Cours Transport D'energie [PDF]

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Université de Douala Faculté de Génie Industriel

Système de production, de Transport et de Distribution Manuscrit de cours Niveau 5 (Partie Transport et Distribution de l’Energie Electrique)

en 5e année Ingénieur Electromécanique

- Année académique 2019/2020 -

Sommaire I. Introduction au réseau d’énergie électrique I.1. Généralités I.2. Définition et constitution I.3. Organisation de la distribution de l’énergie électrique I.3.1. Production et distribution en triphasé I.3.2. Organisation de la distribution dans certains pays I.4. Les paramètres importants d’un réseau II. Représentation analytique des systèmes de transport d’énergie électrique II.1. Systèmes triphasés équilibrés II.1.1. Généralités II.1.2. Systèmes triphasés de tensions et de courants II.2. Systèmes triphasés déséquilibrés II.2.1. Composantes symétriques II.2.2. Relations entre les composantes symétriques des systèmes de tensions II.2 3. Relations entre les composantes symétriques des systèmes de courants II.2.4. Puissances triphasées en régime déséquilibré II.3. Système par unité (pu) III. Lignes de transport d’énergie électrique III.1. Généralités III.2. Analyse d'une ligne de transport d'énergie III.3. Détermination du signe de la tension mutuelle III.4. Application à un système triphasé III.5. Inductance : définition et calcul III.6. La ligne de transport et la puissance complexe IV. Ecoulement de puissances IV.1. Direction de l'énergie entre deux jeux barres IV.2. Théorie générale du calcul de l'écoulement d'énergie V. Courants de court-circuit V.1. Introduction V.2. Etablissement de l’intensité de court-circuit V.3. Calcul de courant de court-circuit dans un système à plusieurs niveaux de tension V.4. Méthode des nœuds pour calculer les courants de court-circuit aux barres d'un réseau V.5. Méthode des nœuds : calcul par approche des limites VI. La Stabilité VI.1. Introduction VI.2. L'équation de stabilité VI.3. Normalisation de l'équation de stabilité VI.4. Le transport de la puissance dépend de la configuration du réseau VI.5. La transitoire stable VII. Harmoniques VII.1. Introduction VII.2. Définition VII.3. Origine des distorsions VII.4. Effets VII.5. Propagation VII.6. Foisonnement VII.7. Solutions VII.8. Niveaux admissibles sur les réseaux VII.9. Mesure

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I. Introduction au réseau d’énergie électrique I.1. Généralités Edison et la distribution à courant continu : C'est en 1882 que commence l'histoire des réseaux de distribution d'énergie électrique avec la mise en place à New-York, par Edison, d'une centrale de génération d'énergie électrique à courant continu d'environ 33 kW. Il semble que la première station de distribution d'énergie électrique en Angleterre fut construite à Londres à peu près en même temps et qu'elle fonctionnait aussi en courant continu sous une tension de 100 volts et une puissance de 60 kW. Bien sûr, à cette époque, on utilisait la machine à vapeur pour toutes les sources d'énergie i.e. les chemins de fer, les usines avec distribution de l'énergie par un arbre auquel on ajoutait des poulies pour soutirer de la puissance au moyen d'une courroie de cuir très large. Ce mode de génération d'énergie électrique (à courant continu) ne permet pas de transmettre cette énergie très loin car on ne peut la générer et l'utiliser qu'à des tensions basses pour des raisons de sécurité et d'isolation. Il fallait donc construire des stations de génération près des centres de consommation et chacun y allait de ses propres projets de mini-réseaux. Westinghouse et la distribution à courant alternatif : L'invention du transformateur en 1885 par Deri et autres, et la construction par Stanley d'un transformateur utilisable pour la distribution d'énergie démontrèrent en 1884-1886 que le futur passait par le courant alternatif. Mieux encore, le brevet anglais numéro 6481 émis à Nicola Tesla en 1888 amorça la distribution et l'usage de l'énergie électrique en systèmes polyphasés. La controverse entre Edison (qui améliora l'ampoule incandescente de Swan (1878) et qui proposait le courant continu) et Westinghouse (qui avait acquis les droits sur les transformateurs et proposait le courant alternatif) fit la manchette des grands quotidiens de l'époque et se régla par la suprématie du c.a. En 1890 une première ligne de transport c.a. (22 km) à 3300 volts était mise en fonctionnement en Orégon.(USA). Au début de 1894, il existait au États-Unis un poste de génération biphasé et quatre postes de générations triphasés; un départ modeste mais très prometteur.

I.2. Définition et constitution a) Définition C’est quoi un réseau électrique ? Un réseau, c'est d'abord un certain nombre de fonctions et de comportements d'ensemble, qu'il faut définir, mettre en œuvre, maîtriser grâce à une conception et une exploitation convenables. Ce sont ensuite des ouvrages et des matériels (lignes aériennes et souterraines, postes, câbles, appareillage, transformateurs, parafoudres, etc.) qui, assemblés, forment le réseau physique ; ouvrages et matériels dont la qualité conditionne très largement celle du réseau, donc celle de la desserte en électricité de ses clients. C'est enfin tout un ensemble d'automatismes et de transport d'informations et de commandes, ensemble coordonné, donc système nerveux absolument indispensable à la protection des ouvrages et des matériels, à la robustesse du réseau vis-à-vis des défaillances internes et des agressions extérieures telles la foudre et les conditions climatiques extrêmes ; système indispensable aussi à la maîtrise par l'exploitant d'un outil technique qui, pour les réseaux publics,

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du moins, n'est pas concentré en un site, mais couvre des milliers et des centaines de milliers de kilomètres carrés. La génération est égale à la consommation ! Si tout le monde décide de demander de l'énergie en même temps, le réseau pourrait peut-être transiter cette demande, mais les sources d'énergie n'ont pas la puissance requise pour générer cette demande. Cette dernière (demande annuellement estimable) sera le critère qui déterminera si des clients doivent être déconnectés et prend ainsi une grande importance dans la planification à long terme des sources d'énergie. Un réseau d'énergie électrique peut généralement se diviser en trois grands blocs :

La distribution se fait toujours en triphasé et un réseau est l'ensemble des composants requis pour transporter l'énergie électrique de la source (générateur) à la charge (consommateur). Cet ensemble comprend des transformateurs, des lignes de transport, des générateurs, des moteurs, des éléments de chauffage, des réactances, des condensateurs, des moyens de mesure et de contrôle, des protections contre la foudre et les courts-circuits, etc.... Nous concentrerons notre attention sur la partie du réseau qui distribue l'énergie et nous utiliserons des schémas unifilaires pour représenter les modèles. Exemple :

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b) Quelques constituants d’un réseau électrique :

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1°) Poste électrique haute tension

2°) Ligne haute tension

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3°) un petit transformateur MT/BT

4°) Lignes à moyenne tension

5°) Poste de transformation alimente les lignes de transport électrique à 735 kV

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6°) Poste électrique haute tension isolé à l'air

7°) Jeu de barres d'un poste 220 kV

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8°) Poste électrique haute tension isolé au SF6

I.3. Organisation de la distribution de l’énergie électrique I.3.1. Production et distribution en triphasé a) Introduction Les avantages de la production, de la distribution et de l'utilisation en moyenne et forte puissance, de l'énergie électrique en triphasé sont multiples. A masse de machine égale, les puissances nominales des machines tournantes synchrones et asynchrones sont de 50 à 100% supérieures à celles des machines monophasées correspondantes. La puissance fluctuante étant nulle en triphasé la marche de ces machines sera plus régulière et leurs rendements sont généralement meilleurs que ceux des machines monophasées. Le transport de l'énergie électrique présente aussi des avantages non négligeables, notamment au niveau des pertes en ligne et de la quantité nécessaire de matériau conducteur.

b) Pertes en ligne Pour vérifier l'intérêt économique du transport de l'énergie électrique sous forme triphasée comparons une ligne triphasée équilibrée en courants et tension et une ligne monophasée, les deux lignes étant constituées de conducteurs identiques. Sous une tension V et parcourue par un courant I, de valeurs efficaces V et I, la puissance transportée par la ligne monophasée est Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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Pmono = VIcosϕ ϕ étant le déphasage entre I et V. En notant R la résistance linéique des conducteurs, la ligne dissipe par effet Joule et par mètre une puissance PJmono = 2RI2 La puissance transportée par une ligne triphasée équilibrée en tensions et courants, dont les tensions simples sont de même valeur efficace V et sous le même facteur de puissance, et constituée de conducteurs identiques à ceux de la ligne monophasée, est Ptri = 3VI'cosϕ Cette puissance est égale à celle de la ligne monophasée précédente pour un courant de valeur efficace trois fois plus faible I' = I/3 Pmono = Ptri => Les pertes par effet Joule sont par mètre de ligne

Pour une même puissance transportée, les pertes Joule sont six fois plus faibles. Toutefois, pour former la ligne triphasée on utilise 50% de matériau conducteur en plus. A masse de conducteur égale, on peut fabriquer une ligne triphasée de même longueur que la ligne monophasée à condition de réduire la section des fils au 2/3. La résistance R' des trois conducteurs est alors R' = 3R/2 Si on conserve les conditions précédentes, de valeur efficace des tensions simples équilibrées égale à celle de la ligne monophasée et de même facteur de puissance, la puissance triphasée transportée est identique à celle de la ligne monophasée pour un courant I' = I/3. A masse de conducteur et puissance transmise égales, les pertes par effet Joule sont quatre fois plus faibles sur une ligne triphasée équilibrée que sur une ligne monophasée.

I.3.2. Organisation de la distribution dans certains pays a) Généralités Les pertes par effet Joule sont proportionnelles au carré du courant et donc d'autant plus faibles que le courant sur la ligne est petit. A puissance active donnée, ces pertes sont donc d'autant plus faibles que le transport se fait à plus haute tension et que le facteur de puissance sera proche de l'unité. Cette considération explique d'une part l'incitation faite aux usagers par les producteurs d'énergie électrique, de préserver un facteur de puissance élevé (> 0,91) et l'organisation du transport et de la distribution. Si l'effet Joule n'est pas la seule origine des pertes sur les lignes, elles sont tout de même prépondérantes. Le transport sur les longues distances se fait à très hautes tensions, 225 kV pour les grandes puissances (400 kV et plus dans les pays fortement industrialisés). La tension est ensuite abaissée progressivement pour des raisons de sécurité à l'approche des agglomérations: 110 kV, 90 kV ou 63 kV pour le transport régional jusqu'aux villes, Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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30 kV pour le transport rural jusqu'aux petites villes ou villages, 10 kV, 15 kV et 20 kV depuis les postes de transformation périphériques vers les quartiers, 230/400V pour la distribution domestique. (Les valeurs numériques indicatives, il existe d'autres tensions utilisées) L'énergie électrique ne pouvant être stockée, la production doit être ajustée en temps réel à la consommation. Un déséquilibre entre la demande et la puissance disponible se traduit par des fluctuations de la tension et la fréquence sur le réseau. Cette contrainte conduit à disposer d'une puissance de production très supérieure à la puissance moyenne consommée et d'une interconnexion entre les réseaux sous-régionaux (zone CEMAC par exemple) pour bénéficier de la non-simultanéité des pointes de consommation dans les différents pays. Un réseau d'une telle étendue nécessite aussi bien sûr des dispositifs et des procédures de gestion relativement complexes pour ce prémunir des incidents de distribution (Sur-demande, court-circuit, rupture de ligne, etc...).

b) Types de réseaux de distribution 1°) Réseau radial : Si l'énergie transportée par un réseau vers un client y parvient par un seul parcours, on parle de distribution radiale. Exemples:

2°) Réseau bouclé : Si l'énergie transportée par un réseau vers un client y parvient par plusieurs parcours, on parle de distribution bouclée. Exemples:

L'analyse d'un réseau bouclé est plus complexe que l'analyse d'un réseau radial et demande des outils plus performants. Heureusement, la plupart des industries ont des réseaux radiaux, mais il est possible que la production décentralisée d’énergie électrique qui s'amorce dans certains pays Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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d’Afrique Centrale fasse que dans un avenir assez rapproché, certaines industries aient à exploiter des réseaux bouclés. Vous trouverez ci-avant et ci-après, deux schémas de réseau qui illustrent quelques-uns des symboles usuels servant à représenter certains composants (nous utilisons ici, les symboles nordaméricains, exclusivement pour ce cours !).

3°) Schéma unifilaire d’un réseau électrique : Schéma unifilaire contenant l'information requise pour faire les analyses du réseau :

I.4. Les paramètres importants d’un réseau Lorsque l'on conçoit un système de distribution, les premières décisions à prendre seront sur: la sécurité, la fiabilité de l'ensemble et de ses composants, la simplicité de fonctionnement, la régulation de tension, la facilité d'entretien, la flexibilité et le coût.

a) La sécurité : L'objectif premier d'un système de distribution est de fournir de l'énergie aux humains pour les aider dans leur travail ou leurs loisirs. Il est donc impératif que l'usager soit protégé contre les dangers de l'électricité i.e. électrocution, brûlure, origine d'incendie, interférence électromagnétique, etc… Si le réseau de distribution dessert des emplacements où l'on administre des soins médicaux, les règles de sécurité seront beaucoup plus sévères et il faudra s'assurer que toutes les normes en vigueur sont respectées.

b) La fiabilité de l'ensemble et de ses composants : Il existe des méthodes statistiques d'analyse qui permettent d'évaluer la fiabilité des systèmes et de ses composants, mais l'expérience du concepteur demeure un paramètre important pour la prise des premières décisions.

c) La simplicité de fonctionnement : Si le système en conception est destiné à la grande industrie, la simplicité d'utilisation ne sera peut-être pas le critère important, car il y aura des ingénieurs et du personnel technique compétent pour faire fonctionner le réseau. Ces personnes seront probablement assistées par des ordinateurs que la complexité n'effraie pas. Il en va différemment si le réseau dessert une petite entreprise ou un village. Il faut simplifier l'utilisation au maximum pour éviter que les utilisateurs ne fassent des manœuvres dangereuses.

d) La régulation de tension :

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Les équipements d'énergie électrique sont faits pour travailler à tension constante et toute baisse de tension diminue le rendement et peut, à l'occasion, causer des bris. Ce point est tellement important qu'il sera repris dans le chapitre sur les écoulements de puissances.

e) La facilité d'entretien : Il va sans dire qu'un réseau doit être conçu pour assurer la continuité de service. Comme il est impossible de construire des équipements parfaits, il faut prévoir de remplacer des composants de temps à autre. Si on oublie de tenir compte de ce besoin à la conception, on risque une coupure de courant plus longue que nécessaire, avec les frustrations des utilisateurs que cela provoque.

f) La flexibilité : Par flexibilité, on entend la possibilité de reconfigurer le réseau pour fournir des charges nouvelles ou pour distribuer l'énergie pendant qu'une partie est en réparation. Cette qualité de réseau est évidemment très intéressante et mérite considération; les coûts engendrés par une approche où la flexibilité serait le critère dominant doivent être justifiables.

g) Le coût : Tous les paramètres discutés ici influencent les coûts d'investissement et les coûts de fonctionnement. Les choix ne sont pas toujours faciles, et l'ingénieur sera soumis à des contraintes économiques et financières qui auront des répercussions sur le type de réseau qui doit être construit. En dernière analyse, à quoi servira un réseau qui coûte excessivement cher si sa rentabilité n'est pas assurée?

II. Représentation analytique des systèmes de transport d’énergie électrique II.1. Systèmes triphasés équilibrés II.1.1. Généralités a) Définitions Trois grandeurs physiques de même nature (tensions, courants, ...), représentées par des fonctions sinusoïdales du temps forment un système triphasé si elles ont même pulsation, et qu'elles sont déphasées entre elles de ± 2π/3. Le système est dit triphasé direct quand le déphasage est de - 2π/3 et indirect lorsqu'il est de + 2π/3. Il est appelé équilibré lorsque de plus les trois grandeurs ont même amplitude Xm. Les trois grandeurs suivantes, par exemple, forment un système triphasé équilibré direct: x1(t) = Xmsin (ωt)

x1(t) = Xmsin (ωt - 2π/3)

x1(t) = Xmsin (ωt - 4π/3)

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b) Représentations Les grandeurs précédentes peuvent être représentées par des nombres complexes de même amplitude et dont les arguments sont ceux des fonctions sinus précédentes:

avec

On peut donc représenter ces grandeurs dans le plan complexe par trois vecteurs de même longueur, ayant entre eux un angle de -2π/3 et qui tournent dans le même sens avec une vitesse angulaire ω. Dans la mesure où les grandeurs ont la même vitesse angulaire, il est plus intéressant de prendre la référence de phase sur l'un des nombres complexe, X1 par exemple, de manière à avoir une représentation vectorielle composée de trois vecteurs ''fixes'' dans le plan de Fresnel et quelquefois de représenter les nombres complexes d'amplitude

puisque souvent on s'intéresse plus à la valeur efficace de ces grandeurs.

On peut remarquer qu'on passe de la représentation d'un système triphasé équilibré direct (STED) à celle d'un système triphasé équilibré inverse (STEI) en inversant simplement les vecteurs l'ordre de succession des phases. Si le système (X1, X2, X3) forme un STED, le système (X1, X3, X2) forme un STEI.

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Remarque: Dans la suite de l'exposé on utilisera la notation complexe des grandeurs lorsque nécessaire sans préciser à chaque fois qu'il s'agit d'un nombre complexe ''associé'' à la grandeur sinusoïdale concernée. De même, lorsqu'elle ne sera pas explicitement indiquée, la dépendance en ejωt des tensions et des courants sera sous entendue. Ce qui revient à prendre la référence de phase sur l'une des tensions (ou l'un des courants) du système triphasé étudié.

c) Opérateur rotation En introduisant l'opérateur rotation , il apparaît qu'un système triphasé équilibré 2 (X1,X2, X3) s'écrit (X1, aX1, a X1) lorsqu'il est inverse et (X1, a2X1, aX1) lorsqu'il est direct. Parmi les propriétés de l'opérateur rotation a on peut noter que a + a2 + 1 = 0 On a donc aussi: X1 + X2 + X3 = X1(1 + a + a2) = 0, propriété observable sur la représentation vectorielle précédente. L'opérateur a vérifie en outre les propriétés suivantes: a2 = a-1 a3 = 1

Remarque: On traitera dans ce qui suit le cas des systèmes triphasés équilibrés directs, en se rappelant que les systèmes inverses ont des propriétés similaires.

II.1.2. Systèmes triphasés de tensions et de courants a) Etude des tensions simples : Observation à l’oscilloscope : • Les tensions sont déphasées de

2π l’une 3

par rapport à l’autre ; • Elles ont la même valeur efficace. On dit que le système est équilibré.

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a1) Définition : Un système triphasé est équilibrée lorsque les trois tensions possèdent la même valeur efficace et qu’elles sont déphasées de 2π/3 l’une par rapport à l’autre.

a2) Équations horaires : v1 (t) = V 2 sin(ωt)

2π ) 3 4π v3 (t ) = V 2 sin(ω t − ) 3

v2 (t ) = V 2 sin(ωt −

a3) Expression complexe d’un système triphasé de tensions : Une tension sinusoïdale est généralement représentée à l'aide d'une fonction sinus dans son expression trigonométrique. Par exemple:

On sait que l'expression complexe d'une tension alternative se laisse déduire à partir de l'expression trigonométrique de celle-ci. Ainsi, on considère que l'expression trigonométrique est la partie réelle de l'expression complexe. Ceci est vrai, si et seulement si, la fonction sinus de l'expression trigonométrique est transformée en une fonction cosinus:

Le système triphasé de tensions simples peut alors s'exprimer sous la forme:

s (Sens du Système) est un paramètre, qui indique le sens dans lequel le système triphasé tourne. Les expressions complexes correspondantes sont:

V1, V2 et V3 sont des vecteurs de Fresnel correspondants aux valeurs efficaces des tensions simples du système triphasé. Les modules V1, V2 et V3 de ces vecteurs ne sont autres que les valeurs efficaces des tensions correspondantes. Les expressions qui lient les valeurs efficaces à leurs vecteurs de Fresnel sont:

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Dans le cas des systèmes triphasés équilibrés, on peut introduire un opérateur complexe a, qui permet de simplifier l'écriture des expressions des vecteurs de Fresnel correspondants.

a4) Vecteurs de Fresnel associés : On déduit des équations horaires les vecteurs suivants :

r  V r  V  r  V  V1   ; V2  −2π  ; V3  −4π   0  3   3 

Le système est équilibré, car la construction de Fresnel montre que V1+ V2 + V3 = 0 .Direct car un observateur immobile verrait les vecteurs défiler devant lui dans l’ordre 1, 2, 3. Sinon, le système est inverse. 1°) Pour un système triphasé équilibré direct : V1 = V V2 = a 2 V V3 = aV 2°) Pour un système triphasé équilibré direct : V1 = V V2 = aV V3 = a2 V

b) Etude des tensions composées : b1) Définition:

Les tensions composées ont même fréquence que les tensions simples

u12 = v1 − v 2 u23 = v 2 − v3 u31 = v3 − v1

⇒ ⇒ ⇒

r r r Ur12 = Vr1 − Vr2 U23 = V2 − V3 r r r U31 = V3 − V1

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b2) Vecteurs de Fresnel associés :

r U1

 U π     6

r  U  U2  −3π   6  v  U  U3 −7π    6  Si le réseau est équilibré : U12+ U23 + U31 = 0 . 1°) Pour un système triphasé équilibré direct : U12 = U U23 = a2U U31 = aU 2°) Pour un système triphasé équilibré direct : U12 = U U23 = aU U31 = a2U

b3) Équations horaires et oscillogrammes :

u12 (t) = U 2 sin(ωt + u23 (t) = U 2 sin(ωt −

π 6

)

π

) 2 7π u31(t) = U 2 sin(ωt − ) 6

Remarque : Réseau triphasé 230/400 V : Relation entre U et V U = 2V cos30 soit U = 2V

3 2

Finalement : U = V 3 Cette relation est toujours vraie quelque soit la charge.

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II.2. Systèmes triphasés déséquilibrés Un système triphasé déséquilibré est un système dont les tensions ou les courants ne vérifient pas les conditions de phases ou d'amplitudes, énoncées au paragraphe II.1, qui définissent les systèmes triphasés équilibrés. La fréquence est par contre identique pour les trois grandeurs.

II.2.1. Composantes symétriques Soit un système triphasé quelconque, équilibré ou déséquilibré, dont les éléments sont des grandeurs sinusoïdales de même fréquence, représentés par les nombres complexes (X1, X2,X3). Posons Xd = (X1 + aX2 + a2X3)/3, Xi = (X1 + a2X2 + aX3)/3, X0 = ( X1 + X2 + X3)/3 Ces équations sont appelées transformation de Fortescue. En inversant les relations ci-dessus, on vérifie aisément que X1, X2 et X3 s'écrivent X1 = Xd + Xi + X0 X2 = a2Xd + aXi + X0 X3 = aXd + a2Xi + X0 Les nombres complexes Xd, Xi et X0 sont appelés composantes symétriques du (X1, X2,X3). A partir de ces composantes symétriques on peut définir trois systèmes équilibrés: - le premier direct (Xd, a2Xd , aX), - le deuxième inverse (Xi, aXi, a2Xi), - le troisième homopolaire (X0, X0, X0).

système

La relation entre le système déséquilibré (X1, X2, X3) et ses composantes symétriques (Xd, Xi,X0) s'écrit sous forme matricielle

L'étude du système quelconque (X1, X2, X3) peut donc se ramener à celle des trois systèmes équilibrés précédents, c'est à dire que le système (X1, X2, X3) peut être considéré comme la superposition de trois systèmes équilibrés de même fréquence: direct, inverse et homopolaire. Remarques: On peut noter que les systèmes inverse, direct et homopolaire sont obtenus respectivement sur la base de progressions géométriques de raisons a, a2 et a3. Ce résultat se généralise à un système polyphasé à q phases qui peut être considéré comme la superposition de q système équilibrés obtenus par progressions géométriques. Si le système triphasé (X1, X2, X3) est équilibré une seule des composantes symétriques est différente de zéro et en toute rigueur la décomposition reste valable. Cette composante non nulle s'identifie à: - Xd = X1 (Xi = X0 = 0) si (X1, X2, X3) est direct, - Xi = X1 (Xd = X0 = 0) si (X1, X2, X3) est inverse. La définition des composantes symétriques entraîne une composante homopolaire nulle pour tous les systèmes dont la somme est égale à zéro.

II.2.2. Relations entre les composantes symétriques des systèmes de tensions

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Soit un système triphasé quelconque de tensions simples (V1, V2, V3) dont les composantes symétriques sont (Vd, Vi, V0). Il s'écrit : V1 = Vd + Vi + V0

V2 = a2Vd + aVi + V0

V3 = aVd + a2Vi + V0

Les tensions composées définies par Uij = Vi - Vj, s'expriment par : U12 = V1 - V2 = (1 - a2)Vd + (1 - a)Vi U23 = V2 - V3 = a(a - 1)Vd + a(1 - a)Vi = a2(1 - a2)Vd + a(1 - a)Vi U31 = V3 - V1 = (a - 1)Vd + (a2 - 1)Vi = a(1 - a2)Vd + a2(1 - a)Vi

Remarque: Notons que la définition des tensions composées entraîne nécessairement la nullité de la composante homopolaire du système.

II.2 3. Relations entre les composantes symétriques des systèmes de courants Soit un groupement en triangle de trois phases et son système de courants de branches (J12,J23, J31) de composantes symétriques notées (Jd, Ji, ,J0): J12 = Jd + Ji + J0

J23 = a2Jd + aJi + J0

J31 = aJd + a2Ji + J0

On en déduit les courants de ligne I1 = J12 - J31 = (1 - a2)Jd + (1 - a)Ji I2 = J23 - J12 = a(a - 1)Jd + a(1 - a)Ji = a2(1 - a2)Jd + a(1 - a)Ji I3 = J31 - J23 = = (a - 1)Jd + (a2 - 1)Ji = a(1 - a2)Jd + a2(1 - a)Ji et les relations entre les composantes symétriques des courants de ligne et de branche: , , ,

La composante homopolaire est nulle puisque l'alimentation du groupement triangle se fait forcément à trois fils et que donc I1 + I2 + I3 = 0.

II.2.4. Puissances triphasées en régime déséquilibré Il est établit qu'elles s'expriment par: puissance complexe: S = [V1I1* + V2I2* + V3I3*] , puissance active: P = P1 + P2 +P3 = V1I1 cosϕ1 + V2I2 cos ϕ2 + V3I3 cosϕ3 puissance reactive: Q = Q1 + Q2 + Q3 = V1I1 sinϕ1 + V2I2 sinϕ2 + V3I3 sinϕ3. dans lesquelles Vi et Ii (i = 1, 2, 3) sont les valeurs efficaces des tensions simples et des courants de ligne Vi et Ii (i = 1, 2, 3) et ϕi le déphasage entre le courant Ii et la tension Vi. En notant (Vi, Vd, V0) et (Ii, Id, I0) les composantes symétriques respectivement des systèmes de tensions Vi et de courants Ii, on a

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V1 = Vd + Vi + V0 I1 = Id + Ii + I0

V2 = a2Vd + aVi + V0 I2 = a2Id + aIi + I0

V3 = aVd + a2Vi + V0 I3 = aId + a2Ii + I0

et en se souvenant que les opérateurs complexes a et a2 sont complexes conjugués, I1* = Id* + Ii* + I0* I2* = aId* + a2Ii* + I0* I3* = a2Id* + aIi* + I0* Ii* (i = 1, 2, 3), Id*, Ii*, I0* sont les complexes conjugués de Ii (i = 1, 2, 3), Id, Ii, I0. En termes de composantes symétriques et compte tenu des propriétés de l'opérateur rotation a la puissance complexe s'exprime donc par S = [V1I1* + V2I2* + V3I3*] / 2 = 3 [VdId* + Vi Ii* + V0I0*] + 2(1 + a + a2)[VdIi* + VdI0* + ViId* + ViI0* + V0Id* + V0Ii*] comme 1 + a + a2 = 0, l'expression de cette puissance devient : S = 3 [VdId* + ViIi* + V0I0*] Considérons une ligne triphasée dont les tensions simples et les courants de ligne sont respectivement (Vd, a2Vd, aVd) et (Id, a2Id, aId). La puissance complexe associée à un tel système est la somme des puissances complexes de chacune des phases : Sd = [VdId* + a2Vd aId* + aVd a2Id*] = 3 VdId* On en déduit les puissances actives Pd, réactive Qd et apparente Sd associées à ce régime: Pd = Re{Sd} = 3VdId cosϕd Qd = Im{Sd} = 3VdId sinϕd

où Vd et Id sont les modules ou valeurs efficaces de la tension Vd et du courant Id, et ϕd le déphasage entre Id et Vd, De manière similaire, si les systèmes de tensions simples et de courants de ligne sont (Vi, aVi,a 2Vi) et (Ii, aIi, a2Ii) sur la ligne, elle est le siège d'une puissance complexe : Si = [ViIi* + aVi a2Ii* + a2Vi aIi*] = 3ViIi*, les puissances actives Pi, réactive Qi et apparente Si associées à ce régime étant : Pi = Re{Si} = 3ViIi cosϕi Qi = Im{Si} = 3ViIi sinϕi Vi et Ii sont les modules ou valeurs efficaces de la tension Vi et du courant Ii, et ϕi le déphasage entre Ii et Vi. Enfin, si le régime de la ligne est caractérisé par les composantes homopolaires V0 et I0, on a : S0 = [V0I0* + V0I0* + V0I0*] = 3V0I0*, les puissances actives Pi, réactive Qi et apparente Si associées à ce régime étant :

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P0 = Re{S0} = 3V0mI0m cosϕ0 = 3V0I0 cosϕ0 Q0 = Im{S0} = 3V0mI0m sinϕ0 = 3V0I0 sinϕ0

avec V0 et I0 sont les modules ou valeurs efficaces de la tension V0 et du courant I0, et ϕ0 le déphasage entre I0 et V0. Remarque: Les expressions des différentes puissances transmises par les composantes symétriques directe, inverse et homopolaire sont évidemment conformes à celles obtenues dans l'étude des régimes triphasés équilibrés puisqu'il s'agit précisément des régimes équilibrés. On aurait pu, à ce titre, écrire directement ces expressions. La puissance complexe est donc la somme des puissances complexes transmises par les trois systèmes équilibrés direct, inverse et homopolaire: S = 3 [VdId* + ViIi* + V0I0*] = Sd + Si + S0 Tout ce passe comme si on avait superposition, sans interaction, de ces trois régimes sur la ligne. On en déduit: la puissance active: P = Re{S} = 3[VdId cosϕd + ViIi cosϕi +3V0I0 cosϕ0] = Pd + Pi + P0 la puissance réactive: Q = Im{S} = 3[VdId sinϕd + ViIi sinϕi +3V0I0 sinϕ0] = Qd + Qi + Q0 la puissance apparente :

II.3. Système par unité (pu) a) Définitions Si l'on vous fait savoir qu'un alternateur a une impédance de 2 Ω, est-ce que cette information est aussi utile que l'énoncé suivant? "L'impédance de ce générateur est telle que s'il débite son courant nominal, la chute de tension aux bornes de l'impédance sera de 8% ou encore 0,08 pu de la tension nominale de la génératrice." Bien sûr, 2 Ω est un énoncé plus concis que les 33 mots utilisés pour donner l'information. Si l'on s'entend pour définir la notion de "pu" comme on vient de le faire dans l'énoncé, dire qu'une impédance a 0,08 pu est aussi concis que de dire qu'une impédance a 2 Ω. Il est plus facile de reconnaître la relativité des grandeurs si elles sont normalisées. Exemple : Si on connaît la grandeur de la tension qu'un système prendra pendant le démarrage d'un gros moteur, on peut écrire: système à 4 kV, tension au démarrage: 3,8 kV système à 2,3 kV, tension au démarrage: 2,2 kV. Normalisés, on dirait alors: système à 4 kV, tension au démarrage:0,950pu système à 2,3 kV, tension au démarrage:0,956pu Dans l'étude des réseaux de distribution ou de transport, quand plusieurs niveaux de tension sont présents et que l'on traite de machines ( transformateurs ) ayant des valeurs nominales très différentes, il devient utile d'utiliser des données normalisées pour mieux comprendre les ordres de grandeurs et calculer sans erreurs. Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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On utilisera toujours une seule base VA pour un problème à résoudre. On divisera le réseau en autant de domaines qu'il y a de tensions différentes, ce qui donne un nombre d'ensemble de bases égal aux nombres de domaines identifiés. Un ensemble de bases comprend: VAbase: doit être unique pour un problème. Vbase: la tension nominale d'un domaine donné (Vligne et/ou Vneutre ). Ibase: lié au VAbase et Vbase dans un domaine donné. Si on utilise VA30 comme base, il faut utiliser Vligne comme base pour calculer Ibase. S30 = √3VligneIligne Si on utilise VA10 comme base, il faut utiliser Vneutre comme base pour calculer Ibase. S10 = VneutreIligne. Zbase = Vbase/Ibase Soit x et y des domaines d'un réseau qui sont à des tensions différentes; soit b l'indice base; soit Ω ohm l'unité d'impédance. Soit pu pour unité normalisée. Les relations suivantes sont valides pour une phase du réseau : S = VA10 V = Vneutre. Le VAb i.e. Sb doit être le même pour tous les domaines : Dans chaque domaine:

pu = réelle/base base = réelle/pu réelle= pu*base Pour passer d'un domaine à un autre :

Si l'on désire avoir une seule base tension et une seule base VA:

Vérifier que les transformations suivantes sont valides :

b) Exemple d’utilisation : Calcul de courant de court-circuit (analyse circuit) Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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b1) Un court-circuit avec la solution classique : Soit le schéma unifilaire suivant:

Supposons que l'on désire calculer le courant qui circulerait dans un court-circuit entre la phase "a" et un fil neutre de retour d'impédance zéro. Le modèle suivant serait approprié pour ce calcul.

Pour un problème simple, la solution avec des ohms est probablement la plus proche des connaissances usuelles des ingénieurs en électricité, mais si le réseau à solutionner comprend plusieurs niveaux de tension et des appareils de différentes puissances, l'approche "pu" permet d'éviter les erreurs plus facilement. Reprenons ce problème avec des unités normalisées : « pu »

b2) Le même court-circuit avec les unités normalisées : Soit le schéma unifilaire suivant:

1°) Choisir une base kVA. 2°) Établir les ensembles de bases pour chaque domaine de tension. Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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Base S30 : 15 MVAs = 1 pu = S10 = 5 MVAs Domaine à 69 kV Base Vligne : 69 kV = 1 pu Base Vn : 69/√3 = 39.84kV = 1 pu Base Iligne : 15/(√3*69) = 0,12551 kA = 1 pu Base Iligne : 5/(69/√3) = 0,12551 kA = 1 pu Base Zsérie : Vn/Iligne = 317,4 Ω = 1 pu

Base S30 : 15 MVAs = 1 pu = S10 = 5 MVAs Domaine à 13,8 kV Base Vligne : 13,8 kV = 1 pu Base Vn : 13,8/√3 = 7,97kV = 1 pu Base Iligne : 15/(√3*13,8) = 0,62755 kA = 1 pu Base Iligne : 5/(13,8/√3) = 0,62755 kA = 1 pu Base Zsérie : Vn/Iligne = 12,696 Ω = 1 pu

Si l'on convertit en valeurs normalisées les deux circuits équivalents précédents, on modifie le rapport de transformation du transformateur pour le rendre égal à un.

Note: La valeur de l'impédance du transformateur en % est ordinairement le pu de cette impédance multiplié par 100 sur une base VA égale à la puissance nominale du transfo.

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III. Lignes de transport d’énergie électrique III.1. Généralités Supposons un fil de longueur finie suspendu par des isolants à une certaine hauteur du sol. Supposons que le sol représente un plan conducteur parfait. La littérature propose le modèle général illustré par unité de longueur.

où: • • • • • • • • • • • • • • •

Rs (en Ω)= résistance du fil = ρl/S ρ = résistivité du matériau l = longueur S = section Ls (en H) = inductance propre du fil = ψ/i1 ψ = flux magnétique entourant le conducteur et produit par i1 Xs (en Ω) = réactance = ωLs Rd (en Ω) = résistance du diélectrique Cd (en F) = capacitance entre le fil et le sol = ψ/V2 ψ = flux électrique entre le conducteur et le sol produit par V2 Xd = réactance Ω = 1/ωCd Gd (en S) = 1/Rd (conductance) Bd (en S) = 1/Xd (susceptance) Zs (en Ω) = impédance série = Rs + jXs Yp (en S) = admittance parallèle = Gd + jBd

Pour une ligne aérienne courte (< 80 km) et à des tensions basses (moins de 100 kV, Yp est négligeable et la ligne peut être représentée par une impédance série. Il nous faut donc connaître cette impédance pour solutionner nos problèmes de distribution.

Rs est une propriété que peut fournir le manufacturier que l'on peut calculer si le matériau et les dimensions sont connus. Ls est une propriété de l'espace entourant le conducteur et est calculable par la théorie des champs magnétiques.

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III.2. Analyse d'une ligne de transport d'énergie Le modèle qui vient à l'esprit lorsqu'on pense à un fil conducteur formant un circuit où le retour est physiquement éloigné et travaillant à la fréquence du réseau est:

Si la solution forcée est la seule recherchée et que le courant est parfaitement sinusoïdal, la solution par vecteurs de Fresnel est alors utilisée et le modèle devient:

Comme l'inductance représente l'effet du champ magnétique autour du conducteur dû au courant qui circule dans le conducteur, on pourrait représenter cet effet au moyen d'une source dépendante :

Si maintenant on place un autre conducteur parallèle au premier, ce conducteur produira un champ magnétique qui entourera le premier conducteur et produira un effet que l'on qualifie de mutuel. Pour déterminer la polarité de la source dépendante, les lois de Lenz et de Faraday seront utilisées.

III.3. Détermination du signe de la tension mutuelle L'effet mutuel produit une tension dans le conducteur étudié ayant un signe de polarité instantanée qui doit être lié aux variables déjà définies.

Au moyen d'une réflexion assez simple, si l'on comprend bien les lois de Faraday et de Lenz, on peut établir le sens des sources à introduire dans un conducteur pour représenter l'effet mutuel. Ainsi on pourra écrire les relations d'une ligne de transport trois phases en incluant les effets des phases les unes sur les autres.

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Loi de Faraday: "Une tension est induite à l'intérieur d'un parcours fermé si ce parcours est le lieu d'une variation de champ magnétique." La tension induite sera proportionnelle à la variation du champ i.e. v(t) = dψ/dt. Loi de Lenz: "La tension induite produira un courant dont la force magnétomotrice s'opposera à celle qui produit le champ générant cette tension".

III.4. Application à un système triphasé On peut construire l'ensemble du modèle qui suit en utilisant la conclusion de la page précédente où: Lab = inductance mutuelle qui détermine l'effet de Ib sur le fil de la phase "a" Lba = inductance mutuelle qui détermine l'effet de Ia sur le fil de la phase "b" Lac = inductance mutuelle qui détermine l'effet de Ic sur le fil de la phase "a" Lca = inductance mutuelle qui détermine l'effet de Ia sur le fil de la phase "c" Lbc = inductance mutuelle qui détermine l'effet de Ic sur le fil de la phase "b" Lcb = inductance mutuelle qui détermine l'effet de Ib sur le fil de la phase "c" Lab = Lba car la géométrie est la même dans un sens ou dans l'autre Lac = Lca car la géométrie est la même dans un sens ou dans l'autre Lbc = Lcb car la géométrie est la même dans un sens ou dans l'autre

! Si on place les trois conducteurs à des distances égales les uns des autres, les mutuelles seront toutes égales. Utilisant les impédances sur notre modèle, celui-ci devient:

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Ce modèle très général donne les équations suivantes:

Ces équations peuvent être utilisées dans tous les problèmes de réseau car elles sont les vraies équations de base des circuits couplés. Mais la solution de ces équations suppose que l'on connaît tous les paramètres de la matrice des impédances et qu'on possède un moyen de solution équivalent au logiciel "MATLAB". Pour un système équilibré, on peut découpler les équations. Application à un système triphasé : Si le système triphasé est équilibré et que la position des phases est symétrique, toutes les mutuelles sont égales. Pour une configuration triangulaire symétrique:

Zab = Zac = Zba = Zbc = Zca = Zcb = Zm

Si le système fonctionne en équilibré,

Ia+Ib+Ic = 0

et les équations deviennent:

Si l'on regroupe certains termes,

Va1-Va2 = ZLIa + Zm (Ib + Ic) Vb1-Vb2 = ZLIb + Zm (Ia + Ic) Vc1-Vc2 = ZLIc + Zm (Ia + Ib) Comme

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(Ib + Ic) = -Ia (Ia + Ic) = -Ib (Ia + Ib) = -Ic Les équations sont découplées et on peut solutionner pour une phase seulement.

Va1-Va2 = (ZL - Zm )Ia Vb1-Vb2 = (ZL - Zm )Ib Vc1-Vc2 = (ZL - Zm )Ic Donc, si le système est équilibré et que la position des phases est permutée pendant le parcours, il est exact de retenir comme modèle une impédance série qui contient l'effet mutuel en plus de l'effet propre du conducteur. Si le système n'est pas équilibré, il faut revenir au modèle initial, utiliser la théorie des circuits classique ou encore solutionner trois problèmes équilibrés au moyen des composantes symétriques. Peut-on définir des impédances aux composantes symétriques?

Z1(directe), Z2(inverse), Z0(homopolaire) Pour une configuration triangulaire symétrique:

Zab = Zac = Zba = Zbc = Zca = Zcb = Zm Si le système fonctionne en équilibré, soit en sens directe ou inverse Ia + Ib + Ic = 0 et les équations deviennent:

Et les impédances Z1(directe) et Z2(inverse) sont égales à (ZL - Zm ) suivant la démonstration de la page précédente. Par contre si Ia = Ib = Ic = I0 alors Z0(homopolaire) = (ZL + 2Zm) Va1-Va2 = (ZL + 2Zm)I0 Vb1-Vb2 = (ZL + 2Zm)I0 Vc1-Vc2 = (ZL + 2Zm)I0 Une ligne de transport aura donc des impédances égales en sens directes et inverses mais aura une impédance beaucoup plus grande en sens homopolaire. Pour les machines tournantes, les valeurs des impédances aux sens seront différentes pour les trois systèmes.

III.5. Inductance : définition et calcul L'inductance est une propriété de l'espace qui peut se définir comme étant égale à ψ/i, c'est-à-dire la propriété d'un courant d'établir un champ magnétique dans l'espace qui l'entoure. La valeur de ψ, c'est-à-dire le flux qui entoure le circuit considéré peut être déterminé en utilisant les lois de Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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l'électromagnétisme. Suivons quelques équations utiles qui sont démontrées dans les textes d'électromagnétique : 1°) Inductance interne Lint d'un conducteur rond supposant une densité de courant constante dans toute la section, pour une perméabilité relative µr de1 (le conducteur n'est pas magnétique). Lint est indépendant de la section du conducteur.

2°) Inductance externe Lext d'un conducteur rond supposant une densité de courant constante dans toute la section.

r = rayon du conducteur. D = distance d'un point dans l'espace à l'extérieur du conducteur. Pour une perméabilité relative µr de1, le milieu magnétique est l'air ambiant. Pour celui qui veut construire un modèle de réseau, la réactance inductive est le paramètre d'intérêt.

or

XL = 2πfL et pour deux conducteurs parallèles: Dm = distance entre les deux conducteurs Ds = "self geometric mean distance"

Nota : Les propriétés des lignes aériennes et des câbles sont compilées dans des tables que les associations de fournisseurs (cuivre et aluminium) publient régulièrement.

III.6. La ligne de transport et la puissance complexe Une ligne de transport est un canal de transport d'énergie entre deux jeux de barres d'un réseau. Dans le but de nous familiariser avec la nomenclature qu'utilise la littérature lors des études d'écoulement d'énergie, nous écrirons les équations d'intérêt en utilisant la notation complexe.

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Le modèle illustré peut représenter tous les effets identifiables d'une ligne courte : - Vin et Vjn sont les vecteurs de Fresnel correspondant aux tensions des nœuds "i" et "j" par rapport au neutre "n" (variables d'état). - Iij, Iji, Sij, Sji, sont des variables d'écoulement, (du premier indice vers le deuxième indice). - Rs représente l'effet d'échauffement dû à la résistance des conducteurs utilisés. - Rd représente l'échauffement du diélectrique dans un câble ou encore les pertes de "corona" dans les lignes aériennes (courant de fuite). - Xs représente l'effet des flux magnétiques qui entourent le conducteur (effet produit par le conducteur lui-même ainsi que les conducteurs adjacents). - Xc représente l'effet de la somme des champs électriques qui existent entre les conducteurs. - Ss = puissance apparente série de la ligne.(une perte) = (Rs+jXs)IijIij* - Sij = Puissance apparente à l'entrée de la ligne - ReSp = Pertes (watts) dans le diélectrique ou de "corona" - ImSp = Puissance réactive capacitive de la ligne ( peut devenir importante si la ligne est longue) - Sji = Puissance apparente à la sortie de la ligne Les équations suivantes sont données comme aide-mémoire : Yp = Gd + jBc Gd = 1/Rd (conductance) Bc = 1/Xc (susceptance) Zs = Rs + jXs Rs = résistance Xs = réactance VjYp = Ii - Ij

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IV. Ecoulement de puissances IV.1. Direction de l'énergie entre deux jeux barres Il est écrit dans les textes traitant de la direction de l'écoulement de l'énergie que cet écoulement se fait à partir de la barre qui est en avance de phase vers celle qui est en retard. Le problème se présente sous forme générale tel qu'illustré à la figure #1. Noter la distinction entre le neutre et la terre.

La figure #2 est la représentation d'une des phases avec un neutre de système équilibré.

La figure #3 illustre les relations de phase pour le cas de transfert d'énergie de la barre #1 à la barre #2 en négligeant Réel (Z) de la ligne de transport ce qui facilite la compréhension des principes à illustrer. Si l'on remplace |I|sinθ et |I|cosθ :

La relation trouvée pour la puissance qui arrive à la barre #2 signale que: 1°) Cette puissance est proportionnelle au module de la tension à chaque barre. Comme ce module est toujours positif, varier la tension sur les jeux de barres ne change pas le sens de l'écoulement d'énergie. 2°) Cette puissance est proportionnelle au sinus de l'angle de déphasage entre les tensions des barres et est actuellement dirigée vers la barre #2 pour un "δ" positif suivant les conventions de la démonstration. 3°) Si l'angle "δ" devient négatif, le sinus sera alors négatif et l'écoulement de l'énergie sera dans le sens de la barre #2 vers la barre #1.

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En pratique, des transformateurs déphaseurs permettent de contrôler la phase entre les deux tensions.

Si l'on change les grandeurs des tensions sans toucher à l'angle δ, Vx doit être à angle droit avec I et I doit changer de position pour satisfaire cette condition. Donc on contrôle les VArs avec les amplitudes des tensions et les Watts avec l'angle δ. Il existe un couplage entre les variations de "δ" et "θ", mais à puissance constante on varie le cosθ en changeant la grandeur de V1n. Une autre manière de démontrer ces relations est: S = V⋅I*

Sous forme rectangulaire:

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Multipliant le numérateur et le dénominateur par j, regroupant les parties réelles et posant cos (-δ) = cos (δ) sin(-δ) = -sin(δ)

IV.2. Théorie générale du calcul de l'écoulement d'énergie La solution d'un réseau de distribution d'énergie électrique pour établir l'état des charges, la direction des kW et des kVAr et les tensions des jeux de barres ne sont pas un problème linéaire et demandent une solution numérique par approximations successives, à moins que le problème ne soit complètement radial.

Chaque expression du schéma unifilaire utilise une notation à deux indices suivant la règle: - pour les variables d'écoulement i.e. les S et les I, le premier indice indique l'origine, et le deuxième indice indique la destination. - pour les variables d'états i.e. les V on donne l'état de la barre "premier indice" par rapport au "deuxième indice". - pour les paramètres physiques i.e. les Z, on indique que le raccordement est entre le"premier indice"et le "deuxième indice". Les relations suivantes sont donc vraies et on pourrait en écrire plusieurs autres similaires mais peut-être non nécessaires. SL13 = S13 + S31 SL23 = S23 + S32 S3m = - S31 - S32

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I13 = (V1n - V3n)/Z13 I23 = (V2n - V3n)/Z23 En réalité, ΣS = 0 à chaque barre donne les équations pour déterminer le profil de tension et les autres inconnues si un choix judicieux des données se fait dès le départ.

a) Exemple de calcul de l'écoulement d'énergie : L'exemple ci-joint mérite qu'on s'y arrête pour réfléchir sur la façon de procéder pour solutionner un réseau. Le petit programme MATLAB est en réalité un simulateur où l'on pourrait supposer des données et vérifier les résultats.

Au moyen d'un logiciel comme MATLAB©, on peut écrire une solution: % introduction des données S3m=8000+6000*j; S1k=-4000+3000*j; V1n=460 + 0*j; Z13=1.4+1.6*j; Z23=0.8+1.0*j; % calcul de S31 I1k=conj(S1k/V1n); I13=-I1k; S13=V1n*conj(I13); SL13=Z13*I13*conj(I13); S31=SL13-S13; % calcul de V3n V3n=-S31/conj(I13); % calcul de S32 S32=-S3m-S31; % calcul de S23 I23=-conj(S32/V3n); SL23=Z23*I23*conj(I23); S23=-S32+SL23; % calcul de V2n V2n=S23/conj(I23); % calcul de la tension et de sa phase V=abs(V2n) ø=angle(V2n)*180/pi Réponse V = 486.1786 volts ø = -3.6970°

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Supposons maintenant que "k" et "p" sont deux pavillons du complexe industriel dont vous avez la charge, alors que "m" est le réseau qui vous alimente. Les définitions des variables peuvent demeurer les mêmes, mais un peu de réflexion s'impose. La distribution de l'énergie au moyen d'un système radial (le cas ici) se solutionne très bien au moyen de la comptabilité de puissance par approximations successives contrôlées par l'utilisateur d'une simple calculatrice scientifique.

Ainsi, connaissant les charges [Pk,Qk] et [Pp,Qp], et sachant que le réseau doit fournir ces charges, on peut couper la barre "m" dans un but d'analyse et utiliser Vm comme critère d'arrêt des itérations. Donc, poser Vk comme référence et calculer Vm requis. Supposer un Vp logique, calculer Vm et comparer avec le Vm déjà trouvé. S'il y a identité, la supposition était la bonne, sinon recommencer. Comme exercice pratique, construire un simulateur sur chiffrier pour les données triphasées suivantes: Zmk = 0,14 + 0,16*j Ω Zmp =0,10 + 0,13*j Ω Sk = 300 + 90*j en kVA sous 600 volts Sp = 480 + 150*j en kVA sous 600 volts Vk désiré = 600 volts simple. Quelles seront les tensions Vm et Vp pour satisfaire les données? Réponse: Vm = 696,5 et Vp = 583 La comptabilité de puissance ne donne pas l'angle des V et il faut faire un diagramme pour trouver ces angles. Pour un système radial qui ne fait que consommer des kVAs à partir du réseau, l'angle n'a pas d'intérêt. Un petit programme MATLAB serait l'outil si l'on désire les angles.

b) Calcul de l'écoulement d'énergie d’un réseau bouclé : Supposons maintenant que l'on passe d'un système radial à un système bouclé par l'ajout d'une ligne de transport entre les barres #1 et #2. Le problème est devenu beaucoup plus difficile et les mathématiques requises pour solutionner les équations non linéaires font appel aux méthodes numériques les plus performantes qui sont déjà programmées dans les logiciels d'application sur le marché. Comme la tension des barres et l'angle entre ces tensions sont les variables qui ont le plus d'intérêt dans l’exploitation d'une installation d'utilisation d'énergie utilisant la cogénération, il faut expliciter ces variables à partir de la sommation des courants aux barres. La substitution des équations de courant dans les trois équations de Kirchhoff donne un système de trois équations en nombres complexes.

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-I1k - I13 - I12 = 0 -I2p - I23 + I12 = 0 -I3m + I13 + I23 = 0 Supposons que les impédances de ligne sont connues, il reste encore trois V et trois S pour seulement trois équations (12 inconnues). Les équations peuvent être doublées en les divisant en réelles et imaginaires. (Six équations, douze inconnues.)

I1k = (S1k/V1n)* I12 = (V1n - V2n)/Z12 I13 = (V1n - V3n)/Z13 I23 = (V2n - V3n)/Z23 I2p = (S2p/V2n)* I3m = (S3m/V3n)*

Supposons que S3m et V3n sont définis avec V3n comme référence donc angle 0°; la charge peut être spécifiée par celui qui veut faire l'étude (Quatre inconnues sont spécifiées). Supposons aussi que S1k est spécifié; on peut déterminer à priori le point de fonctionnement d'un générateur (Deux autres inconnues spécifiées).

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V. Courants de court-circuit V.1. Introduction Le dimensionnement d’une installation électrique et des matériels à mettre en œuvre, la détermination des protections des personnes et des biens, nécessitent le calcul des courants de courtcircuit en tout point du réseau. L’objectif poursuivi dans ce chapitre est de bien faire connaître les méthodes de calcul pour déterminer en toute connaissance de cause les courants de court-circuit, même en cas d’utilisation de moyens informatiques. En effet, toute installation électrique doit être protégée contre les courts-circuits et ceci, sauf exception, chaque fois qu’il y a une discontinuité électrique, ce qui correspond le plus généralement à un changement de section des conducteurs. L’intensité du courant de court-circuit est à calculer aux différents étages de l’installation ; ceci pour pouvoir déterminer les caractéristiques du matériel qui doit supporter ou couper ce courant de défaut. Pour choisir et régler convenablement les protections, on utilise les courbes du courant en fonction du temps (courbe de déclenchement ou de fusion). Deux valeurs du courant de court-circuit doivent être connues : le courant maximal de court-circuit qui détermine : - le pouvoir de coupure -PdC- des disjoncteurs, - le pouvoir de fermeture des appareils, - la tenue électrodynamique des canalisations et de l’appareillage. Il correspond à un court-circuit à proximité immédiate des bornes aval de l’organe de protection. Il doit être calculé avec une bonne précision (marge de sécurité). le courant minimal de court-circuit indispensable au choix de la courbe de déclenchement des disjoncteurs et des fusibles, en particulier quand : - la longueur des câbles est importante et/ou que la source est relativement impédante (générateurs-onduleurs) ; - la protection des personnes repose sur le fonctionnement des disjoncteurs ou des fusibles, c’est essentiellement le cas avec les schémas de liaison à la terre du neutre TN ou IT. Pour mémoire, le courant de court-circuit minimal correspond à un défaut de court-circuit à l’extrémité de la liaison protégée lors d’un défaut biphasé et dans les conditions d’exploitation les moins sévères (défaut à l’extrémité d’un départ et non pas juste derrière la protection, un seul transformateur en service alors que deux sont couplables…).

V.2. Etablissement de l’intensité de court-circuit Un réseau simplifié se réduit à une source de tension alternative constante, un interrupteur et une impédance ZCC représentant toutes les impédances situées en amont de l’interrupteur, et une impédance de charge ZS :

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Dans la réalité, l’impédance de la source est composée de tout ce qui est en amont du court-circuit avec des réseaux de tensions différentes (HT, BT) et des canalisations en série qui ont des sections et des longueurs différentes. Sur le schéma présenté ci-dessus, l’interrupteur étant fermé, hors défaut l’intensité Is du courant de service circule dans le réseau. Un défaut d’impédance négligeable apparaissant entre les points A et B donne naissance à une intensité de court-circuit très élevée ICC, limitée uniquement par l’impédance ZCC. L’intensité ICC s’établit suivant un régime transitoire en fonction des réactances X et des résistances R composant l’impédance ZCC :

En distribution de puissance, la réactance X = L ω est généralement bien plus élevée que la résistance R, et le rapport R / X se situe entre 0,10 et 0,3. Il est pratiquement égal pour ces faibles valeurs au cosϕ (en court-circuit) soit :

Cependant, le régime transitoire d’établissement du courant de court-circuit diffère suivant l’éloignement du point de défaut par rapport aux alternateurs. Cet éloignement n’implique pas nécessairement une distance géographique, mais sous-entend que les impédances des alternateurs sont inférieures aux impédances de liaison entre ces derniers et le point de défaut.

a) Défaut éloigné des alternateurs : C’est le cas le plus fréquent. Le régime transitoire est alors celui résultant de l’application à un circuit self-résistance d’une tension :

L’intensité i est alors la somme des deux composantes : i = iCA + iCC.

1°) L’une (iCA) est alternative et sinusoïdale : où

α = angle électrique qui caractérise le décalage entre l’instant initial du défaut et l’origine de l’onde de tension.

2°) L’autre (iCC) est une composante continue :

Sa valeur initiale dépend de α, et son amortissement est d’autant plus rapide que R/L est élevé. A l’instant initial du court-circuit, i est nulle par définition (l’intensité de service Is étant négligée), d’où : i = iCA + iCC = 0 La figure #1 ci-après, montre la présentation graphique et la décomposition du courant d’un courtcircuit s’établissant en un point éloigné d’un alternateur. Plus exactement, on montre la construction graphique de i par l’addition algébrique des ordonnées de ses 2 composantes iCA et iCC .

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Figure #1 Les figures #2a et #2b illustrent les deux cas extrêmes possibles d’établissement d’un ICC, qui pour une facilité de compréhension sont présentés avec une tension alternative monophasée.

figure #2a : court-circuit symétrique

figure #2b : court-circuit asymétrique

L’instant de l’apparition du défaut ou de fermeture par rapport à la valeur de la tension réseau étant caractérisé par son angle d’enclenchement α (apparition du défaut), la tension peut s’écrire : L’évolution du courant est alors de la forme :

avec ses deux composantes, l’une alternative et déphasée de ϕ par rapport à la tension, et l’autre continue tendant vers 0 pour t tendant vers l’infini. D’où les deux cas extrêmes définis par :

α = ϕ ≈ π / 2, dit « régime symétrique » (voir figure #2a) Le courant de défaut est de la forme :

qui, dès son début, a la même allure qu’en régime établi avec une valeur crête E/Z.

α = 0, dit « régime asymétrique » (voir figure #2b) Le courant de défaut est de la forme :

Ainsi sa première valeur crête ip est fonction de ϕ et donc du rapport R/X ≈ cosϕ du circuit. Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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Le facteur e−(R/L)⋅t est d’autant plus élevé que l’amortissement de la composante continue est faible, comme le rapport R/L ou R/X. Il est donc nécessaire de calculer ip pour déterminer le pouvoir de fermeture des disjoncteurs à installer, mais aussi pour définir les contraintes électrodynamiques que devra supporter l’ensemble de l’installation. Sa valeur se déduit de la valeur efficace du courant de court-circuit symétrique Ιa par la relation : le coefficient κ étant obtenu par la courbe de la figure #3 ci-après en fonction du rapport R/X, calculé par l’expression suivante :

Figure #3 : variation du facteur κ en fonction de R/X d’après la norme CEI 60909

b) Défaut à proximité des alternateurs : Lorsque le défaut se produit à proximité immédiate de l’alternateur alimentant le circuit concerné, la variation de l’impédance alors prépondérante de l’alternateur provoque un amortissement du courant de court-circuit. En effet, dans ce cas, le régime transitoire d’établissement du courant se trouve modifié par la variation de la f.é.m. (force électromotrice) résultant du court-circuit. Pour simplifier, on considère la f.é.m. constante, mais la réactance interne de la machine comme variable ; cette réactance évolue suivant les 3 stades : • subtransitoire intervenant pendant les 10 à 20 premières millisecondes du défaut ; • transitoire pouvant se prolonger jusqu’à500 millisecondes ; • puis… permanent ou réactance synchrone. Notons que dans l’ordre indiqué, cette réactance prend à chaque stade une valeur plus élevée : la réactance subtransitoire est inférieure à la réactance transitoire elle même inférieure à la réactance synchrone. Cette intervention successive des trois réactances entraîne une diminution progressive de l’intensité de court-circuit, intensité qui est donc la somme de quatre composantes: les trois composantes alternatives (subtransitoire, transitoire et permanente) ; la composante continue qui résulte de l’établissement du courant dans le circuit (selfique). Ce courant de court-circuit i(t) est maximal pour un angle d’enclenchement correspondant au passage par zéro de la tension à l’instant du défaut. Il est alors donné par l’expression suivante :

Avec : E : tension simple efficace aux bornes de l’alternateur X"d : réactance subtransitoire X'd : réactance transitoire Cours de Système de production, de Transport et de Distribution : Partie Transport et Distribution de l’énergie électrique

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Xd : réactance synchrone (permanente) T"d : constante de temps subtransitoire T'd : constante de temps transitoire Ta : constante de temps apériodique En pratique, la connaissance de l’évolution du courant de court-circuit en fonction du temps n’est pas toujours indispensable : en BT, par suite de la rapidité des appareils de coupure, la connaissance du courant de courtcircuit subtransitoire, noté I"k , et de l’amplitude maximale de crête asymétrique ip suffit pour la détermination du PdC des appareils de protection et des efforts électrodynamiques. en revanche, en distribution BT de puissance et en HT, le courant de court-circuit transitoire est souvent utilisé si la coupure se produit avant d’arriver au courant de court-circuit permanent. Il est alors intéressant d’introduire le courant de court-circuit coupé, noté Ib, qui détermine le PdC des disjoncteurs retardés. Ib est la valeur du courant de court-circuit à l’instant de la coupure effective, et donc après un temps t suivant l’établissement du court-circuit, avec t = tmin. Le temps tmin [temps mort minimal] est la somme du retard (temporisation) minimal de fonctionnement d’un relais de protection et du temps d’ouverture le plus court du disjoncteur qui lui est associé. Il s’agit du temps le plus court s’écoulant entre l’apparition du courant de court-circuit et la première séparation des contacts d’un pôle de l’appareil de manœuvre. La Figure #4 ci-après présente les différents courants de court-circuit ainsi définis.

Figure

#4

V.3. Calcul de courant de court-circuit dans un système à plusieurs niveaux de tension Approximations normales pour le calcul des courants de court-circuit : 1) Le court-circuit est franc, i.e. zéro d'impédance. 2) Le courant de court-circuit calculé est pour le cas 3ø symétrique. 3) Les courants de charge sont ignorés. 4) La tension des sources (le réseau et les générateurs internes) est considéré nominale même si parfois cette tension est ± 5% en déviation de la norme. 5) La tension des moteurs est considérée à sa valeur nominale lorsque le court-circuit débute.

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6) L'impédance des transformateurs est la valeur réelle (si connue) ou très souvent la valeur nominale avec sa variation acceptable de ± 7.5% pour prévoir le cas le plus défavorable. 7) Si le rapport X/R est inconnu, on choisit un rapport X/R relativement élevé pour assurer que le courant de court-circuit calculé sera plus grand que le courant de court-circuit réel. 8) Les jeux de barres contenues dans les sous-stations sont négligées à moins qu'elles soient très longues auquel cas il faut en calculer l'impédance suivant les tables disponibles.

V.4. Méthode des nœuds pour calculer les courants de court-circuit au jeu de barres d'un réseau Soit un circuit à trois nœuds :

Immédiatement à l'apparition du court-circuit, les sources de courants sont: le réseau, les moteurs synchrones et asynchrones, et les générateurs locaux. Ces sources injectent les courants dans les jeux de barres 1, 2 et 3. La solution des équations permet de trouver la tension à circuit ouvert du jeu de barres 3. Les sources de courant étant connues, il suffit d'inverser la matrice [Y] pour connaître les tensions des trois barres immédiatement avant le court-circuit, donc la valeur de V3n est la tension à circuit ouvert nécessaire pour établir un équivalent de Thévenin. L'inversion de la matrice [Y] possède les dimensions d'impédance et est souvent dénommée [ZJB]. Il ne faut pas confondre cette matrice avec la matrice [Z] des équations de boucle. Pour ne pas confondre, utilisons K dans la matrice inversée.

Ainsi donc, la valeur de la tension à circuit ouvert est très facile à calculer si l'on peut inverser des matrices en nombres complexes sans erreurs. Il reste à déterminer le courant de court-circuit à la barre d'intérêt pour avoir un équivalent exact. Si la barre 3 est en court-circuit franc, le courant de court-circuit peut être calculé au moyen de la tension des deux barres calculé avec les équations réduites.

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Mettre le jeu de barres 3 en court-circuit consiste à enlever la colonne 3 et la rangée 3 de la matrice [Y] primitive. Une nouvelle inversion de la matrice 2x2 permet de calculer le courant de court-circuit.

Noter les contributions au courant de court-circuit des branches Y13 et Y23 de la matrice primitive. Il est donc très intéressant de connaître la matrice des admittances d'un réseau puisqu'on peut ensuite, au moyen d'un ordinateur, représenter le reste du réseau par un équivalent de Thévenin. Bien sûr chaque source d'énergie doit être assimilée à une source de courant avec une admittance en parallèle, mais la notion de "SCC" puissance de court-circuit et les unités normalisées (pu) permettent de manipuler ce problème avec aisance si l'on peut inverser des matrices en nombres complexes.

V.5. Méthode des nœuds : calcul par approche des limites Soit un circuit à trois nœuds que nous utiliserons pour des fins pédagogiques.

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Immédiatement à l'apparition d'un court-circuit à l'une des trois jeux de barres, les sources de courants sont: • le réseau, • les moteurs synchrones et asynchrones, et • les générateurs locaux. Ces sources injectent les courants dans les jeux de barres 1, 2 et 3. Les sources courants I1 I2 I3 sont connues. Si l'on solutionne en posant Y3n = 0, on obtiendra la tension à circuit ouvert du nœud #3. Si l'on solutionne en posant Y3n = ∞, on obtiendra le courant de court-circuit du nœud #3. On pourrait ainsi faire un équivalent de Thévenin ou de Norton avec les deux réponses obtenues. Comme les cas limites sont difficiles à traiter, 0 et ∞ devront être "très petit" et "très grand". Ainsi donc, la valeur de la tension à circuit ouvert est très facile à calculer si l'on peut inverser des matrices en nombres complexes sans erreurs (V3n dans le cas ici avec Y3n ="très petit"). Si l'on calcule V1n et V2n avec Y3n ="très grand",

Icc = I3 + V1nY13 + V2nY23.

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VI. La Stabilité VI.1. Introduction Pour bien comprendre le problème de stabilité dans les réseaux, étudions le modèle élémentaire comprenant une génératrice synchrone et un moteur synchrone où Zs est considéré comme réactif i.e. (R = 0).

Le diagramme des vecteurs de Fresnel permet d'écrire: Pg = Eg*I*cos(ß + δ) = Pm = Em*I*cos(ß) = Eg*Em*sin(δ)/X, où X est la somme des réactances entre les deux machines. Nous avons ici la même relation que pour le transport de puissance entre deux réseaux. Si les impédances des machines sont petites, i.e. les machines sont grosses ou sont près l'une de l'autre, la puissance transmise sera grande, X étant petit. Lorsque δ devient une fonction du temps, les machines sont désynchronisées et il faut les déraccorder. Lorsque δ approche 90°, on obtient la valeur maximum de la puissance transmissible; cette puissance se nomme : puissance de synchronisation. Une analyse de stabilité consiste à introduire une perturbation et à regarder si le synchronisme sera perdu ou si le synchronisme sera repris après le passage de la perturbation. Il est bon de noter que si le régulateur de tension (ce qui change Ix) est très rapide, les tensions ne resteront pas constantes pendant la perturbation. Il est aussi possible d'analyser le système en régime permanent près du décrochage pour vérifier si une baisse de tension impliquera une perte de synchronisme. Si le système représente deux moteurs synchrones fonctionnant en parallèle, l'impédance de la ligne qui les alimente devient limitatrice pour ce qui est de la puissance de synchronisation disponible. On peut considérer qu'il existe deux sortes de stabilité pour une génératrice.

a) La stabilité en régime permanent

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Elle consiste à étudier le comportement du système lorsqu'on augmente la charge demandée lentement (pour satisfaire les prévisions de charge sur le réseau) sans dépasser la puissance apparente nominale de l'appareil. En régime permanent, les équipements de régulation ont tout le temps requis pour corriger les baisses de tension, et des analyses de profil de tension seront requises dans le but de définir les stratégies de gestion de la charge en fonction des coûts optimums.

b) La stabilité transitoire Elle consiste à vérifier que le générateur soumis à un défaut (débranchement ou court-circuit) ne subira pas une accélération telle qu'il perdra son synchronisme. Comme les génératrices actuelles sont très puissantes, un défaut qui enlève la charge électrique sans enlever la source d'énergie mécanique produit un effet très rapide. Il faut donc étudier le comportement dynamique de l'ensemble source-générateur. On supposera que la tension est constante et comme la vitesse n'aura pas le temps de changer beaucoup, on pourra utiliser les paramètres à 50 Hz de la machine. L'analyse de la première oscillation suivant un défaut constitue en fait une analyse de stabilité transitoire, car si la génératrice ne perd pas le synchronisme à la première oscillation, elle demeurera stable dans le temps à moins d'une autre reconfiguration du réseau. Bien sûr, la génératrice subira des oscillations qui s'amortiront sans perte de synchronisme pendant un temps qui peut durer plusieurs minutes. On dira alors que le système est dans un mode transitoire stable et on pourra arrêter l'analyse ici. Cependant, si l'on désire plus de précisions sur le comportement transitoire de la génératrice, il faudra introduire les effets des régulateurs qui auront le temps d'agir après quelques millisecondes. Une analyse complète de cette nature demande des moyens de calcul très puissants et n'est nécessaire que pour les grands réseaux. On considérera cette analyse comme une analyse du mode transitoire dynamique (Ce genre d'analyse dépasse le niveau du présent cours !).

VI.2. L'équation de stabilité Pour comprendre la dynamique associée à un générateur, prenons le système simple suivant:

Pour mieux comprendre les interactions, nous négligeons les pertes électriques entre l'arrivée de la puissance mécanique au générateur Pm et l'injection de la puissance électrique Pé dans le réseau au jeu de barres infini. Les génératrices modernes ayant un rendement supérieur à 95%, notre simplification est acceptable. Normalement, un alternateur tourne à la vitesse synchrone du réseau et l'équation des couples en jeu peut s'écrire: Tm = J αm + Tfrict + Tamort + Té où Tm : couple mécanique produit par Pm en Nm. Il est à noter que Pm = Tm ωm et que ωm = α∫m J : moment d'inertie polaire (en rotation) de l'ensemble des masses tournantes en kg-(mètre carré). αm : accélération de l'ensemble des masses tournantes en radians par (seconde carrée). Tfrict : couple de friction de l'ensemble des masses tournantes. Tamort : couple d'amortissement dû à la cage du rotor de l'alternateur.

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Té : couple relié à la puissance électrique Pé injectée dans le jeu de barres infini. Pé = Té ωs. Comme notre analyse porte sur des temps courts (moins de deux secondes) et que les masses en mouvement sont grandes, on prendra comme acquis que la vitesse synchrone (ωs du champ tournant) et la vitesse mécanique (ωm) demeureront identiques pendant l'analyse. D'ailleurs, l'expérience démontre que la différence entre ωs et ωm est moins de 2% à l'intérieur de l'intervalle observée. Les couples Tfrict et Tamort sont très petits par rapport aux couples Tm et Té; pour faire notre discussion, nous les négligeons. Nous avons alors une équation qui exprime le comportement transitoire du système autour du point de vitesse synchrone, du moins pour les quelques instants qui suivent un changement de configuration du réseau Tm = Jαm + Té qui se transforme en multipliant par ωs en une équation de puissance ωsTm = Jωs αm + ωsTé où ωsTé = Pé = q(EgV)/X sin δ q = nombre de phases δ étant l'angle entre la tension générée et la tension de la barre infinie en degrés électriques. ωsTm = Jωs αm + ωsTé et comme ωs ≈ ω Pm - Pé = Jωs αm où Pé = q(EgV)/X sin δ Comme l'angle δ est l'angle entre la tension générée et la tension du jeu de barres infinie en degrés électriques et que cet angle ne peut devenir une fonction du temps (car alors on perdrait le synchronisme), il serait de bonne aloi d'exprimer αm en fonction de δ. Pour ce faire, exprimons la position θ de l'axe du rotor (pôle nord produisant la fréquence) par rapport à une référence fixe dans l'espace. θ = ωt + δ où ω = 2πf = pulsation angulaire du réseau en rad/s θ et δ sont en radians électriques, Pour une première dérivée de θ(t), nous utiliserons la notation dθ/dt = θ' Pour une deuxième dérivée de θ(t), nous utiliserons la notation dθ'/dt = θ" Si on prend la dérivée de la position du rotor, on trouve: θ' = ω + δ' en radians électriques La même équation convertie en radians mécaniques devient: 2/p θ' = 2/p ω + 2/p δ' θ'm = ωs + 2/p δ' = ωs + δ'm ωm = ωs + 2/p δ' αm = ω'm = 2/p δ" où δ est en radians électriques et notre relation devient: Pm - Pé = 2/p Jωs δ" où Jωs est très différent d'une machine à une autre. Cette équation est en unités SI et doit être normalisée en ″pu″ pour faire ressortir les propriétés générales de ce système.

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VI.3. Normalisation de l'équation de stabilité L'équation développée précédemment est: 2/p Jωs d" = Pm - Pé où p : nombre de pôles (sans dimensions). J : moment d'inertie polaire (en rotation) de l'ensemble des masses tournantes en kg-(mètre carré). ωs : vitesse synchrone des masses en mouvement avant le défaut (rad/s). δ" : deuxième dérivée de l'angle électrique entre la tension générée et la tension du jeu de barres infinie (rad/s). Pm : puissance mécanique injectée dans le système des masses en mouvement (watts). Pé : puissance électrique injectée dans le réseau à la barre infinie (watts). multiplication par 2ωs et réaménagement : or ωs = 2/p ω et

ω = 2πf donc

normalisation à Sgén (VA du générateur) : H = énergie cinétique dans les masses tournantes à la vitesse synchrone / valeur nominale du générateur. H = constante d'inertie en pu L'équation d'intérêt en pu devient:

où H : constante d'inertie en pu sur la base du générateur. Pm : puissance mécanique injectée dans le système des masses en mouvement en pu sur la base du générateur. Pé : puissance électrique injectée dans le réseau à la barre infinie en pu sur la base du générateur. Si plusieurs générateurs sont étudiés en même temps, il faudra normaliser à une base commune suivant les règles générales de normalisation. Ainsi:

H' = H(Sgén/Sréseau) P'm (pu) = Pm (pu)(Sgén/Sréseau) P'e (pu) = Pe (pu)(Sgén/Sréseau) La constante H prend les valeurs typiques suivantes: générateur avec turbine à vapeur H = 9 à basse vitesse et 3 à haute vitesse générateur avec turbine hydraulique H = 2 à basse vitesse et 4 à haute vitesse

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VI.4. Le transport de la puissance dépend de la configuration du réseau Le transport d'énergie électrique entre deux points d'un réseau sans pertes joules est une fonction des grandeurs des tensions aux deux extrémités, de la grandeur de la réactance équivalente (admittance de transfert) entre les deux points et de l'angle de phase entre les deux tensions. Pe = [(V1)(V2)/(X12)] sin(δ) = [(V1)(V2)(Y12)] sin(δ) C'est donc dire qu'un changement de X obligera un changement de δ si les tensions et la demande ne changent pas et c'est ce qui se produit lorsqu'un éclair frappe une ligne de transport. Donc, tout changement de configuration modifiera la quantité d'énergie que pourra fournir le générateur au réseau et si la turbine continue à injecter de l'énergie mécanique, il se produira un phénomène d'accélération qui peut amener la perte de synchronisme et ainsi déstabiliser le réseau. Pour bien comprendre le phénomène, établissons les trois circuits suivants en valeurs normalisées (pu) : 1) Avant le défaut : Xgén = 0,3 pu Xtrans = 0,07 pu Xligne = 0,4 pu/ligne Xligne comb. = 0,2 pu X12 = 0,57 pu Pe = 2,368 sin(δ) 2) Pendant le défaut : Réduction par Thévenin du réseau vers gén. Voc = 0,1298 pu Icc = 0,894 pu Xth = 0,1452 pu Pe = 0,8939 sin(δ)

3) Après le défaut : X = 0,77 pu Pe = 1,753 sin(δ)

VI.5. La transitoire stable Avant : Pe = 2,368 sin(δ) Pendant : Pe =0,8939 sin(δ) Après : Pe = 1,753 sin(δ)

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Supposons que Pm = 1,2 avant le défaut. Au point "a": Pm = Pe = 1,2 = 2,368 sin(δ) d'où arcsin(δo) = 1,2/2,368 δo = 30,45° = 0,5314 rad Si le réseau est en configuration "avant le défaut", l'angle de puissance est (pour notre exemple) 30,45°. Supposons que l'on passe directement à la configuration "après le défaut" (on déconnecte une ligne avant le court-circuit à la masse). L'angle δ ne peut changer instantanément à cause de l'inertie des masses tournantes. L'angle qui assure l'équilibre des couples sera maintenant (point "c") 1,2 = 1,753 sin( δi). δi = 43,2° = 0,754rad Le système passe du point "a" au point "b" instantanément et comme il existe un surplus de puissance mécanique, il y aura accélération des masses tournantes et l'angle de puissance augmentera en suivant la trajectoire "bc". Normalement, au point "c" il y a équilibre de puissance et l'équation de δ" devrait être égale à zéro. Cependant, pendant le passage du point "b" au point "c", les masses tournantes ont absorbé un excès d'énergie qui maintient le momentum du système. Si l'équation d'accélération contenait la première dérivée de l'angle de puissance (δ'), il existerait un amortissement (En réalité cet amortissement existe dans les barres de la cage sur le rotor). Comme ce terme a été négligé dans notre première analyse, il faudra que l'énergie excédentaire injectée dans les masses tournantes soit enlevée du système pour rétablir l'équilibre des puissances et l'égalité des couples. Donc, on peut conclure que, lorsque la puissance électrique est plus grande que la puissance mécanique, il y a décélération et que si la puissance mécanique est plus grande que la puissance électrique, il y a accélération. C'est l'angle de puissance qui change, et en absence d'amortissement, si la puissance de décélération est assez grande, il y aura une oscillation en synchronisme et on parlera de transitoire stable. Bien sûr, ces oscillations seront en fait amorties par les barres d'amortissement qui, en réalité, sont la cage d'écureuil qui prend effet seulement lors de variations de d ou lors de pertes de synchronisme. Une façon simple de vérifier si notre système sera en transitoire stable est la méthode des surfaces égales : Pour le cas qui nous préoccupe, vérifions quelle valeur de δj donnera des surfaces égales pour l'accélération et la décélération. δo = 30,45° = 0,5314rad δi = 43,2° = 0,754 rad δj : à déterminer

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Actuellement, notre système est dit "transitoire stable". Et, il est à noter que l'énergie de décélération disponible est la surface "cdf" et que l'angle δk (136,8°) étant donné, il est possible de calculer cette énergie disponible de freinage (soit 0,59536 en regard de la surface "abc" qui est 0,06327, i.e. 9 fois plus).

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VII. Harmoniques VII.1. Introduction Le bon fonctionnement de la plupart des appareils électriques raccordés au réseau nécessite une alimentation sinusoïdale à 50 Hz. Dans ces conditions, les charges dites passives, comme les résistances de chauffage ou les condensateurs, absorbent un courant périodique à 50 Hz, sinusoïdal. Mais certains appareils, utilisant pour la plupart l’électronique de puissance, absorbent un courant qui n’est pas sinusoïdal. Ce courant a toujours une fréquence de 50 Hz, mais il est déformé. Lorsqu’il traverse l’impédance du réseau, ce courant produit une déformation de la tension. Ces perturbations se propagent alors à l’ensemble du réseau. On dit que ces appareils sont non linéaires et qu’ils produisent des courants et des tensions harmoniques. On parle alors de distorsion harmonique. Dans certains cas, la configuration du réseau peut provoquer une amplification de la distorsion harmonique. La présence de charges non linéaires peut alors entraîner le dysfonctionnement d’autres appareils raccordés à proximité.

VII.2. Définition L’analyse de Fourier permet de quantifier la distorsion harmonique d’un signal. Un signal périodique (de tension ou de courant) de forme quelconque et de fréquence f0 se décompose en une somme de signaux sinusoïdaux dont chacun a une fréquence (dite harmonique) qui est un multiple entier de la fréquence fondamentale f0. Ce multiple est appelé rang harmonique. L’amplitude d’une composante harmonique est généralement exprimée en pourcentage de la grandeur fondamentale correspondante : c’est le taux d’harmoniques. Exemple de décomposition d’un signal périodique 50 Hz en série de Fourier :

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VII.3. Origine des distorsions Les appareils électroniques sont les principaux responsables de la pollution harmonique, mais les autres charges du réseau peuvent également y contribuer.

a) Emission en tension : Les machines synchrones et les transformateurs saturés sont des sources de tensions harmoniques. Les niveaux harmoniques produits par ces sources restent toujours inférieurs au pour-cent. Certains équipements destinés à la compensation des creux de tension (alimentations sans interruption – ASI – de conception rudimentaire) produisent également des harmoniques de tension sur leur réseau aval.

b) Emission en courant : Les charges non linéaires se comportent comme des sources de courants harmoniques, en ce sens que les courants émis ne dépendent pas de l’impédance du réseau auquel l’appareil est raccordé. C’est le cas de la plupart des appareils à base d’électronique de puissance mais aussi des appareils à arc électrique (fours à arc, machines à souder), des petits moteurs asynchrones et de certains moyens d’éclairage (lampes fluorescentes et à vapeur haute pression). Chaque source d’harmoniques est caractérisée par le spectre du courant qu’elle absorbe.

VII.4. Effets En présence d’harmoniques, la valeur efficace vraie du signal est supérieure à la valeur efficace du seul fondamental (voir exemple ci-dessous). Les appareils (comme les disjoncteurs) dimensionnés pour un courant fondamental donné peuvent alors être soumis à de sévères contraintes supplémentaires. L’effet le plus connu des harmoniques est la destruction de condensateurs ou de disjoncteurs en cas de résonance. Un autre phénomène fréquent dans les réseaux à basse tension est l’échauffement des conducteurs de neutre sous l’effet des courants harmoniques de rang 3. Les harmoniques peuvent aussi avoir des effets moins visibles, mais tout aussi réels, qui se traduisent par une fatigue accélérée du matériel. On distingue donc les effets instantanés et les effets à terme. Exemple d’augmentation de la valeur efficace de la tension en présence d’harmoniques :

VII.5. Propagation

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Il est nécessaire de pouvoir calculer les niveaux de tensions harmoniques en chaque point d’un réseau électrique pour contrôler le respect des niveaux limites, ainsi que les courants harmoniques traversant chaque élément afin de déterminer son dimensionnement ou de détecter une éventuelle surcharge. En règle générale, les courants harmoniques se propagent avec peu d’atténuation des réseaux basse tension vers les réseaux haute tension (il existe une exception pour les rangs multiples de 3), alors que les tensions harmoniques se propagent facilement des niveaux de tension élevés vers les niveaux de tension inférieurs. Cette règle peut toutefois être largement modifiée du fait de résonances, liées à la présence de condensateurs sur les réseaux. Toutes les méthodes d’étude supposent que le réseau soit linéaire et utilisent la théorie de Fourier (analyse indépendante des différentes fréquences).

a) Impédance harmonique des réseaux : L’impédance des éléments composant le réseau conditionne la propagation des perturbations harmoniques. Cette impédance est fonction de la fréquence. L’impédance du réseau, vue d’un de ses points, est donc elle aussi une fonction de la fréquence. On calcule cette impédance harmonique en plaçant en parallèle les différentes branches du réseau reliant ce point à la terre. Les batteries de condensateurs sont des éléments de nature capacitive. Leur installation peut entraîner l’apparition de phénomènes d’amplification nommés résonances.

b) Résonances : L’association d’éléments capacitifs et inductifs se traduit par l’apparition de résonances. Celles-ci se manifestent par des valeurs particulièrement élevées ou faibles de l’impédance à certaines fréquences. On distingue deux types de résonances, selon que les éléments capacitifs et inductifs sont associés en série ou en parallèle.

b1) Résonance parallèle : La mise en parallèle d’une inductance L harmonique donnée par :

p

et d’une capacité C

p

constitue une impédance

Il y a résonance lorsque le dénominateur est égal à zéro ; l’impédance tend alors vers l’infini. La fréquence de la résonance est donnée par :

b2) Résonance série : De la même façon, la mise en série d’une inductance L impédance harmonique donnée par :

s

et d’une capacité C

s

constitue une

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Il y a résonance lorsque le numérateur est égal à zéro ; l’impédance est alors nulle. La fréquence de la résonance est donnée par :

b3) Impact des résonances : Premier phénomène : On considère le cas limite dans lequel le générateur d’harmoniques est le seul appareil raccordé sur le jeu de barres basse tension (charge nulle). La source de courant harmonique débite sur un dipôle constitué de la réactance du réseau amont (transformateur + réseau HTA) en parallèle avec la batterie de condensateurs (voir la figure a ci-dessous). À la fréquence de résonance, l’impédance de ce dipôle tend vers l’infini. Le courant harmonique émis n’étant pas nul, la tension aux bornes du dipôle est donc infinie. Les courants qui traversent les éléments sont donc eux aussi infinis. Deuxième phénomène : Une tension harmonique, due à d’autres équipements perturbateurs situés à proximité, présente sur le réseau HTA, peut donner naissance à des courants infinis dans l’installation BT. La source de tensions harmoniques débite sur un dipôle constitué de la réactance du transformateur en série avec la batterie de condensateurs (voir la figure b ci-dessous). À la fréquence de résonance, l’impédance de ce dipôle tend vers zéro. Le courant qui traverse les éléments est donc infini. Exemple de circulation de courants harmoniques infinis en cas de résonance :

VII.6. Foisonnement Une grandeur harmonique (tension ou courant) est définie par son amplitude. Elle l’est aussi par son angle de phase. Cette notion de phase prend une grande importance lorsqu’il existe plusieurs sources de perturbation sur un réseau et que l’on désire calculer le courant (ou la tension) résultant. En effet, les courants harmoniques émis par les différentes sources s’additionnent vectoriellement. Le courant résultant d’un grand nombre de sources d’harmoniques peut être sensiblement différent selon que les courants émis individuellement ont des angles de phase semblables ou très différents. On nomme ce phénomène foisonnement angulaire. Lorsque des harmoniques sont émis par des charges de nature très semblable, on peut escompter un foisonnement angulaire moins important que si ces perturbations proviennent d’appareils différents. Sur les réseaux de distribution publique, c’est notamment le cas le soir, entre 20 et 22 heures, lorsqu’une multitude de téléviseurs fonctionnent simultanément. Le foisonnement est alors très faible.

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Exemple de foisonnement angulaire entre plusieurs sources d’harmoniques :

VII.7. Solutions La solution la plus couramment adoptée pour protéger une installation ou un réseau des perturbations harmoniques est la mise en œuvre d’un filtre. Cette méthode est efficace mais souvent onéreuse. Toutefois, ce n’est pas la seule solution. En pratique, il existe trois manières de réduire le niveau de pollution harmonique sur un réseau : éliminer les harmoniques à l’aide de filtres ; limiter l’émission de courants harmoniques par les appareils pollueurs ; modifier la structure du réseau pour agir sur la propagation des perturbations. On distingue d’une part les selfs antiharmoniques et les filtres comportant uniquement des éléments passifs (inductances, condensateurs, etc.) et d’autre part les filtres actifs à base d’électronique de puissance.

a) Selfs antiharmoniques : Ce dispositif a pour objectif essentiel de protéger les batteries de condensateurs d’une surintensité due aux harmoniques. Il consiste à installer, sur chaque phase du réseau, une inductance en série avec les condensateurs de compensation. Ce type de montage se comporte comme un courtcircuit à sa fréquence d’accord. Il est capacitif en deçà et inductif au-delà. Exemple de self antiharmonique accordée à 215 Hz :

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On indique par fr la fréquence d’accord du filtre, et par far la fréquence d’antirésonance. En notant L l’inductance des selfs antiharmoniques, L’ l’inductance équivalente du réseau amont et C la capacité des condensateurs, on a :

b) Filtres résonants : À l’inverse d’une self antiharmonique, le principe d’un filtre résonant est d’abaisser localement l’impédance du réseau de manière à court-circuiter les courants harmoniques. De ce fait, il diminue également les tensions harmoniques. Le comportement d’un filtre résonant est semblable à celui d’un ensemble self antiharmonique plus condensateur de compensation. Trois différences existent cependant : le facteur de qualité d’un filtre résonant est élevé, l’accord du filtre est donc très pointu ; on installe souvent plusieurs filtres résonants en parallèle, correspondant aux différents rangs harmoniques à filtrer ; un filtre est calculé à l’unité alors qu’une self antiharmonique est un élément standard. La puissance réactive nécessaire pour l’installation est répartie entre les condensateurs des différentes branches de filtres. Exemple de filtre accordé à 250 Hz :

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c) Filtres actifs : Un filtre actif compense les perturbations présentes sur le réseau en injectant des harmoniques de même intensité mais en opposition de phase. Pour cela, il met en œuvre des convertisseurs de puissance asservis aux niveaux harmoniques mesurés sur le réseau. La commande d’un filtre actif s’adapte donc en permanence aux variations des harmoniques à compenser. Il existe deux types de filtres actifs : les filtres série et les filtres shunt (connectés en série ou en parallèle avec la charge). Leur fonction est de dépolluer respectivement la charge ou le réseau.

Ce dispositif ne nécessite pas de précaution d’emploi particulière. Il se présente sous la forme de modules à connecter. Les filtres actifs absorbent les courants harmoniques émis par les charges perturbatrices pour une gamme de fréquences qui varie avec la puissance du filtre. Les filtres actifs présentent de nombreux avantages :

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ils ne modifient pas l’impédance du réseau ; ils suppriment ainsi le risque d’atténuation des signaux de télécommande à 175 Hz ; ils ne nécessitent pas d’étude poussée pour leur installation et s’utilisent pour compenser les harmoniques de la même façon que les onduleurs dans le domaine des microcoupures. Cependant : leur mise hors service peut provoquer une contrainte sur les filtres passifs présents sur le même réseau ; ils ne suppriment pas les résonances lorsqu’elles existent, ce qui peut dans certains cas réduire leur efficacité ; ils ne permettent pas de compenser facilement les courants harmoniques pour un ensemble d’usages en parallèle sur un même tableau ; ils ne permettent pas une compensation de l’énergie réactive à un coût modéré.

d) Convertisseurs propres : Plutôt que d’éliminer les harmoniques présents sur le réseau, il peut être intéressant de chercher à ne pas les produire. En effet, toutes les alimentations électroniques génératrices de courants déformés possèdent des équivalents non polluants. Le principe de ces appareils, dénommés convertisseurs propres, est de contrôler les interrupteurs électroniques qu’ils contiennent de façon à ce qu’ils absorbent un courant à 50 Hz rigoureusement sinusoïdal.

VII.8. Niveaux admissibles sur les réseaux Le tableau ci-dessous indique les niveaux de compatibilité pour les tensions harmoniques dans les réseaux basse et moyenne tension issus des normes CEI 61000-2-2 et 61000-2-12. Le niveau de compatibilité est le niveau de perturbation susceptible d’apparaître dans l’environnement considéré, avec une faible probabilité de dépassement (5 %). Ces chiffres n’ont pas d’équivalents sur les réseaux haute tension. Le fonctionnement correct des réseaux électriques et des équipements qui y sont raccordés sous-entend la recherche d’un compromis entre les perturbations émises par les appareils perturbateurs et l’immunité des appareils sensibles à ces perturbations. Les niveaux de compatibilité doivent servir de base à ce compromis.

Niveaux de compatibilité électromagnétique sur les réseaux basse et moyenne tension (d’après CEI 61000-2-2 et 61000-2-12) Harmoniques impairs non multiples de 3

Harmoniques impairs multiples de 3

Harmoniques pairs

Rang harmonique n

Tension harmonique (%)

Rang harmonique n

Tension harmonique (%)

Rang harmonique n

Tension harmonique (%)

5

6

3

5

2

2

7

5

9

1,5

4

1

11

3,5

15

0,3

6

0,5

13

3

21

0,2

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0,5

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19

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23

1,5

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0,2 + 0,5 × 25/n

> 12

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