Cours de Mathématiques Financières - Licence Chap 1 [PDF]

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COURS DE MATHEMATIQUES FINANCIERES

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Préparé par : ZANGA Michel

PLAN GENERAL DU COURS CHAPITRE 1 : LES TAUX D’INTERETS CHAPITRE 2 : LES ANNUITES CHAPITRE 3 : LES EMPRUNTS INDIVIS CHAPITRE 4 : CHOIX DES INVESTISSEMENTS CHAPITRE 5 : LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES

Bibliographie : DELAHAYE J. et DELAHAYE F., Finance d’entreprise : Manuel et applications, Dunod, 2e édition, Paris, 2009 HUTIN H., Toute la finance, Eyrolles, 4e édition, Paris, 2010 Devolder P., FOX M., VAGUENER F., Mathématiques financières, Eyrolles, 2e edition, Paris, 2015

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Préparé par : ZANGA Michel

INTRODUCTION Pourquoi les mathématiques financières ? Objectif des Mathématiques financières : Acquérir des outils mathématiques de base nécessaires à l'analyse de données économiques (Etudes de faisabilité économiques, Evaluation des projets, etc.) Les flux financiers intervenant à des dates différentes (remboursement sur plusieurs années d’un prêt initial par exemple), les mathématiques financières donnent les techniques permettant d’opérer des calculs dans le temps. Ces techniques reposent sur quelques principes fondamentaux simples et sont utilisés dans de nombreux cas concrets. D’un point de vue pratique, ces principes simples donnent lieu à des calculs pouvant paraitre compliqués ou longs. Sauf cas très simples et particuliers, on ne peut les faire à « la main » et il est important de savoir utiliser une table financière ou calculatrice dotée au moins de la fonction 𝒙𝒚 ou encore utiliser des logiciels sur micro tels EXCEL et LOTUS (qui intègrent d’ailleurs des fonctions financières). Ainsi, l’étudiant d’ISTTI doit disposer d’une calculatrice scientifique. C'est l’équipement minimum pour faire des exercices du niveau BTS en Mathématiques financières. Il doit : • savoir utiliser la touche 𝒙𝒚 pour calculer les puissances, même avec y fractionnaire ou négatif. Exemple : Déterminer i tel que (𝟏 + 𝒊)𝟒 = 𝟏, 𝟎𝟖 𝟒

𝟏 + 𝒊 = √𝟏. 𝟎𝟖

On a :

𝟏

𝟏 + 𝒊 = (𝟏. 𝟎𝟖)𝟒 𝟏

𝒊 = (𝟏, 𝟎𝟖)𝟒 − 𝟏 ≃ 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟒

Savoir utiliser les touches ln et exp ou 𝒆𝒙 Exemple : déterminer n tel que (𝟏, 𝟎𝟔)𝒏 = 𝟐, 𝟐𝟔 On applique la fonction « logarithme népérien » aux deux membres de l'équation, ce qui donne 𝒍𝒏(𝟏, 𝟎𝟔)𝒏 = 𝒍𝒏(𝟐, 𝟐𝟔) ; par propriété de calcul du logarithme, on obtient 𝒏 ∗ 𝒍𝒏(𝟏, 𝟎𝟔) = 𝒍𝒏(𝟐, 𝟐𝟔) Donc 𝒏 =

𝐥𝐧⁡(𝟐,𝟐𝟔) 𝐥𝐧⁡(𝟏,𝟎𝟔)

⁡ ≃ 𝟏𝟒.

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CHAPITRE 1 : INTERETS, CAPITALISATION ET ACTUALISATION

L’intérêt ou loyer de l’argent est la rémunération du placement d’une somme d’argent par un prêteur auprès d’un emprunteur. Cet intérêt est fonction de trois éléments : • • •

Le montant de la somme prêtée, La durée du prêt, Le taux d’intérêt.

Plusieurs explications de l’existence de l’intérêt sont avancées : Dans le sillage de la théorie néoclassique, il est la contrepartie du renoncement à une consommation immédiate dont se prive le prêteur ; Il permet d’éviter la dépréciation du capital en période d’inflation. Mais l’intérêt existe même en l’absence d’inflation, c’est pourquoi, on distingue l’intérêt nominal (prenant en compte l’inflation) et l’intérêt réel (une fois l’impact de l’inflation supprimée ; Il représente un coût d’opportunité dans la mesure ou un agent prêteur se prive de l’opportunité d’investir la somme dans une activité industrielle ou commerciale qui rapporterait un bénéfice ; Il rémunère le risque pris par le prêteur de ne pas se faire rembourser en cas d’insolvabilité de l’emprunteur à l’échéance. Les intérêts générés par un capital K peuvent être composés ou simples selon qu’ils sont incorporés ou non dans le capital à la fin de chaque période pour porter des intérêts croissants : • •

I.

les intérêts simples s’utilisent dans les calculs à court terme (quelques jours, à six mois, parfois un an), notamment l’escompte et le découvert ; les intérêts composés s’utilisent pour des calculs à moyen et long terme supérieurs à six mois, un an (prêts à moyen et long terme, emprunt obligataire, crédit-bail, rentabilité d’investissement, évaluation des sociétés…).

Capitalisation et Actualisation

I.1. Principe D’après ce qui précède, le taux d’intérêt apparaît comme le taux de transformation de l’argent dans le temps. Cette relation entre temps et taux d’intérêt signifie que deux sommes d’argent ne sont équivalentes que si elles sont égales à la même date. Dès lors, pour pouvoir comparer deux ou des sommes disponibles à différentes dates le passage par les techniques de calcul actuariel (capitalisation et actualisation) devient nécessaire.

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I.2. L’actualisation L’actualisation est une technique qui consiste à faire reculer dans le temps une valeur future pour calculer sa valeur présente appelée Valeur Actuelle. La valeur actuelle C0 d’une somme d’argent C1 disponible dans une année et placée au taux t, est donnée par la formule suivante: 𝐶0 = 𝐶1 (1 + 𝑡)−1 Dès lors, la valeur actuelle C0 d’une somme d’argent Cn disponible dans n années d’intervalle et placée au taux t est égale à: 𝐶0 = 𝐶𝑛 (1 + 𝑡)−𝑛

t0 Valeur actuelle

tn Actualisation

Valeur future

C0 = ?

Cn 𝐶0 = 𝐶𝑛 (1 + 𝑡)−𝑛

I.2. La Capitalisation Contrairement à l’actualisation, la capitalisation consiste à faire avancer dans le temps une valeur présente pour calculer sa valeur future appelée aussi Valeur Acquise. La valeur acquise C1 d’une somme d’argent présente C0 capitalisée au taux t pendant une année est égale à: 𝐶1 = 𝐶0 (1 + 𝑡)1 Dès lors, la valeur future Cn d’une somme d’argent présente C0 disponible après n années et placée au taux t est égale à: 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑡)𝑛 t0 Valeur actuelle

tn Capitalisation

Valeur future

C0

Cn = ? 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑡)−𝑛

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II.

Intérêt simple

II.1. Définition et Champ d’application On définit l'intérêt comme la rémunération qu'un emprunteur verse au prêteur en contrepartie de la mise à disposition d'une somme d'argent appelé capital ou principal. Lorsque la durée du prêt est de quelques mois et en principe toujours inférieure à un an, l’intérêt est proportionnel au capital placé, au taux du placement et à la durée de celle-ci.

II.2. Calculs pratiques Soit, C : le montant du capital prêté ou emprunté en F CFA (valeur nominale) t : le taux d’intérêt annuel (en pourcentage) n : la durée de placement (en année) I : le montant de l’intérêt à calculer en F CFA V : la valeur acquise par le capital en F CFA (valeur future) On a : 𝐼 = 𝐶 × 𝑡% × 𝑛 𝐼=

𝐶. 𝑡. 𝑛 100

Et 𝑉 = 𝐶 + 𝐼 𝑉=𝐶+

𝐶.𝑡.𝑛 100

𝑉 = 𝐶(1 +

𝑡.𝑛

⁡)

100

Remarque sur les durées •

Selon l’usage, l’année financière est comptée pour 360 jours, mais dans les calculs sur des durées inférieures, les mois sont pris à leur durée exacte et non arrondi à 30 jours.

Pour les placements à court terme, il est d’usage d’exprimer la durée du placement en nombre de jours « n » et non en année. Si la durée du placement est exprimée en mois, on aura : 𝐼=𝐶× 𝐼=

𝑡 𝑛 × 100 12

𝐶. 𝑡. 𝑛 1200 6

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Et 𝑉 = 𝐶(1 +

𝑡. 𝑛 ) 1200

Si la durée du placement est exprimée en jours, on aura: 𝐼=𝐶× 𝐼=

𝑡 𝑛 × 100 360

𝐶. 𝑡. 𝑛 36000

Et 𝑉 = 𝐶(1 +

𝑡. 𝑛 ) 36000

Pour une durée de placement exprimée en jours, l’usage fait que l’intérêt est calculé sur la base de l’année financière ou commerciale comptant 360 jours et non pas l’année civile comptant 365 jours ou 366 jours. L’exception est faite pour les comptes à terme et les bons de caisse dont l’intérêt servi est calculé sur la base de l’année civile, c’est à dire 365 jours. Par ailleurs, il faut aussi signaler que lorsque la durée est exprimée en jours, les mois sont comptés à leur nombre exact de jours, et on ne tient compte que de l’une des deux dates extrêmes.

Exemple : Exemple: Une somme de 100 000 F CFA est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simple de 7 % 1/ Calculer le montant de l’intérêt produit à l’échéance. 2/ Calculer la valeur acquise par ce capital. 3/ Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 F CFA

Solution 1/on a : 𝐶.𝑡.𝑛 𝐼 = 36000 , C= 100 000, t = 7, Calculons alors le nombre de jours de placement. Avril = 7 Mai = 31 Juin = 30

108 jours

Juillet = 31 7

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Août = 9

𝐼=

100⁡000.7.108 = 2100⁡𝐹⁡𝐶𝐹𝐴 36000

2/ La valeur acquise par ce capital est égale à V, V = C + I = 100 000 + 2 100 = 102 100 F CFA 3/ Date de remboursement correspondant à un intérêt de 3 150 F CFA

𝐼=

𝐶.𝑡.𝑛 36000

donc 𝑛 =

Avril

=7

Mai

= 31

Juin

= 30

Juillet

= 31

Août

= 31

36⁡000.𝐼 𝐶.𝑡

ainsi

𝑛=

36⁡000.3⁡150 100⁡000.7

= 162⁡𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Septembre = 30 160 Octobre

=

2 162

Date de remboursement = 02 octobre.

II.3. Termes échu, terme à échoir, taux effectif Comme on l’a déjà signalé, selon les modalités du contrat de prêt ou de placement, les intérêts peuvent être versés en début ou en fin de période : Lorsque les intérêts sont payés en fin de période, on dit qu’ils sont post-comptés ou terme échu. Ils sont calculés au taux d’intérêt simple, sur le capital initial C qui représente le nominal. Ils sont ajoutés ensuite, au nominal pour constituer le capital final V (valeur acquise). Pour un capital initial égal à C on a donc 𝑉 = 𝐶(1 +

𝑡. 𝑛 ) 36000

Lorsque les intérêts sont payés en début de période, on dit qu’ils sont précomptés ou terme à échoir. Ils sont calculés sur le nominal, qui constitue la somme finale C et retranchés du nominal pour déterminer la somme initiale ou mise à disposition. Etant donné un nominal égal à C, on aura alors C’ = C – I, où C’ désigne la somme initiale.

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Quand les intérêts sont payables d’avance, le taux d’intérêt effectif est celui appliqué au capital effectivement prêté ou emprunté C’ donne le montant de l’intérêt produit. En désignant par T, le taux effectif, on aura alors : 𝐶. 𝑡. 𝑛 𝐶 ′ . 𝑇. 𝑛 = 36000 36000 𝐶.𝑡.𝑛

Or 𝐶 ′ = 𝐶 − 𝐼 = 𝐶 − 36000 Donc 𝐶. 𝑡. 𝑛 (𝐶 − 36000) . 𝑇. 𝑛 𝐶. 𝑡. 𝑛 =⁡ 36000 36⁡000 𝑡. 𝑛 𝑡 = 𝑇(1 − ) 36⁡000 Donc 𝑇=

𝑡 𝑡. 𝑛 1 − 36000

Exemple Une personne place à intérêts précomptés la somme de 300 000 F CFA pour une durée de 6 mois au taux de 10 %. Quel est le taux effectif de ce placement ? Solution 𝑇=

10 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒⁡𝑇 = = 10.526% 𝑡. 𝑛 10.6 1 − 36000 1 − 1200

III.

𝑡

L’intérêt composé

III.1. Définition et champ d’application Un capital est dit placé à intérêt composé, lorsqu’à l’issue de chaque période de placement, les intérêts sont ajoutés au capital pour porter eux même intérêts à la période suivante au taux convenu. On parle alors d’une capitalisation des intérêts. Cette dernière opération est généralement appliquée lorsque la durée de placement dépasse un an. III.2. Calcul pratique Soit, C0 : le capital initial i : le taux d’intérêt par période pour une durée d’un an 9

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n : nombre de périodes de placement Cn : Valeur acquise par le capital C0 pendant n périodes Le tableau qui suit présente la méthode de calcul des intérêts et de valeur acquise à la fin de chaque année : Période Capital (Année) début de période 1 C0 2 𝐶0 (1 + 𝑖)1 3 𝐶0 (1 + 𝑖)2 .. n-1 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−2 n 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−1

Intérêt de l’année

Valeur acquise par le capital en fin de période après prise en considération des intérêts

𝐶0 . 𝑖 𝐶0 (1 + 𝑖)1 . 𝑖 𝐶0 (1 + 𝑖)2 . 𝑖

𝐶0 + 𝐶0 . 𝑖 = ⁡ 𝐶0 (1 + 𝑖)1 𝐶0 (1 + 𝑖)1 + 𝐶0 (1 + 𝑖)1 . 𝑖 = 𝐶0 (1 + 𝑖)2 𝐶0 (1 + 𝑖)2 + 𝐶0 (1 + 𝑖)2 . 𝑖 = 𝐶0 (1 + 𝑖)3

𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−2 . 𝑖 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−1 . 𝑖

𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−2 + 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−2 . 𝑖 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−1 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛−1 . 𝑖 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛

La valeur acquise par le capital C0 à la fin de n périodes au taux i est donc donnée par la formule suivante : 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 Remarque: La formule Cn = C0 (1 + i)n n’est applicable que si le taux d’intérêt i et la durée n sont homogènes, c’est à dire exprimés dans la même unité de temps que la période de capitalisation. Si par exemple, il est convenu entre le prêteur et l’emprunteur que les intérêts doivent être capitalisés à la fin de chaque mois, la formule ne sera applicable que si le taux d’intérêt est mensuel et que la durée de placement est exprimée en mois.

Exemple: Une somme de 10 000 F CFA est placée pendant 5 ans au taux annuel de 10%. 1/ Quelle somme obtient-on à l’issue de ce placement ? 2/ Si au bout de cette période de placement on souhaite obtenir 20 000 F CFA, quelle somme doit-on placer aujourd’hui ? 3/ Si la somme placée aujourd’hui est de 10 000 F CFA, après combien de temps disposera-ton d’une somme égale à 23580 F CFA ? 4/ Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de 17821 F CFA à quel taux le placement a été effectué ?

Solution : 1/ Valeur acquise :

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𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 𝐶5 = 10⁡000(1 + 0.1)5 = 16⁡105.1⁡𝐹⁡𝐶𝐹𝐴⁡ 2/Valeur actuelle correspondante à une valeur acquise de 20 000 F CFA. 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 ⁡𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡⁡⁡𝐶0 = 𝐶𝑛 (1 + 𝑖)−𝑛 ⁡ 𝐶0 = 20⁡000(1 + 0.1)−5 = 12⁡418.426⁡𝐹⁡𝐶𝐹𝐴 3/ Durée du placement 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 ⁡⁡é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡⁡à⁡⁡⁡⁡𝑙𝑛𝐶𝑛 = 𝑙𝑛𝐶0 + 𝑛𝑙𝑛⁡(1 + 𝑖)⁡𝑜𝑛⁡𝑡𝑖𝑟𝑒⁡𝑛 =

⁡𝑙𝑛𝐶𝑛 − ⁡𝑙𝑛𝐶0 ⁡ ln(1 + 𝑖)

En faisant l’application numérique on obtient : ⁡𝑛 =

ln 23⁡580 − ln 10⁡000 ⁡⁡𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖⁡𝑜𝑛⁡𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡⁡𝑛 = 9⁡𝑎𝑛𝑠 ln(1 + 0.1)

4/ Taux de placement 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 ⁡⁡𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒⁡⁡⁡(1 + 𝑖)𝑛 = =(

IV.

⁡𝐶𝑛 𝐶𝑛 1 ⁡𝑑𝑜𝑛𝑐⁡𝑖 = ( )𝑛 − 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑑𝑜𝑛𝑐⁡𝑖 𝐶0 𝐶𝑛

17⁡821 1 )5 − 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑖 = 0.1225 10⁡000

Taux Proportionnels et taux équivalents

Les taux d’intérêt sont généralement exprimés en taux annuels. Mais, on peut considérer une période plus courte que l’année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le jour. De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. Ainsi, lorsque le taux d’intérêt est annuel et l’on considère une période inférieure à l’année, le taux d’intérêt prévalant pour cette période devra être calculé. Pour ce faire, on emploie l’un des deux taux suivants: • •

le taux proportionnel ou le taux équivalent

IV.1. Taux proportionnels Deux taux correspondants à des périodes différentes sont dits proportionnels, lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives. Soit : i : taux annuel p : le nombre de périodes dans l’année ip : taux proportionnel par période On a alors : 𝒊𝒑 =

𝒊 𝒑

Ainsi si : 11

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𝑖𝑠 = 𝑡𝑎𝑢𝑥⁡𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑠 =

𝑖 ; 2

𝑖 𝑖𝑡 = 𝑡𝑎𝑢𝑥⁡𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑡 = ; 4 𝑖𝑚 = 𝑡𝑎𝑢𝑥⁡𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑒𝑙, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑚 =

𝑖 12

IV.2. Taux équivalent Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation différentes, sont dits équivalents lorsqu’ils produisent la même valeur acquise quand ils sont appliqués au même capital. Soit, i : taux annuel équivalent p : nombre de périodes de l’année ip : taux équivalent par période 𝑝

𝑂𝑛⁡𝑎⁡𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑝 = √(1 + 𝑖) − 1 Démonstration : 𝑪𝟎 (𝟏 + 𝒊) = 𝑪𝟎 (𝟏 + 𝒊𝒑 )𝒑 (𝟏 + 𝒊) = (𝟏 + 𝒊𝒑 )𝒑 𝒑

𝟏 + 𝒊𝒑 = √(𝟏 + 𝒊) 𝒑

𝒊𝒑 = √(𝟏 + 𝒊) − 𝟏 𝟏

𝒊𝒑 = (𝟏 + 𝒊)𝒑 − 𝟏 Ainsi, si : 𝟏

𝒊𝒔 = 𝑡𝑎𝑢𝑥⁡𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙⁡é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑠 = (𝟏 + 𝒊)𝟐 − 𝟏 𝟏

𝒊𝒕 = 𝑡𝑎𝑢𝑥⁡𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙⁡é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑡 = (𝟏 + 𝒊)𝟒 − 𝟏 𝟏

𝒊𝒎 = 𝑡𝑎𝑢𝑥⁡𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑒𝑙⁡é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠⁡𝑖𝑚 = (𝟏 + 𝒊)𝟏𝟐 − 𝟏

Exemple Calculer le taux semestriel proportionnel et le taux semestriel équivalent pour i = 9 %. 𝑇𝑎𝑢𝑥⁡𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙⁡𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙 = ⁡ 𝑖𝑠 =

0.09 = 0.045 = 4.5% 2 1

𝑇𝑎𝑢𝑥⁡𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙⁡é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 = ⁡ 𝑖𝑠 = (1 + 0.09)2 − 1 = 0.044 = 4.4%

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l’escompte

V.

L’escompte est une opération de crédit par laquelle la banque transforme une créance, matérialisée par un effet de commerce, en liquidité au profit de son client, avant son échéance et contre remise de l’effet. La banque crédite ainsi le compte de l’entreprise du montant de l’effet escompté diminué des agios. On distingue l’escompte commercial de l’escompte rationnel. V.1. L’escompte commercial C’est l’intérêt simple calculé à un taux indiqué par le banquier sur une somme égale à la valeur nominale de l’effet et une durée allant du jour de la négociation jusqu’au jour de l’échéance; c’est la méthode appliquée en pratique. Soit, V : la valeur nominale de l’effet, c’est la valeur de l’effet à son échéance t : taux d’escompte n : durée de l’escompte, c’est le nombre de jours séparant la date de négociation de l’effet de sa date d’échéance. e : l’escompte commercial a : la valeur actuelle commerciale 𝑂𝑛⁡𝑎: 𝑒 =

𝑉. 𝑡. 𝑛 36⁡000

𝐸𝑡⁡𝑎 = 𝑉 − 𝑒 Calcul de la valeur actuelle (a) en fonction de la valeur nominale (V) 𝑎 =𝑉−𝑒 𝑉. 𝑡. 𝑛 36⁡000 𝑡. 𝑛 𝑎 = 𝑉(1 − ) 36⁡000 𝑎=𝑉−

𝑎 = 𝑉(

36⁡000 − 𝑡. 𝑛 ) 36⁡000

Calcul de l’escompte (e) et de la valeur actuelle (a) en fonction du diviseur (D) 𝑆𝑖⁡𝑜𝑛⁡𝑛𝑜𝑡𝑒⁡𝑝𝑎𝑟⁡𝐷 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟 = 𝑂𝑛⁡𝑎𝑢𝑟𝑎⁡𝑒 =

36⁡000 𝑡

𝑉. 𝑛 𝐷

𝑎 =𝑉−𝑒 𝑎=𝑉−

𝑉. 𝑛 𝐷 13

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𝑎=

𝑉(𝐷 − 𝑛) 𝐷

V.2. L’escompte rationnel C’est l’intérêt calculé sur la somme effectivement prêtée par la banque : la valeur actuelle rationnelle. Cette valeur augmentée des intérêts, calculés en fonction de cette valeur et du nombre de jours couru de la négociation à l’échéance de l’effet, devient égale à la valeur nominale. Soit : e’ : escompte rationnel a’ : valeur actuelle rationnelle V : valeur nominale de l’effet t : taux d’escompte n : durée de l’escompte 𝑒′ =

𝑎′ . 𝑡. 𝑛 36⁡000

Calcul de la valeur actuelle rationnelle (a’) en fonction de la valeur nominale (V) 𝑂𝑛⁡𝑎⁡𝑉 = 𝑎′ + 𝑒 ′ 𝑎′ . 𝑡. 𝑛 36⁡000 𝑡. 𝑛 𝑉 = 𝑎′ (1 + ) 36⁡000 𝑉 = 𝑎′ +

𝐷′ 𝑜ù⁡⁡⁡𝑉 = 𝑎′ ( ⁡⁡𝑎′ =

36⁡000 + 𝑡. 𝑛 ) 36⁡000

36⁡000. 𝑉 36⁡000 + 𝑡. 𝑛

Calcul de l’escompte rationne (e’) et de la valeur actuelle rationnelle (a’) en fonction du diviseur (D) 𝑎′ . 𝑛 𝑒 = 𝐷 ′

𝑉 = 𝑎′ + 𝑒 ′ 𝑎′ . 𝑛 𝑉 =⁡𝑎 +⁡ 𝐷 𝑛 𝑉 = ⁡ 𝑎′ (1 + ⁡ ) 𝐷 ′

𝐷+𝑛 ) 𝐷

𝑉 = ⁡ 𝑎′ (⁡

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⁡𝑎′ = ⁡

𝑉. 𝐷 𝐷+𝑛

Si on calcule l’escompte rationnel e’ en fonction de la valeur nominale V on aura : 𝑎′ . 𝑡. 𝑛 36⁡000

𝑒′ =

36⁡000. 𝑉 36⁡000 + 𝑡. 𝑛 . 𝑡. 𝑛 𝑒 = 36⁡000 ′

𝑉. 𝑡. 𝑛 36⁡000 + 𝑡. 𝑛

𝑒′ =

𝑜𝑢⁡𝑒 ′ =

𝑉. 𝑛 𝐷+𝑛

V.3. Date d’équivalence Soit deux effets de sommes différentes et d’échéances différentes escomptés au même taux. On dit que ces deux effets sont équivalents à une date déterminée, lorsqu’ à cette date les deux effets ont la même valeur actuelle. 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑡⁡1 = 𝐸1 → ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥⁡𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑡⁡2 = 𝐸2 → ⁡⁡⁡⁡ (𝑥 + 𝑚)⁡𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 La date d’équivalence est déterminée à partir de l’égalité suivante : a1 = a2 En utilisant la formule de a en fonction du diviseur, on aura : 𝑉1 (𝐷 − 𝑥) 𝑉2 (𝐷 − 𝑥 − 𝑚) = 𝐷 𝐷 𝑉1 (𝐷 − 𝑥) = 𝑉2 (𝐷 − 𝑥 − 𝑚) (𝑉2 − 𝑉1 )𝑥 = 𝐷⁡(𝑉2 − 𝑉1 ) − 𝑚. 𝑉2 𝑥=

𝐷(𝑉2 − 𝑉1 ) 𝑚. 𝑉2 − (𝑉2 − 𝑉1 ) 𝑉2 − 𝑉1

𝑥=𝐷−

𝑚. 𝑉2 𝑉2 − 𝑉1

Remarques: • • •

La date d’équivalence de deux effets, dans le cas où elle existe, est antérieure à la date d’échéance la plus proche. La date d’équivalence doit être postérieure aux dates à partir desquelles les deux effets ont été créés. Deux effets ne peuvent être équivalents qu’à une seule date.

Exemple: 15

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Soit, - E 1 : effet de commerce de valeur nominale 9 840 F CFA à échéance 31 octobre. - E 2 : effet de commerce de valeur nominale 9 900 F CFA à échéance 30 Novembre. Ils sont négociés au taux de 7,2 %. Déterminer la date d’équivalence des deux effets. x+30 jours -------------------------------------------------------------x -------------------------

Date d’éauivalence

31 oct.

30 nov.

A la date d’équivalence cherchée, les valeurs actuelles commerciales des deux effets sont égales. 𝑂𝑛⁡𝑠𝑎𝑖𝑡⁡𝑞𝑢𝑒⁡𝑎 = 𝑉 −

𝑉. 𝑡. 𝑛 36⁡000

𝑂𝑛⁡𝑎𝑢𝑟𝑎⁡𝑑𝑜𝑛𝑐⁡9⁡840 −

9⁡840.7,2. 𝑥 9⁡900.7,2. (𝑥 + 30) = 9⁡900 − 36⁡000 36⁡000

𝐸𝑛⁡𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡⁡𝑙𝑎⁡𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒⁡𝑣𝑢𝑒⁡𝑎𝑢⁡𝑝𝑎𝑟𝑎𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑒⁡𝑝𝑟é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡, 𝑜𝑛⁡𝑎⁡𝑥 = 50⁡𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 La date d’équivalence cherchée se situe 50 jours avant le 31 octobre soit au 11 Septembre.

V.4. Le coût de l’escompte Le coût de l’escompte est constitué par l’ensemble des prélèvements effectués par le banquier, il comprend : 𝐿′ 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑒(𝑒): 𝑒 =

∑𝑉𝑖 𝑡𝑖 𝑛𝑖 ⁡𝑝𝑜𝑢𝑟⁡𝑖⁡𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡𝑠. 36⁡000

Les commissions (c): la banque centrale autorise les banques à retenir des commissions sur l’escompte des effets de commerce. Ces commissions peuvent être fixes ou variables en fonction de la valeur de l’effet. La taxe sur la valeur ajoutée (TVA): les commissions sont soumises à la taxe sur la valeur ajoutée au taux de 19.25 %. Ainsi, on peut définir le taux de revient de l’escompte TR qui, appliqué à la valeur nette reçu à la suite de l’opération d’escompte pour une durée n, donne le coût de l’escompte : 𝐶𝑜û𝑡⁡𝑑𝑒⁡𝑙 ′ 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑒 =

𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟⁡𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒. 𝑇𝑅 . 𝑛 36⁡000 16

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𝑒 + 𝑐 + 𝑇𝑉𝐴 = 𝑑 ′ 𝑜ù⁡𝑇𝑅 =

𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟⁡𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒. 𝑇𝑅 . 𝑛 36⁡000

36⁡000. (𝑒 + 𝑐 + 𝑇𝑉𝐴) 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟⁡𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒. 𝑛

Remarques Le taux réel de l’escompte (T) est différent du taux de revient de l’escompte puisqu’il se calcul en employant la valeur nominale de l’effet à la place de la valeur nette.

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