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Chapitre II

Transfert de chaleur par conduction en régime permanent

II.3.5 Cylindre creux à surface latérales isothermes Dans le cas où le transfert se fait dans une seule direction r, et qu'il n'existe pas de sources de chaleur, l’équation de conduction de chaleur en coordonne cylindrique se réduit à:

 2T 1 T  0 r 2 r r

(II.24)

Fig.II.9 : Conduction dans un cylindre creux à surfaces latérales isothermes. L’équation (II.24) devient :  2T 1 T d 2T 1 dT d  dT      r 0 r 2 r r dr 2 r dr dr  dr  d  dT  dT  dr  r dr  dr  r dr  C1 dr  dT  C1  r  T  r   C1 ln  r   C2 Les constantes d’intégration C1 et C2, sont déterminées à partir des conditions aux limites ci-dessous :  Pour r  r1 : T  r1   T1  C1 ln  r1   C2 (a)  Pour r  r2 : T  r2   T2  C1 ln  r2   C2

(b)

r  T  T  Lorsque  a    b  : T1  T2  C1  ln  r1   ln  r2    C1.ln  1   C1  1 2 r   r2  ln  1   r2  En remplaçant C1 par son expression dans (a), nous obtenons C2 par : T  T  C2  T1  ln  r1  . 1 2 r  ln  1   r2 

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Chapitre II

Transfert de chaleur par conduction en régime permanent

Si en remplaçant C1 par son expression dans (b), nous obtenons C2 par :

C2  T2  ln  r2  .

T r  



T1  T2  r  ln  1   r2 

T1  T2  ln

r  ln  1   r2  T1  T2 

 r   T1  T1  T2  .

ln  r1  r  ln  1   r2 

r ln    T1 r r  ln  1   1   r2 

 T  r   T1 

T1  T2  .ln  r  r  ln  1   r2 

   r1 

 L’expression de la densité de flux thermique est donnée par : 1 T  T  r T  T  1 dT      1 2 . 1   1 2 . dr r  r r  r ln  1  ln  1   r2  r1  r2   L’expression de flux thermique est donnée par : T  T  1 T  T  Q   .S   1 2 . .2 rL  2 L 1 2 r  r r  ln  1  ln  1   r2   r2 

(II.25)

(II.26)

(II.27)

r  ln  1  r  La résistance thermique pour un cylindre creux est donnée par : Rth   2  2 L  Qui peut être représenté par le schéma d’analogue électrique suivant :

T2

.

.T

1

II.3.6 Cylindre creux multicouches Considérons un tube recouvert d’une ou plusieurs couches de matériaux différents et où l’on ne connaît que les températures Tf 1 et T f 2 des fluides en contact avec les faces interne et externe du cylindre ; h1 et h2 sont les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les faces internes et externes.

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Transfert de chaleur par conduction en régime permanent

Fluide

. . .

Q

Fluide

Fig.II.8 : Conduction dans un cylindre creux multicouche.

En régime permanent, le flux de chaleur Q se conserve lors de la traversée des différentes couches et s’écrit :

Q  Q f 1  Qcouche1  Qcouche 2  Q f 2 Q  h1 2 r1L T f 1  T1  

Q

T1  T2   T2  T3   h 2 r L r  ln  2   r1  21 L

r  ln  3   r2  22 L

T

f1

2

3

T  T  3

 Tf 2 

r  r  ln  2  ln  3  r r 1 1   1  2 h1 2 r1L 21L 22 L h2 2 r3 L

f2

(II.28)

Le flux de chaleur transmis entre le fluide 1 et le fluide 2 à travers la paroi multicouches est exprimé par la relation suivante :

Q

T

f1

 Tf 2 

r  ln  i 1  n r 1 1   i   h1 2 r1 L i 1 2i L h2 2 rn 1 L

(II.29)

Exemple d'application : Une conduite en acier  r1  10cm, r2  11cm  transporte de la vapeur surchauffé, à une température de 400C . Pour diminuer les pertes de chaleur on couvre la conduite par deux couches d'isolants : un isolant résistant aux hautes températures (mais cher) est placé directement sur l'acier, puis on ajoute une deuxième couche de plastique (moins cher, et moins résistant). La température maximale permise pour le plastique est 200C , alors que la température de sa surface extérieure  rex  20cm  est 50C , la température de l'air ambiant

Tair  20C

.

Sachant

que :

Le

coefficient

de

convection

(Acier/Vapeur)

hi  200 W / m 2 K  , et le coefficient de convection (plastique/Air) he  40 W / m 2 K  ; Cours de transfert de chaleur Dr. MENECEUR Noureddine

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Transfert de chaleur par conduction en régime permanent

a  60 W / mK  , isol  0, 08 W / mK  ;  plas  0,5 W / mK  . Questions : 1- Pourquoi avons-nous utilisé deux couches d'isolant à la place d’une seule ? 2- Calculer le flux de chaleur perdu par mètre de longueur. 3- Calculer l'épaisseur de chaque couche d’isolant. 4- Calculer la température aux surfaces intérieure et extérieure de l'acier. II.4 Les ailettes : Une ailette est un milieu bon conducteur de la chaleur dont une dimension est grande devant les autres, elles sont utilisées pour les refroidissements des composants électroniques, des moteurs à combustion etc.... L'ailette a pour fonction d’amplifier les échanges de chaleur entre un mur plan et un fluide extérieur. Le transfert entre l'ailette et le mur se fait par conduction, alors que les échanges avec le fluide extérieur ont lieu par convection.

Fig.II.12 : Les différentes formes d'ailettes. Les hypothèses : 1° - Le régime permanant. 2° - On néglige le rayonnement. Le bilan d’énergie s’effectue sur le système constitué par la portion de barre compris entre les abscisses x et dx . Fluide à

Avec : Q x : Le flux de chaleur transmis par conduction à l’abscisse x.

Q x  dx : Le flux de chaleur transmis par conduction à l’abscisse x+dx. Qconv : Le flux de chaleur transmis par convection à la périphérie entre x et x+dx. Cours de transfert de chaleur Dr. MENECEUR Noureddine

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Transfert de chaleur par conduction en régime permanent

Le bilan thermique :

Qx  Qx  dx  Qconv

(II.32)

Tel que :

 dT   dT  Qx  S  ; Qconv  hp.dxT x   T  ; Q 's  Q' S.dx  ; Qx  dx  S   dx dx   x  dx  x 00

p : Le périmètre de la section droite de la tige,  p   d 

S : La surface de la section droite de la tige,  S   d 2 / 4  C’est-à-dire :

 dT   dT   S   hpdx T  x   T   Qs' Sdx  0   S   dx dx  x   x  dx dT dT d  dT  '  S  S  S   dx  hpdx T  x   T   Qs Sdx  0 dx dx dx  dx  Après développement, simplification et arrangement :

Qs' d 2T h.P  T x  T  0      dx 2  S   En supposant Qs'  0 et posant : w2  On peut écrire :

(33)

hP ,  T  T S

d 2  w2  0 2 dx

Si la section S est constante, c’est une équation du 2éme ordre à coefficients constantes dont la solution générale est de la forme :

  x   A exp  wx   B exp   wx  Ou   x   A1ch  wx   B1sh  wx  La recherche d’une solution élémentaire pour ce phénomène d'échange dépend des conditions aux limites relatives à cet élément. Plusieurs cas peuvent se présenter.    

Dans le cas où l'ailette est très longue, la température de l’extrémité approche celle du milieu environnant. L'extrémité de l’ailette peut être isolée. L’extrémité de l'ailette peut être le siège d'un transfert convectif de chaleur. L'extrémité de l’ailette peut être maintenue à une température fixe ou imposée.

II.4.1 Ailette longue de section constante : Cours de transfert de chaleur Dr. MENECEUR Noureddine

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Transfert de chaleur par conduction en régime permanent

Dans le cas de l’ailette longue, on émet l’hypothèse que : T x  L  T (L : longueur de l’ailette) -

Conditions aux limites :

 x  0    0   T0  T LL (b) à LL (a)  x  L    L   0 De (b)  A  0 B  T0  T Et (a) 

 x   T0  T exp wx

D’où :

T x   T  T0  T exp wx , le flux dissipé sur toute la surface de l’ailette peut être calculé L

par l’intégration du flux de convection local : Q   hP T  x   T   dx 0

Q  Qconv  x  0 

Dans le cas du régime permanent

 dT    S T0  T  w exp wx  dx  x  L

 c  S  Avec : w 

hP S Q  hP S . T  T 

D’où

(II.34)

II.4.2 Ailette de section constante isolée à l’extrémité : La solution générale obtenue est identique au cas précédent Avec les conditions aux limites : T  x  0   T0    dT   S  dx   0   xL 

La solution s’écrit : Et le flux dissipé par l’ailette :

T x   T  chwx  thwLshwx T0  T

 P  wS .thwLT0  T 

(II.35)

II.4.3 Ailette de section constante avec transfert de chaleur à l’extrémité : Les conditions aux limites : T  x  0   T0    dT   S  dx   hS T  x  L   T   xL 

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 h  chwL  x    shwL  x  T x   T  w  La solution s’écrit :  h T0  T chwL  shwL w Le flux dissipé par l’ailette est : Q  w S T0  T 

th  wL   1

h w

h th  wL  w

(II.36)

II.4.4 Ailette à température spécifique Tx  L : L’évolution de température est donnée par la relation :  Tx  L  T     sh  wx    shw  x  L  T  x   T  T0  T    T0  T sh  wL  Le flux de chaleur :

 T T  chwL   x  L    T0  T  Q  hp S T0  T  . sh  wx 

(II.37)

II.4.5 Ailette à extrémité infinie T  T à x    : L’évolution de la température s’exprime par : T  x   T  exp   wx  T0  T Le flux de chaleur s’exprime par :

Q  hp S T0  T 

(II.38)

II.4.6 Calcul de la performance d’une ailette : On peut évaluer les performances des ailettes à l’aide de 2 critères principaux : l’efficacité et le rendement. a)- L’efficacité : C'est le rapport entre le flux évacué par la surface étendue et le flux évacué sans l'ailette. Noté par la lettre «  », il est généralement supérieur ou égal à 2 (   2 ) Q Qailette   ailette  (II.39) Qc _ ailette Sc h Tbase  T  Où : S c : section à la base d’ailette. Pour une ailette infinie (long) l'efficacité est donnée par la relation :   P / hSc II.4.7 Rendement d’une ailette : C'est le rapport du flux évacué par l'ailette et le flux maximal. Le flux maximal évacué est calculé en considérant que la température sur toute la surface latérale est : Où : S s : section latérale d’ailette.

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Le rendement est exprimé par la relation :  Pour une ailette à extrémité infinie :  

Qailette Qmax

P S c hS s

c)- Dimensions d’ailette : 

Ailette cylindrique :

P D Sc 



 D2 4

Ailette rectangulaire :

P  2 w  2t Sc  wt

Exercice 01 : Une tige en aluminium   200 W / mK  de section constante de 4 cm de diamètre et de 13 cm de longueur implantée dans un mur maintenu à une température de 238°C (voir figure ci-contre). La tige est exposée à un environnement de 21°C. Le coefficient de

transfert de chaleur par convection est 14 W / m 2 K  . Calculez le flux de chaleur perdu par cette tige. Solution :

Q   wS . T0  T  .

S

w

 D2 4



th  wL   1

  0, 04  4

h w

h .th  wL  w

2

 0, 001256 m 2

hP 14. .0, 042   2, 645 m 1 S 200.0, 001256

h 14   0, 02645  w 200.2, 645 Q  200.2, 6464.0, 001256  238  21 .

th  2, 6464.0,13  0, 02645  51,1243 W 1  0, 02645th  2, 6464.0,13

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Exercice 02 : Une tige très longue de 5 mm de diamètre a une à extrémité infinie maintenue à la température de100°C. La surface de la tige est exposée à l'air ambiant à 25°C avec un coefficient de transfert de chaleur par convection de 100 W / m 2 K  .

En supposant que

cette tige fabrique en alliage de cuivre avec une conductivité thermique de 398 W / mK  . - Déterminer la distribution de la température le long de la tige. - Déterminer le flux de chaleur perdue par la tige.

Solution : 1- Selon l'hypothèse d'une ailette infiniment longue, la distribution de la température est déterminée à partir de l'expression suivante : T  x   T  Tb  T  .exp   wx 

w

hP 4h 4.100    w  14,177  Sc D 398.5.103

T  x   25  100  25  .exp  14,177 x   T  x   100.exp  14,177 x  .

2- Détermination de flux de chaleur par la tige :

Q  hP S . T0  T   Q  100. .D.  D 2  / 4. 100  25  Q  100. 2 .D 3 . / 4. 100  25   Q  100. 2 .  0, 005  .398 / 4. 100  25   Q  8,3W 3



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