1 Lignes D - Influences [PDF]

Zitiervorschau

Chap 1 : LIGNES D'INFLUENCUES

 Les lignes d'influences sont obtenues pour une section donnée x.

fig 1

 Dans le cas des poutres, ces lignes d'influences sont déterminées pour les moments fléchissants et les efforts tranchants.  Ils sont obtenus en faisant un balayage d'une charge unitaire (P=1) le long de la poutre et en cherchant le moment fléchissant ou l'effort tranchant dans la section x considérée.  On écrit pour les lignes d'influences des moments fléchissants : Li "M X" et ceux des efforts tranchants : Li "Tx". 1 C a s d ’ u n e poutre sur appuis simples  Les lignes d'influences des moments fléchissants et des efforts tranchants sont présentées dans la Figure 2 ci-après.

 Pour les moments fléchissants, la ligne d'influence d'une poutre sur appuis simples est une ligne brisée dont le sommet, y, est donnée par:

𝑦=

𝑥 (𝐿 − 𝑥) 𝐿

 Pour les efforts tranchants, la ligne d'influence est formée par deux parties (Figure 2): fig 2: Lignes d'influences des moments fléchissants et des efforts tranchants dans une section x

une partie positive d'extrémité, y', tel que:

𝑦′ = 1 − et une partie négative d'extrémité :

𝑦′ =

𝑥 𝐿

−𝑥 𝐿

 Les valeurs des ordonnées y1 ou y2 sont déterminées à partir de la règle des triangles semblables :

𝑦1 = 𝑦.

𝑥1 𝑥

𝑦2 = 𝑦.

𝑥2 𝐿−𝑥

𝑎𝑣𝑒𝑐

𝑦=

𝑥 (𝐿 − 𝑥) 𝐿

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Exemple d’application : Lignes

d'influence

des

moments

fléchissants à x = L/2 (au milieu de la travée) et les lignes d'influences des efforts tranchants à x = 0 (Réaction d'appui).

Fig 3 : Lignes d'influences des moments fléchissants à x= L/2 et lignes d'influences des efforts tranchants à la section x=0.

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Exploitation des lignes d'influences.

a- Cas d’une charge concentrée P. Dans ce cas :

𝑀𝑥 = 𝑃. 𝑦 𝑇𝑥 = 𝑃. 𝑦′ y : ordonnée correspondant à P sur la Li de Mx. y' : ordonnée correspondant à P sur la Li de Tx.

Figure 4 : Charge concentrée P appliquée à une distance d.

b- Cas de plusieurs charges concentrées Pi di. Dans ce cas:

𝑛

𝑀𝑥 =

𝑃𝑖 . 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛

𝑇𝑥 =

𝑃𝑖 . 𝑦𝑖 ′ 𝑖=1

yi : ordonnée correspondant à Pi sur le Li de Mx. Yi’ : ordonnée correspondant à Pi sur le Li de Tx.

Figure 5 : Plusieurs charges concentrées Pi appliquée à une distance di.

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c- Cas d’une charge répartie, q, sur une longueur c. Dans ce cas :

𝑀𝑥 = 𝑞. 𝜔 𝑇𝑥 = 𝑞. 𝜔′  : aire de la ligne d'influence de Mx comprise entre y1 et y2 ’ : aire de la ligne d'influence de Tx comprise entre y’1 et y’2

1 𝑦 + 𝑦2 . 𝑐 2 1 1 𝜔′ = 𝑦′1 + 𝑦′2 . 𝑐 2

𝜔= 𝑒𝑡

Figure 6 : Charge concentrée P appliquée à une distance d.

3- Cas d’autres poutres isostatiques a- Console. Figure 7: Lignes d'influence des moments et des efforts tranchants pour une console.

b- Poutre avec console  Pour une section entre les appuis, on la traite comme si c'était une poutre sur appui simple, puis on extrapole linéairement sur les consoles.  Les ordonnées de rive sont retrouvés à partir de l'ordonnée de la Ligne d'influence en "x" et connaissant les différentes distances (triangles semblables).  Ces ordonnées sont notées sur la figure 8. Ainsi, on voit que lorsque la charge est en travée, elle n'a pas d'effet sur les consoles (section x'). Figure 8: Lignes d'influence des moments fléchissants et des efforts tranchants pour une poutre console.

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