EXERCICES de BA [PDF]

Zitiervorschau

INSTITUT UNIVERSITAIRE DE LOKOSSA (IUT)

EXERCICES ET SOLUTIONS DE BA

ANNEE ACADEMIQUE : 2016 - 2017

EXERCICE 1 A l’issu d’un calcul le projeteur BA a trouvé une section AS= 1,95cm 2. A combien d’armature de diamètre 10 correspond cette quantité ?

REULTATS Choix : Retenons 3HA10 développant une section de 2,37cm2 >1,95cm2

EXERCICE 2 Le bordereau d’achat d’acier confié à un technicien comporte les inscriptions suivantes :

2,1t de HA6/12 1,5t de HA10/12 3t de HA12/12 Dire le nombre de barre à réceptionner pour chaque type

RESULTATS Déterminons le nombre de barre à réceptionner pour chaque type : -2,1tonnes HA6/12 1m→ 0.222 kg ⇒L=

1000 =4504m 0.222

L→ 1000 kg Donc 375 barres de 12m/ tonne de HA6. Pour 2,1 tonnes ; on a N=2,1x375=787 barres -1,5tonnes HA10/12 1m→ 0,616kg⇒L=1623m L→1000kg Donc 135 barres HA10/12 par tonne. Pour 1,5tonnes ; on a N=1,5x135=202 barres -3tonnes de HA12/12 1m→0,888kg⇒L=1126m L→1000kg Donc 93 barres de HA12/12 par tonne. Pour 3 tonnes ; on a N=3x93=279barres

EXERCICE 3 Soit une poutre en béton armé sollicitée telle que les déformations de l’acier et du béton comme suit : εs en traction = 2‰ εbc =3‰ L’acier utilisé est de type FEe400 et le béton tel que fc28=30Mpa 1) En supposant la fissuration peu nuisible calculer les contraintes dans l’acier et le béton à ELU et à ELS 2) Qu’advient –il de ces contraintes quand la fissuration est très préjudiciable.

RESULTATS 1.) Calculons les contraintes ELU : (Acier) déterminons ɛsl fsu fe 400∗1000 Ɛsl = Es = EƔ s = 1,15∗200000 = 1, 74؉

Ɛsl = 1,74؉ < 2؉ donc la contrainte à calculer est fsu. fsu =

fe 400 = γs 1,15

fsu = 347,826 MPA Béton : σbc = 3 ؉ donc 2 ؉ < σbc < 3,5 ؉ alors la contrainte à calculer est fbu fbu =

0,85 fc 28 0,85∗30 = θγb 1∗1,15

fbu = 17 MPA. ELS :

Comme la FPP alors nous ne pouvons pas calculer les contraintes dans l’acier et le béton. 2.) A la FTP c’est-à-dire à l’ELS Acier : ´ = max σs

MPA {200 90 √ ɳftj

´ = max σs

{

´ = max σs

200 MPA {176,363 MPA

200 MPA 90 √ 1,6∗(0,6+0,06∗30)

´ = 200 MPA σs Béton : ´ = 0,6fcj σbc ¿ 0,6∗30 ´ = 18 MPA σbc

EXERCICE 4

3 3

14 20

3

40

34

3

Déterminer le nombre de barres de fer HA6/12 nécessaire pour confectionner les 45 cadres de la poutre dont la section transversale est représentée ci-dessous :

RESULTATS - Longueur développée des cadres : Ld : (14*2) + (34*14) + (9*2) = 114 cm - Nombre de cadre dans une barre : 1200 = 10 cadres. 114

HA 6 - nombre de barre 12 : 45 = 4,5 cadres 10

- longueur totale des chutes : Lc = 4 chutes de 60 cm+1chute de 30 cm+ 600cm Lc = 870 cm

EXERCICE 5 Soit un tirant qui doit supporter les efforts de traction simple suivant : sous charge permanente NG=0,33MN et charge d’exploitation NQ= 0,57MN Calculer les sections nécessaires dans les deux cas suivant : 1er cas Le tirant est réalisé avec du béton fc28=30Mpa armé avec des aciers HAFeE 400 en fissuration préjudiciable ; la section du tirant est carrée de côté 40cm 2emecas Le tirant est réalisé avec du béton fc28=30Mpa, des aciers HAFeE 500 en fissuration très préjudiciable, la section est carrée de côté non fixé mais si possible voisin de 50cm

RESULTATS Calculons les sections nécessaires dans les deux cas : 1ercas :

Calculons As Ft28=0,6+0,06fc28=2,4Mpa Nser

Aser= σs avec : Nser=NG+NQ =0,33+0,57=0,9MN

{240 Mpa 240 =min{215,56

C’est la FP donc σs=min 110 ηftj √

σs = 240MPa Aser=

9000 240

Aser = 37,5cm²

Vérification de la condition de non fragilité Amin=

B ft 28 40 2 x 2,4 = fe 400

Amin = 9,6cm²

Aser > Amin donc Aser = 37,5cm² Choix d’armature Retenons 8HA25 développant une section de 39.27cm² > 37.5 cm² donc ok Armature transversale ∅t ≤

∅ lmax 3 25

≤ 3

∅ t ≤ 8,33 ∅t = 8

En zone courant : St ≤ a

St = 35cm

En zone de recouvrement St
12 cm² donc ok Armature transversale ∅t ≤

∅ lmax 3 14

≤ 3

∅ t ≤ 4,67 ∅ t = 8 mm

Calcul des espacements : En zone courante : St ≤ a

St = 45cm

En zone de recouvrement St
β = 1+0,2(

λ 2 ) 35

= 1+0,2(

50 2 ) 35

β = 1,41 Asu ≥

1 Brfbu KβNU −θ 0,85 fed 0,9

Asu ≥

1 0,0529∗12,467 1,1∗1,41∗0,216931−1 0,85∗347,826 0,9

[

[

] ]

Asu ≥ - 13,49 cm2 4 cm2∗p Amin = max 0,2 B 100

{

= max

4 cm 2 1,25 cm2

{

Amin = 4cm2 Amax = =

0,5 B 100 0,5∗25∗25 100

Amax = 31,25cm2 Asu ≥ - 13,49 cm2 ce qui veut dire que le béton est surabondant alors As = 4cm2.

Retenons 4HA14 développant une section de 4,52cm2 > 4cm2 ok !

-

Armature transversal ∅ l max 12 ∅t ≤ =>∅ t ≤ 3 3 12 mm 12m

{

∅t ≤ -

{

4 mm =>∅ t=¿ 6mm {12mm

Espacement :

40 cm a+10 cm St ≤ min 15 ∅ l

{ {

40 cm St ≤ min 35 cm 18 cm St ≤ 18cm Soit st = 15cm -

En zone de recouvrement :

st ' =

lr−(2∗3 cm) 2

lr=0,6 ls avec ls=

∅ l∗fe 4∗τsu

τsu = 0,6 *ψ2*ftj = 0,6*(1,5)2*(0,6+0,06*22) τsu = 3,27MPA lr = 0,6 *

[

1,2 ∗400 4 3,27

lr = 22,02cm st ' =

22,02−(2∗3) 2

st ' = 8,01 cm Soit st ' = 10 cm

]

3- Schéma de ferraillage :

EXERCICE 7 Soit un poteau de section 25x25cm2 de longueur libre Lo=3,2m doit supporter un effort normal de compression Nu=650KN. Le poteau est réalisé avec du béton de résistance caractéristique fc28=25Mpa et d’armature FeE400. Plus de la moitié des charges est appliquée entre 28et 90jrs. Le choix des armatures prévu pour ce poteau est 4HA14 et le coefficient d’élancement k=0,7. On vous demande : 1) Vérifier la section minimale d’armature 2) Vérifier si la section d’armature prévue pourra répondre à l’effort normal de compression.

RESULTATS

1- Vérifions la section d’acier minimale : 4U Amin = max 0,2 B 100

{

4 cm 2 = max 1,2cm 2

{

Amin = 4cm2 5B

Amax = 100 =

25∗25∗5 100

Amax = 31,25cm2  Condition de non fragilité : As= 6,16cm2 Amin = 4cm2 Amax = 31,25cm2 4cm2 < 6,16 10,46 cm2(ok !) A smax=

5B 100

A smax=

5 x 202 100

A smax=20 cm2 10,46 cm 2 e hcalculé =3,75 cm(ok !). e v =max ∅ cg

{

e v =max 1,2 cm 2,5 cm

{

e v =2,5 cm

Sur le schéma, e v =16,6 cm> evcalculé =3,75 cm(ok !). Schémas de ferraillage :

COUPE TRANSVERSALE EN ZONE COURANT E

COUPE TRANSVERSALE RECOUVREMENT

EN

2.) Section d’armatures du poteau B :

ZONES

COURANTE

ET

DE

 Armatures longitudinales : A s ≥ ( A su ; A smin ) A su=

θB r f bu 1 Kβ N u− 0,85 f ed 0,9

[

]

*Calculons les côtés de ce poteau : μ=0,7 0,7 l o √ 12 ≤ 35 a

λ=

a≥

0,7× 4,30 × √ 12 35

λ ≥ 0,298

Soit a=30 cm λ=

0,7 ×4,30 × √12 =34,76< 35 0,30

β=1+0,2

λ 35

( )

2

λ< ¿50

β=1+0,2

(

34,76 35

2

)

β=1,20 Br =( 0,30−0,02 )2

Br =0,0784 m 2

f bu=

0,85× fc 28 0,85 ×20 ; f bu= θ γb 1,5

f bu=11,33 MPa ;

f ed =

400 1,15

;

f ed =347,83 MPa  ;

K=1,1

θ=1 N U =R B + P P

B

R A =? NU= NU=

−1,35 PG +7 Pu (1,5) +PP 4

B

−1 ×1,35 ×95+ 7× 1,5(1,35 × 45+1,5 ×15) +(0,302 × 4 )×25 × 1,35 4

N u=198,62 kN  ; A su=

N u=0,19862 MN

1 1 ×0,0784 × 11,33 1,1 ×1,20 ×0,19862− 0,85 × 347,83 0,9

[

]

A su=−0,245.10−4 m 2; A su=−0,245 c m2

Le béton est surabondant pour supporter la charge appliquée. Cherchons la section minimale d’armatures : 4 Pcm 2 m A smin=max 0,2 B 100

{ {

4 ( 4 ×0,30 ) cm2 m A smin=max 0,2× 302 100 2 A smin=max 4,8 cm 2 1,8 cm

{

A smin=4,80 cm2

A s ≥ (−0,245 c m 2 ; 4,80 c m 2 ) ⟹ A s ≥ 4,80 c m 2

Choix des armatures Retenons 4HA14 développant une section totale de 6,16 cm2 >4,80 cm2(ok !) A smax=

5B 100

A smax=

5 x 302 100

A smax=45 cm2 4,80 cm2 < 45 cm2 ⟹ A s < A smax

 Armatures transversales : 1 ∅ t ≥ ∅ lmax 3 1 ∅ t ≥ ×12 3 ∅ t ≥ 4 mm a+10 cm 30+10 cm 40 cm Soit ∅ t =6 mm St ≤ min 40 cm St ≤ min 40 cm St ≤ min 40 cm

{

[

St =35 cml s =

Soit

τ su =0,6 ψ 2 f tj τ su =0,6 ×1,52 ×1,80 τ su =2,430 MPa l r =0,6

[

1,4 400 × 4 2,430

l r =34,57 cm

Prenons l r =35 cm St ' ≤

l r −( 2 ×3 cm ) 2

]

∅l f e × 4 τ su

{

]

{

St ' ≤

35−6 2

St ' ≤ 14,5 cm

Prenons 

S't =10 cm

Calculons e h et e v : e h=max

{1,5∅cg

e h=max 1,4 cm 1,5 ×2,5

{

e h=max 1,2 cm ; 3,75 cm

{

e h=3,75 cm e v =max ∅ cg

{

e v =max 1,4 cm 2,5 cm

{

e v =2,5 cm

*Schémas de ferraillage :

COUPE TRANSVERSALE EN ZONE COURANTE

COUPE LONGITUDINALE EN ZONES DE RECOUVREMENT ET COURANTE

EXERCICE 9 On considère la poutre de l’exo 2 avec les chargements ci-après P G=20KN Q=15KN/ml et G=40KN/ml La poutre étant un élément de structure d’un bâtiment existant et dans le cadre de l’extension de ce bâtiment initialement RDC à R+1. Quels sont les essais et sondages à prévoir pour la vérification de la stabilité du poteau A et de sa semelle de fondation. Les plans d’exécution de l’ouvrage n’ayant pas été retrouvés.

Les essais géotechniques à cette étape ont révélé que le sol à la profondeur de 2 mètre d’encrage des fondations actuelles est de très faible portance pour autoriser des charges supplémentaires à votre structure. Quelles solutions pourriez-vous proposer au maitre d’ouvrage. On donne fc28=20Mpa pour le béton et feE400 pour l’acier. La hauteur entre plancher h=4m les planchers ont une épaisseur e=30cm Le bâtiment est réalisé il y a de cela 2ans. Les essais ont révélé pour les sections d’armatures du poteau A 4HA14. En supposant que le poteau A après extension recevra le double de la charge actuelle au RDC. Vérifier la stabilité de la structure du bâtiment par rapport au poteau A.

EXERCICE 10 Soit à déterminer les sections d’armatures à placer dans la section rectangulaire réaliser en béton de résistance fc28=25Mpa armé avec les aciers HA feE400 et soumise à un moment ultime Mu=0,193MN.m. La section de la poutre est de 30x60cm2. Le dimensionnement est conduit à l’ELU. RESULTATS Calculons Asu : -

Calculons µbu : Mu avec bo =30cm ; Mu = 0,193MN.m bo d 2 fbu

µbu =

d = 0,9h = 0, 9*0, 6 = 0, 54 m fbu =

0,85 fc 28 0,85∗25 = = 14, 17 MPA θγb 1∗1,5

µbu =

0,193 0,3∗0,542∗14,17

µbu = 0,156 Calcul de α :

-

α = 1,25 (1-√1-2µbu) ¿1,25 (1-√ 1−2∗0,156) α = 0,213 On a : α =0,213< 0,259 σs=

fe 400 = => σs=347,826 MPA γs 1,15

Asu =

0,193 347,83∗0,54∗(1−0,4∗0,213)

Asu = 11,23cm2 Retenons 6HA16 totalisant une section de 12,06cm2 > 11,23cm2 ok !

EXERCICE 11 On désire vérifier à l’ELU une poutre de section 30x60cm 2 de portée 6m15 dont le ferraillage en travée (armatures inférieurs tendue) est 6HA14+4HA12. 1) A partir de l’équation d’équilibre de forces intérieures de la section (travée) déterminer la hauteur du béton comprimé yu 2) Déterminer par exploitation de la représentation graphique la section transversale de la poutre la valeur de la hauteur utile d sachant qu’il est retenu un enrobage c=3cm et l’espacement ev entre les murs des deux lits d’armatures ≤3cm. Le diamètre du cadre et des étriers pour le ferraillage transversal est de 6mm 3) Déterminer la valeur du coefficient α 4) Calculer le moment réduit du béton réel de la section. 5) Calculer le moment fléchissant maximum réel Mu max que peut reprendre cette section. 6) Déterminer le moment fléchissant ultime maximum supporter par la travée de la poutre que l’on considèrera comme simplement appuyer à ses extrémités et soumises au chargement suivant : -poids propre de la poutre -ne considérer que la retombée de la poutre, (le plancher étant en dalle pleine d’épaisseur 20cm) -charge permanente du plancher porté (la largeur de reprise est de 2m50) -charge ponctuelle (permanente) appliquée à mi travée est prise : 5,01KN -charge d’exploitation du plancher 7) Quelle conclusion est-il loisible de tirée sur la capacité de la poutre à jouer pleinement son rôle. Justifier votre réponse. Donnés pour l’étude : -poids volumique du BA25KN/m3 -charge d’exploitation 3,5KN/m2 -fc28=25Mpa, t>24h -acier HAFeE500

RESULTATS

1- Déterminons yu par l’équilibre des forces :

Mu = Fbc.Zb = Fs.Zb = (0,8yu.bo.fbu) (d-0,4yu) = σsAsu (d-0,4yu) Yu = σs=

σsAsu 0,8. fbu . bo

fe 500 = = 434,78MPA γs 1,15 0,85 f c 28 0,85∗25 = = 14,17 MPA 1,5 θγb

fbu=¿

Asu=9,24 +4,52=13,76 cm2 yu=¿

434,78∗0,001376 0,8∗14,17∗0,3

yu = 17,59cm

2- Déterminons graphiquement d réelle : YG tendu =

( 6,16∗4,3 ) + ( 3,08∗5,7 ) + ( 5,7∗2,26 ) +(2,26∗10,5) 13,76

YG tendu = 5,86 cm d = 60 – 5,86 d = 54,14 cm

3- Déterminons la valeur du coefficient α : y1 = αd =

y 1 17,59 = d 54,14

y1 = 0,325

4- calculons le moment réduit du béton : µbu = 0,8α (1-0,4α) = 0,8 * 0,325 (1- 0,4*0,325) µbu = 0,2262

5- Calculons Mu : Mu = µbu.bo.d 2.fbu = 0,2262*0,3*0,54142*14,17 Mu = 0,282 MN.m

6- Déterminons le moment fléchissant supporté par la travée : - Gu1 : 25*0,3*0,4 Gu1 : 3KN/ml -

Gu2 : 25*2,5*0,2

Gu2 : 12,5KN/ml -

G = Gu1+Gu2

G = 3+12,5 = 15,5KN/ml Q = 3,5*2,5 = 8,75 KN/ml Mumax =

l l2 (P+Nul) - Nu 4 8

PL Nu l 2 Nu l 2 Mumax = + 4 4 8 Mumax =

PL Nu l 2 + 4 8

AN : Nu = 1,35*15,5 + 1,5*8,75 Nu = 34, 05 KN/ml 5,01∗6,15 34,05∗6,152 Mumax = + 4 8 Mumax = 168, 68 KN.m Mumax = 0, 16868 MN.m