Résumé Commande Optimale [PDF]

Zitiervorschau

Commande optimale des systèmes dynamiques 1- Principe général de résolution d’un problème de commande optimale Soit un système défini par l’équation d’état : x = f (x,u, t), x ∈ ℜ n , u ∈ ℜ m . Dans un problème de commande optimale, il s’agit de déterminer la loi de commande minimisant le critère : J =

tf

∫ t r ( x,u, t )dt + g ( x 0 ,u 0 ,x f , t f )

tout en satisfaisant les conditions

0

terminales : k(x 0 , t 0 ) = 0 et L(x f , t f ) = 0 et les diverses contraintes imposées au système (contraintes instantanées et contraintes intégrales). On définit l’Hamiltonien associé au système et problème considérés par :

H(x,λ,u, t) = −r x,u, t dt + λ Tf x,u, t , λ étant un vecteur ∈ ℜn

(

)

(

)

Les conditions d’optimalité peuvent s’exprimer par les équations canoniques d’Hamilton et le principe du maximum :

# x = H % λ Equations canoniques de Hamilton : $ %& λ = −H x Principe du Maximum : la commande optimale est celle qui maximise le Hamiltonien, les contraintes étant satisfaites. Les conditions de transversalité :

(

)

( )

(

( )

A l’instant initial : −H t 0 − g t δt 0 + λ t 0 − g x 0 0

( ( )

)

(( )

A l’instant final : −H t f + g t δt f + λ t f + g xf f

)

)

T

T

δx 0 = 0 avec k t δt 0 + k Tx δx 0 = 0 0

0

δx f = 0 avec L tf δtf + LTx δxf = 0 f

2- Régulation optimale quadratique d’un système continu linéaire non stationnaire à horizon fini : Soit un système linéaire continu décrit par les équations d’état :

 = A(t)X + B(t)u !X " # y = C(t)X

où X ∈ ℜn ,

u ∈ ℜm , y ∈ ℜp

La commande minimisant le critère quadratique

J=

1 tf T (y Q(t)y + u T R(t)u )dt + y(t f )T Q f y(t f ) où R est une matrice symétrique définie ∫ t 2 0

positive et Q et Qf deux matrices symétriques définies non négatives est u(t) = −K(t)X(t) avec : K(t) = R −1 (t)BT (t)P(t)

P étant la matrice symétrique définie non négative solution de l’équation différentielle de Riccati :

"$ P(t)  + P(t)A(t) + A T (t)P(t) − P(t)B(t)R −1 (t)BT (t)P(t) + C T (t)Q(t)C(t) = 0 # $% P(t f ) = C(t)T Q f C(t) Cette équation est résolue au sens rétrograde (tfà t0 )

3- Commande optimale quadratique d’un système continu linéaire : Soit un système linéaire continu décrit par les équations d’état :

 = AX + BU !X " # Y = CX

où X ∈ ℜn , U ∈ ℜm , Y ∈ ℜp

La commande minimisant le critère quadratique J =

1 2

+∞

∫0

(εT Qε + U T RU)dt avec ε = Yc − Y

où Yc ∈ ℜp est le vecteur des sorties désirées (consignes constantes), Q et R deux matrices de dimensions convenables telles que Q est définie non négative et R est définie positive, est donnée par:

U = −KX + NYc avec : K = R −1BT P P étant la matrice symétrique définie non négative solution de l’équation de Riccati :

PA + A T P − PBR −1BT P + C T QC = 0 Le gain N est déterminé de manière à assurer au système en boucle fermée un gain statique égal à 1.

(

)

ce qui donne : N = − C(A − BK)−1 B

−1

4- Commande optimale quadratique d’un système linéaire échantillonné: Soit un système linéaire échantillonné décrit par les équations d’état :

! X(k +1) = AX(k) + BU(k) où X(k) ∈ ℜn , u(k) ∈ ℜm et y(k) ∈ ℜp " # Y(k) = CX(k) Soit e ∈ ℜ une consigne constante (sortie désirée) et ε(k) = e − Y(k) . La commande optimale qui minimise le critère quadratique discret : ∞

J=

∑ (εT (k)Qε(k) + U T (k)RU(k)) k=0

où Q et R sont deux matrices de dimensions convenables telles que Q est définie non négative et R est définie positive, est donnée par:

U(k) = −KX(k) + Ne(k) avec K = (R + BT PB)−1 BPA et où P est la matrice symétrique définie positive solution de l’équation de Riccati discrète :

P = A T PA − A T PB(r + BT PB)−1 BPA + qC T C . Le gain N est déterminé pour que le système commandé ait un gain statique unitaire, ce qui

(

)

donne : N = C(I n − A + BK)−1 B

−1