Circuite Electrice in Regim Sinusoidal [PDF]

Zitiervorschau

Circuite electrice în regim sinusoidal

1

Circuite electrice în regim sinusoidal Mărimi sinusoidale Mărimile sinusoidale de interes în cazul circuitelor electrice sunt: tensiunea electrică u(t), tensiunea electromotoare e(t), intensitatea curentului electric i(t) şi curentul electromotor al surselor de curent is(t). Orice dintre aceste mărimi sunt de forma x(t ) = X m sin( ωt + α ) unde: x(t) - se numeşte valoarea instantanee a mărimii sinusoidale, Xm - este valoarea maximă a mărimii, ωt + α [rad] - se numeşte faza mărimii sinusoidale, α [rad] - este faza iniţială a mărimii,

2π = 2πf [rad/s] - este pulsaţia mărimii sinusoidale, T 2π 1 [s] - este perioada mărimii, T= = ω f ω 1 f = = [Hz] - este frecvenţa mărimii sinusoidale. 2π T ω=

1 T 2 x (t ) ⋅ dt numită valoare T ∫0 X efectivă sau eficace. Pentru mărimile sinusoidale valoarea efectivă este egală cu: X = m , astfel încât 2 Pentru mărimile periodice cu perioada T se defineşte mărimea: X =

valoarea instantanee a unei mărimi sinusoidale se mai poate scrie sub forma: x(t ) = X 2 sin( ωt + α ) . Dipolul electric în regim sinusoidal Dipolul electric, care poate fi desenat ca în Fig. 1 a) sau b), are la borne tensiunea şi intensitatea curentului în valori instantanee cu sensuri de referinţă la fel orientate cu expresiile: u(t ) = U 2 sin( ωt + α u ) ,

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i ) şi va primii o putere instantanee, conform legii transformărilor energetice în procesul de conducţie, cu expresia: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = 2UI sin( ωt + α u ) sin( ωt + α i ) care se poate scrie sub forma:

p(t ) = UI cos(α u − α i ) − UI cos( 2ωt + α u + α i ) . Dispozitivele electromagnetice din componenţa dipolilor preiau valoarea medie a puterii, care se poate calcula pe o perioadă:

1 T UI T p( t )dt = UI cos(α u − α i ) − cos( 2ωt + α u + α i ) dt . ∫ T 0 T ∫0 P = UI cos(α u − α i ) = UI cos ϕ [W] se numeşte putere activă şi se măsoară în waţi. P=

p(t)

i(t) i(t) u(t)

p(t)

a)

u(t)

b)

Fig. 1.

U este valoarea efectivă a tensiunii, I este valoarea efectivă a intensităţii curentului iar ϕ = α u − α i este unghiul de defazaj al tensiunii înaintea curentului. Există următoarele cazuri: ϕ > 0, α u > α i , tensiunea este defazată înaintea curentului,

ϕ = 0, α u = α i , tensiunea este în fază cu curentul, ϕ < 0, α u < α i , tensiunea este defazată în urma curentului,

2

Electrotehnică α u = α i + π , tensiunea este în antifază cu curentul.

ϕ = π,

Pentru dipolii pasivi domeniul de variaţie al defazajului este ϕ ∈ [−

π π , ] , iar pentru dipolii activi 2 2

defazajul ia valori în domeniul ϕ ∈ [0, 2π) . Puterea activă este aceea care se transformă în alte forme de putere, de exemplu în putere mecanică, putere calorică etc. În studiul circuitelor electrice în regim sinusoidal mai apare puterea aparentă S = UI [VA] care se numeşte putere aparentă şi se măsoară în volt-amperi şi puterea reactivă Q = UI sin ϕ [VAr] care se numeşte putere reactivă şi se măsoară în volt-amperi reactivi. Între cele 3 puteri există relaţia S2 = P2 + Q2 .

Elemente ideale de circuit în regim sinusoidal a) Rezistorul ideal Rezistorul ideal este caracterizat de rezistenţa R [Ω - ohm], sau de conductanţa G=1/R [S - siemens].

i(t ) R (G )

p(t)

u( t )

u(t ) = U 2 sin( ωt + α u ) ,

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i )

u = R⋅ i , U 2 sin( ωt + α u ) = RI 2 sin( ωt + α i ) , U = R⋅I αu = αi , ϕ = αu − αi = 0 P = UI cos 0 = UI = S = RI 2 = GU 2 Q = UI sin 0 = 0

b) Bobina ideală Bobina ideală este înlănţuită de fluxul magnetic ф(t), este caracterizată de inductanţa L şi este sediul unei tensiuni electromotoare induse e(t).

i( t ) p(t)

L

φ(t)

e(t)

φ = Li , e = −

u( t )

u( t ) = U 2 sin( ω t + α u )

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i )

dφ di di , u = −e = L = −L dt dt dt

π U 2 sin( ωt + α u ) = ωL I 2 sin( ωt + α i + ) , 2 U = ωL ⋅ I = X L ⋅ I , cu X L = ωL [Ω] reactanţa bobinei, π π π αu = αi + , ϕ = α u − α i = , P = UI cos = 0 . 2 2 2

Q = UI sin π / 2 = UI = S = X L ⋅ I 2

c) Condensatorul ideal Condensatorul ideal este încărcat cu sarcina electrică q(t) şi este caracterizat de capacitatea C.

i( t ) C

p(t)

q(t) u (t)

u( t ) = U 2 sin( ωt + α u ) ,

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i )

q = Cu , q = ∫ idt , u =

1 idt C∫

π 1 I 2 sin( ωt + α i − ) , ωC 2 1 1 [Ω] reactanţa condensatorului, U= ⋅ I = X C ⋅ I , cu X C = ωC ωC π π π αu = αi − , ϕ = α u − α i = − , P = UI cos( − ) = 0 2 2 2 π Q = UI sin( − ) = − UI = −S = − X C ⋅ I 2 2 U 2 sin( ωt + α u ) =

Circuite electrice în regim sinusoidal d) Sursa ideală de tensiune electromotoare

3

Sursa ideală de tensiune este caracterizată de tensiunea electromotoare e(t). i( t ) e( t ) u(t ) = e(t ) , e(t ) = E 2 sin( ωt + α ) , orice valoare a curentului e

U 2 sin( ωt + α u ) = E 2 sin( ωt + α e ) , U = E , α u = α e , ϕ = ϕ e = α u − α i ∈ [ 0, 2 π ] P = EI cos ϕ e putere activă cedată (rezultă pozitivă sau negativă); Q = EI sin ϕ putere reactivă cedată (rezultă pozitivă sau negativă).

p(t)

u(t)

u( t ) = U 2 sin( ωt + α u )

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i ) d) Sursa ideală de curent

Sursa ideală de curent este caracterizată de curentul electromotor is(t) şi are la borne tensiunea us(t). i( t ) = i s( t ) i (t ) = I 2 sin( ωt + α ) , orice tensiune u(t ) = u (t ) s

p(t)

u ( t ) = us(t)

u( t ) = U 2 sin( ωt + α u )

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i )

s

s

is

I 2 sin( ωt + α i ) = I s 2 sin( ωt + α is ) , I = I s , α i = α is , ϕ = ϕ s = α u − α i ∈ [0, 2π]

P = U s I s cos ϕ s Q = U s I s sin ϕ s

putere activă cedată (rezultă pozitivă sau negativă); putere reactivă cedată (pozitivă sau negativă).

Sistemul de ecuaţii Kirchhoff

∑ ik = 0

j = 1, 2, .............(n-1),

l k ∈n j

∑

l k ∈b h

⎡ ⎤ di k 1 ⎢ R k i k + L k dt + C ∫ i dt − u sk ⎥ = ∑ e k , h = 1, 2, .............(l-n+1). ⎣ ⎦ l k ∈bh k

Rezultă un sistem de ecuaţii integro - diferenţiale greu de rezolvat.

Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale O mărime sinusoidală are o imagine în complex un număr complex care are ca modul valoarea efectivă a mărimii şi ca argument faza iniţială a mărimii sinusoidale. x(t ) = X 2 sin( ωt + α ) ↔ X = X e jα = X r + j X i = X(cos α + j sin α ) cu j = − 1 numărul imaginar unitate şi X =

X r2 + X i2 şi α = arg X = arctg

Xi X X = arccos r = arcsin i Xr X X

Dipolul electric în regim sinusoidal reprezentat în complex Dipolul pasiv Fig. 2 p(t)

I

S

i(t) u(t)

Z

U

a) Fig. 2. Dipolul electric

u( t ) = U 2 sin( ωt + α u ) → U = U e jα u

i(t ) = I 2 sin( ωt + α i ) ϕ = αu − αi

→ I=Ie

jα i

b) a - în valori instantanee; b - în complex

S = U I = U I e j( α u −α i ) = S e jϕ puterea complexă *

S == S e jϕ = U I (cos ϕ + j sin ϕ) = P + jQ U = Z⋅I , I = YU

U U e jα u U j( α u −α i ) Z= = = e = Z e jϕ = Z (cos ϕ + j sin ϕ) = R + j X jα i I I Ie *

impedanţa complexă

*

S = U I = Z I I = Z I 2 = ( R + j X) I 2 , S = UI = ZI 2 = P 2 + Q 2

,

arg S = ϕ = α u − α i = arccos

P Q P = arcsin = arctg S S Q

,

4

Electrotehnică

P = Re { S } = UI cos ϕ = RI Q = Im { S } = U I sin ϕ = X I

2

2

puterea activă consumată de dipol, puterea reactivă consumată de dipol,

R = Re { Z } = Z cos ϕ X = Im { Z } = Z sin ϕ

rezistenţa echivalentă a dipolului, reactanţa echivalentă a dipolului,

Z = R 2 + X2 impedanţa echivalentă a dipolului, jα i 1 I Ie I Y= = = = e j( α u −α i ) = Y e − jϕ = Y (cos ϕ − j sin ϕ) = G − j B admitanţa complexă, jα u Z U Ue U 1 R X I 1 1 Y= = 2 − j , Y= = = = G 2 + B 2 [S - siemens], 2 2 2 U Z R + jX R + X R +X R 2 + X2

G = Re { Y } = Y cos ϕ = B = Im { Y } = Y sin ϕ =

R R 2 + X2 X

[S] conductanţa echivalentă a dipolului,

[S] susceptanţa echivalentă a dipolului.

2

R + X2

Elemente ideale de circuit în complex a) Rezistorul ideal în complex

i(t )

R

ZR

I

u( t )

p(t)

S

U

+j

I αu = α i ϕ = 0 +1

U

u = R⋅ i , U e jα u = R I e jα i , U = R I U 2 sin( ωt + α u ) = RI 2 sin( ωt + α i ) Z = R , α = α , ϕ = 0 u i

S = Z ⋅ I2 = R I2 = P = S Q=0

b) Bobina ideală în complex

i(t )

L

ZL

I

p(t)

u( t )

di ; dt U 2 sin( ωt + α u ) =

u=L

π = ωL I 2 sin( ωt + α i + ) 2

S

+j

U

U αu αi +1 I ϕ=π/2

U e jα u = jωL I e jα i ,

S = Z ⋅ I 2 = j XL I 2 = jQ L ,

π 2 π Z = jωL = j X L ; ϕ = 2

Q L = X L I 2 = UI = S PL = 0

U = j XL I ; αu = α i +

c) Condensatorul ideal în complex i( t ) C

p(t)

u=

I u (t)

1 idt ; C∫

U 2 sin( ωt + α u ) = =

π 1 I 2 sin( ωt + α i − ) ωC 2

ZC

S

U e jα u =

U

1 I e jα i ; jωC

π , 2 1 π Z = −j = − j XC ; ϕ = − , ωC 2 U = − j XC I ; α u = α i −

I

+j αi

U αu

ϕ= -π/2 +1

S = Z ⋅ I 2 = − j XC I 2 = jQC , Q C = − X C I 2 = − UI = −S PC = 0

Circuite electrice în regim sinusoidal d) Sursa de tensiune electromotoare în complex

i( t )

E

I

e( t ) p(t)

u(t)

5

S

U

e(t ) = E 2 sin( ωt + α e ) ; orice valoare a curentului i(t ) = I 2 sin( ωt + α i )

U 2 sin( ωt + α u ) = E 2 sin( ωt + α e )

U e jα u = E e jα e , U = E , U = E α u = α e , α i - orice valoare,

ϕe = α e − α i , ϕ e ∈ [ 0, 2 π ]

*

S = E I = P + jQ , P = E I cos ϕ e

Q = E I sin ϕ e

orice valoare

d) Sursa de curent în complex

i( t ) = i s( t ) p(t)

I = Is S

u ( t ) = us(t)

i s (t ) = I s 2 sin( ωt + α is ) ; orice valoare a tensiunii

u( t ) = U 2 sin( ωt + α u )

I 2 sin( ωt + α i ) = I s 2 sin( ωt + α is )

U = Us

I e jα i = I s e jα is , I = I s , I = I s

*

S = U I s = P + jQ , P = U I s cos ϕ s

α i = α is , α u - orice valoare,

Q = U I s sin ϕ s

ϕ s = α u − α is , ϕ s ∈ [0, 2π] orice valoare

Latura de circuit în complex a) Latură cu rezistor - bobină - condensator - sursă de t.e.m.

ik(t)

Lk Ck

Rk

Ik

ek(t)

Sk

uk(t)

pk(t)

Zk

Ek Uk

SEk

SZk

1 di k 1 U = ( R + j ω L − j ) I k − Ek = Z k I k − Ek + i dt − e k k k k ∫ ωC k dt C k 1 Z k = R k + jωL k − j = R k + j ( X L k − X C k ) = R k + j X k cu X k = X Lk − X Ck ωC k

u k (t ) = R k i k + L k

*

*

S k = U k I k = Z k I k2 − E k I k = S Zk − S Ek = Pk + j Q k *

*

S k = R k I k2 + j X k I k2 − E k I k = R k I k2 + j ( X L k I k2 − X C k I k2 ) − E k I k Pk = U k I k cos ϕ k = R k I k2 − E k I k cos ϕ k , Q k = U k I k sin ϕ k = X k I k2 − E k I k cos ϕ k PRk = R k I k2 , Q Zk = X k I k2 = Q Lk − Q k , cu Q Lk = X Lk I k2 şi Q Ck = − X Ck I k2 Deoarece Uk↑↑ Ik sensul de referinţă al puterilor este "putere primită" de dipol. Rezultă că sensurile fizice (reale) sunt: PR k > 0 , putere consumată, transformată ireversibil în căldură, Q Lk > 0 - putere consumată pentru magnetizare mediului din interiorul bobinei, Q Ck < 0 - putere generată de condensator. b) Latură cu sursă de curent în serie cu alte elemente de circuit

ik(t)

Rk

pk(t) i k (t ) = i Sk (t )

Lk Ck

ek(t) usk(t)

isk(t) uk(t)

Ik Sk

Zk

Ek

Isk

Usk SZk

SEk

Ssk

Uk

I k = I sk , U k = Z k I k − E k − U sk

6

Electrotehnică

u k (t ) = R k i k + L k

U sk = Z k I k − E k − U k Z k = R k + j(X L k − XCk ) = R k + j Xk

di k 1 + ∫ i dt − e k − u sk dt C k

*

*

*

2 S k = U k I sk , S Zk = Z k I sk , S Ek = E k I k , S sk = U sk I sk *

*

*

S k = U k I k = Z k I k2 − E k I k − U sk I sk = S Zk − S Ek − S Sk = Pk + j Q k 2 Pk = U k I sk cos ϕ k = R k I sk − E k I sk cos ϕ k − U sk I sk cos ϕ sk , 2 Q k = U k I sk sin ϕ k = X k I sk − E k I sk sin ϕ sk − U sk I sk sin ϕ sk .

Sistemul de ecuaţii Kirchhoff în complex j = 1, 2, .............(n-1), ∑ Ik = 0 l k ∈n j

⎡ ⎤ 1 ⎢ R k I k + j ωL k I k − j ωC I k − U sk ⎥ = ∑ E k , h = 1, 2, .............(l-n+1). l k ∈b h ⎣ ⎦ l k ∈bh k j = 1, 2, .............(n-1), ∑ Ik = 0

∑

l k ∈n j

∑ Z k I k − ∑ U sk

l k ∈bh

∑ Ek ,

=

l k ∈bh

l k ∈bh

h = 1, 2, .............(l-n+1).

Teorema conservării puterilor Enunţ: Suma algebrică a puterilor instantanee consumate de toate laturile unui circuit în regim armonic permanent cvasistaţionar este nulă. Reprezentând toate mărimile în complex teorema se poate enunţa: Suma algebrică a puterilor complexe consumate de toate laturile unui circuit în regim armonic permanent cvasistaţionar este nulă. l

l

∑ p( t ) = 0

∑ Sk =

k =1 l

∑ Z k I k2 =

k =1

k =1 l

l

∑ E k I k + ∑ U sk I sk *

k =1

*

l

∑ Uk Ik *

=0

k =1

- bilanţul puterilor complexe

k =1

Bilanţul puterilor se poate efectua şi separat pentru puterile activă şi reactivă. l

P = ∑ R k I k2 = Q=

k =1 l

∑ X k I k2

k =1

=

l

l

k =1 l

k =1

- bilanţul puterilor active

∑ E k I k cos ϕ ek + ∑ U sk I sk cos ϕ sk

∑ X Lk I k2

k =1

−

l

∑ X Ck I k2

=

k =1

l

∑ E k I k sin ϕ ek

k =1

+

l

∑ U sk I sk sin ϕ sk - bilanţul puterilor reactive

k =1

Teoremele divizoarelor de tensiune şi de curent

I

Z1 U1

U2

U1 = U

I2

U

Z2

Fig. 4. Divizorul de curent

I1 = I2 = I. Rezultă:

Z1 ; U2 = U Z1 + Z 2

I

U

Fig. 3. Divizorul de tensiune

Se cunosc: U, Z1, Z2 ;

Z1

I1

Z2

Z2 Z1 + Z 2

Se cunosc: I, Z1, Z2 ; U1 = U2 = U. Rezultă:

I1 = I

Z2 ; I2 = I Z1 + Z 2

Z1 Z1 + Z 2

Circuite electrice în regim sinusoidal

7

Algoritm de rezolvare sistematică a circuitelor în regim sinusoidal Ca în orice altă activitate, rezolvarea circuitelor conform unui algoritm format din etape şi paşi este mult uşurată şi este o metodă prin care greşelile pot fi evitate. Se propune următorul algoritm.

I. Cunoaşterea circuitului: 1) 2) 3)

determinarea numărului de laturi l, numărului de noduri n şi numărului de surse de curent nS ; rezultă n -1 numărul de ecuaţii Kirchhoff I independente şi l- n+1 numărul de ecuaţii Kirchhoff II; rezultă structura necunoscutelor: nS tensiuni necunoscute la bornele surselor de curent; l - nS curenţi prin laturi necunoscuţi. II. Alegeri:

1) alegerea sensurilor de referinţă unice pe laturi atât pentru curenţii laturilor cât şi pentru tensiunile la bornele laturilor şi notarea curenţilor; 2) alegerea setului de n -1 noduri la care se scriu ecuaţii Kirchhoff I independente, echivalentă cu alegerea unui nod de referinţă la care nu se scrie ecuaţie şi notarea nodurilor cu 1, 2, 3.... sau A, B, C,..; 3) alegerea setului de l- n +1 bucle la care se scriu ecuaţii Kirchhoff II independente, alegerea sensului de parcurs pe acestea şi notarea buclelor cu I, II, III, ... Se recomandă alegerea nodului de referinţă dintre cele care au numărul cel mai mare de laturi concurente. În cazul circuitelor cu surse de curent se recomandă alegerea buclelor astfel încât printr-o sursă de curent să nu treacă decât o singură buclă iar pe o buclă să nu se afle decât a singură sursă de curent. În acest fel se separă l- nS ecuaţii care conţin numai variabile curenţi şi nS ecuaţii ce conţin fiecare câte o singură tensiune necunoscută la bornele unei surse de curent.

III. Determinarea schemei echivalente în complex a circuitului: 1) calculul reactanţelor elementelor de circuit reactive, 2) determinarea impedanţelor complexe echivalente pe fiecare latură, 3) determinarea valorilor complexe ale tensiunilor electromotoare şi curenţilor electromotori ai surselor de curent, 4) desenarea schemei echivalente în complex, marcarea sensurilor de referinţă, a mărimilor complexe, nodurilor şi buclelor.

IV. Sistem de ecuaţii: 1) scrierea sistemului de l ecuaţii Kirchhoff în complex cu precizarea nodului sau buclei; 2) evidenţierea necunoscutelor (de exemplu: I1, Us2, I3, Us4, I5, I6); 3) rezolvarea sistemului de ecuaţii în complex; 4) verificarea rezolvării corecte prin scrierea ecuaţiei Kirchhoff la nodul de referinţă si verificarea că este o identitate, sau scrierea unei ecuaţii Kirchhoff II pe o buclă nefolosită şi verificarea că este o identitate; 5) determinarea valorilor instantanee ale variabilelor determinate.

IV. Calculul altor mărimi cerute prin enunţul problemei: 1) calculul puterilor complexe, active şi reactive ale laturilor; efectuarea bilanţului puterilor complexe sau separat ale puterilor active şi reactive; 2) calculul valorilor complexe şi instantanee ale tensiunilor laturilor; 3) calculul valorilor complexe şi instantanee ale potenţialelor nodurilor; 4) calculul valorilor complexe şi instantanee ale potenţialelor unor puncte şi al unor tensiuni precizate.

8

Electrotehnică

Probleme rezolvate de circuite în regim sinusoidal monofazat Problema 1 Se consideră circuitul din Fig. 1a. Se cere să se determine valorile instantanee ale curenţilor, tensiunilor la bornele laturilor şi potenţialelor nodurilor. Să se efectueze bilanţul puterilor active şi reactive.

i1(t) R1 L1 i2(t) R2

i3(t) R3

L2

L3

u(t)

C2

u ( t ) = 100 2 sin(400t +

3π ) 4

R1 = 3 Ω R2 = R3=2 Ω L1=12,5 mH L2=7,5 mH L3= 5 mH C2=0,5 mF

I1 S

Z1 U1 (I)

I2 Z2

U

1

I3 Z3 (II)

U2 1b)

1a)

Soluţii Circuitul din problema propusă are l = 3 laturi, n = 2 noduri şi ns = 0, iar cele l necunoscute ale problemei sunt curenţii laturilor i1(t), i2(t), i3(t). Sensurile de referinţă ale mărimilor necunoscute sunt alese arbitrar şi marcate prin săgeţi. Se propun sensurile de referinţă din Fig. 5b, unde este desenată schema echivalentă în complex şi sunt propuse notaţiile nodurilor şi sunt alese bucle şi sensurile de parcurs pe acestea. A fost ales nod de referinţă nodul de jos considerat de potenţial nul. Determinarea schemei echivalente în complex Calculul reactanţelor, impedanţelor şi valorii complexe a tensiunii la borne:

X L1 = ωL 1 = 400 ⋅ 12,5 ⋅ 10 −3 = 5Ω ;

Z1 = R1 + j XL1 = 3 + j 5; Z2 = R2 + j XL2 - j XC2 = 2 + j 3 - j 5 = 2 - j 2; Z3 = R3 + j XL3 = 2 + j 2 = 2 + j 2;

X L 2 = ωL 2 = 400 ⋅ 7,5 ⋅ 10 −3 = 3Ω ; X L 3 = ωL 3 = 400 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 2Ω 1 1 X C2 = = = 5Ω ; ωC 2 400 ⋅ 0,5 ⋅ 10 − 3

U = 100e

j

3π 4

= 50 2 ( −1 + j)

A) Metoda sistemului de ecuaţii Kirchhoff Metoda teoremelor lui Kirchhoff presupune scrierea a n – 1 = 1 ecuaţie independentă din prima teoremă Kirchhoff şi a l – n + 1 = 2 ecuaţii independente din a doua teoremă Kirchhoff. Pentru circuitul din Fig. 5b, sistemul de ecuaţii Kirchhoff este: Valorile instantanee sunt:

Rezultă:

I 1 = 10 2

(1) I1 = I2 + I3 (I) Z1 I1 + Z2 I2 = U (II) Z3 I3 - Z2 I2 = 0

I 2 = 10 e

j

I 31 = 10 e

π j e 2

3π 4 j

π 4

= 10 2 j

= 5 2 ( −1 + j) = 5 2 (1 + j)

Expresia bilanţului de puteri se poate scrie:

π i 1 (t ) = 20 sin( 400t + ) , 2 3π i 2 (t ) = 10 2 sin( 400t + ) , 4 π i 3 (t ) = 10 2 sin( 400t + ) . 4

*

S = U ⋅ I 1 = Z 1 ⋅ I 12 + Z 2 ⋅ I 22 + Z 3 ⋅ I 23 100e

j

3π 4

⋅ 10 2 e

−j

π 2

= ( 3 + 5 j)(10 2 ) 2 + ( 2 − 2 j)10 2 + ( 2 + 2 j)10 2

1000( 1+j) = 600 + 1000j + 200 - 200j + 200 + 200j; P = 1000W, Q = 1000 VAr

Circuite electrice în regim sinusoidal 9 Potenţialul unui punct se calculează ca tensiune de la acel punct la punctul de referinţă, plus potenţialul punctului de referinţă, deci: VM = UM0 + V0. Dacă V0 = 0 atunci VM = UM0. Rezultă că potenţialul nodului (1) este:

V1 = U10 = U2 = Z2ּI2 = (2 - 2j) 2(1 − j) ⋅ 5 2 ( −1 + j) = 20 2 j = 20 2 e v1(t) = 40 sin (400t + π/2).

j

π 2

, rezultă:

B) Metoda transfigurărilor electrice Circuitul din Fig. 1b poate fi transfigurat ca în Fig. 1c şi apoi ca în Fig. 1d:

I1

Z1 U1

U

I1

I1 Z23

Z U

U2

1d)

1c)

În continuare se determină latura echivalentă a laturilor 2 şi 3: π

Z 23

j Z2 Z3 = = 2 , Z = Z 1 + Z 23 = 3 + j5 + 2 = 5 + j5 = 5 2 e 4 . Z2 + R3

A rezultat o buclă parcursă de curentul I1, latura 1 rămânând nemodificată (Fig. 6a). Se scrie a doua teoremă Kirchhoff pe această buclă şi rezultă: j

3π 4

π

j U 100e 2 I1 = = = 10 2 e π Z j 5 2e 4

adică aceeaşi valoare ca şi în prima variantă de rezolvare. În continuare se poate calcula tensiunea între nodurile 1 şi 0 care este în acelaşi timp tensiunea la bornele laturii 2 şi laturii 3: j

π 2

U 10 = U 2 = U 3 = Z 23 I 1 = 2 ⋅ 10 2 e . Cum U 2 = U 3 = Z 2 I 2 = Z 3 I 3 rezultă I2 şi I3. Se poate aplica regula divizorului de curent şi astfel expresiile curenţilor I2 şi I3 sunt:

Z3 = 10 2 I 2 = I1 Z2 + R 3 Z2 = 10 2 I 3 = I1 Z2 + R 3

π j e2

π j e2

j

π 4

3π

j 2 2e = 10e 4 ; 2 + 2j + 2 − 2j −j

π 4

π

j 2 2e = 10e 4 . 2 + 2j + 2 − 2j

Rezultă aceleaşi valori ca în cazul metodei ecuaţiilor Kirchhoff.

Problema 2 Se consideră circuitul din Fig. 2a. Se cere să se determine valorile instantanee ale curenţilor, tensiunilor la bornele laturilor şi potenţialelor nodurilor. Să se calculeze puterile primite de laturi şi să se efectueze bilanţul puterilor active şi reactive.

Soluţii Circuitul din problema propusă are l = 3 laturi, n = 2 noduri şi ns = 0, iar cele l necunoscute ale problemei sunt curenţii laturilor i1(t), us(t), i3(t). Sensurile de referinţă ale mărimilor necunoscute sunt alese arbitrar şi marcate prin săgeţi. Se propun sensurile de referinţă din Fig. 7b, unde este desenată schema echivalentă în complex şi sunt propuse notaţiile nodurilor şi sunt alese bucle şi sensurile de parcurs pe acestea. A fost ales nod de referinţă nodul de jos considerat de potenţial nul.

10

Electrotehnică

i1(t) L1 R1

R3

e(t)

R1 = 3 Ω

i3(t) R2 is(t)

C3

I1

R2 = 2 Ω R3=2 Ω L1= 5 mH

E

C2=0,25 mF

C2

π e( t ) = 60 sin(1000 t + ), V 2 i s ( t ) = 6 sin 1000t , A

Z1

I3

1

Z2 (II)

Z3 (I)

C3= 0,5 mF

U3

Us

Is 2b)

2a)

Determinarea schemei echivalente în complex Calculul reactanţelor, impedanţelor şi valorii complexe a tensiunii la borne: Z1 = R1 + j XL1 = 3 + j 5 ; X L1 = ωL 1 = 1000 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 5Ω ; Z2 = R2 - j XC2 = 2 - j 4 ; 1 1 X C2 = = = 4 Ω ; Z3 = R3 - j XC3 = 2 - j 2; ωC 2 1000 ⋅ 0,25 ⋅ 10 − 3

X C3 =

1 1 = = 2Ω ωC 3 1000 ⋅ 0,5 ⋅ 10 − 3

E = 30 2e

j

π 2

I s = 3 2e j 0 = 3 2

= 30 2 j

A) Metoda sistemului de ecuaţii Kirchhoff Metoda teoremelor lui Kirchhoff presupune scrierea a n – 1 = 1 ecuaţie independentă din prima teoremă Kirchhoff şi a l – n + 1 = 2 ecuaţii independente din a doua teoremă Kirchhoff. Pentru circuitul din Fig. 7b, sistemul de ecuaţii Kirchhoff este: Valorile instantanee sunt: Rezultă: π (1) I1 = Is + I3 π j i 1 (t ) = 6 2 sin(1000 t + ) , (I) Z1 I1 + Z3 I3 = E I 1 = 6 e 4 = 3 2 (1 + j) 4 (II) Z2 Is - Us - Z3 I3 = 0 π

I3 = 3 2 e

j

2

U s = 18 2 e

π i 3 (t ) = 6 sin(1000 t + ) , 2 π u s (t ) = 36 sin(1000 t − ) . 2

=3 2j −j

π 2

= −18 2 j

Expresia bilanţului de puteri se poate scrie: *

*

E ⋅ I 1 + U s ⋅ I s = Z 1 ⋅ I 12 + Z 2 ⋅ I s2 + Z 3 ⋅ I 23 30 2e

j

π 2

⋅6 e

−j

π 4

+ 18 2 e

−j

π 2

3 2 = ( 3 + 5 j)(6) 2 + ( 2 − 4 j)( 3 2 ) 2 + ( 2 − 2 j)( 3 2 ) 2

180 (1+j) - 108 j = 108 + 180j + 36 - 72j + 36 - 36j; P = 180W, Q = 72 VAr Tensiunile şi puterile laturilor sunt:

U 1 = −E + Z 1 ⋅ I 1 = −30 2 j + ( 3 + 5 j)3 2 (1 + j) = 6 2 ( −1 − j) = 12 e U 2 = Z 2 ⋅ I s − U s = ( 2 − 4 j)3 2 + 18 2 j = 6 2 (1 + j) = 12 e U 3 = Z 3 ⋅ I 3 = ( 2 − 2 j) ⋅ 3 2 j = 6 2 (1 + j) = 12 e Valorile instantanee ale tensiunilor au expresiile:

j

π 4

,

j

π 4

,

−j

3π 4 ,

Circuite electrice în regim sinusoidal

u 1 (t ) = 12 2 sin(1000 t − Potenţialul nodului 1 este:

V 1 = U 10 = U 2 = 12 e

j

π 4,

11

π 3π ) , V; u 2 (t ) = u 3 (t ) = 12 2 sin(1000 t + ) , V. 4 4

π v 1 (t ) = 12 2 sin(1000 t + ) , V 4

B) Metoda transfigurărilor electrice Deoarece pe latura 2 (Fig.7b) este o sursă ideală de curent în serie cu o impedanţă, aceasta este în *

exces şi latura 2 este echivalentă cu o sursă de curent cu curent electromotor I s = I s , dar care are la borne tensiunea la bornele întregii laturi U2 şi nu de tensiunea Us, ca în Fig. 8a. Circuitul din Fig. 7 poate fi transfigurat ca în Fig. 8a şi apoi ca în Fig.8b: Se determină latura echivalentă a laturilor 2 şi 3:

Z 23 = Z 3 = 2 − 2 j , E 23 = Z 23 ⋅ I 3 = ( 2 − j2) ⋅ 3 2 = 6 2 (1 − j) . A rezultat o buclă parcursă de curentul I1, latura 1 rămânând nemodificată (Fig. 8b). Se scrie a doua teoremă Kirchhoff pe această buclă şi rezultă:

I1

E

Z1

I3 Z3

1

I1

E

Is* = Is

1

Z1

Z3 Z3 Is

U3

U3 a)

b) Fig. 8 π

j E + E 23 30 2 j + 6 2 (1 − j) 6 2 (1 = 4 j) 6 2 = = = (1 + 4 j)(5 − 3 j) = 3 2 (1 + j) = 6 e 4 I1 = Z 1 + Z 23 5 + 3j + 2 − 4j 5 + 3j 34

, adică aceeaşi valoare ca şi în prima variantă de rezolvare. Curentul prin latura 3 rezultă din ecuaţia j

π 2

Kirchhoff I: I 3 = I 1 − I s = 3 2 + 3 2 j − 3 2 = 3 2 j = 3 2 e În continuare se poate calcula tensiunea între nodurile 1 şi 0 care este în acelaşi timp tensiunea la bornele laturii 2 şi laturii 3: j

π 4

U 10 = U 2 = U 3 = − Z 1 I 1 + E 1 = −( 3 + 5 j) 3 2 (1 + j) + 30 2 j = 6 2 (1 + j) = 12 e . Tensiunea la bornele sursei de curent are expresia:

U s = Z 2 ⋅ I s − U 2 = ( 2 − 4 j) 3 2 − 6 2 − 6 2 j) = −18 2 j = 18 2 e Rezultă aceleaşi valori ca în cazul metodei ecuaţiilor Kirchhoff.

−j

π 2

12

Electrotehnică

Probleme propuse de circuite electrice în regim sinusoidal pentru teme de casă Pentru problemele propuse spre rezolvare să se determine, în raport cu sensuri de referinţă alese opţional, valorile complexe şi instantanee ale: - intensităţile curenţilor laturilor, - tensiunile la bornele laturilor, - potenţialele nodurilor, Să se calculeze puterile primite de laturi pe la borne şi să se efectueze bilanţul puterilor complexe sau bilanţul puterilor active şi reactive.

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

Circuite electrice în regim sinusoidal

P9

P11

P13

P15

13

P10

P12

P14

P16

14

Electrotehnică

L1 C1

R1

L1

R3

L2

C

is(t)

is(t)

e(t)

L3

L2

e(t)

R

R1 = 2 Ω, R3 = 1Ω

R = 5 Ω, L1 = L2 = L3 = 10 mH,

L1 =10 mH, L2 = 20 mH,

C = 0,2 mF

C1 = 10 mF

π⎞ ⎛ e(t ) = 16 sin ⎜100 t + ⎟ [ V] 4⎠ ⎝

i s = 4 2 cos 100 t [A] L5

R1

L2 L3

is(t)

L1 C1

P17

e(t)

R3 C 4

L5

L4

L4

C4

P18

L3

is(t) R4

R4

e(t)

R2 R5

R1

C2

L1

R1 = R2 = R4 = 10 Ω, R5 = 5 Ω,

R1 = R3 = R4 = 10 Ω, L1 = L2 = L4 = 5 mH, L3 = 10 mH,

L1 = L3 = L4 = 10 mH, L5 =5 mH,

L4 =5 mH, L5 =2,5 mH,

C2 = 100 µF, C4 = 50 µF,

C1 = 100 µF, C4 = 200/3 µF

e(t ) = 200 2 cos 1000 t [V ]

e(t ) = 100 2 cos 1000 t [V ] i s = 20 2 sin 1000 t [ A]

π⎞ ⎛ i s = 2 sin ⎜ 500 t + ⎟ [A ] 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ e(t ) = 5 2 sin ⎜ 500 t + ⎟ [V ] 2⎠ ⎝

P19

i s = 20 2 sin 1000 t [A]

P20

π⎞ ⎛ e(t ) = 100 sin ⎜100 t + ⎟ [V] 4⎠ ⎝ 3π ⎞ ⎛ i s = 10 sin ⎜100 t + ⎟ [A] 4 ⎠ ⎝

π⎞ ⎛ e(t ) = 64 sin ⎜100 t − ⎟ [V] 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ i s = 2 2 sin ⎜100 t + ⎟ [A] 2⎠ ⎝

P21

P22