Pré L'examen de Vibration [PDF]

Zitiervorschau

2èmeAnnée LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif

Contrôle de Physique 3

Faculté de technologie

02 Février 2011

Tronc Commun S.T.

Temps alloué : 1h30

Exercice 1 : Questions de cours (05 points) Répondez avec vrai ou faux : 1. La forme générale des équations différentielles d’un système à 2 degrés de liberté, dans un couplage élastique sont de la forme : 𝒂𝟏 𝒙̈ 𝟏 + 𝐛𝟏 𝒙̇ 𝟏 + 𝐜𝟏 𝒙𝟏 = 𝒅𝟏 𝒙̈ 𝟐 + 𝒇𝟏 𝒙𝟐 �𝒂𝟐 𝒙̈ 𝟐 + 𝐛𝟐 𝒙̇ 𝟐 + 𝐜𝟐 𝒙𝟐 = 𝒅𝟐 𝒙̈ 𝟏 + 𝒇𝟐 𝒙 𝟏

2. La forme générale des équations différentielles d’un système à 2 degrés de liberté, dans un couplage inertiel sont de la forme :

𝒂𝟏 𝒙̈ 𝟏 + 𝐛𝟏 𝒙̇ 𝟏 + 𝐜𝟏 𝒙𝟏 = 𝒅𝟏 𝒙̈ 𝟐 + 𝒇𝟏 𝒙𝟐 �𝒂𝟐 𝒙̈ 𝟐 + 𝐛𝟐 𝒙̇ 𝟐 + 𝐜𝟐 𝒙𝟐 = 𝒅𝟐 𝒙̈ 𝟏 + 𝒇𝟐 𝒙 𝟏

3. La forme générale des équations différentielles d’un système à 2 degrés de liberté, dans un couplage visqueux sont de la forme :

𝒂𝟏 𝒙̈ 𝟏 + 𝐛𝟏 𝒙̇ 𝟏 = 𝒅𝟏 𝒙̇ 𝟐 �𝒂𝟐 𝒙̈ 𝟐 + 𝐛𝟐 𝒙̇ 𝟐 = 𝒅𝟐 𝒙̇ 𝟏

Les équations du mouvement d'un système à deux degrés de liberté sont couplées. Dans un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté. Les modes d’oscillations ne peuvent pas être utilisés pour trouver la solution des équations différentielles. Dans un système à plusieurs degrés de liberté, les valeurs propres peuvent être complexes. Le couplage élastique est également connu sous le nom de "couplage dynamique" tandis que le couplage inertiel est également connu sous le nom de "couplage statique". 9. Le nombre de degrés de liberté d'un système vibratoire ne dépend que du nombre des masses. 10. Dans un système à plusieurs degrés de liberté, l'équation de Lagrange ne peut pas être utilisée pour déduire les équations du mouvement.

4. 5. 6. 7. 8.

Exercice 2(09 points) Le système de la figure N°1 est constitué d’une masse 𝒎, d’un ensemble de ressorts 𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 , 𝒌𝟑 et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement visqueux 𝜶. 1. Trouver le système équivalent. On donne : 𝒌𝟏 = 𝒌, 𝒌𝟐 = 𝒌𝟑 = 𝟐𝒌. I. Etude du système libre non amorti 1. Trouver l’équation différentielle du mouvement. 2. Déduire la pulsation propre 𝝎𝟎 et la solution de l’équation différentielle du mouvement. II. Etude du système libre amorti 1. Donner l’équation différentielle du mouvement. 2. 3.

1. 2. 3.

𝒌𝐦

On donne 𝛂 = �

𝟖

𝒌𝟑

𝒌𝟐 𝒙(𝐭)

, calculer le facteur d’amortissement 𝜹 puis la pulsation des oscillations

𝒎 𝜶

𝒌𝟏 amorties 𝝎𝒂 . Donner la solution de l’équation différentielle du mouvement dans le cas des oscillations faiblement amorties. III. Etude du système forcé amorti Figure N°1 Le système est soumis à une force extérieure 𝐅(𝐭) = 𝐅𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛀𝐭 appliquée à la masse 𝒎. Etablir l’équation différentielle du mouvement forcé amorti. Donner les expressions de l’amplitude 𝐀(𝛀) et de la phase 𝚽(𝛀) de la solution particulière représentant le régime permanent. 𝒌 Donner la solution générale de l’équation différentielle du mouvement.

Exercice 3 (06 points)

𝜽

Un système constitué d’un disque, homogène de masse M et de rayon R, peut osciller sans frottements autour de son axe 𝐎. Ce disque est relié à un bâti fixe par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k, un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 𝜶 et une masse 𝑚 dont le mouvement est 𝒚(𝒕) (Voir figure N°2). 1. Déterminer le Lagrangien du système en fonction de 𝜽. 2. Donner l’équation différentielle du mouvement. 3. Donner la solution dans le cas d’un système faiblement amorti.

𝑴

𝑱/𝑶

𝒚(𝒕)

𝒎

𝐎

𝑹

𝟏 = 𝑴𝑹² 𝟐

𝜶 Figure N°2

𝐅(𝐭)

Page 1 Université Ferhat Abbas – Sétif Faculté de technologie Tronc Commun S.T

2èmeAnnée LMD 02 Février 2011 Temps alloué : 1h30

Correction du Contrôle de Physique 3

Exercice 1 : Questions de cours (5 points) On répond avec vrai ou faux : 1-Faux 3-Vrai 0.5

2-Faux

0.5

4-Vrai

5-Vrai

0.5

6-Faux

0.5

7-Faux

0.5

8-Faux

0.5

Exercice 2(09 points) 1. Ecriture du système équivalent :  Les 2 ressorts sont en parallèles donc  Les 2 ressorts sont en parallèles : donc Donc on peut avoir le schéma ci contre. I. Etude du système libre non amorti - L’énergie cinétique :

9-Faux

0.5

0.5

10-Faux

0.5

0.5

1 0.5

- L’énergie potentielle : - La fonction de Lagrange: =

0.5 0.5

Dans le cas d’un système libre non amorti, l’équation de Lagrange s’écrit : 0.25

0.25

1 : On peut écrire l’équation différentielle sous la forme:

1. Ecriture de l’équation différentielle du mouvement : 2. a) Déduction de la pulsation propre

donc :

, tel que :

0.5

b) La solution de l’équation différentielle du mouvement : La solution est sinusoïdale du type : II.

0.5

Etude du système libre amorti - La fonction de dissipation :

0.25

Dans le cas d’un système libre amorti, l’équation de Lagrange s’écrit : 0.25

1. Ecriture de l’équation différentielle du mouvement : 2. Calcul du facteur d’amortissement puis la pulsation

0.5 pour

On peut écrire l’équation différentielle sous la forme : 0.25

tel que : 0.25

,

3. La solution de l’équation différentielle du mouvement : 0.5 III. Etude du système forcé amorti Le système est soumis à une force extérieure appliquée à la masse Dans le cas d’un système forcé amorti l’équation de Lagrange devient :

1. Ecriture de l’équation différentielle du mouvement :

. 0.5

2.Ecriture de la solution de l’équation différentielle du mouvement en donnant l’expression de l’amplitude et de la phase : 0.5 0.5 3.La solution générale de l’équation différentielle du mouvement : 0.5

Page 2

Exercice 3 (06 points) 1. Le Lagrangien du système en fonction de

Les coordonnées des éléments du système :  

Le disque effectue une rotation autour de O donc : Le ressort k et l’amortisseur sont reliés au contour du disque :

Donc :k : :  La masse m se déplace avec 1. Détermination du Lagrangien du système en fonction de

- L’énergie cinétique du système :

+

- L’énergie cinétique de la masse M : - L’énergie cinétique de la masse m : Donc l’énergie cinétique du système : -

L’énergie potentielle du système :

-

La fonction de dissipation :

0.5

0.5 0.5

La fonction de Lagrange :

0.5

2. Ecriture de l’équation différentielle du mouvement.

L’équation de Lagrange s’écrit :

0.5

0.5 0.5 0.5

0.5

3. Ecriture de la solution dans le cas d’un système faiblement amorti : 0.25

On peut écrire l’équation comme suit : tel que :

0.25

0.25

0.25 0.25

0.25

2èmeAnnée LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif

Examen de Physique 3

Faculté de technologie Tronc Commun S.T

25 Février 2012 Temps alloué : 1h30

Exercice 1 : Questions de cours (05 points)

E 𝐄=

Donnez la bonne réponse : 1- Dans la courbe ci contre, on trace l’énergie totale en fonction du déplacement x, pour un système libre non amorti (masse-ressort): a- L’énergie cinétique diminue en s’approchant de 0. b- L’énergie potentielle diminue en s’approchant de 0. c- L’énergie cinétique augmente en s’approchant de ±𝑨. d- L’énergie potentielle augmente en s’approchant de ±𝑨. 234567-

-A

𝟏 𝒌 𝑨𝟐 𝟐

+A

0

Pour un système amorti, la pulsation correspondante est 𝝎𝟎, 𝝎𝒂 𝒐𝒖 𝝎 ? On calcule le décrément logarithmique dans le cas d’un système : fortement amorti, faiblement amorti ou critique ? Pour un amortissement critique, le système oscillant revient à l’équilibre lentement, rapidement ou jamais ? Pour un système non amorti, l’amplitude à la résonance est infinie, maximale ou nulle ? Pour un système amorti, l’amplitude à la résonance, est infinie, maximale ou nulle ? Faites associer les équations suivantes avec les mailles correspondantes :

𝒙

𝟏

⎧𝐋𝟏 𝐪̈ 𝟏 + (𝐑 𝟏 + 𝐑 𝟑 )𝐪̇ 𝟏 + C𝟏 𝐪𝟏 = 𝐑 𝟑 𝐪̇ 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 ⎪ ⎪ 𝐋𝟏 𝐪̈ 𝟏 + 𝐑 𝟏 𝐪̇ 𝟏 + �C𝟏 + C𝟑� 𝐪𝟏 = C𝟑 𝐪𝟐 ⎪ ⎪ (𝐋𝟏 + 𝐋𝟑 )𝐪̈ 𝟏 + 𝐑 𝟏 𝐪̇ 𝟏 + 𝟏 𝐪𝟏 = 𝐋𝟑 𝐪̈ 𝟐 C𝟏

⎨𝐋𝟐 𝐪̈ 𝟐 + (𝐑 𝟐 + 𝐑 𝟑 )𝐪̇ 𝟐 + 𝟏 𝐪𝟐 = 𝐑 𝟑 𝐪̇ 𝟏 C𝟐 ⎪ ⎪ 𝐋𝟐 𝐪̈ 𝟐 + 𝐑 𝟐 𝐪̇ 𝟐 + ( 𝟏 + 𝟏 )𝐪𝟐 = 𝟏 𝐪𝟏 C𝟐 C𝟑 C𝟑 ⎪ ⎪ 𝟏 (𝐋 + 𝐋 )𝐪̈ + 𝐑 𝐪̇ + 𝐪 = 𝐋𝟑 𝐪̈ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 ⎩ 𝟐 C𝟐 𝟐

1

2 Ι1

Ι2

5

4

6 Ι1

3

Ι2

Exercice 2(08 points) Un système constitué d’un disque circulaire, homogène, de masse M et de rayon R, peut osciller sans frottement autour de son axe horizontal O. Ce disque est relié à un bâti par deux ressorts de raideur k, à une distance R et R/2 successivement et d’un amortisseur de coefficient 𝜶. Une masse m est fixée au disque à une distance R/2 de O et fait un mouvement circulaire avec le mouvement du disque. Cette masse est soumise à une force F(t) sinusoïdale, d’amplitude que 𝑭(𝒕) = 𝑭𝟎 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕. En considérant les oscillations de faibles amplitudes : 1- Déterminer le Lagrangien du système en fonction de θ. 2- Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

y 𝜶

3- Calculer l’expression de l’amplitude 𝑨(𝝎) et la phase 𝟏 𝟐

∅(𝝎). On donne (𝒋/𝑶 = 𝑴𝑹²)

Exercices 03 (07Points)

Les équations de mouvement d’un système à deux degrés de liberté sont les suivantes : 𝒙̈ 𝟎 𝒎 𝟎 𝒌 −𝟐𝒌 𝒙𝟏 �� � = � � � � � 𝟏� + � 𝟎 𝟎 𝟐𝒎 𝒙̈ 𝟐 −𝟐𝒌 𝟐𝒌 𝒙𝟐

F0 et de pulsation 𝝎, tel

k θ

R /2 O

R /2

k x

R /2

M, R

m F(t) Position d’équilibre

On fait l’hypothèse que le système admet des solutions sinusoïdales. • Donnez la solution des équations différentielles du mouvement. On donne les conditions d’équilibres suivantes : 𝒙𝟏 (𝟎) = 𝒙𝟎 , 𝒙𝟐 (𝟎) = 𝟎, 𝒙̇ 𝟏 (𝟎) = 𝟎 et 𝒙̇ 𝟐 (𝟎) = 𝟎.

Bon courage

Solution de l’Examen de Physique 3

E 𝐄=

Exercice 1 : Questions de cours (05 points) Donnez la bonne réponse : 1. Dans la courbe ci contre, on trace l’énergie totale en fonction du déplacement x, pour un système libre non amorti (masse-ressort): L’énergie potentielle diminue en s’approchant de 0. 0.25

U -A

0. 5

On calcule le décrément logarithmique dans le cas d’un système faiblement amorti.

4.

Pour un amortissement critique, le système oscillant revient à l’équilibre rapidement. 0. 5 Pour un système non amorti, l’amplitude à la résonance est infinie. 0. 5

5.

Pour un système amorti, l’amplitude à la résonance maximale. 0. 5

6.

On associe les équations suivantes avec les mailles correspondant :

𝟏 𝐪 = 𝐋𝟑 𝐪̈ 𝟐 … … . . (𝟓) 0.2 5 C𝟏 𝟏 ⎨ 𝐋 𝐪̈ + (𝐑 + 𝐑 )𝐪̇ + 𝟏 𝐪 = 𝐑 𝐪̇ … … . (𝟐) 0. 25 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 ⎩ 𝟐 𝟐 C𝟐 𝟐 ⎧(𝐋𝟏 + 𝐋𝟑 )𝐪̈ 𝟏 + 𝐑 𝟏 𝐪̇ 𝟏 +

𝟏 𝟏 𝟏 ⎧𝐋𝟐 𝐪̈ 𝟐 + 𝐑 𝟐 𝐪̇ 𝟐 + ( + )𝐪𝟐 = 𝐪𝟏 … … . . . (𝟒) 0.2 5 C𝟐 C𝟑 C𝟑 𝟏 ⎨ (𝐋 + 𝐋 )𝐪̈ + 𝐑 𝐪̇ + 𝐪 = 𝐋 𝐪̈ … … . (𝟔) 0. 25 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 ⎩ 𝟐 C𝟐 𝟐

y

Exercice 2(08 points) 1. Le Lagrangien du système en fonction de θ.

Les coordonnées de m

→�

𝒙̇ 𝒎 =

𝒚̇ 𝒎 =

𝑹 𝜽̇𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 𝑹 𝜽̇𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟐

k θ O R /2

𝑹 𝟐

 La masse 𝒎 se trouve à une distance de O et effectue un 𝑹 𝒙𝒎 = 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟐 :� 𝑹 𝒚𝒎 = − 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐

x

𝜶

• Les coordonnées des éléments du système :  Le disque 𝑴 effectue un mouvement de rotation autour de O donc: Le déplacement de M : 𝑹𝜽 → 𝒗𝟐𝑴 = 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 mouvement circulaire, donc :

𝒙

+A

0

3.

𝟏 𝐪 = 𝐑 𝟑 𝐪̇ 𝟐 … … . . (𝟏) 0. 25 C𝟏 𝟏 ⎨𝐋 𝐪̈ + 𝐑 𝐪̇ + � 𝟏 + 𝟏 � 𝐪 = 𝟏 𝐪 … … . . (𝟑) 0.2 5 𝟏 𝟏 ⎩ 𝟏 𝟏 C𝟏 C𝟑 𝟏 C𝟑 𝟐

0.5

T

L’énergie potentielle augmente en s’approchant de ±𝑨. 0.25 2. Pour un système amorti, la pulsation correspondante est 𝝎𝒂 . 0. 5

⎧𝐋𝟏 𝐪̈ 𝟏 + (𝐑 𝟏 + 𝐑 𝟑 )𝐪̇ 𝟏 +

𝟏 𝒌 𝑨𝟐 𝟐

M, R m ⟹ 𝒗𝟐𝒎 =

𝑹² ̇ 𝜽² 𝟒

k

R /2 F(t) Au mouvement

 Le premier ressort est lié au disque en un point du contour et se déplace suivant (Ox) : Donc : 𝑥𝑘 = 𝑹𝜽  Le deuxième ressort est lié au disque en un point à une distance 𝑹 𝟐

Donc : 𝑥𝑘 = 𝒔𝒊𝒏𝜽.

𝑹 𝟐

de O et se déplace suivant (Ox) :

 L’amortisseur est lié au disque en un point du contour et se déplace suivant (Ox) : Donc : 𝑥𝛼 = 𝑹𝜽 → 𝑥̇ 𝛼 = 𝑹𝜽̇

Page 1

Solution de l’Examen de Physique 3(Suite) •

L’énergie cinétique du système : 𝑇 = 𝑇𝑀 +𝑇𝑚 o o

• o o o

1 1 1 𝟏 L’énergie cinétique de la masse M : 𝑇𝑀 = 𝑗/𝑂 𝜃̇ 2 = � 𝑀𝑅 2 � 𝜃̇ 2 = 𝑴𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 2 2 2 𝟏 𝑹² ̇ 𝑻𝒎 = 𝒎 𝜽² 𝟐 𝟒

𝟒

L’énergie cinétique de la masse 𝑚 : 𝟏 𝑴 𝒎 𝟏 𝟐𝑴 + 𝒎 𝟐 𝟐 𝑇 = � + � 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 ⟹ 𝑻 = � � 𝑹 𝜽̇ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒

1pt

L’énergie potentielle du système : 𝑈𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑈𝑘 + 𝑈𝑘 + 𝑈𝑚 (𝑈𝑚 ≠ 0) On choisi l’axe (𝑂𝑥) comme origine des énergies potentielles (U(0) = 0) 1 2 1 𝑘 2

1 2 1 𝑹 𝑘 ( 𝒔𝒊𝒏𝜽) 2 2 𝟐

𝑈𝑘 = 𝑘 𝑥𝑘 2 = 𝑘 (𝑹𝜽) 2 𝑈𝑘 =

𝑥𝑘 2 =

𝑈𝑚 = 𝑚𝑔h (h est la hauteur de m par rapport à un plan de référence choisi) donc : 𝑹 𝟐

𝑼𝒎 = −𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜽 (le signe (-) vient du fait que la masse 𝑚 est au dessous du plan choisi) • •

1 2

1 2

𝑹 𝟐

𝑹 𝟐

Donc : 𝑼𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆 = 𝑘 (𝑹𝜽)2 + 𝑘 ( 𝒔𝒊𝒏𝜽)2 − 𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜽

La fonction de dissipation: 𝑫 =

𝟏 𝜶𝒙̇ ²𝜶 𝟐

=

𝟏 𝜶𝑹²𝜽²̇ 𝟐

0. 5

La fonction de Lagrange : 𝑳 = 𝑻 − 𝑼 𝟏 𝟐𝑴+𝒎 1 1 𝑹 𝑹 o 𝐿= � � 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 − 𝑘 (𝑹𝜽)2 − 𝑘 ( 𝒔𝒊𝒏𝜽)2 +𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐

𝟒

2

2

𝟐

𝟐

1. 5

0. 5

2. L’équation différentielle du mouvement : • L’équation de Lagrange dans le cas d’une coordonnée généralisée 𝜃 et dans le cas d’un système forcé : 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 � �– 𝒅𝒕 𝝏𝜽̇ 𝝏𝜽

=−

𝝏𝑫 𝝏𝜽̇

𝝏𝒓

+ � � . 𝑭𝒆𝒙𝒕 ; � 𝝏𝜽

𝝏𝒓

�𝝏𝜽� . 𝑭𝒆𝒙𝒕 : 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒆 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒄𝒆

𝒓 : 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅’𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒄𝒆 𝑭(𝒕)

𝝏𝑳 𝟐𝑴+𝒎 𝟐 ̇ ⎧ 𝝏𝜽̇ = � 𝟒 � 𝑹 𝜽 … … … … … … … … … … … … … … … … … . . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . ⎪ 𝒅 �𝝏𝑳� = �𝟐𝑴+𝒎� 𝑹𝟐 𝜽̈ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … … … … … … … … … … … ⎪𝒅𝒕 𝝏𝜽̇ 𝟒 ⎪ 𝝏𝑳 𝑹𝟐 𝑹 𝑹𝟐 𝑹 = −𝑘 𝑹𝟐 𝜽 − 𝑘 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒎𝒈 . 𝒔𝒊𝒏𝜽 = − �𝑘 𝑹𝟐 + 𝑘 + 𝒎𝒈 � 𝜽; 𝒄𝒐𝒔𝜽 ≈ 𝟏, 𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝜽 𝟒 𝟒 𝝏𝜽 𝟐 𝟐 ⎨ 𝝏𝑫 𝟐 ̇ ⎪ ̇ = 𝜶𝑹 𝜽 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … … … … … … … … … . ⎪ 𝝏𝜽 ⎪ 𝑹 𝝏𝒓 𝑹 𝑹 ⎩ 𝐫 = 𝟐 . 𝒔𝒊𝒏𝜽 ⟹ 𝝏𝜽 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 ≈ 𝟐 … … … … … … … … … … … … . . … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 2𝑀+𝑚 � 𝑅 2 𝜃̈ 4

Donc l’équation de Lagrange : �

+ �𝑘 𝑅 2 + 𝑘

𝑅2 4

𝑅 2

𝑅 2

+ 𝑚𝑔 � 𝜃 = −𝛼𝑅 2 𝜃̇ + 𝐹0 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

𝑅 2𝑀 + 𝑚 2 𝑅2 𝑅 � 𝑅 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇ + �𝑘 𝑅 2 + 𝑘 + 𝑚𝑔 � 𝜃 = 𝐹0 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 2 4 4 2 𝟐𝑴 + 𝒎 𝑹 𝒎𝒈 𝑭𝟎 ⟹� � 𝑹𝜽̈ + 𝜶𝑹𝜽̇ + �𝑘 𝑹 + 𝑘 + � 𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐𝑴+𝒎 𝟒𝜶𝑹 𝟓𝒌𝑹+𝟐𝒎𝒈 𝟐𝑭𝟎 ̈ ̇ On divise sur � �𝑹 ⟹ 𝜽+ 𝜽+( )𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 ⟹�

𝟒

(𝟐𝑴+𝒎)𝑹

L’équation réduite est : 𝜽̈ + 𝟐𝜹𝜽̇ + 𝝎𝟐𝟎 𝜽 = 𝑩𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 tel que : 𝜹 =

𝟐𝜶𝑹 , (𝟐𝑴+𝒎)𝑹

et 𝝎𝟐𝟎 =

𝟓𝒌𝑹+𝟐𝒎𝒈 , (𝟐𝑴+𝒎)𝑹

𝑩=

(𝟐𝑴+𝒎)𝑹

0. 5

1 pt

(𝟐𝑴+𝒎)𝑹

𝟐𝑭𝟎 (𝟐𝑴+𝒎)𝑹

3. L’expression de l’amplitude 𝑨(𝝎) et la phase ∅(𝝎).

La solution de l’équation différentielle du mouvement : 𝜽(𝒕) = 𝜽𝑯 (𝒕) + 𝜽𝑷 (𝒕) Dans le cas des faibles oscillations ( 𝜹 < 𝝎𝟎 ) 𝜽𝑯 (𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋), 0. 5 𝜽𝑷 (𝒕) = 𝑨 𝒔𝒊𝒏(𝛚𝒕 + ∅) = 𝑨 𝒆

𝒋(𝛚𝒕+∅)

0. 5 Page 2

Solution de l’Examen de Physique 3(Suite) 𝟐 𝟓𝒌𝑹+𝟐𝒎𝒈 𝟐𝜶𝑹 −� � (𝟐𝑴+𝒎)𝑹 (𝟐𝑴+𝒎)𝑹

Avec 𝝎𝒂 = �𝝎𝟐𝟎 − 𝜹𝟐 = � Après calcul on trouve :

𝑨=

�(𝝎𝟐

𝟎

𝑩

−𝛚𝟐 )𝟐 +(𝟐𝜹𝛚)𝟐

𝟐𝑭

𝟎 𝒕𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆: 𝑩 = (𝟐𝑴+𝒎)𝑹

𝒕𝒈∅ =

−𝟐𝜹𝝎 (𝝎𝟐 𝟎 − 𝛚𝟐 )

1pt

1pt

Exercices 03 (07Points) Les équations de mouvement d’un système à deux degrés de liberté sont les suivantes : 𝒙̈ 𝟎 𝒎 𝟎 𝒌 −𝟐𝒌 𝒙𝟏 �� � = � � � � � 𝟏� + � 𝟎 𝟎 𝟐𝒎 𝒙̈ 𝟐 −𝟐𝒌 𝟐𝒌 𝒙𝟐 𝒎𝒙̈ 𝟏 + 𝒌𝒙𝟏 − 𝟐𝒌𝒙𝟐 = 𝟎 … … (𝟏) � 𝟐𝒎𝒙̈ 𝟐 + 𝟐𝒌𝒙𝟐 − 𝟐𝒌𝒙𝟏 = 𝟎 … . (𝟐) • Calcul des pulsations propres (valeurs propres) : 𝒙 = 𝑨𝟏 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝋𝟏 ) → 𝒙̈ 𝟏 = −𝝎𝟐 𝒙𝟏 On fait l’hypothèse que le système admet des solutions sinusoïdales donc : � 𝟏 𝒙𝟐 = 𝑨𝟐 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝋𝟐 ) → 𝒙̈ 𝟐 = −𝝎𝟐 𝒙𝟐 On remplace dans (1) et (2) (𝑘 − 𝑚𝜔2 )𝑥1 − 2𝑘𝑥2 = 0 … … . . . (3) −2𝑘 𝑘 − 𝑚𝜔2 ⟹ � � �=0 1 pt 2 )𝑥 −2𝑘 2(𝑘 − 𝑚𝜔2 ) −2𝑘𝑥1 + 2(𝑘 − 𝑚𝜔 2 = 0 … . (4) 2

1pt

��2(𝑘 − 𝑚𝜔2 )� − (2𝑘)2 = 0

⟹ �𝑜𝑢

�2(𝑘 − 𝑚𝜔2 ) = 2𝑘

�2(𝑘 − 𝑚𝜔2 ) = −2𝑘 𝒌(√𝟐+𝟐)

𝝎𝟐𝟏 = 𝒎√𝟐 On remplace dans les équations (3) et (4), on trouve :� 𝒌(√𝟐−𝟐) 𝟐 𝝎𝟐 = •

Les modes propres : On remplace dans (1) et (2) :

1er mode : 𝝎𝟐 = 𝝎𝟐𝟏 =

𝒌(√𝟐+𝟐) 𝒎√𝟐

2ème mode : 𝝎𝟐 = 𝝎𝟐𝟐 = •

•

⟹ 𝒙𝟐 = −

𝒌(√𝟐−𝟐) 𝒎√𝟐

⟹ 𝒙𝟐 =

La solution est générale est :

√𝟐 𝟐

𝒙𝟏

√𝟐 𝟐

𝒙𝟏

0. 5

0.2 5 0. 25

1pt

𝒎√𝟐

�⃗𝟏 � ⟹𝑽

𝟏

− 𝟏

√𝟐� 𝟐

�⃗𝟐 �√𝟐� ⟹𝑽

0. 25 0.2 5

𝟐

𝑥1 (𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ) + 𝐵𝑠𝑖𝑛 (𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ) … … … … 1pt 𝒙𝟏 (𝒕) �⃗𝟐 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝟐 𝒕 + 𝝋𝟐 ) ⟺ � �⃗𝟏 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝟏 𝒕 + 𝝋𝟏 ) + 𝑩𝑽 � = 𝑨𝑽 √2 √2 𝒙𝟐 (𝒕) 𝑥2 (𝑡) = − 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ) + 𝐵𝑠𝑖𝑛 (𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ) 2 2 Pour les conditions d’équilibres suivantes : 𝒙𝟏 (𝟎) = 𝒙𝟎 , 𝒙𝟐 (𝟎) = 𝟎, 𝒙̇ 𝟏 (𝟎) = 𝟎 et 𝒙̇ 𝟐 (𝟎) = 𝟎. Donc : 𝒙̇ 𝟏 (𝒕) = 𝑨𝝎𝟏 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟏 𝒕 + 𝝋𝟏 ) + 𝑩𝝎𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟐 𝒕 + 𝝋𝟐 ) � √𝟐 √𝟐 𝒙̇ 𝟐 (𝒕) = − 𝝎 𝑨𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝟏 𝒕 + 𝝋𝟏 ) + 𝝎 𝑩𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝟐 𝒕 + 𝝋𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 �

On remplace avec les conditions d’équilibres et on trouve :

𝑥 (0) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜑1 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜑2 = 𝑥0 … … … … . … … (5) ⎧ 1 √2 √2 ⎪ ⎪ 𝑥2 (0) = − 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜑1 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜑2 = 0 … … … (6) 2 2 ⎨ 𝑥̇1 (𝑡) = 𝐴𝜔1 𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 𝐵𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜑2 = 0 … … … . . . . (7) ⎪ √2 √2 ⎪ ⎩𝑥̇ 2 (𝑡) = − 2 𝐴𝜔1 𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 2 𝐵𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜑2 = 0 … (8)

de(6): −𝑨𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟏 + 𝑩𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟐 = 𝟎

de (8): −𝑨𝝎𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟏 + 𝑩𝝎𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟐 = 𝟎

Page 3

𝑥1 (0) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜑1 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜑2 = 𝑥0 … … … … . … … (5) 𝑥2 (0) = −𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜑1 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜑2 = 0 … … … … … . … (6)′ 𝑥̇1 (𝑡) = 𝐴𝜔1 𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 𝐵𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜑2 = 0 … … … . . . . (7) 𝑥̇ 2 (𝑡) = −𝐴𝜔1 𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 𝐵𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜑2 = 0 … … … . . (8)′

(5)+(6)’: 2 𝑩𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟐 = 𝒙𝟎

(5)-(6): 2 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟏 = 𝒙𝟎

(7)+(8)’: 2 𝑩𝝎𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟐 = 𝟎

(7)-(8)’ : 𝟐𝑨𝝎𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟏 =0

cos 𝜑1 = cos 𝜑2 = 0 ⟹ � ⇛�

𝒙𝟏 (𝒕) =

𝒙𝟐 (𝒕) =

𝒙𝟎 𝟐

𝒙𝟎 𝟐

�−

𝜑1 = 𝜑2 = 𝐴=𝐵= 𝝅

𝜋

1pt

2 𝑥0 2

𝝅

�(𝒔𝒊𝒏 �𝝎𝟏 𝒕 + � + 𝒔𝒊𝒏 �𝝎𝟐 𝒕 + ��

√𝟐 𝟐

𝟐 𝝅

𝒔𝒊𝒏 �𝝎𝟏 𝒕 + � + 𝟐

√𝟐 𝟐

𝟐

𝝅

𝒔𝒊𝒏 �𝝎𝟐 𝒕 + ��

0. 5

𝟐

Page 4

Université Ferhat Abbas – Sétif

2èmeAnnée LMD

Examen Spécial de Physique 3

Faculté de technologie Tronc Commun S.T

15 Février 2012 Temps alloué : 1h30

Exercice1 : Questions de cours (05points) 1. Répondez par oui ou non, la solution de l’équation différentielle du mouvement dans le cas d’un : a) système libre non amorti est : . b) système forcé non amorti est : . c) système libre amorti est : . d) Système forcé amorti est : 2. On calcul le décrément logarithmique quand la solution de l’équation différentielle du mouvement est :

3. 4. 5. 6.

Pour un amortissement fort, le système revient à l’équilibre lentement, rapidement ou ne revient jamais. Pour un système non amorti, à la résonance ? à la résonance ? Pour un système amorti, , tel que : , A (Amplitude de l’oscillation), T correspond Pour une harmonique à:

Exercice 2 : (08points) Un système mécanique est constitué d’une tige de masse négligeable et de longueur L, d’un ensemble de ressorts et d’un amortisseur (Voir figure). Une masse m est fixée à l’extrémité de la tige à une distance L de O et fait un mouvement circulaire avec le mouvement de la tige. Cette masse est soumise à une force F(t) sinusoïdale, d’amplitude F0 et de pulsation 𝝎, tel que F(𝒕)=𝑭𝟎𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕. En considérant les oscillations de faibles amplitudes. 1- Déterminer le Lagrangien du système en fonction de θ. 2- Déterminer l’équation différentielle du mouvement. 3- Calculer l’expression de l’amplitude A(𝝎) et la phase ∅(𝝎). On donne : .

L/2 B

L/2

Exercice 3 : (07points) Les équations de mouvement d’un système à deux degrés de liberté sont les suivantes :

On fait l’hypothèse que le système admet des solutions sinusoïdales. 1. En négligeant l’amortissement, déterminer les pulsations propres du système et les modes d’oscillation. 2. Déduire la solution des équations différentielles du mouvement.

Position d’équilibre

2èmeAnnée LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif

Contrôle Spécial de Physique 3

Faculté de technologie

16 Février2011

Tronc Commun S.T.

Temps alloué : 1h30

Exercice 1 : Questions de cours (05 points) 1- Le Lagrangien d’un système mécanique est donné par : 𝟐 𝟏 𝟏 𝐋 = 𝒎𝟏 𝒍𝟐𝟏 𝜽𝟐𝟏̇ + 𝒎𝟐 �𝒍𝟏 𝜽̇𝟏 + 𝒍𝟐 𝜽̇𝟐 � + 𝒈(𝒎𝟏 𝒍𝟏 + 𝒎𝟐 𝒍𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝟐

𝟐

a) Donnez le type de couplage. b) Ecrire les équations différentielles du mouvement. 2- Le Lagrangien d’un système mécanique est donné par : 𝟏 𝟏 𝟏 𝐋 = 𝒎𝟏 𝒍𝟐𝟏 𝜽𝟐𝟏̇ + 𝒎𝟐 𝒍𝟐𝟐 𝜽𝟐𝟐̇ + 𝒎𝟏 𝒈𝒍𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 − 𝒌𝒂𝟐 (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 a) Donnez le type de couplage. b) Ecrire les équations différentielles du mouvement 3- Donnez dans l’ordre la mise en équation d’un système couplé de 2 degrés de liberté : 1- On écrit les 2 solutions générales des équations différentielles du mouvement. 2- On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques. 3- On substitue 𝝎𝟏 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 1er mode propre. 4- On écrit les 2 équations différentielles en fonction des coordonnées généralisées. 5- On obtient 2 pulsations propres 𝝎𝟏 et 𝝎𝟐 . 6- On substitue 𝝎𝟐 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 2ème mode propre.

Exercice 2(07 points)

Le système de la figure N°1 est constitué d’une masse 𝑴 attachée à un amortisseur De coefficient d’amortissement visqueux 𝜶 et à deux ressorts ; le premier de masse négligeable et de constante de raideur 𝟐𝒌, le deuxième de masse m et de constante de raideur 𝒌. 𝜶 𝟐𝒌 1. Trouver le système équivalent. I. Etude du système libre non amorti 1. Trouver l’équation différentielle du mouvement. 𝑴 𝒚(𝐭) 2. Déduire la pulsation propre 𝝎𝟎 et la solution de l’équation différentielle du mouvement. II. Etude du système libre amorti 𝒎 1. Trouver l’équation différentielle du mouvement. 𝒌 2. Calculer le facteur d’amortissement 𝜹, la pulsation des oscillations amorties 𝝎𝒂 et le décrément logarithmique D. 𝐒(𝐭) 3. Donner la solution de l’équation différentielle du mouvement dans le cas des oscillations faiblement amorties. Figure N°1 III. Etude du système forcé amorti Le système est soumis à une excitation extérieure de mouvement 𝐒(𝐭) = 𝐒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭. 1. Etablir l’équation différentielle du mouvement forcé amorti. Exercice 3 (08 points)

𝒚

Dans le système de la figure 2, le disque de masse M et de rayon R roule sans glissement sur un plan horizontal. Sachant que : 𝑶𝑨 = 𝑹, 𝒆𝒕 𝑶𝑩 =

𝑳 𝟐

.

1. Dessiner la nouvelle position du système après une rotation d’un angle 𝜽 autour du point O. 2. Trouver la l’équation différentielle du mouvement libre amorti. 3. Donner la solution de l’équation différentielle dans le cas d’un système faiblement amorti. 1. Déduire les valeurs de 𝝎𝟎 , 𝜹 et 𝝎𝒂 . 𝟏 On donne le moment d’inertie du disque: 𝑱/𝑶 = 𝑴𝑹𝟐 𝟐

𝒌

𝜽

𝑩 𝑶

𝒌 𝑨

Figure N°2

𝜶

𝒙

2èmeAnnée LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif Faculté de technologie

Tronc Commun S.T.

Corrigé de l’examen spécial de Physique 3

Exercice 01 1.a) Couplage Inertiel……………………………………………………….…..….0.5 point (𝒎 +𝒎𝟐 )𝒍𝟐𝟏 𝜽̈𝟏 + 𝒈𝒍𝟏 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝜽𝟏 = − 𝒎𝟐 𝒍𝟏 𝒍𝟐 𝜽̈𝟐 b)� 𝟏 ………………….………01point 𝒎𝟐 𝒍𝟐𝟐 𝜽̈𝟐 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 . 𝜽𝟐 = −𝒎𝟐 𝒍𝟐 𝒍𝟏 𝜽̈𝟏 2.a) Couplage Elastique……………………………………………………..……0.5 point 𝒎𝟏 𝒍²𝟏 𝜽̈𝟏 + �𝒌𝒂𝟐 + 𝒎𝟏 𝒈𝒍𝟏 �𝜽𝟏 = 𝒌𝒂²𝜽𝟐 ……………………………………....01point b)� 𝒎𝟐 𝒍²𝟐 𝜽̈𝟐 + �𝒌𝒂𝟐 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 �𝜽𝟐 = 𝒌𝒂²𝜽𝟏

3. La mise en équation du système couplé de 2 degrés de liberté passe par la méthode à suivre suivante : 1–On écrit les 2 équations différentielles en fonction des coordonnées généralisées...0.5 point 2–On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques…………0.5 point 3–On obtient 2 pulsations propres 𝜔1 et 𝜔2 …………………………………………0.5 point 4–On substitue 𝜔1 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 1er mode propre……. 0.5 point 5–On substitue 𝜔2 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 2ème mode propre…...0.5 point 6–On écrit les 2 solutions générales des équations différentielles du mouvement…...0.5 point

Exercice 02

•

𝒎 𝟑

donc la masse totale du système est égale à : 𝑴 +

Les 02 ressorts (2k) et (k) n’ont pas le même déplacement ; ils ne sont pas en parallèles donc :

𝜶 𝒚(𝐭) 𝐒(𝒕)

𝜶

𝟐𝒌

𝑴

𝒎 𝒌

𝒚(𝐭) 𝐒(𝒕)

𝑴+

𝒎 𝟑

𝟐𝒌

𝒌

I. Etude du système libre non amorti 1. L’équation différentielle du mouvement : Dans le cas d’un système libre non amorti : les 02 ressorts ont le même déplacement 𝒚(𝒕) Donc on peut calculer le ressort équivalent : 𝒌𝒆 = 𝟐𝒌 + 𝒌 = 𝟑𝒌 𝟏 𝒎 • L’énergie cinétique du système: 𝑻 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 • • •

2.

𝒎 𝟑

𝟐 𝟑 𝟏 L’énergie potentielle du système: 𝑼 = (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐 𝟏 𝒎 𝟏 La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 − (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝒅 𝝏𝑳 𝒎 � � = �𝑴 + � 𝒚̈ 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝟑 L’équation de Lagrange : � � − = 𝟎, � 𝝏𝑳 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝝏𝒚 = −𝟑𝒌𝒚 𝝏𝒚 𝒎 En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura : �𝑴 + 𝟑 � 𝒚̈ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 𝟑𝒌 𝒚̈ + 𝒎 𝒚 = 𝟎 𝒎 𝑴+ 𝟑 a) Déduire la pulsation propre 𝝎𝟎 : �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 ⟹ � 𝟑 𝒚̈ + 𝝎𝟐𝟎 𝒚 = 𝟎

𝒚(𝐭)

𝟑𝒌

𝑴+

𝒎 𝟑

Page1

1. Le système équivalent : • Le ressort de masse m contribue seulement avec

𝟑𝒌

𝝎𝟐𝟎 =

𝑴+

𝒎 𝟑

=

𝟗𝒌 𝟑𝑴+𝒎

𝟗𝒌

𝝎𝟎 = �𝟑𝑴+𝒎

b) La solution de l’équation différentielle du mouvement : 𝒚(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋) II. Etude du système libre amorti Dans le cas d’un système libre amorti : les 02 ressorts ont le même déplacement 𝒚(𝒕) Donc on peut calculer le ressort équivalent : 𝒌𝒆 = 𝟐𝒌 + 𝒌 = 𝟑𝒌 𝟏 𝒎 𝜶 • L’énergie cinétique du système: 𝑻 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 • •

L’énergie potentielle du système: 𝑼 = 𝟏 𝟐

•

La fonction de dissipation : 𝑫 = 𝜶𝒚̇ ²

•

L’équation de Lagrange :

𝟐 𝟑 𝟏 (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐

La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = 𝒅

𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 � �− 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝝏𝒚 𝒎 �𝑴 + � 𝒚̈ 𝟑

𝝏𝑳

⎧𝒅𝒕 �𝝏𝒚̇ � = ⎪ 𝝏𝑳 = −𝟑𝒌𝒚 𝝏𝒚 ⎨ 𝝏𝑫 ⎪ = 𝜶𝒚̇ ⎩

=−

𝝏𝑫 𝝏𝒚̇

𝟏 𝒎 �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 𝟐 𝟑

𝟏 − (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐

𝒎 𝟑

𝑴+

𝒚(𝐭)

𝟑𝒌

𝝏𝒚̇

1. L’équation différentielle du mouvement : En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura : 𝒎 … … . �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 𝟑 2. Le facteur d’amortissement 𝜹, la pulsation des oscillations amorties 𝝎𝒂 et le décrément logarithmique D. 𝜶 𝟗𝒌 𝒚̈ + 𝒎 𝒎 𝒚̇ + 𝟑𝑴 + 𝒎 𝒚 = 𝟎 𝑴+ 𝟑 �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 ⟹ � 𝟑 𝒚̈ + 𝟐𝜹𝒚̇ + 𝝎𝟐𝟎 𝒚 = 𝟎

Donc : 𝟐𝜹 =

𝜶

𝑴+

D = 𝜹𝑻𝒂 = 𝜹

𝒎 𝟑

𝟐𝝅 𝜔𝑎

⟹𝜹=

=

𝟑𝜶 𝟔𝑴+𝟐𝒎

𝟑𝜶 𝟔𝑴+𝟐𝒎

�(

𝟗𝒌

𝟑𝜶

, 𝜔𝑎 = �ω0 2 − δ2 = �(𝟑𝑴+𝒎) − (𝟔𝑴+𝟐𝒎)2 𝟐𝝅

𝟗𝒌 𝟑𝜶 )2 −( )2 𝟑𝑴+𝒎 𝟔𝑴+𝟐𝒎

,

𝟑𝜶 )2 𝟔𝑴+𝟐𝒎 𝟗𝒌 𝟑𝜶 ( )−( )2 𝟑𝑴+𝒎 𝟔𝑴+𝟐𝒎

⟹ D = 𝟐𝝅�

(

3. La solution de l’équation différentielle du mouvement dans le cas des oscillations faiblement amorties.

• • • •

•

−(

𝟑𝜶 )𝒕 𝟔𝑴+𝟐𝒎

𝟗𝒌

I. Etude du système forcé amorti Le système est soumis à une excitation extérieure de mouvement 𝐒(𝐭) = 𝐒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭. 𝟏 𝒎 L’énergie cinétique du système: 𝑻 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 L’énergie potentielle du système: 𝑼 La fonction de dissipation : 𝑫 =

𝟐 𝟑 𝟏 = (𝟐𝒌) 𝒚𝟐 𝟐

𝟏 𝜶𝒚̇ ² 𝟐

𝟏 𝟐

+ 𝒌 (𝒚 − 𝑺)𝟐

La fonction de Lagrange : 𝟏 𝒎 𝟏 𝟏 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 − (𝟐𝒌) 𝒚𝟐 − 𝒌 (𝒚 − 𝑺)𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 𝝏𝑫 L’équation de Lagrange : � � − =− 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝝏𝒚 𝒅 𝝏𝑳 𝒎 ⎧ 𝒅𝒕 �𝝏𝒚̇ � = �𝑴 + 𝟑 � 𝒚̈ ⎪ 𝝏𝑳 = −𝟐𝒌𝒚 − 𝒌(𝒚 − 𝑺) ⎨ 𝝏𝒚 𝝏𝑫 ⎪ = 𝜶𝒚̇ ⎩ 𝝏𝒚̇

𝝏𝒚̇

𝟑𝜶

𝐬𝐢𝐧(�(𝟑𝑴+𝒎) − (𝟔𝑴+𝟐𝒎)2 𝒕 + 𝝋)

𝜶 𝒚(𝐭) 𝐒(𝒕)

𝑴+

𝒎 𝟑

𝟐𝒌

𝒌

1. L’équation différentielle du mouvement forcé amorti: En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura : 𝒎 𝒎 … … �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟐𝒌𝒚 + 𝒌(𝒚 − 𝑺) = 𝟎 ⟺ �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝒌 𝐒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 𝟑 𝟑

Page2

𝜹 < ω0 : 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) ⟹ 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝒆

Exercice 3 1. On dessine la nouvelle position du système après une rotation d’un angle 𝜽 autour du point O. 𝒚

𝑩

𝒌

𝜽

𝑶

𝒚

𝒌 𝑨

𝜶

𝑩 𝑨

𝒌

𝜽

𝒙

• • •

𝜶

𝑶

A l’équilibre

• • •

𝒌

𝒙

Au mouvement

Les coordonnées des éléments du système : Le disque de masse M et de rayon tourne autour de O. Le ressort 𝒌 est attaché en un point A du disque donc : 𝒌{𝑹𝜽

𝑳 𝑳 L’amortisseur 𝜶 est attaché en un point B donc : 𝜶 �𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽 → 𝟐 𝜽̇𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑳

le ressort 𝒌 est attaché en un point B donc : 𝒌 �𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽 L’énergie cinétique du système : 𝑇 = 𝑇𝑀

1 𝟏 o L’énergie cinétique de la masse M : 𝑇𝑀 = 2 𝑗/𝑜 𝜑̇ 2 ⟹ 𝑻𝑴 = 𝟒 𝑴 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 𝟏

𝟏

𝑳

L’énergie potentielle du système :𝑈 = 𝑈𝑘𝐴 + 𝑈𝑘𝐵 = 𝟐 𝒌(𝑹𝜽)𝟐 + 𝟐 𝒌(𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐 1 𝑳 o La fonction de dissipation :𝐷 = 2 𝛼(𝟐 𝜽̇𝒄𝒐𝒔 𝜽)2

o

𝟏

𝟏

𝟏

𝑳

La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = 𝟒 𝑴 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 − 𝟐 𝒌(𝑹𝜽)𝟐 − 𝟐 𝒌(𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐 𝒅

𝝏𝑳

L’équation de Lagrange s’écrit : 𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� − 𝒅 𝝏𝑳 𝟏 𝟐 ̈ ⎧𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� = 𝟐 𝑴 𝑹 𝛉 ⎪ 𝝏𝑳 𝑳² 𝟐 = −𝒌(𝑹 + 𝟒 )𝜽 𝝏𝜽 ⎨ 𝝏𝑫 𝑳² ⎪ = 𝜶 𝟒 𝜽̇ ⎩ 𝝏𝜽̇

𝝏𝑳

𝝏𝑫

= − 𝝏𝜽̇ 𝝏𝜽 𝟏 𝟐

𝑳² 𝑳² 𝑴 𝑹𝟐 𝛉̈ + 𝜶 𝟒 𝜽̇ + 𝒌(𝑹𝟐 + 𝟒 )𝜽 = 0

C’est l’équation différentielle du mouvement libre amorti. 2. La pulsation propre du système 𝝎𝟎 et le facteur d’amortissement 𝜹 𝟐

𝟐𝜹 =

𝑴𝑹 𝛉̈ +

𝜶𝑳²

𝟐𝑴𝑹𝟐

𝟐

𝜶𝑳² 𝟒

→𝜹=

𝟐

𝜶𝑳² ̇ 𝒌(𝟒𝑹 +𝑳²) 𝜽̈ + 𝜽+ 𝜽=𝟎 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝜽̇ + 𝒌(𝑹 + 𝟒 )𝜽 = 0 ⟺ � 𝟐 𝜽̈ + 𝟐𝜹𝜽̇ + 𝝎𝟎 𝜽 = 𝟎 𝑳²

𝟐

𝜶𝑳²

𝟒𝑴𝑹𝟐

,

𝝎𝟐𝟎

=

𝒌(𝟒𝑹𝟐 + 𝑳²) 𝟐𝑴𝑹𝟐

𝒌(𝟒𝑹𝟐 + 𝑳²)

→ 𝝎𝟎 = �

𝒌(𝟒𝑹𝟐 +𝑳²)

La pulsation des oscillations amorties 𝝎𝒂 : 𝜔𝑎 = �ω0 2 − δ2 = �(

𝟐𝑴𝑹𝟐

)−(

𝟒𝑴𝑹𝟐

3. La solution de l’équation différentielle dans le cas d’un système faiblement amorti. 𝜹 < ω0 : 𝜽(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) ⟹ 𝜽(𝒕) = 𝑪 𝒆

𝜶𝑳² )𝒕 𝟒𝑴𝑹𝟐

−(

𝟐

𝒌(𝟒𝑹 𝐬𝐢𝐧(�(

+𝑳²)

𝟐𝑴𝑹𝟐

𝜶𝑳²

𝟐𝑴𝑹𝟐

)−(

)2

𝜶𝑳²

𝟒𝑴𝑹𝟐

)2 𝒕 + 𝝋) Page3

𝟏

2ème année LMD Date : 22/01/ 2013 Temps alloué : 1h30min

Université de Sétif-1 Faculté de Technologie Tronc Commun ST

Examen du module Physique 3 Exercice 1 : Question de cours (06 points) A : Répondez par Oui « vrai » ou Non « faux » : ( 03 points ) 1. 2. 3. 4.

Une onde est dite transversale, si la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation. Une onde est dite longitudinale, si la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation. La direction de propagation est perpendiculaire au plan d’ondes. Les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans le vide. 5. Les ondes sonores peuvent se propager dans le vide. 6. Pour une onde progressive périodique, la relation qui relie la longueur d’onde 𝝀 = 𝑽. 𝑻 B : Démonstration : ( 03 points ) Soit un phénomène de propagation 𝑺(𝒓, 𝒕𝒕). Ecrire l’équation d’onde « de propagation » et trouver ses dérivées partielles si on considère le changement de variables suivant : 𝒓 𝒓 𝒙𝒙 = 𝒕𝒕 − et 𝒚 = 𝒕𝒕 + 𝒗

𝒗

Exercice 2 : (08 points) Dans le système de la figure ci-contre, deux disques homogènes de masse 𝒎𝒎 et de moment d’inertie 𝟏𝟏 𝑱/𝟎 = 𝒎𝒎𝑹𝑹𝟐𝟐 peuvent tourner autour de leurs axes 𝐎 𝟐𝟐 et sont entrainés mutuellement par un fil inextensible et non glissant de masse négligeable.

1- Ecrire le Lagrangien du système en fonction de 𝛉.

𝒎𝒎 𝑹𝑹 O

𝒌𝒌

𝒙𝒙

𝑭𝑭(𝒕𝒕) M

𝜽𝜽

𝒎𝒎 𝑹𝑹 O

𝜽𝜽

𝜶𝜶

2- On applique une force 𝑭𝑭(𝒕𝒕) = 𝑭𝑭𝟎 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕𝒕 sur la masse 𝑴. 2.1 Trouver l’équation différentielle du mouvement en fonction de 𝜽𝜽. 2.2 Trouver l’expression de l’amplitude 𝐀 et de la phase ∅ de la solution particulière représentant le régime permanent.

2.3 Trouver la solution de l’équation différentielle dans le cas ou l’amortissement est faible.

Exercice 3 : (06 points) La poulie du système ci‐contre est constitué de deux disques homogènes de masse 𝒎𝒎 et de rayons respectifs 𝑹𝑹𝟏𝟏 et 𝑹𝑹𝟐𝟐 . Cette poulie tourne sans frottement autour d’un axe fixe. A l’équilibre 𝜽𝜽 = 𝟎. La masse 𝒎𝒎 reliée à un bâti fixe par un ressort de raideur 𝒌𝒌 glisse sans frottement sur un plan horizontal.

𝒌𝒌

𝜽𝜽 𝑹𝑹𝟏𝟏

𝑹𝑹𝟐𝟐

1. Etablir les équations différentielles du mouvement. 2. Sachant que 𝑹𝑹𝟐𝟐 =2𝑹𝑹𝟏𝟏 calculer les pulsations propres et les modes d’oscillation. 3. Déduire les solutions représentant le mouvement global du système

Bonne chance

𝒌𝒌

𝒎𝒎

𝒙𝒙

Correction du module Physique 3 (22/01/ 2013) Exercice 1 : Question de cours (06 points)

A) 1 :OUI

0.5

0.5

2 :NON

0.5

3 :OUI

0.5

4 :OUI

0.5

5 :NON

6 :OUI

B) Soit un phénomène de propagation 𝑺(𝒓, 𝒕). L’équation de propagation aura la forme :

𝝏²𝑺 𝝏²𝑺 = 𝑽² 𝝏𝒓² 𝝏𝒕²

1

On trouve ses dérivées partielles, si on considère le changement de variables suivant : 𝒓 𝒓 𝒙 = 𝒕 − et 𝒚 = 𝒕 + 𝜕𝑆

1.

𝜕²𝑆 𝜕𝑡²

𝝏𝑺 𝜕𝑥 𝝏𝑺 𝜕𝑦

𝝏𝑺

𝝏𝑺

= 𝝏𝒙 𝜕𝑡 +𝝏𝒚 𝜕𝑡 = 𝝏𝒙 + 𝝏𝒚

𝜕𝑡 𝜕𝑆

𝜕

𝒗

𝝏𝑺

𝝏

𝝏𝑺

𝒗

𝜕𝑥

𝜕𝑦

( 𝜕𝑡 = 1, 𝜕𝑡 = 1)

𝜕

𝝏𝑺

𝝏𝑺 𝜕𝑥

𝜕𝑡 2

= 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕𝑦 2

𝝏

𝝏𝑺

𝝏𝑺 𝜕𝑦

= 𝜕𝑡 ( 𝜕𝑡 ) = 𝜕𝑡 (𝝏𝒙 + 𝝏𝒚)= 𝝏𝒙 �𝝏𝒙 + 𝝏𝒚� 𝜕𝑡 + 𝝏𝒚 �𝝏𝒙 + 𝝏𝒚� 𝜕𝑡

2.

𝜕2 𝑆

⟹�

𝝏𝑺 𝝏𝒓

𝜕2 𝑆

𝜕2 𝑆

𝜕2 𝑆

𝜕2 𝑆

𝝏²𝑺 𝝏²𝑺 𝝏²𝑺 𝝏²𝑺 = +𝟐 + � 𝝏𝒕² 𝝏𝒙² 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒚²

𝝏𝑺 𝝏𝒙 𝝏𝑺 𝝏𝒚

𝟏 𝝏𝑺

𝟏 𝝏𝑺

𝟏

1 𝝏𝑺

𝝏𝑺

= 𝝏𝒙 𝝏𝒓+𝝏𝒚 𝝏𝒓 = − 𝑽 𝝏𝒙 + 𝑽 𝝏𝒚 = 𝑽 (𝝏𝒚 − 𝝏𝒙)

𝜕²𝑆 1 𝜕 𝜕𝑆 𝜕𝑆 1 𝜕 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑦 = � − �= � − � + � − � 𝜕𝑟² 𝑉 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑟 1 𝜕𝑦 1 𝜕𝑥 = − 𝑒𝑡 = 𝜕𝑟 𝑉 𝜕𝑟 𝑉 𝜕²𝑆

1

𝜕2 𝑆

𝜕2 𝑆

1

𝜕2 𝑆

𝜕2 𝑆

= − 𝑉 2 �𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕𝑥 2 � + 𝑉 2 (𝜕𝑦 2 − 𝜕𝑥𝜕𝑦) 𝜕𝑟²

Exercice 2: (08 points)

⟹

𝝏²𝑺 𝟏 𝝏𝟐 𝑺 𝝏𝟐 𝑺 𝝏𝟐 𝑺 = 𝟐� 𝟐−𝟐 + 𝟐� 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒓² 𝑽 𝝏𝒙

1..Le Lagrangien du système L’énergie cinétique : 𝑻 = 𝑻𝑴 + 𝑻𝒎 + 𝑻𝒎 1 1 1 2 2 𝑇 = M𝑥̇ 2 + 𝐽/0 𝜃̇ + 𝐽/0 𝜃̇ 2 2 2 2 1 1 2 𝑇 = 2 M𝑥̇ + 𝐽/0 𝜃̇ , 𝐽/0 = 𝑚𝑅 2 2 Puisque : 𝑥 = 𝑅𝜃 ⇒ 𝑥̇ = 𝑅𝜃̇

𝟏 𝟏 𝑻 = 𝐌𝒙̇ 𝟐 + 𝒎𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 𝟐 𝟐𝟐 2 2 1 1 𝟏 On aura : 𝑇 = M𝑅2 𝜃̇ + 𝑚𝑅2 𝜃̇ ⇒ 𝑻 = (𝑴 + 𝒎)𝑹𝟐 𝜽̇ 2

2

𝟏

𝟐

L’énergie Potentielle : 𝑼 = 𝑼𝒌 = 𝟐 𝒌𝑹𝟐 𝜽𝟐

0.5

0.5

1

0.5

𝟏

𝟐

La Fonction de dissipation : 𝑫 = 𝜶𝑹𝟐 𝜽̇ 𝟐

0.5

𝟏 𝟏 Le Lagrangien du système : 𝑻 = 𝑳 − 𝑼 = (𝑴 + 𝒎)𝑹𝟐 𝜽̇ − 𝟐 𝒌𝑹𝟐 𝜽𝟐 0.5 𝟐

2…On applique une force 𝑭(𝒕) = 𝑭𝟎 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 sur la masse 𝑴

𝟐

2.1..L’équation différentielle du mouvement forcé amorti en fonction de 𝛉 : L’équation de Lagrange est :

𝝏𝑳

𝟐 ̇ 0.25 ⎧𝝏𝜽̇ = (𝑴 + 𝒎)𝑹 𝜽 … … … ⎪ ⎪ 𝒅 �𝝏𝑳� = (𝑴 + 𝒎)𝑹𝟐 𝜽̈ 0.25 𝒅𝒕 𝝏𝜽̇

⎨ ⎪ ⎪ ⎩

𝝏𝑳

𝝏𝜽 𝝏𝑫 𝝏𝜽̇

𝝏𝑳

𝝏𝑳

𝝏𝑫

0.5

⟹ (𝑴 + 𝒎)𝑹𝟐 𝜽̈ + 𝜶𝑹𝟐 𝜽̇ + 𝒌𝑹𝟐 𝜽 = 𝑭𝟎 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

𝟐

0.25 = −𝒌𝑹 𝜽 … … …..

= 𝜶𝑹𝟐 𝜽̇ … …0.25 ……..

𝒅

�𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� − �𝝏𝜽� = − 𝝏𝜽̇ + 𝓜(𝑭(𝒕))

(𝑴 + 𝒎)𝑹𝟐 𝜽̈ + 𝜶𝑹𝟐 𝜽̇ + 𝒌𝑹𝟐 𝜽 = 𝑭𝟎 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

0.5

2.2..En utilisant la notation complexe, on trouve l’expression de l’amplitude 𝐀 et de la phase ∅ de la solution particulière représentant le régime permanent : 𝜶 𝒌 𝑭𝟎 𝑹 On divise sur (𝑴 + 𝒎)𝑹𝟐 on obtient : 𝜽̈ + (𝑴+𝒎) 𝜽̇ + (𝑴+𝒎) 𝜽 = (𝑴+𝒎)𝑹 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

L’équation différentielle peut être écrite sous la forme réduite : 𝜽̈ + 𝟐𝜹𝜽̇ + 𝝎𝟎 𝟐 𝜽 = 𝑩𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝜶

𝒌

0.25

𝑭 𝑹

𝟎 Tel que : 𝟐𝜹 = (𝑴+𝒎) , 𝝎𝟎 𝟐 = (𝑴+𝒎) 𝒆𝒕 𝑩 = (𝑴+𝒎)𝑹 𝟐

0.25

0.25

0.25

La grandeur complexe associée à 𝜽(𝒕) s’écrit : θ𝐏 (𝐭) = 𝐀 𝐞𝐣(𝛚𝐭+𝛗) et 𝑭(𝒕) = 𝑭𝟎 𝐞𝐣𝛚𝐭 Calcul de l’amplitude A

0. 5

𝛉𝐏 (𝐭) Vérifie l’équation différentielle avec second membre : 𝛉𝐏̈ + 𝟐𝜹 𝛉𝐏̇ + 𝝎𝟐 𝟎 𝛉𝐏 = 𝐵ejωt (*) Calculons la dérivée première puis le dérivé second : 𝛉̇ (𝐭) = 𝐀 𝐣𝛚 𝐞𝐣(𝛚𝐭+𝛗) = 𝐣𝛚 𝛉𝐏 (𝐭) 𝛉𝐏 (𝐭) = 𝐀 𝐞𝐣(𝛚𝐭+𝛗) ⟹ � 𝐏 𝛉̈𝐏 (𝐭) = 𝐀𝐣𝟐 𝛚𝟐 𝐞𝐣(𝛚𝐭+𝛗) = −𝛚𝟐 𝛉𝐏 (𝐭) On remplace dans (*) et on trouve : −ω2 𝔷P (t) + 2𝛿jω 𝔷P (t) + 𝜔2 0 𝔷P (t) = 𝐵ejωt

⟹ [(𝜔2 0 − ω2 ) + 2𝛿ωj] 𝔷P (t) = [(𝜔2 0 − ω2 ) + 2𝛿ωj] A ej(ωt+φ) = 𝑩ejωt ⟹ [(𝜔2 0 − 𝜔2 ) + 2𝛿𝜔𝑗] 𝐴𝑒 𝑗𝜑 = 𝐵

On divise sur "𝑒 𝑗𝜑 " et on trouve: [(𝜔2 0 − 𝜔2 ) + 2𝛿𝜔𝑗] 𝐴 = 𝐵𝑒 −𝑗𝜑 … … … (1)

Le conjugué de cette équation est la suivante : [(𝜔2 0 − 𝜔2 ) − 2𝛿𝜔𝑗] 𝐴 = 𝐵𝑒 𝑗𝜑 … … … (2) (1) X (2) ⟹ 𝐴2 [(𝜔2 0 − 𝜔2 )2 + (2𝛿𝜔)2 ] = 𝐵 2 ⟹ 𝑨 =

𝑩

�(𝝎𝟐 𝟎 −𝝎𝟐 )𝟐 +(𝟐𝜹𝝎)𝟐

= cte

1

Calcul de ∅

𝐴(𝜔2 0 − ω2 ) = 𝐵 cosφ 𝐵𝑒 −𝑗𝜑 ⟺� 𝐵 (cosφ − 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜑) 2𝛿𝜔𝐴 = −𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜑 −2𝛿𝜔 1 ⟹ ∅ = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 2 (𝜔 0 − 𝜔2 )

[(𝜔2 0 − 𝜔2 ) + 2𝛿𝜔𝑗] 𝐴 = � ⟹ 𝒕𝒈∅ =

−𝟐𝜹𝝎 (𝝎𝟐 𝟎 − 𝝎𝟐 )

Donc : 𝜽𝑷 (𝒕)=

𝑩

�(𝝎𝟐 𝟎 −𝝎𝟐 )𝟐 +(𝟐𝜹𝝎)𝟐

𝒔𝒊𝒏 �𝝎𝐭 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈

−𝟐𝜹𝝎 � (𝝎𝟐 𝟎 −𝝎𝟐 )

1.1 La solution de l’équation différentielle dans le cas ou l’amortissement est faible :

La solution générale de l’équation différentielle: 𝜽(𝒕) = 𝜽𝑯 (𝒕) + 𝜽𝑷 (𝒕) 𝛉𝐇 (𝐭) est la solution de l’équation différentielle sans le second membre : 𝜽̈ + 𝟐𝜹𝜽̇ + 𝝎𝟎 𝟐 𝜽 = 𝟎 La solution homogène est celle d’un oscillateur harmonique amorti en régime libre dans le cas des oscillations faiblement amorties : 𝜽𝑯 (𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) avec 𝝎𝒂 = �𝛚𝟎 𝟐 − 𝛅𝟐 Donc : 𝜽(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) +

Exercice 3 : (06 points)

1.

�(𝝎𝟐

𝟎

𝑩

−𝝎𝟐 )𝟐 +(𝟐𝜹𝝎)𝟐

𝒔𝒊𝒏 �𝝎𝐭 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈

−𝟐𝜹𝝎

�

(𝝎𝟐 𝟎 −𝝎𝟐 )

0.5

Les équations différentielles du mouvement : - L’énergie cinétique : 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑇 = 𝑚𝑥̇ 2 + 𝐽/0 𝜃̇ 2 + 𝐽/0 𝜃̇ 2 = 𝑚𝑥̇ 2 + ( 𝑚𝑅1 2 )𝜃̇ 2 + ( 𝑚𝑅2 2 )𝜃̇ 2 2

2

2

2

L’énergie potentielle :

-

2 2

𝑼=

La fonction de Lagrange :

2 2

𝟏 𝟏 𝑻 = 𝒎𝒙̇ 𝟐 + 𝒎(𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 )𝜽̇𝟐 𝟒 𝟐

𝟏 𝟏 𝒌𝑹𝟏 𝟐 𝜽𝟐 + 𝒌(𝑹𝟐 𝜽 − 𝒙)² 𝟐 𝟐

0.5

0.5

𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑻 = 𝑳 − 𝑼 = 𝒎𝒙̇ 𝟐 + 𝒎(𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 )𝜽̇ − 𝟐 𝒌𝑹𝟏 𝟐 𝜽𝟐 − 𝟐 𝒌(𝑹𝟐 𝜽 − 𝒙)² 𝟐

𝟒

0.5

On voit bien deux coordonnées généralisés, donc les équations de Lagrange :

𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 � � �−� �= 𝟎 𝒅𝒕 𝝏𝜽̇ 𝝏𝜽 � 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 � � �−� �= 𝟎 𝒅𝒕 𝝏𝒙̇ 𝝏𝒙

𝝏𝑳 𝟏 = 𝒎(𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 )𝜽̇ 𝝏𝜽̇ 𝟐 𝒅 𝝏𝑳 𝟏 �𝝏𝜽̇� = 𝒎(𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 )𝜽̈ 0.25 𝒅𝒕 𝟐 ⎨𝝏𝑳 ⎪ = −𝒌𝑹² 𝜽 − 𝒌𝑹 (𝑹 𝜽 − 𝒙) 𝟏 𝟐 𝟐 0.5 ⎩𝝏𝜽

⎧ ⎪

𝟏 ⟹ 𝒎(𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 )𝜽̈ + 𝒌𝑹²𝟏 𝜽 + 𝒌𝑹𝟐 (𝑹𝟐 𝜽 − 𝒙) = 𝟎 𝟐

On déduit la première équation différentielle du mouvement : 𝟏 𝒎�𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 �𝜽̈ + 𝒌(𝑹²𝟏 + 𝑹²𝟐 )𝜽 − 𝒌𝑹𝟐 𝒙 = 𝟎 𝟐 ⎧ ⎪

𝝏𝑳 = 𝒎𝒙̇ 𝝏𝒙̇ 𝒅 𝝏𝑳 � � = 𝒎𝒙̈ 𝒅𝒕 𝝏𝒙̇

0.25

⎨ ⎪𝝏𝑳 = +𝒌(𝑹 𝜽 − 𝒙) 𝟐 ⎩𝝏𝒙

⟹ 𝒎𝒙̈ − 𝒌(𝑹𝟐 𝜽 − 𝒙) = 𝟎 0. 25

0.25

2.

On déduit la deuxième équation différentielle du mouvement : 𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 − 𝒌𝑹𝟐 𝜽 = 𝟎 0.25 𝟏 𝒎�𝑹𝟏 𝟐 + 𝑹𝟐 𝟐 �𝜽̈ + 𝒌(𝑹²𝟏 + 𝑹²𝟐 )𝜽 − 𝒌𝑹𝟐 𝒙 = 𝟎 �𝟐 𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 − 𝒌𝑹𝟐 𝜽 = 𝟎

Les pulsations propres du système : 𝑹𝟐 = 𝟐𝑹𝟏 Les équations différentielles s deviennent : 𝟏 𝒎�𝑹𝟏 𝟐 + 𝟒𝑹𝟏 𝟐 �𝜽̈ + 𝒌(𝑹²𝟏 + 𝟒𝑹²𝟏 )𝜽 − 𝟐𝒌𝑹𝟏 𝒙 = 𝟎 �𝟐 𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 − 𝟐𝒌𝑹𝟏 𝜽 = 𝟎 𝟓 𝒎𝑹𝟏 𝟐 𝜽̈ + 𝟓𝒌𝑹𝟏 𝟐 𝜽 − 𝟐𝒌𝑹𝟏 𝒙 = 𝟎 �𝟐 𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 − 𝟐𝒌𝑹𝟏 𝜽 = 𝟎 𝟒 𝟓 𝒎𝜽̈ + 𝟐𝒌𝜽 − 𝟓𝑹 𝒌𝒙 = 𝟎 𝒎𝑹𝟏 𝜽̈ + 𝟓𝒌𝑹𝟏 𝜽 − 𝟐𝒌𝒙 = 𝟎 𝟓 𝟏 On divise sur 𝑹𝟏 ⟹ � �𝟐 𝟐 𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 − 𝟐𝒌𝑹𝟏 𝜽 = 𝟎 𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 − 𝟐𝒌𝑹𝟏 𝜽 = 𝟎

𝒙̈ = −𝝎𝟐 𝒙 𝜽̈ = −𝝎𝟐 𝜽

On suppose que les solutions sont sinusoïdales donc : �

0.25

𝟒 𝟒 − 𝒌𝒙 = 𝟎 𝒌 �𝟐𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 � 𝜽 𝟎 𝟓𝑹𝟏 𝟓𝑹𝟏 �� � = � � ⟹� � 𝒙 𝟎 −𝟐𝒌𝑹𝟏 −𝟐𝒌𝑹𝟏 𝜽 + �𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 �𝒙 = 𝟎 �𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 � �𝟐𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 �𝜽 −

C’est deux équations admettent une solution si : � 𝟒 �𝟐𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 ��𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 � − 𝟐𝒌𝑹𝟏 .

𝟓 𝑹𝟏

𝒌=𝟎

𝟐𝒌 − 𝒎 𝝎 𝟐 −𝟐𝒌𝑹𝟏

𝟒

− 𝟓𝑹 𝒌 𝟏

𝒌 − 𝒎𝝎 𝟐

�=0

0. 5

𝟐 𝟖 ⟹ (𝟐𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 )(𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 ) − 𝒌𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒎𝟐 𝝎𝟒 − 𝟑𝒌𝒎𝝎𝟐 + 𝒌𝟐 = 𝟎 𝟓 𝟓 Pour cela, nous allons réaliser un changement d’inconnue.

0.25

𝟐

On pose 𝝎𝟐 = 𝒘 ⟹ 𝒎𝟐 𝒘𝟐 − 𝟑𝒌𝒎𝒘 + 𝒌𝟐 = 𝟎0.25 𝟐 𝟐

∆= 𝟕. 𝟒𝒎 𝒌 > 0

�

𝒌 𝒎 𝒌 𝟎. 𝟏𝟒 𝒎

𝒘𝟏 = 𝝎𝟐𝟏 = 𝟐. 𝟖𝟔

𝒘𝟐 = 𝝎𝟐𝟐𝟏 =

𝟓

0.25

0.25 𝟒

�𝟐𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 �𝜽 − 𝟓𝑹 𝒌𝒙 = 𝟎

𝟏 Recherche des modes propres : on remplace les pulsations dans � −𝟐𝒌𝑹𝟏 𝜽 + �𝒌 − 𝒎𝝎𝟐 �𝒙 = 𝟎

𝝎𝟐𝟏 = 𝟐. 𝟖𝟔

𝒌 𝒎

→ ������⃗ 𝑽𝟏(

𝝎𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒

𝜽

⟹𝒙=− 𝟏

−𝟏. 𝟏𝑹𝟏 𝒌 𝒎

������⃗( → 𝑽𝟐

𝜽

)

⟹𝒙=

𝟏 ) 𝟐. 𝟑𝑹𝟏

𝟎.𝟗𝟑 𝑹𝟏

0.25

𝟎.𝟒𝟑 𝑹𝟏

0.25

Donc la solution est : � �𝜃(𝑡) 𝑥(𝑡)

1 = 𝐴 �−1,1 � 𝑠𝑖𝑛 (𝜔1 𝑡 + 𝜑) + 𝐵 �2.31𝑹 � 𝑠𝑖𝑛 (𝜔2 𝑡 + 𝜑 ′ ) 𝑹 𝟏

𝟏

𝜃(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝜔1 𝑡 + 𝜑) + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 (𝜔2 𝑡 + 𝜑 ′ ) 0.5 � 𝑥(𝑡) = −1,1𝑹𝟏 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝜔1 𝑡 + 𝜑) + 2.3𝑹𝟏 𝑠𝑖𝑛 (𝜔2 𝑡 + 𝜑′ )

Université Ferhat Abbas – Sétif

2èmeAnnée LMD

Examen de rattrapage de Physique 3

Faculté de technologie Tronc Commun S.T

05Avril 2012 Temps alloué : 1h30

Exercice 1 (05 points) Soit le circuit électrique ci-contre 1. Trouver à l’aide de la loi des mailles, l’équation différentielle que satisfait la charge q qui circule dans le circuit. 2. Trouver l’équation différentielle du courant i. Qu’est ce que vous remarquez ? 3. Déduire la pulsation propre de cet oscillateur harmonique.

( ‫ ﻧﻘﺎﻁ‬05 ) 01‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﺭﺓ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ . q ‫ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺮﻭﺍﺕ ﺍﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪﺍﺭﺓ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺍﻟﺸﺤﻨﺔ‬.1 ‫ ﻣﺎﺫﺍ ﺗﻼﺣﻆ ؟‬. i ‫ ﺍﻭﺟﺪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪﺍﺭﺓ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ‬.2 . ‫ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻨﺒﺾ ﺍﻟﺬﺍﺗﻲ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻬﺰﺍﺯ ﺍﻟﺘﻮﺍﻓﻘﻲ‬.3

Exercice 2 (07 points) Une tige de longueur 3L porte en ses extrémités des masses M et m. La tige peut tourner Autour d’un point O. L’ensemble des frottements est symbolisé par l’amortisseur de coefficient α. A l’équilibre le ressort était non déformé et la tige était verticale. 1. Trouver l’énergie cinétique T, l’énergie potentielle U, et la fonction de dissipation D. 2. Trouver le Lagrangien et l’équation du mouvement. Déduire 𝜹 et 𝝎𝟎 . 𝑚 ( ‫ ﻧﻘﺎﻁ‬07 ) 02 ‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ ﺟﻤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺨﺎﻣﺪ ﻣﻌﺒﺮ ﻋﻨﻬﺎ‬O ‫ ﻳﻤﻜﻨﻬﺎ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﻥ ﺣﻮﻝ ﻧﻘﻄﺔ‬m‫ ﻭ‬M ‫ ﺗﺤﻤﻞ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺘﻴﻬﺎ ﻛﺘﻠﺘﻴﻦ‬3L ‫ﻋﺎﺭﺿﺔ ﻁﻮﻟﻬﺎ‬ 𝑘 .‫ ﻋﻨﺪ ﺍﻻﺗﺰﺍﻥ ﺍﻟﻨﺎﺑﺾ ﻳﻜﻮﻥ ﻏﻴﺮ ﻣﺸﻮﻩ ﻭ ﺍﻟﻌﺎﺭﺿﺔ ﻋﻤﻮﺩﻳﺔ‬. α ‫ﺑﻤﺨﻤﺪ ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ‬ 𝐿 y . D ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺿﻴﺎﻉ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ‬U ‫ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ‬,T ‫ ﺍﻭﺟﺪ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﻴﺔ‬.1 O . 𝝎𝟎 ‫ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ 𝜹 ﻭ‬.‫ ﺍﻭﺟﺪ ﻻﻏﺮﺍﻧﺠﻴﺎﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺮﻛﺔ‬.2 𝐿 𝛼 x L’équilibre

𝜃 𝐿

𝑀

Exercice 3 (08 points) k Dans le système ci-contre, un disque homogène de masse M et de rayon R peut tourner librement avec un angle 𝜽 autour de son axe fixe. La masse m sur le plan horizontal est 𝜽 reliée à un amortisseur de coefficient α et au disque par un fil inextensible et non glissant. O A l’équilibre le ressort était non déformé. Une excitation sinusoïdale 𝐅(𝐭) = 𝐅𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛀𝐭 F(t) R est appliquée sur la masse m. 𝜽 m 1. Trouver la relation entre x et 𝜽. M 2. Trouver l’énergie cinétique T, l’énergie potentielle U et la fonction de dissipation D en fonction de la variable x. Le moment d’inertie du disque autour de son axe x 𝟏 est : 𝑱/𝑶 = 𝑴𝑹𝟐 . 𝟐 3. Trouver le Lagrangien et déduire l’équation du mouvement. 4. En utilisant la représentation complexe, trouver l’amplitude A et la phase 𝚽 de la solution permanente : 𝒙(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝛀𝒕 + 𝚽). 5. Déduire la pulsation de résonance 𝛀𝐫 et donner le facteur de qualité Q du système faiblement amorti.

α

(‫ ﻧﻘﺎﻁ‬08 ) 03 ‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬ .𝜽 ‫ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺣﻭﻝ ﻣﺣﻭﺭﻩ ﺑﺯﺍﻭﻳﺔ‬R ‫ ﻭ ﻧﺻﻑ ﻗﻁﺭﻩ‬M ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻧﻅﺎﻡ ﺍﻟﻣﺑﻳﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺷﻛﻝ ﺍﻟﻣﻘﺎﺑﻝ ﻳﻣﻛﻥ ﻟﻘﺭﺹ ﻛﺗﻠﺗﻪ‬ .‫ ﻭ ﺑﺎﻟﻘﺭﺹ ﻋﻥ ﻁﺭﻳﻕ ﺧﻳﻁ ﻏﻳﺭ ﻗﺎﺑﻝ ﻟﻠﺗﻣﺩﺩ‬α ‫ ﺗﺗﺣﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗﻭﻯ ﺍﻓﻘﻲ ﻭ ﻣﺭﺑﻭﻁﺔ ﺑﻣﺧﻣﺩ ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ‬m ‫ﻧﺛﺑﺕ ﻛﺗﻠﺔ‬ . 𝐅(𝐭) = 𝐅𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛀𝐭 ‫ ﻗﻭﺓ ﻗﺳﺭﻳﺔ ﺟﻳﺑﻳﺔ‬m ‫ ﻧﻁﺑﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻛﺗﻠﺔ‬.‫ﻋﻧﺩ ﺍﻻﺗﺯﺍﻥ ﻳﻛﻭﻥ ﺍﻟﻧﺎﺑﺽ ﻏﻳﺭ ﻣﺷﻭﻩ‬ .𝜽 ‫ ﻭ‬x ‫ ﺍﻭﺟﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻳﻥ‬.1

(𝑱/𝑶 =

𝟏 𝑴𝑹𝟐 ) 𝟐

. x ‫ ﺑﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻣﺗﻐﻳﺭ‬D ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺿﻳﺎﻉ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‬U ‫ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻛﺎﻣﻧﺔ‬, T ‫ ﺍﻭﺟﺩ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺣﺭﻛﻳﺔ‬.2

.‫ ﺍﻭﺟﺩ ﻻﻏﺭﺍﻧﺟﻳﺎﻥ ﺍﻟﺟﻣﻠﺔ ﻭ ﺍﺳﺗﻧﺗﺞ ﺍﻟﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺗﻔﺎﺿﻠﻳﺔ ﺍﻟﻘﺳﺭﻳﺔ‬.3 𝒙(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝛀𝒕 + 𝚽) : ‫ ﻭ ﺍﻟﻁﻭﺭ𝚽 ﻟﻠﺣﻝ ﺍﻟﺩﺍﺋﻡ‬A ‫ ﺍﻭﺟﺩ ﺍﻟﺳﻌﺔ‬,‫ ﺑﺎﺳﺗﻌﻣﺎﻝ ﺍﻟﻛﺗﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﻘﺩﻳﺔ‬.4 .‫ ﻟﻠﻧﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺗﺧﺎﻣﺩ ﺍﻟﺧﻔﻳﻑ‬Q ‫ ﺍﺳﺗﻧﺗﺞ ﺍﻟﻧﺑﺽ 𝐫𝛀 ﻋﻧﺩ ﺍﻟﺭﻧﻳﻥ ﻭ ﺍﻭﺟﺩ ﻗﻳﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣﻝ ﺍﻟﺟﻭﺩﺓ‬.5

Corrigé type de l’examen de rattrapage du module physique3 (2012)

Exercice 1 Application de la loi des mailles à l’unique maille du circuit : 𝑈𝐿 + 𝑈𝐶 = 0 (∗) 1. Puisque 𝑈𝑐 =

𝑞 𝐶

L’équation (*)

𝑑𝑖 et 𝑈𝐿 = 𝐿 = 𝐿𝑞̈ 0.5 𝑑𝑡 𝑞 noud donne : 𝐿𝑞̈ + = 0 ⟹ 𝑞̈ 𝐶

2. Puisque 𝑖 = 𝑞̇ = 𝑐 𝑈̇𝑐

0.5

1 𝑞 =0. 0.5 𝐿𝐶 𝑑2 𝑖 𝐿 2 0.5 𝑑𝑡 𝑑2 𝑖 1 + 𝑖=0 𝑑𝑡 2 𝐿𝐶

+

et 𝑈̇𝐿 =

0.5

L’équation (*) nous donne : 𝑈̇𝐿 + 𝑈̇𝑐 = 0 ⟹

On remarque la même forme des deux équations 3. La pulsation propre du système est 𝜔0 =

Exercice 2

1 1 2 2 1 𝑘𝐿2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 2 1 𝛼(𝐿𝜃̇ )2 1 2

1 2

1 � 𝐿𝐶

2.

𝑈=

𝐷=

0.5 1

1 𝑘𝐿2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 2

𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝑀𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1

1

1 Le Lagrangien est 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = (𝑚 + 4𝑀)𝐿2 𝜃̇ 2 2 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐷 L’équation du mouvement : � ̇ � − =− ̇ 𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃

⟹ 𝜃̈ +

𝛼 𝜃̇ (𝑚+4𝑀)

𝑘𝐿2 −𝑔(𝑚−2𝑀)𝐿 )𝜃 (𝑚+4𝑀)𝐿2

+(

=0

1

Exercice 3 1. 𝑥 = 𝑅𝜃

0.5

𝛼 2(𝑚+4𝑀)

0.5

0.5 𝑘𝐿2 −𝑔(𝑚−2𝑀)𝐿 (𝑚+4𝑀)𝐿2

𝜔02 =

0.5

1 1 1 1 2. 𝑇 = 𝑇𝑀 + 𝑇𝑚 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 + 𝑚𝑥̇ 2 = ( 𝑀 + 𝑚)𝑥̇ 2

𝑈 = 𝑈𝑘 = 1

2 1 𝑘𝑅 2 𝜃 2 2

𝐷 = 𝛼𝑥̇ 2 . 0.5 2

=

2 1 2 𝑘𝑥 2

0.5

2 2

1 𝑀 2 2 𝛼

0.5

1 2

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 � �− 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥

=−

𝜕𝐷 𝜕𝑥̇

+F ⟹ 𝑥̈ +

𝑀 (𝑚+ ) 2

𝑥̇ +

𝑘

𝑀 (𝑚+ ) 2

L’équation est de la forme : 𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0.25

𝛼

𝛿=

,

𝑥=−

𝐹

𝑀 2

(𝑚+ )

𝐹

avec:

𝜔02 =

𝑨=

𝑘

𝑩

𝟐

��𝝎𝟐 𝟎 −𝛀𝟐 � +(𝟐𝜹𝛀)𝟐

𝜔0 2𝛿

0.25

𝐹0 jΩt e = 𝐵ejΩt ⟹ �(𝜔2 0 − Ω2 ) + 2𝛿Ω𝑗� 𝐴𝑒𝑗Φ = 𝐵 𝑚

1

6. La pulsation de résonance est : Ωr telle que

Le facteur de qualité : 𝑄 =

0.5

𝑀 2

(𝑚+ )

𝑀 𝑀 (𝑚 + 2 ) 2(𝑚 + 2 ) 4. En utilisant la représentation complexe: F = F0 cos Ωt → F = F0 ejΩt 0.5 5. � 𝑥(𝑡) = 𝐴 cos (Ω𝑡 + Φ) ⟶ 𝔷(𝑡) = 𝐴 𝑒 𝑗(Ω𝑡+Φ) . 𝔷̈ + 2𝛿 𝔷̇ + 𝜔2 0 𝔷 =

0.5

Car : 𝑥 = 𝑅𝜃

3. Le Lagrangien est 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = � + 𝑚� 𝑥̇ 2 − 𝑘𝑥 2

0.5

+ 𝑔(𝑚 − 2𝑀)𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃

− 𝑘𝐿2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑔(𝑚 − 2𝑀)𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 0.5 2

L’équation est de la forme : 𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐: 𝛿 =

0.5

0.5

1. 𝑇 = 𝑚𝐿2 𝜃̇ 2 + 𝑀(2𝐿)2 𝜃̇ 2 = (𝑚 + 4𝑀)𝐿2 𝜃̇ 2

0.5

1

0.5

𝜕𝐴 𝜕Ω

=0

et 𝒕𝒈𝝋 =

0.5

−𝟐𝜹𝛀

𝟐

�𝝎𝟐 𝟎 −𝛀 �

0.5

1

soit Ωr = �(𝜔02 − 2δ2 )

0.5

Examen de Physique 3

Exercice 1

LMD ST

Durée 1h 30

15 février 2010

(7 points)

On considère le système oscillatoire mécanique suivant :

Le cylindre de masse M et de rayon R roule sans glisser, c'est-à-dire que lorsqu’il tourne de θ, son centre de gravité se déplace de x (x = Rθ). 1) Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système (4 points) en déduire le Lagrangien pour k1 = k et k2 = 2 k (1 point) 2) Calculer l’équation du mouvement et en déduire sa période propre (2 points)

Exercice 2

(13 points)

Une force F vibratoire excitatrice d’amplitude y (F = k3.y) est appliquée en A au système oscillatoire mécanique suivant :

Soient x1 et x2 les déplacements conséquents dynamique de m1 et m2 par rapport à leurs positions d’équilibres. 1) Déterminer les équations du mouvement des masses m1 et m2 En déduire le système d’équations différentielles correspondant (3 points) 2) Etablir les équations différentielles électriques analogues en charges q1 et q2 puis en courant i1 et i2 En déduire le schéma du circuit électrique équivalent à ce système. (3 points) 3) On prend m1 = m2 = m et k1 = k2 = k3 = k Sachant que F = k.y = a.exp(i Ω.t), donner le système d’équation différentiel en amplitudes complexes X 1 et X 2 des solutions x1 et x2 du régime permanant Si β = 0 (pas d’amortissement), Pour quelle pulsation la masse m2 reste immobile (3 points) 4) On considère β = 0 et le cas non excité : a = 0 Trouver les pulsations propres correspondantes aux modes de vibrations possibles, en déduire la matrice de passage et donner les solutions générales. (4 points)

Correction de l’Examen de Physique 3 Exercice 1

(7 pts)

Exercice 2

(13 pts)

LMD ST fev.2010

Examen Rattrapage de Physique 3 LMD ST Durée 1h 30 Septembre 2010

Exercice 1 (8 points)

On considère le système mécanique oscillatoire roulement sans glissement d’un disque : lorsque le disque tourne de θ, son centre de gravité se déplace de x, x = R.θ. Etablir le Lagrangien du système. 4 pts Déterminer l’équation différentielle du mouvement en θ. 3 pts En déduire la période des oscillations dans le cas : k1 = k2 = k 1 pt

Exercice 2 (12 points) Soit le système mécanique oscillant suivant : x1 = x1(t) et x2 = x2(t) sont respectivement les positions dynamiques (amplitudes à chaque instant) des masses m1 et m2 par rapport à leurs positions de repos (d’équilibre). F(t) force excitatrice appliquée en m1. 1) Ecrire les équations différentielles avec : m1 = m2 = m. et k1 = k2 = k (4 pts) 2) Trouver les solutions du régime permanant sachant que F(t) = k a cos (ω t). (4 pts) 3) Si β = 0, pour qu’elles valeurs de ω a-t-on résonnance. (3 pts) Donner dans ce cas la condition pour laquelle la 1ère masse reste immobile. (1 pt)

Correction de l’Examen Rattrapage de Physique 3 LMD ST sep 2010 Réponse 1 (8 points) Il y a 2 mouvements simultanés du disque : rotation de θ et translation de x, x = R θ le ressort k2 se comprime de x = R θ ; et inversement.

Réponse 2 (12 points)

Examen de Physique 3

Exercice 1

LMD ST

Durée 1h 30

février 2011

(7 points)

On considère le pendule métronome de la figure constitué d’une tige rigide de masse négligeable de longueur 2L portant à ses extrémisées des masses m et M considérées ponctuelles et 2 ressorts identiques soudés en un point A à la tige. Au repos le système est symétrique par rapport à la verticale et les ressorts non déformés.

La tige écartée d’un angle θ, les ressorts déformés de x, le système oscille dans le plan de la figure autour de l’axe de rotation O. 1) Donner le lagrangien du système oscillatoire libre à un degré de liberté. 2) Etablir l’équation différentielle du mouvement dans le cas des petites oscillations, et sa solution θ(t). 3) En déduire la période propre pour M = m et a = / 2. Exercice 2

(13 points)

Soit le montage oscillatoire mécanique suivant :

1. Ecrire les équations des mouvements des masses m1 et m2 : x1 et x2 étant leurs amplitudes dynamique respectives (c'est-à-dire les déplacements par rapport à la position de repos), avec au point S une force excitatrice F(t) horizontale qui impose des vibrations d’amplitude xs. En déduire le système d’équations différentielles correspondant. (Noter que F(t) = k1xs ) 2. Donner le schéma électrique équivalent du système en établissant d’abord les 2 équations en charges q1 et q2 puis en courant i1 et i2. On prend m1 = m2 = m , k1 =2k ; k2 = k , β = 0 (pas d’amortissement) et xs = a.exp(i Ω.t). 3. Donner les amplitudes complexes des solutions x1 et x2 de ce système. 4. Pour quelle pulsation la masse m1 reste immobile. Qu’elles sont les pulsations qui provoquent la résonance. Remarque : la question 2. est indépendante des questions 3. et 4.

Correction de l’Examen de Physique 3 (Vibrations) Exercice 1

(7 points)

Exercice 2

(13 points)

LMD ST

fev. 2011

Examen Rattrapage de Physique 3

LMD ST Durée 1h 30 sep. 2011

Exercice 1 (8 points) Un oscillateur a pour équation de mouvement : 1. Déterminer dans ce cas, la période propre To, le coefficient d’amortissement γ et la pulsation d’excitation Ω 2. Montrer que la solution transitoire est un mouvement oscillatoire amorti, en déduire sa pseudo pulsation ω Déterminer ce régime avec les Conditions Initiales : x(t=0) = 0 et v(t=0) = 4 3. Déterminer la solution permanente.

Exercice 2

(12 points)

On considère le système oscillatoire mécanique suivant :

Les 2 cylindres de même masse M et même rayon R roulent sans glisser, c'est-à-dire que lorsqu’ils tournent respectivement de θ1 et θ2 , leurs centres de gravité se déplacent respectivement de x1 = Rθ1 et x2 = Rθ2 1) Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système (on choisira θ1 et θ2 comme variables) 2) Etablir le Lagrangien pour k1 = k2 = k et K = 2k En déduire le système d’équations différentielles du mouvement 3) Trouver les pulsations propres correspondantes aux modes de vibrations possibles 4) En déduire la matrice de passage et écrire les solutions générales

Corrigé de l’Examen Rattrapage de Physique 3 Exercice 1

Exercice 2

LMD ST

sep. 2011

Examen de Physique 3

Exercice 1

LMD ST Durée 1h 30

fév. 2012

(8 points)

On considère le système oscillatoire mécanique suivant :

Lorsque la masse m est au repos à la hauteur h (par rapport au sol) le ressort est allongé de xo (allongement statique). Pour avoir des oscillations (mouvement), on tire la masse m de x vers le bas par rapport à sa position de repos (ou d’équilibre), la corde inextensible fait tourner la poulie de θ et allonge le ressort, puis on lâche le système. 1. Etablir le Lagrangien du système. 4 pts 2. Déterminer l’équation différentielle du mouvement. 3 pts En déduire la période des oscillations. 1 pt Exercice 2

(12 points)

Soit le montage oscillatoire mécanique à 2 degrés de libertés suivant :

Au repos, les ressorts ne sont pas déformés. Une force excitatrice F(t) = k1 xs horizontale impose des vibrations d’amplitude xs au point S. Ecrire les équations des mouvements des masses m1 et m2 : x1 et x2 étant leurs 1. amplitudes dynamique respectives (c'est-à-dire les déplacements par rapport à leurs 3 pts positions de repos).

2.

En déduire le système d’équations différentielles correspondant. 2 pts 3. Donner les amplitudes complexes des solutions x1 et x2 du régime permanant ce système, sachant que xs = a exp (iΩt) 4 pts 4. Si β = 0 (pas d’amortissement) trouver les pulsations de résonance. 3 pts

Corrigé de l’Examen de Physique 3 Exercice 1

Exercice 2

LMD ST

fev. 2012

Examen Rattrapage de Physique 3

LMD ST Durée 1h 30

sep. 2012

Exercice 1 8 points Le disque de masse M et de rayon R peut uniquement tourner autour de son axe O. Le ressort de raideur k est attaché en A au disque tel que OA = r. Lorsque la masse m est au repos à la hauteur h (par rapport au sol) le ressort est allongé de xo (allongement statique). Pour avoir des oscillations (mouvement), on tire la masse m de x vers le bas par rapport à sa position de repos (ou d’équilibre), la corde inextensible fait tourner la poulie de θ et allonge le ressort, puis on lâche le système. 1) Déterminer les énergies cinétique et potentiel du système (en fonction de θ). 2) En utilisant la loi de la conservation de l’énergie, trouver la pulsation des oscillations.

Exercice 2 12 points 1) Etablir les équations différentielles du système oscillatoire mécanique de la figure 1

2) On donne l’excitation F(t) = Fo.exp(i Ω t). Les solutions x1 (t) et x2 (t) du régime permanant étant du même type que l’excitation, donner l’écriture matricielle des équations différentielles en amplitudes complexes et . 3) En déduire, lorsque β = 0, la pulsation de résonance existante. 4) Etablir les équations différentielles en courant puis en charges q1 et q2 du système oscillatoire électrique de la figure 2. 5) Y a-t-il analogie entre ces deux systèmes ? Si oui, donner les correspondances entre les éléments mécaniques et électriques. En déduire, lorsque R = 0 la pulsation de résonance existante.

Corrigé de l’Examen de rattrapage de Physique 3 LMD ST Exercice 1 8 points

Exercie 2 12 points

sep. 2012

Examen de Physique 3

LMD ST Durée 1h 30

fév. 2013

Exercice 1 8 points Soit le pendule de la figure

La masse m est ponctuelle. La tige OB de longueur 2L sans masse pivote autour du point O d’un angle θ par rapport à sa position d’équilibre verticale. Au repos (θ=0) le ressort est non déformé. Un dispositif amortisseur exerce en A une force de frottement fluide. 1) Trouver l’équation du mouvement de ce système. Dans le cas des petites oscillations, donner l’équation différentielle correspondante. 2) On donne : m = 0,5 kg ; k = 4 N/m ; β = 12 kg/s ; L = 0,5 m ; g = 10 m/s2 Calculer le coefficient d’amortissement γ, la pulsation propre ω0 et donner la solution du régime transitoire correspondante.

Exercice 2 12 points Soit le montage de la figure

Les 2 cylindres identiques (masse M, rayon R) roulent sans glisser sur un support horizontal. Soit θ1 et θ2 les angles de rotation de ces 2 cylindres par rapport à leurs positions d’équilibre respectives. Au repos (θ1 = θ2 = 0) les ressorts sont non déformés. 1) Etablir le Lagrangien du système en fonction de x1 et x2 2) On prend k1 = k2 = k, trouver les équations du mouvement 3) Calculer les pulsations propres 4) En déduire la matrice de passage et les solutions générales

Corrigé de l’Examen de Physique 3 Exercice 1

Exercice 2

LMD ST

fev. 2013

L.M.D.,

Travaux Dirigés physique 3

Oscillations libres

Exercice 1 Soit le système pendule (tige Om sans masse + masse m) + ressorts oscillatoire mécanique de la figure 1. Au repos θ = 0 et les ressorts sont non déformés. Déterminer les énergies cinétique et potentielle du système mécanique oscillant en fonction de θ. En utilisant la conservation de l’énergie établir l’équation différentielle du mouvement pour les petites oscillations et en déduire sa pulsation propre. Exercice 2 On considère le système oscillatoire mécanique de la figure 2. Au repos les ressorts ne sont pas déformés. Le cylindre (de masse M de rayon R et de moment d’inertie J = ½ MR2) roule sans glisser, c'est-à-dire que lorsqu’il tourne de θ, son centre de gravité se déplace de x (x = Rθ). Déterminer le Lagrangien du système. En déduire l’équation différentielle du mouvement pour les petites oscillations et la période propre des oscillations pour k1 = k2 /2 = k .

Exercice 3 Soit le système oscillatoire mécanique de la figure 3. Au repos la tige est horizontale et le ressort est comprimé de xo (déformation statique). 1) Déterminer les énergies cinétique et potentiel du système (en fonction de θ). 2) Etablir l’équation différentielle du mouvement pour les petites oscillations et en déduire la période propre des oscillations. Exercice 4 On considère le système oscillatoire mécanique de la figure 4. La tige mM rigide de masse négligeable porte à ses extrémisées des masses ponctuelles m et M. Les 2 ressorts identiques sont soudés en un point A à la tige. Au repos (θ =0) le système est symétrique par rapport à la verticale et les ressorts non déformés. La tige écartée d’un angle θ, les ressorts déformés de x, le système oscille dans le plan de la figure autour de l’axe de rotation O. Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système. Dans le cas des petites oscillations, trouver l’équation différentielle du mouvement. En déduire la période des oscillations pour M = 2m et l = 2a

Exercice 5 (figure 5) Au repos (équilibre) le ressort est allongé de xo. Lorsque la masse m descend de x2 (mouvement) la poulie (de masse M de rayon R et de moment d’inertie J = ½ MR2) descend (le ressort s’allonge) de x1 et tourne de θ (Rθ = x1), donc x2 = x1 + Rθ = 2 x1 . En utilisant le Lagrangien trouvez la période des oscillations. Exercice 6 (figure 6) Le disque de masse M et de rayon R peut uniquement tourner autour de son axe O. Le ressort de raideur k est attaché en A au disque tel que OA = r. Lorsque la masse m est au repos à la hauteur h (par rapport au sol) le ressort est allongé de xo (allongement statique). Pour avoir des oscillations (mouvement), on tire la masse m de x vers le bas par rapport à sa position de repos (ou d’équilibre), la corde inextensible fait tourner la poulie de θ et allonge le ressort, puis on lâche le système. 1) Déterminer les énergies cinétique et potentiel du système (en fonction de θ). 2) En utilisant la loi de la conservation de l’énergie, trouver la pulsation des oscillations.

L.M.D., Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Travaux Dirigés physique 3

Oscillations libres

Réponses

L.M.D.,

Exercice 5

Exercice 6

Travaux Dirigés physique 3

Oscillations libres

Réponses