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Chap 1 : LIGNES D'INFLUENCUES
Les lignes d'influences sont obtenues pour une section donnée x.
fig 1
Dans le cas des poutres, ces lignes d'influences sont déterminées pour les moments fléchissants et les efforts tranchants. Ils sont obtenus en faisant un balayage d'une charge unitaire (P=1) le long de la poutre et en cherchant le moment fléchissant ou l'effort tranchant dans la section x considérée. On écrit pour les lignes d'influences des moments fléchissants : Li "M X" et ceux des efforts tranchants : Li "Tx". 1 C a s d ’ u n e poutre sur appuis simples Les lignes d'influences des moments fléchissants et des efforts tranchants sont présentées dans la Figure 2 ci-après.
Pour les moments fléchissants, la ligne d'influence d'une poutre sur appuis simples est une ligne brisée dont le sommet, y, est donnée par:
𝑦=
𝑥 (𝐿 − 𝑥) 𝐿
Pour les efforts tranchants, la ligne d'influence est formée par deux parties (Figure 2): fig 2: Lignes d'influences des moments fléchissants et des efforts tranchants dans une section x
une partie positive d'extrémité, y', tel que:
𝑦′ = 1 − et une partie négative d'extrémité :
𝑦′ =
𝑥 𝐿
−𝑥 𝐿
Les valeurs des ordonnées y1 ou y2 sont déterminées à partir de la règle des triangles semblables :
𝑦1 = 𝑦.
𝑥1 𝑥
𝑦2 = 𝑦.
𝑥2 𝐿−𝑥
𝑎𝑣𝑒𝑐
𝑦=
𝑥 (𝐿 − 𝑥) 𝐿
1
Exemple d’application : Lignes
d'influence
des
moments
fléchissants à x = L/2 (au milieu de la travée) et les lignes d'influences des efforts tranchants à x = 0 (Réaction d'appui).
Fig 3 : Lignes d'influences des moments fléchissants à x= L/2 et lignes d'influences des efforts tranchants à la section x=0.
2-
Exploitation des lignes d'influences.
a- Cas d’une charge concentrée P. Dans ce cas :
𝑀𝑥 = 𝑃. 𝑦 𝑇𝑥 = 𝑃. 𝑦′ y : ordonnée correspondant à P sur la Li de Mx. y' : ordonnée correspondant à P sur la Li de Tx.
Figure 4 : Charge concentrée P appliquée à une distance d.
b- Cas de plusieurs charges concentrées Pi di. Dans ce cas:
𝑛
𝑀𝑥 =
𝑃𝑖 . 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛
𝑇𝑥 =
𝑃𝑖 . 𝑦𝑖 ′ 𝑖=1
yi : ordonnée correspondant à Pi sur le Li de Mx. Yi’ : ordonnée correspondant à Pi sur le Li de Tx.
Figure 5 : Plusieurs charges concentrées Pi appliquée à une distance di.
2
c- Cas d’une charge répartie, q, sur une longueur c. Dans ce cas :
𝑀𝑥 = 𝑞. 𝜔 𝑇𝑥 = 𝑞. 𝜔′ : aire de la ligne d'influence de Mx comprise entre y1 et y2 ’ : aire de la ligne d'influence de Tx comprise entre y’1 et y’2
1 𝑦 + 𝑦2 . 𝑐 2 1 1 𝜔′ = 𝑦′1 + 𝑦′2 . 𝑐 2
𝜔= 𝑒𝑡
Figure 6 : Charge concentrée P appliquée à une distance d.
3- Cas d’autres poutres isostatiques a- Console. Figure 7: Lignes d'influence des moments et des efforts tranchants pour une console.
b- Poutre avec console Pour une section entre les appuis, on la traite comme si c'était une poutre sur appui simple, puis on extrapole linéairement sur les consoles. Les ordonnées de rive sont retrouvés à partir de l'ordonnée de la Ligne d'influence en "x" et connaissant les différentes distances (triangles semblables). Ces ordonnées sont notées sur la figure 8. Ainsi, on voit que lorsque la charge est en travée, elle n'a pas d'effet sur les consoles (section x'). Figure 8: Lignes d'influence des moments fléchissants et des efforts tranchants pour une poutre console.
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