31 0 38MB
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ilJ
3.8. Algèbrc ct anahsc
flT
Trois thèmes généraux se dégagent en classe de première SM . calcul littéml, . organis;ation de données, . analyse.
i,
*tjj l
NT
Colcul
u
mi-
lllt
.
LJL I
m
m
:
litt&ol
Cette rubrique vise autant la maltrise d'une (relative) virtuosité dans certains calculs- sur§.polynômes (développe^ment, réduction, factorisation) et les fractions rationnelles, que celle des différentes mé: thodes âe résolution des équations et inéquaüons, des systèmes d'équations ou d'inéquations. La résoluüon de problèmei concrets, qui permet de donner du sens à des techniques abstraites, reste (au moment de la mise en équation) un exercice difficile pour l'éiève.
Orgonisaüon de données LeJ statistiques jouent un rôle important cornme outil d'aide à la prise de décision dans un contexte donné. il esi cependant importanf de savoir qu'à chaque étape du taitement allant de donné-es observées à des conciusions statistiques, un gain en signification a pour prix Ia perte d'une partie,des informations. Le meilleur moyen pôur les élèves de s;en convaincie est d'avoir eu lroccâsion de trener, au moins une fois, une étudt stâtistique complète, c'est-à-dire allant du relevé de données à l1élaboration d'une réponse à une question pos6e au départ.
ll-
#X*i"r"era m
les acquis sur les fonctions (limites, dérivées, constructions de courbes, ...). Puis l'on
abordera Ia notion de suite qui est un t}ème Rouveau et riche. Ces deux thèmes permettront de résoudre de nombreux problèmes concrets etlou historiques.
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1- Barycentre
*11
t-
lpoges 5 à 22 du tivre de l'élève) l,1l
*l-
' Donner un modèle mathématique à des aotions rencontrées en Physique (centre d'inertie, centre de *'l gravité) ou en Statistique (moyenne pondérée). ' Utiliser I'outil barycentre pour résoudre des problèmes d'aiignements, de concours, de paralléIisme, ,,J ainsi que de recherche de lieux géométriques et-de lignes de niveau. ' 'Ce chapitre utilise et réinvesüt les résultats acquis d.ans les classes précéd.entes sur les notions de vecteurs et de produit scalaire. ' Il peut être traité directement et faire I'objet du premier chapitre de Géométrie de I'année ou faire suite au chapitre de Trigonométrie, mais il doit précéder l'étude des transformaüons du plal. ' Le barycentre est avant tout un outil supplémàntaire (s'ajoutant au caicul vectoriel, aux configurations géoneétriques, aux transformations, à I'outil ana!.ytique, ...) pour résoudre les problèmes ciasslques de géométrie : aligaements, concours, Iieux géométriques. ' Ii faut également indiquer, à l'aide d'exercices, I'utilisation de cet outil d.ans d'autres disciplines, notamment en Statistique, en Physique, en Biologie. ' L!étude du barycentre de n points pondérés n'est pas au prograrnme de Première ; elle sera traitée en classe de Terminale.
ilr ,S"Ai
il_ n1
rtlL
ÏL . Traduire par une égalité vectorielle qu'un point est le barycentre de 2, 3 ou 4 points pondérés.
Barycentre de 2 points pondérés. . Défiuition . Propriétés : - homogénéité - réduction de Ia somm" "fô. + blvln ; - ensemble des barycentres de deux points ; - coordonnées du barycentre de 2 points ; - conservation du barycentre par projection ;
. Reconnaître, à partir d'urË égalité vectorielle, Ie barycentre de 2, 3 ou 4 points pondérés. . Exprimer un point donné d'une droite (resp. d'un plan) comme barycentre de 2 autres points de cette droite (resp. de 3 autres points du pian). .
iliüt
ui* trL
Construire le barycentre de 2 ou 3 points pondé-
rés.
Barycentre de plus de 2 points pondérés . Définition . Propriétés : - homogénéité ; _-_à --, - réduction de Ia somme o.lr{A + bMB + cMC - coordonnées du barycentre de 3 points ; - théorème des barycentres partiels.
Uülisations du barycentre . Nature des lignes de niveau
. Réduire
les expressions de la forme * ffu& ---+ --a ---) "fdt ou aMA + bMB + cMC. . Utiliser Ie théorème des barycentres partiels " d.ans les deux sens " : regroupement et dédoullement (il sera en particulier utilisé pour construire Ie barycentre de 3 points pondérés ou plus). . Utiliser I'outil barycentre pour résoudre des problèmes d'alignements ou de concours. r Déterminer et construire les lignes de niveau : - M'+ aMAz + b}l4Bz (a + b * o) ;
;
:
-Mr-+ c,}i/.-Lz +bMBz (a+b*o). * M "-+ MAz - MB2.
-M"
- M'+ MÂ2 M. -M--- MB
MA MB
MB2
ffi_
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ïL ït_
;
ï_ "T
96
I
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,I Æ41
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El
I
Exe'rcice.s du cours 0' Exercice 1.a 11 __) + -.- o. E;---+ ---à--"" 2222€A+ 3333GÉ = î
;
I
,+
zGA + 3Gb
-+
?
-) 0 Donc :AG =;^r. = ->
Exercice l.b p. 10 l.++--
On a : AÉ = 7AÉ = 7(æ-G7) -+ 1. On sait que z(NÂ,Ni]) = z(t\dÂ,M8); donc, (Na,NT) et (üa,vtl) sont égaux ou 'liffèrentp de â. Les points M et N n'appartenant pas au même demlplan de frontière .+ + (AB). (NA. NB) a pour:nesure s. - î8.
.
*,J
-
n. 31 l-
.^
Dans le cercle (tc), (o-È,Àô) est un angle au centre et
-,r
__
fÀÈ,Àèl
est un angle
----+qui interceptent le même arc donc tôÈ,Àbt = z(ÀÈ,Àô). I Exercice 2.f p. 36 .^ "ê + -| -+ ---> Dans le Ios"nge-ABCD : 2(BÂ,Èô) * z(À3,ÀË) = zâ ; d.onc , *u"(gf,.,Èt) = .,.'+ ..^ ----> ---+ --> --> --> --> -> -__> De plus : 2(CD,CÂ) = 72'
,''.*r
iuscrit ..,.r
*6' .,...r
-
TntooNorvtÉrRle
I
Exercice 3.a p. 36 Les résultats demandés sont regroupés daas le tableau suivant
:
Mesure de l'angle
Mesure principale
stnus
cosluus
_5n
1l
É
1
î
3
_tzttt _ 1999n 6
-2
5n
1-
,
6
29n
-4
4
z
{s
-z
1
^/5
_1
3n
1
.13
1
6
v5'
2
2.
_18
6
tangente
13
1
1
,,1?'
^1,
t) Exercice 3.b
p. 36 En utilisant les formules d'addition, on démontre ces égalités. r) Exercice 3.c cos a =
-*,J
p. 36
"o,
t) Exercice 3.d
Za =
4; tan 2cr = - 4\8.
p. 36
sin:(2r - U) = zd
+Lq\n
:
.
0 Exercice 3.e p. 36 r est un nombre réel différent d'un multiple entier de
. sin3x l.-
sln.r
ni
f,
donc cos .r É 0 et sin
cos3x _ sin3xcosx-cos3xsinx _ sin(3x-x'l
_ sin2x
cosr sin.rcos.r sinxcosx sinrcosx cos 3x n sin 5x cos 5x 2. oi§in-Er * -=--:=bJ =.7 sln.r cos .r = 4 cos Zx sln.r - cos .r = 4 COS 2X, --.---.--==.---=e
40
x * 0.
_ 2sin.rcos-r_ô sur.rccos.r
I
t...,
f" l
t.,l
r ,l
L
r
,t
,L
0 Exercice 3.f p. 36
u*Lrffg) . cos4r=(lËe)'=T(r *z "â, . sina, = (a=T§2.)' = + (, -, cos zx. LLfÆ)
r) Exercice 3.g
=**]"o. =
*-f
"o'
zx+f,cos4x. zx +
lcos
4x.
p. 36
1" 1+tan2x=cos2x+-sinzr cos'r = cos''r 3 7 bJsinx= 2. oJsinx= i COS.f =
1. 1I
rL
ffi
\m
ryi
cos'f,=
ÉeuATt o Nrs rRt G o x or,,tÉ lRIQUES t) Exercice A.ap,47
!.x=f
lznlour=
-f
z.x=iË t?t
tzr'1.
ou.tr=
-#t?,
l
[-
Dans sont:
2n
3,x= #t?lou-r=
-fttz"l.
; Zrc), les solutions
-fft-i,i,*.
t-
æ7n l',- 4
rl
0
n7x 7.'4 It'"
0 Exercice 4.b p. 41
L.x=[tz"lour=ff
2.x=f,tzr1
fzn:.
[-m; 3æ],Ies solutions sont n .5n .73n .17n
Dans
6 '
6'6'
Sn
llr
o
0
tÆ
1-
il-
,=-Ë til
i)
Exercice 4.d.p,47
cosr+Vâsin
*=ÿz
cos
(,
-i)
-
cos
f, *=#[zæ] ou *=frlzn).
t"-
/r ri
I
xÉouATtoNs rRrGoNor"tÉrntcruEs
t) Exercice l
lr
zcos(x
-
5.ap,42
i) - VI < o ê9
cos(x
-
i) . "o' ff,
L'ensemble des solutions dans R est la réunion des intervalles .l1,34 de Ia forme : + k.zn.', 17n * k.znl. k e z.
't--
'12
12
41 LM$i;'tî11y}jïily:fi,-;i:1:ï
tz"lou.r
=
-
#
1l
0 Exercice 4.c p. 47
De plus : (PQ, PR) = 1- (pR, QP) ; d'où, (PQ, PR) a pour_mes"r" ':-+ ^ te+ (ff, (Qrh, =(RF,RÔ) * et RÔ) Donc, a pour mesure - (+ = QF). = ---->
f) f
"
Par suite, le triangle PQR est isocèle de sommet P.
iÎ *,il
T '..i1
II iir
ô Exercice .^
4o.43 l^
__>
-_+ , . (BC,BA) et (CA, CB) ont pour mesure principale 1{ . (§À, SÈ) po* mesure principale 2: oi 1.2o". " . (§Â, Be1 a poru mesure principale - * or, - 90o. ---+
---->
^rt2 --> -+ . (§Â,É) :. (§Â,ÀË) -.u
a
pour mesure principaie
a
principaie pour mesure II6
f
ou 60o.
ou 30'.
5I ou 150".
IT
"il
l
l l
ô Exercice 5 p. 43 . (§À, SÏ) a pour mesure principale
_';* pour . (ffi,É) a mesure principale --+ ---> ^ ---+ ---+ . (BE,gL) (6,8-Â)
2!
o1r 72".
!-JI-
o, toa'.
ont même mesure principale
et
ô F.:cercice 6 p. 43 Soit O Ie centre du cercle (I). ----> ---|
----' +
+
-.t.ll+
^
^
-> (DB;DC) = æ- (OC,OB) = æ + (OB,OC)
(oA,pt) a pour mesure
ft + za (ou 2a
l l
t) Exercice 7 p.43 Les coordonrrées des points A et B sont:
^
I
l :
I
f ' "o'Ë ) etB 1
13'i"Ë/
5
cos(-f,)
-_->
\. soit : A
\ssin(-f,)/'
't
- r).
3v5
*, (?) ,
sÿz (_ ,1, ) 2
Exercice! p.eS
1.sinx=f, S, .oo ==-TEettanx=--l v52
3.
..->
^ AC =x+2{AB,
Donc,
il
ou 360.
o (BC,DA) a pour mesure principale n ou 180o.
J I
$
^'L15 --> +
sinr
232cosr
=- IÆ
;
=
m
et tanx =
2. cosr =
-*'
sinr = f
et
tæx = -
*
-3.
0 Exercice I p.43 SoitA = (cosr + sinr)2 - (cosr- sinr)2 ; B = (1 + cosï + sinr)z ; C = sinax + cosar ; D = sin6x + cos6r. A = cos2x + sinzr + 2 sinx cos.r - coszr - sinzx + 2 sinr co&r = 4 sinx cos-r = 2 sin2x. ' B = 1+cos2x+ sinzx+ 2 sinx+ 2 cosr+ 2 sinrcosr= 2 (1 + sinx) + 2 cosr (1 + sirt.r) = 2 (1 + sinx) (r + cosr). ' C - (sin2r + cos2x)z - 2 sinzxcoszr = L - 2 sinzx coszx.
'p=(sinzr+coslr)3-3sinzrcos4r-3sinaxcos2.r=1-3sinzxcos2r(sin2r+cos2x)=1-3sinzxcoszx.
L]
43
f* "...f-
l Exercice 1.0 p. 4g
ll t,
1. (cosr + sinr)z + (cosr- sinr)z = 7 + Zsinx cosr +
2.a)xvf+kzn
I
- Zsin-r cosx = 2.
-t+ÿi ul trr,* - v-l4 ' rcos-r
ou .x=N+lczn,kez
Axsteg AssoclÉs
rcosx-!
orr
-l
t -r,G Y ' 4-
!
ll-
Isinx__V7+7 4
l
L
,) Exercice 11 p. 43
i B=*sinx; C=cosr-sinr i
A=-'CoSn
0 Exercice tZ p, 43
sin$ + rl - ri"C -x; ùJZZ--2 3 3 cos (f; +x) + cos 3
/f -$
=
sinx
"oo+f,
$-r) 3--,2= { "or*-!i,
D=0.
\Æ
--ÿ*cos.r+f2 2
1- ÿi
"o' O
-
+
; donc : sinf,
ff = cos(f -f) = sinf, = æ;
Exercice
o cos
.
+
=
2
G:G
L:
I
.
= cos
't4p,4l
**Ë * kl
(k e Z),tan3x =
ffi*}
li
.
sin-S = sin(f-Ë)
3r=4 cos3x-3 cosr;sin 3x= B sinx_4 sinsr.
Pour
sinx= sinx.
sinr + *"oo*Ssinx=cosx. .
Fonr.,tutEs DE TRtGONOT*Érnre I Exercice 18 n- 43 t+ÿ2 coszf, = + - *P ; donc : cosf = \6;G sinzf; =
tF
q
f=
\ffi
t":
2
ti
tan2r
il
^ . t""ç = tanx :_' 1 - +^- --13 -3tanzx -LU- tanzr
I
Exercice 15 p. 43 1. A = "o'(# rra-) =
-
2.
A+B
= 2 cos
n
|
;
B= cos(ff *
#) = o.
fr cos #= +etA-B = 2 sinfi sin #=+ ; donc : cos fr
"or
$
t) Exercice 16 p. 44
Pourx. [o,f], 0 Exercice aJ cosr =
|
\ÆIEG
=
=
{ffi2xfioff
=
rio
# sin ff = f.
= IcosZr + sin2x
tt
p.44 et riro =
$
c/'12ÿ2 cos-L'; - -j- et sinx = -
Exercice tB p.44 a)coszx=* sin2x
[,
b/cosx=-+ et sinx=!-
t:
r)^-_ y5+1et.sinx . = r?-t :ffi. æ
t:
a/ cosrc =
ï=
I.
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O
"i
24 b)cos2x=-* el -- sinlx ----* - zs
=*
Exercice 79 p.44 A+B = 4 etA-B = 0 ; donc
c) -1 cos2x =
-
+ et sin2x = - +.
::
O
1 Exercice 2O p.44 soit A = 16 sin sin
fr
Donc : A = 16
:A =B = 2.
ff sin ff sin #
sinftsinff,
"otif,
cos
I
.
o"
",
ff î _ * # = î _ *
ft= 4 sinf
=
sin
u,
ff = +.ro# cosft= z sinË = r.
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Eou.lrroNs rRr c o NorrtÉTRrou I Exercice 27p.44 ol(r) é *=# trlo"r=o [æ] ci (3)