Correction TD 1 [PDF]

Zitiervorschau

Corrig´e du TD d’automatique des syst`emes ´echantillonn´es n◦1 EIVL 2003

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Etude de stabilit´ e

Il faut rechercher les pˆ oles de la fonction de transfert. On trouve −1, −0.5 et +0.5. Le syst`eme est donc instable.

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Fonction de transfert en Z

2.1

premi` ere ´ equation de r´ ecurrence

On trouve

0.8z −1 z − 0.2 C’est une ordre 1, de gain 1 et pr´esentant un retard d’un pas. G(z) =

2.2

deuxi` eme ´ equation de r´ ecurrence

La transform´ee en Z de l’´equation : y(k + 3) − 1, 7y(k + 2) + 0, 8y(k + 1) − 0, 1y(k) = 4u(k + 1) − 6u(k) + 4u(k − 1) est : Y (z)[z 3 − 1, 7z 2 + 0, 8z − 0, 1] = U (z)[4z − 6 + 4z −1 ] La pr´esence du terme en z −1 implique la pr´esence d’un retard pur d’un pas d’´echantillonnage. Ce qui est en facteur de Y (z) est factorisable par (z − 1) ce qui signifie que le syst`eme pr´esente un int´egrateur. Pour connaˆıtre le gain de ce syst`eme, il suffit de calculer K = lim

z→1

(z − 1)Y (z) =5 U (z)

D’o` u la forme standard de cette fonction de transfert : Y (z) 5 4z 2 − 6z + 4 = z −1 2 U (z) (z − 1) 5z − 3.5z + 0.5

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Moteur Un moteur est caract´eris´e par sa fonction de transfert G(p) =

Ω(p) K = U (p) 1 + τp

o` u Ω(p) est la transform´ee de Laplace de la vitesse de rotation, τ est la constante de temps m´ecanique du syst`eme (on n´eglige la constante de temps electrique). On choisit a priori une p´eriode d’´echantillonnage ∆ telle que : τ