Chap1 Vibration Longitudinales [PDF]

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Chapitre I

Vibrations longitudinales

I.1 Introduction Une poutre est sollicitée en traction simple (ou en compression simple ) lorsq’elle est soumise à deux forces directement opposées,appliquées au centre de surface des sections exterme et qui tendent à l’allonger (à la comprimer en cas de compression )[3]. L’objectif de ce chapitre est de déterminer les fréquences naturelles d’une barre engendrées par les déplacements longitudinaux (c’est à dire le long de l’axe neutre de la poutre ), ce qui correspond, ainsi, à une excitation dans l’axe de la poutre. I.2 Vibrations longitudinales libres Considérons une barre de longueur L et de section transversale constante S.

Figure I.1 : Barre de longueurL

Figure I.2 : élément d’une barre.

.

Prenons un petit élément de la barre d’une épaisseur dx (voir figure I.2). La deuxième loi de Newton, nous permet d’écrire : 𝝆 𝑺 𝒅𝒙

𝝏𝟐 𝒖(𝒙,𝒕) 𝝏𝒕𝟐

= 𝑵 + 𝒅𝑵 − 𝑵

(1.1)

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Chapitre I

Vibrations longitudinales

Avec:  𝝆 : masse volumique de la barre,  𝑺 : section droite de la barre,  𝒖(𝒙, 𝒕) : déplacement d’ensemble dans la direction longitudinale de chaque section droite à l’abscice x et à l’instant t.  𝑵 et𝒅𝑵 : efforts axiaux. Après simplification l’équation (1.1) devient : 𝝆 𝑺 𝒅𝒙

𝝏𝟐 𝒖(𝒙,𝒕) 𝝏𝒕𝟐

= 𝒅𝑵

(1.2)

La déformation ε à une position x est donnée par la relation suivante [Crandall 99] : 𝜺=

𝝏𝒖

(1.3)

𝝏𝒙

En appliquant la loi de Hooke, on obtient la relation suivante ; 𝑵=𝑬𝑺

𝝏𝒖

(1.4)

𝝏𝒙

Où 𝑬 : Module de young. Si on dérive l’équation (1.4), on trouve : 𝒅𝑵 = 𝑬 𝑺

𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝒙𝟐

𝒅𝒙

(1.5)

𝒅𝒙

(1.6)

On remplace (1.5) dans (1.2) 𝝆 𝑺 𝒅𝒙

𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝒕𝟐

𝝏𝟐 𝒖

=𝑬𝑺

𝝏𝒙𝟐

Pour une section constante, cette relation se simplifier à la relation suivante : 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝒕𝟐

𝑬 𝝏𝟐 𝒖

= 𝝆 𝝏𝒙𝟐

(1.7)

Finalement, l’équation de propagation des ondes longitudinales, s’écrit comme suit : 𝝏𝟐 𝒖(𝒙,𝒕) 𝝏𝒙𝟐

𝟏 𝝏𝟐 𝒖(𝒙,𝒕)

− 𝒄𝟐 𝑳

𝝏𝒕𝟐

=𝟎

(1.8) 𝑬

avec 𝒄𝑳 est la vitesse de propagation des ondes longitudinales (𝒄𝑳 = √𝝆). La solution de l’équation aux dérivées partielles (1.8), est obtenue par séparation de variables, ainsi on pose : 3

Chapitre I

Vibrations longitudinales

𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝒈(𝒙) ∗ 𝒉(𝒕)

(1.9)

En remplaçant (1.9) dans (1.8), on obtient :

𝟏 𝝏𝟐 𝒉(𝒕) 𝒉(𝒕)

𝝏𝒕𝟐

𝟏 𝝏𝟐 𝒈(𝒙)

= 𝒄𝟐𝑳 𝒈(𝒙)

𝝏𝒙𝟐

= 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = −𝝎𝟐

(1.10)

L’équation (1.10) peut se mettre sous la forme suivante : 𝝏𝟐 𝒈(𝒙) 𝝏𝒙𝟐

+

𝝎𝟐 𝒄𝟐𝑳

𝒈(𝒙) = 𝟎 (1.11)

𝝏𝟐 𝒉(𝒕)

{

𝝏𝒕𝟐

+ 𝝎𝟐 𝒉(𝒕) = 𝟎

Les solutions du système (1.11) sont :

{

𝝎

𝝎

𝑳

𝑳

𝒈(𝒙) = 𝜶 𝒄𝒐𝒔 (𝑪 𝒙) + 𝜷 𝒔𝒊𝒏(𝑪 𝒙)

(1.12)

𝒉(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝝎 𝒕) + 𝑩 𝒔𝒊𝒏(𝝎 𝒕)

𝜶, 𝜷, 𝑨 𝒆𝒕 𝑩:Sont des constantes qui dépendent des conditions aux limites. I.3. Fréquences naturelles Pour tous les cas étudiés dans ce travail afin de vérifier les expressions trouvées, nous allons calculer, analytiquement, les cinq premières fréquences naturelles d’une poutre de :     

Longeur =1m , Module de Young=210 GPa ; Masse volumique =7850 kg/m3. Coefficient de poisson =0.3 Section carrée (0.1*0.1 m2)

Et les comparer à celles trouvés par le code de calcul par éléments finis ABAQUS.

Figure I.3 : Modélisation de la barre Encastrée-Libre sous Abaqus. I.3.1. barre encastrée-libre (E-L) 4

Chapitre I

Vibrations longitudinales

Dans ce cas, les conditions aux limites sont [5] :  

Déplacement nul à l’extimité encastrée ; Contrainte nulle à l’extrimité libre.

Ainsi : 𝒈(𝟎) = 𝜶 = 𝟎 { 𝒈̇ (𝑳) =

𝝎 𝑪𝑳

(1.13)

𝝎

𝜷 𝒄𝒐𝒔 (𝑪 𝑳) = 𝟎 𝑳

La résolution de la deuxième équation du système (1.13), permet d’obtenir les pulsations naturelles, qui ont l’expression suivante : 𝝎𝒏 =

(𝟐𝒏−𝟏) 𝝅 𝑳

𝟐

𝑬

√𝝆

(1.14)

D’où les fréquences naturelles : 𝒇𝒏 =

𝝎𝒏 𝟐𝝅

=

(𝟐𝒏−𝟏) 𝟒𝑳

𝑬

√𝝆

(1.15)

Le tableau 1.1 compare les cinq premières fréquences naturelles obtenues par Matlab à celles trouvées par Abaqus. On constate que les valeurs sont presque semblables. Tableau 1.1 : Comparaison des résultats obtenus pour une barre E.L. Ordre 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝒇𝟒 Fréquences Matlab 1293.048 3879.145 6465.242 9051.339 naturelles (Hz) Abaqus 1293.0 3879.1 6464.8 9050.2

𝒇𝟓 11637.436 11635

I.3.2. barre encastrée-encastrée (E-E) Ce cas est marqué par un déplacement nul aux deux extrémités, Ainsi : 𝒈(𝟎) = 𝜶 = 𝟎 {

(1.16)

𝝎

𝒈(𝑳) = 𝜷 𝒔𝒊𝒏 (𝑪 𝑳) = 𝟎 𝑳

La résolution de (1.16) conduit au résultat suivant : 𝝎𝒏 =

𝒏 𝝅 𝑳

𝑬

√𝝆

(1.17)

D’où les fréquences naturelles :

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Chapitre I

Vibrations longitudinales 𝒏

𝑬

𝒇𝒏 = 𝟐𝑳 √𝝆

(1.18)

Les valeurs analytiques trouvées sont très proches des valeurs numériques, comme c’est indiqué sur le tableau 1.2. Tableau 1.2 : Comparaison des résultats obtenus pour une barre E.E. Ordre 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝒇𝟒 Fréquences Matlab 2886.097 5172.194 7758.291 10344.388 naturelles (Hz) 2886.1 5172.0 7757.6 10343 Abaqus

𝒇𝟓 12930.485 12927

I.3.3. barre libre-libre (L-L) Les deux extrémités de la barre ne sont soumises à aucune contrainte, Ainsi : 𝒈̇ (𝟎) = 𝜷 = 𝟎 {

𝝎

𝝎

𝑳

𝑳

(1.19)

𝒈̇ (𝑳) = − 𝑪 𝜶 𝒔𝒊𝒏 (𝑪 𝑳) = 𝟎 La deuxième équation du système de (1.19) a les deux solutions : 𝝎=𝟎 𝒐𝒖 { 𝝎 𝒔𝒊𝒏 (𝑪 𝑳) = 𝟎

(1.20)

𝑳

Ainsi, les pulsations naturelles ont l’expression suivante 𝝎𝒏 =

(𝒏−𝟏) 𝝅 𝑳

𝑬

√𝝆

(1.21)

D’où les fréquences naturelles : 𝒇𝒏 =

𝒏−𝟏 𝟐𝑳

𝑬

√𝝆

Tableau 1.3 : Comparaison des résultats obtenus pour une barre L.L. Ordre 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝒇𝟒 Fréquences Matlab 0 2886.097 5172.194 7758.291 naturelles (Hz) 2886.1 5172.0 7757.6 Abaqus 0

(1.22)

𝒇𝟓 10344.388 10343

Le tableau 1.3 montre clairement que les résultats trouvés sont comparables à celle données par Abaqus. I.3.4. barre encastrée-ressort (E-R) Les conditions aux limites correspondant à cette situation sont les suivantes : 6

Chapitre I

Vibrations longitudinales



Déplacement nul à l’extimité encastrée ;



Extrémité fixée à un ressort de raideur K : 𝑲 𝒖 = 𝑬 𝑺 𝝏𝒙 .

𝝏𝒖

Ce qui conduit au système suivant : 𝒈(𝟎) = 𝜶 = 𝟎 {

𝝎

𝝎

𝑳

𝑪𝑳

𝑲 𝒔𝒊𝒏(𝑪 𝑳) = 𝑬 𝑺

(1.23)

𝝎

𝒄𝒐𝒔 (𝑪 𝑳) 𝑳

La deuxième équation du système peut se mettre sous la forme suivante : 𝑲𝑳

=

𝑬𝑺

𝑳 𝝎 𝑪𝑳

𝝎

𝒄𝒐𝒕 (𝑪 𝑳)(1.24) 𝑳

Si on pose : 𝝎𝒏 =

𝑪𝑳 𝑳

𝝀𝒏 (1.25)

Alors : 𝑲𝑳 𝑬𝑺

= 𝝀𝒏 𝒄𝒐𝒕(𝝀𝒏 )(1.26)

Afin de résoudre l’équation non linéaire (1.26), on a utilisé la méthode de dichotomie pour calculer les cinq premières racines positifs. Les cinq premières pulsations naturelles sont calculées à l’aide de la relation (1.25). Identiquement, aux cas étudiés précédemment, les valeurs analytiques sont très proches de valeurs numériques. Tableau 1.4 : Comparaison des résultats obtenus pour une barre E.R (K= 10000 N/m). Ordre 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝒇𝟒 𝒇𝟓 1293.048 3879.145 6465.242 9051.339 11637.436 Fréquences Matlab 1293.0 3879.1 6464.8 9050.2 11635 naturelles (Hz) Abaqus I.3.5. barre encastrée-masse (E-M) Dans ce cas les conditions aux limites sont : 

Déplacement nul à l’extimité encastrée ;



Extrémité fixée à un masse ponctuelle m : −𝒎 𝝏𝒕𝟐 = 𝑬 𝑺 𝝏𝒙 .

𝝏𝟐 𝒖

𝝏𝒖

Ainsi on obtient le système suivant : 𝒈(𝟎) = 𝜶 = 𝟎 {

𝒎𝝎 𝝆 𝑪𝑳

𝝎

𝝎

𝑳

𝑳

(1.27)

𝒔𝒊𝒏(𝑪 𝑳) = 𝑺 𝒄𝒐𝒔 (𝑪 𝑳) 7

Chapitre I

Vibrations longitudinales

Du système (1.27) on obtient la relation suivante : 𝒎

𝑳 𝝎

𝝆𝑳𝑺

𝝎

( 𝑪 ) = 𝒄𝒐𝒕 (𝑪 𝑳)(1.28) 𝑳

𝑳

Si on pose : 𝝎𝒏 =

𝑪𝑳 𝑳

𝝀𝒏 (1.29)

Alors : 𝒎

(𝝆 𝑳 𝑺) 𝝀𝒏 = 𝒄𝒐𝒕(𝝀𝒏 )(1.30) La méthode de Dichotomie est utilisée pour l’identification des cinq premières racines positives de l’équation (1.30). En injectant, les valeurs trouvées dans (1.29) on obtient les cinq premières pulsations naturelles. Tableau 1.5 : Comparaison des résultats obtenus pour une barre E.M (m=0.1 kg). Ordre 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝒇𝟒 𝒇𝟓 Fréquences Matlab 1291.403 3874.210 6457.017 9039.824 11622.632 naturelles (Hz) Abaqus 0 1291.4 3874.1 6456.6 9038.7

Pour ce cas on constate que Abaqus donne une première fréquence nulles alors que la fréquence f n correspond à la fréquence fn-1trouvée par le calcul analytique.

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