Didactica matematicii pentru invatamantul primar [PDF]

Zitiervorschau

universitar do�t�r la F.acultatea de Psi�ologie CONSTANTIN PETROVICI este conferentiar n l te c i e I şi tii r � I��Id� a�;: a �i�: i t� ��t� f. ;st �=: �� �l cuŞ.su�I�: � ; �� -n învătămăntul primare, pentru care a primii in 2010 premiul_Professoria-, acordat �nd�tia .Oinu Patrieiu· şi Fun�alia CODECS penl,:", Le�dership. Este.lice':'1iat in matem�licA. are un master in polilici educationale, este doctor In ştnntele �ducatlel ŞI formator national al MEN. A participal la numeroase proiecte nationale şi inter�atlonale care au vizat formarea initială şi continuă a profesoritor, precum şi evaluarea profe�lonală a acesto�a. Este memb�u ac1iv al mai multor organizatii Ştiin1ifice şi profesionale Internationale ŞI face parte din comitetul de redactie al mai multor publicatii de specialitate din tară şi din străinătate. De aproape treizeci de ani, activitatea sa principală constă in formarea initială şi con!inuă a profesorilor pentru Învătământul preşcolar şi primar. A mai publicat: Elemente de didactica matematicii În grMinitA şi imlAtAmântul primar (in colab., 2002, 2006), Tratarea diferenpată a elevilor din invAtAm6n/ui primarIa matematicA (in colab .. 2006), Principii şi criterii de evaluare a competentelor profesionale ale invAtâtorilordebulanti (2006), Rolul activitAIilormatematice in dezvoltarea g6ndirii copilului preşcolar cu defiCientA auditivâ (in colab .• 2007), Metode active folosite in predarea-invAtarea matematicii la clasaI in altemativa educaţionafA step.by-step (in colab., 2007), Politici educaţionale de formare, evaluare şi atestare profesionalA a cadrelor didactice (2007). La Editura Polirom a pUblicat Arilmelică. E)lercitii. jocuri şi probleme (4 voI.. in colab .• pentru dasele I-IV, 1997) şi Didactica activitâlilormatemarice in grjdinitiJ (2014).

��

�:��c!! ��

�

e �� !: :r� : �

: � � � ��

\O 2014 by Editura POLIROM

Aceasta carle este protejata prin COPyri9ht. Reproducerea integrala sau partiala, muniplicarea prin orice mijloace şi sub orice loma, cum ar fi xeroxarea, scanarea, transpunerea in lormat eleC1ronic sau audio, punerea la dispoz�ia publica. indusiv prin intemet sau prin retele de calculatoare, stocarea permanenta sau temporara pe dispozitive sau sisteme cu posibilitatea recupe�rii informa�ilor, cu scop comercial sau gratuit, precum şi alte fapte Similare săvârşife fa� permisiunea scrisă a de�na­ torului copyrightului reprezinta o incalcare a legislatiei cu privire la protectia proprietatii inteleC1uale şi se pedepsesc penal şifsau eivil in conformitate cu legile In vigoare. Foto coperta: C Omitriy Shironosov/Dreamstime.com www.polirom.fO

Editura POLIROM laşi, B-dul Carol I nr. 4; P.O. BOX 266, 700506 Bucureşti, Splaiul Unirii nr. 6, bl. B3A, se. 1. el. 1. sector 4, 040031, O.P. 53, C.P. 15-728 Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a României: PETROVlCI, CONSTANTIN Didactica matematicii pentru lnvAtAm�ntul primar I Constantin Petrovici. -Iaşi: Polirom, 2014 Bibliogr. ISBN print: 978-973-46-4-48Q.3 ISBN ePub: 978-973-46-4610-4 ISBN PDF: 978-973-46-4611-1 371.3:51:373.3 Printed in ROMANIA

Constantin Petrovici

Didactica matematicii pentru învăţământul primar

POLIROM 2014

Cuprins Nota autorului. Introducere

. . _

. . .

.

..........

... .

............. .. 9

........................................................ ......................................

11

Capitolul 1 . FinalitAţile disciplinei didactica matematicii pentru invAţAmintul primar... . . . . .. . . . . ..... ... .. . ... . . . .. ... . . ... 1 3 Capitolul 2. Premisele psihopedagogice ale Înv4ţarii matematicii... 2. 1 . 2.2.

.

.... 1 7

Aspecte ale dezvoltarii psihice şi intelectuale a şcolarului mic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 Formarea reprezentarilor şi conceptelor matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2.2. 1 . COncept şi no�iune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 . ... . . .... 2 3 2 . 2. 2. Convenţiile de scriere . . 2 . 2 . 3. Formarea reprezentarilor . . . . .... 2 4 2 . 2 . 4 . Formarea limbajului matematic . . . . .. .. 2 7 2. 2 . 5. Scrierea i n cadrul activitaţii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2. 2 . 6. limbaj natural şi limbaj matematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 . 2. 7. Enunţul unei probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

Capitolul 3 . Curriculumul naţional le disciplina matematicA

pentru învlţ.Amiintul primar 3 . 1. 3.2. 3.3.

..................................... .....................

Capitolul 4 . Relaţia dintre cUl'1"iculum ş i proiectarea didacticA 4 . 1. 4.2. 4.3. 4.4. 4. 5.

5. 2 .

. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .

37

Proiectarea didactica. demers coerent de transpunere a paradigmei curriculare in activitatea didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Etapele proiectarii demersului didactic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3 8 4 . 2 . 1 . Exemple de proiectare anuala a activitaţilor . . . .. 4 2 Proiectarea unei unităţi de invaţ8re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 4. 3 . 1. EKemple de proiectare 8 u n o r unitaţi de invaţare . . . . . .. . . . . 6 3 . 72 Proiectarea lecţiei . . . 4 . 4 . 1 . Exemple de proiectare a unor lecţii . . . . ... 7 6 Proiectarea activitaţilor integrate la clasa pregatitoare . . . . .. . . ... ..... . . 88 4. 5. 1 . Exemple de proiectare a activitaţilor integrate . . . . ......... . .. 8 9

Capitolul 5. Strategii didactice utilizate la matematica.. 5. 1.

31

Finalitaţile învaţerii matematicii in invaţamântul obligatoriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Structura programei şcolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Tipuri d e curriculum l a matematica: nucleu, aprofundat. . ........... . .... . .... . .. . . ... 3 5 extins. elaborat in şcoala . .

Strategie didactica. metodologie. metoda. procedeu. mijloace de invaţemânt. . . Tipuri d e strategii didactice . .

. . . .. ... 1 0 1 . . . . . ... 1 0 1 . ... . . .... 1 04

' ' atematicii . . . .. . . . . . 5.3. Strategii didactice utilizate in inv8ţarea � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tice . . 5.4. M etode de invaţere utilizate la matema . . . . . . . . . . . . . . 1 29 ...... . . . . . . elevilor. activit8ţii a e 5.S. Forme de organizar ............ ......... 131 5.6. Activitatea diferenţieta . . . . ilor didactice specifice activitlţ Capitolul 6. Mijloace fi materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 33 rnaternetice . . . . . . . . . . . . . . . .

: ::: : :::: ��6

6.1. 6.2.

atlca. Mijloacele didactice u. �lizate la matem. la matematica . . . Metarialul didactic utilizat

lui şcolar la matematicA Cepitoluf 7. Evaluarea progresu

7.1. 73

7.2.

7.4.

......... . .. . ...... .. .. . ······· . Forme de evaluare . . . . . . . . . . . .......... . .. . ... Metode alternative de evaluare . . .. ............ ......... .. . . . . ..... . profesor de elaborate evaluare de Probe .. . . . ........... .... ...... . . .. .. .... . .. . .. . Matrice d e evaluare . . .

Capitolul 8 . Etape metodologice ale formArii conceptului

de numAr natural la şcolarul mic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. 1. 8 . 2.

8.3. 8.4.

8 . 5.

1 33 ....... 1 38

...............................

9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9 . 6.

9.7.

1 56

Probleme metodice specifice înveţarii in perioada prenumerica . . . . . . . . . . . 1 56 Conservarea numerica şi formarea noţiunii de numar la vârsta de & 7 ani . . . . . . 1 60 8. 2. 1 . Numararea . . .. .. ... 1 63 8.2. 2. Aspectul ordinal al numarului . . . .... ......... . .. ....... ...... 1 64 8. 2 . 3. Modurile de reprezentare şi contextele numerice . . ... ......... .. 1 65 . . 1 65 8 . 2 . 4. Sensul numerelor. . . Metodologia formarii noţiunii de numar natural la şcolarul mic .... . ....... 1 66 Etapele de predare-inveţare a unui numer in concentrul 0. 1 0 ......... ... 1 67 8. 4. 1 . NumereleOşi 1 0.. .......... ... 1 70 8 . 4. 2. Predarea-învaţarea numerelor naturale de la 10 la 1 00. . . .... 1 7 1 8 . 4. 3 . Exerciţii d e scriere, citire ş i reprezentare a numerelor cu respectarea regulilor de poziţionare . . . . . . . . . . . . . . 1 72 Compararea şi ordonarea numerelor naturale de la Ola 100. ... . ... . . 1 75 8.S. 1 . Exerciţii de comparare a numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 75 8.5.2. Înţelegerea construcţiei şirului de numere naturale . . . . . . . . . . . . 1 7 5 8. 5 . 3. Formarea noţiunilor de ordin şi clasa de numeraţie . . .. . . .. . .. 1 76 8 . 5 . 4. Predarea numerelor naturale de mai multe cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6

Capitolul 9. Metodologia predAriH"nvaţarii operaţiilor cu numere naturale... 9. 1 .

1 42 142 1 44 1 51 1 54

.

. 1 78

Formaree reprezenterilor despre operaţii şi in�elegerea sensului operaţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adunarea şi scaderea numerelor naturale pâna la 30 fara trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adunarea şi scaderea numerelor formate din zeci intregi . . . . . . . . . . . . . . . . . Adunarea numerelor formate din zeci . . .. . ....... . . şi unit8ţi fara trecere peste 10 .. . ... Adunarea numerelor naturale cu trecere peste 1 0... Adunarea cu trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... .............. ... . . . 9 . 6 . 1 . Exerciţii de calcul scri s . . 9 . 6. 2. Exerciţii de calcul desfaşurat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scaderea numerelor naturale formate din zeci şi unitaţi 9. 7 . 1 . Explorarea metodelor de calcul prin manipularea obiectelor . . . . 9. 7 . 2. Oemonstrarea calculului scris desfaşurat al scaderii

1 78 1 80 1 82 1 83 1 86 1 89 1 90 1 91 1 92 1 92 1 92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 94 Scaderea cu trecere peste ordin . . 9 . 8 . 1 . Numere naturale din concentrul 0- 20 . . . . . . . . . . . 1 94 9 . 8 . 2 . Numere naturale din concentrul 0- 1 00 . . . . . . . . ... 1 95 9. 9 . re .. e . . 9 . 1 0. Imparţirea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 . . . 209 9 . 1 0 . 1 . mparţirea În parţi egale . . . . . . . . . .. .. 209 9 . 1 0. 2 . lmparţirea prin cuprindere . . . ..21 1 9 . 1 0. 3 . Î mp8rţirea cu rest . . . 9 . 1Q . 4 . Folosirea parantezelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4 9.8.

;7.�� ; ��:�:e:���������� : : :

...... .. : �g�

!

Capitolul 1 0. Metodologia predAriHnvAţArii unitAţ.ilor d e mAsurA . . . .

.

.

.......

...... 216

. .. 2 1 6 1 0. 1 . Noţiunile d e marime ş i d e masura a unei marimi . . 1 0. 2 . Etape metodologice În predarea unitaţilor d e masura . . . 21 9 1 0 . 2 . 1 .lungimea . . 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 1 0. 2 . 2 . Capacitatea . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 1 0 . 2 . 3 . Masa . 1 0. 2 . 4 . TImpul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

.

Capitolul 1 1 . Metodologta predArii-inv6ţ.Arii elementelor d e geometrie . . . . . . . . . . . 2 2 3 1 1 . 1 . i nvaţarea geometriei i n ciclul primar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 1 1 . 2 . Rolul intuiţiei i n predarea elementelor de geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6

.

Capitolul 1 2. Strategii didactice utilizate i n formarea noţiunii d e fracţie . . . . . . . . : 22 9 1 2 . 1 . locul intuiţiei i n predarea noţiunilor despre fracţii . . . . . . . . . . . . . 229 1 2 . 2 . Metodologia predarii·învaţa:rii noţiunii de fracţie . . . 230 1 2 . 2 . 1 . lntroducerea noţiunii de fracţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 1 2 . 3. Numirea, scrierea şi citirea fracţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 . . . . . . . 237 1 2 . 3 . 1 . Fracţiile egale . . 1 2 . 3 . 2 . Compararea fracţiilor cu întregul . . . . . 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 1 2 .4. Compararea fracţiilor . . . . 1 2 .4 . 1 . Compararea fraeţiilor care au acelaşi numitor . . . . . . . . 246 1 2 . 4 . 2 . Compararea fracţiilor care au acelaşi numarator . . . 248 . . . . . . 249 1 2 .4 . 3 . Compararea fracţiilor oarecare . . 1 2 . 5 . Operaţii cu fracţii. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 1 2 . 5 . 1.Adunarea fracţiilor care au acelaşi numitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 1 2 . 5 . 2 . Scaderea fracţiilor care au acelaşi numitor . . . 25 2 Capitolul 1 3 . Noţiunea de problemA. Rezolvarea problemelor .

..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

. .. . 255 1 3 . 1 . Clasificarea problemelor . . . . . . . 256 1 3 . 2 . Metode de rezolvare a problemelor . . 1 3 . 2 . 1 . Rezolvarea problemelor tipice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 1 3 . 2 . 2 .Probleme care se rezolva prin metoda grafica sau figurativa . . . . . 261 1 3 . 2 . 3 .Probleme de eliminare a uneia dintre marimi. Metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie . . . . . . . . . . . . . . 265 1 3 . 2 . 4 .Probleme care se rezolva prin metoda ipotezelor 266 (metoda falsei ipoteze) . . 1 3 . 2 . 5 .Probleme care se rezolva prin metoda retrograda fa mersului invers) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 1 3 . 2 . 6 .Probleme de mişcare . . 1 3 . 3 . Cultivarea creativitaţii elevilor prin activitatea de rezolvare . 272 şi compunere de probleme . .

Bibliografie ..

. . . . . .. . 2 7 7

Nota autorului Malemalica este considerata.. pe drepi cuvin!. un elemem de culturI generală absolut necesar În orice domeniu de activitate. in elapa comemporană. matematicii ar trebui să i se acorde un rol esential in procesul de invatamint. in special in invllitll.mâmul preşcolar şi În cel primar. Schimbările şi modi· ficările care au loc in siruciura invJtll.mâmului preuniversilar. corelarea imerdisciplinarll. a anumitor aspecle comune mai muhor discipline de invll,âmănt. trecerea de la Învlli,lmân­ lui informativ la cel fonnaliv, cemrarea iovăllrii pe elev, precum şi noua viziune asupra didaclicii disciplinei maremotÎcd au impus oecesilatea elaborarii acestei lucrliri. Reforma invlliamintului malemalÎc in ciclul primar are drepi scop reamplasarea aceen­ lelof. Astfel, accentul se deplasează de pe voi untul inforntational. care Irebuia să fie însuşit de către copii. pe formarea şi dezvoltarea competellIelor şi a unui sistem de valori. pe baza unui volum mai redus de informalii . Noua paradigmă didactică vizeau formarea unor structuri a l e gândirii specifice mate­ maticii. Aceasta înseamnă. mai ales. formarea unor competente investigative şi rezolulive. precum şi a diferitelor tipuri de rationament. sustinute. toate. de un limbaj matematic specific. Realizarea obiectivului major privind învătarea matematicii În ciclul primar, acela de a-I pregăti pe copil pentru adaptarea la mediul social şi economic al comunitătii din care face pane şi a-i susline parcurgerea traseului şcolar. se face prin modul de prezentare a cunoştinlelor. prin folosirea unor melOde şi a unui material didactic adecvate, prin exem­ plele date şi aplicatiile realizate, prin munca independentă şi in colectiv a copiilor, sub indrumarea competentă a cadrului didactic. Această lucrare se doreşte a fi un supOrl eficient in proiectarea şi destlşurarea activi­ tătilor matematice atât pentru cei care se pregătesc să devină profesori În invăIământul primar. cât şi pemru cei cu experieulă la catedră. Mullumesc colegilor şi studenlilor mei, precum şi cadrelor didactice cu care am des­ flşurat de-a lungul timpului atâtea activităli de fonnare deosebite. M-au stimulat şi ni-au suslinut continuu.

Introducere Bazele pregătirii melOdice a viitorului profesor pemru inv!11hnântul primar, privind invIlarea matematicii, se insuşesc prin studierea unui curs de didactică a 3C1ivilăIÎlor matematice in invăIămâlllul primar. Obiectul de studiu al didactic ii matematicii este Învă· Iămâmul matematic. Obiectivul major al disciplinei conslll in preglUirea aprofundată şi mulliiaterală a viitori lor profesori pentru Învăllhnâmu! primar. Implementarea curriculumului pemru invăIământul primar necesită imroducerea unui mecanism de realizare a acestuia. având caracteristici imegrative. Dad psihologia studiază şi analizează conduitele şi concepliile subiaceme lor, didactica. la răndul ei, caută mijloacele prin care să facă să evolueze aceSI� concepte şi competcnl�le care le sunt asociate. Didactica se sprijină d�d, în mod necesar, pe psihologie. Dar ca nu se reduce la aceasta şi pune la rândul ei probleme noi psihologiei. PrÎma problemli pe care o ridică didactica este aceea a luării În cOllsideralie, pentru analiza cognitivă. a dezvoltării cunoştinl�lor. A doua problemă se referă la raportul dilIIre dezvol­ tare şi Învălare. E dificil sa se argum�OIeze afirmalia ca iOlre componentdc observate de psiholog şi experienla şcolară a copiilor nu exislă nicio legătură. De altfel. nu eSle de doril nici să afirmăm ca acestI! experienle provoaca ele singure comportameOlele observate. Realitatea este mult mai compleXă pentru că subiectul nu relÎne din activitălik de invăI.ue la care participă decât o parte din achiziliile vizate şi că aceste achizilii sunt organizate prin raportare la situa\ii, prin jocuri de analogic şi de diferenţă. prin rupturi de complexitate şi prin alunecari de sens care nu au nicio legatura cu logica cunoaşterii constituite. ci cu cea a unei cunoaşteri pe cale de a fi însuşită. pentru care interpretarea cognilivistă IlU permite să ii descriem etapele şi procesele cele mai importante (Vergnaud. 1987, pp. 842-843)'.

Învătarea care se reduce la achizitii Îlllr-ull domeniu limitat nu prezintă interes pentru progresul cunoaşterii. " Singură, perspectiva epigenetică, altfel spus, interaqiollală, punând accel1lul pe mecanismele de construqie, poate prezenta această evolulie, esenlial dinamică, Spre descoperire, dincolo de conflictele şi comradiqiile resillliite la prima abordare a subiectului, şi tlra întrerupere de continuitate, spre noutăti descoperite in timpul echili· brărilor importante " (Inhelder el al. , 1 974, p. 14). NumeroaSe rererinle la lucrările lui Piagel şi ale echipei sale de cercetare ill didaclica matematicii SUIl! de asemenea martore ale acestei cominuilăli . În schimb, didactica nu se reduce În niciun caz la aplicarea psihologiei. Cercelălorii Brun şi Conne au insis131 in această direqie. precizând că proieclul de predare - specific didacticii - eSle acela care " transfonnă În elev şi în proresor subiecti J.

Traducerea unor pasaje sau a unor exemple din

lucrarile unor au!ori straini

ne aparline.

1 2 J Didactica matematicii pentru învaţamântul primar

asupra cărora psihologia genetică. socială. cognitivă. clinică etc. ne furnizează rezultate importante. Desigur. uneori am dori să rămânem la aceste rezultate şi la problematica lor pemru a deduce intervenţiile eficieme sau pemru a le evita pe cele greşite " (Brun. Conne. 1 990. p. 262). Clarificarea contribuţiei specifice a didacticilor disciplinelor din perspectiva formll.rii in invătămâm ridică întrebări. De câliva ani. sunt prezente două tipuri de cercetare in didactica : a) cercetările de didactică şi b) cercetările asupra didacticilor. CercetdrÎie de didacticd permit prin răspunsuri, imr-o modalitate sau aha, optimizarea procesului de predare-invă]are. in acest caz, didacticianul cercetează răspunsurile la intre­ bările de predare-invălare referitoare la cunoştinţele codificate. Cucndrilt asupra didac­ ticilor au o abordare asemănătoare cu un meladiscurs asupra didacticilor. Ele dezvoltă o refleqie epistemologică sau istorică asupra didacticilor Înseşi şi asupra conceptelor pe care ele le utilizează .

..i n mod traditional, lucrările didactice sunt clasificate după trei orientări : a) o orientare epistemologied, dacă reflectia se referă În mod eseuţial la obiectele de pre­ dare-invlllare ; b) o orientare praxiologicd, dacă refleqia se referă in mod esenlial la intervenlia didactică in clasă ; c) o orientare psihologied, dacă reflecţia se referă in mod esen]ial la subiectul ce se Învală. in lucrările ştiintifice actuale şi-au tlcut loc trei puncte de vedere referitoare la didactici : didactica procliciaud, aceea a cadrelor didactice În exerci]iu. care stabilesc un raport cu cunoştinţele in chiar exerci]iul transpoziliei didactice şi al contactului cu copiii ; didactica lIormativd. aceea a programelor de predare şi a directivelor şi a regulilor prescrise de Ministerul Educa]iei : - didactica criticd şi prospectivd. aceea a cercetătorilor universitari, prin care se consti­ tuie În mod progresiv un câmp ştiinţific de dezvoltare a cunoştintelor " (Jonnaen. Laurin. 2001, p , S).

Viitorul cadru didactic va avea experienţa predării la clasll. in momemul stagiilor sale de practică, EI va trebui. În mod necesar, sa: imbine aceste puncte de vedere referitoare la didactică sau didactici : punctul de vedere critic. al cursurilor universitare de didactică. cel practic, dobăndit de cadrul didactic in clasa sa. şi cel normativ. al programelor şcolare. plecând de la care va trebui sA-şi pregllte3scll activitatile.

- -------.---.--_. -_.---

--_.-_.- .. � . .

C a pito lul 1

Finalităţile disciplinei didactica matematicii pentru învăţământul primar Pentru a pune in evidentă unele finalităli ale acestei discipline, trecem in revistă câteva definitii dale de diferili aUlori pemru didactica III(/!el//(/(icii. Precizăm că in şcoala româ­ neasd s-a incetatenit mai degrabă sintagma I/Il'1odica preddrii Jllt1fi!'lIIaticii, care are conol31ii similare. dar nu idemice, ÎII viziunea noastră, cu didactica matf'lI/aticii. Metodica predării·învăl3rii matematicii analizează. in spiritul logicii şliin\elor moderne. obiectivele. coolinulUrile, strategiile didactice. mijloacele de invătllmânt folosite. formele de activitate şi de organizare a elevilor, modalilătile de evaluare a randamenlului şi progre­ sului şcolar, bazele cultivării unor repertorii motivalionale favorabile învăIării matematicii. Ea işi propune, totodată, să ofere alternative teoretico-metodologice, norme şi modele posibile de lucru care sli asigure optimizarea invlilam3ntului matematic in ciclul primar (Neacşu el (II. , 1988, p. 14).

Didactica matematicii studiază procesul de transmitere şi de asimilare a acestei ştiin\e cu precădere În şcoală. Ea işi propune să descrie şi să explice fenomenele referitoare la raponurile existente Îmre predarea şi invlilarea matematicii. Mai exact. sa amel ioreze metodele şi cOIl,inuturile illvă,ămâlllului matematic. asigurând însuşirea de către elevi a unor cunoştinte vii (susceptibile de evolutie) şi funC\ionale (care permit rezolvarea de probleme şi punerea unor Întrebari peninente) (Douady, 1984). Putem afirma că didactica matematicii: .. furnizează instrumen!e profesionale de lucru profesorului, Ilră a-i restrânge libertatea de aC\iune pedagogică ; permite idelllificarea unor fapte, analiza unor fenomene care lin de invlltămalll ; permite analiza produselor studentilor, interpretarea erorilor ; vizează constructia unor situatii de invatare şi il inannează pe profesor cu unelte care sa il ajute să le realizeze " (Briand, Chevalier, 1995, p. 26). incercând sa pună in evidenlll cadrul teoretic al didacticii matematicii şi să raspundă la Întrebarea " Ce este didactica matematicii'! " , Jean Portugais prezintă o caracterizare IlcuI.ă de Guy Brousseau : " Ştiinta care studiau producerea şi comunicarea de cunoştinte matematice şi ceea ce le este specific. Didactica matematicii studiad modul in care cunoştinlele SUn! create, comunicate şi utilizate pen!ru satisfacerea nevoilor oamenilor, mai ales :

14 I Didactica matematicii pentru invaţamântol primar

pe de o pane. opera\iile esen\iale ale transmiterii cunoştillielor (teoria silua{iilor didactice). condiliile impuse de existenla şi transmiterea lor (ecologia cunoştin\elor) şi transformari le pe care aceasta. transmitere le produce. atât asupra cUlloştinlelor (transpozitia didactică). cât şi asupra util izatorilor lor /invatare. raportare la cunoş­ tinle) ; pe de alta pane. instituliile şi activiti'ilile având ca obiect facilita rea aceslOr opera\ii� (Brousseau, 1995, npud Ponugais. 1995, p. 27). Aceasta definilie completeazi'i una mai veche data de R . Donaly (1984. aplld Ponugais, 1995. p . 27) : Didactica matematicii este studiul procesului de transmitere şi însuşire a " diferitelor continuturi ale acestei ştiinle şi care îşi propune sa descrie şi sa explice feno­ menele relative la raportul dintre predarea şi învi'ilarea sa. Ea nu se reduce la a cauta o tehnicâ bună de predare a unei anumite nOjluni date�. Finaliti'i\ile principale ale disciplinei didactica matematicii pentru invalâmântul primar pe care le-am urmarit sunt : Selectarea conceptelor. rezultatelor şi ideilor fundamentale care vor fi predate studen­ tilor. Principii de seleqie : - stadiul de dezvoltare a matematicii şi perspectivele ei ; - comenzile sociale pe termen mediu şi lung : - legile şi principiile invlllării specifice teoriilor invatarii care stau la baza coostrucjiei curriculare din invăIământul primar. Selectarea cunoştinjelor ce urmează a fi transmise studenlilor. Organizarea lor pe anumite grade de rigoare şi complexitate. Identificarea principalelor trăsături. strategii. instrumente şi aplicatiile lor caracteris­ tice matematicii din invăţământul primar. • Identificarea modurilor/tiparelor de gândire matematică accesibile studentilor. respec­ tiv elevilor din invJlamântul primar. Folosirea conlinutului şi metodelor matematicii elementare ca instrumente eficiente în dezvoltarea capacitălii de abstractizare şi generalizare, in dezvoltarea creativita(ii. perseveren(ei şi voinici studenlilor/elevilor. Corelarea matematicii cu celelalte discipline - investigarea modului În care cunoştinlele matematice devin utile altor discipline (de exemplu. ajutându-i pe elevi să înleleagă mai uşor mediul inconjurator. judecându-I dupa modele matematice). Detalierea metodologicJ a fiecărei teme de studiu. indicând căile potrivite pentru invalarea ei cât mai accesibili. Stabilirea metodelor şi instrumentelor specifice de evaluare a activită(ii matematice şi a progresului elevilor in invatare. • Organizarea. desfăşurarea şi evaluarea studiului individual - folosirea manualelor. a revistelor de matematica. a culegerilor şi a altor publicalii. • Organizarea activitJlilor din afara clasei - cercuri de matematic!. olimpiade etc. În afara dimensiunii sistemice. care este o caracteristic! a didacticii matematicii. este foane important să relinem că sistemul pe care il studiazJ didactÎCa este totdeauna speci­ fic unor cunoştinle. in spelă. matematica. Aşa cum au arătat mai mullÎ autori, cunoştin\ele erau deseori. in mod curios. elemen­ tul uitat şi eliminat din triada profesor-elevi-cunoştinle. Aceste cunoştillIe sunt. in tradilia

Finalitttţile disciplinei didactica matematicii pentru învaţamântul primar

I

15

diverselor pedagogii ale matell/micii. decupate intr-o serie de notiuni considerate a fi mai mult sau mai pUI in independente. Didactica va studia mai degrabă complexe organizate de cunoştinle numjte câmpuri cOl/cepmale. Didactica va căuta să cunoască un obiect : sistemul didactic. Ea va realiza acest proiect descriind În mod experimental fimc(iol/area sistemului didactic. idemificândU-Î fenome­ nele. observându-i regularitălile. dar mai ales se va ocupa de constrângerile şi de desL:hi­ derile care opereau. Studiul constrângerilor va coincide adesea cu studiul relaliilor existente in triada pro­ fesor-elev-cunoştinle, numită adesea relatie didacticl/. De asemenea. trebuie luat in considerare faptul că orice sistem didactic este scufundat intr-un sislem de Î/lvă{ămtÎlII. iar acesta, la rândul său, este supus constrângeriJor lIoos/e­ rei (notiune introdusă de Y. Chevallard şi care desemnează ansamblul componentelor sistemului de invăIămănt). Analiza didactică va trebui să meargă până la luarea in considerare a cOllstrângerilor institutionale, de exemplu, cu ajutorul conceptelor de illslimtiollalizare şi de raportare {a cWloşti,,(e (e/. Chevallard). Putem sintetiza cele spuse anterior punând in evidentă finalită]ile didacticii matemati­ cii pentru invăIământul primar : Formarea, la viitorii profesori pentru invătămâmul primar. a unor competente care să duci la : Dezvoltarea gândirii elevilor şi cultivarea posibilitl]ilor lor de abstractizare. Dezvoltarea limbajului matematic utilizat de elevi - matematica are un limbaj specific şi reguli specifice de utilizare. A face elevul capabil sa rezolve situatii cureme - adică situa]ÎÎ de un tip familiar. cu o structură cunoscută. Pentru atingerea acestui scop. profesorul va trebui: - să facă referire la vial3- cotidiană in activitatea de invllare : să manifeste exactitate şi precizie in enunluri/conlinuturi ; - să pună accemul pe şi să favorizeze manipularea obiectelor ; - să se asigure că elevul în]elege bine tOt ceea ce face ; - să dezvolte la elevi simluJ realitălii. A face elevul să fie capabil să abordeze o situatie matematică nouă. O situatie nouă reprezintă o situatie nemaiintâlnită, care il surprinde. care il pune În sÎlualie de deza­ daptare şi pentru care trebuie să inventeze o cale de rezolvare. În astfel de situa\ii, componentele matematice intervin printre alte componente. Altă finalitate vizează dezvoltarea autonomiei studenlilor. Pelllru realizarea ei. iată câteva finalilăli vizate : a Învă]a să Îşi pună intrebări ; a Învlta să se informeze ; a invă)a să caule singuri şi să îşi focalizeze retleqia in fUllqie de un obiectiv precis : a invăta sl estimeze rezultatul unor aCliuni întreprinse. FinaJitlliJe urmărite se concretizează şi În unnătoarele competen]e pe care dorim să le fonnăm la studentii noştri : in)elegerea problemelor fundamentale ale didacticii predării malematicii, a premiselor filosofice şi psihopedagogice ale invă]ământului matematic ; cunoaşterea şi aplicarea În procesul de proiectare. predare-invă]are şi evaluare a prin­ cipiilor didactice ale invltlmântului matematic ;

1 6 I Didactica matematicii pentru învaţamântul primar

cunoaşterea sualegiilor specifice privind stimularea capacilălilor imeleclUale şi crealive ale copiilor : cunoaşterea şi aplicarea strategiilor specifice privind diferentierea şi individualizarea procesului de invălare a matemalicii : cunoaşterea şi utilizarea unor strategii specifice motivării copiilor pelIIru a participa cu interes şi activ la activită\ile matematice ; cunoaşterea şi utilizarea În procesul instructiv-educativ a strategiilor, metodelor. pro­ cedeelor, formelor şi mijloacelor de învl!,jământ specifice matematicii. De asemenea, didactica matematicii pentru invă,Jmâmul primar, alături de toale cele­ lalte discipline din planul de Învlllmâm concură la formarea la studen,i a competenţelor profesionale şi transversale ale profesorilor pemru invltamâmul primar şi preşcolar enun· late În Registrul Nalional al Calificlrilor din invljJmântul Superior (RNCIS) ; Competel/te profesionale ;

•

•

Proiectarea unor programe de instruire sau educationale adaptate pentru diverse nive­ luri de vârsta/pregătire şi diverse grupurHintll. Realizarea activitlljilor specifice procesului instructiv-educativ din invatamămul primar şi preşcolar. Evaluarea proceselor de Învălare, a rezultatelor şi a progresului Înregistrat de preşco­ lari/şcolarii mici. Abordarea managerial! a grupului de preşcolari/şcolari mici, a procesului de invă,a­ mân! şi a activitlţilor de invatarelimegrare socială specifice vârstei grupuluHintă. Consilierea. oriemarea şi asistarea psihopedagogicl a diverselor categorii de persoaneI grupuri educalionale (preşcolari/şcolari mici/elevi, familii, profesori, angajati etc.). Autoevaluarea şi ameliorarea cominua. a practicilor profesionale şi a evolutiei în carieră. Competente Ir(lIIsversale :

• •

Aplicarea principiilor şi a normelor de deontologie profesionala., fundamentate pe 0Pliuni valorice explicite, specifice specialistului in ştiilljele educatiei. Cooperarea eficiemă În echipe de lucru profesionale. interdisciplinare, specifice des­ făşurării proiectelor şi programelor din domeniul ştiinlelor educatiei. Utilizarea metodelor şi tehnicilor eficiente de invatare pe tOI parcursul vietii . in vede­ rea formării şi dezvoltării profesionale cominue'_

Tema 1.

1.

Elaboraţi un eseu d e o jumatate de pagina În care sa argumentaţi necesitatea pred3rii matematicii in clasele primare.

q. hllP : /Iwww.rncis. ro/porlallpage?_pageid= 1 1 7 , 1&_dad=ponal&_schema::: P ORTAL.

Capitolul

2

Premisele psihopedagogice ale Învăţării matematicii

2. 1 . Aspecte

ale dezvoltării psihice şi intelectuale a şcolarului mic

Antrena'! cominuu În perioada şcolară, aClivil31ea imeleclUaJă se intensifică şi suferă modificări. după vârsI3 de 6 ani, la majorilalea copiilor. Primul aspeci al modificărilor mai semnificative pe planul acesleia se exprimă În schimbari ale caraclerului invesligaliv şi comprehensiv al percepliei şi observaiiei ca instrumeme ale cogniliei. Perceplia este procesul prin care se extrage informatia utila şi cu sens din lumea incon­ jurălOare. AllIrenale şi exercilale, capacitaJile senzorial-perceptive şi interprel3tive (sau comprehensive) ale percepliei devin mai aeule şi mai eficieme. Sensibililalea discrimina­ tiva. şi perceptia se dezvollă. TOloda!!, aspecte imponame discriminative se dezvoltă la copii in legătură cu spatiul mic. Orientarea spatială pe foaia de hârtie. perceptia spatiului. decodificarea prin diferen­ tiere a grafemelor alUrenează o activitate perceptivă extrem de fină . Orientarea dreapta-stânga. sus-jos. in rândurile orizontale ale scrierii. constituie punc­ [ul de plecare pentru o activitate intelectuală complicată şi multilaterală. legata de alfabe­ tizare. Această activitate cuprinde antrenarea memoriei. a inteligeille i , a atentiei, a reprezentll.rilor. pornind de la perceptia care se constituie la rândul sau pe supOrtul sim­ bolurilor scrise pe foaia de hârtie. lectura cifrelor solicită şi însuşirea unui sistem de decodificare a sistemului zecimal reprezentat prin cifre. Tot pe planul perceptiv se comu­ reazll. evaluări din ce in ce mai fine legate de mărime şi perceperea structurii materialelor cu diferenţele ce le caracterÎzează. Raporturile spatiale deja intuite - legate de ceea ce se intelege prin aproape, pe, limgd, deasupra. sub etc. - includ şi nOliunea de distanta. Totuşi. evaluarea mărimii unor obiecte sau distanle este încă deficitară (copiii de 8-9 ani supraestimeaza marimi le şi distanleJe) . Şi in privinta timpului şi a duratei evenimentelor a u loc modificari evideme. Timpul subiectiv are tendinta să se relalioneze şi sa se raporteze la timpul cronometrabil. care începe să capete consistenta. Ceasul, prin citirea lui. devine instrument al autonomiei psihice. Exista şi o organizare a schemei timpului - determinarea şi plasarea evenimente· lor in timp devine calendaristică. Anul incepe să fie considerat de 365 de zile. cu patru anotimpuri, 12 luni, 52 de săptămâni. Evenimentele incep să se raponeze la aceste repere. Ele fac legătura cu timpul istoric - a cărui intelegere se referă la situatiile nelegate direct de evenimentele biografiei personale. Schema timpului ca imagini ale cronologiei imediate

1 8 I Didactica matematicii pentru invaţamântul prima,.

a activitălilor programate prin ceas şi orar constituie elememe coordonalOare imediale. TOIUşi, sistemul de referinle temporale este Încă plin de erori la şcolarul mic. De fapt, prin procesul ÎnvăIării, copilul Irebuie să manipuleze o cantitate enormă de' infonnalii asimilale sau care se cer asimilale, ceea ce nu este posibil flră transformarea cUlloştinlelor in reprezenlări. Acestea din urmă se considera a fi aClivilăli cognilive dt' două tipuri : scheme şi imagini. Schemele sunt imagini integrate ale percepliei. Schemele şi imaginile spaliale, sub multiple iposlaze evocate, contribuie la modificarea opticii exis· tentiale, la anularea egocentrismului infantil . PrillIre unitălile cognitive se mai numară (alături de scheme şi imagini) marea catego­ rie a simbolurilor şi conceptelor. Cele patru unită1i de cunoaştere se modifică ontogenetic in ceea ce priveşte proporţiile. Ca fenomen mai expresiv se semnalează creşterea volumu­ lui simbolurilor şi apoi a conceptelor În perioada şcolară mica. Ca şi imaginile şi schemele, simbolurile sunt căi de exprimare a evenimentelor concrete şi evidentiază caracteristicile obiectelor şi ale actiunilor. Cele mai des folosite simboluri În această etapa sunt literele. cuvintele şi numerele. Există Însa şi alte simboluri. Ele sunt foane numeroase În activitatea socială. in proce . s ul probleme de geometrie, geografie etc. implică masiv scheme, imagini, simboluri . Pe planul instrumentar al inteligentei se contureaza şi conlinulul conceptelor cart' constituie a patra unitate a activită1ÎÎ cognitive. Conceptele reprezintă setul comun de atribute ce se POl acorda unui grup de scheme. imagini sau simboluri. Deosebirea principală dintre concepte şi simboluri constă În faptul că. in timp ce simbolurile se referă la evenimente specifice. singulare. conceptul reprezint� ceea ce este comun mai multor evenimente. Există trei atribute ale conceptelor, care se modifică odată cu vârsta. Aceste atributt' sunt : va/idill1tea, statUllI1 şi occesibilitarea (SUnt strâns corelate Între ele) : a) Validitatea cOllcep/elor se refer! la gradul in care intelesul acordat unui concept dt' către copil eSle acceptal ca adevărat. Spre sfârşitul perioadei mici a copilariei. copilul dispune de aproximativ 300 de concepte relativ valide. b) Statlllu! conceptelor este unul dintre atributele cele mai imponante ale acestora şi Sl' refer! la claritatea. exactitatea şi stabilitatea de folosire a conceptului in planul gândi­ rii. Conceptul de ",,,n6r capal! stalut de folosire concepluală doar la şcolarul mic, la fel conceplul de multÎme. ca şi cele de corp şi StlbSIOIl/d ca forme conceptuale, inte­ graloare. Prin StalUt transpare aspectul de integrare in releaua de sistem a conceplelor. Perioada şcolar! mică este prima in care se alc!tuiesc relele de concepte empirice prin care se conslituie şi se organizează cunoştintele. c) Accesibilitotea conceptelor se refer! la disponibililatea satisfacerii nevoii de informatie a gândirii pemru a intelege ansamblul anibutelor conceptului, conform statulUlui lor real (auibutele centrale crilice sum adesea greu de desprins din cauza relatiilor dintre aparentă şi esenţă). Accesibilitatea se refera deci la capacit!lile de inlelegere şi comu­ nicare a conceptelor. Prin modul În care copilul operează cu un concept se pun în evidentă obstacole şi dificultăti in inlelegerea şi folosirea efectiv! a conceptelor. În procesul Învăţării şi În memalÎlalea comun!, conceptele sunt considerate absolute. Este necesar ca şcolaru) mic sa sesizeze faplul că unul şi acelaşi concept utilizeaza unele dintre insuşirile sale definitorii (centrale) in cazul unei anumite relatii şi alte Însuşiri definitorii in cazul relatiilor evocate. in perioada şcolara micll se dezvolta cunoaşterea directă. ordonată. conştientizată. prin lectii, dar creşte şi invli13Tea indirectă, dedus!, suplimentară. lalem implicată În cunoaşterea

Premisele psihopedagogice ale Învaţarii matematicii I 1 9

şcolară de ansamblu. Are loc trecerea spre o conceptie realist-nalUralistă. in gândire incepe să se manifeste independentă (8 ani). suplete (9- 10 ani) şi devine mai evident spiritul critic iOlemeiat logiţ. Gândirea operează cu cunoştinle (scheme. imagini. simboluri. concepte), dar şi cu operatii şi reguli de operare. Exist! o interrelalie operational! Între reguli. deoa­ rece elementele de baza ale regulilor SUnt operatiile. Operatiile sunt instrumentele de bază ale relalionării efectuate de gândire şi inteligentă cu conceptele sau cu informaliile. Regulile exprimă valorificarea conceptelor efectuată de inteligenlâ. ordinea pe care illleligenia şi gândirea o realizează prin intermediul informa· tiei . AccesÎbilitatea regulilor este dependentă de nivelul de dezvoltare a gândirii şi inteli· genIei. inclusiv al informaliilor de care dispune şi pe care le poate manipula elevul. La fiecare nivel al dezvoh!rii psihice a copilului există o vastă tipologie a gândirii şi ° plasare de nivel operativ foarte diversă. Se poate vorbi deci de o dezvoltare a imeligen­ lei şi de ° tipologie a gândirii care sunt evidente la nivelul de dezvoltare cuprins Între 6 şi 10 ani. in acest sens, există variante de gândire concret-intuitivă, variante de găndire teoretică. variante de gândire socială. Dezvoltarea psihică se diferenliază de la individ la individ prin : ritm (accelerat sau lent) ; \';tez/J (mare sau mică) ; COl/JÎlIltl (bogat. simplu. diversifica! sau sărăcacios şi limi· tat) ; cOl/stim tllergnic (mare/mic, ralional, echilibrat/dezechilibrat) ; rt'ZOflOl/ld (puter· nica/slaba) : sem (ascendent/sincopat) ; dUfOtd (normaIălÎntârziat�) ; efecte (pozitivel negative). Această caracteristică a dezvoltării psihice va conduce spre necesitatea tratării diferen­ liate a copiilor in procesul instructiv-educativ, diferenliere ce poate merge până la indivi­ dualizarea ei (opud Verza et al . • 1993, p . 30). Momelllui intrării copilului În şcoală este amplu pregătit inca din perioada preşcolară În planul intereselor sale. al preocupărilor. al Întregii dezvoltări psihice, ca şi pe planul unor forme de deprinderi elementare de muncă şi de activitate organizată. Ursula Şchiopu observă că. Ia această vârstă, copilul dispune de mijloace de investi­ galie remarcabile, de o curiozitate organizată. ÎI interesează păf1ile componente ale obiec­ telor şi rolul acestora. iOleresele cognitive manifeslându-se şi prin iOleresul pentru căf1i. pentru litera tipărită (apud Şchiopu, 1 967, p . 24). Foarte mulli copii de 6 ani invată cu plăcere şi interes. pe apucate. treptat. si citească şi si scrie. Aşadar. micul şcolar are larg dezvoltate interesele de CUtloorlere. EI este pro­ fund interesat În a şti să scrie. si socotească, să citească. aşa cum fac toti cei din jurul s�u. Pe planul dezvoltării proceselor de cunoaştere. copilul de 7 ani este capabil să inleleagă un sistem mai amplu de cunoştinle. Gândirea sa se exprimă deja sub forma mtionamen­ mll/i dedllcfiv sau sub forma judecdlii i"ducfive. Găndirea lui s-a angajat in dezvoltarea pe l inia unui sistem de prelucrare activă. ana­ litică a datelor realitătii nemijlocite. Copilul de 7 ani simte plăcerea conversatiei. planul său mental e relativ bogat - gândirea este activă. iscoditoare. EI dispune de cunoştinle numeroase ce au ÎncepuI să i se dezvolte, Gândirea sa dispune de procese largi de gene­ ralizare, analiză şi sÎnteză. EI posedă unele notiuni concrete. Găndirea, În această etapă, are un caracter concret, intuitiv. care surprinde feluritele relatii dintre fenomene, succe­ siunea lor cauza Ia. relalii cantitative, calitative. Dalorită dezvoltării mari a proceselor de cunoaştere, a contactului bogat şi multilateral cu mediul social , preşcolarul mare, În ajunul imrării la şcoală, are dezvoltată o experienla relativ bogata. are larg dezvoltate numeroase reprezentări. o imaginatie vie, o memorie complexă. dar şi capacita1i active de a le fOlosi ; ca atare, eSle capabil să lină minte, �ă recunoască. să reproduc� relativ cu mare uşurintă ceea ce i s-a prezentat ori i s-a povestit.

20 I Didactica matematicii pentru invaţamântul primar

Memoria şi imaginatia arectivă sum de asemenea deosebit de dezvollate. Şcolarul mic. din clasa pregătitoare. reline, recunoaşte şi reproduce melodii, jocuri cu reguli, desene, creează jocuri, desene. EI este capabil să stea incordat, atem, vreme relativ îndelungată, flră a obosi prea mult. Este capabil de autodisciplinare. de acomodare la măsuri generale de disciplină, ceea ce constituie o premisă pentru disciplinarea gândirii sale, a emo�iilor. i n perioada şcolară mică. operativitatea gândirii avansează de la planurile figural, simbolic semantic şi aqional la nivelul unitălilor claselor. relaliilor şi sistemelor şi ceva mai lent la nivelul transrormărilor şi implica\iilor. Curiozitatea iradiază mai prorund în lumea imerrela\iiJor şi a relaliilor dimre eseulă şi aparenlă. Operativitatea specifică a gândirii se organizează cu grupări sau structuri de operatii (reguli) invălate, destul de flexibile pemru a fi aplicate la situatii roarte diverse şi destul de unitare spre a constitui grupări sau structuri de operatii distincte. Aceste reguli operative sum adevarati algoritmi ai activitătii intelectuale şi se pOl grupa În trei categorii : algoritmi de lucru sau de aplicare-rezolvare ; algoritmi de identificare sau de recunoaştere a unor structuri. relatii, tipuri de renomene ; - algoritmi de control care implică grupari de reversibilităti. Orice algoritm al activităJii intelectuale este compus din paşi şi strategii. Paşii - în număr finit intotdeauna. expresii ale celor mai elementare componente ale gândirii. reguli de operare - pot fi putini (algoritmi simpli), numeroşi. variati sau de acelaşi lip, ca în adunările sau scăderiie cu numere mari. Algoritmii complecşi contin paşi numeroşi şi variali. in runqie de strategiile implicate În algoritmi. acestea pot fi lineare (ca in adunare şi scădere) sau ciclice (ca in inmullirea şi impărlirea cu numere mari). Algoritmii de lucru, cum ar fi cei de adunare, scadere. inmullire, im�rtire, ai regulii de trei simplă şi regulii de trei compusă, ai aflării ariei suprarelei dreptunghiului, triun­ ghiului. SUDI implicali în rezolvările de probleme şi exercilii aritmetice sau geometrice. Algoritmii de recunoaştere sunt specifici pelllru situatiile de identificare a datelor cunoscute ale unei probleme aritmetice, ale unor figuri sau corpuri geometrice etc. Algoritmii de control se utilizează in calculele aritmetice. in activităli iDlelectuale. care se supun unor reguli implicite (ce trebuie respectate de fiecare dată) şi ale căror rezultate duc la relalii controlabile. Algoritmii activitătilor specifice (pentru domeniul aritmeticii. al geografiei, ştiinJelor naturii) se insuşesc prin invătare şi exerciliu şi condensează cunoştintele şi operaliile valide pentru un domeniu, ceea ce înseamnă că, odată însuşili. algoritmii permit rezolvarea prin efon imelectual a numeroase situatii-problemă. invătarea algoritmilor permite aplicarea lor cu uşurinlă in rezolvarea de probleme pe care aceştia o generează prin utilizare. Algoritmii SUDI supuşi erodării prin uitare În caz de neutilizare sau de neconsolidare satisflcătoare prin exerciliu. Prin intermediul algoritmilor activilălii iutelectuale, se rea­ lizează o permanentă analiză şi o continuă reaşezare a structurii cunoştinlelor şi se dezvohll competentele specifice domeniului (aritmelic, geografic etc.). Unii copii posedă algoritmi de lucru roarte bine consolidati, dar algoritmii de identi­ ficare sunt incă slab dezvoltalÎ. Aceşti copii au rezultate roarte bune la erecluarea de exercilÎÎ (deoarece exercitiile indică prin semnele corespunzătoare operatiile cerute). dar nu reuşesc să se descurce în cazul problemelor, deoarece nu identifică uşor structurile operative solicitate. La copiii care posedă algoritmi de identificare dezvohali şi algoriuni de lucru incă slab dezvoltati, se remarcă determinarea corectă a modului de rezolvare a problemei şi greşeli de calcul pe parcurs. greşeli care alterează rezultatele şi SUnt adeseori

Premisele psihopedagogice ale invttţarii matematicii

I

21

puse pe seama neateOiiei. Se poate combina tipologia de mai sus şi cu starea operativă a algoritmilor de comrol. Pe parcurs, in�re 6 şi 10/ 11 ani, operativitatea specifică devine tOt mai complicată, con ţinutul problemelor fiind din ce în ce mai complex. faPI ce creeaza. dificullăti relativ mari în rezolvarea lor. Aceste dificuhăţi se manifestă, pe de o parte. prin creşterea conti· nu tului de mijlociri operative ale rezultatului final, ceea ce presupune operarea cu necu· noscute de gradele 1, I I şi chiar I I I , iar pe de altă parte, dificultatea creşte din cauza prezenlei numerelor mari şi mici. Îmregi şi fraclii ordinare şi zecimale. procente etc . , care se cer transformate. evaluate, dar şi din cauza faptului că unii algoritmi nu au trecut de fazele critice de constituire. Spre vârsta de 9- 10 ani. operativitalea specifică a gândirii cu Structurile disponibile de algoritmi creează un mare grad de libertate gândirii nespecifice a copilului În situatii·pro­ blemă. fapt ce imensifică activismul clasificări lor de operatii. Întâi sub formă de cole"ii figurale elementare. cu grad ridicat de asimilare. apoi se intensifică organizarea de sub· coleqii figurale şi nonfigurale - pemru ca În continuare să aibl loc clasificări ierarhice de combinări mobile de procedee de incluziune. descendeme sau ascendente. Dar operativitatea nespecificl se dezvollă nu numai pe seama operativitălii algoritmice specifice. ci şi În alle situalii. Există probleme care nu POt fi rezolvate la un moment dat prin mijloacele cunoscute (algoritmii disponibili la nivelul de şcolarizare primar). Sesizarea acestora creează un fel de interes şi o stare de incertitudine intelectuală specifică ce face ca aceste sÎlualii problematice si stimuleze puternic dezvoltarea intelectuali. Psihologul sovietic Zeigaroik' a studiat un alt aspect interesam. A dat spre rezolvare diferite tipuri de probleme la două 10luri de copii. Copiii din unul dimre loturi au fost intrerupti inaime de a termina lucrarea. AI doilea 101 a dus la bun sfârşit tema (#lră Între­ rtJpere). La interval de o săptămână li s·a cerut copiilor din cele două loturi să îşi amin· tească problemele efectuate. la elevii cllrora li s-a ÎllIrerupt activitatea de rezolvare. acestea au fost mai bine redate. Fenomenul Zeigarnik este dependent de gradul de imeres, de oboseală. de intervalul de timp care se scurge Îmre Îmreruperea activitillii şi evocarea ei. Fenomenul ca alare pune in evidentă tensiunea legală de activitatea imelectuală. antrenarea sa in rezolvarea unor probleme. Zeigarnik I·a considerat un fel de cvasitrebuinlă. Un aspect similar se manifestă În legături cu situaliile in care sunt contrariate cele cunoscute. Astfel de situatii se numesc de diso/t(lll/ă (ognitivli. Termenii " consOnanl!" şi �disonanta " se refer! la rela\iile care exista. intre perechi de elemente (cunoştinle) din punctul de vedere al aşteptării persoanei. la nivelul copilului de 9- 10 ani, disonanla cog­ nitivă devine o situalie de problematizare. Dezvoltarea intelectuală nu se realizează numai prin rigorile leqiilor şcolare. in con· textul vietii de fiecare zi exista. o creştere a aptitudinilor intelectuale în genere şi o creştert a tensiunii cunoştintelor acumulate. ceea ce solicita o coeziune intre ele. Mai mult decăt atât. ca şi in cazul limbajului şi in cel al planului mental. se manifesta. racordări care dau structuri matriceale complexe (de concepte. imagini. simboluri, scheme, algoritmi. reguli) care exprimă functii generative. in timp ce şcolarul din clasele pregătitoare. 1 şi a ( I-a se izbeşte şi este dominat de rigorile regulilor şi cerinţa de operare cu concepte in moduri specifice. a căror indlcare 1.

Bluma Wul(ovna Zcigamik (in limba rusa : 1i�IOM;1 OY;U.cJlOBIHl JcilraplIHK) (9. 11. 1901 - 24 .2. 1988) a (OSI un psiholog şi psihialru sovielic care a descoperit declul Zeigarnik şi a slabilit ca disciplinA separalA psihopalologia eKperimentalA (cI- hliP : /len .wik ipedia.org/wiki/Bluma_Zeigamik).

22 I Didactica matematicii pentru Învaţamântul primar

este sanqiooată prin blam şi calificative. aspeClcle implicite in fantezie. ca şi ÎII investi· galia libera se imeriorizeazâ discret in aceste noi cOlldilionârÎ. Şcolarul din primele clase manifestă famezii mai reduse in execulii de desene. mode­ laje. colaje. Manifestă şi un spirit critic ridicat fală de propriile produse pemru că k evaluează mai sever din punctul de vedere (realist) al recognoscibilitălii ca formă. Treptat. dupa vârsta de 8-9 ani. se fonnează capacitatea de a compune. creşte capacitatea de a povesti şi de a crea povestiri. se realizează in povestiri imriga de actiune. culoarea locală. abilitatea de a folosi elemente descriptive literare. Spre vârsta de 9- 10 ani. desenul devine mai incărcat de afll/os/ud. Serbările şcolare. cercurile de crealie de diferite tipuri devin preocupări de actualitate. Formele de gândire divergentă se amrenează. de ahfel fiind favorizate de leqii. in care se creează atmosfera de emulatie. joc. Ghicitorile. jocurile de istelime. compunerile de probleme etc. cOllstiluie terenul pe care se dezvoltă şi creativitatea' . Un ah reren de dezvoltare a acesteia este diclat de activitălile practice. de activitălile din cercuri etc. Jocul devine Încărcat de atri­ butele revoluliei tehnico-industriale şi de cerinla crescândă de explorare de terenuri noi. Toale acestea creează o amrenare complexă a capacltJlilor psihice multilaterale. dar şi condilii diverse de antrenare a numeroase abilităli. ale invemivitălii. ale antrenării de strategii şi tehnici creative şi de inteligenlă care suplimemează activ dezvoltarea psihică .

2 . 2 . Formarea reprezentărilor şi conceptelor matematice

2 . 2 . 1 . Concept şi noţiune in sensul general al tennenului. un concept este ceva abstract. o invenlie a spiritului. care răspunde necesitătii de a comunica. a transmite fapte. idei. sentimente, proprietăti etc. şi prin aceasta serveşte la numirea unor realităti diferite care au puncte comune. Găsim concepte şi in filosofie (libertate. valori. adult, durere etc.) . in fizică (culoare. fOrţă etc . ) . in gramatică (frază, subiect. atribui ctc.). În invAtământul primar este foarte important sa diversificăm cât mai mult modalitătile de introducere a ullui concept matematic. AceSTe modalităji vor conduce elevul spre con­ struirea unei no/ilmi. NOliunea este reprezentarea particulară a conceptului de cAtre fiecare copil in parte : putem spune cA nOii unea este reprezentarea conceptului. mai mult sau mai putin exactă. pe care o are copilul. NOliunea face deci trimitere la reprezentarea mentală a conceptului, proprie fiecărui copil. in timp ce termenul "concept " face trimitere la o defini\ie. Dacă, de-a lungul timpului. trebuie să reducem continuu distan\a dimre reprezentarea pe care o are copilul despre concept (llOtiunea) şi conceptul insuşi. este absolut nonllal şi chiar de dorit ca la ÎncepUTUl ÎnvăJJrii. la primele contacte cu conceptul. această diferenlă să existe. Într-adevar, distanta asigură faplul ca elevul a asimilat conceptul - o distalllă inexistelllă de la inceput va fi . cel mai posibil. semnul unei asimilări superficiale a conceptului, Ilră ca elevul să-I fi integrat cu adevărat. O distanlă minima este deci de dorit. În schimb, o distall\ă foarte mare la inceput poate semnala faptul că elevul a pornit pe un drum greşit.

1. Edward de Bona (in u/leral lllinking,

1 970) numeşte creativilttlea Hgăndire lalerala" şi conSlruieşte

un program de aRlrenameRl complex. adeseori citat.

Premisele psihopedagogice ale invaţarii matematicii

I

23

2 . 2 . 2 . Convenţi ile de scriere Dincolo de lim�a utilizată pentru a exprima concepte, matematica posed� un limbaj propriu care nu este allceva decât un ansamblu de convenlii de scriere ce desemnează concepte sau operalii. Acest limbaj este arbitrar in mare măsură. Este indispensabil sa îi determinlm pe copii s1l utilizeze corect aceste simboluri conven\ionale. Dupa Xavier Roegiers, trebuie tOluşi să fim atenli la câteva aspecte particulare : .. a) Copiii inva\a foarte devreme să recunoască şi să scrie simboluri matematice. Aceste simboluri au pentru ei un oarecare sens. Scrierea lor este pentru copii un bun supon pen· Iru a inlelege mai bine o nOliune. De exemplu. a scrie 7 + 2 = 9 şi 7 - 2 = 5 poale ajula elevul să in\eleagă ce este sc�derea. Pe parcursul utilizarii acestor simboluri in situajii cât mai diverse, ei vor comite acele greşeli revelatoare pentru profesor. care va avea astfel posibilitatea s� intervină incet·incet, pentru a reclifica reprezentarile iniliale. Trebuie sI remarc�m că acest proces este individual şi lrebuie deci Iratat la nivelul fiecarui elev. Trebuie sa avem grijă când şi de ce le cerem copiilor sa utilizeze simboluri. A scrie şi il utiliza simboluri trebuie s� corespundă illlotdeauna unei nevoi reale : aceea de a transmite o informalie. Scriem pentru a transmite un mesaj, o infomlalie. Dacă acea informalie nu reprezintă nimic pentru copil. el nu are nevoie s� o scrie. Nu putem să credem că. dacă un copil este capabil să scrie un rând cu cifra 4, a inleles semnificalia numărului 4. Trebuie mult mai mul! pentru aceasta. Exist� pericolul sa credem c�. pentru că elevul utilizeaza un simbol. el a asimilat şi conceplul . b ) Odată c e a asimilal o notiune matematică ş i simte nevoia s a o reprezime printr·un simbol. copilul are uneori tendinla sa. inventeze un simbol. Este o atitudine pe care e bine să o incuraj�m. chiar s� o provocăm. pemru c� ea eSle semnul unei bune asimilări a con· ceptului de către elev. Vom introduce simbolul conventional abia in faza urmatoare şi il vom convinge pe copil că ulilizarea lui il va face inteles de C�lre lOIi. În teoria silualiilor (Brousseau. 1 986) este vorba despre o situatie de illstil/ltiollolizore. c) Se poate intâmpla ca mai multe simboluri diferite să desemneze acelaşi concept. De exemplu, pentru inmultire utilizăm la inceput semnul x, pentru a·1 inlocui mai târziu cu un punct sau chiar cu nimic, În cazul expresiilor literale. Acest lucru eSle indicat să se produca dup� clasa a tV·a. in gimnaziu. deoarece nOliunea de produs ia locul celei de inmultire. care trebuie si condud la un rezullat. Exi$t�. din nefericire. diferenle intre regiuni. şcoli şi chiar Îmre clasele aceleiaşi şcoli . Din acest punci d e vedere este bine d precidm c a există u n cod imernalional d e simboluri şi ci trebuie s� il respectllm. Ceea ce este absolut greşit şi trebuie evitat cu orice prel este faptul de a reprezenta cu ilcelaşi simbol mai multe obiecte distincte " (Xavier, 2000 . p. 45).

24

I Didactica matematicii pentru învaţamântul primar

2 . 2 . 3 . Formarea reprezentă rilor Rolul activitălii matematice În gradiniI! şi În ciclul primar este de a initia copilul În pro­ cesul de maremorizare. pentru a asigura inlelegerea unor modele uzuale ale realitatii. având ca ipotez! de lucru specificul fonnării reprezentărilor matematice pe nivele de vârst!. Procesul de matematizare uebuie conceput ca o succesiune de activit!ti - observare. deducere. concretiza re. abstractizare -. fiecare conducând la un anumit rezultat. La vâma de 4-5 ani. reprezentările despre mullimi se dezvoltă şi copilul percepe mul­ timea ca pe o totalitate structurală spalial . ACiiunea manuală insOlită de cuvânt şi de perceplie vizuală conduce la intelegerea multimii şi copilul face abstraqie de determinările concrete ale elementelor sale. Reprezentările copiilor rămân subordonate insă conditiilor spaliale concrete in care percep multimea. Prezenla cuvântului in arsenalul lingvistic al copilului nu indică şi dobândirea notiunii desemnate prin cuvânt (de exemplu. conceptul de clasă sau mullime se consideră dobândit dacă este inteles. in plan psihologic. ca reaCiie identică a subiectului fală de obiectele pe care el le consideră intr-o clasă şi. in plan logic. ca echivalenlă calitativă a tuturor ele­ mentelor clasei). De la aqiunea insolită de cuvânt pâna la concept, procesul O . Piaget, L.S. Vîgotski) se desBşoară in etape care se pot schematiza astfel : Etapa comoc",l"i copil-obiecte : curiozitatea copilului declanşată de noutăli il face să intirzie perceptiv asupra lor, să le observe. Etapa de explorare actionaM : copilul descoperă diverse atribute ale clasei de obiecte. iar cunoaşterea analitid il conduce la oblinerea unei sistematizări a calitălilor percep­ tive ale mullÎmii. Etapa explicorivlI : copilul imuieşte şi numeşte relalii Între obiecte. clasifică. ordo­ neazA, serială şi observă echivalenle cantitatÎve. Etapa de dobândire fi conceplIIlui desemnat prin cllvâlll : cuvill!ul constituie o esen· lializare a tuturor datelor senzoriale şi a reprezentărilor şi are valoare de concentrat informalional cu privire la clasa de obiecte pe care o denumeşte (procesul se Încheie după vârsta de 1 1 - 1 2 ani). În cazul nOliunii de mullime, in primele trei etape se fonneazl abilitălile de identificare. uiere, sonare, clasificare, serie re. apreciere globală, ce conduc spre dobândirea concep­ tului. Numărul şi numeratia reprezintă abstraqiuni care se fonneaza pe baza analizei propri­ etălilor spatiale ale obiectelor şi a clasifidrilor. Notiunea de mullime joacă un rol unifi­ cator al conceptelor matematice, iar numărul apare ca proprietate numerică a multimii. Fundamentale in (ormarea numerelor sunt, după J . Piaget şi B. Inhelder, operatiile de : clasificare : În grupe omogene şi neomogene. compararea grupelor de obiecte. Stabi­ lirea asemănărilor şi deosebirilor ; - suÎere : in spatiu şi in timp. Cunoaşterea şi inlelegerea procesului de fonnare, pe etape. a reprezentărilor şi con­ ceptelor matematice generează cerinle de ordin psihopedagogic care se cer respectate in conceperea actului didactic : orice achizitie matematică trebuie să fie dobândită de copil prin aqiune insotită de cuvânt ;

Premisele psihopedagogice ale Înv;;.ţarii matematicii I 25

copilul Irebuie sa beneficieze de o experienlă concretă variata ŞÎ ordonatli. in sensul implicaliilor matematice ; situaliile de j nvăjare trebuie sa favorizeze operatiile mentale. copilul amplificându-şi experienta cognilÎvă : dobândirea unei anume Structuri matematice trebuie sJ fie rezultatul unor aqiuni con­ crele cu obiecte. imagini sau simboluri. pentru acelaşi coniinui matematic ; dobândirea reprezentărilor conceptuale lrebuie să decurgă din actiunea copilului asupra obiectelor. spre a favoriza reversibilitalea şi interiorizarea operatiei ; învlţarea Irebuie să respecte caracterul integratÎv al Slructurilor. urmărindu-se Iransfe­ rul venical intre nivelele de vârstă şi logica formării conceplelor ; actiunile de manipulare şi cele ludice lrebuie să conducă treplal spre simbolizare.

Teoria Sladială a lui 1. Piagel impune ca organizarea invăIării să se realizeze in funqie de stadiul dezvoltării copilului. de succesiunea structurilor de cunoaşlere şi a operaliiJor specifice. Obiectivele matemalice surprind succesiunea treptelor de invălare in domeniul cogniliv. iar organizarea invătlrii malematicii trebuie să se realizeze linând com de impli­ caliile pe care Piaget le alribuie dezvoJltlr;; stadiale ; ,,- ordil/ea aeMti/iilor matematice trebuie sti fie eorlSlamd - achizilia conceplului de număr este ulterioară achiziliei O1ullimii. iar in succesiunea temelor ce pregătesc numărul exislă o ordine logică (grupare. clasificare. ordonare. seriere. punere in perechi. con­ servare, număr) ; fiecare stadiu se caracttrizeazll primr-o structur(} - cunoaşlerea condiliiJor specifice fieclrui nivel imermediar ce inf1uenlează dezvol1area joacă un rol important in melo­ dologia obiectului ; caracterul ÎlIlegrolor al struClIIriJor - slructurile specifice unui subsladiu devin paTle integrantă a structurilor vârslei urmatoare şi delermina implicalii malematice În achi­ zilia conceplului. Achizitiile malematice dintr-un anumit stadiu SUIlt preluate şi valo­ riricate in condilii nOÎ la nivelul următor ; de exemplu. achizilia conceptului de conservare a masei lrebuie valorificată la conservarea numerică pell1ru a fi inleleasă descompunerea numărului " (apud Neagu. Beraru. 1 997. p . 19). Z.P. Dienes valorifică implicatiile matematice ale leoriei lui Piaget in elaborarea unui sistem de invllare a conceplelor malemalice cu accent pe invălarea prin actiune şi expe­ rienlă proprie a copilului şi folosirea materialelor Slructurate (piese logice. riglele). in acesi sislem. slructurile malemalice SUlll dobândile sub forma actiunii. imaginii sau sim­ bolului, materialele slruclurale constituind mijloace de conSlruclie prin aCliune a structu­ rilor. Valoarea malerialului Slructural creşle in măsura in care el reuşeşte să evidenlieze alTibulele esenlÎale ale nOliunii, iar jocul capăIă o pozitie priviiegială. in sensul că. prin joc şi indeosebi prin jocul logic. se inlesneşle dobândirea nOii uni lor de multime. de reia· tie şi a elementelor de logică. Z . P. Dienes formulează palru principii de bază de care trebuie să se lina COIU În con­ ceperea oricărui model de instruire CeRlral pe formarea unui concepl matematic ; 1. Pril/cipiul eonslTllclivildrii orienteaza invălarea conceplelor intr-o succesiune logic!. de la nestructurat la structural. ASlfel. eSle indical să se treacă de la jocul manipulativ (neslructural) la jocul de conslruclii (structural), În scopul clasificării notiunilor. 2. Pril/cipiul dil/amic eSle reflectat in drumul parcurs de copil În inSlTuire prin activităli ludice. Astfel. Învălarea progresează de la un stadiu neSlTuetural de joc la un stadiu

26 I Didactica matematicii pentru inv8ţamântul primar

mai structurat de cOllslmcrie, in care se asigură intelegerea unui fapt matematic şi care apoi se integrează intr-o structură matematică. 3 . Principiul variabiliU1{ii malell/mice asigură formarea gândirii matematice care are la bază procesele de abstractizare şi generalizare. Se impune deci ca familiarizarea c u nOliunile matematice să se facă În siluatii matematice variate. prin experiente. 4. Pril/cipilll variabilild{ii perceptllole exprimă faptul că formarea und slruCluri matema­ tice se realizează sub forme perceptuale variate. Respectarea acestui principiu conduce la aparitia operatiei de abstractizare, ce va sprijini formarea gândirii matematice (aplld Neagu, Seraru, 1 997, pp. 1 9-20) . Integrarea în practica educatională a acestor principii conduce la dobândirea unor reprezentări matematice. Conceptele sunt prezente sub forma concretizărilor pe materiale structurate in scopul transferului aceleiaşi structuri matematice prin actiune dirijată. ima· gine. simbol verbal sau nonverbal . Aceasta s e justifică prin faptul c ă diversele însuşiri ale obiectului n u apar i n al.:eleaşi conditii in perceptie şi În reprez.entare. Astfel. cercetările au dovedit ca in reprezentările preşcolarilor şi şcolari lor mici au prioritate insuşirile functionale. componente prin care se aClionează. chiar dacă acestea IlU sunt dominante. Reprezentarea se formează deci ca o constructie ce apare in condilii speciale. Jean Piaget consideră că reprezentarea rezultă din imitatia conduitei umane, iar exerciliile de imitare organizate vor sprijini reproducerea prin imagine a obiectului dacă sunt integrale illlr-un context operational perceptiv. repre­ zentativ pentru copil. Astfel, functia de simbolizare pe care o îndeplineşte reprezentarea este detemlinată de contextul activitalii. Începutul perioadei şcolare este caraCterizat printr-o invălare care face apel la experi­ enla copilului, iar literatura psihologică de specialitate demonstrează că accelerarea dez­ voltării psihice a şcolarului mic se poate obline prin introducerea de oriemări intuitive şi verbale adecvate. Orientarea verbală este, În perioada preşcolară şi şcolară de Început. superioară celei intuitive, dar cuvântul devine eficiem numai asociat cu intuilivul (reprezemările). in for­ marea gândirii. orientarea verbală are un rol activizator. iar in activităţile matemalice este utilă valorificarea posibilitălilor sale funcţionale - cuvintele pot indeplini funcţii de pla­ nificare in actiune numai dacă semnificalia lor reflectă o anumita experienlă legată de obiectele cu care copilul aqionează. La vârsta de 5·6 ani, aCţiunile verbale nu mai sunt subordonate situaţiilor sincretice. ci se supun logicii obit'Crelor, În măsura in care sunt dirijate de reguli. Vigotski introduce in procesul învăţării cuvântul ş i limbajul ca instrumente de instru­ ire in completarea perceptiei şi observ31iei prin actiuni. Formarea nOliunilor malematice necesită relevarea. compararea şi reunirea mai multor caracteristici precum : numărul obiectelor dintr·o mullime, relaliile cantitative dintre multimi pentru a determina procesele activitătii perceptive obiectuale şi a celei mentale, necesare pentru fomlarea notiunilor corespunzătoare. Deci, pentru a·şi forma reprezentări conceptuale corecte, copilul trebuie să îşi însu­ şească procedee de activitate mentală cu ajutorul cărora se realizează sinteza caracteristi­ cilor unei anumite clase de obiecte, căci operatiile mentale corespunzătoare şi structurile cognitive (reprezentările şi conceptele) rezultă din aqitmife practice. se jixem.fI i// C/lVilllf şi j// operaliife CII "/lvi//lt şi Simt oriemare prill scopul şi co//di{iile activitd/ii pmctice (Galperill, 1 970).

Premisele psihopedagogice ale invaţarii matematicii

I

27

2 . 2 . 4 . Formarea limbajului matematic

Matematica este u,' limbaj care are ca primă funclie să reprezinte cât mai bine realitatea, să o modeleze, În acest sens. ea constituie un inS!rumem de explorare a realului. După Xavier Roegiers . .. obiectivele pe care le poate viza o modelare pot fi : a comunica infomlalii ; a rezolva o problemă ; a ajUla la luarea unei decizii : a anticipa realitatea ; a explica o situalie. un fenomen. cum functionează ceva etc. " (Roegiers. 2000. p. 75). Pentru a lraduce realitatea fizică intr-un model convenabil. este necesar să Irecem prin filtrul limbajului matematic. despre care putem spune că este cOllstituit din obiecte mate· matice (concepte) şi reguli care stabilesc relatii Între acestea. Rocgiers consideră că aceste obiecte. in număr de trei. sunt alese astfel incât să repre­ zinte realitatea cât mai fidel posibil : a) Numerele : O : 5 ; 100 ; 0.333 . . . ; b) Mdrimile : 2 m ; 10 kg : 6.75 lei : 15 dl etc. c) Formele : dreaptă. segment. pătrat. cub etc. Atunci cind un singur astfel de obiect nu ajunge pentru a descrie realitatea. se pot asocia mai multe (Roegiers. 2000. p. 75). Observa{ii :

•

Aceste obiecte nu sunt independente unele de altele : pătratul este definit ca având patru laturi congruente : o mărime se exprimă cu ajutorul unui număr ; - anumite mărimi (Iunigme. arie. volum) au sens numai În legăturll. cu anumite forme determinate ; - anumite numere au fost descoperite ca rezultat al măsurării etc. Există şi ahe obiecte matematice. cum ar fi propozitiile logice. care fac obiectul de studiu al logicii formale. dar nu intră in cadrul celor studiale in şcoala primară. A modela realilatea inseamnă a face mai multe lucruri cu aceste obiecee : Sd definim clar aceste obiecle. Îmr-o formă neechivocă. pelllru ca utilizarea lor să fie universală. Aceasta eSle problema conceptualizării. Conceptualizarea merge dincolo de realitate. a) Conceplualizarea idealizează realitatea : - melrul nu exislă decât in mimea noastră. Nimeni nu va putea consltui o lungime de exact I m in realitale ; - un dreplunghi. ca şi r.egmemul de dreaplă. nu exislă in (e3litate etc. b) Conceptualizarea prelungeşte realitatea : - au fost create figuri nemărginite şi nesfărşile (dreaptă. plan etc. ) : - paralelismul perfect nu există (nu poate fi verificat niciodată) elc. in acelaşi timp. conceptul generealizead realilalea, permitând regruparea Într-o voca· bulă unid a mai multor realilăti diferite şi o denaturează. EI se sÎluează deci pe un aII plan decât cel al realitatii. ESle domeniul abstractizllrii. Sd "umim, sli repreulIIăm aceSfe obiecte prilllr-Im simbol. Aceasta eSle problema sÎmbolislicii.

28 I Didactica matematicii pentru Tnvaţamantul primar

Exemplu : - reprezemarea unui număr natural cu ajutorul cifrelor şi al regulilor numeratiei zecimale ; - reprezemarea unui număr primr-o schemă, ca un punct pe axa numerelor ; - simbolurile conven\ionale pemru unităti de măsură ; - reprezentarea unui puncI, a unui segmem. a unei drepte prin litere. Sd variem scrierea aceluiaşi obiecl in funqie de necesităţi, să il exprimăm in funqie de necesităli, să il exprimăm În fonna cea mai adecvată. Aceasta este problema egalitălii. Exemplu :

! "" 0,5 ; 2

VI

"" 6 ;

9 = 7 + 2 ; 2 m ::: 200 cm ; 0.5 1 '" S dl ; (AB) "" (BA) ; d, "" dl.

Sit pUllem obiecte parricufare iti relatie /Inele CII altele.

Exemplu : 17 > 1 2 ; 0,333
vesele din ogradn foarftce, mcntului lipici. bunicilor (activilale in grupuri) carton, hănie Imerevaluare Transcrierea prin fOlogratiert Analiza vizuall a numelui unuia dimre glasall produselor animale (aclivitale fromallJ activită ii

;:

1. Elaborati un proiect, la alegere. al u n e i unitati de invaţare pentru clasa

2. Elaboraţi un proiect de lecţie la alegere, din unitatea de invaţare aleasa. a IV-a.

-----�_ .. _- - _ ._-_ ... _ - -_._- - - - - _ . __ . - --_. __ . __ . . -

Capito l u l 5

- . _ _. - . ._ . . .

... _ _ . _. . ' - -

Strategii didactice utilizate la matematică

5. 1 .

Strategie didactică , m etodologie, metodă , procedeu, mijloace de învăţământ

proieclarea şi realizarea opaim! a aClivitollii instructiv-educative depind de felul cum se desfăşoară, se dimensioneazll. şi se 3reiculeazll. componentele m3leriale, procedurale şi organizatorice. care imprimă un anumil sens şi o anumilll. eficÎenlă pragmatică formării elevilor. Concretiza rea idealurilor educ31ionale În comportamente şi memalilll.lÎ nu este posibilă dacă aClivit3tea de predare-invălare nu dispune de un sislem coerent de căi şi mijloace de înfăptuire. de o instrumemalizare procedurală şi lehnică a paşilor ce urmează a fi flcUli pentru alingerea scopului propus. Stralegiile didactice conslituie modul în care profesorul. în funqie de capacillllile sale noV3lOare. reuşeşte să aleagă. să combine şi să organizeze ansamblul de melOde şi proce­ dee. maleriale şi mijloace. în vederea atingerii anumilor obieclive inSlrucliv-educative generate de idealul educalional. SlTategia didactică reprezintă inslrumentul de realizare a obieclivelor pedagogice şi a cOlllinulului. Strategiile didactice sunt "modalităli mai complexe de organizare şi conducere a pro­ cesului de predare-invătare-evaluare pe baza combinării eficieme a metodelor şi mijloa­ celor de îllvă�mâm şi a fonnelor de grupare a elevilor În funqie de cOlllinurul şi cunoş1inlele amerioare ale elevilor. vizând obtinerea de performante maxime" (Sloica, 1995, p. 98). Siralegiile didaclice au o comribulie deosebită la oplimizarea procesului de instruire şi formare a personalitălii, imrucâl, cu ajulorul lor, cadrul didaclic slăpâneşte aqiunea inslructivă. o dirijeazll, o comroleazll. şi o reglează continuu, in direqia impusll. de finali­ talile aClului de invătllmâm. " Strategia didactică oferă o baza de trecere de la conceplie la aqiune. de la modul in care este concepută o leqie la programarea desflşurarii ei praclice, Ea poate să ne arate cum să abordăm solulionarea unei siluatii problematice În timpul unei leqii, flrll. a da tOluşi o solutionare precisă" (Cerghit. 1 983, p. 92). O slralegie poate să ne sugereze cum să punem elevul În contaci cu materialul nou de studiat. adică pe ce lraiectorie urmează să ii conducem efonul de Învălare. A adopla o strategie Înseamnă a adopta o linie directoare, un anumit mod general de organizare a invătarii. posibil de aplical la o Întreagă categorie de lecl1i. de probleme ce rezullă din confruntarea subieqilor (elevi şi profesori) cu anumile sarcini concrele de invălare. Dar stralegia mai poale să Însemne şi un mod deliberal de programare a operaliilor de Învălare. a unui Înlreg sel de activităli de Îllvălare-predare În conditii de maximă eficientll. Astfel, În fUllqie de slralegia aleasll. profesorul idelllifjcă şi asociază acele operatii pe care elevii

1 02

primar I Didactica matematicii pentru învaţamântul

la achizitiile dorite (cuno$. in plan obiectual şi m�TlIal ca să ajunga urmeaz.! si le efectueze 92). atitudini) (ap/ld Cerglllt. 1983. p.operatiilor conlportamente, linje'trategia in cadrul fiecllrei etaPt are În vedere organizarea şi t'd{ionalizarea S programarea in detaliu şi in ansamblu a desfăşurlirii leqiei. unilătii de a leqiei.sauadid Învll "

n

< =

>

,

,

,

Dtnumirea fraC1iei

subunitarll echiunilarll supraunilarli

246 I Didactica matematicii pentru Învaţamântul primar •

Se poate da ca sarcina să completeze cu semnele de relatie pOlrivite :
:

Frac ii su rauoilare

i , � , i , t , � , se poate vedea clar care

sunt fraqiile subunitare. echiunitare sau supraunitare :

• Stabilind de câti iOiregi este nevoie pentru reprezeOiarea fraqiilor de mai jos, de asemenea, se fixează notiunile de fraclii supraunilare, subunitare şi echiunÎtare :

7

3

12

1

11

2

'1 : , : 5 : i ; "2 ; 6 '

1 2.4.

Compararea fracţiilor

Aceasta se realizeazll in două sensuri : compararea unei fraqii cu intregul ; - compararea a două sau mai multe fra"ii (dad au acelaşi numitor sau acelaşi numlrl· tor) Între ele.

1 2 . 4 . 1 . Compararea fracţiilor care au acelaşi numitor Luăm un măr pe care il ÎmpăI1Îm in patru părti la fel de mari. Luăm o parte din măr in mâna stângl şi doul p.!iI1i din măr În mâna dreaptă. Se compară. Se trage concluzia (o pătrime eSle mai mică decât doua pătrimi). Scriem : "4 < "4 sau "4 > 1

2

2

4I '

Luăm un cerc (din trusa de figuri geometrice) şi il impărlim (prin pliere) in optimi.

Decupăm din cerc două optimi

( i ) şi cinci optimi (i ) . Suprapunem părtiie decupate.

Tragem concluzia : doua optimi sunt mai mici decât cinci optimi. Scriem : 2

i

5

5

2

< i S3U i > i'

Strategii didactice utilizate În formarea noţiunii de fracţie

I 247

Desenam un cerc pe care il impărlÎm În opt părli la fel de mari. Coloram Ifei păqi din

ele şi scriem fraqia corespunzătoare (

i

) . Scriem şi fraqia corespunzătoare păT\ilor neco­

( i ). Fie:are dimre cele Opt păqi in care a fosl împa.T\it întregul având aceeaşi marime şi fiind mai multe pâr(i necolorate. vom exprima aceasta spunând ca. fraqia i lorale

este mai mare decâl fraqia

Scriem :

i


i·

Acest lucru poale fi reprezentat şi cu ajutorul segmentelor : 3

8

r=T+l , 8

Segmemul care reprezintă

i este mai mare decât cel care reprezimă i .

Dintre două frac(ii care au acelaşi numitor. mai mare este cea cu numărătorul mai mare. in vederea compara.rii fracliilor care au acelaşi numitor se pOl da sarcini ca : • Comparati fraqiile reprezentate În desenele următoare :

•

Ordonali crescator fracliile :

2 7 I II 5 4 9 :; ; :; : :; : -=; : :; : :; : :; .

� ; % ; � ; � ; i ; � ; �.

248 I Didactica matematicii pentru invsţamântul primar •

Completati fraqiile pemru a respecta relatiile date : 5 2 < o o o o : : ' > 7 5 5 20 "' 20 • Stabiliti dacă relatiile de mai jos sun! adevărate : "3 > 7 : "5 < 7 ; "5 > 5 : "4 > I

2

I

2

3

4

7 12 "7 : "6

4

'"

12 8'

1 2 . 4 . 2 . Compararea fracţiilor care au acelaşi numarator Luăm două mere. Pe primul il impărtim in două parti egale. pe al doilea in patru păni. Luăm din primul o pane

(� ) şi din al doilea tOI o pane ( ..!. ) . Comparăm bucăţile. Se !rage : f > � sau � < I '

concluzia : o doime este mai mare decâl o pălrime. Se crie

Luâm apoi două coli de hânie de formă dreptunghiulară. Ia fel de mari. impărtim prima coală. prin pliere. in treimi (obtinem trei ueimi). Împăqim a două coală. lOt prin pliere. in şesimi (obtinem şase şesimi). Decupăm din fiecare dreptunghi câle două părţi (din primul două !reimi. din al doilea doua şesimi). Comparăm parlile decupale şi tragem concluzia : două Ireimi sunt mai mari decât două şes imi. Scriem acest lucru :

2

2

2

2

') > (; sau (; < ') . Desenăm apoi două cercuri la fel de mari. Pe primul il împăfJim în patru păqi la fel de mari. Pe al doilea il impărtim in opt păqi la fel de mari. Colorăm in fiecare cerc trei părti. Scriem fraqiile corespunzălOare părtilor colorale. Comparăm părtile colorate. apoi scriem :

3 3 3 -3 > - sau - < - . 8 8 4 4

Se trage concluzia : dintre două fraclÎÎ cu numărătorii egali . este mai mare fraqia cu numitorul mai mic. Exercitiile privind compararea functiilor care au acelaşi numIrIlor sunt diverse : • Puneti semnul corespunzlUor : 4

4

5

5

10

10

6

6

i ° '3 ; 9 ° 12 : )" 0 2" : 6 ° i :

II

I I

J O w'

•

Ordonati descresc.!Hor frac,iile :

5

7 : •

5

') :

.!. < .!. ; 2

•

ia

5

5

:;

5

10 : 2 : i : 20 :

5

4'

Stabili\i dacă relaliile de mai jos sunt adevărate : 3

3.




! : 2. 3

6

>

2. ; � 5

10


-> -. 1

1

1

2

4

8

1 2 . 4 . 3 . Compararea fracţiilor oarecare Un caz apane îl reprezintă compararea fraqiilor oarecare. Penlru a pUlea compara două fraqii oarecare, recurgem la procedeul aducerii fraqiilor la acelaşi numilor sau facem ca fraqiiJe ce urmează a fi comparale să aibă acelaşi numlirălor. Exemplu :

� şi � procedam aSlfel : � cu 2 şi oblinem fraclia � , fraqÎe care are acelaşi numărator cu

Penlru a pUlea compara fracliile 2

3'

Amplificam fra"ia

Se şlie că dinlre doua fraclii care au acelaşi numărlHor, mai mare eSle cea cu numito·

rul mai mic. PUlem scrie :

�


îi- . deci i > � .

1 2. 5 .

Operaţii cu fracţii

1 2 . 5 . 1 . Adunarea fracţiilor care au acelaşi numitor Pemru clasa a IV-a, sum prevăzute numai operatii simple cu fraClii. şi anume adunarea şi scăderea fraCiiilor care au acelaşi numilor. adicA adunarea şi scăderea pArtilor de acelaşi fel. Întrucâl in aceaslA fază se lucrează numai cu fraCiii care au acelaşi numitor. deci cu părli de acelaşi fel. trebuie s1 se insisle cu deosebire asupra numărului părliIor şi mai pUlin asupra felului lor, Ilcându-i pe elevi sa inteleagă că in operatiile de adunare şi scădere a fra'liilor numilorii nu intervin in calcul, răminind neschimbali, adunându-se sau scă­ zându-se numai numărătorii. fiindcă ei arală nuntărul păreilor respective. Luăm un măr şi il impărtim in patru. Numărăm pArlile. Câle am obtinut ? Din numărul pAreilor oblinute prin impăreirea mărului la palru. luăm in mâna slângă o bucată şi in mâna dreaplă doua bucAli. Ce fractie din mir reprezinlă numărul bucllilor luate ? Dintre cele palru pAtrimi in care a fosl impărlil mărul, parlea luală reprezimă trei pătrimi, deoarece o părrime + două părrimi :: Irei pAlrimi. adică : '4 + '4 = 4" = 4 '

I

2

1+2

3

Luăm o foaie dreplunghiularA. O impArtim, prin pliere, in şase părli. Colorăm două păqi cu o culoare şi alle uei pArii cu o allă culoare. Ce fra'lie din suprafata foii reprezint! panea colorală ? Oinlre cele şase părti in care a fosl împărJilă foaia dreplunghiulară, parlea colorală reprezimă cinci şesimi. deoarece 2 şesimi + 3 şesimi = 5 şesimi. adică :

2 '6

+

'6

3

::

2 '1'3

.$

6 = 6'

Se ia un cerc şi se imparle in 8 paqi egale.

Strategii didactice utilizate in formarea noţiunii de fracţie I 251

� � 'ZJS7 �

Haşurlm imâi 3 pâqi . apoi incâ 4 pAqi. In lOial, am haşurat 3 pârti + 4 pliqi pAqi. Scriind fraqia avem : )

i

7

'" 8 = i '

4

+

=

3+4

i

7

Concluzionlim : pc:mru a aduna doua fraqii care au acelaşi numilOr este sutieiem sa adunlim numbatorii şi sli Iranscriem numilOrul.

�

Deci

�

+

a;c .

""

Trebuie sli se facă analogie imre adunarea numerelor naturale şi adunarea fraqiilor care au acelaşi numitor. 2

3

I

1

2

3

2

1

3

Astfel. prin suma :; + :; + , inlelegem ( :; + , ) + , sau :; + ( :; + , ) . Îmr-o adunare d e fraclii. I a fel c a l a adunarea numerelor nalurale, putem schimba tennenii între ei. adica : ) 3 1 1 5 + 5 = 5 + 5' Se pol propune exercitii de tipul : • Completati pentru a obline 1 : � !. + � = I + � = I IS u 4 4

�

I =

+

�

•

10

Efectuati :

3

+ + "' � I = � + � +

ia 5

+

o

II

10

iO ; 9"

3

:; + , :

•

o

4

% i �

l

1 = 2. + �

12

"8

+

+ 6

4

6

9' ; 15 2

8 : 6 Anati fraqii mai mari :

+

+

3

11

15 ; 20

6' ; 4S

14 2

+

+ J3

4S

11

J 6 + 14 14 '

+

12

45 '

� decâl : � . ± , � , 7 ' � decât : � , � , � , � . c) cu i decâl : i , i , i , j , Scrieti următoarele fraclii ca sume de fraqii care au acelaşi numitor : a) cu bl eu •

3

12

7

5

9 ' 4 ' 8 ' 12 '

252 I Didactica matematicii pentru învaţâmântul primar

1 2 . 5 . 2 . SCăderea fracţiilor care au acelaşi numitor Luam un măr şi il împăqim in patru parii egale. Dăm din cele patru părli oblÎnute o parte unui copil . Câte păni rămâ n ? Prin numărare. se constat! că au rămas trei păJ1Î. Putem scrie 4 păJ1i - I parte "" 3 păJ1i. adica : 4-1 4 1 3 4 1 3 - - "" - sau - - - "" - "" - . 4

4

4

4

4

4

4

Se imparte apoi un dreptunghi În şase parii egale. O parte se haşureaza. iar patru p.1iTli se coloreaz.1i. Cu câte paJ1i sunt mai mult colorate decât haşurate ? Prin numarare. se constată ca sunt mai multe cu trei părli. Daca înlăturăm o parte din cele patru plrli mai ramân trei p.1iJ1i colorate.

� � "" � sau � � _

_

Putem scrie :

""

4

;1

=

�.

Concluzion.1im : pentru a sc.1idea două fraCiii care au acelaşi numitor. se scade din numărJtorul descazutului cel al scăulorului, oblinându-se numărătorul rest, iar ca numi­ tor se p!strează numitorul comun al celor două fraClii. Pentru a putea efectua scăderea a dou.1i fra"ÎÎ care au acelaşi numitor. numărJlorul primei fraCiii (a descăzutului), fraclla din care scădem, trebuie să fie mai mare sau egal cu numărJlorul fracliei pe care o scădem (scăzălOrul).

� � _

Deci :

a

""

�

C

, unde a � c.

După însuşirea operaliei de scădere a fra"iilor cu acelaşi numitor, le putem da elevilor sarcini ca : • Efectua\i : 6

2

2S

4

2

17

23

6

6

9 - 9" : 100 - 100 : a - 8 ' 8

14

3

S - S : W - iO : -:; - 7 ' Scrieli fra"iile 3. , � , � . �

•

6

•

-i decât : � decât : c) cu � decât : a) cu

b) CU

•

3

12

9

� ; * : �, � ; -T ; � ' i : ! ; �.

ca o diferen!! de fraCiii care au acelaşi numitor.

in locul p.1ilratelor libere, completali cu numere pentru a obline egalitJli adevărale : S

- = - •

7

8

Aflali fracliile mai mici :

- - -

9

;; : "83 = "8S - - ' � � !.!. � c

c

c

. '

12

",,

12

_

c

'

Aflali numărul necunoscut din :

3

S

3

7

7 + a = 7 : "3 + x = "3 '

Strategii didactice utilizate În formarea noţiunii de fracţie I 253

a + i "" i9 ; l + x "" S12 ' După ce elevif şi-au însuşit modelul de efectuare a opera\iilor de adunare şi scădere a fractiilor cu acelaşi numitor, se propun exercitii În care să apară ambele operatii. De exemplu : Efectuati : 3 4 3 6 4 i + i - i ; lo' - iO + iO ' 7 2 1 13 2 "9 - "9 + "9 ; 12 + 12 - 12 ' Pentru reprezentările de mai jos, scrieti adunările şi scăderile corespunzălOare : 4

•

8

8

•

Completati pătratele libere : = 76 - -0 - -0 ' i = i - i + � ; � "" Ti + � - � , Aflati II din egalitatea : n - (� + � - � ) + � = � ; �6 _ 26 + �6 _ n = 3.() , Detemlinati numlrul x din : + x = � ; x - � = �. x + � = � ; * -x = �, Cu i din suma de bani pe care o are, Elena cumpără un costumaş. pe care a dat cu i mai putin, iar cu i din suma inilială a cumplrat un fular, Ce parte din suma initială a chehuit Elena? Un traseu turistic montan este compus dintr-o parte care urcl, o parte de drum pe creastJ. şi o parte care coboară, Partea care urcă reprezinti � din traseu, iar cea care coboară reprezintă � din acesta. Ce fraCiie din traseu reprezintă drumul pe creastă? •

2 11 0 3 9 iO "" io + 10' - 10' ; 7

•

•

•

•

254 I Oidactica matematicii pentru inv&ţamântul primar

Temă

1.

2.

Precizaţi etapele inv&ţarii noţiunii de unitate fracţionara.

Enumeraţi modalitaţi de obţinere a unei rracţii.

3. 4.

Scrieţi un demers didactic vizând compararea unei fracţii cu intregul. Scrieţi un demers didactic vizând compararea a doua sau mai multe

5. 6.

Prezentaţi metodologia arlarii unei fracţii dintr-un întreg. Argumentaţi prin intermediul compunerii şi rezolvarii de probleme nece­

fracţii cu acelaşi numarator.

sitatea introducerii fractiilor.

Ca pitol ul 1 3 --- - -

- - - -- - - - -- -

Noţiunea de problemă. Rezolvarea problemelor

1 3. 1 .

Clasificarea problemelor

De obicei. spunem că avem o problem3 atunci când se cunosc un număr de infonnatii şi când se propune sa se ane alle iorannatii cerule clar in enuntul problemei. Se poate spune că orice chestiune de tJat/lrd practicii Sali teoretic/t care reclomtl o rez.olvare se l/umeşle problemti. Aşadar. problema reprezima un proces de gândire declan­ şat de un sistem de intrebAri asupra unei (unor) necunoscule. o aplicare creatoare a cunoş­ tinţelor dobândite anterior. PeOlru noi. o problemă poate reprezenta : o situatie a elirei solutionare se poate obtine prin procese de gândire şi calcul ; w1ranspunerea unei situatii practice sau a unui complex de situatii practice in relalii cantitative, pe baza valorilor numerice date şi anale imr-o anumită dependentă unele fallli de al1ele şi fată de una sau mai multe valori numerice necunoscUle : se cere deter­ minarea acestor valori necunoscute " (Neacşu. 1 988. p. 1 96). Rezolvarea problemelor necesÎlă descoperirea neculloscutei. aflarea relatiilor necunos­ cute in raport cu datele cunoscute. apelarea la ralionament. Rezolvarea de probleme presupune formularea de ipoteze. care se verifică pe rând. reorganizarea datelor. refor­ mularea problemei. care s3 duc! spre solulionare. Aşadar. problemele de matematici sum răspunsuri la anumite în!reblliri referitoare la preocuplliri şi actiuni bazate pe date numerice. Problemele de matematică din ciclul primar se pot grupa astfel : Oupd fil/alilate şi dupl sfera de aplicabililnle. le structurăm în probleme teoretice şi aplicalii practice ale no{iunilor invllate. Ol/plt cOIl{i''''(/I1 lor. problemele de matematici pOl fi geometrice. de mişcare. de aflare a del/siu}/ii unui amestec sau aliaj elc. ; Oupd numdrul operaliilor. vom identifica probleme simple şi probleme compuse. Proble­ mele simple sun! cele care. de regulă. se rezolvi primr-o singuri operatie aritmetică şi pe care le întâlnim cu precădere in clasele pregltitoare. În clasa 1 şi a II-a. Problemele com­ puse sum acelea care in şirul de ralionameme şi operalii de rezolvare includ. Îlltr-o depen­ denl! logic!. mai mulle probleme simple. deci se rezolvă prin două sau llIai multe operalii. Oupd gradul de gel/emlilore o merodei folosile IiI rezolmre. avem probleme gel/erale (in rezolvarea clIirora vom folosi fie metoda analiticlli. fie metoda sintetic!) şi probleme •

256 I Didactica matematicii pentru invaţamântul primar

(paniculare) rezolvabile prilllr-o metodă specificA : graficA, reducere la unilal�, a falsei ipoteze, a comparatiei, a mersului invers. o categorie de probleme cu multiple valente formatÎve este cea a problemelor recrea­ tive, rebusistice, de perspicacitate şi ingeniozitate (numite şi nonstandard). Efortul pe care il face elevul În rezolvarea conşlientA a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaştere, volitive şi motivational-afeclive. Dimre procesele cognitive. cea mai solidlalA şi antrenată eSle gândirea. prin operaliile logice de analiză, sintezA, comparatie, abslraclizare şi generalizare. Rezolvând probleme. formăm la elevi priceperi şi deprinderi de a analiza situalia dală de problemă. de a iOlui şi a descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere in problemă. În acest mod. rezolv-d­ rea problemelor contribuie la cultivarea şi dezvoltarea capacitAjilor creatoare ale gindirii. la sporirea flexibilil!tii ei. a capacitAtilor antidpativ-imaginative, la educarea perspicaci­ tAtii şi spiritului de initialivA, la dezvoltarea Încrederii În forlele proprii. lipie;

1 3. 2 .

Metode de rezolvare a problemelor

Prin rezolvarea problemelor de matematică, elevii îşi fomleaz! deprinderi eficiente de muncA imeleclualA. in acelaşi timp, activitAtile matematice de rezolvare şi compunere a problemelor contribuie la imbogAlirea orizontului de culturA generala a elevilor prin uti­ lizarea in continulUl problemelor a unor cunoşti",e pe care nu le studiază la alte discipline de învAt!mânt. Este cazul informatiilor legate de dislan\!, vÎ1ezA, timp, prej de cost, plan de produClie. camilate. dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc. Problemele de matematicA fiind Slfâns legate. cel mai adesea prin Însuşi continutul lor, de vială, de practică, dar şi prin rezolvarea lor. genereazA la elevi un simt al realitAtii de tip matematic, formându-Ie deprinderea de a rezolva şi alte probleme practice pe care vial3 le pune in fata lor. Rezolvarea sistematic! a problemelor de orice gen are drept efect for­ marea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi şi atitudini pozitive care le dau posi­ bilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înşişi probleme. in activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. in fiecare etapA are loc un proces de reorganizare a datelor şi de refonnulare a problemei. pe baza activitA­ tii de orientare a rezolvitorului pe drumul 50Iuiiei problemei. Ion Neacşu ( 1 988, pp. 200-202) propune o anumitA succesiune de etape. Aceste etape SlItIt : cunoaşterea enunlului problemei ; inlelegerea continutului problemei ; analiza problemei şi intocmirea planului logic ; alegerea şi efecluarea operatiilor corespunzAtoare succesiunii judedtilor din planul logic ; anuntarea rezultatului. ACIÎYÎIi'J{i suplimemare : - verificarea rezultatului : scrierea problemei sub formă de exerciliu : gAsirea altei cii sau metode de rezolvare : generalizarea : compunerea de probleme după o schemă asemAnAtoare.

Noţiunea de problema, Rezolvarea problemelor I 257

Considerăm că I'erificarea reZIIltafllllli nu este o activitate suplimentară. ci una care iOlregeşle rezolvarea problemei. Nu pUlem să spunem ca am rezolvat o problemă păI\! cănd nu am verificat rezultatul ! Cunoaşterea enuntului problemei se realizeaza prin citirea de către profesor sau de către elevi sau prin enuntarea orală. Se repeta problema de mai mulle ori pănă la însuşirea ei de catre toti elevii. Faptul că elevii au inteles enuntul este pus in evidenlă de formularea enunlului cu cuvilIIe proprii. intr-o ordine reaşezala, evemual. a prezemării informatiilor. Se SCOt in evidentă anumite date şi legaturi dhure ele. precum şi ÎOIrebarea problemei. Scriem pe tabla. şi pe caiete datele problemei (folosind scrierea pe orizontală sau pe ver­ ticală). Enuntul problemei conline un număr necesar de informalii. Acest minimum de infor­ malii este receplionat de dtre elevi prin citirea textului problemei. prin ilustrarea cu imagini. scheme sau chiar cu aqiuni. De exemplu :

in clasa a l/f-a B 5/1111 32 de elf'\'i, i" clasa a /fI-a C 511111 CII doi elev; mai m/lll decât iti clasa a III-a B. Câli elf'\'i su//( ill ambele clase ?

Prin discutii cu elevii. ei trebuie sa retină elememele matematice imponallle : datele problemei, relatiile dimre date, Întrebarea problemei. Unii elevi schimbă sensul unor date (în loc de mai mul! cu doi elevi În clasa a III-a C. relin ca au fosl doi elevi) din cauza nereceplionării corecte a enunlului problemei. Faza in care se construieşte ralionamelUul prin care se rezolvă problema este elapa analizei problemei şi ÎlUocmirii planului logic. Prin exercitiile de analiză a datelor. a sem­ nificatiei lor. a relatiilor dintre ele şi a celor dimre date şi necunoscute ajungem să ne raportăm la situatiile concrete pe care le prezintă problema (a parcurs... kilometri : a cumparat ... kilograme : a ... Iei kilogramul etc.) la nivelul abstract care vizează rela]iile dilUre parte şi iOireg, viteză, distantă şi timp elc. Transformănd problema intr-un desen. intr-o imagine sau ÎTur-o schemă, scriind datele cu relatiile dintre ele Într-o coloană etc., evidenliem esenta matematică a problemei. adică reprezel1larea matematică conlinu­ tului ei. Etapa alegerii şi efectuării operatiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic este etapa care constă in alegerea şi efectuarea calculelor din planul de rezolvare, in conştien­ tizarea semnificaliei rezultatelor pal1iale ce se oblin prin calculele respective �i a rezulta­ tului final. Urmează verificarea rezultatului şi enunlarea răspunsului. Aethittltile suplimemare d/lptl rezolmrea problemei constau in găsirea şi a ahor metode de rezolvare şi alegerea celei mai bune. in eseuIă, etapa se realizează prin aUloconttolul asupra felului În care s-a însuşit enunlul problemei. a ralionamemului realizat şi a demer­ sului de rezolvare parcurs. Dupa rezolvarea unei probleme se scoale in evidenlă categoria din care face pane problema. se fixează algoritmul ei de rezolvate. se trece la scrierea datelor problemei şi a relaliilor dimre ele Într-un exerciliu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare. prin compunetea de probleme cu aceleaşi date sau cu dale schimbate, dar rezolvabile după acelaşi exercitiu se descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Toate acestea duc la cultivarea şi educarea creativitătii. Ia antrenarea sistematică a intelectului elevilor. Pentru fonnarea deprinderii de a rezolva probleme, pornind de la cele simple spre cele compuse, este necesară ililelegerea Iloliunilor matematice începând cu cele mai simple : luăm. adAugăm, mărim. micşorăm. reunim. separăm. mai mult cu. mai putin cu, mai a

256 I Didactica matematicii pentru invaţamântul primar

mare/mic de . o " ori. ÎOlelegerea cortClă a acestor OOliuoi ii ajută pe elevi sa stabilească ralionameme logice pe baza cărora să poată rezolva problema. Baza dezvohării mateuullice cu ajutorul rezolvarii şi compunerii de probleme de catre elevi o formam îucepand dill clasa I . odată cu predarea operaliilor aritmetice in cadrul llumeraliei pana la 10. in această perioada ii invă1ăm pe elevi să rezolve şi sa. compună probleme pe bad imuitiva cu aju. torul figurilor sau planşelor. sa inleleaga imbinarile de cuvime şi legălura cu mullimile d� obiecte. Problemele formulate cu ajutorul materialului didactic propriu fiecarui elev ca : riglete, jeloane, figuri geometrice, mere, pere. stelule, ciupercule eIC., comribuie la inlelegerea continutului problemei şi la dirijarea atenliei spre ceea ce estI! cunoscuI şi necunoscut. in ceea ce priveşte problemele cu text, acestea pun in fala elevilor dificultlli sporile: determinate de lipsa obiectelor concrete sau semicollcrete cu care se opereaza În situaliile precedeme. Singurul SUPOrt în înlelegerea conjinulului şi a Îmrebării a ramas textul pro­ blemei. in scopul famiJiarizlrii elevilor cu cele doua p!rţi ale problemei (enunţul şi imrebarea). se aşaza dalele problemei in coloaoă, deoarece acest mod de scriere permite ca in dreptul datelor numerice s! se noteze prin cuvinte semnificalia lor. intrebarea problemei se separ:1 printr-o linie. Mai jos scrieli rezolvarea şi răspunsul. De exemplu : Pe un raft sunt 32 de dl'\i. Pe alt raft sunt cu 6 mai mult. Cate cafli sunt pe al doilea raft 32 de cărli pe primul raft : cu 6 mai mult pe al doilea raft Câte cărli sum pe al doilea rafl? Rezolvare : 32 + 6 = 3 8 carti pe al doilea raft. Raspuns : 38 drli. Trecerea de la probleme simple la probleme compuse se va face in momentul in care programa specifici faptul că se pol rezolva probleme cu doua operalii. Un element nou in rezolvarea problemelor compuse eSle planul rezolvării. necesilale:. de a fixa ordinea şi succesiunea operatiilor inainte de a incepe rezolvarea propriu-zis!, Pentru a-i ajuta pe elevi să inleleagă necesitalea planului şi faplul că unele problem..: nu se pOl rezolva printr·o singura operatie, se pOt rezolva la incepui probleme compu�..: formulate in aşa fel incâl cele două etape de rezolvare s! fie subliniate in contioutul problemei. Pentru o rezolvare conştientă se porneşle de la rezolvarea probleme:, lor-aqiuoi. Exemplu : '.1

IOllel are 12 timbre. Primelle de la tatdl său ÎlJcd 6 timbre. Di" elf ddruifllf 7frOlfl1ll sdu. Câte timbre i-all rdmas Itli lant! ?

Se cheamă in fata clasei un elev (Ionel) care line in mâna 12 timbre : apoi se chealll:i ah băial (tatal) care are 6 timbre şi i le dll iui Ionel. looel numără câte limbre are in tOlal. apoi din tOlalui de timbre ii da unui ah elev (fratele lui) 7 timbre. Numără câte timbre i-au ramas. Se adreseazl clasei următoarele intrebări : Cum a fost rezolvală problema? Ce a atlat looel la inceput? (Câle limbre are În lOial, Ce a aflat apoi Ionel ? (Câte timbre i-au rămas.) Problema a fost rezolval.li priOlr-o singur:'l operalie 1 (Nu, prin două operalii : adunare şi scădere.)

Noţiunea de problema. Rezolvarea problemelor

I

259

Se scriu datele şi rezolvarea ei : are 1 2 timbre ... primeşte 6 timbre . dă 7 timbre ... ? timbre Câte timbru are Ionel in [otal ? 12 timbre + 6 timbre = 18 timbre Câte timbre i-au ramas lui Ionel ? 18 timbre 7 timbre '" II timbre Raspuns : II timbre. Rezolvarea problemelor compuse necesită descompunerea in probleme simple. Peocru a veni În sprijinul elevului sunt necesare următoarele etape : citirea conştientă şi Însuşirea enuntului ; analiza (judecata) problemei şi intocmirea schemei de rezolvare ; - realizarea planului de rezolvare după schemă ; rezolvarea propriu-zisa (descoperirea solutiei). Aceste etape alcă[uiesc un tot, fiind intr-o strânsă legătura, şi alcătuiesc rationamentul problemei. Cercetarea problemei se (ace pe cale analitică sau sintetica. Odată cu analiza problemei se alcătuieşte şi schema de rezolvare. Rationamentul se concretizeaza prin scrierea planului de rezolvare (poate fi şi oral). in clasa 1 , planul de rezolvare il alcătuim oral, iar rezolvarea se e(ectuează in scris. incepând cu clasa a IT-a, aldtuirea planului de rezolvare se (ace scriind intrebările şi imediat raspunsul lor. Exemplu : -

8u/licui (II'ea ;1/ CIIne 100 de gdi"i. A dus la pial6 Î/I prima zi J6, iar Il doua zi (fi 9 moi mult. CII câte gditli a rdmos bUl/icli1 ill curtt ?

Notarea conlinutului logic al problemei : A avut gaini A vândut in prima zi 36

100

A vândut in a doua zi 36 + 9

Rationamentul problemei se prezintă in (ormula : 100 (36 + 36 + 9) 19 găini. Treptat. dup! ce am rezolvat mai multe probleme care se incadreaza in acest algoritm. il vom eltprima intr-o formulă generală : a - (b + b + c) "" ? Este vorba despre drumul pe care il (ace elevul ridicându-se de la intelegerea cOlllinu­ tului concret al problemei, prin reformularea ei treptată, in scopul desprinderii relaliilor logice şi al ajungerii la o solulie. O atentie deosebită se va acorda problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare, pentru ca rezolvarea lor cuhiva mobilitatea gândirii, creativitatea. fomleaza simlul estetic al şcolari lor (prin eleganta, simplitatea. economicitatea şi organizarea modului de rezolvare), Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnas­ tică a minlii. educându-se aSI fel atenlia. spiritul de investigatie şi perspicacitatea elevilor. Exemplu : -

""

imr-o /ivadd SUIII 6J4 de pomi. Dilllre aceştia 16J SUIlt meri, 87 SUI/( peri, /10 eireşi şi 18 1/uei, Rtstlll S/iIII gllm;. Câli glll/l; SUI!( i/l lÎvadtf ?

Unii elevi vor rezolva problema efectuând operatiile necesare in ordinea aqiunilor cuprinse În enunt (din variate motive : neputinta de a cuprinde şi de a prelucra intregul

260 I Didactica matematicii pentru invaţamântul primar

enuOj, insuficienta deprinderilor de rezolvare formate pană la acest moment, dorinta de a merge progresiv şi de a vedea câti gUlUi sunt) . Alti elevi, analizând mai bine problema. renulltă ta ordinea actiunilor cuprinse in enunt şi caută valorile intre care pot stabili o relatie utilă. mai ecollomicoasă şi mai simplă pen· tru rezolvarea problemei : 634 pomi. . . 163 meri . . . 87peri. .. 110 cireşi. .. 18 nuci .. ? gutui Iată şi modul de rezolvare cu schemele respective : 634 - 163 :: 471 ; 163 + 87 + 110 + 18 "" 378 471 - 87 = 384 sau 384 - 110 = 274 ; 634 - 378 = 256 274 - 18 "" 256 Se mai pot găsi şi alte variante de rezolvare de genul : a - (b + c) - (d + e) sau a - (b + C + d) - e sau a - b - (c + d + el, laja de a - b - c d - e şi a - (b + C + d + e). Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o data şi folosirea sche· melor, desenelor, graficelor etc. , iar pentru formarea unei gândiri sintetice. fomlult: numerice sau literale. Transcrierea rezolvării problemei imr·un singur exercitiu cu V".tlori numerice sau literale contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor prin găsirei! unor solutii noi. uneori personale, de aşezare in e.'tercitiu. Crearea de situatii noi În care sa fie formulate relatiile din problemă angajează gândi· rea creatoare a elevilor. Exemplu : Î/Ilr·o Iimdă s·all sădi, 845 de mai şi CII 3/6 111ai I/I//I(i pui.

1 . Să se formuleze intrebarea astfel încât problema să se rezolve printr·o singura ope· ratie. 2 . Să se formuleze Întrebarea astfel incât problema să se rezolve prin două operatii. 3 . Sa se modifice relatiile dintre datele problemei astfel încât să se rezolve primr·un singur fel de operatii. 4. Să se alcătuiască schema problemei. 5 . Să se transpună rezolvarea Într·un singur exercitiu cu valori numerice. 6. Să se transforme rezolvarea intr· un singur exercitiu cu valori literale. 7. Să se alcătuiască o ahă problemă după formula literală obtinută. Modificarea datelor problemei astfel îllcât aceasta să se rezolve prin mai multe opera· Iii (recompunerea problemei) cere o mare capacitate de redefinire. Exemplu ; S·oll cwnpdral 5 kg de strJIguri şi 7 kg de mere. Câte kg de fmele s·all cumpllrat Î/I

IOtal ?

Recompunerea problemei :

S·ou cl/tllpllrat 5 kg de s,r/lguri şi 7 kg de mere. Ş,iilld că ( kg de stmguri cos,d 8 1t'i şi J kg de mere cosill 4 Iei. oflafi câ(i tei S·OIl p/ăli' Î" 10fol. S·au cumpllrat 5 kg de struguri şi 7 kg de mere. Ştiilld cd Îtl totot S·OIl plăti, 68 lei, iar pe slmgl/ri s·ou dai 40 lei, aflati câ(i lei cosM I kg de mere. S·OIl clmtpllral /2 kg de fr"cte (stmgllri şi mere). Ştiilld cII iti t0101 S·OIl plălil 68 Iti. iar diferenta de pret dillfre Uit kg de mere şi Utllli de struguri este de 4 lei, aflati cât*, kg S·OIl cllmpăml de fiecare fel.

Noţiunea de problema. Rezolvarea problemelor

261

Aceasta este o formă mult mai elevata şi cere o lUai mare capacitate de redefinire care se e: V l; pentru că numai aşa Illobilul plecal din A îl poate ajunge pe cel plecal din B. I A

d

B

Ic=====:'>I

Mobilul plecat din punclul A il urmllreşte pe cel plecal din punclul B de care îl desparte distanla �d ". Pemru a afla dupa cât limp il ajunge sau după cât timp recuperează decalajul

Noţiunea de problema. Rezolvarea problemelor I 268

de dislanlA "d " . ar Irebui s1 aflăm mai intâi cu cât se apropie Într·o unitate de timp. Presupunănd cA vitezele sunt exprimate in km/orA (prin viteza Înlelegem distanla parcursl! de un mobil intr·o unitate de timp) şi distanla . d " in km. fonnulăm Întrebarea : Cu cât se apropie mobilul plecat dÎn punctul A de mobilul plecat din punctul 8 intr-o oră '? Cu V, km - V1 km. Dacă intr-o or1 mobilul plecat din punctul A recuperead din distanl3 ..d " (VI - V1) Ion. atunci Întreaga dislanlă va fi recuperată imr-un număr de ore egal cu de câle ori .. V V! " se cuprinde În dislanla .. d ... Concentrând cele două secvenle intr·o singură expresie. găsim că limpul necesar mobi· lului plecat din punctul A pentru a·1 ajunge pe cel plecat din punctul B este I

-

V, 'VI d

t=­

in contÎnuare vom exemplifica rezolvarea problemelor de acest gen : Problema 1 :

VI/ gmp de excursiol/Îili core se deplaseazlf CII I'iul.ll de 5 km/orlf ies dill omi la om 7 dimitleala. Ln ora /4. În aceeaşi zi. se Irimile dupll acesl grup /111 biciclist care se deplasează cu /2 kll/loră. D/lplf cât timp fi la ce dislanrtl de orar bicicliswl WJ ajullge gmpul de excllrs;olliiti?

Rezolvare : Trebuie să stabilim in ce moment incepe urmărirea şi la ce distantă de oraş se află grupul de excursionişli in momentul plecării biciclistului. Planul logic al problemei şi operatiile corespundtoare vor fi : 1 . Cât timp merge grupul de excursionişti singur, până la plecarea bicic1istului? 14 ore - 7 ore = 7 ore. 2. Ce distanlA parcurge grupul În 7 ore? d = v t = 5 kmforă 7 ore : 35 km Din acest moment. lucrurile se prezimă astfel : X

li:

35km

Cu cât se apropie biciclislul de grup intr·o oră? V I - Vl : 12 krn - 5 km = 7 krn. 3. După câte ore biciclistul recuperează cei 35 km? 35 km : 7 km/oră = 5 ore. 4. La ce dislantă de oraş ajunge biciclistul grupul? v x t = d = 12 kmJoră x 5 ore = 6 0 km. sau 5 ore x (7 km + 5 km) = 60 km sau (5 ore + 7 ore) x 5 km/orA = 60 km. Problema 2 :

VII clfllfrel având vitezp de 14 km/orlf pleacd din satul A spre SOIllI B. Duplf J ore, p(eacit 101 din sallli A Î" aceeaşi directie 1111 mOlOcicJist avâlld o viut6 de 42 km/oră. in cât timp Îl va ajunge mOlociclisml pe citMrel şi la ce disfOlI(ă de satlll A ?

270 I

Didactica matematicii pentru iovat-amântul primar

Rezolvare : Din enunt reÎese că, până la plecarea motociclistului, clWlrelul avea un avans de 3 ore, deci parcursese o distanlă de 24 km/oră )( 3 ore "" 72 km. MotociclÎstul câştigă la fiecare oră 42 km - 24 km "" 18 km. Pentru a recupera cei 72 km motociclistul merge un timp de 72 : 18 "" 4 (ore), deci alunci când il ajunge, ei parcurseseră o dislanlă de 42 km x 4 168 km sau (4 ore + 3 ore) x 24 km/oră = 168 km. Planul logic al problemei şi operaliile corespunzătoare sum : 1. Ce distanţa parcurge căIărelul până la plecarea mOlociclistuJui? 24 km x 3 ore 72 km. 2. Ce distanlă recuperează mOlociclislU1 intr-o oră? 42 km - 24 km 18 km. 3. Cât timp ii trebuie mOlociclistului pentru a recupera cei 72 km? 72 km : 18 4 (ore). 4. La ce distanlă de satul A il ajunge? 42 kmloră x 4 ore = 168 krn, Răspuns : 4 ore (timp) 168 km (dislanja) b) Probleme de mişcare În sel/suri opuS(> Pentru a exemplifica rezolvarea problemelor de acest gen pornim de la o problemă generală, şi anume : Problemă : =

=

=

=

Dou6 mobile pleac6, mml dil/ pUl/clli1 A şi "I/ul dil/ puncml 8, 11/11/1 spre ceMloJl, Dislallfa dimre A şi B eSle de d km. Cel core pleacd din pUI/clIIl A se deplaseaw Cfl V, Jun/ord, iar ceMlol1 CII V 2 Ju1l/or6. Dupd ciit limp se Î/IIâlnesc ?

Rezolvare : Conlinutul problemei va fi ilustrat cu un segment de dreaptă (distanla dintre A şi B), v,

v,

Nu este importam, peutru acest caz general. să specificăm care dintre viteze este mai mare. Pentru a răspunde la intrebarea problemei, este important să aflăm cu câl se apropie cele doua mobile intr-o unitate de timp (o ora). Ele se vor apropia cu suma vitezelor. Deci. ele recuperează din distanta d care le separă (V + V 1) km intr-o orI. De aici rezultă ca distanl8 d va fi recuperată dupA atâtea ore de câte ori V I + V se cuprinde in distanja d. Planul logic al problemei şi operaliile exprimate simbolic vor fi : 1. Cu cât se apropie cele două mobile într-o oră? V I + V !, 2. După câl limp se intâlnesc cele două mobile? 1

1

Noţiunea de problema. Rezolvarea problemelor i 2 7 1

Astfel, se prezimă elevilor formula după care se calculează timpul de illlâlnire Îmr-o problemă de mişcare În sensuri opuse. Problemă : I

VII pietoll core parcurge 5 k.mlord pleaclt di" oraşul A spre orasul B. i" acelaşi limp, UII biciclist pleocd din oraşul B spre orasul A cu 22 /anlord. Î/ltre orase este o dista/J/d de 81 lenl. a) dupd cât limp se imâllleSle pietolllii CII bicic/islIIl ? b) la a dislatlld de orasul B se imâlllesc ?

Rezolvare : ilustrAm cu ajulOrul unui segmem de dreaptl, a cărui lungime reprez.iml distanla din­ Ire cele douA oraşe, conţinutul problemei. 81 km

Skmlh

Din această reprezemare rez.uhA cA la fiecare orA distanţa dimre pieton şi biciclist se micşoreazA cu 5 km + 22 km 27 km. Distanţa lotall de 81 km va fi strllbAtutA În atâlea ore de câte ori se cuprinde 27 in 81 . Deci, 81 km : 27 3 (ore). acestea reprezentând timpul dupA care se Întâlnesc. Deci, se Îmâlnesc la distanla de 22 krn 3 66 krn de oraşul 8. Planul de rezolvare este urmAtorul : 1. Cu cât se micşorează distanţa dimre pieton şi biciclist Îmr-o orA? 5 km + 22 km 27 km. 2 . in cât timp va fi parcursll distanla totalll? =

=

x

=

=

v, + v1 d

1 = --

krn : 27 km 3 (ore) La ce distanţă de oraşul B se întâlnesc? krn x 3 66 krn. Verificare : 5 krn 3 + 22 km 3 81 km. Probleml :

81 3. 22

=

=

x

x

=

DOlld vase fllm'ale au plecat in acelaşi timp din dOlilt pONuri unul spre aldlall. Sliind cit distatl/a dintre portllri eSle de 375 km şi cit primlll \'OS face pe orlt 29 km, iar celltlalt /8 km, sit se afle dislolJ/o dintre cele dom} vase duplt 6 ore de mers.

Rezolvare : Pentru ca rezolvarea si fie cât mai sugestivA. se pOl desena cele două vase, iar ponurile se pot reprezema prin dreptunghiuri. 29km/h

� IBkm/h

272 I

Didactica matematicii pentru invaţamântul primar

Procedând sintetic, adică pornind de la intrebarea problemei, se pot stabili urmatoarele : a) pentru a ana distanla dintre cele doua vase după 6 ore de mers, cunoscând distanla totală, trebuie să se cunoască distanta parcursă de cele două vase împreună : b) pentru a ana distanla parcursă d e cele două vase Împreună, după 6 ore de mers, trebuie sl. se cunoască distanla parcursă de fiecare vas sau distanta parcurs! de ambele vase Într-o oră apoi in 6 ore ; c) pentru a ana distanta parcursă de cele două vase separat timp de 6 ore aplicăm formula : s : V I t ; s = V1 t sau s = (V I + V1) Planul de rezolvare este următorul : J . Ce distan\ă a parcurs primul vas În 6 ore '! 29 km/h 6 ore 174 km. 2 . Ce distanlă a parcurs al doilea vas in 6 ore: 18 km/h 6 ore = J08 km. 3 . Ce distanlă au parcurs cele 2 vase in 6 ore? 114 km + 108 km = 282 km 4. Ce distantă a rămas intre cele două vase după 6 ore? 375 km 282 km = 93 km. Răspuns : 93 km. in problemele de mişcare. reprezentarea situaliei prin desen Îşi dovedeşte cu prisosinla eficienta, deoarece in procesul examinării şi rezolvării problemei. gândirea elevului s� mişca in cadrul asociatii lor indicate de figura sau de schemă, ceea ce determină o alter· nanlă continuă intre perceptie şi găndire, o variatie a rationamentului in funqie de câmpul perceptiv reprezentat sugestiv În acea figură. x

x

x

x I

::

x

-

1 3. 3 . Cultivarea

creativităţii elevilor prin activitatea de rezolvare şi compunere de probleme

in ideea pregătirii elevilor pentru a inlâmpina cerintele unei lumi in perpetuă schimbare. este necesar ca aceştia să ralioneze clar şi sa comunice eficient. Deprinderile de baza şi inlelegerea aplicatiilor matematice au menirea sloi ajute pe cei in cauză la utilizarea cu­ nOştinlelor in situatii noi. Deprinderile corecte În rezolvarea problemelor vor deveni din ce in ce mai importante. Prin munca propriu-zisa În acest domeniu. elevii vor descoperi noi căi de gândire şi ralionare. ceea ce le va pUlea ridica nivelul malematic şi le va putea clădi increderea În sine. Deprinderile aritmelice se vor dezvolta in paralel cu alte deprin­ deri matematice esenliale. cum ar fi : rezolvarea problemelor, culegerea de date, stabilirea de date. unităli de măsură şi geometrie. Pe măsură ce ne concentrăm asupra necesitiiilor copiilor. matematica funqională devine un element importam. Elevii acordă numerelor un loc deosebit in microcosmosul lor şi prezintă un inleres deosebit penlru descoperirile fJcute cu privire la modele şi noi procedee. Aceşti elevi Îşi rafinează deprinderi le şi Îşi dezvoltă noi capacităti. Rolul profesorului devine crucial in asigurarea În sala de clasă a unui mediu care si Încurajeze asumarea riscului. discutarea ideilor matematice şi leslarea de solutii. Cu căt matematica este legată mai mult de cotidian. cu atât ll1ai mult elevii vor cOllştiellliza necesitatea matematicii in lumea lor. Mirela, Eugen şi Răzvan, trei copii din clasa 1, au rezolvat această problema : Andrei

avea patru baloalle. Cu ocal;a zile; de lIaştere, prieten;; i-au 1110; dat ÎI/că şapte bolOOlle. Câte baloalle are acum Alldre; ?

NOţiunea de problema. Rezolvarea problemelor I 273

Deşi cei trei copii au ajuns la concluzia ca Andrei are acum II baloane, fiecare dimre ei a rezolval problema in mod diferit, Mirela a folosil baloane pe care le�a număra!. A alcăluil un sel (je 4 baloane şi un set de 7 baloane, Le-a alatural şi le-a număral : 1 2 , 3, 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, 10, I I " , indicând fiecare balon În timp ce număra. Eugen şi�a folosit degetele şi a număral in cominuare de la unul din numerele date in problema. EI a spus "4 " , a acut o pauză şi a continuat ,,5, 6, 7 , 8 , 9, 10, I I " , Întinzând câte un degel la fiecare număr. Răzvan a folosit o adunare şi o relalie iOire numere, peOiru a da un răspuns. EI a jude� cal : ..4 şi cu 6 fac 10 şi cu I fac II ", Această Îmâmplare ilustrează anumite convingeri fundamentale privind modul in care copiii de clasa I işi edifică deprinderile şi gândirea matematică. Aceste convingeri se referă la natura cunoaşterii şi a tipologiei copiilor. Generalizările privind predarea matematicii la clasă izvorăsc din acesle convingeri. Obieclele concrele din preajma elevilor sunt maleria primă asupra căreia ei aqionează pentru a-şi construi propriile realităIi. Înlelegerea pe care o creează este un produs secun­ dar al aqiunii lor legale de obiecle concrete. La inceput. inlelegerea elevilor este legată de aqiunea lor asupra obieclelor ; iilielegerea lor in curs de formare pur şi simplu nu există În afara unor asemenea aqiuni. De exemplu, Mirela a folosit baloane (obiecte) pentru rezolvarea problemei date, Întrucât inlelegerea numerelor era legală de aqiunile ei asupra acestor obiecle concrete. Dacâ nu ar fi avut la îndemână baloane, numărlUoarea ar fi fosl imposibilă, Acesle legături ce leagă intelegerea de lumea fiziclli devin mai laxe pentru prima oară alUnci când elevii îşi construiesc imagini picturale mentale ale aqiunii lor asupra obieclelor. Imaginea este un exemplu pentru elevii a căror gândire a evoluat până în acest punct. EI a produs imagini mentale ale obiectelor numărabile şi le-a urmărit prin ridicarea a câle unui deget. Uherior elevii vor reflecta asupra imaginilor lor mentale. Relalia abstracta pe care o imruchipează aceste relele incetead sa se bazeze pe obiecte concrete sau picturi mentale. Ralionamentul lui Razvan dovedeşte o gândire care a evoluat până la acest nivel abstract. Cei mici invată malematica prin explorare, ghicilori. observalie, testare. Accentul trebuie pus pe gândire şi inlelegere conceptuală, şi nu exclusiv pe acuratelea calculului şi a vitezei. Rezolvarea problemelor de matematica reprezintă, in esellla, gasirea unor solu­ Iii asemănătoare problemelor reale pe care le putem intâlni in practică. AClivitalea de rezolvare a unei probleme se desflşoară prin parcurgerea mai multor etape, care solicită un efon intelectual complex. cuprinzând induqÎÎ şi deduqii logice, analogii. analize, generalizlliri. SlimuJarea creativitălii se realizeaza mai ales prin compunere de probleme. Modul delicat În care se imervine in rezolvarea de probleme simple compuse de elevi face să le sporeasca interesul peOlru crealia proprie. Activilatea de rezolvare şi compunere de probleme oferă modul cel mai eficiem din domeniul activitalilor malemalice pentru cullivarea şi educarea creativitalii şi a invelllivi� tălii. Diferenta dimre a invita " rezolvarea unei probleme " şi " a şti" (a fi capabil) sa rezolvi o problemă nouă repreziOll, in esenlă. crealivitale, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme studiate " oferă mai pUlin teren pemru creativitate decât rezolvarea unei probleme noi. "care, la rândul ei, este depllşitl de descompunerea unei probleme noi. Acest lucru nu presupune că in rezolvarea problemelor se lucreaza numai pe aspecte creative, renunlând total la cele reproductive. Opozilia dintre algoritm şi euris­ tic, diOlre deprindere şi abilitatea de ralionament eSle numai aparentl. Crealivilatea gân� dirii, mişcarea ei liberă nu se pol produce decâl pe baza unor deprinderi corect (onuate, stabilizate şi eficient transferate. ,,

,

274

I Didactica matematicii pentru învaţamântul primar

Baza dezvoilării gândirii matematice cu ajutorul compunerii de probleme de catre elevi se formează Îllcepând cu clasa 1, in timpul predării operatiilor pe cale orala. in aceasta perioadă de iniliere, elevii deprind compunerea de probleme pe bază imuitivă. Capacitatea compunerii independente de probleme constituie piatra de temelie a nivelului de dezvoltare a gandirii independente şi personaje. in actÎvitatea de compunere de probleme se va line cont de posibilitălile intelectuale ale elevilor prin sarcini gradate, trecând treptat de la compunerea liberă la cea îngrMită de anumite cerinte. din ce in ce mai restrictive. Începând cu clasa I şi in anii următori se pune accent pe compunerea şi rezolvarea problemelor, cerand elevilor s:1 creeze probleme sub următoarele forme. respectând o succesiune graduală : •

Probleme-actiulle sali CII pUllne Î" seend E:Cffflplll " in clasa lI(mstrd SUIlt /2 bdieti şi /4 leu. Câti elev; Sltllt Î/I clasă? Crearea de probleme dupll mblouri sali imagilli

Exemplu : Se prezintă elevilor o planşă cu un copac in care se află aplicate păsărele şi frunze. in funqie de numărul elementelor. elevii vor alcătui diverse probleme, folosind operalii de adunare şi scădere. Compllllni de probleme dllpll probleme rezolvale amerior Exemplu : după ce la clasă s-au rezolvat probleme de tipul : Un rinocer indian are greutatea de aproximativ 2000 kg. O morsă cântăreşte aproximativ 1500 kg. 7 fiinte de acest fel au fost transportate cu un camion care scârtâia sub cele 125 q pe care le ducea. Câte morse transporta camionul ? Dar rinoceri ? Elevii pot compune şi ei probleme de acest fel, cum ar fi : Nisetrul cantăreşte aproxi­ mativ 25 kg, iar păStruga aproximativ 9000 g. Pescarul a prins 11 peşti de acest fel. aducând 1 47 kg de peşte. Câte exemplare de fiecare fel a pescuit ? Crearea de probleme CII illdicarea opera/ii/or ce trebuie elecmale Exemplu : compuneti o problemă care s3 se rezolve prin : doua inmultiri şi o adunare ; o adunare şi o inmullire. CompUI/eri (le probleme dllpll tltl plall stabilit Exemplu : elevilor li se pune la dispozitie planul de rezolvare al unei probleme. Sarcina dată elevilor este de a reconstitui enuntul problemei pe baza planului. CompuI/ni de probleme mai mltlte ÎlltreWri posibile Exemplu : un tren de persoane se compune din 8 vagoane, EI poate lranspoMa 1 424 călători aşezati şi 2640 de calălori in lOial. a) Căle locuri are un vagon ? b) Câti călători încap intr-un vagon? Compuneri de probleme Cit Început dai Exemplu : la grădina zoologică din Bucureşti sunt 6840 iepuri, de 6 ori mai putini urşi. iar lupi câti iepuri şi urşi la un loc. Puneli intrebarea şi rezolvali problema. Compuneri de probleme CII Îmrebare probabilisliclJ Exemplu : Într-o cutie SUIU 4 bile albe, 8 bile roşii şi 9 bile albastre. Care este numa­ rul minim de bile ce trebuie scoase. fJră a vedea culoarea lor. astfel incât să fim siguri că am scos cel putin 5 bile de aceeaşi culoare? Compuneri de probleme cu sprijin de limbaj Exemplu : completalÎ enunlurile următoare cu numerele alese de voi. Respectati ordi­ nele de marime. •

•

•

•

•

(Il

No�iunea de problema. Rezolvarea problemelor ! 2 7 5

Bunicul are... :mL iar bunica .. ani. Ei s-au căsătorit acum ... ani. Ce vârsl! avea fiecare din ei când s-au căsătorit "! Sau ; Într-o parcare de ... locuri SUOl maşini. Câte locuri libere mai sunt in parcare? CompuI/ni de probleme eu mărimi/valori ml/neria date Exemplu : in problema următoare lipsesc cuvinte. Completali I.:U cuvinte potrivite şi rezolvali : Cu 120.000 Id. eu ... o ... de 45.000 lei şi 6 ... Care este prejul unei .... ? Complllleri dt? problt'mt' dllpă lltl exerd/ill simplII compus Exemplu : alcătuiji o problemă după exerciliul : (1849m : 10) x4:;; ?m CompuI/eri de probleme dupd IItI model simbolic Exemplu : Compuneli o problemă după desenul : •.•

•

SOli

sau : Anali valorile a, b, c folosind metoda figurativă. daca au loc simultan relaliile : a b=c a -+b "" b b + c 16 Compulleri apoi o problen/(} urilizâ"d dest'tt/ll fdc",. ""

a) acelaşi conlÎnul şi date noi ; Exemplu : Rescrie o nouă variantă a problemei, schimbând pâf1i1e subliniate : Domnul Ionescu face in fiecare zi căte 28 km pentru a merge şi a se Îmoarce de la serviciu. EI lucrează 5 zile pe săptămână. Calculati ce distantă parcurge intr-o săptămână. b) cOlljinut schimbat cu menjinerea datelor Exemplu : Schimbă conlinutul problemei anterioare. păstrând datele subliniate din problemă. c) cOlllinut şi date schimbate (creare liberă de probleme) Exemplu : Scrieli toale enunlurile de probleme pe care le puteli compune cu ajutorul celor 6 fraze de mai jos : "lIr-o şcoală sunt Înscrişi 250 de elevi. 120 SUnt fete. Căii elevi sunt? Într-o şcoal! sunt 97 de băielÎ şi 115 fele. Câte fele sunt"! intr-o şcoală sunt 190 de elevi. 97 SUIII băieli. Căii Mieii SUIII? Compunerea problemelor este una dintre modalităliJe principale de a dezvolta gândirea independenta şi originala a copiilor, de cultivare şi educare a creativitalii gândirii lor. Însuşirea şi aprofundarea metodelor aritmetice de rezolvare şi compunere a probleme­ lor În ciclul primar facilitează introducerea unor nOliuni teoretice mai complexe in clasele superioare. Compuner; de probleme CII modificoreo COIl/ÎIIIIIIII/I; problemei. CII trei variabile :

276 I

Didactica matematicii pentru invaţamântvl primar

Temi!

1

.

Enumeraţi valenţele formative ale activitaţilor de rezolvare şi compunere a problemelor de matematica.

2.

Descrieţi etapele rezolvarii unei probleme de matematica.

3.

Explica� În ce consta metoda analitica de rezolvare a unei probleme. Exemplificaţi intocmind şi o schema .

4.

5.

Compuneţi câte o problema din fiecare tip prezentat in teorie. Prezentaţi un demers didactic complet vizând rezolvarea urmatoarei probleme: Câtul 8 doull numere naturale este 6, iar restul 1 3. Care sunt numerele dacă diferenţa lor este 463?

6.

Definiţi metoda sintetica de rezolvare a unei probleme de matematica. Prezenta� avantajele şi dezavantajele care apar in folosirea acestei metode.

7.

Compuneţi doua probleme simple. una de inmulţire şi alta de imparţire.

8.

Alegeţi una dintre etapele rezolvarii unei probleme compuse şi precizaţi

9.

activitaţile care se desfaşoara În aceasta etapa. Prezentaţi un demers didactic complet vizând rezolvarea urmatoarei probleme: Dacll pe fiecare banca dinfr..un parc se aşaza câte

5

5 persoane,

atunci

şi câte persoane

10 persoane nu au loc, dar dacll se aşaZb câte 6 persoane pe fiecare banca. atunci raman in parc?

banci libere. Câte Mnci

sunt

1 0. Consideraţi ca însuşirea algoritmilor de rezolvare a problemelor tipice conduce la şabloane, la ret.ete În detrimentul gândirii, sau o ajuta. o elibereaza. Motivaţi.

îi da frâu liber?

Bibliografie Beraru,

a ..

Neagu. M .

( 1 997), AetillÎI6lÎ nJfIIl'mot;,l' in grl/dinil6. Editura Polirom. Iaşi. ( 1 995). Les enjeuxdidoetiqlludaru I 'elluisnemem dn mmMmotiqtll's,

STiand. J .• Chevalier M . - C . Halitr, Paris. Brun, J . , Conne.

F. ( 1 990).

MAnalyses didacliques de prolocoles d'observation du deroulemeot de

12(3), pp. 261 -286. ( 1 996), Melodica (lC'tMU'I,ilor matematÎCe in grMinirtf �i clasa 1, Editura

SÎlu8IÎons", EdlliOlion el Recl/ache,

Bulboacl, M . , Alecu, M .

( 1 998), Cuarea daselor oriefl/olt dllpll Ifl'(l'sittltile copil"/,,; de 8. 9. 10 ani.

Sigma. Bucureşti. Burke Walsh. K .

L (coord . ) ( 1 983), Perfectionarea /ee/iei il! Icoo{olIIodemtl, Editura Didactici şi Pedagogid.

CEOP, Bucureşti. Cerghil,

Bucureşti. Cerghit, Cerghil, Cerghil,

1. ( 1 983), M Tipuri de strategi i " , Rf'I'is((1 de Pedogogie, nr. 9. Bucureşti.

1 . (2006), M�/od� de Învdrdmiillf, Editura Polirom, laşi. 1., Ncacşu, 1.. Negre,·Dobridor. 1 . . Pânişoarl. 1.0, (2001 ). Prelegeri I"dagogice, Editura

Polirom. Iaşi.

La Pensie Sauvage. Grenoble. Cucoş. C , ( 1 996), Pedagogie. EdilUra Polironl, laşi. Chevallard. Y.

Culta. L.

( 1991 ) , LA Iranspositi(m did(Jc/iqu�. Du savoir saWlnt au S(fI'()ir enseignt, cd . a [I·a,

(2008). Aplicorea noului curriculum p�tltru educatie tin/purie

Diana SRL, Piteşti.

1.

Dienes, Z . r. , Golding, W.E. voI.

- °

provocare ? , Editura

( 1 910), Les premius pas en 1//00lIbnOlique. Logique et jeux logiques,

OCOL, Paris.

( 1 984), ft Didactique des mathematiquesft, Enâclopedio Unjv�rsalis. Fuson, K . C . ( 1 988). a,ildr�n's Counting ond Concepls 01 Number, Springer, New York . Gagne. R. ( 1 975), COllditiile invllltlrii, Editura Didactica şi Pedagogid. Bucureşti.

Douady. R .

Gelman, R . , Gallistcl, C .

( 1 978), Tlle Cllifd's Unders/andillg 01 Number, Harvard Universit)' Press,

Cambridge. MA. Gliga, L., Spiro, J . (coord.)

(2001 ), invdlar�a ac/ivtl. Ghid pentru 10rmOlori li (adu dida("fice.

MEC, Bucureşti. Inhelder, B., Sinelair, H . , Bovct. M.

( 1 974), ApprellfiJ$age et stru(/ures de la rOllnaiJ$ance. PUF,

( 1 994). Didactica aplicOlII. Partea /. invlI/limiillful prill/ar, Editura ftGheorghe Alexandruft,

Paris. Joila, E.

Craiova.

Jonnaeo. P.. Laurin, S . (eds.)

(2001 ) , Les didacliqlles des discipfines, un debal conumporait/,

Presses de I'Un iversite du Quebec. Monlrea!.

(2000) , M�/odi((l predllrii ma/ematieii, manual pentru clasa a XI·a, licee pedagogice, Editura Paralela 45, Piteşti. MEC. CNC (2000 ) , Ghid "'�todologi( pentru aplicarea progrnmelor de ma/tnlQficll (primar.gim. Lupu, C., Savulescu, D.

/laziu). Editura Aramis Print, Bucure$ti.

Mialaret. G . Neacşu.

J.

( 1 981 ). J/ltrodu(er�a În pedagogie, Editura Didactica şi Pedagogica, Bucure$ti. ( 1 988), Me/odica predtfrii mQfen/oticii la clasele r·/v, manual pentru licee

(coord . )

pedagogice, clasele XI·XII. Editura Didactica şi Pedagogid, Bucureşti.

278 I

Bibliografie

Neagu, M., Mocanu, M .

(2007), Metodica predl1rii IIU1tmra/icii În ci({111 primar, Editura Polirom.

laşi. Neagu, M . , Streinu·Cercel, G., Eriksen, E . I . , Nedilll, N .

E,

a aCtivitl1filar mO/tmO/ict, Editura Nedion, Bucureşti.

J şi 7 ani,

Neveanu-Popescu, P., Andreescu, capiilor intre

Peuov ici. C . (coord.)

Dejat, M.

(2006), M�todica predl1rii lIIottllloticii �I

( 1 990), SlIIdii psillo�dagogice privitld de:volfaTtO

Editura Didactid şi Pedagogid, Bucureşti.

(2006), Trofnreo diferenliatd o elnilordill Învt'l/dmanful pri/llnr la mmell/micd.

Editura PIM, laşi . Petrovid, C' . , Neagu, M.

Petrovici. C .. Neagu. M.

( 1 997), Aritmetica, el. I-IV, 4 \"01 . . Editura Polirom. Iaşi. (2002. 2006), Eltmente dt didactica nrotcnroticii in gradini/d # i''''d/d.

mantul primar, Editura PIM, laşi.

( 1 965), Psihologia inteligentei, Editura Ştiin�ifid. Bucureşti. ( 1 976), Construirea realului la copil. Editura Didactica şi Pedagogica. Bucureşti. B. ( 1 970), Psihologia copilului. Editura Didactica şi Pedagogica. Bucureşti. Poirier. l. (2000), EI/seigner les nraths aII primoire. Notes didacfiques. Editions du Renouveau

Piaget, J . Piaget, J.

Piaget, J . . lnhelder,

Ptdagogique, Saint·Laurent.

Polya, G .

( 1 965), Cum rezolvdm o probltmd ? , Editura Ştiinlifid, Bucureşti. ( 1 995), Didactiqut dts nrollibl/miques tI/orll/mio1l dts t'lSeignlltlls : Le cas des errtlm

Ponugais, J.

dt ((Ilrul, Peler Lang, Geneva.

Preda, V. ( 1 987), �Stiluri cognitive şi Strategii in rezolvarea problernelor�, Revista de Pedagogie. nr. 2 , Bucureşti. PuIlUC, M . , Neagu. M,. Peuovid. C .

(2000), Evailiarea iti Învl1ldlllâmul primar. Editura Sedcom

Ubris, laşi.

Radu. I . T. ( 1 998), �Evaluarea randamemului şcolar � . in Curs de pedagogie, U n i versitatea BucureSti.

(2000) , Les mmlltmatiques tI I 'icole primaire, voI. 1. De 8o«:k, Bruxelles. ( 1 983), Creativitatea elnilor, Editura Didactica şi Pedagogica, Bucureşti. ( 1 995), Pedagogie jcolorl1, Editura Gheorghe CâT\u·Alexandru, Craiova. Şchiopu, U . ( l 967), Psihologia copilului, Edilura Didactica şi Pedagogica, Bucureşli . Şchiopu, U . , Verza, E. ( 1 98 1 ) , Psihologia vl1'Sltlor, Editura Didactica şi Pedagogica, Bucureşli . Todoran, D. (coord) ( 1 982). Probleme/Undamemale ale pedagogiei, Editura Didactica şi �agogica, Roegiers, X .

Stoica, A .

Stoica, M .

Bucureşti. Vergnaud, G .

( 1 987), �Les fonctions de I'action et de la symbolisation dans la fonnation des con­

naissances chez I'enfant", in J . Piaget. Ps}'cllologie. Gallimard. Paris.

Zlate, M., Verza. E . • Golu. P.

( l 99J). Psihologia COpillilui, manual penuu clasa a XI-a, Editura

Didactid şi �agogid. Bucur('1ti.

Resurse online h t t p I/ca"ables.nelliogiciels/. http I/espacefr.com/. hllP lIespacefr·education.com/ . http /lgsolaar.sourcdorge.net/. htlp IIpragmalice,netlkilecoleliogicieis kit p w9.htm. - - http llrea.ccdmd.qc.ca/ri/nelquizpro/. http Ilweb.uvic.ca/hrd/hotpot/. hliP Ilwww.algo.beliogo l/installer.MSWlogo.html. hnp Ilwww.angeifire.com/pa/mswlogoinfo/. hnp IIwww.dark-skull.fr.st/. hnp Ilwww.espaceenfants.fr.st/. http Ilwww.soflroni1l:.comllogo.hlml.

COLLEGIUM MelodicA

au apărul : Liliana S'all (coord.), Doina-Eugenia Sieva, Valerian Dragu. Doru Valentin Vlasov Elen/elite de didactica geografiei Cristian Masalagiu Didac/iea preddrii il/fofmaticii Adrian AdAscălitei Instruire asistatd de calclilmor, Didaclic(J il/formmicd Mihaela Neagu. Mioara Mocanu Melodica predării 1II00tmOiicii ÎII ciclul primar Oana lucu Didactica fliil/lelor juridia li administrative Adriana Vizenlal Melodica predtJrii limbii etlglfl.e. Slftllegies of Teachillg 01111 Teslilfg ElIglish as a Foreign Lal/guagt> (editia a lII·a) Emanuela Ilie Didac,;co lileramrii româ/le. FUlldamtl/ft teornico·aplicmive Constantin Petrovici Didactica aCliviUf(ilor matematice din grMilli{ă Cooslamin Petrovid Didactica matematicii pe",," il/vd(dmlÎmul primar -

-

-

-

-

-

-

-

www.poIil.OlII. ro

RtdaeIOt : Ines Simionucu Coperla : Radu RJÎ'�nu �hnoredaCIOt : GabrÎe'aGhepu 8ull de lip.ar : apri'ie 20'4. Aparul : WI4

Edill.wa l'oIilOfll. 8-dul Carol I Ilf. 4 • P.O. BOX 266

700S06 . 'R$i. Tel. &. Fa� : (0232) 21 .41 .00 ; (0232) 21 .41 . 11 ;

sC.

(0232) 21 .74.40 tdiful:iiI l1: ) : E·mail : offi.e1ollpolir0I11.ro Buc:ul1:tli. Splliul Unirii nr. 6. bl. 8lA.

I . el. l .

setlor 4. 040031. 0.P. !i3 ° C.P. l !i·728

Tel : (021) 113.89.78 ; E·mail : officf.buclll1:[email protected] Tiparul CJI«Ulai la S.C. Tipo-LiISa... S . R . L . . CaluUnirii. nr. 3 S . Suc:uva

Ttl . 02JOI!i I 7 . S I 8 ; fu: 03)01401.062

E-mail: [email protected]: _w.lipolidlllUl .ro