Formule Matematica BAC M2 [PDF]

Zitiervorschau

Formule de analiză matematică Asimptote • Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se

f ( x) . calculează xlim →+∞ Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ • Asimptote oblice Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:

f ( x) x →+∞ x n = lim [ f ( x ) − m ⋅ x ] m = lim x →+∞

Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ • Asimptote verticale Se calculează xlim f ( x ) şi xlim f ( x) . →x →x 0

0

x < x0

x > x0

Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie x = x0 . Derivata unei funcţii intr-un punct: f ′( x0 ) = lim x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0:

y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 )

Reguli de derivare:

( f + g )′ = f ′ + g ′ ( f − g )′ = f ′ − g ′ ( c ⋅ f )′ = c ⋅ f ′ ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ ⎛ f ⎞′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ ⎜g⎟ = g2 ⎝ ⎠ Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale 1 c′ = 0 ( ln x )′ = x x′ = 1 1 x ⋅ ln a

( x 2 )′ = 2 x

( loga x )′ =

( x 3 )′ = 3x 2

( sin x )′ = cos x

( x 4 )′ = 4 x 3 ( x )′ = n ⋅ x n

n −1

1 ⎛ 1 ⎞′ ⎜ ⎟ =− 2 x ⎝x⎠ 1 ′ x = 2 x

( )

( e )′ = e ( e )′ = − e ( a )′ = a ⋅ ln a x

x

−x

x

−x

x

( cos x )′ = − sin x 1 cos2 x 1 ( ctgx )′ = − 2 sin x 1 ( arcsin x )′ = 1 − x2 1 ( arccos x )′ = − 1 − x2 1 ( arctgx )′ = 1 + x2 1 ( arcctgx )′ = − 1 + x2

( tgx )′ =

Tabel cu derivatele funcţiilor compuse

( ln u )′ =

(u )′ = 2u ⋅ u′ 2

( loga u )′ =

(u 3 )′ = 3u 2 ⋅ u′ (u 4 )′ = 4u 3 ⋅ u′ (u )′ = n ⋅ u n

n −1

⋅ u′

u′ ⎛ 1 ⎞′ = − ⎜ ⎟ u2 ⎝u⎠ u′ ′ u = 2 u

( )

( e )′ = e ⋅ u′ ( e )′ = −e ⋅ u′ ( a )′ = a ⋅ ln a ⋅ u′ u

u

−u

u

−u

u

u′ u

u′ u ⋅ ln a

( sin u )′ = cos u ⋅ u′ ( cos u )′ = − sin u ⋅ u′ u′ cos2 u u′ ( ctgu )′ = − 2 sin u u′ ( arcsin u )′ = 1 − u2 u′ ( arccos u )′ = − 1 − u2 u′ ( arctgu )′ = 1 + u2 u′ ( arcctgu )′ = − 1 + u2

( tgu )′ =

∫ 1dx = x + C x2 ∫ xdx = 2 + C x3 2 ∫ x dx = 3 + C x4 3 ∫ x dx = 4 + C x n +1 n x dx = +C ∫ n +1 1 ∫ x dx = ln x + C x x ∫ e dx = e + C

∫e

−x

dx = − e − x + C

ax ∫ a dx = ln a + C x

Tabel cu integrale nedefinite ∫ sin xdx = − cos x + C

∫ cos xdx = sin x + C 1 ∫ cos2 x dx = tgx + C 1 ∫ sin2 x dx = −ctgx + C 1 1 x dx = arctg +C ∫ x2 + a2 a a 1 1 x−a ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C 1 2 2 ∫ x 2 + a 2 dx = ln x + x + a + C 1 2 2 ∫ x 2 − a 2 dx = ln x + x − a + C 1 x ∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C

(

Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este:

∫ f ( x) g ′( x )dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:

∫

b

a

b

f ( x ) g ′( x )dx = f ( x ) g ( x ) ba − ∫ f ′( x ) g ( x )dx a

Aplicaţii ale integralei definite • Aria subgraficului unei funcţii Dacă f : [a, b] → este o funcţie continuă pozitivă atunci avem: b

A( Γ f ) = ∫ f ( x )dx a

• Volumul unui corp de rotaţie Dacă f : [a, b] → este o funcţie continuă atunci avem: b

V (C f ) = π ∫ f 2 ( x )dx a

)

∫ u′( x )dx = u( x ) + C u2 ( x) +C 2 u3 ( x) 2 ′ ∫ u ( x ) ⋅ u ( x )dx = 3 + C u4 ( x) 3 ′ ∫ u ( x) ⋅ u ( x )dx = 4 + C

∫ u( x ) ⋅ u′( x )dx =

u n +1 ( x ) ∫ u ( x ) ⋅ u′( x )dx = n + 1 + C u′( x ) ∫ u( x ) dx = ln u( x ) + C n

∫e ∫e

u( x )

u′( x )dx = eu ( x ) + C

−u( x )

∫a

u( x)

u′( x )dx = − e

−u( x )

+C

au( x) +C u′( x )dx = ln a

∫ sin u( x) ⋅ u′( x)dx = − cos u( x) + C ∫ cos u( x) ⋅ u′( x)dx = sin u( x) + C u′( x ) dx = tgu( x ) + C 2 u( x ) u′( x ) ∫ sin2 u( x) dx = −ctgu( x) + C u′( x ) u( x ) 1 ∫ u 2 ( x) + a 2 dx = a arctg a + C

∫ cos

u′( x )

∫ u ( x) − a 2

∫ ∫ ∫

2

dx =

u′( x ) u ( x) + a 2

2

u′( x ) u ( x) − a 2

2

u′( x ) a 2 − u2 ( x)

u( x ) − a 1 +C ln 2a u ( x ) + a

)

(

dx = ln u( x ) + u 2 ( x ) + a 2 + C dx = ln u( x ) + u 2 ( x ) − a 2 + C dx = arcsin

u( x ) +C a

Formule de algebră Ecuaţia de gradul doi •

Ecuaţia ax + bx + c = 0 .Se calculează Δ = b − 4ac • Dacă Δ > 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula 2

2

x1 , x2 =

−b ± Δ 2a

Δ = 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula b x1 = x2 = − 2a • Dacă Δ < 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula •

Dacă

x1 , x2 =

−b ± i −Δ 2a

2 • ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

• Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi ax 2 + bx + c = 0 : b ⎧ S x x = + = − 1 2 ⎪⎪ a ⎨ ⎪ P = x1 ⋅ x2 = c ⎪⎩ a • Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: x12 + x22 = S 2 − 2 P

x13 + x23 = S 3 − 3SP Funcţia de gradul doi f :R →R

f ( x ) = ax 2 + bx + c Δ ⎞ ⎛ b Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V ⎜ − , − ⎟ . ⎝ 2a 4a ⎠ Δ 4a Δ =− 4a

Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este f min = − Dacă a 0, a ≠ 1, b > 0 loga b = c ⇔ a c = b Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm

log a 1 = 0 log a a = 1 ln1 = 0 ln e = 1 lg1 = 0 lg10 = 1 log a A + log a B = log a ( A ⋅ B ) ⎛ A⎞ log a A − log a B = log a ⎜ ⎟ ⎝B⎠ log a An = n ⋅ log a A log a b =

log c b log c a

log a b =

1 log b a

Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula:

P( E ) =

nr. cazuri favorabile nr. total cazuri posibile

Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.

( x ∗ y)∗ z = x ∗( y ∗ z)

∀x, y , z ∈ M

•

Legea * este asociativă dacă

• • •

x∗ y = y∗x Legea * este comutativă dacă ∀x, y ∈M x ∗e = e∗ x = x ∀x ∈ M Legea * are element neutru e dacă Un element x ∈ M se numeşte simetrizabil dacă ∃x′ ∈ M astfel incât x ∗ x′ = x′ ∗ x = e

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 atunci avem: b ⎧ ⎪ x1 + x2 + x3 = − a ⎪ c ⎪ ⎨ x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = a ⎪ d ⎪ ⎪⎩ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − a

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem: b ⎧ ⎪ x1 + x2 + x3 + x4 = − a ⎪ ⎪x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x = c 2 3 2 4 3 4 ⎪ 1 2 1 3 1 4 a ⎨ ⎪ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = − d ⎪ a ⎪ e ⎪ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = a ⎩

Formule de trigonometrie

sin 2 x + cos2 x = 1 formula fundamentală a trigonometriei sin : → [ −1,1] sin( − x ) = − sin x

funcţia sin este impară

cos : → [ −1,1] cos( − x ) = cos x

funcţia cos este pară

⎛π ⎞ sin ⎜ − x ⎟ = cos x ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − x ⎟ = sin x ⎝2 ⎠ tg ( − x ) = −tgx ctg ( − x ) = − ctgx x x sin 2 x = 2sin x cos x ⇒ sin x = 2 sin cos 2 2 cos 2 x = cos2 x − sin 2 x 1 + cos 2 x 2 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x ⇒ sin 2 x = 2 2 sin 3x = sin x (3 − 4sin x ) cos 2 x = 2 cos2 x − 1 ⇒ cos2 x =

cos 3x = cos x (4 cos2 x − 3) sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b tga + tgb 1 − tga ⋅ tgb tga − tgb tg ( a − b ) = 1 + tga ⋅ tgb sin x tgx = cos x cos x ctgx = sin x tg ( a + b ) =

Formule pentru transformarea sumelor in produse

p+q p−q cos 2 2 p−q p+q sin p − sin q = 2sin cos 2 2 p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2sin sin 2 2 sin p + sin q = 2sin

Formule pentru transformarea produselor in sume

sin( x + y ) + sin( x − y ) 2 cos( x + y ) + cos( x − y ) cos x ⋅ cos y = 2 cos( x − y ) − cos( x + y ) sin x ⋅ sin y = 2 sin x ⋅ cos y =

tg 3x =

3tgx − tg 3 x 1 − 3tg 2 x

ctg 3x =

ctg 3 x − 3ctgx 3ctg 2 x − 1

2t ⎧ ⎪sin x = 1 + t 2 ⎪ 2 ⎪cos x = 1 − t ⎪ 1 + t2 ⎨ x unde t = tg ⎪tgx = 2t 2 ⎪ 1 − t2 ⎪ 2 − 1 t ⎪ctgx = 2t ⎩

2tgx ⎧ = x sin 2 ⎪ 1 + tg 2 x ⎪ ⎪ 1 − tg 2 x ⎪cos 2 x = 1 + tg 2 x ⎪ ⎨ ⎪tg 2 x = 2tgx ⎪ 1 − tg 2 x ⎪ 2 ⎪ctg 2 x = 1 − tg x ⎪⎩ 2tgx

Ecuaţii trigonometrice fundamentale 1)Ecuaţia sin x = a are soluţii dacă şi numai dacă a ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt

x ∈ {( −1) k arcsin a + kπ / k ∈ } .

2)Ecuaţia cos x = b are soluţii dacă şi numai dacă b ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt 3)Ecuaţia tgx = c are soluţii ∀c ∈ . Soluţiile sunt 4)Ecuaţia ctgx = d are soluţii ∀d ∈ . Soluţiile sunt sin(arcsin x ) = x

⎫ ⎪ sin(arccos x ) = 1 − x 2 ⎪ ⎬ ∀x ∈ [ −1.1] cos(arccos x ) = x ⎪ 2 ⎪ cos(arcsin x ) = 1 − x ⎭

x ∈ {± arccos b + 2kπ / k ∈ } . x ∈ {arc tgc + kπ / k ∈ } . x ∈ {arc ctgd + kπ / k ∈ } .

Formule de geometrie 1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:

cateta 2 + cateta 2 = ipotenuza 2 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A 3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este:

Aria =

l2 3 4

4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele):

Aria =

AB ⋅ AC ⋅ sin A 2

5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): S = p( p − a )( p − b)( p − c ) formula lui Heron a+b+c unde p = este semiperimetrul. 2 6)Aria triunghiului dreptunghic este:

Aria =

cateta ⋅ cateta 2

7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:

a b c = = = 2R sin A sin B sin C unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este:

AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este

⎛ x + x y + y2 ⎞ M⎜ 1 2, 1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 10)Vectorul de poziţie al unui punct:

uuur

r

ur

Dacă A(x,y) atunci OA = x ⋅ i + y⋅ j

http://matematica.noads.biz uuur 11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB este dat de formula: uuur r r AB = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j

12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula:

x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1

sau cu formula: 1

x

y

x1

y1 1 = 0

x2

y2 1

13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A( x0 , y0 ) şi are panta dată m Este dată de formula: y − y0 = m( x − x0 ) 14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă x1 x2 x3

y1 1 y2 1 = 0 y3 1

15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula

AΔABC = unde Δ este următorul determinant

1 ⋅Δ 2

x1

y1 1

Δ = x2 x3

y2 1 y3 1

16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă A( x0 , y0 ) este un punct şi d : ax + by + c = 0 este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula: ax + by0 + c dist ( A, d ) = 0 a 2 + b2 17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:

m=

y2 − y1 x2 − x1

18)Condiţia uur ur r dercoliniaritate uur r a doi r vectori in plan: ur Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a vectorilor v1 şi v2 este: a1 b1 = a2 b2

19)Condiţia ur r derperpendicularitate uur r r a doi vectori in plan: Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Avem: ur uur v1 ⊥ v2 ⇔ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 = 0 (produsul scalar este 0) 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică: d1 d 2 ⇔ md1 = md2

Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi d 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 a b atunci dreptele sunt paralele dacă 1 = 1 . a2 b2 21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu −1 adică: d1 ⊥ d 2 ⇔ md1 ⋅ md2 = −1

Funcţia cosinus cos:R → [−1;1]

1200=

900=

2π 3

π 2 600=

π

3π 135 = 4

3

0

1500=

180 = π 0

450=

−

300=

3 2

−

2 2

−

1 2

1 2

2 2

1

3150=

Exemple:

π 2

=0

00

3300=

2400=

cos

6

3 2

7π 6 5π 225 = 4

1 cos = 3 2 cos π = −1 cos 0 = 1

π

0

0

π

4

5π 6

-1

2100=

π

3π 2 =− 4 2 3π cos =0 2 cos 2π = 1 cos

cos

7π 3 =− 6 2

4π 3

2700=

3π 2

3000=

5π 3

7π 4

11π 6

3600= 2π

Funcţia sinus sin:R → [−1;1]

1

2π 120 = 3

900=

π 2

0

1350=

1500=

3π 4

5π 6

7π 6

−

5π 225 = 4 2400=

Exemple:

2

=1

π 4 300=

4π 3

2 2

−

3 2

3π 2 = 4 2 3π sin = −1 2 sin 2π = 0 sin

sin

7π 1 =− 6 2

π 6

00 3600= 2π

1 2

−

-1

π

450=

1 2

0

sin

3

0

2100=

3 sin = 3 2 sin π = 0 sin 0 = 0

π

2 2

1800= π

π

600=

3 2

3300=

3150=

3000= 2700=

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

Funcţia tangentă 3

⎧π ⎫ tg : \ ⎨ + kπ / k ∈ ⎬ → ⎩2 ⎭

1200=

2π 3

900=

π 2 0

60 =

3π 135 = 4

1

π 3

0

450=

π 4

5π 1500= 6

300=

1800= π

3 3

π 6

00

0

360 = 2π 0

2100=

7π 6

2250=

3300= 5π 4

3150= 4π 240 = 3

3000=

0

2700=

3π 2

5π 3

11π 6

−

3 3

7π 4 −1

Exemple:

3 ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ = ⎝6⎠ 3 ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 3⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ nu are sens ⎝2⎠ 3 ⎛ 5π ⎞ tg ⎜ ⎟ = − 3 ⎝ 3 ⎠ tgπ = 0

− 3