Cours BA Adams 253 PDF [PDF]

Zitiervorschau

Année académique 2011-2012

L3S – L3P

Dr. Adamah P.-S. MESSAN

BETON ARME

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Novembre 2011

Sommaire Chapitre 1 : BASE DE CALCUL ..................................................................................................................................... 5 1. OBJET DES JUSTIFICATIONS DE CALCUL.............................................................................................. 5 2. METHODES DES ETATS LIMITES ............................................................................................................. 6 2.1. Les ACTIONS ............................................................................................................................................ 6 2.2. Les SOLLICITATIONS ............................................................................................................................ 7 2.3. Les ETATS LIMITES E.L.U. et E.L.S. .................................................................................................. 7 3. PRINCIPE GENERAL DE CALCUL AUX ETATS LIMITES : ................................................................ 7 3.1. m .................................. 8 3.2. COEFFICIENT PARTIEL DE SECURITE SUR CHAQUE ACTION INDIVIDUELLE :  G et  Q .................................................................................................................................................................... 8 4. SOLLICITATIONS DE CALCUL :.................................................................................................................. 9 4.1. GENERALITES : ....................................................................................................................................... 9 4.2. SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.U. DE RESISTANCE : ............................ 9 4.3. SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.S. ................................................................. 9 5. VALEURS NUMERIQUES DES ACTIONS ................................................................................................. 9 5.1. Actions permanentes dans le bâtiment ...................................................................................... 10 5.2. Charges d’exploitation dans le bâtiment ................................................................................... 11 CHAPITRE2 : PRINCIPE ET FONCTIONNEMENT DU BETON ARME ......................................................... 12 1 PRINCIPE:............................................................................................................................................................ 12 2. FONCTIONNEMENT DU BETON ARME :............................................................................................. 13 2.1. EN FLEXION : (sous l'effet du moment de flexion Mf) .......................................................... 13 2.2. AU CISAILLEMENT : (sous l'effet de l'effort tranchant V) ........................................................... 15 2.3. EN COMPRESSION SIMPLE ............................................................................................................. 17 2.4. CAS PARTICULIER DES DALLES DE PLANCHER : .................................................................. 17 CHAPITRE 3 : CARACTERISQUES DES MATERIAUX ....................................................................................... 19 1. Le BETON :...................................................................................................................................................... 19 1.1. Résistances caractéristiques du béton : .................................................................................... 19 1.2. Diagramme déformations-contraintes du béton :................................................................. 20 1.3. Déformations du béton ..................................................................................................................... 21 2. LES ACIERS : ................................................................................................................................................. 22 2.1. Prescriptions générales .................................................................................................................... 22 2.2. Diagramme déformations-contraintes à l'E.L.U. ..................................................................... 23 2.3. Diagramme de calcul des aciers à l'E.L.S. Etat limite d'ouverture des fissures ......... 23 3 - Fonctionnement de l'association acier-béton [A.4.3,3]...................................................................... 24 Diagramme des 3 pivots ........................................................................................................................................ 24 3.1) Hypothèses : ................................................................................................................................................. 24 3.2) Ce diagramme définit 3 domaines : ..................................................................................................... 25 CHAPITRE 4 DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES DIVERSES ........................................................................... 26 CHAPITRE 5 ASSOCIATION ACIER – BETON: L'ADHERENCE .................................................................... 29 1. ADHERENCE DES ACIERS EN BARRES: .............................................................................................. 29 1.1. CONTRAINTE D'ADHERENCE: ....................................................................................................... 29 Cours de béton armé

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1.2. VALEUR LIMITE DE LA CONTRAINTE ULTIME D'ADHERENCE : ............................................ 29 1.3. ANCRAGE RECTILIGNE : ........................................................................................................................... 30 1.4. LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT D'UNE BARRE ISOLEE : ......................................... 30 1.5. ANCRAGE PAR COURBURE D'UNE BARRE TENDUE: ........................................................... 30 1.6. ANCRAGE D'UNE BARRE PAR CROCHET : ................................................................................ 31 1.7. VISUALISATION DE LA CHUTE DE L'EFFORT DE TRACTION DANS LA BARRE COURBE : ................................................................................................................................................................. 31 1.8.

ANCRAGE PAR CROCHET NORMAL : BAEL A.6.1,253 ........................................................ 31

1.10. ANCRAGES NORMALISES ...................................................................................................................... 31 2. ANCRAGES DES CADRES, ETRIERS, EPINGLES : ............................................................................. 32 3. JONCTION DES BARRES : .......................................................................................................................... 32 3.1. JONCTION PAR RECOUVREMENT : .............................................................................................. 32 3.2. RECOUVREMENTS SIMPLES DES ARMATURES TENDUES :....................................................... 33 3.3. COTATION DES CROCHETS : .......................................................................................................... 33 3.4. RECOUVREMENTS DES ARMATURES COMPRIMEES :......................................................... 33 CHAPITRE 6. SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS NORMALES ............................................. 35 I. LA TRACTION SIMPLE ............................................................................................................................................. 35 1. DEFINITION : ................................................................................................................................................. 35 2. HYPOTHESES – NOTATIONS : ................................................................................................................ 35 3. JUSTIFICATION DES ARMATURES LONGITUDINALES :............................................................... 36 3.1. SOLLICITATIONS DE CALCUL : ...................................................................................................... 36 3.2. CONDITIONS D'EQUILIBRE : .......................................................................................................... 36 3.3. SECTIONS D'ARMATURES TENDUES : ....................................................................................... 36 3.4. CONDITION DE NON-FRAGILITE : ............................................................................................... 36 3.5. SECTION D'ACIER : ............................................................................................................................. 36 4. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES: ......................................................................................................... 36 5. DIMENSION DE LA SECTION DE BETON :.......................................................................................... 37 6. ARMATURES TRANSVERSALES :........................................................................................................... 37 II. LES POTEAUX EN "COMPRESSION CENTREE"............................................................................................. 38 1. DEFINITION: .................................................................................................................................................. 38 2. HYPOTHESES : .............................................................................................................................................. 38 3. COMBINAISONS D'ACTIONS A CONSIDERER: .................................................................................. 39 3.1. COMBINAISON DE BASE: ................................................................................................................. 39 4. LONGUEUR DE FLAMBEMENT lf ET ELANCEMENT  : ............................................................ 39 4.1. LONGUEUR DE FLAMBEMENT:..................................................................................................... 39 4.2. ELANCEMENT  ................................................................................................................................. 40 5. JUSTIFICATION DES POTEAUX : ............................................................................................................ 41 5.1. DETERMINATION FORFAITAIRE DE L'EFFORT NORMAL RESISTANT DES POTEAUX SOUMIS A UNE COMPRESSION "CENTREE".............................................................................................. 41 6. DETERMINATION DES ARMATURES : ................................................................................................ 42 6.1. ARMATURES LONGITUDINALES : ................................................................................................ 42 6.2. ARMATURES TRANSVERSALES : .................................................................................................. 42 7. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES REGLEMENTAIRES : ................................................................ 43 7.1. DISTANCE MAXI ENTRE LES ACIERS LONGITUDINAUX : .................................................. 43 8. DIMENSIONNEMENT D'UN POTEAU COURANT : ........................................................................... 43 Cours de béton armé

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8.1. 8.2.

DONNEES ............................................................................................................................................... 43 INCONNUES........................................................................................................................................... 43 9. EVALUATION DES CHARGES SUR LES POTEAUX ........................................................................... 44 CHAPITRE 7 ..................................................................................................................................................................... 45 ETAT LIMITE ULTIME EN FLEXION SIMPLE : LES POUTRES A SECTION RECTANGULAIRE ......... 45 1. RAPPEL – HYPOTHESES : ................................................................................................................................ 45 2. EQUILIBRE D'UNE SECTION : ................................................................................................................. 45 3. REGLE DES 3 PIVOTS : ............................................................................................................................... 46 3.1. DIAGRAMME IDEAL :......................................................................................................................... 46 3.2. REGLE DES PIVOTS : .......................................................................................................................... 47 3.3. PIVOT A : DOMAINE [1b] ................................................................................................................. 47 3.4. PIVOT B : DOMAINE 2 - UTILISATION MAXIMUM DU BETON : ....................................... 48 4. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A SIMPLES ARMATURES : ............................................. 48 4.1. DONNEES : ..................................................................................................................................................... 48 4.2. RECHERCHE DU PIVOT: ................................................................................................................... 49 4.3. PARAMETRES DE DEFORMATION : ............................................................................................ 49 4.4. DEFORMATION DE L'ACIER : ................................................................................................................. 49 4.5. EFFORTS NORMAUX .......................................................................................................................... 49 4.6. SECTION D'ACIER ............................................................................................................................... 49 5. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A DOUBLES ARMATURES ...................................... 49 5.1. DONNEES ............................................................................................................................................... 49 5.2. DIAGRAMME DE DEFORMATION ................................................................................................. 49 5.3. MOMENT RESISTANT DU BETON Mrub ; MOMENT RESIDUEL Mres ............................... 50 5.4. SCHEMA DE CALCUL ......................................................................................................................... 50 5.5. DEROULEMENT DES CALCULS...................................................................................................... 51 6. BAEL A.4.2 : CONDITION DE NON FRAGILITE ................................................................................. 52 7. PREDIMENSIONNEMENT DE SECTIONS RECTANGULAIRES ............................................................ 52 CHAPITRE 8 : FLEXION SIMPLE ARMATURES TRANSVERSALES DES POUTRES RECTANGULAIRES JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES ....................... 54 A - Comportement d'une poutre sous l'action de l'effort tranchant..................................................... 55 B - Hypothèses et prescriptions réglementaires .......................................................................................... 55 C - Conduite des calculs .......................................................................................................................................... 57

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Chapitre 1 : BASE DE CALCUL

1. OBJET DES JUSTIFICATIONS DE CALCUL : Les ouvrages et éléments d'ouvrages en béton armé doivent être conçus et réalisés de manière : - à pouvoir résister avec une sécurité appropriée à toutes les sollicitations prévues, - à présenter une durabilité satisfaisante durant toute la période d'exploitation. Le calcul permet de justifier qu'une sécurité appropriée est assurée : - vis-à-vis de la ruine de l'ouvrage et (ou) de ses éléments constitutifs, - vis-à-vis d'un comportement non satisfaisant en service (aspect, durabilité, confort des usagers, ...) NOTA : pour le béton armé, les vérifications du comportement en service concernent les ouvertures de fissures (danger de corrosion des armatures) et les déformations des éléments porteurs.

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2. METHODES DES ETATS LIMITES : 2.1.

Les ACTIONS

TYPE DE CHARGES

On distingue :

G

actions permanentes

Q FA

actions variables actions accidentelles

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OBSERVATIONS dont l'intensité est constante, ou très peu variable dans le temps dont l'intensité varie de façon importante dans le temps provenant de phénomènes rares (séismes, action du feu .)

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Les actions sont les forces et les couples appliqués à une structure. Ces forces et ces couples sont : • Actions permanentes (notées G) : - Poids propre de la structure : charges 1, 2, 8 et 12. - Poids des autres éléments de la construction : charges 9 et 11. - Poussées des terres, pression des liquides : 7 et 14 - Actions dues aux déformations différées : raccourcissement par retrait du béton dans le plancher 8. • Actions variables (notées Q) : - Charges d’exploitation : 3, 5, 6 et 13 - Charges climatiques : 4 - Action de la température climatique due aux variations d’ambiance au cours de la journée : 10. - Actions appliquées en cours de construction qui proviennent des équipements de chantier. - les conséquences des modifications statiques ou d'état (variations de températures, retraits, tassements d'appuis, etc ...).

2.2.

Les SOLLICITATIONS

Les sollicitations sont les efforts (effort normal N, effort tranchant V) et les moments (moment de flexion Mf, moment de torsion MT) calculés à partir des actions par des méthodes appropriées issues de la Résistance des Matériaux.

2.3.

Les ETATS LIMITES E.L.U. et E.L.S.

Les calculs justificatifs sont conduits suivant la théorie des états-limites. Un état limite est un état au-delà duquel la structure (ou un élément de la structure) mise hors service, ne répond plus aux fonctions pour lesquelles elle a été conçue. Ces fonctions sont :

- la résistance (à la rupture) - la stabilité statique (au basculement) - la stabilité élastique (au flambement)

Le BAEL distingue : - Les "états-limites ultimes" : (indice "u") qui correspondent à la limite : - soit de l'équilibre statique ; - soit de la résistance de l'un des matériaux ; - soit de la stabilité de forme. - Les "états-limites de service" : (indice "ser") qui sont définis compte tenu : - des conditions d'exploitation - ou des conditions de durabilité. NOTA : Il s'agit surtout d'états limites de déformation (instantanée ou différée) et d'ouvertures des fissures.

3.

PRINCIPE GENERAL DE CALCUL AUX ETATS LIMITES :

Les justifications produites doivent montrer, pour les divers éléments constitutifs et pour l'ensemble de la structure, que les sollicitations de calcul définies dans la suite ne provoquent pas le phénomène que l'on veut éviter.

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E.L.U. ACTIONS SOLLICITATIONS

Combinaisons d'actions

Coefficient de sécurité partiel

3.1.

Résistance de calcul

Q G

E.L.S.

m

MATERIAUX

Coefficient de sécurité partiel sur les matériaux

COEFFICIENT PARTIEL DE SECURITE SUR LES MATERIAUX : m

Les propriétés de chacun des matériaux constitutifs de la structure sont minorées par un coefficient partiel de sécurité m qui dépend du matériau et de l'état limite considéré.  Acier : EXEMPLE

3.2.

E.L.U.

 Béton :

 s  1,15 (  s  1 en cas de combinaisons accidentelles)  b  1,50 (  b  1,15 en cas de combinaisons accidentelles)

COEFFICIENT PARTIEL DE SECURITE SUR CHAQUE ACTION INDIVIDUELLE :

 G et  Q

Pour tenir compte des incertitudes relatives, soit aux actions, soit aux sollicitations, chaque action est affectée d'un coefficient de sécurité partiel  G ou  Q qui dépend de la nature de l'action, de la combinaison dans laquelle elle intervient et de l'état limite considéré. A chaque combinaison d'actions affectées de leur coefficient  G ou  Q respectif, correspond une sollicitation agissante de calcul S obtenue par une méthode de calcul (RdM par exemple). Pour chaque état limite, il existe une sollicitation résistante de calcul S obtenue par une méthode calcul des sections, en supposant que l'un des matériaux constitutifs a atteint une certaine déformation limite (cas de l'état limite ultime) ou une certaine contrainte limite (cas des états limites de service). Pour chaque état limite et pour le cas de charge le plus défavorable sous la combinaison d'actions considérée, on doit vérifier : S  S .

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4.

SOLLICITATIONS DE CALCUL :

4.1.

GENERALITES :

Gmax Gmin

Gmax

l'ensemble des actions permanentes défavorables

Gmini

l'ensemble des actions permanentes favorables

On désigne par :

Q1

une action variable dite de base

Qi

les autres actions variables dites d'accompagnement avec i > 1

0 , 1 , 2

4.2.

les coefficients définis en A.3.1,31

SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.U. DE RESISTANCE :

La combinaison fondamentale s'écrit : expression dans laquelle :

 Q1  1,50

1,35.Gmax  Gmin   Q1 .Q1  1,3 .

1,35.G 1,50.Q

SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.S.

Elles résultent des combinaisons d'actions, dites combinaisons rares : NOTA : Dans le cas courant où il n'y a qu'une action variable à considérer, la seule combinaison à étudier à l'ELS est: Les coefficients

 Qi

5.

.Qi

dans le cas général

NOTA : Dans le cas courant où il n'y a qu'une action variable à considérer, la seule combinaison à étudier à l'E.L.U. est:

4.3.

Qi

G Q

 relatifs aux charges d'exploitation sont fixés par l'annexe 1 à la norme NFP06-001.

0.77 tous les locaux à l ' exception des archives * , parkings, vent et neige   0.90 parcs de stationnem ent et archives 0.60 var aitions uniformes de la températur e 

VALEURS NUMERIQUES DES ACTIONS

Les charges couramment utilisées sont tirées des normes NF P 06-001, NF P 06-004.

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5.1.

Actions permanentes dans le bâtiment Matériau

poids volumiques 3 (kN/m )

béton armé

25

béton non armé

22

plâtre mortier aux liants hydrauliques briques pleines briques creuses parpaings pleins parpaings creux porteurs

10 18 19 9 21 9

chêne

8

sapin pierre tendre pierre dure sables et argiles secs sables et argiles humides verre acier

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5,5 15 à 19 22 à 25 14 à 16 17 à 19 25 78,5

Revêtement

poids surfacique (kN/m²)

chape en mortier, dalle flottante (par 0,2 cm d’épaisseur) carrelages y compris mortier de pose : grès cérame 4,5 mm 0,5 grés cérame 9 mm 0,6 dallage céramique 0,7 à 1 Toitures : Terrasses : étanchéité multicouche 0,12 asphalte coulé sablé 0,5 gravillon de protection 0,2 Couverture métallique zinc (voligeage et tasseaux compris) 0,25 alu 8/10 (plaque ondulées sans support) 0,03 alu 8/10 (voligeage et tasseaux compris) 0,17 acier inox (voligeage et tasseaux compris) 0,25 tôle ondulé d’acier galvanisé 8/10 0,06 Couverture en tuiles (liteaux, voliges ou support compris) tuiles mécaniques à emboitement 0,35 à 0,45 tuiles plates 0,55 à 0,75 tuiles canal 0,4 à 0,6 tuiles béton 0,45

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5.2.

Charges d’exploitation dans le bâtiment

Nature du local Hébergement en chambre, salles de jeux et repos des crèches Hébergement collectif (dortoirs) Salles de restaurants, cafés, cantines (nombre de places assises ≤ 100) Salles de réunions avec tables de travail Halls divers (gares, etc.) où le public se déplace Salles d’exposition de moins 50 m² Salles d’exposition de plus de 50 m² Salles de réunion et lieux de culte avec assistance debout Salles, tribunes et gradins des lieux des lieux de spectacles et de sport avec place debout Salles de théâtre, de conférences, amphithéâtres, tribunes avec sièges Cuisines de collectivités, non compris gros matériel Boutiques et annexes Balcons Balcons de bâtiments recevant du public

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charges d’exploitation (kN/m²) 1,5 ** 2,5 ** 2,5 ** 2,5 ** 4,0 * 2,5 * 3,5 * 5,0 6,0 4,0

2,5 5,0 ** 3,5 6

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CHAPITRE2 : PRINCIPE ET FONCTIONNEMENT DU BETON ARME 1

PRINCIPE:

Le BETON

L'ACIER

Mêmes coefficient de dilatation

Bonne résistance en compression

Bonne résistance en compression

Faible résistance en traction Matériau assez bon marché

Très bonne résistance en traction Coûteux et oxydable

L'idée du béton armé consiste à combiner acier et béton dans une même pièce, de façon à ce que le béton absorbe les efforts de compression et l'acier les efforts de traction.

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Résiste à la compression

Béton Protège les armatures

BETON ARME

L'adhérence acier-béton doit être parfaite

Les armatures métalliques

Acier

compensent la faible résistance du béton en traction

Le béton armé est donc l'association de ces deux matériaux, basée essentiellement sur leur possibilité d'adhérence et sur les deux propriétés suivantes qui ont permis ce mariage : -

leurs coefficients de dilatation très proches, ce qui accroît l'adhérence normale, la disparité des modules d'élasticité des deux matériaux associés, ce qui a pour effet de limiter les déformations du béton.

2.

FONCTIONNEMENT DU BETON ARME :

2.1.

EN FLEXION : (sous l'effet du moment de flexion Mf)

CAS D'UNE POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUIS SIMPLES : -

Le moment fléchissant provoque une déformation de la poutre ; dans ces conditions nous avons les fibres supérieures comprimées et les fibres inférieures tendues.

-

Il apparaît très rapidement, dans cette zone tendue, des fissures dues à la mise en traction du béton.

-

La présence d'armatures, judicieusement placées près des fibres tendues, empêche ou retarde l'apparition de ces fissures.

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Poutre sur deux appuis simples et sollicitée en flexion simple

Rupture par "traction" du béton

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Rupture

Rupture Rupture d'une poutre console non "armée" par traction excessive du béton

Résistance en flexion de la même poutre "armée" Les armatures empêchent l'ouverture des fissures

Fissuration

Fissuration Les armatures doivent être placées le plus proche possible des fibres tendues

La disposition et les longueurs des barres constituant le ferraillage longitudinal d'une poutre sont directement liées au diagramme enveloppe des moments fléchissants.

FERRAILLAGE LONGITUDINAL D'UNE POUTRE CONSOLE Chapeau sur appui de rive

Aciers "Chapeaux sur appui"

Aciers de construction

Aciers tendus en travée Aciers transversaux

ADFER par P.Deguette

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2.2. AU CISAILLEMENT : (sous l'effet de l'effort tranchant V) CISAILLEMENT VERTICAL

-

Dans les zones voisines des appuis les efforts tranchants sont maximaux;

- Ces efforts tranchants engendrent des contraintes de "cisaillement" v et des contraintes de traction dont la valeur maximale correspond à la contrainte "principale" de traction pouvant entraîner une fissuration à 45 °. - Selon le principe du béton armé, il faudra donc prévoir des armatures empêchant l'ouverture de ces fissures.

Appui CISAILLEMENT LONGITUDINAL

Appui

Bielle de "compression"

Appui Contrainte principale de traction "à 45°"

Appui Zone de cisaillement maxi

Détail

Fissure "à 45°"

Appui Contrainte principale de traction

Vu

Appui

- Ces armatures dites "de couture" ou "transversales" sont en général placées verticalement et se présentent sous forme de cadres, étriers, ou épingles en nappes successives dont l'espacement sera d'autant plus faible que l'effort tranchant est plus important.

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FERRAILLAGE DE PRINCIPE D'UNE POUTRE ISOSTATIQUE EN BETON ARME

1

4*200

130

4 5

2

3

3*300

5*250

3

130

3*200

70

ht

5

(d - y) z d e

(ht - d)

bo

1

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2



Code

1 HA 20

Type d'acier Armatures longitudinales

2 HA 16

de traction (flexion)

0000

3 HA 10

Armatures de montage

0000

4 HA 10

Armatures transversales

5201

5 HA 10

Cadres, épingles, étriers

N°

y

4

5*250

70

ht : hauteur totale de la poutre d : hauteur "utile" de la poutre y : hauteur de la zone de béton comprimé (d - y) : hauteur de la zone de béton tendu bo : largeur de la poutre z : bras de levier

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2200

2201

Longueur totale

Schéma 22

22 576

26

26

400 573 55

LT

25

8

8 56

LT

ADFER P Deguette

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2.3.

EN COMPRESSION SIMPLE :

FERRAILLAGE D'UN POTEAU ET DE SA SEMELLE

Dans les poteaux comprimés, le béton résiste bien à la compression; les armatures sont donc théoriquement inutiles.

RECAPITULATIF ACIER HA 6 3,0 m 0,7 kg HA 12 13,6 m 12,0 kg HA 16 11,6 m 18,2 kg TOTAL 30,9 kg Diamètre moyen: 13,01 mm

En fait, sous l'effet des charges, le poteau peut céder par :

N° Nu

- Expansion latérale du béton (traction) ; - Cisaillement à 45°; - Flambage (ou flambement) dans le cas d'un poteau élancé (flexion) ;



Nombre Nombre / élét d'élét

Nombre total

Esp.

Longueur coupe

Code

1

HA 12

7

1

7

13

94

221219

2

HA 12

3

1

3

25

114

221219

3

HA 16

4

1

4

4

HA 12

4

1

4

5

HA

4

1

4

6

290

0000

91

1042 28

75

5201

Long.

Schéma

totale 11

11 56

19 11

11 76

19

3.40 11.60

290

3.60

66 11

6.60

3.00

21

(*): longueur moyenne

3 15 * 150

2

Il est donc indispensable de placer des armatures :

5

1

- longitudinales, - transversales,

3 HA 12 e = 250

50

7 HA 12 e = 250

30

3

Les armatures longitudinales sont des barres : - disposées parallèlement à la direction de l'effort normal, - au voisinage des parois, - en respectant les distances minimales d'enrobage, - et de telle sorte que la section des aciers et celle du béton aient le même centre de gravité.

5

4 1

3 * 100

50

2 ADFER P. Deguette

Les armatures transversales sont des cadres (avec ou sans étriers ou épingles) qui doivent ceinturer complètement les armatures longitudinales (pour que celles-ci soient prises en compte dans les calculs de résistance), de manière à s'opposer à leur flambement.

2.4.

CAS PARTICULIER DES DALLES DE PLANCHER :

Une dalle est un élément généralement horizontal, dont l'épaisseur est relativement faible par rapport à ses dimensions en longueur et largeur. Si cette dalle ne porte que sur deux de ses côtés opposés, elle est calculée comme une poutre; on l'appelle « poutre-dalle ». On considère pour les calculs une tranche de dalle de largeur b0 = 1.00 m et de portée la portée de la dalle entre les deux côtés sur lesquels elle est appuyée; on a alors une poutre de section rectangulaire [b0 * h]

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Les armatures comprennent donc :

- des armatures inférieures en travées ; - des armatures supérieures sur appuis appelées "chapeaux sur appuis". - des armatures de répartition

Ces armatures peuvent être des barres HA ou des panneaux de treillis soudés.

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CHAPITRE 3 : CARACTERISQUES DES MATERIAUX 1.

Le BETON :

1.1.

Résistances caractéristiques du béton :

1.1.1

COMPRESSION :

Pour l'établissement des projets, dans les cas courants, un béton est défini par une valeur de sa résistance à la compression à l'âge de 28 jours, dite valeur caractéristique requise (ou spécifiée), notée fc28 . Cette valeur est choisie compte tenu des possibilités locales et des règles de contrôle et d'acceptation qui permettent ultérieurement de vérifier la conformité à la spécification du béton fabriqué (ou livré) sur chantier. REMARQUE :

Le chantier doit viser en moyenne : fc28 moy  (1,15 à 1,30 ).fc28

Pour j < 28 jours, on prend

fcj 

j * fc28 pour fc28  40 MPa 4 ,76  0 ,83 * j

fcj 

j * fc28 pour fc28  40 MPa 1,40  0 ,95 * j

16 cm

32 cm

Dans tous les cas, la résistance à la compression est mesurée par compression axiale de cylindres droits de révolution 200 cm² de section et d’une hauteur double de leur diamètre (éprouvette 16 * 32 cm)

1.1.2

TRACTION :

La résistance caractéristique à la traction du béton à l’âge de j jours, notée ftj est conventionnellement définie (pour fcj  60 MPa ), par la relation : ftj  0 ,6  0 ,06.fcj ( ftj ,fcj en MPa) (pour

f cj  60MPa ), par la relation :ftj = 0.275fcj2/3 ( ftj ,fcj en MPa)

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Page 19

1.2.

Diagramme déformations-contraintes du béton : fcj

1.2.1 Etat-limite ultime :

 bc

Diagramme caractéristique Diagramme rectangulaire simplifié

Le béton est défini par déformations (bc)-contraintes (bc)

un

diagramme

Diagramme "Parabole-Rectangle" (adopté à l'E.L.U.)

fbu fbu =

 appelé diagramme "parabole-rectangle",  dans lequel la contrainte maxi est :

 b

 bc 0

fbu 

0,85.fcj

0,7

2

3,5

°/oo

0 ,85 .fcj

.  b  b  1,50 pour les combinaisons fondamentales (Cas le plus courant)  b  1,15 pour les combinaisons accidentelles

Le coefficient b vaut :

  1 si t  24 h (Cas courant) Le coefficient  est fixé à :

  0 ,90 si 1h  t  24h   0 ,85 si t  1h

t étant la durée d'application combinaison d'actions considérée

de

la

Lorsque la section n'est pas entièrement comprimée, il est loisible d'utiliser le diagramme rectangulaire simplifié(1) défini ci-dessous, dans lequel yu désigne la distance de l’axe neutre de la déformation à la fibre la plus comprimée.

 bc bo

3,5°/oo

fbu

fbu

2°/oo

yu

yu

d

0,8.yu

bc

 bc

bc

Diagramme "parabole-rectangle" Diagramme des déformations

Diagramme rectangulaire simplifié

1 Diagramme équivalent, ayant sensiblement la même surface et le même centre de gravité dont l’utilisation de ce diagramme est réservée

aux calculs en flexion simple

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Page 20

1.2.2 Etat-limite de service :

bc

Courbe expérimentale

fcj



Le béton est considéré comme un matériau élastique linéaire, défini par son module d'élasticité.



La contrainte de calcul en compression est égale à : fb ser  bc  0 ,6.fcj

f bser

fbser = 0,6.fcj

 bc 1.3.

0

Déformations du béton

1

2

3

3,5 °/oo

1.3.1. Déformation longitudinale : 

E ij = 11000

1 * f cj 3

Module de déformation longitudinale instantanée : 1

Eij  11000 * fcj 3 sous des contraintes normales d'une durée d'application inférieure à 24 heures ( fcj en MPa).

Evj

Eij

1 E vj = 3700 * fcj 3

Module de déformation longitudinale différée : 1



0





Evj  3700 * fcj 3 sous

des

contraintes

de

longue

durée

d'application (permanentes) ( fcj en MPa).

Les déformations différées du béton comprennent le retrait et le fluage. La valeur de ces modules intervient dans le calcul des flèches et des effets dus au retrait. RETRAIT : A défaut de mesures, on estime que le raccourcissement unitaire (ou relatif) dû au retrait atteint les valeurs suivantes dans le cas de pièces non massives, à l'air libre : 1,5*10-4 dans les climats très humides 2*10-4 en climat humide (cas de la France sauf le quart sud-est) 3*10-4 en climat tempéré sec (quart sud-est de la France) 4*10-4 5*10-4

L d

en climat chaud et sec en climat très sec ou désertique

1.3.1. Déformation transversale : La déformation transversale se traduit par le coefficient de poisson  

dé formation transversale dé formation longitudinale

Sauf cas particuliers, le coefficient de Poisson  = 0 (zéro) pour le calcul des sollicitations (E.L.U.) du béton est pris égal à :  = 0.2 pour le calcul des déformations (E.L.S.)

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Page 21

2.

LES ACIERS :

2.1.

Prescriptions générales

-- Le -

caractère mécanique servant de base aux justifications est la limite d'élasticité garantie, fe

Le module d'élasticité longitudinale de l'acier est : Es = 200 000 MPa.

Contrainte de

f e (MPa)

Nuance

RL

HA

rupture

 R (MPa)

Allongement de rupture %

FeE215

215

330 à 490

22

FeE235

235

410 à 490

22

FeE400

400

480

14

FeE500

500

550

12

Remarque : On trouve des barres de longueurs variant de 6m à 12m lisse ou à haute adhérence, pour les diamètres normalisés suivants (mm) : 5-6-8-10-12-14-16-20-25-32-40.

Diamètres Masse kg/m 6 0,222 8 0,395 10 0,617 12 0,888 14 1,210 16 1,580 20 2,466 25 3,850 32 6,313 40 9,864

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1 0,28 0,50 0,79 1,13 1,54 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57

2 0,57 1,01 1,57 2,26 3,08 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13

3 0,85 1,51 2,36 3,39 4,62 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70

Sections totale d'acier en cm2 4 5 6 7 8 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 6,16 7,70 9,24 10,78 12,31 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 50,26 62,83 75,40 87,96 100,53

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9 2,54 4,52 7,07 10,18 13,85 18,10 28,27 44,18 72,38 113,09

10 2,83 5,03 7,85 11,31 15,39 20,11 31,42 49,09 80,42 125,66

Page 22

2.2.

Diagramme déformations-contraintes à l'E.L.U.

s

fe -

Le diagramme expérimental déformations (s) -contraintes (s) à considérer pour l'application de l'article A.4.3 concernant l'état limite-ultime de résistance est défini conventionnellement ci-contre :

-

Traction

Il est cependant loisible d'utiliser une forme de courbe se rapprochant du diagramme réel de l'acier employé à condition :

fe Es

-

fe s

Es  2000000 MPa

 sl 

°/oo

-fe



s

fe fsu

fe  s * Es

 s : coefficient partiel de sécurité : s = 1.15 pour les cas courants ; sauf vis-à-vis des combinaisons accidentelles définies pour lesquelles on adopte s = 1 (unité).

2.3.

10 °/oo

Compression

- de se référer à la valeur garantie de la limite d'élasticité fe - et de contrôler la résistance prise en compte pour l'allongement de 10 °/oo Le diagramme de calcul des aciers se déduit du précédent en effectuant une affinité parallèlement à la tangente à l'origine (droite de HOOKE) dans le rapport 1/s.

fsu 

s

- 10 °/oo



 sl

10 °/oo

s °/oo

Diagramme de calcul des aciers à l'E.L.S. Etat limite d'ouverture des fissures

Dans le calcul à l'ELS, les actions ne sont pas majorées ; les aciers sont donc moins sollicités qu'à l'ELU et ils doivent être dimensionnés de telle sorte que leurs déformations restent suffisamment faibles en service pour que les contraintes ne dépassent pas leur limite d'élasticité. La loi de HOOKE est toujours applicable ; ==> on pourra écrire :  s  Es . s NOTA : En général ce sont les conditions de fissuration qui déterminent les valeurs des contraintes à prendre en compte.

2.3.1. Principe de la justification : -

Les formes et dimensions de chaque élément, ainsi que les dispositions des armatures, sont conçues de manière à limiter la probabilité d'apparition de fissures d'une largeur supérieure à celle qui serait tolérable en raison du rôle et de la situation de l'ouvrage.

-

Les règles BAEL définissent dans leur article B.2.4 trois degrés de nocivité des ouvertures des fissures en fonction des caractéristiques d'une construction par rapport à son environnement et de la situation de l'élément considéré par rapport à l'enveloppe de celle-ci.

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[BAEL A.4.5,32]

FISSURATION PEU PREJUDICIABLE (F.P.P.) Le règlement ne demande aucune vérification particulière en dehors des prescriptions générales et de la condition de non fragilité.  st  fe (MPa) FISSURATION PREJUDICIABLE (F.P.) La contrainte de traction des aciers est limitée à  (dzéta) :

[BAEL A.4.5,33)

[BAEL A.4.5,34]

avec le coefficient (éta)

2    Min .fe ; Max( 0 ,5.fe ; 110. .ftj  (MPa) 3  FISSURATION TRES PREJUDICIABLE (F.T.P.) La contrainte de traction des aciers est limitée à : 0 ,8. (MPa) Coefficient de fissuration qui dépend de l'adhérence :  = 1,0 pour les ronds lisses, et les TS formés de fils tréfilés lisses  = 1,3 pour les fils HA  < 6 mm  = 1,6 pour les barres HA et fils HA   6 mm

3 - Fonctionnement de l'association acier-béton [A.4.3,3] Diagramme des 3 pivots 3.1) Hypothèses : HU 1

les sections droites restent planes (NAVIER-BERNOUILLI)

HU 2 il n'y a pas glissement entre les armatures et le béton, HU 3 la résistance du béton à la traction est négligée, HU 4

le diagramme déformation du béton est défini aux paragraphes précédents: diagramme “rectangulaire simplifié” si la section est partiellement comprimée

HU 5

le diagramme déformation de l’acier est défini par une affinité de rapport 1

HU 6

on suppose concentrée en son c.d.g. la section d’un groupe de plusieurs barres

HU 7

les déformations se font selon le diagramme des 3 pivots avec comme limites:

s

10 ‰ pour l'allongement de l'acier Cours de béton armé

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3,5 ‰ pour le raccourcissement du béton en flexion 2 ‰ pour le raccourcissement du béton en compression simple

3.2) Ce diagramme définit 3 domaines : Allongements

BAEL [A.4.3,3]

Raccourcissements -3,5‰ -2‰

B

D

Fibre comprimée

0,259d 3h/7

2

C

d

h

1 3

Ast Fibre tendue ou la moins comprimée

A +10‰

E -2‰

Domaine 1 : le diagramme des déformations passe par le pivot A. L'acier est utilisé au maximum (allongement 10 ‰) Le raccourcissement du béton est compris entre 0 et -3,5 ‰ Ce domaine correspond à la flexion simple ou composée et à la traction simple (droite AD). Domaine 2 : le diagramme passe par le pivot B. Le béton est utilisé au maximum (raccourcissement 3,5 ‰) L'acier est tendu ou faiblement comprimé (entre A et E) Ce domaine correspond à la flexion simple ou composée. Domaine 3 : le diagramme passe par le pivot C. La section est entièrement comprimée en flexion composée ou en compression simple.

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ETAT-LIMITE ULTIME REGLE DES 3 PIVOTS

fb u

Diagramme de déformation pour une section

°/oo

2

0,7

Allongement

3,5

Raccourcissement 3,5 °/oo

B

d'

yu

Asc 3 __.h 7 2 ht

C

d 1

3

Ast

A 2 °/oo

10 °/oo

bo

fsu

CHAPITRE 4 DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES DIVERSES e

- Protection des armatures L’enrobage est défini comme la distance de l’axe d’une armature à la paroi la plus voisine diminuée du rayon nominal de cette armature.

Enrobage

t

L'enrobage de toute armature est au moins égal à : 5 cm

PROTECTION DES ARMATURES Enrobage (BAEL A.7.1)

l

e

pour les ouvrages à la mer ou exposés aux embruns ou aux brouillards salins, ainsi que pour les coffrages exposés à des atmosphères très agressives.

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3 cm

pour les parois coffrées ou non qui sont soumises (ou sont susceptibles de l'être) à des actions agressives, ou à des intempéries, ou à des condensations, ou encore, eu égard à la destination des ouvrages, au contact d'un liquide.

1 cm

pour des parois qui seraient situées dans des locaux couverts et clos et qui ne seraient pas exposés aux condensations.

NOTA : L’enrobage de 5 cm peut être réduit à 3 cm si, soit les armatures, soit le béton sont protégés par un procédé dont l'efficacité a été démontrée. NOTA : La valeur de 3 cm peut être ramenée à 2 cm lorsque le béton présente une résistance caractéristique supérieure à 40 MPa. A.7.2. Possibilités de bétonnage correct

e

t l

< e 10

BETONNAGE CORRECT

t

l

t

h 35

t

bo 10

A.7.2,1 - Le diamètre des barres employées comme armatures de dalles ou de voiles courbes doit être au plus égal au dixième de l'épaisseur totale de ces éléments. e l  10

h

l

bo

A.7.2,2 - Le diamètre des armatures d'âme d'une poutre est au plus égal à h/35 (h étant la hauteur totale de la poutre), ainsi qu'au diamètre des barres longitudinales et au dixième de la largeur d'âme. b h  t  min ( l ; ; o) 35 10 A.7.2,3 - Les armatures peuvent être groupées en paquets à condition de les disposer de façon compacte et d'opposer le minimum de gêne à la BETONNAGE CORRECT mise en place du béton. Sens de coulage du béton

Dans tous les cas, la hauteur du paquet doit être au plus égale au double de sa largeur.

Hauteur du paquet

b

Hauteur du paquet

c a eh a c> a

b

b

D'autre part, les paquets de plus de 3 barres ne peuvent être utilisés que si ils ne sont soumis à aucune sollicitation d'entraînement.

a

Largeur du paquet

a

eh

 ou a

ev

 ou b

1,5.cg cg

ev b c

Cg désignant la grosseur du plus gros granulat ; cette même distance libre doit être au moins égale à : Cg dans la direction verticale 1,5.Cg dans la direction horizontale; BAEL A.7.3

REPRISES DE BETONNAGE :

- Les dessins d'exécution doivent indiquer de façon précise l'emplacement et la configuration des surfaces de reprise.

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Page 27

BAEL A.7.4 Incorrect

Correct

POUSSEE AU VIDE :

Correct

Les poussées au vide qui pourraient résulter de la mise en jeu mécanique d'ancrages par courbure doivent être équilibrées par des armatures de tracé et de section appropriés. -

La mise en jeu mécanique d'un ancrage par courbure tend à faire fléchir la barre ancrée là où sa courbure change ; il peut en résulter des poussées au vide susceptibles parfois de faire éclater le béton de couverture. -

L'ancrage le plus dangereux à cet égard est celui qui comporte un retour rectiligne parallèle à la paroi et à son voisinage immédiat.

-

Il convient soit de disposer une ligature reliant ce retour à la masse du béton, soit (solution la meilleure) d'incliner les retours rectilignes des ancrages vers la masse du béton

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CHAPITRE 5 ASSOCIATION ACIER – BETON: L'ADHERENCE L’adhérence caractérise la liaison de l’acier et du béton ; elle permet l’existence du béton armé. Un ancrage est la liaison d’une barre d’acier et d’un béton, en bout de barre. Le présent chapitre concerne les liaisons entre le béton et les armatures ; dans le cas des barres, ces liaisons sont mesurées par la contrainte d'adhérence  s

1.

ADHERENCE DES ACIERS EN BARRES:



1.1. 

s



F

- Soit une barre noyée dans un prisme de béton, soumise à une extrémité à un effort de traction: Ftraction

Ftraction

l y

CONTRAINTE D'ADHERENCE:

s

dx

x F + dF

L'équilibre du tronçon est dû aux forces d'adhérence qui s'exercent sur une longueur dx de la barre, de périmètre u   .  dF   s .u .dx

1 dF dF où est la . u dx dx variation par unité de longueur de l'effort axial exercé sur l'armature et u   . le périmètre utile de l'armature, confondu avec le périmètre nominal d'une barre isolée.

- La liaison entre l'armature et le béton est mesurée par la contrainte d'adhérence :  s 

- L'efficacité d'une barre du point de vue de l'adhérence est caractérisée par son coefficient de scellement  s :

s 1  s  1,5

1.2.

pour les rond lisses bruts de laminage pour les barres à HA courantes

VALEUR LIMITE DE LA CONTRAINTE ULTIME D'ADHERENCE :

- Sur la longueur d'ancrage la contrainte d'adhérence est supposée constante et égale à sa valeur limite ultime :

su  0 ,6 .2s .ftj

- L'ancrage de l'ensemble d'un paquet de barres n'est pas admis. Une barre est toujours ancrée individuellement ; les paquets de plus de trois barres ne comportent aucun ancrage de barre individuelle sur toute leur longueur.

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1.3. ANCRAGE RECTILIGNE : - En supposant  s   su = constante entre deux sections droites M1 et M2 distantes de l et soumises aux efforts F1 et F2 (avec F2  F1) :

1 dF .   su  .  dx

s 

s

F1

BARRES DROITES ISOLEES

x

F2

l

s

dF  ..  su .dx F2  F1  ..  su .l

 

ANCRAGE DES

y

 s su x

- L'ancrage de la barre est assuré si l'intégralité de l'effort axial de  . 2 traction Fs  As .fe  .fe est transmis au béton par l'adhérence 4

1.4.

LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT D'UNE BARRE ISOLEE :



fe x ls

 su



Les barres rectilignes de diamètre  et de limite d'élasticité fe sont ancrées sur une longueur l s dite "longueur de scellement droit": (Efforts F1  0 et F2  Fs ). Expression de la longueur  f de scellement : ls  . e 4  su A défaut de calcul précis, on adopte les valeurs forfaitaires suivantes pour des bétons de faible résistance ( fc28  25 MPa ) :

l s  40. 400 de  s  1.5 pour les aciers HA Fe E 500 de  s  1.5 et pour les RL Fe E 215 et Fe E 235 Fs = A.fe -

- l s  50.

pour les aciers HA Fe E

Le tableau suivant donne les valeurs de ls/ pour quelques valeurs de fc28 appartenant au domaine couvert par les règles BAEL : fcj ls/ pour s = 1,5

1.5.

(MPa) Fe E 400 Fe E 500

20

25

30

35

40

45

50

55

60

41 51

35 44

31 39

27 34

25 31

22 28

21 26

19 24

18 22

ANCRAGE PAR COURBURE D'UNE BARRE TENDUE:

- Les dimensions des pièces ne sont pas toujours suffisantes pour permettre un ancrage droit de longueur l s , on a alors recours à un ancrage courbe (appelé crosse). - L'effort de frottement sur le béton d'une barre courbe est supérieur à celui d'une barre droite ; à la liaison d'adhérence s'ajoute un effet de frottement dû à la courbure (effet de courroie).

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1.6.

ANCRAGE D'UNE BARRE PAR CROCHET :

F2

l1

- Dans le crochet ci-contre, l'armature ne peut être soumise qu'à des efforts de traction ou de compression suivant son axe. - Etudions l'équilibre d'un tronçon de la partie courbe M1M2 d'angle au centre d :

D

M2

C

su

r

d

r



M1 B

- Soit F1 et F2 les forces qui sollicitent la barre aux points M1 et M2 avec : F1  F2 et F1  F2  dF

A

F1

l2

F1 = F2 + dF

- On démontre que, compte tenu des conditions d'adhérence et de frottement le long de M1M2 il existe une relation entre F1 et F2 :

F1  .F2  ' .  ..r .  su

  e .

et ' 

e

 .

 et ' coefficients fonction de l'angle 

1



et  = 0.4 (coefficient de frottement)

1.7. VISUALISATION DE LA CHUTE DE L'EFFORT DE TRACTION DANS LA BARRE COURBE : (1) Portion d'ancrage rectiligne  adhérence seule (2) Portion d'ancrage courbe  adhérence + effet de "courroie" (3) Portion d'ancrage rectiligne  adhérence seule

l3 (3) M3 M2 (2)

1.8. ANCRAGE PAR CROCHET NORMAL : BAEL A.6.1,253 CROCHET NORMAL BAEL A.6.1,253

 r

r = 3. (RL)

r = 5,5. (HA)



Mo

M1

l1 (1)

A défaut de calcul plus précis, on peut admettre que l'ancrage d'une barre rectiligne terminée par un crochet normal est assuré lorsque la longueur de la partie ancrée mesurée hors crochet est au moins égale à : -

0 ,6 .l s pour les ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235 0 ,4 .l s pour les HA Fe E 400 et Fe E 500

0,4.ls (HA) ou 0,6.ls (RL)

1.9.

TYPES CROCHET D AUTRES COURANT

l1

- Les retours d'équerres (   90 ) - Les ancrages à 45° (   135 ) - Les ancrages à 60° (   120 )

DE CROCH

C Rayon de courbure Rayon de cintrage



Début de la zone d'ancrage

1.10. ANCRAGES NORMALISES B

l2

A

Lorsqu'une armature est pourvue à son extrémité d'un ancrage par courbure, celui-ci peut être réalisé par un des ancrages normalisés ci-dessous :

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NOTA : il est d’usage que le mandrin de façonnage ait un diamètre égal à 10. 



C.N.

E.N.



Code 1032

R.N.



Code 1012

Code 1022

135°

Crochet Normalisé

2.

Equerre Normalisée

Retour Normalisé

ANCRAGES DES CADRES, ETRIERS, EPINGLES : Cadres

Etrier

Epingle

- On admet que les ancrages des extrémités des barres façonnées (cadres, étriers et épingles) sont assurés par courbure suivant le rayon minimal (= 3.), si les parties courbes sont prolongées par des parties rectilignes de longueur au moins égale à : - 5. à la suite d'un arc de cercle de 180 ° - 10. à la suite d'un arc de cercle de 135 ° - 15. à la suite d'un arc de cercle de 90 °



 

3.

JONCTION DES BARRES :

3.1.

JONCTION PAR RECOUVREMENT :

JONCTION PAR RECOUVREMENT SIMPLE

 lr

c

Il s'agit d'assurer une jonction entre armatures par recouvrement; une jonction joue un rôle mécanique de transmission des efforts dans le cas d'armatures non continues. La continuité mécanique est obtenue adhérence + frottement du béton sur l'armature.

par

jonction mécanique

La longueur de recouvrement est donc fonction de la longueur de scellement droit pour les ancrages rectilignes.

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3.2. RECOUVREMENTS SIMPLES DES ARMATURES TENDUES :

RECOUVREMENT DE CROCHETS NORMAUX  r

- Soient 2 barres de diamètre  parallèles, dont les axes sont espacés de c - La jonction des deux barres est assurée si la longueur de recouvrement est au moins égale à:

l r  l s longueur de scellement droit si les barres sont droites et si c  5.  l r  l s  c si les barres sont droites et si c 5. 

3.3.

c

lr = 0,6.ls si c < 5. lr = 0,6.ls + c si c > 5.

H.A.

lr = 0,6.ls si c < 5. lr = 0,6.ls + c si c > 5.

R.L.

COTATION DES CROCHETS :



l1

- La cotation des crochets doit permettre de déterminer la longueur développée des crochets afin d'établir la nomenclature de l'acier lors du plan de ferraillage. l2

- d2 = Longueur utile sur appui - ld = Longueur développée

ld  l1  l 2  r .

d2

d1

d1 = ld - d2

d2 = l2 + r +/2

3.4.

RECOUVREMENTS DES ARMATURES COMPRIMEES :

- Les jonctions des barres susceptibles d'être comprimées sont obligatoirement rectilignes. (pas de crochets) - La longueur de recouvrement est l r  0 ,6 .l s

. lr = 0,6.ls



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Page 33

- Les règles BAEL imposent au minimum 3 cours d'armatures transversales sur toute la longueur du recouvrement. NOTA : Il en est de même pour la jonction entre les aciers d'un poteau et les attentes d'une semelle de fondation.

0,6.ls

3 cours

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Page 34

CHAPITRE 6. SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS NORMALES I. LA TRACTION SIMPLE Il s'agit du calcul :

1.

- aux états limites ultimes E.L.U. - aux états limites de service E.L.S.

DEFINITION : Une poutre est sollicitée en traction simple si, dans toute section droite :

TRACTION SIMPLE

N

G

1.

l'ensemble des forces extérieures agissant à gauche de la section se réduit à un effort normal de traction

2.

le point d'application de cet effort coïncide avec le centre de gravité G de la section

Ast

G Section S d'un tirant sollicité par un effort normal N

2.

des éléments tendus, appelés tirants d'une structure en béton armé.

HYPOTHESES – NOTATIONS :

- Le béton sollicité en traction (béton tendu) est négligé. - L'effort normal de traction N est équilibré par les armatures tendues. - Les armatures et la section droite de béton ont même centre de gravité. - Pour une justification vis-à-vis de l'état limite ultime de résistance, l'acier subit un allongement  st  10 / oo (Pivot A). - Pour une justification vis-à-vis de l'état limite de service, la contrainte de traction de l'acier  st est plafonnée par les conditions de fissuration (peu préjudiciable, préjudiciable ou très préjudiciable).

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Allongement = 10 %

B

1

A Le béton tendu est négligé; l'effort normal N est équilibré par les armatures tendues. La justification de ces armatures doit se faire vis-à-vis de l'E.L.U. et de l'E.L.S.

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Page 35

3.

JUSTIFICATION DES ARMATURES LONGITUDINALES :

3.1. SOLLICITATIONS DE CALCUL : 3.2. CONDITIONS D'EQUILIBRE : Dans toute

E.L.U. 1,35.Gmax  Gmin 1,5 .Q1

E.L.S. Gmax  Gmin  Q1

f Nu  Nultime  Ast . e

Nser  Nser  Ast . st

Nu Ast  fe  s

N Ast  ser  st

s

section droite, l'effort de traction est équilibré par les armatures longitudinales seules :

3.3. SECTIONS D'ARMATURES TENDUES : RAPPEL : E.L.S.

3.4.

Fissuration préjudiciable : La contrainte de traction des aciers est limitée à : 2    Min .fe ; Max( 0 ,5.fe ; 110. .ftj  (MPa) 3 

Fissuration très préjudiciable : La contrainte de traction des aciers est limitée à : 0 ,8. (MPa)

CONDITION DE NON-FRAGILITE :

La sollicitation provoquant la fissuration du béton ne doit pas entraîner le dépassement de la limite d'élasticité de l'acier. EFFORT PROVOQUANT LA FISSURATION :

Nf  B.ft 28

3.5.

CONTRAINTE DE TRACTION DANS LES ACIERS : N B.ft 28  st  f   fe Ast Ast

SECTION D'ACIER :

CONDITION DE NON-FRAGILITE :

Ast 

Ast  Max(

B.ft 28 fe

Nu N B.ft 28 ; ser ; ) fe  s st fe

 La section d'acier tendu doit être supérieure à la plus grande des trois sections définies ci-dessus : - E.L.U. - E.L.S. C.N.F. -

4.

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES:

DIAMETRE MINI DES BARRES ECARTEMENT MAXI DES BARRES

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FISS. PREJUDICIABLE l  6 mm eh  4. si   20 mm

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FISS. TRES PREJ. l  8 mm eh  3. si   20 mm

Page 36

PROTECTION DES ACIERS :

t - L'enrobage de toute armature est au moins égal à :

l

e e 5 cm pour les ouvrages à la mer ou exposés à des atmosphères e très agressives. 3 cm pour les parois soumises à des actions agressives. 1 cm pour les parois situées dans des locaux couverts et clos et non exposés aux condensations.

5.

DIMENSION DE LA SECTION DE BETON :

- Elle dépend des possibilités de bétonnage correct et des conditions d'enrobage et de protection des aciers. Elle doit satisfaire la condition A .f t B  st e de non fragilité : ft 28

l st

6. -

b a

ARMATURES TRANSVERSALES : (Cadres et étriers) Diamètre minimal : Fissuration préjudiciable:   6 mm Fissuration très préjudiciable:   8 mm

- Ecartement des cadres ou étriers : En zone courante : st < a (plus petite dimension du tirant) En zone de recouvrement, st est défini par la relation suivante :

At f et  m. . . su St

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Page 37

II. LES POTEAUX EN "COMPRESSION CENTREE" 1.

DEFINITION:

N

G G

Section S d'un élément sollicité par un effort normal N

Asc

Un poteau est réputé soumis à une compression "centrée" s'il n'est sollicité en plus de l'effort normal de compression, que par des moments dont l'existence n'est pas prise en compte dans la justification de la stabilité et de la résistance des éléments qui lui sont liés et qui ne conduisent par ailleurs qu'à des petites excentricités de la force extérieure.

 Il s'agit donc du calcul des poteaux de bâtiment, éléments verticaux porteurs, soumis à un effort normal de compression dite "centrée". - La justification des sections s'effectue à l'E.L.U.R.

2.

HYPOTHESES :

Raccourcissement = 2 °/oo

a

B

- L'ensemble des forces extérieures se réduit à un effort normal N de compression dont le point d'application est centré au centre de gravité : - de la section de béton, - des armatures longitudinales

C b

- Les sections droites restent droites et planes après déformation. (Navier et Bernouilli)

A

- Il n'y a pas de glissement relatif entre l'acier et le béton. - Le béton et l'acier subissent le même raccourcissement  bc   sc  2  / oo - Valeurs des contraintes normales de calcul dans une section droite:

BETON fbu 

ACIER

0 ,85 .fc 28

fbu

f fsu  e s

.  b

 bc 0

0,7

2

10°/oo

.Ess fe



st

fsu

3,5 °/oo

NOTA: Le diagramme de déformation de la section se situe donc au Pivot C - La vérification au flambement n'est assurée que si :

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Page 38

- L'élancement de la pièce  est inférieur ou égal à 70 - La qualité de l'exécution doit être telle que l'imperfection de rectitude ea puisse être estimée à : l ea  Max(1 cm ; ) 500

3.

COMBINAISONS D'ACTIONS A CONSIDERER:

3.1.

COMBINAISON DE BASE:

3.1.1. POTEAUX SOUMIS UNIQUEMENT AUX ACTIONS DUES A DES CHARGES PERMANENTES ET A DES CHARGES D'EXPLOITATION: - Les combinaisons d'actions sont celles définies pour les poutres - QB représente alors l'action des charges d'exploitation évaluée au niveau considéré en faisant application s'il y a lieu de la loi de dégression dans les bâtiments à étages.

- Dans les cas les plus courants, l'unique combinaison d'actions à considérer est:

4.

LONGUEUR DE FLAMBEMENT lf ET ELANCEMENT  :

4.1.

LONGUEUR DE FLAMBEMENT:

1,35.G 1,50.QB

4.1.1. EVALUATION DE LA LONGUEUR LIBRE: lo

lo lo

lo

La longueur libre d'un poteau appartenant à un bâtiment à étages multiples est comptée entre faces supérieures de deux planchers consécutifs, ou de sa jonction avec la fondation à la face supérieure du premier plancher. La longueur libre des poteaux d'un hall ne comportant au-dessus du sol qu'un rez-dechaussée couvert est comptée de la jonction avec la fondation ou de la face supérieure du plancher haut du sous-sol au sommet du poteau.

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Page 39

4.1.2. CAS DU POTEAU ISOLE : - Si il n'existe aucun dispositif de construction susceptible de modifier la longueur de flambement l f , cette longueur est prise égale à : lo

2.lo

lo

lo

0,707.lo

0,5.lo

2.l o

si le poteau est libre à une extrémité et encastré à l'autre.

lo

si le poteau est articulé aux deux extrémités.

lo

si le poteau est encastré aux deux extrémités dans le cas où ces extrémités peuvent se déplacer l'une par rapport à l'autre suivant une direction perpendiculaire à l'axe longitudinal du poteau et située dans le plan principal pour lequel on étudie le flambement.

lo

2 si le poteau est articulé à une extrémité et encastré à l'autre.

lo 2

si le poteau est encastré aux deux extrémités: dans le cas où ces deux extrémités sont empêchées de se déplacer l'une par rapport à l'autre suivant une direction perpendiculaire à l'axe longitudinal du poteau et située dans le plan principal pour lequel on étudie le flambement.

4.2.3. CAS DES BATIMENTS : I1

Dalle b.a.

Poutre

lf = k.lo

I3 l'o

Poteau : I1

I3 > I1 I2 > I1 k = 0,7

Dalle b.a.

Poutre

I2

I2 > I1

Poteau : I1 lo

Poteau encastré dans la fondation

k = 0,7

Semelle b.a. Si ces conditions ne sont pas remplies

4.2.

k=1

Pour les bâtiments à étages qui sont contreventés par un système de pans verticaux (avec triangulations, voiles en béton armé ou maçonnerie de résistance suffisante) et où la continuité des poteaux et de leur section a été assurée, la longueur de flambement lf est prise égale à:

l f  0 ,7 .l o si le poteau est à ses extrémités: soit encastré dans un massif de fondation, soit assemblé à des poutres de plancher ayant au moins la même raideur que lui dans le sens considéré et le traversant de part en part.

l f  l o dans tous les autres cas.

ELANCEMENT  :

- L'élancement  d'une pièce comprimée de section constante est le rapport de sa longueur de flambement lf définie en fonction du rayon de giration i de la section droite du béton

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Page 40

Expression générale



lf avec i  i

5.

Pour un poteau rectangulaire (ou carré) de côté a l a et   3 ,5 . f i a 12

Imin B

Pour un poteau circulaire de diamètre  l  et   4. f i 4 

JUSTIFICATION DES POTEAUX :

5.1. DETERMINATION FORFAITAIRE DE L'EFFORT NORMAL RESISTANT DES POTEAUX SOUMIS A UNE COMPRESSION "CENTREE"

t

l Section de béton "réduite"

st

b

- L'effort normal ultime Nu agissant dans un poteau doit être au plus égal à la valeur suivante : b

Nu lim

(

B .f f   . r c28  Asc . e 0 ,9.  b s

)

a

Br

1 cm

a 1 cm

A sc : Section d'acier comprimé prise en compte dans les calculs. Br :

Section réduite du poteau obtenue en déduisant de sa section réelle 1 cm d'épaisseur sur toute sa périphérie.

Br  (( a  0,02 ).( b  0,02 )) (en m2)

:

avec

 b  1,50 et  s  1,15

Coefficient fonction de l'élancement mécanique  et qui prend les valeurs :

 

0

50

 0.85

70

0 ,85 1  0 ,2 .(

 35

)2

0.60

  0 ,60.(

50



)2

0.306

XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX

- Les valeurs de  sont à diviser par 1,10 si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours. - Les valeurs de  sont à diviser par 1,20 si la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours et on prend en compte fcj au lieu de fc28 dans le calcul de fbu - Lorsque l'élancement  est supérieur à 35, il ne peut, sans justifications plus précises, être tenu compte que des armatures disposées de façon à augmenter le plus efficacement possible la rigidité du poteau dans le sens où son moment d'inertie est le plus faible.

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Page 41

NOTA : - Dans les poteaux carrés, il s'agit des aciers disposés dans les angles. - Dans les poteaux rectangulaires dont le rapport des côtés est compris entre 0,9 et 1,1 on applique la règle des poteaux carrés. - Dans les autres poteaux rectangulaires, il s'agit des aciers disposés le long des grands côtés de la section.

Fig. 1: Tous les aciers sont pris en compte dans le calcul Fig. 2: Les aciers 1, 2, 3 et 4 ne sont pas pris en compte Fig. 3: Les aciers 5 et 6 ne sont pas pris en compte Fig. 1

Fig. 2 b

b

1 a

4

a

2

0,9 < a/b < 1,1 Elancement > 35

Elancement < 35

DETERMINATION DES ARMATURES :

6.1.

ARMATURES LONGITUDINALES : SECTION

% MINI

).(

1 ) fe

5

6

3

6.

N B .f Asc  ( u  r c28  0 ,9 .  b

Fig. 3 b

Amin  Max ( 4 .u ;

s

a/b < 0,9

% MAXI

0 ,2 .B ) 100 (Amin en cm²)

Amax 

5 .B 100 (Amax en cm²)

- B : Section totale de béton comprimé - u : Longueur de paroi mesurée perpendiculairement à la direction des armatures (Périmètre de la section exprimé en mètres) SECTION D'ARMATURES LONGITUDINALES:

5 %.B  Asc  Max

6.2.

(4.u ; 0,2 %.B ; (N

u



Br .fc 28 1 ). 0,9. b fsu

)

ARMATURES TRANSVERSALES :

- Les armatures transversales se déterminent par des règles forfaitaires : DIAMETRE :

ESPACEMENT DES COURS :

t  l max 3

st  Min ( 40 cm ; ( a 10 cm ) ; 15.l min )

5 mm  t  12 mm

Valeurs utilisées : t  6mm , 8mm ou 10 mm

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Page 42

7.

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES REGLEMENTAIRES :

7.1. DISTANCE MAXI ENTRE LES ACIERS LONGITUDINAUX :

st

l a

- Dans une pièce rectangulaire, la distance maximale entre deux armatures longitudinales voisines sur une même face est au plus égale à :

b lr = 0,6.ls

l  min ( ( a 10 cm ) ; 40 cm ) )

3 nappes mini sur la longueur de recouvrement Reprise de bétonnage

- Les ancrages et recouvrements d'armatures longitudinales sont rectilignes (crochets interdits).

8.

DIMENSIONNEMENT D'UN POTEAU COURANT :

8.1.

DONNEES: Nu , fc28 , fe d' où fsu , lo d' où

8.2.

INCONNUES: côtés a et b avec a  b ; section d'acier Asc

lf

lo

-

Le choix de l'élancement  est libre ;

-

On cherche à atteindre   35 afin de respecter le 3° commentaire de l'article B.8.4,1 (toutes les armatures participent à la résistance)

-

CONDITION A RESPECTER :

Nu  Nu lim   .(

b

Br .fc 28  Asc .fsu ) 0,9. b

-

Br section réduite de béton : Br  ( a  2 cm ).( b  2 cm )

-

COFFRAGE :

a

et

- Objectif :

Asc > 0

-  = 35  = 0,70

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a

3 ,5 .l f



N B .f 1 Asc  ( u  r c 28 ).( )  0 ,9 .  b fsu 

N B .f ( u  r c 28 )  0  0 ,9 .  b



N Br  1,93 . u fc 28



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N 0 ,9 .  b Br  u .  fc 28

Page 43

9.

EVALUATION DES CHARGES SUR LES POTEAUX

L’évaluation des charges verticales agissant sur les poteaux se fait : . en tenant compte de la loi de dégression des charges pour les bâtiments à étages, . [B.8.1,1] en admettant la discontinuité des éléments de planchers, les charges évaluées étant majorées :  de 15 % pour les poteaux centraux dans le cas de bâtiments à 2 travées,  de 10 % pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le cas de bâtiments comportant au moins 3 travées. P1

P1

P2

1,15.P2

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P3

P3

Charges appliquées

P1

Charges à prendre en compte P1

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P2

1,1.P2

P3

P3

Pn-2

Pn-1

Pn

Pn

Pn-2 1,1.Pn-1

Page 44

CHAPITRE 7 ETAT LIMITE ULTIME EN FLEXION SIMPLE : LES POUTRES A SECTION RECTANGULAIRE 3,5 °/oo

POSITIONS DU DIAGRAMME DES DEFORMATIONS

1. RAPPEL – HYPOTHESES :

B



Combinaison d'actions :

2a

1,35.Gmaxi  Gmini 1,5 .Q1

2b ht

d

C

1b

B.A.E.L A.4.3,42 : Ast

A bo

10 °/oo

 stl

Lorsque la section n’est pas entièrement comprimée, il est loisible d’utiliser le diagramme rectangulaire simplifié pour les contraintes dans le béton.

2 °/oo

 Le diagramme des déformations de la section se situe dans les domaines [1b], [2a] ou [2b].

2. EQUILIBRE D'UNE SECTION :  Efforts normaux :

N bu  0,8. y u . bo . f bu N stu  Ast . st

 Bras de levier du couple interne :

zu  ( d  0,4. y u )  d.(1  0,4. u )

EQUILIBRE D'UNE SECTION DROITE

 bc

fbu

Nbu

0,8.yu

yu

Mu

ht d

zu

Ast Nstu bo

 st

 st Déformations

2.1. EQUILIBRE DES EFFORTS :

Contraintes

Nstu  N bu  Ast . st  0,8. y u . bo . fbu

2.2. EQUILIBRE DES MOMENTS : Le couple interne équilibre le moment fléchissant ultime Mu

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Mu  Nbu . zu  0 ,8 . bo . fbu . d 2 .  u .(1  0 ,4 .  u ) Mu  Nstu . zu  Ast .  st . d .(1  0 ,4 .  u )

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Page 45

Mu  0,8. bo . d 2 . fbu . u .(1  0,4. u )

2.3. MOMENT REDUIT : Nous appelons Moment réduit

u la quantité :

Ce moment réduit  u augmente si :

u 

Mu bo . d 2 . f bu

 0,8. u .(1  0,4. u )

- la sollicitation Mu augmente - les dimensions de la section (bo ou d) diminuent

Le moment réduit  u s'exprime par une équation du second degré en  : équivalente à l’équation : 0,32.  u 2  0,8.  u  u  0 dont la racine est :

3. 

u  0,8.  u .(1  0,4.  u )

 u  1,25.(1  1  2. u )

REGLE DES 3 PIVOTS :

Cette règle se fixe comme objectif d'utiliser au mieux les matériaux acier et béton dans une poutre fléchie.

 bc

3.1. B

b

Pour une poutre en flexion, le diagramme idéal est celui pour lequel les limites mécaniques des matériaux sont atteintes.

yu G

Diagramme idéal AB= 0,186

ht

d

Ce diagramme idéal passe par :

Ast

A

 st

bo

-

le

st  10  / oo

pivot

A:

-

le

pivot

B:

a C. d. G. des aciers tendus

bc  3 ,5  / oo

= 10 °/oo

Les limites des déformations des matériaux sont atteintes

matériaux étant connues, les paramètres  et  sont connus.

 AB 

DIAGRAMME IDEAL :

= 3,5 °/oo

 bc 3 ,5  / oo   0 ,259  bc   st 3 ,5  / oo  10  / oo

et



Les

déformations

des

AB  0,8. .(1  0, 4. )  0,186

REMARQUE 1 : Les termes  AB et  AB sont indépendants de l'équarrissage de la section. REMARQUE 2 : u 

Mu bo . d 2 . fbu

est défini pour une section donnée;

Si le béton est connu ( f bu ), à un moment réduit  AB correspond un moment fléchissant

M AB   AB . bo . d 2 . fbu

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Page 46

REMARQUE 3 : Si le moment sollicitant Mu  M AB , le diagramme idéal n'est pas atteint.

3.2.

REGLE DES PIVOTS :

Suivant la valeur du moment sollicitant Mu , on distingue 2 possibilités : 3.2.1. Si Mu  M AB alors :

u   AB    AB

 yu   . d diminue  2 cas possibles:

CAS [1] :  st augmente  impossible car  st  10 / oo CAS [2] :  bc diminue  rotation du diagramme autour du pivot A

3.2.2. Si Mu  M AB alors: :

 u   AB    AB

 y u   .d augmente  2 cas possibles:

CAS [1] :  bc augmente  impossible car  bc  3 ,5  / oo CAS [2] :  st diminue  rotation du diagramme autour du pivot B

3.3. 

PIVOT A : DOMAINE [1b] :

Etat limite ultime caractérisé par les déformations suivantes :

PIVOT A : Utilisation maximum de l'acier bo



0    0 ,259 0  u  0 ,186

B

b

yu

0  bc  3 ,5  / oo st  10 / oo 

 bc = 3,5 °/oo

O 1b ht

0,259.d

Diagramme idéal

d A

a

Tous les diagrammes de déformation possibles vont décrire le domaine [1b]

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Page 47

3.4.

PIVOT B : DOMAINE 2 - UTILISATION MAXIMUM DU BETON :

 bc = 3,5 °/oo

PIVOT B: Utilisation maximum du béton

b

Etat Limite ultime caractérisé par les déformations suivantes :

B

0  st  10 / oo bc 3,5  / oo

y1 =  l .d

0,259.d

yu



2b ht

d



Soit

 sl

l'allongement de l'acier obtenu pour une contrainte : f A st  e  fsu a s a' 3,5  sl bo  La lecture du diagramme  l 3,5 +  sl  st = 10 °/oo contraintes-déformations de l'acier nous montre qu'à partir de cette valeur, le taux de travail de l'acier chute rapidement; la section d'acier ainsi déterminée serait excessive. Pour cette raison, nous définissons un moment réduit limite  l au-delà duquel les aciers sont insuffisamment sollicités en traction.  A cette déformation unitaire limite sl correspond un moment limite Mlim .  Dans ces conditions, l'ensemble des diagrammes de déformations des sections soumises à un moment fléchissant ultime M u décrira la région [2a]. 



Les caractéristiques sont donc :

B yul =

l.d

Mlim  Mu  MAB

sl  st  10 / oo bc  3 ,5  / oo

et

l    0 ,259 l  u  0 ,186

NOTA : Les grandeurs  sl , l et l sont définies par le type d'acier. 3,5°/oo

d

Pour un acier Fe E 500

 sl

s

fe = 500 MPa

DIAGRAMME DE CALCUL

fe

fsu

 sl

3,5 / oo   sl  3,5 / oo

 sl  0,617

pour fe = 500 MPa fsu = 434,78 MPa

 sl = 2,17 °/oo

s  l  0,372  l  0 ,8 . l .(1  0 ,4 . l ) sl 10 °/oo °/oo On peut introduire la notion de moment réduit critique c défini à partir de la Mu y   1 fcj hauteur relative de la fibre neutre : u  u  avec   donc c  0,8.c .(1  0,4.c )  Mser d 2 100

4. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A SIMPLES ARMATURES : 4.1. DONNEES :

 Equarrissage de la poutre ( b * h )  Enrobage inférieur et Hauteur utile ( d  ht  enrobage)  Nature des matériaux (acier et béton) utilisés  Moment ultime M u sollicitant la section

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Page 48

4.2. u 

4.3.

RECHERCHE DU PIVOT: Mu bo . d 2 . fbu

avec

fbu 

0,85. fc28  . b



si:

0   u  0 ,186  Pivot A 0 ,186   u   l  Pivot B

PARAMETRES DE DEFORMATION :  u  1,25.(1  (1  2.  u ) )

et

z  d.(1  0,4. u ) y u   u .d

Pivot A:  st  10  / oo (1   u ) avec Pivot B:  st  .  bc

4.4. DEFORMATION DE L'ACIER :

u

 bc  3 ,5  / oo

4.5.

EFFORTS NORMAUX :

N bc  0 ,8. bo . y u . fbu ou N bc 

Mu z

N st  N bc

4.6.

SECTION D'ACIER :

N st  Ast .fsu  Ast 

N st fsu

ou

Ast 

Mu z.fsu

5. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A DOUBLES ARMATURES : 5.1.

DONNEES :

Le moment réduit  u est supérieur au moment réduit limite  l (ou c ), les aciers tendus travaillent insuffisamment, mais le béton travaille à son maximum; on se trouve donc au pivot B et on adjoint au béton comprimé des armatures de compression.

5.2.

DIAGRAMME DE DEFORMATION : bc sc

Le diagramme de déformation est tel que :

 bc  3,5  / oo et  st   sl

d' Asc

yul =  l .d

On peut calculer :

ht

l 

d Ast bo

Cours de béton armé

 bc et y l   l . d (  bc   sl )

La

stl

compatibilité des ( y  d' )  sc   bc . l yl

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déformations

permet

d'écrire:

Page 49

5.3.

MOMENT RESISTANT DU BETON Mrub ; MOMENT RESIDUEL Mres

:

Le moment résistant du béton Mrub est le moment ultime pour lequel on a atteint l'état limite ultime par compression du béton, les aciers étant trop peu sollicités en traction.

Mrub   l . bo . d 2 . fbu

5.4.

et Mres  ( Mu  Mrub )

SCHEMA DE CALCUL :

La section réelle de béton armé est décomposée en 2 sections fictives de calcul :

 une section (1) é quilibrant le moment Mrub  une section (2) é quilibrant le moment Mres  ( Mu  Mrub )

Mu

=

Mrub

+

(Mu - Mrub)  sc

fbu

3,5 °/oo

sc Nsc

Nbu Asc

Asc

yl d

ht Ast

0,8.yl

Ast1

Nst1

z1 = d.(1 - 0,4.  l )

Ast = Ast1 + Ast2

SECTION [2]

 st  fsu 

fe

s

z2  ( d  d' ) et

 st  fsu 

Section d'acier tendu : Ast 2  Section d'acier tendu : Ast1 

st

l z2 = (d - d')

SECTION [1]

z1  d .(1  0 ,4 .l ) et

Nst2

Ast2

st

l

bo

bo

z2

z1

M rub z .fsu

SECTION TOTALE D'ACIER TENDU : Ast 

fe

s

Mu  M rub ( d  d' ).fsu

Section d'acier comprimé : Asc2 

Mu  M rub ( d  d' ). sc

Mrub ( Mu  Mrub )  avec Mrub   l .bo .d 2 .fbu z .fsu ( d  d' ).fsu

IMPORTANT : BAEL A.4.1,2

Les armatures longitudinales comprimées ne sont prises en compte dans les calculs de résistance que si elles sont entourées tous les 15 diamètres (15.) au plus par des armatures transversales.

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Page 50

BAEL B.6.6

La part de moment de flexion équilibrée en compression par

ces armatures doit être

inférieure à 40 % du moment agissant. NOTA : Ces articles sont très pénalisants; On a intérêt à limiter l'utilisation des sections de béton armé avec des armatures comprimées en modifiant l'équarrissage de la section de béton.

5.5.

d'

DEROULEMENT DES CALCULS :

Asc

5.5.1. DONNEES :    

ht

Moment ultime sollicitant Mu Equarrissage de la section de la poutre ( bo * h ) Enrobages supérieurs et inférieurs Natures (et caractéristiques) des matériaux employés

u 

Si

u   l



d Ast

Mu  Moment réduit limite:  l  f(Type d' acier ; fc28 ;   ) Mser

5.5.2. MOMENT REDUIT :

yul = l .d

Mu

avec

2

bo .d .fbu

bo

fbu 

0 ,85 .fc28 .  b

nécessité d'armatures de compression

5.5.3. PARAMETRES CARACTERISTIQUES DE LA SECTION : fe

 bc  3 ,5  / oo ;  st   l ;  st   sl 

s

l  1,25.(1 



 sc   bc . 

(1  2  l )

y l  d'  yl

 fsu

  . d  d'    bc .  l    l .d 

y l   l . d et z  d. 1  0,4. l 

sc  f ( matériau)



M rub   l . b. d 2 . f bu

5.5.4. MOMENT RESISTANT DU BETON; MOMENT RESIDUEL : 

 M res  M u  M rub 

 Acier tendu : Ast 

5.5.5. D'ACIER :

SECTIONS

M rub M  M rub  1   .   u fsu  d. 1  0,4. l  d  d'  

 Acier comprimé : Asc 

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 M  M rub   .  u  sc  d  d'   1

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6. BAEL A.4.2 : CONDITION DE NON FRAGILITE :

v' = h/2

Sollicitation de fissuration du béton non armé : (Contrainte de traction dans la section supposée non armée et non fissurée) M h b .h 3 et v  ftj  f avec M f : moment de flexion I  12 2 I   v

b . h2 Sollicitation de fissuration : Mf  ftj . o 6 Armatures équilibrant ce moment sous une contrainte fe : Sollicitation maxi : Mst  Nst .z  fe . Ast .0 ,9.d

CONDITION NECESSAIRE :

h

v = h/2

ftj

bo

avec Bras de levier : z  0 ,9.d et d  0 ,9. h

M st  M f  2   b  d   Ast . fe .0 ,9. d  ftj . .  6  0 ,9  

A st min  0 ,23 . b o .d .

f t 28 fe

7. PREDIMENSIONNEMENT DE SECTIONS RECTANGULAIRES (B.A.E.L. A.4.5,32) Cette méthode ne convient que dans le cas où la fissuration est peu préjudiciable Quand l'équarrissage de la poutre n'est pas imposé par des considérations architecturales, le projeteur a intérêt à se fixer des dimensions propres à éviter les armatures comprimées.

yu ht

HAUTEUR ECONOMIQUE :

d

 Après un prédimensionnement forfaitaire, il est possible de connaître le moment ultime Mu

Ast

 Nous ne voulons pas d'armatures comprimées, donc : Mu  Mlu

bo

  u   l  bo . d 2   2 M   . b . d . f  u l o bu 

 l dé fini par le type d' acier Mu  l . fbu fbu dé fini par le type de bé ton

 Si nous choisissons à priori une des dimensions de la section, cette formule nous permet de déterminer la seconde.  En général la largeur bo est définie par des considérations d'effort tranchant; seule la hauteur utile d reste à déterminer:

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d

Mu

 l .bo .fbu

 Cette nouvelle hauteur utile peut modifier le poids propre de la poutre, donc la sollicitation Mu :  Il convient alors de revoir le calcul du moment ultime Mu

Cas d'une POUTRE RECTANGULAIRE : on adopte les valeurs forfaitaires suivantes :

1 h 1   15 L 10

Poutre continue :

Largeur de la poutre :

0 ,3 .d  bo  0 ,4 .d avec d  0 ,9.h

Poutre sur 2 appuis simples :

1 h 1   20 L 16

Cas particulier des DALLES DE PLANCHER : Hourdis en continuité dans un seul sens :

petiteportée l  x  0 ,40 grande portée l y



1 h 1   35 l x 30

Hourdis prenant appui sur 4 côtés :

lx  0 ,40 ly

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

1 h 1   45 l x 40

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CHAPITRE 8 : FLEXION SIMPLE ARMATURES TRANSVERSALES DES POUTRES RECTANGULAIRES JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES

But de ce chapitre : Calculer les armatures transversales en se limitant au cas courant des armatures "droites".

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Page 54

A - Comportement d'une poutre sous l'action de l'effort tranchant L'effort tranchant est maximum sur les appuis. En étudiant l'équilibre d'un prisme élémentaire on constate l'existence de bielles comprimées à 45° encadrées par des fissures. On prend en compte ce phénomène en plaçant des armatures transversales qui vont "coudre" les fissures. Ces armatures peuvent être inclinées à 45°. Il est plus facile de placer des armatures perpendiculaires à la fibre neutre (armatures droites).

B - Hypothèses et prescriptions réglementaires 1) Les poutres soumises à des efforts tranchants sont justifiées vis-à-vis de l'E.L.U.

La justification concerne les armatures transversales de l’âme ainsi que la contrainte du béton. 2) Effort tranchant réduit : Pour la vérification de la résistance du béton et des armatures d’âme au voisinage des appuis et pour tenir compte des transmissions directes des charges, l’effort tranchant Vu peut être évalué en: - négligeant les charges réparties situées à une distance de l’appui inférieure à h/2 soit : V'u=Vu - 0,5.h.qu ne prenant en compte qu’une fraction égale à 2.a/3.h des charges concentrées situées à une distance a de l’appui comprise entre 0,5.h et 1,5.h soit : 2.a V ' u  Vu . 3.h V  u  u   ul 3) Contrainte tangente conventionnelle : bo .d -

4) Etat limite ultime du béton de l’âme

:

Contrainte admissible pour des armatures droites :

- Fissuration est peu préjudiciable:

 ul  min(

0 ,2.f cj b

; 5 MPa )

- Fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable :  ul  min(

0 ,15.f cj b

; 4 MPa )

Valeurs courantes de ul (en MPa): fc28 en MPa (γb = 1,5) fissuration peu préjudiciable fissuration préjudiciable ou préjudiciable Cours de béton armé

16 très

20

25

30

2,13

2,67

3,33

4,00

1,60

2,00

2,50

3,00

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5) Section minimum et dispositions :

At : section des armatures transversales coupées par un plan horizontal. st : écartement de 2 cours. θt : diamètre des armatures transversales. At .f e  0 ,4 MPa bo .s t  t  min(

(1)

b h ; o ; l ) 35 10

y

st  min( 0,9.d ; 40 cm )

(3) Etat-limite ultime des armatures d’âme :

st

st La vérification de l’ELU des armatures d’âme consiste, une section At étant choisie, à calculer l’espacement des nappes d’armatures transversales pour un effort tranchant Vu donné.

Nbc Ft Ft Ft Vu

(2)

Nst

(d - d')

Nbt X

On étudie l’équilibre d’une section de béton supposée fissurée à 45°.

( Nbt  bo .h .bt . 2

Ft  At . st )

(d - d')

Poteau

Pour "coudre" une fissure, il faut n 

( d  d' ) cours d'armatures st

transversales donc une section d'acier n . At EQUATION D'EQUILIBRE : En projection sur l'axe vertical :

V 2 Vu  n .Ft  Nbt .  0 avec u  u 2 bo .d 2 n .Ft  Vu  Nbt . 2 ' (d  d ) . At .  st  Vu  bo .h . bt st ( d  d' ) At h . .   u  ( . bt ) bo .d st st d L'action commune du béton et des aciers transversaux doit empêcher l'apparition des fissures.

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L'expression

h .  réprésente la contrainte du béton; elle est minorée par : d bt  dans le cas général de la flexion simple

k =1 k dépend de la mise en œuvre

 dans le cas de reprise de bétonnage n'ayant pas reçu de traitement particulier ou lorsque la fissuration est jugée très préjudiciable

k =0

A ( d  d' ) fet . . t  u  0 ,3 .k .ftj d  s bo .st

Nous obtenons l'inéquation :

L'inéquation devient :

h .   0 ,3 .k .ftj où : d bt

avec

( d  d' )  0 ,9 . d

 s .( u  0 ,3 .k .ftj ) At  bo .st 0 ,9 .fet

Dans le cas courant de la flexion simple (k = 1), la relation s’écrit

:

 s .(  u  0 ,3.f tj ) At  bo .s t 0 ,9.f e

C - Conduite des calculs On fait le calcul à partir de l'appui où Vu est maximum. 1) Calcul de

u : on vérifie que u  ul

Sinon il faut augmenter la section et notamment sa largeur b. 2) Choix d'une section At : avec des barres satisfaisant (3)  t  min(

b h ; o ; l ) 35 10

3) Calcul de l'écartement initial st0 : On utilise sous la forme : s to 

On vérifie

At .f e  0 ,4 MPa bo .s t

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0 ,9.fsu .At (  u  0 ,3.ftj ).b

f avec f su  e s

et st  min( 0,9.d ; 40 cm )

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4) Dispositions : Pour une poutre de hauteur constante et des charges uniformément réparties : - le premier cadre est disposé à st0/2 du nu de l'appui. - on applique ensuite la règle de Caquot : Les espacements successifs sont pris dans la liste suivante : 7, 8, 9, 11, 13, 16, 20, 25, 35, 40 (en cm). Chaque valeur étant répétée autant de fois qu'il y a de mètres dans la demi-portée de la poutre (ou la portée s'il s'agit d'une console). Dans le cas d'une poutre sur 2 appuis on fait cette répartition de l'appui considéré jusqu'à l'abscisse où Vu = 0 et on recommence en sens inverse à partir de l'autre appui. Si la poutre comporte des armatures comprimées il faut st < 15.l. Exemple de poutre isostatique avec une répartition forfaitaire des armatures (méthode CAQUOT)

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