Correction Conduction TD [PDF]

Zitiervorschau

IUT de St Denis Module THERMb (S2)

Département Génie Industriel et Maintenance

Transferts thermiques correction des exercices

Exercice 1 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

L=0,3 m isolant 00000000000000000 11111111111111111

11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 L=0,3 m 0000 1111 000 111 Flux thermique 1111 Flux thermique 0000 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 Resistance 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 electrique 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 00000000000000000 11111111111111111 0000 1111 000 111 0000 1111 00000000000000000 11111111111111111 0000 1111 00000000000000000 11111111111111111 0000 1111 00000000000000000 11111111111111111 0000 1111 00000000000000000 11111111111111111 0000 1111 00000000000000000 11111111111111111

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

x

0

coupe transversale

vue de face

Figure 1 – exercice 1 Comme on le voit sur la figure, le flux total de 7 W se divise en deux parties égales pur des raisons de symétrie. Le flux de chaleur traversant un échantillon se limite donc à Φ = 3, 5 W . L’application de la Loi de Fourier donne : ∆T Φ = λS e ici, on ne précise pas le sens du flux et on écrit ∆T de sorte qu’il soit positif. on peut en tirer Φe 7 0, 025 λ= = = 0, 177 W m−1 K −1 S∆T 0, 15 0, 15 (49 − 27) Remarque : attention aux unités : les longueurs sont en m (unités S.I.)

Exercice 2 1. Selon la loi de Fourier, le flux surfacique est donné par : ϕ=

Φ λ∆T 0, 52 (18 − (−2)) = = = 52 W/m2 S e 0, 2

2. Le flux total traversant le mur est donné par : Φ = ϕS = 52 200 = 10400 W = 10, 4 KW

1

mur (coupe)

mur (coupe)

Te (surface) Ti (temperature de surface)

Tse Tsi

S

S

Flux thermique

Flux thermique hi

he

Ti

Te

e

e

(a) exercice2

(b) exercice3

Figure 2 – exercices 2 et 3

Exercice 3 1. La loi de Newton s’écrit : Φ = hi S (Ti − Tsi ) où Ti est la température de l’air intérieur et Tsi la température de surface du mur du côté intérieur, hi le coefficient d’échange par convection du côté intérieur et S la surface. On en déduit : Tsi = Ti −

Φ 1000 = 20 − = 18°C hi S 10 50

2. On peut écrire d’après la loi de Fourier : Φ=

λS (Tsi − Tse ) e

où Tse est la température de la surface extérieure du mur et λ la conductivité thermique. On peut en déduire : Tse = Tsi −

Φ e 1000 0, 2 = 18 − = 41 − 4, 7 = 13, 33°C λS 0, 85 50

3. De même qu’en 1 : Φ = he S (Tse − Te ) où he est le coefficient d’échange par convection du côté extérieur et Te la température de l’air du côté extérieur. On en déduit : Te = Tse −

Φ 1000 = 13, 3 − = 13, 33 − 1, 33 = 12°C he S 15 50

Exercice 4 : Profil de température En partant de la loi de Fourier, établissons l’expression de T en fonction de x : ˆ x −Φ −Φ T (x) − T (0) = dx = x λS 0 λS

2

T

T+dT = T(x+dx)

T(x)

T(x)

Tsi

Tse

Tsi

Tse

Flux thermique

x 0

x x+dx

e

0

e

Figure 3 – exercice 4 : profil de température on ne connaît à priori ni la valeur de la conductivité thermique λ, ni le flux thermique Φ ni la surface S. Il n’est pas nécessaire de les connaître, seule la pente de la droite représentant le profil est nécessaire ici. On peut la déterminer en utilisant les valeurs de températures de surface et l’épaisseur qui sont connues : T (0) − T (20) 18 − (−5) Φ = = = 115 K/m λS e−0 0.2 On peut alors calculer la température à l’abscisse 20 − 4 = 16 cm soit : T (0, 16) = T (0) −

Φ x = 18 − 115 0, 16 = −0, 4°C λS

ce qui indique que l’eau risque bien de geler dans le tuyau dans ces conditions.

Exercice 5. Mur composite 1. L’isolation étant du côté extérieur, et le flux dirrigé vers l’intérieur, nous prendrons un axe des x dirrigé vers l’intérieur et dont l’origine est sur la surface extérieure. Nous examinons d’abord le transfert dans la couche d’isolant. Avec les notations données dans le texte, la loi de Fourier donne : T2 − T1 =

−Φ −125 e2 − 0 = × 0, 12 = −18, 75°C λ2 S 0, 04 × 20

soit T2 = 1, 25°C 2. De même pour la couche de béton : T3 − T2 =

−Φe1 −125 = × 0, 20 = −1, 04°C λ1 S 1, 2 × 20

d’où T3 = 0, 21◦ C 3. D’après ce qui précède, on peut écrire :  T3 − T1 = T3 − T2 + T2 − T1 = −Φ

3

e1 e2 + λ1 S λ2 S



On peut donc écrire RT 1 =

e1 λ1 S

et

RT 2 =

e2 λ2 S

ces grandeurs seront appelées résistances thermiques parce qu’elles caractérisent la résistance au passage de la chaleur. En effet, pour une même différence de température ∆T , le flux sera d’autant plus petit que RT sera grand. Pour simplifier, on écrira : T1 − T3 = ∆T = RT Φ où RT = RT 1 + RR2 est la résistance thermique totale. On dit que les résistances sont placées en série car elles sont traversées successivement par le même flux de chaleur. 4. Il n’est pas nécessaire de recalculer toutes les températures intermédiaires, ce qui serait assez compliqué car ici on ne connaît pas le flux. Il suffit de calculer la résistance thermique totale :   e2 1 0, 20 0, 12 e1 + = + = 0, 1583 KW −1 RT = λ1 S λ2 S 20 1, 2 0, 04 Le flux est alors donné immédiatement par Φ=

∆T 20 − (−30) = = 315, 8 W RT 0, 1583

on voit que le flux est bien plus important alors que la résistance thermique elle ne change pas. 5. Cette fois ci la résistance thermique va changer car on rajoute une troisième résistance thermique en série.   e2 e3 1 0, 20 0, 12 0, 05 e1 + + = + + = 0, 1833 KW −1 RT = λ1 S λ2 S λ3 S 20 1, 2 0, 04 0, 1 soit

∆T 20 − 0, 21 = = 107, 9 W RT 0, 1833 on constate que le flux a diminué par rapport aux 125W de départ, ce qui se comprend bien car on a rajouté une résistance supplémentaire au passage de la chaleur, les températures n’ayant pas changé. 6. La méthode des résistances thermiques permet de s’affranchir du calcul des températures intermédiaires. Seul le calcul de la résistance thermique totale est nécessaire ainsi que les températures aux extrémités. Φ=

Exercice 6 Il suffit de calculer la résistance thermique totale en n’oubliant pas les résistances thermiques de convection des deux côtés. soit :     1 1 e1 e2 1 1 1 0, 2 0, 2 1 RT = + + + = + + + = 2, 144 KW −1 S hi λ1 λ2 he 2 18 1, 5 0, 05 10

4

le flux est alors donné par Φ=

500 − 20 ∆T = = 223, 8 W RT 4.289

5