TD N°3 Conduction Bidimensionnelle Et Instationnaire [PDF]

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TD N°3

Conduction bidimensionnelle et instationnaire

Exercice 1 : On considère une plaque rectangulaire de longueur a et de largeur b. Le transfert de chaleur dans cette plaque se fait par conduction, en régime permanent. La conductivité thermique λ est constante et il n’y a pas de source de chaleur. Trouver l’expression de la température dans la plaque si les conditions aux limites sont : - à x = 0 : T(0, y) = 0 - à x = a : T(a, y) = T0 - à y = 0 : T(x, 0) = 0 - à y = b : T(x, b) = 0 Solution L’équation générale de la chaleur s’écrit :  2T  2T  0 x 2  y 2

donc :

 2T  2T   x 2 y 2

Pour résoudre cette équation, on utilise la méthode de séparation des variables. On pose : T  x, y   f  x   g  y  , avec : f une fonction qui ne dépend que de x et g une fonction qui ne dépend que de y. Donc :

f  x  T f  x  g  y    g  y  x x x

et

2 f  x  2T  g y    x 2 x 2

2 g  y   2T  f  x  y 2 y 2 . 2 f  x 2 g  y  g  y    f  x  x 2 y 2 . 2 f  x  2 g  y  1 1     2 2 2 f  x x g  y y 2 f  x 2 f  x 2 f  x  1 2 2       f x    2 f  x  0   f  x x 2 x 2 x 2 f  x   C1e x  C2 e   x

2 g  y  2 g  y  1 2       2 g  y   2 2 g  y y x

2 g  y    2 g  y  0 2 x

g  y   C3 sin   y   C4 cos   y 

Donc :

T  x, y   f  x   g  y    C1e x  C2e   x    C3 sin   y   C4 cos   y  

Pour trouver les constantes, on utilise les conditions aux limites :  C2    C3 sin   y   C4 cos   y    0  C1  C2

A x = 0 : T(0, y) = 0, donc :

C

A y = 0 : T(x, 0) = 0, donc :

C1   e x  e   x    C3 sin  0  C4 cos  0   0  C4  0

A y = b : T(x, b) = 0, donc :

1

C1   e x  e   x    C3 sin   b    0   b  n   

n b

Exercice 2 Ecrire l’expression de la température dans un mur à 1D en régime instationnaire, sans source de chaleur et avec une conductivité thermique constante. Les conditions aux limites de ce mur sont les suivantes : T  0,t  0 x - à x = 0 et t > 0 : T  e,t    hT  e,t   0 x - à x = e et t > 0 : Les conditions initiales sont les suivantes : - à t = 0 et pour 0  x  e  :   T  x, 0  k  x  . Solution L’équation générale de la chaleur s’écrit :  2T T  2T 1 T  2  c p   x t x 2  t Pour résoudre cette équation, on utilise la méthode de séparation des variables. On pose : T  x, t   f  x   g  t  Donc : f  x  T f  x  g  t    g  t  x x x

et

g  t  T f  x  g  t    f  x  t t t g  t 

2 f  x 1 g  t   f  x  2 x  t

2 g  t  1  f  x 1 1     2 2 f  x  x  g  t t

2 f  x  2T  g t    x 2 x 2

2 2 f  x 2 f  x 1  f  x 2 2        f x    2 f  x  0   2 2 2 f  x  x x x

f  x   C1 sin   x   C2 cos   x 

g  t  g  t  1 1 1    2     2  g  t t g  t t ln  g  t     2t  b  g  t   e   t  b  C3e   t 2

2

T  x, t    C1 sin   x   C2 cos   x    C3e   t 2

Donc :

A x = 0 et t > 0 : T  0 ,t  2 2   C1 cos  0  C2 sin  0   C3e   t  C1  C3e   t  0  C1  0 x

Exercice 3 Déterminer la température aux points 1, 2, 3 et 4 de la plaque en régime permanent avec les conditions aux limites représentées sur la figure suivante :

10

9

11

8

12

7

5

6

Solution La plaque est divisée en plusieurs points comme le montre la figure. Dans chaque point n, il y a conservation du flux de chaleur. Donc, la somme des flux venant des points avoisinants est nulle. On applique cette équation sur les points 1, 2, 3 et 4 : Au point 1 : q121  q51  q21  q41  0 Au point 2: q1 2  q6 2  q7 2  q3 2  0 Au point 3 : q43  q23  q83  q9 3  0

Au point 4 : q11 4  q1 4  q3 4  q10 4  0 On remplace par les expressions des flux :

T T   T T   T T  T T   L y  12 1    L  x  5 1    L  y  2 1    L  x  4 1   0  x   x   y   y 

 T T  T T  T T  T T   L y  1 2    L  x  6 2    L y  7 2    L x  3 2   0  x   x   y   y  T T  T T   T T   T T   L y  4 3    L  x  2 3    L  y  8 3    L  x  9 3   0  x   x   y   y 

T T   T T   T T  T T   L y  11 4    L x  1 4    L y  3 4    L x  10 4   0  x   x   y   y  En simplifiant, on trouve le système d’équations suivant : T12  T5  T2  T4  4T1  0 T1  T6  T7  T3  4T2  0 T4  T2  T8  T9  4T3  0 T11  T1  T3  T10  4T4  0 Donc : 400  500  T2  T4  4T1  0 T1  500  200  T3  4T2  0 T4  T2  200  300  4T3  0 400  T1  T3  300  4T4  0 On résout ce système, on trouve : T1  400C T2  350C T3  300C

T4  350C

Exercice 4 Tracer les profils de température pour différents instants dans le cas d’un mur à 1D soumis à une conduction thermique en régime instationnaire sans production de chaleur. La diffusivité thermique du mur est α = 5.10-5 m2/sK. Prendre le pas de temps Δt=2 s et le pas dans l’espace Δx = 1 cm. L’épaisseur du mur est 5 cm et la température de la face interne de ce mur est 400 K. Solution L’équation générale de la chaleur s’écrit : T  2T  2 t x On divise le mur en lignes équidistantes.

Δx Δx

A la ligne n, la solution peut s’écrire : Tnt1  Tnt Tnt  Tnt1  Tnt  t  Tnt  x x  t x donc :

Tnt  t 

Tnt1  Tnt1 2

On utilise une construction graphique pour résoudre le problème : à t = 0 : T1=400K

à t = Δt = 2s : T2t  200 K

T2=0

1

2

T1=400K

T4=0 T5=0 T6=0

3

4

T2=200K

1

à t = 2Δt = 4s : T32 t  100 K

T3=0

T1=400K

1

5

T3=0

2

3

6

T4=0 T5=0 T6=0

4

5

6

T2=200K T3=100K T4=0 T5=0 T6=0

2

3

4

5

6

On continue :

Exercice 5 Tracer les profils de température pour différents instants dans le cas d’un mur à 1D soumis à une conduction thermique en régime instationnaire sans production de chaleur. La diffusivité thermique du mur est α = 5.10-5 m2/sK. Prendre le pas de temps Δt=2 s et le pas dans l’espace Δx = 1 cm. L’épaisseur du mur est 6 cm et la température des faces interne et externe de ce mur est 400 K. Solution

L’équation générale de la chaleur s’écrit : T  2T  2 t x On divise le mur en lignes équidistantes. A la ligne n, la solution peut s’écrire : Tnt1  Tnt Tnt  Tnt1  Tnt  t  Tnt x   x t x donc : t t T T Tnt  t  n 1 n 1 2 On utilise une construction graphique pour résoudre le problème : à t = 0 :

à t = Δt = 2s : T2t  200 K T6t  200 K

à t = 2Δt = 4s :

On continue.