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Commande optimale des systèmes dynamiques 1- Principe général de résolution d’un problème de commande optimale Soit un système défini par l’équation d’état : x = f (x,u, t), x ∈ ℜ n , u ∈ ℜ m . Dans un problème de commande optimale, il s’agit de déterminer la loi de commande minimisant le critère : J =
tf
∫ t r ( x,u, t )dt + g ( x 0 ,u 0 ,x f , t f )
tout en satisfaisant les conditions
0
terminales : k(x 0 , t 0 ) = 0 et L(x f , t f ) = 0 et les diverses contraintes imposées au système (contraintes instantanées et contraintes intégrales). On définit l’Hamiltonien associé au système et problème considérés par :
H(x,λ,u, t) = −r x,u, t dt + λ Tf x,u, t , λ étant un vecteur ∈ ℜn
(
)
(
)
Les conditions d’optimalité peuvent s’exprimer par les équations canoniques d’Hamilton et le principe du maximum :
# x = H % λ Equations canoniques de Hamilton : $ %& λ = −H x Principe du Maximum : la commande optimale est celle qui maximise le Hamiltonien, les contraintes étant satisfaites. Les conditions de transversalité :
(
)
( )
(
( )
A l’instant initial : −H t 0 − g t δt 0 + λ t 0 − g x 0 0
( ( )
)
(( )
A l’instant final : −H t f + g t δt f + λ t f + g xf f
)
)
T
T
δx 0 = 0 avec k t δt 0 + k Tx δx 0 = 0 0
0
δx f = 0 avec L tf δtf + LTx δxf = 0 f
2- Régulation optimale quadratique d’un système continu linéaire non stationnaire à horizon fini : Soit un système linéaire continu décrit par les équations d’état :
= A(t)X + B(t)u !X " # y = C(t)X
où X ∈ ℜn ,
u ∈ ℜm , y ∈ ℜp
La commande minimisant le critère quadratique
J=
1 tf T (y Q(t)y + u T R(t)u )dt + y(t f )T Q f y(t f ) où R est une matrice symétrique définie ∫ t 2 0
positive et Q et Qf deux matrices symétriques définies non négatives est u(t) = −K(t)X(t) avec : K(t) = R −1 (t)BT (t)P(t)
P étant la matrice symétrique définie non négative solution de l’équation différentielle de Riccati :
"$ P(t) + P(t)A(t) + A T (t)P(t) − P(t)B(t)R −1 (t)BT (t)P(t) + C T (t)Q(t)C(t) = 0 # $% P(t f ) = C(t)T Q f C(t) Cette équation est résolue au sens rétrograde (tfà t0 )
3- Commande optimale quadratique d’un système continu linéaire : Soit un système linéaire continu décrit par les équations d’état :
= AX + BU !X " # Y = CX
où X ∈ ℜn , U ∈ ℜm , Y ∈ ℜp
La commande minimisant le critère quadratique J =
1 2
+∞
∫0
(εT Qε + U T RU)dt avec ε = Yc − Y
où Yc ∈ ℜp est le vecteur des sorties désirées (consignes constantes), Q et R deux matrices de dimensions convenables telles que Q est définie non négative et R est définie positive, est donnée par:
U = −KX + NYc avec : K = R −1BT P P étant la matrice symétrique définie non négative solution de l’équation de Riccati :
PA + A T P − PBR −1BT P + C T QC = 0 Le gain N est déterminé de manière à assurer au système en boucle fermée un gain statique égal à 1.
(
)
ce qui donne : N = − C(A − BK)−1 B
−1
4- Commande optimale quadratique d’un système linéaire échantillonné: Soit un système linéaire échantillonné décrit par les équations d’état :
! X(k +1) = AX(k) + BU(k) où X(k) ∈ ℜn , u(k) ∈ ℜm et y(k) ∈ ℜp " # Y(k) = CX(k) Soit e ∈ ℜ une consigne constante (sortie désirée) et ε(k) = e − Y(k) . La commande optimale qui minimise le critère quadratique discret : ∞
J=
∑ (εT (k)Qε(k) + U T (k)RU(k)) k=0
où Q et R sont deux matrices de dimensions convenables telles que Q est définie non négative et R est définie positive, est donnée par:
U(k) = −KX(k) + Ne(k) avec K = (R + BT PB)−1 BPA et où P est la matrice symétrique définie positive solution de l’équation de Riccati discrète :
P = A T PA − A T PB(r + BT PB)−1 BPA + qC T C . Le gain N est déterminé pour que le système commandé ait un gain statique unitaire, ce qui
(
)
donne : N = C(I n − A + BK)−1 B
−1