Cours de Béton Précontraint Chap 1 À 10 PDF [PDF]

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LE BETON PRECONTRAINT AUX ETATS LIMITES

M'hamed LAAZOUZI Année 2019

Sommaire  Chapitre 1 : Présentation du béton précontraint notations – unités  Chapitre 2 : La réglementation – la sécurité  Chapitre 3 – les bétons  Chapitre 4 – les aciers  Chapitre 5 – les procédés de précontrainte  Chapitre 6 – les sollicitations  Chapitre 7- contraintes admissibles contraintes de calcul  Chapitre 8 : adhérence  Chapitre 9 : perte de précontrainte  Chapitre 10 : la flexion en état limite de service

I. Chapitre 1 : Présentation du béton précontraint notations – unités 1. Présentation 1.1. Étymologie Le mot « précontraint » signifie contrainte avant ; le béton précontraint est soumis préalablement à toute charge extérieure, à un effort de compression qui permettra de supprimer les contraintes de traction qui apparaitraient dans un élément en béton armé. On évite ainsi les inconvénients du béton armé tels que fissuration, corrosion des aciers, béton tendu inutile…

1.2. Historique Le mot précontraint a été imprimé en 1933 par E. FREYSSINET dans un article de la revue sciences et industrie. Le premier brevet de Freyssinet sur la précontrainte date de 1928, il était intitulé « procédé de fabrication de pièces en béton armé » Les premières études sur la précontrainte du béton sont antérieures à celles de Freyssinet , on peut citer : Le brevet de P. JACKSON en Californie en 1886, qui est la première application du béton précontraint Le brevet de DOEHRING en 1888 comportant quelques principes de béton précontraint mais sans suite, et qui déposa un brevet de dalles précontraintes par fils Les essais des allemands KOENER et LUNDT en 1907, qui furent voués l’échec, pour essayer de limiter la fissuration de traction du béton.

1.3. Principes du béton précontraint Pour comprendre le principe de la précontrainte nous proposons deux exemples :

1.3.1. La roue de bicyclette La roue de bicyclette est constituée d’une jante avec pneu, de rayon métallique tendus et d’un moyeu.

Première étude : Examinions ce qui se passerait si les rayons n’étaient pas prétendus. La raideur de la jante n’est pas suffisante pour ne pas se déformer au contact du sol. Les rayons ne peuvent résister à des efforts de compression importants ( élancements mécaniques de l’ordre de 1000, contrainte critique d’Euler de l’ordre de 2 MPA, effort critique d’Euler de l’ordre de 3 N, ce qui est négligeable) La jante a tendance à se raccourcir entre A et B mais comme son module d’Young élevé ne permet pas d’absorber ce raccourcissement sur la longueur AB, elle pousse sur la partie extérieure à AB. Dans la zone ED, les rayons sont comprimés pour équilibrer l’effort de compression apporté par ceux de la zone AB. L’équilibre général serait obtenu par : 

Compression des rayons des zones AB et DE



Traction des rayons des zones EF et BD



La jante comprimée sur toute sa longueur

Or les rayons flambent. Deuxième étude :

Supposons les rayons prétendus à la fabrication de la roue, l’effort de compression supporté par les rayons de la zone AB pour 8 rayons, est de l’ordre de : 100/8 = 12.5 kg ; pour des rayons de 1.5mm2 de section, on aurait une contrainte de 82MPA. Si les rayons sont prétendus à 100 MPA ( 15 Kg de traction) ils peuvent supporter un effort de compression qui diminue l’effort de traction résistant de 100 à 100 -82 = 18 MPA ; ils restent toujours tendus et ne flambent donc pas. On voit ainsi comment, par la mise en place d’un effort préalable de traction ( précontrainte par traction), on ramène le comportement des matériaux ( rayons) dans le domaine de résistance. Principe de la précontrainte : La précontrainte est un état de sollicitation du béton et de l’acier appliqué lors de la construction, avant que d’autres sollicitations agissent sur la structure. L’acier est mis en traction au moyen d’un dispositif spécifique : cet effort est transmis au béton qui est ainsi mis en compression. Le terme « précontrainte » indique que le béton est mis en compression avant que la structure entre en fonction. Précontraindre une construction, c’est la soumettre, avant application des charges, à des forces additionnelles déterminants des contraintes telles que leur composition avec celles provenant des charges donne en tous points des résultantes inférieures aux contraintes limites que la matière peut supporter indéfiniment sans altération. La précontrainte permet d’augmenter sensiblement la rigidité d’une structure en béton armé, tout en rendant possible la pleine utilisation d’aciers à très haute résistance. En effet, des armatures avec une limite d’écoulement qui atteint 3-4 fois celle des armatures ordinaires peuvent être produites à des coûts très intéressants, mais ne peuvent pas être utilisées efficacement dans le béton armé ordinaire puisque les déformations (déplacements et fissures) à l’état limite de service seraient trop importantes.

1.3.2. Expérience simple Une expérience simple peut être faite avec des morceaux de sucre qui peuvent représenter les voussoirs préfabriqués d’un pont à voussoirs. Prenons huit morceaux de sucre que nous assemblerons par juxtaposition suivant leur grande face disposée horizontalement .

Appliquons une force à mi portée jusqu’à l’effondrement. On constate que la ruine se produit par ouverture du joint inférieur des morceaux 4 et 5 , comme si l’effort P était appliqué au-dessus du noyau central. Retournons l’ensemble dans le sens vertical.

On constate alors que la charge Q2 est plus grande que Q1.

Déplaçons la position du point d’application de l’effort P vers le bas, l’effort de ruine Q3 est encore plus élevé :

Q3 > Q2 > Q1.

On constate donc que la force portante est améliorée par : Une plus grande inertie ( Q2 > Q1) Une excentricité de l’effort P dirigé vers le bas ( Q3> Q2)

1.4. Qualités et défauts du béton précontraint Comme principaux avantages du béton précontraint, on peut citer : Une meilleure utilisation de la matière puisque contrairement au béton armé, il n(y a pas de béton tendu inutile. Le béton situé autour des armatures de précontrainte est toujours comprimé, on limite ainsi le risque de corrosion des aciers. Les armatures à haute limite d’élasticité utilisées en béton précontraint sont moins chères, à force égale, que les aciers de béton armé. L’effort de précontrainte, agissant en sens inverse des charges extérieures, limite les déformées. On obtient ainsi une diminution des flèches des poutres et donc une diminution de leur hauteur. La possibilité d’assembler des éléments préfabriqués sans échafaudage ni bétonnage de deuxième phase : ponts construits avec des voussoirs préfabriqués posés en encorbellements successifs… La possibilité de franchir de plus grande portée qu’avec des ouvrages en béton armé. Comme inconvénient on retiendra : La nécessité de fabriquer des bétons plus résistants principalement avant 28 jours La nécessité de disposer d’un personnel qualifié pour la vérification de la pose des gaines et câbles et pour la mise en tension des câbles. L’obligation d’attendre que la mise en tension soit faite pour pouvoir décintrer ou décoffrer. Des calculs en général plus complexes que pour les ouvrages en béton armé.

1.5. Types de précontrainte 1.5.1. La précontrainte par post-tension Dans la précontrainte par post-tension, l’acier est mis en tension après le durcissement du béton. Cette opération s’effectue ainsi (fig. 1.1) :

1. Des gaines de précontrainte en tôle ondulée ou en matière synthétique (polyéthylène ou polypropylène) sont placées dans le coffrage avant le bétonnage. L’armature de précontrainte se trouve dans ces gaines, qui la séparent du béton frais lors de sa mise en place, ou sera introduite dans les gaines après le bétonnage. A chaque extrémité, l’armature de précontrainte est dotée de têtes d’ancrages chargées de transmettre la force de précontrainte au béton (fig. 1.2).

2. Après le bétonnage et une fois le béton durci, les câbles sont mis en tension. Pour ce faire, un vérin hydraulique est placé en face d’une des têtes d’ancrage pour tirer sur le câble (fig. 1.3). C’est ainsi que le béton est mis en compression.

3. Une fois la force désirée atteinte, qui peut être contrôlée en mesurant l’élongation du câble de précontrainte par rapport au béton, le câble est ancré à la tête d’ancrage et le vérin hydraulique démonté.

4. La dernière opération consiste à injecter l’espace entre la gaine et l’armature de façon à empêcher la corrosion de cette dernière. En général, on utilise un coulis de ciment qui, une fois durci, garantit également une bonne adhérence et une bonne transmission des efforts entre l’acier de précontrainte et le béton, tout comme pour une armature ordinaire (précontrainte avec adhérence). Dans ce cas, l’acier et la gaine doivent présenter des nervures suffisantes à leur surface. Si l’adhérence n’est pas nécessaire, l’injection peut se faire au moyen de graisse ou de cire pétrolière (précontrainte sans adhérence). Parfois, le câble de précontrainte n’est pas placé à l’intérieur du béton. Son comportement est alors identique à celui d’un câble de précontrainte sans adhérence (précontrainte extérieure). Les dispositifs de précontrainte qui, comme il a été mentionné plus haut, équipent les extrémités des câbles pour permettre l’introduction de la force dans le béton peuvent être soit des ancrages mobiles soit des ancrages fixes (fig. 1.2). Dans le premier cas, le câble peut se déplacer par rapport à la tête au moment de la mise en tension à cause de l’allongement du câble sous la force de précontrainte (en réalité le béton se déforme aussi, mais son raccourcissent est généralement négligeable par rapport à l’allongement de l’acier). Une fois ce mouvement effectué, le câble est fixé à l’ancrage. La tête d’ancrage consiste généralement en une plaque d’acier située dans une niche à la surface du béton, sur laquelle vient s’appuyer le vérin hydraulique pendant la mise en tension. Il est important de tenir compte de l’encombrement du vérin lors de l’établissement du projet d’une structure précontrainte. Pour éviter la corrosion de l’ancrage, on bétonne normalement ensuite la niche dans laquelle se trouve l’ancrage de telle sorte que le câble est complètement noyé dans le béton. Au niveau de la tête d’ancrage fixe, l’armature de précontrainte est fixée à l’ancrage avant la mise en tension du câble. Dans ce cas aussi, une plaque d’acier est utilisée pour répartir l’effort de compression sur le béton. A la différence des têtes mobiles, les têtes fixes, ne doivent pas être accessibles à un vérin de mise en charge et peuvent directement être noyées dans le béton.

1.5.2. La précontrainte par pré-tension Dans la précontrainte par pré-tension, l’armature de précontrainte est mise en tension avant la mise en place du béton selon la séquence suivante : 1. L’armature de précontrainte est mise en tension sur une structure rigide, le banc de préfabrication. Le procédé est similaire à la mise en tension d’une corde d’instrument de musique. 2. Le béton est ensuite mis en place. Puisqu’elle n’est pas séparée du béton par une gaine, l’armature de précontrainte adhère au béton grâce aux aspérités de sa surface, exactement comme une armature en acier ordinaire. 3. Une fois que le béton a suffisamment durci et que la résistance nécessaire est atteinte, l’armature de précontrainte est coupée à l’extrémité des éléments de béton et le cadre de mise en tension est déchargé. La

force de précontrainte est transmise au béton grâce à l’adhérence entre l’acier et le béton, qui empêche l’armature de se raccourcir. Les bancs de mise en précontrainte sont des structures importantes, dont le poids et les dimensions peuvent être très grands. C’est pourquoi, la précontrainte par pré-tension est difficilement applicable sur le chantier et s’applique généralement aux structures préfabriquées en usine. Par rapport à la post-tension, la pré-tension a l’avantage important d’être économique. En effet, elle ne nécessite ni gaines, ni têtes d’ancrage ni injection des câbles

1.5.3. Les câbles de précontraintes : Pour les câbles de précontrainte, on utilise généralement des : a) torons à très haute résistance

b) barres à haute résistance c) fils d’acier à très haute résistance. Les barres et les fils sont de moins en moins utilisés, de sorte qu’aujourd’hui les torons (fig. 1.5) constituent la majorité des câbles pour la post-tension et des armatures pour la précontrainte par pré-tension. Comme l’indique la figure 1.6, la limite d’écoulement des barres correspond à environ deux fois celle des barres d’armature ordinaires, tandis que pour les fils et les torons, ce rapport est d’environ trois fois. Ces derniers ne présentent pas un vrai plateau d’écoulement, de sorte que la limite d’écoulement est fixée de façon conventionnelle à la contrainte pour laquelle la déformation irréversible est de 1 mm/m.

Pour les aciers de précontrainte, comme d’ailleurs pour tous les aciers, la limite d’écoulement élevée est accompagnée d’une capacité de déformation limitée. Le tableau suivant résume les limites d’écoulement et les résistances à la traction des aciers de précontrainte couramment utilisés

2. Notations Les notations concernent les paramètres suivants :



Les actions



Les sollicitations



Les contraintes



La géométrie

2.1. Actions Les principales actions qui sollicitent un ouvrage sont : 

G : charges permanentes



Q : charges variables quelconques



E : séisme



S : neige



W : vent



T : température



F : action accidentelle

2.2. Sollicitations 

M : moment fléchissant



Mg : dû aux charges permanentes



Mq : dû aux charges variables



Mu : moment de calcul en ELU



N : effort normal autre que la précontrainte



T : moment de torsion



V : effort tranchant ( mêmes indices que pour M) ( V pour vertical)



P : effort normal dû à la précontrainte.

2.3. Contraintes fe : limite élastique des aciers passifs fprg : limite de rupture garantie de l’acier de précontrainte fpeg : limite d’élasticité de l’acier de précontrainte fcj : résistance caractéristique du béton à la compression à j jours ftj : résistance caractéristique

du béton à la traction à j jours

σs : contrainte de traction dans l’acier passif

σp : contrainte de traction dans l’acier de précontrainte σbc : contrainte de compression du béton σbt : contrainte de traction du béton τ : contrainte de cisaillement

2.4. Géométrie

2.5. Autres valeurs 

Eij : module d’élasticité instantanée du béton à j jours



Es : module d’élasticité longitudinale des aciers passifs



Ep : module d’élasticité longitudinale des aciers actifs



Єbc : raccourcissement relatif du béton comprimé



Єs : Allongement relatif de l’acier passif



Єp : allongement relatif de l’acier de précontrainte

3. Unités Le système légal est le système international dit SI, les unités de base intéressant le béton précontraint sont : Le mètre Le kilogramme pour les masses La seconde pour le temps et les unités secondaires qui en découlent Le newton pour les forces ; c’est la force qui communique à un corps de masse 1 Kg une accélération de 1m/s2 On utilise couramment : Le kilonewton (KN) égale à 1000 N et le méganewton (MN) égale à 10 6N Le pascale (Pa) pour les contraintes = 1N/m2 ou le Kilopascal ( KPa) égale à 1000 Pa, le Mégapascal (MPa) égale à 106 Pa. On utilise quelque fois : Le N/mm2 = 1 MPa Le newton mètre ( N.m) pour les moments ou le Kilonewton-mètre ( KN.m) et le MN.m Correspondance avec les autres unités : Forces : 1 Kg= 9.81 N ; 1 t= 9.81 KN Contraintes : 1 bar= 100 KPa=0.1MPa, 1 MPA=10 bars 1kg/cm2 = 98.1 KPa = 0.0981 MPa

4. Prospective en matière d’ouvrages d’art En ce qui concerne le béton précontraint, on peut retenir : Une plus grande standardisation pour les petits et moyennes portées avec un emploi plus fréquent du béton précontraint que du béton armé. Une progression de l’utilisation de ponts précontraints à caisson ou de ponts à haubans. Une plus grande recherche esthétique. Emploi de béton et d’acier de plus grande résistance

Les coûts des matériaux et de la main d’œuvre augmenteront de façon importante. Il sera de plus en plus fait appel à la préfabrication, à des procédés de construction simplifiés ou automatiques.

II. Chapitre 2 : La réglementation – la sécurité L’acte de construire a fait l’objet de réglementation depuis l’antiquité. Ainsi on retrouve on retrouve dans le code de « HAMOURABI » édicté voilà près de 4 000 ans, une prescription concernant la responsabilité du constructeur, en l’occurrence l’architecte : « si la maison s’écroule et écrase le fils du propriétaire, le fils de l’architecte sera mis à mort » La sécurité est donc un critère important du choix des matériaux en qualité et en quantité. Si la sécurité n’est pas réglementée, les différents concepteurs utiliseront des formules personnelles pour le calcul avec des critères qui leur seront propres, qui peuvent parfois être néfastes à la sécurité ou à l’économie. Il faut donc trouver un compromis entre le coût et la sécurité. En général établi par un organisme dépendant de l’état, un règlement et le fait de l’expérience acquise avec des méthodes de calcul élaborées au cours des décennies précédentes, avec les analyses des sinistres et effondrements qui ont pu se produire dans le passé. Il est élaboré par une commission d’experts reconnus dans la profession, appartenant au public et au privé et capables de mettre à la portée de tous les ingénieurs un outil simple, efficace et pas trop rigide pour ne pas jouer le rôle de freins au progrès. Le règlement doit tenir compte des derniers résultats de la technique tels que : 

Amélioration de la qualité des matériaux acier et béton



Utilisation de la préfabrication



Mise au point de nouveaux procédés de construction



Résultats des essais de laboratoire

Un règlement doit être mis à jour régulièrement. Le règlement en vigueur au Maroc est le BPEL, le béton précontraint aux états limites.

1. La réglementation classique dite aux contraintes admissibles Cette réglementation a été la première élaborée. Elle compare les contraintes σ obtenues par la résistance des matériaux sous sollicitation de service ( càd sous les charges correspondant à leur phase d’utilisation) aux contraintes de ruine f des matériaux, minorées par un coefficient dit coefficient de sécurité tels que :

σ 0.9 fpeg/ Ep / γp, σp est déterminé par l’équation du 5è degré :

Єp = σp / Ep + 100 ( γp σp / fpeg -0.9)5 4.3. Aciers actifs Le module d’Young vaut Es = 200 000 MPa

5. Contraintes admissibles d’effort tranchant Ls contraintes admissibles d’effort tranchant correspondent à l’état limite de service. Elles dépendent d’un certain nombre de paramètres et seront traité ultérieurement.

VIII. Chapitre 8 : adhérence 1. qu’ est-ce que l’adhérence La transmission de la variation de la contrainte normale de compression ou de traction due au moment de flexion, entre le béton et les aciers se fait par adhérence entre ces derniers. Cette liaison est due à des apérités de l’acier qui s’arc-boutent sur le béton. Ceci est particulièrement vrai pour les aciers nervurés ou crané. En béton précontraint par post-tension avec gaines, on distinguera deux types d’adhérence : L’adhérence des torons ou fils au coulis d’injection L’adhérence des gaines, d’une part au coulis d’injection sur leur face interne, d’autre part au béton situé autour de la gaine. L’adhérence se caractérise par une contrainte τs dite contrainte d’adhérence. 1.1. Calcul de la contrainte d’adhérence Soit une section quelconque d’une structure isostatique ou hyperstatique, soumise à un effort de précontrainte P et à un moment extérieur M dont le diagramme des contraintes est représenté sur la figure suivante :

e0 représente l’excentricité de la précontrainte et M le moment de flexion extérieur, l’équilibre du couple élastique s’écrit :

P x e0 + M = F*Z

D’où

F1 = (P e0 + M) / Z

La variation de cet effort avec la longueur s’écrit : F’ = dF1/ dx = 1/Z * (dM/dx + d(Pe0)/dx)

Or: de0/dx = tg α (x)

la pente du câble

dM/ dx = V (x)

effort tranchant

D’où

F’ = P/z tg α + V/z

La contrainte d’adhérence τs est obtenue en divisant F’ par le périmètre de contact acier-béton p :

τs = F’ / p = dF1/dx/p

= (P tgα + V ) / pz

Le périmètre est indiqué ci-dessous :

2. Adhérence de béton armé 3. Adhérence acier béton en pré-tension 3.1. Adhérence d’entrainement Comme en béton armé, les aciers utilisés en pré-tension ont à satisfaire la condition d’entrainement, c’est-à-dire de non glissement dans la zone d’effort tranchant non nul. La contrainte vaut : τs

= (P tgα + V) / pz

On devra vérifier que : τs < τs admissible = 0.7 ψs ftj 

ψs : coefficient de scellement dépendant de l’acier et indiqué sur sa fiche d’homologation



ftj : contrainte caractéristique de traction du béton à j jours

3.2. Scellement aux extrémités L’absence de dispositif d’ancrage suppose que les fils ou torons deviennent parfaitement ancrés sur une longueur ls relativement courte. Où l’effort de précontrainte P est transmis progressivement de l’acier au béton.

La valeur de la contrainte d’adhérence sur la longueur ls a l’allure de la courbe suivant :

3.3. Règles BPEL On distingue : La longueur conventionnelle de scellement lcs obtenue par interprétation d’essais et figurant dans la décision d’agrément de l’acier. La longueur nominale de scellement lns à utiliser dans les calculs qui dépend de la résistance du béton :

lns = μ/0.85 [ lcs + 2 ( 40 - fcm)] où: μ = σpr / fprg

fcm = valeur moyenne de la résistance du béton au moment du relâchement des armatures, en MPa et plafonnée à 40 MPa ; on pourra prendre fcm = 1.25 fcj En pratique, on pourra retenir : 

lcs = 75 x diamètre nominal pour les torons à 7 fils



lcs = 100 x diamètre nominal pour les torons à 3 fils et les fils autres que rond lisses

4. Adhérence par poste tension 4.1. Adhérence vis à vis du cisaillement du béton dû à l’effort tranchant Jusqu’au BPEL, on négligeait la résistance au cisaillement du coulis d’injection des gaines en prenant pour largeur nette bn, la largeur de l’âme diminuée du diamètre des gaines rencontrées sur une même horizontale.

Le BPEL, pour tenir compte de l’adhérence existant entre gaine, coulis et acier de précontrainte admet de ne retrancher que la demi section des gaines. 4.2. Adhérence d’entrainement

IX. Chapitre 9 : perte de précontrainte La contrainte de travail des aciers ne peut être déterminée de façon réglementaire comme en béton armé par exemple, où la contrainte admissible des aciers est limitée à une fraction de la limite élastique. En effet, certains phénomènes qui n’avaient pas d’action sur la contrainte de l’acier en béton armé, interviennent de façon non négligeable, tel le frottement à la mise en tension des câbles, le recul à l’ancrage, la non-simultanéité de mise en tension des différents câbles, le retrait du béton, la relaxation des aciers, le fluage du béton. Les trois premières pertes sont instantanées, les trois dernières sont des pertes différées, c’est-à-dire qu’elles atteignent leur valeur maximale au bout d’un certain nombre de mois , voire d’années.

La mise en tension des câbles de précontrainte s’effectue grâce à l’action de vérins hydrauliques. Au point le plus sollicité du câble, on évitera d’atteindre une valeur trop proche de la rupture de l’acier, c’est pourquoi on a fixé réglementairement une traction maximale de mise en tension appelée tension à l’origine et notée σp0. Dans le cas de post-tension ou de pré-tension : σp0 = Min ( 0.8fprg ; 0.90fpeg) -

fprg : contrainte de rupture garantie

-

fpeg : limite conventionnelle d’élasticité à 0.1%

Dans le cas de produits industrialisés en pré-tension et faisant l’objet d’un système fiable d’assurance de qualité, cette valeur peut être prise égale à : σp0 = Min ( 0.85fprg ; 0.95fpeg) Pour les barres, la tension à l’origine est prise égale à : σp0 = 0.7fprg Pour les tirants d’ancrage dans le sol ( murs de soutènement, pieux…) on retiendra comme valeur de mise en tension : -

Pour les tirants provisoires : σp0 = 0.7fpeg

-

Pour les tirants définitifs : σp0 = 0.6fpeg

On dispose d’une marge de sécurité de 20% sur la rupture d’un câble, d’un toron ou d’un fil pour couvrir les incertitudes de mesure de pression du vérin, de correspondance entre pression et effort de traction, de frottement parasite ; ce qui peut entrainer des variations de contrainte dans les différents torons d’un même câble. Comme par suite des pertes, la contrainte de traction ne peut que diminuer dans le temps, l’épreuve de la mise en tension est une garantie de résistance du câble en service. 1. Perte par frottement :

Les pertes par frottement, sont provoqués par le frottement de l’acier des câbles sur la gaine. Lors de la mise en tension, le câble tiré du côté du vérin est fixe du côté opposé ( ancrage mort dans le cas d’une mise en tension d’un seul côté). Le déplacement du câble à l’intérieur de la gaine est gêné par sa courbure s’il n’est pas rectiligne. Il en est de même en ligne droite, la gaine et le câble ne sont pas rigoureusement rectilignes ; on admet en général une variation parasite de l’ordre de 0.5 à 0.75 ° d’angle équivalent par mètre de câble. 1.1. Câble courbe : relation courbure force radiale. Supposons un élément de câble de longueur ds, de rayon de courbure r soumis à un effort de traction F. la force radiale p a pour résultante P = pds. La variation d’angle entre les deux extrémités de cet élément de câble vaut dα. On a aussi : r = ds / dα L’équilibre des forces donne : P = F dα = p ds Soit ; p= F dα / ds = F / r d’où :

p=F/r

1.2. Frottement courbe Si f représente le coefficient de frottement, p la force latérale radiale, par unité de longueur, le frottement par mètre linéaire vaut :Φ = -f p = -f F / r dF = Φ ds = -fF ds / r = -f F dα d’où

dF = -f F dα

F = F0 e -fα

La valeur de α à prendre en compte est représentée par la somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et le point étudié. On détermine α en additionnant les angles du câble avec l’horizontale en chaque point d’inflexion, à son extrémité et au point étudié.

Valeurs courantes des variations d’angle α

Avec h/l variant de 1/15 à 1/20 ; ΔH # 0.60 h tg (α) = ΔH / ((l/2)/2) = 0.14 soit α = 8° On retiendra comme angle de relevage à l’appui 

dalles : 3 à 5 °



poutres : 6 à 12 °



pont en encorbellement 25 à 30 pour les câbles de fléau



câbles relevés en travées : 20 à 25°

1.3. Frottement en ligne droite Les ondulations parasites du câble correspondent à un angle équivalent par unité de longueur. On définit un coefficient de frottement par mètre linéaire φ et la formule générale du frottement devient : F = F0 e -f α- φ x Par approximation on Δ F = F - F0 = F0 ( f α + φ x ) Les valeurs des coefficients f et φ varient suivant la nature du câble et la nature des ingrédients utilisés pour améliorer le glissement. Exemple : considérons la section d’un câble situé à 60 m de l’ancrage actif et une variation totale d’angle de 30°, avec f = 0.18 et φ = 0.0020 nous obtenons la formule F = F0 e -0.18 pi/6 – 0.002*60 = 0.807 F0

2. Perte par glissement à l’ancrage Ces pertes correspondent à un glissement des torons ou fils dans les clavettes et des clavettes dans les plaques d’ancrage lors de la détensions du vérin et du blocage des clavettes. Ce glissement g prend des valeurs de 1 à 12 mm suivant la puissance de l’ancrage et le procédé utilisé. Il figure dans la fiche d’agrément.

Ou g = 2( σ0 – σ3) * λ/2 ;

or σ3 = σ0 ( 1- f α-φ λ) ; ( σ0 – σ3)= σ0 ( f α+ φ λ) # σ0 K λ

Donc g = σ0 K λ2 /2, d’où on déduit la limite de l’influence du glissement à l’ancrage. 3. Perte par non simultanéité de mise en tension des câbles Supposons qu’une poutre soit armé par plusieurs câbles de précontrainte. La mise en tension des câbles ne pouvant s’effectuer que câble par câble, la mise en tension du deuxième câble va entrainer un raccourcissement de la poutre et du premier câble ; de même la mise en tension du troisième câble va entrainer un raccourcissement de la poutre et des deux premiers câbles et ainsi de suite. 4. Perte par retrait

Le retrait est un phénomène de raccourcissement du béton dans le temps, dû à une évaporation de l’eau excédentaire contenue dans le béton et à des réactions chimiques. Ce retrait a lieu dans les premiers mois après le coulage du béton. La valeur de la perte de précontrainte due au retrait est : Δσr = єr Ep, Avec єr de l’ordre de 2 10-4 à 3 10-4 5. Perte due au fluage Le fluage est caractérisé par une augmentation de la déformation du béton dans le temps ; pour une pièce comprimée qui subit un raccourcissement instantané єi à la mise en charge, on constate que la déformation totale augmente et peut atteindre 3 fois la déformation instantanée. Le fluage correspond à une déformation dans le temps à effort constant ( et donc à longueur variable) Le raccourcissement instantané vaut : Δl /l = σbc/ Ebi Le raccourcissement final vaut : 3 Δl /l, la part due au fluage vaut : єfl = 2 σbc/ Ebi Le raccourcissement des aciers de précontrainte vaut donc єfl , ce qui entraine une perte de précontrainte Δσfl = 2 σbc/ Ebi * Ep , où σbc représente la contrainte moyenne du béton au niveau du câble que l’on peut supposer calculé à un temps infini. On pourra aussi utiliser la formule donnée par le BPEL : Δσfl = ( σb + σM) * Ep/ Ebi, où σb représente la contrainte finale et σM la contrainte maximale supportée par le béton dans la section considérée, au niveau du centre de gravité des armatures de précontrainte sous l’action de la précontrainte et des actions permanentes. 6. Perte par relaxation La relaxation de l’acier est un relâchement de tension à longueur constante. Elle apparait pour les aciers à haute limite élastique utilisée en béton précontraint pour les contraintes supérieures à 30 ou 40% de leur contrainte de rupture garantie. Elle dépend de la nature de l’acier, de son traitement et l’on distingue des aciers : 

A relaxation normale RN



A très basse relaxation TBR

Compte tenu de la faible différence de coût existant entre ces aciers, on choisit en général les aciers TBR. Un acier est caractérisé par sa relaxation à 1000 heures exprimée en % = ρ 1000. En général : ρ1000 = 2.5 % pour les aciers TBR ; ρ1000 = 8% pour les aciers RN La perte par relaxation est égale à : Δσp = 6/100 * (σpi / fprg – μ0) * σpi * ρ 1000 σpi est la tension initiale de l’acier, c’est-à-dire après pertes instantanées, fprg la contrainte de rupture garantie, μ0 un coefficient pris égale à : 

0.43 pour les aciers TBR



0.3 pour les aciers RN

7. Variation dans le temps des pertes différées La perte différée finale est prise égale à : Δσd = Δσr + Δσfl +

5/6 Δσp

Le coefficient 5/6 tient compte de la non indépendances des pertes. La perte par relaxation diminue sous l’effet du retari et du fluage du béton. 8. Estimation forfaitaire des pertes de précontrainte Les pertes de précontrainte dépendent d’un grand nombre de paramètres. Et les méthodes de calcul ne peuvent représenter la réalité, ce qui a amené la prise en compte dans les calculs de deux paramètres P1 et P2, on peut écrire la relation suivante : P1 = P0 ( 1+λ) et P2 = P0 ( 1-λ) , en utilisant un paramètre λ qui varie assez peu. Cependant, l’expérience montre que les pertes totales, à l’exception des pertes de frottement, varient peu. Lorsqu’une grande précision n’est pas recherchée on pourra prendre des valeurs forfaitaires données par le tableau suivant : Pertes ( avec une tension à l’origine = 0.8 fprg) En % de fprg Hors frottement… Frottement compris… En MPa (classe Hors frottement. 1770) Frottement compris… Contrainte finale : En % de fprg… En MPa… λ ….

Dalle de 20 m 12 14 200 250

Poutre à câble filant de 100 m 10 26 175 450

66 1170 0.07

54 960 0.13

On pourra retenir, pour λ, une valeur forfaitaire moyenne de 0.1 pour la détermination de la précontrainte P.

X. Chapitre 10 : la flexion en état limite de service 1. Généralités Après avoir déterminé les sollicitations appliquées à la section fléchie, suivant les cas on est amené à faire : 



Soit une détermination de la section ; choix de la forme de la section ( rectangulaire ou en Té), détermination du coffrage ( largeur hauteur…), calcul de l’effort de précontrainte et de l’excentricité du câble moyen. Soit une vérification des contraintes du béton en compression et en traction.

Examinons sur un cas simple les étapes qui ont mené au béton précontraint. Soit une poutre sur deux appuis, soumise à un moment de flexion M(x), la section la plus sollicité est à mi portée pour une charge répartie uniforme. Si le matériau est homogène, la distribution des contraintes est linéaire. Le béton étant un matériau qui résiste mal à la traction et bien à la compression, d’où l’idée de rajouter un effort de compression qui supprimerait les tractions. Si l’on soumet la section à un effort de compression P centré, la contrainte ajoutée est constante et vaut P/S. déterminons P tel que la contrainte résultante soit toujours positive ou nulle.  

σmin = P/S - M v’ / I = 0 σmax = P/S + M v / I < contrainte admissible du béton sur la fibre supérieure.

Pour une section rectangulaire, le fait de rajouter la précontrainte P, augmente la contrainte maximum, ce qui peut être préjudiciable. Par contre si l’effort agit en sens inverse du moment M, on peut trouver une solution économique. Ceci peut être obtenu en excentrant la précontrainte vers le bas d’une valeur e0. Exemple numérique : Soit la section rectangulaire de 50cm * 120 cm , soumise à un moment extérieure M = 80 Tm Qu’elle est la valeur de la précontrainte :  

Dans le cas d’une précontrainte centrée Dans le cas d’une précontrainte excentrée vers le bas ( e0 = 45 cm)

Grace à l’excentrement on peut diminuer l’effort de précontrainte et la contrainte maximum du béton. En reprenant les notions de moment maximum et de moment minimum, on peut essayer de déterminer la précontrainte minimum P et l’excentricité e0, il peut alors se présenter deux cas : L’excentricité est réalisable, c’est-à-dire que les câbles excentrés resteront à l’intérieure du béton. Nous dirons que la section est sous-critique. L’excentricité calculée est telle que le câble serait à l’extérieure du béton ; on n’aurait pas l’enrobage suffisant pour éviter la corrosion, la section serait dite sur critique. L’excentricité est alors limitée à la valeur ( v’ -d’).

2. Classes de précontrainte Pour assurer l’intégrité du béton, il faut éviter les fissures qui peuvent être nuisibles aux aciers de précontrainte pour des raisons de corrosion, on a été amené pour les premières constructions en béton précontraint à interdire toute contrainte de traction de flexion dans le béton. Et la contrainte devait être positive et égale à 8% de la contrainte maximale du béton. Une association de concepteurs et de réalisateurs du secteur privé, appelée association scientifique pour la précontrainte, élabora en 1965 des recommandations pour le calcul et l’exécution des ouvrages précontraints dite ASQP 65. Ces recommandations introduisirent la notion de classe de précontrainte : Classe I : béton entièrement comprimé en tout point de la section Classe II : béton tendu à contrainte de traction limitée inférieure à la résistance à la traction du béton Classe III : la valeur de la contrainte de traction n’a pas d’importance sous charges de courte durée, mais ne dépasse pas la valeur de la classe II sous charges permanentes. L’administration à son tour, introduisit la notion de classe de précontrainte par une instruction de 1973. Par la suite le BPEL a repris la notion de classes, comme suit : La classe I ; qui est d’un recours exceptionnel pour des ouvrages tels que tirants, parois de réservoirs circulaires, pièces très sollicitées à la fatigue, pour laquelle aucune contrainte de traction n’est admise sous l’effet des combinaisons rares. La classe II ; qui est destinée plus particulièrement aux éléments exposés à une ambiance agressive ( cas de certains bâtiments industriels ) et ceux qui comportent de nombreux joints. Elle se caractérise par une contrainte de traction admissible.

La classe III ; intéresse essentiellement les pièces en atmosphère peu agressive tels les éléments de bâtiments courants. Sous l’action des combinaison quasi permanentes la contrainte de traction est limitée ; dans les autres combinaisons il n’y a pas de limites à la traction du béton. Pour la valeur de la précontrainte de calcul suivant le BPEL, on doit considérer les deux cas des précontrainte maximum P1 et minimum P2. 3. La flexion en classe I Nous examinerons successivement : 

La vérification d’une section donnée lorsque la valeur de P de la précontrainte est son excentricité sont connues ;



La détermination de la section de béton



La détermination de P et e0

3.1. Vérification d’une section Le calcul se fera en supposant le matériau homogène puisqu’il n’y a pas de traction. On désigne par : P : la valeur de la précontrainte e0 son excentricité , comptée positivement vers le haut v et v’ la distance de centre de gravité de la section à la fibre la plus comprimée et la plus tendue. I : le moment d’inertie de la section par rapport à son centre de gravité S l’aire de la section Mmax : le moment maximum agissant sur la section Mmin : le moment minimum Les contraintes se calculent par la formule classique de la résistance des matériaux : σ = P/S + Mv/I Nous distinguerons, pour mieux appréhender l’action de la précontrainte, la contrainte de compression moyenne due à P σ = P/S et la contrainte de flexion due à l’excentricité de cette précontrainte qui vaut : Pe0 v / I ou Pe0 v’ / I Représentation graphique des contraintes en tout point de la section.

Exemple numérique : Soit une section rectangulaire de 50 cm * 120 cm , soumise aux combinaisons sous combinaisons rares à un moment minimum Mmin = 125 Tm et à un moment maximum Mmax = 320 Tm

Le béton a une résistance à la compression fc28 de 30 MPa. Les contraintes admissibles en classe I sont : 

Contrainte admissible à la compression = 0.6 fc28 = 18 MPa



Contrainte admissible à la traction = 0 MPa

Les valeurs de la précontrainte et de son excentricité sont données égales à : P= 510 T, e0 = 0.44 m 3.2. Détermination de la précontrainte et de son excentricité Nous supposons connue la section de béton. 3.2.1. Centre de pression On appelle centre de pression le point de passage de la résultante de compression du béton. Cette résultante, qui équilibre les efforts extérieurs, est égale à la valeur de l’effort de précontrainte P. ainsi pour les différents diagrammes de contraintes, nous avons une contrainte constante pour un centre de pression situé au centre de gravité de la section, une contrainte nulle pour un centre de pression situé à la limite du noyau central.



Soit : c la distance du centre de pression au centre de gravité pour une contrainte nulle en fibre inférieure



Et c’la distance du centre de pression au centre de gravité pour une contrainte nulle en fibre supérieure.

On a P/S + P c /(I/v) = 0, d’où c = I / (S v’) = ρ v avec ρ = I / (S v v’) De même : P/S – P c’/ (I/v’) = 0 d’où c’= ρ v’ c = ρ v et c’ = ρ v’ 3.2.2. Action d’un moment M sur la position du centre de pression.

Le moment résistant du béton par rapport au centre de gravité vaut Pe1, dans le cas (1) et P e2 dans le cas (2). On passe du cas (1) au cas (2) par adjonction d’un moment M. la différence des moments résistants Pe1 – Pe2 est égale à ce moment extérieure M soit : Δe = e2- e1 = M / P On retiendra que l’action d’un moment positif M relève le centre de pression de la valeur M/P. 3.2.3. Représentation graphique de l’action des moments extérieurs M max et Mmin

Sous l’action de la seule précontrainte, le centre de pression se trouve au niveau du câble moyen. L’application du moment minimum M min va déplacer le centre de pression d’une valeur algébrique égale à Mmin / P, pour que la contrainte reste positive sur la fibre supérieure σv = P/S + Pe0 + Mmin v/I, le centre de pression doit se situer au-dessus du point d’ordonnée – c’, ce qui se traduit par l’inégalité : e0 + Mmin / P > - c’ De même sous l’action du moment maximum Mmax, pour que la contrainte reste positive sur la fibre inférieure σv’= P/S - Pe0 v’/I - Mmax v’/I, le centre de pression doit rester en dessous du point d’ordonnée + c d’où l’inégalité : e0 + Mmax / P < c 3.2.4. Détermination de la précontrainte minimum (section sous critique)

La précontrainte minimum sera obtenue lorsque les inégalités précédentes deviennent des égalités : e0 + Mmin / P > - c’ e0 + Mmax / P < c Ce qui donne (Mmax – Mmin) / P = c + c’, or c = ρ v et c’= ρ v’, d’où P = Δ M / ρ (v + v’) Pmin = Δ M / ρ h (14-3) 3.2.5. Détermination de l’excentricité e0 (sous critique) A partir des inégalités précédentes rendues des égalités pour P min, on a alors : e0 = -c’– Mmin / P = c-Mmax / P 3.2.6. Section sur-critique Si l’excentricité ainsi calculée est telle que le câble n’a plus d’enrobage minimum, la section est dite surcritique, l’excentricité en valeur algébrique, sera limitée à : Pour v’ est prise en valeur absolue : e0 = -v’+ d’: e0 = c- Mmax / P ; P = Mmax/(c + v’-d’) , d’où P = Mmax / (ρv + v’ – d’) (14-5), (avec v’ en valeur absolue) Dans la pratique, on calcule les deux précontraintes sous critique et sur-critique par les formules 14-3 et 14-5, et on retiendra la valeur maximale des deux valeurs calculées. La section sera dite sur critique si la précontrainte sur-critique est supérieure à la précontrainte sous critique. On constate que la section sera sur critique pour de faibles valeurs de Δ M, par rapport au moment maximum Mmax, c’est-à-dire pour des charges variables faibles. En section sur critique : 

Sous moment maximum, le centre de pression atteint l’ordonnée +c.



Sous le moment minimum, la contrainte minimum admissible n’est pas atteinte

3.2.7. Cas particulier de la poutre isostatique En général le moment minimum correspond aux charges permanentes seules (à vide) et le moment maximum au moment total (en charge), le fait de ne pas atteindre la contrainte minimum à vide signifie que l’on n’a pas pu excentre suffisamment le câble pour reprendre toutes les charges permanentes. Mais une partie seulement. 3.3. Détermination de la section du béton Dans le cas de la section sous critique on peut atteindre les contraintes limites admissibles. La section la plus économique sera effectivement celle qui fait travailler le béton au maximum de ses capacités.