Corrige Des Exercices de Ciam 2e [PDF]

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Corrigé des exercices d’apprentissage contenus dans CIAM 2 e

AVANT-PROPOS Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l’aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Elles désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances ainsi que la discipline qui les enseigne. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelles basées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique généralement dénommé théorème,proposition,lemme,fait,schollie ou corollaire est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine démarche rationnelle appelée démonstration ou raisonnement logico - déductif. L’apprentissage d’une telle discipline n’est donc pas chose aisée particulièrement en classe de seconde scientifique qui est la première classe du second cycle scientifique. Elle assure à la fois une continuité avec le premier cycle et une nécessaire rupture ou plutôt évolution, marque d’un premier pas prudent mais déterminé vers des options résolument scientifique. C’est ainsi que la collection LA BOUSSOLE se propose de proposer le corrigé de tous les exercices d’apprentissage contenus dans le livre « CIAM 2e » en vigueur non seulement au BURKINA FASO mais aussi dans les pays francophones d’Afrique et de l’océan Indien. La collection la BOUSSOLE souhaite bon usage aux apprenants et aux enseignants de mathématiques. Je remercie mes collègues enseignants de mathématiques et les encadreurs pédagogiques qui ont accepté gracieusement porter leurs contributions constructives pendant l’élaboration de cet manuel scolaire.

L’auteur Issaka SAVADOGO (Professeur certifié)

Tél :( 00226) 70514283/78981409/76072920

Issaka

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SOMMAIRE Angles inscrits…...............................................................3 Vecteurs et points du plan.............................................13 Angles orientés-Trigonométrie….......................................20 Produit scalaire…................................................................27 Droites et Cercles dans le plan...........................................35 Homothétie-Rotation…......................................................42 Géométrie dans l’espace…................................................48 Ensemble des nombres réels…...........................................53 Fonctions…...........................................................................58 Polynômes et fonctions rationnelles…..............................63 Equations et inéquations dans...........................................68 Etudes de fonctions….......................................................73 Equations et inéquations dans...........................................84 Statistiques........................................................................91

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AID ont leurs angles égaux deux à deux.

IANGLES INSCRITS  Exercice n° 1 On a : mes ̂ = 90° - ou mes ̂ = 90° + .  Exercice n° 2 Les triangles MAB et ABC sont isocèles, respectivement en M et A ; mes ̂ = mes ̂ , comme angle inscrit et angle défini par une corde et une tangente. Donc : mes ̂ = mes ̂ = mes ̂ = ( 80° - 52°) = 64) ; mes ̂ = mes ̂ = 64° ; mes ̂ = 52°. ̂ D’où : mes = 128°, mes ̂ = 64°, mes ̂ = 116° et mes ̂ = 52°.  Exercice n° 3

mes ̂ = mes ̂ (angle inscrit et angle défini par une corde et une tangente) ; mes ̂ = mes ̂ (angles inscrits interceptant des arcs de même longueur) ; donc les triangles ABI et Issaka

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 Exercice n° 4

On a : OC = OD = OA = AB.  mes ̂ = mes ̂ = 60° (le triangle AOB est équilatéral) ; mes ̂ = mes ̂ = mes ̂ = 60° (angle inscrit et



angle formés par la corde [AD] et une tangente) ; mes ̂ = mes ̂ et mes ̂ = mes ̂ (angles correspondants pour les droites parallèles (DA) et (PN)). Donc MNP, qui a deux angles de mesure égale à 60°, es équilatéral.  Exercice n° 5 MN = 2IN = 2√ .

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L’angle ̂ qui intercepte, dans le cercle (C ), une corde de longueur constat, garde une mesure constante.

diamètre ; leur mesure est 90° et les points C, A, C’ sont alignés. 2Dans CBC’,

 Exercice n° 6 1- A’B’C et A’BC’ ont chacun un angle droit ( ̂ et ̂ ) et l’angle ̂ en commun ; leurs angles ont même mesure deux à deux. De même ABC et A’BC’ sont semblables. 2- Dans le triangle rectangle A’B’C,  mes ̂ + mes ̂ = 90° ;  I étant le milieu de l’hypoténuse [A’B’], le triangle IA’C est isocèle et mes ̂ = mes ̂ . Or :

mes ̂

= mes ̂ (d’après 1) et mes ̂ = mes ̂ = mes ̂ (car AOC est isocèle en O). Donc : mes ̂ + mes ̂ = 90° et (CI) est tangente au cercle (C ).

 Exercice n° 7 1̂ interceptent Issaka

et chacun

̂ un 5

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mes ̂ = 180° - mes ̂ mes ̂ . Dans MBM’, mes ̂ = 180° - mes ̂ mes ̂ . ̂

et ̂

(resp. ̂

et ̂ ) ont même mesure, puisqu’ils interceptent l’arc ̂ du cercle (C ) (resp. du cercle (C )) ; donc : mes ̂ = mes ̂ .

3- Dans MBM’, mes 180° - mes ̂ .

̂

= - mes ̂

mes ̂ = mes ̂ , puisqu’ils ont le même supplémentaire : ̂ . mes ̂ = mes ̂ = mes ̂ , puisque ̂ et ̂ interceptent le même arc du cercle (C ). Donc : mes ̂ = 180° - mes ̂ mes ̂ - mes ̂ . 4- Les triangles CBC’ et MBM’ sont toujours semblables quand M parcours (C ) privé des points A et B.

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A’BC est égal au rayon de (C ) (On est ainsi ramené au cas précédent.)

 Exercice n° 8 Si ̂ est aigu, ABC ne peut être qu’isocèle en A.

 Exercice n° 9 1- OMP est un triangle rectangle en M tel que : OM = R et 2MP = OP (mes ̂ = 30° et sin30° = =

).

De la propriété de Pythagore, on √

déduit que : OP = .

On a : 2mes ̂ = mes ̂ (angle inscrit défini par une demitangente et angle au centre associé). ABC isocèle en A mes ̂ = mes ̂ ̂ meŝ 90° - mes = mes ̂ = 60° AOB est un triangle équilatéral AB est égal au rayon de (C ). Si ̂ est obtus, ABC ne peut être qu’isocèle en B.

Donc, P appartient au cercle de centre √

O et de rayon . √

2- Réciproquement, si OP = , alors P est extérieur au cercle (C ). On peut donc mener par P deux tangente en M et N à (C ). De la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle MOP, on déduit √

que : MP = = ; c’est-à-dire : sin ̂ = et mes ̂ = 30°. ABC isocèle en B A’BC isocèle en A’

A’ étant diamétralement opposé à A sur (C ), on a : mes ̂ = mes ̂ (dans OAB, isocèle en O), mes ̂ = mes ̂ (angles de même complémentaire). Donc : Issaka

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De même : mes ̂ = 30°. D’où l’on tire que mes ̂ = 60°, le triangle OMN est équilatéral et MN = R.

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Arcs capables  Exercice n° 10 Si O est le centre du cercle circonscrit à ABM, l’arc cherché est la partie du cercle circonscrit au triangle AOB, inclue dans le demi-plan de frontière (AB) contenant M.

Donc, mes ̂ = 60° et M décrit les arcs capables d’extrémités A et B, d’angle 60°. Réciproquement, tout point de ces arcs capables convient.

 Exercice n° 11 Si MAB est un triangle équilatéral, alors M appartient à l’arc capable d’extrémités A et B, de mesure 60°. On a alors : h = √ – 1.

 Exercice n° 13  Tracer les arcs capables : - d’extrémité A et B, - d’angle ̂ .  M, point d’intersection de la droite (AP) avec ces arcs capables, et M’, symétrique de M par rapport à (AB), sont les points cherchés.

 Exercice n° 12 1(BT) existe si et seulement si mes ̂ 120°. 2Dans ce cas, le point M existe et mes ̂ + mes ̂ = 120°.

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Quadrilatères inscriptibles  Exercice n° 14 A, B, C et D sont quatre points tels que : mes ̂ = mes ̂ .  S’ils sont alignés (angle nul ou angle plat), ils n’appartiennent pas à un même cercle.  S’ils ne sont pas alignés, les points C et D appartiennent à l’un ou l’autre des arcs capables d’extrémité A et B et d’angle ̂ , c’est-à-

Le cercle de diamètre [DC] et le cercle circonscrit au triangle ABD se recoupent au point M cherché.  Exercice n° 17

dire n’appartiennent pas toujours à un même cercle. Les points A, B, C et D appartiennent cependant à un même cercle lorsque le quadrilatère ACBD est croisé.  Exercice n° 15 Dans les deux cas, (AB) est la médiatrice commune de [EF’] et de [E’F]. il s’ensuit que : - dans le premier cas, EFE’F’ est un trapèze isocèle ; - dans le second cas, EE’FF’ est un trapèze isocèle. Dans les deux cas, le quadrilatère EE’FF’ est inscriptible.

ABCD ne peut pas être inscriptible. En effet, D ne peut être élément de (C ) que si les points B, C et D sont confondus.

 Exercice n° 18 1- mes ̂

 Exercice n° 16

I aka

= mes ̂

= 45°.

M appartient à la médiatrice de [BP] ; donc BMP est un triangle isocèle, dont les angles à la base ont pour mesure 45° ; On en déduit que : mes ̂ = 90°. 2OCBM est alors inscriptible dans le cercle (C ), de diamètre [BC]. 7

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La

Lorsque P parcourt l’arc ÂB, le lieu du point M est l’arc ̂ du cercle (C ), inclus dans le demicercle initial. Commentaire mes ̂ = 180° - 45° = 135° : le lieu du point M est aussi l’un des arcs capables d’extrémités O et B, d’angle 135°.

3-

 Exercice n° 20 1er cas : M et N sont dans le même demi-plan de frontière (AB).  Supposons que [AB] soit un diamètre et démontrons que MNPQ est inscriptible.  Exercice n° 19 (AA’) // (II’) mes ̂ = mes ̂ ; (BB’) // (II’) mes ̂ + mes ̂ . Dans le quadrilatère IAA’O, les angles en I et A’ sont droits (en effet, I étant le milieu de la corde [AB], (OI) (AB)) ; Donc : IAA’O est inscriptible et mes ̂ = mes ̂ .

̂

et ̂ sont droits. Le quadrilatère non croisé MPNQ, qui a deux angles opposés supplémentaires, est inscriptible.  Supposons que MNPQ soit inscriptible et démontrons que [AB] est un diamètre. On a : mes ̂ = 180° - mes ̂ ; mes ̂ = 180° mes ̂ . Or, mes ̂ = mes ̂

Dans la quadrilatère IBB’O, les angles en I et B’ dont droits ; donc : IBB’O est inscriptible et mes ̂ = mes ̂ . On obtient : mes ̂ = mes ̂ + mes ̂ = mes ̂ + mes ̂ = mes ̂ + mes ̂

= mes ̂

.

(angles inscrits interceptant le même Issaka

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arc) ;

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donc : mes ̂ = mes ̂ . Par ailleurs, MNPQ étant un quadrilatère convexe inscriptible, ces angles sont supplémentaires ; donc mes ̂ = mes ̂ = 90°. Les triangles AMB et ANB sont rectangles en M et N ; [AB] est donc un diamètre.

 Supposons que MNPQ soit inscriptible et démontrons que [AB] est un diamètre.

On a : mes ̂ = 180° - mes ̂ ; mes ̂ = 180° mes ̂ . Or, ̂ et ̂ sont supplémentaires ; donc ̂ et ̂ sont aussi supplémentaires. Par ailleurs, MPNQ étant un quadrilatère croisé inscriptible, ces deux angles sont aussi égaux. On en déduit, comme dans le cas précédent, que [AB] est un diamètre.

2e cas : M et N ne sont pas dans le même demi-plan de frontière (AB).  Supposons que [AB] soit un diamètre et démontrons que MNPQ est inscriptible.

 Exercice n° 21 1- Dans tout trapèze ABCD, de base [AB] et [CD], les angles ̂ et ̂ sont

supplémentaires. Etant par ailleurs un quadrilatère convexe, un tel trapèze est inscriptible si et seulement si les angles opposés ̂ et ̂ sont supplémentaires. Donc, un tel trapèze est inscriptible si les angles à la base ̂ et ̂ ont même

On démontre comme dans le cas précédent que ̂ et ̂ sont

mesure, c’est-à-dire si et seulement si le trapèze est isocèle. 2 Pour démontrer que le quadrilatère AMOD est

droits. Le quadrilatère croisé MPNQ, qui a deux angles opposés égaux, est inscriptible. Issaka

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inscriptible, deux cas de figures sont à envisager. mes ̂ = mes ̂

Issaka

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La

= meŝ - 180° (relation entre angle inscrit et angle au centre associé) = 180° - mes ̂ ; donc, ̂ et ̂ sont supplémentaires dans le quadrilatère

̂ or, mes = mes = ̂

meŝ

(relation entre angle inscrit et angle au centre associé) ; donc ̂ et ̂ sont supplémentaires dans le quadrilatère convexe AOCN, qui est inscriptible. Relations métriques  Exercice n° 22 °

°

;

°

donc : a = √ b=√ c = 2sin75° 1,93.  Exercice n° 23 b² = ̂

convexe AMOD, qui est inscriptible. ̂ ̂ ̂ mes = mes = mes

b= a=

̂

a=

(relation entre angle inscrit et angle au centre associé) = 180° - mes ̂ ; ̂ ̂ donc, et sont supplémentaires dans le quadrilatère

°

√°

,01 .

√° °

,.

°

 Exercice n° 24 On a :

°

°

°

=2R = 2 =

convexe AMOD, qui est inscriptible.

Donc : a = 2sin30° = 1 ; B = c = 2sin75° 1,93 = 2sin30°sin75° 0,93.

.

180° - 2mes ̂ (dans le triangle NDC,

 mes ̂ Issaka

= mes ̂

= 1

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La

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complémentaires ou sin ̂ = sin ̂. donc, sin² ̂ + sin² ̂ = cos² ̂ + cos² ̂ = 1 = sin² ̂. 2- Si sin² ̂ = sin² ̂ + sin² ̂, on a :

 Exercice n° 25 1- Si ABC est rectangle en A, on a : sin ̂ = 1 et ̂ et ̂ sont isocèle en N) ;

̂

Issaka

1

̂

̂

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La

sur [BK]. (OH) est ma médiatrice de [BK].

̂ ̂ ̂̂

̂

;

̂

On a : HK = 5 sin18° ;

Donc a² = b² + c² et le triangle ABC est rectangle en A.

d’où : BK = 10 sin18°. Le périmètre du décagone régulier est donc : 100 sin18° 30,90.

Polygones réguliers  Exercice n° 26

L’aire du triangle OBK est : x 5 x 5 sin36° Donc l’aire du décagone régulier est : 125 sin36° 73,47.

Non :

 Exercice n° 27 =6 = 3Rh = 1. De plus, h = =

√

. Donc : R

√√

.

 Exercice n° 29  L’aire du triangle OBA est : R² sin72°.  Exercice n° 28

L’aire du pentagone régulier est donc : = R² sin72°.

Construction :

On a : R² sin72° = 10 R² = √

.

°

Or cos72° = ; donc sin72° = √10 √ . on obtient : R² = R=

√

√√ √

√

et 2,05.

Soit A, K et B les trois premiers sommets, H le projeté orthogonal de O Issaka

1

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La

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 Le rayon du cercle inscrit est l’apothème :

Issaka

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La

OH = R cos30° =

√√ √√ √

Par ailleurs, l’aire de l’un des douze triangles isocèles, d’angle principal 30°, est = 0,25.

1,66.

On a : AA’.OB = 2 x 0,25 = 0,5 ; c’est-àdire : AA’ 0, . La propriété de Pythagore permet d’obtenir : OA’

√

,

BA’ 1 – OA’ et AB √ . Donc : a = AB = √ √ ; sin ̂ cos ̂



Exercice n° 30 1a = 2R sin et h = R cos ; 2AA’

√√

= sin15° = = ; √√ = cos15° = =

Enfin : h = r cos15° =

√√

.

S = nah = nR²sin cos . R sin2 ; donc,

S = nOB.AA’

 Exercice n° 32

nR² sin2 .

√

1La valeur de

En comparant les deux écritures de S, on obtient : sin2 = 2 sin cos .

donnée par la

calculatrice est 0,623 606 797 et celle ° de cos est 0,623 489 801. 0,623 606 797-0,623 489 801=0,000 117 787. Or : 0,000 117 787 1,2 x 10 . √

est une valeur approchée par

excès de cos

à 1,2 x 10

près.

2Les droites (A’’M) et (ON) ont même coefficient directeur. I étant le milieu de [OA], le coefficient directeur de (A’’M) est . Donc KN OK et HM = 2IH. 3Dans le triangle rectangle OKN, on

 Exercice n° 31 En utilisant les notations et résultats de l’exercice précédent pour n 1 , on a : = = 15° ou 2 = 30° ; donc, pour

Issaka

°

√

a : OK² + 4OK² = 1 OK = . 4Dans le triangle rectangle OHM, on a : 1

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La

R = 1, on obtient : S =

Issaka

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OH² + HM² = 1 OH² + 4IH² = 1 OH² + 4(OH – OI)² = 1 OH² + 4(OH - )² = 1

nR² sin2 = 3.

1

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La

5OH² - 4OH + 1 = 1. D’où: OH = .

⃗ ⃗

√

⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗

=

5-J = O = et cos ̂= OJ = cos °.

et ⃗ ⃗ ⃗ = 5⃗ ⃗ ⃗ .

Donc, en reportant sept fois l’arc ̂ (ou le segment [AB]), on obtient (presque) un heptagone régulier.

 Exercice n° 3

=

,

=

⃗ ⃗ ⃗ = 2⃗ ⃗ ⃗ . donc : ⃗ ⃗ ⃗ = 2⃗ ⃗ ⃗ On en déduit que D est milieu de [BC].  Exercice n° 4

II- VECTEURS ET POINTS DU PLAN Vecteurs  Exercice n° 1

⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗

=

⃗ ⃗On a : { ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ; ⃗

⃗ ⃗

= .

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

{ Issaka

⃗

1

⃗ ⃗

1 (⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗)

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La

⃗

 Exercice n° 2 ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ )

⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗ ⃗ =4

⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗ ⃗ =

⃗⃗⃗⃗ ⃗

1

(⃗ ⃗ ⃗

1

⃗

⃗ ⃗ ⃗

Donc, M est le milieu de [BC] et N est le point tel que AMBN est un parallélogramme. et

⃗ ⃗ ⃗.

⃗ ⃗ =

Issaka

1

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La

 Exercice n° 5

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

(⃗ ⃗

= (⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗ )

⃗

⃗

⃗

)

⃗ ⃗

)⃗ ⃗ ⃗ De plus, on a : ⃗

;

⃗

⃗

⃗

⃗0

⃗0

(2). )⃗

⃗ ⃗ ⃗ et les droites (IN) et (AC) sont parallèles.

(1)

( ) (1) ( )

(1)

()

Donc, ⃗ est colinéaire à ⃗ et

 Exercice n° 9 ⃗

.

⃗ ⃗ et ⃗

 Exercice n° 8 ⃗ ⃗ ⃗ et utilisons la 1- Posons ⃗ ⃗ propriété de Thalès. ⃗ On a : ⃗ ⃗ Issaka

(1).

(1 )⃗ ⃗ ⃗ Donc : ⃗ ⃗ ⃗ (1

⃗ .

⃗

(1

⃗

⃗ ;

 Exercice n°7 ⃗ ⃗ {

⃗

⃗

⃗

⃗

{

(⃗ ⃗ ⃗

⃗ )

.

 Exercice n° 6 10 ⃗ ⃗ ; ⃗

⃗

(⃗ ⃗

2- On suppose I différent du milieu de [AB]. De proche en proche, on obtient : ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

(1

)⃗

⃗ ⃗ ; 2

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La

⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(1

)⃗ ⃗ ⃗ ; ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ;

⃗ ⃗ ⃗

⃗⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗)

⃗ ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

(⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ = (⃗ ⃗

⃗

(1 )⃗ ⃗ ⃗ . Donc : I = L = 1 -

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ )

⃗ ⃗ ⃗

=⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ =⃗

⃗ ⃗ . Donc, le représentant d’origine A du vecteur ⃗⃗ ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ est le vecteur ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . Le raisonnement et le résultat sont les mêmes avec un parallélogramme. I milieu de [AB].

Issaka

2

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La

⃗ ⃗

 Exercice n° 10 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ } ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗0 .

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(⃗ ⃗ ⃗

⃗

 Exercice n° 13 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ) =⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . Donc N est milieu de [EF]. ⃗

⃗ ⃗.

 Exercice n° 11 1Soit G le milieu de [IK]. ⃗ ⃗

⃗ ⃗(⃗ ⃗⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗

On a : ⃗⃗⃗

⃗0

(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ )

⃗⃗⃗ ⃗ ()=0

1

(1)

⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ )

⃗ ⃗

⃗0(⃗

⃗ ⃗

[JL]. Issaka

⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗0

1

(⃗ ⃗ ⃗) ⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ )

⃗= (⃗ ⃗⃗⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗ )

⃗

=0

⃗

⃗ ⃗⃗ ⃗ (⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗) ()

.

G milieu de 2

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La

De même : (1) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗ ⃗ ⃗ (⃗ )

⃗ ⃗ ⃗)

Donc B’, C’ et I sont alignés.

⃗0

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗0

G milieu de [JL]. Donc [IK], [JL] et [MN] ont même milieu G. 2- ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ = (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ )

(⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ )

⃗0 .

Exercice n° 12

 Exercice n° 14 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

)

⃗⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗

;

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ .

Issaka

2

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La

Donc 4⃗ ⃗ alignés.

⃗ ⃗ ⃗ et A, I, K sont

 Exercice n° 17 ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ +⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗⃗

(⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗

⃗ ⃗. Donc : (BN) // (MC).

 Exercice n° 15 ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ()

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ Donc⃗

1-

(⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

 Exercice n° 18 ⃗

⃗

⃗

;

AMBC’’ parallélogramme ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ;

⃗ ⃗ ⃗)

.

MBA’’C parallélogramme ⃗ ⃗ ⃗ . Donc : ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ et I, J, K sont alignés.

⃗ ⃗

2- AC’’A’’C est un parallélogramme, donc [AA’’] et [CC’’] ont même milieu. De même [AA’’] et [BB’’] ont même milieu. Donc les droites (AA’’), (BB’’) et (CC’’) sont concourantes.

 Exercice n° 16  ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Issaka

⃗ ⃗ ⃗ .

2

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La

⃗

⃗ ⃗

(⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗)

⃗

⃗ ⃗ ⃗ . Donc : (MN) // (BC).  ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗⃗ (⃗ ⃗ )⃗

.

Donc : A, S et T sont alignés.  Exercice n° 19 1Les trois cercles ayant même rayon, (OD) est médiatrice de [BC], (OE) est médiatrice de [CA] et (OF) est médiatrice de [AB].

Issaka

2

70514283/78981409/760729

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La

Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2-et Les quadrilatères BOCD, COAE

Bases et repères  Exercice n° 22 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1- ,

AOBF ont leurs quatre côtés égaux au rayon commun des trois cercles ; ce

⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ,⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ , ⃗

sont des losanges.

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

3- ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗

(⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ )

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ . Donc : ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( / ), ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ),

4- ( ) ( ) et (DE) // (AB) ; donc

(OF) (DE) et (OF) est la hauteur issue de F du triangle DEF. De même (OE) et (OD) sont les deux autres hauteurs de ce triangle. Donc, O est l’orthocentre du triangle DEF.

/

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (

/

⃗

) sont dans la base (⃗ ⃗ ⃗ , ⃗

⃗ ⃗ ). 2- ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

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La

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ )

(⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗ ,

⃗⃗ ⃗⃗ (⃗ ), ⃗ ⃗ / ⃗ . Donc :( ), ⃗⃗⃗ ⃗

⃗

/

⃗

⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗

⃗ ⃗ (

 Exercice n° 20 || ⃗ || = || || ||

) sont dans la base /

| | || ⃗ || = |y| ||

2 | | = |y|. Les vecteurs ⃗ et peuvent ne pas être colinéaires ; par exemple ⃗ ( ) et ( ).

(⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ).  Exercice n° 23 1- On peut conjecturer que les points A, G et C sont alignés. 2- ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( / ) sont dans

 Exercice n° 21 OC : ≤ OA + AC ; donc

/

||2 ⃗ - 3 || ≤ || ⃗ || + 3|| ||. Or : || ⃗ || ≤ et || || ≤ ; Donc : ||2 ⃗ - 3 || ≤ 1 .

la base (⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ). 3- On en déduit que ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ; donc Issaka SAVADOGO

17

70514283/78981409/76072920

La

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A, G et C sont alignés.  Exercice n° 24 Dans chacun des cas, les vecteurs ⃗ et ne sont pas colinéaires, donc ( ⃗ , ) est une base de .

3- Dans chacune des bases, on a : dét ( ⃗ , ) = 0 ab’ – ba’ 0.  Exercice n° 26 ⃗ ( ) et ( / / ) dans la base ( , ),

Après calcul, on obtient les résultats suivants.  ( ), ( ), -4 + ( ), 3 + 2

(

/

) et ( / ) dans la base ( ⃗ ,

).

 Exercice n° 27  Les vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ et ⃗

( ) dans la base ( , ).  ( ), ( ), -4 + ( ), 3 + 2 ( ) dans la base ( , ).  ( / ), ( ), -4 + ( ), 3 + 2 ( / ) dans la base ( , ). ⃗

⃗ ⃗ ne sont pas colinéaires ; donc (⃗ ⃗ ⃗ ,⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) est une base de .  Dans cette base, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ), ⃗ ⃗ ⃗ ( )

 ( ), ( ), -4 + ( ), 3 + 2 ( ) dans la base ( , ).  Exercice n° 25 1- dét ( + , ) = 1 ( + , ) est une base de ; dét (⃗ ⃗ , ) = 4 (⃗ ⃗ , 2 ) est une base de ; dét ( , )=2 ( ⃗ ⃗ , ) est une base de ; dét ( , ) = 1 ( , ) est une base de

 Exercice n° 28 1- 5⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗. ⃗ ⃗ ⃗

⃗0

⃗

⃗ ⃗ . 2- Soit ⃗ ( ) et ). Issaka

Donc G, point d’abscisse ( ) dans la base ( ,

dans le

repère (A, B), est unique.

1

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La

Dans la base ( + , ), ⃗ ) et (

2- 5(⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ )

(⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ) ( ba’.

) ; donc dét ( ⃗ ,

Dans la base (⃗ ⃗ ,

)

), ⃗ (

/

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗

⃗0

⃗⃗ ⃗⃗

ab’ –

.

Donc ⃗

) et ⃗

⃗ ⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗ ⃗ . Pour A( ) et / ( / ) ; donc dét ( ⃗ , = Dans la base ( , ) et

) (ab’ – ba’).

B( ), on a : G(

). /

), ⃗ (

( ) ; donc dét ( ⃗ , ) (ab’ – = ba’). Dans la base ( , ), ⃗ ( ) et ( ) ; donc dét ( ⃗ ,

Issaka

)

ab’ – ba’.

1

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La

3- ⃗ ⃗

 Exercice n° 29 1- Les vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗ ⃗ ne sont pas

⃗ ⃗

et ⃗

⃗ ⃗ ⃗

. ⃗

On a : ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ; ⃗ (

⃗

⃗

colinéaires, donc (⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ) est une base de . ⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗

(

)( ⃗ )

(

) (

)( ⃗

).

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗) (⃗ ⃗ ⃗ ⃗( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ ⃗ ⃗)

)

Donc :

⃗⃗

3-

( 1) et y’ Dans (A, B, C), on a :

B( ), C( ), D( ), E( ), I( / ) Dans (B, ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ), on a : B( ), C( ), D( ), E( ), I( ⃗ ⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

 Exercice n° 30 A( ), ⃗ ( ) et ( ) dans ( , ).

⃗ ⃗ ⃗ . Donc : ⃗ ( ) dans

la base (⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ). ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2- ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗)

).

⃗

⃗ ⃗ ; donc le point E est tel que ADBE est un parallélogramme. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ; donc les vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗ ⃗ sont colinéaires et ne forment pas une base de . Issaka

2

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La

()

 si a = -2, alors ⃗ et ont la même direction et sont de sens contraires.

 Exercice n° 31 1- Dét ( ⃗ , ) = - 8 ⃗ et n’ont pas la même direction. 2⃗ ⃗ et ont la même direction et sont de même sens. 3⃗ ⃗ et ont la même direction et sont de sens contraires. 4- dét ( ⃗ , ) = a² - 4. Donc :  si a 2 et a -2, alors ⃗ et n’ont pas la même direction ;  si a = 2, alors ⃗ et ont la même direction et sont de même sens ; 1- dét ( ⃗ , ) = -2 ( ⃗ , ) est une base de . 2- ( / ) et ( / ) dans la base ( ⃗ , /

 Exercice n° 32 Dans un triangle ABC, les vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ sont non colinéaires ; donc (⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) est une base du plan. Dans cette base, on a : dét ( ⃗ , √ ; donc ⃗ et colinéaires.

ne sont pas

 Exercice n° 33 1- dét ( , ) = 1, dét (- , 2 ) = 0 et dét ( , ) = 2. 2- a) dét ( ⃗ , ) = - dét ( ⃗ , ).

/

b) dét (

).

Issaka

)=4-

2

⃗,

)=

dét ( ⃗ ,

).

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La

c) dét ( ⃗ , ⃗ + fc)

) = (eb – fa)+(ed –

 Exercice n° 3

= dét ( ⃗ , ⃗ ) + dét ( ⃗ , ). long. ̂

 Exercice n° 34 1⃗ ⃗ et colinéaires et de sens contraires. 2- dét ( ⃗ , ) = -7 ⃗ et sont non colinéaires. 3- dét ( ⃗ , ) = 0 ⃗ et sont colinéaires ;

1-mes ̂ radian)

1 3R

Aire du domaine grisé. 2{

III- Angles orientes – Trigonométrie Angles  Exercice n° 1 Le périmètre d’un cercle de rayon 3 cm est 6 cm. Donc si un arc ̂ de ce

long. ̂

cercle a pour longueur cm, la mesure en radian de ̂ est : 2 x = .

: 2R

(

)

long. ̂

: 3R

3

2

 Exercice n° 2 Le périmètre d’un cercle de rayon cm est : 2 x = 2 ² cm. Donc si un arc ̂ de ce cercle a pour longueur 2 cm, la mesure en degré de ̂ est : 360 x = 11 , …

Issaka

(en

Périmètre du domaine en degré.

de plus (1 √ ) ⃗ ⃗ et sont de même sens. 4- dét ( ⃗ , ) = 1 – a² ; donc :  si a 1 et a -1, alors ⃗ et ne sont pas colinéaires ;  si a = 1, alors ⃗ = (colinéaires et de même sens) ;  si a = -1, alors ⃗ = (colinéaires et de sens contraires).

5R

4R R²

{

2

()

:R

{

(

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)

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La

 Exercice n° 4 aire(AOB) = aire(COD) (2R)² x

R² x

donc : mes ̂ = mes ̂ ̂⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ et mes(⃗ ⃗ , )= ,

=

=

avec < < . ⃗⃗̂ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2- Mes( , ) = , avec < < ;

.

Les domaines ont des aires égales à lorsque –AOB) est un demi-cercle

donc mes ̂ =. Les angles ̂ et ̂ sont supplémentaires dans le quadrilatère

et (COD) est un huitième de ce cercle.  Exercice n° 5 Si ABC est un triangle équilatéral direct, alors : ̂ ⃗ ⃗ Mes(⃗ ⃗ , ⃗

⃗ ⃗ )= ⃗⃗̂ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ Mes(⃗ , ) = .

convexe ABH’C ; donc A, B, H, C sont co-cycliques.

̂ ⃗ ⃗ 1- Mes(⃗ ⃗ ,

 Exercice n° 6 Soit B’ et C’ les pieds des hauteurs issues de B et C. ⃗

⃗ ⃗ ) = , tel que : - < < 0 ; donc mes ̂

quadrilatère convexe AB’HC’, qui a deux angles opposés droits, est inscriptible ; donc : mes ̂ = mes ̂ = et

̂ ⃗ ⃗ 1- Mes(⃗ ⃗ , ⃗

⃗ ⃗ ) = , tel que : 0 < < ; donc mes ̂ = . Le quadrilatère Issaka

= . Le

⃗⃗̂ ⃗ ⃗ ⃗ 2

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La

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mes( , ) = , avec < < .

convexe AB’HC’, qui a deux angles opposés droits, est inscriptible ;

Issaka

2

70514283/78981409/760729

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La

⃗⃗̂ ⃗ ⃗

deux angles opposés droits, est

⃗

⃗ 2- Mes( , ) = , avec 1

2- √ - √ =

(√

< -0,361.

√ )(√ √

√)

√

=

√

√

.

0,503 < √ √ < 0,505 ; ]- ; -1[ ]1 ; + [

0,5037
g(-3) ; 0 < 1 et g(0) < g(1) ;

 Exercice n° 25 1a) soit u et v deux éléments de [a ; c] ;  lorsque u et v sont éléments de [a ; b], comme f est croissante sur [a ; b] on a : f(u) ≤ f(v) ;

Issaka

8

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La

On en déduit que f n’est ni croissante ni décroissante sur [-5 ; 1]. 2et

Q( ) = ( )( ) - ; le terme de plus haut degré de Q est : - 2 ;  R( ) = ( -2)(1- ²)- (1- ²)+( -5)(3-2 ) ; Le terme de haut degré de R est : 13 . 

Pour f( ) = , on a : f(1) = 1

f(2) = ; donc f n’est pas croissante  Exercice n° 3 P( ) = 10

sur l’intervalle ]0 ; + [.

X-

Q( ) = et

POLYNOMES ET FONCTIONS RATIONNELLES

R( ) = . 

 Exercice n° 1 





 

est un polynôme

de degré 3 ;

n’est pas un

monôme ; √ n’est pas un polynôme P ;

 Exercice n° 4 P( ) = (2 +1)( -3)-(4 +5)(3- ) = 6( – 3)( +1) ; Q( ) = ² + 5 – 3 = ( + 3)(2 – 1) ; R( ) = ( ² -4)² - ( + 2)² = ( +2)²( – 3)( – 1) ;



 

(sinon, on aurait : [(

)]

=(√) = +2a +(a²+2√ ) +2√ +7 ;

 S( ) = 6 = ( 1)( )( ) ;  T( ) = 16 = 16 ( ) )( =(

C’est-à-dire : a = 0 et 2√ = -5, ce qui est impossible) 

est un polynôme de degré 2, car

( )( )

= ²-9 =  | | n’est pas un polynôme, car | | n’est pas un monôme.

)(

).

 Exercice n° 5  P( ) = -4( +3)(2 – 5) ; pour appartenant à ]- ; -3[ ] ; + [, P( ) < 0 ;

 Exercice n° 2 P( ) = ( ² + 1)(3 - ) ; le terme de plus haut degré de P est - ; Issaka

P( )+Q( )+R( ) = +17--13 ²+9 ; P( )-Q( )-R( ) = - +3 +3 ²+5- 6 ; P( )+Q( )-R( ) = + 3- -7 ² + 5 Q( )-P( )-R( ) = - 3 - 3 ² - 5 +6.

√

polynôme, car n’est pas un 



( √ 1)( ) est un polynôme de degré 3 ; √

,

Pour appartenant à ]-3 ;

[, P( ) > 0 ;

pour appartenant à {-3 ;

}, P( ) = 0.

 Q( ) = ² + 1 ; pour tout nombre réel , Q( ) > 0.  R( ) = 9 - 16 ; pour appartenant 8

70514283/78981409/760729

La

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à ]-

Issaka

8

; -√[ ]√

; + [, R( ) < 0 ;

70514283/78981409/760729

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La

Pour appartenant à ]- √

; √ [,

R( )>0 ; pour appartenant à {-

√

 Exercice n° 9 ; √ }.

En développant

 S( ) = (3 – 4)( + 3) - 36 ² + 64 ; pour appartenant à ]- ; -

( – 1)(( ² + 3 + 1) – 5 ( + 1)²), on trouve – 1.

[ ] ; + [ , S( ) < 0 ; pour

Application : En posant = , on obtient

appartenant à ]-

1 = ( -1){[( )²+3( )+1]²5( )( +1)²}

; [, S( ) > 0 ; appartenant à {- pour ; }, S( ) = 0.

 Exercice n° 6 P( ) = ( )( √

= ( -1)( - +3( )+1)( + +3( )+ +1).

).

 Exercice n° 10 1- P( ) = ² + 2 – 1 = ( + 1)² - 2

Le schéma ci-après visualise le signe de P( ) selon les valeurs de . On en déduit que : P(

= ( + 1 + √ )( + 1 - √ )

) = 0, P(√ ) > 0, -

-1-√

P( )

+

-1+√

+

-

+

23- P( ) = - ² + – 1 = - (( -

)² + ).

Pour tout nombre réel , on a : P( ) < 0 4- P( ) = ² - 7 + 6 = ( -

P(2) > 0 et P(1997) < 0.

= ( – 1)( – 6).

 Exercice n° 7 1- P( ) = ( + 2)( – )P’( ). 2- Q( ) = ( + 1)( – )Q’( ). 3- R( ) = ( +1)( – 5) . 4- S( ) = ( + 1)( – 5)( ² + 1) .

-

1

P( )

+

6

+

-

+

5- P( ) = - 5 ²+ +1 = -5(( - )² -

 Exercice n° 8 Les polynômes cherchés sont de la forme : P( ) = a( + 2)( – 1),

√

= - 5( - )( -

où a IR. P( )

Le polynôme cherché est

√

√

-

P(0) = 6 -2a = -6.

-

)

).

√

+

+ -

6- P( ) = ² + 2 + 2 = ( + 1)² +1. Pour tout nombre réel , on a : P( ) > 0.

P( ) = -3( + 2)( – 1) = -3 ² - 3 + 6. Issaka

)² -

8

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La

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7- P( ) =

Issaka

1

8

70514283/78981409/760729

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La

= (( ) ) = (

√ )(

-

-5-3√

P( )

+

 Exercice n° 12 Utiliser la méthode des coefficients indéterminés ou la division euclidienne pour factoriser P( ), un tableau de signes pour étudier le signe de P( ). 1- P( ) = = ( )( 1) = ( )( 1) . 1 2 +

).

P( )

√ ). 5+3√

+

+

-

8- P( ) = 3 ² + 5 – 1 = 3(( ) ) √

= 3( √

-

P( )

√

)( √

+

-

+

-

)

= 16 (

√

+

P( )

√

)(

√

-

+

+

= (

Application

√

)(

-

P( )

)

1

= ( )[( ) ]

) = ()

(2p)(2q) = 4pq = 4[(

-

3- P( ) = = ( )( )

+

()

-3

-

)(

√

√

+

√

+

-

+

4- P( ) = 6 (

)]

= (p + q)² - (p – q)². (2m – 1)(2n – 1) = 4mn – 2m – 2n +1 = (m + n)² - (m – n)² - 2m – 2n +1 = ((m + n)² - 2(m + n) + 1) - (m – n)² = (m + n – 1)² - (m – n)². Issaka

). +

P( )

).

 Exercice n° 11 (

1)

-

)(

+

)((

= (

)

√

-

+

2- P( ) = 1 = ( ) ( 6)

9- P( ) = 169 ² + 13 -1 = 169((

-

= ( √ )( ( √ ) √ ) =

(

√ )[(

=

(

√ )( -

P( )

8

√

)

(

√ )(

√

-

) ].

).

-√

+

√

+

70514283/78981409/760729

+

-

).

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La

 Exercice n° 13 1- f( ) = 6 et g( ) = . F est factorisable par g si et seulement si : f(2) = 0 ; c’est-à-dire : a = 1. f( ) est du signe de . -

2

P( )

 Exercice n° 14 P( ) = (6) ()() =( )( ). ( Or, 1) n’a pas de racine et n’est pas factorisable. Même chose pour : ( 1) .

+

-

+

On a alors : f( ) = ( – 2)( ² - 2 + 3) = ( – 2)( – 1)² + 2. 2- f( ) = et g( ) = f est factorisable par g si et seulement si : f(-2) = 0 ; c’est-à-dire : a = -1. On a alors : f( ) = ( + 2)( – 1) = ( + 2)( – 1)( ² + + 1)

 Exercice n° 15 P( ) = ( 1)² + (2 )². 1P( ) = 1. 2- P( ) = ( 1)². 3- 101² = 10² + 1 ; d’après ce qui précède, on obtient :

= ( + 2)( – 1)(( + )² + ).

 En prenant = 10, 101² = 99² + 20² ;  En prenant = -10, 101²=99²+(-20)².

f( ) est du signe de ( + 2)( – 1). -

-2

1

+2

-

+

+

–1

-

-

+

f( ) + 3- f( ) = - 3 ² - 4 + a et g( ) = ² - 4. f est factorisable par g si et seulement ()0 si : { ; c’est-à-dire : ()0 1 0 { 1. 1 0

Le problème admet deux solutions : (99 ; 20) et 99 ; -20).

+

Fractions rationnelles  Exercice n° 16

+

1- ( ) 2-

-√

1- (

√

)( )(

)

)

.

-

-

+

+

+2

-

+

+

+

-3

-

-

-

+

f( )

-

+

-

+

)

.

 (( ) 1) ( )( 1) ;

+

-2

Issaka

( (

( )

 Exercice n° 17

On a alors : f( ) = ( – 2)( + 2)( – 3) -

( )( )

Donc : D 1 ; .  En remarquant que 1 est une racine du numérateur, on obtient : ( 1)( ) ; Donc, pour tout appartenant à 8

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La

IR \ {1 ; 3}, on a : f( ) =

.  Signe de f( ) :

Issaka

9

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La

+2

-

+

+

 Exercice n° 19 En procédant comme dans l’exercice précédent, on trouve :

3-

+

+

-

g( ) =

f( )

-

+

-

-

-2

3

+

=

 Exercice n° 20 2-

( )

.

Donc:

f( )

on en déduit que: {

.

+

-

+

()

( )

=+

(

; donc:

()

)(

0

{

6

2-

)6

équivaut à

. Donc : a = 12 et b = -12.

Pour tout nombre réel ,

( ) ( ) 1 équivaut à {

ou

0

3-

.

a) ; . b)

Issaka

1

 Exercice n° 21 1- Pour tout nombre réel ,

Posons : N( ) = , D( ) = et N’( ) = N( ) – N(2). On a : N( ) 1 et N’( ) = 3 ²- 10. En effectuant la division euclidienne de N’ par D, on obtient : N’( ) = (-3 – 5)D( ) ; c’est-à-dire : )D( ). N( ) – 14 = ( On en déduit que : ( )

0

D’où, pour appartenant à IR \ {-2 ; 2},

+

.

()

𝑏

et .

 Exercice n° 18 ()

𝑎

Pour tout 𝑥 appartenant à IR \ {-2 ; 2}

) Donc, pour tout appartenant à

1

1 𝑥 𝑥𝑥

équivaut à

( 1) ( ;

IR \ {1}, on a : ( )  Signe de f( ) :

.

Pour tout 𝑥 appartenant à IR \

( 1) (( ) )

-

()

On a :

 6 ( 1) ; donc : D 1.  En remarquant que 1 est une racine du numérateur, on obtient : - 4 ² - + 2 = ( – 1)(3 ² - – 2)

.

9

1

()

. Donc : c = 2 et d = -2. . ()()

.

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La

≤ Pour tout 𝑥 appartenant à IR \ {-3 ; 3} Donc : 6 𝛼 𝛽 𝑥1𝑥𝑥

D’après la question 1, =12 et = -12. Pour tout 𝑥 appartenant à IR \ {-3 ; 3} ) 𝛼 (𝑥 6 𝛽 (𝑥 ).

(

)

1≤1

≤.

XI- EQUATIONS – INEQUATIONS DANS IR

équivaut à

c)

≤

(

)

Généralités  Exercice n° 1 1Les équations ( ) : et ( ) : 1 sont équivalentes dans IR*, mais ne le sont pas dans IR.

.

2Non en général (oui si l’expression ne s’annule pas sur l’ensemble de résolution). Pour tout 𝑥 appartenant à 3Non en général (oui si les IR \ {-3 ; 3} Donc : deux membres sont positifs sur 1 𝛼 𝛽 𝑥𝑥𝑥 l’ensemble de résolution). 4Non en général (oui si les deux nombres sont de signes équivaut à contraires). 5- Non, une équation d du premier degré a au plus une Pour tout)𝑥 appartenant à solution. IR \ {-3 ; 3} 6- Non, une équation du second degré ) 𝛼(𝑥 1 𝛽 (𝑥 ). n’a pas toujours deux solutions distinctes. D’après la question 2, =2 et = -2. Finalement, pout tout appartenant à IR \ {-3 ; 3}, on a :

 Exercice n° 2 En élevant les deux membres d’une

f( ) = .

équation au carré, on obtient une équation équivalente que si les termes initiaux sont de même signe ; ce qui n’est pas le cas pour l’équation

 Exercice n° 22 1Pour tout appartenant à IR \ {1}, 1. 2≤ ≤ , alors : ≤≤ Si

« √ ».  Exercice n° 3 a) et 1 ;

≤1 ≤ Issaka

9

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La

b) [ ; 0[ ]0 ; ]

Issaka

9

70514283/78981409/760729

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La

c)

≤1;

d) ] ; ].

 Exercice n° 8 Soit v le montant des ventes.

Mise en équations

En mode 1, la rémunération est :

 Exercice n° 4 Soit le nombre d’années au bout

100 000 v ; en mode 2, la + rémunération est : 120 000 + v.

duquel l’âge de Fofana serat le double de l’âge de son fils.

Le mode 1 est plus avantageux lorsque :

On a : 38 + = 2(13 – ) : d’où : = 12.

100 000 + v 120 000 + v ;

 Exercice n° 5 Soit l la largeur du champ.

c’est-à-dire : v 666 667 F.

On a : l 0, L = l + 10 et (l

 Exercice n° 9 Soit n le nombre de spectateurs. Le producteur aura un bénéfice dès que : 200n 53 170 ; c’est-à-dire : n = 266.

+ 10)l = 1 200. Donc : l 0 et l² + 10l – 1200 = 0 ; c’est-à-dire : l = 30.

 Exercice n° 10 Soit v la vitesse moyenne de l’automobiliste, exprimée en km/h, et t la durée du trajet effectué, exprimée en h. On a :

 Exercice n° 6 1- On a : 45 000 x x = 4 860 ; c’est-à-dire : (100+t)(t+2) = 1 080 t² + 102t – 880 = 0. 2- T² + 102t – 880 = (t + 51)² - 3 481 = (t – 8)(t – 110) ; On en déduit que : t = 8.

vt 0 {(v 10)(t

)

1,

vt 0 {10t 1, v

 Exercice n° 7 Soit S la somme dont disposait la personne avant ses achats.

{t

1,

v

0 1,

0

1,

0

Les sommes dépensées sont : (dans le premier magasin),

{

(dans le

second magasin) et 00 (pour l’objet final). On obtient : S = +

t

{ (v

+ 500 + 400 ;

0)(v

. 0)

0

Donc la vitesse moyenne de

c’est à dire : 3S = 7 200. La somme au départ était dont de : 2 400 F. Issaka

t v 0v 10 000 0

l’automobiliste sur ce trajet est de 0 km/h. 9

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La

 Exercice n° 11 Soit v la vitesse de l’automobiliste, exprimée en km/h, et t la durée, exprimée en h, séparant son départ de l’instant où il rattrape le cycliste.

Equations et inéquations liant deux polynômes  Exercice n° 13 a) S = {3} ; b) S = {0} ; c) S = ; d) S = {16}.

Lorsque l’automobiliste rejoint le cycliste, ils ont parcouru la même distance et la durée du trajet du cycliste est t + 2, puisque celui-ci est parti h avant l’automobiliste. On a : vt = 20(t + 2)

t=

 Exercice n° 14 a) S = {- 3 ; - 1 ; 2} ; b) S = {0 ;

.

c) S = {- ; 1}.

De plus : 30 ≤ v – 20 ≤ 40

≤

≤

}

 Exercice n° 15 a) S 1 ; ; b) S 1 ;

.

Donc : 1 ≤ . L’automobiliste ≤ rattrapera le cycliste entre 9h et 9h 20min.

c) S { ; } et ; d)

S

 Exercice n° 12

{1 ; }et

1.

 Exercice n° 16 a) ( 1)( ) 0 ( 1) (( ) ) 0 ; √

√

Donc : S = { ; ; 1} ; b) ( ) ( ) 11 +34 +12 +32 610 ( 1)( 1 ) 0

Soit a la longueur, en cm, du côté du carré restant à l’intérieur du mur. On a : 4 x 40a + 4 x 40² = 840 000 ; donc : a = 5 210 cm.

( 1)( )( ) 0 ; Donc : S = {-7 ; -1 ; 2}.  Exercice n° 17 a) S = ]- ; -1[ ]2 ; + [ ; S=

b) Issaka

9

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[

La

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; 1] ; c) S = ]- ; -1] ;

Issaka

9

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La

d) S = IR \ { } ; e) S = { };

a) 1

[ ]2 ; + [

f) S = ]- ;

0;

donc : S = ; b) ( 1)

0.

donc : S = IR.

 Exercice n° 18 a) 5 -3 - +6 ≤ +2 -5 -7 1≤0

1

c)

0 ;

Donc : S = ]0 ; + [ ;

( 1)( 1 ) ≤ 0 ;

0;

d)

Donc : S = ]- ; -1[ ; b) 1 ≤ 1

donc : S = ]- 1 ; + [.

≤0

 Exercice n° 22 ( 1)( )( 1) ≤ 0 ;

0;

Donc : S = [- 2 ; 1]. donc S = ]1 ; + [.

Équations et inéquations liant deux

 Exercice n° 23

fractions rationnelles

a)

(

0 ; or :

)

 Exercice n° 19 a) Contraintes : 0 ; S = {4} ; b) Contraintes : 1 et 1 ;

() √

c) Contraintes : 1 et 1;S= ; d) Contraintes : 1 et 1 ;

b)

d)

)(

)

(

)(

1)

≤0;

≤

( 1)( )

( √ )( √ )

≤ 0 ; or

( 1) 1 ; donc: S = ]- ; - √ [ [- 1 ; √ [.

√

; }; et ;

S = {0 ; }.

 Exercice n° 24

a) ≤

 Exercice n° 21 Issaka

(

≤0

donc : S = ]1 ; 2[ [3 ; 4] ;

 Exercice n° 20 a) Contraintes : 1 et 1 ; e) Contraintes :

≤

c)

( ) ()( )

≤

()

; donc: S = {- 1} ;

S = {2 - √ ; 2 + √ } ;

√

√

] ; [ ] 1 ; [ ]0 ; [

S = {-2 ; } ;

S={

; donc

9

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La

On a :

((

)

( )( ) ( )( ) 0; ) ( ≤)( ()

).

( )( )

Issaka

9

≤0;

70514283/78981409/760729

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La

Or : 1 ( )

 Exercice n° 28

; donc :

a) 3|2 +1| ≤ 4| |

S = ]- 1 ; 1[;

( 1) 16( ) ≤ 0

b) ≤

(10 )( 11) ≤ 0 ; donc : ( )( ) ( )( ) ≤)(0 ) ( (

)( ( )(

)

)

[

≤0;

b) | 1 | |6 1 |

donc S = ]- 1 ; 1[ [2 ; 3].

( donc :

 Exercice n° 25

)(

11

√

; [ ]1 ; [ ;

S]

a) ≤ 0 ≤ ; Donc : S = ]- 1 ; 0] ]1 ; + [ ;

)

0;

√

c) | 1| | | (

≤

b)

; ];

1)(

Donc : S = [

√

√

; ][

≤0; √

√

; ].

≤ ( )( )

≤ ( )( )

Autres exemples

()

 Exercice n° 29 a) |2 – | = 1 1 0 √ √ ou ; donc : S = { ;

( )( )( )( ) ( )( ( )( )( )( )

)

;

Donc : S = ]-4 ; -2] ]-1 ; 1[ [2 ; 4[.

}

c) S = [-1 ; 5].

Equations et inéquations avec valeurs absolus  Exercice n° 26 a) S = {-2 ; 4} ; b) S = {- ; 2} ; c) S = {- 4 ; 3} ; d) S = {-3 ; -1 ; 1 ; 2}.  Exercice n° 27 a) S = ]-1 ; 2[ ; b) S = [1 ; 3] ; Issaka

9

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La

b) | 1| 1 1 ≤ 0; donc : S = [-1 ; 1] ; S = , Puisque 2 - √ < 0 ; c) d) S = {3}.  Exercice n° 30 a) En utilisant l’inconnue auxiliaire X = , on obtient : X²- 8X + 15 = 0 ; c’est-à-dire : X = 3 et X = 5 ; donc : S = {- √ ; - √ , √ ; √ } ; b)

En utilisant l’inconnue

auxiliaire X = ( 1) , on retrouve : X² - 8X + 15 ; donc :

Issaka

1

70514283/78981409/760729

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La

S={

√

√

; ;

√

Le tableau ci-dessous montre que f est une fonction affine sur chacun des intervalles : ]- ; ] ,[ ; 5] et

√} ;

;

c) En utilisant l’inconnue auxiliaire X = ( 1) , on retrouve :

[5 ; + [.

X² - 8X + 15 = 0 ; donc S = {-

√ (√ )

;-

√ (√ )

√ (√ )

√ (√ )

;

-

1

+

}.|2 +3|

-2 - 3

2 +3

2 +3

| – 5|

- +5

- +5

-5

f( )

- 3 +2

+8

3 -2

;

XII- ETUDES DE FONCTIONS Fonctions affines par intervalles

 Exercice n° 2 a) ( ) max(1 ;

 Exercice n° 1 a) ( ) | 1| + -

. ()1≤ .

+

Donc f est une fonction affine par intervalles.

( ) 1 1 Donc f est une fonction affine sur chacun des intervalles ]- ;

min( ;

( )

1).

≤

.

1

()1≤

b) ( ) 1 | |.

.

Donc f est une fonction affine par intervalles.

+

Signe de ||

c) ( ) max( 1 ; 1) . . ()111

( ) 11 Donc f est fonction affine sur chacun ] des intervalles]- ; et

0. ( )

1

≤ 0.

Donc f est une fonction affine par intervalles.

[ ; + [. c) ( ) | | | |.

Issaka

( )

b)

] et

[ ; + [.

-

.

)1

Signe de 1

).

d)

1

( )

min(

;

1).

70514283/78981409/760729

.

1 .

La

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()≤1

Issaka

1

≤.

70514283/78981409/760729

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La

()1.

 Exercice n° 4 1-

Donc f est une fonction affine par intervalles.  Exercice n° 3 a) ( ) 1, pour

]

; 1],

( ) , pour ]1 ; ] ( )

, pour

] ; 6].

2-3

()

-1

4

--

7

--

-

Commentaire : L’expression de ( ) est obtenue à partir des équations respectives des droites (AB), (BC) et (CD).  Exercice n° 5

b)

( )

, pour

]

; 1],

 Exercice n° 6

( ) , pour ]1 ; [, ( ) , pour ] ; [.

Issaka

()

1

||

(

|

)(

|

)

.

70514283/78981409/760729

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La

1-

{

2r

f est strictement décroissante sur

}. ( )( )

Pou , ( )

Pour

[3 ; 4] ; f est constante sur [4 ; 8].

; ,()

3Le maximum de f sur [2 ; 8] est 2 ; Le minimum de f sur [2 ; 8] est 0.

( )( )

3-

 Exercice n° 8 f est la fonction affine par intervalles dont la représentation graphique est : [AB] [BC] [CD] [DE] [EF]. 1- Sur [-3 ; -1], ( ) Sur [-1 ; 1], ( ) ; Sur [1 ; 2,5], ( )

; ;

Sur [2,5 ; 5], ( ) ;

 Exercice n° 7

Sur [5 ; 7], ( )

. 2- f(-1,5) = 2,5 ; f(-0,5) = 3 ; f(2) =

12

3

4

f(4) = 1 ; f(5,5) = - 0,25. 3- 1 a pour antécédent 5 (lecture graphique) ;

8

| - 2| | - 4|

- +4

- +4

-4

-| - 6|

2-6

-2 + 6

-2 + 6

( )

2-4

-2 + 8

0

-0,5 a pour antécédents (solution de l’équation - 2 + 9 = 0,5) et [2 ; 3] ;

2- f est strictement croissante sur Issaka

1

(solution de

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La

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l’équation

Issaka

0, ) ;

1

70514283/78981409/760729

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La

0 antécédents

a pour (solution de

l’équation -2 + 9 = 0) et

sens de variation et les antécédents de 1 et 2) ; L’image réciproque par f de [2 ; 3] est

(solution

0) ;

de l’équation

[-2 ; 1] [3 ;

1 a pour antécédents 3, 4 et pour antécédents 2,

] {7} ;

L’image réciproque par f de [1 ; 5] est [-3 ; 4] [ ; 7].

;2a

et 7 ;

3 a pour antécédents tous éléments de [-1 ; 1] {3} ; 3,5 a pour antécédents et 4 a pour antécédent 2,5 ;

 Exercice n° 9 1-

;

n’a pas d’antécédent. 4-

-3

f( )

-1

1

3

3

2,5 4

1 5-

5

-1

7 2

([ ; 1, ]) [1 ; , ] ; ([ 0, ; 0, ]) ; ([ ; ]) [1 ; ]; ([ ; 6]) [ 1 ; 1].

2Résoudre graphiquement l’équation | | revient à déterminer les abscisses des points communs aux courbes représentatives des fonctions :

La prise en compte du sens de variation de f et le calcul des images des bornes de chacun des intervalles confirme les résultats.) 6- L’image réciproque par f de [-1 ; 0] est [ ; ] ( et sont les antécédents de 0) ;

| | et . On trouve, par lecture graphique, que cette équation a une solution : 4.

L’image réciproque par f de [-0,5 ; 0,5] est [ ; ] [ ; 6] (d’après le sens de variation et les antécédents de 0,5 et 0,5) ; Issaka

1

70514283/78981409/760729

La

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L’image réciproque par f de [1 ; 2] est [-3 ; -2] [ ; 4] [ ; ] (d’après le

Issaka

1

70514283/78981409/760729

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La

3-

a)

la courbe (C), représentative de la

|2 – 1| = 7 a pour solutions -3 et 4.

fonction | 1|, est audessous de la droite (D), représentative de la fonction 1. On trouve, par lecture graphique, que l’ensemble des solutions de cette inéquation est : ]0 ; 2[.

b)

3.a) l’équation | – 1| = | + 1| a pour solutions 0 et 2.  Exercice n° 10

Résoudre graphiquement l’inéquation |3 – 1| < 2 + 1 revient à déterminer les abscisses des points pour lesquels

Issaka

l’inéquation | – 3| < 5 a pour solutions ]-1 ; 4[. b)

1

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La

 Exercice n° 12 [0 ; ]

l’inéquation | – 3| > |2 – 3| a pour solutions ]- ; 0[ ]1 ; + [.  Exercice n° 11

1-

( ) min(x 1 ; 1 ) et

Le périmètre de ACDEFB est :

( )

max(

( )

1;1

0≤ 16.

). 1-2

-1

0

1

2

()

-1

0

1

0

-1

()

3

2

1

2

3

23-

Le périmètre de ACFB est : ( ) 1 .

0 () ()

Issaka

+

1

≤ Le périmètre de ACDEFB est : ().

1

1

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La

≤ | | ≤ a pour solutions : [-4 ; 3] [3 ; 4].

a pour solutions : ]- ; -

[ ]1 ; + [.

2- et 34- Le double du périmètre de ACDM est : ( ) . Résoudre l’équation : ( ) ( )

√ a pour solutions : ]

revient à résoudre les équations :  16 , pour  , pour ] ; ].

; 4[.

[0 ; [ ;

La première à pour solution ; la seconde n’a pas de solution. (Ce que confirme la lecture graphique.)  Exercice n°13 Fonctions élémentaires

≤ a pour solutions : [-2 ; 2].  Exercice n° 14 1-

Issaka

1

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La

2- Les solutions (résolution graphique) de l’équation | |

 Exercice n° 16

sont -1 et 1. 3-

{

{

.

Résoudre graphiquement le système initial revient à déterminer les coordonnées des points communs à la courbe (C), d’équation y , et à la droite (D), d’équation y . Les solutions de ce système sont

Les solutions (résolution graphique) de l’équation sont : -1 et 2. (-3 ; 9) et (1 ; 1).

 Exercice n° 15

 Exercice n° 17 1- Q est le point de coordonnées ( ; -1). Si y désigne l’ordonnée du point M, les coordonnées de ce point sont ( ; y) tels que :

2.Soit (C) la courbe d’équation y = et (D) la droite d’équation y - + 2.

Résoudre graphiquement l’inéquation ≤ 0 revient à déterminer les abscisses des points pour lesquels (C) est au-dessous de (D). L’ensemble des solutions est [-2 ; 1].

Issaka

1

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La

 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ .⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ , puisque (OM) (OQ) ; ( 1) = 0, puisque (O, I, J) est un repère orthonormé.

 Exercice n° 19 1-

Soit (H) l’hyperbole d’équation

y= .

Donc, on a : 0 ; c’est-à-dire, M appartient à la parabole (P) d’équation : y = .

A(5 ; -0,6) 2-

2- Pour construire point par point la parabole (P), d’équation y :  Choisir un point Q de (D) et tracer la droite (OQ) ;  La perpendiculaire en Q à (D) et la perpendiculaire en O à (OQ) se coupent en un point de (P).

(H)

-0,6 =

L’équation de (H) est. : y = 0,

,

1

B(-6 ; 0,5)

(H) ;

C(-1,5 ; 2)

(H) ;

D(-3 ; 1)

(H).

 Exercice n° 20 1- M ( 10 ; 0, 1),

Utilisations des fonctions élémentaires

M (

;

0, ), M (

 Exercice n° 18 1- Pour ≤ 0, ( ) Pour 0, ( ) 2-

M (

;

0, ), M ( 1 ;

;

( )

M (1 ;

.

,1),

M ( ; 0, 0

a = -3.

;

0,

),

,1),

M ( ; 10, ),

),

M ( ; 0, ),

M (10 ; 0, 1), sont 10 points dont le produit des coordonnées est 2,1 (il y en a d’autres).

+

2La fonction numérique , définie , par ( ) = a pour représentation

0

,

graphique une hyperbole passant par ces points.  Exercice n° 21

3-

f est la fonction définie sur [-3 ; 3] par : ( ) . ( )

1- [ ; 0[ [1 ; ]. 2- Pour [

Issaka

1

;

1[,

( )

70514283/78981409/760729

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La

;

()

Pour

[

[,

Pour Pour Pour

( ) [ 1 ; 0[, [1 ; [, ( ) [ ; [, ( ) ()1

3- Les antécédents de 1 sont -3, -2, -1, 1, 2, et 3. 4- ([0 ; ]) 0 [1 ; [ ; ([0 ; 1]) = {0 ; 1} ; ([ 2 ; 0]) = [0 ; 1] ]2 ; 4] ; ([ 2 ; -1]) = {1} ]2 ; 4].  Exercice n° 23 f et g sont les fonctions définies par f( ) = | | et g( ) = . 1- La fonction f a été étudiée dans l’exercice n° 1 . 2-

 Exercice n° 22 est la fonction définie sur [-2 ; 2] par ( ) ( ). 1-2

-1

0

1

2

4

1

0

1

4

( 0, )

0, ;

() 2-

( 1, )

(0,1) 3- Pour Pour Pour

, ;

(1, )

0; [

;

( )

1[,

[ 1 ; 0[, [1 ; [,

1, . 3- a) Résoudre graphiquement f( ) = g( ) revient à déterminer les abscisses des points communs aux deux courbes.

( ) ( ) ().

Issaka

1

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La

Les solutions de cette équation sont 1, 0 et 1. b) comparer graphiquement, pour tout nombre réel , f( ) et g( ) revient à étudier la position relative des deux courbes. On obtient :  Pour ] ; 1[ ]0 ; 1[, f( ) > g( ) ;  Pour 1 ; 0 ; 1 , f( ) = g( ) ;  Pour ] 1 ; 0[ ]1 ; [, f( ) < g( ).  Exercice n° 24 F est la fonction définie par f( ) = (

)

1.

1Pour tous nombres réels u et v, on a :  u < v ≤ -2 u + 2 < v + 2 < 0 (u+2)² - 1 > (v + 2)² - 1 f(u) > f(v) ; Donc, f est strictement décroissante sur ];];  -2 ≤ u < v 0 ≤ u + 2 < v + 2 (u+2)² - 1 < (v+2)² - 1 f(u) = f(v) ; Donc, f est strictement croissante sur [-2 ; + [.

2( ) est le symétrique de (C) par rapport à O.

La courbe (C) a pour équation :

On a : M( ; f( )) ( )

y = f( ), c’est-à-dire : y = ( + 2)² - 1.

( ; f( )) ( ). Donc une équation de ( ) est : y = - f( ) ; C’est-à-dire : y = -( – 2)² + 1.

Issaka

1

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La

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3( ) est le symétrique de (C) par rapport à (OI).

XIII- ÉQUATIONS ET INEQUATIONS DANS IR x IR Systèmes d’équations dans IR x IR  Exercice n° 1 ( ) a une seule solution ; ( ) a une infinité de solutions ; ( ) a une seule solution ; ( ) n’a pas de solution.  Exercice n° 2 1 6 1 0 { 1 0 a une solution unique, puisque son déterminant est strictement positif.

On a : M( ; f( )) ( ) ( ; f( )) ( ). Donc une équation de ( ) est : y = - f( ) ;

 Exercice n° 3 1- Les solutions de { sont 6 les couples de coordonnées des points communs aux droites d’équations et 6.

C’est-à-dire : y = -( + 2)² + 1. 4( ) est le symétrique de (C) par rapport à (OJ).

On a : M( ; f( )) ( ) ( ; f( )) ( ). Donc une équation de ( ) est : y = f( ) ;

Ce système a pour solution (0 ; -3).

C’est-à-dire : y = ( – 2)² - 1. Issaka

1

70514283/78981409/760729

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La

2-

Les solutions de {

1

6 et

1 sont les couples de coordonnées des points communs aux droites d’équations 1 et 1 Ce système a pour solution (0 ; 1).

3-

1,

.

Ce système admet pour solutions tous les couples ( ; y) qui vérifient l’une de ces équations.

 Exercice n° 4 1- Une solution (75 ; -59) ; 2- Solutions : tous les couples ( ; y) qui vérifie 2 + y = 5 ; 3Une solution ( ); 4- Pas de solution.

Les solutions de { sont

les couples de coordonnées des points communs aux droites d’équations et . Ce système n’a pas de solution.

 Exercice n° 5

;|

;-

| = 6+m ;



(){ 1 Si m -6, une seule solution ; Si m = 6, une infinité de solutions.  (

;| | =m²-1; ){ 1 communs aux droites d’équations 6 4- Les solutions de { sont 1, les couples de coordonnées des points Issaka

1

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La

Si m -1 et m 1, une seule solution ; Si m = 2, une infinité de solutions ; Si m = 3, pas de solution. 

( ) {( ) ( 1) 1 ; | | = (m – 2)(m – 3) ; Si m 2 et m 3, une seule solution ;

Issaka

1

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La

Si m = 2, une infinité de solutions ; Si m = 3, pas de solution.  Exercice n° 6 1 (){

n’a pas de

0 solution. 1 (){

a une seule √

√0

solution : (0 ; 1).

√

 Exercice n° 7 ( ){

0

a pour solution  Exercice n° 8 1Pour X = et Y = y² ; le système a 4 solution : ( √ ; √10), ( √ ; √10), (√ ; √10) et (√ ; √10) ; 2Une seule solution : (81 ; 16) ; 3- Une seule ;); solution : ( 4- Pas de

solution ; 5- Pas de solution.  Exercice n° 9 1- { (1 ; -2).

{ 1

(){ Issaka

0

6

0

()()0 ()()0 0

n’a pas

de 1

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La

{

4

0 solutions : (-3 ; -1 - √ ), (-3 ; -1+√ ), (1 ; -1 - √ ), (1 ; -1+√ ).

solution.

Issaka

1

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La

0 60

C’est-à-dire les équations « a + by = c » et « a’ b’y c’ » ont leurs coefficients proportionnels.

( 1) { . Ce système a 4 () 1 solutions : (-1 ; -1), (-1 ; -3), (3 ; -1) et (3 ; -3).

Résolution de problèmes par mise en

2- { {

( 1) ( ) 6 ( 1) ( ) 11

équations  Exercice n° 13

Réponses multiples à chaque question.

Soit et y les nombres respectifs de pièces de 25 F et de 50 F. les données de l’énoncé se traduisent par le

 Exercice n° 11

système : {

 Exercice n° 10

16

, qui a une 0 seule solution : (9 ; 7). Saliou a donc 9 pièces de 25 F et 7 pièces de 50 F.

Le système initial a pour solution (1 ; 1) 1- et 4- sont équivalent à ce système

 Exercice n° 14

;

2- et 3- ne le sont pas.

Soit a le chiffre des dizaines et b celui des unités ; on a :

 Exercice n° 12 Soit (S) : {

a entier strictement positif et inférieur à9;

avec a 0,

b 0, c 0, a’ 0, b’ 0 et c’ 0. b entier positif et inférieur à 9 ; a + b = 10 ; 10b + a = 10a + b + 54.

(S) {

() Or {

a

{

; si (S) (

Le nombre cherché est 28.

)

une infinité de solutions, alors l’équation ( ) a

 Exercice n° 15 Soit a le chiffre des dizaines et b celui des unités ; on a : a entier strictement positif et inférieur à9;

une infinité de solutions ; ( ) = 0 ou ; Issaka

10 a une solution (2 ; 8).

1

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La

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b entier positif et inférieur à 9 ; a + b = 10 ; 10b + a = 10a + b + 50.

Issaka

1

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La

Or {

10

c) .

0 n’a aucune solution entière, puisque 0 n’est pas un multiple de 9.

L’ensemble des solutions est représenté par le demi-plan coloré, bord exclus.

Le problème n’a pas de solution.

d)

Systèmes d’inéquations dans IR x IR  Exercice n° 16

1.

L’ensemble des solutions est représenté par le demi-plan coloré, bord inclus.

 Exercice n° 17

a) ≤ .

L’ensemble coloré ci-dessus représente l’ensemble des solutions du système

L’ensembles des solutions est représenté par le demi-plan coloré, bord inclus.

(){≤ .

b) .

≤ 0

 Exercice n° 18 10 1 0 1- { . 0 L’ensemble des solutions est représenté par l’intérieur du triangle coloré ci-dessous, bords exclus.

L’ensemble des solutions est représenté par le demi-plan coloré, bord exclus.

Issaka

8

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La

2- {

0

10 1

0. 2- {

L’ensemble des solutions est représenté par la zone coloré cidessous, limitée par les droites et bords exclus.

≤0 1≤0 . ≤0 6≤0

Les solutions sont représentées par les points, de coordonnées entières, situés à l’intérieur (bords inclus) du quadrilatère 2.  Exercice n° 20 1- A( ), B( ) et C( ).

 Exercice n° 19 1- {

10

.

≤0 ≤0 6≤0

Les solutions sont représentées par les points, de coordonnées entières, situés à l’intérieur (bords inclus) du triangle 1. Ce système admet donc 7 solutions : (-1 ; 4), (5 ; 0), (6 ; 0), (7 ; 0), (8 ; 0), (5 ; 1) et 6 ; 1).

Issaka

8

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La

L’intérieur du triangle ABC (bords inclus) représente l’ensemble des solutions du système :

Les quatre droites supports des côtés du carré ont pour équations respectives : + y – 4 = 0, + y + 4 = 0, – y – 4 = 0 – y + 4 = 0. L’intérieur de ce carré (bords exclus), qui contient le point O, représente l’ensemble des solutions du système : 0 0 { . 0 0

10 1 ≤0 1≤0

{

2- A’( ), B ( ) et C’( ) et D’( ).

 Exercice n° 22

L’intérieur du quadrilatère A’B’C’D’ (bords inclus) représente l’ensemble des solutions du système : 0 {

1≤0

.

0≤0 0

Les quatre droites supports des côtés du polygone coloré ont pour équation 6 0, respectives : , 0 et

 Exercice n° 21

0.

L’intérieur de ce polygone (bords inclus), qui contient le point J(0 ; 1) ; représente donc l’ensemble des solutions du système : ≤

{≤0

6≤0 0

 Exercice n° 23 {

Issaka

9

6≤≤ 1 0 70514283/78981409/760729

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La

{1≤0. 0

60

b) 60 = 74 + 70 – 84.  Exercice n° 2

Les solutions sont représentées par l’intérieur du triangle coloré cidessous, bords inclus.

1

)

(

1

∑

(∑

(

̅) )

∑

=̅ ̅ ̅ ̅) .

x̅ ̅

̅

∑

( ̅)

̅

(̅ ̅

( ̅)

Représentations graphiques  Exercice n° 3 XIV- STATISTIQUES Notation  Exercice n° 1 1i

( + )²

1 2 -1 4 1 -2 1

2 3 4 9 16 12 49

3 5 -2 25 4 -10 9

4 6 -7 36 49 -42 1

Total 16 -6 74 70 -42 60

Voyelle

a

e

Effectif 14 26  Exercice n° 4

i

o

U

12

7

11

Taille [1,5 ; 1,6[ [1,6 ; 1,65[ Effectif 1 6

[1,65 ; 1,7[ 10

2(

Issaka

9

70514283/78981409/760729

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La [1,7 ; 1,75[ 18 (

)

[1,75 ; 1,8[ 11

[1,8 ; 1,9[ [1,9 ; 2[ 3 1

)

3- a) ∑(

Issaka

)

∑

∑

x

∑

9

70514283/78981409/760729

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La

Exercice n° 5

Bénin Burkina Cameroun Guinée Mali Niger Sénégal Tchad Total Ovins (x 1 000) 938 5 558 3 836 448 5 208 5 250 4 648 2 114 28 000

Bovins (x 1 000) 1 250 4 250 5 000 1 750 5 500 4 750 2 750 4 750 30 000

Fréquence (%) 4,167 14,167 16,667 5,833 18,333 15,833 9,167 15,833 100

Répartition des 30 000 000 de bovins. Répartition des 28 000 000 d’ovins  Exercice n° 6 0,1 ;

Fréquence (%) 3,35 19,85 13,7 1,6 18,6 18,75 16,6 7,55 100

D’où

0.

 Exercice n° 7 1- Le caractère étudier est quantitatif. 2Modalité Effectif Fréquence [2000 ; 4000[ 12 30 %

Issaka

9

[0 ; 1 000[ [1000 ; 2 000[ 0 8 0% 20 % [4000 ; 5000[ 15 37,5 %

[5000 ; + [ 5 12,5 %

70514283/78981409/760729

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La

Effectif total : 120 ; moyenne : 141,504 ;  Exercice n° 8 Modalité Effectif « relatif » Effectif Fréquen

[0 ; 4[

[4 ; 6[

[6 ; 8[

12 x 2

15 x

9x

24 40 %

15 25 %

9 15 %

[8 ; 14[ Totaux 4x3 60 = 60 12 60 20 % 100 %

médiane : [141 ; 141,5].

Caractéristiques de position

 Exercice n° 12 1-

 Exercice n° 9

Prix Effectif Eff. c. Fréquence Eff. c.

À faire avec les élèves de la classe.  Exercice n° 10 1- B est le mode de cette série, dont l’effectif total est 00. 2- a) f(AEIOUY) = 7,5 % ; b)

f(ABCDE) = 36 % ;

c)

f(VWXYZ) = 6 %

2 500 15 38 0,2344 0,5938 37 500

 Exercice n° 11 Masse Effectif Eff. c. Eff. c.

142 13 87 46 1 846

140 24 24 120 3 360

140,5 20 44 96 2 810

141 16 60 76 2 256

142,5 10 97 33 1 425

143 9 106 23 1 287

143,5 7 113 14 1 004,5 144,5 2 118 4 289

Issaka

141,5 14 74 60 1 981

1 000 1 1 0,0156 0,0156 1 000

3 000 11 49 0,1719 0,7656 33 000

1 500 5 6 0,0781 0,0938 7 500

3 500 8 57 0,125 0,8906 28 000

2 000 17 23 0,2656 0,3594 34 000

4 000 5 62 0,0781 0,9688 20 000

2- f(3 500) = 0,17 ; f( 2 000) = 0,906 2 ;

144 3 116 7 432

f( 3 000) = 0,406 2. 3- Coût total : 170 000 F ; Prix moyen : ̅ = 2 656,25.

145 2 120 2 290

 Exercice n° 13 Meilleure moyenne possible :

9

70514283/78981409/760729

4 500 64 0,0313 1 9 000

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La ,

= 12,575.

Pourcentage ( ]29,61 ; 30,51[ ) = 80 %.

Pire moyenne possible : ,

= 10,575.

 Exercice n° 17 1Nbr de 0 livres Effectif 18 Fréquence 0,1 Fréquence 10 (%) Eff. c. 18 Eff. c. 180

 Exercice n° 14 n devoirs de moyenne 12,5 étant déjà ,

effectués, on a :

= 13 ;

d’où : n = 6.

7 11 32 39

8 9 41 28

2 2 2 60 9 8 49 19

3 3 5 58 10 5 54 11

4 3 8 55 11 3 57 6

5 5 13 52

6 8 21 47

3

4

72 0,4

45 0,25

36 0,2

9 0,05

40

25

20

5

90 135 171 180 162 90 45 9

12 3 60 3

4-

2La médiane est la modalité 7.

 Exercice n° 18 1-

 Exercice n° 16

Pièces Nbr d’ouvriers

Moyenne : 30,052 5 ; écart type : 0,4 ;

Issaka

2

290 élèves ont lu au moins 2 livres ; 90 élèves ont lu moins de 2 livres. 3Le mode est la modalité 1. La moyenne est 1,7 ; l’écart moyen est 0,9 ; l’écart type est 1,0 .

Caractéristiques de dispersion  Exercice n° 15 1Moyenne : 7,3 ; écart moyen : 1,953 ; Ecart type : 2,438. Points Effectif Eff. c. Eff. c.

1

9

35

36

37

38

6

12

20

17

210

432

740

646

70514283/78981409/760729

Corrigé des exercices d’apprentissage contenus dans CIAM

La

7 350 15 552 39 8 312 12 168

40 8 320 12 800

27 380 24 548

41 22 902 36 982

42 25 1 050 44 100

43 44 20 12 860 528 36 980 23 232

2- a) 37,143 ; b) 42,069 ; c) 40. 3- Le mode est la modalité 42 ; la médiane est 41 ; l’écart type est ,6 .

Issaka

9

70514283/78981409/760729