Correction TD Commande Optimale [PDF]

Zitiervorschau

Travaux dirigés de Commande optimale

Mastère professionnelle

0=

Correction TD : Commande optimale

∂H = 2u + λ ∂u

(b)

4ème condition : Correction Ex 1

Le temps final est connu T = 1 et l’état final x (1) est libre d’où dT = 0

1) L’expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par :

et dx ≠ 0 , la condition (6) impose alors : T

  T + ψ υ − λ + (φt +ψ tTυ + H ) dT  φ{  dX X {=0  X {  { ≠ 0 =0 =0  =0 

T

J (t0 ) = φ ( X (T ), T ) + ∫ L( X (t ), U (t ), t ) dt 14243 t0 1442443 =0

x2 +u 2

H ( X (t ),U (t ), λ (t ), t ) = L( X (t ),U (t ), t ) + λ T f ( X (t ),U (t ), t ) 1442443 1442443 x +u 2

2

Soit

λ (T ) = λ (1) = 0

x&

4) Le système à résoudre est : 2) Le Hamiltonien est donné par :

λ  (a ) ⇒ x& = − 2  (b) ⇒ λ& = −2 x 

H = x 2 + u 2 + λu

3) Les conditions d’optimalités sont : 1er condition : x& = ème

2

Correction Ex2

∂H = f ( x(t ), u (t ), t ) = u ∂λ

1) C’est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre. 2) La représentation d’état du système est :

condition donne le système adjoint :

λ& = −

∂H = −2 x ∂x

x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t )

(a) avec :

3ème condition de stationnarité :

ISSAT Kairouan

1/5

0 1  A= , 0 0 

0 B=  1 

2011-2012

Travaux dirigés de Commande optimale

Mastère professionnelle

3) Le critère est de la forme : J (t0 ) =

libre nécessite la détermination de l’équation de Ricatti suivant :

1 T 1 T X (3) S (3) X (3) + ∫ ( X T QX + U T RU ) dt 2 2 t0

1 avec R = , 2

q  q Q =  11 12  ,  q21 q22 

4) On a : X T QX = ( x1

soit

5) La résolution du problème de C.O linéaire quadratique à état final

− S& = Q + AT S + SA − SBR −1 BT S ,

 s (3) s12 (3)  S =  11   s21 (3) s22 (3) 

 s11 (t ) s12 (t )  avec S (t ) =    s21 (t ) s22 (t ) 

q  x  q x2 )  11 12  1  = 2 x12 + 4 x22 + 2 x1 x2  q21 q22  x2 

q11 = 2  ⇒ q22 = 4 q + q = 2 ⇒ q = q = 1 12 21  21 12

2 1 Q=   1 4

est

d’où le système d’équations différentielle couplées suivant :  s&11 (t ) = −2 + 2 s122 (t )   s&12 (t ) = −1 − s11 (t ) + 2 s12 (t ) s22 (t ) & 2  s22 (t ) = −4 − 2 s12 (t ) − 2 s22 (t )

définit

positive. avec les conditions terminales : D’autre part on a :

 s (3) s12 (3)  x1 (3)  1 T 1 X (3) S (3) X (3) = ( x1 (3) x2 (3) )  11  = 2 2  s21 (3) s22 (3)  x2 (3)  1 = ( x12 (3) + 2 x22 (3) ) 2

soit

 s11 (3) = 1   s22 (3) = 2   s12 (3) = s21 (3) = 0

⇒

 s11 (3) = 1   s22 (3) = 2   s12 (3) = s21 (3) = 0

6) Le gain de Kalman est alors :

 s (t ) s12 (t )  G (t ) = R −1 BT S (t ) = 2 ( 0 1)  11   s12 (t ) s22 (t ) 

1 0 S (3) =   est définit  0 2

d’où

G (t ) = 2 ( s12 (t ) s22 (t ) )

Correction Ex3

positive.

ISSAT Kairouan

tp3

A. Partie 1 : 2/5

2011-2012

Travaux dirigés de Commande optimale

Mastère professionnelle

∂H & λ1 = − ∂x = 0  1  λ& = − ∂H = −λ 1  2 ∂x2

1) Il s’agit d’un problème de CO. Linéaire quadratique à état final fixe.

soit :

2) On a :

 1 H =  XT Q X +U T { RU  + λ T ( AX + BU ) {  2  =0 =0   x&  1 = u 2 + ( λ1 λ2 )  1  2  x&2  1 = u 2 + λ1 x2 + λ2u 2

3ème condition de stationnarité : 0=

∂H = u + λ2 = 0 ∂u

d’où la commande u (t ) = −λ2 (t ) . 4) La solution du système adjoint donne le vecteur adjoint suivant :

3) Les conditions d’optimalités sont :

λ&1 = 0 λ1 (t ) = λ1 (T ) On a :  soit :  λ&2 = −λ1 λ2 (t ) = −λ1 (T ) ( t − T ) + λ2 (T )

1ère condition redonne les équations d’états du système.

x& =

∂H ∂λ

∂H   x&1 = ∂λ = x2  1 ⇒   x& = ∂H = u  2 ∂λ2

NB : T T λ&2 = −λ1 ⇒ ∫ λ&2 (t )dt = − ∫ λ1 (t )dt ⇒ λ2 (t ) = −λ1 (t ) ( t − T ) + λ2 (T ) t

t

5) D’après la condition de stationnarité on a :

2ème condition donne le système adjoint :

u (t ) = −λ2 (t )

∂H −λ& = = AT λ ∂x

D’où la commande optimale u* (t ) est :

u* (t ) = λ1 (T ) ( t − T ) − λ2 (T ) 6) Les équations d’états sont données par : ISSAT Kairouan

3/5

2011-2012

Travaux dirigés de Commande optimale

Mastère professionnelle

 x&1 = x2  x1 (0) = ξ1 avec    x&2 = λ1 (T ) ( t − T ) − λ2 (T )  x2 (0) = ξ 2

En remplaçant (3) et (4) dans (1) et (2), on trouve x1* (t ) et x*2 (t ) en fonction des conditions terminales.

D’où :

B. Partie 2 : x*2 (t ) − x2 (0) = ∫ λ1 (T ) ( t − T ) − λ2 (T )u dt 0 t

1) Il s’agit d’un problème de C.O à temps final libre. 2) Le Hamiltonien est donné par :

Soit : 1 x*2 (t ) = λ1 (T )t 2 − λ1 (T )Tt − λ2 (T )t + ξ 2 2

H ( X (t ), U (t ), λ (t ), t ) = L( X (t ),U (t ), t ) + λ T f ( X (t ),U (t ), t ) (1) 1 Soit : H = u 2 + 1 + λ1 x2 + λ2u 2

t

x&1 = x2 ⇒ x1 (t ) − x1 (0) = ∫ x2 (t ) dt 0

3) Détermination des conditions terminales : D’où :

La détermination de T nécessite l’utilisation des conditions terminales. x1* (t ) =

1 1 1 λ1 (T )t 3 − λ1 (T )Tt 2 − λ2 (T )t 2 + ξ 2t + ξ1 6 2 2

En effet, le temps final T étant libre, dT ≠ 0 , à partir de la condition

(2)

d’optimalité suivante :

Sachant que :

φ +ψ υ − λ ) dX + (φ +ψ υ + H ) dT = 0 (144 42444 3 144 42444 3

x1 (T ) = 0 et x2 (T ) = 0 , les conditions terminales λ1 (T ) et λ2 (T )

X

T

T X

t

¨=0

T t

H (T ) = 0

peuvent êtres déterminés à partir de (1) et (2) pour t = T . Nous avons :

λ1 (T ) =

12 6 ξ + 2 ξ2 3 1 T T

λ2 (T ) = −

ISSAT Kairouan

6 2 ξ − ξ2 2 1 T T

H (T ) = 0

(3)

où encore sachant que x1 (T ) = 0 et x2 (T ) = 0 :

(4)

4/5

2011-2012

Travaux dirigés de Commande optimale

Mastère professionnelle

1 2 u (T ) + 1 + λ2 (T )u (T ) = 0 2

or u (T ) = −λ2 (T ) , on obtient alors :

λ22 (T ) = 2 Connaissant λ2 (T ) , (4) ⇒ T et (3) ⇒ λ1 (T ) .

ISSAT Kairouan

5/5

2011-2012