Chapitre 11 - Effort Tranchant [PDF]

Zitiervorschau

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

___________

" ELEMENTS DE BETON ARME " Chapitre 11 : Justifications à l’effort tranchant

(Code CCV004)

Enseignant: J. PAÏS

2011 - 2012

CNAM CCV004 – Eléments de Béton armé

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Sommaire 11.

JUSTIFICATION DES POUTRES RECTANGULAIRES A L’EFFORT TRANCHANT............. 4

11.1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 4 11.2. THEORIE DU TREILLIS DE MÖRSCH............................................................................................. 5 11.3. NOTATIONS .............................................................................................................................. 6 11.4. CHARGES PRES DES APPUIS - TRANSMISSION DIRECTE ............................................................... 6 11.4.1. Charges ponctuelles - éléments sans armatures transversales. .................................. 6 11.4.2. Charges ponctuelles - éléments avec armatures transversales ................................... 7 11.4.3. Transmission directe des charges réparties. ................................................................ 8 11.5. EFFORT RESISTANT DES BIELLES DE BETON COMPRIMEES. .......................................................... 8 11.5.1. Cas général ................................................................................................................... 8 11.5.2. Cas particuliers des éléments non armés ................................................................... 10 11.6. PRINCIPE DE DIMENSIONNEMENT A L’EFFORT TRANCHANT ......................................................... 10 11.7. RESISTANCE D’UNE SECTION SANS ARMATURE D’EFFORT TRANCHANT ....................................... 10 11.8. DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES ................................................................. 12 11.8.1. Cas des armatures transversales verticales. .............................................................. 12 11.8.2. Cas des armatures transversales inclinées. ............................................................... 12 11.9. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES (§9.2.2) ................................................................................. 13 11.10. POURCENTAGE MINIMUM (§9.2.2). ...................................................................................... 14 11.11. METHODOLOGIE DE REPARTITION DES ARMATURES D’AME .................................................... 14 11.11.1. Répartition exacte........................................................................................................ 14 11.11.2. Répartition selon la méthode de Caquot ..................................................................... 16 11.12. ZONE D’APPLICATION DES EFFORTS..................................................................................... 18 11.12.1. Armatures inférieures tendues sur appui simple d’about ............................................ 18 11.12.2. Angle d’inclinaison de la bielle d’about........................................................................ 19 11.12.3. Equilibre de la bielle de béton sur appui simple d’about ............................................. 21 11.12.4. Armatures inférieures sur appui intermédiaire ............................................................ 21 11.13. ACIERS DE COUTURE POUR LES SECTIONS EN TE. ................................................................ 22 11.13.1. Principes de calcul....................................................................................................... 22 11.13.2. Estimation de l’angle d’inclinaison des bielles ............................................................ 25 11.14. EXERCICE N°1: JUSTIFICATION D'UNE POUTRE SOUMISE A UNE CHARGE PONCTUELLE. ........... 26 11.14.1. Détermination de l’effort tranchant maximal ................................................................ 26 11.14.2. Effort tranchant réduit .................................................................................................. 27 11.14.3. Vérification de la bielle comprimée de béton .............................................................. 27 11.14.4. Résistance de la section sans armatures transversales ............................................. 27 11.14.5. Calcul des armatures transversales ............................................................................ 28 11.14.6. Dispositions constructives ........................................................................................... 28 11.14.7. Répartition des aciers. ................................................................................................. 29 11.14.8. Calcul des armatures pour x > 1m .............................................................................. 29 11.14.9. Vérification du pourcentage minimum ......................................................................... 30 11.15. EXERCICE N°2: JUSTIFICATION D’UNE SECTION EN T SOUMISE A UNE CHARGE REPARTIE ........ 31 11.15.1. Détermination de l’effort tranchant maximal ................................................................ 31 11.15.2. Effort tranchant réduit .................................................................................................. 32 11.15.3. Vérification de la bielle comprimée de béton .............................................................. 32 11.15.4. Résistance de la section sans armatures transversales ............................................. 33 11.15.5. Calcul des armatures transversales ............................................................................ 33 11.15.6. Dispositions constructives ........................................................................................... 34 11.15.7. Répartition des aciers .................................................................................................. 34 11.15.8. Vérification du pourcentage minimum ......................................................................... 34 11.15.9. Calcul des aciers de couture ....................................................................................... 35 11.15.10. Plan de ferraillage ................................................................................................... 37 11.16. EXERCICE N°3: JUSTIFICATION D’UNE POUTRE SOUMISE A DEUX CHARGES PONCTUELLES ET UNE CHARGE REPARTIE................................................................................................................................ 38 11.16.1. Détermination des efforts tranchants maximaux et réduits ......................................... 38

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11.16.2. Vérification de la bielle comprimée de béton .............................................................. 39 11.16.3. Résistance de la section sans armatures transversales ............................................. 40 11.16.4. Calcul des armatures transversales ............................................................................ 41 11.16.5. Dispositions constructives et répartition des aciers .................................................... 41 11.16.6. Vérification de la condition de transmission directe des charges ponctuelles ............ 43 11.16.7. Vérification du pourcentage minimum ......................................................................... 45 11.17. EXERCICE N°4 : VERIFICATION DE LA BIELLE D’ABOUT D’UNE POUTRE ................................... 46 11.17.1. Vérification des armatures tendues inférieures. .......................................................... 47 11.17.2. Calcul de l’angle d’inclinaison de la bielle d’about. ..................................................... 48 11.17.3. Contrainte dans la bielle de béton sur appui simple d’about ...................................... 49

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11. Justification des poutres rectangulaires à l’effort tranchant 11.1. Introduction

Les efforts tranchants engendrent des efforts de cisaillement à 45° comme le montre la figure cidessus. Il se créé un mécanisme de « bielles » avec des volumes de béton et d’armatures comprimés ou tendus, inclinées à 45°.

Les armatures d’efforts tranchants permettent de « coudre » les fissures générées par ces efforts afin d’en limiter l’ouverture et éviter ainsi la ruine de la poutre. Le but des armatures transversales est donc bien d’éviter une rupture du béton du fait d’efforts de traction trop important dans les bielles. C’est pourquoi, la vérification à l’effort tranchant se fait toujours à l’ELU, quelques soient les hypothèses de fissuration.

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11.2. Théorie du treillis de Mörsch Le fonctionnement d’une poutre soumise à un effort tranchant peut être assimilé à une poutre-treillis triangulée, que l’on appelle treillis de Mörsch :





 

Cette poutre-treillis met en évidence que sous l’effet d’une charge extérieure, on a la membrure supérieure (qui représente le béton) qui est comprimée et la membrure inférieure (qui représente les aciers longitudinaux) qui est tendue. Entre les deux, on a des diagonales qui sont soient tendues, soient comprimés (en alternance) :  Pour ce qui est des diagonales comprimés, on parlera de « bielle-comprimée » du béton, qui sont inclinées d’un angle  par rapport à l’horizontale (inclinaison des bielles).  Pour ce qui est des diagonales tendues, on met en place des armatures transversales pour éviter une ouverture trop importante des fissures qui entrainerait la ruine de la poutre. Ces armatures peuvent être inclinées d’un angle  par rapport à l’horizontale. L’EC2 spécifie que l’angle d’inclinaison des bielles peut être choisi tel que :  1  cot g  2.5 , soit un angle 21.8    45 (en flexion simple ou en flexion composée avec compression).  Dans le cas d’une flexion composée avec traction, les valeurs sont un peu différentes et ne seront pas abordées dans ce cours. Attention, nous verrons que plus l’angle d’inclinaison des bielles diminue, plus la section d’armatures transversales diminue mais on augmente en conséquence la longueur des aciers longitudinaux (voir chapitre 12 sur l’épure d’arrêt des barres). Au vu de ce fonctionnement, on peut donc en déduire qu’il existe deux modes de ruine de la poutre à l’effort tranchant :  Ruine par écrasement des bielles de béton => pour cela, on vérifiera que la contrainte de compression des bielles n’excède pas une valeur limite fixée par la norme.  Ruine par traction excessive dans les armatures => on dimensionnera les armatures à l’ELU pour éviter ce mode de ruine.

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11.3.

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Notations

Les notations utilisées pour la vérification à l’effort tranchant sont les suivantes : 

VEd : Effort tranchant de calcul.



VRd ,c : Effort tranchant résistant de calcul en l’absence d’armatures transversales.



VRd , s : Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures transversales travaillant à la limite d’élasticité.



VRd ,max : Valeur de calcul de l’effort tranchant maximal pouvant être repris par le béton avant écrasement des bielles de compression.

11.4. Charges près des appuis - Transmission directe Lorsque l’on mène des calculs à l’effort tranchant, il est possible de tenir compte d’une transmission directe des charges proches des appuis. Pour cela, on distingue :  Les charges ponctuelles proches des appuis.  Les charges linéaires dont une partie peut être considérée en transmission directe. ATTENTION, il convient de souligner deux points importants :  La réduction de l’effort tranchant n’est pas admise pour la vérification de Vrd,max..  Cette réduction n’est applicable que s’il y a un ancrage total (et non pas uniquement un ancrage de la section théorique) des aciers longitudinaux aux appuis, aciers calculés à l’abscisse correspondante.

11.4.1. Charges ponctuelles - éléments sans armatures transversales. Lorsqu’une charge ponctuelle est appliquée à une distance inférieure à 2d du nu de l’appui, on ne prend en compte qu’une fraction  de ces charges. La distance de la charge à l’appui est notée av .

On a alors :

 

  max 0,25;

av  2d 

Attention, le fait de limiter  à 0.25 revient à limiter av à 0.5d. On aura donc toujours

av  0.5d

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Prenons un exemple de calcul de l’effort tranchant réduit: une poutre de hauteur 60 cm (d= 54 cm) et de portée 5m, soumise à une charge concentrée Pu= 35KN à 70cm de l’appui.

Pu  ( L  a)  30 KN L ( L  a) VEd ,red  Pu    L   Max[0.25; av / 2d ]  Max[0.25;0.70 / 2  0.54]  0.65

VEd 

VEd ,red  35  0.65 

(5  0.70)  19.6 KN 5

On voit donc que l’on a une réduction de 35%. ATTENTION, il faut également s’assurer que l’effort tranchant non réduit vérifie la condition suivante : 

f   VEd  0,5.bw .d .v. f cd avec v  0,61  ck  .  250 

Cette vérification correspond au non écrasement des bielles dans le cas d’un élément non armé (voir un peu plus loin) en considérant des bielles inclinées à 45° (soit cot=1) 11.4.2. Charges ponctuelles - éléments avec armatures transversales Ce paragraphe concerne la totalité des poutres en béton armé. Dans ce cas, le coefficient de réduction  est calculé de la même façon. L’effort tranchant réduit 

VEd  Asw. f ywd .sin 

Asw la somme des brins coupés. La formule précédente peut également s’écrire :

On entend par 

VEd doit vérifier la condition :

A

sw



VEd f yd

.

1 sin 

Cette quantité d’armature doit être centrée sur une distance de 0,75.a v. ATTENTION, comme nous l’avons vu précédemment, la valeur de av doit être comprise entre 0.5d et 2d. Pour les zones d’about, le calcul des espacements des armatures d’effort tranchant doit donc se faire de deux façons différentes :  On calcul les armatures à partir de la formule §11.8.1 en considérant un effort tranchant réduit.  On applique ensuite la réduction de l’effort tranchant sur appui et on détermine alors les armatures selon la formule donnée ci-dessus afin de vérifier que les armatures réparties sur 0.75av vérifient cette relation.  On prend l’enveloppe des deux calculs précédents. Si l’utilisateur souhaite appliquer la réduction d’effort tranchant, le calcul des armatures transversales sera alors différent en zone d’about et en zone courante.

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11.4.3. Transmission directe des charges réparties. Pour ce qui est des charges réparties, on fait le calcul de l’effort tranchant à l’abscisse « d » et on considère l’effort tranchant constant entre x=0 et x= d :

Les armatures sont calculées en appliquant la même formule qu’en zone courante (§11.8.1) et ces armatures doivent être placées sur une longueur au moins égale à d. Dans le cas ou il n’y a pas de discontinuité d’effort tranchant (chargement uniforme uniquement), il est possible de prendre en compte la valeur de l’effort tranchant à une abscisse : x  z. cot  . ATTENTION, le texte de base de l’EN 1992 indique que la distance « x » à prendre en compte est x  z.(cot   cot  ) mais cette formule a été modifié en supprimant le terme « cot ». Cette correction est intervenue dans le correctif de janvier 2008.

11.5. Effort résistant des bielles de béton comprimées. 11.5.1. Cas général L’effort tranchant résistant des bielles de béton comprimé est défini par la formule: 

VRd , max   cw . 1. f cd .zu .bw

Le terme

cot  cot  1  cot 2

 cw est un terme qui permet de prendre en compte le fait d’une compression extérieure qui

tend à refermer les fissures (effet positif) : 

 cw  1 en flexion simple ou pour tout élément non-précontraint



    cw  1  cp  f cd  

pour



 cw  1.25

0.25 f cd   cp  0.50 f cd



 cw  2.5

pour

pour

0   cp  0.25 f cd

0.50 f cd   cp  1.00 f cd

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 cp

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représente la contrainte de compression moyenne du béton du à l’effort normal (lui-même du à la

précontrainte) et doit être calculée en faisant une moyenne sur toute la longueur de la poutre. Si les armatures transversales sont verticales (cas le plus courant) et que l’on calcul une poutre en

 cw  1 . La formule précédente se simplifie de la façon suivante :

flexion simple, on a = 90° et

VRd ,max 



v1. f cd .zu .bw tg  cot 

Avec : 

zu : bras de levier des forces internes. On peut prendre z=0,9d.



v1

: coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant :

f   v1  0,61  ck   250  Dans les cas ou on limite la contrainte de l’acier à de la façon suivante :  v1  0.60 pour

v1  0.90 



0.80 f yk au lieu de

f yk

s

, on modifie la valeur de

1

f ck  60Mpa

f ck  0.50 pour fck  60Mpa 200

Ce qui revient à majorer légèrement la valeur de

VRd , max pour certains bétons.

Prenons l’exemple d’une poutre de 0.25*0.70 en béton C25/30, avec des bielles inclinées à 45° :

f cd 

25  16.67 Mpa . 1,5



On a



Si on prend



Hauteur utile :



VRd ,max 

f ywd 

f yk

s



25  500   0,54  434.78 , on a v1  0,61  1,15  250 

d  0,9h  0,63m

et

zu  0,9d  0.567m

v1. f cd .zu .bw 0,54  16.67  0.567  0.25   0.638MN tg  cot  2

Si on limite la contrainte des aciers à 

v1  0,6



VRd ,max 

f ywd  0,8. f yk , on a :

v1. f cd .zu .bw 0,60  16.67  0.567  0.25   0.709MN tg  cot  2

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On peut être amenée à limiter la contrainte à

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0.80 f yk pour certaines classes d’expositions, pour

limiter l’apparition de fissures. Connaissant la valeur de 

VRd , max , on doit impérativement vérifier :

VEd  VRd , max

Deux remarques importantes :  Cette vérification doit être menée en ne considérant aucune transmission directe des charges aux appuis.  Si la vérification n’est pas satisfaite, la seule solution est d’augmenter la section de béton. 11.5.2. Cas particuliers des éléments non armés Dans le cas particuliers des éléments non-armés, il convient de considérer :  Un angle d’inclinaison des bielles à 45° => cot=1.  Aucun terme en fonction de  car pas de présence d’armatures transversales. La formule précédente se simplifie et devient donc : 

VRd , max  0.5. cw . 1. f cd .zu .bw



Soit

VRd , max  0,5. 1. f cd .zu .bw

en flexion simple.

11.6. Principe de dimensionnement à l’effort tranchant ère

Comme nous venons de le voir, la 1 béton.

vérification à faire est donc le non-écrasement des bielles de

Ensuite, on distingue deux cas de figures :  Les éléments pour lesquels aucune armature d’effort tranchant n’est requise (§6.2.2 de l’EC2). Il s’agit principalement des dalles ou de tout élément dans lequel une redistribution transversale est possible.  Les éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont nécessaire (§6.2.3 de l’EC2). On va donc dans un 1

er

temps calculer la valeur de

VRd ,c , qui correspond à l’effort tranchant

résistant en l’absence d’armatures d’effort tranchant : 

Si

VEd  VRd ,c => il n’est pas nécessaire de calculer des armatures d’effort tranchant.



Si

VEd  VRd ,c => il faut déterminer les armatures d’effort tranchant.

11.7. Résistance d’une section sans armature d’effort tranchant Attention, lorsque l’on a  

VEd  VRd ,c , il y a deux cas de figure à considérer :

Les éléments non-armés à l’effort tranchant. Les éléments armés en pourcentage minimum

L’article 6.2.1 définit les éléments non-armés : « Le pourcentage minimum peut être omis dans les éléments tels que les dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) et les éléments secondaires (par exemple linteau de portée inférieure à 2m) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la stabilité d’ensemble. »

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En d’autres termes, il est impossible de mettre en œuvre des poutres ou des poteaux sans armatures transversales, il faudrait obligatoirement ferrailler au moins en « pourcentage minimum ». L’effort tranchant résistant de calcul, pour une section sans armature d’effort tranchant, est donné par la formule suivante : 

1/ 3  C .k.b d .(100. L . f ck )  k1. cp VRd , c  max  Rd , c w (vmin  k1. cp ).bwd  

Avec 

 cp 

N Ed : contrainte normale agissant sur la section de béton, due aux charges Ac

extérieures appliquées. Cette contrainte est comptée positive en compression. Pour le calcul de VRd , c , la contrainte  cp doit être limitée à 0,2. f cd . 

k1  0.15 dans l’annexe nationale française.



k  1



L 

200  2,0 avec d exprimé en mm. d

AsL  0,02 avec AsL qui représente la section d’armatures longitudinales dépassant bw .d

le point de calcul d’une distance au moins égale à d (voir schéma ci-dessous). Attention, cette même section d’armature doit être prolongée au-delà d’une distance au moins égale lbd :



CRd ,c 

La valeur de

0.18

c

pour l’annexe nationale française.

vmin est définie par le tableau ci-dessous: vmin

Dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale

Poutres et dalles autres que ci-dessus

Voiles

Valeur ANF*

vmin  vmin 

0,34

c

0,053

c

vmin 

.k 3 / 2 . f ck1 / 2

0,35

c

. f ck1 / 2

. f ck1 / 2

* ANF= Annexe Nationale Française.

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11.8.

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Détermination des armatures transversales

Comme nous l’avons vu précédemment, la vérification à faire est la suivante : 

Si

VEd  VRd ,c => la section théorique d’armatures transversales est nulle, il faut donc

mettre en place un pourcentage minimum (sauf pour les éléments dit « non-armés »). 

Bien entendu, si

VEd  VRd ,c => mise en place d’armatures transversales.

Pour le calcul des armatures, on distingue deux cas de figures : 

Le cas des armatures transversales verticales (= 90°)



Le cas des armatures transversales inclinées ( 45    90 ) 11.8.1.

Cas des armatures transversales verticales.

L’effort tranchant que peuvent reprendre les armatures verticales vaut :

VRd , s  

Asw .zu . f ywd . cot  s

Le bras de levier zu peut être pris égal à 0.9d (on peut également considérer la valeur exacte de z, issue du dimensionnement en flexion simple, au point considéré).

Pour déterminer les armatures à mettre en place, on écrit l’égalité

VEd  VRd ,s , ce qui nous donne :

Asw VEd .tg  s zu . f ywd 11.8.2.

Cas des armatures transversales inclinées.

L’effort tranchant que peuvent reprendre les armatures verticales inclinées vaut :

VRd , s 

Asw .zu .(cot   cot  ). f ywd . sin  s

Pour déterminer les armatures à mettre en place, on écrit l’égalité VEd

 VRd ,s , ce qui nous donne :

Asw VEd  s zu . f ywd .(cot   cot  ). sin 

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11.9. Dispositions constructives (§9.2.2) Les armatures d’effort tranchant peuvent être composées d’une combinaison de :  Cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales.  Barres relevées.  Cadres ouverts, échelles ou épingles.

Asw (exprimée en cm²/ml), il faut se fixer Asw pour en déduire s A l’espacement « s » nécessaire. Bien entendu, pour une valeur de sw donnée, plus on augmente s Asw , plus on augmente l’espacement nécessaire. Lorsque l’on a déterminé la quantité

On commence par se fixer un diamètre d’armature transversale, que l’on prend en général à

t 

l

3

(règles de l’art), puis on regarde le nombre de brins coupés pour avoir la somme des barres

équivalentes. Les diamètres couramment utilisés sont des HA8-HA10-HA12.

Quelques exemple de détermination de

CAS A

Asw (avec des armatures en HA8):

CAS B

CAS C

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En fonction des cas de figures :  Pour le « cas A », on a un seul cadre et donc 2 brins d’aciers si on coupe horizontalement la poutre => Asw  2HA8  1.01cm² . 

Pour le « cas B », on a un cadre et deux étriers, on a donc 6 brins coupés, soit Asw  6HA8  3.02cm² .



Pour le « cas C », on a un cadre extérieur et un cadre intérieur, on coupe donc 4 brins, soit

Asw  4HA8  2.01cm² On voit donc qu’il y a un grand nombre de solutions pour une poutre donnée. Dans la pratique, on détermine un diamètre et un nombre de brins pour éviter de mettre en place des espacements trop petits. L’espacement max des armatures transversales ne doit pas dépasser : 

st ,max  0,75d (1  cot  ) pour les cadres, étriers ou épingles.



st ,max  0,6d (1  cot  ) pour les barres relevées.

Dans le cas ou il existe des armatures longitudinales comprimés, ces dernières doivent être maintenues par des armatures transversales espacées au plus de 15L . Pour les poutres de hauteur inférieure à 250mm, l’espacement max est pris égal à 0.9d. Il convient également de ne pas mettre d’espacements inférieurs à 7cm. Dans le sens de la largeur de la poutre, il convient également de vérifier que l’espacement des aciers intérieurs ne dépasse pas : 

 0,75d St  min  600mm

La question précédente n’a que peu d’intérêt pour les poutres et concerne essentiellement les dalles.

11.10. Pourcentage minimum (§9.2.2). La quantité minimale d’armatures à mettre en œuvre est la suivante : 

0,08 f ck Asw .   w,min .bw . sin  avec  w,min  f yk s

11.11. Méthodologie de répartition des armatures d’âme 11.11.1.

Répartition exacte

Lorsque l'on applique la formule

Asw VEd .tg  , on obtient une section par mètre linéaire, qui peut s zu . f ywd

être différente en divers points de la poutre.

Ainsi, on peut calculer en tout point de la poutre un espacement exact qui satisfait la condition cidessus.

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La série d’espacements mis en place est appelée « répartition transversale ».

Le calcul "précis" de ces espacements permet un gain d'armature (en termes de poids) mais présente deux inconvénients: 

Un calcul assez long car il faut déterminer le ratio At/st tout au long de la poutre.



Une mise en place sur le chantier plus compliquée du fait du nombre d'espacement de valeurs différentes.

Conformément à ce que l’on a vu au §11.4.3, dans le cas ou il n’y a pas de discontinuité d’effort tranchant (charges réparties uniquement), on peut faire un calcul par paliers de longueur L=z.cot. Pour simplifier la démarche, on peut également appliquer la "méthode de Caquot".

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11.11.2.

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Répartition selon la méthode de Caquot

La méthode de Caquot est une détermination forfaitaire des espacements des cadres basée sur une série d'espacements disponibles, appelée "série de Caquot".

11.11.2.1.

Définition de la longueur de répartition

Avant d’appliquer la méthode de Caquot, on définie la longueur

l0 sur laquelle nous allons répartir les

armatures transversales. Cette longueur correspond à la distance par rapport à l’appui où l’effort tranchant s’annule. Pour une poutre isostatique chargée symétriquement, cette distance correspond à la demi-portée entre-nu:

Pour une console, cette distance correspond à la portée de la console (toujours exprimée à partir du nu de l’appui).

Attention, pour tenir compte de la réduction d’effort tranchant par transmission directe de charges aux '

appuis, on considère la longueur l0

 l0  d .

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11.11.2.2.

17

Présentation de la méthode Caquot :

Pour appliquer la méthode de Caquot, il suffit de suivre les étapes suivantes :  L’écartement initial s0 est calculé selon les formules données en 11.8.1 ou 11.8.2, à partir de la section Asw définie par le calcul.

s0 du nu de l’appui. 2



Le premier cadre est disposé à environ



L’espacement des armatures doit être choisie dans la liste suivante que l’on appelle « série de Caquot » : 7-8-9-10-11-13-16-20-25-35-40-60 en cm. ère On détermine un coefficient de répétition « n » pour la 1 série d’espacements et les séries suivantes :



 



ère

n  l0' 

o

Pour la 1

o

Pour les séries suivantes :

série :

d s0 n  l0'

Si le nombre de répétition obtenu n’est pas entier, on arrondi à la valeur immédiatement supérieure. On répète successivement n fois chacun des espacements de la série jusqu’à l’abscisse d’effort tranchant nul. Si la dernière série va au-delà de l’abscisse d’effort tranchant nul ou s’arrête trop loin de cette même abscisse, on reprend la série de Caquot avec un espacement ère initial (1 série) plus petit. Il faut faire cette répartition en partant de l’appui gauche puis de l’appui droit de la travée (sauf si cette dernière est symétrique).

Exemple :  Poutre de 7,80m de portée : L=7,80  Hauteur utile : d=0.63m  Poutre symétrique supposée uniformément chargée.  s0  10,5cm selon les calculs => on choisit dans la série de Caquot un espacement de 10cm. 

Pas de transmission directe aux appuis => répartition avec



Premier cadre à



Coefficient de répétition : o o





l0

s0 soit 5 cm du nu de l’appui 2

d l d 7.80 0.63      9.9  10 s0 2 s0 2 0.105 l ' Séries suivantes : n  l0   3.9  4 2 ère

1

série :

n  l0' 

On doit prévoir les espacements suivants : o 1*5cm o 10*10cm o 4*11cm o 4*13cm o 4*16cm o 6*20cm o soit un cumul de 385cm pour une mi-travée à 390cm Le nombre de répétition de la dernière série est déterminé de façon à coïncider au mieux avec la demi-portée.

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18

11.12. Zone d’application des efforts 11.12.1.

Armatures inférieures tendues sur appui simple d’about

Si on écrit l’équilibre des efforts au niveau de l’appui de rive en partie inférieure, le fonctionnement en poutre-treillis fait que l’effort tranchant VEd induit un effort de traction dans l’armature. Par conséquent, il est important de vérifier que l’armature ancrée en partie inférieure de l’appui suffit à reprendre cet effort.

L’effort

FE à reprendre dans l’armature tendue est donné par la formule : FE  VEd .

al  0,5.z.(cot   cot  ) . Ce qui nous donne :

FE  VEd .

al , avec z

0,5.z.(cot  cot  )  0,5.VEd (cot   cot  ) z

Si on considère des armatures verticales, on a = 90° et on peut simplifier l’écriture précédente : 

FE  0,5VEd cot 

Dans le cas ou la poutre est également soumise à un effort normal 

FE  VEd .

La section

Al 

N Ed , l’effort à reprendre s’écrit :

al  N Ed ( N Ed étant compté positif si compression). z

Al d’armatures longitudinales doit donc vérifier : Al 

VEd .

al  N Ed z f yd

ou encore

0,5.VEd . cot  si on est en flexion simple avec des armatures verticales. f yd

Remarque : L’effort FE que nous venons de définir correspond à l’effort de traction

Fbt que l’on a utilisé

pour le calcul des ancrages.

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11.12.2.

19

Angle d’inclinaison de la bielle d’about

Pour déterminer l’angle d’inclinaison de la bielle d’about, il faut reprendre la théorie des « biellestirants » décrite au chapitre 6.5 de l’Eurocode. Dans le cas d’un appui de rive, on applique le schéma de la figure 6.27 :

Ce schéma correspond à l’équilibre d’un nœud sollicité par :  Un effort de compression Fcd 2 , qui correspond à l’effort dans la bielle d’about comprimée.  

Ftd qui correspond à l’effort de traction dans l’armature. Un effort de compression Fcd 1 qui correspond à la réaction d’appui. Un effort de traction

On voit sur ce schéma que l’équilibre du nœud doit s’écrit au centre de gravité des armatures. Il est donc nécessaire de connaître la valeur de s0 (distance du parement à l’axe de la barre) et la valeur de s qui représente l’espacement entre-axes des deux lits d’armatures. Les deux largeurs importantes sont :  « a1 » qui représente la largeur « efficace » de l’appui.  « a2 » qui représente la largeur de la bielle d’about comprimée. On note également deux points intéressant sur ce schéma de bielles-tirants :  La largeur efficace a1 de l’appui ne correspond pas à sa largeur physique mais à une valeur plus faible ou l’on a retranché l’enrobage des armatures ainsi que la hauteur du cône d’ancrage. On a donc a1  a p  c  2s0 

On voit que la longueur d’ancrage calculée « lbd » se prolonge au-delà de la zone d’appui, d’une valeur s0 . cot  du fait de l’inclinaison des bielles.

Si on transpose le schéma Eurocode à la zone d’about d’une poutre, on a le schéma suivant :

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Nous avons vu précédemment que du fait de la transmission directe, on pouvait aller jusqu’à prendre en compte un effort tranchant à l’abscisse x=z.cot, ce qui représente la borne inférieure de la bielle (en partant de la droite de l’appui). Cet angle représente l’angle  que l’on utilise dans le calcul des armatures d’effort tranchant. De l’autre côté (en partant de la gauche de l’appui), on a une inclinaison différente que l’on pourrait calculer facilement. On voit donc que la bielle d’about a en réalité une largeur variable et une inclinaison différente de ces deux bornes. Pour simplifier les calculs, on retiendra une bielle de largeur « a2 » et d’une inclinaison moyenne ’. De façon géométrique, à partir du schéma précédent, il est assez simple de déterminer l’angle d’inclinaison de la bielle : 

a1 z. cot   s0 . cot   2  a1  s0 . cot   cot  cot  '  2 z 2z z 2

On pourrait, si on le souhaite, remplacer la valeur de «a1 » par sa valeur calculée précédemment. La largeur de la bielle est obtenue par la formule suivante : a2  2.s0 . cos  'a1. sin  ' 

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11.12.3.

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Equilibre de la bielle de béton sur appui simple d’about

D’après les schémas précédents, il est simple de calculer la contrainte de compression dans la bielle d’about. La contrainte maximale autorisée en compression dans la bielle vaut : 



 rd , max  k 2 . '. f cd  0,85.1  

f ck  . f cd 250 

La contrainte dans la bielle de compression est calculée à partir de la formule (en fonction de l’angle d’inclinaison ’) : 

 c 

VEd a2 .bw .sin  '

On doit bien entendu vérifier

11.12.4.

 c   rd ,max .

Armatures inférieures sur appui intermédiaire

La vérification des armatures inférieures sur appui intermédiaire suit le même principe que la vérification sur appuis de rive mis à part la prise en compte de l’effet du au moment de flexion sur appui. Sur appui intermédiaire, l’effort   

FEd Fed à ancrer est la somme :

des composantes de la bielle d’appui de la compression de flexion (due au moment négatif sur appui) de l’effort normal (éventuel)

À droite de l’appui, on aura :  avec :    

FEd 2  VEd 2 .

aL M Ed   N Ed z z

VEd 2 : effort tranchant à droite de l’appui M Ed est le moment sollicitant concomitant sur appui z est le bras de levier des forces internes, on peut normalement adopter la valeur approchée z = 0,9d N Ed : l'effort normal agissant éventuellement sur l'appui (positif si compression)

La longueur d'ancrage doit être au moins égale à :  10Ф dans le cas des barres droites  au diamètre du mandrin de cintrage dans le cas des crochets et des coudes si les barres sont de diamètre  16 mm  deux fois le diamètre du mandrin de cintrage dans le cas de barres de diamètre < 16mm

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A défaut d’utiliser ces valeurs minimales, on peut faire un calcul exact des longueurs d’ancrage, conformément au chapitre 6. L’EC2 précise également qu’il peut être « pertinent » de prévoir des armatures « couvre-joints » pour résister aux moments positifs imprévus (tassements d’appuis, explosions,etc…).

11.13. Aciers de couture pour les sections en Té. 11.13.1.

Principes de calcul

Dans le cas d’une section en Té, il convient de mettre en place des armatures appelées « Aciers de couture » à la jonction entre tables-nervure. Le calcul de ces aciers de couture est défini au chapitre 6.2.4 de l’EC2. L’ensemble de la zone comprimée (par équilibre de la section) doit reprendre l’effort normal

M Ed , du z

fait de l’équilibre de la section en flexion simple (la zone comprimée de béton équilibre l’effort de traction dans les armatures). On peut donc considérer que chacune des ailes reprend un effort au prorata de la largeur du débord, soit

beff  bw 2.beff

.

Ce qui veut dire que le débord de la table de compression reprend un effort

Fd 

M Ed beff  bw . . z 2.beff

On voit donc que l’effort repris par la table de compression dépend entre autre du moment de flexion. Si on considère maintenant un tronçon de longueur x , la variation du moment de flexion (et donc de l’effort normal résultant sur la zone comprimée) induit une contrainte de cisaillement

v Ed qui se

développe à la jonction table-nervure :

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Cette contrainte de cisaillement s’exprime sous la forme :

v Ed 

Fd 1 M Ed beff  bw  . h f .x  h f .x  z . 2.beff .

Pour éviter un écrasement du béton dans les bielles de compression, cette contrainte ne doit pas dépasser la valeur limite suivante :

f   vEd  v. f cd . sin  f . cos  f avec v  0,61  ck  .  250 

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En fonction de l’angle

f

24

d’inclinaison des bielles dans la membrure, la quantité nécessaire

d’armatures peut être calculée (en cm²/ml) à partir de la formule suivante :

Asf sf



v Ed .h f f yd . cot  f

Avec une quantité minimale d’armatures correspondant à :

Asf sf

 0,08h f .

f ck f yk

L’EC2 précise que la longueur maximale de x est égale à la moitié de la distance entre l’abscisse de moment nul et l’abscisse de moment max. Lorsque la poutre supporte des charges ponctuelles, il faut plafonner cette valeur à la distance entre deux charges ponctuelles. ATTENTION, il n’est pas nécessaire de mettre en place d’aciers de couture si  

vEd  k . f ctd

k=0.4 pour l’EC2 de base. Pour l’annexe nationale française : o k= 0.50 en cas de reprise de bétonnage. o k= 1.00 s’il n’y a pas de reprise de bétonnage.

Lorsque la poutre comporte des aciers de flexion transversale (exemple des aciers de chapeaux de la dalle), on peut disposer les sections suivantes :

 Asf  Asf max  ;0,5.  As  sf  s f 

As (flexion de la dalle)

Ce calcul des aciers de couture n’est à faire que sur la partie de travée ou le moment est positif (traction de la fibre inférieure). En effet, lorsque le moment est négatif (par exemple sur appui d’une

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poutre continue), la table de compression est alors en zone de traction et la couture table-nervure n’a pas de sens (l’effort de traction est repris par les armatures de la nervure). Pour simplifier les calculs et ne pas déterminer les aciers de couture en tout point de la poutre, il est possible de considérer la contrainte constante sur une certaine longueur. L’EC2 spécifie de prendre en compte cette contrainte constante sur quatre zones entre les points de moments nuls, suivant le schéma suivant :

On voit donc que d’après la définition de l’EC2, on peut définir entre le point de moment nul et le point de moment max.

Estimation de l’angle d’inclinaison des bielles

11.13.2. L’angle d’inclinaison

x comme étant « la demie-distance

f

des bielles dans les membrures peut être différent de l’angle d’inclinaison 

des bielles dans l’âme. On peut évaluer l’angle

f

le plus économique en écrivant

vEd  v. fcd . sin  f . cos  f , ce qui nous

donne : 

sin  f . cos  f 

La valeur de

f

2.vEd vEd => sin 2 f  v. f cd v. f cd

que l’on obtient à partir de cette formule doit vérifier les limites suivantes :



1   f  2 si la membrure est comprimée => 26.5   f  45



1   f  1.25 si la membrure est tendue => 38.6   f  45

On peut avoir le cas d’une membrure tendue, en flexion composée avec un effort de traction important. Cela peut arriver également en flexion simple, lorsque l’axe neutre est dans la table de compression. Ces calculs nous amène à avoir des valeurs différentes de armatures de couture, on considèrera une valeur unique de

f

f

par tronçon. Pour le calcul des

le long de la travée, en retenant la

valeur la plus forte.

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26

11.14. Exercice n°1: justification d'une poutre soumise à une charge ponctuelle. Prenons l’exemple suivant :

G= 105 KN Q= 95 KN

a=1.00m

l=3.00m

      

Matériaux : o Béton: C20/25 o Acier: S500B Enrobage des armatures : 3cm Classe d’exposition XC1 (Sec en permanence) Reprise de bétonnage Section rectangulaire de 20x50cm Hauteur utile : d=0,45m Densité du béton : 25KN/m3

Attention, la poutre comprend des aciers comprimés => (6HA14 sur la coupe ci-dessus). On se propose :  De déterminer les armatures transversales (en considérant des bielles inclinées à 45° et des cadres verticaux.  De déterminer la répartition des armatures transversales par la méthode de Caquot.

11.14.1.

Détermination de l’effort tranchant maximal

Pour une poutre soumise à une charge ponctuelle Pu appliquée à une abscisse a, l’effort tranchant (en début de poutre) est définie par l’équation :

 a VEd  Pu 1   l  Pour déterminer Pu, on applique la combinaison ELUSTR de l’EC2 : Pu= 1,35Pg + 1,50Pq. On obtient Pu= 1,35*105 + 1,50*95= 284,25 KN Dans notre exemple, nous avons a=1,00m, ce qui nous donne :

 1 VEd  284,251    189,5KN  3

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11.14.2.

27

Effort tranchant réduit

Comme nous l’avons vu en cours, la réduction de l’effort tranchant (pour cause de transmission directe des charges aux appuis) ne concerne que les charges appliquées à une distance du nu de l’appui inférieure à 2d (soit 0.90m dans notre exemple). La charge ponctuelle est appliquée à x= 1,00m, il n’y a donc aucune réduction d’effort tranchant à prendre en compte. Dans la suite de l’exercice, nous ferons donc les calculs avec VEd=189,50 KN 11.14.3.

Vérification de la bielle comprimée de béton

er

Dans un 1 temps, nous allons calculer l’effort admissible dans la bielle de béton, en considérant ces bielles inclinées à 45° : 

VRd , max 

v1. fcd .zu .bw tg  cot g

Avec : 

zu : bras de levier des forces internes. On peut prendre z=0,9d.



v1

: coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant :

f   v1  0,61  ck   250  Ce qui nous donne :  zu  0,9  0,45  0,405m   

20   v1  0,61   0,552  250  f 20 Résistance de calcul du béton : f cd  ck   13.33Mpa  b 1.5 0,552  13,33  0,405  0,20 VRd , max   0.298MN tg 45  cot g 45 Béton C20/25 =>

On a bien

VEd  VRd , max => pas de problème de dimensionnement de la section de béton.

11.14.4.

Résistance de la section sans armatures transversales

Nous allons vérifier si la section nécessite la mise en place d’armatures transversales : 

VRd ,c

CRd ,c .k.bwd .(100. L . fck )1 / 3  max  vmin .bwd 

Avec 

k 1

200  1.67  2,0 d

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L 



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AsL  0,02 avec AsL qui représente la section d’armatures longitudinales dépassant bw .d

le point de calcul d’une distance au moins égale à d. Dans notre exemple, nous allons considérer

L 

18,10.104  0,02  0,02 0,20  0,45

 Pour une poutre, on a

CRd , c

vmin 

0,053

c

3

.k 2 . f ck :

200 200 1  1.67  2,0 d 450 3 0,053 3 2 0,053 o vmin  .k . fck  1.67 2  25  0,381Mpa c 1,50 0,18 0,18    0,12 c 1,50 o



AsL  18,10cm² (9HA16)

k 1

On a donc : 

On a

VRd ,c

0,12 1,67  0,20  0,45(100  0,02  20)1/ 3  0,062MN  max  0,381 0,20  0,45  0,034MN 

VEd  VRd , c => il faut donc mettre en place des armatures transversales 11.14.5.

Calcul des armatures transversales

On détermine les armatures transversales en considérant des aciers verticaux (= 90°). 

Asw VEd .tg 0,1895  tg 45    10,76cm ² / ml 500 s zu . f ywd 0,405  1,15 11.14.6.

Dispositions constructives

L’application des dispositions constructives va nous permettre de définir un diamètre de barre et un espacement à ne pas dépasser. On choisit de mettre en place un cadre sans acier intérieur. On choisit arbitrairement pour ce cadre un diamètre de 8mm (HA8). L’espacement max des cadres ne doit pas dépasser : 

st , max  0,75d (1  cot 90)  0,75  0,45  0.3375m  33,75cm

Comme indiqué dans l’énoncé, la poutre comporte des aciers comprimés, il faut donc limiter l’espacement des cadres à 15L  15  1,4  21cm .

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Il convient également de ne pas mettre d’espacements inférieurs à 7cm. Un diamètre de 8mm nous donne une section de 1 cm² car on a deux brins d’armatures. En reprenant

Asw  10,76cm ² / ml , on obtient un espacement initial de 9,29cm (1/10,76). s

On peut retenir un espacement de 10cm, plus facile à mettre en œuvre sur le chantier. 11.14.7.

Répartition des aciers.

L’effort tranchant, sous charge ponctuelle est constant sur tous le long de la travée et ce jusqu’au point d’application de la charge. Par conséquent, on doit conserver cet espacement sous toute la longueur de la poutre. On pourrait donc ferrailler la poutre de la façon suivante :   

er

On place le 1 cadre à St/2, soit 5cm. Puis on place 14 espacements de 10cm avec des cadres de diamètres 8mm. Puis on ferraille symétriquement.

On obtient le plan suivant :

Cette solution est simple à mettre en œuvre mais peu économique, car au delà du point d’application de la charge, l’effort tranchant est beaucoup plus faible.

11.14.8.

Calcul des armatures pour x > 1m

Au delà de la charge ponctuelle, l’effort tranchant est constant et égal à Rb (au signe près).  



a 1  284,25   94,75KN l 3 A V tg 0,09475  tg 45 La section d’armature vaut : sw  Ed .   5,38cm ² / ml 500 s zu . f ywd 0,405  1,15 On a donc

Vu   Pu

En prenant toujours un cadre en 8, on obtient St=18,59cm

Sur la partie de la poutre située après le point d’application de la charge, on peut donc mettre en place un espacement de 20cm.

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30

Ce qui donne le ferraillage suivant : er  On place le 1 cadre à St/2, soit 5cm.  Puis on place 10 espacements de 10cm avec des cadres de diamètres 8mm.  Puis on part de la droite en plaçant un espacement de 10cm.  Puis on place 9 espacements de 20cm.

11.14.9.

Vérification du pourcentage minimum

Pour vérifier le pourcentage minimum d’armatures, on appliquera la formule suivante :



0,08 f ck Asw .   w,min .bw . sin  avec  w,min  f yk s



 w, min 



Asw  0,0007155  0,20  sin 90  1,43cm² / ml s

0,08 20  0,0007155 500

Vérifions ce pourcentage minimum pour les deux séries d’espacement que nous avons déterminé précédemment : 

Espacement de 10cm :

At 1.10 4   10cm² / ml  1,43cm² / ml => vérification OK St 0.10



Espacement de 20 cm :

At 1.104   5cm ² / ml  1,43cm² / ml => vérification OK St 0.20

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11.15. Exercice n°2: Justification d’une section en T soumise à une charge répartie Prenons l’exemple de la poutre suivante :

      

Matériaux : o Béton: C25/30 o Acier: S500B Enrobage des armatures : 3cm Classe d’environnement : X0 Reprise de bétonnage. Hauteur utile : d=0,80m Densité du béton : 25KN/m3 Portée de 10m entre-nus d’appuis.

Attention, en guise de simplification, l’exercice est mené en considérant une portée entre-nus de 10m, contrairement à ce que pourrait laisser croire le schéma. On calculera donc toutes les sollicitations en considérant cette portée. La poutre est soumise à une charge répartie qui vaut

Pu  58,57 KN / ml à l’ELU (incluant le poids

propre de la poutre). On se propose :  De déterminer les armatures transversales  De déterminer la répartition des armatures transversales par la méthode de Caquot.  De déterminer les aciers de couture. Pour le calcul des armatures transversales, on considèrera des bielles inclinées à 30° et des armatures transversales verticales. Pour la détermination des aciers de couture, on considèrera la table comprimée, ce qui correspond au calcul en travée, lorsque le moment est positif et tend la fibre inférieure.

11.15.1.

Détermination de l’effort tranchant maximal

Pour une poutre soumise à une charge uniformément répartie Pu, l’effort tranchant est définie par l’équation suivante :

V ( x)  Pu x 

V est max à x=0 =>

VEd  

Pu l 2

Pul 58,57  10   292,9 KN 2 2

Dans la suite des calculs, on négligera le signe négatif de l’effort tranchant car aucune incidence dans les calculs.

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11.15.2.

32

Effort tranchant réduit

En considérant la réduction de l’effort tranchant au droit des appuis, pour une charge linéairement répartie, il nous faut prendre en compte la valeur de Vu à l’abscisse x  d  0,80m .

On a donc :

VEdreduit  Pu  d 

Pul 0,05857  10  0,05857  0,80   0,246MN 2 2

De la même façon que pour l’effort tranchant max, on ne tiendra pas compte du signe dans la suite des calculs.

11.15.3.

Vérification de la bielle comprimée de béton

Indépendamment de la détermination des armatures d’âmes, il nous faut vérifier l’effort maxi admissible dans la bielle de compression. Si cette condition n’est pas vérifiée, il est impératif de redimensionner la section de béton. Pour cette vérification, on ne tient pas compte des effets de la table de compression, car elle ne participe pas à la zone de compression sur appui. On calcul donc l’effort maximal en considérant des bielles inclinées à 30°. 

VRd , max 

v1. f cd .zu .bw tg  cot g

Avec : 

zu : bras de levier des forces internes. On peut prendre z=0,9d.



v1

: coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant :

f   v1  0,61  ck   250  Ce qui nous donne :  zu  0,9  0,80  0,72m   

25   v1  0,61   0,54  250  f 25 Résistance de calcul du béton : f cd  ck   16,67 Mpa  b 1.5 0,54  16,67  0,72  0,22 VRd , max   0.617 MN tg 30  cot g 30 Béton C25/30 =>

On a bien

VEd  0.293  VRd ,max => pas de problème de dimensionnement de la section de béton.

2011-2012

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11.15.4.

33

Résistance de la section sans armatures transversales

Nous allons vérifier si la section nécessite la mise en place d’armatures transversales :

C .k.b d .(100. L . fck )1 / 3 VRd ,c  max  Rd ,c w vmin .bwd 



Avec 

k 1



L 

200  1.50  2,0 d

AsL  0,02 avec AsL qui représente la section d’armatures longitudinales dépassant bw .d

le point de calcul d’une distance au moins égale à d. Dans notre exemple, nous allons considérer

L 

29,45.104  0,017  0,02 0,22  0,80

 Pour une poutre, on a

CRd , c

vmin 

0,053

c

3

.k 2 . f ck :

200 200 1  1.50  2,0 d 800 3 0,053 3 2 0,053 o vmin  .k . fck  1.50 2  25  0,324Mpa c 1,50 0,18 0,18    0,12 c 1,50 o



AsL  29,45cm² (6HA25)

k 1

On a donc : 

On a

VRd ,c

0,12  1,50  0,22  0,80(100  0,017  25)1 / 3  0,110MN  max  0,324  0,22  0,80  0,057 MN 

VEd  VRd , c => il faut donc mettre en place des armatures transversales 11.15.5.

Calcul des armatures transversales

On détermine les armatures transversales en considérant des aciers verticaux (= 90°) et des bielles inclinées à 30° : 

Asw VEd .tg 0,246  tg 30    4,54cm ² / ml 500 s zu . f ywd 0,72  1,15

2011-2012

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11.15.6.

34

Dispositions constructives

L’application des dispositions constructives va nous permettre de définir un diamètre de barre et un espacement à ne pas dépasser. On choisit de mettre en place un cadre sans acier intérieur. On choisit arbitrairement pour ce cadre un diamètre de 8mm (HA8). L’espacement max des cadres ne doit pas dépasser : 

st , max  0,75d (1  cot 90)  0,75  0,80  0.60m  60cm

Il convient également de ne pas mettre d’espacements inférieurs à 7cm. Un diamètre de 8mm nous donne une section de 1 cm² car on a deux brins d’armatures. En reprenant

Asw  4,54cm ² / ml , on obtient un espacement initial de 22cm (1/4,54). s

11.15.7.

Répartition des aciers

Pour calculer la répartition des barres, on peut appliquer la série de Caquot. er  Comme nous l’avons vu précédemment, le 1 espacement doit être de 22cm au maximum : on choisit 20 cm dans la liste de Caquot. er  La position du 1 cadre, par rapport au nu de l’appui, vaut st0/2=10cm : on retiendra donc 7c dans la liste de Caquot de façon à respecter l’espacement minimum.  Coefficient de répétition : o On a pris en compte une réduction d’effort tranchant, on a donc

l  d  5  0.80  4.20m 2 d d 0.80 ' ère 1 série : n  l0    4.20   8.20  9 s0 s0 0.20

l0'  l0  d  o o Supposons :    

Séries suivantes :

n  l0'  4.2  5

er

1 cadre : à 7cm de l’appui. ère 1 série : 9*20. ème 2 série : 5*25 ème 3 série : 5*35

En faisant le cumul, on arrive à 4.90m, soit à 0.10m de la mi-travée, ce qui est parfait.

11.15.8.

Vérification du pourcentage minimum

Pour vérifier le pourcentage minimum d’armatures, on appliquera la formule suivante :



0,08 f ck Asw .   w,min .bw . sin  avec  w,min  f yk s



 w, min 

0,08 25  0,0008 500

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

35

Asw  0,0008  0,22  sin 90  1,76cm² / ml s

Vérifions ce pourcentage minimum pour les deux séries d’espacement que nous avons déterminé précédemment : 

At 1.014 Espacement de 20 cm :   5.05cm² / ml  1,76cm² / ml => vérification OK St 0.20



At 1.014 Espacement de 25 cm :   4cm² / ml  1,76cm² / ml => vérification OK St 0.25



At 1.014 Espacement de 35 cm :   2.89cm ² / ml  1,76cm² / ml => vérification OK St 0.35 11.15.9.

Calcul des aciers de couture

Pour déterminer les aciers de couture, nous allons considérer le moment max en travée, dans le cas d’une poutre soumise à une charge répartie : 

M Ed 

Pu .L² 58.57  10²   732.125KN .m  0.732MN .m 8 8

A partir de ce moment, on peut en déduire l’effort à reprendre par le débord de la table de compression : 

Fd 

M Ed beff  bw . z 2.beff

Avec :  z= 0.72m  beff  2.22m et

bw  0.22m

Ce qui nous donne : 

Fd 

0.732 2.22  0.22 .  0.458MN 0.72 2  2.22

Nous avons vu que le calcul des aciers de couture doit être mené sur une longueur à la demi-distance entre le point de moment nul et le point de moment max. Dans le cas d’une poutre chargée uniformément, on a donc :

x 

x qui correspond

L  2.50m . 4

Il nous faut ensuite calculer la variation du moment sur chacun des tronçons : 

On part de l’équation du moment pour une charge uniformément répartie :



1



2

er

tronçon

ème

0


2.50m < x < 5m => M(x=2.50m)= 549KN.m et M(x=5m)= 732 KN.m

On a donc : M Ed  

=>

58.57  2.50 M ( x  2.50m)  (10  2.50)  549 KN .m 2

M

 549KN .m pour le 1er tronçon.

M Ed  732  549  183KN .m pour le 2nd tronçon. 2011-2012

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36

Connaissant la longueur des tronçons à étudier et la variation de moment sur chacun d’entre-eux, on peut déterminer la contrainte de cisaillement qui se développe sur ces tronçons : 

Tronçon 1 =>

vEd 1  

1 M Ed beff  bw 1 0.549 2.22  0.22 . .  . h f .x z 2.beff (0.15  2.50) 0.72 . 2  2.22  0.92Mpa .

Tronçon 2 =>

v Ed 2 

1 0.183 2.22  0.22 . .  0.31Mpa (0.15  2.50) 0.72 2  2.22

Pour éviter un écrasement du béton dans les bielles de compression, cette contrainte ne doit pas

f   vEd  v. f cd . sin  f . cos  f avec v  0,61  ck  .  250 

dépasser la valeur limite suivante :



f  25    v  0,61  ck   0,61    0.54Mpa  250   250 

Pour déterminer la valeur de l’angle 

f

, nous allons poser l’égalité :

vEd  v. fcd . sin  f . cos  f  sin 2 f 

2.vEd v. f cd

2  0.92  0.204 =>  f  5.88 0.54 16.67 2  0.31 o Tronçon 2: sin 2 f   0.069 =>  f  1.98 0.54  16.67 Cependant, l’angle  f doit également vérifier 1  cot  f  2  26.56   f  45 o

Tronçon 1 :

On retient donc :

sin 2 f 

 f  26.56

sur chacun des deux tronçons.

Le calcul des armatures se fait à partir de la formule :



Sur le tronçon 1 :



Sur le tronçon 2 :

Asf sf Asf sf

 

v Ed 1 .h f f yd . cot  f vEd 2 .h f f yd . cot  f

Asf sf



v Ed .h f f yd . cot  f

, ce qui nous donne :



0,92  0,15  1.59cm² / ml . 434,78  cot 26.56



0,31  0,15  0.53cm² / ml 434,78  cot 26.56

Les valeurs obtenues doivent être comparées au ferraillage mini : 

Asf sf

 0,08h f .

f ck f yk

 0.08  0.15 

25  1.2cm² / ml 500

Les armatures à prévoir sont donc :  Sur le tronçon 1 : 1.59cm² / ml .  Sur le tronçon 2 : 1.2cm² / ml

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11.15.10.

37

Plan de ferraillage

On obtient donc le plan suivant :

2011-2012

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38

11.16. Exercice n°3: justification d’une poutre soumise à deux charges ponctuelles et une charge répartie. Prenons l’exemple suivant : P1 G= 55 KN Q= 40 KN

P2 G= 65 KN Q= 35 KN

p G= 25 KN/ml Q= 20 KN/ml

av1=0.35m av2=0.80m l=5.00m

         

Largeur d’appuis de part et d’autres : 0.30m La portée de 5.00 m correspond à une portée entre-nus, soit une portée de 5.30m entre-axe, utilisée pour le calcul RDM de l’effort tranchant. Matériaux : o Béton: C25/30 o Acier: S500B Enrobage des armatures : 3cm Classe d’exposition XC1 (Sec en permanence) Reprise de bétonnage Section rectangulaire de 30x70cm Hauteur utile : d=0,63m Densité du béton : 25KN/m3 Bielles inclinées à 45°

L’objectif de cet exercice est de dimensionner cette poutre à l’effort tranchant et de voir l’influence de la transmission directe des charges aux appuis.

11.16.1.

Détermination des efforts tranchants maximaux et réduits

Le but n’est pas de détailler le calcul RDM de l’effort tranchant. Une modélisation sur un logiciel de calcul de structure nous donne les valeurs suivantes :  x=0.15m (nu de l’appui de gauche) => VEd  396 KN 

VEd  373.76KN et VEd  239.51KN x=0.95m (soit 0.80m du nu de l’appui) => VEd  210.82KN et VEd  70.57 KN



L’effort tranchant s’annule en x=2.06m



x=0.50m (soit 0.35m du nu de l’appui) =>

Cela se traduit par la courbe suivante :

Nous allons maintenant calculer les coefficients de réduction des deux charges ponctuelles :

2011-2012

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 

39

av  0.35     max 0,25;  0.28  0.28 .  2d  2  0.63    a  0.80    Pour la charge P2, on a  2  max 0,25; v   max 0,25;  0.63  0.63 2d  2  0.63    Pour la charge P1, on a

1  max 0,25;

En ce qui concerne la charge répartie, on doit prendre en compte l’effort tranchant constant et égale à x=d entre 0 et d. Il faut noter que l’on aurait également put faire cette réduction sur l’appui de droite, mais la suite des calculs est mené sur l’appui de droite avec un effort tranchant non réduit. En tenant compte des charges réduites, on obtient la courbe suivante :

Avec les valeurs caractéristiques suivantes :  x=0.15m (nu de l’appui de gauche) =>

VEd  229.44KN .



x=0.50m (soit 0.35m du nu de l’appui) =>

VEd  229.44KN et VEd  191.85KN .



x=0.95m (soit 0.80m du nu de l’appui) =>

VEd  181.01KN et VEd  92.65KN .



L’effort tranchant s’annule en x= 2.40m.

Ce sont les valeurs ci-dessus que nous allons prendre en compte dans les calculs.

11.16.2.

Vérification de la bielle comprimée de béton

On calcul donc l’effort maximal en considérant des bielles inclinées à 45°. 

VRd , max 

v1. f cd .zu .bw tg  cot g

Avec : 

zu : bras de levier des forces internes. On peut prendre z=0,9d.



v1

: coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant :

f   v1  0,61  ck   250  Ce qui nous donne : zu  0,9  0,63  0,57m  

Béton C25/30 =>

25   v1  0,61    0,54  250 

2011-2012

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

Résistance de calcul du béton :



VRd ,max 

f cd 

40

f ck

b



25  16,67Mpa 1.5

0,54  16,67  0,57  0,30  0.77 MN tg 45  cot 45

On doit donc comparer cette valeur à l’effort tranchant non-réduit :

VEd  0.405MN  0.77MN => la

section de béton est correctement dimensionnée.

11.16.3.

Résistance de la section sans armatures transversales

Nous allons vérifier si la section nécessite la mise en place d’armatures transversales :

C .k.b d .(100. L . fck )1 / 3 VRd ,c  max  Rd ,c w vmin .bwd 



Avec 

k 1



L 

200 200 1  1.56  2,0 d 630

AsL  0,02 avec AsL qui représente la section d’armatures longitudinales dépassant bw .d

le point de calcul d’une distance au moins égale à d. Dans notre exemple, nous allons considérer

AsL  16,08cm² (8HA16) => les deux lits

d’armatures sont prolongés aux appuis.

16,08.10 4 L   0,0085  0,02 0,30  0,63 0,053 3 / 2 1 / 2 0,053  Pour une poutre, on a vmin  .k . f ck   1,563 / 2  251 / 2  0.344 c 1,50 0,18 0,18  CRd , c    0,12 c 1,50 On a donc : 

On a

VRd , c

0,12  1,56  0,30  0,63(100  0,0085  25)1 / 3  0,098MN  max  0,344  0,30  0,63  0,065MN 

VEd  VRd , c => 0.229  0.098MN il faut donc mettre en place des armatures transversales.

On voit que pour cette vérification, on considère l’effort tranchant réduit.

2011-2012

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11.16.4.

41

Calcul des armatures transversales

Pour le calcul des armatures, on va faire un calcul « classique » puis vérifier la condition pour la prise en compte de la transmission directe des charges ponctuelles. On détermine les armatures transversales en considérant des aciers verticaux (= 90°) et des bielles inclinées à 45°, en différents points de la poutre :

Asw VEd .tg 0,229  tg 45    9,24cm ² / ml 500 s zu . f ywd 0,57  1,15 A 0,192  tg 45 ère ème  Entre la 1 charge et la 2 : sw   7,75cm ² / ml 500 s 0,57  1,15 A 0,093  tg 45 ème  Juste après la 2 charge ponctuelle : sw   3,75cm ² / ml 500 s 0,57  1,15  Avant la 1

ère

charge ponctuelle :

On calcul également la section d’acier nécessaire à droite de la poutre (appui pour lequel on a pas pris en compte la transmission directe de la charge répartie) : 

Asw 0,185  tg 45   7,46cm ² / ml 500 s 0,57  1,15

11.16.5.

Dispositions constructives et répartition des aciers

On choisit de mettre en place un cadre extérieur + un cadre intérieur en HA8, ce qui représente 4 brins d’aciers, donc une section Asw  2.01cm² :

L’espacement max des cadres ne doit pas dépasser : 

st ,max  0,75d (1  cot 90)  0,75  0,63  0.47m  47cm

Il convient également de ne pas mettre d’espacements inférieurs à 7cm.

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42

En partant de Asw= 2.01cm², on va déterminer l’espacement nécessaire pour chacun des intervalles vus ci-dessus : ère

charge ponctuelle :

ère

charge et la 2



Avant la 1



Entre la 1



Juste après la 2

ème

Asw  9,24cm ² / ml => s= 2.01/9.24= 21.75cm s

Asw  7,75cm² / ml => s= 2.01/7.75= 25.9cm s Asw charge ponctuelle :  3,75cm² / ml => 2.01/3.75= 54cm (borné à s ème

:

47cm) 

A droite de la poutre :

Asw  7,46cm ² / ml => s=2.01/7.46= 26.90cm s

On va déterminer une série d’espacement en partant de la gauche, en allant jusqu’au point d’effort tranchant nul, soit x=2.40m. On propose la répartition suivante (on ne peut pas appliquer dans ce cas la série de Caquot) : er  1 cadre à 10cm.  2x20cm  2x25cm  3x45cm  On est à un cumul de 235cm (soit à 5cm du point d’effort tranchant nul). On part ensuite de la droite en faisant une série de Caquot sur une distance de 5-2.4= 2.60m (distance entre le point d’effort tranchant nul et l’appui de droite) : er  Pour le 1 espacement, on choisit un espacement de 20cm (pour bien caler la série de Caquot) er  La position du 1 cadre, par rapport au nu de l’appui, vaut st0/2=10 cm  Coefficient de répétition : o o o

l0'  l0  d  2.60  0.63  1.97m d 0.63 ' ère 1 série : n  l0   1.97   3.5  5 s0 0.25 Séries suivantes :

n  l0'  1.97  2

On a donc : er  1 cadre à 10cm.  5x20cm  2x25cm  2x35cm  1x35cm (ce dernier espacement permet de s’approcher du point d’effort tranchant nul)  On est à un cumul de 265cm. On voit que la répartition de droite va un peu au-delà de la mi-travée mais se termine exactement au même endroit que la série de gauche. Ce qui donne un ferraillage correct.

2011-2012

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11.16.6.

43

Vérification de la condition de transmission directe des charges ponctuelles

Dans les calculs précédents, nous avons pris en compte une transmission directe des deux charges ponctuelles proches de l’appui.

Il faut donc vérifier la condition

A

sw 

VEd f yd

.

1 , quantité d’armature qui doit être placée de sin 

façon centrée sur une distance de 0.75av. Le problème dans notre cas est que l’on a 2 charges ponctuelles qui sont en zone de transmission directe, et l’EC2 ne précise pas comment gérer ce cas. Nous allons donc, par interprétation de la norme, vérifier cette condition pour les des charges en considérant l’effort tranchant réduit total mais en prenant séparément les valeurs de av correspondantes. Pour faire cette vérification, il faut distinguer l’effort tranchant (réduit) issu des deux charges ponctuelles et l’effort tranchant réduit de la charge répartie uniquement. Pour chacun de ces effets, nous allons déterminer un nombre de cadre à mettre en place, puis nous cumulerons ces nombres pour la vérification finale.

Effet des charges ponctuelles L’effort tranchant réduit du aux charges ponctuelles uniquement vaut :

Avec les valeurs caractéristiques suivantes :  x=0.15m (nu de l’appui de gauche) =>

VEd  106.56KN .



x=0.50m (soit 0.35m du nu de l’appui) =>

VEd  106.56KN et VEd  68.97 KN .



x=0.95m (soit 0.80m du nu de l’appui) =>

VEd  68.97 KN

La section d’armatures doit vérifier :

A



VEd 0.107   2.46cm 2 . f yd 434.78



Entre le nu d’appui et le point d’application de P1 :



Entre P1 et P2 :



La valeur de 2.46cm² doit être répartie sur une longueur

0.75av1 , soit 0.75*0.35= 0.26m



La valeur de 1.59cm² doit être répartie sur une longueur

0.75av 2  0.75  0.80  0.60m .

A

sw



sw

VEd 0.069   1.59cm 2 f yd 434.78

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44

Dans notre poutre, nous avons placé une section transversale composée de 2 cadres, ce qui correspond à 4HA8, soit 2.01cm².  Pour avoir 2.46cm², il faut donc placer 1.22 cadres (2.46/2.01)  Pour avoir 1.59cm², il faut placer 0.79 cadres (1.59/2.01)

Effet de la charge répartie L’effort tranchant du à la charge répartie seule vaut :



Entre 0 et d, l’effort tranchant est constant et vaut 123KN.

Calculons les armatures nécessaires pour cette valeur d’effort tranchant : 



Asw 0,123  tg 45   4,96cm ² / ml 500 s 0,57  1,15 En considérant Asw  2,01cm² , il faut mettre en place 3 cadres entre 0 et 0.80m (4.96/2.01=2.47). o Soit 0.26/0.80*3= 0.975 cadre sur o

Et 0.60/0.80*3= 2.25 cadres sur

av1

av 2

Cumul des deux effets La répartition initiale déterminée précédemment est : er  1 cadre à 10cm.  2x20cm  2x25cm  3x45cm  On est à un cumul de 235cm (soit à 5cm du point d’effort tranchant nul). Lorsque l’on cumul les deux effets, il faut le faire en distinguant bien les longueurs de répartition 0.75av1 et 0.75av 2 . Sur la longueur 0.75av1 , on doit avoir :   

1.22 cadres pour remonter les deux charges ponctuelles. 0.975 cadres pour la charge répartie. Soit un total de 2.2 cadres => on retient 3 cadres sur une longueur de 26cm, soit un espacement sav1  13cm .

Sur la longueur 0.75av 2 ,  

0.79 cadre pour remonter la charge P2. 2.25 cadres pour la charge répartie

2011-2012

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45

Soit un total de 3.04 cadres => on retient 3 cadres sur une longueur de 60cm, soit un espacement sav2  20cm .

On doit ensuite considérer l’enveloppe des effets avec les hypothèses suivantes :  Il faut bien gérer les zones de recouvrement entre les deux longueurs de répartition

0.75av1 et

0.75av 2 . Dans ces zones, il convient de prendre un espacement s  min( sav1, sav2 ) . 

En dehors de ces zones de recouvrement, on appliquera l’espacement correspondant.

En prenant l’enveloppe des deux calculs ci-dessus, on obtient les espacements max à mettre en place :



0.25av1  4cm 2 Puis 2*13cm => condition sur sav1



Puis 2*20 cm => condition sur



er

1 espacement :

sav2 => on est en cumulé à moins de

0.25av 2  10cm de la 2

charge P2 => répartition correcte.

11.16.7.

Vérification du pourcentage minimum

Pour vérifier le pourcentage minimum d’armatures, on appliquera la formule suivante :



0,08 f ck Asw .   w,min .bw . sin  avec  w,min  f yk s



 w, min 



Asw  0,0008  0,30  sin 90  2,4cm² / ml s

0,08 25  0,0008 500

Vérifions ce pourcentage minimum pour l’espacement le plus grand : 

Espacement de 45 cm :

At 2.014   4.47cm ² / ml  2,40cm ² / ml => vérification OK St 0.45

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11.17. Exercice N°4 : Vérification de la bielle d’about d’une poutre Prenons l’exemple de la poutre ci-dessous :

Les dimensions sont les suivantes :  Section : 30x70 cm²  Portée entre-nus d’appuis : 6.80m  Largeur des appuis : 30cm  Enrobage des armatures transversales : 3.50cm  Pas de réduction de l’effort tranchant au droit des appuis.  Les armatures transversales ont été calculées en considérant un angle d’inclinaison des bielles de 45°.  Hauteur utile de calcul des armatures longitudinales : d= 0.62m Les charges appliquées sur la poutre sont :  Charge uniformément répartie : o G= 45KN/ml + Poids propre. o Q= 35 KN/ml. Les matériaux sont les suivants :  Béton C30/37  Acier S500B L’objectif est de vérifier :  La section d’armatures longitudinales ancrées sur appuis de rive, en considérant 5HA25 ancrés sur appui (voir plan de ferraillage ci-dessus).  L’équilibre de la bielle d’about.

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11.17.1.

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Vérification des armatures tendues inférieures.

Nous avons vu au §11.12.1 du cours que l’effort à reprendre dans les armatures inférieures vaut : 

FE  VEd .

al . z

Nous allons calculer l’effort tranchant en partant de la formule RDM correspondant à une poutre isostatique soumise à une charge répartie :

l VEd  Pu .(  x) . 2

Estimons d’abord la charge ultime :  Poids propre de la poutre : 

p. p  0.40  0.70  25  7 KN / ml . Charge répartie à l’ELU : Pu  1.357  45  1.50  35  122.7 KN / ml

L’équation de l’effort tranchant s’écrit donc : 

l  7.10  VEd  Pu .(  x)  122.7  x   435.58  122.7 x 2  2 

Attention, dans cette formule, nous avons considérer la portée entre-axes d’appuis (soit 6.8+0.30) conformément à l’EC2. Il nous faut maintenant déterminer l’effort tranchant au nu de l’appui :  VEd ( x  0.15m)  435.58  122.7  0.15  417 KN Avec cette valeur d’effort tranchant, nous allons déterminer la section d’armatures inférieures tendues à mettre en place : 

al 

0,5.VEd . cot  0,5  0,417   4,79.10 4 m²  4,79cm² f yd 434,78

D’après le plan de ferraillage de la poutre, nous avons 5HA25 ancrés sur appuis, ce qui représente 24,54cm², ce qui est largement suffisant. Remarque : On pourrait faire le calcul de l’ancrage de ces armatures en considérant un effort à ancrer

Fbt  0,5  VEd  0,208MN

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11.17.2.

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Calcul de l’angle d’inclinaison de la bielle d’about.

Pour pouvoir vérifier l’équilibre de la bielle d’about, il nous faut déterminer son angle d’inclinaison, ce qui nous permettra ensuite d’en déduire l’effort à reprendre et donc la contrainte obtenue. Reprenons le schéma donné au §11.12.2 :

Nous allons tout d’abord déterminer «

s0 » qui représente l’enrobage à l’axe de l’armature

longitudinale à partir du plan de ferraillage donné en énoncé :  Largeur de l’appui : a p  30cm . 

Enrobage des armatures transversales :



Diamètre des armatures transversales :



Diamètre de l’armature longitudinale :

On a donc :

s0  3.50  0.80 

cnom  3.50cm .

t  8mm .

l  25mm .

2.5  5.55cm 2

La hauteur « z » peut être considérée égale à 0,9d=0.9*0.62= 0.56m. La largeur efficace de l’appui vaut :

a1  a p  cnom  2.s0  30  3.5  2  5.5  15.50cm

L’angle d’inclinaison de la bielle vaut donc :  

a1 s0 . cot  cot  15.50 5.50      0.50  0.74 . 2z z 2 2  56 56 cot  '  0.74   '  53.5

cot  ' 

L’angle moyen d’inclinaison de la bielle d’about est donc de 53,50°.

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11.17.3.

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Contrainte dans la bielle de béton sur appui simple d’about

Pour calculer la contrainte dans la bielle d’about, il nous faut déterminer la largeur de cette bielle :  a2  2.s0 . cos  'a1. sin  '  2  5.55  cos 53.50  15.50  sin 53.50  19cm Connaissant la largeur de la bielle, on peut en déduire la contrainte de compression résultante : 

 c 

VEd 0,417   6.82Mpa a2 .bw .sin  ' 0.19  0.40  sin 53.5

On doit bien entendu vérifier

 c   rd ,max .  

 rd ,max  k2 . '. f cd  0,85.1 

f ck  30   . f cd  0,851  .20  14.96Mpa 250   250 

La vérification est satisfaite.

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