TD de Mécanique: Exercice N°1 [PDF]

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TD de Mécanique Outils et opérations mathématiques Exercice N°1 2 −1 0 ⃗⃗ ( 4 ) et 𝐶⃗ (−2) Dans une base orthonormée, on donne trois vecteurs 𝐴⃗ ( 1 ) ; 𝐵 −3 5 2 ⃗⃗ ; Calculer a) 𝐴⃗ ∙ 𝐵

⃗⃗ ∙ 𝐶⃗ b) 𝐵

⃗⃗⋀𝐶⃗ c) 𝐵

⃗⃗⋀𝐶⃗) d) 𝐴⃗⋀(𝐵

Exercice N°2 ⃗⃗ = (−1; 2; 2) et 𝑉 ⃗⃗ = (0; 1; 2) Par rapport au repère (𝑖⃗; 𝑗⃗; 𝑘⃗⃗) orthonormé direct, soit 𝑈 ⃗⃗. 𝑉 ⃗⃗ et l’angle 𝜑 = (𝑈 ⃗⃗̂ ⃗⃗). a) Calculer le produit scalaire 𝑈 ,𝑉 ⃗⃗ et 𝑉 ⃗⃗ . b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑈 ⃗⃗ ⋀ 𝑉 ⃗⃗. Calculer ‖𝑊 ⃗⃗⃗⃗ ‖ par deux méthodes différentes. c) On pose 𝑊 Cinématique du point matériel Exercice N°3 : Mouvement supposé rectiligne Un car de la compagnie ELITIS quitte Ouagadougou en partance pour Bobo Dioulasso à 8h00. Il roule à la vitesse moyenne de 110km/h. Un second car, de la compagnie TCV, quitte Bobo Dioulasso à 7h30 en direction de Ouagadougou. Ce dernier arrive effectivement à destination à 12h30. a) Calculez la vitesse moyenne du second car. b) Etablissez l’équation horaire du mouvement de chaque car en considérant comme point d’observation Ouagadougou et comme origine des temps le départ du car ELITIS. c) Reprendre la question précédente en considérant comme origine des temps le départ du car TCV. d) A quelle heure et quelle distance de Ouagadougou les deux car se croiseront ils? e) En considérant les mêmes vitesses et en supposant que le car TCV effectue une escale de 30 mn à Boromo, dans quel créneau de temps les 02 cars se seraient croisés.

Exercice N°4 : Mouvement dans l’espace Au tennis, un lob est réussi lorsque la balle passe au-dessus de l’adversaire et retombe avant la ligne de fond de court (situé à 12m du filet central). Le joueur 1, situé à d1 = 2 m d’un filet de 1m de hauteur, tape la balle à une hauteur z0 = 30 cm du sol et lui communique une vitesse 𝑣0=36 km.h-1 formant un angle 𝛼 = 60° avec l’horizontale. On suppose que tout le mouvement a lieu dans un même plan vertical, on négligera les forces de frottement et considérera g = 9,8 m.s-2. 1. Déterminer les équations horaires du centre d’inertie G de la balle dans le repère (𝑂, i, j), où O est la position de la balle à la date t = 0 correspondant au début du mouvement. 2. En déduire l’équation de la trajectoire de la balle. 3. La balle passe-t-elle au-dessus du filet ?

4. Le joueur 2 est de l’autre côté du filet. Il tend sa raquette verticalement pour essayer de toucher la balle : le tamis de sa raquette est alors situé à une hauteur h = 2,3m. A quelle distance du filet le joueur 2 doit-il se placer ? 5. Si le joueur 2 se trouve à une distance d2 = 4 m du filet, peut-il intercepter la balle ? Le lob est-il réussi ? 6. Caractériser le vecteur vitesse 𝑣⃗ de la balle lors de son impact sur le sol Exercice N°5 : Mouvement le long d’une trajectoire curviligne Une voiture se déplace sur terre. Sa position a pour expression : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2𝑡 + 1)𝑖⃗ − 3(3𝑡 − 1)𝑗⃗ 𝑂𝑀 Où O est l'origine du repère et t représente le temps exprimé en secondes. On suppose que le repère est Galiléen et que la voiture reste dans le plan (O, x, y). 1. Déterminez les composantes de son vecteur vitesse v et de son vecteur accélération

a 2. On rappelle que le rayon de courbure, est donné par la relation suivante :  

v3 va

.

En déduire le rayon de courbure de la trajectoire en fonction de t 3. On rappelle que le centre de courbure, est donné par la relation suivante :

v   d  2  v  OC  OM  v dt Déterminez l’expression du centre de courbure. 4. Déterminez l’expression du moment cinétique LO / R . 5. Déterminez l’expression de l'accélération tangentielle a t . 6. En déduire celle de l'accélération normale a n . Exercice N°6: Mouvement le long d’une trajectoire curviligne C

A

B

On étudie le mouvement d'un automobiliste lorsque celui-ci aborde un virage de 400 m de long. La route est initialement rectiligne. a) Que vaut le rayon de courbure de la route au point A ? L'automobiliste aperçoit le virage et appui sur le frein dès le point A, situé 20 m avant le début du virage, jusqu’à la sortie du virage en C. Il produit dans un premier temps une décélération uniforme de A jusqu'en B. Tout au long de la courbe BC du virage, on remarque que la décélération tangentielle est uniforme.

Sa vitesse est de 126 km/h juste avant de freiner en A et de 54 km/h à la sortie du virage en C. Si le passager subit une décélération totale de 5 m/s2 en A et que le rayon de courbure au point C vaut 100 m, calculer alors : b) le rayon de courbure 𝜌𝐵 de la route au point B . On rappelle qu'en tout point d'une trajectoire curviligne on 𝑎⃗ =

𝑉2 𝜌

𝑑𝑉

𝑛⃗⃗ + 𝑑𝑡 𝑡⃗ .

c) l’accélération totale et le devers de la route au point C Le devers d’une route est le relèvement du bord extérieur de la route nécessaire pour éviter au mobile de subir les effets de la forces d’entraînement normale ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑛 = −𝑚𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛 𝑚𝑎

𝑉2

𝐷𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠 = sin−1 ( 𝑚𝑔𝑛 ) = sin−1 (𝜌𝑔).

Dynamique du point matériel Exercice N°7 (Force et mouvement) Prenons une voiture dont les équations de mouvement sont données (voir les graphes associés). La voiture a une masse m = 950 kg. La résistance de l’air est négligée. a) Calculez la force de propulsion en phase 1. b) Calculez la force de freinage en phase 3.

Exercice N°8 : Force de Coriolis

Soit ℜ(𝑂,𝑥𝑦𝑧) un référentiel orthonormé direct et Galiléen, muni de la base (𝑖 ,𝑗 ,𝑘) . Soit 𝑀 un point matériel de masse 𝑚. Le point 𝑀 glisse sans frottement le long de la tige (𝑇) qui tourne dans le plan horizontal (𝑥𝑜𝑦) autour de l’axe (𝑂𝑧) avec une vitesse angulaire constante 𝜔 (𝜑=𝜔𝑡 et 𝜔>0). 𝑀 est soumis, en plus de son poids 𝑃 et de la réaction de la tige 𝑅, à une force 𝐹⃗ = 𝐹𝑒⃗⃗⃗⃗ 𝜌 . Dans ces conditions, le mouvement de 𝑀 le long de la tige ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑡𝑒⃗⃗⃗⃗ suit la loi 𝑂𝑀 (𝑡 étant le temps et 𝑎 une constante positive). (𝑒⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝜌 𝜌 𝑒 𝜑 𝑘) est la base cylindrique liée à la tige. Page 3 sur 5

N.B : sauf indications contraire, toutes les expressions vectorielles doivent être ⃗⃗ exprimées dans la base (𝑒⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝜌 𝑒 𝜑 𝑘). ⃗⃗(𝑀/ℜ) et l’accélération 𝛾⃗(𝑀/ℜ) de 𝑀 dans ℜ en fonction de 𝑎, 𝑡 1) Calculer la vitesse 𝑉 et 𝜔. 2) Déterminer ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶0 (𝑀/ℜ) le moment cinétique en 𝑂 du point 𝑀 ainsi que sa dérivée par rapport au temps dans ℜ. 3) Déterminer les moments dynamiques de chacune des forces agissant sur le point M. 4) En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver les expressions des composantes de la réaction de support 𝑅⃗⃗ . 5) Déterminer EC(𝑀/ℜ) l’énergie cinétique du point 𝑀 dans ℜ ainsi que sa dérivée par rapport au temps dans ℜ. 6) Déterminer les puissances de chacune des forces agissant sur le point 𝑀. 7) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, trouver l’expression de la force F. Exercice N°9 (force et couple) Soit une pelleteuse de chantier décrite par la figure suivante. Les dimensions sur la figure sont données en centimètre. On donne 𝑃1 = 1,5 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠 et 𝑃2 = 250 𝑘𝑔.

1) On charge la pelleteuse de sorte à ce que 𝑃3 = 900𝑘𝑔. Calculer le potentiel de basculement de la pelleteuse autour du point A puis du point B, sous l’effet des des 03 forces. 2) Le système est à présent supposé en équilibre, écrire toutes les relations que l’on peut tirer des lois de Newton sur ce problème.

Travail et énergie Exercice N°10 (force et travail)

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Un camion embourbé a du mal à être tracté par un unique tracteur. Les techniciens décident de faire tirer horizontalement le camion par deux tracteurs, d’après la figure ci-dessus. ⃗⃗⃗⃗ 𝑇1 et ⃗⃗⃗⃗ 𝑇2 modélisent les actions des câbles sur le camion. On donne 𝑇1 = 140𝑘𝑁 et 𝑇2 = 110𝑘𝑁 1) Ecrire algébriquement ⃗⃗⃗⃗ 𝑇1 puis ⃗⃗⃗⃗ 𝑇2 . ⃗⃗ 2) Déterminer la résultante 𝑅 des deux forces. Quel est le pourcentage des efforts fournis par les tracteurs effectivement appliqué au camion. 3) Preuves à l’appui, déterminez avec quel angle par rapport à l’axe x, le camion va se déplacer. 4) Pour désembourber le camion, il faut vaincre une force de résistance égale à 150kN. Calculer l’accélération de traction du camion sachant qu’il a un poids de 12 tonnes. 5) Calculer le travail de chacune des forces sur un parcours de 10m Choc de deux particules Exercice N°11 Choc collision et quantité de mouvement ; Un projectile est tiré sous un angle de 60° avec l’horizontale avec une vitesse initiale de 400 m/s. Au point le plus haut de sa trajectoire il explose en deux morceaux de masses égales dont l’un tombe verticalement avec une vitesse initiale nulle. 1- Déterminer la vitesse du deuxième morceau. 2- Quelle est l’énergie libérée au cours de l’explosion.

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