Correction TD1 - Analyse Vibratoire [PDF]

Zitiervorschau

Correction TD1_Analyse vibratoire =0 1

2

1

2

1

2

•Calcul du Lagrangien du système : •Calcul de l’énergie cinétique du système : =

1 2

2

1

1+

1 2

2

2

2

Calculons les vitesses par rapport au repère fixe : ⃗ 1 =

⃗ 2 =

Khaled GAMMOUDI

1 1

= . = .

2 2

= . = .

1 1

⃗ 1 =

→

2 2

→

. ̇1 . − . ̇1 .

⃗ 2 =

1

. ̇2 . − . ̇2 .

1

2

2

CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA

1

2

1

2

:

2

= 2 . ̇12

1

= 2 . ̇22 =

Donc :

1 2

2

+

2

2

1

+

→

Comme

→

1

2

2.

2

= 2 . ̇22 2

2 . ̇2

2 2 2)

− .

= 2 . ̇12 2

1 2 ̇2 . . + 1 1

•Calcul de l’énergie potentielle du système : 1 (. = 2

2

−

. =1

donc : 2

1 (. = 2

1

− .

2 2)

−

. =1

Le lagrangien s’écrit : 2

̇1 , ̇2 ,

1, 2

=

−

= =1

1 2

1 (. . 2. ̇ 2 − 2

2 1

− .

2)

2

+

. =1

•Etablissement des équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations angulaires instantanées 1 ( ) 2 ( ) : ⎧ − =0 ̈1 + + ⎪ 1− 2 =0 ̇1 1 → Les équations différentielles couplées sont : ⎨ ⎪ ⎩

Khaled GAMMOUDI

̇2

−

=0

̈2 +

+

2

−

1

=0

2

CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA

2

1. Expression de 1 et 2 du système en fonction de g, k, l et m :

On considère les solutions du système de type sinusoïdales, soit : 1(

) = . . 2( )

( )=

+

=

avec :

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, on obtient un système linéaire symétrique suivant : 2

−

2

−

+

+

+

1

+

2

−

2

−

1

= 0 (∗)

= 0 (∗∗)

Le système admet des solutions non nulles si et seulement si : d’où : − 2 + +

−

− − → −

Khaled GAMMOUDI

2

+ + 2

+

+

=0 → −

2

2

+

−

−

det( ) = 0 2

+ +

+

+

−

2

=0

=0

CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA

3

, 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2

=

=

+

→

2

→

1

=

2

=

+

2

•Application numérique :

Calcul de

1 et



2: 1

=

9,81

=

0,8

= 3,5

2

=

9,81 0,8

+

2.9,2 0,1

= 14

/

•Modes propres :

=

1ER Mode :

2

=

−

2

1

1,

Khaled GAMMOUDI

1

+ +

 en premier mode, 2EME Mode :

pour

=

1(

= )

2

=1

d’après (*)

− + +

2(

pour

=1→

=

→

) sont en phase.

1

=1

d’après (*)

CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA

4

2

−

=

 en deuxième mode,

2

+ +

1

1(

)

= 2(

− −

2

+

+

= −1 →

=

−

→

) sont en opposition de phase.

La forme générale de la réponse du système est comme suit : 1(

) = ( ) 2

( )=

1.

= 1,

2,

1 et

2 sont

1.

.

1

+

1

+

2.

.

1

+

1

+

2.

. −

2

.

+

2

2

+

2

les inconnues à déterminer à partir de l’application des conditions initiales.

( 1) + 2. ( 2) = 0 = 1. (1) ( 1) − 2. ( 2) (2) 2 (0) = 0 = 1 . ̇ ( 1) + 2. 2. ( 2 ) (3) ⎨ 1 (0 ) = 0 = 1 . 1 . ⎪ ̇ (0 ) = 0 = . ( 1) − 2. 2. ( 2 ) (4) 1 1. ⎩ 2 Les équations (3) et (4) ne sont valables que si : ( 1) = ( 2) = 0 ⎧ ⎪

càd

1

=

2

1 (0)

= ⁄2

Khaled GAMMOUDI

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(1) et (2) s’écrivent : + 1−

1

donc :

= 0 → 2 =0

2

( )=

1

=

2

0 ⁄2

=

1(

) 0 = . 2 2( ) 0

=

2

.

.

1

.

1

+ +

) 0 = . 2 2( )

1+

2.

1(

) 0 = . 2 −2. 2( )

=

Khaled GAMMOUDI

− 2

1

et

=

.

−

.

2

.

2

1

−

2

2 2

− 2 1− 2

1

. .

+

2

2

+

2

+ 2

.

1

1+

2

2

−

2

Soit : 2

2

1(

( )=

( )=

2 0

0

+

2 2

1

CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA

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Application numérique : =

14 − 3,5 = 5,25 2

( )=

1(

) = 2( )

/

0.

=

(5,25. ). (5,25. ).

14 + 3,5 = 8,75 2

(8,75. ) (8,75. )

On peut prévoir le phénomène de modulation de l’amplitude.

Essayer de visualiser ce comportement sous Matlab.

/