Electromagnétisme Propagation Lignes électriques 9782923565200, 2923565207 [PDF]

Zitiervorschau

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Jean-Luc Dion

Électromagnétisme propagation lignes électriques

LD Loze-Dion éditeur

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Copyright ” Loze Dion éditeur inc.

Loze Dion éditeur 95, Saint Sylvestre Longueuil (Québec) J4H 2W1 Téléphone : (450) 679 1955 fax : (450) 679 6339

Tous droits réservés. On ne peut reproduire, enregistrer, ni diffuser aucune partie du présent ouvrage sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit sans avoir une autorisation écrite de l'éditeur.

ISBN 978-2-923565-20-0

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Cet ouvrage sur la propagation des ondes électromagnétiques s’adresse aux étudiants en génie électrique et en physique des universités et des écoles d’ingénieurs. Il sera aussi utile à tous les praticiens qui veulent rafraîchir ou approfondir leurs connaissances. On y trouvera un traitement relativement complet du sujet par rapport à de nombreux livres dans le domaine. Il fait suite au tome 1 traitant des phénomènes d’induction électromagnétiques. Toutefois, le présent tome peut être utilisé avantageusement par tous ceux qui ont déjà les bases requises. L’ouvrage se divise en deux parties assez étroitement intégrées : la propagation libre, et la propagation guidée. L’ensemble vise l’acquisition d’une connaissance rigoureuse et pratique des phénomènes de propagation électromagnétique dans différents milieux. Il suppose au départ une bonne maîtrise de l’électromagnétisme fondamental, du calcul vectoriel et du calcul des variables complexes, essentiellement l’usage du théorème d’Euler et de la fonction exponentielle complexe pour décrire les vibrations. L’auteur a choisi l’approche la plus intuitive possible en utilisant de nombreuses illustrations et exemples numériques. Il a aussi privilégié les démonstrations claires où beaucoup d’étapes intermédiaires sont volontairement conservées pour faciliter la compréhension en évitant de se buter sur des difficultés mathématiques secondaires. Lors d'une première lecture, on peut facilement sauter ces étapes pour saisir l’ensemble d’un sujet donné. Tous les chapitres se terminent par une série d’exercices identifiés permettant de pratiquer les diverses notions introduites. La première partie comporte une brève introduction à la propagation et au mode de production des ondes électromagnétiques sur la base des équations de Maxwell. La notion de vecteur complexe en régime harmonique est introduite pour faciliter le traitement mathématique dans tout ce qui suit, en faisant bien ressortir que la partie réelle d’un vecteur complexe correspond au champ réel. On traite ensuite à fond de la propagation des ondes planes dans différents milieux illimités : vide et diélectrique parfaits, diélectriques réels et conducteurs. L’atténuation des ondes en cours de propagation est démontrée comme un effet général des pertes diélectriques et de la conductivité du milieu. La relation est ensuite établie entre le champ électromagnétique et la puissance transportée par une onde.

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iv

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques La transmission de l’énergie électromagnétique à l’interface de deux milieux se retrouve dans les deux chapitres suivants. Le premier traite du cas simple de l’incidence perpendiculaire ou normale à l’interface, en introduisant les concepts de coefficients de réflexion et de transmission. Il comporte aussi une introduction aux ondes stationnaires. Le chapitre 3 traite de l’incidence oblique en distinguant le cas d’une onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence et celui de l’onde polarisée parallèlement. On introduit l’expression générale d’une onde qui se propage dans une direction quelconque. Les expressions exactes des coefficients de réflexion et de transmission dans les deux cas y sont démontrées : les formules de Fresnel. Ce chapitre se termine par une introduction au concept d’onde évanescente qui prend toute son importance pratique dans les nouveaux dispositifs de communication optique, y compris les fibres optiques. Le dernier chapitre de cette première partie est une brève mais rigoureuse introduction au rayonnement électromagnétique produit par des charges et courants oscillants. La deuxième partie de l’ouvrage traite de la propagation guidée des ondes électromagnétiques. Le chapitre 5 étudie les conditions de propagation entre des plans conducteurs ou guides d’ondes « ouverts ». Cette approche permet d’introduire de façon relativement simple les notions de mode de propagation, de fréquence de coupure, de vitesse de phase et de vitesse de groupe. Ce qui est traité dans ce chapitre s’applique assez directement à la propagation dans les « microrubans » utilisés dans les circuits hyperfréquences. On y démontre particulièrement les expressions de l’atténuation dans les différents modes. Les méthodes et les concepts développés devraient aussi beaucoup faciliter l’étude ultérieure des guides d’ondes « fermés », rectangulaires, circulaires ou autres. Les chapitres suivants sur les lignes électriques pourraient être abordés, si on le désire, sans avoir étudié la propagation guidée au chapitre précédent, l’ordre proposé ici est préférable sans être essentiel. En effet, on y développe le concept de paramètres localisés d’une ligne qui permet d’une façon classique d’utiliser la méthode des circuits électriques pour développer les équations de propagation de la tension et du courant électrique sur la ligne. On commence par étudier le cas des lignes semi-infinies sans pertes pour introduire certains concepts comme ceux d’impédance caractéristique et de coefficient de réflexion. La propagation et la réflexion des ondes en échelon y sont étudiées pour illustrer les problèmes qui peuvent se poser en pratique dans le cas de réflexions multiples sur la ligne. L’introduction de

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v théorèmes des interrupteurs permet de résoudre le problème des lignes initialement chargées ou parcourues par un courant qui sont ensuite fermées sur une charge. L’auteur a délibérément choisi de ne pas utiliser le formalisme de la transformée de Laplace pour décrire les ondes en échelon, de façon à ne pas obscurcir l’essentiel qui est de bien comprendre les phénomènes de propagation et de réflexion. Au chapitre 7, on aborde la propagation sur les lignes semi-infinies avec pertes en régime harmonique, en utilisant systématiquement la fonction exponentielle complexe pour décrire les vibrations et les ondes. On analyse l’effet de la fréquence sur la fonction de propagation et l’impédance caractéristique qui sont des grandeurs complexes. On y étudie aussi la variation des paramètres linéiques en fonction de la fréquence pour en tirer des expressions du coefficient d’atténuation d’une ligne quelconque en fonction de la fréquence, en rapport avec l’effet pelliculaire vu précédemment. Le chapitre 8 traite finalement de la ligne réelle comme liaison entre une source et un récepteur en régime harmonique. Les notions précédentes y sont intégrées pour élaborer des expressions générales et rigoureuses servant à la solution de problèmes concrets dans le domaine des communications et de la transmission de l’énergie électrique en général. On y développe le concept de coefficient de réflexion généralisé et sa relation avec celui d’impédance électrique, sur la ligne pour établir clairement les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie, en relation avec la fréquence et les paramètres de la ligne. Ces différents concepts sont clarifiés par de nombreux graphiques et figures réalisés par ordinateur. On y décrit particulièrement des méthodes simples et vérifiées en laboratoire pour déterminer les paramètres essentiels d’une ligne que sont la vitesse de phase, l’impédance caractéristique et le coefficient d’atténuation. L’outil graphique appelé abaque de Smith est décrit avec des exemples d’application, particulièrement pour le problème d’adaptation de l’impédance d’une charge au récepteur à celle de la ligne. Au terme de cette étude, l’auteur espère que l’étudiant ou l’étudiante aura acquis une solide connaissance des phénomènes de propagation électromagnétique lui permettant à la fois de résoudre divers problèmes pratiques et d’approfondir le sujet par lui-même s’il le désire.

Mars 2002

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Table des matières Introduction Première partie Propagation libre

1

1

Ondes électromagnétiques planes

3

1.1

Généralités

3

1.2

Production des ondes électromagnétiques

6

1.3

Le régime harmonique

7

1.4

Onde plane dans un diélectrique parfait

10

1.5

Polarisation d'une onde

19

1.6

Expression du champ magnétique H

24

1.7

Propagation dans un diélectrique avec perte

26

1.8

Propagation dans un conducteur

32

1.9

Théorème de Poynting

35

2

3

4

Réflexion d'une onde plane - Incidence normale

51

2.1

Interface de deux diélectriques parfaits

52

2.2

Interface diélectrique - conducteur

56

2.3

Ondes stationnaires

59

Réflexion d'une onde plane • Incidence oblique

69

3.1

Onde plane - Direction quelconque

69

3.2

Réflexion oblique

72

3.3

Lois de Descartes et Snell

73

3.4

Réflexion en polarisation perpendiculaire

76

3.5

Polarisation parallèle

82

3.6

Onde évanescente

87

Rayonnement électromagnétique

98

4.1

Potentiels retardés

99

4.2

Régime harmonique

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104

viii

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 4.3

Rayonnement d'un dipôle oscillant - Ondes sphériques

105

4.4

Vecteur de Poynting, intensité, puissance

110

Deuxième partie Propagation guidée

113

5

Guides d'onde conducteurs

115

5.1

Généralités

115

5.2

Types d'ondes et modes de propagation

119

5.3

Plans conducteurs parallèles - Mode TEM

120

5.4

Mode TM

126

5.5

Mode TE

135

5.6

Types de vitesse

143

6

7

8

Lignes électriques sans perte

150

6.1

Généralités

150

6.2

Bases du modèle

159

6.3

Équation et fonction d'onde

161

6.4

Impédance caractéristique

169

6.5

Source avec résistance interne

172

6.6

Réflexion

172

6.7

Théorèmes des interrupteurs

180

Lignes semi infinies avec perte

198

7.1

Équation d'onde - Amplitude complexe

198

7.2

Fonctions d'onde - Atténuation

200

7.3

Analyse de la fonction

204

7.4

Paramètres linéiques - Effet de la fréquence

211

7.5

Impédance caractéristique

220

7.6

Impédance caractéristiques et paramètres géométriques

222

Lignes finies avec perte

235

8.1

Fonctions d'onde

235

8.2

Changement de coordonnées

236

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ix 8.3

Coefficient de réflexion

236

8.4

Ondes stationnaires

240

8.5

Impédance sur la ligne

245

8.6

Mesures d'une ligne

257

8.7

Relations entrée/sortie

260

8.8

Propriété des lignes avec charge capacitive

269

8.9

L'abaque de smith

272

8.10 Adaptation d'impédances

278

Annexe

291

Index

295

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Partie 1

Propagation libre

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1 Ondes électromagnétiques planes

1.1

Généralités Concept de propagation Considérons une région E de l’espace (Figure 1.1.1) où se trouve un courant variable i(t) ou une charge Q ayant une accélération a(t). Si un observateur se trouve dans une région R éloignée d’une distance moyenne r de la première, l’expérience montre qu’il pourra alors mesurer une tension v aux bornes d’un circuit, ou encore une force F déplaçant une charge d’épreuve Q’. De plus, cette tension ou cette force apparaissent avec un certain retard t par rapport à i(t) ou a(t), et ce retard augmente proportionnellement à la séparation r des régions E et R. On doit donc conclure qu’il y a transmission d’énergie de la région E (émettrice) à la région R (réceptrice). On sait depuis les travaux de J.C. Maxwell1 que des courants variables et des charges accélérées sont à l’origine d’un champ électromagnétique qui se propage dans le vide à la vitesse de lumière désignée par c, et à une vitesse inférieure dans les milieux matériels. Cette vitesse est aujourd’hui connue avec précision : 8

8

c = 2,997925... · 10 m/s ≈ 3 · 10 m/s Il s’ensuit que le retard mentionné plus haut est donné par τ ≈ r/c . 1

James Clerk MAXWELL, physicien écossais (1831-1879). Dans un mémoire publié en 1864, il exposa sa théorie électromagnétique de la lumière dans laquelle figurent les équations générales du champ électromagnétique.

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(1.1.1)

4

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Ce champ électromagnétique est décrit par les équations de Maxwell que nous avons vues précédemment :

ρ

(1.1.2)

0

(1.1.3)

∂B ∂t

(1.1.4)

∂D ∂t

(1.1.5)

∇·D

Le théorème de Gauss

La loi de conservation du flux magnétique

∇·B L’équation de Maxwell-Faraday

L’équation de Maxwell-Ampère

∇∧E ∇∧H

J +

En tous points de l'espace et en tout temps, les champs E et H doivent satisfaire ces équations. Ces champs sont indissociables et constituent le champ électromagnétique. Dans ce qui suit, nous allons particulièrement voir comment la solution de ces équations fait apparaître un champ électromagnétique qui se propage.

E

R Espace vide r

i(t)

F Q'

v

Q Énergie

a

- Courant variable i (t ) - Charge Q accélérée

- Tension induite v - Force F sur Q' Figure 1.1.1

Transmission d’énergie par onde électromagnétique

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1 Ondes électromagnétiques planes

5

Le spectre électromagnétique Une charge ou un courant oscillant à une fréquence f font apparaître un champ électromagnétique à la même fréquence pour un observateur immobile par rapport à la source. Ce champ se propage à une vitesse c dans le vide et parcourt une distance λ , appelée longueur d'onde au cours d'une période d'oscillation. Donc, λ = c/f, une relation fondamentale. L'étendue des fréquences ou des longueurs d'ondes dans le vide des ondes électromagnétiques connues s'appelle le spectre électromagnétique. Ce spectre n'a pas de limites théoriques, mais les modes de production et de détection de ces ondes varient considérablement avec la fréquence. Il est remarquable que les équations de Maxwell s'appliquent essentiellement à toutes. Rappelons que c'est vers 1862 que ce dernier a prédit l'existence de ces ondes et a établi la nature électromagnétique de la lumière. Les expériences de Hertz (1888) ont confirmé brillamment l'oeuvre théorique de Maxwell et il a laissé son nom à ce type d'ondes2 : les ondes hertziennes. Les importants travaux de Branly3 sur la détection des ondes électromagnétiques ont par la suite permis les premières applications par Popov4 et Marconi5. La figure 2 est une représentation du spectre électromagnétique.

2

Heinrich HERTZ. Physicien allemand (1857-1894). Après avoir conçu son résonateur et son oscillateur, il découvrit les ondes électromagnétiques qui portent son nom (1888) et montra qu'elles suivent les mêmes lois que la lumière. Il découvrit en outre l'effet photoélectrique (1887), établissant un nouveau lien entre l'optique et l'électricité (Petit Robert 2).

3

Édouard BRANLY. Universitaire et physicien français (1844 - 1940) surtout connu pour son invention d'un radioconducteur ou « cohéreur » à limaille en 1890, organe principal des appareils de réception de la télégraphie sans fil (Le Petit Robert 2). Au cours de l’année 1890, il fit de nombreuses expériences démontrant l’action à distance d’une décharge électrique, jusqu’à 20 m, sur son « radioconducteur ». Il fut le premier à attribuer cet effet, cette transmission d’un « signal », à des ondes de nature électrique. Il fut l’un des tout premiers à utiliser le mot « radio » associé à ce genre de phénomènes. «Tous les pionniers de la T.S.F., Popov, Ducretet, Marconi et bien d’autres construiront leurs appareils récepteurs autour du tube à limaille de Branly... » (« Branly - Au temps des ondes et des limailles », P. Monod-Broca, Belin, Paris, 1990, p. 178). Membre de l’Académie des Sciences de Paris.

4

Aleksandre Stepanovitch POPOV. Ingénieur russe (1859 - 1906). Il eut l'idée d'utiliser les ondes électromagnétiques découvertes par Hertz pour transmettre des signaux. Il inventa l'antenne en combinant l'éclateur de Hertz et le cohéreur de Branly, remarquant que leurs sensibilités respectives augmentaient si on les reliait à un fil conducteur formant un condensateur avec la terre. Il construisit le premier système de télégraphie sans fil (1896) permettant la transmission d'un message en morse à 250 m (Le Petit Robert 2).

5

Guglielmo MARCONI. Physicien italien (1874 - 1937). Avec l'éclateur de Hertz, le cohéreur de Branly et l'antenne de Popov il construisit, à 22 ans, un poste qui permettait des transmissions par télégraphie sans fil sur quelques centaines de mètres. (...) Il augmenta progressivement la longueur de ses transmissions et réussit, en 1901, la liaison Cornouailles - Terre-Neuve, au-dessus de l'Atlantique (Prix Nobel, 1909) (Le Petit Robert 2).

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Ondes hertziennes RADIO

TÉLÉVISION

10

6

10

2

6

10

14

10 10 Fréquence (hertz)

10

2

18

10 10 Longueur d'onde (mètre)

-2

-6

10

-10

10

10

22

10

-14

10

Figure 1.1.2 Représentation du spectre électromagnétique

1.2

Production des ondes électromagnétiques Les potentiels retardés D'une façon générale, les ondes électromagnétiques sont produites par des charges et des courants variables. On sait que le potentiel électrique V d'une distribution continue statique de charges de densité r dans le vide est donné par l'expression suivante :

1 4πεo

V

v

ρ dv r

(1.2.1)

De même, dans le vide, le potentiel-vecteur A d'une densité de courant J stationnaire s'exprime comme :

A=

μ0 4π

∫

J

dv

(1.2.2)

r

v

Les intégrales sont calculées sur tout volume englobant toutes les charges et tous les courants. Mais, si les densités sont variables dans la région E de la figure 1.1.1, ρ(t) et J(t), l'effet de ces variations se fera sentir avec un retard τ dans la région R. Il est donc naturel de penser que les potentiels dans R

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1 Ondes électromagnétiques planes

7

peuvent s'écrire comme si les densités de charge et de courant étaient retardés, c'est-à-dire de la forme ρ(t - r/v) et J(t - r/v), où v est la vitesse de propagation. De façon générale :

[V ](t)

[A](t)

1 4πεo

ρ(t

r/v ) r

v

dv (1.2.3)

μo J(t r/v ) dv r 4π v

(1.2.4)

Ce sont les potentiels retardés. Ils représentent les potentiels en un point P de l’espace à l’instant t, mais calculés avec les densités de charge et de courant telles qu’elles étaient à l’instant précédent t - r/v. L’intervalle r/v est le temps que met la perturbation ou l’onde à franchir la distance de la source au point P. Remarquons que ces perturbations se produisent sensiblement au même instant à très grande distance de R, sur une surface sphérique centrée sur R dans un milieu homogène et isotrope, c'est-à-dire un milieu de même composition en tous points où la vitesse est la même dans toutes les directions. Connaissant ces potentiels, on peut en tirer les expressions du champ E et du champ H, à partir des équations connues :

∇V

E H

et

1.3

B μo

∂A ∂t

(1.2.5)

1 ∇∧A μo

(1.2.6)

Le régime harmonique Champ complexe Dans le cas de variations sinusoïdales de pulsation ω = 2πf, f étant la fréquence, il est pratique d'exprimer les diverses grandeurs sous forme de fonctions exponentielles complexes dont la partie réelle est la grandeur réelle :

ρ t r/v

ρ ejω t - r/v

ρ e-jωr/v ejωt

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t

(1.3.1)

8

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

J ( t − r / v ) = Je jw ( t − r / v ) = Je -jwr / v e jwt

(1.3.2)

jω t

(1.3.3)

jω t

(1.3.4)

V(t) = V e

A(t) = A e

où ρ, J , V et A sont les amplitudes complexes des diverses grandeurs. Plus particulièrement, J et A sont des vecteurs complexes, des vecteurs dont les composantes sont des nombres complexes. On a, par exemple : Pour le potentiel réel

V(t) = Ré {V (t)} = |V | cos (ω t) = V cos (ω t)

(1.3.5)

Pour le champ

A = Ax x + Ay y + Az z

(1.3.6)

A =

A x eja x + A y ejb y + A z ejc z = A x eja x + A yejb y + A ze jc z (1.3.7)

où Ax, Ay, Az sont les amplitudes réelles. On obtient le champ en fonction du temps en multipliant par ejω t :

A(t)

Aejω t

A xej(ω t + a) x + A yej(ω t + b) y + A z ej(ω t + c) z

(1.3.8)

La composante sur x du champ réel est alors :

A x(t)

Ré{A x ej(ω t + a)}

A x cos (ω t + a) etc.

(1.3.9)

Potentiels retardés – Rayonnement Portant les relations (1.3.1) à (1.3.4) dans (1.2.3) et (1.2.4), on obtient les amplitudes complexes des potentiels retardés produits par les charges et les courants au point P de l'espace :

[V ](r)

[A ](r)

1 4π εo

v

ρ e-jω r/v dv r

μo J e-jω r/v dv r 4π v

1 4πεo

v

ρ e-jkr dv r

μo J e-jkr dv r 4π v

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(1.3.10)

(1.3.11)

1 Ondes électromagnétiques planes

9

où k = ω/v est la constante de propagation, ou encore la constante de phase. C'est aussi le module du vecteur d'onde6. On place les potentiels entre crochets pour bien indiquer ici que ce sont des potentiels retardés. Ces crochets peuvent être supprimés par la suite. La substitution de ces dernières relations dans (1.2.5) et (1.2.6) permet de trouver les expressions du champ électromagnétique en tous points de l'espace : c'est le phénomène de rayonnement. On peut ensuite trouver la puissance rayonnée dans toutes les directions.

Production d’une onde plane Ici toutefois, nous allons limiter l'étude à celle du cas où la région d'émission E est extrêmement loin du point d'observation P sur l'axe 0-Z passant par le centre de E. À cette condition, il est évident qu'à un instant donné, le champ a la même valeur en tous points d'un plan XY perpendiculaire à 0-Z, car la distance à E est essentiellement la même en tous points du plan (Figure 1.3.1). Nous allons démontrer que dans ce cas simple, les solutions des équations de Maxwell sont des fonctions d'onde relativement simples et que le champ électromagnétique est sous forme d'une onde plane qui se propage en s'éloignant de la région E.

Y

Source

X

Énergie 0

Z

Figure 1.3.1 Cas d'une source à l'infini sur 0-Z : tous les points d'un plan normal XY sont à la même distance de la source

6

Cette grandeur est aussi désignée par la lettre grecque β .

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10

1.4

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Onde plane dans un diélectrique parfait Expression générale de l’équation de propagation du champ électromagnétique On peut partir des équations (1.1.4) et (1.1.5) pour obtenir une équation en z et t qui s'applique à la propagation dans le vide ou dans un diélectrique parfait où la densité de charge et la densité de courant sont nuls ρ 0, J 0 . Voyons comment le faire. Ces équations deviennent :

∇∧E

μo

ε

∇∧H

∂H ∂t

(1.4.1)

∂E ∂t

(1.4.2)

Il s'agit d'éliminer une des inconnues, H en l'occurrence. Prenons le rotationnel des deux membres de la première équation :

∇∧∇∧E

μo

∂ ∇∧H ∂t

En substituant l'expression précédente de obtient :

∇∧∇∧E

∇ ∧ H dans cette dernière, on

μoε

∂2 E ∂t 2 2

Mais, on sait que ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) ∇ E, où a pas de charges dans l'espace, par hypothèse. Donc : 2

∇ E

μ oε

∇(∇·E)

0, car il n'y

∂2E ∂t 2

(1.4.3)

Mais, si on admet que la source est à l'infini, l'onde est plane et on peut supposer qu'elle n'a qu'une composante selon x, fonction de z et t seulement. Cette dernière équation devient alors simplement :

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∂2 Ex ∂z 2

μοε

∂2Ex ∂t 2

(1.4.4)

C'est une équation d'onde qui admet des solutions de la forme : Ex(z,t) = f(z ± ut)

(1.4.5)

ce qu’on vérifie facilement par substitution. De telles fonctions sont des fonctions d'onde. On retrouve des équations de forme identique qui décrivent la propagation des ondes acoustiques et des ondes mécaniques en général. Par exemple, la propagation d'une déformation transversale y (z,t) le long d'une corde tendue est décrite par l'équation suivante :

∂2 y ∂z 2

ρ ∂2 y T ∂t 2

où ρ est la masse de la corde par unité de longueur et T est la force de tension dans la corde7. La pression acoustique étant la variation de pression dans un fluide au passage d'une onde, son équation de propagation est :

∂2 p ∂z 2

ρ ∂2 p K ∂t 2

où ρ est la masse volumique du fluide, et K sa compressibilité adiabatique8. On a une équation identique pour le déplacement s du fluide au passage de l'onde.

Équation de propagation en régime harmonique Équation de Helmholtz Supposons que l'espace de la figure 1.3.1 est plein d'un diélectrique homogène et isotrope parfait, sans pertes, de permittivité électrique ε et de perméabilité magnétique μo. Supposons de plus que les charges et les

7 8

Ondes et vibrations, par Jean-Luc Dion, C.É.C. Montréal 1974, p. 115. Ibid., p. 120.

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12

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques courants sont nuls partout sauf dans la région source E qui se trouve infiniment loin de la région d'observation (région R). On suppose que ces charges et courants varient de façon sinusoïdale. Dans ce cas, les équations de Maxwell (1.1.2) à (1.1.5) deviennent :

∇·D

0

(1.4.6)

∇·B

0

(1.4.7)

∇∧E ∇∧H

∂B ∂t

(1.4.8)

∂D ∂t

(1.4.9)

On s'intéresse ici à trouver des expressions de E et H qui satisfont ces équations, ainsi que la relation entre ces deux champs. Cela revient essentiellement à résoudre ces deux dernières équations qui sont des équations aux dérivées partielles. Mais, on sait que D = εE et B = μoH, de sorte que les deux dernières du groupe se réduisent à un système de deux équations à deux inconnues E et H :

∇∧E ∇∧H

μo ε

∂H ∂t

(1.4.10)

∂E ∂t

(1.4.11)

Or, si les sources varient sinusoïdalement, les champs doivent aussi varier sinusoïdalement. On peut donc les exprimer sous forme d'exponentielles complexes :

E(z,t)

E(z) ejω t

H(z,t)

H(z) ejω t

E ejω t

(1.4.12)

H ejω t

(1.4.13)

où les amplitudes complexes sont fonction de z seulement, à cause de l'hypothèse initiale. En dérivant H(z,t) par rapport au temps et en portant le résultat dans (1.4.10), on obtient,

∇ ∧ E(z,t)

∇∧(E ejω t)

ejω t ∇∧E(z)

j ω μoH(z) ejω t

Vu que les exponentielles complexes se simplifient dans les deux derniers termes, on n’a plus qu’une équation indépendante du temps :

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1 Ondes électromagnétiques planes

j ω μo H(z)

∇ ∧ E(z)

13

(1.4.14)

En faisant de même pour l’équation (1.4.11), on obtient :

j ω ε E(z)

∇ ∧ H(z) ou simplement

∇ ∧ E = − jwμ 0 H

jω ε E

∇∧H

et

(1.4.15)

(1.4.16)

En tirant de (1.4.14) l’expression de H qu’on porte dans (1.4.15), on obtient :

ω 2 μoε E

(1.4.17)

∇ × ∇ × H = ω 2 μ oε H

(1.4.18)

∇∧∇∧E De même pour H :

Vu l’identité de forme de ces équations, les solutions pour E et H doivent être identiques. Posons k2 = ω2μoε. Alors :

k 2E

∇∧∇∧E Mais, ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) (éq. 1.1.2), de sorte que : 2

∇ E De même :

2

∇ H

(1.4.19)

2

∇ E et, dans le cas présent, ∇·E 2

k E

0

(1.4.20)

k2 H

(1.4.21)

Les équations de ce type s’appellent équations de Helmholtz9. Or, comme la source est à l’infini, on sait déjà que l’amplitude complexe du champ ne peut dépendre que de z. Le laplacien se réduit donc à une simple dérivée seconde par rapport à z :

∂2 E ∂z 2

∂2 Ex ∂2 Ey ∂2 Ez + + ∂z 2 ∂z 2 ∂z 2

k2 E

(1.4.22)

Mais, la composante Ez est nulle dans le cas présent. En effet, d’après l’équation (1.4.6), avec D = εE, le champ étant indépendant de x et de y : 9

Herman Ludwig von HELMHOLTZ, physicien et physiologiste allemand (1821-1894). Il fit d’importants travaux dans plusieurs domaines de la physique. Il énonça le principe de conservation de l’énergie. En acoustique, il interpréta le timbre des sons par l’existence d’harmoniques superposées (Petit Robert 2).

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14

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

∇·E

∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z

0

(1.4.23)

Mais les deux premières dérivées sont nulles, vu que le champ est indépendant de x et de y. Donc, Ez ne peut pas dépendre de z : il peut être constant ou nul. Choisissons Ez = 0, une composante constante ne présentant pas d’intérêt. De même, Hz = 0. On arrive ainsi à l’importante conclusion que, dans le cas d’une source à l’infini, le champ électromagnétique est transversal, c’est-à-dire perpendiculaire à la direction de propagation. Supposons une seule composante, pour simplifier : E = Ex x

(1.4.24)

Fonctions d’onde L’équation (1.4.20) se réduit à l’équation différentielle ordinaire du second ordre :

d2Ex(z) + k 2Ex(z) 2 dz

0

(1.4.25)

C'est l'équation de Helmholtz : l’équation d'onde de l'amplitude complexe du champ E . Une telle équation admet comme solution une fonction exponentielle complexe ou une somme d’exponentielles. Soit, par exemple,

Ex(z)

E1 e-jkz + E2 e+jkz

(1.4.26)

où E1 et E2 sont des constantes complexes à déterminer. On peut poser :

E1 = E1 ej φ 1 = E1 ej φ 1 et

(1.4.27)

E2 = E2 ej φ 2 = E2 ej φ 2

où E1 et E2 sont des constantes réelles. Rappelons que :

k = ω

εμo

(1.4.28)

Le champ magnétique H est nécessairement de la même forme. Nous verrons plus loin comment il est relié au champ électrique. http://fribok.blogspot.com/

1 Ondes électromagnétiques planes La fonction d'onde complexe

Ex(z) = E1oe

jkz

= E1oejφ1 e

15

Ex(z) avec l'exposant négatif peut donc s'écrire : jkz

= E1oe

j(kz

φ 1)

= E1o exp –j( kz – φ1) (1.4.29)

où l'indice o est utilisé pour bien signifier qu'il s'agit de l'amplitude à l'origine (z = 0). On peut s'en dispenser selon la clarté du contexte. De plus, on peut poser E1o Exo dans ce cas. On définit la longueur d'onde comme la distance Δ z = λ sur laquelle la phase du champ varie de 2π radians à un instant donné :

k λ

k Δz

2π λ

k

d'où la relation utile :

2π (rd) (rd/m)

(1.4.30)

D'une façon générale, la grandeur kΔz = Δ φ est le déphasage des vibrations à l'instant t en deux points espacés de Δz . La figure 1.4.1 représente une superposition de l'axe de propagation Z et du plan complexe, montrant comment évolue l'amplitude complexe E1 (ou phaseur) du champ avec la position z à un instant quelconque t. Elle est représentée à des positions espacées d'un quart de longueur d'onde (λ/4). On voit la phase initiale à l'origine φ 1 . On observe qu'au cours d'un tel déplacement, le vecteur tourne d'un quart de tour (π/2 radians).

PLAN COMPLEXE

ω Ε1ο 0 φ1 0

φ

1

Ε1

λ/4

φ

1

Ε1 kz

λ/2

Ε1 kz 3λ/4

Ε1

φ

1

φ1

φ

1

kz

λ

Ε1

Z

5λ/4

Figure 1.4.1 Variation de l'amplitude complexe du champ le long de l'axe de propagation

En un point donné au cours du temps, le vecteur phase tourne à la vitesse ω dans le sens positif, car la fonction d’onde complète est obtenue en multipliant la précédente par l’exponentielle ejω t (voir équation 1.4.12).

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16

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Rappelons que la multiplication d'une grandeur complexe A

par l'exponentielle complexe ejθ fait tourner le vecteur A d'un angle θ dans le plan complexe.

Champ réel et vitesse de phase Pour obtenir la forme réelle du champ E, multiplions les deux membres de jωt

(1.4.26) par e

ou

et prenons la partie réelle : jω t

Ex(z,t)

Ré Ex(z)e

Ex(z,t)

Ré Ex(z)e

jω t

j(ω t

kz)

j(ω t

kz + φ 1 )

Ré E1 e

Ré E1 e

j(ω t + kz)

+ E2 e

(1.4.31)

j(ω t + kz + φ2 )

+ E2 e

Donc,

E1 cos ωt

Ex(z,t)

kz + φ 1 + E2 cos ω t + kz + φ 2

(1.4.32)

L’expression entre parenthèses est la phase de la vibration ; la constante φ1 (ou φ2) est la phase initiale (à t = 0) à l’origine (z = 0). Le premier terme représente une onde qui se propage dans le sens positif de z, tandis que le deuxième représente une onde dans le sens négatif. Pour voir cela, considérons le premier terme qui peut se réécrire comme suit :

ou

Ex+(z,t)

Exo cos ω (t

kz /ω + φ 1 /ω )

Ex+(z,t)

Exo cos ω t

τ + C1

(1.4.33)

où Exo est l'amplitude du champ à l'origine (z = 0), où τ = kz/ω et la constante

C1 = φ1/ω. À l’origine (z = 0), le champ est donc décrit par la vibration :

Ex+(0,t) = Exo cos ω (t + C1)(1.4.34) qu’on a représentée par la courbe A à la figure 1.4.2. La période est T = 1/f. Le champ passe pas un maximum en SA quand t = -C1, car cos 0 = 1. La vibration en z, en un point supposé près de l’origine, est décrite par la courbe B, (équation 1.4.33). On remarque qu’elle passe par un maximum SB avec un retard τ : c’est le temps que met la perturbation à franchir la distance z et ce temps est directement proportionnel à z comme le montre la relation τ = kz/ω. La vitesse de propagation de l’onde se déduit alors de cette dernière :

z

ωτ k

v τ

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1 Ondes électromagnétiques planes

17

d’où, considérant (1.4.28) :

ω k

v

1 εμο

c εr

(1.4.35)

La vitesse donnée par la relation (1.4.35) est la vitesse de phase, la vitesse de propagation d’une onde sinusoïdale de fréquence f = ω /2π. Dans un diélectrique considéré comme parfait, elle ne dépend que de la valeur de la permittivité ε. Sachant qu’en unités SI la perméabilité magnétique du vide est définie comme μο = 4π 107, et connaissant la vitesse de la lumière (équation 1.1.1), la relation (1.4.35) permet de calculer la permittivité du vide :

εo

1 μoc 2 Ex Exo

8,85418·10-12 farad/mètre τ

C1

B

A SA

0

(1.4.36)

T

SB T

T/2

t

3T/2

Exo

Figure 1.4.2 Variation du champ électrique avec le temps à l’origine (courbe A) et au point d’abcisse z positive (courbe B) où la vibration est retardée de t

Représentons maintenant le champ en fonction de z en deux instants successifs, afin de mettre la propagation en évidence d’une autre façon. À cet effet, factorisons k dans (1.4.33) :

Ex(z,t) = Exo cos [-k z - ω t/k - φ 1/k ] = Exo cos [-k z - vt - D1 ] Ex(z,t) = Exo cos k z - vt - D1

(1.4.37)

Ex(z,t)

(1.4.38)

À t = 0 on a donc :

Exo cos k z

D1

Cette dernière fonction est représentée par la courbe M de la figure 1.4.3 qui passe par un premier maximum SM en z = D 1. À l’instant ultérieur t, par exemple, le champ est décrit par la fonction (1.4.37) (courbe N), le maximum s’est déplacé de vt jusqu’en SN. La figure sert à définir la longueur d’onde λ. http://fribok.blogspot.com/

18

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Les figures 1.4.4 et 1.4.5 montrent deux représentations du champ électrique à un instant donné t. La première montre comment le module et le sens du champ varient le long de l’axe Z. Elle fait apparaître la longueur d’onde λ comme la distance minimale entre deux points où le champ passe par un maximum. La deuxième fait ressortir le fait que le champ a la même valeur en tous points d’un plan perpendiculaire à l’axe de propagation Z. On constate aussi que la longueur d’onde est en fait la distance parcourue par le champ ou l’onde au cours d’une période de vibration. Donc : λ = v T = v/f

λf

Ou encore :

v

(1.4.39)

une relation fondamentale entre ces trois grandeurs pour les ondes planes. On en tire aussi une autre expression utile de la constante de phase k :

ω v

k Ex

2πf v

D1

Ex o

2π λ

(1.4.40)

vt

λ Àt > 0

M

0

SM

v

SN

λ/2

λ

3λ/2

Z

N -Exo Àt=0

Figure 1.4.3 Déplacement à la vitesse v du champ électrique au cours de l’intervalle de 0 à t

Ex

λ

λ/2 0

3λ/2

λ

z

Figure 1.4.4 Représentation du champ électrique sur l’axe 0Z à l’instant t

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x

E

E E

v z

0

E

λ Figure 1.4.5 Représentation du champ électrique dans l’espace à l’instant t

1.5

Polarisation d’une onde On désigne par le terme polarisation d'une onde électromagnétique la direction dans laquelle vibre le champ électrique. Il existe deux types de polarisation : la polarisation plane ou rectiligne et la polarisation elliptique.

Polarisation rectiligne ou dans le plan La polarisation d’une onde électromagnétique plane est rectiligne ou dans un plan quand sa composante électrique vibre dans une direction et un plan définis. C’est la direction de ce plan qui détermine la polarisation de l’onde dans ce cas. L’onde électromagnétique E(z,t) représentée dans la figure 1.5.1 est polarisée dans le plan Π qui fait un angle θ avec le plan x0z et se propage suivant 0z. Ses expressions sous forme complexe sont :

E z,t

Eo z ejωt

Eo z ejωta

Eoejφe-jkz ejωta

Eoej φ - kz ejωta (1.5.1)

où Eo est l’amplitude réelle du champ à l’origine, k est la constante de phase, ω est la pulsation, φ est la phase initiale à l’origine (elle peut être nulle) et a est un vecteur unitaire perpendiculaire à l’axe 0z dans le plan de polarisation (Figure 1.5.1). On sait que sa forme réelle est la partie réelle de cette dernière expression :

E z,t

Eo cos ωt kz + φ a

(1.5.2)

La figure 1.5.1 montre que cette onde peut être considérée comme ayant deux composantes en phase E1 et E2 :

E1 z,t

E1o cos ωt kz + φ x http://fribok.blogspot.com/

(1.5.3)

E Π E

x

E1

z x

E2 Π

E1 0

E2

E2

θ E1

a

E2

0

y y

E1

θ

E

E

Figure 1.5.1 Onde de polarisation rectiligne et ses composantes

E2 z,t

E1o

avec :

Eo cos θ

E2o cos ωt kz + φ y

et

E2o

Eo sin θ

(1.5.4) (1.5.5)

Une onde électromagnétique plane peut toujours se décomposer en deux autres ondes planes dans des plans mutuellement perpendiculaires ou des plans ayant un angle fini entre eux. La direction du champ en tous points est donc constante. Leur forme complexe correspondante est :

E1 z,t

E1oej ωt - kz + φ x

(1.5.6)

E2 z,t

E2oej ωt - kz + φ y

(1.5.7)

Polarisation elliptique et polarisation circulaire Deux ondes planes superposées dans la direction 0z et polarisées dans des plans différents donnent une onde de polarisation elliptique dans le cas où elles sont déphasées. Cela est représenté dans la figure 1.5.2, dans le cas particulier où les plans sont mutuellement perpendiculaires. Les composantes sont :

E1 z,t

E1o cos ωt kz x

(1.5.8)

E2 z,t

E2o cos ωt kz + φ y

(1.5.9)

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21

où φ est le déphasage entre les champs. Dans le cas où ce déphasage est nul ou un multiple entier de π, on retrouve le cas précédent de polarisation rectiligne. Dans le plan z = 0, on obtient :

et

E1o cos 2π t x T

E1 z,t

E1o cos ωt x

E2 z,t

E2o cos 2π t + φ y T

(1.5.10) (1.5.11)

E

E1

z

E2

x

E2

E E

E

E1 0

E2

E1

E E2

E

E1

E

y

Figure 1.5.2 Onde de polarisation elliptique

La composition de ces deux vecteurs dans le plan z = 0 donne un champ résultant E dont la pointe décrit une ellipse au cours d’une période de vibration T. Son grand axe est incliné d’un angle θ sur l’axe 0x. Ceci est représenté dans la figure 1.5.3, dans le cas où le déphasage φ = +45˚, en utilisant les vecteurs tournants de Fresnel dans le plan complexe pour décrire le champ dans chaque direction. Les vecteurs sont ici au point 1 à t = 0. Si les amplitudes des champs E1 et E2 sont égales, avec un déphasage de 90˚, on obtient alors une onde de polarisation circulaire. Examinons maintenant le champ à un instant donné (Figure 1.5.2), par exemple à t = 0. Les champs sont alors comme suit en posant t = 0 dans les équations (8) et (9) :

⎧ 2π ⎫ E 1 ( z , 0 ) = E1 o cos ( − kz ) x√ = E1 o cos kz x√ = E1 o cos ⎨ z ⎬ x√ λ ⎩ ⎭

(1.5.12)

⎧ 2π ⎫ E 2 ( z , 0 ) = E 2 o cos ( − kz + φ ) x√ = E 2 o cos( kz − φ ) x√ = E 2 o cos ⎨ z − φ ⎬ x√ ⎩ λ ⎭

(1.5.13)

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Vibration dans la direction de l'axe 0y

Im 2

ω

1

3 E2

ORIGINE DE LA POLARISATION ELLIPTIQUE

φ

4

8 Ré

5

Vibration dans la direction de l'axe 0x Ré ω 1

x 8

2

1

2

E1 3

7

6

7

8

θ

3 0

Im

7

y

E 4

4

6

6

5

5 Figure 1.5.3 Production d’une onde de polarisation elliptique

On voit ainsi que le champ E résultant fait un tour complet autour de l’axe 0z sur une distance λ, la longueur d’onde. Son extrémité décrit une hélice de période spatiale λ (Figure 2). La forme complexe de ces champs est la suivante :

E1 z

E2 z

E1oe-jkz x

E2oej -kz + φ y

E2oe-j kz - φ y

(1.5.14) (1.5.15)

Polarisations circulaires droite et gauche Dans la figure 1.5.2, on observe que le champ résultant E tourne dans le sens «antihoraire» et que, en plaçant les doigts de la main gauche dans ce sens, le pouce pointe dans la direction de propagation. On dit alors que la polarisation est circulaire (ou elliptique,

0 < φ ≤ 90˚ ) gauche. Si la condition

est satisfaite par la main droite, on parle de polarisation circulaire (ou elliptique,

0 > φ ≥ 90˚ ) droite.

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23

Une onde de polarisation circulaire gauche est donc décrite par :

Ez ou

E1oe-jkz x + E1oej -kz + π/ 2 y Ecg z

E1oe-jkz x + j E1oe-jkz y

E1o x + j y e-jkz

(1.5.16)

Si la polarisation est circulaire droite, alors :

Ecd z

E1o x

j y e-jkz

(1.5.17)

La superposition d’une onde de polarisation circulaire gauche à une onde de polarisation circulaire droite dans la même direction donne une onde de polarisation rectiligne. En effet, en additionnant ces deux expressions on obtient :

Ecg z + Ecd z

2E1o e-jkz x

(1.5.18)

c’est-à-dire une onde plane polarisée dans la direction 0x.

Considérations pratiques La polarisation des ondes électromagnétiques joue un rôle important dans le domaine des communications en pratique. Par exemple, une antenne dipolaire A1 (Figure 1.5.4) dans la direction 0x émet une onde E1 polarisée dans la même direction. L’antenne E2 émet une onde E2 polarisée suivant 0y. Les signaux sont amenés aux antennes par les lignes L1, L2 . Plus loin, sur l’axe 0z par exemple, des antennes identiques peuvent agir comme réceptrices de ces ondes. Toutefois, l’antenne dans la direction 0x ne sera sensible qu’aux ondes polarisées dans cette direction. De même pour celle dans la direction 0y. Une antenne de ce type est donc insensible aux ondes polarisées perpendiculairement à l’antenne. De telles antennes ne sont pas indiquées pour des sources qui changent d’orientation au cours du temps, telles que des satellites ou des vaisseaux de l’espace. En déphasant de 90˚ les signaux électriques des lignes L1 , L2, on produit une onde de polarisation circulaire, gauche ou droite selon le cas. Dans ce cas, la sensibilité d’une antenne de réception dipolaire ne dépend pas de son orientation autour de l’axe 0z. Les émetteurs de satellites utilisent donc généralement ce type de polarisation.

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x E1

z

A1 A2

E2

L2

y

L1

Figure 1.5.4 Antennes et polarisation

1.6

Expression du champ magnétique H Fo n c t i o n d ' o n d e - O r t h o g o n a l i t é d e s c h a m p s E e t H Supposons que le champ électrique qui se propage dans le sens positif de Z, avec une seule composante selon X est décrit comme précédemment par son amplitude complexe

Ex(z)

E(z)

Exo e-jkz x ,

(1.6.1)

L’expression du champ magnétique H se déduit simplement de l’équation (1.4.14) :

H

j ∇∧E ω μο

(1.6.2)

Le calcul de cette expression en coordonnées cartésiennes donne aisément

k E e-jkz y ω μο xo

H(z)

(1.6.3)

Donc, le champ magnétique n’a qu’une composante selon Y , avec une amplitude complexe :

Hy

k E ω μο x

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.

(1.6.4)

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25

Les composantes électrique et magnétique du champ électromagnétique sont mutuellement perpendiculaires ou orthogonales et se trouvent dans un plan normal à la direction de propagation : le champ électromagnétique est transversal. La relation entre ces deux composantes du champ électromagnétique est montrée dans la figure 1.6.1.

X

E v

0

Z

Y

H Figure 1.6.1

Composantes E et H du champ électromagnétique d’une onde plane qui se propage dans la direction +Z.

Impédance caractéristique du milieu (impédance d'onde) On sait que k = ω /v, avec s’écrire comme suit :

v

1/ εμo . Il s’ensuit que la relation (1.6.4) peut

μo Hy ε

Ex

η Hy

Ex

ou encore:

(1.6.5) (1.6.6)

Ces composantes sont étroitement liées par la grandeur η (êta) :

η =

μo ε

=

μo εrεo

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=

ηo εr

(1.6.7)

26

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques définie comme l’impédance caractéristique ou l’impédance d’onde du milieu. Cette appellation vient du fait que l’unité de η est l’ohm, car E est en V/m et H en A/m. L’équation (1.6.6) est donc de la forme V = ZI. L’impédance caractéristique du vide η0 est alors :

ηo ≈ 377 ohms

1.7

(1.6.8)

Propagation dans un diélectrique avec perte Constante de propagation complexe On sait qu’un diélectrique réel s’échauffe sous l’action d’un champ électrique alternatif : l’énergie électrique se dissipe en chaleur. Ce phénomène a deux causes essentielles : premièrement l’hystérésis, c’est-à-dire le déphasage entre le champ E et le champ D puis, deuxièmement, la conductivité σ du milieu. On doit donc s’attendre à ce que l’amplitude d’une onde électromagnétique plane diminue en cours de propagation. C’est ce que nous allons maintenant démontrer en trouvant la fonction d’onde dans ce cas. On sait que la permittivité électrique d’un tel diélectrique est un nombre complexe, la permittivité complexe :

ε

ε'

j ε"

Supposons aussi que:

σ ≠ 0, μ = μο

et la densité de charge

ρ = 0

(1.7.1)

(1.7.2)

En régime harmonique de pulsation ω , les équations de Maxwell (1.1.4) et (1.1.5) deviennent, considérant (1.4.10) et (1.4.11) :

∇∧E

j ω μο H

et

∇∧H

σ E + jω ε E

ou

∇∧H

σ + ω ε" + j ω ε' E

ou encore

∇∧H

jω ε

(1.7.3)

(σ + j ω ε) E

j σ E ω

σ' + j ω ε' E j ω εe E

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(1.7.4)

σE

(1.7.5) (1.7.6)

1 Ondes électromagnétiques planes

27

Ce qui permet de définir: La conductivité effective σ’ = σ + ωε"

(1.7.7)

La conductivité complexe effective σ

(1.7.8)

= σ’ + jωε’

La permittivité complexe effective εe

ε

j σ/ω

(1.7.9)

On constate que l’équation (1.7.6) est tout à fait de la même forme que l'équation vue précédemment pour les diélectriques sans pertes (1.4.16) que nous reproduisons ici:

jω ε E

∇∧H

(1.7.10)

sauf que la permittivité réelle ε est remplacée par la permittivité complexe effective εe . Par conséquent, la solution du système d’équations (1.7.3) et (1.7.6) doit être exactement de la même forme que celle des équations (1.4.14) et (1.4.15). Sauf que l’expression (1.4.28) de la constante de phase k devient une grandeur complexe:

k = ω

εeμo

(1.7.11)

C'est la constante ou fonction de propagation complexe. En substituant εe, on obtient facilement:

k = ω

ε' μo

j σ' ω ε'

1

(1.7.12)

On sait que δ est l’angle de pertes du milieu et que le facteur de pertes tg δ est

tg δ = On peut donc poser Avec :

k' ≡ k

et :

k" ≡ –α

σ' ω ε'

k = k’ + jk”

ω

ε'μο 1 +

= –ω

(1.7.13)

(1.7.14)

σ' ω ε'

ε' μo 1 +

2 1/4

σ' ω ε'

cos δ /2

2 1/4

sin δ /2

(1.7.15) (1.7.16)

Ce dernier terme, α ou -k ” s’appelle coefficient d’atténuation ou d’affaiblissement pour une raison qui deviendra évidente. La grandeur k' ou k est la constante de phase, comme avant.

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28

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Cas des bons diélectriques Si la conductivité effective σ’ est faible devant ω ε’ , alors cos δ /2 ≈ 1 et sin δ /2 ≈ tg δ /2 ≈ δ /2 ≈ σ’/(2ω ε’). Dans ce cas, celui des bons diélectriques, on a de plus σ > ω εο

Constante de propagation Les premières expressions des diverses constantes de propagation (k, v, α...) dérivées plus haut pour les diélectriques avec pertes peuvent servir directement ici, en les adaptant, car les équations de Maxwell qui s'appliquent ont exactement la même forme (éq. 1.7.3, .6). Donc :

et

∇∧E

jω μ H

(1.8.2)

∇∧H

j ω εe E

(1.8.3)

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1 Ondes électromagnétiques planes

33

L'équation (1.7.11) permet alors de trouver la constante de propagation k . Or, vu que σ >> ωεο, la permittivité complexe effective εe (1.7.9) se réduit à −jσ/ω, de sorte que :

Donc:

j σμ ω

ω

k

j ω σμ =

=

ω σμ 2

ω σμ e-jπ/4 =

k

j ω σμ j

ω σμ 2

(1.8.4) (1.8.5)

Vu que k = k – jα , il s'ensuit que :

α =

k

ω σμ 2

(m 1)

(1.8.6)

(m s 1)

(1.8.7)

La vitesse de phase est alors :

2ω σμ

ω /k

v

Il faut remarquer que cette vitesse tend vers zéro avec la fréquence: un tel milieu est fortement dispersif. Exemple 1.8.1

Propagation dans le cuivre

À 100 Hz dans le cuivre (σ = 5,7·107 S m 1), cette vitesse est seulement de 4,15 m/s ! Il faut comparer à 300 000 km/s dans le vide ! On calcule d’autre part α = 150 Np/m, ce qui est énorme : la pénétration de cette onde dans le cuivre est donc très faible. L'impédance caractéristique du conducteur est déduite de l'expression (1.7.28) en substituant la perméabilité et la permittivité appropriées:

η = ou

η =

μ εe

μ –jσ /ω

=

ωμ 2σ

+ j

ωμ 2σ

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ω μ jπ/4 e σ

(1.8.8)

= ηR + j ηI

(1.8.9)

=

34

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Fonction d'onde On obtient l'expression d'une onde plane de champ électrique qui se propage dans un conducteur simplement en portant l'expression (1.8.5) de k dans la fonction d'onde :

Ex(z)

Exo e-j(k

- jα )z

Exo e-αz e-jk z

(1.8.10)

Champ magnétique D'après (1.6.5), en y substituant (1.8.9), on obtient la relation entre les composantes électrique et magnétique du champ électromagnétique dans un conducteur :

ω μ jπ/4 e Hy σ

Ex

(1.8.11)

Le champ électrique a donc un avance de phase de π/4 radians (45°) sur le champ magnétique et le rapport de leurs modules dépend fortement de la fréquence.

Pénétration - Effet pelliculaire Si l'on suppose qu'une onde dans l'air rencontre la surface plane d'un conducteur, il y a un phénomène de réflexion dans l'air et de transmission dans le conducteur qui seront étudiés plus loin. Toutefois, admettons que l'amplitude du champ dans le conducteur, infiniment près de la surface, soit réelle E xo . D'après la relation (1.8.10), le module de l'amplitude du champ électrique est donc :

Ex(z)

Exo e-αz

(1.8.12)

La diminution du champ avec la profondeur est énorme. La profondeur z à laquelle l'amplitude est réduite à la fraction e 1 porte le nom particulier de pénétration 10. On la désigne par le symbole δ : pour ne pas le confondre avec l'angle de pertes, ajoutons un indice « o » pour « onde ». On a donc :

δo = 1 = α

10

2 ω σμ

En anglais cela porte le nom de skin depth et le phénomène est appelé skin effect.

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(1.8.13)

1 Ondes électromagnétiques planes

35

De sorte que l'équation (1.8.12) devient:

Ex(z) = Exo e z / δ o

(1.8.14)

Cette pénétration est relativement faible dans les bons conducteurs, comme le montre le tableau 1.8.1. TABLEAU 1.8.1 Pénétration

δ0

Conducteur

Conductivité 7 (10 S/m)

Perméabilité relative

60 Hz (mm)

1 kHz (mm)

1 MHz (mm)

Aluminium

3,54

1,00

11

2,7

85

Cuivre

5,80

1,00

8,5

2,1

66

Or

4,50

1,00

9,7

2,38

75

Argent

6,15

1,00

8,3

2,03

64

Fer doux

1,0

≈2000

1,4

0,35

11

Graphite

0,010

1,00

2 000

50

1 600

1,00

30 000

7 000

2·1

Eau de mer

≈ 5·10

7

Il est intéressant de constater que l'atténuation sur une distance égale à une longueur d'onde est une constante, et qu'elle est de Ex(λ)/Exo = e

2π

≈ 1,87·10

3

(1.8.15)

En effet d'après (7.7) :

λ

v = 2πv ω f

= 2π ω

2ω σμ

2π

2 ω σμ

2π δ

(1.8.16)

En portant z = λ dans (1.8.14) on obtient donc cette valeur d'atténuation de 2πNp qui indique bien l'importance du phénomène. Notons que ce résultat est indépendant de la fréquence.

1.9

Théorème de Poynting Flux d'énergie électromagnétique Les ondes électromagnétiques transportent de l'énergie. En un point de l'espace, la puissance instantanée d'une onde par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation est donnée par le vecteur de Poynting

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36

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques S

= E∧H

(1.9.1)

Ceci se démontre de la façon suivante. Considérons une région v de l'espace limitée par une surface fermée S où existe une champ électromagnétique (fig. 1.9.1). Partout les équations de Maxwell s'appliquent :

∂B ∂t

L’équation de Maxwell-Faraday

∇∧E = –

L’équation de Maxwell-Ampère

∇∧H = J +

(1.9.2)

∂D ∂t

(1.9.3)

Multiplions la première par H⋅ et la deuxième par E⋅, puis soustrayons l'une de l'autre :

H· ∇ ∧ E – E· ∇ ∧ H = – H· Or, le membre de gauche est égal à B = μ H et D = ε E. Il s'ensuit que :

H· De même:

(1.9.4)

∇· (E ∧ H) et, si le milieu est linéaire,

∂H ∂ ∂B = μ H· = ∂t ∂t ∂t E·

∂B ∂D – E· J – E· ∂t ∂t

1μ 2

∂D ∂ = ∂t ∂t

H·H =

∂ ∂t

1 μH 2 2

1 ε E2 2

(1.9.5) (1.9.6)

Les termes entre parenthèses sont respectivement la densité d'énergie magnétique et la densité d'énergie électrique. Or, on sait que la densité de courant J est reliée au champ électrique E et au champ électromoteur ε par la loi d'Ohm généralisée :

J = σ (E +

ε)

Alors,

E = J/σ - ε

d'où:

E · J = J 2 /σ -

1.9.7)

ε ·J

(1.9.8)

En portant ces dernières grandeurs dans (1.9.4) on obtient :

∇· (E ∧ H) = –

∂ 1 ( μH 2 + ∂t 2

1 2

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2 εE 2 ) – J + σ

ε·J

(1.9.9)

1 Ondes électromagnétiques planes

37

Isolons le dernier terme :

ε⋅J = ∂

1 2

∂t

μH 2 +

1 2

2 εE 2 + J + ∇· E ∧ H σ

E

H

(1.9.10)

n S

dA

V S

Figure 1.9.1

Démonstration du théorème de Poynting.

Signification des termes :

ε ⋅ J:

∂ ∂t

et

1 2

μH 2 +

1 2

(8) La puissance fournie par les sources par unité de volume.

(1.9.11)

Le taux de variation de

(1.9.12)

εE 2 : la densité d'énergie totale.

J2 : σ

La puissance dissipée par effet Joule par unité de volume.

(1.9.13)

∇· (E ∧ H) :

Un terme inconnu qui sera associé au rayonnement d'énergie hors du volume.

(1.9.14)

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38

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Intégrons sur tout le volume l'expression (1.9.10) :

ε ·J dv = v

∂ 1 J 2 dv μH 2 + 1 εE 2 dv + 2 2 σ v v ∂t

∇·(E∧H) dv

+

(1.9.15)

v

Le terme de gauche est alors la puissance totale développée par les sources dans le volume. Le premier terme de droite est le taux de variation des énergies électrique et magnétique dans le volume, tandis que le deuxième est la puissance totale dissipée par effet Joule. Le troisième ne peut être que la puissance électromagnétique sortant du volume V. Il peut se transformer en une intégrale sur la surface S du volume considéré au moyen du théorème de Green-Ostrogradsky :

∇ · (E ∧ H) dv v

(E ∧ H) · dS

= s

=

S · dS

(1.9.16)

s

On voit ainsi que cette puissance est égale au flux du vecteur S = E ∧ H (watts/m2)

(1.9.17)

à travers la surface. C'est le vecteur de Poynting. Ce vecteur est dans le sens de propagation de l'énergie rayonnante et son module est celui de la puissance par unité de surface (fig. 1.9.1). Exemple 1.9.1 constant

Application du théorème de Poynting dans un champ

La validité de ce théorème est générale. Montrons qu'il s'applique particulièrement dans le cas où les champs sont constants. Considérons la portion de conducteur cylindrique (fig. 1.9.2) de rayon a et longueur b portant un courant constant I de densité uniforme J. Le module du champ électrique peut s'exprimer comme suit :

I E = J = σ πa2 σ Le champ H sur la surface latérale est en tous points perpendiculaire à E, et son module est donné par :

H(a) =

I 2πa

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E

n

H S a

J b

S

Figure 1.9.2 Application du théorème de Poynting à une portion de conducteur parcouru par un courant de densité uniforme J

Le vecteur de Poynting P = E ∧ H est donc radial et pointe vers l'intérieur du conducteur. Introduisant le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface vers l'extérieur, le vecteur élément de surface dS = ndS , de sorte que:

I 2 (-n) 2 3 S 2π σa

· n dS

= –

2 2 I2 dS = – I 2πab = – bI π σa 2 2π2 σa3 2π2 σa3 S

Sur les extrémités, le vecteur n est axial et perpendiculaire à P : le flux est donc nul. La dernière expression étant négative, il s'agit donc d'une puissance reçue par le conducteur. Mais, la grandeur b/(πa2σ) représente la résistance électrique R de cette section de conducteur et RI2 est la puissance dissipée dans le conducteur par effet Joule qui est égale en module au flux du vecteur de Poynting.

Le vecteur Pointing en régime harmonique En régime variable sinusoïdal, S(t) = E (t)∧H(t). Or, en vertu du théorème d'Euler, ces deux derniers termes peuvent s'écrire sous la forme d'une somme de vecteurs complexes :

E(t) H(t)

1 2 1 2

E ejω t + E * e-jω t H ejω t + H * e-jω t

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(1.9.18) (1.9.19)

40

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques d'où : S(t) = 1 [E ∧ H ej2ω t + E* H * e 2jω t + E ∧ H * + E* ∧ H]

(1.9.20)

4

La puissance moyenne ou le vecteur de Poynting moyen est obtenue en intégrant cette dernière expression sur une période T et en divisant par T : T

= 1 T

(1.9.21)

S(t) dt 0

Mais, la moyenne des termes exponentiels est nulle sur une période. Il reste donc :

=

1 4

E ∧ H* + E * ∧ H =

1 4

E ∧ H* + E ∧ H*

*

(1.9.22)

On sait aussi que Ré{A} = 1 A + A * , de sorte que: 2

=

1 2

*

Ré E ∧ H

1 2

=

*

(W/ m2)

Ré H ∧ E

(1.9.23)

Cas d'une onde plane La figure 1.9.3 illustre le cas d'une onde plane qui se propage suivant l'axe Z dans un milieu quelconque d'impédance caractéristique complexe η (milieu avec pertes). Sa polarisation est dans le plan XZ. Alors:

Alors,

E = Ex e jkz x

(1.9.24)

H = H y e jkz y

(1.9.25)

E ∧ H* = Ex e jkz x ∧ H y e+jkz y = Ex H y z

(1.9.26)

Or, d'après (1.7.29),

Ex = η H y = η H y ejθ

(1.9.27)

De plus, par un simple choix d'origine, on peut faire Hy = Hy , un nombre réel. Alors,

E ∧ H* = η H y2 ejθ z

(1.9.28)

Le vecteur de Poynting moyen est donc:

= Pu z = I z =

1

2

η

2 Hy

2

Ex cos θ z = cos θ z 2 η

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1

(1.9.29)

X

E v

0

S

Z

H

Y Figure 1.9.3

Vecteur de Poynting d'une onde plane suivant 0Z.

Ce vecteur mesure la puissance moyenne Pu transportée par l'onde par unité de surface en W/m2. Cette grandeur est souvent appelée l'intensité de l'onde et désignée par le symbole I. Exemple 1.9.2

Vecteur de Poynting • Régime harmonique

Considérons un polymère (plastique) assez spécial contenant des additifs qui le rendent faiblement conducteur, avec une conductivité effective de 10 mS (millisiemens) à 1000 MHz. En courant continu, sa conductivité mesurée σ est de 5 mS/m. On a déterminé la permittivité électrique relative réelle : elle est de 4. On peut ainsi calculer diverses grandeurs en rapport avec une onde plane de cette fréquence qui se propagerait dans un tel milieu avec un champ électrique d’amplitude égale à 100 V/m. On peut donc calculer le facteur de pertes :

0,01 tg δ = σ' = σ' = = 0,04494 9 ωε' 2πfε' 2π × 10 × 4 × 8,854⋅10 12 D’où : δ = 0,04491 radians = 2,57˚. La constante de propagation réelle k :

k = 2πf ε'r εo μo 1 +

k = k

2π × 109 4 3⋅10

8

σ' ω ε'

2 1/4

1 + 0,04494 2

cos δ /2 = 1/4

2πf ε'r 1 + σ' c ω ε'

2 1/4

cos δ /2

cos 0,02246 rd = 41,89 × 1,001 × 0,9997

= 41,92 rd/m

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42

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques On observe que les deux derniers termes ont un effet négligeable dans le cas présent. Ce milieu peut encore être considéré comme un « bon diélectrique ». Le coefficient d’atténuation est alors :

α = 41,89 × 1,001 × sin 0,02246 rd = 0,9417 Np/m Comme 1 Np = 8,686 dB,

α = 8,18 dB/m

Le module de l’impédance d’onde :

η = Son argument : θ

ηo ε'r 1 +

1 σ' ω ε'

2 1/4

= 337 × 1 = 168,3 ohms 1,001 4

= (1/2) arctg (σ’/ω ε’) = δ/2 = 0,02246 rd = 1,29˚.

D’où :

ηR = η cos δ/2 = 168,3 × 0,9997 ≈ 168,3 ohms

et

ηI = η sin δ/2 = 168,3 × 0,02246 ≈ 3,78 ohms

Donc l’impédance d’onde est pratiquement réelle : l’avance de phase du champ électrique sur le champ magnétique n’est que de 1,29˚. L’intensité de l’onde, ou module du vecteur de Poynting, est alors :

I=

1 Ex 2

η

2

cosθ =

1 100

2

2 168 , 3

= 29 , 71 W/m

2

Après un parcours de 1 mètre (z = 1 m) dans ce matériau, l’intensité de l’onde est réduite à :

I = Io e 2 α z = 29,71 × exp -2 × 0,9417 × 1 = 4,52 W/m2 L’atténuation de cette onde est donc assez importante.

Vitesse de propagation de l'énergie Considérons une surface élémentaire dS perpendiculaire à une onde plane qui se propage suivant l'axe Z. On constate que l'énergie qui traverse la surface dS dans l'intervalle dt occupe le volume de longueur v dt (fig. 8.4). Si on désigne par Pu = < S > , le module de la valeur moyenne du vecteur de Poynting (puissance par unité de surface), et par w la densité d'énergie électromagnétique dans le volume dV ainsi défini, on obtient :

Pu dS dt = w dV

= w dS v dt

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1 Ondes électromagnétiques planes

Pu

On en tire une relation utile:

dV

vw

43

(1.9.30)

Y Z

dS

Hyo

Hy (z)

S

v

v dt

dz 0 Z

Figure 1.9.4

Relation entre la densité d'énergie et le vecteur de Poynting.

Figure 1.9.5

Résistance de surface d'un conducteur.

Résistance de surface Considérons une onde électromagnétique plane Ex(z,t) et Hy(z,t) qui se propage dans un conducteur de conductivité σ (fig. 8.5). Les amplitudes des champs E et H à la surface, dans le conducteur, étant Exo ,et H yo, la

Ps transportée par l'onde par unité de surface,

puissance effective moyenne d'après (8.29) et (7.9), est :

Ps =

1

2

2

η H yo cos θ

=

2

Ps =

ou encore:

ωμ 2 H yo cos (π/4) = 1 2 σ

1

1

2

2

ηR H yo =

1

2

2

ωμ 2σ (W/m2)

R s H yo

2

H yo

(1.9.31) (1.9.32)

On note que cette dernière expression a la même forme que la loi de Joule. On appelle résistance de surface du conducteur (ou du milieu en général) la grandeur Rs = ηR, la partie réelle de l'impédance caractéristique du milieu. Or, cette puissance doit être entièrement dissipée dans le milieu à droite de l'origine. Pour le vérifier, calculons la puissance dissipée dans un cylindre de section unitaire allant de z = 0 à l'infini. On sait que la densité de courant dans le milieu est donnée par la loi d'Ohm :

Jx(z)

σ Ex(z)

σ Exo e

αz

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e

jkz

(A/m 2 )

(1.9.33)

44

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques La puissance dissipée par effet Joule en un point d'abcisse z, par unité de volume, est donnée par

Pv

1 2

Jx (z) 2 σ

D'où :

Pv

1 2

2 σ Exo e

ou :

Pv

1 2

2 σ η 2 H yo e

1 2

σ Ex(z) 2

2α z

(1.9.34)

(W/m 3 ) 2α z

1 2

(1.9.35)

2 ω μ H yo e

2α z

(1.9.36)

La puissance dissipée dans la tranche d'épaisseur dz et de surface A 1 m 2 est:

dP

2 ω μ H yo e

1 2

Pv dv

2α z

·1·dz

(W)

(1.9.37)

En intégrant cette expression de z = 0 à l'infini, on obtient

P

1 ω μ H2 yo 4α

ωμ 2 H yo ωσμ/2

1 4

1 2

ωμ 2 H yo 2ω

(1.9.38)

Ce résultat est bien identique à celui de l'équation (1.9.31), comme il doit y avoir conservation de l'énergie. On peut vérifier que la résistance de surface Rs est reliée à la pénétration δο par la relation suivante:

ηR

RS

1 σ δo

(1.9.39)

En effet, considérons la figure 1.9.6 qui représente une portion de surface carrée (a = b = 1 unité) d’épaisseur δο. La résistance électrique entre les faces opposées M et N est donnée par l’expression

1 a σ b δo

R qui se réduit à la précédente.

δο

a

1 N b

1

M Figure 1.9.6

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45

EXERCICES Questions de revue R-1

Quel scientifique français a jeté les bases de l'électromagnétisme au e début du 19 siècle, avant J.C. Maxwell ?

R-2

Quel scientifique allemand a démontré l'existence des ondes électromagnétiques ? En quelle année ?

R-3

Énoncer les équations que doit satisfaire le champ électromagnétique en tout temps et en tous points.

R-4

Décrire les principales parties du spectre électromagnétique en fonction de la fréquence.

R-5

Qu'est-ce qu'un champ vectoriel complexe. Donner un exemple. Discuter.

R-6

Qu'est-ce qu'une onde plane ? Comment est-elle produite en principe ?

R-7

À partir des équations de Maxwell, démontrer que l'équation de propagation suivant l'axe Z dans un diélectrique parfait, de la composante électrique du champ électromagnétique est 2 ∇ E + k 2 E = 0 , où k 2 = ω 2 μo ε E

étant l'amplitude complexe du champ, un phaseur. Dans le cas de la propagation en une dimension, quelle est une forme de fonction pouvant satisfaire cette équation ? R-8

Si la propagation d'une onde est selon l'axe Z, pourquoi la composante Ez du champ électrique est-elle nulle ? Démontrer.

R-9

Comment est définie la polarisation d'une onde électromagnétique ?

R-10 Représenter le long de l'axe Z l'amplitude complexe d'une onde plane qui se propage dans le sens positif de cet axe. Même question pour une onde dans le sens négatif. R-11 Établir clairement la relation entre la forme complexe générale et la forme réelle de la fonction d'onde décrivant une onde plane de fréquence f = ω/2π qui se propage dans le sens positif de l'axe Z. Dans le sens négatif ?

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46

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques R-12 Comment peut-on définir la longueur d'onde ? Quelle est sa relation avec la constante de phase. R-13 Déterminer la relation entre les composantes électrique et magnétique d'une onde électromagnétique plane, premièrement dans un diélectrique parfait ou le vide, puis dans un milieu quelconque y compris dans un conducteur. Trouver l'expression de l'impédance d'onde ou impédance caractéristique dans chaque cas. R-14 Discuter de la signification de la constante de propagation complexe k d’une onde électromagnétique plane qui se propage dans un milieu quelconque. Montrer comment l'utilisation d'une permittivité complexe effective εe permet de trouver facilement l'expression de k à partir de sa forme dans le vide ou un diélectrique réel. R-15 Trouver l'expression du coefficient d'atténuation α d'une onde électromagnétique plane dans un diélectrique à faibles pertes, faisant intervenir l'impédance caractéristique et le facteur de pertes du milieu. R-16 Déterminer l'expression de l'impédance caractéristique ou impédance d’onde d'un diélectrique à faibles pertes. Quelle est la particularité de cette grandeur, par rapport à celle d'un milieu à pertes élevées ? R-17 Trouver l'expression de la constante de propagation complexe dans un bon conducteur, ainsi que celle de la vitesse de phase et du coefficient d'atténuation. R-18 Trouver l'expression de l'impédance caractéristique ou impédance d’onde d'un bon conducteur. R-19 Établir l'expression de la pénétration d'une onde électromagnétique dans un milieu conducteur. Quelle relation y a-t-il entre la pénétration et la résistance de surface? R-20 Qu'est-ce que le vecteur de Poynting? Que mesure la valeur moyenne du vecteur de Poynting dont le module est l'intensité de l'onde? R-21 Qu'est-ce que la résistance de surface d'un conducteur? À quoi peut servir ce concept? 1.1

Équation d'onde Vérifier que toute fonction du genre Ex = f(t ± z/v) satisfait l'équation de propagation du champ électromagnétique suivante :

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1 Ondes électromagnétiques planes 2

2 ∂ E ∇ E – 1 = 0 2 2 v ∂t

où v =

1 εμ

47

avec Ey = Ez = 0

Suggestion : vérifier par substitution. Qu'est-ce que représente la fonction Ex ? 1.2

Équation d'onde En régime harmonique de fréquence f = ω/2π, l'équation de propagation de la composante électrique du champ électromagnétique est la suivante : 2

∇ E – k2 E = 0 où E est l'amplitude complexe du champ électrique, k est une constante généralement complexe : k = ω εμ . Vérifier que cette équation est satisfaite par une fonction de la forme Ex(z) = Exo exp (±k z) Supposer nulles les composantes sur Y et Z. 1.3

Paramètres d'une onde Une onde plane décrite par E(z, t) = 50 exp (1010t - kz + 1) x V/m se propage dans du polypropylène (εr = 2,25) supposé sans pertes. Déterminer : a) La valeur de k. Rép.: 50 m

1

(b) La longueur d'onde. Rép.: 0,1257 m c)

L'expression du champ magnétique. Rép.: 0 , 199 cos(1010 t − 50 z + 1)y√

1.4

A/m

Onde - Propriétés diverses Une onde plane dont l'amplitude du champ élecrique est de 100 V/m se propage selon l'axe Z dans un milieu sans pertes dont μ r = 1 et

εr = 3. L'onde est polarisée selon Y et sa fréquence est de 50 MHz.

Trouver : a) Sa vitesse de propagation (vitesse de phase). Rép.:

1,732· 108 m/s http://fribok.blogspot.com/

48

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques b) Sa pulsation, sa constante de propagation (ou constante de phase) et sa longueur d'onde. 8

Rép.: ω = 3,1416·10 rd/s; k = 1,814 rd/m; λ = 3,64 m c)

Les expressions complexe et réelle du champ E(z,t), dans le cas où le champ est de 40 V/m à l'origine à l'instant t = 2 ns (nanosecondes). 8 Rép.: E ( z , t ) = 100 cos( π × 10 t − 1, 814 z + 0 , 531) y√

d) L'impédance caractéristique du milieu. e)

Rép.: η = 217,5 ohms

Les expressions correspondantes du champ magnétique. Rép.: H = -0,460 x√ ... etc.

f)

Le vecteur de Poynting complexe. Rép.: S = 46,0 z√ W/m2

g) Le vecteur de Poynting moyen et l'intensité moyenne de l'onde. Rép.: 1.5

< S > = 23,0 z W/m2 ;

I = 23,0 W/m2

Énergie Démontrer que dans une onde électromagnétique plane les densités maximales d'énergie électrique et d'énergie magnétique sont égales.

1.6

Onde - Phase Une onde plane de 20 MHz se propage parallèlement au sol suivant l'axe Z et on a placé le long de celui-ci, aux points A et B, des antennes captant de l'énergie envoyée au point d'observation P par des lignes d'égales longueurs AP et BP. Évaluer la différence de phase qu'on pourra mesurer n P entre les signaux arrivant en P sur les lignes si la distance AB = 25 m. Rép.: ± 120°

1.7

Milieu spécial Une certaine onde plane a une longueur d'onde dans le vide égale à 12 cm. Or, quand elle se propage dans un matériau diélectrique sans pertes aux caractéristique inconnues (μr ≠ 1 et εr ≠ 1), sa vitesse de 8 phase est de 1,5·10 m/s, l'amplitude du champ E est 50 V/m, celle

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1 Ondes électromagnétiques planes

49

du champ H, 0,10 A/m. Trouver la fréquence de l'onde, la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du milieu, ainsi que l'intensité de l'onde dans ce dernier. 2

Rép.: 2,5 GHz; εr = 1,508 ; μr = 2,653 ; I = 2,5 W/m 1.8

Déphasage Une onde plane de 3 GHz est incidente perpendiculairement sur une plaque de polystyrène (εr = 2,7) percée d'un trou. Quelle doit être l'épaisseur de la plaque afin que la portion de l'onde qui passe par le trou acquière une avance de phase de 180° sur l'autre partie qui traverse le diélectrique. On ne tiendra pas compte du phénomène de réflexions multiples sur les faces du diélectrique ; la solution est donc approximative. Rép.: 7,77 cm

1.9

Milieu avec pertes Une onde plane de 1 GHz se propage dans un diélectrique à faibles pertes avec une vitesse de phase de 200 000 km/s. Si on constate une diminution d'amplitude de 5% sur un parcours de 2 mètres, évaluer : a) Le coefficient d'atténuation du milieu. Rép.: 25,65 Np/km b) La conductivité effective du diélectrique. Rép.: 204 μS/m c)

Le facteur de pertes du diélectrique. Rép.: 0,00163

d) La diminution relative d'intensité par longueur d'onde de parcours. Rép.: 1,03% 1.10 Milieu avec pertes Un certain milieu diélectrique est caractérisé par une permittivité relative complexe εr = 5 - j0,006. Il s'y propage une onde électromagnétique plane de fréquence égale à 200 MHz suivant l'axe Z dont l'amplitude à l'origine choisie est de 100 V/m. Elle est polarisée suivant l'axe X. Évaluer :

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50

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques a) La vitesse de phase. 8

Rép.: 1,342·10 m/s b) L'impédance caractéristique du milieu. Rép.: 168,6 ohms c)

La conductivité effective et le facteur de pertes du milieu. Rép.: 66,76 μS/m ; 0,0012

d) Le coefficient d'atténuation. Rép.: 5,628 mNp/m e)

La fonction d'onde réelle telle que la phase initiale à l'origine soit nulle. Rép.: Ex(z, t) = 100 exp (-5,628· 10 3z) cos (1,257*109t - 9,366 z ) V/m

f)

La distance de propagation telle que l'intensité de l'onde tombe à 1 % de sa valeur à l'origine. (409 m)

g) Quel devrait être le facteur de pertes du milieu afin que l'amplitude de l'onde ne diminue que de 1% sur la même distance que précédemment ? Rép.: 5,24⋅ 10

6

1.11 Milieu avec pertes Une onde électromagnétique plane à fréquence très élevée se propage dans un milieu diélectrique solide relativement étendu dont la permittivité relative réelle est de 2,5 avec un facteur de pertes de 0,01. Des mesures ont permis de déterminer la longueur d'onde dans ce milieu et l'amplitude du champ électrique : λ = 10 cm, E = 100 V/m. a) Évaluer la vitesse de propagation de l'onde et sa fréquence. b) Déterminer l'impédance d'onde du milieu et son coefficient d'atténuation. c)

Établir l'expression réelle de cette onde le long de l'axe 0z, la phase initiale à l'origine étant nulle.

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2 Réflexion d’une onde plane Incidence normale

Un problème pratique important est celui qui se pose à l'interface de deux milieux où se propagent des ondes électromagnétiques. Il s'agit de déterminer les relations entre les valeurs des divers champs de chaque côté. Dès les années 1820, ce problème a été largement résolu pour la lumière par le grand ingénieur et physicien français Augustin Fresnel1. Il a en effet trouvé les lois exactes de la réflexion et de la transmission de la lumière par la surface d'un diélectrique pour un angle d'incidence quelconque. Dans ce chapitre, nous traiterons seulement du problème de l'onde incidente perpendiculairement sur une surface plane : l'incidence normale. Nous allons premièrement considérer le cas de l'incidence sur l'interface de deux diélectriques à faibles pertes, puis ensuite celui de l'incidence sur une surface conductrice.

1

Augustin FRESNEL, physicien et ingénieur français (1788-1827). Il est le créateur de l'optique vibratoire et de l'optique cristalline. Il établit solidement la nature ondulatoire de la lumière et expliqua les phénomènes d'interférence et de polarisation. La théorie de Fresnel établie pour les phénomènes d'optique put s'appliquer par la suite aux autres rayonnements électromagnétiques. On lui doit l'invention des lentilles qui portent son nom qui servirent initialement à augmenter considérablement le pouvoir éclairant des phares et qui sont couramment utilisées aujourd'hui dans les rétroprojecteurs, pour concentrer la lumière sur l'objectif.

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52

2.1

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Interface de deux diélectriques parfaits Fonctions d’onde La figure 2.1.1 représente deux milieux quelconques ayant une interface plane sur laquelle est incidente une onde plane provenant d'une source à -∞ . Dans le cas considéré ici, ce sont des diélectriques parfaits ; alors, μ1 = μ2 = μo et les permittivités ε1, ε 2 sont réelles. On constate alors qu'une partie de l'énergie incidente est réfléchie dans la direction -Z et qu'une autre partie est transmise (ou réfractée) dans le deuxième milieu suivant Z. Si l'onde incidente est polarisée suivant X, les autres le sont nécessairement. Il s'agit de trouver des relations entre les divers champs. Définissons à cet effet : – L'onde incidente

E+1x(z)

+ E1xo exp ( j k 1z ) x

(2.1.1)

– L'onde réfléchie

E1x(z)

E1xo exp (+j k 1z ) x

(2.1.2)

– L'onde transmise

E+2x(z)

+ E2xo exp ( jk 2 z ) x

(2.1.3)

Vu que la polarisation est connue, on peut utiliser la forme scalaire et se dispenser de l'indice x :

E1+(z)

+ E1o exp ( j k 1z )

(2.1.4)

X

X

1

2 E1+

E2+

v1

1

ε1

E1–

μ1

E1+

v2

0 v1

Air

Polyéthylène

E2+

v1 Z

v2

0

Z

v1

ε2 μ2

Figure 2.1.1 Réflexion et transmission d'une onde l'interface de deux milieux

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E1–

ε1

μ1

2

ε2 μ2

Figure 2.1.2 Exemple électromagnétique à

E1 (z)

E1o exp (+j k 1z )

(2.1.5)

E2+(z)

+ E2o exp ( jk 2 z )

(2.1.6)

S'il n'y a pas de charges électriques sur l'interface, on sait que la composante tangentielle du champ électrique est continue à l'interface (même valeur de part et d'autre) : + E1o + E1o

+ E2o

(2.1.7)

De même pour le champ magnétique H, qui est dans le plan YZ comme on le sait, s'il n'y a pas de courant superficiel : + H 1yo + H 1yo

ou, plus simplement

+ H 1o + H 1o

+ H 2yo

(2.1.8)

+ H 2o

(2.1.9)

Coefficients de réflexion et de transmission On sait d'après la relation (1.6.6) entre le champ électrique et le champ magnétique que la relation (2.1.7) peut s'exprimer à partir du champ magnétique et des impédances caractéristiques des milieux : + + η1 H 1o – η1 H 1o = η2 H 2o

(2.1.10)

En effet, pour une onde dans le sens négatif, on démontre aisément que

E1xo

η1 H 1yo . L'amplitude de l'onde incidente étant connue, on peut

alors résoudre ces deux dernières équations pour les inconnues :

H 1o ≡ H 1yo = – + + H 2o ≡ H 2yo =

η2 – η1 + H η2 + η1 1o

2 η1 H+ η2 + η1 1o

(2.1.11)

(2.1.12)

Pour le champ électrique, on vérifie aisément par substitution que :

E1o ≡ E1xo =

η2 – η1 + E η2 + η1 1o

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(2.1.13)

+ + E2o ≡ E2yo =

2 η2 E+ η2 + η1 1yo

(2.1.14)

On convient de définir les coefficients de réflexion et de transmission comme :

R

E1xo + E1xo

et

+ E2xo + E1xo

T

(2.1.15)

On en tire les importantes expressions suivantes : – Le coefficient de réflexion

– Le coefficient de transmission

R =

T =

η2 – η1

(2.1.16)

η2 + η1 2 η2

η2 + η1

= 1 + R

(2.1.17)

On voit que T = 1 + R et : Si η2 > η1 , 0 ≤ R ≤ +1 et 1 ≤ T ≤ 2 Si η2 < η1 ,

-1 ≤ R ≤ 0

et 0 ≤ T ≤ 1

Un coefficient de réflexion négatif correspond à une inversion de phase du champ à la réflexion. Exemple 2.1.1

Calculs de R et T. Intensité

Supposons que les milieux 1 et 2 sont respectivement de l'air et du polyéthylène et que l'onde plane incidente a une amplitude électrique de 10 V/m avec une fréquence de 100 MHz. On a ε 1 ≈ οε, ε 2 ≈ 2,2ε o . Si l'on considère cette amplitude comme réelle à l'interface, la fonction d'onde s'écrit comme suit : + E1x (z) = 10 exp (–jk 1 z ) V/m

avec

2π·108 k 1 = vω = = 2,094 rd/m 1 3·108

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2 Réflexion d'une onde plane

55

Dans le deuxième milieu, k 2 = ω /v 2 = ω εr2 /c = εr2 k 1 = 3,106 rd/m . Puis, η1 ≈ ηo ≈ 377 ohms, et η2 = 377/ 2,2 = 254,17 ohms (ici, θ = 0). Évaluons les coefficients R et T :

R =

254,2 - 377 = – 0,1946 et 254,2 + 377

2 × 254,2 T = 254,2 + 377 = 0,8054

Dans ce cas, il y a donc inversion de phase du vecteur électrique à la réflexion ; par contre le vecteur magnétique se réfléchit sans déphasage selon (2.1.11). Les ondes réfléchies et transmises ont ainsi les amplitudes complexes :

E1 x(z) = –1,946 exp (+jk 1 z )

et E2+x(z) = 8,054 exp (-jk 2 z ) V/m

Si les milieux sont dans l'ordre inverse (Figure 2.1.2) l'onde incidente est dans le polyéthylène et on calcule R = +0,1946 et T = 1,1946. Le vecteur électrique n'est donc pas déphasé à la réflexion. Dans ce dernier cas, l'amplitude du champ électrique transmis est supérieure à celle du champ dans le premier milieu, mais la puissance transmise ne peut l'être en vertu de la loi de conservation de l'énergie. Vérifions-le. L'intensité de l'onde dans l'air (milieu 2) est donnée par l'expression (1.9.29) :

T 2 η1 + T 2 η1 1 E12+ E2 T 2 E12+ I2+ = 1 2 = 1 = = I η2 2 η1 η2 1 2 η2 2 η2 Ce qui donne l'intensité dans l'air I2 = 0,962I1, qui est inférieure à celle dans le polyéthylène, comme il fallait s'y attendre. La fraction (1 – 0,962) = 0,038 doit donc être réfléchie à l'interface. Vérifions : 2

E R 2E12+ I1 = 1 1 = 1 = R 2 I1+ ≈ 0,038 I1+ 2 η1 2 η1 La loi de conservation de l'énergie est donc vérifiée.

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56

2.2

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Interface diélectrique - Conducteur Dans le cas où les milieux 1 et 2 (Figures 2.1.1, 2.1.2) sont respectivement un diélectrique et un conducteur, on pose les mêmes raisonnements que dans le cas précédent et on trouve aisément des coefficients de réflexion et de transmission de la même forme (équations 2.1.15, 2.1.16) quand il n'y a ni charge ni courant superficiels. Il suffit d'utiliser l'expression (1.8.9) de l'impédance caractéristique d'un conducteur :

ωμ 2σ

η =

Alors : R =

+ j

ωμ 2σ

ηR2 + jηI2 – η1 ηR2 + jηI2 + η1

et

= ηR + j ηI

T =

2ηR2 + j2ηI2 ηR2 + jηI2 + η1

(2.2.1)

(2.2.2)

On note que les coefficients R et T sont complexes. Il s’ensuit que le déphasage à la réflexion peut être compris entre -180˚ et +180˚. Dans le cas d’un bon conducteur, l’impédance caractéristique a un module très inférieur à 1. Il s’ensuit, comme nous allons le voir, que le module de R est voisin de 1 et que celui de T est très inférieur à 1. Exemple 2.1.2

Calculs divers

Une onde plane à 500 MHz dans l'air d'intensité égale à 1 W/m2 rencontre une surface de cuivre (σ = 5,75 x 107 S/m) à incidence normale. Trouvons premièrement l'impédance caractéristique ou impédance d’onde d'après (2.2.1), ce qui permet l'évaluation des coefficients de réflexion et de transmission :

ηR2 = ηI2 =

2π × 5·108 × 4π·10 7 2 × 5,75· 107

1/2

= 5,859· 10 3 ohm = η2 cos π/4

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(a)

2 Réflexion d'une onde plane On calcule η2 Alors :

R =

= 8,286· 10 3 ohms . On sait déjà que η1 ≈ ηo ≈ 377 ohms .

5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3 – 377 5,859· 10

57

3

+ j 5,859· 10

3

+ 377

≈

376,994 ∠ 179,99911° 377,0059 ∠ 0,00089°

R ≈ 0,999968 ∠ 179,998° ≈ – 1

(b)

Le coefficient de réflexion de l'intensité (ou de la puissance) est alors RI = R2 = 0,999936 ≈ 1. La réflexion est donc quasi parfaite, avec inversion de phase du vecteur électrique. Puis, la transmission :

T =

2 × 5,859· 10 3 + j 2 × 5,859· 10 3

1,6572· 10 2∠ 45°

≈

5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3+ 377

377,0059 ∠ 0,00089°

T ≈ 4,396· 10 5 ∠45° = T ∠ 45° = T exp (jπ/4)

(c)

Par définition, T = E2+ / E1+ . Le coefficient de transmission de l'intensité est donc, d'après l'exemple précédent et la relation (1.9.29) :

TI =

TI =

I2+ = I1+

η1 E2+ 2 2 η2 E1+

2

377 × (4,396· 10 5) 2 × 8,286· 10

3

=

η1 T 2 η2

2

2

= 6,217· 10 5

(d)

Donc, à peine 6 parties sur 100 000 de la puissance incidente sont transmises dans le métal. Sachant que l'intensité dans l'air est de 1 W/m2, on peut calculer le module du champ électrique :

E+ 2 E2 I1 = 1 1 cos θ = 1 1+ cos 0°, d'où 2 η1 2 η1

E1+ =

2η1I1 = 27,459 V/m

(e)

Alors, H 1+ = E1+/377 = 0,0728 A/m . La phase du champ électrique incident à l'interface est prise comme référence : il est réel.

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58

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques D'après (c), le champ électrique transmis est, à la surface : + + E2o = T E1o = 4,396· 10 5 ∠45° × 27,459 = 1,2071· 10 3 ∠45°

ou encore

+ E2o = 1,2071· 10 3 exp (jπ/4) V/m

(f)

On en tire l'expression du champ magnétique : + H 2o =

E2+o

η2 ∠45°

=

1,2071· 10 3∠45° 8,286· 10 3 ∠45°

= 0,1457 A/m

(g)

On observe que ce champ est en phase avec le champ électrique incident à l'interface. On peut en déduire la puissance transmise dans le métal :

I2 =

1 2

Ré {E ∧ H * } =

1 2

E2 2 cos π/4 η2

0,5 × (1,2071· 10 3) = 1 E2 H 2 cos π/4 = 2 8,286· 10 3

2

1 2

I2 = T I I2 = 6,217· 10 5 W/m2

(h)

ce qui correspond bien au résultat en (d). Si on désire écrire les expressions des champs réfléchis et incidents, il faut connaître les constantes de phase : Dans le premier milieu (air) : k 1 =

2π × 500·106 3·108

= 10,47 rd/m

(i)

Dans le deuxième : 1/2

2π × 500·106 × 5,75· 107 × 4π·10 7 = 3,369· 105 m 1 (j) 2 v 2 = ω /k 2 = 9322 m/s La vitesse de phase : (k) k 2 = Ré{k 2} = α2 =

Si l'on suppose que l'onde est polarisée suivant l'axe vertical X, le champ électrique de l'onde incidente peut s'écrire :

E+1(z) = 27,46 exp (-j 10,47 z) x V/m Puis,

E1(z) = –27,46 exp (+j 10,47z) x V/m

(l) (m)

E+2 (z) = 1,207· 10 3 exp (-3,37· 105z) exp -j(3,37· 105z – π/4) x V/m (n)

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2 Réflexion d'une onde plane

59

H 1(z) = 0,0728 exp (+j 10,47z) y A/m

(o)

H +2 (z) = 0,1457 exp (-3,37· 105 z) exp (-j 3,37· 105 z ) y V/m

(p)

Finalement, le champ électrique réel dans le conducteur s'obtient en multipliant (n) par exp (jωt) et en prenant la partie réelle du résultat :

E+2 (z,t) = 1,207 ⋅ 10 3 exp (-3,37 ⋅ 105 z) cos (ω t – 3,37 ⋅ 105z + π/4) x V/m

(q)

où ω = 2πf . La pénétration δο = 1/α2 = 2,968 μm. On peut aussi calculer la résistance de surface (équation 1.9.39):

R s = η R = 1/(σδo ) = 5,859· 10 3 Ω On peut remarquer que cette valeur est la résistance entre les extrémités d'une feuille de cuivre carrée de 1 m de côté dont l'épaisseur est égale à δο la pénétration du champ !

2.3

Ondes stationnaires La superposition de l'onde incidente sur une surface et de l'onde réfléchie fait apparaître un phénomène d'interférence entre les deux ondes qu'on appelle une onde stationnaire : On constate dans ce cas que l'amplitude du champ résultant varie périodiquement dans l'espace le long de la normale à la surface.

Réflexion sur un conducteur parfait La figure 2.3.1 illustre le phénomène dans le cas d'une onde plane incidente normalement sur la surface d'un conducteur supposé parfait dans un milieu sans pertes. Elle montre les amplitudes complexes du champ (les phaseurs) de l'onde incidente en fonction de la position dans l'espace :

Ex+(z) de l'onde réfléchie

Ex– (z)

+ E1xo exp ( j k 1z )

– E1xo exp

+j k 1 z

+ R E1xo exp +j k 1 z

(2.3.1) (2.3.2)

et du champ résultant à un instant quelconque :

Ex(z)

+ E1xo exp ( j k 1 z) + R exp (+j k 1z)

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(2.3.3)

60

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques où

+ E1xo

+ E1xo exp j φ1 . Dans le cas présent, R = -1, alors : + E1xo exp

Ex(z)

j k 1z

exp +j k 1 z

(2.3.4)

Le phaseur de l'onde incidente tourne dans le sens négatif quand on se déplace de gauche à droite, tandis que celui de l'onde réfléchie tourne en sens inverse ; la rotation de ce dernier est indiquée comme on la perçoit en se déplaçant dans le sens négatif de Z. Dans ce cas particulier, l'amplitude de l'onde réfléchie est égale et sa phase est opposée à celle de l'onde incidente à l’interface. L'amplitude résultante du champ électrique est donc nulle à la surface et l'on observe qu'elle s'annule également aux points d’abcisse -λ/2, -λ, -3λ/2, etc. Le champ résultant passe par un maximum aux points intermédiaires, en -λ/4, -3λ/4, etc. et sa phase varie de π radians d'un tel point à l'autre. La figure 2.3.2 est une autre représentation qui montre l'évolution des champs avec z. Elle permet de trouver une expression du module du champ résultant au moyen de la loi du cosinus, en simplifiant la notation :

E+2 + E 2 + 2E+E cos θ

E2

(2.3.5)

où θ = π + 2kz (signe + du fait que z est négatif ici). Donc :

E2

E+2 + E 2 + 2E+E cos (π + 2kz )

Vu que k = 2π/λ,

E

E+2 + E 2

E+2 + E 2

2E+E cos 2kz

2E+E cos 4π z λ

1/2

(2.3.6) (2.3.7)

Dans le cas présent, les modules étant égaux :

E(z)

E+ 2 1

cos 4π z λ

1/2

(2.3.8)

La figure 2.3.3 montre cette fonction : cas de la réflexion sur un conducteur parfait, R = –1. On appelle plan nodal un plan où la résultante est minimale, et plan ventral celui où la résultante E est maximale. Un plan ventral se trouve à mi-chemin entre deux plans nodaux et vice-versa. La figure 2.3.4 montre ces plans. Exemple d’application Les parois d'un four à micro-ondes sont faites d'un bon conducteur de façon qu'elles absorbent une fraction négligeable de l'énergie électromagnétique. D'une façon générale, il existe dans le four un système d'ondes stationnaires en trois dimensions, de sorte que si la

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2 Réflexion d'une onde plane

61

fréquence est constante, il y a un ensemble de zones où l'amplitude du champ électromagnétique est maximale et un autre où l'amplitude est minimale. Par conséquent, le chauffage d'un substance diélectrique telle qu'un aliment ne sera pas uniforme dans la masse : certaines parties chauffent beaucoup plus fortement que d'autres. Ce problème est résolu de deux façons : 1° À fréquence constante, on injecte l'énergie dans le four par un tourniquet qui en uniformise la distribution ou on place l’objet à chauffer sur une table tournante. 2° On utilise une source (magnétron) à fréquence modulée, ce qui produit le même effet, car à chaque fréquence correspond une distribution d'énergie particulière. Toutefois, la variation de fréquence doit être relativement importante, de l’ordre de ±15 %. Onde incidente E+

Eo+

−3λ/4

−λ

−λ/2

π/2

0

π

3π/2

φ1

−λ/4

E+

E+

SURFACE

E+

Onde réfléchie −3λ/4

−λ

E-

E−λ/2 −π

−3π/2

E-

E-

E

−3λ/4

−3π/2

−π/2

π

0 Eo-

Champ résultant

E −λ

φ1

−λ/4

E

φ1

−λ/4 0

−λ/2 −π/2 E

Figure 2.3.1 Onde stationnaire. Superposition de l'onde plane incidente et de l’onde réfléchie. On montre une superposition du plan complexe et de l'espace réel.

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Imaginaire E+ kz

φ1

Réel

θ

E

+kz E

Figure 2.3.2 Composition des champs incident et réfléchi à la surface d'un conducteur : E+ ≈ E

E(z) +

R= 1

2Eo +

Eo

h/λ

1.25

1

0.75

0.5

0

0.25

Figure 2.3.3 Module du champ devant la surface conductrice

N

V

N

Max. Min.

−3λ/2 −5λ/4

V

N

Max. Min.

−λ

V Max.

Min.

−3λ/4 −λ/2

−λ/4

0

z

Figure 2.3.4 Réflexion sur un conducteur. Plans nodaux et plans ventraux.

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2 Réflexion d'une onde plane

63

Réflexion sur un diélectrique On considère une onde plane incidente perpendiculairement sur la surface plane séparant deux diélectriques 1 et 2 supposés parfaits (Figure 2.1.1). Vu que la réflexion n’est pas totale, les minimums de l’onde stationnaire ne peuvent être nuls. Les résultats s’appliquent assez exactement aux diélectriques réels à faibles pertes.

Forme complexe de l’onde stationnaire En se reportant à la figure 2.1.1, le champ électrique résultant dans le milieu de gauche (1) est la somme du champ incident et du réfléchi. À partir des expressions 2.1.1, 2.1.2, laissant tomber l’indice x superflu, on a donc :

E1+(z) + E1o(z)

E(z)

+ E1o exp j k 1 z + E1o exp +j k 1 z

(2.3.9)

Considérant la définition du coefficient de réflexion (équation 2.1.15), on peut donc écrire :

ou encore : ou :

E(z)

+ E1o exp

E(z)

+ E1o exp

j k 1 z 1 + R exp +j2 k 1 z

(2.3.11)

E(z)

E1+(z)

E1+(z)R

(2.3.12)

Champ incident

+

↑

j k 1 z + R exp +j k 1 z

↑

exp +j 2k 1 z

(2.3.10)

Champ réfléchi

E1o exp j φ1 E1oexp j φ1 . Cette somme est représentée dans où E1o la figure 2.3.5, où le module E R E + , avec R < 0, en faisant φ1 = 0 pour simplifier. On observe qu'au cours d'une variation de z, les vecteurs tournent en sens opposés des angles -kz et +k z respectivement, de sorte que le vecteur E1 z fait un angle π – |2kz | = π + 2kz avec la direction de E1+ z . Mais il faut noter que z est négatif ici, de sorte que +2kz l'est également. Quand z = –λ/4, ces angles sont –k z = +π /2 et +kz = –π /2, l'amplitude résultante E est minimale. Avec z = –λ/2, on a +π et –π et la résultante est de nouveau maximale, etc. Remarquons que l’expression 2.3.12 montre que le champ réfléchi E1 z est obtenu en multipliant le champ incident E1+ z par la grandeur R exp +j 2k 1 z . +

+

+

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64

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Taux d'onde stationnaire On définit le taux d'onde stationnaire comme le rapport du module du champ résultant maximal et du module du champ résultant minimal.

E max. E min.

TOS

E+(z) + E (z) E+(z) E (z)

(2.3.13)

E(z) Im

Im

+

E 1(z)

E1(z) +

E1o

E1o

Ré

-kz

+kz

0

Ré

0

Figure 2.3.5 Addition du champ incident et du champ réfléchi devant un diélectrique dans le cas où R = -0,5, à incidence normale

Ce qui peut s’écrire comme suit :

TOS

1 + R 1 R

(2.3.14)

C'est une constante si les modules sont indépendant de z. Sa valeur est l'infini quand les champs ont des amplitudes égales, c'est-à-dire quand R = ±1. Elle est nulle quand R = 0.

Forme réelle de l’onde stationnaire Pour obtenir la forme réelle, multiplions l'expression (2.3.11) par ejω t :

E(z,t)

+ E1o exp j φ+ exp j k 1z

ωt + R exp (j θ ) exp +j k 1z + ωt

(2.3.15)

La phase φ+ à l'origine de l'onde incidente étant arbitraire, on peut l'annuler : φ + = 0. L'angle θ est l'argument du coefficient de réflexion, qui est égal au déphasage à la réflexion. Le champ réel est donc :

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2 Réflexion d'une onde plane

E(z,t)

+ E1o cos

k 1z

ωt +

+ E1o

R cos k 1 z + ωt + θ

65

(2.3.16)

Au moyen de relations trigonométriques2, on transforme cette dernière pour obtenir :

E(z,t)

1 + R cos θ cos k 1 z 1

R cos θ sin k 1 z

R sin θ sin k 1 z cos ωt + R sin θ cos k 1 z sin ωt

+ (2.3.17) E1o

Dans le cas où R est réel avec θ = 0, on a :

E(z,t) =

+ R sin k 1 z sin ωt E1o

(2.3.18)

+ 1 R cos k 1 z cos ωt + 1 + R sin k 1 z sin ωt E1o

(2.3.19)

1 + R cos k 1 z cos ωt + 1

Si θ = -180˚= -π radians,

E(z,t) =

Dans le cas particulier où |R| = 1, avec E1o = 1 volt, θ = 0 :

E(z,t)

2 cos k 1 z cos ωt

(2.3.20)

Si |R| = 1, avec θ = π rd (réflexion sur un conducteur parfait) :

E(z,t)

2 sin k 1 z sin ωt

(2.3.21)

Ce dernier cas est représenté à la figure 2.3.3 qui est le graphique de |2 sin k1z|. Ces derniers sont des cas limites. La figure 2.3.6 montre l'amplitude de la vibration résultante quand R = –0,6. La courbe A se rapporte au cas où le premier milieu est sans pertes, les maximums et les minimums ont partout la même valeur. S’il s’agit d’un milieu avec pertes, la valeur des maximums et des minimums se rapprochent de 1 à mesure qu’on s’éloigne de la surface de réflexion en effet, très loin de la surface, l’onde réfléchie a une amplitude qui tend vers zéro.

E

Figure 2.3.6 Amplitude de l’onde stationnaire quand R = -0,6 - A : sans pertes ; B : avec pertes.

2

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B ;

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

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66

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

EXERCICES QUESTIONS DE REVUE R-1

Démontrer les expressions du coefficient de réflexion et du coefficient de transmission d'une onde plane incidente normalement sur l'interface de deux milieux différents.

R-2

Qu'est-ce qu'un plan nodal ? Un plan ventral ?

R-3

Dans le cas de la réflexion d'une onde plane incidente normalement sur la surface d'un deuxième milieu d'impédance caractéristique quelconque, trouver l'expression de l'amplitude réelle du champ électrique résultant dans le premier milieu en fonction de la position z relative à l'interface. Et celle de l'amplitude complexe résultante ?

R-4

Qu'est-ce que le taux d'ondes stationnaires ? Comment est-il relié au coefficient de réflexion ?

R-5

Discuter du problème posé par les ondes stationnaires dans un four à micro-ondes et des façons de le résoudre.

2.1

Coefficients de réflexion et de transmission Vérifier que dans le cas des bons diélectriques, c’est-à-dire des milieux de faible conductivité effective, les coefficients de réflexion et de transmission à incidence normale sont de la forme : , εr1

R

, εr2

, , εr1 + εr2

T

, 2 εr1 , , εr1 + εr2

où εr1 et εr2 sont les permittivités électriques relatives réelles des milieux 1 et 2. ,

2.2

,

Réflexion et transmission Une onde électromagnétique plane dans l'air est décrite par l'expression complexe suivante : E(z) = 50 exp (–j5z)x V/m . Elle rencontre à incidence normale la surface plane d'un diélectrique prise comme référence. Ce dernier a une permittivité relative égale à 4 – j0 et on le considère comme illimité. a) Évaluer les coefficients de réflexion et de transmission. Rép. : R = -1/3 T = 2/3

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2 Réflexion d'une onde plane

67

b) Trouver l'expression de l'onde réfléchie et celle de l'onde transmise sous forme complexe, en fonction de z et t. Rép. :

E2+ (z,t ) = 33.3 exp j(15 ⋅ 108 t –10z) x V/m E1 (z,t ) = –(50/3) exp j(15 ⋅ 108t +5z) x V/m

2.3

Réfraction Une onde plane dans l'air a un champ électrique dont la valeur efficace est de 100 V/m et rencontre perpendiculairement une surface d'eau salée caractérisée par σ = 3 S/m, μr = 1, εr = 80. Si ces paramètres sont indépendants de la fréquence, évaluer les profondeurs où le champ sera de 1 μV/m aux fréquences suivantes : (a) 10 kHz ; (b) 1 MHz. Que pouvez-vous conclure quant à la possibilité de communiquer par radio avec un sous-marin, sachant que 1 μV/m correspond à la limite de détection approximative ? Rép. : (a) 33 m (b) 3,8 m

2.4

Couche antireflet Un mélange de ferrite à haute perméabilité (complexe) et de titanate de baryum (grande permittivité complexe) donne un matériau remarquable utilisé pour absorber fortement les ondes électromagnétiques dans certaines applications. Un tel matériau sert, par exemple, à rendre invisible un avion pour les radars, car il réfléchit une très faible fraction de l'énergie incidente. Si, à la fréquence de 1000 MHz, il est caractérisé par μr = ε r = 60 (2 - j1) et une conductivité pratiquement nulle, trouver : a) Le niveau d'intensité de l'onde réfléchie en décibels (dB) par rapport à l'onde incidente si l'épaisseur du composé est très élevée. b) Le coefficient d'atténuation. Rép. : 126 Np/m = 1092 dB/m

2.5

Réflexion - Ondes stationnaires Vous placez en P dans l’air libre un récepteur pouvant mesurer le champ électrique sur le parcours d’une onde d’une source très

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68

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques éloignée émettant à 100 MHz. L’onde est polarisée dans le plan de la figure. En l’absence de tout obstacle ou réflecteur, vous mesurez un champ de 500 μV/m. Si vous placez maintenant une plaque de cuivre M sur le parcours de l’onde tel qu’indiqué, à quelle distance d près de M allez-vous détecter un maximum et quelle sera sa valeur ? Justifiez clairement votre réponse.

x Onde plane P

0 z d Plaque M de cuivre

2.6

Réflexion - Ondes stationnaires Une onde plane provenant d'une antenne de radar à 5 GHz ayant une 2

intensité de 1000 W/m est incidente dans l'air perpendiculairement sur un bloc de polyéthylène. Il y a donc production d'une onde stationnaire dans l'air à cause de la réflexion. a) Évaluer les densités maximale et minimale d'énergie électromagnétique dans l'air, ainsi que le rapport des deux. Comparer à la densité d'énergie s'il n'y a pas de réflexion. Rép. : 9,526 ·10

6

3

J/m , 1,640 ·10

7

J/m

3

b) Déterminer la position des nœuds de champ électrique au voisinage de l'interface. c)

Écrire une expression du champ électrique dans l'air sous forme complexe. Remarque : Dans une onde électromagnétique progressive, l'énergie est également répartie entre la forme électrique et la forme magnétique, ce qui entraîne : 2 2 2 w = 1 εEeff + 1 μH eff = 1 εEmax

2

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2

2

3 Réflexion d’une onde plane Incidence oblique

3.1

Onde plane – Direction quelconque La solution du problème de la réflexion et de la transmission d’une onde électromagnétique incidente obliquement sur l’interface de deux milieux exige de pouvoir décrire cette onde convenablement. C’est ce que nous ferons premièrement.

Fonction d’onde La fonction représentant une onde plane qui se propage dans une direction quelconque est relativement simple. Considérons un milieu sans pertes et l’onde représentée dans la figure 3.1.1 qui se propage dans la direction de l’axe s, qui fait un angle A avec l’axe 0x, un angle B avec l’axe 0y (non représenté) et un angle C avec l’axe 0z. Il s’agit d’une onde électromagnétique dont la polarisation (vecteur E) est dans le plan x0z : c’est la polarisation parallèle à ce plan. Il existe diverses façons de décrire cette onde. On sait que d’une façon générale, par rapport à l’axe de propagation s, sa fonction d’onde réelle est :

E(s,t)

Eo cos (ω t

ks + φ )

(3.1.1)

où ω est la pulsation, k est la constante de phase et φ est la phase initiale à l’origine (φ = 0 par un choix convenable du référentiel). Le vecteur r illustré

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70

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques indique la position d’un point quelconque P d’une surface d’onde Ω et n est le vecteur unitaire normal au même plan d’onde : n indique la direction de propagation. On constate que :

s

r·n

r cos β

(3.1.2)

Supposons φ = 0 pour simplifier l’écriture. Alors :

E(r,t)

Eo cos (ω t

k n·r)

(3.1.3)

C’est la valeur du champ électrique au temps t en tous points repérée par le x x + y y + z z et, de plus, vecteur position r. On sait que r

n·x

cos A

n·y

cos B

n·z

cos C

où cos A, cos B et cos C sont les cosinus directeurs du vecteur

n⋅r

x cos A + x cos B + z cos C

(3.1.4)

n . Alors, (3.1.5)

x Ω

E P

C

v s

r A n

β

Surface d'onde ou de phase Ω

C

z

0

Figure 3.1.1 Onde plane - Direction quelconque

La fonction d’onde complexe est alors :

E(r,t)

Eo exp j( ω t

k n·r)

Eo e-jkn·r ejωt

(3.1.6)

L’amplitude complexe du champ est :

E(r)

Eo exp ( j k n·r)

Eo e-jkn·r

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(3.1.7)

3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique

71

Le champ E a des composantes selon z et x (Figure 3.1.1) :

Ex

E

Alors :

E cos C

E x cos C

et

Ez

E sin C

z sin C

(3.1.8)

E x sin A

z cos A

(3.1.9)

Vecteur d’onde Le concept de vecteur d’onde est utile en rapport avec la description d’une onde quelconque. Ce vecteur est simplement le vecteur k dans la direction n dont le module est k (Figure 3.1.2), c’est-à-dire :

k

kn

xk cos A + yk cos B + zk cos C

(3.1.10)

k

kn

xk x + yk y + zk z

(3.1.11)

On a aussi :

car :

λx

k

2π n λ

x 2π + y 2π + z 2π λx λy λz

λ = ... cos A

(3.1.12)

etc.

(3.1.13)

La fonction d’onde (3.1.7) devient ainsi :

E(r)

Eo exp ( j k⋅ r)

Eo e-jk ⋅ r

(3.1.14)

D’après (3.1.9), cela peut s’écrire ainsi :

E(r)

Eo exp ( j k⋅ r)

Eo e-jk⋅ r

où φ est la phase initiale à l’origine choisie.

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Eo e-jφe-jk⋅ r

(3.1.15)

x Ω P

λx

s

r

v

β k 0

C

λ C

G

vz

λz

z

Figure 3.1.2 Vecteur d’onde et longueurs d’onde

Composantes du champ Dans le cas illustré (Figures 3.1.1, 3.1.2), le champ magnétique H n’a qu’une composante sur Z qu’on peut désigner par une des formes suivantes :

Ho exp ( j k⋅ r)

H(r)

Ho e-jk⋅ r

Ho e-jφ'e-jk ⋅r

H o e-jφ 'e-jk⋅ r z

(3.1.16) où φ ’ est la phase initiale à l’origine : on sait que si le milieu est plus ou moins conducteur, cette phase est différente de celle du champ électrique. Par contre le champ électrique a des composantes selon X et Z. D’après (3.1.9) :

E(r)

3.2

Eo x cos C

z sin C e-jφ e-jk·r

(3.1.17)

Réflexion oblique Quand une onde électromagnétique plane rencontre l'interface de milieux différents, dans une direction faisant un angle θ 1 avec la normale à l'interface, il se passe deux choses :

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3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique

73

•

Une fraction de l'énergie se réfléchit dans le premier milieu sous forme d'une onde plane dans une direction symétrique de la première par rapport à la normale.

•

Une fraction de l'énergie est transmise ou réfractée dans le deuxième milieu dans une direction qui dépend de la permittivité des milieux, avec une intensité qui dépend aussi de ces derniers.

Il faut distinguer deux cas selon que la polarisation est perpendiculaire ou parallèle au plan d’incidence. De plus, la vitesse de propagation dans le deuxième milieu peut être inférieure ou supérieure à celle dans le premier. Les coefficients de réflexion et de transmission sont différents dans ces divers cas comme nous le verrons.

3.3

Lois de Descartes et Snell Démonstration On peut établir les relations entre les directions des ondes incidente, réfléchie et transmise, sans faire appel à leur caractère électromagnétique. Le raisonnement que nous allons faire est le même pour tous types d’onde. Les surfaces d’onde incidente, réfléchie et transmise (ou réfractée) sont représentées respectivement (Figure 3.3.1) par Ωi, Ωr et Ωt qui sont perpendiculaires aux vecteurs vitesse correspondants. Au cours d’un intervalle Δt le point M de l’onde incidente avec l’angle θ i parcourt la distance MP. Or, pendant le même temps, l’onde réfléchie parcourt la distance ON qui est nécessairement égale à MP. Il s’ensuit que :

θi

θr

(3.3.1)

C'est la première loi de Descartes et Snell 1 ,2 . Les angles θ sont mesurés à partir de la normale 0y au plan d’incidence x0y.

1

2

René DESCARTES. Philosophe et savant français (1596 - 1650). Il formula en philosophie des méthodes d'inspiration mathématique. Il fut le créateur de la géométrie analytique. Il établit les lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Il est considéré comme le père de l'idéalisme moderne et celui du matérialisme mécaniste et géométrique. Auteur de plusieurs traités philosophiques dont le «Discours de la méthode». Willebrord SNELL VAN ROYEN, dit Villebrordus Snellius. Astronome et mathématicien hollandais (1580 - 1626). Il mit au point une méthode de triangulation pour la détermination de la longueur d'un arc de méridien. Il découvrit également la loi de réfraction de la lumière indépendemment de René Descartes.

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74

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Note importante : Dans tout ce qui suit, les angles sont mesurés en valeur absolue. D’autre part, la distance OP est l’hypothénuse commune aux deux triangles ONP et ORP. On a donc :

OP

v 1 Δt

MP sin θ i

sin θ i

Par conséquent :

v 2 Δt

OR sin θ t

(3.3.2)

sin θ t

v1

v2

sin θ i

sin θ t

(3.3.3)

C’est la deuxième loi de Descartes et Snell.

y

Ωr

Ωr

θi 1

Ωi

θr M

v1

θi 0 2

θt

Ωt

Ωi

N v1

θr θt

R

v1

P

x

v2

Figure 3.3.1 Relations entre les ondes incidente, transmise et réfléchie

Indice de réfraction On définit l’indice de réfraction n d’un milieu comme ; le rapport entre la vitesse v0 des ondes en question dans un milieu de référence et la vitesse v dans le milieu considéré :

n

vo v

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(3.3.4)

3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique

75

Dans le cas des ondes électromagnétiques, le milieu de référence utilisé est le vide où vo = c ≈ 300 000 km/s. La deuxième loi de Descartes s’écrit alors comme suit :

n 1 sin θ i

n 2 sin θ t

(3.3.5)

Angle d’incidence critique Considérons le cas où v2 > v1 (ou n2 < n1). Il existe alors un angle d’incidence particulier dit angle critique pour lequel l’angle de transmission ou de réfraction est de 90˚. D’après la relation (3.3.3) :

sin θ c = vv 1 sin 90˚ = vv 1 2 2

(3.3.6)

Nous verrons plus loin que l’énergie ondulatoire incidente est totalement réfléchie dans ce cas.

Directions et paramètres physiques On connaît l’expression de la vitesse de phase des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique quelconque :

v

ω = k'

1 1 μoε' 1 + σ' 2 1/4cos δ/2 ωε'

(3.3.7)

où : ε’ est la partie réelle de la permittivité complexe du milieu ;

σ’ = σ + ωε” est la conductivité effective du milieu ; μο

est la perméabilité magnétique ;

δ

est l’angle de pertes,

avec tg δ = σ’/ωε’ , le facteur de pertes. L’utilisation de cette relation dans l’équation 3.2.4, permet de calculer l’angle de transmission (ou de réfraction) θ t en fonction de l’angle d’incidence θi dans tout milieu.

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76

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Cas de bons diélectriques Dans le cas des milieux qui sont de bons diélectriques (faible facteur de pertes, tg δ n 2 /n 1 :

T⊥

2 cos θ i

2 cos θ i

cos θ i + j sin 2θ i

ou encore :

cos θ i + j n 2 /n 1

2 cos θ i

T⊥

cos θ i + j n 2 /n 1 F

n 1 /n 2 2 sin 2 θ i

T ⊥ ∠φT

n 2 /n 1 F

tg φT

avec

n 2 /n 1 2

1

(3.6.10)

(3.6.11)

cos θ i

Comme le coefficient de transmission est complexe, le champ transmis est déphasé par rapport au champ incident à l’interface.

Champ réfléchi Le coefficient de réflexion est de même :

R⊥ où :

φR

cos θ i

j n 2 /n 1 F

cos θ i + j n 2 /n 1 F

1 ∠φR

(3.6.12)

2φT . Cet angle est le déphasage entre l’onde réfléchie et l’onde

incidente dans le plan z = 0 : il se produit un retard de phase à la réflexion. Il se produirait le même retard de phase si, comme illustré dans la figure 3.3.2, le milieu 1 s’étendait jusqu’au plan conducteur P, causant un parcours supplémentaire

2k 1d cos θ i

OAB

2d/ cos θ i et un déphasage total :

+ π

car il se produit un déphasage de π radians à la réflexion sur une surface conductrice. Or, ce déphasage doit être égal à celui sur le parcours OD qui est φr – 2k1e. Constatant que

e

2d sin 2θ i/cos θ i, on a :

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2k 1d cos θ i

d

d’où :

2 2k 1d sin θi cos θ i

φR

+ π

φR + π 2k 1 cos θ i Z P 2

θi

A d

0 Σi

1

k1

θi

X

B

Σr

e D

k'1

E

Figure 3.6.2 Incidence surcritique - Plan conducteur équivalent P

Mais

tg φR + π d

tg φR

tg φR. Il s’ensuit que :

φR

(3.6.13)

2k 1 cos θ i

C’est l’effet Goos-Hanchen5. Cette relation prend toute son importance quand on traite de propagation guidée dans un diélectrique, comme dans les fibres optiques.

Intensité transmise Le vecteur de Poynting complexe est :

S

5

Et ∧ H*t

Eto 2 -2αz e y ∧ +j F x G z η2

Eto 2 -2αz e jF z G x η2

Pierre LECOY, Télécommunications optiques, Traité des Nouvelles Technologies, p. 32, Hermès, Paris, 1992.

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S

Eto 2 -2αz e jF z + G x η2

Et ∧ H*t

(3.6.14)

Comme il est formé d’une partie purement imaginaire selon l’axe Z, la puissance transmise dans cette direction est donc nulle. Ceci découle du fait qu’il n’y a pas de propagation selon Z. Par contre, l’onde de surface qui se propage selon X transporte une puissance qui diminue rapidement avec l’éloignement de l’interface. Son intensité est donnée par :

Ix

1 2

Ré Et ∧ H*t

1 2

G Eto 2 -2αz e η2

(3.6.15)

Propagation guidée D’après ce que nous venons de voir, il devient évident qu’une onde électromagnétique peut se propager dans une lame diélectrique (Figure 3.6.3). Une onde plane pénétrant dans une lame diélectrique en 0 subit des réflexions multiples dans la lame si l’angle θi est supérieur à l’angle critique de l’interface air-diélectrique. Le même principe s’applique dans le cas d’un tube diélectrique de section rectangulaire ou circulaire. Une fibre optique est essentiellement un tube diélectrique où une onde lumineuse peut se propager sur de grandes distances par réflexions internes multiples. Dans les communications modernes, les fibres optiques servent à transmettre sur de grandes distances des signaux lumineux infrarouges (télévision, radio, données numériques...).

Air

0

θi

Diélectrique

Figure 3.6.3

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92

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Transmission par onde évanescente Si un troisième milieu (3, Figure 3.6.4) comparable au milieu 1 est approché de l’interface 1-2 à une distance b inférieure à une longueur d’onde λ2, on observe qu’une onde se propage dans le milieu 3 dans la direction indiquée. Il se produit un couplage du milieu 1 au milieu 3 par l’intermédiaire de l’onde évanescente dans le milieu 2, même si l’angle d’incidence θ ι est supérieur à l’angle critique. Ce phénomène de transmission est mis à profit dans certains dispositifs d’optique intégrée modernes, tels que les coupleurs directionnels. Notons que ce phénomène s'apparente à l'effet tunnel qui est mis à profit dans certains dispositifs à semi-conducteurs modernes.

Z

Énergie transmise

3 2

b

0

X

1

k1 E

θi

θc

θr

Figure 3.6.4 Transmission par onde évanescente

Exemple 3.6.1

Calcul d'une onde évanescente

Supposons une onde plane à 1 GHz dans un diélectrique parfait (milieu 1) dont l’impédance d’onde est η 1 = ηo/2 = 188,5 ohms (ε'1r

4), incidente à

45˚ sur l’interface plan séparant le diélectrique du vide. Le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence, avec une intensité de 100 V/m.

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3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique

93

Cet angle dépasse l’incidence critique qui est de 30˚ :

sin θ c =

η1 η2

=

ε2 ε2

=

n2 = 0,5 n1

Trouvons les caractéristiques de l’onde évanescente dans le milieu 2. Les facteurs F et G :

F =

377 2 sin 45˚ – 1 = 1,3522 188,5

G = 377 sin 45˚ = 2 = 1,4142 188,5 La vitesse de phase dans le deuxième milieu étant c (vitesse dans le vide), la constante de phase k2 est :

k 2 = 2πf = 20,944 rd/m c Le coefficient α est alors :

α = k 2 F = 20,944 × 1,3522 = 28,320 Np/m Puis, le facteur de phase :

k' 2 = k 2 G = 20,944 × 2 = 29,619 rd/m

Calculons le coefficient de transmission :

T⊥ =

2 × (1/ 2) (1/ 2) + j(1/2) × 1,3522

= 1,446 ∠-43,72˚ = 1,446 ∠-0,7631 rd

On observe que son module est supérieur à 1 ! Le module du champ transmis est ainsi Eto = 144,6 V/m et sa phase à l’interface φT = -0,7631 rd. Le champ électrique dans le deuxième milieu a donc l’amplitude complexe suivante, en substituant les valeurs numériques :

Eto = -144,6 exp (-28,32z) exp (-j29,619x) y [V/m] La longueur d’onde dans le deuxième milieu est λ 2 = c/f = 0,3 m. À la distance z = λ2/4 de l’interface, l’amplitude du champ tombe à une faible fraction (0,1195) de sa valeur en surface :

Et(λ/4) = 144,6 × exp(-28,32 × 0,3/4) = 144,6 × 0,1195 = 17,29 V/m

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94

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques L’expression numérique du champ magnétique suit :

H to =

144,6 -j1,3522x – 2z exp (-28,32z) exp (-j29,619x) [A/m] 377

La distance du plan réflecteur fictif équivalent est alors :

d =–

d =

φR 2k 1 cos θ i

=–

1,526 × 1,5· 108 4π × 109 1/ 2

φRv 1 4πf cos θ i = 2,58 cm

où φR = 2φT = -1,526 rd.

EXERCICES 3.1

Onde oblique Si l’expression complexe d’une certaine onde électromagnétique dans l’air est la suivante : E i(x,z) = y 10 exp –j(6x + 8z) [volts/m] et qu’elle est incidente sur une surface parfaitement conductrice en z = 0 : a) Déterminer sa fréquence et sa longueur d’onde. b) Écrire l’expression de temps. c)

H i(x,z,t), le champ magnétique en fonction du

Évaluer l’angle d’incidence.

d) Déterminer les ondes réfléchies e) 3.2

Er(x,z) et H r(x,z).

Trouver l’expression du vecteur de Poynting complexe de l’onde incidente.

Onde oblique Si l’onde de l’exercice B-1.1 est incidente sur la surface d’un diélectrique supposé parfait dont la permittivité relative est égale à 4, trouver : a) Les modules des champs électrique et magnétique transmis et réfléchis. b) L’expression du champ électrique réfléchi magnétique transmis H t ( x , z )

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Er(x,z) et celle du champ

3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique c)

95

Évaluer l’angle de transmission ou de réfraction.

d) Dans ce cas, y a-t-il un angle d’incidence tel que la réflexion soit nulle ? 3.3

Onde oblique a) Écrire l’expression de l’amplitude complexe de la composante électrique d’une onde électromagnétique plane à 100 MHz incidente à 30˚ sur l’interface plane entre l’air et un milieu diélectrique de permittivité égale à 4εo. L’amplitude du champ électrique est de 10 V/m. L’axe 0x point vers le haut, l’axe 0z vers la droite (direction de l’onde incidente) et l’origine 0 est sur l’interface. Rép. :

H(x,z) = 2,653· 10 5 exp -j 1,047 x + 1,814 z y A m 1

b) Trouver l’expression complexe du champ électrique dans le diélectrique. 3.4

Vecteur de Poynting - Incidence oblique Le vecteur de Poynting moyen d’une certaine onde plane étant = 4 z W m 2, trouver : a) L’intensité à travers le plan x = 2 m. b) La puissance moyenne qui traverse la surface plane de 2 m2 définie par les trois points suivants : O(0,0,0), M(0,4,0), N(3,0,2), les coordonnées étant en mètres. Rép. : R: P = 166,4 W

3.5

Prisme à réflexion totale Le type de prisme illustré ci-contre est utilisé dans les instruments d’optique tels que les jumelles. Si la permittivité relative du verre pour la lumière visible est de 4, évaluer la fraction de l’intensité incidente qui est perdue dans le faisceau émergent.

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Verre

Air

96

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

3.6

Fibre optique La figure ci-contre représente un rayon de lumière incident sur la face d'entrée polie d'une fibre optique formée d'un coeur en verre d'indice de réfraction n1 = 1,65 et d'une gaine optique d'indice n2 = 1,45. Le milieu extérieur est de l'air d'indice n0 = 1. Évaluer l'angle d'incidence maximal tel que le rayon réfracté soit encore totalement réfléchi par la paroi latérale interne du coeur de la fibre. On doit faire une démonstration claire, avec une figure à la règle.

3.7

Gaine optique n2 = 1,45 n0

θi

Coeur (verre) n1 = 1,65

Angle critique - Angle de Brewster La permittivité relative de l'eau aux fréquences de la lumière visible est d'environ 1,77, ce qui correspond à un indice de réfraction de 1,33. Supposez que vous êtes au fond d'une piscine d'eau douce avec un laser étanche qui produit un faisceau de lumière polarisée. Si vous dirigez le faisceau vers la surface avec une polarisation parallèle au plan d'incidence : a) Pour quel angle d'incidence la réflexion sera-t-elle totale ? Rép. : 48,7˚ b) Quelle valeur doit-on donner à l'angle d'incidence afin que la réflexion soit nulle ? Comment s'appelle cet angle? Quel est alors le coefficient de transmission ?

3.8

Incidence oblique - Milieu avec pertes Une onde électromagnétique plane de 10 kHz est incidente dans l'air sur la surface de la mer calme avec une polarisation parallèle et une incidence rasante de 85˚. On sait que les paramètres électriques de l'eau de mer sont : εr = 81, μr = 1 et σ = 4 S m 1. Évaluer : a) L'angle de réfraction (ou de transmission).

R // et le coefficient de transmission T //. Rép. : R / / = 0,9939 ∠179,6˚ T / / = 7,436· 10 4∠45˚

b) Le coefficient de réflexion

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3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique c)

97

Le rapport It/I i de l'intensité transmise et de l'intensité incidente. Rép. : 1,048· 10 3

d) Trouver les expressions complexe et réelle des champs E et H transmis. e)

S'il faut que le champ électrique sous l'eau soit d'au moins 100 μV/m à 10 mètres sous la surface pour servir à la communication par radio avec un sous-marin, quel doit être le champ électrique dans l'air et son intensité ? Cela démontre la difficulté de ce type de communication, qui doit se faire à très basses fréquences, car l'atténuation dans l'eau de mer augmente rapidement avec la fréquence. Rép. : I1o = 67,9 mW/m2 Question supplémentaire : si l’émetteur se trouve à 1000 km du récepteur, pouvez-vous en déduire la puissance requise de l’émetteur en faisant l’hypothèse d’une émission isotrope ? La valeur trouvée est-elle réaliste ?

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4 Rayonnement électromagnétique

Dès que la densité de charge ou la densité de courant varie dans un région de l’espace, on observe l’apparition d’un champ électromagnétique qui se propage hors de cette région avec une vitesse caractéristique du milieu. C’est le phénomène de rayonnement. Les antennes d’émission utilisées en radioélectricité sont des dispositifs qui produisent un champ électromagnétique rayonnant dans tout l’espace du fait qu’elles sont parcourues par des courants oscillants. La figure suivante montre une antenne simple constituée d’un fil conducteur vertical au-dessus d’un plan conducteur dans lequel on force un courant alternatif à circuler au moyen d’une ligne électrique reliée à une source ou à un émetteur. Forcément, ce courant s’annule au bout de l’antenne. Le problème qui se pose alors est celui de la détermination du champ électromatique produit par une certaine distribution de courant dans l’antenne. Nous commencerons par déterminer le champ produit par un élément de courant tel que Idz. Le champ produit par l’antenne sera alors la somme des champs produits par tous les éléments de l’antenne, en tenant compte de l’effet du plan conducteur.

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P Antenne I dz Surface conductrice

θ

r

I Ligne électrique Antenne simple

4.1

Potentiels retardés Nous cherchons ici à relier les potentiels V et A à leurs sources, soit la densité de charge ρ et la densité de courant J. On pourra ensuite calculer les champs E et B en fonction des potentiels au moyen des expressions connues :

E

– ∇V –

B

∇×A

∂A ∂t

(4.1.1) (4.1.2)

Rappelons les équations de Maxwell :

∂B ∂t

∇×E ∇×H

J +

(4.1.3) ∂D ∂t

(4.1.4)

∇⋅ D

ρ

(4.1.5)

∇⋅ B

0

(4.1.6)

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100

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Si on porte (4.1.1) dans (4.1.3), on constate que l’équation est vérifiée. En effet : ∇ × E = –∇ × (∇V ) – ∇ ×

∂B ∂A ∂ ∇×A = 0 – = – ∂t ∂t ∂t

car le rotationnnel d’un gradient est toujours nul. De même, si l’on porte (4.1.2) dans (4.1.6), on constate que cette dernière est vérifiée, car la divergence d’un rotationnel est toujours nulle. C’est en portant (4.1.1, 4.1.2) dans (4.1.4, 4.1.5) que nous pourrons relier les potentiels aux sources. Supposons que le milieu est linéaire, avec une permittivité ε et une perméabilité μ : ∇⋅ ∇V = –

∇× et :

ρ ε

∇⋅

∂A ρ = – ε ∂t

∂ ∇⋅ A ∂t

∇×A ∂(ε E) = J –∇× μ ∂t

∇ × ∇×A = μ J – μ ε

∂E ∂ ∇V ∂2A = μJ–με –με ∂t ∂t ∂t 2

(4.1.7)

(4.1.8)

(4.1.9)

Or,

∇ × ∇×A = ∇ ∇⋅ A – ∇⋅ ∇A = grad (div A) – div (grad A)

(4.1.10)

(4.1.9) devient alors :

∇⋅ ∇A = – μ J + μ ε ∇

∂2A ∂V +με + ∇ ∇⋅ A ∂t ∂t 2

(4.1.11)

Or, toute expression de V ou de A qui donne correctement les champs E et B est acceptable. Ainsi, la divergence de A, fonction. Si on la choisit comme suit,

∇⋅ A

με

∂V ∂t

∇⋅ A , peut être n’importe quelle

(condition de Lorentz)

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(4.1.12)

4 Rayonnement électromagnétique

101

l’équation (4.1.11) se simplifie et devient, avec la relation (4.1.7) :

με

∇⋅ ∇A

∇⋅ ∇V – με

∂2A ∂t 2 ∂2V ∂t

2

μJ

(4.1.13)

ρ ε

(4.1.14)

En introduisant le laplacien qui est la divergence du gradient, on peut aussi écrire : 2

∇ A

με

2

∇ V – με

∂2A ∂t 2 ∂2V ∂t 2

μJ

(4.1.13)

ρ ε

(4.1.14)

A et V sont des fonctions de la position et du temps : A(r,t) et V(r,t). Dans le cas où il n’y a pas de variation au cours du temps (électrostatique, magnétostatique), ces deux équations se ramènent aux équations bien connues établies précédemment : 2

μJ

∇ A

ρ ε

2

∇ V

qui sont les équations de Poisson du potentiel-vecteur magnétique et du potentiel électrique. En coordonnées cartésiennes, l’équation (4.1.13) représente une équation comme la suivante pour chaque composante : 2

∇ Ax

με

∂2A x ∂t 2

μ Jx

(4.1.15)

Si on peut trouver la solution des équations (4.1.14, 4.1.15) pour une charge ponctuelle et un élément de courant variables, on peut ensuite résoudre tous les cas, pour toutes les distributions de charge et de courant. Comme ces équations sont de même forme, leurs solutions doivent l’être aussi.

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102

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Dans le cas d’un élément de charge dq considéré comme une charge ponctuelle, le potentiel dV qu’il produit partout ailleurs en un point N hors de la distribution de charges (Figure. 4.1.1) ne peut dépendre que de r et t : dV = f (r , t). Pour simplifier la notation, appelons-le simplement V. En coordonnées sphériques, le laplacien s’écrit :

∂2V ∂V + 2r ∂r ∂r 2

1 ∂ r 2 ∂V ∂r r 2 ∂r

2

∇ V

L’équation (4.1.14) devient alors :

∂2V ∂r 2

∂V ∂2V – με + 2 r ∂r ∂t 2

0

(4.1.16)

En faisant le changement de variable V(r,t) = W(r,t)/r, cette équation se simplifie :

∂2W ∂r 2

– με

∂2W ∂t 2

0

N

(4.1.17)

dq dg

Or, cette dernière est une équation d’onde, dont la solution est toute fonction de la variable (t – r/c) ou (t + r/c), où :

c

r

Figure 4.1.1

1 με

(4.1.18)

Dans le vide, cette vitesse est d’environ 300 000 km/s : c’est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide. On peut donc poser :

V (r,t)

W(t – r/c) r

(4.1.19)

Considérons un point très près de la charge, de sorte que le retard soit négligeable. Le potentiel d’une charge dq dans le milieu supposé homogène est alors donné par :

dV(r,t)

dq(t) 4πε r

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(4.1.20)

4 Rayonnement électromagnétique

103

En comparant les deux dernières expressions, on constate que W (t r/c) dq(t r/c)/4πε. Par conséquent, le potentiel produit par une charge ponctuelle dq variable est de la forme :

dq(t r/c) 4πε r

dV(r,t)

ρ(t

r/c) dg 4π ε r

(4.1.21)

D’après notre conclusion précédente, le potentiel-vecteur produit par un élément de courant doit avoir la même forme, c’est-à-dire :

μ dJ(t r/c) r 4π

dA(r,t)

μ J(t 4π

r/c) dg r

(4.1.22)

où ρ est la densité de charge et dg est le volume élémentaire. Cela signifie que la variation du potentiel à la distance r de la charge dq se fait avec un retard τ = r/c par rapport à la variation de la charge dQ, comme l’indique la figure 4.1.2 dans le cas d’une variation quelconque. Le potentiel produit par un volume g de charges de densité variable ρ est donc donné par :

V (r,t)

ρ(t

1 4πε

r/c) r

g

dq

dg

μ ε 1/2

avec c

(4.1.23)

V(r,t)

τ 0

t

t

Figure 4.1.2

C’est le potentiel électrique retardé. Or, chaque composante du potentielvecteur magnétique est régi par une équation différentielle de même type que celle du potentiel électrique (Équation 4.1.15). Ainsi, devons-nous avoir :

A(r,t)

μ 4π

r/c)

J(t r

dg

avec c

μ ε −1/2

g

C‘est l’expression du potentiel-vecteur magnétique retardé.

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(4.1.24)

104

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Ce résultat met en évidence le phénomène de propagation du champ électromagnétique : quand une variation de charge ou de courant se produit dans une région de l’espace, les variations du champ en un point éloigné se produisent avec un retard proportionnel à la distance. Or, dans l’approximation quasistationnaire, on suppose que les dimensions du système sont assez petites, de sorte que les temps de propagation sont négligeables devant la période des variations. Le régime quasistationnaire est donc un cas limite, une approximation. Exemple Si la plus grande dimension d’un circuit électronique est de 30 cm, le temps de propagation du champ électromagnétique dans l’air sur cette distance est τ = 0,3 m/3 * 108 m/s = 10-9 s. Si la fréquence la plus élevée des signaux dans le circuit est de 10 MHz, correspondant à une période de 10-7 s, on peut alors dire que l’approximation du régime stationnaire s’applique assez exactement, car le temps de propagation à travers le circuit est cent fois plus court que la période de variation du signal.

4.2

Régime harmonique Un cas particulier très important est celui où les charges et les courants varient de façon sinusoïdale, en cos ω t avec des amplitudes ρm et J m . On sait que ces grandeurs réelles sont les parties réelles d’exponentielles complexes :

ρ(t) De même :

V r,t

ρm ejω t V r ejω t

et et

J(t) A r,t

Jm ejω t

(4.2.1)

A r ejω t

(4.2.2)

Jm ejωte

(4.2.3)

En remplaçant t par t – r/c on obtient :

ρ(t

r/c)

ρm ejωte

jω r/c

et

J(t)

jω r/c

Comme les potentiels varient en ejωt , cette exponentielle disparaît dans les deux membres des équations (4.1.23, 4.1.24), et on obtient l’amplitude complexe des potentiels pour des distributions continues de charge et de courant :

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4 Rayonnement électromagnétique

V (r)

A(r)

1 4πε

μo 4π

jω r/c

ρm e

r

g

dg =

ρm e r

1 4πε

jβ r

dg

105

(4.2.4)

g

Jm e g

jωr/c

r

μo 4π

dg

Jm e jβ r dg r

(4.2.5)

g

où β = ω/c est la constante de propagation ou constante de phase. On obtient les potentiels réels en prenant les parties réelles de ces expressions. Si ωr/c > a )

(4.3.5)

Vu la relation entre la charge et le courant, on peut aussi écrire :

Qa cos θ jβ + 1 e-jβ r r 4π ε r2

V (r)

Remarquons que Qa est la valeur maximale du moment dipolaire électrique pm. D’autre part, le courant circule ici dans la direction de l’axe 0-z et

J dg

> I dz z. Si r >> a, le terme e-jβ r/r est pratiquement constant. Alors,

l’expression (4.2.5) se réduit au potentiel-vecteur d’un dipôle élémentaire :

A

Az z

μ Ia e-jβ r r z 4π

( r >> a )

(4.3.6)

Connaissant les expression de V et de A, on peut dès lors trouver celles des champs E et H = B/μo. Comme nous avons un dipôle supposé ponctuel dans la direction z, il est naturel d’utiliser un référentiel sphérique dans lequel les composantes de A sont :

A r = A z cos θ A θ = – A z sin θ

Aφ

=

μo Ia cos θ e-jβ r r 4π

μo Ia sin θ e-jβ r r 4π = 0

= –

(4.3.7)

(4.3.8) (4.3.9)

La figure 4.3.2 montre le référentiel utilisé ; p Qa z représente le moment dipolaire électrique. À partir de l’expression du rotationnel en coordonnées sphériques, on détermine

H

∇×A /μ :

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108

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Hr = 0 ,

Hθ = 0 ,

j β 1 jβ r H φ = Ia sin θ + e r 4π r2

(4.3.10a)

On peut aussi écrire : 2

Hφ = –

Ia β sin θ 1 + 1 e jβ r 2 4π j βr j βr

(4.3.10b)

Le champ magnétique n’a donc qu’une composante azimutale Hφ. Le champ électrique se trouve à partir de la relation générale

E

∇V

∂A/∂t qui

∇V j ωA . Au moyen du gradient en devient, en régime sinusoïdal : E coordonnées sphériques et des expressions 4.3.5, 4.3.7, 4.3.8, en regroupant les termes et utilisant la relation composantes du champ électrique :

β

2π/λ

ω/v , on obtient les

j μo 1 – e jβ r 2 εo r βr 3

Er = Ia cos θ 2π qu’on peut écrire : 2

Er = –

ηoβ Ia cos θ 2π

1 j βr

2

+

1 j βr

3

e jβ r

(4.3.11)

De même : 2

η β Ia sin θ 1 Eθ = – o + 1 + 1 e jβ r 2 3 4π j βr j βr j βr

(4.3.12)

Puis,

Eφ

0

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(4.3.13)

4 Rayonnement électromagnétique

μo/εo ≈ 376,7 ohms On sait que ηo est l’impédance d’onde du vide. Les expression 4.3.10 à 4.3.13 décrivent le champ électromagnétique produit par une dipôle supposée ponctuelle. Si β r >> 1 c’est la zone éloignée, et les termes du second et du troisième degré sont négligeables devant celui en 1/βr. On peut donc les négliger, comme la composante E r devant la composante Eθ . Alors il ne reste plus que les

Z

r

φ X

j ηoβ Ia 4π

Hφ

jβIa 4π

e-jβ r sin θ r e-jβ r sin θ r

N φ

θ

r

θ

p

composantes suivantes du champ électromagnétique :

Eθ

109

Figure 4.3.2

[V/m] (βr >> 1 ; λ >> a)

(4.3.14)

(βr >> 1 ; λ >> a)

(4.3.15)

[A/m]

Remarquons les particularités du champ en zone éloignée : –

Le champ électrique et le champ magnétique sont à angle droit.

–

Ces deux composantes du champ électromagnétique sont en phase.

–

– On

Le rapport H φ /Eθ ηo, l’impédance d’onde du vide, comme pour une onde plane. C’est normal, car à grande distance du dipôle, l’onde est quasiplane. Le champ électromagnétique varie en 1/r, alors que le champ électrostatique d’un dipôle varie en 1/r 3.. obtient

une

expression

utile

ηo ≈ 376,7 ≈ 120π ohms , avec β = 2π /λ :

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de

Eθ

en

observant

que

110

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Eθ ≈

j60πIa

λ

e-jβ r sin θ r

[V/m]

(4.3.16)

Le champ électromagnétique à grande distance forme une onde sphérique. On peut aussi exprimer le champ en fonction du moment dipolaire électrique d’amplitude pm : Ia = jωQa = jωpm. Alors :

Eθ

–

ηoωβpm e-jβ r sin θ r 4π

Hφ

–

ωβpm e-jβ r θ r sin 4π

La figure 4.3.3 représente une une surface d’onde sphérique dans le plan du dipôle p à deux instants successifs. À l’instant t, elle est en Ω ; une demi-période plus tard, elle s’est propagée jusqu’en Ω’ sur une distance égale à une demilongueur d’onde. Sur cette dernière surface d’onde, la direction du champ E est donc opposée à celle aux points correspondants sur Ω.

[V/m]

(4.3.17)

[A/m]

(4.3.18)

P4

E2

E1

p

P5

E2

P2

θ

E5 N5

N2

P3

E4

P1

E5

N1 E1

Ω Ω'

Figure 4.3.3 Onde sphérique .

4.4

Vecteur de Poynting, intensité, puissance En zone éloignée, le vecteur de Poynting moyen a la forme suivante : 2

S

1 Ré E θ ∧ φH * θ φ 2

ηoβ I2a 2 2 4πr

2

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2

sin θ r

[W/m 2]

(4.4.1)

4 Rayonnement électromagnétique

111

Son module est montré dans le diagramme polaire de la figure 4.4.1 : c’est le diagramme de rayonnement. On trouve la puissance totale rayonnée en intégrant le vecteur de Poynting moyen sur une sphère de rayon r (Figure 4.4.2) :

P Σ

S ⋅ dΣ

Σ

π

S dΣ

0

2π

S r 2 sin θ dθ dφ

(4.4.2)

0

où dΣ est le vecteur élément de surface qui est parallèle à . Après substitution : π

2

P

ηoβ I 2a 2 32π 2

0

2π

2

sin 3 θ dθ dφ

0

ηoβ I 2a 2 16π

π

sin 3 θ dθ

0

Finalement : 2

P

Vu que β = ω/c, = 2πf/c : Rappelons que

I

ηoβ I 2a 2

[W]

12π

P

ηoπf 2 I 2a 2

(4.4.3)

[W]

3c 2

2 Ieff z

θ

0

Figure 4.4.1 Diagramme de rayonnement d’un dipôle oscillant

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(4.4.4)

z

dΣ dr

r sinθ

θ

r

dθ

0

Figure 4.4.2 Calcul de la puissance rayonnée

Résistance de rayonnement Vu qu’il n’y a aucune perte dans le milieu par hypothèse (le vide), la puissance fournie au dipôle (doublet) est égale à la puissance P qu’on vient de calculer, la puissance traversant une grande sphère concentrique. On peut supposer que cette puissance est celle fournie par la source de la figure 4.4.1 à une résistance R, soit P = (1/2)RI2. On obtient ainsi :

R

2π ηo a 3 λ

2

≈ 80π 2 a λ

2

[Ω] (4.4.5)

Cette expression est valide seulement si a f c

2

(5.4.14)

Cette vitesse est toujours supérieure à celle d’une onde plane en propagation libre vo dans un même milieu . Vu que ω = 2πf et v o 1/ εμ , on démontre facilement que :

vp

vo n vo 1 2bf

vo 2

1

f c/f

2

pour f > fc

(5.4.15)

Figure 5.4.1 Champ électromagnétique entre deux plans conducteurs dans le mode TM1

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y

b

−π

0

π

βz

Lignes de champ électrique E Lignes de champ magnétique H

Figure 5.4.2 Mode TM2 entre deux plans conducteurs

La figure 5.4.3 montre comment varie la vitesse de phase avec la fréquence au-delà de la fréquence de coupure fc . On observe que cette vitesse vp est toujours supérieure à la vitesse vo en champ libre. Cela signifie que si le diélectrique entre les plans est le vide ou l’air, la vitesse de phase est supérieure à la vitesse limite c (3 · 108 m/s). Ce résultat surprenant est analysé dans la section suivante et ne contredit pas la théorie de la Relativité qui fait intervenir la vitesse c. Par contre, la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique qu’on appelle aussi vitesse de groupe est toujours inférieure ou égale à c, ce qui sera aussi expliqué. La constante de phase est alors :

β

ω vp

ω vo

1

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f c/f

2

(5.4.16)

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

1

2

3 4 f / f coupure

5

6

Figure 5.4.3 Variation de la vitesse de phasevp avec la fréquence

Longueur d'onde dans le guide La longueur d'onde λ dans le guide est la distance parcourue par l'onde au cours d'une période T 1/f à la vitesse de phase v p :

λ

vp

v pT

f

Ou encore :

λf Exemple 5.4.1

vp

(5.4.17)

Fréquence de coupure - vitesse de phase

Si deux plans conducteurs parallèles sont espacés de 5 cm dans l’air, la fréquence de coupure du mode TM1 est alors:

fc =

3⋅ 108 n = = 3⋅ 109 Hz = 3 gigahertz (GHz) 2 2b εoμo 2 × 5⋅ 10

Dans le mode TM2 elle est donc de 6 GHz. La vitesse de phase dans le mode TM1 d’une onde de fréquence égale à 5 GHz est, par exemple, à partir de (5.4.14) :

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132

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

vp =

8,854⋅ 10 12 ×4π×10 7 –

2 1/2

1×π 2π × 5⋅ 109 × 0,05

= 3,746 ⋅ 108 m/s

On obtient le même résultat, plus simplement avec la relation (5.4.15).

Coefficient d’atténuation en mode TM Nous avons vu plus haut l’expression du champ E z(y,z) en l’absence de pertes :

Ez(y,z)

Eon sin

n πy e b

jβ z

(5.4.18)

On sait que s’il y a des pertes de propagation, jβ doit être remplacé par γ = α + jβ, où α est le coefficient d’atténuation. Comme dans le cas du mode TEM, l’atténuation a généralement deux causes : les pertes dans le diélectrique et les pertes Joule dans les conducteurs métalliques. Alors, α = α d + αm. Nous savons que dans un diélectrique avec pertes, la permittivité est complexe : ε = ε ‘ - jε“. Nous supposerons que les pertes sont relativement faibles (ε“ 0), la vitesse de groupe est alors supérieure à la vitesse de phase, et inversement. Exemple 5.6.1

Vitesse de phase et vitesse de groupe

Considérons le guide d'onde de l'exemple 5.5.2 où la séparation des plans conducteurs dans l'air est de 5 cm, ce qui donne une fréquence de coupure du premier mode de 3 GHz. Trouvons l'expression de la vitesse de groupe dans ce guide (modes TM ou TE) au moyen de l'expression 5.6.9. On sait que la vitesse de phase est donnée par la relation 5.4.14 :

vo

vp =

2

1 – f c/f 2 3

dv p = df

Sa dérivée est :

–v o f c /f 1 – f c/f

f dv p = v p df

Puis,

vg = vo

On en tire finalement :

– f c/f

3/2

2

1 – f c/f

1 – f c/f

Ainsi, à 6 GHz, la vitesse de phase est vitesse de groupe est

2

2

2 8

v p = 1,1547 v o ≈ 3,464 ⋅ 10 m/s. La 8

v g = 0,8660 v o ≈ 2,498 ⋅ 10 m/s

Supposons maintenant qu'il se propage dans le guide deux ondes d'amplitude réelle Eo dans le mode TE dont les fréquences sont de 5,9 GHz et 6,1 GHz. Déterminons l'aspect du champ électrique résultant au centre du guide (Figure 5.5.1) en fonction de z à deux instants consécutifs. On sait que l'intensité du champ est maximale au centre du guide (y = b/2). En z = 0, d'après (5.5.3) :

Ex 0 =

jωμoH o 1 = Eo h

L'amplitude complexe des ondes 1 et 2 en fonction de z est donc :

Ex1 0, z = Eo e

jβ1z

et

Ex2 0, z = Eo e

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jβ2z

5 Guides d'onde conducteurs

147

Comme on l'a vu plus haut, l'onde résultante sous forme complexe est alors :

Exr 0, z = 2Eo cos Δ ωt – Δ β z ej ωot

βoz

Puis, sous forme réelle :

Exr 0, z = 2Eo cos Δ ωt – Δ β z cos ωot – βoz La fréquence moyenne f o est donc de 6 GHz, Δf = 0,1 GHz, 8

2π Δf = 6,283· 10 rd/s, β o

Δω

ωo/v po

108,8 rd/m,

Δ β ≈ Δ ω/v g ≈ 2,515 rd/m La figure 5.6.2 montre l'intensité du champ électrique au centre du guide (y = b/2) en fonction de z à deux instants consécutifs espacés d'une demipériode. Le déplacement du point A et de l'enveloppe se fait à la vitesse de groupe, tandis que celui du champ dans l'enveloppe (point B) se fait à la vitesse de phase. On peut voir que le déplacement

Δz 2 de B est supérieur à

Δz 1 , celui de A. On calcule une longueur d'onde moyenne dans le guide de 5,773 cm. 2Eo

t=0

B A

0

2Eo 0

02

2Eo

0,4

06

t = 0,0833 ns

08 Δz1

Δz2

1

1,2

14

1

1,2

1,4

B'

0 A'

2Eo 0

0,2

0,4

0,6 0,8 z [mètres]

Figure 5.6.2 Intensité du champ E au centre du guide à deux instants successifs

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148

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

EXERCICES 5.1

Propagation entre des lames parallèles Considérez un ensemble de grandes feuilles de cuivre minces tendues parallèlement l'une à l'autre dans le plan y-0-z, avec une séparation a = 50 cm. Au moyen d'une antenne très éloignée sur l'axe 0z à gauche, vous produisez dans l'air une onde électromagnétique quasi plane à l’entrée de l’ensemble, avec la polarisation indiquée dont la fréquence est de 100 MHz. a) Discutez de la pénétration et de la propagation du champ électromagnétique entre les lames dans ces conditions. b) Que se passe-t-il si vous augmentez progressivement la fréquence de l'onde jusqu'à quelques centaines de MHz ? c)

Que se passe-t-il si, à 100 MHz, vous changez la polarisation de 0y en 0x ? x Lames conductrices

0 v

5.2

z E

y

Communication dans un édifice

z

h

La figure ci-dessus représente un grand hangar d’avions de quelques centaines de mètres de profondeur dont le plafond et le plancher peuvent être considérés comme d’assez bons conducteurs électriques. La hauteur h du plafond est de 6 mètres. Vous désirez utiliser un système de communication dans la direction z utilisant une polarisation parallèle au plancher.

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5 Guides d'onde conducteurs

149

a) Déterminez la fréquence de transmission minimale fmin qui sera utilisée si elle doit être le double de la fréquence de coupure. Rép. : 25 MHz b) Comment s’appelle alors le mode de propagation, loin de l’émetteur dans le plan de la figure ? c)

Si vous choisissez une polarisation perpendiculaire au plancher, y a-t-il une limite inférieure à la fréquence que vous pouvez utiliser ?

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6 Lignes électriques 6.1

Généralités Les lignes électriques servent essentiellement à transmettre de l’énergie électrique d’une source à un récepteur. Cette énergie peut être très faible dans certains systèmes électroniques comme les ordinateurs, ou extrêmement grande dans les réseaux de distribution électrique. De même, la fréquence peut être nulle dans le cas des lignes à courant continu, ou très élevée dans les systèmes micro-ondes ou les systèmes de télévision par câble. Si les fibres optiques doivent graduellement remplacer les liaisons de télécommunication locales, interurbaines et transcontinentales par lignes électriques, ces dernières doivent continuer de servir dans divers domaines, particulièrement ceux des circuits électroniques, des communications locales et de la transmission de l’énergie électrique. Une solide connaissance de la théorie des lignes électriques est, et restera, d’une grande importance pour l’ingénieur électricien. Le texte qui suit vise à donner au futur ingénieur une connaissance assez complète et rigoureuse de cette théorie qui lui permettra de résoudre la plupart des problèmes qui se posent en pratique. Il doit permettre de répondre à de nombreuses questions qui se posent dans le domaine. Voici quelques-unes de ces questions : *

Comment les caractéristiques d’une ligne sont-elles reliées à ses paramètres physiques : dimensions, résistance, capacité, inductance, etc. ?

*

Comment varient la vitesse de propagation et le coefficient d’atténuation d’un signal sur une ligne avec la fréquence ?

*

Comment s’expriment la tension et le courant électriques sur une ligne et quelle relation y a-t-il entre eux ? Qu’est-ce que l’impédance caractéristique d’une ligne électrique ?

* *

Comment varie l’impédance d’entrée d’une ligne en fonction de ses caractéristiques et de l’impédance de la charge ? http://fribok.blogspot.com/

6 Lignes électriques sans perte

151

*

Comment réaliser le transfert du maximum d’énergie d’une source à un récepteur ?

*

Quelles sont les causes de la perte d’énergie sur une ligne électrique ?

*

Pourquoi l’atténuation du signal transmis par une ligne augmente-t-elle rapidement avec la fréquence ? Comment trouver la loi de variation de cette atténuation ?

*

Quelle est la relation générale entre la tension d’entrée et la tension de sortie d’une ligne en fonction des paramètres de la ligne, ainsi que des impédances de source et de récepteur ?

*

Comment adapter le mieux possible une source à un récepteur au moyen d’une ligne électrique ?

*

Comment choisir la ligne optimale pour un usage donné ?

*

Etc.

Lignes électriques : Quelques dates… 1729

Découverte par Stephen Gray en Grande-Bretagne de la transmission du “fluide électrique” le long d’un fil.

1730

Découverte par Charles DuFay en France de l’existence de deux sortes d’électricité (résineuse et vitreuse) et de la distinction entre conducteurs et isolants. Plus tard, Benjamin Franklin (États-Unis) parlera d’électricité positive et négative.

1753

Premières propositions de systèmes de communication électriques (France et Suisse).

1800 - 1830 Invention de la pile électrique par Volta ; travaux d’Oersted, Ampère, Laplace, Gauss etc. 1839

Premier télégraphe électrique commercial par Wheatstone (GrandeBretagne) ; invention parallèle par Morse en 1844 (États-Unis).

1841

Invention de la bobine d’induction, ancêtre du transformateur, par Bréguet et Masson (France) ; perfectionnements par Ruhmkorff (Allemagne).

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152

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 1851

Premier câble télégraphique sous-marin entre la France et l’Angleterre ; travaux théoriques de William Thomson (Lord Kelvin) sur la propagation.

1857

Première tentative de pose d’un câble transatlantique : il se brisa.

1858

Premier câble transatlantique mis en fonction entre l’Irlande et TerreNeuve (3 700 km); fonctionna pendant quatre semaines; quatre cents messages envoyés avant la panne.

1865

Nouvelle tentative infructueuse de dérouler un câble entre l’Irlande et Terre-Neuve; il était enroulé dans les cales d’un seul navire, le Great Eastern. La masse du câble était de 5 000 tonnes. Publication de la théorie électromagnétique de J.C. Maxwell (Écosse).

1866

Réussite de la pose d’un nouveau câble transatlantique qui fonctionna pendant plusieurs années entre l’Europe et l’Amérique du Nord.

1870

Invention de la dynamo, la première génératrice de courant, par Zénobe Gramme (Belgique).

1876

Invention du téléphone par Alexander Graham Bell (États-Unis), précédée des travaux du Français Bourseul.

1877

Premiers tramways électriques mis en fonction.

1880

Publication d’une théorie des lignes électriques par Oliver Heaviside (Grande-Bretagne).

1882

Premiers brevets de transformateurs appliqués à l’éclairage par Gaulard, Zipernowsky, Dhéry et Blathy (France).

1882

Réalisations de Marcel Deprez en transmission du courant continu à distance sous haute tension, 6 000 volts (France).

1888

Découverte des ondes électromagnétiques par Heinrich Hertz (Allemagne).

1890

Première communication par ondes hertziennes par Édouard Branly après son invention du cohéreur (France).

1891

Premier transport d’énergie électrique en courant triphasé sur une distance de 175 km, réalisé par Nicolas Tesla, ingénieur d’origine croate (États-Unis). Travaux de Steinmetz sur le même sujet.

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6 Lignes électriques sans perte

153

1895

Première transmission d’un message en code morse au moyen d’ondes électromagnétiques par Aleksander Popov (Russie) : la télégraphie sans fil (TSF).

1899

Première communication par ondes électromagnétiques entre la France et l’Angleterre par Guglielmo Marconi (Italie).

1907

Invention de la triode à vide par Lee DeForest (États-Unis).

1911

Brève liaison téléphonique à grande distance entre New-York et Denver (3200 km) sans amplificateur : conclusions pessimistes.

1912

Réalisation du premier amplificateur par DeForest.

1915

Première liaison téléphonique intercontinentale entre l’Amérique et l’Europe.

1919

Première transmission de conversations simultanées sur une seule paire de fils par translation de fréquence (multiplexage).

1920

Débuts de la radiodiffusion ; fréquences d’environ 1 MHz.

1925

Premiers systèmes de télévision imaginés ; radiodiffusion transcontinentale et intercontinentale sur ondes courtes.

1940

Premières utilisations des micro-ondes ou hyperfréquences : radar, communication.

1948

Invention du transistor par Bardeen, Shockley et Brattain (É.U.A.).

1950

Premiers réseaux de télévision et de télécommunications utilisant les hyperfréquences.

1960

Communications par satellites et faisceaux laser ; développement des circuits intégrés et des micro-ordinateurs, etc.

1980

Essor des communications par fibre optique et de l’optique intégrée.

1988

décembre : Mise en service du nouveau câble optique transatlantique TAT-8, une coopération de AT & T, British Telecom et France Télécom. Longueur : 6 750 km ; 4 fibres actives, 2 de réserve ; 109 répétitrices espacées de 70 km ; téléphonie (40 000 conversation simultanées), données, vidéo.

1991

octobre : Mise en service d’un câble optique de 175 km sans répétitrice dans le détroit de Cabot; le plus long de ce type au monde.

1999

L’utilisation des câbles optiques est en progression fulgurante.

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154

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Dans ce chapitre, nous ferons l’étude des lignes électriques à partir du concept de paramètres répartis et des méthodes des circuits électriques. Cette étude sera relativement approfondie ce qui permettra de considérer des applications variées dans divers domaines. Nous aurons l'occasion de mettre en évidence certains phénomènes inattendus propres à la propagation des ondes sur une ligne.

Définitions Une ligne électrique est un dispositif généralement formé d'au moins deux conducteurs parallèles destiné à transmettre ou à guider l'énergie électromagnétique d'un point à un autre. Les lignes électriques servent dans deux domaines essentiellement, couvrant des gammes de fréquences et de puissances très étendues (voir le tableau 6.1.1) : •

La transmission d'énergie électrique pour l’éclairage et l’alimentation des machines et autres dispositifs en général.

•

La transmission d'information sous forme de signaux électriques de faible puissance, basse tension à des fréquences couvrant un large spectre, dans le domaine des communicationsde l’électronique, etc.

Comme les lignes électriques continuent de jouer un rôle capital dans l’électrotechnique et l’électronique modernes, il importe d’en développer une théorie rigoureuse et pratique. La figure 6.1.0 est la représentation générale d'une ligne et de sa fonction, qui est de relier une source d'énergie électrique à un récepteur. Or, la forme du signal transmis au récepteur et sa puissance dépendent de plusieurs facteurs dont la fréquence, les paramètres physiques de la ligne et l’impédance du récepteur. Dans ce qui suit, nous verrons

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6 Lignes électriques sans perte

155

comment interviennent ces facteurs et nous développerons un ensemble de relations permettant de résoudre divers problèmes pratiques d’une façon exacte. On comprendra finalement pourquoi les fibres optiques sont appelées à remplacer les lignes électriques dans plusieurs applications en démontrant la cause de l’atténuation relativement élevée de la puissance transportée par les lignes.

LIGNE Source

Récepteur

Énergie

Figure 6.1.1 Représentation d'une ligne électrique transportant de l'énergie d'une source à un récepteur

Tableau 6.1.1 Domaines d’utilisation des lignes électriques

Puissance : Transmission et distribution d'énergie

Tension : Fréquence :

Transmission d'information Téléphonie Distribution vidéo, etc.

Puissance : Tension : Fréquence :

du kilowatt au gigawatt du volt au mégavolt 50 ou 60 Hz généralement du microwatt au watt quelques volts du hertz au gigahertz

Types de lignes Les lignes sont le plus souvent formées de conducteurs parallèles ayant diverses formes. La figure 6.1.1 en montre quatre formes courantes :

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156

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques a) La ligne bifilaire formée de deux fils parallèles, avec ou sans diélectrique solide autour. Une variante est la ligne bifilaire tortillée, très utilisée comme ligne téléphonique. b) La ligne coaxial formée d'un conducteur central concentrique à un deuxième, l'espace intermédiaire étant généralement rempli d'un diélectrique solide. Le conducteur extérieur souvent appelé blindage constitue un écran pour le conducteur intérieur: les signaux transmis sont relativement à l’abri des champs électromagnétiques extérieurs (voir aussi la figure 6.1.2). c)

La microruban constituée de deux bandes conductrices appliquées sur une plaquette isolante. Elle sert dans les circuits à très haute fréquence.

d) La ligne triphasée à trois conducteurs pour la transmission à haute tension.

I

I

I

I 1

2

1

2

(b)

(a)

I

I

1

I

Figure 6.1.2

a)

I

P

2

1 3

(c)

a) Ligne bifilaire c) Microruban

I

b) Ligne coaxiale d) Ligne triphasée

b) Figure 6.1.3 Câbles divers

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2

c)

(d)

6 Lignes électriques sans perte

157

a) Coaxial pour la transmission de grande puissance sous terre à 50 ou 60 Hz (document Alcatel). b) Coaxiaux pour les signaux de haute fréquence et puissances modérées (document Alpha). c)

Paire de fils avec écran (paire de fils blindée) (document Belden).

La propagation guidée Les lignes électriques servent essentiellement de support ou de guide pour l’énergie électromagnétique qui se propage sous forme d’ondes. Par exemple, deux plans conducteurs parallèles espacés de d constituent une ligne électrique. La figure 6.1.4(a) représente une portion de tels plans dont les bords MM' et NN' sont reliés à des sources de même tension variable V en parallèle, dont une seule est montrée : les lignes MM' et NN' sont ainsi des équipotentielles. Des courants de densité surfaciques K vont circuler sur la surface interne des plans, tel qu'indiqué. Or, comme les perturbations électriques se propagent à vitesse finie, une onde de courant doit donc se propager dans le sens positif de z, accompagnée d'une onde de tension électrique entre les plans. Une onde électromagnétique se propage dans l'espace entre les plans, comme le montre la figure 6.1.4(b). Loin des bords, cette onde doit être une onde électromagnétique plane transversale telle que H = K, et E = V/d = σ/ε, où σ est la densité surfacique de charges électriques, avec ε la permittivité du milieu.

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K

z 1

K

M 2

V

H

M'

V

N

1 E

K

2

K

N'

(a)

(b)

Figure 6.1.4 a) Ligne électrique en forme de plans parallèles avec source de tension entre les bords MM' et NN'. b) Champ électromagnétique E-H entre les plans. Relation avec la différence de potentiel V et la densité surfacique de courant K sur les faces internes des plans.

E H H

E

E

–

I

+

I

H

E

E

E

E

H

H (a)

(b)

E

(c)

Figure 6.1.5 a) Champ électromagnétique autour d'une ligne bifilaire. b) Champ électromagnétique d'une ligne coaxiale. c) Champ électrique d’une ligne microruban : symétrique et asymétrique.

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6 Lignes électriques sans perte

159

Il s’agit d’une propagation électromagnétique g u i d é e par les plans conducteurs. Dans le cas d'une ligne bifilaire, le champ guidé est représenté à la figure 6.1.5(a), et dans celui d'une ligne coaxiale à la figure 6.1.5(b). Cette approche permet d’arriver aux équations de propagation de la tension et du courant, à partir de celles du champ électrique et du champ magnétique, comme nous l’avons fait précédemment. Mais, il est plus simple et efficace de faire plutôt appel à la théorie des réseaux électriques à cette fin, comme nous le ferons plus loin.

6.2

Bases du modèle Hypothèses L'analyse des lignes électriques peut se faire en appliquant les lois des réseaux électriques, en admettant les hypothèses ou postulats suivants : 1. Les lignes sont homogènes. Une ligne homogèneest constituée d'au moins deux conducteurs parallèles dont les paramètresgéométriques et physiques sont constants le long de la ligne : dimensions constantes, milieu homogène autour, etc. 2. Les courants circulent dans la direction de la ligne : on n'admet pas de courants dans le plan d'une section droite, tel que le plan P de la figure 1. Une telle section est donc équipotentielle. 3. À l'intersection d'une ligne par un plan transversal, la somme algébrique des courants instantanés dans les conducteurs est nulle (Figure 6.2.1) : N

∑

ij = 0

j=1

4. La séparation des conducteurs et leurs dimensions sont faibles par rapport à la longueur d'onde, ou par rapport à la distance parcourue par l’onde au cours d’une période caractéristique.

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160

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

5. Le comportement d'une ligne est complètement décrit au moyen de quatre paramètres de réseau électrique répartis et uniformes le long de la ligne. Ces paramètres ne dépendent que des dimensions, de la nature, des conducteurs, du milieu ambiant et de la fréquence.

1 2

i1

i2 Π Figure 6.2.1

Paramètres répartis ou linéiques Le comportement d’une ligne électrique conforme aux hypothèses précédentes est décrit au moyen des paramètres répartis ou linéiques. Voici leur définition : Résistance linéique : C'est la résistance totale de la ligne par unité de longueur. Pour une ligne bifilaire c'est, en principe, la résistance mesurée à l'entrée d'une ligne de longueur unité quand l'autre extrémité est terminée par un court-circuit parfait.

Symbole : R.

Unité : l'ohm/mètre (Ω/m).

Inductance linéique : L'inductance linéique est l'inductance propre de la ligne par unité de longueur. C’est, en principe, l’inductance mesurée à l’entrée d’une ligne court-circuitée à l’autre extrémité quand sa longueur tend vers zéro ou, d'une façon plus pratique, quand la fréquence du signal de mesure tend vers zéro.

Symbole : L.

Unité : le henry/mètre (H/m).

Capacité linéique : La capacité électrique de la ligne par unité de longueur.

Symbole : C.

Unité: le farad/mètre.

Conductance linéique : C'est la conductance entre les conducteurs, ou conductance transversale par unité de longueur. Elle résulte de l'imperfection du diélectrique.

Symbole : G.

Unité : le siemens/mètre (S/m).

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6 Lignes électriques sans perte

161

On étudiera ces paramètres plus loin en fonction de la géométrie et de la fréquence.

Courant et tension Le courant et la tension sur une ligne sont fonctions de la position que nous désignerons par x et du temps t. Donc : i = I (x,t)

v = v (x,t)

En régime harmonique, on utilise les amplitudes complexes ou phaseurs I(x) et V(x). Cela est représenté dans la figure 6.2.2 où l'origine 0 est à l'entrée de la ligne de longueur a, du côté de la source ; la position est indiquée par x. On utilisera aussi l'origine 0' placée au récepteur en repérant une position par h : On a donc h = a – x i (x,t ) v (x,t )

Source

Récepteur

i

0

x

h

0'

a Figure 6.2.2 Notation utilisée

6.3

Équation et fonction d'onde Équation d'onde On peut assimiler un élément de longueur dx d'une ligne à deux conducteurs à un quadripôle constitué d'éléments dérivés des paramètres localisés comme dans la figure 6.3.1a, si les conducteurs sont identiques. C'est une représentation symétrique. On peut faire de même si les conducteurs sont différents en ayant des éléments de valeurs différentes. Mais, la forme de la figure 6.3.1b est équivalente et simplifie la dérivation des équations de propagation. Appliquons maintenant les lois des réseaux électriques à l'élément (b). On voit que :

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162

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

et :

dv

R i dx

di

Gv dx

∂i dx ∂t

(6.3.1)

∂v dx ∂t

(6.3.2)

L C

Le signe négatif des seconds membres vient de la convention adoptée : la tension de sortie (à droite) est v + dv et non pas v - dv, etc. Divisant les deux membres par dx, et considérant que la tension et le courant sont fonctions de deux variables, v (x,t) et I (x,t), on obtient les deux équations suivantes :

∂v ∂x

Ri

L

∂i ∂t

(6.3.3)

∂i ∂x

Gv

C

∂v ∂t

(6.3.4)

C'est un système de deux équations linéaires aux dérivées partielles dont les solutions sont le courant et la tension sur la ligne en tous points et en tout temps. Utilisons une méthode de substitution pour les résoudre. Dérivons les deux membres de la première par rapport à x :

∂2 v ∂x 2

R

∂i ∂x

L

∂ ∂i ∂t ∂x

Portons maintenant (6.3.4) dans cette dernière et regroupons les termes :

∂2 v ∂x 2 i

R dx /2

v

RGv

L dx /2

i + di

C dx

R dx /2

L dx /2

∂v ∂2 v + (RC + L G) + LC ∂t ∂t 2

G dx v + dv

i

v

(a)

R dx

L dx

C dx

(b)

Figure 6.3.1 Modèles d'une portion de ligne de longueur dx

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(6.3.5) i + di

G dx

v + dv

6 Lignes électriques sans perte

163

De la même façon, on obtiendrait pour le courant :

∂2 i ∂x 2

R G i + (RC + L G)

∂i ∂2 i + LC 2 ∂t ∂t

(6.3.6)

Ce sont deux équations différentielles linéaires du deuxième ordre aux dérivées partielles1. On les appelle équations d'onde. Leur forme étant la même pour le courant et la tension, il s'ensuit que leurs solutions sont nécessairement de la même forme. Du point de vue physique, c'est logique car le courant est proportionnel à la tension sur la ligne. Dans le cas général, il y a une infinité de solutions possibles à ces équations. Nous allons maintenant examiner le cas particulier des lignes où l'on peut considérer comme négligeables la résistance et la conductance linéiques. On les appelle lignes sans pertes.

Fonction d'onde Dans le cas d'une ligne où R et G seraient nuls, les pertes Joule le seraient également. Il s'ensuit qu'une onde doit se propager sur une telle ligne sans changement d'amplitude. Précisons que de telles lignes n'existent pas en pratique, mais que dans plusieurs cas on peut négliger les pertes, ce qui simplifie passablement les solutions. Dans ce cas, l'équation (6.3.5) devient :

∂2 v ∂x 2

LC

∂2 v ∂t 2

Posons :

LC 2

Alors :

∂ v ∂x 2

1 u2

(6.3.7) 2

1 ∂v u 2 ∂t 2

(6.3.8)

Cette dernière est une équation d'onde qui décrit la propagation d'une onde de tension électrique le long de la ligne. Cette équation est de forme identique à celle associée à une onde électromagnétique plane, comme vu précédemment. Elle admet des solutions de la forme :

1

Cette équation est dite équation des télégraphistes pour des raisons historiques.

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164

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

v (x,t)

f(x ± ut)

ou

g(t ± x/u )

(6.3.9)

Une solution possible est la suivante :

f 1(x

v (x,t) v (x,t)

ou :

g1 (t

ut) + f 2 (x + ut)

(6.3.10a)

x/u ) + g2 (t + x/u )

(6.3.10b)

Cela se vérifie simplement par substitution. Chaque fonction du membre de droite est individuellement une solution. Toute fonction de cette forme est une fonction d’onde, c’est-à-dire une fonction qui satisfait l’équation d’onde (6.3.8). Nous savons déjà que f 1(x ut) ou g1 (t x/u ) décrit une onde qui se propage dans le sens positif de X, et f 2(x + ut) et g2 (t + x/u ) une onde dans le sens négatif à la vitesse u. Vu que l’équation de propagation du courant est de la même forme, la solution est nécessairement :

i(x,t)

p 1 (x

ut) + p 2 (x + ut)

i(x,t)

q1 (t

x/u ) + q 2(t + x/u )

(6.3.11a) (6.3.11b)

Sur une ligne sans perte, il peut donc se propager des ondes de tension et de courant électriques à une vitesse u qui ne dépend que des paramètres linéiques L et C :

u

1 LC

(6.3.12)

Ondes en échelon Un premier cas simple à étudier est celui des ondes produites par une source de tension ou de courant en échelon raccordée à l’entrée d’une ligne semi-infinie sans perte. La situation n'est pas aussi simple sur une ligne de résistance et conductance linéiques finies. Supposons que la tension électrique appliquée à la ligne de la figure 6.3.2 soit un échelon de la forme :

v(t) = V o U(t) volts

(6.3.13)

Ce signal est représenté à la figure 6.3.3. À l’instant t = 0, une tension Vo

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6 Lignes électriques sans perte

165

apparaît à l’entrée de la ligne et un front d’onde part sur la ligne avec une vitesse u. À l’instant particulier t, il a franchi une distance x 1 = u t et la tension Vo apparaît en ce point. Ceci est représenté à la figure 6.3.4 : la tension est Vo de l’origine jusqu’à cette valeur particulière de x. En x1, le même signal qu’à l’entrée apparaît donc avec un retard τ = x1/u, de sorte que son expression s’écrit comme suit à partir de (6.3.13) :

v (x1 ,t)

τ)

V o U(t

V o U(t

x1/u )

volts

C’est ce que représente la figure 6.3.5. En un point d’abscisse quelconque x, à l’instant quelconque t, l’expression de la tension est donc :

v (x,t)

V o U(t

+

∞

v (t)

x/u )

volts

(6.3.14)

v(0,t) Vo

0 x1

0

Figure 6.3.2 Ligne semi-infinie

t

Figure 6.3.3 Signal en échelon à l’entrée

v(x1,t)

v(x,τ) Vo

u

0

x1 x

Vo

0

Figure 6.3.4 Tension sur la ligne à l’instant τ.

τ

t

Figure 6.3.5 Tension en x1 en fonction de t

C’est effectivement la fonction d’onde qui est de la forme vue plus haut (premier terme de l’équation 6.3.10b). Il s’agit ici d’une onde qui se propage dans le sens positif de x, d’où le signe –. Le signe + est associé à une onde dans le sens négatif de x. En factorisant -1/u, on obtient la forme (6.3.10a) :

v (x,t)

V o U[ 1 (x u

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ut)]

volts

(6.3.15)

166

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques On tire une importante conclusion en examinant l’expression (6.3.14) : Dans le cas d’une ligne semi-infinie sans pertes, quand on connaît l’expression f(t) de la tension appliquée à l’entrée, on obtient la tension en tout point d’abcisse x et en tout temps t en remplaçant f(t) par f(t - x/u), où x/u = τ est le temps que met l’onde à franchir la distance x à partir de l’entrée. Exemple 6.3.1

Propagation d'une impulsion

On applique à l'entrée d'une ligne représentée dans la figure 6.3.2 une tension v(0, t) en forme d'impulsion comme celle de la figure 6.3.6a. Cette tension peut se représenter comme la somme de deux échelons montrés dans la figure 6.3.6b :

v(0, t) = v 1 (t) + v 2 (t) = V U(t) - V U(t - to) Cette impulsion met un temps τ à parvenir au point d'abcisse x1 : x1 = uτ. La figure 6.3.6c montre la tension en ce point. D'après ce que nous venons de voir, la fonction d'onde sur la ligne s'exprime comme suit :

v(x,t) = V U(t - x/u) – V U(t - x/u - to) À l'instant

t = 3to , elle est:

v(x,t) = V U(3to - x/u) – V U(2to - x/u) La figure 6.3.7(a) montre ces fonctions et la figure 6.3.7(b) représente leur superposition, c'est-à-dire la tension sur la ligne à cet instant. Noter que la fonction U(a) est nulle pour a < 0, où a est l'argument de la fonction.

v(0,t) V

v(0,t) V

v(x1 ,t) V

v1(t)

to

to 0

to (a)

t

t

0 (b) -V

v2(t) Figure 6.3.6

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0

t

τ = x1/u (c)

a) v(x, 3t0)

b) v(x, 3t0)

V

u

V

u

3ut0

ut0

0

0

x 2ut0

-V

x 3ut0

u

Figure 6.3.7

Exemple 6.3.2

Fonction d'onde sinusoïdale

Considérons une ligne très longue (semi-infinie) supposée sans pertes, à l’entrée de laquelle est raccordée une source de tension décrite par :

v s (t) = 10 sin(108 t) U(t) volts où U(t) est la fonction échelon unité. À t = 0, une onde de tension sinusoïdale commence donc à se propager sur la ligne avec une vitesse u qu’on supposera égale à 2·108 m/s. L’onde partie à t = 0 de l’origine atteindra donc un point d’abscisse x à l’instant x/u, sans se déformer car la ligne est sans pertes. Les vibrations qui atteignent x ont donc la même forme qu’à l’origine, mais avec un retard τ = x/u. La fonction d’onde s’écrit donc comme suit :

v +(x,t) = 10 sin 108 (t - x/u) U(t - x/u) volts avec u = 2 · 108 m/s. La figure ci-dessous montre la tension électrique sur la ligne à l’instant t, alors que le front d’onde A a parcouru la distance ut à partir de la source en 0.

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V 10

λ

u A

0

X

-10

ut Figure 6.3.8

La longueur d’onde λ = u/f = 2πu / ω = 12,57 m. Sur la figure, la distance ut est à peu près égale à 2,25 longueurs d’ondes, soit environ 28,3 mètres. Cette distance est franchie dans un temps t ≈ 141 nanosecondes.

Impulsions sur une ligne avec pertes Nous verrons plus loin que l'affaiblissement ou l'atténuation d'une onde sinusoïdale qui se propage sur une ligne réelle augmente avec sa fréquence. Dans le cas de signaux impulsifs, c'est-à-dire à montée et à descente rapides, l'atténuation augmente avec la rapidité de variation. Il s'ensuit que le traitement rigoureux de la propagation des impulsions sur une ligne réelle est assez difficile. Mais, heureusement, une description qualitative du phénomène suffit le plus souvent pour comprendre les observations. La figure 6.3.9(a) montre une impulsion rectangulaire appliquée à l’entrée d’une ligne, d’une durée to de quelques dizaines de nanosecondes. Après un parcours x1 d'une centaine de mètres sur une ligne coaxiale typique, l’impulsion s’est déformée comme on peut le voir approximativement en (b)3.

v(0, t) V

v(x1,t) V

to

0 (a)

t (b)

0 τ = x1/u

t to

Figure 6.3.9 Déformation d’une impulsion sur une ligne réelle 3

Le logiciel “RÉFLEX” de Rémy Simard (UQTR, Génie électrique, 1993) permet de simuler très correctement la propagation d'impulsions sur une ligne avec pertes.

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6 Lignes électriques sans perte

6.4

169

Impédance caractéristique L'impédance caractéristique d'une ligne détermine essentiellement la relation entre la tension et le courant électriques qui se propagent sur la ligne. Nous allons ici trouver son expression pour une ligne sans perte.

Expression • Lignes sans perte Supposons que sur une ligne sans perte se propage une onde de tension dans le sens positif de X. Nous la désignerons par :

v +(x,t)

f 1 (x

ut)

(6.4.1)

Nous avons vu que l'équation de propagation du courant est de la même forme que celle de la tension. Il s'ensuit que l'onde de courant correspondant à la précédente est nécessairement de la forme :

i +(x,t)

g1 (x

ut)

(6.4.2)

Nous cherchons une relation entre la tension et le courant. Nous avons vu plus haut les équations différentielles (6.3.3, 6.3.4) reliant les deux. Vu que R = 0, l'équation (6.3.3) se réduit à :

∂v + ∂x

L

∂i + ∂t

(6.4.3)

En posant w = (x - ut), on obtient :

∂v + ∂x et :

∂i + ∂t

df ∂w dw ∂x dg1 ∂w dw ∂t

df · 1 dw

(6.4.4)

dg1 u dw

(6.4.5)

Puis on porte le résultat dans (6.4.3) :

d'où :

dg1 · ( u) dw df 1 Lu dg1

En intégrant, on obtient

f 1 x,t

df 1 ·1 dw

ou encore :

v +(x,t)

L

Lu

dg1 dw

(6.4.6) (6.4.7)

Lu g1 x,t + constante

Lu i +(x,t) + constante

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(6.4.8)

170

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques La constante correspond à une tension constante partout sur la ligne, ce qui est possible en pratique. On peut donc arbitrairement annuler cette constante. On observe que Lu est une constante qui a les dimensions d'une résistance. On convient d'appeler cette constante l'i m p é d a n c e caractéristique Zo de la ligne :

Z o i +(x,t)

v +(x,t)

(6.4.9)

et, vu l'expression (6.3.12) de la vitesse :

Zo

L C

Lu

(6.4.10)

Donc, l’impédance caractéristique d’une ligne est une grandeur qui relie les valeurs du courant et de la tension électriques qui se propagent sur une ligne. Dans le cas d’une onde qui se propage dans le sens négatif de x, on vérifie de la même façon que :

v -(x,t) Exemple 6.4.1

Zo i -(x,t)

(6.4.11)

Impédance caractéristique et courant

Un câble coaxial de type RG-58C/U a une capacité linéique de 101 pF/m et la vitesse de propagation des ondes y est de 2,10·108 m/s (voir le tableau 6.4.1 et l'annexe). Ces deux grandeurs permettent de calculer l’inductance linéique L à partir de l’équation 6.3.12 :

L =

1 = 224,5 nH/m u C 2

On obtient Zo à partir de (6.4.10) :

Zo =

2,245· 10 1,01· 10

7

10

= 47,1 ohms

ce qui est près de la valeur nominale de 50 ohms donnée par le fabricant. Si la ligne de l’exemple 6.3.2 est un tel câble, l’onde de courant sera donc décrite par :

i+(x,t) =

10 sin(108t - x/u) U(t - x/u) ampères 47,1

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6 Lignes électriques sans perte

171

Valeur des paramètres • Lignes coaxiales La figure 6.4.1 montre la structure d’une ligne coaxiale typique (voir aussi figure 6.1.4). Le conducteur central est ici formé de brins tressés, mais c’est souvent un fil solide. Le diélectrique est généralement du polyéthylène solide, mais c’est parfois un fil de polyéthylène enroulé autour du conducteur central avec un grand pas d’hélice, ou encore une mousse de polyéthylène pour réaliser une permittivité plus faible (capacité linéique plus faible) et une plus grande vitesse de propagation. Le blindage représenté est fait de fils fins tressés, mais on utilise souvent une feuille d’aluminium enroulée autour du diélectrique. L’enveloppe ou gaine est aussi faite d’une variété de matériaux plus ou moins résistants aux conditions ambiantes, polyéthylène, chlorure de polyvinyl, etc. On trouvera plus de détails à l’annexe A. Gaine ou enveloppe

Écran ou blindage

Diélectrique

Conducteur central

Figure 6.4.1 Structure d’un câble coaxial typique (multibrins) Tableau 6.4.1 Caractéristiques diverses de lignes coaxiales No

Diamètre

Conducteur

Impédance

Capacité

Vitesse

Tension

Atténuation

RG/U

gaine

central, diam.

caractérist.

linéique

propag.

maximale

à 1 MHz

[mm]

[μm]

[ohms]

[pF/m]

[km/s]

[Veff]

(dB/km)

6/U

6,86

1022

75

56,8

234 000

2 500

6,2

8/U

10,3

7 x 73 (*)

52

96,8

198 000

5 000

5,2

58/U

4,95

814

53

92,4

198 000

1 600

9,5

58C/U

4,78

19 x 180 (*)

50

101

210 000

1 600

9,5

59B/U

5,46

575

75

68,9

210 000

2 100

8,9

62A/U

5,72

638

93

44,3

252 000

1 500

8,0

178B/U

2,54

7 x 160

50

98,4

197 700

1 500

75

(*) Formé de 7 ou 19 brins cylindriques de 73 μm, etc.

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172

6.5

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Source avec résistance interne Considérons une source de tension V s de résistance interne R s = RTh (résistance de Thévenin), Vs étant la tension en circuit ouvert. Raccordons-la à l’entrée d’une ligne semi-infinie d’impédance caractéristique Zo. (Figure 6.5.1). Vu que la ligne est très longue, une seule onde se propage dans le sens positif de x. L’impédance “vue” à l’entrée de la ligne est donc égale à l’impédance caractéristique Zo. Le système équivalent est tel que représenté à la figure 6.5.2. La tension à l’entrée de la ligne est donc :

Ve ( t ) =

Z0 RS + Z0

VS ( t )

(6.5.1)

Ainsi, d’après la règle énoncée plus haut, on obtient la fonction d’onde simplement en remplaçant t par t – x/u :

v +(x,t)

Zo v (t x/u ) s R s + Zo

(6.5.2)

Cela est exact pour une ligne considérée comme sans perte avec des impédances réelles. En réalité, la situation est plus complexe, mais ce qui précède est une bonne approximation.

Rs

1

+ vs

Zo ve

0

Rs

2

∞

u x

Figure 6.5.1

6.6

1

+ ve

v(t)

Zo

0 2 Figure 6.5.2 Système équivalent

Réflexion En pratique, une ligne électrique est nécessairement finie. Il peut aussi y avoir un élément quelconque ou une autre ligne raccordée en un point. On considère maintenant ce qui se passe quand une onde rencontre une telle discontinuité.

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173

Coefficient de réflexion La figure 6.6.1 montre une source de résistance interne Rs raccordée à une ligne sans pertes de longueur a, d’impédance caractéristique Zo avec une vitesse de propagation v, laquelle est terminée par un récepteurde résistance Rr. Dans ce cas, il faut admettre que des ondes se propagent dans les deux sens : v+ et v-, car la tension qui apparaît aux bornes du récepteur constitue une source d’ondes vers la gauche. En général, il y a réflexion de l’énergie ondulatoire sur le récepteur. Nous cherchons ici la relation entre l’onde de tension incidente et l’onde réfléchie. La tension électrique sur la ligne peut donc s’écrire comme suit :

v (x,t) i (x,t)

et le courant :

v+

Or, on sait que:

+

0

(6.6.1)

i +(x,t) + i -(x,t)

(6.6.2)

et

+Zo i + Rs

vs(t)

v +(x,t) + v -(x,t)

v-

Zo i -

(6.6.3)

1 ve

Zo u

2

x

v+ v-

Rr x =a

Figure 6.6.1 Ligne terminée par un récepteur de résistance

Rr

On porte ces dernières dans (6.6.2) :

i( x , t) =

V+ Z0

−

V−

Au récepteur (x = a), la loi d’Ohm s’applique : v (a,t) de (6.6.1) et (6.6.4), cette dernière relation devient :

v +(a,t) + v -(a,t)

Rr

(6.6.4)

Z0

v +(a,t) Zo

R r i (a,t) . Au moyen

v -(a,t) Zo

On en tire le rapport de la tension réfléchie et de la tension incidente qui est le coefficient de réflexion ρvr, par définition :

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v -(a,t) v +(a,t)

ρvr

R r Zo R r + Zo

(6.6.5)

Le tableau 6.6.1 donne les limites de variations du coefficient de réflexion de la tension en fonction de la résistance du récepteur. On vérifie facilement que le coefficient de réflexion du courant au récepteur s’exprime comme suit :

i -(a,t) i +(a,t)

ρ ir

ρvr

(6.6.6)

En général, on n’utilisera que le coefficient de réflexion de la tension. Dorénavant, ρ r désignera ce coefficient. Tableau 6.6.1

0 1

Rr ρr

∞

Zo 0

1

Fonction d’onde réfléchie On vient de voir que la tension réfléchie au récepteur est de la forme :

v -(a,t) où on sait comment la tension l’entrée v e(t) :

ρr v +(a,t)

v +(a,t) en x = a est reliée à la tension à

v +(a,t)

v e(t

a/u )

L’onde qui part du récepteur vers l’entrée de la ligne (sens négatif) parvient au point d’abcisse x avec un retard (a - x)/u (Figure 6.6.1). Son expression est donc :

v -(x,t)

ρr v e t

a u

a x u

ρ r v e t + ux

2a u

(6.6.7)

Or, a/u = τ ,le temps que met l’onde pour aller d’un bout à l’autre de la ligne. On peut donc écrire :

v -(x,t)

ρr v e t + x/u

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2τ

(6.6.8)

6 Lignes électriques sans perte

175

Ce qui est bien la forme d’une onde dans le sens négatif. À son tour, cette dernière onde se réfléchit sur la source. En appliquant le même raisonnement qu’au récepteur, considérant que la source présente une résistance R s pour l’onde v -(x,t) , le coefficient de réflexion à la source s'exprime comme :

ρs

R s Zo R s + Zo

(6.6.9)

Donc, de façon générale, une autre onde partira vers la droite qui se réfléchira au récepteur, etc. En principe, cela se répète à l’infini et la tension résultante sur la ligne est la somme de toutes ces ondes. Exemple 6.6.1

Réflexions multiples lignes sans perte

Supposons que la source du système de la figure 6.6.1 donne une tension en circuit ouvert qui a la forme d’un échelon : v s(t) = V o U(t) . La tension initiale à l’entrée est alors donnée par :

v e(t) =

Zo V o U(t) = V e U(t) Zo + R s

Supposons de plus que Z o a = 5 mètres. On en tire :

Ve =

= 50 ohms , R s = Zo /6 , R r = 7Zo , u = 2·108 m/s et

Zo Vo = 6 Vo = V+1 7 Zo + Z o/6

La première onde v+1 qui part sur la ligne est représentée dans la figure cidessous à l’instant t1 < τ. Son expression est :

v +1 (x,t1) = 6 V o U(t - x/u) = V e U(t - x/u) = V +1 U(t - x/u) 7 Les coefficients de réflexion au récepteur et à la source sont respectivement :

ρ r = 7Zo - Zo = + 3 4 7Zo + Zo et : ρ s =

Zo/6 - Z o = – 5 Z o /6 + Zo 7

Le temps de propagation d’une onde d’un bout à l’autre de la ligne est :

5 τ = ua = = 25⋅ 10 9 = 25 ns 8 2⋅ 10

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v(x,t1)

v+1

Ve

u t1 < τ

0

ut1

x

a

Figure 6.6.2

La première onde réfléchie au récepteur est V-1(x,t) =

V

1

U(t + x/u - 2τ) , où :

V 1 = ρ rV +1 = 3 V e = 3 6 V o = 9 V o 4 47 14 Cette onde est représentée dans la figure ci-dessous à l’instant t2 compris entre τ et 2τ . On voit la tension v (x,t 2 ) résultant de la superposition de

v +1 et de v 1 . À cet instant, le front A de l’onde v +1(x,t) se trouve virtuellement au-delà de x = a. Le front A’ de l’onde réfléchie se trouve alors à la même distance de x = a. À son tour, l’onde v-1(x,t) se réfléchit sur la source et produit :

v +2 (x,t) = V +2 U(t - x/u - 2τ) , car le front d’onde A’ parvient en x = 0 à l’instant 2τ. Puis,

V +2 = ρ s V 1 = – 5 3 V +1 = – 15 6 V o = – 45 V o 74 28 7 98 Et ainsi de suite. On voit que ces réflexions multiples doivent créer en pratique une situation relativement complexe sur la ligne si les coefficients de réflexion diffèrent de 0. En pratique, on s’intéresse surtout à l’effet produit sur la tension à l’émetteur ou au récepteur. Pour réduire l’importance de ce phénomène qui affecte la qualité des signaux transmis sur une ligne, il importe donc de rendre les coefficients de réflexion aussi près de 0 que possible. C’est particulièrement important dans les systèmes de communication par impulsions codées, les ordinateurs, etc. Cela se fait en adaptant la source et le récepteur à la ligne ou vice versa, c’est-à-dire en égalisant autant que possible les impédances de source, de récepteur et de ligne.

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6 Lignes électriques sans perte

v(x,t1)

u

Vo V+1

t < t2 < 2τ

v+1

u

0

177

u

v1 a

A'

A

x

Figure 6.6.3

Diagramme en zigzag Il existe une façon simple de déterminer la tension (ou le courant) sur la ligne sans pertes par suite des réflexions multiples d’une onde en échelon. Il s’agit du graphique qu’on peut désigner comme le diagramme en zigzag, représenté dans la figure 6.6.4. Ce diagramme représente simplement la position du front d’onde au cours du temps. Il a été tracé au moyen des données de l’exemple précédent. On s’en sert pour déterminer la tension sur la ligne en tous points et en tout temps dans le cas d’ondes en échelon. Voyons, par exemple, comment varie la tension au récepteur, en x = a. Le front d’onde initial part de l’entrée de la ligne à t = 0 avec une amplitude V+1. Sa réflexion au récepteur à l’instant τ donne le front d’onde d’amplitude V 1 = ρ rV+1 . La tension en ce point devient alors (à τ +) la somme des deux ondes :

= V +1 + ρrV +1 = 7 V +1 4 6 3 7 v (a,τ+) = V o = V o = 1,5 V o 47 2

v (a,τ+) = V +1 + V

1

Cette situation est aussi représentée dans la figure 6.6.3. Le front d’onde V 1 va se réfléchir à la source où il devient V+2 = ρsV 1. Ce dernier parvient au récepteur à l’instant 3τ et se réfléchit pour donner V 2 = ρrV+2. Juste après la réflexion, à l’instant 3τ + , la tension électrique est la somme des quatre ondes successives :

v (a,3τ+) = V +1 + V 1 + V +2 + V

2 2

v (a,3τ+) = = V +1 + ρ rV +1 + ρ sρ rV +1 + ρ sρ r V +1 http://fribok.blogspot.com/

(6.6.10)

178

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

v (a,3τ+) = 1 + 3 - 5 3 - 5 3 4 74 7 4

2

V +1

= 13 V +1 = 39 V o = 0,6964 V o 16 56 À l’instant 5τ, deux termes s’ajoutent :

V +3 = ρ s2ρ r2V +1 et V -3 v (a,5τ+)

ρ s2 ρr3 V +1

3759 V +1 3136

. On calcule

11277 V o 10976

1,0274 V o .

De même, à l’instant 7τ , s’ajoutent les termes

V -4

ρ s3 ρr4 v (a,7τ+)

V +4

ρs3ρ r3 V +1

et

V +1 , de sorte que : 81627 V +1 87808

0,7968 V o

Les termes qui s’ajoutent sont de plus en plus faibles. La figure 6.6.5 montre comment varie la tension au récepteur v(a,t). À la fin de ce régime transitoire, la ligne étant supposée sans perte, la situation est essentiellement celle représentée à la figure 6.6.6. La tension à l’entrée et partout sur la ligne est alors v e (42/43) V o , la valeur donnée par la théorie élémentaire qui ne tient pas compte des phénomènes de propagation et de réflexions multiples. t v(a,t)

1,5V o

5τ

5τ

ρ V -2 V +3 = s

4τ

V- = 2 ρV r

3τ V +2

2τ

τ

D 3τ

0

τ

o

5τ

7τ

Z o/6 1

ρV

r +1

3τ

Figure 6.6.5

C

V (6/7) V +1 =

0

+2

=ρV s -1 V -1 =

Vo

E

B

τ A

+

ve

v (t) 0

x1

a x

Figure 6.6.4 Diagramme en zigzag

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2 Figure 6.6.6

7Z o

t

6 Lignes électriques sans perte

179

Coefficient de transmission Considérons deux lignes d’impédances caractéristiques différentes Zo1 et Z o2 raccordées en série et une onde en échelon V1+ (x,t) qui se propage vers la jonction AB à la vitesse u1. ( En arrivant à la jonction, l’onde se réfléchit partiellement pour donner l’onde V1– (x,t) vers la gauche, et se transmet partiellement sur la deuxième ligne sous la forme d’une onde V 2+ (x,t) à la vitesse u2. On définit le coefficient de réflexion sur la ligne 1 à la jonction comme :

Zo2 Zo1 Zo2 + Zo1

V1 V 1+

ρ 11

(6.6.11)

Le coefficient de transmission est défini comme le rapport de la tension transmise et de la tension incidente à la jonction:

V 2+(0,t) V 1+(0,t)

ρ 12

(6.6.12)

Or, la tension de l’onde transmise est celle qui existe à la jonction, laquelle est la somme V1+(0,t) + V1–(0,t). Alors :

V 2+(0,t)

V 1+(0,t) + V 1 (0,t) V1+

(1 + ρ 11) V 1+(0,t) V2+

A

ρ 11

Zo1

ρ 12

Z o2

B V1Figure 6.6.7 Réflexion et transmission à une jonction

Ici, Zo2 < Zo1 (figure 6.6.7).

On a donc :

ρ 12

1 + ρ 11

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(6.6.13)

180

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Avec l’origine en AB, les fonctions d’onde réfléchie et transmise sont les suivantes dans le cas présent où les pertes sont supposées nulles :

6.7

V 1 (x,t)

V(0,t) U(x + vt )

ρ 11 V 1+(0,t) U(x + vt )

(6.6.14)

V 2+(x,t)

V(0,t) U(x

ρ 12 V 1+(0,t) U(x

(6.6.15)

vt )

vt )

Théorème des interrupteurs Voyons maintenant deux théorèmes simples qui permettent de résoudre facilement certains problèmes où les lignes ont une tension initiale ou un courant initial non nuls sur toute leur longueur.

Interrupteur initialement ouvert La figure 6.7.1(a) représente un réseau électrique H et deux bornes A, B de numéro j entre lesquelles existe une tension constante Vj , avec un interrupteur K. Il est évident que rien n’est changé entre les bornes si une source de tension de valeur Vj remplace K comme en (b). Si, à l’instant t = 0, l’interrupteur est fermé comme en (c), la tension s’annule. On constate alors que cette situation peut être simulée en ajoutant en série avec la source V j, la figure (b) une source de tension en échelon –VjU(t) comme dans la figure (d). Le premier théorème des interrupteurs est simplement l’énoncé de cette évidence.

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A K Vj B

A +

H

Vj

B

(a)

A K 0

H

(b)

A

H

Vj

+ +

0

H

-VjU(t) B

B

(c)

(d)

Figure 6.7.1 Théorème des interrupteurs. Sources de tension équivalentes. Interrupteur initialement ouvert.

Interrupteur initialement fermé Dans la figure 6.7.2(a), l’interrupteur entre les bornes A, B du réseau H est fermé et un courant continu I j circule. Sans rien changer, on peut donc remplacer l’interrupteur fermé K par une source de courant Ij. Si l’interrupteur est ouvert à t = 0, le courant s’annule (fig. c). On peut constater à la figure (d) que cette situation peut être simulée en ajoutant en parallèle avec la source de la figure (b) une source de courant en échelon –Ij U(t). Cet énoncé traduit le deuxième théorème des interrupteurs, celui des interrupteurs initialement fermés.

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A

A

Ij

H

K

B

H

Ij B

(a)

A

A

K Ij = 0

(b)

H

-IjU(t)

Ij

H

t=0 B

B

(c)

(d)

Figure 6.7.2 Théorème des interrupteurs. Sources de courant équivalentes : interrupteur initialement fermé.

Applications Ligne initialement chargée Considérons une ligne sans perte qui a été chargée au potentiel Vo et qu’on relie à une résistance R1 à l’instant t = 0 en fermant l’interrupteur K (fig. 6.7.3a). Comment évoluera la tension sur la ligne? On peut répondre facilement à cette question en appliquant le théorème des interrupteurs initialement ouverts.

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6 Lignes électriques sans perte 183 En effet, comme la tension V o qui existe entre les bornes de K s’annule à t = 0, on peut remplacer ce dernier par une source de tension constante Vo en série avec une source de tension en échelon -VoU(t) comme dans la figure 6.7.3b. À t = 0, cette dernière produit à l’entrée de la ligne une tension:

Ve

Zo Vo R 1 + Zo

et une première onde v+1(x,t) part sur la ligne dont l’amplitude V+1 = Ve :

v +1

V e U(t

x/u )

Le front d’onde atteint l’autre extrémité à l’instant τ = a/u. Vu que la ligne est ouverte, le coefficient de réflexion ρ r y est égal à +1. L’onde réfléchie est ainsi:

v K

t=0

Vo -VoU(t)

+

+ R1

+V e U(t + x/u 2τ)

1

Vo

+

+ Zo

R1

u

Vo

+ Zo

u

(b)

(a) Figure 6.7.3 a) Ligne initialement chargée au potentiel Vo

b) Système équivalent

V o/2 , À Considérons le cas où R 1 Zo (ligne adaptée), alors V e l’instant t1 compris entre τ et 2τ, la situation sur la ligne est représentée dans la figure 6.7.4. Le front d’onde v +1 est rendu virtuellement en A’ et le front d’onde v 1 est en A, à égale distance de l’extrémité de la ligne. La tension résultante est la somme:

v (x,t1)

V o + v +1(x,t1 ) + v

1(x,t1)

Elle est représentée en trait gras dans la figure. On observe que l’onde réfléchie efface en quelque sorte, à la vitesse u, la tension sur la ligne. Comme la résistance R1 est adaptée à la ligne, l’onde v 1 est complètement absorbée et la tension devient nulle partout sur la ligne à l’instant 2τ.

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Vo Vo/2 a

A'

V 1(x,t 1)

V+1(x,t 1)

A 0

X

u u

-Vo/2

Figure 6.7.4

Tension sur la ligne

t

Vo

2τ

2τ

-Vo/2

τ

τ

-Vo/2 0

a Figure 6.7.5

x

à l’instant t1 : τ < t1 < 2τ

Le diagramme en zigzag permet de déterminer simplement la tension sur la ligne, particulièrement à l’entrée. Dans le cas présent, il se réduit à celui de la figure 6.7.5. On note la tension constante Vo sur le graphique afin de ne pas l’oublier dans l’addition. Si la résistance n’était pas adaptée à la ligne, il y aurait une infinité de réflexions d’amplitude décroissante aux deux extrémités. Le diagramme en zigzag permettrait de déterminer l’évolution de la tension sur la ligne.

Ligne avec courant initial Dans la figure 6.7.6, l’interrupteur K est fermé depuis longtemps, de sorte qu’un courant continu Io s’est établi dans la ligne supposée sans pertes court-circuitée à son extrémité de droite. Le courant dans la résistance R 1 est alors nul, car elle est en parallèle avec le court-circuit. Alors, Io = Vo/R2. Comme l’interrupteur s’ouvre à t = 0, on sait que le deuxième théorème des interrupteurs s’applique et qu’on peut le remplacer par deux sources de

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6 Lignes électriques sans perte

185

courant en parallèle, l’une constante de valeur I o , l’autre fournissant un échelon de valeur -Io U (t), comme illustré dans la figure 6.7.7. Mais, par définition d’une source de courant, ces sources imposent un courant dans la branche formée de la source de tension et de R 2. On peut donc les remplacer par un court-circuit, comme dans la figure 6.7.8, où les sources de courant sont simplement déplacées. Notons que la tension initiale sur la ligne est nulle.

R2

K

t=0

Io

+ Vo

Zo

R1

Io

u

Figure 6.7.6

IoU(t) R2 + Vo

Io Io

Zo

R1

u

Io

Figure 6.7.7 Sources équivalentes

Io -IoU(t) Io

R1

Zo

u

Io

Figure 6.7.8 Système équivalent

À t = 0, l’échelon de courant –Io apparaît et ce courant se répartit entre la résistance R1 et l’impédance d’entrée Z o de la ligne qui est résistive (R1 | | Zo). Le courant qui part sur la ligne a donc une amplitude I+1 :

I+1

1/Zo Io 1/Zo + 1/R 1

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186

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Cette onde de courant i+1(x,t) = I+1U(t - x/u) commence à se réfléchir sur le court-circuit à l’instant τ. Le coefficient de réflexion pour le courant est de signe opposé à celui de la tension: ρ i = –ρ v = +1. L’onde réfléchie est donc i–1(x,t) = I+1U(t + x/u – 2τ). Si R1 = Zo, il n’y aura pas d’autres réflexions, sinon il y aura réflexions multiples d’amplitudes décroissantes. Comme dans le cas précédent, un diagramme en zigzag facilitera le calcul de la variation du courant en un point donné au cours du temps

EXERCICES Questions de revue 1. Donner la définition d'une ligne électrique. 2. Quelles sont les hypothèses qui permettent de dériver les équations de propagation du courant et de la tension sur les lignes électriques à partir de la théorie des réseaux électriques ? 3. À partir du modèle quadripolaire d'un élément de ligne électrique de longueur dx, trouver l'équation générale de propagation de la tension électrique sur la ligne. 4. Démontrer que l'équation de propagation de la tension sur une ligne sans perte est satisfaite par toute fonction de la forme v(x,t) = f(x ± vt) , une fonction d'onde, où v est la vitesse de propagation. Quelle est l'expression de cette dernière ? Quelle est la limite physique de v ? Dans quel cas est-elle atteinte ? 5. Trouver l'expression de l'impédance caractéristique d'une ligne sans perte en fonction des paramètres distribués. 6. Trouver l'expression de l'impédance caractéristique d'une ligne coaxiale supposée sans perte où le conducteur interne a un rayon a, et le conducteur externe un rayon interne b. 7. Trouver l'expression du coefficient de réflexion de la tension électrique à l'extrémité d'une ligne d'impédance caractéristique Zo terminée par une impédance Z1, les deux impédances étant réelles.

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6 Lignes électriques sans perte

187

8. Démontrer que l'expression du coefficient de transmission de tension électrique à la jonction de deux lignes d'impédances caractéristiques Zo1 et Zo2, pour des ondes allant de 1 vers 2 est:

T =

2 Z o2 Z o2 + Z o1

9. Démontrer que la relation entre les ondes de courant et de tension qui se propagent dans le sens négatif de x sur une ligne électrique sans perte est : v(x,t) = –Z o i(x,t) . 6.1

Fonctions d'onde Lesquelles parmi les fonctions suivantes peuvent décrire une onde de tension électrique v(x,t) se propageant sur une ligne ? A et B sont des constantes, x une coordonnée, u une vitesse et t un temps. Justifier ses réponses. a) v = A/ (x - ut)

b)

v = A/ (x – ut)2

c)

v = A sinh B(t – x/u)

d)

v = A cos2B(x + ut)

e)

v = A ln B(x + ut)

f)

v = A exp jB (x - ut)2

g) v = A f(x2 – ut) 6.2

Fonctions d'onde Si on applique à l'entrée d'une ligne électrique semi-infinie une tension de la forme :

v(t) = v(0, t) =

100 2 + 1016t 2 ,

déterminer la fonction qui décrit l'onde de tension qui se propage (la fonction d'onde), sachant que sa vitesse est de 2,5·108 m/s. Faire un graphique de la fonction d'onde en fonction de l'abscisse x aux instants t1 = 10 ns et t 2 = 20 ns. Rép.:

v(x,t) =

2 +

100 – 4·10 9 x)2

1016 (t

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188

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 6.3

Fonction d'onde On a une ligne sur laquelle les ondes de tension ou de courant se propagent à la vitesse u = 2,5·108 m/s. Si l'on applique à l'entrée une tension telle que dans le référentiel (0'x') lié à l'onde on ait:

v(x' ) =

50 2 1 + 0.2x'

volts ,

déterminer la fonction d'onde. On considère la ligne comme semi-infinie. Représenter cette fonction à l'instant t = 40 ns. Rép.:

50

v(x,t) =

8

2

volts

1 + 0,2(x - 2,5· 10 t) 6.4

Onde en échelon La source de tension électrique dans le système ci-contre est décrite par l'échelon v s t = 2 U t volts . Trouver l'expression de l'onde de courant qui part sur la ligne et celle de l'onde de tension réfléchie.

50 Ω +

Zo = 50 Ω u=c

vs(t) 0 6.5

Rt = 25 Ω x = 30 m

Onde sinusoïdale On applique à l'entrée d'une ligne bifilaire semi-infinie dans l'air, une tension de la forme

v(t) = 100 cos (4π·108 t) volts . a) Évaluer la pulsation, la fréquence et la période de l'excitation. Rép.: f = 200 MHz b) Déterminer la fonction d'onde. Rép.:

v(x,t) = 100 cos (4π·108t – 4.19x) volts

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6 Lignes électriques sans perte c)

189

Calculer la longueur d'onde. Rép.: 1.5 mètre

6.6

Calcul de paramètres linéiques Calculer les paramètres linéiques d'une ligne aux pertes négligeables dont l'impédance caractéristique est de 50 ohms, avec une vitesse de propagation des ondes de 200 000 km/s. Rép.: 100 pF/m, 250 nH/m...

6.7

Fonctions d'onde. Énergie On applique à l'entrée d'une ligne semi-infinie un échelon de tension v(t) = v(0,t) = 10 U(t) volts. Si l'impédance caractéristique est 50 ohms et la vitesse de propagation 200 000 km/s, a) Déterminer la fonction d'onde de tension électrique. Faire un graphique de la tension sur la ligne à t = 1 et 2 μ s. Dans une autre figure, représenter la tension en x = 2 et 5 mètres en fonction du temps. Rép.:

v (x,t) = 10 U(t – 5·10 9x) volts

b) Trouver la fonction d'onde de courant. c)

Écrire l'expression de la puissance P(x,t), et décrire la distribution d'énergie sur la ligne à t = 1 μs. Rép.:

P (x,t) = 2 U(t – 5·10 9 x) watts .

Distribution uniforme d'énergie sur 200 m de ligne, avec une densité de 10 nJ/m.

d) Démontrer que la densité d'énergie électrique sur la ligne est égale à la densité d'énergie magnétique. La densité d'énergie est l'énergie par unité de longueur de la ligne. 6.8

Onde de courant et onde de tension Considérer une ligne coaxiale RG-58C/U (Zo = 50 ohms, u = 2c /3) très longue à l’entrée de laquelle on applique une tension décrite par v(0, t) = 101 2 2t volts . Si on suppose les pertes négligeables, déterminer la fonction décrivant l’onde de courant sur la ligne, et faire le graphique de cette fonction à l’instant t = 1 μs.

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190

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 6.9

Fonctions d'onde. Puissance À l'extrémité x = 0 d'une ligne semi-infinie sans perte, d'impédance 50 ohms, on applique une tension caractéristique Zo = v (t) = 5 U(t ) – 5 U(t – 10 8 ) volts , où t est en secondes. a) Représenter cette fonction. La vitesse de propagation u = c, celle dans le vide. b) Déterminer la fonction d'onde de tension sur la ligne. Faire une figure. c)

Écrire la fonction d'onde de courant. Rép.:

i (x,t) = 0.1 U(t – 3.33· 10 9x) – 0.1 U(t – 3.33· 10 9x – 10 8) A

d) Établir l'expression de la puissance fournie par la source et celle de la puissance sur la ligne. Rép.:

PS = 0.5 U(t) – 0.5 U(t – 10 8) W P (x,t) = 0.5 U(t – x/v) – 0.5 U(t – x/v – 10 8 ) W

6.10

Décharge d’un condensateur dans une ligne La figure ci-contre représente un condensateur C chargé initialement à la tension Vo qui est relié à l’entrée d’une ligne RG-58C/U très longue par l’intermédiaire d’un interrupteur analogique K dont la résistance interne est négligeable à l’état «fermé», et extrêmement élevée à l’état «ouvert».

Vo

K

+

RG-58C/U Zo u

C x=0

a) Si l’interrupteur est fermé à l’instant t = 0, trouver l’expression complète de la tension sur la ligne en tout temps, c’est-à-dire la fonction d’onde. Exposer clairement la méthode et les hypothèses utilisées. b) Faire le graphique de la tension à l’entrée de la ligne en fonction du temps, ainsi que celui de la tension sur la ligne à l’instant 2τ, où τ est la constante de temps du système. Vous exprimerez celle-ci en fonction des paramètres donnés. c)

Quelle est l'expression de l'onde de courant ?

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6 Lignes électriques sans perte 6.11

191

Onde de courant et onde de tension Le système représenté ci-contre est formé d'une bobine d'inductance L sans résistance, parcourue par un courant initial Io et placée à l'entrée d'une ligne électrique très longue d'impédance caractéristique Zo. Le courant est fourni par une source de courant en parallèle avec une résistance R non nulle. Si l'interrupteur K s'ouvre à l'instant t = 0, décrire l'onde

t=0

A K

R

Io

L

Zo u

B de courant qui se propage sur la ligne. Application numérique: L = 1 μH 6.12

Z o = 50 ohms, u = 2c/3, Io = 1 A, R = 10 ohms,

Réflexions multiples Considérer la ligne sans pertes représentée ci-contre qui est initialement non chargée. a) Évaluer les coefficients de réflexion de tension et de courant aux deux extrémités. R: ρsv = –ρsi = –0,667 b) Écrire la fonction décrivant la première onde de tension partant de l'origine et celle de la première onde réfléchie au récepteur. Rép.: c)

9

V 1 x,t = 0,833 U t + 3,33· 10 x – 2·10

6

V

Quelle est l'expression générale de la ne onde de tension partant de la source?

15 Ω Z o = 75 Ω

+ 2V

8

v = 3·10 m/s 0

d = 300 m

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R

r =

225 Ω

192

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques n 1

n 1

ρr U [t – x/v Rép.: V n+(x,t) = ρ s que met une onde à parcourir la ligne.

– 2(n – 1)τ ] V où τ est le temps

d) Faire le graphique en zigzag de la tension sur la ligne jusqu'au temps t = 8t . e) 6.13

Faire le graphique de v(0,t) et de v(300,t) de t = 0 à t = 8τ.

Réflexions multiples. Lignes raccordées

2Z o1

+

t =0

A Z o1

Vo

Z o2 = 2Z o1

0

3Z o1

B

La ligne de transmission ci-dessus est formée de deux lignes sans perte d'égale longueur et d'impédances caractéristiques différentes raccordées en série. Le temps de propagation sur chaque section est le même. a) Évaluer les coefficients de réflexion de tension et de courant à chaque extrémité. b) Trouver les coefficients de réflexion et de transmission à la jonction des deux lignes pour les ondes : 1. allant de gauche à droite 2. allant de droite à gauche. Rép.: 6.14

ρ 11 = –ρ 22 = 1/3

ρ21 = 2/3

Mesure d’impulsions au laboratoire On réalise au laboratoire le dispositif illustré ci-dessous pour étudier la propagation des impulsions sur les lignes électriques; la deuxième ligne est ouverte en C. La tension vo(t) illustrée est mesurée à la sortie du générateur G avant de le raccorder à la ligne. La période de répétition T des impulsions rectangulaires est très supérieure aux temps de propagation sur les lignes. L’oscilloscope permet de voir et de mesurer la tension électrique v e (t) à l’entrée A de la première ligne, et l’impédance d’entrée de l’oscilloscope est de l’ordre de 10 MΩ.

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6 Lignes électriques sans perte

193

Déterminer la tension qu’on doit voir et mesurer à l’oscilloscope dans un intervalle d’environ 500 ns. Décrire clairement les étapes du raisonnement et les calculs. Faire un graphique à l’échelle. Oscilloscope A

RG-58C/U

B

RG-59/U

C

G

vo(t) 4

20 ns

(volts)

0

6.15

Zo2 = 75 ohms u 2 = 2c/3 a2 = 15 m

Zo1 = 50 ohms u 1 = 2c/3 a1 = 10 m

Rg = 50 ohms

t

T

Trois lignes raccordées - Réflexions multiples Une ligne téléphonique en deux parties 1 et 2 de même longueur a, est reliée à une source de tension en échelon v s (t) = V o U(t). Une ligne 3 de même longueur a, mais d’impédance caractéristique double (2Zo) est branchée au point milieu B. La ligne 3 étant terminée par une résistance de valeur Z o, déterminer la tension en C en fonction du temps (graphique) jusqu’à l’arrivée du premier écho (t = 5τ+), utilisant particulièrement un diagramme en zigzag. Bien décrire les différentes étapes de la solution.

Zs= Zo

B

1

A

2

Zo u a

C

Zo u a

vs(t)

u 2Zo a Zo

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3

Zr = Zo

194

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 6.16

Adaptation d'impédances On raccorde une première ligne de transmission sans perte, d'impédance caractéristique Zo1 à une deuxième d'impédance Zo2 par l'intermédiaire d'un adaptateur d'impédance formé de deux résistances R 1 et R 2 comme illustré. Notons que R 1 se place du côté de la ligne d'impédance la plus élevée. L'excitation v s appliquée à l'origine est de la forme: v s (t) = V s U(t) volts , où U(t) est la fonction échelon unité. a) Évaluer les résistances lignes.

R 1 et R 2 qui réalisent l'adaptation des deux

Rép.: 86,60 et 43,30 ohms. b) Démontrer que l'adaptateur produit une atténuation de 5,71 décibels (dB) de la puissance d'une onde incidente d'un côté ou de l'autre. c)

Faire le graphique en zigzag de la tension sur les lignes.

d) Faire le graphique de la tension aux bornes AB de la source en fonction du temps, ainsi que celui de la tension à l'extrémité ouverte, directement sous le premier. A

Rs +

vs

R1

Zo1 B

x =0

u1

x = d1 = 75 ohms

R s = Zo1 d1 = 80 m u2 = 1.25 u1

6.17

Zo2 < Zo1

R2

u2 x = d2 u1 = 2·108 m/s d2 = 125 mètres Zo2 = 50 ohms

Lignes multiples La ligne sans perte 1 est raccordée de la façon illustrée à deux autres lignes d'inégale longueur et de même impédance caractéristique. Déterminer la tension à l'entrée AB dans l'intervalle 0 < t < 6 τ.

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6 Lignes électriques sans perte

195

Suggestion : Considérer trois diagrammes en zigzag côte à côte. 2 1

A

200 Ω

Zo u

Zo/2

Zo = 50 Ω

+

vs

u B

Zo u

x =0

τ1 = τ2 = 0.75τ3 6.18

100 Ω

3

Récepteurs réactifs Décrire de façon qualitative, avec des figures, la réflexion d'une onde de tension électrique sur une ligne, une impulsion par exemple, par : a) Un récepteur purement capacitif de capacité électrique C. b) Un récepteur purement inductif d’inductance L. c)

Un récepteur formé d'un condensateur C en parallèle avec une résistance R.

d) Un récepteur formé d'une condensateur C en série avec une résistance R. e)

Un récepteur formé d'une inductance L en série avec une résistance R.

f)

Discuter de la technique appelée réflectométrie à partir des analyses précédentes.

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196

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 6.19

Ligne avec condensateur Un condensateur initialement déchargé de capacité C se trouve en parallèle sur une ligne comme illustré ci-dessous qui relie deux appareils: v(0,0) = 0. Si une onde de tension en échelon v(x,t) = V o U(t - x/u) venant de la gauche arrive en 0 à t = 0, décrire qualitativement et graphiquement la tension sur la ligne au voisinage du condensateur à t > 0.

Vo

Zo

6.20

u

0

C

u

Zo

u

Ligne avec courant initial L'interrupteur K à l'entrée de la ligne illustrée ci-dessous est fermé depuis longtemps, de sorte qu'un courant continu a pu s'établir. Si la ligne est supposée sans pertes : a) Décrire ce qui se passe après l'ouverture de K à t = 0 . b) Faire un graphique de la tension en fonction du temps en x = 0. c)

Faire un graphique du courant en fonction du temps en x = 200 km.

t =0

+ 100 kV

K

Zo = 300 Ω u = c

50 Ω x = 200 km

Cette analyse illustre le phénomène important qui se produit à l’ouverture du disjoncteur d’une ligne à haute tension.

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6 Lignes électriques sans perte 6.21

197

Ligne initialement chargée • Générateur d'impulsions Analysez le générateur d'impulsions courtes représenté dans la figure cicontre. Il représente une ligne de longueur a qui est continuellement chargée par une source de tension Vs à travers une résistance R2 qui est très grande par rapport à la résistance de charge R1 et à l'impédance caractéristique Zo. K est un interrupteur électronique (analogique) qui présente une résistance négligeable quand il est fermé et une résistance quasi-infinie à l'état ouvert.

Vs = +10 V

R2 = 100 kΩ K

R1 =

A

50 Ω

B

Zo = 50 Ω u = 2c/3 a =2m

Les temps de fermeture et d'ouverture de K sont égaux et sa période cyclique est T. La capacité linéique de la ligne est C = 100 pF/m. Discutez des avantages et des inconvénients d'un tel générateur d'impulsions courtes. Proposez des améliorations si vous en voyez. 6.22

Ligne avec courant initial • Générateur d'impulsions Le système illustré ci-dessous est formé d'une ligne électrique terminée à chaque extrémité par une résistance égale au double de son impédance caractéristique. Une source de tension de résistance interne égale à Zo est reliée depuis longtemps à la ligne. L'interrupteur K est ouvert à t = 0.

K

Zo Vs

+

2Zo

Zo u

2Zo

α≈0

x=0

x=a

a) Trouver l'expression du courant initial fourni par la source Iso et celle du courant initial circulant sur la ligne Io. b) Faire un diagramme en zigzag de la tension sur la ligne en y inscrivant les valeurs en fonction de Vs. On aura évalué les coefficients de réflexion. c)

Faire la graphique de la tension à l'entrée dans un intervalle de 6T.

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7 Lignes semi-infinies avec pertes Régime harmonique

Nous considérons ici les lignes de longueur infinie avec une entrée où se raccorde une source : on les appelle lignes semi-infinies pour cette raison. L’étude est faite en régime harmonique pour des lignes ayant des pertes, c'est-à-dire dont la résistance linéique et la conductance linéique ne sont pas nulles.

7.1

Équation d'onde - Amplitude complexe Nous avons vu plus haut que l'équation générale décrivant la tension sur une ligne était de la forme suivante :

∂2v ∂x 2

R G v + ( RC + L G)

∂v ∂ 2v + LC ∂t ∂t 2

(7.1.1)

Or, nous savons qu'en régime harmonique, à la fréquence f = ω /2π, la tension v peut être considérée comme la partie réelle d'une fonction exponentielle complexe, en vertu du théorème d'Euler :

v (x,t)

Ré v (x,t)

Ré V (x) ejω t

Ré V (x) ej(ω t

+ φ)

(7.1.2)

où V(x) est l’amplitude complexe de l’onde en fonction de x. Remplaçons v (x,t) V (x) ejω t . Alors : dans (7.1.1) par la fonction complexe v (x,t) 2

d V ejω t = R G V ejω t + j ω RC + L G V ejω t – ω 2 LC V ejw t (7.1.3) dx 2 divisant les deux membres par ejω t et regroupant :

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d 2V dx 2

ω 2 LC + j ω RC + L G V

RG

(7.1.4)

Ou encore : 2

dV dx 2 Pour simplifier, posons

R + jω L G + jω C V

γ

R + jω L G + jω C

(7.1.5)

(7.1.6)

C'est la fonction de propagation complexe. On voit qu’elle dépend de la fréquence. Définissons :

R + j ω L, l'impédance linéique de la ligne.

Z et

Y

G + j ω C, l'admittance linéique de la ligne.

(7.1.7) (7.1.8)

Alors :

γ

ZY

(7.1.9)

Puis : 2

d V 2 dx

2

γ V

0

(7.1.10)

C'est l'équation de propagation de l'amplitude complexe de la tension électrique.

Autre approche En régime harmonique, un élément de ligne peut se représenter comme dans la figure 7.1.1(a) ou (b). Il est alors facile d'en tirer cette dernière équation de propagation. En effet, d'après cette figure, dV = – Z I dx

(7.1.11)

dI = – Y V dx

(7.1.12)

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I

R dx

jωL dx

I + dI

I

Z dx

I + dI -dI

jωC dx

V

G dx V + dV

V

(a)

Y dx

V + dV

(b)

Figure 7.1.1 Élément de ligne en régime harmonique

D'où :

dV dx dI dx

ZI

(7.1.13)

YV

(7.1.14)

d2 V dx 2

Dérivons (7.1.13) par rapport à x :

Z dI dx

En portant (7.1.14) dans cette dernière, on obtient :

d2 V dx 2

7.2

γ2 V

ZYV

(7.1.15)

Fonctions d'onde - Atténuation Cette dernière équation est de la forme rencontrée précédemment dans le cas des ondes planes sauf pour le signe. Elle peut donc avoir une solution de la même forme :

V (x)

V+ e

γx

+ V - e+γ x

(7.2.1)

ce qui se vérifie facilement par substitution. Cette fonction décrit les amplitudes complexes de deux ondes : une dans le sens positif de x, l’autre dans le sens négatif. Les constantes V+ et V- sont des grandeurs complexes de façon générale, les amplitudes complexes à l’origine (phaseurs) :

V+

V+ e

jφ +

et

V-

V -e

jφ –

.

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7 Lignes semi-infinies avec pertes

201

Comme γ est complexe, on peut poser :

γ = α + jk

1

(7.2.2)

où α est le coefficient d’atténuation de la ligne ; k est la constante de p h a s e . Notons que γ est une grandeur semblable à la fonction de propagation complexe k vue dans le cas des ondes planes se propageant dans un milieu avec pertes2. L'expression (7.2.1) devient alors :

V (x)

V+ e

α x ej( kx + φ +)

+ V - e+α xej(kx

+φ)

(7.2.3)

Chaque terme du second membre représente une amplitude complexe fonction de x. Les constantes V + et V – sont les amplitudes complexes à l’origine (x = 0) : on écrit également V+ (0) et V (0), ou encore Vo+ et Vo– pour éviter toute confusion. On obtient l'expression de la fonction d'onde complexe, une fonction de x et t, en multipliant cette dernière par ej ω t , d’après la relation (7.1.4) :

v (x,t)

V o+ e

α x j(ω t kx + φ+)

e

+ V o e+α xej(ω t

+ kx + φ )

(7.2.4)

Puis, sous forme réelle :

v (x,t) = V o+ e

αx

+α x cos (ω t – kx + φ+) + V o e cos (ω t + kx + φ )

(7.2.5)

Nous reconnaissons la somme ou la superposition d'une onde qui se propage dans le sens positif de X et d'une autre dans le sens négatif (2e terme). Les phases initiales à l’origine φ+ et φ − dépendent du choix du référentiel et des conditions particulières du problème à traiter.

Vitesse de phase On sait déjà que la vitesse de propagation ou vitesse de phase de cette onde u (ou

u p) est donnée par : u

1

Au lieu du symbole k, on utilise aussi souvent la lettre grecque β.

2

On peut vérifier facilement que jk = γ.

ω k

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(7.2.6)

202

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Onde dans le sens positif Examinons l’amplitude complexe d’une onde sinusoïdale qui se propage dans le sens positif. C’est le premier terme de l’expression (7.2.3) :

V +(x)

V +(0) e

α x ej( kx + φ +)

(7.2.7)

On voit que son module diminue exponentiellement avec x : V +(0) e αx . On sait déjà que k = 2π /λ. Donc, à chaque fois que x augmente d’une longueur d’onde λ, le phaseur tourne de 2π radians dans le plan complexe et dans le sens négatif. Son module diminue à cause de l’atténuation. La figure 7.2.1 illustre ce fait à l’instant t = 0, montrant que φ + est la phase initiale de la vibration : c’est la représentation du phaseur V à un instant donné en différents points de l’axe X espacés d’un quart de longueur d’onde. La pulsation ω est la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel ou phaseur en un point donné. Rappelons que :

k

2π/λ

λf

u

f

ω

1/T

2πf

k

ω/u (7.2.8)

où u est la vitesse de phase de l’onde, T est la période de la vibration. PLAN COMPLEXE

ω

V+(x)

φ+

0

ω

ω

φ

− kz λ/4

λ/2

− kz + φ+

3λ/4

1

λ

V+(x)

X

5λ/4

Figure 7.2.1 Variation de l’amplitude complexe de la tension avec x

La tension électrique réelle sur la ligne à l’instant t est donnée par la fonction d’onde

v + (x,t)

V +(0) e

α x cos

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(ω t

kx + φ+)

(7.2.9)

7 Lignes semi-infinies avec pertes

203

laquelle est représentée à la figure 7.2.2 pour des valeurs quelconques de t, α, ω, k et φ+.

Népers et décibels Il est pratique de mesurer le rapport de deux grandeurs au moyen du logarithme de ce rapport. On obtient alors des nombres moins élevés d’une part, et cela simplifie certaines opérations comme le calcul du gain d’une chaîne d’appareils. Considérons deux valeurs A 1 et A 2 d’une certaine grandeur A. Cela peut être, par exemple, l’amplitude d’une onde de tension électrique en deux points d’une ligne. Le rapport en népers (Np)3 de A2 à A1 est défini comme :

ln A 2 A1

rNp

(7.2.10)

de sorte que :

A 1 erNp

A2

ou

A1

A 2 e-rNp

(7.2.11)

Si A2 < A1, rNp est négatif.

v(x,t) Amplitude de la tension (unités arbitraire)

1

Enveloppe supérieure

v

t + Δt

0

x t

Enveloppe inférieure λ

1

Figure 7.2.2 Onde atténuée dans le sens positif de x

3

D’après John NAPIER ou NEPER, mathématicien écossais (1550 - 1617) qui inventa les logarithmes dits népériens qui trouvèrent une application immédiate dans divers calculs, particulièrement en astronomie.

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204

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Nous avons vu plus haut que l’amplitude d’une onde qui se propage dans un milieu avec pertes décroît exponentiellement : V (x) V o e -α x . On voit ainsi que -αx est le rapport en népers de V(x)/Vo , x étant la distance entre l’origine et un certain point sur la ligne. C’est pourquoi le coefficient d’atténuation α se mesure en Np/m. D’autre part le rapport A 2/A1 de deux tensions ou de deux courant électriques (ou de deux valeurs de champ électrique, etc.) en décibel (dB) 4 , est défini au moyen du logarithme décimal :

rdB d’où :

A2

20 log1 0

A2 A1

(7.2.12)

A 1 10rdB/20

Le rapport de deux puissances P2/P1 en décibels est alors défini comme

rdB

suit :

10 log1 0

P2 P1

(7.2.13)

On obtient facilement la correspondance entre décibels et népers en portant la relation (7.2.11) dans (7.2.12) :

r dB

20 log1 0 e r Np

20rNp log1 0e

rdB

7.3

8,686 r Np

(7.2.14)

Analyse de la fonction γ Ligne sans perte Dans ce cas, R = 0, G = 0, et 7.1.6) se réduit à :

γ

4

γ

j ω LC

(R + j ω L) (G + j ω C) jω u

jk

(Équation

(7.3.1)

1 décibel (dB) = 0,1 bel (B), cette dernière unité, le bel, qui n’est pas utilisée, est nommée d’après Alexander Graham BELL (1847 - 1922), l’inventeur du téléphone.

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7 Lignes semi-infinies avec pertes

205

Mais une ligne vraiment sans perte n’existe pas. Toutefois, dans le cas de lignes relativement courtes, on peut souvent faire cette approximation.

Ligne avec pertes En général, on calcule la fonction de propagation γ à partir de son expression exacte (7.1.6) :

γ

(R + j ω L) (G + j ω C)

(7.1.6)

Sa partie réelle est le coefficient d'atténuation α et sa partie imaginaire donne la constante de phase k. C'est un calcul facile à faire avec toute calculatrice scientifique ou ordinateur.

Fréquence de transition La fréquence de transition f t est celle à laquelle R = ω tL : f t = ωt/2π. D’autre part, en pratique, la conductance linéique G est généralement négligeable devant jωC, sauf aux très hautes fréquences. Pour une ligne donnée, on peut dire que le domaine des «hautes fréquences» commence vers 10ft. Exemple 7.3.1

Fonction γ et vitesse de phase

Considérons un câble coaxial RG-58C/U (voir tableau 6.4.1 et annexe) utilisé dans l’intervalle de fréquence allant de 100 Hz à 100 kHz. En pratique, la résistance linéique change sensiblement dans cet intervalle, mais nous supposerons pour le moment une valeur constante de 0,04 ohms/m. On connaît la capacité linéique : C = 92,4 pF/m. La conductance linéique est essentiellement nulle. On tire l’inductance linéique de l’expression de l’impédance caractéristique à haute fréquence, Z o = L/C :

L = Zo2C = 53 2 × 92,4· 10 12 = 260 nH/m On porte ces valeurs de paramètres dans l’expression de γ (7.1.6) pour l’évaluer. On peut calculer la fréquence de transition :

ft =

ωt = R = 24,5 kHz 2π 2πL

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206

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques On remarque la variation considérable de la vitesse de phase dans cet intervalle : c’est un milieu dispersif. Les conséquences sont importantes en téléphonie : distorsion de phase.

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7 Lignes semi-infinies avec pertes

207

10-8 u [m/s]

Vitesse de phase 2 1 0 102

104 103 Fréquence [Hz]

d)

105

Figure 7.3.1 Fonction de propagation et vitesse de phase

Approximations Approximations utiles en hautes fréquences Les pertes en cours de propagation le long d’une ligne sont causés par les paramètres linéiques R et G . Or ceux-ci dépendent de la fréquence en pratique : on ne peut généralement pas les considérer comme constants, sauf dans un intervalle de fréquence limité. Il importe d’examiner comment varient les paramètres linéiques avec la fréquence. Trouvons premièrement quelques approximations utiles de γ en fonction des paramètres R, L, G et C. Vu que γ = α + jk, il s’ensuit que α et k sont fonctions de la fréquence et des paramètres répartis. Pour obtenir ces deux grandeurs, on doit calculer γ et en tirer ses parties réelle et imaginaire. Il est intéressant de considérer une approximation qu’on peut faire quand f > 2ft. Dans l’expression (7.1.6), après avoir mis en facteurs jωL et jωC sous le radical, on obtient :

γ = jω LC 1 + R 1 + G jω L jω C

1/2

=

jω LC 1 + R + G – RG jω L jω C ω 2LC

D’après la formule du binôme de Newton :

(1 ± x)n = 1 ± nx +

n(n - 1) 2 x ± ... , 2!

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1/2

(7.3.2)

208

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques en posant

x = 1 R + G – RG jω L C ω 2LC

qui est > ωt)

D’où on tire des expressions approximatives de α et k . La précision est supérieure à 0,5 % en négligeant les termes d’ordre supérieur à 2, pour

f ≥ 2f t :

α

≈

LC R + G 1 + 1 RG 2 ω 2LC 2 L C

k ≈ ω LC 1 +

1 R – G C 8ω 2 L

2

(7.3.3)

( ω ≥ 2ω t )

(7.3.4)

Cette dernière expression montre particulièrement qu’à haute fréquence, la constante de phase k tend vers sa valeur sur une ligne sans perte ω LC . À haute fréquence (2ft < f ), le coefficient d’atténuation tend vers la valeur :

α

LC R + G 2 L C

≈

(ω >> ωt)

(7.3.5)

Or, on vérifie qu’en pratique R/L >> G/C dans une gamme étendue de fréquences comprises approximativement entre 2ft et 10 000f t, dans le cas de bons diélectriques comme le polyéthylène, de sorte que :

α

≈ R 2

C L

≈

R ≈ R 2Z o 2 L/C

2ft < f < 10 000ft (7.3.6)

On peut souligner l’analogie entre cette expression et celle du coefficient d’atténuation d’une onde plane dans un diélectrique à faibles pertes vue précédemment :

α =

σ' η , où σ' et η sont respectivement la conductivité 2

effective et l’impédance caractéristique du diélectrique. Comme k = ω /u , on obtient une expression approximative de la vitesse de phase u en haute fréquence à partir de l’équation 7.9.4 :

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1

u ≈

LC 1 + 1 2 R 8ω L

G C

2

(ω > 2ωt)

209 (7.3.7)

En pratique, pour les lignes courantes, G/C 2ωt)

(7.3.8)

Ce résultat est comparé celui de la formule exacte (supposant R, L, G et C constants) dans la figure 7.3.2, avec les données de l’exemple précédent. À des fréquences relativement élevées, la vitesse de phase tend vers une limite essentiellement déterminée par la capacité et l’inductance distribuées, indépendante des pertes :

u ≈

108 u [m/s]

2.5

1 LC

ω ≥ 2ωt

(7.3.9)

Vitesse de phase

2 1.5 Exact

1

Approximatif

0.5 0 102

103

104 Fréquence [Hz]

Figure 7.3.2 Comparaison des calculs exact et approximatif de u. (voir exemple 7.3.1)

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105

210

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Approximations utiles en basses fréquences Mettons en facteurs R et G dans l’expression

γ = RG 1 +

jω L R

1/2

1 +

jω C G

γ =

(R + jω L) (G + jω C) :

1/2

En développant par le binôme de Newton et en retenant seulement les termes d’ordre 1 et 2, on obtient l’approximation suivante : 2 γ ≈ RG 1 + ω L – C 8 R G

2

2 + j ω L + C 1 + ω LC 2 R G 8 RG

(7.3.10)

D’où les expressions approximatives du coefficient d’atténuation et de la vitesse de phase : 2 2 α ≈ RG 1 + ω L – C 8 R G 2 u ≈ 2 RG L + C 1 + ω LC 8 RG R G

ω < ωt/5 ω < ωt/5

(7.3.11)

(7.3.12)

Quand la fréquence tend vers zéro, considérant qu’en pratique C/G >> L/R, les limites sont :

α ≈ RG u ≈ 2 C

G R

(7.3.13) (7.3.14)

C’est un résultat remarquable en ce sens que l’atténuation et la vitesse de phase tendent vers zéro quand la conductance linéique G s’annule ! Mais il faut remarquer que la conductance linéique G est une grandeur qui fluctue beaucoup en pratique, car elle dépend particulièrement de la température et de l’humidité ambiante. L’atténuation et la vitesse de phase aux très basses fréquences sont donc mal définies. Mais cela n’a pas d’importance en pratique dans les systèmes de communication modernes où on utilise des signaux à hautes fréquences.

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7.4

211

Paramètres linéiques Effet de la fréquence Résistance linéique Conducteur cylindrique La résistance linéique dépend de la fréquence à cause de l’effet pelliculaire : le courant est repoussé vers la surface des conducteurs à mesure que la fréquence augmente. Donc, la section de passage du courant diminue, d’où l’augmentation de la résistance. La figure 7.4.1 ci-contre représente une portion de conducteur cylindrique de rayon a parcouru par un courant alternatif de fréquence f perpendiculaire au plan de la figure. L’étude de l’effet pelliculaire a permis de démontrer que la pénétration du courant et du champ électromagnétique à la surface d’un conducteur est la grandeur δ définie comme :

2 ωσμ

δ = où σ et μ sont respectivement la conductivité électrique et la perméabilité magnétique du conducteur. Dans le cas où le rayon de courbure a du conducteur est grand devant δ, on démontre que la densité de courant J varie exponentiellement avec la profondeur p à partir de la surface :

(7.4.1)

δ p

Figure 7.4.1

J(p)

JS e-p/ δ

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(7.4.2)

212

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques À la profondeur p = δ ,

J(δ)

JS e-1 ≈ 0,368 JS . Rappelons que les modules du

champ électrique E et du champ magnétique H varient de la même façon avec la profondeur p. On démontre également que si δ > a, voir fig. 7.4.3), l'inductance interne linéique à très basses fréquences est donnée par :

Li =

μ 8π

-1 [H m ]

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(7.4.13)

216

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques On démontre aussi que l'inductance linéique externe est donnée par :

Le

μ μ cosh -1d ≈ ln 2d a a π π

[H/m]

si d >> a

À hautes fréquences, l'inductance interne devient négligeable devant Le, de sorte que l'inductance linéique se réduit à :

μ ln 2d a π

L ≈

[H/m]

si d >> a

(7.4.14a)

On démontre aussi que :

cosh -1d a

ln K

K

avec

d a

1

(a/d)

On en tire une expression valide pour tout rapport de d / a à hautes fréquences :

μ ln K π

L

[H/m]

exactement

(7.4.14b)

Capacité linéique Ligne coaxiale Considérons le cas de la ligne coaxiale (fig. 7.4.2). La capacité linéique à haute fréquence est donnée par la même expression qu’en courant continu :

C

2πε' ln (b/a)

F/m

(7.4.15)

où la permittivité ε ' du diélectrique est pratiquement indépendante de la fréquence pour les diélectriques utilisés couramment.

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217

Ligne bifilaire Pour une ligne bifilaire (fig. 7.4.3), la capacité linéique est celle démontrée en électrostatique :

C

πε' -1 cosh (d/a)

πε' ≈ πε' ln K ln(2 d/a)

[F/m] (7.4.16)

L’approximation est valide si d >> a.

Conductance linéique En régime sinusoïdal, le diélectrique est caractérisé par sa conductivité effective :

σe = σ + ω ε"

(7.4.17)

où ε” est la partie imaginaire de la permittivité complexe : ε = ε’ - jε”. Elle est reliée aux pertes par hystérésis dans le diélectrique. En pratique, la conductivité σ du diélectrique est négligeable devant ω ε" , de sorte que σe ≈ ω ε" . Dans ce cas, le facteur de pertes FP ≈ tg δ p = σe/ω ε' ≈ ε”/ε’ 7. δp est l’angle de pertes ici. Il s’ensuit que la conductivité effective peut s’écrire comme suit :

σe ≈ ω ε' tg δp Or, on sait qu’il existe la relation fondamentale suivante entre la capacité d’un système de deux conducteurs et la conductance entre ces deux mêmes conducteurs quand le diélectrique de permittivité ε’ est remplacé par un milieu conducteur de conductivité σe : G/C = σe/ε’

6

Ne pas confondre ici la pénétration du courant δ avec l’angle de pertes δp.

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218

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Pour une ligne coaxiale, on a par conséquent :

2πσe = 2πωε' tg δp ln (b/a) ln (b/a)

G

Mais, vu que la capacité a comme expression

C

(7.4.18)

2πε' ln ( b/a)

, on a

finalement :

ω C tg δp

G

(7.4.19)

Atténuation en fonction de la fréquence À la section 7.3, on a vu que le coefficient d’atténuation des ondes sur une ligne électrique avait une expression particulièrement simple en pratique quand la fréquence est très supérieure à la fréquence de transition ft (équation 7.3.6) :

α≈ R 2Zo

(7.4.20)

Dans la section suivante, il est démontré que l’impédance caractéristique Zo se réduit à celle d’une ligne sans pertes dans ce cas : elle est résistive et constante. D’autre part, la résistance linéique R à haute fréquence (faible pénétration ) est donnée par les expressions 7.4.5 et 7.4.7 pour une ligne coaxiale et une ligne bifilaire respectivement. Dans ces expressions, seule la fréquence f est variable. On peut donc écrire :

et

πμ R ≈ 1 + a/b σ f ≈ A f 2π a πμ R ≈ 1 σ f ≈ B f πa

(cable coaxial)

(7.4.21)

(ligne bifilaire)

(7.4.22)

Le coefficient d’atténuation d’une ligne coaxiale peut donc s’écrire comme suit :

α ≈ A f ≈ A' f 2Zo

(7.4.23)

Et celui d’une ligne bifilaire :

α ≈ B f ≈ B' f 2Zo

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(7.4.24)

7 Lignes semi-infinies avec pertes

219

Cette loi simple permet de calculer l’atténuation à toute fréquence élevée connaissant sa valeur α o à une fréquence de référence fo. En effet, pour le câble coaxial à cette dernière fréquence :

αo ≈ A' fo Divisons l’expression 7.4.23 par cette dernière :

A' f α α o ≈ A' fo =

f fo

D’où, finalement la loi très simple :

α ≈ αo f/fo (7.4.25) De même pour la ligne bifilaire ou toute autre ligne électrique. En général, l’effet de la conductance linéique est faible devant celui de la résistance linéique, de sorte qu’il est négligé le plus souvent. Exemple 7.4.2

Calcul d'atténuation

Si le fabricant du câble RG-58/U donne la valeur de 92,4 pF/m pour la capacité linéique (annexe A), on peut déduire la permittivité relative ε' r = ε'/ εo du diélectrique :

ε' r =

92,4 ⋅ 10 12 × ln (1,475/0,407) C ln (b/a) = 2πεo 2π × 8,854 ⋅ 10 12

= 2,139

ce qui correspond bien à la valeur connue pour le diélectrique utilisé, le polyéthylène. On sait que le facteur de pertes du polyéthylène est d’environ 0,0005 sur une très grande étendue de fréquence jusqu’aux gigahertz. L’expression (7.4.19) nous fournit une valeur de la conductance linéique à 1 MHz :

G

= ω C tg δp = 2π × 106 × 92,4 ⋅ 10 12 × 0,0005 = 2,903 ⋅ 10 7 S/m

On a calculé plus haut qu’à 1 MHz, R = 0,131 ohm/m, L = 260 nH/m et C = 92,4 pF/m. Calculons le coefficient d’atténuation au moyen de l’expression 7.3.3. Auparavant, évaluons R/L et G/C :

R = 5,038 ⋅ 105 L

G = 3,142 ⋅ 103 C

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220

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Alors,

α

α

=

2,60 ⋅ 10 7 × 92,4 ⋅ 10 12 × 5,038 ⋅ 105 + 3,142 ⋅ 103 2

= 1,242 ⋅ 10 3 Np/m

si on néglige G/C devant R/L, on calcule α = 1,235 ⋅ 10 3 Np/m , soit une différence d’environ 0,6% seulement. L’expression approximative (7.3.6) peut donc s’appliquer dans le cas présent

7.5

Impédance caractéristique D’après l’équation (7.2.16), l’amplitude complexe de l’onde de tension dans le sens positif de z est V +(x) V + e γ x . On obtient l’expression de l’amplitude complexe du courant en portant cette dernière expression dans l’équation 7.1.13 qui relie la tension et le courant :

I+(x)

γ V+ e Z

1 dV + Z dx

γx

Y V e + Z

γx

I+ e

γx

(7.5.1)

Ou encore :

I+(x)

Y V (x) + Z

(7.5.2)

En inversant :

Z I (x) + Y

V +(x)

Zo I+(x)

(7.5.3)

Ceci définit l’impédance caractéristique Zo de la ligne :

Zo

Z Y

R + j ωL G + j ωC

(7.5.4)

On voit que cette grandeur complexe dépend des paramètres linéiques ainsi que de la pulsation de l’onde. Elle varie de façon importante au voisinage de la fréquence de transition f t . C’est le cas des lignes téléphoniques fonctionnant aux fréquences inférieures à 20 kHz, ce qui pose des problèmes importants sur de grandes distances.

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221

Cas des hautes fréquences À des fréquences très supérieures à la fréquence de transition ft (celle à laquelle R = ωtL), l’impédance caractéristique devient indépendante de la fréquence. Dans ces conditions, elle tend vers la valeur des lignes sans pertes :

Zo ≈

L C

(f >> f t)

(7.5.5)

Cas des basses fréquences Quand la fréquence est très inférieure à la fréquence de transitions :

Zo ≈ Exemple 7.5.1

R G

(f > a

(7.6.4)

ou

Zo ≈ 1 π

μ ln 2d a ε

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224

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Exemple 7.6.1

Calcul de paramètres divers

Soit une ligne coaxiale de type RG-58/U comme dans l’exemple précédent. D’après la fiche technique d’un fabricant (Amphenol), a = 0,406 mm, b = 1,505 mm (fig. 7.6.1), εr = 2,20 (polyéthylène). Au moyen de l’expression (7.6.2), on peut vérifier que son impédance caractéristique à haute fréquence (f >> ft) est bien voisine de 53 ohms :

Zo =

1 2π

4π⋅ 10 7 2,2 × 8,854⋅ 10 12

ln (1,505/0,406) = 53,0 ohms

Le fabricant donne la capacité linéique C = 93,5 pF/m et précise que la vitesse de propagation des ondes sur ce câble est de 65,9 % de celle de la lumière dans le vide (≈ 3·108 m/s). Donc, u = 1,977·108 m/s. Au moyen de la relation (6.4.10), on peut calculer l’inductance linéique :

L = Zuo

=

53,0 1,977⋅ 108

= 268,1 nH/m

À partir de l’expression (7.6.1), on doit donc trouver une valeur voisine, sinon exactement égale :

L ≈ Lext ≈

4π⋅ 10 7 1,505 ln 0,406 2π

= 262,0 nH/m

La fréquence de transition est une fréquence relativement basse. Pour la calculer, il nous faut trouver une valeur approximative de la résistance linéique : on prendra la valeur en courant continu calculée dans l’exemple 7.4.1 :

R o = 3,944 ⋅ 10

2

ohm/m . Alors :

3,944⋅10 2 ft = ωt = R = ≈ 23 kHz 2πL 2π 2π × 268,1⋅10 9 On calcule aussi qu’à cette fréquence, la valeur de δ est d’environ 0,43 mm, soit comparable au rayon du conducteur central. L’effet pelliculaire est alors effectivement peu important dans un câble ayant ces dimensions.

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7 Lignes semi-infinies avec pertes Exemple 7.6.2

225

Détermination de fonctions d'ondes

Considérons une ligne semi-infinie (figure ci-dessous) supposée sans perte, à l’entrée de laquelle est raccordée une source de tension décrite par :

v s (t) = 10 sin(108 t) U(t) volts où U(t) est la fonction échelon unité. À t = 0, une onde de tension sinusoïdale commence donc à se propager sur la ligne avec une vitesse u qu’on supposera égale à 2 ·108 m/s. Dans la figure ci-dessous, on voit la tension sur la ligne quand le front d’onde A a franchi la distance ut.

v(t) x

0 L = Zuo

=

53,0 1,977⋅ 108

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= 268,1 nH/m

V 10

λ

u A

0

X

-10

ut Figure 7.6.3

Supposons qu’il s’agisse d’un câble RG-58C/U. Son impédance caractéristique étant de 50 ohms, l’amplitude de l’onde de courant sera Im = Vm/Zo = 10/50 = 0,2 ampères. Faisant l’hypothèse que les pertes sont négligeables, la fonction d’onde du courant est donc :

i+(x,t) = 0,2 sin 108 (t - x/u) U(t - x/u) ampères C’est une onde qui est de forme identique à celle de la tension et en phase avec celle-ci, car l’impédance caractéristique est réelle ici. Exemple 7.6.3

Calculs à la fréquence de transition

Calculons l’impédance caractéristique du câble RG-58/U à la fréquence de transition ft = 23,45 kHz (exemple 7.6.1) au moyen de l’expression (7.5.4). On utilisera R ≈ R o = 3,95 ⋅ 10 2 ohm/m , L = 268,1 nH/m, C = 93,5 pF/m et la valeur de G calculée à cette fréquence avec un facteur de pertes de 0,005 :

G

= 2π × 23,45 103 × 93,5⋅ 10 12 × 0,005 = 6,89 ⋅ 10 8 S/m

Zo =

Zo =

R + jωL = G + jωC

3,95 ⋅ 10 2 + j2π × 23,45 ⋅ 103 × 268,1 ⋅ 10 9 6,89 ⋅ 10 8 + j2π × 23,45 ⋅ 103 × 93,5 ⋅ 10 12

3,95 ⋅ 10 2 + j3,95⋅ 10 2 6,89 ⋅ 10 8 + j1,378⋅ 10 5

1/2

=

5,586 ⋅ 10 2∠45° 1,378 ⋅ 10 5∠89,71 °

Zo = 63,7 ∠-22,36° = 58,9 – j24,2 ohms

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1/2

1/2

7 Lignes semi-infinies avec pertes

227

On voit que l’impédance caractéristique a un module supérieur à 53 ohms et qu’elle est capacitive. En fait, celle-ci est toujours capacitive pour les lignes courantes. On constate aussi que la conductance linéique joue un rôle négligeable, particulièrement à haute fréquence : c’est pratiquement toujours le cas. Si l’impédance caractéristique est complexe, il s’ensuit que les ondes de courant et de tension qui se propagent sur une ligne semi-infinie (sans réflexion) sont déphasées. Remarquons aussi que l’impédance d’entrée d’une telle ligne infinie est égale à Zo. Si la source à l’entrée impose une tension alternative de 10 volts d’amplitude à 23,45 kHz, alors Vo + = 10 volts, et :

Io+ =

V o+ 10 = = 157,0 ∠+22,36° mA Zo 63,7∠-22,36 o

L’onde de courant est donc en avance de phase de 22,36° sur celle de tension en tout point de la ligne. D’après ce que nous avons vu plus haut, vu que ω = 2π f = 1,473 ·105 rd/s (ω t ), si les pertes étaient négligeables, la fonction d’onde réelle de tension s’écrirait comme suit en régime permanent :

v +(x,t) = 10 sin(1,473 ⋅ 105 t - kx ) volts ou encore :

5

v +(x,t) = 10 cos(1,473 ⋅ 10 t - kx - π/2) volts

Mais, en réalité, il y a atténuation de l’onde en cours de propagation, de sorte que cette dernière expression n’est approximativement valide qu’à courte distance de la source. Il faut plus exactement utiliser une expression de la forme vue plus haut (éq. 7.2.6) :

cos (ω t – kx + φ+) . 5 Dans le cas présent : v +(x,t) = 10 e αx cos(1,473 ⋅ 10 t - kx - π/2) volts v + (x,t) = V +(0) e

αx

Il reste à trouver les valeurs de α et de k. On doit donc évaluer la fonction de propagation γ. Utilisant les mêmes paramètres que précédemment :

γ =

(R + jω L) (G + jω C) 1/2

γ = [(3,951 ⋅ 10-2 + j1,473⋅ 105 × 2,681 ⋅ 10-7) × (6,89 ⋅ 10-8 + j1,473⋅ 105 × 93,5 ⋅ 10-12)] 1/2

γ = [(5,586⋅ 10-2 ∠45,0°) × (1,378⋅ 10-5∠89,71°)]

γ = 3,377 ⋅ 10 4 + j8,097 ⋅ 10 4

m1

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= 8,774 ⋅ 10-4 ∠67,36°

228

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques D’où :

α = 3,377 ⋅ 10 4 Np/m

et

k = 8,097 ⋅ 10 4 rd m 1

Ceci montre que l’atténuation atteint 1 néper (Np) après un parcours de 2,96 km, ce qui est relativement faible. De k, on tire la vitesse de phase :

33830 u = ω = = 1,826 ⋅ 108 m/s k 4 1,853 ⋅ 10 Remarquons que cette vitesse, la vitesse de phase, est inférieure à celle à haute fréquence (1,98 ·108 m/s) : elle l’est de 7,6 %. On a vu plus haut que la vitesse de phase diminue régulièrement avec la fréquence. Cette variation de vitesse avec la fréquence, cause un problème très important dans la transmission à grande distance de signaux dans la bande audio (20 Hz à 20 kHz environ). Comme les composantes de différentes fréquences d’un signal complexe se propagent à des vitesses différentes, ce signal est plus ou moins déformé à la réception : c’est la distorsion de phase. Ce problème est réglé par la translation de fréquence qui porte toutes ces composantes à des fréquences très supérieures à la fréquence de transition. Exemple 7.6.4

Variation de l'atténuation avec la fréquence

À 1 MHz, c’est le domaine des hautes fréquences. Par conséquent, pour le câble RG-58/U, la vitesse de phase est 1,98 ·108 m/s. L’impédance caractéristique est alors réelle et égale à 53 ohms environ. Le coefficient d’atténuation est donné approximativement par l’expression (7.3.6) :

α =

R = 0,1311 = 1,237 ⋅ 10 3 Np/m 2Zo 2 × 53

Notons que cette valeur est près de 4 fois supérieure à celle à la fréquence de transition (24,5 kHz). D’après la fiche technique d’un fabricant, le coefficient de cette ligne à 1 MHz devrait être d’environ 1,24 ·10-3 Np/m. Le résultat de ce calcul est donc remarquable. En supposant une conductivité linéique G de 10- 7 S/m aux basses fréquences, on trouve une atténuation de 0,125 ·10-4 Np/m quand f –> 0. Aux fréquences élevées, on vérifiera que le coefficient d’atténuation est donné par α = 1,237⋅ 10 6 f Np/m. Le graphique qui suit montre la variation approximative de α sur une étendue de fréquence de sept décades.

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7 Lignes semi-infinies avec pertes

229

Avec les méthodes de calcul modernes, il est facile de calculer α et u à partir de l’expression exacte de γ en séparant les parties réelle et imaginaire. Les formules que nous venons de voir permettent une évaluation approximative rapidement.

104α [Np/m]

100

10

Coefficient d'atténuation câble RG-58/U

Variation en f

1

0,1 100

102

104

106 Fréquence (Hz)

Figure 7.6.4 Variation approximative du coefficient d’atténuation avec la fréquence pour le câble RG-58/U dans l’hypothèse où G = 10-7 S/m

EXERCICES Questions diverses a) Qu'y a-t-il de particulier à la fréquence de transition d'une ligne électrique ? b) Quelle est la règle pour établir l’expression de la tension en tout point d'une ligne infinie et en tout temps connaissant la tension à l'entrée ?

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230

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques c)

À quelle condition le coefficient de réflexion sur le récepteur au bout d'une ligne RG-58C/U (Zo = 50 ohms) est-il négatif et réel ?

d) Comment l'impédance caractéristique d'une ligne est-elle reliée à son impédance linéique et à son admittance linéique ? e) 7.1

Comment évolue la vitesse de phase d'une onde sur une ligne quand la fréquence augmente ?

Fonction d’onde - Équation d’onde Démontrer qu'en régime harmonique l'amplitude complexe de la tension électrique sur une ligne avec pertes satisfait l'équation de propagation suivante :

d2 V – γ 2 V = 0 avec γ 2 =ZY dx 2 7.2

Z = R + jωL

Y = G + jωC

Ligne téléphonique Les paires de fils dans un câble téléphonique ont les caractéristiques α = 1 dB/km suivantes à 10 kHz : Zo = 600 ohms u = 2,0 · 108 m/s Vous raccordez à l'entrée d'une de ces paires un générateur de signaux ayant une impédance interne de 600 ohms donnant une tension de 1 volt d'amplitude en circuit ouvert (Vo) à 10 kHz. L'autre extrémité qui se trouve à 5 km est raccordée à une autre paire de fils dans le même câble, et vous la terminez où vous êtes par une charge adaptée R c . Il s'agit donc d'une longueur totale de 10 km. Vous savez que 1 néper (Np) = 8,686 décibels (dB). a) Si vous regardez simultanément à l'oscilloscope le signal d'entrée et celui de sortie (en Rc ), quel est l'amplitude de ce dernier et quel déphasage entre les deux pourrez-vous observer et mesurer, en degrés ? Faites un croquis représentant correctement ces signaux. b) Établir une expression réelle exacte du courant sur la ligne en fonction de la position et du temps à partir de l'entrée. Note : Utiliser la variable s pour indiquer la position sur la ligne.

7.3

Onde sinusoïdale sur une ligne Une ligne téléphonique de 50 km terminée par son impédance caractéristique égale à 600 ohms a une vitesse de phase de 2c/3 et une atténuation de 0,5 dB/km a 1 kHz. Si on raccorde à l’entrée un générateur d’impédance interne égale à 600 ohms dont la tension en circuit ouvert est donnée par : vs(t) = 2 cos (2000πt) volts :

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7 Lignes semi-infinies avec pertes

231

a) Déterminer et représenter dans une figure à l’échelle l’amplitude complexe de la tension à tous les 10 kilomètres sur une distance de 50 km, ainsi que l’expression de la tension réelle au récepteur. b) Évaluer la puissance fournie à l’entrée de la ligne et celle qui est absorbée par le récepteur. Établir l’expression générale de la puissance en fonction de la position sur la ligne. R: 7.4

Pe = Po = 833 μW

Pr = 2,63 μW

Paramètres d’un ligne coaxiale Une ligne coaxiale est constituée d'un conducteur central de rayon a = 2 mm et d'un écran de rayon interne b = 6 mm espacés par un diélectrique solide de permittivité relative égale à 2,2. Considérant les pertes comme négligeables, évaluer son impédance caractéristique et la vitesse de u = 2,02 · 108 m/s propagation. Rép. : Zo = 44,4 ohms

7.5

Ligne à haute tension Une ligne à haute tension est faite d'une paire de câbles d'aluminium de 1 cm de diamètre dont les centres sont espacés de 50 cm. a) Évaluer son impédance caractéristique. Rép. : 552 ohms b) Déterminer la tension maximale de fonctionnement si le champ électrique autour des câbles ne doit pas dépasser 106 V/m. Rép. : 78,2 kV

7.6

Liaison par ligne adaptée avec pertes Deux stations répétitrices d'un réseau de communication sont reliées par un câble coaxial RG-8/U (Alpha 9008). Leur séparation est de 1 km. Le câble est terminé par un récepteur présentant une impédance d'entrée égale à l'impédance caractéristique Zo de la ligne. Pour faire des essais, on utilise comme source un générateur de tension sinusoïdale à 50 MHz et d'impédance interne égale à Zo donnant une tension de 2 V d'amplitude en circuit ouvert.

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232

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques a) Déterminer la fonction d'onde décrivant la tension sur la ligne en tous points et en tout temps. b) Évaluer la puissance injectée dans la ligne et celle au récepteur. 7.7

Variation des paramètres - Ligne téléphonique Une paire de fils dans un câble téléphonique est constituée de conducteur B&S # 20. On suppose que dans la gamme de fréquences allant de 200 à 30 000 Hz, ses paramètres distribués sont approximativement constants : R = 35 Ω km, / L = 530 μH/km, C = 35 nF/km, G = 500 nS/km. Sa longueur est de 3 km et on la suppose terminée par une impédance égale à son impédance caractéristique à toute fréquence. a) Faire le graphique en fonction du logarithme de la fréquence des grandeurs suivantes : – La vitesse de phase. – Le coefficient d'atténuation. – La partie réelle Ro et la partie imaginaire Xo de l'impédance caractéristique. b) Évaluer la fréquence de transition de cette ligne. Rép. : ft = 10,5 kHz c)

À partir de quelle fréquence l'erreur faite en utilisant la formule HF de la vitesse de phase est-elle inférieure à 2 % ? Rép. : ≈ 26 kHz

d) À 5 kHz, évaluer le rapport de la tension de sortie à la tension d'entrée en décibels. Rép. : 2,87 dB e)

À 5 kHz, évaluer le déphasage entre le courant et la tension sur la ligne. Rép. : 32,3° (I en avance)

7.8

Paramètres HF Démontrer qu'aux fréquences très supérieures à la fréquence de transition ft , la vitesse de phase, le coefficient d'atténuation et l'impédance caractéristique d'une ligne électrique sont donnés par les expressions suivantes :

u =

1 , LC

α = R , 2Z o

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Zo =

L C

7 Lignes semi-infinies avec pertes 7.9

233

Paramètres BF Démontrer que, dans le cas où la fréquence du signal tend vers zéro, la vitesse de phase, le coefficient d'atténuation et l'impédance caractéristique d'une ligne électrique sont donnés par les expressions suivantes :

u = 2/[L 7.10

C + C R ], R G

α = RG ,

Zo =

R G

Népers et décibels Démontrer que 1 néper (Np) ≈ 8,686 décibels (dB).

7.11

Effet pelliculaire et résistance linéique Démontrer que, à cause de l'effet pelliculaire, la résistance linéique d'une ligne électrique coaxiale à hautes fréquences est donnée par l'expression

R =

R s (1 + b R = a ) où s 2bσ

μω 2σ

1/2

la résistance de surface.

a est le rayon du conducteur interne, b est le rayon interne du conducteur externe et σ est la conductivité du conducteur. Cela s'applique seulement dans le cas où le rayon ou l'épaisseur des conducteurs est très supérieur à la pénétration du champ électromagnétique. 7.12

Paramètres HF d’une ligne coaxiale Une ligne coaxiale est faite d'un conducteur central ayant un rayon de 0,5 mm et d'un écran de rayon interne égal à 3 mm, avec un rayon externe égal à 3,15 mm. Le conducteur est en cuivre dont la conductivité est 5,7 · 107 S/m. L'espace entre les conducteurs est plein de polyéthylène ayant une permittivité relative de 2,2 et un facteur de pertes de 0,0005 à 100 MHz. Évaluer les paramètres linéiques de cette ligne à cette fréquence, son impédance caractéristique et la vitesse de propagation des ondes. Rép. : R = 0,977 Ω /m ; C = 68,31 pF/m ; L = 358,3 nH/m ; G = 21,46 μS/m ; Zo = 72,4 Ω

7.13

Variation des paramètres avec la fréquence Élaborer un logiciel pour l'ordinateur personnel de votre choix permettant de calculer et mettre en graphique (échelle logarithmique de fréquence) les caractéristiques suivantes d'une ligne coaxiale en fonction de la fréquence, à partir des paramètres linéiques. Le faire aussi au moyen du logiciel MathLab.

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234

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques a) La fréquence de transition (pas de graphique). b) Les parties réelle et imaginaire de l'impédance caractéristique, ou le module et l'argument. c)

La vitesse de phase.

d) Le coefficient d'atténuation tenant compte de l'effet pelliculaire aux fréquences telles que la pénétration est faible par rapport au rayon ou à l'épaisseur des conducteurs. Note : Imaginer une transition logique entre les caractéristiques à basse fréquence et celles à haute fréquence. 7.14

Variation des paramètres avec la fréquence Une ligne coaxiale a un conducteur central de rayon a = 0,5 mm et un écran de rayon interne b = 2 mm, rayon externe c = 2,5 mm, tous deux en cuivre de conductivité avec un diélectrique solide de permittivité relative égale à 2,25 (polyéthylène), avec un angle de pertes constant et égal à 0,002 rd. Les conducteurs sont en cuivre de conductivité σ = 5,7· 107 S m 1 . a) Évaluer son impédance caractéristique et la vitesse de phase à haute fréquence. R. :

u = 200 000 km/s

Zo = 55,4 ohms

b) Calculer les paramètres linéiques à basse fréquence et la fréquence de transition. R. : R = 24,4 milliohms/m ; L = 344 nH/m ; C = 90,3 pF/m ; G ≈ 0 S/m ; ft = 11,3 kHz c)

Évaluer la résistance et la conductance linéiques à 10 MHz et à 50 MHz. R. : 10 MHz : R = 328 mΩ /m ; G = 11,35 μS/m 50 MHz : R = 734 mΩ /m ; G = 56,7 μS/m

c)

Calculer le coefficient d'atténuation de la ligne à 10 et à 50 MHz. Est-ce que la perditance (conductance linéique) a un effet appréciable ? R. : 28,4 et 71,2 dB/km

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8 Lignes finies avec pertes

8.1

Fonctions d'onde Considérons une source S de tension sinusoïdale V s (valeur en circuit ouvert) et d’impédance interne Zs reliée à un récepteur d’impédance Zr par une ligne électrique de longueur a. (fig. 8.1.1). Cette ligne est caractérisée par une impédance caractéristique Z o, une vitesse de phase u et une fonction de propagation γ. La source est en action depuis longtemps, de sorte qu’un régime stationnaire s’est établi. Au départ, l’onde sinusoïdale partie de la source a subi des réflexions multiples aux deux extrémités. Mais, toutes les ondes dans une direction donnée ayant la même fréquence, leur superposition est forcément une onde sinusoïdale. Appelons V +(x) l’amplitude complexe de l’onde qui se propage dans le sens positif de x et V (x) celle de l’onde dans le sens négatif. On sait que :

V +(x)

V +o e-γ x

et

V -(x)

V -o e+γ x

(8.1.1)

où V+o et V o sont les amplitudes complexes à l’origine. Pour simplifier la notation, on ne les soulignera pas comme auparavant, sauf si le contexte l’exige. La tension sur la ligne est donc donnée par la somme de ces deux phaseurs :

V (x)

V +o e-γ x + V -o e+γ x

(8.1.2)

Mais, on peut affirmer que l’onde V (x) résulte de la réflexion de V+ (x) au récepteur. La relation sera établie un peu plus loin. À cet effet, il convient de placer l’origine 0’ d’un nouveau référentiel au récepteur et de mesurer par la variable h la distance à ce point (fig.8.1.1).

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V+ = Vd

Zs Vs

V = Vg

γ

S

x =a

Zo u

0

Z

0' h

x

Figure 8.1.1 Ligne électrique reliant une source à un récepteur dans le cas général

8.2

Changement de coordonnées Vu que x = a - h, la fonction d’onde vers la droite peut s’écrire comme suit :

V +(h )

V +o e-γ (a - h)

V d(h )

V +o e-γ a e+γ h

Mais, V +o e γ a est l’amplitude en 0’ (x = a). Convenons de la désigner par Vdo, l’indice d indiquant qu’il s’agit d’une onde vers la droite. Appliquant le même raisonnement à l’onde vers la gauche (avec l’indice g), ces ondes s’expriment alors ainsi :

V d(h) = V do e+γ h et V g (h) = V go e γ h où

V go = V

o

e+γ a

(8.2.1)

. Pour les ondes de courant, on a de même :

Id(h )

Ido e+γ h et Ig(h )

Igo e-γ h

(8.2.2)

On pourra vérifier que :

V d(h )

8.3

+Zo Id(h )

et

V g(h )

Zo Ig(h )

(8.2.3)

Coefficient de réflexion Définition On définit le coefficient de réflexion ρ r de la tension électrique au récepteur comme le rapport de la tension réfléchie à la tension incidente en ce point :

ρr

V go V do

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(8.3.1)

8 Lignes finies avec pertes

237

Au récepteur, la tension et le courant sont donnés par la superposition des ondes incidentes et réfléchies :

V d(0) + V g(0)

V (0) I(0)

V do + V go Ido + Igo

Id(0) + Ig(0)

(8.3.2) (8.3.3)

D’après (8.2.3), cette dernière relation peut s’écrire :

V go Zo

V do Zo

I(0)

(8.3.4)

Or, la tension et le courant au récepteur sont reliés par la loi d’Ohm : V (0) Zr I(0) . Combinant les dernières équations, on obtient :

V do + V go

Zr V do Zo

Zr I(0)

V go Zo

d’où on tire finalement

V go V do

ρr

Zr Zo Z r + Zo

(8.3.5)

On note que cette expression est identique à celle vue plus haut pour les lignes sans pertes avec des impédances réelles. Ici, le régime est sinusoïdal et les impédances généralement sont complexes. Donc, ce coefficient de réflexion est aussi généralement complexe. Inversement, on peut exprimer

Zr en fonction de ρ r :

Zr

1 + ρr Zo 1 ρr

(8.3..6)

Ces relations montrent que l’impédance sur la ligne et le coefficient de réflexion sont intimement liées. Elles seront très utiles plus loin.

Coefficient de réflexion généralisé Le coefficient de réflexion qu’on vient de définir l’a été pour un point particulier, le récepteur. Or, il s’avère pratique de le définir d’une façon générale comme ρ(h) le rapport du phaseur de l’onde réfléchie et du phaseur de l’onde incidente au point d’abscisse h :

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V go e-γ h V do e+γ h

V g(h ) V d(h )

ρ(h )

(8.3.7)

d’où :

ρ(h )

V go -2γ h e V do

ρ r e-2γ h

ρ r ejφr e-2γ h

(8.3.8)

De cette façon, le coefficient de réflexion ρr au récepteur est une valeur particulière de ρ (h) en h = 0. On obtient le coefficient en h simplement en multipliant ρr par l’exponentielle e 2 γ h . Or, on sait que γ =α + jk, de sorte qu’on obtient l’expression suivante :

ρ(h )

ρ r e-2α h ej(φr - 2k h)

(8.3.9)

C’est le coefficient de réflexion généralisé sur une ligne. A. Analyse de ρ(h) : cas où α = 0 Si l’on peut négliger le coefficient d’atténuation sur la ligne, l’expression précédente devient :

ρ (h) = ρ r ej( φr

2k h )

= ρ r ej φr e j2 k h

(8.3.10)

La figure 8.3.1 montre les coefficients ρr et ρ(h) dans le plan complexe où l’on voit bien que le phaseur tourne d’un angle θ = –2kh à partir du récepteur. Or, on sait que k = 2π / λ , où λ est la longueur d’onde. Donc,

θ

2kh

4πh λ

d’où :

ρh

= ρ r ejφr e-j4πh/ λ

(8.3.11)

Alors, quand on s’éloigne du récepteur d’une distance h = λ/2, le phaseur tourne de -2π radians, il fait un tour complet dans le sens négatif : le coefficient de réflexion reprend la même valeur à tous les points espacés l’un de l’autre de λ/2. Dans ce cas, le lieu de la pointe du phaseur (vecteur de Fresnel) est un cercle de rayon |ρr| dans le plan complexe.

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Im

Im

ρr

ρ(h)

φr

φr = -26,57° Ré

Ré

ρ(h) –2kh

–2kh1

Figure 8.3.1 Coefficient de réflexion dans le

ρr = 0,4472 ∠–26,57° Figure 8.3.2 Exemple 8.3.1

plan complexe ; ligne sans perte

Exemple 8.3.1

Coefficient de réflexion

Soit une ligne d’impédance caractéristique Zo = 50 ohms terminée par une impédance Zr = 100 – j50 ohms à une fréquence où la longueur d’onde est de 1 mètre. Le coefficient de réflexion au récepteur est :

ρr =

100 – j50 – 50 70,71∠–45° = = 0,4472∠–26,57° 100 – j50 + 50 158,1∠–18,43°

Il est représenté dans la figure 8.4.2. En s’éloignant du récepteur d’une certaine distance h1, le vecteur ρr tourne d’un angle -2kh1 et devient réel et

ρ (h1) = ρ r exp j(φr - 2k h1 ) , où k = 2π/λ = 6,283 rd/m. On voit que (φr - 2k h1 ) = –π rd. égal à -0,4472. Évaluons cette distance. Or,

On en tire :

h1 =

π + φr π – 0,4637rd = = 0,2131 m 2k 2 × 6,283

On peut déjà affirmer que l’impédance “vue” de la gauche par l’onde incidente en ce point est réelle et inférieure à Z o, vu que le coefficient de réflexion est réel et négatif.

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240

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques B. Analyse de ρ(h) : cas où α ≠ 0 Dans ce cas, l’expression (8.3.9) s’applique et l’on voit que le module de ρ(h) diminue exponentiellement avec la distance h, comme le montre la figure 8.3.3 pour une valeur arbitraire du coefficient d’affaiblissement α :

ρ(h )

ρ r e-2α h

(8.3.12)

Le coefficient de réflexion doit donc tendre vers 0 quand le point considéré est très loin du récepteur, vers l'entrée de la ligne. En ce point, l’amplitude de l’onde réfléchie est négligeable et il y a une seule onde dans le sens positif de x. L’impédance sur la ligne est alors égale à l’impédance caractéristique Z o. Le vecteur ρ fait toujours un tour complet dans le plan complexe quand h augmente d’une demi-longueur d’onde.

Im

ρr φr Ré

ρ(h)

Figure 8.3.3 Coefficient de réflexion, Ligne avec pertes

8.4

Ondes stationnaires Considérons la ligne de la figure 8.1.1 où l’onde vers la droite est V go e-γ h . V do e+γ h et celle vers la gauche V g(h ) L’amplitude résultante est la somme de ces deux expressions :

V d(h ) V (h )

V do e+γ h + V go e-γ h

Mais, d’après (8.3.7),

V g(h )

V d(h ) + V g(h )

ρ(h ) V d(h ) .

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8 Lignes finies avec pertes

241

Alors :

V (h )

V d(h ) 1 + ρ (h )

V doe+γ h 1 + ρ r e-2γ h

(8.4.1)

La partie réelle de cette expression de l’amplitude complexe sur la ligne donne l’amplitude réelle de la tension. Examinons le cas particulier où l’affaiblissement α est supposé négligeable :

V (h )

V doe+jk h 1 + ρ r e-j(2k h

V (h )

V doe+jk h 1 + ρ r cos (2kh

φr )

(8.4.2)

φr)

j sin (2 kh

φr )

Le module de V(h) est alors :

V (h )

V do 1 + ρ r cos (2kh

2

φr ) + ρ r sin (2 kh

φr)

2 1/2

(8.4.3)

Pour la mise en graphique, il est utile de remplacer k par 2π / λ et de mesurer h en unités de λ :

V (h )

V do

2

1 + ρ r cos (4πh /λ φr) + ρ r sin (4 πh /λ φr)

2 1/2

(8.4.4)

La figure 8.4.1 montre quelques cas d’ondes stationnaires pour diverses valeurs de ρr et du coefficient d'atténuation, en posant Vdo = 1 volt : (a) ρr = +1

Ligne ouverte

(b) ρr = +0,6

Zr = R r > Zo :

Rr =

(c) ρr = –0,6 = 0,6ejπ

Zr = R r < Z o :

(d) ρr = 0,6e+jπ/4

Zr =

1 + ρr Z = 4Zo 1 – ρr o Rr =

1 + ρr Z = 0,25Zo 1 – ρr o

1 + ρr Z = 2.078∠52,97° Zo 1 – ρr o

(récepteur inductif) On observe que les valeurs maximales et minimales de |V(h)| ne dépendent que du module de ρ r . L’argument de ρ r détermine leurs positions. Cette observation est à la base d’une méthode relativement simple pour évaluer une impédance inconnue au moyen d’une ligne à fente1.

1

Ligne coaxiale courte et rigide, avec une fente longitudinale dans l'écran. Une courte sonde mobile peut être insérée dans cette fente permettant de mesurer l'intensité du champ électrique et de la tension électrique dans l'espace entre l'écran et le conducteur central. La ligne à fente sert particulièrement à la mesure de la longueur d'onde dans l'air et de l'impédance des récepteurs ou charges.

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242

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques La figure 8.4.2 montre, à un instant quelconque, les phaseurs de l’onde incidente (a), de l’onde réfléchie (b) et de l’onde stationnaire résultante (c), dans le cas où le coefficient de réflexion est égal à –1 (réflexion sur un courtcircuit). On observe particulièrement que la phase de la tension résultante change brusquement de 180° à h = λ / 2, λ, 3 λ /2 ... Au cours du temps, tous ces vecteurs tournent à la vitesse ω dans le sens positif (sens inverse d’une horloge).

Taux d’ondes stationnaires Le taux d’ondes stationnaires mesure l’importance des variations de tension ou de courant le long d’une ligne en présence d’ondes stationnaires. Il est défini comme le rapport du maximum au minimum de tension ou de courant électrique :

T.O.S.

V max V min

Imax Imin

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(8.4.5)

Figure 8.4.1

Amplitude d’une onde stationnaire pour diverses valeurs du coefficient de réflexion au récepteur Paramètres :

v = 2 · 108 m/s

f = 10 MHz

|V+| à l’entrée (h = 36 m) = 1 volt Courbe A : α = 0

a = 1,8 = 36 mètres Zo = 50 ohms

Courbe B : α = 20 dB/km

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Onde incidente V

V d

d λ/2

2π λ

h

3 π/2

3λ/4

π/2

0

λ/4

π

V

φr

V do

V

d

(a)

d

Onde réfléchie V λ

(b)

φr

g - λ/2

π/2

λ/4

+π

h V

g

3λ/4

V

–π/2

0 −π V go

g

Superposition des deux (c)

V V= 0

–3π/2

φr λ/2 -

λ

λ/4 0

V= 0

h 3 λ/4

–π/2

V

V = 0 o

Figure 8.4.2 Réflexion sur un court-circuit (a)

Phaseur de l’onde incidente,

(b)

Phaseur de l’onde réfléchie,

c)

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Phaseur de l’onde stationnaire résultante.

8 Lignes finies avec pertes

8.5

245

Impédance sur la ligne Cas général Nous allons maintenant trouver une expression très importante en pratique, celle de l’impédance sur la ligne (fig. 8.5.1), particulièrement à l’entrée (x = 0, h = a). L’impédance électrique en tout point d’abscisse h est définie comme le rapport de l’amplitude complexe de la tension et de celle du courant :

V(h ) I(h )

Z(h )

(8.5.1)

Cette impédance dépend de tous les paramètres de la ligne (longueur a, Zo, vitesse de phase u, etc.) et de l’impédance Zr, du récepteur. Or, comme nous l’avons vu plus haut, l’impédance en un point est étroitement reliée au coefficient de réflexion au même point :

1 + ρr Zo 1 ρr

Zr

Vs

V = Vg x = a

V+ = Vd

Zs S

γ

Zo

0

Zr

u

x Figure 8.5.1

(8.5.2)

0' h

Ligne électrique reliant une source à un récepteur dans le cas général

Il en est de même en tout autre point de la ligne d’abscisse h, où l’impédance est Z(h) et le coefficient de réflexion ρ (h ) :

Z(h ) Remplaçons

1 + ρ(h ) Z 1 ρ(h ) o

ρ (h ) par son expression en fonction de ρ r (8.3.8) :

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(8.5.3)

246

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

1 + ρ r e-2γ h Zo 1 ρ r e-2γ h

Z(h )

ρr

Or, on sait que

e+γ h + ρ r e e+γ h ρ r e

γh

Zo

γh

(8.5.4a)

Zo Zr Zr + Zo

d’où :

Zr + Zo e+γ h + Zr Zr + Zo e+γ h Zr

Z(h )

Zo e Zo e

γh γh

Zo

(8.5.4b)

On peut réarranger comme suit :

Zr e+γ h + e γ h + Zo e+γ h e Zr e+γ h e γ h + Zo e+γ h + e

Z(h )

γh

Zo

γh

(8.5.5)

Les relations cosh A = (eΑ + e– Α)/2 et sinh A = (eΑ – e–Α)/2 permettent d’écrire la dernière expression sous une forme plus compacte :

Z(h )

Zr cosh γ h + Zo sinh γ h Zocosh γ h + Zr sinh γ h

Zo

(8.5.6)

L’impédance d’entrée est simplement une valeur particulière de l’impédance sur la ligne, pour h = a. Exemple 8.5.1

Variation de l'impédance d'entrée avec la fréquence

La figure 8.5.2 montre comment varient la partie réelle et la partie imaginaire de l'impédance d'entrée d'une ligne avec la fréquence dans l'intervalle de 2 à 30 MHz. Les paramètres de la ligne sont les suivants : Longueur a = 30 mètres

Vitesse de propagation u = 2 ·108 m/s = 2c/3

Impédance caractéristique Zo = 50 Ω Impédance du récepteur Zr = 200 Ω (résistive) Courbe A : atténuation nulle Courbe B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz On suppose une variation en f1/2 :

α

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α1 f f1

1/2

8 Lignes finies avec pertes

247

La figure 8.5.3 montre plus de détails dans l'intervalle de 50 à 64 MHz. Observons que la réactance (partie imaginaire) s'annule aux minimums et aux maximums de la partie réelle. La ligne est résonante à ces derniers points et son impédance d'entrée est purement résistive. Les calculs ont été faits avec le logiciel MatLabmd et les résultats mis en graphique avec le logiciel SigmaPlotmd. Une version simplifiée du programme MatLab suit : elle permet de calculer l'impédance d'entrée connaissant les divers paramètres de la ligne, l'impédance du récepteur et la fréquence. % Calcul de l'impédance d'entrée d'une ligne % en fonction de la fréquence. % Programme MatLab % Ce programme calcule l’impédance d’entrée d’une ligne connaissant % ses paramètres, la fréquence et l’impédance du récepteur. clear format compact clc hold off clg disp('') disp('') disp(' Calcul de l*impédance d*entrée d*une ligne') disp('') v=input('Vitesse de phase [m/s]: '); h=input('Longueur [m]: '); Zo=input('Impédance caractéristique [ohms]: '); f=input('Fréquence [Hz]: '); Attr=input('Atténuation [dB/m] à f réf., 1 MHz: '); Rr=input('Impédance du récepteur, partie réelle [ohms]: '); Xr=input('Impédance du récepteur, partie imaginaire: '); Zr = Rr + j*Xr; % Impédance du récepteur Att=Attr*(f*1E-6).^0.5/8.686; % Atténuation [Np/m] à la fréquence f. B=2*pi/v; k=B*f; g= Att + j*k; % Fonction de propagation. th = tanh(g*h); NumZ = Zr + Zo*th; DenZ = Zo + Zr*th; Ze = NumZ*Zo/DenZ; MZ=abs(Ze)

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248

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques disp('Phase en degrés') PZ=angle(Ze)*180/pi % RZ=MZ.*cos(angle(Ze)) IZ=MZ.*sin(angle(Ze))

Figure 8.5.2 Impédance d'entrée d'une ligne en fonction de la fréquence pour deux valeurs du coefficient d'atténuation A : sans atténuation ; B :

α 1 = 15 dB/km à 1 MHz

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(Exemple 8.5.1)

Figure 8.5.3 Impédance d'entrée d'une ligne en fonction de la fréquence pour deux valeurs du coefficient d'atténuation A : sans atténuation ; B :

α 1 = 15 dB/km à 1 MHz

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(Exemple 8.5.1)

250

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Impédance normalisée On définit l’impédance normalisée comme le rapport de l’impédance en un point et de l’impédance caractéristique :

Z(h ) , Zo

z(h )

zr

Zr Zo

(8.5.7)

L’expression (8.5.6) devient alors :

z r cosh γ h + sinh γ h cosh γ h + z r sinh γ h

z(h )

(8.5.8)

On obtient une autre forme en divisant numérateur et dénominateur par cosh γ h, ce qui donne une expression facile à mémoriser :

z r + tgh γ h 1 + z r tgh γ h

z(h )

(8.5.9)

Toutefois, si on ne dispose pas des outils permettant de calculer ces fonctions de variables complexes, on peut utiliser la forme précédente (8.5.5), où

eγ h

eα hejkh

eα h cos kh + j sin kh

et

e -γ h

e-α he-jkh

e

αh

cos kh

j sin kh

De préférence, on peut encore utiliser l’expression (8.5.8), sachant que :

cosh γ h

cosh α h cos k h

+ j sinh α h sin k h

(8.5.10a)

sinh γ h

sinh α h cos k h

+ j cosh α h sin k h

(8.5.10b)

On sait d’autre part que :

cosh α h

eα h + e 2

αh

sinh α h

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eα h

e 2

αh

(8.5.11)

8 Lignes finies avec pertes

251

Lignes avec pertes négligeables Si α = 0, γ = jk , et alors :

sinh jkh = j sin kh

cosh j kh = cos kh

tgh jkh = j tg kh

(8.5.12)

Ce qui se démontre facilement, considérant que :

cos kh

ejkh + e 2

jkh

sin kh

ejkh

e

jkh

(8.5.13)

2j

Par conséquent l’expression de l’impédance normalisée sur la ligne devient : (8.5.14)

z r + j tg kh 1 + j z r tg kh

z(h )

On obtient l’impédance en multipliant par l’impédance caractéristique :

Z(h )

z(h ) Zo

Impédance d'entrée Cas particuliers divers A. Ligne avec pertes 1- Ligne court-circuitée Ici, zr = 0, et (8.5.9) devient :

z(a) Exemple 8.5.2

tgh γ a

(8.5.15)

Impédance d'entrée en fonction de la fréquence Ligne court-circuité

Considérons une ligne ayant les caractéristiques suivantes : u = 2·108 m/s

a = 30 m

Zr = 0 (ligne court-circuitée)

α = 15 dB/km à 1 MHz.

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Zo = 50 ohms

252

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques En supposant que l’atténuation varie en f , la figure 8.5.4 (a) montre la variation du module |Ze | de l’impédance d’entrée dans l’intervalle de fréquence allant de 3 à 13 MHz. La variation de l’argument de Ze est montrée dans la figure 8.5.4 (b). 2- Ligne ouverte C’est le cas où zr = ∞, avec h = a. L’expression (2-16.9) devient alors :

z(a)

Exemple 8.5.3

1 tgh γ a

(8.5.16)

Impédance d'entrée en fonction de la longueur Ligne ouverte

La figure 8.5.5 montre la variation du module |Ze| de l'impédance d'entrée d'une ligne de Zo = 50 ohms en fonction de sa longueur à 10 MHz. Courbe A :

α = 20 dB/km à 1 MHz; 63,2 dB/km à 10 MHz

Courbe B :

α = 60 dB/km à 1 MHz; 190 dB/km à 10 MHz

Remarquer que la mise en graphique utilisant comme unité de longueur la longueur d'onde simplifie la présente et démontre bien les particularités de l'impédance quand la longueur est un multiple entier de λ /4. À mesure que la longueur de la ligne augmente, son impédance d’entrée tend vers la valeur de l’impédance caractéristique, 50 ohms, du fait que l’amplitude de l’onde réfléchie tend vers zéro.

B. Ligne sans perte 1- Ligne ouverte Vu que γ = jk, on a alors :

z(a)

1 j tg ka

j cotg ka

jX

(8.5.17)

L’impédance d’entrée est alors purement réactive. Vu que k = 2π /λ., cette réactance peut s’exprimer comme :

X

cotg 2πa λ

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(8.5.18)

|Ze| [ ohms ]

400

300 (a) 200

100

0

4

6

8 10 Fréquence [ MHz ]

12

Argument de |Ze| [ dg ]

80

40

(b)

0

-40

-80

4

6

8 10 Fréquence [ MHz ]

12

Figure 8.5.4 Impédance d'entrée, d'une ligne court-circuitée (exemple (8.5.2))

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254

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques La courbe en traits hachurés de la figure 8.5.6 (B) montre le graphique de cette réactance. On voit qu’elle est alternativement positive ou négative selon la longueur de la ligne : une ligne de longueur inférieure à λ /4 est capacitive (X < 0). Mais elle est inductive (X > 0) si sa longueur est comprise entre λ /4 et λ/2. On retrouve les mêmes valeurs à chaque fois que la longueur augmente d’une demi-longueur d’onde. Quand la ligne est quart d’onde et, de façon générale, de longueur égale à un multiple impair de λ/4, l’impédance est théoriquement nulle. En pratique, à cause des pertes, celleci est très faible et donnée par l’équation (8.5.16). 2- Ligne court-circuitée Vu que les pertes sont nulles, l’expression (8.5.15) devient :

z(a)

j tg ka

j tg 2πa λ

(8.5.19)

On observe dans ce cas (fig. 8.5.6) qu’une ligne quart d’onde court-circuitée présente une impédance théoriquement infinie. Dans ces divers cas, quand la longueur de la ligne est un multiple impair de λ/4, a = (2n + 1)λ /4, avec n = 1, 2, 3, ..., on dit que la ligne est résonante.

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Figure 8.5.5 Variation du module de l'impédance d'entrée d'une ligne ouverte en fonction de sa longueur (Exemple 8.5.3)

Figure 8.5.6 Réactance d’entrée d’une ligne sans pertes en fonction de sa longueur Courbe A : ligne court-circuitée Courbe B : ligne ouverte

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256

Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Propriété d'un tronçon court A. Tronçon court-circuité On sait que l'impédance d'entrée d'une ligne de longueur a court-circuitée à l'autre extrémité (fig. 8.5.4) est donnée par :

Zo tgh γ a

Ze

(8.5.20)

Or, si a