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G
Ecole Marocaine D’inGénierie
LES LIGNES D’INFLUENCE
E
M
Pr ZOUKAGHE Mimoun Ing., MSc., PhD (USA)
2017 - 2018 EMG-- Cours Li-des structures isostatiques –Version 5_01-
Pr ZOUKAGHE, Ing.,MSc.,PhD (USA) – 2017-2108
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SOMMAIRE I – NOTIONS DE LIGNE D’INFLUENCE …………………………………………………………. 1)- Définition des lignes d’influence : « Li » ………………………………………………… 2)- Utilisation des Li ……………………………………………………………………………………. a) – Effet d’une charge …………………………………………………………………………. b) – Effet de plusieurs charges ………………………………………………………………… c) – Effet d’une charge uniforme ……………………………………………………………. d) – Détermination de l’effet maximal …………………………………………………………… 3)- Classification des Lignes d’Influence ………………………………………………………………… II – METHODE ANALYTIQUE OU DIRECTE ………………………………………………………………
G
III – METHODE BASEE SUR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS ………………………….. 1 – Caractéristique du déplacement virtuel ……………………………………………………………. 2 – Méthodologie …………………………………………………………………………………………………… Exemple de coupures …………………………………………………………………………………………………
M
1 – Moment Mi …………………………………………………………………………………………………….. 2 – Effort tranchant Ti ………………………………………………………………………………………………. 3 – Effort Normal Ni ……………………………………………………………………………………………….. III – APPLICATION AUX STRUCTURES ISOSTATIQUES RECTILIGNES ……………………………..
E
1 – Ligne d’influence des réactions ………………………………………………………………………………… 2 – Ligne d’influence des Moments …………………………………………………………………………………..
3 – Ligne d’influence des Efforts tranchants ………………………………………………………………………
IV – RECHERCHE DE L’ENVELOPPE D’UN EFFET ………………………………………………………………. 1 – Enveloppe des Moments …………………………………………………………………………………… 2 – Application ………………………………………………………………………………………………………….. Enveloppe des Moments …………………………………………………………………………………….. Enveloppe de l’effort tranchant ………………………………………………………………………………………. EXERCICE ……………………………………………………………………………………………………………………..
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V – CHARGE INDIRECTEMENT APPLIQUÉE ………………………………………………………………… VI – ÉTUDE CINÉMATIQUE DES MÉCANISMES PLANS À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ ………. 1 – Définition des centres de rotation …………………………………………………………………….. 2 – Théorème de colinéarité des trois centres instantanés de rotation …………………….. 3 – Diagramme des déplacements projetés sur la verticale …………………………….. a)- Cas de deux corps ………………………………………………………………………………………………… a)- Cas de plusieurs corps ………………………………………………………………………………………… VII – APPLICATION AUX LIGNES D’INFLUENCE DES ARCS À TROIS ARTICULATIONS ………. Exercice
G
VIII – APPLICATION AUX LIGNES D’INFLUENCE DANS LES TREILLIS ……………………………….. 1 – Remarque …………………………………………………………………………………………………………….. 2 – Lignes d’influence de l’effort normal dans les treillis ………………………………………………..
E
M
3 – Exercices ……………………………………………………………………………………………………………………
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LIGNES D’INFLUENCE
I – NOTIONS DE LIGNE D’INFLUENCE Les lignes d’influence constituent un complément du cours de la résistance des matériaux (RDM). Les charges étant considérées fixes, la RDM nous permet de calculer aussi bien les réactions d’appuis que les efforts internes dans une section (c'est-à-dire les éléments de réduction) qui sont : le moment fléchissant Mz, l’effort tranchant Ty, l’effort normal N, et le déplacement d’une section (flèche).
G
Cependant, l’ingénieur travail rarement avec des structures supportant des charges fixes. Presque toutes les structures sont soumises à des charges qui se déplacent le long de leur portée. Ce sont peut être les ponts qui, avec leur trafic de véhicules, constituent l’exemple typique, concret et simple d’une telle situation. Comme autres exemples on peut citer : Les ponts roulants des bâtiments industriels, les grues, les immeubles de bureau, les portiques supportant les convoyeurs, etc.
M
Chaque élément de la structure doit être conçu et dimensionné pour les plus sévères conditions de charge pouvant se développer sur lui. L’ingénieur place donc la charge mobile à l’endroit où les conditions sont les plus sévères. La position critique de la charge n’est pas la même pour tous les éléments de la structure. 1)- Définition des lignes d’influence : « Li »
E
Nous nous limiterons aux cas de structures à plan moyen. Les forces ou charges appliquées à la structure se trouvent dans le plan moyen de la structure.
Nous définirons les sections par leur abscisse a, l’axe Ox étant, pour fixer les idées, horizontal et l’axe Oy vertical. La charge P étant repérée par son abscisse x comme indiqué sur la figure suivante. P=1
P
=1
Y
i
i
x a O EMG-- Cours Li-des structures isostatiques –Version 5_01-
x 1
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Supposons que l’on s’intéresse au calcul des éléments de réduction (EFFETS élastiques M, N et T) produits par la charge P (CAUSE) Du cours de la résistance des matériaux, nous savons que : Les effets (M, N, T, réaction, flèche etc.) sont proportionnels à la charge qui les produit. Donc il suffit de les analyser pour une charge unitaire P = 1. Ces effets dépendent de la position à la fois de la charge (donc de x) et de la section i (donc de a). En désignant par Si l’effet recherché, on peut écrire en écriture généralisée, que :
Si = f (x, a)
G
On peut donc fixer l’un des paramètres x ou a et étudier Si en fonction de l’autre. a) - Fixons la position x de la charge P et faisons varier la section a:
Si = f (x, a) correspond alors au diagramme de Si vu en RDM.
b) - Fixons la position a de la section i et faisons varier la position x de la charge P:
M
Si = f (x, a) correspond alors au diagramme de l’effet Si dans la section i lorsque la charge P prend différentes positions. La courbe ainsi obtenue est la ligne d’influence de l’effet Si. De telles courbes s’analysent et se construisent pour une charge unitaire P = 1.
E
En représentation spatiale, on obtient : Si
Ligne d’influence de Si
Diagramme de Si
x
a
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Définition : La « Li » d’une cause (charge verticale mobile) sur un effet (M, N ,T, Réaction, Flèche, etc. ) est le diagramme tel que chaque ordonnée donne la valeur de l’effet lorsque la cause est unitaire et agit au niveau de cette ordonnée. Exemple : Tracer la variation de Mz dans une section donnée, lorsque P = 1 est mobile. C'està-dire tracer Si = f(x). On se propose d’étudier l’influence de la position de la charge P = 1 sur le moment Mi (effet Si) dans une section i. x
P=1
3
mi1= 0
P=1 mi2
4
5
6
7
8
G
i
2
1
P=1
M
P=1
mi3
P=1
E
mi4
mi5=0
P=1
P=1
mi6
P=1
mi7 P=1
mi8=0
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Pour fixer les idées, la charge P = 1 est placée successivement dans les positions indiquées par le numéro 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. Pour chaque position de P = 1, nous avons un diagramme de moment pour toute la structure et plus particulièrement, une valeur du moment Mi dans la section i. Par exemple, lorsque la charge P = 1 occupe la position 3, le moment dans la section i est mi3. Sur un repère à part, portons les valeurs mi1, mi2, mi4, mi5, mi6, mi7, et mi8 du moment Mi produit par P = 1 dans la section i lorsqu’elle prend différentes positions. Les valeurs positives sont portées vers le haut. Quant aux valeurs négatives elles sont portées vers le bas. On obtient ainsi la ligne d’influence du moment dans la section i.
mii x
x m
P=1
x mix
i
G
Li(Mi)
1
x
x 2 3
1
mi1
mi2
2
i i 1
4
m4i3
mi4 5
5
mi5
M
x
3
6
6
m7i6
7
mi78
8
mi8
i
a m
La Li(Mi) est telle que mixi est le moment dans la section i lorsque la charge P = 1 se trouve 1 directement à la verticale de mix.
E
2)- Utilisation des Li x e) – Effet d’une charge
Soit la Li(Mi) ci-dessous.
Qj mii
x mij
x
x
i
j
1
1
Si j désigne la position de la charge sur la poutre, alors le moment dans la section i est donné
par :
Mi = Qj. mij
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De manière générale, si « Si » désigne l’effet produit par la cause Pj on a alors :
Si = Pj . sij Le rapport sij =
𝐒𝐢 𝐏𝐣
est appelé coefficient d’influence. Et on a :
*Coefficient d’influence+ =
[𝑬𝒇𝒇𝒆𝒕] [𝑪𝒂𝒖𝒔𝒆]
La dimension du coefficient d’influence dépend de l’effet recherché. Ainsi : 𝑭𝑳
Pour Li(Mi) : [mij] =
Pour Li(Ni) : [nij] =
Pour Li(Ti) : [tij] =
Pour Li(flèchei) : [fij] =
𝑭
𝑭 𝑭
=𝑳
=𝟏
=𝟏 𝑳 𝑭
= 𝑳𝑭−𝟏
f) – Effet de plusieurs charges
G
𝑭
𝑭
Puisque nous travaillons dans le domaine élastique, l’effet Si est proportionnel à la cause Pj. Il s’en suit que le principe de superposition s’applique et on a :
M
Si = 𝐏𝐣. 𝐬𝐢𝐣
g) – Effet d’une charge uniforme Si =
𝒃 𝒂
𝒑𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐱 = 𝒑.
𝒃 𝒂
𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐱 = 𝒑. 𝑨𝒃𝒂
E
Où 𝑨𝒃𝒂 représente l’aire de la ligne d’influence entre les abscisses a et b. L’aire 𝑨𝒃𝒂 est calculée avec signe algébrique !!! p 1
a x
𝑨𝒃𝒂
i 1
b x
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h) – Détermination de l’effet maximal Train de charge On appelle train de charge un semble de charges concentrées et ou distribuées mobiles. Les distances entre charges restent constantes lors du déplacement du train !!! Exemple de train de charge : q1
q1 1
a
a
Exemple 1
1
q2 b
c
1
Exemple 2
P1
q1
P2
1
1
G
1
a
b
c
Exemple 3
M
+ − Pour déterminer l’effet maximal 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱 ou 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱 , le train de charge prend différents positions sur la ligne d’influence. Pour chaque position on détermine l’effet Si. Il s’agit donc de déterminer la position ζ optimale conduisant à un effet maximal (en valeur absolue) aussi + − bien positif que négatif noté respectivement 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱 et 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱 .
P1
p 1
E
ζ x
1
i
P2 1
+ 1
1 + 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱
− 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱
Une fois ou sont déterminés, autrement dit la position optimale ζ est trouvée, alors toute autre position du train de charge produirait un effet Si tel que : + − 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱 ≤ Si ≤ 𝐒𝐢𝐦𝐚𝐱
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3)- Classification des Lignes d’Influence Les lignes d’influence peuvent être classées selon : Le type de structure : - Lignes d’influence des structures Isostatiques - Lignes d’influence des structures Hyperstatiques
Le type d’effet recherché - Lignes d’influence des efforts internes et des réactions - Lignes d’influence des déplacements et des déformations
La méthode de détermination des lignes d’influence - Méthode analytique ou directe - Méthode basée sur le principe des travaux virtuels
II – METHODE ANALYTIQUE OU DIRECTE
G
M
Pour tout type de structure (Isostatique ou Hyperstatique), il s’agit d’exprimer les effets élastiques (éléments de réduction, réactions, déplacement et déformations) en fonction de la position x de la charge unitaire P = 1. La section pour laquelle sont déterminés ces effets est fixé par l’abscisse a. Exemple : Soit la structure isostatique suivante soumise à la seule charge mobile P = 1. a) – Déterminer la ligne d’influence des réactions d’appuis « 1 » et « 2 ». x x
E
Le calcul des réactions donne : VA =
𝐏(𝐋−𝐱) 𝐋
et
VB =
P=1
𝐏.𝐱 𝐋
Les lignes d’influence des réactions VA et VB correspondent aux fonctions VA(x) et VB(x). Soient :
A x
1
L x
Li(VA) = VA(x)
Li(VB) = VB(x)
B x
A x
1 x
c x B x
A x B x
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1 x
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b) – Déterminer la ligne d’influence de l’effort tranchant dans la section i Pour x ≤ a : Soit,
𝐓𝐢 =
𝐏(𝐋−𝐱)
𝐓𝐢 =
Pour x ≥ a : Soit,
x x
𝐓𝐢 = VA – P 𝐋
–P=−
𝐏.𝐱 𝐋
A x
𝐓𝐢 = VA
P=1
i a x
𝐏(𝐋−𝐱) 𝐋
La ligne d’influence de l’effort tranchant Ti dans la section i correspond aux fonctions 𝐓𝐢 (x) et 𝐓𝐢 (x).
1
b x
c x 𝐛 𝐋
𝐚 𝐋
G
Li(Ti)
Li(VB) = VB(x)
B x
1
1 x
c) – Déterminer la ligne d’influence du moment de flexion dans la section i
Soit,
𝐌𝐢 = P
Pour x ≥ a : Soit,
𝐌𝐢 = VA.a – P.(a - x)
M
Pour x ≤ a :
𝐛.𝐱 𝐋
A x
𝐌𝐢 = VA.a
𝐌𝐢 =
𝐏(𝐋−𝐱) 𝐋
.a
E
La ligne d’influence du moment de flexion Mi dans la section i correspond à la 𝐠 représentation des fonctions 𝐌𝐢 (x) et
a x
𝐌𝐢 (x).
Li(Mi) Li(VB) = VB(x)
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x x
P=1
i
1
x
i
a x
b 1 x
𝐚. 𝐛 𝐋
B x
b x 𝜶1
c x
𝐜. 𝐚 𝐋
𝜶2
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Remarques utiles : Li(VA) et Li(VB) donnent les réactions VA et VB pour n’importe quelle position de la charge unitaire P = 1. Au droit de l’appui A, l’ordonnée de la Li vaut l’unité « 1 ». Au droit de l’appui B, l’ordonnée de la Li vaut l’unité « 1 »
Li(Ti) donne la valeur du coefficient d’influence de l’effort tranchant Ti pour n’importe quelle position x de la charge unitaire P = 1. Notons que lorsque P = 1 se trouve appliquée dans la section i, c'est-à-dire pour (x = a), le diagramme Li(Ti) présente une discontinuité de valeur égale à l’unité « 1 ».
Li(Mi) représente les valeurs prises par le moment de flexion dans la section i lorsque la charge unitaire P = 1 est mobile. Noter qu’au niveau de la section i, c'est-à-dire (x=a), la ligne d’influence présente un changement de pente. En effet : Pour x ≤ a la pente est :
𝒅𝒙 𝒅𝑴 𝒅𝒙
=
𝒃
qui correspond à : tan(𝜶1)
𝑳
= −
𝒂 𝑳
qui correspond à : tan(𝜶2)
M
Pour x ≥ a la pente est :
𝒅𝑴
G
Par ailleurs, la variation angulaire (pente) relative pour x = a, vaut : θ = 𝜶1 + 𝜶2. Donc, si l’on suppose que les angles sont petits, alors on peut écrire que :
θ = 𝜶1 + 𝜶2 =
𝒃 𝑳
+
𝒂 𝑳
=1
E
Ainsi apparait la valeur unitaire θ = 1 comme la variation angulaire du diagramme Li(Mi), au niveau de la section considérée i. Conclusion :
La ligne d’influence d’un effet s’obtient donc au moyen des résultats de la RDM dans lesquels la section est fixée par l’abscisse a pendant que la charge unitaire d’abscisse x et mobile. Ceci est valable aussi bien pour les structures isostatiques que pour les structures hyperstatiques.
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OBSERVATIONS A’
A x
1 x
B x A x
Li(VA) = VA(x)
Li(VB) = VB(x)
B x
1 x
Si on fait glisser l’appui A en A’, la poutre AB pivote autour de B et prend la position
Si on fait glisser l’appui B en B’, la poutre AB pivote autour de B et prend la position
A’B semblable à celle de Li(VA).
A’B semblable à celle de Li(VA)
A x
Li(Ti)
B x
1 x
Li(Mi) 𝐚. 𝐛 𝐋
G
𝐛 𝐋
𝐚 𝐋
a x
A x
𝜶1
𝜶2
𝐜. 𝐚 𝐋
B x
Supposons que l’on introduit une rotule en i, alors en poussant la rotule vers le haut, les corps situés aussi bien à gauche que à droite de la section i, pivotent autour des appuis A et B et prennent une position semblable à celle de Li(Mi).
E
M
Supposons que la barre est coupée en i, Si on tire en i vers le bas sur le corps situé à gauche de la section i, et on pousse vers le haut le corps situé à droite de i, alors le corps de gauche pivote vers le bas autour de A, et le corps de droite pivote vers le haut autour de l’appui B. L’allure obtenue est semblable à la Li(Ti).
b x
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III – METHODE BASEE SUR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 1 – Caractéristique du déplacement virtuel C’est un déplacement virtuel infiniment petit, C’est un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, C’est un déplacement imaginaire, arbitraire en sens et grandeur. 2 – Méthodologie
G
Pour déterminer Si, on coupe la liaison unique dans laquelle se développe Si et on remplace avec Si comme charge externe. On arrive ainsi à un mécanisme plan à un degré de liberté cinématique qui reste en équilibre sous l’effet de Si et de P = 1. On donne à ce mécanisme un déplacement virtuel compatible avec Si et on écrit que la somme des travaux est égale à zéro : 𝑾 = 𝟎. On obtient ainsi l’expression de Si en fonction de la position x de la charge P = 1. Pour fixer les idées, soit à déterminer la ligne d’influence de la réaction verticale au niveau de l’appui D dans le cas de la structure suivante.
M
La réaction VD correspond à l’effet Si recherché. x x
Structure réelle isostatique
E
On réalise la coupure de la seule liaison pour rendre externe la réaction recherchée. On obtient ainsi un mécanisme à un degré de liberté en équilibre statique sous l’action (P et Si).
On donne ensuite à ce mécanisme un déplacement virtuel cinématique de
Si
Δi
A
B
C
D
x
x
x
x
x x
x
x
x x x
P=1
C
Si = VD
x
B
Δi
x
x C
A
δx
x x x
noté δx.
δx > 0 vers le bas
D
A
compatible avec Si. De ce
Convention :
P=1 B
au droit
fait le corps BD pivote autour de C, la rotule B descend vers le bas et le corps AB se déplace en conséquence. On obtient ainsi le diagramme des déplacements
P=1
A
x
P > 0 vers le bas
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P=1 δx
Si = VD
x B
x C
Si = VD
x Diagramme des déplacements
δx
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Le déplacement Δi donné au niveau de l’appui coupé D dans la direction de Si résulte en un déplacement δx au droit de la charge P. Ainsi :
Le point d’application de Si se déplace de Δi, Si effectue un travail de : Si.Δi
Le point d’application de P = 1 se déplace de δx. P effectue un travail de : P. δx
Comme il s’agit d’un déplacement virtuel et imaginaire, la somme des travaux qui en résultent est nulle. Soit :
𝐖=𝟎 ⟹
𝐒𝐢. 𝚫𝐢 + P. δx = 0
D’où :
𝐒𝐢 = −
𝜹𝒙 𝐏 𝚫𝐢
*Coefficient d’influence+ = Si
G
Par comparaison à la relation entre la cause et l’effet (page 5), nous avons :
[𝑬𝒇𝒇𝒆𝒕]
= [𝑪𝒂𝒖𝒔𝒆]
𝐒𝐢
= −
𝐏
𝛅𝐱 𝚫𝐢
six désigne le coefficient d’influence, alors : [𝑬𝒇𝒇𝒆𝒕]
𝐒𝐢
= −
𝛅𝐱
M
six = [𝑪𝒂𝒖𝒔𝒆] =
𝐏
𝚫𝐢
Si = six .P
d’où
D’où donc la définition du coefficient d’influence : « Le coefficient d’influence
six d’une charge P sur un effet Si représente la valeur de cet
E
effet pour une charge unitaire P = 1. » De l’expression :
six = −
Il vient que :
𝛅𝐱 𝚫𝐢
Le coefficient d’influence six est proportionnel au déplacement 𝛅 𝐱
Le diagramme de variation de six est semblable au diagramme de 𝛅 𝐱 Autrement dit : Diagramme (six ) = Diagramme Donc :
Li(Si) = Diagramme
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𝛅𝐱 𝚫𝐢 𝛅𝐱 𝚫𝐢
– –
,
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Conclusion : 1 - La ligne d’influence a la forme du diagramme des déplacements 𝛅 𝐱 2 - On passe de "𝛅𝐱 " à « six » c'est-à-dire à la Li(Si) par deux opérations :
Changement de signe et,
Division par le déplacement virtuel 𝚫𝐢
OBSEVATION IMPORTANTE Noter que le déplacement 𝛅 𝐱 correspond à l’effet à l’abscisse x du déplacement 𝚫𝐢. Par conséquent, 𝛅 𝐱 est proportionnel au déplacement 𝚫𝐢. On peut donc écrire que :
𝛅𝐱 = 𝐤 𝐱 . 𝚫𝐢
Les coefficients d’influence sont alors :
G
Le coefficient 𝐤 𝐱 représente alors le déplacement en x correspondant à 𝚫𝐢 = 𝟏.
𝛅𝐱 𝚫𝐢
𝐬𝐢𝐱 = −
=−
𝒌(𝒙)𝚫𝒊 𝚫𝐢
= −𝒌(𝒙)
M
Les coefficients d’influences sont les déplacements correspondant à un déplacement virtuel unitaire 𝜟𝒊 = 𝟏. Exemple d’application du théorème : On considère la structure isostatique suivante. Soit à déterminer la ligne d’influence du moment Mi dans la section i, Li(Mi)
E
Etape 1) – On réalise une coupure simple pour
i
P=1
rendre externe l’effet Si = Mi recherché dans la section i. On introduit donc une rotule en i et on remplace par Mi comme effort externe.
𝜶
x a
Etape 2) – On obtient ainsi un mécanisme plan
b
c
P=1
avec un degré de liberté soumis à l’action de Mi
la charge mobile P = 1 et au moment Mi rendu externe.
𝜶
x a
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b
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c
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Etape 3) – On donne à ce mécanisme un déplacement virtuel 𝚫𝐢 = 1 compatible avec l’effet Si = Mi. Cela revient donc à donner une rotation relative θi = 1 des deux lèvres de la section i dans la direction de Mi. On constate donc que la rotule se déplace vers le haut et les deux corps pivotent autour des appuis. Comme le déplacement virtuel est infiniment petit, chaque section se déplace perpendiculairement à l’axe du corps. Si ∆ 𝐱 désigne le déplacement du point d’application de P = 1, alors le déplacement projeté sur la ligne d’action de P = 1 est :
𝛅𝐱 = ∆𝐱 . 𝒄𝒐𝒔𝜶.
G
Le diagramme des déplacements 𝜹𝒙 se déduit du déplacement 𝜹 par projection sur la verticale. Le travail virtuel s’écrit alors : P. 𝛅 𝐱 + Mi. θi = 0
et d’où : mix= -
𝛅𝐱 𝛉𝐢
La Li(Mi) correspond au diagramme des ordonnées mix qui sont les coefficients
M
d’influence du moment Mi.
𝜽𝒊 = 𝟏
P=1
Diagramme « ∆ 𝐱
»
𝜹 =𝟏
P=1
∆𝐱 =𝟏
Mi
𝜶
𝛅𝐱 =𝟏
E
x
Diagramme « 𝛅 𝐱
»
a
b
c
𝜽𝒊 = 𝟏
P=1
𝜹𝒙 =𝟏 x a
b
𝜽𝒊 = 𝟏
P=1 Li(Mi)
c
𝜹𝒙 =𝟏 x a
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b
c
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Observations : 1) – Donner toujours le déplacement virtuel 𝚫𝐢 = 1 de manière à ce que le travail de l’effet Si soit positif : 𝐒𝐢 . 𝚫𝐢 > 0. 2) – 𝛅 𝐱 est le diagramme des déplacements verticaux (Déplacements projetés sur la ligne d’action de la charge mobile P = 1). 3) – L’équation :
𝐒𝐢 . 𝚫𝐢 + P. δx = 0 avec 𝐬𝐢𝐱 = −
𝛅𝐱 𝚫𝐢
représente l’équation générale des lignes d’influence dans le cas des structures isostatiques.
G
Théorème : Pour obtenir la Li d’une charge sur un effet dans une structure isostatique : 1 – On fait une coupure simple relative à l’effort (coupure d’une seule liaison),
M
2 – On imagine un déplacement virtuel correspondant à un effet positif et compatible avec les liaisons restantes. La Li recherchée a la forme du diagramme des déplacements projetés sur la ligne d’action des charges et s’obtient en changeant de signe et en divisant par le déplacement relatif des deux lèvres de la coupure. Exemple de coupures:
De manière générale, dans toute section i d’une structure plane s’exercent les éléments de
E
réductions à savoir : un moment de flexion Mi, un effort normal Ni et un effort tranchant Ti. Ainsi pour rendre externe l’un de ces trois effets, on peut imaginer les coupures simples suivantes.
1 – Comment rendre externe le Moment Mi
i
Mi
i
Introduction d’une rotule pour rendre externe le moment Mi. On donne un déplacement 𝚫𝐢 = θi = 1 dans la direction de Mi. Toutes les sections se déplacent perpendiculairement à l’axe de l’élément de structure.
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𝚫𝐢 = θi = 1
i
Mi
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2 – Comment rendre externe l’Effort tranchant Ti
i
i On peut imaginer la liaison suivante pour rendre externe l’effort tranchant Ti. On donne un déplacement relatif 𝚫𝐢 = 1 des deux lèvres de la section dans la direction de Ti. Donc d’un côté on tire vers le bas et de l’autre on pousse vers le haut.
Ti
Ti
𝚫𝐢 = 1
i
Toutes les sections se déplacent perpendiculairement à l’axe de l’élément de structure.
G
Droites parallèles
Il est à noter que dans le cas de l’effort tranchant, les variations linéaires de part et d’autre de la section i sont parallèles.
i
M
3 – Comment rendre externe l’Effort Normal Ni
On peut imaginer la liaison suivante pour rendre externe l’effort tranchant Ni.
Ni
E
On donne un déplacement relatif (𝚫𝐢 = 1) des deux lèvres de la section dans la direction de Ni. Donc, on tire des deux côtés dans le sens de Ni. Eventuellement, les déplacements qui en résultent sont perpendiculaires à l’axe de l’élément de structure.
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Ni
i
Ni
i
Ni
𝚫𝐢 = 1
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19
IV – APPLICATION AUX STRUCTURES ISOSTATIQUES RECTILIGNES 1 – Ligne d’influence des réactions : Soit la structure suivante composée de trois poutres articulées entre elles et appuyées comme le montre la figure. Il s’agit de déterminer les lignes d’influence des réactions V 2, V3 et V4, soit respectivement : Li(V2), Li(V3) et Li(V4). CORPS 1
1
CORPS 2
2
4
3
CORPS 3
5
P=1
6
7
Coupure de l’appui 2 et remplacement par V2 comme effort externe
𝚫𝐢 = 1
P=1
1
V2
G
δx
4
3
5
6
7
On donne, ensuite un déplacement 𝚫𝐢 = 1 dans le sens de V2. On constate alors que le
M
corps 1 pivote autour de l’appui 3. La rotule 4 descend vers le bas. Par ailleurs, le corps rigide 3 ayant deux sections fixes (appui 6 et appui 7) reste fixe. La rotule 5 est donc fixe. Il s’en suit que le corps 3 pivote vers le bas autour de 5 et prend la position indiquée sur la figure. La forme obtenue constitue le DIAGRAMME DES DEPLACEMENTS : δx.
Pour obtenir la ligne Li(V2), On divise le diagramme de δx par 𝚫𝐢 = 1 et on change de signe.
E
𝚫𝐢 = 1 P=1
Li(V2)
V2
1
4
3
5
6
7
De la même manière, on remplace l’appui 3 par V3 comme effort externe et on applique le théorème. On obtient ainsi la ligne d’influence de V3.
𝚫𝐢 = 1 P=1 Li(V3) 1
2
V3
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4
5
6
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7
20
De la même manière, on remplace la rotule 4 par V4 agissant sur les deux corps (2 et 3) tout en respectant le principe de l’action et de la réaction. On donne le déplacement relatif 𝚫𝐢 = 1 et on applique le théorème. A remarquer qu’aussi bien le corps 1 que le corps 3 reste fixe. Seul le corps 2 peut pivoter autour de la rotule 5. On obtient ainsi la ligne d’influence de la réaction V4.
𝚫𝐢 = 1 P=1 Li(V4) 1
2
3
5
4
V4
V4
6
7
REMARQUE :
G
Après coupure :
E
M
a) – Identifier les corps rigides qui composent le mécanisme. Chaque corps conduit à une variation linéaire unique des déplacements, b) - Identifier les corps fixes, c) - Voir comment se déplacent les autres corps et appliquer le théorème.
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2 – Ligne d’influence des Moments : Soit à déterminer les lignes d’influence des moments dans les sections i, j, k, l, m et n. k 1
i
j
2
5
4
3
n
m
Coupure et introduction d’une rotule dans la section
P=1 l
6
i
7
pour rendre externe le
moment Mi. On obtient ainsi un mécanisme composé de 4 corps dont le corps « 5-7 » est fixe
k 1
j
i Mi
2
5
4
3
n
m
P=1 l
6
7
G
Li(Mi) : On donne ensuite un déplacement 𝚫𝐢 = θi = 1 (rotation relative des deux lèvres de la section i et on analyse comment se déplace le reste des corps. Noter que les déplacements sont positifs vers le bas, alors que les coefficients d’influence sont de signes contraires à ceux du déplacement !! On obtient ainsi la Li(Mi). 𝒂𝒃 𝚫𝐢 = θi = 1 𝒍
Li(Mi)
b
a
2
i
a
6
4
M
1
3
P=1 L
5
7
b
𝒍
L
pour rendre externe le moment ML. On obtient ainsi un
E
Li(Ml) : Pour déterminer la Li(Mi), on réalise une coupure et on introduit une On donne à ce
rotule dans la section
mécanisme composé de 4 corps dont le corps « 1-4 » est fixe.
mécanisme un déplacement θi = 1 dans le sens de ML et on détermine le déplacement du reste des corps. Ainsi on en tire la ligne d’influence du moment ML. 𝒂𝒃 𝒍
P=1 Li(Mj)
1
4
2
3
5
𝚫𝐢 = θi = 1 b
a
L M L
6 a
7
b 𝒍
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De la même manière on trace le reste des lignes d’influence : Li(Mk), Li(Mj), Li(Mm) et Li(Mn). Remarque importante : Pour une section sur un appui (comme par exemple la section k sur l’appui 2 de l’exemple ci dessus), la rotule introduite pour rendre externe le moment, ne peut se déplacer car elle est attachée à l’appui. Mk
k
Coupure et introduction d’une rotule dans la section
k
pour rendre externe le
G
moment Mk. On donne au mécanisme obtenu un déplacement θi = 1 dans le sens de Mk. Noter que les sections de part et d’autre de la rotule ne subissent pas de déplacement vertical, mais peuvent éventuellement pivoter autour de la rotule. Tenant compte de cette remarque, on peut déterminer la Li(Mk). Remarquer que tous les corps sont fixes à l’exception du corps (1-2).
Mk
M
𝚫𝐢 = θi = 1
i
Li(Mk) 1
k
4
3
2
De même pour la section
n
j
m 5
n
P=1
6
l
7
on introduit une rotule et on donne au mécanisme
E
obtenu un déplacement θi = 1 dans le sens de Mn. On identifie ensuite les corps fixes et on trace le diagramme des déplacements compatibles avec les liaisons restantes. Ainsi on en déduit la Li(Mn).
k
Li(Mn)
𝚫𝐢 = θi = 1
Mn
i
1 2
3
4
5
P=1
6
7
En suivant la même technique, on détermine les lignes d’influence Li(Mj) et Li(Mm).
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3 – Ligne d’influence des Efforts tranchants : Soit à déterminer les lignes d’influence des efforts tranchants dans les sections i, k,L, et n. k 1
o
i
2
j 5
4
3
n
m
P=1 L
6
7
Section i : Coupure et introduction (dans la section i) de la liaison définie ci haut pour rendre externe l’effort tranchant Ti. On obtient ainsi un mécanisme composé de 4 corps dont le corps « 5-7 » est fixe.
k 1
i
o Td i
2 Tg i
j 5
4
3
n
m
P=1 L
6
7
G
On donne ensuite un déplacement 𝚫𝐢 = 1 relative des deux lèvres de la section i et on analyse comment se déplace le reste des corps. Noter que le diagramme présente une discontinuité au niveau de la section i et que, de part et d’autre de la section, les deux variations linéaires sont parallèles. On obtient ainsi la Li(Ti).
𝚫𝐢 = 1
𝑻𝒅𝒊
Li(Ti) 1
o
2
Section
𝒈 𝑻𝒊
i
6
4
M
1
3
P=1
5
7
L : comme précédemment vu, la coupure permet de rendre externe l’effort
E
TL. On obtient ainsi un mécanisme composé de 4 corps dont le corps « 1-4 » est fixe. On donne à ce mécanisme un déplacement Δi = 1 compatible avec TL. On détermine ensuite le déplacement du reste des corps. Et l’on en déduit donc la ligne d’influence de l’effort tranchant TL.
𝚫𝐢 = 1
L 𝑻𝒅 𝒊
P=1 1
o
Li(TL)
4 5
3
2
6
Au niveau de la section L, les efforts tranchants sont : 𝒈
𝑻𝒊 = a/L
et
𝑻𝒅𝒊 = b/L
7 𝒈 𝑻𝒊
=a
b 𝒍
A partir de ces valeurs on pourra calculer n’importe quelle autre ordonnée.
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24
Remarque importante : Pour une section sur un appui (comme par exemple la section « O » sur l’appui 3 de l’exemple ci dessus), le diagramme de l’effort tranchant est discontinue. Il y a lieu donc de 𝒈 distinguer l’effort tranchant à gauche 𝑻𝑶 et l’effort tranchant à droite 𝑻𝒅𝑶 . Pour étudier 𝒈
l’effort tranchant 𝑻𝑶 on imagine une coupure à gauche de l’appui O, à une distance infiniment petite.
∈
O 𝒈
𝑻𝑶 =
𝒈
𝑻𝑶 𝒈 Etude de 𝑻𝑶 : Coupure à gauche de l’appui O, pour rendre externe = l’effort tranchant 𝒈 𝒈 𝑻𝑶 . On donne au mécanisme obtenu un déplacement 𝚫𝐢 = 1 dans le sens de 𝑻𝑶 . Noter 𝒈
G
que la lèvre de gauche se déplace vers le bas, alors que la lèvre de droite ne se déplace pas. Cependant, sous l’effet de 𝑻𝑶 qui pousse vers le haut, le corps de droite pivote autour de l’appui O. D’où le diagramme de déplacement. Et par conséquent la 𝒈
Li(𝑻𝑶 ). 𝚫𝐢 = 1
4
O
m
M
𝒈 Li(𝑻𝑶 )
1
2
5
P=1
n
l
6
3
7
Etude de 𝑻𝒅𝑶 : Coupure à droite de l’appui O, pour rendre externe l’effort tranchant
𝑻𝒅𝑶 . On donne au mécanisme obtenu un déplacement 𝚫𝐢 = 1 dans le sens de 𝑻𝒅𝑶 . Noter
E
que la lèvre de droite se déplace vers le haut, alors que la lèvre de gauche ne se déplace pas. De plus le corps (1-3) ayant deux sections fixes, il reste fixe. Le corps (3-4) étant libre de se déplacer, il subit le déplacement rigide 𝚫𝐢 = 1. D’où le diagramme de déplacement. Et par conséquent la Li(𝑻𝒅𝑶 ).
4 m
Li(𝑻𝒅𝑶 ) 1
2
3
O
𝚫𝐢 = 1
5
n
P=1
6
l
7
𝒈
Noter que la Li(𝑻𝑶 ) et la Li(𝑻𝒅𝑶 ) constitue la ligne d’influence de l’effort tranchant dans la
section « O». L’effort tranchant n’est pas unique au niveau d’un appui. En suivant la même technique, on détermine les lignes d’influence des efforts tranchant au niveau des sections « k » et « n ». EMG-- Cours Li-des structures isostatiques –Version 5_01-
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V – RECHERCHE DE L’ENVELOPPE D’UN EFFET 1 – Enveloppe des Moments La ligne d’influence du moment construite pour une section donnée i permet la détermination du moment maximal positif et maximal négatif (en valeur absolue) qui s’exerce dans la section i sous l’effet d’un système de charge (train de charge) mobile + − données. On peut donc déterminer 𝑀𝑖𝑚𝑎𝑥 et 𝑀𝑖𝑚𝑎𝑥 lorsque i prend différentes positions. La représentation de ces valeurs au droit de la section i donne l’enveloppe des moments. L’enveloppe des moments est spécifique à un train de charge, et est telle que, quelque soit la section considérée J et quelque soit la position du train de charge sur la travée, le moment dans cette section est tel que : + 𝑴+ 𝒋𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑴𝒋 ≤ 𝑴𝒋𝒎𝒂𝒙
G
Ainsi pour tracer l’enveloppe des moments :
On trace les Li(𝑴𝒊 ) pour un certain nombre suffisant de sections.
+ − On détermine pour chaque section les valeurs 𝑀𝑖𝑚𝑎𝑥 et 𝑀𝑖𝑚𝑎𝑥 qui s’y développent sous l’effet d’un train de charge donné.
On porte ces valeurs au droit des sections i.
La courbe obtenue représente l’enveloppe des moments de flexion.
M
Noter que, plus le nombre de sections est élevé, plus l’enveloppe des effets est précise. 2 – Application
Soit à déterminer l’enveloppe des Moments et des efforts tranchants pour le cas de structure suivante, sachant que le train de charge mobile est composé d’une seule charge
E
ponctuelle Q.
Enveloppe des Moments
On trace les lignes d’influence du moment pour différentes sections. d’exemple on donne ci-dessous quelques une de ces lignes. 2
1
1
1 2 1m
5
4
7
6
8
P=1
10
9
1m
Li(𝑴𝟐 )
3
A titre
1 θi = 1
1
1
5
4
6
3 1
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1
1
1
1
1
7 1
8
1
1
P=1
10
9 1
1
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1 26
2
1
3
5
4
7
6
8
1
1
1
1
1
1
1
θi = 1
1
4 2 1m
6 5
3 1
1
1
8
7
P=1
1
10
9
1
1
1
1
1
1 θi = 1
P=1 Li(𝑴𝟖 )
10
9
1m
Li(𝑴𝟒 )
P=1
4 2 1m
10 5
3 1
1
1
1
9
8
7 1
1
1
G
1
6
M
De manière générale, la ligne d’influence d’un effet dans une section, donne les positions de charge qui correspondent à un effet positif et les positions correspondant à un effet négatif. Donc pour chercher la valeur maximale positive du moment 𝑴+ 𝒎𝒂𝒙 , on place la charge Q dans la zone où le moment est de signe positif et où l’ordonnée est maximale. De même, la charge Q placée dans la zone négative de la ligne d’influence et où l’ordonnée est maximale en valeur absolue, produit le moment maximal négatif en valeur absolue 𝑴− 𝒎𝒂𝒙 . − Les valeurs 𝑴+ 𝒎𝒂𝒙 et 𝑴𝒎𝒂𝒙 ainsi déterminées sont portée au droit de chaque
section. On trace alors la courbe correspondant aux valeurs positives et celle correspondant aux valeurs négatives du moment. Les courbes ainsi obtenues représentent l’enveloppe des moments. D’où l’enveloppe des moments.
E
3 4
2 3
2 3
2 3
1
1 4 3
2
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1 3 2
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Enveloppe de l’effort tranchant On trace les lignes d’influence de l’effort tranchant pour différentes sections. A titre d’exemple on donne ci-dessous quelques une de ces lignes. 2
1 1m
3 1
5
4 1
1
7
6 1
5
4
Li(𝑻𝟐 )
1
1
Δi = 1
8
7
6
P=1 9
1
10 1
8
10 9
1m
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Δi = 1
5
1
1
7
6
8
G
4
𝒈 Li(𝑻𝟒 )
1
1
1
1
10 9 1
1
Δi = 1
M
4
Li(𝑻𝟖 )
1
1
1
1
9
8
6 1
1
1
1
10 1
E
Là aussi, la ligne d’influence de chaque section, montre les zones où la charge mobile produit (dans la section considérée) des efforts tranchants soit positifs, soit négatifs avec des − ordonnées maximales en valeur absolue. Les maxima 𝑻+ 𝒎𝒂𝒙 et 𝑻𝒎𝒂𝒙 pour chaque section, sont déterminées en plaçant le train de charge au niveau des ordonnées maximales.Ces valeurs portées, comme ordonnées au niveau de chaque section permettent de tracer une courbe pour les valeurs positives des efforts tranchants et une deuxième courbe pour les valeurs négatives. Les deux courbes constituent ce que l’on appelle l’enveloppe de l’effort tranchant. 1 3
2 3
1
2 3
3 4 1
1
2 3 1
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1 2
1
1 4
1 2
1 4
3 4 1
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28
EXERCICE On considère la structure isostatique suivante soumise à l’action d’un train de charge mobile composé d’une charge uniforme de 15kN/m et de longueur 3m. q = 15kN /m
Train de charge : 3
2
1 1m
1
4 1
1
7
6
5 1
1
8 1
P=1
1
9
10 1
G
1 – Tracer les lignes d’influence du moment dans chacune des sections indiquées cidessus de 1 à 10. 2 – Tracer les lignes d’influence de l’effort tranchant dans chacune des sections cidessus. dans
M
3 – Déterminer les valeurs maximales du moment et de l’effort tranchant chacune des sections, valeurs produites par la charge uniforme q.
E
4 – Tracer l’enveloppe des moments et des efforts tranchants correspondant au train de charge q.
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29
VI – CHARGE INDIRECTEMENT APPLIQUÉE C’est le cas par exemple des tabliers de ponts. Ces tabliers se composent comme indiqué cidessous, de poutres principales de traverses et de longerons. Ainsi, les charges appliquées au tablier sont d’abord transférées vers les longerons qui, à leur tour les transmettent vers les traverses qui s’appuient à leur tour sur les poutres principales. Donc, se sont les poutres transversales qui supportent la totalité de la structure en subissant indirectement les charges appliquées. Traverse
Longeron
A
A
G
Sens de trafic
Poutre principale
Longeron
Traverse
M
P=1
Coupe A-A
Poutre principale
Comme remarqué ci avant, la ligne d’influence d’un effet, se déduit du diagramme des déplacements. Donc pour un effet 𝑺𝒊 dans une section de la poutre principale, on a :
E
Li(𝑺𝒊 ) = Diagramme (six)
=
𝑫𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒎𝒆(−
𝛅𝐱 𝚫𝐢
)
Où 𝛅𝐱 désigne le diagramme des déplacements des longerons. Noter qu’il s’agit toujours du diagramme des déplacements des éléments de structure qui sont directement au contact du trafic (P=1 et train de charge). De ce fait, il faut donc tracer le diagramme des déplacements des longerons sur lesquels s’appliquent directement les charges. Et de ce diagramme on tire la ligne d’influence. Pour cela, on procède alors de la manière suivante : On commence par tracer le diagramme des déplacements pour la structure principale. Diagramme d’ailleurs qui résulte de l’extériorisation de l’effet 𝑺𝒊 et de l’application du déplacement virtuel 𝚫𝐢 = 1 ou θi = 1.
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30
On en déduit la position des traverses sachant qu’elles subissent le même déplacement que les sections sur lesquelles elles reposent.
Enfin, sachant que chaque longeron repose sur deux traverses et que le déplacement est un déplacement rigide, la position des longerons (autrement dit le diagramme des déplacements des longerons 𝛅𝐱) s’en en déduit.
Application Soit à déterminer la ligne d’influence du moment dans une section i de la poutre principale.
L1
L2
Poutre principales, traverses et longerons
P=1
L3
i
θi = 1
G
𝒂𝒃 𝒍
L4
Poutre principale : Cas de la Transmission Directe :
Li(𝑴𝒊 )
b
a
M
l
Longerons: Cas de la Transmission indirecte :
Li(𝑴𝒊 )
L1
L2
𝒂𝒃 𝒍
θi = 1
L3
L4
𝒂 𝒍
𝒃 𝒍
b
a
E
l D’où la règle :
La Li de la transmission indirecte s’obtient de la Li de la transmission directe en recoupant linéairement entre deux traverses successives.
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EXEMPLE Soit à déterminer les lignes d’influence de la réaction verticale de l’appui 1, du moment Mi et de l’effort tranchant dans la section Ti dans le cas de structure suivant.
L1
P=1
L2
i
1
θi = 1
L2
L3
L3
2
Li(𝑴𝒊 ) Δi = 1
Li(𝑽𝟏 )
L2
L3
G
L1
Li(𝑻𝒊 )
M
Δi = 1
Note : On trace la Li(effet) dans le cas de la transmission directe. Ensuite, on recoupe par des segments de droite entre deux traverses successives.
E
Pour une section située au droit d’une traverse, l’effort tranchant est discontinue. Il existerait un 𝑔 effort tranchant à gauche et un effort tranchant à droite, respectivement 𝑇𝑖 et 𝑇𝑖𝑑 . Il s’en suit 𝒈
donc que pour chercher la ligne d’influence de l’effort tranchant, il y a lieu de tracer la Li(𝑻𝒊 ) et Li(𝑻𝒅𝒊 ) vu ci haut pour le cas d’un appui.
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32
VII – ÉTUDE CINÉMATIQUE DES MÉCANISMES PLANS À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ 1 – Définition des centres de rotation On appelle centre absolu de rotation d’un corps, un point fixe par rapport auquel tourne le corps. On appelle centre de rotation relatif (ou centre instantané de rotation noté CIR) de deux corps, un point lié au mouvement de chacun des deux corps et par rapport auquel les deux corps subissent une rotation relative.
Centre instantané de rotation (CIR) des deux corps 1, noté (1,2)
O
δ2
G
Centre de rotation absolu du corps 1, noté (1,0)
B’
(1,2)
B
A
M
δ1
A’
Note : Une faible rotation conduit à des déplacements
δ1 et δ2
qui sont
E
perpendiculaires aux rayons OA et OB. Autrement dit, le centre absolu de rotation est situé sur la normale au déplacement.
2 – Théorème de colinéarité des trois centres instantanés de rotation
Etant donné trois corps I, II et III ayant pour centres instantanés de rotation (1,2), (1,3) et (2,3), pour qu’il y est possibilité de mouvement (rotation ou translation), les trois centres de rotation doivent être colinéaires. Par ailleurs, pour qu’une structure puisse subir un déplacement, il faut qu’elle constitue un mécanisme. Les corps qui constituent ce mécanisme ont donc des centres absolus et des centres instantanés de rotation qu’il y a lieu de les identifier.
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33
Exemple de recherche des centres de rotation instantanés et absolus Exemple 1 : Cas de deux corps I et II munis de deux appuis double et simple. Dans ce cas, les deux corps forment un mécanisme qui peut donc se déplacer. En fait, nous avons un mécanisme composé de TROIS corps : Corps I, corps II et le Terrain. Les centres sont donc : (1,0), (1,2) et (2,0). Les centres (1,0) et (2,0) sont des centres absolus de rotation des corps I et II par rapport au terrain désigné par le chiffre (0). Comme nous avons un mécanisme, les trois centres sont alignés.
L’appui double correspond au centre de rotation absolu du corps I, soit (1,0). La rotule interne correspond au centre instantané de rotation (1,2) du corps I par rapport au corps II. Lorsque le corps II se déplace, l’appui simple ne peut que glisser que horizontalement. Donc le centre absolu de rotation (2,0) se trouve sur la verticale menée de l’appui B.
(2,0) (1,2)
G
A
B
Corps I
Corps II
(1,0)
M
Autrement dit, le centre (2,0) est situé à la fois sur la droite (1,0)-(1,2) et sur la normale en B. Donc le centre (2,0) est à l’intersection des deux droites.
E
Exemple 2 : On considère un mécanisme composé de trois corps I, II, III et le Terrain. Les différents centres sont comme suit : (1,0), (2,0), (3,0), (1,2), (1,3) et (2,3). L’identification des centres évidents sont comme suit :
Le centre (1,0) correspond à l’appui double A, Le centre (3,0) correspond à l’appui B, Le centre instantané de I par rapport à II est la rotule (1,2) Le centre instantané de II par rapport à III est la rotule (2,3)
Détermination du centre (2,0) : Etant donné que l’on a un mécanisme, alors :
Le centre (2,0) se trouve sur la droite (2,1)-(1,0), et Sur la droite (2,3)-(3,0)
Donc le centre (2,0) se trouve sur l’intersection des deux droites.
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Détermination du centre (1,3) : Etant donné que l’on a un mécanisme, alors :
Le centre (1,3) se trouve sur la droite (1,2)-(2 ,3), et Sur la droite (1,0)-(0,3)
Donc le centre (1,3) se trouve sur l’intersection des deux droites.
(1,2)
(2,0)
Corps I
(2,3) Corps II
Corps III
A
(1,3)
(1,0)
(3,0)
G
B
3 – Diagramme des déplacements projetés sur la verticale a)- Cas de deux corps :
M
Considérons deux corps I et II formant un mécanisme dont les centres instantanés de rotation sont colinéaires. Direction d’application des charges
Θ1
ΔA
A
r
Corps II
A’
X
E
(1,0)
O
α
(2,0)
(1,2)
Corps I
O’ Θ1
δX
(1,0)
Θ2
(2,0)
Diagramme des déplacements projetés sur la verticale pour les deux corps
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35
Supposons qu’au cours du déplacement du mécanisme, le corps I subit une petite rotation θ1 vers le bas autour du centre absolu (1,0). De ce fait, le point A se déplace perpendiculairement au rayon OA = r.
Le déplacement réel ΔA s’écrit : ΔA = rA. θ1
Le déplacement projeté sur la verticale (ligne d’action des charges) s’écrit : δA = ΔA . cos α = (rA. θ1). cos α δA = (rA. cos α). θ1
Soit donc : δA = θ1. XA
G
Avec : XA = (rA. cos α) représente l’abscisse du point A.
Sachant que la rotation θ1 est unique pour tout le corps I, On en déduit que : Le déplacement du point A est proportionnel à son abscisse, Tous les points M, de même abscisse XM subissent le même déplacement vertical. Le déplacement projeté sur la verticale est une variation linéaire d e XM Cette variation linéaire s’annule pour XM = 0, autrement dit au niveau du centre absolu ‘(1,0).
M
E
On pourra donc tracer, par rapport à un axe de référence, le diagramme des déplacements pour le corps I (voir ci haut). De la même manière, si θ2 est la rotation du corps II par rapport au centre (2,0), le déplacement projeté sur la verticale du corps II est une fonction linéaire qui s’annule au niveau de (2,0). Par ailleurs, le centre relatif de rotation (1,2) du corps I par rapport à II, est un point lié au mouvement des deux corps. Donc, lorsque le mécanisme se met en mouvement, le point (1,2) se déplace tout en suivant aussi bien le mouvement du corps I et du corps II. Il s’en suit donc que, les deux variations linéaires du corps I et du corps II, se rencontrent sur la verticale issue du centre (1,2).
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Propriétés des diagrammes projetés sur la vertical
A un corps rigide correspond une variation linéaire unique qui s’annule sur la verticale du centre absolu de rotation et qui a une pente égale à la rotation du corps.
Pour deux corps différents, les variations linéaires sont concourantes sur la verticale du centre de rotation relatif.
a)- Cas de plusieurs corps : Soit à déterminer le diagramme des déplacements δX projetés sur la ligne d’action des charges des corps constituants le mécanisme suivant composé des corps I, II, III et le Terrain. Les centres de rotation sont : (1,0), (2,0), (3,0), (1,2), (2,3) et (1,3).
-
Le centre absolu (1,0) correspond à l’appui double du corps I, Le centre absolu (3,0) correspond à l’appui double du corps III, Le centre de rotation relatif (1,2) entre les corps I et corps II, correspond à la rotule liant les deux corps, De même la rotule qui lie les corps II et III correspond au centre relatif (2,3).
M
-
G
Les centres évidents sont :
Les centres (2,0) et (1,3) se déterminent comme suit : -
Le centre (2,0) appartient à la fois à la droite (2,1)-(1,0) et à la droite (2,3)-(3,0). Il se trouve donc à leur intersection. Le centre (1,3) appartient à la fois à la droite (1,0)-(0,3) et à la droite (1,2)-(2,3). Il se trouve donc à leur intersection.
E
Une fois les centres localisés, on imagine une rotation de l’un des corps par rapport à son centre de rotation absolu et on déduit tous les diagrammes en respectant les propriétés des diagrammes projetés sur la ligne d’action des charges.
Ainsi, pour cet exercice, on suppose que le corps I subit une rotation θ1 vers le bas par rapport au centre (1,0). La variation linéaire correspondant au corps I, s’annule au droit de (1,0) et est situé du côté bas de la ligne de référence. Le déplacement de l’extrémité du corps I correspond au déplacemtie aussi du corpsent du centre relatif (1,2). Or, ce centre fait partie du corps II aussi. Donc, le diagramme linéaire des déplacements du corps II passe par ce point et s’annule à la verticale du centre (2,0). Ce diagramme se limite au corps II. EMG-- Cours Li-des structures isostatiques –Version 5_01-
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Le déplacement de l’extrémité droite du corps II correspond au déplacement du centre relatif (2,3) qui fait partie du corps III. Le diagramme linéaire du déplacement du corps III part de ce point et s’annule sur la verticale menée du centre (3,0) et est limité au corps III.
(1,2)
(2,0)
Corps I
(2,3) Corps II
Corps III
A
(1,3)
δX
θ1
(1,0)
B
(3,0)
G
(1,0)
(2,0)
(2,3)
(3,0)
M
(1,2) (1,3)
E
Diagramme des déplacements projetés sur la verticale pour les trois corps
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VIII – APPLICATION AUX LIGNES D’INFLUENCE POUR LES ARCS À TROIS ARTICULATIONS Considérons la structure isostatique composée des deux corps I et II formant un arc à trois articulations soumis à une charge verticale P = 1 mobile. Supposons que l’on demande de déterminer la ligne d’influence d’un effet Si dans une section i. Comme remarqué ci avant, la ligne d’influence d’un effet, se déduit du diagramme des déplacements. Donc pour un effet 𝑺𝒊 dans une section de la poutre principale, on a : Li(𝑺𝒊 ) = Diagramme (six)
=
𝑫𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒎𝒆(−
𝛅𝐱 𝚫𝐢
)
G
Où 𝛅𝐱 désigne le diagramme des déplacements des corps. Noter qu’il s’agit toujours du diagramme des déplacements des éléments de structure qui sont directement au contact du trafic (P=1 et train de charge).
δX des
De ce fait, il faut d’abord déterminer le diagramme
déplacements des différents
corps sur lesquels s’appliquent directement les charges. Et de ce diagramme on tire la ligne d’influence.
M
a) – Soit à déterminer la ligne d’influence de la réaction horizontale de l’appui 1 : Li(𝑯𝟏 ) - Pour étudier la Li(H1), on coupe la liaison unique correspondant à la réaction horizontale H1 et on remplace par H1 comme charge externe
(1,2)
P=1
II I (2,0)
E
(1,0) (1,2)
P=1
- L’appui double devient donc un appui simple avec H1 comme force externe.
H1
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II I (1,0)
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(2,0)
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(1,0)
- On obtient ainsi un mécanisme plan à un degré de liberté composé des deux corps I et II dont les centres de rotation sont : (1,0), (1,2) et (2,0) doivent être localisés.
θ1 h P=1
- On donne ensuite un déplacement virtuel
Δi = 1 compatible avec H1. Ce déplacement étant horizontal, le corps I subit une rotation θ1 vers le haut autour du centre absolu (1,0). Donc : H1
(1,0) se trouve sur la normale à Δi = 1 et sur la droite (1,2)-(0,2) Le diagramme linéaire du corps I sera situé vers le haut avec une pente égale à θ 1. Comme Δi = 1 est un infiniment petit, l’angle θ1 est petit. Ainsi :
(2,0)
Δi = 1
A
d1
(1,2)
tan(θ1) = θ1 =
𝟏 𝒉
d2 θ2
(1,0)
θ1
(θ1.d1)
x
(2,0)
δx = (θ1.x)
avec h = Distance verticale séparant l’appui A du centre absolu
(1,0). Le déplacement vertical du centre de rotation relatif (1,2) vaut : (θ1.d1)
M
II
G
(1,2)
I
Connaissant le déplacement de ce centre qui appartient aussi au corps II, on déduit le diagramme linéaire du corps II qui s’annule à la verticale du centre (2,0). Le corps II subit donc une rotation θ2 =
𝛉𝟏.𝐝𝟏 𝐝𝟐
.
On obtient ainsi le diagramme des déplacements projetés
sur la ligne d’action de la charge P = 1, noté diagramme δx. Le déplacement vertical d’un point du corps I qui se trouvant à l’abscisse x, vaut
E
δx = (θ1.x)
La Li(𝑯𝟏 ) s’obtient en changeant de signe le diagramme des déplacement et en
divisant par Δi = 1.
Noter que la Li(𝑯𝟏 ) est identique (au signe près) au diagramme δx.
Conclusion : Les étapes à suivre pour définir la Li(effet) sont comme suit :
a)- Après avoir rendu externe l’effet recherché, on défini les centres de rotation absolus et relatifs des différents corps, b)- On donne ensuite un déplacement virtuel Δi = 1, compatible avec l’effet recherché et on en déduit le diagramme des déplacements δx d’où l’on tire la Li(𝑺𝒊 ).
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40
b) – Soit à déterminer la ligne d’influence de la réaction verticale de l’appui 1 : Li(𝑽𝟏 ) - V1 rendu externe,
(1,2) P=1
- On localise les centres de rotation absolus et relatifs,
II
- On donne Δi = 1,
I
(2,0)
θ1
- La rotation du corps I est 𝟏
(1,0)
Δi = 1
θ1 = , 𝐡
d1
V1
h
θ1
(θ1.h)
θ2 = [θ1.(h-d1)]/d2 θ1.(h-d1)
M
- La Li(𝑯𝟏 ) est obtenue en changeant le signe algébrique du diagramme des déplacements.
d2
G
- On trace le diagramme des déplacements du corps I, et on en déduit, de proche en proche, le diagramme du reste de la structure,
c) – Soit à déterminer la ligne d’influence du moment dans une section i : Li(𝑴𝒊 ) (2,0)
- Rendre externe le moment Mi en introduisant une rotule en i,
(1,2)
P=1
- Ainsi, le mécanisme est formé des corps I, II, III et le terrain,
E
III II (3,0)
Mi
- Localiser les centres de rotation,
I
- Donner θi = 1 compatible avec Mi,, et voir dans quelle direction pivote le corps I par rapport au centre (1,0) - Tracer le diagramme des déplacements et en déduire la
(2,3)
(1,0)
d2
d1
d3 θi=1
a
Li(𝑴𝒊 ).
(2,0)
(3,0)
=1
(1,0)
(a.b)/L
a
b L
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d) – Soit à déterminer la ligne d’influence de l’effort tranchant dans une section i : Li(𝑻𝒊 ) Remarque : Lorsque deux corps glissent l’un par rapport à l’autre suivant un plan, alors le centre de rotation relatif des deux corps serait situé à l’infini et est localisé sur la normale au déplacement. Dans le présent cas, la coupure définie deux corps distincts I et II. On procède alors de la manière suivante. (1,2) se trouve à l’infini - Coupure pour rendre externe l’effort Ti - Ainsi, le mécanisme obtenu est formé des corps I, II, III et le terrain,
(2,3)
P=1
G
- Localiser les centres de rotation,
Tangente en i
II
(2,0)
I
Ti
(3,0)
M
- Donner Δi = 1 compatible avec Ti,, et voir dans quelle direction pivote le corps I par rapport au centre (1,0). Δi est le déplacement relatif entre les lèvres de la section.
III
- Noter que chaque corps conduit à une variation linéaire. Les variations linéaires des corps I et II sont parallèles car le centre (1,2) est à l’infini.
(1,0)
cos(αi)
- Tracer le diagramme des déplacements
E
et en déduire la Li(𝑻𝒊 ). Note : Δi étant porté par la tangente en
i, la projection de ce déplacement sur la ligne d’action de P=1 est :
θ1 = (1/L)
a
b L
δi = Δi .Cos(αi) = cos(αi) ; αi étant l’angle que fait la tangente en i avec l’axe horizontal. C’est
cos(αi)
qui détermine l’échelle des ordonnées de la ligne d’influence.
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42
d) – Soit à déterminer la ligne d’influence de l’effort Normal dans une section i : Li(𝑵𝒊 ) Remarque : De la même manière que précédemment, lorsque deux corps glissent l’un par rapport à l’autre suivant un plan, alors le centre de rotation relatif des deux corps serait situé à l’infini et est localisé sur la normale au déplacement. Dans le présent cas, la coupure définie deux corps distincts I et II. On procède alors de la manière suivante. (1,2)
(2,0) (1,2) se trouve à l’infini
G
Normale à la Tangente en i (2,3)
P = 1 Ni
III
M
I II
(3,0)
(1,0)
L
θ1 = sin(αi)/L
E
Li(𝑵𝒊 )
sin(αi) (2,3)
- Coupure pour rendre externe l’effort Ni - Ainsi, le mécanisme obtenu est formé des corps I, II, III et le terrain, - Localiser les centres de rotation, - Donner Δi = 1 compatible avec Ni,, et voir dans quelle direction pivote le corps I par rapport au centre (1,0). Δi est le déplacement relatif entre les lèvres de la section.
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- Noter que chaque corps conduit à une variation linéaire. Les variations linéaires des corps I et II sont parallèles car le centre (1,2) est à l’infini. - Tracer le diagramme des déplacements et en déduire la Li(𝑵𝒊 ). Note : Δi étant porté par la tangente en i, la projection de ce déplacement sur la
ligne d’action de P=1 est : δi = Δi .Sin(αi) = sin(αi) ; αi étant l’angle que fait la tangente en i avec l’axe horizontal. C’est
sin(αi)
qui détermine l’échelle des ordonnées de la ligne d’influence.
G
Exercice On donne la structure suivante composée de deux demi-portiques articulés entre eux. P=1 D
C
E
F
M
3
G
5
A
2
2
2
1
1
3
E
2
B 1
1 H
I
J
On demande de tracer les lignes d’influence des effets suivants : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
– Réaction horizontale en A – Réaction verticale en B – Moment et effort tranchant dans la section D – Moment et effort tranchant dans la section E – Moment et effort tranchant dans la section F – Moment et effort tranchant dans la section G – Effort Normal dans la section G – Moment et effort tranchant dans les sections H, I et J.
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IX – APPLICATION AUX LIGNES D’INFLUENCE DANS LES TREILLIS Les treillis sont des structures composées de barres articulées entre elles dans les nœuds. Les nœuds sont des articulations parfaites nommées aussi rotules. Les charges, dans le cas des treillis, sont appliquées uniquement dans les nœuds. De ce fait, la transmission des charges est indirecte. Donc les treillis font partie des structures où les charges sont indirectement appliquées. Les charges sont transmises dans les nœuds par le biais du système de traverses te longerons. Les hypothèses : nœud parfaitement articulé et charges appliquées dans les nœuds font que tous les éléments de réductions dans une section d’une barre quelconque sont nuls à l’exception de l’effort normal. Effort d’ailleurs constant dans la barre considérée.
G
L’étude donc des lignes d’influence dans les treillis correspond à l’étude de la variation de l’effort normal dans une barre lorsque la charge unitaire P = 1 est mobile. La mobilité de cette charge se fait évidemment sur les longerons. 1 – Remarque
M
Etant donné deux corps I et II ayant comme centre relatif de rotation le point (1,2). Soit A un point du corps I et B un point du corps II. On applique en A et en B deux forces N égales et directement opposées le long de la droite (AB). Supposons que les deux forces ainsi appliquées produisent un déplacement ΔAB infiniment petit des point A et B. Le déplacement ΔAB et soit un raccourcissement, soit un allongement du segment AB. Le mouvement de A par rapport à B le long de (AB), s’accompagne d’une rotation relative
E
θ12 des deux corps autour du centre instantané de rotation (1 ,2). Compte tenu du fait que ΔAB est petit, on a :
ΔAB = θ12.h12 et d’où : θ12 = (ΔAB/ h12)
Où h12 désigne la distance du centre (1,2) par rapport à la droite (AB). (1,2)
θ12 est en RADIAN
AA
N N
h12
θ12
N
B
ΔAB EMG-- Cours Li-des structures isostatiques –Version 5_01-
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2 – Lignes d’influence de l’effort normal dans les treillis Comme mentionné ci haut, la transmission se fait par le biais des traverses et des longerons. Les traverses sont appuyées sur les nœuds et supportent les longerons sur lesquels la charge unitaire P = 1 est mobile. P=1
5
6
7
4
1 L1
2
L2
3
L3
G
EXEMPLE : Soit à déterminer la ligne d’influence de l’effort normal dans la barre (1-2), N12. Toujours selon le même principe, on réalise une coupe pour rendre externe l’effort N12. On obtient ainsi un mécanisme plan à un degré de liberté.
On identifie ensuite les corps rigides qui constituent le mécanisme,
On identifie les corps fixes,
On détermine les centres de rotation absolus et relatifs,
On donne un déplacement Δi = 1 compatible avec N12,
E
M
On en déduit ensuite le diagramme des déplacements δx pour le cas de la transmission directe.
On coupe ce diagramme par des segments de droite (longerons) reliant deux traverses successives. On obtient ainsi le diagramme des déplacements δx des longerons,
La Li(𝑵𝟏𝟐 ) s’obtient en changeant le signe du diagramme δx des longerons et en divisant par Δi = 1.
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P=1
H
5
Corps II
6
7
Corps I
1
N12
3
2
4
- Coupure définie deux corps I et II : BARRE (1-5) et reste du treillis. - Appui 1 = centre absolu (1,0)
- Rotule 5 = centre relatif (1,2),
- Centre absolu (2,0) = l’intersection de la droite (1-5) avec la normale à l’appui 4. - On donne Δi = 1 dans la direction de N12. La rotation relative des deux corps par
rapport au centre relatif (rotule 5) est :
θ12 = (ΔAB/ h12) avec h12 = H. On a donc
G
θ12=(1/H). La rotation du corps I et θ1= (D/L) avec D = (θ 12 . b) = (b/H). D’où : θ1 = b/(HL), et le centre relatif (1,2) se déplace de (a.b)/(HL) θ2 = a/(HL) θ1=b/(HL)
D
θ2=a/(HL)
θ 12=(1/a)
M
δx Pour Transmission DIRECTE
a
b
c
L
δx Pour Transmission
θ 12=(1/a)
E
INDIRECTE
θ 2 . c = (ac)/(HL) θ 12=(1/a)
Li(𝑵𝟏𝟐 ) θ 2 . c = (ac)/(HL)
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3 – Exercices 3.1 - Pour le treillis ci haut, tracer les lignes d’influence de l’effort normal dans chacune des barres (1-5), (5-6), (2-6) et (2-3). 3.2 – On considère la structure suivante. D
E
P=1 3m
F
L
A
k 2m
2m
C
B 6m
2m
6m
G
2
On demande de tracer les lignes d’influence pour les efforts suivant : – Réaction au niveau de l’appui F, – Moment dans la section k, – Effort tranchant dans la section K, – Effort normal dan la section L, – Moment dans la section L
f) g) h) i) j)
M
a) b) c) d) e)
– Effort tranchant dans la section L – Effort normal dans la barre AB, – Effort normal dans la barre DE, – Effort normal dans la barre BD, – Effort normal dans la barre EC,
E
3.3 – On considère la structure suivante.
3
k
C
L
A
3m
2
P=1
4m
B 2
4m
3m
4m
4m
On demande de tracer les lignes d’influence suivantes : a) – Moment de flexion dans la section K, b) – Effort tranchant dans la section K, c) – Moment de flexion et effort tranchant dans la section L.
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3.4 – La structure suivante est un pont en treillis articulé. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande : a) – D’identifier les barres qui ne travaillent pas quelque soit la position des charges. b) – De déterminer les lignes d’influence pour les barres DH, EF, BF, AE et BC. c) – De déterminer pour chacune des barres ci-dessus, les valeurs maximales de traction et de compression. H
I
P=1
2m
D F
E
G
A 2m
2m
CC
G
B
2m
2m
2m
2m
2m
3.5 – La structure suivante est un pont composé d’éléments articulés. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande :
E
M
a) – Vérifier l’isostaticité de la structure. b) – Tracer les lignes d’influence des efforts suivants : - La réaction verticale de l’appui A. - La réaction horizontale de l’appui A. - Le moment de flexion dans les sections : G, H, I et J. - L’effort tranchant dans les sections : G, H, I et J. - L’effort normal dans les sections G et I.
2
3m
J
2
H
F
G
3m
E
D
3m
3m
4m
5 A
P=1
I 4
2
C 2
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4m
2
2
5
4 B
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3.6 – La structure suivante est un pont composé d’un demi portique et d’un treillis. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande de tracer les lignes d’influence : a) – Moment de flexion en A ; b) – Réaction horizontale en A ; c) – Réaction verticale en A ; d) – Effort normal dan la barre BE ;
e) – Effort normal dan la barre EF ; f) – Effort normal dan la barre CF ; g) – Effort normal dan la barre CD ; h) – Réaction verticale dans l’appui D ;
E
F
P=1 2m
C
6m
A 2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
E
M
2m
D
G
B
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3.7 – La structure suivante est un pont composé d’un portique isostatique à trois articulations supportant une structure en treillis. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande de tracer les lignes d’influence : a) – Réaction horizontale en A ; b) – Réaction verticale en A ; c) – Effort normal dan la barre EH ; d) – Effort normal dan la barre EG ;
e) – Moment de flexion en K f) – Effort normal dan la barre GF ; g) – Effort normal dan la barre CD ; h) – Réaction verticale dans l’appui D ; i) – Effort tranchant en K P=1
F
H 4m
G
D
4m
4m
4m
4m
E
G
L
4m
3m
1.5
2m
K A 2
2m
B
4m
4m
2 2
E
M
2
2
C
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EXEMPLE D’EXAMENS ET DE CONTRÖLES EX. 1 – La structure suivante est un pont constitué d’un demi portique et d’une poutre. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande les lignes d’influence indiquées cidessous. P=1
N
E
4m
4m
4m
2m
G
B 2m
2m
C 2m
6m
A
G
Li(MA)
Li(MN)
g
d
Li(T G)
M
Li(T G)
E
Li(VC)
g
Li(T E)
d
Li(T E) )
Li(ME)
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52
EX. 2 – La structure suivante est un pont en treillis articulé, supporté par une structure constituée par DEUX demi - portiques. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande les lignes d’influence indiquées ci-dessous. (13 points) P=1
K
D F
2m
G
2m
2m
2m
N
E
4m
1
B
H
A 2m
C 2m
2m
E
Li(VA)
2m
M
Li(NFB)
Li(NFG)
2m
G
2m
4m
1
Li(HC)
Li(MN)
Li(TN)
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EX. 3 – La structure suivante est un pont en treillis articulé. Le trafic se fait au niveau des longerons. On demande les lignes d’influence indiquées ci-dessous. (7 points) P=1
D E
2m
G
H
F
2m
2m
2m
B
A 2m
2m
2m
2m
2m
2m
G
Li(NFB)
C
E
Li(VA)
M
Li(NFG)
Li(HC)
Li(MN)
Li(TN)
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