Cours Licence 2021 [PDF]

Zitiervorschau

Finance de march´e Finance appliqu´ee

Professeur Firano Zakaria

2021-2022

Plan

1

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

5

Mod`ele de Markowitz

7

Mod`ele de march´e

8

Le Mod`ele d’´evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

9

Initiation `a la gestion obligataire

10

Prix et efficience des march´es

Introduction g´en´erale

2

4

6

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante Introduction `a la gestion de portefeuilles

Introduction g´ en´ erale

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale Pr´esentation Objectifs M´ethodologie R´ef´erences (1) R´ef´erences (2)

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

Introduction g´ en´ erale Pr´ esentation

Finance de march´e Ce cours est une initiation `a la finance de march´e. Il pr´esente les ´el´ements de base pour un financier qui s’int´eresse `a l’investissement dans les march´es des capitaux. Les techniques pr´esent´ees dans ce cours vont permettre de consolider les connaissances des ´etudiants en mati`ere de gestion des portefeuilles.

Introduction g´ en´ erale Objectifs

Pr´esentation

Finance de march´e Ce cours vise `a atteindre les objectifs suivants : Comprendre la finance de march´e et la situ´ee par rapport `a la finance et la gestion financi`ere Maitriser la notion de rentabilit´e et les calculs sous-jacents

Introduction g´ en´ erale Objectifs

Pr´esentation

Finance de march´e D´evelopper les connaissances de base en mati`ere de gestion de portefeuilles risqu´es Pr´esenter la notion de portefeuille optimal et de courbe d’efficience Initier le lecteur aux mod`eles financiers de base notamment le mod`ele de march´e et le mod`ele CAPM Introduire quelques principes de l’´econom´etrie financi`ere.

Introduction g´ en´ erale M´ ethodologie

Pr´esentation

Finance de march´e Le cours se pr´esente sous forme de : Cours magistraux : pr´esentent les notions et les explications n´ecessaires pour la compr´ehension et l’assimilation de l’ensemble des ´el´ements du cours Travaux pratiques : mise en application des connaissances.

Introduction g´ en´ erale R´ ef´ erences (1)

Pr´esentation Finance de march´e Robert GOFFIN : ”Principes de finance moderne” - Economica - Gestion - 6e ´edition - 2012. Jonathan BERK et Peter DeMARZO : ”Finance d’entreprise”, Pearson Education 3e ´edition 2014 Bertrand JACQUILLAT, Bruno SOLNIK et Christophe PERIGNON : ”March´es financiers : Gestion de portefeuille et des risques” - Dunod - 5e ´edition – 2014 Jacques HAMON - Bourse et Gestion de portefeuille”, Economica, 2e ´edition, 2005 ELTON et GRUBER Modern portfolio : theory and investment analysis, Wiley, 9e ´edition, 2014 Richard BREALEY, Stewart MYERS et Franklin ALLEN, ”Principles of Corporate Finance”, McGraw-Hill - 11`e ´edition - 2013

Introduction g´ en´ erale R´ ef´ erences (2)

Pr´esentation

Finance de march´e BROQUET, Robert COBBAUT, Roland GILLET et Andr´e VAN DEN BERG, : ”Gestion de portefeuille” De Boeck - 4 e ´edition - 2004. ”GESTION DE PORTEFEUILLE Actions, obligations, options” Claude Broquet et ´ - ENTREPRISE - 1990 Andr´e van den Berg DE BOECK UNIVERSITE ´ FINANCIERS Gestion de portefeuille et des risques” Bertrand ”MARCHES Jacquillat et Bruno Solnik DUNOD - 1990 - 2e ´edition ´ ET MARCHES ´ FINANCIERS” Robert Kast ECONOMICA ”RATIONALITE Collection Gestion - 1991 S´erie : Politique G´en´erale, Finance et Marketing ”TITRES et BOURSE” Tome 1 et Tome 2 Joseph Antoine, Claude Broquet, ´ - ENTREPRISE - 1988 Marie-Claire Capiau-Huart DE BOECK UNIVERSITE

C’est quoi la finance ?

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ? March´e financiers et th´eorie des march´es financiers Management financier Management des Risques : Gestion de portefeuilles

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

C’est quoi la finance ?

Finance

Finance de march´e La finance est l’application des principes ´economiques `a la prise de d´ecision qui a↵ecte la monnaie ou ⌧ l’argent au sens large dans des conditions de l’incertitude. La finance fournit le cadre pour prendre des d´ecisions quant `a la fa¸con d’obtenir les fonds et leur utilisation dans le temps. La finance a pour base le champ disciplinaire des sciences ´economiques et, pour cette raison, la finance est souvent d´esign´ee sous le nom d’´economie financi`ere.

C’est quoi la finance ?

Finance

Finance de march´e La finance est : 1

2

analytique, utilise la statistique, la probabilit´e, et les math´ematiques pour r´esoudre des probl`emes complexes ; bas´ee sur des principes ´economiques.

3

emploie des informations comptables comme input `a la prise de d´ecision.

4

global dans sa perspective.

5

l’´etude de la mani`ere selon laquelle on r´eunit l’argent et on l’investi productivement.

C’est quoi la finance ?

Finance

Finance de march´e Les outils utilis´es dans la prise de d´ecision financi`ere sont issus des disciplines hors les sciences ´economiques ; notamment : La comptabilit´e financi`ere, Les math´ematiques, La th´eorie des probabilit´es, La statistique, et parfois la psychologie.

C’est quoi la finance ?

Finance

Finance de march´e La finance est compos´ ee de trois grandes disciplines : 1

march´es financiers et th´eorie de march´e financier,

2

management (gestion) financier,

3

et gestion de portefeuille,

C’est quoi la finance ? March´ e financiers et th´ eorie des march´ es financiers

Finance

Finance de march´e La composante des march´es financiers et de la th´eorie du march´e financier se concentre sur : l’´etude du syst`eme financier, la structure des taux d’int´erˆet (la courbe des taux), et l’´evaluation des actifs risqu´es.

C’est quoi la finance ? March´ e financiers et th´ eorie des march´ es financiers

Finance

Finance de march´e Le syst`eme financier d’une ´economie se compose de trois ´el´ements : march´es financiers ; interm´ediaires financiers ; et r´egulateurs financiers.

C’est quoi la finance ? March´ e financiers et th´ eorie des march´ es financiers

Finance

Finance de march´e Plusieurs mati`eres importantes sont comprises dans cette discipline de la finance `a savoir : l’efficience des march´es financiers, le rˆ ole et le comportement des investisseurs, la meilleure mani`ere de concevoir et r´eglementer les march´es financiers, la mesure du risque, et la th´eorie d’´evaluation d’actifs.

C’est quoi la finance ? Management financier

Finance

Finance de march´e Le management financier, appel´e finance d’entreprise, est le domaine de sp´ecialit´e en finance s’int´eressant `a la prise de d´ecision financi`ere dans une entreprise. La finance d’entreprise r´epond `a plusierus probl`ematiques : Politique d’investissement Politique de financement Politique de dividende

C’est quoi la finance ? Management des Risques : Gestion de portefeuilles

Finance

Finance de march´e Une autre branche critique dans la finance est la gestion des risques. Le processus de la gestion des risques implique de d´eterminer quels risques est `a accepter, `a neutraliser, et qui peut ˆetre transf´erer. Les quatre processus principaux dans la gestion des risques sont risque : Identification ´ Evaluation R´eduction Transfert o` u migration

C’est quoi la finance ? Management des Risques : Gestion de portefeuilles

Finance

Finance de march´e Le proc´ed´e classique de la gestion des risques du portefeuille s’int´eresse aux actifs et n´egligent l’impact de cette gestion sur la valeur des entreprises. Aujourd’hui, une certaine forme de gestion des risques d’entreprise est suivie par de grandes soci´et´es, soit une gestion des risques appliqu´ee `a l’entreprise dans son ensemble. La gestion des risques d’entreprise permet au management d’aligner l’app´etit et les strat´egies de risque `a travers l’entreprise, d’am´eliorer la qualit´e des d´ecisions en r´eponse au risque, d’identifier les risques et de g´erer les risques au travers l’entit´e.

La notion de rentabilit´ e

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e La valeur et le temps Calcul de rentabilit´e Rentabilit´e en temps continue

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Consid´erons une quantit´e ⌧ V investie pendant des ann´ees ⌧ n d’int´erˆet simple de ⌧ R par an. Alors la valeur finale est de : VF = V.(1 + R)n

`a un taux

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Si le taux d’int´erˆet est pay´e par des fractions ⌧ m valeur finale est d´ecrite par la relation suivante : ✓

R VF = V. 1 + m

◆nm

durant l’ann´ee alors la

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e On peut r´e´ecrire cette formule selon une forme continue en consid´erant que la fr´equence infinit´esimale de ⌧ m tant vers l’infini. A cet e↵et, on peut noter que : R nm VF = lim V.(1 + ) = V. expRn m!• m O` u exp(.) est la fonction exponentielle et exp(1) = 2.71828.

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Si le taux annuel simple est 10% et la valeur actuelle est de 1000, les di↵´erentes valeurs de m sont indiqu´ees dans table ci-dessous. Annuellement (m = 1))1100 Trimestriel (m = 4))1103.8

Hebdomadaire (m = 52))1105.1 Quotidien (m = 365))1105.515

Sans interruption (m = •))1105.517

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Nous consid´erons maintenant la relation entre les taux d’int´ erˆ et simple, les taux p´ eriodiques, les taux annuels et les taux compos´ es. Supposons un investissement de 1000 qui paye un taux d’int´erˆet p´eriodique ` la fin de trimestriel de 2%. Ceci permet d’avoir un taux annuel de 8%. A l’ann´ee, on obtient : 1000(1 + 0.08/4)4 = 1082.40

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Alors le taux e↵ectif peut ˆetre d´eduit selon la relation suivante : 1000(1 + RE ) = 1082.40 Ceci nous donne RE = 8.24%. Le taux annuel e↵ectif est plus grand que le taux annuel simple en raison du paiement d’int´erˆet sur l’int´erˆet.

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Le rapport g´en´eral entre le taux annuel simple R avec des paiements m par an et le taux e↵ectif est :

(1 + RE) = (1 + R/m)m

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Supposer que nous souhaitons calculer une valeur pour un taux continu, Rc , en connaissant le taux annuel simple R. Le rapport entre de tels taux est donn´e par : e Rc = (1 + R/m)m

La notion de rentabilit´ e La valeur et le temps

Finance

Finance de march´e Supposant qu’un investissement de 100 paye un taux d’int´erˆet p´eriodique de 5% semestriellement. Calculer le taux e↵ectif annuel et le taux continu. D’apr` es les calculs : RE est de 10,25% Rc est de 9,758

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Consid´erant Pt le prix des actifs qui ne payent pas de dividendes et Pt-1 le prix `a l’instant pr´ec´edente (jours, moins, trimestres, etc.). Le taux de rentabilit´e simple est d´ecrit `a travers la relation suivante : Rt =

( Pt

P(t P(t

1)

1)

)

= %DPt

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Consid´erant un investissement d’un mois en action IAM. Vous supposez acheter l’action en T-1 au prix 85 MAD et vous allez vendre l’action le mois prochain pour un prix de 90. On suppose que l’action ne paye pas de dividendes. Calculer le taux de rendement simple : R est de 5.88%.

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e La rentabilit´e de deux p´eriodes sur un investissement dans des actifs est d´efinie comme suite : R t (2) =

( Pt

P(t P(t

2)

2)

)

=

Pt P(t

2)

1

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Alors le rendement brut de deux mois simple devient 1 + Rt(2) = (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) = 1 + R (t

1)

+ R t + R (t

1)

Rt

Ce qui est une somme (multiplicative) g´eom´etrique des deux rendements et pas du tout une somme simple des deux p´eriodes.

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Cependant si le taux R(t 1) est assez faible et le produit des taux est proche de 0, alors on peut ´ecrire que : R t (2) ⇡ R ( t

1)

+ Rt

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e G´en´eralement, le rendement brut de k-p´eriodes est d´efini comme moyenne g´ eom´ etrique de k rendements d’une p´eriode : 1 + Rt(k) = (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) . . . . . . (1 + R (t

k 1

k +1)

)=

’ (1 + R (t i =1

j)

)

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Sur la base de l’exemple pr´ec´edent, supposant que le prix de l’action IAM en t- 2 est de 80 MAD et aucun dividende n’est pay´e entre le t- 2 et t. Le rendement de deux mois serait de combien ? Rt(2) est de :12.5%

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance Finance de march´e G´en´eralement, les rentabilit´es sont calcul´ees sur des fr´equences annuelles pour faciliter des comparaisons avec d’autres placements. Le processus d’annualisation d´epend de la p´eriode de possession de l’investissement et d’une pr´etention implicite au sujet de la distribution des dividendes. Pour commencer, si notre horizon d’investissement est d’un an, puis les rentabilit´es annuelles sont, tenant compte de celle mensuelle :

1 + R A = (1 + Rt(12) ) =

Pt P(t

12)

= (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) . . . . . . (1 + R (t

11)

)

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Alors : RA =

Pt P(t

12)

1 = (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) . . . . . . (1 + R (t

11)

)

1

Apr`es, consid´erant un investissement d’un mois dans des actifs avec la rentabilit´e Rt. Quelle est la rentabilit´e annualis´ee sur cet investissement ? Si nous supposons que nous recevons la mˆeme rentabilit´e R = Rt tous les mois pendant l’ann´ee alors : 1 + R A = 1 + Rt(12) = (1 + R)12

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Noter que la rentabilit´e annuelle est d´efinie comme : R A = (1 + R)12

1

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance Finance de march´e Si la rentabilit´e de l’action IAM est de 5.88% par mois. Si nous supposons que nous pouvons obtenir cette rentabilit´e pendant 12 mois alors calculer le taux annuel.

RA

= (1.0588)12 1 = 1.9850 1 = 0.9850 ) Absence opportunite´ arbitrage

Maintenant, consid´erer un investissement de deux mois avec la rentabilit´e Rt(2) . Si nous supposons que nous recevons la mˆeme rentabilit´e de deux mois pour les 6 p´eriodes de deux mois suivantes, alors calculer le taux annuel : RA = (1 + R(2))6

1

La notion de rentabilit´ e Calcul de rentabilit´ e

Finance

Finance de march´e Si les actifs payent un dividende, Dt, entre le t- 1 et t, le calcul de la rentabilit´e est de la sorte :

( Pt + Dt Rt = P(t

P(t 1)

1)

)

=

( Pt

P(t P(t

1)

1)

)

Dt + P(t 1)

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance

Finance de march´e Si on note le developpement de Taylor-Young au voisinage de 0 : f 00 (0) x2 xn n f ( x ) = f (0) + f (0) x + + ..... + f (0) + xn #( x ) 2! n! Alors si on applique cette formuler sur la fonction ln(1 + x ) : ✓ n◆ 2 3 x x x n 1 ln(1 + x ) = 0 + x + + ..... + ( 1) + ... 2 3 n 0

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance Finance de march´e La rentabilit´e continue est d´efinit par : R = ln(1 + R) = ln(

Pt P(t

) 1)

O` u ln (.) est la fonction logarithmique. Pour d´emontrer cette relation on peut utiliser la fonction exponentielle :

ert = 1 + R = ln Pt = P(t

1)



Pt P(t

ert

1)

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance

Finance de march´e Ainsi on peut ´ecrire que :  Pt rt = ln P(t 1)

= ln [ Pt ]

ln [ P(t

1)

] = pt

p (t

1)

Par cons´equent, la rentabilit´e continue peut ˆetre calcul´ee simplement en prenant la premi`ere di↵´erence des prix logarithmique.

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance

Finance de march´e Les rentabilit´es continues sont similaires aux rentabilit´es simples tant que ces rentabilit´es sont relativement petites, et ceci est g´en´eralement correct pour les rentabilit´es journali`eres et mensuelles. Dans le contexte de mod´elisation, il est courant d’utiliser des rentabilit´es continues en raison de leur propri´et´e additive et leur lissage dans le temps.

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance Finance de march´e Le calcul des rentabilit´es continues multi p´eriodes est aussi facile que pour les rentabilit´es simples multi p´eriodes. Pour illustrer, on consid`ere que : rt(2) = ln (1 + R(2) ) = ln Pt = P(t

 2)

Pt P(t

2)

= pt

p (t

2)

ert(2)

De cette relation on peut d´eduire que : ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ Pt Pt 1 Pt Pt rt(2) = ln ⇤ = ln + ln P(t 1) P(t 2) P(t 1) P(t

1 2)

◆

= r t + r (t

1)

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance

Finance de march´e Par cons´equent la rentabilit´e continue entre deux p´eriodes est la somme des deux rentabilit´es continues. En g´en´eralisant ceci pour les k p´eriodes, alors la rentabilit´e continue s’´ecrit sous la forme suivante : ( k 1)

r t(k) =

Â

r (t

j)

( j =0)

L’additivit´e des rentabilit´es continues est une propri´et´e importante pour la mod´elisation financi`ere.

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance

Finance de march´e Nous pouvons annualiser des rentabilit´es continues selon la mˆeme approche que cette des rentabilit´es discr`etes. Pour commencer, si notre horizon d’investissement est d’un an, alors la rentabilit´e continue est la somme des rentabilit´es continues mensuelles, trimestrielles ou autres. r A = rt(12) = rt + r(t

1)

+ · · · + r (t

11

11)

=

 r (t

( j =0)

j)

La notion de rentabilit´ e Rentabilit´ e en temps continue

Finance

Finance de march´e La moyenne des rendements est d´ecrite selon la relation suivante :

rm rm

=

1 11 r (t  12 ( j=0)

=

1 N

j)

N 1

 r (t

( j =0)

j)

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante Repr´esentation du mod`ele de rentabilit´es Interpr´etation du mod`ele CER Le mod`ele CER et la marche al´eatoire

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante

Finance

Finance de march´e On consid`ere R la rentabilit´e continue d’un actif (i) au temps les hypoth`eses suivantes :

⌧

t . En acceptant

N(µi , s2 ) pour i = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T.

1

Normalit´e des rentabilit´es : R

2

Les variances et covariances constantes : cov (Ril, Rjt) = sij pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T.

3

Aucune corr´elation p´eriodique des actifs avec le temps :cov (Ril,Rjs)=0 ,pour t = s et i, j = 1,. . . , N.

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante

Finance

Finance de march´e L’hypoth`ese 1 indique que les actifs sont IID (ind´ependamment et identiquement distribu´es) impliquant que la moyenne et la variance sont constantes dans le temps. La seconde hypoth`ese indique que les covariances contemporaines entre les actifs sont constantes dans le temps. Ces hypoth`eses indiquent que toutes les rentabilit´es, `a un moment donn´e, sont conjointement normalement distribu´ees.

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Repr´ esentation du mod` ele de rentabilit´ es

Finance

Finance de march´e Notons les actifs i = 1,. . . , N et les p´eriodes de temps t = 1,. . . , T, le mod`ele de rentabilit´e constante pr´evue (CER) se pr´esente sous la forme suivante :

Ri = µi + # i #i

i.i.d.

N (0, s2 )

cov(# i , # j ) = sij O` u µi est une constante et nous assumons que # est non corr´el´e dans le temps.

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Repr´ esentation du mod` ele de rentabilit´ es

Finance

Finance de march´e Le # est une variable al´eatoire centr´ee autour de 0. En utilisant les propri´et´es de base de l’esp´erance, de la variance et de la covariance nous pouvons d´eriver les propri´et´es suivantes :

= E [ µi + # i ] = µi + E [ # i ] = µi , V ( Ri ) = V (µi + # i ) = V (# i ) E[ Ri ]

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Repr´ esentation du mod` ele de rentabilit´ es

Finance

Finance de march´e En consid´erant que la variance d’une constante (µ) est z´ero. cov( Ri, Rj) = cov(µi + # i , µ j + # j ) = cov(#i, #j) = sij ´ Etant donn´e que les covariances et les variances des rentabilit´es sont constantes dans le temps implique que les corr´elations entre les rentabilit´es dans le temps sont ´egalement constantes.

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Interpr´ etation du mod` ele CER

Finance

Finance de march´e Le mod`ele de CER a une forme tr`es simple dans la litt´erature statistique. Autrement dit, le mod`ele d´eclare que chaque rentabilit´e d’actif est ´egale `a une constante (la rentabilit´e pr´evue) plus un # normalement distribu´e. Le # peut ˆetre interpr´et´e comme ´etant une repr´esentation des nouvelles inattendues au sujet de la valeur des actifs. Pour v´erifier cette id´ee on note que : # i = Ri

µi = Ri

E [ Ri ]

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Interpr´ etation du mod` ele CER

Finance

Finance de march´e C’est la d´eviation de la rentabilit´e par rapport `a sa valeur pr´evue. Si les nouvelles sont bonnes, alors la valeur r´ealis´ee du # est positive et la rentabilit´e observ´ee est au-dessus de son esp´erance µ. Si les nouvelles sont mauvaises, # est n´egatif et la rentabilit´e observ´ee est moins que celle pr´evue. L’hypoth`ese que E[# i ]=0 signifie que les nouvelles, en moyenne, sont neutres ; ni bonnes ni mauvaises.

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Interpr´ etation du mod` ele CER

Finance

Finance de march´e Le mod`ele de CER `a rentabilit´e continue est ´egalement sujet `a la propri´et´e additive. Si on prend des rentabilit´es journali`eres alors celle mensuelle en est la somme. Rit =

29

Â

( k =0)

Rd(it

k)

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Interpr´ etation du mod` ele CER

Finance

Finance de march´e Si nous supposons que ces rentabilit´es suivent le CER, alors la rentabilit´e mensuelle est donc :

Rit =

29

Â

µi + # (it

k)

29

= 30µi +

( k =0)

RiT = Tµi +

Â

( k =0) T

Â

( k =0)

# (it

k)

# (it

k)

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Interpr´ etation du mod` ele CER

Finance

Finance de march´e Par cons´equent, la rentabilit´e pr´evue en un mois, µi, est le produit du temps avec les rentabilit´es journali`eres. Dans ce sens, le # est l’accumulation des nouvelles entre les p´eriodes : V ( RiT )

= T ⇤ V ( Ri ) COV ( RiT , R jT ) = T ⇤ COV ( Rij )

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Le mod` ele CER et la marche al´ eatoire

Finance Finance de march´e Le mod`ele CER provoque le soi-disant mod`ele de marche al´eatoire (RW) du logarithme des prix des actifs. Pour comprendre ceci, consid´erant que :

Rit

= ln(

Rit

=

Pt

P(t ln( Pt )

) 1)

ln( P(t

1)

)

Si on consid`ere que p = ln( P) alors on peut r´e´ecrire le CER sous cette forme : pit

p(it

1)

= µi + # it

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Le mod` ele CER et la marche al´ eatoire

Finance

Finance de march´e Dans le mod`ele du RW, µi repr´esente le changement pr´evu de la notation des prix des actifs et # repr´esente le changement inattendu des prix. C’est-`a-dire :

[ pit

p(it

1)

]

E [ pit

p(it

E [ pit

p(it

] = E ( µi ) = # it 1) ] 1)

De plus, dans le mod`ele du RW, les changements inattendus des prix des actifs, sont non corr´el´es (cov(# t , # t 1 ) = 0) de sorte que de futurs changements des prix des actifs ne puissent pas ˆetre pr´evus.

Le mod` ele de rentabilit´ e esp´ er´ ee constante Le mod` ele CER et la marche al´ eatoire

Finance Finance de march´e Le mod`ele du RW donne l’interpr´etation suivante pour l’´evolution des prix des actifs.

pit

= E ( pit ) =

p(i0) + µi + # it p(i0) + E (µi )

D’une mani`ere g´en´erale on peut ´ecrire que : E ( piT ) = p(i0) + T ⇤ E (µi )

Introduction ` a la gestion de portefeuilles

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles Rentabilit´e et risque du portefeuille `a deux actifs Portefeuille efficient `a deux actifs risqu´es Portefeuilles efficient avec actif sans risque

6

Mod`ele de Markowitz

7

Introduction ` a la gestion de portefeuilles

Finance Finance de march´e Nous pouvons investir sur le march´e des capitaux dans deux actifs A et B. Si on note RA la rentabilit´e de l’action A et RB celle de l’action B. Ces rentabilit´es doivent ˆetre trait´ees en tant que variables al´eatoires puisque on ne connait pas leurs ´evolutions futures. Nous supposons que les rentabilit´es RA et RB sont conjointement normalement distribu´ees, dont les propri´et´es statiques sont :

= E[ RA], s2 = VAR( RA), µB = E[ RB], s2 = VAR( RB), sAB = Cov( RA, RB) µA

Introduction ` a la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de march´e Les actifs qui ont des rentabilit´es et des variances ´elev´ees (ou la volatilit´e) sont souvent vraisemblablement risqu´es et vice versa. La gestion des portefeuilles consiste `a se poser le probl`eme d’allocation de la richesse dans les actifs financiers.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de march´e Si nous avons une richesse mon´etaire et nous voulons choisir entre les deux actifs (A et B) lequel choisir pour l’investissement et dans quelle proportion. Ainsi, Le probl`eme de l’investisseur est de d´ecider de combien de richesse `a mettre dans les actifs A et de combien `a mettre dans les actifs B.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de march´e Consid´erons xA la proportion `a investir dans l’actif A et xB dans l’actif B. Puisque toute la richesse est mise dans les deux placements elle en suit que xA + xB = 1 L’investisseur doit donc choisir les valeurs de xA et xB qui sont g´en´eralement nomm´es les poids du portefeuille.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de march´e Sur la base de cette conception, la rentabilit´e du portefeuille sera la combinaison des deux rentabilit´es pond´er´ees par les poids : Rp = x A R A + x B R B

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Rentabilit´ e et risque du portefeuille ` a deux actifs

Finance

Finance de march´e La rentabilit´e d’un portefeuille est une variable al´eatoire dont la distribution de probabilit´e d´epend des distributions des actifs dans le portefeuille. Cependant, nous pouvons facilement d´eduire certaines des propri´et´es de cette distribution en employant les r´esultats suivants au sujet des combinaisons lin´eaires des variables al´eatoires :

µp s2

= E[ Rp] = x A E( R A ) + x B E( R B ) = var ( Rp) = X A sA + XB sB + 2X A XB sAB

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Rentabilit´ e et risque du portefeuille ` a deux actifs

Finance

Finance de march´e Si les poids du portefeuille sont positifs alors une covariance positive tendra `a augmenter le risque, Une covariance n´egative tendra `a r´eduire le risque. Dans ce sens les rentabilit´es n´egativement corr´el´ees peuvent ˆetre b´en´efiques dans la formation des portefeuilles.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Dans cette section nous montrons comment des portefeuilles efficients sont obtenus. D’abord nous faisons quelques hypoth`eses : 1

Les rentabilit´es sont normalement distribu´ees.

2

Les investisseurs s’int´eressent uniquement au risque et `a la rentabilit´e.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Pour illustrer ce propos, prenons l’exemple ci-dessous : Esp´erance A 0,175

Esp´erance B 0,055

Variance A 0,067

Variance B 0,013

Covariance(A,B) -0,004875

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e La mise en place de tous les portefeuilles faisables dans le cas de deux actifs est simple, car tous les portefeuilles possibles qui peuvent ˆetre constitu´es en faisant uniquement vari´e les poids de portefeuille xA et xB tels que la somme, des poids, est ´egale `a 1. Pour le choix de la combinaison du portefeuille qui sera le plus efficace pour un investisseur il faut choisir de fa¸con optimale entre la rentabilit´e esp´er´ee et le risque. Pour y arriver, nous proposons une pr´esentation graphique du comportement du portefeuille entre les deux crit`eres de choix en faisant varier les poids.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e ftbpF4.6449in1.3984in0ptFigure

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Graphiquement, l’ensemble des portefeuilles peuvent ˆetre pr´esent´es sont sous la forme suivante : ftbpF3.5155in2.1594in0ptFigure

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Sur ce plan, le portefeuille qu’un investisseur rationnel peut choisir est le portefeuille qui procure moins de risque. En cons´equence, ce portefeuille s’appelle le portefeuille ` a risque minimal. Ce portefeuille peut ˆetre obtenu `a travers la r´esolution du programme d’optimisation suivant : min sP2 = x2A sA2 + x B 2sB2 + 2x A x B sAB

( x a ,xb )

s.t. x A + x B = 1

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuille efficient ` a deux actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Les possibilit´es d’investissement sont tr`es sensibles `a la corr´elation entre les actifs A et B. La r´esolution du programme d’optimisation donne le r´esultat suivant pour deux actifs :

x( A,min) x(B,min)

(sB2 sAB ) = (sA2 + sB2 2sAB ) = 1 x( A,min)

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Dans la section pr´ec´edente nous avons construit un portefeuille en l’absence d’un actif sans risque (exemple : obligation ´etatique). Dans ce paragraphe, nous consid´erons l’existence d’un actif sans risque dans l’univers d’investissement. Nous notons le taux ⌧ r f la rentabilit´e de l’actif sans risque et est g´en´eralement de taux d’int´erˆet pay´e sur l’obligation selon sa maturit´e.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Si on consid`ere un investissement dans un actif risqu´e ⌧ B et un actif sans risque dont le taux de rendement est de ⌧ r f = 0.03 . Le fait de consid´erer qu’il existe un actif sans risque alors, on accepte les propri´et´es suivantes :

E [r f ] = r f VAR(r f ) = 0 cov( R B , r f ) = 0

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Si on note xB le poids investit dans l’action B, donc xf = 1-XB. La rentabilit´e du portefeuille est :

Rp

= Rp =

x B ⇤ R B + (1 xB ( RB

x B )r f

rf ) + rf

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance Finance de march´e La di↵´erence (R B r f ) est la rentabilit´e excessive par rapport `a l’investissement sans risque, cette di↵´erence r´ecompense la prise de risque. Cette prime peut ˆetre exprim´ee par la relation suivante : Rp

r f = xB ( RB

rf )

Plus nous investissons dans les actifs B plus la prime de risque sur le portefeuille est forte. Et donc on peut ´ecrire que : Rp RB

rf = xB rf

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance Finance de march´e Concernant le risque de ce portefeuille avec actif risqu´e et un actif sans risque, il s’´ecrit sous la forme suivante : sp2 sp2 sB2

=

x2B sB2

=

sp x ) xB = sB 2 B

En rempla¸cant dans la forme de la rentabilit´e du portefeuille on trouve que : µp = r f +

rf )

(µ p sB

⇤ sp

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Le rapport dans la relation pr´ ec´ edente est nomm´ e le ratio de qui mesure la prime de risque par unit´ e d’´ ecartype.

⌧

Sharpe

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Maintenant nous examinons les r´esultats pr´ec´edents en permettant `a un investisseur de former des portefeuilles d’actifs A, B et un actif sans risque. L’existence d’un actif risqu´e fait que le r´esultat sera une droite passant par le revenu minimum qu’est celui procur´e par l’actif sans risque. La pente avec la courbe des portefeuilles efficients forme le portefeuille le plus optimal. Cette pente est mesur´ee par le ratio de Sharpe. Nous prenons l’exemple d’application ci-dessous pour montrer ceci.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Si nous consid´erons les actifs A, B et l’actif sans risque de valeur de 0.03, veuillez construire les portefeuilles suivants : 1

A et l’actif sans risque

2

B et l’actif sans risque

3

A, B et l’actif sans risque.

4

Repr´esenter graphiquement l’ensemble des r´esultats.

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

Finance de march´e Les informations sur les actifs sont : Esp´erance Ecartype Corr´elation

A B 0,175 0,055 0,259 0,114 -0,165

rf 0,03 -

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

ftbpF4.5602in1.6855in0ptFigure

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance

ftbpF4.171in2.9014in0ptFigure

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance Finance de march´e Nous pouvons d´eterminer les proportions de chaque actif dans le portefeuille pour trouver les valeurs ⌧ xA et ⌧ xB qui maximisent le ratio de Sharpe, c’est-`a-dire maximiser la pente de la droit pour avoir le portefeuille le plus efficace. : max ( xa,xb)

✓

rf

µp sp

◆

s.t.µ p = x A µ A + x B µ B sp2 = x2A sA2 + x2B sB2 + 2x A x B sAB x A + xB = 1

Introduction ` a la gestion de portefeuilles Portefeuilles efficient avec actif sans risque

Finance Finance de march´e La solution de ce programme pour deux actifs s’´ecrit de la forme suivante :

xA xB

=

((µ A = 1 xA

((µ A r f )sB2 (µ B r f )sAB ) r f )sB2 + (µ B r f )sA2 (µ A r f + µ B

r f )sAB )

Les portefeuilles efficients sont maintenant des combinaisons du portefeuille compos´e d’actifs risqu´es et un actif sans risque. Ce r´esultat s´eminal est connu comme le th´eor`eme de la diversification du portefeuille.

Mod` ele de Markowitz

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´es Pr´esentation matricielle

7

Mod`ele de march´e

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Consid´erons un portefeuille avec trois actifs risqu´es (A, B et C). Si on note Ri (i= A, B, C) la rentabilit´e de l’actif i et on accepte que ces rentabilit´es suivent une loi normale. Si on note xi la part investie dans chacun des actifs (c’est la proportion `a d´eterminer). La somme des poids est par convention ´egale `a 1 (xa + xb + xc = 1).

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Ainsi, la rentabilit´e du portefeuille s’´ecrit sous la forme : Rp = xa ⇤ Ra + xb ⇤ Rb + xc ⇤ Rc La rentabilit´e esp´er´ee du portefeuille est : E( Rp) = xa ⇤ E( Ra ) + xb ⇤ E( Rb ) + xc ⇤ E( Rc )

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e De mˆeme, le risque du portefeuille peut s’´ecrire sous la forme suivante ; sp2 = x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB Comme dans le cas de deux actifs, l’ensemble des portefeuilles efficients est d´ecrit dans un graphique qui met en relation l’esp´erance et le risque. En revanche, dans ce cas les portefeuilles efficients ne peuvent ˆetre d´ecrits simplement par la forme hyperbolique. En e↵et, la repr´esentation `a ce titre est compliqu´ee et d´epend de la covariance entre les actifs.

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Pour illustrer le cas de portefeuille `a trois actifs et comment le programme de Markowitz est impl´ement´e, nous consid´erons les ´el´ements fictifs suivants (`a poids identiques) : Actif A B C

Esp´ erance 0,229 0,138 0,052

Variance 0,924 0,862 0,528

Paire A-B A-C B-C

Covariance 0,063 -0,582 -0,359

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Dans ce sens, Markowitz, consid`ere que l’investisseur veut maximiser sa richesse (l’esp´erance) et minimiser le risque et dans cette perspective on cherche uniquement les portefeuilles efficaces sans rechercher tous les portefeuilles efficients. Max E( Rp) = xa ⇤ E( Ra ) + xb ⇤ E( Rb ) + xc ⇤ E( Rc ) sp2 = x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB x A + x B + xC = 1

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Le portefeuille avec les poids (x A + x B + xC ) qui satisfait le probl`eme ci-dessus de maximisation est, par d´efinition, un portefeuille efficace. La fronti`ere efficace est donc la repr´esentation de l’ensemble des portefeuilles efficaces produits en r´esolvant ce programme de maximisation pour di↵´erents poids.

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Min sp2 = x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB s.t. E( Rp) = xa ⇤ E( Ra ) + xb ⇤ E( Rb ) + xc ⇤ E( Rc ) x A + x B + xC = 1

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Pour trouver les portefeuilles efficaces des actifs risqu´es dans la pratique, le programme ci-dessus est r´esolu. Pour r´esoudre ce probl`eme nous devons faire appel `a la fonction lagrangienne :

Lagrangienne `a deux contraintes L( xa, xb, xc, l1, l2) = x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB l1 ( E( Rp)

x A ⇤ E( Ra)

x B ⇤ E( Rb)

xC ⇤ E( Rc))

l2 (1

xA

xB

xC )

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance Finance de march´e Les conditions de premier ordre sont : dL dxa dL dxb dL dxc dL dl1 dL dl2

= 0 = 2x A sA2 + 2x B sAB + 2xC sAB + l1 E( Ra) + l2 = 0 = 2x B sB2 + 2x A sAB + 2xC sCB + l1 E( Rb) + l2 = 0 = 2xc sc2 + 2x A sAC + 2x B sCB + l1 E( Rb) + l2 = 0 = E( Rp)

x A ⇤ E( Ra)

= 0=1

xB

xA

xC

x B ⇤ E( Rb)

xC ⇤ E( Rc)

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Selon les conditions de premier ordre, nous avons 5 ´equations et 5 inconnus donc nous pouvons avoir une solution unique de ce syst`eme par approche de substitution. Nous allons voir apr`es comment une r´esolution matricielle peut ˆetre aussi une solution simple.

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Le portefeuille `a risque minimal pour le cas de trois actifs est relatif `a la combinaison des poids ⌧ m qui procurent le risque le plus faible. On peut d´eterminer ce portefeuille via la r´esolution du programme suivant : Min sp2 = x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB s.t. x A + x B + xC = 1

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e La forme lagrangienne est la suivante : L( xa, xb, xc, l)

= x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB l (1 x A x B x C )

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Les conditions de premier ordre sont : dL dxa dL dxb dL dxc dL dl2

= 0 = 2x A sA2 + 2x B sAB + 2xC sAB + l = 0 = 2x B sB2 + 2x A sAB + 2xC sCB + l = 0 = 2xc sc2 + 2x A sAC + 2x B sCB + l = 0=1

xA

xB

xC

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Pour illustrer le cas de portefeuille `a trois actifs et comment le programme de Markowitz est impl´ement´e, nous consid´erons les ´el´ements fictifs suivants (On consid`ere pour simplifier que les covariances sont nulles) : Actif A B C

Esp´ erance 0,229 0,138 0,052

Variance 0,01 0,02 0,03

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance

Finance de march´e Le fait d’ajouter l’actif sans risque avec deux actifs risqu´es permet d’obtenir le portefeuille tangent qui maximise le ratio de Sharpe. Ce portefeuille est le portefeuille avec la pente la plus importance et qui procure la meilleure rentabilit´e `a un niveau de risque donn´e.

Mod` ele de Markowitz Portefeuille efficient avec Trois actifs risqu´ es

Finance Finance de march´e Pour trouver ce portefeuille, nous devons r´esoudre le programme suivant : max

xa,xb,xc

rf

µp sp

sp2 = x2A sA2 + x2B sB2 + xC2 sC2 + 2x A x B sAB + 2x A xC sAC + 2xC x B sCB E( Rp) = xa ⇤ E( Ra ) + xb ⇤ E( Rb ) + xc ⇤ E( Rc ) Le portefeuille tangent peut ˆetre trouv´e analytiquement en utilisant la fonction lagrangienne sous condition que la somme des proportions soit ´egale `a 1.

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e En essayant de construire de grands portefeuilles, les techniques simples de substitution ne sont plus faciles `a utiliser. Ainsi, le calcul matriciel peut ˆetre une solution envisageable. De mˆeme, l’ensemble des outils informatiques utilisent les approches matricielles pour l’optimisation de portefeuilles.

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Consid´erons pour simplifier le cas de trois actifs (A,B et C) : 0

1

0

1

Ra xa R = @ RbA ; X = @ xbA Rc xc

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Dans la notation matricielle nous pouvons mettre en bloc des rentabilit´es multiples dans un vecteur simple que nous d´enotons par R. Puisque chacun des ´el´ements dans R est une variable al´eatoire nous appelons R un vecteur al´eatoire.

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Nous pouvons ´egalement parler de la distribution de probabilit´e du vecteur al´eatoire R. C’est simplement la distribution commune des ´el´ements du R. g´en´eralement la distribution de R est compliqu´ee mais si nous supposons que tous les rendements sont normalement distribu´es alors tous que nous devons suivre est l’esp´erance et la variance.

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance Finance de march´e Nous pouvons facilement r´ecapituler ceci par l’´ecriture matricielle suivante : 0 1 E( Ra) E( R) = @ E( Rb)A E( Rc) Et la matrice de covariance est sous la forme suivante : 0 1 V ( Ra) sAB sAC V ( Rb) sBC A Cov( R) = @ sAB sAC sBC V ( Rc)

Cette matrice est d’une importance s´eminale en finance. Elle est nomm´ ee la matrice ⌧ Variance-Covariance .

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Ainsi, sur la base des ´el´ements vus pr´ec´edemment on peut d´eduire que la rentabilit´e esp´er´ee du portefeuille est : 0 1t 0 1 xa E( Ra) E( Rp) = X ⇤ E( R) = @ xbA @ E( Rb)A xc E( Rc)

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e De mˆeme, la variance du portefeuille est donc : 0

1t 0

10

1

xa V ( Ra) sAB sAC xa V ( Rb) sBC A @ xbA sp2 = X t ⇤ V ⇤ X = @ xbA @ sAB xc sAC sBC V ( Rc) xc 0 1t xa s.t. X t I = @ xbA ⇤ 1 1 1 = 1 xc

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e min sp2

xa,xb,xc

s.t.E( Rp) xt I

=

xt Vx

= xt E( R) = 1

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e L’alg`ebre matriciel peut ˆetre employ´e pour formuler une solution analytique au probl`eme de minimisation. Puisque les conditions de premier ordre se composent de cinq ´equations et cinq inconnus (pour l’exemple de trois actifs) alors, nous pouvons repr´esenter ce r´esultat sous forme matricielle.

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e 0

2 A

2s B 2sAB B B 2sAC B @ E( Ra) 1 |

2sAB 2sB2 2sBC E( Rb) 1

2sAC 2sBC 2sC2 E( Rc) 1 J

{z

E( Ra) E( Rb) E( Rc) 0 0

10

1

0

1

1 xa 0 B C B C 1C C B xbC B 0 C B C B C 1C C B xc C = B 0 C 0A @ l1 A @ E( Rp)A 0 l2 1 | {z } B | {z } } X

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Alors la solution pour le vecteur des poids et lambda est la suivante : X = J(

1)

B

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Le portefeuille `a risque minimal est celui qui procure une immunisation contre le risque. 0

2 A

2s B2sAB B @2sAC 1 |

2sAB 2sB2 2sBC 1

2sAC 2sBC 2sC2 1

J

{z

X = J(

10

0 1 1 xa 0 B C B C 1C C B xbC = B0C 1A @ xc A @0A 0 l1 1 | {z } B | {z } } X 1)

B

1

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance : Pour Rappel du calcul matriciel (L’inverse de la Matrice)

ftbpF3.8536in0.6962in0ptFigure

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Finance

Finance de march´e Pour illustrer ce propos, prenons l’exemple ci-dessous : Sur la base des donn´ees suivantes veuillez determiner selon l’approche matricielle le portefeuille `a risque minimal Si la rentabilit´e exig´ee est de 10%, d´eterminer le portefeuille qui procure ce rendement avec le minimum de risque. Esp´erance A 0,175

Esp´erance B 0,055

Variance A 0,01

Variance B 0,02

Covariance(A,B) 1

Calculer la rentabilit´e ´esp´er´ee et le risque de ce portefeuille par approche matricielle

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Optimisation des portefeuille Th´eorie des portefeuilles Si on consid`ere que le portfeuille de titre est compos´e de plusieurs titres (n) `a 1 poids d’investissement ( ) et de rentabilit´e (r ) et ´ecartype identiques (s ), alors n les caract´eristique du portfeuille sont : r + r + r... + r Rp = =r n s ✓ ◆ 2 s 1 2 sp = + rs 1 n n Si n augmente donc le risque `a tendance `a baisse pour atteindre un niveau bas. Risque Total =Risque diversifiable + Risque syst`emique

Mod` ele de Markowitz Pr´ esentation matricielle

Optimisation des portefeuille : exercice

Th´eorie des portefeuilles On consid`ere un nombre d’action dont les caract´eristiques identiques sont :

Rentabilit´ e esp´ er´ ee Volatilit´ e Corr´ elation

9% 30% 50%

1

Calculer la rentabilit´e du portfeuille pour 1 , 10, 20, 30 et 100 titres

2

D´eterminer le risque de portefeuille pour 1 , 10, 20, 30 et 100 titres

3

d´et´erminer le risque diversifiable et le risque syst`emique

4

Pr´esenter graphiquement la diversification

Mod` ele de march´ e

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

Mod`ele de march´e Mod`ele Estimation du mod`ele

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e Le mod`ele de march´e ou le mod`ele indiciel de Sharpe, est un mod`ele purement ´econom´etrique employ´e pour expliquer le comportement des rentabilit´es d’actifs. C’est une g´en´eralisation du mod`ele rentabilit´e esp´er´e (CER, chapitre 3). Ce mod`ele permet d’expliquer le comportement des actifs suivant un facteur syst´emique. Il n’est pas `a confondre avec le mod`ele d’´equilibre des actifs financier (MEDAF ou CAPM), qui explique les rentabilit´es `a l’´equilibre.

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e Le mod`ele de march´e est de la forme g´en´erique suivante : Rit = ai + b (i,M) R Mt + # it ,

i = 1, ..., N; t = 1, ..., T

O` u Rit est la rentabilit´e de l’actif i (I = 1,. . . , N) entre deux p´eriodes, et R Mt est la rentabilit´e d’un portefeuille d’indice du march´e entre deux p´eriodes.

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e Le portefeuille d’indices de march´e est g´en´eralement le portefeuille le plus diversifi´e du march´e et c’est g´en´eralement l’indice composite du march´e (comme le MASI, S&P 500, etc.). Le Beta mesure par ailleurs la sensibilit´e de la rentabilit´e de l’actif `a celle du march´e. L’intuition derri`ere le mod`ele de march´e est la suivante. L’indice du march´e RMt capture les ´evolutions macro´economiques et syst´emiques a↵ectant tous les actifs sur le march´e. Les ´el´ements sp´ecifiques sont capt´es via les r´esidus du mod`ele.

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e Le mod`ele de march´e peut ˆetre augment´e pour capturer des facteurs multiples. Le mod`ele de march´e prend donc la forme suivante : Rit = ai + b (iF) F1t + + b (iF) F2t + ... + # it ,

i = 1, ..., N; t = 1, ..., T

O` u Fjt d´enote les facteurs syst´emiques, bi, j est le changement des actifs suite `a un mouvement des facteurs et #it est une composante al´eatoire.

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e Dans la litt´erature sur les mod`eles multiples de facteurs, les facteurs sont habituellement des variables qui capturent les caract´eristiques sp´ecifiques de l’´economie ; par exemple l’indice du march´e, ´evolution de PIB, inflation inattendue etc., et des caract´eristiques sp´ecifiques ou propres `a l’industrie.

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e Les hypoth` eses statistiques ´ etant ` a la base du mod` ele de march´ e et sont comme suit : 1

(Rit, RMt) sont conjointement normalement distribu´es pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T.

2

E [# it ] = 0 pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T.

3

Variance de # it = s2 pour I = 1,. . . , N (homosc´edasticit´e).

4

COV(# it , R Mt ) = 0 pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T.

5

Cov(# it , # js ) = 0 pour tout t, s and i = j

6

#it suit une loi normale.

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance Finance de march´e Les propri´et´es inconditionnelles des rentabilit´es dans le mod`ele de march´e sont bas´ees sur la distribution marginale des rentabilit´es : c’est-`a-dire, la distribution de Rit sans tenir compte des informations sur RMt. Ces propri´et´es sont r´ecapitul´ees dans la proposition suivante :

E( Rit )

= ai + b (i,M) E( R Mt ) var ( Rit) = b2(i,M) V ( R Mt ) + V (# it ) Cov( Rit, Rjt) = V ( R Mt ) b i b j Cov( Rit , R Mt ) b (i,M) = Var ( R Mt )

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance

Finance de march´e La covariance est d´ependante des liens entre les facteurs de sensibilit´e : 1

sij = 0 si b i = 0 ou b j = 0 ou les deux

2

sij

0 si b i et b j sont de mˆeme signe

3

sij

0 si b i et b j sont de signe oppos´e

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance : d´ecomposition du risque

Finance de march´e L’analyse du risque via la variance indique que chaque actif est compos´e de deux types de risque ; un risque sp´ecifique et un risque syst´emique. La d´ecomposition de ce risque est faite suivant l’approche ANOVA qui consiste `a mesurer la proportion de chaque risque via la relation suivante :

(si2 ) ( b2i sM2 + s#2 ) ( b2i sM2 ) (s#2 ) 1= 2 = = + 2 2 2 (si ) (si ) (si ) (si )

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance : d´ecomposition du risque

Finance de march´e Alors on peut ´ecrire : 2 2 ( b i sM ) 2 R = =1 2 (si )

Et le risque sp´ecifique est calcul´e comme suit : 1

(s#2 ) R = 2 (si ) 2

(s#2 ) (si2 )

Mod` ele de march´ e Mod` ele

Finance : d´ecomposition du risque

Finance de march´e R2 mesure la proportion du risque syst´emique dans tout le risque. William Sharpe a calcul´e R2 pour des milliers d’actifs et a constat´e que pour une action R2'0.30. C’est-`a-dire, 30% de la variabilit´e de la rentabilit´e est dˆ ue `a la variabilit´e globale du march´e et 70% de la variabilit´e est dˆ u aux facteurs sp´ecifique non li´es au march´e.

Mod` ele de march´ e Estimation du mod` ele

Finance : d´ecomposition du risque

Finance de march´e Un des grands r´esultats de la finance de march´e est la diversification, plus on diversifie le portefeuille plus le risque diminue. Par ailleurs, le risque syst´emique ne peut ˆetre objet de diversification ni de r´eduction. Le Beta du mod`ele de march´e capture ce risque sp´ecifique ou la sensibilit´e `a ce risque. Consid´erer un ´echantillon de la taille T des observations de Rit et RMt. Nous employons la notation rit et le rMt minuscules pour d´enoter des valeurs observ´ees.

Mod` ele de march´ e Estimation du mod` ele

Finance Finance de march´e La m´ethode des moindres carr´es consiste `a trouver le meilleur ajustement qui lie les deux variables. Ceci peut ˆetre ´ecrit sous la forme suivante : E( Rit ) = ai + b (i,M) E( R Mt ) L’erreur du mod`ele est estim´e via : #=R

E( Rit )

La ligne de r´egression des moindres carr´es est celle qui r´eduit au minimum la somme d’erreur au carr´e (SSR) : SSR =

 #2 =  ( R

E( Rit ))2

Mod` ele de march´ e Estimation du mod` ele

Finance Finance de march´e La solution du probl`eme donne : b a

=

bb =

Ri

b M bR

Â( Ri Ri )( R M R M ) Â ( R M R M )2

Le coefficient de d´etermination qui permet de confirmer la force d’explication du mod`ele est d´ecrit par la forme suivante : bb ⇤ V ( R M ) R = =1 V ( Ri ) 2

V (# i ) V ( Ri )

Mod` ele de march´ e Estimation du mod` ele

Finance

Finance de march´e En utilisant la r´egression pour le mod`ele de march´e, E( Rit ) = E(ai ) + b (i,M) E( R Mt ) La premi`ere hypoth`ese `a tester est de savoir si la valeur de a = 0 H0 : a = 0 contre H1 : a = 0. Si H0 est vrai alors la r´egression est de la forme Rt = bR Mt + # t

Mod` ele de march´ e Estimation du mod` ele

Finance

Finance de march´e Afin de tester nous utilisons souvent le t-statistique : t a =0

b a 0 = SE(b a)

SE est l’´ecartype d’Alpha. Si la valeur absolue de ta=0 est beaucoup plus grande que 2 alors on rejette l’hypoth`ese nulle. Dans le cas inverse on accepte H0. On rejette H0 sur la base du t-statistique, ainsi en supposant qu’il suit une loi de student alors on rejette H0 lorsque : ⌧

H0 a = 0 au niveau de 5% si |t(a=0) |

|t(T

2)

(0.025)|

Mod` ele de march´ e Estimation du mod` ele

Finance

Finance de march´e Dans la r´egression du mod`ele le b mesure la contribution des actifs `a la variabilit´e du portefeuille du march´e. L’hypoth`ese de validation est la suivante : H0 b = 1 contre H1 b 6= 1. Cette hypoth`ese peut ˆetre test´ee via le t-statistique : t a =0

bb

1 = SE( bb)

L’hypoth`ese nulle est rejet´ee au niveau de 5% par exemple si |tb=1| (0.025)|.

|tT

2

Mod` ele de march´ e Diversification

Finance

Finance de march´e

 xi (ai + b(i,M) r Mt + # it ) =  xi ai +  xi b (i,M) r Mt +  xi # it r pt =

r pt = a p + b p r Mt + # p

Mod` ele de march´ e Diversification

Finance

Finance de march´e V (r pt ) = b2p V (r Mt ) + V (# p )

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

Mod`ele de march´e

8

Le Mod`ele d’´evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de march´e Le mod`ele d’´equilibre des actifs financiers (CAPM) est un mod`ele d’´equilibre pour les rentabilit´es esp´er´ees et se fonde sur un ensemble d’hypoth`eses fortes.

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de march´e Hypoth` eses du CAPM Beaucoup d’investisseurs qui n’ont pas d’influence sur les prix ; Tous les investissements ont le mˆeme horizon temporel Il n’y a aucun impˆot ni coˆ ut de transactions Les investisseurs peuvent emprunter et prˆeter au mˆeme taux sans risque ; Les investisseurs s’inqui`etent seulement de la rentabilit´e et du risque. Tous les investisseurs ont les mˆemes informations et croyance sur la distribution des rentabilit´es ; Le portefeuille du march´e se compose de tous les actifs sur le march´e.

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de march´e Les implications de ces hypoth` eses sont : Tous les investisseurs emploient l’algorithme de Markowitz pour d´eterminer le mˆeme ensemble de portefeuilles efficients. C’est-`a-dire, les portefeuilles qui sont des combinaisons des actifs sans risque et actifs risqu´e (portefeuille maximise le ratio de Sharpe). Puisque chacun tient le mˆeme portefeuille et les actifs sans risque alors la demande globale des actifs est simplement le portefeuille tangent. Par cons´equent, dans l’´equilibre le portefeuille tangent est le portefeuille du march´e.

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de march´e Puisque le portefeuille du march´e est efficient et il y a des actifs sans risque alors la SML est valables pour tous les actifs sur le march´e : E[ Ri ] = r f + b (i,M) ( E[ R Mt ]

rf)

Ri est la rentabilit´e, le RM est la rentabilit´e du march´e et le b i,M = cov( Ri, RM)/var ( Rm).. Le SML indique qu’il y a un rapport lin´eaire entre la rentabilit´e pr´evue sur des actifs et le ⌧ bˆeta de ces actifs avec le portefeuille du march´e.

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM) Relation entre mod` ele de march´ e et le CAPM

Finance Finance de march´e Le CAPM est li´e au mod`ele du march´e de la fa¸con suivante. D’abord, consid´erer la r´egression du mod`ele du march´e : Rit = ai + b (i,M) R Mt + # it ,

i = 1, ..., N; t = 1, ..., T

En d´eduisant l’actif sans risque des deux cot´es : Rit

r f = ai + b (i,M) R Mt + # it

rf

En rajoutant et soustrayant par b (i,M) r f : Rit

rf

= Rit r f = Rit r f = avec :

ai + b (i,M) R Mt

b (i,M) r f + # it

ai

r f + b (i,M) r f + b (i,M) ( R Mt

ai

r f (1

ai⇤ = ai

b (i,M) ) + b (i,M) ( R Mt r f (1

b (i,M) )

r f + b (i,M) r f r f ) + +# it r f ) + # it

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM) Tester le CAPM

Finance

Finance de march´e Le rapport de SML permet un essai du CAPM en utilisant une version modifi´ee de l’´equation de r´egression du mod`ele du march´e. Pour voir ceci, consid´erer l’´equation de r´egression de la rentabilit´e excessive de mod`ele du march´e : Rit

r f = ai⇤ + b (i,M) ( R Mt

r f ) + # it

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM) Tester le CAPM

Finance

Finance de march´e Du mod`ele SML nous voyons que le CAPM impose la restriction suivante : ai⇤ = 0 Une strat´egie simple d’essai du CAPM est la suivante : Estimer le mod`ele de rentabilit´e excessive Examiner si a⇤ = 0 dans chaque r´egression

Le Mod` ele d’´ evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM) Tester le CAPM

Finance

Finance de march´e Supposer que ai⇤ 0 ceci indique que les actifs rapportent plus de rentabilit´e pr´evue par exc`es `a ce que le CAPM pr´evoit. Le CAPM pr´evoit donc que cette action est sous-´evalu´ee parce qu’il a pr´evu que retour d’exc`es est plus haut que ce que le CAPM pr´evoit. Pour tester le a il faut recourir au t-student de la mˆeme fa¸con que le mod`ele de march´e.

Initiation ` a la gestion obligataire

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

Mod`ele de march´e

8

Le Mod`ele d’´evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Initiation ` a la gestion obligataire D´ efinition

Les obligations

Introduction Gestion obligataire Les obligations sont des titres de cr´eances qui ob´eissent `a la mˆeme logique que les emprunts obligataires. Il existe plusieurs typologie d’obligations, dont les plus connues sont :

Initiation ` a la gestion obligataire D´ efinition

Les obligations Introduction Gestion obligataire Les obligations ` a taux fixes ou vanille : Ils sont des obligations classiques qui se distinguent par le versement d’un taux (int´erˆet fixe ou coupon) d´etermin´e lors de l’´emission du titre et une p´eriodicit´e de versement g´en´eralement annuelle. Les obligations ` a taux flottant : Ces obligations donnent lieu `a des coupons variables. Et leur variation d´epend du taux de r´ef´erence `a savoir celui du march´e. A chaque ´ech´eance du coupon, la valeur de celui-ci sera calcul´ee en fonction de ce taux de march´e. Ceci permet d’annuler le risque de taux. Pour ce type d’obligations, l’´emetteur et le souscripteur font le pari inverse sur une forte variation des taux d’int´erˆet. Si les taux montent, le gain sera en faveur du souscripteur et inversement dans le cas contraire.

Initiation ` a la gestion obligataire D´ efinition

Les obligations Introduction Gestion obligataire Les obligations ` a z´ ero coupon : Ces obligations ne g´en`erent pas de coupons durant toute leur dur´ee de vie contrairement aux obligations classiques. Dans le but d’ˆetre plus attractives, l’ensemble de ces coupons est vers´e `a l’´ech´eance et doit ˆetre imp´erativement sup´erieur `a la valeur nominale de l’obligation. Les obligations convertibles en action existentes (OCAE) : Sont des obligations qui donnent droit et non l’obligation `a son porteur de les convertir `a des actions nouvelles de la soci´et´e ´emettrice. Le prix auquel l’obligation est convertible est fix´e au moment de l’´emission et non au moment de conversion selon des modalit´es fix´es `a priori. Lorsque l’acheteur de ce type d’obligation accepte la conversion, l’entreprise ´emettrice des OCAE incite ses actionnaires `a revendre leurs actions au porteur de ce type d’obligation.

Initiation ` a la gestion obligataire D´ efinition

Les obligations Introduction Gestion obligataire Les obligations remboursables en action (ORA) : Sont des obligations ordinaires, qui se distinguent par un remboursement sous forme d’action et pas en esp`ece. L’op´eration d’´echange se r´ealise `a l’´ech´eance finale de l’emprunt et non pas `a tout moment contrairement au OCA. Les obligations index´ ees sur l’inflation : Les obligations index´ees sur l’inflation ´emis principalement par les gouvernements, se distinguent des obligations nominales, par le fait que les paiements qu’elles g´en`erent soient index´es sur un indice d’inflation (Ex : prix `a la consommation). L’indexation peut porter uniquement sur le capital, ou sur les coupons, afin de prot´eger le pouvoir d’achat de l’investisseur ( risque d’inflation) tout au long de la dur´ee de vie de l’obligation, et lui assure un rendement r´eel, contrairement aux obligations non-index´ees qui g´en`erent un rendement nominal.

Initiation ` a la gestion obligataire D´ efinition

Les obligations

Introduction Gestion obligataire La valeur actuelle d’une obligation est la somme des cash flows actualis´es, incluant les coupon et le principal. Le prix des obligations conventionelle `a taux annuel est : c c M P= + + ..... + 2 1 + r (1 + r ) (1 + r ) n n c M P=Â + i n ( 1 + r ) ( 1 + r ) i =1

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations

Introduction Gestion obligataire La duration d’un instrument est calcul´ee en prenant la moyenne de maturit´es de flux de liquidit´es, o` u chaque maturit´e est pes´ee selon le rapport entre la valeur actuelle du flux de liquidit´es pour une maturit´e donn´ee et le prix (ou des cours en bourse) de l’instrument. A calcul´e de cette fa¸con, la duration repr´esente un indicateur de risque qui tient compte de la vie r´esiduelle de l’instrument et de la valeur des coupons ou des revenus g´en´er´es.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations

Introduction Gestion obligataire Cette duration de Macauley, puisse ˆetre ´enonc´e analytiquement comme suit : D=

T

Ât⇤ t =1

CFt (1+ t ) t a

P

a. D :duration ; t :maturit de di↵rents flux de liquidits de financement exprims

en annes ; CF :flux de liquidits ; r :rendement e↵ectif la maturit demande par le march pour la maturit T ; P :prix ou cours en bourse de l’instrument concern ; T :maturit.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations

Introduction Gestion obligataire La duration est en e↵et, la d´eriv´ee des prix par rapport `a un changement infinit´esimal du taux d’int´erˆet.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations Introduction Gestion obligataire Le calcul de la duration est bas´e sur la moyenne pond´er´ee des maturit´es et est donc exprim´e, g´en´eralement, en ann´ees. En outre, plus la duration d’un instrument de taux fixe est plus grande plus la vie r´esiduelle de l’instrument concern´e est longue et plus les coupons sont faibles. En e↵et, les obligations avec une plus grande duration sont ceux avec une plus longue vie r´ esiduelle et un coupon mod´ er´ e. Et dans le cas d’une obligation ` a coupon unique la dur´ ee est exactement la mˆ eme que la vie r´ esiduelle de l’obligation. Une autre caract´eristique principale doit ˆetre consid´er´ee pour la duration d’un portefeuille. On pourrait facilement prouver que la duration d’un portefeuille n’est rien d’autre que la moyenne des duration des di↵´erentes obligations qui composent ce portefeuille.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations

Introduction Gestion obligataire Pour am´eliorer la qualit´e de cette approximation, relative `a la variation des prix des actifs suite `a la variation des taux, on peut employer la convexit´e qui aide `a apporter la modification des prix pr´evus plus pr`es de la r´eelle. Consid´erant le d´eveloppement de Taylor de la fonction des prix, en lien avec les taux : •

j ( Dr ) P(r0 + Dr ) = P(r0 ) + Â P( j) (r0 ) j! j =1

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations Introduction Gestion obligataire Suivant l’approximation d’ordre 1 on obtient la duration et en utilisant celle du second ordre on aura la convexit´e :

(Dr )2 P(r0 + Dr ) = P(r0 ) + P (r0 )(Dr ) + P (r0 ) 2 2 ( Dr ) 0 P(r0 + Dr ) = P(r0 ) P (r0 ) ⇤ MD ⇤ Dr + P00 (r0 ) 2 DP P00 (r0 ) (Dr )2 a = MD ⇤ Dr + P (r0 ) P(r0) 2 0

a. ftbpF2.9196in0.7005in0inFigure a. ftbpF2.9196in0.7005in0inFigure

00

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations

Introduction Gestion obligataire Dans ce sens, la variation des prix est ´egale : DP = P (r0 )

(Dr )2 MD ⇤ Dr + MC 2

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations et taux d’int´ erˆ et

Les obligations

Introduction Gestion obligataire D’un point de vue th´eorique, si la duration indique la pente du rapport des prix/taux, la convexit´e indique par ailleurs, le changement a↵ectant cette pente. D’une fa¸con g´en´erale, la courbe (relation prix et taux) est convexe pour et plus la convexit´e est forte, plus l’utilisation de la duration uniquement est sujet `a biais. En e↵et, quand les taux du march´e baissent, une convexit´e ´elev´ee produit une hausse forte du prix des obligations. Et vice versa.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Les obligations : taux spot

Introduction Gestion obligataire L’obligation z´ero coupon est celle qui ne verse pas de coupon et peut ˆetre exprim´ee de la forme suivante : 1 P(t, T ) = (1 + r (t, T ))n r (t, T ) = P(t, T )

1 n

1 =) Taux Z´ ero coupon

continu :P(t, T ) = e r(t,T)(T t) 1 log r (t, T ) = ( ) log P(t, T ) n

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Les obligations : taux futurs Introduction Gestion obligataire Consid´erons un contrat `a terme (contrat forward) qui promet au temps t de payer un montant dans le futur `a l’instant T1 et de recevoir un paiement en retour `a l’instant T2 (T2 ¿ T1) . En fait, ce contrat n’est qu’un contrat forward exerc´e sur une obligation `a coupon z´ero qui ´echoit en T2 . Mais quel est le prix du forward ? Il existe une fa¸con de dupliquer ce contrat au temps t en achetant une obligation `a coupon z´ero qui ´echoit en T2 et en vendant une quantit´e de x unit´es de l’obligation qui ´echoit en T1 . Cette proc´edure a comme coˆ ut initial : P(t, T2 )

xP(t, T1 )

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Les obligations : taux futurs Introduction Gestion obligataire Au temps t et requiert un paiement y au temps T1 qui produira un montant de 1MAD au temps T2. Le prix de ce contrat `a terme doit par d´efiition avoir une valeur nulle (Absence de possibilit´ e d’arbitrage) `a l’instant T1 . Par cons´equent, x prend la valeur suivante : P(t, T1 ) x= P(t, T2 ) A l’achat d’une obligation qui ´echoit en T2 au temps T1 . Le taux forward peut ˆetre obtenu de la mani`ere suivante. Nous savons que le prix forward d’une obligation `a coupon z´ero qui ´echoit en T2 au temps T1 est donn´e par : P(t, T1 ) =e P(t, T2 )

f 1(t1 t2)

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Les obligations : taux futurs

Introduction Gestion obligataire En prenant le logarithme de chaque membre de cette expression et apr`es quelques manipulations, on obtient l’expression du taux forward : ln( P(t, T2 )) ln( P(t, T1 )) f (1, 2) = T2 T1 r2 ⇤ t2 r1 ⇤ t1 ou` f (1, 2) = t2 t1 ∂r (t) ´ eral ´ : f (t) = lim f (t, t + dt) = r (t) + G en t dt!0 ∂t

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Hypoth`eses

Introduction Gestion obligataire Trois th´eories ont ´et´e propos´ees pour expliquer la structure de condition des taux d’int´erˆet - c.-`a-d., le rapport parmi des taux d’int´erˆet sur des obligations de di↵´erentes maturit´es r´efl´echies dans des mod`eles de courbe de rendement : la th´eorie d’esp´erances, la th´eorie segment´ee des march´es, et la th´eorie de la meilleure qualit´e de liquidit´e.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Hypoth`eses Introduction Gestion obligataire La th´ eorie d’esp´ erances de la courbe des taux ´ enonce la proposition suivante : le taux d’int´ erˆ et sur une obligation ` a long terme ´ egalera une moyenne des taux d’int´ erˆ et ` a court terme. La pr´etention principale derri`ere cette th´eorie est que les acheteurs des obligations ne pr´ef`erent pas des obligations d’une maturit´e sup´erieure, alors ils ne garderons pas une obligation ` a maturit´e ´elev´ee que si le taux r´emun`ere. Les obligations qui ont cette caract´eristique serait les produits de remplacement parfaits. Ce que signifie dans la pratique ceci est que si les obligations avec di↵´erentes maturit´es sont les produits de remplacement parfaits, le rendement pr´evu sur ces obligations doit ˆetre ´egal :

i1 + i2 + ....in in = n

1

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Hypoth`eses Introduction Gestion obligataire La th´eorie segment´ee des march´es de la courbe des taux consid`ere que des obligations de di↵´erentes-maturit´es comme compl`etement s´epar´ees et segment´ees. Le taux d’int´erˆet pour chaque obligation avec une maturit´e di↵´erente est alors d´etermin´e par l’o↵re et la demande en cette obligation. La pr´etention principale dans la th´eorie segment´ee des march´es est que les obligations de di↵´erentes maturit´es ne sont pas des produits de remplacement, ainsi le retour pr´evu d’une obligation d’une maturit´e n’a aucun e↵et sur la demande d’une autre obligation de maturit´e di↵´erente. Cette th´eorie est `a l’extr´emit´e oppos´ee `a la th´eorie d’esp´erances, qui suppose que les obligations de di↵´erentes maturit´es sont les produits de remplacement parfaits.

Initiation ` a la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Hypoth`eses

Introduction Gestion obligataire La th´eorie de l’habitat pr´ef´er´e d´eclare que le taux d’int´erˆet sur une obligation `a long terme ´egalera une moyenne de taux d’int´erˆet `a court terme plus une prime de liquidit´e. On assume que des obligations de di↵´erentes maturit´es sont des produits de remplacement mais pas parfait. i1 + i2 + ....in in = n a. Pl : prime de liquidit

1

+ Pl a

Prix et efficience des march´ es

Les axes du s´eminaire 1

Introduction g´en´erale

2

C’est quoi la finance ?

3

La notion de rentabilit´e

4

Le mod`ele de rentabilit´e esp´er´ee constante

5

Introduction `a la gestion de portefeuilles

6

Mod`ele de Markowitz

7

Mod`ele de march´e

8

Le Mod`ele d’´evaluation d’actifs financiers (MEDAF/CAPM)

Prix et efficience des march´ es Efficience des march´ es

Les march´es financiers Finance de march´e Le rapport entre la cr´eation de valeur et le prix exige une autre condition : l’efficience des march´es financiers. Un march´e efficace est un march´e dans lequel les prix refl`etent `a tout moment rapidement toutes les informations disponibles. Les termes ”march´e parfait” ou ”march´e d’´equilibre” sont synonymes de ”march´e efficace”. Sur un march´e efficace, les prix indiquent imm´ediatement les cons´equences des ´ev´enements pass´es et de toutes esp´erances au sujet des ´ev´enements futurs. Il est donc impossible de pr´evoir les variations futures du prix d’un instrument. Seulement la nouvelle information changera la valeur. C’est la caract´eristique de la marche al´eatoire.

Prix et efficience des march´ es Efficience des march´ es

Les march´es financiers

Finance de march´e Le syst`eme financier doit toujours ˆetre en efficience de sorte que les prix convergent vers leur niveau intrins`eque. Plus sp´ecifiquement, Eugene Fama (1970) a d´evelopp´e trois d´efinitions d’efficience : l’efficience informationnelle se rapporte `a l’habilet´e d’un march´e `a refl´eter enti`erement et rapidement les nouvelles informations ; l’efficience allocative implique que les march´es dirigent des ressources vers leur utilisation la plus productive ; l’efficience op´erationnelle concerne la possibilit´e de fonctionner avec le minimum de coˆ ut de transaction.

Prix et efficience des march´ es Formes d’efficience

Capacit´e de pr´evoir les prix Finance de march´e Sur un march´e efficace au sens faible, il est impossible de pr´evoir les rentabilit´es futures. Les prix existants indiquent d´ej`a toute l’information qui peut ˆetre glan´ee d’´etudier des prix et des volumes d’´echange pass´es, des taux d’int´erˆet et des rentabilit´es. Des gains de rentabilit´es peuvent ˆetre obtenus seulement si les investisseurs ont le privil`ege de l’information. Selon la faible-forme d’efficience, le prix des actifs est compos´e de trois composantes : 1

le dernier prix disponible (Pt 1 ) ;

2

la rentabilit´e pr´evue ;

3

un composant irr´egulier dˆ u `a la nouvelle information. Ce composant d’erreur irr´eguli`ere est ind´ependant des ´ev´enements pass´es et impr´evisible `a l’avenir.

Quand les prix suivent ce mod`ele, ils suivent une marche al´eatoire.

Prix et efficience des march´ es Formes d’efficience

Capacit´e de pr´evoir les prix

Finance de march´e Il faut tester l’´equation suivante : Pt = Pt R = Pt

+µ+# Pt 1 = µ + # 1

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Capacit´e de pr´evoir les prix

Finance de march´e On peut utiliser ´egalement deux tests sp´ecifiques pour savoir si R est un bruit blanc ou il existe une autocorr´elation : Test d’autocorrelation (Q statistique) : r=Q

stat = Corr ( Rt , Rt 1 )

Test BDS : Test d’autocorr´elation non lin´eaire (H0 : est iid) Exposant de Hurst

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Capacit´e de pr´evoir les prix

Finance de march´e L’exposant de Hurst ”H” est d´ecrit par la forme suivante :est un outil permettant de mesurer la persistance d’une s´erie financi`ere en se r´ef´erant au calcul de la statistique R/S ⌧ Range over standard d´eviation . Cette derni`ere est d´efinie comme ´etant l’´etendu des sommes partielles des ´ecarts d’une s´erie temporelle `a sa moyenne divis´e par son ´ecartype. La formalisation standard du R/S est la suivante : R/S =

Maxik

k T

( xi

xT ) q

Min Â( xi

 ( x x )2 n

xT )

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Capacit´e de pr´evoir les prix Finance de march´e La plupart des ´etudes (E. Peters, 1994) ont conclu que la statistique R/S peut s’´ecrire sous la forme suivante : R/S u nh

) log( R/S) = h ⇤ log(n) + log( a) a Si H=0,5 : syst`eme ind´ependant ou une marche al´eatoire ; Si 0,5 H 1 : une forte persistance ; Si H 0,5 : une anti-persistante. a. Avec n est le nombre d’observation et h l’exposant de Hurst a. Avec n est le nombre d’observation et h l’exposant de Hurst

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R´eponse aux ´ev`enements sp´ecifiques

Finance de march´e Un march´e efficace semi-fort int`egre toute l’information publique. L’efficience Semi-forte est sup´erieure `a l’efficience faible parce qu’elle exige que des prix courants comprennent l’information historique et publique. Cette derni`ere, par exemple, est disponible dans : des ´etats financiers ; analyse des entreprises expertise et avis des sp´ecialistes.

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R´eponse aux ´ev`enements sp´ecifiques

Finance de march´e Cette hypoth`ese peut ˆetre empiriquement ´evalu´ee en ´etudiant la r´eaction des prix du march´e aux ´ev´enements de l’entreprise (´etudes d’´ev´enements). En fait, le prix d’une action r´eagit imm´ediatement `a n’importe quel avis et nouvelle information. Sur un march´e efficace, aucun impact ne devrait ˆetre observable avant l’avis, ni pendant les jours suivant l’avis.

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Information initi´ee et efficience forte

Finance de march´e Sur un march´e financier fortement efficace, les investisseurs avec l’information privil´egi´ee ou d’initi´e ou avec un monopole sur certaine information ne peuvent pas influencer des prix des valeurs mobili`eres. C’est ”la forme forte” d’efficience. Ceci est vrai seulement quand les r´egulateurs de march´e financier ont la puissance d’interdire et punir l’utilisation d’information d’initi´e.

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Les march´es financiers

Finance de march´e Les march´es r´eels approchent la th´eorie d’un march´e efficace quand : les participants ont acc`es peu coˆ uteux `a toute l’information ; les coˆ uts de transactions sont tr´es bas ; le march´e est tr´es liquide ; et les investisseurs sont rationnels.

Prix et efficience des march´ es Quelques critiques

Les limites

Finance de march´e La grande majorit´e des travaux sur l’efficience ont concern´e les formes faibles et semi-fortes de l’efficience. Une technique employ´ee couramment pour v´erifier l’efficience faible est d’examiner la corr´elation des retours quotidiens (corr´elation p´eriodique). L’existence d’une corr´elation - ind´ependamment de son signe - implique que les rentabilit´es d’un jour sont influenc´ees par celles d’hier. Ceci contredit l’efficience, qui d´eclare que les prix suivent une marche al´eatoire.

Prix et efficience des march´ es Quelques critiques

Les limites Finance de march´e La th´eorie d’efficience semi-forte peut ˆetre mesur´ee de deux mani`eres : avec les ´etudes d’´ev´enement qui examinent la r´eaction du march´e aux avis des entreprises, ou avec l’analyse de la performance de fonds communs de placement. L’analyse d’´ev´enement est bas´ee sur l’´evaluation de rentabilit´es anormales, selon l’hypoth`ese semi-forte d’efficience, la rentabilit´e anormale devrait ˆetre observable seulement le jour o` u l’information devient publique. Comme cit´e pr´ec´edemment, toute l’information pr´ec´edente devrait avoir ´et´e d´ej`a comprise dans des prix du march´e. Le rendement durant la p´eriode constat´ee est ainsi influenc´e seulement par la nouvelle information inattendue. La m´ethodologie d’´etude d’´ev´enement de restructuration d’entreprises.