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Commande Backstepping De nombreux systèmes physiques ne remplissent pas la condition de couplage, notamment certains robots à articulations souples incertaines. L'approche du contrôle à rebours s'est révélée très efficace pour traiter les systèmes à dynamique multiple et aux incertitudes mal couplées, tels que les systèmes mécaniques entraînés par des systèmes électriques ou les systèmes mécaniques à couplage multiple. L'idée du Backstepping design est que certaines fonctions appropriées des variables d'état sont sélectionnées récursivement comme pseudo entrées de contrôle pour les sous-systèmes de dimension inférieure du système global. Chaque étape de Backstepping donne lieu à une nouvelle conception de pseudocontrôle, exprimée en termes de conception de pseudo-contrôle des étapes de conception précédentes. Lorsque la procédure s'achève, un plan de rétroaction pour les véritables entrées de contrôle est mis en place, qui permet d'atteindre l'objectif de conception initial grâce à une fonction de Lyapunov finale, formée par la somme des fonctions de Lyapunov associées à chaque étape de conception individuelle [3]. La conception de rétroaction fournit un cadre systématique pour la conception de stratégies de suivi et de régulation, adapté à une large classe de systèmes non linéaires linéarisés à rétroaction d'état. L'idée de base du Backstepping design est qu'un système non linéaire complexe est décomposé en sous-systèmes et que le degré de chaque sous-système ne dépasse pas celui du système entier. En conséquence, la fonction de Lyapunov et le contrôle fictif intermédiaire sont conçus respectivement, et le système entier est obtenu par " pas en arrière ". Ainsi, la règle de contrôle est conçue de manière approfondie. La méthode du backstepping est appelée méthode de rétrodéduction, et les indices dynamiques souhaités sont satisfaits.
Commande backstepping pour le pendule inversé Soit le système x1 x2 x2 f x, t g x, t u
(1)
Où f x, t et g x, t sont les fonctions non linéaire et g x, t 0 . Soit e1 x1 x1d ; où x1d est le signal de position idéal, l'objectif est e1 0 et e1 0 .
Conception du contrôleur Le contrôle de base du backstepping est conçu comme suit : Etape 1 : e1 x1 x1d x2 x1d
(2)
Pour réaliser e1 0 ; considerons la fonction de Lyapunov suivante 1 V1 e12 2
(3)
Alors V1 e1e1 e1 x2 x1d
Pour avoir V1 0 , prenons x2 x1d k1e1 , k1 0 , alors V1 k1e12 . Etape 2 Pour réaliser x2 x1d k1e1 , c’est-à-dire x2 x1d k1e1 , on choisit la commande virtuelle x2d x1d k1e1
(4)
Pour réaliser x2 x2d , nous obtenons une nouvelle erreur e2 x2 x2d
(5)
Alors, e2 x2 x2d f x, t g x, t u x2d Pour réaliser e2 0 et e1 0 , considérons la fonction de Lyapunov suivante 1 1 V2 V1 e22 e12 e22 2 2
Alors
(6)
V2 e1 x2 x1d e2e2 e1 e2 x2d x1d e2e2
k1e12 e2 e1 f x, t g x, t u x2d
Pour avoir V2 0 , on choisit e1 f x, t g x, t u x2d k2e2 , k2 0
(7)
Alors V2 k1e12 k2e22
De (6), en considérant x2d x1d k1e1 , nous pouvons obtenir la loi de commande u
1 k2e2 x2d e1 f x, t g x, t
(8)
Par conséquent, si e2 0 et e1 0 , alors, de (2), on a e1 x2 x1d e2 x2d x1d e2 k1e1 0
Pour réaliser la loi de contrôle (8), des valeurs exactes des informations de modélisation f x, t et g x, t sont nécessaires, ce qui est difficile en pratique. Nous pouvons utiliser les RBFs ou la logique floue pour les approximer.
Exemple de simulation Considérons le pendule inversé à un bras comme suit : x1 x2 . x2 f x, t g x, t u
Où f x, t
g sin x1 mlx22 cos x1 sin x1 mc m l 4 3 m cos2 x1 mc m
, g x, t
cos x1 mc m
l 4 3 m cos 2 x1 mc m
, et
x1 et x2 sont respectivement l'angle d'oscillation et le taux d'oscillation. g 9.8 m s 2 , mc 1kg est la masse du véhicule, m 0.1kg est la masse de la barre, l 0.5 m est la moitié de la longueur du pendule et u est le signal de commande.
Considérons la trajectoire désirée comme xd 0.1sin t ; adoptons la loi de commande (8), et sélectionnons k1 35 et k2 15 . L'état initial du pendule inversé est 6,0 .
Simulation dans Matlab !!!!!!!!