Fac Informatica Iasi 2016-2017 [PDF]

Zitiervorschau

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi

Admitere - studii de licenţă

Facultatea de Informatică

Sesiunea iulie 2017 Test la MATEMATICĂ

Se acordă

10

puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de

3

ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte) #

" 5p 5p 5p 5p

1. Calculaţi partea imaginară a numărului complex

1

p

1+i


2

+

2

1 1

p

i


2

2

(i2

=

1).

2. Pentru ce valori ale parametrilor reali m şi n dreapta de ecuaţie y = mx + n este tangentă la parabola de ecuaţie y = x2 + (m + n)x m în punctul său de minim? p p p p 3. Să se rezolve în R ecuaţia x 2 x 1 + x + 2 x 1 + log2 (x 1) = 0. 4. Se alege la întâmplare un număr log2 x să fie un număr raţional?

x din mulţimea f1; 2; : : : ; 100g. Care este probabilitatea ca

5p

5. Se consideră punctele A(3; 2) şi B (1; 0). Determinaţi coordonatele punctelor dreapta d : x + y = 5 pentru care aria triunghiului ABC este 4.

5p

6. Pentru

x 2 (0;  ), determinaţi cos 3x, ştiind că cos 2x = cos x.

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

( 1. Fie

C situate pe

G = A(x; y ) =

x

0

0

0

iy

0

iy 0

x

!

)

j x; y 2 R; x2 + y2 6= 0

, unde

i2 =

1.

5p

 este grup comutativ ("" notează înmulţirea matricilor). b) Fie funcţia ' : (C ;
) ! (G; ) definită prin '(x + iy ) = A(x; y ), pentru orice x + iy 2 C .

5p

c) Calculaţi

5p

a) Demonstraţi că

(G; )



' este izomorfism de grupuri. A(0; 1)2017 : 2. Fie polinomul f = X 3 + pX 2 + b 1 2 Z3 [X ]. a) Pentru ce valori ale lui p 2 Z3 , f se divide prin X b 2? 3 3 3 b) Determinaţi valoarea expresiei x1 + x2 + x3 , unde x1 ; x2 şi x3 sunt rădăcinile lui f . c) Pentru p = b 1, descompuneţi f în factori ireductibili. Arătaţi că

5p 5p 5p

SUBIECTUL al III-lea

2 f : R+ ! R, dată prin f (x) = ex x2 1; 8x 2 R+ şi g : R+ ! R, f (x) dată prin g (x) = ; 8x 2 R+ . x a) Demonstraţi că f (x) > 0, 8x 2 R+ . b) Arătaţi că g este crescătoare pe tot domeniul de definiţie. 2 c) Fie şirul (xn )n2N definit prin x0 = 2 şi xn+1 = exn x2n 1, 8n 2 N. Studiaţi monotonia şi

1. Se consideră funcţiile

5p 5p 5p

determinaţi limita acestuia.

f; g : R ! R, f (x) = 2x sin2 x şi g (x) = 2x cos2 x. a) Aflaţi câte o primitivă a funcţiilor f şi g . Z 1=n Z 1=n b) Calculaţi In + Jn , unde In = f (x) dx şi Jn = g (x) dx, 8n 2 N . 0 0 c) Determinaţi lim n2 (Jn In ). n!+1 2. Considerăm funcţiile

5p 5p 5p

(30 de puncte)

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi

Admitere - studii de licenţă

Facultatea de Informatică

Sesiunea iulie 2017 Barem de corectare la MATEMATICĂ

- Se acordă 10 puncte din oficiu. - Pentru orice soluţie corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă un punctaj corespunzător. SUBIECTUL I 1.

(30 de puncte)

1 1 1 1 √ + √ √
2 + √
2 = −1 + 2 2i −1 − 2 2i 1+i 2 1−i 2 2 z=− 9 z=

2p 2p

Concluzie: Im(z) = 0.

1p

Å 2.

Punctul de minim al parabolei este V

−

2

(m + n) + 4m m+n ,− 2 4

ã

Panta dreptei trebuie sa fie nulă ⇒ m = 0 n n2 − ,− 2 4

Å Dreapta trece prin V

3.

4.

ã

1p

Concluzie: n = 0 sau n = −4.

1p

x>1

1p

√ √ x ± 2 x − 1 = ( x − 1 ± 1)2 > 0

1p

√ √ Ecuaţia devine | x − 1 − 1| + x − 1 + 1 + log2 (x − 1) = 0

1p

Caz 1. x ∈ (1, 2) ⇒ 2 + log2 (x − 1) = 0 ⇒ x = 5/4

1p

√ Caz 2. x > 2 ⇒ 2 6 2 x − 1 + log2 (x − 1) = 0 ⇒ ecuaţia nu are soluţii.

1p

P =

f n

1p

Numărul cazurilor posibile: n = 100

1p

Numărul cazurilor favorabile: f = card{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} = 7 (justificare)

2p

7 . 100

C(u, v) ∈ d ⇔ v = 5 − u

S∆ABC

6.

1p

⇒ n2 + 4n = 0

Concluzie: probabilitatea cerută este P = 5.

2p

â 3 2 1 = det 1 0 2 u v

1p 1p

ì 1 = 2|u − 3| = 4 1 1

2p

Concluzie: |u − 3| = 2 ⇒ C(5, 0) sau C(1, 4).

2p

2

cos 2x = cos x ⇔ 2 cos x − cos x − 1 = 0 ⇔ cos x ∈ {−1/2, 1}, x ∈ (0, π) ⇒ cos x = −1/2

2p

cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x = 1.

3p

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1.a) A(x, y) ◦ A(u, v) = A(xu − yv, xv + yu), (xu − yv)2 + (xv + yu)2 = (x2 + y 2 )(u2 + v 2 ) 6= 0, 1.5p ∀A(x, y), A(u, v) ∈ G Asociativitatea operaţiei "◦"

1p

Comutativitatea operaţiei "◦"

0.5p

Elementul neutru al operaţiei "◦" este A(1, 0) ∀A(x, y) ∈ G, A(x, y)−1 = A b)

c)

Å

x y ,− 2 x2 + y 2 x + y2

1p

ã ∈ G.

ϕ este morfism: ϕ((x + iy) · (u + iv)) = ϕ(x + iy) ◦ ϕ(u + iv), ∀(x + iy), (u + iv) ∈ C∗

3p

ϕ este bijecţie

2p

A(0, −1) = ϕ(i)

2p

A(0, −1)2017 = ϕ(i2017 ) = ϕ(i)

2p

Concluzie: A(0, −1)2017 = A(0, −1).

1p

2.a) f se divide prin X − b 2 ⇔ f (b 2) = b 0

b)

c)

1p

2p

f (b 2) = p

2p

Concluzia: p = b 0.

1p

x31 + x32 + x33 = −p(x21 + x22 + x23 )

1p

x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − 2(x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )

1p

x1 + x2 + x3 = −p

1p

x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b 0

1p

Concluzia: x31 + x32 + x33 = −p3 .

1p

f (b 1) = b 0

1p

f = (X − b 1) · g, g = X 2 + b 2X + b 2

2p

g este ireductibil in Z3 .

2p

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

2

1.a) f 0 (x) = 2x(ex − 1), ∀x > 0

1p

f 0 (x) > 0, ∀x > 0

1p

f strict crescătoare pe R∗+

1p

lim f (x) = 0

1p

x&0

f (x) > 0, ∀x ∈ R∗+ .

1p 2

b)

c)

g 0 (x) =

(2x2 − 1)ex − x2 + 1 , ∀x > 0 x2

1p

h(t) = (2t − 1)et − t + 1, ∀t > 0, h(0) = 0

1p

h0 (t) = 2tet + et − 1 > 0, ∀t > 0

1p

h strict crescătoare pe R∗+ ⇒ h(t) > 0, ∀t > 0

1p

g 0 (x) = h(x2 )/x2 > 0, ∀x > 0 ⇒ g este crescătoare pe R∗+ .

1p

∀n ∈ N, ∃cn între xn−1 şi xn astfel ca xn+1 − xn = f (xn ) − f (xn−1 ) = f 0 (cn )(xn − xn−1 )

1p

f 0 (cn ) > 0 ⇒ sgn(xn+1 − xn ) = sgn(xn − xn−1 ), ∀n ∈ N∗

1p

x1 = e4 − 5 > 2 = x0 ⇒ xn+1 > xn , ∀n ∈ N

1p

(xn )n∈N şir crescător ⇒ ∃ lim xn = l ∈ (2, ∞]

1p

n→∞

l < ∞ ⇒ 1 = lim n→∞

Z

Z f (x) dx =

2.a)

Z +

Z

xn+1 = g(l) > g(2) > 1, absurd. Concluzie l = ∞. xn

2x sin2 x dx =

Z x(1 − cos 2x) dx =

f (x) + g(x) dx = x2 ⇒

Z

3p

Z

x cos 2x x2 + sin 2x + . 2 2 4 1 1 2 1 2 1 = − sin − cos + , ∀n ∈ N∗ 2n2 2n n 4 n 4

g(x) dx = x2 −

f (x) dx =

ã 1/n x2 x cos 2x In = − sin 2x − 2 2 4 Å 2 ã 01/n 1 x x cos 2x 1 2 1 2 1 Jn = + sin 2x + = + sin + cos − , ∀n ∈ N∗ 2 2 2 4 2n 2n n 4 n 4 0 In + Jn =

c)

x x2 x (sin 2x)0 dx = − sin 2x+ 2 2 2

1p

sin 2x x2 x cos 2x dx = − sin 2x − 2 2 2 4

Å

b)

x2 − 2

Z

1 , ∀n ∈ N∗ . n2

n2 (Jn − In ) = n sin

2 n2 + n 2

2p 2p 2p 1p



cos

2 − 1 , ∀n ∈ N∗ n



2 =2 n  2  n 2 1 lim cos − 1 = − lim n2 sin2 = −1 n→∞ 2 n→∞ n n lim n sin

1p 1p

n→∞

Concluzia: lim n2 (Jn − In ) = 1. n→∞

2p 1p

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Ia¸ si

Admitere - studii de licen¸ ta ¼

Facultatea de Informatic¼ a

Sesiunea iulie 2016 ¼ Test la MATEMATICA

Se acord¼ a 10 puncte din o…ciu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p

5p

5p 5p

5p 5p

1. Consider¼ am num¼ arul complex z = m + i, m …ind un parametru real (i2 = 1). Pentru ce 2 > 1? valori ale lui m avem z z a+b c+a 2. Ar¼ ata¸ti c¼ a, dac¼ a a, b, c 2 R+ , atunci numerele a+b , b+c ¸si c+a nu sunt simultan din c b+c a b intervalul (1, 2). xy = 1 în R R. x2x y = y 2(x y) 4. Not¼ am cu P(X) mul¸timea tuturor submul¸timilor mul¸timii X. O func¸tie f : P(X) ! P(X) este bun¼a dac¼ a f (A) A, 8A 2 P(X). Care este probabilitatea ca, alegând la întâmplare o func¸tie f : P(f1; 2; 3; 4g) ! P(f1; 2; 3; 4g), aceasta sa …e bun¼a ? 3. Rezolva¸ti sistemul

5. Calcula¸ti distan¸ta dintre dreptele de ecua¸tii 2x

5 = 0 ¸si 2y

y

6. Determina¸ti solu¸tiile din intervalul [0; 2 ] ale ecua¸tiei 4 cos3 x

4x + 7 = 0.

3 cos x

sin 3x = 0.

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1. Fie matricea A(x; y) = încât xy 5p 5p

p 1

xy y

px 1 xy

, unde parametrii reali x ¸si y sunt a¸sa

1.

a) S¼ a se arate c¼ a mul¸timea f Bp 2 M2;2 (R) j Bp = A(1 + p; 1 p) A(1; 1), p 2 R+ g, împreun¼ a cu opera¸tia de adunare a matricelor, formeaz¼ a monoid. n P b) Pentru n 2 N , s¼ a se calculeze determinantul matricei Ak (1; 0), unde A0 (1; 0) = I2 . k=0

5p

c) S¼ a se demonstreze c¼ a dac¼ a B; C 2 M2;1 (R) sunt astfel încât A(x; y)B = B ¸si A(x; y)C = 8x; y 2 R, cu xy 1, atunci B T C = 0.

C,

2. Fie x1 , x2 ¸si x3 r¼ ad¼ acinile polinomului P = X 3 + 3X 2 + pX + q din R[X]. 5p

a) S¼ a se calculeze, în func¸tie de p ¸si q, determinantul x1 x2 px3

qx2 qx3 pqx1

x3 x1 px2

:

5p

b) Determina¸ti p ¸si q astfel încât P s¼ a aib¼ a o r¼ ad¼ acin¼ a de multiplicitate trei.

5p

c) Care este rela¸tia dintre p ¸si q dac¼ a toate cele trei r¼ ad¼ acini ale lui P au aceea¸si parte real¼ a?

SUBIECTUL al III-lea

5p

(30 de puncte)

1. Fie func¸tia f : R ! R, cu proprietatea: jf (x)

f (y)j

a) Demonstra¸ti c¼ a f este derivabil¼ a pe R.

jx

yj2 , 8x; y 2 R.

5p

b) Dac¼ a f (0) = 1; a‡a¸ti f (1).

5p

(x) c) Ar¼ ata¸ti c¼ a valoarea în x = 0 a derivatei fx+1 este egal¼ a cu ( 1)n n!f (0), 8n 2 N . Z 1 2. Pentru orice n 2 N , not¼ a m Jn = lnn (x + 1) dx.

(n)

0

5p

a) Calcula¸ti J1 ¸si J2 .

5p

b) Ar¼ ata¸ti c¼ a, pentru orice n 2 N n f1g, Jn + nJn

5p

c) Demonstra¸ti c¼ a ¸sirul

J2n (2n)!

1

= 2 lnn 2.

este convergent ¸si a‡a¸ti-i limita. n2N

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Ia¸ si Admitere - studii de licen¸ ta ¼ Facultatea de Informatic¼ a Sesiunea iulie 2016 ¼ Barem de corectare la MATEMATICA

- Se acord¼ a 10 puncte din o…ciu. - Pentru orice solu¸tie corect¼ a, chiar diferit¼ a de cea din barem, se acord¼ a un punctaj corespunz¼ ator. SUBIECTUL I 1.

1; z 6= 0 () jzj2

2 z

z

(30 de puncte)

n o t.

r = jzj =

jzj ( 1 )

2

p ( 1 ) m2 + 1 > 0 =) r2

p (2) r 2 (0; 2] =) r2 + r p ( 2 ) r 2 ( 2; 1) =) r2

r

r (2)

2

(r>0 )

2

1p

1 =) m = 0 (3)

0 =) r (r>0 )

2

1p

2 =) m2

0 =) r

1p

3 (4)

1p

p p (3)+(4) =) concluzia: m 2 ( 1; 3] [ f0g [ [ 3; 1) 2.

a+b a+b c

a+b 2 (1; 2) () ( a+b c a2R+

b+c b+c a

2 (1; 2) () 2a

c+a c+a b

2 (1; 2) () 2b

b2R+

c2R+

a+b 1)( a+b c

2) < 0 () 2c

a

b < 0 (1)

c < 0 (2)

1p

c

a < 0 (3)

1p

a

b) + (2a

b

c) + (2b

a) < 0 ( F )

c

1p

x > 0, y > 0 (1)

1p

1 x

1 x

=) x2x

2

= xx

2x

=) x4x

3 x

= 1 (2)

1p

1 y= x

(2) =) x = 1 =) y = 1 (3)

1p

p 3 x>0 =) 2

p

3 x

= 0 =) x =

x=

3 2

p

1 y= x

=) y = 2 3 3 (4) n p p o (3)+(4) =) concluzia: (x; y) 2 (1; 1); ( 23 ; 2 3 3 ) . =) 4x

1p 1p

A; 8A 2 P(f1; 2; 3; 4g)g; jMf av j = 232

jMf av j , adic¼ a jMpos j

Concluzia: probabilitatea cerut¼ a este egal¼ a cu

1 . 232

3p 1p

Egalitatea pantelor celor dou¼ a drepte =) dreptele sunt paralele ( * )

1p

( * ) =) exist¼ a distan¸ta cerut¼ a, ca distan¸ta¼ de la orice punct al uneia la cealalt¼ a

1p

Formula corect¼ a a distan¸tei de la un punct la o dreapt¼ a ( în plan )

1p

Aplicarea respectivei formule ¸si concluzia d = 6.

1p

Mpos = ff : P(f1; 2; 3; 4g) ! P(f1; 2; 3; 4g)g; jMpos j = 1616 = 264 Mf av = ff : P(f1; 2; 3; 4g) ! P(f1; 2; 3; 4g) j f (A)

5.

1p

Metoda reducerii la absurd; Concluzia.

y=

4.

1p

b

(1)+(2)+(3) =) 0 = (2c

3.

1p

sin 3x = 3 sin x

2p

4 sin3 x; 8x 2 R =) ecua¸tia dat¼ a: (cos x + sin x)(1

(#) =) cos x + sin x = 0 =) x1 = (#) =) sin 2x =

p 3 5 . 10

1 2

=) x3 =

12

3 4

, x4 =

, x2 = 5 ; x5 12

7 4

=

2 sin 2x) = 0 (#)

2 [0; 2 ] 13 12

; x6 =

2p 1p

17 12

2 [0; 2 ] ¸si concluzie

2p

SUBIECTUL al II-lea 0

(30 de puncte) 1

B 1 1.a) Bp = p B @ 1

1 C C, 8p 2 R+ (1) A 1

1p

(1) =) Bp + Bq = Bp+q , 8p; q 2 R+ (2)

1p

(1) =) Bp + (Bq + Br ) = (Bp + Bq ) + Br , 8p; q; r 2 R+ (3)

1p

p=0

b)

(1) =) 9 B0 = O2 : Bp + B0 = B0 + Bp = Bp , 8p 2 R+ (4)

1p

(2)+(3)+(4) =) concluzia: 0 1

1p

(fBp j p 2 R+ g; +) = monoid. 8 > > < A(1; 0); k = impar 1 1 B C k B C A(1; 0) = @ ,8k 2 N A =) A (1; 0) = > > : 0 1 I2 ; k = par 1 0 0 B n+1 Ak (1; 0) = B @ k=0 0

n 2

n P

Concluzia:

det

n P

C B n+1 C, 8n 2 2N ; Ak (1; 0) = B A @ k=0 1 0 n P

Ak (1; 0)

=

k=0

c)

n+1 (1 2

n+1 2

+ ( 1)n ), 8n 2 N .

B T C = (A(x; y)B)T C = B T AT (x; y)C = B T A(y; x)C, 8x; y 2 R, xy B T A(y; x)C =

B T C , 8x; y 2 R, xy

1 (2)

0

2p 1

C C, 8n 2 2N+1 A

1 (1)

2p

1p 3p 1p

(1) + (2) =) concluzia: B T C = 0.

1p

2.a) Rela¸tiile corecte între coe…cien¸ti ¸si r¼ ad¼ acini

1p

Folosirea unor propriet¼ a¸ti utile ale determinantului

1p

Calculul determinantului, f¼ ar¼ a erori

2p

Concluzia ( valoarea determinantului ): 9pq(3 b)

p)

1p

x0 = r¼ ad¼ acin¼ a tripl¼ a() P (x0 ) = P 0 (x0 ) = P 00 (x0 ) = 0; P 000 (x0 ) 6= 0

1p

P 000 (x) = 6 6= 0; 8x; P 00 (x0 ) = 6x0 + 6 = 0 =) x0 =

1p

0 = P 0 (x0 ) = P 0 ( 1) = p 0 = P (x0 ) = P ( 1) = q

1

3 =) p = 3 p+2=q

1p

1 =) q = 1

Concluzia: p = 3 ¸si q = 1 =) P are o r¼ ad¼ acin¼ a tripl¼ a x0 = c)

1p 1.

1p

grad(P ) = 3 = num¼ ar impar =) 9a 2 R, P (a) = 0

1p

P 2 R[X] =) x1 = a; x2 = a + ib; x3 = a

1p

3a = x1 + x2 + x3 = 0 = P (a) = P ( 1) = q

3 =) a =

ib

1

p + 2 ¸si concluzia p = q + 2.

1p 2p

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1.a) Conceptul de derivabilitate a lui f pe R jf (x)

f (y)j

b)

c)

= 0 =) 9f 0 (x) = 0; 8x 2 R

jy

xj,8x; y 2 R, y 6= x =)

3p

1p

f 0 (x) = 0; 8x 2 R =) f este func¸tie constant¼ a pe R (1)

2p

(1) =) f (1) = f (0) (2)

2p

(2) =) concluzia: f (1) = 1.

1p

(n)

=

=) x=0

( 1)n n! , (x+1)n+1

1p 3p

= ( 1)n n!f (0), 8n 2 N .

1p

3p

n

J2n 2 (2n 2)!

R1

lnn (x + 1)dx

x x+1 0

=

nJn

2(ln 2)2n 1 (2n)!

> 0, 8n 2 N =)

(1) + (2) =)