T. de C. y M. - Guía de Problemas Resueltos #6 [PDF]

Zitiervorschau

Universidad Nacional de Lomas de Zamora – Facultad de Ingeniería Cátedra: Transferencia de calor y masa Titular: Ing. Leandro Campos; JTP: Ing. Eduardo Oliva; Auxiliares: Gastón Noguera, Laura Duran.

GUÍA DE PROBLEMAS RESUELTOS Nº 6 Convección – Formulación diferencial y solución analítica Problema nº 1. El flujo de aceite en una chumacera se puede considerar como flujo paralelo entre dos placas grandes, moviéndose una de ellas y la otra permaneciendo estacionaria. Considere dos placas grandes isotérmicas separadas por una película de aceite de 2 mm de espesor. La placa superior se mueve a una velocidad constante de 12 m/s, en tanto que la inferior permanece estacionaria. Las dos placas se mantienen a 20°C. a. Obtenga relaciones para las distribuciones de velocidad y de temperatura en el aceite. b. Determine la temperatura máxima en el aceite y el flujo de calor de éste hacia cada placa. SOLUCIÓN Una de las pocas situaciones en la que es posible obtener soluciones exactas para las ecuaciones de transferencia de calor por convección incluye lo que se denomina flujo paralelo. En este caso el movimiento del fluido es sólo en una dirección. Un caso especial de flujo paralelo es el de una placa estacionaria y una móvil de extensión infinita, separadas por una distancia , con el espacio de en medio lleno con un fluido incompresible. Esta situación se denomina flujo de Couette y ocurre, por ejemplo, en una chumacera.

Placa móvil 𝑉 2

𝑦

𝑇0

𝐿 𝑢(𝑦) 𝑥 Placa fija

𝑇0

Suposiciones: 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 El aceite es una sustancia incompresible con propiedades constantes. 3 Las fuerzas del cuerpo, como la de la gravedad, son despreciables. 4 Como consecuencia de 3, la variación de la presión en la dirección perpendicular a la superficie es despreciable, es decir, ⁄ . 5 Las placas son grandes, de modo que no se tiene variación en la dirección . 6 Las fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos en la dirección son despreciables. Propiedades: de tabla (Incropera, Tabla A.5, pág. 844) se obtiene que las propiedades del aceite de motor (sin usar) a 20ºC son: y . a. Se toma la dirección del flujo como la dirección y la perpendicular como la . Se trata de un flujo paralelo entre dos placas y, como consecuencia, ( es la componente de la velocidad en la dirección ). Entonces, la ecuación de continuidad (o balance de masa) se reduce a ( ) Por lo tanto, la componente de la velocidad ( ) no cambia en la dirección del flujo (es decir, el perfil de velocidades permanece inalterado), se dice entonces que el campo de velocidad está desarrollado por completo. ( ), ⁄ Puesto que y (el flujo se mantiene por el movimiento de la placa superior más que por el gradiente de presión), la ecuación de la cantidad de movimiento en la dirección (con propiedades constantes) se reduce a (

)

La anterior es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, y al integrarla dos veces da ( ) donde y son las constantes de integración. Las velocidades del fluido en las superficies de las placas deben ser iguales a las de las propias placas debido a la condición de no resbalamiento. Por lo tanto, las condiciones de frontera son UNLZ - FI – TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA LD

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( ) ( )

{ y al aplicarlas se obtiene que la distribución de velocidad es ( )

En este caso, el calentamiento por fricción debido a la disipación viscosa1 es significativo en virtud de la alta viscosidad del aceite y la velocidad grande de la placa. Cuando los esfuerzos cortantes viscosos no son despreciables, su efecto se toma en cuenta al expresar la ecuación de la energía como (

)

donde la función de disipación viscosa

)

se define como )

,(

(

2 *(

)

(

) +

2

(

) -

El primer término en el lado derecho de la ecuación anterior se origina de los esfuerzos cortantes viscosos, y los términos restantes surgen de los esfuerzos normales viscosos. Colectivamente, los términos explican la velocidad a la que la energía cinética se convierte de forma irreversible a energía térmica debido a los efectos viscosos en el fluido. Las placas son isotérmicas y no hay cambio en la dirección del flujo y, por tanto, la temperatura sólo ( ), por lo tanto ( ⁄ ) ( )y depende de , . Asimismo, . Entonces, en este caso, la ecuación de la energía con disipación viscosa se reduce a ( ya que (

⁄

)

)

( )

( ⁄ ). Al dividir ambos miembros entre ( )

(

2

e integrar dos veces da

)

(1)

Al aplicar las condiciones de frontera ( ) ( )

{

0 0

se obtiene que ( ) ( )

0

0

2 2

( (

)

0

)

0

(2) (3)

2

Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), se obtiene que la distribución de temperatura es ( )

(

)

b. El gradiente de temperatura se determina al derivar ( ) con respecto a , 2

(

2 )

La ubicación de la temperatura máxima se determina al hacer (

⁄

)

y despejar ,

1

La disipación viscosa puede desempeñar un papel dominante en los flujos a alta velocidad, en especial cuando la viscosidad del fluido es elevada (como el flujo del aceite en las chumaceras). Esto se manifiesta como una elevación significativa en la temperatura del fluido debida a la conversión de la energía cinética de este último en energía térmica. La disipación viscosa también es significativa para los vuelos a alta velocidad de los aviones. UNLZ - FI – TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA

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(

2

2 )

2

Por lo tanto, se tiene la temperatura máxima a la mitad del plano, lo cual no es sorprendente, ya que las dos placas se mantienen a la misma temperatura. La temperatura máxima es el valor de la temperatura en ⁄2, ( ) 2

0

*

2

⁄2

(

2

( ⁄2)

+

)( 2 (

0

) )

(

)

Una elevación en la temperatura de 104.909°C confirma nuestra sospecha de que la disipación viscosa es muy significativa. Por otro lado, los cálculos se han realizado mediante las propiedades del aceite evaluadas a 20°C, pero la temperatura del mismo resultó ser muy superior. Por lo tanto, al conocer la fuerte dependencia de la viscosidad con respecto a la temperatura, deben repetirse los cálculos mediante las propiedades a una temperatura promedio, para mejorar la precisión. Adoptaremos una temperatura promedio de aproximadamente 32°C, con lo que las propiedades del aceite resultan: y . Por lo tanto, para las condiciones establecidas (

2

)( 2 (

) )

(

)

Esta temperatura máxima nos da una temperatura promedio de aproximadamente 32.9°C, que es un valor bastante cercano al adoptado, para mayor precisión se debería seguir iterando. Ahora bien, conociendo la distribución de temperaturas, los flujos de calor en las placas se obtienen al aplicar la Ley de Fourier en las superficies inferior y superior, respectivamente, se sique que ̇0

| (

⁄ 2(

̇

(

2

0

|

(

)( 2(

2

2

)( 2 ⁄ ) ( 2 ) 2

(

2 )

2 )

2 ) )

(

⁄

)

2 )

Por lo tanto, los flujos de calor en las dos placas son de magnitudes iguales pero de signos opuestos. El flujo de calor es equivalente a la velocidad de disipación de la energía mecánica. Por lo tanto, la energía mecánica se convierte en energía térmica para vencer la fricción en el aceite.

Convección – Relación entre fricción del fluido y transferencia de calor en régimen laminar Problema nº 2. Una placa plana delgada de 2 m 1.5 m está suspendida en un cuarto y sujeta a flujo de aire paralelo a sus superficies a lo largo de su lado de 1.5 m. La temperatura y la velocidad de la corriente libre del aire son 20°C y 4 m/s. La fuerza total de resistencia que actúa sobre la placa es de 0.86 N. Determine el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección para la placa. SOLUCIÓN Suposiciones: 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 Los efectos de borde son despreciables. 3 La presión atmosférica local es de 1 atm. 4 El número de Reynolds de transición es . Propiedades: de tabla (Incropera, Tabla A.4, pág. 839) se obtiene que las propiedades del aire a 20°C y 1 atm son: , 2 , y . El flujo es a lo largo del lado de 1.5 m de la placa y, por consiguiente, la longitud característica es . UNLZ - FI – TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA LD

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Los dos lados de la placa están expuestos al flujo de aire, por lo tanto, el área superficial total es 2

2(2

)(

Aire a 2 𝑉

)

El número de Reynolds al final de la placa es ( )( ) 2 el cual es menor que el número de Reynolds de transición. Por consiguiente, se tiene flujo laminar sobre la placa completa. Para las placas planas la fuerza de resistencia o de arrastre es equivalente a la fuerza de fricción. La fuerza de fricción está dada por

𝐿

(1) donde

, el esfuerzo cortante medio en la pared, está dado por (2)

2 Se puede determinar el coeficiente promedio de fricción que al despejar y sustituir, se tiene 2

a partir de las ecuaciones (1) y (2), de modo

2 (

)(

)(

)

(

)

Entonces se puede determinar el coeficiente promedio de transferencia de calor a partir de la analogía modificada de Reynolds (o analogía de Chilton-Colburn.) como ( 2

2

)(

)(

)

2

Este ejemplo muestra la gran utilidad de las analogías de la cantidad de movimiento y la transferencia de calor en el sentido de que se puede determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección a partir de un conocimiento del coeficiente de fricción, el cual es más fácil de determinar.

Convección – Flujo laminar Problema nº 3. Aceite para motor a 60°C fluye sobre la superficie superior de una placa plana de 5 m de largo cuya temperatura es de 20°C, con una velocidad de 2 m/s. Determine la fuerza total de resistencia al movimiento y la razón de la transferencia de calor por unidad de ancho de la placa completa. SOLUCIÓN Suposiciones: 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 El número de Reynolds de transición es . 𝑇 𝑉

Propiedades: de tabla (Incropera, Tabla A.5, pág. 844) se obtiene que las propiedades del aceite de motor (sin usar) a la temperatura de película de ( )⁄2 (2 )⁄2 son: ⁄ , , 2 2 y 2 . Puesto que la placa es

2

Aceite

)(

𝑇𝑠

2

𝐿

, el número de Reynolds al final de (2

𝑄̇ 𝐴𝑠

)

2 el cual es menor que el número de Reynolds de transición. Por consiguiente, se tiene flujo laminar sobre la placa completa y el coeficiente de fricción promedio es 2

2

(

)

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Dado que el arrastre por presión es cero, de donde para el flujo paralelo sobre una placa plana, la fuerza de arrastre que actúa sobre ésta por unidad de ancho queda (

⁄

)(2

2

)

2

(

)

Se puede determinar la fuerza total de resistencia al movimiento que actúa sobre la placa completa al multiplicar el valor que acaba de obtenerse por el ancho ( ) de la placa. De manera análoga, el número de Nusselt promedio se determina al usar las relaciones del flujo laminar para una placa plana, (

)

2

2

2

Entonces, el coeficiente promedio de transferencia de calor da 2 y la transferencia de calor por unidad de ancho de la placa resulta ̇

(

)

(

)

(

)

2

Note que la transferencia de calor siempre es desde el medio a la temperatura más alta hacia el de temperatura más baja. En este caso, es del aceite hacia la placa. La razón de la transferencia de calor es por metro de ancho de la placa. Se puede obtener la transferencia de calor para la placa completa al multiplicar el valor obtenido por el ancho real de dicha placa. Problema nº 4. Un flujo de aceite SAE 50 pasa a razón de 0.007 kg/s a través de un tubo de 1 cm de diámetro interior y 1.5 m de longitud. La temperatura de las paredes es de 300 K y la temperatura de masa de entrada del aceite es de 377 K. Calcule el coeficiente promedio de transferencia de calor. SOLUCIÓN Suposiciones: El flujo es totalmente desarrollado hidrodinámicamente en la posición en la que comienza el enfriamiento.

𝑇𝑏, en

𝑇𝑏

𝑇𝑏, sal

?

Análisis: queremos calcular el número de Nusselt promedio usando la temperatura de masa en las propieda𝑇𝑠 des del fluido y una corrección del cociente de viscosidades haciendo uso de los factores de corrección, con 𝑥 𝐿 objeto de incluir los efectos de la variación de las propiedades. La temperatura de masa del aceite decrece a lo largo del tubo, pero, en general, se puede usar la media aritmética de los valores de entrada y salida; o, para mayor precisión, se puede usar el método de la diferencia de temperatura media logarítmica. Queda, sin embargo, una dificultad: no conocemos la temperatura de salida del aceite puesto que depende del coeficiente de transferencia de calor que queremos determinar. Entonces debemos proponer algún valor para esta temperatura y verificarlo más adelante. Por lo tanto, tomaremos para el promedio de las temperaturas de entrada y salida un valor de 370 K, suponiendo que la caída de temperatura del aceite sea de 10 a 20ºC. Propiedades: de tabla se obtiene que las propiedades del aceite a 370 K son: , 22 ,y . Y a 300 K son: .

(

)

,

En primer lugar calcualremos el area de la seccion transversal del tubo y el número de Reynolds: ( ( ̇

)

)

(

)(

(

)

)(

)

Puesto que 2 , el flujo es laminar. Por lo tanto, el número de Nusselt promedio se determina al usar las relaciones de flujo laminar dentro de una tubería con hidrodinámica totalmente desarrollada, UNLZ - FI – TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA LD

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( [(

) )

]

( [(

) )

2

]

Ahora introduciremos la corrección para propiedades variables. En base a la configuración dada, se tiene que el factor de corrección es (

)

0

0

(

)

Afectando al número de Nusselt obtenido anteriormente por el factor de corrección, se tiene que el número de Nusselt promedio corregido es 2

,

Así, el coeficiente promedio de transferencia de calor da ,

Con el fin de verificar la validez de nuestra conjetura para la temperatura media de masa debemos determinar la temperatura de salida del aceite. Para lo cual, determinaremos primero la tasa de transferencia de calor utilizando la temperatura media adoptada ̇ ( , ) ( , ) (

)

(

)(

)(

)

22

2

Por otro lado, aplicando el primer principio de la termodinámica al fluido, se tiene que: ̇ ̇ ̇ ( , en , sal ) , sal , en ̇ , sal

22 2 ⁄ )(22

(

⁄

2

)

Si se utiliza la media aritmética se verifica que , en

,

2

, sal

2 2 Lo que nos da un valor muy cercano al valor adoptado. Comprobamos utilizando la diferencia de temperatura media logarítmica. Dado que es constante, podemos definir la diferencia de temperatura media logarítmica como ,

(

Reemplazando el valor obtenido para que la misma es ,

, sal

(

, sal , en

, sal

, sal

,

)

, sal

(

, en

, en

)

en la ecuación de la temperatura media logarítmica, se tiene 2

, en

(

)

2

)

2

Por lo tanto, ya sea utilizando uno u otro método, nuestra conjetura resulta adecuada y no hay necesidad de iteración.

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Convección – Flujo turbulento Problema nº 5. El viento sopla con una velocidad de 8 m/s sobre una cabaña con techo cuadrado plano de 5 m2 que forma parte de una estación de investigación en la Antártida. Si la temperatura ambiente es de unos 250 K, estime el coeficiente promedio de transferencia de calor. Suponga que el número de Reynolds de transición es de 105. SOLUCIÓN Suposiciones: 1 El flujo es estacionario. 2 El techo puede considerarse como una placa plana. 3 El número de Reynolds de transición es . 4 Las propiedades se pueden evaluar a 250 K puesto que no se espera que la diferencia de temperatura entre el techo y el aire sea grande. 5 Se considera convección forzada.

𝑇 𝑉

2

𝐿

Propiedades: de tabla (Incropera, Tabla A.4, pág. 839) se obtiene que las propiedades del aire a 250 K y 1 atm son: 22 , ,y 2. Puesto que

, el número de Reynolds en el extremo del techo es ( )( )

el cual es mayor que el número de Reynolds de transición. Como , aproximadamente sólo el primer 3% de la capa limite es laminar; el resto es turbulento. Por consiguiente, el número de Nusselt promedio se determina al usar las relaciones de capa límite turbulenta para una placa plana suave, 0

(

)

(

0

*

(

2

) )0

(

2) 2

0

(

+ 0

2)

0

*

(

)

+

22

Entonces, el coeficiente promedio de transferencia de calor da 22 2 22

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