Vibration de Systèmes Continus [PDF]

Zitiervorschau

Vibration de systèmes continus L. Champaney Notes du cours du Dynamique des Constructions

Sommaire 1 Vibrations longitudinales d’une barre 1.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . 1.2 Fréquences et modes propres . . . . . 1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Mise en évidence d’une base modale 1.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . .

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2 Vibrations de torsion d’une poutre 3 Vibration de flexion d’une poutre 3.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . 3.2 Fréquences et modes propres . . . . . 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Mise en évidence d’une base modale 3.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . .

2 2 2 3 4 5 6

. . . . . 1

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6 6 7 7 8 10

ENSMP - Dynamique des Constructions

1

Vibration de Systèmes Continus

Vibrations longitudinales d’une barre

1.1

Vibrations libres

Les variables considérées sont : =

∂u ∂x

(1)

N = ES

L’équation d’équilibre local est : dN ∂2u = ρS 2 dx ∂t   ∂ ∂u ρS ∂ 2 u S = ∂x ∂x E ∂t2

soit :

(2)

(3)

qui devient : ∂2u 1 ∂2u = 2 2 2 ∂x c ∂t

(c2 =

E ) ρ

(4)

Energie potentielle : 1 V= 2

Z

1 σdΩ = 2 Ω

Z

L

 ES

0

∂u ∂x

2 dx

(5)

Energie cinétique  2 2 Z  2 2 Z 1 ∂ u ∂ u 1 L ρ ρS dΩ = dx 2 Ω ∂t2 2 0 ∂t2 Les conditions aux limites possibles sont : – déplacement imposé nul aux extrémités : T =

u(0, t) = 0

et/ou

u(L, t) = 0

et/ou

∂u (L, t) = 0 ∂x

(6)

– effort imposé nul aux extrémités : ∂u (0, t) = 0 ∂x

1.2

Fréquences et modes propres

On effectue une séparation des variables : u(x, t) = U (x)T (t)

(7)

L’équilibre devient : 1 d2 T 1 d2 U = = cste (8) U dx2 c2 dt2 On a égalité de deux fonctions de variables indépendantes. Les deux fonctions sont donc égales à une constante. Cette constante est choisie négative pour assurer la stabilité de la solution en temps : 1 d2 T ω2 1 d2 U = = − (9) U dx2 c2 dt2 c2 ce qui donne  2  d U  ω 2    U (x) = A sin ωx + B cos ωx  2 + U =0 dx c c c ⇒ (10) 2  T (t) = C sin ωt + D cos ωt  d T  2  + ω T = 0 dt2 Les constantes A, B, C et D sont calculées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites. ENSMP

2

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

1.3 1.3.1

Vibration de Systèmes Continus

Exemples Barre libre aux deux extrémités

Les conditions aux limites : ∂u (0, t) = 0 ∂x donnent :    ω   c

A  A cos

∂u (L, t) = 0 ∂x

et

ωL ωL − B sin c c

ω (C sin ωt + D cos ωt) = 0 c 

(11)

(C sin ωt − D cos ωt) = 0

qui a pour solution non triviale :  

A=0 ωL  sin =0 c Les modes possibles de vibration sont donc caractérisés par : ωL = iπ c

(12)

(13)

Les «pulsations propres» de vibration sont donc : πc π ωi = i =i L L

s

E ρ

(14)

et les «modes propres» associés : Ui (x) = cos

iπx L

(15)

La solution générale du problème de vibration est donc : u(x, t) =

∞ X i=0

cos

iπx (Ci cos ωi t + Di sin ωi t) L

(16)

où les constantes Ci et Di dépendent des conditions initiales. 1.3.2

Barre encastrée-libre

Les conditions aux limites : u(0, t) = 0

et

∂u (L, t) = 0 ∂x

conduisent à :

ωL =0 c Les «pulsations propres» de vibration sont donc :

(17)

cos

π ωi = (2i − 1) 2L

s

E ρ

(18)

πx 2L

(19)

et les «modes propres» associés : Ui (x) = sin(2i − 1)

ENSMP

3

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

1.3.3

Vibration de Systèmes Continus

Barre encastrée-encastrée

Les conditions aux limites : et

u(0, t) = 0

u(L, t) = 0

conduisent à :

ωL =0 c Les «pulsations propres» de vibration sont donc :

(20)

sin

π ωi = i L

1.4 1.4.1

s

E ρ

(21)

Mise en évidence d’une base modale Orthogonalité des modes

Les modes propres Ui (x) sont caractérisés par l’équation caractéristique : (ESUi0 )0 = −ωi2 ρSUi

(22)

en multipliant chaque membre par un autre mode Uj et en intégrant sur la barre, on obtient : L

Z

L

Z

(ESUi0 )0 Uj dx

ωi2 ρSUi Uj dx

=−

0

(23)

0

En intégrant par partie le premier terme on obtient : h

ESUi0 Uj

Z

iL

L

−

0

ESUi0 Uj0 dx

=

−ωi2

0

Z

L

ρSUi Uj dx

(24)

0

Le premier terme est nul car, aux extrémités, la barre est soit encastrée (Ui = Uj = 0) soit libre (Ui0 = Uj0 = 0). Il reste : Z L Z L 0 0 2 ESUi Uj dx = ωi ρSUi Uj dx (25) 0

0

En répétant la même opération en remplaçant l’équation (22) par : (ESUj0 )0 = −ωj2 ρSUj

(26)

en multipliant chaque membre par Ui , en intégrant sur la barre est en suivant la même procédure que ci-dessus ont obtient : L

Z

ESUi0 Uj0 dx

=

ωj2

Z

0

L

ρSUi Uj dx

(27)

0

En retirant l’équation 25 de l’équation 27 on obtient : (ωi2

−

ωj2 )

Z

L

ρSUi Uj dx = 0

(28)

0

Lorsque i 6= j, les deux fréquences sont différentes et on obtient alors la propriété : Z

L

ρSUi Uj dx = 0,

si i 6= j

(29)

0

ENSMP

4

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

Vibration de Systèmes Continus

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur ρS, appelé opérateur de masse. En injectant cette propriété dans l’équation 25 ou dans l’équation 27, on obtient : Z

L

ESUi0 Uj0 dx = −

Z

L

(ESUi0 )0 Uj = 0,

si i 6= j

(30)

0

0

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur de raideur d d ( dx (ES dx ). 1.4.2

Normalisation

Lorsqu’on considère deux fois le même mode (i = j), on normalise en général le mode Ui de manière à ce que : Z L ρSUi2 dx = 1 (31) 0

La condition d’orthonormalité des modes par rapport à la masse peut donc s’écrire : L

Z

(32)

ρSUi Uj dx = δij 0

Dès lors qu’on fait cette normalisation, on obtient : Z

L

2

ESUi0 dx = −

0

1.5

L

Z

(ESUi0 )0 Ui = ωi2

(33)

0

Vibrations forcées

Lorsque qu’on force la vibration par un effort f (x, t), l’équation d’équilibre devient :   ∂ ∂u ρS ∂ 2 u + f (x, t) = 0 S − ∂x ∂x E ∂t2

(34)

On cherche une solution décomposée dans la base modale : u(x, t) =

∞ X

(35)

qj (t)Uj (x)

j=0

En introduisant cette décomposition dans l’équation d’équilibre (34), en multipliant chaque membre par Ui et en intégrant le long de la barre on obtient : Z 0

L

Z ∞ X ρSUi ( q¨j (t)Uj (x))dx − j=0

L

Z ∞ X 0 0 Ui ( (qj (t)ESUj (x)) )dx =

0

Z Qi (t) =

Ui f (x, t)dx

(36)

0

j=0

Le terme

L

L

Ui f (x, t)dx

(37)

0

est appelée projection de la force imposée sur le mode i. En utilisant les propriétés d’orthonormalité des modes, ils reste : q¨i (t) + ωi2 qi (t) = Qi (t),

i = 0...∞

(38)

La résolution du problème de vibrations forcées se ramène à la résolution d’un ensemble de systèmes scalaires à un degré de libertés indépendant. ENSMP

5

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

2

Vibration de Systèmes Continus

Vibrations de torsion d’une poutre Les variables considérées sont : χt =

∂θ ∂x

(39)

Mt = GI0 χt

L’équation d’équilibre local est : dMt = ρI0 θ¨ dx soit : ∂ ∂x

 I0

∂u ∂x

 =

(40)

ρI0 ∂ 2 u G ∂t2

(41)

Cette forme est identique à celle obtenue pour un problème de vibration longitudinale de barre. Les solutions sont du même type.

3

Vibration de flexion d’une poutre

3.1

Vibrations libres

Les variables considérées sont : – le déplacement radial : v(x, t) ∂v (hypothèse de Bernoulli) – la rotation de la section : θ(x, t) = ∂x ∂θ – la courbure : χf = ∂x – le moment fléchissant Mf = EIχf – ł’effort tranchant Tt Les équations d’équilibre local sont :  ∂T ∂2v   t + ρS 2 = 0 ∂x ∂t  ∂M f  − Tt = 0 ∂x

(42)

Ici, on a négligé les termes d’inertie dus à la rotation des sections devant les termes d’inertie du à leur translation. En éléminant l’effort tranchant, on obtient : ∂ 2 Mf ∂2v + ρS 2 = 0 2 ∂x ∂t

(43)

∂4v ρS ∂ 2 v + =0 4 ∂x EI ∂t2

(44)

qui devient :

Energie potentielle : V=

1 2

Z

L

 EI

0

∂2v ∂x2

2 (45)

dx

Energie cinétique T =

1 2



Z ρ Ω

∂2v ∂t2

2 dΩ =

1 2

Z

L

 ρS

0

∂2v ∂t2

2 dx

(46)

Les conditions aux limites possibles sont : – déplacement imposé nul aux extrémités : v(0, t) = 0

ENSMP

et/ou 6

v(L, t) = 0

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

Vibration de Systèmes Continus

– rotation imposée nulle aux extrémités : ∂v (0, t) = 0 ∂x

et/ou

∂v (L, t) = 0 ∂x

et/ou

∂2v (L, t) = 0 ∂x2

et/ou

∂3v (L, t) = 0 ∂x3

– moment imposé nul aux extrémités : ∂2v (0, t) = 0 ∂x2 – effort imposé nul aux extrémités : ∂3v (0, t) = 0 ∂x3

3.2

Fréquences et modes propres

On effectue une séparation des variables : v(x, t) = V (x)T (t)

(47)

EI 1 d4 V 1 d2 T =− = cste 4 ρS V dx T dt2

(48)

L’équilibre devient :

On a égalité de deux fonctions de variables indépendantes. Les deux fonctions sont donc égales à une constante. Cette constante est choisie positive pour assurer la stabilité de la solution en temps : EI 1 d4 V 1 d2 T =− = +ω 2 (49) 4 ρS V dx T dt2 ce qui donne  4 d V    4 − β4V = 0 dx 2  d   T + ω2 T = 0 dt2

( ⇒

U (x) = Achβx + Bshβx + C cos βx + D sin βx T (t) = E sin ωt + F cos ωt

(50)

avec

ρSω 2 EI Les constantes A, B, C, D, E et F sont calculées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites. β4 =

3.3 3.3.1

Exemples Poutre en appuis simples

Les conditions aux limites : v(0, t) = v(L, t) = 0 donnent :

          

ENSMP

et v 00 (O, t) = v 00 (L, t) = 0 A+C =0 2

β (A − C) = 0 AchβL + BshβL + C cos βL + D sin βL = 0
2 β AchβL + BshβL − C cos βL − D sin βL = 0 7

(51)

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

Vibration de Systèmes Continus

qui a pour solution non triviale :   

A=C=0 BshβL = 0 ⇒ B = 0   D sin βL = 0

(52)

Les modes possibles de vibration sont donc caractérisés par : iπ L

βi =

(53)

Les «pulsations propres» de vibration sont donc : s ωi = i2 π 2

EI ρSL4

(54)

iπx L

(55)

et les «modes propres» associés : Vi (x) = sin

La solution générale du problème de vibration est donc : u(x, t) =

∞ X i=0

sin

iπx (Ei cos ωi t + Fi sin ωi t) L

(56)

où les constantes Ei et Fi dépendent des conditions initiales. 3.3.2

Poutre encastrée-libre

Les conditions aux limites : v(0, t) = v 0 (0, t) = 0

et v 00 (L, t) = v 000 (L, t) = 0

donnent : A+C =0 B+D =0  AchβL + B cos βL + CshβL + D sin βL = 0  
 2 β AchβL + B cos βL − CshβL − D sin βL = 0     

(57)

qui une solution non triviale si : chβL + cos βL shβL + sin βL = shβL − sin βL chβL + cos βL

(58)

chβL cos βL + 1 = 0

(59)

soit : dont les solutions sont : β1 = 1.875, β2 = 4.694, ...

3.4 3.4.1

Mise en évidence d’une base modale Orthogonalité des modes

Les modes propres Vi (x) sont caractérisés par l’équation caractéristique : (EIVi00 )00 = ωi2 ρSVi ENSMP

8

(60) L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

Vibration de Systèmes Continus

en multipliant chaque membre par un autre mode Vj et en intégrant sur la poutre, on obtient : Z L Z L 00 00 (EIVi ) Vj dx = − ωi2 ρSVi Vj dx (61) 0

0

En intégrant deux fois par partie le premier terme on obtient : Z iL Z L h iL h 00 00 2 00 0 00 0 EIVi Vj dx = ωi (EIVi ) Vj − EIVi Vj + 0

0

L

ρSVi Vj dx

(62)

0

0

Le premier terme est nul car, aux extrémités, la barre est soit appuyée (Vi = Vj = 0) soit libre d’effort (Vi000 = Vj000 = 0). Le deuxième terme est aussi nul car, aux extrémités, la barre est soit à rotation bloquée (Vi0 = Vj0 = 0) soit libre de moment (Vi00 = Vj00 = 0). Il reste : Z L Z L EIVi00 Vj00 dx = ωi2 ρSVi Vj dx (63) 0

0

En répétant la même opération en remplaçant l’équation (60) par : (EIVj00 )00 = ωj2 ρSVj

(64)

en multipliant chaque membre par Vi , en intégrant sur la barre est en suivant la même procédure que ci-dessus ont obtient : Z L Z L EIVi00 Vj00 dx = ωj2 ρSVi Vj dx (65) 0

0

En retirant l’équation 63 de l’équation 65 on obtient : Z L 2 2 (ωi − ωj ) ρSVi Vj dx = 0

(66)

0

Lorsque i 6= j, les deux fréquences sont différentes et on obtient alors la propriété : Z L ρSVi Vj dx = 0, si i 6= j

(67)

0

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur ρS, appelé opérateur de masse. En injectant cette propriété dans l’équation 63 ou dans l’équation 65, on obtient : Z L Z L 00 00 (EIVi ) Vj dx = EIVi00 Vj00 = 0, si i 6= j (68) 0

0

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur de raideur d2 d2 ( dx 2 (EI dx2 ). 3.4.2

Normalisation

Lorsqu’on considère deux fois le même mode (i = j), on normalise en général le mode Vi de manière à ce que : Z L ρSVi2 dx = 1 (69) 0

La condition d’orthonormalité des modes par rapport à la masse peut donc s’écrire : Z L ρSVi Vj dx = δij

(70)

0

Dès lors qu’on fait cette normalisation, on obtient : Z L Z L 2 EIVi00 dx = (EIVi00 )00 Vi = ωi2 0

ENSMP

(71)

0

9

L. Champaney

ENSMP - Dynamique des Constructions

3.5

Vibration de Systèmes Continus

Vibrations forcées

Lorsque qu’on force la vibration par un effort radial f (x, t), l’équation d’équilibre devient :   ∂2 ∂2v ∂2u EI + ρS 2 = f (x, t) (72) 2 2 ∂x ∂x ∂t On cherche une solution décomposée dans la base modale : v(x, t) =

∞ X

qj (t)Vj (x)

(73)

j=0

En introduisant cette décomposition dans l’équation d’équilibre (72), en multipliant chaque membre par Vi et en intégrant le long de la barre on obtient : q¨i (t) + ωi2 qi (t) = Qi (t),

i = 0...∞

(74)

en utilisant les propriètés d’orthonormalité des modes. Le terme L

Z Qi (t) =

Vi f (x, t)dx

(75)

0

est appelée projection de la force imposée sur le mode i. La résolution du problème de vibrations forcées se ramène à la résolution d’un ensemble de systèmes scalaires à un degré de liberté indépendants.

ENSMP

10

L. Champaney