Livre CIAM Tle [PDF]
l lollection 1 nter l ltricaine de M athématiques sous la direction de Saliou Touré Professeur à l 'Université d'Abidja
43 1 66MB
![Livre CIAM Tle [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/livre-ciam-tle.jpg)
- Author / Uploaded
- Ahmad Mansour Haidara
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
l lollection
1 nter l ltricaine de M athématiques sous la direction de Saliou Touré Professeur à l 'Université d'Abidjan
Elrnéhdi Ag HAMATY Pierre DAGBEGNON LAWIN ORÈ Georgette HADDAD-OUÉDRAOGO Denis OUÉHI Baye OULD EL HADJ AMAR Faustin TOUADERA
EDICEF ~8,
rue Jean-Bleuzen 92178 Vanves Cedex
L
'idée d'harmoniser les programmes de mathématiques entre les pays francophones d'Afrique et de l'océan Indien remonte à l'année 1983 où fut organisé par l'IRMA, à Abidjan, le premier séminaire d'harmonisation. Depuis, d'autres séminaires ont suivi : en 1985 à Cotonou, en 1988 à Conakry et en juin 1992 à Abidjan avec la participation de 20 pays. PARTICIPATION DES DIFFÉRENTS PAYS ,, ·BÉNIN
COMORES CONGO COTE D'IVOIRE DJIBOUTI GABON
BURKINA FASO BURUNDI CAMEROUN CENTRAFRIQUE
GUINÉE MADAGASCAR MALI MAURITANIE NIGER
RÉP. DÉM. CONGO RWANDA SÉNÉGAL TCHAD TOGO
a suite logique, souhaitée par tous les participants, est l'élaboration d'une Collection InterL Africaine de manuels de mathématiques pour l'enseignement secondaire. Des rédacteurs de tous les pays participent la réalisation de ce projet. Un comité de coordination travaille avec les celà
lules nationales mises en place dans chaque pays. COMITÉ DE COORDINATION
Georgette HADDAD-OUÉDRAOGO Mamadou BINATÉ
Adou NIAMEN
Denis OUÉHI
'autres séminaires de concertation ont réuni les responsables de ces cellules , à Libreville en D 1993, à Ndjaména en 1994, à Yaoundé en 1995, à Antananarivo en 1996, à Dakar en 1997 et à Niamey en 1998, à Nouakchott en 1999, à Ouagadougou en 2000.
ISSN 1248-587-X ISBN 2-84-129478-1 © EDICEF 1999
Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d'exemplé et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l'éditeur ou du Centre français d'exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.
P R É FA C E ans un monde qui évolue rapidement, la maîtrise et l'approfondissement des mathématiques D apparaissent comme une condition indispensable au développement des nations, plongées qu'elles sont dans l'ère de la haute technologie et de la mondialisation des marchés. . Voilà pourquoi les mathématiciens africains ont commencé, dès 1983, à organiser des réunions de concertation sur les problèmes posés par l'enseignement des mathématiques qui jouent un rôle essentiel dans la préparation des jeunes aux défis de l'avenir. La Collection Inter-Africaine de Mathématiques que nous proposons aujourd'hui aux élèves de !'Enseignement Secondaire des pays francophones d'Afrique et de l'Océan Indien est le fruit de cette collaboration franche et fraternelle qui a abouti, au mois de juin 1992, à l'élaboration et à l'adoption par tous ces pays des programmes des premier et second cycles de l'Enseignement Secondaire. Elle a pour objectifs majeurs : - l'harmonisation de la pédagogie des mathématiques et la mise à la disposition des élèves et des enseignants africains de manuels de qualité tenant compte du milieu socioculturel africain en tant que support et véhicule privilégiés des concepts mathématiques ; - l'acquisition par les élèves des bases d'une formation mathématique solide qui leur permettent d'analyser une situation, de conjecturer des hypothèses et de les valider ou non à l'épreuve des faits ou du raisonnement, de recourir aux modèles mathématiques qu'ils connaissent et de dégager ùne conclusion ; - la diminution du coût du manuel pour permettre la réalisation d'un vieux rêve : un élève, un livre. Les ouvrages de la Collection Inter-Africaine de Mathématiques, rédigés par des équipes d'enseignants, de chercheurs et de responsables pédagogiques africains, belges et français, s'appuient sur l'environnement des élèves pour les motiver, les faire agir, les amener à comprendre et à agir de nouveau, de manière autonome et créatrice. Les contenus adoptés et les méthodes pédagogiques préconisées ont été systématiquement expérimentés dans plusieurs pays avant que ne soient entreprises les rédactions définitives. Conformément à notre conception de l'enseignement das mathématiques, nous n'avons pas voulu présenter les leçons sous forme d'exposés théoriques, mais comme des séances de travail au cours desquelles des activités de calcul, de dessin, de lecture de documents (le plus souvent empruntés au milieu africain) sont mises en œuvre pour solliciter et provoquer constamment la participation active des élèves. Insérés dans les leçons, des exercices d'application immédiate permettent l'assimilation des notions étudiées. Placés à la fin des chapitres, des exercices d'entraînement et d'approfondissement permettent aux élèves d'éprouver leur compétence et aux professeurs d'évaluer leur enseignement. Nous exprimons notre gratitude aux différents Ministres chargés de !'Éducation dans les pays francophones d'Afrique et de l'océan Indien, ainsi qu'aux responsables de la Coopération Française et de la Coopération Belge qui, pat leur compréhension, leurs encouragements et leur soutien constant tant moral que matériel, nous ont permis de réaliser ces ouvrages dans les meilleures conditions possibles. Enfin, nous espérons que ce manuel répondra au mieux à l'attente et aux besoins des utilisateurs (professeurs et élèves). Afin d'en améliorer les prochaines éditions, nous accueillerons avec recon"naissance les remarques, les critiques et les suggestions qu'ils voudront bien nous faire et, par avance, nous les en remercions.
Saliou Touré
s
MMA I R
LIMITES ET CONTINUITÉ .............................. 7 1. Limites et continuité en a 2. Continuité sur un intervalle 3. Fonctions continues strictement monotones
DÉRIVÉE - PRIMITIVES 1. Dérivation 2. Fonctions dérivées 3. Primitives
lm NOMBRES COMPlJ:XES .................................
205 1. Nombres complexes, forme algébrique 2. Formes trigonométriques et exponentielles 3. Résolution d'équations
NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE .... 229 1. Nombres complexes et configurations du plan 2. Nombres complexes et transformations du plan
35
Il ÉTUDES DE FONCTIONS ...............................
59
E GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE........................ .
1. Quelques généralités sur les fonctions 2. Exemples d'études de fonctions
. . ........ Ln. Il FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
El El
2. Produit scalaire 3. Produit vectoriel
81
1. Résolution d'un système linéaire
2. Dérivées - Primitives-limites 3. Exemples d'études de fonctions
par la méthode de Gauss 2. Résolution de problèmes
,, FONCTION , • 0,, -' EXPONENTIELLE NEPERIENNE .................... 105 1. Définition - Propriétés algébriques 2. Dérivées - Primitives - Limites 3. Exemples d'études de fonctions
FONCTIONS EXPONENTIELLES FONCTIONS PUISSANCES.............................. 123 1. Les nombres réels aa 2. Les fonctions exponentielles de base a 3. Les fonctions puissances d'exposant a. 4. Exemples d'études de fonctions 141
1. Intégrale d'une fonction continue
1. Résolution d'équations différentielles
2. Résolution de problèmes
I
269 1. Séries:statistiques doubles - Nuage de points 2._Ajustement et C\mélation linéall:t;!
m
PROBABILITÉ ................................................ .. 293 1. Analyse combinatoire 2. Probabilités d'un évènement
œ~i!~iii~r~~J~~~-~~~--···········.
313
2. Variable aléatoire
SUITES NUMÉRIQUES ................................... 165 1. Généralités · 2. Convergence 3. Suites arithmétiques et géométriques 4. Résolution de problèmes concrets
Il ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ...................
Il STATISTIQUE ..................................................
1. Probabilités conditionnelles
2. Techniques du calcul d'intégrales 3. Calcul de grandeurs
El
m SYSTEMES , , llil LINEAIRES ................................•. 259
1. Définition - Propriétés
Il CALCUL INTÉGRAL .......................................
241
1. Vecteurs et points de l'espace
191
•
PROBL~MES DE SYNTHÈSE .......................... 335
mm........ ............................................................... 351
Y'
PRÉSE Organisation d'un chapitre es exercices
e cours permet à l'élève de reprendre seul le travail effectué en classe avec le professeur. • L'essentiel à mémoriser, constitué des définitions, propriétés, méthodes, tableaux récapitulatifs, est placé sur fond couleur souvent prolongé par un cadre couleur contenant des traductions mathématiques et des illustrations. • Les exemples sont souvent des exercices commentés et résolus entièrement ou partiellement. L'énoncé de ces exemples est placé sur fond gris afin d'inviter l'élève à le traiter avant de comparer sa démarche à celle proposée. • Les activités présentent : - soit l'introduction d'une notion ; - soit une démarche pour démontrer une propriété ou un problème ; - soit une démarche pratique pour appliquer une méthode ou une technique. Pour les mêmes raisons que dans les exemples, la description de la situation mathématique et le problème posé dans ces activités sont placés sur fond gris. • Les exere.,ices d'applications directes sont placés après chaque paragraphe. ·
Sommaire des
trav~ux
clôturent chacun des chapitres avec en général des différentes parties : - Entraînement - Approfondissement -Problèmes
es informations Des informations historiques, scientifiques, technologiques, culturelles... apportent un « plus » au thème du chapitre. Elles se trouvent dans le flash d'ouverture ou dans des encadrés.
es travaux pratiques contiennent un zoom sur quelques thèmes. Ils sont de trois types : 1. Les exercices commentés qui présentent: - des méthodes de résolution de problèmes - des modèles de rédaction de solution de ces problèmes 2. Le langage et la logique qui présentent : - des différentes méthodes de démonstration - des concepts unificateurs sur les opérations (notions de groupe commutatif, de corps commutatif, d'espace vectoriel). 3. Des élargissements de notions.
pratiques
CM.Vnu
CILVITRI
1 TPl Calcul de limite ...................................... . 31 TP2 Démonstration par implication et par contraposition ............................ .. 31
t TP
Démonstration par récurrence .............. . 55
3 TPl TP2 TP3 TP4
Recherche d'asymptotes obliques .......... . Recherche de courbes asymptotes ........ . Recherche d'une direction asymp ......... . Types et méthodes de démonstration ... ..
74 75 76 77
4 TPl La fonction logarithme décimal ............. 100 TP2 La fonction logarithme de base a .......... 101
5 TPl Étude de la continuité et de la dérivabilité en xQ ......................... 118 TP2 Un exemple d'étude de tonction ............ 118 6 TPl Recherché de primitives .......................... 136 TP2 Étude d'équation comportant des
fonctions puissances d'exposants réels .. 136 TP3 Étude d'une fonction du type uv ............. 138 7 TPl Encadrement d'une intégrale
comportant ln .......................................... 158 TP2 Calcul d'une intégrale comportant ln ..... 158 TP3 Fonction définie par une intégrale ........ 159 TP4 Détermination de primitives .................. 160
8 TP
Limite d'une suite monotone du type : un+t = g(un) .............................. 186
9 TP
Courbes paramétrées .............................. 201
10 TP
Formules d'Euler et calcul trigonométrique ....................... 223
11 TP
Caractérisation géométrique et écriture complexe d'une rotation et d'une homothétie ................................ 239
11 TP
Corps commutatif - Espace vectoriel .... 255
14 TPl Exemple d'ajustement se ramenant à un ajustement affine ....... 285 TP2 Ajustement affine et ajustement exponentiel ..................... 287 15 TP
Opérations sur les ensembles finis et calcul des probabilités ....................... 308
16 TPl Très faible probabilité de gagner au tiercé ! ............................... 328 TP2 Loi binomiale et contrôle de qualité ..... 330 TP3 Probabilité conditionnelle et suite arithmético-géométrique ........... 331
)> ~
Les fondements de l'analyse 1 - Limites et continuité 2 - Dérivée - primitives 3 - Études de fonctions
Organisation des données (des outils de modélisation) 14 - Statistique 15 - Probabilité 16 - Probabilités conditionnelles et variable aléatoire
f De nouvelles fonctions de référence 4 - Fonction logarithme népérien 1...... 5 - Fonction exponentielle népérienne ...,.... 6 - Fonctions exponentielles Fonctions Puissance
;r c Qi ,....
-·
0 ::s
Q. ~
en n
':1" QI
-c -·,.... De nouveaux nombres
~
en 1
10 - Nombres complexes 11 - Nombres complexes et géométrie
~
~~
-c QI
~ ;::;:
ër::s ~
De nouvelles techniques Des outils de modélisation en analyse 7 - Calcul intégral 8 - Suites numériques 9 - Équations différentielles
Vers la géométrie analytique de l'espace (outils de résolution de problèmes)
::s
3
0
Q.
12 - Géométrie dans l'espace 13 - Systèmes linéaires
c
ii en
L imites et continuité
Ls
notions de limite et de continuité étaient considérées comme intuitives par les mathématiciens du XV/te et du XVille siècles. Certains mathématiciens tels que Gauss, Cauchy et Abel attirèrent /'attention sur la nécessité de produire des définitions et des démonstrations rigoureuses, inaugurant ainsi une ère nouvelle de /'Analyse qui eut son aboutissement au siècle sur la topologie.
xxe
L'Allemand Karl Weierstrass, par fes brillants résultats sur ses recherches en analyse, devint l'un des plus célèbres analystes européens de son temps.
À la stupeur de ses contempo· rains, il définit une courbe continue n'admettant de tan· gente en aucun point !
Karl Weierstrass mathématicien allemand - 1815-1897.
1. 2. 3.
Limites et continuité en a .......................................
8
Continuité sur un intervalle ...... ... .. ...... .. ... .. .. ....... ....
17
Fonctions continues strictement monotones ..........
23
Limites et continuité~
Tableau récapitulatif © Limites de 'référence
• a et c étant des nombres réels, lim c = Hm x-+a
liin sinx
• Ona:
x~ O
c = lim
x--++oo
c=c
x--+-oo
=1
lim cosx-1 x~O
X
=0
X
/;: = + 00
liin
x--++oo
• a étant un nombre réel et n un nombre entier naturel non nul, lim r' lim xf' =+ OO x ~ - ""
X--+ + oo
_!_
liin
x~+~x!'
=0
lim
lim
lim x!' = 0
lim _!_ X~
Oxf'
lim _!_ -"-:! ox!'
x ~a
=+
=-
=0 (x- a)n = 0
lim
00
x~a
1
(x - a)n 1
00
(x - a)n
lim
x -+ a
>
1
(x- a)n
=+ OO
=- oo =+ OO
Calcul de limite à l'infini de fonctions polynômes et rationnelles x--+ - oo
lim
(anr' + an_1x!'-1 + •.. + a 1x + a 0 ) = lim a 11x!' x ~ - oo
liin
(anx!' + a _1;r•-1 + ... + a 1x + a 0 ) = lim
X--++ oo
lim
.t'--+ -
lim
OO
ar' x--++oo n
n
apxl' + aP-1»>-1 + ... + a 1x + a 0 = b,jé' + b q-1;xCJ-1 + ... + b 1x + b0 apxl' + ap-1»>-1 + ... + a 1x + a 0
X-+ + oo
@
sin est impair·
_!_
Pourn llnpair' {
@
+ oo si n est pair
X~:-~x"
x~O
Pour n pair:
= {
1
b q;xCJ + bq-1;xCJ- + ... + h 1x + b 0
apxl'
lim
b~
X--+-oo
aPxl'
= lim
X -+ + oo
bq;xCJ
Critères de continuité en a
• f étant une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a, f est continue en a
~
lim f(x) x ~ a
=f (a)
• Toute fonction qui est somme, produit ou quotient de fonctions élémentaires est continue en tout élément de son ensemble de définition.
8 Limites et continuité
Limites de référence et continuité en a
1 1
• • • - Limite à gauche - Limite à droite • Tablea u récapitulatif
© Définition a et l sont des nombres réels,fune fonction d'ensemble.de définition Dr On dit que f admet une limite à gauche en a égale à l lorsque la restriction g de f à D1 n ]- oo ; a[ admet en a une limite égale à l. lim f(x) x~a
= lim
On dit que f admet une limite à droite en a égale à l lorsque la restriction g de f à Dr n ]a ; + oo[ admet en a une limite égale à l.
g(x) = l.
= lim
lim f(x)
x~a
x;;a
g(x)
x°"'a
= l. \
@ Propriété
a et l sont des nombres réels, f une fonction définie sur un intervalle ouvert centré en a, sauf éventuellement en a. Dans le cas oùfn'est pas définie en a, Dans le cas où f est définie en a, f admet une limite l en a f admet une limite en a si et seulement si si et seulement si f admet en a une limite à gauche et une f admet en a une limite à gauche et une limite à droite égales à l . limite à droite égales à f(a).
-- ---~
/(a) --- --~
1 1
J
0
J 0
a
a lim f(x)
lim f(x) = l x°"'a
si et seulement si lim f(x) x-;ta
= lim
= f[a)
x°"'a
si et seulement si
f(x) = l
lim f[x)
x;;a
X -:ta
= lim
x~a
f(x)
=f(a)
• Exemple Étudions la limite et la continuité en 1 de la fonction f définie par : pourx E ]- oo; 1],f(x) -x+2 { pour X E )1 ; + oo[, f(x) =X + 1
=r
- 1-
Calculons la limite à droite en 1 de f lim f(x) = lim (x + 1) = 2
Calculons la limite à gauche en 1 de f lim f(x) = lim (x2 -x + 2) = 2 x1
= lim (x + 2) = X-->1
3.
La fonction[ admet une limite en 1, égale à 3.
Étude d'une fonction auxilliaire · d'fi . { pour x E IR\{1), g(x) = f(x) Cons1·d'erons 1a f onct10n g e me par : g(l) = 3 On a : lim g(x) = lim f(x) = g(l). X-->1
X-->1
donc g est continue en 1. On dit que g est le prolongement par coritinuité de f en 1.
Définition et propriété · f est une fonction d'ensemble de définition D1 , a un nombre réel n'appartenant pas à Dr On suppose que f admet une limite finie l en a . c ti.on g d'fin. Alors.1a ionc e ie par : {pour x E D1 \{a}, g(x)
=f(x)
=l est continue en a. Elle est appelée prolongement par continuité de f en a. g(a)
• Exemple On donne la fonction f de IR vers IR définie par : f(x) = sinx. X Démontrons que f admet un prolongement par continuité en O. On a : Dr= IR\{O} et lim sinx = 1. x-->0
X
Donc f admet un prolongement par continuité en 0 , la fonction g définie par : pour x E IR\{O}, g(x) = f(x) { g(O) = 1 ·
1.a
x - 4
1.b
l.c
Calculer les limites suivantes : x 2 -x-6
lim - -
lim
X--> 4
X-> - 2
!x - 2
X+ 2
fx-1
2 { pour X E ]l ; + oo(, f (x) = - x + 4x - 4
Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité en 2 de la fonction f définie par : pour x E ]{
00 ;
2[, f(x)
= 2x2 -
pour X E (2 ; + oo(, f(x) =
4x - 4 2x + 3 X_ 2
l
2[. f(x) = 2x - 4x - 4 pour x E ]{ pour X E (2 ; + oo(, f(x) = -x-6 x- 1 00 ;
10 Limites et continuité
Étudier la continuité en 1 de la fonction f définie par : pour x E ]- oo ; 1 [, f(x) = ,G:-x
f(l)
'@ 1.d
= -1
On donne la fonction f définie par : f(x) = xz + x - 2 . x - 1
Justifier que f adm et un prolongement par continuité en 1 et pcéci 0 l, l < 0 l, l> 0 l, l < 0
Si fa pour limite en a
l
et si g a pour limite en a
l'
+ oo
+oo
- oo
alors fg a pour limite en a
ll'
+oo
- OO
- OO
@
OO
oo ou + oo
+ oo
+ oo
- oo
- OO
+ OO
- OO
- OO
+oo
+OO
- OO
+oo
0
+ou00
- OO
on ne peul
pu conclure
Limites d'un inverse
f est une fonction ; l un nombre réel ; a un nombre réel, -
0 0 (g étant positive (g étant négative sur K) * sur K) *
l ', l ' :;: 0
Si g a pour limite en a alors ~ a pour limite en a
-
oo ou + oo
1
+ oo
l'
-
00
- OO
OU +
00
0
© Limites d 'un quotient
f et 9 sont des fonctions ; l et l' des nombres réels ; a un nombre réel, -
oo ou + oo
"
0
+=oo - oo
0
- oo
Si f a pour \imite en a.
et si g a pour limite en a alors-f a pour limite en a
t
l
l
l', l':;: 0
+OO
- OO
l l'
0
0
+OO
+OO
-
OO
-
OO
l ', l' > 0 l', l ' < 0 l', l ' > 0 l', l ' < 0 + OO
- OO
-
OO
+ oo
+ OIJO O
on n e peut pas conclure
* Dans le tableau« Limite d'un inverse », K désigne u n intervalle contenu dans l'ensemble de définition de g et est l'un des types suivants : a a a a a a - lorsque x tend vers le nombre réel a -----
- lorsque X tend vers - OO (resp. + oo)
----4
----0
....__.
0---
]- oo ; A[ (resp. ]B ; +oo[)
Limites et continuité 11
• • • - Exemples d'utilisation des opérations sur les limites W Limite d'une somme lim x 2 = + oo
et
x--++oo
lim X -+ -
-~' = 0
et
oo x -
liffi
/;; = + 00
lim
(- 7)
x-+-oo
et
lim
x3 = -
lim
et
lim
.JX = +
x = +oo
X-+ + oo
donc
lim
(- 2x3)
00
donc
lim
x/;: = + oo,
donc
lim X-++
X-++oo
* 1, (x -
et
1)2 > 0
pour x E ]- ~ ; O[. sinx < 0
•••-
et
[x) = + oo.
00
• Limite d'un inverse lim .JX = + 00 pour x
(x2 +
lim ( -~' - 7) x --+ -oo x -
7
x-+- oo
x-++oo
lim
x -+ +oo
donc
=-
• Limite d'un produit lim (- 2) = - 2 X-+-oo
donc
x-++ oo
x-+-oo
x-+ +oo
1
OO
,rIXx =O.
donc
. 1 1lm - -x-+1
(x - 1)2
lim sinx = 0
donc
lim
-1--- = -
X-+ 0
7.
= + oo.
lim (x-1) 2 = 0 X-+ 1
=-
=+oo.
x-+ 0 SlilX
oo.
a
=l
lim f(x)
et
x-->l
= l'
alors
oo ;
+
oo}.
lim fog(x) = l'.
x-->a
• Exemples Calculons la limite en 1 de la fonction
.
f
f
:x~sm
Calculons la limite en + oo de la fonction
7rx2
g
x+l .
est la composée de la fonction u : x
~
1tX2
-x + 1
suivie de la fonction sinus. x--11
x+l
{ · lim 7t sinX =
X
2
f
or : {
1
x--> 1
X+ 1
;~ ;l ~:
= 1.
f
g
•
X-->0
X-->z-
donc : lim sin 7tX2
1
g est la composée de la fonction inverse suivie de la sinx . fone t10n v : x ~ - - .
. 7tX,2 '1t 1l m - - = -
or:
.
:x~xsmx.
X
donc : l~ + ..x sin ~ = 1. = sin ou
g
..
• • • - Limites de /f et 1f1
= voinv
• Cas particuliers de limites de fonctions composées
f est une fonction, a un élément de IR U {• Si lim f(x) x-->a
=l
• Si lim f(x) = + oo x-->a
oo ;
+ oo}, l un nombre réel positif ou nul, l' un nombre réel .
alors
lim Jf (x)
= Jï,
• Si lim f(x) = l'
alors
alors
lim JJ[x)
= + oo
• Si lim f(x) = + oo
alors
=- oo
alors
X-->a
x-->a
X-la
X-->a
• Si lim f(x) X-->a
lim lf(x) 1 = l l'i
x-->a
lim lf(x) 1 = + 00
x-->a
lim lf(x) 1 = + 00
x-->a
• Exemples Calculons les limites en -
oo
et en o de la fonction
h:x~Jx2+x+3
On a: donc: Ona: donc:
lim
(x2 + x + 3) = +
lim
Jxz + x +
x--+ - oo x--+- oo
Calculons les limites en 0 et en h:x~ lx3+x-51
oo
On a:
lim (x3 +X - 5) = - 5
3 = + oo,
donc:
lim lx3 +x - 51 = 5.
lim (x2 + x + 3) = 3
On a:
Ji
donc:
x-->0
lim Jxz + x + 3 =
x --> 0
00
de la fonction
x-->0 x-->0
lim
(r + X
lim
lx3
x-+-oo x-+-oo
-
+X -
5) = -
oo
51 =+OO,
....
~E xercices ~/~r~//~~//~= 1.e
1.f
Calculer les limites suivantes : lim (~+ x) lim X ~+-
2
. x - 3x + 2 l }~1 x-10
(x- Jx 2 +3);
X~--
.
X->
cosx
l 1 m2- . X
--1 0
Calculer les limites suivantes : lim sin3x lim sinx2 .
X
0 3X
x--10XZ'
1U:2
lim cos x::--:-:1+ X-->1 (;T.l
l' 1 - cos3x }~o 3x ·
Limites et continuité
13
_ __. Limites et inégalités Passage à la limite dans une inégalité
•••
Activité introductive Considérons les fonctions f et g de IR. vers IR. définies par : f(x) On vérifie aisém,ent que f?. g. Comparer les limites de f et g en 0, en + oo et en - oo,
=x2
et g(x)
= 2x -
1.
On démontre et nous admettons la propriété suivante : ~~~~~~---~~~~---~~~.....-....,.,..-.-~__,,
a est un élément de
Si
~ U {- oo ; + oo},
alors
f?.g
f et g deux fonctions admettant des limites en a.
lim f(x) ?. lim g(x).
x-+a
.~-+a
Cette propriété ne permet pas de calculer des limites mais de les comparer.
• • • - Calcul de limites par comparaison On démontre et nous admettons les propriétés suivantes. Elles permettent de calculer des limites. a et l sont des éléments de IR. U {-
f
Si
?. g
oo ;
+ oo}, f et g des fonctions.
f
et lim g(x) = + oo Si x-+a
alors lim f(x) = +
$ g
et lim g(x) = -
alors lim f(x) = -
00 •
x-+a
x-+a
oo
x-+a oo.
Si
g $f $ h
et
lim g(x) = lim h(x) = l x-+a
x-+ct
alors lim f(x) X-+a
= l.
\\___(~h)
-
(~~
---------------------- --- --· 0
0
0
Exemples Calculons : lim
sinx
Calculons: lim
(x2 - xcosx).
.\"_.+oo
x-++ooX
Soit x un nombre réel strictement positif, on a : - 1 < sinx $ 1
Soit x un nombre réel strictement positif, on a : - 1 < cosx $ 1
d'où :
d'où:
x2 -
or :
lim
(x2 - x)
donc :
lim
(x2 -xcosx) = +
1
sinx < _!_
$
X
X
-
or:
lim
_!_ = 0
donc:
. l lm
sinx - = 0.
et lim
X-++oo X
1.g
x-++~
X
- _!_ = O
X-++oo
X
X
On donne la fonction[ définie par : f(x) = 2x - E(x). 1. Justifier que : pour tout nombre réel x, x - 1 < E(x) s x et x S f (x) < x + 1. 2. En déduire les limites en - oo et en + oo de f
1.h
Calculer la limite en - oo et en + oo de la fonction f définie par : f(x) = x + sinx.
Limites et continuité
1.i
$
X
X-++ oo
X-++ oo
x2
- X
cosx
$
x2 + X
= lim (x2 + x) = + oo X-++oo oo.
On considère la fonction f définie par : f(x) = (1
2x3 + x3), 1 + x4
1. Démontrer que : pour tout nombre réel x, O Sf(x) S ~· 2. En déduire la limite en + oo de f
1 4, Calcul de limites et formes indéterminées Les exemples ci-dessous fournissent quelques procédés classiques permettant de calculer une limite dans le cas où les opérations sur les limites conduisent à une forme indéterminée.
• • • -- Exemples d'utilisation d'une factorisation Calculons : lim (x - [x). Calculons : lim X-+ +oo X-->
Pour x > O on a:
3.x-1 +~
,x'J + x2 + 8
Pourx > 0
[x = [x ([x -
X -
x(3 _ l._)
3x-1
on a:
1)
3
X
~x2 (x + 1 + !
2
Jx + x + 8
2)
3 _ l._ X
(3 -
lim
~X+ 1 +
X-t+oo
or:
[x = + oo et lim ([x - 1) = + oo, X-t+oo x-++oo
lim
m {
X-t+oo
donc:
lim
x-t+oo
(x -
[x) = + oo,
donc:
lim
x --> + ~
~x+1+ !z
1-) =3 X
lim
8
+ oo,
=
X2
--;::=3=x=-=1=
)x3 + xz + 8
=O.
• • • - Exemples d'utilisation de l'expression conjuguée Calculons : lim
X--t+oo
cJgr + 7 + 3.x). Transformation de l'expression /9x Calculons: lim
C)x + 1 - Jx - 1 ).
x--t - co
2 + 7 + 3x. Transformation de l'expression Jx + 1 - Jx - 1. (On multiplie et on divise par l'expression conjuguée) (On multiplie et on divise par l'expression conjuguée)
Jx + 1 - Jx - 1 .
or :
lim
=
X-t+oo
· 01
2 ~ x+1+ x-1
[Jx + 1 + Jx -
1)
= + oo
jgxz+'7 + 3x=
~
or :
( jgxz + 7 - 3x) = + oo
lim
9x2 + 7 - 3x
X - t -oo
d'où:
d'où:
lim
donc :
donc :
lim
7
x --> - ~ jgxz
+ 7 - 3x
(Jgxz + 7 + 3x)
X - t - oo
=O
= O.
• • • - Exemple d'utilisation de l'expression conjuguée et d'une factorisation Calculons : lim
C)xz + 3x- 2 + x)..
x-t-00-
Transformons l'expression Jxz + 3x - 2 + x en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée. On obtient : Jxz + 3x - 2 + x
=
2 3 x Jxz + 3x - 2 -x
La dernière expression donne encore une forme indéterminée. Poursuivons la transformation en mettant x en facteur au numérateur et au dénominateur. 3x-2
On obtient: Jx z + 3x - 2-x
x(3 - -2 )
x(3 -
X
2.) X
lxl 11+1._ _1_2
y
X
x
-X
Limites et continuité 15 ,.;;
x(3 _
"
(- 3 + 2)
lim
X
x~-oo
=-
X
/1 + l.. _22
lxl
or:
-3+2
X
=
,x z + 3x - 2 + x
Pourx < 0
2)
et
3
lim
x--+-oo
-X
X
X
(~1 + l.. X
:?+ 1) = 2
x-
\
3 Uxz + 3x - 2 + x) = 2 .
donc : lim
x~-oo
cos2x- 41
~
vX + 1- 1
Calculons : lim
Calculons : lim 1t x~3
X
La fonction racine carrée f: x ~ en 1 et on a:
[x est dérivable cos 2xOna:
- --
X
-
1t
- 3
cosx - 21
24
1t
x-3
f'(l) = lim f(l + h ) - f(l) h~O h
.
.J1+h- 1
= lim
h~O
1~..!L
1
7t
3
2·
h
cosx - cosf
or:
X - -
{ lim n (cosx + x~3
donc: lim
Jx+l -1
x~O
, 1t . 7t [3 = (cos) (3 ) =-sm3 =- 2
3
~) = 1
cos2x- 1 4 donc : lim n - - - -
1
2·
X
1
(cosx + 2 )
x ~3
1t
x-3
• • • - Exemples de changement d'écriture Calculons : lim sinx x~o
Calculons : lim sinx. -"~ 0 ---xa-
Jx
Transformation d'écriture sinx = sinx x
j;
Calcul des limites lim sinx = 1 or : x~O
donc :
X
Transformation d'écriture sinx = sinx x 2_
j;
x3
X
et
Calcul des limites lim sinx or:
lim ~ = O
x~O
x ~ O
lim sinx =O.
donc:
x~oT
X
=1
lim sinx = +
x~o x3
x
et
xz
= + 00 )
liffi 2xz
x~o
oo.
On .examinera comme dernier exemple le calcul de lim x sin..!. effectué à l'aide de la décomposi. dans 1e paragraph e 1.2. x~+X twn, ·
~E xercice @l.i
Calculer les limites suivantes : lim
Ji +xz +2x X
x-++ oo
.
1l ID x-+ - oo
3x + 2
Jxz-+-1
16 Limites et continuité
fl+xz + 2x
lim
X -+ - oo
lim X-+ -
/x + 3 -
---
. 1l ID
x+l
00
3x + 2
. 1lID x -+ +-
X
2
Jxz+ 1
sinx-1
x-+ ..!!. 2
-X -
.1L 2
lim
x+l
X -++ 00
lim x-+0
/x + 3 -
tanx X
2
2, 1 ,
Définition - Propriétés Continuité d'une fonction sur un intervalle
Propriété Une fonction f est dite continue sur un intervalle K lorsque sa restriction à K est continue en tout élément de K.
0
V V
b
a
0
''
''
a
b
0
' '
' '
a
b
V '
a
0
f n'est pas continue f est continue SUI [a ; b)
. f est continue SUI [a ; b)
SUI
b
f n'est pas contin ue
[a; b)
SUI
f est continue SUI )a ; b[
[a; b)
f est continue SUI ]a; b )
Image d'un intervalle par une fonction continue Exemple introductif On considère la fonction f définie sur [- 2 ; 3( par : f(x) =x E(x). Pour chaque intervalle K ci-dessous, étudions graphiquement la continuité de f sur K et détenninons graphiquement l'image f(K) de K par f: [- 2 ; - 1[ ; [- 1 ; 1[
;
]- 1 ; 1(
; ]O ; 1(
; [- 1 ; O]
;
(1 ; 3[ ;
[O ; 2[
; [- 1 ; 1].
Formules explicites de la fonction f -2
X
- 1
0
2
E(x)
-2
-1
0
f(x)
- 2x
-x
0
{
pour x E pour XE pour x E pour x E pour x E
[- 2; - 1[,
O[, [O ; 1[, [1 ; 2 [, [2; 3[, [- 1 ;
f(x ) = - 2x f (x ) = - X
f(x) = 0 f(x) = x f(x) = 2x
Représentation graphique de f Le plan est muni du repère orthonormé (0, I, J) 11> ..
.....__
--
3
2
2x
X
L 1
11 -r-1
l
VIi
1
1
1
1
1
1
1
~
\
1 ~
1
1
!
1
- '--t
\ '
-4 J3 -2 1
~ -11 0
1
1 1
1 ~1
1
:
-~ f
'
1
1
f
l
i
1
1
Limites et continuité 11
Continuité de f sur K et image de K par f K
[- 2 j - 1(
Continuité /est defsur K continue
surK ]2; 4]
f(K)
(-1; 1(
]- 1 ; 1(
]O; 1(
]1j2(
[ - 1 ; O]
[n'est pas fest fest fest fest continue continue continue continue continue surK surK surK surK surK (0; 1]
(0; 1(
(O}
]1; 2(
(0; 1]
]1 j 3(
[ -1 ; 1]
[n'est pas continue surK
[ n'est pas continue sur K
(1 ; 2( u (4 ; 6(
(0; 1]
1
Conclusion On constate que : Si f est continue sur K alors f(K) est un intervalle ou un singleton. Si f est continue sur K et K fermé alors f(K) est un intervalle fermé ou un singleton. Les réciproques ne sont pas vraies. En effet : [n'est pas continue sur [- 1 ; 1]; cependant[([- 1 ; 1]) = [O; 1]. fest continue sur [-1; 1[ ; cependantf([-_1; 1[) = [O; 1].
On démontre et nous admettons la propriété fondamentale suivante : Par une fonction continue : - l'image d'un intervalle est un intervalle ou un singleton. - l'image d'un intervalle fermé est un intervalle fermé ou un singleton. M
f(b) f(a)
0
b
m
f est continue sur [a ; b] f([a ; b])
f
: Xi-+
= [m ; M]
1
2 -
2.
t"
1
+ Ïf
f est continue sur IR
m est le minimum de f sur [a ; b] M est le maximum defsur [a ; b]
1 __,
J-"- + z X
f([- 3 ; 2]) = [- 1 ; [([- 2 ; + oo[)
= (- 1
7 z-l
; + oo[
Cette propriété est très importante. Elle permet, - d'une part, de déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue dans les cas particuliers où : l'intervalle est fermé la fonction est strictement monotone, - d'autre part, de démontrer l'existence de zéros d'une fonction et de déterminer des valeurs approchées de ces zéros.
Détermination de l'image d'un intervalle fermé par une fonction continue • Exemple 1 Déterminons l'image de l'intervalle [- 1 ; 2] par la fonction f: x
~
x2.
Détermination du maximum et du minimum de f sur [- 1 ; 2] Soit x un nombre réel. - 1$x$0::::>0Sx2 S1 car f est décroissante sur ]- oo ; 0) 0Sx$2 ::::>0Sx2 S4 car f est croissante sur ]O ; + oo[
18 Limites et continuité
donc: d'où: or: donc:
Pour tout nombre réel x, - 1 ~ x ~ 2 ~ 0 ~ f(x) ~ 4 0 est un minorant de f et 4 un majorant de f sur [- 1 ; 2] f(O) = 0 etf(2) = 4, O et 4 sont respectivement le minimum et le maximum de f sur [- 1 ; 2].
Détermination de l'image de [- 1 ; 2] par f f est continue sur [- 1 ; 2] minimum defsur (-1; 2] est 0 { le le maximum defsur (-1; 2] est 4 donc : f([- 1 ; 2]) = (0; 4].
• Exemple 2 Déterminons l'image de l'intervalle [- ~ ; 1t] par la fonction cosinus. La fonction cosinus est continue sur IR en particulier sur [- ~ ; 1t]. Détermination du minimum et du maximum de la fonction cosinus sur [- ~ ; rt] Pour tout nombre réel x, - 1~cosx~1 donc : - 1 est un minorant de la fonction cosinus sur [- ~ ; rt] et 1 est un majorant de la fonction cosinus sur [- ~ ; rt] or: cosrt = - 1 et cosO = 1. donc: - 1 et 1 sont respectivement le minimum et le maximum de la fonction cosinus sur [- ~ ; rt].
Détermination de l'image de [- ~ ; n] par cos cos est continue sur [- ~ ; rt] le minimum de cos sur [- ~ ; rt] est - 1 {
7t
0
le maximum de cos sur [- ~ ; 1t] est 1
donc : cos([-· ~ ; rt])
= [-
n;
2
1-----------&,-----------~--,,.~----···- -i. --····-·~·-
1 ; 1].
• • • - Détermination de l'image d' un intervalle par une fonction continue et strictement monotone • Exemple introductif On donne la fonction f: x 1-4 2x + 11 • xDéterminons graphiquement l'image par f de chacun des intervalles [- 2 ; O] et ]1 ; + oo(, Tableau de variation et représentation graphique de f X
f'(x)
1
-OO
-
·1
+OO
\
-
j(x)
2-----. -----.2 -
,__
OO
Détermination graphique de f([- 2 ; O]) et de /[]1 ; + oo{) j([- 2 ; O]) = ( - 1 ; 1] ; [(]1 ; + oo[) = ]2 ; + oo( Conclusion est continue et strictement décroissante sur [- 2 ; O] est continue et strictement décroissante sur ]1; +
f f
00 (
"....
s
+OO
-
-
......
'b
1
1
i
donc : f([- 2 ; O]) = lf(O) ; f(- 2)] ; donc : f()l ; + = ]lim f(x) ; lim f(x )[. 00 [ )
X --7 + 00
X --7 1
Limites et continuité
19
On démontre et nous admettons la propriété suivante : a et 13 sont des éléments de~ U {- oo ; + oo} tels que a< 13, est une fonction admettant une limit~ à droite en a et une limite à gauche en 13.
f
f
• Si f est continue et strictement croissante sur [a; 131 alors f([a; 13]) = (f(a) ;f(l3)].
• Si
• Si f est continue et strictement croissante sur ]a; 13[ alors f(]a ; 13[) =]lim f(x) ; lim f(x)[
• Si f est continue et strictement décroissante sur ]a ; 13[ alors f(]a ; 13[) =]lim f(x) ; lim f(x)[
x;;;> a
· · ·· . . ..?
f(f3) f(a)
x 0
et f(~) x 1 = x 2 .
*
Exemple
=xx- t est injective. 3 =f(x 2 ) => x 1 =x 2 •
Démontrons que l'application/ de IR\{3} dans IR définie par f(x) Démontrons que : pour tous éléments x 1 et x 2 de IR\{3}. f(x1 ) Soientx1 etx2 des éléments de IR\{3}. X1
X1X2
Xz -1 X2 - 3
-1
X1 -
- ·3x1
3 -Xz
+3
x 1x 2 - 3x2 -x1 + 3
x1
X2
• • - Applications surjectives Définition A et B sont des ensembles non vides,fune application de A dans B. On dit que f est une application surjective lorsque l'image de A par f est égale à B. On dit aussi que f est une surjection.
b'·----------------'
(qj}')
Lb
0
"-.__ K
f est une surjection de A dans B
f est une surjection de K dans L
si et seulement si pour tout élément b de B l'équationf(x) = b admetjune ou plusieurs jsolutions dans A.
si et seulement si pour tout élément b de L la droite d'équation y = b coupe (C€) en § n ou plusieurs jpoints.
Remarque • Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
• f étant une application de A dans B, E une partie de A, si la restriction de f à E est injective alors f per-
met de définir la bijection g : E ~ f (E) X~ f(x) On dit que f détermine une bijection de E dans f (E).
3.a
Les applications suivantes sont-elles bijectives , injectives, surjectives ? f: IR\{-1} ~ IR g: 1R ~ [; ; + oo( X~ Zx - 3
x+l
x ~ 3x2 -Zx+l
3.b
On donne la fonction f de IR vers IR définie par : f(x) = - 1- - . 1 + 1X 1
Trouver deux ensembles A et B pour quef détermine une application bijective de A dans B.
Limites et continuité
25
3 2, Fonctions continues strictement monotones •• Biiection continue strictement monotone Propriété Toute application strictement monotone est injective.
D émonstration Soient A et B des ensembles non vides de IR fune application de A dans B strictement monotone x 1 et x 2 deux éléments de A
*
Démontrons que : x 1 :t:- x 2 => f(x 1) f(x 2) Si f est strictement décroissante X1 < Xz => f(x1) > f(xz) x1 > Xz => f(x1) < f(xz)
Si f est strictement croissante x 1 < x 2 => f(x 1) < f(x 2) x 1 > X2 => f(x 1) > f(x 2) d 'où : L'application f est donc injective.
On déduit aisément de la propriété précédente la conséquence suivante : Toute fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle K détermine une bijection de K dansf(K).
Remarque La continuité de f est une hypothèse superflue dans la propriété précédente. Cependant elle permet de déterminer f(K). Exemples
Démontrons que la fonction f de IR vers IR définie par f(x) 3
•]- 2
j
={;r ~ ~ détermine une bijection de
+ oo( dans ]-
00
j
1
if•
1
______.+oo
= ]-
00 ;
1 ii·
]- OO;
il·
26 Limites et continuité
-
-------.[
g étant continue et strictement croissante sur
]- oo ;
.1
1 5 ii· on a : g (]- oo ; iil = lz; + oo[.
Conclusion
Conclusion
f détermine une bijection de ]- ~ ; +
2
+OO g(x)
___. 2
]- 2 ; + oo[, On a : f(]- 2 ; + oo[)
1
2x + 3 est bijec-
1
-OO
g '(x)
1
- OO
3
=2x2 -
Étude des variations de g On obtient le tableau de variation suivant :
+
2
définie par g(x)
X
f étant continue et strictement croissante sur 3
00 (
+OO
-2 +
f'(x) f(x)
3
-OO
1~ ; +
{t dans
tive.
Étude des variations de f On obtient le tableau de variation suivant : X
Démontrons que l'application g de ]- oo ;
00 [
dans
g est une bijection de ]- oo ;
-}l dans ] ~
; + oo[.
• • • - Réciproque d'une biiection continue strictement monotone • Activité introductive Considérons la fonction rationnelle f définie par : f(x) On veut :
1 = 3x - . x+ 2
- démontrer que f détermine une bijection
0 :
1 -
pour x < O :
1 $ xE( ; ) < 1 - x
or:
$
1
lim (1-X) = 1 X-+ Û
donc : lim
X-+ 0
xE(1-) = 1. X
1 X
Démonstration par implication et par contraposition
L'objet de ce TP est de poursuivre la mise en place des différents types et méthodes de démonstration. Dans le cadre de l'apprentissage à la résolution de problèmes, ce TP doit être consulté tout le long de l 'année et tendre à devenir une fiche de référence personnalisée par des annotations individuelles. • Implication • Dans un énoncé de propriété, « l'implication » se traduit par : si (p) alors (q) on note : (p) ==::? (q) on lit : (p) implique (q) Cependant, dans certains énoncés de propriété, l'implication est implicite. • Dans une démonstration, l'utilisation d'une « implication » permet de déduire directement une conclusion Cà partir d'une donnée D du problème, on évitera alors l'expression : « si D alors C »,ce qui pourrait sous-entendre une supposition (ce qui n'est pas le cas d'une donnée D de problème). En général,on écrit indifféremment : (1) on a D; donc C. (2) puisque D ; donc C. L'implication permet une démonstration par déduction directe d'une conclusion C à partir de la donnée D d'un problème, ou de l'hypothèse H d'une propriété. • Contraposée d'une implication
Définition - Pro riété • On appelle contraposée de l'implication: (p) ~ (q) l'implication: non (q) ~ non (p). • On admet qu'une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes. Lorsqu'il est difficile de démontrer une implication (p) ==::? (q}, on peut penser à démontrer sa contraposée : non (q) ==::? non (p).
Exemple Pour reconnaître une injection, on peut utiliser : l'implication : x 1 ;t: x 2 ==::? f(x 1 ) ;t: f(x 2 ) ou bien sa contraposée : f(x1 ) =f(x 2 ) ==::? x 1 = x 2
.
.. 6 f est la fonction de IR vers IR définie par : 6x
pourx E ]-oo; 1 [, f(x) = - x+ 2 { pour XE ]1 ; + oo(. f(x) = h x + 1 . Peut-on prolonger f par continuité en 1 ?
.... * b
X
= tanx X
(3 ) f(x) = 1 - cosx
(4) f(x)
=:X:
X
X
!;;
Peut-on prolonger f par continuité en 0 ?
x2-l x- l
32 Limites et continuité
1 . 2
[1+;2 -
1
(2 ) lim
4x2
X
Démontrer que f(x) =
X
. '""' 1 - cos2x 2
x
2
~~ x et déterminer lim f(x). A"
2 . Déduire . que:
r_;~
0
1
2x
sinx = 1
. f :x 1 . 0 n cons1.dère 1a "1onchon
2s·
h + sinx -
-40
1 - cos2x
xz
X-40
'
.J
= 2.
Passage à la limite dans une inégalité
5 -1
~ 16 On considère une fonction[ définie sur )1; + oo(. admettant une limite e finie en + oo, et vérifiant : 1 + $ f(x) $ 2 + sur )1 ; + oo[. ·'
x- l
Déterminer un encadrement de la limite
- ) 8 Dans chacun des cas suivants, f est une fonctlon définie sur [O; l[. (1) f(x) =
X
Étudier les limites suivantes :
X-40
(2) f(x)
.
sinl.
15 On sait que : lim
(1) f(x) = sinx
EU\\
X-40
X-40
Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie sur )0 ; 1).
.... *]
E U\\ '
1 14 Démontrer que : lim fl+x _·1 = ~ (1) lim
7
/
x -40 3x
3. Calculer: lim
Prolongement par continuité
X
(4 ) lim sin2x
x -40 x 2
2• Cal CUl er: x~O----z;x1. . sinax [a
x - 2
sinx = 1
X -40 X
•
X-40
(3) lim x2 - 4x + 1 x~2
\
(1) lim sin2x
Déterminer les limites suivantes :
(1) lim (1.... + l)(x2 + 1)
=
(2) f(x) = - -
!
!
e.
Calcul de limites par comparaison
1
17 Déterminer les limites en + oo et en cune des fonctions suivantes : (1) x >--+ x + 2cosx (2) x
>--+ x 2
(4) x >--+ x3cosl
fx·sinl X
X
19 Étudier les limites en+ et en - de chacune des fonctions suivantes : 1 (1) x 1-+ x + sinx (2) X t - + - - -X + COSX X+ COSX (4 ) x >--+ sinx (3) x - 2 + sinx 3x + 2 00
(5 )
X....+
00
(6) x >--+ E(x)
COSX
x-1
X
10 On considère la fonction f définie sur [2 ; + oo[ par: f( x ) =
2x + sinx x-1
.
x 2 -4
x~-2
18 On considère la fonction[ définie sur [O; + oo[ par : f(x) = ,13x + 1 - J3;; + 1. 1. Justifier que ni les règles ~ératoires sur les limites, ni la « mise en facteur » par , 3x ne permettent de déterminer la limite de f en + oo . 2 . A l'aide d'une expression conjuguée de f(x) - 1, et en s'inspirant de l'exercice précédent, déterminer la limite defen + oo. Calcul de limites - Utilisation du tàux de variation
~ J 19~A l'aide du taux de variation de fonctions bfün c}ioisies, calculer les limites-suivantes : ~- 3 ( ) . 2sinx - 1 (1) l . 4 1 1~ 2 X - 2 X~ 1L 6X - 1t 6 sin1tX (2) lim (5) lim 2cosx-1 l' (3) lffi
x~Jf
00 •
11 On considère la fonction[ définie par:
Jx + 4- {2
(6) lim
x~.1}
x~lx-1
Encadrer f par deux fonctions rationnelles. En déduire la limite de f en + oo et en -
5
4x2
x~O
(5) l'lm ,';+3-{2 x~1 x2 -1
2cos(x3 )
-
Js + xz -
(4) lim
x-4
x~2
de cha-
oo
18 Étudier la limite en O de chacune des fonclions suivantes : (2) Xt-+XSÎn.l_ (1) x - x 2 sinl X X (3) x -
./x+-7- 3
(3) lim
sinx1 - -2x-1t
'·
3x-1t
(6) lim cosx + 1 X~lt
X-1t
30 a étant un nombre réel, calculer les limites suivantes: (l) lim sinx - sina ( 2 ) lim cosx - cosa x~a x--a x~a x-a
_ XCOSX f( X-1+x2" )
Encadrer f par deux fonctions rationnelles. En déduire la limite de f en + et en - oo. 00
Il On considère la fonction[: x Encadrer [par deux fonctions. En déduire la limite de f en +
00
Calcul de limites - Changement d'écriture E(x) x
>--+
et en -
~ 'v 31 1. Rappeler les limites suivantes : tanx lim _si_nx_ lim; cosx - 1 lim
..
00 •
X ~o
13 On considère la fonction f: x 1-+ 2x + E(x). 1. En utilisant la définition de E, démontrer que : pour tout x, x - 1 S E(x) s x . Encadrer f par deux fonctions affines. 2. En déduire lim f(x) et lim f(x). X-++oo
·1. Calculer : lim
2. Démontrer que : pour x < 0, f(x) = x En déduire lim f(x). X-+-
15 On considère X-+
-y 1 +
)
x-++oo
f: x
>--+ Jzxz
+ 1 - 3x.
OO
f(x) = x ( ~2 +
f (x).
~2 -
3 ).
OO
17 En
utilisant des expressions conj uguées, déterminer les limites suivantes :
r
3
x~9 9-x
tanx (5) XI-+--
(6) X>-+:----
(2) lim
x~3
,x r
tanx
x3
(7) XI-+
SlllX
tanx - sinx
31
X t-+-;=-
x2
X
Sachant que lim ,
..
1-cosx
(8) X>-7---
1 - cos2x
x~O
X
= -2
0
(voir exercice n° 15). calculer les limites suivantes :
16 On considère f: x >--+ Jzx2 + 3 - 5X . . Calculer lim f(x) en utilisant l'expression conjuguée.
(1) lim ~
(4) x1-+,xsinx
a..:
Calcul de limites - Utilisation de l'expression conjuguée
X-++
(3) x>-+xsinx
8 .
f(x).
~ue-: pour x > 0,
En déduire lim
!z +
~
OO
1. Calculer: lim
2. Démontrer
(2)
f(x). (
sinx
(1) XI-+-x2
: x - , x2 + 3 + Bx.
x~+oo
X
"
sin2x
X-+-oo
14 On considère la fonction f
x~O
X
vantes:
Calcul de limites - Utilisation d'une factorisation
JJ i-
x~O
X
2 . Calculer la limite en O de chacune des fonctions sui-
/x- 3
2- , 6x-2
(1) lim
x~O
(3) lim
x~o
1 - coszx
(2) lim
sin2x
x~O
x3
(4) lim
1 -cos2x
x~O
1-coi;2x xtanx xsinx
1-COS2X
( ontinuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle
33 Dans chacun des cas suivants, étudier la... --7
lim f(x)- f(l) x-+1 >
x - 1
f(~ =~(l) = lim x-+1 >
h(x) - h(l) = h'(l) x-1
= _ 1.
On dit que f est dérivable à gauche en 1.
On dit que f est dérivable à droite en 1.
r}1!; f (x)x -_ f (l j
f(x) - f(l) l' l b d, . , , . 1}1!; x _ est appe ee e nom re ei,;1ve a 1 1
-é> COS.X
X>-é> -
]- oo ; O[
X>-é> ...,.....-,...-..,..
X>-é>
@
x'°+1
- 1
[r E Q* \ {1}]
x'"
sur l'intervalle
Opérations et compositions
Fonction[
au'
u' + v'
ur xu'
Une primitive sur l'intervalle K
au
u+v
_ l_ ur+1 rE Q
a E IR*
Conditions
r+ 1
u'
u' ur -1
(r- l)ur-t
Tu
u'cosu
u 'sinu
2[u
sinu
-cosu
r E Q*\{1} u est une s'annule strictement passurK positive sur K
• • • - Détermination pratique des primitives • Utilisation directe des tableaux
Exemples On donne la fonction
f: X 1---'i> x3 + 3x2 -
5X
+
On donne la fonction
1 xz,
f:X>-é>
X
Ji +xz
•
Déterminons une primitive F sur !Rt de f.
Déterminons une primitive F sur IR de f.
f est égale à la somme de quatre fonctions.
u est la fonction polynôme définie par: u(x)
Déterminons les primitives de chacune de ces foncon constate que : f tions ; on a ainsi une primitive de f
F :X
f--é>
1
5
1
4x4 + x3 - 2x2 - X + k [k
E
IR].
F: x
>-é>
ji + xz + k
= 1 + x2 ,
= u[u' = ([u)', 2 u
[k E !R].
Dérivée - Primitives
53
• Linéarisation ou transformation des fonctions trigonométriques On donne la fonction f: x '""' sinx x cos2x. Déterminons une primitive sur IR de f.
On donne la fonction
f: x'""' sin3x x cos2x.
Déterminons une primitive sur IR de f. Soit x un nombre réel, on a : j (x)
=
Soit x un nombre réel, on a :
= sinx = sinx x (1 - cos 2x) x cos 2x = sinx x cos 2x - sinx x cos4x
sin3x X COS 2X
X sin2x X COS 2X
Une primitive sur IR de f est donc la fonction : x '""' -
~ cos x + ~ cos x + k [~ E 3
5
R ].
f(x) = sinx x cos2x = ~ [sin(x + 2x)
=~
+ sin(x - 2x)]
[sin3x - sinx]
Une primitive sur IR de f est donc la fonction : 1 cos3x x '""' --z[- - + cosx] + k [k E IR]. 3
• Décomposition des fractions rationnelles On donne la fonction
f
; X '"°'
On donne la fonction
x3+x2+2x+1 r(X + 1)2 •
Déterminons une primitive sur )0 ; + =[ de f. Décomposons f (x) sou s la forme On a: /(x)
= ~ + (x ~
~+
x4 - 3x+3
f (x ~ l)2 .
l)2
; X
'"°' -..,..--_xA(.~ -1)
Déterminons une primitive sur ]1; +
00 [
de f.
Décomposons f(x). f(x)
x4- 3x+3 x4(x - 1) x4
a(x + 1)2 + bx3 x 3 (x + 1)2
-
3(x - 1)
x4(x - 1)
bx3 + ax 2 + 2ax + a x3(x + 1)2
1
3
x - l - x4
d 'où : b = 1 ; a= 1. donc, pour tout X élément de ]O ; + oo[,
donc, pour tout X élément de ]1 ; + oo(, 1 3 f(x) x-1 - x4 f(x) = ~+ 1)2 À ce stade de notre étude, nous ne connaissons pas Unep rimitive sur ]O ; + = [ de f est donc la fonction : de primitive à la fonction x '""' - 1- . x - 1 x '"°' =-1.2 + ...=..1-_ + k [k E IR]. Pour cela n ous atten drons le chapitre 4 pour com2x x+l pléter cet exemple.
(x :
3.c
Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction f et préciser le plus grand intervalle sur lequel elle est définie. (1) f: X >--> X4 (2) f:
zx3
X >-->~ x2 - 1
(3) f: x >-->~ X
(4) f: X>-->
-h - ]_ [x X
(5) f : X >--> (x + 2) 3
(6) f: X>--> X Jx2 + 1
54 Dérivée - Primitives
3.d
Dans chacun des cas suivants, détermin er la primitive sur K de la fonction f prenant la valeur y 0 en x 0 • x2 2 (1 ) f (x) = 3 + (x - 3)2 x0 = 0 ; y0 = - 1 (2) f(x) = - 3x +
K =J- oo ; 3(
~
Xo = 1 . ; Yo = 2
K =JO ; + oo[
(3) f (x) =X - 1 + ~
Xo = ~ ; Yo = 1
K= JO ; + oo(
__r_e, Démonstration par récurrence Ce TP a pour objet d'introduir:e une nouvelle méthode de démonstration. • Exemple n étant un nombre entier naturel, déterminons la dérivée ne de la fonction f de ~ vers ~ définie par : f(x)
=x-a -1
• Détermination des dérivées f', f ", ji3 l Soit x un élément de ~\(a} 1 On a : f(x) = (x - a)-1 f'(x)
=-
(x - a)-2
[a E
~]
f"(x) = (- 1)(- Z)(x - a)-3 = (- 1)2 x 1 x 2 (x - a)3
x-a -1
Jl 3 l(x)
= (x- a) 2
= (- 1)(- 2)(- 3)(x -
a)-4
(- 1)3
X
1
X
2
X
3
=- - - 4 (x - a)
En continuant ce calcul de proche en proche, il semble que : pour tout nombre entier naturel n,jlnl(x)
(-1rn!
= (x-an+ ) 1
.
(1)
On veut contrôler cette conjecture lorsque n prend les valeurs : 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ... Cependant, il n 'est pas possible de contrôler cette conjecture en procédant à une infinité de calculs ! • Détermination de Ji11l Pour démontrer que (1) est vraie, utilisons un raisonnement appelé démonstration par récurrence. Soit x un élément de
~\{a}, n
On considère
étant un nombre entier naturel différent de O. Pn
1 re étape : établissement de la condition initiale On vérifie que P1 est vraie 2e étape : démonstration d'un algorithme récurrent - On suppose que : pour un nombre entier naturel, Pk est vraie - On en déduit alors que Pk+l est vraie
_f(nl(x)
(- 1)" n!
=-- (x - a)n+l
Jlll(x) = (x--1a)2 (-1)k k! Jlkl(x)=--(x - a)k+1
= (- 1)k+1 (k + 1)!
fk+1l(x)
(x - a)k+z
On conclut que (1) est vraie. • Principe de la démonstration par récurrence La démonstration par récurrence comporte deux étapes avant la conclusion. Pour démontrer que : pour tout nombre entier naturel supérieur à n 0 , P11, on peut procéder comme suit : 1re étape:
établissement de la condition initiale qui est « l'existence d'un héritage ». On vérifie que : P110 est vraie.
2e étape:
démonstration d'un algorithme récurrent; c'est« le principe d'un droit de succession» On établit que : si pour un nombre entier naturel k supérieur à n 0 , Pk est vraie, alors Pk+i est vraie. 1
Conclusion : pour tout nombre entier naturel n supérieur à n 0 , P
11
•
Dérivée - Primitives
55
fM ExercicesENTRAINEMENT
. D érivation Dérivabilité en x 0
1
On considère la fonction f définie sur ]O ; + oo[
par : f(x) =
.J1+5x - 1
6 On considère la fonction f de ~ vers ~ définie par : f(x) = (1 - x)Jt - xz. Justifier que f est définie sur [- 1 ; 1) et étudier la dérivabilité defsur (- 1; 1] . On désigne par (~J:) la représentation graphique de f dans le plan muni du repère orthonormé (0, 1, J). Préciser les tangentes (éventuellement la tangente à gauche et la tangente à droite) aux points de (C{61) d'abscisses : - 1 ; 1 ; - ~ ; O.
.
X
F onction dérivée
1 . Démontrer que f admet un prolongement par conti-
nuité en O. 2. Ce prolongement par continuité est-il dérivable en 0? Si oui, quel est son nombre dérivé en 0 ?
Tangente
t a est un nombre réel etJ;, est la fonction définie
de J;, ait, en son point d'abscisse - 1, une tangente parallèle à la droite d'équation y = O.
(2) f:x-x + [x +x1
3
Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité à gauche et la dérivabilité à droite en x 0 .
l.r - 1 I
x0 = 1
( 2) f(x)= ~ 2 - IXI
Xo
=Q
=5x - 3 = 3x-1 2
(4) f:x-
1+,lx
-
8 Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction f après avoir déterminer son ensemble de définition et l'ensemble sur lequel elle est dérivable. (3)
sinx + cosx
f:x-~
(2)
f: x _sinx ~ 1
smx
f: x -
(4)
1 + Slnx
1 -:-Z( )
sm x
-
9 Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée, quand elle existe, de f sur l'intervalle K. sinx + 1 K = ]O; ~ [ (l) f : x - sinx - 1
(2)
5x
1 - [x
(3) f:x-(3x-8)3
(1) f: x -
Dérivabilité à gauche et à droite en x 0
( ) {pour x E [O ; 1], f(x) 3 pourx E (1; 3], f(x)
(1) f:x- 2x2+5x-12 1
a) Déterminer les intervalles sur lesquels J;, est dérivable. b) Calculer f ~. c) Déterminer a pour que la représentati'on graphique
(1) f(x) =
7 Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction f après avoir déterminé son ensemble de définition et l'ensemble sur lequel elle est dérivable. '7x - 1
J;,(x) = x3 + x~ x + a
par :
Détermination de la dérivée
f: X -
1 + tanx 1- tanx
2
( ) {pour x E [O ; 1], f(x) = - 3 4 pour x E (1 ; 3], f(x) = 3x - 1
Dérivées successives
Tangente verticale
4 Dans chacun des cas suivants, (C{6) est la représentation graphique de f. Étudier l'existence de tangentes verticales au point M 0 d'abscisse x 0 à la courbe (C{6). (1) f(x)
=h - x
x0
( ) {pour X E [O ; + oo), f(x) 2 00
pourx E (-
;
=1
= {x _i-;
O], f(x) '."'
Dérivabilité sur un intervalle
cj. 5
On considère la fonction f définie sur ~ par : f(x) = lx(x-1)1. Étudier la dérivabilité de f. Dans le plan muni du repère orthonormé (0, 1, J), construire la représentation graphique (C{61) de f et les tangentes (éventuellement la tangente à gauche et la tangente à droite) à (C{61) aux points 0 et 1.
56 Dérivée - Primitives
~ 10 Dans chacun des cas suivants, déterminer les trois premières dérivées de la fonction[. (1) f:x-~ (2) f:x-2x5-4x 3 +2 x+ 1 (3) f:x-2x+S x+1
(4) f:x_4x-S
3x-1 Dans chacun des cas suivants, déterminer les deux premières dérivées de la fonction[. (1) f: x - sinx ·c2J f: x - cosx (3) f:x-xfx (4) f:x-cos2x
11
Dérivée d'une fonction composée
~ 1 t Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction f. (1) f: x - sin(x - x 2) (2) f: x - cos(x2 + 3x) (3)
f: x - sin(3x -
(5) f:x- J3X" +7
~)
(4)
(6)
f: x
- cos2 (3x +
f:x-
fl
1
Jx2 +X+ 1
(7) f:
X >'-'>
.
(9) f : x -
~X -
(B)f:x-~
Jsinx
(10) f: x -
1 X+ 1.
(5)f(x)=
Ji - sinx
(l 2) f: x _ 2cosx + 1 .f;osx - 1
(11) f: x - ,/Cos2x -1
1
•v ~9 Dans chacun des cas suivants, déterminer les
primlifves sur l'intervalle K de la fonction f (1) f(x)
1
=
Dérivée de fonctions réciproques ~~
'f\.
[;
JO ;
tJ X
-7
[1 j + oo[
-
-.-1-
(3) f(x)
SlilX
-../.... 14 o~ ~onsidère la fonction
tJ X
-7
~
Calculer le nombre dérivé en de la fonction réciproque f-1. Construire la représentation graphique ('€') de f- 1 et la tangente à('€') au point d'abscisse
~.
15 Dans
chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction f puis préciser ses extremums.
x2 - 9 (3) f:x--2--
x +9
1
(2) f :x - -2x +1 1 (4) f :x-x-1 + - -
x+l
Dérivée et inégalité < ~ , appliquer les inégalités des accroissements finis à la fonction sinus sur [O ; xJ . En déduire que: pour 0 < x < ~, 0,85 < sinx < x.
16 Pour O < x
~
Dans chacun des cas suivants, déterminer les prirriitives sur IJ\11 de la foncti on f (1) f(x) = x 3 + x 2 + 3 (2) f(x) = (2x - 1)3 (3) f(x) = (- 2x + 3)(x - 1) (4) f(x) = x4 + x 2 - 1 4 (5) f(x) = 5(2x + 1)1 (6) f(x) = (x3 - 3x2 + 1)3
18 Dans chacun des cas suivants, déterminer les primitives sur l'intervalle K de la fonction f (2) j(x)
=-
(3) j(x)
=
-
x 2 + 1.... x2 - 2
1 -
(x-1) 2 3 2 2x + 3x + 4 x2 •.
1 -x2
(4) f (x)= - -
x4
K = ]-
Jzx + 1
1 zi + oo[
10 Dans chacun des cas suivants, déterminer les primitives de la fonction f, sur l'ntervalle K. K =
=
K
sinx Jcos3 x (3) f(x) = sin 3xcosx (4) f(x) = sin2xcos 22x
IJ\11
= ]_:_
7t2 ; 7t2 [
K = IJ\11
~1\Dans
chacun des cas suivants, déterminer définie ci-dessous, la primitive sur l'intervalle K qui prend la valeur y 0 en x 0 •
l? ; + oo(
(1) f(x) = (x - 1) 4
x 0 = 2 ; y0 = 0 ; K =
(2) f(x) = - 1(1 - x)3
x = 0 · y = 0 · K = ]- oo • 1 [
o
' o
'
'
~l\pans chacun des . cas suivants, déterminer pour, @fenction f définie ci-dessous, la primitive sur l'intervalle K qui prend la valeur y 0 en x 0 . (l) f (x) = xsinx + cosx x2
Xo
(2 ) f(x) = sinx-x cosx x2
Xo = Yo = 1 ; K = ]O; + oo[
=Yo = 1 ;
K = ]O ; + oo[
Dérivée - Tangente
Détermination d'une primitive
.
2
= ]O ; + oo(
APPROFONDISSEMENT
p rimitives
(1) f(x) = x 3
K
X
po~lfonction
Sens de variation d'une fonction
f:x-J; 3 -3x+2
= [x
(2) f(x)=--
(2) f(x)
COSX
Démontrer que f est une bijection.
(1)
K= Jl ; + oo[
(1) f(x) = sinxcos 3x
[O; 1]
-
= )0 ; + oo[
Jx - 1
Démontrer que f est une bijection. Calculer le nombre dérivé en ~ de la fonction réciproque f-1. ,13
f: [O ;
K
1 -
(2) f(x) = -
13 On considère la fonction
K=)- 1 ;+oo( ·-2 .
(2x + 1)2
K = JO ; + oo[ K
= Jl ; + oo[
K =JO;+ oo[ K =JO;+ oo[
13 On considère la fonction f f(x) =
définie par :
x2 + ax + b .
2 X +1 a et b étant deux nombres réels. 1. Déterminer a et b pour que la tangente (T) à la représentation graphique('€) de la fonction[, au point d'abscisse 0 , ait pour équation : y = 3x + 2. 2. Préciser la position de (T) par rapport à ('€). 3. Étudier les variations de f
14 1. Démontrer que les représentations graphiques des fonctions : x - ~ x 2 + 5 et x - ~ ont une tangente commune. 2. Déterminer une équation de cette tangente commune. 3. Combien y a-t-il de solutions? 15 Déterminer, de deux manières, la dérivée de la fonction : x - sin4x + cos4x + 2sin2xcos 2x. Dérivée - Primitives
51
16 Déterminer, de deux manières, la dérivée de la fonction : x ,__,. sin6x + cos6x + 2sin3x cos3x. 17 Dans chacun des cas suivants,
déterminer m pour que la fonction f soit dérivable sur R pour x E ]- oo ; 1]. f(x) = x - 1 (1) X+ 2 { pour XE [1 ; + oo[, f(x) = m(x2 - 1) pour x E ]- oo; O]. f(x) (2)
= x-m1 X +
{ pour X E [0 ; + oo[, f(x) = x3 + x2 + x - m
18 1. Démontrer que si une fonction dérivable est paire, sa fonction dérivée est impaire. 2. Donner un exemple. 19 Démontrer que chacune des fonctions suivantes ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l'intervalle [O ; + oo[. 2 (1) x ,__,. x-sinx (2) X,__,.~ + COSX Dérivées successives
30 1. Déterminer la fonction dérivée nième de la fonction : x ,__,. sinx. (On exprimera chacune des dérivées successives sous la forme d'un sinus.) 2. Même question pour la fonction : x ,__,. cosx.
31
Déterminer la fonction dérivée fonction : x ,__,. sin 2x.
nième
de la
Transformer cette expression, puis déterminer une primitive de f sur un intervalle que l'on déterminera. •
1
35 f est une fonction de IR vers R définie par : f
( X
)=3x2 -6x+5
(x- 1)2 .
a et b tels que : pour tout nombre réel x différent de l, b f(x) = a + -(- - )2 . x - 1 .. 2. En déduire une primitive de f sur ]1 ; + oo[. 3. Déterminer la primitive de f sur ]1 ; + oo[ prenant la valeur 8 en 3. 1 . Déterminer deux nombres réels
6 On donne une fonction f définie sur [3 ; + oo[ 1 par : f(x) = (x - 3)Jx - 3. 1. Trouver l'ensemble sur lequel/ est dérivable et déterminer la dérivée de f 2. En déduire la primitive sur ]3 ; + oo[ de la fonction g: x ,__,. Jx - 3 prenant la valeur 0 en 5.
37 1. Linéariser cos4x. 2_. Utiliser cette linéarisation pour déterminer une primitive sur IR de la fonction f: x ,__,. cos4x. 38 1. Développer (1 - cos2x) 2. 2. En remarquant que sin5x = sin4x sinx, déterminer une primitive sur IR de la fonction f: x ,__,. sin5x. 3. Utiliser une méthode analogue pour déterminer une primitive sur IR de la fonction f: x ,__,. cos5x.
31 t. Déterminer les dérivées successives, quand elles existent, de la fonction rationnelle f définie par :
PROBLEMES
f(x) = -1- . x+ 1
2 . On considère la fonction rationnelle g définie par : 2x-1 g(x) = -(--)2 . x+1
Déterminer deux nombres réels a et b tels que : b g (x) =_a_+ X+ 1
(X+ 1)2•
En déduire les dérivées successives de g, quand elles existent.
·Ji/ 33 On considère la fonction rationnelle définie par : f(x) = 3x2 - x - 1 . x-1 On désigne par (~rl sa représentation graphique. 1. Déterminer une équation de la tangente (T) à (~ ) au 1 point d'abscisse O. Existe-t-il un autre point de (~1) où la tangente est parallèle à (T) ? 2. (~1) admet-elle une tangente de coefficient directeur 0?3?
3. Existe-t-il des points de (
Limite en 1 On a : lim
X°"' 1
-x2
=+OO
Ji - xz = O.
x+l>O X+
1
- x- 1
V =]- =; - 1[U]l;+=[.
Équations équivalentes à (E) (E) ln{ x + 1) = 1
-1
\x-1
ln( X+ 1) = lne x -1 x+1 x-1
(e - l)x - (e + 1) x-1
=e
1--+ $
~ :-1
e 1
car 1 = lne car ln est strictement croissante
=0
(e - 1)x - (e + 1) = 0 e+ l X e- 1 Ensemble S de solutions de (E)
s ={:~î}
'car x - 1 =t 0
car e + 1 > 1 (e + 1 > e - 1) e- 1
• • • - Inéquations du type : lnu(x) < lnv{x) • Exemple 1 Résolvons dans R l'inéquation (I) ln(- x + 2) > ln(x + 3). Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation (I') ln(- x + 2) ~ ln(x + 3)?
Fonction Logarithme népérien 87
Ensemble V de validité de (1) Soit x un nombre réel. On a : x E V - x + 2 > 0 et x + 3 > O d'où : V= )- 3 ; 2[. Inéquations équivalentes à (1) (1) ln(- x + 2) > ln(x + 3)
Illustrations et justifications
-3
2
car ln est strictement croissante
- x+2>x+3 1
-z
X
0 d'où : V = )- oo ; - ~ [ U ]1 ; + oo[,
Illustrations et justifications -oo
X
-1/2
+OO
+
+
Inéquations équivalentes à (1) ln(x2 -
(I)
~
x -
1
~
-1/2
) 2: 0
1
ln(x2 - 2 x - -z) 2: ln1 2
1
car 0
1
x - 2 x -z-2:1
= ln1
car ln est strictement croissante
2x2 -x-3 2:0
Ensemble S de solutions de (1)
2x2 - x - 3
Signe de la fonction f Pour
X
E ]-
3
OO ; -
1 [ u 1-z ; + oo[
Pour x E {- 1 ; ~ }
1.e
88
Résoudre dans
~
:
3/2
f(x) > 0 f(x)
1 3 Pour x E ]- 1 ; - -z[ U ]1 ; -z(
1-~. [#] -[#] -1
X
3 S= ]- oo; - 1[ U )Z ; + oo[,
~s ~v
=0
0--0
0-----0
- 1 - 1/2
f(x) < O.
(1)
ln(x - 1) < ln(3 - x)
3/2
(E)
ln(ZX-1) = ln(3x + 1)
(J)
ln(5x2 + 9x - 1) ~ 0
(F)
ln(- Sx + 1) = 1
(K)
2ln(x + 1) = ln(5x + 1)
(G)
2) =0 ln (X+ --
- x+1
(L)
ln(l - x) - ln(ZX + 3)
(H)
ln(-x + 3)::;; 1
(M)
ln( l 3x - 21) < 0
Fonction Logarithme népérien
:-1
~ ln(-
x)
2J.. . Variations et représentation graphique de ln • • • - Variations de la fonction ln Le plan est muni du repère orthonormé (0, I, f}. On désignera par (0
x
Soit n un nombre entier naturel aussi grand que l'on veut. La fonction ln étant strictement croissante, lnx > ln(en) on a: d'où: X> en ~ lnx > n X E ]en ; + oo[ ~ lnx E ]n ; + oo[. On admet alors que :
lim
X~+
lnx = + oo
x-->0
X
>
~ln(!) est la composée de la fonction inver-
se suivie de la fonction ln. lim ..!._ = + oo et lim
or:
lnX = + oo
X-->+~
x-->OX
>
lim ln(_!_) = + oo
d'où:
x-->0
X
>
donc:
1_
lim lnx =- oo x-->0
OO
• Tableau de variation
e
0
X
+=
+
X
+OO
lnx
• • • - Représentation graphique de la fonction ln • Tangente à ( O.
Les primitives sur]- ~ ; ~ [ de la fonction tan sont donc les fonctions : x ~ - ln(cosx) + c [c E IR]. Celle qui s'annule en 0 est la fonction x
~
- ln(cosx) (car elle vérifie : - ln(cosO) + c
= 0).
~E xercice 2.b
Dans chacun des cas suivants, déterminer les primitives sur K, de la fonction f définie ci-dessous : (1) f (x)
92
=- .1. ; K = )0 ; + oo[ X
Fonction Logarithme népérien
5 (2) f(x) = 3
-x
. ; K = )3 ; + oo(
(3)f(x) =
c?sx ; K = )0; 1t(. SlllX
2,4, Limites • • - Les limites de référence (1)
lim
lnx= + ~
(2)
lim
lnx = 0
(4)
X-+ +oo
(3)
x->+oôX
x->0
lim
.\'.-)0
lim ln(l + x) =1 X
(5)
lim lnx = - =
(6)
x -> 0
·
xlnx = 0
lim lnxl x->1X-
=1
D émonstration Égalités (1), (2) et (3) (voir paragraphe 2.1) Égalité (4) Le produit des limites donne la forme indéterminée 10 x ool. Transformons l'écriture de xlnx : ln1Pour tout X élément de ]O ; + oo(, f[x) = x l nx = - __x_ . Décomposition de f 1
(- f) est la composée de la fonction inverse suivie de la fonction u : x
~ lnx X
'' ''
-r:
'
Or:
lim
1- =
+ oo et lim
>
d'où:
lnX =
X->+=
x->OX
X
1n1. X l rm - - = 0 ; x~O
o
·:'
donc : lim f[x) = O.
1
- f = invou
x->0
X
Égalités (5) et (6) Le quotient des limites donne la forme indéterminée
donc :
~ . On reconnaît le taux de variation en 1 de ln
. ( ) ln(1 + x) - ln(1) 11m = 1n ' 1 x-> 0
lim
X
x -> 1
ln(x) - ln(1)
= ln'(1).
x-1
• • • - Calculs de limites • Exemple d'utilisation de la composition des fonctions ou des opérations sur les fonctions g est la fonction de IR vers IR définie par : g(x) =
2 + lnx lnx . 1-
Étudions les limites de g en + =, en O et en e. Limites en + = et en 0 de la fonction g Dg = ]O ; e[ U ] e ; + oo[ En effet, x étant un nombre réel, x E Dg ç::> x > 0 et 1 - lnx 1'- O.
......__ ~--~~-- 0
donc:
lim X -> - =
2+lnx = 1- lilX
-
1
. 1lill
2 +X
~=
X-> -= 1 - A
1
lim 2+lnx = _ 1. X -> 01-lDX
g
= voln
Fonction Logarithme népérien
93
Limite en e de la fonction g 1 Pour tout x élément de Dg : g(x) = (2 + lnx) x l-1nx et on a : lim (2 + lnx) = 3 lim (1 - lnx) = O. x ~e
x~e
Le signe de (1 - lnx) permettra donc de calculer la limite à gauche et la limite à droite en e de x ~ 0n a :
1 - lnx >
o
~
lnx < 1 x 0
1( et positive sur ]1 ; +
et
/2 -
> 1.
1
oo(.
• • • - Représentation graphique de la fonction f Le plan est muni du repère (0, I, /}. Désignons par ~J la représentation graphique de f • Asymptotes Asymptotes verticales On a vu que : lim f(x) = -
oo
donc:
(((5) admet deux asymptotes verticales, les droites d'équations : x = - 1 et x
Asymptote oblique On a: lim f(x) = x-+-oo
lim
et:
et lim f(x) = + oo x~l
x7-1
(f(x) - (2x + 3)]
X-+-oo
donc:
oo
= lim
X-+-oo
ln x + 1 = O X- 1
= + oo
On a:
lim
f(x)
et :
lim
(f(x) - (2x + 3)] = lim
X-++oo
X-++oo
(((5) admet une asymptote oblique en+ oo et en -
oo,
= 1.
X-++OQ
ln x + 1 = O X-
1
la droite (L) d 'équation : y = 2x + 3.
Position de ff,1) par rapport à son asymptote oblique {L)
Soit x un élément de
Dr On a:
x+1 1
f(x) - (2x + 3) =ln x _
Pour x > 1, on a : x + 1 > x -1 > O x+1 . d one : x+1 x - 1 > 1 ' 1n x - 1 > 0 (C(5) est au-dessus de (L).
et x + 1 > x -1.
Pour x < - 1, on a : 0 > x + 1 > x - 1 donc : x + 1 < 1 ; ln x + 1 < O x - 1 x- 1 (C(5) est en-dessous de (L).
• Tangentes (C(5} admet deux tangentes horizontales aux points A et B d'abscisses respectives - [2 et
96
Fonction Logarithme népérien
[2.
• Construction de C~) li .
Tableau des valeurs approchées f(x)
X
-5 -4 -3 -2 - 1,5 -1,25 1,25 1,5 2 3 4 5
...
-
7,4 5,5 2,3 2,1 1,6 1,8 7,7 7,6 8, 1 9,6 11,5 13,4
C{;r> _,... ~ - ·~ -
r:z!l :i '~
::: n±iE
'17 tfFlt:.
1=1 H
•::l
i.
m
1
~~
....... 1tt.......
.,.. r
,,
.-~01
·' j
i• ··!
~-
1+tt-t
..... Ht !.
Fenêtre de construction Xmin = - 5 ; Ymin = - 6 Xmax = 5 ; Ymax = 14
Repère orthogonal (0, I, J) ; OI =
2
OJ El Il: ' i/+.%t!
:k
Unités graphiques : 1 cm sur (OI)
tl
. ·1.:.: ~
t ~ . -'Etf ~ ml
• • - Propriétés géométriques • Centre de symétrie
- Les droites (L) et (OJ) sont sécantes au point O'(O ; 3). Le point O' semble être un centre de symétrie de (~). Contrôlons par le calcul cette conjecture.
-
- Désignons par g la fonction ayant pour représentation graphique, l'image de
(~)
par la translation de
v€cteur O'O. Or : donc :
-+
-+
O'O = - 3 OJ pour tOUt X élément de]- oo; - 1[ U ]1 ; + oo[, g(x) =f(x) + (- 3) = 2X +ln~~~ .
- Étudions la parité de g. L'ensemble de définition de g est Dr, il est symétrique par rapport à O. Soit x un élément de Dg. On a :
-x+ 1 g(-x) =- 2x +ln-- - x - 1
d'où :
pour tout x élément de Dg, - x E Dg et g(-x) = - g(x).
donc :
=-
x-1 x+1 2x + ln - - = - 2x - ln - - = - g(x). x+ 1 x-1
O'(O ; 3) est un centre de symétrie de
(~).
Fonction Logarithme népérien 97
3,2. Utilisation de la dérivée seconde Étudions la fonction f de R vers R définie par : f(x)
=r - f
- X~.
• • • - Variations de la fonction f • Ensemble de définition de f Dr= ]O; + oo[
0
• Limites Limite en 0 On a: lim f(x) x~o
= lim
x~o
(x2 - x ) - lim xlnx = 0 5 x~o
lim f(x) = 0 x~O
Limite en + oo La somme des limites donne une forme indéterminée. Transformons l'écriture de f(x) en mettant x 2 en facteur. 1 On a : Pour tout x élément de IR: , f(x) = x2( 1 - ~ - ~)
5
or : donc:
= + oo
lim
x2
lim
f(x)
X~+-
X-7+00
et lim
= (lim
(1 - .!.. - lnx) =1 5X X 1 (1im (1 - 5 - lnx )) = + oo X X
X~+-
r)
x~+oo
X
lim
x ~+oo
• Dérivée Détermination de la dérivée f est une fonction dérivable sur ]O ; + oo[
et
X-7+00
pour tout x élément de
f(x)
iR: ,f '(x) = 2x -
= + oo
~
- lnx
Signe de la dérivée Nous ne savons pas résoudre algébriquement l'inéquation : 2x - ~ - lnx ~O. Étudions donc le sens de variation de la fonction dérivée f' pour déterminer son signe.
iR: ,
1 Pour tout x élément de f"(x) = 2x; . x étant strictement positif, f"(x) est du signe de 2x - 1
X
0
0,5
+OO
0
0,5
+oo
f"(x)
Du tableau de variation de f' on déduit que : - la fonction f' admet un minimum en 0,5 - pour tout x élément de ]0 ; + oo[, f'(x ) ~ ln2 - 0,2 > 0.
• Tableau de variation de f f'(0,5) "' 0,5 j{0,5) "'0,5
X
L'étude précédente suggère les remarques suivantes :
f'(x)
f est continue et strictement croissante sur ]O ; + oo[ ;
j(x)
À l'aide d'un prolongement par continuité en 0 ,
98 Fonction Logarithme népérien
ln2-0 2
+ +oo
elle détermine une bijection de ]O ; + oo[ dans ]O ; + oo[.
on détermine la fonction g définie par: {
+
pour x E IR:, g(x) g(O)
=f(x)
=0
• • • - Représentation graphique de la fonction f Le plan est muni d 'un repère orthogonal (0, I, J). Désignons par (C{6p la représentation graphique de f; la fonc tion g a donc pour représentation gr aphique la courbe (C{6) U {O}. ~ Tangente en 0 à la courbe (C{6) U {O} Etudions la dérivabilité à droite en 0 de g ;
On a :
g(x) - g(O) . 1im
x~O
X
= lim
x~O
1
(x - -
5
donc:
- lnx)
= + oo La courbe (C{6) U (0) admet en 0 une tangente verticale.
• Construction de (C{6_tl
Tableau des valeurs approchées X
f(x)
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
0,4 0,8 1,3 2,2 3,4 5,1 7,1
....... ····--:t:::-:1 t+t-'~1=.'+l ~-
'tf. •j:jt< •!
;:;:t::;:j ;-:
.
"+t
. _,___,_.
'
ti ±±r±:::;:::;:!:
=0
; Ymax =
t ·-+,.
•
Fenêtre de construction ; Ymin
. 1t1t•: H+l
• • • • :...i. ••
.. .;
9,6
:
===t
:t+
'-'-'-'n:.
10
Repère orthogonal (0, I, J) Unités graphiques : 1 cm sur (OI) et (OJ)
• • • - Propriétés géométriques de (Cf6f) • Point d 'inflexion On a vu quef' admet un.minimum en 0,5. Donc, le point B de (C{6J d'abscisse 0 ,5 est un point d'inflexion. La tangente à (C{6) au poi nt B a pour coefficient directeur ln2 - Ô,2 (soit environ 0,5). • Branche parabolique On a vu que: lim f(x) = +
oo.
X ~ + OO
Soit M un point de (~) d'abscisse x suffisamment grand. Étudions la position limite de (OM) lorsque x tend vers + 00 • f(x) Le coefficient directeur de la droite (OM) est X-. f (x-l = hm . . donc : lim (x - -1 - l nx) = hm x(l - -1 - -lnx) = + 00 • x~+= X x-->+= 5 x -->+= 5x X Par conséquent,
La courbe
(~ }
1
admet en+
oo
une branche parabolique de direction (OJ).
Fonction Logarithme népérien
99
rp1 La fonction logarithme décimal Ce TP a pour objet d'apporter un complément de cours, tout en montrant l'utilisation d'un outil numérique.
• • • - Définition - propriété On appelle fonction logarithme décimal, la fonction notée log définie sur JO ; + oo( par : 1
logx = - - x lnx ln10 Toutes les propriétés de la fonction ln restent valables pour la fonction log. • Calculer : logl ; loglO ; log103 ; log10" [n E Z]. • Dans le plan muni d'un repère orthonormé, tracer les représentations graphiques des fonctions ln et log pour x élément de ]O ; 10].
• • • - Nombre de chiffres d'un nombre entier naturel N étant un nombre entier naturel non nul, démontrer que le nombre de chiffres de N dans son écriture décimale est égal à : 1 + E(log N) ; E(x) est la partie entière de x. Soit p un nombre entier naturel. On admet que: p est le nombre de chiffres de N (dans son écriture décimal) Par conséquent : p est le nombre de chiffres de N
~ ~ ~
lW-1 :5 N < loP. p - 1 :5 log N < p p - 1 = E(log N).
• Avec combien de chiffres s'écrit le nombre 53ooo?
• 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1~ [fil
[fil
Infor mat ions sci cntiflqu es
En Chimie L'acidité d'une solution est mesurée par son pH : pH = - log[Hp+] [H30 +] désignant la concentration de la solution en ions H30+ (en moles par litres). En Sismologie La magnitude M d'un séisme d'intensité I est mesurée sur l'échelle de Richter par : 10 désignant une intensité de référence.
M = log(f)
g, = 10log( :.~ 0 ~ désignant la puissance d'un son au-dessous duquel aucun son n'est auditible par l'oreille humaine.
1OO
f
Fonction Logarithme népérien
i
l
1 ~ ~
1 1 ~
0
En Acoustique L'intensité j> ( en décibels ) d'un son de puissance '1J> est définie par :
[
1 1
1 1 1 1~
. [fil
re2 Fonction logarithme de base a a est un nombre réel strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme de base a, notée loga• est définie sur JO ; + oo[ par :
logaX° = - 1 X lnx 1na On veut étudier et représenter graphiquement la fonction loga. 1. Étude des propriétés algébriques de loga
a) Calculer : loga(l) ; loga(a) ; loga(an) [n E
1'.J.
b) Démontrer que loga vérifie les mêmes propriétés algébriques que ln.
C'est-à-dire : pour tous éléments X et y de JO ; + oo(. loga(xy) = logaX' + logay logal"·:!-J
= logaX' - Iogay
logaJi
=
loga(xn)
= n Iogax
~
c) Démontrer que :
pour tous éléments a, b et X de JO;+ oo[, loga(x) = Ioga(b) x logb(x). En déduire:
Iogax
2. yariations de loga
• Etudier le sens de variation de la fonction log (distinguer les cas 0 < a< 1 et a> 1). • Justifier que loga est une bijection de JO ; + oo[ dans IR. 3. Représentations graphiques de loga et de log 1... Le plan est muni du repère orthonormé (O. I, J). a • Démontrer que les représentations graphiques (~a) et (~1...) respectivement des fonctions loga et log1... sont symétriques par rapport à l'axe (OI). a a Pour cela, on justifiera que: pour tout x élément de JO ; + f1...(x) = - fa(x). Construire les courbes (~ 2 ) et (~1._ ). a 00 ( .
2
4. Représentations graphiques
La fonction logarithme népérien et la fonction logarithme décimal sont des cas particuliers de la fonc· tion logarithme de base a.
log 10(x) = logx
-1
-2
-3 -
Fonction Logarithme népérien 101
IJ E xercices ~JZŒ~ ENTRAINEMENT
(5)
ln(x - 1) + ln(x + 1) = ln(2 + x)
(6)
ln(5x + 2) - ln(x + 2) = ln(x - 2)
D éfinition et propriété
9 (1) (2)
Ensemble de définition ,{ ~Dans chacun des cas sui~ants, détermï::ier l'ensemble de définition de la fonction f de IR vers IR définie par: (1) f(x) = ln(2 - 3x) .+ ~ (2) f(x) = ln r2 - 3x r
7':
V (3)
(5)
f(x) = ln(2x - 3) + ln(5x - 2)
f(x)
)'.(6)
= ln(;; = ~)
{, (7)
f(x) =ln 1; ;
=·~
./ ~Résoudre dans IR lès inéquations suivante.s : (1) \~) > O (2) lnx < 3ln2 1
(3) ln(x3
1 À l'aide d'une calculatrice, donner l'arrondi d'ordre 4 de chacun des nombres suivants : '/ (1) ln(0,07) (2) ln(6,928) • (4)
1ln(0,432)
3
Calculer la valeur exacte de chacun des · (1) ln(e2 ) • (2) ln(~) (3) ln([e)'
Jrlombres suivants :
(5) ln(:2 [e)I
(4) ln(fe)
1"~
(4) (1 -.lnx)(3 + lnx) (6) lµ(x2
~
O
9) :5 0
-
I
11 Résoudre dans IR2 les systèmes suivants : { 2lnx + lny = 1 x - y =- 2 (l) { lnx + lny = ln2 (2) 5lnx + 3lny = 4 (3) {(lnx)(lny) = - 15 ln(xy) = - 2
xz + yz = 29 (4 ) { lnX + lny = lnlO
(6) ln([e)3
D érivée - Primitives - Limites
Transformation d'écriture , .}
x + 1) ~ ln(2 - x)
Résolution de systèmes
~
~
-
(5) (lnx2 ) :5 1
3ln(l ,04)
(5Jlnlx-1l+lnl2x+1i~o
Résolution d'inéquations
Calcul d'images
(3)
1+xi =lnlxl
; (4) lnl
~ (4) f(x) = lnJx + 5
f(.i-) = ln[(x + 5) 2 ]
Résoudre dans IR les équations suivantes :
ln(2x - 3) + 2ln(x + 1) = ln(x - 1) 3ln (x + 1) = 1 (3) ln)zx - 3 = ln(6 - x) - ~ lnx
Calcul de limites
\ ) )Exprimer en fonction de ln2 et ln3 : (2) lnG) .
(3) 2ln( ~ )'-
f 11 Dans chacun des cas suivants, calculer les limites de la fonctions f pour les valeurs indiquées :
(4) ln[z ·
(5) ln(3f 2)
(6) 2ln([{-)
(1)
f :x
(7) ln36 - 2ln12
(8) ln27 + 2ln8 - 3ln108
(2)
r:
~ (1) ln32
5 Écrire sous forme de lnA chacun des nombres réels suivants : (2) ln5 - 3ln3 - ln2 (1) 3ln2 - ln7 + ln4 1
(3) ln4 + -yln9 - 2ln 5 (5) ln(1 +
6
[z) +ln(1 -
fzl
(4) ln(0,1) + ln10 - ln(O,OOlJ 2 5 (6) ln( + + l n ( -- ) 2 5 + [3
[3)
Simplifier :
(1) ln(1 - [zp0 + ln(1 + [zpo (2) ln ([3;
1
) + ln(f3
~ 1)
1 Dans chacun des cas suivants, démontrer que la fonction f de IR vers IR définie ci-dessous est impaire. . (2) f(x) = lnŒ°: ~ [a E IR]
Résolution d'équations /
~Résoudre dans IR les équations suivantes :
(1)
ln(5 - 2x) = 0
(3)
ln(x2 - 4) =
l ~(l
- 4x)
(3) f:
X >--'>
(4) f:
X >--'> X
1 - lnx ' X
(1 - lnx),
(2)
ln(x - 3) = ln(2 + x)
(4)
ln(x2 - 2x + 2) = 1
102 Fonction logarithme népérien
en 0 et en +
oo
en 1 et en +
OO
en O et en+
oo
en 0 et en+
oo
/ 13 Dans chacun des cas suivants, calculer les limites de la fonctions f lour les valeurs indiquées : X (1) f: x >--'> ln(2 + x), en - 2 et en+ oo (2) f: x >--'> ln(1-x), en- oo et en 1 (3) f : x >--'> ln(x2 + 3x - 4), en 1 et en+ oo Y. (4) f: x >--'> ln( 1 + ~ )•
Propriété de fonctions ln o u
(1) f(x) = ln(x + Jxz + 1)
>--'> ~ - lnx, 1 • X>--'> -1 nx
en O et en+
oo
f 14 Dans chacun des cas suivants, calculer les limites de la fonctions f pour les valeurs indiquées : X (1) f : x >--'> ln( x - 5 ). en 5 et en + oo x+2 (2)
=
f : X>--'> ln( ~ ~)•
X. (3) f : x >--'>
en 1 et en 2
(x - 2)ln(x - 2), en 2 et en+
~
.
oo
1 ~ 5 Calculer les limites suivantes :
X (1) Li~ +~(x - lnx)
- ~ (2) ~ ~~ - }x .+ ln lx l)
(3)
1 '
(5)
--1!!:!_
lim
x-++-3x+2
lim
bu:
(x1
X-t+oo
I 46
lim
6)
x-++oo J~
(7) lim
lim (5x + 3 X-t+oo
' (4)
/
1
+ ln(x >)
1 (8)
xJ.++oo
4lnx)
lnx + 3 lnx + 1
X-++oe
(3) lim (.1. + lnx)
) (2) lim [x lnx
x-+0
x-+0
/- 15 On
2x - 5
A
(1)
t (3)
x~o .
f(x) = _a_ +-b- . x-2 1-x Déterminer une primitive sur ]2; + oo( de la fonction[
que:
x)
1~1 x - 1
Jx ·
lnx -1
'( 16 On
donne une fonction rationnelle f définie . f( ) - 3x2 +2x-2 par · x 3x - 1 · ,, Démontrer qu'il existe trois nombres réels a, b et c tels
(4 ) lim xlnx - e
l }~ex -~
x-+ e.
x - e
j 18 f est la fonction définie sur )0; 1[ par: f(x) = x(l~)2 .
Déterminer .une primitive sur ]- oo ; .l.[ et une primiti1 3 ve sur ) T ; + oo( de la fonction f.
I
Détermination de dérivée
-i
(3) f(x) = (lnx)
2
X
(5) f(x) = ~ + 3x
(4) f(x) =
~
(6) f(x) =
ln[x - 5x
1 . Déterminer les nombres réels
f(x) = 2x: 1 + (2x
-
X
,.
Il f
·Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 1.
(1)
(5) f : x - ln(x - 1) + 2
I
-19 )Jans
chacun des cas ci-dessous étudier et représenter graphiquement la fonction f de IR vers IR définie par : (1) f(x) = ln(2x + 1) (2) f(x) =~ bu:
avec K =IR
= ln(l - x 2) (5) f(x) = ln( I~ + 1 I) (3} f(x)
X
lnx (3)f:xt->x,
(2) f : x - 3 - lnx (3)/:xt->lnlxl
Étude de fonctioil"S
/ 13 Dans chacun des cas suivants, déterminer les primitives sur K de la fonction f. (1)f:x,_. 2 ~x' avec K=)2;+oo( - 4x-2 2 ' +x+ 1
f : x - ln(;?
f2)f:x- llnx (4) f: X t-> ln(X + 3)
Détermination de primi tives
(2)f:xt->
.
2
18 Dans chacun des cas ci-dessous, écrire f comme composée de fonctions, l'une étant la fonction logarithme népérien. En déduire (sans calculer sa dérivée) les variations de f Tracer sa courbe représentative dans la plan muni d'un repère orthogonal, en expliquant comment elle se déduit de la courbe de la fonction ln.
, Sl X*
six~ 1.
.......
.1. ; + oo( véri-
Tracé de courbes
est la fonction définie sur IR par : f(x) = x2, six~ 1
{ f(x) = 1 + 1 ~.
1)2·
E tude de fonctions
{ f(O) =O. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en O.
~
!
3. Déterminer la primitive F de f sur ]fiant .F(O) = 1.
On considère la fonction f définie sur IR par : 0 f( ) - ln( 1 + x2) . X
a et b tels que :
~ 2. En déduire les primitives de f sur )- ~ ; + oo(.
mx - 1
Déterminer la dérivée f' de la fonction f définie sur )1 ; + oo( par : f(x) = (x + 1) [2ln(x + 1) + 3 ). 2. Démontrer que : pour tout x de )1 ; + oo [, (x + 1) f'(x) - f(x) = 2(x + 1).
11
par:
pour tout x distinct de - ~ ,
/ 10 1.
/
17 f est la fonction définie sur IR\{- ~ l 3x + 1 f(x) "' (2x + 1)2 .
J 19 Pour chacune des fonctions/de IR vers IR définies ci-dessous : 1. Déterminer l'ensemble de définition D . · 2. Justifier que f est dérival>le en tout éllment de D et 1 calculer f'(x). ' ex.
• Branche infinie en + de (~exp) On a vu que la courbe (~ 1n) admet en + une branche parabolique de direction (OI). On en déduit que la courbe ('~exp) admet en+ oo une branche parabolique de direction (OJ). 00
00
• • • - Tableau de variation de exp Les fonctions ln et exp étant des bijections réciproques , leurs tableaux de variations se déduisent l'une de l'autre. X
X
lnx
exp(x)
1
110
Fonction exponentielle népérienne
2.2.. Dérivées - Primitives - Limites - • - Dérivée de I~ fonction exp • Activité On veut utiliser la représentation graphique la fonction exp. ·
(~exp)
et le calcul pour trouver le nombre dérivé en a de
~~~~~~~-~~
Pour cela, - vérifier que le taux de variation en a de la fonction exp est la fonction : h - donner une traduction géométrique de la fonction : h
~ eh h- 1
~
eh _ 1
e" x - h -
et en déduire lim eh h-
1
h~O
- calculer (exp)'(a).
Propriété La fonction exponentielle népérienne est dérivable sur IR et elle est égale à sa dérivée. Pour tout nombre réel x, (exp)'(x)
= e-".
D émonstration La fonction ln est une fonction dériv~ble sur ]O ; + =[. De plus , sa dérivée ne s'annule pas sur ]O ; + =[. Sa bijection réciproque, la fonction exp, est donc dérivable sur IR. Déterminons la dérivée de exp. Soit x un nombre réel. - En aplliquant la formule (f- 1 )'(x)
=
- En aplliquant la formule ifof-1 )'(x)
1
r((- l(x))
,
on obtient : (exp)'(x)
1
=
ln'[exp(x)J
= __!__ = e-". 1 e-"
= x', on obtient; ln;(e-") x exp'(x) = 1.
• • • - Dérivée de Io fonction èomposée exp ou Notatism eu désignera la fonction composée expou.
La dérivabilité des fonctions composées permet d'obtenir la propriété suivante :
l!k.Qpriété Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K, alors eu est dérivable sur K et (e"}'
Exemple Con.sidérons les fonctions f et g de IR vers IR définies par : f(x) = e 5x + 3 f et g sont dérivables sur IR et leurs dérivées f ', g ' sont définies par : f'(x)
g(x)
=u'e".
= eêosx.
= 5e5x + 3 ;
g'(x)
=-
sinx ecosx.
• • • - Recherche de primitives comportant exp A ctivité Dans chacun des cas suivants, f et g sont des fonctions de IR vers IR définies ci-dessous. Déterminer la dérivée de f, en déduire une primitive de g. (1) f(x}=e- 3x +7•· .
(2) f(x} (3) f(x)
=esinx
=e- + = X X --> + = lneX OO
' ex - 1 ex eO - Egalité (5) : - - est le taux de variation en 0 de exp, donc : lim - ·- -_ = exp'(O). X
x-;O
X
• • • - Calculs de limites • Utilisation de la composition des fonctions ou
de~
opérations sur les fonctions
+3 et g sont des fonctions de IR vers IR défi.nies par : f(x) = el 2x - 31 ; g(x} = 2eX eX _ • 1 Étudier la limite de f en - oo. Étudier les limites de g en + oo et en O.
f
Limite de f en - oo Considérons la fonction u : x ~ 12x - 3 1. Décomposons la fonctionf(voir schéma) ;f = exp ou. Or : lim 1 2x - 3 1 = + oo et lim ex = + oo donc : lim
f
X---?+oo
X-7-oo
e 12x-3 1 = + oo.
X-7..:oo
Limite de g en + oo g a pour ensemble de définition IR* car : e-" - 1 = O x = O . 2x + 3 ons1'd,erons 1a .fonct10n v :x ~ -- . C
x- 1 Décomposons la fonction g (voir schéma); g = voexp. . . 2X + 3 =2 1im ex = + oo et 1im 0r : X->+ =
X-> +=
X-1
. zex + 3 2 donc : 1 2~+= e-"-1 = .
Limite de g en 0 Pour tout élément de IR*, g(x) = ZeX + 3 = (zex + 3) x __l _ e-"-1 . e-"-1 et on a : lim (2e" + 3) = 5 lim (e-" - 1) =O. x->0
x -; O
112 Fonction exponentielle népérienne
g
Le signe de (e" - 1) permettra donc de calculer la limite à gauche et la limite à droite en Ode x ~-1-. . e"-1 Ona: e" - 1>0 ~ e">l ~
x>O,
on obtient le tableau de signes ci-contre ; donc : lim - 1- = - oo lim - 1x:toeX - 1·
d'où :
x:;oeX - 1
lim Ze" + 3 = X4Ü
= + oo
lim Ze" + 3
oo
x:;o e"-1
tr - 1
=+
0
00 ,
• Exemples d'utilisation de transformation d'écriture pour se ramener à une limite de référence Calculons les limites suivantes :
(1)
lim
(x- eX)
(2)
(3)
lim
(5 - 3x)e'"
(4)
. 1l.Dl
eX
X4+oo
x~+oo
x.-+-oo
-X-1
. e'"-e 1l.Dl -X4t
X-1
Les opérations sur les limites conduisent à des formes indéterminées. Ramenons-nous à des limites de référence. • Une transformation d'écriture permet de calculer les limites (1) et (2) en utilisant : lim eX = +OO, x ~+ oo X En effet, e"' X - e-~ = x(l - -) - pour tout nombre réel x, X - pour tout x élément de IR\{t},
eX
eX
X- 1
X
X
--=- X --
X-1·
• Une transformation d'écriture permet de calculer la limite (3) en utilisant: lim xeX =O. 4 En effet, x - pour tout nombre réel x, (5 - 3x)eX = 5eX - 3x eX. 00
• On remarque que la fonction donc : lim eX - el X41
2. a
2. b
X-
'
X
~ eX - le est le taux de variation en 1 de la fonction exp, x-
= (exp)'(l) = e.
Dans chacun des cas suivants, f est urie fonction de ~ vers ~ définie par une formule explicite. Déterminer l'ensemble de définition de f et sa dérivée{'. e" - e-X 1 (2) f(x) = e" + (1) f(x) = e" + e-x e" - 3 Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive sur~ de la fonction/ de~ sur~ définie par: (1) f(x) = e5x
(2) f(x) = (x + l)e"., + 2x-t
(3) f(x) =
e3x + 4
2.c
Calculer les limites suivantes : (1)
lim
X--++
(e" -x) oo
(2)
lim
~
(3)
lim
e" --
(4)
lim
(9x - 3)e"
(5)
lim
~
(6)
lim
--5e" + 4
(7)
X-->+-7X - 3
x-->+-e" - x
X-++oo
x-->+ - 5x- 2
3e2x - 1
x--> + -
lim
e-5x+ 3
x-t+oo
Fonction exponentielle népérienne 113
J._1... Fonction impaire Étudions la fonction f de IR vers IR définie par : f(x)
e-" - e- X = -e-" + e- X
• Ensemble de définition On a: pour tout nombre réel x, e-" > 0 et e-x >O.
d'où: e-" + e- x * 0
-
o donc:
• Ensemble d'étude On vérifie que f est une fonction impaire. On peut donc prendre pour ensemble d'étude l'intervalle (0 ; + oo(. • Dérivée - La fonction f est dérivable sur lit car les fonctions x - Soit x un nombre réel, (ex - e- x)'(e-" + e- x) - (e-" - e-x)(e-" + e-x)' f'(x) =
~
e-" et x
~
e- x sont dérivables sur IR.
,
donc:
4
= (e-". + e-X]Z
pour tout nombre reel x, f'(x)
- La dérivée f' est donc positive sur IR. • Limite en + oo Le quotient de la limite en + oo donne une forme indéterminée. Transformons l'écriture def(x) en mettant e-x en facteur au numérateur et au dénominateur.
On a : pour tout nombre réel x, f(x)
eZX -
1
=--zx--- .
e +1 La fonction[ est donc la composée de exp suivie de la fonction rationnelle u : x
r:
or:
{
lim
e-" = +
x 2 -1 xz + ; 1
OO
x~+ oo
l'lffi
f
~
donc:
xz _
lim X~
1 1 ---= x~+~ X 2 + 1
f(x) = 1 +oo
= uoexp
• Tableau de variation sur [O ; + oo[
X
j'(x)
f(x)
114 Fonction exponentielle népérienne
0
+
OO
+ ...... 1
• • - Représentation graphique de la fonction f Le plan est muni du repère orthonormé (0, I, /}. Désignons par (f,f) la représentation graphïgue de f. • Asymptotes à C~rl en + On a vu que:
lim
00
f(x) = 1.
x~+oo
Donc
(~f)
admet en+
oo
une asymptots horizontale, la droite d'équation: y= 1.
• Tangente au point 0 La tangente à C~rl au point 0 a pour coefficient directeur 1. • Construction de C~rl Tableau de valeurs approchées X
f(x)
0
0,5
0
0,46
0,76
Fenêtre de construction 1,5
1,9
2,2
0,9
0,95
0,97
xmin .t"max
=-
3
; Ymin ; Ymax
=3
=-
1
=1
L'étude précédente permet d'obtenir la représentation graphique (~ 0 ) de la restriction de f à [O ; + oo[. (~ ) est alors obtenue à l'aide d'une symétrie de (~ 0 ) par rapport à l'origine 0 du repère . 1 . ;.
;_ +. 1 : :±
-JE...._. i ';· ±:J;t+ .
1
m
.+ :
----
·,
,,...
. . ,.
• • • - Propriétés géométriques de(~,) • Centre de symétrie On a vu que f est une fonction impaire, par conséquent le point 0 est bien un centre de symétrie de (~/ • Point d'inflexion Puisque le centre de symétrie 0 appartient à (~f), la courbe ('€!) traverse sa tangente en ce point. (On dit que le point 0 est un point d'inflexion de (~f)).
Fonction exponentielle népérienne 115
3..2... Fonctions définies par intervalles , {pour x E ]- oo; 0 ], f(x) =xe-'" Etudions la fonction f de ~ vers ~ définie par : ] [ /( ) l pour x E O ; + oo , x =x nx.
• • • - Variations de la fonction
f
• Ensemble de définition 0
• Limites lim f(x) .'t' -----7 -oo
lim
x --t +oo
= lim
xex
= lim
x lnx
x~- oo
f(x)
x ~ +oo
=0
lim
f(x) = 0
lim
f(x ) = + oo
X--t-oo
= + oo
X~+ OO
• Dérivée • Sur]- 00 ; O],fcoïncide avec la fonction g de ~ vers IR définie par: g(x) = xeX. g étant une fonction dérivable sur ~. f est donc dérivable sur ]- oo ; O[, dérivable à gau che en O et on a : pour tout x élément de ]- oo ; O[, f'(x ) = g '(x ) = (1 + x)e-~ j'(O )
= g '(O) = 1
d 'où : pour tout x élément de J- oo ; OJ, f'(x) est du signe de (1 + x ). • Sur JO ; + 00 (, f coïncide avec la fonction h de ~ vers IR définie par : h(x) = x1nx. h étant une fonction dérivable sur ]O ; + oo(, f est donc dérivable sur ]O ; + oo( et on a : pour tout X élément de ]0 ; + oo(, f'(x) = h '(x ) = 1 + lnx d'où : pour tout X élément de JO ; + oo (,
1
+ lnx 2: 0
X
2:
e-
1.
• Étude de la dérivabilité à droite en 0 de f La fonction h n'est pas définie en O. Utilisons donc la définition de la dérivabilité à droite en
= lim
lim f(x) - f(O) x;;tO
x-0
x;;tO
h(x) - f(O) X
= lim xo:o
lnx = - oo.
f
o.
n 'est pas dérivable à droite en 0
et lim f(x) - f(O) x"""°'O
>
= -
=.
X
• Tableau de variation X
+ OO
f'(x)
+oo
f(x)
• • • - Représentation graphique de la fonction
f
Le plan est muni du repère orthogonal (0, I, J}. Désignons par [1 0
+OO
-oo
X
a"lna
+oo
a"
et
a4=+oo
-1
0
+OO
+ +OO
a< 0
0
• • - Représentations graphiques de exp0 Le plan est muni du repère orthonormé (0, I, /}. On désigne par ( O alors aa < ba
des nombres réels strictement positifs. a=b a >b a 0).
Calculons : lim
- Transformons l'écriture : e-" - x
- lnl._
X
donc: lim
x~O
lim
lnX = 0 x~+oo xcx
>
X
Gt
lim X"°'lnx = 0
=0
x~O
lim
On démontre et nous admettons que :
lx!CXe-"=0 [a>O]
X~- OO
~ • • • - Limites de référence
Propriété Pour tout nombre réel strictement positif a, . l IID
lnx
-= 0
x~+ooe-"
lim x'llnx = 0
lim
x~O
X -? -oo
1x 1cx e-" = O.
Conséquence On sait que, a étant un nombre réel supérieur à 1, la fonction expa est strictement croissante et : lim ax = + oo. On peut donc comparer la croissance de la fonction expa avec celle de chacune des fonctions : exp, ln etfcx [a >0].
4.a
Calculer les limites suivantes. (1) lim
5
~
x-+ + oo 3x
+-:5"
(2) lim
x- 4 lnx
X -++oo
(6) lim
XeX X-> - ~ 3x
0
(3) lim
(7x -
x -t+ oo
..3..
f
x 99)
(7) lim x 2 (lnx) 2 X -t
0
(4) lim
(eX - x 99)
X -t+oo
..3.. .
(8) lim
x 2 (lnx) 2
x-++oo
Fonctions exponentielles - Fonctions puissances
133
4 2 .. Fonctions comportant une fonction Étudions la fonction f de IR vers IR définie par : f(x)
expa
=:X .
• Ensemble de définition Pour tout nombre réel x, 3x > 0, • Dérivée - La fonction f est dérivable (car les fonctions identité et exp 3 sont dérivables sur IR). - Soit x un nombre réel on a: f(x) = ~= x3-x = xe-xln3, 3x
d'où: f'(x) = (1-xln3)e-xln3. - On en déduit que f'(x) est du signe de (1 - xln3). • Limites - Limite de f en lim xe- xln3 = -
Pour tout nombre réel x, f'(x)
oo
lim
OO
X-+ - oo
Considérons les fonctions u et v définies par : u(x) Décomposons g : x
~
=xln3
{
xln3 = + oo
lim
X =O
1 0 91 ln3 "' •
1 0 33 eln3 "' • 0
-OO
1/ln3
+
OO
+
~o
f(x)
• Construction de C~rl Tableau des valeurs approchées de f(x) Le plan est muni du repère orthonormé (0, l, /). Désignons par (~rl la représentation graphique def
f(x)
1
- 0,5
0,5
- 3 - 0 ,87 0,29
1
2
3
0,33
0,22
0 ,11
c~,)
admet au point 0 une tangente de coefficient directeur 1, c'est la droite(.!\) d'équation y= x . c~,) admet en + une asymptote horizontale, la droite (OI) . OO
.134
et v(x)
f(x)
=0
xln3
e"In3 •
=~
donc :
• Tableau de variation
-
1
103
x~+~ex
X
=-
g
lim
f'(x)
1 x = -n3
xln3 e-"
x-++oo
X
f(x)
x~-oo
- Limite de f en + oo Transformons l'écriture de f(x): pour tout nombre réel x,f(x)
Ona:
1-xn3 3x
=---
Fonctions exponentielles - Fonctions puissances
lim
X~
+oo
oo
~
4.3.. Exemple d'étude d'une fonction du type: x Étudions la fonction f de ~ vers ~ définie par : f(x)
• • • - Variations de la fonction
=xx.
f
• Ensemble de définition Dr On a : xx = eXlnx. f est la composée de u : x ~ xlnx, suivie de exp, d 'où : f • Limites On a : lim xlnx = 0
= exp ou.
lim eX = 1;
et
donc:
X-4 ·0
lim f(x) >
xlnx = + oo et
X~+
+OO•,
donc:
lim X~
OO
• Dérivée
f est dérivable en tout élément X
+oo
f(x)
=+
00 )
• Tableau de variation de JO ; + oo[
. et f'(x) = u'(x)exp[u(x)J.
Ü
X
+=
f'(x)
1 Pour tout X de JO ; + oo(, f'(x) = (1 + lnx)e.rlnx
+
_______.
+=
f(x)
On a: f'(x) 2'. 0
= 1.
X-40
>
On a : lim
[u(x)]v(x)
1 + lnx 2'. O.
Ç::>
• • • - Représentation graphique de f Le plan est muni du repère orthogonal (O, I, J}. On désigne par (~f} la représentation graphique de f • Tangente en des points particuliers La fonction f est continue sur JO ; + oo[ et admet une limite en O. Elle admet donc un prolongement par continuité en 0, la fonction g définie par : pour tout x E JO ; +
00 (,
{ c~,)
g(x) g(O)
• Construction de C~rl Établir une table de valeurs approchées de f(x). On obtient la courbe ci-dessous. 1
= j(x) =1
-i-'+ti
'ht
u {J} est donc la représentation graphique (~gl
deg.
Contrairement à f, la fonction g est définie en 0 ; on peut donc étudier la dérivabilité de g en 0 et déduire l'existence éventuelle d'une tangente à (~ } au point f. 9 e-"lnx - 1
On a : g(x) - g(O)
- - - = lnx X X
X
Or :
lim xlnx = 0 X-40
et lim
>
donc :
lim g(x) - g(O)
x;; 0
eX - 1
X-40
=-
X
' ++-r::
,.; 'ltr
i:J
t:!:f
'
'C;'f,f '
:r· ·
':':f:'
eX 1nx - 1
~
i'·t·t " ' "
:te·ci:;: :'j'.- ...
---
x lnx
t
,._
=1
(Cfl,f) T
'
·~
t
: ;H+
-,.....-
oo
X
l c~rl admet une tangente verticale. . ·+n',
0
Plus généralement, pour étudier la fonction x
~ [u(x)Jv(xl,
[u(x)Jv(x) =
~'"'
.' ·
.. +l
e-1 il est conseillé d'utiliser la définition:
ev!x)ln[u[xJJ.
Fonctions exponentielles - Fonctions puissances
135
rp1 Recherche de primitives Il est souvent difficile de reconnaître une expression du type : ( u(xl ) '( u{xl)a [a E R *) lorsque celle-ci contient des radicaux. Il est donc conseillé, dans la recherche de primitives, de mettre une expression contenant des radicaux sous forme de puissances rationnels Ce TP a pour objet de donner des exemples pour illustrer cette méthode.
Exemple primitive sur l'intervalle K de la fonction f définie ci-
Dans chacun des cas suivanlB, d H •i!Mt' w dessous: (1)
f(x)
JX =XI
I=)O;+oa(
(3)
(2)
f(x)
= _1 3
K = 1-- ; t(
(4)
J1-x
/lx)= xJ(:Mfl -1)5
:r /lx) = .}(x' - 1)3
K
=)1; + oo[
K
=)1; + oo(
On désigne par F une primitive sur K de la fonction f 1
(1)
f(x)
9
= x2 x x- s = x-2
F(x)
=
X
7
_..!!.. + 1 2
=
9
-2+1 (2)
f(x) = (1
- xf
X
-2
- 2 _..!.+ 1
1
F(x)
3
= - (1-x)
2
=-
3
1
-3+l (3)
f(x)
=
5
x(x2 -
2
=- 1
7
F(x)
1)2
= ~
t
2
~ 1)
(x
(1- x )3 2
1
R =_ l_ ~(1- x)Z 2
3
+1
7
(x2
-
7
1J2
1
=7
J(xz - 1)7
2+1 3
(4)
f(x) =
x 2 [x3
- lf 2
F(x)
= _l (x3 3
_.1. + 1 1) z
3 -2+1
1
1
3
(x3 -1f 2 1
-2
rp2 Étude d'équations comportant des puissances d'exposants réels Ce TP a pour objet de trouver le nombre de solutions de certaines équations que nous ne savons pas résoudre. La méthode exposée dans l'exercice commenté 1 consiste à mettre cette équation sous la forme f(x) = c [c E R] ; puis à procéder par une étude graphique L'exercice commenté 2 traite d'un cas plus complexe que l'on ramène au cas simple de l'exercice commenté 1. L'unicité de la solution de l'équation f(x) = c [c E R] est justifiée graphiquement.
Exercice commenté 1 Déterminer le nombre de solutions de l'équation: (E) 2-'" = x'. • Transformation de l'équation (E) - On sait que : pour tout nombre réel x, zx > O. Par conséquent, toute solution de (E) est nécessairement strictement positive.
136. Fonctions exponentielles - Fonctions puissances
- On sait que : la fonction ln est bijective donc, (E) est équivalente à l'équation : xln2 l'équation : • Étude graphique de (E) , Etude de la fonction f: x ) 1 - lnx • 0 na: '(x=
!
X
X
1
= 3lnx, donc à
~=~ . 2
lnx
~x
2
e
0
+ oo
B
A
-
+
f'(x)
f(x)
------.
____.
(D)
e 0
e3
4
p
5
6
0
Résolution graphique On sait que : 1 < 2 < e O < ln2 < 1 donc : 0 < ln2 < _l_ 3 3
On sait que: e
= + oo.
donc : lim J(x) Xjz
=0
f(x)
= O.
de même : lim J(x) X-;;t T
0
+OO
1/2
----.o
+
o~
+OO
Le plan est muni du repère {O, I, /). On désigne par (C(/, 0 ) la représentation graphique de la restriction de
f à [O ; ~
[ U ] ~ ; + oo{ et par (C(J,f) la représentation graphique de f
• Recherche de tangente à gauche et de tangente à droite au point A(- ~ ; 0) - La fonction[ est dérivable, donc continue, sur (0;
-i-r et sur]~ ; + oo(; mais non définie en ~ .
La courbe (C(/,0 ) admet un prolongement par continuité en ~,la fonction g définie par: Pour x E [0 ; ~ ( U ] ~ ; + oo(, g(x) =f(x) et g( ~) = 0 Étudions l'existence de tangentes à la représentation graphique (C(/,) U {A} en A( ~ ; 0). 1 ' . bil.t' - D eriva 1 e d e g en 2
• Construction de (C(/,r)
• Soit X un élément de l ~ ; + oo[, 1 2) 1 x-2
g(x) - g(
Ona:
donc' : lim 1
Xjz
(4xZ _ 1 p t4
2(2x _ 1)314 X (2x
1
ZX-1
x-2 1 g(x)-g( J 2 1
+ 1)314
= +oo.
x -2
• Soit x un élément de (0 ; ~ [, on démontre de même que : lim 1
X"tT
1 g(x) - g(2) 1
=- oo.
x-2
Par conséquent, la courbe (C(J,) U {Al, admet une tangente verticale au point A.
138
Fonctions exponentielles - Fonctions puissances
~ E xercices ~,..~ (3)
ENTRAINEMENT
Primitives
L es nombres réels aa 1 Simplifier l'écriture de chacun des nombres réels suivants, a étant un nombre réel strictement positif : (1)
a 3 x a-2
(4)
a- 22
(7)
X
1
.[a
a2,01
(2)
a2 x a5
(3)
(5)
(a-9)o.5 1 a3
(6)
(8)
a6,1
aû-7 x
a 4 •9
1 (aZ,3)4
(1)
3
22
(3)
16
(4)
4
30.7
X
(1) (3)
3--4,6 X 31,2
g-1,7 34,8
3
~. (4) (1)
+
10 Calculer les limites suivantes :
'1
Simplifier : 1 33 X 25 (2)
9 Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive sur Ill de la fonction f définie ci-dessous : (1) f: X 1--7 5x 2x (2) f: X 1--7 cf5ix 1 3x (3) f: X t--7 3x (4) f: X t--7 - 2x+i Limites
a2
1
f(xl=(;}"+(;}"+(~}"-1
Calculer une valeur approchée à 10- 3 près de : 1 (2) 53 (3) 7- 0,9 2a.s 2 3 (6) 6 992-3 (1,03)4 (5) 2 709 1 ·3
lim -
xex 5x
(2)
x3x lim X---}+ oo
(4)
X-++oo
xeX
lim - 5x
X~ - oo
lim
(5)
F~\J(;y+(;y+(;Y-5]
(6)
F~_J(;y
(7)
lim
X-++
X3X
X---} -oo
+(;y+ (;y- 5]
x4-x
(8)
lim x4-x X---} -
OO
oo
F onctions puissances
F onctions exponentielles de base a
Dérivées
11 Calculer les dérivées des fonctions numériques f définies par : (1) f(x) = xfx (2) f(x) = ~G: (3) f(x) = .~ 3,ix
2 3x
(5)
(4)
32x =
(7)
3x + 1 + gx-2 = 90 2 3 + _x = 9x 3
(9)
5 (1)
(2)
(4) f(x)
3-x
= ~/1 + sinx
Résoudre dans Dl les équations suivantes : (3)
n
)2x-1 s
7
4/î + x
2
:\:0,5
f: X>--'> - ·-
(4)
f
x-ln3
:x >-'> -
x 1-e
Primitives
(2) 106x - 103x < 2
( ~ )x
f(x ) =
4fX3
Résoudre dans Dl les inéquations suivantes :
(1) 43+x ~ 3sx
(5)
11 Dans chacun des cas suivants, écrire f(x) sous la forme x'1- [a E Ill] et déterminer la dérivée de f (1) f: X>--'> f;ii (2) f: X >--'> x•[x
2 x 102x + 3 x lOX - 5 = O 3 X 102x + 7 X lQX - 6 = 0
6 (3)
3 +_l__ = gx
13 Trouver les primitives des fonctions numériques f définies par :
(4) 7x S 7-x+l
(1)
f(x)
= \
2x - 2!1 = 8 (l) { 2x + 2Y = 2[2
(2)
4x = 4Y (3) { 4x + 1 = yx+4
{ 3x + ([z )Y = 2zx+1 (4) 3x + 27!1 = g.y+1
= ~lx
(2)
f (x)
(4)
f(x) = (1 + x 2),2
X
Résoudre dans Ill x Dl les systèmes suivants :
= 64 lnx + 2lny = ln4
(3)
{ 2x2Zy
f(x) = x /-;;
f(x) = -1x )x Limites (5)
Dérivées
8 Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction f définie ci-dessous : (1) f(x) = 2x (2) f(x) = 3x1nx
(1)
14 Calculer les limites suivantes : (2) lim (x" ~G:J (x" 3[x) lim X--}+ oo X -+ 0 1
(3)
lim
x-++-
(1 + x 3 )
- 4
(4)
lim X--41
(1-x)·
2