TD1 Correction [PDF]

Zitiervorschau

Théorie des Plaques et Coques TD1-correction ENSAM de Casablanca, Université HASSAN II Année Universitaire: 2019/2020

Problème 1: Partie I : Théorie de Love Kirchhoff et Mindlin: 1- Cocher la bonne réponse directement dans le tableau ?

La théorie des plaques est une théorie permettant de calculer les déformations et les contraintes dans une plaque soumise à des charges

Vrais

Faux

Vrais

Faux

Dans le cas de la théorie de Mindlin, les sections normales au feuillet moyen restent normales lors de la déformation

Vrais

Faux

L'épaisseur est faible; en conséquence, les contraintes dans le sens de l'épaisseur sont supposées nulles

Vrais

Faux

Vrais

Faux

Le plan moyen situé à équidistance entre les faces

La théorie des plaques épaisses a été consolidée par Mindlin

2

2- Donner le schéma équivalent au problème en représentant la plaque, les conditions aux bords et les chargements appliqués ?

 p

3- Exprimer le tenseur K dans la théorie de Love Kirchhoff, puis dans Mindlin ?

3

Théorie de Love Kirchhoff

Rappel: voir page 10

Réponse : w dépend juste de x1, donc:

w  w(x1 ) K11

2w  x12

K 22

 w  0 2 x 2

K12

2w  0 x1x 2

Théorie de Mindlin

Rappel: voir page 35

Réponse : w dépend juste de x1, donc:

w  w(x1 ), 1  1 (x1 ), 2  0 K11

 2 1  x12

K 22

 2 2  0 2 x 2

K12

1  1 2     0 2  x 2 x1 

2

4

4- Exprimer le tenseur K dans la théorie de Love Kirchhoff, puis dans Mindlin ? Rappel: voir page 17

M  D  (1  ) K    Trace(K)  où :

Trace(K)  K11  K 22

;



1 si      0 si   

donc :

M11  D  (1  ) K11  (K11  K 22 )  M 22  D  (1  ) K 22  (K11  K 22 )  M12  D  (1  ) K12  5

Réponse : Théorie de Love Kirchhoff

M11  D K11 2w =D x12 M 22  D K11 2w =  D x12 M12  0

Théorie de Mindlin

M11  D K11  2 1 =D x12 M 22  D K11  2 1 =  D x12 M12  0

6

5- Exprimer les équations d'équilibre local dans les deux théories ? Théorie de Love Kirchhoff Rappel: voir page 15 et 23

Première équation d'équilibre locale     p   p x , donc l’équation d’équilibre p  p x 3 et dans ce cas 3

Dans le cours locale s’écrit sous la forme suivante :

M  ,  p  0

7

(page 15)

Deuxième équation d'équilibre local

Donc on peut résumer les équations d’équilibre par les équation suivants:

  2 M  p 0   x  x    M   Q  0   x  

 M ,  p  0   M ,  Q  0

8

Théorie de Mindlin Rappel: voir page 43

(page 14)

M,  Q  0

Q  ,  p  0

9

Théorie de Mindlin Rappel: (page 15) (page 14)

(page 43)

M,  Q  0

Q  ,  p  0

Remarque :   Dans cet exercice p  p x 3 10

Donc les équations d’équilibre locales s’écrivent :

 M ,  Q  0   Q  ,   p  0 Réponse : Théorie de Love Kirchhoff

  M  ,  p  0    M  ,  Q   0   M  ,  Q   0   Q  ,  p  0   M11,1  Q1  0   Q1,1  p  0

Théorie de Mindlin

  M  ,  Q   0   Q  ,  p  0   M11,1  Q1  0   Q1,1  p  0

11

6- Exprimer les équations d'équilibre au bord x 2  L ? Théorie de Love Kirchhoff Rappel: voir page 27

Q   où :

M    s

F

 M     M

 : vecteur normale  : vecteur

tangente

(page 25)

12

bord x 2  L  p

 1    x1     0    x   0    2  1 

M     M   M     F Q   s  M11 (L) 1 1  M  M11 (L)   M    Q1 (L) 1  0  F  Q1 (L)  F 13

Théorie de Mindlin Rappel: voir page 43

M   M

Q    F

  M    M   Q    F   M11 (L) 1  M   Q1 (L) 1  F

 M11 (L)  M   Q1 (L)  F 14

Réponse : Théorie de Love Kirchhoff

 M     M   M     F Q    s   M11 (L)   M   Q1 (L)  F

Théorie de Mindlin

  M    M   Q    F  M11 (L)   M   Q1 (L)  F

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7- Donner la formulation du problème dans les deux théories ?

Théorie de Mindlin

Théorie de Love Kirchhoff

w(x1 ) ?  w(0)  0

w(x1 ) ?  x1

w  (0)  0 x1

 x1

1 (x1 ) ?

 w(0)  0

 x1

 1 (0)  0

 x1

 M11,1  Q1  0

 M11,1  Q1  0

 Q1,1  p  0

 Q1,1  p  0

 M11 (L)   M

 M11 (L)   M

 Q1 (L)  F

 Q1 (L)  F



La loi de comportement :  M  D (1  ) K    (K  )



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