168 35 13MB
Romanian Pages 488 Year 1963
iug.
Traducere
ANDREI
de
BEI,INSCHI
Îngrijire ştiinţifică
prof.
a
oi v. I I, I E P O P A
Supracoperta şi coperta de P.
VUT,CĂNESCU
A. II.
IO llI RE B IPI
HCTOPllH l\IATEl\IATllKH B CPE]J;HHE BEKA I'OCY,U:APCTBEHHOE 113,!lATEJlbCTBO II31IHO-MATEMATIIqECHOH JIIITEP ATY Pbl
MOCHBa, 1961
PREFA Ţ Ă
Obiectul lucrării de faţă î l consti tuie istoria matematicii pînă la ' începutul epocii Renaşterii . În problema stabilirii perioadelor de dezvo ltare a matematicii , autorii s-au condus după principiul evoluţiei acestei ştiinţe de la o treaptă de abstractizare la alta , mai înaltă, ţinînd seama totodată de varietatea condiţii lor sociale , economice şi geografice . Trăsăturile principale ale acestei periodizări a matematicii sînt exprimate de A . N. Kolmogorov în artico lul M atematica , publicat în !'o lumul 26 al celei de-a doua ediţii a Mari i Enciclopedi i Sovietice . Se poate spune astfe l că în lucrarea de faţă sînt analizate perioada de apariţie a matematicii şi perioada matematicii elementare. Lucrarea este alcătuită din două cărţi . Prima, scrisă de E. Ko lman, este consacrată istoriei matematicii în antichitate . În ea se anali zează apariţia noţi unilor matematice şi dezvoharea maiematicii la popoarele creatoare ale celor mai vechi civilizaţii (egiptenii, babi lonienii, fenicienii , evreii, maya, incaşii şi aztecii; despre matema tica Chinei şi Indiei antice se vorbeşte În capitolele celei de-a doua cărţi, consacrate acestor ţări) ; mai departe se prezintă istoria ma tematicii în Grecia antică, în statele elenistice şi în Imperiul Roman. Cea de-a doua carte , scrisă de A .P. I uşkevici, cuprinde istoria matematicii din evul mediu în China şi India (începînd cu anti chitatea}, în ţările Islamului (ţările arabe , Asia centra lă, Iran, Azerbaidjan} şi în Europa. Istoria matematicii din Orient este expusă în conformitate cu cele mai noi cercetări , în urma cărora au fost descoperi te multe fapte necunoscute înainte vreme, dar care an du.� şi la o nouă concepţie asupra acestei epoci din istorici mate maticii . Bineînţeles, aceste capitole au un volum relativ mare în comparaţie cu ceea ce se propusese iniţial . Unele mici părţi din textul primei cărţi îi aparţin lui A .P. luşkevici , iar din cea de-a doua - lui E. Ko lman.
Expunerea ajunge pînă la începutul seco lului al XV 1- lea . Deşi perioada matematicii elementare se încheie abia în cursul secolului al XV 1-lea, autorii au considerat totuşi necesar să se oprească la seco lul precedent, deoarece în seco lul al XV 1-lea , în embrionul no ii algebre se pregătea descoperirea calculului infiniţilor mici şi al geometriei analitice ; iar activi tatea unui şir de î1wăţaţi , îndeosebi a lui Vie te , a contribuit nemijlocit ln formarea matematicii miirimilor variabile, a ştiinţei despre funcţii şi despre transfornu1rile geometrice. Autorii şi-au propus ca scop să lămurească cu preciidere dezpo[tarea istorică a noţiuni lor matematice iitndamentale, a metodelor şi a algoritmi lor, ţiriînd seama pe cît posibil de tendinţele dezvoltiiri i contemporane a ştiinţei. Noile probleme ce stau în faţa ştânfei con duc la o modificare a perspectivei istorice a trecutului. De pildâ, dezvo ltarea vije lioasă a matematicii calculi;itorii p une acu111 în faţa istoricilor problema de a lumina mai deplin me todele aproximaLive de calcul , începînd cu antichi ta tea. Prezentarea creaţiei diferiţilor învăţaţi este subordonată aces tui scop . Dezvoltarea matematicii se poate urmări pe � ife; i te planuri . Se pot accentua legăturile i nterne în creaţia unui singur om, se poate urmări istoricul problemei, lăsînd deoparte complet sau parţial legăturiJe ei cu altele, se poate vorbi despre istoria unei şcoli ştiinţifice ş.a . ln cartea noastră, consacrată dezvoltării matematicii ca un to t uni tar, străduindu-ne să nu ne îndepărtăm de scopul propus, am menţinut în sfera atenţiei -�i legăturile reciproce dintre ma tematică şi ştiinţele naturii , din tre matematică şi tehnică, dintre matematică şi fi lozofie, precum şi legăturile in ternaţionale , ţinînd seama de particulari tăţile naţionale ale dezvo ltării ştiinţei în diferite perioade de timp. Acest fapt a determinat de la sine ca expunerea noastră să se desfăşoare , în diferitele părţi şi capitole ale lucrării pe planuri multiple - fără să ]nai !'orbim de particularităţi le pur indi viduale , proprii autorilor. Cu toate acestea, principiul conducător al lu crării a fost ideea că speci/icul matematicii ca ştiinţă constă în caracterul deosebit de general şi de abstract al noţiunilor şi metodelor ei şi că, dezvoltîndu-se sub influenţa activităţii practice a oamenilor şi a cerinţelor societăţii (uneori această i nfluenţă manifestîndu-se direct, alteori - doar în ultima instanţă), ea are posibilitatea să dezvo lte în mod independent, într-o măsură sau alta, abstracţiile create de ea . Cu privire la istoria matematicii există o li teratură imensa, dar pînă-n prezent nu se găsesc aproape de loc lucrări de generalizare scrise de pe poziţii marxiste. De aceea, autorii au avut de rezolvat multe pro bleme , care mai fuseseră puse înainte . Se înţelege de la sine că nu considerăm răspunsuri le şi soluţiile noastre ca definitive. 6
CîtePa obser;Jaţii asupra caracterului exp unerii . Referirile din text la literatura de specialitate sînt date între paranteze drepte , iar lucrările propriu-zise , inclusiv primele ediţii ale surse lor, sînt prezentate la sfîrşi tul fiecărei cărţi în „Bibliografie". Transcripţia originală a numelor oamenilor de ştiinţă despre care se vorbeşte e reprodusă în indicatorul alfabetic nominal ; pentru învăţaţii din Orient numele lor a fost transcris fonetic. Crwintele între parante:e drepte din interiorul ci tatelor ne aparţin nouă, sau traducătorilor textelor respective . Antorii mulţumesc prof . B .A . Rozenfeld, care a citit întregul manuscris , precum şi corecturile, şi care ne-a dat un şir de indicaţii foarte preţioase . Autorii roagă pe cititori să trimită obser1'aţiile şi propunerile lor pe adresa Editurii de stat pentru fizică şi matematică : 1\1ocx:ba, B---71, .Henuncx:uu npocnex:m, 15. :'lfoscova 21, februar·ic
1958
E. IWLAIAN A. P. JU.5KEl'ICI
Înainte de a fi dat la cules, am comple tat textul, bazîndu-m ă p e unele lucrări noi publicate de la începutul anului 1958 ş i pînă la mijlocul anului 1960. Cîteva rezultate ale unor cercetări recente au trebuit să fie to tuşi lăsate, limitîndu-mă . l a introducerea lucrărilor respec tive în „Bib liografie" . Relativ )a aceasta, tre buie să spun � i „Bibliografia" nu este exhaustivă. ln operele indicate în „Biblio grafie" , cititorul va găsi însă indicaţii pentru articole speciale care nu au fost prezentate în lucrare . Î mi exprim recunoştinţa faţă de candidata în ştiinţele fizico matematice E . I. Beriozkina, care mi-a făcut cunoscute multe lucrări în limba chineză şi a verificat transcripţia numelor şi termenilor chi nezeşti în ediţia de faţă . Moscova 2 decembrie
1960
A. P.
IUŞKEVICI
INT R O D U C E R E
Încă mult îna inte de descompunerea Imperiului Roman , a început un nou şi mare ciclu de dezvoltare a matematicii în Extremul Orient - în China şi India ; acest ciclu şi-a găsit cont i nuarea în ţări le arabe , în Iran şi Asia centra lă , apoi î n Europa,. si ' a luat sfîrsit aproximativ în seco lele al XV- lea-al XV I-lea. , Î n Babil � nul anti c , matematica ajunsese la o mare dezvo ltare cu 20 de seco le îna i ntea erei noastre . În centrul atent' iei se aflau pe atunci probleme de aritmetică practică , măsurarea unor figuri re lativ simple , iar mai tîrziu , probleme de astronomie care cereau calcule mai complicate . Este caracteristică larga uti lizare în cal eule a unor tabele de înmulţire şi împărţire . Pe un plan de dezvo 1tare mai abstractă , s-a trecut la inversarea unui şir de problem!': mărimi practic date erau luate ca necunoscute , iar cele căutate ca date ; aceasta a fost una dintre premisele elaborării metode lor algebrice . Drept culmi ale realizărilor la babi lonieni se pot cit a : sistemul sexagesima l poziţional d e reprezentare a numerelor în tregi şi a fracţi ilor, mai tîrziu cu utilizarea parţială a semnuhri zero ; rezolvarea prin radicali a ecuaţiilor de gra dul al do i lea şi a sistemelor cu două necunoscute care se reduc la asemenea ecuaţi i ; proce deul iterativ de extragere aproximativă a rădăcinii pătrate cu aj utorul mediilor aritmetice , din aproximări prin lipsă şi[ prin adaos 1 ; aşa -numita teoremă a lui Pitagora. Probabil că au --
1
Ace a s t a este o ipoteză a lui O t t o Neugebauer ş i care constă în urmă
toare le : fie
�
·
=
t1ca
� a
va
" + '3 -2-
ot
o valoare aprox imativă (de exemplu, prin lipsă)
fi o va loare
aproximativă
(prin adaos)
a
VA,
a
VA;
media
( tot d eauna prm va cons titui o va l oare aprox1ma t 1va · r1ps ă) · · •
general mai bună ca ar itme tice armonică) .
�:
•
a:.
atunci aritm.e-
a
VA
,
•
10
Procesul ar pu tea fi continu at (sau, în locul mediei
'3• s-ar putea considera alte medii c a , de exemplu ,
9
media
existat si embri oane de demonstratii ' sub forma unor transformări a lgebri dc şi construcţii gcometric e (în texte ele nu există) . La un nivel ceva mai coborît se afla , parc-se , matematica egipteană . Aici la înmulţire şi la împărţire se folosesc dublarea şi înj umătă ţirea ; operaţii le cu fracţi i se reduc la opera ţ i i cu fracţii cu numă rător unitatea1 ş i la folosirea unui tabel de descompun ere a frac2-- în sume de astfel ele fractii tii ' . Probleme ce ' lor de forma -
2n + 1
-conduc la ecuaţii de gradul a l doi lea lipsesc . Expuneri le d i n tăbli ţele ceramice cu scriere cuneiformă ş i de pe pap irusuri au forma unor prescripţi i , fără nici un fel de fundamentare ; uneori se pre zintă si verificări . În s t adiul ei timpuriu, mate matica grecilor antici preia d i n matematica orientală un bogat material faptic , dar în epoca s a . c lasică d i n seco lele V-I II î.e . n . capătă trăsături principi al noi . În studiile matematice pătrund a dînc demonstraţiile ; ca mijloc ·conducător în descoperirea de a devăruri noi se situează pe primul loc raţionamentul logic, combinat desigur cu observaţia ş i in ·ducţia. Domeni i mari a le matematicii se structurează în sisteme -de ductive , se construieşte o teorie a demonstraţiei matematice , şi toate acestea îşi găsesc expresia în sti lul de expunere al manuale lor didactice şi al lucrărilor ştiinţifice . Prob lemele directe de -ca lcul , după ce dau naştere unei seri i de teorii s uperioare , trec pe ·ultimul p lan . În virtutea unui şir de împrej urări , algebra ecua ţ i i lor de gra dul al doilea apare ca un ansamblu de teoreme geome ;trice privind aplicarea ariilor; descoperirea numerelor iraţionale Aplicată cazului -conduce la
Va•+ b1
(cu
a m u l t mai m a r e
ca
b)
şi
Va•+ b1�a+ b2
a:
=
a,
metoda
-
2a
l n această formă apare aproximată rădăcina pătrată în unele tăbl iţe -ceramice sumeriene. - J.P. · 1 Fără a insista asupra origin ii, ştim că scribii egipteni foloseau numai fracţii cu numărătorul egal cu unitatea (deci inverse de numere întregi), cu . .
2
.excepţia f racţiei -; 3
orice altă
fracţie
trebuia redusă la
ace astă f ormă .
Deo arece înmulţirea era redusă la dublare (ceea ce imp l ică cunl)aşterea fap "tului că orice întreg se poate exprima în bază de numeraţie 2 - deci ca o sumă de puteri ale lui
�n
=
2, 3, . , 50) .
.
2),
-1.P.
scribii egipteni au întocmit tabele pentru
10
2
- -
2n + 1
duce la crearea unei teorii generale a rapoartelor\ dezvo ltată însă doar parţial şi· �
:'1
C1
H rn
�
�
q: .
Sl
'4
�
�
Cc
�
1
s, ;>
')
1
'\
/\
>
„
J K!;fi J . C hiar şi pentru va lori mICI ale lui n aceste corecţii îmbunătăţesc 176
sens ibil aproximările . Astfel, dacă ne vom limita la o exacti 0,785 , Sa = 0 ,825 , iar Sa + K&1l = 0, 775 , tate de m i i m i , ..::._ to aşa incit eroarea prin folosirea corecţiei s-a micşorat de patru ori . Afară d e seria lent convergentă (3) , î n Culegerea ştiinţifică se mai prezintă şi a ltele care dau pentru acelaşi număr de ter meni, aproximări cu mult ma i exacte . Cea mai simplă este seria : =
- 2 -to-
7t
1
1
= 22 - 1 - r.2-= 1 + . . .
( -1 ) n-1
+ (2�) 2 - 1 +
(5)
cu termenul de corecţie dat sub două form e : ,
(- t) n (- t)n K = Kn = 2 (2n + 1)2' n 2[ (2n - 1)2 + 2)
(6)
w
0
Primii doi termeni din (5) dau va loarea O , 767, iar cu . pentru ..::._ to corecţia K; - valoarea 0,787, a căre i eroare este de circa 0,002 . Şi mai comode pentru calcul sînt seriile :
7t to
�I
3
= 3a
1
3
-
56
1
5 +
77
1
-7 -
( 7)
(8)
Va loarea lui 7t în Culegerea ştiinţifidi se exprimă prin frac ţia 104 348/33 215. Fracţia zecima lă coresp unzătoare este 3, 141 592 653 9, unde ne-am oprit la cifra a 11-a ; ea are zece cifre exacte . Acesta este un m inunat succes a I matematicii ca lcu latorii, deşi încă la începutul secolului al XV- iea Djemşid a l- Kaşi , urmînd o altă cale, capătă o aproximare mai exactă (vezi p . 336) . Tot atît de remarcabile ca şi rezultatiele prezentate în Culegerea ştiinţifică sînt şi metodele cu aj utorul cărora s-au găsit aceste i-� zultate . Ni lakanta formulează doar re gulile, dar noi sîntem infor maţi (e adevărat, incomplet) şi despre proce deul pentru ded ucerea lor . O a semenea concluzie o contine lucrarea anonimă Lămuriri în matematică (I ukti Bhaşa) , scri � ă în proză î n prima j urnă ta te a seco lului al XVII- iea în li mba malaialam vorbită şi în ziua de astăz i . Nu există temeiuri să presupunem că atît Nilakanta, cît 12
�
177
şi precursorii sau contemporanii lui necunoscuţi care se ocupau de serii să fi apli cat alte metode decît cele descrise în cartea Lămuriri în matematică. Vom reproduce aceste metode în notaţ ii şi termeni moderni fără a schimba esenta lucruri lor . Ne vom opri � ai î n amănunt asupra C, deducerii seriei genera le a arctangentei ( 1) . D upă cum vom vedea imediat, ro lul prin cipal îl j oacă aici : 1) folosirea triunghiu lui infinitesimal pentru deducerea unei expresii echiva lente cu diferenţ iala arr tangentei, 2) descomp unerea acestei ex presii , avînd formă de fracţie , într-o serie infinită de puteri şi 3) integrarea termen cu termen bazată pe o e galitat� la limită, echivalentă cu integrarea funcFig. 40 ţiei xn pentru n natura l . 1 . Fie BC un arc mic dintr-un cerc d e rază 1 , iar B D şi B1 D 1 perpendiculare pe OC (fig. 40) . Din asemănarea triunghiuri lor : BD
1
-- = -- ,
B1 D
1
O B1
Înlocuind pe BD prin arcul BC, precum ş1 pe OC1 prm OB1 , avem : sau notînd � AOB
=
rp
1
 tg cp
+
tg1 cp
( 9)
2 . Segmentul de tangentă t = tg rp se împarte în n părţ i egale şi fiecăreia i se aplică ega litatea (9) . Sumarea consecutivă şi trecerea la limită, exprimate desigur cu totul a l t fel decît în spiritul vremurilor noastre , dau pentru arrul rp o e galitat e intermediară :
arc tg t
=
lim
n E -+-(-„n.-1) 2 n-1
n ... .., l< � O
178
1
( 10)
Împărţirea de sub semnul sumei se face prm folosirea identi t ăţii :
b c
=
c-b b
1 - -- ·
b c
·
care pentru b
lu = S n +l
atunci,
=
-
_
-
S n-+.., n
4
·
Sn
1)n
=
lim
n-+..,
N� l . Deoarece,
(t) - Kn atunci x = c - !Y a c, această rădăcină este unică1 . Totuşi
:)
=
=
L
G
D
6
Fig.
el n-a observat că pentru !!:.... < b
L
D
64 c
mai pot exista şi alte două
ră dăcini pozitive. Astfel, Khayyam trece pe lîngă descoperirea celor trei rădăcini ale ecuaţiei de gradul al treilea , pe care le des coperă abia G. Cardano la mij locul secolului a l XVI- iea . De altfel , pe desenul lui Khayyam nu-i uşor de observat că mai pot exista încă două puncte de i ntersecţie între A şi K. Ana lizînd 2 5 de forme de ecuaţi i , Khayyam studiază ecuaţii care conţin puteri le inverse ale necunoscutei şi se reduc la cele prece dente. În privinţa ecuaţiei a-,
1
a;3
e l spune că construcţia ei se reduce la determ i narea a patru medii proporţionale între 1 şi a şi a fost dată de ibn al-Haisa m , dar I
Absc i s a punctului
A , adică
x =
.':. , n u satis face ecuaţia b
(4) : ecuaţiile
curbelor, după eliminarea lui y, dau o ecuaţie auxiliară de gradul al patrulea. cu o rădăcină supl imentară !!:_ N.A . b
-
283
-este
prea compl icată pentru a fi prezentată în cartea respectivă . În legătură cu ecua ţia de gradul a l patrulea
x2 + 2x = 2 + 2 . _!_ x2
Khayya m observă că nu se cunoaşte un procedeu pentru rezol varea e _1 . Matema ticienii d i n ţările Islamului se ocupă ş i