Chapitres 9 A 11 - Poutres Continues - A [PDF]

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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

___________

" BETON ARME " Chapitres 9 à 11 : Calcul des poutres continues Méthode de la redistribution limitée Méthode forfaitaire Méthode de Caquot

(Code CCV109)

Enseignant: J. PAÏS

2012 - 2013

CNAM CCV109 – Béton armé

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Sommaire 9.

METHODE DE LA REDISTRIBUTION LIMITEE. ........................................................................... 4 9.1. 9.2. 9.2.1. 9.2.2. 9.3. 9.4. 9.4.1. 9.4.2. 9.4.3. 9.5. 9.6. 9.6.1. 9.7. 9.7.1. 9.7.2. 9.7.3. 9.8. 9.8.1. 9.8.2. 9.8.3. 9.8.4.

10.

INTRODUCTION ......................................................................................................................... 4 RAPPELS SUR LE THEOREME DES 3 MOMENTS (FORMULES DE CLAPEYRON) ................................ 5 Présentation de la méthode ............................................................................................... 5 Exemple de calcul .............................................................................................................. 6 PHENOMENE D’ADAPTATION DU BETON ARME ............................................................................. 8 PORTEE A PRENDRE EN COMPTE DANS LES CALCULS ................................................................ 11 Poutres sur appareils d’appuis ........................................................................................ 11 Poutres reposant sur un massif ou un mur en maçonnerie ............................................. 11 Autres cas (cas les plus courants dans le bâtiment) ....................................................... 11 METHODES DISPONIBLES DANS L’EN1992-1-1 ......................................................................... 11 ANALYSE ELASTIQUE-LINEAIRE AVEC REDISTRIBUTION LIMITEE (§5.5) ........................................ 12 Coefficient de distribution ................................................................................................ 12 EXERCICE 1 : REDISTRIBUTION LIMITEE – POUTRE A TROIS TRAVEES. ........................................ 14 Hypothèses de calcul. ...................................................................................................... 14 Calcul des sollicitations. ................................................................................................... 15 Vérification si redistribution possible ............................................................................... 17 EXERCICE 2 : REDISTRIBUTION LIMITEE - POUTRE CONTINUE A 2 TRAVEES ................................. 18 Estimations des charges – Cas à étudier ........................................................................ 19 Calcul des sollicitations – Charge unitaire. ...................................................................... 20 Calculs des sollicitations – Combinaisons d’actions........................................................ 23 Vérification si redistribution possible ............................................................................... 25

METHODE FORFAITAIRE ...................................................................................................... 27

10.1. DOMAINE D’APPLICATION......................................................................................................... 27 10.2. PRINCIPE DE LA METHODE – ADAPTATION ................................................................................ 27 10.3. MOMENTS FLECHISSANTS ....................................................................................................... 28 10.3.1. Condition à satisfaire ................................................................................................... 28 10.3.2. Valeurs minimales des moments Mt, Me et Mw ............................................................ 29 10.3.3. Mode opératoire .......................................................................................................... 29 10.3.4. Arrêt des barres ........................................................................................................... 29 10.4. EFFORTS TRANCHANTS ........................................................................................................... 30 10.4.1. Remarque préliminaire ................................................................................................ 30 10.4.2. Calcul des efforts tranchants ....................................................................................... 31 10.5. EXERCICE 1 : POUTRE CONTINUE A DEUX TRAVEES INEGALES ................................................... 32 10.6. EXERCICE 2 : POUTRE CONTINUE A TROIS TRAVEES INEGALES .................................................. 33 10.6.1. Détermination des sollicitations ................................................................................... 33 10.6.2. Détermination des armatures – Ferraillage réel .......................................................... 34 11.

METHODE DE CAQUOT ......................................................................................................... 37

11.1. DOMAINE D’APPLICATION......................................................................................................... 37 11.2. PRINCIPE DE LA METHODE ....................................................................................................... 37 11.3. CALCUL DES MOMENTS SUR APPUIS ......................................................................................... 38 11.3.1. Cas des charges réparties .......................................................................................... 38 11.3.2. Cas des charges ponctuelles ...................................................................................... 42 11.3.3. Cas des consoles ........................................................................................................ 44 11.4. CALCUL DES MOMENTS EN TRAVEE .......................................................................................... 45 11.5. CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS ........................................................................................ 48 11.6. REACTIONS D’APPUIS .............................................................................................................. 49 11.7. METHODE DE CAQUOT MINOREE. ............................................................................................ 49 11.8. EXERCICE 1 POUTRE CONTINUE A 2 TRAVEES........................................................................... 49 11.8.1. Moment maximum sur l’appui B .................................................................................. 50 11.8.2. Moment en travée AB .................................................................................................. 50 11.9. EXERCICE 2 POUTRE CONTINUE A 3 TRAVEES........................................................................... 52 11.9.1. Recherche des moments sur appuis ........................................................................... 52 11.9.2. Recherche des moments sur la travée 1..................................................................... 53

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11.9.3. 11.9.4.

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Recherche des moments sur la travée 2..................................................................... 55 Analyse détaillée de la travée 2. ................................................................................. 57

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9. Méthode de la redistribution limitée. 9.1. Introduction La plupart des poutres des projets "réels" ne se limitent pas à de simples poutres isostatiques mais plutôt à des poutres reposant sur plusieurs appuis successifs appelées "Poutres continues". La continuité d'une poutre se traduit par:  Une continuité des déformations, et notamment des rotations.  Des moments sur appuis non-nuls permettant d'assurer cette continuité. Une poutre continue est donc un système hyperstatique dont le nombre d'inconnues est égal au nombre d'appuis intermédiaires. La résolution d'un tel système passe par le théorème des trois moments qui permet:  Déterminer les moments sur appuis à partir de la continuité des rotations.  Déterminer les équations du moment fléchissant et de l'effort tranchant le long de la poutre. Pour calculer une poutre continue, on suivra donc le cheminement suivant:  Calcul des rotations des travées isostatiques.  Détermination des moments sur appuis de la poutre continue.  Détermination des sollicitations internes (moment de flexion et effort tranchant).  Détermination des réactions d'appuis. Pour le cas particulier des poutres continues en béton armé, la continuité sera assurée par des armatures, placées en fibre supérieure, au-dessus des appuis. Ces armatures sont communément appelées « armatures de chapeaux ». Ci-dessous, un plan de ferraillage type d’une poutre continue :

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9.2. Rappels sur le théorème des 3 moments (formules de Clapeyron) 9.2.1.

Présentation de la méthode

On considère que les sollicitations le long d’une poutre continue M(x) et V(x) peuvent se calculer travée par travée en isolant chacune d’elles et en incluant leurs efforts aux appuis (moments de continuité) dus à cette continuité.

i-1

i

i+1

Gi-1

Gi

Gi+1

li

Mi-1

ω’’i

ω’i

Travée de référence isostatique soumise aux mêmes charges  

Mi

i

Les sollicitations sont Miso(x) et Viso(x), les moments de continuité sont notés Mi-1 et Mi Les rotations de la travée i sont notées ω’i pour l’appui gauche et ω’’i pour l’appui droit.

Le principe de la méthode des 3 moments : Pour une travée quelconque i d’une poutre continue, soumise à l’action d’un système quelconque de charges. 1- On commence par déterminer les moments sur appuis : 

bi x Mi-1 + (ci + ai+1) Mi + bi+1 x Mi+1 =



ai = 2 x bi = ci =



Ii = moment d’inertie de la travée li



 'i 1

et

 'i 1  ' 'i

li si Ii = Cste 3EI i

Autant d’équations intermédiaires

que

d’appuis

 ' 'i  rotations sur l’appui Gi des travées

de référence encadrant cet appui

2- On obtient ensuite les moments et efforts tranchants dans la travée continue :

M( x )  M iso ( x )  M i 1 (1  V( x )  Viso( x ) 

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x x )  Mi li li

M i  M i 1 li

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Pour un cas de charge donné (en tenant compte de la discontinuité due aux charges concentrées) le moment maximal en travée est obtenu en écrivant : V(x0) =

dM = 0 => x0 = abscisse du point M = Mmax dx

d’où

 x Mmax = M iso x 0   M i 1 1  0 li 

 x   M i 0 li 

Connaissant les efforts tranchants au droit des appuis intermédiaires, on peut en déduire facilement les réactions d'appuis correspondantes :  Soit Ri, la réaction d'appui à l'appui "i".  "V'i+1" l'effort tranchant "gauche" de la travée i+1  " V''i" l'effort tranchant "droit" de la travée i

On a :

9.2.2.

Ri  Vi' 1  Vi ''

Exemple de calcul

q

EI G0

EI G1

l

G2

l

Sachant que M0 et M2 sont nuls, le théorème des 3 moments nous permet d’écrire que : 0 0   ql 3 ql 3 l  ql 3  l    b  M 0  c  a   M 1  b  M 2   2  1        M1   24 EI 24 EI 12 EI  3EI 3EI  2 ql  M1   8

D’où 

Pour la travée 1 :

Mx  

qx l  x  3ql qx 2  x  x  qx l  x  ql  M 0  1    M 1      x x 2 l 2 8 8 2  l

V( x ) 

dM iso ( x ) V  V0 3ql 9ql 2 3l  VIsostatique x   1   qx  V( x )  0 quand x  et M max  dx l 8 8 128

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M(x) M max 

x

G0

7

9ql 2 128

3l 8

G1

G2

M1  

V(x)

ql 2 8

5ql 8

3ql 8

 R0  R2  D’où :

R1 

3ql 8

5ql 8

3ql 8

5ql 4

ATTENTION, les diagrammes ci-dessus sont représentés dans une convention classique, à savoir que le moment positif (en travée) est dessiné vers le haut. Bien souvent, dans une convention « Béton Armé », on dessine les moments en travée (donc positifs) vers le bas et les moments sur appuis (donc négatifs) vers le haut, afin d’indiquer la position des armatures tendues correspondantes.

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9.3.

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Phénomène d’adaptation du béton armé

On vient donc de voir que la continuité d’une poutre engendre des moments négatifs (d’après notre convention) sur appuis. On doit donc se poser la question du comportement du béton armé vis-à-vis de cette continuité. Pour cela, on étudie 3 cas de figures pour détecter les modes de ruine et les sollicitations correspondantes. 1. Considérons une poutre isostatique sur deux appuis simples, avec une section d’armatures A0, soumise à l’action d’une charge concentrée P appliquée à mi-portée. On augmente ensuite la charge P jusqu’à rupture de la poutre :

A la rupture, on a une charge P=Pu et un moment correspondant

Mu 

Pu .L 4

2. On étudie ensuite la même poutre, avec la même section d’armatures A0, encastrées à ses deux extrémités. Lorsque l’on augmente la charge P, On a une fissuration des appuis, et on retrouve le comportement de la poutre isostatique étudiée précédemment :

A la rupture, on retrouve la même valeur de moment

Mu 

Pu .L 4

3. Si on prend la même poutre bi-encastrée avec cette fois-ci une section d’armatures A0 placée en fibre supérieure, on a une fissuration au milieu de la poutre qui travaille ensuite comme deux consoles nez à nez.

A la rupture, on retrouve la même valeur de moment

Indice A

Mu 

Pu .L 4

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En comparant ces 3 essais, on se rend donc compte que la charge de rupture (identique dans les 3 cas) ne dépend que de la section d’aciers A0 correspondant au fonctionnement isostatique (sur deux appuis simples), indépendamment de la position de ces aciers. D’une manière plus générale, on est assuré d’avoir une marge permettant un transfert partiel de moment des appuis vers la travée, ou réciproquement, sans que ce transfert compromette la sécurité vis à vis de la rupture en adoptant :

Si l’on multiplie cette inégalité par zb x

s,

il vient puisque l’on a M = A x zb x

Mt 

s

Mw  Me  M0 2

Ainsi, une poutre en béton armé se comporte comme elle a été calculée. La fissuration des sections les moins armées permet une distribution des moments qui diffère de la distribution théorique. C’est ce que l’on appelle le PHENOMENE D’ADAPTATION DU BETON ARME. Par exemple, dans le cas d’une poutre continue à plusieurs travées, s’il y a fissuration sur appui (aciers en face supérieur), le moment réel repris par l’appui sera inférieur au moment théorique calculé par la méthode des 3 moments. Dans ce cas, la redistribution des efforts fait qu’il y aura une augmentation du moment en travée :

De plus, la méthode RDM se base sur un matériau homogène et sur l’hypothèse (dans le cas des sections en T) que la largeur de la table de compression est constante sur toute la longueur de la travée. En Béton Armé, on a des hypothèses quelque peu différentes :  On est dans le cas d’un matériau hétérogène puisque l’inertie d’une poutre BA dépend de la section de béton et de la quantité et position des armatures.  La largeur de la table de compression prise en compte dans les calculs varie le long de la poutre : o En travée, on considère la totalité de la table qui est en partie supérieure (zone comprimée). o Sur appui, on ne considère par de table de compression car la fibre supérieure est tendue. o Entre les deux, on a une variation de la largeur à considérer (voir schéma ci-dessous issu du BAEL 91).

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10

l2

l1 Arc tg 2/3

MIN (l1/10; lt/2) MIN(l2/10; lt/2) lt

Appui intermédiaire

appui de rive

Pour toutes ces raisons, il est possible d’appliquer aux planchers en béton armé des méthodes de calcul différentes des méthodes de continuité théoriques et de limiter l’influence des charges aux travées voisines de celle que l’on étudie. Attention, en ce qui concerne la fissuration :  Sous l’action des charges variables, les éléments par les méthodes de la continuité théorique classique se comportent mieux et ont une meilleure tenue dans le temps que les éléments calculés par les méthodes empiriques.  Ce phénomène est d’autant plus marqué que les charges variables surpassent davantage les charges permanentes. D’où les deux méthodes simplifiées de calcul des poutres continues de planchers, fonction de l’intensité des charges d’exploitation :  La METHODE FORFAITAIRE (annexe E.1 du BAEL) pour les éléments supportant des charges d’exploitation modérées, décrites ci-après.  La METHODE DE CAQUOT (annexe E.2 du BAEL) pour les éléments supportant des charges d’exploitation élevées décrite dans le chapitre suivant. Comme on peut le constater, ces méthodes sont issues du BAEL, qui est l’ancienne réglémentation française. Ces deux méthodes ne sont pas reprises dans l’EC2, ni dans l’annexe nationale. Par contre, la France autorise leur application dans les recommandations professionnelles éditées par la FFB (Fédération Française du Bâtiment). La France a donc réussi à conserver ces méthodes de dimensionnement avec deux remarques importantes :  Concernant la méthode forfaitaire, celle-ci doit plutôt être réservée à des avant-projets ou à des méthodes de pré dimensionnement rapide des éléments continus.  La méthode forfaitaire et la méthode de Caquot doivent être appliquées en considérant dans la plupart des cas une portée entre-nu (voir ci-dessous), contrairement à ce qui est préconisé dans l’EC2, qui demande de faire un calcul des sollicitations avec les portées entre-axes puis de retenir les moments aux nus des appuis pour calculer les sections d’aciers théoriques.

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9.4.

11

Portée à prendre en compte dans les calculs 9.4.1.

Poutres sur appareils d’appuis

li = portée mesurée entre points d’application des résultantes des réactions d’appui (axes des appuis)

li

9.4.2.

li+1

Poutres reposant sur un massif ou un mur en maçonnerie

b l  L  2 = portée mesurée entre points d’application des résultantes des réactions d’appui. 3

R

b/3 L

9.4.3.

Autres cas (cas les plus courants dans le bâtiment)

l = portée mesurée entre nus d’appui.

li

9.5.

li+1

Méthodes disponibles dans l’EN1992-1-1

La section 5 de l’EN1992-1-1 (EC2) définit plusieurs méthodes pour déterminer les sollicitations d’une poutre-continue :  Article 5.4 => analyse élastique linéaire. Il s’agit simplement de l’application pure du théorème des 3 moments => non adaptée aux éléments de béton armé pour les raisons que l’on vient de voir précédemment.  Article 5.5 => analyse élastique linéaire avec redistribution limitée des moments => bien adaptée pour les éléments en béton armé.  Article 5.6 => Analyse plastique => bien adaptée aux éléments en béton armé mais plus complexe à mettre en œuvre. La théorie plastique ne peut s’appliquer que pour des éléments suffisamment ductile, dans lesquels pourront se développer des rotules plastiques. Cette méthode ne sera applicable qu’à l’ELU.  Article 5.7 => analyse non-linéaire. Cette méthode tient compte de la non-linéarité du béton et n’est applicable qu’à l’ELU. Dans ce cours, nous détaillerons uniquement la méthode de redistribution limitée, en ce qui concerne l’application de l’EN 1992-1-1.

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9.6.

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Analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée (§5.5) 9.6.1.

Coefficient de distribution

ère

La 1 étape de cette méthode consiste à déterminer les moments en travée et sur appui, à partir du théorème des trois moments. On redistribue ensuite la courbe de moment pour tenir compte du phénomène d’adaptation du béton. L’EC2 indique qu’il est possible de redistribuer les moments de flexion sous trois conditions :  La nouvelle redistribution doit satisfaire l'équilibre avec les charges appliquées. Ce qui veut dire qu’une réduction des moments sur appuis sera forcément équilibrée par une augmentation des moments en travée. La réduction sur appui se fait en multipliant le moment RDM par un coefficient de redistribution noté .  Le calculateur doit vérifier les valeurs minimum du coefficient de réduction noté  (rapport du moment après redistribution au moment avant redistribution).  La redistribution n’est applicable que pour les éléments principalement sollicités en flexion et dont le rapport entre portées adjacentes est compris entre 0,5 et 2. Les valeurs du coefficient  sont les suivantes :

xu pour f ck  50MPa d x   k3  k 4 . u pour f ck  50MPa d

  k1  k 2 .

  Avec  

d qui représente la hauteur utile de la section. xu qui représente la profondeur de l’axe neutre après redistribution.

Dans tous les cas, la valeur de  doit toujours être supérieure à :  0.7 pour les aciers ductiles ou très ductiles (classes B ou C).  0.8 pour les aciers peu ductiles (classe A). Les coefficients k1, k2, k3 et k4 peuvent être fixés par les différentes annexes nationales. Le texte de base de l’EC2 (ainsi que l’AN française) propose les valeurs suivantes :  k1  0.44   

 0.0014   k 2  1.25 0.6   cu 2   k3  0.54

 0.0014   k 4  1.25 0.6   cu 2  

Il faut noter que pour des aciers avec

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f ck  50MPa , on a  cu 2  0.0035 et k2  k4  1.25 .

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Ces valeurs peuvent se résumer dans le tableau suivant (issu de l’ouvrage de Thonier) : Classe de l’acier

f ck  50MPa

A (peu ductile)

  0.44  1.25

xu  0.8 d

B ou C (ductile ou très ductile)

  0.44  1.25

xu  0.7 d

f ck  50MPa



  0.54  1.25 0.6 

0.0014  xu   0.8  cu 2  d

  0.0014  xu   0.7   0.54  1.25 0.6   cu 2  d 

Deux remarques sont intéressantes à faire :  On voit bien que le processus de détermination du coefficient  est un processus itératif car il faut connaître le moment redistribué pour connaître la valeur de . Henry Thonier (pages 10 et 11 de son ouvrage) propose des abaques ou un tableau pour permettre de déterminer ce coefficient :

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ATTENTION, que l’on redistribue ou pas les moments sur appuis, l’EC2 indique que dans le cas d’une poutre sur appui monolithique, on peut prendre en compte le moment au nu de l’appui sous réserve que ce dernier soit au moins égal à 65% du moment d’encastrement, pour le calcul des armatures. 

De plus, l’EC2 indique : quelle que soit la méthode d’analyse employée, lorsqu’une poutre ou une dalle est continue au droit d’un appui supposé ne pas créer de gêne à la rotation (au droit d’un voile par exemple), le moment de calcul sur appui, déterminé pour une portée égale à l’entraxe des appuis, peut-être minoré d’une valeur

M Ed 

o

FEd ,sup : valeur de calcul de la réaction d’appui.

o

t : profondeur de l’appui.

FEd ,sup.t 8

, avec :

Plusieurs remarques quant à la valeur limite de  :  Pour les ponts, le coefficient de redistribution est limité à 0.85.  Pour la justification au feu, l’EC2 limite le coefficient  à 0.85 également.  Sauf limitation indiquée ci-dessus, il est courant de trouver une valeur de  proche de 0.80, ce qui nous ramène à la méthode de Caquot indiquée ci-après.

9.7.

Exercice 1 : redistribution limitée – Poutre à trois travées. 9.7.1.

Hypothèses de calcul.

Prenons la poutre continue suivante :

T1

T2

T3 50 cm

A1

6m

A2

A3

7m

5m

A4 30 cm

Les hypothèses sont les suivantes :  Charges permanentes : G= 32 KN/m.  Charges d’exploitation : Q= 19 KN/m.

fck  30Mpa et f cd 



Béton :



Acier :



Hauteur utile : d=0,45m.

f ck

b



30  20Mpa . 1,5

f yk  500Mpa (acier de classe A)

La largeur des appuis est la suivante :  30cm pour les appuis de rive.  40cm pour les appuis intermédiaires. Pour la suite des calculs, on considère les chargements suivants :  Travées chargées à 1.35G+1.5Q soit 1.35*32+1.5*19= 71.70KN/m  Travées chargées à 1.35G soit 1.35*32= 43.20 KN/m

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Les portées de calcul sont égales aux portées entre-axes : ère  6,35m pour la 1 travée. ème  7,40m pour la 2 travée. ème  5,35m pour la 3 travée.

On étudie les cas suivants :  Cas a : travée centrale chargée :



Cas b : travées de rive chargées :



Cas c : 2 premières travées chargées :



Cas d : 2 dernières travées chargées :

9.7.2.

Calcul des sollicitations.

Pour chacun de ces cas, on calcule les moments sur appuis par la méthode des 3 moments, sans aucune redistribution. On obtient les diagrammes de moment ci-après (attention, ces diagrammes sont issus d’un logiciel de calcul aux éléments finis, et la convention des signes est inversée par rapport au cours) : 

Cas a : travée centrale chargée :

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

Cas b : travées de rive chargées :



Cas c : 2 premières travées chargées :



Cas d : 2 dernières travées chargées :

Qui se résument dans ce tableau : Moments sur appuis en KN.m Appui / Cas

A1

A2

A3

A4

Cas a

0

-293.5

-264.5

0

Cas b

0

-272.1

-200.3

0

Cas c

0

-365.5

-243.6

0

Cas d

0

-281

-310.9

0

Il est important de noter les points suivants :  Le « cas a » nous donne le moment maximal en travée centrale (M= 211.87) avec les moments concomitants sur appuis lus dans le tableau ci-dessus.  Le « cas b » correspond au moment maximal dans les travées de rive.

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9.7.3.

17

Vérification si redistribution possible

En théorie, on peut calculer pour chaque combinaison, un coefficient de redistribution par appui. Pour des raisons économiques, on fait le choix de conserver les moments maximaux en travée et de réduire les moments sur appuis en s’assurant que la redistribution ne vienne pas augmenter ces moments en travée. Vérification si redistribution possible sur l’appui A2.  Le moment maximal sur appui est donc de 365.5 KN.m.  Cette valeur correspond au moment

réduit

suivant :

M 0.3655    0.300 b.d ². f cd 0.3  0.45²  20 

En appliquant le graphe ou le tableau précédent, on s’aperçoit que l’on a le droit à aucune redistribution car   0,294 .

Vérification si redistribution possible sur l’appui A3.  Le moment maximal sur appui est donc de 310.9 KN.m.

M 0.3109   0.256 b.d ². f cd 0.3  0.45²  20



Cette valeur correspond au moment réduit suivant :  



En appliquant le graphe ou le tableau précédent, on s’aperçoit que l’on peut appliquer un coefficient de réduction de 0.804.

Equilibre de la poutre avant redistribution D’après les calculs précédents, on peut extraire les moments sur appuis correspondants aux moments max en travée : Intitulé

Cas correspondants

Appui A2 (KN.m)

Appui A3 (KN.m)

Moment sur appui correspondant au moment en travée maximal.

Min. des cas a et b

-293.5

-264.5

Moment sur appui maximal

Min. des cas c et d

-365.5

-310.9

-

0.8035

0.8507

Rapport M/Mmax

Ce tableau nous permet de voir que sur l’appui A3, il faut limiter le coefficient de redistribution à 0.8507 si on ne veut pas augmenter le moment en travée. On retient donc   0.8507 . On voit donc que l’économie d’acier (directement liée à l’économie de moment) est donc de

1

264.5  0.149 soit 14.9%. 310.9

L’article 53.2.2 (3) de l’EC2 indique : Lorsqu’une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme moment déterminant de calcul le moment au nu de l’appui à condition que cette valeur soit au moins égale à 65% du moment à l’axe. Dans l’exemple précédent, après redistribution, on a un moment sur l’appui A3 de 264.5 KN.m. L’équation du moment pour une poutre continue soumise à une charge répartie vaut :

M ( x) 

p.x( L  x) x x  .M e  (1  ).M w 2 L L

Calculons les moments aux nus (gauche et droite) de l’appui A3, pour le cas d.

Indice A

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

18

A gauche de l’appui A3 (travée 2) : o P=71.7 KN/m o Mw= -281 KN.m o Me= -264.5 KN.m o x= 7.20m o Mnu= -213.4 KN.m (soit un gain de 19%) par rapport au moment au nu. A droite de l’appui A3 (travée 3) : o P=71.7 KN/m o Mw= -264.5 KN.m o Me= 0 KN.m o x= 0.20 m o Mnu= -217.7 KN.m (soit un gain de 17.7%) par rapport au moment au nu.

Les aciers sur l’appui A3 seront donc calculés avec un moment de 217.7 KN.m (en valeur absolue). ATTENTION, les réactions d’appuis doivent être calculées avec les moments à l’axe, conformément à ce qui est défini dans la norme EN1992-1-1.

9.8.

Exercice 2 : redistribution limitée - poutre continue à 2 travées

Le but est de calculer la poutre suivante (indiquée en rouge) :

Les hypothèses de calcul sont les suivantes :  Dimensions de la poutre : 20x50cm  Matériaux : o Béton C30/37 o Acier S500B  Chargement : o Poids propre de la dalle et de la poutre. o Surcharge d’exploitation de 1,5 KN/m². L’objectif est de déterminer les sollicitations le long de la poutre en appliquant la méthode de la redistribution limitée.

Indice A

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9.8.1.

19

Estimations des charges – Cas à étudier

Pour estimer les charges, on considère que la poutre reprend une bande de chargement de 6.2m. Charges permanentes :  Poids propre de la poutre : 0.20x0.50x25= 2.5KN/ml  Poids propre de la dalle : (6.20-0.20)x0.20x25= 30 KN/ml  Charge totale : G=32.50 KN/ml Surcharges d’exploitation :  Q= 6.20x1.50= 9.30 KN/ml Attention, conformément aux prescriptions de l’Eurocode, la poutre devra être calculée en considérant les portées en axe, ce qui nous donne le schéma mécanique suivant :

Pour avoir les courbes de moments enveloppes, il faut étudier la poutre en considérant les différents cas en travées « chargées-déchargées ». Les cas à étudier sont donc les suivants : 

Cas 1 => les deux travées chargées en Q :

Ce cas de charge nous donnera le moment max sur appui central. 

Cas 2 => 1

ère

travée chargée en Q :

ère

Ce cas de charge nous donnera le moment max sur la 1

Indice A

travée.

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Cas 3 => 2

ème

20

travée chargée en Q :

Ce cas de charge nous donnera le moment max sur la 2

ème

travée.

Les valeurs affichées à droite correspondent à la charge linéaire pondérée (en KN/ml) pour les combinaisons « 1.35G » ou « 1.35G+1.50Q » en fonction des cas.

9.8.2.

Calcul des sollicitations – Charge unitaire. er

Nous allons, dans un 1 temps, calculer les sollicitations (effort tranchant et moment de flexion) pour des chargements unitaires. On déterminera ensuite les sollicitations pour les cas pondérés à partir du principe de superposition. Pour chacun des cas, on appliquera les formules suivantes :  Calcul des moments sur appui : bi x Mi-1 + (ci + ai+1) Mi + bi+1 x Mi+1 = o

ai = 2 x bi = ci =

o

 'i 1

et

 'i 1  ' 'i

li 3EI i

 ' 'i  rotations sur l’appui Gi des travées

de référence encadrant cet appui.

Dans le cas d’une charge uniformément répartie, on a :   o 

q.li31 24 EI q.li3  ' 'i  24 EI

 'i1  

La poutre étant de section constante et de même qualité de béton sur les deux travées, on peut simplifier les termes en EI.

Calcul des moments et efforts tranchants le long des travées :

o

x x M ( x)  M iso ( x)  M i 1 (1  )  M i li li M i  M i 1 V ( x)  Viso ( x)  li

er

Dans un 1 temps, on appliquera donc les équations précédentes en considérant q=1 (chargement unitaire). Dans tous les cas, on a M1= M3= 0 qui correspond aux appuis de rives.

Indice A

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21

9.8.2.1. 1ère travée chargée. On détermine les sollicitations pour le cas de chargement suivant :

Le théorème des trois moments pour l’appui 2 et la travée 1 nous donne :

Ce qui nous donne la courbe de moment suivante :

Indice A

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22

9.8.2.2. 2ème travée chargée. Cela correspond au cas suivant :

Le théorème des 3 moments pour l’appui 2 et la travée 2 nous donne :

Soit la courbe de moment suivante :

A partir de ces courbes de moments correspondant aux cas unitaires, nous allons pouvoir en déduire les courbes de moments pour les combinaisons à étudier.

Indice A

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9.8.3.

23

Calculs des sollicitations – Combinaisons d’actions

9.8.3.1. Combinaison – Cas 1 Le cas 1 (deux travées chargées simultanément) correspond au chargement suivant :

Par superposition des cas unitaires traités précédemment, on trouve la courbe de moment suivante :

9.8.3.2. Combinaisons – Cas 2 Le cas 2 (1

Indice A

ère

travée chargée en Q) correspond au chargement suivant :

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24

Par superposition des cas unitaires, on obtient la courbe de moment suivante :

9.8.3.3. Combinaison - Cas 3 Le cas 3 (2

ème

travée chargée en Q) correspond au chargement suivant :

Par superposition des cas unitaires, on obtient la courbe de moment suivante :

Indice A

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25

9.8.3.4. Courbes enveloppes. Si on trace l’enveloppe des trois cas de chargement précédemment étudiés, on obtient les courbes suivantes :

Le moment maximum sur appui est obtenu pour le cas 1 et vaut Med= 0.412 MN.m 9.8.4.

Vérification si redistribution possible

A partir du moment max sur appui calculé précédemment, nous allons déterminer le moment réduit :

 Il n’y a aucune redistribution possible pour cette poutre. Pour pouvoir redistribuer le moment sur appui, il faudrait augmenter la hauteur de la poutre afin de diminuer le moment réduit avant redistribution. Posons , on cherche la valeur de « d » correspondante simplement en inversant la formule du moment réduit, on a :

√



√

, ce qui nous donne une hauteur de poutre de

0.70m. Reprenons donc une poutre de 20x70cm² :  Le complément de poids propre vaut : 0.20x0.20x25= 1KN/m, soit 1.35Kn/m en pondéré (1.35G).  En appliquant une règle de trois, on estime le nouveau moment sur appui correspondant :

o o 

Et en travée 1 :

On calcule ensuite le moment réduit correspondant :

o

Indice A

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26

En appliquant le tableau du cours, on peut déterminer le coefficient de redistribution qu’il est possible d’appliquer :

On peut donc appliquer un coefficient de redistribution = 0.841. Si on ne se fixe pas de limite quant au moment en travée (ce qui n’était pas le cas de l’exercice précédent), on aura les moments suivants :  Moment redistribué sur appui : M2r= 0.841x0.422= 0.355 MN.m  Moment sur travée de gauche (valeur approchée) : Mt1max= 0.286 + (0.422-0.355)/2= 0.320 MN.m L’estimation du moment en travée 1 est une estimation approximative en considérant que l’abaissement du moment sur appui se réparti équitablement sur les deux travées adjacentes.

Indice A

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10.

27

Méthode forfaitaire 10.1. Domaine d’application

La méthode forfaitaire de calcul des planchers à charge d’exploitation modérée s’applique dans les cas où : 1. Les charges d’exploitation sont modérées c’est-à-dire où : qB = somme des charges variables, g = somme des charges permanentes,

 qB  2. g  vérifient : ou  q  5KN / m ²  B 2. La fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons, 3. Les éléments de plancher ont une même inertie dans les différentes travées, 4. Les portées vérifient les rapports suivants :

i-1

0,8 

li li 1

 1,25

i

et

0,8 

i+1

li  1,25 li 1

Remarque importante : La méthode forfaitaire est issue de la norme BAEL 91 et reprise par les recommandations professionnelles, éditées par la FFB. Pour appliquer cette méthode, on considèrera des portées de calcul entre nus d’appuis et non pas entre-axes comme c’est le cas de la méthode précédente définie dans l’EC2.

10.2. Principe de la méthode – Adaptation

Les essais des poutres en béton armé, détaillés précédemment, montrent qu’il est possible d’autoriser des transferts de moments entre les sections sur appuis et en travée (et réciproquement), en adoptant k > 1 en fonction du rapport des charges variables et permanentes. La méthode consiste donc à déterminer des moments sur appuis, Mw et Me, et des moments en travée Mt grâce à des fractions fixées forfaitairement de la valeur maximale du moment fléchissant Mo dans la travée de référence (c'est-à-dire considérée isolée et isostatique).

Indice A

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10.3. Moments fléchissants 10.3.1. Condition à satisfaire 

M0 = moment maximal dans la travée de référence (isostatique, soumise aux mêmes charges et de même portée que la travée étudiée),



Mw et Me = valeurs absolues des moments respectivement sur l’appui de gauche et sur l’appui de droite de la travée continue,



Mt = moment maximal dans la travée continue, qB  g  qB avec, pour la travée considérée :  

qB = somme des charges variables, g = somme des charges permanentes,

on doit avoir :

(1  0,3  )M 0 Mw  Me  Mt   Max  2  1,05  M 0  Ce qui se traduit par le schéma suivant :

Tous les moments doivent être considérés en valeur absolue.

Indice A

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10.3.2. Valeurs minimales des moments M t, Me et Mw On doit respecter les valeurs minimales ci-dessous. 

Cas d’une poutre à deux travées 0 ou –0,15 Mox1

Mt x1 



0 ou –0,15 Mox2

0,6 MAX(Mox1 ,Mox2) 1,2  0,3α M0x1 2

Mt x2 

1,2  0,3α M0x2 2

Cas d’une poutre à plus de deux travées 0 ou –0,15 Mox1

0,5 MAX(Mox1 ,Mox2)

Mt x1 

1,2  0,3α M0x1 2

Mt x2 

0,4 MAX(Mox2 ,Mox3) 1  0,3α M0x2 2

Remarque Dans le cas où l’appui de rive est solidaire d’un poteau ou d’une poutre, il convient de disposer sur cet appui des aciers supérieures pour équilibrer un moment au moins égal à : Mal = -0,15 M01 (ou M0n) 10.3.3. Mode opératoire Si on se fixe le moment en travée (en respectant les valeurs minimales du paragraphe 2), on obtient les moments sur appuis en appliquant la condition à satisfaire pour les moments du paragraphe 1 :  soit en se donnant un moment sur appui,  soit en les prenants égaux. Si on prend sur appuis Me et Mw (en respectant les valeurs minimales du paragraphe 2), la condition à satisfaire pour les moments donne Mt. Le moment pris en compte sur l’appui de gauche d’une travée est égal à celui pris en compte sur l’appui de droite de la travée précédente.

10.3.4. Arrêt des barres Par la courbe enveloppe des moments. Forfaitairement si Avec :

q B  g et si les charges sont uniformément réparties :

 

lij  Max li ; l j ,  Travées de rive :

 l n 1,n  l  ; l s  => l ' correspond à la longueur de prolongement des l '  Max  12 ; l s  ou l '  Max  4   4  aciers de chapeaux au-delà du nu de l’appui (voir schéma suivant).

Indice A

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 Travées intermédiaires :

 lij  l '  Max  ; l s  5   Dans toutes les travées, quelle qu’en soit la nature :

 l'  l ' '  Max  ; l s  => l " correspond à la longueur d’un éventuel 2ème lit d’armatures pour les 2  aciers sur appuis. Aa, At = armatures calculées respectivement sur appui et en travée

l'

l'

10.4. Efforts tranchants 10.4.1. Remarque préliminaire Efforts tranchants dans une travée de rive : V0 = valeur absolue de l’effort tranchant sur appui 1 ou 2 dans la travée de référence (isostatique) :

M 2 M 1   V0  V1  V0  l  M 2 0  M  M1 M  M1  2 0  V2  V0  2 V0 l l  M1  0   V2  V0   Donc l’effort tranchant réel est :  Supérieur en valeur absolue à l’effort tranchant isostatique sur l’appui continu dans la travée de rive,  Au plus égal à V0 ailleurs.

Indice A

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10.4.2. Calcul des efforts tranchants Calculs en faisant abstraction de la continuité. Sauf sur l’appui voisin de rive où :  Soit on tient compte des moments de continuité évalués,  Soit on majore forfaitairement les efforts tranchants de la poutre de référence : o de 15 % pour les poutres à deux travées, o de 10 % pour les poutres à plus de deux travées.

2 travées V01

-1,15V01

1,15V02

-V02

> 2 travées V01

Indice A

-1,10V01

1,10V02

-V02

-V03

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10.5. Exercice 1 : Poutre continue à deux travées inégales Calculer les moments fléchissants sur appuis et travées selon la méthode forfaitaire : qu = 1,35g + 1,5q = 8 kN/m A

6,00

l1  0,8 ou l2

Rapport

B

7,50

C

l2  1,25  la méthode forfaitaire est valide l1

Les calculs seront menés en considérant = 1/3 (hypothèse de calculs).

Moments isostatiques :  

qu .li2 8

M0 =

Travée 1 : M01 = 36,00 kN.m Travée 2 : M02 = 56,25 kN.m

Moment sur appui intermédiaire : M B   Max0,60M 01;0,60M 02,

M B  33,75kN.m .



Moment sur appui de rive : on considère MA = Mc = 0 Moment en travée : Il faut pour chaque travée satisfaire les inégalités suivantes : M  M t  B  MAX(1,05M 0 ; (1  0,3)M o ) 2 On a



1  Max1,05;1  0,3   1,10. 3

Donc M t 

MB  1,10.M 0 2

Ce qui donne pour chaque travée :

MB 33,75  1,10 * 36,00   22,72kN.m 2 2 M 33,75  Travée 2 : M t1  1,10.M 0  B  1,10 * 56,25   45,00kN.m 2 2 

Travée 1 :

M t1  1,10.M 0 

On doit également satisfaire :

Mt 

1,2  0,3  M0 2



Soit pour la travée 1 : M t1  0,65.M 01  23,40kNm



Et pour la travée 2 : M t 2  0,65.M 02  36,56kNm

Indice A

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On prend les valeurs maximums : 

Pour la travée 1 Mt1 = MAX (22,72 ; 23,40 ) = 23,40 kNm



Pour la travée 2 Mt2 = MAX (45,00 ; 36,56 ) = 45,00 kNm

On a donc le diagramme suivant :

33,75

23,40 45,00

10.6. Exercice 2 : Poutre continue à trois travées inégales Le but est d’étudier un plancher continu à trois travées avec une épaisseur de 24cm. Ce plancher fonctionne à un sens de portée et sera donc assimilé à une poutre continue de largeur 1 mètre.

qu = 1,35g + 1,5q = 12 kN/m 5,60

7,00 B

A

6,00 C

D

On cherche à déterminer les moments de flexion sur appuis et en travées par la méthode forfaitaire en considérant une charge linéaire ELU de 12 KN/ml. Calcul avec = 0.50 (hypothèse de calcul). 10.6.1. Détermination des sollicitations

Moments isostatiques :   

qu .li2 M0 = 8

Travée 1 : M01 = 47,04 kN.m Travée 2 : M02 = 73,50 kN.m Travée 3 : M03 = 54,00 kN.m

Moment sur appui intermédiaire :  

M B   Max0,50M 01;0,50M 02 M B  36,75kNm M C   Max0,50M 02;0,50M 03 M C  M B  36,75kNm

On considère 0.50*M0 sur les deux appuis intermédiaires du fait que ce sont des appuis « proches des rives », ce qui correspond au cas particulier de la poutre à trois travées. Moment sur appui de rive : on considère MA = MD = 0

Indice A

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Moment en travée : Qb 1    G  Qb 2  1  0,3  1,151,05 1  0,3  0,575  2 1,2  0,3  0,675  2

On a

1,05M 0  1  0,3 M 0 1,15M 0 , les valeurs des moments à retenir peuvent donc se déduire du

tableau suivant :

Travée AB

Travée BC

MB  1,15M 01 2 36,75 M t1  1,15  47,04   35,72 KN .m 2 1,2  0,3  M  31,75KN .m M t1  01 2 M t1 

On retient

M t1  35,721kNm

M t2 

Travée CD

MB  MC  1,15M 02 2

M t2 

On retient

1  0,3 M 2

M t3 

M t3 

02

M t 2  47,775kNm

On retient

MC  1,15M 03 2

1,2  0,3 M 2

03

M t 3  43,725kNm

10.6.2. Détermination des armatures – Ferraillage réel On cherche à déterminer les armatures réelles sur appuis et en travée. Pour cela, on considèrera les hypothèses de calcul suivantes :  Section considérée sur une largeur unitaire de 1 mètre : R100x24 (24 cm d’épaisseur).  Hauteur utile : d= 20cm  Matériaux : o Béton C30/37 o Acier S500A  Classe d’exposition : XC1. Le dimensionnement des armatures longitudinales se fait en flexion simple en considérant les moments ELU obtenus précédemment. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Localisation Appui A Travée 1 Appui B Travée 2 Appui C Travée 3 Appui D

Indice A

Largeur Hauteur d m m 1 1 1 1 1 1 1

0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

MEd MN.m

Moment réduit

Alpha

zc m

fyd Mpa

Au cm²

%mini cm²

Aciers réels

0 0.03572 0.03672 0.04777 0.03672 0.04372 0

0.045 0.046 0.060 0.046 0.055 -

0.057 0.059 0.077 0.059 0.070 -

0.195 0.195 0.194 0.195 0.194 -

434.780 434.780 434.780 434.780 434.780 -

4.20 4.32 5.67 4.32 5.17 -

3.02 3.02 3.02 3.02 3.02 -

-

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35

Les principes de ferraillages des planchers seront détaillés au chapitre 13 sur le ferraillage des dalles. Cependant, voici quelques principes de ferraillage possible : 

On peut soit ferrailler ce plancher avec des barres HA réparties sur une largeur de 1m ou utiliser des treillis soudés. Dans ce cas, en fonction de la section théorique trouvée ci-dessus, on choisira un treillis soudés dans le tableau ci-dessous :

Indice A

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

Pour la travée 1 et les appuis B et C, on peut mettre en place un treillis soudés ST50.



Au droit des appuis B et C, le treillis soudés sera prolongé sur ¼ de la portée adjacente.



Sachant que les dimensions des treillis soudés sont généralement de 2.40m de large sur 6m de long, il sera nécessaire de placer deux treillis pour recouvrir la travée 2 de 7m et la travée 3 de 6m. Du coup, on peut choisir de mettre en place 2ST30 qui se recouvrent proche d’un appui de façon à avoir l’équivalent de 2xST30 en milieu de travée (voir schéma ci-après) :

Ces dispositions constructives seront abordées en détail au chapitre 13.

Indice A

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11.

37

Méthode de Caquot 11.1. Domaine d’application

La méthode de Caquot s’applique pour le calcul des poutres supportant des planchers dont les charges d’exploitation sont relativement élevées : QB > 2G ou QB > 5 kN/m². C’est le cas par exemple pour les bâtiments industriels et entrepôts. Elle s’applique également quand l’une des trois conditions qui délimitent la méthode forfaitaire n’est pas remplie.

Remarque importante : La remarque que nous avons fait précédemment pour la méthode forfaitaire est également valable pour la méthode de Caquot. Cette méthode est issue de la norme BAEL 91 et reprise par les recommandations professionnelles, éditées par la FFB. Pour appliquer cette méthode, on considèrera des portées de calcul entre nus d’appuis et non pas entre-axes comme c’est le cas de la méthode précédente définie dans l’EC2.

11.2. Principe de la méthode La méthode consiste à calculer les moments sur appuis d’une poutre continue en considérant uniquement les travées qui encadrent l’appui considéré. Cette méthode est donc une « méthode de continuité simplifiée ».

Ainsi une poutre continue est assimilée à une série de poutres à deux

travées :

Prenons une poutre à 4 travées, on aura les différents cas suivant à traiter :

A

B

C

D

E

Pour le calcul de MB

A

B

C Pour le calcul de MC

B

C

D Pour le calcul de MD

C

D

E

Ensuite, en tenant compte des travées chargées-déchargées, on calcule les courbes de moments fléchissants.

Indice A

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38

11.3. Calcul des moments sur appuis Les moments sur appuis sont calculés en ne tenant compte que des travées voisines de gauche (w) et de droite (e). On considère que la longueur des travées de calcul l’w et l’e sont égales à : 

S’il s’agit d’une poutre de rive : l’i = li



S’il s’agit d’une poutre intermédiaire : l’i = 0,8.li

avec li = longueur réelle de la travée i (prise en compte entre-nus d’appuis comme au BAEL) En reprenant l’exemple précédent nous avons :

A

B

l’w = l1

C

l’e = 0,8.l2 B

C

D

l’w = 0,8.l2

l’e = 0,8.l3

C

D

l’w = 0,8.l3 11.3.1.

E

l’e = l4

Cas des charges réparties

On considère les deux charges réparties de part et d’autre de l’appui à calculer. Soit pw la charge répartie sur la travée de gauche et pe la charge sur celle de droite, le moment d’appui i est égale à :

Mi  

p w .l'3w  p e .l'3e 8,5(l' w  l'e ) pw

pe

l’w

l’e

i La méthode de Caquot diffère de la méthode de calcul des 3 moments pour laquelle on trouve

p w .l'3w  p e .l'3e Mi   . 8(l' w  l'e ) ATTENTION, ces formules ne sont valables que si l’inertie I de la poutre est constante entre les deux travées.

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39

La différence entre la méthode de Caquot et la méthode des 3 moments réside dans le coefficient de 8,5 au lieu de 8, pour tenir compte du fait que les inerties sont variables pour chaque travée, du fait de la fissuration du béton.

En effet pour une section en T, on aura des états de fissuration différents sur appui et en travée qui conduiront à mener le calcul en tenant compte de section résistante en T ou rectangulaire :

en travée

sur appui

 Itravée ≠ Iappui Dans le cas où les inerties des travées de part et d’autres de l’appui sont différentes, on applique les formules suivantes :

 K  K  M i    M w' e  M e' 1  e  D D    Avec :

pw .l w' ² pe .le' ² ' M  et M e  8,5 8,5 ' w

Kw 

Iw I ; K e  'e et D  K w  K e ' lw le

Attention, dans les expressions précédentes, les inerties considérant la section de béton seule (soit

I w et I e doivent être calculées en

bh 3 pour une section rectangulaire) sans tenir compte 12

des armatures.

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40

Démonstration Pour démontrer les formules précédentes, on part de l’équation générale des 3 moments : 

bi x Mi-1 + (ci + ai+1) Mi + bi+1 x Mi+1 =



ai = 2 x bi = ci =



Ii = moment d’inertie de la travée li



 'i 1

et

 'i 1  ' 'i

li si Ii = Cste 3EI i

 ' 'i  rotations sur l’appui Gi des travées de référence encadrant cet appui

Les rotations des travées isostatiques (avec les notations précédentes) d’une poutre uniformément chargée valent : 3



i' 1  

Pe .le' 24.EI e 3

P .l '    w w 24.EI w '' i

Caquot ne considère que les deux travées adjacentes pour déterminer le moment sur appuis. On a donc M i 1  M i 1  0 . On peut donc écrire en simplifiant l’équation générale des 3 moments :

 l w' le'  Pe .le' Pw .l w'  . M    i  3EI 3EI e  24.EI e 24.EI w w  3



3

On simplifie par E car supposé constant :

 l w'  l w' le'  Pe .le' Pw .l w' le'  Pe .le' le' Pw .l w' l w'  . M      . M   .  .  3I  i I  i 24.EI e 24.EI w 8 Ie 8 Iw  w 3I e   w Ie  2  Pe .le' 2 le'  l w' le'  Pw .l w' l w'   I  I .M i    8 . I  8 . I  e e w   w   ' '   le lw   '2 ' 2 Pe .le Ie Pw .l w Iw   Mi   . '  . '  8 l w le' l w le'  8     Iw Ie I w I e   3







3

2

2

On cherche à exprimer Mi en fonction de raideur, donc de rapport I/L (le module E étant considéré comme constant).

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On multiplie donc tous les termes par le rapport

Ie I w . le' lw' Mi   Ie I w . le' lw'

41

Ie I w . , ce qui nous donne: le' lw'

  le' lw'  '2  2 '  Pe .le . I e  Pw .lw . I w   8 lw' le' lw' le'  8     I w Ie I w I e  

  le' I I lw' Ie I w  e' . 'w  .  '2  2 Pe .le Pw .lw' I e le lw I w le' lw'    .  . '  8 lw' I e I w le' I e I w lw I e I w le' I e I w  8  .   '. '  .   '. '   I w le' lw' I e le lw I w le' lw' I e le lw   Iw Ie   2 ' 2 '  P .l ' 2  P .l ' 2 Pw .lw Kw Pw .lw' Ke  lw le'  e e e e      .  . .  .  Ie I w  8 8 K  K 8 K  K  8 Ie  I w e w e w      le' lw' le' lw'  2 2  P .l ' 2 K  K  K  P .l ' 2 Pw .lw' Ke  Ke Pw .lw' Ke  e e w e e e e   .  . .(1  ) .     Ke  K w 8 K e  K w  Ke  K w 8 K e  K w   8  8 On retrouve bien les termes de la page 20. Caquot a remplacé le coefficient 8 par un coefficient 8,5 pour tenir de l’adaptation de la méthode classique au dimensionnement des sections en Béton Armé.

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11.3.2. Soit :  

42

Cas des charges ponctuelles

Pw la charge ponctuelle située sur la travée de gauche et distante de aw de l’appui considéré. Pe la charge ponctuelle située sur la travée de droite et distante de a e de l’appui considéré.

Le moment d’appui i est égal à :

Mi  



k .Pw .l' 2w pour la charge Pw l' w  l'e

k .Pe .l'e2  Mi   pour la charge Pe l' w  l' e Pw l’w

aw

ae i

Pe

l’e

Le coefficient k dépend du rapport a/l’ et prend les valeurs suivantes :

k

1 a  a a . .1  . 2   2,125 l'  l'   l' 



a = aw et l’ = l’w pour la travée à gauche de l’appui



a = ae et l’ = l’e pour la travée à droite de l’appui

De la même façon, lorsque les inerties des travées de part et d’autres de l’appui sont différentes, on applique les formules suivantes :

K   K  M i    M w' . e  M e' .1  e  D D    avec :

kw 

a  a  1 ae  ae  1 a w  a w  . ' .1  '  2  'w  et k  . ' .1  '  2  'e  2,125 le  2,125 l w  l w  le  lw  le  e

M w'  k w .Pw .l w' et M e'  k e .Pe .le'

Kw 

I Iw ; K e  'e et D  K w  K e ' le lw

Nota :

1 8 1 . provient de l’application de la méthode Caquot : 2,125 8,5 2



le coefficient



Lorsqu’il y a plusieurs charges ponctuelles, il suffit de sommer les effets de chacune des charges.

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43

Démonstration Pour démontrer les formules précédentes, on part également de l’équation générale des 3 moments : 

bi x Mi-1 + (ci + ai+1) Mi + bi+1 x Mi+1 =



ai = 2 x bi = ci =



Ii = moment d’inertie de la travée li



 'i 1

et

 'i 1  ' 'i

li si Ii = Cste 3EI i

 ' 'i  rotations sur l’appui Gi des travées de référence encadrant cet appui

Les rotations des travées isostatiques d’une poutre soumise à une charge ponctuelle, distante de par rapport à l’appui gauche, valent : 

i'1  

"a"

Pe .ae .(l e'  ae )( 2l e'  ae ) 6E. I e .l e'

Pw .a w .(l w'  a w )( 2l w'  a w )    6E. I w .l w' '' i

Caquot ne considère que les deux travées adjacentes pour déterminer le moment sur appuis. On a donc M i 1  M i 1  0 . On peut donc écrire en simplifiant l’équation générale des 3 moments : 

 l w' le'  Pe .ae .(le'  ae )(2le'  ae ) Pw .a w .(l w'  a w )(2l w'  a w )  . M    i  3EI 3EI e  6E. I e .le' 6E. I w .l w' w 

On simplifie par E car supposé constant : 





 l w'  Pe .ae .(le'  ae )(2le'  ae ) Pw .a w .(l w'  a w )(2l w'  a w )  le'   . M    I  i   2. I e .le' 2. I w .l w'  w Ie    2 2  1 ae  ae   l w' le'  ae  Pe .le' a w  Pw .l w'  1 a w  a w   I  I .M i    2 . l ' .1  l '  2  l '  I  2 . l ' .1  l '  2  l '  I  e e  e  e  e w  w  w  w  w   2 2  Pe .le' Pw .l w'    ae  I e aw  I w  1 a e  a e  1 a w  a w   M i   . ' .1  '  2  '  '  . .1  '  2  '  '  2 le  l e  le  l w le' 2 l w'  l w  l w  l w le'      Iw Ie I w I e  

Caquot a remplacé le terme « 2 » par « 2,125 » de façon à avoir la même correction que pour les charges réparties (2/2.125=8/8.5)

En posant

kw 

a  a  1 a w  a w  1 a e  a e  . ' .1  '  2  'w  et k e  . ' .1  '  2  'e  , on retrouve 2,125 l w  l w  lw  2,125 le  l e  le 

les formules précédentes.

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44

11.3.3. Cas des consoles Les charges appliquées sur la console vont induire un moment sur l’appui i-1. On cherche donc à déterminer les effets de ce moment sur l’appui i.

= l’w

Mi-1

l’e

l’w

i

i-1

l’e i

On applique le théorème des 3 moments pour calculer le moment sur l’appui i:  bw x Mi-1 + (cw + ae) Mi + be x Mi+1 = ' e ' ' w

li si Ii = Cste 3EI i



ai = 2 x bi = ci =



Ii = moment d’inertie de la travée li



' e  0

et

' ' w  0 car

les deux travées ne sont pas chargées (influence uniquement de la

console). On a donc : 



 l w' l w' le'  .M i  0 .M i 1    6.E. I w 3 . E . I 3 . E . I w e   Mi  

l w' 6.E. I w l w' l'  e 3.E. I w 3.E. I e

.M i 1

On simplifie par E car supposé constant : 

Mi  

l w' . I e 1 .M i 1 2 l w' . I e  le' . I w

De la même façon que précédemment, Caquot a modifié le coefficient 2 en 2.125, ce qui nous donne :

Mi  

l w' . I e 1 .M i 1 2.125 l w' . I e  le' . I w

Si l’inertie de la poutre continue est constante, on a : 

Indice A

l w' 1 Mi   .M i 1 2.125 l w'  le'

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45

Si la console est à droite de la poutre continue, il faut inversé le rapport des travées dans la formule précédente, ce qui nous donne :

= l’w

i

l’e

Mi+1 l’w

i+1

l’e i

Mi  

le' . I w 1 .M i 1 2.125 l w' . I e  le' . I w

Dans le cas d’’une inertie constante, on a :

Mi  

le' 1 .M i 1 2.125 l w'  le'

Bien entendu, ce moment viendra se cumuler aux moments sur appui issus du chargement des travées.

11.4. Calcul des moments en travée Pour le calcul des moments en travée, on utilise les formules classiques de RDM (théorème des 3 moments, en considérant les travées réelles et non plus les travées fictives.

Pour le calcul des moments de la travée i ci-dessous, il faut prendre en compte 3 combinaisons de charges (notion de travée chargée-déchargée) :

Cas 1 :

Toutes les travées chargées avec la surcharge. 1,35G+1,5QB

1,35G+1,5QB

1,35G+1,5QB

Travée i

Cas 2 :

On charge uniquement la travée i 1,35G

1,35G+1,5QB

1,35G

Travée i

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Cas 3 :

46

On charge les travées adjacentes 1,35G+1,5QB

1,35G

1,35G+1,5QB

Travée i 

Cas 1 : Pour le calcul des moments maximum sur appuis, donc des aciers maxi en chapeaux



Cas 2 : pour le calcul du moment maximum en travée, donc des aciers maxi en travée et leurs longueurs.



Cas 3 : pour le calcul du moment minimum en travée, donc de la longueur des aciers en chapeaux. Dans le cas des travées soulevées (voir 2

ème

exercice), il se peut que le cas I

soit plus défavorable que le cas III en ce qui concerne les longueurs d’aciers sur appuis.

Pour chaque cas de combinaisons, on calcule : 

Les moments sur appuis avec les longueurs l’ comme décrit en §11.3 (avec les travées fictives).



La courbe des moments fléchissants sur la travée i selon les formules données ci-après.

Ainsi on peut dresser la courbe enveloppe des moments fléchissants qui a en général l’allure suivante :

Mw max

Me max Cas 1

Cas 3

Cas 2

Mt max

L’équation du moment fléchissant le long de la travée i est :

 M ( x )  M o ( x )  M w 1  

x x   Me. l l

Avec Mo(x) Moment fléchissant de la poutre considéré isolée (calcul isostatique) :

M o ( x) 



Pour une charge répartie :



Pour une charge ponctuelle :

plx px 2  2 2 P

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47

o

M o ( x) 

Pbx pour x < a l

o

M o ( x) 

Pbx  P( x  a) pour x ≥ a l

a

b

Le moment maximum en travée est obtenu au point x0, tel que l’effort tranchant V(x0) est nul en ce point.

Remarque Dans notre exemple, ce mode de calcul permet de déterminer la courbe enveloppe des moments d’une poutre continue à trois travée simplement en étudiant 3 cas de charges différents.

Cette décomposition est tout à fait exacte pour la détermination des moments sur appuis et en travée mais amène à sous-estimer légèrement la valeur des efforts tranchants aux appuis.

Si on souhaite faire un calcul plus exact, il faut faire la décomposition suivante :

Cas 1 :

Les deux premières travées chargées avec la surcharge. 1,35G+1,5QB

1,35G+1,5QB

1,35G

Travée i

Cas 2 :

Les deux dernières travées chargées avec la surcharge. 1,35G

1,35G+1,5QB

1,35G+1,5QB

Travée i

Cas 3 :

On charge uniquement la travée i 1,35G

1,35G+1,5QB

1,35G

Travée i

Cas 4 :

On charge les travées adjacentes 1,35G+1,5QB

1,35G

1,35G+1,5QB

Travée i

Indice A

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48

Cas 1 et 2 : Pour le calcul des moments maximum sur appuis, donc des aciers maxi en chapeaux



Cas 3 : pour le calcul du moment maximum en travée, donc des aciers maxi en travée et leurs longueurs.



Cas 4 : pour le calcul du moment minimum en travée, donc de la longueur des aciers en chapeaux.

La différence entre les deux décompositions (3 cas ou 4 cas) est d’environ 5% sur l’effort tranchant aux appuis de la travée centrale (la décomposition en 4 cas est plus précise).

11.5. Calcul des efforts tranchants Les efforts tranchants sont calculés en tenant compte des moments d’appuis évalués par la méthode Caquot. En général l’effort tranchant Vu est maximum sur appuis lorsque les travées qui encadrent l’appui considéré sont chargées (voir remarque au paragraphe précédent). 1,35G+1,5QB

1,35G+1,5QB

1,35G +1,5 QB

travée i Vw

Ve



Effort tranchant sur l’appui de gauche de la travée i :



Effort tranchant sur l’appui de droite de la travée i :



Effort tranchant le long de la travée i :

Vw  Vo (0) 

Ve  Vo (l ) 

Vu ( x )  Vo ( x ) 

Me  Mw l

Me  Mw l

Me  Mw l

avec Vo(x) effort tranchant de la poutre considéré isolée (calcul isostatique) : 

Pour une charge répartie :

Vo ( x) 

pl pl pl , Vo (l )    p.x , Vo (0)  2 2 2 P



Pour une charge ponctuelle :

Vo (0) 

Pb Pa , Vo (l )   l l

a

b

Quelque soit le chargement, l’équation de l’effort tranchant ainsi obtenue doit vérifier la relation :

dM ( x )  V ( x) dx

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49

11.6. Réactions d’appuis Connaissant les efforts tranchants au droit des appuis intermédiaires, on peut en déduire facilement les réactions d'appuis correspondantes :  Soit Ri, la réaction d'appui à l'appui "i".  "V'i+1" l'effort tranchant "gauche" de la travée i+1  " V''i" l'effort tranchant "droit" de la travée i

On a :

Ri  Vi' 1  Vi ''

11.7. Méthode de Caquot minorée. La méthode de Caquot minorée s’applique pour les poutres supportant des charges d’exploitations modérées (telles que décrites au chapitre de la méthode forfaitaire) mais dont le rapport des longueurs de portée ne respecte pas les conditions de la méthode forfaitaire (ou si on a une inertie variable le long d’une travée). Dans ce cas, on applique la méthode de Caquot décrite précédemment en réduisant uniquement les charges permanentes (pas de réduction sur les surcharges) d’un coefficient compris entre 1 et 2/3, pour le calcul des moments sur appuis. Pour le calcul des moments en travée, on considère la totalité des charges.

11.8. Exercice 1 poutre continue à 2 travées Soit une poutre continue à 2 travées identiques chargées par des charges permanentes et d’exploitation réparties Calculer à l’ELU :  Le moment maximum sur l’appui B  Le moment maxi en travée le moment à miportée de la travée AB.  La courbe de moment le long de la poutre

A

B

6,00m

A l’E.L.U.

Charges permanentes

p  1,35 g = 18 kN/m

d’exploitation

q  1,5q B = 32 kN/m

totales

qu  1,35g  1,5q B = 50 kN/m

C

6,00m

Les portées indiquées ci-dessus correspondent aux portées entre nus d’appuis. On a deux travées de rive, on considèrera donc les portées fictives suivantes :  l 'w  l 'e  6,00m

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50

11.8.1. Moment maximum sur l’appui B Le moment max sur l’appui B est calculé en chargeant les deux travées adjacentes :

A

6,00 B

6,00

C

On a donc : 

p w  pe  qu  50 kN/m



p l '  pe l ' e MB   w w . 8,5l ' w l ' e  3

3



MB  

qu l 2  211.765KN .m 8,5

11.8.2. Moment en travée AB Pour avoir le moment max sur la travée AB, on ne charge que cette travée :

B

A

C

Les moments d’appuis en A et C sont nuls car ce sont des appuis de rive. On recalcule le moment sur l’appui B correspondant à ce chargement. 

MB  

50,0  63  18,0  63  144 KN .m 8,56  6

Le moment en travée est défini par

 M ( x )  M o ( x )  M w 1  

Le moment isostatique vaut M o ( x ) 

Soit

M ( x) 

x x   Me. . l l

qu .l. x qu . x 2  2 2

50  6 50 144 .x  .x²  x  25. x ²  126 x 2 2 6

Moment à mi-travée : En x=l/2, on a : 

l l2 M 0 (x  )  q u  225,0 kN.m 2 8



M  Me l 0  144 M x (x  )  M0  w  225   153kN.m 2 2 2

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51

Moments maximal en travée AB Pour déterminer l’abscisse où le moment est maximal, il nous faut déterminer le point ou l’effort tranchant s’annule. On a

Vu ( x )  Vo ( x ) 

q .l Me  Mw avec Vo ( x )  u  qu . x 2 l

qu .l M  M w 50  6 144  qu . x  e   50. x   50. x  126 2 l 2 6



Vu ( x ) 



V(x) = 0 pour x = 2,52 m.

Le moment max vaut donc  M(x)=  25. x ²  126 x  25  2,52²  126  2,52  158,76KN .m

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52

11.9. Exercice 2 poutre continue à 3 travées

1 A

3

2 B

6m

7m

C

6m

D

1.35 g = 18 kN/m 1.35 g + 1.50 q = 50 kN/m Tout comme l’exercice précédent, les portées indiquées sur le schéma correspondent aux portées entre-nus d’appuis.

11.9.1. Recherche des moments sur appuis Les conditions aux limites de la poutre nous permettent d’écrire :  MA = MD = 0 appuis de rive  MB = MC du fait de la symétrie de la poutre. Les portées de calcul, pour la détermination des moments sur appuis, sont les suivantes :

A

 '1   1  6

B

 ' 2  0,8 2  5,60

C

En effet :  La travée AB doit être considérée comme une travée de rive.  La travée BC doit être considérée comme une travée intermédiaire.  La travée CD n’est pas représentée du fait de la symétrie de la poutre.

On calcul les moments sur appuis pour les 3 scénarios de chargement :  Les deux travées chargées simultanément. 1,35g+1,5q

1,35g+1,5q

P '  p ' 3 50  63  50  5,603 MB   w 1 ' e' 2    198,59 KN .m 8,5 1   2  8,56  5,6 3

ère

 1

travée chargée uniquement. 1,35g+1,5q 1,35g

MB  

Indice A

50  63  18  5,603  141,59 KN .m 8,56  5,6

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CNAM CCV109 – Béton armé ème

 2

53

travée chargée uniquement. 1,35g+ 1,50q 1,35g

MB  

18  63  50  5,603  128,49 KN .m 8,56  5,6

On a donc les moments max suivant MB = MC = - 198,59 kN.m

11.9.2. Recherche des moments sur la travée 1 On cherche à déterminer les courbes enveloppes des moments de la travée 1 :    

x x  M ( x )  M o ( x )  M w 1    M e . l l  M w  0 et M E dépend des cas étudiés. p.l. x p. x ² M 0 ( x)   2 2 p.l. x p. x ² x M ( x)    Me. 2 2 l

On détermine donc les courbes de moments pour les 3 cas étudiés précédemment, qui correspondent à trois valeurs de moment différentes.

Cas 1 :

 

M e  198,59KN .m 50  6 50 x 2 198,59 .x   x 2 2 6 M ( x)  150 x  25x 2  33,10 x M ( x) 

M ( x)  116,90 x  25x 2 o M ( x )  0  x116,90  25x   0  x  4,68m  V ( x )  116,90  50 x 

o

Indice A

V ( x )  0 pour x  2,34m M max  M ( x  2,34m)  136,66KN .m

2012-2013

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54

On a le diagramme suivant pour le moment de flexion : - 198,59 kN.m

4,68

136,66 kN.m Cas 2 :

M e  141,59KN .m



50  6 50 x 2 141,59 .x   x 2 2 6 M x 150 x  25x 2  23,60 x



M x  126,40 x  25x 2



M ( x) 

M ( x)  0  x126,40  25x   0  x  5,06m  Vx  126,40  50 x o V ( x )  0 pour x  2,53m => M max  M ( x  2,53m)  159,77KN .m o

On a le diagramme suivant pour le moment de flexion :

- 141,59 kN.m 5,06

159,77 kN.m

Cas 3 :

M e  128,49KN .m (la travée 1 n’est chargée qu’avec 1,35 g) 18  6 18 x 2 128,49 .x   x 2 2 6  54 x  9 x 2  21,415 x



M ( x) 



M ( x)



M ( x )  32,585 x  9 x 2

M ( x)  0  x32,585  9 x   0  x  3,62m  V x 32,585  18 x o V ( x )  0 pour x  1,81m => M max  M ( x  1,81m)  29,49KN .m o

Indice A

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55

On a le diagramme suivant pour le moment de flexion : - 128,49 kN.m 3,62

29,49 kN.m 11.9.3. Recherche des moments sur la travée 2 De la même façon, on veut déterminer les courbes enveloppes des moments de la travée 2 :



x x  M ( x )  M o ( x )  M w 1    M e . l l  p.l. x p. x ² M 0 ( x)   2 2 M w et M E dépendent des cas étudiés.



M ( x) 

 

p.l. x p. x ² x  x   M w 1    M e . 2 2 l  l

On détermine donc les courbes de moments pour les 3 cas étudiés précédemment, qui correspondent à trois valeurs de moment différentes. Cas 1 :

M w  M e  198,59KN .m

50  7 50 x 2 x  198,59  .x   198,591    x 2 2 7  7 2  M ( x )  175x  25x  198,59 o M ( x )  0  x  1,42m ou x  5,57m  V x   175  50 x o V ( x )  0 pour x  3,50m M max  M ( x  3,50m)  107,66KN .m 

M ( x) 

On a le diagramme suivant pour le moment de flexion :

-198,59 kN.m

107,66 kN.m Indice A

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Cas 2 :

  

56

M w  M e  141,59KN .m (la travée est chargée avec 1,35g) 18  7 18 x 2  x  141,59 .x   141,591    x 2 2 7  7 M ( x)  63x  9 x 2  141,59  20,23x  20,23x

M ( x) 

M ( x)  63x  9 x 2  141,59 2 o M ( x)  0  63x  9 x  141,59  0 => pas de solution réelle. Ce qui veut dire que le moment ne change pas de signe. La travée est entièrement soulevée.



V x   63  18 x o V ( x )  0 pour x  3,50m M max  M ( x  3,50m)  31,34KN .m -141,59 kN.m

-31,34 kN.m Cas 3 :

  

M w  M e  128,49KN .m 50  7 50 x 2  x  128,49 M ( x)  .x   128,491    x 2 2 7  7 M ( x)  175 x  25 x 2  128,49  18,36 x  18,36 x

M ( x)  175x  25x 2  128,49 o M ( x )  0  x  0,833m ou x  6,17m  V x   175  50 x o V ( x )  0 pour x  3,50m M max  M ( x  3,50m)  177,76KN .m 

-128,49 kN.m

177,76 kN.m Les moments de la travée 3 sont obtenus par symétrie de la travée 1.

Indice A

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57

11.9.4. Analyse détaillée de la travée 2. Si on superpose toutes les courbes de moments obtenus précédemment, on a le schéma suivant :

Nous maintenant analyser de façon détaillée la travée 2 en partant des hypothèses suivantes :  Section de la travée centrale : 25*60cm  Béton C25/30 et acier S500B.  Hauteur utile : d=0.9h= 0.54m.  Inclinaison des bielles pour dimensionnement effort tranchant (= 45°).  Classe d’exposition : XC1  Condition d’adhérence bonne.  Armatures transversales verticales (=90°) On cherche à calculer pour cette travée :  Les armatures longitudinales inférieures.  Les aciers de chapeaux.  La longueur des barres en considérant les courbes de moments adéquates.

Armatures longitudinales inférieures Pour le calcul de ces armatures, on prend compte la courbe de moment du cas III (qui donne le moment max en travée) qui correspond au chargement de la travée centrale et au non-chargement des travées adjacentes. On a donc

Indice A

M Ed  177.76KN .m  0.178MN.m .

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58

On effectue à partir de cette valeur un dimensionnement en flexion simple :  Hauteur utile : d=0,54m

cu 



Calcul du moment réduit :



Calcul de  :



Calcul du bras de levier zb :



Calcul de la section d’armatures : o

M Ed 0,178   0,146 bw .d ² Fcd 0,25  0,54²  16,67









cu  1,25 1  (1  2cu )  1,25 1  (1  2  0,146)  0,198

Au 

zb  d (1  0,4 )  0,54(1  0,4  0,198)  0,497m

M Ed 0,178   8,24.10 4 m²  8,24cm² zc .Fyd 0,497  434.78

On peut mettre en place 3HA16+3HA12= 6.03 + 3.39= 9.42 cm². Aciers de chapeaux – travée 2 Pour le calcul des aciers sur appuis, on prend en compte le cas de chargement donnant le moment maximum sur appui, à savoir le cas I : chargement des travées de part et d’autres de l’appui. On a donc

M Ed  198.59KN .m  0.198MN.m

Le signe du moment n’a pas d’influence sur le dimensionnement en flexion simple mais indique simplement que la fibre tendue est en partie supérieure de la poutre. On effectue à partir de cette valeur un dimensionnement en flexion simple :  Hauteur utile : d=0,54m

0,198  0,163 0,25  0,54²  16,67



cu 



u  1,25 1  (1  2  0,163)  0,224 zc  d (1  0,4 )  0,54(1  0,4  0,224)  0,492m





Au 





0,198  9,26.10 4 m²  9,26cm² 0,492  434.78

Vu le faible écart, on peut mettre en place 3HA16+3HA12= 6.03 + 3.39= 9.42 cm².

Arrêt des barres en fibre inférieure (travée) Pour l’arrêt des barres des aciers inférieurs, on va utiliser la courbe de moments du cas III qui nous a donné le moment max en travée. Le calcul précédent en flexion simple nous a donné : M Ed  0.178MN .m 

zc  0.48m



Un bras de levier de



Une section d’acier réelle de 3HA16 + 3HA12.

On détermine ensuite le moment résistant de chaque lit : er



1 lit – 3HA16 (6.03cm²) =>



2

Indice A

ème

M r1  6,03.104  434,78  0,48  0,126MN.m

lit – 3HA12 (3.39cm²) =>

M r 2  3,39.104  434,78  0,48  0,071MN.m

2012-2013

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On a bien

59

M r1  M r 2  0.197MN.m  M Ed  0.178MN.m .

L’équation du moment en travée 2 du cas III est :

M ( x)  175x  25x 2  128,49 .

Pour connaitre l’abscisse à laquelle on doit arrêter le 2 0.126MN.m soit 126KN.m

ème

lit, on chercher à déterminer x tel que M(x)=

On a donc :

M ( x)  175x  25x 2  128,49  126 175x  25x 2  254,49  0 => x=2.06m et x=4.93m

  A

l’abscisse

x=2.06m,

il

faut

retrancher

le

décalage

de

cot g  cot g cot g 45  cot g 90 al  z.  zc  0.5 zc  24cm . 2 2 ème

Le 2

la

courbe

de

moment,

soit

lit d’armature commence donc à x=2.06-0.24= 1.82m.

On vérifie ensuite qu’en projetant une perpendiculaire sur le 1 scellement ( lbd  lb,rqd 

. sd 4. f bd



  434.78 4  2.70

er

lit et en y ajoutant la longueur de

 40.26  40.26 1.6  65cm ), on ne coupe pas la courbe

de moment.

1er lit 3HA 16 Mru = 0,126 MNm

2.06 2eme lit 3HA12 Mru = 0,071 MNm

0.24

0.65

1.68 3.50

Indice A

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60

Arrêt des barres en fibre supérieure (sur appui) Théoriquement, pour le calcul des longueurs d’aciers de chapeaux, on part de la courbe de moment du cas II, à savoir le cas qui donne le point de moment nul le plus éloigné de l’appui, et donc la longueur d’acier de chapeaux la plus importante (voir §11.4). En analysant la courbe de moment, on se rend compte que le cas II correspond à une travée centrale entièrement soulevée, c'est-à-dire que le moment sur appui ne s’annule pas le long de la travée. Pour er des raisons de simplification de ferraillage, on prolonge donc le 1 lit (3HA16) sur toute la longueur de la travée, ce qui suffit largement à reprendre le moment de -31.34KN.m. Ensuite, on arrête le 2

ème

lit (3HA12) par rapport à la courbe du cas II :

M ( x)  63x  9 x 2  141,59



Pour connaitre l’abscisse à laquelle on doit arrêter le 2 -0.126MN.m soit -126KN.m

ème

lit, on chercher à déterminer x tel que M(x)=

On a donc :

M ( x)  63x  9 x 2  141,59  126 63x  9 x 2  15,59  0 => x=0.26m et x=6.74m

 

A l’abscisse x=0.26m, il faut ajouter (car on décale en sens inverse par rapport au moment en travée) le décalage de la courbe de moment, soit 0.24m. ème

Le 2

lit d’armature se termine donc à x=0.26+0.24= 0.50m en considérant le cas II.

Faisons le même calcul en considérant le cas I :   

M ( x)  175x  25x 2  198,59 M ( x)  175x  25x 2  198,59  126 M ( x)  175x  25x 2  72.59  0 => x= 0.44m

Pour le cas I, le 2

ème

lit doit donc s’arrêter à 0.44 + 0.24= 0.68m.

On se rend compte que dans le cas de notre exemple, c’est la courbe de moment du cas I (moment ème max sur appui) qui donne la longueur du 2 lit la plus importante. Cela vient du fait que la travée centrale est entièrement soulevée sous le cas II, à savoir que le moment ne change pas de signe en travée et reste toujours négatif.

Indice A

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