Ly 04 [PDF]

Zitiervorschau

Chuyên đề: CHẤT LƯU

1

PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Quang Trung – Nguyễn Huệ đã từng nói: “Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc”. Thân Nhân Trung cũng cho rằng “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia”. Đối với một đất nước, muốn phát triển giàu mạnh vững bền thì yếu tố con người vô cùng quan trọng, cần phải tìm người giỏi và giáo dục người giỏi để họ có thể gánh trên vai trọng trách nước nhà. Trong đề thi HSG QG và quốc tế ta thấy xuất hiện bài toán chất lưu. Mà các bài tập tham khảo về chất lưu trong các chuyên đề BDHSG là rất ít. Vậy có một nguồn tham khảo về lý thuyết và bài tập phần này là một điều rất cần thuyết đối với giáo viên dạy chuyên. Nên tôi hy vọng chuyên đề tôi viết có một phần nào đó hữu ích đối với các đồng chí dạy chuyên. 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI - Xây dựng lí thuyết. - Xây dựng hệ thống bài tập chất lưu

2

PHẦN NỘI DUNG I - LÝ THUYẾT CHUNG Khác với chất rắn, chất lưu (bao gồm chất lỏng và chất khí) có hình dạng không xác định (phụ thuộc vào bình chứa). Riêng chất khí còn có thể tích thay đổi. Chất lỏng và chất khí có nhiều tính chất giống nhau, trước hết là những quy luật chuyển động. A. TĨNH HỌC CHẤT LƯU I. Phương trình cân bằng của chất lưu, định luật paxcan. Định luật Acsimet Thực nghiệm cho thấy - Chất lưu rất linh động, nghĩa là lớp này trượt lên lớp khác gần như không có ma sát. - Chất lưu chỉ có lực biến dạng đàn hồi thể tích, nghĩa là có lực đàn hồi xuất hiện khi chất lưu bị nén giãn từ mọi phía. Từ hai tính chất trên ta rút ra hệ quả: Lực tương tác giữa các lớp chất lưu luôn luôn vuông góc với mặt tiếp xúc giữa các lớp. Nói cách khác nếu tách tưởng tượng một phần tử thể tích trong chất lưu thì lực tương tác của các phần tử xung quanh đều vuông góc với về mặt của phần tử đó. Chất lưu có tính chất như thế gọi là chất lưu lý tưởng 1. Phương trình cân bằng Xét một phần tử chất lưu có dạng hình trụ, trục của nó hướng theo Ox, diện tích đáy là dS, chiều dài dx. Lực tác dụng lên phâng tử này có hai loại: Lực mặt tức là lực của các phần tử xung quanh tác dụng lên phần tử này, luôn vuông góc với mặt của nó. Lực khối tỉ lệ với khối lượng dm của phần tử chất lưu. Trong trường hợp này, lực khối chính là trọng lực. Lực tác dụng lên mặt thứ nhất là p(x)dS. Lên mặt thứ hai là p(x + dx)dS. Các lực mặt tác dụng lên mặt bên đều vuông góc với Ox, nên hình chiếu lên Ox bằng không. Tổng hình chiếu của lực mặt đáy lên Ox là: (p(x) - p(x + dx))dS = -dpdS = Vì tổng hình chiếu này tỷ lệ với dV nên có thể viết dưới dạng F xdV, trong đó Fx là thành phần theo phương x của một đơn vị thể tích chấ lưu. Lực xuất hiện do có sự thay đổi áp suất trong khôn gian chất lưu Tương tự

và

Như vậy lực F tác dụng lên một đơn vị

thể tích

Tổng lực mặt tác dụng lên dV là Chất lưu ở trạng thái cân bằng tổng lực (lực mặt và lực khối), tác dụng lên từng phần tử bằng không 3

Đây chính là phương trình thủy tĩnh học, phương trình cân bằng chất lưu. 2. Sự phân bố áp suất trong chất lưu Nếu chất lưu không chịu tác dụng của lực khối (trạng thái không trọng lượng) thì từ đó:

Đẳng thức này cho thấy rằng áp suất tại mỗi điểm trong chất lưu là như nhau theo mọi phương, và tại các điểm khác nhau đều có giá trị như nhau. Trong trường trọng lực nếu chọn trục Oz hướng theo phương của gia tốc g thì: ;

(7.5)

Từ đây suy ra: Ở trạng thái cân bằng, áp suất chất lưu là như nhau trên mỗi mặt phẳng nằm ngang (mặt đẳng áp). Mặt thoáng của chất lưu phải là một mặt nằm ngang. Như vậy mặt thoáng của chất lưu cân bằng không phụ thuộc hình dạng của bình chứa. Áp suất thay đổi theo độ sâu. Tích phân (7.5) cho ta P0 là áp suất mặt thoáng, z là độ sâu điểm khảo sát. Áp suất giữa các điểm có độ sâu khác nhau: 3. Định luật Paxcan “Trong một chất lưu lý tưởng ở trạng thái cân bằng thì áp suất ở mỗi điểm là như nhau theo mọi phương, và bất kì một độ tăng áp suất nào cũng được truyền nguyên vẹn cho mọi nơi trong toàn khối chất lưu” 4. Định luật Acsimet “Bất cứ một vật rắn nào nằm trong chất lưu đều chịu một lực đẩy từ dưới lên trên, lực này có điểm đặt tại trọng tâm của phần chất lưu bị choán chỗ và có cường độ bằng trọng lượng của phần chất lưu bị vật ấy choán” B. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LƯU LÍ TƯỞNG Về nguyên tắc ta có thể nghiên cứu chuyển động của chất lưu qua chuyển động của từng hạt cấu tạo như những chất điểm riêng biệt của một hệ chất điểm. Song thông thường người ta sử dụng những khái niệm mới như: đường dòng, ống dòng, và qua các khái niệm này ta có thể nghiên cứu dễ dàng chuyển động của chất lưu như một thể thống nhất. II. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC 1. Đường dòng Đối với chất lỏng chuyển động, tại một thời điểm t, mỗi điểm trong chất lỏng được đặc trưng bằng vectơ vận tốc của hạt chất lỏng tại thời điểm ấy. Tập hợp những vectơ vận tốc tại những thời điểm khác nhau ở thời điểm t làm thành một trường gọi là trường vectơ vận tốc. Ta gọi chuyển động ổn định của chất lỏng, hay chuyển động dừng, nếu vận tốc và áp suất tại mỗi điểm bất kỳ trong chất lỏng không thay đổi theo thời gian. Dưới đây, ta sẽ chỉ khảo sát chấ lưu ở trạng thái dừng. 4

Đường dòng là đường cong mà tiếp tuyến tại mọi điểm của nó có phương trùng với vectơ vận tốc của trường ở thời điểm xét. Như vậy đường dòng cho ta hình ảnh về phương của vận tốc ở mỗi thời điểm trong chất lỏng. Tập hợp nhiều đường dòng gọi là họ đường dòng. Rõ ràng ở trạng thái dừng các đường dòng không thể cắt nhau. 2. Ống dòng Để nghiên cứu chuyển động của toàn chất lỏng, người ta phân tưởng tưởng chất lỏng ra thành từng ống dòng. Ống dòng là một họ đường dòng tựa trên một đường cong kín. Tiết diện của ống dòng S được chọn đủ nhỏ sao cho vận tốc của các hạt đi qua mỗi tiết diện là như nhau. Rõ ràng các hạt chuyển động trong một ống dòng không thể chui ra ngoài ống và ngược lại. Đường dòng mau ở nơi có vận tốc lớn. 3. Phương trình liên tục Ta khảo sát chuyển động dừng trong một ống dòng. Rõ ràng lượng chất lỏng dm chảy vào ống và chảy ra khỏi ống trong cùng thời gian dt phải bằng nhau Hay Đối với chất lỏng lý tưởng, không nén thì

=

nên

=const Nghĩa là tích giữa vận tốc và tiết diện ngang của ống dòng ở một vị trí bất kì là không đổi. 3. PHƯƠNG TRÌNH BECNULLI Xét một ống dòng của một chất lưu chuyển động ở trạng thái dừng. Lấy một đoạn ống giới hạn bởi hai tiết diện S 1 và S2. Giả thiết ống dòng đủ nhỏ để có vận tốc v và ấp suất P ở mỗi tiết diện là không đổi. ở S 1 có vận tốc v1 và ấp suất p1. Ở S2 có vận tốc v2 và ấp suất p2. Ta tính biến thiên cơ năng toàn phần của đoạn ống dòng trong khoảng thời gian . Giả sử trong khoảng thời gian đó đoạn ống đã chuyển đến tiết diện có giới hạn là S’1 và S’2. Có thể coi phần chất lỏng nằm giữa S’ 1và S2 là không chuyển động, mà chỉ có phần chất ỏng khối lượng có phần giới hạn S1 và S’1 chuyển đến vị trí mới S2 và S’2. Cơ năng toàn phần của khối chất lỏng ở vị trí đầu và cuối là:

Cơ năng toàn phần đã biến thiên một lượng:

Theo định luật biến thiên cơ năng thì độ biến thiên đó bằng công của ngoại lực tác dụng lên đoạn ống dòng đó 5

Công

là công của ngoại lực tác dụng lên hai đầu ống S 1 và S2. Lực tác dụng vuông

góc với phương dịch chuyển.

Chú ý: Trong đó

là thể tích phần chất lỏng khối lượng

Chia hai về cho

ta được

và sử dụng thêm khối lượng riêng của chất lỏng ta được:

Các tiết diện S1 và S2 được lấy tùy ý, nên ta có thể khẳng định có giá trị như nhau tại mọi tiết diện của ống dòng. Song vì ta đã giả thiết tiết diện S đủ nhỏ để vận tốc qua mỗi tiết diện, và áp suất p tác dụng lên mỗi tiết diện là không đổi, nên ống dòng thu về đường dòng. Ta có thể phát biểu định luật Becnuli như sau: “ Dọc theo một đường dòng cở trạng thái dừng thì đại lượng của chất lưu lý tưởng là một hằng số” Áp dụng cho hai tiết diện bất kì của một ống dòng ở hai độ cao tương ứng h 1 và h2, chuyển thành.

Đại lượng

gọi là áp suất thủy động, p gọi là áp suất thủy tĩnh,

gọi là áp suất toàn phần. Phương trình Becnuli cho thấy: Áp suất toàn phần trong ống dòng nằm ngang của một chất lỏng lí tưởng là như nhau tại mọi điểm. 4. CÁC HỆ QUẢ VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BECNULI 1, Trong một ống dòng nằm ngang thì tại mọi điểm là như nhau: Phương trình Becnulli trở thành Nếu ống có tiết diện như nhau thì vận tốc v tại mọi điểm như nhau và lúc đó áp suất tính p = const, nghĩa là như nhau tại mọi điểm của ống dòng. 2, Vận tốc dòng chảy thoát ra từ lỗ nhỏ Xét một bình chứa chất lưu có lỗ nhỏ phía dưới, phương trình Becnuli viết cho S1 và S2 6

Vì

và

Với

đều là áp suất khí quyển, nên ta có:

thì theo phương trình liên tục ta có thể coi

từ lỗ nhỏ

. Khi đó vận tốc thoát ra

. Trong đó h là độ chênh giữa mặt thoáng trong bình và lỗ nhỏ.

3. Hiện tượng vòi phun Nếu ống dòng nằm ngang có tiết diện khác nhau, thì từ

Ta suy ra ở chỗ nào có vận tốc

lớn thì áp suất p nhỏ. Ta đã biết trong một ống dòng ở

chỗ có tiết diện nhỏ thì vận tốc lớn. Như vậy trong ống dòng nằm ngang, chỗ có tiết diện nhỏ thì áp suất cũng nhỏ. 4. Xung lượng dòng chất lưu. Nguyên tắc chuyển động phản lực Theo phần 2, vận tốc chất lỏng chảy ra từ lỗ nhỏ là dt khối lượng chất lưu chảy ra là

. Trong thời gian

mang theo xung lượng dp

Theo định luật Niuton thứ 2, thì lực tác dụng lên lượng chất lưu này là F Lực này là do thành bình đã tác dụng lên chất lưu làm cho nó chảy ra khỏi lỗ. Theo định luật Niuton thứ 3 thì chất lưu tác dụng lên thành bình lực

.

C. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LƯU THỰC Chất lưu thực có tính nhớt và tính chịu nén. Đối với chất khí thì tính chịu nén rất cao. Song nếu kể đến tính chịu nén thì vấn đề trở nên phức tạp. Dưới đây ta sẽ khảo sát chất lưu thực không chịu nén. Giả thiết này khá phù hợp với chất lỏng. 5. Độ nhớt. Định luật POADƠI 1. Lực nhớt. Hệ số nhớt Đối với các chất lưu thực thì bào giờ cũng có lực nhớt (lực nội ma sát) khi có sự dịch chuyển tương đối giữa các lớp này với lớp khác, hay với thành bình. Lực cản này có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc. Đối với chất lỏng thì lực nhớt xuất hiện chủ yếu là do lực hút giữa các phân tử, còn đối với chất khí chủ yếu lại do khuếch tán. Để tìm biểu thức của lực nhớt ta hãy xét thí dụ sau: Tưởng tượng hai lớp nước có diện tích như nhau, chuyển động tương đối song song với nhau và cách nhau một khoảng . Sự biến thiên vận tốc từ lớp này sang lớp khác diễn ra theo định luật tuyến tính. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, mỗi lớp chịu tác dụng một lực nhớt Fnh tỉ lệ với diện tích S và với gradien vận tốc dv/dz: 7

Hay

Trong đó

hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào hệ đơn vị đo và tính chất của chất lưu, và được

gọi là hệ số nội ma sát hay độ nhớt, đơn vị N.s/m2 Đối với chất lỏng có độ nhớt lớn thì định luật Becnuli không còn nghiệm đúng. Khi đó độ biến thiên cơ năng bằng Vậy Vì lực nhớt là lực cản: Bât đẳng thức này cho thấy: với chất lỏng thực có nhớt, không nén được, chảy trong một ống nằm ngang có tiết diện như nhau (h1 = h2, v1 = v2) thì P1 > P2, Nghĩa là áp suất tĩnh của chất lỏng giảm theo chiều dài ống. 2. Sự chảy thành lớp. Định luật Poadơi Hãy xét chất lưu chảy thành lớp không chịu nén trong một ống hình trụ bán kính R. Các đường dòng song song với trục ống. Ở chế độ dừng, vận tốc chất lưu không thay đổi dọc theo trục ống, nhưng vì có độ nhớt nên vận tốc chỉ thay đổi theo phương bán kính của tiết diện ống do lớp này trượt lên lớp khác có ma sát. Như vậy, vận tốc chỉ là hàm của khoảng cách r từ trục đến bờ ống. Tưởng tượng một khối chất lưu hình trụ bán kính r, chiều dài . Các lực tác dụng vào khối chất lưu đang xét gồm áp lực tác dụng vào hai đáy và lực cản nhớt tác dụng vào mặt bên của hình trụ. Lực cản nhớt là : Áp suất P1 làm chất lưu chuyển động, còn áp suất P2 chống lại chuyển động. Ở trạng thái dừng chấ lưu chuyển động với vận tốc không đổi, nên tổng lực trên phải bằng khong

Từ đó => Tích phân ta được:

Hằng số C được xác định từ điều kiện biên. Tại thành ống (khi r = R) thì v = 0 ta tìm được. 8

Do đó:

Biểu thức cho thấy: “ Các điểm khác nhau trên cùng một tiết diện của ống có vận tốc khác nhau. Ở trục ống vận tốc v0 cực đại và ở thành ống vận tốc bằng không”

Lưu lượng Q của chất lưu là lượng chất lưu chảy qua tiết diện của ống trong một giây được tính như sau: Lưu lượng dQ chảy qua một tiết diện hình vành khăn có bán kính trong r và bán kính ngoài r + dr là:

Từ đó

Đây chính là công thức định luật Poadơi “Lưu lượng của chất lưu qua một ống thẳng tỉ lệ với hiệu áp suất ở hai đầu ống, tỉ lệ với lũy thừa bậc bốn của bán kính ống, tỉ lệ nghịch với độ dài của ống và hệ số nhớt của chất lưu”

+ Động năng của chất lỏng chảy qua hình vành khăn trong 1s là Wđ =

mv 2 1 v2  . .( 2r.dr ).v.t. 2 2 2

t = 1s

2r.dr là diện tích vành khăn; v.t = v là chiều dài phần tử hình dục Vđ =  .2.r.v3.dr Thay

v

P1  P2 .( R 2  r 2 ) và 4l

lấy tích phân ta được động năng của cả khối chất

lỏng R

2

3 Wđ    .2 .r.v dr  Q.v  0

Wđ =

Q.v02 v (v  max ) 4 2

Q.v02 4

Công của lực cản nhớt trong 1s bằng công mà hiệu áp suất P1 – P2 tác dụng vào khối chất lưu thực hiện trong 1s. R

A   ( P1  P2 ).2r.dr.v

(A = F.r = p.s.r = (P1 – P2).2r.dr.v)

0

Thay

v

P1  P2 .( R 2  r 2 ) 4l

d) số rây nol :

có

Re 

A

vd 

P1  P2 4l.vmax .Q  .Q   .R 2

d đường kính 9

 khối lượng riêng Re 

¦ Wd Acan

Re < R0 Re > R0 Re = R0

chất lỏng chảy thành lớp R0 là ghi giới hạn được xác định từ thực …….. chất lỏng xoáy chất lỏng chảy không ổn định

II – BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Không khí được coi như một khí lí tưởng, có tỷ số γ, khối lượng phân tử M, nhiệt độ ở trạng thái nghỉ T0 và áp suất ở trạng thái nghỉ P0. Bằng cách sử dụng các giả thiết cổ điển kết hợp với việc nghiên cứu các sóng âm, hãy biểu thị vận tốc truyền âm trong không khí biến đổi theo các dữ liệu trên. Dữ liệu: γ = 1,4: T0 = 2,98 K; M = 29.10-3 kg; P0 = 105 Pa. Lời giải Từ công thức

với

Đối với khí lý tưởng thì sự biến đổi đẳng entropy được thể hiện bởi (phương trình LAPLACE) mà vi phân loga cho ta. hay

Như vậy ta có biểu thức vận tốc âm thanh c = Với c = 1400 m.s-1, nghĩa là một trị số lớn gấp 4 lần trong không khí. Bài 2. Một chất khí lý tưởng đang ở dòng chảy một chiều ổn định trong một ống dẫn có một trục tròn xoay, tiết diện S biến đổi được. Tương ứng với độ biến thiên nguyên tố dS của tiết diện thì có các độ biến thiên dP của áp suất P, d của khối lượng riêng ,

10

d của vận tốc , dh của entanpi (trên đơn vị) khối lượng h và dT của nhiệt độ T của chất khí. 1, Biểu thị hệ thức giữa dS, d và d . 2, Dòng chảy được giả thiết là đẳng entropi, hãy xác định hệ thức liên kết dP, d vận tốc c của âm thanh trong không khí. Liên kết dh, dP, và

và

với nhau.

3, Trong ống dẫn, chất khí không thực hiện bất kì một sự trao đổi năng lượng nào với bên ngoài. Từ đó suy ra hệ thức gắn dh và d . 4, Từ các kết quả trên, suy ra một hệ thức trực tiếp giữa dS và d có sự tham gia của vận tốc truyền c: Hệ thức này cấu thành định lý HUGONIOT. 5, Chất khí dãn nở trong ống dẫn, vận tốc vào trong ống của chất khí là nhỏ so với vận tốc truyền sóng c. Chứng minh rằng tiết diện của ống dẫn thoạt tiên phải giảm (ống hội tụ). Thực ra tiết diện này đi qua một cực tiểu (ống hội tụ - phân kì), còn được gọi là cổ thắt. Bình luận về giá trị của vận tốc sau cổ thắt. Lời giải 1, Sự bảo toàn lưu lượng khối ở chế độ ổn định cho ta: , từ đó

(1).

2, Ta có công thức từ giáo trình: với

, do đó

nhờ đó ta có thể viết đối với sự biến

đổi này: dP = c2d . (2) 3, Theo nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học: (3) Nghĩa là

.

4, Các hệ thức (2) và (3) cho phép viết

, do đó (khi dùng hệ thức (1) ta

được định lý HuGONIOT:

5, Ở đầu ống dẫn,

, và

tăng khi S giảm: Ống dẫn thoạt tiên là hội tụ. Sau đó, ta

phải xét hai trường hợp: 11

- S đi qua một cực tiểu ( cổ thắt ống dẫn),

luôn luôn nhỏ hơn c và

đi qua một cực

đại: dòng chảy bao giờ cũng dưới vận tốc âm thanh: - Nếu = c ở cổ thắt, thì còn có thể có d = 0 (trường hợp trên). Nhưng cũng có d >0: lúc đó vận tốc tiếp tục tăng trong phần phân kì của ống dẫn: dòng chảy trở thành siêu âm. Bài 3. Tính thời gian tháo cạn T của một bể chứa có dạng hình trụ, chiều cao H và bán kính R, hoàn toàn chứa đầy một chất lưu lý tưởng chảy qua một lỗ hở tròn bán kính r ở đáy hình trụ. Dữ liệu: R = 10 cm; r = 0,5 cm; H = 50 cm. 2, Bể chứa không còn là hình trụ nữa, nhưng luôn luôn có một trục tròn xoay thẳng đứng. Vạy phương trình z = f(r) của một đường sinh phải như thế nào để chiều cao của chất lưu còn lại trong bể chứa phải tỷ lệ với thời gian trôi chảy? Tìm áp dụng của một hệ thức như thế? Lời giải 1, Người ta bỏ qua miền chảy rối: do vậy dòng chảy giữa các điểm A và B biểu diễn bằng một dòng chảy dừng (nếu ), không rối của chất lưu không thể nén được. Công thức Bernoutli cho:

Ở B ta có một dòng chảy đồng tốc ở không khí tự do (nghĩa là không có ứng lực bên ngoài), do vậy PB = Pexterieur = PA. Sự bảo toàn lưu lượng thể tích (chất lưu không thể nén được) giữa mặt thoáng mà tại đó vận tốc là V, và đáy của bể chứa, cho phương trình R 2 V= : hơn nữa ZA – ZB = h. Như vậy ta được TORICELLI (

. Công thức này tương ứng với công thức ) trong trường hợp

. Cuối cùng

(h

giảm khi t tăng). Từ đó: hay

, do đó

Vậy 2, Nếu h(t) tỷ lệ với thời gian trôi chảy, thì

. Khi viết sự bảo toàn

lưu lượng thể tích giữa đáy và mặt thoáng, vòng tròn bán kính R thay đổi được, thì ta có: , do đó h = 12

Đây cũng chính là phương trình tổng quát của đường sinh của bể chứa: z = Ar2. Một thang thẳng đứng có thể được chia độ tuyến tính theo thời gian thành thử có thể đo được dễ dàng (đồng hồ nước). Bài 4. Một ống tiêm gồm một vật có tiết diện không đổi S 1 và một kim mà đầu mút có tiết diện S2 (S2 < S1). Ống tiêm này đựng một chất lỏng có khối lượng riêng được phun lên bằng cách tỳ lên một pittông di động không ma sát. Tìm lực mà một thao tác viên phải tác dụng lên pittông để bảo đảm phun ra một lưu lượng thể tích Dv? Lời giải Ở chế độ ổn định, với một chất lưu không thể nén được, thì có sự bảo toàn lưu lượng thể tích: . Hệ thức BERNOULLI được viết giữa một điểm của phittông và một điểm của tiết diện ở lối ra (bài toán được giả thiết là một chiều, và các lực trọng trường là không đáng kể) cho ta:

Trong đó P là áp suất ở ngang mức pittông và P0 là áp suất khí quyển (tia đồng tốc ở lối ra ống tiêm), do đó: hay Chú ý: Lực mà ta vừa tính được ở trên, biểu diễn lực tác dụng lên pittông, biết rằng thân của ống tiêm được giữ cố định. Bài 5.Trong một chất lưu đồng nhất không thể nén được ở trạng thái nghỉ, xuất hiện một bong bóng rỗng hình cầu, bán kính ban đầu a 0. Ta bỏ qua các lực trọng trường và thừa nhận tính liên tục của áp suất ở mặt phân cách trống rỗng – chất lưu (do vậy ta bỏ qua các lực căng bề mặt). Chất lưu được giả thiết là nằm yên ở vô cực, ở áp suất đều P0 . Hãy xác định khoảng thời gian T để sau đó bong bóng biến mất. Dữ liệu: a0 = 5mm;

= 103 kg.m-3 và

.

Lời giải Bài toán có tính đối xứng cầu. Bong bóng rỗng sắp vỡ ra biến mất và vận tốc của chất lưu được kí hiệu. Do tính liên tục,

và

tiến tới 0.

Dòng chảy là không thể nén được, nên sự bảo toàn lưu lượng thể tích bắt buộc thông lượng của , đi qua một mặt cầu bán kính r, phải là một hằng số ở thời điểm t cho trước. Cho

13

Biết rằng tại r = a,

nhờ đó ta có

hay

, từ đó:

Ta có thể dùng phương trình EULER được tích phân trên một đường dòng (xuyên tâm) đi từ bán kính bong bóng đến vô cực, với

Tính chất không thể nén được kéo

theo: = Do đó:

Thế nhưng

từ đó: hay

Phương trình trên sẽ giải được khi thay biến số y(a) =

và lúc đó có dạng

Phương trình này có các biến số tách ra được. Nếu kể đến các điều kiện ban đầu (a = a0; thì khi tích phân phương trình đó ta được:

Khi trở lại y(a) =

và chú ý rằng

thì ta được

Cuối cùng sau phép tích phân mới ta được:

Bài 6. Một dòng chảy ổn định, không thể nén được, đều, được đặc trưng bởi vận tốc ở xa một hình trụ bất động, trục (Oz) và bán kính a.

14

2, Bây giờ hình trụ đang quay xung quanh trục cố định của nó. Sự quay này gây ra ở phía ngoài hình trụ một trường vận tốc bổ sung có dạng a, Hãy biểu diễn đối với các giá trị khác nhau của

.

, bản đồ các đường dòng của chất

lưu, bằng cách xác định các điểm dừng hay các điểm vận tốc triệt tiêu. b, Xác định áp suất P(a, ) ở mọi điểm của hình trụ và từ đó suy ra lực tác dụng bởi chất lưu lên hình trụ trên đơn vị dài của nó. c, Tính lưu thông của trường các vận tốc của chất lưu dọc theo một đường cong kín bất kì bao quanh hình trụ và biểu thị lực nói trên theo . Lời giải 1, Trường các vận tốc được thiết lập ở chương 2, biểu diễn dòng chảy của chất lưu xung quanh hình trụ khi nó không quay, được xác định bởi:

2, a, Người ta có thể chồng chất lên đó một trường các vận tốc, gây ra bởi chuyển động quay của hình trụ, dưới dạng:

Trường này rất coi trọng điều kiện về tính không thể nén được của chất lưu (vì ), và các điều kiện ở giới hạn:

và

(vận tốc xuyên tâm của

chất lưu triệt tiêu trên hình trụ) Ta thu được trường hợp tổng hợp:

Các điểm dừng cần tìm phải cho , từ đó: r = a và

suy ra

nếu

Lúc đó tồn tại hai điểm dừng A và B trên hình trụ, đối xứng với trục Oy (xem sơ đồ) Tương ứng với trường hợp đặc biệt

, thì có một điểm dừng trên hình trụ ở

(xem sơ đồ) Nếu

thì lúc đó tồn tại một điểm có vận tốc triệt tiêu ở bên ngoài hình trụ (xem

sơ đồ) 15

b, Việc ứng dụng hệ thức BẺNOULLI giữa một điểm ở rất xa hình trụ P = P 0, một điểm ở trên mặt hình trụ

cho ta:

Từ đó Phân bố áp suất này sinh ra trên hình trụ các áp lực mà tổng hợp hướng theo trục Oy, về phía các y giảm. Ta tính được nó xuất phát từ lực nguyên tố: Với

đối với một đoạn hình trụ chiều dài h là bất kì.

Các số hạng đồng đều của P không đóng góp gì vào lực tổng hợp đó, vậy còn lại.

Hay Như vậy ta có một lực tỷ lệ với c, Chỉ mình trường còn trường

(trường các xoáy nước) biểu hiện một lưu thông khác không,

là không xoáy theo cấu trúc. Lưu thông

của vectơ

trên một vòng tròn

bán kính R > a thì bằng: = (với Do đó

) . Sự tồn tại của một lực trực giao với dòng chảy (lực nâng) có liên

quan trực tiếp với sự tồn tại của một lưu thông khác không của trường các vận tốc của chất lưu xung quanh các vật cản. Bài 7. Để hiểu rõ hiệu lực của phép tính gần đúng về một chế độ dừng khi nghên cứu sự tháo cạn một bể chứa, người ta đưa ra mô hình không dừng sau đây. Lỗ hở bể chứa được nối với một kênh nằm ngang chiều dài L, tiết diện không đổi s (rất nhỏ so với tiết diện S của bể chứa) trong đó vận tốc chất lưu có dạng .Ở thời điểm t = 0, van được mở tại B cho phép chất lưu chảy đi. Sự khởi động vận tốc của chất lưu được nghiên cứu với các giả thiết sau: - Độ cao h của bể chứa biến đổi rất ít trong pha quá độ này ( ; - Gia tốc cục bộ của chất lưu chỉ lớn ở trong kênh và một miền nhỏ của bể chứa ở gần lỗ hở. 16

1, Chứng minh rằng

chỉ phụ thuộc t trong kênh.

2, Xác định phương trình vi phan mà

tuân theo.

3, Hãy tích phân phương trình này bằng cách đưa ra một vận tốc giới hạn 4, Đánh giá thời gian mà sau đó

chỉ chênh lệch

.

cỡ 5%. Dữ liệu h = 2m và L = 1m.

5, Dưới ánh sáng của các kết quả này, hãy bình giải tính hiệu lực của công thức TORICELLI. Lời giải 1, Chất lưu không thể nén được nên div

quy gọn về

.

Vận tốc chất lưu là đề trong kênh; đó cũng là vận tốc phun của chất lưu tại B, kí hiệu là . 2 Phương trình EULER được tích phân trên một đường dòng đi từ một điểm A của mặt thoáng bể chứa đến điểm B.

Vả laik PA = PB = P0. Với các giả thiết của đề bài thì

là không đáng kể với

chỉ khác không duy nhất trên phần CB, điều này cho phép viết:

Do đó Ta thực sự nhận được một nghiệm riêng của phương trình này bằng cách cho và Khi đưa

: công thức TORRICELLI. vào phương trình vi phân ta được:

3, Sau khi lấy tích phân và kể đến điều kiện

, ta được:

với 4, Thời gian t tìm thấy phải sao cho

, nghĩa là

17

:

5, Pha quá độ để khởi động dòng chảy chất lưu, mà trong thời gian đó vận tốc phun khác với giá trị tiệm cận đã cho bởi công thức TORRICELLI, thì ở đây đủ nhỏ để công thức này có thể áp dụng được tại mọi thời điểm ngay khi mà . Bài 8. Người ta xem xét, trong một bể chứa đầy một chất lỏng có khối lượng riêng và độ nhớt , một mâm dao động có diện tích S và độ cao z=0. Mâm này dao động ngang, với một vận tốc Mâm khá rộng để có thể bỏ qua các hiện tượng xảy ra ở rìa mâm, và ta có thể thừa nhận rằng ở chế độ ổn định, chất lỏng bên trên mâm dao động với vận tốc: Người ta cũng giả thiết rằng mực trên của chất lỏng ở khá xa mâm và áp suất độc lập với x. 1, Xác định . 2, Xác định chiều sâu xuyên thấu của các dao động, và nói rõ giả thiết cuối cùng này. Lời giải 1, Áp suất độc lập với x, là nghiệm của phương trình khuếch tán:

Ta hãy biểu thị

bằng ảnh phức của nó: với

=

Phương trình khuếch tán trở thành: với Phương trình vi phân cấp hai này có nghiệm tổng quát: . Môi trường được giả thiết là vô hạn về phía các z dương, các điều kiện ở giới hạn bắt buộc A=0 và . Khi chuyển qua kí hiệu thực thì ta được:

Các đường cong trên hình 20 biểu diễn vận tốc của chất lưu theo độ sâu z, đối với các giá trị khác nhau của . với 2, Biên độ các dao động giảm theo hàm số mũ với chiều sâu xuyên thấu: 18

Thật là hợp lý khi coi môi trường là vô hạn nếu chiều dày chất lưu, ở bên trên mâm, lớn hơn nhiều so với . Đối với một dao động 50 Hz trong nước, thì vào cỡ 0,1 mm. Bài 9. Một ống hình trụ đường kính trong d 1, cung cấp nước cho hai ống đường kính d 2 và chiều dài l2 mà đầu mút cuối của chúng ở áp suất khí quyển P0. Cho P1 là áp suất phía trên tại điểm A và nhánh rẽ thứ nhất, cũng như khoảng giữa hai nhánh là l1. Ta sẽ coi các nhánh rẽ là các thể tích đẳng áp nhỏ, và chế độ dòng chảy là chảy tầng. Ta thừa nhận định luật PÓIEUILLE đối với một ống tiết diện tròn là:

Vẽ một sơ đồ điện tương đương và xác định lưu lượng của mỗi ống. Dữ liệu: P1 – P0 = 1 bar; d2 = 4 mm; d1= 10 mm rồi d1= 6 mm và

Lời giải Các đại lượng tương tự là: P1 – P0 và E; D1 và ; D2 và R1 và

; R2 và

Sự phân tích mạch điện (h34) cho ta các kết quả; ;

; và

;

Áp dụng với số ta được: Với d1 =10 mm: Với d1 =4 mm: Trong trường hợp thứ nhất, R1 rất nhỏ so với R2, và lưu lượng gần như bằng không. Bài 10. Cho một dòng chảy chất lưu không thể nén được ổn định, độc lập với thời gian, đi qua một hình trụ tiết diện S được trang bị một tấm phân cách, chia tiết diện của hình trụ thành hai phần bằng nhau. Ở lối vào của hình trụ, các vận tốc của chất lưu là v1 và v2. Còn ở lối ra, khá xa tấm phân cách, thì vận tốc chất lưu là v3. Tính v3 theo v1 và v2. Liệu có tồn tại một sự tồn hao năng lượng không? Hãy bình giải. Khảo sát trường hợp đặc biệt trong đó

. 19

Lời giải Chất lưu là không thể nén được nên có sự bảo toàn lưu lượng thể tích:

Trong trường hợp mà

dáng đi các đường của trường là như sau

(xem chương 2, bài tập 2, các lời giải) Trong miền nhiễu loạn, các lực nhớt tác động sao cho ở lối ra, trường các vận tốc là đều. Như vậy ở đây phải có sự tổn hao năng lượng - Công suất động học ở lối vào:

Công suất động học ở lối ra

Điều đó gây ra một sự tổn hao năng lượng động học trong đơn vị thời gian bằng:

Đại lượng này luôn luôn dương hay triệt tiêu (nó triệt tiêu khi v 1 = v2 = v3). Đúng là các lực nhớt làm tiêu tán năng lượng. Bài 11. Một lớp mỏng chất lưu (độ nhớt , khối lượng riêng ) có chiều dày e, chảy dọc theo một mặt phẳng nghiêng, mà đường có độ dốc lớn nhất hợp với đường nằm ngang một góc . Trường các vận tốc, giả thiết không phụ thuộc thời gian, có dạng Ta bỏ qua các lực nhớt trên mặt phân cách không khí/ nước. Hãy xác định dạng của , cũng như hệ thức giữa chiều dày e và lưu lượng khối D đối với chiều rộng L. Tính vận tốc cực đại đối với e = 1 mm và đây Chất lưu

Hệ số nhớt

trong các trường hợp của bảng dưới Khối

(Pa.s)

Nước

=1,0.10-3 (Pa.s)

Dầu

=1,0 (Pa.s)

lượng

riêng

Lời giải: Tham khảo giáo trình (tiết 4,1) Hệ thức cơ bản của động lực học được thể hiện bởi phương trình vi phân:

20

Ở đây Chất lưu là không thể nén được, bằng phép chiếu ta được: Trên Trên Trên Từ đó suy ra

P chỉ phụ thuộc vào x và t P(x,t) là nghiệm

của:

Đẳng thức này phải được nghiệm đúng với mọi giá trị của x,y và t. Như vậy, nó phải bằng một hằng số C(t) phụ thuộc thời gian t, nhưng độc lập với các tọa độ không gian x và y. Điều này cho:

Ta có thể viết: (Trong đó

là hằng số thật sự) nghĩa là:

Với y = c áp suất phải bằng P0, nghĩa là độc lập với x, điều đó cho phép xác định C(t) và D0: Khi

, một hằng số thực sự nghĩa là vận tốc có

biểu thức sau: (không có lực trượt trên mặt phân cách chấ lưu/không khí) Lúc đó, lưu lượng bằng: Khi

: các đường đẳng áp

song song với mặt phương nghiêng, và như vậy hợp với đường nằm ngang một góc . Ta có kết quả 21

- Dầu vmax - Nước vmax

Lời bình: các giả thiết có nhiều khả năng là đúng Lời bình: dòng chảy là quá nhanh để các giả thiết vè dòng

chảy có hiệu lực. Bài 12. Một ống nằm ngang có tiết diện vuông cạnh a và chiều dài L được chia thành các khoang mảnh và bằng nhau nhờ rất nhiều lá mỏng chiều dày không đáng kể. - Đầu vào tiếp xúc với một bể chứa chất lưu có khối lượng riêng và độ nhớt : lối vào được giữ ở áp suất P1. - Ở đầu ra chất lưu ở áp suất bên ngoài P 0 (P1> P0). Dòng chảy được giả thiết là chảy tầng và ổn định: xác định lưu lượng và vận tốc trung bình chảy ra của chất lưu. Áp dụng số: chất lưu là dầu Dữ liệu: P1 = 1,5 bar; P0 = 1 bar; L = a = 1cm; N = 50. Hãy bình giải 2, Ống được giữ ở vị trí thẳng đứng, và hiệu số áp suất

tương đương với

chiều cao cột chất lưu gần bằng L. Áp dụng số: chất lưu là nước. Dữ liệu: : a = 1cm; L = 20 cm; N = 50. Hãy bình giải Lời giải: 1, Mỗi khoang đều rất rộng so với chiều dày của nó. Ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của các bờ và áp dụng kết quả liên quan đến dòng chảy Poiseulle phẳng. Với mỗi khoang thì Tổng cộng

với dầu ta được:

Tương ứng với một vận tốc Như vậy giả thiết về dòng chảy tầng (cần thiết để áp dụng công thức trên) đã được chứng thực. 2, Công thức trên cũng y hệt đối với nước, nhưng khoảng cách áp suất rõ ràng là nhỏ hơn, ở lân cận hay Điều này cho Tương ứng với một vận tốc 22

Vận tốc này nhỏ nên giả thiết về dòng chảy tầng chắc chắn được nghiệm đúng. Bài 13. Hãy xác định hình dạng các mặt đẳng áp đối với các dòng chẩy sau đây của một chất lưu không thể nén được: a, trong một trường trọng lực b, ,

(chế độ ổn định), đối với r trong khoảng giữa a và vô cực, trong một

trường trọng lực

với

.

Ta thừa nhận rằng lực trượt thể tích bằng

, với

trong trường hợp này có dạng:

Vì cả hai trường hợp vận tốc ở đây đều nghiệm đúng div

.

Lời giải Trong cả hai trường hợp dive của vận tốc đều triệt tiêu. Ta có các dòng chảy không thể nén được, tương thích với giả thiết chất lưu không thể nén được. a, Từ phương trình vi phân của động lực học, bằng phép chiếu ta nhận được các phương trình vô hướng:

Như vậy mặt đẳng áp không nhất thiết là phẳng, song song với trục (Oy) Vì

.Nhưng

có thể phụ thuộc vào y và t.

b, Các phần tử chất lưu vẽ các vòng tròn với vận tốc không đổi, gia tốc toàn phần là:

Theo các quy tắc tính các toán tử véc tơ thì

Dòng chảy là bất biến trong phép quay có trục (OZ), áp suất độc lập với . Thành thử phương trình vi phân của động lực học sẽ cho: Khi chiếu lên Khi chiếu lên

: :

(hệ số nhớt

không tham gia vào, nhưng các lực

nhớt lại áp đặt lời giải này) Sau khi lấy tích phân có kể đến các điều kiện của giới hạn, ta được:

Vậy các mặt đẳng áp được sinh ra do sự quay của họ các đường cong:

23

Bài 14. Một chất lưu khối lượng riêng 1, Xác định công suất thể tích

và độ nhớt

đang ở dòng chảy ổn định dạng:

của các nội lực nhớt

2, Áp dụng cho dòng chảy COUETTE Có một chất lưu, mà áp suất không phụ thuộc x, ở giữa hai mặt phẳng nằm ngang cách nhau một khonảng e. Mặt phẳng dưới bất động, còn mặt phẳng trên được kích động môt chuyển động tịnh tiến với vận tốc . Tính công suất tiêu tán. 3, Áp dụng cho dòng chảy POISEUILLE phẳng Có một dòng nước chảy giữa hai mặt phẳng nằm ngang bất động cách nhau một khoảng e = 0,5 mm, với vận tốc trung bình 1 m.s-1. Hãy tính công suất tiên tán trong một hình hộp chiều dài L (theo Ox) và chiều rộng a (theo Oz). Nếu ta bỏ qua mọi sự truyền nhiệt, thì hãy tính, ra Kelvin trên giây, độ tăng nhiệt độ ở các điểm mà tại đó công suất là cực đại. Dữ liệu: nước . Lời giải: 1, Đối với một dòng chảy như vậy thì P là mộ hàm afin của x và cho

Giả sử có một hình hộp nguyên tố mà các đáy (có diện tích S = a.L) song song với mặt phẳng (xoz) và có tung độ y và y + dy. Hình hộp chịu tác dụng của các lực trượt lên hai đáy của nó: và Còn ở phía trước và phía sau chịu các áp suất: và (Ta nhận thấy: Động năng của chất lưu là không đổi, nên công suất tổng cộng của các nội lực và ngoại lực triệt tiêu:

Sdy là thể tích của hình hộp: 24

2,

;

là đều: ;

3, Với gốc ở trong mặt phẳng đối xứng:

Công suất tiêu tán trên đơn vị thể tích là cực đại ở gần sát thành hộp: hay Bài 15. Với các vận tốc nhỏ, ở chế độ tuyến tính và ổn định, thì trường các vận tốc xung quanh một quả cầu chất lưu không thể nén được, có biểu thức (trong tọa độ cầu):

1, xác minh rằng trường này là nghiệm của phương trình vi phân đã được tuyến tính hóa và tuân theo các điều kiện ở giới hạn. 2, Xác định các áp lực và lực trượt trên các thành phần của quả cầu chất lưu, rồi xác định lực tác dụng lên quả cầu đó. Lời giải: 1, Xem chương 8, div =0 và như vậy:

Biểu thức này tương thích với tính không thể nén được và với phương trình vi phân NAVIER – STOKES, với điều kiện bỏ qua

với mọi giá trị của

và

và ta đặt

khi

Như vậy các điều kiện ở giới hạn đã được coi trọng 2, Tổng hợp các áp lực lên đỉnh cầu: - Lên một phần tử bề mặt: Trong phép chiếu lên (OZ): Lực trượt: 25

- Trên một phần tử bề mặt: Trong phép chiếu: Sau khi lấy tích phân: Người ta đã kiểm tra thấy các thành phần khác của áp lực tổng hợp đều triệt tiêu Bài 16. Thiết bị này do Couette chế tạo để đo độ nhớt của chất lỏng. nó gồm hai hình trụ đồng trục bán kính R1 (bán kính ngoài của hình trụ trong) và R 2 ( bán kính trong của hình trụ ngoài). Không gian giữa hai hình trụ chứa đầy một chấ lỏng mà ta cần đo độ nhớt . Hình trụ ngoài đứng yên còn hình trụ trong quay đều với tốc độ . Chiều cao h của chất lỏng đủ lớn để có thể bỏ qua các hiệu ứng ở hai đầu, và nhất là tác động của đáy lên chất lỏng. Vậy, ta giả thiết rằng trường các vận tốc là ổn định và có dạng: 1,Tìm vận tốc (tương đối)

của một điểm trên hình trụ bán kính r đối với

hệ quy chiếu gắn với hình trụ bán kính r0? 2, Bằng cách tương tự như với trường hợp dòng chảy phẳng, hãy biểu thị lực trượt, do chất lưu bên trong tác động lên chất lưu bên ngoài qua một mặt nguyên tố có diệnt tích dS pháp tuyến với

, theo đạo hàm

, rồi theo

.

3, Hãy tính momen đối với trục quay của các lực trượt tác dụng lên thể tích chất lưu nằm giữa hình trụ ngoài và một hình trụ bán kính r (R1 < r < R2). Từ đó suy ra hàm

4, Hãy biểu thị momen , theo R1; R2,

và

của ngẫu lực phát động kéo hình trụ

ngoài. 5, Hãy nghiên cứu trường hợp trong đó R1 = R2 – e, với

.

Dữ liệu: R2=50 mm; e = 3 mm; h = 200 mm; Để đo được độ nhớt ở lân cận 1 Pa.s. thì mômen ngẫu lực phát động có độ lớn cỡ bao nhiêu? Lời giải: 1, Khi xét hai hình rtụ bán kính r và r+dr, ta được:

2, Lực trượt tỷ lệ với dS, và với

26

3, Thành ngoài tác dụng lên chất lưu đang xét một momen: (lực về mặt x diện tích x cánh tay đòn,) hay

Cũng thế, mômen tác dụng bởi chất lưu trong là:

Ở chế độ ổn định, mômen tổng cộng áp đặt vào hệ chất lưu triệt tiêu, nghĩa là: . Tích phân hệ thức này, ta được

khi kể đến các giới hạn thì

ta được:

4,

5, Sau một phép khai triển giới hạn ở bậc 1, ta có: và Với các trị số đã cho: Bài 17. Một chất lưu không thể nén được có khối lượng riêng

và độ nhớt , chảy

trong một ống hình trụ tiết diện tròn bán kính a, chiều dài L và trục (OZ). ta thừa nhận rằng ở chế độ chảy tầng ổn định thì: - Vận tốc chất lưu trong ống dạng . (trong tọa độ trụ) - Nếu P là áp suất và Z là độ cao, thì

chỉ phụ thuộc vào z; ta sẽ đặt

và 1, Bằng cách tương tự như với dòng chảy một hướng, hãy xác định lực trượt do chất lưu ngoài tác dụng lên chất lưu trong qua một mặt nguyên tố diện tích dS và pháp tuyến với . 2, Bằng cách áp dụng hệ thức cơ bản của động lực học cho hệ được cấu tạo, ở thời điểm t cho trước, bởi chất lưu chứa trong một hình trụ chiều dài l và bán kính r, hãy tính

, rồi 27

3, Từ đó suy ra hệ thức về sự tỷ lệ giữa lưu lượng và độ sụt áp. Lời giải: 1, Vận tốc tương đối của các điểm của hình trụ bán kính r đối với hình trụ bán kính r0 là: từ đó 2, Nếu ta làm cân bằng các ngoại lực: - Các áp lực: - Các trọng lực: Nhờ đó. Với

, ta được các áp lực và trọng lực: ;

Lực trượt: Ở chế độ ổn định, lực tổng hợp của cac lực bằng không: và vì 3,

nghĩa là:

Bài 18. Một chất làm lạnh lỏng, độ nhớt

Pa.s, chảy tuần hoàn trong một

mạch gồm một ống hình trụ. Với hai nhóm 50 ống: bán kính a 1 = 0,5 mm và chiều dài l1 = 50 cm. Với các ống nối: bán kính a2 = 3 mm và chiều dài l2 = 2,0 cm. Và một bơm bảo đảm sự tuần hoàn của chất lưu với lưu lượng thể tích Dvol = 0,1 L.s-1. 1, Hãy biển diễn một mạch điện tương đương 2, Áp suất ở lối vào bơm (điểm A) là 1,1 bar. Tính áp suất ở B,C,D và E 3, Tính công suất mà bơm cung cấp cho chất lưu. Ta thừa nhận định luật POISEUILLE: Lời giải: 1, Người ta nhận thấy có những sự tương tự sau đây giữa: - Áp suất và điệnt thế - lưu lượng thể tích và dòng điện Đối với một ống, ta có thể viết

với

ta viết 28

và đối với một điện trở thuần,

Ta có sơ đồ điện tương đương: Với: vậy

2, “Điện trở” tổng cộng của mạch điện là: Biết rằng lưu lượng thể tích là 0,1 lít trong một giây, Dvol = 10-4 m3.s-1, độ chênh lệch áp suất PB – PA bằng PB – PA = 2,1 bar, do đó ta được PB = 3,2 bar Hiệu áp suất ở các cực của

bằng 0,4 bar

Hiệu áp suất ở các cực của R2 bằng 0,65 bar Vậy, từ đó ta suy ra các áp suất khác nhau PA PB PC PD PE PA 1,1 bar 3,2 bar 2,8 bar 2,15 bar 1,75 bar 1,1 bar 3, Giả sử hệ được tạo thành bởi chất lưu hiện có trong bơm ở thời điểm t Độ biến thiên động năng của nó rất nhỏ, nên ta có thể coi công suất tổng cộng nhận được triệt tiêu, nghĩa là: Công suất áp lực ở phía trên và phía dưới+ công suất của bơm = 0. Do đó: Sự tương tự với điện động học như vậy cũng cho công suất: Bài 19: Một đĩa nằm ngang mỏng có bán kính R = 10cm, được đặt trong một hốc hình trụ có dầu, hệ số nhớt của dầu  = 0,08p. Khe hở giữa đĩa và các đáy nằm ngang của hốc đều bằng h =1mm. Tìm công suất do các lực nhớt tác động lên đĩa sinh ra khi đĩa quay với  = 60rad/s. w Giải: A. Do chất lỏng đứng yên, đĩa quay nên có lực h B. dv nhớt tác dụng lên 2 mặt đĩa F =  . .s h dx

Do vận tốc v =r thay đổi từ tâm ra mép đĩa Nên ta chia đĩa thành các hình vành khăn bán kính r, chiều dày dr; => vận tốc v = .r Diện tích s = 2r.dr Từ A đến B có vận tốc tăng từ 0 - r => dv = r AB = h => Dx = h => F =  .

dr r

r 2 2 .2r.dr   . r .dr h h

Công suất của lực F tác dụng lên 2 mặt của vành khăn: 2F.v = 2F. r 29

V = wr

P = .

4 2 3 .r .dr h R

Công suất của lực tác dụng lên cả 2 mặt đĩa là P   . 0

P  .

4 2 3 .r .dr h

4 R  4  .60 .  . .R  0,08.  3 .0m14  90,432 h 4 h 10 2

4

2

2

Bài 20: Một hình trụ dài có bán kính R1, dịch chuyển dọc theo trục của nó với vận tốc không đổi v0 trong một hình trụ đứng yên có bán kính R2 đồng trục với nó. Khoảng không gian giữ các hình trụ chứa đầy chất lỏng nhớt. Tìm vận tốc của chất lỏng phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục của hình trụ. Sự chảy là thành lớp. Giải: A. v dr Nhận xét: vận tốc chất lỏng = 0 tại A (r = R2) R2 r v0 B. Và bằng v0 tại B (r = R1) R1 xét một lớp chất lỏng bán kính r, chiều dày dr, chuyển động với vận tốc v đang phải tìm. Lực cản nhớt tác dụng lên lớp chất lỏng này không đổi F

dr .2l. .d r r

v

dr r  2 .l. .  dv  F . ln  2 .l .v. r R2 R2 R0

Phân tích 2 vế: F . 

Nếu thay r = R1 thì v = v0

R

1 => F .ln R  2 .l. .v0 2

ln r / R2

(1) (2)

Chia 2 vế có: v = v0 . ln R / R 1 2 Bài 21: Một chất lỏng có hệ số nhớt  choán giữa hai hình trụ dài đồng trục có bán kính R1 và R2 trong dó có R1 < R2 . Hình trụ đứng yên, còn hình trụ ngoài quay với vận tốc góc không đổi 2 . Chuyển động của chất lỏng là chuyển động lớp. Biết rằng: lực ma sát tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt trục có bán kính r được xác định bằng công thức  = r (/r) N/m2 . Tìm a) Sự phụ thuộc vào bán kính r của vận tốc góc của chất lỏng quay. b) Mômen của các lực ma sát tác dụng lên một đơn vị độ dài của trụ ngoài. Giải: a) Tìm tốc độ góc của các lớp chất lỏng w

dr R1

r

R2 Nhận xét: Khi trụ ngoài quay thì do lực ma sát nhớt nó làm cho lớp chất lỏng sát nó quay theo, lớp này lại làm cho lớp trong quay theo, cứ 30

như vậy tốc độ góc của các lớp chất lỏng giảm dần từ ngoài vào trong, từ 2 đến 1 Xét một lớp chất lỏng hình trụ bán kính r chiều dày dr, chiều dài hình trụ l. Momen lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng làm nó quay quanh O. f vs   .

dv d d .s   .r .2r.l  2r 2 .l. dr dr dr

Momen lực ma sát: M  f vs .r  2r 3 .l.

d  I . dr

(1)

Do ở trạng thái dừng các lớp chất lỏng quay đùi  = 0 => M – hệ số được xác định qua điều kiện biên (1) => 2l. .d = M .

dr r3

Lấy tích phân 2 vế R1  r ; 0  dr M  1 1   2  l .  .   .  r3 2  R12 r 2  0 R1 M  1 1  Khi r = R2 thì  = 2 => 2l. .2  2 . R 2  R 2   1 2  

r

2l. . d  M . 

(2) (3)

1 1  2 2 2 .R12 R22  1 1 R1 r    .  . 2  2  Từ (2) và (3) => 2 2 2 1 1 R2 R1  R1 r   2 2 R1 R2

b) Trong (3) M có ý nghĩa là momen lực tác dụng lên cả hình trụ (cũng bằng momen lực tác dụng lên cả khối chất lỏng). => Momen lực tác dụng lên một đơn vị dài

M1 

M 4.2  1 1 l  2 2 R1 R2

Bài 22: Một dòng dừng của một chất lỏng có khối lượng riêng  và hệ số nhớt  chảy trong một ống có chiều dài l và bán kính R. Vận tốc dòng của chất lỏng phụ thuộc 1 r2  vào khoảng cách r đến trục của ống theo định luật v = v0   2  . Tìm 1 R 

a) Thể tích chất lỏng chảy qua tiết diện của ống trong một đơn vị thời gian b) Động năng của chất lỏng trong thể tích của ống c) Lực ma sát do chất lỏng tác dụng lên ống d) Hiệu số áp suất ở các đầu ống. Giải: a) Thể tích chất lỏng chảy qua tiết diện ống trong một đơn vị thời gian (lưu lượng) r dr Xét lưu lượng chất lỏng chảy qua hình vành khăn. 

r2 

Q = s.v = 2r. dr. v0 . 1  R 2  



 r2  2 v  Q  2  r . v . 1  Qua cả tiết diện ống 0 0  R 2 dr  R . 20 đúng như lý thuyết R

b) Động năng của chất lỏng trong thể tích của ống. 31

(khác so với lý thuyết là động năng chất lỏng qua ống trong 1 đơn vị thời gian l = v). Xét một lớp chất lỏng hình trụ bán kính r, dày dr. 1 . .(2r.dr.l).v2 2 R R  2r 3  r2  2r 2 r 5  2  2  2.  r     dr      . l .  . v . r     . l .  . v 1   đ =  d 0  0  2  = .l..v0   d R 2 R 4    R   0 0

Động năng của lớp này là đ =

Động năng tổng cộng: R 2  2r 3 r 5  2r 4 r6  2 r     đ =  d   .l. .v .  r  R 2  R 4 dr   .l. .v0  2  4 R 2  6 R 4     0 0 0 R

R

2 0

2 2 2R4 R6  l. .v0 .Q 2 R 2 R    . l .  . v .     . l .  . v .  đ = 0  0  4 6  6 3  2

c) Lực ma sát do chất lỏng tác dụng lên ống  r2  v = v0 - 1  R 2   

dv fvan = .  . .r = R dr

fvs =  .(2 R.l). v0.

2r R2

thay r = R

fvs =  .2l.v0.2 =  .4l.v0 d) Hiệu số áp suất ở các đầu ống. Xét 1 hình trụ bán kính r, dày dr dv 0 dr  2r p. r2 + 2r.l. .v0 2  0 R 4v0 .l p= 2 R

p. r2 + 2.r.l. .

( F  F vs  0 ) => p – 2.2.l. .

v0 0 R2

Bài 23. Một ống Pitot (hình 71) được đặt theo trục của ống dân khí mà diện tích tiết diện bên trong ống dẫn khí bằng S. Bỏ qua độ nhớt, tìm thể tích khí đi qua tiết diện của ống trong một đơn vị thời gian, nếu hiệu số các mức trong áp kế chất lỏng bằng ∆h, còn khối lượng riêng của chất lỏng và chất khí tương ứng là p0 và p. Lời giải: Ta có v =

 r2  1  2  v0  R 

Hình 71 (1)

Với r = OM và R là bán kính của ống. Từ phương trình Bernoulli 1 2 1 v0  gh0  p0  v N2  ghN  p N 2 2 1 với h0 = hN và vN = 0, suy ra 2 v02

= pN – p0 = ∆p = p0g∆h 32

v0 

2  0 gh 

(2)

Tính lưu lượng Q. Ta có dQ = vdS, với dS là diện tích hình vành khăn dày dr đi qua P; dS = 2πrdr. R  r2  1 1 Q   dQ   vdS   v0 1  2 2rdr  v 0R 2  Sv0 2 2 R   S S 0

(3) Thay (2) vào (3):

2  0 gh  0 gh 1 Q S S 2  2

Hình G 7.3

Bài 24. Một bình hình trụ, có độ cao h và diện tích đáy S, chứa đầy nước. Ở đáy bình người ta đục một lỗ diện tích s > S2 và p1 = p2 = áp suất khí quyển  

và u =  udr





 1 fdr    fdr     2 rdr    2 r 2 2

33

Hình G 7.9

Hình 75

với f = ρω2r là mật độ lực quán tính li tâm Thay và (1): 

1 1 1  2 (l  h) 2  v22   2l 2 2 2 2

suy ra:





v22   2 l 2  (l  h) 2   2 h(2l  h)v2  h

2l 1 h

Hình G 7.10 Bài 26. Chứng minh rằng phương trình Bernoulli đối với một dòng dừng của một chất lỏng lý tưởng được suy ra từ phương trình (1.7a) Lời giải:    Từ (1.7a): ρv v / dt  f  p . (1)  d r nhân hai vê với rồi lấy tích phân      dv  dr   f dr   pdr +const dt     dr Chú ý là dt  v và f  u , với u là



(2) mật độ thế năng, và khi lấy tích phân có

thêm hằng số tích phân const.       (2) thành  v dv    udr   pdr + const. 1 2 v  u  p 2

hay

+ const

1 2 v  u  p  const 2

(trong trường hợp ρgh) và (3) thành

 f

(3)

(4)

(Đpcm)

(5)

là trọng lực:

  f  g

1 2 v  gh  p  const 2

, thì thế năng trong trọng trường u = (6)

ta lại được phương trình Bernoulli Bài 27. Người ta đục hai lỗ giống nhau mỗi lỗ có diện tích S = 0,50 cm 2 ở hai thành đối diện của một bình rộng thẳng đứng chứa đầy nước. Khoảng cách giữa các lỗ theo chiều cao là ∆h = 51 cm. Tìm phản lực tổng hợp của nước chảy ra. Lời giải: Theo phương trình Bernoulli 1 2 v1  gh1  p1 2

=

1 2 v2  gh2  p2 2

(1)

với p1 = p2 = áp suất khí quyển. Từ (1) suy ra: v22  v12  2 g ( h1  h2 )  2 gh

ta có

f 

với

dp d dm  (mv)  v dt dt dt dm  Q  Sv là dt

(2) (3)

Hình G 7.12

khối lượng nước phun ra khỏi lỗ trong một giây thay vào

(3): f = ρSv2 (4) Lực tổng hợp là: F = f2 – f1 = ρS v22 - ρS v12 = ρS( v22 - v12 ) = 2ρgS∆h (5) Thay số F = 2.1000.9,81 . 0,5 .10-4 . 0,51 = 0,5N. Bài 28. Ở thành bên của một hình trụ rộng thẳng đứng có chiều cao h = 75 cm người ta đục một khe hẹp thẳng đứng có đầu dưới chạm vào đáy bình. Độ dài của khe là l = 50 34

cm, bề rộng b = 1,0mm. Người ta bịt khe lại và đổ đầy nước vào bình. Tìm phản lực tổng hợp của nước chảy ra ngay sau khi mở khe. Lời giải: Từ công thức (4) f = ρSv2 ta có df = ρv2dS (1) với dS là phần lỗ có chiều cao dZ : dS = bdZ’ và v là vận tốc nước chảy ra qua dS: v2 = 2g(h-z), với z là độ cao của dS, thay vào (1) df = 2ρgb(h-z)dz l

 f   df   2 gb(h  z )dz  gbl (2h  l ) 0

3

thay số: f = 10 . 9,81 .10-3 . 0,5 (2 . 0,75 – 0,5) = 4,9N

Hình G 7.13

Bài 29 . Nước chảy với vận tốc v trong một ống cong hình chữ U nằm trong một mặt phẳng ngang. Diện tích tiết diện của ống là S, bán kính đoạn đường cong là R. Hãy tìm: a) xung lượng tổng cộng của nước ở phần cong của ống. b) môđun của lực tác dụng từ phía nước chảy lên thành phần của phần cong của ống. Hình 76 Lời giải: a) Xét một khoảng thời gian dt, nước di chuyển dl = vdt = Rdα dp = vdm = vρdV = vρSdl = ρvSRdα  hình chiếu dpx của dp xuống phương x là dpx = dp cosα = ρvSRcosα dα Tính tổng các dpx trên nửa đường tròn AB là x/2

p2

 0

x/2

dp x  2  vSR cos sd

2 vSR sin 

b) Ta có

=

0

x/2 0

f 

Hình G 7.14

 2 vSR

dp d dm dV  (mv)  v  vp  Sv 2 db dt dt dt

cường độ của lực do nước chảy tác dụng lên thành cong của ống là F = 2f = 2ρSv2. Bài 30. Nước chảy ra từ một thùng lớn theo một ống cong vuông góc, có bán kính trong là r = 0,50 cm (hình 76). Độ dài của phần nằm ngang của ống là l = 22 cm. Lưu lượng nước là Q = 0,50 l/s. Tìm mômen của các phản lực của nước do dòng nước gây ra lên các thành ống này đối với điểm O. Lời giải: f 

với

dp d dm dV d dl  ( mv)  v  v v ( Sl )  vS  Sv 2 = dt dt dt dt dt dt ( Sv) 2 Q2  Q = Sv thì f =  . S S

35

và N = fl =  Thay số N =

Q2 Q 2l l S r 2 103.(0,5.10 3 ) 2  .(0,5.10 2 ) 2

= 0,7Nm.

Bài 31. Một bình hình trụ thẳng đứng có nước, quay xung quanh trục của nó với vận tốc góc không đổi ω. Tìm: a) dạng của mặt tự do của nước b) sự phân bố áp suất nước trên đáy bình dọc theo bán kính của bình nếu áp suất ở tâm đáy bình bằng p0. Lời giải: a) Xét một phần tử nước M trên mặt thoáng của chất lỏng, nó chịu tác dụng 2 lực - Trọng lực P = mg = Fy - Lực quán tínhli tâm f = mω2r = Fr  1 Lực tổng hợp F  P  f1 tạo với phương ngang một góc α với tg 

Fy Fr



mg g  m 2 r  2 r



vì M đứng cân bằng nên F  mặt thoáng của chất lỏng. Do vậy độ dốc của tiếp tuyến MT với mặt thoáng là:

Hình G 7.17

dy 1   tg   r dr tg g 2

suy ra

y   dy 

2 1 2 2 rdr  r  y0  g 2 g

(1)

Vậy mặt thoáng của nước là một paraboloid tròn xoay có trục là trục quay, mặt cắt là parabol có phương trình (1) b) Ta có áp suất ở đáy bình là: 1 2  1 1 p  pgy  pg  r  y0   p 2 r 2  pgy0  p 2 r 2  p0 , 2 2 g  2

với p0 = pgy0 Bài 32. Một bình cao chứa đầy glyxêrin có hệ số nhớt  = 13,9 Pa.s Thả vào bình một hòn bi chì. Tới một độ sâu nào đó hòm bi bắt đầu chuyển động đều. Tìm đường kính lớn của hòm bi để chuyển động còn là chuyển động lớp, nếu sự chuyển qua chuyển động rồi ứng với số Reynolds Re = 0,5 (giá trị này của Re thu được khi lấy đường kính của hòm bi làm kích thước đặc trưng). Lời giải: Ta có

Re 

vd 

(1); với ρ : khối lượng riêng của glycêrin, d: đường kính hòn bi.

Lực ma sát nhớt Fn = 6 πηrv hướng lên Trọng lực

P

3 2 r b g 4

Lực đẩy Archimedes

hướng xuống

FA 

4 3 r g 3

(2) (3)

hướng lên (4)

Khi bi chuyển động đều thì P – FA = Fn 36

(5)

4 3 r (  b   ) g  6rv 3

Suy ra 18ηv = 4r2(ρb-ρ)g = d2(ρb-ρ)g

(6)

Từ (6) rút ra

(7)

Từ (1) rút ra

18v d2  ( b   ) g  Re d  v

Nhân vế với vế (7) và (8): 1/ 3

 18 2 Re   d   (    )  g b  

(8) d3 

18 2 Re (  b   ) g

  18.1,39 2.0,5    (11300  1260).1260.9,81

1/ 3

 5,19mm

Bài 33. Một hòn bi thép có đường kính d = 3,0 mm được thả không có vận tốc ban đầu vào dầu ooliu, có hệ số nhớt  = 90 Pa.s Hỏi: bao lâu, sau lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc hòm bi sẽ khác vận tốc dừng n = 1,0%? Lời giải: Hòn bi chịu tác dụng trọng lực, lực đẩy Archimedes và lực ma sát nhớt khi chuyển động ổn định các lực đó triệt tiêu lẫn nhau v

2r 2 (    d ) g 9

Rút ra

(1)

2r 2 (    d ) g 9

v

Khi chưa ổn định, tổng hợp lực lên bi: f = P - Fa – F = ma = (1) thành

m

dv dt

(1)

4 3 4 dv r (    d ) g  6rv  r 3  3 3 dt

(2)

Phân li biến số: dt 

 2r 2 dv 2r 2  9dv   2 9v  2r (    d ) g 9 9v  2r 2 (    d ) g 2

thay biến

u = 9ηv – 2r (ρ – ρd)g thì

lấy tích phân (3) t

2r 2  du 9 u

dt 



2r 2  t  ln 9v  2r 2 (    d ) g 9



2r 2  ln(2nr 2 (  d   ) g )  ln(2r 2 (  d   ) g ) 9



v (1 n ) v 0

(3) 2 r 2 (  d ) g 9



2r 2  d 2 (3.103 ) 2 .7800 t ln n   ln n   ln 0,01 = 0,2s 9 18 18.90.1  3 Bài 34 ( HSGQG 2010) Trong một đám mây hơi nước dày, mật độ đều có một giọt nước hình cầu bán kính rất nhỏ ( coi như chất điểm) rơi xuống với vận tốc ban đầu bằng 0. Trong quá trình chuyển động trong đám mây, khối lượng của giọt nước tăng lên do nước trong đám mây bám vào. Giả sử tốc độ tăng khối lượng của giọt cstir lệ thuận với diện tích mặt ngoài của giọt nước và với vận tốc của nó theo một số tỉ lệ k. Coi rằng giọt nước luôn có dạng hình cầu. Cho gia tốc trọng trường là g, khối lượng riêng của nước là p không đổi và bỏ qua lực cản. Biết rằng sau một thời gian đủ lớn, giọt nước vẫn ở trong 37

đám mây và chuyển động với gia tốc không đổi. Trong quá trình giọt nước chuyển động với gia tốc không đổi đó, tìm khối lượng và vận tốc của giọt nước theo thời gian rơi. Lời giải: x quãng đường,  là bán kính giọt nước. Fdt = dp = (m+dm)(v+dv)-mv=mdv+dm.v 

F m

dv dm  v dt dt

= ma+k.4πr2v2. với k là hệ số tỉ lệ. Ta hiểu gia tốc không đổi trong suốt quá trình dao động Vì F = mg Mặt khác: 

mg  k .4r 2v 2 k .4r 2v 2 3kv 2 g g 3 3 nên m r (1) r  4 dm d 4 3 dm dx 2 dr  ( r  )  4r  k 4r 2 và theo giả thiết dt dt 3 dt dt dt a

dr k dx k  r x dt  dt 

Thay vào (1)

(2) (để thoả mãn điều kiện khi x = 0 thì r = 0 )

ag

3v 2 x

(3)

Sau thời gian t0 đủ dài, gia tốc a không đổi. Điều đó xảy ra khi

3v 2  conts  v 2  2ax . x

Điều này chứng tỏ chuyển động của giọt nước là nhanh dần đều từ thời điểm t ≥ t0, tương ứng v = at, x = at2/2. Thay vào (3): a  g  Tính được vận tốc:

g gt 2 k kg 2 3v 2 3(at ) 2 ;r  x  t g 2  g  6a . Vậy a  ; x  7 14  7  x at / 2

v

gt 7

; Khối lượng giọt nước

4 4   kg 2  m  r 3  t   3 3  7  

3

.

Bài 35 (HSGQG 2010) Xác định đường kính của phân tử khí Trong ống hình trụ có đường kính nhỏ, chất khí chảy ổn định theo đường dòng song song với trục ống. Tốc độ của các dòng chảy giám dần từ trục ống ra thành ống do lực ma sát giữa các dòng chảy . Tốc độ dòng chảy lớn nhất ở trục ống và bằng 0 ở dv

sát thành ống. Lực nội ma sát giữa hai lớp chất khí sát nhau là fms = A dr với A là diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất khí,

dv dr

là độ biến thiên tốc độ trên một đơn vị chiều dài

theo phương vuông góc với dòng chảy,  là độ nhớt mà giá trị của nó phụ thuộc vào đường kính phân tử khí d và nhiệt độ T của chất khí theo công thức sau: 1/ 2

2  mk T    2  B3  3d   

với m là khối lượng phân tử khí, kB là hằng số Boltzman. Cho các dụng cục sau: - Bình chứa khí nitơ có áp suất khí đầu ra không đổi; - 01 van dùng để thay đổi lưu lượng chất khí; - 01 ống mao quản hình trụ có chiều dài L, bán kính ống R; - 01 thiết bị đo lưu lượng khí; - 01 áp kế nước hình chữ U; 38

- Nhiệt kế đo nhiệt độ phòng và các ống dẫn, khớp nối cần thiết. Hãy: a. Thiết lập công thức tính lưu lượng khí chảy qua ống theo kích thước ống, độ chênh lệch áp suất giữa hai đầu ống và độ nhớt của chất khí. b. Đề xuất phương án thí nghiệm: vẽ sơ đồ thí nghiệm và nêu các bước tiến hành để xác định đường kính phân tử khí nitơ. Lời giải: a. Thiết lập công thức lưu lượng khí chảy qua ống Xét hình trụ bán kính r (r R1) ; - Thước đo độ dài, bình đựng chất lỏng cần xác định độ nhớt; - Khớp nối, dây nối, giá mẫu, khóa K cần thiết. Yêu cầu: 1. Trình bày cách bố trí thí nghiệm và xây dựng các công thức cần thiết. 2. Nêu các bước tiến hành thí nghiệm, bảng biểu cần thiết và cách xác định độ nhớt của chất lỏng. Lời giải: 1. Bố trí thí nghiệm, xây dựng công thức 40

Bố trí thí nghiệm như hình 6.6G, cần đặt khôi trụ đồng trục với trục cốc trụ, đổ chất lỏng cần xác định độ nhớt vào cốc. Khi đóng khóa K, động cơ sẽ quay và làm hình trụ quay, chất lỏng trong cốc sẽ quay sinh ra lực cản nhớt tác dụng ngược lên khối trụ. Cân bằng giữa monen phát động của động cơ và lực cản nhớt sẽ làm động cơ quay đều. Xây dựng công thức: Khảo sát chuyển động của chất lỏng trong cốc khi trụ quay đều với tốc độ ω0 . Momen gây bởi lực ma sát tác dụng lên bề mặt lớp chất lỏng hình trụ bán kính r là: d ( r ) T  2r h dr 3

nên  (r ) 

r

T

T

 1

 2r h dr  4h  R 3

2 1

R1

Tốc độ quay ω(R1) = ω0 và ω(R2) = 0 nên T 



1  r 2 

Hình 6.6 G

4hR12 R22 0 R22  R12

Khi rôto quay sẽ sinh ra suất điện động cảm ứng e trên động cơ. Công suất điện chuyển thành công suất cơ và sinh ra momen quay P = ie = ωT với i là dòng điện chạy trong mạch. Momen cơ là

T 

ie i   38

Khi động cơ quay ổn định, momen cơ cân bằng với momen cản gây bởi lực ma sát nhớt của dung dịch: i 4hR 2 R 2 152hR12 R22  2 1 22   i   38 R2  R1 R22  R12

Như vậy bằng việc thay đổi biến trở, xác định giữa cặp giá trị giữa dòng điện trong mạch và tốc độ quay của động cơ ta sẽ xác định được độ nhớt η. 2. Các bước tiến hành thí nghiệm, bảng biểu và xử lý số liệu - Bố trí thí nghiệm như hình vẽ. - Tiến hành thí nghiệm. + Xác định đường kinhd trụ trong và đường kính trong của cốc. + Đo chiều cao h của chất lỏng trong cốc. + Bật khóa K, đợi động cơ quay ổn định, đọc giá trị dòng điện I trên ampe kế và tốc độ quay ω của môtơ, ghi vào bẳng số liệu. + Thay đổi biến trở và ghi cặp I, ω tương ứng vào bảng. Bảng số liệu: Lần đo

I

ω

1

…..

……..

2

……

……..

……

…….

…….. 41

……

…….

…….

Xử lý số liệu ta có: I = 152hR12 R22  R22  R12

Hình 6.7 G

Dựng đồ thị I theo ω, đồ thị dạng đường thẳng ( Hình 6.7G ), xác định độ nghiêng và từ đó tính được độ nhớt η. Bài 37 (Đề chọn đội tuyển Olympic năm 2011, ngày thứ 2) Một tấm kim loại mỏng hình chữ nhật, một cạnh có độ ài a, một cạnh rất dài so với a, đặt trên mặt một chất lỏng dính ướt hoàn toàn đối với kim loại này. Tấm kim loại được nâng chậm lên đến vị trí cao nhất sao cho chất lỏng vẫn còn bám vào tấm. Gọi φ là góc hợp bởi tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trên mặt giới hạn chất lỏng với mặt nằm ngang (hình 2.1). Biết áp suất khí quyển là p0, Hình 2.1 khối lượng riêng của chất lỏng là ρ, hệ số căng bề mặt của chất lỏng là ϭ, gia tốc trọng trường là g. 1. Tìm các tọa độ x, y của M trong hệ trục tọa độ Oxy cho như hình vẽ theo φ,ϭ, ρ và g; 2. Cho a > 1,1

 g

. Hãy xác định:

a) Chiều cao cực đại h của tấm kim loại so với mặt chất lỏng nằm ngang. b) Bề rộng nhỏ nhất b (b = KN) của cột chất lỏng bám vào tấm kim loại. c) Lực tác dụng theo phương thẳng đứng lên một đơn vị dài (theo cạnh dài) của tấm, biết trọng lượng một đơn vị dài (theo cạnh dài) của tấm kim loại là P1 . 3. Lập các phương trình đủ để tìm lại các kết quả của ý 2 trong trường hợp a

 g

Cho biết: * Bán kính cong R tại một điểm trên đường cong có thể xác định theo công thức: R

ds d

với dφ là góc tạo bởi các tiếp tuyến của đường cong tại điểm đầu và điểm cuối

của cung ds trên đường cong chứa điểm đang xét. d

*  cos 

    ln tan     C 4 2

Lời giải: 42

1.

x2

  1    3        sin    ln tan     ln tan  ; y  2 g cos 2 g  2 2 g  8  4 4

2. a) hmax =

2

 g

 g

b) b = a – 1,06

  1





; c) F = P1 + 2a

 







g

3 

3. 0,5 = 2 g   sin 2min   g ln tan 4  4min   ln tan 8     2    h=2

  cos min g 2

; F = P1 + 2a g cos

min  2 sin  min 2

Bài 38 (Đề chọn đội tuyển Olympic năm 2013, ngày thứ nhất) Một ống kim loại mỏng, nhẹ chứa thủy ngân có thể dao động quanh một trục nhỏ cố định, nằm ngang đia qua điểm O ở đầu ống (hình 5.2) . Hệ số dãn nở khối của thủy ngân là α = 18.10-5K-1, hệ số dãn nở dài của kim loại làm ống là β = 1,0.10-5K-1 . Gọi tỉ số chiều dài của đoạn ống chứa thủy ngân so với chiều dài của cả ống là x (0