Soluciones T4 [PDF]

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Termodinámica

Universidad Nacional de Educación a Distancia Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Departamento de Ingeniería Energética

TERMODINÁMICA Grado en Ingeniería Mecánica/ Tecnologías Industriales

TEMA 4: PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA. Ejercicios Propuestos: Soluciones

1.- Una mezcla líquido – vapor de agua se mantiene en un recipiente rígido a 60˚C. El sistema se calienta hasta que su estado final es el punto crítico. Determínense: a) la calidad (o título) inicial de la mezcla líquido – vapor b) la relación inicial entre los volúmenes ocupados por las fases líquido y vapor. Solución: Se considerará el sistema integrado por la masa total de agua contenida en el depósito,. Se trata de un sistema cerrado. Puesto que las paredes del depósito son rígidas, el volumen del Soluciones

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Termodinámica sistema permanecerá constante y éste no podrá intercambiar trabajo de dilatación con su entorno. DATOS: Estado inicial: Mezcla agua líquida – vapor de agua, es decir vapor húmedo, a T1 = 60 ˚C. De acuerdo con las tablas de propiedades de saturación del agua:

 P1  Ps (T1 )  0,1994bar  3 3 v f 1  1,0172·10 m / kg  v  7,671m3 / kg g1  Estado final: Punto crítico. De las tablas de propiedades de saturación del agua:

 T2  374,14C  P2  220,9bar  v  0,003155m3 / kg  2 PROCESO: Se trata de un proceso de calentamiento isométrico (también llamado isocórico), es decir a volumen constante, desde el estado inicial 1 hasta el estado final 2. Por tanto, el volumen específico del vapor húmedo inicial será

v1  v2  0,003155m3 / kg

P

2

P1

f1

a)

T=T1

1 c

1

g1

V

La calidad (o título) del vapor húmedo inicial, viene dada por

v1  v f 1

0,0031551  0,0010172 2,138·10 3 x1   x1    x1  2,787·104 vg 1  v f 1 7,671  0,0010172 7,670

b)

El volumen inicialmente ocupado por la fase líquida viene dado por

Soluciones

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Termodinámica

Vf 1  m·(1  x1 )·v f 1 mientras que el volumen inicialmente ocupado por la fase vapor es

Vg1  m·x1 ·vg1 por tanto, dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene

Vf 1 Vg1



(1  x1 )·v f 1 x1 ·vg1

(1  2,787·104 )·1,0172·103    Vf 1 Vg1 2,787·104 ·7,671  0,4757 Vg1 Vf 1

2.- Un recipiente rígido contiene vapor de agua a 15 bar y a una temperatura desconocida. Cuando el vapor se enfría hasta 180˚C, éste comienza a condensar. Estímense: a) la temperatura inicial, en grados Celsius; b) la variación en la energía interna, en kJ/kg. Solución: Se considerará el sistema integrado por la masa de vapor de agua contenida inicialmente en el recipiente rígido. Se trata de un sistema cerrado. Puesto que el recipiente es rígido, el sistema no podrá intercambiar con su entorno trabajo de dilatación. Si el vapor, que inicialmente se encuentra a una presión P1 = 15 bar y una temperatura T1 desconocida, comienza a condensar cuando se ENFRÍA hasta T2 = 180 ˚C (de acuerdo con las tablas de propiedades de saturación del agua): a) Inicialmente es vapor sobrecalentado, es decir T1  Ts (P1 )  T1  198,3C . b) Finalmente se encontrará a una presión que será la de saturación a 180˚C: P2  Ps (T2 )  10,02bar . c) Puesto que el depósito (sistema cerrado  masa constante) es rígido (volumen constante), el volumen específico no varía durante el proceso, luego

v1  v2  v1  vg (T2 )  v1  0,1941m3 / kg

Soluciones

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Termodinámica

Entrando en la Tabla de vapor de agua sobrecalentado (A.14) con P1 = 15 bar y v1 = 0,1941 m3/kg, se encuentra que la temperatura inicial buscada debe estar comprendida entre 360 ˚C (v = 0,1899 m3/kg) y 400 ˚C (v = 0,2030 m3/kg). Interpolando se tiene v (m3/kg)

T (˚C)

0,1899

360

0,1941

T1

0,2030

400

T1  360 0,1941  0,1899  400  360 0,2030  0,1899 luego

T1  372,8C Por otra parte, también de la Tabla A.14, se tiene:

v (m /kg)

U (kJ/kg)

3

Soluciones

0,1899

2.884,4

0,1941

u1

0,2030

2.951,3 Página 4

Termodinámica

u1  2.884,4 0,1941  0,1899  2.951,3  2.884,4 0,2030  0,1899 de donde u1 = 2.906 kJ/ kg De la Tabla A.12

u2  ug (180ºC )  u2 = 2.584 kJ/kg de donde

u2 – u1  322 kJ / kg Obsérvese que, al encontrarse el agua en el interior de un depósito rígido, no ha intercambiado trabajo con su entorno durante el proceso y, por tanto, la disminución de energía interna (322 kJ/kg) coincidirá con el calor CEDIDO por el vapor de agua hacia su entorno al enfriarse.

3.- Un depósito rígido, cuyo volumen interior es de 8,00 L, contiene refrigerante 134a a 200 kPa en forma de una mezcla líquido – vapor con una calidad del 20,00%. Determínense: a) la masa de vapor inicialmente presente; b) la fracción del volumen total ocupado inicialmente por el líquido.

Solución: Se considerará el sistema constituido por la masa total de refrigerante contenido en el depósito. Se trata de un sistema cerrado. Puesto que las paredes del depósito son rígidas, el sistema no podrá intercambiar trabajo de dilatación con su entorno. Sean mf y mg, respectivamente, las masa de líquido y de vapor presentes en el interior del depósito. Puesto que V = 8,00 L, x = 0,20 y P = 200 kPa = 2,00 bar, de la Tabla A.17, se tiene vf = 0,7532 · 10-3 m3/kg y vg = 0,0993 m3/kg por lo que

v  (1  x)·v f  x·vg  v  0,0205 m3 / kg Luego

m

Soluciones

V  m  0,390 kg v Página 5

Termodinámica a) Por tanto

mg  x·m  mg  0,0780 kg Análogamente

mf  (1  x)·m  m  0,312 kg Vf  mf ·v f  Vf  0,000235 m3  0,235L b) Finalmente

Vf V

 0,0294

Obsérvese que el líquido contenido en el depósito supone el 80% de la masa total de refrigerante, pero sólo ocupa el 2,94% del volumen interior del depósito.

4.- Un recipiente rígido contiene inicialmente agua con un volumen específico de 1,694 m3/kg a 0,3000 bar, suministrándose calor hasta que se alcanza una presión de 1,000 bar. Determínense: a) el título o calidad inicial de la mezcla líquido – vapor; b) las variaciones en la energía interna y en la entalpía del agua, en kJ/kg. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución: Se considerará el sistema constituido por la masa de agua contenida en el recipiente; se trata de un sistema cerrado. Puesto que las paredes del recipiente son rígidas, el sistema no podrá intercambiar trabajo de dilatación con su entorno. DATOS: Estado inicial:

v1  1,694 m3 / kg  P1  0,3000 bar De las tablas de propiedades de saturación del agua, se obtiene

T1  Ts (P1 )  T1  69,1ºC  v f 1  1,0223·103 m3 / kg  vg1  5,229 m3 / kg a)

Puesto que v f 1  v1  vg1 , se trata de un vapor húmedo con un título o calidad dado

por

Soluciones

Página 6

Termodinámica

x1 

v1  v f 1 vg 1  v f 1

 x1 

1,694  0,0010223 1,693   x1  0,3238 5,229  0,0010223 5,228

De las tablas de propiedades de saturación del agua, se obtiene

u f 1  289,20 kJ / kg  ug1  2.468,4 kJ / kg Por tanto

u1  (1  x1 )·u f 1  x1 ·ug1  u1  (1  0,3238)·289,20 kJ / kg  0,3238·2.468,4 kJ / kg   u1  994,9 kJ / kg y

h1  (1  x1 )·hf 1  x1 ·hg1  h1  (1  0,3238)·289,23 kJ / kg  0,3238·2.625,3 kJ / kg   h1  1.045,7 kJ / kg

Estado final:

P2  1,000 bar  v2  1,694 m3 / kg De las tablas de propiedades de saturación del agua, se obtiene

Ts (P2 )  99,63ºC  v f 2  0,0010432 m3 / kg  vg2  1,694 m3 / kg Puesto que v2  vg 2 , se trata de vapor saturado, luego

u2  ug2  u2  2.506,1kJ / kg y

h2  hg2  h2  2.675,5kJ / kg

P P2

P2=1,000 bar

P1

P1=0,300 bar

2

T2=99,6ºC

T1=69,1ºC

1 1

V

PROCESO:

Soluciones

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Termodinámica Se trata de un proceso de calentamiento a volumen constante (isométrico o isocóro), por lo que el volumen específico del sistema habrá de permanecer constante. Durante el proceso el sistema recibe calor desde el entorno, pero no intercambia trabajo alguno. b) Por tanto

u  1.511,2 kJ / kg y

h  1.629,7 kJ / kg

5.- Una cierta cantidad de agua, que se encuentra inicialmente a 10 bar y cuyo volumen específico inicial es de 0,02645 m3/kg, experimenta una expansión isobárica hasta 0,2060 m3/kg. Determínense: a) las temperaturas inicial y final del agua; b) las variaciones en su energía interna y entalpía específicas, en kJ/kg. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución: Se considera el sistema cerrado constituido por la masa de agua considerada. DATOS: Estado inicial:

P1  10 bar  v1  0,02645 m3 / kg De las tablas de propiedades de saturación del agua se obtiene

Ts (P1 )  179,9ºC  v f 1  0,0011273 m3 / kg  vg1  0,1944 kJ / kg Puesto que v f 1  v1  vg1 , se trata de un vapor húmedo, con un título o calidad

x1 

v1  v f 1 vg 1  v f 1

 x1 

0,02645  0,0011273 0,02532   x1  0,1310 0,1944  0,0011273 0,1933

Por tanto, de las tablas de propiedades de saturación del agua se obtiene

u f 1  761,68 kJ / kg  ug1  2.583,6 kJ / kg  hf 1  762,81kJ / kg  hg1  2.778,1kJ / kg Luego

u1  (1  x1 )·uf 1  x1 ·ug1  u1  1000,38 kJ / kg Soluciones

Página 8

Termodinámica y

h1  (1  x1 )·hf 1  x1 ·hg1  h1  1.026,85kJ / kg Estado final:

P2  P1  10 bar  v2  0,2060 m3 / kg Puesto que v2  vg 2 , se trata de un vapor sobrecalentado. De la tabla de vapor sobrecalentado, a 10,0 bar, se obtiene

T2  200ºC  u2  2.621,9 kJ / kg  h2  2.827,9 kJ / kg PROCESO: Se trata de un proceso de expansión isobárica (a presión constante).

P

P1

P1= 10 bar

1

2 T2=2

00ºC

T1=1

80ºC

f1

a)

1

g1

V

La temperatura inicial es, por tanto, la temperatura de saturación a P1 = 10 bar

T1  179,9C mientras que la temperatura final es

T2  200C b)

La variación de energía interna es

u  1.621,5 kJ / kg

mientras que la variación de entalpía es

h  1.801,04 kJ / kg

Soluciones

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Termodinámica

6.- Una cierta masa de refrigerante 134a experimenta un proceso isotermo a 40˚C. La presión inicial es de 4,0 bar y el volumen específico final de 0,010 m3/kg. Determínense: a) la presión final, en bar; b) las variaciones en su energía interna y entalpía específicas, en kJ/kg. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución: Se considerará el sistema constituido por la masa considerada de refrigerante; se trata de un sistema cerrado. DATOS: Estado inicial:

T1  40ºC  P1  4,0 bar De las tablas de propiedades de saturación del refrigerante 134 a, se obtiene que

Ts (P1 )  8,93º C . Puesto que T1  Ts (P1 ) se trata de un vapor sobrecalentado. De las tablas de vapor sobrecalentado de refrigerante 134 a, se obtiene:

v1  0,05917 m3 / kg  u1  258,47 kJ / kg  h1  282,14 kJ / kg Estado final:

T2  40ºC  v2  0,010 m3 / kg De las tablas de propiedades de saturación del refrigerante 134 a, se obtiene que

v f 2  0,8714·103 m3 / kg  vg2  0,0199 m3 / kg . Puesto que v f 2  v2  vg2 , se trata de un vapor húmedo, con un título o calidad dado por

x2 

0,010  0,0008714 0,009   x2  0,5 0,0199  0,0008714 0,0190

De las tablas de propiedades de saturación del refrigerante 134 a, a T1 = 40˚C, se obtiene

u f 2  105,30 kJ / kg  ug2  248,06 kJ / kg  hf 2  106,19 kJ / kg  hg2  268,24 kJ / kg Por tanto

u2  (1  x2 )·u f 2  x2 ·ug2  u2  177 kJ / kg y

h2  (1  x2 )·hf 2  x2 ·hg2  h2  187 kJ / kg PROCESO: Soluciones

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Termodinámica Se trata de una compresión isoterma (es decir, a temperatura constante), en la que se aumenta la presión del vapor sobrecalentado, y se disminuye su volumen específico, hasta alcanzar la saturación a 40˚C (estado de vapor saturado), prosiguiendo después con la disminución de volumen específico (a medida que se va produciendo la condensación del vapor saturado) hasta alcanzar el estado final.

P

2 1

P1

f2

2

g2

T=40 ºC

1

V

a)

La presión final corresponde al valor de saturación a 40˚C, por tanto P2  10,16 bar

b)

Las variaciones en la energía interna y entalpía son:

u  81 kJ / kg y

h  95 kJ / kg 7.- Se considera un cilindro fijo y rígido, de paredes metálicas, provisto de un pistón también rígido y que puede desplazarse en el interior del cilindro con rozamiento despreciable. El cilindro contiene una cierta cantidad de agua, que inicialmente, a la presión de 1,0 MPa, ocupa un volumen de 1.234 cm3, siendo el volumen específico inicial de 0,2678 m3/kg. El agua se comprime a presión constante, según un proceso cuasiestático, hasta que se convierte en vapor saturado. Hállense: a) Las temperaturas inicial y final, en grados Celsius. b) Las variaciones en la energía interna y entalpía, en kJ. c) El trabajo desarrollado y el calor absorbido, en kJ. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución: Se considerará el sistema formado por la masa de agua contenida en el interior del cilindro; se trata de un sistema cerrado. Puesto que las paredes del cilindro son rígidas, y también lo es el pistón de cierre, el único tipo de trabajo que el sistema puede intercambiar con su entorno es el de expansión debido al desplazamiento del pistón. Puesto que las paredes del cilindro son Soluciones

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Termodinámica metálicas, por tanto buenas conductoras del calor, el sistema podrá intercambiar calor con su entorno. DATOS: 

La sustancia considerada es agua.



El proceso es cuasiestático y no hay rozamiento entre el cilindro y el pistón de cierre. Por tanto, puesto que también el pistón de cierre se debe encontrar permanentemente en equilibrio, la presión exterior ejercida por el entorno sobre el pistón de cierre habrá de ser siempre idéntica a la presión ejercida por el agua sobre la cara interna de aquél.

P· A

Pext · A

Estado inicial:

P1  1,000 MPa  10,00 bar  1.000 kPa v1  0,2678 m3 / kg

V1  1.234 cm3  1,234·106 m3  m 

1,234·103 m3 V1 m  m  4,608·103 kg v1 0,2678 m3 / kg

De las tablas de propiedades de saturación del agua se obtiene que a P1  10,00 bar es

v f 1  1,1273·103 m3 / kg  vg1  0,1944 m3 / kg Puesto que v1  vg1 , se trata de un vapor sobrecalentado. Estado final: Vapor saturado

P2  P1

Soluciones

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Termodinámica P

2

P1

1

1

V

PROCESO: Se trata de un proceso cuasiestático, sin efectos disipativos (no hay rozamientos) e isobárico (a presión constante). a) De las tablas de vapor de agua sobrecalentado, se obtiene

T1  320C u1  2.826,1kJ / kg  h1  3.093,9 kJ / kg Mientras, que de las tablas de propiedades de saturación del agua, se obtiene

T2  Ts (P2 )  Ts (P1 )  T2  179,9C

u2  2.583,6 kJ / kg  h2  2.778,1kJ / kg b) Por tanto

u  242,5 kJ / kg  h  315,8 kJ / kg

U  m·u  U  1,117 kJ

H  m·h  H  1,455kJ

c) Puesto que se trata de un proceso cuasiestático, sin efectos disipativos e isobárico, en el que sólo se puede intercambiar trabajo de dilatación, habrá de ser

Q  H  m·h  Q  1,455kJ Efectuando un balance energía, se tiene

U  Q  W  W  U  Q  W  m·u  Q por tanto

W  4,608·103 kg·(242,5 kJ / kg)  (1,455kJ)  W  0,338 kJ Obsérvese que el trabajo es realizado por el entorno sobre el sistema (entrante en el sistema), mientras que el calor es cedido por el sistema a su entorno (saliente del sistema).

Soluciones

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Termodinámica

8.- Un tanque de paredes rígidas, cuyo volumen interior es de 2.560 L, contiene inicialmente vapor de agua saturado a 5,00 bar. Un enfriamiento del agua origina una caída de presión hasta 1,00 bar. Determínense, para el estado final de equilibrio: a) b) c) d)

la temperatura, en grados Celsius; el título o calidad final del vapor; el cociente entre la masa de líquido y la masa de vapor; la cantidad de calor intercambiada entre el agua y su ambiente.

NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución: Se considerará el sistema constituido por la masa de agua contenida en el interior del tanque; se trata de un sistema cerrado. Puesto que las paredes del tanque son rígidas, el volumen permanecerá constante durante el proceso. DATOS: 

La sustancia considerada es agua.



Volumen del sistema: V  2.560 L  2,560 m3 (constante)

Estado inicial: 

P1  5,00 bar



Vapor saturado  T1  Ts (P1 )  T1  151,9ºC  v1  vg1  v1  0,3749 m3 / kg

m

2,560 m3 V m  m  6,828 kg v1 0,3749 m3 / kg

Estado final: 

P2  1,00 bar



v2  v1 De las tablas de propiedades de saturación del agua, se obtiene que, a P2  1,00 bar ,

es

v f 2  1,0432·103 m3 / kg  vg2  1,694 m3 / kg Puesto que v f 2  v2  vg2 , se trata de un vapor húmedo. PROCESO:

Soluciones

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Termodinámica Se trata de un proceso isométrico (proceso a volumen constante, también llamado isócoro), puesto que las paredes del recipiente son rígidas. Por tanto, al no poder variar el volumen total ocupado por el agua, ésta no podrá intercambiar con su entorno trabajo de expansión.

P P=P1=5,000 bar

1

T1=152ºC

P=P2=1,000 bar

P1

T2=99,6ºC

2 1

V

a) Por tratarse de un vapor húmedo, se tiene

T2  Ts (P2 )  T2  99,63C b) El título de este vapor es

x2 

v2  v f 2 vg 2  v f 2

0,3749  1,0432·10 3  x2   x2  0,2208 1,694  1,0432·10 3

c) Para el estado final, se tiene

mf 2  m 1  x2 m f 2  (1  x2 )·m  3,529  f2    mg 2 mg 2 x2  mg 2  x2 ·m d) Efectuando un balance de energía, al ser W  0 , se tiene

Q  U  m·u De las tablas de propiedades de saturación del agua, se obtiene

ug1  2.561,2 kJ / kg u f 2  417,36 kJ / kg  ug2  2.506,2 kJ / kg Por tanto

u1  ug1  u1  2.561,2 kJ / kg u2  (1  x2 )·u f 2  x2 ·ug2  u2  878,5 kJ / kg luego

u  1.682,7 kJ / kg y

Q  11.490 kJ Soluciones

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Termodinámica

9.- Una cierta cantidad de refrigerante 134a tiene un volumen específico de 0,02500 m3/kg a la presión de 0,5000 MPa (estado 1). Se expansiona a temperatura constante hasta que la presión cae a 0,2800 MPa (estado 2). Finalmente, se enfría a presión constante hasta que se convierte en vapor saturado (estado 3). Para cada una de las etapas del proceso descrito, determínense: a) Las variaciones en el volumen específico, en m3/kg. b) Las variaciones en la energía interna y en la entalpía, en kJ/kg.

NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v. Solución:

10.- Se comprime agua líquida saturada a 40˚C hasta una presión de 50 bar y temperatura de 80˚C. Determínense las variaciones en el volumen específico, energía interna y entalpía: a) utilizando la tabla de líquido comprimido; b) utilizando como aproximación los datos de saturación a la misma temperatura. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución: P (bar)

50

2

0,4739 0,07384

80°C 1

40°C

v

SISTEMA: La masa de agua objeto de estudio. DATOS: Estado Inicial: Soluciones

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Termodinámica

 P1  Ps (T1 )  P1  0,07384bar  3 3 Líquido Saturado v1  v f (T1 )  1,0078  10 m / kg  1  ○ T1  40C   u1  u f (T1 )  167,56kJ / kg  h1  hf (T1 )  167,57kJ / kg Estado Final:

P  50bar  Ts (P2 )  264C  2  80C

2 2  ○ T

T2  Ts (P2 )  Se trata de LÍQUIDO SUBENFRIADO O COMPRIMIDO. (a) Utilizando las tablas de propiedades del agua, líquido subenfriado, se tiene:

v2  1,0268  103 m3 / kg  v  1,90  10 5 m3 / kg  u2  333,72kJ / kg  u  166,16kJ / kg   h2  338,85kJ / kg  h  171,28kJ / kg  (b) Utilizando como aproximación, los datos del líquido saturado a 80˚C:

v2    

1,0291  103 m3 / kg  v  2,13  10 5 m3 / kg u2 334,86kJ / kg  u  167,30kJ / kg h2 334,91kJ / kg  h  167,34kJ / kg

Como puede observarse el error cometido es en todos inferior al 1,5%. 11.- Se considera un cilindro fijo y rígido, de paredes metálicas, provisto de un pistón también rígido y que puede desplazarse en el interior del cilindro con rozamiento despreciable. El cilindro contiene 1,36 g de agua que inicialmente, a la presión de 2,00 bar, ocupan un volumen de 233 cm3. El pistón está apoyado sobre unos resaltes y sobre él actúa un muelle, de forma que no puede desplazarse hasta que la presión interior alcance un valor mínimo de 10,0 bar. Se transfiere al agua un flujo de calor constante de 250 kJ/min. Determínense: a) el calor suministrado hasta que el pistón comienza a moverse; b) el tiempo transcurrido, en minutos, hasta que el pistón comienza a moverse. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

Solución:

Soluciones

Página 17

Termodinámica

P, V , m

Fres

Q

DATOS: 

Estado inicial: m = 1,36 g = 1,36x10-3 kg; P1 = 2,00 bar; V1 = 233 cm3 = 2,33x10-4 m3



Estado final: P2 = 10,0 bar; V2 = V1 = 2,33x10-4 m3



Proceso: Calentamiento a volumen constante de un sistema cerrado, por la aportación de un flujo de calor constante Q = 250 kJ/min.

REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA EN DIAGRAMA P-v: El volumen específico del agua durante el proceso es

v1 

V1 2,33  104 m3   v1  0,171m3 / kg 3 m 1,36  10 kg

A la presión inicial P1  2,00bar es

Ts1  120,2ºC  v f 1  1,0605  103 m3 / kg  vg1  0,8857m3 / kg y puesto que

v f 1  v1  vg1 el agua en el estado inicial es un vapor húmedo con un título (o calidad)

x1 

v1  v f 1 vg 1  v f 1



0,171  0,0010605  x1  0,192 0,8857  0,0010605

A la presión final P2  10,0bar es

Ts2  179,8ºC  v f 2  1,1273  103 m3 / kg  vg2  0,1944m3 / kg y puesto que

v f 2  v1  vg2 en el estado final el agua también es un vapor húmedo, pero ahora su título es

x2 

Soluciones

v1  v f 2 vg 2  v f 2



0,171  0,0011273  x2  0,879 0,1944  0,0011273

Página 18

Termodinámica

P 2

P2

T=TS2

P1

T=TS1

1 c

1

V

Obsérvese que el volumen específico crítico del agua es

vc  0,003155m3 / kg  v1 luego la línea de volumen constante considerada es una recta vertical situada a la derecha del punto crítico. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Efectuando un balance de energía, se tiene

U  Q12  W12  U  Q12  m·(u2  u1 )  Q12 puesto que al mantenerse el volumen constante durante el proceso ha de ser

W12  0 Por otra parte, puesto que

u f 1  504,49kJ / kg  ug1  2.529,5kJ / kg u f 2  761,68kJ / kg  ug 2  2.583,6kJ / kg se tiene

u1  (1  x1 )·u f 1  x1 ·ug1  (0,808·504,49  0,192·2.529,5)kJ / kg   u1  893kJ / kg y

u2  (1  x2 )·u f 2  x2 ·ug2  (0,121·761,68  0,879·2.583,6)kJ / kg   u2  2.363kJ / kg a)

Por tanto

Q12  1,36  103 kg·(2.363  893)kJ / kg  Q12  2,00kJ b)

Puesto que

Q12  Q·t siendo t el tiempo transcurrido, se tiene

Soluciones

Página 19

Termodinámica

t 

Q12 2,00kJ   t  8,00  103 min ( t  0,48 s) Q 250kJ / min

12.- Un recipiente de paredes rígidas, insuficientemente aislado, contiene 100 L de nitrógeno en equilibrio, inicialmente a 77,24 K, y está dotado de una cápsula de cierre que rompe cuando la presión interior alcanza un valor de 400 kPa. El 91,5 % del volumen está inicialmente ocupado por líquido. El nitrógeno absorbe calor del ambiente a un ritmo de 300 kJ/min. Hállese el tiempo, en horas, que debe transcurrir hasta la rotura de la cápsula de cierre.

Solución: DATOS: Estado inicial: Puesto que una parte del volumen inicial (91,5%) es líquido, el resto del volumen inicial (

V1  100L ) estará constituido por vapor, ambos saturados a T1  77,24K . Luego la presión en el estado inicial será la de saturación a T1 , es decir P1  1,00bar . El volumen inicialmente ocupado por el vapor saturado de nitrógeno es

Vg1  V1  Vf 1  100L  91,5L  Vg1  8,5L De la Tabla de Propiedades del nitrógeno en saturación, se obtiene

v f 1  1,238L / kg  vg1  219,1L / kg  u f 1  22,0kJ / kg  ug1  154,9kJ / kg luego

mf 1 

Vf 1

mg1 

Vg1

vf1 vg 1



91,5L  m f 1  73,9kg 1,238L / kg



8,5L  mg1  0,039kg 219,1L / kg

por tanto

m  mf 1  mg1  73,9kg  0,039kg  m  73,9kg Por otra parte, es

U1  mf 1 ·u f 1  mg1 ·ug1  73,9·(22,0)  0,039·154,9 kJ   U1  1620kJ PROCESO: Puesto que durante el proceso aún no ha roto la cápsula de cierre, dicho proceso consiste en el calentamiento de una masa m  73,9kg de nitrógeno líquido (sistema cerrado) desde el Soluciones

Página 20

Termodinámica estado inicial dado hasta que se alcance la presión P2  400kPa  4,00bar de rotura de la cápsula de cierre. Durante este proceso el volumen permanece constante, puesto que el recipiente es de paredes rígidas. NOTA: El proceso considerado en este problema se emplea con frecuencia (como alternativa a una válvula de seguridad, puesto que resulta más económico) para proteger un recipiente contra posibles sobrepresiones: la cápsula de cierre (también conocida como disco de rotura) está construida con un material cuya resistencia a la rotura es inferior a la del recipiente, de modo que al romper la cápsula permite la evacuación a la atmósfera de parte del contenido del recipiente, aliviando así la presión interior e impidiendo la rotura del mismo; de este modo, después del incidente basta con reponer el disco de rotura y no todo el depósito. La rotura de la cápsula de cierre también puede producirse por fusión de la misma al alcanzarse una determinada temperatura, denominándose entonces tapón fusible. Estado final: En el estado final es P2  4,00bar . Por otra parte, durante todo el proceso, según se ha dicho, el volumen permanece constante, por lo que

v2  v1 

V 100L   v2  1,35L / kg m 73,9kg

Obsérvese que el volumen específico crítico del nitrógeno es vc  3,202L / kg  v1 , por lo que la línea de volumen constante, en el diagrama P-v, será una recta vertical situada a la izquierda del punto crítico. De la tabla de propiedades del nitrógeno en saturación, se tiene

v f 2  1,352L / kg  vg2  60,0L / kg  u f 2  7,1kJ / kg  ug2  161,5kJ / kg luego

x2 

v2  v f 2 vg 2  v f 2



1,353  1,352  x2  0,00  u2  u f 2 60,0  1,352

Por tanto

U2  m·u2  73,9kg·7,1kJ / kg  U2  520kJ

Soluciones

Página 21

Termodinámica

P 2

P2

P1

T=TS1

1 1

c

V

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Efectuando un balance de energía, se tiene

U  Q12  W12  U  Q12 puesto que al permanecer el volumen constante durante el proceso no hay intercambio alguno de trabajo ( W12  0 ), por tanto

Q12  U2  U1  520kJ  (1620kJ)  Q12  2.140kJ Puesto que

Q12  Q·t siendo t el tiempo transcurrido desde que comienza el calentamiento, se tiene

t 

Q12 2.140kJ   t  7,13min  0,119 h Q 300kJ / min

13.- Un recipiente de paredes rígidas y térmicamente aisladas, contiene 2,000 kg de agua, que inicialmente ocupan un volumen de 1,000 m3 a 30,00˚C. Una rueda de paletas situada en el interior del recipiente, movida por un motor, gira a 50,00 rpm con un par aplicado constante de 50,00 N·m, a la vez que una resistencia eléctrica, también situada en el interior del recipiente, recibe una corriente de 100,0 A desde una fuente de 10,00 V. Determínense: a) el tiempo, en minutos, requerido para evaporar todo el líquido contenido en el recipiente; b) la presión, en bar, en el interior del recipiente en ese instante. Solución:

Soluciones

Página 22

Termodinámica

 

n 

SISTEMA: El agua contenida en el recipiente. Es un sistema cerrado y adiabático (Q=0).

  50,00N m n  50,00rpm    I  100,0 A   10,00V

2 50 1 s  5,236 s 1 60

DATOS:

m  2,000kg  V  v   0,5000m3 / kg  vc  0,003155 m3 / kg (volumen crítico) 3 m V  1,000m  Estado inicial:

v (T )  1,0043  103 kg / m3  T1  30,00o C   f 1 3   vg (T1 )  32,894kg / m v f (T1 )  v  vg (T1 )  vapor húmedo de título x1 

v  vf1 vg 1  v f 1



0,5000  0,0010  0,01517 . 32,894  0,001

 u f 1  125,78kJ / kg  u1  u f 1  x ug1  u f 1   160,53kJ / kg  ug1  2.416,6kJ / kg

Soluciones

Página 23

Termodinámica

P

2

P2

T2

P1

1

T1=30°C

vc

v

Estado final:

v2  v1  vapor saturado vg

P

0,5243 3,50 0,5000

P2

0,4625 4,00

Ts

ug

138,9

2546,9

Ts  P2 

u2

143,6

2553,6

Interpolando:

P2  3,50 Ts (P2 )  138,9 u2  2.546,9 0,0243     0,393 0,50 4,7 6,7 0,0618 De donde (b)

P2  3,70bar Y además

Ts  P2   140,7C

u2  2.549,5kJ / kg (a)

Soluciones

Página 24

Termodinámica

U  Q  W  U  W  Wpal  Wel  U  Wpal  Wel  t  t 

mu Wpal  Wel

u  2.389,0kJ / kg Wpal     50,00Nm 5,236 s 1  0,2618kW Wel  I   100,0 A 10,00V  1,000kW

t 

2,000kg 2,389kJ / kg 4.778,0kJ  1,000kW  0,2618kW 1,262kW

 t  3.786s  63,10min 14.- Un depósito de paredes metálicas, cuyo volumen interior es de 1,0 m3, contiene agua, inicialmente a 10 MPa y 480 ˚C. El agua se enfría hasta que la temperatura alcanza los 320 ˚C. Determínense: a) presión final, en bar; b) calor transferido al ambiente, en kJ. Solución: Se considerará como sistema el agua contenida en el depósito. Se trata de un sistema cerrado, con volumen interior constante. DATOS:

V  1,000 m3  1.000 L Estado inicial: P1=10 MPa = 100 bar  Ts (P1 )  311,1o C T1=480 ˚C > Tsat  vapor sobrecalentado De las tablas de propiedades del vapor de agua sobrecalentado, se obtiene: v1=0,03160 m3/kg u1=3005,4 kJ/kg Por tanto

m

Soluciones

V  m  31,65 kg v1

Página 25

Termodinámica Estado final:

v2  v1  0,03160 m3 / kg T2  320o C  v f (T2 )  1,4988  103 m3 / kg  vg (T2 )  0,01549 m3 / kg Puesto que v2  vg (T2 ) se trata de un vapor sobrecalentado. PROCESO: Enfriamiento a volumen constante. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: a) A partir de la temperatura y el volumen específico podemos deducir la presión final, utilizando las tablas de propiedades del vapor de agua sobrecalentado, obteniéndose Tabla A-14. Temperatura (˚C)

Volumen específico (m3/kg)

Presión (bar)

Energía interna (kJ/kg)

320˚C

0.02682

80

2720.0

320˚C

0.03876

60

2662.7

P2  71,99 bar

u2  2.685,6 kJ / kg b) Teniendo en cuenta que la frontera es rígida y que por tanto no se intercambiará trabajo de dilatación habrá de ser W  0 , por lo efectuando un balance de energía se tiene

Q  U  mu  Q  10.120 kJ

15.- Un depósito, de paredes rígidas y térmicamente aisladas, está inicialmente dividido en dos compartimentos mediante un tabique rígido. Uno de ellos contiene 1,0 kg de vapor saturado de agua a 60 bar y el otro está vacío. Se rompe el tabique interior de separación y el agua se expande por todo el depósito, de modo que la presión final es de 30 bar. Determínese el volumen interior total del depósito.

Solución: SISTEMA: Se considerará el sistema constituido por el agua contenida en el interior del depósito. Se trata de un sistema cerrado. DATOS: Soluciones

Página 26

Termodinámica Estado inicial: m=1,000 kg; vapor saturado P1=60 bar De las tablas de propiedades de saturación del agua

T1  275,6o C  v1  0,03244 m3 / kg  u1  2.589,7 kJ / kg Proceso: Al romper el tabique interior, se produce una expansión adiabática del vapor (puesto que las paredes del depósito están térmicamente aisladas) y, puesto que las paredes del depósito son rígidas, tampoco habrá intercambio de trabajo con el exterior del depósito, es decir la expansión será libre. Al efectuar un balance de energía, se tendrá u  q  w  u  0  u2  u1 Estado final:

P2  30bar  u f (P2 )  1.004,8 kJ / kg  ug (P2 )  2.604,1 kJ / kg Puesto que u f (P2 )  u2  ug (P2 ) , se trata de un vapor húmedo, cuyo título es

x2 

u2  u f 2 ug 2  u f 2

 x2  0,99100

Puesto que vf2=1,2165×10-3 m3/kg vg2=0,06668 m3/kg Por tanto

v2  (1  x2 )·v f 2  x2 ·vg2  v2  0,06609 m3 / kg RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: El volumen interior del recipiente habrá de ser igual al volumen ocupado por el agua después de romper el tabique interior, luego

V  m v2  V  66,09L

Soluciones

Página 27

Termodinámica

16.- Un recipiente, de paredes rígidas y térmicamente aisladas, se encuentra dividido en dos compartimentos por medio de un tabique interior, también rígido y adiabático. Una de las cámaras contiene 0,5000 kg de agua a 20 ˚C y la otra contiene vapor saturado de agua, siendo en ambas la presión de 25 bar. Al romper el tabique interior, el estado final del agua es una mezcla líquido vapor con una calidad del 30,00%. Determínense: a) la temperatura final del agua contenida en el recipiente; b) la masa de agua contenida inicialmente en la segunda cámara. NOTA: La presión en el estado final es bastante inferior a 25 bar.

Solución: El problema es muy fácil de plantear, pero complicado de resolver. Hay que hacerlo por iteración. Ecuación del volumen: Como el recipiente es rígido, el volumen se conserva:

Ecuación de la energía: Del primer principio, como el sistema global es adiabático y no hay intercambio de trabajo con el entorno de ningún tipo, la energía interna permanece constante:

Los valores desconocidos son

pero como el estado final es de equilibrio líquido-vapor, y conocemos el título final x2 ,

En definitiva, todo depende únicamente de

luego tenemos 2 ecuaciones con dos incógnitas. El problema es que no conocemos explícitamente las funciones

sólo en tablas dependientes de T2 . Así que hay que hacer una suposición inicial de T2 , que ha de estar entre T1,1 y T1,2 , y obtener Soluciones

Página 28

Termodinámica

en tablas, calcular m1,2 despejando de la ecuación de la energía y sustituir este valor obtenido en la ecuación del volumen. Aquí despejamos vg T2  , e interpolando en las tablas de vapor saturado obtenemos una nueva aproximación de T2 . Si este nuevo valor de T2 es próximo al antiguo (menor de 1 C, por ejemplo), paramos y lo damos como válido. Si no, tomamos este valor para volver a realizar el mismo proceso de nuevo, hasta que converja.

17.- Se coloca medio kilogramo de helio en un depósito de paredes rígidas, cuyo volumen interior es de 0,500 m3. Si la temperatura es de 112 ˚C y la presión barométrica es de 1,0 bar, determínese la lectura, en bar, que indicaría un manómetro conectado al depósito. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

Solución:

T  112o C  385K  V  0,500 m3 La masa molecular del helio es M=4,003 kg/kmol, por tanto

n

m  n  0,1249 kmol M

Luego, la presión absoluta ejercida por el helio es

P

n·R·T P  V

bar·m3 ·385 K kmol·K  P  8,00 bar 0,500 m3

0,1249 kmol·0,08314

Por tanto, la presión manométrica habrá de ser

Pman  P  Po  P  7,0 bar

Soluciones

Página 29

Termodinámica

18.- Se necesita almacenar 1.500 kg de propano (C3H8) en un depósito de gas a 42 ˚C y 450 kPa. a) Calcúlese el volumen interior del depósito, en metros cúbicos; b) Si posteriormente se añaden 500 kg de gas, pero la temperatura se mantiene constante, calcúlese la presión final, en kilopascales. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

Solución:

m1  1.500 kg P1  450 kPa  4,50 bar T  42o C  315 K Puesto que la masa molecular del propano es M=44,09 kg/kmol, se tiene

n1 

m1  n1  34,02 kmol M

a) El volumen interior del depósito es

V

n1 ·R·T V  P1

bar·m3 ·315 K kmol·K  V  198 m3 4,50 bar

34,02 kmol·0,08314

b) Si ahora se introduce más propano en el depósito, se tendrá

m2  1.500 kg  500 kg  m2  2.000 kg Por tanto

n2 

m2  n2  45,36 kmol M

P2 

n2 ·P1  P2  6,00 bar n1

Luego

Soluciones

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Termodinámica

19.- Una determinada cantidad de nitrógeno ocupa inicialmente un volumen de 0,890 m3 a una presión de 2,00 bar y una temperatura de 27,0˚C. Si se comprime hasta un volumen de 0,356 m3 y una presión de 12,5 bar, calcúlese: a) b) c) d)

la temperatura final, en grados Celsius; la masa de gas, en kilogramos; la variación en su energía interna, en kilojulios, utilizando datos de la tabla A.3; la variación en su energía interna, en kilojulios, utilizando datos de la tabla A.6.

NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

20.- Un depósito rígido de almacenamiento de agua para una vivienda tiene un volumen interior de 400 L. El depósito contiene inicialmente 300 L de agua a 20 ˚C y 240 kPa. El espacio libre sobre el agua contiene aire a las mismas temperatura y presión. Se bombean muy lentamente otros 50 L de agua al depósito, de manera que la temperatura permanece constante. Determínense: a) la presión final en el depósito, en kilopascales; b) el trabajo comunicado al aire en julios.

21.- Se considera un cilindro fijo y rígido, de paredes metálicas, provisto de un pistón también rígido y que puede desplazarse en el interior del cilindro con rozamiento despreciable. El cilindro contiene 0,0140 kg de hidrógeno, que inicialmente ocupan un volumen de 100 L a 210 kPa. Se El hidrógeno intercambia calor con el entorno muy lentamente, de modo que la presión en el interior del cilindro permanezca constante, hasta que el volumen sea el 80 por 100 de su valor inicial. Determínese: a) La temperatura final, en grados Celsius. b) El calor absorbido por el hidrógeno, en kilojulios, utilizando datos de la Tabla de hidrógeno (H2) gas ideal. c) El calor absorbido por el hidrógeno, en kilojulios, utilizando datos de capacidades térmicas del hidrógeno (H2) gas ideal en función de la temperatura absoluta.

Soluciones

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Termodinámica

22.- Un depósito de paredes rígidas contiene inicialmente 0,800 g de aire a 295 K y 1,50 bar. Con una fuente de 12,0 V se hace pasar una corriente eléctrica de 600 mA, durante 30,0 s, a través de una resistencia eléctrica situada en el interior del depósito. A la vez, tiene lugar una pérdida de calor de 156 J. Determínense: a) la temperatura final del gas, en kelvin; b) la presión final, en bar. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

23.- En el interior del cilindro de un compresor alternativo hay encerrados inicialmente 100 L de aire a 0,950 bar y 67,0 ˚C. El proceso de compresión es cuasiestático y está representado mediante la ecuación P·V1,3 = constante. El volumen final es de 20,0 L. Determínense: a) b) c) d) e)

la masa de aire, en kilogramos, que se está comprimiendo; la temperatura final, en kelvin; la variación en la energía interna del aire, en kilojulios; el trabajo mínimo necesario, en kilojulios; el calor absorbido por el aire, en kilojulios.

NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

24.- En un depósito se almacenan 0,81 kg de nitrógeno a 3,0 bar y 50 ˚C. Mediante una válvula adecuada, este depósito está conectado a un segundo depósito de 0,50 m 3, que inicialmente se encuentra vacío. Ambos depósitos están perfectamente aislados. Si se abre la válvula y se permite que se alcance el equilibrio, ¿cuál será la presión final, en bar?. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

Soluciones

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Termodinámica

25.- Dos depósitos idénticos, ambos térmicamente aislados y con un volumen interior de 1,0 m3, están comunicados por medio de una válvula. Inicialmente la válvula está cerrada y el depósito A contiene aire a 10 bar y 350 K, mientras que el depósito B contiene aire a 1,0 bar y 300 K. Se abre la válvula y se permite que se alcance el equilibrio. Determínense la temperatura final, en kelvin, y la presión final, en bar. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

26.- Se tienen dos depósitos conectados entre sí por medio de una válvula. Inicialmente la válvula está cerrada y el depósito A contiene 2,0 kg de monóxido de carbono gaseoso a 77 ˚C y 0,70 bar, mientras que el depósito B contiene 8,0 kg del mismo gas a 27 ˚C y 1,2 bar. Se abre la válvula y se permite que se mezclen los contenidos de ambos depósitos, mientras que el monóxido de carbono intercambia calor con el ambiente. La temperatura final de equilibrio es de 42 ˚C. Suponiendo comportamiento de gas ideal, determínense la presión final, en bar, y el calor absorbido por el CO, en kilojulios.

27.- Se tiene vapor de agua a 440 "C y 200 bar. Obténgase el volumen específico en m3/kg, utilizando (a) la ecuación del gas ideal, (b) el principio de los estados correspondientes, y (c) las tablas de vapor sobrecalentado.

28.- Un depósito de 1,2,5 m3 contiene propano (C3H8) a 1 15 oC y 3l ,9 bar. Estímese la masa del gas en kilogramos, utilizando (a) el modelo de gas ideal, y (b) el diagrama de compresibilidad. Se extrae gas del depósito hasta que la masa que queda es la mitad de la cantidad original y la temperatura sigue siendo la misma. Con el resultado del apartado (b) y el diagrama de compresibilidad, (c) estímese la presión final del depósito en bar. (d) Calcúlese la presión final si el comportamiento es de gas ideal.

Soluciones

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Termodinámica

29.- Se comprime isotermamente vapor de agua a 12,0 MPa y 480°C hasta que el volumen inicial se reduce a la mitad. Obténgase la presión final en megapascales, si (a) se aplica la ecuación del gas ideal, (b) se emplea el principio de los estados correspondientes, y (c) se utilizan las tablas del agua. 30.- Se calienta vapor de agua a 100 bar y 320°C en un depósito rígido hasta que alcanza una presión de 160 bar. Obténgase la temperatura final en °C, utilizando (a) el modelo de gas ideal, (b) el diagrama del factor de compresibilidad, y (c) las tablas del agua

Soluciones

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