Istoria matematicii in antichitate [PDF]

Zitiervorschau

E . KO L M A N, A . P. I U ŞKE V I C I

MATEMATICA PÎNĂ ÎN EPOCA RENAŞTERII

Traducere de

A N A

T OLI

E

H RI

S T

E ,-

Supl'acoperla şi coperta de I'.

VULCĂNESCU

3.

HO J1 h MA H

HCTOPIUI MATEMATlH\H B ,IJ;PEBHOCTH

rOCY):(APCTBEHHOE H3,UATEhCTBO H3HHO-MÂ.TE MATH"IECHO fl JUITE PATYPhl MocKBa, 1961

PREFAŢÂ

Obiectul lucrării de faţă îl constituie istoria matematicii pi.nă la începutul epocii Renal/terii, În problema periodizării istoriei matematicii, autorii se conduc după principiul ridicării acestei ştiinţe de pe o treaptă de abstracti­ zare pe alta, mai înaltă, ţinî.nd seama de varietatea condiţiilor sociale, economice şi geografice . Trăsăturile principale ale acestei periodizări sînt exprimate de A .N . Kolmogorov în articolul Matematica tipărit în vol. 26 din ediţia a 2-a a Marii enciclopedii sovietice. Conform acesteia, fo prezenta lucrare sînt examinate: perioada apa­ riţiei matematicii {în primele două capitole) şi perioada matematicii elementare (în celelalte şapte capitole) . Lucrarea constă din două cărţi. Prima carte, scrisă de E. Kolman, este consacrată is toriei matematicii în antichitate . Aici se examinează apariţia noţiunilor matematice şi dezvoltarea matematicii la popoarele care au creat cele mai vechi civilizaţii (egipteni, babilonieni, feni­ cieni, evrei, maya, incaşi, azteci; despre matematica chinezilor şi indienilor antici se vorbeşte în cartea a doua, care conţine capitole consacrate în mod special acestor ţări) ; mai departe , se examinează istoria matematicii în Grecia antică, �n ţările elenistice şi �n ţările Imperiului Roman. Cartea a doua, scrisă de A.P. I uşkevici, este consacrată istoriei ma­ tematicii din evul mediu - în China şi India (începînd cu antichi­ tatea) , în ţările Islamului (/ările arabe, Asia Mică, Iran, Azer­ baidjan) şi în Europa. În expunerea istoriei matematicii în Orient sînt utilizate recentele cercetif,ri care, nu numai că au dezvăluit multe fapte înainte necunoscute, dar au şi condus la o nouă imagine a acestei epoci din istoria matematicii. Natural, aceste capitole au un volum mai mare decît s-a prevăzut mai înainte. Mici părţi izolate din textul primei cărţi l.i aparţin lui A .P. luşkevici, iar din a doua - lui E. Kolman. j

Expunerea merge pînă la începutul secolului al XV 1-lea. Deşi perioada matematicii elementare se încheie a bia în secolul al XV 1-lea , autorii au crezut de cuviinţă să se oprească la secolul precedent, deoarece în seco lul al XV1- lea, în sinul noii algebre , începe pregăti­ rea calculului cu infiniţii mici şi a geome triei analitice, şi ac tivita­ tea unei serii de învăţaţi, în special a lui Viete, a contribuit direct la fundarea matematicii mărimilor variabile , a teoriei funcţiilor şi a transformărilor geome trice . Autorii şi-au propus drept scop , în special, să lămurească dezvol­ tarea istorică a noţiunilor matematice fundamentale, a metodelor şi a algoritmilor, ţinînd seama pe ci.t posibil de tendinţele dezvo ltării actuale a ştiinţei . Noile probleme ce stau în faţa ştiinţei duc la schim­ barea perspectivei istorice asupra trecutului; de exemplu, dezvoltarea impetuoasă a matematicii calculatorii pune acum în faţa istoricilor problema elucidării mai complete a metodelor de calcul prin aproxi­ maţie, începînd cu antichitatea. Realizarea scopului amintit a fos t urmărit şi în e lucidarea crea­ ţiei diferiţilor savanţi. Dezvoltarea matematicii poate fi studiată pe diferite planuri . Se poate pune accentul pe legăturile interne în creaţia unui singur om, se poate urmări istoria u ne i probleme lăsînd total sau parţial la o parte legăturile ei cu alte robleme, se poate vorbi despre istoria unei şcoli ştiinţifice ş .a. n cartea noastră, consacrată dezvo ltării matematicii ca un tot unitar, căutî.nd să nu ne depărtăm de scopul indicat, am menţinut totodată în centrul atenţiei legăturile dintre matematică şi ştiinţele naturii, dintre matematică şi tehnică, dintre matematică şi filozofie , precum şi legăturile internaţionale, fără a pierde din vedere partic11larităţile naţionale ale dezvoltării ştiinţei într-o perioadă sau alta. Aceasta a determinat, fără voia noastră, o anumită stratificare pe mai multe planuri a expunerii în diferite părţi şi capito le ale lucrării; nu mai vorbim de particularităţile pur individuale , proprii autorilor. Cu toate acestea, principiul conducător a fost următorul: caracterul specific al matematicii ca ştiinţă constă într-o generalizare şi abstrac­ tizare deosebită a noţiunilor şi metodelor ei; matematica, dezvoltîn­ du-se sub influenţa activităţii practice a oamenilor şi a necesi tăţilor societăţii (uneori această influenţă manifestf.ndu-se nemijlocit, alteori numai în ultimă instanţă), are posibilitatea într-o măsură sau alta să dezYolte l.n mod independent abstracţiile o dată create. Literatura referitoare la istoria matematicii este enormă, însă lucrări generalizatoare, scrise de pe poziţiile marxismului, deocam­ dată aproape că nu există. De aceea, autorii au tre buit să rezolYe

;,

multe probleme pentru prima dată. Se înţelege că nu considerăm răspunsurile şi soluţiile noastre drept definitive . Cîteva observaţii asupra caracterului expunerii . Trimiterile bibliografice din text sî.nt indicate în paranteze drepte, bibliografia, ca atare , inclusiv ediţiile surselor originale, este dată la sfî.rşitul fiecărei cărţi sub denumirea de „Bibliografie" . Cuvintele puse în paranteze drepte din ci tate ne aparţin nouă sau traducătorilor textelor respective . Autorii sî.nt recunoscători profesorului B . A . Rozenfe ld, care a citit întregul manuscris şi corecturile respective , dindu-ne o serie de indicaţii foarte preţioase. Autorii roagă pe cititori să trimită observaţiile şi suges tiile lor pe adresa: Moc1rna, B-71, J1emrnc1rn:ii npocneKT, 15. Moscova 24 februarie, 1948.

A.

P.

E. KOLMAN IUŞKEVJCJ

CA P

IT

O L_U L

I

APARIŢIA MATEMATICII

Naşterea matematicii . Naşterea celor mai simple noţiuni mate­ matice - a noţiuni lor legate de forme spaţiale şi de relaţi i canti­ tative - s-a petrecut la începuturile istoriei omeniri i . Ea este indisolubil legată de timpul cînd, la începutul perioadei cuater­ nare, omul începe să-şi procure mij loacele de existenţă cu aj utoru] uneltelor de muncă. Datorită muncii şi totodată vorbirii articulate, creierul şi orga nele de simţ ale omului au atins o perfecţiune apreciabilă. Creieru l a căpătat capacitatea de a crea abstracţii , necesare pen­ tru măsurare ş i numărare . Studiul apariţiei şi dezvoltării noţiunilor de întindere şi de număr, atît de i mportante pentru gîndirea umană, are o însemnă­ tate imensă nu numai pentru istoria matematici i , ei şi pentru istoria cunoaşterii în a nsamblu , deoarece el confirmă teoria mate­ ria li st-dia lectică a cunoaşterii, fapt asupra căruia a atras atenţia V . I . Lenin, arătînd că „Continuarea operei lui Hegel şi a lui Marx trebuie să c onstea în prelucrarea dialectică a i storiei gîndi­ rii omeneşti , a ştiinţei şi a tehnicii" [8, p. 116]. În ştiinţa burgheză este răspîndită concepţia după care chiar ]a animale ar exista cele mai simple reprezentări matematice . Astfel, cunoscutul istoric al matemat icii M . Cantor a scris că „numărarea , î n măsura în care prin acea sta se înţelege doar o reunire conştientă a unor anumite obiecte într-un ansamblu, nu constituie o particularitate a omului, căci raţa de asemenea îşi numără boboci i săi" [21, vol. I ] . Unii se referă , de exemplu , la faptul că forma fa gurilor de albine rezolvă în modul optim problema dotării spaţiului cu prisme hexagonale de înălţime constantă şi de volum maxim, cu cheltuială minimă de material. Or, pentru rezolvarea acestei probleme sînt necesare cunoştinţe de matema­ tici superioare , pe care chiar şi adepţii concepţiei criticate şovăie să le atribuie albinelor. După cum a remarcat însă Marx, „Păian9

jenul efectuează operaţii care seamănă cu cele ale ţesătorului , iar albina, prin construcţia celulelor ei de ceară , face de ruşine pe mulţi arhitecţi din rîndurile oamenilor . Ceea ce disti nge însă din capul locului pe cel mai prost arh itect de albina cea mai perfectă este faptul că el a construit celula în capul său , îna inte de�a o construi din ceară" [1, p . 208] . lnvăţătura lui l . P . Pavlov [35 , p . 490] a demonstrat că ani­ ma lele nu sînt capabile să creeze abstracţii, capacitatea ce se observă u neori la ele de a face di stincţie între noţiunile cantita­ tive de „mult" şi „puţin" şi între formele spaţiale de „dreaptă" şi „curbă" fiind generată fie de instincte ereditare , fie de reflexe condiţionate datorite exerciţii lor îndelungate . Atribuind anima­ lelor capacitatea de a forma reprezentări matemat ice şi chiar noţiuni , ştii nţa burgheză urmăreşte prin aceasta să întărească concepţia idealistă despre aşa- numita origine pur spirituală a acestor noţiuni . Conform acestei concepţii , ele ar fi date omului de la naştere , ar fi conţinute în sufletul său şi nu ar fi apărut d i n experienţa materială . O dată cu apariţia celei mai simple activităţi de producţie s-au născut necesitatea de evaluare , oricît de grosolană, a mărimii obiectelor şi aceea de numărare a lor - fie ea oricît de imperfectă şi mărginită. Şi într-adevăr, monumentele arheologice dovedesc incontestabil că omul a elaborat noţiunile primare de aritmetică şi de geometrie chiar în epoca de piatră . Apariţia ti mpurie a noţiunilor matematice ne-o dovedesc şi limbile triburilor care au păstrat - datorită mari i stabilităţi, proprie limbii - rămăşiţe a le terminologiei culturii primitive . Astfel , de exemplu, la tribul indian de vînători abiponi din Ar­ gentina , pe cale de dispariţie , călătorii au descoperit la începutul secolului, trecut numerele 1 - initara şi 2 - inioaka. Numărul 3, ei îl exprimau ca inioaka-initara, numărul 4 - degetele stru­ ţulu i , 5 degetele mîini i , 10 - degetele ambelor mîini, 20 - de­ getele mîinilor şi ale picioarelor [36] . Călătorii (printre ei au fost mulţi misionari) , plecînd însă de la concepţia lor preconcepută asupra „sălbaticilor" , aj ungeau la concluzia că, din moment ce la aceste triburi nu există numerale mai mari de 2, ele nu ştiu să numere . Astfel, s-a răspîndit în lite­ ratura burgheză afirmaţia că germenii numărării ar fi apărut doar pe o treaptă relativ înaltă a culturii , afirmaţie tot atît de greşită ca şi cealaltă opusă , care atribuie capacitatea de a număra ani­ malelor. Sociologul francez Levy-Bruhl [37 , 38] şi adepţi i lui atribuie omului primitiv o gîndire „prelogică" , „haotică" , „corn-

10

plexă" şi mistică, incapabilă să efectueze operaţn matematice, chiar cele mai simple. Nu este greu de înţeles că asemenea raţio­ namente justificau în mod obiectiv relaţiile de colonizare faţă de „sălbatici". Primele numerale. Explicaţia ştiinţifică, materialistă, a apa­ riţiei matematicii porneşte de la examinarea condiţiilor social­ economice în care au apărut si s-au dezvoltat notiunile matema­ tice, trecînd prin diferite stadii în diferite etape ;le istoriei socie­ tăţii. „Pentru a număra e nevoie nu numai de obiecte care se pot număra, dar şi de capacitatea de a face abstracţie în considerarea acestor obiecte de toate celelalte însuşiri ale lor în afară de număr, iar această capacitate este rezultatul unei îndelungate dezvoltări istorice bazate pe experienţă" [2, p. 47]. Urmele materiale ale muncii ne permit să ne facem. o părere nu numai asupra culturii materiale primitive, ci şi asupra lumii spi­ rituale a oamenilor primitivi. Chiar cele mai simple unelte - ca toporul de piatră - nu au putut.să apară fără gîndire. Gîndirea omului primitiv a fost săracă, mărginită şi cuprindea un cerc îngust de obiecte si acţiuni; ea nu a fost abstractă si cu atît mai mult fantastică. fn limbile tri­ burilor care se află pe o treaptă inferioară a dezvoltării, vocabula­ rul este mărginit la noţiuni ce reflectă aproape exclusiv activi­ tatea lor de producţie; el este extrem de bogat în denumiri con­ crete (de exemplu, a diferitelor specii de animale), însă nu con­ ţine termeni generali (de exemplu, „animal"). Chiar. atunci cînd omul primitiv a reuşit să acumuleze destul de multe informaţii ştiinţifice şi tehnice, cunoştinţele sale mate­ matice au fost foarte mărginite în comparaţie cu acestea. Omul primitiv avea rareori cu adevărat nevoie să numere, şi cu atît mai mult cantităţi mari. De aceea, numărarea şi numerele se aflau în stare embrionară, ajungînd numai pînă la 2 sau pînă la 3 ; tot ce era mai mult decît atît, omul primitiv îşi reprezenta ca „mult". Această mărginire în noţiunile asupra numărului s-a manifestat în însăşi apariţia numeralelor. Iniţial, omul a format doar numeralele „1" şi „2" care avea sens de „mult". Numeralul „2" avea o origine calitativă: el reprezenta o pereche naturală concretă oarecare, de exemplu mîini, picioare, ochi, aripi, rîndul superior şi inferior de dinţi etc. Că numărul 2 ocupa odinioară un loc deosebit, putem constata după faptul că, într-o serie de limbi, alături de forma plural, s-a păstrat forma gramaticală binară (de exemplu, în limbile greacă, celtă, în limbile semitice, 11

în slava veche); de exemplu, în limba rusă se spunea 2, 3, 4 pyK,u (genitiv singular de la cuvîntul pyK,a [mină]), ceea ce reprezintă o rămăşiţă a formei binare, spre deosebire de 5, 6 , .. pyK,, unde substantivul este la forma plural (genitiv plural). În limba cehă se spune 4 ruky, însă 2 ruce. Originea iniţială concretă a numera­ lului „2" în limbile semitice arată clar înrudirea cuvintelor „doi" şi „dinţi" (rîndul superior şi inferior de dinţi) - şinaim. În limba egipteană antică a existat, iar în limbile unor triburi austra­ liene există încă, alături de forma binară, şi forma ternară. Pe această treaptă de dezvoltare, numeralele au fost pur şi simplu adjective, formate de la denumirile obiectelor care se întîlneau totdeauna în anumite cantităţi. Cu cit activitatea productivă a omului primitiv se complica şi se lărgea tot mai mult, cu atît mai des el era nevoit să numere şi cu atît mai mari erau cantităţile de numărat. Astfel a apărut necesitatea de a lărgi din ce în ce mai mult domeniul numerelor. La început, în acest scop, a servit o simplă repetare a numeralelor inferioare existente. Pe această cale se exprima iniţial numărul multiplu în general, ceea ce s-a păstrat şi pînă astăzi în unele limbi. Astfel, şi astăzi multe triburi australiene, de exemplu cele care locuiesc în golful Cooper, exprimă numeralele astfel [39, p. 26]: 1 - guna, 2 - barkula, 3 - barkulaguna, 4 barkula­ barkula. În unele limbi, forma plural se formează prin simpla repetare, de exemplu în limba hindi: bhai - frate, bhai-bhai fraţi. În astfel de cazuri de exprimare a numeralelor şi în altele ana­ loge, are loc o simplă repetare; nu există motive să vorbim despre „adunare", aşa cum o fac unii cercetători burghezi ai istoriei mate­ maticii, înclinaţi spre o „modernizare" neistorică -substituire a noţiunilor iniţiale prin cele contemporane. O necesitate mult mai mare în evaluări cantitative au impus-o formele de schimb, care au apărut mai tîrziu. Schimbul cu pro­ duse alimentare, cu obiecte de silex, iar apoi cu podoabe, cît timp a existat ginta matriarhală, cu forme embrionare de agricul­ tură şi de creştere a vitelor, a purtat mai întîi doar un caracter sporadic. Mai tîrziu, cînd matriarhatul a fost înlocuit prin patriar­ hat, în timpul păstoritului şi al agriculturii, s-a stabilit un schimb regulat între grupuri, atît între ginţi separate, cit şi între triburi. Iniţial schimbul nu comporta încă tocmeala. Numai treptat schim­ bul a început să se bazeze pe aprecierea valorii produselor schim­ bate. .

-

12

În aceste etape, care în trăsături generale pot fi urmărite, chiar la popoarele actuale aflate pe o treaptă inferioară de dezvoltare socială, compararea obiectelor pentru schimb a fost pur intuitivă şi se făcea prin simpla alăturare în şiruri a obiectelor, unul în faţa celuilalt. Astfel, de exemplu, J. Morgan descrie un procedeu de schimb cu ţipari şi rădăcini între două triburi australiene din sud-estul continentului. Doi bărbaţi, de fiecare parte, aduceau ţipari şi rădăcini pe bucăţi lungi de scoarţă. Apoi ei le transportau pe cap dintr-o parte în cealaltă, pînă cînd întreaga cantitate era schimbată [40]. Rămăşiţe ale acestui procedeu s-au păstrat şi la unele triburi africane, care se află pe o treaptă mult mai înaltă de civilizaţie decît australienii [41, p. 52]. Aceste exemple arată că iniţial în timpul schimbului, cînd se comparau cantităţile schimbate, nu era numărată cantitatea acelor elemente, ci se stabilea, pe cale directă senzorială, o cores­ pondenţă biunivocă între aceste elemente (de exemplu, între ţipari şi rădăcini sau între pîini şi grupuri de cîte 5 beţe). Se înţelege că noţiunea de corespondenţă biunivocă ca atare nu era în acest caz sesizată. A fost necesară o dezvoltare îndelungată a matema­ ticii şi întreaga capacitate de abstractizare a omului pentru ca noţiunea de corespondenţă biunivocă între două mulţimi (din punct de vedere istoric - una dintre primele noţiuni) să fie pusă, în timpul nostru, la baza definiţiei logice a numărului cardinal. Numai după o dezvoltare ulterioară, care a durat zeci de mii de ani, s-a fixat o valoare de schimb mai mult sau mai puţin stabilă, dar şi în acest caz calitatea obiectelor schimbate, masa, dimensiunile, greutatea lor etc. nu jucau încă un rol hotărîtor. Astfel, de exemplu, în Iliada se indică următoarea relaţie: 1 tre­ pied de aramă = 12 tauri = 3 sclave: ,,Repede Ahile mai scoate şi alte osebite cîŞti guri. Pentru al treilea joc, e vorba de-amarnica trîntă. Dăruie, oricui va învinge un vas încercat de jeratic, Mare trepied, socotit după preţ ca de doispre'ce tauri, Pentru bărbatul învins, la mijloc aduce-o femeie Meşteră mare la lucru de mină, în preţ ca de patru Boi preţuită; �i apoi sculîndu-se-aheilor zi ce:" [42, p . 437]

Variaţia valorii în funcţie de calitate a devenit cunoscută şi mai tîrziu şi a contribuit în mod direct la progresul ulterior al numărării şi al ideii de număr. Dar dacă apariţia şi dezvoltarea

13

numărării au lărgit posibilităţile de schimb, şi cerinţele schimbului au contribuit la dezvoltarea capacităţii de numărare a omului. Dezvoltarea ulterioară a numerelor. Necesitatea de a număra cantităţi mari, şi în special de a le ţine minte, a făcut ca procedeul vechi de numărare cu ajutorul repetării numeralelor inferioare să devină inaplicabil. Numerelor superioare le-au fost date denu­ miri speciale. Apar astfel numeralele superioare. Acest proces de formare de noi numerale continua pînă Ia o anumită limită, iar apoi se oprea. Numărul maximal nu mai era 2 sau 3, ci 5, 6 sau 10, 12 şi chiar 20. Cantităţile situate dincolo de numărul maximal erau percepute ca indefinitul „mult"; la nevoie numărarea acestor cantităţi se făcea cu ajutorul repetării noilor numerale inferioare. La unele popoare, acest proces s-a produs de două, uneori chiar de trei ori: la început numeralul cel mai mare a fost, de exemplu, 2, mai tîrziu 5 şi, în sfîrşit, 10 . . Rămîne de lămurit de unde se luau denumirile noilor numerale si de ce anume era determinată limita numărării. ' După cum s-a mai spus, omul primitiv, individualiza obiectele, dădea o denumire, de exemplu, fiecărui cap de vită. De aceea şi numărul era perceput iniţial de către el ca o reprezentare directă a mulţimii, inseparabilă de alte reprezentări, în special spaţiale, de exemplu „pumn", „braţ", „grămadă" şi altele. Aceasta ne-o arată limbile triburilor încă slab dezvoltate. Dar şi într-o serie de limbi mai dezvoltate, cum sînt chineza, japoneza, persana şi altele, există cuvinte speciale, folosite la numărarea obiectelor în funcţie de clasa căreia îi aparţin aceste obiecte. Astfel, în limba chineză între denumirea obiectului şi numeral se introduce tou cap pentru numărarea vitelor şi ca terminaţie a denumirii obiectelor rotunde; bi mîner pentru instrumente; jen rădă­ cină pentru sfori, aţe, brîuri, curele; lin---: pentru alice, picături, obiecte mărunte etc. (43]. În limba rusă, de asemenea s-au păs­ trat cuvinte de numărare în alocuţiuni ca meCTb ]1.ym:u ]1.eTeiI (6 suflete de copii), ITHTb mTyH H6JioH (5 bucăţi de mere), 'ICThlpe HycHa caxapy ( 4 bucăţi de zahăr) ş.a. Aici se vede clar că, în timpul formării ei, noţiunea de număr, care a devenit apoi baza aritmeticii, nu numai că avea un caracter concret, dar nu putea fi separată de noţiunea de măsură care a stat mai tîrziu la baza geometriei. În procesul dezvoltării ulte­ rioare a matematicii, aceste noţiuni se diferenţiază tot mai mult şi în acelaşi timp, de fiecare dată în noua etapă superioară, se produce o unificare a lor. -

-

-

14

Caracterul concret al primelor reprezentări de mulţime numerică este confirmat şi de datele psihologiei copilului, deoarece în pro­ cesul dezvoltării psihice a copilului, la fel ca şi în procesul dez­ voltării istorice a psihicului, se produce o trecere de la un psihic mai puţin dezvoltat la unul mai mult dezvoltat. Din observaţiile asupra copiilor în primele luni din cel de-al doilea an de viaţă, rezultă că o mulţime numerică este percepută de ei în ansamblu ca un întreg, ca o reuniune constantă, dată de natură sau de practică. Caracterul concret al primelor reprezentări de mulţime nume­ rică arată clar că dis.putele asupra faptului dacă numărul era perceput la început ca număr ordinal (de exemplu, „al patrulea") sau ca număr cardinal (de exemplu, „patru") sînt scolastice. Se ştie că elementele primare ale gîndirii pot fi cu acelaşi drept con­ siderate atît ca judecăţi, cît şi ca noţiuni. Elementele primare ale limbii au fost în mod egal şi substantive, şi adjective, şi verbe. Analog, şi reprezentările numerice primare au fost atît ordinale, cît si cardinale. P�rceperea concretă a cantităţii numerice face parte încă din preistoria numărării. Istoria propriu-zisă a numărării începe numai atunci cînd numărarea este însoţită de o manipulare mate­ rială a separării, mutării, adăugării ş.a.m.d., efectuată în mod concret cu obiectele înseşi. Astfel, se ştie despre unele triburi din Africa de sud că cel care numără obiectele atinge fiecare dintre ele pe rînd cu degetele, începînd cu degetul mic al mîinii stingi. Analog procedează şi alte triburi în alte părţi ale lumii. N.N. Mikluho-Maklai [44, p. 280] a descris un procedeu de numărare la locuitorii din Noua Guinee: „Papuaşul îndoaie degetele mîinii unul după altul, emiţînd un anumit sunet, de exemplu, be, be, be„ . Ajungînd la 5, el spune ibon-be (mină). Apoi el îndoaie degetele celeilalte mîini, repetînd din nou be, be„. pînă cînd ajunge la ibon-ali (două mîini). Apoi el merge mai departe murmurînd be, be... pînă cînd ajunge la samba-be şi samba-a li (un picior, două picioare). Dacă trebuie să numere mai departe, papuaşul foloseşte mîinile şi picioarele unui alt ins". Fiecare numărare are astfel, la bază, o numărare mecanică, efectuată cu ajutorul extremităţilor degetelor şi al articulaţiilor. Numărarea cu mina a jucat în dezvoltarea numărării un rol tot atît de important ca şi descoperirea focului în dezvoltarea gene­ rală a omului primitiv. Degetele mîinilor şi picioarelor, care au servit iniţial doar pentru a indica şi a stabili o corespondenţă biunivocă în timpul

schimbului unui obiect pe un alt obiect, s-au transformat apoi în semne pentru a ţine minte cantitatea pusă deoparte - în „înlocuitorii" obiectelor numărate. Astfel a fost deschisă calea pentru formarea şi a altor asemenea „înlocuitori". Cu timpul au început să se folosească pietricele, scoici, care e_rau puse în pro­ cesul numărării deoparte în grămezi, sau crestăturile după numă­ rul animalelor omorîte, sau nodurile pe o sfoară etc. La triburile de vînători, acest procedeu de numărare a lăsat urme pînă în zilele npastre. El s-a păstrat şi sub forma de jetoane, fişe, boabe (mătănii), precum şi de răboaje; nodul la batistă „pentru a ţine minte" este şi el moştenire a acestei epoci. Numărarea pe degete, crearea unor „înlocuitori" senzorial-intui­ tivi ai noţiunilor, a fost un prim exemplu, din punct de vedere istoric, de modelare a unor procese cu ajutorul altora, inclusiv modelarea operaţiilor logice. Această idee - existentă, desigur, doar în germene în procedeul numărării pe degete şi în răboaje - a devenit mai tîrziu o metodă fertilă, care a contribuit la dezvoltarea ştiinţelor naturii. În prezent, o dată cu crearea maşi­ nilor electronice de calcul cu acţiune rapidă, care controlează şi dirijează pe cale automată, aceasta a devenit una dintre ideile fundamentale ale ciberneticii, aducînd o remarcabilă raţionalizare a muncii intelectuale, o adevărată revoluţie în tehnică. Se ştie că o serie de limbi utilizează pentru denumirea unor numerale termeni asemănători cu aceia ai mîinii, piciorului ş.a.; de exemplu, în limba rusă IUITb şi ITHCTb (pumn în limba slavă veche); lima în limba malaieză înseamnă în acelaşi timp şi mină şi cinci etc. Se ştie, de asemenea, că 'Cele mai răspîndite sisteme de numeraţie sînt sistemele cu bazele 10 şi 5. Toate acestea au contribuit la formarea unei concepţii greşite, larg răspîndită, care identifică apariţia numărării pe degete cu apariţia noţiuni­ l'or cantitative în general. După cum am văzut, însă, au fost nece­ sare zeci de mii de ani pentru ca omul să se ridice de la primele noţiuni referitoare la cantitate pînă la numărarea pe degete. O altă explicaţie greşită a originii numeralelor o propune teoria subiectiv-idealistă a lui Lippert (45]. Acesta ·afirmă că nume­ ralele „unu", „doi", „trei" provin de la pronumele personale „eu", „tu", „el"; explicaţia ar fi că omul primitiv şi-ar fi concentrat toate gîndurile sale asupra lui însuşi, opunîndu-se pe sine ca „unitate" noţiunii indefinite de mulţime ş.a.m.d. Lipsa de fun­ dament a acestei concepţii, care atribuie omului primitiv o încli­ naţie - improprie lui - de autoobservare, se Yede şi din faptul

16

ca rn mc 1 una dintre cele o mie de limbi cunoscute nouă nu se poate urmări pretinsa înrudire dintre numera le şi pronume. Tot greşită este şi teoria „biologică" a lui Wundt (46], care afirmă că sistemele de numeraţie cu bazele 2, 4 sau 8 ar fi apărut ca rezultat al înmulţirii, atunc i cînd tribul, răspîndindu-se pe o regiune mai întinsă, se împărţea în mod firesc în două părţi ce se deosebeau î ntre ele prin totemul lor . Or, necesitatea numă­ rării exista deja de mult în sînul tribului; ea era determinată de posibilitatea de a face provizii şi de priceperea de a păstra produse, de existenţa producţiei pentru desfacere , a schimbului primitiv şi a u nei cantităţi suficiente de produse de acelaşi tip, şi nic idecum n u era legată doar de împărţirea tribului, care a ap�rut - după cum se ştie - mult mai tîrziu . ln sfîrşit, Cajori „explică" deosebirile în sistemele de numeraţie la diferite popoare , pornind de la „teoria" pseudoşt iinţific ă a raselor „superioare" şi „inferioare" . EI declară c ă „sistemele cu baza 5 şi 20 se întîlnesc cel mai frecvent la rasele inferioare , în timp ce popoarele aflate pe o treaptă mai î naltă , de obicei, evitau primul dintre aceste sisteme ca fiind prea sărac , iar al doi lea ca fiind prea greoi" (11]. După cum vom arăta mai de­ parte, această afirmaţie contrazice faptele istorice. O dată cu dezvoltarea condiţiilor soc ial-economice a crescut tot mai mult şi capac itatea de gîndire abstractă a omului. Tot­ odată, se pierdea treptat caracterul concret iniţial al numeralei .or . C uvîntul care însemna pînă atunci atît obiectul concret , cît Ji numeralul păstra acum numai cea de-a doua semnificaţie . ln acelaşi timp, diversitatea extremă în denumirile numeralelor, care a existat în economia primitivă, se ştergea treptat . Ca rezul­ tat , denumirile numeralelor a u devenit univoce (cu excepţia fenomenului amintit mai sus al cuvintelor de numărare şi a genurilor numera lelor după clase, nu se observă s inonime printre numerale) ; în l i mbile popoarelor etnic înrudite numeralele consti­ tuie, de regulă , elementul cel mai net exprimat , comun acestor limbi (de exemplu , în limbile indo-europene) (46, p . 82; 49, p . 409]. Astfel s-a stabilit, deşi foarte lent , î n limitele tribului sa u ale unei reuniuni de triburi , o anumită ordine printre numerale legate între ele, datorită existenţei în acest sistem a unui număr maximal. Este vorba de numărul care a reprezentat iniţial limita numărării în general. El însuşi, sau numărul ce urma , neavînd o denumire, sau fiind denumit „pulbere", „stele" , era iniţial echiva lent cu noţiunea de „mult" . Această unitate superioară s-a transformat apoi în baza sistemului de numeraţie . Numerele ce 2

-

Istoria

matematicii

în

antichitate

17

depăşeau această bază se exprimau cu ajutorul acesteia şi cu aj utorul numerA alelor inferioare . Aceasta se putea rea liza în mai multe feluri . ln unele cazuri , de exemplu în limba franceză, pentru 17, 18, 19 se numea mai întîi baza , iar după ea numAe­ ralul inferior corespunzător (18 - dix-huit, adică „zece-opt") . ln alte cazuri , la început se numea u numeralele inferioare, iar apoi haza , aşa cum aceasta se întîmplă şi în limba rusă : eoce�ma8Zfam& - din „opt spre zece"1 . Cele două cazuri c itate d iferă nu numai prin ordinea succesiunii numera lelor (cea de-a doua ordine , cînd unitatea superioară precede pe cea inferioară este mai răspîn­ dită) , ci şi prin aceea că în primul caz numeralele se pun pur şi simplu unul lingă altul, în timp ce în al doilea caz ele sînt legate prin conjuncţia „spre" (sau , de exemplu, în limba ger­ mană prin und - „şi") . Î n toate aceste cazuri, cu ajutorul cuvin­ telor se exprimau aici operaţii pe care omul Ie efectua pe dege­ tele uneia sau ambelor mîini , uneori şi ale picioarelor . . D e obice i , î n timpul numărării pe degete, fiecare deget repre­ zenta o u nitate şi numărarea se făcea mai întîi pe degetele mîinii stingi cu ajutorul degetelor mîinii drepte , şi numai după ce degetele mîinii stîngi erau epuizate , numărarea trecea la mîna dreaptă , unde ea începea cu degetul mare . Astfel, de exemplu, cînd un zuluş vrea să exprime cifra 6, el spune tatizitupa, ceea ce înseamnă „a ' lua degetul mare al mîinii" . Nu este greu să ghi­ cim că cel în cauză a numărat toate degetele de la mîna stîngă şi a foceput acum cu degetul mare al mîini i drepte . Pentru a comu­ nica faptul că stăpînul său a cumpărat şapte b ivoli, el spune u combile, adică „el a arătat" . Aceasta înseamnă că în timpul numărării stăp înul a ajuns pînă la degetul arătător [49, p. 184.]. Deşi procedeul de numărare cu mîna - indicat aici - era predominant , existau totuşi popoare la care drept unităţi ale operaţiei de numărare au fost (şi chiar s-au păstrat parţial pînă astăzi) utilizate articulaţiile degetului . Astfel, de exemplu, coroa­ doşii din Braz ilia numără din trei Îff trei după numărul articula­ ţiilor de pe fiecare deget al mîini i stingi (fără degetul mare), adică pînă la 12. Apoi fiecare deget al mîinii drepte (inclusiv degetul mare) înseamnă 12, datorită cărui fapt numărarea merge pînă la 60. Î n cazurile în care numărarea se făcea pe degetele întregi şi acest procedeu de numărare a fost cel mai răspîndit - limita temporară a numărării a fost, fireşte, numărul degetelor fie de 1

Analog ca în

limba romînll

-

N.T.

18

la o singură mină ( uneori fără degetul mare) , fie de la ambele mîini, iar uneori de la mîini şi de la picioare luate împreună . Î n modul acesta , ca bază a numeraţiei deveneau cel mai frecvent numerele 5, 10 sau 20 şi mult ma i rar 4 sau 9. Uneori , după terminarea numărării pe degetele mîinii stîngi , se adăuga şi mîna î ntrea gă ; astfel a putut să apară sistemul cu baza 6. Nu este e xclusă şi o altă posibilitate : s-ar putea ca acest sistem să provină din încrucişarea a . două sisteme mai vechi cu hazele 2 şi 3, la fel cum sistemul cu baza 12 putea fi obţinut prin încrucişarea siste­ melor cu hazele 3 şi 4. Dacă după terminarea numărări i pe degetele ambelor mîini se includea şi întreaga mină (dreaptă) , at unc i apăreau sisteme cu haza 11, de exemplu, la locuitorii din Noua Zee landă, în limba cărora există cuvinte pentru 11, 112 şi 1i3 şi unde 12 se exprjmă ca „11 cu 1", 1 3 ca „11 cu 2" , 22 ca „de două ori 11" etc . lnsă sistemele cu baza 9 şi 11 se întîlnesc rar. Se înţelege c ă sistemele de numeraţie c u b'lză mai mare au apărut mai tîrziu decît cele cu bază mai mică. Datorită dezvol­ tării legăturilor între diferite triburi, datorită dezvoltării schim­ bului dintre ele, denumirile numeralelor şi sistemele de nume­ raţie s-au unificat . S-a constatat că sistemele cu bază mai mică (cu baza 2 sau 5) sînt mai puţin utile decît sistemul zecimal, deoarece în ele chiar numere relativ mici se exprimă destul de greoi. Pe de altă. parte , şi sistemele cu bază mare , ca sistemul cu baza 20, n-au găsit o justificare în pract ică, deoarece ele nece­ sitau memorarea unui mare număr de c uvinte - denum iri ale numerelor i nferioare . Î n modul acesta , în procesul selecţiei natu­ rale , în marea majoritate a cazurilor a triumfat sistemul d·e numeraţie cu baza de mărime „mijlocie" - sistemul de numeraţie zecimal. Aceasta înseamnă că răspîndirea mai mare a acestui sistem nu co nstituie de loc o mărturie că popoarele care îl folo­ sesc aparţin rasei „superioare" . Dimpotrivă , în limbile acestor popoare e xistă dovez i că pe vremuri ele au folosit sisteme de numeraţie proprii doar aşa-numitelor rase „inferioare" . Observăm , de asemenea , că deşi sistemul zecimal este mai comod decît s istemul cu baza 5 sau 20, el este inferior siste­ mului cu baza 12. Din punct de vedere pur matematic acesta din urmă este mai avantajos , deoarece baza sa ( 12) se împarte prin 3 şi 4 şi datorită acestui fapt este uşor de făcut operaţi i cu împăr­ ţirile frecvent întîlnite ale cercului şi timpu lui. Sistemul cu baza 12 se întîlneşte la unele triburi din Africa centrală ; o rămă­ şiţă a lui este numărarea în duzini, în duzini de duzini grosse, -

2•

19

duzini de g rosse - masse, pentru lenjerie , vese lă , mărfuri de papetărie . In prezent, sistemul binar, complet incomod pentru viaţa de toate zilele , este folosit cu avantaje enorme în construc­ ţia maşinilor electronice de calcul cu acţiune rapid ă. Deşi scrie­ rea unui n umăr în sistemul binar necesită în medie de trei ori ma i multe semne (O şi 1) decît scrierea aceluiaşi nu măr cu aj utorul celor zece semne ale sistemului zecimal, acest neajuns este com­ pensat de faptul că maşina nu scrie semnele . Î n maşină, c ifrei O îi corespunde absenţa impulsului electric , iar � ifrei 1 - prezenţa lui , şi astfel numărul impulsuri lor care se formează în tubul electrtmic se ridică la sute de mii pe secundă. Prin reunirea sistemelor de numeraţie a păreau uneori sisteme mixte cu două baze , c a , de pildă, la unele triburi de indieni din America de nord - sistemul cu baza 5 şi 10. Urmele trecerii treptate de la sistemele de numeraţie cu bază mică la sistemele cu bază ma i mare sînt vizibile şi în limbile popoarelor civil izate actuale . Astfel, în limba rusă, o mărturie a faptului că nume­ ralele „unu", „doi" au o origine mai veche este faptul că, spre deosebire de celelalte numera le care nu se schin:bă după gen, primele a u genul mascul in, feminin şi neutru (în limba latină aceasta se referă şi la numeralul „trei") , ad ică sînt privite ca adjective . Faptul că î n limba rusă numeralul „40" (copoii,) nu se formează prin analogie cu numeralele „30", „50" etc . , ci se exprimă printr-un _ numă­ cuvînt aparte, arată că înainte în Rusia a fost răspînd1tă rarea din patruzeci în patruzec i şi o !eminiscenţă a acestui obicei s-a păstrat în numeralele actuale. ln adevăr , se ştie că sobolii (samurii) se v indeau cîte patruzec i, şi nenumăratele alocuţiuni ce s-au păstrat arată că copoii, („40"), fiind baza numeraţie_ i , era folosit totodată si ca „număr maximal" în sensul unei multimi nedefinite [50, p '. 28]. În legătură cu faptul că la alte pop �are slave nu există această particularitate legată de numeralul 40, precum şi din ca uză că ea se întîlne�te în limbile unor popoare în contact cu ru şii , se presupune că sistemul de numeraţie cu baza 40 a pătruns în Rusia dinafară. Alocuţiunile păstrate, care atribuie numărului 7 semnificaţia unei mulţimi nedefinite , de exemplu , C.Mepo oâuoeo ue ;m;âym (şapte nu-l aşteaptă pe unul), dovedesc (dac ă ele nu sînt împrumutate) că şi numărul 7 era privit cîndva de către vechii slavi ca situat dincolo de limitele sistemului de numeraţie , probabil cu baza 6. Uneori, dar pe trepte mai îna lte de dezvoltare , în sistemul de numeraţi e, pentru formarea numeralelor ce depăşesc baza , se 20

folosea nu adăugarea, c i scăderea. numerelor inferioare . Î n nume­ raţia rusă există şi această particularitate, deoarece numeralele 21, 30, . . , 80 se formează prin adunare , în timp ce 90 cu ajutorul scăderii. Nu se spune âeeJim&âec.n'f!'-, ci âeeiuwcmo , adică „ nouă (al nouălea zece) pînă la sută" . ln multe limbi uralo-altaice , de exemplu, „ nouă" se înţelegea ca „unu din zece" ; în limba latină 19 es te unadeviginti, adică „unu din douăzeci". La fel în sanscrită şi greaca veche . Dezvoltarea mai departe a sistemului de numeraţie este legată de reprezentarea lui cu ajutorul sem­ nelor, în particularităţile scrisului . Studiul răspîndiri i geografice a diferitelor sisteme de numeraţie ne permite să descoperim unele legităţi . Dacă ţinem seama de orînduirile socia l-economice ce domneau într-o regiune sau alta , atunci ipoteza că sistemele cu baza 5 au apărut în perioa da ma­ triarhatului , iar cele mai complexe - cu baza 10 şi 20 în perioada patriarhatului, devine mult mai probabil ă. Materialele arheologice, etnografice şi lingvistice nu ne dau însă , deocamdată, baze suficient de sigure pentru a lega diferite etape de dezvoltare a sistemelor de numerale, şi a noţiunii de număr în general, de perioade mai scurte de dezvoltare a societăţii. .

-

Exprimarea grafică a numerelor. Î ncă pe treptele relativ tim- . purii de dezvoltare a culturii primitive, lllături de vorbirea sonoră, omul a folosit nu ' n umai gesturile ce o însoţeau şi care e xprimau în primul rînd emoţiile sale , ci a exista t şi un limbaj sui- generis al semnalelor. Prin semne pe nisip sau prin însemnări pe trun­ chiurile şi ramurile copacilor, vînătorul care urmărea vînatul arăta semenilor săi direcţia. Sunetul tobei , fumul focului şi a1tele transmiteau informaţii uneori pe distanţe foarte mari . Un tomahawk1 ori o sfoară cu noduri pe care o aducea un vesti­ tor dint:-un grup tribal în altul anunţa războiul, vînătoarea sau altele . ln toate aceste cazuri, de altfel ca şi în vorbirea orală, unde între expresia sonoră de „piatră" şi obiectul piatră nu există nici o asemănare, ideea se transmitea cu ajutorul semnelor con­ venţionale, al simbolurilor. Obişnui nţa cu un astfel de „limbaj al simbolurilor" a provocat destul de timpuriu apariţia diferitelor procedee de înregistrare grafică a numerelor . Fără aceasta nu se mai putea face faţă cerin­ ţelor. O dntă cu dezvoltarea economiei, cu posibilitatea şi ne­ cesitatea de a face rezerve , precum şi cu dezvoltarea schimbului, 1

Securea de război a piei lor roşii.

21

-

N .R.

trebuiau nu numai numărate, ci şi ţinute minte cantităţile numă­ rate . I niţial, cel mai bun procedeu pentru a ţine minte numerele era număratul pe degete . Să ne imaginăm omul primitiv . lată, el a numărat pînă la 6, adică pînă la degetul mare al mîinii drepte . Pentru a memora acest număr , era suficient să ţină minte acest deget şi atunci el putea restabili totdeauna A , repetînd numărarea pînă la acest deget , numărul numărat . Insă degetele nu erau singuri i „înlocui­ tori" ai obiectelor numărate . Crestături pe un băţ sau os, o legă­ tură de nuiele , o grămadă de pietricele sau scoici puteau repre­ zenta numărul fiarelor ucise . Î n 1937, în Cehoslovacia (satul Vestonice din Moravia), săpă­ turile arheologice au scos la iveală un os radius al unui lup tînăr , provenind din epoca paleolitică, avînd o lungime de 18 cm pe care sînt 55 de crestături adînc i , paralele. Primele 25 dintre ele sînt grupate cîte 5, după care şirul se termină cu o crestătură de două ori mai lungă decît celelalte . Apoi , iarăşi printr-o crestă­ tură lungă începe un al doilea şir de 30 de crestături . Acest docu­ ment matematic - cele mai vechi înregistrări numerice ale omu­ lui de peşteră - este un prototip al răbojului , al beţişoarelor de numărat care sînt larg folosite pînă astăzi de către triburile de vînători din extremul nord al Siberiei şi Americii . Se înţelege că de la gruparea crestăturil'ilr cîte 5 nu era greu de trecut la intro­ ducerea unui semn special pentru 5, care , iniţial , a şi servit ca reprezentare acestor trăsături . Î n alte cazuri , de exemplu , la incaş i (vechi popor cult din Peru) , locul răbojului îl deţineau nişte şnururi colorate cu noduri (quipos). Din acestea se alcă­ tuiau în statul incaşilor colecţii întregi, corespunzătoare registre­ lor noastre de contabilitate . Un şnur roşu servea pentru numă­ rarea ostaşilor, alb - pentru număratul argintului, verde pentru nu m ăratul pîinii . Nodurile aveau semnificaţia 1, 10, 100 şi 1 OOO după gra dul de complicare a lor . Nu totdeauna este posibil să indicăm în mod si gur originea fiecărui semn n umeric în parte. La fel ca şi în problema originii denumirilor diferitelor numera le într-o limbă sau alta , ne aflăm aici în domeniul ipotezelor. Astfel, de exemplu, se afirmă că cifra patru din limba arabă arba a provenit de la cuvîntul ce exprima noţiu nea de „patruped". Ca dovadă a acestui fapt , se citează înrudirea acestui cuvînt c u verbul raba' a care înseamnă „a paşte" şi „a merge la· trap". Puterea de convi ngere a acestor 22

ipoteze depinde de certitu­ dinea tezelor unei direcţii sau alta a lingvist icii comparate , care s e află l a baza lor ; d e aceea este destul d e îndoielnic ă. N u toate sînt însă atît de inc erte . Putem, de exemplu, afirma cu certitudine că cifrele noastre 1, 2 şi 3, ir.dependent de că ile istorice prin care ele au ajuns Ia noi (despre aceasta va fi vorba ma i tîrziu) , a u apărut din scrierea prescurta­ tă a una, două şi tre i trăsă ­ turi . C ifrele romane pentru aceleaşi numer e reproduc tră­ săturile fără vreo schimbare . Cunoaştem exemple ce arată o altă origine a cifrelor : pro­ babil că cifra romană „cinci" a apărut prin simplificarea l].i eroglifei ce reprezenta mîna . l n sfîrşit, u n exemplu de-a l treilea fel de origine a cifrelor ni-I dă cifra romană „100" ( C), care reprezi ntă iniţiala latin centum. numera lului Cele trei mod uri de proveni­ enţă a numera lelor - din înFig. 1. Oase c u crestături semnări, din h ieroglife şi din litere (care , după cum se ştie, ele însele au apărut din hieroglife) -se întîlncsc Ia diferite popoare din diferite etape istorice. Uneori, aşa cum arată exemplul cu cifre romane, în sistemul definitiv stabilit de notaţie a nume­ relor sînt reprezentate toate cele trei moduri citate mai sus. O hieroglifă care înseamnă un număr nu diferă prin nimic esenţial de o hieroglifă care înseamnă orice altă noţiune . Sem­ nele numerice au apărut în maj oritatea cazurilor împreună cu o altă scriere hieroglifică, mai e xact pe baza e i . Aceasta înseamnă că ele sînt de o ori gine mai tîrzie decît acele cifre ce au provenit di n însemnări . Aproape la toate popoarele (în afară de chinezi), 23

scrierea hieroglifică iniţială , în care fiecare semn reprezenta·. o noţiune , a fost înlocuită în limbaj printr-o scriere pe sunete : silabică , ca în l imba iaponeză (folosită aici împreună cu hiero­ glife) , sau pe litere, ca în limba rusă. Unii cercetători , de exemplu M . Cantor, se m iră că scrierea cifrelor a rămas hieroglifică - fie­ care cifră înseamnă o noţiune întreagă . Aceasta se explică însă foarte simplu prin faptul că hieroglifa - semn al numărului serveşte nu numai pentru nGtaţia lui , c i este legată şi de operaţii B;supra numere lor . Pentru operaţiile matematice însă o hieroglifă scurtă , uşor vizibilă, este incomparabil mai folositoare decît cuvîntul scris cu litere . D i n aceeaşi cauză , în matemat ică , în dezvoltarea ei ulter ioară , se observă chiar - după cum vom mai vedea - o tendinţă direct opusă dezvoltării celeilalte scrieri : dacă ma i înainte operaţiile matematice se scriau prin cuvinte , mai tîrziu ele au început să fie notate prin si mboluri speciale, în genul semnului de egalitate a semnului + pentru adu­ nare etc. Apariţia operaţiilor matematice. Posibilitatea de a nota şi de a ţine minte numerele - fie cu ajutorul degetelor, al pietrice­ lelor sau, cu atît mai mult , cu cel al scrierii - a contribuit extrem de mult la dezvoltarea gînd irii matematice în general şi a operaţiilor matematice, în special . Nu este întîmplător faptul că cuvîntul lat i n ca lculare (a socoti), de unde îşi trage originea cuvîntul nostru „a calcula" , provine de la calculus - p ietricică , de la care mai provin: denumirea lat ină a varului (calcum) şi denumirea e lementului chimic calciu. Dar chiar însuşi cuvîntul „număr", după cum afirmă lingvistica comparată, este înrudit cu cuvîntul latin ciselare (a cizela, a grava) şi are cu acesta o origine co mună de la „a face crestături , însemnări" . Î nsăşi operaţia de numărare reprezenta multă vreme o opera­ ţie grea şi istovitoare . Pînă astăzi unele popoa �e , aflate şi în prezent pe treptele i nferioare de dezvoltare , fac numărarea numerelor mari astfel : un om marchează pe de getele amhelor mîini unităţi le , al doi lea - zec ile, al treilea - sutele. Timp de m i leni i , singurele operaţii matemat ice au fost aduna­ rea şi scăderea (cînd descăzutul este mai mare decît scăzătorul) a unor numere mici . Treptat , a apărut şi înmulţirea , la început ca dublare, ceea ce este clar ind icat de matemat ica egipteană în care înmulţ irea se reducea la o combinaţ ie între dubl are şi adu­ nare . 24

Î nmulţirea , ca adunare repetată , dădea un rezu ltat echivalent cu ce l al „rotaţiei" multiple , cu cel al produsului dintre lungime şi lăţime . Nu este întîmplător faptu l că la sumerieni drept mă- · sură a arie i servea , alături de o bandă pătrată , şi o bandă. dreptun­ gh iulară avînd un cot în lungime şi un ţol în înălţ ime . ln modu l acesta , apariţia înmulţirii a fost condiţionată de naşterea agri­ culturii şi era iniţial legată de reprezentările geometrice . Aceste reprezentări geometrice îşi puneau amprenta şi pe noţiuni pur arit­ metice , de exe mplu , „numerele pătrat ice" , „nume rele triunghiu­ lare" şi altele . Ana log s-au petrecut lucrurile şi la egipteni şi ba­ bi lonieni ; ultimii denumeau, de e xemplu , produsu l a-.M, adică arie . Autorii opere lor matematice în lim fia arabă d in evu l med iu nu­ mesc , de asemenea , produsul „suprafaţă" (sath) , avînd în vedere un dreptunghi . Mult mai tîrziu decît înmu Iţirea a apărut împărţirea . Desigur noţiunea de 1/2 a apărut relativ timpuriu . Ea nu a fost însă le­ gată de număru l 2 . Aceasta se poate verifica uşor : aproape în toate limbile , la fel ca şi în limba rusă 1 , cuvintele „jumătate" şi „doi" nu au rădăcină comună . Faptu l că împărţirea este o ope­ raţie inversă înmulţirii s-a stabilit numai ca rezu ltat al unei înde lungate dezvo ltări a gîndirii matematice . O dată cu operaţia de împărţire au apărut şi si stemele de nu­ meraţie care o foloseau alături de înmulţ ire şi adunare . As tfe l se face numărarea în limba daneză , unde pînă la 49 se foloseşte sistemul zecimal, iar mai departe sistemu l cu haza 20 , un număr i mpar de zece exprimîndu-se ca jumătate din numărul par vecin de 20 . De exemplu , 20-ty11e , 60-trensindsty11e (adică „de trei ori 20") , 50-hal11tren.�inds ty11e (adică „jumătate din al tre ilea 20") . Ceva analog există şi în limba rusă , cînd se spune nOJimopa (adică noA emopa, „jumătatea număru lui doi") . Se spunea de asemenea 1 1 1 2 - , nOJl'!lepmeepma noAmpembJ/. 3 - , noJtnsma = 4- etc. =

=

2

2

2

Astăzi aceasta s-a păstrat în denumirile timpului. De exemplu în expresiile noA emopozo (ora unu şi 30 min) , nM mpemezo (ora două şi 30 min) etc. Din această perioadă ma i tîrzie face parte şi apariţia noţiunii . 1 1 de fractie - , - etc. D upa- cum se ve d e d'1n cuvinte le care ex, ·

3

4

primă aceste noţiuni , ultimele, spre deosebire de _!_, erau deja le2

1 Şi

în

limba romînă.

-

N.T.

25

gate de noţiunile de numere întregi corespunzătoare 3 şi 4. Apari­ ţia operaţie i de împărţire şi a noţiun ii de fracţie este s.trîns le­ gată de procesul de măsurare , care s-a dezvoltat din necesităţile materiale ale societăţii deja apreciabil dezvoltată . Apariţia noţiunilor geometrice. Gînditori i idealişti afirmă , de obice i , că reprezentările şi noţiunile geometrice , fi ind mai con­ crete decît noţiunile pur cant itat ive, ar fi apărut datorită faptu lu i că noţiunea abstl'actă de număr , dată omului apriori (înaintea oricărei experienţe material�) , a început ulterior să fie aplicată pentru măsurarea mărim i i . l n rea litate , la fel ca şi noţiunea de număr ş i o dată cu ea , cel4! mai simple reprezentări geometrice au apărut d in practica materială . Cond iţi ile de producţ ie chiar ale cele i mai prim itive producţ i i , iar mai tîrziu şi ale sch imbului , cereau măsurarea mărimi lor spaţiale , î n primele stad i i , fie ş i cea mai imprecisă . Drept unităţi de măsură , foarte grpsolane şi insta­ bile , se foloseau frecvent une le părţi a le corpu lui u man . Denumiri ca „cot" , „ta lpă" (a piciorului), „stînjen" (ceea ce poate fi cuprins : dista nţa dintre extre mităţile degetelor mîini lor întinse latera l) , „ţol" (în germa nă Daumen degetul mare , lăţ imea acestui de­ get), „picior" ( în englezeşte este foot p icior, talpă) etc . ne con• ving cît se poate de b ine de aceasta . Î ncă în epoca celei de-a doua perioade de glaciaţie omul fabrica unelte „geometr izate" - plăci de silex avînd forma unui triunghi, romb sau trapez. Aceste forme regu late au apărut treptat, ca fiind cele mai potrivite, cele ma i adaptate unui proces de muncă sau altul, efectuat de cuţitul de silex, răzuitor, topor ş . a . m . d . Dezvoltarea reprezentărilor geometrice a înaintat c u adevărat o dată cu naşterea olăritului ş i a ţes11t ului, a tehnici i construc­ ţiilor, o dată cu apariţia artelor. Rămăşiţe ale vaselor din epoca paleolitică , coşuri, vîrşe , plase şi ţesături ne conduc la convin­ gerea că, la oamenii primitivi din această epocă, simţul geometric era deja puternic dezvoltat . Ei îşi orna mentau produsele cu com­ binaţii complicate de triunghiuri , spirale dreptunghiulare repe­ tate ( meandre) ; cercuri, spira le . Analizînd unele dintre aceste ornamente geometrice, recunoaştem în ele figuri stilizate de ani­ male şi oameni ; probabil c ă aceasta avea o legătură cu concepţia a ni mistă asupra lumii, ce s-a născut în acea epocă. S-ar părea curios că în ornamente găsim egalitatea, asemănarea şi simetria figurilor. Doar sub formă abstractă , aceste noţiuni nu existau încă , desigur, la oamenii primitivi. O asemenea construcţie armo­ nioasă a figuri lor nu era rezultatul raţionamente lor , ci o conse-

-

26

·

cinţă a spiritului de imitare ; aici s-ar putea să-şi fi exercitat i nfluenţa repetarea mişcărilor ritmice ale act ivităţ i i de producţie (de exemplu, săpatul, semănatul şi altele ) , ale jocuri lor, imitar�a formelor variate ale naturii, ritmul net repetat al dansului . l n perioada ma i tîrzie, î n orna mentele geometrice au apărut şi raporturi numerice, de exemplu , sub forma împărţirii unui triunghi mare în triunghiuri mai mici sau sub forma umpleri i unui triunghi c u cercu leţe , aşezate regulat pe rînduri. Astfe l sînt imprimate , de exemplu, „numerele triunghiulare" 1 ; 3 = 1 + 2 ; 6 = 1 + 2 + 3 ; 1 0 = 1 + 2 + 3 + 4 etc . , cărora li se atribuie un sens „magic" . Transformarea numerelor în fet isuri a urmat aceea si cale cu cea descoperită de Marx pentru a pariţia fetişismului Î n genera l - formă iniţială, din punct de vedere istoric, a credi nţei reli­ gioase . Noţiunea de număr - rod al activităţii de abstractizare a creierului uman - a fost transformată apoi într- o esenţă de sine stătătoare , s uprasenzorială. Mai întîi omul a căpătat noţiunea de număr ca abstracţie a lucrurilor individua le . Pe urmă a rupt numărul de lucruri şi l-a opus acestor lucruri . Şi cînd numărul a apăr ut în faţa lui ca o abstracţie lipsită de e le ment senzoria l , omul s-a mirat ş i i-a atribuit capacitatea fantast ică d e a aduce fericire sau nefericire . Istoriografia burgheză a matematicii cult ivă „teorii" asupra provenienţei noţiunilor matematice din gîndirea „magică" şi asupra i nterpretări i mist icii ca motor al dezvoltări i matemat icii. Î n realitate , fet iş izarea noţiunilor matematice a apărut nu la originea lor , c i o dată cu apariţia schimbului . Ea rămînea întot­ deauna un produs secundar al dezvoltării matematicii - i nfluenţa ei asupra acestei dezvoltări nu a jucat nic i un rol hotărîtor . Co nstrucţia locuinţelor pa lustre în Europa de nord, a mari lor locuinţe ale indienilor a merica n i şi alte construcţi i nu se puteau efectua fără cunoaşterea practică a germenilor de mecanică (sta­ t ică) , fără priceperea de a duce drepte şi linii vert ica le , de a trasa drepte sub un unghi drept . Aceste operaţii s-au efectuat cu ajutorul întinder i i unor sfori : grecii antici chiar îi denumeau a stfel pe geometrii egipteni: harpedonaptai - întinzători de sfori . Denumiri ana loge e xistau ş i în limbile asiriană şi arabă. Con­ cepţia despre linia dreaptă este strîns legată şi de împletit, ş i de ţesut , ceea ce n e indică, d e exemplu, înrudirea cuvîntului linia ( limba latină) cu denumirea i nului (cuvîntul latin linum , care însemna şi fir de in, şi pînză , de unde linoleum). 27

Dar o i nfluenţă deosebit de· puternică asupra dezvoltări i con­ cepţi ilor geometrice a exerc itat-o, atunci cînd a a părut, a gricul­ t ura . Dacă tehnica olăritului , ţesutului, precum ş i tehnica con­ strucţi ilor cerea u , în primul rînd, măsurarea lungimilor, pentru a gricultură e.ra necesară măsurarea ari ilor şi a volumelor . Erau măsurate ari ile parcele lor de teren , capacitatea vaselor şi a ham­ barelor, volumul pămîntului scos cu ocazia săpăturilor . Ştim, din documentele cuneiforme ale sumerienilor şi babilonieni lor, că unităţi le de măsură ale ariei şi ale vo lumului au fost , în timpul apariţiei lor, strîns legate de necesităţile materiale a le socie­ tăţii . Se constată că hieroglifa noţiunii de „arie" este identică cu hieroglifa „ca ntitate de grăunţe" (necesară pentru semănat pe aria respectivă) ; hieroglifa noţiunii de „volum" - identică c u hieroglifa „grămadă de pămînt" (scoasă î n timpul lucrărilor de irigare) . Măsura de volum rusă eefJpo (căldare , baniţă) de aseme­ nea arată caracterul practic concret al originii măsurilor spaţiale . Astronomia primitivă şi importanţa ei pentru matematică.

Chiar triburile de nomazi crescători de vite, primitivi , aveau nevoie de orientare în timpul migraţiuni i pe cîmpi i întinse. Astfel au înce p ut observaţiile lor asupra mişcări i stelelor. Schi mbarea z i le i şi a nopţ i i , precu m şi a a notimpurilor a fost incontestabil observată încă de omul din epoca de piatră. Ea le-a permis, dato­ rită repetări i (a lterna nţe i) sale regulate, să prezică măcar apro­ ximativ apariţia t impului rece , nefavorabil, sau a timpului cald, favorabil. E drept că, aşa cum arată observaţi ile asupra locui­ torilor din pădurile tropicale, ei atribuie o importanţă relativ mică alternanţei zilei şi nopţi i , care nu este bine sesizat l'i acolo. De aceea , nu p utem fi de acord cu afirmaţiile după care deter­ m i narea şi măsurarea timpului ar fi j ucat un rol hotărîtor chiar în apariţia noţiunii de număr. Influenţa lor s-a manifestat abia pe treptele ma i înalte ale dezvoltării soc iale. O dată c u trecerea la agricultură, germenii c u noşt inţelor despre m işcarea aparentă a Soarelui, a Lunii şi a stelelor au devenit necesari pentru progra­ marea lucrări lor de cîmp. Astfe l, încă în epoca primit ivă a păsto­ ritulu i , a apărut ca lendarul lunar. Dezvoltarea schimbului , şi în legătură cu aceasta şi a navigaţiei, a dus la o perfecţionare mai departe a cunoştinţelor astronomice, extre m de importante pentru orientarea pe mare . Cunoştinţele astrono mice nu sînt însă de i maginat fără dezvol­ tarea cunoştinţelor matematice . Observarea bolţ i i cereşti , la început întîmp lătoare , iar u lterior tot mai sistematică, a dus la 28

c unoa şterea proprietăţi lor sferei , cercului şi a direcţi ilor unghiu ­ lare . E drept că cercul, sub forma discului olarului şi a r«:!ţii de căruţă, a fost cunosc ut şi mai îna inte de multe popoare . lnţele­ gerea astrono m ică a cercului însă, ca o linie imaginară , împăr­ ţită apoi în părţi egale, în care au fost trasate coarde etc . , a fost incontestabil mai profundă. O dată c u naşterea astronomiei , noţiunile geometrice s-au extins asupra întregului spaţiu tridi­ mensiona l , în timp ce înainte , dacă facem abstracţie de măsu­ rarea volumelor ce lor mai simple, ele se mărgineau în esenţă numai la _pla n (bidi mensiona l) . ln modul acesta s-a încheiat prima perioadă de dezvoltare a matematicii legată de societatea primit ivă fără clase - perioada de apariţie a noţiunilor ei fundamentale, cele ma i simple. Apa­ riţia şi dezvoltarea matematicii în acest stadi u iniţial au fost confirmate pe deplin de teza expusă de Engels în A nti- Dilhring : „Ca ş i toate ce lelalte ştiinţe , mate matica s-a născut din necesi­ tăţile practice a le oamenilor : din măsurarea loturi lor de pămînt şi a capacităţii vaselor, din calcularea timpului şi din mecanică" [2, p . 48] .

C A P I T O L U L

II

MATEMATICA ÎN SOCIETATEA SCLAVAGISTĂ PREMERGĂTOARE VECHILOR GRECI

Societatea sclavagistă timpurie. Î ncepînd c u mileniul al VI-lea î . e . n . pe o regiune enormă, d in Egipt (în apus) pînă în China .(în răsărit) , avea loc treptat descompunerea orînduirii comunei primitive . O dată c u trecerea de la uneltele de piatră la uneltele de aramă şi bronz , iar apoi la u neltele de fier, o dată cu perfec­ ţionarea agriculturii, s-au separat de la aceasta din urmă meşte­ şugurile ca o ocupaţie de sine stătătoare . A apărut proprietatea part iculară asupra mij loacelor de producţie , a început formarea societăţii împărţită în clase. D in mileniul al I V-iea î . e . n . în Egipt şi în Mesopotamia, în China şi în India, iar mai tîrziu în Transcaucazia şi în Asia Mică, s-au format şi s-au dezvoltat ţările sclavagiste despotice. Un proces analog, deşi mult ma i tîrziu , s-a produs şi în emisfera occi dentală, la triburile i ndiene maya , incaşi şi aztec i . Această formă nouă, mai evoluată, a soc ietăţii s-a născut în condiţii climatice favorabile, cel mai adesea pe malurile mar i lor fluv i i , u nde terenul ferti l dădea o recoltă bogată. Aceste oaze eaorme, c uprinse între munţi şi deşertur i , nu se putea u extinde . Revărsările periodice ale fluvii lor distrugeau rezultatele muncii. De aceea , a ic i s-au dezvoltat larg construcţia digurilor şi a cana­ lelor, asanarea mlaştinilor, construcţia r ezervoarelor de apă. Ma i tîrziu, cînd pămîntul a devenit proprietate particulară, con­ ducerea l ucrări lor de irigare , la fel ca şi controlul aprovizionării cu apă, era co ncentrată în mîinile organelor de conducere locală sau de stat . Simultan cu dezvoltarea meşteşuguri lor şi a comerţului se întemeiau oraşe ce se d istingeau printr-o remarcabilă dezvo ltare a tehnici i construcţiilor, în spec ial a fortăreţelor, a palatelor şi a templelor. Nenumăratele războa ie au dus la crearea tehnicii militare . 30

Baza economică a societăţi i sclava giste din această epocă o constituia economia naturală a obştilor săteşti , exploatate de proprietarii de sclavi, conducători militari , preoţi . Toto dată, oraşele s-au transformat în centre a le comerţulu i , care se făcea atî_!. prin caravane, cit şi prin căile maritime . l ntreagă această activitate complexă d e producţie, econo mică şi tehnică , necesita o mare cantitate de cunoşt inţe multilatera le. Ele a u fost concentrate la un grup special de oameni , funcţionari, cunoscători a i calendarului şi ai agri mensuri i , ai bazelor tehnicii constru�cţiilor şi metalurgiei, a i medicinei şi a i strîngerii impozi­ telor. I n unele dintre societăţile sclava giste din Orient , această latură a activităţi i administrative de stat se afla în mîinile slu­ jitori lor cultulu i . Din ca sta conducători lor făceau parte şi scribii, care , în afară de efectuarea a tot fe lul de evi denţe , mai aveau drept obligaţie pregătirea şi instruirea succesori lor lor . Războa iele pm-manente duceau la faptul că ţările care apăreau în urma învingerii diferitelor principate se descompuneau. Va lo­ rile cultura le , acumulate timp de secole, piereau. Pe ruinele ţărilor învinse apăreau apoi altele noi . Cu toate aceste schimbări , ce a lternau de nenumărate ori de-a lungul milenii lor, baza agricolă a societăţii se schimba foarte lent . Forţa producăt oare de hază a societăţi i - sclavii şi ţăra nii sclavi - nu era interesată în ri dicarea productivităţii munc i i . D e aceea , progresul cultura l s e producea aici aproape neobservat, ştiinţa şi tehnica cunoscînd lungi perioade de stagnare . Conservator_i smul culturi i societăţii sc lavagiste timpuri i se întărea în special acolo unde puterea preoţilor se contopea cu puterea de stat. Acelaşi conservatorism a fost cauza datorită căreia, cu toată larga dezvo ltare a comerţului între diferitele popoare care populau teritoriul i mens , ce se întindea de la N i l pînă l a Ianţzî-Tzian, cultura fiecăruia di ntre ele diferea mai pronunţat de cultura a ltor popoare aflate pe treptele mai evo­ l uate ale istoriei [51 , p . 6 ; 52, p p . 24-31 ] . Matematica societăţii sclavagiste timpurii. Condiţiile econo­ mice şi politice a le soc ietăţii sclava giste au determinat şi carac­ terul matematicii ce se dezvolta în această soc ietate . Aici ea era , în primul rînd , o ştiinţă practică , creată pentru efectuarea calcu­ lelor şi a măsurător ilor, pentru sati sfacerea necesităţilor econo­ mice ale statului . Numa i prin aceasta se poate explica caracterul, în esenţă empiric, al matemat ici i . Propoziţiunile matematice au fost în cea mai mare parte obţinute pri n încercări , prin dibuiri . 31

Cunoştinţele matematice erau expuse de preferinţă sub forma unor probleme concrete şi nu sub forma unor reguli generale . Expunerea avea un caracter dogmatic : problemele pe care le-am fi numit tipice trebuiau reţinute ; rar se dădea o explicaţie care ar fi putut reprezenta un fel de demonstraţie în germene . Dar caracterul dogmatic al matematicii din această epocă era determinat într-un gra d şi ma i mare de modul de gîndire bazat pe principiul autorităţi i , inerent acestei societăţi, caracterizată prin predominarea put�rii personale, avînd la baza sa o econo­ mie numită, de Marx şi Engels, metoda asiatică de producţie. Î n această societate , unde voinţa despotului era consi derată lege, nu exista loc pentru gîndirea care să meargă pînă la cauzele şi funda­ mentele fenomenelor şi , cu atît mai puţin, pentru o discuţie liberă . Datorită însă faptului că, în decurs de secole, o castă deosebită se ocupa în mod special cu ca lcule şi măsurători , aplicîndu-le nu numa i pract ic în scopuri tehnice şi economice, ci şi învăţînd pe începători - mate"!atica a început să îmbrace contururile unei şti inţe abstracte . ln locul vechilor denumiri a le numerelor, obiectul studiului l-au constituit apoi numerele abstracte . Au început să fie sesizate regulile genera le a le operaţii lor . Ulterior, alături de regulile aritmetice stabilite, s-au născut procedeele generale de rezo lvare a problemelor de un t ip determinat . Deşi nu se foloseau formule, aşa cum se face acum , procedeele uti lizate conţineau şi unii germeni ai algebre i . A na log, din problemele concrete de măsurătoare au apărut treptat germenii geometriei teoretice . Izvoarele istorice. Studiul istoriei matematicii din aceast ă epocă sc lavagistă se bazează, spre deosebire d e istoria matematic ii din societatea comunei pri mitive , pe stud iul monumentelor scrise. Caracterul stagnant al întregii culturi din această epocă pune însă în faţa istoricilor probleme foarte dificile . De multe ori este greu sau c hiar imposibil de stabilit timpul cînd s-a făcut o descoperire sa u alta, deoarece un procedeu o dată stabilit se transmitea prin tradiţie , neschimbat, timp de veacuri, iar uneori şi milenii ; documentele sînt de cele ma i multe ori fără dată şi datele de apariţie nu pot fi determinate decît pe cale indirectă . Descoperirile făcute în comunităţile închise puteau rămîne ne­ cunoscute în afara limite lor lor şi se pierdeau pentru totdeauna în timpul războaielor pust iitoare . Neomogenitatea şi incompletitudinea cunoştinţelor noa stre asu­ pra matematicii diferite lor popoare evoluate din acea epocă 32

depind , în mare măsur_?. , de calitatea şi cantitatea monumentelor scrise ce s-au păstrat . ln Mesopotamia, scrierea fiind aplicată pe p lăci de argilă, care apo� erau arse , monumentele scrise au supra­ vieţuit timp de m i leni i . ln Egipt, unde se scria pe papirus , acesta , fără a fi atît de rezistent , s-a conservat relativ bine într-o climă uscată . În India însă şi în China se scria pe scoarţă de copac ş i p e bambus (hîrtia a fost descoperită d e chinezi abia î n seco lul al I I- iea e .n . ) - materia le uşor perisabile. Aceasta a dus la faptul că principalele noastre cunoştinţe se referă la matematica egip­ teană şi în special la matematica din Mesopotamia , în timp ce matematica Chine i si ' a Indiei a ntice este studiată mult mai puţin. În ceea ce prive şte matematica perioadei sclavagiste tim­ pur ii a popoare lor din Orientul Apropiat , la fel ca şi a popoarelor americane precolumbiene maya , incaş i şi azteci , informaţiile noastre sînt şi mai incomplete. Matematica egipteană. Co losalele morminte regale - pirami­ dele - construite în perioada Vechiului Imperiu (aproximativ 3600 -2700 î . e .n . ) , sînt nu numai martori materiali ai puterii despotice a faraoni lor, ci ele ne întăresc ideea că încă în acea perioadă cunoştinţele matematice ale egiptenilor trebuiau să se găsească pe un nivel foarte înalt. Construcţia unor asemenea pira­ mide necesita o mare măiestrie în efectuarea calculelor aritmetice cu numere mar i şi a măsurătorilor geometrice simple . Aceleaşi cunoşt inţe erau necesare ş i conducătorilor canalelor construite de puterea regi lor , ai digurilor şi ai bazinelor de apă, erau necesare contabi li lor moşiilor regale şi ale templelor . Letopiseţele ne co­ munică date despre socoteli legate de proprietatea funciară , de vie, oameni şi aur, efectuate periodic pe întreaga ţară , începînd cu primele dinastii, pe haza căre ia se stabi leau impozitele adunate în �vistieria regelui . In sfîrşit , nu se putea lipsi de cunoştinţe matematice nici astronomia : „necesitatea de a calcula perioadele de revărsare a Nilului a dat naştere astronomiei egiptene ş i , o dată cu ea , stăpî­ nirii castei preoţi lor ca îndrumătoare a agriculturii" - a scris Marx [1 , p. 523] . Necesitatea ca lendarului pe care egiptenii l-au fo losit încă în mileniul al IV-iea î.e.n. a exercitat, de asemenea, o serioasă influenţă asupra dezvoltării matematicii egip tene . l n perioada Vechiului Imperiu, cunoştinţele matematice ale egiptenilor se aflau I� o înălţime apreciabilă. S-a păstrat numele legendarului arhitect şi matematician l mhotcp , primul nume în 3

- Istoria

ma tematicii

în

antichitate

33

istoria matematicii . Din această perioadă s-au păstrat însă nu mai însemnări ce nu conţin nici un fel de date matemat ice , în afară de notarea u nor numere sau a unor măsuri . Aceasta ne permite să stabilim numai forma semnelor numerice si ' sistemul de nume­ raţie la egipteni , precum şi informaţii asupra unităţ ilor de măsură folosite . Sistemul de numeraţie la egipteni. Egiptenii ant1c1 avea u u n sistem d e numeraţie zecimal ş i existau semne numerice distincte începînd cu unu , pentru puterile lui 10 pînă la 107 • Unitatea se

scria ca

I

(imagi nea unui băţ de măsurat), zece

(fi)

( hiero-

·

glifa ce reprezenta „piedici" pentru împiedicarea. vacilor, sau un „va l") , o sută

�

(„sfoară de măsurat" ce servea pentru măsurat

· cîmpuri şi se ' î mpărţea în o sută de coturi) , o m ie de lotus'') , zece mii

l

(„ mormoloc") , u n milion

J

(„floare

(„degetul arătă to�") , o sută de mi� �

Î

(„om mirat" ) , zece milioane

Q

(„Soare") . Repetînd aceste semne şi punîndu-le unul lingă altul, egiptenii exprimau toate ce lelalte numere . Ei scriau de la drca pta la stînga si ' în acelasi ' sens scriau si ' numerele începînd cu oreau un sistem de numeraţie nepoziţional, · C U baza : 20, scriind numerele astfel :

I = · , 2 = · · , 3 = .·. ,

4 = ::,

5 = : : , 6 = : : 1 ·,

g : : : i : : , ta = � . 1 1 = : : ! · · , 20 = IP, 50 = IP IP:

Unitatea următoare , superioară , era înju mătăţire se obţinea 200 se notau, de exemplu ,

=' ,

500=Î J , $ .

400=Î

100 =

J ŞI

1000

, din care prm

300 =

=Î j 4

'

, apot

, iar pentru

Incaşii avea u , după cum am mai 800 ei:a un semn specia l : menţionat, o scriere nodală, quipos, cu ajutorul căreia nu numai c ă a u efectuat însemnarea cronologică a evenimentelor impor­ tante , ci şi c a lculul impozitelor, evidenţa contabilă ş . a . m . d . , existînd pentru aceasta funcţionari i nstruiţi î n şcoli speciale (vezi [75 ] ) . Nivelul dezvoltării cunoştinţelor matematice ale aztecilor şi inca şilor poate fi apreciat însă , în esenţă, numai indirect, pe baza vestigiilor c ulturii lor materia le , a remarcabilei lor arhitecturi, a sistemului de irigaţie, a construcţiilor de dru­ muri , a meşteşugurilor şi a arte lor , deoarece cuceritorii spanioli - fanatici catolici - au distrus în mod barbar, la începutul secolului al XVl-lea , tot ce au putut . Concluzii generale asupra dezvoltării matematicii în societatea sclavagistă timpurie. Comparînd între ele dezvoltarea matema­

ticii în diferite state sclavagiste timpurii , observăm că, cu toate particularităţile specifice pe care le lua la ele această dezvoltare, trăsăturile ei principale au fost peste tot asemănătoare . Din germenii calculului , existenţi încă în societa·tea comunei primi­ tive, sub i nfluenţa necesităţilor socia le, a apărut aici treptat matematica ele mentară , care folosea sub o formă i mplicită metode a lgebrice , atingîndu-se o mare măiestrie în calculele cu numere mari . Matematica de atunci purta într-o măsură însemnată un caracter empiri c . Majoritatea propoziţiilor şi a procedeelor ei au 5•

67

·

fost găsite probabil prin încercări ş1 m predare erau expuse fără demonstraţi i, chiar dacă astfel de demonstraţii existau . Şi totuşi , c hiar atunci, existau pri mii muguri ai metodelor teoretice ab­ stracte , genera lizatoare , a le gîndirii matematice. Nu s-a produs însă aici o separare conştientă a teoriei mat!!matice într-un sistem de ide i , şi nici nu putea să se producă . In statele sclavagi ste , despotice, preocuparea matematică era o activitate supusă ne­ mij locit intereselor uti litariste ale statului , în primul rînd strîn­ gerii impozitelor şi măsurări i pămînturilor , şi se afla în mîinile unei caste de mici funcţionari , care adunau impozitele şi măsurau pămîntu l, şi ale scribilor , care aveau un orizont limitat. La astfel de oa meni interesele abstracte puteau apărea , de regulă , doar în procesul didactic , din tendinţa de a simplifica şi a uşura predarea . De aceea , mate matica a devenit ştiinţă teoretică numai atunci cînd societatea sclavagistă a intrat într- o nouă fază, cînd ea s-a transformat în democraţie sclavagistă şi a generat totodată o i deologie socia lă şi clasele, care a u făcut mate matica teoretică posibilă şi necesară. Acea sta s-a întîmplat în Grecia antică.

C A P I T O L U L

III

MATEMATICA IN GRECIA ANTICĂ

Condiţiile sociale în Grecia antică. Statele sclavagiste ale Greciei a ntice a u apărut în secolele Y I I I - V I î . e . n . , în urma unui proces înde lungat de descompunere a orînduirii comunei primi­ tive . Acestea au fost polisuri le - oraşe le- state cu a utoconducere . Cele mai i mp ortante dintre ele a u apărut în zona mij locie a c oastei apusene a Asiei Mic i , în lonia, ca centre comercia le pe căile ce lega u E giptu l , Mesopota mia şi Sciţia . Printre ele , Mile­ t u l a ocupat mult timp o poziţie dominantă . Mai tîrziu , pe coasta Greciei însăşi , rolul conducător a fost jucat de Corint , şi apoi de Atena ; în Italia , de Crotona ş i Tarent , iar în Sici lia - de Sira­ cuza . El iberîndu-se treptat de rămăşiţ ele orînduirii gentilice , polisurile greceşti treceau apoi de la forma t iranică a sclavagis­ mului timpuri u la democraţia sclavagistă - ce l mai progresist s istem social al ace lor timpuri . Î n statu l atenian, acest proces s-a încheiat în preajma anului 500 î . e . n . Mai tîrziu , de mocraţia sc lava gistă ate niană , care şi-a supus , în urma războa ie lor greco­ persane , nenumărate oraşe din Balcani şi din Asia M ică , s-a tra ns­ forma! într- un ce ntru politi c , economic şi cultura l al lumi i an­ tice. ln anii 40 şi 30 ai secolului V î . e . n . , în timpul lui Pericle , de mocraţia sclavagistă a atins culmea înfloririi sa le şi a acordat drepturi politice egale tuturor cetăţenilor săi . Aceştia reprezen­ tau însă numa i mi noritatea privilegiată a populaţiei ; sclavii , feme ile şi metec ii (cei care nu erau originari din regiunea Aticii) erau lipsiţi de drepturi politice . De mocraţia sclavagistă a apărut ca urmare a unei înverşunate lupte seculare di ntre demos - meseriasi si comercia nti mărunti şi aristocraţia d� sînge - moş ieri i , pr� c � m şi oligar h ia - co � er­ cianţii bogaţ i . In e a , cetăţenii liberi participau activ la viaţa poli tică , la a le gerile orga nelor legislative ale statului , la proce­ sele cu j uraţi , la numeroase d i spute publice a le part ide lor politice. Î n secolul IV î . e . n . , în urma războa ie lor îndelungate şi a decă69

derii ce începuse a economiei sclava giste, de mocraţia sclavagistă a trăit o criză adîncă . Caracterul democratic al gîndirii socia le greceşti s-a păstrat însă şi sub puterea perşi lor si ' în perioada elenismului . Spre deosebire de societatea sclava gistă timpurie, care dispu­ nea numai de aramă , bronz, argint şi aur, democraţia sclavagistă s-a născut în epoca fierului . Perfecţionarea armelor şi a uneltelor de muncă a făcut ca războaiele să fie ma i distrugătoare , dar a dus în acelaşi timp la o creştere apreciabilă a produsului social suplimentar, la creşterea nivelului de viaţă al poporulu i , la o diferenţiere a meşteşugurilor, la o lărgire a comerţului şi , totodată, a navigaţiei . Această nouă economie a dus la introducerea - ca echiva lent universal de schimb - a monedelor bătute , în locul vechilor măsuri de greutate . Alfabetul, uşor de însuşit, a înlăturat defi nitiv scrierea hieroglifică greoa ie . C ultura , care la egipteni şi babilonieni era accesibi lă numai birocraţiei , se răspîndea printre pături le mai largi . O i mportanţă pri mordială a avut-o schim­ barea caracteru lui stăpînirii de sclavi , care purta în Atena tim­ purie un caracter patriarha l, „de casă", şi care s-a transformat apoi în fundamentul existenţei societăţii . Stăpînii de sclavi du­ ceau un mod de viaţă parazitar şi priveau cu dispreţ munca sclavi­ lor , ceea ce a dus la o ruptură între munca fizică a sclavilor şi munca inte lectua lă , cu care se îndeletnicea numai o mică parte : vîrfurile stăpîni lor de sclavi şi alte pături ale populaţiei libere . Cetăţenii liberi ai polisuri lor , folosind munca sclavilor, dispu­ neau de un a numit timp liber care le permitea să gîndească asupra problemelor abstracte , să se ocupe de ştiinţă nu numai _ în scopuri pra ctice nemij locite, ci şi pentru construirea unei ima gini filo­ zofice a lumi i . Lupta politică neîntreruptă - în urma căreia ei au cucerit şi au păstrat libertatea lor -, lărgirea orizontului, în urma descoperirilor geogra fice , au făcut ca concepţia despre lume a cetăţenilor greci să fie mobilă, să nu semene cu concepţia stagnantă asupra lumii a egiptenilor şi babilonieni lor . Doborînd în repetate rînduri domnia tiranilor, ei nu s-au oprit nici de la a dărîma pe stăpînitorii cereşti mitici - zeii , ci;eîndu- şi sistemele lor filozofice proprii : idealiste , care reflectau i nteresele aristo­ craţiei rea cţionare , şi materia liste, care exprimau interesele de­ mosului . Caracterul matematicii antice grece�ti. Izvoare . Necesităţile producţiei meşteşugăreşti şi ale construcţi ilor , ce se dezvoltau în polisurile antice greceşti , progresul a griculturii şi a 1 navigaţiei 70

cerea u în mod insistent şi dezvoltarea cunoştinţelor ştiinţifice. Î n orînduirea sclavagistă, principala forţă motoare rămînea forţa· musculară a sclavilor şi a animalelor şi se foloseau aproape exclusiv numai uneltele de mină. Cu toate acestea, în arta mi li­ tară au apărut maşini aruncătoare şi maşini de asediat ; şi nici arhitectura greacă monumenta lă şi nici construcţia vase lor de comerţ şi de război nu puteau să se lipsească de aplicaţia inven­ ţiilor tehnice . O dată cu secolul al Vii-lea î . e .n . , în Grecia şi în primul rînd în fonia , la încrucişarea culturi lor egiptene şi babi­ loniene , începe să se nască o ştiinţă nediferenţiată, în care cunoş­ tinţele astronomice , meteorologice , matematice , mecanice şi medicale formează un tot unitar cu concepţiile filozofice , politice, geografice şi economice . Î n această epocă grecii îşi luau cunoştinţele din izvoare egip­ tene , babiloniene şi feniciene . Caracterul acestor cunoştinţe a fost de preferinţă practic . Istoricul grec antic Herodot (aproxima­ tiv 484-425 î . e . n . ) descrie aceasta în următoarele cuvinte [76, p . 109] : „Preoţii însă povesteau că acest rege ( Sesostris) a îm­ părţit ţara între toţi egiptenii , toţi aceştia căpătînd cite o por­ ţiune dreptunghiulară egală de pămînt ; prin aceasta el a creat pe ntru sine veni turi , ordonînd să fie plătit anual un anumit i mpozit. Dacă rîul (Nilul) rupea o parte a unei parcele oarecare, proprietarul ei se , prezenta la rege şi anunţa cele întîmplate . Regele trimitea cîţiva oameni pentru a controla şi măsura cu cit parcela respectivă s-a micşorat, pentru ca în viitor proprietarul ei să plătească totuşi corespunzător impozitului i niţial stabilit. Mi se pare că ac�asta a fost originea geometriei care a trecut din E gipt în Elada . In ceea ce priveşte ceasornicul solar , indicatorul solar (gnomon) şi împărţirea zilei în 12 părţi, toate acestea elenii le-au împrumutat de la babilonieni". lsocrate (aproximativ 390 î . e .n . ) arată că cunoştinţele de matematică au fost preluate de greci de · Ia egipteni , ai căror preoţi, „di spreţuind plăcerile, îndeplineau cele mai importante sarcini, instruiau tineretul, se ocupau cu astronomia, cu calculele şi cu geometria". Cel mai mare gînditor al antichităţii, Aristotel (384-322 î.e.n.), remarcă, de asemenea , în Metafizica originea egipteană a geometriei greceşti [77, p. 20 (982 a)]. O părere asemănătoare exprimă .şi Proclus (410-485 e . n . ) în succinta istorie a geometriei greceşti inclusă în comentariile sale l a Elementele lui Euclid [78, p. 67] . Comen­ tariile lui Proc lus , scrise în secolul al V-lea e.n . , reproduc istoria geometriei elaborată de Eudem din Rodos - în secolul al IV-iea î.e.n. 71

·

Continuitatea în succesiunea cunoştinţelor matematice nu poate fi astfel pusă la nici o îndoială. Matematica egipteană şi babi­ loniană purta, după cum am văzut, un caracter practic concret , însă conţinea primii germeni ai teoriei . Este evident că aceşti germeni ai gîndirii abstracte matemat ice au fost iniţial trans­ mişi în Grecia din aceste ţări de cultură antică. Printre unii dintre istoricii şi filozofii burghezi predomină însă o altă con­ cepţie . Mulţi di ntre ei neagă complet că matemat ica Orien­ tului antic a exercitat o serioasă influenţă asupra dezvoltării matematicii greceşti, deoarece prima ar fi fost „magică" şi nu ştiinţifică , aşa cum a fost a doua [vezi 79, 80] ; alţii recunosc că grecii au împru mutat c ite ceva de la egipteni şi babilonieni, dar susţin că acestea au fost numai cunoştinţele aplicative [vezi 81 J . Ca ştiinţă teoretică, matematica ar fi în între gime o crea ţie a grecilor antici . Ea ar fi generată de „spiritul lor elin" deosebit , acelaşi care a creat şi arta grea că şi care ba ar fi inerent sîn­ gelui lor, ba ar fi rod al naturii arhipela gului egeea n . Pentru întărirea acestei concepţii idealiste , ei se referă la o părere atribuită mare lui fi lozof materia list grec, De mocrit (aproxima­ tiv 460-370 î.e.n . ) , ca re a făcut o călătorie prin Egipt, Persia şi Mesopota mia : „Am fost în multe ţări . . . am discutat cu mulţi oameni învăţaţi, însă în ceea ce priveşte comb i narea liniilor c u demonstraţi i , nimeni nu m-a întrecut , chiar şi a ceia care în Egipt sînt numiţi harpedonapţi" [vezi 82 ] . Dar această părere tocmai rec unoaşte c ă harpedonapţii puteau s ă fa că de monstraţii geometrice . Aceasta înseamnă c ă acest citat nu e ste în favoarea acelora care afirmă că demonstratiile ar fi un produ s al „spiritului grecesc deosebit" . Din ea rez � ltă doar că grecii a u reuşit să parcurgă în domeniul matematicii în decurs de două veacuri ( Democrit a trăit la hotarul dintre seco­ lele V şi IV) un drum pentru care egipteni i au avut nevoie de două m ile nii . Şi această acce lerare se explică , desigur, nu prin particularităţile de rasă sa u particularităţile geografice, ci prin deosebirea în orînduirile socia le ale celor două popoare . La început matematica greacă antică nu era principia l diferită de cea egipteană sau babiloniană. Dar o dată cu dezvoltarea de­ mocraţiei sc lavagiste , începînd cu secolul a l VI-lea î . e . n . , în gindirea matematică a greci lor se intensifică tot ma i mult latura teoretică . Sclavilor le era încredinţată partea „de salahor" a activităţii intelectuale : transcrierea cărţilor, efectuarea calcule­ lor - ceea ce în cele din urmă a dus şi la separarea matematici i teoretice d e cea practică . Din aritmetica pract ică, numită „logis72

tică" , şi din geometria aplicată care a căpătat la Arhimede denumirea de „geodezie" , încep să se separe aritmetica teoretică şi geometria teoretică, deşi ele, a nalog ce lor la lte ştiinţe, nu erau atunci încă discipline de sine stătătoare, ci intra u ca părţi com­ ponente în ansamblul filozofiei . Spre deosebire de aritmetica şi geometria practică , cea teoretică nu . conţinea numa i prescripţii pentru rezolvarea probleme l()r, dar dădea şi o justificare soluţiei. Şi după cum s-au şi convins repede de acea sta , i ntroducerea în matematică a demonstra ţiilor a creat posibi litatea de a gener!1· liza rezultatele particulare şi de a obţine noi consecinţe . In matematic ă , la fel ca şi în di sputele politice şi j udecătoreşti , a devenit necesar să se dea noţi_uni lor definiţii precise , să se dez­ volte demonstraţii riguroase. Nu este întîmplător faptul că pita­ goreicii care au i ntrodus demonstraţia au constituit nu numai o şcoală filozofică , ci şi un partid politic a l aristocraţiei sclava­ giste reacţionare. Argumenta ţia logică a mari lor retori a i ntrat în matematică . De mocrit care a adus o contribuţie remarcabilă la dezvoltarea matematicii greceşti a fost t otodată şi a utorul primei lucrări de logic ă . Elementele lui Euclid şi logica (Anali ticele) lui Aristote l sînt legate între e le prin spiritul lor şi au rădă­ cini istorice c omune . El iberarea ma tematicii teoretice de la supunerea ei faţă de unele probleme îngust aplicative , crearea în ca dru l ei, în locul prescripţii lor s i mple , a unor metode logice riguroase ce permi­ teau largi generalizări şi deducerea unor noi consecinţe fără vreun apel direct la rea litate , toate acestea au reprezentat ca uza directă a accelerării extraordi nare a dezvoltării ei, condiţi onat ă , în ultimă insta nţă , de necesităţile materiale a le societ ăţii . F ilczofii care se ocupau cu matematica au început să înţeleagă importanţa ei ca ştiinţă care , ca şi celela lte ştiinţe , trebuie să . explice omului fenomenele pentru ca el să le poată folosi în scopurile sale . Delimitarea defi nitivă a matemat icii într- o ştiinţă teoretică de sine stătătoare s-a produs în Grecia la mij locul sec olului a l V-lea î . e .n. , găsindu-şi desăvirşirea chiar în epoca elenistică în Elementele lui Euclid , în preaj ma anului 300 î . e . n . Evenimentul acesta a fost pregătit în decursul ce lor trei secole premergătoare , în perioada c lasică , prin acumularea cunoşti nţelor elementare şi în special prin intensificarea tot ma i accentuată a momente­ lor teoretic e , logice în matematica greacă. Demonstraţi i le , ini­ ţ i a l disparate şi referitoare numai la teoreme izolate , a u devenit genera le . Au început să fie delimitate în mod c lar noţiunile şi propoziţiile pri mare - şi, pe cit posib i l , apelul la intuiţie a 73

fost înlocuit prin deducţii logice . Toate cunoştinţele obţinute erau ·.grupate într-un sistem armonios . La fel ca şi ştiinţele natur i i , matematic a , începînd cu însăşi formarea sa ca ştiinţă, a constituit o arenă de luptă a două lagăre filoz ofice : materialismul şi idealismul . Luptînd împotriva fan­ teziilor mitologice religioas e , filozofii greci anti c i , care împăr­ tăşeau concepţii materialiste spontane şi dia lectice naive , căutau În natura Însăşi principiu} existe nţei, iar matematica Sei'Vea ca un procedeu care îi ajuta în aceste căutări . Pe de altă parte, filozofii idealişti vedeau î n n umere principiul tuturor lucrurilor, iar în matematică - haza întregii ştii nţe , pe care ei au trans­ format-o treptat într-o speculaţie cu aparenţă ştiinţifică, într-o „aritmologie" , într-un j oc cu proprietăţile „mistice" ale nume­ relor întreg i . În modul acesta, cît timp matematica nu s-a separat de filozofie , lupta materialismului împotriva idealismului avea loc nemi j locit în interiorul matematicii însăş i . Atît pentru î ntreaga literatură clasică greacă, cît ş i pentru cea matemat ică , este caracteristică sărăcia extremă a izvoarelor ori­ ginale . Din seco lul al VI-lea î . e . n . s-au păstrat n umai cîteva propoz iţii atribuite autorilor anti c i , citate împreună cu diferite legende în operele de mai tîrziu. D in secolul al V-lea î . e . n . au rămas numai cîteva fragme nte , şi n umai începînd cu secolul al IV-iea î . e . n . există texte , la început parţiale, iar apoi complete . Restabilirea tabloului istoric real este îngreuiat nu numai de raritatea documentelor şi de împrăştierea lor în diferite opere , ci în special şi de i ncertitudinea acestora . E le sînt alcătuite de către comentatori şi compi latori , care de cele mai multe ori nu cunoş­ teau origina lele , ci foloseau transcripţ i i , de mina a doua sau a tre ia. Astfe l , de exempl u , filozoful neoplato nician Proclus, în comentariile sale la Euclid [78] , a redat Istoria geometriei �i astronomiei a lui Eudem din Rodos (a doua j umătate a secolului al IV-iea î . e . n . ) , lucrare pierdută, hazînd!;!·$e la rîndul său pe expunerea lui Gemi nus (secolul I î . e . n .) . lnsă Proclus - şi aşa au procedat şi al ţii - e xpunea istoria în mod părti nitor , el trecea sub tăcere pe materialişti şi exagera importanţa direcţiei pita­ goreice idealiste . Informaţii cu privire la studiul cunoştinţelor matematice din timpurile străvechi pot fi obţinute şi din operele filozofice ale lui Platon şi Aristotel în ca:ce adesea sînt atinse diferite probleme de matemat ică, în special cele cu caracter principial . Datorită faptelor, menţionate mai sus, informaţiile cu privire la matematica greacă conţin numeroase momente legen­ dare , ·incerte . Prin cercetările susţinute , cuprinzătoare şi pro-

74

fup.de ale savanţi lor , printre care şi ale celor sovietici , a fost însă în esenţă reconstruit tabloul formării matematicii greceşti E drept că acest tablou nu este lipsit de propoziţii ce necesită noi precizări şi uneori şi o revizie radicală. .

.

Logistica greacă [83, 84] . În şcolile de gramatică din Atena , fiilor cetăţenilor liberi li se preda de la vîrsta de 7 ani, a lături de citire şi scriere , şi socotitu l . Nu s-au păstrat însă nici un fel de manuale asupra aritmeticii practice , . a logisticii . Cunoştinţele noastre asupra logisticii se bazează numai pe date indirecte . Aceasta se explică prin aceea că socotitul se făcea ora l, cu aju­ torul abacelor , predarea se făcea după o ordine stabilită o dată pentru totdeauna şi nu se foloseau manua le . În logistică i ntra arta socotitului, adică cunoaşterea sistemu­ lui de numeraţie şi regul i le de efectuare pe abac a celor patru operaţii aritmetice · cu numere pozitive între gi, apoi operaţiile cu fracţii şi aplicarea tuturor acestor cunoştinţe la măsurarea terenurilor şi la problemele practice a le vieţii cotidiene . Mai tîrziu au i ntrat aici şi calculul rădăc i n i i pătrate şi cubi ce, precum şi rezo lvarea unor probleme , care se refereau la început la mă­ rimi concrete , apoi la Diofant şi la mărimi abstracte, probleme pe care astăzi noi le includem în aritmetică şi algebră . Datorită ruperii claselor stăpînitoare ale democraţiei sclava­ giste de munca produ ctivă , deosebirea dintre matematica practică şi matematica teoretică s-a transformat ulterior în opoziţia lor . Această opoziţie dintre logistica practică şi matematica teoretică era exprimată în faptul că ideal iştii pitagoreici (secolul al V-lea î .e . n . ) şi p lato nicienii (seco lul al IV-lea î . e . n . ) vedeau o prăpas­ tie de netrecut \ între numere şi obiectele numărat e . Numerele (aritmoi) erau pentru ei „idei pure" . O astfel de idee a fost şi „unitate:i" indivizibilă - şi matematica trebuie s ă se ocupe cu ele. Lucrurile efectiv numărate aparţineau însă obiectelor . sen­ zorial perceptibile ; aici intra şi „unitatea" divizibilă : toate acestea constitu iau obiectul logisticii . Aici numerele erau , după expresia lui Platon, „numere care au corpuri" (aritmoi somata echontes) [85 , 52 5 D ] * . Se considera de asemenea c ă , spre deosebire de geometrie care se ocupă cu drepte imaginate,_ geo­ dezia fo loseşte numai drepte senzoria l perceptibile „uneori sub­ ţiri , ca razele so lare , u neori groase ca sforile" [vezi 78, p . 39] . "' Vezi nota traducătorului V . I . Karpov la această filă din ed 1ţ1a rusa a operelor lui Platon (voi . I I I , Sankt Petersburg, 1 8 63, p . 370) . - N.R.

1J

Grecii înţelegeau prm număr (aritmos) un număr pozitiv între g care era privit ca o mulţime de unităţi . Unitatea însăşi nu era considerată ca număr . Deşi această concepţie iniţială asu­ pra numărului domnea oarecum în întreaga matematică greacă, totuşi ea nu a p utut să se menţină în între gime . Alături de numere , practica i-a obligat pe greci s ă se ocupe în geometrie de rapoarte (logoi) de segmente , a că ror valoare numerică se exprima (atunci cînd ea pu tea fi stab i lită) nu numai în numere (adică în numere întregi ) , ci şi în fracţii . Şi ,.deoarece operaţiile asupra rapoarte lor se reduceau de fapt la operaţi i asupra valorilor lor cantitative , distincţi a riguroasă ce se făcea între rapoarte şi numere se ştergea treptat . Asu pra acestei deosehiri insistau în special idealiştii , adepţii învăţăturii pi ta gore ice c u privire la caracterul ales al numerelor întregi care alcătu iau esenţa existenţei, precum şi cu privire la indivizibilitatea unităţii ş . a .m . d . Mate maticienii materia lişti însă , de exemplu Arhi mede , Heron, Eutokios sau Diofant , nu î mpărtăşeau această învăţătură. Ei aplicau larg, după cum vom vedea mai tîrziu, procedee şi demonstraţii aritmetico-a lgebrice în geometrie , uti lizau fra cţii şi ca leule prin a pro xi maţie , se ocu­ pau de ap licaţ iile matematicii la şti inţele natur ii şi la tehnică , referindu-se , pentru a dezarma pe adversarii lor, la faptul că asemenea procedee era u folosite de „cei vechi" . Numărarea la grecii antici. Grec ii utilizau un sistem zecimal de numărare, în care se mai păstrau urmele unui sistem mult mai vechi cu baza 4 : numera lul „octo" - 8 - are forma gra maticală a unui număr binar . Numerele mici grecii le numărau pe degete , iar numerele mari - cu ajutorul pietricelelor (psephos) aşezate pe p ămînt, iar mai tîrziu pe o scîndură , căreia cu timpul i s-a aplicat o_ liniatură pentru a distinge ordinele, transformîndu-se în abac . ln comedia lui Aristofa n Viespile (42 2 î . e . n . ) , se spune : „Pentru început voi evalua nu ca la judecată , nu pe abace, ci simp lu , pe degete" [vezi 86, p. 382 ] . Numărătoarea pe degete se făcea din 5 în 5 ; astfel în Odiseea, Homer (aproximativ secolele I X-V I I I î . e . n . ) pune pe zeul mări lor Proteu „să numere cîte 5" (pempazes tai) foc i . Î n timpul lui Homer , grecii dispuneau d e numerale pînă la 1 OOO, însă nu peste acea stă va loare . C uvînt ul mirioi (miriadă) avea atunc i încă semnificaţia de „foarte mult" (ca de altfel şi la noi) şi numai ma i tîrz iu a început să fie folosit ca 10 000. De 76

a ltfel, şi numeralul hekaton 100 era folosit aici adesea în se ns de cantitate mare nedefinită . Reprezentarea numerelor mari şi operaţiile cu ele erau destul de d ificile . Abia în secolu l al I i i-lea î.e . n . Arhimede a scris celebra Numărătoare a firicelelor de nisip ( Psammi t) , care a risipit ideea eronată a existenţei unui „ultim şi cel mai mare număr" şi care conţinea un procedeu cu ajut orul căru ia se putea exprima un număr ori cît de mare . Pentru calcul grecii foloseau abace , care au parvenit la ei probabil de la e gipteni , prin intermediul fenicieni lor . Herodot ne i nformează că e giptenii , spre deosebire de greci , de.plasau pietrele nu -ele la stînga la dreapta , ci de sus în jos. Pe abac existau ze�e coloane duble mari şi a lături patru coloane simple mai mici . ln coloane se aşezau pietre , înlocuite ma i tîrziu prin jetoane speciale de calcul . Co loanele mari serveau pentru · distingerea ordin.dor ce mergeau de la dreapta la stînga şi de la cele i nferioare la cele superioare, pe ntru fiecare ordin erau prevăzute două co loane alăturate . Raportul dintre co loane depindea însă de sistemul monetar, deoarece abacul servea în primul rînd pentru calculele cu caracter financiar în tranzactiile comerc iale: Cea mai mare unitate moneta ;ă a greci lor a fost talantu l ega l cu 6 OOO drahme . O drahmă era ega lă cu 6 oboli şi 1 obol ega l cu 8 ha lce . Primele două coloane mari din dreapta servea u pentru reprezentarea unităţilor drahme , a treia şi a patra coloană aveau o valoare de zece ori mai mare decît prima şi a doua ; a cincea şi a şasea de o sută de ori , iar a şaptea şi a opta de o mie de ori . c;; o loanele nouă şi zece serveau pentru reprezentarea talanţilor . lmpărţirea coloanelor î n j umătatea superioară şi inferioară era fo losită pentru operaţiile aritmetice : astfel, de exemplu , la adu­ nare în j umătatea superioară se scria rezultatul e i - suma . Co­ loane le mici din dreapta erau folosite pentru însemnarea număru­ lui de oboli şi halce şi, începînd de la dreapta , fiecare co loană vecină din stînga avea o valoare dublă . Faptul că socotitul pe abac era procedeul de hază al ca lculului îl arată însuşi cuvîntul „a calcula" psephizein care înseamnă litera l „a aşeza pietricele" . Efectuînd cal_culele pe abac, grecii scriau, de regulă, numai rezul­ tatul fina l . ln calculele complicate ei, ca şi no i , îşi însemnau şi rezultate le intermediare . -

-

-

Numeraţia. Î n secolul a l X-lea î . e . n . a a părut la greci prin intermed iul fe nicienilor scrierea . Concomitent a început să fie folosit calculul scri s . La început s-a utilizat o numeraţie herodiană , numită astfe l după gramat icianul Herodian (secolul a l I i -lea e . n . ) 77

care a descris-o , Ea exista în două variante : atică şi beotică, nulnite astfel după regiunile Greciei. Unitatea se. nota simplu prin bară

I

r

(deget) , s în varianta atică

chiului celor 5 degete de la

(reprezentarea mănun·

mină ) ,

iar

în beotică

n

(care era privit mai tîrziu ca o prescurtare a cuvîntului pente

- 5) , 10 - respectiv şi t> , 100 -H şi I-[ ,1 OOO -X şi .J, , 10 OOO - M . Aceste semne erau i niţia le le nu meralelor res„

pective : deka ( 10) , hekaton ( 100) , hilias ( 1 OOO) , miriadă ( 10 OOO) . Prin combinarea lor, se obţineau şi numera lele intermediare : pentru 50 în atică pectiv

fli ,

fi , RE , pentru

iar în beotică 5 OOO -

fi

şi

f' , pentru 500 - res· J1 . Celelalte numere se

e xprimau la fel ca pe abac, de exemplu, 9 821

se

seria ( î n atică)

ca _f' X X X X P H H H � � l Numeraţia herodiană poate fi întîlnită în monumentele atice datînd chiar d i n secolul I î.e.n . , deşi cu mult înainte (cînd anume precis - nu s-a stabilit) , în celelalte regiuni ale Greciei ea a fost înlăturată de numeraţia ionică . Î n aceasta din urmă numerele erau reprezentate prin literele alfabetului, ca la evrei şi la feni· cieni , înrudiţi cu aceştia , de la care grecii au împrumutat acest procedeu . Numerele erau notate astfe l : 1-g

a. ,

10 -W

L,

100 - 900

1·

p.

y.

6, E, >·

[.

t:. 17. e

K,

X . ji,

v,

a,

T,

V;. x, f,

v,

o,

ff,

�

w,

3.

Aici, în afara literelor alfabetului care a devenit gen�ral admis, sîni folosite încă trei litere arhaice : ')'" ' - vau, ma i tîrziu litera care a înlocuit litera

� - koppa

pentru 90 ;

a

f

la sfîrşitul cuvinte lor, pentru 6 ;

- sampi

pentru . 900. Î n modul

acesta_, cu aj utorul a 27 de semne se puteau scrie toate numere le 78

pînă la 999. Miile se notau ca unităţi cu virgu lă în faţa literei ; de exemplu , ot, � etc . Pentru a distin ge cifrele de litere , deasupra lor se punea fie o bară , fie un accent , de exemplu, Ci, ot ' . Numerele mari , care au i ntrat în uz relativ mai tîrziu , se scriau în miriade , c

de exemplu 54 321 se scria ca M , �·nccx S8'Y E, �-rxcx ; mai tîrziu miria­ dele se scriau cu două puncte deasupra literei, de exemplu

.-

5 )( _104

=

�

, 5 X 1 0&

=

..

6 '

Î n sistemul ionic care a apărut din :r'iecesităţi le comerţului care lua amploare , notaţia numere lor era sensibil mai scurtă m D . =

Această defi niţie a ega lităţii rapoartelor este , pe deplin, în spiritul mate matic ii contemporane ; aceluiaşi t i p de definiţii îi aparţine şi definiţia numerelor iraţionale a lui Dedekind . Defi­ nind . egalitatea rapoartelor segmentelor A şi B cu aj utorul unei mulţimi infinite de inega lităţi , Eudoxus şi Euclid împart de fapt mulţimea numerelor raţiona le m în două clase ( mA >nB şi n

144

mA nD şi mCn, atunci pro­ n

blema poate fi scrisă cu ajutorul ecuaţiei r

x3 + 4 r2 . , mr .m + n

sau, punînd pe ntru simplificare 3 r

=

=

3rx2

a,

2r

( 1) =

b,

mr m + n

c,

( 1 ') Arhimede exprimă problema sub forma proporţiei : se dau două drepte BD şi BZ, dintre care DB este de două ori mai mare decît BZ, precum şi un punct T pli' BZ ; se cere să S\} împartă DB prin­ tr-un punct X, astfel încît B D2

xz

-- = - ·

DX3

TZ

(2)

Este uşor de văzut că proporţia (2) se reduce la ecuaţia (1 ') . Arhi­ mede promitea să dea la sfîrşitul propoziţiei rezolvarea şi studiul 1 1•

161

proble mei aj utătoare cu privire la împărţire , însă în textul tra­ tatului Despre sferă �i cilindru şi în alte lucrări ale matematicia­ nului din Sirac uza , ce ni s-au păstrat , acea stă so lu ţie lipseşte . Eutokios indică în come ntariile sale la acest tratat u n procedeu , care probab i l aparţinea lui Arhimede însuşi . Modul de rezo lvare se bazează pe o construcţie geometrică ana logă cu aceea pe care a folosit-o Menechmus pe ntru a co nstrui latura x a cubului egal ca volum cu volumul b2c al unui paraleli piped dat, adică la ecuaţia bi nomă Rădăc ina ecuaţiei ( 1 ' ) se re prez intă ca abscisa punctului de i nter­ secţie a două secţiuni co nice : a parabolei s i metrice faţă de axa .o rdona te lor 2 b11, = x2 3

,

�i a hiperbo le i echi latere ale căre i as imptote sînt axa absciselor şi dreapta x = a,

(a

--

x)y

3bc

= -- .

2

După i nformaţiile lui Eutokios, Arhimede a dat de asemenea şi diorismul probleme i , adică a studiat condiţi ile în care rezolva­ rea ei este posibilă arătînd că segmentul căutat DX = x există , dacă punctul T se află între B şi Z. Exprimat în l i mbaj algebric aceasta î nsea mnă că dacă , asa c u m si trebuie să fie , � a, b = a sau b < a (unde a = OF, b = FA ) , se obţin ce le trei tipuri a le curbei . Ecuaţia ei în coordonate dreptunghiu174

•

e lare este (x - a) 2 (x4 + y4) - b2 y2 O ş1 rn coordonate po lar a p = __ ± b. Mai tîrziu noţiunea de conco idă a fost ge nna li=

cos

cp

zată ; a început să fie denumită concoidă curba ce se obţine mă­ rind sau micşo rînd raza vectoare a fie.c ărui punct . al unei cur �e date ( nu numai a l unei drepte) , cu un segment const ant b . ln particular, E . Pascal (1 588-1 651 ), tatăl re numitului matematiy

t I I

A

X

o

I

1F I I Fig.

X

I

34

cian Blaise Pasca l , a examina t concoida cerculu i , a l căre i pol se găseşte pe cerc . Ea a căpătat denumirea de m e lcul lui Pasca l . Un caz particula r al acesteia, cînd b este egal cu di ametru l cer­ culu i , se numeşte cardioidă . Du pă cum comunică Pappu s , N ico­ mede a demonstrat că concoida are o a s i m ptotă . E utokios remarcă că N icomede se mîndrea în mod deosebit cu descoperirea sa , opunînd-o aparatului lui Eratos tene , pe care el îl consi dera prac­ _ tic inuti lizabil şi necorespunzător spiritului geometriei . Găsirea a două medi i proporţiona le cu aj utornl concoidei se baza pe o co nstrucţie prin alunecare , descrisă de Pappus şi Eutokio s . Con­ coida este pri ma curbă după dreaptă şi cerc despre care se �tie că pentru dese narea ei cont inuă a fost creat un aparat specia l . Diocles. Pri 11 anul 200 î. e . n . , dar posi b i l şi după Apo lon i u , a tră it Diocles, eare , la fel ca şi Nicomede , s-a · ocupat de media dub lă proporţională şi a descoperit o linie numită cisoidă (ase­ mănătoare iedere i ) . Cisoida (fi g . 35) reprezi ntă loc u l geometric al punc telor M pe ntru care 01'vf = PQ . Ecuaţia ei în coordonate · x3 carteziene are forma .v 2 unde 2a = OA '. iar în coordo=

2a -

:t

175

•

nate polare r

=

( - cos cp) . Mai tîrziu se construiau cisoide

a __!__ cos

nu numai ale cercu lui , ci şi ale oricăror curbe . Diocles a scris - după informaţiile lui E utokios - lucrarea Despre oglinzile incendiatoare , din care Eutokios redă două fragmente . D iocles a rezolvat foarte i nge nios şi problema lui Arhimede cu privire la secţionarea sferei cu un plan , astfel încît volumele ce lor două segmente să se găsească între ele într-o proporţie dată . Această problemă se gă­ y seşte , după cum am observat , sub forma celei de a p atra propoziţii în a doua carte a lucrări i Despre sferă şi cilindru. Sfîrşitul problemei, care conţinea soluţia lui Arhimede, era pierdut încă din an­ tichitate . Diocles rezo lvă această pro­ blemă , care ducea la o ecuaţie cubică, prin intersecţia unei hiperbole echi la­ tere cu o elips ă . Nu se ştie exact ce for­ mă aveau oglinzile i ncendiatoare de care se ocupa Diocles, însă izvoarele arabe îl i ndică drept inventatorul oglinzi lor parabolice . Fig.

35

Zenodor. S-au păstrat la Pappus şi Teon din Alexandria extrase din lucrarea Despre figurile izoperimetrice a lui Zen odor, care a trăit tot prin anul 200 î . e . n . Interesul pentru figurile geometric� ce au peri metre egale a apărut la matematicienii greci , probabil în legătură cu faptul că în antichitate nemateroaticieni lor li se părea paradoxal că, de exemplu , două paralelograme de peri­ metru ega l pot avea totodată arii diferite . Zenodor a demonstrat că, dintre toate po ligoanele regulate de perimetru egal, aria cea mai mare o are acela care are şi numărul cel mai mare de unghiuri , că aria cercului e mai mare decît aria oricărui po ligon regulat cu acelaşi perimetru ca şi cercul , că, dintre toate poligoanele avînd un număr ega l de laturi şi perimetre egale , poligonul regulat are aria maximă . Zenodor nu s-a mărginit la prob lemele planimetrice, ci a demonstrat , de asemenea , că sfera are volum mai mare decît corpul format prin rotaţia unui po1igon regulat de acelaşi peri­ metru în j urul unei axe ce trece prin centru şi prin unu l di ntre vîrfuri , precum şi faptul că volumul sferei este mai mare decît volumul unui poliedru regu la t avînd aceeaşi suprafaţă ca şi sfera . 176

Apoloniu din Perga. Al treilea şi ultimul mare matematician din perioada e lenistică, alături de Euclid şi Arhimede, a fost Apoloniu din Perga (Perga , oraş în Asia Mică) . El a trăit în spe­ cial în Alexandria , unde a învăţat la succesorii lui Euclid. Anul naşteri i lui Apoloniu se stabileşte la aproxi mativ 262, anul morţii - aprox imativ 200 î . e . n . El a vizitat marele centru al cu lturii greceşti d i n acea vreme - oraşu l Pergam din nord-vestu l Asiei Mici, unde l-a cunoscut pe Eudemos din Pergam, căruia i-a consacrat pri mele două cărţi din a doua ediţie a lucrării sale fundamenta le în opt volume SecJiuni conice ( Conica) . Secţiuni conice. Primele patru cărţi din această lucrare [121 , 122] au ajuns pînă la noi în li mba greacă , următoarele trei în

traducere arabă , iar ultima este pi erdută . Abordarea de către Apoloniu a secţiunilor conice diferă de metodele tuturor predece­ sori.lor săi , i nclus iv Arhimede , printr-o putere neobişnuită a generalizări i . Î n timp ce pînă la Apoloniu fiecare dintre cele trei tipuri de secţiuni se obţ inea dintr-o formă particulară a conurilor circ ulare drepte; el obţine toate cele tre i tipuri ale secţiu11i lor din orice con circular, drept sau obli c . Stabi lind legă­ tura dintre problema „aplicări i ariilor" şi secţiunile conice , Apoloniu, spre deosebire de predecesorii săi, care denumeau aceste curbe secţiuni ale conurilor ascuţit , dreptunghic şi obtuz , le-a dat denumirile elipsă , parabolă şi hiperbolă - denumiri ce au intrat pentru totdeauna în şti inţă . Prima carte a Secţiunilor conice începe cu definiţia conului circular , în genera l încli nat, conu l fiind consi derat de ambele părţi ale vîrfului său . Tot aici se introduc noţiuni le fundamentale ale teoriei secţiuni lor conice , vîrfu l secţiunii conice, diametrele sale , diametre le conjugate şi axele . A poloniu obţine elipsa , parabola sau . hi perbo la , după cum pla­ nul taie toate generatoarele numai ale unei pînze a conulu i , este paralel cu o generatoare sau taie ambele pînze ale conului . Pentru fiecare di ntre aceste curbe , Apoloniu stabileşte proprietatea ei fundamentală , folosind coordonate oblice ; drept axe de coordo­ nate sînt a lese un diametru arbitrar PP' şi coarda conjugată cu acesta QQ' ; origi nea coordonatelor P se află pe curbă . Dacă vom fo losi nota ţia a lgebrică modernă, aceste proprietăţi se vor expri­ ma sub forma

y2

=

2 p x ± � x2, a

unde semnul mrnus corespunde elipsei , iar semnul plus hiperbo12

-

Istoria

matematicii

în

antichi tate

177

lei ; î n cazul parabolei termenul al doilea din membrul drept este ega l cu zero ; p reprezi ntă parametrul curbe i . Avem y QV, x = PV , 2a PP' , 2p = PL . Se înţelege că Apoloniu exprimă proprietăţile acestor curbe cu aj utorul algebrei geometrice . Astfe l , deşi Apoloniu nu a descoperit această proprietate funda­ me ntală a secţ iunilor conice ce a fost cunoscută încă lui Menech­ mus , Euclid şi Arhimede, el a exprimat-o printr-un procedeu general , echivalent cu ecuaţia prin care sînt defi nite în geome­ tria analitică secţiunile conice , dacă sînt raportate la coordonate o blice . O parte apreciabilă din cartea �io;;;;;;=;;:;;o-""----;:�--:;;+L I este consacrată demonstrării li faptului c ă proprietatea fundaFig. 36. mentală a sect iunilor conice nu depinde de al �gerea dia metrului la care ea este ra portată sau , vorbind în li mbaj ul modern , se demo nstrează i nvarianţa acestei proprietăţ i la trecerea de la un sistem de coordonate la altul. Cartea I I începe printr-o parte referitoare la asimptotele hiper­ bolei . Î n res t , în această carte sînt exami nate hiperbolele conju­ gate, precum şi proprietăţile tangentelor duse la secţiuni le conice şi probleme de construcţie a tangentelor în diferite condiţii . Cartea I I I conţine în prima parte , propoziţii asupra egalităţii ariilor fi guri lor rectilinii, formate de tangentele şi secantele sec­ ţiunii conice . Propoziţia asupra proprietăţi lor armonice ale po lu­ lui şi polarei ( Apoloniu nu foloseşte încă această terminologie), la fe l ca şi alte propoziţi i , este demonstrată sepRrat pentru dife­ rite cazu ri . Printre alte propoziţii trebuie remarcate, în mod specia l , ace­ lea care introdpc focarele elipsei şi hiperbolei şi studiază pro­ prietăţile lor. ln legătură cu focare le , este exami nată de aseme­ nea şi normala. Pentru parabolă , focarul nu este examinat şi nu este introdusă nici noţiunea de directoare . Ultimele propoziţii ale acestei cărţi sînt în legătură cu studiul secţiunii conice ca loc geometric al puncte lor a le căror coordonate ob lice faţă de trei sau patru drepte satisfa c anumite condiţii. Î ncepînd cu cartea IV, Apoloniu a dedicat Secţiunile conice regelui Attal I (241-197 î . e . n.) . Din conţinutul acest ei cărţi mai interesant este faptul că aici este studiată problema număru=

=

178

lui punctelor de i ntersecţie ale secţiunii conice cu un cerc sau cu o altă secţiune .conică, precum şi cazurile de tangenţă a două secţiun i . Această problemă. era importantă pentru greci , deoarece punctele de intersecţie erau necesare la rezolvarea unor probleme ca aceea a duplicării cubul u i , pentru care propriu-zis au şi fost studiate aceste curbe. Cartea IV încheie oarecum partea mai eleme ntară a teor 1 e 1 secţiuni lor conice ; de aceea , este posibil, ca ea să fi fost mai răs­ pîndită decît celelalte şi de aceea s-a păstrat textul lor grecesc . Cartea V se d isti nge printre toate celelalte , atît prin conţinut, i numere se bucurf1· de proprietatea că produsu l 01·icărei pere chi , mărit fie cu suma ace loraşi două numerr, fie cu u n alt tre ilea număr, este un pătra t; 3) difaenţa a ori c are donă cuburi este în acelaşi ti mp suma a două cuburi. Printre alte propoziţii menţionăm aceea ce se referă la descom­ pune rea unui n umăr în suma a două pătrate: I) ori ce pătra t poate fi reprezentat în oricît.e feluri sub forma sum�i a două pă trat e. D e oa rece a2 se poate reprezenta ca suma . . 1 - 12 21 . 2 -- a, t - or i ce fracţ 1e su lJ.r + y2 un d e .l. -- a. y �

1 +

12

+ 12

unitară pozit ivă: 2) prin urma re , �i orice nu măr ce reprezintă suma a două pă­ tra te poa te fi re prezen tat în oricîte fel u ri sub forma sume i a două pă trate; 218

3) produsul a două numere întregi cc sînt su me a două pătrate poate fi reprezentat sub forma sumei a două pătrate întregi în dou ă fe luri , adică: (a2 + b2) (c2 + d2)

=

(ac :+ bd)2 + (ad ± bc)2;

Diofant aplică ace astă propoziţie pentru a găsi patru triunghiuri dreptunghice cu laturi întregi şi cu i potenuza comună; '1) pentru ca u nitatea să poată fi descompusă î n doi termeni, astfel încît, adăugind fiecăruia din ei un număr a dat , să obţinem pătrate , este n ecesar î n primul rînd ca numărul a �ă fie par . A -d oua condi ţie citată de Diofant n u poat e fi desci fratâ, deoarece textul este deteriorat. Fermat a demonstrat că, în afară de prima cond iţie, t rebuie îndeplinită �i a doua: 1rnmăru l (2a+ 1), îm­ părţit prin pătrat u l cel mai mare prin care este el d i vizibil, nu trebuie să dea un rest divizibil pri n numărul prim de forme (4n - 1). De aici rezultă că nici un număr de forma (4n + 3), (4n - 1) nu poate fi reprezentat ca suma a două pătrate . D iofa nt indic ă , de aseme nea , o cond iţie particulară pentru ca un număr de forma (3a+ 1) să nu se descompună în trei pătrate, şi anume a nu trebuie să aibă forma (8b+ 2). Pentru a da cititorului o idee a supra bogăţiei c onţinutului lu­ crării Aritmetica, care a servit pentru matematicienii timpurilor moderne, începînd cu Fermat, drept sursă a unor cercetări ulte­ rioare fertile, vom da cîteva exe mple di ntre cele mai tipice . Astfel, printre ecuaţi ile determinate , e xistă problema (I, 39): se dau două numere a şi b; să se găsească un număr x, a stfel încît nu­ merele (a+ x)b, ( b+ x)a, (a+ b)x să formeze într- o ordine oarecare (dependentă de valori le lor) o progresie aritmet ică . Est e interesant sistemul ( IV , 15): (y+ z) x (z+ x)y (x + y)z

= a, =

b,

=

c.

l r

Diofant ia pe z drep t necunoscută prin care e xpr imă pe ş1 anume: .r =

atunci:

_!!_ :;

,y

=

.!L z

,

219

.r

+ y = _::___ ; z

:.r

ş1 y,

de unde p - q = a - b. Pr i n urmare, trebuie să descompunem pe c în două părţ i , astfe l încît diferenţa acestor părţi să fie egală cu a - b. Diofant aplică metoda fa lsei ipoteze, luînd mai întîi p şi q în mod arbitrar doar cu condiţia ca p + q = c, iar apoi, introduce corec tii. În definitiv. ci obtine z2 = _!!J_ _ iar nume,

,

a-p

,

'

re le a, b, c trebuie să fie astfe 1 încît. z să fie raţiona I. Dintre ecuaţiile nedefinite de ordinu l 2 i ndicăm e cua ţia (11,9): .Tz + y2 = a2 + b2, care se rezolvă prin substituţia: x = z+ a , y = m b. Sin t rezolvate �i sistemele , ca de exemplu (111,5): -

X+ y + Z= t2, Z+ X - y = 1•2,

y + Z - X = u2, ;r + y - z = w2,

l J

precum şi ecuaţii mai co mplicate, ea de e xe mp lu (III, 1 9):

(x1+ X2 + X3 + X4 )2 + X1 = y�, ... , (x1 + Xz+ X 3 + X4)2+ X4 = y! Diofant formulează unele probleme într-un mod distractiv. Ast­ fe l , în cartea V proble ma 30 spune: „C in e va a cumpărat o canti­ tate oarecare de măsuri de vin , un fe l cu 8 si ' ce lălalt cu 5 drahme. El a plătit pentru e le un număr pătrat de drahme; şi dacă adău­ găm la aceasta 60, se obţine un pătrat a cărui latură e ste egală cu întregul n_urnăr de măsuri. Să se găse ască cit i;-a cumpărat şi cu ce preţ". ln ca zul general (8 = m, 5 = n, 60= a,), problema se scrie sub forma sistemului: mx+ ny = u2, uz + a= (x + Y)2. Prin urmare , răspunsul afirmă că numărul de măsuri de cite 5 79

drahme este e gal cu - , iar numărul de măsuri cu cite 8 dra hme 59

12

e ste e O'al cu - . " 12

Dintre ecuaţi ile nedefinite de ordin superwr, indicăm ca exemplu următoarele: 1) (IV, 6) .xa+ y2= u 2, ;:;2+ y2 = vs, 2) (IV, 11) x3 - ya = x - y, 3) (\', 29) x4+ y4 + z4 = n2. 220

numai

Aic i D iofant pune

u

=

xa

2

_

X

El ad mite p

Punînd y2 + 4

y

=

y2 + li,

=

-

�

---

p2

-

p de unde obţine

_ - -

y4 -z4

2p

---•

2 de unde

st'

obţine:

(y + 1) 2, el obţine:

1 2

1-,

y2

=

1 2 4' z2

=

. 1 b-, t,

4, p

sa u, după înmulţire c u 4:

y

=

3,

Z =

4, p

=

25,

X =

12

- •

5

În sfîrşit, în Aritmetica e xistă o serie de proble m e cu privire la construcţia triunghiurilor dreptunghice , ale căror laturi , fiind e xprimate prin numere ra ţionale, tre buie să sat i sfacă a numite condi 'tii. S-a păstrat de ase me nea un fragme n t din lucrarea lui Diofa nt Despre nu7J1erele po ligonale. Expunerea urmează aici metoda a lge- brei geometrice, de aceea este foarte greoaie şi încurcată . Diofant rezolvă problemele asupra determinării numărulu i poligonal pe baza la tur i i sale şi, rec iproc, a l laturii p e baza numărului. Ultima propoziţie netermina tă, ce se întrerupe la jumătatea unui cuvînt , este proble ma gă sirii numărului de repre zentări posibile ale_ unui număr dat sub forma unui număr poligonal. Lucrările lui Diofant Porismele şi Moriastica (învăţătura despre fra cţii) sînt pierdute . Prima este citată de Diofa nt în Aritmetica, a doua conţinea probabil învăţăt ura despre fra cţii, dar s-a păs­ trat numai de numirea e i . Trebuie observa t că în timp ce Pappus a stat î n fruntea proba.bi! a unei î ntregi şcoli matemat ice , direcţia a lgebrică nu a că pătat o dezvoltare u lterioară în mate matica antică. Ca şi în alte domenii ale cult urii, mate maticienii din ţările Imperiului Roman, ca re a u urmat după D iofa nt , au fost ma i degra bă nişte comentatori decît creatori independe nţi. 221

Sporus. Dintre contempora nii lui Pappus, la sfîrşitul secolului a l III-iea a trăit Sporus (Sporos) , a utoru l lucrării de compilaţie Keria care conţine, între alte le , expunerea probleme lor cvadra­ turii cercului şi duplicării cubului şi crit ica metodei lui Hippias, bazată pe utilizarea cva dratricei, precum şi o critică nejustificată . 1 10 . 3. 3a aprox1mat1e1 s1 a 1 u1 Ar Iurne d e pentru 7t, , ' ·

·

. ·

7

71

Porfiriu, lamblie. Porfiriu (233-304) , elev al lui Plot i n ( Ploti­ nos), neoplatonician, remarcabil repre ze ntant al şcolii filozofice mistice, a scris come ntariile la Elementele lui Euc lid . E levul să u a fo st la mblie de origine d i n Ca lcida d i n Siria (a murit prin anul 330). El a scris nouă lucrări asupra sectei pitagoreicilor, din care s-a u păstrat numai patru. lnte:resul cel mai mare pentru i storia mate maticii îl prezintă cartea IV Despre introducerea în aritmetică a lui Nicomah. Aici la mblie citează d iferite propoziţii ale pitagoreici lor as upra numerelor pătrate şi „dreptungh iulare" adică asupra n umerelor de forma n(n + 1). Ma i departe , la mb lie dă următoarea propoziţie . Dacă luăm trei numere succesive dintre ca re ultimul divizibil cu 3 şi le ad unăm; iar apoi adunăm în rezultatul obţinut . cifra unităţilor, a zecilor, a sutelor etc . , în re zultatul astfel obţinut facem acelaşi lucru , atunc i repetînd succesiv această operaţie obţinem în sfîrşit numărul 6. Această teoremă a cărei demonstraţie , sub formă ge nerală, a dat-o Loria [13 3 , p. 84 1] a apărut pe terenul „ca lculului pita goreic" ce servea pe ntru „ pre zicerea viitorului ". Adu­ nînd va lorile numerice ale unui nume oarecare, pitagoreicii lua u în co nsideraţie numai pitmen („baza" , vezi p. 79) f ie că rui număr (de exe mplu, pentru lji, care însemna 700 pitmen era 7 notat ca �)şi c u suma obţinută a pi tmenilor procedau în acelaşi fel, pînă cînd ajungeau ·1a numărul mai mic decît JO ce era considerat pitmen al numelui dat. la mblie dă d e asemenea o metodă de rezo lvare a unui tip de sisteme de ecuaţii liniare ce poartă nume le de epântema (înflorire) a lui Timaridas_, mat emat ician din timpul lui Plato n . Această metodă aplicat ă sistemu lui:

X+ X1 + X!+ .. . +

xn =a.,

X+ X1

X+ Xn = a11, 222

=al,

X+

X2 = a2,···,

el o e x t ind e a supra sistemulu i de ee u aţ,ii nr d e fini t e rezo l\' atMemuna 6 opesne.'lt .Mupe , M . -JI „ 191i1 . 58. K. V o g e l , Die Grundlagen der âgyptischen Arithmetik, Miinchen, 1 92 9 . 5 9 . C . A . H H o B c K a Jl , K meopuu eeunemcnux opo6eu. B KH . : Tpyow Hn-ma ucmopuu ecmecmsoanaHUR u mexnunu , T . 1 ,19lo7 . 60. O. N e u g e b a u e r, Die Grund lagen der âgyp tischen Bruchrechnung, Berlin, 1 9 2 6 . 6 1 . B . JI . B a H p; e p B a p p; e H , lipo6y:HCoa10u+aACJt nayna, Mame­ Mamuna J(pesnezo Eeunema , B(J,BUJ!OHa u I'pe1fuu, nepee . M . H . Be­ ceJIOBCKoro , M . , 1959 . 6 2 . S . N K r a m e r, Schooldays, A Sumerian Composition relative to the Education of a Scribe, „J ournal of the American Oriental Society", 1 9lo9 , voi. 69, nr. to. 63. F. T h u r e a u-D a n g i n, Textes mathematiques Babylonies , Leiden, 1 938. 6lo. O. N e u g e b a u e r , _ Mathematische Kei lschrifttexte , Berlin, 1 934 - 1 937. 65. O. N e u g e b a u e r A . S a c h s , Mathematical cuneiform texts, voi . 1 -3 , New-Haven, 19lo5. 66. O. H e ii: r e 6 a y e p , JlenlfUU no ucmopuu anmu'lHb/,X .Mame.Mamu­ a . B KH . : Tpyow Hncmumyma ucmopuu ecmecmsoanaHUR u mexnunu , T. 5 , M . , 1955 . 6 8 . H i l d e g a r d L e w y, Origin and development of sexagesimal system of numeration. „J ournal of the American Oriental Society", voi. 6 9 , n r . 1 , 1 9lo 9 . 6 9 . M . H . B hi r o il c K H ii: , Mame.Mamut>a 6pesnux 6asUJ!OHRH , «YcnexH !\laTeMaTn:qeCKHX HayK )) ' 19lo1 , ;N'� 7-8 . 70. E . 1\1 . B r u i n s, Nouvel les decouvertes sur Ies mathematiques babylo­ niennes, Paris, 1 952 . 7 1 . O. N c u g e b a u e r, The exact sciences in antiquity, 2 d e d . , Brown University, Press, 1957. 72. S. G . M o r l e y, The civilization of Maya, Californ ia , 1 9 lo 6 . 7 3 . J . E . T h o m s o n, Maya arithmetics, Washington, 1 9lo1 . 7!t. L. S a t t e r t h w a i t e , Concepts and structure of Maya calendrica arithmetics, Philade lphia, 1 % 7 . 7 5 . r . H . IT o n o B , Ky.11 bmypa mo'lHOeo 3HaHUR 6 ope6He.M llepy , flrp . 1922 . 7 6 . r e p o p; o T ' HcmopUR 6 Oe6Jtmu imueax ' nepee . . r . Mm�eHKO ' M . , 1 888 . 7 7 . A p H c T o T e JI h , Memarf>uau1>a, nepee . A . O . Ry6H�Koro , M . -JI . ' 193lo . 78. Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii, ed. G . Friede lein, Leipzig, 1 87 3 . 7 9 . G. M i l h a u d , Nouvel les etudes SUI' l'histoire d e la pensee scientifique, Paris , 19 1 1 . 80. T h . H o p f n e r , Orient und Griechische Phi losophie, Le ipzig, 1925. 81 . A . F r a i e s e, La matematica nel mondo antico, M i lan, 1 951 . 6 eeo rf>pae.Menmax U C6UOemeJ!bCm6ax iJpe6HoCmu , 82 . L( e M O K p H T M 1935 . 83 . K. V o g e l, Bei trage zur griechischen Logistik, Miinchen, 1 93 6 . -

-

-

-

„

235

84. K. R e i d e m e i s t e r, Die Ari thmetik der Griechen, Leipzig - Ber­ lin, 1 940. 85 . II JI a T o H , IIo.A umuna u.au zocyaapcmeo , CoJ1,ua nocJ1,eaosame.11eM /IJ1,amona? , B HH . : Hcmop ur>o-Mame.Mamuozo « Hau , B liH . : H . r e ii: 6 e p r , Ilepee . 11 . IO . Tn:MqeHKo , Op;ecca , 1 909 . 1 08. T. H e a t h, A ltistory of Greek Matltem.atics, Y o l . 1 - 2 , Oxford , 1 9 21 . 109 . A r c h i m e d f' , De l'equilibre des planes ou des contres de gravi te de

planes, Oeuvres comp le tes, trad. P. Ver. Eecke , Pari� - Bruxe lles, 1 9 21 ,

1 1 0 . A r c h i m e d e , La quadrature de la parabole, Oeuvres comp lil tes , trad. P. Ver Eecke , Paris - Bruxel les, 1 9 21 .

236

1 1 1 . A . l i . IO Ul li e B li 'I , o .Memoae UC'tepnbt6anusi apeenux MameMamu1>06 , B KH . : TpyiJM coeeu+attllJt no ucmopuu ecmecmBoananllJt , M . , 1 9 48 .

1 1 2 . A p x li M e A a p;ae KHllrll : O w ape u 1.fUAUtt8pe , JfaMepenue 1>pyza u .11e.M.Mbf , nepeB . li> . IleTpyUieacKoro , CIT6 . , 1 823 . 1 1 3 . A r c h i m e d e , D es spira le.�. Oerwres co mp l e tes , tra d . P. \"tr Eecke , Paris - Bruice lles, 1 921 . 1 1 4 . 11 . r . B a Ul M a K o B a ' JI. uue ucc.1eâoBaHllJt , Bblll . 5 , M . , 1 953 . 1 1 5 . A p X ll M e p; , O n.11aBa10u+ux me.11 a x, B KH . : A p X ll M e )l; , c T a B li H , r a JI li JI e tt , IT a c K a JI b , H a't aJ! a zuopocm a­ mu1>u, nepea . li np llMe'I . A . H . L(oJiroaa , ll3)1; . 2 , M . - Jl . , 1933 . 1 1 6 . A p x li M" e A , Jfa.Mepenue 1>pyz a , B KH . : li> . P y A li o , O 1>eaopa­ mype 1>pyza , cocTaBllJI li>. Pyp;llo , nepeBOA noA peAa1-n1llefi li c npllMe­ 'laHllHMll C . H . BepHUITefiua, llJA . 3 , M . -JI . , 1 9 3 6 . 1 1 7 . A p x li M e ;i; , 11c•rncJieHlle neC'lllHOK ( «flcaMMllT » ) , nepea . li npll Me'I . r . H . Ilonoaa, M . -JI . , 1932 . 1 1 8 . A . q B a .-1 li H a , ApxUMed , M . -JI . , 1934 . 1 1 9 . C . H . .TI y p b e , ApxuMea , M .-JI . , 1 94 5 . 120 . B . li> . K a r a H , Apxu.Mea , M .-JI . , 1 9 49 . 1 21 . A n o JI JI o H li tt IT e p r c K li fi , Honu11ec1>ue ce'teHllJt c 1>0.M.Menm . Eemo1>1lJt , nepeaop; 11 . Hrop;llHCKoro - «11aa . Ceaepo-KaaKaaclioro YHllBepcllTeTa •> , T . 3 ( 1 5 ) , PocToB m./ll, . , 1 9 2 8 (nepable 20 npep;Jio­ m.euutt KHllrll I ) . 1 22 . A p o 1 1 o n i u s d e P e r g a , Les coniques, traci . P . Vn Eecke , Bruges, 1 9 2 3 . 1 23 . B. A. P o a e H e JI b p; , I'e0Mempu11ec1>ue npeo6paaoeanllJt 6 p a6omax Jleonapoa au.aep a , B KH . : Jfcmop u1>0-Mame.Mamu11ec1>ue ucc.11e80BaHUA , Bhln . 1 O , M . , 1 9 5 7 . 1 24 . M . K r a u s e , Die Splt 'irik von Mene lao.� aus A lexandrien in der Ver besser ung von A bu Nasr _Mansur b. 'Ab'i b. 'frăq. mit Untersuch un­ gen zur Gesclr iclt /e des Te.1·tes bei den i.� /amischen Mathematiker, Berlin , 1936.

1 2 5 . N i c o m a c h u s n [ G e r a s a , lntroduction t o Arith me t ic , transl. M . L . D' Ooge , Ann . Arbor, 1 9 3 8 . 1 26. P t o 1 o m ii u s , Syntaxis malhernatica, ed . .J . l . . He iberg, Bd . 1 2 , L e i pzig,

-

1898.

li tt , ,l(ecsimb r.:nuz 0 6 apxwne1>myp e , nepea . CI> . A . l le ­ TpOBCKoro , M . , 1 9 3 6 . :M . C a n t o r , Die riimischen Agrimensore11 u11d ilire Stellung in der Fe ldmessk1rns/, Leipzig, 1 8 75 . H e r o A 1 e x a n d r i n u s , De mensuris, Opera quae supersunt omnia, ed . J . L . He iberg , t . 5 , Leipzig, 1 91 4 . I d e m Geometrika, Opera quae sttpersunt omnia, t . 4 , e d . J . L . H e i­ berg, Leipzig, 1 9 1 2 . P a p p i A 1 e x a n d r i n i , Col l ec ti o ns q11ae mpers1 m t , e d . F . Hultsc h , B d . 1 - 2 , Berlin, 1 87 7 . D i o p h a n t e d ' A 1 e x a n ci r i e , Les .� ix livres aritlrmetiques e l la livre de no m bres po l ygo nes , trad . P . Ve r Eecke , Bruges, 1 9 2 8 . G . L o r i a , /,e scienze esa l/e ne l / ' a 11 tica Grecia, M i lano , 1 9 1 lt .

1 2 7 . B li T p y B 128. 1 29 .

.

130.

1 31 . 132. 133.

,

.

237

INDICE DE NUME

Agrippa :Marcus Vipsauius (63-1 2 î . e . n . ) 202 Ahmes ( aproximativ 2000 î . e .n . )

1 23-1 2 7 , 1 3 0 , 1 3 2 , 136-1 3 7 , 1 4 9 , 1 60 , 1 90 , 2 0 8 , 21 2 , 226-227 , 2 2 9 , 233-234

Aristoxen (secolul al IV-iea î . e .n . )

3 5 , 1 li 8

A l-B iruni (Abu-r-Reihan M u ham­ med ibn Ahmed a l-Birun i , 9731048) 1 53 , 235

Alexandrov G . F . 234 Alexandru Macedon (3 56-323 î . en . ) 128

Ammonius din Alexandria (secolul al V-lea) 2 2 7 Anaximandru ( 6 1 0-543 î . e . n . ) 8485

Apolodor (secolul al I I- iea , î . e . n . ) 1 91

Apoloniu din Perga ( 2 65-1 70 î . e . n . ) 1 3 0 , 1 5 2 , 1 5 7 , 1 64 , 1 7 2 , 1 7 4-1 75 , '1 7 7 , 1 80 , 1 83 , 1 90 , 192 , 1 9 9 , 2 0 6 , 2 0 9 , 2 1 1 , 223- 2 2 5 , 2 2 7 , 23 5 .

.\ pule ius Lucius d i n Madaur (apro­ ximativ 1 35-1 80) 205 .\ rchibald R . C . 231 .\r h imede (28 7-2 1 2 î . e . n . ) 73 , 767 7 , 91 , 101 , 103 , 1 1 7-1 1 9 , 1 2 3 , 1 30 , 1 4 4 , 1 5 3 , 1 6 9 , 1 71 - 1 7 8 , 1 80-1 83, 20 6 , 2 0 9 , 210 , 2 2 2 , 2 2 7 , 2 3 4 , 235 .

.\r h itas

din

Tarent

(aproximativ

4 2 8-365 î . e . n . ) 87, 93, 96, 1 0 9110, 1 1 6, 173.

Aristarh d i n S amos (secolul al I I I-iea î . e . n . ) 1 5 2-1 53 , 166, 1 9 0 ,

203

·

Aryabhata (secolul al . V-lea) 1 53 Assurbanipal (secolul al VI I-iea î .e n. ) 44 Attal I ( 2 41-197 î . e .n . ) 1 78 August (Caius Octavianus Augustus, 63 î . e . n .-1 4 e . n . ) 201-202 Autolikos d in Pitana (secolul al IV-iea , î .e . n . ) 1 52 , 1 82 , 211 Avdiev V . I . 232 Balbus (secolul I e .n . ) 202-203 Başmakova l . G . 1 4 0 , 234-235 B e l l E . T . 231 Bernoulli Jacob (1 654-1 705) 193 Boethius Amicius Manlius Severinus (aproxima tiv ft80-52ft) 229.

230

Bolzano Bernhard ( 1 781-1848) 100 Borozdin I . N . 232 Bortolotti Ettore 231 Boyer C . B . 231 Braunmiihl August von (1 853-1908)

211

.\risteu

(secolul

al

IV-iea

231

Bruins E . M . 59, 233 Bull L. 232 Cajori Florian (1859-1930) 1 7 , 231 Callimah (secolul a l I I I-iea î . e . n . )

î.e.n.)

152, 211 Aristofan (452-380 î . e . n . ) 7 6 , 234 Aristotel (384-322 î .e . n . ) 71, 73-74, 85, 8 7 , 97-99, 1 01-1 0 2 , 1 0 9 ,

239

1 73

Cantor Moritz ( 1 8 29-1 920) 49 ,

79,

1 ft 8 ,

20ft ,

231 ,

9,

24 , 235

Cape lla Martianus M ineus Felix (secolul al V- lea) 228 Casiodor (Magnus Aurelius Cassio­ dorus, aproximativ 4 75-570) 228-229

Ca va lieri Bonave n l ura ( 1 5 9 8-1 647) 1 0 1 , 103, 1 5 5

Cebotarev N . G . ( 1 894-1947) 108 Celsus 203 Cezar I u l i u (Caius J ulius Caesar, 104-44 î . e . n . ) 201-20 2 , 204 Ch ace A. 232 C icero Marcus Tull ius ( 1 06-43 î . e . n . .l 1 54 , 1 8 8 , 1 9 1

C iril ( K yr i llos, 1 1 1 . 11 4'1 ) 225 Co lumella Lucius .l unius Moclera­ t us (secolul I ) 203 C anon d i n Samos (secolul a l 1 1 1- lra î . e . n . ) 1 5 2 , 1 5 7 , 1 63 Co olidge J . L . 231 Copernic ( N i c o la n s Coppern i c u s , 1 4 7 3 -1 5 4 3 )

153

C zw al i na A . 1 7 1 Dai V . I . (1 80 1 -1 872) 232 Damask ias (aproximativ 11 58-3 5 3 ) 227

Dedekind

R i chard

( 1 831-1 9 1 6 )

Ei· i c inus iscrolul al I I i - l ea) 209 Euclid ( secolele IV-I I I î . e . n . ) 71 , 73-7 4 , 8 7 , 89 , 9 1 - 9 2 , 95 -9 6 , 101- 1 1 3 , 1 1 6- 1 2 0 , 1 2 3-1 2 4 , 1 2 6-1 2 7 , 1 30-131 , 1 3 3-1 5 0 , 1 5 4-1 5 5 , 1 71 , 1 73 , 1 7 7-1 7 8 , 1 8 0-1 8 2 , 1 9 1 -1 9 5 , 200 , 205�206 , 2 0 9 , 2 1 1 - 2 1 3 , 21 5 , 222 , 224-230. 234.

Eudem d i n Pergam i s ecolul al I I I-IPa î . e . n. ) 1 7 7 , 2 2 5 , 227 Eudem din Rodos ( seco lul al IV-iea î . e . n . ) 71 , 7 4 , 1 0 6 , 2 2 5 Eudoxus din C n i dos (apt·oximat iv 408-355 î . e . 11 . ) 101 , 103 , 10 91 1 0 , 1 1 2-1 1 3 , 1 1 6 , 1 1 9 , 1 23 , 1 3 9 , 1 4 4-1 4 5 , 1 4 9 , 1 5 2 , 1 5 9 , 1 73 , 1 93 Eutokios (secolul a l V l -lea i . e . n . J 7 6 , 1 2 2 , 1 6 2 , 1 7 3 , 1 7 5-1 7 6 , 1 9 2 , 227

Fermat P ierre ( 1 60 1 -1 6 6 5 ) 9 2 , 1 5 5 ,

144 - 1 45

Democrit

1 81 , 219

(aprox imativ

460-370) 72-73 , 82, 8 7 , 99-10 1 , 103, 1 1 8 , 1 6 5 , 233 92, Descartes Rene ( 1 5 96-1 6 5 0 1 1 80-1 81

D inostrate (seco lul al IV-iea î . e . n . ) 105-1 0 6 , 1 2 1

D i ocles

(secolul

al

I I-iea

i.e.n.)

1 1 0 , 173 , 1 7 5-1 76

D i o dor din A le xandria 1 9 9 , 227 D i ofant (seco l u l al I I I-iea) 75, 76, 1 83-1 8 4 ,

21 3-2 21 ,

224,

235

D i ogene Laert iu (secolul al I I I-iea) 94 ,

100-101 ,

103

D obritzer M. 232 Do mninus ( s e c o l u l a l V-lea) 2 2 7 D ' Ooge M . L . 2 3 5 D orodnov A . V . 1 0 8 Dositeos (secolul al 1 1 1-lea i . e . 11 . J 152,

157,

1 6 0 , 1 6 2-164 .A. 234

Dragunov A Duau (secolele XX-XV I I I î . e . n . ) 35

Ei senstad ter .J . 232 E ngels Friedrich 2 9 , 32, 100 , 1 2 9 , 1 7 1 -1 7 2 ,

231

Epafr6ditus (secolul al I i-lea) 203 Era tostene (2 76-194 î . e . n . ) 1 3 0 , 1 5 5 , 1 60 ,

1 7 3-1 7'•

Fettwe i s E . 231 F i bonacci ( Leonardo P isauo) 105 Fid ius (secolul al I I I- iea î .e . n . ) 154 Filon din Bizan t (secolul a l I I i-lea î .e . n . J 1 1 0

1'' o h t B . A . 234

Fraj ese A . 1 1 4 , 233 Frank F . 8 6 , 234 1'' riede l e i n G. 233 Front inus Sextus J u l ius (aproxima­ t iv 40-103) 203 Galen (aproximativ 13 0-200) 1 2 4 G a l i le i ( Ga l i leo Galile i , 1 5 64-1 674) 100,

235

Gauss Karl Fried rich 1. 1 7 77- 1 8 5 5 ) 21 8

Geminus ilin Rodos (secolul I î . e . n . ) 7 4 , 1 80 , 1 9 2 , 2 2 5

Ghetaldi M;ari11c> (1 56G-1 626) G ilson E . 211 Gregorius (secolul al IX-iea) Guldin Paul ( 1 5 7 7-1 643) 21 2 Giin ther S. 231

1 81 228

Hankel li . ( 1 839-1873) 79 Heath Tho mas L i ttle (1 861-1 940) 155,

234

Hegel G.W . t· . 9 Heiberg .l . l . . 134 , 1 5 5 , 234-2:� ;»

240

Heracl ide (secolul al I I I- iea î . e . n . ) 1 5 4 , 1 80 Heraclit din Efes (aproximat i\" 530470 î . e . n . ) 8 2 , 88 Herodian (secolul al I I-iea) 77 Herodot ( aprnxima t iY 485 -425 ) 71 , 7 7 , 82 , 233 Heron din Alexandria (secolul I î . e . 11 . ) 76, 1 10 , 1 3 0 , 1 6 8 , 1 84 , 20 2 , 204, 208, 225 , 230, 235 Heron Metricul (secolul I I 202 Hieron (secolul a l I i i-lea î . e . n . ) 1 54 H�·ginus (secolele 1-1 I ) 1 8 8 , 203 H i parh ( secolul al I i- lea î . e . n . ) 1 89-1 91 , 1 9 9 , 206, 227 Hipatia (3 70-41 5) 224-225 H i pocrate din Chios (seco lul a l V-lea î . e . 1 1 . ) 10 6-1 0 8 , 131 , 1 3 4 , 1 73 H i ppas d i n Metap o u t (secoleh• VI-\" i . e . n . ) 86, 97 Hippias d i n E l is ( secolu l al V-lea î . e . n . J 1 04-1 0 5 , 121 , 222 H i ps icle (seco l u l al I I-iea î . e . 11 . ) 90, 111, 149, 1 73 Hobbes Thomas ( 1 588--1 679) 131, Hofmann J . E . 232 Ho mer (secolele I X -V i l I i . e . n ) 7fi , 86 , 2 3 2 H opfner T h . 233 HroznY Bedr ich 61 , 235 H u lts�h F. 235 Iagod i nski I. 235 lamblie (aproxi mativ 250--3 25 1 92 , 1 73 , 222-223 lanovskaia S . A . 233 I bn Iraq (Abu Nasr Mansur ibn lraq , s e c o lele :X:-:X: I ) 235 lmhotep (secolele I I I-I I î . e . n . ) 3:1 I s idor d in Alexandria ( secolul a l V I - le a ) 1 50 , 2 2 7 I s idor d in M i let (seco lul al Vl-lea) I s ocrate (secolele V-IV î . e . n . ) 71 Iustin ian (483-565) 227 Iuskev i c i A . P . 5, 7, 1 5 9 , 235 IuŞkev i c i P . S . ( 1 873-1 %5) 235 Jul ian Salvian (secolul al I i- lea) 205 Karpov V . I . 75, 234 Kepler Johann ( 1 5 7 1 -1 630) 1 0 3 , 1 23 , 1 5 5 , 1 82 Ko lman E . l . 5 , 7 Kolmogorov A . N . 5, 231 Kosven M . 232

Kramer S . !\i . 23 3 Krause M . 235 Las d i n Herm i o n (serole le VI-\" î . e . n . ) 84 Le ibniz Go t t friecl Wi lhelm ( 1 64 6 1 716) 99, 1 3 4 , 1 5 5 , 159 Len in Vlad i m i r Ilici 9 , 97-9 8 , 100 , 231 Leon (secolul al I V-iea î . e . n . ) 131 Leonardo Pisano (aproximat i\· 1 1 70-1 230) 105 Lhv-Br u h l L . 10, 232 Lew0y H i ldegard 50, 233 L i pper t Ju lius 1 6 , 232 hanoviri Lobacevs ki N ikolai (1 792 -1 85 6) 1 3 6 Loria G i n o 2.22 , 2 3 2 , 23;-, Lurie S . l . 234 Macrob ius Ambrosius Theodos ius (secoleh• V-V I ) 228 Mais trov L . E . 1 4 9 , 231, MalC' ţki A . 234 Man n ing H . P . 232 Ma1· i n o s din !'leapole (seeolnl al V-lea 227 Marinos di11 T;vr (secolul I J 1 81 , 201 Marit.in J. 211 Marcellus Marc us Claud ius (m. 208 î . e . n . ) 1 54 Marx Karl 9 , 27, 32-33 , 1 00-1 1 1 , 231 Meillel Anl o i ne 232 Menechmus (seco lul al I V-iea î . e . n . ) 105 , 1 1 0 , 1 1 2 , 11 4-1 1 5 , 1 2 1-1 2 2 , 1 6 2 , 1 73 , 1 7 8 M e n e lau din Alexandria, (secole le 1- 1 1 ) 1 92-1 94, 1 9 8 , 2 1 1 , 235 Menn inger K . 232 Metrodor ( secolul al V I-le a ) 2 1 :1 M icitei P . H . 234 M ikluho- Makla i N . N . ( 1 849-1 888) 1 5 , 232 M i lhaud G. 233 M iscenko F . G . 235 Mo�l ods i V . N . 149 , 243 Mor!e,: S . G . 233 Mord�h a i-Boltovski D . D . ( 1 8761 952) 134, 1 51 , 234 Morgan J. 1 3 , 232 Neugebauer Otto 45, 49 , 5'i, 5!l, 1 8 9 , 233 ::\ewt on I. 155, 1 59

241

N i coma h (secolul I ) 80 , 194-1 9 5 , 205 , 222-2 2 3 , 2 2 7 , 229 , 237 N icomede (secol u l al I i-lea î . e . n . ) 1 73-1 75 Nipsus Marcus .J unius (secolul a l I I-iea) 203 Pappus (secolul al I i i-lea) 1 1 0-1 1 1 , 131 , 151-1 5 2 , 1 6 8 , 1 74-1 75, 1 80-1 81 , 1 9 2 , 205 , 209-2 1 2 , 2 2 2 -2 2 3 , 235 Parmenide (secolu l al V-lea î . e . n . ) 97 Pascal Blaise (1623-1662) 175, 235 Pascal Etienne ( 1 5 88-1 651) 175 Pavlov I . P . (1 849-1 936) 10, 232 Peet T . E . 232 Pe iton (secolul a l IV-iea) 223 Pell J . (1 610-1 685) 1 69 Perepiolkin I . I . 43 Pervuşin Ivan M iheevici (1 827-1 900) 1 43 Petrovski F .A. 235 Pe truşevski F . I . (1 785-1848) 235 Peyrard F. 234 Pitagora ( secolul al VI-lea î . e . n . ) 84-86, 8 8 , 91-95, 1 3 8 , 1 40 Platon (429-348 î .e .n . ) 74-75 , 82 , 86 , 93, 100, 1 0 9 , 1 1 1 , 1 1 6 , 1 30-131 , 1 34-1 3 6 , 1 4 9 , 1 68 , 1 7 9 , 2 2 2 , 225-226, 234 Pl inius Gajus Secundus Maj or 23-79) 1 86 , 202 Plotin (204-269) 222 Pl utarh (aproximativ 50-1 20) 94, 110 Popov G . N . 233 , 235 Porfiriu ( 233-3 0 4 ) 191-192 , 225 Posidon iu 135-51 î.e.n.) Proclus 71 , 74, 94 , 103 , 1 3 1 , 1 3 8 , 1 5 1 -1 5 2 , 1 7 4 , 1 81 , 1 91-192, 200, 225-227, 233 Protagora (480-411 î . e . n.) 101 , 1 1 0 , 134 Ptolemeu I Soter (m. 283 î . e . n . ) 131 173--1 74 Ptolemeu I I I Evergetul (m. 222 î . e . n . ) 1 73-1 74 P tolemeu IV P h i l opator ( m. 204 î . e . n ) 1 7 3 , 174 Pto lemeu Claud iu (secolul al I i-lea , 1 90-1 91 , 1 95-201 , 205-206 , 223, 225-2 2 7 ' 235 Reideme ister Karl 234 ·

Rey Abel 97 Rhind He nry 35, 232 Rozenfeld B.A. 7 Sachs 233 Sarton George 232 Satterthwaite L . 233 Schrader O 232 Serenus (secolul a l IV-iea) 223 Sesostris (secolul al I i-lea î . e . n . ) 71 S i mplicius (secolul al V I-lea m. 549) 1 0 9 , 201 , 227-2 2 8 , 234 Smith D . E . 232 Socrate (469-399 î . e . n . ) 1 1 1 , 114 Sos igene (secolul I î.e . n . ) 202 Sporus (secolul al I I I-ie a ) 1 1 0 , 222 Stev in S i mon (1548-1 620) 235 Stocks .J . L . 234 Struik Dirk .Jan 234 Struve V . V . 35, 232 Tabit ibn Korra (Abu-1-Hassan Ta­ bit ibn Korra a l- Harra n i , 826901 ) 92 Tales (aproximativ 624-548 î . e . n . ) 82-84, 9 5 , 1 3 6 Tannery Paul (1 843-1904) 7 9 , 84 , 1 92 , 234 Taylor E. 232 Tectet din Atena (secolul al IV-iea î . e . n . ) 1 1 0 , 1 1 6 , 1 4 6 , 148 Teodor d in Cyrene (secolul al V-lea î.e.n.) 110, 116 Teodosiu (secolul a l I i-lea î . e . n . ) 1 81 -1 8 2 , 1 93 , 2 1 1 Teon d i n Alexandria (secolul a l I V-iea) 1 5 2 , 1 7 6 , 1 9 5 , 223-224 Teud ius din Magnes ia (secolul al IV-iea î . e . n . ) 1 3 1 Thoma din Aquino (aproximativ 1 225-1 274) 2 1 1 T imar idas (secolul al IV-iea î . e . n . ) 222 Timcenko I . I . (1 862-1 939) 50 , 234 Tit Liviu (59 î.e n . -1 7 ) 1 54 , 228 Thureau-Dal1gin F. 45 , 232 Tolstoi, Lev N ikolaievici (1 8281 910) 234 Traian (Marcus U lp ius Tra i a n u s , . 53-1 1 7 ) 204 .

Tropfke Johannes (1 866-1 939) 232 Turaev Boris Alexandr o Y i c i (1 868- · 1 920) 35, 232

242

Ulpian (aproximativ 1 75-2 28) 204 Varro Marcus Terentius (aproximativ 1 1 6-27 î . e . n . ) 188, 202 Ver Eecke P. 235 V erg i l i u (70-1 9 î . e . n . ) 228 Veselovski I . N . 50, 1 4 2 , 232 Victorinus (Victorius) 228 V i ct o riu s (secolul al V-lea) 228 Viete Frani;ois (1 540-1 603) 6 V in c i Leonardo da ( 1 452-1 519) 110 V i tru viu (secolul I î . e . n . ) 103 , 202-203 , 235 Vitruvius Rufus (secolele VI-V I I ) 1 03 , 202-203 , 235 Viviani V i ncenzo (1 622-1703) 1 93 •

V i god s k i M . l . H . 9 , 233 , 234 Vogel K . 233 Waerden B . L . ,·a n der 41 , 99 , 233-234 Wallenius Martin .Tohan (1731-1773) 108 Wundt W . 1 7 , 2 3 2 Zenodor (secolele I I I- I I î . e . n . ) 1 7 3 , 1 76 Zenon Elea tul ( secole le al V-lea i . e . n . ) 97-101 Zenon din Sidon (secolele I I I-I I î . e . n . ) 191 , 225 Zeu lhen H ieron:v mus Georg (1 8391 9 20) 99, 1'.0 , 1 61„ 182 , 231

C U P R I N S

Prefaţă Ca p i t o 1 u 1

5 I . ApariJia

matematicii

........................

:'ll a şterea m a tema t i c i i ( 9 ) . Prime le n umerale (1 1 ) . rea u lterioară a numerelor (14 ). E x p rimarea grafică a (21 ) . Apariţia operaţiilor matematice (24 ) . Apariţia geometrice (26) . Astronomia primitivă şi importanţa matematică (28) . C a pi t o 1 u 1

mergătoare

I I. Matematica vechilor greci . .

în

societatea

9

Dezvoltanumerelor noţiunilor ri pentru

sclavagistă

pre-

.... .. .. .... ........ . . ..........

30

:-;oc ietatea sclavag istă t impurie (30) . Matematica societă ţ i i scla­ vagiste timpurii (31 ) . lin-oarele istor ice (32) . Matematica egipteană (33) . S istemul de nu meraţie la egipten i (34) . Matemat ica în �colile de scribi (35) . Operaţ i ile aritmetice (35) . Fracţ i ile egiptene (37 ) . Probleme de aritmetică (39) . Probleme de geometrie (41 ) . N i velul general al matematicii egiptene ( 42) . :\la­ tematica în Mesopotamia a ntică. Condiţi i le sociale ( 43 ) . Şcolile ele scrib i sumero-b a b i lonene . Izvoarele (44) . S istemul de nu­ meraţie (46) . Operaţ ii le aritmetice (51 ) . Probleme de arit­ met ică şi rezolvarea lor (53 ) . Probleme ele geometrie (54) . „ Ecuaţiile" bab ilonienilor (5 6 ) . N ivelul genera l al matematic ii babi lonene (59) . Matemat ica a ltor popoare din Orie ntul Apropiat (60) . Matemat ica �i numeraţia la poporul maya (fi3) . Mate­ mat ica la azteci şi incaş i (66) . Conc l u z i i generale as upra dez­ voltării matematicii în soc ietatea sclavagistă t impurie (67) . C

a

p i t o 1 u 1 I II.

Matematica

În Grecia ontică

Cond iţiile sociale în Grec ia a n t ică · (69) . Caracterul matematicii antice greceşt i . Izvoare ( 70) . Logist ica greacă ( 7 5 ) . N umă­ rarea la gre c i i antici (76) . �umeraţia (7'i) . Tabelele (80) . Şcoala d in M i let (82) . Şcoala pitagoreică (85) . :Matematica ş i numeralogia p itagore ici lor ( 88) . :\led i i , proporţi i ş i pro­ gres i i (92 ) . „Teorema lui Pi tagora„ şi mă rimile incomensura­ b i le (93 ) . Apor iile lui Zenon (97 ) . Democrit (99 ) . li ippias din Elis (104 ) . H i pocrate din Chios (106) . Arhitas d i n Tarent

245

69

( 1 0 9 ) . Teodor «;l in Cirene (110 ) . Platon (111) . Teetet d in Atena (116 ) . Eudoxus d in Cnidos (116) . Algebra geometrică. ApliC'a­ rea ariilor ( 120 ) . Aristote l (123) . Ca p i t o I uI

IV.

Matematiea

În

ţările

elenistice

............

Elenismul ( 128) . Şcoala alexandrină ( 128) . Euclid i 1 3 1 ) . Postulatele ş i axiomele lui Euclid ( 1 35 ) . Cărţile plan imetrice ale Ele­ mentelor (13 7 ) . Teoria proporţiilor şi cărţile aritmectice ale Ele­ mentelor ( 1 3 9) . Cartea a X-a a Elementelor ( 14 5 ) . Cărţile stereo­ metrice ale Elementelor ( 1 4 7 ) . Alte opere ale lui Euclid ( 150) . Aristarh d i n Samos (152) : Arhimede (153) . Despre echilibrul p lanelor (156) . Cvadratura parabo lei (157) Despre metodă (160) Despre sferă şi ci lindru ( 1 60 ) . Despre spirale (1 62) . Despre conoizi şi sferoizi (1 6 4 ) . Despre corpurile plutitoare (1 64 ) . Măsurarea cer· cului (165) Numărarea grăunţe lor de nisip (166) . Ipoteze (167 ) , Poliedre semiregulate ( 16 8) . Eratos tene ( 1 73 ) . Nicomede (174) D iocles (1 7 5) Zenodor ( 1 7 6 ) . Apo loniu d in Perga (177) . Secţiuni conice ( 177) . Alte opere ale lui A poloniu ( 180) . Teodosiu (181) . Trăsătu rile generale ale matematicii e lenistice ( 1 82) .

128

.

Ca p i t oI u I V

Matematica

În Jările Imperiului

Roman .

..

. . .

Matematica la romani ( 1 85) . Alexandria în epoca romană ( 18 9 ) . Hiparh ( 1 8 9) . Posidoniu ( 1 9 1 ) . Geminus ( 1 92 ) . Mene lau (192) . N icomah (194) . Claudiu Ptolemeu (195) . Trigonometria lui Ptoleme u(l95) Alte opere ale lui Ptolemeu ( 1 99 ) . Teoria paralelelor la Ptolemeu (200 ) . Lucrările de optică, mecanică, geografie ale lui Ptole meu (201) . Matemat ica la Roma în timpul lui Iuliu Cezar şi August (2 01 ) . Heron (205) . Metrica lui Heron (206 ) . Geometria l u i Heron (2 07 ) Lucrările lui Heron în mecanică ş i optică ( 2 08 ) . Pappus ( 2 09 ) . Diofant din Alexandria (2 1 3 ) . Sporus (222) . Porfirriu, lamblie (222 ) . Serenus (223) . Teon din Alexandria (223) . Hi patia (224) . Proclus (225) . Domninus, Ammonius, Eutokios (22 7) . E levii lui Proclus (2 27 ) Matematica ultimului veac al Imperiului Roman de Apus (228) . Matematica în Italia în timpul ostrogoţilor (228) .

1 85

.

233

B i b l i ografie

Indi

c

e

d

e

n

u m

e .. ...... .......... ......... ... .... ......

239