Statiques Des Fluides (Exercices Corrigés) [PDF]

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T.D. 1

Statique des fluides

Ex 01 Presse hydraulique Une presse hydraulique représentée ci-contre comporte deux pistons p1 et p2 situés dans le même plan horizontal. Le liquide est incompressible. S1 = 10 cm² S2 = 1000 cm² Quelle force F faut-il exercer sur p1 pour soulever une masse M = 1000 kg posée sur p2. Même question si le piston p1 est situé 1 m en dessous du piston p2 ( µ liq = 1000 kg.m-3 ).

M p1

p2

Ex 02 Manomètre à tube en U Le manomètre ci-contre est destiné à mesurer la pression de l’eau en A. h1 = 20 cm, h2 = 30 cm, µ eau = 1000 kg.m-3, µ Hg = 13600 kg.m-3, p0 = 1 bar Déterminer la pression de l’eau en A.

h2

A h1

Ex 03 Manomètre à liquide à air libre

h

patm = p0 = 1 bar h = 10 cm Le liquide est du mercure ( µ = 13,6 g.cm-3 ) Déterminer la pression du gaz contenu dans l'enceinte. Que vaut h' si le mercure est remplacé par de l'eau µ eau = 1 kg.dm-3

gaz

Ex 04 Manomètre différentiel Le manomètre ci-contre est destiné à mesurer la différence de pression entre A et B. h1 = 4 cm, h2 = 8 cm, µ huile = 980 kg.m-3 µ liq A = 1000 kg.m-3, µ liq B = 1200 kg.m-3, Déterminer la différence de pression entre A et B.

huile h1 h2 liq A

A

B liq B

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Ex 05 Quelle est la pression de l’air au point A

air

p0

air A 30 cm 15 cm

mercure

eau

Ex 06 Une bulle d'air ( G.P. ) de rayon R = 1 mm, s'élève du fond d'un lac profond de 20,4 m. La température du fond est 7°C, la température de surface est 27°C. Quel est le rayon de la bulle lorsqu'elle atteint la surface. ( psurface = 1 bar , µ eau = 1000 kg.m-3 ) Ex 07 Un ballon fermé de masse à vide 30 kg est rempli d'hélium ( G.P. ). Quelle valeur doit atteindre le volume du ballon pour que le ballon commence à s'élever. Quelle est la masse d'hélium utilisée. Mair = 29 g.mol-1, MHe = 4 g.mol-1, pair = 1 bar, pHe = 3 bars, θHe = θair = 20°C Ex 08 Corps partiellement immergé

a h

Un glaçon de forme cylindrique ( h = 3 cm, R = 1 cm θ = 0°C) flotte à la surface de l'eau : µ eau = 103 kg.m-3 µ glace = 920 kg.m-3 g = 9,81 m.s-2 Vimmergé • déterminer Vtotal • quelle force verticale doit-on exercer sur le glaçon pour maintenir le glaçon à la lisière de l'eau et dans l’eau.

Ex 09 Une cuve de propane de volume V = 4 m3 est remplie de propane. C3H8 gaz θ = 20°C Le liquide occupe 25 % du réservoir en volume. La masse du rép = 7,5 bar servoir vide est de 817 kg. Il est fixé au sol à l'aide de quatre vis. L'effort maximal permis sur chaque vis est de 7500 N. C3H8 liq Suite à une inondation, la cuve est entièrement recouverte d'eau. Déterminer l'action qui s'exerce sur chaque vis. Même question si au départ la cuve était "vide" ( c'est à dire ne contenait que du propane gaz à p = 1 bar et θ = 20°C ). µ C3H8 liq = 510 kg.m −3

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Ex 10 Atmosphère isotherme 1. Considérons un fluide de masse volumique µ, soumis au champ de pesanteur supposé uniforme g. Exprimer sous forme différentielle, la condition d'équilibre mécanique du fluide. d ln P M. g =− 2. Ce fluide est de l'air ( G.P. ) montrer que dz R. T 3. On considère que l'atmosphère est isotherme ( T0 ). Déterminer P = f(z) ( P = 1 bar pour z = 0 ). Déterminer P pour z = 4000 m avec θ0 = 15°C et M = 29 g.mol-1

Ex 11 Atmosphère non isotherme Reprendre l'ex n° 10 mais dans ce cas T = T0 - A.z ( pour 0 < z < 11 km ) ( troposphère ) avec T0 : température du sol et A une constante. Etablir la loi P = f ( z ). A.N. Calculer T1 et P1 pour z = 4 km avec θ0 = 15°C P0 = 1 bar et A = 6,5 K.km-1 Ex 12 Hémisphère de Magdeburg Une sphère de rayon R est constituée par deux hémisphères Le "vide" a été effectué à l'intérieur des hémisphères. Exprimer la force que doit exercer l'opérateur pour séparer les deux hémisphères R = 5 cm P0 = 1 bar

Ex 13 z Un barrage hémicylindrique de rayon R est rempli d’eau sur une hauteur h. Déterminer la résultante des forces exercée par l’eau ( et l’air ) sur le barrage eau

air y x

Ex 14 1. On considère un récipient doté d’un fond plat et percé d’une ouverture tronconique de hauteur h et de rayon R ( à la base ). P0 = 1 bar, H = 30 cm, h = 15 cm, R = 10 cm. air

P0

Déterminer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur le cône de la part de l’eau.

eau H air P0

h

2.R

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2. air P0

Un cône est posé est fond de la cuve.

eau H h

Déterminer la résultante des forces de pression exercée par l’eau. Retrouver l’expression du 1. 1 Vcône = . π . R 2 . h 3

2.R Ex 15 Une bouteille de rayon R contient une hauteur H de liquide. Le fond est de forme hémisphérique. Déterminer la direction et l'intensité de la résultante des forces de pression qui s'exercent sur les parois de cette bouteille.

H R

Ex 16 Statique des fluides dans un référentiel non galiléen On considère une cuve contenant de l’eau en translation rectiligne uniformément accélérée par rapport au laboratoire, déterminer l’angle d’inclinaison de l’eau dans la cuve. r a

Ex 17 Statique des fluides dans un référentiel non galiléen z

O ω

Un récipient cylindrique vertical, ouvert à l'air libre, de rayon R contient au repos une hauteur H d'un liquide incompressible et homogène. On fait tourner le récipient autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire constante ω. En supposant que le liquide épouse parfaitement ce mouvement, déterminer la forme de la surface libre et repérer les points extrêmes. Quelle est la vitesse angulaire maximale permise, si l'on veut que le fluide recouvre totalement le fond.

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Corrigé

T.D. 1

Statique des fluides

Ex 01 Presse hydraulique F=

 M.g  + ρliq .g.h  s1 F=  S2 

s1 M.g S2

Ex 02 Manomètre à tube en U

PA = P0 + ρHg .g. ( h1 + h 2 ) − ρeau .g.h1 Ex 03 Manomètre à liquide à air libre Pgaz = P0 + ρHg .g.h

ρHg .h = ρeau .h '

Ex 04 Manomètre différentiel PA − PB = ( ρA .h 2 + ρhuile .h1 ) − ρB . ( h1 + h 2 )  .g

Ex 05 PA = P0 + ρeau .g.h eau + ρHg .g.h Hg

Ex 06 Système : une particule de fluide de volume dτ Référentiel : le tube en U ( non galiléen ) r Base de projection cartésienne ( Oz vertical ascendant, Ox horizontal dans le sens de a tube ) r r Bilan des forces : ρ.dτ.g , −ρ.dτ.a tube , résultante des forces de pression :
  Equilibre :

ρ.   ρ.  dτ 
   0 ρ.   ρ.  dτ  
  α

La résultante des forces de pression fait un angle constant avec la verticale   α   Or les forces de pression sont perpendiculaires aux isobares et la surface de séparation entre le liquide et l’air est une isobare ( pression p0 ) Cette surface fait donc un angle α avec l’horizontale.  " #.  α    $   !

#

!

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Ex 07 I.

z P(z) = P0 + ρeau.g.( H – z ) dz  z dFz = −2.π.R. 1 −  ⋅ ⋅ P(z).sin ( α )  h  cos ( α )

avec tan ( α ) =

O •

R h

 z dFz = −2.π.R.  1 −  . ( P0 + ρeau .g. ( H − z ) ) . tan ( α ) .dz  h r h  r  z F1 = ∫  −2.π.R. 1 −  . ( P0 + ρeau .g. ( H − z ) ) . tan ( α )  .dz.ez 0  h   r h  r   F1 = −π.R 2 .  P0 + ρeau .g.  H −   .ez 3    Cette force peut se déterminer par le poids de l'air et de l'eau sur le cône. II. La force peut se déterminer à l'aide de la poussée d'Archimède. r r r 1 r r F = π.R 2 .h.ρeau .g.ez F = F1 + π.R 2 . ( P0 + ρeau .g.H ) .ez 3

Ex 08 Hémisphère de Magdeburg z

dFz = −2.π.R.sin ( θ ) .R.dθ.P0 .cos ( θ ) π

Fz = − ∫ 2 2.π.R.sin ( θ ) .R.P0 .cos ( θ ).dθ

θ

0

Fz = -P0.π.R2

O

Ex 09 Pression exercée par l'eau sur le barrage : P(z) = P0 + ρeau.g.( h – z ) Force exercée par l'eau sur une hauteur dz de barrage : π r r r r dFeau = ∫ 2π R.dz. ( P0 + ρeau .g. ( h − z ) ) .cos ( α ).dα.ex dFeau = 2.R. ( P0 + ρeau .g. ( h − z ) ) .dz.ex −

2

r r h r ρ .g.h  r  Feau = 2.R.∫ ( P0 + ρeau .g. ( h − z ) ) .dz.ex Feau = 2.R.h  P0 + eau  .ex 0 2   r r Force exercée par l'air sur le barrage : Fair = −2.R.h.P0 .ex r r Force résultante : F = R.h 2 .ρeau .g.ex Ex 10 Corps partiellement immergé Le glaçon est en équilibre : ρglace .g.Vtotal = ρeau .g.Vimmergé F = ( ρeau − ρglace ) .π.R .h.g

Vimmergé Vtotal

=

ρglace ρeau

=

h −a h

2

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Ex 11 Pfond = P0 + ρeau .g.h

( P0 + ρeau .g.h ) .R13 = P0 .R 32

P1.V1 P2 .V2 = T1 T2

T1

T2

Ex 12 Il faut que la poussée d'Archimède compense le poids du ballon et de l'hélium. P .M P .M ρair = air air ( m bal + Vbal .ρHe ) .g = Vbal .ρair .g ρHe = He He ( m bal + m He ) .g = Π A R.THe R.Tair

 PHe .M He  Pair .M air m bal .R.T Vbal =  m bal + Vbal ⋅  = Vbal ⋅ Pair .M air − PHe .M He R.THe  R.Tair  PHe .M He .m bal m He = Pair .M air − PHe .M He Ex 13 Atmosphère isotherme dP ( z )

= −ρ.g dz dP ( z ) M.P dP M.g II. =− g → =− dz → dz R.T P R.T  M.g  III. P ( z ) = P ( 0 ) .exp  − ⋅z  R.T0 

I.

d ln ( P ) dz

=−

M.g R.T

Ex 14 Atmosphère non isotherme M.g

d ln ( P ) = −

M.g.dz R. ( T0 − A.z )

d ln ( P ) =

M.g d ln ( T0 − A.z ) R.A

 A.z  R.A P = P0 . 1 −  T0  

Ex 15 Statique des fluides dans un référentiel non galiléen • Système : une particule de fluide de volume dτ • Référentiel : le récipient ( non galiléen ) • Base de projection cylindrique r r • Bilan des forces : ρ.dτ.g , ρ.dτ.ω2 .r , résultante des forces de pression :
  Equilibre : ρ.   ρ. ω% . &dτ 
   0 ρ.   ρ. ω% . &dτ  
  α

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 α 

ω' . !

Les lignes isobares sont perpandiculaires aux forces de pression L’angle fait avec l’horizontale par une ligne isobare est aussi α La surface libre est une isobare de pression p0 Or  α 

()

ω' .

(

!

()

 (

* & 

ω' . ' %.!

 + ( paraboloïde de révolution )

Détermination de K par conservation du volume ( le fluide étant incompressible ) 2 3 R R R π.ω .r π.ω2 .R 4 H.π.R 2 = ∫ 2.π.r.z.dr = ∫ 2.π.r.K 2 .dr + ∫ dr = π.R 2 .K + 0 0 0 g 4.g

ω2 .R 2 K =H− 4.g Cas limite K = 0 ωlim =

z =H+

ω2 . ( 2.r 2 − R 2 ) 4.g

2. g.H R

Ex n° 16 25 75 P.V.M propane ⋅ = 551 kg V.ρpropane liq + 100 100 R.T Masse de la cuve et du propane : 1368 kg poids de l'ensemble : 1,34.104 N Poussée d'Archimède : Π A = V.ρeau .g = 3,92.10 4 N Action sur chaque vis est de 6450 N ( donc possible ) Si la cuve est "vide" la masse de propane ( gaz ) est de 7,20 kg, le poids de l'ensemble est de 8083 N, l'action sur chaque vis est de 7780 N, les vis lâchent.

Masse du propane : m propane =

Ex n° 17 La résultante des forces de pression qui s'exercent sur la bouteille correspond au poids du 2   liquide c'est à dire :  π.R 2 .H − π.R 3  .ρliq .g 3  

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