Correction Ciam 1sm [PDF]

Zitiervorschau

ri

ilJ

3.8. Algèbrc ct anahsc

flT

Trois thèmes généraux se dégagent en classe de première SM . calcul littéml, . organis;ation de données, . analyse.

i,

*tjj l

NT

Colcul

u

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lllt

.

LJL I

m

m

:

litt&ol

Cette rubrique vise autant la maltrise d'une (relative) virtuosité dans certains calculs- sur§.polynômes (développe^ment, réduction, factorisation) et les fractions rationnelles, que celle des différentes mé: thodes âe résolution des équations et inéquaüons, des systèmes d'équations ou d'inéquations. La résoluüon de problèmei concrets, qui permet de donner du sens à des techniques abstraites, reste (au moment de la mise en équation) un exercice difficile pour l'éiève.

Orgonisaüon de données LeJ statistiques jouent un rôle important cornme outil d'aide à la prise de décision dans un contexte donné. il esi cependant importanf de savoir qu'à chaque étape du taitement allant de donné-es observées à des conciusions statistiques, un gain en signification a pour prix Ia perte d'une partie,des informations. Le meilleur moyen pôur les élèves de s;en convaincie est d'avoir eu lroccâsion de trener, au moins une fois, une étudt stâtistique complète, c'est-à-dire allant du relevé de données à l1élaboration d'une réponse à une question pos6e au départ.

ll-

#X*i"r"era m

les acquis sur les fonctions (limites, dérivées, constructions de courbes, ...). Puis l'on

abordera Ia notion de suite qui est un t}ème Rouveau et riche. Ces deux thèmes permettront de résoudre de nombreux problèmes concrets etlou historiques.

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25

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I

:J,-

1- Barycentre

*11

t-

lpoges 5 à 22 du tivre de l'élève) l,1l

*l-

' Donner un modèle mathématique à des aotions rencontrées en Physique (centre d'inertie, centre de *'l gravité) ou en Statistique (moyenne pondérée). ' Utiliser I'outil barycentre pour résoudre des problèmes d'aiignements, de concours, de paralléIisme, ,,J ainsi que de recherche de lieux géométriques et-de lignes de niveau. ' 'Ce chapitre utilise et réinvesüt les résultats acquis d.ans les classes précéd.entes sur les notions de vecteurs et de produit scalaire. ' Il peut être traité directement et faire I'objet du premier chapitre de Géométrie de I'année ou faire suite au chapitre de Trigonométrie, mais il doit précéder l'étude des transformaüons du plal. ' Le barycentre est avant tout un outil supplémàntaire (s'ajoutant au caicul vectoriel, aux configurations géoneétriques, aux transformations, à I'outil ana!.ytique, ...) pour résoudre les problèmes ciasslques de géométrie : aligaements, concours, Iieux géométriques. ' Ii faut également indiquer, à l'aide d'exercices, I'utilisation de cet outil d.ans d'autres disciplines, notamment en Statistique, en Physique, en Biologie. ' L!étude du barycentre de n points pondérés n'est pas au prograrnme de Première ; elle sera traitée en classe de Terminale.

ilr ,S"Ai

il_ n1

rtlL

ÏL . Traduire par une égalité vectorielle qu'un point est le barycentre de 2, 3 ou 4 points pondérés.

Barycentre de 2 points pondérés. . Défiuition . Propriétés : - homogénéité - réduction de Ia somm" "fô. + blvln ; - ensemble des barycentres de deux points ; - coordonnées du barycentre de 2 points ; - conservation du barycentre par projection ;

. Reconnaître, à partir d'urË égalité vectorielle, Ie barycentre de 2, 3 ou 4 points pondérés. . Exprimer un point donné d'une droite (resp. d'un plan) comme barycentre de 2 autres points de cette droite (resp. de 3 autres points du pian). .

iliüt

ui* trL

Construire le barycentre de 2 ou 3 points pondé-

rés.

Barycentre de plus de 2 points pondérés . Définition . Propriétés : - homogénéité ; _-_à --, - réduction de Ia somme o.lr{A + bMB + cMC - coordonnées du barycentre de 3 points ; - théorème des barycentres partiels.

Uülisations du barycentre . Nature des lignes de niveau

. Réduire

les expressions de la forme * ffu& ---+ --a ---) "fdt ou aMA + bMB + cMC. . Utiliser Ie théorème des barycentres partiels " d.ans les deux sens " : regroupement et dédoullement (il sera en particulier utilisé pour construire Ie barycentre de 3 points pondérés ou plus). . Utiliser I'outil barycentre pour résoudre des problèmes d'alignements ou de concours. r Déterminer et construire les lignes de niveau : - M'+ aMAz + b}l4Bz (a + b * o) ;

;

:

-Mr-+ c,}i/.-Lz +bMBz (a+b*o). * M "-+ MAz - MB2.

-M"

- M'+ MÂ2 M. -M--- MB

MA MB

MB2

ffi_

ilL

ïL ït_

;

ï_ "T

96

I

rl

,I Æ41

llJ

El

I

Exe'rcice.s du cours 0' Exercice 1.a 11 __) + -.- o. E;---+ ---à--"" 2222€A+ 3333GÉ = î

;

I

,+

zGA + 3Gb

-+

?

-) 0 Donc :AG =;^r. = ->

Exercice l.b p. 10 l.++--

On a : AÉ = 7AÉ = 7(æ-G7) -+ 1. On sait que z(NÂ,Ni]) = z(t\dÂ,M8); donc, (Na,NT) et (üa,vtl) sont égaux ou 'liffèrentp de â. Les points M et N n'appartenant pas au même demlplan de frontière .+ + (AB). (NA. NB) a pour:nesure s. - î8.

.

*,J

-

n. 31 l-

.^

Dans le cercle (tc), (o-È,Àô) est un angle au centre et

-,r

__

fÀÈ,Àèl

est un angle

----+qui interceptent le même arc donc tôÈ,Àbt = z(ÀÈ,Àô). I Exercice 2.f p. 36 .^ "ê + -| -+ ---> Dans le Ios"nge-ABCD : 2(BÂ,Èô) * z(À3,ÀË) = zâ ; d.onc , *u"(gf,.,Èt) = .,.'+ ..^ ----> ---+ --> --> --> --> -> -__> De plus : 2(CD,CÂ) = 72'

,''.*r

iuscrit ..,.r

*6' .,...r

-

TntooNorvtÉrRle

I

Exercice 3.a p. 36 Les résultats demandés sont regroupés daas le tableau suivant

:

Mesure de l'angle

Mesure principale

stnus

cosluus

_5n

1l

É

1

î

3

_tzttt _ 1999n 6

-2

5n

1-

,

6

29n

-4

4

z

{s

-z

1

^/5

_1

3n

1

.13

1

6

v5'

2

2.

_18

6

tangente

13

1

1

,,1?'

^1,

t) Exercice 3.b

p. 36 En utilisant les formules d'addition, on démontre ces égalités. r) Exercice 3.c cos a =

-*,J

p. 36

"o,

t) Exercice 3.d

Za =

4; tan 2cr = - 4\8.

p. 36

sin:(2r - U) = zd

+Lq\n

:

.

0 Exercice 3.e p. 36 r est un nombre réel différent d'un multiple entier de

. sin3x l.-

sln.r

ni

f,

donc cos .r É 0 et sin

cos3x _ sin3xcosx-cos3xsinx _ sin(3x-x'l

_ sin2x

cosr sin.rcos.r sinxcosx sinrcosx cos 3x n sin 5x cos 5x 2. oi§in-Er * -=--:=bJ =.7 sln.r cos .r = 4 cos Zx sln.r - cos .r = 4 COS 2X, --.---.--==.---=e

40

x * 0.

_ 2sin.rcos-r_ô sur.rccos.r

I

t...,

f" l

t.,l

r ,l

L

r

,t

,L

0 Exercice 3.f p. 36

u*Lrffg) . cos4r=(lËe)'=T(r *z "â, . sina, = (a=T§2.)' = + (, -, cos zx. LLfÆ)

r) Exercice 3.g

=**]"o. =

*-f

"o'

zx+f,cos4x. zx +

lcos

4x.

p. 36

1" 1+tan2x=cos2x+-sinzr cos'r = cos''r 3 7 bJsinx= 2. oJsinx= i COS.f =

1. 1I

rL

ffi

\m

ryi

cos'f,=

ÉeuATt o Nrs rRt G o x or,,tÉ lRIQUES t) Exercice A.ap,47

!.x=f

lznlour=

-f

z.x=iË t?t

tzr'1.

ou.tr=

-#t?,

l

[-

Dans sont:

2n

3,x= #t?lou-r=

-fttz"l.

; Zrc), les solutions

-fft-i,i,*.

t-

æ7n l',- 4

rl

0

n7x 7.'4 It'"

0 Exercice 4.b p. 41

L.x=[tz"lour=ff

2.x=f,tzr1

fzn:.

[-m; 3æ],Ies solutions sont n .5n .73n .17n

Dans

6 '

6'6'

Sn

llr

o

0

tÆ

1-

il-

,=-Ë til

i)

Exercice 4.d.p,47

cosr+Vâsin

*=ÿz

cos

(,

-i)

-

cos

f, *=#[zæ] ou *=frlzn).

t"-

/r ri

I

xÉouATtoNs rRrGoNor"tÉrntcruEs

t) Exercice l

lr

zcos(x

-

5.ap,42

i) - VI < o ê9

cos(x

-

i) . "o' ff,

L'ensemble des solutions dans R est la réunion des intervalles .l1,34 de Ia forme : + k.zn.', 17n * k.znl. k e z.

't--

'12

12

41 LM$i;'tî11y}jïily:fi,-;i:1:ï

tz"lou.r

=

-

#

1l

0 Exercice 4.c p. 47

De plus : (PQ, PR) = 1- (pR, QP) ; d'où, (PQ, PR) a pour_mes"r" ':-+ ^ te+ (ff, (Qrh, =(RF,RÔ) * et RÔ) Donc, a pour mesure - (+ = QF). = ---->

f) f

"

Par suite, le triangle PQR est isocèle de sommet P.

iÎ *,il

T '..i1

II iir

ô Exercice .^

4o.43 l^

__>

-_+ , . (BC,BA) et (CA, CB) ont pour mesure principale 1{ . (§À, SÈ) po* mesure principale 2: oi 1.2o". " . (§Â, Be1 a poru mesure principale - * or, - 90o. ---+

---->

^rt2 --> -+ . (§Â,É) :. (§Â,ÀË) -.u

a

pour mesure principaie

a

principaie pour mesure II6

f

ou 60o.

ou 30'.

5I ou 150".

IT

"il

l

l l

ô Exercice 5 p. 43 . (§À, SÏ) a pour mesure principale

_';* pour . (ffi,É) a mesure principale --+ ---> ^ ---+ ---+ . (BE,gL) (6,8-Â)

2!

o1r 72".

!-JI-

o, toa'.

ont même mesure principale

et

ô F.:cercice 6 p. 43 Soit O Ie centre du cercle (I). ----> ---|

----' +

+

-.t.ll+

^

^

-> (DB;DC) = æ- (OC,OB) = æ + (OB,OC)

(oA,pt) a pour mesure

ft + za (ou 2a

l l

t) Exercice 7 p.43 Les coordonrrées des points A et B sont:

^

I

l :

I

f ' "o'Ë ) etB 1

13'i"Ë/

5

cos(-f,)

-_->

\. soit : A

\ssin(-f,)/'

't

- r).

3v5

*, (?) ,

sÿz (_ ,1, ) 2

Exercice! p.eS

1.sinx=f, S, .oo ==-TEettanx=--l v52

3.

..->

^ AC =x+2{AB,

Donc,

il

ou 360.

o (BC,DA) a pour mesure principale n ou 180o.

J I

$

^'L15 --> +

sinr

232cosr

=- IÆ

;

=

m

et tanx =

2. cosr =

-*'

sinr = f

et

tæx = -

*

-3.

0 Exercice I p.43 SoitA = (cosr + sinr)2 - (cosr- sinr)2 ; B = (1 + cosï + sinr)z ; C = sinax + cosar ; D = sin6x + cos6r. A = cos2x + sinzr + 2 sinx cos.r - coszr - sinzx + 2 sinr co&r = 4 sinx cos-r = 2 sin2x. ' B = 1+cos2x+ sinzx+ 2 sinx+ 2 cosr+ 2 sinrcosr= 2 (1 + sinx) + 2 cosr (1 + sirt.r) = 2 (1 + sinx) (r + cosr). ' C - (sin2r + cos2x)z - 2 sinzxcoszr = L - 2 sinzx coszx.

'p=(sinzr+coslr)3-3sinzrcos4r-3sinaxcos2.r=1-3sinzxcos2r(sin2r+cos2x)=1-3sinzxcoszx.

L]

43

f* "...f-

l Exercice 1.0 p. 4g

ll t,

1. (cosr + sinr)z + (cosr- sinr)z = 7 + Zsinx cosr +

2.a)xvf+kzn

I

- Zsin-r cosx = 2.

-t+ÿi ul trr,* - v-l4 ' rcos-r

ou .x=N+lczn,kez

Axsteg AssoclÉs

rcosx-!

orr

-l

t -r,G Y ' 4-

!

ll-

Isinx__V7+7 4

l

L

,) Exercice 11 p. 43

i B=*sinx; C=cosr-sinr i

A=-'CoSn

0 Exercice tZ p, 43

sin$ + rl - ri"C -x; ùJZZ--2 3 3 cos (f; +x) + cos 3

/f -$

=

sinx

"oo+f,

$-r) 3--,2= { "or*-!i,

D=0.

\Æ

--ÿ*cos.r+f2 2

1- ÿi

"o' O

-

+

; donc : sinf,

ff = cos(f -f) = sinf, = æ;

Exercice

o cos

.

+

=

2

G:G

L:

I

.

= cos

't4p,4l

**Ë * kl

(k e Z),tan3x =

ffi*}

li

.

sin-S = sin(f-Ë)

3r=4 cos3x-3 cosr;sin 3x= B sinx_4 sinsr.

Pour

sinx= sinx.

sinr + *"oo*Ssinx=cosx. .

Fonr.,tutEs DE TRtGONOT*Érnre I Exercice 18 n- 43 t+ÿ2 coszf, = + - *P ; donc : cosf = \6;G sinzf; =

tF

q

f=

\ffi

t":

2

ti

tan2r

il

^ . t""ç = tanx :_' 1 - +^- --13 -3tanzx -LU- tanzr

I

Exercice 15 p. 43 1. A = "o'(# rra-) =

-

2.

A+B

= 2 cos

n

|

;

B= cos(ff *

#) = o.

fr cos #= +etA-B = 2 sinfi sin #=+ ; donc : cos fr

"or

$

t) Exercice 16 p. 44

Pourx. [o,f], 0 Exercice aJ cosr =

|

\ÆIEG

=

=

{ffi2xfioff

=

rio

# sin ff = f.

= IcosZr + sin2x

tt

p.44 et riro =

$

c/'12ÿ2 cos-L'; - -j- et sinx = -

Exercice tB p.44 a)coszx=* sin2x

[,

b/cosx=-+ et sinx=!-

t:

r)^-_ y5+1et.sinx . = r?-t :ffi. æ

t:

a/ cosrc =

ï=

I.

ü

O

"i

24 b)cos2x=-* el -- sinlx ----* - zs

=*

Exercice 79 p.44 A+B = 4 etA-B = 0 ; donc

c) -1 cos2x =

-

+ et sin2x = - +.

::

O

1 Exercice 2O p.44 soit A = 16 sin sin

fr

Donc : A = 16

:A =B = 2.

ff sin ff sin #

sinftsinff,

"otif,

cos

I

.

o"

",

ff î _ * # = î _ *

ft= 4 sinf

=

sin

u,

ff = +.ro# cosft= z sinË = r.

:l I

I

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Eou.lrroNs rRr c o NorrtÉTRrou I Exercice 27p.44 ol(r) é *=# trlo"r=o [æ] ci (3)