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Béton Armé aux Etats Limites B.A.E.L.

PROFESSEUR : HIND CHRAIBI

2ÈME ANNÉE GÉNIE CIVIL

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Le Béton mélange dans des proportion convenable des éléments suivants :

+ éventuellement, et en faible quantité, des produits d’addition, les adjuvants, influençant certaines propriétés ou comportements du matériau béton.

L’intérêt du matériau béton réside dans sa facilité de mise en œuvre puisqu’il se présente à l’état pâteux et qu’il suffit de remplir des moules (coffrages) de la forme de l’élément à réaliser. 2

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Le Béton Armé Le béton armé peut être défini comme l’association judicieuse de deux matériaux, le béton et l’acier. Ces aciers sont appelés armatures. On distingue les armatures longitudinales disposées suivant l’axe longitudinal de la pièce et les armatures transversales disposées dans des plans perpendiculaires à l’axe de la pièce. Béton → Compression (Résistance à la compression = 20 MPa à 40MPa) (Résistance à la traction = 2 MPa à 4MPa) Acier → Traction ou compression (200 MPa à 500 MPa)

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Domaine d’application du BAEL Les règles BAEL91 modifiées 99 sont applicables à tous les ouvrages en béton armé, dont le béton est constitué de granulats naturels normaux, avec un dosage en ciment au moins égal à 300 kg/m3 de béton mis en œuvre. Les constructions suivantes restent en dehors du domaine d’application : - les constructions en béton non armé, - les constructions en béton léger, - les constructions mixtes acier-béton, - les constructions en béton de résistance caractéristique supérieure à 80MPa - les éléments soumis à des températures s’écartant de celles qui résultent des seules influences climatiques. 4

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion Première poutre : béton non armé La rupture intervient brutalement sous une charge faible suite à une insuffisance en traction.

La résistance en compression du béton, d’environ 25 à 35 MPa est 10 fois plus importante que sa résistance en traction. 8

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion Deuxième poutre : Poutre armée longitudinalement Nous disposons des armatures en fibres inférieures, là où se développent les contraintes de traction et donc là où le béton montre des insuffisances. L’acier est un matériau possédant d’excellentes capacités de résistances tant en traction qu’en compression mais il est cher et donc à utiliser à bon escient et avec parcimonie.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion Deuxième poutre : Poutre armée longitudinalement Sous charges, des fissures apparaissent en partie centrale. A ce niveau, le béton a donc cessé de résister en traction et c'est l’acier qui a pris le relais. Les armatures empêcheront donc ces micro fissures de s’ouvrir davantage et prendront seuls en compte les efforts de traction. En augmentant les charges appliquées, des fissures à 45° se créent au niveau des deux zones d’appuis provenant d’une insuffisance de résistance du béton à l’effort tranchant. La rupture intervient ensuite le long de ces fissures. 10

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion Troisième poutre : Poutre armée longitudinalement et transversalement Disposons maintenant en supplément des armatures transversales particulièrement au niveau des appuis.

La rupture intervient beaucoup plus tard que dans les deux cas précédents. Les armatures en présence tant longitudinales que transversales limiteront l’ouverture des fissures dans le béton. 11

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion

Synthèse Nous pouvons présenter, à partir de ces essais, le principe de ferraillage d’une poutre en BA en flexion.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES PRINCIPE DU BETON ARME Fonctionnement du béton armé en flexion

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES

Avantages et inconvénients du béton armé Avantages L’intérêt économique : Le béton est le moins coûteux des matériaux résistant à la compression et susceptible d’être associé à d’autres éléments; et l’utilisation de l’acier sous forme de barres est judicieuse et économique, puisqu’elles ne sont disposées que dans les parties utiles. La souplesse d’utilisation : le béton étant mis en place (dans des moules : coffrage) à l’état pâteux ; il est possible de réaliser des constructions aux formes les plus variées et les armatures peuvent être facilement liées. Le béton armé se traite facilement à la pré-fabrication en usine.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES

Avantages et inconvénients du béton armé Avantages Economie d’entretien : les constructions en béton armé ne nécessitent aucun entretien tandis que les constructions métalliques ont besoins d’être peintes régulièrement. Résistance au feu : les constructions en béton armé se comportent beaucoup mieux en cas d’incendie que les constructions métallique ou en bois. Le béton, grâce à sa mauvaise conductibilité thermique retarde les effets de la chaleur sur les armatures, il est possible de remettre en service la construction après les réparations superficielles ce qui est impossible pour les constructions métalliques. Cette propriété a permis d’utiliser le béton armé dans certaines parties des fours. 15

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES

Avantages et inconvénients du béton armé Avantages Résistance aux efforts accidentels : le béton armé en raison de son poids important est moins sensible aux variations de surcharges que d’autres modes de constructions. Durabilité : le béton armé résiste bien à l’action de l’eau et de l’air; la seule condition à observer est la protection des armatures; et l’acier et le béton ont des coefficients de dilatation thermique rapprochés, ce qui évite les dilatations différentielles entre les deux matériaux.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES

Avantages et inconvénients du béton armé Inconvénients Le poids : les ouvrages en B.A sont plus lourds que les autres modes de constructions. L’exécution : pour exécuter un ouvrage en béton armé il faut :
Préparation de coffrage qui demande beaucoup de temps et un travail de charpente important. Ce coffrage doit rester en place jusqu'à se que le béton atteint une résistance suffisante.
Le placement des armatures
Pendant et après les mises en place du béton, il faut prendre des précautions pour le protéger contre le gel et l’évaporation de l’eau.
Le contrôle de la qualité du matériau perfectionné lors du gâchage. 17

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES

Avantages et inconvénients du béton armé Inconvénients Brutalité des accidents : les accidents qui surviennent aux ouvrages en béton armé sont en général soudains ou brutaux, en général ces accidents sont dus à des erreurs de calculs ou de réalisations. Difficulté de modification d’un ouvrage déjà réalisé : il est difficile de modifier un élément déjà réalisé.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Sécurité et Réglementation La sécurité est définie comme l’absence de risque et dans le domaine de construction ; cela implique la stabilité et la durabilité et l’aptitude à l’emploi. La sécurité absolue n’existe pas; il faut accepter une probabilité non négligeable d’accident. Le dimensionnement des ouvrages et la vérification de la sécurité reposent sur des règles de calcul utilisant la méthode des contraintes admissibles qui consiste à vérifier les contraintes calculés par la R.D.M en tout point d’une structure par rapport à une contrainte admissible obtenue en divisant la contrainte de ruine du matériau par un coefficient de sécurité fixé à l’avance.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Sécurité et Réglementation Théorie semi -probabiliste - Etats limites : (B.A.E.L) 91 modifiées 99 consiste a : 1-Définir les phénomènes que l’on veut éviter (l’état limite) : - Ouverture des fissures soit par : a- Compression successive dans le béton. b- Traction successive dans l’acier. - Déformation importante dans l’ensemble. 2-Estimer la gravité des risques liés à ces phénomènes (on distingue les états limites ultimes et les états limites de services). 3-Dimensionner les éléments de la construction de telle manière que la probabilité d’atteindre l’un de ces phénomènes reste faible. 20

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Sécurité et Réglementation Définition des états limites Un état limite est un état pour lequel une condition requise d’une construction est strictement satisfaite et cesserait de l’être en cas de modification défavorable d’une seule action. Un ouvrage doit être conçu et calculé de manière à présenter pendant toute sa durée de vie des sécurités suffisantes vis-à-vis :
de sa ruine ou de celle de l’un quelconque de ses éléments (effondrement de tout ou partie du bâtiment),
d’un comportement en service susceptible d’affecter gravement sa durabilité, son aspect, le confort des usagers. 21

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES BAEL distingue deux catégories d’états limites : Etats limites ultimes (E.L.U) : Il correspond à la valeur maximale de la capacité portante de la construction et dont le dépassement entraîne la ruine de la construction, ces états limites sont relatifs à la limite: a- Etat limite ultime d’équilibre statique de l’ouvrage : c’est la perte de la stabilité d’une partie ou de l’ensemble de la construction (le renversement). b- Etat limite ultime de résistance de l’un des matériaux de construction : c’est la perte de résistance soit du béton soit de l’acier. c- Etat limite ultime de stabilité de forme (flambement) : les pièces élancées soumises à des efforts de compression subissent des déformations importantes et deviennent instable. 22

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Etat limite de service (E.L.S) Ils constituent les limites au-delà desquelles les conditions normales d’exploitation ou de durabilité de l’ouvrage ne sont plus satisfaites. On est conduit à effectuer des vérifications portant sur: a- Etat limite de service de compression de béton : cette limitation à pour but d’empêcher la formation des fissures. b- Etat limite de service d’ouverture des fissures (corrosion des armatures) : il consiste à assurer que les armatures sont convenablement disposées dans la section et les contraintes ne dépassent pas la valeur limite. c- Etat limite de service de déformation (flèche) : il consiste à vérifier que les déformations sont inférieures à des déformations limites.

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Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES Sécurité et Réglementation La vérification de la construction selon qu’il s’agit d’un ELU ou d’un ELS conduit à des calculs très différents en ce qui concerne : - les actions à prendre en compte et la façon de les combiner (pondération). - le comportement du matériau (et des sections des poutres) à utiliser. A l’ELU, une section de poutre BA est amenée à la rupture lorsque le béton comprimé ou l’acier tendu dépasse leur capacité de résistance et entrent en plasticité. Le calcul est donc mené dans l’hypothèse d’un comportement plastique des matériaux, le domaine élastique étant dépassé. L’ELS est atteint bien que la structure soit encore loin de son effondrement, par exemple du fait d’une trop grande déformabilité d’un élément. Le calcul est mené dans l’hypothèse d’un comportement élastique des matériaux. 24

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS

Définitions Les actions sont des forces ou des couples directement appliquées à la construction, ainsi que celles qui résultent des déformations dues au retrait, à la dilatation, au tassement d’appui. Les valeurs de chacune de ces actions ont un caractère nominal, c’est-à-dire connu dès le départ ou donné par des textes réglementaires ou contractuels. On distingue trois types d'actions :
Actions permanentes.
Actions variables (d'exploitations).
Actions accidentelles. 25

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS a- actions permanentes (G) : Ce sont des actions continues dont l'intensité est constante ou très peu variable dans le temps. Exemple : le poids propre. b- actions variables (Q) : Ce sont des actions dans l'intensité varie fréquemment et d'une façon importante dans le temps. La durée d'application est très faible par rapport aux durées de vie de constructions. Les valeurs de ces charges sont fixées par le règlement, en fonction des conditions d'exploitation de la construction. c- actions accidentelles (FA) : Ce sont des actions provenant de phénomènes se produisant rarement avec une faible durée d'application. Exemple : Vent (accidentel et non normal), séisme… 26

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS • Actions permanentes (notées G) : - Poids propre de la structure : charges 1, 2, 8 et 12. - Poids des autres éléments de la construction : charges 9 et 11. - Poussées des terres, pression des liquides : 7 et 14 - Actions dues aux déformations différées : raccourcissement par retrait du béton dans le plancher 8. • Actions variables (notées Q) : - Charges d’exploitation : 3, 5, 6 et 13 - Charges climatiques : 4 - Action de la température climatique due aux variations d’ambiance au cours de la journée : 10. - Actions appliquées en cours de construction qui proviennent des équipements de chantier.

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les sollicitations Ce sont les effort normaux et tranchants et les moments fléchissant et de torsions qui sont calculés à partir des actions en utilisant les procédés de la RDM.

- Nx est l’effort normal: les contraintes de compression sont positives. - Vy l’effort tranchant, - Mz le moment fléchissant.

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Principe En fonction des situations qu’une construction va connaître, nous allons être obligés de superposer les effets de plusieurs actions. Pour cela : a) Nous affectons à chaque type d’action, un coefficient de sécurité partiel. b) Nous combinons les actions obtenues (principe de superposition des effets) c) Nous déterminons la ou les combinaisons qui engendrent les sollicitations les plus défavorables dans les éléments de la construction.

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Nous utiliserons les combinaisons avec les notations suivantes :

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Cas d’un mur de soutènement

La poussée Q pousse vers un renversement du mur et agit donc dans un sens défavorable: elle intervient en Gmax. L’action des terres R derrière le voile agit dans le sens de la stabilité donc favorable : elle intervient donc en Gmin. 32

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Cas d’une marche en console :

Le poids P de la marche intervient en Gmax et le contrepoids C du mur en Gmin. 33

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Etats limites ultimes : (E.L.U) n

1,35 × Gmax + Gmin + γ Q1 × Q1 + ∑1,3 × γ Qi ×Qi i =1

γ Q1 : coefficient multiplicateur est égal à 1,5 dans le cas général et 1,35 pour la température, les charges d’exploitation étroitement bornées et de caractère particulier (convois militaires ou exceptionnels) et pour les bâtiments agricoles abritant des animaux et des produits sans présence humaine permanente.

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Etats limites ultimes : (E.L.U) Lorsque nous introduisons les actions accidentelles elle s'écrit :

n

Gmax + Gmin + ∑ γ Qi × Qi + FA i =1

avec: FA: action accidentelle Généralement la combinaison s'écrit : 1,35 . G + 1,5 . Q 35

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Etats limites de services : (E.L.S) n

Gmax + Gmin + Q1 + ∑ γ Qi ×Qi i =1 i=1

γQ1 : coefficient multiplicateur Généralement la combinaison s'écrit : Gmax + Gmin + Q

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actions des charges permanentes G et des charges d’exploitation QB (à l’exclusion de toute action climatique) :

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actions des charges permanentes G et des charges d’exploitation QB (à l’exclusion de toute action climatique) :

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actions des charges permanentes G et des charges d’exploitation QB (à l’exclusion de toute action climatique) :

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Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS Les combinaisons d'actions Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actions des charges permanentes G et des charges d’exploitation QB (à l’exclusion de toute action climatique) :

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CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX Caractéristiques physiques et mécaniques du béton

Masse volumique : - La masse volumique béton à granulats courants (normal) → 2200 à 2400 kg/m3 -La masse volumique béton à granulats légers → 700 à 1500 kg/m3 -La masse volumique béton à granulats lourds → 3500 à 4000 kg/m3 - La masse volumique du béton armé → 2500 kg/m3

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CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX Caractéristiques physiques et mécaniques du béton Résistance caractéristique à la compression La résistance caractéristique à la compression du béton fcj à j jours d’âge est déterminée à partir d’essais sur des éprouvettes 16 x 32. Elle est définie comme la valeur de la résistance en dessous de laquelle on peut s’attendre à rencontrer 5% au plus de l’ensemble des ruptures des essais de compression. En pratique, comme le nombre d’essais réalisés ne permet pas un traitement statistique suffisant, on adopte la relation simplifiée suivante :

f cj =

σj

1,15

où σj est la valeur moyenne des résistances obtenues sur l’ensemble des essais réalisés. 42

CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX Caractéristiques physiques et mécaniques du béton Résistance caractéristique à la compression

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CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX Caractéristiques physiques et mécaniques du béton

Attention, ces courbes sont adimensionnées par rapport à fc28

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CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX Caractéristiques physiques et mécaniques du béton Résistance caractéristique à la traction la résistance caractéristique à la traction ftj à j jours est conventionnellement définie par les relations :

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CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX Caractéristiques physiques et mécaniques du béton Module de déformation longitudinale instantané

σ

σ

ε

ε

avec: fc28 Max(lp et 1,5.Cg) Verticalement: ev> Max (lp et Cg) avec Cg le diamètre du plus gros granulat. 96

CHAPITRE IV - Association Béton - Acier Dispositions constructives Poussée au vide Toute armature courbe et tendue exerce sur le béton une poussée dans le plan de courbure et du côté de la concavité. Si l’armature est comprimée, la poussée est exercée du côté de la convexité.

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier Dispositions constructives Poussée au vide la présence d'ancrage courbe tente à faire fléchir la barre au point de changement de courbure. Il peut en résulter la poussée au vide capable de faire éclater le béton; alors on devrait soit supprimer cette poussée en modifiant le ferraillage, soit réduire le risque d'éclatement en inclinant la barre, ou encore équilibrer la poussée, en attachant la barre par des ligatures.

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier Dispositions constructives Condition de non écrasement du béton (rayon de courbure minimal) Pour que la condition de non écrasement du béton soit assurée, il faut vérifier l'inégalité suivante:

er : distance de la plus proche des parois (recouvrement). ∅ : diamètre des barres courbées. σs : la contrainte de l'acier calculée dans l'état limite ultime. λ : coefficient λ = 1 si les barres sont disposées en une seule nappe.

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier Dispositions constructives Ancrage d'une barre comprimée l'ancrage d'une barre comprimée courbée (ancrage courbe) est interdit. Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calculé comme suit :

∅ : diamètre des barres. σsc : la contrainte à la compression. τs : la contrainte d'adhérence. 100

CHAPITRE IV - Association Béton - Acier

JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT Objectif et principe Les armatures du commerce ont une longueur limitée, il est parfois nécessaire d’utiliser plusieurs barres pour les éléments de grande longueur. Pour établir la continuité des barres, nous effectuons un recouvrement. Cette longueur sera donc la longueur nécessaire pour assurer la transmission des efforts qui sollicitent l’armature.

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT Jonction des barres tendues recouvrement rectiligne : (droit)

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT Jonction des barres tendues Recouvrement par couvre-joint: Les 2 barres sont dans le même alignement et la transmission est assurée par une troisième barre de même diamètre.

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT Jonction des barres tendues recouvrement courbé:

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT Jonction des barres comprimées Les jonctions de barres susceptibles d’être comprimées sont obligatoirement rectilignes. Si la barre est toujours comprimée, si elle ne fait pas partie d’un paquet de 3 barres et si les entre-axes des barres en jonction sont au plus égaux à 5 fois leur diamètre, nous pourrons considérer que :

lr = 0,6 ls

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CHAPITRE IV - Association Béton - Acier

Le BAEL propose d’adopter pour le crochet normal à 180° la longueur d’encombrement de l’ancrage la = 0,4.ls pour des aciers HA et la=0,6.ls pour des Ronds Lisses.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Hypothèse (1) : toute section plane avant déformation reste plane après déformation, c’est l’hypothèse de Navier-Bernouilli, de laquelle il résulte que le diagramme de déformation est représenté par une droite et que la déformation d’une fibre est proportionnelle à sa distance à l’axe neutre.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Hypothèse (2) : Il n’y a pas de glissement relatif entre le béton et l’acier . La déformation de deux matériaux est la même.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : εbc : la déformation du béton à la compression. εs : la déformation des l’aciers tendue . x : la distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée. d : la distance du centre de gravité aux armatures tendues.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Hypothèse (3) : la résistance du béton tendu est négligée. Hypothèse (4) : On suppose concentré en leur centre de gravité la section d’un groupe de plusieurs barres tendues ou comprimées, si l’erreur commise sur les déformations unitaires ne dépassent pas 15% .

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U :

Hypothèse (5) : C’est le diagramme déformations-contraintes qui peut être utilisé dans tous les cas.

σbc : contrainte de compression du béton fcj : résistance caractéristique du béton en compression à j jours fbu : résistance conventionnelle ultime à la compression εbc : déformation du béton en compression 111

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : La valeur fbu de la contrainte de calcul pour une déformation comprise entre 2 ‰ et 3,5 ‰ est :

γb : coefficient de sécurité γb = 1,5 dans le cas général γb = 1,15 pour les combinaisons accidentelles θ : dépend de la durée d’application des charges.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Lorsque la section est partiellement comprimée (cas de la flexion simple), nous pouvons remplacer le diagramme parabole-rectangle par un diagramme rectangulaire simplifié.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Notations
b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton.
As (ou Ast) est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de la fibre la plus comprimée du coffrage.
yu est la position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée.
σst est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitée à fsu.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Hypothèse (6) : le raccourcissement unitaire du béton est limité à 2 ‰ en compression simple et 3,5‰ en flexion composée avec compression, de même l’allongement unitaire des aciers sera limité à 10‰.

DIAGRAMME DEFORMATIONS-CONTRAINTES DU BETON

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : DIAGRAMME DEFORMATIONS-CONTRAINTES DES ACIERS

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Règle des 3 pivots : Le diagramme de déformation d’une section à l’état limite ultime de résistance représenté par une droite doit obligatoirement passé par l’un des pivots A - B - C. Cette règle se fixe comme objectif pour utiliser au mieux le béton et l’acier .

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Le domaine( 1) : les diagrammes passent par le pivot A qui correspond à un allongement maximum de 10% des armature tendues, supposées concentré en leur centre de gravité . Deux sous-domaines:

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U Le Pivot A: Utilisation maximale d’Acier (ELU acier) εs=10‰ et εbc≤3,5‰ La position limite AB correspond à un axe neutre situé à la distance: yAB=αAB.d de la fibre la plus comprimée avec:


La flexion simple ou composée avec: 0≤α≤0,259 admet le pivot A. Le cas particulier où: εs=10‰ et εbc=2‰ correspond à:

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U Le Pivot A: Utilisation maximale d’Acier (ELU acier) le sous domaine 1-a : le béton est toujours tendue et ne participe pas à la résistance de la section

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U

Le Pivot A: Utilisation maximale d’Acier (ELU acier) Le sous domaine 1-b : le béton est partiellement comprimé.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Le domaine(2) : Utilisation maximale du béton (ELU atteint pour le béton) les diagrammes passent par le pivot B qui correspond à un raccourcissement de 3,5‰ de la fibre la plus comprimée.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Le domaine(2) : Utilisation maximale du béton (ELU atteint pour le béton) Sous domaine 2-a : l’allongement des armatures est supérieur à l’allongement élastique (εes) pour une contrainte fe/γs (acier bien utilisé). Sous domaine 2-b : L’allongement des armatures tendues est inférieure à l’allongement étatique (εes) et la contrainte dans les aciers sera inférieure à fe/ γs (Les aciers ne sont alors pas bien utilisés). Sous domaine 2-c : les armatures seront comprimées le domaine(2) sera décrit par la condition : 123

h 0,259 ≤ α ≤ d

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U : Le domaine(3) : Section entièrement comprimée les diagrammes passent par le pivot qui correspond à un raccourcissement de 2% de la fibre du béton située à 3h/7 de la fibre supérieure. La section est entièrement comprimée . 2‰≤εbc≤3,5‰ sur la fibre la plus comprimée, εbc≤2‰ sur la fibre la moins comprimée.

y h α= ≥ d d 124

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à L’E .L .U Récapitulation Pivot A: traction simple ou composée, flexion avec état limite ultime atteint dans l’acier, ce pivot est conditionné par l’allongement maximal de l’acier sans épuisement de la résistance du béton: εst=10‰ et 0≤εbc≤3,5‰ . Pivot B: flexion avec état limite ultime atteint dans le béton, ce pivot est conditionné par le raccourcissement maximal du béton (épuisement de la résistance du béton sur la fibre la plus comprimée): εbc=3,5‰ et 0≤εst≤10‰ . Pivot C: compression simple ou composée, ce pivot correspond à un raccourcissement relatif du béton de 2‰ de la fibre située à une distance de la fibre la plus comprimée égale à 3h/7. 126

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELU

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELU Equations d’équilibre de la section à l’E.L.U.: soit une section sollicitée par un moment de flexion Mu Effort de compression dans le béton: αd

Fbc = ∫ σ b ( y ).b( y ).dy 0

Effort de compression dans l’acier: Fsc=Asc σsc avec σsc = f(εsc) Effort de traction dans l’acier: Fst=Ast.σst

équilibre des efforts: Équilibre des moments:

avec: σst = f(εst)

Fb+Fsc-Fst=0 Mu=Fbc.z+(d-d’)Asc.σsc 128

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse (1) : les sections droites planes avant déformation restent planes après déformation →Il n’est y a pas de glissement relatif entre le béton et l’acier . Hypothèse (2) : le béton tendu est négligé.

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse (3) : Le béton et l’acier seront considérés comme des matériaux linaires élastiques, donc on leur applique la loi de HOOKE
σ=E.ε

σ b = Eb .ε b E σ σ et ε s = ε b ⇒ s = b ⇒ σ s = s .σ b = n.σ b σ s = Es .ε s Es Eb Eb Es avec n = : coéfficient d ' équivalence Eb Or on a: Es= 200 000 MPa et Eb= 13 333 MPa, donc: n=15

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Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Homogénéisation de la section: Pour pouvoir appliquer au Béton Armé, qui est un matériau hétérogène, les règles de RDM pour les corps homogènes, il sera nécessaire d’homogénéiser la section de béton armé. Une section d’acier travaille n fois plus qu’une même section de béton. Donc une section d’acier équivaut n sections de béton. Pour homogénéiser la section de béton armé, on remplace la section d’acier par n fois sa section de béton. 131

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse(4) : On ne tient pas compte du fluage de béton et du retrait. Hypothèse(5) : On suppose concentré en leur centre de gravité un ensemble de plusieurs barres: On peut remplacer dans les calculs, la section totale d'un groupe de barres tendues ou comprimées par la section d'une barre unique située au centre de gravité du groupe.

132

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèses à l’E .L .S de compression du béton La contrainte de compression du béton est limitée à 0,6.fc28

σb ≤ 0,6 fc28 Remarques: - La limitation de la compression du béton est destinée à éviter la formation des fissures parallèles à la direction des contraintes de compression. - Lorsqu'une section est soumise à la traction simple ou si, étant soumise à la flexion composée, elle est entièrement tendue, il n'y a aucune vérification à effectuer en ce qui concerne la contrainte du béton. 133

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèses à l’E .L .S de compression du béton Pour les poutres à sections rectangulaires soumises à la flexion simple dont les armatures sont en acier FeE400, il peut être admis de ne pas procéder à la vérification de la contrainte de compression du béton lorsque:

avec:

yu γ − 1 ≤ + 0,01 f cj d 2 γ = Mu/Ms

yu : distance entre l’axe neutre à I'E.L.U. et la fibre la plus comprimée 134

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S de déformation Il est conseillé de vérifier que la flèche d’une poutre ne dépasse pas:

135

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures 1°-Si la fissuration est peu préjudiciable : Aucune vérification n’est demandé pour les aciers et la contrainte dans les aciers n’est pas limitée. La fissuration est considérée comme peu préjudiciable, lorsque l’élément à vérifier est situé dans les locaux couverts. Exemple: bâtiments à usage d'habitation, bureaux, écoles, hôpitaux, etc... En pratique: il ne sera pas nécessaire de déterminer les contraintes des armatures tendues obtenues lors de l'étude à I'E.L.U. 136

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures Dispositions constructives dans le cas de fissuration peu préjudiciable -Pour les poutres de grande hauteur, on doit disposer des armatures dites de « peau » uniformément réparties le long de chaque parement, parallèles à la fibre moyenne et leur section doit être au moins de 3 cm2 par m de longueur de parement - Lorsque la membrure d'une poutre est constituée de barres de diamètre supérieur à 20mm, leur écartement horizontal ne doit pas dépasser 4 fois leur diamètre

137

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures

138

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures 2- Si la fissuration est préjudiciable : la fissuration considérée comme préjudiciable si les éléments sont exposés aux intempérie (pluie, neige, vent...) ou bien en contact avec l’eau. La contrainte de traction dans les armatures tendues sera limitée à la valeur suivante :

2  σ st ≤ min f e ;110 η . f t 28  3  fe : limite élastique et ft28 : la contrainte du béton à la traction à 28 j. η : coefficient de fissuration. η=1 pour les R.L. y compris les TS formés de fils tréfilés lisses. η=1,6 pour les H.A. η=1,3 pour les H.A. en fils de diamètre inférieur à 6 mm. 139

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures Dispositions constructives dans le cas de fissuration préjudiciable *Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins égal à 6mm * Prévoir des armatures de peau dont la section doit être au moins de 3 cm2 par m de longueur de parement * Lorsque le diamètre des armatures tendues d'une poutre est supérieur à 20 mm , la distance entre axes de 2 barres consécutives dans le sens horizontal ne doit pas excéder 4 fois leurs diamètres * Pour les dalles et les voiles faisant au plus 40cm d'épaisseur, la distance entre axes des armatures d'une même nappe ne doit pas dépasser la plus petite des 2 valeurs (25cm ; 2 h) 140

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures 3- Si la fissuration est très préjudiciable : la fissuration sera considérée comme très préjudiciable si l’élément est soumis à un milieu agressif ( eau de mer, sols corrosifs.... ). La contrainte de traction des armatures tendues sera limitée par la valeur suivante :

1  σ st ≤ min f e ;90 η . f t 28  2  η=1 pour les R.L. y compris les TS formés de fils tréfilés lisses. η=1,6 pour les H.A. η=1,3 pour les H.A. en fils de diamètre inférieur à 6 mm. 141

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures Dispositions constructives dans le cas de fissuration très préjudiciable * Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins égal à 8mm * Les armatures de peau doivent présenter une section d'au moins 5 cm2 / m de parement. * Si ø>20mm, la distance entre axes de 2 barres consécutives dans le sens horizontal ne doit pas dépasse 3 ø * pour les dalles ou les voiles d'épaisseur au plus égale à 40 cm, la distance entre axes des armatures d'une même nappe doit être inférieure à min (20cm ; 1,5 h) 142

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Récapitulation Vérifications à effectuer à l’E.L.S.: a- Cas de fissuration peu nuisible ou peu préjudiciable:

σ b ≤ σ b = 0,60 f c 28 b- Cas de fissuration nuisible ou préjudiciable:

σ b ≤ σ b = 0,60 f c 28 2  σ s ≤ σ s = min f e ; 110 η f tj  3  c- Cas de fissuration très nuisible ou très préjudiciable

σ b ≤ σ b = 0,60 f c 28

(

σ s ≤ σ s = min 0,5 f e ; 90 η f tj 143

)

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) Les contraintes admissibles à l’E.L.S. Contrainte de traction admissible à l’ELS dans les aciers tendus en fissuration préjudiciable (1ère colonne) et très préjudiciable (2ème colonne)

144

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure ) En pratique: Les armatures de la sections sont déterminées par le calcul à I'E.L.U. •Une 1ère méthode consiste à calculer la valeur de σb et éventuellement celle de σst; Si les conditions précédentes sont vérifiées, ces armatures conviennent même pour I’E.L.S, sinon il faut recalculer la section d 'acier à I'E.L.S. * Une 2ème méthode consiste à calculer directement les sections d'acier à I'E.L.U. et à I'E.L.S. et on retiendra la plus grande des 2 valeurs. 145

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS

Axe neutre

y: distance du centre de gravité de l’élément ds à l’axe neutre gg’ (y est compté positif si ds se trouve au-dessus de l’axe neutre et négatif si c’est au-dessous), α= angle (Ga, Ga’). 146

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS

Axe neutre On pose K = tgα = σ/y  σ = Ky La force interne agissant sur l’élément ds est: df = σ.ds = Ky.ds L’effort interne total pour toute la section : Ni = Σ dfi = Σ K yi.ds = K Σ yi.ds L’équilibre des efforts: Ne = Ni or on a une flexion simple donc : Ne = 0  K Σ yi.ds = 0  Σ yi.ds = 0 ( K ≠ 0) Or Σ yi.ds représente le moment statique par rapport à l’axe neutre de la section homogénéisée, Donc la position de l’axe neutre est déterminé par la relation :

Σ yi.ds = 0

( Mmt statique de la section homogène) 147

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS

Axe neutre D'après les triangles semblables Gaa’ et Gbb’ : σb 15σ b y1 = ⇒ y1 = .d σs d − y1 15σ b + σ s 15 Posons

K1 =σs/σb

et

α1 = y1/d

15 15(1 − α1 ) d ' où : α1 = et K1 = 15 + k1 α1 résumé

y1 = α1.d ,

σ k1 = s , σb

15 α1 = , 15 + k1 148

k1 =

15(1 − α1 )

α1

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS Calcul des contraintes On considère que la poutre est constituée d'une section homogène comprenant la section de béton comprimé et les sections d'acier comptées n fois en gardant le même centre de gravité

149

Chapitre V : Les hypothèses de calcul

Calculs à l’ELS

σ b = y1tgα = K . y1 σ 's 15

σs

15

= K ( y1 − d ' ) ⇒ σ 's = 15 K ( y1 − d ' )

= K (d − y1 ) ⇒ σ s = 15 K (d − y1 )

Donc pour avoir les contraintes, il faut calculer la valeur de K.

150

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS L'équilibre des moments par rapport au c.d.g. de la section homogénéisée

M Ge = M Gi

avec :

M Ge = M s

dM = df i . yi ⇒ M = ∑ Kyi ds = K ∑ yi ds i G

2

i G

2

Σkyi2ds représente l’inertie I par rapport à l’axe neutre de la section homogénéisée:

Ms M s = KI gg ' ⇒ K = I gg ' 151

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS

Ms K= ; I gg '

σ b = Ky1 ;

σ 's = 15K ( y1 − d ' );

σ s = 15K (d − y1 ) α1 = y1/d

On pose: d’=δ’d

15σ b ( y1 − d ' ) 15(α1 − δ ' ) = σ 's = σb α1 y1

α1 − δ ' ( y1 − d ' ) σ 's = σs = σs (d − y1 ) 1 − α1 152

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS Résultante des forces dans l’acier et le béton : Dans le cas d'une section rectangulaire, la résultante des forces de compression dans le béton est égale à :

b..yy1.σ b Fb = 2 Le point d'application de cette force est situé à y1/3 à partir de la fibre supérieure.

Fs = A.σs

: Acier tendu

F’s = A’.σ’s

: Acier comprimé 153

Chapitre V : Les hypothèses de calcul Calculs à l’ELS

Soit F la résultante de Fb et F’s: Ni=F-Fs=0F=Fs Si nous considérons les moments par rapport au c.d.g. des armatures tendues, on aura :

Me = Mi   e M = M s  ⇒ M s = F .Z M i = F .Z   or F = Fs = A.σ s ⇒ M s = F .Z = A.Z .σ s

154

M ⇒ A= Z .σ s

Chapitre VI : La traction simple Définition Un tirant est une poutre droite soumise uniquement à la traction simple centrée: l’ensemble des forces extérieures agissant à gauche d’une section (Σ) se réduit à un effort normal unique N de traction perpendiculaire à (Σ) appliquée au centre de gravité G. Dans un tirant le centre de gravité des aciers est confondu avec celui de la section puisque lé béton (tendu) n’intervient pas dans la résistance et que les aciers seront évidemment placés de façon symétrique par rapport au centre de traction.

155

Chapitre VI : La traction simple Définition Tirants rectilignes ils sont normalement utilisés pour les couvertures voûtées des bâtiments industriels ou bien pour les mosquées. Les armatures résistent à l’effort de traction selon les armatures longitudinales. Les armatures transversales ne jouent qu’un rôle de montage. La section de béton devra être aussi petite que possible et les barres doivent être réparties uniformément dans la section (il faut respecter le symétrie et choisir un nombre pair). 156

Chapitre VI : La traction simple Définition Tirants circulaires Ils sont normalement utilisés dans les parois de réservoirs circulaires et des silos.

157

Chapitre VI : La traction simple Définition Tirants circulaires Projection verticale :

d’où:

N=P.R 158

Chapitre VI : La traction simple Détermination des armatures Condition de non-fragilité la section tendue ou fléchie est considérée comme non fragile si les armatures travaillants à leur limite élastique peuvent équilibrer les sollicitations provoquant la fissuration du béton dans cette section:

ASB . f e ≥ B. f t 28 donc:

f t 28 ASB ≥ B. fe

AsB : Armature longitudinale,

B

: Section du béton.

La condition de non fragilité nous conduit à une quantité minimale d’acier pour une section de béton donnée B, ou à une section maximale de béton pour une section d’acier donnée. 159

Chapitre VI : La traction simple Détermination des armatures Condition de résistance à l’E.L.U. La totalité de l’effort de traction est supportée par les armatures de section As qui subissent toutes les mêmes contraintes (en raison de la symétrie), l’E.L.U. est atteint au pivot A (puisque seuls les aciers sont pris en compte); la contrainte dans les aciers est donc: σsu=fe/γs.

La condition de résistance à l’E.L.U: Asu. σsu≥Nu avec Nu: l’effort de traction à l’E.L.U. d’où:

Asu≥Nu/ σsu 160

Chapitre VI : La traction simple Détermination des armatures Condition de résistance à l’E.L.S.

En raison de risque de corrosion des armatures, il est judicieux de considérer un tirant comme étant soumis au minimum aux conditions de la fissuration préjudiciable. 161

Chapitre VI : La traction simple Détermination des armatures Armatures longitudinales

Ainsi, la section des armatures longitudinales sera la suivante:

As = Max (Asu; Ass; AsB)

162

Chapitre VI : La traction simple Détermination des armatures Armatures transversales elles n’ont aucun rôle dans la résistance à la traction. Leur diamètre est calculé comme suit : Φt ≥ 0,3 . ΦL avec Φtmin = 6 mm Espacement :

esp ≤ Min (40 cm ; a + 10 cm) avec: a : la plus petite dimension.

163

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Définition Une poutre sera sollicitée en flexion simple lorsqu'elle sera soumise à l'action de force disposée symétriquement par rapport au plan moyen.

La réduction de cette force au centre de gravité de la section se décompose en moment fléchissant et un effort tranchant. 164

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U.

Dimensionnement d'une section de béton :

Les dimensions géométriques de la section sont fixées de telles manière à faire travailler le béton et l 'acier convenablement ( par exemple : b/h ≈ 0,4 et d ≈ 0,9 h)

On essaie d’avoir un α tel que : 0,167 ≤ α ≤ αR

165

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Equilibre d'une section fléchie:

Dans le cas où on a un béton qui travaille bien. 166

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U.

Les efforts : Nst=Ast.σst Nsc=Asc.σsc Nbc=0,8.yu.b.σbc L’équilibre de la section:

ΣFx = 0

et 167

ΣM = M u

Chapitre VII : FLEXION SIMPLESECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section sans armatures comprimées:


L'équilibre des efforts : Nst = Nbc  Ast . σst = 0,8 . yu . b . σbc
L'équilibre des moments : Mu = Mbc = Fbc. z = 0,8 . yu . b . σbc .z Avec: z = d – 0,4 . yu et yu = α.d ⇒ z = d . ( 1 - 0,4. α) ⇒ M u = 0,8.α .d .b.σ bc .d .(1 − 0,4α ) ⇒ M u = 0,8.α .d 2 .b.σ bc (1 − 0,4α ) or on a : M u = N st .Z = Ast .σ st .d (1 − 0,4α ) 168

Chapitre VII : FLEXION SIMPLESECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Le moment réduit "µu" :

Mu = 0,8α (1 − 0,4α ) M u = 0,8.α .d .b.σ bc (1 − 0,4α ) ⇒ 2 bd σ bc Mu On appellera cette quantité le moment réduit: µu = bd 2σ bc 2

donc:

d’où:

µu = 0,8α (1 − 0,4α )

(

α = 1,25 1 − 1 − 2µu 169

(On a: α>0,167)

)

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Le moment de référence d'une section MAB: La règle des 3 pivots se fixe comme objectif d'utiliser les matériaux à leurs maximum. Le diagramme de déformation correspondant sera le diagramme qui passe par les pivots A et B. ε bc 3,5 α= = = 0,259 ε bc + ε st 3,5 + 10

d ' où : µ AB = 0,186 Le moment réduit µAB correspond à un moment fléchissant appelé moment de référence : 2

M AB = µ AB .b.d .σ bc 170

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Le moment résistant MR : On désigne par un moment résistant le moment obtenu lorsque l'allongement des armatures est égal à l'allongement élastique (εes). Le moment résistant s’écrit: avec:

M R = µ1.b.d .σ bc 2

µ R = µ1 = 0,8.α1.(1 − 0,4α1 )

(On a: α>0,167)

ε bc 3,5 α R = α1 = = ε bc + ε es 3,5 + ε es Si α > α1 ⇔ ε < εes : alors les aciers ne travaillent pas suffisamment. 171

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Les différentes valeurs de α1 et µ1 suivant les nuances d’acier

En littérature on peut trouver µR ou µ1 comme on peut trouver αR ou α1.

172

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Pour FeE500 avec γs = 1,15

173

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Valeur particulière de µ Considérons le cas limite où εbc = 2‰, les équations d’équilibre: Équilibre des efforts:

αd

∫

0

Équilibre des moments:

bσ bx ( x)dx − Ast .σ st = 0 αd

M u = ∫ bσ bx (d − αd + x)dx 0

Après intégration de σbx(x) représentant l’équation de la partie du diagramme parabole, il vient:

Ast .σ st = 0,667.α .b.d .σ bc M u = 0,667.b.d 2 .σ bc .α (1 − 0,375α ) Mu ⇒µ= 2 = 0,667α (1 − 0,375α ) bd σ bc

Pour: α=0,167  µ = 0,104 174

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Pivot A: Cet état sera caractérisé par les déformations suivantes:

εs=10‰ εbc=0 à 3,5‰ 0 < α ≤ 0,259 -si 0α1 ⇒ εst < εes ⇒ σst < fe/γs ⇒ alors les aciers ne travaillent pas suffisamment; il convient alors de redimensionner la section ou d'introduire des armatures comprimées 176

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Principe : Nous commençons par calculer le moment réduit µu. Ce moment réduit est comparé au moment µAB = 0,186: Si µu < 0,186 ⇒ Pivot A Si µu > 0,186 ⇒ Pivot B
Dans le cas du pivot B, nous devons comparer µu à µ1 : Si µu ≤ 0,104 ⇒ redimensionner la section du béton Si µu > 0,104 ⇒ Armatures simples
Dans le cas du pivot B, nous devons comparer µu à µ1 : Si µu ≤ µ1 ⇒ Armatures simples Si µu > µ1 ⇒ Armatures doubles 177

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Dimensionnement des armatures tendues dans le cas de section à armatures simples: Les données du problème sont :
Les caractéristiques des matériaux
La sollicitation Mu
Les dimensions b et d de la section de béton (si d est inconnu; on prendra : d = 0,9 . h) On calcule:

Mu µ= 2 bd σ bc 178

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures simples:
Si µ < 0,186  le pivot est A. On devrait avoir µ > 0,104 sinon redimensionner la section σ bc =

0,85 f c 28 θ .γ b

(

α = 1,25 1 − 1 − 2 µ

)

Fbc = 0,8.b. yu .σ bc = 0,8b.α .d .σ bc Fst = Ast .σ st Fbc − Fst = 0 ⇒ Fbc = Ast .σ st Pivot A donc:

σ st =

fe

γs

0,8αbdσ bc ⇒ Ast = = σ st fe γ s Fbc

179

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures simples: ou d’une autre manière:

M bc = M u = Fbc .Z = Ast .σ st .Z avec:

Z = d − 0,4 yu = d (1 − 0,4α ) Mu Ast = Z. fe γ s 180

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures simples:
Si : 0,186≤ µ ≤µR <  le pivot est B avec: εel≤εst≤10‰ σst=fe/γs La contrainte des armatures tendues est égale à la contrainte élastique de calcul fe/γs , ce qui correspond à une bonne utilisation de l'acier, et le diagramme est rectangulaire simplifié. Le calcul est identique au cas précédent :

Mu µ= 2 bd σ bc

(

α = 1,25 1 − 1 − 2 µ Mu Ast = Z. fe γ s 181

)

Z = d (1 − 0,4α )

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures simples:
Si: µ > µR le pivot est B avec: εst< εe  σst < fe/γs ce qui correspond à une mauvaise utilisation de I'acier. Si on ne prévoit pas d'armatures comprimées, le calcul de la section d'acier est effectué comme dans le cas précédent, cependant son allongement relatif est inférieur à l'allongement élastique εe. En pratique, cette solution ne pourra être adoptée que si les valeurs µ et µR sont voisines. Dans le cas général, il est nécessaire d'établir une armature comprimée 182

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures simples: En pratique, on calcule les contraintes limites: fe 0,85 f c 28 σ st = σ bc = θ .γ b γs Après on calcule le moment réduit: Si: 0,104 MR donc la section nécessite des aciers comprimés. Moment résiduel : Le moment résiduel est la différence entre le moment ultime sollicitant la section et le moment résistant du béton.

Mr = Mu − M R 187

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures doubles: Détermination des armatures comprimées : On choisit comme origine de l'axe "z" le centre de gravité des armatures inférieures Ast :

M u = N bc .Z bc + N sc .Z sc

M u = 0,8.α1.d 2 .b.σ bc .(1 − 0,4α1 ) + Asc .σ sc .(d − d ' ) M u = µ1.b.d 2 .σ bc + Asc .σ sc .(d − d ' )

Mu − MR Mr Asc = = σ sc (d − d ' ) σ sc (d − d ' ) 188

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l'E.L.U. Section à armatures doubles: Détermination des armatures tendues :

ΣN = 0 N st − N sc − N bc = 0 ⇒ N st = N sc + N bc

Ast .σ st = 0,8.α1.d .b.σ bc + Asc .σ sc MR Mr Ast .σ st = + d (1 − 0,4α1 ) d − d '

 MR 1  Mr   Ast = + σ st  d − d ' d (1 − 0,4α1 )  189

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. Il est nécessaire de vérifier à l' E .L.S que la compression du béton reste admissible ainsi que la traction dans les armatures en fonction de la préjudiciabilité de la fissuration :

σbc = 0,6.fc28 2  La fissuration préjudiciable: σ st ≤ min f e ; 110 η . f t 28  3  1  La fissuration très préjudiciable: σ st ≤ min f e ; 90 η . f t 28  2  190

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES CONTRAINTES On considère les sections d 'aciers Asc et Ast calculées à I'E.L.U Il s'agit de calculer les contraintes maximales pour le béton comprimé et les aciers tendues et les comparer aux contraintes admissibles du béton et de l' acier. d’ = δ’d

191

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES CONTRAINTES : K = tgα = σ/y
σ = Ky

σ b = K . y1 σ 's = 15K ( y1 − d ' ) σ s = 15K (d − y1 )

b. y1.σ b K .b. y1 Fb = = 2 2

effort de compression dans le béton:

2

effort dans les armatures comprimées:

F 's = Asc .σ 's = 15 A' K ( y1 − d ' )

effort dans les armatures tendues:

192

Fs = Ast .σ s = 15 AK ( d − y1 )

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES CONTRAINTES : L’équilibre des efforts: Ne+Ni = 0 or: Ne = 0
Ni = 0
Fb+F’s+Fs=0

∑ y .ds = 0 i

2

y1 ⇒ Kb + 15 Asc K ( y1 − d ' ) + 15 Ast K ( y1 − d ) = 0 2 2 by1 + 30( Asc + Ast ) y1 − 30( Asc d '+ Ast d ) = 0 y1 sera la racine positive de cette équation. 193

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES CONTRAINTES : L’équilibre des moment / G: M e G = M i G et M e G = M s 2 y1 Kby13 M Fb = Fb . = 3 3 M Fs = Fs (d − y1 ) = 15 Ast K (d − y1 ) 2 M F 's = F 's ( y1 − d ' ) = 15 Asc K ( y1 − d ' ) 2 3

M s by1 = + 15 Asc ( y1 − d ' ) 2 + 15 Ast ( y1 − d ) 2 K 3 3 by1 On pose: I gg ' = + 15 Asc ( y1 − d ' ) 2 + 15 Ast ( y1 − d ) 2 3 Igg’ est le moment d’inertie de la section homogénéisé par rapport à l’axe neutre.

K=

Ms

194

I gg '

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES CONTRAINTES : En résumé: Ast et Asc sont déterminées par l’E.L.U. On cherche y1 la racine positive de l’équation:

by1 + 30( Asc + Ast ) y1 − 30( Asc d '+ Ast d ) = 0 2

Pour cela on calcule:

15( Ast + Asc ) D= b

et

30 E = ( Asc d '+ Ast d ) b

⇒ y1 = − D + D + E 2

195

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES CONTRAINTES : On calcule ensuite:

I gg '

3 1

by Ms 2 2 K = et = + 15 Asc ( y1 − d ' ) + 15 Ast ( y1 − d ) I gg ' 3 σ b = K . y1  σ 's = 15 K ( y1 − d ' ) σ = 15K (d − y ) 1  s

Lorsque la section ne comporte pas d’armatures comprimées: Asc=0 Lorsque, après avoir dimensionné la section à l’E.L.U., la vérification à l’E.L.S. n’est pas assurée, il faut recalculer la section d’acier à l’E.L.S. 196

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES : Section sans armatures comprimées:

197

Chapitre VII : FLEXION SIMPLESECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES Section sans armatures comprimées: On pose: y1 = α1d Nous avons:

σb y1 y1 α1 = ⇒ σb = .σ s = .σ s σs d − y1 15(d − y1 ) 15(1 − α1 ) 15

On pose:

k=

σb α1 1 = = σ s 15(1 − α1 ) k1

b. y1.σ b Fb = 2 L’équilibre des efforts: Or:

et Fs = A.σ s

b. y1.σ b − A.σ s = 0 2 198

Chapitre VII : FLEXION SIMPLESECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES Section sans armatures comprimées:

y1   L’équilibre des moments par rapport à A: M s = Fb  d −  3  On remplace Fb et y1 : M − by1σ b d 1 − α1  = 0   s 2 3 On pose: β = 1 − α1  1 3 2 kσ s 2 kσ s On remplace σb et y1 : M s − bα1d β1 = 0 ⇒ M s = bα1d β1 2 2 α1 1 On pose: µ = M s k = = et on a: 1 bd 2σ s 15(1 − α1 ) k1

⇒ µ1 =

α1kβ1 2

=

α1β1 2k1 199

Chapitre VII : FLEXION SIMPLESECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES Section sans armatures comprimées: Calculons A : y1  by1σ b  α1   M s = Fb  d −  = d 1 −  on:



or:

b. y1.σ b = A.σ s 2

3

2



3

 α1  ⇒ M s = Aσ s d 1 −  = Aσ s dβ1 3 

donc:

σs ?

Ms A= β1.d .σ s

On prend σs de façon à faire travailler l’acier au maximum. 200

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES : Section sans armatures comprimées: En résumé: On prend: σ = σ pour avoir la section minimale. s s On calcule: µ = M s 1

bd 2 σ s

Les valeurs β1 et k1 sont tirées du tableau en fonction de la valeur µ1. On calcule:

σb =

σs k1

Pour que la section ne comporte pas d'armatures comprimées, il faut:

σ b ≤ σ b = 0,6 × f c 28 Si cette condition est réalisée, la section d'acier tendue est donnée par:

Ms A= β1.d .σ s 201

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES Section avec armatures tendues et armatures comprimées : Si: σ b > σ b , il est nécessaire de prévoir des armatures comprimées. Dans ce cas: σ s = σ s

,

σb = σb

et on calcule:

σs 15σ b 15 k1 = , α1 = = 15σ b + σ s 15 + k1 σb by1σ b y1 = α1d , Fb = 2 15( y1 − d ') et σ 's = σb y1 202

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE Calcul à l’E.L.S. CALCUL DES ARMATURES Section avec armatures tendues et armatures comprimées : L’équilibre des moments donne:

y1 M s = A'σ 's (d − d ' ) + Fb (d − ) 3 L’équilibre des forces donne:

Aσ s = Fb + A'σ 's donc:

y  M s − Fb  d − 1  3 Fb + A'σ 's  A' = et A = σ 's (d − d ') σs 203

µ1: 0,00007→0,00334 204

µ1: 0,00343→0,01569 205

µ1: 0,01595→0,06067 206

µ1: 0,0618→5,5211 207

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ INTRODUCTION Lorsque des poutres supportent un plancher constitué d’une dalle en béton armé, le règlement autorise de considérer qu’une certaine largeur du hourdis fasse partie intégrante des poutres. Table ou hourdis Nervure ou retombée

La partie rectangulaire de dimension b x h est l’âme de la poutre. h0 : hauteur de la table de compression (du hourdis) b : largeur de la table de compression b0 : largeur de la nervure 208

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ LARGEUR DE LA TABLE A CONSIDERER Le BAEL définit la largeur du débord à prendre en compte de façon Forfaitaire, comme au plus égale à : - le dixième de la portée de la poutre, - les deux tiers de la distance de la section considérée à l’axe de l’appui le plus proche, - la moitié de la distance entre deux poutres supportant la même dalle.

209

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU : Position de l' axe neutre Soit Mu le moment ultime sollicitant la section. Le calcul de ces sections s’effectue différemment selon que la zone comprimée de hauteur égale à 0,8y se trouve uniquement dans la table ou s’étend aussi dans la nervure.

210

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU Position de l' axe neutre Supposons que la table est entièrement comprimée tel que la hauteur de la zone comprimée est égale à h0 (0,8y = h0) qui correspond à α0 et µ0, donc MbT = µ0 bd2 σbc D’autre part: Fbc = bh0σbc

h0  h0    M = Fbc  d −  = bh0σ bc  d −  2 2   T b


Si la table n’est pas entièrement comprimée  α1< α0  µ1< µ0  µ1 bd2 σbc< µ0 bd2 σbc  Mu< MbT
Si la table est entièrement comprimée  Mu≥MbT 211

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU :
Si Mu< MbT  la table n’est pas entièrement comprimée
Si Mu>MbT  la table est entièrement comprimée 1er cas: Mu< MbT La table n’est pas entièrement comprimée, comme le béton tendu n’intervient pas dans les calculs de résistance, on conduit le calcul comme si la section était rectangulaire de largeur b et de hauteur h. 212

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU : 2ème cas: Mu≥MbT :  La table est entièrement comprimée Section sans armatures comprimées :

213

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU Section sans armatures comprimées : On divise la partie comprimée en 2 zones: 1. Les 2 ailes de la table de compression: (1) 2. La nervure : (2)
Les efforts dus au béton comprimé sont: 1 dans (1): F = (b − b )h σ b

0

0

bc

dans (2): Fb = 0,8b0 yuσ bc = 0,8b0α .dσ bc 2


L’effort dû aux armatures tendues:

214

Fst = Astσ st

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU : Section sans armatures comprimées : Les moments équilibrés par ces efforts sont:

h0  h0    M b = Fb  d −  = (b − b0 )h0σ bc  d −  2 2   1

1

M b = Fb (d − 0,4 yu ) = 0,8α .b0 .d 2 .σ bc (1 − 0,4α ) 2

2

Mu = Mb + Mb ⇒ Mb = Mu − Mb 1

2

2

1

h0   0,8α .b0 .d .σ bc (1 − 0,4α ) = M u − (b − b0 )h0σ bc  d −  2  2

215

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU Section sans armatures comprimées : Cela revient à calculer une section rectangulaire de largeur b0, de hauteur (h,d) soumise à un moment fictif égal à:

h0   2 M u − (b − b0 ).h0 .σ bc  d −  = M b 2   2 Mb On calcule: µ2 = b0 .d 2 .σ bc Selon les valeurs de µ2, la droite des déformations passe par le pivot A ou le pivot B:
Si µ2> µRil faut augmenter la section du Béton ou introduire des armatures comprimées,
Si µ2≤ µR pivot A ou pivot B α2 yu. 216

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU : Section sans armatures comprimées : L’équilibre des efforts:

(

Fst = Fb + Fb ⇒ Ast = Fb + Fb 1

2

1

2

)σ

1

σ bc Ast = [(b − b0 )h0 + 0,8α 2b0 d ] σ st

217

st

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU : Section avec armatures comprimées

218

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L’ELU Section avec armatures comprimées

Si: µ2>µR, on se fixe: µ2=µR et α2=αR → yR et εst=εe d'   0  σst=fe/γs . ε sc = 3,5 00 1 −  → σ sc  αd 

M = M R = µ R b0 d σ bc ⇒ Asc = M u − M b − M R 2 b

1

2

(d − d ')σ sc

Fst = Fb + Fb + Fsc = Ast .σ st 1

2

h   1 M b = (b − b0 )h0σ bc  d − 0  2 

Ast = [(b − b0 )h0σ bc + 0,8α R b0 dσ bc + Ascσ sc ]

219

1 fe

γs

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L'E.L.S Calcul des contraintes Les dimensions géométriques sont connues, ainsi que les valeurs Ast et A’sc des armatures (calculées à l’E.L.U.). Il est nécessaire de savoir si l’axe neutre se trouve dans la table ou dans la nervure.

ou

220

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L'E.L.S Si on fait l’hypothèse que l’axe neutre se trouve dans la table, sachant que le béton tendu ne travaille pas, la section est équivalente à une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d. La distance y1 de l’axe neutre est donnée par la racine positive de l’équation:

by + 30( Asc + Ast ) y1 − 30( Asc d '+ Ast d ) = 0 2 1

Construisons la courbe représentative de la fonction:

f ( y1 ) = by + 30( Asc + Ast ) y1 − 30( Asc d '+ Ast d ) 2 1

221

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ CALCUL A L'E.L.S

On obtient les 2 racines de signes contraires, mais ce qui nous intéresse c’est y1 positif. Si h0 (valeur positive) est supérieur à y1, la valeur de f(h0) est positive, Donc, pour que l’axe neutre se trouve dans la table, il faut avoir:

bh + 30( Asc + Ast )h0 − 30( Asc d '+ Ast d ) ≥ 0 2 0

222

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ Ce qui peut s’écrire:

CALCUL A L'E.L.S

bh + 30 Asc (h0 − d ' ) − 30 Ast (d − h0 ) ≥ 0 2 0

Pour que l’axe neutre se trouve dans la nervure, il faut que h0µ R pivot B avec armatures comprimées et ZR = d(1-0,4αR) On a: MR = µ Rbd2σbc ε sc + ε e d − d' d − d' −3 = ⇒ ε sc = (3,5.10 + ε e ) − ε e → σ sc −3 d d ε e + 3,5.10 Équilibre des moments par rapport aux armatures inférieures:

M 1 = Fbc .Z R + Ascσ sc (d − d ' ) = 0,8 y Rσ bcb.Z R + Ascσ sc (d − d ' ) M 1 = 0,8α R dσ bcbd (1 − 0,4α R ) + Ascσ sc (d − d ' ) M 1 = 0,8α R (1 − 0,4α R )bd 2σ bc + Ascσ sc (d − d ' ) M 1 = µ R bd 2σ bc + Ascσ sc (d − d ' ) 311

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite Ultime Calcul des Armatures Armatures doubles

M 1 = M R + Ascσ sc (d − d ' ) Équilibre des forces :

M1 − M R Asc = (d − d ' )σ sc

fe

MR N u = Fbc + Ascσ sc − Astσ st ⇒ Ast = + Ascσ sc − N u γ s ZR  M1 − M R M R  1 Ast =  + − Nu  ZR  d − d'  fe

γs

Dans le cas où Ast calculée est négative, cette section sera prise à la section minimale Amin=0,23bdft28/fe (condition de non fragilité) N0 pour la compression 312

FLEXI0N COMPOSÉE- section rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service

Une section est partiellement comprimée si:
L’effort normal est un effort de traction et le centre de traction se trouve en dehors de la zone comprise entre les armatures Ou bien:
L’effort normal est un effort de compression et si en 1ère approximation:

M S /G h > NS 6

313

FLEXI0N COMPOSÉE- section rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des armatures Armatures simples

En premier lieu on ne prévoit pas d’armatures comprimées: On a:

y1   M 1S − Fb  d −  = 0 3  314

avec :

1 Fb = by1σ b 2

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des armatures Armatures simples α1 On a: y1 = α1d ; β1 = 1 −

3

donc:

σb α1 = et k = σ s 15(1 − α1 )

kσ s M 1 S − bα 1 d β1 = 0 2 2

On pose:

σb

M 1S α1kβ1 µ1 = 2 = 2 bd σ s

y1 = ⇒ σ s 15 (d − y1 )

tableaux ⇒ α1

α 1σ s σb = 15(1 − α1 )

(on prend : σ s = σ s pour avoir la sec tion min des aciers) 315

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des armatures Armatures simples Si:

σb < σb Donc:

Pas d’armatures comprimées

1 N s = Fb − Fs = by1σ b − Ast σ s 2

1 bα1dσ b − N s Ast = 2

σs

avec: N0 pour la compression 316

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des armatures Armatures doubles Si:

σb > σb

Prévoir des armatures comprimées Asc

on prend σ b = σ b et σ s = σ s On calcule:

Ainsi que:

15σ b α1 = 15σ b + σ s

On déduit:

15( y1 − d ') σ 's = σb y1 317

y1 = α1d

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des armatures Armatures doubles Le moment par rapport aux armatures inférieures:

y1 y1 M 1 = Fb (d − ) + F 's (d − d ' ) = Fb (d − ) + Ascσ 's (d − d ' ) 3 3 y Les armatures comprimées: M 1 − Fb (d − 1 ) 3 Asc = (d − d ' )σ 's 1 y1 M 1 − by1σ b ( d − ) 2 3 = A' Asc = 1 (d − d ' )σ 's avec:

M1: le moment par rapport aux armatures inférieures. 318

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des armatures Armatures doubles L’équilibre des efforts:

N s = Fb + A's σ 's − Astσ s

Les armatures tendues:

Fb + Ascσ 's − N s

Ast =

σs

1 by1σ b + Ascσ 's − N s Ast = 2 = A'2

σs

319

FLEXI0N COMPOSÉE- section rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service

Calcul des contraintes

320

FLEXI0N COMPOSÉEsection rectangulaire Section partiellement comprimée Etat Limite de Service Calcul des contraintes Position de l’axe neutre: yc: distance de l’axe neutre/au centre de pression C; compté positive avec un effort de compression et négative en traction. ea: distance du centre de pression C aux armatures tendues C: distance du centre de pression C à la fibre la plus comprimée. C= d-ea; •Si Ns0;

C>0 ∀(C) Cd. C>0 si ea0. pour la traction Ns 35 : Asc représente l'aire des armatures qui augmente efficacement la rigidité dans le sens où le moment d'inertie est le plus faible: Dans les poteaux carrés, il s’agit des aciers disposés dans les angles. Dans les poteaux rectangulaires dont le rapport des côtés est compris entre 0,9 et 1,1, on applique la règle des poteaux carrés. Dans les autres poteaux rectangulaires, il s’agit des aciers disposés le long des grands côtés de la section.

351

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Détermination des armatures Armatures longitudinales Pourcentage d'armatures minimal La section minimale d’acier à disposer est telle que: Ascmin = 0,2 % de la section du béton avec ∅min = 12 mm Ascmin =4cm2/m de longueur de paroi (périmètre) avec ∅min = 12 mm

 Asc min = Max   352

0, 2 B 100 4 cm 2 / m de longueur de paroi

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Détermination des armatures Armatures longitudinales Pourcentage d'armatures maximal De même, la section calculée doit rester inférieure à une section maximale d’acier telle que: Ascmax = 5% de la section totale

0,2 B   5B   100 Max ≤ Asc ≤   100 4 cm ² m de longueur de paroi  

353

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Détermination des armatures Armatures longitudinales Récapitulatif: Alors pour les armatures longitudinales nous avons trois cas : 1- Ascmin < Asc calculée < Ascmax ⇒ On ferraille avec Asc calculée. 2- Asc calculée < Ascmin ⇒ On ferraille avec Ascmin avec ∅min = 12 mm. 3- Asc calculée > Ascmax ⇒ On augmente la section du béton B et on recalcule un nouveau Asc.  N u Br . f c 28  γ s . − Asc ≥  0,9γ b  f e α 354

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Détermination des armatures Armatures transversales Elles n'ont aucun rôle de résistance, le rôle principale c'est d'empêcher le flambement des armatures longitudinales. Diamètre Фt :

L'espacement entre deux cadres St:

a est la plus petite dimension de la pièce 355

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Détermination des armatures Dispositions constructives Les armatures transversales doivent être perpendiculaires aux armatures longitudinales et en zone de recouvrement, le nombre d'armatures transversales doit être supérieur ou égal à 3. Les armatures transversales doivent former une ceinture continue sur le pourtour du poteau. Il faut maintenir par des étriers et des épingles les aciers situés en dehors des angles si leur Ф est supérieur à 20 mm ou s'ils ont été pris en compte dans les calculs.

356

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Détermination des armatures Dispositions constructives  pour la zone de recouvrement, la longueur de recouvrement lr doit être supérieure à 50Фmax(on prend normalement lr = 50Фmax). Section circulaire :

Section polygonale :

357

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux Prédimensionnement des poteaux rectangulaires Pour une section rectangulaire : 0 500 m, cette valeur est à majorer de 10%.

414

Actions et Descente de Charges

Prédimensionnement des structures

Avant d’effectuer la descente de charges, il faut estimer le poids propre de la structure, d’où la nécessité d’un prédimensionnement des éléments constitutifs du plancher. On se propose quelques formules permettant d’avoir un ordre de grandeur des dimensions des éléments du plancher.

415

Actions et Descente de Charges Prédimensionnement des structures Dalle pleine sur deux appuis

•Travée isostatique: h≥l/ ≥l/20 ≥l/ •Travée continue: h≥l/ ≥l/30 ≥l/ à l/35 l/

416

Actions et Descente de Charges Prédimensionnement des structures

Dalle pleine sur 4 appuis

Prenons: α=lx/ly

417

Actions et Descente de Charges Prédimensionnement des structures Poutres ( de la structure porteuse) Travée isostatique: h≥l/ ≥l/10 ≥l/ Travée continue: h≥l/ ≥l/16 ≥l/ Souvent pour les poutres porteuses principales continues on prend h≥l/ ≥l/12 ≥l/ Dalles en hourdis creux h≥l/ ≥l/22,5 ≥l/ l : portée des poutrelles consoles À considérer comme une poutre de portée double de celle de la console. 418

Actions et Descente de Charges Prédimensionnement des structures poteaux

a=

Lf

λ

.2 3

et

0,9.γ b bp . + 0,02 α f c 28 (a − 0,02) Nu

(voir le chapitre de la compression centrée) Voiles h≥0,15 à 0,20 m Escaliers h≥l/ ≥l/28 (h est la hauteur de la paillasse) ≥l/ avec l portée entre 2 points d’appui 419

Fondations superficielles Généralités Définition Les fondations sont des ouvrages de transition destinés à transmettre au sol dans de bonnes conditions les charges permanentes et les charges variables d’une construction. Elles servent donc à la transition entre les éléments porteurs de la structure et le sol. Elles constituent une partie essentielle de l’ouvrage puisque de leur bonne conception et réalisation découlent la bonne tenue de l’ouvrage.

420

Fondations superficielles Généralités Stabilité des fondations Les fondations doivent être stables, c’est-à-dire qu’elles ne doivent donner lieu à des tassements que si ceux-ci permettent la tenue de l’ouvrage. Des tassements uniformes sont admissibles dans certaines mesures mais des tassements différentiels sont rarement compatibles avec la tenue de l’ouvrage. Il est nécessaire d’adapter le type et la structure des fondations à la nature du sol qui va supporter l’ouvrage : l’étude géotechnique a pour but de préciser le type, le nombre et la dimension des fondations nécessaires pour fonder un ouvrage sur un sol donné.

421

Fondations superficielles Généralités Différents types de fondations Des fondations superficielles sont réalisées lorsque les couches de terrain susceptibles de supporter l’ouvrage sont à une faible profondeur. Lorsque ces couches sont à une grande profondeur, des fondations profondes devront être réalisées. Nous n’étudions dans ce chapitre que les fondations superficielles, c’est-à-dire les fondations dont la profondeur n’excède pas en général 2 à 3 mètres. Nous distinguons : - Les semelles isolées sous poteaux - Les semelles continues (ou filantes) sous les murs. 422

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Notations

423

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Dimensions minimales-maximales Une fondation superficielle aura une largeur minimale de 40 cm et une hauteur de rive minimale de 20 cm. Son piédroit sera au minimum de 6 Ø + 6 cm, où Ø est le diamètre des aciers.

424

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Solutions en fonction du type de porteurs En fonction du type de porteur on adoptera soit une semelle filante sous un voile soit une semelle isolée sous un poteau.

425

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Réaction du sol La réaction du sol sous une structure peut être le plus souvent caractérisée par une valeur ultime qu. La valeur de qu est calculée à partir des résultats d’essais géotechniques du sol de fondation (essais de laboratoire ou in situ). Le dimensionnement des fondations est effectuée à partir d’une valeur appelée contrainte de calcul q. La contrainte de calcul q est la plus petite (donc la plus défavorable) des 2 valeurs : - qu/2 - celle qui dispense de tenir compte des tassements différentiels dans la structure. 426

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Réaction du sol Le rapport de sol, établi par le bureau d’étude de sol en vue d’une construction, a pour objet notamment de préciser la valeur de la contrainte de calcul q. La contrainte de calcul peut être déduite de l’expérience acquise sur des réalisations existantes voisines pour un sol et un ouvrage donnés.

427

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Réaction du sol A titre indicatif, le tableau suivant donne l’ordre de grandeur des contraintes de calcul q admises en fonction de la nature du sol, en l’absence de tout problème particulier.

428

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Actions et sollicitations Les fondations sont généralement calculées à l’ELU pour le ferraillage. La combinaison d’actions à envisager est donc :

429

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées D’une manière générale, les fondations superficielles sont des pièces massives et peu élancées et ne se prêtent pas à l’application des méthodes de calculs classiques telles que nous les avons développées pour les poutres par exemple. La méthode la plus simple et la plus couramment utilisée est la méthode des bielles.

430

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées Hypothèses Cette méthode suppose que la pièce est massive et que la répartition des contraintes sous la semelle est uniforme. La semelle est massive si sa hauteur totale est telle que : et

De plus le dosage minimal du béton doit être de 300 kg/m3.

431

Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées La théorie des bielles comprimées envisage la transmission des efforts par l’intermédiaire de « bielles comprimées »: Les efforts de la structure (poteau ou mur) sont transmis jusqu’au sol par l’intermédiaire d’une semelle rigide par une succession de bielles de béton. Ces bielles qui travaillent en compression, sont inclinées. Les aciers reprennent les efforts qui tendent à écarter les bielles. Les aciers inférieurs sont donc sollicités en traction.

432

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées

La réaction exercée par le sol équilibre l’effort P apporté par la structure. Cette réaction du sol se décomposé en une compression de la bielle dFC et une traction de l’armature dNs. 433

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées Calcul des armatures La contrainte au sol est, pour une longueur de semelle de 1 m :

La réaction exercée par le sol sur une tranche de dx.1 m est : (1)

434

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées Calcul des armatures dR se décompose en une compression dans la bielle dFC et une traction dans l’armature dNs:

donc : En remplaçant dR par sa valeur en (1):

435

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées Calcul des armatures D’où la force de traction dans l’armature :

C’est l’équation de la variation de Ns le long des armatures transversales.

436

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées Calcul des armatures L’effort Ns est maximal lorsque la dérivée de cette équation du 2ème degré (parabole) est nulle, c’est-à-dire lorsque :

d’où:

437

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Méthode des bielles comprimées Calcul des armatures La contrainte limite de traction dans l’acier étant σs , la section d’armatures transversales par mètre de semelle est donc : Triangle OMC
h0/d=(B/2)/[(B-b)/2]

donc:

438

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Semelle filante sous un mur

Pour ce type de semelle, la seule dimension horizontale à déterminer est la largeur de la fondation, la longueur étant celle du mur à supporter.

439

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Semelle filante sous un mur Appelons: N: la charge totale à transmettre au sol par mètre linéaire dans le sens longitudinal du mûr à l’ELU ou à l’ELS, cette charge comprend: Le poids de 1m du mur et de la semelle Les charges permanentes agissant sur 1m du mur. Les charges d’exploitation agissant sur 1m du mur.

(pas de tassement) 440

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Semelle filante sous un mur La condition des semelles rigides nous impose :

Des essais ont montré que si cette règle est vérifiée, il n’est pas nécessaire de vérifier les conditions de poinçonnement, de compression maximale du béton dans les bielles, de cisaillement maximale du béton. De plus, cette règle nous dispense d’armer la semelle à l’effort tranchant par des cadres, étriers ou épingles. 441

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Semelle filante sous un mur Pour la hauteur e du bord libre:

e ≥ max{15 cm; 12Ø+6cm} avec: Ø diamètre des armatures exprimé en cm On dispose en général sous la semelle d’un béton de propreté d’au moins de 5 cm d’épaisseur et de dosage minimal de 150 kg de ciment/m3 de béton.

442

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Semelle filante sous un mur Aciers transversaux Lorsque la fissuration est peu nuisible (en terrain sec), la section d’armatures transversales (principales) par mètre de semelle vaut:

N u ( B − b) AS = 8.d .σ s Lorsque la fissuration est préjudiciable (en terrain humide), la section d’acier calculée précédemment est majorée forfaitairement de 10 %. Lorsque la fissuration est très préjudiciable (en présence d’eau agressive), la section d’acier est majorée de 50 %. 443

Chapitre XIII: Fondations superficielles DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES Semelle filante sous un mur Aciers transversaux Les barres doivent être suffisamment ancrées, pour cela elles peuvent être munies de crochets ou non. Pour déterminer la longueur des barres, en pratique on compare la longueur de scellement ls à B: ls >B/4, il faut prévoir des crochets d’ancrage B/8