalappal" ellátott betűvel jelöljük. Lineárisnak nevezzük a következő tulajdonságokkal rendelkező operátort: /('1'1 + '1'2) = = J '1'1 +/2 '1', /(a 'P) = a/'1', ahol 'l'b '1'2 tetszőleges függvény, a pedig tetszőleges állandó. 12 Az alábbiakban mindenütt, ahol ez nem vezethet félreértésre, az (/'1') tipusú kifejezésekben elhagyjuk a zárójelet, és az operátor a tőle jobbra álló kifejezésre hat. 10 11

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

22

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

Egy adott f fizikai mennyiség sajátfüggvényei tehát az

/P=fP egyenlet megoldásai, ahol f egy állandó, a sajátértékek pedig az f állandónak azok az értékei, melyek mellett a felírt egyenletnek van bizonyos feltételeknek eleget tevő megoldása. Mint alább látni fogjuk, különböző fizikai mennyiségek operátorainak alakja közvetlenül meghatározható fizikai megfontolások alapján, és akkor az operátorok említett tulajdonsága lehetővé teszi a sajátfüggvények és sajátértékek kiszámítását az /P = JP egyenlet megoldásávaL Egy valós fizikai mennyiség sajátértékei és' átlagértéke minden állapotban valósak. Ez a körülmény meghatározott megszorítást jelent a megfelelő operátorok tulajdonságaira nézve. Egyenlővé téve a (3,8) kifejezést annak komplex konjugáltjával, az

JP*(/P) dq =J P(/*P*) dq

(3,13)

összefüggést kapjuk, ahol/* az J operátor komplex konjugáltját jelöli. 13 Tetszőleges lineáris operátor esetén általában ilyen összefüggés nem áll fenn, ezért ez megszoríást jelent az/ operátor lehetséges alakjára. Tetszőleges/ operátorra bevezetjük az .ranszponált operátort, melyet az

J

Jc[J(/P) dq = JP(/f!J) clq

(3,14)

egyenlőséggel

definiálunk, ahol P és c]) két különböző függvény. Ha c]) függvényként P komplex konjugáltját, a P* függvényt vesszük, akkor a (3,13)-mal való összehasonlítás azt mutatja, hogy

l=f*.

(3,15)

A (3,15) feltételnek eleget tevő operátorokat hermitikusnak mondjuk. 14 A kvantummechanika matematikai apparátusában tehát a valós fizikai mennyiségeknek megfelelő operátorok hermitikusak. Formálisan vizsgálhatunk komplex fizikai mennyiségeket is, azaz olyanokat, melyeknek sajátértékei komplexek. Legyen f egy ilyen mennyiség. Bevezethetjük ekkor a megfelelő komplex konjugált mennyiséget, f*-ot is, melynek sajátértékei f sajátértékeinek komplex konjugáltjai. Jelöljük az f* mennyiségnek megfelelő operátort 13 Definíciószerűen: ha az] operátorra teljesül az]?p = rp, akkor az]* komplex konjugált az az operátor, melyre fennáll, hogy ]*?p* = rp*. 14 Egy (3,10) alakú lineáris integráloperátor esetében a hermiticitás feltétele azt jelenti, hogy az operátOI' magja kielégíti a K(q, q') = K*(q', q) feltételt.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

3.§. OPERÁTOROK

23

./+-szal. Ezt az operátort j adjungáltjának nevezzük, és általában meg kell különböztetnünk az operátor J* komplex konjugáltjától. Valóban, az j+ operátor definiciója szerint azf* mennyiség átlagértéke valamilyen 1Jf állapotban:

!* = Másrészről

J1Jf*j+1Jf dq.

viszont irhatjuk, hogy (J)*=

ulJf*jlJf dq]*

=

JlJfj*lJf* dq = J1Jf*/*1Jf dq.

A két kifejezést egyenlővé téve, azt kapjuk, hogy (3,16)

j+=/*, .amiből nyilvánvaló, hogy

j+ általában nem egyezik meg /*-gal. A (3,15) feltételt

most az (3,17)

j= j+

.alakba irhatjuk, azaz valós fizikai mennyiség operátora megegyezik a saját adjungáltjával (a hermitikus operátorokat önadjungáltaknak is szokás nevezni). · Most megmutatjuk, hogyan lehet közvetlenül bebizonyítani egy hermitikus operátor különböző sajátértékeihez tartozó sajátfüggvények kölcsönös ortogonalitását. Legyen fn és fm az f valós mennyiség két különböző sajátértéke, lJfn és 1Jfm pedig a megfelelő sajátfüggvények:

:Szorozzuk meg az első egyenlet mindkét oldalát 1Jf~-gal, a második egyenlet komplex konju~áltját pedig 1Jfn-nel. Tagonként kivonva egymásból a kapott egyenleteket, azt kapjuk, hogy

lJf:,JPn -Pnj*lJf':n =Un -fm)PnP':n. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalátdqszerint. Minthogy J* = /, (3,14) értelmében .a bal oldal integrálja eltűnik, ezért

.amibőlfn ~fm

miatt következik a lJfn és 1Jfm függvények ortogonalitása. Itt mindig csak egy f fizikai mennyiségről beszélünk, bár, mint a szakasz elején megjegyeztük, az egyidejűleg mérhető fizikai mennyiségek teljes rendszeréről kellene

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

24

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAl

beszélnünk. Akkor azt kapnánk, hogy valamennyi J, g, ... mennyiséghez tartozik egy J, g, ... operátor. A P n sajátfüggvények olyan állapotnak felelnek meg, melyben a vizsgált mennyiségeknek meghatározott értékük van, vagyis az összes fn, gn, sajátérték meghatározott, és Pn az

/P = JP, gP = gP, ... egyenletrendszer szimultán megoldása.

4. §. Operátorok összeadása és szorzása Ha J és g az j, illetve g fizikai mennyiségnek megfelelő operátor, akkor az f +g összegnek az /+g operátor felel meg. Különböző fizikai mennyiségek összegének értelme a kvantummechanikában azonban lényegesen különböző lehet attól függően, hogy mérhető-e ez a két mennyiség egyidejűleg vagy nem. Ha az/ és g mennyiségek egyszerre mérhetők, akkor az J és g operátoroknak vannak közös sajátfüggvényeik, melyek ugyanakkor az J+g operátornak is sajátfüggvényei, fn+gn sajátértékkeL Ha viszont f és g értéke nem lehet egyszerre meghatározott, akkor az f +g összeg értelme korlátozottabb. Ilyenkor csak annyi igaz, hogy e mennyiség átlagértéke tetszőleges állapotban megegyezik az összeadandók átlagértékének összegével:

f+g= J+g.

(4,1)

Ami az/+ g operátor sajátértékeit és sajátfüggvényeit illeti, ezek általában nincsenek semmilyen kapcsolatban az J és g mennyiségek sajátfüggvényeivel és sajátértékeiveL Nyilvánvaló, hogy ha az J és g operátor hermitikus, az/+ g operátor is az, úgyhogy sajátértékei valósak, és ezek az újonnan bevezetett/+ g mennyiség lehetséges értékei. Megemlítjük a következő tételt.· Legyen rendre fo, go és (f+g)o az J, g és /+g mennyiségek legkisebb sajátértéke. Ekkor fennáll, hogy (/+ g)o

?!'=fo+ go.

(4,2)

Az egyenlőség akkor teljesül, ha f és g egyidejűleg mérhető. A bizonyitás abból a nyilvánvaló tényből következik, hogy egy mennyiség átlagértéke mindig nagyobb a legkisebb sajátértékénél, vagy azzal egyenlő. Abban az állapotban, amelyben az J+ g mennyiség értéke (f+g) 0 , természetesen (f+g) = (f+g)o, és minthogy másrészt (J+ g) =J+ g ?E. fo+ go, a (4,2) egyenlőtlenségre jutunk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

4.§. OPERÁTOROK ÖSSZEADÁSA ÉS SZORZÁSA

25

Tegyük fel ismét, hogy j és g egyidejűleg mérhető mennyiségek. Összegükkel együtt bevezethetjük szorzatuk fogalm~t is, melynek sajátértéke az/ és g mennyiségek sajátértékeinek szorzatával egyenlő. Könnyen belátható, hogy ennek a mennyiségnek olyan operátor felel meg, melynek hatása a függvényre az egyik, majd a másik operátor egymást követő hatásában áll. Ezt az operátort matematikailag az J és g operátorok szorzatával ábrázoljuk Valóban, ha Pn az operátorok közös sajátfüggvénye, akkor

(az Jg szimbólum olyan operátort jelent, mely a P függvényre úgy hat, hogy először hat a g operátor, majd a gP függvényre az J operátor). Ugyanerre az eredményre jutunk, ha az Jg operátor helyett a gJ operátort vesszük, amely az elsőtől csak a tényezők sorrendjében különbözik. Nyilvánvaló, hogy e két operátornak a Pn függvényre való hatása ugyanaz. Minthogy azonban minden P hullámfüggvény előállítható a Pn függvényének lineáris kombinációjaként, az Jg és gJ operátorok bármely függvényre való hatása azonos. Ezt a tényt szimbolikusan az/g =g/ egyenlőséggel fejezhetjük ki, amiből

Jg-gJ= o.

(4,3)

Az ilyen J és g operátorokról azt mondjuk, hogy felcserélhetők (kommutálnak). Így tehát a következő fontos eredményt kapjuk: ha azjés g mennyiségnek egyidejű­ leg lehet meghatározott értéke, akkor operátoraik egymással felcserélhetők. Bebizonyítható a fordított tétel is (l. ll.§): ha az J és g operátor felcserélhető, akkor valamennyi sajátfüggvényüket megválaszthatjuk úgy, hogy közös sajátfüggvényük legyen, ami fizikailag azt jelenti, hogy a megfelelő fizikai mennyiségek egyidejűleg mérhetők. Az operátorok felcserélhetősége tehát szükséges és elégséges feltétele a fizikai mennyiségek egyidejű mérhetőségének. Az operátorszorzat speciális esete egy operátor hatványozása. A mondottak alapján megállapithatjuk, hogy az operátor sajátértékei (p egész szám) egyenlők az J operátor p-edik hatványra emelt sajátértékeiveL Általában, egy operátor tetszőleges rp(/) függvénye definíciószerűleg olyan operátor, melynek sajátértékei az J operátor sajátértékeinek ugyanolyan rp(f) függvényei. Ha a rp(f) függvény Taylor-sorba fejthető, akkor a sorbafejtett rp(/) operátor hatását különböző jP hatványok hatására vezethetjük vissza. Az j-1 operátort az J operátor inverzének nevezzük. Nyilvánvaló, hogy az J és j-l operátorokkal egymás után hatva egy tetszőleges függvényre, az nem változik, azaz Jj- 1 = j- 1J = l. Ha az j és g mennyiségek nem mérhetők egyidejűleg, szorzatuknak nincs a fentinek megfelelő egyszerű jelentése. Ez már abban is megnyilvánul, hogy ilyenkor az

P

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

26

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

Jg

operátor nem lesz hermitikus, ezért nem felelhet meg valós fizikai mennyiségnek. Valóban, a transzponált operátor definíciója értelmében írhatjuk, hogy

f P/gá> dq = f P/(gá>) dq = f (gá>) (/P) dq. Itt az J operátor csak a P függvényre hat, g pedig csak á>-re, úgyhogy az integrál alatt két függvény, gá> és /P szorzata áll. Még egyszer alkalmazva a transzponált operátor definícióját, adódik, hogy

f P/gá> dq = f (/P) (gá>) dq = f á>j]P dq. Egy olyan integrált kapunk tehát, melyben az eredetihez képest a P és á> függvények helyet cseréltek. Más szóval, a j/ operátor az Jg operátor transzponáltja, vagyis

fi= if

(4,4)

Így az Jg szorzat transzponáltja a tényezők transzponáltjának forditott sorrendbe írt szorzata. A (4,4) egyenlőség mindkét oldalának komplex konjugáltját véve, azt kapjuk, hogy

(/g)+

=

g+j+.

(4,5)

Ha az J és g operátor hermitikus, akkor (/g)+ = gf Ebből következik, hogy az Jg operátor csak akkor hermitikus, ha tényezői,/és g, felcserélhetők. Megjegyezzük, hogy két nemfelcserélhető hermitikus operátor Jg és gf szorzatából készithetünk egy hermitikus operátort, J és g szimmetrikus szorzatát: (4,6)

Könnyen meggyőződhetünk arról is, hogy az fg- gf különbség "antihermitikus" operátor (azaz olyan, melynek transzponált operátora a negatív előjellel vett komplex konjugáltjával egyezik meg). A különbség i-vel való szorzással hermitikussá tehető; így i(/g-gf) (4,7) hermitikus operátor. A következőkben a rövidség kedvéért néha használjuk az operátorok ún. kommutátorára az {/,g}= fg-gf (4,8) jelölést.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

5.§. A FOLYTONOS SPEKTRUM

27

Könnyen belátható, hogy fennáll az

{!g, li}={!, li}g+f{g, li} összefüggés. Megjegyezzük, hogy ha{/, li}= Oés pen sem következik, hogy J és g is felcserélhető.

(4,9)

{g, li} =O, akkor ebből semmikép-

5.§. Folytonos spektrum A diszkrét spektrum sajátfüggvényeire a 3. és 4. §-ban levezetett összefüggések minden további nélkül általánosíthaták a folytonos spektrum sajátfüggvényeire. Legyen f egy folytonos spektrumú fizikai mennyiség. Sajátértékeit egyszerűen ugyanazzal az index nélküli f betűvel jelöljük. és a megfelelő sajátfüggvényt Prfel. Ahogy egy tetszőleges P hullámfüggvény, (3,2)-nek megfelelően, sorbafejthető diszkrét spektrumú mennyiségek sajátfüggvényei szerint, kifejezhető - ezúttal integrálalakban-folytonos spektrumú mennyiségek sajátfüggvényeinek teljes rendszere szerint is. Ez a sorfejtés (5,1) alakú, ahol az integrálást az f mennyiség egész értékkészletére ki kell terjeszteni. A folytonos spektrum hullámfüggvényei normálásának kérdése bonyolultabb, mint a diszkrét spektrum esetén volt. Mint alább látni fogjuk, most nem követelhető meg, hogy a függvény abszolútérték-négyzetének integrálja l legyen. Ehelyett megkíséreljük úgy normálni a P 1 függvényt, hogy a P hullámfüggvény általleírt állapotban a vizsgált fizikai mennyiség értéke l a1 [2 df valószínűséggel essék az f és J+ df közötti intervallumba. Minthogy az f összes lehetséges értékéhez tartozó valószínű­ ségekösszege szükségképpen l, írhatjuk, hogy (5,2) [hasonlóan a diszkrét spektrum esetében érvényes (3,3) összefüggéshez]. Pontosan megismételve a (3,5) képlet levezetése során követett eljárást, ugyanazokkal a megfontolásokkal egyrészről kapjuk, hogy

másrészről

pedig

f PP* dq = ff ajPjP df dq.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

28

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

A két kifejezést összevetve, megkapjuk a sorfejtési együtthatókat meghatározó összefüggést: a1

= JP(q) Pj(q) dq,

(5,3)

mely (3,5)-tel analóg. A normálási feltétel levezetése céljából helyettesítsük most (5,1)-et (5,3)-ba:

Ez az összefüggés tetszőleges a1 esetén érvényes, így szükségképpen azonosan teljesül. Ehhez először is az kell, hogy az integráljel alatt af' szorzója (vagyis az Pf'P; dq integrál) mindenf' 7"' f mellett eltűnjön. Az f' =/helyen ez az együttható végtelenné válik (ellenkező esetben a df' szerinti integrál egyszerűen nullát ad). Az Pf'P; dq integrál tehát az f'-f különbség olyan függvénye, mely végtelen, ha argumentuma nulla, egyébként eltűnik. Jelöljük ezt a függvényt b(f'-/)-fel:

J

J

JPrPi dq = b(f' -j). Az, hogy miként válik a b(f'-f) függvény végtelenné az

egyenlőségből

határozható meg. Nyilvánvaló

ebből,

If b(f' -J) df' =

(5,4)

f'-f

= O helyen, az

hogy

l.

Az így definiált függvényt b-függvénynek15 nevezzük. írjuk fel még egyszer a definíciós képleteket: b(x) = O,

ha

x ró O,

b(O) = =,

(5,5)

és +=

J b(x)dx =l.

(5,6)

Integrációs határ gyanánt bármely más, az x = O pontot közrefogó értékeket is beírhatunk Haf(x) valamilyen x =O-ban folytonos függvény, akkor +=

J b(x)f(x) dx = f(O).

15

www.interkonyv.hu

(5,7)

A delta-függvényt az elméleti fizikában P. A. M. Dirae vezette be.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

5.§. A FOLYTONOS SPEKTRUM

29

Általánosabban ez a képlet így írható:

I a(x-a)f(x) dx = J(a),

(5,8)

ahol az integrációs tartomány magába foglalja az x = a pontot, és j( x) folytonos az a helyen. Nyilvánvaló az is, hogy a a-függvény páros, azaz

o(- x) = o( x).

(5,9)

Végül az

I

=

összefüggésből

=

a(~x) dx

=

dy l f o(y) rar = rar

leolvashatjuk, hogy o(~x)

=

l

~ o(x).

(5,10)

Az (5,4) képlet a folytonos spektrum sajátfüggvényeinek normálási szabálya, ez helyettesíti a diszkrét spektrum esetén érvényes (3,6) feltételt. Látjuk, hogy a Pf és Pr függvényele f ró f' esetén, a korábbiaknak megfelelően, ortogonálisak egymásra. A folytonos spektrum függvényeivel képzett l Pfl 2 kifejezés integrálja divergál. A Pj(q) függvényele eleget tesznek még egy, az (5,4)-hez hasonló feltételnek Ennek levezetéséhez behelyettesítjük (5,3)-at (5,1)-be, ami a P(q)

eredményre vezet.

Ebből

= I P( q') CI PJ(q') Pf( q) df) dq'

azonnal leolvasható, hogy

I PJ(q') Pt(q) df = a(q -q'). Természetesen hasonló kifejezés

nyerhető

(5,11)

a diszkrét spektrum esetében is, amikor

L P;(q') 'Pn(q) =

o( q' -q).

(5,12)

n

Összehasonlítva az (5,1) és (5,4) képletpárral az (5,3) és (5,11) párt, látjuk, hogy egyrészt a lJI(q) függvényele kifejthetők PtCq)-k szerint af sorfejtési együtthatókkal,

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

30

I. FEJEZET. A KVANTUMMECHANIKA ALAPFOGALMAI

másrészt az (5,3) képietet úgy tekinthetjük, mint az af= a(f) függvénynek a P;(q) függvények szerinti, az előbbihez teljesen hasonló sorfejtését; az együtthaták szerepétmost P(q)játssza.Aza(f)függvény,éppen úgy,mint P(q), teljesen meghatározza a rendszer állapotát; a(f)-et az J reprezentációban felírt hullámfüggvénynek nevezzük [lJ'(q) pedig a q reprezentációban felirt hullámfüggvény]. Ahogyan !P(q) !2 meghatározza annak valószinűségét, hogy a rendszer koordinátái adott dq intervallumba essenek, úgy határozza meg ja(f)j 2 annak valószinűségét, hogy azfmenynyiség értéke df-be essen. A Pj(q) függvények egyrészről az f mennyiség sajátfüggvényei q reprezentációban, másrészről pedig a "P;(q) komplex konjugáljaik a q koordináta sajátfüggvényei freprezentáció ban. Legyen cp(f) az f mennyiség kölcsönösen egyértelmű függvénye. Ekkor bármely "Pj(q) függvény cp(f) sajátfüggvényének is tekintető. Ehhez azonban meg kell változtatui e függvények normálását. Valóban, a ep mennyiség P",(q) sajátfüggvényeit az

J P",u·>P:.

'

'(,

•

'

·•

U3,,2)

#,~~R~~K6Y.fl\:. ~~~i~.~i~~I~~~~~~f:·~~~íh~n7PJ3Yr~~~Rt~~~;:~::~,~i~t,~~&~~~M~i.4e~níciós~er~;

en ··ITie~e~:yr~P~~J'll:; !;ln ~p.~ro~!~,r .sM~!fM~?xépyfi·rrh,1~z!'Tz,! ~·., s~~ciqnárius

?f!iq) pulláJ:i1függvtnyeiv~;l, .és':';·l, ,··Af~

-__;.,

";-,·)

'··',

,., __ .

[~;c:

.' ;'.

:)./

áBapoto4

.... , , . . · '-_, .. _, ,l

1

(13,3) 1~ J~--~-~·y:;

,''

~·•'' .r.:):

-·~ 1_:-:,,--ii- l--~

i_';\(i_,;i

,_ ..,,


n+rxlí 2 (úgyhogy az s ]'laraméter, definíciójának megfelelően, pozitív). A diszkrét spektrum tehát véges számú ll1ívót tartalmaz. Ha

akkor egyáltalán nincs diszkrét spektrum.

h~o potenciál esetén (4. ábra). c ax Megoldás. A pozitív energiaspektrum folytonos, a negatív pedig diszkrét; ez utóbbival foglal· 'kozunk. A Schrödinger-egyenlet: 5. Oldjuk meg az

előbbi feladatot

U=-

d 21p dx 2 Végezzük el

a~ =

2m (

U0

)

+fi2 E+ ch2 ax IP

=

O.

.th rxx helyettesítést, és vezessük be az

.s =

:y'- 2mE lirx

'

2m U0 rx2fí2 = s(s+ 1),

s =

z-l ( - l +1f r l + SmUo) a.2fí2

jelölésekeL Ezzel

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

98

III. FEJEZET. A SCHRÖDINGER-EGYENLET

Ez a csatolt Legendre-po!inomok egyenlete, mely hipergeometrikus egyenlet alakjára hozható

helyettesitésseJ és az ideiglenes

~ (l-~)

Uo, akkor a részecske eredeti irányban folytatja útját kisebb sebességgel. A kvantummechanikában új jelenség

U(x)

5. ábra

lép fel: a részecske E> Uo energia esetén is visszaverődhet a potenciállépcsőrőt A visszaverődés valószínűségét elvben a következőképpen kell kiszámítani. Mozogjon a részecske balról jobbra. Nagy pozitív x értékeknél a hullámfüggvény a potenciállépcső "fölött" elhaladó, az x tengely pozitív irányába mozgó részecskét ír le, azaz aszimptotikus alakja szükségszerűen k2

ll '-:--c=---: =h Y2m(E- Uo)

{25,1)

(A állandó). A Schrödinger-egyenlet e batárfeltételnek eleget tevő megoldását megszerkesztve, meghatározzuk az x =- =-beli aszimptotikus kifejezést; ez a szabad

mozgást leíró egyenlet két megoldásának lineáris kombinációja, azaz (25,2)

alakú. Az első tag a potenciállépcsőre eső részecskének felel meg (7p-t úgy normáljuk, hogy e tag együtthatája l legyen), a második tag pedig a lépcsőről visszaverődő részecskét írja le. A beeső hullám valószínűségi áramsűrűsége krgyel arányos, a visszaverté k1 lB !2-teJ, a továbbhaladóé pedig k 2 1 A l 2-tel. Definiáljuk a részecske "áthatolási együtt-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

102

Ili. FEJEZET. A SCHRÖDINGER-EGYENLET

hatóját" mint a továbbhaladó hullám és a

beeső

hullám

áramsűrűségének

arányát: (25,3)

Hasonlóan definiálhatjuk az R "visszaverődési együtthatót'' mint a visszavert és hullámok sűrűségének arányát; nyilvánvaló, hogy R = l - D:

beeső

.

(25,4)

(A és B között ez az összefüggés automatikusan teljesül). Ha a részecske balról jobbra E< Uo energiával mozog, akkor k 2 tiszta képzetes, és a hullámfüggvény x -+ = esetén exponenciálisan lecseng. A visszavert áram megegyezik a beesővel, azaz a potenciállépcsőn teljes visszaverődés következik be. Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy a részecske megtalálási valószínűsége az E < U tartományban ebben az esetben sem nulla, bár x növekedésével rohamosan csökken. Tetszőleges (E>- Uo energiájú) stacionárius állapot esetében a hullámfüggvény aszimptotikus alakja az x - + - = és x -+ + oo határokon egyaránt két, az x tengely pozitív és negatív irányába tetjed ő hullámból áll: 1p = Aleikrx+B 1 e-tk,x,

ha

x-+-=,

A2ék,x+B2e-tk,x,

ha

x-~+ oo.

1p =

(25,5)

Minthogy e kifejezések mindegyike a lineáris egyenlet egy és ugyanazon megoldásának aszimptotikus a1akja, az A1. B1 és A 2 , B 2 együtthaták között lineáris kapcsolat áll fenn. Legyen A 2 = aA 1 + f3B1. ahol a és f3 az U(x) tér konkrét alakjától függő (általában komplex) állandó. Hasonló összefüggést írhatunk ekkor B 2-re is a Schrödinger-egyenlet valós voltával kapcsolatos megfontolás alapján. Ez utóbbi étielmében, ha ·1p az adott Schrödinger-egyenlet megoldása, akkor a komplex konjugált v/ függvény is megoldása ugyanannak az egyenletnek Ennek 1p* = 1p*

=

A~e-tk,x+B~eikrX,

A;e-tk,x+B;ék,x,

ha ha

x-+-

oo.

x-++=

aszimptotikus alakja csak az állandó együtthaták jelölésében különbözik (25,5)-től; ezért írhatjuk, hogy B;= aB~ +f3A~ vagy B2 = a*B1 +f3*A1 . Így tehát a (25,5)-ben

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

103

25.§. ÁTHATOLÁS! EGYÜTTHATÓ -szereplő

állandók egymással az (25,6)

.összefüggésben állnak. Az áramsűrűség x tengely mentén való állandóságának feltétele a (25,5)-ben szeli."eplő együtthatókra a

·Összefüggést adja. Kifejezve ittA2-t és B 2-t (25,6)-nak vel, azt kapjuk, hogy

megfelelően A1

és B1 segítségé(25, 7)

A (25,6) kifejezés segítségével meg lehet mutatni, hogy a visszaverődési együtthatók azonosak (adott E> Uo energiaérték mellett) az x tengely pozitív vagy negatív irányába mozgó részecskére. Valóban, az első eset úgy adódik, hogy a (25,5) függvényekbe B 2 = O-t helyettesítünk; ekkor B1/A1 =-{J* /rx*. A második esetben A1 = O és A 2/82 = fJ/rx*. A megfelelő visszaverődési együtthatók:

-j !!!._ A 12 -j - {J*.., j2, rx

R1 amiből

1

nyilvánvaló, hogy R1

=

-j ~ j2 -j l__* 12,

R2 ..,..

B

2

-

.rx

R2.

Feladatok l. Határozzuk meg egy részecske visszaverődési együtthatóját derékszögű potenciállépcső esetében {6. ábra); a részecske energiája E> U0 •

U(x)

Uo

Ir-------

______.__________________

~

6. ábra Megoldás. Az egész x>- O tartományban a hullámfüggvény (25,1), az x< O-ban pedig (25,2)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

104

III. FEJEZET. A SCHRÖDINGER-EGYENLET

alakú. Az A és B együtthatókat 'P és d!p/dx x = O-ban való folytonosságának feltétele határozzal meg:

amiből

A (25,4)

visszaverődési

együttható: 18

U(x)

a 7. ábra E = U0-nál (ahol k 2 = O) R eggyé válik, E _,_=-nél pedig úgy tünik el, mint R = ( U0 /4E) 2 •

2. Határozzuk meg egy részecske áthatolási együtthatóját derékszögü potenciálgát esetébe:m (7. ábra). Megoldás. Legyen E> U0 , és a egyes tartományokban ekkor

beeső

részecske mozogjon balról jobbra. A hullámfügg.·ény az.

!p= e1">"+Ae-ik,x,

ha x< O,

!p= Be1"'"+B'e-ik2x,

ha O< x< a,

'P= Ce'"'"•

ha x> a

(az x > a oldalon csak a pozitiv x tengely irányában terjedő haladó hullám van). Az A, B, B', C együtthatókat a 'P és d1p/dx mennyiségek x = O, a pontokban való folytonosságának feltételébőlii

18 A klasszikus mechanikának megfelelő határesetben a visszaverődési együttható nulla. A kapott: kifejezés azonban sehol sem tartalmaz a kvantumelmélettel kapcsolatos állandót. Ez a látszólagos. ellentmondás az alábbimódon oldható fel. A klasszikus határesetben a részecske A ~ lí(p de Broglie-hullámhossza kicsi a feladatban szereplő jellegzetes méretekhez, vagyis azokhoz a távolságokhoz képest, amelyeken U(x) észrevehetően változik. A vizsgált esetben ez a távolság nulla (az x = O• pontban), úgyhogy a határátmenet neni végezhető el.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

25.§. ÁTHATOLÁS! EGYÜTTHATÓ

kapjuk. Az áthatolási együttható D = k 1:1 Cl 2/k 1 = l Cl 2 , és a számítások a D= (k~- k~) 2

4k~k~ sin2 ak2 +4kik~

eredményre vezetnek. Ha E< U0, k 2 tiszta képzetes, D megfelelő kifejezését k 2-nek, be 2-vel való helyettesítésével kapjuk,.. ahol /í)l 2 = y2m(U0 -E):

3. Határozzuk meg egy részecske visszaverődési együtthatóját az

alakú potenciálfal esetén (1.: 5. ábra); a részecske energiája E>- U 0. Megoldás. Felírjuk a Schrödinger-egyenletet:

d~ dx2

2m ( +/iZ E-

U0 ) 1+e a• 'P= O.

Olyan megoldást keresünk, amely x _... oo esetén 'P = const· eik,•

alakú. Bevezetjük a

változót (mely - oo és O közötti értékeket vesz fel), és a megoldást

alakban keressük, ahol w(~) állandóhoz geometrikus egyenletet kapunk,

tart~

-+O esetén (azaz ha x _,. oo). A

w(~)

függvényre hiper-

melynek megoldása az alábbi hipergeometrikus függvény:

(az állandó szorzót nem írjuk ki).~-+ O-nál ez a függvény l-hez tart, tehát kielégíti a kikötött feltételt. A 'P függvény aszimptotikus .alakja~ .... - oo (azaz x ..... - oo) esetén19

19 L. az (e,6) képletet, melyben a két tag mindegyikében csak a sorfejtés vagyis az 1/z változójú hipergeometrikus függvény 1-gyel helyettesítendő.

www.interkonyv.hu

első

tagját kell venni,

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

106

. .A keresett

III. FEJEZET. A SCHRÖDINGER-EGYENLET

visszaverődési

egyiittható R = l C2 /C1 [2 ; az ismert F(x) F(l- x) = - : : -

smnx

képlet felhasználásával elvégzett számítások az

·-eredményre vezetnek. Ha E = U 0(k 2 = O), R eggyé válik, E

-+

= esetén pedig az

2 2m -~ J'2mE nU R -_ ( -0 ) ' e rx

rxlí

E

t.képlet szerint tűnik el. A klasszikus mechanika határesetében R, mint várható, nullává válik. 4. Határozzuk meg egy részecske áthatolási valószinűségét az Uo

U(x) = ch2 rxx

:képlettel megadott potenciálgáton (8. ábra); a részecske energiája E< U 0.

U(x)

8. ábra

Megoldás. Az e feladatra vonatkozó Schrödinger-egyenletet úgy kapjuk, hogy a 23.§ 5. feladatá-

1 '

lí ex

sh2 nk rx

1

.

v8mUo sh2 nk --+ch2 (n --1) ex 2 lí2ex2

E képletek közül az első az U0 < O esetre is érvényes, amikor a részecske nem potenciálgát, hanem potenciálvölgy felett halad el. Érdekes, hogy ekkor D= 1, ha 1+(8ml U0 J/Ií2rx2) = (2n+1)2 , azaz a völgy l U 0 l mélységének meghatározott értékeimellett nincs visszaverődés. Ez már a (2) kifejezésből is látszik, ahol pozitív egész s-re az e-ikx·szel arányos tag eltűnik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

IV. FEJEZET

AZIMPULZUSMOMENTUM

26. §. Az impulzusmomentu1n A 15. §-ban az impulzusmegmaradás törvényének levezetése során azt használtuk ki, hogy egy zárt részecskerendszerre vonatkozóan a tér homogén. A homogenitássai együtt a tér izotrop is - valamennyi irány egyenértékű. Ezért egy zárt rendszer Hamilton-operátora változatlan marad a rendszer egészének· tetszőleges tengely körüli tetszőleges szögű elforgása során. Elegendő megkövetelni e feltétel teljesülését infinitezimálisan kis forgatások esetére. Legyen bcp egy végtelen kis elforgatás vektora, melynek nagysága megadja a brp forgásszöget, iránya pedig kijelöli a forgástengely irányát. A részecske ra helyvektorának öra megváltozása ilyen forgás során, mint ismeretes

E transzformáció során egy 1p(r1+ör1, r2+or2, ... )

tetszőleges

1p(r1, r 2,

•.. )

függvény a

=

= 1p(r1, r2, ... )+L ora \7 a1f! = 1p(r1, r2, .. . )+L (bcp+ra)'Va1P = a

a

függvénybe megy át. Az

kifejezés a végtelenü! kis elforgatás operátora. Az a tény, hogy a végtelenü] kis elforgatás nem változtatja meg a rendszer Hamilton-operátorát, a forgásoperátornak flval való felcserélhetőségében jut kifejezésre (1. 15. §). Minthogy ()ep egy állandó

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

26.§. AZ IMPULZUSMOMENTUM

109

-vektor, ez a feltétel a (26,1)

.összefüggésre vezet, mely egy megmaradási tételt fejez ki. A zárt rendszertjellemző azonmennyiség, amelynek megmaradása a tér izotrópiájából következik, a rendszer impulzusmomentuma (vö. l., 9.§). A ~>aX'Va operátor tehát egy állandó szorzó erejéig megegyezik a rendszer mozgásának teljes impulzusmomentumával, az összeg egyes r a X V' a tagjai pedig az egyes részecskék impulzusmomentumával. Az arányossági tényező szükségképpen -ih; ez közvetlenül belátható, ugyanis ·ekkor a részecske impulzusmomentumának operátora - ihr X V' = r X p, ami ponto.san megegyezik a szokásos klasszikus mechanikai r X p alakkal. A továbbiakban az impulzusmomentumot mindig h egységekben adjuk meg. Az egyes részecskék ily módon definiált impulzusmomentum-operátorát 1-lel jelöljük, az egész rendszer impulzusmomentumát pedig t-lel. A részecskék impulzusmomentum-operátora tehát hÍ= r X p = -ilírX V',

(26,2)

·vagy komponensekben:

Külső

térbe helyezett rendszer impulzusmomentuma általában nem marad meg. Bizonyos szimmetriát mutató terek esetén azonban előfordulhat, hogy az impulzusmomentum mégis mozgásállandó. Ha pl. a rendszer gömbszimmetrikus erőtérben -van, a koordinátatér minden, a középpontból kiinduló iránya egyenértékű, így .a középpontra vonatkozó impulzusmomentum megmarad. Hasonlóan, hengerszim~ metrikus tér esetén megmarad az impulzusmomentumnak a szimmetriatengely irányába vett komponense. Ezek a megmaradási tételek a klasszikus mechanikában .és a kvantummechanikában egyaránt érvényesek. Ha egy rendszer impulzusmomentuma nem marad meg, stacionárius állapotaiban az impulzusmomentumnak nincs meghatározott értéke. Ilyen esetekben néha hasznos lehet az impulzusmomentum átlagértékének meghatározása egy ~dott stacionárius állapotban. Könnyíi belátni, hogy minden nemelfajult stacionárius állapotban az impulzusmomentum átlagértéke nulla. Valóban, az idő előjeiét megváltoztatva az .energia nem változik, és minthogy az adott energianivóhoz egyetlen stacionárius .állapot tartozik, t-nek -t-re való változtatásánál a rendszer állapota változatlan marad. Ez azt jelenti, hogy egy mennyiség átlagértéke sem változhat, az impulzusmomentumot is beleértve. Az idő előjelének megváltoztatásakor azonban az impul-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

110

lV. FEJEZET. AZ IMPULZUSMÖMENTUM

zusmoníentum előjelet vált, így L =-L, amiből következik, hogy L= O. Ugyanezt az eredményt kapjuk az L átlagérték .,p*t"P definíciójából kiindulva. Egy nemelfajult állapot hullámfüggvénye valós (1. a 18. §.végét). Ezért az

kifejezés tiszta képzetes, és minthogy L természetesen, valós, nyilvánvaló, hogy L = O. Határozzuk meg az impulzusmomentum operátorának a koordináta- és impuizusoperátorokkal való feJcserélési törvényeit. A (16,2) összefüggések segitségével könynyen belátható, hogy

o:t

{lx. x} = {lx, y} = iz, {lx, z} = -iy, {ly, y} = O, {ly, z}:= ix, {ly, x}= -iz, {lz, z} = O, {lz, x} = iy, {lz, Y}= -ix.

(26,3)

Így például

A (26,3) alatti összefüggések felírhatók tenzoralakbm~: (26,4) ahol eikt a harmadrendű antiszimmetrikus egységtenzor,i és a kétszer előforduló indexekre összegezni kell. Mint arról könnyen meggyőződhetünk, ugyanilyen felcserélési összefüggések érvényesek az impulzusmomentum és az impulzus operátorára is : (26,5) 1 Az e1k 1 harmadrendű antiszilTIITietrikus egységtenzor (melyet axiális tenzornak is szokás nevemi) definiciója a következő: e128 = l, és a tenzor lllindhárom indexében antiszimmetrikus. Nyilvánvaló, hogy 27 komponenséből csak 6 különbözik nullától, melynek i, k, l indexei az l, 2, 3, számok valamilyen permutációját alkotják. A komponens +l, ha i, k, l az l, 2, 3 számokból páros számú felcseréléssel adódik, és - l, ha páratlan számú felcserélésseL Nyilvánvaló, hogy

Az A és B vektorok C= AxB vektorszorzatának komponensei em felhasználásával igy fejezhetök ki:

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

111"

26.§. AZ lMPULZUSMOMENTUM

E képletek segítségével azonnal adódik az lx, ly, lz operátorok egymással való fel-· cserélésének törvénye. Írhatjuk, hogy h(fxly-[ylx) = lx(zfix-XPz)-(zfix-XPz)lx = =

Cfxz-zl:c)JYx-x(l,.fiz-fizlx)

=

-iyfix+ix]Jy

=

inlz.

Így tehát (26,6)'

vagy (26, 7)'"

Pontosan ugyanilyen összefüggések teljesülnek a rendszer teljes impulzusmom:entumoperátorának Lx, LY, Lz komponenseire is. Valób~n, minthogy különböző részecskék impulzusmomentumának operátorai egymással felcserélhetők, írhatjuk, hogy

a

a

a

a

a

a

Így tehát (26,8)··

A (26,8) összefüggésből látható, hogy az impulzusmomentum három komponensének nem lehet egyidejűleg meghatározott értéke (azt az esetet kivéve, mikor mindhá- · rom komponens nulla - L alább). Ebben a tekintetben az impulzusmomentum lényegesen különbözik az impulzustól, melynek mindhárom komponense egyidejűleg . mérhető.

Az impulzusmomentum-vektor abszolút értékének négyzetéhez az

(26,9).

operátort rendeljük. Ez az operátor az Lx, LY, L, operátorok mindegyikével felcserélhető : ~2 - } {L ,Lz

www.interkonyv.hu

=O.

(26,10)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

112

IV. FEJEZET. AZ IMPULZUSMOMENTUM

Valóban, felhasználva (26,8)-at, például

{L;, Lz} = Lx{ Lx, Lz}+ {Lx, Lz} Lx = - i(LxLy + LyLx), {L;, Lz} = i(LxLy + LyLx), {L;, Lz}= o. Ezeket az egyenlőségeket összeadva, megkapjuk a (26,10) alatti utolsó felcserélési törvényt. A (26,10) összefüggések fizikailag azt jelentik, hogy az impulzusmomentum négyzete (vagyis abszolút értéke) az egyik komponenssel egyidejűleg meghatározott értéket vehet fel. Az Lx és LY operátorok helyett gyakran kényelmesebb ezeknek egy komplex kombinációját használni: (26,11)

(26,8) segítségével közvetlenül meggyőződhetünk arról, hogy ezekre az alábbi felcserélési törvények érvényesek: (26,12) Könnyen belátható az is, hogy (26,13)

Végül felírjuk egy részecske impulzusmomentum-operátorának gömbi koordiná. tákkal kifejezett alakját, amire a későbbiekben sokszor szükségünk lesz. A szokásos x

. . definíció alapján

= r sin () cos rp,

egyszerű

y

= r sin () sin rp,

számítással a

következő

z

www.interkonyv.hu

r cos ()

kifejezéseket kapjuk:

a l z= -z.Brp, l±= e±irp (

=

±:()+ictg():rp).

(26,14) (26,15)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

113

27.§. AZ IMPULZUSMOMENTUM SAJÁTÉRTÉKEI

Ezeket (26,13)-ba beírva, az impulz!lsmomentum négyzetének operátorát az

12 _

[

1

- - . sin 2 8

82

a (Slll. 8 aea) J

1

ap2 + sin 8 a8

(26,16)

alakban kapjuk. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez egy szorzótól eltekintve megegyezik a Laplace-operátor szögtől függő részével.

27. §. Az impulzusmomentum sajátértékei Egy részecske esetén az impulzusmomentum valamilyen irányra vett vetületének sajátértékeit könnyen meghatározhatjuk az impulzusmomentum-operátor gömbi koordinátákban kifejezett alakjának felhasználásával, polártengelynek az adott irányt választva. A (26,14) képletnek megfelelően az Íz1.fJ = lz1.fJ egyenlet a

. ay; ap

l

(27,1)

- z - = z"P

alakban írható. Ennek megoldása

ahol f(r, 8) az r, 8 koordináták tetszőleges függvénye. Ahhoz, hogy "P egyértékű függvény legyen, p-ben 2n szerint periodikusnak kell lennie. Ebből következik, hogy2 lz= m,

m =O,

±l, ±2, ...

(27,2)

Így tehát az lz sajátérték valamilyen pozitív vagy negatív egész számmal egyenlő vagy nulla. Az iz operátor sajátfüggvényeit jellemző, p-től függő szorzó jelölésére a l . wm(P) = --e•m'P

n.

Y2n

függvén yt vezetjük be. Ezek a függvények a

következőképpen

2"

Jf/Ji"(p)ifJm•(p) dp =

Omm'·

(27,3) vannak normálva: (27,4)

o

2 Az impulzusmomentum-vetület sajátértékének jelölésére általánosan elterjedt az m betű használata, amellyel már a részecske tömegét is jelöltük. Ez nem vezethet félreértésre.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

114

IV. FEJEZET. AZ IMPULZUSMOMENTUM

Egy rendszer esetén a teljes impulzusmomentum z komponensének sajátértékei nyilvánvalóan szintén pozitív vagy negatív egész számok:

Lz = M,

M = O,

±l, ±2, ...

(27,5)-

(ez abból következik, hogy az Lz operátor az egyes részecskék egymással felcserélhető lz operátoraiból tevődik össze). Minthogy a z tengely irányát előre semmi sem tünteti ki, érthető, hogy ugyanez az eredmény adódik Lx·re és LY-ra, sőt általában az impulzusmomentum bármely irányra vett vetületére is - ezek mind csak egész értékeket vehetnek fel. Ez az eredmény az első pillanatban paradoxnak látszik, különösen ha két végtelenü! közeli irányra alkalmazzuk. A valóságban azonban tekintetbe kell vennünk, hogy az Lx, LY, Lz operátoroknak egy esetben van közös sajátfüggvényük, ha

Lx

= L~ =

Lz

= O;

ekkor az impulzusmomentum-vektor, és ezért annak bármely irányára vett vetületeis nullával egyenlő. Ha viszont az Lx, LY, Lz sajátértékek közül legalább egy különbözik nullától, akkor az L,., LY, Lz operátoroknak nincs közös sajátfüggvényük. Másképpen kifejezve, nincs olyan állapot, melyben az impulzusmomentum két vagy három különböző irányba mutató komponensének egyidejűleg (nullától különböző} meghatározott értéke lenne, tehát csak egyikük egész számú értékeiről beszélhetünk. A rendszemek azok a stacionárius állapotai, amelyek csak M értékeiben különböznek, azonos energiájúak Ez már abból is következik, hogy a z irányt eleve semmi sem tünteti ki. Így tehát a rendszer (nullától különböző) megmaradó impulzusmo-· mentummal jellemzett állapotai minden esetben elfajultak. 3 Most áttérünk az O impulzusmomentumnégyzet-operátor sajátértékeinek meghatározására, és megmutatjuk, hogyan kaphatók meg ezek az értékek csupán a (26,8} felcserélési törvények felhasználásával. Jelöljük "PM·mel az O azonos értékeihez: tartozó stacionárius állapotok hullámfüggvényeit, melyeket az M érték különböztet meg. 4 3 Ez a körülmény a 10. §-ban emlitett általános tétel speciális esete, mely szerint az energiaszint elfajult, ha legalább két olyan megmaradó mennyiség van, mely egymással nem felcserélhető. Itt ilyen mennyiségek az impulzusmomentum komponensei. 4 Itt feltételezzük, hogy semmilyen további elfajulás nincs, mely különböző impulzusmomentum-· négyzetekkeljellemzett állapotok energiájának egyenlőségét vonnámaga után. Ez a diszkrét spektrum esetében igaz [a Coulomb-térben fellépő ún. "véletlen elfajulás" esetének (36.§) kivételével], és általában nem igaz a folytonos spektrum állapotaira. Ilyen járulékos elfajulás fellépése esetén azonban mindig választhatunk olyan sajátfüggvényeket, hogy azok meghatározott V értékekkel rendelkezzenek, és ezután kiválasztjuk közülük az azonos É és V értékkel rendelkezőket. Matematikailag ez abban jut kifejezésre, hogy az egymással felcserélhető operátorok mátrixai egyidejűleg diagonizál-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

27.§. AZ lMPULZUSMOMENTUM SAJÁTÉRTÉKEl

Vegyük észre először is, hogy a z tengely két iránya fizikailag egyenértékű, ezért minden lehetséges pozitív M = lM l értékhez tartozik egy megfelelő negatív M = =-l Ml is. Jelöljük L-lel (L nemnegatív egész szám) lMl legnagyobb lehetséges értékét (adott V mellett). Ilyen felső határ létezése következik abból, hogy :tz= = L;+L! a pozitív definit L;+I!;, fizikai mennyiség operátora, ezért sajátértékei nem lehetnek negatívak. Az LzL'r operátort az Lz operátor 1pM sajátfüggvényeire alkalmazva, a (26, 12)' felcserélési törvény figyelembevételével azt kapjuk, hogy

L;

(27,6) Ebből látható, hogy az L±1pM függvény (egy állandó szorzó erejéig) az

M ±l értékének

megfelelő

Lz mennyiség

sajátfüggvény; így írhatjuk, hogy (27,7)

Ha az

első egyenlőségben

M

= L-et helyettesítünk, akkor azonosan teljesül, hogy (27,8)

mivel M > L állapotok definíciószerűleg nem léteznek. Erre az összefüggésre az operátort alkalmazva, (26,1 3) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

Minthogy azonban

lfJM

az

L_

V és Lz operátorok közös sajátfüggvénye,

és így a kapott egyenlet alapján: V=

L(L+ 1).

(27,9)

A (27,9) összefüggés meghatározza az impulzusmomentum-négyzet keresett sajátértékét; az L szám pozitív egész értékeket vesz fel, a nullát is beleértve. L adott értéke mellett az Lz = M komponens M= L,

L-1, ... ,-L

(27,10)

hatók. A következőkben hasonló esetekben a rövidség kedvéért úgy beszélünk ezekről az állapotokról, mintha nem lem1ének elfajultak, figyelembe véve, hogy a kapott eredmények a valóságban, a mondottak alapján, ettől a feltételezéstől függetlenek.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

116

IV. FEJEZET. AZ IMPULZUSMOMENTUM

lehet, azaz 2L+ l különböző értékeket vehet fel. Az L impulzusmomentumnak megenergianívó tehát (2L+ 1)-szeresen elfajult. A nulla impulzusmomentumú L =O állapot (L mindhárom komponense nulla) nem elfajult; megjegyezzük, hogy ilyen állapot hullámfüggvénye gömbszimmetrikus. Ez mindenesetre következik abból, hogy e függvényre az impulzusmomentum-operátorral hatva, nullát kapunk, azaz végtelenü! kis elforgatás során a függvény nem változik. Egy részecske impulzusmomentumára vonatkoztatva a (27,9) képietet az felelő

(27,11)

p= /(l+ l)

alakban írjuk, vagyis egy részecske impu1zusmomentumát kis /-lel jelöljük. Számítsuk ki az Lx és LY mennyiség mátrixelemeit olyan reprezentáció ban, melyben az energiamellett az Lz és O oprátorok is átlós alakúak (M. Barn, W. Heisenberg, P. Jordan, 1926). Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy mivel az Lx és LY operátor felcserélhető .H-val, mátrixaik az energiában diagonálisak, azaz a különböző energiájú (és különböző L impulzusmomentumú) állapotok közötti átmeneteknek megfelelő valamennyi mátrixelem nulla. Elegendő tehát egy adott elfajult energianívóhoz tartozó, különböző M értékeknek m~gfelelő állapotok csoportján belül meghatározni. az átmeneti mátrixelemeket. A (27,7) képletből látható, hogy az L+ operátor esetében csak az M-1 - M átmenet mátrixelemei különböznek nullától, az L_ operátor mátrixában pedig az M _.... M- l átmeneté. Ezt figyelembe véve, képezzük a (26,13) egyenlőség két oldalának diagonális mátrixelemeit :5

Észrevéve, hogy az

Lx, LY operátorok henniticitása miatt (M -liL-l M)

ezt az

egyenlőséget

az

I(MIL+!IM-1)1 2 alakban írjuk,

= (MIL+ lM -l)*,

=

L(L+1)-M(M-1)

=

(L-M+l)(L+M) .u

amiből 6

(27 ,12) 5 A mátrixelemek jelölésében a rövidség kedvéért elhagyjuk azokat az indexeket, amelyekben a mátrix diagonális (a többi között az L indexet is). 6 Az előjel választása ebben a képletben összhangban van az impulzusmomentum-sajátfüggvények f ázisszorzój ának megválasztásával.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

117

27.§. AZ IMPULZUSMOMENTUM SAJÁTÉRTÉKEI

Az Lx és LY mennyiségek nullától

különböző

(MILxiM-1) = (M-liLxiM) =

mátrixelemei tehát:

~']I(L+M)(L-M+l),

(MILy lM -l)= -(M -l ILy lM)= -

~

]i(L+M)(L-M+ l).

(27,13)

Felhivjuk a figyelmet arra, hogy az Lx és LY mennyiségek mátrixainak főátlójában csupa nulla áll. Mivel a mátrix átlós elemei meghatározzák az illető mennyiség adott állapotbeli átlagértékét, ez azt jelenti, hogy az Lz meghatározott értékével jellemzett állapotokban Lx =LY =O. Ha tehát az impulzusmomentum valamilyen irányra vett vetülete meghatározott értékű, akkor az L vektor is ebbe az irányba mutat.

28. §. Az in1pulzusmomentun1 sajátfüggvényei A részecske hullámfüggvényét az l és m értékek megadása nem határozza meg teljesen. Ez már abból is látható, hogy e mennyiségek gömbi polárkoordinátákban kifejezett operátorai csak a fJ és ep szögekre hatnak, úgyhogy sajátfüggvényük még egy tetszőleges r-től függő tényezőt is tartalmazhat. Vizsgáljuk most a hullámfüggvénynek csak az impulzusmomentum-sajátfüggvényekre jellemző szögtől függő részét. Jelöljük ezt Y1m(fJ, ep)-vel, és normáljuk az

feltétellel (dQ = sin fJ dfJ dep a térszögelem). Mint az alábbi számítások mutatják, az 12 és lz operátorok közös sajátfüggvényeinek meghatározására vonatkozó feladatban szétválaszthatjuk a fJ és ep változókat, így e függvények az alábbi alakban írhatók: Yzm

= Wm(ep) ezm(fJ),

(28,1)

ahol Wm(ep) az lz operátor (27,3) képlettel meghatározott sajátfüggvénye. Minthogy Wm már a (27,4) feltétel szerint van normálva, e1m-et az

J" elm l

12

sin fJ dfJ

= l

(28,2)

o

feltétellel kell normálnunk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

118

IV. FEJEZET. AZ IMPULZUSMOMENTUM

l és m indexű Y 1m függvények, mint az impulzusmomentum-operátor különböző sajátértékeihez tartozó sajátfüggvények, automatikusan kölcsönösen ortogonálisnak adódnak: A

különböző

2n

7f

J oJYrm'Yl"' sin ()d() dcp =

Ow Omnz'·

(28,3)

Külön ortogonálisak a ct>111 (rp) függvények [1. (27,4)] mint az lz operátor különböző m sajátértéknek megfelelő sajátfüggvényei. A 0"f!n(()) függvények magukban nem sajátfüggvényei egyik impulzusmomentum-operátornak sem; különöbző /-ek esetén ortogonálisak egymásra, eltérő m-eknél azonban nem. A keresett függvényele kiszámításának legegyszerűbb módja a gömbi koordinátákban felírtl 2 operátor [(26, 16) képlet] sajátfüggvényeinek meghatározására vonatkozó fela O), annak ellenére, hogy e feladatnak nincs közvetlen fizikai jelentése; a tér viselkedése az origótól távol érdektelen számunkra. A 18. §-ban láttuk, hogy ez az U(r) éppen átmenet olyan esetek között, amelyekben van közönséges stacionárius állapot, és amikor a részecske az origó ba "esik". Az origó közelében ekkor a Schrödinger-egyenlet a következő alakot ölti:

R"+l:_R'+LR =O r r2

(35,1)

[R(r) a radiális hullámfüggvény]; itt bevezettük a 2m{J y= --l(!+ 1) lí2 állandót, és elejtettük valamennyi 1/r-ben alacsonyabb rendű tagot; feltettük továbbá, hogy az E energia véges, ezért az egyenletben a neki megfelelő tagot szintén elhagytuk. Keressük R-et R ~ rs alakban; ekkor s-re másodfokú egyenletet kapunk: s(s+l)+y =O, melynek gyökei (35,3)

Ezután célszerű az alábbi eljárás alkalmazása. Az origó környékén gondolatban elkülönítünk egy kis ro sugarú térrészt, és a -yjr2 függvény ezen belüli értékét -y/r~-tel helyettesítjük. Meghatározzuk a hullámfüggvényt ilyen "levágott" térben, és megnézzük, mit kapunk, ha elvégezzük az ro _,. O határátmeneteL Először feltételezzük, hogy y < 1/4. Ekkor s 1 és s 2 valós negatív szám, és s 1. > s2. Az r > ro tartományban a Schrödinger-egyenlet általános megoldása (kis r-ek esetén) (35,4) alakú (A és B állandók). Ha r


2), akkor a hullámfüggvény az origó közelében r 814 - 1-gyel arányos (1. a 49. §-t követő feladatot). Minden ilyen esetben az r'lfJ szorzat r = O-nál eltűnik. Ezek után megvizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldásait a nagy távolságokban U~ -fJ/r2 törvény szerint változó terekben; a potenciál kis távolságon való viselkedése tetszőleges lehet. Először tételezzük fel, hogy y < 1/4. Könnyen belátható, hogy ebben az esetben csak véges számú negatív energiaszint lehetséges. 10 Valóban, ha E= O, a Schrödinger-egyenlet nagy távolságban (35,1) alakú, melynek általános megoldása (35,4). A (35,4) függvénynek azonban (ha r~ O) nincsen zérushelye; ezért a keresett radiális hullámfüggvény valamennyi zérushelye az origótól véges távolságban van, és számuk minden esetben véges. Másszóval, a diszkrét spektrumot lezáró E = O nívó sorszáma véges. Ha viszont y > 1/4, akkor a diszkrét spektrum végtelen sok negatív energianívót tartalmaz. Valóban, az E= O állapot hullámfüggvénye nagy távolságban (35,9) alakú, végtelen sok zérushellyel, úgyhogy sorszáma minden esetben végtelen.

°Feltételezzük, hogy kis r-eknél a tér olyan, hogy a részecskék "beesése" nem következik be.

1

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

150

V. FEJEZET. MOZGÁS GÖMBSZIMMETRIKUS ERŐTÉRBEN

Végüllegyen a potenciál U= -{Jfr2 az egész térben. Ekkor a y> 1/4 esetben a részecske "beesik" a középpontba, ha pedig y< 1/4, akkor egyáltalán nincsenek negatív energiájú nivók. Valóban, az E= O energiájú hullámfüggvény az egész térben (35,7) alakú, véges távolságban egyáltalán nincs zérushelye, azaz (adott l mellett) a legalacsonyabb energiasZintnek felel meg.

36. §. Mozgás Coulomb-térben (gömbi koordináták) A gömbszimmetrikus terekben való mozgás rendkívül fontof; esete az

U=±_::_ r

Először a Coulomb-vonzást tanulmányozzuk, tehát U= -oc/r. Általános megfontolások alapján eleve nyilvánvaló, hogy a negatív energiasajátérték-spektrum diszkrét (a nivók száma végtelen), a pozitív energiájú spektrum pedig folytonos. A radiális függvényre vonatkozó (32,8) egyenlet most az· alábbi alakú:

Coulomb-térben (oc pozitív állandó) végzett mozgás.

(36,1)

Ha két részecske relatív mozgásáról van szó, m a redukált tömeget jelenti. A Coulomb-térrel kapcsolatos számításokban a különböző mennyiségek mértékét kényelmesebb a szokásos alapegységek helyett speciálls egységekben megadni, melyeket Coulomb-egységeknek nevezünk. Nevezetesen, a tömeg, a hossz és az idő mértékegységeként rendre az

niennyiségeket használjuk. energia egysége

www.interkonyv.hu

Ebből

az összes többi egység

levezethető,

például az

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

36.§. MOZGÁS COULOMB-TÉRBEN (GÖMBI KOORDINÁTÁK)

151

Itt és a következő szakaszokban (ahol erről külön nem beszélünk) mindenütt ezeket .az egységeket használjuk.H Az új egységek használatával a (36,1) egyenlet ilyen alakú: (36,2)

Diszkrét spektrum

Az E paraméter és az r változó helyett új mennyiségeket vezetünk be: l

n=-:::==-

V-2E'

2r (2=-'. n•

(36,3)

Amikor E negatív, n valós pozitív szám. A (36,2) egyenlet (36,3) behelyettesítésével .a következő alakot ölti:

(36,4) vessző e szerinti differenciálást jelent). Kis e mellett a szükséges végességi feltételeket kielégítő megoldás 1/-lel arányos '[!. (32,15)]. R nagy e mellett érvényes aszimptotikus viselkedésének meghatározásálloz (36,4)-ben elejtjük az l l r2 és l l e2 -es tagokat, így az

1(a

R"= R 4 egyenletet kapjuk, amiből R = e±e12 • A bennünket érdeklő, a végtelenben eltűnő megoldás nagy e mellett e-e/ 2 alakú. A fentieknek megfelelően természetes elvégezni az

11 Ham = 9,11·10- 28 g az elektron tömege, és ex = e2 (e az elektron töltése), akkor a Coulomb kifejezés elsőrendben normált legyen. Ez c~1> =O mellett teljesül. Valóban, a (1) _

V mn

"'

'lJJn - L. m

(O)

E(O) -E(O)

n

m

'ljJm

(38,8)

függvény (az összegezés jele melletti vessző azt jelenti, hogy az m = n tagot ki kell hagyni) ortogonális 'ljJ~0>-ra, és így a 1'ljJ~o> +'lJJ~1> 12 kifejezés integrálja az egységtől csak másodrendben kicsi tagokban tér el. A (38,8) képlet a hullámfüggvény első közelítésbeli korrekcióját adja. Ebből egyúttal látszik a vizsgált módszer alkalmazhatóságának feltétele is. Nevezetesen, szükséges, hogy teljesüljön a (38,9) feltétel, azaz a perturbáció mátrixelemei sokkal kisebbek kell hogy legyenek, mint a megfelelő perturbálatlan energiaszintek különbségei. Határozzuk még meg az E~0> sajátértékekhez második közelítésben adódó járulékot. Ehhez (38,4)-be az E = e;,o> + E~1> + E~2>, c"= c~>+ 41)+ c?> felbontást kell behelyettesítenünk, és az egyenletben a másodrendű kis tagokat is figyelembe kell vennünk. A k = n indexű egyenletből

Ec= " c< 1l LJ' V nmm m

adódik,

amiből

En(2)

= "' L. m

J V mn J 2 riO)_E(O)

Eiz

lc~)-et (38,7)-ből vettük, és felhasználtuk, hogy a Vmn

=

(38,10)

m

P" operátor hermiticitása miatt

v:m1·

Vegyük észre, hogy az alapállapot energiájához adódó másodrendűjárulék mindig negatív. Valóban, ha E~0> a legkisebb perturbálatlan sajátérték, akkor (38,9) összes tagja negatív.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

172

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

A további közelitések meghatározása hasonló. A kapott eredményeket közvetlenül általánosíthatjuk arra az esetre, amikor a Ho operátornak folytonos spektruma is van (de továbbra is csak a diszkrét spektrum perturhált állapotait vizsgáljuk). Ekkor a diszkrét spektrumra vonatkozó összeghez hozzá kell adni a folytonos spektrumra vett megfelelő integrálokat. A folytonos spektrum állapotait a v indexszel különböztetjük meg; v az állapotmeghatározásához szükséges összes mennyiséget jelöli (ha a folytonos spektrum állapotai elfajultak, ami majdnem mindig fennáll, akkor nem elegendő az energiát egyedül megadni az állapot teljes jellemzésére).1 Ekkor például (38,8) helyébe (l) _

"Pn -

"''

LJ m

V mn

ElO)_E(O}

n

m

(O)

"Pm

+

f

VM

E(O}_E

n

"

(O)

"P~

d

·

V

(38,11)

lép, s hasonlóan a többi képletek esetében is. Hasznos lehet egy tetszőleges f fizikai mennyiség perturhált mátrixelemeinek 11J.egadása első rendig a "Pn = 1p~0>+1p~1> hullámfüggvény segítségéve!, ahol 1p};>-et (38,8)ból vesszük. A szokásos eljárással egyszetiien adódik, hogy _.f'(O)

V

.f'(O)

m

k

V "' 1 nkJ km "' 1 kmJ nk J,nm -_J.f'(O) nm+ LJ ElO)_ EW) + LJ ElO)_ ElO) • k

Az

első

összegben k

~

n

k

k

(38,12)

n, a másodikban k ,re. m.

Feladatok 1. Határozzuk meg a sajátfüggvények 1p< 2> másodrendű korrekcióját. Megoldás. A c12'(k .= n) együtthatókat a (38,4) egyenlet k .= n indexű alakjából másodrendig számolva határozhatjuk meg, a c~2> együtthatót pedig úgy kell megválasztanunk, hogy a 1p,. = 1p~> + + 1p~1' +tp~2' függvény másodrendben normált legyen. A számítás eredménye:

ahol bevezettük az . W

nm

l

= -(E-E)

n

frekvenciákat. 2. Határozzuk meg az energia sajátértékeinek harmadrendű korrekcióját.

1

Természetesen a 1p~0 > hullámfüggvényeket a v mennyiségek c'J-függvényére kell normálni.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

38.§. IDŐTŐL FÜGGETLEN PERTURBÁCIÓK Megoldás. A (38,4) egyenletet írjuk fel k

173

= n-nel, a harmadrendűen kicsiny tagokat is megtartva.

Ebből

adódik. 3. Határozzuk meg a

Hamilton-operátorral leírható lineáris anharmonikus oszcillátor energiaszintjeit. Megoldás. Az x 3 és x 4 mennyiségek mátrixelemeit közvetlen ül a mátrixszorzás szabályai segítségével lehet megkapni, felhasználva x-nek (23,4)-beli mátrixelemeit. x 3 nullától különböző mátrixelemeire azt kapjuk, hogy ( 3)

x

n-3, n

= (x 3)

n, n-3

=(_!í___) 3/ 2 vn(n-1) (n-2) mw 8 '

Ennek a mátrixnak nincsenek diagonális elemei, így az IXX3 tagból elsőrendű korrekció nem származik. Az ebből a tagból származó másodrendű járulékok ugyanolyan nagyságrendűek, mint a (3x 4 tagból származó elsőrendű korrekciók. x 4 diagonális mátrixelemei: ,,.,. ( lí ) 2 3 l (x 4)n, n =( 4 (2n2 + 2n+ l). ~...

mw

,

A (38,6) és (38,10)-beli általános összefüggések alapján a anharmonikus oszcillátor energiaszintjeire: E

n

=~líw

következő közelítő

kifejezést kapjuk az

x 2 ( -lí-) 3 ( n2 +n+ll) +-(3-3 ( lí ) 2 ( n2 +n+-. 1) l ) -15- ( n+2 4 líw mw 30 2 mw 2

4. Végtelen magas falú gömbi potenciálgödör alakját enyhén (térfogatának változtatása nélkül) deformáljuk, aminek eredményeként az gyengén megnyújtott vagy összelapított forgási ellipszoid alakú lesz (féltengelyei a= b és'c). Adjuk meg a gödörben mozgó részecske energiaszintjeinek a deformáció hatásárá bekövetkező felhasadását (A. B. Mi'gdal, 1959 ). Megoldás. A gödör falának egyenlete:

Ez az x~ ~ , y .... ~ , z ....

c;

változóhelyettesítéssei egy R sugarú gömb egyenletébe megy át: p2 fí2 R 2 = x 2 +y 2 +z2 • A részecske H=- 2M =- 2M e:,. Hamilton operátora (ahol Ma részecske tö· ~

mege, az energiát pedig a völgy aljától mérjük) átmegy a ir= ~

H0 + Vkifejezésbe, ahol

fí2

Ho=--6, 2m

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

174

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

Így az ellipszoid alakú gödörben végbemenő mozgás feladatát visszavezettük a gömbi esetre. Ha az ellipszoid kevéssé tér el az R = (a2ci13 sugarú gömbtől, akkor V-t kis perturbációnak tekinthetjük. A gömbalaktól való eltérés fokát az

összefüggések alapján bevezetett f3 (l (JI« l) paraméterrel jellemezve, a perturháló potenciálra azt kapjuk, hogy

f3 V~ = 3M

(A2 3 2) p- 'Pz •

A perturbációszámítás első rendjében a részecske energiaszintjeinek megváltozása a gömbi nívókhoz képest a következő: (l és ma részecske impulzusmomentumának nagysága és az ellipszoid tengelyére vett vetülete; n adott l mellett a gömbi potenciálgödör energianivóit számozza, értéke az m kvantumszámtól független). Eszrevéve, hogy p 2 - 3p! a nulla nyomú o1kp2_ 3pUJk irreducibilis tenzor zz komponense, (107,2)

és (107,6) alapján kapjuk, hogy az (nlm!VI nlm) mátrixelem arányos (-l)"' ( -~

~ ~) -mel,

azaz (nlm !VInlm)

3m2 ) = ( 1- /(l+ l)

(nlO !VInlO)

(a 3j szimbólumok a 106. § 9. táblázatában találhatók). Írhatjuk továbbá, hogy 2 fz2/\n/0 1021 (n/Ol VIn/O)= 3"(3E}.?l+f3 M oz2 nlOJ\ = =

3_ (JEC~l- (3fz2 3

M

"

fl

OIJlnlO

oz

12 y2 dr d Q

(az első tagban felhasználtuk a gömb alakú gödör HoiJlnlm = E~~liJl,.zm Schrödinger-egyenletét, a másodikban pedig egy parciális integrálást végeztünk). A IJlnzo = R,.1(r) Y1,(0, rp) függvény deriváltjára, Yj0-t a (28,11) összefüggésben megadott alakban használva, a következő adódik:

a

OZ IJlnlO

=

(COS (} ora --rsinOo) i)(} IJlnlO =

i(/+ l) ( ' l ) =- [ 4(/+l)2 -l]IIZ Rnl--;:Rnz Y1+1,o+

il 112 + [4ZZ-l]

( R ..' á-r-R,.z l+ l ) Yz-1,o·

A radiális integrált az

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

38.§. IDŐTŐL FÜGGETLEN PERTURBÁCIÓK

175

képletekkel lehet kiszámítani, amelyeket parciális integrálással és a (33,3)

Schrödinger-egyenlet felhasználásával vezethetünk Ie. Az Rn~ integrálját tartalmazó tagok végül kiejtik egymást, és a következő végeredmény adódik: Ll

_ En!m -

f3 l(l+ l) [ m2 4 (2[- l) (2/+ 3) l(l+ l)

l ] col

-3

Enl '

Megjegyezzük, hogy 1 ~ E - gol 21+ 1 mf'-l nlm nl '

azaz a multiplett "súlypontja" nem tolódik el.

39. §. A szekuláris egyenlet Térjünk rá annak az esetnek vizsgálatára, amikor a perturbálatlan Ho operátor spektruma tMajult. Jelölje 7p~0l, 7p~~l, ... azokat a sajátfüggvényeket, amelyek egy és ugyanahhoz az E~0 ) energiaértékhez tartoznak. E függvények kiválasztása, mint tudjuk, nem egyértelmű- helyettük tetszőleges s számú független lineáris kombinációjuk is választható (s az E~0) szint elfajultságának foka). Ez a szabadság azonban megszű­ nik, ha megköveteljük, hogy a hullámfüggvények Ho kis perturbációjára csak keveset változzanak. Egyelőre azonban tételezzük fel, hogy 7p~0 l, 7p~~l, .•. önkényesen kiválasztott perturbálatlan sajátfüggvények. A:z (előző értelemben) "jó" nulladrendű függvényeket ezek lineáris kombinációi adják:

Az együtthatók a sajátértékek elsőrendű korrekcióival együtt a következő módon határozhatók meg. Írjuk fel a (38,4) egyenletet a k = n, n', . . . esetekre, első közelitésben E = = E~0l+E( 1l-et helyettesítve, míg a ck mennyiségekre elegendő a cn = c~0l, cn' = = c~~\ . . . cm = O, m ":: n, n', . . . közelítő feltevéseket tenni. Ekkor az E (IJc(o) n

= "f....J V nn'n'' c(O) n'

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

176

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

vagyis a (o) ""'(V l..J nn' -E(l)J< Unm' )Cn'

--

0

(39,1)

n'

egyenlet adódik, ahol n és n' felveszik az adott E~0) perturbálatlan energiához tartozó összes állapot indexének értékét. (39,1) homogén lineáris egyenletrendszer a c~0l mennyiségekre, amelynek csak akkor van nullától különböző megoldása, ha az együtthaták determinánsa eltűnik. Így a (39,2)

egyenletet kapjuk, amely E+ V,.,., c,. = l +c~1 >, cm = c,;:->. Írjukfel a (38,4) általános. egyenletrendszert a k r" n1 n', ... indexre, az elsőrendű tagokat még kiírva:

ahonnan (l)>

Írjuk fel továbbá ak= n' egyenletet is, abban másodrendű pontosságig elmenve: 1 Enc+"' L.J Vn'm c

m

(az m szerinti összegezésből az m = n, n', ... értékeket kihagyjuk). Eg> = V,,,.-et, valamint c~1 ' (l) kifejezését behelyettesítve, n' r" n-re azt kapjuk, hogy _

l

c,., - (-Vnt~-

" ' V,.,mVm,. E(O) E

ami a (38,10) összefüggéssei azonos alakú kifejezés. 3. A t = O kezdeti időpillanatban a rendszer a 'Pio> állapotban van, amely egy kétszeresen elfajult. nivóhoz tartozik. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a továbbiakban a rendszer átmenjellt a 'P~o> azonos energiájú állapotba; az átmenetet egy időfüggetlen, állandó perturbáció okozza. Megoldás. Írjuk fel a "jó" nulladrendű hullámfüggvényeket:

ahol c 11 c 2 és c~, c~ két, az l. feladat (2) összefüggésével meghatározott indexpárt alkot [a rövidség: kedvéért a (0) felső indexet az összes mennyiségről elhagytuk]. 3 Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az (l) és (2) mennyiségek kicsinysége (és ezzel együtt a perturbációszámítás vizsgált módszerének érvényessége) a (38,9) feltételeknek az előzőkhöz hasonló, de csak különböző energiájú szintek közötti átmenetekre korlátozódó teljesülését követeli meg. Az azonos. energiájú, elfajult nívók közötti átmeneteket a szekuláris egyenlet révén az ismert értelemben pontosan vesszük figyelembe.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

39.§. A SZEKULÁRiS EGYENLET

179

Megfordítva:

A

1p

az E+E< 1 >, illetve az E+E' perturhált energiákhoz tartoznak, ahol E és E(l)' az időbeli stacionárius változást kiírva a következő hullámfüggvényre jutunk:

és

1p'

l. feladat (l) képletével megadott korrekciók. Az időfüggő

(;1hol 'P1(t =0)= 1/)1). Végezetül !p-t és 1p'·t újra !prgyel és 1p2-vel fejezve ki, 'Pret a 1p, és '1p 2 függvények lineáris kombinációjával írhatjuk le. A '1p 2 melletti együttható abszoltlt értékének négyzete határozza meg a W 21 átmeneti valószínűséget. A számítás eredményéül az l. feladat (l) és (2) képleteinek felhasználásával időfüggő

-2

W21 -

l Vl212 [1- cos w és p~> hullámfüggvényele az a,. P~0>+ am P,~o> lineáris lkombinációba mennek át, ahol an-et és am-et (1)-ből vagy (2)-ből választhatjuk. Legyen a t = O kezdőpillanatban a rendszer a p~> állapotban. A rá következő pillanatokban a crendszer állapotát az általunk fentebb kiszámított hullámfüggvényeknek olyan lineáris kombinációja

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

184

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

írja Ie, amely t= O-ban

p~l-]al

egyezik meg: (3)

A P,~0 l-t szorzó tényező abszolút értékének négyzete l 'l] 12

(4)

ZQ2 (l- cos 2Dt).

Ez adja meg annak valószínűségét, hogy a t pillanatban a rendszert a p~o) állapotban találjuk. Látható, hogy ez egy periodikus függvény, amelynek értékkészlete O és l 'l] 12 /!2 2 között változik, frekvenciája 2!2. Ha s = O (pontos rezonancia esetén) a (4) valószínűség az l

2

[1- cos 21 'l] l t]

alakot ölti. Ez a O és l határok között oszcillál; más szavakkal, a rendszer periodikusan átmegy a pg;l állapotból a p~o) állapotba. '

41. §. A véges ideig ható perturbációk által előidézett átmenetek Tegyük fel, hogy a V(t)perturbáció csak valamely véges időtartamon át hat [amit kifejezhetünk úgy is, hogy a V(t) függvény elég gyorsan lecseng t -+ ±co esetén]. Legyen a perturháló hatás fellépte előtt (t -+ - =) a rendszer az n-edik stacionárius állapotban (a diszkrét spektrumban). Egy tetszőleges rá következő pillanatban állapotát a P= aknPÍ0 )

L k

hullámfüggvény írja le, ahol

első

közelítésben

I t

(l)akn-a kn-

_

_!_ n

(k

!I

~n),

t

ann = l

+ a~lJ =

l-

az integráJási határokat úgy választottuk meg, hogy a

www.interkonyv.hu

(41, 1)

Vnn d t;

t

-+ -

co

limeszben az összes

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

41.§. VÉGES IDEIG HATÓPERTURBÁCIÓKÁLTALELŐIDÉZETT ÁTMENETEK 185

a~~ mennyiség nullához tartson. A perturbáció hatásának elmúltával (azaz ha

t _,.

+ oo)

az akn együtthaták véges értékeket vesznek fel [akn( oo )], és a rendszer a

állapotba kerül, amely újból a perturbálatlan hullámegyenletnek tesz eleget, azonban a kiindulási P~0l állapottól különbözik. Az általános elvek alapján az aki oo) együtthaták határozzák meg annak valószínűségét, hogy a rendszer a k-adik, Efc0 l energiájú stacionárius állapotba kerül. Tehát a perturbáció hatására a rendszer a kezdeti stacionárius állapotból egy tetsző-· leges másikba mehet át. Az i _,. f átmenetvalószínűségéta

(41,2}

kifejezés adja meg.5 Vizsgáljuk most annak a zavarnak az esetét, amely, ha egyszer fellép, korlátlan• hosszú ideig hat (magától értetődően mindvégig kicsiny marad). Más szavakkal •. V(t) _,. O, ha t _,. - oo, de V(t) _,. V 7"" O, ha t _,. oo. A (41,2) képlet ez esetben nem alkalmazható közvetlenül, hiszen a benne található integrál ilyenkor divergál. Ennek a divergenciának azonban nincs fizikai jelentősége, és könnyen megszabadulhatunk tőle. E célból parciális integrálás után a valószínűségi amplitúdókra a következő: írható:

Az első tag az alsó határon eltűnik, a felső határon felvett értéke pedig formailag:. megegyezik a (38,8) kifejtés együtthatóival (a feleslegesnek tűnő eiwfi1 faktorok jelen-· létét az magyarázza, hogy az itt használt afi együtthaták a teljes P hullámfüggvénynek, a 38. §-beli cfi-k pedig csak az időtől független 'lj!- nek a Icifejtési együttha tói). Világos tehát, hogy e tag t _,. oo esetén adódó határértéke a lfi;COJ hullámfüggvénynek a V(+ =) "konstans rész" hatására történő megváltozását írja le, így nincs köze a más. állapotokba való átmenetekhez. Tehát az átmeneti valószínűséget valójában a máso5 Az egységes jelölésmód érdekében a továbbiakban (ha átmeneti valószínűségekről van szó)' a kezdeti és a végállapotot megállapodásszerűeni ésfindexszeljelöljük. Ezenkívül az átmeneti való-·· színűségek indexeit/i sorrendben írjuk, összhangban a mátrixelemek indexeléséveL

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

'186

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

·dik tag abszolút értékének négyzete határozza meg:

(41,3)

A kapott kifejezések akkor is érvényesek, ha az átmenet diszkrét __,_ folytonos típusú. Csak annyi a különbség, hogy ekkor az adott (i-edik) állapotból a (v1 , v1 +dv1 ) intervallumban elhelyezkedő állapotok valamelyikébe való átmenet valószínűségét tudjuk kiszámítani (lásd a 38.§. végét), így a (41,2) képietet a

(41,4)

alakba kell átírnunk. Ha az ~ 1/wfi nagyságú idő alatt V (t) lassan változó függvényként kezelhető, akkor :a (41 ,2) vagy (41 ,3)-beli integrál értéke kicsiny lesz. A tetszőlegesen lassú változás határesetében minden energiaváltozással járó (azaz wfi nem zérus értékéhez tartozó) átmenet valószínűsége nullához tart. Így az alkalmazott perturbáció elég lassú (adiabatikus) változása esetén a rendszer, amely eredetileg valamely nem elfajult stacionárius állapotban volt, továbbra is ebben az állapotban marad (lásd még az 53. §-t is). Az ellenkező határesetben, amikor a perturbációt igen gyorsan ("hirtelen") kapcsoljuk be, a avfi;at deriváltak a "bekapcsolás pillanatában" végtelenné válnak. Az integrálban a

a;;

eiwfi 1

szorzatból az ez esetben elég lassan változó

eiwfi 1

tényezőt

.kiemelhetjük az integrálás elé, értékét a bekapcsalás pillanatában véve. Ezután az integrálás azonnal elvégezhető, és a (41 ,5) kifejezést kapjuk. A hirtelen perturbációk átmeneti valószínűségeit akkor is ki tudjuk számítani, ha a perturbáció nem tekinthető kicsinynek. Legyen a rendszer a kezdeti Ho Hamilton-operátor 'lfJ;o) sajátfüggvényeivelleírható állapotok valamelyikében. Ha a Hamilton-operátor hirtelen változik meg (azaz l/wfi nagyságrendjéhez képest rövid idő alatt), akkor a rendszer hullámfüggvényének "nem sikerül" megváltoznia, és marad az eredeti, a perturbáció előtti. Azonban ekkor

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

41.§. VÉGES IDEIG HATÓ PERTURBÁCIÓK ÁLTAL ELŐIDÉZETT ÁTMENETEK 187

már nem lesz sajátfüggvénye a megváltozott Hamilton-operátornak (H), azaz megstacionárius lenni. A rendszer wfi átmeneti valószínűségét az új stacionárius .állapotok valamelyikébe a kvantumelmélet általános elvei alapján a 1p)0 ) hullámfüggvénynek az új 1fJJ sajátfüggvény-bázison számolt kifejtési együtthatói fogják meghatározni: szűnik

(41,6) Megmutatjuk, hogyan megy át ez az általános képlet a (41,5) összefüggésbe, ha .a V = h- Ho megváltozás kicsinynek tekinthető. Szorozzuk meg ezért a

egyenleteket rendre 1p; -gal és 1p~0l-lal, majd a dq szerinti integrálás után vonjuk ki ·egyiket a másikbóL A H operátor önadjungált voltát kihasználva, adódik az

egyenlőség . Ha a V zavar kicsiny, akkor első közelítésben Eret helyettesíthetjük a hozzá közel eső EP) perturbálatlan energiaértékkel, míg a 1fJJ hullámfüggvényt (az

egyenlet jobb oldalán) a megfelelő 1pp) függvénnyeL Ekkor az

összefüggést kapjuk, tehát (41,6) átmegy a (41,5) képletbe.

Feladatok l. Alapállapotban levő töltött oszcillátor hirtelen külső homogén elektromos térbe kerül. Határozzuk meg az oszcillátor gerjesztett állapotaiba való átmenetek valószínűségét.

Megoldás. Az oszcillátor potenciális energiája homogén térben (állandó F erő hatása alatt) a következő:

(ahol x 0 = F/mw 2 ), azaz újra csak egy tiszta harmonikus erőből származó potenciál alakjára hozható (az egyensúlyi helyzet eltolódik). Így a perturbáJt oszcillátor stacionárius állapotainak hullámfüggvényei "Pk(x- x 0) alakúak lesznek, ahol1p7lx) a (23,12)-ben megadott oszcillátor-energiasajátfüggvény, a kezdeti állapotot a (23, !3)-beli 1fJ 0(x) adja meg. E függvényele és a Hermite-polinomok (23, 11)-beli

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

188

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

kifejezése segítségével kapjuk, hogy

ahol bevezettük a c;o = x 0 ~ új változót. Ezt az integráltk-szoros parciális integrálással a

alakra vezethetjük vissza. Így a (41,6) képlet alapján a keresett valószínűség

Mint a k sorszám függvénye, ez éppen egy Poisson-eloszlás, amelynek középértéke k. A perturbációszámítás alkalmazhatósága arra a tartományra terjed ki, ahol P kicsiny, azaz k « J. Ekkor a gerjesztés valószínűsége kicsiny, és k növelésével gyorsan csökken; a legnagyobbra közelitő­ leg a w 10 "" k egyenlőség áll fenn. A nagy F erők esetének (k » l) az oszcillátor majdnem biztos gerjesztődése felel meg. Annak valószínűsége, hogy az oszcillátor alapállapotban marad, w00 = e-"k lesz. 2. Egy alapállapotú atommagot hirtelen lökés ér, arninek következtében v sebességre tesz szert. A • ütközési idő kicsi az elektronpálya periódusidejéhez, valarnint a;v-hez képest, ahol a a mag mérete. Határozzuk meg az atom gerjesztésének valószínűségét e "megrázkódtatás" hatására (A. B. Migdal 1939 ).

Megoldás. Térjünk át a K' koordináta-rendszerre, amely ütközés után együtt halad a maggal. Minthogy • «a/v, a magról feltételezhetjük, hogy az ütközés ideje alatt nem rnozdul el, így aK' rendszerbeli és az eredetiK rendszerbeli elektronkoordináták közvetlenül az ütközés után azonosaknak vehetők. A K' rendszerbeli eredeti hullámfüggvény tehát

ahol 'Po a mozdulatlan mag hullámfüggvénye alapállapotban; az exponensbeli összegezésta mag összes (Z számú) elektronjára ki kell terjeszteni. Ekkor a k-adik gerjesztett állapotba történő átmenet valószínűsége

(41,6) alapján a

kifejezéssel adható meg. Speciálisan, ha qa « l, akkor az integrandusban az exponenciálist e paraméter szerint sorbafejthetjük, és észrevéve, hogy 'PZ'Po integrálja O, a két függvény ortogonalitása rniatt a Wko

=

.

l < k l q L r.l O >- 12

eredményt kapjuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

41.§. VÉGES IDEIG HATÓ PERTURBÁCIÓKÁLTALELŐIDÉZETT ÁTMENETEK 189

3. Határozzuk meg a hidrogénatom teljes gerjesztési és ionizációs rázkódtatás" során (lásd az előző feladatot). Megoldás. A keresett valószínűséget az

1- Woo

=

1-1

J !p~

e-iqr

valószinűségét

hirtelen "meg-

dV 12

alakban írhatjuk fel, ahol w00 annak valószínűsége, hogy az atom alapállapotban marad ('Po= = (~- 112 e-' 1 " a hidrogénatom alapállapotának hullámfüggvénye, a pedig a Bohr-sugár). Az integrált kiszámítva 1- Woo = 1- (

l

1+- q2a2

)4

4

adódik. A qa « l határesetben ez a valószínűség mint 1- w00 "" q 2a 2 tart nullához, ha viszont l, akkor l-hez fog tartani (l- w00 "" 1- (2/qa)s. 4. Határozzuk meg, milyen valószínűséggel repül ki egy nagy Z rendszámú atom K-héjáról egy elektron a mag/]-bomlása során. A /]-részecske sebességét nagynak tekintjükaK-elektron sebességéhez képest (A. B. Migdal, E. L. Feinberg, 1941). Megoldás. 6 Az adott feltételek között a fJ-részecskének a K-héjon való áthaladási idejét rövidnek lehet tekinteni az elektron "keringési" periódusához képest, igy a mag töltésváltozását pillanatszerűen lejátszódónak tekinthetjük. Ez esetben a perturbáció szerepét a mag terének V = 1/r-es megváltozása játssza (l « Z); a (41 ,5) alapján annak a valószínűsége, hogy a K-héj két E 0 = - Z 2 /22 energiájú 7 elektronja közül az egyik átmenjen a folytonos spektrum E= k 2 /2 energiájú dE= kdk nagyságú intervalinmába:

qa »

A V0 k rnátrixelemet meghatározó integrálban a maghoz közeli tartomány ( ~ 1/Z) adja a lényeges járulékot, ahol a folytonos spektrumbeli állapotokra is hidrogénszerű kifejezés használható. Az elektronnak a végállapotban szükségszerűen (a kezdeti értékkel megegyező) l = O pálya-impulzusmomentuma van. A "k/'ln skálán" normált Rko és az R10 függvény (1. 36.§), valamint a Matematikai kiegészítés (f,3) összefüggése segitségével azt kapjuk, hogy&

Minthogy

A 4. és 5. feladatban atomi egységeket használunk. Itt és a továbbiakban felhasználjukaK-elektronok állapotának hidrogénszerűségét (lásd 74.§). 8 A számolásnál kényelmes Coulomb-egységeket használni, és csak a végeredményt írni át atomi egységekre. 6

7

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

190

VJ. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

a végeredmény dw

k) k dk

27 ( k2 ) 4 f Z Z41+-

= -(-

zz

alakban írható, ahol bevezettük az

IX)

arctg .f(tX) = -1- -l- - - exp ( - 4 e-2nja (X

jelölést. Az.f(tX) függvény a két fizikailag érdekes határesetben a következő módon viselkedik:

IX« J;

ha

(X

ha

f=2:n'

(X»

l.

A K-héj ionizációjának teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy a dw-t integráljuk a energiájára. A numerikus számítás eredményeként w = 0,65Z2 adódik.

kireplilő

elektron

5. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy nagy Z rendszámú atomból ~X-bomlás során a K-héjról egy elektron repül ki. Az ~X-rész sebessége kicsiny a K-héjon levő elektronéhoz képest, de a magból való kilépés ideje kicsiny az elektron "keringési" idejével összehasonlítva (A. B. Migdal, 1941; J. Lev inger, 1953). egyidejűleg

Megoldás. Az ~X-részecske Icirepülése után az elektronra ható perturbáció adiabatikus jellegű. Ezért a keresett jelenséget alapvetően az az időintervallum határozza meg, amely az adiabatikusságot sértő "bekapcsolási időponthoz" még közeli időpillanatokat tartalmazza; amikor az ~X-részecske a magot elhagyva, a K-pálya sugarához képest még kis távolságra tartózkodik a magtóL Az atom ionizációjára vezető V perturbáció szerepét a mag és az ~X-részecske közös terének a tiszta Z/r-es Coulomb-térből való eltérése játssza. A 4 és A- 4 atomsúlyú, 2 és Z- 2 töltésű két részecske dipólusmomentum a, amikor vt távolságra vannak egymástól (v a mag és az

/lrl

dv! E;-EJ+iO

lJ exp

!

(- 1 . E;t). n

(43,3)

A A -~O határátmenetnél az eJ.t tényezőt 1-gyel helyettesítettük A +iO tag (amely iA határértékét jelöli, miközben a pozitív A mennyiség nullához tart) meghatározza az E1 szerinti integrálás módját, amelynek differenciálja dv1 egyik tényezője (együtt ·a folytonos spektrumot jellemző más mennyiségek differenciáljaival). Az il tag nélkül a (43,3) kifejezés integrandusának E1 = E 1-nél pólusa volna, amely miatt az integrál divergálna. Az iA tag feltolja ezt a pólust a komplex Ersík felső félsíkjába. A íl. ~ O átmenet végrehajtása után a pólus visszatér a valós tengelyre, de már tudjt1k, hogy az integrációs útnak alulról kell megkerülnie a pólus t:

.

E·l

..

(43,4)

A (43,3)-beli, időtől függő tényező mutatja, hogy a perturbáJt függvény ugyanolyan energiájú, mint a kezdeti perturbálatlan függvény. Más szóval a '!fl· 1

= 1'P\O)+f Vfi 1'P(O) dv 1 E;-E!+iü 1 1

függvény kielégíti a

(Ho+ V)1.fJ; = Ett'P; egyenletet Emiatt természetes, hogy "P; kifejezése pontosan megegyezik (38,8)-calP 12 Ha a spektrumnak diszkrét része is van, akkor ebben és a következő képletekben az integrálhoz a diszkrét spektrum állapotaira vett összeget is hozzá kell adni. 13 Elvonatkoztatva ettől a képlettől, az integrációs út megválasztását arra a követelményre is alapozhatjuk, hogy !p, aszimptotikus kifejezése nagy távolságokra csak kifutó hullámot tartalmazzon, befutót ne (lásd: 136. §).

13*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

196

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

A fent bemutatott eljárások a perturbációszámítás első közelíresére vonatkoznak. a második közelítés kiszámítása is. Ehhez P;-nek a következő kö~elítésben érvényes kifejezését kell levezetni, amelyet a 38.§ módszerével könnyen megtehetünk (miután már ismerjük a "divergens" integrálok értelinezésének módját). Egyszerű számítással jutunk a Könnyű

p. = '

{ I [v f ~o)

'f/J,

+

V:r.+ V.; d J "Pl dv1

i

(O)

}

.!i+ E;-E.+iO v E;-Et+iO e

-Ti E,t

(43,5)

képlethez. Ezt a kifejezést (43,3)-mal összehasonlítva, felírhatjuk a megfelelő eredményt a valószínűségre (pontosabban az átmenetek számára) is a (43,1)-gyel rontatott analógiát közvetlenül alkalmazva: (43,6)

Megtörténhet, hogy a vizsgált átmenet Vfi mátrixeleme zérus. Ekkor az első közelítés nem ad járulékot, és a (43,6) kifejezés a

(43, 7)

alakra egyszerűsödik (az alkalmazásokban az E. =E; pont általában nem pólusa az integrandusnak; ekkor a dE. szerinti integrálás módja közömbös, azt közvetlenül a valós tengelyen lehet elvégezni). Azokat a v állapotokat, amelyekre Viv és v.; zérustól különböznek, az i __,_j átmenet közbenső állapotainak szokás nevezni. Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy az átmenet mintegy két lépésben: i__.. v és v__.. j zajlik le (magától értetődik azonban, hogy ennek a leírásnak nem szabad szó szerinti értelmet tulajdonítani). Előfordulhat, hogy az i -+j átmenet nem egy, hanem csak néhány egymást követő közbenső állapoton keresztül valósulhat meg. A (43,7) képlet közvetlenül általánosítható ezekre. az esetekre. Így pl., ha két közbenső állapotra van szükség, akkor (43,8) érvényes. Végül a (43,4) alakú utakon vett integrálok matematikai értelmének megvilágítá-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

43.§. A FOLYTONOS SPEKTRUMBA VALÓ ÁTMENET

197

sára felidézzük az

f(x) dx -_ ·v mff(x) dx . -+( ) · - - - + znJ a f _::__:-'---.-..,.x-a-zO x-a

(43,9)

összefüggést, ahol az integrálást a valós tengelynek valamely, az a pontot tartalmazó szakaszán végezzük el. Ha az x = a pontbeli pólustegy (Q sugarú) félkörön kerüljük meg, akkor azt kapjuk, hogy az integrál egyenlő a valós tengelyen az alsó határtól a- e-ig és a+ e-tól a felső határig vett integrálnak és az integrandus (i:n:-vel megszorzott) pólusbeli reziduumának összegével. A e . . . O limeszben a valós tengely mentén vett integrálok a teljes intervallumm főérték értelemben vett integrállá adódnak össze (amit az integráljel elé írt(/) betűvel jeleztünk), és végeredményben (43,9)-et kapjuk. Ezt az összefüggést szimbolikusan az

1 . = ( / ) -1-+i:n:o(x-a) x-a+z 0 x-a

(43,10)

alakban is szokás írni. A (/) szimbólum azt jelenti, hogy az .f(x)j(x- a) függvény integrálása során az integrál főértékét kell venni.

44. §. Az energiára vonatkozó határozatlansági összefüggés Tekintsünk két, gyengén kölcsönható részből álló rendszert. Tegyük fel, hogy valamely adott időpillanatban ismeretes, hogy a két résznek meghatározott energiája van; legyenek e megfelelő energiaértékek E és e. Ezután Ll t idő elteltével mérjük meg újra az energiákat; legyen ennek a mérésnek az eredménye az E' és e' érték, amely általában különbözhet E-től és e-tól. Határozzuk meg az E'+ e'- E- e mennyiség legvalószínűbb értékének nagyságrendjét. Az (w = O helyettesítéssei alkalmazott) (42, 3) képlet szerint annak valószínűsége, hogy a rendszer (t idő alatt) egy időtől függő perturbáció hatására E energiájú állapotból E' energiájúba menjen át, arányos a . E'-E sm 2 - - - t 21í (E' -E) 2

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

198

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

kifejezéssel. Innen világos, hogy az E'- E mennyiség

legvalószínűbb

értéke hj t

nagyságrendű.

Ezt az eredményt az általunk vizsgált rendszerre alkalmazva (ahol a perturbációt a két rész közötti kölcsönhatás jelenti), a következő összefüggésre jutunk:

!E+.s -E' -.s' i Lit

~ h.

(44,1)

Tehát minél rövidebb a Lit intervallum, annál nagyobb energiaváltozást észlelünk az egymást követő mérések során. Lényeges, hogy a h/Lit mennyiség nagyságrendje a perturbáció nagyságától független. A (44,1) összefüggéssei megadott energiaváltozást tetszőlegesen gyenge kölcsönhatás esetén is észleljük. Ez az eredmény tisztán kvantumos jellegű. Azt mutatja, hogy a kvantummechanikában az energia megmaradását csak h/Lit nagyságrendű korrekciók erejéig tudjuk ellenőrizni, ahol Lit a mérések közötteltelt idő. A (44,1) összefüggésről gyakran beszélnek úgy, mint az energia és az idő közötti határozatlansági relációróL A fenti elemzés alapján azonban fontos hangsúlyozni, hogy tartalma lényegesen különbözik pl. a koordináta és impulzus mérhetőségére vonatkozó Llp Ll x ~ h határozatlansági összefüggés tartalmától. Az utóbbiban ugyanis l'lp és Llx a részecske impulzüsának és koordinátájának egyidőben mért határozatlausága; a közöttük fennálló kapcsolat azt jelenti, hogy ez a két mennyiség egyidejűleg soha nem vehet fel határozott értéket. Az E és .s értékek azonban bármely időpontban tetszőleges pontossággal mérhetők. Az (E+s)- (E' +s') meanyiség két, különböző időpontban pontosan megmért E+ s energiaérték különbsége, és semmi. képpen sem az energia értékének adott időpontbeli határozatlansága. Ha az E energiát valamely vizsgálandó rendszer, az s-t viszont a "mérőberendezés" energiájának tekintjük, akkor úgy fogalmazhatunk, hogy kölcsönhatási energiájuic csak h/Lit pontossággal határozható meg. Legyen LIE és Lis a megfelelő mennyiségek mérési hibája. Kedvező esetben, amikor s, s' pontosan ismertek (Lis = ils' = O), adódik, hogy LI(E -E')

~

:t.

(44,2)

Ebből

az összefüggésből fontos következtetésekre juthatunk az impulzus mérhető­ ségére vonatkozóan. Egy részecske (amelyet a rövidség kedvéért elektronnak nevezünk) impulzusának megmérése az elektronnak valamely más ("mérő"-) részecskével való ütközésén alapul; ez utóbbi részecske impulzusát az ütközés előtt és után pontosan ismertnek tételezzük fel. 14 Ha erre az ütközésre az impulzusmegmaradást alkal14

Az itt elvégzett elemzés szempontjából lényegtelen, hogy milyen módon szerzi.ink tudomást a energiájáróL

"mérő"-részecske

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

44.§. AZ ENERGIÁRA VONATKOZÓ HATÁROZATLANSÁGI ÖSSZEFÜGGÉS 199

mazzuk, három egyenletet kapunk (egy vektoregyenlet három komponensét) hat ismeretlennel - az elektron ütközés előtti és utáni impulzusának értékeiveL Az egyenietek számának növelésére további ütközéseket hajthatunk végre az elektron és különféle "mérő"-részecskék között, amelyekre felírhatjuk az impulzusmegmaradás követelményéből adódó egyenleteket. Azonban egyidejűleg az ismeretlenek száma is nő {az elektron ütközések közötti impulzuskomponenseivel), és könnyií azt is belátni, hogy számuk rnindig hárommal fogja meghaladni a rendelkezésre álló egyenletek :számát. Így az elektron impulzusának meghatározására az impulzus megmaradása mellett az energia ütközésenkénti megmaradását is fel kell használnunk. Ez utóbbit azonban csak hfiJt pontossággallehet alkalmazni, ahol iJt a vizsgált folyamat kezdete és vége között eltelt időt jelenti. A további megfontolások leegyszerűsítésére célszerű egy "ideális" gondolatkísérletet végezni, ahol a "mérő" -részecske szerepét egy tökéletesen visszaverő síktükör játssza; ez esetben csak egyetlen, a tükörre merőleges impulzuskomponens szerepel. A részecske P impulzusának meghatározására a megmaradási egyenletek a következők lesznek: (44,3) p'+P'-p-P= O,

Je'+E'-s-El

~!!..... il t

(44,4)

(P és E az elektron energiája és impulzusa; p, sa tükör ugyanezen adatai, a vesszős és vesszőtlen mennyiségek rendre az ütközés előtti és utáni adatokatjelentik).A "mérő"-berendezés p, p', e, e' adatait pontosan ismerteknek tekinthetjük, azaz meghatározásuk hibáját zérusnak vesszük. Ekkor a hibával rendelkező mennyiségek határozatlanságaira a következők adódnak:

AP= iJP', iJE'-AE

~

;t.

Azonban

· BE AE= BP AP= vAP, .ahol v az elektron sebessége (az ütközés

. AE'

=

előtt),

v' AP'

=

ősszefüggés is. Így a végső képlet a

(v~-vx) iJPx ~

és hasonló módon igaz a

v' iJP

:t.

(44,5)

alakot ölti. Az x indexet annak hangsúlyozására írtuk ki a sebesség- és impulzus· értékek mellé, hogy ez az összefüggés rninden komponensre érvényes.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

200

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

Ezt a kapcsolatot kerestük. Látjuk, hogy az elektron impulzusának megmérése (adott L1P pontossággal) mindenképpen sebességének megváltozásával jár együtt (és így impulzusa is változik). Ez a megváltozás annál nagyobb, minél rövidebb ideig tart a mérési folyamat. A sebesség megváltozását tetszőlegesen kicsinnyé tehetjük a Llt -+ = határesetben, azonban az impulzus ilyen hosszú ideig történő mérésére csak szabad részecskék esetén van lehetőség. Itt leülönösen tisztán mutatkozik meg az impulzus rövid időközökben való ismételt mérésének tehetetlensége, valamint a mérés "kétarcú" természete a kvantummechanika keretei között - különbséget kell tennünk egy adott mennyiség mért értéke és a mérési folyamat által létrehozott értéke között.15 A perturbációszámításra alapozott következtetést, amelyre a szakasz elején jutottunk, más szempontból is tekinthetjük. Vizsgáljunk egy, valamely perturbáció hatására két részecskére bomló rendszert. Legyen ez utóbbinak valamely energianívója Eo, amelyet a bomlás lehetőségének teljes figyelmen kívül hagyásával határoztunk meg. Jelöljük 't-val ennek az állapotnak az "élettartamát", azaz azt a mennyiséget, amely fordítva arányos az állapot bomlási valószínűségéveL Ekkor a korábbi analízist szó szerint követve az (44,6) lEo-E-si ""Iif.,; összefüggésre jutunk, ahol E és s a rendszer bomlási termékeinek energiája. A megazonban az E+ s összeg alapján következtethet a rendszer energiájára a bomlás előtt. Így látjuk, hogy a fenti összefüggésszerint a bomlásra képes "kvázistacionárius" állapotú rendszer energiáját csak hf'r:: nagyságrendű pontossággallehet meghatározni. Ezt a mennyiséget a vizsgált energianivó r ,,szélességének" szakták nevezni. figyelő

r

rv

Iif.,;.

(44, 7)

45. §. A potenciális energia tnint perturbáció Külön vizsgálatot érdemel az a speciális eset, amikor a külső térben mozgó részecske teljes potenciális energiáját perturbációként lehet tekinteni. A perturbálatlan Schrödinger-egyenlet ekkor a részecske szabad mozgását írja le: k

= Y2mE = !!___ h

15 A (44,5) összefüggést csakúgy, mint az N. Bohr elemezte először (1928).

www.interkonyv.hu

energia-idő

h'

(45,1)

határozatlansági reláció fizikai tartalmát

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

45.§. A POTENCIÁLIS ENERGIAMINT PERTURBÁCIÓ

201'

és a megoldások sikhullámok. A szabad részecske energiaspektruma folytonos, igy. a folytonos spektrumbeli perturbációszámítás egy sajátságos esetével állunk szemben ... A feladat megoldását legcélszeríibb közvetlenül, az általános összefüggésekre valóhlvatkozás nélkül keresnünk. A "P(I) elsőrendű korrekcióra vonatkozó egyenlet a következ~: (45,2} (U a potenciális energia). Ennek az egyenletnek a megoldását az elektrodinamikából' közismert "retardált potenciálok" segitségével a következő alakban írhatjuk fel :1fl.

m "P(l)(x, y, z) = - 2nfz2 dV'= dx' dy' dz',

f

dV' "P(O)U(x'' y'' z')eikr -r-'

r 2 = (x-x') 2+(y-y') 2+(z-z')2.

(45,3}

Vizsgáljuk meg, milyen feltételeket kell az U potenciálnak kielégítenie ahhoz,. hogy perturbációnak tekinthessük. A perturbációszámítás alkalmazhatósági korlátait_ a "P(I) « 'lfJ(O) feltételben foglalhatjuk össze. Legyen a a tér annak a tartományának méretét jellemző szám, ahol a tér észrevehetően különböz;ik nullától. Első közelités-ként tételezzük fel, hogy a részecske energiája annyira kicsiny, hogy ka egynél kisebbvagy legfeljebb egységnyi nagyságrendű. Ekkor az e1kr tényezőt (45,3) integrandusá-ban 1-gyel helyettesíthetjük a nagyságrendi becslések szempontjából, és igy az egész. integrál ~p l

(45,6)

(ahol v = hk/m a részecske sebessége). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez a feltétel gyengébb követelményt jelent (45,4)-nél. Ezért ha kis energiákon perturbációként lehet kezelni a külső teret, akkor ez mindenképpen jogosult nagy energiákon is, azonban az állítás fordítottja általában nem igaz. 18 Az iH kifejlesztett perturbációs elmélet alkalmazhatósága Coulomb-térre külön megfontolásokat igényel. Az U = rxjr térben nem lehetséges olyan tartományt kije1ölni, amelyen kívül U-t el lehetne hanyagolni a belül felvett értékekhez képest. A keresett feltételt tehát úgy kaphatjuk meg, ha (45,6)-ban az állandó a paraméter helyére az r változó t írjuk; így az ~«l

(45,7)

hv

egyenlőtlenségre

jutunk. Tehát ha a részecske energiája elég nagy, akkor a Coulombteret perturbációként tekinthetjük. 19 Végezetüllevezetjük azt az összefüggést, amely lehetővéteszi egy, az U potenciális energiát mindenütt lényegesen meghaladó E energiájú részecske közelítő hullámfüggvényének meghatározását (e mellett semmiféle egyéb feltétel fennállását nem követeljük meg). Első közelítésben a hullámfüggvény ugyanúgy függ a koordinátáktól, mint szabad mozgásnál (amelynek irányát itt is az x tengellyd választjuk azonosnak). Ennek megfelelően 'ljJ-t 1p = eikxp alakban keressük, ahol F az ékx_hez képest lassan változó függvénye a koordinátáknak (azt azonban nem állíthatjuk, hogy értéke közellenne l-hez). Behelyettesítve a Schrödinger-egyenletbe, F-re a 2ik

~~

=

h7 UF

2

(45,8)

egyenletet kapjuk, ahonnan 'ljJ =

eikxp = const·eikx exp (-

~v

IUdx).

(45,9)

18 Egydimenziós esetre a perturbációszámítás alkalmazhatóságának feltételét tetszőleges ka értékekre a (45,6) egyenlőtlenség adja. A (45,4) feltételnek háromdimenziós esetre történt levezetése ekkor nem érvényes (lásd az előző lábjegyzetet). 19 Vegyük figyelembe, hogy a (45,5) integrál az U= rx/r tér esetében nagy x/Vy 2 +z 2 értékekre logaritmikusan divergál. Így a perturbációszámítás segítségével kapott hullámfüggvény ilyenkor az x tengely körüli szük kúpban nem alkalmazható.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

204

VI. FEJEZET. PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

Ez a keresett kifejezés. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy ez a képlet túlságosan nagy távolságokra nem alkalmazható. Ugyanis a (45,8) egyenletben elhagytuk a ilF tagot, amely F-nek második deriváltjait tartalmazza. A B2F/Bx 2 derivált oFJBxszel együtt nagy távolságokra nullához tart. A transzverzális koordináták (y és z) szerinti deriváltak ugyanakkor nem tűnnek el, így csak az x « ka 2 feltétel teljesülésekor jogos elhanyagolásuk.

Feladatok l. Határozzuk meg a sekély egydimenziós potenciálvölgy energiaszintjeit; feltesszük, hogy a (45,4) feltétel kielégül.

Megoldás. Tételezzük fel (amint azt az eredmény majd igazolja is), hogy lEl« l U[. Ekkor a d 2 1p 2m dxz = fi2(U(x)-E)'P

Schrödinger-egyenlet jobb oldalán a völgy tartományában E elhanyagolható, továbbá nosság korlátozása nélki.il egységnyi állandónak vehetjük. Így !p-re a

1p-t

az általá-

egyenlet adódik. Integráljuk az egyenletet dx szerint a ±x 1 határok között, ahol a« x 1 « 1/"' (a a völgy szélessége, u= y'2m IEI/Ií). U(x) integráljának konvergenciáját kihasználva, az integrálást -=-től +=-ig a teljes tartományra kiterjeszthetjük:

d!p

dx

A

völgytől

távol a hullámfüggvény

!p =

lx'

-x1

2m

fi2

J

U dx.

(1}

e±"x alakú. Ezt (1)-be helyettesítve a

2m -2"'= fi2

J

U dx

egyenlet adódik, amelyet a

alakban is írhatunk Látjuk, hogy feltételezésünkkel összhangban a nívó energiájának nagysága másodrendűen kicsiny mennyiség, a völgy mélysége viszont csak elsőrendű. 2. Határozzuk meg a sekély kétdimenziós U(r) potenciálvölgyben kialakuló szintek energiáját, ~

feltéve, hogy az

www.interkonyv.hu

Jo rU(r) dr integrál konvergál (r a poláris távolságkoordináta).

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

45.§. A POTENCIÁLIS ENERGIA MJNT PERTURBÁCIÓ

205

Megoldás. Ugyanúgy járva el, mint az előző feladatban, a völgy tartományában a következő egyenletet kapjuk:

J_ ~ r dr

(r dlp) dr

= 2m

n

U.

2

Ezt O és r 1 között dr szerint integrálva (a« r 1 « 1/u), adódik, hogy d1p l -d r

A

völgytől

= -2m 2l í

r1

r=1· 1

J rU(r) dr.

(l)

távol az egyenlet a kétdimenziós szabad mozgás egyenletébe megy át:

rl

d ( dlp) 2m dr r dr +f!Elf! =O,

amelynek (a végtelenben nullához tartó) megoldása lfJ = const·Hó1l(iur) alakú. Változójának kis értékeire Hó1 l aszimptotikusarr vezető tagja arányos ln ur-rel. Ezt figyelembe véve r ~ a -ra 1p-nek a völgyön kívül és a völgyben kiszároltott logaritmikus deriváltját egyenlővé tesszük, ami az

-l- "" -2m2 an a in ua egyenletet adja.

J U(r)r dr

Ebből

fz2

l El ~-2 exp ma

fz2 [

-m

JU(r)r dr 1-1] =

o

'

adódik. Látható, hogy az energiaszint értéke a völgy mélységéhez képest exponenciálisan kicsiny mennyiség.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

VII. FEJEZET

A KVÁZIKLASSZIKUS ESET

46. §. A hullámfüggvény a kváziklasszikus esetben Ha a részecskék de Broglie-hullámhosszai kicsik az adott feladatot jellemző L mérethez képest, a rendszer jó közelítés ben a klasszikus leírásnak megfelelően viselkedik. (Ez analóg azzal a helyzettel, ahogyan a hullámoptika átmegy a geometriaiba, amikor a hullámhossz nullához tart.) Ebben a fejezetben részletesebben megvizsgáljuk a kváziklassziktus rendszerek tulajdonságait. E célból a fí2

L 2m a

f'...a1fJ+(E-U)1j! =O

. a

Schrödinger-egyenletbe helyettesítsük be formálisan a

(46,1) kifejezést. A a függvényre a (46,2) egyenlet adódik. Annak megfelelően, hogy a rendszer a tulajdonságait tekintve majdnem klasszikus, a-t a lí hatványai szerint haladó következő sor alakjában fogjuk keresni: {46,3)

Kezdjük a

www.interkonyv.hu

legegyszerűbb

esettel -

egy részecske egydimenziós mozgásával.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

46.§. A HULLÁMFÜGGVÉNY A KVÁZIKLASSZIKUS ESETBEN

20T

A (46,2) egyenlet ekkor az

-l a,2 - -ina" -_ E - U( x ) 2m 2m

(46,4},

alakot ölti (ahol a vessző az x szerinti differenciálás jele). Első közelítésben a = a o, és a n-t tartalmazó tag elhagyható:

2~ a~2 = E- U(x). Ebből

azt kapjuk, hogy ao( x) =

± JV2m[ E- U(x)] dx.

Az integrál alatti kifejezés nem más, mint a részecske p(x) klasszikus impulzusa a koordináta függvényében kifejezve. A p(x) függvény számára a + előjelű gyököt választva, a megoldás a következő alakban írható:

ao =

± f p dx,

p

= V2m[E- U( x)],

(46,5)·

amit a hullámfüggvény (6,1) határfüggvényével összhangban vártunk is. 1 A (46,4) egyenletben tett elhanyagolás csak akkor jogos, ha az egyenlet bal oldalá-nak második tagja kicsiny az elsőhöz képest, azaz fennáll a nla"/a' 21«l, vagy a

egyenlőtlenség. Első

közelítésben a (46,5) szerint a' =p, így a kapott feltételt (46,6}

alakban írhatjuk, ahol

~ = ~, 2n

és .A.(x)

= 2nlífp(x) arészecske

de Broglie-hullám-

hossza, amelyet a p(x) klasszikus impulzusfüggvénnyel fejeztünk ki. Így megkaptuk a. kváziklasszikus jelleg mennyiségi jellemzését - a részecske hullámhossza nem vál- · tozhat jelentősen vele azonos nagyságrendű távolságokon. A közelítés nem alkalmazható azokban a tartományokban, ahol ez a feltétel nem teljesül. 1 Mint ismeretes, fpdx a hatás időfüggetlen részét adja. A teljes S mechanikai hatásra S = =-Et± p d x irható. a 0-ban a -Et tag azért hiányzik, mert az időfüggetlen 1fJ hullámfüggvényt vizsgáljuk.

f

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

:208

VII. FEJEZET. A KVÁZIKLASSZIKUS ESET

A (46,6) feltételt más alakban is írhatjuk, felhasználva a dp d m dU mF -=-Y2m(E-U) = - - - = dx dx pdx p -egyenlőséget,

ahol F = -dUfdx a -.bevezetésével a követelményt az

külső

térben mozgó részecskére ható

mlíiFI « 1

erő.

Az F (46,7)

p3

:alakban kapjuk. Ebből látszik, hogy a kváziklasszikus közelítés túl kis impulzusú részecskére nem alkalmazható. Speciálisan, nyilvánvaló az alkalmazhatatlanság a fordulópontok közelében, azaz azoknál a pontoknál, amelyekben a klasszikus mechanika alapján a részecske megállna, majd ellenkező irányban kezdene el mozogni. E pontokat a p(x) = O, azaz az E = U(x) egyenletek határozzák meg. Ha p __.. O, a de Broglie-hullámhossz végtelenhez tart, és így világos, hogy semmiféleképpen nem tekinthető kicsinynek. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a (46,6) vagy a (46,7) feltétel önmagában kevés "lehet a kváziklasszikus közelítés érvényességéhez. A helyzet az, hogy ezeket a (46, 4) .&fferenciálegyenlet különböző tagjainak becslésével kaptuk, és az elhagyott tag magasabb deriváltat tartalmaz. Ugyanakkor voltaképpen a sorfejtés minden "egyes tagjának kicsinységét kell megkövetelnünk, amit az elhagyott tag kicsinysége nem feltétlenül biztosít. Így, ha a(x) megoldásában olyan tag fordu1 elő, amely ·közelítőleg lineárisan függ az x koordinátától, akkor a második derivált kicsinysége 1nem lehet akadálya annak, hogy a megmaradt tag nagy értéket vegyen fel. Ilyen helyzet áll elő általában, amikor a tér olyan távolságokra terjed ki, amelyek nagyok .a tér észrevehető változását jellemző L hosszúsághoz képest [lásd alább a (46,11) 'képlethez fűzött megjegyzést]. Ekkor a kváziklasszikus közelítés nem alkalmas a ;hullámfüggvény nagy távolságokon mutatott viselkedésének nyomon követésére. Térjünk át a (46,3) kifejtés következő tagjának kiszámítására. A /í-ban elsőfokú ;tagokat összeválogatva, (46,4)-ből a a~a~ +a~' /2 = O egyenletet kapjuk, amelyből '

a~'

p' 2p

al=--,=--

2a0

:adódik. Integrálva: a1 = -

l

2

Inp

(46,8)

(az integráJási állandót elhagyjuk).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

46.§. A HULLÁMFÜGGVÉNY A KVÁZIKLASSZIKUS ESETBEN

209

A (46,1) és (46,3) kifejezésekbe behelyettesítve a kapott eredményeket, a alakú hullámfüggvényre jutunk:

következő

1p =

YP exp (ih c1

Jp dx)+ YP c exp 2

(

-hi Jp

)

dx .

(46,9)

vP

Az l tényező megjelenését a hullámfüggvényben egyszerűen értelmezhetjük. A részecske tartózkodásának valószínűségét az (x, x+ dx) intervallumban a 11fJ 12 mennyiség adja meg, ami 1/p-vel arányos. Ezt el is várjuk a "kváziklasszikus" részecskére, mivel a klasszikus mozgás során a részecske által a dx intervallumban töltött idő fordítottan arányos a részecske sebességével (impulzusával). A tér "klasszikusan elérhetetlen" tartományaiban, ahol E< U(x), a p(x) függvény tisztán képzetes lesz, azaz az exponenciális mennyiségek kitevői valósakká válnak. E tartományokban a hullámfüggvényt (46,10) alakban írhatjuk. Figyelembe kell azonban vennünk, hogy a kváziklasszikus közelítés pontossága miatt értelmetlen az exponenciálisan kicsiny tagok megtartása az exponenciálisan nagyok "hátterén", így (46,10) mindkét tagjának egyidejií. figyelembevétele ebben az értelemben nincs megengedve. Bár a hullámfüggvény magasabb rendben kicsiny tagjainak használata általában nem szükséges, megadjuk még a (46,3) kifejtés következő tagját is, és ezzel kapcsolatban néhány megjegyzést teszünk a kváziklasszikus közelítés pontosságára vonatkozóan. A (46,4)-ben a h2 nagyságrendű tagok a

egyenletet adják, kapjuk, hogy

amelyből

[a o és a 1 helyére (46,5)-öt és (46,8)-at behelyettesítve]

Integrálva (miközben az első tagban parciális integrálást hajtunk végre), és bevezetve az F =pp' fm erőt, az adódik, hogy

14

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

210

VII. FEJEZET. A KVÁZIKLASSZIKUS ESET

A vizsgált közelítésben a hullámfüggvény a

vagy a (46,11) alakot ölti. Az exponenciális kifejezés melletti tényezőben a képzetes tagok megjelenése a hullámfüggvény fázisának módosulását is jelenti (tehát a kitevőben az

-}I

p dx integrál mellett további járulékok is megjelennek). A korrekció h-sal arányos,

azaz 'A/L nagyságrendű. A (46,11)-beli szögletes zárójelben a második és harmadik tagnak kicsinynek ken lennie az egységhez képest. Az elsőre vonatkozóan ez a feltétel a (46,7)-tel egyezik meg, a második esetében azonban csak akkor kapjuk (46,7)-et, ha F2 elég gyorsan tart nullához az L nagyságrendű távolságokra.

47. § Határfeltételek a kváziklasszikus esetben Legyen az x =a pont klasszikus fordulópont [E= U(a)], és legyen U> E minden x > a pontban, azaz az a ponttól jobbra levő összes pont klasszikusan elérhetetlen. A hullámfüggvény ebben a tartományban lecseng. Ha elég távol vagyunk az. a ponttól, akkor (47,1)

alakú lesz, amely (46,10) első tagjának felel meg. A fordulóponttól balra a Schrödinger-egyenlet (46,9) kváziklasszikus megoldásainak egy valós kombinációjaként adódik a hullámfüggvény:

(47,2)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

211

47.§. HATÁRFELTÉTELEK A KVÁZIKLASSZIKUS ESETBEN

Az itt fellépő együtthat61c meghatározásához a hullámfüggvénynek a pozitiv x-a értékekről [ahol a (47,1) képlet érvényes] a negativ x-a értékekre való áttérés során mutatott megváltozását kell vizsgálnunk. Eközben azonban át kell lépnünk a fordulópontot, ahol a Schrödinger-egyenlet pontos megoldását kell használnunk, mivel a kváziklasszikus közelítés nem alkalmazható. Kis l x- a l esetén

E-U(x)

~ Fo(x-a),

Fo=

-~~~x=a

~ 2[2m(g~EiJJ"' exp (!

I

~i ~ 2[2m(g~E,JJ"' exp ( ;- !

f'2m(U -Ei)

dx) ,

J

)'2m(U -E,)

ahol a gyökök úgy vannak definiálva, hogy a valós tengelyen az x pozitívak

www.interkonyv.hu

(51,4)

dx),


o,

X
E 1; ekkor az analitikus folytatást a felső félsíkban kell elvégezni (így haladva az exp (- iE2 t/lí)jexp (- iE1 tjlí) hányados növekszik). Végeredményben [az (52,2) összefüggéshez hasonlóan] az adódik, hogy

f

(53, 9)

ahol az integrációs utat a 19. ábrán látható módon választjuk (balról jobbra haladva). Az útvonal bal oldali ágán E = E1, a jobb oldalinE =Ez. Így (53,9)-et w21 = exp (-2 Im

l

w21(t) dt)

(53,10)

16*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

244

VII. FEJEZET. A KVÁZIKLASSZIKUS ESET

alakban írhatjuk, ahol w21 = (E2-E1)jli; t1 a valós tengely tetszőleges pontja, míg to-nak (53,1) felső félsíkbeli gyökei közill azt keli választani, amelyikre (53,10) kitevője a legkisebb.abszolút értékű. 28 Emellett az l állapotból a 2-be vezető közvetlen átmenettel "versenyezhetnek" a több közbenső állapoton keresztül vezető "átmeneti utak", amelyeknek a valószínűségét analóg összefüggésekkel adhatjuk meg. Így pl. az l -+ 3-... 2 "úton" haladó átmenetre az (53,10)-beli integrált az t(31)

t(32)

J Ws1(t) dt+ j

W2s(t) dt

integrálok összegével helyettesítjük, melyek felső határát rendre az E 1(t), E 3(t) és az E2(t), Es(t) termek "metszéspontjai" adják. Ezt az eredményt úgy kapjuk~ hogy az analitikus folytatást mindkét komplex pontot körbefogó út mentén végezzük. 29

28 A versengő t0 értékek közé azokat a pontokat is be kell számítani, ahol E( t) végtelenné válik {de ilyen pontokra az (53,9)-beli exponenciális mellett álló együttható már más]. 29 A folytonos spektrumhoz tartozó közbenső állapotok figyelembevétele kiilön megfontolásokat igényel.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

VIII. FEJEZET

A SPIN

54. §. A spin A klasszikus fizikában csakúgy, mint a kvantummechanikában, az impulzusmomentum megmaradása a zárt rendszer térbeli izotrópiájának következménye. Már ebből a kijelentésből is világos az impulzusmomentum és a forgatásokkal szemben mutatott szimmetriatulajdonságok közötti kapcsolat. A kvantummechanikában ez a kapcsolat különösen elmélyül, miután lényegében az impulzusmomentum fogalmának alapvető tartalmaként jelentkezik. Ez annál inkább igy van, mivel az impulzusmomentum klasszikus rXp definiciója elveszti közvetlen értelmét a hely és az impulzus egyidejű mérhetetlensége következtében. A 28. §-ban láttuk, hogy az l és m kvantumszámok megadása meghatározza a részecske hullámfüggvényének szögfüggését és ezzel együtt a forgatások során mutatott szimmetriatulajdonságait is. A legáltalánosabb formában ezek a tulajdonságok mint a hullámfüggvénynek a koordináta-rendszer elforgatásával szemben mutatott transzformációs szabályai adhatók meg. A részecskék rendszerének "PLM hullámfüggvénye (melyre adott a teljes impulzus- , momentum L és vetületének M értéke) csak a z tengely körüli elforgatáskor marad változatlan.1 Minden olyan forgatás, amely a z tengely irányát megváltoztatja, arra: vezet, hogy az itnpulzusmomentum z tengely irányú vetületének nem lesz határozott értéke. Eszerint az új koordinátatengelyekre vonatkoztatva a hullámfüggvény általában 2L+ l függvény szuperpoziciójába (lineáris kombinációjába) megy át, amelyek (adott L-re) az M lehetséges értékeihez tartozó állapotokat írják le. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a koordináta-rendszer elforgatásakor a 2L+ l számú "PLM függvény egymás között transzformálódik. 2 A transzformáció szabályát, azaz a szuperpoziEgy lényegtelen fázisszorzó erejéig. Matematikai terminológiát használva, ezek a függvények a forgáscsoport irreducibilis ábrázolásait alkotják. Az egymásba transzformálódó függvények számát az ábrázolás dimenziójának hivjuk, miközben feltételezzük, hogy ez a szám a függvények semmiféle új lineáris kombinációit választva nem csökkenthető. l

2

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

246

VIII. FEJEZET. A SPIN

cióban megjelenő együtthatókat (mint a koordinátatengelyek elforgatási szögeinek függvényeit) L értéke egyértelműen meghatározza. Így az impulzusmomentum új értelmezését tekintve, olyan kvantumszám, amelynek segítségével a rendszer állapotai a koordináta-rendszer elforgatása során mutatott transzformációs tulajdonságaik szerint osztályozhatók. Az impulzusmomentum fogalmának ez az oldala a kvantummechanikában különösen azért fontos, mivel nem kapcsolatos közvetlenül a hullámfüggvények explicit szögfüggésével; transzformációs törvényüket önmagában, a szögfüggésre való hivatkozás nélkül is meg lehet fogalmazni. Tekintsünk egy összetett részecskét (például egy atommagot), amely mint egész nyugalomban van, és belső állapota teljesen meghatározott. Az adott belső energiával együtt a mag meghatározott nagyságú L impulzusmomentummal is rendelkezik, amely a részecskék belső mozgásával kapcsolatos; ez az impulzusmomentum a térben még 2L+ l számú különféle irányba állhat be. Így az összetett részecske mint egész mozgásának vizsgálatakor koo!dinátái mellett még egy diszkrét változót is tekintetbe kell vennünk, a belső impulzusmomentum vetületét a tér valamely kiválasztott irányára. Az impulzusmomentum fenti fogalmát tekintve, teljesen lényegtelen az, hogy honnan származik ez a tulajdonság. Így természetes módon jutunk el a "saját" impulzusmomentum fogalmához, melyet attól függetlenül használunk a részecske jellemzésére, hogy az "összetett" vagy "elemi". Ily módon a kvantummechanikában az elemi részeknek "saját" impulzusmomentumot is tulajdonítunk, amelyet nem kapcsolunk semmiféle térbeli mozgáshoz. Ez az elemi részek egy tisztán kvantumos tulajdonsága (amely a lí _,_ O határátmenetben eltűnik), és így elvileg lehetetlen klasszikus értelmezése. 3 A részecske saját impulzusmomentumát spinnek hívjuk, megkülönböztetésül pálya-impulzusmomentumától, amely térbeli mozgásával hozható kapcsolatba. 4 A részecskén érthetünk akár elemi, akár olyan összetett részecskét, amely a jelenségek egy bizonyos körében elemiként viselkedik (pl. az atommag). A részecske spinjét (amelyet, akárcsak a pálya-impulzusmomentumot, lí egységekben mérünk) s-sel fogjuk jelölni. A spinnel rendelkező részecskék állapotának leírásához nem elegendő különböző térbeli helyzeteik valószínűségét meghatározni, spinjük különböző irányításainak valószínűségét is meg kell adnunk. Más szavakkal, hullámfüggvényük nemcsak a három folytonos változótól, a részecske koordinátáitól függ, hanem egy diszkrét .spinváltozótól is, amely a részecske spinjének valamely kiválasztott térbeli irányra 3 Például teljesen értelmetlen lenne a "saját" impulzusmomentumot, mint a részecske "saját ten.gelye" körüli forgásának eredményét elképzelni. 4 Az elektron saját impulzusmomentumának fizikai gondolatát elsőként G. Uhlenbeck és S. Goudsmit vetette fel 1925-ben. A kvantummechanikába W. Pauli építette be 1927-ben.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

247

54. §._A SPIN

(a z tengelyre) vett vetületét adja meg, és diszkrét értékek korlátos halmazátfuthatja be (e halmaz elemeit a-val fogjuk jelölni). Legyen 1p(x,y, z; a) ilyen hullámfüggvény. Ez lényegében több koordinátafüggvény összességét jelenti, amelyek mindegyike a különböző értékéhez tartozik. Ezeket a függvényeket a hullámfüggvény spinkomponenseinek nevezzük. Az

Ji'lfJ(X, y, z; a)/ 2 dV integrál annak valószínűségét adja meg, hogy a részecskének határozott a értéke legyen. Annak valószínűségét, hogy a részecske tetszőleges a értékkel a megadott dV térfogatban tartózkodjék, a dV I

lVJ(X, y,

z; a) /2

cr

kifejezés szolgáltatja. A részecske spinjének megfelelő kvantummechanikai operátort a részecske hullámfüggvényére alkalmazva, az a a spinváltozóra fog hatni. Másszóval, valahogyan egymásba transzformálja a hullámfüggvény komponenseit. Ennek az operátornak az explicit alakját a továbbiakban fogjuk megadni. De már a legáltalánosabb megfontolások alapján is könnyen beláthatjuk, hogy az sx, sy, sz operátorok a pályaimpulzusmomentum operátorokkal megegyező csererelációkat elégítenek ki. Az impulzusmomentum operátora lényegében megegyezik az infinitezimálisan kicsiny forgatások operátorávaL A 26. §-ban a pálya-impulzusmomentuní operátorát úgy kaptuk meg, hogy a koordinátafüggvényeken vizsgáltuk az infinitezimális forgatás hatását. Ez a levezetés a spin esetében értelmetlenné válik, mivel a spinoperátor nem a koordinátákra, hanem a spinváltozóra hat. Így a keresett felcserélési szabályok megadásához az infinitezimális forgatást a legáltalánosabb értelemben, a koordinátarendszer forgásaként kell tekintenünk. Egymás után végtelen kicsiny forgatásokat végezve az x, majd az y tengely körül, majd ugyanezek körül a tengelyek körül fordított sorrendben, közvetlen számolással könnyen megbizonyosodhatunk arról, hogy a két művelet eredménye közötti különbség éppen egy, a z tengely körüli infinitezimális elforgatással egyenértékű. (A forgatás szöge az x és y tengelyek körüli forgatások szögeinek szorzatával egyenlő.) Itt nem kívánjuk ezeket az egyszerű számításokat elvégezni, amelyeknek eredményeként az impulzusmomentum komponenseinek operátoraira vonatkozó szokásos felcserélési összefüggések adódnak, melyek így a spinoperátorra is igazak lesznek, összes fizikai következményükkel együtt: (54,1) Az (54,1) csererelációk lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a spin komponenseinek és abszolút nagyságának lehetséges értékeit. A 27. §-beli levezetés teljességgel a

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

248

VIII. FEJEZET. A SPIN

felcserélési relációkorr alapult [(27,7)-(27,9)], ezért itt is alkalmazható; csupán L-et kell az összefüggésekben s-sel helyettesíteni. A (27,7) képletekből következik, hogy a spin vetületének lehetséges értékei egymástól egységnyivel különböző számok sorozatát alkotják. Azonban most nem állithatjuk, hogy maguk a számok is egészek, úgy ahogy ez Lz esetében igaz volt. [A 27.§ elején adott levezetés itt nem alkalmazható, mivel lz (26,14) kifejezésén alapszik, amely spedálisan a pálya-impulzusmomentumra jellemző.] Fennáll továbbá, hogy az sz sorozata alulról és felülről korlátos. A korlátok abszolút értéke azonos, előjele különböző. Jelöljük ezeket ±s-sel. Az sz legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbséget jelöljük 2s-sel. Ez vagy egész szám, vagy O. Ígysértékei O, 1/2, l, 3/2, ... lehetnek. Tehát a spinoperátor négyzetének lehetséges sajátértékei:

'

s2 = s(s+ l),

(54,2)

ahol s vagy egész szám (a zérust is beleértve), vagy félegész. Adotts-re az sz spinkomponens az s, s-1, ... , - s értékeket, összesen 2s+ l számú értéket vehet feL Ennek megfelelőerr az s spinű részecske állapota olyan hullámfüggvénnyel irható le, amely 2s+ l koordinátafüggvény összessége. 5 A tapasztalat szerint az elemi részecskék többsége- az elektronok, pozitronok, protonok, neutronok, müonok és az összes hiperonok (A, .E, E) 1/2 spinűek. Ezenkivül ismeretesek még O spinű elemi részek (a n- és K-mezonok). A részecske teljes impulzusmomentuma a pálya menti l és a saját s impulzusmomentumból adódik össze. Ezek operátorai, mivel teljesen különböző VlÍJtozókra hatnak, egymással felcserélhetők. A teljes impulzusmomentum j= l+s

(54, 3)

sajátértékeit ugyanaz a "vektormodell" határozza meg, mint két részecske pályaimpulzusmomentumának összegét (l. 31.§). Nevezetesen, l és s adott értékére a teljes impulzusmomentum lehetséges értékei l+s, l+s-1, .. . , Il-s\. Így az elekiroma (s = 1/2) nullától különböző pálya-impulzusmomentum esetén j lehetséges értékei j = l± l /2; l = O esetén természetesen j-nek csak a j = l /2 értéke valósulhat meg. Részecskék rendszerének teljes J impulzusmomentum-operátora a részecskék j impulz usmomentum-operátorainak összege, igy értékeit a veletormadell alapján 5 Minthogy s bármely részecskére adott szám, így a klasszikus mechanikára va19 áttéréskor (lí-0) a lís spin-impulzusmomentum nullához tart. A pálya-impulzusmomentumra ez a megfontolás nem érvényes, mivel l tetszőleges értékeket felvehet. A kváziklasszikus határátmenetet /í-sal nullához é~ egyidejűleg /-lel végtelenhez tartva valósíthatjuk meg úgy, hogy a líl szorzat véges marad.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

249

54.§. A SPIN

adhatjuk meg. A J impulzusmomentumot a J= L+S,

L= ~)a, a

következő

alakban állithatjuk

S =~)a,

elő:

(54,4)

ahol S-et a teljes spinnek, L-et pedig a teljes pálya-impulzusmomentumnak nevezhetjük. Megjegyezzük, hogy ha a rendszer teljes spinje félegész (vagy egész), akkor ugyanez áll a teljes impulzusmomentumra is, mivel a pálya-impulzusmomentum mindig egész értékeket vesz fel. Speciálisan, ha a rendszer páros számú azonos részecskét tartalmaz, akkor teljes spinje mindig egész, és igy a teljes impulzusmomentum is egész értékeket vesz fel. A részecske teljes impulzusmomentumának j operátorai (vagy egy rendszer J operátorai) ugyanazokat a felcserélési relációkat elégítik ki, mint a spin- vagy a pálya-impulzusmomentum operátorai, mivel ezek általában minden impulzusmomentum jellegű operátorra fennállnak Az ezekből következő, az impulzusmomentum mátrixelemeire vonatkozó (27,13) egyenlőségek szintén bármelyikre érvényesek, ha a mátrixelemeket a vizsgált impulzusmomentum sajátfüggvényeivel képezzük. A jelölések megfelelő megváltoztatásával a (29,7)-(29,10) képletek is érvényben maradnak, és megadják tetszőleges vektormennyiség mátrixelemeit.

Feladat Egy 1/2 spinű részecske határorott s. = 1/2 spinvetületű állapotban van. Határozzuk meg a z tengellyel (J szöget bezáró z' tengelyre vett spinvetület lehetséges értékeinek valószinűségét. Megoldás. Az s átlagos spinvektor nyilvánvalóan a z tengely irányába mutat; hossza 1/2. A z' tengelyre vetitve azt találjuk, hogy a z' irányban vett középérték =

~

(w+- w_), ahol w± annak valószinűsége, hogy s•• =

s•. = ~

cos

e.

Másrészt

:s••

=

± ~ értékű legyen. Figyelembe véve, hogy

w++w_ = l, kapjuk, hogy

55. §. A spin operátora Ennek a fejezetnek további részeiben a hullámfüggvény térfüggésével nem foglalkozunk. Amikor a 1p(x, y, z, a) függvénynek a koordináta-rendszer elforgatása során mutatott viselkedését tárgyaljuk, akkor a részecskét a koordináta-rendszer origójába képzelhetjük; így forgatáskor koordinátái változatlanok maradnak, és az adódó

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

250

VIII. FEJEZET A SPIN

eredmények csak a 1p függvénynek a a spinváltozóval kapcsolatos transzformációs tulajdonságait fogják jellemezni. A a változó a szokásos (pl. koordináta-) változóktól diszkrét jellegében tér el. A diszkrét a válto:zóra ható lineáris operátor legáltalánosabb alakja (j1p)(a) = l.fuu''lfJ(a'),

(55,1)

a'

ahol fao' állandókat jelöl; !'IfJ zárójelbe tételével azt akarjuk hangsúlyozni, hogy az utána következő spinváltozó nem a kiindulási 1p függvény argumentuma, hanem a transzformált függvényé. Könnyen beláthatjuk, hogy az fao' értékek az J operátor szokásos módon definiált mátrixelemei [1. (11,5)]. 6 A (11,5) definícióban szereplő koordináták szerinti integrálást itt a diszkrét vál- · tozó szerinti összegezés helyettesíti, tehát a mátrixelem de:finíciója a következő: faau 1 =L 'IfJ~.(a) [/1fJ,71(a)].

(55,2)

u

Itt 1fJa1 (a) és 1fJu,(a) az sz operátor sajátfüggvényei, amelyek rendre az sz = a 1 és = a 2 sajátértékekhez tartoznak; e függvények mindegyike olyan állapotnak felel meg, amelyben a részecskének határozott sz értéke van, azaz a hullámfüggvény összes komponense közül csak egy különbözik nullától: 7

Sz

(55,3) (55,1)-nek

megfelelően

cJ1fJa1) (a) = Lfua''/jJu1 (a') = Lfua'Őa'u1 = fua 1 ' a'

u'

amit 1fJu,(a)-val együtt (55,2)-be helyettesítve, látjuk, hogy az automatikusan teljesül, ami egyúttal a benne foglalt állftás bizonyítása is. Így a a függvényeire ható operátorokat 2s+ l soros mátrixok alakjában állfthatjuk elő. Speciálisan, a spin operátorra alkalmazva ezt, annak hatását a hullámfüggvényre az (55,1) képlet szerint adhatjuk meg: (55,4) 6 Figyeljünk fel arra, hogy az (55,1) egyenlőség jobb oldalán álló mátrixelemek indexeit a (11,1)beli szokásos sorrendhez képest az ismert értelemben forditott sorrendben irtuk. 7 Pontosabban lfJa1(o:) = lfJ(X, y, z) du1a·t kellene (55, 3)-ban frni, azonban a lényegtelen koordinátafüggő tényezőt elhagytuk. Itt is hangsúlyozzuk, hogy különbséget kell tenni s. adott sajátértéke (o:1 vagy o:2) és a a spinváltozó között!

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

251

55.§. A SPIN OPERÁTORA

A fentebb (54.§ végén) mondottak szerint az sx, sy, Sz mátrixok a 27.§-ban kiszámított Lx, LY, Lz mátrixokkal egyeznek meg, csak azokban L és M helyére s-et és a-t kell írni. Így a nullától különböző elemek a következők lesznek: 't

(sx)a,a-1

= (sx)a-l,a =2 V(s+a)(s-a+ 1),

~ v'Cs+ a)(s-a+ 1),

(sy)a. cr-l= -(sy)cr-1," = -

Ez a spin operátorának definiciója. Az l /2 spin fontos speciális esetében (s sorosak, és alakjuk a következő:

=

s = 2l

l /2, a

= ±l /2)

(55,5)

ezek a mátrixok két-

~

(55,6)

a,

ahol8 iYx

=

G ~)·

&y=

c-i) i

o'

ez=

(~ - ~)·

(55,7)

Ezeket a mátrixokat Pauli-mátrixoknak hívjuk. Az sz = iJz/2 mátrix diagonális, amint annak lennie is kell, minthogy a mátrixokat az sz spinkomponens sajátfüggvényeinek bázisán definiáltuk. 9 Megemlítjük a Pauli-mátrixok néhány speciális tulajdonságát. Az (55,7) mátrixok közvetlen összeszorzása útján könnyű ellenőrizni a következő összefüggéseket:

(55,8) 8 A mátrixok (55, 7)-ben használt felirásakor a sorokat és az oszlopokat a értékeivel sorszámozzuk, a soroknak a mátrixelem első, az oszlopoknak a mátrixelem második indexe felel meg. A vizsgált esetben e sorszámok értékei: + 1/2, -1/2. Az operátor az (55,4) szabálynak megfelelően úgy hat, hogy a mátrix a-adik sorának és az oszlopvektor alakjáb411 irt

( ip(l/2) )

'P= ip(-1/2)

hullámfüggvénynek a szorzatát képezzük. 9 A spinvetület értékének és a Pauli-mátrixoknak azonos betűvel való jelölése nem vezethet félreértésekre, mivel a mátrixakat a betű felett kalappalláttuk el.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

252

VIII. FEJEZET. A SPIN

Ezeket az (54,1) általános felcserélési szabályokkal kombinálva kapjuk, hogy (55,9) azaz a Pauli-mátrixok "antikommutálnak" egymással. Ezekből az kündulva beláthatjuk a következő hasznos egyenlőségeket:

o 2 = 3,

összefüggésekből

(oa) (ob) = ab+io(aXb),

(55,10)

ahol a és b két tetszőleges vektor. 10 Az (55,10) összefüggések következtében a ái mátrixokból összeállitott minden polinomiális kifejezés redukálható egy o-tól független és egy o-ban lineáris kifejezés összegére; ebből viszont világos, hogy a operátor bármely skalár függvénye lineáris függvényre redukálódik (l. az l. feladatot). Végül megjegyezzük, hogy a Pauli-mátrixok és szorzataik nyomára (diagonális elemeik összegére) a következő egyenlőségek érvényesek:

a

Sp a; = O,

Sp a ;ak =

2ő;k

(55,11)

A hullámfüggvényeknek a spinnel kapcsolatos tulajdonságait, többek között a koordináta-rendszer elforgatása során mutatott viselkedésüket e fejezet további szakaszaiban vizsgáljuk. De már itt megvizsgálhatjuk e függvényekegy fontos tulajdonságát, a z tengely körüli forgatásokkal szembeni viselkedésüket. Végezzünk el egy forgatást infinitezimális őq; szöggel a z tengely körül. E forgás operátorát az impulzusmomentum (esetünkben a spin) operátorávall + iőq;sz alakban fejezhetjük ki. Így a 1p(a) hullámfüggvények a forgatás eredményeként a 1p(a)+ ő1p(a} függvényekbe mennek át, ahol ő1p(a)

= iőq;Sz1p(a) = ia1p(a) őq;.

Ezt az összefüggést d1pjdq; = ia1p(a) alakban irva, majd integrálva, kapjuk, hogy a 1p(a) függvények véges q; szögű forgatás során a (55,12) függvényekbe mennek át. Speciálisan, 2:n-vel történő elforgatáskor e2"ia_val szorzódnak, ami a minden a-ra közös ( -1)28 tényezővel való szorzást jelenti (ugyanis a 2a· szám párassága mindig megegyezik 2s-ével). Tehát a koordináta-rendszernek a z tengely körüli teljes körülforgatása során az egész spinű részecskék hullámfüggvényei eredeti értéküket veszik újra fel, mfg a félegész spinűek hullámfüggvényei előjelet váltanak. 10 Az (55,8H55,10) egyenlőségek jobb oldalán a a-tól független tagokat természetesen a 2· 2-es egységmátrixszal szorzott állandókként kell tekinteni.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

253

55.§. A SPIN OPERÁTORA

Feladatok l. Vezessük vissza az a+ ba 8-ban lineáris skalár vényre.

tetszőleges

függvényét egy másik lineáris függ-

Megoldás. A keresett f(a+b8)

=

A+B&

összefüggés együtthatóinak megállapítására megjegyezzük, hogy a z tengelyt b irányában választva az a+ b& operátor sajátértékei a±b lesznek, mig azf(a+ b&) operátoréif(a±b). Ebből A

= ~

[f(a+b)+ f(a- b)],

B

=~

[f(a+b)- f(a- b)].

2. Határozzuk meg két (1/2 spinű) részecske spinoperátorai s 1s2 skalárszorzatának értékeit azokban az állapotokban, amelyekre az S = s1 +s 2 teljes spinnek határozott (O vagy l) értéke van. Megoldás. A (31,3) általános összefüggés alapján, amely tetszőleges két impulzusmomentum összeadására érvényes, azt kapjuk, hogy

haS= O. 3. Tetszőlegess spin Megoldás. Az

s operátorának mely hatványai függetlenek? (s,-s)(s.-s+ 1) •• . (s,+s)

operátor, melyet s, és összes lehetséges sajátértékeinek különbségeit összeszorozva alkottunk meg, hullámfüggvényre hatva nullát ad, tehát operátorértelemben is zérus. Ebből következik, hogy (s,) 2'+1 kifejezhető kell, hogy legyen s, alacsonyabb hatványainak segitségével, azaz csak az l-től 2s-ig vett hatványok lesznek függetlenek. tetszőleges

56. §. Spinorok Nulla spinű részecskék hullámfüggvényének egyetlen komponense van: 'lJ'(Ü). A spin operátora ezt nullába képezi le: S'lf' = O. Minthogy az sspinoperátor a forgatás infinitezimális operátoraival van kapcsolatban, ez azt jelenti, hogy a nulla spinű részecske hullámfüggvénye a koordináta-rendszer elforgatásakor változatlan marad, azaz skalár mennyiség. Az 1/2 spinű részecskék hullámfüggvényének két komponense van: 'lf'(l/2) és 'lJ!(- l /2). A további általánosítások kedvéért ezeket 'lj!1 és 'ljJ 2-vel fogjuk jelölni (l és 2 felső indexek). A

- (''lj!lj!l) -= ('ljJ(l/2) ) 'lfJ(- 1/2)

'lj! -

www.interkonyv.hu

2

(56,1)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

254

VIII. FEJEZET. A SPIN

kétkomponensű

mennyiséget spinornak nevezzük. A koordináta-rendszer tetszőleges elforgatásakor 1p1 és 1p2 lineárisan transzformálódik: (56,2)

(56,2)-t a

következőképpen

is írhatjuk:

, "P",, = (TAT urp)",

UA

= (ac ab) '

(56,3)

ahol O a transzformáció mátrixa. 11 A mátrix elemei általában komplexek, és a koordinátatengelyek elforgatását leíró szögek függvényei. A spinorra mint a részecske hullámfüggvényére kirovandó fizikai követelményekből közvetlenül adódó összefüggések kapcsolatot létesítenek köztük. Tekintsük a (56,4) bilineáris alakot, ahol "P és q; két spinor.

Egyszerű

számítással a

egyenlőségre

jutunk, azaz látjuk, hogy az (56,4) kifejezés a koordináta-rendszer forgatása során önmagába transzformálódik. Ha azonban egyetlen, önmagába transzformálódó kifejezésünk van, akkor annak zérus spinhez rendelhetőnek és skalárnak kell lennie, azaz a koordináta-rendszer forgatásakor változatlannak kell maradnia. Ebből az ad-be= l (56,5) összefüggés adódik, vagyis a transzformációs mátrix determinánsa 1.12 További összefüggéseket kapunk, ha megköveteljük, hogy a részecskének a tér egy pontjában való előfordulási valószinűségét meghatározó

kifejezés skalár legyen. Az olyan transzformációk, amelyek a transzformált mennyiség abszolút értékének négyzetét változatlanul hagyják, unitérek, azaz fennáll, hogy 31 Az Otp írásmód magától értetődően az O mátrix sorainak a 1p oszloppal való összeszorzását jelenti. 12 Az ilyen transzformációkat binér transzformációknak is nevezzük.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

56.§. SPJNOROK

0+ = 0- 1 (1. 12. §). Az (56,5) feltételnek

o-l=

(

255

megfelelően az inverz mátrixot

d

-c

-b)b

alakban írhatjuk. Ezt az adjungált

O+ = mátrixszal

egyenlővé

(a*b* d*c*)

téve, az

(56,7) a= d*, b= -c* összefüggéseket kapjuk Az (56,5) és (56, 7) egyenlőségek következtében az a, b, c, d négy komplex mennyiség valójában csak 3 független valós paramétert tartalmaz, amelyeket a háromdimenziós koordináta-rendszerelforgatását jellemző szögekkel hozhatunk kapcsolatba. Az (56,4) és (56,6) skalár kifejezéseket összehasonlítva, látjuk, hogy a '1j!1 * és 1p2 * mennyiségek '1j! 2-vel és -'1j!1-gyel azonos módon transzformálódnak. Ezt az (56,5) és (56,7) összefüggések segítségével közvetlenül is könnyű belátni. 13 A spinoralgebrát formailag a tenzoralgebrához hasonlóan tárgyalhatjuk. Ezt úgy érjük el, hogy a kontravariáns 'IJ!1 és 'IJ! 2 (felsőindexes) komponensek mellett akovariáns (alsóindexes) komponenseket is bevezetjük a következő definíció szerint: (56,8) Ezek segítségével két spinor (56,4)-ben szereplő invariáns kombinációját skalárszorzat alakjában írhatjuk: (56,9) Itt és a továbbiakban a kétszer ismétlődő indexek szerint ugyanúgy összegezést értünk, mint a tenzoralgebrában szokásos. Megjegyezzük a következő szabályt, amelyet a spinoralgebrában spedálisan figyelembe kell venni. Fennáll, hogy 'IJ!'"CfJ-. = = virp1 +'IJ!2rp2 = -'ljJ2rp2-'1JJirp\ azaz (56,10) Ebből

nyilvánvaló, hogy bármely spinor önmagával vett skalárszorzata nullát ad: (56,11)

13 Ez a tulajdonság szoros kapcsolatban van az időtükrözési szimmetriával. Időtükrözésnél (l. 18. §) a hullámfüggvényt komplex konjugáltjával helyettesítjük; ugyanakkor időtükrözéskor az impulzusmomentum vetülete is előjelet vált. Így a 1jJ1 = !p( l /2) és 1jJ2 = 'P(- l /2) komponensek komplex konjugált függvényei rendre- 1/2 és 1/2 spinvetületű állapotokat írnak le.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

256

A fent mondottak alapján

VIII. FEJEZET. A SPIN 1p1

és

1p 2

úgy transzformálódik, mint

1p1*

és

1p2*,

tehát

(56,12)

Az ú*'IfJ szorzatot 1pU* alakban is írhatjuk, az 6* transzponált mátrix felhasználásával. Ú unitaritását figyelembe véve U* = ú-I, így 'IfJ~ = ('ljJÚ- 1);;, vagy14 (56,13)

A vektorokról a tenzorokra történő átmenettel teljesen egyező módon vezethetjük be a magasabb rendű spinorok fogalmát. Így másodrendű spinornak hívjuk a 'IfJ"~-' négykomponensű mennyiséget, amelynek komponensei a 1fJ"rp~-' szorzat komponenseivel egyező módon transzformálódnak (ahol 1p\ qf elsőrendű spinorok). A 'IfJ"~-' kontravariáns komponensekkel egyidejűleg bevezethetjük a 1flt.p kovariáns és a 'IfJ/ vegyes komponenseket, amelyek rendre mint 1flt.Cfp és 1flt.rp~-' transzformálódnak. Hasonlóan vezethetünk be tetszőleges rendű spinorokat. A kontravariáns komponensekről a kovariáns spinorkomponensekre és fordítva az áttérés a (56,14)

alakban írható fel, ahol (56,15)

a kétdimenziós vektortér metrikus spinora. Ennek segítségével például a másodrendű spinorra igaz, hogy

azaz 1jJ12 = -1p11 = -1p2l, 1pu = 1fJ12 = 1p22 stb. Maguk a g"~-' mennyiségek másodrendű, antiszimmetrikus egységspinort alkotnak. Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy a koordinátatranszformációk során komponensei változatlanok maradnak, valamint hogy (56,16)

ahol Mint a közönséges tenzoralgebrában, úgy a spinoralgebrában is két

alapvető

14 A !pÚ írásmód (!JI balra helyezkedik el Ú-tól) a (1p 1 , 1p2) sorvektornak Ú oszlopaival való szorzását jelenti.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

56.§. SPINOROK

257

mllvelet van: a szorzás és az indexösszeejtés (vagy kontrahálás ). Két spinor szorzata magasabb rendű spinort ad; így pl. két, rendre másod- és harmadrendű spinorból ötödrendű spinort kapunk. Az indexpár összeejtése (azaz egy kovariáns és egy kontravariáns index azonos értékeihez tartozó komponensek összeadása az index összes lehetséges értékére) két egységgel csökkenti a spinor rendjét. Így a 'lfJ;./Q" spinor t-t és v indexeinek összeejtése a harmadrendű 'lfJ;.:Q" spinort adja; a 'IfJ/ spinor kontrakciója a 'IfJ/ skalárra vezet. A következő általános szabály érvényes, amely formájában hasonlít (56,10)-hez: ha felcseréljük azoknak az indexeknek a helyzetét, amelyeket összeejtünk, akkor az eredményül kapott mennyiség előjelet vált (pl. 'IfJ/ = -7p";.). Ebből speciális esetként következik, hogy ha a spinor szimmetrikus valamely két indexében, akkor ezeknek az indexeknek az összeejtése zérust ad. Tehát a másodrendll szimmetrikus 'IfJ;.~-' spinorra 'IfJ/ = O. n-edrendű szimmetrikus spinornak az összes indexeiben szimmetrikus spinort hívjuk. Aszimmetrikus spinorból szimmetrizálással állíthatunk elő szimmetrikusat, azaz összeadva mindazokat a komponenseket, amelyek az indexek összes permutációjával állnak elő. A fentebb mondottak értelmében szimmetrikus spinorból nem lehet (összeejtéssel) alacsonyabb rendll spinorokat előállítani. Ami a (minden indexpárjuk szerint) antiszimmetrikus spinorokat illeti, ilyen spinor csak másodrendll lehet. Ugyanis bármely index legfeljebb két értéket futhat be, így három vagy több index esetén legalább két index azonos értéket vesz fel, tehát a spinor komponensei azonosan zérusok. Minden másodrendll antiszimmetrikus spinor redukálható egy g"~-'-vel megszorzott skalárrá. Ittjegyezzük meg a következő, a most ru ondottakból adódó összefüggést: (56,17) ahol '~P;. tetszőleges spinor; ez a szabály egyszerű következménye annak, hogy a bal oldalon, mint arról könnyen meggyőződhetünk, egy harmadrendű antiszimmetrikus spinor áll. A 'IfJ;.~-' spinort önmagával szorozva és a szorzatot egyik indexpárjában összeejtve, .antiszimmetrikus spinor adódik; ugyanis:

Ezért a fentebbiek szerint e spinornak g;.~-'-vel kell arányosnak lennie. A g"'~-'-t szorzó ·skalárt úgy határozzuk meg, hogy a második indexpár összeejtése helyes eredményt .adjon; ily módon azt kapjuk, hogy (56,18)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

258

VIII. FEJEZET. A SPIN

A '!jJ;f.l ... spinor komponensei, amelyek a "P;.f.l... komponensek komplex konjugáltjai,. a q/-~-'··· kontravariáns spinorkomponensekkel azonos módon transzformálódnak,. és megfordítva. Ebből következik, hogy tetszőleges spinor komponensei abszolút értékének négyzetösszege invariáns mennyiség.

57. §.

Tetszőleges spinű

részecskék hullámfüggvényei

Miután kifejlesztettük a tetszőleges rendű spinorok formális algebráját, rátérhetünk igazi feladatunkra: a tetszőleges spinű részecskék hullámfüggvényeinek tanulmányozására. Ezt a kérdést legkényelmesebb úgy megközelíteni, hogy n számú 1/2 spinű részecske összességét vizsgáljuk. A teljes spin z komponensének maximális értéke n/2, amely akkor adódik, mikor az összes részecskére sz = 1/2 (minden részecske spinje a z tengely irányába mutat). Ebben az es.etben megmutatható, hogy a rendszer teljes spinje S = n/2. A rendszer 1p(a1. a 2, ••. , an) hullámfüggvényének összes komponense ekkor egyetlenegynek, a 1p(l /2, 1/2, ... , 1/2) komponensnek kivételével nullával egyenlő .. Ha a hullámfüggvényt n spinor szorzataként írjuk fel1f/-cp~-' . . . alakban, melyek mindegyike egy-egy részecske állapotát írja le, akkor mindegyikre csak a A, fh, . . . = l' komponens különbözik nullától. Tehát a szorzat nullától különböző komponense 1p1cp1 . . . lesz. Az összes lehetséges komponensből képezett szarzatok egy olyan n-ed-· rendű spinort alkotnak, amely minden indexében szimmetrikus. Ha a koordinátarendszeren transzformációt hajtunk végre (úgy, hogy a spinek már ne a z tengely irányába mutassanak), akkor valamilyen általános alakún-edrendű spinort kapunk,. amely továbbra is szimmetrikus. A hullámfüggvényele spintulajdonságai, minthogy ezek lényegében a koordinátarendszer elforgatásakor mutatott viselkedést jelentik, azonosak az s spinű részecske· és az olyan n = 2s számú 1/2 spinű részecskéből álló rendszer esetében, amelynek teljes spinje S. Ebből következik, hogy az s spinű részecske hullámfüggvényét egy n = 2s-edrendű szimmetrikus spinor írja le. Könnyű belátni, hogy egy 2s-edrendű szimmetrikus spinornak 2s+ l független komponense ·van. Ugyanis csak azok a komponensek számítanak függetlennek, amelyek indexei között 2s számú l-es és zérus számú 2-es, 2s- l számú l-es és egy 2-es stb., végül zérus számú l-es és 2s számú 2-es fordul elő. Matematikai szempontból azt mondhatjuk, hogy a szimmetrikus spinorok segítségévelmegadható a koordináta-rendszer elforgatása során mutatott lehetséges visel-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

57.§. TETSZŐLEGES SPINŰ RÉSZECSKÉK HULLÁMFÜGGVÉNYEI

259

kedéstípusok osztályozása. Ha 2s+ l külön böző mennyiség egymásba való lineáris transzformációja adja meg a viselkedést (és ez a szám semmiféle más lineáris kombinációjuk kiválasztásával nem csökkenthető), akkor a transzformációs szabály azonos egy 2s-edrendű szimmetrikus spinoréval. Bármely, tetszőleges számú függvényt tartalmazó halmaz, amelynek elemei a koordin áta~rendszer elforgatásakor a függvényekből alkotott lineáris kombinációkba transz formáló dnak, visszavezethető (megfelelő lineáris transzformációt alkalmazva) egy va gy több szimmetrikus spinorra. 15 Így egy 'lfJ;.pv ... tetszőlegesn-edrendű spinor n, n-2, n-4, ... rendű szimmetrikus spinorokra redukálható. A redukálás ténylegesen a következőképpen végezhető el. A 'lfJ;.pv ... spinort minden indexében szimmetrizálva, egy szimmetrikus n-edrendű spinorra jutunk. Azután az eredeti spinor különböző indexpárjait összeejtjük, és így 'lfJ";..... alakú (n-2)-edrendű spinorok adódnak, melyeket ugyancsak szimmetrizálva, (n-2)-edrendű szimmetrikus spinorokat kapunk. A két indexpár összeejtésével adódó spinorokat szimmetrizálva kapjuk a szimmetrikus (n- 4)-edrendű spinorokat stb. Hátravan még a 2s+ l számú 'lfJ(a) függvény (ahol a= ·s, s-1, ... , -s) és a 2sedrendű spinor komponensei közötti kapcsolat megadása. A

-s-a

11 ... 122 ... 2

'ljJ s+a

komponens, amelyben az l index (s+a)-szor, a 2 pedig (s-a)-szor ismétlődik, u nagyságú spinvetületnek felel meg. Ugyanis ha újból visszatérünk az n = 2s számú 1/2 spinű részecskéből álló rendszerünkhöz az egyetlen s spinű rész vizsgálata helyett~ akkor az előző komponensnek a s+a s-a _.,_ _.,_ 'ljJlq;l • • • %2(!,2 •••

szorzat felel meg, ez pedig annak az állapotnak a hullámfüggvénye, amelyben s+u számú részecske spinvetületének értéke + 1/2, s-a számú részecskéé pedig -1/2, tehát az eredővetület

~

(s+o')-

~(s-a)= a. Végülafenti

spinorkomponens és a

'lfJ(a)függvény közötti arányossági tényezőt úgy választjuk meg, hogy fennálljon a +s

L

a=-S

egyenlőség

2

l'lfJ(a)l 2 =

L

l'lfJ""' ... Iz

(57,1)

;,,p, ... =l

(ez az összeg skalár, ahogy lennie is kell, minthogy azt mondja meg, mek-

15 Más szavakkal, a szimmetrikus spinorok a forgáscsoport ún. irreducibilis ábrázol ás ait való sitják meg (l. 98.§);

17*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

260

VIII. FEJEZET. A SPIN

kora valószínűséggel található a részecske a tér egy pontjában). A jobb oldali összegben az s+a számú l indexű komponens (2s)! (s+ a) !(s-a)! számszor fordul tot a

elő.

Ezért a spinorkomponens és a 'IfJ(a) függvények közötti kapcsola-

._,_., -

S- mátrixát; ennek elemei ·az x'y' z' rendszer xyz-beli helyzetét jellemző rx, (3, y szögek függvényei. A véges forgatások mátrixának konstruktív felépítése a 'lfJjm függvények spinorreprezentációja segítségével lehetséges. j = l /2 esetén a két "P1! 2m(m = ±l /2) függvény egyindexes ko variáns spinort alkot. (56,13) szerint ennek (az x'y'z' rendszerből az xyz-be való) transzformációját az (58,6) O mátrixa adja meg, azaz ÍJC1/ 2) = 0. 20 Írjuk ennek elemeit a következő alakban: D(l/2) = ém'yd(l/2)({3) eim" m'm m'm ' ahol l l 2 2

«l

dW~=

l

2 l

2

cos

l2

. (3 -Slil

2

. (3 2

S111--

cos

(58,8)

l2

függvényeket j tetszőleges értékére az (57,6) képlet kapcsolja össze a 2jed rendű szimmetrikus, kovariáns spinorokkal. A 2j-edrendű spinorkomponensek transzformációs mátrixa 2j számú bC112) mátrix szorzata. Ezek mindegyike egy-egy spinorindexre hat. A mátrixok összeszorzását elvégezve és visszatérve a 'lfJjm függvényekre, ez utóbbiak transzformációs mátrixa a A

"Pjm

D(j) (rx (3 11) m'm. ' ' r

= ém'yd(j) ((J)eim" m'm

(58,9)

alakban adódik, amelyben a d~Jm(f3) függvényeket a következő kifejezés adja meg :21 dU) ((3)= m'm

"+ m ')!(" {J)m'-mp\m'-;m, m'+m)((J) r(J(j+m)! . J- m ')1]1/2( . cos -{J)m'+m( sin(j-m)! 2 2 J-m

'

(58,10) 2°Felhívjuk az olvasó figyeimét arra, hogy az (58, 7) kifejezésben a mátrix indexeit olyan sorrendben írtuk fel, amely a f> mátrix oszlopainak a sorvektorként rendezett 1fljm függvényekkel való szorzásának felel meg. Szimbolikus írásmódban az (58, 7) képietet az (56,13) konvencióval összhang· ban 1fljm = (1p;Í) Ylm' (Dz•) =l-~v21+1 --Um'O· 4n ~

(58,24)

=

A bal oldali "Pim függvény az Y1m(P, ~) gömbfüggvény, amely az z' tengely rp ~. p gömbi polárszögeitől függ. (58,24)-et (58,7)-be helyettesítve, kapjuk, hogy

() =

R ) Yzm ( p,~-

Z•f

v ~Dom 21+ l (/)(~,p,y, R )

(58,25)

ami ekvivalens (58,23)-mal. Végül még megadjuk a dU) függvények kifejezését abban az esetben, ha az m, m~ indexek egyike a lehetséges legnagyobb értéket veszi fel: dV)(R)=(-l)i-mdü).= [ . (2j): ] 112(cosp)i+m(sinP)i-m. (58,26) JmP mJ (J+m)!(J-m)!

. 59. §. A részecskék részleges polarizációja Egy adott "P'" spinornak - egy l /2 spinű részecske hullámfüggvényének - egyik komponensét (pl. 1p2-t) a z tengely megfelelő választásával mindig ellehet tüntetni. Ez abból is világos, hogy egy térbeli irányt két szög határoz meg, és egy spinorkomponens (pl. 1p2) eltűnéséhez is két mennyiségnek (a komplex 1p2 szám valós és képzetes részének) kell zérusnak lennie. Fizikailag ez azt jelenti, hogy ha az 1/2 spinű részecske (a határozottság kedvéért elektronról fogunk beszélni) egy, valamely spin-hullámfüggvénnyelleírt állapotban van, akkor mindig létezik egy olyan térbeli irány, amelyre a részecske spinjének vetülete a = 1/2. Azt mondhatjuk, hogy az elektron ilyen állapotban teljesen polartzált. Az elektronnak azonban olyan állapotai is lehetségesek, amelyeket részlegesen polarizáltaknak nevezhetünk Ezeket az állapotokat nem hullámfüggvények írják

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

271

59.§. A RÉSZECSKÉK RÉSZLEGES POLARIZÁCIÓJA

le, hanem sűrűségmátrixok, így ezek spinállapotuk szerint keverteknek tekintendők (1. 14. §). Az elektron spin- (vagy polarizációs) sűrűségmátrixa egy r/'~-' másodrendű spinor, amelyet a (59,1)

feltétellel normálunk, és amely kielégíti a (59,2)

hermiticitási feltételt. Tiszta (teljesen polarizált) állapot esetén a hullámfüggvény komponenseinek szorzatára redukálódik:

r;/1~-'

spinor a. 'IfJA

(59,3)

A sűrűségmátrix átlós elemei annak valószínűségét adják meg, hogy az elektronnak a z tengelyre mért spinvetülete + 1/2, illetve -1/2 legyen. Így a vetület átlagértéke

vagy (59,1) figyelembevételével, 2

(2 2 =

2l

-

(59,4)

-Sz.

Tiszta állapotban az s± = sx±isY mennyiségek várható értékét az

összefüggések alapján számítjuk ki. Mivel (55,6) és (55, 7) szerint az

s± operátorok az

mátrixokkal vannak megadva,

Kevert állapotban a

megfelelő

összefüggések: (59,5)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

272

VIII. FEJEZET. A SPIN

A Pauli-mátrixok segitségével az (59,4) és (59,5) képleteket a hozhatjuk:

e. 1(r1) és q> 2(r 2) hullámfüggvények "átfedésétől" függ; a diszkrét spektrumbeli állapotok hullámfüggvényeinek aszimptotikus viselkedését [l. (21,6)] figyelembe véve, kapjuk, hogy

.ahol/E., E 2 az elektron energiája a

megfelelő

atomokban.

2 .. Ugyanez három elektron rendszerére. Megoldás. Az l. feladat (l) képletét tekintve mintaként, a három elektronból álló rendszer kicsekölcsönhatásának operátorát

rélődési

alakban írhatjuk, ahol az összegezés az 12, 13 és 23 részecskepárokra vonatkozik. Az s.sb operátorok különböző a. és ab számpároldcal jellemezhető állapotok között vett mátfixelemei közül a zérustól különbözők (55,6)-ot használva, a következők:

/ __!_ - 1 l ~ss l __!_ \2'

l

a· b

2'

_2.) - ___!_4' 2

-

Kezdjük az M 8 = a 1 +a 2 +a3 teljesspinvetület lehetséges legnagyobb értékéhez, azaz az M 8 = 3/2-hez tartozó energia meghatározásával. Ezzel meghatározzuk az S = 3/2 teljes spinű állapot energiáját. Az (l) operátor megfelelő diagonális mátrixelemét kiszámítva,

=

adódik. Ezután tekintsük az M 8 = 1/2 állapotokat. Ezt az M 8 értéket háromféleképpen valósíthatjuk meg aszerint, hogy az a 1 , a2, a3 számok melyike egyenlő - 1/2-del (a másile kettő = 1/2). Így ezekre az állapotokra egy harmadfokú szekuláris egyenlet adódna. Azonban a számítás leegyszerűsödik, ha figyelembe vesszük, hogy a gyökök egyikének meg kell egyeznie a már megtalált, S 3/2 teljes spinű állapot energiájával, igy a szekuláris egyenlet osztható LJE- LJE312-del; ez a körülmény lehetövé teszi, hogy a köbös egyenlet szabad tagjának kiszámitását elkerüljük 6 Így a magasabb fokú tagokat kiszámítva, kapjuk, hogy

=

majd !1E+.J12 +J13 +J23 -mal osztva, kapjuk az S szintet:

6

=

1/2 spinü állapotoknak

megfelelő

két energia-

Ez az eljárás leülönösen hasznos a nagyobb számú részecskét tartalmazó analóg számításoknáL

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

284

IX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

Így összesen három energiaszintet kapunk -összhangban a 63.§ l. feladatának megoldásávaL 3. Melyek azok az állapotok, amelyekben a Be8 mag két ex-részre hasadhat? Megoldás. Minthogy az ex-részecskének nincs spinje, két ex-részecske csak páros pálya-impulzusmomentummal rendelkezhet (amely egyben a teljes impulzusmomentumot is adja); állapotai párosak. Így a fenti bomlás csak a Be8 mag páros állapotaiban, páros teljes impulzusmomentum esetén mehet végbe.

63. §. Szimmetria a részecskék felcserélésével szemben A két azonos részecskéből álló rendszert vizsgálva, beláttuk, hogy stacionárius állapotainak cp(r 1, r 2) koordinátafüggvényei változóikban vagy szimmetrikusak, vagy antiszimmetrikusak. A tetszőleges számú részecskét tartalmazó rendszerek általános esetében a Schrödinger-egyenlet megoldásainak (a koordináta-hullámfüggvényeknek) nem feltétlenül kell szimmetriát vagy antiszimmetriát mutatniuk bármely koordinátapár felcserélésére, ami a teljes (a spint is tartalmazó) hullámfüggvényekre fennáll. Ez azzal függ össze, hogy csak a részecskék koordinátáit cserélve fel, még nem végeztük el teljes :fizikai kicserélésüket. A :fizikai azonosság eidcor csak annyi megkötést jelent, hogy a rendszer Hamilton-operátora invariáns a részecskék cseréjére, és így ha valamely függvény megoldása a Schrödinger-egyenletnek, akkor azok a függ~ vényele is megoldásai, amelyek a változók különféle permutációival adódnak. Előkészítésként néhány megjegyzést teszünk a permutációkra vonatkozóan. N részecskéből álló rendszerben N! számú különböző permutáció lehetséges. Ha a részecskéket megszámozzuk, akkor minden permutációt az l, 2, 3, . . . számok meghatározott sorrendű sorozatával jellemezhetünk. Minden ilyen sorozat a természetes 1, 2, 3, . . . sorrendből számpárok bizonyos számú cseréjével adódik. A permutációt párosnak vagy páratlannak hívják aszerint, hogy páros vagy páratlan számú cserével állítható elő az eredeti sorozatbóL Jelöljük P-vel az N részecskét permutáló operátorokat, és vezessük be a op mennyiséget, amelynek értéke +l, ha P páros permutáció, és -l, ha P páratlan. Ha ep az összes részecske koordinátájában szlmmetrikus függvény, akkor Pcp = ep, ha pedig minden részecskében antiszimmetrikus, akkor

Pcp Egy

www.interkonyv.hu

tetszőleges

cp(r 1 , r 2,

... ,

= Op(]!·

r 11) függvényből

szimmetrikus függvény

készíthető

a

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

63.§. SZIMMETRJA A RÉSZECSKÉK FELCSERÉLÉSÉVEL SZEMBEN

szimrnetrizálás

285

műveletével: epszim

=const·

L_Pep,

(63,1)

p

ahol az összegezést az összes lehetséges permutációra ki kell terjeszteni. Az antiszimmetrikus függvénykombináció képzését (ezt az operációt néha alternálásnak is nevezik) a következő alakban írhatjuk fel: ' epantiszim

= const· L_ öpPep.

(63,2)

p

Most térjünk vissza arra a kérdésre, hogy hogyan viselkednek az azonos részecskékből álló rendszer ep hullámfüggvényei a részecskék pennutációja során.7 Az a tény, hogy a rendszer H Hamilton-operátora a permutációkkal szemben invariáns, matematikailag azt jelenti, hogy H felcserélhető az összes P permutációs operátorral. Ezek az operátorok azonban nem cserélhetőle fel egymással, és így egyidejűleg nem diagonalizálhaták Ez azt jelenti, hogy a ep hullámfüggvényele nem választhaták meg úgy, hogy bármelyikük tetszőleges párcserére szimmetrikus vagy antiszimmetrikus legyen. 8

j

J

j

~

~

.___

....._

J

21. ábrá

A következőkben feladatul tűzzük ki, hogy meghatározzuk a ep(r1, r z, ... , r N) N változás függvényele (vagy ezek bizonyos halmazainak) a változók felcserélésével kapcsolatos lehetséges szimmetriatípusait. A szimmetriának olyannak kell lennie, hogy már ne legyen kiegészítő szimmetrizáló vagy alternáló eljárásokkal tovább növelhető, tehát ilyeneket a függvényekre alkalmazva, azok vagy önmaguk lineáris kombinációiba, vagy azonosan nullába rnenjenek át. 7 Matematikai szempontból a feladat megoldását a permutációs csoport irreducibilis ábrázolásainak megadása jelenti. A permutációs csoport részletes matematikai vizsgálata a következő könyvekben található meg: H. Wey!, Grupperrtheorie und Quantenmechanik, 1931; M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, 1964; M.r. KarrrraH: CrrMeTpiur MHOrü3JieKTpoHHbiX CHCTeM, HaYKa, 1969. 8 Csak két azonos részecskét tartalmazó rendszer esetében, ahol összesen egy permutációs operátor definiálható, p a it-val együtt diagonalizálható.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

286

IX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

~

Már ismerünk két olyan operációt, amelyeket alkalmazva, maximális szimmetriájú függvényekre jutunk: az összes változó szeduti szjmmetrizálás vagy alternálás. Ezeket a műveleteket a következőképpen általánosíthatjuk. Az N változót (r1, r 2, ••• , rN) bontsuk néhány részhalmazra (ugyanezt tehetjük a változók helyett az indexeikből alkotott l, 2, ... , N sorozattal), amelyek rendre N1, N2, ... elemet tartalmaznak; N1+N2+ ... =N. Ezt a felbontást (partíciót) szemtéletesen egy olyan sémával (az ún. Young-ábrával) rontathatjuk be, amelyben az N; számok mindegyikét megfelelő számú négyzetet tartalmazó sor képviseli (pl. a 21. ábrán N= 22 esetére ábrázoltuk a 6+4+4+3+3+1+1 és a 7+5+5+ +3+ 1 + 1 felbontásokat); minden négyzetbe beírjuk az l, 2, 3, ... számok valamelyikét. Ha a sorokat még rövidülésüle szerint is rendezzük (amint az a 21.. ábrán látható), akkor a séma nemcsak vízszintes sorokat, hanem függőleges oszlopokat is tartalmaz. Végezzük el a tetszőleges q;(r 1, r 2 ... rN) függvény szimmetrizálását azoknak a változóknak a felcserélésére, amelyeknek indexei egy sorba esnek. Ezután az alternálás művelete csak különböző sorokban található változókra végezhető el; azokra a változópárokra, amelyek egy sorban találhatók, az alternálás nyilván nullát ad. Minden sorból egy-egy változót kivéve, ezeket az általánosság megszorítása nélkül a sorole első négyzeteibe (az első oszlopba) képzelhetjük (a szimmetrizálás után ugyanis az azonos sorbeli változók elhelyezleedési sorrendje a sor négyzeteiben lényegtelenné válik); végezzük el az alternálást ezek szerint a változók szerint. Ezután az első oszlopot kizárva, végezzük el az alternálást a "megrövidített" séma egy-egy sorából választott változók szerint, melyeket · ismét a maradék sé;na első oszlopába képzelünk. Ezt az eljárást folytatva egy olyan függvényre jutunk, amely először minden sor változóiban szimmetrizálva, majd minden oszlop változói szerint antiszimmetrizálva van (természetesen általában az alternálás elvégzése után a sorok szerinti szimmetria megszűnik, a szimmetria csak azokban a változókban marad meg, amelyek az első sor "kilógó" négyzeteiben foglalnak helyet). Az N változót különböző módon elosztva a Young-ábra sorai között (az egy soron belüli elhelyezkedés lényegtelen), olyan függvényele rendszerét kapjuk, amelyek a változók tetszőleges permutációjára egymás között transzformálódnak. 9 Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy nem az összes így adódó függvény lineárisan független; a független függvényele száma általában kisebb, mint a változók lehetséges elosztásainak a száma a séma soraiban; ezt a kérdést itt nem tárgyaljuk részletesebben.10 9 A szimmetrizálást és alternálást fordított sorrendben is végezhetnénk előbb az alternálást és csak utána a sarok szerinti szimmetrizálást. Ez azonban semmi úja t nem adna, mivel a két módszerrel adódó függvények egymás lineáris kombinációi. 10 Az egymás közt transzformálódó független függvények a permutációs csoport irreducibilis ábrázolásának bázisát adják. E függvények száma az ábrázolás dimenziója. 1/2 spinű részecskék ese-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

63.§. SZIMMETRIA A RÉSZECSKÉK FELCSERÉLÉSÉVEL SZEMBEN

287

Ily módon minden Young-ábra a függvényele egy meghatározott szimmetriatípusát a változók permutációjára vonatkozóan definiálja. Az (adott N-re) lehetséges összes Y oung-sémát összeállítva, megkapjuk az összes lehetséges szimmetriatípust. Ez a feladat az N szám kisebb számok összegére való összes lehetséges felbontásának feladata; itt maga az N szám is egyike a lehetséges felbontásoknak (így pl. N= 4-re a lehetséges felbontások: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1). A rendszer minden energianívójához egy meghatározott Young-ábrát lehet hozzárendelni, amely megadja a Schrödinger-egyenlet megfelelő megoldásának permutáció& szimmetriatípusát; az energiaminden értékéhez általában több különböző függvény tartozik, amelyek permutációkra egymás között transzformálódnak. Ennek a "permutációs elfajulásnak" a megjelenése azzal kapcsolatos, hogy a Hamilton-operátorral felcserélhető permutációs operátorok általában egymással nem cserélhetőle fe} (1. 10. §). Ugyanakkor hangsúlyozzuk, hogy ez a jelenség nem jelenti az energiaszintek bármiféle járulékos fizikai elfajulását. Mindezek a koordináta-hullámfüggvényele megszorozva a megfelelő spin-hullámfüggvényekkel, egyetlen meghatározott kombinációt alkotnak - a teljes hullámfüggvényt - , amely a részecskék spinjétől függően kielégíti a szimmetria, illetve az antiszimmetria követelményét. A különböző szimmetriatípusok között mindig található (adott N-re) kettő, amelynek csak egyetlen függvény felel meg. Egyikük az összes változójában szimmetrikus, a másik a teljesen antiszimmetrikus függvény (az első esetben a Youugábra egyetlen N elemű sorból, a másodikban egy N elemű oszlopból áll). Térjünk most át a x(aJ, a2, ... , aN) spin-hullámfüggvényekre. Ezeknek a részecskék felcserélésére mutatott szimmetriatípusait ugyanazok a Y oung-áb~ák határozzák meg; a változók szerepét most a spinvetületek játsszák. Felmerül a kérdés, milyen ábra tartozik a spinváltozókhoz adott szimmetriatípusú koordináta-hullámfüggvény esetén? Először tegyük fel, hogy a részecskék egész spinűek. Ekkor a teljes 1p hullámfüggvény tetszőleges részecskepár cseréjérel szimmetrikus. Ehhez az szükséges, hogy . a koordináta- és a spinfüggés szimmetriáját ugyanaz a Y oung-ábra adja meg; ekkor a 1J! teljes hullámfüggvényt ezek meghatározott bilineáris kombinációja adja. E kombinációk megadásának részleteivel itt nem foglalkozunk. Legyen most a rendszert alkotó részecskék spinje félegész. Ekkor a teljes hullámfüggvény az összes részecskében antiszimmetrikus. Megmutatható, hogy a koordináta- és a spinséma egymásból a sorole és oszlopok felcserélésével adódik: a sémák egymás duálisai (ilyen pl. az a két séma is, amely a 21. ábrán látható). Tárgyaljuk kissé részletesebben az 1/2 spinű részecskék fontos speciális esetét (ilyenek pl. az elektronok). A 0"1, ••• , aN spinváltozók mindegyike csak két értéket (±1/2) vehet fel. Minthogy a két változójában antiszimmetrikus függvény zérus· lesz, ha e változói ugyanazt az értéket veszik fel, így világos, hogy ez esetben a x tében a független függvények számát az e szakaszt

www.interkonyv.hu

követő

l. feladatban határozzuk meg.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

288

IX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

függvény alternálását legfeljebb páronként lehet elvégezni; ugyanis már három változó szerinti alternáláskor biztos, hogy legalább kettő ugyanazt az értéket veszi fel, azaz ezekre azonosan zérus adódik. Tehát elektronrendszerre a spinfüggvények Y oung-ábrái csak egy vagy két négyzetet tartalmazó oszlopokból állhatnak (tehát a sorok száma egy vagy kettő). Ekkor világos, hogy a koordinátafüggvényele Y oung-ábráiban az oszlopok száma korlátozódik kettőre. Az N elektronból álló rendszer lehetséges permutációs szimmetriatípusainak száma tehát az N szám l-et és 2-t tartalmazó felbontásainak számával egyenlő. Páros N eseién ez a szám N/2+ l lesz (O, l, ... , N/2 kettest tartalmazó felbontás képzelhető el), mig páratlan N-re (N+ l )/2-vel egyen1ő [O, l, ... , (N- l )/2 kettest tartalmazó felbontások léteznek]. Így pl. a 22. ábrán N = 4-re láthatók a lehetséges (koordináta és spin) Young-ábrák.

EE x 5= 2 5= 7

5=0

22. ábra

Könnyen belátható, hogy e szimmetriatípusok mindegyikének . (azaz minden Y oung ábrának) az elektronrendszer meghatározott S teljes spinű állapota felel meg. Tekintsük a spin-hullámfüggvényele x"~"··· spinomlakját, ahol x egy N-edrendű spinor, az indexei (amelyeknek mindegyike egy-egy részecske spinjét írja le) azok a változók, amelyeket a Youug-ábra négyzeteiben elhelyezünk. Tekintsük a 2 sorból álló, rendre N 1 és N2 négyzetet tartalmazó (N1 +N2 =N, N1 ~N2) Young-ábrákat. Az első N 2 oszlopban két négyzet van, az ezeknek megfelelő indexpárokban a spinor antiszimmetrikus. Az első sor utolsó n= N 1 -N2 négyzetében található indexele szerint a spinor szimmetrikus. Azonban tudjuk, hogy az ilyen spinor ekvivalens egy n-edrendű szimmetrikus spinorral, amelyhez S = n/2 teljes spin tartozik. A koordinátafüggvényele Young-ábráihoz visszatérve, azt mondhatjuk, hogy az n számú egynégyzetes sort tartalmazó ábrához S = n/2 teljes spinű állapot tartozik. Páros N esetén a teljes spin O és N/2 közötti egész, páratlan N esetén 1/2 és N/2 közötti félegész értékeket vehet fel, amint azt vártuk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

63.§. A RÉSZECSKÉK FELCSERÉLÉSÉVEL SZEMBENI SZIMMETRIA

289

Hi:mgsúlyozzuk, hogy a Y oung-ábrák ezen egyértelmű megfeleltetése a teljes :spin értékének csak 1/2 spinű részecskék esetében lehetséges; erről a tulajdonságról .a .csak két részecskét tartalmazó rendszerek esetében már az előző paragrafusban meggyőződtünk. N számú s spinű részecskét tartalmazó rendszer spinhullámfüggvényét N számú 2s rendű szimmetrikus spinor szorzatából építjük fel, így az egy 2Ns .rendű spinor lesz. Ha ezt a spinort egy N négyzetből álló meghatározott Y oung.ábra szerint szimmetrizáljuk, akkor a végeredményben adódó spinor független kom}Jonenseiből általában több lineáris kombináció képezhető, amelyek mindegyike a :rendszer S teljes spinjének különböző értékéhez tartozik. Ahhoz hasonlóan, ahogy az 1/2 spinű részecskékre a Young-ábrában nem for·dulhatnak elő kettőnél több négyzetet tartalmazó oszlopok, a tetszőleges s spinű trészek esetében az oszlopok hossza nem haladhatja meg a 2s+ l-et. Ha a részecskék N száma 2s+ l egész számú többszöröse, akkor a lehetséges Young-ábrák között van egy téglalap alakú, amelynek 2s+ l az oszlophossza. Az ·ehhez az ábrához rendelhető teljes spin értéke S = O. Ebbőilevonhatjuk azt a következtetést, hogy minden olyan két (spin-) Young-ábrának, amelyeket 2s+ l magas:ságú téglalappá lehet összeralmi, azonos S érték felel meg.U Ez az állítás egyszerű :következménye annak a ténynek, hogy két impulzusmomentum összeadásakor az ·eredő .impulzusmomentum csak akkor lehet zérus, ha az összeadandó impulzus!l11omentumok nagysága megegyezik. E szakasz befejezéseként térjünk vissza ahhoz a már korábban említett tényhez 1(1. a III. fejezet 9. számú lábjegyzetét), hogy több azonos részecskéből álló rendszer tlegkisebb energiájú stacionárius állapotának hullámfüggvényéről nem állíthatjuk, .hogy nincsenek csomópontjai. Most ezt a megjegyzést pontosabban is megfogalmazhatjuk, és rámutathatunk eredetére. A csomópontokkal nem rendelkező (koordináta-) hullámfüggvény szükségképpen ~szimmetrikus az összes részecske változójában; ha ugyanis pl. az l és 2 részecskepár :szerint antiszimmetrikus lenne, akkor az r 1 = r 2 pontban el kellene tűnnie. Ha azonban a rendszer három vagy több elektronból áll, akkor a teljesen szimmetrikus :koordinátafüggvény nem megengedett (ugyanis a koordináta-hullámfüggvény Young,;ábrája nem tartalmazhat két négyzetnél hosszabb sorokat). Így bár a Schrödingeregyenletnek a legalacsonyabb energiaértékhez tartozó megoldása (a variációs elv :alapján) tényleg nem tartalmaz nullahelyet, elképzelhető, hogy fizikailag ez az állapot u

][Jyen például s

=

l esetén a

következő

l l - ...... ! l l

,___ ___ __, ~

A

kiegészítő

www.interkonyv.hu

-~,

__..l

l

sémapár:

EEEE l

l

:

l

l

·L_L_..._..J._..J

ábrákat folytonos és pontozott vonalakkal jelöltük.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

29Ö

IX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

nem valósulhat meg. Ekkor a normálállapotnak nem a Schrödinger-egyenlet legalacsonyabb sajátértéke felel meg, és az azt leiró hullámfüggvénynek általában nullahelyei lesznek. Az s félegész spinű részecskék esetén ilyen helyzet többnyire a 2s+ I részecskénél többet tartalmazó rendszerekben áll elő. A bozonokból álló rendszerek teljesen szimmetrjkus állapota mindig megengedett.

Feladatok l. Határozzuk meg az N számú 1/2 spinü részecskét tartalmazó rendszer adott S teljes spinú állapotaihoz tartozó energiaszintek számát. Mego/dás. A teljes spin megadott vetületét (ME! =

L a) Nl

/(ME!)=

(N ) (N ) z+Ms ! 2-Ms!

félemódonlehet megvalósítani ( ~ +M8 részecskéheza = 1/2,

~ -M8 számúhoz pedig a=- 1/2

spinvetületértéket rendelünk). Minden adott S spinü energianivóhoz 2S+ l különbözö M 8 = S,

s-

l, ... , - s spinvetülettel jellemezhető állapot tartozik. Így könnyü belátni, hogy az adott értékhez tartozó különbözö energiaszintek száma

A különbözö energiaszintek együttes száma n=

s

L n(S); 8

N!

ll

=/(0) = (

~ ~r

páros N-re, illetve 11

( l)

=! 2

=

(N~ l

N!

t) (N~ l t)

páratlan N esetében. 2. Adjuk meg két, három és négy egyes spinü részecskét tartalmazó rendszerek spinfüggvényeinek különbözö szimmetriatfpusai esetén a teljes S spin értékét. Mego/dás. Két részecske esetén a megoldást annak felhasználásával adhatjuk meg, hogy a részecskék felcserélésekor a spin-hullámfüggvény (- ti'- 8 -sel szorzódik (J. a 62. § végét). Egyes spinü

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

63.§. A RÉSZECSKÉK FELCSERÉLÉSÉVEL SZEMBENI SZIMMETRIA részecskékre ennek alapján a

következő

2n

megfeleltetésre jutunk:

a>m S=Q2 A háromrészecskés rendszer Young-ábráit úgy kapjuk, hogy az (1)-beli Young-ábrákhoz egy négyzetet az összes lehetséges módon hozzáteszünk Ezt a következő szimbolikus egyenJóségek formájában fejezhetjük ki:

a)

l l

b)

+[T

1,1,2,3

b)

c)

EP

+

§

"------.. v-------J-' .

o,

7, 2

Az ábrák alatt feltüntettük S értékeit, amelyeket a jobb oldali háromrészecskés ·állapotokra a (bal oldali) két és egy részecskét tartalmazó állapotok spinjeinek az impulzusmomentum általános összeadási szabályait követő összeadásával kaptunk. 12 Az igy adódó impulzusmome.ntum-értékeket a különböző ábrák között úgy oszthatjuk el, ha észrevesszük, hogy a c ábrának (háromnégyzetes oszlop) S = O felel meg; ezért a b) ábrának kell tartalmaznia a második egyenlőségben fennmaradt l és 2 teljes spin értékeket. Ennek alapján az a) ábrának a b) ábrához tartozó értékel< elvétele után megmaradó l és 3 értékek felelnek meg:

a)

l

l 5=7, 3

b)

SJ 5=1, 2

5=0 A négy részecskéből álló rendszer Y oung-ábráit úgy kapjuk meg, hogy a (2)-beli ábrákhoz egy négyzetet hozzáadunk (figyelembe kell vennünk azt a megkötést, hogy az oszlopokban háromnál

12 A jobb. oldali ábrák alatt az l szám kétszeri ismétlését az teszi szükségessé, hogy egyszer a Oés l spinek, egyszer pedig a 2 és l spinek összeadásából jön létre.

19•

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

292

lX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

több négyzet nem lehet):

b)

a)

x

D

l l

+ o,

1, 2, 2, 3, 4,

b)

SJ

x

~2

D

d)

c)

EfTI

7

EfTI

+

.....

EE

+

y--

~

0, 1,7,2,2,3

d)

B o

l

x

D

Er

7

7

A c) ábra az (la)-val olyan téglalappá rakható össze, amelynek oszlopai három négyzet hosszúságúak, igy ehhez ugyanazok az S = 0,2 értékek tartoznak, mint (la)-hoz. A b) ábrában előforduló S értékeket a második egyenlőség maradéka adja, végül az a) ábráéit az első egyenlőségből állapíthatjuk meg:

a)

b)

5=0, 2, 4

EfTI 5=1, 2, 3

c)

EB

5=0, 2

d)

Er 5= 7

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

64.§. MÁSODIK KVANTÁLÁS. ABOSE-STATISZTIKA ESETE

;

293

64. §. Második kvantálás. A Bese-statisztika esete

Nagyszámú, tetszőlegesen kölcsönható azonos részecskéből álló rendszerek tanulmányozására a vizsgálat hasznos módszere a másodile kvantálás néven ismert eljárás. Ez a módszer a relativisztikus elméletben különösképpen nélkülözhetetlen, minthogy ott változó számú részecskét tartalmazó rendszerek leírása a feladat. 13 Jelöljük a stacionárius egyrészecske-állapotokat leíró ortonormált függvények valamely teljes rendszerét '1/h(;), 7fJ 2 (~), ••• -veJ.l4 Ezek például lehetnek valamely részecskének egy tetszőleges külső térbeli stacionárius állapotainak hullámfüggvényerí is, de általában egyszerűen síkhullámokat tekintünk - határozott impulzusú {és spinvetületű) szabad részecskék hullámfüggvényeit Annak érdekében, hogy az állapotok spektrumát diszkrétként kezelhessük, a részecske rnozgását egy nagy, de véges tartományra korlátozzuk; véges térfogatban vizsgált mozgások impulzuskomponenseinek sajátértékei diszkrét sorozatot futnak be (a szomszédos értékek közötti intervallum fordítottan arányos a tartomány lineáris méreteivel, és ezek növelésévei nullához tart). Szabad részecskék rendszerében a részecskék impulzusai külön-külön megmarad-nak. Ezzel együtt megmaradnak az állapotok Nt. N 2, •.• betö/tési számai is, amelyek azt mutatják meg, hogy hány részecske található rendre a "Ph 7jJ 2, ..• állapotokban. Kölcsönható részecskék esetében a részecskék impulzusai külön-külön nem maradnak meg, és ennek következtében a betöltési számok is változnak. Ilyen rendszerek esetén csak az egyes betöltési számok valószínűségeloszlásáról lehet beszélni. Olyan matematikai apparátus kiépítését tűzzük ki célul, amelyben éppen a betöltési számok (és nem a részecskék koordinátái és spinjei) játsszák a független váltözók szerepét. Ebben a módszerben a rendszer állapotát, amint mondani szokás, a "betöltési számok terén" értelmezett hullámfüggvény adja meg, amelyet tP(Nh N 2, .•• ; t)-vel jelölünk [hogy kihangsúlyozzuk eltérését a szokásos koordipáta-hullámfüggvénytől, P(~h ~2, •.. ; t)- től]. A ltP 12 abszolútérték-négyzet az N1, N 2, ••• számok különböző értékeinek valószínűségét adja meg. A függetien változók e választásának megfelelően a különböző fiZikai mem1yiségek operátorait is (köztük a Hamilton-operátort) olyan alakban kell megadnunk, hogy a betöltési számok függvé:r;tyeire való hatásuk könnyen leolvasható legyen. Ilyen alakra az operátorok szokásos mátrixalakjából kiindulva juthatunk. Ehhez az operátorok mátrixelemeit kölcsönhatásban nem álló részecskék rendszerének stacionárius \

13 A második kvantálás móds:lerét Dirae fejlesztette ki a sugárzáselméletben a fotonok tárgyalására 1927-ben, majd Wigner és Jordan terjesztették ki az eljárást fermionokra (1928). 14 Mint a 61. §-ban is, c; itt a koordináták és a a spinvetület összességét jelenti. A dl; szerinti integráJáson a koordináták szerinti integrálást és a spinre való összegezést értjük.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

294

lX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

állapotai között kell vennünk. Mivel ezeket az állapotokat a betöltési számok határozott értékeivel jellemezhetjük, a mátrixelemek kiszámításával éppen az e változókra gyakorolt hatástJmpjuk meg. Először a Bose-statisztikávalleírható részecskék rendszerét vizsgáljuk. Legyen/J1) valamely fizikai mennyiség operátora egy (az a-adik) részecskére vonatkozóan, azaz ez az operátor csak a ~a változóktól függő függvényre hat. Vezessük be .az összes részecskében szimmetrikus F(l)

I

=

;;,(1)

(64,1)

a

operátort (minden részecskére összegezünk), és határozzuk meg a (61,3) hullámfüggvény-rendszeren vett mátrixelemeit. Először is könnyen belátható, hogy a nullától különböző mátrixelemek csak azok lehetnek, amelyeknél P(l) N 1 , N 2, ••• értékeit változatlanul tartalmazó állapotokat köt össze (a diagonális elemek), valamint olyanok, ahol az egyik betöltési szám eggyel csökken, míg a másik eggyel nő. Minthogy ugyanis /~1) csak a 'IJ!pHI) 1pp,(~2) ... 7pPN(~N) szorzat egyik tényezőjére hat, mátrixelemei csak egy részecske állapotváltozása esetén lehetnek nullától különbözők. Ez azonban azt jelenti, hogy egy adott állapotban levő részecskék száma csökken, míg egy másikban ennek megfelelően egy új részecske jelenik meg. E mátfixelemek kiszámítása nem okoz gondot; egyszerűbb megcsinálni, mint magyarázat után felfogni. Ezért itt csak a számítás eredményét közöljük. A nem diagonális elemek a következők:

(64,2) Csak azokat az indexeket tüntettük fel, amelyekben a mátrixelem nem diagonális, a többit a rövidség kedvéért elhagytuk. AzJ;f; mátfixelemet az (64,3) összefüggés definiálja. Vegyük figyelembe, hogy az/~1) operátorok csak annak a változónak a jelölésében különböznek, amelyre hatnak, azonban J;~~) integráljuk az a indextől már független (ezért el is hagyjuk). pw diagonális mátrixelemei az P(l) operátornak a PN,N, ... állapotokban vett várható értékét adják. A számítás eredménye: ~ +.\l)N· F (l) -- LJJu (64,4) ,. i

Most vezessük be a második kvantálás módszere szempontjából alapvető jelentő­ á; operátorokat, amelyek immár nem a koordinátafüggvényekre, hanem az N1, N 2, . • • változók függvényeire hatnak. Definíciójuk legyen a következő: az á; operátor hatására a @(N1, N 2 , ••. ) függvény N; indexe 1-gyel csökken, ugyanakkor ségű

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

295

64.§. MÁSODIK KVANTÁLÁS. ABOSE-STATISZTIKA ESETE

-

a normálási feltétel fenntartásához -

az új függvényt beszorozzuk

yN;- vel: (64,5)

Azt mondhatjuk, hogy az il; operátor az i-edik állapotban található részecskék számát ··eggyel csökkenti (ezért e/tüntető operátornak hívják). Oly~n mátrixszal reprezentálható, amelynek egyetlen nullától különböző eleme a következő:

(N;-lJa;JN;)

= l(N;.

(64,6)

Az á; hermitikus konjugáltját definíciószerűleg [1. (11,9)] a nemnuHa elemmel rendelkező mátrix adja meg:

következő,

egyetlen

(64, 7) Ez azt jelenti, hogy a ({)(Nb N 2,

••• )

függvényre hatva

at az N;-t 1-gyel megnöveli: (64, 8)

Más szóval, az at operátor a ({)(Nl, N 7-, ••• ) függvényre hatva, az i-edik állapotbeli részecskék számát eggyel növeli (ezért részecskekeltő operátornak nevezik). Az iifil; szorzat a hullámfüggvényre hatva, azt csak egy számmal szorozza meg, az összes indexeket változatlanul hagyva. Az il; operátor ugyanis N;-t egy egységgel csökkenti, de újra az eredeti értékét adja vissza. A (64,6) és (64,7) mátrixakat il;- t diagonális mátrix reprezentálja, közvetlenül összeszorozva láthatjuk, hogy .amelynek diagonális elemei éppen az N; számok. Tehát írhatjuk, hogy

at

at

af a;= N;.

(64,9)

Hasonló módon adódik az (64,10) iJsszefüggés. Így az á; és

at operátorok felcserélési szabálya a következő lesz: (64,11)

Ami a különböző i és k indexű operátorokat illeti, azok {N; és Nk) hatván, nyilván felcserélhetők lesznek:

különböző

i~

www.interkonyv.hu

k.

változókra

(64,12)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

296

IX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

Az á; és

át

operátorok fenti tulajdonságai alapján könnyen belátható, hogy az: ftCl)

I ![Pat ak

=

(64,13}

i,k

operátor megegyezik a (64,1) operátorral. Ugyanis az összes (64,6) és (64,7) segítségé-vel kiszámítható mátrixelem megegyezik a (64,2) és (64,4) mátrixelemekkel. Ez igenfontos eredmény. A (64,13) kifejezésben az/;~) mennyiségek puszta számok. Í:gy sikerült egy szokásos, a koordinátafüggvényekre ható operátort új, az N 1 betöltési számok függvényeire ható operátorok segítségével kifejeznünk. A kapott eredményt könnyű általánosítani más típusú operátorokra is. Legyen pc2) _ -

(64,14}

"' /(2) L,_; J ab'

a:>b

ahol j~~) olyan fizikai mennyiség operátora, amelyik egyszerre két részecskét jellemez és így a ~a és ~b változókra hat. A fentiekhezhasonló számításokkal megmutatható, hogy az ilyen típusú operátorok

F(2) =

~ I

(ik Jj{ 2) l lm) at at ámfll

{64,15}

i,k, l, m

alakú kifejezései az á; és

at operátoroknak, ahol

E kifejezések általánosítása tetszőleges számú részecskét szimmetrizáltan operátorokra, mint amilyen pl. F(s)

összekötő.;

= "' .f(3) L.Jabc,

nyilvánvaló. Az á1, operátorokkal kifejezhetjük az N kölcsönható azonos részecskéből álló, rendszer Hamilton-operátorát is. Az ilyen rendszer Hamilton-függvénye nyilvánvalóan az összes részecskében szimmetrikus; nemrelativisztikus közelítésben15 a részecskék spinjétől független és legáltalánosabb alakja a következő:

at

. H=

IH~1)+ a

15

I a>b

Ú( 2)(ra; rb)+

L

Ú(3)(ra, Tb, re)+ ...

(64,16}

a>b>c

Ha nincs mágneses tér.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

29T

64.§. MÁSODIK KVANTÁLÁS. A EOSE-STATISZTIKA ESETE

Itt B.~1> a Hamilton-operátornak az a része, amely csak egyetlen (az a-adik) részecske koordinátáitól függ: ~(l} fi2 ~ 1 H a = - 2-m" (64,17) ~..:>a +U< >(r) . a, ahol Ou>(ra) a részecske külső térbeli potenciális energiája. A (64,16) kifejezés további tagjai a részecskék közötti kölcsönhatási energiának felelnek meg; a továbbiak szempontjából célszerű különválasztani .a két, három stb. koordinátától függő~ tagokat. Ez az alak lehetővéteszi a (64,13), (64,15) és a hozzájuk hasonló formulák közvetlen alkalmazását. Tehát

H= L H}Jatak+ ~ L i,k

(ik IUl lm) at at ama;.

(64,18}

i,k,l, m

Ezzel a Hamilton-operátor keresett kifejezését olyan operátorok segítségével adtuk meg, amelyek a betöltési számok függvényeire hatnak. A kölcsön nem ható részecskék rendszerét leíró Hamilton-operátorban (64,18)nak csak az első tagja marad meg:

H= LH}f!atak.

(64,19)

i,k

Ha a "Pi függvényeknek a Hm egyrészecskés Hamilton-operátor sajátfüggvényeit választjuk, akkor a Hf]) mátrix diagonális, és diagonális mátrixelemei áz e; energia-· sajátértékek:

Az atái operátort (64,9) sajátértékeivel helyettesítve, a rendszer energianívóira az

E=·Le;N; i

kifejezés adódik, amely megegyezik a magától értetődően várt eredménnyel. Az itt ismertetett módszert kissé tömörebb alakban is megfogalmazhatjuk, beve-zetve a (64,20} operátorokat/6 ahol

a~

változókat paraméternek tekintjük. Az á; és áf operátorok-

16 Felhivjuk a figyelmet a (64,20) és egy tetszőleges hullámfüggvény valamely teljes függvényrendszer szerinti kifejtése közötti analógiára. Ez a jelen esetben mintegy kvantálódik, ami a rná-· sodik kvantálás elnevezés eredetére is rámutat, ·

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

298

IX. FEJEZET. AZONOS RÉSZECSKÉK

Tól fentebb mondottak alapján világos, hogy a ip operátor eggyel csökkenti, a ~+ pedig eggyel növeli a rendszer részecskéinek teljes számát. Könnyen belátható, hogy a ~+(~o) operátor olyan részecskét kelt, amely a ~o pontban van lokalizálva. Ugyanis az operátor hatására a "P;(;) állapotban található részeeske jelenik meg. Ebből következik, hogy a ~+(~o) operátor hatásának eredményeként olyan részecske adódik, amelynek hullámfüggvénye [az (5,12) kifejezést felhasználva]: L 1pj(;) 'lj);(~ o) = b(~ -~o),

at

i

,ez pedig határozott koordinátájú (és spinű) részecskét ír leP A ~ és ;p+ operátorok felcserélési összefüggései közvetlenül adódnak az á; és .kommutátoraiból. Így nyilvánvaló, hogy ip(~) ip(~') -ip(O V'(~) =

ip(~) ip+cn -ip+ cn ip(;)

o,

= L "Pi(~) "Pren = b(~ -n.

at

(64,21) (64,22)

i

A másodkvantált P(l) operátort az új 1p-operátorok segítségével az (64,23) :alakban írhatjuk fel. (Az összefüggést úgy kell érteni, hogy az / operátor ip-ben .a ~ paraméterek függvényeire hat.) Ugyanis 1p-t és 1p+-t behelyettesítve (64,20)-ból, és felhasználva a (64,3) definíciót, (64,13)-at kapjuk. (64,15) helyett hasonlóan írhatjuk, hogy (64,24) Speciálisan, a H operátor ip és ip+ segítségével kifejezett alakja a következő:

H=

f

{-;:ip+(;) 6ip(~)+ip+(~)

+~

ff ip+(~)

ip+cn

ú 2. 12 A G csoport elemeit s mellékosztályba lehet sorolni: H, G'H, G" H, ... , ahol G', G", ..• , a csoportnak azon elemei, amelyek az a magot a'-be, a"-be, ... viszik át.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

102. §.A MOlEKULÁK SZIMMETRIKUS KONFIGURÁCIÓINAK STABILITÁSA 481

azonban, hogy a De ábrázolás, ha nem is egyezik meg DQ·val, annak mindenesetre teljes egészében része. 13 Ezenkívül D e nem egységábrázolás, mivel 1p2 nem invariáns a teljes G csoporttal szemben (csak a D(el> nem egydimenziós irreducibilis ábrázolás összes:,bázis:függvénye négyzetének összege invariáns). A DQ és Dl} ábrázolások így meghatározott tulajdonságai azonnal adják a keresett eredményt. Valóban, DQ a teljes rezgési ábrázolás része, D(/ pedig a [D(el> 2 ] ábrázolás része, és nem tartalmazza az egységábrázolást. Az a tény, hogy DQ tartalmazza De-t, annyit jelent tehát, hogy [n 2] tartalmaz legalább egyet az egységábrázolástól különböző D"-rezgési ábrázolások közül, amit bizonyítanikellett. A fenti megfontolások során még kihasználtuk, hogy a D(el) ábrázolásnak a H alcsoport irreducibilis ábrázolásai szerinti kifejtésében van egydimenziós ábrázolás. Ez a feltételezés az esetek túlnyomó többségében helytálló. Így például biztosalll igaz, ha H= CL, cs, c2, c2v (minthogy e csoportok valamennyi irreducibilis ábrázolása egydimenziós). Ugyancsak teljesül a H =Cn, Cnv esetben is n >-2 mellett, ha D(el) páratlan dimenziójú (minthogy a cn és cnv csoportnak csak egy- és kétdimenziós irreducibilis ábrázolásai vannak). A pontcsoportok irreducibilis ábrázolásainak karaktereit tartalmazó táblázatból kitűnik, hogy a G =O, Ta= O" köbös csoportok kétdimenziós ábrázolásai kivételt képeznek,- amikor az alcsoport .H = C,t. C 4v.

Vizsgáljuk meg konkrétan a G =O csoportot és a H = C4 alcsoportot (az adott választás csak az ábrázolások jelölésében tükröződik). A 1p1 és 1p 2 elektronfüggvények megvalósítják az O csoport D(el) = E ábrázolását és a C4 alcsoport a

(a mátrixelemek diagonális J, J indexeit a rövidség kedvéért mindenütt elejtjük). Ebből H keresett mátrixelemei a következő alakban adódnak: 19

rz2

lí 1+-z ck

(kl Hi k) =T (a+b) [J( J+ 1)- k 2 (k [Hl k+ 2)= (k+21 Hl k) =

19

A 2-5. feladatokban az írásmód

"fí2

S

www.interkonyv.hu

2,

(a-b) Y(J- k) (J- k-1) (J+k+ l) (J+k+2).

egyszerűsítése

a = 1/IA,

2

(l)

céljából bevezettük az alábbi jelöléseket:

b = 1/!B,

C

= 1/!0 •

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

103. §.A PÖRGETTYŰ FORGÁSÁNAK KVANTÁLÁSA A (103,12) függvényekkel számított mátrixelemek az (l) alatti

(k±IHik±)=(kiHik),

mennyiségekből

491

a

k;él, (2)

(l± !Sil±)= (liH!l)±(liHI-1), (k±IH!k+2,±)=(k1Hik+2), k;éO, (0+ l H l 2+) =

Jiz (O l H l 2)

összefüggések segítségével kaphatók. 3. Határozzuk meg az aszimmetrikus pörgettyű J= l-hez tartozó energiaszintjeit. Megoldás. A harmadfokú szekuláris egyenlet három elsőfokú egyenletre esik szét. Közülük az egyikből

(3)

adódik. Ezután már azonnal felírhatjuk a két másik energiaértéket is, minthogy hogy a három a, b, c paraméter szimmetrikusan szerepel a feladatban. Ezért

előre

nyilvánvaló,

(4) Az Eh E 2 , E3 energiaszintek rendre a Bt. B 2, B 3 szimmetriatípushoz tartoznak. 2° Ezeknek az állapotoknak a hullámfüggvényei:

4. Oldjuk meg az

előző

feladatot a J

=

2 esetben.

Meg;ldás. Az ötödfokú szekuláris egyenlet három elsőfokú és egymásodfokú egyenletre esik szét. Az ·egyik elsőfokú egyenletből (5)

(B 1 típusú szint). Ebből azonnal következik, hogy van még két (B 2 és B 3 típusú) energiaszint, melyek energiája:

E három szintnek

megfelelő

A másodfokú egyenlet a

hullámfüggvények:

következő:

(0+ IHIO+)-E(2+ IH! O+) l=; O. IH! O+) (2+ IHI2+)-E

1(2+

(6)

20 Ez azonnal következik szimmetriamegfontolásokból. Az E 1 energia szimmetrikus az a és b tehetetlenségi nyomatékokban; szükségképpen ilyen egy olyan állapot energiája, melynek a~ és 'T} tengelyekre vett szimm~triája azonos (B1 típusú állapot).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

492

XIII. FEJEZET. TÖBBATOMOS MOLEKULÁK

Ennek megoldása (7)

Ezek a szintek az A típusba tartoznak. A megfelelő hu!lámfüggvények a 'Pio és 'Pi2 függvényele lineáris kombinációi. 5. Oldjuk meg a 2. feladatot a J

= 3 esetben.

Megoldás. A hetedfokú szekuláris egyenlet szétesik egy elsőfokú és három másodfokú egyenletre.

Az

elsőfokú egyenletből

(8) (A Hpusú szint). A másodfokú egyenletek egyike az előző feladat (6) egyenlete (más J érték mellett);

Ennek gyökei: (9) (B1 típusú szintek). A többi energiaszint az a, b, c, paraméterek permutációjával nyerhető.

6. Határozzuk meg egy kvadrupólusmomentummal rendelkező rendszer nívóinak felhasadását elektromos térben. Megoldás. Koordinátatengelynek a fhp/8x;fJxk tenzor főtengelyeit választva (1. a 76.§ 3. feladatát) a rendszer Hamilton-operátorának kvadrupólus részét a következő alakra hozzuk: tetszőleges külső

H= AJ;+Blff+CJ;, A+B+C =o. E kifejezésnek a (103,1) Hamilton-operátorral való teljes formai analógiája miatt a kitűzöt~ feladat ekvivalens az aszimmetrikus pörgettyű energiaszintjeinek meghatározásával, a különbség J?indössze annyi, hogy most az együtthaták összege A+ B+ C = O, és az impulzusmomentum feles értékeket is felvehet. Ez utóbbi esetben a korábbi számítások megismételhetők, egész J mellett pedig felhasználhatjuk a 2-4. feladatok eredményeit. Az eredményül kapott LIE energiaváltozás az első néhány J értékre a következő: J

=

1:

J= 3/2: J~ 2:

LIE

=

-A, -B, - C,

LIE=±V~ (A LIE

= 3A, 3B, 3C,

2 +B 2 +C 2),

±y 6(A 2+ B 2+ C2).

J= 3/2 esetén az energiaszintek kétszeresen elfajultak maradnak, a Kramers-tételnek (60.§) megfelelően.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

104. §.A MOLEKULA REZyÉSEINEK ÉS FORGÁSÁNAK KÖLCSÖNHATÁSA

493

104. §. A molekula rezgéseinek és forgásának kölcsönhatása Az eddigiekben a molekula rezgéseit és forgását egymástól független mozgásoknak tekintettük. A valóságban azonban egyidejű fellépésük sajátságos kölcsönhatást eredményez közöttük (Teller Ede, Tisza László, G. Placzek, 1932-S3). Kezdj\ik a lineáris többatomos molekulák vizsgálatával. A lineáris molekulának két küiÖnböző típusú rezgésformája van (1. 100. § végét): longitudinális rezgés egyszeres és transzverzális rezgés kétszeres multiplicitású frekvenciákkaL Bennünket inost az utóbbi érdekel. · A J;ranszverzális rezgést végző molekulának általában valamilyen meghatározott impulzusmomentuma van. Ez már egyszerű mechanikai megfontolásokból is kitű·· nik,21 d,e ~vantummechanikai vizsgálattal is belátható. Az utóbbi lehetövé teszi az imprilmsinomentum lehetséges értékeinek meghatározását is az adott rezgési álla-

a

potban.· Tételezzük fel, hogy a molekula valamilyen w"' kétszeres frekvenciájú gerjesztett állapotban van. A v"' rezgési kvantumszámmal jellemzett energiaszint (v"'+ 1)-szeresen elfajult. A megfelelő v"'+ l hullámfüggvény:

(ahol vd + v" 2 = v"'), vagy ezeknek tetszőleges lineáris kombinációi. Az összes ilyen függvényben az exponenciálist szorzó polinomok legmagasabb együttes kitevője (Q~i es Q" 2 kitevőjének osszege) V"·val egyenlő; Nyilvánvaló, hogy alapfüggvényelkként ~lfldig Választhatjuk a 1pVrt.t>Vrt• függvények alábbilineáriS kombin.ációit:

"Pv"r" =const·exp [ - ;

c~(Qf"+Q~)J X

V«+/« Vr pedig az adott rezgésállapotot jellemző vibrációs impulzusmomentum vetületének átlagértéke; kv elltmtétben k-val, nem egész sz;ím. Végül megvizsgáljuk a gömbi pörgettyű típusú molekulákat: Ide tartoznaka valamelyik köbös csoport szimmetriájával rendelkező molekulák. Ilyen molekuláknak egyszeres, kétszeres vagy háromszoros multiplicitású frekvenciáik vannak (annak megfelelően, hogy a köbös csoportok irreducibilis ábrázolásaiegy-, két- vagy háromdime~ziÓsak). A vibrációs szintek elfajulása, mint mindig, az anharmonicitás figye~ lernbevételével részben megszűnik, ezután a nem elfajult nívók mellett már csak kétvagy háromszorosan elfajultak maradnak. Itt most éppen ezekről az anharmonicitás miatt felhasadt szintekrőllesz szó.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

104.§. A MOLEKULA REZGÉSEINEK ÉS FORGÁSÁNAK KÖLCSÖNHATÁSA

497

Könnyen belátható, hogy gömbi pörgettyű típusú molekulák esetén az átlagos vibrációs impulzusmomentum nemcsak a nem elfajult állapotokban, hanem a kétszeresen elfajultakban is eltűnik. Ez már a szimmetriatulajdonságokon ~lapuló egyszerű megfontolásokból is következik. Valóban, egy elfajult energianívóhoz tartozó két állapot átlagolt impulzusmomentum-vektorainak a molekula minden szimmetriatranszformációja során egymásba kellene átmenniük. Azonban egyetlen köbös szimmetriacsoport sem teszi lehetövé két, csak egymásba transzformálódó irány létezését; egymás között legkevesebb három irány összessége transzformálódik. Ezekből a megfontolásokból az is következik, hogy háromszorosan elfajult rezgési nívóknak megfelelő állapotokban a vibrációs impulzusmomentum nullától különböző. A vibrációs állapotra való átlagolás után ez az impulzusmomentum egy mátrixszal ábrázolt operátor. A mátrixeleniek a három elfajult állapot közötti átmeneteknek felelnek meg. Az ilyen állapotok számának megfelelően ez az operátor Ci alakú kell, hogy legyen, ahol l az egységnyi impulzusmomentum operátora (úgyhogy 21+ l =3), l;, pedig az adott rezgési nívóra jellemző állandó. A molekula forgó mozgásának Ha:. milton-operátora fz2 (A A(V) 2 Hrorg = 21 J- J ) ,

ami az átlágolás után a (104,8) alakot ölti. Az első tag sajátértéke a szokásos (103,4) forgási energia, a második tag egy a forgási hantumszámtól független lényegtelen állandót ad. A (104,8) utolsó tagja megadja a vibrációs szint felhasadására vezető Coriolis-energiát. A JImennyiség sajátértékét aszokásos módon számíthatjuk ki; (adottJmellett)ez a taghárom különböző értéket vehet fel (a J+l vektor J+l, J-l, J értékeinek megfelelően). Eredményünk: E - -.!!_r J . ECJ-1>.!!_ -.r(J+ l) • corJ"'' cor 1 "

www.interkonyv.hu

(J) -

fz2 r

Ecor- ["'"

. (104,9)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

498

XIII. FEJEZET. TÖBBATOMOS MOLEKULÁK

105. §. A molekulatermek osztályozása A molekula hullámfüggvénye az elektron-hullámfüggvény, az atommagok rezgő­ mozgását leíró hullámfüggvény, valamint a forgást leíró hullámfüggvény szorzataként áll elő. E függvények osztályozásáról és szimmetriatípusairól külön-külön már beszéltünk. Hátra van még a molekulatermek egészének osztályozása, azaz a teljes hullámfüggvény lehetséges szimmetriáival kapcsolatos kérdések tisztázása. Nyilvánvaló, hogy megadva a szorzat minden tényezőjének egyik vagy másik transzformációval szemben mutatott szimmetriáját, ismerjük a szorzatnak e transzformáció alkalmával runtatott szimmetriáját is. Az állapot szimmetriájának teljes jellemzéséhez. meg kell_ még adni a teljes hullámfüggvény viselkedését a molekula valamennyi részeeskéje (elektronok és magok) koordinátájának egyidejű tükrözése során. Az állipotot negatívnak vagy pozitívnak nevezzük attól függően, hogy e transzformáció során a hullámfüggvény jelet vált, vagy változatlan marad. 23 Tekintettel kelllennünk azonban arra, hogy az állapot tükrözéskor mutatott jellegéről csak akkor van értelme beszélni, ha a molekulának nincsen sztereoizomerje. A sztereoizoméria fellépése azt jelenti, hogy ponttükrözéssei a molekula olyan konfigurációt vesz fel, mely semmilyen térbeli forgással nem hozható fedésbe az eredetivel; a "balkezes" és "jobbkezes" molekulák az anyag különböző módosulatai. 24Ezért az egymásból ponttükrözéssei nyert hullámfüggvények, amennyiben van sztereoizoméria, különböző molekuláknak felelnek meg, összehasonlításuk értelmetlen lenne. 25 A 86. §-ban láttuk, hogy kétatomos molekulák esetén a magspin közvetett úton igen lényeges hatással van a molekulatermek rendszerére: meghatározza elfajulásuk multiplicitását, bizonyos esetekben teljesen megtilt egy vagy más szimmetriával rendelkező termet. Ugyanez érvényes többatomos molekulák esetében is. Itt azonban a kérdés vizsgálata sokkal bonyolultabb, és minden adott esetben csoportelméleti módszerek alkalmazását igényli. A módszer alapgondolata a következő. A teljes hullámfüggvénynek (az eddig kizárólagosan vizsgált) koordinátarészen kívül spinszorzót is kell tartalmaznia, mely a magok spinjének valamilyen, a térben rögzített irányra való vetületétől függ. A mag 23 A szokást követve ugyanazt az ügyetlen terminológiát használjuk, mint kétatomos molekulák esetén (86.§). 24 Sztereoizoméria fellépésének lehetőségéhez az kell, hogy a molekulának ne legyen semmiféle tükrözéssei kapcsolatos szimmetriaeleme (mint tükörközéppont, szimmetriasík, tükrözéses forgástengely stb.). 25 Szigorúan véve, a kvantummechanika mindig nullától különböző valószínűséget ad az egyik módosulatból a másikba való átmenetre. Ez a valószínűség, amely a magnak potenciálgáton való áthaladásával kapcsolatos, rendkívül kicsi.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

105. §.A MOLEKULATERMEK OSZTÁLYOZÁSA

499

spinjének a vetülete 2i+ l értéket vehet fel (i a mag spinje); valamennyi a1, a 2, ... , aN (N a molekula atomjainak száma) értéket figyelembe véve, a spiTiszorzó (2il + l)X X(2i2+ 1) .. . (2iN+ l) különböző értékét kapjuk. Minden egyes szimmetriatranszformáció alkalmával bizonyos (ugyanolyan fajtájú) atommagok helyet cserélnek, és. ha úgy fogjuk fel, hogy a spinériékek a "helyükön maradnak", akkor a transzformáció a spinek magok közti permutációjával egyenértékű. Ennek megfelelően a különböző spinszorzók egymás között transzformálódnak, tehát a molekula szimmetriacsoportjának egy (általában redukálható) ábrázolását valósítják meg. Ezt irreducibilis részekre bontva, megkapjuk a spinhullámfüggvény lehetséges szimmetriatípusait. A spinszorzók által megvalósított ábrázolás Xsv(G) karaktereinek meghatározására könnyft általános képietet adni. Ehhez vegyük észre, hogy a transzfor,máció során csak azok a spinszorzók nem változnak, amelyekben a helyet cserélő magok spinje ugyanaz: a aa érték; az ellenkező esetben az egyik spioszorzó átmegy a másikba, és nem ad járulékat a karakterhez. Tekintetbe véve, hogy aa összesen 2ia + l értéket vehet fel, azt kapjuk, hogy Xsp(G)

=

n(2ia+ 1),

. (105,1)

ahol a szorzatot az adott G transzformáció mellett helyet cserélő atomcsoportokra kell képezni (minden csoportból egy tényező járul a szorzathoz). Bennünket azonban nem annyira a spinfüggvény szimmetriája érdekel, mint a koordináta-hullámfüggvényé (a magok koordinátáinak felcserélésével szemben mutatott szimmetriáról van szó, az elektronkoordináták változatlanul hagyása me1lett). Ezek a szimmetriák v:iszont szoros kapcsolatban állnak egymással, minthogy a teljes hullámfüggvény két atommag felcserélésekor változatlan marad, vagy jelet vált aszerint, hogy azok Bose- vagy Fermi-statisztikát követnek [másképpen kifejezve, a hullámfüggvény ( -1)2 ;-vel szorzódik, ahol i a felcserélt magok spinje]. Beírva a megfelelő szorzót a (105,1) karakterekbe, megkapjuk az összes olyan irreducibilis ábrázolást tartalmazó ábrázolás x( G) karaktereinek rendszerét, melyek szerint a koordinátahullámfüggvényele transzformálódnak: X( G) =

n(2ia+ l)(

-J)2i.Cn.-1J

(105,2)

az adott transzformáció során egymással helyet cserélő magok csoportjaiban levő atommagok száma). Ezt az ábrázolást irreducibilis részekre bontva, megkapjuk a molekula koordináta-hullámfüggvényeinek lehetséges szimmetriatípusait, a megfelelő energianivók elfajulásának multiplicitásával együtt (itt és alább is az atommagok rendszerének különböző spinállapotai szerinti elfajulásról van szó). 26 (ná

26 Aszintek elfajulasának multiplicitását ebben az összefüggésben gyakran az állapot magstatisztikai súlyának ismondják (l. a XI. fejezet 35. számú lábjegyzetét).

32°

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

500

Xlll. FEJEZET. TÖBBATOMOS MOLEKULÁK

Az állapot szimmetriájának egyes tipusai a molekula ekvivalens magjainak (azaz a molekula :valamilyen szimmetriatranszformációja során egymással helyet cserélő magok csoportjainak) eredő spinjével kapcsolatosak. Ez a kapcsolat nem kölcsönösen egyérteimű: az állapotok adott szimmetriatipusai általában az ekvivalens magok csoportjainak különböző spinértékeivel valósíthaták meg. E kapcsolat megállapítása az egyes konkrét esetekben csoportelméleti módszerek alkalmazásával lehetséges. Példa gyanánt tekintsük a C~ 2 H! etilénmolekulát (43g ábra, D 2hszimmetriacsoport). A vegyjelfelső indexe a magizotóp tömegszámát jelöli; ennek feltüntetése azért szükséges, mert a különböző izotópok magjainak spinje általában különböző.· Az adott esetben a H 1-mag spinje 1/2 a C 12-é pedig O. Ennek megfelelőencsaka H-atomokat kell tekintetbe vennünk. Válasszuk koordináta-rendszerünkefa 43g ábrán jelzett módon (a z tengely merő~ leges a molehila síkjára, x pedig a molekula tengelyében fekszik). A a(xy) síktükrözés valamennyi atomot a helyén hagyja. A többi tükrözés és forgatás páronként felcseréli a H-atomokat. A (105,2) képlet alapján az ábrázolás karakterei a következó'k: Ea(xy)a(xz)a(yz) l C 2(z)C 2(y)C 2(x) 16 16 4 4 4 4 4 4

Ez az ábrázolás. a D 2h csoport következő irreducibilis ábrázolásait tartalmazza: 7 Ag, 3Big• 3B 2u, 3B3u. A számok azt mutatják, hogy hányszor fordul elő az adott irreducibilis ábrázolás a redukálásában; ezek a számok adják egyúttal a megfelelő szimmetriájú nívó magstatisztikai súlyát. 27 · Az etilénmolekula állapotainak kapott osztályozása az elektron-vibrációs és forgási részeket tartalmazó teljes (koordináta) hullámfüggvényre vonatkozik. Általában azonban érdekes ezt az eredményt más szempontból vizsgálni. Nevezetesen, a teljes hullámfüggvény szimmetriáinak ismeretében közvetlenül meg tudjuk mondani, milyen forgási nívók lehetségesek (és milyen statisztikus súllyal) megadott elektron- és rezgésállapot mellett. Vizsgáljuk például a normál elektronterm legalacsonyabb vibrációs állapotának (rezgési gerjesztés nincs) rotációs szerkezetét, feltéve, hogy az állapot elektron-hullámfüggvénye teljesen szimmetrikus (ami gyakorlatilag valamennyi többatomos molekula esetén teljesül). Ekkor a· teljes hullámfüggvénynek a szimmetriatengely körüli forgatáskor mutatott szimmetriája megegyezik a· rotációs hullámfüggvény szimmetriájával. Ezt a kapott eredményekkel összevetve, arra a következtetésre jutunk, hogy az etilénmolekula A és B 1 tipusú (1. 103. §)rotációs nívói pozitivak, statisztikus súlyuk 7 és 3, a B 2 és B 3 tipusúszintek pedig negatívak, 3 statisztikus súllyal. 27 Az állapot szimmetdájának kapcsolatát az etilénmolekula n:égy H-atoútjának eredő spinjével l. az L feladatban.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

105.§•. A MOLE~ULATERMEK OSZTÁLYOZÁSA

501

Mint a k~ta.tom.os molekulák esetében is (1. a 86.§ végét), a magspineknek ;u; elekt• ro,nokkal való rendkivül gyenge csatolása miatt az etilénmolekula különbqző magszimmetriájú állapotai között gyakorlatilag nincsenek átmenetek. Ez~;rt .az ilyen állapotokban levő molekulák az anyag különböző módosulataiként viselkednek. úgyhogy a C~2 H! etilénnek négy különböző módosulata van, rendre 7, 3, 3; 3 magstatisztikai súlyokkaL Ebben a következtetésben lényeges, hogy a különböző szimmetriájú állapotok különböző energiaszintekhez tartoznak (melyek között a távolság nagy a magspinek kölcsönhatási energiájához képest). A fenti eredmény éppen ezért érvényét veszti olyan molekulák esetén, melyeknéllétezik több, ugyanahhoz az elfajult energiaszinthez tartotó különböző magszimmetriájú állapot. Tekintsünk még egy példát, a szimmetrikus pörgettyű típusú N14H~ il~nmónia~ molekulát (41. ábra, C 3 v szinunetriacsoport). Az N 14-mag spinje l, a ,H1-rpagé 1/2. A (105,2) összefüggés alapján megkapjuk a C 3v csoport bennünket érdeklő karaktereit: E 2Ca 30'v 24 6 -12. Ez az ábrázolás a C3v csoport következő irreducibilis ábrázolásait tartalmazza: 12A2, 6E. Két típusú nívó létezhet tehát; magstatisztikai súlyaik rendre 12 és 6. 28 A szlmmetrikus pörgettyű forgási nívóit (adott J mellett) ak kvantumszám értékeivel osztályozzuk. Vizsgáljuk meg, mint az előző példában is tettük, az NH 3 ~ molekula normál elektrán- és rezgési állapotának rotációs szerkezetét (feltételezzük tehát az elektron- és a rezgési hullámfüggvény teljes szirnmetriáját). A rotációs hullámfüggvény meghatározásában tekintettel kell lennünk arra, hogy viselkedéséről csak tengely körüli forgás esetép van értelme beszélni. Ezért aszimmetriasíkokat rájuk merőleges másodrendű szimmetriatengelyekre cseréljük (síkra való tükrözés egyenértékű egy ilyen tengely körüli forgatás és egy azt követő ponttükrözés együttesével); az adott esetben ,nyilvánvalóan C 3v helyett a vele izomorf D 3 csoportot kell tekintenünk. A k = ±lk [-val jellemzett rotációs hullámfüggvényele függőleges tengely körüli C 3 forgatásnál e± 2"il k 113-mal szorzódnak, a másodrendű vízszintes tengely körüli U 2 forgatásnál pedig egymásba mennek át, tehát a D 3 csoport egy kétdimenziós ábrázolását valósítják meg. Amennyiben lk l nem osztható hárommal, ez az ábrázolás irreducibilis: az E ábrázolás. A C 3v csoportnak a teljes hullámfüggvényhez tartozó ábrázolását a xCU2) karaktemele + 1-gyel vagy -1-gyel való szorzásával kapjuk aszerint, hogy a term pozitív vagy negatív. Minthogy azonban az E ábrázolásban xCU2) =O, mindkét esetben az E ábrázolást kapjuk vissza (most mármint C 3v és nem mint Da ábrázolását). A most kapott eredmények birtokában levonhatjuk azt a követ28 A:z 4 2 szimmetriájú tenneknek a hidrogénmagok 1/2 értéke felel meg.

www.interkonyv.hu

eredő

spinjének 3/2, az E-termeknek pedig

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

502

XIII. FEJEZET. TÖBBATOMOS MOLEKULÁK

keztetést, hogy hárommal nem osztható l k l esetén egyaránt létezhetnek pozitív és negativ állapotok, melyeknek magstatisztikai súlya 6 (a teljes koordináta-hullámfüggvény E típusú szimmetriájához tartozó szintek). Ha lk l háromnak többszöröse (de nem nulla), a rotációs függvények által megvalósított ábrázolás (Ds csoport) karakterei a következők:

E 2Cs 3U2 2 2 o Ez az ábrázolás redukálható, és az A1, valamint A2 ábrázolásokra bomlik. Ahhoz, hogy a teljes hullámfüggvény a C311 csoport A2 ábrázolásához tartozzék, az kell, hogy az A1 rotációs nivó negativ, A2 pedig pozitív legyen. Így tehát hárommal osztható, nullától különböző l kl mellett pozitív és negatív nívók is lehetségesek 12-es magstatisztikai súllyal (A2 típusú szintek): Végül ak = Oimpulzusmomentum-vetületnek egyetlen rotációs függvény felel meg, rnely az alábbi karakterekkel rendelkező ábrázolást valós'itja meg:29

E 2Cs 3U2 Ir,! ~---;-.1--,:-1_.,-(--"""'t)'"""J • ~ A teljes hullámfüggvény akkor A2 szimmetriájú, ha ponttükrözéssei szemben viselkedését a-( -ll szorzó a~ja meg. Ennek megfelelően k =O esetén a páros (páratlan) J-vel jellemzett energiaszintek csak negatívak (pozitívak) lehetnek; a statisztikus súly mindkét esetben 6 (A2 típusú szintek). Ezeket az eredményeket összefoglalva, az N14H~-molekula lehetséges állapotaira a k kvantumszám kölönböző értékei esetén, normál elektron- és vibrációs állapotok mellett az alábbi táblázatot kapjuk (a + és a - jel a pozitív, illetve a negatív állapotokat jelöli):

l k l nem osztható 3-mal l k l osztható 3-mal k

=

0

{J

páros J páratlan

(+)

(-)

6E 12A2

6E 12A 2 6A2

6A2

Adott J és k mellett az NHa-molekula energianívói általában elfajultak (l. még a 3. feladatban az NOs-ra vonatkozó táblázatot is). Ez az elfajulás részben feloldódik az ammóniamolekula lapos alakjával és a hidrogénatomok kis tömegével kapcsolatos 29 J impulzusmomentumú és nulla vetületű állapot impulzusmomentum-sajátfüggvénye n szögű forgatásnál ( -l).r-nel szorzódik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

105.§. A MOLEKULATERMEK OSZTÁLYOZÁSA

503

sajátságos effektus miatt. A molekula atomjainak viszonylag kis függőleges elmozdulása révén átmenet jöhet létre két olyan konfiguráció között, melyek egymásból a gúla alapjával párhuzamos sikra való tükrözéssei keletkeznek (44. ábra). Ezek; az

N

H•~H H,_.

.

.

·~ .

H

l

.

"l

N

44. ábra

átmenetek a nívók felhasadására vezetnek: a pozitív és negatív sziritek szétválnak (az effektus hasonló.az 50.§ 3. feladatában ismertetett egydimenziós esethez). A felhasadás mértéke arányos az atomnl:).k a molekula két konfigurációját elválasztó .,potenciálgáton" való átmeneti valószínűségéveL Bár az ammóniamolekula esetében a fent említett tulajdoi].ságai miatt ez a valószínűség viszonylag nagy, a felhasadás mégis kicsi (1·10-4 eV). A gömbi pörgettyű típusába tartozó molekula esetét az 5. feladatban vizsgáljuk.

Feladatok 1. Állapitsuk meg a G2H!-molekula állapotának szimmetriája és a benne levő H-magok eredő spinje közötti összefüggést. Megoldás. 80 A négy H 1 mag eredő spinje I= 2, l, O értékeket vehet fel, annek M 1 vetülete -2-től +2-ig változhat. Tekintsük az egyes M 1 értékekhez tartozó spinhullámfüggvény-ábrázolásokat, M 1 maximális értékével kezdve. Az M 1 = 2 állapotnak egyetlen spinfüggvény felel meg, melyben minden magnak + 1/2 a spinvetülete. Az M 1 = l értéknek négy különböző spinfüggvény felel meg, melyek egymástól abban különböznek, hogy más-más magnak van - 1/2 spinvetülete. Végül az M 1 = O állapotot hat spinlfüggvény valósítja meg attól függöen, hogy melyik két m~g spinje - 1/2. A megfelelő három ábrázolás karakterei a következők: 30 Hasonló feladatok megoldásának a pennutációs csoport tulajdonságain alapuló módszerét l. l. G. Kaplan a IX. fejezet 7. számú lábjegyzetében idézett könyvében (VI. fejezet, 2.§).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

504

XIII. FEJEZET. TÖBBATOMOS MOLEKULÁK

E

Mz= 2 Mz= l Mz= O

l

a(xy)

l

a(xz)

l

a(yz)

l

C2 (z)

I

l

l

l

l

l

l

l

l

4

4

o

o

o

o

o

o

6

2

2

2

2

2

2

6

l

Az első áill;ázolás az A. egységábrázolás; minthogy az Mz = 2 érték csak I= 2-höz tartozhat,. arra következtetünk, hogy az I= 2 spilmek Au szimmetriájú állapot felel meg. · Az Mz = l állapot mind I = l, mind I = 2 esetén lehetséges. Az ennek megfelelő második ábrázolásból kivonva az elsőt és az eredményt irreducibilis részekre bontva, azt kapjuk, hogy az I = l spinnek B 10 , B 2u, Bau állapotok felelnek meg. Végül az Mr = O érték mindig fellép, amikor Mz = l lehetséges, ezenkívül az I= O esetén is. Ennek megfelelőerr a harmadik ábrázolásból kivonva a másodikat, ismét két A• állapot marad, mely az I = O értéknek felel meg. 2. Határozzuk meg a teljes (koordináta-) hullámfüggvény szimmetriatípusait és a megfelelő nívók statisztileus súlyát a C~2H~-, C~3H~-, N~4 0l 6-molekulák esetén [valame1myi molekula azonos alakú;. az egyes atommagok spinje a következő: i(H 2) = 1, i(C13) = 1/2, i(N14) = 1]. Megoldás. Ugyanazzal a módszerrel, mint amelyet aszövegben a C~2Hl-molekulára alkalmaztunk,. a következő állapotokat kapjuk (a koordináta-tengelyeket úgy választottuk, mint a szövegben):

Molekula

q q

(+)

(-)

2 H~

am

N!40ls

3. Oldjuk meg az előbbi feladatot az N 14H:-molekula esetében. Megoldás. A szövegben az N 14H~-molekulára bemutatott móclszerhez hasonló eljárással a 30Ab 3A 2 , 24E állapotokat kapjuk. A k kvantumszám különböző értékei mellett a normál elektron- és vibrációs termre az alábbi állapotok lehetségesek:

(+)

l k l nem osztható 3-mal l k l osztható 3-mal k

www.interkonyv.hu

=0

{JJ páros páratlan

(-)

24E

24E

30AI> 3A 2 30A 1 3A 2

30A 1 , 3A 2 3A 2 30A 1

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

105. §.A MOLEKULATERMEK OSZTÁLYOZÁSA

sos.;

4. ·Oldjuk meg a 2. feladatot G2H~-molekula esetén (l. 43. ábra; D 3il szimmetria).

Megoldás. Az alábbi tipusú állapotok lehetségesek: 7A 19 , 1A 1,., 3A 29 , 13A 2,., 9E0 , IlE,.. A normál elektron- és vibrációs termre az alábbi állapotok adódnak:

l k l nem osztható 3-mal l k l osztható 3-mal k = 0

{J

páros

J páratlan

(-)

( +)

9E 0 7A 19 , 3A 20 7Alu 3A 20

IlE,. 1Alu• 13A2u lA1,. 13A2u

~- Oldjuk meg a 2. feladatot a C 12 H~ metánmolekulára (a H-atomok egy tetraéder csúcsain,,_ a C-atom ennek középpontjában helyezkedik el). Megoldás. A molekula gömbi pörgettyű tipusú, és T• szimmetriája van. A szokásos módszert. követve azt kapjuk, hogy az 5A 2 , lE, 3F1 tipusú állapotok lehetségesek (ezeknek rendre a molekula 2, O, l teljes spinje felel meg). A gömbi pörgettyű forgási állapotait a J teljes impulzusmoh1entum szerint osztályozhatjuk. Az adott J értékhez tartozó 2J+ l forgási függvény a r. csoporttal izomorf O csoport 2J+ l dimenziós ábrázolását valósítja meg. Ta· ből úgy kapjuk O-t, hogy valamennyi szimmetriasik:ot a rá merő-­ leges másodrendű tengellyel helyettesítjük. Az ábrázolás karaktereit a (98,3) képlet alapján határoz-hatjuk meg. Például, a J = 3 esetén az ábrázolás karakterei a következők:

E 8C8 6C2 6C4 3q 7 l -1 -1 -1 Ez az O CSO,I)Ort A 2 , Fh F 2 irreducibilis ábrázolásait tartalmazza. Ebből a normál elektron- és vibrá-· ciós term szerkezetét vizsgálva, az adódik, hogy J= 3 esetén az A 2 szimmetriájú teljes hullámfüggvénnyel leírt állapot csak pozitív lehet, az F 1 állapotnak megfelelő nivók pedig pozitivak is, negatívak. i.s lehetnek. Az első néhány J értéknél íly módon az alábbi állapotok adódnak (feltüntetjük mindjárt. magstatisztikai súlyukat is):

(+) J= J= J= J= J=

www.interkonyv.hu

O l 2 3 4

(-)

5A 2 3Fl lE 5A 2 , 3Fl IE, 3F1

lE, 3F1 3Fl 5A 2 , IE, 3F1

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

XIV. FEJEZET

IMPULZUSMOMENTUMOK ÖSSZEADÁSA l 06. §. A 3j szimbólumok Az impulzusmomentumok összeadására a 31. §-ban kapott szabály meghatározza :a két, j1 és h impulzusmomentumú részecskéből (vagy bonyolultabb részekből) ..álló rendszer teljes impulzusmomentumának lehetséges értékeit.1 Ez a szabály szoros kapcsolatban áll a hullám~üggvény -térbeli forgatásokkal szemben mutatott tulaj. donságaival, és közvetlenül következik a spinorok tulajdonságaibóL A j1 és h impulzusmomentumú részecskék hullámfüggvényei Zj1 és 2h rendű .szimmetrikus spinorként viselkedhetnek, a rendszer hullámfüggvényét pedig a

,.;i!_,

~

"P(l)).p ..• 'ljJ(2)gu ...

(106,1)

szorzatuk adja. Ezeket a szorzatokat valamennyi indexükben szimmetrizálva, a .)1 +h teljes impulzusmomentumú állapotnak megfelelő 2(h +h) rendű szimmetrikus

spinort kapunk. Továbbmenve, összeejtjük a (106,1) szorzat két indexét, melyek közül egyik 1p-hez, a másik 1p-höz tartozik (ellenkező esetben ·nullát kapnánk); a "P(l) és 1pspinorok szimmetrikus volta következtében lényegtelen, hogy a ít, ,_,., ... és a, e, ... indexek közül melyiket választjuk A szimmetrizálás után ZU1 +h-1) rendű szimmetrikus spinoct kapunk, mely a j1 +h- l impulzusmomentumú állapotnak felel meg. 2 Ezt az eljárást folytatva, a már ismert szabálynak megfelelően azt· 1 Szigorúan véve az alábbiakban mindenütt, anélkül, hogy ezt külön mondanánk, olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyek összetevő részeinek kölcsönhatása annyira gyenge, hogy impulzus·momentumaikat első közeütésben megmaradónak tekinthetjük. · Az alább levezetendő eredmények természetesen nemcsak két részecske (vagy -rendszer) teljes impulzusmomentumának összeadására vonatkoznak, hanem egy és ugyanazon rendszer spinjének és pálya-impulzusmomentumának összetevésére is, feltéve, hogy a spin-pálya kölcsönhatás elegendően kicsi. 2 A félreértések elkerülése végett az alábbi megjegyzést tesszük. Két részecskéből álló rendszer hullámfüggvénye mindig 2(j1 +j2)-edrendü spinor, és ez a rendüség általában különbözik 2j-től, .ahol j a rendszer teljes impulzusmomentuma. Ilyen spinor azonban ekvivalens lehet egy alacsonyabb

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

106. §. A 3/ SZIMBÓLUMOK

507

kapjuk, hogy j egyszer és csak egyszer felveszi a (h+h)- től jh-h l-ig terjedő értékeket. Matematikai szempontból itt arról van szó, hogy redukáljuk a forgáscsoport két (2h +l és 2h+ l dimenziójú) irreducibilis ábrázolásának Jiit>xDOs> direkt szorzatát. Ezzel a terminológiával az impulzusmomentumok összeadási szabálya az alábbi felbontás formájában adható meg:

Az impulzusmomentum-összetevés feladatának teljes megoldásához meg kell még vizsgálnunk, hogyan szerkeszthető meg a rendszer adott teljes impulzusmomentummal rendelkező állapotának hullámfüggvénye a két összetevő részecske hullámfüggvényének ismeretében. A legegyszerűbb esettel kezdjük: két impulzusmomentumot nulla eredövé csatolunk össze. Ekkor nyilvánvalóan j1 = h és az impulzusmomentumok vetületeire m1 =- m2 teljesül. Legyen "PJm az egyik részecske j impulzusmomentumú, m vetületű állapotának normált hullámfüggvénye (nem spinor-előállításban). A rendszer keresett 'ljJo hullámfüggvénye a két részecske ellenkező m-mel vett hullámfüggvényeinek szorzatait összegezve adódik:

(106,2) (j itt h és h közös értéke). Az összeg előtti szorzó a normálás eredménye. Az öszszegben az egyes tagok együtthatóinak abszolút értéke egyenlő - ez már abból is következik, hogy a részecskék impulzusmomentum-vetületének minden m értéke szükségképpen egyeillő valószínűségű. Az előjelek váltakozásának rendjét (106,2)ben könnyű megállapítani a hullámfüggvények spinorábrázolásának segitségével. Spinorjelölésben a (106,2)-ben szereplő összeg két 2j rendű spinorból összeállitott skalár (a rendszer teljes impulzusmomentuma nulla!): "P

(l);t,u...

(2)

'IfJ;tp. ... '

(106,3)

ezt felismerve, a (106,2)-ben szereplő előjeleket közvetlenül kapjuk az (57,3) képletből. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy általában a (106,2) összeg tagjainak csak a relatív előjel~ egyértelmű, az általános előjel függ]iet az impulzusmomentumok rendű spinorral. Például egy h =j2= 1/2 impulzusmomentumú részecskékből álló rendszer hullámfüggvénye másodrendű spinor, ha azonban a teljes impulzusmomentum j= O, ez a spinor antiszimmetrikus, igy skalárra redukálódik. Általában a teljes impulzusmomentum meghatározza a rendszer spinot-hullámfüggvényének sziinmetriáját: 2j indexben szimmetrikus, a többiben pedig antiszimmetrikus.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

508

XIV. FEJEZET. IMPULZUSMOMENTUMOK ÖSSZEADÁSA

"összeadásának sorrendjétől". Valóban, ha 1pJ.p. · ·, '!f!< 3 >J•r'· · ·, spinor szorzata (minden indexpár különböző spinorokhoz tartozik). Egyezzünk meg abban, hogy az l. és 2. részecskékhez tartozó minden pár esetén a spinorindexet '!f! mellett fent és '!f! mellett lent, a 3. és l. részecskékhez tartozó páros esetén '!f! mellett fent és '!f! ll n2j2J)

=

=

(-I)h+hmin+Jmax~k Y(2J+l)(2J'+l) u~

2 h } J. Minthogy az elektronok r átlagos távolsága nagy az R magsugárhoz képest, a hiperfinom felhasadásban az elektronoknak a mag legalacsonyabb rendű multipólusmomentumaival való kölcsönhatása a leglényegesebb. Ezek a mágneses dipólus- és az elektromos kvadrupólusmomentum (az átlagos dipólusmomentum nulla- l. 75.§). A mag mágneses momentumának nagyságrendje Pmag "' eRvmagfc, ahol vmag a nukleonok sebessége az atommagban. Az elektron mágneses momentumával (f.te! rv "' elí/mc) való kölcsönhatás energiája (121,2) nagyságrendű

mennyiség. A mag kvadrupólusmomentuma Q "' eR2 nagyságrendű; az álta]a keltett térnek az elektron töltésével való kölcsönhatási energiája (121,3) nagyságrendű mennyiség. (121,2)-t és (121,3)-t összehasonlítva látjuk, hogy a mágneses kölcsönhatás (ezért az általa létrehozott nívófelhasadás is) ( vmag/c)(hjmcR) "' 15-ször

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

582

XVI. FEJEZET. AZ ATOMMAG SZERKEZETE

nagyobb a kvadrupólus-kölcsönhatásnál; bár a vmag/c arány viszonylag kicsi, a lífmcR arány nagy. , Az elektronok és a mag mágneses kölcsönhatásának operátora az alábbi alakú: (121,4) [ez az elektronok (72,4) spin-pálya kölcsönhatásához hasonló]. Az általa létrehozott nivófelhasadás F-függését tehát az

~ F(F+l)

(121 ,5)

képlet adja meg [vö. (72,5)]. Az elektronok és a mag kvadrupólus-operátora a mag kvadrupólusmomentumtenzorának Q1k operátorából és az elektronok J impulzusmomentum-vektorának komponenseiből építhető fel oly módon, hogy az ezekkel az operátorokkal felírható Q1kJ;fk skalárral arányos legyen; részletesen kiírva: (121,6)

itt figyelembe vettük, hogy Q1k a mag spinjével a (75,2) alakban fejezhető ki. A (121,6) operátor sajátértékét kiszámítva (ezt a 84. § l. feladatában elvégzett számoláshoz teljesen hasonlóan végezzük), azt kapjuk, hogy a kvadrupólus-kölcsönhatásból származó hiperfinom nívófelhasadásnak az F kvantumszámtól való függése a (121,7) kifejezéssel adható meg. A mágneses hiperfinom felhasadás hatása különösen s-állapotú külső elektron esetében nagy, mert ez nagy valószínűséggel tartózkodik a mag közelében. Számítsuk ki a hiperfinom felhasadást egyetlen külső s-elektronnal rendelkező atomra (E. Fermi, 1930). Ennek az elektronnak 1p(r) hullámfüggvénye a mag és a többi elektron önkonzisztens terében gömbszimmetrikus. 27 Az elektron és a mag kölcsönhatásának operátorát úgy írjuk fel, mint a mag fi = p,'ifi mágneses momentumának- fiA. energiaoperátorát az elektron által (a koordináta-rendszer középpontjában) létesitett mágneses térben. Az elektrodinamikából 27

www.interkonyv.hu

Az alábbi számítás során feltesszük, hogy Ze 2 /líc « l (1, a 26. számú lábjegyzetet).

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

121.§. AZ ATOMI ENERGIASZINTEK HIPERFINOM SZERKEZETE

583

ismert képlet alapján ez a tér: (121,8)

aho[ J a mozgó elektronspin által keltett áramsűrűség, r = nr a középpontból a dV terfogatelembe mutató helyvektor. 28 (115,4) szerint

"

d1p 2(r) r

~

j = -2[tBC rot (1p 2s) = -2[tBC-d- (nXs)

a Bohr-magneton). dV = r 2 dr dQ-t írva és elvégezve az integrálást, azt kapjuk, hogy

~ H=

-2~tB

f drdr d1p 2

I

Sn [nX(nXs)]dQ = -2juB1p 2 (0)Js.

o

Ezzel a kölcsönhatási operátor végleges alakja : 021,9) Ha az atom teljes impulzusmomentuma J = S = 1/2, akkor a hiperfinom felhasadás egy (F = i±l/2) dublett megjelenésére vezet; a (121,5)-nek és (121,9)-nek megfde1ően a dublett két vonalának távolságára az (12t,lü) kep[etet kapjuk. Minthogy a 1p(O) érték j/Z-vel arányos (L 71.§), a felhasadás mértéke a rendszámmal arányos.

Feladatok l. Határozzuk meg (a mágneses kölcsönhatással kapcsolatos) hiperfinom felhasadást egy olyan atom esetén, mely a zárt héjorr kívül egyetlen l pálya-impulzusmomentumú elektron! tartalmaz (E. Fermi, 1930).

28 !Lásd a II. kötet (43, 7) kép letét. Meg kell jegyezni, hogy ebben a képletben az R vektor ellentéte• sen a dV térfogatelemből a megfigyelési pontba mutat

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

584

XVI. FEJEZET. AZ ATOMMAG SZERKEZETE

Megoldás. A mag ft mágneses momentuma által keltett mágneses tér vektorpotenciálja és térerőssége

A= j.tXD,

H= 3n(j.tn)-j.t

r2

ra

(divA = O). E kifejezések segitségével a kölcsönhatási operátort az alábbi alakban ír.iuk:

Adottj-vel rendelkező:állapotra való átlagolás után a szögletes zárójelben álló kifejezés j irán}ú lesz. Így irhatjuk, hogy ·

Az n1n< átlagértéket a 29.§ feladatában kiszámftottuk. Ezt felhasználva és áttérve a sajátértékekre 2ttBtt (")

i adódik,

amiből egyszerű

lJ

[r+ 21(1+ l)sj- 6(sl) ül)] rJ (21- 1)(21+ 3) j(J+ l) 8

számolás után az alábbi eredményt kapjuk: ftBft l(l+ l) F(F+ l)r-s

i

j(j+l)

'

ahol F = j+ i, j= l± 1/2. Az r- 3 mennyiség átlagértékét az elektron radiális hullámfüggvényével számitjuk. 2. Határozzuk meg egy atomi nívó hiperfinom komponenseinek Zeeman-felhasadását (S. A. Goudsmit, R. F. Bacher, 1930). Megoldás. A (113,4) képletben (a teret olyan gyengének tételezzük fel, hogy a felhasadás kicsi még a hiperfinom szerkezet vonalainak távolságához is) most nemcsak az elektronállapotokra keii átlágolni, hanem a magspin irányaira is. Az első átlagolás eredménye L1E = ftBgJJzH a (113,7)-ből vett gJ·vel. A második átlagolásból a (113,5)-höz hasonlóan:

Végeredményünk tehát

ahol

·

CF

www.interkonyv.hu

= gJ

F(F+ l)+ J(J+ 1)- i(i+ l) 2F(F+ l) .

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

]22. § . A MOl.EKULÁK ENERGIASZINTJEINEK HIPERFINOM SZERKEZETE

585

122. §. A molekulák energiaszintjeinek hiperftnom szerkezete Egy molekula energiaszintjeinek hiperfinom szerkezete az atomi nívók hiperfinom szerkezetével azonos természetű. A molekulák túlnyomó többségének teljes elektronspinje nulla. A nívók hiperfinom felhasadásának forrása leggyakrabban a magok kvadrupólusmomentumának az elektronokkal való kölcsönhatása; a kölcsönhatásban természetesen csak azok a magok vesznek részt, amelyeknek az i spinje O-tól és 1/2-től különböző, egyébként a kvadrupólusmomentumuk nuna. Minthogy a magok mozgása a molekulában viszonylag lassú, a kvadrupóluskölcsönhatás operátorának a mokkula állapotaira való átlagolása két lépésben végezhető el: először az elektronállapotokra átlagolunk rögzített magok feltételezésével, majd átlagolunk a molekula forgására. Tekintsünk először egy kétatomos molekulát. Az átlagolás első lépésének eredményeként az egyes magoknak az elektronokkal való kölcsönhatását olyan operátorral fejezzük ki, amely a mag kvadrupolusmomentum-tenzorának operátorából és a mo]ekula tengelyének irányába mutató n egységvektorból felépített Q;knink skalárral arányos (n az egyeden mennyiség, mely a molekulának a magspinhez viszonyitott irányát meghatározza). Figyelembe véve, hogy Qu = O, ezt az operátort a (122,1)

alakba irhatjuk; a magspinjének a molekula tengelyrevett adott ic vetületemellett ez a mennyiség b [i~-

~

J

i(i+ l) -gyel

egyenlő.

A (122,1) operátornak a molekula forgására való átlagolása után az eredmény a megmaradóK impulzusmomentum operátorával fejezhető ki. Az nl1k szorzat átlagolását a 29.§ feladatában kapott képlet szerint végezzük, (I helyettK-t írva) és a következőt kapjuk: (122,2) Ennek az operátornak a sajátértékét ugyanúgy határozhatjuk meg, mint a (121,6) operátor esetében is tettük.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

586

XVI. FEJEZET. AZ ATOMMAG SZERKEZETE

Többatomos molekula esetén (122,1) helyett általában egy (122,3) operátort kapunk, ahol bik egy nulla nyomú tenzor, mely a molekula elektronállapotára jellemző. A molekula forgására való átlagolás után b;" a J teljes impulzusmomentummal fejezhető ki az alábbiak szerint: (122,4) A b együttható elvben kifejezhető a molekula ;, 'YJ, Cfőtengelyrendszerében megadott bik segítségével; minthogy ezek a tengelyek mereven kötődnek a molekulához, a bw ... komponenseket a molekula jellemzőire való átlagolás nem érinti. Tekintsük a bikJiJ" skalárt. A (122,4) segítségével elvégzett számítás eredménye: (122,5) (a számítás hasonlóan végezhető, mint a 29.§ feladatában). Másrészt a tenzorszorzást a ;, 'Y), Ckoordináta-rendszerben elvégezve (122,6) Itt figyelembe vettük, hogy a Jr; J r;, ••• szarzatok átlagértéke nulla. 29 A Ji, ... négyzetek átlagértéke elvben a pörgettyű megfelelő forgási állapotainak hullámfüggvényei segítségével számítható ki. Speciálisan, szimmetrikus pörgettyű esetén egyszerí'íen azt kapjuk, hogy

J~= J~=_!_ [J(J+1)-k 2 ]. 2 Ha a magok spinje l /2, nincs kvadrupólus-kölcsönhatás. A hiperfinom felhasadás legfontosabb forrása ekkor a magok mágneses momentumának egymással való közvetlen mágneses kölcsönhatása. A {Jol = p, 1 h/i1 és !J- 2 = p,2h/i 2 mágneses momentu29 Valóban, abban az ábrázolásban, amelyben J egyik komponense (mondjuk Jr;) diagonális, a Jr;Jc, J'1Jr; szorzatoknak csak a k kvantumszám l-gye! való változásának megfelelő mátrixelemei vannak; az aszimmetrikus pörgettyű stacionárius állapotainak hullámfüggvényei viszont páros számban különböző kértékekkel jellemzett 'PJk függvényeket tartalmaznak (l. 103. §).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

122. §. A MOLEKULÁK ENERGIASZINTJEINEK HIPERFINOM SZERKEZETE

587

mok kölcsönhatásának operátorát az alábbi képlet adja meg:

A felhasadás energiájának meghatározásához ezt a fent leírt átlagolási eljárásnak kell alávetni. Ha a molekulában nehéz atomok is vannak, a hiperfinom felhasadáshoz a magmomentumok direkt kölcsönhatásával összemérhető járulékat ad a magmomentumok indirekt, az elektronhéj közvetítésével végbemenő kölcsönhatása is. Formai szempontból ez a kölcsönhatás a perturbációszámítás második közelítésének megfelelő effektust ad a magspin elektronokkal való kölcsönhatásához képest. A 121.§ban kapott eredmények segítségével könnyen adódik, hogy ennek az effektusnak a nagysága a magmomentumok direkt kölcsönhatásához viszonyítva (Ze2 /líc)2 nagyságrendű; nagy Z esetén ez összemérhető eggyel. Végü] a molekulaszintek hiperfinom felhasadásához meghatározott járulékat ad a magmomentumnak a molekula forgásával való kölcsönhatása. A forgó molekula mint mozgó töltésrendszer meghatározott mágneses teret kelt; ez a tér kiszámítható az elektrodinamikából ismert képletek szerint az adott j = e(S'!Xr) áramsűrűségből kiindulva (e az elektronok és a mag együttes töltéssűrűsége az álló molekulában, Q a forgás szögsebessége). A nívók felhasadásának nagyságát úgy számíthatjuk ki, mint a mag mágneses momentumának energiáját ebben a térben; a számítás során a molekula szögsebességének komponenseit az impulzusmomentum-komponensekkei kell kifejezni (vö. 103. §).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

XVII. FEJEZET

RUGALMASŰTKÖZ~SEK

123. §. Általános szóráselmélet A klasszikus mechanikában két részecske ütközését teljesen meghatározza sebességük és ütközési paraméterük (vagyis az a távolság, amelyre egymás meHett elhaladtak volna kölcsönhatásmentes esetben). A kvantummechanikában maga a kérdésfeltevés változik, minthogy meghatározott sebességgel való mozgás esetén a pálya és vele együtt az ütközési paraméter értelmét veszti. Az elmélet célja itt meghatározni annak a valószínűségét, hogy az ütközés után a részecske eredeti irányától adott szöggel térjen el (mint mondani szokás, szóródjon). Ebben a fejezetben az úgynevezett rugalmas szórásról beszélünk, amelynek során a részecskék átalakulása vagy (amenynyiben összetett részecskékről van szó) belső állapotuk megváltozása nem következik be. A rugalmas szórással kapcsolatos feladat, mint minden kéttest-probléma, visszavezethető egy redukált tömegű részecskének valamilyen rögzített erőcentrum U(r) terében való szórására. 1 Ezt olyan koordináta-rendszerre való áttéréssei érhetjük el, amelyben a két részecske közös tömegközéppontja nyugszik. A szórás: szögét ebben a koordináta-rendszerben ll-val jelöljük. Ezt egyszerű képletek kapcsolják össze az egyes részek "laboratóriumi" koordináta-rendszerben mért 1h és -82 szó:rási szögével, amelyben az ütközés e]őtt az egyik részecske (a második) nyugszik:

n-8

~2= -2-,

ahol m 1 , m 2 a részecskék tömege (l. I. 17. §).Ha a :részecskék tömege = mz), akkor egyszerűen

n-e

~2= -2-;

(123,1) egyenlő

(m1

=

(123,2)

1 Elhanyagoljuk a részecskék spin-pálya kölcsönhatását (amennyiben egyáltalán van spinjük). A teret gömbszimmetrikusnak feltételezve, eleve kizárjuk olyan folyamatok vizsgálatának lehetőségét, mint például elektronok szórása molekulákon.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

123. §.ÁLTALÁNOS SZÓRÁSELMÉLET

589

így /h+#2 = rcf2, azaz a részecskék szórás utáni pályája derékszöget zár be. :Ebben a fejezetben mindenütt (ahol ennek ellenkezőjét külön nem mondjuk) a tömegközéppontba helyezett koordináta-rendszerben dolgozunk, m az ütköző részecskék redukált tömegét jelenti. A pozitív z tengely irányába mozgó szabad részecske síkhullámmal írható k, ameliyet 'IfJ = eikz alakban írunk, azaz olyan normálást választunk, hogy a hullám áramsűrűsége a részecske v sebességével egyezzen meg. A szórócentrumtól távo~ a szórt részecskéket szükségképpenf(lJ)ékr/r alakú kifutó gömbhullám írja le, aho~ f(O) a szórási szög (a szórás irányának a z tengellyel bezárt szöge) valamilyen függvénye; ezt a függvényt szórásamplitúdónak nevezzük. Egy U(r) potenciállal feHrt Schrödinger-egyenlet pontos megoldását adó hullámfüggvény tehát nagy távolságbaiTt

e

(123,3) aszimptotikus viselkedést mutat. Annak valószínűsége, hogy a szórt részecske egységnyi idő alatt áthaladjon a dS = r2 dQ felületen (dQ a térszögelem) vr- 2 1/1 2 dS = v 1/1 2 dQ. 2 Ennek a beeső huUám áramsiirűségéhez való aránya da

= 1/(8) \2 dQ .

. (123,4)

Ez a mennyiség terület dimenziójú és a dQ térszögbe való szórás hatáskeresztmetszetének nevezzük. JQ = 2:n: sin() dO-t irva, megkapjuk a eés fJ+dfJ szögintervallumba vaió szórás hatáskeresztmetszetét: (123,5) Gömbszimmetrikus térben a Schrödinger-egyenlet megoldása nyilvánvalóan hengerszimmetrikus a beeső részecskenyaláb irányába fektetett z tengelyre vonatkozóan" Minden ilyen megoldás előállítható a folytonos spektrum olyan hullámfüggvényeinek szuperpozíciójaként, mely az illető térben adott lík 2 /2m energiájú, különböző l impul· zusmomentum-értékkel és nulla z irányú impulzusmomentum-vetülettel jellemzett mozgásnak felel meg (ezek a függvények a z tengely körüli elfordulást mérő azimutszögtől függetlenek, azaz hengerszimmetrikusak). A keresett hullámfüggvény tehát az alábbi alakú: 1p

=

L AtPJ(cos fl) Rki(r),

(123,6)

l=fJ 2 E megfontolások során hallgatólagosan feltételezzük (az elhajlási effektusok elkerülése vég~tO, hogy 111 beeső részecskenyaláb széles, de véges kiterjedésű diafragmával van korlátozva, amí a tényleges kísérletí helyzet. Ezért a (123,3) kifejezés két tagja közölt nincs interferencia.; a 11fJ \2-et olyan helyen számítjuk, aho! nincs beeső hullám.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

590

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

ahol az Arek állandók, az Rkir) függvények pedig a radiális hullámfüggvények, rnelyek kielégítik az __!_

~

rdr

(r

2

dRkz)

dr

+ [k2 -

l(l+ l)

(123,7)

y2

egyenletet. Az A 1 együtthatókat úgy kell megválasztani, hogy a (123,6) függvény aszimptotikus alakja nagy távolságokon (123,3) legyen. Megmutatjuk, hogy ez az

Ar= 21k (21+ l) i1 exp (i(J 1)

·

(123,8)

választással érhető el, ahol ()1 az Rk1 függvény fáziseltolódása. Ezzel rögtön megkapjuk a szórásamplitúdónak a fáziseltolódásokkal való kifejezését is. Az Rk1 függvény aszimptotikus alakját a (33,20) képlet adja meg: Rk1

~

; sin ( kr- z;+ () 1) =

:r { ( -i) 1 exp [i(kr+ () 1)] -i1 exp [ -i(kr+ CJt)]}.

Ezt a kifejezést (123,8)-cal együtt (126,6)-ba írva, a hullámfüggvény aszimptotikus alakjára (123,9) adódik, ahol bevezettük az (123,10) jelölést. Másrészről viszont ugyanilyen transzformációt végrehajtva a síkhullám .(34,2) során, azt kapjuk, hogy

eikz

~ -~2zkr

f (2/+ 1) P (cos fJ) [( -1)1+1 1

e-ikr + eikr].

l=O

Látjuk, hogy a 1p- ikz különbségben az e-ikr szorzót tartalmazó valamennyi tag,~ ahogy lennie is keH, kiesik. A különbségben az eikr fr előtt álló együttható, azaz a szórásamplitúdó: l ~ (123,11) j(fJ) = 2 .k I (2/+ l) (81-l)Pz(cos O). l

www.interkonyv.hu

1=0

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

123. §. ÁLTALÁNOS SZÓRÁSELMÉLET

591

Ez a képlet megadja a szórásamplitúdót a {J 1 fázisok függvényében (H. Faxen, J . Holtsmark, 1927).3 Kiintegrálva dcr- t a szögek szerint, megkapjuk a cr teljes hatáskeresztmetszetet, mely megadja a részecske (időegységre eső) szórási valószínűségének a beeső valószínűségi áramsűrűséghez való arányát. Behelyettesítve az integráiba (123,11)-et, azt kapjuk, hogy a = 2n

f" 1/(6)

1

2

sin 6 d6.

o

Figyelenlibe véve még, hogy a különböző l indexű Legendre-polinomok ortogonálisak, és

"

JP'f(cos

6) sin 6 d()

=

21~ 1 ,

ll

a teljes hatáskeresztmetszetre az alábbi kifejezést kapjuk: (123,12) Az összeg egyes tagjai a részecskék adott l impulzusmomentumú szórásának a "parciális hatáskeresztmetszetét" jelentik. Megjegyezzük, hogy ennek maximális értéke

4n

r1zmax

= 7(2 (2l+ 1).

(123,13)

Ezt a (34,5) képlettel összehasonlítva, azt látjuk, hogy az l impulzusmomentummal szóródó részecskék száma négyszer több lehet, mint a beeső áramban az ilyen impul3 Elvi fontosságú a szóró potenciálnak az ismertnek feltételezett {) 1 fázisok alapján való meghatározása. Ezt a problémát I. M. Gelfand, B. M. Levitán és V. A. Marcsen/w oldotta meg. Eredményük szerint U(r) meghatározásához elegendő ismerni {) 0 (k)-t a hullámvektor függvényében az egész O ::§ k ::§ = tartományban és a diszkrét (negatív) E,. energiaszinteknek megfelelő állapotok (amennyiben ilyenek léteznek) hullámfüggvényeinek

aszimptotikus alakjában (r ~ =) szereplő an együtthatókaL Ezen adatok birtokában U(r) meghatározása adott lineáris integrálegyenlet megoldására vezet. A problémakör módszeres ismertetését 1.. V.. de Alfaro, T. Regge Potenciálszórás c. könyvében ("Mir", 1966).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

592

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

zusmomentumú részecskék száma. Ez egy tisztán kvantumos effektus, és a beeső és szórt hullám interferenciájával kapcsolatos. Az alábbiakban kényelmes lesz az ft parciális szórásamplitúdók haszná1lata, melyeket az f(O) =

L (21+ l)ftPt(COS ())

. (123,14)

l

sorfejtés együtthatóiként definiálunk. (123,11)-nek sokkal való kapcsolata:

2~k (Sz-1) =

ft =

megfeleiően.

ezeknek a ö1 fázi-

2!k (e2i~e-1),

(123,15)

a parciális hatáskeresztmetszetek pedig C11

= 4n(2l+ 1)1 fi 12-

(123,16)

124. §. Általános összefüggések vizsgálata A fent kapott összefüggések elvben minden, a végtelenben eltűnő U(r) potenciál esetén alkalmazhatók. E képletek vizsgálata a bennük szereplő ö1 fázisok vizsgálatára redukálódik. A ő1 fázisok nagyságrendjét l nagy értékeire megbecsülve kihasználhatjuk, hogy ekkor a mozgás kváziklasszikus (1. 49. §). Ennek megfelelően a hullámfüggvény fázisát az

I r

1fk2 - (l+ 1/2)2

V

r2

_

2mU(r) d ~ fl 2 r+ 4

ro

.

.'

integrál határozza meg, ahol ro a gyökjél alatti kifejezés nullahelye (r > ro a klasszikusan megengedett mozgástartomány). Ebből kivonva a szabad mozgás hullámfüggvényének

Ivk2- (1+,~/~) r

2 dr+:.

ro

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

593

124.§. ÁLTALÁNOS ÖSSZEFÜGGÉSEK VIZSGÁLATA

fázisát, és áttérve az r ...,.. oo határértékre, definíciószerűen megkapjuk a b1 mennyiséget. Nagy l mellett ro is nagy, ennek megfelelően U(r) az egész integrációs tartományban kicsi, így közelítőleg

Ot=-

J

v

mU(r)dr

=

fz2

k2 ~

(l+,~p) 2

(124,1)

""~~....

Az integrál nagyságrendje (ha egyáltalán konvergál): 0

l~

mU(ro)ro kfz2 .

(124,2)

Az ro mennyiség nagyságrendje ro ~ ljk. Ha U(r) a végtelenben úgy tűnik el, mint r-n, és n > l, akkor a (124,1) integrál konvergál, és a o1 fázisok végesek. Ellenkezőleg, ha n ;§ l, az integrál divergál, és a o1 fázisok végtelenek Ez tetszőleges l-re vonatkozik, minthogy a (124,1) integrál konvergenciája vagy divergenciája az U(r) potenciál nagy r 'esetén mutatott viselkedésétől függ, nagy távolságoknál viszont [ahol U(r) már gyenge] a sugárirányú mozgás már tetszőleges l mellett kváziklasszikus. Azt, hogy miként értelmezzük a (123,11), (123,12) képleteket végtelen orek esetén, később tárgyaljuk Vizsgáljuk először a teljes hatáskeresztmetszetet megadó (123,12) sor konvergenciáját. Nagy l-ekre o1 « l, mint ez (124,1)-ből látható, annak figyelembevételével, hogy U(r) az 1/n-nél gyorsabban tűnik el. Ezért élhetünk a sin2 a1 ;::::: o7 közelítéssel, tehát a (123,12) sor távoli tagjainak összege L za; nagyságrendű. A sorok konvergen1»1

ciájának ismert integrálkritériuma szerint a vizsgált sor konvergál, ha az integrál konvergál. Behelyettesítve ide (124,2)-t és l helyébe kro-t irva, az

Jlo7dl

integrál adódik. Ha U(r) a végtelenben r-n szerint csökken, n > 2 mellett a teljes hatáskeresztmetszet véges. Ha viszont U(r) úgy csökken, mint 1/r2, vagy még lassabban, a teljes hatáskeresztmetszet végtelen. Fizikailag ez azzal függ össze, hogy az erőtérnek a távolsággal való lassú csökkenése esetén a kisszögű szórás valószínűsége rendkívül naggyá válik. Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra, hogy a klasszikus mechanikában minden olyan térben, amely csak r ...,.. oo esetén tűnik el, tetsző­ legesen nagy, de véges e ütközési paraméterű részecske kicsi, de véges szögű irányváltozást szenved; ennek megfelelően a teljes szórási hatáskeresztmetszet végtelen; 38

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

594

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

bármilyen törvény szerint csökken is U(r). 4 A kvantummechanikában ilyen gondolatmenet már csak azért sem alkalmazható, mert valamilyen szögben való szóródásról csak akkor beszélhetünk, ha ez a szög nagy a részecskék mozgásirányának határozatlanságához képest. Ha az ütközési paraméter Lle pontossággal ismert, akkor a transzverzális impulzuskomponens bizonytalansága nfLie, azaz a szög határozatlausága rv n/mvLie. A kisszögű szórás fontos szerepe miatt meg kell vizsgálnunk, nem divergál-e az f(O) amplitúdó () = O-nál még akkor is, ha U(r) gyorsabban csökken 1/r2-nél. A (123,11)-ben () = 0-thelyettesítve, az összeg távoli tagjaira L l Öz-lel arányos kifejezést 1»1

kapunk. Az előbbi esetben alkalmazott gondolatmenetet követve, az összeg végességének feltételéül az

J U(ro)r'f!lro integrál konvergenciája adódik, ami U(r) co r-n (n :2 3) esetén már nem teljesül. A szórásamplitúdó tehát () = O-nál végtelen, ha az erőtér l fr 3 szerint vagy annál lassabban csökken. Végül tekintsük azt az esetet, amikor maga a ö1fázis végtlen, ami U(r) co r-n (n 2 l) mellett következik be. A fent kapott erdmények alapján eleve nyilvánvaló, hogy az erőtér ilyen lassú csökkenésénél a teljes hatáskeresztmetszet és az f(O) amplitúdó (} = O-ban felvett értéke egyaránt végtelen. Hátra van még f(O) meghatározása () ~ O-ra. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy fennáll a

L (21+ l)P1(cos ()) = 46(1-cos ())

(124,3)

1=0

összefüggés. 5 Más szóval, a () = O-tól különböző szögeknél ez az összeg nulla. Így a szórásamplitúdó (123,11) kifejezésében () ~ O esetén minden tagban e]bagyhatjuk a szögletes zárójelből az l-et, úgyhogy l f(O) = 2ik

L (21+ l)P1(cos 8)e 2 i~z 00

1=0

(124,4) .

• Ez a klasszikus mechanikai teljes hatáskeresztmetszetet meghatározó ciájában nyilvánul meg.

f 2ne de integrál divergen-

• Ez a képlet a !5-függvény Legendre-poliDomok szerinti sorfejtését adja. Érvényessége közvetlenül a sin OP1(cos 0)-val szorzott egyenlőség() szerinti integrálásával, a páros ő(x) függvény

ellenőrizhető

J !5(x) dx integrálját 1/2-nek véve. l

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

595

124. §ÁLTALÁNOS ÖSSZEFÜGGÉSEK VIZSGÁLATA

marad. Az egyenlőség jobb oldalát a-Zibo_Jal szorozva, az 1/(0)1 2 abszolútértéknégyzettel definiált hatáskeresztmetszetet egyáltalán nem, az j( O) komplex függvény fázisát pedig csak egy lényegtelen állandó erejéig változtatjuk Másrészről viszont a ő 1 - Ö0 különbségben a (124,1) kifejezés U(r)-et tartalmazó divergáló integrálja kiesik, valamilyen véges mennyiség marad. A vizsgált esetben tehát a szórásamplitúdó kiszámítására az l = f(O) = - . L (21+ l)P1(cos fJ)e2i(6z-do) 2zk 1= 0

(124,5)

képietet alkalmazhatjuk.

125. §. A szórásra vonatkozó unitaritási feltétel Aszórásamplitúdó tetszőleges (nem okvetlenül gömbszimmetrikus) erőtérben lejátszódó szórásfolyamatra bizonyos igen általános fizikai törvényekből következő feltételeknek tesz eleget. A hullámfüggvény aszimptotikus alakja tetszőleges erőtérben való rugalmas szórás esetén "P """ eikrnn' + _!_f(n, n')eikr. r

(125,1)

Ez a kifejezés abban különbözik a (123,3)-tól, hogy a szórásamplitúdó a beeső és kifutó részecske pályájának irányába mutató n és n' egységvektoroktól is függ, nemcsak az általuk bezárt szögtől. A (125,1) alakú függvények különböző n beesési irányokkal felírt tetszőleges lineáris kombinációja is egy lehetséges szórási folyamatnak felel meg. (125,1) függvényt tetszőleges F(n) együtthatókkal megszorozva és n valamennyi irányára összegezve (a térszögelem dfJ), ezt a lineáris kombinációt az

f F(n)eikrnn'dfJ+ e:•·

I

F(n)f(n, n') dQ

(125,2)

alakban írjuk fel. Minthogy az r távolság tetszőlegesen nagynak választható, az első integrálban szereplő eikrnn' szorzó az n változó vektor gyorsan oszcilláló függvénye. Az integrál értékét ezért fó'ként olyan n értékek közelébe eső tartományok határoz38*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

596

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

zák meg, amelyeknél a kitevő szélsőértéket vesz fel (n =±n'). Valamennyi ilyen tartományban az F(n) ~ F(±n') szorzó kivihető az integráljel elé, így az integrál kiszámítható, és a 2-aiF( -n')

e- ikr

eikr ék r --,zr -2-aiF(n') kr +-r-

f

f(n, n') F(n) dQ

eredmény adódik. 6 Ezt a kifejezést tömör operátoralakba írjuk, elhagyva a közös 21tifk szorzót: e-ikr

eikr

- ,.F ( -n')--SF(n'), r

(125,3)

ahol

s=

1+2ikj,

(125,4)

pedig az /F(n') =

}n ff(n, n') F(n) dQ

(125,5)

integráloperátor. Az S operátort szórásoperátornak (vagy szórásmátrixnak) vagy egyS-mátrixnak neveZZük; ezt először W. Heisenberg vezette be (1943). (125,3) első tagja a középpontba befutó, a második onnan kifutó hullámot jelent. A részecskék számának megmaradását rugalmas szórásnál a bemenő és kifutó hullámok teljes részecskeáramának egyenlősége fejezi ki. Más szóval, ennek a két hullámnak azonos normájúnak kell lennie. Ennek feltétele az S szórásoperátor unitaritása (12. §), azaz teljesülnie kell az szerűen

ss+= egyenlőségnek,

1

(125,6

vagy (125,4)-et behelyettesítve és a szorzást elvégezve, az

!-!+

=

2ik//+

(125,7)

6 Az integrál kiszámítása céljából deformáljuk a p. = cos fJ(fJ az n és n' irányok által bezárt szög) változó szerinti integráJási utat a komplex p. síkon oly módon, hogy az a felső félsík irányába "kihajoljon", és a p.=± l végein rögzitett maradjon. Ekkor e végektől távolodva az e1kr,u függvény rohamosan csökken.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

125. §.A SZÓRÁSRA VONATKOZÓ UNITARITÁS! FELTÉTEL

597

összefüggésnek. Végül a (125,5) definíció figyelembevételével a szórásra vonatkozó unitaritási feltételt az /(n, n')-f*(n', n)= ~n

"kJ f(n, n")f*(n', n") dQ"

(125,8)

alakba :írhatjuk. Az Fil = JI]' esetben az egyenlőség jobb oldalán álló integrál nem más, mint a teljes szórási hatáskeresztmetszet:

=

a

Jl /(n, n")l

dQ".

2

Az egyenlőség bal oldalán álló különbség pedig ebben az esetben azf(n, n) amplitúdó képzetes részére redukálódik. Így tehát a teljes rugalmas hatáskeresztmetszet és a nulla szögű szórás szórásamplitúdójának képzetes része között az k

Imf(n, n) = 4 n a

(125,9)

összefüggés áll fenn (ez a szórásra vonatkozó ún. optikai tétel). Aszórásamplitúdó egy további általános tulajdonsága származtatható az időtük­ rözéssei szembeni szimmetria követelményéből. A kvantummechanikában ez a szimmetria abban nyilvánul meg, hogy ha egy függvény valamilyen lehetséges állapotot ír le, a komplex konjugált "P* függvény is egy lehetséges állapotnak felel meg (l. 18. §). Ennek megfelelőerr a (125,3) hullámfüggvény komplex konjugáltja, eikr

r

F*(- n') - e- ikr S*F*( n')

r

szintén egy lehetséges szórási folyamatot ír le. Vezessünk be egy új tetszőleges függvényt az sP*(n') = 2).

Megoldás. Tekintetbe véve, hogy a nagy l értékhez tartozó fázisokjátsszák a legfontosabb szerepet, ezeket a (124,1) képlet alapján számítjuk ki:

mrt.k"- 2 2fi2Jn-1

r(+)r(~) r(~)

(az integrál kiszámitását illetően l. a 126. § 5. feladatát). A (123, 12)-ben kijelölt összegezés! integrállal helyettesítve,

a

= ::

J21 sin ol dl 2

o

adódik. Az integrálban bevezetjük a o1 = u helyettesítés!, és pardálisan integrálunk du szerint, ami után egy r-függvényre vezető integrál marad. Eredményünk:

a

(n

=

1 1 )":_l -" . [n (n-3)] r (n-3) -- · [rC; )]"_: (a 2 n-1 n-1 r(;) lív

2:n;n-l Sin

-

(2)

--

= 3 esetén a határozatlanság kiküszöbölése után a = 2n2rt./ fw adódik). E képlet alkalmazhatóságának feltétele

egyenlőtlenség

mindenekelőtt

az, hogy Ö1 " ' l-nél l» l legyen;

adódik. Egy további feltételt kapunk annak r

~

megköveteléséből,

ebből

az

hogy az U(r) tér már

lj k "' (mrt./ li2k) 1 1 O esetek rendre a O(l) függvény maximumának, illetve minirnumának felelnek meg. A szórásamplitúdóra (127,6) helyett azt kapjuk, hogy

ahol O' = e- e0 : Az integrált (b, 3) szerint egy Airy-függvénnyel kifejezve a szórási hatáskeresztmetszet végül is :n da -

4:rr:lo

.m2(

rx213k2,.,

-

0' )

cx113

0' d .

A da/dO' differenciális hatáskeresztmetszet a klasszikusan el nem

érhető

szórási tartományban

(O' > O, ha a< O, és fl< O, ha a> 0) lecseng, a O' = O pont másik oldalán pedig nulla és egy fokozatosan csökkenő amplitúdó között ingadozik. A maximális értékét O'cx- 113 = 1,02-nél veszi fel,

ahol W2

=

0,90.

3. Határozzuk meg a kváziklasszikus kisszögű szórás szögeloszlását, ha az eltérülés klasszikus e szöge egy véges flo = 10 / k értéknél eltűnik. Megoldás. A szórás kváziklasszikus voltának feltételezése az adott esetben azt jelenti, hogy ! 0 » l és ó1, » l. Ekkor aszórásban az /0 -hoz közeli l értékek jelentősek. Kis l' = l-!0 esetén

ll,""

Ót,+

~

[' 2

[ekkor (127,3) szerint O= O, ha l' = O]. Ezt a kifejezést (127,1)-be helyettesítjük, és felhasználjuk P 1(cos fl) (49,6)-beli -előállítását. Az /-re való összegezés helyett megint dl' szerinti integrált veszünk az l'= O hely kömyezetében: 12

f

=

:~

exp (2ill,,)

JJ

0(/0)

exp (i{3/' 2) dl'.

Az integrál értékét az l' "' {J- 112 tartomány határozza meg. A O« y'TJ szögek esetén a J 0 (l0) függvényt kihozhatjuk az integrál jele elé, l helyébe /0 -t írva. A megmaradó integrált a szövegben ismertetett módon kell kiszámítani. A hatáskeresztmetszetre az alábbi eredményt kapjuk: 13

e

:rr:l~ Jo( 2 l da = {3k2 o ) d'n ~d. Hasonló eredmény adódik :rr:-hez közeli szögű szórás hatáskeresztmetszetére, ha a klasszikus szórási szög valarnilyen véges (nullától különböző) e mellett egyenlővé válik :rr:-vel. Ilyen tipusú szórással a szivárvány elméletében találkozunk, ezért szivárványszórásnak n~·ezzük. Szigorúan véve ehhez az amplitúdóhoz egy további tagot kell adni, mely a e -+ oo ütközési paraméter-tartományból származó kis szögű szórásnak felel meg. Ez a járulék azonban általában kicsi a kiirt tag melleU. 13 Ezt a s:zórástípust glóriaszórásnak szokás nevezni. 11

12

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

614

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

128. §. A szórásamplitúdó analitikus tulajdonságai A szórásamplitúdó számos fontos tulajdonságát megállapíthatjuk oly módon, hogy az amplitúdót a szóródó részecske formálisan komplexnek tekintett E energiája függvényében vizsgáljuk. Tekintsük a részecske mozgását egy, a végtelenben elég gyorsan eltűnő U(r) térben; hogy mit nevezünk "elég gyors" eltűnésnek, azt később részletezzük Hogy az itt következő megfontolásokat egyszerűsítsük, először az l = O esetre szorítkozunk. A Schrödinger-egyenlet l = O-ra és tetszőleges megadott E-re érvényes megoldásának aszimptotikus kifejezését a

x= r'ljJ =

A(E) exp

( - V-2mE n r ) +B(E) exp

(Y -2mE .) lí r

(128,1)

alakban írjuk, és E-t komplex változónak tekintjük; valós negatív E értékekre a

JI-

E-t pozitívnak vesszük. A hullámfüggvényt valamilyen meghatámzott feltétellel normáljuk, mondjuk a 'lfJ(O) = l megkövetetéséveL A valós tengely bal oldalán (E < O) a (128, l) első és második tagjának exponenciális szorzója valós; az egyik r ..... oo esetén csökken, a másik növekszik. Abból a feltételből, hogy x valós, következik, hogy A(E) és B(E) valós E< O-nál; az is következik ebből, hogy e függvények értékei bármely, a valós tengelyre nézve szimmetrikusan elhelyezkedő pontokban egymás komplex konjugáltjai: A(E*)

= A*(E),

B(E*)

= B*(E).

(128,2)

A bal oldali valós féltengelyről átmenve a jobb oldalira a felső félsíkon keresztül, a hullámfüggvény aszimptotikus viselkedését E > O-ra a következő alakban kapjuk: X = A(E) eik'+ B(E) e-lkr,

(128,3)

Ha az alsó félsíkon hajtjuk végre az átmenetet,

adódik. Minthogy

x egyértékű függvénye E-nek, ez azt jelenti, hogy A(E) = B*(E),

www.interkonyv.hu

ha E > O

(128,4)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

128. §. ASZÓRÁSAMPLITÚDÓ ANALITIKUS TULAJDONSÁGAI

615

(ez az összefüggés közvetlenül következik abból is, hogy x valós E> 0-ra). Mivel a (128,1)-ben szereplő -E gyök nem egyértékű, maguk azA(E) és B(E) együtthaták sem azok. E többértékűség megszüntetése céljából felvágjuk a komplex síkot a jobb E-t, ugyanakkor biztooldali valós féltengely mentén. A vágás egyértékűvé teszi sítja az A(E) és B(E)függvények definíciójának egyértékűségét is. A vágás alsó és fels.ő szélén ezek a függvények komplex konjugált értékeket vesznek fel [a (128,3) kifejezésben A(E)-t és B(E)-t a vágás felső szélén vesszük]. A megbeszélt módon felvágott komplex síkot a Riemann-felület fizikai levelének nevezzük. Az általunk elfogadott definíció szerint ezen a levélen mindenütt

V

V-

(128,5)

ReV-E> O.

V-

V

Speciálisan, a vágás felső szélén az így definiált E átmegy - i E -be. 14 A (128,3)-ban az eikr és e-ikr szorzó és velük együtt x két tagja azonos nagyságrendű; ezért a (128,3) alakú aszimptotikus kifejezés mindig konzisztens. A fizikai levél többi részén r- =-re (128,1) első t.agja exponenciálisan lecseng, a második pedig növekszik [(128,5) miatt]. Ezért (128,1) két tagja különböző nagyságrendű, és ez a kifejezés, mint a hullámfüggvény aszimptotikus alakja, nem mindig konzisztens, a benne szereplő kis tag a nagy mellett meg nem engedhető pontosságú járulék lehet. Ahhoz, hogy a (128, l) kifejezés konzisztens legyen, a kis tagnak a nagyhoz viszonyított aránya nem lehet kisebb a potenciális energia (U/E) relatív nagyságrendjénél, amelyet a Schrödinger-egyenletben elhanyagolunk az aszimptotikus tartományra való átmenetkor. Másszóval, szükséges, hogy az U(r) potenciál eleget tegyen a következő feltételnek: U(r) gyorsabban tart nullához r - = esetén, mint

,rn)

2 Y2ni Re r -E . exp ( --lí-r

(128,6)

E feltétel teljesülése esetén a (128,1) alakú aszimptotikus kifejezés az egész fizikai levélen konzisztens, és minthogy egy véges együtthatójú egyenlet megoldása, nincse·nek szingularitásai E függvényében. Ez azt jelenti, hogy az A(E) és B(E) függvény az egész fizikai levélen reguláris az E =O pont kivételével; ez utóbbi, mint a vágás kezdetét meghatározó pont, a függvények elágazási pontja. 14 E szakasz hátralevő részében a szórásamplitúdó tulajdonságait mindenütt a fizikai levélen tanulmányozzuk. A későbbiekben bizonyos esetekben szükségünk lesz a Riemann-felület másik - nemfizikai- levelére is (l. 134. §). Ezen a levélen

ReV-E
O esetén közvetlen kapcsolatban á]]nak az U(r) térbeli szórásamplitúdóvat Valóban, összehasonlítva (128,3)-t x-nek a (33,20) alakban írt (128,7) aszimptotikus kifejezésével, látjuk, hogy _ A(E) - 2io 0 B(E)- e .

Az l

(128,8)

= O impulzusmomentumú szórásampHtúdó (123,15)-nek megfe1dően

fo = _;.__ ( e2iöo -1) =

2lk

lí

{ AB

2Y-2mE \

+

l) ;

(128,9)

A-t és B-t a vágás felső szélén keH venni. A szórásampHtúdót mint E függvényt tekintve az egész fizikai levélen, látjuk, hogy a diszkrét energiaszintek ennek egyszerű pólusai. Ha az U(r) tér eleget tesz a (128,6) feltétdnek, akkor a fent mondottak értelmében a szórásamplitúdónak nincs több szinguláris pontja. 1 5 Számítsuk ki a szórásampHtúdó rezidunmát valamilyen E = Eo < O diszkrét energiaértékének megfelelő pólus helyén. E célból felírjuk a x függvényre vonatkozó egyenletet és annak E szerinti deriváltját:

2m x"+li2(E-U)x =O,

2m ax ax) " +-fi2(E-U) ( BE BE

2m

= -ji2X·

Az elsőt ox/BE-vel, a másodikat x-vel megszorozva, az egyenleteket egymásból kivonva és dr szerint integrálva: r

, ax ( ax)' _ 2m J X BE -X BE - 7f2 X

2

d

r.

(128,10)

o 15 Az E = O pont kivételével, mely az A(E) és B(E) függvények fent emlitett szingularitásának spedális esete. A szórásamplitúdó azonban E -.O esetén véges marad (l. 132. §). Az alábbiakban a rövidség kedvéért nem ismételjük meg esetenként ezt a megjegyzést.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

617

128. §. A SZÓRÁSAMPLITÚDÓ ANALITIKUS TULAJDONSÁGAI

Alkalmazzuk ezt az összefüggést E= Eo és r ...... = esetére. A jobb oldalon álló integrál r ..... =-re l-hez tart, ha a kötött állapot hullámfüggvénye a szokott x2dr = l feltétellel van normálva. A bal oldalon x-t (128,1)-ből helyettesítjük, és figyelembe vesszük, hogy az E = Eo hely közelében

J

A(E)

""'='

B(E):::::; (E+[Eol) dB dE lE=Eo= j3(E+[Eo[).

A(Eo) =: Ao,

Eredményül az adódik, hogy

j3

~vm 2[ Eo l

= - Aoh

·

E kifejezések segítségével azt kapjuk, hogy az E = Eo hely közelében a szórás amplitúdó vezető tagja (mely megegyezik az l = O szórásamplitúdóva1) a következő alakú:

n A5 2

J= -

2m

l E+ l Eo l

(128,11)

Ily módon a szórásamplitúdó rezidunmát a diszkrét nívó helyén a megfelelő stacionárius állapotot leíró normált hullámfüggvény

x=

l ) A o exp ( .- V2m[Eo h r

(128,12)

aszimptotikus kifejezésének Ao amplitúdója határozza meg. Visszatérve a szórásamplitúdó analitikus tulajdonságainak vizsgálatához, tekintsük azt az esetet, amikor a (128,6) feltétel nem teljesül. Ilyen erőterekben csak a (128,1) kifejezés növekvő tagja felel meg a Schrödinger-egyenlet aszimptotikus megoldásának az egész fizikai levélen. Ennek megfelelően, mint eddig is, mondhatjuk, hogy a B(E) függvénynek nincsenek szingularitásai. Az A(E) függvény viszont ilyen feltételek mellett csak úgy értelmezhető a komplex síkon, hogy analitikusan folytatjuk x jobb oldali féltengelyen érvényes aszimptotikus kifejezésének együtthatófüggvényét, ahol x mindkét tagja konzisztens. Az ilyen analitikus folytatás azonban általában különböző eredményekre vezet attól függően, hogy a vágás alsó vagy felső széléről végezzük. Hogy függvényünk egyértelmű legyen, megállapodunk abban, hogy a felső, illetve az alsó félsíkon definiáljuk A(E)-t mint a jobb oldali féltengely felső, illetve alsó oldaláról való analitikus folytatást; a vágást pedig az egész valós tengely mentén folytatni kell. Az így meghatá-

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

618

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

rozott függvény továbbra is rendelkezik az A(E*) = A*(E) tulajdonsággal, de általában nem valós sem a jobb, sem a bal oldali valós féltengelyen. Elvben szingularitásai is lehetnek. Megmutatjuk, hogy létezik a terek egy olyan kategóriája, amelynél A(E)-nek nincs szingularitása az egész fizikai levélen, még ha nem teljesül is a (128,6) feltétel. E célból x-t az r komplex változó függvényének tekintjük rögzített (komplex) E érték mellett. Elegendő ekkor E felső félsíkbeli értékeire szorítkozni, mivel az A(E) függvény két félsíkon felvett értékei egymás komplex konjugáltjai. Olyan r értékek esetén, amelyekre Er2 valós pozitív szám, a (128,1) függvény két tagja azonos nagyságrendű, azaz visszajutunk ahhoz a helyzethez, mely E> O-ra és valós · mellett áll fenn, amikor x aszimptotikus kifejezésének mindkét tagja konziszte.. _ bármely, a végtelenben eltűnő U(r) erőtér esetén. Ezért tehát azt mondhatjuk, hogy A(E)-nek nem lehet szinguláris pontja olyan E értékek mellett, melyekre U(r) --+- O, ha r egy olyan sugár mentén tart végtelenhez, melyre Er2 > O. Amikor E az egész komplex felső félsíkot befutja, az Er2 > Ofeltétel a komplex r sík jobb alsó negyedét választja ki. Így tehát arra a következtetésre jutunk, hogy A(E)-nek nincs a fizikai levélen szingularitása azokban az esetekben sem, amikor U(r) eleget tesz az alábbi feltételnek :16 (128,13) U(r) --+- O, ha r --+- = a jobb oldali félsíkon (L. D. Landau, 1961).

A (128,6) és (128,13) feltételek a terek igen széles kategóriáját felölelik. Ezért azt mondhatjuk, hogy a szórásamplitúdónak rendszerint nincs szingularitása az egyik félsíkon sem. Magán a bal oldali valós féltengelyen (amely a fizikai levélhez tartozik, ha nincs rajta vágás) a szórásamplitúdónak a kötött állapotoknak megfelelő pólusai vannak; ha a féltengelyen vágás van, más szingularitások is lehetnek. Ez utóbbi például (128,14) alakú terek esetén következik be (tetszőleges n mellett). A bal oldali féltengely O< -E < h2 f8ma szakaszán teljesül a (128,6) feltétel, úgyhogy ott nincs vágás, és a szórásamplitúdónak csak a kötött állapotoknak megfelelő pólusai vannak. A bal oldali féltengely többi részén lehetnek "fölösleges" pólusok és más szingularitások is (S. T. Ma, 1946). Ezek megjelenése azzal kapcsolatos, hogy mikor r egy olyan sugár mentén tart végtelenhez, amelyre Er2 > O, a (128,14) függvény nem tart már nullához, mihelyt E a bal féltengely alá kerül (vagyis az említett sugár a komplex r sík képzetes tengelyének bal oldalára kerül). 1s Minthogy U(r) valós a valós tengely mentén, fennáll az U(r*) = U*(r) összefüggés; ennek következtében, ha a jobb alsó síknegyedben teljesül a (128,13) feltétel, akkor automatikusan teljesül az egész jobb oldali félsíkon is.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

128.§. ASZÓRÁSAMPLITÚDÓ ANALITIKUS TULAJDONSÁGAI

619

Továbbmenve, vizsgáljuk a szórásamplitúd6 analitikus tulajdonságait az lEl-= esetben. Ha E- + = a valós tengely mentén, a Born-közelités jogos, és a szórásamplitúdó nullához tart. A fent mondottak értelmében ugyanez a helyzet, amikor E a komplex sík egy arg E = const egyenese mentén tart végtelenhez, ha r olyan komplex értékeit vizsgáljuk, amelyekre Er2 >- O. Ha U - O, amikor r -

=

egy arg r = -

~ arg E

egyenes mentén, és ezen az egyenesen U(r)-

nek nincs szinguláris pontja, akkor a Born-közelités alkalmazhatóságának feltétele teljesül, és a szórásamplitúdó, ugyanúgy, mint az előbb, nullához tart. Amikor arg E O és n közötti értékeket vesz fel, arg r a (O, -n/2) tartományt futja be. Eredményünk az, hogy a szórásamplitúdó a végtelenben nullához tart az E sík minden irányában, ha az U(r) függvény az r változó jobb oldali félsíkján nem szinguláris, és a végtelenben eltűnik. Bár az eddigiekben mindig csak az l= O impulzusmomentumú szórásról beszéltünk, az összes kapott eredmény valójában tetszőleges, nullától különböző impulzusmomentumú parciális amplitúdóra is igaz. Származtatásuk során az az egyetlen különbség, hogy az e±ikr szorzó helyett x azimptotikus kifejezésében a szabad mozgás (33,16) pontos radiális hullámfüggvényétkellene írniP Néhány módosítást kell végezni l ~ O esetén a (128,9) és (128, ll) képletek ben. A (128, 7) helyett most

és a [(123, 15)-nek

megfelelően

lz=

definiált] lz parciális amplitúdókra azt kapjuk, hogy li 2 V-2mE

{(-1)1~+1}. B

Az l impulzusmomentumú szórásamplitúdó helyett az

vezető

(128,16)

tagja E= Eo közelében (128,11)

J:z2Az 1 J~ (2l+l)fzPz(cos B)= ( -1) 1+ 1 2m0 E+ l Eo l (2/+l)Pt(cos B)

(128,17)

képlettel adható meg. 1 7 E függvények (33,17) aszinptotikus alakjának használata csak E> O esetén megengedett' az E sik többi részén, ahol x két tagja különböző nagyságrendű, ezeknek az alakoknak a használata x-ben általában nagyobb hibát okozna, mint U-nak a Schrödinger-egyenletben való elhagyásából következő hiba.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

620

129. §.DISZPERZIÓS ÖSSZEFÜGGÉSEK

129. §. Diszperziós összefüggések Az előző szakaszban megvizsgáltuk az adott l értékhez tartozó parciális szórás:ampHtúdók analitikus tulajdonságait. Láttuk, hogy ezeket a tulajdonságokat "fölösleges" sz.ingularitások és végtelenbeli irregularitások fellépése bonyolítja. Nyiivánva]óan ugyanilyen tulajdonságai vannak az adott szórási szög mellett az energia függvényében vizsgált teljes szórásamplitúdónak is. Kivételt képez azonban a nulla szögű szórás esete. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy ekkor a szórásampHtúdó anaHtikus tulajdonságai sokkal egyszerűbbek. A szórt részecske hullámfüggvényére vonatkozó Schrödinger-egyenletet a (129,1)

:alakban ]rjuk, és formálisan úgy tekintjük, mint egy inhomogén hullámegyenletet, azaz mint a retardált potenciálra vonatkozó, az elektrodinamikából ismert egyenktet. A (129,1) egyenlet valamilyen k' irányban terjedő "sugárzásnak" megfelelő megoldása a szórócentrumtól nagy Ro távolságban, mint ismeretes, a következő alakot ölti (l II. 66. §): -

VJszórt -

-

l eikRof2mU -ik'r ·~ 1pe dV. 4 n Ro

(129,2)

Az adott esetben ez a kifejezés a szórt részecske hullámfüggvénye, és eikRo jRo szorzója azj(8, E) szórási amplitúdó. Spedálisan k' = k-t helyettesítve (ka beeső részecske hullámvektora), megkapjuk a O szögű szórás amplitúdóját: (129,3) (a z tengelyt k irányába fektettük). Ennek a kifejezésnek természetesen csak formális értelme van, minthogy az integrál alatt ismét fellép az ismeretlen függvény. Mindenesetre (129,3) alapján fontos következtetéseket vonhatunk le az E függvényének tekintettf(O, E) mennyiség analitikus tulajdonságait illetően. 18 Az integrál alatt szereplő 1p függvény nagy r értékek esetén két részből áll- bejövő és szórt hullámokbóL Ez utóbbi eikr_rel arányos, úgyhogy az integrál megfelelő 18

Feltételezzük természetesen, hogy az U(r) tér r > 0-ra) egyáltalán létezzék (l. 124. §).

=

eseténelég gyorsan lecseng ahhoz, hogy

f(O, E)(E

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

621

129. §. DISZPERZIÓS ÖSSZEFÜGGÉSEK

részének integrandusa az t!kCr-z> kifejezést tartalmazza. Másrészről, áttérve a komplex síkra (a jobb oldali féltengelyen levő vágás felső széléről), ik helyett- -2mEflí-t. írunk, és az egész fizikai levélen Re E > O. Minthogy r ~ z, Re [ik(r- z)] < O, és az :integrál bármely komplex E mellett konvergál. Ami a 1p-ben szereplő efkz_ve! arányos beeső hullámot illeti, az integrál megfelelő részében az exponenciális szorzó kiesik, úgyhogy ez a rész is konvergál. A (129,3)-ban szereplő 1p függvény tetszőleges komplex E esetén egyértelműen van definiálva, ez a Schrödinger-egyenletnek a síkhullám mellett csak (r - =-ben) lecsengő részt tartalmazó megoldása. Ezért egyértelműen definiált az egész (129,3) konvergáló integrál is, úgyhogy szingularitásai csak 1p végtelenné válása miatt léphetnek fel. Ez diszkrét energiaszintek esetén következik be. 19 Könnyűbelátni azt is, hogy f(O,E) véges marad JEl - = esetén. Nagy IEJ-nél a (129,1) Schrödinger-egyenletben az U-t tartalmazó tagot elhanyagolhatjuk, úgyhogy 1j!·ben csak a 1p "' e1kz síkhullám marad. Ekkor a (129,3) integrál átmegy az

y

y-

j(O, oo) =

-2;2

fU dV

kifejezésbe, ami a várakozásnak megfelelően megegyezik a O szögű (q =O) szórás {126,4) Born-amplitúdójával; jelöljük eztfB(O)-val. Arra a következtetésre jutunk tehát, hogy a O szögű szórás amplitúdója az egész fizikai levélen reguláris (a végtelenben is), kivéve a bal oldali valós féltengelyeiiT! levő, a diszkrét állapotoknak megfelelő pólusokat. 20 Tekintsük a 46. ábrán vázolt, egy végtelen távoli körívből és a jobb oldali félteiiTlgelyen levő vágást megkerülő szakaszból álló kontúrra vett

f

_l f(O, E') -/B dE' 2ni E'-E c

(129,4)

19 A félreértések elkerülése végett hangsúlyozzuk, hogy itt a rendszer IfJ teljes hullámfüggvényéről van szó, melyet úgy normáltunk, hogy az aszimptotikus kifejezésében szereplő sikhullám együtthatója l legyen [vö. (123,3)]. Az előző szakaszban viszont a hullámfüggvény meghatározott l értéknek megfelelő !p1 részeit vizsgáltuk, és ezeket valamilyen tetszés szerinti feltétellel normáltuk. A teljes IfJ függ·· vényt 1p1 szerint sorbafejtve, ez utóbbiak valamilyen l/B1 együtthatóval megszorozva szerepelnek; igy az l= 0-nak megfelelő (128,3) függvény !p-ben a ik 2'B . k rl const - -l [(A +B) e'1 sm r B

alakp;m szerepel. Ezért a IfJ függvény végtelenné válik a B1(E) függvény zérushelyein, azaz a diszikrét energianivóknál. 20 A bemutatott bizonyitás ötlete L. D. Faggyejevtől származik (1958).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

622

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZESEK

integrált. A körívrevett integrál éltűnik, mert f(O, = )- fB = O. A vágás két partjára vonatkozó integrál viszont _l n

f

Imf(O, E') dE E'-E '

o

ahol figyelembe vettük azt a 128. §-ban elfogadott definíciót, amely szerint a fizikai szórásamplitúdót E valós 46. ábra pozitív értékeire a vágás felső széle adja, a vágás alsó széle pedig a komplex konjugált mennyiséget szolgáltatja. Másrészről viszont a Cauchy-tétel szerint a (129,4) integrált úgy kaphatjuk meg, hogy azf(O, E)-!B mennyiséghez hozzáadjuk az integrandusnak az f(O, E')/(E' -E) függvény E' = En pólusaiban vett Rn reziduumait, ahol En a diszkrét energiaszinteket jelöli; a reziduumokat a (128,17) képlet határozza meg: (129,5)

Un az E

11

energiájú állapot impulzusmomentuma). Így azt kapjuk, hogy !( O, E)

=JB+ _l 'l(,

f

""

o

Imf(O, E') dE' ~ ~ E'-E +L. E-E. n n

(129,6)

Ez az úgynevezett diszperziós összefuggés meghatározza f(O, E)- t a fizikai levél tetszőleges pontjában, ha ismerjük képzetes részét E> O-ra (D. Wong, 1957; N. N. Khuri, 1957). Amikor az E pont a vágás felső széléhez közeledik, a valós tengelyre vett (129,6) integrált az E' =E pólust alulról kerülő kontúron kell kiszámítani; ha ezt a megkerülést végtelen kis sugarú félkör mentén végezzük (47. ábra), akkor az integrál

® t

o

•

• 47. ábra

megfelelő része a (129,6) egyenletjobb oldalán i Imf(O, E) járulékot ad, a megmaradó, O-tól =-ig terj~dő integrált pedig főérték-értelemben kell vennünk. Eredményül az

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

130.§. A SZÓRÁSAMPUTÚDÓ ]MPULZUSREPREZENTÁOÓBAN

623

alábbi képietet kapjuk:

R f(O E) =f _L~l e. ' B' n

=

pf Imf(O;E') dE' ~.. ___!!"__ E'-E + L.,E-E · "

o

(129,7)

n

Ez az összefüggés E > O mellett megadja a O szögű szórás amplitúdójának valós részét képzetes részének ismeretében. Emlékeztetünk arra, hogy az utóbbi (125,9)nek megfelelően közvetlen kapcsolatban van a teljes szórási hatáskeresztmetszettet

130. §. A szórásamplitúdó in1pulzusreprezentációban Aszórásamplitúdó kifejezésében csak a szóródó részecske kezdeti és végállapotbeli impulzusának iránya szerepel. Természetes ezért, hogy ehhez a fogalomhoz úgy is djuthatunk, hogy a feladatot impulzusreprezentációban tanulmányozzuk, amikor a folyamat egész képében a térbeli eloszlás kérdése fel sem merül. Megmutatjuk, hogyan vihető ez végbe. Mindenekelőtt az eredeti fl 2

-~ 2

·m

6'lfJ(r)+[U(r)-E]1J!(r) =O

(130,1)

Schrödinger-egyenletet átírjuk impulzusreprezentációba, a koordináta-hullámfüggáttérve az impulzusfüggvényekre, vagyis az

vényekről

(130,2) F ourier-amplitúdókra. Megfordítva '!J!( r)

=

I

a( q) eiqr

d3

(2n~3.

(130,3)

Szorozzuk meg a (130,1) egyenletet e-tq•-rel, és integráljuk dV szerint. Az első tagban kétszeres parciális integrálás után azt kapjuk, hogy

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

624

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

A második tagba behelyettesítve 1p(r)-nek a (130,3) alatti alakját, az adódik~ hogy

f U(r) 'l/)(r) eiqr dV = =

If

d3 U( r) e-iqra(q') eiq'r dV-q-= (2n) 3

=

I

d3q'

l

U(q -q') a( q') (2n)3'

ahol U(q) az U(r) tér Fourier-transzformáltja:21 U(q)

= fU( r) e-lqr dV.

Így tehát az impulzustérben felírt Schrödinger-egyenlet: ) ( ft2q2 2m -E a(q)+

I .

d3q' U( q -q) a(q) (2n)3 = O.. l

l

(130,4)

A koordinátatérben érvényes differenciálegyenlet helyett tehát integrálegyenletet kaptunk. A lík impulzusú részecske szórását leíró hullámfüggvényt (130,5)

alakban állítjuk elő, ahol Xk(r) olyan függvény, melynek aszimptotikus alakja (r _._ re) kifutó gömbhullámnak felel meg. '!Pk F ourier-transzformáltja:

=-

(130,6)

Behelyettesítve ak(q)-t a (130,4) egyenletbe, Xk(q)-ra a juk:22

következő

egyenletet kap-

(130,7)

Ebben az egyenletben

célszerű

Xk(q) helyett új ismeretlen függvényt bevezetni a (130,8)

21 Az írásmód egyszerűsítése céljából q-t a Fourier-komponens argumentumaként, nem pedig indexeként tüntetjük fel. 22 A o-függvény tulajdonságaimiatt a (q 2 - k 2 ) o( q- k) szorzat egy (a q = k helyen nem szinguláris)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

BO.§. ASZÓRÁSAMPLITÚDÓ IMPULZUSREPREZENTÁCIÓBAN

625

definíciónak megfelelően. Ezzel megszűnik a (130,7) egyenlet együtthatóinak a q2 = k2-beli szingularitás és azt kapjuk, hogy

F(k ) = - U( - k)- 2m ,q q fz2

f

U(q -q') F(k, q') d3q' q'2-k2-iO (2n)s·

(130,9)

Az iO tagot (amely az ib határesetét jelöli b - +0-ra) azért vezettük be a (130,8) definicióban, hogy a (130,9) integrálnak meghatározott értelmet adjunk: ezzel elő­ írjuk a q' 2 = k 2 pólus megkerülésének módját (vö. 43.§). Megmutatjuk, hogy éppen ez a póluskerülés felel meg a

2m fF(k, q) efqr d3q Xk(r) = 71,2 q2 -k2 -iO (2n)a

(130,10)

függvény megkövetelt aszimptotikus alakjának. Ehhez tFq = q2 dq dQq-t irunk, és először elvégezzük a dQq szerinti integrálás t, vagyis a q vektor r-től számitott frányaira való összegezést. Ilyen. tipusú integrált már kiszámítottunk a (125,2) első tagjának átalakitása során; az eredmény a nagy r értékeknek megfelelő tartományban :

f 00

r =_2m 2ni X () lz2 r k

F(k, qn') eiqr -F(k, -qn') e-lqr qdq q 2 -k2 -i0 (2:n:)3

o

'

(ahol n' = r/r), vagy

f ""

im Xk(r) = - 2::rz;21z2r

F(k, qn') efqr q dq q2 -k2 -i0

Az integrál alatti kifejezésnek a q = k+iO és q = -k-iO helyeken van pólusa, melyeket (a q komplex sikban való integrálás során) rendre alulró~, illetve felülről kell kerülni (48a ábra). Toljuk el egy kissé az integrációs utat a felső félsik irányában; ekkor egy, a valós. tengellyel párhuzamos egyenest kapunk, és egy, a q = k pólust körülfogó zárt hurkot ( 48b ábra). Az egyenesre vonatkozó integrál r - = esetén

f(q)f.üggvénnyelmegszorozva ésd3q szerint integrálva nullátad. Ebben azértelembena(q2 -k2) ~(q-k) szorzat azonosan nulla. 40

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

626

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

eltűnik az integrandusban szereplő exp(- r lm q) szorzó miatt, a zárt hurokra vett integrált pedig az integrandus q = k-beli reziduuma adja meg (2ni-vel szorozva); végül azt kapjuk, hogy m ékr (130,11) Xk(r) = 2nn 2 -r-F(kn, kn')

(n a k irányú egységvektor). Megkaptuk tehát a hullámfüggvény megkövetelt aszimptotikus alakját, és ebből a szórásamplitúdó:

f(n, n')= 2;

2

(130,12)

F(kn, kn').

Így a szórásamplitúdót a (130,9) integrálegyenletet kielégítő F(k, q) függvény q = kbeli értéke szolgáltatja. Ha a perturbációszámítás alkalmazható, a (130,9) egyenletet könnyen meg lehet oldani iterációs módszerrel. Az első közelítésben az integráltagot teljesen elhagyjuk,

®. o . o .

b}

a}

e

48. ábra

igy F(k, q) = - U(q- k) adódik. A következő közelítésben az integrál alatt álló F(k, q) helyébe az első közelítésben kapott alakját írjuk; ekkor a (130,12) szórásamplitúdóra (a jelöléseket egy kissé megváltoztatva) azt kapjuk, hogy ,

m {

,

2m

f(n, n) = - 2nfz2 U(k - k) + h2

I

U(k' -k") U(k" -k) d3k"}

k2 -k"2+ iO

(2n)3 ,

(130,13)

ahol k = kn, k' = kn'. Az első tag megegyezik az első Born-közelítés (126,4) képletével, a második a szórásamplitúdóhoz második közelítésben adódó járulék. 23 (130,13)-bóllátható az a 126. §-ban már említett körülmény, hogy aszórásamplitúdó már második közelítésben elveszti a (126,8) szimmetriatulajdonságát. Az első pillanatban esetleg úgy tűnhetne, hogy a (130,13)-ban szereplő integráltag is szimmetrikus a kezdeti és végállapot felcserélésével szemben. Valójában azonban nem áll fenn ilyen szimmetria, mert a komplex konjugált kifejezésre való áttérés során az integrációs kontúr (a pólus körüljárásának iránya) megváltozik. 23 Ezt az eredményt természetesen könnyen megkaphatjuk impulzusténe való áttérés nélkül is: az, hogy a második közelítésben érvényes képlet az első közelítésből úgy adódik, hogy U(k'- k)-t a (130,13) kifejezésben kapcsos zárójelben levő taggal helyettesítjük, már a (43,1) és (43,6) képletek összevetéséből következik.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

131. §. NAGY ENERGIÁJÚ SZÓRÁS

627

131. §. Nagy energiájú szórás Ha a potenciális energia nem kicsi n2 /ma 2 mellett (a az erőtér hatótávolsága), akkor előfordulhat, hogy a szóródó részek energiája olyan nagy, hogy

U« E

iP rv -

ma

2

(ka)2,

(131,1)

de ugyanakkor h2

hv

l U l 1:;:; - ka = - . ma 2 a

(131,2)

Természetesen haUgatólagosan feltételezzük azt is, hogy

ka» 1.

(131,3)

Ebben az esetben gyors részecskék szóródásáról van szó, amelyekre azonban nem alkalmazható a B·orn-közelítés [a (126,1) és (126,2) feltételek egyike sem teljesül]. Ilyen eset tanulmányozásához a hullámfüggvény (45,9) alatt felírt

(131,4)

alakjából indulunk ki, melynek alkalmazhatóságához elegendő az l UJ «E feltétel teljesülése. A 45. §-ban megjegyeztük, hogy ez a kifejezés csak z« ka 2 mellett érvényes; ezért nem folytatható minden további nélkül olyan távolságokig, ahol a (123,3) aszimptotikus kifejezés már alkalmazható. Erre azonban nincs is szükség: a szórásamplitúdó kiszámításához elegendő a hullámfüggvényt az a« z« ka 2 egyenlőtlen­ ségnek eleget tevő z távolságban ismerni; ekkor F(r) kifejezésében a kitevőben szereplő in te grál már kiterjeszthető =-ig: 1p

=

eikz S(p),

(131,5)

ahol az a]ábbi jelölést vezettük be:

S(p) = exp [2iö(p)],

ö(p)

= - -1-: 2hv

f

Udz

(131,6)

40*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

628

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

(p az xy síkban fekvő helyvektor). Gyors részecskék többnyire kis szögben szóródnak, ezért ezt az esetet vizsgáljuk. Ekkor a /iq impulzusmegváltozás viszonylag kicsi (q« k), ezért úgy vehetjük, hogy q vektor merŐieges a beeső részecske k hrillárrtvektorára, vagyis a~ xy síkban fekszik. A szórt hullámot' úgy kapjuk, hogy (131,5)-ből kivonjuk az eikz beeső hUllámot [a (131,4) függvényt z= - = mellett]. A k' = k+q hullámvektornak megfelelő ~2!c?r4s .amplitúdója pedig arányos. a szórt hullám megfelelő Fourier-komponensével:24 ·

a

fco j[S(p)-1]e-iqpd2e

(:Pe·== dx dy). Az arányossági egy-Utthatót ezután a Bom-közelités határesetével való összehasonlítás útján kapjuk (1. alább). Egy másik eljárás alkalmazásával mindjárt határozott kifejezésre juthatunk. A tp függvény (131,4) alakját behelyettesítjük (129,2)-be. Észrevéve, hogy (45,8) szerint

a szórásamplitúdóra (mely az eikR•/Ro mennyiség szorzója) azt kapjuk, hogy

F kifejezését behelyettesítve végül is :25 ·,)

'.'

·_, ,.

l! ...

i''

(131,7)

···:.: 1:

'. ..·

, ' ~ 4 A s:Wrásamplitúdó meghatározásának ez a módszere analóg. a Fraunhofer-elhajlás vizsgálatánál alkalmazott módszerrel (l. n. 61.§). Megjegyezzük, hogy éppen az elhajlási jelenségek miatt válik alkalmazhatatlanná a (131,4) képlet a z ;;::; ka2 tartományban. . 25 A kétdimenziós esetben az U(x, z) térhén való szórás amplitúdóját hasonló képlet határozza meg:

f

=

~J [S(x)- l]e-itz dx.

(l31,7a)

Az. lfl~ d() mennyiség az y tehgely egységnyi hosszára vonatkozó szórási hatáskeresztmetszet, sikban mért szórási szög (1. még a 126. § 6. feladatában adott definíciót is).

www.interkonyv.hu

eaz xz

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

131. §. NAGY ENERGIÁJÚ SZÓRÁS

629

Ha az energia olyan nagy, hogy b ~ l Ul ajlív « 1, akkor alkalmazható a BornközeUtés. Valóban, az S-1 ~ 2ib sorfejtéssei (131,7)-ből

adódik, (126,4)-nek megfelelően. A (125,9) optikai tétel felhasználásával (131,7)-ből megkaphatjuk a teljes hatáskeresztmetszetet. A nuUa szögű szórás amplitúdójaJ értéke q = O meUett, Így (131,8) Az integrál alatti kifejezést úgy tekinthetjük, mint a d2e intervallumba eső 26 ütközési paraméterrel rendelkező részecskék szórási hatáskeresztmetszetét. A (131,7) képlet levezetésénél nem tételeztük fel, hogy a tér gömbszimmetrikus. Tanulságos megmutatni, hogyan adódik ez a képlet gömbszimmetrikus tér esetén közvetlenü] az általános (123,11) képletbőL A (131,1)-(131,3) feltételek mellett a szórásban a nagy l impulzusmomentumú parciális amplitúdók a leglényegesebbek A hullámfüggvény ezért kielégíti a kváziklasszikus közelítés alkalmazhatóságának feltételeit, tehát használhatjuk b1 Ó24,1) alakját. Helyettesítsünk ebbe a képletbe ro ~ lfk-t és r2 = z2 + f2/k 2-et. Ekkor

ami megegyezik a (131,6) b(e) függvénnyel e = ljk meHett.2 7 Továbbá a kis szögek 26 A 152. §-ban megadjuk a (131,7) és (131,8) képletek általánosítását részecskerendszereken való szórás esetére. 27 A 2M(p) kvázíklasszíkus függvény nem más, Illint a hatásnak az U térrel kapcsolatos megváltozása a részecske klasszikus pálya mentén való mozgása során. Gyors részecske .esetén a pályát egyenesnek vehetjük, és akkor 2Ö(p) megegyezik a klasszikus hatásintegrálok különbségével:

Ebben az értrelemben a ő(p) függvény itt a geometriai optika eikanáljához hasonló szerepet tölt be. Ezért a szóráselméletben ezt a közelítést eikonálközelítésnek is szokás nevezni. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a szórásamplitúdó semmiképpen sem veszi fel a kváziklasszikus alakját, minthogy általában nem teljesiilnek a 8!» l, Ő1 » l feltételek.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

630

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

tartományában (() « l) a nagy l alakba irhatók:

indexű

Legendre-polinomok (49,6)-nak

f

megfelelő

2n

P 1(cos ())

~

J 0(()l)

= _l 2n

e-iOlcos '~'dcp. .

o

Ezt a kifejezést (123,11)-be helyettesítve és (a nagy l-ekre vonatkozó) integráira áttérve, azt kapjuk, hogy

összegezésről

2n

l=~

If fie-iOcosq;dcp·l dl=

~

Ille-iqptf2e,

(131,9)

o

ahol q és p kétdimenziós vektorok, melyek abszolút értéke q= k() és e= 1/k. Végül behelyettesitve ide az.fi-nek (123,15)-beli alakját ö1 = ö(lfk) mellett, visszakapjuk a (131,7) képletet. Megjegyezzük még, hogy gömbszimmetrikus térben való szórás esetén a (131,7) képlet az xy síkban drp szerint elvégzett integrálás (de2 = e de dcp) után az alábbi alakot ölti: (131,10) l= -ik J {exp [2iö(e)] -l} J o(q e) ede ..

••

A 126. §-ban már említettük, hogy a Born-közelítés nem alkalmazható gyors részecskék kisszögű szórásánál, ha a hatáskeresztmetszet exponenciálisan kicsi. Ekkor az előbbiekben ismertetett módszer sem vezet célra. Valójában ekkor olyan kváziklasszikus eset áll elő, melyben a perturbációszámítás nem alkalmazható. A kváziklasszikus közelítés általános szabályainak megfelelően (vö. 52-53. §) a szórási hatáskeresztmetszet exponenciális csökkenési törvényének kitevőjét úgy lehet meghatározni, hogy "komplex pályákat" vizsgálunk a mozgás klasszikusan el nem érhető tartományában. 28 A klasszikus szórásfeladatban a részecskék () eitérési szögének a e ütközési paramétertől való függését az U(r) térben a

(131,11)

zs Az exponenciális előttiszorzó meghatározásának kérdésével A. Z. Patasinszkij, V. L. Pokrovszkij, I. M. Halatnyikav foglalkozott, l. ZSETF 45, 989(1963),

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

131.§. NAGY ENERGIÁJÚSZÓRÁS

631

képlet határozza meg, ahol ro a szórócentrumtól való minimális távolság, ami az

u= 1 -ri- - r2 E

o

(131,12)

egyenlet gyökeként adódik [l. (127,5)]. A bennünket érdeklő eset olyan szögeknek felel meg, amelyek a klasszikus részecskék szórásánál nem léphetnek fel. 29 Ezért ezekhez a szögekhez a (131,11) egyenlet komplex e(t7) megoldásai tartoznak (a nekik megfelelő komplex ro értékkel). Az ilyen módon meghatározott e(t7) függvény és a részecskék klasszikus mve impulzusmomentumának segítségével kiszámíthatjuk a hatásfüggvényt:

f

(131,13)

S(t7) = mv e(t1) dt1 (itt v a végtelenbeli sebesség), a szórásamplitúdó pedig: froexp (-

~ ImS(e)).

(131,14)

A (131,12) egyenletnek általában egynél több komplex gyöke van. ro gyanánt a (131,11)-ben azt kell választani, mely a legkisebb pozitív ImS képzetes részt adja. Ezenkívül, ha az U(r) függvénynek komplex szingularitásai vannak, ezeket szintén figyelembe kell venni a lehetséges ro értékek között. 30 A (131,11) integrálban a legfontosabb szerepet az r "' ro tartomány játssza. Ugyanakkor nagy E energiák esetén az U/E tag a gyökjel alatt elhanyagolható; ekkor az integrálást elvégezve azt kapjuk, hogy (131,15) Ha pedig ro az U(r) függvény szinguláris pontja, akkor csak az erőtér tulajdonságaitól függ, e-tól és E-től nem. S-et (131,13)-nak megfelelően kiszámítva, ebben az esetben a szórásamplitúdó

f

rv

2mv . exp ( -T Sln

2e Im ro )

{131,16)

alakban adódik. 29 Az ismertetett módszet nemcsak nagy E esetén alkalmazható, hanem általában mindig, amikor a szórás exponenciálisan kicsi. 30 Emlékeztetünk arra (126. §), hogy ha U(r)-nek valós r mellett szingularitása van, akkor a hatáskeresztmetszet általában nem exponenciális törvény szerint csökken.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ŰTKÖZÉSEK

632

az

Ha ro gyanánt a (131,12) egyenlet gyökétkell vennünk, akkor a erőtér konkrét tulajdonságaitól Így az

U

kitevő

alakja függ

= Uo e-Z-l)xdx=- i - - - - ( e21•-I) 2 v 2v2

'

ahol v = U0 a/nv a "Horn-paraméter". A (125,9) optikai tétel segítségével ebből a teljes hatáskeresztmetszet

_ 2 2[ 1 l sin 2v 2v] ana + -- -cos 2v2 v 2v 2 ·

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

131. §.NAGY ENERGIÁJÚSZÓRÁS

633

A Born-féle határesetben v« l, és ez a kifejezés a= 2na2 v2-et ad, a 126. § l. feladatának megAz ellenkező határesetben, amikor v» l, egyszerűen a= 2na2 adódik, azaz a kétszeres geometriai keresztmetszet. Ez utóbbi eredmény fizikaijelentése egyszerű. Ha v» l, valamennyi olyan részecske, melynek ütközési paramétere e < a, szóródik, azaz kikerül a beeső nyalábbóL Ebben az értelemben a potenciálgödörminta részecskéket "elnyelő" gömb viselkedik; ekkor a Babinet-elvnek (1. a TI. 61. § végét) megfelelően a teljes hatáskeresztmetszet egyenlő az "elnyelő" felület kétszeresével.

felelően.

2. Oldjuk meg az előbbi feladatot U = U0 exp(- r 2/a2) esetén. Megoldás. Ebben az esetben

r

u dz = a Yn Uo exp (- e2 /a2).

-oo

Ezt (131,7)-be téve és a kézenfekvő változóhelyettesítéssei elvégezve az integrálást, az amplitúdójára azt kapjuk, hogy

előreszórás

.y;;

/(0)=- ik;2

J

(e-lu_

l)~'

o

ahol ismét v= U 0a/lív. A teljes hatáskeresztmetszet ebből

•Yn a= 2na2

du J (l-cos u. u)

o

Ha v« l, az integrál alatti kifejezés u/2-vel közel!thető, és a hatáskeresztmetszet a= na2v2 /2 a 126. § 2. feladatának megfelelően (ka» l mellett). A v» l határesetben az integrál alatti kifejezést (l- e-Au cos u)/u alakba írjuk, ahol A. egy kis paraméter, mellyel a számítás végén nullához tartunk. Pardálisan integrálva,

.y;;

J (l-cos u)~"" ln (vVn)- J

ln u sin u du= ln (v tn)+ C

o

o

(C az Euler-állandó). Így tehát (v» 1).

3. Határozzuk meg egy a sugarú henger alakú tartományban koncentrált mágneses téren való elektronszórás hatáskeresztrnetszetét (A. Aharonov, D. Bahm, 1959). Mego/dás. Válasszuk úgy koordináta-rendszerünket, hogy a mágneses tér legyen y irányú, a tartomány tengelye egyezzen meg az y tengellyel, a z tengely pedig legyen a beeső elektronnyaláb iránya. Ekkor a szórási kép nem függ az y koordinátától, és ezért az alábbiakban egy kétdimenziós feladatot vizsgálunk az xz síkban. A henger alakú tartományon kivül a térerősség H = O, a vektorpotenciál azonban nem tűnik el: kisszögű

(j)

A= 2.n Y'rp,

(l)

ahol rp az xz sikban mért polárszög, W a mágneses tér fluxusa; valóban, az xz sikban egy r >a

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

634

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

sugarú kör mentén integrálva:

J

H dx dy =

t

A dl =

! l:" tp

= IP.

Az (l) potenciál megváltoztatja az elektronok hullámfüggvényének (síkhullám) fázisát; (111,9) szerint: tp=

eikz

IP ) . exp ( - ie -tp líc 2n

(2)

Ez a kifejezés azonban nem alkalmazható a z > O féltengely mentén elhelyezkedő szűk ("'a szélességű) tartományban,,minthogy a téren áthaladó részecskék mozgását a tér perturbálja. Ez magyarázza, hogy a (2) függvény látszólag nem egyértelmű a koordináta-rendszer kezdőpontjainak körüljárása során (a tp szög 2n-vel növekszik). Valójában a z > O féltengely közelében (véges szélességű) vágás van, mely azzal kapcsolatos, hogy (2) itt nem alkalmazható; a vágás két oldalán tp egymástól 2n-vel különböző értékeket vesz fel, mondjuk =Fn-t. Kis q "., k() impulzusátadássaljáró kis() szögű szórás szempontjából (qa « l, () « 1) az x "' 1/q» » a transzverzális távolságok lényegesek, a vágás szélessége pedig elhanyagolható. A tér z » l x l tartományában tp-nek x-től való függését a z tengely mindkét oldalán elhanyagolhatjuk; ekkor31 F(x) = { exp (- ieiP/21íc), exp (ieiP/21íc),

x>

o,

X
- 3-ra az r » ro tartomány járuléka k ->- O esetén eltűnik, és a szórást az állandó (132,9) szórásamplitúdó határozza meg. Annak ellenére, hogy (132,14) járuléka a szórásamplitúdóhoz viszonylag kicsi, "anomáliája" miatt érdekes. "Normálisnak" mondjuk a helyzetet U(r) elegendően gyors eltűnése esetén, ha f(k) sorbafejthető k egész hatványai szerint, és a sor valamennyi valós tagja k páros hatványával arányos. A (132,14) integrálban néhányszor pardálisan integrálva (ezzel csökkentve a nevező­ ben levő ~ hatványát), leválasztjuk belőle a k páros hatványait tartalmazó részt. Ezután egy qr 0 ->- O esetén konvergáló integrál marad, mely a kn- 3-nal arányos, és ez általában nem páros.a6 ,•

Feladatok 1. Határozzuk meg lassú részecskék U0 mélységű, a sugarú [U(r) = - U0 ha r< a, U= O egyébként] potenciálgödrön való szórásának hatáskeresztmetszetét.

Mego/dás. Feltesszük, hogy a részecske hullámvektora eleget tesz a ka « l és k «

)l

feltételeknek,

ahol u = JhmU0 /fz. Bennünket csak a !5 0 fázis érdekel. Ezért a (132,1) egyenletbe behelyettesítjük az l= O értéket, amivel a x= rR 0(r) függvényre a x" +)1:2X = O egyenletet kapjuk az· r< a tartományban. Ennek az egyenletnek az r = O~ban eltűnő megoldása (x/r-nek végesnek kell maradnia r = 0ban): X= A sin ur (r< a). r > a esetén a

x függvényt a x"+ k2x = O egyenlet [(132,4) l = 0-val) határozza meg. Ebből x= B sin (kr+ő0),

Abból a

feltételből,

hogy

x' lx folytonos az r = a helyen, u ctg au = k ctg (ka+ !50 )

amiből

r> a.

Ro

k -k " , a+u 0

60 meghatározható. A szórásamplitúdóra a következő eredményt kapjuk: 37

f= tgua-ua. u A )la« l határesetben (azaz, ha U0 « fz 2 /ma 2 ) ez a képlet a= : na2(ua)4-t ad, a Born-közelités eredményével összhangban (1. a 126. § l. feladatát).

36 Ha n páratlan egész szám (n= 2p+ 1), akkor n- 3 = 2p- 2 páros. Ennek ellenére a (132,14) integrálnak ebben az esetben is van "anomális" része, mely a szórásamplitúdóba q211 - 2 ln q-val arányos járulékat ad. 37 Ez a képlet nem alkalmazható, ha a gödör mélysége és szélessége olyan, hogy ua közel esik n/2 páratlan számú többszöröséhez. )la ilyen értékei mellett a negativ energiájú diszkrét nívók között van egy nullához közeli energiájú nivó (J. a 33.§ l .,feladatát), és a szórást a következő szakaszban levezetendő képletek írják le.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

640

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

2. Oldjuk meg az szórás esetén.

előbbi

derékszögű

feladatot U0 magasságú, a sugarú

"potenciálhegyen" való

Megoldás. Az előző feladat eredményében U0 előjeiét megváltoztatva (ennek megfelelően u helyett i u-t kell irni), megkapjuk a keresett szórásamplitúdót: th ?ea-ua

1 = -u - A ua » l határesetben

a= 4:n:a2.

1=-a,

Ez az eredmény a sugarú nem átlátszó gömbön való szórásnak felel meg; megjegyezzük, hogy a klasszikus mechanikában a hatáskeresztmetszetre négyszer kisebb értéket kaptunk volna (a= :n:a2 ). 3. Határozzuk meg kis energiájú részek szórási hatáskeresztmetszetét U= rx/r"tér esetén (rx >O, n> 3). Megoldás. A (132,1) egyenlet l= 0-val:

X

x"-y2r"

Y2mrx Y= -lí-.

=o'

A 2

x = tp J'r,

r

= ( (n:~)x

r-2

helyettesitésekkel ez a d 2rp

dx 2

+xl

drp . [

dx-

1

]

l+(n-2)2x 2 rp=O

alakra hozható, ami egy 1/(n- 2)-edrendű ix képretes argÚmentumú Bessel-függvény differenciálegyenlete. Az r= O-ban (azaz x = oo-ben) eltűnő megoldás egy állandó szorzó erejéig:

X=

(l)

frHl/(n-2)

(

2iy

n- 2 r

-n-2) 2

.

Az ismert

H~ll(z) =

sinip:n:[e-'P"Jp(z)-Lp(z)];

Jp(z)

~ 2PT~~+P)'

Z«

1

képletek felhasználásával a x függvényre nagy távolságban (y« r« 1/k) x= const-(c1 r+c 2 ) alakú kifejezést kapunk, és a c 2 /c 1 hányados segitségével megkapjuk a szórásamplitúdót: 2

r n.-:3) __

)"-2 ( n-2 n- 2 r(n-1) · n-2

1 =( -y-

4. Határozzuk meg lassú részecskék szórásamplitúdóját a nagy távolságokban U= {Jt·-"(2< n;§; 3) törvény szerint nullához tartó terek esetében.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

132. §. LASSÚ RÉSZECSKÉK SZÓRÁSA

641

Megoldás. A szórásamplitúdóhoz a fő j~rulékot a (132,14) kifejezés adja, melyben az integrál alsó határát nullának vehetjük. Az integrált kiszámítva azt kapjuk, hogy

f

= nm{J _ _...:.q"_-_a_ _ /í2 nn .

2< n< 3,

(l)

F(n-1) cos 2

vagy 11 = 3 esetén

f

= _

2m{3 ln const q

{í2

(2)

.

(1)-et Legendre-polinomok szerint sorbafejtve, a [(123,14) szerint definiált] parciális szórásamplitúdókra a következő kifejezés adódik:

fi

= -

y';i m{J

r(/- n-3) 2 k"-3 r(~) r(n; l +Z) .

r(n-1) 2 .

21í2

(3)

n > 3 esetén ugyanez az (l) alatti képlet határozza meg a szórásamplitúdó "anomális" részét is. A parciális amplitúdókban a fő járulék mindig a (3) kifejezés olyan l értékekre, amelyekre 2/ > n- 3. Ekkor (132,8) helyett fi e0 k"- 3 teljesül. 5. Határozzuk meg lassú részecskék szórásamplitúdóját U(r)

= - U0exp(- r/a) térben, ha Uo>O.

Megoldás. A X = rR0 függvényre felirt (132,1) egyenlet az

új változó bevezetésével d X 1 dx -+-+x=O dx2 x dx 2

alakban irb,ató. Ennek általános megoldása X= AJ0 (x)+BN0(x),

ahol fo és N 0 a megfelelő Bessel-, illetve Neumann-függvény. Ábból a feltételből, hogy r = 0-ra

x= o, A B

N 0 (2ua) J 0 (2ua)

Az a« r« 1/k tartománynak x« 1 felel meg [ezzel kapcsolatban természetesen feltételezzük, hogy au exp (- 1/ak) « l]; itt

2 yx 2B B X"" A+B-ln- = A+-lnuay--r, n

2

n

na

ahol y= e0 = 1,78 ... (C az E~ler-állandó). Ez a kifejezés a (132,3) képletnek felel meg, és cll c 2 igy kapott értékével a szórásamplitúdóra

41

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

642

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

adódik. A ua« l határesetben J= 2a 3u 2 [a Born-közelitésben érvényes (126,14)-gyel összhangban}. Ha ua» l, J= - 2a ln(uay) adódik. 6. Határozzuk meg a szórásamplitúdót a kis energiájú határesetben a perturbációszámitás második közelitésében (/. J. Pomerancsuk, 1948). Megoldás. Ak -+O határesetben a (130,13) második tagjában szereplő integrál a következő alakot ölti:

-J

d 3k"

=-J JJ ff

U(r) U(r')e1k"(r-r'>

~~~'

dV dV' =

U(r) U(r') dV dV'. Ir-r' l '

= - 2:n2

itt felhasználtuk az

J

d3k = _ l _ l r- r' l

elk(r-r'>l [4:n

k2

(2:n)3

képietet (l. II. 51.§). A szórásamplitúdó tehát m J = - 2:nfP

JU dV+ ( m )z ff 2:nfP

U(r) U(r') dVdV'.

lr- r' l

(l)

Gömbszimmetrikus tér esetén ebből

J=- ~7

JUr

2

dr+ 8;

2

JJ

U(r) U(r')r 2 dr·r' 2 dr'

r'>r

Az (l) képlet második tagjamindig pozitiv (mint ez az eredeti, k térben felírt integrál kifejezéséből azonnal látszik). Ebből következik, hogy taszitó tér esetén (U> O) az első Born-közelítés mindig felülbecsli, vonzó téresetén (U< 0) mindig alulbecsli a kis energiájú szórás hatáskeresztmetszetét.

133. §. Rezonanciaszórás kis energiákon Külön megfontolások szükségesek lassú részecskék (ka« l) szórását illetően abban az esetben, amikor a negatív energiájú spektrumban szerepel egy s-állapotú szint, melynek energiája kicsi az erőtérnek az a sugáron belüli U nagyságához képest. E nívó energiáját s-nal jelöljük (s < O). A szóródó részecske E energiája kis mennyiség lévén, az s nívóhoz közel esik, azaz miut mondani szokás, vele majdnem rezonanciában van. Ez, mint látni fogjuk, a hatáskeresztmetszet jelentős növekedéséhez vezet. Gyengén kötött nívó létét a szóráselméletben az alábbiakban leírt formális módszer segítségévellehet figyelembe venni. A x = rRo(r)-re (l = O mellett) felírt

2m· x"+hi"[E-U(r)]x

www.interkonyv.hu

=o

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

133.§. REZONANCIASZÓRÁS KIS ENERGIÁKON

pontos Schrödinger-egyenletben a tér ható U mellett:

"belső"

x"- 2ft': U(r) x = "külső"

A

643

tartományában (r ;5 a) E elhanyagol-

O,

r

~ a.

(133,1)

tartományban (r » a) viszont az U hanyagolható el: 2mE x" +h2 x= O'

r>>a.

(133,2)

A (133,2) egyenlet megoldását valamilyen r1 helyen (1/k » r1 »a) illeszteni kell a (133,1)-nek ahhoz a megoldásához, amely eleget tesz a x(O) = O feltételnek; az illesztés feltételéül a x' lx arány folytonosságát tekintjük, mely független a hullámfüggvény normálási tényezőjétőL Ahelyett azonban, hogy a mozgást az r rv a tartományban vizsgálnánk, a külső tartományban kapott megoldásra rovunk ki a x' lx arányra kis r mellett megfelelő módon megválasztott határfeltételt; minthogy a külső megoldás r- O esetén lassan változik, ezt a feltételt formálisan akár az r = Ohelyen is megkövetelhetjük A (133,1) egyenlet az r ~ a tartományban E-t nem tartalmazza; ezért az egyenletet helyettesítő határfeltétel sem függhet a részecske energiájától. Más szóval, a feltétel a következő· alakú:

Xx'

\r-+0

=-u,

(133,3)

ahol u valamilyen állandó. Hogyha u független E-től, akkor a (133,3) feltétel a Schrödinger-egyenlet kis negatív E = -l e l energiájú megoldására, azaz a részecske megfelelő stacionárius állapotának hullámfüggvényére is érvényes. Ha E = -\e\. (133,2)-ből

_x = A oexp (- y~ r)

(133,4)

(Ao egy állandó), és ezt a függvényt (133,3)-ba helyettesítve, azt kapjuk, hogy u az alábbi pozitív mennyiség:

(133,5) Alkalmazzuk most a (133,3) határfeltételt szabad mozgás esetére. Ekkor

x= const-sin (kr+bo), 41*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

644

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

ami a (133,2) egyenlet általános megoldása E keresett ~o fázist: ctg

~o = - ~

O esetén. Eredményül megkapjuk a

>

V'; l .

=-

(133,6)

Minthogy az E energiát most csak az ak « l feltétel korlátozza, de e l mellett nem kell kicsinek lennie, a ~o fázis és vele együtt az s-szórás amplitúdója nem okvetlenül kicsi. A többi ~~ (l > O) fázis továbbra is kicsi, a megfelelő parciális amplitúdókkal együtt. Ezért a teljes szórásamplitúdót továbbra is azonosíthatjuk az s-szórás amplitúdójával: J

J~ 2lz"k(e2Mo -l}=

l k(ctg ~ 0 -i)·

Ide (133,6)-ot helyettesitve, az l

(133,7)

J=- x+ik kifejezést kapjuk, amivel a teljes hatáskeresztmetszet: 4n

(J

2nfz 2

= - - = -x 2 +k2 m

l

-:::-c-;~

E+lel

(133,8)

fgy tehát a szórás a korábbiakhoz hasonlóan izotrop, de a hatáskeresztmetszet függ az energiától, és a rezonanciatartományban (E "' l e D nagy az erőtér hatótávolságának négyzetéhez, a2-hez képest (minthogy 1/k »a). Hangsúlyozzuk, hogy a (133,8) képlet alakja kis részecsketávolságokon, nem függ a kölcsönhatás részleteitől és a rezonancianivó energiájának értéke teljes egészében meghatározza. 38 A kapott képlet valamivel általánosabb érvényű, mint azt a levezetésénél feltételeztük. Hajtsunk végre az U(r) függvényen egy kis változtatást, ekkor mégváltozik a (133,3) határfeltételben szereplő x állandó is. U(r) megfelelő változtatásával elérhető, hogy x nullává, majd kis negativ mennyiséggé váljék. A szórásamplitúdóra és a hatáskeresztmetszetre továbbra is a (133;7), illetve (133,8) képleteket kapjuk. Ez utóbbiban azonban most az l e l = fz 2 x2/2m mennyiség egyszerűen az U(r) térre jellemző állandó, 38 A (133,8) képietet először Wigner és R. Peierls ötletén alapul (1935).

www.interkonyv.hu

Jenő

kapta meg (1933); az ismertetett levezetés H. A. Bethe

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

133. §. REZONANCIASZÓRÁS KIS ENERGIÁK ON

645

és egyáltalán nem a térben kialakuló energiaszint. Ilyen esetben virtuális energiaszintbeszélünk, utalva, hogy bár a valóságban az erőtérben nincs gyengén kötött állapot, de a tér kis megváltoztatása elegendő lenne egy ilyen nívó megjelenéséhez. A (133,7) függvénynek a komplex E síkon való analitikus folytatásánál a bal 2mE /n-ba (1. 128. §), és látjuk, hogy a oldali valós féltengelyen ik átmegy szórásamplitúdónak az E = - l B l helyen pólusa van a 128. §-ban kapott általános eredményeknek megfelelően. Ezzel ellentétben virtuális energiaszintnek nem felel meg a fizikai levélen a szórásamplitúdó semmiféle pólusa (a szórásamplitúdó E = = - l B l pólusa a nem fizikai levélen van -l. a XVII. fejezet 14 számú lábjegyzetét). Formálisan a (133,7) képlet annak az esetnek felel meg, amikor a (125,15) ről

JI-

l fo = g-o-=(k-:-)----:-:-ik

kifejezésben a go(k) függvény sorának első tagja negatív, és nagyon kicsi. A képlet pontosságának növelése érdekében a sorfejtés következő tagját is figyelembe vehetjük: l

fo=----~------

(133,9)

-uo+_!_ rok2 -ik 2

erőtér elég gyors csökkenése esetén a gtCk) függvényele sorbafejthetők k páros hatványai szerint (1. 132. §). Itt go(O) értéket -u 0-lal jelöltük, a u jelölést meg akarjuk tartani a (133,5)ben szereplő, az B energianívóval kapcsolatos mennyiségre. A fent mondottak értelmében u-t úgy határozhatjuk meg mint azt a -ik = u értéket, amelyre a (133,9) nevezője eltűnik, vagyis mint a

(L. D. Landau, J. A. Szmorogyinszkij, 1944); emlékeztetünk arra, hogy az

(133,10)

egyenlet gyökét. (133,9) nevezőjében fellépő r0k 2 /2 járulékos tag kicsi uo-hoz képest, mert feltettük, hogy k kicsi, magában azonban "normális" nagyságrendű: az ro együttható "' a nagyságrendű (ez az együttható mindig pozitív, l. l. feladat). Hangsúlyozzuk, hogy e tag figyelembevétele még az l ~O impulzusmomentumokjárulékának elhanyagolásával felírt szórásamplitúdó-képlet konsisztens javítása: j-hez ak relatív nagyságrendű járuléket ad, míg az l = l szórásból eredő korrekció (ak)3 nagyságrendű lenne. k -+ O esetén fo -+ -1/u 0 , azaz 1/uo megegyezik az előző szakaszban bevezetett ex szórási hossza!. A . (133,11)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

646

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ŰTKÖZÉSEK

képletben szereplő ro együtthatót a kölcsönhatás effektív hatótávolságának nevezik. 39 A szórási hatáskeresztmetszet (133,9) alapján:

A nevezőben a co k 4 tagot elhagyva (bár még ez is konzisztens), ezt a képietet (133,10) figyelembevételével a 4n(l + r 0u) 4nlí2 l+ r 0u (133,12) a = --;-k..2 +.,-u'2~ = -m- --;:E:-:-+'1-e-,--1 alakban írhatjuk. Térjünk most vissza a kötött állapothullámfüggvényéta "külső" tartományban leiró (133,4) képlethez és vizsgáljuk meg a benne szereplő normálási állandónak a fent ·bevezetett paraméterekkel való kapcsolatát. Meghatározva a (133,9) függvény reziduurnát az E= e pólusban, és összehasonlitva a (128,11) képlettel, azt kapjuk, hogy (133,13) A második tag az elsőhöz adódó kis járulék, minthogy uro "' ua « l. Ezt elhagyva A~ = 2u, azaz (133,14) ami olyan normálásnak felel meg, mintha a (133,14) kifejezés az egész térben érvényes volna. Még röviden megvizsgáljuk a nem nulla pálya-impulzusmomentumú rezonanciaszórást. A g1(k) függvény sora a co k- 21 taggal kezdődik; a sorfejtés első két tagjának megtartásával a parciális szórásamplitúdót

l

fz =-bE '(-e+ E)+ ik

(133,15)

Megadjuk az IX és r 0 állandók értékét két nukleon kölcsönhatásának fontos esetére. Párhuzamos neutronra és protonra (az állapot izospinje T= O) IX= 5,4·10- 13, r0 = 1,7·10-13 cm; ezeknek az értékeknek l e l = 2,23 MeV energiájú valódi energiaszint felel meg, a deuteron alapállapota. Ellentétes spinű neutron és proton esetén (T= l-es izotópállapot) IX = - 24·10- 13, r0 = 2,7 .lQ-13 cm; ezeknek az értékeknek l e l = 0,067 MeV energiájú virtuális szint felel meg. Az izotópinvariancia miatt az utóbbi értékek két ellentétes spinű neutronra is vonatkoznak (párhuzamos spinű nn rendszer s-állapotban nem létezhet a Pauli-elv értelmében). 39

spinű

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

647

133. §. REZONANCIASZÓRÁS KIS ENERGIÁKON

alakban írjuk, ahol b és 8 állandók, és b >O (1. alább). A rezonanciának .az Eegyüttható anomállsan kis értéke felel meg, azaz anomállsan kis 8. Az E kis értéke miatt azonban a b8E-1-tag mégis lehet nagy k-hoz képest. Ha 8< O, akkor a (133,15) kifejezés nevezőjében álló mennyiségnek E~ - l e.[ valós gyöke, úgyhogy 8 (l impulzusmomentumú) diszkrét energiaszinL 40 Az s-szórásnál megfigyelt rezonanciával ellentétben azonban a (133,15) amplitúdó ekkor sohasem válik a-hoz képest naggyá; az l+ l impulzusmomentumú. rezonap.ciaszórás amplitúdója csak olyan nagyságrendű, mint az l impulzusmomentumú nem rezo~ náns szórásé. Ha viszont 8 > O, akkor a (133,15) amplitúdó az E "' 8 tartományban 1/k p.agyságrendűvé válik, azaz a-hoz képest nagy. Ez a tartomány viszonylag keskeny: .!JE/8 "' (ak) 21- 1 • Ebben az esetben tehát élesen kiemelkedő rezonanciát figyelhetünk meg. A rezonanciaszórás ilyen viselkedése azzal kapcsolatos, hogy a poziti;y; ,l ~ @ energiaszint, bár nem igazi diszkrét nivó, "kvázidiszkrét" nívóként viselkedik: a centrifugális potenciálgát miatt kicsi annak a valószínűsége, hogy a kisenergiájú részecske ebből az állapotból a végtelenbe távozzék, úgyhogy az állapot ,,élettartama" nagy (1. 134. §). Ebben áll az l ~ O rezonanciaszórás jellegének az s-állapotbeli rezonanciától való különbsége, ahol nincs centrifugális pontenciálgát. A (133,15) kifejezés nevezője 8> O-ra eltűnik az E= Eo-iF/2 helyen, ahol Eo~ 8,

r

= 2

V2m blí 8 1+1/2 •

(133,16)

r

A szórásamplitúdónak ez a pólusa azonban a "nemfizikai" levélen van. A kis mennyiség a kvázidiszkrét nivó szélessége (134. §). Végül megemlítjük még a b1 fázis egy, a fenti eredmények felhasználásáválkönnyen levezethető tulajdonságát. A blE) fázisokat az energia folytonos függvényének tekintjük, nem korlátozva értéküket a (O, :rt) intervallumra (vö. az V. fejezet 5. számú lábjegyzetével). Megmutatjuk, hogy ekkor teljesül a

(í33,_17) :, j :

•

egyenlőség, ahol n a vonzó U(r) tér l impulzusmomentumú diszkrét nivóinak száma (N. Levinson, 1949). 40

e < O esetén l e l-hoz közeli E-re:

Ezt összehasonlítva (128,17)-tel, látjuk, hogy b> O.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

648

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

E célból megjegyezzük, hogy az l U[ « n2 /ma 2 feltételt kielégítő erőterekben a Born-közelítés tetszőleges energiák esetén alkalmazható, úgyhogy bz(E) « l minden E-re. Ekkor bz(=) = O, minthogy E- =-re aszórásamplitúdó nullához tart; hasonlóképpen b1(0) = O a 132. §-ban nyert általános eredmények alapján. Ugyanakkor ilyen erőtérben nincsenek diszkrét nívók (45.§), úgyhogy n = O. Most nyomon követjük a bz(Ll)- bz( oo) különbség változását (Ll valamilyen adott kis mennyiség) az U(r) potenciálvölgy fokozatos "mélyítésénél". A mélyítés során a völgy felső szélén egymás után megjelenik az első, második stb. energiaszint, miközben a b1(Ll) fázis mindig n-vel növekszik. 41 Az adott U(r)-t elérve, majd elvégezve a Ll - O határátmenetet, megkapjuk a (133,17) képletet.

Feladatok l. Fejezzük ki a kölcsönhatás r 0 effektív hatótávolságát az (E= e) kötött állapot hullámfüggvényével az r "" a "belső" tartományban (J. A. Szmorogyinszkij, 1948).

Megoldás. Legyen Xo a hullámfüggvény az r "" a tartományban, melynek normálása olyan, hogy Xo.."_ l, ha r.."_ =. Ekkor a hullámfüggvény négyzete az egész térben

alakban írható (ez a kifejezés A~e- 2 "'-be megy át nr» l esetén, és A~x~-be, ha nr« 1). A normálási feltétel

amit (133,13)-mal összevetve, =

ro= 2

J (1-xDdr

o

adódik. A x0 -ra vonatkozó (133,1) Ezért r 0 nundig pozitiv.

egyenletből

2. Határozzuk meg, hogyan változik a

U(r) < O mellett következik, hogy Xo(r) < Xo(=) = 1.

o1 fázis az U(r) tér variálásakor.

Megoldás. U(r)-et variálva, a "

2m [E

XI+~

l(l+ l)_ --,-2-

u] X!-_0

o

41 A ( 133,6) képletben ennek a 0 O-tól n-ig való változása felel meg, amikor adott kis k érték mellett a u mennyiség a negatív -n » kértéktől a pozitiv u » kértékig változik. Az l r" Oesetben ugyanez következik a k ctg 1 = - bE- 1(E- e) képletből, amikor adott E = Ll mellett e az e » Ll értéktől - e » Ll-ig változik.

o

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

l 33.§. REZONANCIASZÓRÁS KIS ENERGIÁKON

649

Schrödinger-egyenletben azt kapjuk, hogy " 2m [ l(l+ l) ] 2m c'3xz +nz E--r-2-- U c'3xz = nz Xz c'3U. Az első egyenletet c'3x1-lel, a másodikat x1-lel szorozva, az egyenleteket egymásbóllf,ivonva, és dr szerint integrálva, ,.".

O) esetén valamennyi c'31 < O, vonzó térben (U< O) pedig c'31 >O. Taszitó térben c'3z(O) =O, ezért kis energián c'31 kicsi, igy a szórásamplitúdó negativ:/"" c'3 0 /k o. 2

Minthogy x2 integrálja mindenképpen pozitiv, az egyenlőség jobb oldala is nagyobb nullánáL 4 2

134. §. Rezonancia kvázidiszkrét energiaszinten Egy olyan rendszernek, amely elbomolhat, szigorúan véve nem lehet diszkrét energiaspektruma. A bomlás során belőlekirepülő részecske a végtelenbe távolodik; ebben az értelemben a rendszer mozgása nem korlátozott a tér egy meghatározott részére, tehát az energiaspektrum folytonos. Előfordulhat azonban, hogy a rendszer bomlásának valószínűsége nagyon kicsi. Erre legegyszerűbb példa egy elég magas és széles. potenciálgáttal körülzárt részecske. Az állapot metastabilitásának más forrása az lehet, hogy gyenge a spin-pálya kölcsönhatás által kiváltott bomlás során a rendszer spinjének változnia kell. A kis bomlási valószínűségű állapotok jelölésére bevezethetjük a kvázistacionárius állapot fogalmá t, melyben a részecskék hosszú időn keresztül a "r-·ndszer belsejében" •2

www.interkonyv.hu

Ezt az egyenlőséget Wigner más módon korábban (1955) levezette.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

134. §. REZONANCIA KVÁZIDISZKRÉT ENERGIASZINTEN

651

mozognak, csak egy nagy 1: időtartam elteltével hagyják el azt; 7:-t az adott, majdnem :stacionárius állapot élettartamának nevezhetjük (7: rv 1/w, ahol w az egységnyi idő alatti bomlás valószínűsége). Ezeknek az állapotoknak az energiaspektruma kvázidiszkrét: elkent nívók sorozata, amelyek r szélessége élettartamukkal a r = n/7: kapcsolatban áll [1. (44,7)]. A kvázidiszkrét nivók szélessége kicsi a közöttük levő távolságokhoz képest. Kvázistacionárius állapotok vizsgálatához az alábbi formális módszer alkalmazható. Az eddigiekben mindig a Schrödinger-egyenlet olyan megoldásait tekintettük, amelyek a hullámfüggvény végtelenben való végességét jelentő határfeltételt elégítik ki. Ehelyett most olyan megoldásokat keresünk, melyek a végtelenben kifutó gömbhullámok; ez a rendszer a bomlása során végül is kirepülő részecskének felel meg. Minthogy ez a határfeltétel komplex, már nem állíthatjuk, hogy az energia-sajátérték valós. Ellenkezőleg, a Schrödinger-egyenlet megoldásának eredményeként a komplex számoknak az iF (134,1) E=Eo-2

r

két pozitiv (1. alább) mennyiség. alakban írható sorozatát kapjuk, ahol Eo és Könnyű megérteni a komplex energiaértékek fizikai jelentését. A kvázistacionárius állapot hullámfüggvényének időszorzója

r )

i ) = exp ( - i exp ( --Et -t . h h E 0t -~

alakú. Ezért valamennyi, a hullámfüggvény abszolút értéke négyzeteként adódó valószínűség időben az exp (-Ft fh) törvény43 szerint lecseng. Speciálisan, ilyen törvénynek megfelelően csökken annak valószínűsége, hogy a részecskét a "rendszeren belül" megtaláljuk. 43 Ebből látható, hogy fizikai okokból szükséges r pozitiv volta. E követelmény teljesülését a hullámegyenlet megoldására a végtelenben kirótt határfeltételek, vagy (l. 130. §) a velük ekvivalens, a perturbációszámítás képleteiben szereplő póluskerülési szabályok automatikusan biztosítják. Tegyük fel, hogy állandó V perturbáció hatására az n diszkrét nivóról a folytonos spektrum v állapotába való átmenet következik be. A nivó energiájához adódó járulék második közelítésben:

[vö. (33,10)]. A (43,10) szabály alkalmazásával ebből

r az átmeneti

www.interkonyv.hu

valószlnűségre

=-2 Im E~2 > = 2n

f l Vnvl

2

!5(E~0>- Ev) dv,

vonatkozó (43,1) kifejezéssel összhangban.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ŰTKÖZÉSEK

652

r

A mennyiség tehát az állapot élettartamát határozza meg; az egységnyi vonatkozó bomlási valószínűség:

időre

(134,2) Nagy távolságokban a kvázistacionárius állapot hullámfüggvénye (kifutó hullám) egy

szorzót tartalmaz, mely r -+ oo esetén exponenciálisan növekszik (a gyök képzetes része negatív). Ennek megfelelően e függvények l "P l 2dV normaintegrálja divergáL Megjegyezzük, hogy ez a körülmény feloldja a l "P [2 id6'ben való csökkenése és a hullámegyenletből következő azon törvény közötti látszólagos ellentmondást, mely szerint a normaintegrál állandó mennyiség. Vizsgáljuk meg a részecske mozgását leiró hullámfüggvény alakját, ha a részecske energiája közel esik a rendszer egyik kvázidiszkrét nivójához. Mint a 128. §-ban is tettük, a hullámfüggvény radiális részének aszimptotikus kifejezését (nagy távolságokon) (128,1)-nek megfelelően az

J

Rz =

!

[Az(E) exp

(-V~ r)+Bz(E) exp (Y -~mE r) J

(134,3)

alakba írjuk, és az E-t komplex változónak tekintjük. Valós pozitiv E-re: k-

V2mE n ,

(134,4)

ahol A,(E) = B z(E) [1. (128,3), (128,4)]; a B1(E) függvényt itt a jobb oldali valós féltengelyen levő vágás felső szélén vesszük. A komplex energia-sajátértékek meghatározására szolgáló feltétel abban áll, hogy a (134,3) aszimptotikus kifejezésben ne legyen befutó hullám. Ez azt jelenti, hogy E = Eo- iF/2 esetén a B1(E) együttható eltűnik: (134,5)

A kvázidiszkrét energiaszintek tehát éppen úgy, mint az igazi energiaszintek, a Bz(E)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

134. §. REZONANCIA KVÁZIDISZKRÉT ENERGIASZINTEN

653

függvény zérushelyei. Az igazi energiaszinteknek megfelelő zérushelyekkel ellentétben azonban ezek nem a fizikai levélen fekszenek. Valóban, a (134,5) egyenlet felírásakor feltételezzük, hogy a kvázistacionárius állapot keresett hullámfüggvénye (134,3)-nak abból a tagjából származik, amely [(134,4)-ben] E > O esetén is ( "" eikr) kifutó hullám. Az E = E 0 - iF/2 pont azonban a jobb oldali valós féltengely alatt fekszik. A vágás felső oldaláról [ahol a (134,4)-ben szereplő együtthatókat definiáltuk] ebbe a pontba, végig a fizikai levélen maradva, csak az E = O pont megkerülésével lehet '.eljutni. Eközben azonban E jelet vált, úgyhogy a kifutó hullám befutóvá válik. Így tehát a hullám kifutójellegének megtartásához az átmenetet közvetlen ül a vágáson keresztül kell végrehajtani, úgyhogy a másik, nemfizikai levélre jutunk. Vizsgáljuk most a kvázidiszkrét szinthez közeli valós pozitív energiaértékeket (ekkor természetesen feltételezzük, hogy kicsi; ellenkező esetben ilyen közelségről nem lehetne beszélni). A Bz(E) függvényt az E-(E0 -iF/2) különbség szerint sorbafejtve, az elsőrendű tag megtartásával azt kapjuk, hogy

y-

r

(134,6) ahol b1 állandó. Ezt (134,4)-be helyettesítve, a kvázistacionárius állapothoz közel .állapot hullámfüggvényére az alábbi kifejezés adódik: (134,7) Az R1 függvény

o fázisát 1

a

következő

képlet határozza meg:

·.~:) E-Eo-iF/2 ( '5t(OJ) exp (2 lut = E-Eo+iF/2 exp 21u1 =

[

l

J

iT (2'5>(0)) E-Eo+iF/ 2 exp w 1 ,

(134,8)

ahol (134,9) Ha IE- Eo l »r, a o1 fázis megegyezik o} 0l-Ial, úgyhogy a fázis értéke a rezenaneiától távol ol0l. A rezonanciatartományban o1 erősen függ az energiátóL A (134,8) képietet

az

. ,) exp (21 arc tg "'

www.interkonyv.hu

exp (i arctg A)

= exp (-l. arctg A)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

654

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

összefüggés segítségével a

" - s:co> 1

u1 -

u

r

+arctg 2(E-Eo)

(134,10)

alakba írva, közvetlenüllátható, hogy a teljes rezonanciatartományon való áthaladás. során (E« Eo-tól E» Eo-ig) a fázis n-vel változik. E= Eo-iT/2-nél a (134,7) függvény az

b* 'k R l = -iT - ze' r r kifejezésre redukálódik. Ha a hullámfüggvényt úgy normáljuk, hogy a l'If' l2 menynyiségnek a rendszer belsejében kiszámított integrálja egységnyi legyen, akkor a kifutó hullám teljes árama v l iTb; 12, ami szükségképpen megegyezik a bomlás (134,2) valószínűségéveL Ebből az adódik, hogy lb 12-

'

1

-

l

hvr·.

(134,11)

A kapott eredmények lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a rugalmas szoras amplitúdóját, ha a részecske E energiája közel esik a szóró rendszer és a szórt részecske együtteséből álló közbenső rendszer valamilyen kvázidiszkrét energiájához. A (123,11) általános képletben az Eo energiaszintnek megfelelő l értékkel jellemzett tagba a (134,8) kifejezést kell behelyettesíteni. Azt kapjuk, hogy

f( 6) = po>(6)- 21 + l k

r /2 .

E-Eo+zT/2

exp (2ibf0l) P 1( cos 6),

(134,12)

ahol j(6) a kvázistacionárius állapot tulajdonságaitól független, a rezonanciátót: távol érvényes szórási amplitúdó [ezt a (123,11) képlet határozza meg, b1 = b~0 >-Ial< az összeg valamennyi tagjában]. 44 AzjC 0l(6) amplitúdót a potendá/szórás amplitúdójának, a (134,12) képlet második tagját pedig a rezonanciaszórás amplitúdójának nevezik. Ez utóbbinak az E = Eo- iT/2 helyen pólusa van, ami a fent mondottak értelmében nem a fizikai levélen helyezkedik el. 45 44 Ha töltött részecskéknek töltött részecskék rendszerén való szórásáról van szó, akkor a ol 0 l• fázist (135,11)-ből kell venni. 45 Megjegyezzük, hogy a (133,15) képlet lassú részecskéknek pozitív e nívón való, e-hoz közel es& E energiájú l ;é Oszórása esetén ugyanazt adja, mint a (134,12) rezonanciatagja. Az E 0 és r értékek ekkor a (133,16) képlet segítségével határozhatók meg; E kicsi, ezért a Wl fázis is kicsi, úgyhogy exp (2iol 0l) "" 1.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

134.§. REZONANCIA KVÁZIDISZKRÉT ENERGIASZINTEN

655

A (134,12) képlet meghatározza a rugalmas szórást a közbenső rendszer egy kvázidiszkrét szintjén a rezonanciatartományban. Alkalmazhatósági tartománya abból a feltételből határozható meg, hogy az IE-Eo l különbség kicsi legyen a szomszédos. kvázidiszkrét szintek D távolságához képest: (134,13}

IE-Eo!« D.

A fenti képlet némileg egyszerűsödik lassú részecskék szórása esetén, azaz ha. a részecskék hullámhossza a rezonanciatartományban nagy a szóró rendszer méretei-· hez képest. Ekkor csak az s-szórás lényeges, ezért úgy vesszük, hogy az Eo energiájú nívó éppen az l = O impulzusmomentumú mozgáshoz tartozik. A potenciálszórás. amplitúdója ekkor egy - ( l . valós állandó (1. 132. §). 46 A rezonanciaszórás amplitúdójába l = O-t helyettesítünk, exp (2icS~0>) helyébe l-et írunk, mert IS~0> =-(lk« 1.. Így tehát j(())=

F/2

-(1.-

k(E-Eo+ii'/2)'

(134,14)

Az IE-Eol rv r keskeny tartományban a második tag nagy az (1. amplitúdóhoz:. képest, ezért ez utóbbit elhanyagoljuk. A rezonancia helyétől távolodva azonban a két tag összemérhető lehet. A fenti levezetés során hallgatólagosan feltételeztük, hogy maga az Eo mennyiség; nem túlságosan kicsi, és a rezonanciatartomány nincs E = O közelében. Ha viszont a közbenső rendszer első kvázidiszkrét szintjével kapcsolatos rezonanciáról van szó,. melynek távolsága az E= 0-tól kicsi a következő nívótól való távolságához képest (Eo «D), akkor előfordulhat, hogy a (134,6) sorfejtés nem konzisztens; ez már abban is megnyilvánul, hogy a (134,14) amplitúdó E-+ O esetén nem tart egy állandó· határértékhez, bár ennek s-szórásnál az általános elmélet szerint így kell lennie. Tekintsük egy nullához közeli E energiájú kvázidiszkrét szint esetét, ismét feltételezve, hogy a szórt részecskék a rezonanciatartományban olyan lassúak, hogy csak az s-szórás lényeges. A hullámfüggvény Bz(E) együtthatóit most az E energiaszerint kell sorbafejteni. Az E = O pont a B 1(E) függvény elágazási pontja, ezt a vágás felső széléről az alsó irányában körüljárva, Bz(E) átmegy B7(E)-be. Ez azt jelenti, hogy a sorfejtést az. említett körüljárás során jelet váltó y-E hatványai szerint kell végeznünk Írjuk Bo(E) sorának első tagjait valós pozitív E-k esetén a következő alakba: Bo(E) = (E-so+iyJIE)bo(E),

(134,15}

46 Feltételezzük, hogy a szóró tér a távolsággal elég gyorsan csökken. A 145. §-ban a kapott eredményeket alkalmazzuk lassú neutronoknak magokon való szórására.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

:ahol eo és y valós állandók, bo(E) pedig iE szerint sorbafejthető energiafüggvény, melynek azonban az E = O pont közelében nincs nullahelyeY Az E =Eo- iT/2 kvázidiszkrét energiaszintnek a nemfizikai levél alsó félsíkjára folytatott E- s 0 + iy iE szorzó eltűnése felel meg; ezért Eo és meghatározására az alábbi egyenletet írhatjuk fel:

r

(134,16)

Eo-j_T-so+iy VEo- !_iT= O

2

2

y

r

{az eo és állandóknak pozitívaknak kell lenniük ahhoz, hogy Eo és pozitív legyen). Így egy r « Eo szélességű nívónak az eo » y2 összefüggés felel meg az eo és yközött. Ekkor (134, 16)-ból Eo = eo, T = 2y i so. A vizsgált esetben a (134, 15) kifejezés helyettesíti a (134,6) képletet, ennek megfelelően kell megváltoztatui a többi képietet is (Eo helyébe eo-t, T helyébe 2y iE-t kell írnunk). Ennek megfelelően a szórásamplitúdóra a (134,14) helyett az

J= -rx- -:==-c-lí-'y---==i2m (E-so+iy iE)

(134,17)

kifejezést kapjuk (itt felhasználtuk, hogy k = i2mEjfí, aholma részecske és a szóró rendszer redukált tömege). Az E-+ O határesetben ez az amplitúdó, a várakozásnak megfelelően, állandó értékhez tart [ezzel egyúttal igazoltuk a sorfejtés (134,15) alakjának helyességét is]. Megjegyezzük, hogy a (134,17) alakú kifejezés magába foglalja a közbenső rendszer nullához közeli energiájú valódi diszkrét nívójának esetét is, amely az eo és y közötti megfelelő összefüggés teljesülésekor adódik. Ha leo l « y2 , akkor az E « y2 energiákra a rezonanciatag nevezőjében az első tag (E) elhanyagolható. Elhanyagolva a potenciálszórás rx amplitúdóját is, az

J=

------=1=-_ ik - ]12m !!}__ lí y

képietet kapjuk, mely megegyezik (133, 7)-tel (~ =- i2mso/fíy mellett). Ez az E = = s~/y2 szinttel kapcsolatos rezonanciának felel meg, mely valódi vagy virtuális .diszkrét nívó, attól függően, hogy a ~ állandó pozitív vagy negatív. 47 A b0(E) függvény a (134,9rnek megfelelően meghatározza a potenciálszórás fázisát. Lassú ;,részecskék szórása esetén sorfejtésében az első tagok:

b0 (E) = const· i( l+ i ak).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

657

135.§. A RUTHERFORD-KÉPLET

135. §. A Rutherford-képlet · A Coulomb-téren való szórás vizsgálata rendkívül fontos a fizikai alkalmazások szempontjábóL Ez a kvantummechanikai feladat azért is érdekes, mert közelítés nélkül juthatunk el a végeredményhez. · Ha van egy kitüntetett irány (az adott esetben a beeső részecske mozgásiránya), a Coulomb-térben felírt Schrödinger-egyenletet célszerű~. 'lJ, rp parabolikus koordinátákban megoldani (37.§). A centrális térben kialakuló szórási kép hengerszimmetrikus. Ezért a 'IfJ hullámfüggvény nem függ a rp szögtől. A (37,6) Schrödinger-egyenlet partikuláris megoldását a (135,1) alakban írjuk [(37,7), m = 0-val], és ennek után a (37,8) egyenletet kapjuk m = O-val: 48

megfelelően

a változók szétválasztása

(135,2)

A szóródó részec~ke energiája természetesen pozitív; E = k 2 /2-t írtunk. A (135,2) egyenletekben szereplő előjelek taszító erőtérnek felelnek meg; vonzó téren való szórás hatáskeresztmetszetére pontosan ugyanez az eredmény adódik. A Schrödinger-egyenlet olyan megoldásait keressük, amelyek negatív z és nagy r mellett síkhullám alakúak: 'IfJ

rv

ha

eikz,

- =


(és 'IJ'k->) függvények zárt alakban írhatók közvetlenül a (135, 7) képlet alapján. A parabolikus koordinátákat igy frjuk:

k

.

2(;-'Y)) = kz = kr,

k'Y) = k(r-z) = kr-kr.

Taszító Coulomb-tér eseién tehát azt kapjuk, hogy 52

'IJ'k+>

=

e-z'kr(t+!) eik•F (-~,l, i(kr-kr)),

(136,6)

'IJ'k->

=

e-z'kr(t- ~) eikrF (~,l,

(136,7)

-i(kr+kr)).

A vonzó Coulomb-tér hullámfüggvényei ebből k és r előjelének egyidejű megváltoztatásával adódnak:

(!,l, i(kr-kr)). 'lJ'}:>= e~ r (t+~) eik•F (-~,l, -i(kr+kr)). 'IJ'k+) =

e%r (t-!) 2

eikrp

(136,8)

(136,9)

A Coulomb-térnek a részecske mozgására való hatása a koordináta-rendszer kezdő­ pontjának közelében a 'IJ'k+> vagy 'IJ'k-> függvény és a szabad mozgás V'k = e1k•függvénye abszolútérték-négyzetének r =O pontbeli hányadosával jellemezhető. Ezt a

összefüggés felhasználásával könnyen megkaphatjuk Taszító tér eseién l

'IJ'l/'(0) 12 l 'IJ'k-'(0) [2 2n ['l/'k[ 2 = f'IJ'k[ 2 =k(e2nfk-1)'

(136,10)

vonzó térben pedig

l'IJ'ft'(O) [2 l 'l/'k 12

Ji2

l'IJ'k-'(0) [2 f'IJ'kf2

2n = k(l-e-2n/k)'

(136,11)

Coulomb-egységeket használunk.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

664

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ŰTKÖZÉSEK

A 'If!~+) és 'IfJ~-) függvények fontos szerepet játszanak olyan feladatokban, amelyek a perturbációszámitásnak a folytonos spektrumra való alkalmazásával kapcsolatosak. Tegyük fel, hogy valamilyen J/ perturbáció átmenetet létesít a folytonos spektrum állapotai között. Az átmenet valószínűségét az

f 'IJ!}J/'If!; dV

(136,12)

integrál határozza meg. Felmerül a kérdés: a hullámegyenletnek milyen megoldásait kell kezdeti ('IfJ;) és végállapotbeli ('If!t) hullámfüggvényként választani ahhoz, hogy megkapjuk a részecske átmenetének amplitúdóját a végtelenben hk impulzussal jelJemzeit állapotból a lik' impulzusú állapotba. 53 Megmutatjuk, hogy ehhez a (136,13) választás szükséges (A. Sommerfeld, 1931). Ez azonnalnyilvánvalóvá válik, ha meggondoljuk, hogyan kellene megoldani a felvetett kérdést a perturbációszámítás segítségéve!, ha nemcsak J/-t tekintenénk perturbációnak, hanem az U(r) teret is, amelyben a részecske mozog. (U-ban) nulladik közelítésben a (136,12) mátrixelem

alakú. A következő közelítésekben (U-ban) az integrál helyett egy sort kapunk, amelynek minden tagja

f -

vk'kluklk2

(Ek-Ek 1 +iü)

o

o

o

uknk

.. . (Ek-Ekn+iO)

d3f, (1

d3k ...

n

alakú (vö. 43. és 130. §); a számlálóban a perturbálatlan síkhullámokkal képzett mátrixelemek állnak (különböző sorrendben), és az integrálás során az összes pólust ugyanolyan szabály szerint kerüljük. Másrészről ezt a sort megkaphatjuk a (136,12) mátrixelemből, felhasználva a 'IfJ; és 'lf!t függvényeknek az U tér szerinti perturbációs sorát. Az a tény, hogy eredményül olyan integrálokat kell kapnunk, amelyekben az összes pólus megkerülése azonos szabály szerint történik, azt jelenti, hogy ugyanilyen szabály szerint kerüljük meg a 'IfJ; és 'IfJ; függvényeket előállító sor tagjainak pólusait is. Ha azonban megoldjuk a hullámegyenletet perturbatív úton ezzel a körüljárási szabállyal, akkor automatikusan olyan megoldást kapunk, amelynek aszimptotikus alakja (a síkhullám mellett) kifutó gömbhullámot tartalmaz. Más szóval, az 53 Egy ilyen folyamatra jó példa a következő: álló nehéz atommaggal ütköző elektron foton t bocsát ki, megváltoztatva energiáját és mozgásirányát; ekkor a Vperturbáció az elektronnak a sugárzási térrel való kölcsönhatása, a mag Coulomb-tere pedig az U erőtér, amelyben a 1p:i,+lés !f!~- l függvényeket meghatároztuk (J. IV. 90., 93.§). Másik példa lehet az elektronnak egy atommal való ütközése, melyben ez utóbbi ionizálódik (J. a 148. § 4. feladatát).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

136.§. A FOLYTONOS SPEKTRUM HULLÁMFÜGGVÉNYEINEK RENDSZERE

665

a hullám, amely (U szerint) nulladik közelítésben

alakú, a hullámegyenlet v{+)és 'lfJ

h(k)=-C+lnk+~;;,

ha

k»l

2,5 esetén 4%-nál pontosabban adja].

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

672

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

Így tehát Coulomb-kölcsönhatás esetén az "állandó" az alábbi mennyiség: 2n ctg Do 2 =-u. ac ( e2n /k a,_ l) +-h(kac) ac

(138,12)

Az "állandó" szót idézőjelbe tettük, u ugyanis a valóságban valamilyen, a rövid hatótávolságú erő konkrét alakjától függő függvény ka szerinti hatványsorának első tagja. A kis energiájú rezonanciának, mint a 133. §-ban megmutattuk, anomálisan kis u érték felel meg. Ennek értelmében a pontosság növelése céljából figyelembe kell venni a sorfejtés következő (cok2) tagját is, melynek együtthatója "normális" nagyságrendű, azaz (138,12)-ben -u-t a 1 -uo+-rok2 2

kifejezéssel 59 kell helyettesíteni. Rezonancia fellépése, mint a 133. §-ban láttuk, megfelelhet a rendszer valódi vagy virtuális diszkrét kötött állapotának. Meg lehet mutatni, 60 hogy ugyanúgy, mint korábban, a nívó valódi vagy virtuális aszerint, hogy u pozitív vagy negatív. A hullámfüggvény teljes fáziseltolódása (138,10)-nek megfelelően a o[oui+ o1 összeggel egyenlő. Ezért a szórási amplitúdó: /(8) =

f (21+ l) [exp (2ioycu1+2io 2 ~k 1=0

1)

-l] P 1 (cos 8)

(138,13)

l

A szögletes zárójelben álló különbséget az alábbi alakba írjuk: exp (2ioyoui+ 2io 1) -l = [exp (2io~oul) -l]+ [exp (2ioyoui)(e 2 i 6z-1)].

(138,14)

A O/oui Coulomb-fázisok nagyságrendileg azonos járuléket adnak a szórásamplitúdóhoz minden l mellett. A rövid hatótávolságú erőkkel kapcsolatos o1 fázisok viszont .az l ~ O esetben (kis energián) kicsik. Ezért (138,14)-et (138,13)-ba helyettesítve, .az első zárójelet megtartjuk az összeg minden tagjában; e tagok összege a Coulomb-

r0

59 Megadjuk az OG = 1/u0 és az r 0 állandó értékét proton-proton szórás esetére: OG = -7.8. I0- 13, = 2,8·10- 13 cm (a Coulomb-hosszegység 21'z2/mPe 2 = 57,6·10- 13 cm). Ezek az értékek két ellenkező

spinű protonból álló rendszerre vonatkoznak (két párhuzamos spinű protonból álló rendszernek nincs s-állapota a Pauli-elv miatt). 60 Lásd L. D. Landau, J. A. Szmorogyinszkij ZSETF 14, 269 (1944).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

138. §.TÖLTÖTT RÉSZECSKÉK REZONANCIASZÓRÁSA

673

szórás (135,9) amplitúdója:

(8) = -

l'

l 2ack2 sin 2

Jcoul

(138,14) második zárójeiét csak az l amplitúdó az alál">bi alakot ölti:

/(8)

exp (

(j

2

2i l n Slll . 2+ (j 2"l1.coul) -rluo •

(138,15)

ac

= O tagban

hagyjuk meg. Így a teljes szórási

= fcou1(8) + 2!k (e2ido -1) exp (2iögoul).

(138,16)

Ennek az összegnek második tagját a nukleáris szórás amplitúdójának nevezhetjük,. H;angsúlyozzuk azonban, hogy ez a felbontás csak feltételesen végezhető el: Öo (138,11) szerinti definíciÓja értelmében a Coulomb-kölcsönhatás ebben a tagban is megmutatkozik; alakja jelentősen különbözik attól, amit a csak rövi mátfixelemet úgy kell érteni, mint az elektron "PP és "Pp• hullámfüggvénye" között számított mátrixelemet, amely diagonális az atom hullámfüggvényében. Más szóval, a (126,7) képletben szereplő U-t az elektronnak az atommal való, ez utóbbi hullámfüggvényére átlagolt kölcsönhatási energiájának kell tekinteni. Ez eq:'(r)-rei egyenlő, ahol ep(r) az atom átlagos töltéseloszlása által az r pontban létesített potenciál. Az atom töltéseloszlásának sűrűségét e(r)-rel jelölve, a ep potenciálra a Poissonegyenlet érvényes: óep = -4ne(r).

e

A keresett UP.~ mátrixelem lényegében U-nak (azaz ep-nek) a q = k'- k hullámvektorhoz tartozó Fourier-komponense. A Poisson-egyenletet minden Fourier-komponensre külön-külön alkalmazva:

amiből

epq = 4neq/q 2 , azaz

f

epe- iqr dV =

A e(r)

töltéssűrűség

:~

f

az elektronok és a mag

(139,1)

ee- iqr dV.

töltéséből tevődik

össze:

Q= -en(r)+Zeb(r),

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

139. §. GYORS ~EKT~Ol~;rűK RUGALMAS ÜTKÖZESE ATOMOKKAL

~75

ahol en(r) az elektronok töltéssűrűsége az atomban. Ezt e-iq•~rel szorozva ~.fil integrálva, azt kapjuk, hogy

J ee-

dV = -e Jne- iqr dV+ Ze.

iqr

A _bennünket érdeklő integráira tehát. a következő kifejezés adódik:

·s ue-iqr .

2 dV= 4ne li [Z-F(q)],

(139,2)

Jne-:iqr dV

(139,3)

l .

az itt szereplő F(q) mennyiséget az F(q) =

képlet határozza meg, és az atom alakfaktorának nevezzük. Ez aszórási szög és a elektron sebességének függvénye. Végül (139~2)~t Ó26,7)-be helyettesitve, gyors elektronok atomokon való szórásának hatáskeresztmetszetére a következő végeredményt kapjuk :61 beeső

da =

4m2e4 lí'q' [Z -F(q)] 2 d.Q,

(139,4)

2mv . 1J

q= -lí- SI0 2. Tekintsük a qao « 1 határesetet, ahol ao az atom kiterjedésének nagyságrendje. Kis q-nak kis szórásszög felel meg: 1J « Vo/ v, ahol vo "' lífmao az atomi elektronok sebességének nagyságrendje, Fejtsük F(q)-t q szerinti hatványsorba. A nulladrendít ta~ dV, vagyis az atom elektronjainak Z száma. Az elsőrendít tag rn(r) dV-vel, vagyis az atom dipólusmomentumának átlagértékével arányos; ez a mennyiség azonosan eltíinik (l. 75.§). Ezért a sorfejtést a másodrendít tagokig kell végezni, amivel

Jn

J

Z-F(q) =

~2

I

nr2 dV;

u Elhanyagoljuk a gyors szórt elektron és az atomi elektronok közötti kicserélödést, azaz nem végezzük el a rendszer hullámfüggvényének szimmetrizálását. Eleve nyiivánvaló, hogy ez a közelités megengedett: a szabad részecske gyorsan oszcilláló hullámfüggvényének az atomi elektronok hullámfüggvényével való interferenciája a "kicserélődési integrálban" azt eredményezi, hogy a szórásamplitúdóban az ezzel kapcsolatos járulék elenyészően kicsi. 43°

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

676

XVII: FEJEZET: RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

ezt (139,4)-be írva, azt kapjuk~ hogy da ==:

3/í 2 . l me2

I

nr 2 dV 12 dQ

(139,5)

Kis szögek tartományában tehát a hatáskeresztmetszet a szórási szögtől függedennek adódik, és arányos az elektron és a mag távolsága négyzetének átlagávaL Ellenkező határesetben, hagy q mellett (qao »l, azaz#» v0 jv) a (139,3) kifejezésben az integrál alatt szereplő e-iqr szorzó gyorsan oszcilláló függvény, ezért az integrál értéke majdnem nulla. Ennélfogva F(q) elhanyagolható Z mellett, úgyhogy

)2

_ ( Ze2 da- -mv 2 2

dQ . sm 2

. --{}-' 4 ·

(139,6)

vagyis az atommag on való Rutherford-szórás hatáskerésztmetszetét kapjuk ·vissza. . Kiszámítjuk a '

atr =

J(l -cos fJ) da

transzport-hatáskeresztmetszetet is. A

1}

(139,7)

« v0 jv szögtartományban (139,5)-nek

megfelelően

da= const·sin 1} d#= const·# d#,

ahol a const független #-tól. Ezért ebl?en a tartományban a vizsgált integrál integrandusa # 3d#-va1 arányos, úgyhogy az alsó határon az integrál gyorsan konvergáL Az l » 1} » vo/ v tartományban. viszont . da

~

const·(d#/#3).

Az integrál alatti mennyiség d#/#-val arányos, vagyis az integrál logaritmikusan divergál. Ebbőllátha tó, hogy az integrálban éppen ez a szögtartomány játssza a legfontosabb szerepet, és az integrálás során elegendő erre a tartományra szorítkozni. Az integrál alsó határát v0 fv nagyságren,dűnek kell venni; írjuk ezt e2 /ylív alakban, ahol y dimenziótl~n állandó. Ere v0 j v szögtartomány vizsgálatát kívánja meg, és nem végezhető el általános alakban; atr kevéssé függ az állandó értékétől, minthogy az a logaritmus jele alatt szerepel, a nagy lívje2 tényezővel megszorozva. Nehéz atomok alakfaktorának numerikus meghatározásához az n(r) ThomasFermi-sűrűségeloszlást használhatjuk Láttuk, hogy a Thomas-Fermi-modellben .n(r) az alábbi alakú: n(r)

rZl/3) = Z2f ( -b-

(ebben és a következő képletekben atomi egységeket használunk). Könnyű belátni, hogy az ilyen n(r) függvény segítségével kiszámított (139,3) integrál q-t csak Z-vel alkotott meghatározott kombináció formájában tartalmazza: F(q) = Zr:p(bqZ- 113 ).

(139,9)

A ll. táblázatban megadjuk a valamennyi atom esetében érvényes rp(x) függvényt. 62 ll. táblázat

Az atomok alakjaktora a Thomas-Fermi-madel/ben x

l

o

0,15 0,31 0,46 0,62 0,77 0,93

- O-ra az A és B függvényeket a (128,4) összefüggés köti össze: A(l, E) = B* (l, E). Ebből követke,zik, hogy ha l komplex, A(l*, E)

www.interkonyv.hu

=

B*(l, E),

ha E >- O,

(141,5)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

687

141. §. REGGE-PÓLUSOK

és ezért S(/, E) kielégíti a komplex unitaritási feltételt;·

.

' . .•, ......

(141,6)

S*(l,E)S(l\E) = l.

Minthogy A(l,E)-nek és B(l,E)-nek nincsenek szingularitásai l függvényében, S(l, E) [és vele együtt az j (l, E) szórásamplitúdó is] csak B(l, E) zérushelyein rendelkezik (pólus jellegű) szingularitásokkal. Aszórás amplitúdó l síkbeli pólusait Reggepólusoknak nevezzük. Helyzetük természetesen függ a valós E paraméter értékétőL A p~lusok helyét megha,tározó l= rxi(E)

függvényeket Régge-trajektoriáknak szokás nevezni; E változása során a pólusok az l síkban meghatározott görbék mentén mozognak (a pólusokat számozó i indexeket az alábbiakban elhagyjuk). Rátérye a Regge-trajektoriák tanulmányozására, mindenekelőtt megmutatjuk, hogy E < O esetén az összes rx(E) függvény valós. Ehhez a x hullámfüggvényre l = rx mellett fennálló (141,7)

egyenletet vizsgáljuk. x*-gal szorozva és dr szerint integrálva (az dálisan integrálva) azt kapjuk, hogy

=

-J o

=

lx' l2 dr+!':

J(E-U) lx\

első

tagban par-

=

2

dr-rx(rx+ l)

o

J~t 1

dr=

o.

o

Itt figyelembe vettük, hogy B = O esetén (ez a Regge-pólust meghatározó feltétel) a hullámfüggvény exponenciálisan lecseng r - oo -re, úgyhogy valamennyi integrál konvergál. A kapott egyenlőség első két tagja valós, és valós az utolsó tagban szereplő integrál is. Ezért Imrx(rx+ l)= Im (rx+

~r= 2 Re

Minthogy azonban csak a (141,3) félsíkon Re(rx+ 1/2) >O, a keresett eredményhez jutunk:

(rx+ ~) Imrx =O.

levő

Imrx(E) =O, ha E< O.

www.interkonyv.hu

pólusoka't vizsgáljuk, ahol

(141,8)

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

688

XVII. FEJEZET. RUGALMAS ÜTKÖZÉSEK

Hajtsuk végre továbbá a (141,7) egyenieten [(128,10) levezetésének analógiájára] a következő operációkat: differenciáljuk E szerint, és a kapott egyenletet szorozzuk x-vel, az eredeti egyenletet pedig szorozzuk Bx/BE-vel, és vonjuk ki egymásból az így kapott két egyenlőséget:

(~)'·J'_ 2m x d~(~+l) =0 [X,~BE X BE lí X + dE . 2

2

2

r2

Ezt most dr szerint O-tól =-ig integráljuk, figyelembe véve, hogy r-+ =-re x nullához tart. Az első tag integrálja eltűnik, így azt kapjuk, hogy

{141,9)

Mint már tudjuk, ~ valós, ezért a hullámfüggvény is az; Ennélfogva a (141,9)-ben szereplő két integrál' pozitív. Következésképpen:

és minthogy ~+l /2 pozitív, d~

dE

>

O,

ha E




Ek és E< Ek esetén egyaránt valósak,

sorbafejthetők

az

E- Ek különbség egész hatványai szerint.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

147.§. A HATÁSKERESZTMETSZET VISELKEDÉSE AREAKCIÓKÜSZÖB KÖZELÉBEN 721

Ez a függés az 50. ábra a vagy b esetének felel meg, attól függően, hogy sin ~o cos ~o előjele pozitiv vagy negativ. A reakcióküszöb létezése tehát a rugalmas szórás hatáskeresztmetszetének energiafüggésében jellegZetes szingularitások fellépéséhez vezet. A spinek figyelembevétele természetesen megváltoztatja a képleteket, de a jelenség általános jellege ugyanaz marad. 28 Ha a küszöb alatt a rugalmas szórás mellett más reakciók is lehetségesek,

d6 dE

l

d6

l

dE

l l

l

Á

l

l

dE

l

c)

d6 dE

l

T ,___ ________ E

L--------,---E a) d6

l

l

l

_[ l

l

l

~------b-J-------E

d)

E

50. ábra

akkor hasonló szingularitások lépnek fel ezek hatáskeresztmetszeteiben is. Vala mennyinek szinguláris pontja az E = Ek helyen van, amelynek közelében a hatáske resztmetszeteka VIE-Ek! mennyiség lineáris függvényei, a küszöb alatt és fölött különböző együtthatóvat Ha a reakció során pozitiv töltésű részecske távozik a magból, a reakciótermékek (az A' és B' részecske) között Coulomb-taszitás van. Ekkor v' ...... O (azaz E ...... E,J esetén a reakció hatáskeresztmetszete exponenciálisan tart nullához az összes energia 28 Nullától különböző spinű részecskékből álló A'+ B' rendszer s-állapotban is rendelkezhet nullától különböző teljes impulzusmomentummal, ezért az A+ B rendszernek különböző pályaimpulzusmomentumú állapotai lehetnek.

46

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

722

XVIII. FEJEZET. RUGALMATLAN ŰTKÖZÉSEK

szerinti deriváltjaival együtt, és más folyamatok hatáskeresztmetszetében semmiféle szingularitás nem lép fel. Végül tekintsünk olyan reakciót, amelyben két azonos, lassú töltött rész keletkezik úgy, hogy közöttük Coulomb-vonzás hat. Egy ilyen reakció hatáskeresztmetszete a részletes egyensúly elv felhasználásával kifejezhető a fordított, két egymást vonzó~ lassú rész közötti reakció (143,6) hatáskeresztmetszetéveL Így azt kapjuk, hogy v __,. O esetén a hatáskeresztmetszet állandó határértékhez tart:

· a, =const,

ha

a v' ..... 0,

(147,11)

azaz a küszöb felett a reakció mindjárt véges hatáskeresztmetszettel indul. Nézzük meg a rugalmas szórási hatáskeresztmetszet szingularitásainak jellegét egy ilyen reakció küszöbénél (A. I. Baz, 1959). Ezt most nem tehetjük megközvetlenül az ismert (147,11) küszöb fölötti hatáskeresztmetszet alapján, a semleges részecskék esetén alkalmazott egyszerfi módszerrel. Ez utóbbihoz képest most az bonyolítja a helyzetet, hogy az A' +B' részecskerendszemek a küszöb körüli tartományában (E< Ek-ra) kötött állapotok vannak, amelyek a vonzó Coulomb-tér diszkrét energianívóinak felelnek meg. Energetikai szempontból ezek az állapotok kialakulhatnak az A és B részecskék ütközése során, a rugalmas szórás lehetősége miatt azonban csak kvázistacionáriusak lesznek. Létezésük viszont mindenképpen a Breit-Wigner-rezonanciához hasonló rezonanciajelenségek megjelenéséhez vezet a (küszöb alatti) rugalmas szórásban. A vázolt feladat megoldásához vizsgáljuk meg az ütközési folyamatot leíró hullámfüggvények szerkezetét. Minthogy két csatorna van, a kölcsönható részecskék Schrödinger-egyenletének két független, az egész konfigurációs térben véges megoldása van; jelöljük a két önkényesen kiválasztott (és önkényesen normált) megoldást 1p1-gyel és 'ljJ2·vel. Ezekből a hullámfüggvényekből előállithatunk olyan lineáris kombinációkat, melyek leírják a szórást, ha az egyik vagy másik csatorna a bemenő. Jelöljük az. A és B, illetve az A' és B' részecskepároknak megfelelő csatornákat a és b-vel, és feleljen meg a "P = rx 11p1 +rx2"P2 összeg annak az esetnek, amikor a a bemenő csatorna. Ez leírja az A és B részecskék rugalmas szórását és az A+ B -+ A'+ B' reakciót. A reakció küszöbének közelében az rx1 és rx2 állandók lényegesen függnek a kis kb impulzustól, bár maguknak az önkényesen választott 'lfl!, "P 2 függvényeknek nincs semmifé]e szingularitásuk kb = O-nál. Nagy távolságokban a "P függvény a részecskepároknak az a és b csatomában való. mozgását leíró két összegből áll. Ezek mindegyike a részecskék "belső" függvényének és relatív mozgásuk hullámfüggvényének szorzata. 29 Ez utóbbi az a csatornában 29 A (147,11) törvény nemcsak a teljes, hanem a különböző /-ekhez tartozó parciális hatáskeresztmetszetekre is érvényes (vö. a 143. § végén mondottakkal). Ennek megfelelően az alábbiakban megvizsgálandó szin:gu1aritás is fellép valamennyi parciális szórási hatáskeresztmetszetben. Jellege

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

147 .§.A HATÁSKERESZTMETSZET VISELKEDÉSE A REAKClÓKÜSZÖB KÖZELÉBEN 723"

R;;-SaaR};, a b csatornában pedig -SabR!; alakú, ahol R+ és R- kifutó és befutó hullámok a megfelelő csatornában. A rövid hatótávolságú erők sugarához és lj kb-hez képest nagy ro távolságban ezeknek a "P függvényeknek (és deriváltjaiknak) illeszkedniük kell a "reakciózónában" kiszámított hullámfüggvényhez. Ezeket a feltételeket az alábbi alakú egyenlőségele fejezik ki:

l,

1X1b1 +1X2b2

=

-SabRi'J

L•

('!.la~ +('!.2a~ = (R;; -SaaR;i)' l ,

1X1b~ +1X2b~

=

-Sabf1j';

lro,

*e·iqr'Po

r"'' 2"P(li/u) n 112 l,

dV=

a J exp (- iqr- ixr- Ar) F (i { -BA u'

.

) dV}

l, z(ur+xr) --;-

,t= l·

41 A hatáskeresztmetszet tetszőleges n esetében kiszámítható. Numerikus számítás segítségé ver megkaphatjuk a hidrogénatomon való rugalmatlan szórás teljes hatáskeresztmetszetét is:

4n

v2

a,= --:vzln 0,160 · Ugyanakkor a diszkrét spektrum egy állapotának gerjesztésével vagy ionizációvaljáró ütközés esetén, ~

agerj

www.interkonyv.hu

=

~

--;;z·0,715 ln 0, 45 ,

~

aion

=

~

--;;z·0,285 ln O,O!Z.

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

'736

XVIII. FEJEZET. RUGALMATLAN ÜTKÖZÉSEK

.Az integrálást parabolikus koordinátákban végezzük el, a z tengelyt x irányába fektetjük, a rp szöget :pedig a (q, x) síktól mérjük:

l

l=

-

~ ~

~

:).

2n

III

exp {-

~ q(~- 7}) cos y+ iq i~7J

sin y cos rp-

o o o

-;(~+7})-~ u(~-'f})}F(~, l,iu~) drp d~ d7Jt=l •:(y a x és q vektorok által bezárt szög). A drp d7J szerinti integrálást könnyen elvégezbetjük a = u, sin rp = v belyettesítéssel, amivel

in

in cos rp =

.Az itt álló integrál értékét az (f,3) képlet szerint határozzuk meg, y = l, n = O mellett. Az ezt követő hosszadalmas, de elemi számítások a hatáskeresztmetszetre az alábbi kifejezést ,:adják: da=

28k'u[q 2 + 2qu cos y+(u 2 + 1) cos2 y] nkq2 [q 2 +2qu cos y+ l+u2)4 [(q+u) 2 + 1] [(q-u)2+ 1] (l- e 2 "1~~/k 2x 3 kifejezést kapjuk, ami, min t ·O (az 54. ábrán ezek a bevonalkázott tartományok). Minden x-re véges megoldást C-nek az ábra szerinti választásával kapunk. Ezt azután tetszésszerint eltolhatjuk, ha a végei továbbra is ugyanabban a két bevonalkázott szektorban tartanak végtelenhez (J és III az 54. ábrán). MegjegyeZZÜk,

54. ábra

hogy például a !JI és II szektoron átmenő utat választva, x- = esetén divergáló megoldást kapunk. Eitolva a C utat oly módon, hogy az a képzetes tengeilyet egyezzék meg, a (b,2) függvényt (a t = iu helyettesitéssel) az alábbi alakban kapjuk:

W(x)

=:n f

cos

(ux+ ~)du.

(b,3)

o

A (b,2)-ben szereplő állandót - i/2yn-nek választottuk, és az ilyen módon adódó függvényt jelöltük W(x)-szel; ez az Airy-függvény. 3 W(x) nagy x-ekre érvényes aszimptotikus kifejezését úgy kapjuk, hogy kiszámítjuk a (b,2) integrált a nyeregpont-módszerrel. Az x> O esetben a kitevőnek a t = ±yx helyen van extrémuma, "legmeredekebb esésének iránya" pedig megegyezik a képzetes tengellyel. Ennek megfelelően a nagy pozitív x-ekre érvényes aszimptotikus alak meghatározása céljából a kitevőt t+ yx hatványai szerint sorbafejtjük, és integrálunk 3 A V. A. Fok általjavasolt definiciót követjük [l. G. D. Jakovleva: Az Airy-függvények táblázata, "Nauka", 1969; W(x) a Fok által bevezetett egyik függvény, az ő jelöléseszerint V(x)]. Az irodalomban szokásos az Airy-függvény másik definíciója is, mely a (b,3)-tól egy állandó szorzóban különbözik: Ai x = !P(x)/Yn.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

762

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

a képzetes tengellyel párhuzamos, tőle OA = yx távolságban haladó C1 egyenes mentén (54. ábra). A t= -yx+iu helyettesitéssel:

W(x)

~- 2 ~%

+oc

J exp (- ~ x

3/2_

Jfxu2)

du,

amiből

l -~x•t• W(x) ~ 2xl/4 e a

(b,4)

Nagy pozitiv x-ekre tehát a W(x) függvény exponenciálisan csökken. Az aszimptotikus viselkedés nagy negatív x-ek esetén való meghatározásához ször is megjegyezzük, hogy x < O esetén a kitevőnek a t=

elő­

iYTXT

és t=

-iYfXT

helyen van extrémuma, és a "legmeredekebb esés" irányai ezekben a pontokban a valós tengellyel -:rt/4 és n/4 szöget bezáró egyenesek. Integrációs útként a Cs törtvonalat választva (az OB távolság yJXT-szel egyenlő), egyszerű átalakítások után azt kapjuk, hogy

(3.-

n)

m.c ) - _ l- . l 13/2 +4. ""'x -lxll/4sm 3 x

(b,5)

Nagy negativ x-ek esetén tehát a W(x) függvény oszcilláló jellegű. W(x) első (legnagyobb) maximuma W( -1,02) = 0,95. Az Airy-függvény kifejezhető 1/3-rendű Bessel-függvények segitségével. A (b,l) egyenletnek, mint arról könnyen meggyőződhetünk, megoldása a

függvény, ahol Z 113(x) az 1/3-rendií Bessel-egyenlet bármely megoldása. A (b,3)-mal megegyező megoldás

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

763

b.§. AZ AIRY-FÜGGVÉNYEK

ahol K.(x)

n

= 2 Slll [L.(x)- lv(x)]. . vn

Felhasználva a

rekurziós képletet, könnyen megkapjuk az Airy-függvény deriváltjára vonatkozó képleteket :

(b,7) Az x = O helyen 3116r

á>( O) =

y;t 2 321sr

(T)

= 0,629, á>'(O) =

(~)

y;t 3 = - 0,459.

-

2 n

Az Airy-függvények menetét az 55. ábra mutatja.

C/J(x)

1,0 0,8

r\

l 1\

o -0,4

-q8

-~o

v [\

{\

(\

0,4

!v

\v ~

l

IV

-B -6 -4 -2

"'

o

2

x

55. ábra

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

764

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

c. §. A Legendre-polinomok A Legendre-polinomokat4 a (c, l) képlet definiálja. E polinomok az alábbi differenciálegyenletnek tesznek eleget: l d ( . dPt) sin() d() sm () d() +l(!+ l)Pt =O.

Az úgynevezett általánosított Legendre-polinomokat a P m(

t cos

Ezzel

()) _ . m - sm

egyenértékű

()

következő

(c,2) képlet definiálja:

dmP t( COS ()) l dl+ m (d cos ())m = 2 1f! sinm ()(d cos ())l+m ( cos 2 ()-l )l.

(c,3)

a

pm( . ())- ( l)m (/+m)! . () dl-m ( 2() 1)1 l cos - (l-m)! 21[! sm-m (d cos ey-m cos -

(c,4)

definíció, ahol m = O, l, ... , l. Az általánosított Legendre-polinomok az l d ( . sin () d() sm

dPkn) m J m_ ()7 + [ l(l+ l)- sin2 () Pt 2

0

(c,5)

egyenletnek tesznek eleget. l

A Legendre-polinomok

J [P1(f.l)] 2 df.l (ft =

cos if) normálási integráljának kiszá-

-l

mítása céljából behelyettesítjük a (c,l) kifejezést, és /-szer pardálisan integrálunk:

4 A matematikai irodalomban sok jó munka található a gömbfüggvényekrőL Itt a fizikai alkalmazások céljára csak néhány alapvető összefüggést ismertetünk, a függvények elméletének részletes tárgyalása nélkül.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

c.§. A LEGENDRE-POLINOMOK

765

Az u = (1- (.1)/2 helyettesítéssei ez az integrál átmegy az Euler-féle B-integrálba, és azt kapjuk, hogy l

I

[Pz({")]2 d[l

=

21! l .

(c,6)

-l

Hasonló eljárással könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a P 1(f.l) függvényele különböző l mellett ortogonálisak: l

I PI(f.l) Pr(f.l) dfl = O,

l r" l'.

(c,7)

-l

Az általánosított Legendre-polinomole normálási integrálja is könnyen kiszámítható a fentihez hasonló eljárássaL Írjuk [P/(f.l )] 2-et a (c, 3) és (c,4) kifejezések szorzatának alakjában, és integráljunk l- m-szer pardálisan; eredményül azt kapjuk. hogy l

I[ me

p 1 fl

)]2 d -

2

(l+m)!

[l- 21+1 (l-m)!

(c,8)

-l

különböző

Könnyen belátható, hogy a gonálisak:

l (de azonosan m) indexű P/ polinomole orto-

l

I P'l'(f.l)PfJ(f.l) d[l =o,

l""' l'.

(c,9)

-l

Három Legendre-polinom szorzatának integrálját a 107. §-ban számítottuk ki. A Legendre-polinomokra fennáll az alábbi összegzési tétel. Legyen y a e, q; és e', q;' gömbi szögekkel jellemzett irányok által bezárt szög: cos y = cos () cos ()' + +sin sin ()' cos (q;- q;'). Ekkor

e

Pz(cos y) = P 1(cos ())P1(cos e')+

+

±2~~-m~; +m ·

(c, l O)

P7'(cos ())P'l'(cos 8') cos m(q;-q;').

m=l

Ez a tétel felírható a [(28,7) alatt definiált] gömbfüggvényele segítségével is:

P1(nn') = 2::: 1

www.interkonyv.hu

t

YZ"(n') Y,m(n).

(c,ll)

m--1

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

766

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

Itt n és n' két egységvektor, Y1m(n) pedig az n vektor rögzített koordináta-rendszerben vettpolár-és azimutszögétől függő gömbfüggvény. Szorozzuk meg a (c,lü) egyenletet Pr( cos 8)-val, és integráljuk dQ =sin 8 dB drp szerint. A dcp szerinti integrálás az egyenlőség jobb oldalán álló minden cos m( ep- ep')- t tartalmazó tag esetében nullát ad eredményül; (c,6) és (c,7) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

Ezt az eredményt szimmetrikus alakban is felírhatjuk: (c,12) ahol n1o n2, na három egységvektor, az integrálást egyikük, n1 irányai szerint végezzük. Végül a teljesség kedvéért megadjuk az első néhány normált Y 1m gömbfüggvény kifejezését:

l Yoo = ,r:.=, y 4:n:

V::n: Vl~:n:

Y10= i Y 2o=

cos

e,

(1-3 cos2 8),

Y1+1==t=i 1 { 3 sin()-e±irp,

,_

v 8:n:

V

15 8:n: cos e sin ().e±irp,

Y 2 ,_ +l=±

y2 +?=-v 15 sin2 '-~ 32:n:

www.interkonyv.hu

Y3o

=-i~ cos 8(5 cos

Y3,±l

=±i~ sin e(5 cos

2

8-3),

2

e-I)e±irp,

e·e±2irp'

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

d.§. AZ ELFAJULT HIPERGEOMETRIKUS FÜGGVÉNY

767

d. §. Az elfajult hipergeometrikus függvény Az elfajult hipergeometrikus függvényt az _ oc z oc( oc+ l) z2 1 F(oc, y, z)- l +y- TI+ y(y+ l) 2 !+11! ...

(d, l)

sorral de:finiáljuk, mely minden véges z-re konvergál; az oc paraméter tetszőleges~ y viszont nem vehet fel nulla vagy negativ egész értékeket. Ha oc negativ egész (vagy nulla), akkor F( oc; y, z) véges loc 1-adfokú polinom. Az F(oc, y, z) függvény eleget tesz a

zu" +(y-z)u' -ocu =O

(d,2)

differenciálegyenletnek, amiről egyszerű behelyettesítéssei könnyen meggyőződhe­ tünk.5 Az u = ;.-"u1 helyettesitéssei ez az egyenlet egy ugyanolyan alakú egyeniethe megy át: zu~' +(2-y-z)uí -(oc-y+ l)u1 =O.

(d,3)

Ebből látható, hogy ha y nem egész szám, a (d,2) egyenletnek (d,l)-tőllineárisan

;.-"F(oc-y+ l, 2-y, z} független partikuláris megoldása, úgyhogy a (d,2) egyenlet álta-

lános megoldása (d,4) alakú. A második tag, az elsővel ellentétben z = O-ban szinguláris. A (d,2) egyenlet Laplace-tipusú, megoldása előállítható vonalintegrálok alakjában .. Az általános módszert követve a

P(t) =?'t-oc, Q(t) = t(t-1), Z(t)

= t"- 1(t-1)"_"_ 1

függvények adódnak, úgyhogy (d,5)'

Az integrációs utat úgy kell választani, hogy körüljárása után a V(t) = ézt"(t- 1)"-"'5 A negativ egész y értékkel felirt {d,2) egyenletet nem kell külön vizsgálni, mert [a (d, 3) egyenletre; vezető transzformációval] visszavezethető pozitiv egész y- k esetére.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

768

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

függvény ismét felvegye eredeti értékét. Ugyanezt a módszert a (d, 3) egyenletre alkalmazva, u-ra más alakú vonalintegrált is kaphatunk:

Ebben az integrálban kényelmes a tz

-+

t helyettesítést alkalmazni, amivel (d,6)

és V(t) = ét"'-r+ 1(t-1/-"'. A (d, 6) kifejezés integrál alatti mennyiségének általában két szinguláris pontja van: t= z és t= O. Válasszuk a C integrációs utat a következőképpen: a végtelenbőljön (Re t _..- = ), megkerüli a két szinguláris pontot pozitív irányban, majd ismét a végtelenbemegy (56. ábra). Ez az útvonal eleget tesz az előírt feltételnek, mert a végein

:

t=Z

:

t=O

c

56. ábra

a V(t) függvény eltűnik. A C görbe mentén vett (d,6) integrálnak nincs szinguláris pontja z = O-ban; ezért egy állandó szorzó erejéig megegyezik a reguláris F(a., y, z) függvénnyeL z = O-nál az integrál alatti kifejezés két szinguláris pontja egybeesik; a F-függvények elméletének ismert képlete szerint

l 2ni

Ietrr dt = F(y)-. l

j(d, 7)

c Minthogy F(a.,y,O)

= l, nyilvánvaló, hogy F(a., y, z)=

~~l

I

et(t-z)-"'t"--r dt.

(d,8)

c (d,5)-ben az integrál alatti mennyiségnek két szinguláris pontja van, t

www.interkonyv.hu

= O és

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

d.§. AZ ELFAJULT HIPERGEOMETRIKUS FÜGGVÉNY

769

t = l. Ha Re (y- IX) >-O és y nem pozitív egész szám, akkor integrációs útként a t = l pontból kiinduló, a t = O pontot pozitív irányban körbejáró, majd t = l-be visszatérő C' görbét választhatjuk (57. ábra); Re (y-lX) >- O esetén egy ilyen útvonal körbejárása után a V(t) függvény ismét eredeti nulla értékét veszi fel. 6 Az ily módon

57. ábra

meghatározott integrálnak nincs szingularitása a z = O helyen, és F(IX, y, z)-vel az alábbi kapcsolatban áll:

F(iX,?J,Z)=-~ F(l-IX)F(y) letz(-t)"'-1(1-t)Y-oc-ldt. 2m F(y-IX) j

(d,9)

C'

A (d,8), (d,9) integrálokat illetően a következő megjegyzést kell tennünk. Az IX és y paraméterek nem egész értékei mellett az integrál alatti mennyiségek nem egyértékű függvények. Értéküket minden pontban az a feltétel határozza meg, hogy a hatvá,. nyozott komplex mennyiséget argumentuma legkisebb abszolút értékének megfelelő helyen kell venni. Megemlítjük a hasznos F(IX, y, z)= ezF(y-IX, y, -z)

(d, l O)

összefüggést, mely közvetlenül adódik a (d,8) integrálból a t __,. t+z helyettesítés elvégzésével. Már említettük, hogy ha IX =-n, ahol n pozitív egész szám, akkor az F(IX, y, z) függvény polinommá redukálódik. E polinomokra rövid képietet lehet levezetni. A (d,9) integrálban elvégezve a t__,. 1-(t/z) helyettesítést, és a kapott integráira a Cauchy-képietet alkalmazva az alábbi összefüggésre jutunk: F( -n, y, z)=

l · dn zl-yez -(e-zzy+n-1). y(y+l) ... (y+n-1) dzn

(d, ll)

6 Ha y pozitív egész szám, C'-nek a t= O és t= l pontokat körülzáró akármilyen útvonalat vehetünk.

49

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

770

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

Ha még y = m, ahol m pozitív egész szám, akkor az ( -l)m-1 Jm+n-1 F(-n m z)ez (e-zzn) dzm+n 1 ' ' - m(m+l) ... (m+n-1)

(d, l 2)

képlet is érvényes. Ez úgy adódik, hogy (d,8)-ban elvégezzük a t - z- t helyettesítést, és alkalmazzuk a Cauchy-képletet. Az F(- n, m, z), O ;:§ m ;:§ n polinomok egy állandó szorzó erejéig megegyeznek az általánosított Laguerre-polinomokkal: L;7(z)

= .=

(-l)"'

~n) 12

) F( -(n-m), m+ l, z)=

m.1 n-m.1

n! Jn ez-e-zzn-m = (n-m)! dzn

(d, l 3)

- (-1)"' n! (n-m)!

Az m = O indexű zük; a (d,13)-nak

L';:

polinomokat Ln(z)-vel jelöljük, és Laguerre-po/inomnak nevez-

megfelelően

A (d, 8) integrál-előállítás segítségével megkaphatjuk az elfajult hipergeometrikus függvények aszimptotikus alakját nagy z mellett. Deformáljuk az integrációs utat oly módon, hogy átmenjen a C1 és C2 vonalakba (56. ábra), amelyek rendre megkerülik a t =o és t =z pólusokat; úgy képzeljük el, hogy a c 2 görbe alsó ága és a cl felső ága a végtelenben kapcsolódnak egymáshoz. z inverz hatványai szerinti sorfejtést akarunk kapni, ezért az integrál alatti kifejezésben (- z)-"'-t kihozzuk a zárójel elé. A C2 görbére vonatkozó integrálban elvégezzük a t_. t+z helyettesítést, ezzel egyszersmind a C 2görbét C 1-be transzformáljuk Eredményként a (d,8) képietet az alábbi alakban kapjuk: T(y) F(ex,y,z)= T(y-ex) (-z)-"G(ex,ex-y+l, -z)+

(d, l 4) T(y) ez z"-YG( y-ex, l -ex, z, ) + T(ex)

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

771

d.§. AZ ELFAJULT HIPERGEOMETRIKUS FÜGGVÉNY

ahol bevezettük a G( a, {J, z)=

r~~fJ)

I

(l+

~) -«tf3-1et dt

(d,15)

c1

jelölést. A (d, l 4) képletben a hatványozás elvégzése során a -z-t és z-t argumentumának legkisebb abszolút értékével kell venni. Végül az integrál alatti (l+ t/z)-a kifejezést tjz hatványai szerint kifejtve, a (d,7) képlet alkalmazásával G(a, y, z)-re a következő aszimptotikus sort kapjuk: G(a, {J, z)= l

afJ

+~ 1 1~+

.z

a(a+l)fJ(fJ+l) + ... 2 ., z 2

(d, l 6)

A (d,14) és (d,l6) képletek meghatározzák az F(a, y, z) függvényele aszimptotikus sorát. A y paraméter pozitív egész értékeimellett a (d,2) egyenlet (d,4) általános megoldásában szereplő második tag vagy megegyezik az elsővel (ha y = 1), vagy teljesen értelmét veszti (ha y > 1). A két lineárisan független megoldásnak ebben az esetben a (d,14) összeg két tagját választhatjuk, vagyis a C 1 és a C 2 útvonalak mentén vett (d,8) integrálokat [ezek az útvonalak, mint maga C is, kielégítik a megkövetelt feltételeket, úgyhogy a görbék mentén vett integrálok is megoldásai a (d,2) egyenletnek]. E megoldások aszimptotikus alakját a már korábban kapott képletek határozzák meg; hátra van z növekvő hatványai szerinti sorunk meghatározása. E célból a (d,l4) egyenlőségből és a z 1-YF(rx-y+ l, 2-y, z) függvényre vonatkozó hasonló egyenlőségből indulunk ki. E két egyenlőségnek a felhasználásával kifejezzük G(rx, rx-y+l, -z)-t az F(a, y, z) és F(a-y+l, 2-y, z) függvényekkel, majd y= p+ e-t helyettesítünk (p pozitív egész szám), és elvégezzü!( az e _,.. O határátmenetet, a fellépő határozatlanságot a L'Hospital-szabály segítségével feloldva. Hoszszadalmas számítás után a következő sorfejtés adódik: G(a,a-p+l, -z)=-

sin na ·T(p -rx) { nT(p) z" lnz·F(rx,p,z)+ ~

+s'2o

T(p)T(a+s)[1f!(a+s)-'1p(p+s)-1f!(s+1)] • T(rx)T(s+p)T(s+l) z+

+p~1 ( -l)s+l T(s)T(rx-s)T(p) /;:1 T(rx)T(p-s)

z-s} '

(d, l 7)

ahol 'IfJ a T-függvény logaritmikus deriváltja: 'lfJ(rx) = F'(fh)/T(rx). 49*

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

772

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

e. §. A hipergeometrikus függvény A hipergeometrikus függvényt a l z l < l kör belsejében az rx{J z rx( rx + l) fJ(fJ + l) z2 F(IX,{J,y,z)= 1+- -1 ,+ ( l) 2 .,+ ... y . y y+

(e, l)

sor határozza meg, l z l > l esetén pedig ezen sor analitikus folytatása [1. (e,6)]. A hipergeometrikus függvény a z(l-z)u" + [y-(IX+fJ+ l)z]u' -IX{JU

=

O

(e,2)

differenciálegyenlet egyik partikuláris megoldása. Az IX és fJ paraméterek tetszőlege­ sek, de y ~O, -l, -2, .... Az F(IX, {J, y, z) függvény nyilvánvalóan szimmetrikus az IX és fJ paraméterekben. 7 Az (e,2) egyenlet másik, független megoldása: z1 -YF(fJ-y+l, IX-y+ l, 2-y, z);

ennek a z = O hely szinguláris pontja. Az alábbiakban megadunk egy sor hasznos összefüggést a hipergeometrikus függvényre. Az F(IX, {J, y, z) függvény, ha Re (y- IX)> O, minden z-re előállítható, az 57. ábrán vázolt C' útvonalra vonatkozó integrál alakjában: F(IX, {J, y, z)= -

2~i r~Cr1X2~(y)

f(

-t)"'- 1 (1- t)Y_"'_ 1 (l-tz)-f1 dt. (e,3)

C'

Közvetlen behelyettesítéssei meggyőződhetünk arról, hogy ez az integrál valóban kielégíti az (e,2) egyenletet; az állandó szorzó úgy van megválasztva, hogy z = Onál egyet kapjunk.

7 Az elfajult hipergeometrikus függvényt F(rx, {J, y, z)- ből a F(rx, y, z) = lim F(rx, {J, y, z/{J).

következő

határátmenettel kapjuk:

{1-+=

Az irodalomban használják a hipergeometrikus függvényre az 2F 1(rx, {J, y, z) jelölést is, az elfajult hipergeometrikus függvényre pedig az 1F 1(rx, y, z) jelölést. Az F betűtől balra és jobbra álló indexek rendre a sor tagjainak számláló iában és nevezőjében levő paraméterek számát adják meg.

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

e.§. A HIPERGEOMETRIKUS FÜGGVÉNY

773

A:t. (e,2) egyenletben az

helyettesítéssei ugyanolyan típusú egyenlette jutunk, de az IX, {3, y paraméterek helyett rendre a y-lX, y- {3, y paraméterekkel. Ebből következik az F(rx, {3, y, z)= (1-z)·ra.-fJ F(y-rx, y-{3, y, z)

(e,4)

egyenlőség (az egyenlőség két oldala ugyanannak az egyenletnek tesz eleget, és értékük z =O-nál megegyezik). A:t. (e,3) integrálban a t_... t/(1-z+zt) helyettesítés a z és z/(z-1) változóktól függő hipergeometrikus függvények között az

F(rx, {3, y, z)= (1-z)-" F(rx, y -{3, y,

z~ 1 )

(e,5)

összefüggésre vezet. E képletben a többérté~ű (1-z)-" kifejezést (és az itt következő képletekben fellépő hasonló mennyiségeket) az a feltétel határozza meg, hogy a hatványozott komplex mennyiséget argumentumának legkisebb abszolút értékű helyén vesszük. Levezetés nélkül közöljük a z és l j z változóktól függő hipergeometrikus függvények közötti összefüggést:

l) + l) F {3,{3+1-y,{3+1-rx,z.

_ T(y)T({3 -rx) -a ( F(rx,{3,y,z)- T({3)T(y-rx)(-z) F rx,rx+l-y,rx+l-{3,z -p + T(y)T(rx-{3) T(rx)T(y-{3) (-z)

(e,6)

(

Ez a képlet F(rx, {3, y, z)-t lz l >- lesetén konvergáló sor alakjában adja meg, vagyis az (e, l) sor analitikus folytatása. Az (e,6) képlet levezetésének mintájára származtatható T(y)T(y-rx-{3) F(rx,{3,y,z) = T(y-r~.)T(y-{3)F(rx,{3,rx+f3+1-y, 1-z)+

+ T(y~~~f '--- l és ReA > l Re kl legyen; ha r.x negatív egész, akkor a második feltétel helyett elegendő azt megkövetelni, hogy ReA >O legyen. Felhasználva F(r:x,y, kz) (d, 9) integrál-előállítását, a dz szerinti integrálást a vonalintegráljele alatt elvégezhetjük: J~

l F(l -r~.) F(y) A-•- 1F(v+l)X 2ni F(y-r~.) ·

= -Y

x J:j (-t)"'-

1

( k ) (1-t)'l'-_"'- 1 1-T t

-v-1

dt.

C'

(e, 3) figyelembevételével végül azt kapjuk, hogy (f,2)

Abban az esetben, ha az F(a, y+ l, y, k/A) függvény polinomra redukálódik, a integráira is elemi függvényekkel megadható kifejezést kapunk: ·

r-ny =

(-l) n

F(v+ l) (A-k)y+n-v-1 an -[A -•- 1(y- k)•-y+ 1], y(y+l) ... (y+n~l) dAn

J~Y

(f,4)

( -l)m-n { an l~m =km 1(1-r.x)(2-r~.) ... (m-1-r.x) -(m-1)! dAn [A"'-l(y-k)m-a-1]+ am-n-2 } +n!(m-n-1) ... (m-l)Ao:-n-l(A-k)-l+m-n-"' dAm-n- 2 [Am-o:-l(A-k)"'- 1 ] (f,5)

(m, n egész számok, O ;§ n ;§ m- 2).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

776

MATEMATIKAI KIEGÉSZÍTÉS

Továbbmenve, számítsukki a

J e-kzz•- [F( -n, y, kz)]2 dz 00

J. =

1

(f,6)

o·

integrált (n pozitív egész, Rev > O). A számítás általánosabb, ha e-kz helyett e-.l.z-t tartalmazó integrálból indulunk ki. Az F(- n, y, kz) függvények egyikét vonalintegrál alakjában írjuk, majd elvégezzük a dz szerinti integrált az (f, 3) képlet segítségével:

f 00

e-.izz•-l[F(-n y kz)]2dz = __l_(-l)nF(l+n)T2(y)T(v)X ' ' · bei F 2(y+n)

o

C'

A A szerinti n-szeres differenciálás nyilvánvalóan kifejezhető t szerinti ugyanannyiszoros deriválással; ezt elvégezve A = k- t helyettesitünk, vagyis visszatérünk az eredeti J. integrálhoz: J. =

-~ F(n+ l)T(v)F2 (y) 1 (_ t)Y-:-•-1 (1-t)Y+n-1 ~ [(1-t)-• ( -t)•-Y] dt. ~

T~+~

1

.

~

C'

n-szeres parciális integrálással a -

dn

dtn

operációt átháríthatjuk a (- ty-•- 1(1- t)Y+n-l

kifejezésre, a deriváltat a Leibniz-szabálynak megfelelően kifejtve. Eredményül az ismert Euler-integrálra redukálódó integrálok összegét kapjuk. A keresett integrál értéke tehát J.=

T(v)n! X k•(y+ l) .. . (y+n-1)

X

{

l

nf n(n-1) ... (n-s)(y-v-s.-l)(y-v-s)' .. (y-v+s) } [(s+l)!] 2 y(y+l) ... (y+s) ·

+~=o

(f,7)

Könnyen belátható, hogy a J. integrálokra teljesül a

ly+p =

(y-p-1) (y-p) ... (y+ p-l) k2p+l ly-l-p

(f,8)

összefüggés (p egész szám).

www.interkonyv.hu

Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1978

Hungarian translation © Boschán Péter, Typotex, 2010

f. §.ELFAJULT HIPERGEOM. FÜGGVÉNYEKET TARTALMAZÓ INTEGRÁLOK 777

Hasonló módon számítható ki a

J e-í.zzv- 1F(rx, y, kz)F(rx', y, k'z)dz ~

J=

(f,9)

o

integrál is. Az F(rx', y, k'z). függvényt vonalintegrál alakjában írjuk, és felhasználva az (f, 3) képietet (n =O-val) dz szerínt integrálunk: l T(l-rx')T2( y) ~. ( -t)"'-1(1-t)Y-a'-l(}.,-k'f)"-Y(/..-k't-k)-"df. J=--. 2m T(y-rx') C'

Elvégezve a t-+ 'Atj(k't+2-k') helyettesítést, ez az integrál (e,3) alakra hozható, vagyis 1 k')-"'F ( rx, rx'' y, ('A-k)('A-k') kk' ) . J --T( y) /'1 "+"'-v(,A - k)-" (A -

(f,lO)

Ha rx (vagy rx') negatív egész szám, rx = -n, akkor az (e, 7) képlet segítségével ez a kifejezés átírható a

J= T2(y)T(y+n-rx') ')..-n+