Formule Matematica [PDF]

Zitiervorschau

Matematica-bac

Matematica formule bac

1|Page

Matematica-bac

Formule de algebră Ecuaţia de gradul doi Ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 .Se calculează ∆ = b 2 − 4 ac Dacă ∆ > 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite

• •

−b ± ∆ 2a Dacă ∆ = 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula b x1 = x2 = − 2a • Dacă ∆ < 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula date de formula x1 , x2 =

•

x1 , x2 =

−b ± i −∆ 2a

2 • ax + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 ) 2 • Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi ax + bx + c = 0 : b  S = x + x = − 1 2   a   P = x1 ⋅ x2 = c  a  • Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: x12 + x22 = S 2 − 2P

x13 + x23 = S 3 − 3SP Funcţia de gradul doi f :R →R

f ( x ) = ax2 + bx + c ∆   b ,−   2a 4a 

Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V  −

. Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este f min = −

∆ 4a

2|Page

Matematica-bac Dacă a 0, a ≠ 1, b > 0  A loga A − log a B = log a  B loga An = n ⋅ loga A loga b =

logc b logc a

loga b =

1 logb a

4|Page

Matematica-bac loga b = c ⇔ ac = b Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intro egalitate fără logaritm

Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula: P( E ) =

nr. cazuri favorabile nr. total cazuri posibile

Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *. • • • •

∀x, y , z∈ ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y∗ z ) Legea * este asociativă dacă M x ∗ y = y∗ x ∀x, y ∈ M Legea * este comutativă dacă x ∗e = e∗ x = x ∀x ∈ M Legea * are element neutru e dacă x ∈ Un element M se numeşte simetrizabil dacă ∃x′ ∈M astfel incât

x ∗ x′ = x ′ ∗ x = e

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă ax 3 + bx 2 + cx + d =0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 atunci avem: b   x1 + x2 + x3 = − a  c   x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = a  d   x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − a

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem:

5|Page

Matematica-bac b  x + x + x + x = − 1 2 3 4  a  x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x = c 2 3 2 4 3 4  1 2 1 3 1 4 a  d  x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = −  a  e  x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = a 

Formule de analiză matematică Asimptote • Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se

f (x ) . calculează xlim →+∞ Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ • Asimptote oblice Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:

f ( x) x →+∞ x n = lim [ f ( x ) − m ⋅ x ] m = lim x →+∞

Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ • Asimptote verticale Se calculează

lim f ( x)

x → x0 x < x0

şi

lim f ( x )

x → x0 x > x0

.

6|Page

Matematica-bac Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie x = x0 . Derivata unei funcţii intr-un punct: f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0: f ′( x0 ) = lim

y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) Reguli de derivare:

( f + g )′ = f ′ + g ′ ( f − g )′ = f ′ − g ′ ( c ⋅ f )′ = c ⋅ f ′ ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′  f ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ g = g2   Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale funcţiilor compuse

Tabel cu derivatele

7|Page

Matematica-bac

c′ = 0 x′ = 1

( ln x ) ′ =

1 x 1 x ⋅ ln a

( x 2 )′ = 2 x

( log a x ) ′ =

( x 3 )′ = 3x 2

( sin x ) ′ = cos x

( x 4 )′ = 4 x 3 ( x )′ = n ⋅ x n

n−1

1  1 ′   =− 2 x x 1 ′ x = 2 x

( )

( e )′ = e ( e ) ′ = −e ( a ) ′ = a ⋅ ln a x

x

−x

x

−x

x

( cos x ) ′ = − sin x 1 cos2 x 1 ( ctgx ) ′ = − 2 sin x 1 ( arcsin x ) ′ = 1 − x2 1 ( arccos x ) ′ = − 1 − x2 1 ( arctgx ) ′ = 1 + x2 1 ( arcctgx ) ′ = − 1 + x2

( tgx ) ′ =

( ln u ) ′ =

( u 2 ) ′ = 2u ⋅ u ′

( loga u ) ′ =

(u 3 )′ = 3u 2 ⋅ u′ (u 4 )′ = 4u 3 ⋅ u′ ( u )′ = n ⋅ u n

n−1

⋅ u′

u′  1 ′   =− 2 u u u′ ′ u = 2 u

( )

( e ) ′ = e ⋅ u′ ( e ) ′ = −e ⋅ u ′ ( a ) ′ = a ⋅ ln a ⋅ u ′ u

u

−u

u

−u

u

u′ u u′ u ⋅ ln a

( sin u ) ′ = cos u ⋅ u′ ( cos u ) ′ = − sin u ⋅ u′ u′ cos2 u u′ ( ctgu ) ′ = − 2 sin u u′ ( arcsin u ) ′ = 1 − u2 u′ ( arccos u ) ′ = − 1 − u2 u′ ( arctgu ) ′ = 1 + u2 u′ ( arcctgu ) ′ = − 1 + u2

( tgu ) ′ =

Tabel cu integrale nedefinite

8|Page

Matematica-bac

= u=( xx) ++ C C ∫ u′( x)dx∫ 1dx

x 2 u2 ( x) = = +C +C ( x )dx ∫ u( x ) ⋅∫u′xdx 2 2 x3 u3 ( x) 2 2 = = +C +C x )dx ∫ u ( x )∫⋅ ux′(dx 3 3 x 4 u4 ( x) 3 3 = = +C +C x )dx ∫ u ( x) ∫⋅ ux′(dx 4 4 x n +1 n ∫ x dx = n +u1n++1 (Cx ) n = +C ∫ u ( x) ⋅ u1′(dxx )dx n + 1 ∫ = ln x + C u′( x ) x ∫ u( x ) ∫dxe x=dxln=ue(xx+) C+ C

∫e ∫e

u( x)

u( x) x u ′( xe −)dx dx==e−e− x++CC

∫

sinuxdx ( x )=⋅ u−′ (cos x )dxx + =C − cos u ( x ) + C ∫sin cosuxdx + C= sin u ( x ) + C ′ ( x )xdx ( x )=⋅ usin ∫ cos u1′( x )dx = tgx + C dx = tgu( x) + C ∫ cos cos ux( x ) 22

u1′( x )dx = − ctgx + C ∫∫ sin sin22 ux( x ) dx = − ctgu( x) + C 1 1 x 1 ( x) = arctg +uC ∫∫ x22 u+′(ax2) dx2 dx +C a= arctg a u ( x) + a a a 1 1 x−a = ln 1 u( x+) −C a ∫ x 2 u−′(ax2) dx dx 2 a x + a = ln +C ∫ u2 ( x) − a 2 2a u( x ) + a 1 = ln x + x2 + a2 + C ∫ x 2u+′( xa)2 dx dx 2 2 ∫ u 2 ( x) + a 2 = ln u′( x) + u ( x) + a + C 1 2 2 ∫ x 2u−′( xa)2 dx = ln x + x − a 2 + C 2 ∫ u 2 ( x) − a 2 dx = ln u( x) + u ( x) − a + C 1 x dx = arcsin +C ∫ a 2u−′( xx)2 a u( x ) ∫ a 2 − u 2 ( x) dx = arcsin a + C

( (

)

)

u ′( xx)dx = a−ex − u ( x ) + C ∫ a dx = lnua( x )+ C a u( x) ∫ a u′( x )dx = ln a + C Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este: −u ( x )

∫ f ( x ) g ′( x )dx =

f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′( x ) g ( x ) dx

Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:

∫

b

a

b

f ( x ) g ′( x )dx = f ( x ) g ( x ) ba −∫ f ′( x ) g ( x )dx a

Aplicaţii ale integralei definite • Aria subgraficului unei funcţii Dacă f : [a, b] → ¡ este o funcţie continuă pozitivă atunci avem: b

A( Γ f ) = ∫ f ( x )dx a

9|Page

Matematica-bac Schimbarea de variabilă Fie I,J două intervale din R şi fie

şi f două funcţii

cu proprietăţile 1. este derivabilă pe I; 2. g admite primitive (fie G o primitivă a sa). Atunci funcţia admite primitive pe I, iar funcţia primitivă a lui , adică

este o

Aplicaţii ale integralelor în Geometrie Calculul ariei unor suprafeţe plane Dacă G este subgraficul funcţiei continue f:[a,b]->R+, atunci aria lui G este

Lungimea graficului unei funcţii

10 | P a g e

Matematica-bac Lungimea graficului funcţiei f:[a,b]>R derivabilă cu derivata continuă, este

Aria laterală a unui corp de rotaţie Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are aria laterală egală cu

Volumul unui corp de rotaţie Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are volum şi

Criterii de convergenta a unui sir : Teorema de convergenta cu astfel incat

:

11 | P a g e

Matematica-bac

Criteriul majorarii : Daca si

Criteriul clestelui : Fie conditiile:

ce indeplinesc

-

Atunci sirul

converge la limita

Criteriul lui Weirstrass: orice sir monoton si marginit este convergent.

Limita in cazul inegalitatilor : Fie convergente si

- siruri atunci :

12 | P a g e

Matematica-bac

Criteriul Cauchy-d’Alembert (criteriul raportului ):

Fie sirul

Sirul

are limita si

Convexitatea functiei : Fie interval

convexa pe interval

daca : ;

Concavitatea functiei : Fie interval daca :

concava pe interval ;

13 | P a g e

Matematica-bac Diferentiala unui functii : Fie functia derivabila

si Pentru

apropiat de

si

Notam

Se numeste diferentiala functiei

in

punctul

Functii continue :

Fie functiile continue in

:

, (daca

),

,

continue in Proprietatea lui Darboux : Fie continua : daca :

interval. Functia

are proprietatea lui Darboux pe interval 14 | P a g e

Matematica-bac

Pentru

situat intre

ecuatia

si

are cel putin o solutie

in

intervalul

Proprietati functii continue : Teorema Weierstrass : orice functie continua pe un interval inchis si marginit este marginita si isi atinge marginile. Lema Bolzano : pe

Daca

si

continua punctul

astfel incat Semnul functiei : daca o functie este continua pe un interval si nu se anuleaza pe acel interval,atunci pastreaza acelasi semn pe tot intervalul.

Functii derivabile : Fie functia si

punct de acumulare pentru

.

are derivata in

daca

si se noteaza cu

15 | P a g e

Matematica-bac

Derivata la stanga : Fie

,

pct de acumulare ptr

daca exista si e finita Derivata la dreapta : Fie

,

pct de acumulare ptr

daca exista si e finita Functii trigonometrice directe : Fie daca daca nu are limita

Fie daca

16 | P a g e

Matematica-bac

daca nu are limita

Fie

daca

daca Fie daca daca

Functii trigonometrice inverse :

17 | P a g e

Matematica-bac

Fie daca Fie daca

Fie daca

daca daca

Fie daca

18 | P a g e

Matematica-bac

daca

daca Interpretarea geometrica a derivatei : Fie si - daca functia este derivabila in tangenta in punctul de abscisa este

, graficul lui

admite

, panta tangentei

si

ecuatia tangentei la grafic in

este :

, - daca

sau punct de inflexiune al

graficului lui

19 | P a g e

Matematica-bac

; ;

20 | P a g e

Matematica-bac punct de intoarcere al graficului lui

.

; ;

punct unghiular al graficului lui

.

Limite de functii : Punct de acumulare : Fie Punctul

o submultime nevida a lui R.

= punct de acumulare pentru multimea

daca,

vecinatate a lui

contine cel putin un element din

. 21 | P a g e

Matematica-bac

Limita functiei intr-un punct :Fie functia punct de acumulare. Definitie Heine : ,daca sirul

=limita functiei

si

-

in punctul

sir al valorilor

Limite laterale : Limita la stanga : Fie

,

pentru multimea Pentru

-pct de acumulare

. sir

avem

22 | P a g e

Matematica-bac Limita la dreapta : Fie pentru multimea

,

-pct de acumulare

. Pentru

sir

avem

Limita functiei constante :

Fie

Limita functiei exponentiale : Fie

Daca :

23 | P a g e

Matematica-bac

Daca :

Limita functiei logaritm : Fie

Daca :

24 | P a g e

Matematica-bac Daca :

Limita functiei polinomiale :

Limita functiei radical : Fie

punct de acumulare

25 | P a g e

Matematica-bac Pentru

Fie

Pentru

Pentru

Operatii cu siruri ce au limita : Fie sirurile limita finita sau infinita. Adunarea : exceptat

cu

caz

26 | P a g e

Matematica-bac

Inmultirea :

caz

exceptat

Impartirea :

caz exceptat

Radicali :

pentru

Puteri :

caz

exceptat Logaritmi : Se adopta conventia : ;

Operatii cu siruri convergente: Fie sirurile

27 | P a g e

Matematica-bac

Adunarea :

Inmultirea :

Impartirea :

Inmultirea unui sir cu o constanta : Fie sirul

si

constanta

Sirul modulelor : Siruri cu limita limita

: Un sir rangul

are astfel incat

pentru 28 | P a g e

Matematica-bac , daca fiecare vecinatate a lui ,contine toti termenii sirului,cu exceptia unui numar finit dintre ei.

sau sau Siruri cu limita limita

: un sir

are

rangul

astfel incat

pentru , daca fiecare vecinatate a lui ,contine toti termenii sirului,cu exceptia unui numar finit dintre ei.

sau sau

Proprietatea lui Darboux : Fie continua : interval daca : Pentru ecuatia

un interval. Functia

are proprietatea lui Darboux pe

situat intre

si

are cel putin o solutie

in

intervalul 29 | P a g e

Matematica-bac

Reguli de derivare :

Regulile lui L’Hospital : Fie Daca :

derivabile pe intervalul

sau

30 | P a g e

Matematica-bac

exista

si

Caz

: Daca :

si

caz

sau

caz

Caz

: Se

calculeaza :

; ;

Caz egalitatii

: Se calculeaza conform ; 31 | P a g e

Matematica-bac

tip Teorema lui Fermat : Fie punct de extrem din interval. Daca

,

interval , este derivabila

in

zerourile functiei – puncte critice

32 | P a g e

Matematica-bac Puncte de extrem ale functiilor :

Fie

punct de maxim absolut al lui

daca : puncte de minim absolut al

lui

daca :

Teorema lui Lagrange ( a cresterilor finite) :Fie Daca : pe ; derivabila pe astfel incat :

continua

exista punctul

formula lui Lagrange

33 | P a g e

Matematica-bac

Consecinte ale teoremei lui Lagrange : I.

Daca

are derivata nula pe un interval

constanta pe acel interval. II. Daca au derivatele egale pe un interval difera printr-o constanta pe acel interval :

III.

Fie

Daca :

derivabila ;

ele

interval crescatoare pe

descrescatoare pe strict crescatoare pe 34 | P a g e

Matematica-bac strict descrescatoare pe Intervale de monotonie : se calculeaza rezolva care

, se determina intervalele in are semn

constant

se stabilesc intervalele de monotonie.

Punct de extrem local : Daca parte si alta a lui IV.

,se

punct de extrem local.

Fie

Daca :

are semne contrare de o

interval, continua in

;derivabila pe

;

are derivata in Daca

= derivabila in

si

si

Teorema lui Rolle : Fie functia

Daca intervalul

continua pe intervalul

, este derivabila pe

si are valori egale la capetele intervalului

Exista cel putin un punct

pentru care

. 35 | P a g e

Matematica-bac

Intre doua radacini ale functiei derivatei

se afla cel putin o radacina a

.

Formule de geometrie 1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:

cateta 2 + cateta 2 = ipotenuza 2 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:

BC 2 = AB 2 + AC 2 −2 ⋅ AB ⋅ AC cos ⋅ A 3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este: Aria =

l2 3 4

4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele): AB ⋅ AC ⋅ sin A Aria = 2 5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): S = p( p − a)( p − b)( p −c) formula lui Heron 36 | P a g e

Matematica-bac unde p =

a+b+c este semiperimetrul. 2

6)Aria triunghiului dreptunghic este: cateta ⋅ cateta Aria = 2 7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:

a b c = = = 2R sin A sin B sin C unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este: AB = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este  x + x2 y1 + y2  M 1 ,  2   2 10)Vectorul de poziţie uuu r al unui r punct: ur Dacă A(x,y) atunci OA = x ⋅ i + y ⋅ j uuu r

11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB este dat de formula: uuur r r AB = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j 12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula: x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1 sau cu formula: x

y

1

x1

y1 1 = 0

x2

y2 1 37 | P a g e

Matematica-bac

13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A( x0 , y0 ) şi are panta dată m Este dată de formula: y − y0 = m( x − x0)

14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă x1

y1 1

x2 x3

y2 1 = 0 y3 1

15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula A∆ABC =

1 ⋅∆ 2

unde ∆ este următorul determinant x1

y1 1

∆ = x2

y2 1

x3

y3 1

16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă A( x0 , y0 ) este un punct şi d : ax + by + c = 0 este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula: dist ( A, d ) =

ax0 + by0 + c a 2 + b2

17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:

m=

y2 − y1 x2 − x1

18)Condiţia de coliniaritate a doi vectori in plan: ur r r uu r r r Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a ur uu r vectorilor v1 şi v2 este: a1 b1 = a2 b2

19)Condiţia de perpendicularitate a doi vectori in plan: ur r r uu r r r Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Avem: ur uu r v1 ⊥ v2 ⇔ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅b2 =0 (produsul scalar este 0) 38 | P a g e

Matematica-bac 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică: d1 Pd 2 ⇔ m d1 = m d 2

Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi d 2 : a2 x + b2 y + c 2 = 0 a1

b1

atunci dreptele sunt paralele dacă a = b . 2 2 21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu −1 adică: d1 ⊥ d 2 ⇔ m d1⋅ m d2 = − 1

Formule de trigonometrie

39 | P a g e

Matematica-bac

sin 2 x + cos 2 x = 1 sin : ¡ → [ −1,1]

formula fundamental Formule ăa pentru transformarea sumelor in produse trigonometriei

sin( − x) = − sin x cos : ¡ → [ −1,1] cos( − x) = cos x

p+q p−q cos 2 2 p−q p+q sin p − sin q = 2sin cos 2 2 p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2sin sin 2 2

sină p + sin q = funcţia sin este impar

π  sin  − x  = cos x 2  π  cos  − x  = sin x 2  tg ( − x ) = −tgx ctg ( − x ) = −ctgx

2 sin

x x sin 2 x = 2sin x cos x ⇒ sin x = 2sinFormule cos pentru transformarea produselor in 2 2 sume 2 2 cos 2 x = cos x − sin x 1 + cos 2 x 2 x ⋅ cos y = sin( x + y ) + sin( x − y ) sin 2 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − 2sin 2 x ⇒ sin 2 x = 2 x ⋅ cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) cos 2 sin 3 x = sin x(3 − 4sin 2 x) cos( x − y ) − cos( x + y ) sin x ⋅ sin y = cos 3x = cos x(4cos 2 x − 3) 2 cos 2 x = 2cos 2 x − 1 ⇒ cos 2 x =

sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b tga + tgb 1 − tga ⋅ tgb tga − tgb tg ( a − b ) = 1 + tga ⋅ tgb sin x tgx = cos x cos x ctgx = sin x tg ( a + b ) =

40 | P a g e

Matematica-bac 3tgx − tg 3 x tg 3x = 1 − 3tg 2 x ctg 3 x − 3ctgx ctg 3x = 3ctg 2 x − 1

2tgx  sin 2 x =  1 + tg 2 x   1 − tg 2 x cos 2 x = 1 + tg 2 x   tg 2 x = 2tgx  1 − tg 2 x  2  ctg 2 x = 1 − tg x  2tgx Ecuaţii trigonometrice fundamentale 2t  sin x =  1 + t2  2 cos x = 1 − t  x 1 + t2 unde t = tg  2 tgx = 2t  1 − t2  2  ctgx = 1 − t 2t 

1)Ecuaţia sin x = a are soluţii dacă şi numai dacă a ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt x ∈ { (− 1) k arcsin a + k π / k ∈ ¢} .

2)Ecuaţia cos x = b are soluţii dacă şi numai dacă b ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt x ∈ { ± arccos b +2 kπ / k ∈¢} . 3)Ecuaţia tgx = c are soluţii ∀c ∈¡ . x ∈ { arc tgc + kπ / k ∈¢} . Soluţiile sunt 4)Ecuaţia ctgx = d are soluţii ∀d ∈¡ . x ∈ { arc ctgd + kπ / k ∈¢} . Soluţiile sunt sin(arcsin x) = x

  sin(arccos x) = 1 − x 2   ∀x ∈ [ −1.1] cos(arccos x) = x  2  cos(arcsin x) = 1 − x 

41 | P a g e

Matematica-bac Funcţia sinus

sin:R → [ −1;1]

900= 1200=

1 600=

3 22

1350=

450=

2 1 2

0

150 =

1800=

300=

00 3600=

0

2100=

0

225 = 2400=

1 − 2 2 − 23 − 2 270 = -1

3300=

3150=

3000=

0

Exemple:

42 | P a g e

Matematica-bac π 3 sin = 3 2 sin π = 0 sin 0 = 0 π sin = 1 2

3π 4 3π sin 2 sin 2π 7π sin 6 sin

=

2 2

= −1 =0 =−

1 2

Funcţia cosinus cos:R → [ −1;1] 900= 1200=

600=

1350=

450=

1500=

1800= -1

300=

3 2 −1 − − 2 2 2

1 2

0

2 2

3 2

2100=

00 0 1 360 =

3300=

3150=

0

225 = 2400=

3000= 2700=

43 | P a g e

Matematica-bac

π tg : ¡ \ + π k / k ∈ ¢ 2

 ¡→  900=

1200=

1

600=

1350=

450=

1500=

3 3

300=

1800=

00

0

3600=

2100=

3300=

− 2250=

3150=

−1

3000=

0

240 =

3 3

2700=

E Exemple:

− 3

nu are sens n

44 | P a g e

Matematica-bac

Exemple: π 1 cos = 3 2 cos π = −1 cos0 = 1 π cos = 0 2

3π 2 =− 4 2 3π cos =0 2 cos 2π = 1 cos

cos

7π 3 =− 6 2

45 | P a g e