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Correction TD1_Analyse vibratoire =0 1
2
1
2
1
2
•Calcul du Lagrangien du système : •Calcul de l’énergie cinétique du système : =
1 2
2
1
1+
1 2
2
2
2
Calculons les vitesses par rapport au repère fixe : ⃗ 1 =
⃗ 2 =
Khaled GAMMOUDI
1 1
= . = .
2 2
= . = .
1 1
⃗ 1 =
→
2 2
→
. ̇1 . − . ̇1 .
⃗ 2 =
1
. ̇2 . − . ̇2 .
1
2
2
CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA
1
2
1
2
:
2
= 2 . ̇12
1
= 2 . ̇22 =
Donc :
1 2
2
+
2
2
1
+
→
Comme
→
1
2
2.
2
= 2 . ̇22 2
2 . ̇2
2 2 2)
− .
= 2 . ̇12 2
1 2 ̇2 . . + 1 1
•Calcul de l’énergie potentielle du système : 1 (. = 2
2
−
. =1
donc : 2
1 (. = 2
1
− .
2 2)
−
. =1
Le lagrangien s’écrit : 2
̇1 , ̇2 ,
1, 2
=
−
= =1
1 2
1 (. . 2. ̇ 2 − 2
2 1
− .
2)
2
+
. =1
•Etablissement des équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations angulaires instantanées 1 ( ) 2 ( ) : ⎧ − =0 ̈1 + + ⎪ 1− 2 =0 ̇1 1 → Les équations différentielles couplées sont : ⎨ ⎪ ⎩
Khaled GAMMOUDI
̇2
−
=0
̈2 +
+
2
−
1
=0
2
CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA
2
1. Expression de 1 et 2 du système en fonction de g, k, l et m :
On considère les solutions du système de type sinusoïdales, soit : 1(
) = . . 2( )
( )=
+
=
avec :
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, on obtient un système linéaire symétrique suivant : 2
−
2
−
+
+
+
1
+
2
−
2
−
1
= 0 (∗)
= 0 (∗∗)
Le système admet des solutions non nulles si et seulement si : d’où : − 2 + +
−
− − → −
Khaled GAMMOUDI
2
+ + 2
+
+
=0 → −
2
2
+
−
−
det( ) = 0 2
+ +
+
+
−
2
=0
=0
CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA
3
, 2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
=
=
+
→
2
→
1
=
2
=
+
2
•Application numérique :
Calcul de
1 et
2: 1
=
9,81
=
0,8
= 3,5
2
=
9,81 0,8
+
2.9,2 0,1
= 14
/
•Modes propres :
=
1ER Mode :
2
=
−
2
1
1,
Khaled GAMMOUDI
1
+ +
en premier mode, 2EME Mode :
pour
=
1(
= )
2
=1
d’après (*)
− + +
2(
pour
=1→
=
→
) sont en phase.
1
=1
d’après (*)
CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA
4
2
−
=
en deuxième mode,
2
+ +
1
1(
)
= 2(
− −
2
+
+
= −1 →
=
−
→
) sont en opposition de phase.
La forme générale de la réponse du système est comme suit : 1(
) = ( ) 2
( )=
1.
= 1,
2,
1 et
2 sont
1.
.
1
+
1
+
2.
.
1
+
1
+
2.
. −
2
.
+
2
2
+
2
les inconnues à déterminer à partir de l’application des conditions initiales.
( 1) + 2. ( 2) = 0 = 1. (1) ( 1) − 2. ( 2) (2) 2 (0) = 0 = 1 . ̇ ( 1) + 2. 2. ( 2 ) (3) ⎨ 1 (0 ) = 0 = 1 . 1 . ⎪ ̇ (0 ) = 0 = . ( 1) − 2. 2. ( 2 ) (4) 1 1. ⎩ 2 Les équations (3) et (4) ne sont valables que si : ( 1) = ( 2) = 0 ⎧ ⎪
càd
1
=
2
1 (0)
= ⁄2
Khaled GAMMOUDI
CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA
5
(1) et (2) s’écrivent : + 1−
1
donc :
= 0 → 2 =0
2
( )=
1
=
2
0 ⁄2
=
1(
) 0 = . 2 2( ) 0
=
2
.
.
1
.
1
+ +
) 0 = . 2 2( )
1+
2.
1(
) 0 = . 2 −2. 2( )
=
Khaled GAMMOUDI
− 2
1
et
=
.
−
.
2
.
2
1
−
2
2 2
− 2 1− 2
1
. .
+
2
2
+
2
+ 2
.
1
1+
2
2
−
2
Soit : 2
2
1(
( )=
( )=
2 0
0
+
2 2
1
CORRECTION TD1_ANALYSE VIBRATOIRE_MMI2 _ISSAT GAFSA
6
Application numérique : =
14 − 3,5 = 5,25 2
( )=
1(
) = 2( )
/
0.
=
(5,25. ). (5,25. ).
14 + 3,5 = 8,75 2
(8,75. ) (8,75. )
On peut prévoir le phénomène de modulation de l’amplitude.
Essayer de visualiser ce comportement sous Matlab.
/