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Table des matières

Table des matières NOTATIONS, UNITES ET CONVENTIONS DE SIGNES ............................................................................. 1 1. NOTATIONS ..................................................................................................................................................... 1 1.1. Majuscules Romaines ............................................................................................................................. 1 1.2. Minuscules Romaines ............................................................................................................................. 1 1.3. Minuscules Grecs ................................................................................................................................... 2 2. UNITES ............................................................................................................................................................ 2 3. CONVENTIONS DE SIGNES ................................................................................................................................ 3 CHAPITRE 1 : GENERALITES ........................................................................................................................ 4 1. INTRODUCTION ................................................................................................................................................ 4 2. PRINCIPE DU BETON ARME ............................................................................................................................. 4 3. PHASES D’EXECUTION DU BETON ARME ......................................................................................................... 4 4. CARACTERES STRUCTURAUX .......................................................................................................................... 5 5. ADHERENCE ACIER-BETON ............................................................................................................................. 5 5.1. Définition ................................................................................................................................................ 5 5.2. Nature de l’adhérence ............................................................................................................................ 5 5.3. Facteurs agissant sur l’adhérence .......................................................................................................... 6 5.4. Rôle de l’adhérence ................................................................................................................................ 6 5.5. Approche théorique ................................................................................................................................ 7 CHAPITRE 2 : NOTIONS DE SECURITE PRINCIPE DE LA REGLEMENTATION ............................. 8 1. NOTION DE SECURITE ...................................................................................................................................... 8 2. DOMAINE D'APPLICATION DU BAEL ............................................................................................................... 8 3. PRINCIPE DE LA METHODE DES ETATS LIMITES ................................................................................................ 8 4. LES DIFFERENTS ETATS-LIMITES...................................................................................................................... 9 4.1. Les états limites ultimes (ELU) ............................................................................................................... 9 4.2. Les états limites de service (ELS) ........................................................................................................... 9 5. CONDUITE DES JUSTIFICATIONS ....................................................................................................................... 9 6. ACTIONS ET VALEURS REPRESENTATIVES...................................................................................................... 10 6.1. Actions .................................................................................................................................................. 10 6.2. Valeurs représentatives ........................................................................................................................ 10 7. SOLLICITATIONS DE CALCUL ......................................................................................................................... 11 7.1. Définitions ............................................................................................................................................ 11 7.2. Sollicitations de calcul vis-à-vis des ELU ............................................................................................ 11 7.3. Sollicitations de calcul vis-à-vis des ELS ............................................................................................. 11 7.4. Remarques ............................................................................................................................................ 11 7.5. Justifications ......................................................................................................................................... 12 CHAPITRE 3 : CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX MODELISATION REGLEMENTAIRE .. 13 1. LE BETON ...................................................................................................................................................... 13 1.1. Diagramme contrainte-déformation en compression ........................................................................... 13 1.2. Résistance caractéristique à la compression ....................................................................................... 14 1.3. Résistance caractéristique à la traction............................................................................................... 14 1.4. Module d’élasticité ............................................................................................................................... 14 1.5. Déformations différées ......................................................................................................................... 15 1.6. Dilatation thermique ............................................................................................................................ 16 2. LES ACIERS .................................................................................................................................................... 16 2.1. Types d’acier ........................................................................................................................................ 16 2.2. Prescriptions générales ........................................................................................................................ 17 2.3. Diagramme conventionnel ou diagramme caractéristique ................................................................... 17 2.4. Caractéristiques géométriques des aciers utilisés en BA ..................................................................... 18 3. MODELISATION REGLEMENTAIRE .................................................................................................................. 18 3.1. Le béton ................................................................................................................................................ 19 3.2. L’acier .................................................................................................................................................. 20 CHAPITRE 4 : DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES .................................................................................... 22

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Table des matières 1. DENOMINATION DES ARMATURES ................................................................................................................. 22 2. GROUPEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES ........................................................................................ 23 3. ENROBAGE DES ARMATURES ......................................................................................................................... 23 4. DISTANCES ENTRE BARRES............................................................................................................................ 23 5. ANCRAGE DES BARRES .................................................................................................................................. 24 6. FAÇONNAGE DES ACIERS ............................................................................................................................... 24 7. RECOUVREMENTS DES BARRES...................................................................................................................... 24 8. POUSSEE AU VIDE .......................................................................................................................................... 25 9. PRESCRIPTIONS POUR LIMITER LA FISSURATION ............................................................................................ 26 CHAPITRE 5 : DIMENSIONNEMENT EN FLEXION SIMPLE JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DES SOLLICITATIONS NORMALES .................................................................................................................... 27 1. GENERALITES ................................................................................................................................................ 27 1.1. Définition .............................................................................................................................................. 27 1.2. Justifications à faire ............................................................................................................................. 27 1.3. Portées des poutres ............................................................................................................................... 27 2. JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DU MOMENT FLECHISSANT .................................................................................. 27 3. ETAT LIMITE ULTIME DE RESISTANCE .......................................................................................................... 27 3.1. Principe de justification (Article A.4.3.1) ............................................................................................. 27 3.2. Hypothèses de calcul (Article A.4.3.2) ................................................................................................. 28 3.3. Droites de déformation possibles dans le cas de la flexion simple ....................................................... 29 3.4. Notations – Equations d'équilibre ........................................................................................................ 30 3.5. Compatibilité des déformations ............................................................................................................ 31 3.6. Dimensionnement des sections rectangulaires ..................................................................................... 31 3.7. Sections en Té ....................................................................................................................................... 35 4. ETAT LIMITE DE SERVICE VIS-A-VIS DE LA DURABILITE DE LA STRUCTURE .................................................. 37 4.1. Principe de justification........................................................................................................................ 37 4.2. Hypothèses de calcul (Article A.4.5.1) ................................................................................................. 37 4.3. Notations .............................................................................................................................................. 38 4.4. Calcul des contraintes .......................................................................................................................... 38 4.5. Vérifications des contraintes ................................................................................................................ 41 4.6. Contraintes admissibles ........................................................................................................................ 41 4.7. Calcul des armatures ............................................................................................................................ 42 5. CHOIX DE L'ETAT LIMITE DIMENSIONNANT .................................................................................................... 45 6. COFFRAGE DES SECTIONS RECTANGULAIRES ................................................................................................. 47 7. CONDITION DE NON FRAGILITE ...................................................................................................................... 47 8. ETAT LIMITE DE SERVICE VIS-A-VIS DES DEFORMATIONS ............................................................................. 48 CHAPITRE 6: JUSTIFICATION DES POUTRES FLECHIES SOUS SOLLICITATIONS D'EFFORT TRANCHANT ..................................................................................................................................................... 50 1. CONTRAINTES TANGENTIELLES DANS UNE POUTRE (RAPPEL) ....................................................................... 50 2. APPLICATION AUX POUTRES EN BETON ARME .............................................................................................. 51 2.1. Répartition des contraintes tangentes sur la hauteur d'une poutre en B.A........................................... 51 2.2. Contrainte tangente sur une section verticale du hourdis d'une poutre en T ....................................... 52 2.3. Contrainte tangente à la périphérie des armatures longitudinales tendues ......................................... 52 2.4. Contrainte tangente dans le plan vertical de jonction entre nervure et saillie du talon ....................... 53 3. COMPORTEMENT DES POUTRES EN BETON ARME ........................................................................................... 53 4. PRESCRIPTIONS REGLEMENTAIRES ................................................................................................................ 57 4.1. Contraintes tangentes conventionnelles ............................................................................................... 57 4.2. Justification d'une section courante ..................................................................................................... 58 4.3. Effort tranchant à prendre en compte au voisinage des appuis............................................................ 59 4.4. Répartition des armatures transversales .............................................................................................. 60 4.5. Justifications des sections d'appui (A.5.1,3) ......................................................................................... 61 4.6. Couture du hourdis avec l'âme (A.5.3,2) .............................................................................................. 63 4.7. Couture du talon avec l'âme ................................................................................................................. 63 4.8. Entrainement des armatures ................................................................................................................. 63 CHAPITRE 7: ANCRAGE ET RECOUVREMENT DE BARRES ............................................................... 65 1. ANCRAGE DES ARMATURES ........................................................................................................................... 65 1.1. Ancrage rectiligne ................................................................................................................................ 65

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Table des matières 1.2. Ancrage courbe .................................................................................................................................... 66 2. JONCTION PAR RECOUVREMENT DE BARRES .................................................................................................. 69 2.1. But du recouvrement ............................................................................................................................. 69 2.2. Principe ................................................................................................................................................ 69 3. LONGUEURS DE RECOUVREMENT .................................................................................................................. 70 3.1. Armatures tendues ................................................................................................................................ 70 3.2. Armatures comprimées ......................................................................................................................... 70 3.3. Remarque.............................................................................................................................................. 70 4. ARMATURES DE COUTURES ........................................................................................................................... 70 CHAPITRE 8 : EPURE DE REPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES.......................... 72 1. FERRAILLAGE D'UNE POUTRE ........................................................................................................................ 72 2. PRINCIPE DES ARRETS DE BARRES ................................................................................................................. 72 3. MOMENT MAXIMAL ADMISSIBLE OU MOMENT RESISTANT ............................................................................. 72 4. DIAGRAMME DES MOMENTS ADMISSIBLES .................................................................................................... 72 CHAPITRE 9 : COMPRESSION SIMPLE ..................................................................................................... 74 1. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 74 1.1. Définition .............................................................................................................................................. 74 1.2. Effort normal résistant.......................................................................................................................... 74 2. POTEAUX SOUMIS A UNE COMPRESSION CENTREE ......................................................................................... 74 3. ELANCEMENT ET LONGUEUR DE FLAMBEMENT D'UN POTEAU........................................................................ 74 3.1. Elancement mécanique ......................................................................................................................... 74 3.2. Longueur de flambement ...................................................................................................................... 74 4. EVALUATION FORFAITAIRE DE L'EFFORT NORMAL RESISTANT....................................................................... 75 5. ARMATURES LONGITUDINALES PRISES EN COMPTE DANS LES CALCULS DE RESISTANCE ............................... 76 6. CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES ................................................................................................. 76 7. SECTIONS EXTREMES ..................................................................................................................................... 76 8. DISPOSITIONS DES ARMATURES LONGITUDINALES ........................................................................................ 76 9. ARMATURES TRANSVERSALES ...................................................................................................................... 77 10. COFFRAGE ................................................................................................................................................... 77 CHAPITRE 10 : TRACTION SIMPLE – TIRANTS ...................................................................................... 78 1. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 78 2. DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES............................................................................... 78 3. ARMATURES TRANSVERSALES ...................................................................................................................... 78 4. COFFRAGE ..................................................................................................................................................... 79 CHAPITRE 11 : JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DES SOLLICITATIONS NORMALES DES PIECES DE SECTION RECTANGULAIRE SOUMISES A LA FLEXION COMPOSEE ....................................... 79 5. INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 79 5.1. Rappels R.D.M...................................................................................................................................... 79 5.2. Conventions de signe ............................................................................................................................ 80 5.3. Justifications à faire en flexion composée ............................................................................................ 80 6. ETAT LIMITE ULTIME DE RESISTANCE .......................................................................................................... 81 6.1. Domaine de résistance – Courbe d’interaction .................................................................................... 81 6.2. Diagrammesd’interaction ..................................................................................................................... 82 6.3. Calcul des armatures longitudinales .................................................................................................... 82 6.4. Abaques pour le calcul des sections rectangulaires ............................................................................. 87 6.5. Prise en compte des effets de second ordre en flexion-compression .................................................... 87 7. ETAT LIMITE DE SERVICE VIS-A-VIS DE LA DURABILITE ................................................................................ 88 7.1. Vérification des contraintes .................................................................................................................. 88 7.2. Calcul des armatures ............................................................................................................................ 92 8. SECTION MINIMALE D’ARMATURES ............................................................................................................... 92

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Notations et conventions

Notations, unités et conventions de signes 1. Notations 1.1. Majuscules Romaines A (ou As ou Al) At B Es Eij Evj F I1 Ms er Mu Ns e r Nu P Q Sn Vu W

: Aire d’une section d’acier (longitudinal) : Somme des aires des sections droites d’un cours d’armatures transversales : Aire d’une section de béton : Module de Young de l’acier : Module de Young instantané à l’âge de j jours : Module de Young différé à l’âge de j jours : Force ou action en général : Moment d’inertie de la section homogénéisée par rapport au béton (ELS) : Moment fléchissant de calcul de service : Moment fléchissant de calcul ultime : Effort normal de calcul de service : Effort normal de calcul ultime : Action permanente : Action d’exploitation : Résultante des charges de neige : Effort tranchant de calcul ultime : Résultante des actions du vent

1.2. Minuscules Romaines a a (et b ) b b0 d (et d’ ) e fe fcj ftj g h h0 h1 i j l ls lf n q st u x y y1 yu z ( ou zb )

: Largeur d’un poteau : Dimension d’une fondation : Largeur d’une poutre (table), d’un poteau : Largeur de l’âme d’une poutre : Position des armatures tendues (et comprimées) par rapport à la fibre la plus comprimée de la section de béton : Excentricité de l’effort normal, Epaisseur d’une dalle : Limite d’élasticité de l’acier : Résistance caractéristique à la compression du béton âgé de j jours : Résistance caractéristique à la traction du béton âgé de j jours : Charge permanente unitaire : Hauteur d’une poutre, d’une fondation : Hauteur du talon d’une poutre : Hauteur du hourdis d’une poutre : Rayon de giration d’une section : Nombre de jours de maturité du béton : Portée d’une poutre ou d’une dalle, hauteur d’un pot eau : Longueur de scellement droite : Longueur de flambement : Coefficient d’équivalence acier-béton : Charge permanente unitaire : Espacement des armatures transversales : Périmètre : Abscisse : Ordonnée : Profondeur de l’axe neutre calculée à l’ELS : Profondeur de l’axe neutre calculée à l’ELU : Bras de levier du couple de flexion

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Notations et conventions

1.3. Minuscules Grecs α αu γs γb εbc εs εsc η λ μser μu ν ρ σ σbcmax σs σsc η ηu ηs ηse θ Øl Øt ψs

: Angle d’une armature avec la fibre moyenne (alpha) : Profondeur de l’axe neutre adimensionnée à l’ELU : Coefficient partiel de sécurité sur l’acier (gamma) : Coefficient partiel de sécurité sur le béton : Déformation maximale du béton comprimé (epsilon) : Déformation des armatures tendues : Déformation des armatures comprimées : Coefficient de fissuration relatif à une armature ( e t a ) : Elancement mécanique d’une pièce comprimée (lambda) : Moment ultime réduit à l’ELS (mu) : Moment ultime réduit à l’ELU : Coefficient de poisson (nu) : Rapport de la section d’acier sur celle du béton (rho) : Contrainte normale (sigma) : Contrainte maximale du béton comprimé : Contrainte dans les aciers tendus : Contrainte dans les aciers comprimés : Contrainte tangente (tau) : Contrainte tangente conventionnelle : Contrainte d’adhérence : Contrainte d’adhérence d’entraînement : Coefficient de fluage (phi) : Diamètre d’une armature longitudinale : Diamètre d’une armature transversale : Coefficient de scellement relatif à une armature ( p s i )

2. Unités Les unités utilisées en béton armé sont celles du système international (USI) et leurs multiples : m, (cm, mm) cm 2 m2 KN, (N, MN) KNm -1 , (Nm -1, MNm -1) KNm -2 , (Nm -2 , MNm -2) KNm, (Nm , MNm) MPa , ( P , KPa )

: Longueur, dimension, portée : Section d’acier : Section : Charge ponctuelle : Charge linéique : Charge surfacique : Moment : Contrainte

Une conversion bien utile : 1 MPa = 1 MNm -2 = 1 Nmm-2 = 106 Pa. On rencontre encore parfois le bar comme unité de contrainte : 1 bar = 1 kgcm -2 et 10 bar ~ 1 MPa.

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Notations et conventions

3. Conventions de signes Les sens positifs adoptés pour les forces et les éléments de réduction sont les suivants. F+

Forces appliquées

q+

F = charge concentrée q = charge répartie RA, RB = réactions d'appui

RB+

RA+

Eléments de réduction M = moment fléchissant. N = effort normal, V = effort tranchant, V+ M+

M+

N+

N+

V+ Contrairement aux conventions RDM classiques, un effort normal positif correspond à une compression et un effort négatif correspond à une traction (il en est de même pour les contraintes). On pourra également retenir qu’une valeur positive du moment fléchissant implique que les fibres inférieures sont tendues.

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Généralités

Chapitre 1 : Généralités 1. Introduction Le béton est un matériau complexe obtenu en mélangeant, dans des proportions convenables : - des granulats (sable, graviers, cailloux ou pierres concassées) - un liant (généralement du ciment) - et de l’eau (eau de mouillage des granulats et d’hydratation du ciment) Ce mélange fait prise (il se solidifie) puis il durcit (il devient résistant). Dans le domaine du génie civil, le béton se révèle être un matériau : - bon marché et durable, - de préparation facile et rapide, - facile à mouler (permet de réaliser des formes quelconques), - de très bonne résistance à la compression (20 à 40 MPa) mais sa résistance à la traction est médiocre (1/10 de sa résistance en compression). Pour pallier à cette insuffisance, deux solutions ont été envisagées :  disposer dans les zones tendues des armatures d’acier qui ne deviennent efficaces que lorsque les charges extérieures commencent à agir → c’est le Béton Armé.  Précomprimer le béton par le jeu d’efforts intérieurs de manière à neutraliser les contraintes de traction qui seraient apparues sous l’effet des charges → c’est le Béton Précontraint.

2. Principe du Béton Armé Le béton de ciment présente des résistances à la compression assez élevées mais sa résistance à la traction est faible, de plus le béton de ciment a un comportement fragile. L’acier présente une très bonne résistance à la traction (et aussi à la compression pour des élancements faibles), de l’ordre de 500MPa, mais si aucun traitement n’est réalisé, il subit les effets de la corrosion. De plus, son comportement est ductile, avec des déformations très importantes avant rupture (de l’ordre de 10 % ) . Pour pallier à la faible résistance du béton en traction et à sa fragilité, on lui associe des armatures en acier. Ces armatures absorbent les efforts de traction tandis que le béton absorbe les efforts de compression. Cette association se révèle efficace car : - l’acier adhère bien au béton, ce qui permet la transmission des efforts d’un matériau à l’autre, - il n’y a pas de réaction chimique entre le béton et l’acier, - le béton protège l’acier contre la corrosion, - le coefficient de dilatation thermique est sensiblement le même pour les deux matériaux. Donc, dans une pièce librement dilatable, il n’apparaît pas de contraintes internes dues à une variation de température.

3. Phases d’exécution du Béton Armé Le béton armé s’exécute généralement en 4 phases : - Le coffrage : moule dans lequel est mis en place le béton frais. Il est en bois ou en métal. - Le ferraillage : il consiste à déposer à l’intérieur du coffrage des armatures métalliques placées de telle sorte qu’après bétonnage elles soient entièrement enrobées de béton. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

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Généralités -

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Le bétonnage : il consiste à remplir le moule muni de ses armatures par du béton. Le bétonnage est également appelé "coulage". Le béton peut être vibré ou pilonné à l’intérieur du coffrage pour obtenir un béton plus serré. Le décoffrage : il consiste à retirer le coffrage lorsque le béton est suffisamment résistant.

4. Caractères structuraux On retrouve constamment, dans les constructions en béton armé, un certain nombre d’éléments fondamentaux : - le poteau : élément vertical porteur, - la poutre : élément horizontal porteur, - la dalle ou le hourdis : plaques horizontales dont l’épaisseur est petite par rapport à ses dimensions en plan, - la nervure : élément prismatique placé en dessous d’un hourdis et dont le rôle est de constituer une poutre en té par association avec le hourdis (généralement la nervure est de section rectangulaire), - le voile : élément dont l’épaisseur reste en tout point petite par rapport aux autres dimensions (tuyaux, réservoirs, voûtes, coupoles …..). - la fondation : ouvrage de transition entre un élément porteur de la structure et le sol.

5. Adhérence acier-béton Une bonne adhérence entre le béton et l’acier est une des principales conditions de la qualité de résistance du BA.

5.1. Définition L’adhérence désigne l’action des forces de liaison qui s’opposent au glissement des armatures par rapport au béton qui les enrobe.

5.2. Nature de l’adhérence L’adhérence acier-béton est mesurée à l’aide d’un essai d’arrachement (figure 1.1).

armature A

B

Fext

béton

Figure 1.1 : Principe du dispositif expérimental pour réaliser un essai d’arrachement.

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Généralités Cet essai met en évidence le fait que l’adhérence n’est pas due à un simple "collage" entre les deux matériaux car elle subsiste même après des déplacements notables. En effet, il apparaît des fissures qui découpent le béton en troncs de cônes dont les génératrices sont inclinées à 45° sur l’axe de la barre. Ces troncs de cône appelés "bielles", s’arc-boutent sur la barre provoquant ainsi un phénomène de frottement. On observe alors plusieurs types de rupture : - rupture par traction de l’acier (ancrage parfait), - glissement de la barre dans le béton (ronds lisses), - destruction du béton par arrachement d’un cône de béton ou par fendage longitudinal du béton (barres à haute adhérence). Les essais d’arrachement permettent, alors, de mettre en évidence l’influence de plusieurs paramètres dont : - la longueur ancrée, - le type d’acier (ronds lisses ou aciers Haute Adhérence), - la qualité du béton,

5.3. Facteurs agissant sur l’adhérence 

état de surface des armatures : la rugosité de la barre augmente le frottement du béton sur la barre, elle améliore donc l’adhérence. En béton armé, on distingue les ronds lisses et les barres à haute adhérence (barres HA) comportant des reliefs de surface qui améliorent la liaison acier-béton ;

 -

groupement des armatures : l’adhérence de deux armatures trop rapprochées ou en contact est inférieure à celle de deux armatures suffisamment distantes du fait de l’enrobage ; l’adhérence de deux armatures en contact sur un plan vertical est supérieure à celle de deux armatures en contact sur un plan horizontal (mauvais enrobage du triangle inférieur) ;

-



épaisseur du béton d’enrobage et présence d’armatures de couture : elles s’opposent à l’éclatement du béton.



résistance du béton : l’adhérence croît avec la résistance en compression du béton c'est-à-dire avec le dosage, la classe de ciment, la granulométrie, la compacité etc…



conditions de moulage : l’adhérence est meilleure pour les barres verticales que pour les barres horizontales car la barre horizontale forme écran à sa propre moitié inférieure. En outre, les barres horizontales sont souvent placées à proximité des fonds de coffrage, ce qui apporte une gêne au moulage.

5.4. Rôle de l’adhérence L’adhérence remplit trois fonctions dans les pièces en BA :  Entraînement des armatures L’adhérence permet au béton d’entraîner les barres dans sa déformation. Ce sont ces contraintes d’adhérence du béton sur la barre qui l’obligent à prendre le même allongement que les fibres de béton qui l’entourent. Il y a ainsi une transmission des efforts du béton à l’acier.

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Généralités  Ancrage des barres à leurs extrêmités Sous l’effet d’un effort de traction, si l’armature est trop courte, elle va s’arracher du béton. Elle doit donc être suffisamment longue pour être ancrée convenablement dans le béton et reprendre tout l’effort de traction. C’est l’adhérence qui permet de réaliser cet ancrage.  Répartition des fissures L’adhérence a un troisième rôle : celui de répartir les fissures. Plus l’adhérence est grande, plus le nombre de fissures augmente mais la largeur cumulée reste constante. L’adhérence a donc un rôle bénéfique en évitant la formation de grosses fissures concentrées.

5.5. Approche théorique L’action du béton sur la barre peut-être remplacée par une contrainte normale ζ (effet de serrage) et une contrainte tangentielle ηs (adhérence). Si par ailleurs on suppose que cette contrainte d’adhérence ηs est constante le long de la barre, on obtient la modélisation présentée sur la figure 1.2. S’il n’y a pas de glissement, l’équilibre selon x conduit à l’équation : xB Fext =  s.u.dx = s.u.lAB xA où u est le périmètre utile de la barre et lAB la longueur de l’ancrage.

A

Fext

B s

 Fext F Fext

A

B

x

Figure 1.2 : Modélisation d’un essai d’arrachement

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Notions de sécurité

Chapitre 2 : Notions de sécurité Principe de la réglementation 1. Notion de sécurité Il va de soi que la sécurité est un critère important dans la construction. Une structure doit donc être conçue et réalisée de sorte que, pendant sa durée de vie escomptée, avec des niveaux de fiabilité appropriés et de façon économique : - elle reste adaptée à l’usage pour lequel elle a été conçue, - elle résiste à toutes les actions et influences susceptibles d’intervenir pendant son exécution et son utilisation. Les données de base (valeurs des actions à prendre en compte, performances mécaniques des matériaux etc…) de la structure étant des grandeurs aléatoires, une sécurité absolue ne peut être assurée. Les recherches sur la sécurité poursuivies dans le domaine du "probabilisme" d’une part et dans celui de "la plasticité" et du "calcul à la rupture" d’autre part, ont abouti au développement de la méthode des états-limites. C’est la base du calcul suivant les règles BAEL et les Eurocodes.

2. Domaine d'application du BAEL Les règles BAEL91 modifiées 99 sont applicables à tous les ouvrages en béton armé, dont le béton est constitué de granulats naturels normaux, avec un dosage en ciment au moins égal à 300 k g / m 3 de béton mis en œuvre (Article A.1.1). Restent en dehors du domaine d’application des présentes règles : - les constructions en béton non armé, - les constructions en béton léger, - les constructions mixtes acier-béton, - les constructions en béton de résistance caractéristique supérieure à 80MPa (pour les résistances de 60 à 80MPa se reporter à l’Annexe F des règles modifiées en 99), - les éléments soumis à des températures s’écartant sensiblement de celles qui résultent des seules influences climatiques.

3. Principe de la méthode des états limites Comme la plupart des codes internationaux, le règlement Français BAEL 91 ainsi que l’Eurocode 2, sont des règlements semi-probabilistes basés sur la notion d’états limites. La méthode des états-limites consiste à :  définir les phénomènes (appelés états-limites) que l’on veut éviter (ouverture des fissures, compression excessive du béton, déformations excessives, plastification locale, ruine…etc)  estimer la gravité des risques liés à ces phénomènes (inconfort, risques pour les usagers, …etc)  définir des critères de sécurité réduisant d’autant plus la probabilité d’occurrence de ces phénomènes que les conséquences de leur apparition sont plus graves.  dimensionner les éléments de la construction de telle manière que la probabilité d’atteinte d’un de ces phénomènes soit limitée à une valeur assez faible pour être acceptable en fonction du risque et du coût.

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Notions de sécurité

4. Les différents états-limites En pratique, à chaque phénomène à éviter correspond un état-limite. Selon la gravité des risques qui leurs sont associés, ces états limites se rangent en deux grandes catégories :  les états limites ultimes dont on considère que l’atteinte équivaut à la ruine de la structure ou un de ses éléments.  les états limites de service dont on considère que l’atteinte compromet l’utilisation de la structure sans qu’il y ait ruine. Exemple : la flèche excessive d’une poutre compromet le confort des usagers ou endommage les éléments portés sans rupture de celle-ci.

4.1. Les états limites ultimes (ELU) Ils correspondent à ce que l’on entend généralement par la limite de résistance mécanique audelà de laquelle il y a ruine de l’ouvrage ; on distingue :  l’état limite ultime d’équilibre statique qui concerne la stabilité de l’ouvrage (nous ne nous intéresserons pas dans ce cours à cet état limite qui n’est pas particulier aux constructions en BA).  l’état limite ultime de résistance qui concerne la non rupture de l’ouvrage.  l’état limite ultime de stabilité de forme, concerne les pièces élancées soumises, entre autres, à un effort de compression axiale ; ces pièces doivent résister au risque de flambement.

4.2. Les états limites de service (ELS) Ils correspondent à des critères dont le non respect ne permet pas à l’élément d’être exploité dans des conditions satisfaisantes, ou compromet sa durabilité. On distingue :  l’état limite de compression du béton : des désordres graves peuvent apparaitre dans les éléments.  l’état limite d’ouverture des fissures : la corrosion des armatures insuffisamment protégées compromet la durabilité de l’ouvrage ; des fonctions d’étanchéité ou des critères d’esthétique, d’aspect extérieur peuvent également ne pas être respectés.  l’état limite de déformation : des déformations trop importantes de l’ouvrage peuvent créer des désordres tels que fissurations de cloisons ou de carrelage sur une dalle trop fléchie par exemple.

5. Conduite des justifications La démarche est la suivante : 1- faire l’inventaire des actions appliquées aux différents éléments de la structure, 2- déterminer leurs intensités, 3- calculer les sollicitations engendrées par ces actions selon les méthodes classiques de résistance des matériaux ou selon des méthodes forfaitaires (Annexe E du BAEL), 4- déterminer les sollicitations de calcul en appliquant les combinaisons correspondant à chaque état limite, 5- faire les justifications nécessaires c’est-à-dire montrer pour les divers éléments de la structure et pour l’ensemble de celle-ci que les sollicitations de calcul ne provoquent pas les phénomènes que l’on veut éviter.

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Notions de sécurité

6. Actions et valeurs représentatives 6.1. Actions Les actions sont l’ensemble des forces et couples appliqués à une structure, ainsi que les conséquences des modifications statiques ou d’état (retrait, variations de température, tassement d’appuis, déformations imposées à la structure etc…) qui entrainent des déformations de la structure. On distingue :  les actions permanentes notées G : Elles sont appliquées pratiquement avec la même intensité pendant toute la durée de vie de l’ouvrage et comportent : - le poids propre de la structure (le poids volumique du béton armé est pris égal à 25KN/m3). - les charges de superstructure ou d’équipements fixes (dans les bâtiments industriels, les machines sont considérées comme des charges permanentes). - les poids, les poussées et pressions des terres et des liquides dont le niveau varie peu. - les déformations permanentes imposées à la construction.  les actions variables notées Q : Elles comprennent les actions dont l’intensité varie fréquemment et de façon importante dans le temps. Elles sont définies par les textes réglementaires et normatifs en vigueur ; on distingue : - les charges d’exploitation dont les valeurs caractéristiques sont définies par les conditions propres d’utilisation de l’ouvrage ou par des normes ou règlements. - les actions climatiques (Neige et Vent). - les effets dus à la température. - les poids, les poussées et pressions des solides ou liquides de niveau variable. - Les charges appliquées en cours d’exécution : équipements de chantier.  les actions accidentelles notées A ou FA : Elles proviennent de phénomènes rares tels que - séismes. - cyclones tropicaux. - chocs de bateaux ou véhicules routiers sur les appuis des ouvrages d’art. - glissements de terrain. - explosions.

6.2. Valeurs représentatives La nature et l’intensité des actions à introduire dans les calculs sont fixées soit par le marché, soit par référence à des normes, codes ou règlements en vigueur, soit directement lorsqu’elles sont propres à l’ouvrage. Exemples : Norme NF P006-001 : charges d’exploitation des bâtiments. Règles NV65 : effets de la neige et du vent sur les constructions. CPC fascicule61-titre2 : Programme de charges et épreuves des ponts-routes. Règles BAEL91. Eurocode 2.

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Notions de sécurité

7. Sollicitations de calcul 7.1. Définitions  Les sollicitations sont les efforts (normal et tranchant) et les moments (fléchissant et de torsion) provoqués en chaque point et sur chaque section de la structure par les actions qui s’exercent sur elle. Pour la plupart des justifications, les sollicitations sont calculées en utilisant pour l’ensemble de la structure un modèle élastique et linéaire. On emploie ainsi les procédés de la R.D.M dans la mesure où la forme des pièces le permet.  Les sollicitations de calcul (Article A.3.3) résultent des combinaisons d’actions c’est-à-dire de l’ensemble des actions qu’il y a lieu de considérer simultanément.

7.2. Sollicitations de calcul vis-à-vis des ELU Elles résultent des combinaisons d’actions ci-dessous dont on retient les plus défavorables a) Combinaisons fondamentales

Sult = S (1.35 Gmax

+ Gmin + γQ1 Q1 +

Σ 1.3 Ψ0i Qi )

Gmax = ensemble des actions permanentes défavorables (vis-à-vis de la sollicitation que l’on est entrain d’examiner) Gmin = ensemble des actions permanentes favorables Q1 = valeur caractéristique d’une action variable dite de base Qi ( i >1) = valeurs caractéristiques des autres actions variables dites d’accompagnement γQ1 = 1.5 dans le cas général 1.35 dans les cas suivants : - la température - les charges d’exploitation de caractère particulier (convois militaires et convois exceptionnels des ponts routes) - les bâtiments agricoles à faible densité d’occupation humaine b) Combinaisons accidentelles

Sult = S (FA

+ Gmax + Gmin + Ψ11 Q1 +

Σ Ψ2i Qi )

FA est la valeur nominale de l’action accidentelle Ψ11 Q1 est la valeur fréquente d’une action variable Ψ2i Qi est la valeur quasi-permanente d’une autre action variable

7.3. Sollicitations de calcul vis-à-vis des ELS Elles résultent des combinaisons d’actions ci-après dites combinaisons rares :

Sser = S (Gmax

+ Gmin + Q1 +

Σ Ψ0i Qi )

7.4. Remarques  Les valeurs des coefficients Ψ0 , Ψ1 et Ψ2 sont fixés par les textes en vigueur ou par les documents particuliers du marché. Elles sont précisées à titre transitoire dans l’annexe D du BAEL91.

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Notions de sécurité Ils permettent de définir, les valeurs représentatives des actions variables appliquées simultanément : Ψ0i Qi : valeur représentative d’application rare Ψ1i Qi : valeur représentative d’application fréquente Ψ2i Qi : valeur représentative d’application quasi-permanente  Lorsque plusieurs actions variables sont susceptibles d’être appliquées en même temps, il y a lieu de considérer successivement chacune d’elles comme action de base et les autres en actions d’accompagnements.  Une action variable peut être appliquée totalement, partiellement ou pas du tout.  Les actions variables sont introduites de la façon la plus défavorable. Elles seront placées dans les positions qui permettent d’obtenir les effets extrêmes. La connaissance des lignes d’influence permet en général de définir les cas de chargement qui correspondent aux effets extrêmes recherchés.  Lorsqu'une même action permanente a des effets partiellement favorables et partiellement défavorables, il est interdit de partager cette action en deux parties : on attribue globalement à cette action soit la valeur Gmax défavorable, soit la valeur Gmin favorable.  Si on ne sait pas, a priori, si une action est défavorable ou favorable pour une sollicitation donnée; ce qui est souvent le cas pour les structures hyperstatiques; on examine successivement les deux possibilités. Ces différentes combinaisons doivent être envisagées pour trouver les situations les plus défavorables.

7.5. Justifications Les combinaisons les plus défavorables (les plus fortes et/ou les plus faibles) étant déterminées, les justifications consistent à montrer pour les divers éléments d’une structure et pour l’ensemble de celle-ci, que les sollicitations de calcul ne provoquent pas le phénomène que l’on veut éviter.

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Caractéristiques des matériaux

Chapitre 3 : Caractéristiques des matériaux Modélisation réglementaire L’objectif de cette partie est de présenter les principales caractéristiques du béton et de l’acier telles qu’elles sont nécessaires pour l’application des règles de calcul en béton armé. Pour les autres aspects (composition et mise en œuvre du béton par exemple), on se référera au cours sur les Matériaux de Construction.

1. Le béton 1.1. Diagramme contrainte-déformation en compression Les essais de compression sont réalisés sur des éprouvettes normalisées appelées 16x32, de forme cylindrique de hauteur 32 cm et de diamètre 16 cm (d'aire B=200cm2). Si l’on exerce une sollicitation de compression "F" sur une éprouvette de béton et que l’on Δl F enregistre l’évolution de la déformation ε = l au fur et à mesure que la contrainte ζ = B augmente; on obtient la courbe contrainte-déformation dont l’allure générale est représentée sur la figure 3.1. ζ (MPa) 30 _ fc 20 _

10 _

| 1

| 2

| 3

ε (‰)

Figure 3.1 : Courbe contrainte-déformation d’un essai de compression.

La contrainte maximale fc obtenue lors d’un essai de compression sur un cylindre normalisé est le paramètre le plus usité pour caractériser la qualité du béton. Dans le cadre de la conception des ouvrages on utilise la notion de résistance caractéristique fcj (j étant l’âge du béton en jours). A partir des courbes contrainte-déformation on peut tirer les informations suivantes : - le béton n’a un comportement élastique que pour les contraintes ≤ 0.5 fcj, la déformation correspondant à la contrainte maximale est voisine de 2 ‰ quelle que soit la résistance fcj du béton, la rupture est atteinte pour une déformation de l’ordre de 3.5 ‰, le module de déformation longitudinale instantané E ij ≈ 30000MPa. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

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Caractéristiques des matériaux

1.2. Résistance caractéristique à la compression Pour l’établissement des projets, dans les cas courants, un béton est défini par une valeur de sa résistance à la compression à l’âge de 28 jours notée fc28 dite valeur caractéristique requise (ou spécifiée). Celle-ci est choisie a priori, compte tenu des possibilités locales et des règles de contrôle qui permettent de vérifier qu’elle est atteinte. N.B : c’est la valeur de la résistance en dessous de laquelle on peut s’attendre à rencontrer 5% au plus de l’ensemble des ruptures des essais de compression. Exemples de résistances couramment atteintes (Article A.2.1,13) : - 20 MPa sont facilement atteintes sur les chantiers convenablement outillés, - 25 MPa sont atteintes sur les chantiers faisant l’objet d’un contrôle régulier, - on peut obtenir 30 MPa, à condition de choisir convenablement les matériaux et d’étudier la composition du béton, - des résistances supérieures peuvent être atteintes moyennant une sélection rigoureuse des matériaux utilisés. Pour des calculs en phase de réalisation, on adoptera les valeurs à j jours, définies à p a r t i r d e fc2 8 (Article A.2.1,11), p a r : -

-

P o u r j ≤ 28 jours, on peut admettre que la résistance des bétons non traités thermiquement suit approximativement les lois suivantes: j fcj = 4.76+0.83j f c2 8

pour f c2 8 ≤ 40 MPa

j fcj = 1.40+0.95j f c2 8

pour fc2 8 > 40 MPa

P o u r j > 28 jours, on admet pour justifier la résistance des sections : fcj = f c2 8

1.3. Résistance caractéristique à la traction Il est beaucoup plus difficile de faire des essais de traction. On distingue : - l’essai de traction directe qui est assez délicat car il nécessite, après sciage des extrémités des éprouvettes cylindriques, le collage des têtes de traction parfaitement centrées. L’opération devant avoir lieu sans aucun effort de flexion parasite, - les essais de traction indirecte tels que l’essai brésilien (ou traction par fendage) et l’essai en flexion quatre points. La résistance caractéristique à la traction du béton à j jours, notée ftj, est conventionnellement définie (Article A.2.1,12) par la relation : ftj = 0.6 + 0.06 f cj

où ftj et fcj sont exprim ées en MP a

Cette formule est valable pour les valeurs f cj ≤ 60 MPa

1.4. Module d’élasticité Le module de Young ou module d’élasticité instantané Ei est le rapport entre la contrainte appliquée ζ et la déformation relative εi. Ce module n’est définissable que dans la phase d’élasticité (1ère partie de la courbe ζ-ε) où il y a proportionnalité des contraintes et des déformations.

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Caractéristiques des matériaux Sous des contraintes normales d’une durée d’application inférieure à 24 heures, on admet, à défaut de mesures, qu’à l’âge de j jours, le module de déformation longitudinale instantanée du béton Eij vaut (Article A2.1,2) Eij = 11 000 fcj ⅓

(Eij et fcj en MP a)

1.5. Déformations différées Deux déformations différées apparaissent dans la vie d’un ouvrage en béton : le retrait et le fluage.  Retrait du béton Après coulage, une pièce de béton contient un excès d’eau (eau non liée avec le ciment). Si la pièce durcit dans une atmosphère non saturée en humidité, l’eau en excès s’évapore et s’accompagne d’une diminution de volume que l’on appelle : le retrait. On notera que des pièces de béton conservées dans l’eau subissent, au contraire, un gonflement. Le retrait commence dès le premier jour de vie de la pièce en béton et on observe que 80% du retrait est atteint au bout de deux ans. La principale conséquence du retrait est l’apparition de contraintes internes de traction, contraintes dont la valeur peut facilement dépasser la limite de fissuration. Pratiquement, pour se protéger des désordres liés au retrait, on adoptera les dispositions suivantes : - limiter le retrait lui-même en choisissant une composition adéquate du béton, - ralentir son évolution en maintenant humide la surface du béton après coulage, - disposer des armatures de peaux de faible espacement pour bien répartir les fissures de retrait, - éviter les variations brusques d’épaisseur des pièces qui entraîneraient des vitesses de retrait différentes d’où risque de fissuration, - prévoir des dispositions autorisant la libre contraction du béton : joints de dilatation.  Fluage du béton Il correspond à une déformation croissante dans le temps sous contrainte constante. Pour le béton, les déformations de fluage εv sont loin d’être négligeables puisqu’elles peuvent représenter jusqu’à deux fois les déformations instantanées : εv ≈ 2εi La déformation finale est alors :

ε∞ = εi + εv ≈ 3εi

Ce qui revient à considérer un module de déformation différé Evj, qui permet de calculer la déformation finale du béton : Eij Evj = 3 Il est évident que cette approche est simplificatrice et que le fluage d’un matériau ne vérifie pas la loi de Hooke d’un matériau élastique. Néanmoins, cette approche permet d’estimer les déformations cumulées dues à la déformation instantanée élastique et au fluage à un temps infini. A défaut de mesures, le règlement BAEL91 (Article A2.1,2) retient la valeur : Evj = 3 700 f cj ⅓

si f c2 8 ≤ 60 MPa

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Caractéristiques des matériaux N.B : Pour les bétons à performances élevées (f c2 8 > 60 MPa), la part des déformations de fluage est plus faible, de 1.5 à 0.8 fois les déformations instantanées pour des bétons sans ou avec fumée de silice respectivement.

1.6. Dilatation thermique Le coefficient de dilatation du béton vaut de 9 à 12.10-6, et on adoptera une valeur forfaitaire de 10-5 pour le béton armé. On notera que la valeur du coefficient de dilatation de l’acier (11.10-6) est très proche de celle du béton. Dans la pratique, les éléments ne sont pas libres, et les variations de température entraînent des contraintes internes de traction. Pour éviter des désordres, on placera régulièrement sur les éléments (dalles, voiles de façade) ou bâtiments de grandes dimensions des joints de dilatation espacés de 25 à 50 mètres selon la région. Notons que ces joints de dilatation sont aussi un moyen de lutter contre les désordres dus au retrait.

2. Les aciers 2.1. Types d’acier On distingue quatre types d’acier pour armature (figure 3.2), du moins au plus écroui : 1 . Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caractéristique de la limite élastique garantie de 215 ou 235 MPa. Ce sont les ronds lisses (notés Ø), qui ne sont plus utilisés que pour faire des crochets de levage en raison de leur très grande déformation à la rupture (allongement de 22% ) . 2. Les aciers laminés à chaud, naturellement durs, dit aciers à haute adhérence de type I. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 400MPa et un allongement à la rupture de 14% . 3. Les aciers laminés à chaud et écrouis avec faible réduction de section (par traction-torsion), dits aciers à haute adhérence de type II. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 500 MPa et un allongement à la rupture de 12% . 4 . Les aciers laminés à chaud par tréfilage (forte réduction de section), fortement écrouis, utilisés pour fabriquer les treillis soudés et fils sur bobines. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 500 MPa et un allongement à la rupture de 8% . MPa 500

3

4

2 400 1 300 200 100

0.2

10

25



Figure 3.2 : D i a g r a m m e s contrainte-déformation d’essais d e t r a c t i o n s u r l e s différents t y p e s d’acier

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Caractéristiques des matériaux On pourra retenir que l’action de l’écrouissage est d’augmenter la limite d’élasticité en faisant disparaître le palier de plasticité, et de diminuer l’allongement à la rupture (plus fragile). Les quatre types d’acier ont le même comportement élastique, donc un même module de Young de E s = 210 000 MPa. La déformation à la limite élastique est voisine de 0.2%, en fonction de la valeur de la limite d’élasticité

2.2. Prescriptions générales Les armatures doivent être conformes aux textes réglementaires en vigueur : titre I du C.C.T.G. (Cahier des Clauses Techniques Générales)  limite d’élasticité Le caractère mécanique servant de base aux justifications est la limite d’élasticité garantie notée fe. Il existe deux nuances: Pour les ronds lisses (aciers doux laminés à chaud), on trouve :  les aciers FeE215 de limite élastique fe =215 MPa  les aciers FeE235 de limite élastique fe =235 MPa Pour les barres à haute adhérence (aciers comportant des reliefs de surface qui améliorent la liaison béton-acier), on distingue :  les aciers FeE400 de limite élastique fe =400 MPa  les aciers FeE500 de limite élastique fe =500 MPa  module d’élasticité Le module d’élasticité longitudinale de l’acier est pris égal à : Es = 200000 MPa.

2.3. Diagramme conventionnel ou diagramme caractéristique Dans les calculs en BA, on remplace le diagramme contrainte-déformation réel par un diagramme conventionnel, vérifiant une loi de type élasto-plastique parfait. Ce diagramme (figure 3.3) est symétrique par rapport à l’origine.

σs fe

raccourcissements

allongements - εe

εe

εs

- fe Figure 3.3 : Diagramme caractéristique de l’acier

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Caractéristiques des matériaux NB : Il est cependant loisible d’utiliser une forme de courbe se rapprochant du diagramme réel de l’acier employé à condition de se référer à la valeur garantie de la limite d’élasticité fe et de contrôler la résistance prise en compte pour l’allongement limite de 10‰ (Article A.2.2,2).

2.4. Caractéristiques géométriques des aciers utilisés en BA Les aciers en barres : On distingue les ronds lisses et les barres à haute adhérence (HA) que l’on trouve en longueurs variant de 6 à 12 m, pour les diamètres normalisés suivants : 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 20 - 25 - 32 – 40 mm Le tableau ci-dessous aide à choisir le diamètre et le nombre de barres à mettre en place dans une section de béton donnée.

Les fils : Les armatures sous forme de fils sont stockées sur des bobines. Les fils servent principalement à la réalisation de treillis soudés, de cadres, d’épingles et d’étriers en usine de façonnage d’armatures, ou pour le ferraillage d’éléments préfabriqués tels que les prédalles BA ou BP. On trouve des diamètres de 5 à 12 m m et se sont généralement des aciers à haute adhérence. Les treillis soudés : Les TS sont constitués par des fils ou barres en mailles rectangulaires soudés entre eux et de diamètre au plus égal à 16 mm. Ils sont utilisés pour ferrailler rapidement des éléments plans, tels que les voiles, dalles et dallages. Ils sont disponibles en rouleaux ou en panneaux et sont composés d’aciers à haute adhérence.

3. Modélisation réglementaire On admet que : 

vis-à-vis des états limites de service, les matériaux se comportent élastiquement et,

 vis-à-vis des états limites ultimes, on accepte généralement que les matériaux entrent dans leur domaine de fonctionnement plastique. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

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Caractéristiques des matériaux

3.1. Le béton a) Modèle de calcul à l’ELS Le béton travaillant dans son domaine élastique, on adopte alors la loi de Hooke de l’élasticité pour décrire le comportement du béton à l’ELS : ζb = Eb . εb De plus, on adopte en général une valeur forfaitaire pour le module de Young du béton égale 1

à 15 de celle de l’acier : Es Eb = n

avec n = 15 = coefficient d’équivalence

Le module Eb est considéré constant quelque soit l’âge du béton et quelque soit sa résistance caractéristique. b) Modèle de calcul à l’ELU Pour les calculs à l’ELU, le comportement du béton est modélisé par la loi parabole-rectangle (figure 3.4). ζb(MPa)

Diagramme expérimental

Diagramme de calcul S

fbu

0

|

|

|

|

1

2

3

3.5

εb (‰)

Figure 3.4 : Définition du diagramme contrainte-déformation de calcul à l’ELU

 l'équation de la courbe contrainte-déformation de calcul est : pour

0 ≤ εb ≤ 2‰

ζb =0.25 fbu . 103 εb (4 -103 εb)

pour

2‰ ≤ εb ≤ 3.5‰

ζb = fbu

 la valeur de calcul de la résistance en compression du béton fbu est donnée p a r : fbu =

0.85 fc28 θ γb

où :  le coefficient de sécurité partiel, γb vaut 1.5 pour les combinaisons fondamentales et 1.15 pour les combinaisons accidentelles,

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Caractéristiques des matériaux  θ est un coefficient qui tient compte de la durée d’application des charges : θ=1 si la durée est supérieure à 24h, θ = 0.9 si la durée est comprise entre 1h et 24h et θ = 0.85 si elle est inférieure à 1h  Le raccourcissement relatif du béton est limité à compression simple.

3.5 ‰ en flexion et 2 ‰ en

c) Coefficient de Poisson Le coefficient de poisson est : déformation relative transversale ν = déformation relative longitudinale Il est pris égal à : ν = 0.2

pour les justifications à l’ELS (section non fissurée),

ν=0

pour les justifications à l’ELU (section fissurée)

3.2. L’acier a) Modèle de calcul à l’ELS Comme le béton, à l’ELS on suppose que les aciers travaillent dans le domaine élastique. On utilise donc la loi de Hooke de l’élasticité : ζs = Es . εs On adopte une valeur du module de Young forfaitaire Es = 200000MPa. b) Modèle de calcul à l’ELU Le diagramme de calcul (figure 3.5) se déduit du diagramme caractéristique par une affinité 1 parallèle à la droite de Hooke de rapport γ . s σs

Diagramme conventionnel

fe Diagramme de calcul fsu

-10 ‰

εes

- εes

10 ‰

εs

- fsu -fe

Figure 3.5 : Diagramme contrainte-déformation de calcul de l’acier à l’ELU

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Caractéristiques des matériaux

la résistance de calcul à l’état limite ultime fsu est définie par :

fe fsu= γ

s

avec γs un coefficient de sécurité partiel qui vaut en général 1.15 sauf pour les combinaisons accidentelles où il vaut 1. fe La déformation élastique est : εes= γ E s s L'équation de la courbe contrainte-déformation de calcul est définie par : pour

εs ≤ εes

ζs = Es . εs

pour

εes ≤ εs ≤ 10‰

fe ζs = γ

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s

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Dispositions constructives

Chapitre 4 : Dispositions constructives Le béton armé est obtenu en introduisant des aciers à l’intérieur du béton. Les aciers sont assemblés entre eux et forment une armature.

1. Dénomination des armatures On distingue deux types d’armatures :  les armatures longitudinales Elles sont disposées dans la zone de béton tendu pour reprendre les efforts de traction. Eventuellement, lorsque les dimensions de la section sont insuffisantes pour reprendre la totalité de l’effort de compression, on dispose des armatures dans la zone de béton comprimé pour reprendre une partie de l’effort de compression. Si l’on n’a pas besoin d’armatures de compression, on dispose en partie supérieure des poutres fléchies des armatures de montage qui permettent la mise en place des armatures transversales. Dans une section droite d'une poutre, on note: 1er lit 2ème lit

(Lits supérieurs)

3ème lit 2ème lit 1er lit

(Lits inférieurs)

files verticales Figure 4.1 : Nomenclature

 les armatures transversales Ce sont des armatures de petit diamètre, leur fonction est de coudre les bielles de béton. C’est pour cela qu’on les appelle aussi armatures de couture. Elles sont constituées de cadres, d’étriers ou d’épingles (figure 4.2). Les armatures transversales attachent d’autre part les barres longitudinales entre elles en maintenant leur écartement constant. Elles sont attachées aux armatures longitudinales avec un fil d’acier recuit de 7/10 de mm.

CADRE

ETRIER

EPINGLE

Figure 4.2 : différents types d'armatures transversales

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Dispositions constructives

2. Groupement des armatures longitudinales Les barres d’acier sont disposées (figure 4.3) :  de manière isolée,  en paquet vertical (jamais horizontal) de deux barres,  en paquet de trois barres (rare).

3. Enrobage des armatures Afin d’éviter les problèmes de corrosion des aciers, il convient de les enrober par une épaisseur de béton suffisante (figure 4.3). Cette épaisseur, l’enrobage, dépend des conditions d’exposition de l’ouvrage (Article A.7.1). L’enrobage d’une armature est la distance "c" du nu de cette armature à la paroi la plus proche. L’enrobage d’une armature doit être tel que : c ≥ max (Ø ou a, e) Avec :  Ø : diamètre de l’armature si elle est isolée,  a : largeur du paquet dont elle fait partie dans le cas contraire,  e = 5cm : ouvrages à la mer ou exposés aux embruns ou aux atmosphères très agressives, 3cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives, parois exposées aux intempéries, aux condensations ou au contact d’un liquide, 1cm : parois situées dans des locaux couverts et clos non exposées aux condensations.

4. Distances entre barres Entre deux armatures voisines, la distance libre doit être au moins égale, dans toutes les directions, à leur diamètre si elles sont isolées ou la largeur des paquets dont elles font partie dans le cas contraire. En outre, cette même distance doit être au moins égale à Cg dans la direction verticale et 1.5Cg dans la direction horizontale ; Cg désignant la plus grosse dimension du granulat utilisé (Cg =2.5 cm en général). Espacements corrects horizontalement : eh ≥ max(a, 1.5cg) verticalement :

Groupement des armatures

b

ev ≥ max(a, cg) Sens de coulage

eh

a b

b ev

a

a c

c

Figure 4.3 : Protection des armatures et condition de bétonnage correct

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Dispositions constructives

5. Ancrage des barres Un ancrage est la liaison d’une barre d’acier et le béton, en bout de barre. Il existe plusieurs types d’ancrages :  L'ancrage droit : la barre doit être ancrée sur une longueur ls dite longueur de scellement droit et définie comme étant la longueur à mettre en œuvre pour avoir un bon ancrage droit.  Les ancrages courbes : par manque de place comme aux appuis de rive par exemple, on est obligé d’avoir recourt à des ancrages courbes (figure 4.4) afin de diminuer la longueur d’encombrement de l’ancrage. On utilise le plus couramment :  les "crochets normaux"

:

θ=180°

 les "retours d’équerre"

:

θ=90°

 les "ancrages à 45°"

:

θ=135°

 les "ancrages à 60°"

:

θ=120°

l

D

1

C r 

FA B

l

A

2

Figure 4.4 : Définition d’un an c r ag e c ou r b e

6. Façonnage des aciers Afin de ne pas trop plastifier les aciers, il convient d’adopter des mandrins de façonnage dont les diamètres ne soient pas trop petits. On admet qu’un cadre, un étrier ou une épingle soit plus plastifié au niveau des coudes que les ancrages d’une barre longitudinale. - Pour les barres longitudinales les rayons de courbure r des ancrages doivent vérifier : r  3Ø

pour un rond lisse de diamètre Ø

r  5.5Ø

pour un HA de diamètre Ø

Le rayon de courbure étant défini sur la fibre moyenne de la barre, le diamètre du mandrin à utiliser est D=2r - Ø. - Pour les cadres, étriers et épingles, les rayons de courbures r sont : r  2Ø

pour un rond lisse de diamètre Ø

r  3Ø

pour un HA de diamètre Ø

7. Recouvrements des barres Les longueurs de livraison des barres (6 à 12m) ne permettent pas toujours d’avoir des barres continues. Dans ce cas, on a recours à plusieurs barres que l’on dispose dans le

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24

Dispositions constructives prolongement l’une de l’autre, mais il faut bien évidemment assurer leur continuité mécanique. Cette continuité est généralement assurée par recouvrement de barres (figure 4.5) c’est-àdire que les extrémités des barres se chevauchent sur une certaine longueur lr dite "longueur de recouvrement". La continuité mécanique peut également être réalisée par soudure bout-à-bout ou soudure par recouvrement.

ℓr

ℓr

Figure 4.5 : types de recouvrements de barres

8. Poussée au vide Une armature courbe et tendue exerce sur le béton une poussée vers sa concavité. Si cette poussée s’effectue près d’une paroi (poussée au vide), la barre soll icite à la traction la couverture de béton (figure 4.6).

Poussée au vide

Danger

Sans danger

Figure 4.6 : Poussée au vide

Il convient d'adopter un mode constructif qui permette d'éviter tout désordre engendré par la poussée au vide des armatures (Article A7.4). On adoptera, par exemple, les dispositions présentées sur la figure 4.7.

Incorrect

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Correct

25

Dispositions constructives

Poussée au vide

Correct

Incorrect

Incorrect

Correct

Correct

F i gu r e 4 . 7 : Dispositions constructives à mettre en œ u v r e pour se prémunir des désordres dus à la poussée au vide

9. Prescriptions pour limiter la fissuration Pour limiter la fissuration (Article A.4.5,323), il convient de :  n’utiliser les armatures de gros diamètres que dans les pièces de béton suffisamment épaisses.  Eviter les très petits diamètres dans les pièces exposées aux intempéries.  Prévoir le plus grand nombre de barres compatibles avec une mise en place correcte du béton.

Dispositions mauvaises

Dispositions correctes

F i gu r e 4 . 8 : Dispositions constructives à mettre en œ u v r e pour limiter la fissuration

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26

Flexion simple

Chapitre 5 : Dimensionnement en flexion simple Justifications vis-à-vis des sollicitations normales 1. Généralités 1.1. Définition Une poutre à plan moyen est soumise à la flexion plane simple si les sollicitations se F réduisent à : q Mz - un moment fléchissant : MZ Vy - et un effort tranchant : Vy Nx

1.2. Justifications à faire

G

En béton armé, on distingue : a) L’action du moment fléchissant qui conduit au dimensionnement des armatures longitudinales. b) L’action de l’effort tranchant qui concerne le dimensionnement des armatures transversales. Ces deux calculs sont menés séparément et dans cette partie on se limitera aux calculs relatifs au moment fléchissant.

1.3. Portées des poutres En béton armé, la portée des poutres à prendre en compte est :  la portée entraxes d’appuis lorsqu’il y a des appareils d’appui ou que la poutre repose sur des voiles en maçonnerie,  la portée entre nus d’appuis lorsque les appuis sont en béton armé (poutre principale, poteau ou voile).

2. Justifications vis-à-vis du moment fléchissant Plusieurs états limites sont à considérer pour la justification des poutres fléchies :  état limite ultime de résistance  état limite de service vis-à-vis de la durabilité  état limite de service vis-à-vis de la déformation

3. Etat Limite Ultime de Résistance 3.1. Principe de justification (Article A.4.3.1) Les sollicitations de calcul établies conformément à l’article (A.3.3, 2) du BAEL ne doivent pas dépasser dans le sens défavorable les sollicitations ultimes résistantes : Mu ≤ Mur Où : Mu est le moment appliqué (moment de calcul) et Mur est le moment résistant de la section

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27

Flexion simple

3.2. Hypothèses de calcul (Article A.4.3.2) Les principales hypothèses du calcul des sections en BA soumises à de la flexion simple aux ELU sont les suivantes :  les sections droites restent planes après déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli),  il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton,  le béton tendu est négligé,  l’aire des aciers est supposée concentrée en son centre de gravité pourvu que l’erreur ainsi commise sur les déformations unitaires ne dépasse pas 15% (ce qui est généralement réalisé en pratique),  le comportement de l’acier est défini par le diagramme contrainte-déformation de calcul de la figure 3.5.  pour le béton, il est loisible, lorsque la section considérée n’est pas entièrement comprimée, d’utiliser le diagramme rectangulaire simplifié (Article A.4.3,42), défini sur la figure 5.1. εbc fbu fbu ζ's 0,8yu

ε's

A'u yu

Au

εs déformations

ζs

ζ's

ζs

diag. parabole-rectg

diag. rectangulaire

contraintes

Figure 5.1 : Définition des diagrammes contrainte-déformation parabole-rectangle et rectangulaire simplifié dans la section de béton comprimé

 le raccourcissement relatif du béton est limité à 3.5‰ en flexion et 2‰ en compression simple, alors que l’allongement relatif de l’acier est limité à 10‰, Le diagramme de déformation de la section à l'ELUR (Article A.4.3.3) passe donc par l'un des 3 pivots A, B ou C définis sur la figure 5.2 : 3.5‰ B

A'

2 d

h

3

A 10‰ 0

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h

4 7

h

C

1 As

3 7

2‰

28

Flexion simple Figure 5.2 : diagramme des déformations limites de la section

Ce diagramme met en évidence 3 domaines :  Domaine 1 – Pivot A : le diagramme passe par le pivot A correspondant à un allongement ultime de l'armature tendue égal à 10 ‰.  Domaine 2 – Pivot B : le diagramme passe par le pivot B correspondant à un raccourcissement ultime de la fibre la plus comprimée égal à 3.5 ‰.  Domaine 3 – Pivot C : le diagramme passe par le pivot C correspondant à un 3

raccourcissement de 2 ‰ de la fibre de béton située à 7 h de la fibre la plus comprimée. L'axe neutre est en dehors de la section. Celle-ci est entièrement comprimée.

3.3. Droites de déformation possibles dans le cas de la flexion simple Dans le cas de la flexion simple, les droites de déformation possibles sont celles appartenant aux domaines 1b ou 2 (figure 5.3). A'

0'

3.5‰

3.5‰

B

A' 1a

B

1b

2a h

d 2b 2c

A

A

10‰

10‰

Domaine 1- Pivot A

εes

Domaine 2 - Pivot B

0

Figure 5.3 : Définitions des différentes droites de déformation possibles en flexion simple à l’ELU

 Domaine 1b: L'acier travaille à son maximum, le raccourcissement du béton est inférieur à 3.5 ‰. Si εbc < 2 ‰, le béton sera mal utilisé, il faudra alors réduire les dimensions de la section.  Domaine 2 : Le béton travaille à son maximum, l'allongement de l'acier est inférieur à 10 ‰. On peut décomposer ce domaine en trois sous-domaines :  Domaine 2a : L'allongement des armatures tendues est supérieur à l'allongement élastique limite ( εs ≥εes ). Les armatures sont bien utilisées car elles travaillent à un taux supérieur à leur limite d'élasticité de calcul ( fe/γs ).  Domaine 2b : L'allongement des armatures tendues est inférieur à l'allongement élastique limite ( εs μℓ le diagramme de déformation de la section appartient au domaine 2b ou 2c (εs < εes ); l'acier est alors mal utilisé. Pour résoudre ce problème on se ramène au domaine 2a :  soit en augmentant les dimensions de la section (b ou h),  soit en utilisant un béton de résistance plus élevée,  soit en ajoutant des armatures comprimées. L'ajout d'armatures comprimées est généralement une solution économique. d) Section avec armatures comprimées Les sections d'acier tendu et comprimé s'obtiennent en supposant que l'allongement des armatures tendues est égal à εes (frontière entre les domaines 2a et 2b). εs = εes

fe ζs = γ

donc

s

3.5 αu = αℓ = 3.5+1000ε

es

μu = μℓ = 0.8αℓ (1 – 0.4αℓ) Le moment équilibré par le béton est alors : Mbℓ = μℓ bd2 fbu Le moment équilibré par la section est : Mu = Mbℓ + A'u ζ's (d - c') or ε's =

yℓ - c' yℓ 3.5 ‰ donc si ε's < εes alors ζ's = Es ε's fe et si ε's ≥ εes alors ζ's = γ s

La section d'armatures comprimées est alors : Mu - Mbℓ A'u = (d - c') ζ' avec Mbℓ = μℓ bd2 fbu s L'équilibre des efforts normaux donne la section d'armatures tendues : Fb + F's – Fs = 0

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33

Flexion simple

C'est-à-dire : D'où :

Mbℓ Mu - Mbℓ fe d(1 - 0.4αℓ) + (d - c') = Au γs Mbℓ Mu - Mbℓ 1 Au = ( d(1 - 0.4α ) + (d - c') ) f ℓ e γs

N.B : Le règlement impose que: - les armatures longitudinales comprimées ne sont prises en compte dans les calculs de résistance (Article A.4.1.2) que si elles sont entourées tous les 15Φ au plus par des armatures transversales, - la part du moment de flexion équilibré par les aciers comprimés (Article B.6.6.1) doit être inférieure à 40% du moment total : A'u ζ's (d - c') < 0.4 Mu e) Récapitulatif Soit une section soumise au moment fléchissant ultime de calcul : Mu. On détermine la section d'armatures longitudinales comme suit : On calcule :

Mu μu = bd2 f

bu

avec

d ≈ 0.9h

On choisit la nuance d'acier puis on calcule : fe εes= γ E

s s

3.5 αℓ = 3.5+1000ε

es

μℓ = 0.8αℓ (1 – 0.4αℓ) 1er cas : d'où :

2ème cas : et on calcule :

μu ≤ μℓ (domaine 1b ou 2a) → Au =

fe A'u = 0 et ζs = γ (car εes ≤ εs ≤ 10‰) s

Mu avec zu = d(1 - 0.4αu) et αu = 1.25(1- 1-2 μu ) fe zu γ s

μu > μℓ (domaine 2b ou 2c) →

On se ramène au domaine 2a (A'u ≠ 0)

Mbℓ Mu - Mbℓ 1 Au = ( d(1 - 0.4α ) + (d - c') ) f ℓ e γs Mu - Mbℓ A'u = (d - c') ζ' avec Mbℓ = μℓ bd2 fbu s

f) Estimation des dimensions de la section Soit Mu la sollicitation de calcul appliquée à une section donnée. Pour reprendre économiquement cette sollicitation, il faut que :  la largeur b et la hauteur h de la section soient minimales,  les aciers soient bien utilisés, c'est-à-dire il faut qu'ils travaillent à leur limite d'élasticité de calcul et aient une section minimale. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

34

Flexion simple Ces deux exigences sont contradictoires : plus on réduit les dimensions de la section, plus il faut d'acier pour reprendre la sollicitation. L'optimisation de la section est obtenue lorsqu'on se situe à la frontière du domaine 2a et 2b. Le coffrage de la section est alors obtenu en écrivant qu'il ne faut pas d'acier comprimé. Mu Mu c-à-d. u = bd² f ≤ μℓ d’où bd2 ≥ μ f bu ℓ bu Pour déterminer la seconde inconnue du problème, une règle de bonne construction consiste à prendre 0.3d ≤ b ≤ 0.5d.

3.7. Sections en Té a) Pourquoi des sections en Té Les poutres en béton armé d'un bâtiment ou d'un pont supportent souvent des dalles. On peut alors considérer que la dalle supportée par les poutres reprend une partie des contraintes de compression induites par la flexion de celles-ci (Attention, ceci n’est vrai que si la dalle est comprimée, c’est-à-dire si la poutre subit un moment positif). A

C

B

E

F

G

H

D

ℓt

Figure 5.6 : partie de la dalle participant à la résistance de la poutre

On appelle :  "table de compression" ou tout simplement "table" la partie ABCD de la poutre,  "nervure" la partie EFGH.

ℓ2

de rive

Arctg 2/3

appui

min(ℓ1/10, ℓt/2)

appui

min(ℓ2/10, ℓt/2)

intermédiaire

b) Largeur de table à prendre en compte Le BAEL (Article A.4.1,3) définit la largeur du débord à prendre en compte par la plus restrictive des conditions suivantes :  on ne doit pas attribuer une même zone de hourdis à deux nervures différentes,  la largeur en cause ne doit pas dépasser le dixième de la travée,  la largeur en cause ne doit pas dépasser les deux tiers de la distance de la section considérée à l’axe de l’appui extrême le plus proche.

ℓ1

Figure 5.7 : dimensions des débords à prendre en compte pour le calcul d'une poutre en T

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35

Flexion simple c) Calcul des armatures b ho

c'

A'u

εbc Mu

yu

fbu ε's

0.8yu

ζ's

h d Au

εs

ζs

bo Figure 5.8 : Notations utilisées pour les calculs en flexion simple à l’ELU des sections en té.

soit Mt le moment équilibré par la table de compression bho (figure 5.8) supposée entièrement comprimée. ho Mt = bho fbu(d - 2 ) 1er cas Mu ≤ Mt

c-à-d. 0.8 yu ≤ ho

ou

yu ≤ 1.25 ho

On se ramène à une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d. 2ème cas Mu > Mt b

c-à-d. 0.8 yu > ho

ou

yu > 1.25 ho

ho

A'u

A'u

= Au

0.8yu

yu

+ Auo

Au1 ζs

bo

Mu - Md

Md

Figure 5.9 : Principe de calcul en flexion simple à l’ELU des sections en té.

Dans ce cas une partie de la nervure est comprimée. Le moment ultime est alors repris d'une part par les débords de la table et d'autre part par l'âme de la poutre.  Le moment équilibré par les débords est :

ho b - bo Md = (b - bo) ho fbu (d - 2 ) = b . Mt

L'équilibre des moments par rapport au point d'application de la résultante (Fbd) des efforts Md repris par les débords donne : Auo = ho (d - 2 ) ζs  Le moment que doit équilibrer l'âme boh de la poutre est : On calcule :

μu =

Mâme = Mu - Md

Mu - Md bod2 fbu

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36

Flexion simple Si μu ≤ μℓ → et

Au1 =

domaine1b ou 2a

donc

A'u = 0

Mu - Md fe avec zu = d(1 - 0.4αu) et αu = 1.25(1- 1-2 μu ) zu γ s

la section totale d'acier est alors : Au = Auo + Au1 =

Si μu > μℓ →

Md Mu - Md + ho fe fe (d - 2 ) γ d(1 - 0.4αu) γ s s

on se ramène au domaine 2a donc A'u ≠ 0

Soit Mbℓ = μℓ bod2 fbu le moment repris par le béton comprimé de l'âme. - Si 0.8 yℓ > ho

- Si 0.8 yℓ ≤ ho

Md Mbℓ Mu - Md - Mbℓ ho fe + fe + fe (d - 2 ) γ d(1 - 0.4αℓ) γ (d - c') γ s s s

alors

Au =

et

A'u =

Mu - Md - Mbℓ (d - c') ζ's

avec

ζ's = f(ε's )

on se ramène à une section rectangulaire (b,h) avec A'u ≠ 0

4. Etat Limite de Service vis-à-vis de la durabilité de la structure 4.1. Principe de justification Il ne s'agit plus comme dans les vérifications en état limite ultime de résistance de comparer les sollicitations, mais de vérifier que les contraintes, calculées conformément aux hypothèses de l'article A.4.5.1 et d'après les combinaisons de sollicitations de l'article A.3.3.3, restent inférieures à des "contraintes admissibles".

4.2. Hypothèses de calcul (Article A.4.5.1) Le calcul des contraintes est conduit moyennant les hypothèses suivantes:  les sections droites restent planes après déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli),  il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton,  le béton tendu est négligé,  l’aire des aciers est supposée concentrée en son centre de gravité pourvu que l’erreur ainsi commise sur les déformations unitaires ne dépasse pas 15% (ce qui est généralement réalisé en pratique),  le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux linéairement élastiques, Es  le rapport du module d'élasticité longitudinal de l'acier à celui du béton est : n = E = 15 . b Ces hypothèses permettent d'appliquer au béton armé les formules de la R.D.M établies pour les corps homogènes, il suffit pour cela d'homogénéiser les sections de B.A; on remplace alors la section d'acier A par une section de béton d'aire nA=15A. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

37

Flexion simple

4.3. Notations Pour les calculs aux ELS, on utilise les notations de la figure 5.10, où :  h est la hauteur de la section de béton,  As = section totale des armatures tendues,  A's = section totale des armatures comprimées,  d = hauteur utile : c'est la distance du centre de gravité des aciers tendus à la fibre la plus comprimée du béton,  c' = position du centre de gravité des aciers comprimés par rapport à cette fibre,  ys = position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée du béton,  εs = allongement relatif des armatures tendues,  ε's = raccourcissement relatif des armatures comprimées,  εbc = raccourcissement relatif de la fibre la plus comprimée du béton,  ζs = contrainte de traction dans les armatures tendues,  ζ's = contrainte de calcul dans les armatures comprimées,  ζbc = contrainte dans la fibre la plus comprimée du béton,  Fb = résultante des efforts de compression dans le béton,  Fs = résultante des efforts de traction dans les armatures tendues,  F's = résultante des efforts de compression dans les aciers comprimés,  Bc = aire de la section de béton comprimé,  Bo = aire de la section de homogène réduite (Bo = Bc + nA's + nAs) εbc

c'

ζbc

ε's

A's

ζ's/n

ys h

F's

ys

Fb

d zb As

εs

ζs/n

déformations

Fs

contraintes

efforts

Figure 5.10 : Notations utilisées pour les calculs en flexion simple à l’ELS

4.4. Calcul des contraintes A la distance y de l'axe neutre, nous avons : ζb(y) = Eb εb(y) or

εb(y) = k.y

et

Es ζs n = E = ζ d'où b b

donc

ζb(y) = k.Eb.y = K.y

avec

ζbc K= y s

ζs(y) = n.ζb(y) = n.K.y

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Flexion simple On aura donc : ζbc = K ys ζs = n K (d - ys) ζ's = n K (ys – c') Nous pourrons calculer ζbc, ζ's et ζs dès que ys et K seront connus. a) Détermination de la profondeur "ys" de l'axe neutre et du coefficient "K"  Equilibre des efforts normaux : Fb + F's – Fs = 0 Or :

Fb    b ( y)dB  K  ydB  K.S b Bc

Bc

Fs    s ( y)dA  n.K  ydA  n.K.Sa As

As

Fs'    s' ydA'  n.K  ydA'  n.K.S'a A s'

As'

Avec Sb , Sa et S'a les moments statiques par rapport à l'axe neutre des sections B c , As et A's. On aura alors : K(Sb + n S'a – n Sa) = 0 D'où

Sb + n S'a – n Sa = 0

Les armatures étant considérées concentrées en leur centre de gravité, la relation devient alors ys   b(y) y dy + nA's (ys - c') – nAs(d - ys) = 0 0 La résolution de cette équation donne la profondeur "ys" de l'axe neutre. Celle-ci est indépendante du moment fléchissant appliqué (contrairement à l'ELU). L'axe neutre passe donc par le centre de gravité de la section homogène réduite.  Equilibre des moments :

  Bc

b

( y) ydB    s' ( y) ydA'   s ( y) ydA  M ser A s'

As

  K  y 2 dB  n. y 2 dA' n. y 2 dA   M ser B  As A s'  c  K( Ib + n.Ia + n.I'a ) = Mser ζbc Mser K= y = I s

avec

I = Ib + n.Ia + n.I'a

I est le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section homogène réduite. Ib, Ia et I'a sont les moments d'inertie par rapport à l'axe neutre des sections Bc , As et A's. Si armatures concentrées en leur centre de gravité : I = Ib + nA's (ys - c')2 + nAs(d - ys)2

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39

Flexion simple b) Cas d'une section rectangulaire  Profondeur de l'axe neutre : ys est la racine carrée positive de l'équation : bys2 2 + nA's (ys - c') – nAs (d - ys) = 0  Moment d'inertie : bys3 I = 3 + nA's (ys - c')2 + nAs (d - ys)2 c) Cas d'une section en Té  Profondeur de l'axe neutre : On suppose que l'axe neutre tombe dans la table de compression et on résoud l'équation : bys2 2 + nA's (ys - c') – nAs (d - ys) = 0 si on trouve une racine ys > ho l'hypothèse de départ est fausse. L'axe neutre tombe dans la nervure. Il faut alors résoudre l'équation suivante : bys2 (ys - ho)2 – (b - bo) + nA's (ys - c') – nAs (d - ys) = 0 2 2  Moment d'inertie : Si l'axe neutre se trouve dans la table de compression : bys3 I = 3 + nA's (ys - c')2 + nAs (d - ys)2 si l'axe neutre est dans la nervure : bys3 (ys - ho)3 I = 3 – (b - bo) + nA's (ys - c')2 + nAs (d - ys)2 3 d) Expressions des contraintes Les contraintes sont alors données par : ζbc =

Mser I .ys

Mser ζ's = n . I (ys - c') Mser ζs = n . I (d - ys)

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40

Flexion simple

4.5. Vérifications des contraintes Les vérifications à effectuer (Article A.4.5) portent sur :  Un état limite de compression du béton : b  b  Un état limite d'ouverture des fissures : avec

s  s

 b : contrainte admissible en compression du béton,

 s : contrainte admissible en traction de l'acier. On doit donc vérifier que les contraintes calculées (ζbc et ζs) ne dépassent pas les contraintes admissibles (  b et  s ).

4.6. Contraintes admissibles a) Contraintes admissibles en compression du béton (Art. A.4.5.2) La contrainte de compression du béton est limitée à 0.6 fcj :  b = 0.6 fcj avec fcj = résistance à la compression du béton à "j" jours b) Contraintes admissibles en traction de l'acier (Art. A.4.5.3)  Fissuration peu préjudiciable (ou peu nuisible) La fissuration est considérée comme peu préjudiciable lorsque: - les éléments en cause sont situés dans des locaux couverts et clos, non soumis à des condensations, - les parements susceptibles d'être fissurés ne sont pas visibles. Dans ce cas aucune vérification n'est demandée.  Fissuration préjudiciable La fissuration est considérée comme préjudiciable lorsque les éléments en cause sont exposés aux intempéries ou à des condensations, ou peuvent être alternativement noyés et émergés en eau douce. Dans ce cas :   s  min( 2 f e ;110 f tj MPa ) 3 avec : fe = limite d'élasticité garantie des armatures η = coefficient de fissuration : η = 1 pour les ronds lisses 1.6 pour les barres H.A.  Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins égal à 6mm  Fissuration très préjudiciable La fissuration est considérée comme très préjudiciable lorsque les éléments en cause sont exposés à une atmosphère très agressive (eau de mer, brouillards salins, gaz ou sols particulièrement corrosifs ….). Dans ce cas :

fe ;90 f tj MPa ) 2  Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins égal à 8mm  Si Φ ≥ 20mm alors l'espacement des armatures est eh ≤ 3Φ   s  min(

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41

Flexion simple

4.7. Calcul des armatures a) Cas d'une section rectangulaire a1) Notion de moment résistant béton On appelle moment résistant béton, le moment pour lequel on atteint l'état limite de service par compression du béton ( bc   b ) lorsque la contrainte dans l'acier tendu est égale à sa valeur à l'état limite d'ouverture des fissures ( s   s ) . ζb

εbc

ys/3 Fb

ys

ys h d

zb εs

As

ζs/n

déformations

b

Fs efforts

contraintes

Figure 5.11 : Principe de calcul du moment résistant béton à l’ELS des sections rectangulaires

1 Fb = 2 b y s  b Mrb = Fb z b

avec

zb = d -

ys

le moment résistant béton s'exprime alors : le moment résistant béton réduit est donc : a2)

s

3 = d (1 - 3 )

s 

et

ys d



n b n b   s

s 1 Mrb = 2  s (1 - 3 ) b d2  b s Mrb 1 μrb = = 2  s (1 - 3 ) b d2  b

Calcul des armatures

 Cas où Mser ≤ Mrb

ζs =  s

→

ζbc ≤  b

→

on n'a pas besoin d'armatures comprimées

et εbc

ζbc ys/3

ys

Fb

ys

h d zb As b

εs déformations

ζs/n contraintes

Fs efforts

Figure 5.12 : Principe de calcul des sections rectangulaires sans aciers comprimés

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42

Flexion simple 1 αs Mser = 2 αs (1 - 3 ) b d2 ζbc

avec

s

ζbc = n

αs 1 - αs

 s αs2 αs Mser = 2n 1 - α (1 - 3 ) b d2 s Mser 1 αs2 αs en posant μs = = 2n 1 - α (1 - 3 ) on aura : b d2  s s

αs 2 n μs (1 - αs ) = αs2 (1 - 3 )

d'où : αs3 - 3αs2 - 6 n μs αs + 6 n μs = 0 αs est obtenue par résolution de cette équation du troisième degré. La solution qui nous intéresse est : 0 ≤ αs ≤ 1. Mser αs Ainsi, nous pouvons calculer As = avec zb = d (1 - 3 ) zb  s Remarque En pratique, on utilise une valeur approchée par défaut de zb qui conduit à une section As par léger excès : s Mser n b → ) d'où A z b = d (1 s  s= 3 zb s n b   s  Cas où Mser > Mrb

ζs =  s

→

ζbc >  b

→

il faut mettre des armatures comprimées

Le moment équilibré par le béton étant :

et

Mrb = μrb b d2  b

L'équilibre des moments par rapport au centre de gravité des aciers tendus donne : Mser – Mrb A's = (d - c') ζ' s Et l'équilibre des efforts normaux donne: As =

Mrb zb s

+

ζ's = n  b

avec

y s - c' ys

s Mser – Mrb avec z b = d (1 - 3 ) (d - c')  s

b) Cas d'une section en T b1) Moment de référence C'est le moment équilibré par la seule table entièrement comprimée pour atteindre  s dans les aciers tendus. b

ζbc

ho/3

ho

Fbt

h d As ζs/n

Fs

bo Figure 5.13 : Principe de calcul du moment de référence à l'ELS pour une section en T

Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

43

Flexion simple 1 ho Mts = 2 b ho ζbc (d - 3 ) ho d- 3 s Mts = 2n d - h b ho2 o

d'où : b2)

 s ho ζbc = n d – h o

avec

Calcul des armatures

 Cas où Mser ≤ Mts → l'axe neutre tombe dans la table et la section en Té se calcule comme une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d. Valeur approchée :

As =

 Cas où Mser > Mts

→

Mser zb  s

s ho zb = min(d - 3 ; d (1 - 3 ))

avec

l'axe neutre tombe dans la nervure

Le calcul exact étant complexe, on préfère utiliser des expressions approchées pour le bras de levier zb. - pour les planchers de bâtiments : ou - pour les ouvrages d'art : On calcule As =

zb = 0.99 d – 0.4 ho ho zb = d - 2 zb = 0.93 d

Mser puis on vérifie les contraintes. zb  s

N.B Si par application de cette méthode, on trouve ζb >  b , des armatures comprimées sont alors nécessaires. On pourra alors déterminer les sections d'armatures en écrivant les équations d'équilibre. Mser – Fb zb L'équilibre des moments par rapport aux armatures tendues donne : A's = (d - c') ζ' s et l'équilibre des efforts normaux donne : As = b ho

Fb + A's ζ's s

c'

A's

ys

ζb ζ's/n

F's Fb

h d

zb As

ζs/n

Fs

bo Figure 5.14 : Principe de calcul des sections en Té avec armatures comprimées

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44

Flexion simple

5. Choix de l'état limite dimensionnant Le choix entre l'état limite ultime et l'état limite de service pour dimensionner une section dépend du type de fissuration. Type de fissuration

peu préjudiciable

préjudiciable

très préjudiciable

Dimensionnement

E.L.U

E.L.U (ou E.L.S)

E.L.S

Vérification

E.L.S

E.L.S (ou E.L.U)

inutile

En principe : A = max (Au; As) Remarque Si une section, dimensionnée à l'E.L.U, ne vérifie pas l'E.L.S on a toujours la possibilité dans le cas où la fissuration est préjudiciable de redimensionner les aciers à l'E.L.S puisque la contrainte admissible des aciers est définie. Par contre, quand la fissuration est peu préjudiciable, la contrainte des aciers tendus est inconnue, ce qui rend imprécis le dimensionnement à l'E.L.S. Dans le cas des sections rectangulaires, on définit une méthode de dimensionnement à l'E.L.U qui permet de vérifier l'état limite de compression du béton. a) Présentation de la méthode Soit une section rectangulaire soumise à un moment fléchissant Mu à l'E.L.U et Mser à l'E.L.S. Mu Nous recherchons la valeur µc du moment relatif μu = bd2 f telle qu'à l'E.L.S la contrainte de bu la fibre la plus comprimée soit égale à  b = 0.6 fc28 . La valeur numérique de µc ne résulte pas d'un calcul simple (cf cours supérieur de BA par Paul Dinnequin). Il existe des tables donnant des valeurs précises de µc en fonction de fc28, θ, fe et Mu ρ= M . ser Afin de vérifier dans une majorité de cas l'état limite de compression du béton, on compare le moment relatif ultime au moment relatif critique pour savoir s'il faut disposer des armatures comprimées ou non. Si µu ≤ µc → A's = 0 en E.L.S Si µu > µc → A's ≠ 0 en E.L.S La valeur de µc est elle-même bornée à µℓ (lorsque µc > µℓ on prendra µc = µℓ). b) Calcul des armatures comprimées  Dimensionnement à l'E.L.U On décompose la section réelle en deux sections fictives : - une section fictive 1 de largeur b sans aciers comprimés. - une section fictive 2 sans béton munie de la section A's d'aciers comprimés.

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45

Flexion simple

c'

3.5‰

ε's

A'u

A'u

yu h d

= εs

Au

+ Au1

b

Au2

Section 1 ( Muc )

( Mu )

Section 2 ( Mu - Muc )

La section fictive 1 équilibre le moment Muc et la section 2 équilibre le moment (Mu - Muc) Muc μc = bd2 f → bu yc - c' ε's = y 3.5 ‰ c

αc = 1.25 (1 - 1-2μc ) d'où l'on déduit ζ'su

on calcule ensuite la section d'aciers comprimés à l'E.L.U :

Mu – Muc A'u = (d - c') ζ' su

 Dimensionnement à l'E.L.S c'

b ζ's/n

A's

A's

ys h d

= As

ζs/n

+ As1

b

Section 1 ( Msc )

( Mser )

Au moment critique Muc correspond Msc =

As2 Section 2 ( Mser – Msc )

Muc ρ = moment maximal de service équilibré par

la section 1. La section d'armatures comprimée en E.L.S est donc : Mser – Msc A's = (d - c') ζ' avec s d'où :

ζ's = n  b

αs - δ' ys c' αs ; αs = d et δ' = d

ρ(Mser – Msc) Mu – Muc A's = (d - c') ρζ' = (d - c') ρζ' s s

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46

Flexion simple La section d'armatures comprimées est alors : On pose : ζ'se = min (ζ'su ; ρζ's )

d'où

A' = max (A'u; A's)

Mu – Muc A' = (d - c') ζ' se

Il existe des formules approchées pour calculer ζ'se valables lorsque fc28 ≤ 30 MPa :  Pour FeE500 :

1 ζ'se = 9ρ fc28 – δ' (13 fc28 + 415) k

 Pour FeE400 :

1 ζ'se = 9ρ fc28 – 0.9δ'(13 fc28 + 415) k ≤ 348 MPa

avec

≤ 435 MPa

1- k = 1- 8.5 .

c) Calcul des armatures tendues La section fictive 1 équilibre au plus Muc (elle équilibre réellement Mu1 = Mu – A'ζ'se(d-c')) Muc μc = bd2 f bu

d'où :

→

αc = 1.25 (1 - 1-2μc ) zc = d(1 - 0.4αc) Muc ζ'se A= fe + A' fe zc γ γs s

6. Coffrage des sections rectangulaires Le choix des dimensions à donner aux sections est fonction des conditions à vérifier à la fois en E.L.U et en E.L.S : Mu  Dans le cas où la fissuration est peu préjudiciable : bd2 ≥ μ f c bu Mser  Si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable : bd2 ≥ μrb  b Le choix des dimensions de la section est en fait une question d'expérience. On se reporte à des ouvrages analogues ou on se base sur des règles dites "règles de bonne pratique".

7. Condition de non fragilité Le risque des pièces fragiles est essentiellement un mauvais comportement vis-à-vis de la fissuration, qui se traduit le plus souvent par des fissures très peu nombreuses (voire par une fissure unique) mais d'ouverture très prononcée pouvant aller dans des cas extrêmes jusqu'à la rupture brutale. Ce risque est effectif pour les pièces peu sollicitées par les actions dues au poids propre et aux charges d'exploitation, pièces pour lesquelles le rôle du retrait et de la température ainsi que d'effets secondaires divers devient prépondérant.  Définition d'une section non fragile (Article A.4.2.1): Est considérée comme non fragile, une section tendue ou fléchie telle que la sollicitation provoquant la fissuration du béton dans le plan de la section considérée entraîne dans les aciers une contrainte au plus égale à leur limite d'élasticité garantie.  Calcul de la section minimale d'armatures

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47

Flexion simple  La sollicitation provoquant la fissuration du béton est celle qui conduit sur la fibre la plus tendue de la section à une contrainte égale à ft28. ζs v

v ζs = M I

M

h v' ζi = M I

v'

ζi v' La contrainte en fibre inférieure due au moment de fissuration Mf est : ζi = Mf = ft28 I I Le moment provoquant la fissuration est alors : Mf = ft28 v'  La sollicitation de fissuration doit entraîner dans les aciers tendus une contrainte au plus égale à fe : Mf Mf ≤ A.zb. fe d'où A ≥ z .f b e La section minimale d'armatures nécessaire pour que la section ne soit pas fragile est: ft28 I Amin = f z .v' e b

( si M < 0

alors

ft28 I Amin = f z .v ) e b

Dans le cas d'une section rectangulaire : bh3 h I = 12 ; v = v' = 2 ; zb ≈ 0.9d et d ≈ 0.9h

ce qui conduit à :

Amin ft28 = 0.23 bd fe

8. Etat Limite de Service vis-à-vis des déformations a) Dispositions générales Les déformations des différents éléments des planchers (Article B.6.5.1) doivent rester suffisamment faibles pour ne pas nuire à l'aspect et à l'utilisation de la construction, au confort des usagers, ou pour ne pas engendrer des désordres dans les éléments supportés (cloisons, revêtements de sols etc…). On peut admettre (Article B.6.5.1) qu'il n'est pas indispensable de procéder au calcul de flèches si les trois conditions suivantes sont vérifiées: h 1 Mt ≥ max ( ; ℓ 16 10 Mo ) A 4.2 ( fe en MPa ) bod ≤ fe et ℓ ≤ 8 m avec : h = hauteur de la poutre ℓ = portée de la poutre Mt = moment maximal en travée Mo = moment dans la travée considérée isostatique bo = largeur de la nervure Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

48

Flexion simple d = hauteur utile de la poutre Si ces conditions ne sont pas vérifiées, on procède à l'évaluation des flèches. b) Valeurs limites des flèches Les valeurs limites des déformations qui peuvent résulter des conditions particulières d'exploitation de l'ouvrage sont fixées par le cahier des charges. Dans le cas de bâtiments courants, il est par exemple admis que :  pour les éléments reposant sur deux appuis ou plus, les flèches sont limitées à : 

ℓ 500

si

ℓ≤5m



ℓ 0.005 + 1000

si

ℓ > 5 m (la flèche et la portée sont exprimées en mètre)

 et pour les éléments en console, elles sont limitées à : 

ℓ 250

si

ℓ≤2m

c) Evaluation des flèches Le calcul des déformations globales doit tenir compte des phases successives de construction et des différentes sollicitations exercées. Compte tenu du but recherché, on tient compte, si nécessaire, des déformations différées du béton (retrait et fluage) et de celles dues à la température. Pour la conduite du calcul, on distingue deux cas suivant que la pièce est fissurée ou non. Dans le cas des planchers, on procède à l'évaluation des flèches suivant l'article B.6.5.2.

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49

Effort tranchant

Chapitre 6: Justification des poutres fléchies sous sollicitations d'effort tranchant 1. Contraintes tangentielles dans une poutre (Rappel) Hypothèses : - matériau homogène et isotrope - calculs en phase élastique Soit un tronçon de poutre "dx" en équilibre y

V

Bo

V+dV

M

ζ(y)

M+dM

A.N

dx Efforts appliqués à la fibre d'aire Bo : τ

NBo

NBo+dNBo

dx

N Bo   ( y)dB  Bo

et NBo + dNBo = avec :

M M ydB  .S B o  I Bo I

M + dM SBo I

I = moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre SBo = moment statique de l'aire Bo par rapport à l'axe neutre

La résultante de l'effort normal sur la fibre Bo de longueur dx est donc : dNBo =

dM I SBo

Cet effort normal tend à faire glisser la fibre parallèlement à l'axe longitudinal de la poutre. Il doit être équilibré par la résultante des efforts dus aux contraintes tangentielles qui s'exercent sur les faces latérales de la fibre. Soit u : la trace de la surface de glissement sur le plan de la section En supposant que les contraintes tangentes sont uniformément réparties, on peut écrire : dM η.u.dx = I SBo →

dM SBo V SBo η = dx u.I = u I

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50

Effort tranchant

2. Application aux poutres en Béton Armé 2.1. Répartition des contraintes tangentes sur la hauteur d'une poutre en B.A. a) Section rectangulaire Bo u = bo = largeur de la poutre au niveau du plan de cisaillement d

V SBo η= b I o 1

donc avec

I1 = moment d'inertie de la section homogène réduite

bo La valeur de la contrainte est maximale au niveau de l'axe neutre V SBc ηmax = b I o 1 Sous l'axe neutre :

η = cste = ηmax

(car le béton tendu est négligé)

Bc Soit z le bras de levier des forces élastiques y1 d

ηmax

M on a : NBc = z M I1 NBc = I SBc donc z = S 1 Bc

As

or

bo

V d'où : ηmax = b z o

On peut aussi écrire :

V nAs(d-y1) ηmax = b I1 o

b) Section en Té b

b

y1

y1

As

ηmax

bo Axe neutre dans la nervure

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As

ηmax

bo Axe neutre dans la table

51

Effort tranchant

2.2. Contrainte tangente sur une section verticale du hourdis d'une poutre en T b ho

y1 b1 As

u = ho donc

V SBo η= h I o 1

avec

ho SBo = b1ho (y1 - 2 )

bo Or le moment statique du béton comprimé est :

ho (y1-ho)² SBc = bho (y1 - 2 ) + bo 2

en négligeant la partie comprimée de l'âme on a :

ho SBc ≈ bho (y1 - 2 )

On obtient alors :

V. SBc b1 η = h .I b o 1

A la jonction du hourdis avec l'âme :

d'où

V b1 η= h z b o

V b - bo η = h z 2b o

2.3. Contrainte tangente à la périphérie des armatures longitudinales tendues La contrainte à la périphérie des armatures longitudinales tendues est appelée "contrainte d'entraînement des armatures". Soit u = ∑ui la somme des périmètres utiles des barres ou paquets de barres On a alors :

V n As (d - y1) η = ∑u I1 i

ou

V η = z.∑u i

Sur un paquet de barres de section Asi, la contrainte d'entraînement est : η=

donc :

V.n Asi (d - y1) V.n As (d - y1) Asi = ui.I1 ui.I1 As

V Asi η = z.u A i s

avec ui le périmètre utile du paquet de barres considéré

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52

Effort tranchant

2.4. Contrainte tangente dans le plan vertical de jonction entre nervure et saillie du talon u = h1 : hauteur du talon

y1 d

V nAs1 (d - y1) V n As (d - y1) As1 η= h = h I1 I1 As 1 1 h1 V As1 η = h .z A 1 s

As1 As

3. Comportement des poutres en béton armé Soit une poutre en B.A posée sur deux appuis simples chargée comme suit : F

F

ℓ-2a

a

a

M=Pa

(M)

(V) V=F V= -F

a) Observation expérimentale On fait croitre les charges F:  dans un premier temps le béton n'est pas fissuré  ensuite apparaissent des fissures inclinées dans la zone d'effort tranchant et verticales en fibres inférieures dans la zone de moment fléchissant  si on augmente encore la charge, les fissures dans la zone d'effort tranchant progressent vers la face supérieure en s'inclinant d'avantage et les fissures dans la zone de moment fléchissant deviennent de plus en plus nombreuses et importantes. On observe aussi des fissures horizontales le long des armatures longitudinales. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

53

Effort tranchant La pièce est transformée en un système de blocs de béton dont l'équilibre est assuré par leurs réactions mutuelles et par celles des armatures qui les relient.

b) Etat de contrainte provoqué par l'effort tranchant Considérons dans la zone tendue de la poutre, deux plans perpendiculaires dont l'un est parallèle au plan moyen de la poutre. η2

η1

ζ4

ζ3

η2 η1

Les contraintes normales dans le béton tendu étant nulles, celui-ci se trouve dans un état de cisaillement pur (η1 = η2 = η). Le cercle de mohr représentatif de cet état fait apparaître deux contraintes principales ζ 3 de п compression et ζ4 de traction s'exerçant sur les plans 3 et 4 situés à ± 4 par rapport au plan 1; nous avons : ζ3 = ζ4 = η. ζ4

ζ3

ζ3

ζ4

La contrainte principale de traction fissure le béton créant ainsi des volumes prismatiques de béton comprimé inclinées à 45° appelées "bielles". c) Règle de couture L'effort tranchant a donc pour effet de créer des fissures inclinées sensiblement à 45° sur la ligne moyenne. On peut donc dire, schématiquement, que si de telles fissures apparaissent, la partie ABCD de la poutre ci-dessous tendra à se détacher et à tomber. B

A

C

D

On conçoit donc qu'il est nécessaire de rattacher cette partie ABCD au reste de la poutre à l'aide d'armatures dites de couture ou armatures transversales.

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54

Effort tranchant Ces armatures doivent être totalement ancrées de part et d'autre du plan fissuré, faire un angle d'au moins 45° avec lui et être inclinées dans le sens inverse de la direction probable des fissures de béton. Si les actions tangentes sont susceptibles de changer de sens, les armatures de couture doivent être normales à ce plan. d) Section d'acier de couture – Théorie du treillis de RITTER-MÖRCH Pour assurer l'équilibre des bielles, on dispose des armatures transversales inclinées d'un angle "α" par rapport à l'axe de la poutre, appelées armatures de couture.  Cas du treillis simple RITTER-MÖRSH modélise la structure ainsi ferraillée par un treillis constitué de la façon

suivante : diagonale comprimée

diagonale tendue

A

C membrure comprimée

z 45°

α

membrure tendue D

B

z (1+cotgα)

membrure comprimée = béton comprimé + armatures longitudinales comprimées (la position de cette membrure est celle de la résultante des efforts de compression) membrure tendue = armature longitudinale tendue moyenne diagonale comprimée = bielle de béton inclinée à 45° diagonale tendue = armature de couture inclinée de α soient : Fc = effort dans la barre AC Fs = effort dans la barre BD Fst = effort dans la barre AD Fbo = effort dans la barre AB En utilisant la méthode de Ritter, applicable aux treillis articulés, on obtient : MA MB Fs = z ; Fc = z ;

V Fst = sinα

et

Fbo = V

2 Fbo

Fst A

C

Fc

z

M

M V

45° α B

Fc

D

∑

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V

Fs

Fs Coupe dans la section ∑

55

Effort tranchant  Cas du treillis multiple Soient : At la section totale des armatures transversales situées dans un cours

st l'espacement des cours d'armatures transversales et

ζst la contrainte de traction dans les armatures transversales

Le nombre de cours d'armatures transversales sur la longueur z(1+cotgα) séparant deux bielles est : z(1+cotgα) n=

st

L'effort repris par chaque cours d'armatures est donc : Ft =

V. st Fst V = = n n.sinα z(sinα + cosα)

or Ft = At.ζst d'où : At

V = z.ζ (sinα + cosα) st st

st

A

C

z

B

At = 4 Ai

D

z (1+cotgα)

e) Décalage de la courbe du moment fléchissant Selon le fonctionnement en treillis simple de Ritter-Mörsh, l'effort de traction Fs en B est évalué en prenant en compte le moment fléchissant agissant à une distance z de la section MA considérée: FsB = z A

Fc

C

z 45°

Fs B

α D

z

Pour tenir compte de ce décalage, le BAEL (A.4.1,5) propose de décaler horizontalement de 0.8h (z≈0.9d et d≈0.9h), dans le sens défavorable, la courbe des moments fléchissants. Donc: Pour évaluer le moment agissant sur une membrure tendue, on prend en compte le moment fléchissant agissant à une distance a=0.8h de la section considérée dans la direction où les moments augmentent en valeur absolue. Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

56

Effort tranchant

Courbe enveloppe des moments décalée de 0.8h 0.8h

0.8h

x 0.8h

Courbe enveloppe des moments

0.8h

M

4. Prescriptions réglementaires Les poutres soumises à des efforts tranchants sont justifiées vis-à-vis de l'état limite ultime.

4.1. Contraintes tangentes conventionnelles a) Contrainte tangente au niveau de l'axe neutre (A.5.1,1) Dans le but de simplifier le calcul on prend: Vu Vu ηu = b d au lieu de ηu = b z o o avec : bo = largeur minimale de l'âme d = hauteur utile de la poutre Vu = valeur de calcul de l'effort tranchant vis-à-vis de l'ELU b) Contrainte d'entraînement des armatures tendues (A.6.1,3) La contrainte d'entraînement d'un paquet de barres "i" est : Vu Asi ηse = 0.9d.u A i s avec : ui = périmètre utile du paquet de barres Asi = section du paquet de barres As = section totale des armatures tendues Définition du périmètre utile d'un paquet de barres : c'est le périmètre circonscrit à la section droite

ui =  ui = 

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ui = 

57

Effort tranchant c) Contrainte tangente sur le plan de jonction du hourdis avec l'âme d'une poutre en Té Vu b - bo ηu = 0.9d.h 2b o d) Contrainte tangente dans le plan vertical de jonction entre nervure et saillie du talon Vu As1 ηu = 0.9d.h A 1 s

4.2. Justification d'une section courante a) Etat limite ultime du béton de l'âme (A.5.1,21) Vu ηu = b d ≤  u o Vu = effort tranchant dans la section considérée bo = largeur de l'âme d = hauteur utile  u = contrainte tangente limite ultime

Le règlement impose la vérification suivante : Avec:

Valeurs de la contrainte tangente limite :  Cas où les armatures d'âme sont droites

 u = min(0.2 fcj / γb ; 5 MPa)

o fissuration peu préjudiciable :

o fissuration préjudiciable ou très préjudiciable :

 u = min(0.15 fcj / γb ; 4 MPa)  Cas où les armatures d’âme sont inclinées à 45° :

 u = min(0.27 fcj / γb ; 7 MPa)  Cas où les armatures d’âme sont inclinées d'un angle 45° < α < 90° Dans ce cas, on procède à une interpolation linéaire. o fissuration peu préjudiciable : α° 2α°  u = min[(0.34 - 0.07 45 ) fcj / γb ; (9 - 45 ) MPa] o fissuration préjudiciable ou très préjudiciable : α° 3α°  u = min[(0.39 - 0.12 45 ) fcj / γb ; (10 - 45 ) MPa] b) Calcul des armatures d'âme (A.5.1,23) La justification vis-à-vis de l'ELU des armatures d'âme s'exprime par : At Vu ≥ st z(sinα + cosα)ζst Avec : At = section d'un cours d'armatures transversales st = espacement des cours d'armatures transversales α = angle d'inclinaison des armatures transversales ζst= fet / γs fet = limite d'élasticité des armatures transversales

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58

Effort tranchant Vu ηu = b d et z ≈ 0.9d o

d'où

At γs bo ηu st ≥ 0.9(sinα + cosα) fet

N.B: Il y a une différence sensible entre les résultats théoriques (théorie du treillis) et expérimentaux car tant que le béton n'est pas fissuré, il participe à la résistance à l'effort tranchant. Il s'en suit que les armatures d'âme n'ont à équilibrer qu'une part de l'effort tranchant Vu, donc de ηu. L’écart est fixé réglementairement à 0.3k ftj* , d’où l’inéquation : At γs bo (ηu – 0.3k ftj* ) ≥ st 0.9(sinα + cosα) fet avec: ftj* = min ( ftj ; 3.33 MPa) k = 1 en flexion simple sans reprise de bétonnage ou si surface de reprise à indentations de saillie ≥ 5mm. k = 0 si reprise de bétonnage non traitée (sans indentations) ou si fissuration très préjudiciable. 3Nu k = 1 + B. f en flexion composée avec compression cj 10|Nu| k = 1 - B. f en flexion composée avec traction (k en valeur algébrique) cj c) Section minimale d'armatures transversales (A.5.1,22) At fet bo st ≥ 0.4 MPa d) Diamètre des aciers transversaux h bo Øt ≤ min (Øℓ ; 35 ; 10 ) e) Espacement maximal st ≤ min (0.9 d ; 40 cm ; 15 Ø'ℓmin) avec Ø'ℓmin = diamètre minimal des armatures longitudinales comprimées si A' ≠ 0

4.3. Effort tranchant à prendre en compte au voisinage des appuis Article A.5.1,2: Pour la vérification de la résistance du béton et des armatures d'âme au voisinage des appuis, l'effort tranchant Vu peut être évalué en négligeant les charges situées à une h 2a distance de l'appui inférieure à 2 et en ne prenant en compte qu'une fraction égale à 3h des charges situées à une distance "a" de l'appui comprise entre 0.5h et 1.5h. a) charges réparties

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59

Effort tranchant

q q/3

h/2

3h/2

Simplification : Souvent, au lieu de faire les calculs avec Vu(0) on les fait avec Vu(h/2) b) charges concentrées Vu

Qu a

h Qu = 0 si a < 2 et

(Qu est considérée comme directement transmise à l'appui)

2a h 3h 3h Qu si 2 ≤ a ≤ 2

4.4. Répartition des armatures transversales a) Méthode générale  On se fixe la section d'armatures transversales At ce qui revient à choisir Øt (Øt = 6 à 12 mm). Pour des facilités de mise en œuvre, on placera en général des cadres identiques sur toute la travée.  On calcule les espacements : - initial sto au voisinage de l'appui - intermédiaires st(x); en particulier à gauche et à droite des charges concentrées.  On trace la courbe "E" représentative de st(x)  On choisit st1 ≤ sto (il est recommandé de prendre st1 ≥ 7 cm)  On place la première nappe d'armatures à st1/2 du nu de l'appui.  On répète st1 un nombre entier de fois jusqu'à ce qu'il soit possible de passer à un espacement supérieur et ainsi de suite en enveloppant la courbe "E". At fet  On arrête le processus lorsque st ≥ stmax. [stmax = min( 0.4 b ; 0.9d; 40cm; 15Ø'ℓmin)] o

b) Méthode pratique de Caquot Conditions d'application : -

charges uniformément réparties poutre à section constante cas de flexion simple avec k=1

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60

Effort tranchant Démarche à suivre : -

calcul de l'espacement sto à l'appui position du premier cours d'armatures à une distance sto/2 du nu de l'appui espacements suivants pris dans la suite de Caquot : 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 13 – 16 – 20 – 25 – 35 – 40 Chaque valeur d'espacement est répétée "n" fois avec n = nombre de mètres (par excès) dans la demi-portée de la poutre ou dans la portée totale pour une console.

4.5. Justifications des sections d'appui (A.5.1,3) Pour ces justifications l'effort tranchant Vu doit être évalué sans prendre en compte les réductions mentionnées en A.5.1,2. a) Appui simple d'about ou appui de rive A l'appui de rive d'une poutre, on admet que les charges sont transmises par l'intermédiaire d'une bielle unique dite "bielle d'about" inclinée à 45° sur l'axe de la poutre. La composante verticale Vu transmise par la bielle d'about est équilibrée par la réaction d'appui. Les armatures longitudinales ancrées au-delà de l'appui doivent équilibrer la composante horizontale Vu transmise par cette bielle.

Conditions prescrites:  Section minimale d'armatures longitudinales inférieures sur appui Les armatures longitudinales ancrées au-delà de l'appui doivent équilibrer la composante horizontale Vu transmise par la bielle d'about. On doit donc prolonger au-delà du bord de l'appui et y ancrer une section d'armatures longitudinales inférieures As suffisante pour équilibrer cet effort. Soit : Vu As ≥ f / γ e s Remarque : quelque soit la valeur de Vu, il est de bonne construction d'ancrer une nappe d'armatures (la plus basse) avec sa longueur de scellement.  Profondeur minimale de l'appui D'autre part, l'effort de compression dans la bielle doit rester admissible.

Fbo

Soient: a = longueur d'appui de la bielle bo= largeur de la poutre avant l'appui

45°

Fbo = l'effort de compression dans la bielle : Fbo = Vu Bo = aire de la section droite de la bielle :

Bo =

2 a

a bo

2

FBo 2 Vu ζc = B = a b o o

La contrainte de compression dans la bielle est : On doit donc avoir : ζc =

2 Vu fcj ≤ 0.8 a bo γb

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ou

Vu ≤ 0.267 a bo fcj

61

Effort tranchant

La profondeur minimale d'appui de la bielle est alors : a ≥

3.75 Vu bo fcj

Profondeur d'appui prise en compte dans les cas courants (A.5.1,313) :  Poutre à nervure rectangulaire reposant sur un poteau dont elle est solidaire

a

2cm

a

Armature inférieure avec ancrage droit

2cm

Armature inférieure avec ancrage courbe

 Poutre à nervure rectangulaire reposant sur un appareil d'appui

a 45°

a 45°

45°

45°

 Poutre à talon reposant sur un appareil d'appui a h1 = hauteur du talon 45°

45°

b) Appui intermédiaire Soient : Mu le moment fléchissant à l'ELU sur l'appui intermédiaire Vu l'effort tranchant qui prend la valeur : Vug à gauche de l'appui et Vud à droite de l'appui Ru = | Vug |+| Vud| = réaction verticale de l'appui

Conditions prescrites:  Profondeur minimale d'appui de la bielle Pour chacune des travées adjacentes il faut vérifier : Vu ≤ 0.267 a bo fcj  Contrainte moyenne de compression sur appui

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62

Effort tranchant Ru fcj ζcm = a b ≤ 1.3 γ o b  Section minimale d'armatures longitudinales inférieures Le moment négatif Mu provoque au niveau des armatures inférieures une force de |Mu| |Mu| compression : F's = z ≈ 0.9 d Mu L'armature longitudinale doit donc équilibrer l'effort : Vu + 0.9 d avec Mu en valeur algébrique. Mu Vu + 0.9 d D'où : As ≥ à vérifier de chaque côté de l'appui si |Mu| < 0.9d Vu. fe / γs

4.6. Couture du hourdis avec l'âme (A.5.3,2) At = Asd + Aid = aciers supérieurs et inférieurs de la dalle

b

Asd Aid

ho

Vu b - bo ηu = 0.9d.h 2b o  vérification du béton :

As

ηu ≤  u

 armatures de couture hourdis-âme : At Vu b - bo ≥ st 0.9d fet / γs 2b

ou

bo At γs Vu b - bo ≥ st 0.9d fet 2b

4.7. Couture du talon avec l'âme Vu As1 ηu = 0.9d.h A 1 s At

At Vu As1 ≥ st 0.9d fet / γs As At γsVu As1 ou s ≥ 0.9d f A t et s

h1 As1

4.8. Entrainement des armatures

As

La brusque variation de la contrainte de cisaillement longitudinal au niveau de l'armature tendue peut conduire à un glissement de la barre par rapport au béton. Il convient donc de vérifier que l'effort tranchant est équilibré par l'adhérence se développant au contact acierbéton pour les différentes armatures isolées ou en paquet. ηse =

Vu Asi ≤ ψs ftj 0.9d.ui As

avec

ψs = 1 pour les ronds lisses

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63

Effort tranchant et

ψs = 1.5 pour les barres HA

Article A6.1,3 : En général, la vérification ηse ≤ ψs ftj n'est à effectuer que : -

pour les chapeaux des poutres hyperstatiques soumises à des charges très concentrées,

-

en cas d'utilisation de paquets de plus de 2 barres.

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64

Ancrage et recouvrement

Chapitre 7: Ancrage et recouvrement de barres 1. Ancrage des armatures Dans la pratique, les calculs d’ancrage sont réalisés à l’état limite ultime.

1.1. Ancrage rectiligne a) Longueur d’ancrage

τs

Fs

ℓa La longueur d’ancrage est la longueur nécessaire pour équilibrer l’effort axial exercé sur l’armature. Soit ui : le périmètre utile de la barre ηs : la contrainte d’adhérence supposée constante sur la longueur d’ancrage Fs = ηs .ui . ℓa b) Valeur limite ultime de la contrainte d’adhérence Sur la longueur d’ancrage, la contrainte d’adhérence est supposée constante et égale à sa valeur limite ultime :  s = 0.6 ψs² ftj avec : ψs = coefficient de scellement (ψs = 1 pour les ronds lisses et 1.5 pour les barres H.A.) ftj = résistance du béton à la traction c) Longueur de scellement droit On définit la longueur de scellement droit ℓs comme étant la longueur à mettre en œuvre pour avoir un bon ancrage droit ou ancrage total. Un ancrage total est un ancrage pour lequel la barre commence à glisser lorsqu’elle atteint sa limite d’élasticité fe : Fs = As . fe

et

donc

ℓs =

Fs =  s .ui . ℓs As fe  s ui

 Cas d’une barre isolée π ز Ø fe d’où ℓ s= 4 4 s la valeur de ℓs est la même lorsque la barre est soumise à un effort de traction ou de compression. ui = π Ø ;

As =

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65

Ancrage et recouvrement N.B : A défaut de calcul précis, on peut adopter les valeurs forfaitaires suivantes (Art. A6.1,221) applicables pour fc28 ≤ 25 MPa ℓs =

40 Ø pour FeE400 50 Ø pour FeE500 et les ronds lisses

 Barres faisant partie d’un paquet Chaque barre d’un paquet sera ancrée individuellement (Art. A6.1,21) Pour ancrer les barres d’un paquet de 2 barres, il faut prévoir "2 ℓs" ℓs

ℓs

Pour un paquet de 3 barres, il faut prévoir (2+1.5) ℓs, puisque la première barre à ancrer a un 2π Ø périmètre utile ui = 3 (Art. A6.1,221). 1.5 ℓs

ℓs

ℓs

1.2. Ancrage courbe Par manque de place, comme aux appuis de rive, par exemple, on est obligé d’avoir recours à des ancrages courbes afin de diminuer la longueur d’encombrement de l’ancrage. a) Etude d’un tronçon de barre en arc de cercle

C

FC

Ø = diamètre de la barre r

r = rayon de courbure de la barre θ =angle au centre

B

FB et Fc = efforts appliqués en B et C

 FB

FB ≥ Fc H

Un petit élément GH est soumis :

F+dF

dN

en G : à un effort axial de traction F dT

M

r

en H : à un effort axial de traction F+dF en M : à l’action du béton sur l’élément, de composante radiale dN et tangentielle dT

G F

d

Equilibre de l’élément GH :

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66

Ancrage et recouvrement dθ dθ dN – F sin 2 - (F+dF) sin 2 = 0 d’où dθ dθ dT + F cos 2 - (F+dF) cos 2 = 0 d’où

dθ dθ (sin 2 ≈ 2 ) dθ (cos 2 ≈ 1)

dN = F.dθ dT = dF

La composante tangentielle dT est due à : - l’effort d’adhérence acier-béton dA =  s π Ø r dθ - la force de frottement θ.dN avec θ = 0.4 = coefficient de frottement acier-béton donc

dT = dA + θ.dN = π Ø r  s dθ + θ F dθ

or

dT = dF = (

donc

π Ø r s + F ) θ.dθ θ

dF = θ.dθ π Ø r s +F θ

 r  s  Log   F       FC

soit

 r  s  FB   Log   r  s   FC  

r  s  FB   e  r  s  FC 

d’où

 e   1 FB  r  s   e  FC    

FB

FB  FC  ' r  s avec

On a ainsi :

       

  e   e   1   1   '         0.4 

(θ en rd)

b) Calcul d’un ancrage courbe l

D

1

C r 

FA

l

B

A

2

en D : FD = 0 en C : FC = FD + π Ø r  s = π Ø ℓ1  s en B : FB = ψ FC + ψ’ π Ø r  s = π Ø  s (ψℓ1+ψ’r) en A : FA = FB + π Ø ℓ2  s = π Ø  s (ψℓ1 + ψ’r + ℓ2) or

FA =

π ز 4 fe

donc

ψℓ1 + ℓ2 = ℓs - ψ’r

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67

Ancrage et recouvrement c) Ancrages courants l

1

 Les "retours d’équerre" : θ = 90° π θ= 2

r 

=>

ψ = 1.87

et

ψ’ = 2.19 l

2

l

1.87 ℓ1 + ℓ2 ≥ ℓs – 2.19 r

1

 Les "ancrages à 60°" :

θ = 120°

2π θ = 3 => ψ = 2.31 2.31 ℓ1 + ℓ2 ≥ ℓs – 3.28 r

et

 Les "ancrages à 45°" :

θ = 135°

3π θ = 4 => ψ = 2.57 2.57 ℓ1 + ℓ2 ≥ ℓs – 3.92 r

et

r 

ψ’ = 3.28



l

2

l

1

r

ψ’ = 3.92





l

2

l

1

 Les crochets à θ = 180° θ=π => ψ = 3.51 3.51 ℓ1 + ℓ2 ≥ ℓs – 6.28 r

et

ψ’ = 6.28

r

°

d) Rayons de courbures de l’axe des barres

l

2

Ils résultent :  Des conditions de façonnage des barres r ≥ 3Ø pour les ronds lisses r ≥ 5.5Ø pour les barres H.A.  De la condition de non écrasement du béton s Ø r ≥ 0.2 Ø f (1 + e )  cj r avec : s = contrainte à l’origine de la courbure er = distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus proche 1+2m = 3 m = nombre de lits, courbés simultanément, dont fait partie la barre considérée e) Ancrage par "crochets normaux" C’est un ancrage à θ = 180° avec un retour rectiligne ℓ1 =2Ø et une longueur d’ancrage mesurée hors crochet " ℓa " telle que : l ℓa = 0.6ℓs pour les ronds lisses et ℓa = 0.4ℓs pour les barres H.A. 1

r

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°

l

a

68

Ancrage et recouvrement Le rayon de courbure est : r = 3Ø pour les ronds lisses et r = 5.5Ø pour les barres H.A.

2. Jonction par recouvrement de barres 2.1. But du recouvrement Les barres livrées dans le commerce étant de longueur limitée, il est nécessaire, dans une pièce de grande longueur, de constituer chaque armature longitudinale à l’aide de plusieurs barres que l’on dispose dans le prolongement l’une de l’autre.

2.2. Principe La continuité mécanique des barres est alors assurée par recouvrement. Pour cela, on fait chevaucher leurs extrémités sur une longueur ℓr dite "longueur de recouvrement". 1er procédé : simple recouvrement des extrémités de barres Ase c

45°

Ase

ℓr s=e (1)

(2)

s=e

(1) + (2) Continuité mécanique par simple recouvrement de barres 2ème procédé : recouvrement par couvre-joint L'emploi de barres "couvre-joint" permet de placer les barres à joindre dans le prolongement l'une de l'autre. c 2ℓr

N.B: la jonction mécanique de deux barres peut être réalisée par d'autres procédés, notamment par manchons ou par soudure (bout à bout ou par recouvrement), dans la

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69

Ancrage et recouvrement mesure où des essais probants ont permis de vérifier la résistance du système (Art. A6.1,223).

3. Longueurs de recouvrement 3.1. Armatures tendues On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression des "bielles" de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres. c ℓs Fs c 45° Fs ℓr Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur : ℓs = ℓr - c a) Barres sans crochets : (Art. A6.1,223) ℓr ≥ ℓ s

si

c ≤ 5Ø

ℓr ≥ ℓs+ c

si

c > 5Ø

b) Barres avec crochets normaux : (Art. A6.1,253) Ronds lisses : Barres H.A :

ℓr ≥ 0.6ℓs

si

c ≤ 5Ø

ℓr ≥ 0.6ℓs+ c

si

c > 5Ø

ℓr ≥ 0.4ℓs

si

c ≤ 5Ø

ℓr ≥ 0.4ℓs+ c

si

c > 5Ø

3.2. Armatures comprimées Leur recouvrement se fait sans crochets pour ne pas faire éclater le béton qui les entoure. ℓr ≥ 0.6ℓs si

c ≤ 5Ø la barre est toujours comprimée elle ne fait pas partie d'un paquet de 3 barres

sinon ℓr = longueur de recouvrement des armatures tendues sans crochets

3.3. Remarque Lorsqu'on a à assurer la jonction par recouvrement de deux barres différentes, il faut considérer la plus grande longueur de scellement droit.

4. Armatures de coutures Dans le cas d'une jonction par recouvrement de deux barres parallèles, la résistance de l'ensemble des armatures de couture est au moins égale à la résistance de chacune des barres à ancrer (Art. A6.1,23). Il en résulte que pour coudre l'ancrage d'une armature de section As et de limite d'élasticité fe , il faut une section totale d'armatures de couture ΣAt de limite d'élasticité fet telle que : ΣAt fet ≥ As fe Remarques :

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70

Ancrage et recouvrement -

-

-

Pour les poutres, on peut se dispenser de la vérification des armatures de coutures, à condition que la longueur d'ancrage des barres arrêtées soit au moins égale à leur longueur de scellement droit et que la proportion de barres ancrées ne dépasse pas 25% sur l'étendue d'une longueur d'ancrage (Art. A6.1,23). Pour les poutres usuelles, les armatures d'âme ou de talon sont généralement suffisantes pour assurer le rôle de couture vis-à-vis des efforts développés aux ancrages. Dans le cas de recouvrements munis de crochets normaux, les coutures présentent une section au moins égale à la moitié de celle qui serait nécessaire pour un scellement droit.

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71

Arrêt de barres

Chapitre 8 : Epure de répartition des armatures longitudinales 1. Ferraillage d'une poutre Pour le ferraillage d'une poutre, on procède, en pratique, comme suit :  On trace la courbe enveloppe des moments de flexion.  On détermine les armatures longitudinales nécessaires dans les sections de moments extrêmes en travée et sur appuis.  On procède à l'arrêt des barres.

2. Principe des arrêts de barres  Toujours arrêter les armatures par groupes symétriques par rapport au plan moyen.  Pour les armatures inférieures : + Commencer par les armatures de la nappe la plus haute + Dans chaque nappe arrêter d'abord les barres les plus proches du plan moyen  Pour les armatures supérieures : même règle en commençant par la nappe la plus basse.

3. Moment maximal admissible ou moment résistant Le moment résistant d'un groupe de barres de section Ai est calculé comme suit : En état limite ultime :

Mrult = Ai . fe/γs . zb

On suppose que zb trouvée lors du calcul de la section d'armatures équilibrant le moment maximal (sur appui ou en travée) est constante sur la longueur de la poutre (cette simplification va dans le sens de la sécurité) En état limite de service :

Mrser = Ai .  s . z b

avec

 s z b  d i 1  3 

  

4. Diagramme des moments admissibles Dans une poutre de hauteur constante, le diagramme des moments admissibles (ou moments résistants) se compose :  d'un segment de droite parallèle à l'axe de la poutre,  de deux segments inclinés aux extrémités du groupe de barres, de longueur "ℓa" en projection sur l'axe de la poutre (ℓa étant la longueur d'ancrage des barres à arrêter). Suivant la position des segments inclinés du diagramme des moments admissibles (Mr) par rapport à la courbe enveloppe décalée (C'), les arrêts de barres peuvent être sur la courbe (C') ou décalés pour l'envelopper au mieux.

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72

Arrêt de barres

x

0.8h

0.8h

Mr(n)

Mr(n+p)

lap

Mr(n+p+q) M

laq

q barres p barres n barres

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73

Compression simple

Chapitre 9 : Compression simple 1. Introduction 1.1. Définition Une pièce en béton armé est soumise à la compression simple lorsque les forces agissants sur une section droite se réduisent à un effort normal N de compression appliqué au centre de gravité de la section.

1.2. Effort normal résistant Une section en béton armé d'aire B contenant une section d'acier A résiste théoriquement à un effort normal ultime : Nuth = Bfbc + A s(2‰) où s(2‰) est la contrainte dans les aciers pour une déformation de 2‰.

2. Poteaux soumis à une compression centrée Pratiquement, les charges transmises aux poteaux ne sont jamais parfaitement centrées (imperfections d'exécution, moments transmis par les poutres, dissymétrie de chargement etc…) Du point de vue réglementaire (Art. B.8.4), un poteau est réputé soumis à une "compression centrée" si : -

l'excentricité de l'effort normal est faible (inférieure à la moitié de la dimension du noyau central).

-

l'imperfection géométrique du poteau est estimée au plus égale à max(1cm, ℓo/500) avec ℓo = la longueur libre du poteau.

-

l'élancement mécanique "λ" du poteau est inférieur ou égal à 70.

3. Elancement et longueur de flambement d'un poteau 3.1. Elancement mécanique ℓf λ= i

avec

ℓf = longueur de flambement du Poteau i=

I B = rayon de giration

I = moment d'inertie de la section transversale de béton seul dans le plan de flambement. B = aire de la section transversale de béton

3.2. Longueur de flambement a) Cas d'un poteau isolé : La longueur de flambement dépend des liaisons d'extrémité : Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

74

Compression simple

2ℓo

ℓo

ℓo

ℓo 2

ℓo 2

encastrement articulation encastrement et déplacement possible par translation b) Poteau d'un bâtiment courant : Pour les bâtiments à étages contreventés par des pans verticaux (murs, voile, cage d'escaliers etc.…) avec continuité des poteaux et de leur section, la longueur de flambement "ℓf " est prise égale à :  0.7ℓo si le poteau est à ses extrémités : - soit encastré dans un massif de fondation - soit assemblé à des poutres de plancher ayant au moins la même raideur que le poteau dans le sens considéré et le traversant de part en part.  ℓo dans les autres cas avec

ℓo = longueur libre du poteau

La longueur libre d'un poteau de bâtiment (Art. B8.3,1) est comptée entre faces supérieures de deux planchers consécutifs ou de sa jonction avec la fondation à la face supérieure du premier plancher.

4. Evaluation forfaitaire de l'effort normal résistant L'étude du flambement suivant les prescriptions de l'article A4.4 du BAEL étant compliquée, on a été amené, dans le cas des poteaux soumis à une "compression centrée", à considérer des règles forfaitaires simples. L'effort normal résistant ultime (ou force portante) du poteau est obtenu par correction de la formule théorique comme suit (Art. B8.4) :  B .f f  N u    r c 28  A e  s   0.9  b

avec

Br = section réduite du poteau obtenue en déduisant 1cm d'épaisseur de béton sur toute la périphérie.

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75

Compression simple A = section d'armatures comprimées prises en compte dans le calcul. γb = 1.5 γs = 1.15 α = coefficient fonction de l'élancement mécanique λ du poteau 0.85 pour λ ≤ 50  2  1  0.2    35 

 50    0.60   

2

pour

50 < λ ≤ 70

Les valeurs de α sont à diviser par : 1.1 si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours . 1.2 si la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours, et on prend la contrainte fcj au lieu de fc28.

5. Armatures longitudinales prises en compte dans les calculs de résistance Lorsque l'élancement λ est supérieur à 35; seules, sont à prendre en compte dans les calculs, les armatures augmentant le plus efficacement la rigidité dans le plan de flambement (Art. B8.4,1): - dans le cas des poteaux rectangulaires dont le rapport des côtés est compris entre 0.9 et 1.1; il s'agit des aciers disposés dans les angles. - dans le cas des autres poteaux rectangulaires; il s'agit des aciers disposés le long des grands côtés de la section.

6. Calcul des armatures longitudinales Nu ≤ N u

donc d'où

 B .f f  Nu ≤   r c 28  A e  s   0 .9  b N B .f   A   u  r c 28  s 0.9  b  fe  

7. Sections extrêmes L'article A8.1,21 préconise Amin ≤ A ≤ Amax avec

4 cm 2 / m de périmètre  Amin = max  B 0.2  100 B Amax = 5 100

8. Dispositions des armatures longitudinales Les armatures (Art.A8.1,22) doivent être réparties le long des parois.

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76

Compression simple -

pour les sections rectangulaires (a < b) la distance maximale "c" de deux barres voisines doit respecter la condition : c ≤ min [(a+10 cm) ; 40 cm] pour les sections circulaires, on place au moins 6 barres régulièrement espacées pour les sections polygonales, on place au moins une barre dans chaque angle.

9. Armatures transversales a) Diamètre :

Øℓ 3 ≤ Øt ≤ 12 mm

b) Espacement : - En zone courante : st ≤ min (40cm ; a+10cm ; 15Øℓmin ) a = plus petite dimension transversale de la section ou son diamètre -

En zone de recouvrement : Dans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement, on dispose au moins 3 nappes d'armatures transversales sur ℓr avec ℓr = 0.6 ℓs dans les cas courants et ℓr = ℓs pour les pièces soumises aux chocs.

c) Remarque : Les armatures transversales doivent maintenir : - toutes les barres prises en compte dans les calculs de résistance - les barres de diamètre ≥ 20 mm même celles non prises en compte dans les calculs.

10. Coffrage La condition de résistance donne

Br ≥

Nu α fc28 A fe 0.9 γb + Br γs

A  On peut adopter par exemple B = 1 % d'où r

Br ≥

Nu α fc28 fe + 0.9 γb 100 γs

 On peut aussi chercher à atteindre λ = 35 pour que toutes les armatures participent à la résistance.

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77

Traction simple

Chapitre 10 : Traction simple – Tirants 1. Introduction Une pièce en béton armé est sollicitée en traction simple lorsque les forces agissant sur toute section droite se réduisent à un effort normal de traction "N" appliqué au centre de gravité de la section. Dans un tirant, le centre de gravité des aciers est confondu avec celui de la section de béton. Remarque : Les tirants en béton armé sont relativement rares, il est préférable de les réaliser en béton précontraint qui permet de bien meilleures performances mécaniques pour un coût généralement plus faible.

2. Dimensionnement des armatures longitudinales Le béton tendu étant négligé, la totalité de l'effort de traction est supportée par les armatures.  En E.L.U :

Nu Au ≥ f /γ e s

 En E.L.S

Aser ≥

avec :

:

Nser s

 s  min(

2 f e ;110 f tj MPa ) 3

si fissuration préjudiciable

 s  min(

fe ;90 f tj MPa ) 2

si fissuration très préjudiciable

 Condition de non fragilité Art. A.4.2) : A fe ≥ B ftj d'où

ftj A ≥ Amin = B f e

La section d'armatures longitudinales est donc :

A = max (Au ; Aser ; Amin )

3. Armatures transversales Dans les pièces tendues, les armatures transversales ne jouent plus que le rôle de barres de montage sauf si les armatures longitudinales comportent des recouvrements. a) En zone courante st ≤ a avec

a = plus petite dimension transversale de la poutre.

b) En zone de recouvrement La somme des armatures transversales rencontrées sur la longueur ℓs doit être telle que : Σ(At. fet) ≥ m.A. fe

(m = nombre de barres en recouvrement)

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78

Traction simple At Or sur la longueur ℓs, on a : ΣAt = s ℓs t Ø fe π ز At ℓs = et A = 4 d'où st fet ≥ m.π.Ø.  s avec  s = 0.6 ψs² ftj. 4 s Les armatures transversales ainsi déterminées doivent être distribuées sur toute la longueur ℓr (et non ℓs).

4. Coffrage La section B de béton est obtenue en satisfaisant : - la condition de non fragilité - le bon enrobage des aciers - les conditions de jonction par recouvrement des barres

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Flexion composée

Chapitre 11 : Justifications vis-à-vis des sollicitations normales des pièces de section rectangulaire soumises à la flexion composée 5. Introduction 5.1. Rappels R.D.M a) Définition Une poutre à plan moyen est sollicitée en flexion composée si les efforts appliqués à une section droite  se réduisent à : - un moment fléchissant MG d’axe perpendiculaire à la fibre moyenne, - un effort normal NG (traction ou compression) appliqué au centre de gravité de la section, - un effort tranchant V situé dans le plan de la section.

b) Centre de pression NC

y

M

ec

V

C

V

G

G

NG

G

G

C= centre de pression. = point d'application de la résultante des contraintes normales de compression avec :

NC =NG MC = 0 ec =

c) Noyau central (N est un effort de compression) Le noyau central est le domaine à l’intérieur duquel peut se déplacer le centre de pression C d’un effort de compression N sans qu’il y ait de traction dans la section.

Cours de BA réalisé par Mme O. MOUSTACHI

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Flexion composée

Nc

C

v ec

G

G

h v’

en fibre supérieure :

𝑒

en fibre inférieure : C se trouve dans le noyau central si on a : {

d’où:

{

On en déduit : Soit ρle rendement géométrique de la section :ρ Le noyau central est alors donné par :

ρ Cas d’une section rectangulaire : bh3 I = 12 h et v = v’= 2 d’où

ρ

h h  6 ≤ ec ≤ 6

5.2. Conventions de signe MG > 0 : fibres supérieures comprimées NG > 0 : effort de compression NG0 et yc>0)

ys

N compression C e1

C

N traction (e0