Exercices-Mécanique Des Fluides [PDF]

Zitiervorschau

Cahier d’exercices

Mécanique des fluides Introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils

Christophe Ancey

ii C. Ancey, EPFL, ENAC/IIC/LHE, Ecublens, CH-1015 Lausanne, Suisse [email protected], lhe.epfl.ch

Hydraulique à surface libre / C. Ancey version 1.2 du 5 mars 2020, Lausanne Attribution : pas d’utilisation commerciale, pas de modification, 3.0. Licence Creative Common 3.0. Ce travail est soumis aux droits d’auteurs. Tous les droits sont réservés ; toute copie, partielle ou complète, doit faire l’objet d’une autorisation de l’auteur. La gestion typographique a été réalisée à l’aide du package efrench de Bernard Gaulle. Tous les clichés sont de Christophe Ancey sauf mention contraire. Crédit des illustrations. Première de couverture : la Reuss à Lucerne. Table des matières : fresque mycénienne, vers -1300 (musée archéologique, Mycènes). Chapitre 1 : Botticelli, Vénus et les Trois Grâces offrant des présents à une jeune fille, 1483–1485 (musée du Louvre, Paris). Chapitre 2 : Giorgione, le lever de soleil, vers 1510 (National Gallery, Londres). Chapitre 3 : Nicolas Poussin, le printemps ou le paradis terrestre, 1660–1664 (musée du Louvre, Paris). Chapitre 4 : Antoine Watteau, embarquement pour Cythère, 1718 (Château Charlottenbourg, Berlin). Chapitre 5 : Edgar Degas, jeunes Spartiates à l’entraînement, 1860 (National Gallery, Londres). Chapitre 6 : Vassily Kandinsky, improvisations 3, 1909 (Beaubourg, Paris). Bibliographie : François Bocion, port d’Ouchy, 1885 (musée Jenisch, Vevey). Index : Willi Baumeister, hommage à Jérôme Bosch, 1953 (Kunstmuseum, Stuttgard).

Table des matières

Table des matières

iii

1

Propriétés des fluides

1

2

Analyse dimensionnelle

7

3

Hydrostatique

33

4

Principes de conservation

49

5

Hydraulique

83

6

Équations de Navier-Stokes

113

Bibliographie

129

Bibliographie

129

Index

131

iii

CHAPITRE

1

Propriétés des fluides

Rappel du cours Loi de Newton Tirée d’expériences en cisaillement simple entre deux parois, la loi de Newton énonce la proportionnalité entre contrainte de cisaillement τ et le rapport entre vitesse relative U des parois et l’entrefer h : U τ =µ , h avec µ la viscosité dynamique [Pa·s].

Tension de surface La force résultant de la tension de surface sur tout élément de longueur ds de l’interface orientée par la normale n est dF = γn × ds où γ est la tension de surface [N·m−1 ]. À travers toute interface entre deux fluides, il existe une saute de pression ∆p égale à   1 1 ∆p = pi − pe = γ + , R R′ avec R et R′ les rayons de courbure principaux (R > 0 si la surface est convexe, et R < 0 si elle est concave), et où pi et pe désignent les pressions intérieure et extérieure. C’est la loi de Laplace.

Exercice 1 : cisaillement entre deux plaques On étudie un écoulement de Couette plan : une grande plaque mobile est située entre deux grandes plaques fixes (voir figure 1.1), et deux fluides newtoniens de viscosité µ1 = 0,02 Pa·s et µ2 = 0,01 Pa·s occupent les deux espaces entre les plaques. Déterminer les 1

2

Chapitre 1

Propriétés des fluides

contraintes τi (norme et direction) exercées par les fluides sur chacune des parois quand la plaque centrale mobile se déplace à la vitesse u = 4 m/s parallèlement aux autres plaques. On supposera que le profil de vitesse entre les plaques est linéaire et qu’il n’y a pas d’effet de bord.

Figure 1.1 : cisaillement entre deux plaques.

Exercice 2 : viscosimètre de Couette On étudie un écoulement de Couette cylindrique. Déterminer le couple M nécessaire pour faire tourner un cylindre vertical de rayon Ri = 50 mm à une vitesse constante de ω = 30 rad/s à l’intérieur d’un cylindre de rayon Re = 50,2 mm. L’espace entre les cylindres est rempli d’une huile de viscosité µ = 0,1 Pa·s à 20 ◦ C. La longueur des cylindres est h = 200 mm. On négligera les effets de bord et supposera que le profil de vitesse entre les deux cylindres est linéaire. De quel pourcentage le couple sur le cylindre intérieur varie si la température de l’huile est augmentée jusqu’à 80 ◦ C (µ80 = 0,008 Pa·s) ?

Figure 1.2 : principe du viscosimètre de Couette.

Exercice 3 : rhéologie newtonienne ? Le caractère newtonien ou non newtonien d’un fluide est généralement déterminé de manière expérimentale en étudiant la contrainte de cisaillement τ en fonction du taux de cisaillement γ. ˙ Afin de déterminer la viscosité d’un échantillon de sang, on mesure la contrainte de cisaillement à différents taux de cisaillement à l’aide d’un viscosimètre. À partir des données reportées au tableau 1.1, il faut déterminer si le sang est un liquide newtonien ou non newtonien.

Chapitre 1

Propriétés des fluides

3

Tableau 1.1 : contrainte de cisaillement τ en fonction du taux de cisaillement γ. ˙ γ˙ [s−1 ] τ [Pa]

2,25 0,04

4,50 0,06

11,25 0,12

22,25 0,18

45,0 0,30

90,0 0,52

225 1,12

450 2,10

Exercice 4 : insecte sur une surface liquide Un insecte (qui a donc 6 pattes) de masse m = 10−5 kg marche sur l’eau. Ses pattes sont de même longueur et reposent à plat sur la surface libre du liquide. Les pattes sontelles hydrophobes ou hydrophiles ? Quelle est la longueur minimale ℓm des pattes pour qu’il ne coule pas ? On considérera que la force due à la tension de surface agit verticalement et que la poussée d’Archimède est négligeable. La tension de surface est γ = 72 mN/m pour de l’eau.

Figure 1.3 : insecte à la surface de l’eau.

Exercice 5 : flottaison d’une lame de rasoir Une lame de rasoir évidée en son centre flotte à la surface de l’eau (de tension de surface γ = 72 mN/m). Les caractéristiques de la lame sont les suivantes : périmètre extérieur 154 mm, périmètre intérieur 52 mm, et masse 1,3 g. Quel doit être l’angle de contact θ pour que la lame flotte ? Que se passe-t-il si la lame n’est pas évidée ? On négligera la poussée d’Archimède.

Figure 1.4 : lame de rasoir flottant à la surface de l’eau.

4

Chapitre 1

Propriétés des fluides

Exercice 6 : remontée capillaire Un tube en verre vertical ouvert à ses deux extrémités est plongé dans un bac d’eau à 20 ◦ C. Quel doit être le rayon minimal rm du tube afin que l’eau ne monte pas de plus de 1,0 mm dans le tube ? On prendra un angle de contact θ = 0 et une tension de surface γ = 72 mN/m.

Figure 1.5 : tube capillaire.

Exercice 7 Un tube en verre de diamètre 3 mm ouvert à ses deux extrémités est plongé dans un bac de mercure liquide à 20 ◦ C. Quelle va être la différence de hauteur entre le mercure du tube et celui contenu dans le bac ? L’angle de contact mercure/verre est de 130◦ , la tension de surface γ = 0,485 N/m, et la masse volumique ρ = 13 546 kg/m3 .

Chapitre 1

Propriétés des fluides

5

Correction des exercices Correction de l’exercice 1

τ1 = τ2 = 13,3 Pa.

Correction de l’exercice 2

M = 0,589 M·m et ∆M /M = 92 %.

Correction de l’exercice 3

Le sang est rhéofluidifiant.

Correction de l’exercice 4

Les pattes sont hydrophobes en sorte que la tension de surface s’oppose à l’action de la gravité. ℓm = 0,12 mm.

Correction de l’exercice 5

θ = 149,3◦ . Si la lame n’est pas évidée, elle ne peut pas

flotter.

Correction de l’exercice 6

rm = 1,47 cm.

Correction de l’exercice 7

h = −3,12 mm.

CHAPITRE

2

Analyse dimensionnelle

Rappel du cours Nombres sans dimension La mécanique fait un usage intensif des nombres sans dimension. Parmi les plus importants en hydraulique, on trouve les nombres de Reynolds et de Froude Re =

ϱU H U , et F r = √ µ gH

avec ϱ la masse volumique [kg·m−3 ], µ la viscosité dynamique [Pa·s], U une échelle de vitesse [m·s−1 ], H une échelle de vitesse, et L une dimension caractéristique.

Détermination des nombres sans dimension d’un problème Il existe plusieurs méthodes plus ou moins rigoureuses, plus ou moins bien adaptées à un problème donné : – méthode de Rayleigh. Supposons qu’on souhaite exprimer une variable x en fonction de n paramètres yi . On écrit que dimensionnellement on a : [x] = [y1 ]a [y2 ]b · · · [yn ]s , où a, b, …, s sont des coefficients à déterminer de telle sorte que le produit des unités des ai soit cohérent avec l’unité de x. – théorème de Vaschy-Buckingham. Dans un problème avec k variables et dont le rang de la matrice dimensionelle est r, on peut former n − r nombres sans dimension. – adimensionnalisation des équations. Quand on dispose d’un jeu d’équations décrivant la physique du problème, on peut introduire des variables adimensionnelles et des échelles caractéristiques à la place des variables dimensionnelles. On peut ainsi former des nombres sans dimension. Dans tous les cas, on doit déterminer l’unité de chaque variable. Le plus souvent en mécanique, on se sert d’un système MLT (masse, longueur, temps). 7

8

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Exercice 1 Soit F une force, P une pression, a une accélération, E une énergie et x une longueur, R quelles sont les dimensions dans le système métrique de a, F , P , dF /dx, d3 P /dx3 , F dx, E?

Exercice 2 Lors d’un examen, des étudiants ont utilisé les formules suivantes : – a = U t/l où U est une vitesse, t un temps, l une longueur ; – F = ϱV U /t où F est une force, V un volume, ϱ une masse volumique ; – E = mV gz où g est la constante de gravité, V un volume, z une hauteur et m une masse. Identifier celles qui sont fausses à l’aide d’arguments dimensionnels.

Exercice 3 Si p est une pression, V une vitesse et ϱ une masse volumique, quelles sont les dimensions de p/ϱ, pϱV et p/(ϱV 2 ) ?

Exercice 4 Retrouver la dimension de la viscosité dynamique µ, puis celle de la viscosité cinématique ν = µ/ϱ, où ϱ est la masse volumique du fluide. Soit V une vitesse et l une longueur, identifier les combinaisons adimensionnelles parmi les suivantes : νlV , lV /ν, νV 2 et V /(νl).

Exercice 5 Déterminer les dimensions des coefficients A et B de l’équation homogène suivante : d2 x dx +A + Bx = 0 dt2 dt

(2.1)

où x est une longueur et t un temps.

Exercice 6 : écoulement de Poiseuille L’écoulement de Poiseuille est un écoulement laminaire d’un liquide visqueux dans une conduite cylindrique rectiligne (voir figure 2.1). Le débit total à travers une telle conduite

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

9

s’exprime comme : πR4 ∆p (2.2) 8µl où R est le rayon de la conduite, ∆p la chute de pression le long de la conduite, µ la viscosité dynamique du fluide et l la longueur de la conduite. Déterminer la dimension de la constante π/8. Peut-on qualifier cette équation d’homogène ? Q=

Figure 2.1 : profil de vitesse d’un écoulement de Poiseuille

Exercice 7 : sténose La différence de pression ∆p à travers une obturation partielle (appelée sténose) d’une artère peut être estimée par l’équation  2 µV A0 ∆p = Kv + Ku − 1 ϱV 2 (2.3) D A1 où V est la vitesse du sang, µ la viscosité du sang, ϱ la masse volumique du sang, D le diamètre de l’artère, A0 la section de l’artère avant l’obturation et A1 la section de la sténose. Déterminer les dimensions des constantes Kv et Ku . Cette équation est-elle valide dans n’importe quel système d’unités ?

Exercice 8 : déversoir La formule suivante sert à estimer le débit Q par-dessus un barrage (déversoir pour l’évacuation des crues) : p Q = C 2gB(H + V 2 /2g)3/2 (2.4) où C est une constante, g l’accélération de la gravité, B la largeur du déversoir, H la profondeur de l’eau au-dessus du déversoir, et V la vitesse de l’eau juste à l’amont du barrage. Cette équation est-elle valide dans n’importe quel système d’unités ?

Exercice 9 Utiliser le tableau 2.1 pour exprimer les quantités suivantes en unités SI : 10,2 in/min ; 4,81 slugs ; 3,02 lb ; 73,1 ft/s2 ; 0,0234 lb · s/ft2 .

10

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle Tableau 2.1 : tableau de conversion. Unités anglaises in (pouce) slug (unité de masse) lb (livre-force) ft (pied)

Conversion SI 2,540 × 10−2 m 1,459 × 10 kg 4,448 N 3,048 × 10−1 m

Exercice 10 : sédimentation On veut calculer une vitesse de sédimentation. On se place dans de l’air de masse volumique ϱf et nous considérons la chute d’une sphère de rayon R = 5 cm et de masse volumique ϱs . Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la sphère et calculer la vitesse de sédimentation en régime permanent. La force de traînée est donnée par l’équation suivante : 1 FD = CD ϱf Sv 2 , (2.5) 2 où CD est le coefficient de traînée qui peut être estimé par l’abaque de la figure 2.2 (qui montre CD en fonction du nombre de Reynolds Re), S la surface projetée de la sphère (πR2 ), et v sa vitesse. On supposera le nombre de Reynolds très grand. Une fois la vitesse limite calculée, vérifier cette dernière hypothèse. Nous utiliserons les données suivantes : ϱf = 1,2 kg·m−3 , µf = 2 × 10−5 Pa·s et ϱs = 1000 kg·m−3 .

Figure 2.2 : variation de CD en fonction du nombre de Reynolds.

Exercice 11 : soufflerie Un avion de ligne d’envergure L vole à une vitesse de croisière U dans l’air. On souhaite étudier en soufflerie certaines propriétés de l’avion et pour cela on a recours à l’utilisation d’un modèle réduit à l’échelle ε = 1/10. On rappelle les viscosités dynamiques de l’air (1,8 × 10−5 Pa·s) et de l’eau (1,0 × 10−3 Pa·s). 1. Déterminer la vitesse que doit avoir l’écoulement en soufflerie afin de reproduire la réalité. Cette vitesse semble-t-elle réalisable ?

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

11

2. La force de traînée exercée par l’écoulement sur l’avion s’exprime comme FD = ϱSU 2 avec S la surface apparente de l’avion vu d’en face. On supposera que S = L2 . Calculer la force de traînée ressentie par le modèle réduit Fm ainsi que la force de traînée ressentie par l’avion F . Évaluer le rapport Fm /F . Ce rapport est-il satisfaisant ? 3. Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide (tunnel à écoulement d’eau). Déterminer la vitesse que doit avoir l’eau afin de reproduire la réalité.

Exercice 12 : explosion nucléaire Lors de l’explosion d’une bombe nucléaire, une onde de choc de forme hémisphérique se propage dans l’air. On se propose d’estimer l’évolution dans le temps du rayon de cette onde de choc par une analyse dimensionnelle. Pour ce faire, on va supposer que le rayon R ne dépend que de la quantité d’énergie libérée E au moment de l’explosion, de la masse volumique ϱ du milieu dans lequel a lieu l’explosion et du temps t écoulé depuis l’instant initial. On va utiliser deux approches différentes pour arriver à cette estimation : une approche « intuitive » entièrement basée sur l’analyse dimensionnelle et une approche basée sur le théorème de Vaschy-Buckingham. 1. On suppose que le rayon de l’onde de choc est proportionnel à l’énergie libérée, à la masse volumique du fluide où se propage l’onde ainsi qu’au temps écoulé; c’està-dire R ∼ E a ϱb tc . Trouver les valeur des coefficients a, b et c tels que cet équation soit homogène du point de vue dimensionnel. 2. En utilisant le théorème de Vaschy-Buckingham, déterminer le nombre adimensionnel qui caractérise ce problème. En déduire la relation qui lie le rayon R de l’onde de choc aux autres variables du problème. 3. En se servant des données obtenues par G. I. Taylor (voir tableau 2.2), montrer que la loi d’échelle R ∝ tc est correcte. Peut-on estimer l’énergie relâchée lors de l’explosion de l’essai nucléaire Trinity sachant qu’après 0,062 s le rayon de l’onde de choc mesure 185 m (voir figure 2.3) ? 4. Taylor a montré qu’au temps t, l’énergie E d’une onde de choc de rayon R générée par une explosion est donnée E = KϱR5 t2 , avec K = 0,857 pour un gaz diatomique comme l’air. En déduire la valeur du nombre sans dimension associé et l’énergie de l’essai Trinity.

Exercice 13 : déversoir On étudie un seuil à paroi mince, avec un déversoir de forme triangulaire d’angle ϕ, comme le montre la figure 2.4. Ce déversoir contrôle le débit dans un canal ; l’eau est déversée dans un canal en contrebas, qui n’a aucune action en retour sur l’écoulement amont (seuil dénoyé). La hauteur d’eau au niveau du déversoir est H. Le débit Q transitant est fonction de H, de la vitesse U à l’approche du déversoir (resserrement des lignes de courant dû à la contraction de la section d’écoulement), de l’accélération de la gravitation

12

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Figure 2.3 : essai Trinity dans le cadre du projet Manhattan à t = 0,025 s le 16 juillet 1945 au Nouveau-Mexique.

g, et naturellement de l’angle d’ouverture ϕ. À l’aide du théorème Vaschy-Buckingham, identifiez les nombres adimensionnels qui décrivent le problème. φ

H

Figure 2.4 : déversoir mince.

Exercice 14 : modèle réduit Un modèle réduit de digue à l’échelle 1/20 est constitué d’un empilement de blocs en béton de masse 1 kg. Cette digue est censée protéger un port contre la houle. On a observé qu’il n’y avait aucun dommage tant que la hauteur H de la houle ne dépassait pas 30 cm sur le modèle réduit. Quel doit être le poids minimal des blocs en béton pour que la digue résiste à une houle géométriquement et dynamiquement similaire à celle du modèle réduit sachant que la houle peut atteindre 6 m de haut ? Indications : Supposer que le soulèvement d’un corps exposé aux vagues intervient lorsque Fp /Fa = ε avec Fp le poids du corps, Fa la force d’arrachement due à l’eau et ε

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

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Tableau 2.2 : valeurs de R en fonction de t. D’après (Taylor, 1950).

t (ms) R (m) 0,1 11,1 0,24 19,9 0,38 25,4 0,52 28,8 0,66 31,9 0,8 34,2 0,94 36,3 1,08 38,9 1,22 41 1,36 428 1,5 44,4 1,65 46 1,79 46,9 1,93 48,7 3,26 59 4,61 67,3 15 106,5 34 145 62 185 une constante indépendante de l’échelle. En première approximation, on considérera que Fa est proportionnelle à la surface apparente du corps et au carré de la vitesse de l’eau : Fa ∝ U 2 L2 avec U la vitesse de l’eau et L la longueur caractéristique du corps. Égaliser ensuite les nombres de Froude. digue

mer

H

Figure 2.5 : Digue de protection contre la houle.

Exercice 15 : diagramme de Moody Vous êtes chargés d’étudier en laboratoire la chute de pression par unité de longueur dans un tuyau de section circulaire. 1. Identifier les paramètres qui contrôlent cet écoulement. Sans utiliser le théorème de Vaschy-Buckingham, quel plan d’expérience envisageriez-vous pour réaliser cette expérience?

14

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

2. Utiliser maintenant le théorème de Vaschy-Buckingham pour connaître les nombres sans dimensions sur lesquelles se construit le phénomène physique. Quel plan d’expérience peut-on maintenant envisager ? 3. La figure 2.6 montre le diagramme de Moody, qui permet de calculer le coefficient de frottement de Darcy-Weissbach défini par : f=

2d dP ρU 2 dx

en fonction du nombre de Reynolds Re pour un tube cylindrique de diamètre d. Sur la base de ce que vous avez déterminé avec le théorème de Vaschy-Buckingham, expliquer l’intérêt de ce graphique ? Existe-t-il un degré de liberté supplémentaire qui aurait été oublié dans l’analyse dimensionnelle ? Indiquer le nombre d’expériences nécessaires pour décrire le phénomène pour Re ≫ 105 et une rugosité de Dϵ = 0,03

Exercice 16 On introduit une plaque rectangulaire de largeur w et de hauteur h dans un écoulement. Celle-ci est placée perpendiculairement à l’écoulement afin de provoquer une forte traînée. On suppose que la force de traînée ne dépend que de w, h, la viscosité µ du fluide, sa masse volumique ϱf et sa vitesse v. Déterminer les termes adimensionnels Π (coefficient de traînée) nécessaires à l’étude expérimentale de ce problème.

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Figure 2.6 : diagramme de Moody montrant comment varie nombre de Reynolds.

∆P l

=

dP dx

15

en fonction du

16

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Problème 1 : vidange du Giétro Au printemps 1818, des avalanches de glace issues du glacier du Giétro formèrent un barrage de glace, qui obstrua la vallée de la Drance au niveau de l’actuel barrage de Mauvoin (Valais). La rupture du lac glaciaire fut une menace qui plana sur le val de Bagnes et Martigny durant plusieurs semaines. La figure 2.7 montre une gravure de l’époque. Les autorités cantonales dépêchèrent le jeune ingénieur Ignace Venetz pour déterminer si des mesures de protection pouvaient être prises. Venetz proposa de drainer le lac en creusant un tunnel à travers le barrage. Pendant 66 h, le lac se vidangea, perdant le tiers de son volume. Malheureusement, le 18 juin, le sol à l’aval du barrage céda sous l’effet de l’érosion, entraînant avec lui le barrage et causant une vidange brutale du lac en une demie heure. La débâcle glaciaire dévasta le val de Bagnes, causant la mort d’environ 40 personnes. Quoique Venetz ne soit pas parvenu à supprimer la menace, son action a réduit fortement l’ampleur de la débâcle.

Figure 2.7 : gravure à l’eau forte (attribuée à Théophile Steinlen) montrant le lac du Giétro en mai 1818. Source : Médiathèque du Valais.

Dans ce problème, vous devez étudier les premiers instants du drainage. Le lac glaciaire était alimenté par les eaux de la Drance avec un débit d’environ Qin = 20 m3 /s. La surface du lac était de S = 800 × 103 m2 et son volume V atteignait 2,5 × 107 m3 au moment où le drainage commença. Dès que l’eau pénétra dans le tunnel creusé par Venetz, le lac entama sa phase lente de drainage, avec un débit estimé en première approximation avec une formule de type « seuil » p Qout = Cd wd gd, avec Cd ≈ 0,6 le coefficient de débit, w = 1 m la largeur du tunnel, et d = h − zs la difference de cotes entre le niveau d’eau du lac h(t) et la cote du fond du tunnel zs (t). Initialement, on a zs (0) = 60 m. On prend comme origine des temps le moment où le

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

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drainage commence. Les cotes h et zs sont mesurées à partir du fond du lac. L’eau entre dans un tunnel de longueur L = 195 m et de pente i = 1 %. La section du tunnel est rectangulaire (largeur w = 1 m, hauteur D = 5 m). La figure montre une coupe schématique du barrage à l’instant initial de la vidange.

22 m

tunnel

195 m zs = 60 m 70 m

barrage de glace

600 m sol

Figure 2.8 : schéma de définition d’après une esquisse du pasteur Gilliéron établie juste après la catastrophe.

(a)

Faire le bilan de masse du lac et montrer que l’évolution de d(t) est décrite par une équation différentielle ordinaire du premier ordre. (b) Adimensionnaliser l’équation en introduisant les échelles de longueur et de temps suivantes : Sw L∗ = w et T∗ = . Qin Quel est le nombre adimensionnel Π qui en résulte ? Faire une application numérique. On mettra l’équation différentielle adimensionnelle sous la forme ddˆ ˆ Π), = F (d, dtˆ

(2.6)

avec F la fonction de dˆ et Π à déterminer. (c) Montrer qu’asymptotiquement, pour t grand, l’équation différentielle établie à la question (a) admet une solution stationnaire où les débits entrant et sortant s’équilibrent. En déduire la cote d∞ , solution de l’équation différentielle pour t → ∞. Faire l’application numérique. (d) Montrer que pour t petit (t ≪ Π−1 ), l’équation différentielle (2.6) admet une solution de la forme dˆ = Atˆ, avec A une constante à déterminer. Donner la forme dimensionnelle de cette solution. (e) En déduire une estimation du temps (en heures) qu’il faut pour que d(t) atteigne sa valeur asymptotique. Tracer l’allure de la solution.  La débâcle du Giétro a été décrite dans les deux articles de Ancey et al. (2019a) et Ancey et al. (2019b).

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Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Problème 2 : dimensionnement d’un cargo On souhaite concevoir un cargo pour le transport de marchandises en haute mer. Sa longueur est L = 100 m, sa masse (à charge pleine) est M = 104 t, et sa vitesse de croisière est U = 10 m/s. On souhaite étudier le comportement de ce cargo en bassin, à une échelle réduite k = Lm /L de 1 : 100 ; la longueur du modèle réduit est donc Lm = 1 m. On s’intéresse plus particulièrement à la puissance P des moteurs nécessaires au déplacement du cargo à charge pleine. Dans le bassin, contrairement au monde réel, c’est la maquette du navire qui est maintenue immobile, tandis que des pompes assurent un mouvement d’eau à la vitesse Um autour de la maquette. On mesure la force Fm exercée par l’eau sur cette maquette. L’eau est un fluide newtonien de masse volumique ϱ et viscosité µ. Comme pour tout problème de similitude, les techniques de résolution et hypothèses peuvent mener à des résultats différents. On juge ici le raisonnement, et on admet qu’il existe plus d’une réponse à certaines questions ci-dessous, et plus d’une manière d’y répondre. Il convient d’expliciter ses hypothèses (de façon concise). (a) Quelle est la puissance Pm des efforts exercés par l’eau sur le modèle réduit ? En déduire, quelle devrait être la puissance des pompes du modèle réduit s’il était équipé de pompes comme le modèle en grandeur réelle (au lieu d’être immobilisé et que cela soit l’eau environnante qui est mise en mouvement). (b) Quelles sont les variables du problème et combien de nombres adimensionnels indépendants peut-on former ? (c) Exprimer sous forme adimensionnelle la relation liant la puissance P et les autres variables du problème ? Parmi les groupes adimensionnels, on prendra √ soin d’introduire le nombre de Reynolds Re = ϱU L/µ et le nombre de Froude F r = U / gL, et on justifiera ses choix pour les autres groupes adimensionnels. (d) Selon vous, est-il possible de réaliser une similitude complète entre le cargo et le modèle réduit ? Si ce n’est pas possible que proposeriez-vous comme critère de similitude ? Justifier votre choix. (e) Faire une application numérique si la puissance déduite expérimentalement est Pm = 1 W : que vaut P ?

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

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Problème 3 : étude du vent en soufflerie On réalise une étude en soufflerie de l’effet du vent sur une cheminée en béton de longueur 20 m et de diamètre 1 m. Le modèle réduit est à l’échelle 1 : 100 et il est constitué d’un tube en aluminium lisse. Dans la soufflerie, l’air est injecté à 45 m/s à une température de 20 ℃ et à une pression de pa = 105 Pa. Un dynamomètre permet de mesurer la force exercée par l’air sur le cylindre. En soufflerie, on mesure une force F = 2,2 ± 0,1 N. Est-ce que cette valeur est cohérente avec le diagramme CD = f (Red ) de la figure 2.9 ? (Bien justifier sa réponse). (b) Indiquer la force correspondante pour la cheminée et la plage de vitesse du vent pour laquelle le coefficient CD est constant pour la cheminée réelle. (c) Le modèle réduit a été réalisé en métal. Pensez-vous que ce choix soit judicieux ? (a)

Données : – caractéristiques de l’air : voir les valeurs reportées dans le tableau 1 (les interpoler si nécessaire). – masse volumique béton armé ϱ = 2400 kg·m−3 – masse volumique aluminium ϱ = 2690 kg·m−3 – Expression de la force de traînée F = 12 CD Sϱu2 (S surface apparente offerte à l’écoulement) Tableau 2.3 : caractéristiques de l’air en fonction de T (température en kelvins) à pression atmosphérique constante (pa = 1 bar), avec ϱ, masse volumique ; µ, viscosité dynamique ; ν, viscosité cinématique. D’après Frank M. White, Heat and Mass transfer, Addison-Wesley, 1988.

T ϱ K kg·m−3 250 1,413 300 1,177 350 0,998 400 0,883 450 0,783 500 0,705

µ Pa·s 1,60×10−5 1,85×10−5 2,08×10−5 2,29×10−5 2,48×10−5 2,67×10−5

ν m ·s−1 0,949×10−5 1,57×10−5 2,08×10−5 2,59×10−5 2,89×10−5 3,69×10−5 2

20

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Figure 2.9 : valeur du coefficient de traînée CD en fonction du nombre de Reynolds Re = ϱU d/µ avec d le diamètre de la sphère ou du cylindre pour un obstacle lisse. D’après Frank M. White, Heat and Mass transfer, Addison-Wesley, 1988.

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

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Problème 4 : dimensionnement d’un pipeline Un pipeline transporte du pétrole de masse volumique ϱ = 800 kg/m3 et de viscosité dynamique µ = 6 mPa s. Le débit nominal est Q = 500 l/s. Une station de pompage compense exactement les pertes de charge ∆H sur une distance L = 10 km. Le diamètre du tube cylindrique est D = 800 mm. Un modèle réduit est fabriqué avec un rapport d’aspect de 1:50. On emploie de l’air comme fluide dans l’essai à échelle réduite. La masse volumique de l’air est 1,2 kg/m3 et sa viscosité dynamique est µ = 2 × 10−5 Pa s. L’accélération de la gravité vaut g = 9,8 m/s2 . L’écoulement est en charge. (a) Combien de nombre sans dimension peut-on former ? (b) Calculer le nombre de Reynolds à l’échelle 1 (celle du pipeline). (c) Quelle est la vitesse de l’air dans le modèle réduit ?

22

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Problème 5 : cuisson de la dinde Une dinde est cuite à point lorsque la température en son centre atteint une valeur Tc donnée (mesurée avec une sonde). Pour permettre l’estimation du temps de cuisson tc , les livres de cuisines traditionnels indiquent le nombre de minutes de cuisson par kilogramme de dinde, quand celle-ci est placée dans un four à température Tf constante et uniforme. Par exemple : « pour une dinde de 3 à 4 kg, il faut compter environ 50 mn par kg. »

Figure 2.10 : schéma et notation pour la dinde.

(a) Nous avons une dinde de 6 à 7 kg. Estimer alors le temps de cuisson tc en fonction des données du problème (voir figure 2.10) en considérant que le temps de cuisson est linéaire avec le poids de la dinde. Qu’en pensez vous ? On souhaite affiner cette première approche. Une analyse dimensionnelle de la cuisson de la dinde doit nous permettre de déterminer la relation entre le temps de cuisson et la taille L de la volaille. Le transfert de chaleur dans la dinde se fait par conduction donc le temps de cuisson tc dépend notamment de la longueur L, de la diffusivité thermique χ de la chair ainsi que de la température que l’on veut atteindre Tc en comparaison avec la température du four Tf . Pour rappel, voici l’équation de la chaleur qui sert à identifier le lien entre ces différentes grandeurs (il ne faut pas la résoudre) : ∂T ∂2T =χ 2 (2.7) ∂t ∂x (b) Utiliser le théorème de Vaschy-Buckingham pour établir une relation générale entre la température dans la dinde et le temps passé dans le four ainsi que les autres paramètres sans dimension du problème. (c) En supposant que, quand elles grossissent, les dindes restent géométriquement semblables et gardent les mêmes valeurs de ϱ et de χ, trouver la relation entre masse et temps de cuisson dans un four à température Tf . (d) Application numérique : dans ces conditions, quel est le temps de cuisson d’une dinde de 6 à 7 kg ? Comparer le temps de cuisson nécessaire avec celui trouvé en 1.  Pour en savoir plus, le problème de la cuisson de la dinde est abordé par Carslaw & Jaeger (1959), et plus récemment par This (1993). Ce dernier révèle les « secrets de la casserole » et comment la loi de Fick vient au secours du cuisinier.

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

23

Correction des exercices Correction de l’exercice 1 – – – – – – –

[a] : m·kg−2 ; [F ] : kg·m·s−2 ; [P ] : kg·m−1 ·s−2 ; [dF /dx] : kg·s−2 ; [d3 P /dx3 ] :kg·m−4 ·s−2 ; R [ T dx] : kg·m2 ·s−2 ; [E] : kg·m2 ·s−2 .

Correction de l’exercice 2 – [U t/l] = [−] : sans unités, donc faux ; – [ϱV U /t] = M LT −2 : homogène donc juste ; – [mV gz] = M L5 T −2 : non homogène donc faux.

Correction de l’exercice 3 – [p/ϱ] = L2 T −2 ; – [pϱV ] = M 2 L−3 T −3 ; – [p/(ϱV 2 )] = [−].

Correction de l’exercice 4 – – – – – –

[µ] = M L−1 T −1 ; [ν] = L2 T −1 ; [νlV ] = L4 T −2 ; [lV /ν] = [−] ; [νV 2 ] = L4 T −3 ; [V /(νl)] = L−2 .

Correction de l’exercice 5 – [A] = T −1 ; – [B] = T −2 .

Correction de l’exercice 6

L’équation est homogène.

Correction de l’exercice 7

Les constantes Kv et Ku sont adimensionnelles. Elles sont donc valables dans n’importe quel système d’unités.

Correction de l’exercice 8

Afin que l’équation soit homogène, la constante C doit être sans unité. L’équation est donc valable dans n’importe quel système d’unités.

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Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Correction de l’exercice 9 – – – – –

4,3 × 10−3 m/s ; 70,2 kg ; 13,4 N ; 22,28 m/s2 ; 1,12 Ns/m2 .

Correction de l’exercice 10

vs ≈ 46,7 m/s.

Correction de l’exercice 11

(1) L’écoulement en soufflerie doit être 10 fois plus rapide si la maquette est à l’échelle 1/10. (2) FFm = 1. (3) La vitesse dans la veine liquide doit être égale à la vitesse de l’avion. (1) R ∝ E 1/5 ϱ−1/5 t2/5 . (2) RE −1/5 ϱ1/5 t−2/5 = C ⇔ R = C × E 1/5 ϱ−1/5 t2/5 . (3) On ne peut pas répondre car l’équation fait intervenir le produit C × E 1/5 , et on ne peut donc déterminer que ce produit avec l’information disponible. (4) En comparant l’expression de Taylor et la formulation adimensionnelle, on tire 5 que C = 1,03 ≈ 1 De là on déduit E = ϱR = 9,45 × 1013 J, ce qui correspond à 22,5 kit2 lotonnes (équivalent TNT). La vraie valeur de l’essai Trinity était de 18,6 kilotonnes ; c’est donc le bon ordre de grandeur.

Correction de l’exercice 12

Correction de l’exercice 13 Π3 =

√U gH

Φ(Π1 ,Π2 ,Π3 ) = 0, avec Π1 = ϕ, Π2 =

Q , H 5/2 g 1/2

et

= Fr.

Correction de l’exercice 14

2

mr = mm LL2r

m

Ur2 2 Um

=

mm e3

= mm × 8000 = 8000 kg

Correction de l’exercice 15

(1) Les différentes variables qui contrôlent cet écoulement sont la masse volumique ϱ de l’eau exprimée en M L−3 , la viscosité dynamique µ de l’eau exprimée en M L−1 T −1 , le rayon R de la conduite exprimé en L, la vitesse U de l’écoulement exprimé en LT −1 et la chute de pression par unité de longueur dP /dx de l’eau exprimée en M L−2 T −2 dans un système d’unités M LT . (2) Le théorème de VaschyBuckingham nous assure que Φ(Re,Π1 ) = 0 ou bien encore Π1 = f (Re). (3) Le coefficient de frottement de Darcy-Weissbach f est équivalent à Π1 à un facteur 4 près.

Correction de l’exercice 16

Π1 = ϱwF2Du2 , Π2 = wh , Π3 = réécrire Π1 = Re au lieu de Π1 = 1/Re sans perte de généralité.

µ ϱuw

=

1 Re .

On peut

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

25

Correction du problème 1 Question (a) Pendant un temps dt, la variation incrémentale de volume V du lac est dV = Sdh = (Qin − Qout )dt, soit encore S

p dh = Qin − Qout = Qin − Cd wd gd, dt

et comme h = zs + d, on a aussi dh = dd. L’équation de conservation s’écrit finalement S

p dd = Qin − Cd wd gd. dt

(2.8)

Question (b) On introduit les échelles de longueur et de temps L∗ = w et T∗ =

Sw . Qin

et les variables adimensionnelles d t dˆ = et tˆ = . L∗ T∗ L’équation (2.8) devient p ddˆ = Qin − Cd gw5 dˆ3/2 , dtˆ soit après simplification p ddˆ C gw5 d = 1 − Πdˆ3/2 avec Π = . Qin dtˆ

(2.9)

Application numérique : Π = 0,093.

Question (c) Quand t est grand, on peut supposer que l’équation (2.8) admet une solution asymptotique correspondant à dd/dt = 0. L’équation (2.8) devient Cd wd∞



p

gd∞ = Qin ⇒ d∞ =

Application numérique : d∞ = 4,8 m.

Qin √ Cd w g

2/3 .

(2.10)

26

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

Question (d) Comme Π est petit, on peut négliger le terme Πdˆ3/2 dans l’équation (2.9) ddˆ = 1, dtˆ dont l’intégration est triviale : dˆ = tˆ compte tenu de la condition initiale. (On a donc A = 1.) Donc aux petits temps, la formulation dimensionnelle de cette solution est d(t) =

L∗ Qin t= t. T∗ S

(2.11)

Question (e) On peut estimer le temps de convergence tc vers la solution asymptotique en cherchant quand  2/3 S S Qin = 2/3 1/3 1/3 2/3 d(tc ) = d∞ ⇒ tc = √ Qin Cd w g c g Q w Application numérique : tc = 53 h.

5 4

d (m)

3 2 1 0 0

50

100

150

200

t (h) Figure 2.11 : solution numérique de l’équation (2.8) avec report des solutions asymptotiques (2.11) (pour t ≪ tc ) et (2.10).

Correction du problème 2 Question (a) La puissance des efforts est Pm = Um Fm . Les moteurs doivent fournir une puissance qui compense exactement la puissance dissipée, donc la puissance des moteurs est Pm .

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

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Question (b) Il y a en tout n = 7 variables : P , U , ϱ, µ, g, L, et M . On ne compte pas la force F parmi ces variables car il y aurait redondance avec P . Les unités sont au nombre de K = 3. D’après le théorème de Vashy-Buckingham, on peut dont former n − K = 4 nombres sans dimension indépendants.

Question (c) Il y a une infinité de possibilités. On cherche une expression adimensionnelle de la relation explicite P = P (U, ϱ, µ, g, L, M ). On pourrait employer une matrice dimensionnelle comme en cours (exercice du calcul de la force de traînée). On va procéder ici de façon plus empirique (et efficace). Comme √ on impose d’employer les nombres de Reynolds et de Froude (Re = ϱU L/µ et F r = U / gL), il ne reste qu’à adimensionnaliser la puissance du cargo et trouver un quatrième nombre traduisant le rôle joué par la masse. Pour ce dernier, c’est simple : on définit le nombre adimensionnel Π de la façon suivante Π=

m . ρL3

Pour la puissance, il faut réfléchir un peu plus. La puissance des pompes sert à vaincre les forces de frottement Ff , qui sont de type traînée, donc de la forme Ff ∝ Cd ϱU 2 S avec S la surface exposée et le Cd le coefficient de traînée. Cela implique que la puissance varie comme P ∝ Ff U c’est-à-dire P ∝ ϱU 3 L2 . On en déduit que la relation adimensionnelle peut s’écrire sous la forme P = P (Re, F r, Π) . ϱU 3 L2

Question (d) Si on impose une similitude complète, alors on doit avoir Re = Rem ⇒

Um = k −1 = 100, U

tandis que Um = k 1/2 = 0,1, U et donc en déduit une incompatibilité. En hydraulique, comme les phénomènes faisant intervenir de la turbulence développée ne dépendent que faiblement de Re, on fonde la similitude sur le respect du nombre de Froude. F r = F rm ⇒

Question (e) La similitude partielle impose F r = F rm ⇒

Um = k 1/2 = 0,1 donc Um = 1 m/s U

28

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

et Πm = Π ⇒

Mm = k 3 = 0,1 donc Mm = 10 kg M

donc on déduit Pm P ⇒ P = k −2 = 3 2 ϱm Um Lm ϱU 3 L2



U Um

3 = 0,1 donc Mm = 10 MW

Correction du problème 3 Question (a) On calcule tout d’abord les caractéristiques de l’air à T = 293 K et pa = 105 Pa. Par interpolation linéaire des valeurs tabulées, on trouve ϱ = 1,21kg · m3 et µ = 1,81 × 10−5 Pa · s. On en déduit que Red =

45 × 0,20 × 1,21 = 3 × 104 1,81 × 10−5

Les valeurs tabulées dans la figure 2.9 nous disent que l’on devrait avoir Cd = 0,91. Quand on calcule le coefficient de traînée du cylindre en soufflerie, on a Cd =

F 1 2 2 ϱSu

=

2,2 = 0,905 0,5 × 0,2 × 0,01 × 1,2 × 452

avec S = Ld. Il y a donc un écart relatif de (0,905−0,91)/0,91 = 0,5 %. On peut considérer que la valeur est cohérente car l’erreur est plus petite que l’incertitude sur la mesure de la force.

Question (b) La figure 2.9 nous dit que la valeur Cd = 0,91 est valable pour la plage 104 < Red < 105 , or comme µ Uchem. = Red , ϱd cela implique que la gamme de validité en termes de vitesse va de 15 cm/s à 1,5 m/s.

Question (c) La nature du matériau n’importe pas, ce qui compte c’est la rugosité de la surface. En effet, le coefficient de traînée dépend de la rugosité à grand nombre de Reynolds. Ici on n’indique pas de rugosité. Un béton lisse se comporte a priori comme de l’aluminium lisse en laboratoire, donc le choix du matériau ne semble pas poser de problème.

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

29

Correction du problème 4 Question (a) Il y a n = 6 variables : ϱ, µ, Q, L, D, et ∆H. Il y a 3 unités physiques. On peut former la matrice ϱ µ Q L D ∆H m -3 1 3 1 1 1 kg 1 -1 0 0 0 0 s 0 -1 -1 0 0 0 dont le rang est r = 3. On peut former n − r = 3 nombres sans dimension: ∆H/L, L/D, et Re = ϱuD/µ (avec u = 4Q/(πD2 ) la vitesse débitante).

Question (b) C’est une simple application numérique : Re = 4ϱQD/(πµD2 ) = 1,06 × 105 .

Question (c) On doit résoudre l’équation ϱa ua Da /µa = 1,06 × 105 ⇒ ua =

µa D 1,06 × 105 avec Da = . ϱa Da 50

On trouve ua = 110 m/s.

Correction du problème 5 Question (a) D’après les livres de cuisine, il faut 50 minutes pour cuire 1 kg de dinde, ce qui pour une dinde de 6 à 7 kg nous donne un temps de cuisson d’à peu près 300 minutes, soit 5 h.

Question (b) L’équation de la chaleur s’écrit ∂T ∂2T =χ 2, ∂t ∂x ce qui nous permet de définir les unités du coefficient de diffusion thermique comme [χ] = L2 T −1 . Les variables importantes du problème sont la température de la dinde T exprimée en K, la température du four Tf exprimée en K, la taille ℓ de la dinde exprimée en L, le temps de cuisson tc de la dinde exprimé en T et la masse m de la dinde exprimé en M . Le tout est exprimé dans un système d’unités KM LT ou K est la température. Étant

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Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

donné que l’on a six variables pour quatre dimensions, il y a donc 6 − 4 = 2 nombres adimensionnels qui caractérisent ce problème. Ils s’écrivent sous la forme Πi = T a Tfb χc ℓd tec mf

i = 1,2.

On peut donc écrire l’équation dimensionnelle suivante [−] = [K]a [K]b [L2 T −1 ]c [L]d [T ]e [M ]f , [−] = M f L2c+d T e−c K a+b . De cette équation, on tire le systèm d’équations linéaires suivant f =0 2c + d = 0 e−c=0 a + b = 0. Il y a six variables pour trois équations, on peut donc choisir librement trois paramètres parmi les cinq (a, b, c, d, e et f ). Cependant on voit tout de suite que f = 0 quel que soit le choix des paramètres. On a donc finalement plus que deux options possibles. On choisit a et c car le premier paramètre correspond à la température, soit la variable physique qui nous intéresse réellement, et le deuxième paramètre correspond à la variable qui contient le plus de dimensions. Dans un premier temps, on fixe c = 0 et a = 1. La résolution du système d’équations donne donc b = −1 et f = c = d = e = 0. Le nombre adimensionnel correspondant est T Π1 = . Tf Dans un deuxième temps on fixe c = 1 et a = 0. La résolution du système d’équations donne donc e = −1, d = −2 et f = b = e = 0. Le nombre adimensionnel correspondant est χ Π2 = 2 . ℓ tc

Question (c) On suppose que les propriétés physiques de la dinde ne changent pas avec la température, ce qui veut dire que χ et ϱ sont constants malgré le changement de température. On va utiliser le nombre Π2 pour estimer la relation entre les temps de cuisson pour deux dindes de taille différente (ou de masse différente).     χtc χtc = , ℓ2 1 ℓ2 2  1/2 ℓ1 tc1 = . ⇒ ℓ2 tc2 Maintenant on peut exprimer le rapport des longueurs des dindes par un rapport des masses des dindes, en supposant que m = ϱℓ3 . On a donc que m1 = ϱℓ31 et m2 = ϱℓ32 , ce qui nous permet d’écrire la relation entre les masses et les longueurs   ℓ1 m1 1/3 = . ℓ2 m2

Chapitre 2

Analyse dimensionnelle

31

En remplaçant cette expression dans l’expression des temps nous obtenons donc tc2 = tc1



m2 m1

2/3 .

Question (d) En utilisant le temps de cuisson obtenu à la question 1, on peut estimer le temps de cuisson pour une dinde de 3 à 4 kg. Ce temps sera notre temps tc1 = 150 min. On peut donc maintenant estimer le temps de cuisson d’une dinde de 6 à 7 kg sachant le rapport des masses. On a donc    2/3 m2 2/3 6 tc2 = tc1 = 150 = 238 min. m1 3 Le temps de cuisson est donc bien inférieur à notre première approximation.

CHAPITRE

3

Hydrostatique

Rappel du cours Loi de Pascal Un fluide au repos est soumis à un champ de pression p(z) en son sein qui est décrit par la loi de Pascal ou loi hydrostatique dp = −ϱg, dz avec ϱ la masse volumique du fluide. Cette pression crée une force de pression infinitésimale dF sur tout élément de surface dS orienté par sa normale n : dF = −p ndS.

Principe d’Archimède Le principe d’Archimède s’énonce ainsi : « tout corps immergé dans un fluide au repos est soumis de la part du fluide à une poussée verticale, opposée à la force de gravité, égale au poids du volume de fluide déplacé et appliquée au centre de masse de ce fluide. » Cette force est appelée force (ou poussée) d’Archimède.

Exercice 1 : tube en U Dans un tube en forme de U, on place un fluide de masse volumique ϱ1 = 1000 kg·m−3 . On ajoute ensuite d’un côté du U un fluide non miscible de masse volumique ϱ2 < ϱ1 sur une hauteur h2 . Que se passe-t-il ? Peut-on déduire la valeur de ϱ2 à partir des mesures des hauteurs de fluide ?

Exercice 2 : pression d’aspiration Un vacancier se demande quelle dépression ∆P il doit fournir par aspiration pour que le jus de fruit remonte jusqu’à sa bouche, située à une altitude z (voir figure 3.1). Il se 33

34

Chapitre 3

Hydrostatique

sert d’un verre de rayon R, qui est initialement rempli jusqu’à une hauteur h0 . La paille, de longueur totale l et de rayon r, est posée verticalement dans le verre. Une de ses extrémités touche le fond du verre. Calculer ∆P = Pb − Patm nécessaire (le volume de jus de fruit est conservé).

Patm

Pb

R z h0

Figure 3.1 : schéma d’une paille.

Exercice 3 On dit que la pression atmosphérique Patm ressentie au niveau du sol est équivalente au poids de la colonne d’air par mètre carré au-dessus du sol : Z

∞

ϱgdz. 0

1. Est-ce vrai ? 2. Même question si on se place sous la coque d’un bateau. Est-ce que la pression au point le plus bas correspond au poids de la colonne de bateau au-dessus de ce point ?

Figure 3.2 : schéma d’un bateau.

Chapitre 3

Hydrostatique

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Exercice 4 : pression sur dôme Le dôme posé au fond du Golfe du Mexique pour colmater la fuite d’hydrocarbure peut être représenté par un hémisphère de rayon a qui repose à une profondeur h dans un fluide de masse volumique ϱ. 1. Calculer la force de pression hydrostatique exercée sur le dôme. On prendra h = 1500 m, a = 10 m, ϱ = 1020 kg/m3 . – Exprimer la pression p(ϕ, θ) sur le dôme dans les coordonnées sphériques. – Exprimer la force de pression verticale Fz (ϕ, θ, dS) exercée sur un petit élément de surface dS du dôme. NB : dS = a2 sin ϕ dϕ dθ. – Intégrer la force de pression verticale sur toute la surface du dôme. 2. Si le dôme de béton pèse 2 tonnes et est fixé sur sa circonférence grâce à des ancrages résistants à une force de 10 kN/m, quelle est la pression maximale d’hydrocarbure admissible en son sein ?

a

h Figure 3.3 : dôme.

Exercice 5 : iceberg Un iceberg de masse volumique ϱg = 920 kg/m3 flotte sur l’océan (ϱe = 1020 kg/m3 ). Quelle fraction de son volume se trouve sous l’eau ?

Figure 3.4 : iceberg.

36

Chapitre 3

Hydrostatique

Exercice 6 : barrage-poids Un barrage triangulaire de base l et de masse volumique ϱs retient un plan d’eau de profondeur h et de masse volumique ϱ. Quelle est la force de pression (par unité de longueur) exercée sur le barrage ? Quelle est la condition de non-renversement ? Indice : pour écrire la condition de non-renversement, déterminer les moments exercés par chaque force.

h

L Figure 3.5 : barrage-poids.

Exercice 7 : stabilité d’une digue Après des inondations ayant touché une grande ville, vous êtes mandaté pour vérifier le dimensionnement de nouvelles digues. Ces nouvelles digues se présentent sous la forme d’un barrage-poids en béton, dont la masse volumique est égale à ϱb . Lors d’une crue, l’eau de masse volumique ϱe atteint le sommet de la structure. Pour le calcul de la stabilité de la structure on admet que la section du barrage est triangulaire (figure 3.6).

Figure 3.6 : barrage-poids en béton.

1. Calculer les deux composantes de la force de pression due à l’eau, appliquée au parement du barrage (considérer les axes x et z indiqués).

Chapitre 3

Hydrostatique

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2. Quelle devra être la valeur minimale de la masse volumique du béton ϱb pour garantir l’équilibre des moments autour du point O ? Admettez qu’une sous-pression Fs s’exerce sur la face horizontale du barrage. Cette dernière varie linéairement le long de cette face depuis la pression maximale jusqu’à zéro (point O). 3. Quelles sont les faiblesses de ce calcul ? Que devriez-vous inclure en plus ? Données : ϱeau = 1030 kg/m3 , h = 30 m , α = 65◦ , β = 45◦ .

Exercice 8 Un bassin contenant de l’eau sur une profondeur de 9 m est fermé par une porte verticale constituée par 3 panneaux plans A, B et C (figure 3.7). 1. Quelle doit être la hauteur hi de chaque panneau i pour que chacun supporte le même effort total ? Donner les profondeurs z1 et z2 . 2. Chaque panneau doit être renforcé au niveau du centre de poussée zc . Calculer la position de ces renforts. 3. Quelle est la valeur de la force agissant sur chaque panneau ?

Figure 3.7 : schéma des 3 panneaux plans.

Exercice 9 : vanne de fond Une vanne de fond CD de 1,8 m de large et de 2 m de long est disposée selon la figure 3.8. On suppose que la vanne est composée d’un matériau homogène et on néglige le frottement en C. Déterminer le poids nécessaire de la vanne pour la garder fermée jusqu’à ce que le niveau d’eau atteigne 2 m au dessus de C.

Exercice 10 : vanne radiale Une vanne radiale maintient un niveau d’eau constant à 10 m au dessus du sommet d’un barrage à Manchester (figure 3.9). Le rayon de la vanne est de 22 m et sa longueur 10

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Chapitre 3

Hydrostatique

Figure 3.8 : vanne de fond.

m. Le point de pivot A est situé à 10 m du sommet du barrage C. Déterminer la norme de la résultante des forces sur la vanne. La résultante passe-t-elle à travers le pivot ?

Figure 3.9 : vanne semi-circulaire.

Chapitre 3

Hydrostatique

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Problème 1 : pression sur un cylindre Un cylindre de masse M , de longueur L et diamètre D = 2R repose sur un fond horizontal (voir figure 3.10). Il sert à séparer deux fluides : à gauche, le fluide 1 a une masse volumique ϱ1 et une hauteur h1 = D tandis qu’à droite, le fluide 2 a une épaisseur h2 = R et une masse volumique ϱ2 . On ignore la pression atmosphérique. (a)

Calculer la force de pression exercée par le fluide 1 sur le cylindre. Pour cela on écrira la distribution de pression hydrostatique et on l’intégrera sur la surface de contact du cylindre. (b) Calculer la force de pression exercée par le fluide 2 sur le cylindre. (c) En déduire pour quelles conditions le cylindre ne bouge pas (on ne fera ici qu’un bilan des forces sans considérer les moments de force). (d) Considérer le volume de contrôle Σ1 dans la couche de fluide 1. Écrire le bilan de forces statiques sur ce volume et en déduire la force de pression exercée par le fluide 1 sur la surface gauche du cylindre. Comparer avec le résultat de la première question. Qu’en concluezvous quant à la méthode de calcul des forces de pression ? z

h1= D h 2

Σ 1

x

Figure 3.10 : schéma du cylindre.

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Chapitre 3

Hydrostatique

Problème 2 : pression sur une vanne Un réservoir contient un volume d’eau (voir figure 3.11). La hauteur est h = 8 m. La paroi du réservoir est munie d’une vanne de forme semi-circulaire de rayon R = 2 m. On souhaite calculer la force de pression exercée par l’eau sur cette vanne afin de concevoir un dispositif de fermeture adapté. On suppose que la pression atmosphérique est pa = 0. (a) Donner l’expression de la distribution de pression au sein du volume d’eau selon la verticale. (b) Calculer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur la vanne. (c) Faire l’application numérique. (d) Calculer la position du point d’application de la résultante des forces et le moment résultant des forces de pression par rapport à la charnière supposée être le long du sol. Formulaire : R R • cos2 xdx = x/2 + sin(2x)/4 et sin2 xdx = x/2 − sin(2x)/4 R R • sin x cos xdx = − cos2 x/2 et sin2 x cos2 xdx = x/8 − sin(4x)/32 R R • cos2 x sin xdx = − cos3 x/3 et sin x cos2 xdx = sin3 x/3

6m h=8m

R=2m vue de côté

vue de face

Figure 3.11 : schéma du réservoir.

Chapitre 3

Hydrostatique

41

Problème 3 : pression sur un quart de sphère Un récipient, dont la forme est celle d’un quart de sphère, est limité par une section verticale et une section horizontale, cette dernière étant ouverte à l’air libre. Ce récipient entièrement rempli d’un liquide de masse volumique ϱ. (a)

Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la paroi verticale (OADB) par le liquide et l’air extérieur. Montrer que ces forces sont équivalentes du point de vue de leur résultante et de leur moment résultant, à une force unique passant par un point P de cette paroi (P est le centre de pression), dont on précisera la position. (b) Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la paroi en quart de sphère, et montrer de même l’équivalence à une force unique passant par un centre de pression Q sur cette face. (c) Retrouver la position de P à partir de celle du centre de masse G du liquide, que l’on déterminera au préalable.

Figure 3.12 : récipient en forme de quart de sphère.

42

Chapitre 3

Hydrostatique

Correction des exercices Exercice 1

On appelle h1 la hauteur de fluide 1 comptée à partir du point A situé à l’interface entre les deux fluides Patm + ϱ2 gh2 = Patm + ϱ1 gh1 ,ϱ2 = ϱ1

Exercice 2

Exercice 3

h1 h1 = 1000 × kg/m−3 . h2 h2

  R 2 h0 − r 2 l ∆P = −ϱg z − R2 − r 2 (1) oui et (2) non.

(a) Fhyd = ϱga2 π [h − 2a/3]. (b) Fhyd = 4′ 694′ 000 kN, Fpoids = 2000 kg× 9,81 mathrmm s−2 = 1′ 962 kN, Fancrages = 10 kN/m × 2πr = 6′ 283 kN, Fin = Fpoids + Fancrages + Fhyd = 4′ 694′ 600 kN. Pour obtenir la pression intérieure maximum acceptable, il faut diviser la force de pression associée Fin par la surface d’application, soit la projection du dôme dans le plan horizontal (la résultante de la force de pression étant orientée verticalement) : Pin = Fin /(πa2 ) = 1′ 494 × 107 N m−2 .

Exercice 4

Exercice 5

On obtient : α = ϱg /ϱe = 90 %.

Exercice 6

La hauteur d’eau maximale dans le barrage est h = l dernier ne bascule pas.   1 hl2 h3 . (2) ϱe g 3 +ϱe g 6 = l2 + cot α



Exercice 7 

l2 +

2l1 3



(1) F =

2 ϱe g h2

l1 3

p



2ϱs /ϱ pour que ce

ϱb g hl21 + 2l32 ϱb g hl22 +

2

ϱe g h2 cot α. Avec ϱe = 1000 kg/m3 , h = 30 m , α = 65° et β = 45°, on obtient

alors l1 = tanh α = 14 m, l2 = tanh β = 30 m, l = l1 + l2 = 44 m, d1 = 29,3 m, d2 = 10,0 m, e1 = 34,67 m, e2 = 20m et e3 = 39,3 m. Ainsi, Fx = 4410 kN/m, Fz = 2056,4 kN/m, Fs = 6468 kN/m, et donc ϱb = 957,7 kg/m3 . (3) On a négligé les ancrages.

Exercice 8 p

z2

(1) z12 = 22 z12 = h2 − z22 . En résolvant ces equations, on obtient z2 = √ √ h 2/3 = −7,35 m et z1 = z2 / 2 = h/ 3 = −5,2 m, ou bien HA = 5,2 m, HB = z2 − z1 = 2,15 m et HC = h − z2 = 1,65 m. (2) Le centre de poussée vérifie
2 zb3 − za3
. zc = 3 zb2 − za2 Cela donne pour A (za = z1 = −5,2 m, zb = 0) zcA = 32 z1 = −3,46 m. Pour B (za = z2 = −7,35 m, zb = z1 = −5,2 m) zcB = −6,33 m. Pour C (za = h = −9 m, zb = z2 = −7,35 m) zcC = −8,2 m. (3) La force qui agit sur chaque panneau, FA = FB = FC = ϱgz12 /2 = 1,35 × 105 N/m.

Chapitre 3

Exercice 9

Exercice 10

m=

2ϱL sin θ

F =



hl 2

ϱgr 2 L 2

+

l2 3

Hydrostatique

43

 cos θ = 180 kN. AN : m = 18,4 tonnes.

 arcsin

h r




−

h r

q

 1−

h2 r2

. Comme la vanne est circulaire et

que la pression est normale à la surface de la vanne, cette dernière agit sur le rayon de la vanne. La résultante de la force de pression passe donc à travers le pivot.

Correction du problème 1 Question (a) La force de pression incrémentale est définie comme dF = −pndS, On introduit la coordonnée z ′ (z ′ = D − z) (voir figure 3.13) ; on introduit aussi l’angle θ tel que z ′ = R(1 − sin θ). Le champ de pression est alors p = ϱ1 gz ′ . L’élément de surface est dS = LRdθ, tandis que les coordonnées de la normale n orientée de l’intérieur vers l’extérieur sont (− cos θ, sin θ) dans le repère (x, z). La force est donc Z

Z F =

dF = ϱ1 gLR

+π/2

2 −π/2

 (1 − sin θ)

ce qui donne F 1 = ϱ1 gLR2

2 π 2

cos θ − sin θ

 dθ,

!

z h1 = D Σ1

n

z’ θ h2

x Figure 3.13 : schéma du cylindre.

44

Chapitre 3

Hydrostatique

Question (b) La procédure de calcul est identique. Les seules différences sont : – la distribution de pression est p(z) = ϱ2 gz ′ avec z ′ = R − z = −R sin θ ; – la normale a pour coordonnées (cos θ, sin θ) ; – on intègre sur l’intervalle −π/2 ≤ θ ≤ 0. On trouve 1 F 2 = ϱ2 gLR2 2

−1 π 2

!

Question (c) Le cylindre est soumis à : son poids propre M g, la force de réaction du sol, les forces de pression F 1 et F 2 . Pour qu’il y ait équilibre, il faut que la composante horizontale de F 2 compense celle de F 1 . Pour la direction z, les forces de pression tendent à soulever le cylindre, il faut que le poids soit supérieur à la projection de F 2 + F 1 sur Oz (la différence de forces sera reprise par la force de réaction du sol). Mathématiquement cela impose donc que pour la direction Ox on ait 1 ϱ2 gLR2 = 2ϱ1 gLR2 ⇒ ϱ2 = 4ϱ1 . 2 Pour la direction Oz, on a l’inégalité suivante   π 1 M g ≥ gLR2 ϱ2 + ϱ1 , 2 2 soit encore M ≥ LR

2π

2



 1 ϱ 2 + ϱ1 , 2

et si ρ est la masse volumique du cylindre, alors M = ρπLR2 , donc la condition porte sur les masses volumiques uniquement 4ρ ≥ ϱ2 + 2ϱ1 .

Question (d) Le volume de fluide Σ1 est soumis à : son poids propre P , la force de réaction du sol S, la force de pression à la gauche du volume F p , et à la force de réaction du cylindre F cyl.→eau . L’énoncé ne précise par la largeur du volume de contrôle ; on lui assigne arbitrairement une largeur ℓ. Évaluons chacune des forces : – poids :

  1 2 P = −ϱ1 Lg 2ℓR − πR ; 2

Chapitre 3

Hydrostatique

45

– la force de réaction du sol S est telle qu’elle contrebalance toutes les autres forces verticales ; – la force de pression le long d’une surface droite se calcule simplement 1 Fp = πϱ1 g(2R)2 L = 2πϱ1 gR2 ; 2 – la force de réaction du cylindre F cyl.→eau est l’opposée de la force que l’on a calculée précédemment : F cyl.→eau = −F 1 . Ce bilan permet de calculer la force de pression exercée par le fluide sur le cylindre. En effet si l’eau dans la couche 1 est au repos, la somme des forces doit être nulle. Si l’on note Fx et Fz les coordonnées de F 1 , alors on note : – dans la direction x, Fx doit compenser exactement les forces de pression F p s’exerçant sur la face gauche du domaine, et donc Fx = 2πϱ1 gR2 . – dans la direction z, la réaction du sol doit compenser le poids et la force Fz . La force Fz est nécessairement indépendante de la largeur ℓ du volume de contrôle. La seule contribution indépendante de ℓ dans l’expression de P est 21 ϱ1 LgπR2 . On déduit donc 1 Fz = ϱ1 LgπR2 . 2 On conclut donc qu’un bilan des forces sur le volume de contrôle Σ1 permet de calculer plus simplement que pour la question 1 la résultante des forces de pression. Notons que l’application du principe d’Archimède ne nous aurait donné que la composante verticale de cette résultante.

Correction du problème 2 Question (a) La pression est hydrostatique, donc si on note z l’axe vertical orienté vers le haut, avec pour origine le sol, on a p(z) = ϱg(h − z), avec ϱ et g la masse volumique de l’eau et l’accélération de la gravité.

Question (b) On calcule la surface élémentaire sur laquelle s’exerce un incrément infinitésimal de force de pression dF tel que p y soit homogène dS = 2R cos θdz = 2R2 cos2 θdθ, avec z = R sin θ et dz = R cos θdθ. On en déduit qu’en norme dF = pdS = ϱg(h − R sin θ)2R2 cos2 θdθ,

46

Chapitre 3

Hydrostatique

et donc en intégrant Z Z F = dF =

π/2

 ϱg(h − R sin θ)2R cos θdθ = 2ϱgR 2

2

2

0

hπ R − 4 3

 .

Question (c) On trouve F = 440,784 kN.

Question (d) Par définition le moment par rapport à l’axe Oy (y orienté perpendiculairement au plan de la feuille) est Z Z π/2 ϱgR3 M = zdF = ϱgR sin θ(h − R sin θ)2R2 cos2 θdθ = (16h − 3πR) 24 0 Par définition, le point d’application correspond au bras de force d tel que M = F d, d’où d=

ϱgR3 16h − 3πR R(16h − 3πR) . = 2 48ϱgR hπ R 4(3hπ − 4R) − 4 3

Question (e) AN : M = 356,9 kN·m et d = 81 cm.

Correction du problème 3 Question (a) La pression du liquide à l’altitude z est P0 − ϱgz où P0 est la pression atmosphérique. Mais l’air ambiant exerce également une pression P0 de l’autre côté R Rde la paroi et P0 n’intervient donc pas. La résultante cherchée est donc F , telle que F = (OADB) −ϱgz dS. Pour calculer cette intégrale, décomposons le 1/2 disque en bandes parallèles à y ′ y, [z,z + dz]. z = −R sin θ, dS = 2R cos θ dz = −2R2 cos2 θ dθ, Z π/2 F = 2ϱgR3 sin θ cos2 θ dθ 0

 π/2 = 2ϱgR3 − cos3 θ/3 0 d’où F = 2ϱgR3 /3. Le moment des forces de pression par rapport à Oy s’écrit : Z Z

Z

MOy = −

ϱgz 2 dS = (OADB)

π/2

2ϱgR4 sin2 θ cos2 θ dθ 0

Chapitre 3 avec sin2 θ cos2 θ = et

Z 0

π/2

Hydrostatique

47

1 2 1 sin 2θ = (1 − cos 4θ) 4 8

1 π (1 − cos 4θ) dθ = . 8 16

On a donc MOy = −πϱgR4 /8. Le moment par rapport à Ox est nul (forces parallèles à Ox); celui par rapport à Oz également en raison de la symétrie de la répartition de pression par rapport au plan xOz. Le moment résultant des forces pressantes exercées sur la paroi verticale en O, et par suite en tout point, est donc le même que celui d’une force unique F = 2ϱgR3 ex /3, dont le bras de levier passe par le point P de Oz, tel que MOy = OP × F . On en déduit : OP = MOy /Fx = −3πR/16 (le résultat est applicable à tout système de forces parallèles : leur moment est le même que celui d’une force passant par leur barycentre).

Question (b) Les forces de pression exercées sur le 1/4 de sphère sont radiales donc leur moment en O est nul. Analysons l’équilibre du liquide contenu dans le récipient : la contribution de la pression atmosphérique P0 agit sur la totalité de la surface qui limite le liquide (surface libre et action des parois), elle n’intervient donc pas. En éliminant P0 , le liquide ne subit, en plus de la pesanteur, que des forces de résultante −F de la part de la paroi verticale (OABD), et des forces de pression de la part du 1/4 de sphère dont nous noterons la résultante −F ′ . L’équilibre des forces s’écrit donc mg − F + F ′ = 0 d’où : 2 Fx′ = −Fx = − ϱgR3 , 3 π ′ Fz = −mg = − ϱgR3 3 ou Fx′ et Fz′ sont les composantes horizontale et verticale de F ′ . Leur moment en O étant nul, les forces de pression exercées sur cette paroi en 1/4 de sphère sont équivalentes à une seule force F ′ dont la direction passe par O et par un point Q de l’arc de cercle (CD) du plan xOz. Ce point Q fait un angle α avec l’horizontal dont la tangente est défini par tan α =

Fz′ = π/2. Fx′

Question (c) Il suffit d’annuler le moment des actions exercées sur le liquide, par rapport a Oy, la contribution de P0 étant nulle. Le moment des actions exercées par la paroi verticale est, compte non tenu de P0 , OP × F ; celui qu’exerce le 1/4 de sphère est nul. Enfin le moment des forces de pesanteur par rapport à Oy est xG × mg = πϱR3 g/3xG . On a donc −OP × Fx +

π 3 ϱR gxG = 0 3

d’où OP = πxG /2 = xG tan α. Le centre de masse G est situé dans le plan de symétrie xOz, et sur la 1ère bissectrice des axes Ox et Oy, car le plan bissecteur de ces axes est

48

Chapitre 3

Hydrostatique

également plan de symétrie pour le récipient √ : xG = zG . En décomposant le volume en 1/2 cylindres d’épaisseur dx et de rayon R2 − x2 , (x ∈ [−R,0]), donc de volume dV = π 2 2 2 (R − x ) dx il vient : 1 xG = V

Z

0

3 x dV = 2R3 −R

Z

0

−R

x(R2 − x2 ) dx,

 V =

π 3 R . 3

√ Soit xG = zG = −3R/8 (on a donc OG = 3R 2/8). On retrouve alors OP = −3πR/16.

i) A

z

ii)

z

C

R

θ

F' M g

O

x

x

G Q

D

xG

O α

B

O

z

iii)

G A a

D -F'

P -F Mg

CHAPITRE

4

Principes de conservation

Rappel du cours Dérivée matérielle On appelle dérivée matérielle (ou de Lagrange) l’opérateur différentielle df ∂f ∂f = +u , dt ∂t ∂x en dimension 1, ou bien

∂f df = + (u · ∇)f dt ∂t en dimension 2 ou 3, avec u (ou u) la vitesse du fluide.

Théorème de transport Le théorème de transport est le pendant de la définition de la dérivée matérielle pour des quantités f intégrées sur un volume de contrôle matériel V , c.-à-d. qu’il est composé de fluide et se déplace à la vitesse que le fluide. Il nous dit que l’on peut décomposer la variation temporelle d’une quantité scalaire ou tensorielle f en une dérivée temporelle locale et un dérivée convective liée au flux de f à travers la surface S (orientée par la normale n) du volume de contrôle :  Z Z  Z Z d ∂f ∂f dV + f u · ndS = + ∇ · (f u) dV. f dV = dt V ∂t S V V ∂t Si le volume de contrôle Va est arbitraire et si ses frontières se déplacent à la vitesse w, on considère un volume matériel Vm qui coïncide avec le volume arbitraire au temps t. On obtient Z Z Z d d f dV = f dV + f (u − w) · ndS. dt Vm dt Va Sa Si le volume de contrôle V est fixe, alors Par exemple si on prend un volume arbitraire Va fixe au cours du temps alors w = 0 le long de Sa et Z Z d ∂f f dV = dV. dt Va Va ∂t 49

50

Chapitre 4

Principes de conservation

Théorème de Reynolds Le théorème de Reynolds s’applique à des quantités massiques f Z

Z

d dt

ϱf dV =

ϱ V

V

d f dV. dt

En prenant f = 1, f = u et f = e (énergie massique), on peut obtenir les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie.

Conservation de la masse La conservation de la masse impose que pour un volume de contrôle V d dt

Z

Z ϱdV =

V

ϱ V

d f dV = 0 dt

Si f est continue, alors on peut déduire la forme différentielle ∂ϱ(x, t) + ∇ · (ϱu) = 0. ∂t Cette relation est appelée équation de continuité pour un fluide incompressible car elle impose une contrainte de continuité sur les composantes du champ de vitesse u : ∇ · u = 0.

Conservation de la quantité de mouvement : formulation macroscopique Le théorème de conservation de la quantité de mouvement appliqué à un volume de contrôle non matériel V s’écrit Z Z Z d ϱudV + ϱu(u · n)dS = ϱV g + σ · ndS dt V S S où S est la surface de contrôle enveloppant V , n est la normale à la surface de contrôle orientée de l’intérieur vers l’extérieur de V , σ est le tenseur des contraintes (pour un fluide parfait σ = −p1 avec p la pression), et u est la vitesse matérielle du fluide. Le théorème de conservation appliqué à un volume de contrôle arbitraire (non matériel) Va s’écrit d dt

Z

Z ϱu[(u − w) · n]dS = ϱVa g +

ϱudV + Va

Z

Sa

σ · ndS Sa

où Sa est la surface enveloppant Va , w est la vitesse de déplacement de la surface arbitraire Sa , n est la normale à la surface de contrôle orientée de l’intérieur vers l’extérieur de Va .

Chapitre 4

Principes de conservation

51

Conservation de la quantité de mouvement : formulation différentielle Quand on précise la loi de comportement, c.-à-d. la relation entre le tenseur des contraintes σ et le tenseur des taux de déformation, on peut transformer la formulation macroscopique de la conservation de la quantité de mouvement en une équation aux dérivées partielles. Quand le fluide est parfait, la forme différentielle du principe de conservation s’appelle « équations d’Euler ». Pour un fluide incompressible, elles s’écrivent : – Conservation de la masse (équation de continuité) ∇·u=0 – Conservation de la quantité de mouvement ∂ 1 u + (u · ∇)u = g − ∇p ∂t ϱ Pour un fluide newtonien (σ = −p1+2µd), on aboutit aux équations de Navier-Stokes (voir chap. 6).

Conditions aux limites Pour une paroi solide imperméable de normale n, un fluide newtonien vérifie deux conditions : – adhérence : u = 0 le long de la paroi ; – non-pénétration : u · n = 0 (pas de flux). La condition à la limite à la surface libre d’un écoulement dont la surface libre est située en y = h(x, t) est d dh ∂h ∂h + u(x, h, t) . (y − h) = 0 ⇒ v(x, h, t) = = dt dt ∂t ∂x

Théorème de Bernoulli Le théorème de Bernoulli énonce que si – l’écoulement est permanent ; – l’écoulement est isochore ou bien le matériau incompressible ; – les dissipations d’énergie sont négligeables ; alors le long de toute ligne de courant, la quantité (traduisant une énergie) Ψ = k + ψ + p se conserve ; l’énergie potentielle s’écrit la plupart du temps comme ψ = ϱgz. La pression est p tandis que l’énergie cinétique est k = 21 u2 (avec u = |u|).alors on a : Ψ = ϱgz + ϱ

u2 + p = cte. 2

52

Chapitre 4

Principes de conservation

Exercice 1 : hauteur de jet Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la hauteur maximale d’un jet unidimensionnel de section S et de débit Q.

Exercice 2 : pompe Une pompe installée sur une conduite aspire de l’eau à la base d’un réservoir (hauteur d’eau h = 2 m) pour la refouler dans un bassin à l’air libre dont la surface libre est située à une hauteur de htot = 10 m par rapport au fond du reservoir. Le débit de la pompe est de 50 l/s. Calculer la puissance de cette pompe B

z 2m

bassin

6m

h=2m O

pompe

réservoir A

Figure 4.1 : Schéma du système hydraulique de pompage

Exercice 3 : torpille Quelle est la pression qui s’exerce sur le nez d’une torpille se déplaçant sous 10 m d’eau à la vitesse v = 50 km/h?

Exercice 4 : force sur un coude Une conduite circulaire de rayon R transporte un fluide de masse volumique ϱ avec un débit Q. Tout d’abord horizontale, la conduite subit une inflexion d’un angle α. Calculer la force subie par le coude en considérant un volume de contrôle englobant ce coude. On négligera la gravité.

Exercice 5 : force d’un jet Un jet circulaire de rayon a projette horizontalement un fluide de masse volumique ϱ sur un mur vertical avec une vitesse v. Calculer la force d’impact du jet.

Chapitre 4

Principes de conservation

53

Exercice 6 : Ingénieurs du Monde Vous travaillez pour Ingénieurs du Monde dans une vallée reculée des montagnes du Népal. Vous devez estimer la vitesse d’écoulement de l’eau dans une rivière d’une petite vallée située à 5 jours de marche de la route la plus proche avec les moyens rudimentaires à disposition sur place (un récipient et un long tuyau). Connaissant le volume V du récipient et le temps t nécessaire pour le remplir, déterminer la vitesse v de l’eau dans la rivière. Vous connaissez encore le diamètre du tuyau d, sa longueur l, la pression atmosphérique Pa , la pente de la rivière p. Les autres mesures déjà prises sont indiquées sur la figure 4.2.

v

h2

h1

Figure 4.2 : schéma de l’installation rudimentaire de mesure.

Exercice 7 : contraction Considérons un écoulement avec un débit Q, à travers une contraction. Les pressions à l’amont et à l’aval de la contraction sont mesurées à l’aide d’un manomètre (voir figure 4.3) contenant de l’huile de masse volumique ϱhuile < ϱeau . Les sections amont et aval sont notées respectivement A1 et A2. Déterminer la hauteur h donnée par le manomètre. ̺huile h

A1

̺eau

A2

Figure 4.3 : contraction dans une conduite.

54

Chapitre 4

Principes de conservation

Exercice 8 : vidange Le fond d’un récipient cylindrique, de rayon R et hauteur 2h, est percé à la base d’un trou circulaire de rayon r. Initialement, le récipient est à moitié plein (voir figure 4.4). 1. Calculer le temps nécessaire pour le vider, en formulant les hypothèses convenables. 2. Supposons maintenant que la face supérieure du cylindre soit initialement fermée de façon hermétique. Que se passe-t-il lorsque le liquide s’écoule ? En particulier, pour quelle hauteur de fluide s’arrêtera-t-il de couler ? z

2h h

2r 2R

Figure 4.4 : vidange d’un récipient.

Hypothèses : – les dimensions vérifient R ∼ h ≫ r ; – l’eau s’écoule tant que la pression à l’orifice est plus grande que la pression atmosphérique p0 ; – l’air est un gaz parfait isotherme: p(z)V (z) = cte.

Exercice 9 : siphon De l’eau circule dans un tuyau de siphonage immergé dans un réservoir (voir figure 4.5). Le niveau d’eau dans le réservoir est de 1,50 m. Le diamètre du tuyau est de 3 cm. Le tuyau monte à 1 m au-dessus du niveau d’eau. L’eau quitte le tuyau à la même cote que la base du réservoir. 1. Calculer le débit à travers le siphon. 2. Calculer les pressions aux points 1, 2 et 3.

Chapitre 4

Principes de conservation

55

2 b

1m b

b

3

1 1,50 m

Figure 4.5 : vidange d’un récipient.

Exercice 10 : tremplin L’Exposition Eau 2020 est déjà en préparation. Un architecte est invité à faire une création censée occuper un espace consacré au thème de l’eau. Il a fait un premier dessin d’une fontaine, alimentée par un grand réservoir relié à un siphon. La sortie du siphon est libre, formant un jet d’eau contre un déflecteur convexe. La trajectoire du jet est déviée vers un petit lac (voir figure 4.6). L’architecte prévoit un passage pour les piétons au-dessus du jet. Vous êtes l’ingénieur chargé de vérifier si l’effet désiré est réalisable. On néglige les pertes de charges par frottement (et donc les vitesses aux points 1 et 2 sont égales). Déterminer : 1. le débit du siphon. Justifier vos hypothèses ; 2. la force R exercée le fluide sur le point de liaison entre la structure concave et la base (point F) ; 3. la hauteur zB minimale pour le passage des piétons au-dessus du jet.

Figure 4.6 : schéma de principe du tremplin.

56

Chapitre 4

Principes de conservation

Exercice 11 : siphonnage d’un bassin

Figure 4.7 : siphonage d’un bassin.

Un tuyau d’arrosage fait 10 m de l’eau et son diamètre intérieur est 20 mm. Il sert à vider un bassin comme le montre la figure 4.7. Quel est le débit à travers le tube (on néglige les pertes de charge par frottement) ?

Exercice 12

Figure 4.8 : soufflerie.

Un véhicule est placé dans une soufflerie. L’air est injecté à la vitesse u = 90 km/h ; sa densité est 1,3 × 10−3 . Un manomètre à deux fluides (eau et huile) est utilisé ; la masse volumique est ϱ = 900 kg m−3 . La hauteur d’huile est 2,5 cm. 1. déterminer la pression donnée par le manomètre (on donnera la hauteur d’eau h) ; 2. déterminer la différence de pression entre le front de la voiture (point 3 sur la figure 4.8) et la section test (point 2).

Chapitre 4

Principes de conservation

57

Problème 1 Le barrage de la Maigrauge à Fribourg est le plus vieux barrage en béton d’Europe (construit entre 1870 et 1872). Il est équipé de vannes-secteurs (radial gate ou bien Tainter gate en anglais), c.-à-d. de vannes métalliques dont la paroi forme un arc de cercle d’angle 2θ (voir figure 4.9) qui pivote autour d’un axe. Elles sont mises en mouvement à l’aide de vérins hydrauliques et permettent de maintenir la hauteur d’eau au niveau souhaité dans la retenue d’accumulation. On étudie dans ce problème le fonctionnement hydraulique de ces vannes.

Figure 4.9 : vanne-secteur du barrage de la Maigrauge (FR) à gauche et schéma de principe du fonctionnement de la vanne-secteur (vanne ouverte).

La figure 4.10(a) montre un schéma de la vanne (fermée). Le point O est le pivot de la vanne. On considère qu’initialement, la retenue est remplie jusqu’au sommet de la vanne. L’axe Ox est un axe de symétrie de la vanne. h désigne la hauteur d’eau. La vanne a une largeur W et un rayon R. Quand la vanne est ouverte, l’eau s’écoule le long d’un radier en béton de pente i = 1/200 sur une longueur L = 50 m et, en premier approximation, on prend un coefficient de Chézy constant C = 60 m1/2 ·s−1 . La largeur du radier est identique à celle de la vanne : W = 5 m. (a) (b) (c) (d) (e)

(f)

Quelle est la distribution de pression en fonction de la profondeur h dans la retenue (l’eau étant au repos) ? Écrire la définition de la résultante des forces de pression. Déterminer l’expression de cette force de pression dans le cas de la vanne fermée (voir figure 4.10(a)). Faire l’application numérique pour θ = π/4 et R = 2 m. Calculer le moment des forces de pression par rapport au pivot O. On ouvre partiellement la vanne (voir figure 4.10(b)). La hauteur d’eau sous la vanne est d, et l’on suppose que la hauteur d’eau h reste constante dans la retenue. En négligeant les pertes de charge locales, utilisez le théorème de Bernoulli en justifiant les hypothèses permettant son application, puis calculez le débit transitant sous la vanne et faire l’application numérique quand d = 50 cm et h = 3 m. On cherche maintenant à aller au-delà de l’approximation de Bernoulli, qui reste assez sommaire. Comme alternative, on se propose d’utiliser les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur un volume de contrôle V (voir figure 4.10(b)) comme pour le calcul de l’équation de conjugaison pour le ressaut hydraulique, qui a été vu en cours. Comment s’écrivent les équations de conservation en régime permanent ?

58

Chapitre 4

Principes de conservation z

R θ x Σ

O

h

(a) z

R

1

écoulement

Σ x O

d

h

V

2

(b) Figure 4.10 : (a)schéma de définition et notation (vanne fermée). (b) vanne partiellement ouverte. Le volume grisé représente le volume de contrôle considéré aux questions (f) et (g). Σ désigne la surface de la vanne en contact avec le volume V .

(g) On appelle N = (N, T ) la force de réaction de la vanne sur l’écoulement. On néglige la force de frottement exercée par le radier sur l’écoulement ainsi que la composante motrice de la gravité (la pente i étant faible). On va projeter les équations de conservation sur l’axe x. On notera u1 et h1 = h les variables d’écoulement à l’entrée du volume de contrôle V , et u2 et h2 = d la vitesse et hauteur à la sortie du volume V . Comment s’expriment la conservation de la masse et celle de la quantité de mouvement. En déduire la composante N en fonction du débit par unité de largeur q, et des hauteurs supposées connues d et h. (h) Que vaut cette force pour q = 0 ? Était-ce prévisible ? (i) Pour déterminer N pour d’autres valeurs de q, il nous faut de l’information supplémentaire sur les vitesses à la sortie du volume de contrôle. En première approximation, on suppose que le débit sous la vanne est donné par la relation de Bernoulli telle qu’on a l’a vue à ˆ en la question (e). En vous servant de cette relation, calculez la force adimensionnelle N ˆ fonction de la hauteur adimensionnelle ξ = d/h. La force adimensionelle N est définie comme la force N normalisée par la pression hydrostatique 21 ϱgW h2 : ˆ = N (j)

N

. 1 2 2 ϱgW h

On peut craindre que l’expression de Bernoulli soit trop approximative. Des expériences de laboratoire ont montré que pour de petites ouvertures d et des vannes-secteur d’angle 2θ = π/2, le coefficient de débit Cd est voisin de 0,7. Ce coefficient de débit permet de déterminer empiriquement le débit sous la vanne à l’aide d’une formule de type « seuil » p Q = Cd W d 2gh.

Chapitre 4

Principes de conservation

59

Servez-vous de cette équation pour fermer l’équation de N . En vous servant de cette reˆ en fonction de la lation, déterminez la nouvelle expression de la force adimensionnelle N hauteur adimensionnelle ξ = d/h. Tracez l’allure de la force adimensionnelle en fonction de ξ (on rappelle que 0 ≤ ξ ≤ 1). On s’intéresse surtout à ξ ≤ 0,2. Qu’en concluez-vous quant à la pertinence du théorème de Bernoulli ici ? (k) On considère maintenant que la vanne libère un débit de Q = 20 m3 /s. On veut déterminer ce qui passe dans le radier de pente i = 1/200. La hauteur d’eau initiale – compte tenu de la contraction sous la vanne – est d = 50 cm. Calculer la hauteur critique et la hauteur normale sur le radier. Caractériser le régime d’écoulement et tracer l’allure de la courbe de remous. Est-ce qu’un ressaut hydraulique se forme ? Si oui, le caractériser et le positionner approximativement sur la courbe de remous. Si vous faites l’approximation de canal infiniment large, il convient de justifier cette hypothèse.

Problème 2 On souhaite réaliser un modèle réduit d’une rivière autour d’un pont. Comme le facteur d’échelle est important entre le modèle réduit et le phénomène en grandeur réelle, se pose la question de l’effet de la tension de surface σ. Est ce qu’elle va affecter les mesures expérimentales ? Pour étudier se problème, on s’intéresse à la façon dont la tension de surface modifie la vitesse de propagation des ondes en eaux peu profondes. On rappelle qu’en l’absence d’effets induits par la viscosité ou √ la tension de surface, la vitesse de propagation des ondes à la surface de l’eau est c = gh0 (où h0 désigne la hauteur d’eau et g l’accélération de la pesanteur) quand la hauteur d’eau est petite par rapport à la longueur d’onde. En première approximation, on néglige les effets de la viscosité et on suppose que l’écoulement est de hauteur h(x, t), le fluide (eau) de masse volumique constante ϱ, et donc que la vitesse du fluide u = (u, v) peut s’écrire dans un repère cartésien (x, y) comme dérivant du potentiel ϕ u(x, y, t) = ∇ϕ,

(4.1)

avec ϕ(x, y, t) la « fonction potentiel » et ∇ = (∂x , ∂y ) l’opérateur gradient. (Cette propriété définit ce qu’on appelle un écoulement irrotationnel.) Initialement le fluide est au repos (donc u = 0 et h = h0 ). On suppose que la pression atmosphérique est nulle : pa = 0. η

h0

y

x

Figure 4.11 : notation pour l’exercice. Un fond imperméable se situe en y = 0. La surface libre est la courbe y = h(x, t).

60

Chapitre 4

Principes de conservation

(a) Comment se traduit la conservation de la masse pour ϕ. Quelle est la condition aux limites vérifiée par ϕ en y = 0 ? (b) Écrire la conservation de la quantité de mouvement pour la composante v. Exprimer cette équation en y = h et la condition à la limite afin d’obtenir un système d’équations pour v et h. On fait une linéarisation, c’est-à-dire un développement asymptotique en ne gardant que les termes du premier ordre ; on pose h = h0 + η (avec η ≪ h0 ), u ≪ 1 et v ≪ 1, ce qui revient donc à supposer que les termes quadratiques d’accélération convective disparaissent dans la conservation de la quantité de mouvement. Comment se simplifie le système d’équations ? Et si on substitue v par ∂y ϕ, comment peut-on obtenir un système d’équations pour η et ϕ ? (c) En introduisant le potentiel gravitaire ψ = −gy (c.-à-d. g = ∇ψ), intégrer l’équation de conservation de la quantité de mouvement selon y pour obtenir une équation aux dérivées partielles pour ϕ sous la forme ∂t ϕ = f (ϕ, η, g, x, y, p) qui est valable en y = h. On utilisera le fait que la constante d’intégration est nulle car ϕ est une fonction potentiel (donc valable à une constante arbitraire près). (d) On cherche à relier la pression p en h aux variations de η. Comment s’écrit la loi de Laplace quand on fait un développement asymptotique au premier ordre ? (e) En se servant de l’équation de continuité et de l’approximation de la loi de Laplace au premier ordre pour éliminer p et η, montrer par une différentiation appropriée que le système d’équations pour ϕ et η peut se réduire à une seule équation linéaire aux dérivées partielles pour ϕ d’ordre 3 : ∂2ϕ ∂ϕ ∂3ϕ + g + C = 0 en y = h. ∂t2 ∂y ∂y 3 (On démontrera ce résultat et on donnera l’expression de C). (f) Pour résoudre cette équation, on applique la méthode de séparation des variables en cherchant ϕ sous la forme d’un produit ϕ = A(x, t)F (y) où A traduit le phénomène de propagation et prend une forme d’onde progressive A(kx − ωt), où ω est la pulsation 1 et k est le nombre d’onde 2 ; F représente la variation du champ de vitesse avec la profondeur. En considérant l’équation de continuité pour ϕ, montrer que F (y) est nécessairement de la forme F (y) = cosh(ky). (L’éventuelle constante multiplicative – d’intégration – sera absorbée dans la constante A ci-dessous). (g) Comme nous sommes dans le domaine des ondes linéaires, on peut supposer que A peut se décomposer en fonctions harmoniques et on pose donc A(x, t) = Aeı(kx−ωt) où A est une constante et ı le nombre imaginaire. La vitesse de l’onde est c = ω/k. En vous servant de l’équation obtenue précédemment et de l’équation obtenue à la question (e), écrire la relation de dispersion, c.-à-d. la relation algébrique ω = ω(k). (h) Quelle est la condition portant sur σ pour que l’effet de la tension de surface soit négligeable √ ? Montrer que lorsque kh0 ≪ 1 et que la tension de surface est négligeable, alors c = gh0 . Formulaire : – La loi de Laplace exprimant le saut de pression à travers la surface libre y = h(x, t) est σ p − pa = R 1. ω est encore fréquence angulaire dans la terminologie anglo-saxonne. 2. ω = 2π/T et k = 2π/λ avec λ la longueur d’onde, T sa période.

Chapitre 4

Principes de conservation

61

avec pa la pression atmosphérique (on pose pa = 0) et R le rayon de courbure de la surface libre (1 + h′2 )3/2 R=− h′′ ′ avec ici h = ∂x h. – Pour les développements asymptotiques, on rappelle que – loi puissance au premier ordre (1 + x)n = 1 + nx + O(x2 ) – la fonction tanh au premier ordre tanh x = x + O(x3 ) – définition du cosinus hyperbolique : cosh x = 21 (ex + e−x )

Problème 3 On considère une buse, c.-à-d. l’embout d’une conduite cylindrique présentant une contraction de sa section (voir figure 4.12). Cette buse éjecte dans l’atmosphère un fluide sous la forme d’un jet comme l’illustre la figure 4.12(a). Le fluide est de masse volumique ϱ et se déplace suffisamment vite pour que les effets visqueux soient considérés comme négligeables en première approximation. On note Ae la surface à l’entrée de la contraction et As celle en sortie. La vitesse et pression du fluide à l’entrée sont respectivement notées ve et pe , et celles au sortir de la buse vs et ps . On considère un écoulement permanent, et donc le débit injecté est constant : Q = Ae ve . On ignorera la pression atmosphérique pa , et on supposera donc ps = pa = 0. On considère un repère cylindrique (r, z) comme le montre la figure 4.12(a) ; le point origine est situé à la sortie de la buse. (a) Qu’implique la conservation de la masse dans le cas présent ? (b) Qu’implique la conservation de la quantité de mouvement pour le volume de contrôle de la figure 4.12(a) ? En déduire la force F due à l’action du fluide sur la paroi de la buse dans le cas où les effets de la pesanteur sont négligeables. (c) Toujours en négligeant l’effet de la pesanteur et la dissipation visqueuse, écrire la conservation de l’énergie cinétique en se servant du théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant reliant Ae à As . En déduire une expression analytique de F en fonction de Q, Ae , et du rapport de contraction r = As /Ae . (d) On s’intéresse maintenant aux caractéristiques du jet. Il n’est plus possible d’ignorer les effets de la pesanteur. Comme première application, on considère un jet vertical (cylindrique), le fluide étant éjecté de la buse vers le haut [voir figure 4.12(b)]. En vous servant du théorème de Bernoulli établir la vitesse ascendante v(z) au centre du jet à une altitude z. Quelle est l’altitude maximale par le jet ? Calculer la section du jet – notée A(z) – à une altitude z. Est-ce que ces calculs vous semblent réalistes et s’ils ne l’étaient pas, quelle en serait la cause selon vous ? (e) On considère maintenant le jet orienté d’un angle α par rapport à l’horizontale [voir figure 4.12(c)]. En vous inspirant des calculs de balistique, écrire l’équation du mouvement pour une parcelle de fluide éjectée de la buse à la vitesse v s . Ce résultat est-il compatible avec l’équation de Bernoulli ?

62

Chapitre 4

Principes de conservation

(a) schéma d’une buse cylindre alimentant la buse

buse

r

Ae

As

z

0

(b)

z

(c) r

r

z α

position verticale

position inclinée

Figure 4.12 : (a) schéma de principe d’une buse placée à la sortie d’une conduite cylindrique. (b) Buse en position verticale. (c) Buse en position inclinée (d’un angle α par rapport à l’horizontale).

Problème 4 Un canal industriel de section rectangulaire (et de largeur B) est muni d’une vanne guillotine de même largeur. La vanne est ouverte en partie et laisse passer une lame d’eau d’épaisseur d (voir figure 4.13). Un régime permanent est établi, avec un débit total Q. On néglige le frottement de l’eau sur les parois du canal. (a) En appliquant le théorème de Bernoulli, établir le débit qui transite sous la vanne sachant qu’à l’amont de ladite vanne, il y a une hauteur d’eau h1 . Pour ce faire, on pourra s’inspirer de la démonstration de la formule de Torricelli. On suppose que la vanne est « dénoyée », c’est-à-dire que l’écoulement aval ne perturbe pas l’écoulement amont. (b) Des mesures montrent que le débit sous la lame est p Q = Cd Bd 2gh1 avec Cd = 0,67. Si cette équation est différente de l’équation obtenue précédemment, justifier la raison de l’écart. Faire l’application numérique.

Chapitre 4

Principes de conservation

63

(c)

On souhaite calculer la force F qu’il faut exercer pour maintenir en place la vanne lorsqu’il y a écoulement. Pour cela on va se servir des équations de conservation sur un volume de contrôle arbitraire fixe qui englobe la vanne et les deux tronçons du canal de part et d’autre de la vanne (voir figure ⁇). Le fluide est parfait (non visqueux). Exprimer la conservation de la masse en établissant une relation liant les variables h1 , h2 , u1 et u2 . (d) Calculer la force de pression qui s’exerce sur la face amont et celle qui s’exerce sur la face aval du volume de contrôle. On prendra garde de fournir ici des valeurs algébriques (la projection de la force sur l’axe x). (e) Calculer les flux de quantité de mouvement à travers les faces amont et aval du volume de contrôle. (f) En appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement, établir la force F de réaction qui s’exerce sur la vanne. (g) Faire l’application numérique. Données : – B = 10 m, d = 1 m – h1 = 5 m et h2 = 80 cm. amont

volume de contrôle

y F h1

aval

u1 d

x

u2

h2

Figure 4.13 : schéma de principe d’une vanne à guillotine et positionnement du volume de contrôle fixe Va .

Problème 5 : un but d’anthologie En 1997, Roberto CaRlos marqua un but d’anthologie face à la France. Il utilisa pour cela un effet bien connu qui est l’effet Magnus. Cet effet permet, en outre, de donner l’effet lifté ou coupé à une balle de ping pong ou de tennis. Nous allons essayer de comprendre cet effet dans cet exercice. Soit un ballon de rayon a, de masse m et de vitesse vballon . Pendant sa course le ballon tourne sur lui même à la vitesse angulaire ω. (a)

On suppose que la rotation du ballon entraîne le fluide autour de lui. Déterminez dans le référentiel du terrain, puis dans le référentiel du ballon, la vitesse du fluide au point A et

64

Chapitre 4

Principes de conservation

Figure 4.14 : l’effet Magnus.

au point B (ces points étant très proches on pourra considérer qu’ils sont sur la surface du ballon). (b) A l’aide du théorème de Bernoulli déterminez la différence de pression entre A et B. (c) En supposant que la pression A est homogène sur la demi-sphère supérieure et la pression B homogène sur la demi-sphère inférieure, déterminez la force résultante sur la ballon. Cette force est à l’origine de l’effet Magnus. (d) En s’aidant du schéma ci-dessous trouver le rayon de courbure R de la frappe que l’on considère constant. On négligera touts frottements et on traitera le problème dans le plan horizontal (on ne prend pas en compte le déplacement vertical du ballon). Indication: la force centrifuge (Fc = mω 2 R) doit être égale à la force de Magnus pour maintenir un rayon constant. (e) Considérons que Roberto Carlos a tiré le ballon de foot (de rayon a = 11 cm et de masse m = 450 g) dans l’alignement du but à une distance l = 35 m. La balle garde une vitesse constante de 130 km/h pendant le vol et sa vitesse de rotation est de 6 tr/s (dans le sens inverse des aiguilles du montre). On néglige les frottements. Sachant que le ballon est tiré avec un angle de α = 12o , déterminer si le ballon rentre dans les cages et si oui, à quelle distance D du centre des cages (une cage de foot fait 7,3 m de large)? Indication : comme R ≫ l on pourra considérer que la longueur de l’arc de la trajectoire du ballon est égale à l.

Figure 4.15 : L’effet Magnus et Roberto Carlos vu du dessus.

Problème 6 On considère la jonction en T de trois conduites circulaires (voir figure 4.16). La section d’entrée est appelée S1 et a pour diamètre D1 = 450 mm ; elle est horizontale et orientée

Chapitre 4

Principes de conservation

65

dans le sens des x > 0. Les deux autres sections, notées S2 et S3 , ont un diamètre identique D2 = D3 = 200 mm et sont verticales. Le débit à l’entrée S1 est Q1 = 300 l/s et la pression (uniforme sur la section S1 ) vaut p1 = 500 kPa. Les conduites transportent de l’eau de masse volumique ϱ = 1000 kg·m−3 . On prend g = 9,81 m·s −2 comme accélération de la gravité. Pour le calcul des forces on considère également un volume de contrôle avec une surface de contrôle, dont la normale n est orientée de l’intérieur vers l’extérieur (convention usuelle). S2 n y

S

1

x

V : volume de contrôle S3

Figure 4.16 : jonction en T de trois conduites.

(a)

Calculer les vitesses moyennes entrante (à travers S1 ) et sortantes (dans les sections S2 et S3 ). (b) Calculer les pressions dans les sections de sortie S2 et S3 (on négligera la différence d’altitude) ? (c) Que valent les forces de pression (composantes cartésiennes) sur chacune des sections ? (d) Que valent les flux de quantité de mouvement (composantes cartésiennes) sur chacune des sections ? (e) En vous servant de l’équation d’Euler sous forme intégrale et en négligeant la contribution due aux forces de pesanteur, calculer la force de réaction (Fxr ; Fyr ) sur le fluide contenu dans le volume de contrôle ?

66

Chapitre 4

Principes de conservation

Correction des exercices Exercice 1

hmax = (Q/S)2 /(2g)

Exercice 2

L’énergie par unité de volume fournie par la pompe au fluide : e = ϱg(htot − h). Puisque l’on a un débit Q, la puissance P à fournir est : P = Qe = 3924 W.

Exercice 3

On considère une ligne de courant horizontale entre le nez de la torpille (point A) et un point très éloigné (non perturbé) en avant de celle-ci (point B). On obtient v2 v2 pA = pB + ϱ 2B − 2A = 194,55 kPa.

Q2 ϱ πR2



1 − cos α − sin α

Exercice 4

F =

Exercice 5

 v2 F = πa2 ϱ  0  . 0

 .



q

Exercice 6

vR =

Exercice 7

h=

Exercice 8

(1) T =


4V 2 td2 π

ϱ 2 2g(ϱ−ϱh ) (v1

R2 r2

q

2h g

+ 2gh2

− v22 ) =

ϱQ2 −2 2g(ϱ−ϱh ) (S1

− S2−2 )

= 14,28 s. (2) L’application de Bernoulli au point O donne

po = ϱg(2h − x) + pfg = ϱg(2h − x) + p0 hx . L’eau ne coule plus quand p0 = patm . La résolution de l’équation du second ordre donne deux solutions, dont une seule est positive : x = 0,101 m. L’eau coule donc de x − h = 1 mm avant de s’arrêter. √ (1) Q = πr2 2gh1 = 3,9 × 10−3 m3 · s−1 . (2) p1 = p3 − 12 ϱv12 = −14,7 kPa et p2 = −24,5 kPa.

Exercice 9

Exercice 10

(1) Q =

√

2

2gz1 π D4 = 0,0778 m3 /s. (2) R = ϱQ(v2 − v1 ). Soit encore 

R == (

(3) zb =

Q sin α πr2

Exercice 11

2g

ϱQv2 cos α ϱQ(v2 sin α + v1 )



 =

667 1155

 N

)2

= 1,25 m

Q = Sv2 = π(d/2)2 v2 = π(0,02/2)2 × 2,90 = 9,11 × 10−4 m3 /s.

Chapitre 4

Exercice 12

2 (1) h = ϱoilϱg0,025−p = water g 1 2 2 2 ϱv2 = 0,5 · 1,225 · 25 = 0,382 kPa

Principes de conservation

900×9,81×0,025−(−382) 1000×9,81

67

= 0,0614 m. (2) p3 − p2 =

68

Chapitre 4

Principes de conservation

Correction du problème 1 Question (a) La pression hydrostatique : p(z) = ϱg(h/2 − z) pour −h/2 ≤ z ≤ h/2.

Question (b) Soit β l’angle de la normale n = (cos β, sin β). La résultante des forces de pression est définie comme étant Z +θ F =− pndS, −θ

avec dS = W Rdθ. Après substitution et comme z = R sin β et h = 2R sin θ, on trouve Z +θ Z +θ 2 F =− ϱg(h/2−z)(cos β, sin β)W Rdθ = −ϱgW R (sin θ−sin β)(cos β, sin β)dθ −θ

−θ

Soit finalement

 F = −ϱgW R

2

2 sin2 θ, −θ + sin θ cos θ

 .

(4.2)

Question (c) Application numérique :  F =

−196,2 55,99

 kN.

Question (d) La force infinitésimale de pression dF étant portée par n, qui passe par le point O, le moment des forces est nul en O. C’est la raison pour laquelle les vannes-secteurs sont intéressantes : un moindre effort pour les actionner, mais également moins de vibrations (les forces sont transmises à l’axe du pivot), et elles retombent sous leur propre poids.

Question (e) On applique le théorème de Bernoulli en faisant l’analogie avec la vidange d’une cuve vue en cours (formule de Torricelli), c.-à-d. le long d’une ligne de courant allant de la surface libre à l’amont de la vanne à la surface libre à l’aval. Les mêmes réserves s’appliquent que pour la formule de Torricelli : il faut que les surfaces libres restent à la même cote au cours du temps (hypothèse de régime permanent), que l’on puisse négliger la dissipation d’énergie en dépit de la forte constriction de la veine d’écoulement et on fait le calcul sur une courte distance (hypothèse d’écoulement non visqueux), et que la ligne de courant existe telle qu’on l’imagine. Il y a une différence avec la cuve : la vitesse du point de départ n’est pas nécessairement petite devant la vitesse de vidange.

Chapitre 4

Principes de conservation

69

On a donc pour deux points 1 et 2 à la surface libre de part et d’autre de la vanne z1 + p 1 +

q2 q2 = z + p + . 2 2 2gh21 2gh22

On a p1 = p2 = 0, et, avec la notation de l’énoncé, on déduit immédiatement h+

q2 q2 = d + 2gh2 2gd

soit après réarrangement des termes, on trouve le résultat demandé r r 2g 2g q = dh ⇒ Q = W q = W dh . d+h d+h

(4.3)

A.N. : q = 3,55 m2 /s, Q = 17,75 m3 /s.

Question (f) En régime permanent, la conservation de la masse s’écrit Z ϱ(u · n)dS = 0, S

tandis que la conservation de la quantité de mouvement s’écrit Z Z ϱu(u · n)dS = ϱV g + σ · ndS, S

S

Question (g) La projection de la conservation de la masse sur l’axe x s’écrit par unité de largeur u1 h1 = u2 h2 ⇒ q = u1 h = u2 d, tandis que la conservation de la quantité de mouvement s’écrit 1 1 N ϱu21 h1 − ϱu22 h2 = ϱgh22 − ϱgh21 + . 2 2 W On déduit après substitution que N est une fonction de q, h et d     N 1 g(h2 − d2 ) 2 1 = ϱ −q − + . W d h 2

(4.4)

Question (h) Quand q = 0, on a nécessairement d = 0 et u2 = u1 = 0, donc N 1 = ϱgh21 , W 2 qui n’est rien d’autre que la force hydrostatique (4.2) trouvée précédemment à la question (b) en remplaçant 2R2 sin2 θ par h2 /2.

70

Chapitre 4

Principes de conservation

Question (i) Le débit calculé à l’équation (4.3) est r q = dh

2g d+h

et il peut s’exprimer comme une fonction de ξ = d/h q 2 = d2 h2

2g ξ2 = 2gh3 . d+h ξ+1

En reportant cette expression dans l’équation (4.4) mise sous forme adimensionnelle, on trouve   N ξ2 1 ξ−1 2 ˆ = 1 − ξ 2 + 4ξ N= 1 =1−ξ +4 1− . (4.5) 2 1+ξ ξ 1+ξ 2 ϱgW h

Question (j) Le débit défini dans l’énoncé p q = Cd d 2gh

(4.6)

peut s’exprimer comme une fonction de ξ = d/h q 2 = 2gCd2 h3 ξ 2 . En reportant cette expression dans l’équation (4.4), on obtient une relation proche du résultat précédent ˆ = 1 − ξ 2 + 4C 2 ξ(ξ − 1). (4.7) N d Comme le montre la figure 4.17, les deux expressions sont similaires dans l’allure générale, mais les différences sont importantes pour ξ ∼ 0,5 (l’écart atteint alors 100 %). Un développement limité à l’ordre 1 en ξ = 0 donne ˆ ≈ 1 − 4ξ N pour l’application de Bernoulli contre ˆ ≈ 1 − 4C 2 ξ N d ˆ ≈ 1 − 2ξ), la pente varie d’un facteur pour la loi empirique et comme Cd ≈ 0,7 (et donc N 2 selon la méthode de calcul employé. Comme il n’y a pas de prise en compte de la perte de charge, le théorème de Bernoulli tend à surestimer la force N .

Question (k) 4

On considère un canal par lequel transite un débit par unité de largeur q = Q/W = Comme ce canal est rectangulaire, la hauteur critique est s q2 hc = 3 = 1,17 m. g

m2 /s.

Chapitre 4

Principes de conservation

71

1.0 0.8

 N

0.6 0.4 0.2 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ ˆ obtenue en se servant du théorème Figure 4.17 : variation de la force adimensionnelle N de Bernoulli (courbe rouge en tireté) ou de la relation empirique (4.6) (courbe bleue).

Avec une loi de Chézy et si on fait l’hypothèse un canal infiniment large, la hauteur normale est  1/3 q2 (4.8) hn = = 0,96 m. C 2 sin i Avec hn /W ≈ 0,27, on n’est pas vraiment dans le domaine de validité de l’approximation du canal infiniment large. Si on maintient cette hypothèse, on hn > hc donc le régime à l’aval est supercritique. Comme initialement le régime est également supercritique puisque q Fr = p = 1,17. gd3 Comme on a un régime supercritique, la courbe de remous – appelée équation de Bresse pour ces hypothèses – est dh 1 − (hn /h)3 =i , (4.9) dx 1 − (hc /h)3 et elle est croissante le long du radier, partant de h = d en x = 0 et tendant vers h = hn pour x → ∞. Il n’est pas aisé de déterminer la vitesse de convergence, mais elle est lente. En effet, dans l’équation de Bresse (4.9), on a h ∼ hn ∼ hc 1 m, donc le rapport est peu informatif. En revanche, il est pondéré par à i = 1/200 et on peut s’attendre qu’il faille des distances x ∼ O(h)/i = 200 m pour voir la convergence. L’intégration numérique confirme une lente convergence (voir figure 4.18). Le calcul exact – sans approximation de canal large – nous dit que hn est la solution implicite de W h3n q2 sin[i] = 2 ⇒ hn = 1,08 m, (4.10) W + 2hn c qui est environ 10 % plus élevée que la valeur trouvée précédemment. Le nombre de Froude associé à la hauteur normale q

Fr(hn ) = p

gh3n

= 1,13.

72

Chapitre 4

Principes de conservation

0.9

h (m)

0.8 0.7 0.6 0.5 0

100

200

300

400

500

x (m) Figure 4.18 : courbe de remous solution de l’équation de Bresse (4.9).

contre F r = 1,17 précédemment. Pour trouver la courbe de remous on résout l’équation pour un canal rectangulaire dh i−j = , (4.11) dx 1 − F r2 avec j = u2 /C 2 /Rh la pente d’énergie et Rh = W h/(w + 2h) le rayon hydraulique. La courbe de remous a la même allure (voir figure 4.19), mais h tend vers une hauteur normale un peu plus grande.

1.1 1.0

h (m)

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0

100

200

300

400

500

x (m) Figure 4.19 : courbe de remous : solution de l’équation de Bresse (4.9) (courbe en tireté).

Chapitre 4

Principes de conservation

73

Correction du problème 2 Question (a) La conservation de la masse implique ∇·u=0 or comme u = ∇ϕ, on a ∇ · ∇ϕ = 0 ⇒

∂2ϕ ∂2ϕ + 2 = 0. ∂x2 ∂y

(4.12)

Le potentiel vérifie l’équation de Laplace. La conditions aux limites en y = 0 impose v = 0 car il y a non-pénétration du fluide au fond. Il est plus délicat de supposer a priori u = 0 au fond si les effets de la viscosité sont négligés (la condition d’adhérence ne s’applique a priori qu’aux fluides newtoniens). Comme cette relation ne sert pas par la suite, on n’ira pas plus loin dans l’analyse.

Question (b) De l’équation de conservation de la quantité de mouvement ∂ 1 u + (u · ∇)u = g − ∇p, ∂t ϱ on tire que pour la composante v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p +u +v = −g − ∂t ∂x ∂y ϱ ∂y qui est valable quel que soit y. La condition à la limite à la surface libre y = h s’exprime de la façon suivante dh ∂h ∂h v(x, h, t) = = + u(x, h, t) , dt ∂t ∂x et lorsqu’on linéarise les équations (c’est-à-dire on fait un développement au premier ordre en η et v), on a  1 ∂p ∂v   = −g − , ∂t y=h ϱ ∂y y=h   v(x, h, t) = ∂η . ∂t On se sert de la relation v = ∂y ϕ et on obtient  2 1 ∂p ∂ ϕ   = −g − ,  ∂t∂y ϱ ∂y y=h y=h ∂ϕ ∂η   = .  ∂y y=h ∂t

(4.13)

74

Chapitre 4

Principes de conservation

Question (c) On peut récrire la première équation du système (4.13) sous la forme   ∂ ∂ϕ p = 0 en y = h, + gy + ∂y ∂t ϱ (avec h′ = ∂x h) qui donne après intégration ∂ϕ 1 + gη + p(h,t) = 0. ∂t y=h ϱ La constante d’intégration est supposée nulle.

Question (d) La loi de Laplace s’écrit p(h, t) =

h′′ σ = −σ , R (1 + h′2 )3/2

dont le développement au premier ordre est p(h, t) = −σ

∂2η . ∂x2

Question (e) Le système d’équations (4.13) s’écrit donc  ∂ϕ σ ∂2η   + gη − = 0,  ∂t ϱ ∂x2 y=h ∂ϕ ∂η   = .  ∂y y=h ∂t

(4.14)

Pour réduire ce système d’équations à une seule équation, on différentie la première équation du système (4.14) par t et la seconde deux fois par x :  ∂η σ ∂ 3 η ∂ϕ2    + g − = 0,  ∂t2 y=h ∂t ϱ ∂x2 ∂t (4.15) ∂ 3 ϕ ∂3η    , =  ∂y∂x2 ∂t∂x2 y=h ce qui donne ∂ϕ2 ∂ϕ σ ∂ 3 ϕ + g = 0 en y = h. − ∂t2 ∂y ϱ ∂y∂x2

(4.16)

Comme l’équation de continuité (4.12) impose ∂xx ϕ = −∂yy ϕ, on obtient finalement le résultat demandé ∂ϕ2 ∂ϕ σ ∂ 3 ϕ + g + = 0 en y = h (4.17) ∂t2 ∂y ϱ ∂y 3 On a donc C = σ/ϱ.

Chapitre 4

Principes de conservation

75

Question (f) On pose ϕ = A(kx − ωt, t)F (y). La substitution dans l’équation de continuité (4.12) donne k 2 F A′′ + AF ′′ = 0, or comme A et F portent sur des variables différentes, on déduit que l’on doit avoir A′′ + A = 0 et k 2 F − F ′′ = 0, pour qu’en les ajoutant, les contributions de chaque variable se compensent exactement. On note que A′′ +A = 0 donne bien naissance à une solution sous la forme d’harmoniques tandis que l’équation k 2 F − F ′′ = 0 admet des solutions de la forme aeky + be−ky . La condition à la limite ∂y ϕ(x, 0, t) = 0 implique a = b. Comme l’énoncé nous y invite, on pose a = 1/2 en sorte que F (y) = cosh(ky).

Question (g) On pose maintenant ϕ = A(x, t) cosh(ky) avec A(x, t) = Aeı(kx−ωt) . et pour déterminer la relation de dispersion donnant la relation ω = ω(k), on substitue ϕ dans l’équation (4.17), et on évalue le résultat pour y = h gk sinh(kh) + k 3

σ sinh(kh) − ω 2 cosh(kh) = 0, ϱ

et on obtient après simplification   2σ ω = k tanh(kh) g + k . ϱ 2

(4.18)

Question (h) Dans l’équation (4.18), on voit que le terme pondérant les effets capillaires est σ κ = k2 , ϱ et donc si κ ≪ g alors les effets de tension de surface sont bien négligeables devant la gravité. Dans ce cas, on a : ω 2 = gk tanh(kh) + o(κ). Dans la limite kh ≪ 1, on a tanh(kh) = kh, donc ω 2 = gk 2 h + o(kh) ⇒ c2 =

 ω 2 k

= gh.

76

Chapitre 4

Principes de conservation

Correction du problème 3 Question (a) La conservation de la masse impose la conservation du débit, donc (4.19)

Q = Ae v e = As v s .

Question (b) Dans le volume de contrôle ouvert Va , qui est stationnaire w, le fluide a un écoulement permanent, donc les termes temporels disparaissent. L’équation de conservation Z Z Z d σ · ndS ϱu[(u − w) · n]dS = ϱVa g + ϱudV + dt Va Sa Sa se simplifie grandement en l’absence d’effet de la pesanteur et compte tenu de nos hypothèses Z Z ϱu(u · n)dS = σ · ndS. (4.20) Sa

Sa

Si on décompose la surface de contrôle en la surface entrante Ae , sortante As , et la surface de la buse Ab , alors en tenant compte de la condition de non-pénétration, on a pour le terme d’inertie (ou convection) Z Z Z ϱu(u · n)dS = ϱu(u · n)dS + ϱu(u · n)dS, Sa

Ae

As

dont les contributions s’évaluent facilement Z ϱu(u · n)dS = −ϱAe ve2 ez , Ae

Z ϱu(u · n)dS = +ϱAs vs2 ez . As

On a introduit ez le vecteur unitaire orientant l’axe z. Pour les forces qui s’exercent aux frontières du volume de contrôle, on opère une décomposition similaire Z Z Z Z pndS. pndS − pndS − pndS = − − Sa

As

Ae

On évalue chacune des contributions : Z − pndS = +pe Ae ez , Ae

Z −

pndS = 0, As

tandis que le troisième terme représente la force recherchée Z pndS = F . − Ab

Ab

Chapitre 4

Principes de conservation

77

On peut donc écrire la conservation de la quantité de mouvement (4.20) ϱ(As vs2 − Ae ve2 )ez = F + pe Ae ez et donc


F = ϱ(As vs2 − Ae ve2 ) − pe Ae ez .

(4.21)

Comme la buse est une structure de révolution autour de l’axe z, les efforts dans la direction radiale r s’annulent ; il n’y a qu’une composante dans la direction z.

Question (c) Le long de l’axe z, on a d’après Bernoulli 1 2 1 ϱv + pe = ϱvs2 + ps , 2 e 2 or ps = 0, donc on tire   1 2 1 2 1 2 vs2 pe = ϱvs − ϱve = ϱve −1 , 2 2 2 ve2 qui, compte tenu de la conservation débit (4.19), donne   1 1 pe = ϱve2 − 1 . 2 r2 L’équation (4.21) de la force peut s’écrire    1 1 −1 F = ϱQve (r − 1) − −1 ez , 2 r2 soit après simplification 1 Q2 ϱ (1 − r)2 ez . 2 2r Ae Notons le signe négatif : telle que calculée, F représente l’action de la buse sur le fluide. Si on veut calculer l’effort généré par le fluide sur la buse, le principe d’action et réaction nous dit que c’est −F . F =−

Question (d) On applique le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant située au centre du jet 1 1 ps + ϱgzs + ϱvs2 = pa + ϱgz + ϱv(z), 2 2 avec les hypothèses employées, on a pour expression de la vitesse ascendante p 1 2 1 ϱvs − ϱgz = ϱv(z) ⇒ v(z) = vs2 − 2gz, 2 2 qui n’est définie que pour 0 ≤ z ≤ zlim = vs2 /(2g). La conservation de la masse implique   As vs z −1/2 = As 1 − . Q = As vs = A(z)v(z) ⇒ A(z) = v(z) zlim La section du jet s’élargit et devient infiniment grande à l’approche du point d’arrêt zlim . Le calcul n’est pas réaliste loin de la buse car au fur et à mesure que la vitesse, et donc l’inertie, diminue, les effets visqueux ne deviennent plus négligeables. De plus, le fluide va finir par retomber, et donc perturber l’écoulement.

78

Chapitre 4

Principes de conservation

Question (e) On introduit un repère cartésien (x, y) avec x selon l’horizontale et y la verticale. La loi de Newton pour une parcelle de fluide de masse m et vitesse v(t) est dv = mg, dt avec pour condition initiale v(0) = vs ez = vs (cos α, sin α). On en déduit la position de la parcelle de fluide au temps t 1 x = vs t cos α et y = vs t sin α − gt2 . 2 Il n’y a aucune différence ici entre une parcelle de fluide et une masse ponctuelle ne subissant aucun frottement. Comme on a ignoré la pression au sein du jet, le théorème de Bernoulli est strictement équivalent au théorème de l’énergie cinétique pour une masse ponctuelle. m

Correction du problème 4 Question (a) On reproduit le raisonnement suivi pour l’expérience de Torricelli. Un des points inconnus est la vitesse d’un point sur une ligne de courant au niveau de la surface libre. En première approximation, on va supposer qu’elle est nulle. De même, un autre point concerne la pression au bout de la ligne de courant, au niveau de la vanne. Celle-ci n’est pas égale à la pression atmosphérique comme dans l’expérience de Torricelli. L’ordre de grandeur est ϱgd/2. On note qu’il y a un facteur 10 avec le terme potentiel ϱgh1 . Une approximation grossière consiste donc à considérer que l’ordre de grandeur de la vitesse au niveau de la vanne est donnée par la formule de Torricelli p v ∼ 2gh1 , d’où l’on tire Q = Bd

p

2gh1 .

Question (b) Compte tenu des approximations faites et des pertes de charges singulières, on s’attend à avoir un débit plus faible que le débit théorique trouvé précédemment. Dimensionnellement, la formule √ précédente semble correcte. L’analyse dimensionnelle nous pousse à poser Q = Cd Bd 2gh1 . Le fait que Cd < 1 est cohérent. AN : Q = 66,4 m3 /s

Question (c) La conservation de la masse implique la conservation du débit en régime permanent, donc Q q= = u1 h1 = u2 h2 . B

Chapitre 4

Principes de conservation

79

Question (d) La force de pression (projetée sur x) sur la face amont est facile à déterminée à partir de la loi de Pascal 1 F1 = ϱgh21 B 2 tandis que sur la face aval on a 1 F2 = − ϱgh22 B. 2

Question (e) Le flux de quantité de mouvement projeté sur x est Z P1 = ex ·

h1

ϱu(u · n)dS

0

avec n = −ex la normale au volume de contrôle orientée de l’intérieur vers l’extérieur. Donc on a P1 = −ϱu21 Bh1 . De même sur la face aval, on a P2 = ϱu22 Bh2 .

Question (f) Le principe de conservation de la quantité de mouvement implique P1 + P2 = F + F1 + F2 , avec F la force exercée par la vanne sur le volume de contrôle. On a donc 1 F = P1 + P2 − F1 − F2 = ϱB(−u21 h1 + u22 h2 ) + ϱgB(h22 − h21 ), 2 et en se servant de la conservation de la masse, on élimine u2 et on obtient  F =

ϱBu21 h1

ou bien encore

 F = ϱu1 Q

Question (g) AN F = −732,5 kN.

   h1 1 h22 2 − 1 − ϱgBh1 1 − 2 h2 2 h1

   h22 h1 1 2 − 1 − ϱgBh1 1 − 2 h2 2 h1

80

Chapitre 4

Principes de conservation

Correction du problème 5 Question (a) Dans le référentiel du terrain, le ballon fait tourner localement l’air autour de lui. vA,t = ω ∗ a et vB,t = −ω ∗ a. Dans le référentiel du ballon (en translation rectiligne par rapport au terrain, c’est à dire sans rotation), tout se passe comme si l’air est animé de la vitesse du ballon en sens opposé, vA,b = ωa − vballon et vB,b = −ωa − vballon .

Question (b) On se place dans le référentiel du ballon car dans ce dernier l’écoulement est permanent. On va supposer zA = zB . D’après le théorème de Bernoulli ce qui permet d’écrire 2 ϱvA,b

2

+ pA =

2 ϱvB,b

2

+ pB

d’où pA −pB =


ϱ
ϱ ϱ 2 2 = vB,b − vA,b (−ωa − vballon )2 − (ωa − vballon )2 = (4ωavballon ) . 2 2 2

Comme pA − pB est positif, la balle va subir une force vers le bas sur le schéma.

Question (c) On intègre la force sur la surface de la sphère et on trouve que la force exercé est la différence de pression fois l’aire du disque : || FM agnus ||= FM agnus = (pA − pB )πa2 = 2πϱωa3 vballon .

Question (d) 2 On égalise la force centrifuge Fc = mRω 2 = mvballon /R avec la force de Magnus FM agnus et on trouve l’expression du rayon :

R=

mv . 2πϱωa3

Question (e) Nous avons maintenant l’ensemble des données nécessaires pour trouver la distance D. Il faut pour cela faire un peu de trigonométrie. Sur la figure, ci-dessous, on a tracé la courbe de la trajectoire de rayon R, dont la tangente en C fait un angle α avec AC. On trouve le point B en traçant la perpendiculaire à AC, passant par A et coupant l’arc, le point B correspond au point où la balle quitte le terrain. Le triangle OBC est isocèle donc on a la relation β + 2γ = π.

Chapitre 4

Principes de conservation

81

On observe que l’angle η = α + γ − π2 . Le triangle ABC est rectangle donc tan η = D/l. Donc, on a : D = l tan(α − β/2). Il faut encore déduire l’angle β, on utilise pour cela l’approximation des petits angles on disant que l est approximativement égal à l’arc entre B et C. Ainsi β=

l . R

On déduit D = l tan(α −

l ). 2R

Application numérique : D = 3,6 m donc le ballon rentre bien dans les cages puisque elles font 7,3 m de large.

α

B

D A

γ

l

η

β O

γ C

Figure 4.20 : Resolution trigonométrique

Correction du problème 6 Question (a) Il suffit d’écrire la relation entre débit et hauteur u1 = 4

Q1 Q2 Q3 , u2 = 4 , et u3 = 4 2 2 πD1 πD2 πD32

L’application numérique donne : u1 = 1,88 m·s−1 et u2 = u3 = 4,77 m·s−1 .

82

Chapitre 4

Principes de conservation

Question (b) On applique le théorème de Bernoulli 1 p2 = p3 = p1 + ϱ(u21 − u22 ), 2 dont l’application numérique fournit p2 = p3 = 490,38 kPa.

Question (c) Les forces de pression ont pour amplitude Fi = pi πDi2 /4. Le signe dépend de chaque section de contrôle : positif pour les sections 1 et 3, mais négatif pour la 2. Les valeurs numériques sont F p1 = (79,52 ; 0) kN ; F p2 = (0 ; − 15,40) kN ; et F p3 = (0 ; 15,40) kN.

Question (d) Par définition le flux est la force définie par Z m Fi = ϱu(u · n)dS, Si m L’application numérique est directe : F m 1 = (−0 ; 566,0) kN ; F 2 = (0 ; 0,716) kN ; et m F 3 = (0 ; − 0,716) kN.

Question (e) On note que pour les sections 2 et 3, les forces de pression et de flux de quantité de mouvement se contrebalancent exactement, donc Fyr = 0. La section 1 (entrante) est associée à une force effective totale Z F 1 = F p1 − F m = − (pn + ϱu(u · n))dS, 1 S1

et d’après le principe d’action et de réaction de Newton, la force de réaction doit contrebalancer exactement cette force horizontale pour que la paroi verticale de la fonction soit en équilibre, donc Fxr = −|F 1 |, soit numériquement Fxr = −80,09 kN.

CHAPITRE

5

Hydraulique

Rappel du cours Charge totale et charge spécifique La charge totale hydraulique est définie comme : u ¯2 , H = yℓ + h + 2g | {z } Hs

avec yℓ la cote du fond, h la hauteur d’eau, u la vitesse moyenne. Il est souvent plus commode de travailler avec la charge spécifique Hs .

Condition d’équilibre Pour un canal de section quelconque, l’écoulement est en équilibre si le frottement lié à la contrainte pariétale τp le long du périmètre mouillé χ compense la composante motrice du poids χτp = Sϱg sin θ, avec S la section mouillée et θ la pente du fond, ce qui donne la condition d’équilibre: τp = ϱg sin θRH ≈ ϱgiRH , Pour des pentes faibles, on a en effet sin θ ≈ tan θ = i (i est la pente du lit). On a introduit le rayon hydraulique RH = S/χ. Pour un canal infiniment large, la condition d’équilibre devient τp = ϱgh sin θ ≈ ϱgih.

Lois de frottement La loi la plus employée car valable pour une large gamme de débits et de rugosité est la loi de Manning-Strickler ; la contrainte pariétale τp s’écrit τp =

ϱg u ¯2 , K 2 R1/3 H

83

84

Chapitre 5

Hydraulique

avec K le coefficient de Manning-Strikler souvent relié à la rugosité du lit, par exemple la loi de Meyer-Peter (1948) : 26 K = 1/6 . d90 La loi de Chézy est la formule historique, peu utilisée aujourd’hui si ce n’est pour obtenir des ordres de grandeur ϱg 2 τp = 2 u ¯ , C avec C le coefficient de Chézy La loi de Keulegan est une formule bien adaptée pour les écoulements sur des lits à gravier. Elle revient à supposer que la contrainte à la paroi serait similaire à celle donnée √ par la formule de Chézy, mais avec un coefficient C = gκ−1 ln(11h/ks ) fonction de la hauteur d’eau et de la rugosité, soit encore : τp =

κ2 ϱ¯ u2 , ln2 (11h/ks )

(5.1)

avec κ la constance de von Kármán et ks une taille caractéristique des rugosités du lit (ks ≈ 2d90 ).

Hauteur normale La hauteur normale est la profondeur moyenne d’eau en régime permanent uniforme. Elle se calcule en égalant contrainte pariétale et contrainte motrice. Par exemple, si l’on applique une loi de type Manning-Strickler, on obtient une équation implicite pour hn 2/3 √ ¯ u Q = hB ¯ = KRH iS, ¯ = f (hn ) la section d’écoulement, B la largeur au miroir, Q le débit total, (avec S = hB ¯ la hauteur moyenne d’eau) qui peut se résoudre explicitement dans le cas d’un canal h infiniment large (B ≫ h, soit RH ≈ h) :  hn =

q √ K i

3/5 ,

avec q le débit par unité de largeur.

Hauteur critique La hauteur critique est la hauteur d’eau pour laquelle le nombre de Froude vaut 1. Pour un canal quelconque caractérisé par la relation S(h), le nombre de Froude est défini par F r2 =

Q2 ∂S . gS 3 ∂h

Lorsque le canal est à section rectangulaire (largeur B), alors S(h) = Bh et Q = qB, et donc la définition de F r se simplifie F r2 =

q2 u2 = . gh3 gh

Chapitre 5

Hydraulique

85

Pour ce type de canaux, la condition F r = 1 nous donne l’expression suivante de la hauteur critique s q2 hc = 3 . g

Régimes d’écoulement On distingue trois régimes d’écoulement : – régime subcritique (ou fluvial) : F r < 1 ou encore hn > hc ; – régime supercritique (ou torrentiel) : F r > 1 ou encore hn < hc ; – régime critique : F r = 1.

Courbe de remous L’équation de la courbe de remous est l’équation différentielle régissant la variation de hauteur h(x) en régime permanent non uniforme. Pour un canal rectangulaire, elle s’écrit jf − i dh = 2 . dx Fr − 1 Les conditions aux limites dépendent du régime d’écoulement : – régime subcritique : il faut placer la condition sur h à l’aval ; – régime supercritique : l’écoulement est commandé par l’amont.

Ressaut hydraulique Un ressaut hydraulique se forme lorsque l’écoulement passe de supercritique à subcritique. Sous certaines conditions (voir cours), on peut calculer la hauteur h2 à l’aval en fonction de ce qui passe à l’amont (hauteur h1 et Froude F r1 ) : q  h2 1 2 1 + 8Fr1 − 1 . = h1 2 Cette relation s’appelle équation du ressaut ou équation de conjugaison.

Seuil et déversoir Les déversoirs sont des ouvrages aux formes variées : déversoir à paroi mince pour mesure un débit (plaque mince verticale), barrage-déversoir (barrage au fil de l’eau avec évacuation du trop plein), déversoir mobile (vanne à clapet, vanne à batardeaux, etc.) qui permet d’ajuster la pelle, et déversoir à seuil épais (ouvrage souvent profilé). Un seuil permet de « contrôler » un débit, par exemple pour créer un plan d’eau, pour augmenter les hauteurs d’eau à l’étiage, ou alimenter des prises d’eau. Lorsqu’un seuil est dénoyé (c.-à-d. l’aval n’influence pas l’amont), le débit au-dessus du seuil vaut  3/2 2 √ q = CD g (H − p) , 3

86

Chapitre 5

Hydraulique

avec CD le coefficient de débit, H la charge à l’amont immédiat du seuil, et p la pelle (la hauteur) du seuil. Ce coefficient dépend de la géométrie du seuil (épais, à paroi mince), de sa largeur, et de la géométrie d’écoulement (contraction ou non de la lame). Si le seuil est noyé, la loi de débit est alors une relation liant le débit et la différence de hauteur h1 − h2 de part et d’autre du seuil noyé  1/2 2 √ Q = CD g (h1 − h2 ) (h2 − p). 3

Exercice 1 : écoulement dans une conduite circulaire On s’intéresse au débit Q s’écoulant dans une conduite circulaire de diamètre d = 1000 mm. La conduite est en béton et le coefficient de Manning-Strickler vaut K = 80 m1/3 s−1 . La pente vaut i = 0,1 %. Le tirant d’eau (c.-à-d. la profondeur d’eau maximale) observé est hmax = 80 cm. 1. Dessiner une coupe en travers de la conduite et indiquer le tirant d’eau hmax , la largeur au miroir B, le périmètre mouillé χ ainsi que la section mouillée S. 2. L’écoulement est-il à surface libre ou en charge ? Rappeler la force motrice de l’écoulement dans chacun des cas. 3. Calculer le périmètre mouillé χ, la section mouillée S et le rayon hydraulique RH . 4. Exprimer Q en fonction de S, RH , i et K selon la loi de Manning-Strickler. Rappeler pour quel régime la loi de Manning-Strickler est valide. Est-ce le cas ici ? 5. Calculer Q selon la loi de Manning-Strickler.

Exercice 2 : canal à section triangulaire Soit un débit Q s’écoulant dans un canal à section triangulaire. Pour un canal à l’état neuf, le niveau d’eau correspondait à la marque L1 = 2 m sur la paroi du canal (voir figure 5.1). Après plusieurs années d’utilisation, la rugosité du canal a augmentée et le coefficient de Manning-Strickler K a diminué de moitié. Calculer la valeur de la nouvelle marque L2 sur la paroi du canal.

Exercice 3 : canal à section rectangulaire Soit un canal à section rectangulaire de largeur constante où s’écoule de l’eau à un débit par unité de largeur q = 0,52 m2 /s. La hauteur d’eau à l’amont d’une rampe de 15 cm est h1 = 69 cm (voir figure 5.2). 1. Rappeler la définition de la hauteur critique hc , l’exprimer en fonction de q (partir de la formule du nombre de Froude) et la calculer. 2. Calculer la hauteur d’eau à l’aval de la rampe h2 en utilisant le diagramme de la charge spécifique adimensionelle de la figure 5.2 (commencer par écrire la charge totale et la charge spécifique à l’amont et à l’aval de la rampe). On négligera les effets visqueux.

Chapitre 5

Hydraulique

87

Figure 5.1 : coupe en travers du canal.

Figure 5.2 : profil en long de la rampe.

Exercice 4 : canal à section trapézoïdale Soit un écoulement d’eau en régime permanent uniforme dans un canal de section trapézoïdale dont la largeur au fond est b = 5 m. La pente des berges est de 45°(voir figure 5.4). La hauteur d’eau observée est h = 4 m. Le coefficient de Manning-Strickler, qui décrit la rugosité du lit, vaut K = 40 m1/3 s−1 . 1. Calculer la largeur au miroir B, le périmètre mouillé χ, la section mouillée S et le rayon hydraulique RH . 2. Sachant que le débit vaut Q = 100 m3 /s, calculer la pente i du canal. √ 3. Donner la hauteur normale hn . La formule hn = (q/(K i))3/5 , dérivée de la loi de Manning-Strickler, est-elle valide ici (avec q le débit par unité de largeur) ? Justifier votre réponse. 4. Calculer le nombre de Froude. Le régime est-il subcritique (fluvial) ou supercritique (torrentiel) ?

88

Chapitre 5

Hydraulique

Figure 5.3 : variation de la charge spécifique, H∗ = Hs /hc et χ = h/hc .

5. Calculer la hauteur critique hc puis la comparer avec h. Faire le lien avec la question précédente.

Figure 5.4 : coupe en travers du canal.

Exercice 5 : canal à section rectangulaire Le long d’un canal de section rectangulaire, la hauteur d’eau h entre une section amont et une section aval est diminuée de moitié. Le nombre de Froude passe d’une valeur subcritique Fr1 = 0,5 à une valeur supercritique Fr2 = 3. Sachant que la largeur de la section amont est B1 = 4 m, déterminer la largeur B2 de la section aval.

Chapitre 5

Hydraulique

89

Exercice 6 : rivière de montagne Une rivière de montagne dont le lit est composé d’un gravier grossier (d90 = 200 mm), arrive en plaine avec une transition brusque de pente de fond: iam = 20,0 % et iav = 0,5 %. Sa largeur reste partout constante : B = 4 m. Le débit en crue de cette rivière est de Q = 6 m3 s−1 . Un pont, s’élevant 2,50 m au-dessus du lit de la rivière, est situé 140 m en aval de la transition de pente. Voir figure 5.5.

Figure 5.5 : schéma de l’aménagement.

1. Vérifier la sécurité du pont au passage de la crue. 2. Existe-il un ressaut hydraulique causé par la transition de pente ? Si oui, calculer sa position. Indications : – Pensez à estimer la rugosité du lit à l’aide du d90 et ainsi pouvoir utiliser une loi de frottement. – Considérez les équations pour un canal infiniment large. – Lorsqu’il y a passage brusque d’un régime supercritique à un régime subcritique, un ressaut se forme. Suivant les conditions hydrauliques, le ressaut peut se former dans la première partie de l’écoulement ou dans la seconde. Utiliser la méthode de la courbe conjuguée pour déterminer la position du ressaut

Exercice 7 : courbe de remous Un canal de section rectangulaire et de pente constante (0,5%) est divisé en deux parties de 1 km de longueur chacune, et il se termine par un seuil de 1 m de hauteur. Dans la première partie, la largeur du canal est de 10 m et le lit est fait de graviers grossiers (d90 = 10 cm). Dans la seconde partie, la largeur est de 5 m et le lit est fait de graviers plus fins (d90 = 1 cm). Voir figure 5.6. Tracez l’allure de la courbe de remous. Le débit étant Q = 20 m3 s−1 .

90

Chapitre 5

Hydraulique

vue de dessus 10.0 m

d90=0.1 d90=0.01

5.0 m

vue de côté

i = 0.005

1.0 km 1.0 km

1.0 m

Figure 5.6 : schéma des deux biefs.

1. Donnez la hauteur critique pour chaque partie. 2. Donnez la hauteur normale pour chaque partie (le canal n’est pas supposé infiniment large). 3. Quel est la hauteur d’eau juste à l’amont du seuil ? 4. Quels régimes d’écoulement peut on observer ? Y a-t-il un ressaut hydraulique ? 5. Tracez l’allure de la courbe de remous, ainsi que les hauteurs critiques et normales.

Chapitre 5

Hydraulique

91

Problème 1 : évacuateur de crue Les évacuateurs de crue sont des ouvrages hydrauliques disposés sur des barrages pour laisser transiter une crue lorsque le niveau dans le lac d’accumulation dépasse un certain niveau et présente un danger. Lorsque le débit à évacuer est important, il faut parfois des ouvrages complexes qui présentent une convergence marquée de la largeur du coursier (voir l’exemple de la figure 5.7). On étudie ici un tel dispositif. On considère un évacuateur de crue de section rectangulaire en béton : le radier (le fond) et les bajoyers (murs droits) sont du même béton. Sa pente est constante et notée i. Sa longueur est L. Sa largeur est variable, et c’est une fonction supposée connue notée B(x). Le frottement est de type Chézy, avec un coefficient de rugosité C. Le débit Q à laisser transiter est constant. (a)

On souhaite établir l’équation de la courbe de remous pour un canal convergent. En s’inspirant de la démonstration vue en cours pour le canal de largeur constante, considérer l’équation de la charge hydraulique H h+z+

u ¯2 = H, 2g

avec h la hauteur d’eau, z la cote du radier, u ¯ la vitesse moyenne. En différentiant par rapport à x et en introduisant la pente d’énergie j = −H ′ (x) et la pente du radier i, obtenir l’équation différentielle de la hauteur d’eau h. (b) On suppose que la largeur du canal est grande par rapport à la hauteur en sorte de pouvoir simplifier l’expression du rayon hydraulique. En déduire les équations algébriques vérifiées par la hauteur normale hn et la hauteur critique hc (on rappelle que celles-ci correspondent respectivement aux cas h′ = 0 et h′ → ∞). (c) Dans le cas d’un radier droit (à largeur constante), quelle est la condition portant sur le nombre de Froude pour que l’écoulement soit supercritique ? Dans le cas d’un frottement de type Chézy, montrer que cette condition est indépendante du débit et permet de mettre en évidence une pente critique séparant régimes sub- et supercritique. (d) On considère le cas d’une convergence linéaire : B(x) = B0 − kx, avec k > 0. En supposant que k ≪ 1, faire un développement asymptotique à l’ordre 1 de l’équation algébrique et en déduire une expression analytique. Pour quelles conditions l’écoulement est-il supercritique ? Est-ce qu’une contraction de la largeur du radier augmente ou diminue la pente critique ? (e) On considère le cas limite k = 0 (canal à largeur constante). Calculer la hauteur normale et la hauteur critique dans le cas où L = 200 m, Q = 500 m3 /s, B0 = 50 m, i = 0,2, et C = 80 m1/2 /s. Tracer l’allure de la courbe de remous dans le cas où la hauteur au sommet de l’évacuateur de crue est h0 = 1 m.

92

Chapitre 5

Hydraulique

Figure 5.7 : example d’évacuateur de crue avec une convergence.

Chapitre 5

Hydraulique

93

Problème 2 : mesure de débit à l’aide d’un Parshall Un Parshall est un dispositif qui sert à mesurer le débit dans un canal à partir de la mesure de la hauteur (voir figure 5.8). Il comporte : – un tronçon convergent, tout d’abord ascendant puis horizontal, où l’écoulement est subcritique ; – un coursier à pente descendante, étroit de largeur constante W2 , où l’écoulement est critique ; – un tronçon divergent et légèrement ascendant, où l’écoulement est supercritique. On mesure la hauteur d’eau h1 dans un puits relié au premier tronçon au niveau de la section 1 (voir figure 5.8). La largeur du canal en cette section est notée W1 . Le débit total est Q. Le régime est permanent. La différence d’altitude entre le sommet du seuil (section 2) et le lit du canal est notée ∆z. On appelle hc la hauteur critique atteinte dans le second tronçon où l’écoulement est critique (on a donc h2 = hc ). Le seuil est dénoyé. (a)

Donner l’expression de l’énergie totale à la section 2 en fonction de ∆z et hc . On peut répondre en termes d’énergie totale ou de charge hydraulique. (b) Donner l’expression de l’énergie totale à la section 1 en fonction de ∆z, Q, W1 et h1 . On peut répondre en termes d’énergie totale ou de charge hydraulique. (c) En négligeant la dissipation d’énergie entre les sections 1 et 2, déterminer l’équation (implicite) permettant de calculer le débit si on suppose que h1 est déterminée (à partir d’une mesure dans le puits). (d) Faire une application numérique. (e) Dans l’expression de l’énergie spécifique à la section 1, laquelle des deux contributions est négligeable et pourquoi ? En déduire une expression approchée permettant de déduire Q en fonction de ∆z, W2 , W1 et h1 . Faire une application numérique. Quelle est la précision de cette approximation ? Données numériques : – Largeur des tronçons : W1 = 6 m et W2 = 2 m – Hauteur mesurée h1 = 1 m – Hauteur de la marche ∆z = 30 cm

94

Chapitre 5

Hydraulique

convergence

crête du déversoir divergent

vue en plan

écoulement

coursier

puits de mesure

vue en coupe

seuil noyé seuil dénoyé

écoulement ∆z

ressaut hydraulique section 1 section 2 Figure 5.8 : schéma d’un canal Parshall.

Chapitre 5

Hydraulique

95

Problème 3 : canal de laboratoire On considère un écoulement permanent d’eau dans un canal de laboratoire. Le fond est composé d’un lit en gravier. La section est rectangulaire de largeur W = 60 cm. Les parois sont en verre. La pente du lit est 2 %. Le diamètre d90 est 6 mm. Le débit liquide est Q = 25 l/s. La longueur du canal est 20 m. À la sortie du canal, l’eau chute dans un réservoir (on peut considérer que l’écoulement devient critique à la sortie du canal). (a)

Pourquoi peut-on faire l’approximation d’écoulement indéfiniment large dans le cas présent. (b) Calculer la hauteur normale et la hauteur critique. (c) Quel est le régime d’écoulement. (d) [0,40] Tracer le profil de hauteur (courbe de remous) en prenant 3 hauteurs initiales (c.-à-d. la hauteur à l’entrée du canal x = 0) h = 2 cm, 5 cm, 10 cm. Justifier la forme des courbes tracées.

96

Chapitre 5

Hydraulique

Problème 4 : embranchement Un canal rectangulaire de largeur B = 5 m et de longueur l = 1000 m a une pente i = 10−3 . Le débit vaut Q = 10 m3 /s et la hauteur d’eau est de h0 = 3,1 m dans la partie du bief où la hauteur est uniforme. Ce canal se divise ensuite en deux canaux secondaires de même section et de pente is = 1 % (voir figure 5.9). (a) En supposant que la résistance du lit peut être décrite à l’aide de la loi généralisée de Keulegan, déterminer la rugosité ks du lit. On prendra κ = 0,41 pour la constante de von Kármán. Discuter la validité de cette formule dans notre cas. (b) Répondre à la même question en prenant la loi de Manning-Strickler : que vaut le coefficient de Manning-Strickler K ? (c) Quel est le débit Q1 correspondant à une hauteur d’eau h1 = 4,5 m dans le canal principal ? On répondra en utilisant les lois de Keulegan et de Manning-Strickler. (d) Calculer le nombre de Froude F r et le nombre de Reynolds Re pour le canal principal lorsque le débit vaut Q1 . On utilisera le débit trouvé avec loi de Manning-Strickler. Caractériser le régime d’écoulement. Rappel: pour les écoulements à surface libre, on utilise le rayon hydraulique RH comme dimension caractéristique dans la définition du nombre de Reynolds. ¯ /ν, avec ν la viscosité cinématique du fluide et U ¯ la vitesse On utilise souvent Re = 4RH U moyenne de l’écoulement. (e) Quelle est la hauteur d’eau h2 dans les canaux secondaires pour un régime permanent uniforme lorsque la hauteur vaut h1 dans le canal principal ? On négligera le coefficient de perte de charge singulière au niveau de l’embranchement et on se servira de la loi de Manning-Strikler. (f) Que vaut la hauteur critique hc dans les canaux secondaires ? (g) Quelle est la forme de la surface libre ? La tracer qualitativement en plaçant les éléments remarquables. (h) On remplace les canaux secondaires par des canaux à section trapézoïdale de base b = 3 m. Le fruit des berges est 1:3. Calculer la hauteur d’eau pour un canal secondaire en régime permanent uniforme lorsque le débit vaut Q1 . Calculer le nombre de Froude.

Figure 5.9 : vue en plan du canal principal se scindant en deux canaux secondaires.

Chapitre 5

Hydraulique

97

Exercice 5 : déverse d’un lac dans un canal Un lac de retenue est situé derrière un barrage de hauteur h0 . Les pentes de talus sont ϕ = 30° par rapport à l’horizontale. Ce barrage est percé par une buse de vidange de diamètre D sur toute sa largeur comme le montre la coupe ci-dessous. La hauteur de plein bord est notée également h0 . Lorsque que la retenue est pleine, une vanne vidange le lac par l’intermédiaire de la buse. L’eau est déversée dans un canal de pente i, de largeur ℓ, et de longueur L. Au bout du canal se trouve un seuil dont la pelle est p. Le canal est en gravier. Pour simplifier les calculs, on négligera l’effet de la largeur dans le calcul du rayon hydraulique (on supposera donc que la largeur est bien plus grande que la hauteur d’eau même si ce n’est pas le cas numériquement). Voir figure 5.10.

h p

L

Figure 5.10 : schéma de l’aménagement étudié.

Données : – – – – – – (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

la hauteur du barrage est h0 = 10 m ; la granulométrie du gravier du canal est d90 = 20 mm ; le diamètre de la buse est D = 0,5 m ; les longueur et largeur du canal sont respectivement L = 1000 m et ℓ = 5 m ; la pelle vaut p = 1 m et le seuil est dénoyé ; la pente du canal est i = 0,1 %.

Calculez la force de pression totale par unité de largeur qui s’exerce sur la face amont du barrage lorsque la retenue est pleine d’eau. Faites l’application numérique. En vous servant de la formule de Torricelli en déduire le débit transitant par la buse. En supposant que le jet à la sortie de la buse occupe immédiatement toute la largeur du canal et que la vitesse reste identique, calculez la hauteur d’eau juste en aval de la buse ? Calculez le coefficient de Manning-Strickler en vous servant de la formule de Jäggi. Pour la suite des calculs, on arrondira la valeur de K à la valeur entière la plus proche. Calculez la hauteur normale dans le canal en considérant une loi de Manning-Strikler pour la résistance du lit (avec la valeur de K trouvée précédemment). Calculez la hauteur critique dans le canal. Quel est le régime d’écoulement une fois que l’eau a atteint un régime permanent uniforme ? En négligeant toute dissipation d’énergie en amont du seuil, calculez la charge spécifique au niveau du seuil.

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Chapitre 5

Hydraulique

(i) En déduire la hauteur d’eau juste à l’amont du seuil. (j) Tracez qualitativement la ligne d’eau (courbe de remous) en la plaçant correctement par rapport aux grandeurs caractéristiques. Commentez le graphique avec les caractéristiques essentielles de la ligne d’eau.

Chapitre 5

Hydraulique

99

Correction des exercices Exercice 1

(2) L’hydraulique à surface libre se différencie de l’hydraulique en charge par l’existence d’une surface libre, c’est-à-dire d’une surface où l’écoulement est en contact direct avec l’atmosphère. La conduite n’étant que partiellement remplie d’eau, l’écoulement est bien à surface libre. La gravité est l’agent moteur des écoulements à surface libre, alors que, pour les écoulements en charge, c’est le gradient de pression. (3) χ = r(π+2θ) = 2/3 √ 2,21 m, S = r2 ( π2 +θ+sin θ cos θ) = 0,67 m, et RH = Sχ = 0,30 m. (4) Q = SRH iK en régime permanent uniforme (c.-à-d. lorsque les caractéristiques de l’écoulement, comme la vitesse et la hauteur d’eau, ne varient ni dans le temps, ni le long de la direction d’écoulement). Ici, le débit est constant dans le temps et l’écoulement est établi ; le régime est donc permanent. La conduite est uniforme (toutes les sections en travers sont identiques). Le régime est donc uniforme. (5) Q = 0,77 m3 /s.

Exercice 2

(1) L2 = 23/8 L1 = 2,59 m.

p (1) hc = 3 q 2 /g = 0,30 m. (2) La différence de charge spécifique entre les points 1 et 2 est donc égale à la hauteur de la marche (c.-à-d. à la différence d’énergie potentielle entre les deux points). Il suffit maintenant de lire sur le diagramme la valeur de h2 . D’après le graphique, on a ξ2 = 1,7 ou ξ2 = 0,6, soit h2 = 0,5 m ou h2 = 0,2 m (en multipliant par hc ). On retrouve le même résultat en résolvant l’équation du troisième degré (tirée de l’équation de la courbe)

Exercice 3

∗ Hs2 = ξ2 +

1 1 2 ξ22

pour ξ2 .

Exercice 4

(1) B = 13 m, χ = 16,31 m, S = 36 m2 et RH = 2,21 m. (2) L’écoulement 2/3 √ étant permanent uniforme, la loi de Manning-Strickler donne Q = SRH iK. En résolvant pour i, on trouve i = 1,7 × 10−3 . La pente est de 0,17 %. (c) L’écoulement étant permanent et uniforme, la hauteur d’eau h dans le canal est égale à la hauteur normale hn . On a donc hn = 4 m. (3) F r = 0,53. Puisque F r < 1, le régime est subcritique (fluvial). (4) La hauteur critique hc est la hauteur d’eau correspondant à F r = 1. On a Q √ Fr = . (5) BQ2 /(gS 3 ) = 1, soit encore (bhc +h2c )3 /(b+2hc )−Q2 /g = 0. 2 3/2 (bh+h )

g/B

En résolvant cette équation pour hc , on trouve hc = 2,83 m. Puisque h > hc , le régime est subcritique.

Exercice 5 m.

q √ h B1 h ghF r1 = B2 2 g h2 F r2 . En résolvant pour B2 on trouve B2 = 1,89

 3/5  3/5 √ (1) hn2 = BKQ√i = 0,81. (2) On a hn1 = BK Q = 0,27 iam av  2/3 √ = 0,61 m. On trouve hn1 < hc < hn2 m. L’écoulement passe donc m, hc = BQ g d’un régime supercritique à un régime subcritique, il y a donc un ressaut qui se forme au changement de régime.

Exercice 6

100

Chapitre 5

Exercice 7

Hydraulique

(1) hc1 =



Q√

2/3

B1 g

= 0,74 m et hc2 =



Q√

B2 g

hn1 = 0,96 m et hn2 = 1,27 m. (3) ha = 2,65 m. (4) Fr1 = Fr2 =

Q 3/2 √ B2 hn2 g

2/3

= 1,18 m. (2)

Q

3/2 √

B1 hn1

g

= 0,68 et

= 0,89. L’écoulement est en régime subcritique dans le premier bief,

et il est en régime subcritique dans le second bief. Un ressaut se forme.

Correction du problème 1 Question (a) La conservation du débit nous impose Q = B(x)h(x)¯ u(x).

(5.2)

La charge hydraulique s’écrit h+z+

u ¯2 = H, 2g

soit encore

Q2 = H. 2gB 2 h2 On différentie par rapport à x et on introduit i = −z ′ et j = −H ′  ′  Q2 B h′ ′ h − + = i − j. gB 2 h2 B h h+z+

En regroupant les termes, on a h′ =

u ¯2 B ′ g B , 1 − F r2

i−j+

(5.3)

avec F r2 = u ¯2 /(gh) = Q2 /(gB 2 h3 ).

Question (b) La hauteur normale hn est définie comme la hauteur pour laquelle le numérateur du rapport dans l’équation de la courbe de remous (5.3) est nul : i−j+

u ¯2 B ′ u ¯2 Q2 B ′ =i− 2 + 2 2 = 0, g B C Rh gh B B

avec Rh = Bh/(B+2h) le rayon hydraulique. Autrement dit c’est la solution de l’équation algébrique B + 2h 1 B ′ ih2 B 2 = . (5.4) − C 2 Bh gB Q2 Pour la hauteur critique hc , on est en terrain connu puisque l’on retrouve la condition sur le dénominateur nul, qui donne s Q2 F r2 = 1 ⇒ hc = 3 . gB 2

Chapitre 5

Hydraulique

101

Question (c) Un écoulement est supercritique quand F r > 1. En termes de vitesse cela impose √

u ¯2 > gh,

or d’après la loi de Chézy, on a u ¯ = C ih, donc en substituant cette loi dans la condition ci-dessus, on a C 2 i > g. Il existe donc une pente critique

g C2 telle que pour i > ic l’écoulement est supercritique, et réciproquement pour i < ic il est subcritique. Cela est indépendant du débit (contrairement à ce qui est trouvé avec des lois plus réalistes comme Manning-Strickler). ic =

Question (d) Avec B(x) = B0 − kx et Rh ∝ h, l’équation (5.4) devient 1 1k ih2 B 2 + = . C 2h g B Q2 Soit encore h3 = On a donc

 h=

Q2 iC 2 B 2

Q2 iC 2 B 2

  k C 2h 1+ , g B

1/3  1/3 k C 2h 1+ , g B

et comme k est petit, on a au premier ordre en k  h=

Q2 iC 2 B 2

1/3   1 k C 2h 1+ . 3g B

En regroupant les termes en h et en faisant un nouveau développement limité en k, on déduit  1/3  1/3 ! Q2 1 k C2 Q2 hn = 1+ . iC 2 B 2 3 g B iC 2 B 2 L’écoulement est supercritique lorsque hn < hc , soit quand  hn < h c ⇒

Q2 iC 2 B 2

1/3

1 k C2 1+ 3g B



Q2 iC 2 B 2

En simplifiant on trouve 1 k C2 1+ 3g B



Q2 iC 2 B 2

s

1/3
ic0 = g/C 2 est la condition usuelle pour observer un écoulement supercritique avec un frottement à la Chézy, et cela indépendamment du débit. On voit que la contraction du radier avec un coefficient k a pour effet d’augmenter la pente à partir de laquelle le régime supercritique est observé car le second terme dans le membre de droite dans (5.5) est positif (quelle que soit la valeur de i). Pour s’en convaincre on peut poser i = ic0 + δi avec δi ≪ 1. En reportant dans (5.5), on trouve  1/3 k Q2 α δi > avec α = . 1 + α/3 B ic0 C 2 B 2 Le facteur correctif dépend du débit.

Question (e) Le débit critique est

s hc =

3

Q2 = 2,16 m gB 2

La hauteur normale est solution de l’équation. Bh , B + 2h qui donne hn = 43 cm. Si on fait l’approximation d’un canal large, alors r Q2 3 hn = = 42,7 cm. iC 2 B 2 Q2 = B 2 C 2 ih2

Comme le régime est supercritique et que la condition initiale vérifie hc > h0 > hn , on doit avoir une courbe de remous décroissante qui tend vers son asymptote hn . Si on intègre numériquement l’équation de la courbe de remous (5.3) avec pour condition initiale h(0) = h0 on obtient la solution tracée sur la figure 5.11. Cette figure a été obtenue avec Mathematica en quelques lignes Q = 500 B = 50 i = 0.2 Ch = 80 q = Q/B g = 9.81 eqn = NDSolve[{ h[0] == 1, h'[x] == (i - q^2/Ch^2/h[x]^3)/(1 - q^2/g/h[x]^3) }, h, {x, 0, 200}] Plot[h[x] /. eqn, {x, 0, 200}, Frame -> True, FrameLabel -> {"x", "h"}, BaseStyle -> {FontFamily -> "Times New Roman", 12}]

Chapitre 5

Hydraulique

103

1.0 0.9

h

0.8 0.7 0.6 0.5 0

50

100

150

200

x

Figure 5.11 : courbe de remous.

Correction du problème 2 Question (a) L’énergie totale au point 2 (en prenant le fond du canal comme référence des z) est E2 = ∆z + h2 +

u22 , 2g

avec h2 = hc et u2 = Q/(W2 h2 ). Comme F r = 1, on en déduit que s h2 = hc =

3

Q2 gW22

On a donc F r = 1 ⇒ u22 /(2g) = hc /2 et donc 3 E2 = ∆z + h2 , 2

Question (b) Par définition, on a E1 = ∆z + h1 + avec u1 = Q/(W1 h1 ).

u21 2g

104

Chapitre 5

Hydraulique

Question (c) Les deux points étant sur le même plan, il y a égalité des énergies spécifiques en l’absence de perte de charge. Donc s u21 Q2 3 3 Q2 E1 = ∆z + h1 + = E2 ⇒ h1 + = 2g 2 gW22 2gW12 h21 ou bien encore

 3/2 √ Q2 2 2g Q = √ W2 h1 + 2gW12 h21 3 3

Question (d) AN : Q = 3,5 m3 /s.

Question (e) Comme l’écoulement est subcritique, on peut supposer que l’énergie cinétique est bien plus faible que la pression, donc h1 ≫ Il s’ensuit alors

Q2 2gW12 h21

√ 2 2g 3/2 Q ≈ √ W2 h1 3 3

AN Q = 3,41 m3 /s. L’erreur relative est donc ∆Q 3,41 − 3,5 = = −2,6 % Q 3,5

Correction du problème 3 Question (a) Les parois en verre sont bien plus lisses que le fond en gravier. Le frottement y est donc moindre. Négliger le frottement des parois en verre est donc pertinent.

Question (b) 1/6

On a K = 23,2/d90 = 54 m1/3 /s. On calcule les hauteurs demandées  hn =

q √ K i

3/5

 = 4,4 cm et hc =

q2 g

1/3 = 5,6 cm.

Chapitre 5

Hydraulique

105

Question (c) Comme hn < hc le régime est supercritique. Le nombre de Froude est F r = q/ 1,45 dans la partie du canal où la hauteur atteint la hauteur normale.

p

gh3n =

Question (d) L’équation de la courbe de remous est jf − i dh N (h) (hn /h)10/3 − 1 = = 2 =i dx D(h) (hc /h)3 − 1 Fr − 1 On voit que le signe de h′ dépend de la position de h par rapport à hn et hc . Pour h0 = 2 cm, on a h0 < hn < hc , donc N (h0 ) < 0 et D(h0 ) < 0. La courbe est croissante. Elle tend vers hn . Pour h0 = 5 cm, on a hn < h0 < hc , donc N (h0 ) > 0 et D(h0 ) < 0. La courbe est décroissante. Elle tend vers hn . Pour h0 = 10 cm, on a hn < hc < h0 , donc N (h0 ) > 0 et D(h0 ) > 0. La courbe est croissante. Elle croît indéfiniment. On note que la condition à la limite aval (chute d’eau avec passage à un écoulement critique) n’influe pas sur la solution calculée ici car l’écoulement est supercritique dans le canal, donc pas influencé par ce qui se passe à l’aval. 0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 0

5

10

15

20

Figure 5.12 : solution numérique de la courbe de remous pour les trois conditions imposées.

Correction du problème 4

106

Chapitre 5

Hydraulique

Question (a) La formule généralisée de Keulegan permet d’exprimer la contrainte à la paroi τp (c.à.-d. le frottement au fond) en fonction de la hauteur d’eau h et de la vitesse moyenne de l’écoulement u ¯: κ2 τp = 2 11h ϱ¯ u2 . ln ( ks ) En régime permanent uniforme, le frottement au fond reprend le poids de la colonne d’eau (qui est la force motrice de l’écoulement) et on peut écrire que τp = ϱgRh sin θ ≈ ϱgRH i pour des pentes faibles, avec θ l’angle du fond avec l’horizontale et i la pente du fond. Ici, on ne peut pas faire l’approximation RH ≈ h car le canal ne peut pas être considéré comme infiniment large. Pour h = h0 , on a u ¯ = Q/Bh0 et RH = h0 B/(2h0 + B). On peut donc écrire ϱgRH i = ou encore

Q2 κ2 ϱ , H B 2 h20 ln2 ( 11R ks ) s

ks = 11RH exp ±

κ2 Q2 gRH i B 2 h20

! .

On trouve ks = 1,56 m (l’autre solution de l’équation, ks = 147,44 m, n’est pas réaliste, on rappelle que ks ≈ 2d90 ). On remarque que h/ks < 10. La formule généralisée de Keulegan est donc valide dans notre cas. Cependant, il faut garder à l’esprit que cela ne signifie pas qu’elle est forcément la loi la plus adaptée.

Question (b) 2/3 √ D’après la loi de Manning-Strickler, Q = SRH iK. Ici, S = Bh0 et RH = h0 B/(2h0 + B). En résolvant pour K on trouve K = 16,5 m1/3 s−1 . Cette valeur indique que le canal est très rugueux.

Question (c) En utilisant ks = 1,56 m et K = 16,5 m1/3 s−1 on trouve s H B 2 h21 gRH i ln2 ( 11R ks ) Q1 = = 17,1 m3 /s κ2 pour la formule généralisée de Keulegan et 2/3 √ Q1 = KRH iBh1 = 16,1 m3 /s pour la loi de Manning-Strickler.

Chapitre 5

Hydraulique

107

Question (d) On trouve Fr =

Q1 √ = 0,11 Bh1 gh1

qui indique un écoulement subcritique (fluvial) et Re =

4RH ū = 5 · 109 ν

qui indique un écoulement turbulent.

Question (e) Le débit dans chacun des canaux secondaires vaut Q1 /2. En appliquant la loi de ManningStrickler dans un des canaux secondaires on peut donc écrire Q1 2/3 √ = KRH is Bh2 . 2 En exprimant RH en fonction de h2 et en résolvant pour h2 , on trouve h2 = 3,73 m.

Question (f) En partant de la définition de la hauteur critique et de la formule du nombre de Froude on trouve   Q1 /2 2/3 hc = = 0,64 m. √ B g On remarque que h2 > hc dans les canaux secondaires, ce qui indique que le régime est subcritique (fluvial). Le régime ne change donc pas du canal principal aux canaux secondaires. Il n’y a ni chute (passage de fluvial à torrentiel) ni ressaut hydraulique (passage de torrentiel à fluvial).

Question (g) Doivent figurer sur le schéma la hauteur d’eau h (c.-à.-d. la surface libre), la hauteur normale hn et la hauteur critique hc pour chaque bief; ainsi que les éventuels ouvrages hydrauliques et ressauts hydrauliques. Ici, de l’amont vers l’aval, – h = hn loin de l’embranchement (régime permanent uniforme); – hc < h < hn à l’approche de l’embranchement (la hauteur diminue mais il n’y a pas de changement de régime, c.-à.-d. que h ne croise pas hc ); – après le changement de pente, h tend vers la nouvelle valeur de hn (le régime redevient permanent uniforme loin de l’embranchement). Puisque le régime est subcritique (fluvial) dans les deux biefs, h et hn sont toujours audessus de hc .

108

Chapitre 5

Hydraulique

Figure 5.13 : courbe de remous qualitative au passage du canal principal aux canaux secondaires.

Question (h) Par souci de simplification, on note ici Q le débit, h la hauteur d’eau et i la pente dans chacun des canaux secondaires. Dans le cas de la section trapézoïdale on a S = h(b + 3h) pour la section mouillée, √ h(b+3h) √ pour le rayon hydraulique. χ = b + 2h 10 pour le périmètre mouillé et RH = b+2h 10 La loi de Manning-Strickler permet d’écrire : 4/3

Q2 − S 2 RH K 2 i = 0 On note f (h) cette fonction. La solution peut être approchée par la méthode itérative de Newton qui dit que f (hn ) hn+1 = hn − ′ . f (hn ) On calcule donc f ′ (h) : f ′ (h) = −2 d’où avec et

4 dRh 1/3 2 dS 4/3 · SRH K 2 i − S 2 R K i dh 3 dh h

  dS 4/3 4 dRh 1/3 f ′ (h) = −K 2 iS 2 RH + S Rh dh 3 dh dS = b + 6h dh √ √ dRh b2 + 6hb + 12h2 10 − 6h 10 √ = . dh (b + 2h 10)2

La valeur initiale h0 de h est obtenu avec l’hypothèse d’un canal infiniment large (Rh ≈ h) et d’une section rectangulaire simple (S = bh). Pour Q = 8 m3 /s, K = 16,5 m1/3 s−1 , i = 0,01 et b = 3 m, on trouve 3/10  Q2 h0 = = 1,38 m. b2 K 2 i

Chapitre 5

Hydraulique

109

On itère ensuite jusqu’à convergence de hn+1 : h1 = h0 −

f (h0 ) = 1,1335 m, f ′ (h0 )

f (h1 ) = 1,0695 m, f ′ (h1 ) h3 = 1,0751 m, h4 = 1,0741 m, etc. h2 = h1 −

Astuce : il est utile d’utiliser la touche ANS de sa calculatrice à la place de h pour automatiser le calcul : >> ANS − f (ANS)/f ′ (ANS). h converge vers 1,07 m. Le nombre de Froude vaut 0,37, le régime est subcritique (fluvial).

Exercice 3 Question (a) On va calculer la force de pression par unité de largeur qui s’exerce sur le barrage. En considérant la pression atmosphérique comme patm = 0 Pa, on peut écrire la distribution de pression hydrostatique le long du barrage comme p = ϱg(h0 − y). On a prit le fond du lac comme altitude 0. On sait que la force de pression totale s’exprime comme: Z F = −pnds S

y ds

dy φ x

dx

Figure 5.14 : Incrément de surface infinitésimale sur le barrage

Étant donné la géométrie du problème (voir figure 5.14) on peut exprimer ds en fonction de la hauteur du barrage comme suit : ds = ldy/ sin ϕ = 2ldy, où l est la largeur (inconnue) du barrage. On veut calculer l’intensité de force de pression qui s’exerce sur le barrage, c’est-à-dire la norme de F = ∥F ∥.

Z

Z Z



pds ∥−pn∥ ds = F = ∥F ∥ = −pnds = S

S

S

Car ∥n∥ = 1. On peut donc écrire: Z h0 1 ϱg(h0 − y)ldy = 2ϱgl[h0 y − y 2 ]h0 0 = ϱglh20 F = 2 0

(5.6)

La force de pression totale par unité de largeur est donc f = F /l = ρgh20 . L’application numérique donne: f = 981 kN/m

110

Chapitre 5

Hydraulique

Question (b) En se servant de la formule de Torricelli, on peut évaluer la vitesse de l’écoulement en sortie de la buse p u = 2gh0 = 14 m s−1 Le débit correspondant à cette vitesse est Q = uSbuse = u

πD2 = 2,75 m3 s−1 4

(5.7)

Question (c) Soit hsortie la hauteur de l’écoulement dans le canal juste en aval de la buse et Ssortie = ℓhsortie la surface de l’écoulement dans le canal juste en aval de la buse. On a supposé que l’écoulement occupe toute la largeur du canal. La conservation du débit impose Q = uSsortie = uℓhsortie ⇒ hsortie =

Q = 3,9 cm uℓ

Question (d) En appliquant la formule de Jäggi: K=

23.2 1/6 d90

= 44,52 ≈ 45 m1/3 s−1

Question (e) Nous allons utiliser la loi de Manning-Strickler pour calculer la hauteur normale hn , c’est-à-dire la hauteur de l’écoulement en régime permanent et uniforme. Comme nous supposons le canal infiniment large (ℓ ≫ h), le rayon hydraulique devient : RH =

ℓhn hn = ≈ hn ℓ + 2hn 1 + 2hℓn

En utilisant la loi de Manning-Strickler et u = Q/hn ℓ il vient: τp =

ϱg u2 = ϱgiRH K 2 h1/3 n u2 K 2 iRH Q2 ⇒ h1/3 = n h3n ℓ2 K 2 i  3/5 Q √ ⇒ hn = ℓK i ⇒ h1/3 =

L’application numérique donne hn = 56,5 cm

Chapitre 5

Hydraulique

111

Question (f) La hauteur critique du canal se calcule en considérant l’écoulement comme étant à nombre de Froude égal à 1. Soit

u Q √ Fr = 1 = √ = ghc ℓhc ghc s Q2 ⇒ hc = 3 2 = 31,4 cm ℓ g

Question (g) Lorsque l’écoulement est permanent et uniforme la hauteur d’eau est hn (par définition). On peut donc calculer le nombre de Froude pour cette hauteur d’eau: Fr = √

u Q = 3/2 √ = 0,41 ghn ℓhn g

L’écoulement est en régime subcritique.

Question (h) La charge spécifique est défini comme : Hs = h +

u2 Q2 =h+ 2 2 2g 2ℓ h g

(5.8)

On fait l’hypothèse que le seuil soit suffisamment épais pour que l’écoulement soit à la hauteur critique au niveau du seuil (voir les notes de cours). La charge spécifique vaut donc Hs = 0,47 m.

Question (i) On suppose qu’il n’y a pas de dissipation d’énergie (question 8), on peut donc dire que la charge totale se conserve. La charge totale étant défini comme : H = Hs + p = 1,47 m avec p la hauteur du seuil. On peut exprimer la charge totale en amont comme une fonction de la hauteur en amont ha :

H=

Q2 + ha 2ℓ2 h2a g

⇒ f (h) = h3a − Hh2a +

Q2 2ℓ2 g

112

Chapitre 5

Hydraulique

Afin de résoudre cette équation polynômiale du troisième ordre, on va utiliser la méthode de Newton. Comme indiqué dans le cours, si la vitesse est très faible en amont du seuil on peut estimer que H ≈ ha . On va donc utiliser h0 = H = 1,47 m comme valeur initiale dans le calcul de la méthode de Newton. Elle converge vers la valeur ha = 1,46 m en 5 itérations.

Figure 5.15 : Courbe de remous du canal

CHAPITRE

Équations de Navier-Stokes

Rappel du cours Loi de comportement newtonienne Un fluide est dit newtonien si les contraintes Σ varient linéairement avec les taux de déformation D (et donc si la viscosité est constante) : Σ = −p1 + 2µD ou bien T = 2µD, avec T le tenseur des extra-contraintes.

Équations de Navier-Stokes Lorsque le fluide est newtonien, les équations de conservation (masse et quantité de mouvement) s’appellent équations de Navier-Stokes :   ∂u ϱ + u∇u = ϱg − ∇p + 2µ∇ · D. ∂t Les équations de Navier-Stokes d’un fluide incompressible s’écrivent en coordonnées cartésiennes (x, y, z) :    2  ∂p ∂u ∂u ∂u ∂u ∂ u ∂2u ∂2u =− + 2 + 2 , ϱ +u +v +w + ϱgx + µ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x2 ∂y ∂z  ϱ  ϱ

∂v ∂v ∂v ∂v +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z

∂w ∂w ∂w ∂w +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z





∂p =− + ϱgy + µ ∂y

∂p =− + ϱgz + µ ∂z





∂2v ∂2v ∂2v + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2



∂2w ∂2w ∂2w + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

,  ,

avec p pression du fluide, u = (u, v, w) les composantes du champ de vitesse, g = (gx , gy , gz ) l’accélération de la gravité. L’équation de continuité est ∂u ∂v ∂w + + = 0. ∂x ∂y ∂z 113

6

114

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Équations moyennées de Navier-Stokes Lorsque l’écoulement est turbulent, on cherche principalement à déterminer les caractéristiques de l’écoulement moyen. Pour cela on considère la décomposition de Reynolds de la vitesse en une valeur moyenne et une fluctuation : u = ⟨u⟩ + u′ (le symbole ⟨·⟩ désigne l’opérateur moyenne, u′ la fluctuation de vitesse). Les équations moyennées de Navier-Stokes s’écrivent :   ∂⟨u⟩ ϱ + ∇ · ⟨u⟩⟨u⟩ = −∇⟨p∗ ⟩ + ∇ · T¯ − ϱ∇ · ⟨u′ u′ ⟩, ∂t où p∗ est la pression généralisée. Cette équation est appelée équation de Reynolds. Elle est semblable à la première (Navier-Stokes) si ce n’est qu’un nouveau terme est apparu Σt = −ϱ⟨u′ u′ ⟩. C’est le tenseur de Reynolds qui représente la turbulence. Ce nouveau tenseur (symétrique) introduit de nouvelles inconnues et il faut donc fournir des relations supplémentaires pour résoudre le système d’équations. On parle de fermeture des équations du mouvement.

Modèle de longueur de mélange Le modèle de longueur de mélange fournit une équation de fermeture simple (car algébrique). On écrit que la contrainte turbulente est τ = µt

d⟨u⟩ , dy

avec µt la viscosité turbulente et ⟨u⟩ la vitesse moyennée. Dans ce modèle, la viscosité turbulente vérifie 2 d⟨u⟩ µt = ϱℓ , dy où ℓ = κy est la « longueur de mélange » (κ = 0,41 la constante de von Kármán).

Exercice 1 : écoulement laminaire entre deux plans parallèles Dans cet exercice, nous allons considérer l’écoulement d’un fluide newtonien entre deux plaques horizontales séparées d’une distance 2b. Voir figure 6.1. L’écoulement se fait selon l’axe x, la longueur des plaques L ainsi que leur largeur ℓ sont beaucoup plus grandes que l’espace 2b qui les séparent (L ≫ 2b, ℓ ≫ 2b), si bien que l’on peut considérer que les plaques sont de taille infinie selon x et z. Une pompe impose un gradient de pression dp/dx dans la direction x. Le fluide est de masse volumique ϱ et de viscosité µ. On suppose que l’écoulement est permanent, laminaire et on néglige les effets de la pesanteur. 1. Déterminer le champ de vitesse au sein de l’écoulement. Pour cela, partir des équations de Navier-Stokes, projeter les dans le repère xyz puis éliminer tous les termes nuls et intégrer l’équation différentielle pour obtenir le champ de vitesse.

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

115

y L

ℓ

2b

x S2

S1

Figure 6.1 : schéma de principe.

y

y=e=2b y=b x Figure 6.2 : vue en coupe

2. Déterminer le débit par unité de largeur transitant dans la conduite, en déduire la vitesse moyenne de l’écoulement. 3. Déterminer la contrainte de cisaillement τ dans l’écoulement. 4. Déterminer la puissance dissipée.

Exercice 2 : circulation sanguine On considère le sang comme un fluide newtonien de masse volumique constante ϱ = 1000 kg/m3 ; la viscosité cinématique est ν = 5 mm2 /s. Une grosse artère est assimilable à une conduite circulaire de diamètre d = 8 mm et de longueur moyenne L = 12,5 cm. Un adulte a environ n = 40 grosses artères. La pression à l’entrée de l’aorte est de 13 kPa. Le débit artériel total est de 5 L/min. 1. 2. 3. 4.

Quel est le débit dans une grosse artère ? Quelle est la vitesse moyenne ? Quel est le nombre de Reynolds ? Le régime est-il laminaire ou turbulent ? Calculez la forme du champ de vitesse en supposant un régime laminaire. (On démontre ici la loi de Poiseuille dans un cylindre) 5. Intégrer le profil de vitesse pour déterminer le débit. 6. Calculer la variation de pression caractéristique pour une grosse artère en supposant que le débit est constant (on néglige le caractère pulsé de la circulation sanguine). Qu’en déduisez-vous par rapport à la pression à l’entrée de l’aorte ? Que se passe-t-il si le diamètre de l’artère diminue ? (sténose).

116

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Figure 6.3 : vue en coupe

Figure 6.4 : vue en coupe

Hypothèses : écoulement laminaire, gravité négligée.

Exercice 3 : vidange d’un réservoir de fluide visqueux Un réservoir de glycérol dont le niveau est maintenu à une hauteur H = 10 cm alimente une conduite circulaire de rayon r = 2 mm et de longueur L = 5 cm. Déterminer, à l’aide des réponses de l’exercice 2 : 1. Le débit de sortie. 2. La vitesse moyenne et maximale de l’écoulement 3. La force totale de frottement sur le tube

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

117

y x

H

Glycérol µ = 1 Pa · s ρ = 1,3 · 103 kg/m3 L

2r

Figure 6.5 : vue en coupe

Exercice 4 En station d’épuration, une des étapes du traitement primaire des boues est la décantation. Pour déterminer combien de temps on va devoir attendre pour que les particules supérieures à un diamètre D = 10 µm soient déposées au fond du bassin, l’ingénieur doit faire au préalable le calcul de la sédimentation de ces particules. Les particules ont une masse volumique ϱp = 2650 kg/m3 , elles sédimentent dans de l’eau (ϱf = 1000 kg/m3 , ν = 10−6 m2 /s. On étendra le raisonnement à un parachutiste. 1. Le régime étant supposé laminaire, donner l’expression de la force visqueuse, du poids et de la poussée d’Archimède qui s’exerce sur les particules de diamètre D = 10 µm. 2. Calculer la vitesse de sédimentation. 3. Calculer le nombre de Reynolds particulaire 1 . Somme-nous bien dans un régime laminaire ? 4. Combien de temps doit-on attendre pour que les particules tombent au fond sachant que la hauteur du bassin est H = 1,5 m. 5. Calculer la vitesse de chute dans le cas d’un parachutiste (D = 1,8 m) dans l’air (ϱf = 1,2 kg/m3 et ν = 10−5 m2 /s). La vitesse vous semble-t-elle raisonnable? 6. Sachant qu’un parachutiste chute à environ 10 m/s, calculer le nombre de Reynolds. Quel est le régime ?

Exercice 5 : viscosimètre de type Couette On se propose de mesurer expérimentalement la viscosité d’un fluide newtonien. Pour ce faire on dispose d’un viscosimètre muni d’une géométrie de type Couette (voir figure 1. « Particulaire » signifie ici que l’on prend le diamètre de la particule comme longueur caractéristique

118

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Figure 6.6 : décanteur dans une station d’épuration

6.7). Il s’agit en fait de deux cylindres concentriques d’axe z entre lesquels se trouve le fluide. Le cylindre intérieur de rayon R1 = 5,0 cm est en rotation à vitesse angulaire constante Ω1 , tandis que le cylindre extérieur de rayon R2 = 5,5 cm est fixe (Ω2 = 0). Pour entretenir la rotation, on doit appliquer un couple C constant sur le cylindre intérieur. Hypothèses : écoulement laminaire, gravité négligée. 1. Déterminer les composantes non nulles du champs de vitesse au sein du fluide à l’aide de considérations de symétrie et de l’équation de conservation de la masse. 2. Simplifier les équations de conservation de la quantité de mouvement. 3. Établir la relation     1 ∂ ∂uθ uθ ∂ 1 ∂(ruθ ) r − 2 = . r ∂r ∂r r ∂r r ∂r 4. Donner l’expression du champ de vitesse dans la cellule grâce aux conditions limites. 5. Déterminer la relation entre le couple qu’il faut exercer pour maintenir la vitesse de rotation du cylindre intérieur constante et la viscosité du fluide sachant que les cylindres ont une hauteur h = 10 cm. Calculer ensuite la viscosité du fluide sachant que pour Ω1 = 0,1 rad/s on mesure un couple C = 2,42 · 10−3 N m.

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

ez y M r R1

θ x

R2

Figure 6.7 : vue et représentation schématique d’une géométrie de type Couette.

119

120

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Problème 1 Au LHE, un doctorant étudie les écoulements granulaires. À cet effet, il utilise un canal incliné dont le fond est mobile (c’est un tapis roulant) ; voir figure 6.8. Avec ce dispositif, il peut créer des écoulements permanents d’épaisseur uniforme h. La vitesse du fond est notée u0 . L’écoulement granulaire est supposé isochore. Il est constitué de grains dont le diamètre est d ; la masse volumique moyenne du mélange est ϱ. La pente du canal est noté θ. Le fond est rugueux et il y a adhérence à la paroi. L’air n’exerce aucune contrainte sur la surface libre. Voir figure 6.9.

Figure 6.8 : vue du canal incliné composé d’un tapis roulant. Dans cette expérience, un fluide interstitiel est utilisé afin de rendre le mélange iso-indice (donc transparent). Les particules sont marquées avec un colorant fluorescent qui réfléchit la lumière d’une nappe laser émise dans une certaine longueur d’once, permettant ainsi de les repérer.

(a) Écrire les équations de conservation de la quantité de mouvement et les simplifier en tenant compte des symétries du problème. Comment s’écrivent les conditions aux limites ? (b) En déduire une relation pour la contrainte normale totale Σy = σy − p et la contrainte tangentielle τ après intégration en fonction de y. (c) En première approximation, le doctorant suppose que le matériau granulaire se comporte comme un fluide newtonien de viscosité dynamique µ. Intégrer la relation τ (y) en tenant compte des conditions aux limites afin d’obtenir le profil de vitesse u(y). Calculer le débit (par unité de largeur) associé à ce profil. (d) Il suppose maintenant que le matériau granulaire se comporte comme un fluide non newtonien dont la viscosité µ(γ) ˙ peut être estimée à partir de la loi empirique dite « µ(I) » qui généralise la loi de Coulomb en supposant que le frottement varie avec le taux de cisaillement γ˙ dγ˙ τ = µ(I)|σy | avec I = p |σy |/ϱ (I est un nombre adimensionnel appelé le plus souvent « nombre inertiel »). Le calage sur des données de laboratoire a permis de proposer une loi (dite loi de Jop), qui a la forme

Chapitre 6 suivante µ(I) = µ1 +

Équations de Navier-Stokes

121

µ2 − µ 1 , I0 /I + 1

avec µ1 et µ2 deux constantes correspondant aux frottements en statique et dynamique, et I0 une autre constante (reflétant un critère de transition entre régimes). On supposera que la pression est nulle (p = 0) à travers toute la couche (dans ce modèle, on suit le principe de Terzaghi, c’est-à-dire la contrainte totale Σy = σy − p résulte de la superposition d’une contrainte fluide p – supposée isotrope – et d’une contrainte σy dite effective représentant les contraintes dans le milieu granulaire). Intégrer τ (y) et obtenir u(y) en tenant compte des conditions aux limites. Tracer l’allure du profil de vitesse ainsi obtenu et le comparer avec le profil newtonien.

y O x u0

u(y)

y=h

Figure 6.9 : schéma de principe du canal incliné composé d’un tapis roulant.

122

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Problème 2 On considère l’écoulement permanent d’un fluide newtonien incompressible de viscosité cinématique ν entre deux plans parallèles de grandes dimensions, placés horizontalement, et séparés d’une distance d (voir figure 6.10). Le fluide est mû par un gradient de pression constant ∂px = −a < 0 (avec a une constante positive). L’axe x est orienté dans le sens de l’écoulement. (a) En supposant que l’écoulement est en régime laminaire, écrire les équations de NavierStokes et les conditions aux limites. Les simplifier en tenant compte des symétries simples du problème. (b) Résoudre les équations : déterminer le profil de vitesse en fonction de a, le tracer. Quelle est la vitesse moyenne du fluide u ¯? (c) Calculer la contrainte de cisaillement et tracer son profil. (d) Le coefficient de Darcy-Weisbach f est lié aux pertes de charges (ici le gradient de pression qu’il faut imposer pour mouvoir le fluide) de telle sorte que 1 L ϱ¯ u2 |∆p| = f 2 Dh avec Dh = d le diamètre hydraulique, L la longueur sur laquelle est appliqué le gradient de pression (si ∆p est la différence de pression entre deux points séparés de L, alors ∂x p = ∆p/L = −a), ϱ la masse volumique du fluide. Calculer f en régime laminaire en fonction du nombre de Reynolds Re = 4Dh u ¯/ν. (e) On considère maintenant que l’écoulement est en régime turbulent. On adopte une équation algébrique de fermeture de type « longueur de mélange » pour la viscosité turbulente. Quelle est la forme du profil de vitesse moyennée près de la paroi (on supposera que la contrainte est constante et égale à la contrainte pariétale).

y

y=d g

d x Figure 6.10 : écoulement entre deux plaques parallèles.

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

123

Problème 3 On étudie un des problèmes de Stokes : l’écoulement oscillant d’un fluide newtonien de viscosité cinématique ν et masse volumique ϱ placé entre deux plaques (supposées de dimensions infinies). L’épaisseur de fluide est notée h. La plaque supérieure subit un mouvement oscillant dans la direction x : x(t) = A sin(ωt) avec A l’amplitude et ω la fréquence angulaire du mouvement (ou pulsation). La plaque inférieure est immobile. On cherche à calculer le champ de vitesse fluide entre les deux plaques. La pression est notée p. Le champ de vitesse est noté u = (u,v). On admet qu’il n’y a pas de gradient de pression dans le sens horizontal : ∂x p = 0. On introduit un repère cartésien galiléen fixe (0, x, y) tel qu’il est montré sur la figure 6.11. Le vecteur gravité est dans ce repère g = (0, − g). y

h O

x

Figure 6.11 : oscillation d’une plaque entraînant un fluide newtonien.

(a) Déterminez les conditions aux limites cinématiques. (b) Compte tenu des symétries du problème (qui permettent de simplifier sa formulation), déterminer quelles sont les variables du problème. (c) Sur la base de la dernière question, comment se simplifie l’équation de Navier-Stokes (conservation de la quantité de mouvement) projetée selon y ? (d) Comment se simplifie l’équation de Navier-Stokes projetée selon x ? (e) Quelle est la solution à l’équation de Navier-Stokes parmi celles reportées ci-dessous ?

124

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Correction des exercices Exercice 1 Q S

b2

∂p = − 3µ ∂x . (3) τ =

Exercice 2 u ¯d ν





1 ∂P y 2 µ ∂x 2 − by ∂P ∂x (y − b). (4) ϕ

(1) u =

(1) q =

Q n

3

. (2) Débit Q = − 23 bµ
2 3 = 32 bµ ∂P ∂x .

= 2,08 × 10−6 m3 /s. (2) u ¯ =

∂p ∂x

et vitesse moyenne Um =

q π(d/2)2

= 4,14 cm/s. (3) Re =

= 66. On peut considérer l’écoulement comme laminaire. (4) uz =

∂p Q = − ∂z

∆p =

πR4

∂p 8µ . (6) ∂z − 128µ qL = −13 πd4

Exercice 3

=

∆p L

a 2 4µ (r

− R2 ). (5)

= − 128µ q, soit sur la longueur d’une artère on a donc πd4

Pa soit un gradient de ∂p/∂z = −103 Pa/m.

(1) q = 0,01 mL/s. (2) umax = 0,064 m/s. (3) F = 4 mN.

Exercice 4 (1) La force exercée par le fluide sur la particule est Fd = 3πµdup = 3πνϱf dup . Les autres forces qui s’appliquent sont la poussée d’Archimède Πa = π(d3 /6)ϱf gez ϱ −ϱ gd2 ez . AN : up = 90 µm/s. (3) et le Poids Fg = −π(d3 /6)ϱp gez . (2) up = − pϱf f 18ν Re = 9 × 10−4 , on est bien en régime laminaire. (4) Le temps de sédimentation est de l’ordre de 46 h. (5) La vitesse de sédimentation devrait être de 108 m/s ! (5) En condition normale de chute Re = 1,2 × 106 , Il s’agit d’un écoulement turbulent, il faut prendre en compte une force de traînée de type Fd = Cd ϱf d2 u2 .

Exercice 5 4πhµ

R12 R22 R12 −R2

(1) u = uθ (r)eθ et ur = 0. (4) uθ =

R12 Ω1 r R12 −R22



1−

R22 r2



. (5) M ==

Ω1 ez . AN µ = 1,34 Pa s avec C = Mo = 2,42 10−3 Nm.

Correction du problème 1 Question (a) La conservation de la quantité de mouvement s’écrit ϱ

d u = ϱg − ∇p + ∇ · σ. dt

Comme on est en régime permanent uniforme, les termes en ∂x et ∂t disparaissent. Donc on peut simplifier grandement. Par ailleurs l’équation de continuité impose que v = 0 (voir démonstration du cours). La projection de cette équation dans un repère cartésien nous donne dτ 0 = ϱg sin θ + , dy et 0=−

dσy dp − ϱgy cos θ + . dy dy

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

125

Question (b) En tenant compte de τ (h) = 0 et Σy (h) = 0, l’intégration est triviale et nous indique que le champ de contraintes est linéaire avec la profondeur, et cela indépendamment de la forme de la loi de comportement τ (y) = ϱg sin θ(h − y),

(6.1)

Σy (h) = σy − p = −ϱg cos θ(h − y).

(6.2)

Question (c) La loi de comportement est τ = µγ˙ que l’on égale à la distribution (6.1) : γ˙ =

du ϱ = g sin θ(h − y), dy µ

soumis à u(0) = −u0 . L’intégration donne le profil parabolique   ϱ 1 2 u(y) = g sin θ hy − y + C µ 2 avec la constante d’intégration telle que u(0) = −u0 , donc C = −u0 . Le profil est donc   ϱ 1 2 u(y) = g sin θ hy − y − u0 . (6.3) µ 2 Une nouvelle intégration donne le débit par unité de largeur : Z

h

q= 0



ϱ u(y)dy = g sin θ µ



1 2 1 3 hy − y 2 6



h − u0 y

= 0

gh3 sin θ − hu0 , 3ν

avec ν = µ/ϱ.

Question (d) La loi de comportement est τ = µ(I)σy que l’on égale à la distribution (6.1) : τ = µ(I)|σy | = ϱg sin θ(h − y), soumis à u(0) = −u0 . On a pris p = 0 et donc σy est donné par (6.2). On a donc µ(I) = tan θ. Comme on utilise la loi empirique de Jop µ(I) = µ1 + on tire la relation entre I et θ : I = I0

µ2 − µ 1 , I0 /I + 1

tan θ − µ1 . µ2 − tan θ

126

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

Un écoulement permanent n’est possible que sur la plage de pentes : µ2 ≥ tan θ ≥ µ1 . En utilisant la définition de I, on en déduit le taux de cisaillement : I0 p tan θ − µ1 γ˙ = g cos θ(h − y) . d µ2 − tan θ L’intégration donne le profil en loi puissance 3/2 u(y) = C − a

p 2I0 tan θ − µ1 g cos θ(h − y)3 avec a = 3d µ2 − tan θ

p avec la constante d’intégration telle que u(0) = −u0 , donc C = −u0 + a g cos θh3 . Le profil est donc    p y 3/2 3 u(y) = −u0 + a g cos θh 1 − 1 − . (6.4) h La figure 6.12 compare les deux profils, qui ont des formes assez similaires (ce qui est normal car l’un varie en (h − y)2 et l’autre en (h − y)3/2 ) en dépit de la différence de rhéologie.

1.0

0.8

y

0.6

0.4

0.2

0.0 -0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

u(y) Figure 6.12 : profil de vitesse pour un fluide newtonien (trait discontinu) – donné par le profil (6.3) – et granulaire (trait continu) – donné par le profil (6.4) – ; les unités sont arbitraires. Les paramètres ont été choisis en sorte que la vitesse au fond et celle à la surface libre prennent les mêmes valeurs pour les deux rhéologies.

Correction du problème 3

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

127

Question (a) Il y a adhérence du fluide aux parois donc u = 0 et v = 0 en y = 0, tandis qu’en y = h, u = dx/dt = Aω cos(ωt) et v = 0.

Question (b) Le fluide est mu par la plaque supérieure. On s’attend à avoir une pression hydrostatique, pas de vitesse verticale, et une vitesse horizontale qui ne dépend que de la profondeur y. Donc u(y,t) et p(y) sont les variables qui nous intéressent.

Question (c) L’équation originale à résoudre est  ϱ

∂v ∂v ∂v +u +v ∂t ∂x ∂y

 =−

∂p − ϱg + µ ∂y



∂2v ∂2v + ∂x2 ∂y 2

 ,

Compte tenu des symétries, on obtient directement 0=−

1 ∂p −g ϱ ∂y

Cela confirme que la distribution de pression est hydrostatique.

Question (d) L’équation originale à résoudre est    2  ∂u ∂u ∂u ∂p ∂ u ∂2u ϱ +u +v =− +µ + 2 , ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x2 ∂y Après simplification, on obtient ∂u ∂2u = ν 2. ∂t ∂y

Question (e) Dans la limite h → ∞, l’effet de la paroi immobile sur l’écoulement devient négligeable. On recherche alors une solution périodique de la forme u(y, t) = f (y) cos(ωt + ϕ) = R(f (y)eıωt ), avec f une fonction complexe. Pour simplifier la notation, on a fait un changement de variable : l’ordonnée y pointe désormais vers le bas et la position de la plaque mobile est en y = 0. On a donc

∂u ∂2u = ν 2 ⇒ ıω = νf ′′ . ∂t ∂y

128

Chapitre 6

Équations de Navier-Stokes

La solution générale est de la forme r f (y) = ae

−(1+ı)ky

(1+ı)ky

+ be

où k =

ω , 2ν

et a et b sont deux constantes d’intégration. Les conditions aux limites imposent b = 0 et a = Aω. La composante horizontale de la vitesse est donc u = ωAe−ky cos(ωt − ky) tandis que v = 0.

Bibliographie

Ancey, C., BaRdou, E., FunK, M., Huss, M., TRewhela, T. & WeRdeR, M. 2019a Hydraulic reconstruction of the 1818 Giétro glacial lake outburst flood. Water Resources Research 55, 8840–8863. Ancey, C., BaRdou, E. & TRewhela, T. 2019b Reconstruction hydraulique de la débâcle glaciaire du Giétro. Annales valaisannes pp. 89–106. CaRslaw, H. & JaegeR, J. 1959 Conduction of Heat in Solids, second edition. Oxford: Clarendon Press. TayloR, G. 1950 The formation of a blast wave by a very intense explosion. - II. The atomic explosion of 1945. Proceedings of the Royal Society of London series A 201, 175–186. This, H. 1993 Les secrets de la casserole. Paris: Belin.

129

Index

dôme, 33

adhérence, 49 angle de contact, 3

écoulement Couette cylindrique, 2, 115 Couette plan, 1 en charge, 20 granulaire, 118 Poiseuille cylindrique, 8 Poiseuille plan, 112, 120 effet Magnus, 61 énergie spécifique, 81 équation de Bresse, 68 de conjugaison, 83 de continuité, 48 de fermeture, 112 de Jäggi, 95 de la chaleur, 21 de la quantité de mouvement, 48 de Navier-Stokes, 111 de Reynolds, 112 du mouvement, 111 du ressaut, 83 moyennée, 112 équations d’Euler, 49, 55 de Navier-Stokes, 49 explosion, 11

barrage, 89 Maigrauge, 55 poids, 34 bombe, 11 buse, 59, 84 canal, 84–86, 118 charge spécifique, 84 charge hydraulique, 81 coefficient de Chézy, 81 de Darcy-Weisbach, 120 de débit, 83 de traînée, 10, 13, 18 condition aux limites, 49, 83 d’équilibre, 81 constante de von Kármán, 112 contraction, 13, 51 contrainte pariétale, 81 coude, 50, 53 courbe de remous, 68, 87, 89, 93, 95 cylindre, 37

fonction potentiel, 57 force buse, 59 canal, 60 coude, 50, 53, 62 d’Archimède, 31, 33, 115 jet, 50 vanne, 55

diagramme de Moody, 13 digue, 11, 34 décomposition de Reynolds, 112 dérivée convective, 47 locale, 47 matérielle, 47 déversoir, 9, 11, 15, 83

Giétro, 15 131

132

Index

hauteur critique, 84, 85, 87 normale, 82 houle, 11 iceberg, 33 insecte, 3 jet force, 50, 62 hauteur, 50 lac, 15, 89, 95 linéarisation, 57 loi µ(I), 118 de Chézy, 81, 89 de Jurin, 4 de Keulegan, 81, 94 de Laplace, 1 de Manning-Strickler, 81, 82, 84, 85, 94, 95 de Meyer-Peter, 81 de Newton, 1, 111 de Pascal, 31 manomètre, 51 modèle de longueur de mélange, 112, 120 réduit, 11, 57 méthode de Newton, 109 de Rayleigh, 7, 11 nombre de Froude, 7, 11, 82, 86 de Reynolds, 7, 115 Parshall, 91 pertes de charge, 20 pompe, 50 pression, 34, 35, 48 aspiration, 31 atmosphérique, 32 principe d’Archimède, 31 de Terzaghi, 118 problème de Stokes, 121 périmètre mouillé, 81

rayon hydraulique, 81 remontée capillaire, 4 ressaut, 83, 87 rhéologie, 2 régime d’écoulement, 83 subcritique, 83, 91 supercritique, 83, 91 supercritrique, 85 sang, 2, 9, 113 section mouillée, 81 seuil, 15, 83 dénoyé, 83, 91, 95 noyé, 83 siphon, 52–54 soufflerie, 10, 54 sous-pression, 34 surface libre, 49 sédimentation, 10, 115 tenseur des contraintes, 48, 111 des extra-contraintes, 111 tension de surface, 1, 3, 57 théorème de Bernoulli, 49–51, 55, 59 de Reynolds, 48 de Vaschy-Buckingham, 7, 11, 13, 17, 18, 20, 21 torpille, 50 vague, 57 vanne circulaire, 38 de fond, 35 radiale, 35 secteur, 55 vidange, 15, 52, 53, 114 viscosimètre, 115 viscosité, 2 cinématique, 8, 10 dynamique, 8, 10 volume arbitraire, 47 de contrôle, 47

Index matériel, 47 évacuateur de crue, 89

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