Ly 01 [PDF]

Zitiervorschau

Phần thứ nhất

MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ khi chưa có cơ sở lí thuyết dẫn đường con người đã biết sử dụng sức nước, sức gió để chuyển thành cơ năng như: cối xay gió, guồng nước, cối giã gạo... Cùng với sự phát triển của xã hội và các ngành khoa học, các nguồn năng lượng trong tự nhiên ngày càng cạn kiệt. Con người mong muốn sử dụng nguồn năng lượng từ dòng nước, có thể coi là vô tận trong tự nhên để biến thành các dạng năng lượng khác. Biết bao ý tưởng chế tạo ra động cơ vĩnh cửu ra đời, nhưng mọi cố gắng đều trở nên vô nghĩa. Mặc dù con người không thể chế tạo ra được động cơ vĩnh cửu như mong muốn nhưng một ngành mới của vật lí đã được ra đời đó là: ngành nhiệt học. Ngành này nghiên cứu về chất lỏng và chất khí gọi chung là chất lưu. Trong thực tế các hiện tượng liên quan đến chất lỏng khá phổ biến, có nhiều ứng dụng trong đời sống và khoa học. Đơn giản như đưa nước từ nhà máy đến các hộ gia đình, hay làm thế nào để sử dụng năng lượng từ nguồn nước một cách hợp lí thay thế cho các nguồn năng lượng đang cạn kiệt dần...Như vậy những hiểu biết về chất lỏng là rất quan trọng. Với những lí do đó, chúng tôi đã lựa chọn đề tài “Chất Lỏng” để nghiên cứu với mong muốn có được hiểu biết nhất định về vấn đề này, trên cơ sở đó có thể giải thích các hiện tượng liên quan một cách khoa học, tạo niềm tin, hứng thú học tập và tích luỹ kiến thức nghề nghiệp cho bản thân đồng thời lấy đó là tài liệu phục vụ việc giảng dạy các lớp chuyên và đội tuyển.

II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Chất lỏng và bài tập về chất lỏng.

III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU, ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI - Củng cố kiến thức về chất lỏng, Sưu tầm bài tập chất lỏng đề dạy đội tuyển - Giải thích một số hiện tượng thực tế liên quan một cách khoa học - Vận dụng kiến thức để làm hoặc chế tạo một số dụng cụ, đồ dùng dạy học

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lí thuyết - Phân tích và tổng hợp lí thuyết: + Phân tích lí thuyết để phân chia vấn đề cần nghiên cứu thành các đơn vị kiến thức, cho phép tìm hiểu các dấu hiệu đặc thù, cấu trúc bên trong của từng đơn vị kiến thức. Từ đó nắm vững bản chất của từng phần kiến thức và của toàn bộ vấn đề. + Trên cơ sở phân tích, tiến hành tổng hợp các kiến thức để tạo ra hệ thống, thấy được các mối quan hệ của các đơn vị kiến thức dựa trên sự suy luận logic để rút ra kết luận khoa học. - Phân loại hệ thống lí thuyết:

2

+ Trên cơ sở phân tích lí thuyết để tiến tới tổng hợp chúng, cần phải thực hiện các quá trình phân loại kiến thức nhằm hệ thống hoá kiến thức, sắp xếp kiến thức theo mô hình nghiên cứu, làm cho vấn đề nghiên cứu được trình bày chặt chẽ, sâu sắc. 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Thu thập thông tin từ quan sát, luyện tập, trao đổi về một số hiện tượng trong thực tế có liên quan đến vấn đề.

V. CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phần nội dung của đề tài gồm ba chương: - Chương I. Lý thuyết chung - Chương II. Bài tập - Chương III. Giới thiệu đề thi các nước

3

Phần thứ hai NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Chương I. LÝ THUYẾT I. SƠ LƯỢC VỀ CHẤT LỎNG I.1. Định nghĩa Định nghĩa: Chất lỏng là những chất có thể chảy được.

II.2. Tính chất II.2.1. Tính chất của chất lỏng Chất lỏng có tính chất trung gian giữa chất rắn và chất khí, đó là: - Chất lỏng chuyển sang trạng thái khí ở nhiệt độ cao, và sang trạng thái rắn ở nhiệt độ thấp. - Chất lỏng có hình dạng của bình chứa như chất khí, nhưng không chiếm toàn bộ thể tích như chất khí mà có thể tích xác định như chất rắn. - Khoảng cách trung bình giữa các phân tử chất lỏng lớn hơn chất rắn nhưng nhỏ hơn chất khí. - Các phân tử chất lỏng không chuyển động tự do như những phân tử chất khí nhưng cũng không cố định ở một vị trí cân bằng như những phân tử chất rắn mà có vị trí cân bằng thay đổi. II.2.2. Tính chất của nước Nước là chất lỏng phổ biến nhất, chiếm 3/4 diện tích bề mặt trái đất. Nước tinh khiết có khối lượng riêng là 1000 kg/ m 3 . Nước tồn tại ở cả ba thể: rắn, lỏng, khí: - Nước ở thể rắn khi nhiệt độ nhỏ hơn 0 0 C. Đặc biệt người ta đã tạo ra được "nước đá nóng" có nhiệt độ 76 0 C ở áp suất cao 20600 at. Người ta gọi đó là loại "băng thứ năm". Chúng ta không có cách gì tiếp xúc được với nó, bởi vì, băng thứ năm được hình thành trong một cái bình dày làm bằng thép tốt nhất, dưới áp suất của một cái máy ép cực mạnh. Cho nên chúng ta không thể nhìn thấy nó hoặc sờ vào nó được. Chúng ta chỉ có thể biết được tính chất của loại "băng nóng" này bằng phương pháp gián tiếp. "Nước đá nóng" này đặc hơn nước đá thường, thậm chí còn đặc hơn cả nước nữa: tỉ khối của nó là 1,05. Nó chìm trong nước chứ không nổi trong nước như nước đá thường. - Nước ở thể lỏng, có tất cả các tính chất của chất lỏng. Đặc biệt ở 4 0 C nó có khối lượng riêng lớn nhất, nên ở các đáy hồ sâu, biển... đều có cùng nhiệt độ đó. - Nước ở thể khí: thực chất tồn tại ở thể hơi.

II.3. Cấu tạo và chuyển động phân tử chất lỏng Vì năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử chất lỏng vào cỡ độ sâu của hố thế năng. Nên năng lượng ứng với mỗi bậc tự do

1 kT sẽ bé hơn độ sâu của hố. Như vậy 2

các phân tử chất lỏng không thể chuyển động tự do mà chúng chỉ thực hiện nhưng dao động quanh vị trí cân bằng. Mặt khác giá trị năng lượng này không nhỏ hơn hố thế năng

4

nhiều qúa. Nhưng do thăng giáng mà phân tử có động năng đủ lớn (vì nhận thêm năng lượng) và phân tử có thể vượt qua hố thế năng để di chuyển đến một vị trí cân bằng mới. Thời gian dao động quanh vị trí cân bằng của phân tử chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ. Ở gần nhiệt độ đông đặc thời gian đó rất lớn, nhưng khi tăng nhiệt độ thời gian đó lại giảm đi. Để tính thời gian dao động trung bình  của các phân tử quanh một vị trí cân bằng, ta tính theo công thức :  = 0 e

w kT

Công thức nay do Frenken thiết lập. Trong đó  0 là chu kì dao động của phân tử quanh vị trí cân bằng, w là năng lượng hoạt động của phân tử, k = 1,38.10-23 J/K là hằng số Bonzman, T là nhiệt độ tuyệt đối. Với nước ở nhiệt độ thường  =10-11 giây, trong khi đó  0 =10-13 giây. Như vậy cứ dao động khoảng 100 chu kỳ phân tử nước lại dịch chuyển đi chỗ khác.

II. CHẤT LỎNG TĨNH II.1. Áp suất II.1.1. Định nghĩa * Định nghĩa: Áp suất tại mọi điểm trên một mặt bị ép (nén) là độ lớn của áp lực vuông góc lên một diện tích của mặt đó. P=

F S

Với P là áp suất tại điểm đó, F là độ lớn của áp lực vuông góc tác dụng lên diện tích có độ lớn S. * Đơn vị đo áp suất: Trong hệ SI, đơn vị đo áp suất là Niutơn trên mét vuông, còn gọi là pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m2 Ngoài ra còn dùng các đơn vị khác như: - Átmốtphe kỹ thuật (hay átmốtphe) kí hiệu là at 1at = 9,81.104

N m2

- Átmốtphe Vật lý: kí hiệu là atm 1atm = 1,013.105

N =1,033 at m2

Tor hay milimét thuỷ ngân: kí hiệu là Tor hay mmHg 1Tor = 1mmHg = 133,322 N/m2 Vậy: 1atm = 760 mmHg = 1,013.105N/m2 = 1,033 atm

5

II.1.2. Áp suất thuỷ tĩnh Ở điều kiện trái đất chất lỏng có trọng lượng. Mà áp suất do có  F1 lực tác dụng, nên hai diện tích nằm ở những độ sâu khác nhau dưới mặt thoáng chất lỏng sẽ chịu những áp suất khác nhau. Độ khác nhau đó bằng cái gì?  P Ta tách tưởng tượng trong lòng chất lỏng một hình trụ thẳng đứng với các đáy nằm ngang. Chất lỏng trong hình trụ nén nước ở  F xung quanh. Lực toàn phần của sự ép này bằng trọng lượng mg của 2 chất lỏng bên trong hình trụ. Nhưng các lực tác dụng lên những phía Hình 1 đối diện của mặt bên bằng nhau về độ lớn và ngược chiều. Do đó tất cả các lực tác dụng lên mặt bên bằng không. Nghĩa là trọng lượng mg bằng hiệu các lực F1, F2 F2 - F1 = mg Mà m = ρ V = ρ Sh, với S là diện tích đáy của hình trụ,  là khối lượng riêng của chất lỏng, nên : F2 - F1 = ρ shg 

F2 F1 - = ρ gh S S



P2 - P1 = ρ gh

Ta thấy áp suất của chất lỏng phụ thuộc vào độ sâu: “Hiệu áp suất giữa hai điểm trong chất lỏng cân bằng có giá trị bằng trọng lượng của cột chất lỏng có tiết diện bằng đơn vị diện tích và có độ cao bằng hiệu hai độ cao giữa hai điểm ấy”. Áp suất của chất lỏng do trọng lượng của nó gây ra gọi là áp suất thuỷ tĩnh. Vậy một điểm nằm cách mặt thoáng chất lỏng một đoạn là h, có áp suất thuỷ tĩnh là: P = ρ gh Ở điều kiện trái đất, không khí thường nén lên bề mặt của chất lỏng, áp suất của không khí gọi là áp suất của khí quyển. Áp suất ở một độ sâu nào đó trong lòng chất lỏng bằng áp suất khí quyển cộng với áp suất thuỷ tĩnh. Từ biểu thức trên ta thấy, nếu áp suất của một điểm càng nằm sâu trong lòng chất lỏng, thì có áp suất càng lớn. Hiện tượng này thể hiện rất rõ: Những khúc gỗ đưa xuống độ sâu 5 km bị áp suất khổng lồ (5.10 5 N/cm 2 ) của nước nén chặt lại tới mức mà sau đó chúng chìm trong thùng nước như những viên gạch. Trên thực tế các tàu ngầm cũng chỉ có thể xuống đến độ sâu chừng 100 - 200 m. Những điểm nằm trên cùng một mức ngang thì áp suất sẽ bằng nhau, người ta đã ứng dụng hiện tượng này trong các bình thông nhau.

6

Hình 2

II.2. Định luật Pascan Xét thí nghiệm: Hai pittông có cùng tiết diện, có thể chuyển động trong một bình kín chứa nước. Đặt một quả cân lên một pittông, kết qủa là nó hạ sâu xuống và đẩy pittông kia lên. Muốn giữ cho hai pittông ở trạng thái cân bằng thì phải đặt một quả cân như thế ở đầu pittông kia. Khi thay một pittông có tiết diện gấp 100 lần diện tích của pittông kia. Kết quả cho thấy: Nếu đặt một quả cân lên pittông bé thì phải đặt 100 quả cân như vậy lên pittông lớn mới giữ nó ở chỗ cũ. Ta thấy rằng, thực chất của việc đặt các quả cân nên pittông là gây ra một áp suất lên khối chất lỏng dưới pittông, vậy nếu trên một phần chất lỏng đựng trong một bình kín ta gây ra một áp suất thì áp suất này được truyền đều và không giảm bớt tới mọi phần của mặt bên trong bình. Do đó có thể phát biểu định luật Pascal như sau: "Khi chất lỏng bị giam kín trong một bình không biến dạng chịu một tăng áp từ bên ngoài thì lực tác dụng này được truyền đến mọi điểm của chất lỏng và độ tăng áp suất là như nhau". Định luật Pascal được vận dụng làm máy ép thuỷ tĩnh, áp kế, phanh thuỷ lực...

II.3. Định luật Acsimet Tưởng tượng tách một phần tử chất lỏng thể tích là v chứa trong mặt kín s bất kỳ. Phần tử này chịu tác dụng của hai lực: Lùc mÆt lµ lùc cña c¸c ph©n tö xung quanh t¸c dông, lùc  nµy vu«ng gãc víi mÆt s, phÇn mÆt s ë cµng s©u th× chÞu t¸c FA

dông cµng lín do ®ã tæng lùc mÆt FA hướng lên trên . Lực khối tỷ lệ với khối lượng m của các phần tử chất lỏng, vì xét trong trường trọng lực, nên nó bằng trọng lực của khối chất lỏng ( P g  mg  gv ) đặt tại trong tâm G của nó.

 Pg Hình 3

Phần tử chất lỏng đó cân bằng khi tổng hợp lực và tổng mômen của các lực tác dụng lên nó bằng không. Do đó lực đẩy lên trên ( FA ) phải có điểm đặt ở trọng tâm G và trực đối với lực khối Pg Nếu thay phần tử chất lỏng bằng một vật cụ thể có hình dạng và thể tích đúng như phần tử chất lỏng đó thì vẫn xuất hiện lực FA đẩy vật lên trên. Ta suy ra : “ Bất cứ một vật rắn nào nằm trong chất lỏng đều chịu một lực đẩy từ dưới lên trên. Lực này có điểm đặt tại trọng tâm của phần tử chất lỏng bị chiếm chỗ và có trị số bằng trọng lượng của phần tử chất lỏng bị vật ấy chiếm chỗ”. Đây là định luật Acsimét, lực FA hướng lên trên gọi là lực đẩy Acsimét. độ lớn: FA = Pg = ρ gv Do đặc điểm của lực Acsimét, nên khi một vật chìm trong chất lỏng thì trọng lượng của chúng bị giảm đi một giá trị bằng trọng lượng phần chất lỏng bị chiếm chỗ.

7

Lực đẩy Acsimét cũng xuất hiện trong cả không khí, song khí quyển có khối ượng riêng rất nhỏ nên lực đẩy tác dụng lên vật không đáng kể. Nhưng trong các phép đo chính xác ta phải tính đến lực đẩy này.

III. CHẤT LỎNG CHUYỂN ĐỘNG III.1. Chất lỏng thực và chất lỏng lí tưởng Chất lỏng lý tưởng là chất lỏng hoàn toàn không nén được và không có lực ma sát giữa các phân tử. Chất lỏng thực là chất lỏng không lý tưởng. Trong thực tế thì chất lỏng đều có lực nội ma sát tuy rất bé. Lực này tăng khi vận tốc chuyển động tăng. Như vậy khi chất lỏng không chuyển động hay chuyển động với vận tốc bé thì ta có thể coi chất lỏng thực là chất lỏng lý tưởng. III.2. Định luật bảo toàn dòng III.2.1. Sự chảy ổn định. Đường dòng và ống dòng Khi khảo sát chuyển động của một khối chất lỏng tại một thời điểm t, mỗi điểm trong chất lỏng được đặc trưng bằng véc tơ vận tốc của hạt chất lỏng tại điểm ấy: Nếu vận tốc và áp suất tại mỗi điểm bất kỳ trong chất lỏng không thay đổi theo thời gian, ta nói chất lỏng chuyển động dừng hay chuyển động ổn định. Dưới đây ta chỉ xét chất lỏng ở trạng thái dừng. Quỹ đạo của các phân tử chất lỏng chuyển động được gọi  là đường dòng, đó là những đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi v điểm có phương trùng với véc tơ vận tốc của trường ở thời điểm xét. Ta thấy rằng ở trạng thái dừng các đường dòng không thể  v Hình 4 cắt nhau (vì nếu chúng cắt nhau thì tại điểm giao nhau phân tử chất lỏng có hai vận tốc khác nhau), khi đó đường dòng không biến dạng và trùng với quỹ đạo chuyển động của hạt.  Ống dòng: các đường dòng tựa trên một đường cong kín tạo v thành một ống dòng.

III.2.2. Định luật bảo toàn dòng chất lỏng Xét khối lượng chất lỏng chuyển động dừng trong một ống dòng, tại tiết diện S1, S2 các phân tử chất lỏng có vận tốc tương ứng 

Hình 5



là v1 , v2 . Trong thời gian  t các phân tử chất lỏng ở S1 đi được đoạn đường: Δl1 =V1.Δt

S1

và thể tích chất lỏng đi qua S1 là:

 V1

ΔV1 = S1Δl1 = S1v1Δt

Tương tự trong khoảng thời gian t , thể tích chất lỏng đi qua S2 là: ΔV2 = S2Δl2 = S2 v2Δt

Vì Chất lỏng là lý tưởng không chịu nén và không thoát

8

S2

l1

Hình 6 l2

 V2

qua thành ống dòng nên có bao nhiêu thể tích chất lỏng qua S1 thì sẽ có bấy nhiêu thể tích qua S2, nghĩa là: ΔV1 =ΔV2 S1V 1 Δt=S2 V2Δt

Hay

S1V1 = S2V2

Ta thấy đại lượng Q = S.V =

(2-1) ΔV là thể tích chất lỏng chảy qua thiết diện S trong Δt

một đơn vị thời gian gọi là lưu lượng. Từ đó có thể phát biểu định luật bảo toàn dòng chất lỏng: “Khi một chất lỏng lý tưởng chảy ổn định trong một ống dẫn thì lưu lượng của chất lỏng tại mọi tiết diện ngang của ống dẫn là như nhau”. Công thức (2.1) còn gọi là phương trình liên tục. Như vậy trong cùng một ống dòng vị trí nào có tiết diện nhỏ thì vận tốc dòng chảy càng lớn và ngược lại.

III.3. Định luật Becnuli Xét một ống dòng của một chất lỏng chuyển động ở trạng thái dừng. Lấy một đoạn giới hạn bởi hai tiết diện S1, S2, ở độ cao h1, h2 . Giả sử vận tốc và áp suất tại mỗi tiết diện là không đổi, tại S1 và S2 có vận tốc và áp suất lần lượt là V1, P1 và V2, P2. Sau khoảng thời gian  t đoạn ống đã chuyển đến vị trí giới hạn bởi S’1 và S2’. Có thể coi phần chất lỏng nằm giữa S1’S2 không chuyển động (vì ở chế độ chảy ổn định cơ năng không đổi) mà chỉ có phần khối lượng m giới hạn bởi hai đáy S1 và S1’ đã chuyển đến vị trí Hình 7 mới S2 và S2’ . Cơ năng của khối chất lỏng bao gồm động năng và thế năng. Do đó cơ năng ở vị trí đầu và vị trí cuối là: w1 

mv12  mgh1 2

w2 

mv22  mgh2 2

Cơ năng toàn phần biến thiên một lượng là :  w = w 2 - w1 = (

mv12 mv 2  mgh2 )  ( 2  mgh1 ) 2 2

Theo định luật biến thiên cơ năng thì độ biến thiên cơ năng này chính bằng công A của ngoại lực tác dụng lên ống dòng. Các lực đó chính là áp lực tác dụng lên hai đầu ống S1 và S2, còn áp lực tác dụng lên mặt bên có phương vuông với phương dịch chuyển của ống dòng không thực hiện công. Do đó: A = A 1 + A2 A = F1 l1  F2 l2

9

A = P1.S1. l1 - P2S2 l2 Trong đó l1 , l2 là quãng đường mà phần tử chất lỏng ở S1, S2 đi được trong khoảng thời gian t. Do chất lỏng không chịu nén và không thoát qua thành ống, nên thể tích chất lỏng chảy qua S1 và S2 bằng nhau: S1. l1 = S2. l2 S2 l2 = V =

m ρ

( ρ là khối lượng riêng của chất lỏng)

Vậy:

mv2 1 m m ( mv22 + mgh 2 ) - ( 1 + mgh1 ) = P1 - P2 2 2 ρ ρ

Hay

1 1 (P2 + ρv 22 ) - (P1 + ρv12 ) = ρg(h1 - h 2 ) 2 2

(2-2)

Công thức này có dạng giống như công thức về sự phân bố độ cao trong chất lỏng tĩnh, chỉ khác ở chỗ áp suất P thay bằng (P + Đại lượng

1 2 ρv ) . 2

1 ρ V2 có thứ nguyên là ML-1T-2 là thứ nguyên của áp suất, được gọi là 2

áp suất thuỷ động gây ra bởi vận tốc dòng chảy. Mà P là áp suất thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt S, vậy tổng (P +

1 2 ρv ) gọi là áp suất toàn phần. 2

Để đo áp suất thuỷ động người ta đo gián tiếp, bằng cách đo áp suất toàn phần và áp suất thuỷ tĩnh, từ đó tính được áp suất thuỷ động. Phương trình (2.2) còn có thể viết lại dưới dạng: 1 1 P1 + ρv12 + ρgh1 =p 2 + ρv 22 + ρgh 2 2 2

Vì các tiết diện S1, S2 được lấy một cách tuỳ ý. Do đó ta có thể khẳng định biểu 1 2

thức ( P + ρv 2 + ρgh ) có giá trị như nhau tại mọi tiết diện của ống dòng. Theo giả sử ban đầu thì công thức này chỉ đúng trong trường hợp tiết diện ngang S của ống dòng tiến tới 0. Nghĩa là ống dòng thu về một đường dòng. Từ đó có thể phát biểu định luật Becnuli: 1 2

“Dọc theo một đường dòng ở trạng thái dừng thì đại lượng ( P + ρv 2 +ρgh ) của chất lưu lý tưởng là một hằng số”. 1 P + ρv 2 = const 2

(2-3)

Như vậy, thực chất phương trình Becnuli là định luật bảo toàn cơ năng đối với dòng chất lưu chuyển động. Trong thực tế thì hệ thống cung cấp nước đã chuyển thế năng của nước thành thành động năng để đưa nước tới các hộ gia đình.

III.4. Hệ quả và ứng dụng của định luật Becnuli 10

III.4.1. Hiện tượng Venturi Trong một ống nằm ngang thì mọi điểm có áp suất thuỷ tĩnh ( gh ) là như nhau. Phương trình Becnuli có dạng: 1 P + ρv 2 = const 2

h2

Nếu ống có tiết diện như nhau, theo phương trình h1 liên tục thì vận tốc tại mọi điểm như nhau và lúc đó áp S1 S2 suất thuỷ động tại mọi điểm của ống dòng đều bằng Hình 8 nhau. Nếu ống có tiết diện không đều, tại hai tiết diện S1, S2 có phương trình liên hệ: 1 1 P1 + ρv12 = P2 + ρv 22 2 2

Mà lưu lượng Q = S1V1 = S2V2 thì phương trình trên trở thành: 1 Q2 1 Q2 P1 + ρ 2 = P2 + ρ 2 2 S1 2 S2

(2-4)

Nhận xét rằng: Nếu S1 > S2 thì P1 > P2 và ngược lại. Vì vậy có kết luận: Khi chất lỏng chảy trong ống nằm ngang có tiết diện thay đổi thì chỗ nào tiết diện lớn, áp suất thuỷ tĩnh cũng lớn và ngược lại.

III.4.2. Công thức Toricelli Một bình đáy rộng chứa một chất lỏng, độ cao mực chất lỏng là h1. Một vòi nhỏ được mắc ở độ cao h2 hãy tính vận tốc V của chất lỏng chảy p0 (1) ra ở vòi. Gọi mặt thoáng là vị trí (1); vòi là vị trí (2). Áp dụng h phương trình Becnuli cho hai vị trí này, ta có: h1

1 1 P1 + ρgh1 + ρv12 =P2 + ρgh 2 + ρv 22 2 2

(2)

Vì (1) và (2) đều trong khí quyển và không cách xa

p0  v h2

Hình 9 nhau nên P1  P2 = Po (P1, P2 là áp suất tĩnh tác dụng lên S1, S2; Po là áp suất khí quyển). Mặt khác vì mặt thoáng rộng, mực chất lỏng hạ thấp rất chậm nên VA  0. Vậy ta có: 1 2

P0 + ρgh1 = P0 + ρv 22 + ρgh 2 ρg(h1 - h 2 ) = ρ

v22 2

v22 gh = 2

Suy ra

V = v2 =

(2-5)

2 gh

Đây là công thức Toricelli. Như vậy vận tốc của phân tử chất lỏng khi ra khỏi bình có trị số bằng vận tốc của nó khi rơi tự do từ mặt thoáng đến vòi.

11

III.4.3. Định luật Becnuli trong thực tế Định luật này được ứng dụng rất nhiều trong thực tiễn ví dụ như cái bình bơm nước hoa, một cơ cấu thuỷ lực đơn giản nhất. Nguyên lí hoạt động dựa vào định luật Becnuli khi không khí trong ống nằm ngang chưa chuyển động, áp suất trong ống bằng áp suất khí quyển: mực nước hoa trong bình bằng mực nước hoa trong ống (nếu không Hình 10 tính đến hiện tượng mao dẫn mà ta sẽ xét sau). Nhưng chỉ cần bóp vào quả bóng, không khí trong ống sẽ chuyển động. Vận tốc dòng khí càng lớn thì áp suất tĩnh trong ống thẳng đứng càng nhỏ. Áp suất khí quyển không thay đổi, tác dụng lên bề mặt nước hoa và đẩy nó lên ống thẳng đứng nơi có áp suất nhỏ hơn. Nước hoa dâng lên và phun ra dưới dạng sương mù. Hiện tượng này gọi là hiện tượng vòi phun. Hiện tượng tuy đơn giản nhưng ứng dụng vào chế tạo các loại bình bơm (thuốc trừ sâu, nước hoa...) sơn xì, bộ chế hoà khí của động cơ... Khi nghiên cứu hiện tượng này có thể đề phòng một số tai nạn xảy ra. Ví dụ: Khi hai tàu thuỷ chạy song song nhau và có vận tốc lớn, tàu thuỷ sẽ không theo sự điều khiển của người lái. Nguyên nhân của hiện tượng này có thể giải thích theo định luật Becnuli. Thật vậy, khi hai tàu thuỷ chạy song song thì phần nước ở giữa chúng giống như một con sông nhỏ. Trong các con sông thì bờ sông không chuyển động, còn ở đây thì ngược lại: nước không chuyển động mà bờ sông (thành tàu) lại chuyển động. Nhưng tác dụng của lực thì chẳng thay đổi chút nào, ở phần hẹp của con sông di động này, nước ép vào thành tàu yếu hơn so với khoảng không gian xung quanh tàu. Nói cách khác, hai sườn tàu gần nhau chịu áp suất của nước nhỏ hơn so với áp suất phần ngoài tàu. Do vậy hai con tàu phải chuyển động vào nhau. Vì tàu nhỏ thu được gia tốc lớn hơn nên lệch hướng chuyển động rõ rệt hơn, còn tàu lớn thì hầu như vẫn chạy theo đường cũ. Thực tiễn cho biết: Dòng nước sông khi chảy với vận tốc 1 m/s, sẽ hút thân thể người với một lực 300N, đoàn xe hoả chạy với vận tốc 50 km/h sẽ hút người đứng cạnh đường ray một lực là 80N. Từ đây thấy rằng dòng nước xiết đối với người đang tắm và người đứng cạnh đường tàu khi đoàn xe lửa lao nhanh là rất nguy hiểm.

III.5. Hiện tượng nhớt và định luật Niuton

z

III.5.1 Hiện tượng ma sát (nhớt) và định luật Niutơn v  dv Thực nghiệm cho thấy: Đối với chất lỏng chuyển động, có  dz những lực tác dụng theo phương tiếp tuyến của mặt tiếp xúc giữa v F hai lớp chất lỏng. Những lực này có khuynh hướng cản lại sự 0 x chuyển động tương đối của các lớp chất lỏng: Lớp chuyển động Hình 11 nhanh kéo nhanh lớp chuyển động chậm, lớp chuyển động chậm kéo chậm lớp chuyển động nhanh.Những lực xuất hiện giữa các lớp chất lỏng đó gọi là lực nội ma sát (lực nhớt) và hiện tượng này gọi là hiện tượng nội ma sát. Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng:

12

- Khi một dòng chất lỏng chuyển động trong một hình trụ theo một hướng xác định ox thì vận tốc định hướng của các phân tử giảm dần từ điểm giữa ống đếm điểm gần thành ống. - Lực nội ma sát F giữa hai lớp chất lỏng vuông góc với oz có cường độ tỷ lệ với độ biến thiên của vận tốc định hướng V theo phương oz và tỉ lệ với diện tích tiếp xúc S giữa hai lớp chất lỏng: F=η

dv Δs dz

(2-6)

Trong đó η là hệ số nhớt phụ thuộc vào nhiệt độ và bản chất của chất lỏng, có đơn vị trong hệ SI là Ns/m2 dv là sự biến thiên vận tốc theo phương oz. dz

z

III.5.2. Công thức STốc 2 Giả sử có một quả cầu nhỏ bán kính r chuyển động tịnh 3 r tiến với vận tốc v trong một chất lỏng. Theo thực nghiệm, do hiện tượng nội ma sát, quả cầu lôi kéo một lớp chất lỏng ở gần mặt của nó chuyển động theo (bề dày của lớp chất lỏng này cỡ 2 r). Phân tử chất lỏng ở ngay sát mặt cầu có vận tốc định hướng 3

 v r

0

 v

Hình 12

v , đối với các phân tử ở xa hơn vận tốc giảm dần và đến khoảng cách

2 r vận tốc này 3

bằng không. Vậy độ biến thiên vận tốc định hướng v theo z: dv v- 0 3 v = = dz 2 r 2 r 3

Theo (2-6) nội lực ma sát (bằng lực cản tác dụng lên quả cầu) là: F=η

3v dv 4π.r 2 Δs = η 2r dz

F  6 r v

(2-7)

Đây là công thức STốc. Nó đúng khi vận tốc không lớn lắm. III.5.3. Chuyển động của một vật trong chất lỏng, vận tốc giới hạn. + Khi vật chuyển động trong chất lưu thì lực cản của chất lỏng tác dụng lên vật tỉ lệ với vận tốc của vật, và phụ thuộc vào hình dạng của vật: - Khi vận tốc của vật nhỏ: Lực cản tỉ lệ với vận tốc Fc  k v ; ( k là hệ số phụ thuộc vào hình dạng của vật, vật hình cầu k= 6 r , vật hình dạng động lực học có k nhỏ nhất). - Khi vận tốc của vật lớn: Lực cản tỉ lệ với bình phương vận tốc. + Vận tốc giới hạn:

13

- Vật rơi trong chất lỏng: mg - FA - Fc = (ρ - ρ0 )Vg - kηv = ma Khi v tăng thì a giảm vật tốc đạt giá trị giới hạn khi a=0. Ta có: vgh =

(ρ-ρ0 )Vg kη

- Vật chuyển động trong chất lỏng nhớt dưới tác dụng của một lực không đổi ( phương nằm ngang): Hợp lực tác dụng lên vật theo phương ngang : F - Fc = ma = m 

dv dv  F- kηv = m dt dt

dv kη F F - kη t F =dt tích phân hai vế ta có : v = + (v0 - )e m  F m kη kη kη vkη

t F F - kη Vì (v0 không phụ thuộc vào v0 )e m giảm nhanh , vgh  kη kη kη t F Nếu v0 = 0 thì vgh = (1- e m ) . kη

III.5.4. Sự chảy thành dòng trong các ống. Công thức PoaZơi Trong một ổng nằm ngang chất lỏng chảy được là do sự chênh lệch áp suất. Công thức Poa-zơi về mối quan hệ giữa lưu lượng dòng chảy với độ chênh lệch áp suất và bán kính của ống là: Lưu lượng

Q=

πR 4 (P1 - P2 ) .(2-8) 8η.l

Trong đó R là bán kính trong của ống , l là chiều dài của ống. III.5.5. Các phương trình động lượng và mô men động lương cho chất lỏng chuyển động Động lượng theo phương ox của khối lượng chất lỏng chảy qua một diện tích S : Px  m.vx  .S.v.cos  .dt .v x

v

x Pháp tuyến

Trong đó θ là góc giữa v với pháp tuyến của tiết diện S của ống Mà lưu lượng chảy của chất lỏng :

x

Q = v.s.cosθÞPx = ρ.Q.vx dt

*Vậy



PT

định

luật

Hình 13 II

Niu-tơn

theo

ox:

y

v

dP Fx = x = ρ.Q.(v x 2 - v x1 ) dt



- Phương trình mô men động lượng : xét khối lượng m của chất lỏng quay quanh trục oz. Mô men động lượng đối với trục oz: LZ =mv×r hay Lz = mvrsinα

Trong đó  là góc giữa r với v .

14

v



o z

Hình 14

x

* Vậy phương trình động lực học của chuyển động quay của khối chất lỏng quanh trục oz là:

M

z

=

dL z =ρ.Q.[r2 v 2sinα 2 - r1v1sinα1 ] dt

IV. HIỆN TƯỢNG CĂNG MẶT NGOÀI IV.1. Áp suất phân tử Ta thấy rằng lực hút giữa các phân tử chất lỏng giảm nhanh theo khoảng cách, do đó chỉ những phân tử cách nhau một khoảng nhỏ hơn 2r vào cỡ 10-9m thì mới tác dụng lên nhau. Nếu từ một phân tử làm tâm, ta vẽ một mặt cầu bán kính r, thì phân tử chỉ tương tác với các phân tử nằm trong mặt cầu đó. Mặt cầu như vậy gọi là mặt cầu bảo vệ. Phân tử M1 có mặt cầu bảo vệ nằm hoàn toàn trong chất lỏng, nên lực tác dụng lên M1 về mọi phía bù trừ nhau Phân tử M2, M3 nằm trong lớp chất lỏng có mặt M2 M3 cầu bảo vệ không hoàn toàn nằm trong chất lỏng. Lúc đó lực tác dụng nên các phân tử này theo mọi phương  không bù trừ lẫn nhau và tổng hợp lực hướng vào trong F3  chất lỏng. Trong lớp chất lỏng các phân tử nào nằm sâu F2 hơn thì chịu lực tác dụng nhỏ hơn (F2 < F3). Những lực M1 đó ép lên phân tử phía trong và gây một áp suất gọi là áp suất phân tử. Áp suất này thường rất lớn, đối với Hình 15 nước áp suất phân tử có giá trị khoảng 17000 atm. Trong chất lỏng các phân tử nằm cách nhau khoảng 3.10-10 m, là khoảng cách mà tại đó lực hút bằng lực đẩy. Tuy áp suất phân tử rất lớn, nhưng nó không ép được các phân tử ở phía trong xít lại nhau. Vì lúc khoảng cách phân tử nhỏ hơn 3.10-10m thì lực đẩy giữa các phân tử lớn các, lực đẩy này chống lại áp suất phân tử và làm cho các phân tử không xít lại nhau. Đây cũng là một lý do mà chất lỏng rất khó nén. Ta thấy rằng áp suất phân tử không thể đo được trực tiếp vì nó luôn hướng vào trong lòng chất lỏng, nó không tác dụng lên thành bình và nên các vật nhúng trong chất lỏng. IV.2. Năng lượng mặt ngoài IV.2.1. Năng lượng mặt ngoài của chất lỏng Các phân tử ở mặt ngoài chịu lực hút hướng vào trong lòng chất lỏng. Do đó tổng năng lượng của chúng ngoài động năng chuyển động nhiệt như những phân tử nằm sâu trong lòng chất lỏng, chúng còn có một dạng năng lượng khác, đó là thế năng do các phân tử bên trong hút. Giả sử nhiệt độ đồng đều thì động năng do chuyển động nhiệt của mọi phân tử chất lỏng đều giống nhau, nhưng các phân tử ở mặt ngoài còn có thêm thế năng. Muốn đưa một phân tử từ trong lòng chất lỏng ra mặt ngoài cần phải thực hiện một công để thắng lực hút phân tử. Công này làm tăng thế năng của phân tử. Do đó các phân tử ở lớp mặt ngoài có thế năng lớn hơn so với thế năng của các phân tử ở phía trong. Phần năng lượng tổng cộng lớn hơn gọi là năng lượng mặt ngoài của chất lỏng.

15

Ta thấy rằng năng lượng mặt ngoài phụ thuộc vào các phân tử của lớp mặt ngoài nhiều hay ít. Số phân tử này càng nhiều thì năng lượng mặt ngoài càng lớn. Vì vậy năng lượng mặt ngoài E tỉ lệ với diện tích mặt ngoài S, ta có: E = S

(2-9)

Trong đó  là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào loại chất lỏng và trạng thái chất lỏng gọi là hệ số sức căng mặt ngoài. Đơn vị của  trong hệ SI là Jun trên mét vuông (J/m2). Do sức căng mặt ngoài nếu lấy một khung dây thép nhúng vào nước xà phòng, ta được một màng xà phòng phủ kín khung. Thả vào đó một vòng chỉ, khi chọc thủng màng bên trong vòng chỉ sẽ trở thành vòng tròn. Tại sao vậy? Ta biết rằng hệ ở trạng thái cân bằng bền khi thế năng cực tiểu. Vì vậy màng xà phòng sẽ ở trạng thái cân bằng bền khi thế năng ( năng lượng mặt ngoài ) nhỏ nhất, tức là diện tích mặt ngoài nhỏ nhất. Do đó có thể giải thích hiện tượng trên như sau: do điều kiện năng lượng cực Hình 16 tiểu, diện tích màng xà phòng phải co lại nhỏ nhất, nên diện tích mặt thủng phải lớn nhất. Muốn vậy diện tích mặt thủng phải là hình tròn, vì trong tất cả các hình cùng chu vi, hình tròn là hình có diện tích lớn nhất. Từ đó có thể đưa ra nguyên lý cực tiểu của năng lượng mặt ngoài: “khối chất lỏng sẽ ở trạng thái cân bằng bền lúc diện tích mặt ngoài của nó là nhỏ nhất có thể được”. Theo lập luận trên thì tất cả các khối chất lỏng đều có hình cầu vì hình cầu cũng là hình có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các hình có cùng thể tích. Nhưng do chất lỏng chịu tác dụng của trọng lực, nên nó choán phần dưới của bình chứa. Nếu khử được hoàn toàn trọng lực thì tất nhiên các khối chất lỏng sẽ có dạng hình cầu. Thí nghiệm sau sẽ chứng tỏ điều đó: Bỏ một ít giọt dầu vào trong dung dịch cùng tỉ trọng. Do trọng lực của các giọt dầu cân bằng với lực đẩy Acsimét, nên giọt dầu có dạng những hình cầu. Hình 17 IV.2.2. Sức căng mặt ngoài Ta thấy rằng diện tích mặt ngoài của chất lỏng luôn có khuynh hướng tự co lại. Do vậy về một phương diện nào đấy, mặt ngoài chất lỏng giống như một màng cao su bị căng. Để giữ nguyên tình trạng mặt ngoài của chất lỏng, ta phải tác dụng lên chu vi của mặt ngoài các lực vuông góc với đường chu vi và tiếp tuyến với mặt ngoài. Lực đó gọi là lực căng mặt ngoài. Công thức tính độ lớn sức căng mặt ngoài được xác định từ thí nghiệm sau: lấy một khung dây thép, cạnh MN có thể di x M N chuyển được. Nhúng khung vào nước xà phòng và lấy ra. Ta được  F màng xà phòng mỏng. Theo nguyên lý cực tiểu màng luôn có xu Hình 18 hướng co lại. Để màng không co, cần phải tác dụng lên MN một lực đúng bằng lực căng mặt ngoài. Khi cạnh MN dịch đi một đoạn X thì diện tích mặt ngoài tăng lên một lượng là:

16

S = 2. .X

Vì màng xà phòng có hai mặt ở ngoài: một mặt ở trên và một mặt ở dưới, nên có hệ số 2 trong công thức này.

M N  F

Công thực hiện bởi lực F trong dịch chuyển X là : A = F.x

 F

Hình 19 Công này dùng để tăng diện tích mặt ngoài lên một khoảng S, tức là làm tăng năng lượng mặt ngoài lên E, theo (2-9) ta có: E = A Hay  .2 .X = F.X  F =  2 Với 2l là chiều dài của đường chu vi, do đó trong trường hợp tổng quát, công thức tính lực căng mặt ngoài là: F =  

(2-10)

Trong đó F là sức căng mặt ngoài tác dụng lên đoạn chu vi l. Nếu l bằng một đơn vị chiều dài thì  = F. Từ đó có định nghĩa về  như sau: Hệ số sức căng mặt ngoài là một đại lượng vật lý về trị số bằng sức căng tác dụng lên một đơn vị của đường chu vi mặt ngoài. Hệ số sức căng mặt ngoài phụ thuộc vào bản chất của chất lỏng và nhiệt độ. Khi nhiệt độ tăng thì  giảm. IV.3. Hiện tượng dính ướt và không dính ướt Xét phân tử chất lỏng A tại nơi giao tiếp của hai hoặc cả ba F rl môi trường: rắn lỏng, khí. Lấy A làm tâm vẽ mặt cầu bảo vệ. Tạm coi mặt thoáng của A vuông góc với thành bình. Các lực tác dụng lên phân tử này gồm: - Lực hút của các phân tử chất lỏng ( Fll ), lực này hướng vào

A

 Fll

Hình 20

trong lòng chất lỏng.

- Lực hút của các phân tử chất rắn ( Frl ), lực này vuông góc với thành bình và hướng vào thành bình. - Trọng lực P và lực hút của các phân tử chất khí (những lực này rất nhỏ có thể bỏ qua). Vậy lực tác dụng lên phần tử A chỉ còn FA  Fll  Frl .Ta xét các trường hợp xảy ra: (1). Nếu lực hút của các phân tử chất rắn lớn hơn lực hút của các phân tử chất lỏng ( Frl  Fll ) thì lực tổng hợp tác dụng lên phần tử A ( FA ) hướng về

 Frl

A

 FA

phía chất rắn. Kết quả là làm cho mặt thoáng chất lỏng cong lõm xuống. Ta có hiện tượng dính ướt. (2). Nếu lực hút cuả các phân tử chất lỏng lớn hơn lực hút  phân tử chất rắn ( Fll  Frl ), thì FA hướng về phía Frl

17

 Fll

Hình 21 của các

A

 FA

 Fll

chất lỏng. Kết quả là làm cho mặt thoáng chất lỏng cong lồi lên ta có hiện tượng không dính ướt. Ta thấy rằng thực chất của hiện tượng làm ướt và không làm ướt chính là do lực hút giữa các phân tử gây ra. Hình 22 Để xác định: dạng của mặt cong (mặt khum). Người ta dùng khái niệm góc bờ (hay góc mép) θ là góc hợp bởi tiếp tuyến mặt ngoài chất lỏng và tiếp tuyến mặt ngoài chất rắn. Có các trường hợp sau:  - Nếu góc 0  θ < ta có hiện tượng dính ướt, mặt khum là 2

mặt lõm. Khi  = 0 thì chất lỏng làm dính ướt hoàn toàn chất rắn. - Nếu

  θ   ta có hiện tượng không làm ướt. Mặt khum là 2

Hình 23

mặt lồi. Khi θ =  thì chất lỏng hoàn toàn không làm ướt chất rắn. Các hiện tượng này thường gặp trong thực tế như: mực làm Hình 24 dính ướt ngòi bút nên mới dính vào ngòi bút. Nước mưa không làm dính ướt lá cây (lá môn, lá khoai). Và giả sử không có trọng lực tác dụng thì hiện tượng dính ướt và không dính ướt thể hiện rất rõ đó là: nước sẽ không ở yên trong cốc thuỷ tinh, mà nó sẽ “bò” ra cả thành cốc tạo thành một lớp nước bao quanh cốc... Người ta đã ứng dụng hiện tượng này trong kĩ thuật tuyển quặng.

IV.4. Áp suất phụ gây ra bởi mặt cong của chất lỏng IV.4.1. Định nghĩa áp suất phụ Chất lỏng đựng trong ống trụ có tiết diện không quá lớn thì mặt thoáng chất lỏng thường có dạng mặt khum. Mặt khum lồi lên (chất lỏng không làm dính ướt vật rắn) và mặt khum lõm xuống (chất lỏng làm dính ướt vật rắn) có diện tích lớn hơn khi phẳng. Do xu hướng co diện tích mặt ngoài đến cực tiểu, nên sức căng mặt ngoài có tác dụng kéo mặt ngoài trở thành phẳng. Xu hướng  này đã tạo ra áp suất phụ P thêm ngoài vào áp suất phân tử.

 P

Hình 25 ΔP

- Với mặt khum lồi, sức căng mặt ngoài có tác dụng ép phần chất lỏng 

phía dưới gây ra áp suất phụ  P hướng từ trên xuống và cùng chiều với áp suất phân tử. - Với mặt khum lõm, Sức căng gây ra áp suất phụ hướng lên trên và ngược với áp suất phân tử.

 F2

IV.4.2. Biểu thức tính áp suất phụ IV.4.2.1. Mặt cong là một phần của mặt cầu  F  Giả sử mặt cầu có bán kính R và khẩu kính r.

l 

Hình 26 r

H

l

  F1

(C ) R



18 Hình 27

 F2

  F F1

Xét một phần tử l trên chu vi C. Nó chịu tác dụng của lực căng  F , lực này có đặc điểm: Vuông góc với l, tiếp tuyến với mặt cong và độ lớn F =  . .Phân tích lực căng  F ra hai thành phần:  F 1 thẳng đứng và  F 2 nằm ngang. Vì thành phần  F 2 chỉ tác dụng lên các phần tử l của chu vi C theo phương ngang, nên ta không xét. Từ hình vẽ ta có:  F 1 =  F sin β Mà sức căng F nén lên chất lỏng bằng tổng các lực  F 1 có độ lớn: F= Do



r

σ.r

 ΔF = ΔFsinβ = σ l R = R  Δ 1

= 2  r là chu vi của chu tuyến C, vì vậy:

 .r 2π.r 2 2 r = σ R R 2 Lực nén này ép lên diện tích S =  r , suy ra áp suất phụ gây ra bởi mặt khum lồi là: F 2σ = p = (2-11) ΔS R Đối với mặt khum lõm áp suất phụ hướng lên trên, nên có giá trị: 2σ P = (2-12) R Nếu quy ước: Bán kính mặt cầu hướng về phía chất lỏng là dương (R > 0) và hướng ra khỏi chất lỏng là âm (R < 0) thì ta có thể viết công thức chung tính áp suất phụ cho mặt cong lồi, lõm là: 2σ P = (2-13) R

F=

Khi mặt chất lỏng là mặt phẳng R =  thì P = 0 IV.4.2.2. Mặt cong có dạng bất kỳ Trong trường hợp tổng quát mặt cong có dạng bất kỳ. Để tích áp suất phụ ta áp dụng công thức Laplaxơ: P = σ (

1 1 + ) R1 R 2

(1-14)

Với R1, và R2 là bán kính của hai giao tuyến cong do mặt khum đó bị cắt bởi hai mặt phẳng vuông góc với nhau tại điểm xét (điểm 0). Từ công thức Laplaxơ ta có thể suy ra các công thức cho các trường hợp đặc biệt : - Khi mặt cong là mặt cầu thì R1= R2 = R

Hình 28

0

2σ P = R

(2-15)

R

19 C

R1 =  ; R2 = R

- Khi mặt cong có dạng hình trụ tròn xoay thì:  P =

σ R

(2-16)

IV.5. Hiện tượng mao dẫn IV.5.1. Khái quát chung Hình 29 Hiện tượng mao dẫn là hiện tượng chất lỏng dâng lên hay hạ xuống trong các ống tiết diện nhỏ (thường có đường kính d 0, chất lỏng trong ống dâng lên . 2

 < θ   thì cos θ < 0, chất lỏng trong ống hạ xuống. 2 - Nếu θ = 0 thì cos θ = 1, chất lỏng làm ướt hoàn toàn, và  =  thì cos θ = -1, chất lỏng không làm ướt hoàn toàn ống thì công thức (2-17) có dạng:

- Nếu

20

h= 

2 gr

(2-18)

Hiện tượng mao dẫn giúp ta giải thích một số hiện tượng trong tự nhiên và đời sống : - Bông, giấy thấm, bấc đèn... có khả năng hút các chất lỏng như nước, mực, dầu... nhờ khe hẹp trong các ống này là ống mao dẫn. - Nhờ mao dẫn thực vật mới hút được chất dinh dưỡng, và nước từ dưới đất lên để nuôi cây. - Hiện tượng mao dẫn đóng vai trò quan trọng trong qúa trình trao đổi độ ẩm của đất. Trong đất luôn có những rãnh nhỏ, dài tạo thành những ống mao dẫn. Nước có thể từ dưới sâu theo những ống đó thấm lên mặt đất, rồi bốc hơi làm cho đất giảm độ ẩm. Để tránh nước bốc hơi người ta thường cuốc xới đất, cắt đứt những ống mao dẫn phía trên, ngăn không cho hơi ẩm thoát ra ngoài. - Khi trong ống có bọt khí, thì bọt khí này sẽ ảnh hưởng đến sự chảy của chất lỏng trong ống. Vì dạng cong của bọt khí ngăn cản sự chảy của chất lỏng. Do đó trong đời sống hàng ngày, khi tiêm, truyền vào máu cần lưu ý không cho bọt khí vào làm tắc mạch máu.

Chương II. BÀI TẬP VẬN DỤNG I. CHẤT LỎNG TĨNH Bài 1. Bình hình trụ diện tích đáy S = 10 cm2 chứa nước có  FA

khối lượng riêng  = 1 g/cm3. Thả vào bình vật có khối lượng m = 50g. Vật có hình dáng bất kỳ, không đồng nhất,

 Pg

21 ()

bên trong rỗng và cũng không chìm, cũng như không làm nước tràn khỏi bình. Hỏi mức chất lỏng trong bình sẽ tăng thêm bao nhiêu? Lời giải Các lực tác dụng lên vật 

- Trọng lực: Pg



- Lực đẩy Acsimét: FA

Hình 32

Do vật không chìm nên tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng không, ta có : Pg = FA mg = gV => V =

m



V là phần thể tích của vật trong chất lỏng hay cũng chính là thể tích của chất lỏng dâng lên, mà: V = S.h Suy ra :

h =

V m 50 = = = 5 (cm) S Sρ 1.10

* Chú ý: Đối với dạng bài này sử dụng định luật Acimet: FA = gv Ta cần sử dụng thêm điều kiện cân bằng của vật rắn khi vật không chìm, hay chuyển động đều tức là hợp lực ác dụng lên vật bằng không. Bài 2. Hai quả cầu khối lượng m1 = 1,6 kg, m2 = 2 kg cùng bán kính, nối với nhau bằng  một sợi dây thẳng đứng và hạ xuống đều trong một chất lỏng.Tính lực FA1 căng của dây nối. Bỏ qua lực cản của chất lỏng. m1  Lời giải T1  P Các lực tác dụng lên các quả cầu gồm:  1  

T2 FA 2

Trọng lực P1 , P2  

Lực căng T1 ,T2 

 m2 P2



Lực đẩy Acsimét FA1 , FA 2 Vì hai quả cầu hạ xuống đều trong chất lỏng, nên các lực tác dụng lên chúng bằng 0, ta có: Quả thứ nhất: P1 - FA 1 + T1 = 0 (1) Quả thứ hai: P2 - FA 2 - T2 = 0 (2) Vì dây không dãn: T1 = T2 = T (3) Hai quả cầu có cùng bán kính nên: FA1 = FA2 = gv Từ (1), (2), (3), (4) ta có: P1 + P2 - 2FA = 0 Với

FA =

P1 +P2 2

22

(4)

Hình 33

( )

Thay FA vào (1) thì : T1 = T2 = T = FA – P1 = Hay

T=

P2 -P1 2

(m2  m1 ) g (2  1,6)10   2 (N) 2 2

Bài 3. Trong một bình chứa hai chất lỏng không trộn lẫn vào nhau có khối lượng riêng 1 và 2, chiều dày tương ứng là h1, h2. Từ bề mặt chất lỏng trong bình người ta thả rơi một vật nhỏ, nó chạm đáy bình đúng lúc vận tốc bằng 0 Tính khối lượng riêng của vật. Bỏ qua lực cản của môi trường. Lời giải  Khi vật thả rơi trong chất lỏng, do bỏ qua lực cản, nên có FA

  các lực tác dụng: Trọng lực Pg , lực đẩy Acsimét FA

0

Theo định luật II Niutơn : ρgv Pg – FA = ma  a = g m

(1)

Gọi ’ là khối lượng riêng của quả cầu thì: ’ =

m v

hay

1 v = ρ' m

Thay (2) vào (1), ta có:

x

 Pg

Hình 34 (2)

a=g-

ρg ρ'

- Xét vật rơi trong chất lỏng thứ nhất: 

a1 = g -

ρ1g ρ'

Từ công thức: vt2 - vo2 = 2as Với vận tốc ban đầu v01 = 0, s1 = h1, thì : (3)  vt1 2 = 2a1h1 = 2g(1-

ρ1 )h1 ρ'

(3)

(4)

- Vật rơi trong chất lỏng thứ hai: a2 = g(1 -

ρ2 ) ρ'

Vì vận tốc của vật ở đáy mặt phẳng thứ nhất chính là vận tốc của vật ở mặt thoáng của chất lỏng thứ hai, nên: vt1 = v02 -vt12 = 2 a2h2 = 2g(1 -

Từ (2) Hay

 ρ2  -1 gh 2  ρ' 

vt 12 = 2( 

ρ2 )h2 ρ'

(5)

Từ (4) và (5) có phương trình: 2g(1-

ρ  ρ1 )h1 = 2(  2 -1 gh 2 ρ'  ρ' 

23

(do vt 2 = 0)

h1 + h2 = (1h1 + 2h2) ’ =

Suy ra :

1 ρ'

ρ1h1 + ρ 2 h 2 h1 + h 2

Bài 4. Cốc nước chia độ có khối lượng 180 g và trọng tâm (của cốc không) nằm ở độ chia thứ tám. Mỗi độ chia ứng với 20 cm3. Hỏi đổ nước đến độ chia nào thì cân bằng vững vàng nhất? Trọng tâm chung của nước và cốc bấy giờ ở độ chia nào? Lời giải Gọi: + O1 là trọng tâm của cốc không có nước. + Độ cao của cột nước đổ vào cốc là x vạch. + Độ cao của trọng tâm chung O của cốc và nước là y vạch. Khi đó độ cao trọng tâm O2 của lượng nước đổ vào cốc là x/2 (vạch). O là điểm đặt hợp lực P1 , P2 song song cùng chiều đặt tại O1, O2. Từ đó ta có: 001 P2 = 00 2 P1

0 8

8 - y 20x = y - x/2 180

 

y=



Hình 35

x 2 - 81 225 + 2.(x+9) 2.(x+9)

=

x-9 225 + 2 2.(x+9)

=

x+9 225 + -9 2 2.(x+9)

x+9 225 + 2 2.(x+9)

Để cân bằng vững vàng nhất thì trọng tâm chung O thấp nhất, tức: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: y+9=

x9 225 ( x  9) 225   2 = 15 2 2.( x  9) 2 2.( x  9)



y6 Dấu bằng sảy ra khi: x9 225  2 2.( x  9)



y

x 2 +144 2.(x+9)

=

y+9=

0 2 P2

x 2

2y( x+9 ) = x2 + 144



01  P1

x 2  12 x  36  0

24

ymin  (y + 9)min.

( x  6) 2  0

 

x=6 Vậy để cốc nước cân bằng vững vàng nhất thì phải đổ nước đến vạch chia thứ 6, khi đó trọng tâm chung của cốc và nước cũng ở vạch chia thứ 6. Bài 5. Đập nước có tiết diện hình chữ nhật, chiều cao h = 12 cm, trọng lượng riêng của đập D1 = 30 kN/m3. Tìm bề rộng a của chân đập để khi nước đầy sát mặt đập, đập không bị lật. Trọng lượng riêng của nước là D0 = 10 kN/m3. Lời giải Các lực tác dụng lên đập: 

+ Trọng lực Pg đặt ở trọng tâm. 

a

+ Lực F do áp lực của nước tác dụng. Áp lực này coi như hợp lực của  Fi . Điểm đặt của nó ở trọng tâm tam giác lực, nghĩa là cách đáy h/3.  Đập này có thể lật quanh A. Do áp suất của nước tăng đều theo độ sâu: Ở mặt đập P1 = 0 Ở đáy đập P2 =  0 gh = D0h

 F

Hình 36

 A Pg

 Áp suất trung bình ác dụng lên mặt đập là: 1 P = D0 h 2  Áp lực trung bình ác dụng lên mặt đập là: 1 F = P S = D0 S 2

( với S là diện tích thành bên của mặt đập) Điều kiện để đập không bị lật là:  MF

M Pg A

 

A

a h  F 2 3 a h  F D1 V 2 3

Pg



D1(S a)



a2 



a 

a 1 h  D0 S 2 2 3

h 3 D0 . 3 D1 h = 4 ( m) 3

Bài 6. Một hình lập phương, mỗi cạnh a = 1 m, chứa không khí với áp suất bằng áp suất khí quyển P0 = 105 N/m2 và được ngăn đôi bằng một pitông mỏng Pi. Qua một vòi nước V ở nửa bên trái người ta cho nước vào ngăn trái một cách từ từ cho đến mức h = a/2.

25

Hỏi khi pitông không bị giữ thì nó dịch chuyển một đoạn bằng bao nhiêu? Bỏ qua ma sát giữa pitông và thành bình, bỏ qua áp suất của hơi nước. Pi Bình chứa trong điều kiện đẳng nhiệt. Biết g = 10 m/s2 và khối lượng riêng D = 103 kg/m3. Lời giải Khi buông tay pitông dịch chuyển về bên phải, do áp suất k h không khí trong ngăn bên trái tăng, mặt khác nó còn chịu áp lực của khối nước. Pitông dịch được một đoạn x thì dừng lại, khi đó chiều cao Hình 37 của cột nước là h' và các lực tác dụng lên pitông bằng không. Các lực tác dụng lên pitông gồm:  

Lực F1 , F2 do không khí trong ngăn bên phải và trái.

Pi

 Lực F3 do khối nước.

 F1

Vì pitông đứng yên, nên: F1 +F2 +F3 = 0

 F1 = F2 + F3

(1)

k

h

 F2

 F3

x

Do nhiệt độ không thay đổi nên áp dụng định luật Bôimariốt cho hai khối khí, ta có: + Ngăn bên phải: PoV = P1V1 a a3 a = P1.S1 ( - x) = F1 (  x)  P0 2 2 2

(S1 là diện tích pitông của ngăn không khí bên phải) a3 P0  F1 = a  2x

(2)

+ Ngăn bên trái: PoV = P2V2 

P0

a a3 a = P2 .S2 ( + x) = F2 ( + x) 2 2 2

(S2 là diện tích pitông của ngăn không khí bên trái)  F2 =

a3 P0 a + 2x

(3)

Mặt khác, ta có thể tích nước: a 2

V = a. .  h' =

a a = a. ( + x ).h' 2 2

a2 2a  4 x

Từ đó tính được F3: h h 2 ρga 5 F3 = P3S3 = (ρ.g )(ha) = aρg = (4) 2 2 8(a + 2x)2

26

Hình 38

Thay (2), (3), (4) vào (1), ta có phương trình: a3 a3 ρga 5 P0 = P0 + a - 2x a +2x 8(a +2x)2



8P0 (a +2x) 2 =8P0 (a 2 - 4x 2 ) + ρ.ga 2 (a -2x)



64P0 x 2 + (32P0a +2ρ.g.a 2 )x - ρ.g.a 3 = 0

  = (16P0 a +ρ.g.a 2 ) 2 + 64P0ρ.g.a 3

 x1 =

x2 =

- (16P0 a + ρ.g.a 2 ) - (16P0 a + ρ.g.a 2 )2 + 64P0 .ρ.g.a 3 ) < 0 (loại) 64P0 - (16P0 a + ρ.g.a 2 ) + (16P0a + ρ.g.a 2 )2 + 64P0 .ρ.g.a 3 ) >0 64P0

Vậy pitông dịch chuyển một đoạn x = x2. Bài 7. Một quả cầu rỗng đồng chất bằng kẽm giới hạn bởi 2 mặt cầu đồng tâm nổi trên mặt nước. Tính phần nổi trên mặt nước là một chỏm cầu. Cho biết tỉ số giữa chiều cao cuả chỏm cầu và bán kính ngoài của cầu bằng k, khối lượng riêng của nước ρ0 =103 kg/m3, khối lượng riêng của thủy ngân ρ =13,6.103kg/m3 Lời giải Quả cầu ngập trong nước chịu tác dụng của 2 lực: Trọng lực P = mg = ρg(V1 -V2 ) hướng thẳng đứng H

 VC   dVC  0

 3

(3RH 2  H 3 ) chiều từ trên xuống.

Lực đẩy Acsimet dướng từ dưới lên có giái trị: FA = ρ0gΔV =  V1 - VC  ρ0g

(1)

Với VC là thể tích chỏm cầu nhô lên khỏi mặt nước Thể tính chỏm cầu VC được tính như sau: Trước hết ta tính cho thể tích của lớp cầu chiều dày dh: dVC = πr 2 dh

(2)

trong đó r 2 = R 2 -  R- h  = 2Rh - h 2 2

Thay (3) vào (2): H

 VC   dVC  0

4 3

(3)

dVC = π(2Rh - h 2 )dh

π 3RH 2  H 3   3 4 3

Mà V  πR 3 V  πR 3 do vậy thể tích của chỏm cầu có thể viết: V1  H 2 H 3  VC   3 2  3  4 R R 

Theo bài ra:

(4)

H  k do đó (4) có thể viết: R

27

VC =

V V (3k 2 - k 3 ) = k 2 (3- k) 4 4

(5)

Quả cầu nằm cân bằng trong nước nên ta có: P = FA  

Hay ρg  V1 -V2  = ρ 0g  V1 Suy ra

V1 2  k 3 - k  4 

4ρV1 - 4ρV2 = ρ0 V1  4 - k 2  3 - k  

 ρ 0 k 2ρ 0  + 3 - k  4ρ  ρ 

Vậy: V2 =V1 1-

Bài 8. Một thanh đồng chất tiết diện đều S, dài l có khối lượng riêng ρ0, nổi thẳng đứng trong hai chất lỏng khác nhau không trộn lẫn, có khối lượng riêng ρ1 và ρ2 (ρ1 A= 2(ρ 2 - ρ1 )

b. Khi thanh đang chìm hoàn toàn trong hai chất lỏng (Hình 40 ). Lực đẩy Acsimet của cả 2 chất lỏng là: FA1 = gSρ1x + gSρ2 (l – x) Công trong dịch chuyển nhỏ dx: dA1 = gSρ1xdx + gSρ2 ldx – gSρ2xdx x Công của lực đẩy Acsimet cho đến khi đầu mút trên lên đến mặt thoáng: O h  (ρ -ρ )  A1 =  dA1 = gS  1 2 h 2 +ρ 2 lh  (3) 0  2 

+ Khi một phần thanh nhô lên khỏi mặt thoáng (H 41), lực đẩy Acsimet là : FA2 = gSρ1h + gSρ2 (l – x)

28

Hình 40

H x

Tương tự: dA2 = gSρ1hdx + gSρ2 (l – x)dx A2 = 

h+H

h

  H2 dA 2 = gS ρ1hH+ ρ2lH- ρ2 - ρ2 hH  (4) 2  

H là độ cao cực đại phía trên mặt thoáng của đầu mút trên. Tổng công của lực đẩy Acsimet bằng công của trọng lực: A1 + A2 = AP = gSρ0l(h + H) (5) Từ (1), (3), (4) và (5) tính được độ cao mà đầu mút trên đạt được trên mặt thoáng là: H=

(ρ 2 - ρ0 )l ρ 2 (ρ 2 - ρ1 )

Bài 9. Một bình hình trụ thẳng đứng có nước, quay xung quanh trục của nó với vận tốc góc không đổi. Hãy xác định: a. Dạng mặt tự do của nước. b. Sự phân bố áp suất trên đáy bình dọc theo bán kính của bình nếu tăng áp suất ở tâm bằng p0. Lời giải a. Xét một phân tử chất lỏng ở cân bằng đối với hệ qui chiếu phi quán tính gắn liền với hình trụ quay, cách trục quay một đoạn r Lực tác dụng lên phân tử chất lỏng gồm: Trọng lực P ,lực quán tính li tâm Ft và phản lực N .

Phương trình chuyển động là: P+N+F1 =ma t (1)

Chiếu phương trình lên phương ngang ta có:

Hình 42

-Psinα +Fcosα =0 1

Nên: Suyra dz = dz =

tanα =

F1 mω2 r dz = = P mg dr

ω2 1 ω2 2 rdr  z = r +C g 2 g

ω2 1 ω2 2 rdr  z = rC g 2 g

Khi r = 0, z =0 ta có C= 0 Vậy phương trình quĩ đạo là: z=

1 ω2 2 r mô tả mặt paraboloit tròn xoay 2 g

b. Áp dụng công thức p = p0 + ρgz Trong đó p là áp suất đáy bình, p 0 là áp suất trên mặt chất lỏng ta có:

29

p = p0 + ρg

1 ω2 2 r2

Bài 10. Một bình hở có đường kính d = 500 mm, đựng nước quay quanh một trục thẳng đứng với số vòng quay không đổi n = 90 vòng/phút. a. Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên trục bình cách đáy Z0 = 500mm. b. Xác định áp suất tại điểm ở trên thành bình cách đáy là a = 100 mm. c. Thể tích nước trong bình là bao nhiêu, nếu chiều cao bình là H = 900 mm. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : a. Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên trục bình cách đáy Z0 = 500mm. Phương trình vi phân mặt đẳng áp :

Xdx+Ydy +Zdz = 0

Hình 43

Trong đó : 2 X= ω2 x ; Y = ω y ; Z= -g Thay vào phương trình vi phân ta được :

ω2 xdx + ω2 ydy - gdz = 0 Tích phân :

 

1 2 1 2

1 2

x  2



2

1 2

 x y 2

2

 y  gz  C 2

2

2

  g.z  C

 r  g.z  C (*) 2 2

Vậy phương trình mặt đẳng áp là :

ω2 r 2 z= +C 2g

Đối với mặt tự do cách đáy Z0 = 500mm Tại mặt tự do của chất lỏng thì : x = y = 0 và z = z0 Thay vào (*)  C   g.z0 Vậy phương trình mặt tự do sẽ là : 2 2

ωr

2 2

ωr

+z - g.z hay z = 0 0 2g 2g b. Xác định áp suất tại điểm trên thành bình cách đáy 1 khoảng a = 100mm : Phương trình phân bố áp suất : dp = ρ(Xdx+Ydy +Zdz) Trong đó : X = ω2 x ; Y= ω2 y ; Z   g Thay vào ta được : z=

30



2

2

dp = ρ ω xdx+ ω ydy - gdz



Tích phân :

1 2 2 1 2 2  p = ρ  ω x + ω y - gz  + C 2 2 

1 2 2 2  ω  x +y  - g.z + C  2  1 2 2   p = ρ ω r - g.z +C (**)  2 

p=ρ

Tại mặt tự do (tại O) ta có : x = y = 0 và z = z0  p  pa Thay vào (**)  C = -ρ.g.z 0 + pa

1

2 2

(**)  p =ρ ω r - ρ.g.z + p a + ρ.g.z 0  p a + γ.h + ρ 2 2

2

Vì:

ωr 2

h = z 0 - z  2 2 2 r = x + y  γ = ρ.g 

Điểm trên thành bình cách đáy 100mm có : d 0.5 p a =1at; r = = = 0,25m 2 2 π.n 3,14.90 h = z - z = 500 -100 = 400 = 0,4m; ω = = = 9,42 rad/s 0 30 30

Áp suất tại điểm này sẽ là : 2 2 2 2 ωr 9,42 .0,25 2  p = p - pa = γ.h + ρ = 9810.0,4+1000 = 6697 N/m = 0,068 at d 2 2

II. CHẤT LỎNG CHUYỂN ĐỘNG Bài 1. Một ống hình trụ nằm ngang có cấu tạo như trong hình vẽ. Trong ống có nước chảy từ A đến C, các tiết diện SA, SB, SC của ống ở A, B, C đều khác nhau. a. Đặt tại B một ống áp kế, tại C một ống pitô. Người ta đo được hC = 8 cm. Tìm hB biết vận tốc chảy ở B là 0,8 cm/s. b. Đặt tại A một ống áp kế. Tính hA cho SA = 20 cm2, SB = 10 cm2 Lêi gi¶i a. §é cao hB:

31

Áp dụng phương trình Becnuli nước chảy trong ống: ghB +

hA

1 1 VB2 = PC + ghC + VC2 2 2

Do ống nằm ngang nên hB = hC và VC = 0 phương trình có dạng: PB +

B

A

1 VB2 = PC 2

hC

hB C

Hình 44 (1)

Trong đó: PB, PC là áp suất tĩnh tại B và C. Xét hai điểm đầu và điểm cuối cột chất lỏng trong ống B và C ta có: PB = Po + ghB

(2)

PC = Po + ghC Thay (2), (3) vào (1):

(3)

Po + ghB + Suy ra:

1 VB2 = Po + ghB 2

hB = h C -

VB2 = 4,8 (cm) 2g

b. Độ cao hA: Áp dụng phương trình Becnuli cho hai điểm A, B của dòng nước: PA + ghA +

1 1 VA2 = PB + ghB + VB2 2 2

Do ống nằm ngang nên hB = hC và VC = 0 phương trình có dạng: PA +

1 1 VA2 = PB + VB2 2 2

(4)

Xét điểm đầu và điểm cuối cột chất lỏng tại A, ta có: PA = Po + ghA (5) Mặt khác theo phương trình liên tục: SAVA = SBVB Suy ra:

VA =

SB VB SA

(6)

Thay (2), (5), (6) vào (4) ta có: Po + ghA + Từ đó :

1 S2B VB2 1  2 = Po + ghB + VB2 2 2 SB

hA = h B + V B 2 .

S2B -VB2  7,2 (cm) S2B

*Chú ý: Đây là bài toán về sự chảy ổn định của chất lỏng và định luật Becnuli. Cần áp dụng công thức giữa vận tốc chảy và tiết diện của ống và phương trình của định luật Becnuli. Cần chú rằng P là áp suất tĩnh thông thường, tính theo đơn vị N/m hay Pa. Để tính vận tốc của chất lỏng phun ra từ một lỗ ở thành bình có độ sâu h so với mặt thoáng của chất lỏng trong bình có thể áp dụng công thức Torixenli: v =

32

2 gh .

Bài 2. Một bơm tay dùng để tra mỡ khớp ổ bi của xe ôtô, được đổ đầy dầu hoả để xúc rửa, bán kính pitông của bơm R, khoảng chuyển động của pitông l. Bán kính lỗ thoát bơm r. Bỏ qua độ nhớt của dầu và mọi ma sát. Hãy xác định thời gian để bơm hết dầu nếu tác dụng vào pitông một lực không đổi F. Khối lượng riêng của dầu hoả là  . Lời giải Coi chuyển động của dầu trong pitông là chuyển động của chất lỏng trong một đường ống. Theo định luật Becnuli ta có: P0 + P +

ρV 2 ρV12 = P0 + 2 2 2



F ρV12 ρV2 2 P0 + + = P0 + S1 2 2



V12 = V22 -

2F ρS1

(1)

Từ phương trình liên tục: S1V1 = S2V2  V22 =

S12 .V12 S22

(2)

Thế (2) vào (1), ta có: S12 .V12 2 F V1 = S 1 S 22 2



V1 =

2FS22 ρ.S1 (S12 - S22 )

(3)

Từ (3) ta thấy V1 không phụ vào thời gian, tức pitông chuyển động đều. Với S1 =  R2 S2 =  r2, từ đó tính được: V1 =

2Fr 4 ρ.π.R 2 (R 4 - r 4 )

Vậy thời gian phụt dầu ra cũng chính là thời gian để pitông đi hết quãng đường l, do đó: ρ.π.R 2 (R 4 - r 4 ) t = l/V1 = l 2Fr 4

Bài 3. Một ống nước chuyển động với vận tốc v = 3m/s trong một bể nước. Tính chiều dài l của cột chất lỏng dâng lên trong ống. Biết  = 60o. Bỏ qua áp suất bởi mặt khum. Lời giải Chọn gốc toạ độ gắn vào ống, khi đó ta có thể coi ống đứng yên, còn nước chuyển động với vận tốc v so với ống. Áp dụng phương trình Becnuli ta có : PB + ghB +

1 1 VB2 = PC + ghC + VC2 2 2

33

l

 h  v

H B

C

Hình 45

Vận tốc dòng nước tại B bằng 0 (do cột nước trong ống đứng yên), và 2 điểm B, C có cùng mực ngang, nên hB = hC. Viết lại phương trình Becnuli : PB = PC +

1 VC2 2

(1)

Với PB, PC là áp suất tĩnh tại B, C PB = Po + g (H + h)

(2)

PC = Po + gH Thay (2), (3) vào (1) ta có:

(3) 1 VC2 2

Po + g(H + h) = Po + gH + Vc2 Suy ra: h = 2g

Mà sin  = Nên: l =

h l

h VC2 =  0,52 sinα 2gsinα

(cm)

Bài 4. Sơ đồ cấu tạo của máy phun nước như hình vẽ. Biết tiết diện tại A, B là SA, SB, áp suất tại A là PA , khối lượng riêng của chất lỏng trong chậu là  và của luồng khí là  ’, áp suất khí quyển trên mặt thoáng của chậu là Po. Tìm vận tốc tối thiểu của luồng khí để máy có thể hoạt động được. Biết độ cao của cột là H. Lời giải B Khi có dòng khí chuyển động từ A đến B, do tại B có tiết diện nhỏ, vận tốc dòng khí lớn, áp suất động lớn, áp suất A H tĩnh nhỏ, cột chất lỏng trong ống C dâng lên độ cao h. Áp dụng C định luật Becnuli tại A và B, ta có: D

1 1 PA + ’ghA + ’VA2 = PB + ’ghB + ’VB2 2 2

Hình 46

Do luồng khí nằm ngang nên hA = hB, phương trình có dạng: PA +

1 1 ’VA2 = PB + ’VB2 2 2

(1)

Ta thấy rằng áp suất tại điểm D bằng áp suất tại điểm C trên mặt thoáng của chậu nước, do đó: PC = PD = Po = gh + PB Từ đó: PB = Po - gh Theo phương trình liên tục SAVA = SBVB 

VB =

(2)

SA VA SB

(3)

Thay (2) , (3) vào (1) ta có:

34

PA + Suy ra:

1 1 S2 ’VA2 = P0 - gh + ’VA2 . A2 2 2 SB

h = [Po - PA +

1 S2 - S 2 ’VA2 .( A 2 B )] : g 2 SB

Để máy hoạt động được thì h  H do đó: [Po - PA +

1 S2 - S 2 ’VA2 .( A 2 B )] : g  H 2 SB

V2 

Từ đó:

2S2B (Po - PA - ρgH) ρ'(S2A - SB2 )

Vậy vận tốc tối thiểu để máy có thể hoạt động là: VA =S

2(Po - PA - ρgH) ρ'(S2A - S2B )

Bài 5. Không khí chuyển động trong ống AB có khối lượng riêng là ’ = 1,32 kg/m3. Độ chênh lệch của mực nước dâng lên trong ống là h = 5,6 (cm). Tiết diện tại A, B lần lượt là SA = 2 cm2 , SB = 0,5 cm2.Tính lưu lượng khí qua ống AB, biết khối lượng riêng của nước là  = 103 kg/m3. Lời giải Khi không khí chuyển động trong ống, cột nước trong ống C dâng lên. Áp dụng định luật Becnuli theo dòng khí tại A và B: PA + ghA +

Hình 47

1 1 VA2 = PB + gh + VB2 2 2

Do ống nằm ngang nên hA’ = hB, viết lại phương trình: PA - PB =

1  ' (V B2  V A2 ) 2

(1)

Xét áp suất tại hai điểm E và D, ta thấy áp suất ở hai điểm này bằng nhau vì nằm trên cùng một mức ngang, mà: PE = PA PD = PB + gh nên

PA = PB + gh

Suy ra: PA - PB = gh (2) Mặt khác lưu lượng khí Q liên hệ với vận tốc dòng chảy và tiết diện S dòng khí chảy qua là : Q = SV nên VA =

Q Q ; VB = SA SB

(3)

Thay (2), (3) vào (1) ta có:

35

1 Q2 Q2 ρ'( 2 - 2 ) 2 SB SA

gh = Suy ra:

2ρgh = 15 (l/s) ρ'(S2A - S2B )

Q = SB

y

Bài 6. Trong một giây người ta rót được 5,024 19,6.(1  0,8 ) lít nước vào một bình hình trụ, có miệng rất rộng so với hai lỗ. Hai h1 lỗ cách mực nước 0,8 m (lỗ1) và 1m (lỗ 2), đường kính cũng bằng 0,8m. Tìm vị trí giao nhau của hai tia nước. Biết chiều cao h1 cột nước là 1,8m. Lời giải - Diện tích của mỗi lỗ: S=

(0,8.10 3 ) 2 d2 = =5,024.10-3 (m2) 4 4

 V1

(1)

( 2)

H1

 V2

H2

0

Hình 48

Vận tốc chảy của nước ở mỗi lỗ: v=

2 gh



v1 =

v2 =

2 gh2  2.9,8.1  19,6 (m/s)

2 gh1  2.9,8.0,8  15,68 (m/s)

Lưu lượng nước chảy ra ở mỗi lỗ : Q = S.v 

Q1 = Sv1 = 5,024.10 3 19,6. 0,8 (m3/s)

Q2 = Sv2 = 5,024.10 3 19,6 (m3/s) Ta thấy lưu lượng nước chảy ra: Q = Q1 + Q2 = 5,024.10 3 19,6 (1  0,8 ) Bằng lưu lượng nước chảy vào, nên mực ngang của nước không đổi theo thời gian. Vậy vận tốc của nước chảy ra tại hai lỗ không đổi. - Chọn hệ trục xoy như hình vẽ. Ta tìm phương trình quỹ đạo của các hạt nước từ các lỗ. + Ở lỗ (1) phân tích chuyển động của hạt theo hai phương ox, oy : Theo ox hạt chuyển động đều với vận tốc v1  x = v1t Theo oy hạt chuyển động nhanh dần đều với gia tốc g 

y1 = H1 -

gt 2 2

(2)

Với H1 = 1,8 - h1 = 1 (m) Từ (1) t =

x1 thay vào (2) ta được : v1

y1 = H1 -

g 2 x1 2v12

(3)

36

(1)

x

+ Lỗ hai (2) tương tự ta có: y2 = H2 -

g 2 x2 2v 22

(4)

Với H2 = 1,8 - h2 = 0,8 (m)  x1  x 2  x  y1  y 2  y

- Tại vị trí tia nước giao nhau  Từ (3) và (4) ta có: H1 -

g 2 g 2 x = H2 x2 2 1 2v1 2v 22

 g g  - 2  x2 2  2v1 2v2 

H1 - H2 =  Suy ra: x =

Từ (3)

H1 - H 2 1- 0,8 = = 3,2  1, 79 (m) 9,8  1 1  g 1 1   -  2  15,68 19,6  2  v12 v 22 

y = 1

9,8 .1,79  0,44 (m) 2.15,68  x  1,79(m)  y  0,44(m)

Vậy vị trí hai tia nước giao nhau 

Bài 7. Một ống trụ thẳng đứng có độ cao h, bán kính R được bịt kín đáy dưới chứa đầy nước. Đầu hở phía trên của ống được nối với một bình chứa nước lớn. Đầu bịt kín phía dưới được mở ra tại thời điểm t=0. a. Bỏ qua hiện tượng nhớt hãy nhận biểu thức cho vận tốc dòng nước trong ống ở thời điểm t và chỉ ra rằng sau một khoảng thời gian dài vận tốc đó tiến tới giá trị

2gh

b. Nếu như hiện tượng nhớt của nước được tính đến thì vận tốc của dòng nước ở trung tâm ống sau một thời gian dài tiến tới giá trị v o =

4gh + k 2 - k với k =

8ηh ρR 2

Lời giải a. Gọi v là vận tốc nước trong ống ở thời điểm t tính từ lúc đáy dưới được mở. Sau một khoảng thời gian dt có một lượng nước đi ra khỏi ống

m = ρSvdt với S= πR 2 . Khối lượng nước trong ống là M   hS . Định luật bảo toàn năng lượng ở thời điểm t và t+dt được viết như sau: mgh +

Mgh Mv2 Mgh M(v + dv) 2 mv 2 + = + + 2 2 2 2 2

Giữ lại các đại lượng bé bậc nhất ta được m  2gh - v 2  = Mvdv

Đặt biểu thức cho m và M vào ta được phương trình vi phân cho vận tốc:

37

dv 2gh - v 2 = dt 2h

Phương trình có thể tách biến





dv

2gh - v



2gh + v



=

2gh + v



=

dv

2gh - v

 1   2 2gh  



dv



2gh - v

+

 

dt 2h

dt 2h   dt = 2gh + v  2h  dv



Tích phân phương trình trên ta được ln

2gh + v 2gh - v

=

2g t + lnC h

Hăng số C=1 xác định từ điều kiện khi t=0, v=0 Từ đó ta có  g  e x - e-x v = 2gh.th  t  Với thx= x -x e +e  2h 

Khi t  ; thx  1 và v = 2gh b. Ta có thể áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để tính vận tốc của khối chất lỏng nhớt đạt được trong trạng thái dừng (cụ thể là sau một khoảng thời gian khá lâu từ lúc chất lỏng nhớt chảy ra khỏi ống. Nội dung định luật được thể hiện như sau: Độ thay đổi năng lượng của chất lỏng trong ống = công thực hiện do lực gây ra bởi sự chênh lệch áp suất( ngoại lực) Độ thay đổi động năng của lượng nước trong ống trong thời gian 1 giây: ΔK= -

1 1 dmv 2 = - ρ  vdS.v 2  2 2

v là vận tốc của dòng chảy chất lỏng nhớt được cho bởi công thức Poazơ (9) 3

 r2   R 2 3R 2 3R 2 R 2  ΔK = -πρv  rdr 1- 2  = -πρv3o  +  R 2 4 6 8     0 πρv3o ΔK = 8 R

3 o

Độ thay đổi thế năng do một lượng nước thể tích V chảy qua ống trong 1 giây R

ΔU =  dmgh = ρgh  v2πrdr 0

 r2  1 ΔU =2πρghv o  rdr 1- 2  = πR 2 v oρgh  R  2 0 R

Công thực hiện bởi lực chênh lệch áp suất trong thời gian 1 giây ( hay công suất) được tính như sau:

38

A = ΔP.V 4ηhv o πv o R 2 R2 2 2 A = 2πηhv o

A=

Định luật bảo toàn năng lượng được thể hiện một cách tường minh như sau: πρv3o πR 2 voρgh = 2πηhvo2 2 8

Đó là phương trình bậc 2 cho vận tốc vo . Phương trình đó có thể viết dưới dạng khác là: v o2 +2kv o2 - 4gh = 0

k=

8ηh ρR 2

Lời giải của phương trình trên cho ta vận tốc tại tâm dòng chảy nhớt là v0  k 2  4gh  k

Bài 8. Một bình hình trụ có độ cao h và diện tích đáy S chứa đầy nước. ở đáy bình người ta đục một lỗ nhỏ có tiết diện s >r nên ta coi như sự chảy của chất lỏng ra khỏi van nhỏ không ảnh hưởng gì đến tốc độ hạ xuống của mặt thoáng bên trong thùng. Theo đl becnonlli có:

p0   gh  p0 

39

v2 2

hay v  2 gh

Vt h

Hình 49

r2 A  v. r  Vt . R  Vt  v 2 Lưu lượng dòng chảy là: R Xét lượng chất lỏng chảy ra khỏi van trong khoảng thời gian vô cùng nhỏ dt là 2

2

dV  v r 2dt   r 2 . 2 gh.dt Cũng trong thời gian rất nhỏ đó thì tốc độ hạ xuống của mặt thoáng trong bình được coi như chưa thay đổi nên: dh  v

2h0 r2 r2 2h r 2 dt  2 gh dt    2t R2 R2 g g R

hay

2gh  2gh0 

gr 2 t R2

Vậy phương trình liên hệ giữa thể tích chất lỏng chảy ra với thời gian là

 gr 2  gr 2 dV   r 2  2gh0  2 t  dt  V   r 2 2gh0 t  2 t 2 R  2R  Bài 10. Một hình trụ dài có bán kính R1, dịch chuyển dọc theo trục của nó với vận tốc không đổi v0 trong một hình trụ đứng yên có bán kính R2 đồng trục với nó. Khoảng không gian giữ các hình trụ chứa đầy chất lỏng nhớt. Tìm vận tốc của chất lỏng phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục của hình trụ. Sự chảy là thành lớp. Lời giải Nhận xét: vận tốc chất lỏng = 0 tại A (r = R2) dr R2 r v 0 Và bằng v0 tại B (r = R1) B. R1 xét một lớp chất lỏng bán kính r, chiều dày dr, chuyển động với vận tốc v đang phải tìm. Hình 50 Lực cản nhớt tác dụng lên lớp chất lỏng này không đổi F=

dv dr .2πrl.η.dv  F. =2πlηdv dr r r

v

dr r =2π.l.η.  dv  F.ln =2π.lη.v. r R 2 R2 R0

Phân tích 2 vế: F. 

Nếu thay r = R1 thì v = v0 => F .ln Chia 2 vế có: v = v0 .

R1  2.l..v0 R2

(1)

(2)

lnr/R2 lnR1 /R2

Bài 11. Một dòng dừng của một chất lỏng có khối lượng riêng  và hệ số nhớt  chảy trong một ống có chiều dài l và bán kính R. Vận tốc dòng của chất lỏng phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục của ống theo 1 r  . Tìm 2  1 R  

định luật v = v0  

w

dr r R1

2

a. Thể tích chất lỏng chảy qua tiết diện của ống trong một đơn vị thời gian b. Động năng của chất lỏng trong thể tích của ống c. Lực ma sát do chất lỏng tác dụng lên ống

40

R2 Hình 51

r Hình 52

d. Hiệu số áp suất ở các đầu ống. Lời giải a. Thể tích chất lỏng chảy qua tiết diện ống trong một đơn vị thời gian (lưu lượng) Xét lưu lượng chất lỏng chảy qua hình vành khăn. 

Q = s.v = 2r. dr. v0 . 1  

r2   R2  

R

Qua cả tiết diện ống Q   2r.v0 .1  

0

v r2  dr  R 2 . 0 đúng như lý thuyết 2  R  2

b. Động năng của chất lỏng trong thể tích của ống. (khác so với lý thuyết là động năng chất lỏng qua ống trong 1 đơn vị thời gian l = v). Xét một lớp chất lỏng hình trụ bán kính r, dày dr. Động năng của lớp này là đ =

1 . .(2r.dr.l).v2 2

 2r 2 r 5  r2  2r 3   2  2.  r   4  dr 2 đ =  d  .l..v .  r   d  .l..v0 1  2  = .l..v0  R R    R  0 0 R

R

2 0

Động năng tổng cộng: R 2  2r 3 r 5  2r 4 r 6  2r đ =  ωd = π.l.δ.v .  r - 2 + 4  dr = π.l.δ.v0  - 2 + 4   R R   2 4R 6R  0 0 0 R

R

2 0

 R 2 2R4 R6 + 4 6  2

đ = π.l.δ.v02 .

2  l.δ.v0 .Q 2 R =π.l.δ.v . =  0 6 3 

c. Lực ma sát do chất lỏng tác dụng lên ống fvan = .  .

dv .r = R; v = v0 dr

fvs =  .(2 R.l). v0.

 r2   1- 2   R 

2r thay r = R R2

fvs =  .2l.v0.2 =  .4l.v0 d. Hiệu số áp suất ở các đầu ống. Xét 1 hình trụ bán kính r, dày dr p. r2 + 2.r.l. .

dv 0 dr

p. r2 + 2r.l. .v0 22r  0 R

=>p=

( F  F vs  0 ) =>p – 2.2.l. .

v0 0 R2

4v0 .l R2

Bài 12. Một đĩa nằm ngang mỏng có bán kính R = 10 cm, được đặt trong một hốc hình trụ có dầu, hệ số nhớt của dầu là   0, 08P . Các khe hở giữa đĩa và các đáy nằm ngang

41

dr

của hốc đều như nhau và bằng h = 10 mm. Tìm công suất do lực nhớt tác dụng lên đĩa sinh ra khi quay đĩa với vận tốc góc   60rad / s . Bỏ qua các hiệu ứng bờ. Lời giải Kiến thức có sẵn lực nội ma sát giữa các lớp chất lưu hoặc với thành bình: Fnh   S

dv dz

Trong bài toán này thì có dz =h không đổi, dv là độ Hình 53 chênh lệch tốc độ chuyển động của lớp chất lưu sát thành bình (đứng yên với thành bình) và lớp chất lưu sát điểm ta đang xét trên đĩa tròn. Do chuyển động quay nên dv phụ thuộc khoảng cách r từ điểm khảo sát đến tâm của đĩa tròn => Lực tác dụng lên phần mặt(trên và dưới) đĩa giới hạn bởi bán kính r bề dày dr là: df ( r ) 

.dS .r h

4 r 2 dr  h

Công suất lực nhớt gây ra cho phần này dA df .dl dP    df .r dt dt

4 2 r 3dr  dP  h

(dấu – do A là công cản)

Công suất tổng cộng là

4 2 r 3 dr P   dP   h 0 0 P



P

R

 2 R 4

 90W h a. Cốc thứ nhất diễn ra trong thời gian t1 là nghiệm của phương trình: V0   r 2 2gh0 t 

gr 2 2 t 2R2

b. Cốc thứ n diễn ra trong khoảng thời gian tn – tn-1 trong đó t và tn-1 là nghiệm của phương trình (n  1)V0   r 2 2gh0 t 

gr 2 2 gr 2 2 2 nV   r 2g h t  t t và 0 0 2R2 2R2

Bài 13. Một chất lỏng có hệ số nhớt  choán giữa hai hình trụ dài đồng trục có bán kính R1 và R2 trong dó có R1< R2 . Hình trụ đứng yên, còn hình trụ ngoài quay với vận tốc góc không đổi 2 . Chuyển động của chất lỏng là chuyển động lớp. Biết rằng: lực ma sát tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt trục có bán kính r được xác định bằng công thức  = r (/r) N/m2 . Tìm a. Sự phụ thuộc vào bán kính r của vận tốc góc của chất lỏng quay. b. Mômen của các lực ma sát tác dụng lên một đơn vị độ dài của trụ ngoài. Lời giải a. Tìm tốc độ góc của các lớp chất lỏng Nhận xét: Khi trụ ngoài quay thì do lực ma sát nhớt nó làm cho lớp chất lỏng sát nó quay theo, lớp này lại làm cho lớp trong quay theo, cứ như vậy tốc độ góc của các lớp

42

chất lỏng giảm dần từ ngoài vào trong, từ 2 đến 1Xét một lớp chất lỏng hình trụ bán kính r chiều dày dr, chiều dài hình trụ l. Momen lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng làm nó quay quanh O. f vs = η.

dv dω dω .s= η.r .2πr.l=2πr 2 .l.η dr dr dr

Momen lực ma sát: M = f vs .r =2πr 3 .l.η

dω =I.γ dr

(1)

Do ở trạng thái dừng các lớp chất lỏng quay đùi  = 0=> M – hệ số được xác định qua điều kiện biên (1) => 2l. .d = M .

dr r3

Lấy tích phân 2 vế R1 r ; 

0 

dr M  1 1  2l..  . 2  2  3 r 2  R1 r  R1 r

2l.. d   M . 0

Khi r = R2 thì  = 2

=> 2πl.η.ω2 =

(2)

M  1 1  . -  (3) 2  R12 R22 

1 1 R12 r 2 ω2 .R12 R22  1 1  Từ (2) và (3) => ω = ω2 . = . 2 - 2  2 2 1 1 R R 2 1  R1 r  - 2 2 R1 R2

b. Trong (3) M có ý nghĩa là momen lực tác dụng lên cả hình trụ (cũng bằng momen lực tác dụng lên cả khối chất lỏng). => Momen lực tác dụng lên một đơn vị dài M 1=

4πη.ω2 M = 1 1 l - 2 2 R1 R2

Bài 14. Không gian giữa hai hình trụ đồng trục độ cao L = 20 cm chứa đầy khí Hydro. Bán kính hình trụ bên trong là R1 = 4 cm bên ngoài là R2= 4,1 cm . Hình trụ bên ngoài quay với vận tốc góc n  5 vòng/s. Để cho hình trụ bên trong không quay người ta phải giữ nó bằng mômen lực

R

M = 2,25.10 N.m Hãy tìm vận tốc các lớp khí trong khoảng

1

M L

-5

không gian giữa các hình trụ như hàm của khoảng cách tới trục của nó v = v  r  và xác định hệ số ma sát nội của khí

R 2

Hydro. Bỏ qua các hiệu ứng biên. Hình 54 Lời giải Trong trạng thái cân bằng động do có lực ma sát nội mà các lớp khí giữa hai hình trụ quay đều với vận tốc v  r  trong trạng thái dừng. Điều kiện quay đều của lớp khí bán kính r là mômen lực ma sát nội từ lớp khí bên trongvà ngoài tác dụng lên lớp

43

khí đó bằng 0. Vì các mômen đó hướng theo chiều ngược nhau cho nên giá trị của chúng bằng nhau do đó mômen lực ma sát nội không phụ thuộc vị trí lớp khí M  r  = rF  r  = const = M

(1)

Thoạt nhìn vào bài toán ta có thể nghĩ rằng lực ma sát nội được viết như: Fms = η

dv dv S=2πrLη dr dr

Tuy nhiên biểu thức của lực ma sát không phải như vậy. Lực ma sát chỉ tỉ lệ với phần gradient của vận tốc mà phần đó liên quan tới sự trượt của các lớp khí do sự khác nhau của vận tốc góc quay của chúng ω = ω  r  ; v  r  = ω  r  r

(2a)

Gradient của vận tốc lớp chất lỏng sẽ có hai số hạng: dv dω = r + ωr dr dr

(2b)

Do đó biểu thức chính xác cho lực nội ma sát phải là:  dv  dv   Fr = η  -   S  dr  dr ω=const 

(3)

Từ đó ta được F  r  = ηr

dω dω S = 2πLηr 2 dr dr

(4)

Đặt vào (1) ta được M = r Fms =2πLηr 3

dω dr

(5)

T a được phương trình vi phân sau cho vận tốc góc d M  dr 2 L r 3

(6)

Phương trình (6) có điều kiện biên là

  R1   0 ;   R2   2 n

(7)

Giải (6) ta được ω

r

M dr  2πLη R1 r 3

 dω = 0

(8)

M  1 1 ω= -   4πLη  R 12 r 2 

v r =

Mr  1 1  -   4πLη  R12 r 2 

(9)

Đặt điều kiện biên thứ 2 (xem (7)) ta được : 2πn =

M  1 1    4πLη  R12 R 22 

Từ đó ta rút ra biểu thức của hệ số ma sát nội của chất khí :

44

η=

M  1 1    8π 2 Ln  R12 R 22 

(10)

Bài 15. Ống dài L, tiết diện trong đều, bán kính R (R